Model de subiect tez ă semestrul I , clasa a -IX-a,profil științe ale naturii [619978]

Model de subiect tez ă semestrul I , clasa a -IX-a,profil științe ale naturii
Varianta 1
2p) 1. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația:
[x−17
5 ] = {x+4
3}

1p) 2. Fie a,b ,x,y ∈ R, a – b =√n−√n2−1 , x + y = √n+√n2−1 , n ∈ N*. Să se calculeze
ax – by + ay – bx.

1p) 3. Se dau numerele reale pozitive a,b și fracția : (x2+ x)(x2+x−a+b)−ab
(x2+ x)(x2+x−a−b)+ab
a) Determinați x ∈ R pentru care are sens fracția
b) S implificați fracția

3p) 4. Se consideră triunghiul ABC și punctele M,N,P a.î. AB⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ , CB⃗⃗⃗⃗⃗ = k𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗
Să se determine k ∈ R , a.î. pun ctele M,N,P să fie coliniare

5. Fie 1
7 = 0,(a1a2…..a n).
1p) a) Să se determine cea de -a 27 -a zecimală .
1p) b) Să se determine un multiplu a l lui 7 scris numai cu cifra 1, altul numai cu cifra 2 …
altul numai cu cifra 9
1p) c) Să se arate că există o infinitate de multipli ai lui 7 scriși numai cu cifra 1
– 1 –

Varianta 2

2p) 1. Determinați mulțimile:
a) [-1,4] ∩ (π , √48 )
b) (1 , 7 ) \ (2 ,8 ]
c) [-2,5] ∪ ( 2, 6)
d) ) [-5,2] ∩ Z
1p) 2. Să se demonstreze că ∀x ∈ R avem:
|x-2| +|x -4| +|x -6| ≥ |x|

1p) 3. Să se arate că există o infinitate de numere n ∈ N,pentru care fracția:
2n−3
3n+1 este reductibilă

2p) 4. Determinați coordonatele vectorului w⃗⃗⃗ =3u⃗ +2v⃗ , știind că :
u⃗ = -2i +4j , iar v⃗ = 5i – 3j , unde i și j sunt versorii axelor ox și oy

3p) 5. Se consideră ∆ ABC și punctele M ∈ ( BC) , N∈ (CA), P ∈ (AB) , astfel încât:
MB
MC = 3 , NC
NA = 2, PA
AB = 4
5 . Fie {𝐸} = AM ∩ NP, EP
EN = x și EA
EM = 1
𝑦2.
a) Exprimați vectorul 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ în funcție de 𝐴𝐵,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ și x
b) determinați valorile lui x, respectiv y
Notă . Se alege o singură variantă. Timp de lucru90 minute . Din oficiu s e acordă 1 p
Prof. ION CĂLINESCU, Colegiul Național ”Dinicu Golescu”Câmpulung
– 2 –

Barem de rezolvare și notare varianta 1
Exercițiul 1.
[x−17
5 ] ∈ Z și {x+4
3} ∈ [0,1) ………………………………….0,4p
=> [x−17
5 ] = {x+4
3} =0 ……………………………. 0,4p
x+4
3 este număr întreg, x+4
3 = k ∈ Z , x = 3k – 4 ………………………………… 0,4p
x−17
5 = 3k−21
5 ……………………………………0,1 p
0 ≤3k−21
5 <1 ,21 ≤ 3k < 26, 7 ≤ k < 8,(6) .……………………………………0,3p
k ∈ Z , k1 = 7 și k 2 = 8 …………………………………….0,2p
x1 = 17 , x 2 = 20 ….………………………………. .0,2p
Exercițiul 2.
ax – by + ay – bx = (a -b)(x + y) .……………………………………0,4 p
(a-b)(x + y) = √n−√n2−1 . √n+√n2−1 .……………………………………0,4p
ax – by + ay – bx = √n2−n2+1 = 1 ……………………………………0,2p
Exercițiul 3 .
a) x2 + x = y , numitorul devine : y2 – (a + b ) y +ab =(y – a )(y -b ) ………………………..0.2p
X2 + x –a≠0 , x1,2 ≠−1±√1+4a
2 X2 + x –b ≠ 0 x1,2 ≠−1±√1+4b
2 …………………0,2p
. b) fracția devine y(y−a+b)−ab
y(y−a−b)+ab = y2−y(a−b)−ab
y2−y(a+b)+ab ………………………………….0,2 p
(y−a)(y+b)
(y−a)(y−b) = 𝑦+𝑏
y−b .. ………………………….. 0,2p
finalizare (x2+ x)(x2+x−a+b)−ab
(x2+ x)(x2+x−a−b)+ab = x2+x+𝑏
x2+ x−b …..………………………… 0,2p
– 3-

Problema 4.
AM
MB = 1
2 , …………………………….. 0,2p .
PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2
3𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 1
3 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ………………………………… ..0,5 p
PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2
3𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ + 1−k
3 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .…..……………………….. 0,5p
AN
NC = 2 ……………………………………0,2p
PN⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
3 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ……………………………… 0,5p
PN⃗⃗⃗⃗ = 1
2(2
3𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗ +4
3𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) ……………………………… 0,4p
𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
2 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , => 𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ……………………………………0,5 p
identificând coeficienții , se obț ine 1−k
3 =4
3 , k = -3 ………… ………………………….0,2p
Problema 5.
a) 1
7 = 0,(142857 ) ………….… ……………………….0,4p
lungimea perioadei este 6 ,iar 27 = 6*4 +3 . ….………..………….……………0,3p
a27 = a 3 = 2 .…..………………………………..0,3p
b) 1
7 = 142857
999999 = 15873
111111 ..……………………………… 0,5p
111111 = 7*15873 = M 7 …….………………………………..0,3 p
prin înmulțire cu 2, s au cu 3 … cu 9 se obține restul cerinței ………………………….0,2p
c) 1
7 = 15873[1+106+⋯106(n−1)]
11…1 ,numitorul scris cu 6n cifre de 1 ..……………… 0,4p
11…1⏟
6𝑛 = 7*15873[1+106+⋯106(n−1) ]=M7 ..……… ………………………….0,3 p
pentru fiecare n ∈ N* se obține un multiplu al lu i 7 care are 6n cifre de 1 ………..0,1p
prin înmulțirea acestui multiplu cu 2 sau cu 3 … sau cu 9 se obține cerința …………0,2p
– 4 –

Barem de rezolvare și notare varianta 2.
Exercițiul 1.
a) -1 <𝜋<4<√48 …………………………………………….0,2p
[-1,4] ∩ (π , √48 ) = ( π, 4] ……………………………………………..0,3p
b) 1 <2<7<8 …………………………………………… .0,2p
(1 , 7 ) \ (2 ,8 ] = (1 , 2 ] ……………………………………………..0.3p
. c) -2 <2<5<6 …………… ………………………………..0,2p
[-2,5] ∪ ( 2, 6) = [-2,6) …………………………………………….0,3p
d) Se aleg numerele întregi mai mari sau egale c u -5 și mai mici decât 2 ……………………..0,3p
[-5,2) ∩ Z = {−5,−4,−3,−2,−1 ,0 ,1} …………………………………………….0,2p
Exercițiul 2.
|x| = |x + x – x – 2 – 4 + 6| …………………………………………….0,4p
|x| = | (x -2) +( x – 4) – (x – 6 ) | ………………………………..…………..0,2p
Modulul sumei mai mic sau egal cu suma modulelor
|x| ≤ | x -2| +| x – 4| + |x – 6 | …………………………………………….0,4p
Problema 3.
Fracția este reductibilă dacă (∃) d∈𝑁,𝑑>1,a.î. d |2n – 3 și d|3n+1 ………………………..0,3p
d|2(3n+1) -3(2n – 3) , d|11 , d = 11 ….……………………………………….0,3p
2n-3 = număr impar, 2n -3 = 11(2k+1), n= 11k + 7 , k ∈ N ………………………………………… . 0,3p
pentru fiecare valoare a lui k ∈ N se obține o valoare pentru n,diferite între ele,deci
o infinitate de valori ……………………………………………0,1p

– 5 –

Exerciț iul 4.
𝑤⃗⃗ = 3(-2i +4j ) + 2( 5i – 3j ) =-6i +12j + 10i – 6j ) =4i +6j .…………………………………………0,5p
Coordonatele lui 𝑤⃗⃗ sunt (4,6) ……..………………………………….0,5p

Problema 5.
a) Din exprimarea vectorului care împarte un segment în raportul x se obține:
AE⃗⃗⃗⃗⃗ = AP⃗⃗⃗⃗⃗ + xAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1+x ……………………………… ……… 0,4p
AE⃗⃗⃗⃗⃗ = 4
5AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x1
3AC⃗⃗⃗⃗⃗
1+x …………………………………. 04p
AE⃗⃗⃗⃗⃗ = 4
5(1+x)AB⃗⃗⃗⃗⃗ +x
3(1+x )𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ………………………………… .0,2p
b) EA
AM = 1
1+y2 (proporție derivată) ……………………………………….0,2p
AE⃗⃗⃗⃗⃗ =1
1+y2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ……………………………………….0,2p
AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
4 …………………………………….0,3p
AE⃗⃗⃗⃗⃗ =1
4(1+y2)AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3
4(1+y2)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ …………………………………….0,3p
egalând coeficienț ii din cele două exprimări ale lui AE⃗⃗⃗⃗⃗ se obține sistemul:
{4
5(1+x)=1
4(1+y2)
x
3(1+𝑥 )=3
4(1+y2) …………………………………….. 0,4p
Prin împărțirea ce lor două ecuații ,membru cu membru , se obține:
4
5(1+x). 3(1+x)
x = 1
4(1+y2). 4(1+𝑦2)
3 ………………………………… 0,1p
– 6 –

12
5x = 1
3 , x = 36
5 ………. ……………………… 0,2p
𝑦2 = 25
16 , y = 5
4 ……….. ……………………… 0,3p

Prof. Ion Călinescu , Colegiul Național ”Dinicu Golescu” Câmpulung

– 7 –