         … [620104]




   
 
 
 
 

  
 
 

 


  
   
 

 


 

 
   
  

 
 
 



 
 
   
 
 
 



        DE MATEMATICĂ 
 IV, deoarece poate fi abordată din diverse unghiuri. Sintagma
se referă separat și / sau unitar la : capacități sociale,gândirea ca proces de rezolvare de probleme ,tip
superior de învățare ,nivel de p erformanță , metodă ,algoritm ,strategie ,unitate de învățare distinctă sau
subordonată, tratare interdisciplinară , intradisciplinară .
Cu alte cuvinte , în lucrare doresc să dovedesc că rezolvarea de probleme este 

 –singura ființă înzestrată cu rațiune ,
judecată , gândire , limbaj . Acestea pot și trebuie dez voltate prin cunoașterea adevărului , adică prin
matematică .
Pentru a enunța propoziția : ,,Acest măr este roșu”,era necesară o cunoaștere prin simțuri a lucrului
din realitatea exterioară .
Pentru a enunța propoziția : ,,Toate numerele pare se divid cu 2”, era necesară o cunoaștere a
unor adevăruri matematice .
Prima formă de cunoaștere se numește adică derivată din experiență (
cunoaștere intuitivă) . Sursa ei este experiența, iar propozițiile sau judecățile prin care o exprimăm nu

A doua formă de cunoaștere se numește dică nederivată din
experiență  ei o constituie rațiunea și judecățile, iar propozițiile prin care o exprimăm sunt
necesare ( adevăruri intrinsec evidente ) . E un adevăr matematic care nu are nicio legătură cu
experiența; mai mult, proprietatea afirmată depre numerele pare este neces ară , întrucât numerele pare

–am propus prin această lucrare să îmi aduc contribu 
a demonstra că , indiferent de domeniu , rezolvarea creativă de probleme trebuie să fie atributul ce
caracterirează omul în orice ipostază s ar afla : școală , familie , mediu , societate ;

a argumentea și a dovedi că matematica este câmpul deschis al cunoașterii știi nțifice unde
 (sintagma traducerii directe ,,furtuna în creier” sau ,,asaltul de idei”) se poate duela
 spre a ieși învingători elevii ;
a promova ideea că prin se dezoltă gândirea și operațiile ei, creati vitatea , tăria de
caracter , sentimentele și atitudinile pozitive , spiritul de competiție intelectuală .
a demonstara că noile metode active  învă
 ște rezolvarea de 

        

Competențele cheie pentru învățarea pe tot parcursul vieții reprezint ă constructe care încheagă
 combinație a  cunoștințelor, a abilităților și  
 Ele asigură împlinirea și de zvoltarea personală, incluziunea socială, cetățenia act ivă și
ocuparea forței de muncă    
  
Recomandarea 2006/962/CE a Parlamentului European și a Consiliului din 18 decembrie 2006
privind competențele  pentru învățarea pe tot parcursul vieții identifică și descrie cele 
competențe  cunoștințele, abilitățile și atitudinile esențiale legate de fiecare dintre

 maternăcapacitatea de a exprima și inte 
sentimente, fapte și opinii, atât în formă orală, cât și în formă scrisă (ascultare, vorbire,
citire și scriere) și de a interacționa lingvistic într un mod adecvat și creativ într 
completă de contexte culturale și sociale 
comunicarea în limbi străine – 
altă limbă. Ea implică și abilitățile de mediere și înțelegere interculturală. Nivelul de
cunoștințe depinde de mai mulți factori și se exprimă prin  
citire și scriere;
competența matematică și competențe de bază privind știința și tehnologia. Competența
matematică capacitatea de a dezvolta și a aplica gândirea matematică pentru rezolvarea
diferitor probleme în situații cotidi  se pe proces, activitate și
cunoștințe . Competențele de bază privind știința și tehnologia  stăpânirea,
utilizarea și aplicarea cunoștințelor și a metodologiilor de explicare a lumii înconjurătoare.
Ele implică șiînțelegerea schimbărilor cauzate de activitatea umană și a responsabilității
fiecărui individ în calitate de cetățean;
competența digitală  /de o manieră critică 
societatea informațională (TSI) și deci abilitățile de bază privind tehnologia informației și a
comunicării (TIC);

capacitatea de a învăța /a învă  urmări și organiza p ropria învățare,
 onform nevoilor proprii, precum și de conștientizare a metodelor și
a oportunităților;
competențe sociale și civice. Competențele sociale se referă la competențele personale,
interpersonale și interculturale și  fiecărei
persoane să participe în mod eficace și constructiv la viața socială și profesională. Aceste
competențe sunt legate de bunăstarea personală și socială. Este esențială înțelegerea
codurilor de conduită și a obiceiurilor din diferite medii în care a ctivează persoanele
(abilită . Competențele civice presupun cunoașterea conceptelor și a
structurilor sociale și politice (democrație, justiție, egalitate, cetățenie și drepturi civile), și
 fac posibilă parti ciparea activă și democratică a oamenilor;
simțul inițiativei și   
acțiune. Acest simț presupune creativitate, inovație și asumarea unor riscuri, precum și
capacitatea de a planifica și ge 
este conștientă de contextul propriei sale activități și este capabilă să valorifice
oportunitățile apărute. Acesta este fundamentul pentru achiziția unor abilități și cunoștințe
 e, de care au nevoie cei care instituie sau contribuie la o activitate socială sau
comercială. Acest lucru ar trebui să includă conștientizarea valorilor etice și promovarea
bunei guvernări;
conști ința și expresia culturală aprecierea importanței expresi 
experiențelor și a emoțiilor  muzică, teatru, literatură și arte

Abilită
 
 


După „Dicționarul explicativ al limbii române”, cuvântul problemă are următoarele
definiții:
 „chestiune care prezintă aspecte neclare, discutabile, care necesită o lămurire, o precizare,care
se pretează la discuții”;
 “chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare (majoră) și care cere o
soluționare (imediată)”;
 “chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva; obiect principal al
preocupărilor cuiva”;
 “(mat.)
raționamente, a unor date”;
 “dificultate care trebuie rezolvată pentr u a obține un anumit rezultat; greutate, impas”.
Noțiunea de p roblemă, se referă în sens larg, la orice dificultate de natură practică sau teoretică
ce necesită o soluționare. P  de matematică  vizează o situație la care căută 
un răspuns, a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul. Problema face referire la o
anumită situație, ce secere lămurită în condițiile a ceea ce vrem să aflăm,valori numerice date și relații
între ele enunțate în  , prin raționament și printr un șir de operații, a căror

Cuvântul „problemă” își are originea în limba latină și a intrat în vocabularul 
limba franceză. Cuvântul „proballein” folosit de matematicie ni și psihologi are semnificația: „ceea 
ți se aruncă în față ca obstacol” sau provocare. Noțiunea de problemă are un conținut larg și 
gamă largă de preocupări și acțiuni din domenii d 
În sens psihologic, o „problemă” este orice situaț 
în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat; este „o 
sau un obstacol cognitiv care implică una ori mai multe necunoscute ce nu pot fi 
rită insuficienței sau ineficienței sistemulu i de răspunsuri ale subiectului” (ibidem, 
n general, orice chestiune de natură practică sau teoretică ce necesită o soluționare, o
 vare, poartă numele de problemă.
În matematică, prin problemă se înțelege „o situație a cărei rezolvare se obține prin 
gândire și calcul” (Lupu 
„Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui 
situații practice în relații cantitative și în care, pe b aza valorilor numerice date și  o anumită
dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valorinumerice necunoscute, se cere
 i necunoscute” ( Neacșu, 1988, p.196).

Toate definițiile pentru noțiunea de probl emă subliniază  
înlătura ceea ce îi apare în față ca „o barieră, un obstacol”, pentru că „unde nu există o sarcină sau o
dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo finalit atea gândirii lipsește”

G. Polya afirma că „ a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr o dificultate,înseamnă
a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil. A găsi soluția
    performanță specifică inteligenței, iar inteligența   
speciei umane” 
În rezolvarea ei, problema implică o activitate de descoperire, deoarece exclude preexistența
 
pot fi rezolvate prin aplicarea unui algoritm.Spre deosebire de problemă, un exercițiu oferă elevului
  cu care se operează și precizarea operațiilor respective),sarcina lui  
efectuarea calculelor după tehnici și metode pe care acesta le cunoa ște.
Distincția   în funcție de prezența sau
absența textului prin care se oferă date și corelații între   găsirea un 
răspuns la  ștem. În realitate, această distincție nu trebuie făcută după forma exterioară
a solicitării, ci după natura rezolvării u se poate face în mod tranșant lasificarea unor enunțuri
 xerciții sau probleme , fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o
 care rezolvă 
  prezenta un exercițiu  

Rezolvarea de probleme înseamnă „asumarea sarcinii de depășire și de eliminare a dificultății
 operaționale și strategii rezolutive specifice cerințel 
acesteia”   Ea trebuie să decurgă ca o necessitate firească, solicitată de situații
concrete din viață.
„Procesul rezolutiv presupune acoperirea lacunei cognitive din gândirea și experiența
subiectului, înțelegerea conflictului din datele și cerințele problemei, efectuarea operațiilor de
transformare a necunoscutului în cunoscut.”( 
O primă clasificare a problemelor conduce la trei categorii: probleme simple (cele rezolvabile
o singură operație) și probleme  (cele rezolvabile prin cel puțin două operații) ș

 
  


 și este necesar apoi șirestructureze aceste reprezentări în fun  

 obleme trebuie cultivată ca o necesitate firească, solicitată de situa
 rezintă 
 
 și aflate într o anumită dependen
 
  
  
elevii se confruntă cu acest aspect încă din clasele mici nu numai în cadrul orelor de matematică și în
 și la olimpiade și concu 
 și de mare actualita   ș 
rezolvarea corectă a problemelor începând chiar cu ciclul primar,vizată fiind îndeosebi clasa a 
 șire corectă a metodicii rezolvării unei probleme ,pornind încă din clasa I vor fi de mare
   șită indiferent de concurs sau

Unul dintre domeniile testării 
(engl.) respectiv cultură matematică (fr.) Această c  ămatematică vizeză 
individului de a identifica și de a înțelege rolul pe care îl joacă matematica în lume, de a face ju decăți
bine fundamentate, de a utiliza și de a se angaja matematic  care răspund nevoilor vieții
individului, în calitatea sa de cetățean constructiv, implicat și reflexiv. Problemele au o mare legătură
    
responsabilită
 , în viziunea testărilor international , poate fi definită ca și
individului de a utiliza procesele cognitive pentru a face față și a rezolva situații reale, 
 soluți imediat și în care domeniile alfabetizării sau ariile curriculare care ar
 fi încadrabile în domeniul matematicii, al științelor sau al citirii / lecturii.
    școlară
Testele sunt concepute pentru a evalua în ce măsură elevii, la sfâr șitul învă ământului
 i pentru integrarea deplină

Alte concursuri la disciplina matematică sunt TIMSS și PIRLS. Acestea furnizează seturi de
 

 Oferă informații comparative
la nivel internațional care permit luarea de decizii fundamentate de politici educaționale și identificarea
punctelor tari și slabe ale s istemelor naționale de educație Din păcate,România nu se situează pe locuri
 șela nici una dintre aceste testări, nici la matematică
Testările     ș  
matematică. Aceste competen  ștere,
 și rationament. Posesia lor a fost verificată cu privire la tr  
 și măsurători (35%) și Prezentarea datelor (15%).
 Nivele taxonomice în curricula testărilor TIMSS la matematica
  
  

  oprietă 
 ștere  ște  și
cantită  ște
formă de frac 
    −, ×, ÷, sau
 



  
  ea instrumentelor de măsură, alegerea unită

 și expresii în accord cu
proprietă
  și ordonarea unor numere și obiecte în baza unor

   
  ste cunoscută procedur  
sau metodă de rezolvare 
   și a datelor pri 
hăr generarea unor reprezentări echivalente pentru o

  geometrică sau diagram ă
pentru a rezolva o problemă de rutina.
   

   ntâlnite la clasă 

   

   

 

Extinderea domeniul căruia îi sunt aplicabile rezultate ale gândirii
 și rezolvării de probleme prin reformularea mai generală și la
scară mai largă a rezultatelor/termenilor.


reprezentări și idei). Combinarea faptelor, conceptelor și procedurilor
 și a combina rezultate pentru a produce rezultate


ferirea unei justificări cu privire la unele rezultate matematice sau
proprietă
 

 rutină  
   
șaplică fapte, concepte, și proceduri în contexte nefamiliare sau
 
 
problemelor reprezintă o activitatea de profu     e analiză și sinteză Ea îmbină
eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și 
creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematic  țiuni
definiții , reguli, tehnici de calcul), precum și de  
obilizarea intelectuală a elevilor   oară altor
 , elevii fiind puși în situația de a descoperi e i înșiși modalitățile de rezolvare și
soluți, să formeze ipoteze și apoi să le verifice , să facă asociații de idei și corelații inedite 
formativă a rezolvărilor de probleme spore ște
  ățile intelectuale ale
 solicită acestora toate disponibilitățile p sihice, în special inteligența , motive pentru care și
în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare atenție .
n simț al realității de tip matem  le deprinderea de a rezolva și alte probleme
 care viața le pune în fața lor este generat de problemele de aritmetică, 
  de practică . Rezolvarea sistematică a problemel 
  , deprinderi și atitudini pozitive care
  , de a compune ei înșiși probleme.


Conform lui Piaget, gândirea formală implică patru aspecte majore:metacogni 
   gândirea abstractă       
logică o problemă și de a
              și efecte)
șimotivarea ipotetică  și exa
variabile). În acest subcapitol voi vorbi despre gândirea logică dar și cea creatoare.
 “În epoca contemporană se poate
afirma că nu se poate trăi fă ră matematică. Necesiatea culturii matematice, devine tot mai acută și face
parte integrantă din cultura general.  și personale,  și
dezvoltarea capacită e învă 
Modernizarea învă 
  ipline contribuie cu precădere la   ”
 

 
  știntele matematice de care dispune elevul, cât și dezvoltarea intelectuală a
acestuia. Cunoscut este faptul că rezolvarea de probleme necesită un efort mai mare al gândirii dec 

“ și rezolvării de probleme poate începe din semestrul I al clasei I, însă
treptat, respectând particularită
 și rezolvate de elevi trebuie să fie inspirate din problemele pe care le implică via
 să vadă necesitatea lor în via zilele, legătura cu practica. La început,
 și rezolvate

 și descompunerea problemei în probleme simple, 
 Cea mai importantă parte în rezolv        e se desfă șoară
 rezolvării,       ”
 
Trebuie să fie stimulată gândirea 
urmăre ște încă din primele ore de matematică formarea limbajului matematic necesar, dar în așa fel
încât fiecare oră să contribuie la de zvoltarea gândirii matematice, să îi pregătească pentru judecarea și
rezolvarea problemelor, să îi facă să în
produsul unei dezvoltări și că la rândul ei poate fi dezvoltată. Nu este suficientă, pe ntru ca elevii să

rezolve o problemă, însu
bază.

faza rezolvării de probleme pe baza d e desene sau imagini. Numai dacă elevul va interpreta corect


Există mai multe metode de rezolvare a problemelor. Pentru a stimu 
o problemă căreia să îi lipsească întrebarea. Învă
  
probleme a căror ordine de rezo 
aleagă perechile de date între care stabile
Prin provocări poate fi stimulată gândirea creatoare. După anumite formule numerice și


“Problematizarea (elevii participă prin ef    
adevărului, dezvoltâdu și spiritul experimental, capacitatea de prelucrare), euristica (sporește
caracterul formativ al învă
 ul (asaltul de idei care urmăre ște stimularea
copiilor pe drumul căutării a cât mai multor ipoteze), învă
(impulsul determinând răspunsuri din ce în ce mai rap ide, mai corecte, găsirea cât mai multor solu
              
matematică. ”(ibidem)
Este urmărită formarea deprinderii de a lucra cu simboluri, de a folosi ra 
de a găsi căi originale de rezolvare, de a alcătui alte probleme.
    o gândire cât mai coerentă și mai corectă.Din propria
 
mai dificilă decât rezolvarea unui exerci
problemelor presupune în general o solicitatre mai atentă a gândirii elevilor.Dacă aceasta este bine
dezvoltată și antrenată,răspunsurile elevilor vor fi  ezitările sau nesiguran 
cum să se instaleze.
     
 și constant nu va
   
măsura muncii lor.

  
 i trebuie vazută ca și un sprijin un mod de a ajunge mai ușor la

știgul,dar și eșecul.

  
 
periodizare a școlarității prin gruparea mai multor niveluri de clase, care au în comun
 obiective, este realizată de Curriculum ul național, elaborat în anul 1998.   
evidenția obiectivul major al fiecărei perioade școlare și de a  procesul de învățământ din acea
perioadă  n școala primară  își propune să asigure
pentru toți elevii formarea competențel or de bază vizând: calculul aritmetic, noțiuni intuitive de
geometrie, măsurare și măsuri.
oncepția în care a fost construită noua programă de matematică ,în ansamblul său vizează
următoarele:
schimbări în abordarea conținuturilor:
     metică teoretică la o varietate de contexte problematice care
generează aritmetică;
schimbări în ceea ce se așteaptă de la elev:
            

schimbări în învățare:
 trecerea de la memorizare și repetare la explorare 
schimbări în predare:
 trecerea de la ipostaza de transmițător de informații a învățătorului la cea de organizator
al unor activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de ni velul și ritmul propriu de
dezvoltare al fiecăruia;
schimbări în evaluare:
 trecerea de la subiectivismul și rigiditatea notei la transformarea evaluării într 
de autoapreciere și stimulare a copilului.
Aceste măsuri impun ca învățătorul să și s    
 activitatea la clasă.
memorarea de reguli și socotitul
problemele/exercițiile cu soluții sau
răspunsuri unice
matematica făcută cu “creionul și hârtia”, 
tatonări, încercări, implicare activă în situații
practice, căutare de soluții dincolo de cadrul
strict al celor învățate
formularea de întrebări, analiza pașilor de

 
utilizarea unei varietăți de obiecte care trebuie

respectiv “creta și tabla”
activitatea profesorului și învățătorului ca
transmițător de cunoștințe adresate unui elev
care receptează pasiv și lucrează singur
evaluarea cu scopul catalogării copiluluimanipulate în procesul învățării
activitatea profesorului și a învățătorului în
calitate de persoană care facilitează învățarea și
îi stimulează pe copii să lucreze în echipă
 tegrantă a instrucției, cu
 
didactică
  



 și 3,obiectiv 
fiecărei clase sunt următoarele 

La sfârșitul clasei I 
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2003,
Matematică –programa școlară, clasele I –București) să exploreze modalități de a descompune
numere mai mici ca 20 în sumă sau
diferență
să exploreze modalități de a

sumă sau diferențăexemple de adunare și scădere cu numere
naturale formate din zeci și unități, 

exerciții      
două;
 să sesizeze asocierea dintre elementele a
două categorii de obiecte, desene sau
       
criterii date; să continue modele
    

crearea de șiruri pe baza unor reguli
exerciții de identificare a elementelor unei
mulțimi, fiind date regula de corespondență și
elementele celei de a doua mulțimi;
 să estimeze numărul de obiecte di 
mulțime și să verifice prin numărare
estimarea făcutăjocuri de estimare a numărului de obiecte din

exercițiijoc de estimare a distanțelor cu

 să rezolve probleme care presupun o
singură operație dintre cele în vățate
 să compună oral exerciții și probleme cu

sprijin concret în obiecte; pornind de la o temă
dată; pornind de la numerele date; fără sprijin 
pornind de la exerciții 

 
 șitul clasei a II 

 să exploreze modalități variate de a des 
exerciții de descompunere a numerelor în sumă

exerciții de aflare a termenului necunoscut,
rezolvare de ecuații simple;
 să estimeze ordinul de mărime al
rezultatului unei operații pentru a limita
exercițiijoc de estimare a numărului de obiecte
o mulțime fixată din mediul cotidian;
exerciții 
a operațiilor mentale de adunare, scădere,
înmulțire, împărțire;
exercițiijoc de estimare a distanțelor;
estimarea rezultatului unei operații cu numere


 să rezolve probleme care  
singură operație dintre cele învățate
să rezolve probleme care presupun cel
puțin două operații de adunare sau
scădere 

cerculețe, figuri geometr ice de poziționare etc.;

recunoașterea situațiilor concrete sau a
expresiilor care cer efectuarea unor adunări sau
scăderi (“au fost și au mai venit”, “s au pierdut”

recunoașterea contextelor care presu 
fectuarea unor înmulțiri sau împărțiri (“sunt 
 pe fiecare rând”, “se repartizează 
 persoane” etc.);
recunoașterea situațiilor concrete sau a
    
comparări corelate cu operații de adunare , scădere,
înmulțire, împărțire (“cu atât mai mult”, “cu atât
mai puțin”, “de atâtea ori mai mult”, “de atâtea ori
mai puțin”);
 să compună oral exerciții și probleme cu
numere de la 0 la 100 care se rezolvă
o singură operație 
sprijin concret în obiecte; pornind de la o temă
dată; pornind de la numere date; fără sprijin;
 să sesizeze asocierea dintre elementele a
două categorii de obiecte (șiruri, numere
 
să continue modele repetitive reprezentate


crearea de șiruri după reguli dateexerciții de identificare a elementelor unei
mulțimi, fiind date regula de corespondență și
elementele mulțimii de pornire;
ciții de identificare a elementelor unei
mulțimi, fiind date regula de corespondență și
elementele celei de a doua mulțimi;
exerciții de completare a unor tabele de valori de





descoperirea și enunțarea regulii de
corespondență după care se face asocierea

 să exprime oral sau în scris în cuvinte
proprii etape ale rezolvării unor problemecitirea enunțului unei probleme; redarea liberă
cu voce tare a enunțului;

 și pașii de rezolvare ai unei probleme.
 Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2003,
Matematică –programa școlară, clasele I –a, București)
 
La sfârșitul clasei 
 să exploreze modalități de a descompune
      
utilizând oricare dintre operațiile învățate a posibilități  
     
operațiilor de adunare, scădere, înmulțire,
împărțire (cu și fără sprijin concret);
     
descompuneri echivalente ale unui număr;

 și aplicarea unor reguli și scheme
pentru efectuarea adunărilor, scăderilor,
înmulțirilor și împărțirilor;
 edelor pentru a obține

 să efectueze împărțirea cu rest la un număr
de o cifră și să o coreleze cu formula
d=îxc+r, r<î prin scădere repetată, sau prin
cuprindere, pe baza tablei înmulțiriiutilizarea de obiecte și reprezentări 
 să descopere, să recunoască și să utilizeze
corespondențe simple și succesiuni de
obiecte sau numere asociate după reguli
 
numere ordonate după o anumită regulă;
 de șiruri pe baza uno 
 de adunare și înmulțire cu același
număr;
“ghicirea regulii” pentru o corespondență de
următorul tip:
 
 
 
 elementelor celei de a doua mulțimi,
fiind date elementele primei mulțimi și regula de
corespondență;
 elementelor primei mulțimi fiind date
regula de corespondență și elementele celei de a
doua mulțimi;
 să folosească simboluri pentru a pune   de exerciții variate care solicităelementelor a două mulțimi date 
 să extragă informații din tabele și liste, să
     
anumită temă, să reprezinte datele în
      
       
derulat în timp (și în afara clasei) etc.;
prelucrarea datelor culese prin sortarea după un
criteriu sau două; prin numărare și comparare;

 

evidență numere necunoscute în rezolva 
aflarea unui număr necunoscut notat în diverse



 ecuațiilor:
  
tipul: “Mam gândit la un număr, l 
și am obținut 5. La ce număr m am gândit ?”
   descrierea unei secvențe de

codificarea unei întrebări de tipul: “3 plus cât
este egal cu 5?”. Aflarea nu mărului
se face prin încercare, înlocuire și verificare.
     
balanței;
 să rezolve și să compună probleme de




    
     
 situațiilor concrete sau a
expresiilor care presupun efectuarea unor operații
de adunare, scădere, înmulțire, împărțire (“cu atât
mai mult”, ”cu atât mai puțin”, ”de atâ 
mult”, ”de atâtea ori mai puțin”; “sunt 
pe fiecare rând”, ”se distribuie în mod egal
 persoane” etc.);


date; fără s 
crearea de probleme pornind de la exerciții și
invers; transformarea problemelor în exerciții;
crearea de probleme de către elevi pentru

      
 
analiza părților 
schimbarea componentelor unei probleme fără
ca tipul de problemă să se schimbe;
    
probleme de scădere și invers, a celor de scădere în
 
  blemă dată, cu
păstrarea tematicii;
transformarea problemelor păstrând numerele

analiza cuvintelor care sugerează operații

stimularea creșterii treptate a vitezei de operare
     competiții între
elevi și prin probe date într 
precizat inițial;
 să colecteze date, să le sorteze și clasifice
pe baza unor criterii simple, să le
colectarea și prelucrarea datelor culese 
 

implicate, găsirea de asemănări și deosebiri,
   formații particulare

descrierea de situații ce reprezintă evenimente

sigure (De exemplu: “Primăvara, 
înfloresc”), imposibile (“Vara la noi în țară
ninge”), probabile (“Mâine plouă”) etc.;
generarea de exemple care să ilustreze

 să exprime clar și concis semnificația
calculelor făcute în  
exerciții de transpunere a unor enunțuri simple
din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și

 Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2004,
Matematică –programa școlară, clasa a III a, București)
 
La sfârșitul clasei a IV 
 să exploreze modalități de a descompune
      
utilizând oricare dintre operațiile învățate
sau combinații ale lor a posibilități  
     
operațiilor de adunare, scădere, înmulți re, împărțire
(cu și fără sprijin concret 
     
descompuneri echivalente ale unui număr.

 și aplicarea unor reguli și scheme
pentru efectuarea adunărilor, scăderilor,
înmulțirilor și împărțirilor 
 monedelor și a bancnotelor pentru a
obține descompuneri de numere;
 să aprecieze valoarea de adevăr a unei
afirmații și să cunoască sensul implicației
“dacăatunci” pentru exemple simple,
 validității unor afirmații generale pe

 și exprimarea relațiilor cauzale;
 și utilizarea operatorilor logici
“și”, “sau”, “nu”, a expresiilor “cel mult”, “cel
puțin” în cât mai multe situații;
  predicții bazate pe experiență;
 unor consecințe posibile (previzibile)
 
unui experiment (fără a folosi această terminologie
și utilizând exemple simple)
Exemplu: ”Dacă știu că:
 46×8=56×7+56=…”
 să descopere, să recunoască și să utilizeze
corespondențe simple și succesiuni de
obiecte sau numere asociate după reguli
 unor șiruri de simboluri sau de
numere ordonate după o anumită regulă;
 de șiruri p 
 de adunare și de înmulțire cu același
număr;
 pentru o corespondență de
următorul tip:
————————— 
————————— 
————————— 

 celei de a doua mulțimi,
fiind date elementele primei mulțimi și regula de
corespondență;
 primei mulțimi fiind date
regula de corespondență și elementele celei de a
doua mulțimi;
 să folosească simboluri pentru a pune în
evidență  
 variate care solicită
aflarea unui număr necunoscut notat în diverse



 unor ecuații și inecuații folosind:
metoda încercării și ero rii; operația inversă;
metoda figurativă; metoda balanței;
 să rezolve și să compună probleme cu text  situațiilor concrete sau a
expresiilor care presupun efectuarea unor operații
de adunare, scădere, înmulțire, împărțire (“cu atât
mai mult”, ”cu atât mai puțin”, ”de atâtea ori mai
mult”, ”de atâtea ori mai puțin”, “sunt 
pe fiecare rând” , ”Se distribuie în mod egal
 persoane” etc.);
 unei situații problemă, în limbaj
    

 unor probleme de tipul menționat:
identificarea datelor și a necunoscutelor;
 area operațiilor prin care se ajunge la
    

 
 de generalizări ale unor enunțuri
date: crearea și rezolvarea unor probleme cu text,
 
 

date; fără sprijin;
 pornind de la exerciții și
invers; transformarea problemelor în exerciții;
   de către elevi pe 

      
 
 părților componente ale unei probleme;
 componentelor unei probleme fără
ca tipul de problemă să se schimbe;
     
probleme de scădere și invers, a celor de scădere în

  o problemă dată, cu
păstrarea tematicii;
 problemelor păstrând numerele

 cuvintelor care sugerează operații
 

 creșterii treptate a vitezei de operare
cu numere prin propunerea de competiții între
elevi și prin probe date într 
precizat inițial;
 să colecteze date, să le sorteze și clasifice
  unor criterii simple, să le
    și să ofere
interpretări elementare ale lor și prelucrarea  


implicate, găsirea de asemănă ri și
   ții particulare
 
generarea de exemple care să ilustreze

ordonarea evenimentelor din cotidian pe o scală
a preferințelor (de tipul: “foarte plăcut” “plăcut”
“indiferent” “neplăcut” “foarte neplăcut”);
formulări și rezolvări de probleme pe baza
datelor colectate în urma măsurătorilor;
rezolvări și compuneri de probleme care implică
utilizarea măsurilor unor mărimi.
 să exprime pe baza unui plan simplu 


datele și pașii de rezolvare a unei probleme.
 Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pen 
 Matematică –programa școlară, clasa a IV a, București)
aptul că scopul predării –învățării matematicii în școala primară nu se mai limitează la
însușirea noțiunilor specifice și la cunoașterea procedurilor de calcul, ci urmărește 
capacității elevului de a explora noțiuni și concepte necunoscute, de a  și dezvolta
posibilitățile de comunicare  Acestea urmăresc 
atitudini și calități personale în raport cu a 
Proiectarea unită
 șan et al., 2005, p. 9). Fiecărui obiectiv cadru îi sunt asociate mai
multe obiective de referință.   a rezultate așteptate ale învățării
și progresia în achiziția acestor capacități și cunoștințe matematice de la un an de studiu la altul 
    referință, oferă imaginea
dezvoltării progresive a deprinderilor și capacităților prevăzute prin curriculum pentru fiecare an de
studiu, oferă o hartă a evoluției capacităților dobândite de elev pe parcursul anilor de studiu, creează
 area actului didactic pe aspectele formative ale învățării.
ropun modalități de organizare a activității în clasă   
 , exemplele de activită . Programa de matematică oferă exemple de
   ctivități pentru fiecare obiectiv de referință. Aceste exemple urmăresc să valorifice

experiența concretă a elevului (cea de viață și cea dobândită prin învățare) și permit adoptarea unor
strategii didactice adecvate scopului urmărit în contexte variate de învățare.
Conținuturile sunt mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cerute prin
 onținuturile sunt organizate tematic la disciplina matematică și au o dezvoltare înspirală,
conceptele evoluând și îmbogățindu  
   programei, la finalul școlii primare 
 sfârșitul unei trepte de școlaritate pentru evidențierea progresului realizat de
elevi de la o treaptă de școlaritate la  acestea reprezintă un sistem de referin
 lementul de bază pentru elaborarea descriptorilor de performanță și a criteriilor de notare 
  
 i în rezolvarea de sarcini ce solicită eforturi mărite pe măsură ce înainteză în studiu și
pe măsură ceexperiența lor rezolutivă se îmbogățește. Astfel, se începe rezolvarea orală a primel 
 tă cu învățarea primelor operații aritmetice (deadunare și scădere) 
simple sunt cele cu care copilul se confruntă zilnic în școală, la cumpărături, în familie, în
 jocului. De aceea, primele probleme de matematică sunt prezentate sub formă de joc și sunt
 –acțiune pentru a căror rezolvare se utilizează un variat material didactic i  
 să rezolve aceste probleme și în formă scrisă.
            
problemelor compuse: în clasa I folosind operații de adunare și / sau scădere fără trecere peste ordin,
  –operații de adunare și / sau scădere fără și 
   –operații de același 
  –operații de acealași
 000000. Se remarcă de asemenea
introducerea rezolvării problemelor de organizare a datelor în tabele (la clasele a III a șia IVa), cât și a
rezolvării problemelor prin metoda figurativă, a rezolvării problemelor prin încercări, a rezolvării
 estimare, respectiv de logică și probabilități (la clasa a IV 
   școlar, se recomandă introducerea problemelor cu 2
operații, într a cu 3 operații, iar în clasa a IV –cu mai multe operații. Atracția și plăcerea
copilului pentru obiectul de matematică, depinde în mare măsură de felul în care învățătorul reușește să
transmită cunoștințele.
 ctivitățile de rezolvare de probleme și exerciții din culegeri diferi te și
 , sub îndrumarea învățătorului sau a unui profesor de specialitate, au drept scop
completarea și consolidarea pregătirii realizate în timpul lecțiilor, dezvoltarea intereselor pentru știință
și tehnică, posibilitatea aplicării în practic ă a cunoștințelor, a priceperilor și deprinderilor dobândite.

Toate aceste activități suplimentare, matematice, permit învățătorului sau specialistului să
descopere pe acei elevi care au înclinații deosebite și preferințe pentru acest domeniu matematic,
i în felul acesta să și formeze o pregătire suplimentară diferențiată și chiar individualizată.
 acest mod de desfă , în sensul că pot fi desfășurate fie cu
întreaga clasă, fie pe grupe de elevi sau cu cei car e dovedesc înclinații deosebite pentru matematică.
Felul de desfășurare a acestor activități poate fi sub formă de jocuri, cercuri de elevi 
  concursul ,,Cel mai rapid calcul mintal’’, ,,Rezolvăm repede și corect problem a’’,
,,Cel mai bun matematician’’ și altele. Cu elevii cu înclinații spre matematică am rezolvat multe
exerciții și proble me în cadrul orelor suplimentare de pregătire la matematică, pregătindu 
    și
 pentru că mi au dat posibilitatea să aleg o gamă variată de tipuri de probleme și exerciții pe
 o sferă largă  u apărut 
din necesitatea de a fixa cunoștințele de teorie matematică și de a stimula descoperirile.Ele nu se
adresează numai unei singure categorii de elevi  puțini buni 
exercițiile și problemele fiind de toate  urmărind să ajute la fixarea cunoștințelor dar și la
dezvoltarea deprinderilor de calcul, la înțelegerea conceptelor numerice, a operațiilor și pr oprietății lor.
u apărut manualele alternative și alături de ele caietele special 
in și în ajutorul copiilor și al învățătorului   u că, în
 pe elev de atâta scris care devine plictisitor și îi dă posibilitatea să lucreze cât
 ciții și probleme î o oră.S unt multe și variate 
 și sunt prezentate sub formă de jocuri 
rezolvarea și găsirea soluției. Totodată caietul este m ai estetic și s 
În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea –învățarea matematicii în
învățământul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime,  
analiză și sinteză superioară. Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a
algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de
cunoștințe matematice solide (n oțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de

      au născut încercări de clasificare și încadrare a
 o anumită ti  


 educării creativității, clasifică problemele în cinci
  –
 –  de lucru, de consolidare și
înțelegere a operațiilor matematice, care necesită doar gândire reproductivă, rezolvarea lor implicând

 – – ă numere
când se cunoaște suma și diferența lor, suma și raportul, probleme de mișcare, de amestec, aliaje;
 –probleme ce presupun specificarea cerinței și a condițiilor ce trebuie
satisfăcute;
 – compuse de elevi după o schemă dată sau probleme cu

5. probleme de optimizare (de reproiectare creativă) problemele care solicită procesul de
transfer al cunoștințelor fie de la alte discipline, fie din realitate. Sunt 

Problemele de matematică din ciclul primar se pot clasifica și în funcție de următoarele criterii
eacșu,
a) după finalitate și după sfera de aplicabilitate, se structurează 

2) aplicații practice ale noțiunilor învățate 
b) după conținutul lor, problemele matematice pot fi:
1) probleme de aritmetică

3) probleme de mișcare 
c) după numărul operațiilor, se identifică:


d) după gradul de generalitate al metodei folosite în rezolvare:
 cărora se folosește fie metoda
sintetică (pornind dela datele problemei către întrebare), fie metoda analitică (pornind de la întrebare
cătredatele problemei);
 o metodă
specifică: grafică, r  la unitate, a falsei ipoteze, a comparației.
e) după rolul lor:


utile în practică
de cultură generală


de educare a creativității
f) probleme nonstandard, cu multiple valențe formative: probleme recreative, rebusistice, de
 
 n funcție de care se pot clasifica problemele de matematică este și după tipul 
raționament solicitat (după metoda folosită), co nform căruia sunt: (  
probleme tipice care solicită un raționament de tip convergent (probleme rezolvabile
prindiferiți algoritmi: metoda figurativă, reducerii la unitate, fa lsei ipoteze, comparației etc.)
probleme netipice care solicită un raționament de tip divergent și  

În orice problemă de matematică sunt evidențiate trei elemente:
datele, ceea ce este cunoscut și dat sub form ă de valori numerice și relații
cerințele, care indică ce anume trebuie determinat utilizând datele problemei;
condițiile, care arată în ce fel cer ințele sunt legate de date.
Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la cerințe și
condiții, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la aflarea soluției problemei.
Pe măsură ce elevul își însușește modalități de rezolvare și experiența lui în rezolvarea
 crește, se dezvoltă capacitățile de explorare și investigare și capacitatea rezolutivă.
În rezolvarea unei probleme, aspectul cel mai important este construirea raționamentului 
rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei. Elevul tebuie să
cuprindă în sfera gândirii sale înt regul „film”al desfășurării raționamentului și să l rețină drept 
esențial, pe care apoi să           
generalizarea raționamentului comun unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă f 
capacitățile de a analiza și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta
logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.
În fața unei probleme, elevul este în contact cu două categorii de date precise: ce se dă
ontextul problemei) și ceea ce se cere (întrebarea problemei). Între aceste două elemente există
un„gol” care trebuie „umplut” cu ajutorul cunoștințelor și metodelor cunoscute. Pentru a rezolva o
problemă, elevul trebuie să aplice unele cunoștințe dobândit e anterior (în alte condiții de rezolvare) 

situația actuală, printr o operație de transfer. Transferul este posibil prin analiză și sinteză.
Pornind de la datele problemei, elevul caută în bagajul de informații anterioare acele cunoștințe
 elație cu datele pe care problema i le oferă. El alege o anumită informație și analizează în
ce măsură acea informație poate fi utilizată în situația dată. Dacă informația nu e necesară, încearcă o
alta până când găsește elementele de sprijin care îl ajută să descopere informațiile utilizabile în noua
situație.
În acest proces de analiză și sinteză a unor informații și de valorificare a experienței sale
rezolutive, copilul de vârstă școlară mică trebuie ajutat, întrucât această capacitate de a folosi
oștințele anterioare, de a descoperi relații noi prin valorifica celor vechi este încă insu 
dezvoltată. De cele mai multe ori, elevul pierde ideea conducătoare care l 
problemei, nu mai știe ce trebuie să facă cu un rezultat parțial obținut. Rezolvarea unei 
solicită un efort al gândirii și o atitudine creatoare, care vor fi cu atât mai susținute, cu cât „cheia
problemei” se găsește în relații mai îndepărtate, mai ascunse față de datele cunoscute ale problemei.
 unei probleme reprezintă pentru elevi punctul de plecare în rezolvare și oferă primele
informații legate de calea de urmat. Rezolvarea oricărei probleme se produce printr o continuă
reorganizare a datelor, prin punerea lor în alte relații decât cele „vizi bile” în enunț, prin reformularea
 
care duce la identificarea soluției.
Pentru ca elevul să devină conștient de fiecare verigă a raționamentului, a d rumului către
soluție, sunt necesare sarcini sub formă de exerciții de reorganizarea a datelor și reformularea

După identificarea și rezolvarea fiecărei probleme simple din componența problemei 
 cerințe de reformulare a problemei. În acest fel se realizează legături logice 
 ajuta elevul să
găsească soluția. Acest demers se constituie în etapa de ana liză (sintetică sau analitică) a oricărei

A ști să rezolvi o problemă presupune a înțelege datele și ordinea lor, condițiile problemei,
relațiile dintre datele problemei, precum și a elabora șirul de judecăți pentru a  raționamentele
rezolvare. Există două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în  

când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o
problemă –– ul e solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține
 dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același
  organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează princi  

rezolvare aproblemei, schema mintală de rezolvare. Acestă schemă se fixează ca un algoritm sau
 de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul.
când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală
cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de
rezolvare, deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de 
și spre aplicarea algoritmului de rezolvare și elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei,
să descopere drumul spre aflarea necunoscutei.
Ținând cont de particularitățile de vârstă ale elevilor, în rezolvarea problemelor se parcurg
următoarele etape (  –
a) Expunerea enunțului problemei (comunicarea enunțului problemei) –se realizează prin 
sau enunțare orală de către învățător sau de elevi. Se va avea în vedere citirea și enunțarea expresivă a
textului, scoțându se în evidență anum ite date și legăturile dintre ele, precum și 
Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei.
b) Însușirea conținutului problemei (înțelegerea enunțului problemei) este etapa căreia 
să i se acorde importanța cuvenită, pent ru că de aceasta depinde înțelegerea corectă, 
participării active și conștiente a elevilor la rezolvare. Prin discuții cu elevii trebuie reținute elementele
matematice importante: datele problemei, relațiile dintre date, întrebarea problemei. Să  
asupra fondului, nu a formei, dând libertate elevului să se exprime liber,  ne că a
înțeles problema. Este binevenită il  
 ce sau alte semne convenționale.
c) Analiza problemei (examinarea problemei) este etapa cea mai importantă în rezolvarea
problemei. Acestei etape trebuie să i se acorde timp suficient, să nu se efectueze în grabă, 
ci cu multă răbdare, cu efor t de gândire pentru descoperirea căii de rezolvare aproblemei. Examinarea
problemei înseamnă un șir de raționamente orientate către întrebarea problemei prin care se găsesc
relații între perechi de valori numerice și se împarte problema dată în  
problemelor simple ce alcătuiesc problema compusă se face astfel încât întrebarea ultimei probleme să
coincidă cu întrebarea problemei date. Acest lucru se face prin două metode: metoda analitică și
metoda sintetică.
Analiza profundă a da  l conducă pe elev la desprinderea de 
transpunerea situației concrete pe care o prezintă problema în relații matematice.
Renunțarea la elementele concrete și înlocuirea acestora cu expresii potrivite, fac posibilă
 –
d) Întocmirea planului de rezolvare este etapa care urmează examinării problemei. Acest plan
este, de fapt, o ordonare sintetică a întrebărilor problemelor simple, reieșite din problema compusă, 

timpul examinării. Planul de rezolvare nu este un scop în sine, ci un mijloc prin care ajutăm elevii să
înțeleagă cum se desfășoară procesul de examinare și cum se formulează concluziile acestei examinări.
Pentru alcătuirea planului se folosesc în expri mare numai mărimi sau cantități fără 
mai puține numere) și fără calcule, întrucât acum se stabilesc numai raporturile 
mărimi sau relații de calcul. Planul de rezolvare se poate formula fie prin propoziții  
ales la clasele mici), fie prin propoziții afirmative.
 zisă a problemei constă în stabilirea operației corespunzătoare fiecărui
punct din plan și efectuarea calculelor ce conduc la obținerea rezultatului final.
ctivități supl imentare după rezolvarea problemei:
verificarea rezultatului obținut prin rezolvarea problemei –
justețea rezolvării;
scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei –
erezolvare, dar și în antrenarea sistematică a intelectului elevilor;
căutarea și aplicarea unui alt mod de rezolvare –

formularea de alte probleme ce se rezolvă după același exerciț 

 pentru învă o activitate etapizată, la capătul căreia acesta își dă seama care
este pregatirea elevului, la un moment dat, în comparație cu așteptările lui și cu ceri nțele
 școlare. izează apreciază
învă pregătirea și cum este perceput de către acesta     
învățătorului coincide cu autoevaluarea făcută de elev propriei sale pregă  
 niște standarde, adică niște etaloane ale pregătirii  să se poată raporta atât
învățătorii (evaluatorii) cât și elevii (evaluații). Pentru familie, evaluarea este o cale de a ști unde se
situează cop ilul (ca pregătire școlară) și ce perspective are el de a continua această pregătire într 
  toți    indică
 pregătirii școlare , succesele și eșecurile,  performanțelor obținute
          și eventualele lacune
pregătire permit învățătorului să și autoaprecieze activitatea în toate fazele (etapele) pregătirii și
desfă șurarea procesului didactic. Evaluarea este “ un proces prin care se măsoară șiapreciază
  activități și condițiilor șia operaț
 respectivă  lor cu obiectivele propuse învederea luării unor decizii
 .”(

„Spre deosebire de metodele tradiționale care realizează evaluarea rezultatelor școlare obținute
pe un timp limitat și în legătură cu o arie mai mare sau mai mică de conținut, dar oricum definită –
metodele alternative de evaluare prezintă cel puțin două caracteristici: pe de o parte, realizează
evaluarea rezultatelor în strânsă legătură cu instruirea/ învățarea, de multe ori concomitent cu aceasta;
pe de altă parte, ele privesc rezultatele școlare obținute pe o perioadă mai îndelungată, care vizează
formarea unor capacități, dobândirea de competențe și mai ales schimbări în planul intereselor,
atitudinilor, corelate cu activitatea de învățare.” ( 
Metodele și tehnicile moderne de evaluare  ematică,  ște rezolvarea de
 au multiple valențe formative care le recomandă ca modalități adecvate de optimizare a
practicilor evaluative, fiind susceptibile, în primul rând, să faciliteze coparticiparea elevilor la
   și final 
ales al învă 
  șite corect.În urma acestor teste cadrul didactic știe dac ă
 

În predarea matematicii la nivelul învă
respective în evaluarea învă procesului de rezolvare a problemelor trebuie să


 
 

A gândi înseamnă să răspunzi la diferite întrebări , să operezi cu noțiunile , principiile și legile,
  omeniul predilect al probării și afirm ării gândirii este problema.
 se definește ca 
întâlnește pe traiectoria sa de la o (A) către 
  se conștientizează și se trăiește în forma unei tensiuni 
disonanțe, cu atât mai puternice cu cât disponibilitățile imedia 
 și definirea unei probleme, trebuie să ținem s eama atât de latura obiectivă ( 
ormulată și structurată sarcina , cât și de cea s ubiectivă ( gradul de pregătire internă anterioară a
 raport cu tipul dat de sarcini) . Pentru ca o situație , considerată problemă în plan
obiectiv, să devină o problemă și   ă nu
 ă imediat de soluție , ci să fie nevoit să desfășoare o activitate intelectuală specială, prin încercări
și eror     oate fi considerată o problemă   ât mai dificilă și mai
complexă , cu cât subiectul trebuie să efectueze un nu măr mai mare de explorări de încercări și de
 ții pentru găsirea rezultatului , și invers.
După gradul de structurare a modalității de abordare –rezolvare , problemele au fost împărțite
în două mari clase :


Bine definite sunt considerate problemele a căror rezolvare poate fi fixată într o schemă
perațională de tip algoritmic ( probleme de matematică). Slab definite sunt problemele a căror
 se pretează la algoritmizare (  șah , elaborarea unei invenții 

Rezolvarea oricărei probleme autentice are un caracter pr     
 următoarele etape sau faze mai importante :
  corectă sau alterată, completă sau lacunară, aceasta
condiționând orientarea procesului rezolutiv într o direcție corectă sau într una greșită;

 , care devine premisă pentru organizarea și
desfășurarea operațiilo 
  o formă mai inteligibilă și mai coerentă;
aceasta permite identificarea tipologică și facilitează alegerea metodei de rezolvare.
Problemele de aritmetică, fiind strâns legate cel mai adesea pr in însuși enunțul lor de viață, de
practică, dar și prin rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându 
deprinderea de a rezolva și alte probleme practice cu care se vor confrunta în viață.
Rezolvarea sistematică a p 
unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod
independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.
Prin conținutul lor, prin te hnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de
aritmetică conduce la cultivarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a prieteniei, a disciplinei
conștiente, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții.
Toate aceste valențe formative în personalitatea elevilor, pe care le generează procesul de
rezolvare și compunere a problemelor de aritmetică justifică importanța temei alese, motiv pentru care
învățătorul trebuie să îi acorde atenția cuvenită.
  
Problemele din sfera matematicii se pot rezolva folosind una din cele două metode generale:
metoda analitică;
metoda sintetică;
Cele două metode se găsesc într o strânsă conexiune determinată de cele două procedee,
analitic și sintetic, care se condiționează reciproc. De aceea utilizarea lor nu poate fi separată total, în
 se o tentă dominantă a uneia dintre ele.
Metoda analitică
Rezolvarea oricărei probleme prin metoda a nalitică presupune privirea în ansamblu a
problemei și pornește de la întrebarea finală. Aceasta este descompusă în probleme simple, organizate
o succesiune logică, a căror rezolvare să conducă în mod deductiv de la valoarea necunoscută
către valoril e cunoscute, permițând, în mod final, formularea răspunsului cerut de problemă.
Iată o problemă rezolvată mai întâi prin metoda analitică și apoi prin cea sintetică:
Se știe că într o fermă lucrează două echipe de muncitori, prima fiind formată din 15 muncitori care
culeg zilnic câte 58 kg de cireșe fiecare și a doua echipă formată din 21 muncitori care culeg zilnic

câte 61 kg de cireșe fiecare. Știind că prețul unu i kg de cireșe este de 5 lei, să se afle valoarea totală
realizată de cele două echipe într 

Pornind de la întrebarea finală, pentru aflarea valorii totale trebuie să cunoaștem cantitatea
totală de cireșe culeasă de cele două ech ipe. Această cantitate se poate calcula dacă se cunoaște totalul
de cireșe cules de fiecare echipă.
Rezultă astfel următoarea schemă:

După schema realizată vom enunța probleme simple, având următorul plan de rezolvare:
1.Care este cantitatea de cireșe culeasă de prima echipă?

2. Care este cantitatea de cireșe culeas ă de a doua echipă?

3. Care este cantitatea de cireșe culeasă de cele două echipe?

4. Care este valoarea realizată de cele două echipe într 

 
Metoda sintetică
 folosind metoda sintetică vom elabora un raționament care grupează datele în
funcție de relațiile dintre ele și formularea unor probleme simple și așezaea lor într 
logică, în așa fel încât întrebarea ultimei probleme să coincidă c   


Rezolvarea problemei se concretizează într un plan identic cu cel întocmit folosind prima metodă.
Ordinea efectuării operațiilor este aceeași, doar analiza problemei a fost făcută într   
implicând două operații aflate într o strânsă conexiune și interdependență.

  
Metoda grafică (figurativă)
După studiile dezvoltării intelectuale desprinse din sarcinile pe care trebuie să le aibă
învățătorul, psihologul elvețian Jean Piaget susține caracterul permanent al operațiilor concret 
pentru copilul care frecventează cursurile învățământului primar.
Gândirea concretă a copiilor la această vârstă se manifestă prin operaț  
elementare.Modurile de învățare, specifice diferitelor stadii, contribuie la dezvoltarea capacităților
copilului în stadiile următoare. Pentru realizarea acestui deziderat, sunt foarte importante acțiunile

  ică, rezolvarea unei probleme, adică determinarea necunoscutei, care satisface
enunțul, poate fi numerică sau grafică. Încadrarea rezolvării într 
deosebit de importantă. În cazul rezolvării grafice, mărimile căutate sunt 
unor imagini geometrice (segmente de dreaptă, dreptunghiuri, pătrate etc). Acea stă reprezentare poate
avea două funcții de bază: să ilustreze rezolvarea clasică sau să constituie un mod aparte de rezolvare.
Metoda grafică con tribuie astfel la dezvoltarea gândirii funcționale a copiilor.
De o însemnătate covârșitoare pentru aflarea soluției și mai ales pentru dezvoltarea gândirii
     sintetic, pentru raționamentul problemei; citirea
(ascultarea, repetarea) enunțului problemei, scrierea pe scurt a datelor, determinarea semnificației
fiecărei mărimi, înțelegerea sensului enunțului și al întrebării, precizarea elementelor necunoscute și a
celor cunoscute, stabilirea relațiilor dintre da tele problemei, alcătuirea planului de rezolvare prin
propoziții scurte, clar formulate, efectuarea calculelor, precizarea răspunsului, verificarea corectitudinii
rezolvării. Foarte utile pentru stabilirea relațiilor dintre mărimile unei probleme sunt exer cițiile
pregătitoare de precizare a limbajului matematic, a termenilor: sumă, diferență, produs, cât, a relațiilor:
„ ”, „cu atât mai mic (mai puțin) ”. Acestea se pot efectua chiar zilnic în
secvența de calcul oral a fiecărei lecț ii de matematică sau prin calcul scris, gradate de la simplu la

Utilizarea reprezentării grafice pentru rezolvarea problemelor, se poate face de la cele mai
simple la cele mai complexe situații.
Pornind de la faptul că metoda grafică indică reprez entarea prin desen a mărimilor necunoscute
și fixarea în desen a relațiilor dintre ele și mărimile date în problemă, ajunge să formăm schema
problemei, să ținem în atenție toate condițiile problemei și să ne concentrăm asupra lor.

a încercat să se extind ă aria de aplicare, utilizand 


„ ”
Rezolvare:Se reprezintă printr un segment numărul de mere pe care îl are Ramo na (el reprezintă

Expresia matematică „  ” conduce la următorul raționament: în prelungirea
segmentului ce reprezintă numărul de mere al Ramonei, se desenează arbitrar, punctat, un alt segment,
care indică surplusul de mere (+3).
Graficul va arăta astfel:

 

În mod asemănător se rezolvă probleme utilizând expresia matematică „ cu atât mai puțin ”.
„o curte sunt 9 găini și cu 3 mai puține curci.Câte curci sunt în curte? ”


Deci numărul curcilor este 9 
Prin pași mici se trece la rezolvarea problemelor compuse.


„Un țăran crește 6 porci și cu 4 mai puțini iepuri.Câte animale crește țăranul? ”


numărul iepurilor: 6 
2) numărul animalelor: 6 + 2 = 8 (animale)
Aflarea unui număr pe baza cunoașterii sumei (S) sau a diferenței (D) dintre acesta și a unuia dintre


„Doi frați au împreună 17 ani. Radu are 9 ani. Câți  ”
 



 
(utilizând proba adunării)
. Aflarea a două numere cunoscând:
suma (S) și diferența (D)
suma (S) și produsul 
diferența (D) și câtul (C) dintre ele.
Mai pot fi întâlnite și probleme care duc la operații de tipul (axb)+c; (a+b):c sau probleme de
determinare a sumei și a diferenței a două produse sau de determinare a câtului a două produse etc.
 in pentru dezvoltarea flexibilității gândirii elevilor sunt figurile grafice care pot
ilustra rezolvarea unor probleme sau pot constitui bază pentru construirea acestora (sau a altora) în care
să se ceară alte elemente.

„ tru de desfacere a legumelor și fructelor s a livrat marfă cu 3 camioane a 10 t fiecare și un
alt camion cu 18 t cartofi. Câte tone de marfă s  ”
 
 

Pe baza schemei obținute, se poate alcătui și rezolva o problemă de tipul: a 
„ La un centru de desfacere a legumelor și fructelor s a adus în două zile 48 tone 
   ”

„În două zile s 
   
”
Aflarea sumei (S) și diferenței (D) a două produse
„ a au plantat în fiecare din cele 3 rânduri ale unei grădini câte 6 flori, iar
  
 ?”
naliza datelor problemei este însoțită de reprezentarea grafică: 
 
 
 



Calculul numărului de flori se poate face, urmărind ordinea celor două întrebări sau numărând.
Reprezentarea grafică concretizează relațiile dintre mărimile problemei și soluționează procesul
de rezolvare. Problemele „  ”, care se rezolvă prin metoda grafică, se pot rezolva cu elevi
dotați din clasa a IV a, în vederea pregătirii concursurilor pe discipline.

„Trei echipe de elevi aveau de cules 267 kg de mere. Câte kg de mere a cules fiecare echipă,
știind că primul a cules cu 35 kg mai mult decât al doilea, iar al doilea, jumătate din căt a cules
primul și al treilea împreună? ”
 a echipă)
89+35 = 124 (kg I echipă)
 a echipă)
Exemplele pot fi numeroase și pot fi solicitați și elevii să creeze enunțuri de probleme, pe baza
unor scheme și relații 
Din acțiunile de control și îndrumare efectuate în rândul elevilor, cu prilejul lucrărilor scrise,
sau a jocurilor organizate, potrivit creativității fiecărui învățător, s     
participării efective a elevilor care își vor consolida cunoștințele în domeniul operațiilor aritmetice

Probleme de aflare a numerelor, cunoscând suma și diferența lor
O problemă de acest gen are următorul enunț:
„o florărie s  o zi 824 de garoafe albe și roșii, șt iind că garoafele albe s 
vândut cu 248 mai multe decât cele roșii, să se afle câte garoafe din fiecare s  ”.


Rezolvarea I: Se iau două segmente de lungimi diferite, unul de lungime mai mică care
reprezintă numărul garoafelor roșii și un alt segm 
care reprezintă numărul garoafelor albe.
garoafe roșii
 
Aflăm numărul garoafelor roșii: (824 
Aflăm numărul garoafelor albe: 824 
 roșii

Rezolvarea II: Se poate face același desen ca la rezolvarea I doar că se adaugă desenului o prelungire a
primului segment în așa fel încât cele două segmente vor fi de lungimi egale.
garoafe roșii
 
Aflăm numărul garoafelor albe: (824 + 248):2= 536
Aflăm numărul garoafelor roșii: 824 
R: 288 garoafe roșii

Rezolvând astfel problemele, observăm că atunci când ni se dă suma și diferența, obținem de
două ori numărul mar e, dacă adunăm suma cu diferența. Dacă însă scădem din sumă diferența,
obținem de două ori numărul mic.
 S+D=2N (N fiind numărul mai mare)
D = 2n (n fiind numărul mai mic)
Probleme de aflare a două numere, cunoscând suma sau diferența și rapor 
În înțelegerea acestui tip de probleme, pornim de la ideea că raportul a două numere este câtul

Cum aflăm cele două numere cunoscând raportul lor?
Pornim de la următoarea problemă:
„ au adus 1842 de uniforme școlare, pentru băieți și pentru fete. Numărul
uniformelor pentru fete a fost de 5 ori mai mare decât cel al uniformelor pentru băieți.
Câte uniforme pentru băieți și câte uniforme pentru fete s   ”

Rezolvare: Reprezentăm printr un segment numărul uniformelor pentru băieți și prin 5
segmente identice cu primul numărul uniformelor pentru fete. În total sunt 6 segmente.
uniforme baieți

Aflăm numărul uniformelor pentru băieți: 1846:6=307
Aflăm numărul uniformelor pentru fete: 307×5=1535
R: 307 uniforme băieți

Cum aflăm două numere cunoscând diferența și raportul lor?
Pornim de la următorul enunț:
„o gospodărie sunt găini și rațe. Câte găini și câte rațe sunt dacă numărul rațelor este de
6 ori mai mare decât numărul găinilor și cu 75 mai multe decât găinile? ”
Rezolvare: Reprezentăm printr un segment numărul găinilor și prin 6 segmente identice cu
primul numărul r ațelor.
1=5 părți; 5 segmente reprezintă diferența dintre găini și rațe (adică 75)
găini
rațe
Numărul găinilor îl aflăm prin împărțirea la 5: 75:5=15 (găini)
Numărul rațelor este de 6 ori mai mare: 15×6=90 (rațe) sau 15+75=90 (rațe)
R: 15 găini 90 rațe

Metoda retrogradă (mersului invers)
Problemele de acest gen au un enunț la care se evidențiază denumirea și în general, se
formulează în felul următor:
 o anumită parte din el.A doua zi o parte
din rest. A treia zi, o parte din noul rest, iar în ultima zi ceea ce a rămas, adică „a” kilometri.

Această problemă își începe rezolvarea cu ultima etapă de mers, observând ce parte rep rezintă
din ultimul rest. Găsim astfel ultimul rest. Observăm cât reprezintă acest rest din restul precedent, în
sens invers enunțului, de unde și numele metodei „  ”.
Ca exemplu, următoarea problemă concretă:
„ a făcut o excursie și a călătorit cu trenul, cu autocarul, cu bicicletele
și pe jos. Cu trenul a parcurs jumătate din întreaga distanță, cu autocarul jumătate din distanța
rămasă, iar cu bicicletele un sfert din cât mai rămăsese. Restul distanței, adică 30 

Câți km a măsurat întregul parcurs? ”
Rezolvare: Se întocmește schema urmăr ind mersul firesc al enunțului:
Întreaga distanță parcursă
 Distanța parcursă cu trenul
Distanța parcursă cu autocarul
 Distanța parcursă cu bicicletele
Distanța parcursă pe jos
În rezolvarea problemei propuse pornesc de la aflarea distanței parcursă cu bicicleta (cât
reprezintă ¼) :

Apoi se află distanța parcursă cu 

Distanța parcursă cu trenul este:


Întregul parcurs (întreaga distanță) măsoară:
 
„am gândit la un număr, l am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am
împărțito la 7, iar din cât am scăzut 11 obținând 200.
La ce număr m  ”

Care este ultima operație făcută?
„din cât am scăzut 11 obținând 200 ”



Problema dată devine:
„am gândit la un număr, l  mulțit cu 5, la rezultat am adunat 42, suma obținută am
împărțito la 7 și am obținut 211 .”
Care este ultima operație?
„suma am împărțit o la 7 și am obținut 211 ”



Problema dată devine:
„Mam gândit la un număr, l am înmulțit cu 5, la rezultat am adunat 42 și am obținut 1477”
Care este ultima operație?
„rezultatul adunat cu 42 ne dă 1477 ”



Problema dată devine:
„am gândit la un numărcare înmulțit cu 5 obținem 1435 ”



Numărul căutat este 287. 


Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare (deși de obicei se pleacă de la ipoteza „
 ”), nu în ideea de a nimeri răspunsul, ci pentru a ve
trebuie să facem asupra ei. Deci, metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe
presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă adevărului.
Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilo
ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru
orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor. Astfel avem:

sufiecientă o singură ipoteză;
b) probleme din a doua categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt
necesare două sau mai multe ipoteze succesive.
 : „18 caiete de 48 file și respectiv
 ”
Soluția I
Încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate caietele sunt cu 48 file, atunci obținem:
Diferența de 1216 file apare din faptul că printre caietele luate în
adică cu 152 file mai mult.
Atunci, numărul caietelor care au 200 file se obține astfel:

Soluția II
Se poate porni și de la ipoteza că toate caietele au 200 file. Atunci obținem:

Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare (deși de obicei se pleacă de la ipoteza „
”), nu în ideea de a nimeri răspunsul, ci pentru a ve dea nepotrivirea cu enunțul și ce modificări
trebuie să facem asupra ei. Deci, metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe
presupunerea că ipoteza nu ar fi conformă adevărului.
Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilo
ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru
orientarea raționamentului și determinarea rezultatelor. Astfel avem:
 blemele pentru rezolvarea cărora este
b) probleme din a doua categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt
necesare două sau mai multe ipoteze succesive.
18 caiete de 48 file și respectiv 200 file au îpreună 2080 file. Câte caiete sunt de
Încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate caietele sunt cu 48 file, atunci obținem:
Diferența de 1216 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 200 file,
Atunci, numărul caietelor care au 200 file se obține astfel:
, iar numărul caietelor cu 48 de file va fi:
 

Se poate porni și de la ipoteza că toate caietele au 200 file. Atunci obținem:
Această metodă constă în a face o ipoteză oarecare (deși de obicei se pleacă de la ipoteza „ 
dea nepotrivirea cu enunțul și ce modificări
trebuie să facem asupra ei. Deci, metoda se numește a falsei ipoteze, pentru că se bazează pe
Problemele a căror rezolvare se bazează pe metoda presupunerilo 
ipoteze, se pot clasifica în două categorii, în funcție de numărul ipotezelor care sunt necesare pentru
blemele pentru rezolvarea cărora este
b) probleme din a doua categorie, din care fac parte problemele pentru rezolvarea cărora sunt
200 file au îpreună 2080 file. Câte caiete sunt de
Încercăm o ipoteză oarecare și anume că toate caietele sunt cu 48 file, atunci obținem:
considerare sunt și unele cu 200 file,
, iar numărul caietelor cu 48 de file va fi:

Diferența de 1520 file apare din faptul că printre caietele luate în
adică cu 152 file mai puțin:
Atunci, numărul caietelor care au 48 de file se obține astfel:

 : „o clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se vor
așeza câte doi elevi, atunci 7 dintre ei nu vor avea loc; dacă în fiecare bancă se vor așeza câte 3 e
atunci 5 bănci vor rămâne neocupate. Să se afle numărul elevilor și numărul băncilor

Presupunem că sunt 8 bănci. Atunci numărul elevilor va fi:
, dacă se vor așeza câte 2.
Dacă se așează câte 3:
Diferența este:
Presupunem că sunt 9 bănci. Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:
Dacă se așează câte 3:
Diferența este:
Presupunem că sunt 10 bănci.
Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:
Dacă se așază câte 3:
Diferența de 1520 file apare din faptul că printre caietele luate în considerare sunt și unele cu 48 file,
Atunci, numărul caietelor care au 48 de file se obține astfel:
, iar numărul caietelor cu 200 file va fi:



o clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se vor
așeza câte doi elevi, atunci 7 dintre ei nu vor avea loc; dacă în fiecare bancă se vor așeza câte 3 e
atunci 5 bănci vor rămâne neocupate. Să se afle numărul elevilor și numărul băncilor
Presupunem că sunt 8 bănci. Atunci numărul elevilor va fi:
, dacă se vor așeza câte 2.
Presupunem că sunt 9 bănci. Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:
Presupunem că sunt 10 bănci.
Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:
considerare sunt și unele cu 48 file,
, iar numărul caietelor cu 200 file va fi:
o clasă se află un anumit număr de bănci. Dacă în fiecare bancă se vor
așeza câte doi elevi, atunci 7 dintre ei nu vor avea loc; dacă în fiecare bancă se vor așeza câte 3 e 
atunci 5 bănci vor rămâne neocupate. Să se afle numărul elevilor și numărul băncilor ”.
Presupunem că sunt 9 bănci. Numărul elevilor, dacă se vor așeza câte doi va fi:

Diferența este:
Se constată că, mărind numărul băncilor cu 1, diferența între numărul de elevi se micșorează cu 1.
Această diferență trebuie să fie 0. Pentru că numărul de elevi este același, înseamnă că trebuie să
mărim numărul de bănci cât s a presupus inițial cu 14, deci vor fi:



1. „o curte sunt găini și purcei, care au împreună 40 capete și 100 de picioare. Câte găini
și câți purcei sunt? ”
2. „ estivități a unei școli se pun bănci. Dacă în fiecare bancă s
ar mai trebui 8 bănci, iar dacă în fiecare bancă s
Câte bănci sunt în sală? ”
Metoda comparației
Comparația apare, în aritmetică, mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt
legate între ele prin două relații liniare, bine precizate, caz în care rezolvarea unor astfel de probleme
se face prin eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare
înmulțite cu numere convenabil alese sau prin substituție (înlocuire). Observăm, prin urmare, că este

de ecuații liniare particul are. Desigur, pot fi mai multe mărimi decât două în relații liniare, numărul
acestor relații fiind egal, bineînțeles, cu numărul mărimilor.

Eliminarea unei necunoscute prin scădere
„5 pixuri și 7 caiete costă împreună 29 lei, iar 5 pixuri și
 ”
Rezolvare (Metoda aritmetică
) Scrierea datelor din problemă:
Se constată că, mărind numărul băncilor cu 1, diferența între numărul de elevi se micșorează cu 1.
Această diferență trebuie să fie 0. Pentru că numărul de elevi este același, înseamnă că trebuie să
a presupus inițial cu 14, deci vor fi:
o curte sunt găini și purcei, care au împreună 40 capete și 100 de picioare. Câte găini
estivități a unei școli se pun bănci. Dacă în fiecare bancă s
ar mai trebui 8 bănci, iar dacă în fiecare bancă s ar așeza câte 6 elevi, ar rămâne două bănci goale.
aritmetică, mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt
legate între ele prin două relații liniare, bine precizate, caz în care rezolvarea unor astfel de probleme
se face prin eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare
înmulțite cu numere convenabil alese sau prin substituție (înlocuire). Observăm, prin urmare, că este
 
are. Desigur, pot fi mai multe mărimi decât două în relații liniare, numărul
acestor relații fiind egal, bineînțeles, cu numărul mărimilor.
Eliminarea unei necunoscute prin scădere
5 pixuri și 7 caiete costă împreună 29 lei, iar 5 pixuri și 4 caiete costă 23 lei. Cât costă un pix și un
Rezolvare (Metoda aritmetică –
) Scrierea datelor din problemă:Se constată că, mărind numărul băncilor cu 1, diferența între numărul de elevi se micșorează cu 1.
Această diferență trebuie să fie 0. Pentru că numărul de elevi este același, înseamnă că trebuie să
o curte sunt găini și purcei, care au împreună 40 capete și 100 de picioare. Câte găini
estivități a unei școli se pun bănci. Dacă în fiecare bancă s ar așeza câte 5 elevi,
ar așeza câte 6 elevi, ar rămâne două bănci goale.
aritmetică, mai ales în problemele în care două mărimi necunoscute sunt
legate între ele prin două relații liniare, bine precizate, caz în care rezolvarea unor astfel de probleme
se face prin eliminarea uneia dintre mărimi prin reducere, adică prin adunare a sau scăderea relațiilor
înmulțite cu numere convenabil alese sau prin substituție (înlocuire). Observăm, prin urmare, că este

are. Desigur, pot fi mai multe mărimi decât două în relații liniare, numărul
4 caiete costă 23 lei. Cât costă un pix și un



) Raționament aritmetic:
Comparând mărimile (pixuri și caiete), care apar în relația anterioară, constatăm următoarele:
avem același număr de pixuri: 5
diferă numărul de caiete, respectiv sumele în lei, adică:
– 

Atunci: 1 caiet costă



 

1 pix costă 3 lei
1 caiet costă 2 lei
 

„3 stilouri și 4 cărți costă împreună 275 lei. Cât costă 1 stilou
două ori mai mult decât un stilou?
Rezolvare: (Metoda aritmetică

3 stilouri ………………. 4 cărți………………275 lei
 ————— 
———————————————————
 → ?lei → ? lei
) Raționament aritmetic:
Știind (din ipoteză, din datele problemei) că o carte costă cât 2 stilouri, vom „înlocui” (elimina) cărțile
 a „scăpa” de o necunoscută și de
adică:

 
) Raționament aritmetic:
Comparând mărimile (pixuri și caiete), care apar în relația anterioară, constatăm următoarele:
avem același număr de pixuri: 5
diferă numărul de caiete, respectiv sumele în lei, adică:
 –



–

3 stilouri și 4 cărți costă împreună 275 lei. Cât costă 1 stilou și o carte, știind că o carte costă de
două ori mai mult decât un stilou? ”
Rezolvare: (Metoda aritmetică –

3 stilouri ………………. 4 cărți………………275 lei
———————————————————
) Raționament aritmetic:
Știind (din ipoteză, din datele problemei) că o carte costă cât 2 stilouri, vom „înlocui” (elimina) cărțile
a „scăpa” de o necunoscută și de a rămâne doar cu o necunosc
Comparând mărimile (pixuri și caiete), care apar în relația anterioară, constatăm următoarele:
și o carte, știind că o carte costă de
Știind (din ipoteză, din datele problemei) că o carte costă cât 2 stilouri, vom „înlocui” (elimina) cărțile
a rămâne doar cu o necunosc ută: stilouri,



E3) Concluzie: 1 stilou costă 25 lei
1 carte costă: 25 × 2 = 50 lei


1. „Pentru 7 kg lămâi și 9 kg portocale s
portocale, știind că 1 kg de portocale este mai scump cu 3 lei decât unul de lămâi?
2. „12 saci cu zahăr și 17
sare cântăresc 1410 kg. Cât cântărește un sac cu sare și cât cântărește un sac cu zahăr
Metodele particulare de rezolvare a problemelor de aritmetică trebuie să facă parte din cultura
itmetică a oricărui elev ce termină clasele primare.
Rezolvarea aritmetică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a
unor seturi de priceperi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent
 eme, de a compune ei înșiși probleme.

Didactica modernă a matematicii acordă
educaționale, în speța complexului de
proiectează complexul de metode în strânsă corelație cu celelalte componente structurale, metodele
dispun de o oarecare autonomie, în sensul că utilizarea unei metode permite acestuia să realizeze un
spectru mai larg de obiective, să articuleze mai multe unități de conținut. Din acest punct de vedere,
metoda didactică are statutul unui instrument operațional al acțiunii care orientează comportamentul
elevilor spre ceea ce trebuie facut și cum trebuie f
Fiecare situație de învățare acceptă una sau mai multe variante metodice. Opț
variantă sau alta este condiționată de nenumărați factori. Aceasta nu înseamnă că
utiliza o singură metodă pentru realizarea oricărui obiec
dezvolta numai pe baza exercițiului cu variantele lui cele mai cunoscute, inclusiv antrenamentul mintal
ca bază pentru formarea unei deprinderi psiho
 ită privind adaptarea la condiții noi.
 , arată Popescu (
 cele care conduc la suscitarea si realizarea efectivă a operațiilor de gândire, cele care


E3) Concluzie: 1 stilou costă 25 lei
1 carte costă: 25 × 2 = 50 lei
Pentru 7 kg lămâi și 9 kg portocale s au plătit 91 lei. Cât costă 1 kg de lămâi și cât 1 kg de
portocale, știind că 1 kg de portocale este mai scump cu 3 lei decât unul de lămâi?
12 saci cu zahăr și 17 saci cu sare cântăresc 1210 kg, iar 12 saci cu zahăr și 21 saci cu
sare cântăresc 1410 kg. Cât cântărește un sac cu sare și cât cântărește un sac cu zahăr
Metodele particulare de rezolvare a problemelor de aritmetică trebuie să facă parte din cultura
itmetică a oricărui elev ce termină clasele primare.
Rezolvarea aritmetică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a
unor seturi de priceperi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent
eme, de a compune ei înșiși probleme.

Didactica modernă a matematicii acordă un loc prioritar parametrilor metodologici ai acțiunii
educaționale, în speța complexului de metode, tehnici si procedee didactice. Deși învățătorul
proiectează complexul de metode în strânsă corelație cu celelalte componente structurale, metodele
dispun de o oarecare autonomie, în sensul că utilizarea unei metode permite acestuia să realizeze un
spectru mai larg de obiective, să articuleze mai multe unități de conținut. Din acest punct de vedere,
metoda didactică are statutul unui instrument operațional al acțiunii care orientează comportamentul
elevilor spre ceea ce trebuie facut și cum trebuie f ăcut.
Fiecare situație de învățare acceptă una sau mai multe variante metodice. Opț
variantă sau alta este condiționată de nenumărați factori. Aceasta nu înseamnă că
utiliza o singură metodă pentru realizarea oricărui obiec 
dezvolta numai pe baza exercițiului cu variantele lui cele mai cunoscute, inclusiv antrenamentul mintal
ca bază pentru formarea unei deprinderi psiho motrice.Metodele de îmvățământ dispun de o
ită privind adaptarea la condiții noi.
, arată Popescu (  o necesitate socială obiectivă
cele care conduc la suscitarea si realizarea efectivă a operațiilor de gândire, cele care
au plătit 91 lei. Cât costă 1 kg de lămâi și cât 1 kg de
portocale, știind că 1 kg de portocale este mai scump cu 3 lei decât unul de lămâi? ”
saci cu sare cântăresc 1210 kg, iar 12 saci cu zahăr și 21 saci cu
sare cântăresc 1410 kg. Cât cântărește un sac cu sare și cât cântărește un sac cu zahăr ?”
Metodele particulare de rezolvare a problemelor de aritmetică trebuie să facă parte din cultura
Rezolvarea aritmetică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a
unor seturi de priceperi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent

un loc prioritar parametrilor metodologici ai acțiunii
metode, tehnici si procedee didactice. Deși învățătorul
proiectează complexul de metode în strânsă corelație cu celelalte componente structurale, metodele
dispun de o oarecare autonomie, în sensul că utilizarea unei metode permite acestuia să realizeze un
spectru mai larg de obiective, să articuleze mai multe unități de conținut. Din acest punct de vedere,
metoda didactică are statutul unui instrument operațional al acțiunii care orientează comportamentul
Fiecare situație de învățare acceptă una sau mai multe variante metodice. Opț 
variantă sau alta este condiționată de nenumărați factori. Aceasta nu înseamnă că învățătorul poate

dezvolta numai pe baza exercițiului cu variantele lui cele mai cunoscute, inclusiv antrenamentul mintal
motrice.Metodele de îmvățământ dispun de o
o necesitate socială obiectivă 
cele care conduc la suscitarea si realizarea efectivă a operațiilor de gândire, cele care

excelență devin adecvate și favorabile dezvoltării unui constructivism operatoriu. Esențialul rezidă
o pedagogie a efortului autentic și multilateral care izvorăște din interiorul conștiinței și al gândirii
  măsură să favorizeze, concomitent, atât
elaborarea noilor cunoștințe prin eforturi proprii, cât și construcția operațiilor mintale corespunzătoare,
pe care vrem sa le formăm, în loc ca toate acestea să fie primite de a gata, pregătite d 
învățator, demonstrate sau luate din manuale, cu un minimum de efort de memorizare, de reproducere
a exemplelor și metodelor propuse.
“Sunt considerate active acele metode care nu încorsetează elevul într o rețea de expresii fixe
 li rigide, ci care rezervă o pondere crescândă elevului în i eracțiunea lui cu obiectele
învățării, care determină un maximum de activism al structurilor operațional 
sarcinile de învățare în care este angajat acesta. ”  
    
,,Activ” este elevul care gândește, care depune un efort de reflecție personală, interioară si
abstractă, care întreprinde o acțiune mintal ă de căutare, de cercetare și redescoperire a adevărurilor, de
elaborare a noilor cunoștințe și nu cel care se menține la nivelul acțiunii concret 
si nici cel care face apel la facultatea de receptare și de reproducere apoi a cunoș tințelor. Având în
vedere că nici metodele clasice nu sunt lipsite de virtuți, pentru activizarea elevilor pot fi îmbinate în

“O eficiență sporită o constituie utilizarea în orele de matematică 
mare valoare formativă, care stimulează dezvoltarea celor mai reprezentative forțe ale activității
intelectuale (gândirea creatoare și originală, inteligența, imaginația constructivă). Asemenea metode se
     articipativ, care suscită din partea elevilor o activitate propice
exercitării și utilizării inteligenței lor ”(    
   
  participative utilizate în însusirea cunoștințelo r matematice sunt: exercițiul,
problematizarea, învățarea prin descoperire, conversația euristică, munca independentă, demonstrația,
 În descrierea acestor metode ilustrăm considera

constă în a executa o acțiune în mod repetat și conștie 
de mai multe ori, în vederea formării unor deprinderi. Exercițiul nu trebuie înțeles în sensul de repetare
mecanică, ci de refolosire intensivă și extensivă a unor elemente și structuri globale, proprii sarcinii de
învățare.
 urmărește activizarea cognitivă a elevilor. Ea constă 
elevului în fața unei situații care să i permită ca, folosind o anumită strategie, să ajungă singur la un

răspuns care nu mai constituie o simplă însumare a cunoștințelor anterioare, ci o depășire sau măcar o
reorganizare a lor. Cunoștințele astfel învățate prin efort personal, se fixează mai bine în memoria
elevului, devin mai operaționale. În cazul utilizării acestei metode, rolul dascălului este de a planifica
situațiile de învățare și de a dirija drumul elevului spre rezolvarea acestor situatii.
este o modalitate aparte de învățare prin descoperire. Specificul ei
rezultă din faptul că învățătorul instruiește nu prin ,,a transmite” sau ,, a prezenta ” noi cunoștințe, ci
prin întrebări, elevii sunt ajutați să prelucreze propriile cunoștințe pe care le posedă și să ajungă la noi
asociații, să propună soluții variate și originale de rezolvare a problemei teoretice și practice.
 este cunoscută ca o modalitate de instruire bazată pe crearea unor situații 
problemă, care solicită elevilor utilizarea, restructurarea si completarea unor cunoștințe anterioare în
vederea soluționării acestor situații, pe baza experienței și a efortului p 
Metoda care corespunde cel mai adecvat principiului caracterului activ al instrucției și
educației, precum și cerințelor unui învățământ formativ este  
 cvent folosirea fișelor de muncă  ntă. Având în vedere obiectivele urmărite,
se disting următoarele tipuri de fișe: fișe folosite pentru însușirea cunoștințelor, pentru fixarea și
consolidarea lor, pentru verificare și fișe de corectare a greșelilor.
contribuie la ușu rarea înțelegerii unor cunoștințe noi, prin observarea și
analiza unui material intuitiv, precum și la executarea corectă a unor activități. 
reprezentări grafice aplelează la reprezentări simbolice,cum sunt unele schi 
   șe didactice sau pe tablă.      
 și va găsi mai repede rezolvarea ei.   consideră că “o asemenea intui
joacă un dublu rol: a) ajută la idealizrea lucrurilor,  
purtător al no  și invers, b)ajută la vizualizarea ideilor, la transpunerea în imagini”.

 
 vă
didactică câte patru copăcei a
 și să observe totodată că 4 x3= 
 oferă un cadru propice pentru învățarea activă, participativă, stimulând în
același timp inițiativa și creativitatea elevilor. Jocurile didactice rep rezintă o formă de învă are placută
si atractivă, ce corespunde particul arităților psihice ale acestei vârste. Lecțiile înviorate cu jocuri
didactice susțin efortul elevilor, menținându i mereu interesați, îi determină să lucreze efectiv și în
același timp să gândească în  și original.

 –în special cea grafică –trebuie utilizată în toate etapele rezolvării problemelor

O modalitate eficientă de realizare a unui învățământ activ, interactiv și euristic este
  . Ea constă în cercetarea indirectă a realității cu ajutorul unor sisteme numite
 . Pentru ca acțiunea de modelare să fie eficientă, modelele nu trebuie să fie valorificate doar ca
simple suporturi ilustrative, ci ca instrumente cu care să se opereze efectiv, după un anumit program
ste o metodă de învățământ care presupune investigarea indirectă a realității, a unor decupaje ale
realității cu ajutorul unor modele. Analogia dintre model și realitate stă la baza modelării. Scopul
modelării est e asimilarea și înțelegerea eficientă a cunoștințelor de către elevi, favorizarea unei
cunoașteri mai ușoare, mai rapide și mai substanțiale 
În matematică   
în mod esențializat, particularități ale sistemului original și mediază cunoașterea acestuia. În timpul
rezolvării problemelor cu ajutorul metodei figurative, elevii elaborează modele (scheme figurative) pe
care le utilizează efectiv, în mod activ, în rezolvarea problemelo r; modifică, completează și revizuiesc
modelele gata construite; operează efectiv cu modelele realizate și acționează efectiv asupra lor
sprijinind procesul de înțelegere a problemelor.
Chiar dacă elevii trebuie încurajați să elaboreze singuri scheme figur ative, este necesar să se

Metoda figurativă, utilizată ca modelare prezintă numeroase avantaje: sprijină realizarea unui
învățământ activ, modern; stimulează creativitatea; familiarizează elevii cu raționamentul prin
analogie; asigură o învățare eficientă și temeinică; facilitează abstractizarea ”
   

  

ă ce elev ii citesc problema, o analizează și freprezentarea ei corectă ghidându se după modele
 
Reprezentarea grafică 



  osi la compunerea problemelor. Modelele pot fi sub formă de reprezentare
grafică, sub formă de exerci ții sau litere.
Eficiența acestor metode constă în capacitatea fiecărui învățător de a le utiliza în p rocesul de însușire a
cunoștințelor matematice, constă în modul în care fiecare cadru știe să 

Dintre metodele didactice specifice învățării active, nou apărute în sistemul de predare învățare,
 ul, ciorchinele, diagrama Wenn, jurnalul cu dublă intrare, metoda cadranelor și cubul
am încercat să le aplic și în lecțiile de matematică.
 ul, „furtuna în creier”, este prezent chiar în activitatea de compunere de
 momentul când în fața copilului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă
în care să le integreze în mintea copilului apar o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le 
putea asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativ ității, învățătorul trebuie să aprecieze
efortul fiecărui copil și să nu înlăture nici o variantă propusă de elevi.
Exemplu:Compuneți o problemă folosind numerele 45 și 9 
Am observat că fiecare elev din clasă a reușit să compună o problemă în care a suger at operații
aditive, substractive, multiplicative sau de împărțire.
  o cu succes când a trebuit să formăm numere prin operații


Schemă de rezolvare  sub formă de ciorchine

Metoda ciorchinelui dă rezultate deosebite în folosirea muncii pe echipe. Fiecare membru al
echipei va găsi cel puțin două feluri de a compune numărul 25. Observând și aprobând variantele
colegilor, copilul își dezvoltă imaginația și creativitatea.
Am folosit metoda ciorchinelui și în secvențe de recapitulare a noțiunilor teoretice matematice.
Prin întrebări, învățătorul dirijează gând irea elevilor, notează și schematizează cunoștințele teoretice

Schemă de recapitulare a no
  mod cât mai creativ, asemănările
și deosebirile evidente dintre două categorii de operații matematice. Dă rezultate deosebite la
activitatea în echipă.
 Reprezentați în diagrama Wenn ceea ce știți voi despre operația de adunare și de
scădere:

 ce vizează no
  o frontal și individual, în rezolvarea problemelor prin metoda
figurativă, la clasa a III a. Fișa de lucru este împărțită în patru cadrane destinate textului problemei,
reprezentării grafice, rezolvării și, respectiv, răspunsului problemei. Am considerat această metodă
eficientă deoarece a delimitat clar în mintea copilului etapele pe care trebuie să le parcurgă pentru a
obține rezultatul problemei. Apoi acoperind celelalte cadrane și descoperind doar pe cele cu nr. II, III
 lor să creeze probleme asemănătoare (asemănătoare reprezentării grafice, sau
planului de rezolvare sau al cărui răspuns să fie identic cu cel obținut în problemă).
. Schemă de rezolvare a problemei prin metoda Cadranelor

Mama are 40 m de pânză ver și
albă. Pânza albă este de 7 ori mai
mare decât cea roșie. Care este
lungimea fiecărei bucăți?



 
 

Răspuns:
pânză verde
m pânză albă


 este o metodă activă aplicată unei clase de elevi împărțită în șase grupe. Fiecare grupă
are o sarcină de lucru diferită ca grad de dificultate față de celelalte cinci grupe. Elevii dau cu zarul.
Fiecărei fețe a cubului, învățătorul îi asociază o cerință, care trebuie neapărat să înceapă cu cuvintele:
„descrie”, „compară”, „explică”, „argumentează”, „analizează”, respectiv „aplică”.
 
 importanța cifre  
 Compară   
 Explică proprietatea adunării numită comutativitate prin două exemple date de tine.
 Argumentează valoarea de adevăr a următorului calcul matematic, efectuând proba în
două moduri:
–
 Analizează propozițiile de mai jos și anuleaz o pe aceea care nu prezintă un adevăr:
 primul termen al scăderii, descăzutul, se află prin adunare
 al doilea termen al scăderii, scăzătorul, se află prin scădere
 ăproprietățile cunoscute ale adunării pentru a rezolva exercițiul rapid.

“Oricare formă a muncii independente stimulează activitatea creatoare a elevilor, asigurând antrenarea
tuturor elevilor la muncă, îndeplinirea pr oblemelor date și integrarea cu succes a elevilor în
 ”.(    
  

Cu grupuri mici sau cu întreaga clasă, se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anumită
temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă răspunsuri la lecție.
Pentru folosirea acestei metode se vor parcurge următoarele etape:
 i vor forma perechi (sau grupe) și vor face o listă cu tot ceea ce știu despre tema ce urmează
a fi discutată. În acest timp, se construiește un tabel pe tablă cu următoarele coloane: Știu/ Vreau să știu /
Am învățat, cum este următorul:

 mă de rezolvare a problemelor pentru metoda ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM AFLAT
Știu
Ce credem că știm?Vreau să știu
Ce vrem să știm?Am învățat
Ce am învățat?
Apoi câteva perechi spun celorlalți ce au scris pe liste și notează lucrurile cu care toată 
este de acord în coloana din stânga. În continuare dascălul îi ajută pe elevi să formuleze întrebări
despre lucrurile de care nu sunt siguri. Aceste întrebări pot apărea în urma dezacordului privind unele
 opiilor. Aceste întrebări se notează în coloana din mijloc.
Elevii trebuie să citească textul / problema.
Apoi se revine asupra întrebărilor pe care le au formulat înainte de a citi textul și pe care le 
trecut în coloana „Vreau să știu”. Dacă la într ebări sau găsit răspunsuri, se vor trece în coloana „ Am
învățat”.
În încheiere, elevii revin la tabel și decid ce au învățat din lecție.
Unele dintre întrebările lor s ar putea să rămână fără răspuns și s ar putea să apară întrebări noi. În
 întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigațiile ulterioare.
 reprezintă un ansamblu de acțiuni și operații care urmăresc obiective
de pregătire intelectuală a elevilor, generând o motivație stimulatorie și con stituind o prezență
indispensabilă în ritmul accentuat al muncii școlare. Folosit în procesul de învățământ, jocul didactic
asigură participarea activă a elevului la lecții, sporind interesul de cunoaștere față de conținutul
lecțiilor. Un exercițiu sau o p roblemă de matematică devine joc didactic matematic dacă realizează un
scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic, folosește elemente de joc în vederea
realizării sarcinii propuse; folosește un conținut matematic accesibil și atractiv; utili zează reguli de joc
cunoscute anticipat și respectate de elevi.
Introdus inteligent în structura lecției, jocul didactic matematic poate să satisfacă nevoia de joc
a copilului, dar poate în același timp să ușureze înțelegerea, asimilarea cunoștințelor mate matice și
formarea unor deprinderi de calcul matematic, realizând o îmbinare între învățare și joc.


Descifrează mesajul examinatorului:
efectuează calculele
scrie litera corespunzătoare fiecărui rezultat










 . Schemă joc didactic 1
Cine calculează mai rapid?
 a trimis niște baloane colorate. Cu numerele scrise pe fiecare balon și folosind
adunarea și scăderea, compuneți diferite exerciții, astfel încât să obțineți rezultatele date:






   
   

 
 .Schemă joc didactic 2
Broscuța s a rătăcit . Ajutați broscuța să ajungă la școală, știind că trebuie să treacă numai
 pietrele care au un număr ce se împarte exact la 3:



Completați căsuțele 
 

Observă regula și completează casetele libere

Fig.3.13.Schemă joc didactic 5
Metodele de învățământ sunt căile folosite de elevi și învățători cu scopul ca elevii să se formeze, atât
prin activitatea îndrumată de învățători, cât și prin . Schemă joc didactic 3

 .Schemă joc didactic 4
Observă regula și completează casetele libere 
Fig.3.13.Schemă joc didactic 5
Metodele de învățământ sunt căile folosite de elevi și învățători cu scopul ca elevii să se formeze, atât
prin activitatea îndrumată de învățători, cât și prin cea organizată independent și diferențiat.
Metodele de învățământ sunt căile folosite de elevi și învățători cu scopul ca elevii să se formeze, atât
cea organizată independent și diferențiat.


Rezolvarea de probleme la matematică,în ciclul primar se poate realiza sub formă de activită



   organizează, conduce și dirijează activitatea ele 
predominantă a  –se bazează 
de cunoștințe unei clase întregi de elevi, reduce învățarea la achiziționarea pasivă de cunoștințe și
limitează foarte mult activitatea colectivă propriu zisă.
elevii lucrează în același timp și în același sistem, aceleași sarcini, dar fiecare lucrează strict
individual, fără a se stabili legături de interdependen
învațare prin cooperare sunt reduse l  având loc numai în afara predării, în pauze și

și de preferat atunci când se intenționează expunerea unor noțiuni fundamentale,
sintetizarea unei informații mai cuprinzătoare, efectuarea unor demonstrații, sensibilizarea și câștigarea

Exemplu de activitate frontală
 elevilor o planșă cu o proplemă ilustrată. o grădină au fost 30 de lalele. Gră
 Câte lalele au rămas în grădină?
Elevii urmăresc aten în timp ce învă 
adresează î ntrebări ajutătoare pentru în Ce fel de flori erau în grădină?
Câte flori avea grădinarul în total?Câte a cules?Cum putem afla câte i au rămas? Care este opera
corectă pe care o vom scrie? Elevii răspund pe rând întrebări  Urmăresc aten
 pe care îl va scrie învă  și ei pe caiete rezolvarea

    și timp

  îndrumă și conduce activitatea unor subdiviziuni/ microcolectivități
(denumite grupe) alcătuite din elevii unei clase și care urmaresc anumite obiective educaționale,
identice sau diferite de la o grupă    olectivități
 alcătuite după criterii bine stabilite în prealabil și cu o structură precisă (de exemplu,
elevi cu același nivel de pregătire la matematică, cu aceleași nevoi educaționa le, cu aceleași interese
sau motivații) sau neomogene/ eterogene –microcolectivități informale, respectiv constituite prin

inițiative spontane, individuale, după prerințele elevilor și care au un coordonator.
 (perechi) alcătuite fie de profesor, fie de elevi în mod aleatoriu, după
anumite preferințe sau după criterii bine precizare.
 a activității elevilor se referă la îmbinarea celor prezentate mai sus, in
funcție de obiectivele operaționale urmărite .

 evilor ca la ora de matematică să ne luăm la întrecere. Le am pregătit un concurs
și mam gândit să l desfășurăm pe grupe. Concursul va avea  
.Elevii sunt împărțiți în 3 grupe a câte 4

Prezint regulamentul concursului: vom avea 4 probe. Pentru probele 1, 2 și 3 timpul de lucru
 a veți avea 10 min. Fiecare exercițiu corect va 
puncte, iar fiecare problemă rezolvată corect adică cu plan de rezolvare –va fi notată cu 20 de
puncte. La sfârșitul celor 4 probe vom totaliza punctajele pe care le voi scrie pe tablă într un tabel și
vom vedea cine a câștigat concursul.
Pentru prima probă fiecare grupă primește câte o fișă de lucru pe care se află exerciții de
adunare și scădere cu numere formate din SZU fără trecere peste ordin și o problemă. Vor trebuie să
rezolve exercițiile și problema în 5 minute.
1) Efectuați exer cițiile:


o seră sau cules 245 trandafiri și cu 202 mai multe garoafe.
 
După expirarea timpului se adună fișele, se citesc rezolvările exercițiilor și a problemei și se
punctează răspunsurile.
nota punctele fiecărei echipe într un tabel desenat pe tablă în prealabil.
 a vor avea de compus șase exerciții de adunare și scădere fără trecere peste ordin.
Exercițiile nu se rezolva pentru ca se face schimb de fișe în proba a III 

În timp ce se explică, se împart fișele de lucru.
După expirarea timpului se adună fișele, se citesc și se corectează, dacă este nevoie, apoi se
 Se notează punctajul în tabel.

  rezolvat exercițiile compuse de colegii de la alte grupe. 
schimb de fișe astfel: fișa grupei 1 o va rezolva grupa 2; fișa grupei 2 o va rezolva grupa 3; fișa grupei

Voi acorda timp de lucru 5 min. După expirarea timpului se aduna fișele, se vor corecta și se
va acorda punctajul.Se notează punctele în tabel.
La ultima probă a concursului va trebui să compună o problemă care să se rezolve printr 
operație de scădere. Numerele alese pentru problemă trebui să fie formate din   rezolvă
problema cu plan de rezolvare. Compunerea problemei va fi notată cu 20 de puncte, iar rezolvarea
corectă va fi punctată cu alte 20 de puncte.
În timp ce elevii lucrează, voi trece pe la fiecare grupă și voi supraveghea modul de lucru.
După expirarea timpului, câte un reprezentant al fiecărei grupe va prezenta problema și
rezolvarea efectuată de grupa lui.
Se corectează greșelile și se acordă punctajul. Se trece punctajul în tabel și se totalizează
 se câștigătorii. Se propun calificative pentru echipa câștigătoare. Se fac aprecieri
asupra modului de lucru: corectitudine, rapiditate, atenție, cooperare.
 
 or pentru acasă.
pun accentul pe munca independentă, fară supraveghere directă și consultantă din partea
 
există mai multe variante de organizare individuală a activității elevilor: cu sarcini de instruire
 e diferențiate pe grupe de nivel, cu teme diferite pentru fiecare elev.
În acest ultim caz, activitatea se numește individualizată sau personalizată, pentru că ține cont de
particularitățile fizice și psihice ale fiecărui elev, de nivelul pregătirii sale,  
lui educaționale;
profesorul va organiza activită
atingerii obiectivelor propuse, adoptând o varietate de activită
 plu de activitate individuală
 și activitate de lucru individual prima parte a orei în care verific
tema elevilor sau ultima parte rezervată etapei de lec 
pregătesc câ  șă de pe care elevii le rezolvă într 
După ce rezolvăm frontal o problemă, le sugerez elevilor să rezolve una asemănătoare individual,
pentru a putea să mi dau seama dacă to Spre exemplu rezolvăm fr 
următoare: Ana are 27 de ani, iar tatăl său are 57 de ani. Cu câ
 După ce urmăresc aten 

 șă de lucru cu o probl emă asemănătoare,  
  
decât a fiului său?


 
Rezolvarea problemelor trebuie să fie un demers organizat. Elevii trebuie implica
 și nu doar în aplicarea lui.  participative solicită
  și practic 
 
 a de rezolvarea problemelor de aritmetică?
  la următoarea 



rezolvarea corectă a problemei
: utilizarea sistematică a metodelor active 
rezolvare a problemelor de aritmetică


 propuseîn realizarea acestei lucrări sunt de fundamentare psihopedagogică, ș
metodologică :
să demonstrez că  de o manieră organizată, care implică însă
participarea activă a elevilor atât în proiectarea solu
trebuie să fie atributul ce caracterizează omul în orice ipostază s școală,

să realizez o cercetare psihopedagogică privind rezolvarea problemelor de aritmetică 
metode care, fără săexcludă , implică preferen și s
și procedee  și de coop 
să promovez ide a că prin rezolvarea problemelor de aritmetică se dezvoltă gândirea și
  tăria de și atitudinile 



Această cercetare a impus organizarea și desfășurarea unui șir de experimente didactice care s 
au desfă șurat la Liceul Tehnologic Corbu, 
Perioada cercetării s  școlar 2013  ș

ș  
   și în cercetare este de 8 
 mental este alcătuită din 8 fete
ș 
deoarece au dificultă atematică. 
    șantionului   căruia i s     și s
  
    
urmărirea grupului în toate etapele experimentului

   a realizat la unitatea de învă 
  problemele care se rezolvă prin cel mult două opera

Importanța cercetărilor psihopedagogice este majoră atât pentru planul teoretic, cât și pentru cel
practic. În plan teoretic cercetarea ajută la cunoașterea, interpretarea, înțelegerea problemelor educației, iar
în practică ajută la orientarea, optimizarea , inovarea și reforma practicilor educaționale.

observației, metoda convorbirii, metoda testelor și a altor probe de evaluare scrisă și metoda analizei
 selor activității elevilor.
 presupune producerea sau schimbarea deliberată a fenomenelor
educaționale în vederea studierii lor aprofundate în condiții favorabile și a identificării, observării,
cuantificării și evaluării factor ilor care le influențează sau le determină. Scopul experimentului este
acela de a confirma sau infirma ipoteza cercetării.
Proiectarea și desfășurarea experimentului pedagogic au fost realizate din perspectiva
optimizării procesului de predare învățare a matematicii și în ciclul primar, a exigenței utilizării

sistematice a activităților diferențiate privind formarea și dezvoltarea competențelor fundamentale
specifice rezolvării de probleme și a influenței pozitive asupra dinamicii performanței școlare.

Etapa preexperimentală
Etapa experimentală
Etapa postexperimentală
constă în urmărirea intenționată, metodică și sistematică a unui eveniment
 imente educaționale, în condiții obișnuite de existență și de desfășurare, în
scopul explicării, înțelegerii și ameliorării lor.
Am realizat observații nemijlocite sistematice în diferite momente ale activităților desfășurate: în
predare, fixarea cunoștin țelor, aplicarea lor practică, în evaluare și notare cât și anumite observații
asupra materialelor înregistrate. Practic, pe tot parcursul cercetării, observația a intrat în combinație cu

 este o formă de anchetă, care constă într un dialog dintre cercetător și
subiecții supuși investigației, în vederea colectării de date în legătură cu fenomenele urmărite.
Convorbirea se desfășoară pe baza unui plan ș  ui ghid alcătuit din întrebări elaborate dinainte.
Răspunsurile se consemnează, se înregistrează cu fidelitate, pentru a putea fi prelucrate ulterior.
  o pentru a măsura cât mai exact volumul și calitatea cunoștințelor,
priceperilor și deprinderilor copiilor, înainte și după efectuarea experimentului.
Probele au avut caracter mixt, verificând atât capacitatea de reproducere a unor cunoștințe c ât și modul
de dezvoltare a capacităților de analiză și sinteză, de aplicare a cunoștințelor în situații noi.
a fost folosită pe tot parcursul experimentului
didactic: în etapa constatativă (pretest) pentru colectarea de date și formarea unei imagini globale
privind cunoștințele elevilor referitoare la operația de înmulțire și împărțire; în etapa intervenției pentru
 

Testele reprezintă un instrument de cercetare alcătuit dintr un ansamblu de itemi, care vizează
cunoașterea fondului informativ și formativ dobândit de subiecții investigați, respectiv identificare 
prezenței sau absenței unor cunoștințe, capacități, competențe, comportamente, procese psihice.


 În primă fază elevii au fost testa  
următorul subcapitol, 

   
urmat o perioadă mai lungă în care am i am îndrumat să rezolve diverse probleme aplicând diverse
   fel de activită
  și le șit.
 
 
    
  și deprinderi
 șitul orei elevii vor ști să efectueze corect o problemă aplicând metoda Ș
VREAU SĂ ȘTIU, AM ÎNVĂ
 șă de lucru ce cuprinde două probleme. Prima problemă am rezolvat 
la tablă   apoi a doua problemă au rezolvat 


  

Analizăm oral problema ajutându ne de întrebări,  
 ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM AFLAT
Ș VREAU SĂ ȘTIU 



după urcarea celor 13. și
cei care au urcat aflu că
 
pun apoi ca elevii să   mi seama dacă metoda a fost

un tren sunt 46 de călători. În prima gară mai urcă 38 de călători.


 Scăderea numerelor naturale  și 30 
  și deprinderi

 șitul orei elevii vor ști s ă ă –
 
 șă didactică pe care erau desenate patru cadrane (pătrate). De pe o altă
șă am citit următoarea problemă.
   
Am explicat apoi elevilor în ce constă metoda de rezolvare, scriind astfel în fiecare cadran următoarele

 
 
 
 răspunsul problemei 

Am dat apoi fiecărui elev câte o fi șă de lucru cu o problemă asemănătoare propusă spre rezolvare. Fi șa
  
 desenul corespunzător,  și răspunsul.
Problema propusă 
 

  
 
 Răspuns:  au rămas 9 bile.


  șitul orei elevii vor ști să rezolve corect   

 pe ale cărui fe  șase
 COMPARĂ, ASOCIAZĂ, ANALIZEAZĂ, ARGUMENTEAZĂ, APLICĂ.
După ce am împăr 
corspunzător culorii, și cuvântului de pe cub, 
șu
Compară
Asociază
Analizează
Argumentează
Aplică
șase coli colorate după cum am explicat 

La diferența numerelor 600 și 381 adăugați suma numărul 170.
Se analizează problema 
Ce cuvinte ne indică operațiile?
Ce operații trebuie să efectuăm?
Cum efectuăm calculele?

Compară diferen
 
Diferența numerelor  
Măriți cu 562 numărul 120 

La acțiunea ,, Protejați pă durea!” , o grupă de elevi a strâns 947 kg de hârtie, iar altă grupă cu
135 kg mai puțin. Câte kg de hârtie au strâns cele două grupe ?
Adevărat sau fals:
Numărul cu 125 mai mare ca 575 este 700. ……..
Succesorul numărul 290 micșorat cu 10 este 280……
Descăzutul se află prin scădere……
Suma vecinilor numărului 180 este 262….

Află numărul necunoscut:
  
Fiecare grupă va avea de rezolvat sarcinile găsite pe foaia corespunzătoare culorii bile

  
și probleme



 șă de lucru pe care aveau reprezentat câ  


 este aceea ca în fiecare cerc portocaliu elevii să găsească câte doi termeni
pe care dacă îi adună rezultaul să fie 4 59, dar în fiecare cerc să se af  
 vor căuta câte două numere care vor repr ezenta descăzutul și scăzătorul 
fiecărei scăderi va fi tot 459.  c violet este necesar să apară scrisă o altă scădere și nu
 și.
 și metodă,ciorchinele și în r 

 Schema de rezolvare a problemei sub formă de CIORCHINE


Titlul lecției Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 –
Tipul lecției de consolidare și sistematizare a cunoștințelor
Obiective de referință:
–să efectueze operații de adunare și scădere în concentrul 0 fără și cu trecere peste ordin;
–să rezolve probleme care presupun o singură operație din cele învățate 
–să manifeste o atitudine pozitivă pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme
Obiective operaționale:

să utilizeze un limbaj matematic adecvat, aplicân d algoritmii de calcul învățați 
rezultatelor corecte pentru adunările și scăderile propuse;
 –să efectueze corect adunări/ scăderi în concentrul 0 100 fără și cu trecere peste ordin;
 –ă rezolve corect problema, respectând etapele de rezolvare, pentru a obține soluția corectă 
 –să respecte regulile jocurilor

 –să reacționeze pozitiv dorind să lucreze și să fie apreciați;
 –să participe cu interes la oră și să 


 –să adopte poziția corectă a corpului în timpul scrierii 
 –să se orienteze în spațiul grafic, coordonând corect mișcările mâinii în vederea scrierii


Metode și pro  conversația, conversația euristică, exercițiul, explicația, povestirea,
  
 povestea, fișe de lucru, caietul elevilor, planșe, ghicitori, 
 frontală, individuală, pe grupe




 
 
 





Asigur condițiile

desfășurare a lecției:
pregătirea

desfășurării lecției și
stabilirea liniștii.șipregătesc



matematică





cantitativ și calitativ,

rezolvă în caiete
umătoarele exerci




un elev iese la tablă și
rezolvă un exercițiu.Prezintă caietele
 și apoi
rezolvă
explicați

exercițiul

ția
individuală
frontală

sistematică
Captarea și
menținerea
atenției


Se prezintă imaginea
cu Crăiasa Zăpezii.


, iar ei trebuie să
spună cu ce operații
pot asocia călătoria

operații putem asocia
călătoria Crăiesei
Zăpezii
Pe tablă sunt scrise

 șiAscultă,urmăresc

răspunsurile
întrebărilor



ția
euristicăplanșă



planșăfrontală

sistematică





trebuie să spună
cuvinte și expresii
care să corespundă
fiecărui cuvânt.
Crăiasa Zăpezii 
ajuns și î  
noastră și a adus cu
  
adică tot
ceea ce îi bucură pe
  


exerciții pe care
   

   

are cartonașul cu
 
începe jocul ceilalți
sunt atenți și
continuă.Jocul se

  
  
  
corespunzător
 
   

realizează



ția
explicați





planșă






ții
Anunțarea
temei și a
ați spus că
operațiile
corespunzătoare
acțiunilor celor doi
împărați pe care i 
vizitat Crăiasa
Zăpezii sunt
 și
Astăzi vom rezolva șiUrmăresc

ția

țiafrontală 
sistematică

noi exerciții și
 
adunări și scăderi cu

  –
numind lecția de
astăzi:
  


Se scrie titlul pe tablă
Ascultă



activităț


și


cunoștințe







Ora se va desfășura
  
  
termină de rezolvat
prima fișa, vine la
tablă și rezolvă
exercițiile de pe
planșă, iar cealaltă
grupă completează în
continuare fișa cu altă

Elevii vor primi fișe
cu exerciții –






   
Se împart în două

rezolvă sarcinile
  șei de
 


ția
exercițiul



fișe de

fișe de
 


verbală a






Afișez pe tablǎ un
  
 ǎ a fi
 

Cerința:
 
  
coloana ,,AB”
   
tablă și
completează


 
completează și pe
șele de lucru
explicați


ția
fișă de
 
sistematică

 și jocul didacticdoriți cu toții.


nară
 
    
derdeluș
Sunt copii la săniuș 
Două fete, opt feciori
Toți cu obrajii
roșiori.
Pentru că s 
Patru pleacă înspre

Câți copii mai sunt
acuș
   
derdeluș“

  
zgribuliți
   
brăduți.
Câți brăduți ar
rămânea,
Dacă 4 s ?”


ână
Cinci degete la altă
mână.
 
   
?”Rezolvă oral


colorează
 
 Ștafeta

ția


activită
  
pozitive generale și
 

  
activitatea didactică,
 


Se comunică tema
pentru acasă și se dau
  

și notează tema.
țiafrontală 



 : Exerciții și probleme de adunare și scădere  100 , fără
 
 : consolidarea cunoștințelor

să efectueze opera
să rezolve probleme care presupun o singură opera


săoral exercițiile propuse
să utilizeze  terminologia specifică matematicii
să efectueze  operații de adunare scădere cu numere naturale de la 0 la
100, fără trecere peste ordin
să verbalizeze  e făcute în

–să identifice  
să rezolve  probleme ce presupun o singură opera
să compună 

să participe activ la desfășurarea lecției
să manifeste interes pentru lecție

săși coordoneze activitatea    scrierea corectă a


 și procedee 
conversația , explicația,observația , exercițiul , problematizarea,  ȘTIU/VREAU
SĂȘTIU/AM AFLAT”
 

   șe de lucru ,     
matematică

ntală , individuală 
 
 








se asigură
climatul de ordine și
disciplină necesar
desfășurării
activității
pregătirea




orei de matematicăpregătirea


începerii și
desfășurării

matematicăConversația  




cunoștințelor



se face calitativ și



întrebări și a unor
exerciții de calcul

Ce operații

învățat?

semnul adunării?

semnul scăderii?


care se adună?

numește rezultatul
adunării?

numește numărul
din care scădem?

numește numărul pe
care îl scădem?

numește rezultatul
scăderii?
exerciții de
răspund la
întrebări
rezolvă
exercițiile oralConversația
euristică

euristică


orală










numerelor 40 și 30 .

diferența numerelor
23 și 20 .
Măre ște pe 80

șorează pe


numerelor 10 și10
adaugă 40 .
La diferența
numerelor 67 și 7
adaugă 10 .
se evidențiază

exercițiilor o parte
din proprietățile
celor două operații

Ce se întâmplă
dacă schimbăm

operații de adunare ?

obținem dacă
adunăm orice număr

Cum trebuie să
fie numărul din care
scădem ?rezolvă


rămâne


este acel număr



atenției

prin următoarea

  

30 de rațe baie fac.
Zece pleacă
supărate
Câte au rămas
sănoate?” 
Anunțarea
subiectului și

În această oră de
matematică ne vom
juca cu operațiile de
adunare și scădere ,
rezolvând exerciții și

se notează titlul
și data la tablă și penotează
titlul și data pe
   
sistematică

caiete : ,,Exerciții și
probleme”

învățării




împărțită în 3 echipe







anunțați că va
trebuisă rezolve


matematică , pentru
ca fiecare echipă să
reușească să și
umple coșul cu cât



exercițiu corect 

se va adăuga un
fruct în coș) 

1.Calculează:


 




se prezintă o
planșă pe care sunt
desenate mere și

sarcina să rezolve
cerința dată


mere adaugă
diferența numerelor
 
 
se prezintă o
planșă pe c 
desenați 3 pomi cu
exerciții de adunare
și scădere ,fără

sarcina să rezolve
corect exercițiile dese formează
echipele și se

rezolvă



apoi rezolvă

rezolvă














șuri


șă cu

șă cu
 și
șă cu













se poartă o

la aflarea numărului


aflăm un termen al
adunării?

aflăm primul termen

scăderi(dezcăzutul)?

aflăm al doilea

scăderi (scăzătorul)?
4.Află numărul






notate pe tablă și pe

5.Descăzutul este
47 , iar scăzătorul
este 7 . Află
diferența. 
 

împăr



fiecărei grupe câte o
șă


 și




 și 7 trandafiri.


de scădere.



de scădere.
află
numărul
 și
notează pe

rezolvă cerin

tablă și în

completează



,apoi o rezolvă
rezolvă


 


ȘTIU

SĂȘTIU




șă cu


orală

Obținerea
performanței
 se realizează prin







 compun și
rezolvă




orală




primește o fișă de

 sunt atenți la
explicațiile
date și rezolvă
exrcițiile de pe
fișă

dentă
Fișă de

scrisă

activită

individuale și


desfășurare a lecției
se împarte fiecărui
elev câte o jumătate


se comunică tema
pentru acasă și se
dau explicațiile
notează tema
pe caiete și
ascultă
indicațiile date
 

 Știu/Vreau să știu/Am aflat

În prima etapă a cercetării,   și aplicat un test, 
  
 dobândite încă din 
individuale de învă
 
 
 mai mulți.
Câți castani s 
2. Veverița  imineață, iar după amiază încă 10 
veverița?
un vas de sticlă sunt 15 bile albe și cu mai puține bile albastre.


 albe și
 a întrebat pe copii ce sport preferă și a întocmit următorul tabel:
  
Citiți datele din tabel și răspundeți la întrebări:
a.) Câte fete preferă voleiul?
b.) Câți băieți preferă tenis?
c.) Câți copii, băieți și fete, preferă înotul?
Care este diferența dintre numărul fetelor și cel al băieților care preferă gimnastică?
139412
11171417
0 5 10 15 20 25 30 35GimnasticăVoleiÎnotTenis
Fete
Băieți

Descriptori de performanță
 

să rezolve   probleme care presupun o singură
operație;
să rezolve   probleme care presupun două
operații;
să extragă  informații dintr 
 
   
 * rezolvă corect problema,
prezintă planul de rezolvare.
fectuează operația de scădere
și arată și răspunsul* raționează corect

 șește la un
intuiește raționamentul
ematic, dar greșește la
 și planul de

 * rezolvă corect problema,

 efectuează operația
de adunare și arată și
răspunsul* raționează corect
 
  șește la un
* intuiește raționamentul
tematic, dar greșește la
 și planul de

 * rezolvă corect
problema dată 
* raționează corect
 
 dar greșește la un
* intuiește
raționamentul matematic,
dar greșește la
 și la planul

 



   
 și sarcină de lucru,  și test de evaluare.

  că unii elevi și
rezolva probleme cu două opera  
acest fapt, am decis să îi ini 
 am gândit că le va fi poat  șor în a găsi rezolvarea și că vor fi mult mai

metodele, au urmat două teste de evaluare sumativă.  iar în următoarele
subcapitole se va regăsi interpretarea acestora,  și concluziile la care am ajuns. 
a fost împăr și B Testarea a fost de tip „încruci șat”, după
 ș –
 

o livadă s   
în acea livadă?
  
3.La o librărie s au adus 231 căr iar căr
 ști s șipoezii împreună. Câte căr
librărie?

 
 
Să rezolve corect,cu plan de rezolvare probleme ce presupun o singură opera
Să rezolve corect, cu plan de rezolvare probleme care presupun două opera
 
   
 rezolvă corect problema, 
 efectuează ambele

răspunsul

  șește la un calcul
 șește la
 și planul de

 * rezolvă corect problema, 
 efectuează opera
 
 șind


  ști descriptori au vizat doar testul pe care aceștia l   și
 și elevii din a doua grupă,  doar că descriptorii sunt cei din tabelul de
 
  l test de evaluare sumativă al grupei B de elevi
   
 *rezolvă corect problema

STIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM


 ște aplicarea
 ȘTIU/VREAU SĂ
ȘTIU/AM AFLAT,dar greșește la

 ște

ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM
 șește la calcule
 *rezolvă corect problema


corect reprezentarea grafică cu


de scădere.
 ște alicarea metodei
 șește la

 ște

 șește la

 *rezolvă corect
 și plan

CIORCHINELE,efectuează

 ște aplicarea metodei
 șeș

 ște

 șește la

După rezolvarea acestui prim test de evaluare, în urma continuării programului de interven
formativă, clasa de elevi a fost împăr 
evaluare sumativă,  și ca și prima dată. De 
   de scădere,indică răspunsul   șește calculul  ș
 *rezolvă corect problema, 
 efectuează ambele

răspunsul

  șește la un calcul
 șind
 și la calcule

 avut de efectuat probleme după metoda tradi  și
 și,și la primul test de e valuare sumativă.
o pădure au fost planta

2.Bunica îi dă Mariei 36 nuci.Maria îi oferă fratelui ei 19 din totalul d 
îi rămân Mariei?
 șia cumpărat  și o pereche de sandale care
  au mai rămas Andreei?


   a doua evaluări sumative pentru grupa A de

   
 *rezolvă corect problema aplicând
 ȘTIU/VREAU SĂ
ȘTIU/AM AFLAT,efectuând

 ște aplicarea 
ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM
AFLAT,efectuează corect doar o

 ște

ȘTIU/VREAU SĂ ȘTIU/AM
 șește la

 *rezolvă corect problema,aplicând
 

reprezentativ,efectuează corect

 ște aplicarea metodei
 șește calculul
 ște

 șește

 *rezolvă corect problema,aplicând
și plan de rezolvare metoda
CIORCHINELE,efectuează

 ște aplicarea metodei
 șește un

 ște

 șește


 


   
 rezolvă corect problema, 
 efectuează
scăderea și adunarea,indică și
răspunsul

 șește la un calcul
 șește la
 și la planul

 * rezolvă corect  
 efectuează

răspunsul

  șește calculul
 șind
 ș
 *rezolvă co  
 efectuează
 și scăderea,indică și
răspunsul
 
  șește la un calcul
 șind
 și la calcule
rmătorul test 
  și stabilirea
   și sarcini de rezolvat.

 9 mai puține. Câte
 Rezolvă problema aplicând metoda Știu/Vreau să știu/Am 
 școlii sunt 149 de cărți ști, iar căr Câte cărți
 școliiRezolvă problema aplicând metoda 
o livadă sunt 26 de cireși, iar pruni cu 8 mai p uțini. Câți pomi sunt în livadă? Rezolvă problema

Martinică a cules 25 2 de frăguțe. Din ele a pierdut pe cărare 2   Formulează
 și rezolv o metodă de rezolvare preferat ă.


 
Să rezolve corect probleme cu una sau două opera
Ș și CIORCHINELE.
Să formuleze corect întrebarea unei probleme propuse.
 
   
 *rezolvă corect pr 
  Știu/Vreau
săștiu/ Am aflat ,efectuează

 alpică metoda, șind la

 șește la

 *rezolvă corect
 
 ,efectuează


 aplică metoda, șind
tre cele două opera
 șind

 *rezolvă corect
 
 ,efectuează
 a de scădere și pe cea

aplică metoda, șind una dintre
cele două opera
 șind la

 *formulează întrebarea
problemei,apoi o rezolvă
 o metodă aleasă.
matematic,formulează corect
  șește la calcul

întrebării este par
corectă, șește la




 





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 




 
 
 
 
 
 
 





  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 



 
 
 
 
 
 
 





























 rezultatele primei evaluări sumative







    
    
    
    
    
    
    

  a doua testări sumative la grupa A







    
    
    
    
    
    
    

  a doua testări sumative







    
    
    
    
    
    
    


 




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  






















 finală
Din tabel se observă faptul că unii elevi au evoluat , iar al 
foarte bun în urma aplică  
observă clar la elevii B.B, F.F, L.D și S.A. Aceștia au avut ca și calificativ general la testarea
 iar la testarea finală,    
  și P.P. 
calificativul BINE în urma testării finale, ceea ce este un lucru îmbucurător.  a făcut un
adevărat salt în acest an școlar la disciplina matematică,  și eleva V.S., 
Școala Specială,  acolo lucrând după o programă adaptată copiilor cu deficien
 doar că a urmat cursurile acestei șc
părin  și S.E.,
 
tot parcursul cercetării.






  
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

       

Tab.4.18. Tabel comparativ privind numărul de calificative la prima și ultima testare
     
 
 
         
          
          
          
          
 
        
 Dacă în etapa ini   
etapa finală ace  
 
 știa

desfă șurate de elevi în perioada experimentală, am observat schimbări în atitudinea lor fa
învă   nici de învă   

avut mai multă ini  și interpretarea rezultatelor indică o
 iar acestea mă îndreptă să spun
că ipoteza propusă de mine spre cercetare se confirmă.
În orice cercetare există obstacole, 
 șteptate. În cercetarea întreprinsă nu am avut parte de  care să îmi fi
 șit a studiului, însă unele mici au existat. ș putea spune ca d 
cercetării a fost scurtă 
  “  
matematică! ”și“ ”
  testele Evaluării
 iar pregătirea acordată acestora trebuia făcută în acela și timp cu cercetarea implementată.
  Particularită
   școlară, 
 elevii având doar 4 ore de matematică pe săptămână. 
formativă a fost implicată o elevă care a studiat un an școlar anterior după o prrogram ășcolară
adaptată elevilor cu deficien 
 A existat un volum mare de timp în care a trebuit să 
 uplimentară pentru a reu 
perioadă cercetarea s a desfă șurat destul de anevoios. Sunt convinsă, că dacă aceste mici
  


 

Ipoteza cercetări a pornit de la premisa c ă 

  
 eu pot spune că a fost realizat 
       evaluarea finală,elevii au
   a adus modalită
    și le
șit corect. Le place să lucrez  și li se pare mai simplu în ceea ce privește găsirea unei
 
   
 Planul de rezolvare nu putea fi intocmit din această cauză
 Dar după mai multe activită după exerci  șit
să în datorită noilor metode de rezolvare învă 
 ȘTIU/ VREAU SĂ ȘTIU/ și CADRANELE.
Prima metodă amintită îi face să delimiteze clar etapele de rezolvare,  
imitate ale tabelului pe care îl realizează,  ște a doua metodă amintită, li se pare
șor de găsit rezolvarea deoarece pot reprezenta grafic rezolvarea,  i să vadă clar și
 Ș  binevenită. 
 șor de realizat, etapele rezolvării fiind mai bine eviden
Testele de evaluare sumativă m au făcut să imi dau seama cel mai bine că metodele activ –
  
Faptul că și la primul test și la al doilea al evaluării sumative, 
 am solicitat să   
  a întrebat dacă poate rezolva și ea ap
 șite șor,ea făcând parte în acel moment din grupa
 
fost surprinzătoare remarca elevului B.S, 
  ncântat că problemele i se par
 șoare și frumoase,  odele noi învă 


  
 și dacă există o gândire corectă și coerentă.

     și titlu al lucrării mele,    
 MATEMATICĂ LA CLASELE I 
care ei le întâmpină atunci când trebuie să rezolve probleme matematice. Am dorit ca eu să mă
 să studiez mai mult acest aspect și să reușesc să i fac pe cei mici să în ă orice
problemă are neapărat și o rezolvare.   au ajutat să le
demonstrez că a rezolva o problemă poate fi ceva atractiv  șor chiar. 
că prin utilizarea metodelor activ        
aritmetică,am contribuit la optimizarea învă  
 și intelectual al elevilor,  de vârstă și

Pledez pentru ideea conform căreia învă 
   cunoscând particularită 
 ebuie să le atingă pr  –învă să ac
dezvoltarea disponibilită  – 
  și stiluri didactice flexibil 
 învă pentru fiecare formă de
 și pentru profilul psihologic al elevilor.
Prin organizarea unor activită adaptate nevoilor individuale ale fiecărui
 învă 


Rezolvarea și compunerea de probleme stimuleazǎ eforturile intelectuale, dezvoltǎ calitǎțile
 , interesul și receptivitatea elevilor la situații problematice cu conținut matematic.La clasele
 ǎ ca aceastǎ activitate sǎ se facǎ și în situații de joc didactic  
 Competiția generatǎ de joc contribuie la formarea personalitǎții  
festarea unei conduite atitudinale pozitive fațǎ de muncǎ și în același timp la creșterea mobilitǎții
gândirii și a calitǎților sale de bazǎ (rapiditate, operativitate, capacitate de control și autocontrol).

Afirmația cǎ toți elevii pot o bține rezultate bune sau mǎcar satisfǎcǎtoare în însușirea
 ǎ ca adevǎratǎ de cǎtre toți psihologii, pedagogii și matematicienii.
Toți elevii sunt capabili, dacǎ se ține seama de particularitǎțile lor individuale, sǎ și
șeascǎ volumul necesar de cunoștințe și deprinderi matematice pe care sǎ le poatǎ folosi în
raționamente matematice și în rezolvarea problemelor practice impuse de viațǎ.  ǎțǎtorul
 ǎ adopte o atitudine optimistǎ și sǎ nu porneascǎ de la  ǎ cǎ unii dintre elevi sunt
 ǎța matematica. El este cel care va trebui să găsească întotdeauna cele mai
accesibile căi de a i face pe elevi să în matematica este o disciplină interesantă, frumoasă,
palpitantă, e pe lângă toate celelalte discipline cea care îi pregăte ște cum se s 


Bocoș, M., 2003 Cercetarea pedagogică Suporturi teoretice și metodologice , Editura Casa Cărții
de Știință, Cluj –
Bocoș, M., 2008  ului. Elemente conceptuale și metodologice Editura Casa Cărții
de Știință 
Bocoș, M., Catalano, H., Avram, I., Someșan, E. (coord.)  Pedagogia învățământului
preșcolar. Instrumente didactice Editura Presa Universitară Clujeană 
 Metode de învă  și
Chiș, V., 2005 Pedagogia contemporană, pedagogia pentru competențe  Casa Cărții de
Știință
   Dicționarul explicativ al limbii române Ediția a Il a Academia Română,
Institutul de Lingvistică „Iorgu Iordan”, Editura Univers enciclopedic, București
Cucoș, C., 1999,   și
Dăncilă ,E., Dăncilă , I.,2002, Matematică pentru bunul învățător ,  ERCPres , București
 Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor , Editura Didactică și Pedagogică,
București
Joița , E ., 1994 , Didactica aplicată, partea I ,învățământul primar 

  Cum rezolvăm probleme de aritmetică   ști
  , Editura Caba, București
 
 Findings from IEA’s in International Mathematics and
 

Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum,
2003,Matematică –programa școlară, clasele I –a, București
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2004,
Matematică –programa școlară, clasa a III a, București)
Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consil iul Național pentru Curriculum,
Matematică –programa școlară, clasa a IV a, București
Neacșu, I.,1988 Metodica predării matematicii la , Editura Didactică și Pedagogică
 ști

 Metodica predării matematicii în ciclul primar  și,
  Editura Didactică și Pedagogică, București
șterea Editura Didactică și Pedagogică, București
Pârâială ,D., Pârâială, V., 1993, Aritmetică . Probleme tipice rezolvate prin mai multe metode și
 stitutul European , Iași
  Editura Didactică și Pedagogică,
București
  Teorie și practică în evaluarea eficienței învățământului , Editura Didactică și
Pedagogică, București
 șan, E., Năsăudean, I., Orosan, D.,  Ghid metodic în sprijinul învă 
  
  lea , gradul I și studenți , 

    
 
   
         

 





Crăiasa Zăpezii a pornit într o zi prin lume ca să vadă ce se mai întâmplă. A mers ea ce a mers
și a ajuns în împărăția unui împărat care era tare zgârcit și voia să aibă cât mai multe bogății. 
aceea aduna cât mai mulți bani de la supușii lui care o duceau foarte rău. Tare s a mai mirat Crăiasa,

  o împărăție și mai ciudată. Acest împărat cheltuia foarte mulți
bani, iar de treburile împăr ăției și de supușii lui nu se ocupa deloc.


   


 
 
 

  
 

 
 
 



ARICEL a încurcat rezultatele.Ajută
fiecare membru al grupului va rezolva un exercițiu, apoi liderul grupului va nota rezultatele pe fișa

ARICEL a încurcat rezultatele.Ajută l să leșeze corect!





fiecare membru al grupului va rezolva un exercițiu, apoi liderul grupului va nota rezultatele pe fișafiecare membru al grupului va rezolva un exercițiu, apoi liderul grupului va nota rezultatele pe fișa

1. Calculează:

















Definiții:











șă de lucru
Calculează:

 



La suma numerelor scrise sub mere adaugă diferența numerelor scrise sub pere.


Colorează frunzele pe 
  
 

1.Află numărul necunoscut:

 
2.Descăzutul este 47 , iar scăzătorul este 7 . Află diferența.


 și 7 trandafiri.



 
   
   
   
   


ȘĂ DE LUCRU

 
 
 
 
2.Ioana a plantat în grădină 40 de lalele și 7 trandafiri.

3.Află numerele cu 30 mai mari decât : 7 , 9 , 3 , 4 .