Atenționare: Prezentul material a stat la baza elaborării lucrării ”Economia Riscului. Teorie și aplicații ” apărută la Editura Ca rtea Studențească… [619824]

UNIVERSITATEA DIN BU CURE ȘTI, FACULTATEA DE AD MINISTRA ȚIE ȘI AFACERI

Economia Riscului
Suport de curs

Elena Druică

2
Atenționare: Prezentul material a stat la baza elaborării lucrării ”Economia Riscului. Teorie și
aplicații ” apărută la Editura Ca rtea Studențească în anul 2008 , ISBN ISBN 978 -606-501-000-0 și este
supus legii drepturilor de autor.

3

Din partea auto arei

Ori de c âte ori mă aflu în fa ța studen ților mei, gata să le împărtă șesc vreo nouă teorie sau gata să le
pun în fa ță vreo nouă problemă de seminar, mă întreb dacă voi reu și să îi conving că informa ția cu
care tocmai vreau să le agresez creierul le va fi vreodată utilă. Numai cei care nu au predat copiilor
din genera țiile cele mai recente n-ar în țelege dilema mea și ar încerca să se prevaleze fie de for ță (de
exemplu, ”student: [anonimizat]”) fie de apelul la afirma ții normative (de exemplu ” este
frumos din partea student: [anonimizat], cuno șințele acestui a și să îi admită
superioritatea”). Este evident, desigur, că a doua versiune de mai sus nu reprezintă nimic altceva
decât prima versiune deghizată în cuvinte frumoase – și student: [anonimizat], fie că ne place f ie că nu, faptul că student: [anonimizat], în cel mai fericit caz,
insensibil la argumentele exemplificate anterior. Există și varianta în care astfel de motive invocate
de un dascăl stârnesc proteste vehemente și efecte pe termen lung care nu au nimic de-a face cu
bunul mers al procesului didactic.
Poate că unii dintre colegii mei consideră actuala atitudine a student: [anonimizat],
ci și lipsită complet de orice valori care odată erau definite generic ”bun sim ț”. Poate că psihologii ne –
ar avertiza asupra faptului că aceste genera ții de copii se nasc cu un alt tip de inteligen ță, care
evadează din tiparele cu care ne -am obi șnuit. Poate că factorii economici, sociali, politici, schimbarea
de climă sau amenin țarea epuizării apropiate a res urselor planetare să reprezinte explica ții la fel de
bune pentru situa ții care se pot transforma, cu participarea activă a unui profesor ”de modă veche”,
în adevărate focare explozive implicând atitutini studen țești care au la bază o dorin ță inepuizabilă de
a afla ”asta la ce mai trebuie” . De men ționat că această curiozitate se exprimă într -o manieră care
comunică în egală măsură din partea învă țăcelului epuizare emo țională, frustrare și o u șoară
superioritate fa ță de bietul dascăl venit la prima oră facu ltate doar ca să afle că materia lui nu
folose ște la nimic .
Dacă distinsul cititor î și imaginează că un profesor care se pretinde cât de cât pregătit în domeniul
economiei și managementul riscului î și permite să -și argumenteze în vreun fel scuzabil inabi litatea de
a comunica eficient cu invatacelul, porne ște de la o ipoteză gre șită. Odată ce merg la școală cu
aplomb ca să le explic cât de important este să înve țe cum se gestionează riscul de personal, sau că
într-o organiza ție buna comunicare între colegi are rostul ei în prevenirea unor riscuri cu conota ție

4
opera țională, vă rog să îmi sugera ți un mod valabil prin care să le explic și faptul că eu și ei nu ar
trebui să func ționăm pe principii de comunicare eficientă.
Iată de ce am considerat întotdeauna c ă primul curs este foarte important. Acela este un interval de
două ore în care, la fel ca un nefericit participant într -o campanie electorală, va trebui să dau tot ce
am mai bun cu scopul de a -i conving e pe copii că pe lumea asta au mai rămas lucruri care merită
interes, altele decât cele specifice vârstei lor și care în cel mai fericit caz sunt exprimate prin cuvintele
cunoscute ”discotecă”, ”McDonald΄s”, ”pub”, sau altfel prin în șiruiri de litere pe care uneori numai
un informatician de top le -ar putea înțelege. ..
Voi încerca pe tot parcursul acestei căr ți să mă men țin la fel de convingătoare pe cât îmi dau silin ța să
fiu atunci când sunt în clasă cu studen ții mei și voi evita pe cât posibil cramponarea de un limbaj mult
prea specializat care ar putea t rezi angoase cititorului. Am structurat mat erialul astfel încât oricin e
dore ște să îl parcurgă să poată găsi atât elemente teoretice dar și aplica ții practice, menite să
accentueze caracterul didactic al lucrării și de asemenea să ajute persoanele interes ate să utilizeze
efectiv formulele de calcul și metodele prezentate.
Informa ția din fiecare capitol este structurată ca prelegere pentru cursurile și seminariile disciplinei
Economia Riscului care se desfă șoară pe parcursul semestrului 6 din programul de pregătire a
studen ților Facultă ții de Administra ție și Afaceri din Universitatea din Bucure ști. Fiecare sec țiune este
urmată de probleme rezolvate și comentate care pot completa fie informa ția care va fi comunicată la
curs, fie pe cea dezbătută la seminar.
București, 2008

5

CUPRINS

CAPITOLUL 1.
ELEMENTE INTRODUCTIVE, SAU CÂTE CEVA DESPRE RISC ….. 8
1.1. Considerente generale despre risc ………………………….. ….. 8
1.2. Riscul și efectele sale ………………………….. ……………………. 13
1.3. Unde suntem tentați să greșim când studiem
riscul? ………………………….. ………………………….. ………………….. 16
1.4. De la teorie la practică ………………………….. ………………….. 18
1.5. Tip uri de pierdere așteptată ………………………….. ………….. 23
1.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………… 25

CAPITOLUL 2.
IDENTIFICAREA RISCULUI LA NIVEL DE FIRMĂ …………………. 27
2.1. Punerea problemei ………………………….. ………………………. 27
2.2. Câte ceva despre clasificarea riscurilor ……………………….. 28
2.3. Riscul la nivel de afacere ………………………….. ………………. 31
2.4. Riscul de reputație ………………………….. ……………………….. 38
2.4. Riscul și pierderea potențială ………………………….. ………… 41
2.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………… 44

CAPITOLUL 3.
RECAPITULAREA UNOR ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂȚILOR ……… 46
3.1. Probabilitatea și riscul. Câteva elemente de ordin gener al……. 46
3.2. Independență și condiționare ………………………….. ……….. 55

6
3.3. Distribuții speciale de probabilitate ………………………….. .. 58
3.4. Valori numerice pentru o variabilă aleatoare ………………. 64
3.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………… 73

CAPITOLUL 4.
DESPRE EVALUAREA RISCULUI ………………………….. ………… 75
4.1. Cons trucția distribuțiilor de probabilitate utilizate în studiul riscului …. 75
4.2. Nevoia de distribuții teoretice ………………………….. ……….. 84
4.3. Modalități de măsurare a riscului ………………………….. ….. 85
4.4. Măsuri ale riscului pentru situații particulare ………………. 94
4.5. Măsuri alternative ale riscului ………………………….. ……….. 98
4.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………. 100

CAPITOLUL 5.
ATITUDINI FAȚA DE RISC, ÎN SENS FORMAL ȘI INTUITIV. …. 102
5.1. Despre utilitate. Locul și rolul ei în viața agentului economic … 102
5.2. Funcțiile utilitate și preferințele individului. Teoria Utilității Așteptate. ….108
5.3. Alte atitidini față de risc și funcții specifice ………………… 114
5.4. Echivalentul cert și prima de risc ………………………….. ….. 121
5.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………. 123

CAPITOLUL 6.
MĂRIMI OBSERVABILE ȘI NEOBSERVABILE LA NIVEL DE AFACERE ………. 125
4.1. Provocări ale pieței monopoliste în mediu incert ………. 125
4.2. Implicațiile prețului necunoscut asupra alegerii optime a inputurilor ……130
4.3. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………. 139

7
CAPITOLUL 7.
VALOAREA ACTUALIZATĂ ÎN STUDIUL RISCULUI …………… 141
7.1. Despre valoarea actualizată ………………………….. ………… 141
7.2. Problema pensiei viagere ………………………….. ……………. 141
7.3. Alegerea celei mai bune variante ………………………….. …. 150
7.4. Casă, dulce casă… ………………………….. ……………………… 159
7.5. Întrebări recapitulative și teme pentru s eminar …………. 161

CAPITOLUL 8.
MODELE PROBABILISTICE ÎN STUDIUL RISCULUI ……………. 163
8.1. Acoperiea riscului, ca tendință naturală ……………………. 163
8.2. Actuarul – sau cine este în spatele poliței de asigurare .. 165
8.3. Despre modelele actuariale ………………………….. ………… 167
8.4. De la enunț particular la m odel general …………………….. 171
8.5. Despre alte modele probabilistice ………………………….. .. 173
8.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar …………. 179

BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. … 180

8

CAPITOLUL 1.
ELEMENTE INTRODUCTIVE, SAU
CÂTE CEVA DESPRE RISC
1.1. Considerente generale despre risc
1.2. Riscul și efectele sale
1.3. Unde suntem tentați să greșim când studiem riscul?
1.4. De la teorie la practică
1.5. Tipuri de pierdere indirectă
1.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
Obiectivele capitolului
În acest prim capitol am urmărit prezentarea conceptului de risc, a principalelor sale forme de manifestare și a
modului în care existența sa se repercutează asupra persoanelor ame nințate. Am motivat nevoia de studiu al
riscului și am prezentat principalele tipuri de pierderi indirecte.
1.1. Considerente generale despre risc
Trebuie să mărturisesc cu sinceritate faptul că mi -a fost foarte greu să încep să scriu această
secțiune. D in acest motiv am petrecut o mulțime de timp structurând paragrafele anterioare, de
parcă efortul investit în modificarea la nesfârșit a fonturilor unui text de o pagină m -ar fi absolvit de
scrierea primelor rânduri din acest curs.
Am studiat un anumit nu măr de cărți în domeniul economiei și managementului de risc și am
observat că toate încep prin a spune într -un mod uneori constatativ, alteori dramatic, că riscul este
un însoțitor permanent al vieții noastre, că este un motor al vieții economice, că este un motiv de
teamă dar și o formă de provocare. Din toate aceste începuturi se desprindea un avertisment mai
mult sau mai puțin clar exprimat, și anume că oamenii ar trebui să ia lucrurile foarte în serios și asta
chiar din clipa în care citesc materialul în cauză.
Desigur că manifest un respect deplin față de acești autori pe care îmi iau libertatea de a nu -i aminti
deocamdată, la fel cum sunt în acord total cu seriozitatea problematicii studiului riscului. Mi -am

9
imaginat, însă, că merg în prima zi de șco ală în fața studenților mei și le spun, pătrunsă de importanța
momentului, că întregul semestru ne vom ocupa cu studiul unei entități care aduce numai necazuri –
și vă mărturisesc că mi s -a tăiat cheful de a -mi începe lucrarea în spiritul important care se
desprindea din demersul altor autori. Și, bineînțeles, acesta este și motivul pentru care am petrecut
mai multe zile întrebându -mă cum să aranjez în pagină introducerea și nicidecum gândind constructiv
la modul cum voi ieși din impas. Stimate cititor, obs ervă te rog că și acum fac același lucru: trag de
timp.
Oricum aș încerca să evit, va trebui să o spun totuși: riscul este parte din viața noastră. Este ceva cu
care știm că ne -am confruntat încă de pe vremea când speram că mama nu o să ne prindă că am fos t
la ștrand si nu la ora de chimie, sau poate chiar mult mai devreme. Nu are importanță cât de
conștienți am fost de cauzele anumitor evenimente de care ne -am fi lipsit bucuroși dacă am fi știut că
pot să apară, important este că fiecare lucru care a iesit bine avea o șansă să iasă prost și asta din
cele mai diverse motive.
Să nu întrebați niciodată specialiștii care este definiția riscului. O sa intrați într -o polemică veche de
aproape 100 de ani și după ce vă veți fi epuizat energia veti ajunge la conclu zia că n -ați rezolvat
nimic. Haideți să aruncăm o privire asupra cadrului în care nu ar trebui de fapt să vă implicați, să
explicăm și să analizăm contextul, atitudinile și efectele care au făcut ca definiția riscului să fie un fel
de măr al discordiei pri ntre participanții activi la viața științifică din unele perioade ale istoriei.
Încă de pe la începutul secolulu i al XX -lea a apărut în discuțiile oficiale ideea de aleator ca o
componentă a vieții economice. Prin acest cuvânt, unii dintre economiștii vrem ii îndrăzneau să
insinueze că acțiunile agentului economic, deci și rezultatele sale, ar trebui să fie puse sub semnul
întrebării. Nu imi imaginez exact ce anume a dus la punerea cărților pe masă, probabil vreo
succesiune de inițiative economice încheiate jalnic, cert este că ideea de aleator a început să se
contureze în mintea teoreticienilor vremii. Ceea ce cu siguranță că astăzi vi se pare la fel de natural ca
si masa de prânz, anume luarea în calcul a neprevăzutului, venea în totală contradicție cu
ment alitatea vremii: agentul economic era agent economic doar dacă avea decența să se comporte
rațional, asta însemnând nimic altceva decât că trebuia să ia decizii în cunoștință de cauză, iar dacă
nu reușea să facă lucrul acesta putea să părăsească breasla și să se apuce de altceva. A lua decizii
raționale mai însemna, în mintea oamenilor vremii, să fie atât de bine pregătit și de desăvârșit
informat, încât să nu lase loc niciunui fel de surprize să se manifeste în viața lui.
Aparte faptul că mulți dintre noi am considera, la nivel personal, că o astfel de abilitate de control
deplin face viața de -a dreptul plictisitoare, trebuie să admitem faptul că bietul agent economic era

10
supus unui perfecționism generator de frustrări, iar motivul pentru care i se cereau astfel de
comportamente desăvârșite nu avea nici pe departe la bază faptul că oamenii de știință aveau
dreptate, ci faptul că se dorea ca lumea sa se potrivească modelelor lor și nu invers. Haideți să
explicăm.
Atunci când vă întreb cât obțineți la adunar ea lui 2 cu 2, îmi veți răspunde că 4. Sunteți, de
asemenea, siguri că 4 va fi rezultatul acestei adunări și dacă o face vecinul, și dacă o reluați mâine,
deci independent de moment și de cel care efectuează calculul. Evident, am presupus că adunarea
are l oc în mulțimea numerelor reale. Prin urmare, experiența adunării lui 2 cu 2 este una
deterministă pentru că rezultatul este același ori de câte ori efectuăm adunarea și indiferent cine o
face.
Dacă atunci când vă întreb câte puncte veți obține dacă arunca ți un zar îmi răspundeți fără să clipiți
„șase puncte”, o să mă gândesc la una din două: fie că vă place să vă intimidați adversarul, fie că
dacă vom juca vreodată împreună n -o să vă permit să aruncați cu zarurile dumneavoastră, aduse de
acasă și probabil îndelung pregătile pentru acel joc… Pentru oricine, experiența aruncării unui zar are
un procent important de aleator: dacă zarul nu este „aranjat” în niciun fel, nu putem ști rezultatul
aruncării decât după ce experiența a fost efectuată și prin urmar e experiența aruncării unui zar,
printre alte experiențe reale, este o experiență aleatoare.
Acum, va trebui să admitem că oricât de rațional ar fi un agent economic, el nu va putea construi
experiențe deterministe din aleatorul care ne înconjoară. A pre tinde, așadar, cuiva să fie apt de a
anticipa corect de fiecare dată rezultatele acțiunilor lui, sau de multe ori chiar pe ale altora, înseamnă
să dai dovadă fie de nevroză, fie de o candoare demnă de poveștile din copilărie. Nivelul maxim de
rațional într -o situație grevată ne factori nedeterminiști este să poți stabili rezultatele posibile și de
asemenea șansele, sau probabilitățile lor de apariție – așa cum am putea face pentru experiența
aleatoare a aruncării unui zar, apoi să încerci să iei cele mai bu ne măsuri ca să te asiguri că șansele să
se întâmple ce nu îți convine sunt cât mai mici cu putință.
O situație în care omul nostru ar putea stabili toate rezultatele posibile și probabilitățile cu care apar,
se va numi situație riscantă . O situație în car e poate stabili cu obiectivitate doar rezultatele posibile,
dar are dubii că în procesul atribuirii probabilităților se bazează pe argumente solide, o vom denumi
situație incertă . În sfârșit, situația cea mai rea se descrie cu numele de nedeterminare și se referă la
cazurile în care nu se pot atribui nici rezultate, nici probabilități, altfel decât pe baza unor supoziții și
deci cu un grad mare de subiectivism.

11
O să vă întrebați, în acest punct, unde este mobilul polemicii veche de 100 de ani. Păi, în exact ceea
ce am scris mai sus. Mai exact, mulți specialiști petrec o grămadă de timp ca să se contrazică asupra
conceptelor de risc și incertitudine, unii spunând ce am spus noi mai sus, iar alții susținând pe dos, că
riscantă ar trebui să fie acea situație în care putem descrie rezultatele, dar nu putem atribui
probabilități, iar incertă să fie situația în care putem stabili obiectiv și rezultatele, și probabilitățile lor.
Ați zâmbit, nu -i așa? Într -o lume în care riscurile înțeleg să se manifeste nestingheri te, într -o lume în
care efectele lor ajung uneori până la dramatism, este amuzant că unii își petrec timp ca să se
contrazică pe baza conceptelor, și nu pe baza celor mai bune metode de gestionare a amenințărilor.
Și totuși, va trebui să fim corecți și să spunem că oamenii de știință serioși au încetat de multă vreme
să mai ia în seamă genul acesta de conflict. În anii 1920, când polemica asupra semnificației noțiunii
de risc era în floare, toate contradicțiile și toate discuțiile care aveau loc erau destin ate dezvoltării
unui domeniu care ulterior a devenit o zonă de maximă importanță în teoria economică și economico
– financiară. Nicio schimbare importantă nu are loc peste noapte și nu se face fără efort din partea
celor care trebuie să -și reconsidere modu l de -a gândi. Trecerea de la gândirea deterministă la
gândirea care incorpora factorul riscant a suscitat discuții interminabile, dar care au avut meritul că
au presupus implicit acceptarea existenței aleatorului în viața economică: nu poți polemiza pe
definirea unui concep a cărui existență nu ai acceptat -o deja. Prin urmare, când în anul 1942
economistul norvegian Trygve Haavelmo a pus bazele Economiei Probabilistice, comunitatea
științifică a vremii era familiarizată cu nevoia de a lua în considerare nep revăzutul, de această dată ca
factor obiectiv și nu ca dovadă nemijlocită a iraționalității bietului agent ecoonmic.
Polemica asupra definirii riscului și a diferențierii lui față de incertitudine este încă vie, mai ales în
sfera începătorilor în ale studi ului factorului aleator. Dincolo, însă, de toate contradicțiile,
participanții la discuții sunt unanim de acord cu câteva aspecte: că există amenințări; că ele nu ne fac
plăcere; că trebuie gestionate; că există metode de gestionare și, nu în ultimul rând, că aceste
metode pot fi îmbunătățite. Acestea sunt argumente esențiale în favoarea colaborării între oamenii
de știință ai domeniului. Care sunt contradicțiile? De fapt, ele s -ar traduce astfel: pe tine, distinsule
cititor, s -ar putea să te cheme Mircea. Eu, dacă mă uit la tine, îmi spun că ți s -ar potrivi mai bine
numele de Alin. Și Marius, și Alin, sunt etichete și modificarea lor, de -ar fi să se facă de sute de ori, nu
va schimba esențialul: tu exiști și oamenii trebuie să țină cont de tine. Indiferent cum am numi riscul,
el există.
Pentru bunul mers al prezentării materialului care va urma și pentru ca din lecturarea acestui
material cititorul să dobândească o înțelegere logică a fenomenelor, vom admite că riscul este acel
eveniment potențial generator de pagube, cu privire la care putem stabili efectele manifestării lui

12
(adică rezultatele), șansele lor de apariție și impactul, sau severitatea asupra perimetrului afectat.
Vom vedea că atunci când vom discuta despre metodele de gestionare a riscului, ide ea de severitate
va fi un element important de decizie asupra riscurilor care trebuie avute în vedere cu prioritate.
Deja în această etapă probabil că mintea cititorului e plină de exemple în care riscul – așa cum am
văzut că poate fi descris – grevează e xistența zilnică. Probabil că realizați, la o privire mai atentă, că
nimic din ceea ce faceți sau din ceea ce vă înconjoară într -o zi nu poate scăpa acestui dușman
nevăzut. Marea varietate de semnificații ale conceptului de risc este legată tocmai de marea
varietate de situații în care se întâlnește. E timpul să ne întrebăm: de ce Economia Riscului? De unde
această asociere de cuvinte și ce semnificație au ele?
Știința Economică, așa cum este ea acceptată astăzi, este știința care ne învață să alocăm resur se
insuficiente, pentru a satisface cu ajutorul lor nevoi uriașe. În general vorbind, există un număr de
probleme economice, pe care unii economiști le -au structurat ca șapte întrebări1, cărora trebuie să le
răspundem ca să putem spera că vom putea răspund e problemei fundamente a economiei. Iată
câteva din aceste întrebări, pe care cu siguranță le -ați întâlnit la cursul de Economie din anul I de
studiu: Ce trebuie să producă agentul economic? Cum trebuie să producă? Pentru cine trebuie să
producă? Este vreo metodă de producție care să se poată considera „cea mai bună”? Există o
alocare, cea mai bună, a resurselor în perspectiva a ceea ce urmează să fie obiectul producției? Cum
trebuie repartizată producția între indivizi la nivel de societate? Ce putem spune despre stabilitatea
banilor în timp?
Problemele pe care le -am amintit în paragraful anterior nu sunt deloc simple și de aceea vă putreți
imagina câtă comoditate ar fi indus în rândul economiștilor păstrarea modelelor deterministe. Numai
să ne gândim cum a r fi fost să fie cineva capabil să spună: agentul economic cutare va produce trei
seturi de mobilier de birou (răspuns la întrebarea „ce să producă”), pentru familiile X, Y și Z (numitul
agent economic știe pentru cine să producă), aceste trei familii le vor cumpăra cu siguranță marfa, la
prețul p, iar banii încasați îi vor ajunge fabricantului pentru o vacanță petrecută pe litoral peste opt
ani (o poveste despre stabilitatea puterii de cumpărate).
În loc de scenariul lui 2+2=4 pe care l -am schițat mai de vreme, viața reală ar suna cam așa: agentul
economic cutare ar putea produce trei seturi de mobilier de birou (răspuns la întrebarea „oare ce -ar
vrea piața să se producă”), pentru oameni care ar putea fi descriși „ cam așa ” în funcție de venitul lor
și de alte caracteristici relevante ca de pildă dacă au sau nu o cameră pe care să o dorească birou,
(numitul agent economic bănuiește cine ar fi interesat de producția lui), cu puțin noroc acești

1 Economia Riscului ……………………, p.

13
potențiali clienți ar putea cumpăra marfa, la un preț care fabric antului i-ar conveni să fie egal cu
prețul p, iar banii încasați îi vor ajunge … mă rog, o să mai vadă el peste opt ani, după ce își va fi
distrus un număr de neuroni făcându -și griji despre care investiții sunt mai sigure .
Mai trebuie să explic de ce a vem de -a face cu o economie a riscului?
V-am spus mai devreme că, spre deosebire de alte concepte specifice științei economice, riscul a fost
incorporat formal în anul 1942 chiar dacă și înainte de acest moment au fost elaborate pe aceeași
temă lucrări re levante și deosebit de folositoare. Dacă aruncăm o privire în jur, în perimetrul
literaturii referitoare la risc, vom avea o mare surpriză. Aceast perimetru este poate unul dintre cele
mai avansate sub aspectul contribuției științifice și cel pentru studiu l căruia se alocă un volum
impresionant de resurse. Deloc surprinzător, numărul cel mai mare de contribuții, ca și cei mai
importanți specialiști, sunt de întâlnit în domeniul Finanțelor unde dealtfel au fost dezvoltate și cele
mai sofisticate modele de ev aluare a evoluției în timp a prețului pentr u diferite titluri . Sumele uriașe
care pot fi câștigate jucând diferite jocuri financiare fac să existe o motivație puternică de dezvoltare
a literaturii teoretice și aplicate pe acest segment. Pe de altă parte, o cotă deosebit de importantă
din literatura științifică economică a rămas și în acest moment tributară modelelor deterministe pe
care mulți dintre învățători și autori le utilizează aducând ca argument simplitatea și prin urmare
compatibilitatea cu scopuri le didactice.
Ceea ce nu își propune această lucrare este reiterarea literaturii referitoare la riscurile de natură
financiară, decât în măsura în care referirile ocazionale nu vor putea fi de evitat. Această categorie de
riscuri poate fi găsită detaliată în mule cursuri și articole specifice Finanțelor și din acest motiv nu le
vom repeta. Ceea ce vom face totuși, ori de câte ori va fi posibil, va fi să arătăm modul în care
anumite modele, metode și tehnici de studiu al riscului, care de obicei sunt puse în corespondență
directă cu riscurile financiare, pot fi aplicate și pentru studiul riscurilor care grevează viața de zi cu zi
a unui agent economic.
1.2. Riscul și efectele sale
Așa cum a fost descris în secțiune precedentă, riscul ca eveniment potențial g enerator de pagube nu
poate fi o prezență sută la sută plăcută în viața nimănui. Nici chiar acei inivizi născuți să riște, pe care
îi numim înclinați către risc și despre care vom discuta mai în detaliu în Capitolul al treilea, nu fac
intotdeauna casă bună cu absența certitudinii din viața lor.

14
Am discutat deja despre maniera în care descriem riscul și am asigurat în acest fel un limbaj unitar
pentru toți cititorii. La fel ca atunci când întâlniți pe stradă un anumit indicator de circulație pe care îl
înțelegeți automat ca semnificând „trecere pentru pietoni”, și în cazul acesta veți ști ce să înțelegeți
atunci când veți întâlni noțiunea de risc. Etapa următoare în demersul nostru este să înțelegem mai
exact motivele pentru care oamenii alocă timp și energi e pentru studiul lui. Desigur că în această
etapă suntem deja de acord că riscurile sunt evenimente potențial dăunătoare, dar această afirmație
este încă suficient de vagă pentru a putea constitui prin ea însăși o motivație a studiului aprofundat
al riscul ui. Vom lua în discuție exemplul următor prin intermediul căruia ne vom explica unele dintre
elementele legate de motivația studiului riscului.
Un fabricant de automobile, numit X, a lansat pe piață un model nou care, pentru un anumit nivel al
dotărilor, se vinde la prețul de 10.000 euro. În primele luni de la momentul lansării noul model a fost
un succes, iar fabricantul a îndeplinit și chiar a depășit toate targeturile pe care le -a estimat ca fiind
posibile. Un fabricant concurent, foarte puternic, numi t Y, anunță că în foarte scurt timp va lansa la
rândul lui un model nou care va depăși ca performanțe modelul aflat deja în mare vogă, al
fabricantului X. Ne propunem să discutăm acum asupra reacțiilor pe care le pot avea potențialii
clienți ai lui X, la a uzul veștilor împărtășite de Y publicului larg.
Un client care ar fi dorit să achiziționeze mașina de la X ar putea să renunțe, cel puțin deocamdată, la
a lua vreo inițiativă pentru că așteaptă să vadă ce anume va oferi fabricantul Y. Prin urmare, există o
anumită probabilitate ca mașina pe care ar fi ales -o clientul să nu mai fie cumpărată. Din motive
didactice, să presupunem că această probabilitate ca respectivul client să renunțe la a mai cumpăra
mașina este de 15% deci există 15% șanse ca fabricantul X să nu ia niciun ban pe mașina în cauză,
deci menținem o șasnă de 85% ca mașina să fie vândută.
Suma încasată pe mașină ar fi, ca urmare a celor prezentate mai sus, o variabilă aleatoare de forma:
Suma încasată =


85,0p1cu,euro000.1015,0pcu,euro0 .
Odată lansată p rovocarea venită din partea concurenței, fabricantul X nu va mai putea fi sigur de
suma pe care o va încasa pentru o mașină și deci valoarea mașinii va înregistra o anumită
variabilitate .

15
Variabilitatea la care ne -am referit aduce asupra fabricantului și pericolul pierderii: dacă vom calcula
suma pe care se așteaptă acesta să o încaseze pentru o mașină în condițiile date, va trebui să
determinăm valoarea medie, sau așteptată, a variabilei aleatoare „Sumă încasată” ca mai jos:
  850085,0 000.1015,00 incasata SumaM 
euro.
De aici deducem că, față de prețul de 10.000 de euro al mașinii, de data aceasta fabricantul se va
aștepta să obțină doar 8.500 de euro. Diferența de până la 10.000 de euro, adică 1500 de euro, este
pierderea așteptată ca urmare a lansării pe piață a recla mei pentru produsul concurent și deci a
apariției ezitării ( posibilității de necumpărare) la un client altfel decis să achiziționeze mașina în
cauză.
Experiența anterioară mă face să cred că va trebui să aprofundez acest aspect al pierderii așteptate
pent ru că de obicei el este perceput de către studenți ca fiind puțin neprietenos. Atunci când afirm că
în loc de 10.000 de euro, fabricantul X se așteaptă să obțină pentru o mașină doar 8.500, nu spun nici
pe departe că fiecare client vine hotărât să negociez e o scădere de preț. Poate unii o fac, poate chiar
reușesc să o obțină, dar cu siguranță nu acesta este sensul în care a fost utilizată ideea de sumă
medie, sau așteptată.
Ideea este că, odată lansată pe piață reclama pentru produsul concurent, unii dintre cei care înainte
ar fi cumpărat modelul fabricantului X sunt acum în așteptarea noului produs. Ca să folosim cifrele pe
care le -am utilizat, 15% dintre clienții altădată siguri au renunțat să mai cumpere o mașină de la X.
Încasările fabricantului scad, aș adar, cu 15% pentru că din întreg stocul de mașini de care dispune,
fabricantul va vinde cu 15% mai puțin. Din acest motiv, dacă vom estima o încasare medie pentru
mașinile din stoc, aceasta nu va mai fi de 10.000 euro cât a fost inițial, ci cu 15% mai puț in – adică
8.500 euro. Asta poate să însemne foarte bine că mașinile se vând tot cu 10.000 euro bucata, dar că
nu se mai vând toate, ceea ce în mod clar generează o pierdere pentru fabricant.
Un alt aspect pe care trebuie să îl semnalăm în legătură cu prob lema acelor încasări medii de 8500
euro per mașină este legat de faptul că, din păcate, din acești bani mai pot să se scadă și alte sume.
Dată fiind scăderea interesului unei anumite părți din piață pentru mașina în cauză, potențialul
compărător va lua în calcul faptul că la rândul său va avea dificultăți să o revândă. El se poate gândi
că, așa cum el a ezitat să cumpere și aceast ezitare a creat variabilitate în valoarea de piață a mașinii
și implicit scăderea prețului, la fel și cei care vor fi interesați să cumpere mașina second hand vor
genera o scădere a prețului ei la momentul respectiv. Incertitudinea asupra valorii viitoare a mașinii

16
atrage după sine încă o scădere a prețului mașinii noi, sub cuantumul de 8500 de euro care deja
însemnau pentru fabric ant o pierdere.
În concluzie, exemplul pe care l -am prezentat a arătat cum un factor perturbator din viața
fabricantului X, adică fabricantul Y, a fost cauza unui eveniment potențial generator de pagube, adică
a anunțat lansarea pe piață a unui produs mai bun decât cel al lui X, făcând ca prețul produsului X să
fie sub semnul riscului. Așadar, am pus în evidență două aspecte ale factorului riscant și anume: o
pierdere așteptată și o variabilitate care poate accentua nivelul pierderii lui X. Referindu -ne la
exemplul nostru, pierderea așteptată a fabricantului X este de 1500 de euro față de prețul la care
clientul ar fi cumpărat inițial, dar această sumă poate fi mai mare (e drept, și mai mică) dacă
respectivul client ia în calcul posibilele fluctuații în tim p ale valorii mașinii pe care dorește să o
cumpere.
Ambele abordări ale riscului, atât în sens de pierdere așteptată cât și în sens de variabilitate și efecte
ale sale, au căpătat în exemplul nostru efecte monetare. Se conturează, prin urmare, ideea care s tă la
baza motivației oricărui manager de risc și anume că riscul costă . De cele mai multe ori atunci când
planificăm o inițiativă încercăm să stabilim și nivelul așteptărilor noastre în raport cu inițiativa
respectivă. Orice abatere de la aceste așteptări care evoluează advers intereselor noastre este o
formă de manifestare a riscului. Ce înseamnă mai riguros valoare așteptată și care este interpretarea
ei vom discuta mai pe larg în partea destinată aplicațiilor și de asemenea în secțiunea următoare,
desti nată recapitulării elementelor de teoria probabilităților necesare înțelegerii Economiei Riscului.
Vom m ai spune că, pe baza celor prezentate mai sus, atunci când evaluăm două situații aflate sub
semnul aleatorului, spunem că una este mai riscantă decât ce alaltă dacă are o pierdere așteptată mai
mare și de asemenea o variabilitate mai mare în jurul acestei valori așteptate.
Până în acest moment am răspuns la două întrebări: de este riscul? Și, de ce îl studiem? Ca o
continuare firească a prezentării noastre trebuie spus că odată familiarizat cu amenințările cu care se
confruntă, omul încearcă metode pentru a le gestiona. Metodele de gestionare a riscului s -au născut
din nevoia de a reface nivelul optim de certitudine cu care omul poate evolua în viața de zi cu zi în
cadru de normalitate. Ce înseamnă „normalitatea” este greu de stabilit pentru că descrierea acestei
stări sau a parametrilor săi ar presupune o doză semnificativă de subiectiv, dar enumerarea
manifestărilor care fac îngrijorătoare evoluția maneger ului în mediu incert o vom prezenta în
rândurile următoare.
1.3. Unde suntem tentați să greșim când studiem riscul?

17
Institute de Management al Riscului2 de pe tot mapamondul au constatat, ca urmare a studiilor
efectuate, că odată ce oamenii au de implement at un management în condiții de incertitudine se
manifestă o serie de bariere psihologice îngrijorătoare. Amploarea studiilor acestor instituții
specializate în probleme de risc dovedește că necazurile care pot să apară nu sunt nici pe departe
subiective ș i deloc de neglijat. Dacă o persoană alege să se comporte conform prejudecăților,
educației, obișnuințelor și valorilor proprii, aceasta este până la un punct problema ei. Dacă, însă,
acea persoană este un actor economic cu putere de decizie, de care depin d alte persoane, binele și
bunăstarea lor, lucrurile se complică. Responsabilitățile nu mai vizează un segment personal și
acțiunile trebuie să capete o altă profunzime. Iată câteva concluzii la care au ajuns specialiștii și care
ne pot convinge de necesit atea abordării riscului pe baze științifice.
Primul semnal de alarmă trebuie să vină din sfera rutinelor noastre. Obișnuința cu anumite tipare
comportamentale și de gândire, dobândite prin diferite forme de educație, ne fac să fim tentați să
privim doar la ceea ce ne este familiar, văzând doar ceea ce am fost învățați (condiționați – am spune)
să vedem.
În momentul confruntării cu incertitudinea, tindem să subestimăm riscul de a repeta aceleași acțiuni
ca și până atunci și să supraevaluăm riscul de a ne în drepta într -o direcție nouă. Obișnuința,
comoditatea, lipsa de informare și lipsa dorinței de a ne informa, incapacitatea de înțelegere a unor
alte conjuncturi economice, teama de ceea ce nu cunoaștem sunt adversari redu tabili ai adaptării la
noi sisteme de valori, la noi practici și la noi abordări. Urmarea firească a reticențelor menționate are
ca rezultat faptul că obișnuim să ne focalizăm planificarea pe ceea ce cunoaștem și pe oportunitățile
curente, evitând să aflăm ceea ce nu cunoaștem și să determinăm astfel acțiunile corecte viitoare.
Dintru început, mintea noastră pare a fi programată astfel încât să aibă anumite comportamente
deloc fericite. Tindem să construim tablouri incomplete, obscure, colorate cu credințe fundamentate
subiectiv. Inevitabil, un astfel de cadru este propice analizelor vulnerabile, atât din punct de vedere al
datelor pe care se construiesc, cât și din punct de vedere al inexactității concluziilor. Mai avem
obiceiul să supradimensionăm acele i nformații la care avem acces, considerându -le deosebit de
importante și adesea avem impresia că sunt și suficiente pentru a lua decizii și a construi concluzii
funcționale. Mulți dintre noi suferim de o supra -încrede asupra viitorului. Și cum ar putea fi a ltfel
dacă tabloul obscur din mintea noastră nu ne lasă a lua în calcul toate posibilitățile de perspectivă? Și
mai păcătuim considerând de cele mai multe ori că suntem pregătiți pentru a face față situației

2 Căteva exemple: The Institute of Risk Management, London: www.theirm.org ; The Public Entity Risk
Institute, Nevada: www.riskinstitute.org : International Risk Management institute, Dallas: www.irmi.com

18
atunci când nu avem nici pe departe armele neces are. Specialiștii găsesc că o altă tară a
comportamentelor noastre economice și nu numai, rezidă în incapacitatea de a ne focaliza atenția
asupra lucrurilor esențiale care trebuie urmărite în caracterizarea unei situații în care trebuie luată o
decizie. Su ferim de o mare sensibilitate când este vorba de lucruri de formă și nu de conținut, la fel
cum ne cufundăm cu ușurință în probleme contextuale și pierdem imaginea de ansamblu.
În ceea ce privește tentativa noastră de a măsura riscul, pierdem din vedere c ă abaterile sistematice
sunt dezastruoase pentru rezultat. Mai grav este că avem propriile reprezentări și propriile
presupuneri despre risc, pe care încercăm doar să le verificăm în cadrul măsurătorilor și nu să căutăm
rezultate reale. Și, ca și când toat e acestea nu ar fi de ajuns, studiile arată că obișnuim să subestimăm
corelațiile care apar între diferite valori referitoare la mărimea riscurilor la care este supusă
obținerea unui anumit rezultat. Specialiștii mai spun că avem aversiune față de pierdere , față de risc
și față de ambiguitate și, în mod ciudat, studiile atestă că aceste mărimi nu sunt corelate, cum s -ar
putea crede la prima vedere.
Cu atâtea defecte, agentului economic nu -i mai rămâne decât să ia în serios problema
managementului în mediu i ncert, să găsească un antidot al „stărilor minții” prin constituirea unui
scenariu corect de planificare, să ia în calcul multiplele direcții pe care le poate urma în deciziile sale
și să poată estima cât mai exact consecințele fiecărei alegeri.
1.4. De la teorie la practică
A vorbi despre risc a fost și rămâne o provocare. Polemicile în care au fost angrenați diferiți specialiști
de-a lungul timpului au generat puncte de vedere, idei, construcții și raționamente inedite care au
pus bazele unor colaborări f ructuoase între cele mai diferite zone ale științei. Au apărut teorii,
concepte, instrumente, metode și modele menite prin naștere să facă trecerea – atât de necesară –
de la abstract la concret.
Cu toate acestea, ne pare rău să spunem că toată această cr eație se dovedește de multe ori prea
puțin accesibilă întreprinzătorului de rând. Nu, nu vorbim aici despre instituții financiare, despre
companii puternice care au forța să se integreze condițiilor în continuă modificare și uneori sunt
capabile să creeze aceste condiții. Ne referim la mulți dintre întreprinzătorii de talie redusă, care își
desfășoară activitatea de azi pe mâine și care n -ar da doi bani pe concepte ca funcție utilitate,
inferență Bayesiană, coeficient de variație și alte asemenea. Majoritat ea dintre ei este aversă nu față
de risc, ci față de coloanele de cifre care ar trebui prelucrate în scopul nobil al obținerii frecvențelor
relative.

19
A spune că un întreprinzător trebuie să își cunoască funcția cost poate deveni ceva distractiv, iar
sfatu l pentru utilizarea indicelui Lerner pentru a stabili dacă merită sau nu modificarea în prețul
produsului, este la fel de inept ca și recomandarea către un călugăr ortodox de a folosi practici
hinduse. Nu vrem să fim nedrepți, există o literatură vastă men ită să ajute întreprinzătorul să afle
despre cum ar trebui să se comporte în mediu incert sau riscant. Avem dubii mari, totuși, că agenții
noștri economici ar invada periodic librăriile sau site -urile specializate, în căutare de informații.
Absența intere sului se poate înțelege, dacă privim cu atenție la decalajul dintre limbajul agreat de
întreprinzător și cel folosit în multe din sursele potențiale de documentare. Există, îndrăznim să
spunem, o lipsă de cooperare perceptibilă pe mai multe niveluri. Să lu ăm de exemplu: reputatul Paul
Wilmott3, imens de talentat și autor al câtorva cărți și al multor articole de finanțe, a trimis spre
editare o „Biblie” a ingineriei financiare publicată, recunoscută și adulată. O carte de excepție pe care
am avut curiozitat ea să o deschidem în speranța că vom înțelege pe larg misterele teoriei și practicii
pe piața financiară. Pe mai mult de jumătate din pagini ființează modele ucigătoare chiar pentru un
matematician de formație, funcții de variabile stohastice, ecuații cu d erivate parțiale și alte minunății
indispensabile pentru descrierea fenomenelor care se petrec zilnic într -o bursă. Lucrarea este de
excepție și, credem noi, în vreo doi ani de muncă susținută vom putea pricepe cam tot ce scrie în cele
aproape opt sute de pagini, inclusiv micile programe informatice scrise într -un limbaj care pentru
moment ne este oarecum străin.
Răsfoind volumul, ne -am amintit de o tânără angajată a unei universități din București care, în
dorința firească de a -și finaliza teza de doctora t orientată spre piața derivatelor financiare, a reușit să
intre în legătură cu un specialist recunoscut al Bursei de Valori București. La întrebarea ei: „Cum
aplicați practic Indicele Treynor?”, răspunsul specialistului a fost: „Indicele care? N -am întâln it așa
ceva…” Probabil colega noastră încă se mai întrebă dacă modelul pe care l -a gândit luni de zile, pe
baza indicelui ingrat, are alt rost decât acela de a rămâne pe hârtie…
Trebuie să fim corecți și să spunem că am întâlnit și directori de firme care păstrează pe birou, ca
sursă permanentă de documentare, cărți de referință în domeniul economic. La fel de corect este și
faptul că mulți dintre conducătorii unor afaceri apelează în mod serios la specialiști pentru a -și
asigura o bună desfășurare a activi tății. Dar, privit în ansamblu, totalul celor interesați de afaceri pe
baze științifice este încă prea mic, iar apetitul pentru informație și informare se limitează la
continuarea unor practici intrate în rutină.

3 Wilmott P., Derivative. Inginerie financiară. Teorie și practică, Ed. Economică, București, 2002

20
Într-un sistem complex, ca acela numit „eco nomie”, amenințările pot să apară la orice nivel și pot fi
oricât de variate. Cu fiecare victorie asupra unei noi tehnologii, cu fiecare informație, numărul și
mărimea amenințărilor cresc. În felul lui, fiecare agent economic caută soluții și metode de acț iune
pentru a se asigura că activitatea pe care o desfășoară este cât mai puțin riscantă. În mod normal și
logic, primul pas ar trebui să fie procesul de identificare a riscurilor, atât a celor care pot surveni din
desfășurarea activității proprii, cât și din acțiunile externilor, pentru că „a gestiona” presupune un
obiect al gestionării – care ar trebui să fie cunoscut. Așa cum, vom mai spune și în alte situații, este
de presupus că întreprinzătorul își cunoaște afacerea și mediul în care o desfășoară, în cât această
identificare să o poată realiza – singur sau ajutat de specialiști externi. Fără a insinua că este o
tentativă comodă, identificarea riscurilor pare a fi, totuși, pasul cel mai simplu în lupta firmei cu
neprevăzutul : chiar dacă există o seri e de evenimente unice, impredictibile, în marea lor majoritate
riscurile se pot identifica înainte de producerea lor.
Problemele se complică în etapa imediat următoare, aceea a evaluării șanselor de apariție și a
consecințelor posibile. A spune că un risc are 2% șanse de producere nu e deloc totuna cu a afirma că
probabilitatea este de 40%. În primul caz, unii întreprinzători pot să nu ia în calcul posibilitatea
producerii, fiind de părere că orice eveniment cu șanse de manifestare mai mici de 7% este prob abil ,
dar nu posibil. Dar dacă acest fenomen are o probabilitate mult subevaluată, atunci posibilitatea
apariției lui este exclusă de întreprinzător, deși ar trebui, dimpotrivă, tratată cu maximă seriozitate.
Desigur că, din punct de vedere al teoriei pro nbabilităților în unele aspecte ale sale pe care nu o să le
aprofundăm aici, se poate alege ca punct de plecare în stabilirea probabilității de apariție a
evenimentului, orice valoare procentuală. Observațiile efectuate pe parcurs și ajustările care se pot
face ulterior pe baza acestor observații, vor conduce într -un final la valoarea corectă a șansei de
producere – adică la probabilitatea obiectivă.
Din păcate, de foarte multe ori apar probleme legate de evoluția în timp a fenomenelor. Fie că
întreprinzăt orul nu -și poate permite să aștepte suficient de mult pentru a deține toate informațiile
necesare, fie că aceste informații sunt incomplete oricât de mult s -ar aștepta, fie că unele
evenimente nu au obiceiul să se producă atât de des și de explicit cât să ofere observatorului destule
date, cert este că firma are nevoie de probabilități obiective „aici și acum”, nu într -o perspectivă care
să aducă după sine fie producerea de pagube, fie modificare a contextului de o așa manieră încât
puține din informațiile deja existente să mai fie valabile.
Problema evaluării corecte și în timp real a probabilității de apariție a riscurilor și a intensității lor
este destul de complicată prin urmare și multă lume recomandă apelul către specialiști. Doar că
aceștia au nevoi e de date concrete pe baza cărora să poată deduce atât natura particulară a riscului,

21
cât și gradul de predictibilitate a manifestării lui… Deloc de neglijat în problema evaluării riscului este
faptul că nu de puține ori specialiști, analizând un fenomen p erceput ca aleatoriu, au opinii diferite.
Pe baza studiilor proprii, unul dintre ei poate afirma că nu există „motive de îngrijorare” – înțelegând
prin asta fie că probabilitatea de producere a riscului este foarte mică, fie că rezultatele eventualei
produ ceri nu sunt evaluate ca grave. Celălalt expert, studiind același risc, poate afirma că –
dimpotrivă – problema ar trebui să stârnească preocupare. Rezultatele acestui tip de divergență de
opinie le putem observa cu prisosință în jurul nostru și nu sunt de loc îmbucurătoare pentru
încrederea pe care și -o formează publicul larg în problema educației economice. De obicei există trei
tipuri de reacție a publicului în fața acestor contradicții între specialiști și anume:
Un agent prea puțin familiarizat cu probl emele care fac obiectul polemicilor, persoană numită uneori
„profan”, va decide că nu se poate baza pe judecata nici unuia dintre specialiști și că el singur poate
găsi cel mai bun răspuns la problemele respective. Prin urmare, va acționa conform propriilo r puncte
de vedere și care vor fi rezultatele – se va vedea în timp.
Un alt agent economic, dintr -o a doua categorie de reacție, poate alege să se ralieze opiniilor acelui
expert care îi susține punctele de vedere proprii asupra problemelor discutate. În a cest fel, individul
rămâne în continuare prizonierul propriului nivel de cunoștințe și respinge a -priori orice argument
valabil pe care celălalt specialist îl poate aduce.
În fine, în a treia categorie întâlnim agenții economici care ascultă mai multe păre ri în domeniu, așa
încât înainte de a -și forma o opinie asupra fenomenului să fi acumulat deja suficientă informație și
să-și fi format o viziune cât mai largă asupra fenomenului.
Deși încadrarea în această a treia categorie este și primul pas spre succes , trebuie să recunoaștem că
în jurul nostru există oameni care manifestă o adevărată lehamite când e vorba de a se consulta cu
experți în diferite domenii și motivul nu este legat doar de divergențele care apar între specialiști.
Evaluarea tradițională as upra riscului ne -a obișnuit să ne focalizăm atenția asupra potențialelor
pierderi, exprimate monetar. Această abordare este și logică, ținând cont că marea majoritate a
agenților economici au ca scop obținerea de profit, dar și necesară având în vedere că riscul pentru a
fi risc are nevoie de cuantificare și studiul pierderilor potențiale permite obținerea de rezultate bune
în această direcție.
Există, însă, și o altă abordare, denumită studiul percepției, care ia în calcul factorii psihologici și
emoționa li. Așa cum s -a observat, aceștia au un impact puternic asupra comportamentului economic

22
– lucru pus în evidență de o serie de studii care au debutat în 1970 prin intermediul lui Paul Slovic,
Baruch Fischhoff și a altor psihologi și care au urmărit măsurar ea reacțiilor „profanilor” la diferite
tipuri de risc. Studiile arată că acel aleatoriu relativ la care subiecții dețin puține informații și de care
se tem foarte mult, este perceput ca fiind cel mai mare risc. Pentru anumite tehnologii, ca de
exemplu cea legată de energia nucleară, opiniile specialiștilor diferă substanțial de opiniile oamenilor
de rând, în ceea ce privește riscul implicat de acestea. Concluzia generală a acestor studii arată că
„profanii” și specialiștii percep aceleași riscuri în maniere uneori complet diferite. Faptul în sine nu
este deranjant, fiecare persoană fiind – de obicei – liberă să gândească ce vrea. Problemele apar în
contextul în care o persoană insuficient informată este pusă în postura de a lua decizii într -un mediu
pe care îl percepe ca fiind foarte riscant. Am pus deja în evidență barierele care apar în astfel de
situații și este limpede că perceperea unui risc ca fiind uriaș și cu efecte dezastruoase nu va ajuta un
întreprinzător să ia decizii corecte.
Pentru o lungă perio adă de timp, comunitatea științifică a ales să ignore percepția publicului asupra
riscurilor în măsura în care estimările făcute conduceau la concluzii obiective – deși uneori greu de
priceput pentru nespecialiști. Din acest motiv, oamenii au devenit nu fo arte încrezători în experți și în
prognozele acestora, cu atât mai mult cu cât mediatizarea rezultatelor nu era făcută întotdeauna
într-un limbaj clar, ci într -o manieră mai degrabă greoaie. Dacă unii dintre cititori ar argumenta că în
multe state cu econo mie dezvoltată agenții economici sunt suficient de educați în acest moment, cât
să poată urmări și înțelege limbajul specialiștilor și cât să fie încrezători în colaborarea cu ei, îi vom
ruga cu toată modestia să nu recurgă la generalizare și să fie de aco rd cu faptul că în România, în
acest moment, lucrurile nu stau deloc așa. Este evident faptul că slaba informare a publicului cu
privire la unele riscuri și lipsa de încredere pe care oamenii o manifestă pentru experți au ca efect
evitarea de cât mai mulți dintre „profani” a acelor acțiuni pe care ei le percep ca fiind foarte riscante.
Un exemplu ar fi teama populației de riscurile pe care le sesizează în raport cu sistemul bancar și de
asigurări, care are ca rezultat tendința de economisire „la saltea”, fă când astfel aproape imposibil de
evaluat mărimea masei monetare din România. Există, se pare, un stigmat social asociat unor
tehnologii, locuri și produse pe care publicul le percepe ca aflate sub semnul hazardului, deși în cele
mai multe cazuri evidențele științifice n -ar sugera motive de îngrijorare. Este nevoie, cu siguranță, de
mediatizarea corespunzătoare a informațiilor și de includerea în procesul de analiză a riscului
factorilor psihologici și emoționali. Din studii reiese faptul că oamenii obișnuiț i au dificultăți în
procesarea informațiilor primite de la experți relativ la evenimentele grevate de risc și lucrul acesta
face necesară stabilirea unui limbaj comun între cele două părți, astfel încât comunicarea datelor să
fie făcută într -o manieră efic ientă.

23
Puternica dezvoltare a activității economice, noutățile care apar în fiecare zi, diversificând atât riscurile cât și
formele lor de manifestare, fac necesară generalizarea studiilor pe baze științifice. Într -o lume caracterizată
prin stabilitate, în tr-o economie bazată pe raritatea bunurilor fizice, răspunsul corect împotriva riscului a
fost, mult timp, cumpărarea poliței de asigurare. Cele mai multe pericole erau asigurabile și transferul de risc
– realizat cu costuri convenabile – asigura bunul mer s al afacerilor. În ultimele două decenii ale secolului 20,
asistăm la o economie în schimbare, la crearea unei economii „non -fizice”, în care complexitatea este într -o
continuă creștere. Șansa întreprinzătorului depinde, pe zi ce trece mai mult, de existe nța la nivelul de firmă a
preocupării constante pentru analiza și gestionarea riscului.
1.5. Tipuri de pierdere indirectă
Deși foarte puțin academică, nu pot să nu construiesc această secțiune sub semnul binecunoscutei
mirări românești: „Unde dai, și unde crapă”… Așa cum o să vedem mai departe, o mare parte din
motivația creării și întreținerii domeniului managementului de risc a fost motivată tocmai de această
întrebare pentru că doar rareori daunele pe care le poate înregistra cineva se rezumă doar la ceea ce
s-a înregistrat în mod direct.
Să ne referim la exemplul fabricantului X, pentru care dauna maximă pe care o poate înregistra la
nevânzarea unei mașini este de 10.000 euro, adică prețul mașinii din momentul de glorie al
modelului comercializat. Ace asta este, însă, o daună directă care areage după sine și o serie de daune
indirecte dintre cele mai diverse și cu grad diferit de periculozitate. Dacă mașinile nu se vând, banii
care nu se încasează afectează cu siguranță un circuit mai vast în care poate intra periclitarea relației
cu furnizorii de materii prime și materiale, pe care fabricantul îi va plăti cu greutate sau nu îi va putea
plăti, sau periclitarea relației cu angajații care se vor trezi cu salariile neplătite sau chiar
disponibilizați. Dezvo ltarea unui nou model, care să -i asigure fabricantului X revenirea pe piață într -o
poziție favorabilă, va fi de asemenea pusă sub semnul întrebării pentru că lipsa fondurilor suficiente
va face ca anumite cheltuieli cu dezvoltarea produsului sau lansarea u nui produs nou să nu poată fi
susținute. Sigur că un astfel de scenariu apocaliptic nu -l va amenința pe fabricantul X dacă nu se
vinde o mașină, dar dacă stocul rămas nevândut este prea mare atunci evident că problemele devin
mult mai serioase.
Exemplul an terior demonstrează că în plus față de pierderile directe, care apar nemijlocit ca urmare a
manifestării riscurilor, există și pierderi indirecte care de multe ori pot fi mult mai severe și cu efecte
mult mai dure decât pierderile directe. Unul dintre moti vele pentru care pierderile indirecte sunt un
adversar redutabil pentru un manager de risc este faptul că ele sunt uneori greu de intuit și ca atare
greu de luat în calcul în procesul de estionare a riscului.

24
La fel ca și în alte situații care presupun cl asificări, și în cazul clasificării tipurilor de pierderi indirecte
se întâmplă ca diferiți autori să aibă opinii diferite și prin urmare să elaboreze categorii diferite.
Lucrul acesta nu înseamnă nici pe departe că acești diferiți autori trebuie să fie în conflict unii cu alții,
ci doar că ordonează informația într -un mod care lor personal li se pare mai potrivit. De aceea, dacă
veți consulta diferite cărți de specialitate, este posibil ca anumite abordări să vă placă mai mult decât
altele pentru că se pot rivesc mai mult structurii pe care o aveți, dar fără ca această preferință să
însemne că acele materiale pe care nu le -ați agreat nu sunt valoroase.
Aș mai adăuga faptul că în literatura destinată studiului riscului există atât de multe clasificări încât aș
considera exagerat să caut să contorsionez realitatea doar ca să vă pot prezenta acum ceva ce am
pretenția că este creația mea. În loc de asta, prefer să discutăm asupra unei clasificări logice și
simple, pe care o puteți găsi în lucrarea lui Scott E. H arrington și Gregory R. Niehaus4. Autorii ne
vorbesc despre patru tipuri de pierderi indirecte și anume: pierderi în profit, cheltuielile de
extraoperare, costuri mai mari pentru atragerea de finanțări și alte tipuri de fonduri și costuri de
faliment. Fiec are dintre aceste tipuri de pierderi indirecte pot fi urmarea unor pierderi directe de un
anume tip, așa cum vom vedea din exemplele următoare.
Exemplu de pierdere în profit : Un scurt circuit substanțial în relația cu furnizorii de materii prime și
materi ale poate genera întreruperi ale procesului de producție și implicit o pierdere în profit, care nu
ar fi apărut în absența problemei cu furnizorii.
Exemplu de cheltuieli de extraoperare : Dacă o fabrică a fost afectată de un incendiu astfel încât un
mare n umăr de mașini și echipamente a fost distrus, se poate întâmpla ca o comandă importantă,
care trebuie livrată la termen, să necesite închirierea altor utilaje pe toată durata restabilirii
avctivelor fizice proprii. Chiar dacă o societate de asigurări ar pu tea plăti despăgubiri pentru activele
fizice distruse, în cazul în care există contract în acest sens, cheltuielile pentru cele închiriate sunt
suportate de către fabrică sub forma unor pierderi care au survenit indirect ca urmare a pierderilor
directe.
Exemplu de costuri mai mari de atragere a capitalului: Orice afacere care dovedește că a făcut față
de curând unui șoc financiar va plăti o dobândă mai mare pentru atragerea unui credit bancar.
Desigur, prin perceperea unei dobânzi majorate banca urmărește s ă acopere riscul de nerambursare
a sumei împrumutate, pentru că o dobândă mai mare va face ca perioada de timp în care această
sumă revine la împrumutător scade. De asemenea, dacă o astfel de afacere dorește să obțină capital

4 Scott E. Harrington, Grego ry R. Niehaus, Risk Management and Insurance, 2 – nd ed, McGraw – Hill
/ Irwin Series in Finance, insurance and real estate, p. 3.

25
prin eliberarea de acțiuni, cu mpărătorii vor plăti mai puțin, sau deloc pentru un titlu atunci când știu
că afacerea nu este stabilă din punct de vedere financiar.
Exemplu de cheltuieli de faliment: Este evident că atunci când afacerea a făcut față unor pierderi
suficient de dure, iar redresarea ei este sub semnul întrebării, pot începe procedurile specifice
declarării falimentului care presupun și ele o serie de cheltuieli.
Așadar, pierderile indirecte se dovedesc a fi pe cât de importante pe atât de diverse și anticiparea lor
este în egală măsură o inițiativă care presupune din partea managerului de risc intuiție și bună
pregătire teoretică. Cu toate că această lucrare nu este un curs de management al riscului, capitolul
următor va aduce în discuție etapa de identificare amenințărilo r la care poate fi supusă o afacere.
Motivul pentru care am hotărât să introducem acest capitol în cursul de Economia Riscului este legat
de faptul că nu putem încerca să înțelegem , sau să modelăm , amenințări pe care nu le -am identificat.
1.6. Întrebări r ecapitulative și teme pentru seminar
1. Care este semnificația noțiunii de „aleator”? Dați exemplu de o situație concretă pe care o
considerați aleatoare și explicați motivele acestei încadrări.
2. Care este diferența dintre o experiență deterministă și una prob abilistă? Exemplificați și
explicați.
3. Explicați diferența dintre o situație riscantă și una incertă. Exemplificați și justificați alegerea
exemplelor.
4. Cum descrieți riscul? Dați 5 exemple de 5 evenimente riscante despre care știți că fac
obiectul unui cont ract de asigurare și de alte 5 evenimente potențial dăunătoare pentru care
societățile de asigurări nu sunt dispuse să preia riscul.
5. Explicați de ce riscul nu poate fi privit separat de știința economică. Dați 5 exemple de
evenimente potențial dăunătoare c are se pot constitui în riscuri asupra unor segmente din
activitatea economică.
6. Explicați cele două componente care caracterizează evenimentul riscant: pierderea aștaptată
și variabilitatea. Dați exemplu o situație concretă din viața voastră în care v -ați confruntat cu
aceste două componente și explicați modul în care ați fost afectați de prezența lor.
7. Care sunt principalele slăbiciuni de comportament pe care le întâlnim la o persoană care
trebuie să ia decizii în mediu incert sau riscant? Explicați cum se manifestă fiecare dintre
aceste componente și descrieți efectele pe care le -ar putea avea asupra deciziei finale.

26
8. Cum este afectat consumatorul de informații de utilizarea unui limbaj prea specializat în care
îi sunt aduse la cunoștință anumite eveniment e? Decrieți și explicați principalele tipuri de
reacție.
9. Explicați importanța pe care o are evaluarea corectă a probabilității de producere a unui risc
și descrieți principalele dificultăți cu care se confruntă specialiștii în realizarea acestui
demers.
10. Explicați ce este pierderea indirectă și de ce este ea importantă pentru un studiu de risc.
Expemplificați diferitele tipuri de pierdere indirectă la care poate fi supus un fabricant care se
confruntă cu o inundație severă a depozitului cu materii prime și m ateriale.

27

CAPITOLUL 2.
IDENTIFICAREA RISCULUI LA NIVEL DE FIRMĂ
2.1. Punerea problemei
2.2. Câte ceva despre clasificarea riscurilor
2.3. Riscul la nivel de afacere
2.4. Riscul de reputație
2.4. Riscul și pierderea potențială
2.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
Obiectivele capitolului
După lecturarea acestui capitol, studentul va fi capabil să explice importanța etapei de identificare a
riscului, să explice motivele pentru care există diferite clasificări ale riscului și va fi capabil să se refere
la unele criterii de clasificare. Parcurgerea acestui capitol va ajuta studentul să înțeleagă ce sunt riscul
la nivel de afacere și riscul de reputație și să descrie principalele lor caracteristici, ca și importanța
amenințărilor pe care le atrag după sin e aceste două categorii de risc.
2.1. Punerea problemei
În capitolul anterior am răspuns întrebărilor: „Ce este riscul?” și „De ce trebuie să -l gestionăm?”.
Logica lucrurilor ne spune că înainte să trecem proporiu zis la metode de gestionare trebuie să
parcurgem o etapă d e identificare, din care să rezulte cât mai clar cu putință care sunt riscurile cu
care urmează să ne confruntăm. Această etapă de identificare este cu siguranță esențială, pentru că
se poate întâmpla ca riscuri diferite să necesite metode de management diferite. Capitolul al doilea al
acestei lucrări își propune, așadar, o trecere în revistă a celor mai importante elemente din
perimetrul identificării riscului .
Activitatea de analiză și gestionare a riscului, în toată complexitatea ei, est e condiția sine – qua – non
pentru menținerea unei firme la parame tri performanți, pe termen lung, iar identific area riscului
devine primul pas în desfășurarea unei afaceri pe baze conștiente, responsabile, înțelegând prin asta
procesul prin care în mod co ntinuu și sistematic se identifică expunerile la factori potențial dăunători.

28
Este foarte bine dacă un întreprinzător este capabil să facă această identificare a pagubelor
potențiale pe baza experienței acumulate de alții sau măcar pe baza unui istoric pro priu. A constata o
pagubă după momentul producerii ei este mai neplăcut și cu siguranță mai costisitor decât a -i
preveni producerea. Lipsa de identificare a pericolelor potențiale face ca pierderile care se pot
înregistra să constituie o surpriză pentru fi rmă și reținerea inconștientă a unor riscuri nu este cea mai
fericită inițiativă pentru întreprinzător. Dar procesul identificării pierderilor potențiale trebuie să aibă
la bază “inventarierea” lor prealabilă și la acest aspect ne vom referi în secțiunea u rmătoare.
2.2. Câte ceva despre c lasificarea riscurilor
Dacă priviți peisajul în care vă desfășurați activitatea de fiecare zi, veți fi de acord cu faptul că î n jurul
nostru se întâmplă o permanentă schimbare. Se nasc influențe noi și cele vechi se transfo rmă,
informația devine din ce în ce mai complexă și mai greu de cuprins în timp real. Pentru un
întreprinzător devine vitală o ordonare a cunoștințelor, o categorisire a lor, acesta fiind singurul mod
în care poate afla suficient și gestiona corespunzător furnicarul care -l înconjoară.
Nevoia de clasificare a informației consistente nu este o noutate. E veche de când lumea5 și nu ar fi
nici o problemă în dorința noastră de a ordona informațiile, dacă – așa cum am amintit și în capitolul
precedent – diferite le criterii de clasificare n -ar genera atâtea polemici printre specialiști. Dacă
deschidem un număr de – să spunem – șase cărți de profil, există șanse foarte mari să găsim
clasificări diferite pentru o serie de riscuri care se cheamă la fel. Faptul în sin e poate fi tulburător
pentru un cititor nefamiliarizat cu cărămizile pe care și le aruncă în cap diverși autori, pe tema “care
criteriu de clasificare este mai elocvent?”. În ceea ce ne privește, am decis să fim insensibili la această
întrebare și să optăm pentru a nu oferi încă o variantă celor deja existente. Considerăm că tentativa
de clasificare a unor entități atât de complexe cum sunt riscurile în ansamblul lor este o inițiativă
spinoasă și, evident, datoare să genereze divergențe de opinie.
Deloc su rprinzător, clasificările pe care le -au elaborat specialiștii de -a lungul timpului nu sunt bazate
pe criterii unice și nici nu ar putea fi. Ele urmează, e drept, o anumită logică, motivată de trăsăturile
comune sau complementare ale riscurilor incluse în c ategorii similare, dar există o mulțime de
criterii de clasificare tocmai pentru că trăsăturile comune ale diferitelor riscuri se pot întâlni pe
diferite niveluri de manifestare.
Iată de ce, oricare dintre clasificările riscurilor ne poate oferi informaț ii utile în caracterizarea
fenomenelor generatoare și in descrierea zonelor potențial afectate. Cu certitudine, nici una dintre

5 N. G. Roegen, op. cit., p. 82

29
clasificări nu poate fi considerată perfectă, dar lucrul acesta nu este de maximă importanță. Este,
credem noi, pe deplin necons tructiv să ne oprim asupra unor probleme de formă în loc să acționăm
concret în direcția minimizării șanselor de producere a evenimentelor nefavorabile și a efectelor lor.
Și, pentru că va trebui să ne decidem totuși la o anumită abordare, vom opta pentru cateva variante
de diferențiere6 a riscurilor, pe care le vom prezenta pe scurt in continuare.
1. Din punct de vedere al naturii lor, riscurile capătă următoarea încadrare:
a) Pure, sau aleatorii . Asupra acestei exprimări trebuie să manifestăm o oarecar e rezervă, legată
evident de formă și nu de conținut, sau mesaj. Autorul optează pentru denumirea de „aleator” relativ
la un risc pe care în mod evident îl încadrează în categoria riscurilor lipsite de intenționalitate. Totuși,
credem că „accidental” ar fi un termen mult mai potrivit, pentru ca aleatorul este de fapt forma
generalizată a neprevăzutului și nu putem caracteriza riscul,ca variantă particulară a aleatorului,
printr -o astfel de trăsătură. În orice caz, această observație nu afectează cu nimic va labilitatea acestei
încadrări și putem trece mai departe.
b) Antreprenoriale, sau speculative . În mod clar, Gerard Colson încadrează aici toate riscurile la care
este supusă afacerea ca urmare a însăși existenței ei. Ideea de speculativ, pe care noi am asi milat -o
mai devreme în această lucrare cu intenționalitatea, este legată mai degrabă de faptul că afacerea nu
poate exista fără să fie supusă la riscuri și nu de vreo suspiciune cum că întreprinzătorul ar ține
neapărat să riște.
2. Din punct de vedere al originii lor, delimităm:
a) Întreprinderea , ceea ce se asimilează cu riscurile de mediu intern.
b) Mediul extern firmei .
3. Din punct de vedere al consecințelor , întâlnim:
a) Riscuri care afectează angajații , pe care le vom lua și noi în calcul în secțiune a următoare și ne
vom referi la ele ca la riscuri vizând personalul.
b) Riscuri afectând bunurile întreprinderii , pe care le vom întâlni de asemenea și le vom pune în
legătură cu riscurile aferente proprietății asupra afacerii.
c) Riscuri afectând securita tea financiară a întreprinderii , legate de tot ce înseamnă cash flow,
datorie sau investiție de natură financiară.

6 Colson Gerard, Gestion du Risque, E.A.A., Lille, 1994 – 1995, p. 38 – 50

30
4. Din punct de vedere al severității consecințelor și al frecvenței de apariție, ne putem referi la:
a) Riscuri majore.
b) Riscuri minore.
Asupra acestor două ultime categorii de riscuri vom discuta extins în Capitolul 3. Cu certitudine,
această încadrare, ca și altele dealtfel, nu acoperă toate riscurile cu care se poate confrunta
întreprinzătorul. Marcela – Cornelia Danu7 propune o altă deli mitare de natură să cuprindă
„triunghiul întreprindere – consumator – mediu”. Vom aminti, pe scurt, clasificarea doamnei Danu,
care vine să completeze categoriile prezentate anterior.
I. În funcție de natura lor , riscurile pot fi:
a) Riscuri pure, sau alea torii.
a1) Riscuri pure cu bază în natural;
a2) Riscuri pure cu determinare psiho – socio – economică.
b) Riscuri de piață, sau decizionale.
b1) Riscuri ale consumatorului, decurgând din decizia individuală a acestuia;
b2) Riscuri antreprenoriale, sau ale întreprinzătorului.
II. Din punct de vedere al relației cauze – consecințe , riscurile pot fi:
a) Riscuri provenite din activitatea întreprinderii.
a1) Suportate de întreprindere;
a2) Suportate de individ;
a3) Cu implicații asupra mediului.
b) Riscuri gener ate de acțiunea individului.
a1) Suportate de întreprindere;
a2) Asumate de individul însuși;
a3) Cu repercursiuni asupra mediului.

7 Marcela Cornelia Danu, Riscul în afaceri, Ed. Plumb, Bacău, 2001, p. 69 – 70

31
c) Riscuri provenite de la nivelul variabilelor de mediu.
c1) Cu acțiune asupra întreprinderii;
c2) Suportate de individ;
c3) Cu urmări asupra mediului
III. Luând în considerare nivelul la care se manifestă, riscurile pot fi:
a) La nivel mondo – societal;
b) La nivel macro – societal;
c) La nivel micro – societal.
IV. În funcție de natura consecințelor , riscurile pot fi:
a) Mat eriale;
b) Financiare;
c) Umane.
V. În funcție de dimensiunea consecințelor.
a) Majore;
b) Minore.
Delimitarea propusă de Cornelia Danu, ca și alte delimitări pe care le întâlnim în literatura de
specialitate, arată o dată în plus faptul că încercarea de clasificare a riscurilor este o inițiativă
sensibilă. Vom trece mai departe și ne vom focaliza atenția asupra unui risc aparent mai restrâns sub
aspectul delimitării componentelor sale și anume riscul în afaceri.
2.3. Riscul la nivel de afacer e
Odată ce a m parcurs ampla clasificare propusă anterior, e timpul să ne îndreptăm atenția către
„riscul în afaceri” și vom începe prin a prezenta descrierea pe care o capătă acest risc în literatura de
profil. Dicționarul MacMillan de economie8 îl asimilează oarecum ambiguu riscului de corporație,
înțelegând prin asta riscul total apărut într -o activitate economică. Ni se sugerează mai departe că

8 Dicționar MacMillan de economie modernă, Editura Codecs, București, 1999, p. 354

32
este vorba de viziunea agregată a celor două mari tipuri de risc pe care le cuprinde și anume: riscul
financiar, care apare din finanțarea prin împrumut și riscul economic, văzut ca risc fundamental al
oricărei activități curente dintr -o firmă. O altă opinie o găsim în Dicționarul de economie9, unde în
dreptul riscului în afaceri se face trimitere imediată la noțiunea de profi t10. Pentru că profitul este
considerat, în această viziune, ca expresia sintetică a eficienței activității oricărei unități economice,
obiectivul major al acestor unități se asimilează maximizării profitului și riscul afacerii se deduce a fi
riscul de neob ținere și/sau ne -maximizare a profitului. Conform opiniei autorilor Hirschey și Pappas11,
riscul în afaceri este „șansa” de pierdere asociată unei decizii manageriale și este pus în legătură
directă cu ideea de variație a cererii pentru produs și în condiți ile aflate în dependență directă cu
nivelul costurilor. Mergând mai departe, Petru Prunea12 asociază riscul de afaceri cu riscul care se
manifestă în procesul de creștere a firmei, în sensul creșterii calității, diversificării produselor și a
capacității de ținute, sau utilizării tehnologiilor perfecționate, care conduc la un profit superior.
Enciclopedia electronică de investiții13 ne asigură că riscul în afaceri este riscul ca o companie să nu
dispună de cash -flow adecvat pentru a suporta cheltuielile curent e care să -i permită să fie
operațională , precizând că există două componente și anume: riscul financiar, legat de împrumuturi
și riscul generat de climatul economic, iar firma de consultanță în probleme de risc McGladery14 se
exprimă ceva mai general, spun ând că riscul în afaceri este evenimentul sau acțiunea cu efecte
adverse asupra stabilității companiei de a atinge obiectivele și de a -și executa strategiile.
Chiar dacă aceste câteva exemple de abordare adoptă viziuni și exprimări proprii în descrierea
riscului în afaceri, suntem de părere că ele converg totuși spre câteva aspecte comune pe care ne
propunem să le sintetizăm în continuare. Pentru orice întreprindere, producerea unui risc este
potențial generatoare de probleme. „Problema” înseamnă diferența între rezultatul înregistrat și
rezultatul dorit sau, într -o altă exprimare, ecartul dintre rezultatul efectiv și obiectivul fixat. În
măsura în care este acceptat că obținerea, menținerea și maximizarea profitului reprezintă obiectivul
de fundal al activi tății economice, atunci se poate constata similitudinea între viziunea din Dicționarul
de economie și cea a firmei de consultanță McGladrey. O unitate economică nu -și va desfășura
activitatea la întâmplare: pentru atingerea obiectivelor are nevoie de strat egii coerente, funcționale,
eficiente. Executarea lor corespunzătoare are nevoie de condiții prielnice, dar înainte de orice ele
trebuie elaborate conform obiectivelor (și asta presupune abilitate). Iată cum între strategie și
obiectiv există, de fapt, o r elație intrinsecă și abordarea riscului în afaceri prin prisma autorilor

9 Dictionar de economie, coord. Niță Dobrotă, Editura Economică, București, 1999, p. 408
10 Dictionar de economie, coord. Niță Dobrotă, Editura Economică, București, 1999, p. 373 -374
11 Hirschey, Pappas, op. cit, p. 729
12 Prunea Petru, Riscul în activitatea economică, Editura Economică, București, 2003, p. 105
13 www.investopedia.com
14 www.mcgladery .com

33
Hirschey și Pappas se suprapune cumva peste celelalte două opinii deja discutate. Descrierile din
Dicționarul Macmillan și Enciclopedia electronică ne spun, de fapt, același lucru și, dacă acceptăm că
la baza activității unei firme există motorul universal, cel monetar, atunci vom accepta și faptul că
implementarea și susținerea strategiilor, la fel ca și atingerea obiectivului, sunt acțiuni care nu se pot
realiza fără cash -flow adecva t. În fine, viziunea domnului Prunea ne pune la dispoziție câteva strategii
generale și obiective, de conjunctură sau permanente, ale firmei și se încadrează de asemenea în
opinia generală asupra riscului în afaceri.
Esențială , așadar, pentru formularea un ei descrieri a riscului în afaceri este ideea de agregare, de risc
care are în vedere amenințările la adresa valorii firmei luată în ansamblul ei . Prin urmare, se vădește
ca foarte necesară ordonarea acelor componente pe care le putem integra ca fiind part e a riscului la
nivel de afacere și pe care le vom delimit a imediat.
1. Riscul vizând activitatea specifică firmei
Fie că întreprinderea în cauză oferă bunuri, servicii sau informație, activitatea ei are la bază elemente
de ordin general pe care științele economice le denumesc la fel, indiferent de natura produselor.
Există o cerere, o ofertă, un proces de producere a ofertei – fie că este vorba despre producția
propriu -zisă sau de crearea ei prin metode care nu presupun utilaje, linii de asamblare, o tehn ologie
utilizată, un proces de vânzare etc. Ca atare, vom include în această primă categorie de risc toate
acele evenimente de natură să aducă necazuri în atingerea obiectivelor fixate de firmă prin prisma
acestei activități specifice.
Întâlnim aici proble me potențiale în atragerea și alocarea resurselor, în stabilirea ofertei, în
estimarea cererii, în alegerea și utilizarea tehnologiilor, în relațiile cu concurența sau în realizarea
nivelului sperat de vânzări. Putem încadra tot aici necazurile care pot să apară ca urmare a calității
discutabile a produsului, sau ca urmare a fluctuațiilor de preț și multe alte situații sau evenimente
care pot afecta obținerea, menținerea sau maximizarea profitului. În câteva cuvinte, am prezentat
suficiente posibilități ca să convingem că este nevoie de o încadrare mai clară. În măsura în care nu
facem delimitarea între cauză, forme de manifestare și efecte, inițiativa de a depista riscurile care
afectează profitul – ca și tentativa ulterioară de măsurarea a lor – sunt sorti te eșecului. Să luăm un
exemplu și să ne referim la „riscul ca furnizorii de materii prime și materiale să nu onoreze
contractele la termen” și să vedem ce putem spune despre această posibilitate.
Cauzele ei pot fi, în mare, de trei tipuri:
a) În directă l egătură cu furnizorul:

34
 Neseriozitate;
 Accidente în procesul de transport;
 Distrugerea materiilor prime și a materialelor în depozitele furnizorului, din cauza
intervenției iresponsabile a angajaților.
b) În legătură cu relația furnizor – producător:
 Încălc area de către producător a uneia sau mai multe clauze contractuale, ceea ce absolvă
furnizorul de obligația respectării termenilor contractuali sau duce la rezilierea contractului;
 Refuzul producătorului de a primi materii prime și materiale de calitate ne corespunzătoare
etc.
c) Independente atât de furnizor, cât și de producător:
 Furtul materiilor prime și materialelor;
 Distrugerea lor din cauze accidentale: foc, cutremur, inundații, alunecări de teren etc.
Asupra formei de manifestare, aparent nu avem ce discuta pentru că ea este clară: materiile prime și
materialele nu ajung la producător la termenul stabilit prin contract. Cu toate acestea, și aici se pot
lua în calcul câteva posibilități de care vor depinde în cea mai mare măsură efectele problemei
apăr ute. Delimitarea o vom face, în acest caz, după gradul de întârziere și anume:
 Întârziere mică față de data stabilită prin contract
 Întârziere mare față de această dată
 Întârziere foarte mare, sau materiile prime și materialele nu mai ajung deloc la produc ător
Aprecierea sensului „mic”, „mare” și „foarte mare” rămân la altitudinea producătorului, în funcție de
efectele pe care le apreciază și care pot fi:
 Încetinire nesemnificativă a procesului de producție, care nu este de natură să genereze
pierderi;
 Înce tinire semnificativă a procesului de producție, generatoare de pierderi semnificative,
care pot depăși sau nu nivelul de suportabilitate pentru firmă;
 Oprirea procesului de producție și înregistrarea unor pierderi majore.
Putem merge chiar mai departe cu a naliza și, în funcție de context, se poate discuta natura
pierderilor: monetare sau nemonetare etc. Iată așadar, că doar prezentarea cauzelor ne oferă șapte
riscuri potențiale – și nu ne -am propus un studiu complet. Dacă nu avem în atenție efectul de
ansam blu, și anume „impactul asupra desfășurării procesului de producție”, relația cu furnizorul

35
aduce în viața producătorului un hățiș de riscuri care pot scăpa chiar și descrierii și cu atât mai mult
evaluării.
Atunci când vorbim despre riscul vizând activita tea specifică firmei avem în vedere doar „efectele” și
nu multitudinea cauzelor. Acestea din urmă sunt foarte importante, dar sunt stabilite – la fel ca și
formele de manifestare – pentru fiecare situație în parte, pentru că fiecare firmă este capabilă să
detecteze sursele potențiale ale unor evenimente. În ceea ce privește scopurile noastre, suntem
interesați să prezentăm câteva categorii de evenimente care pot afecta oricare din unitățile
economice și ne vom fixa atenția asupra următoarelor tipuri de risc :
1.A. Riscul de piață : Activitatea unei firme presupune contactul direct cu clienții, prin intermediul
produsului trimis pe piață. Fie că distribuția se realizează direct, fie prin intermediari, produsul
ajunge la utilizatori și intervine procesul de eval uare a lui și, eventual, de vânzare.
Chiar dacă firma este „singură” pe piață, va exista întotdeauna întrebarea dacă va vinde tot ce a
produs. Cu atât mai mult atunci când mediul este concurențial, preferințele consumatorilor și
posibilitățile lor, orient ările și opțiunile, prețul produsului și acțiunile concurenței sunt imprevizibile.
Instabilitatea cererii, a prețului și a vânzărilor generează permanenți factori de risc în viața
întreprinzătorului. Prin urmare, vom cădea de acord să stabilim că riscul de piață în viziunea noastră
se referă la posibilitatea de ne -vânzare a întregii producții, sau de ne -vânzare în termenii planificați.
1.B. Riscul operațional : Vorbind despre riscul operațional, denumit de unii autori și risc de
exploatare, Irina Cișmașu15 spune că acesta se manifestă ca urmare a lipsei de corelare și perfectă
anticipare a rezultatelor activității de exploatare cu componentele acestei activități. Asupra acestui
risc se va reveni pentru o discuție mai amplă în capitolul următor. Deocamdată, dor im să subliniem
faptul că unul și același efect – și anume neatingerea pragului de rentabilitate – poate fi atât urmarea
riscului de piață cât și a celui operațional și de aceea trebuie să repetăm faptul că doar o analiză
concretă asupra situației firmei n e poate spune în ce măsură cele două riscuri acționează sau nu
independent.
1.C. Riscul de natură tehnologică : Pentru a nu se crea confuzii, trebuie spus că acest risc nu vizează
existența și utilizarea unei anumite tehnologii, pentru că acest aspect intră în sfera riscului
operațional. Ne referim la decizia de păstrare sau de înlocuire a acesteia, știut fiind că evoluția
tehnologică poate afecta pozitiv sau negativ un întreprinzător – în funcție de capacitatea lui de a
anticipa evoluția fenomenelor. Adapta rea rapidă la schimbare, alegerea direcției corecte, pot aduce

15 Cișmașu, Irina Daniela – Riscul, element în fundamentarea deciziei , Ed. Economică, București, 2003, p. 71.

36
avantaje mari la fel cum ezitările, întârzierile sau concentrarea atenției în direcții greșite pot periclita
serios poziția firmei pe piață. Nu vom încadra aici riscul aferent deciziei de inves tiție în tehnologie,
care va fi încorporat în mod natural în sfera riscurilor de natură financiară, ci doar acele riscuri care
însoțesc calitatea produselor, costurile lor, competitivitatea, trăsături privite direct prin prisma
rezultatelor pe care le poat e obține producătorul utilizând o tehnologie sau alta.
Desigur că descrierea acestor trei tipologii de risc specific al activității firmei este sumară, dar scopul
nostru este acela de a le privi într -o manieră agregată și nu a le prezenta în amănunt. Trat area
oricăruia dintre ele poate face obiectul unei lucrări consistente și de sine stătătoare, iar literatura de
specialitate ne pune la dispoziție informații ample. Vom trece, astfel, mai departe și vom face o
scurtă incursiune în aspectele care vizează r iscurile de natură financiară cu care se poate confrunta o
firmă în activitatea ei.
2. Riscul de natură financiară
Este de la sine înțeles că, în absența unui suport financiar corespunzător, o firmă nu își poate
desfășura activitatea conform cerințelor imp use de intenția ei de a -și atinge obiectivele. O bună
poziție financiară îi oferă întreprinzătorului confortul alternativelor de investiție, al diversificării lor și
îl îndepărtează într -o anumită măsură de efectele unor șocuri pe care le poate resimți în activitatea
sa. Dimpotrivă, o poziție financiară slabă obstrucționează chiar și procesele elementare care se
desfășoară la nivel de firmă, aducând întreprinderea sub incidența unor amenințări incomode. Vom
trata, în perimetrul riscurilor de natură financia ră, câteva tipologii de risc specific, nu înainte de a
face observația că ne vom menține intenția ca toate categoriile de risc care vor rezulta în final să aibă
calitatea de a corespunde unor evenimente prea puțin corelate.
2. A. Riscul de piață (din persp ectiva portofoliului de investiții) : Desigur că este vorba despre o altă
accepție decât aceea de la 1.A., de data aceasta referindu -ne la riscul ca portofoliul de investiții pe
care îl deține firma să nu aibă evoluția dorită, sau ca decizia asupra modifică rii structurii portofoliului
să conducă la pierderi. Ceva mai târziu ne vom apleca îndeaproape asupra acestei categorii de risc,
motivându -ne inițiativa prin aceea că latura investițională a activității firmei este una foarte
importantă.
2. B. Riscul de in flație : Posibilitatea unei creșteri în nivelul general al prețurilor se constituie într -o
amenințare reală la adresa rezultatelor oricăror angajamente, efectuate pe baze legale și care implică
plăți fixe, stabilite, urmând a fi executate în viitor. Problem a este cu atât mai gravă cu cât
posibilitatea de a prognoza astfel de modificări ale prețului este de multe ori relativ redusă și poate

37
ieși, practic, de sub incidența controlului întreprinzătorului. Riscul de inflație afectează o sumedenie
de componente a le activității firmei, având impact direct asupra rezultatelor financiare.
2. C . Riscul de rata dobânzii : Modificările în nivelul ratei dobânzii pot afecta drastic valoarea
investițiilor unei firme, fie că aceste modificări vizează creșteri sau descreșteri ale ratei dobânzii. În
perspectiva modelului agregat, vom avea nevoie de acele fluctuații care nu sunt rezultatul inflației
pentru a putea păstra într -o cât mai mare măsură independența tipurilor de risc. Desigur, este dificil
de estimat care este influen ța inflației în modificarea ratei dobânzii, dar nu este imposibil sa privim
separat factorii de influență și se poate spera în posibilitatea delimitării acțiunilor lor.
2. D . Riscul de credit : De obicei, tratarea amănunțită a acestui tip de risc este apanajul instituțiilor
financiare. Privit în ansamblu, însă, „creditul” poate fi asimilat oricărei obligații contractuale care
presupune onorarea unor angajamente între părți și care, în final, poate căpăta o evaluare monetară.
Este nevoie, însă, de o delimitare clară între problemele financiare pe care le poate cauza un proiect
de investiție realizat pe baza unui capital împrumutat și cele cu impact asupra veniturilor, ca urmare
a faptului că un partener de contract refuză să mai primească o parte di n oferta firmei, sau să mai
achite chiria pentru un spațiu aflat în proprietatea firmei.
2. E. Riscul de lichiditate : Atunci când firma este în incapacitatea de a disponibiliza active financiare
sau alte tipuri de investiții pe care le deține, în timpul ce rut și la preț corespunzător, absența
lichidităților poate genera probleme grave în desfășurarea activității sau chiar încetarea ei. Riscul de
lichiditate nu poate fi privit, din păcate, independent de manifestarea altor riscuri pe care le -am
precizat deja și din acest motiv includerea lui în modelul agregat va fi cel puțin delicată sub aspectul
evaluării covarianțelor care apar cu alte manifestări.
În mod normal am putea continua cu prezentarea riscului de faliment, care se încadrează pe de o
parte în cate goria riscurilor financiare dar care poate fi inclus și ca efect direct al riscului operațional,
pentru că acesta din urmă a fost descris ca neacoperirea cheltuielilor cu veniturile rezultate și, în
funcție de severitatea decalajului dintre cel două mărim i, falimentul poate fi iminent.
Din ceea ce am prezentat până acum se pot desprinde câteva concluzii și anume:
 Este foarte dificilă, dacă nu aproape imposibilă separarea riscurilor care amenință afacerea,
în categorii independente;
 Descrierea amenințărilor la care este supusă o întreprindere nu se poate face în absența
cunoașterii și înțelegerii proceselor interne ale afacerii;

38
 Efectele posibile pe care le poate genera manifestarea unui risc sunt dintre cele mai diverse.
Este nevoie de foarte multă imaginaț ie pentru a le intui și de o abilitate uriașă pentru a le măsura, cu
atât mai mult cu cât același efect poate fi, concomitent, rezultatul mai multor cauze care se
manifestă simultan și, uneori în interdependență una cu alta.
 Complexitatea pe care o regăsim în tipul amenințărilor și în efectelor lor potențiale, aproape
imposibil de clasificat și de evaluat, poate genera un adevărat haos în inițiativa întreprinzătorului de
gestionare a riscului în afaceri. Este nevoie prin urmare, de metode de ordonare a info rmațiilor, de
algoritmi logici și de formule pentru a modela riscul total la nivel de firmă. Pentru că deseori ideea de
„model” este asociată unui limbaj dificil de înțeles pentru utilizatori, este nevoie de o permanentă
grijă pentru exprimarea clară și ac cesibilă, de o punte de legătură între specialistul teoretician și
întreprinzător.
 Riscul în afaceri este un risc compus, a cărui tratare corespunzătoare are nevoie de o
abordare de ansamblu, de o viziune agregată care să asigure mixul între toate componen tele privite
atât din punct de vedere teoretic cât și practic. Absența concordanței între modelul teoretic și latura
practică va conduce inevitabil la inițiative care nu se vor dovedi operaționale, la fel cum încercarea de
abordare a riscului în afaceri în absența unui „tipar” va genera panică întreprinzătorului conștient de
complexitatea problemelor. O înțelegere intuitivă a riscului, bazată pe experiență și pe abordările
comune, poate crea o falsă senzație de confort dar obținerea unor rezultate bune în p ractică are la
bază mai mult decât abordările intuitive.
O altă abordare a clasificării riscurilor la nivel de afacere are în vedere patru direcții și anume:
 Latura financiară, incluzând aici tot ce înseamnă acțiuni, obligațiuni, depozite la termen, casă,
datorii, credite etc. De obicei, aici sunt incluse riscul de preț și riscul de credit.
 Latura fizică, incluzând clădiri, terenuri și echipamente. De obicei, aici sunt incluse acel e
riscuri care sunt asigurabile.
 Latura relațiilor cu clienții și personal, incluzând de obicei și responsabilitățile pe care le are
firma față de aceștia .
 Aspectele intangibile, care vizează reputația firmei, marca, informația.
2.4. Riscul de reputație
Considerăm necesar ca în prezentarea noastră să ne referim în mod special l a un risc care capătă o
importanță deosebită pentru oricare firmă, pe măsură ce se înregistrează noi și noi schimbări în
mediul economic și de afaceri. Aducem astfel în discuție riscul de reputație , care vizează latura
intangibilă a existenței firmei.

39
Mai mult sau mai puțin recunoscut sau exprimat, nici un actor economic nu dispută importanța
reputației unei întreprinderi, în calitatea ei de componentă, sau ingredient în afaceri. Orice instituție
de prestigiu poate afirma dincolo de orice dubiu că buna repu tație este cheia spre succes, că prin
intermediul ei se obține credibilitatea în afaceri și că tot ea stă la baza unor decizii uneori
surprinzătoare și uneori în aparentă contradicție cu obiectivul de fundal al oricărei firme – obținerea,
menținerea și max imizarea profitului.
Cu toate acestea, cea mai mare parte a resurselor financiare sau de altă natură ale unui management
corect al riscului în afaceri este orientată în direcții pe care ne -am obișnuit să le întâlnim sub numele
de management operațional, f inanciar, de personal etc. Riscul de reputație, deși acceptat și
recunoscut ca amenințare reală, este prea puțin implicat în grija firmelor pentru asigurarea atingerii
obiectivelor proprii.
În viața fiecăruia dintre noi ideea de reputație apare de timpuri u, asociată fie relației cu părinții, cu
prietenii, cu educatorii, fie – mai târziu – relației cu societatea, cu partenerii, cu angajatorii. La orice
nivel de relaționare reputația este o noțiune complexă și cu siguranță subiectivă, depinzând de
natura con tactelor interumane și de cerințele de context. În orice caz însă, ea este asociată ideii de
credibilitate și se răsfrânge atât asupra relațiilor directe cât și asupra celor stabilite indirect. În
evaluarea reputației contează în egală măsură ce spunem și cum acționăm, dar și contextul sau
modificările de context care generează percepția asupra afirmațiilor și comportamentului nostru.
Complexitatea noțiunii face dificilă interpretarea ei într -un context particular, iar faptul că o latură
importantă este leg ată de percepția dintr -un mediu extern aduce imprecizie în evaluarea ei. Ne place
totuși să credem că reputația și implicit riscul de reputație sunt aspecte nu doar de acceptat în viața
unei firme, ci și gestionabile pe baze teoretice solide.
Definită ca valoarea firmei care o depășește pe cea a activelor fizice, reputația, în calitatea ei de
capital intangibil, este rezultatul unor acțiuni anevoioase îndreptate către câștigarea încrederii
clienților și partenerilor de afaceri, în condițiile unui mediu înt r-o permanentă schimbare și a unor
reprezentanți ai umanității care manifestă cele mai diverse dorințe, opinii sau urmăresc scopuri de
multe ori contrare. Dacă a construi reputația este un proces lent, consumator de efort, a o distruge
pur și simplu. Ameni nțările sunt nenumărate și pot să apară din cele mai nebănuite direcții; este de
fapt evident că oricare pericol care amenință buna desfășurare a afacerii poate deveni la un moment
dat o amenințare la adresa bunei reputații a firmei, într -un context în car e mediul economic
înregistrează noi și diverse modificări atât în ceea ce privește relațiile dintre firme cât și relațiile cu
consumatorii. Dezvoltarea fără precedent a comunicațiilor face ca informațiile cu privire la
evenimente dintre cele mai diverse să circule cu o repeziciune uimitoare, mass media fiind deosebit

40
de înclinată către mediatizarea acelor știri care pot căpăta valoare comercială, a „bârfelor”, a
criticilor către care mulți dintre indivizi manifestă o înclinație deosebită. În această situați e, orice
neregulă și orice întâmplare care în esență nu este un șoc pentru firmă se constituie într -un pericol
latent asupra capitalului intangibil numit reputație.
Desigur că la prima vedere definiția riscului de reputație este simplă, acesta fiind orice eveniment
potențial generator de daune în reputația firmei. O astfel de abordare este, cu siguranță, una
simplistă, pentru că însăși descrierea daunei pentru un activ intangibil este o problemă serioasă, cu
atât mai mult cu cât acest activ este deseori sen sibil și în esență riscant. Este limpede că reputația
unei firme poate fi afectată de o sumedenie de factori. Pe care îi putem delimita ca fiind factori aflați
în legătură cu mediul intern sau extern firmei și factori aflați în legătură cu preferințele și opiniile
partenerilor de afaceri și ale consumatorilor. Delimităm, astfel, o componentă obiectivă și una
subiectivă a amenințărilor care vizează reputația unei firme, iar aspectul subiectiv nu invită nici pe
departe la relaxare.
Bazându -ne pe definiția enunțată anterior , putem caracteriza riscul de reputație ca fiind orice
eveniment a cărui manifestare poate afecta în sens negativ diferența dintre valoarea de piață a firmei
și valoarea activelor fizice. Privită astfel, problema capătă un aspect cuantificab il – deși încă
incomplet – și se naște speranța că există posibilitatea unei abordări pe baza unor modele teoretice
solide. Ceea ce este cu adevărat important și interesant în studiul acestui risc este faptul că spre
deosebire de manifestarea altor evenime nte riscante care produc pagube imediate, riscul de imagine
poate genera efecte în timp dând astfel posibilitatea redresării pe parcurs fără șocuri financiare
puternice. Pe de altă parte, tocmai această trăsătură se poate constitui într -o problemă reală pe ntru
întreprinzător, fiindcă lipsa percepției imediate supra efectelor invită mai degrabă la o gestionare ex
– post decât ex – ante. O atare atitudine poate reprezenta o amenințare suplimentară pentru o firmă
de dimensiuni reduse pentru care pierderea cred ibilității în fața unui client important, de exemplu,
este mai gravă decât aceeași situație întâmpinată de o firmă foarte bine dezvoltată și cu producție
diversificată.
A gestiona ex – ante riscul de reputație este o inițiativă dificilă, pentru că acest r isc diferă
fundamental de celelalte riscuri pe care firma este obișnuită să le gestioneze. Natura lui, mai degrabă
calitativă decât cantitativă, face greu de estimat proporția de subiectiv și cea de obiectiv din această
evaluare, de multe ori fiind imposib il de stabilit nivelul real al riscului de reputație. Din această cauză,
este mai mult decât necesară construcția unei imagini cât mai apropiate de realitate pentru cadrul
concret de manifestare a riscului.

41
Realitatea este că d istrugerea imaginii și brand ului poate fi cauza manifestării oricărui risc cu care se
poate confrunta instituția, deci grija pentru reputație trebuie dublată de un management
corespunzător al riscului total la nivel de firmă. Întreprinzătorii ar trebui să privească foarte serios
aces t risc, știut fiind că reputația impecabilă a unei firme atrage după sine o serie de avantaje de
necontestat, dintre care amintim câteva:
 Îmbunătățirea relației cu partenerii de afaceri.
 Crearea unui mediu mai bun pentru investiții și pentru accesul la cap ital.
 Posibilitatea recrutării și reținerii celor mai buni angajați.
 Atragerea celor mai buni parteneri, atât din rândul furnizorilor de materii prime, materiale,
utilaje, tehnologie cât și din rândul clienților.
 Reducerea barierelor de penetrare și dezvol tare pe piețe noi.
 Garantarea nivelului prețurilor pentru bunuri și servicii.
 Minimizarea amenințărilor unor posibile litigii și ale unor reglementări severe.
 Reducerea potențialului de criză.
 Întărirea credibilității firmei și a încrederii partenerilor.
Desigur că o bună reputație a fost întotdeauna un element de interes pentru întreprinzător, chiar
dacă o dimensiune mică a afacerii nu putea aduce neapărat o faimă uriașă. În zilele noastre se
înregistrează o accelerare fără precedent în circulația informaț iei, astfel încât lucruri bune și rele sunt
aduse la cunoștința publicului imediat. Pericole pe care altădată firma le putea considera ca având
efecte asupra proprietății, veniturilor sau personalului angajat, au astăzi un recul puternic în
percepția exter nilor asupra imaginii firmei și atrag după sine pierderi potențiale din eliminarea a cel
puțin unuia din cele mai avantajoase amintite anterior.
2.5. Riscul și pierderea potențială
Dacă printr -o întâmplare oarecare unii întreprinzători mai puțin informați ar citi clasificările riscurilor
pe care le -am prezentat sau le -am recomandat, probabil că ar rămâne cu uimiți și unora dintre ei
acest eveniment le -ar putea schimba viața. În funcție de temperament și de atitudinea pe care o
manifestă față de risc, unii ar renunța la afaceri. Alții s -ar gândi imediat cum să păcălească destinul,
alții s -ar putea să decidă că un specialist nu e de lepădat, iar alții ar căsca plictisiți și ar opina că
despicăm prea mult firul în patru. Din păcate, există destui așa numiți oa meni de afaceri pentru care
exprimări ca acelea de „risc relativ la personalul angajat”, sau „risc de lichiditate”, sau „risc de
solvabilitate” au niște conotații realmente vagi și sunt contracarate cu o replică de tipul „Doamne
ferește…” Degeaba prezent ăm unei anumite categorii de întreprinzători diferența dintre riscul pur și

42
riscul speculativ, dacă în portofoliul lor de afaceri există doar comanda la care se lucrează și comanda
care poate pica mâine, printr -un noroc neașteptat. Degeaba informăm asupra unor categorii de
riscuri, dacă la nivel de firmă nu se conștientizează ideea că „potențial” nu înseamnă „la alții”.
Instituțiile de asigurări oferă un punct de plecare deloc de neglijat în construcția unei „liste” prin
intermediul căreia întreprinzătorul va trebui să aibă în vedere toate pierderile pe care le -ar putea
suferi în desfășurarea activității, ca urmare a manifestării diferitelor riscuri cu care se poate confrunta
un întreprinzător . Și, pentru că lucrurile nu sunt simple, ar trebui să existe o o rdine în constituirea
listei, mai exact este nevoie să fie urmărite câteva direcții concrete și adaptate, evident, la obiectul
de activitate al firmei. Pierderi pot să apară ca urmare a deținerii de active de orice fel, fizice sau
intangibile și ca urmare a expunerilor la care pot fi supues, direct sau indirect proprietățile și
veniturile, expunerile relativ la răspunderi și datorii, la personalul angajat etc.
Utilizarea listelor propuse de diferiți asigurători sau de organisme orientate către managementul
riscului este o inițiativă bună, dar uneori insuficientă. Pentru că fiecare firmă este o entitate în sine,
cu particularități care fac necesară adaptarea unui cadru general exprimat la condițiile specifice de
derulare a activității. Bine ar fi ca întrepri nzătorul să opteze pentru o îmbunătățire a listei pierderilor
potențiale propusă de externi, construind el însuși o listă suplimentară. Desigur, pe de o parte
aceasta este o decizie consumatoare de timp și energie, dar pe de altă parte în felul acesta se p oate
ține cont de posibile expuneri care vizează cadrul particular al afacerii, rezultând o viziune mai amplă
și evitând omiterea unor riscuri deloc menționate în listele „oficiale”, dar destul de obișnuite în
activitatea firmei. Întreprinzătorul se presup une a fi suficient de familiarizat cu elemente specifice
activității proprii încât să fie capabil să știe care sunt pierderile potențiale cu care s -ar putea
confrunta.
Totuși, pentru că activitatea firmei se poate întâmpla să fie complexă, dinamică și div ersificată, este
recomandat să existe o manieră de explorare sistematică a tuturor laturilor acestei activități.
Specialiștii sugerează o serie de metode, ca de exemplu constituirea unui chestionar de analiză a
riscului, de evaluarea stării financiare a fi rmei, de completarea acestei evaluări cu prognoze
financiare și bugetare de natură să pună în evidență expuneri viitoare. Se folosesc, de asemenea,
metoda hărții fluxurilor și inspecții de teren.
Dacă, după toate acestea, întreprinzătorul ar proceda și la înregistrarea statistică a datelor, lucrurile
ar fi de natură să creeze posibilitatea obținerii de informații prețioase despre pierderi care s -au
produs și care se pot repeta în viitor. Este foarte adevărat că aceste date nu oferă nici un amănunt
despre n oi tipuri de pierderi potențiale și de aceea este recomandată o analiză atentă a mediului

43
înconjurător. Prin studierea cu responsabilitate a clienților, a concurenței, a ofertei și reglementărilor
în vigoare, a relațiilor care se stabilesc între aceste ele mente și firmă și a dinamicii acestor raporturi,
se pot afla multe lucruri utile de natură să lărgească viziunea asupra modului și contextului în care se
desfășoară activitatea firmei.
Nu în ultimul rând, la dispoziția întreprinzătorului stau firmele de c onsultanță și agenții de asigurări
care pot fi utilizați în obținerea de detalii cu privire la procesul de identificare a riscurilor. Această
colaborare cu externii are, desigur, avantaje și dezavantaje. E drept că intervenția unui consultant
aduce un plus de obiectivitate și experiență în domeniu, dar poate fi costisitoare, poate avea ca
rezultat o viziune prea generală și poate face ca întreprinzătorul să nu se mai considere pe deplin
responsabil pentru rezultatul conlucrării. De fapt, nu se poate afirma că vreuna dintre metodele
recomandate anterior este cea mai bună. Ansamblul lor, însă, poate conduce la efecte pozitive în
activitatea de identificare a riscului, în măsura în care întreprinzătorul este cu adevărat motivat în
această direcție. Natura și di mensiunea afacerii, ca și accesibilitatea expertizelor sunt elemente în
funcție de care se alege cumulul de metode care vor trebui utilizate în procesul de identificare a
pierderilor potențiale.
Cam așa stau lucrurile pe hârtie, iar metodele prezentate în atâtea cărți de profil ar trebui să conducă
la rezultate de excepție. Cu toate acestea, ridicând ochii din materialele scrise, vom găsi vreun
magazin de cartier al cărui patron ar rămâne surprins să constate câte probleme ar trebui să -și facă
pentru o afa cere pe care o conduce de câțiva ani. Dacă din profitul obținut în anul anterior tocmai și –
a permis o excursie în Austria, fapt care în mod cert i -a modificat drastic imaginea despre sine, nu văd
cum ar putea fi convins de către noi, teoreticienii, să cons truiască o hartă a fluxurilor de exemplu. La
o astfel de propunere ar putea, cel mult, să ne atenționeze că el ne -a vorbit frumos și că ne invită să
procedăm la fel…
Lipsa de educație economică apasă greu asupra multor întreprinzători de talie mică sau m edie.
Afacerile conduse după ureche, acțiunile bazate constant pe fler, sunt o realitate a vieții noastre de zi
cu zi. În timp ce specialiști de înaltă clasă construiesc teorii complicate și modele menite să fie
accesibile firmelor puternice, cu un pronunț at simț al responsabilității în problema protecției față de
risc, firmele mici se descurcă pe baze mai puțin (sau deloc) științifice, făcând teoreticianul să se
întrebe nostalgic dacă are și el vreun rost. Afirmațiile noastre nu vizează, în mod sigur, tota litatea
firmelor de talie mică sau medie, la fel cum nu putem scăpa din vedere faptul că uneori și firmele
mari au probleme. În măsura în care întreprinzătorul este depășit de dimensiunea sau chiar de natura
afacerii pe care o deține, el va delega o altă p ersoană pentru activitatea de gestionare a riscului. Va
alege, astfel, vreun manager, sau vreun responsabil, sau va crea chiar un întreg departament în

44
această direcție, acționând astfel cum scrie la carte. Necazurile apar imediat ce diferența dintre
menta litatea de proprietar și cea de angajat își face simțită prezența. Obiectivele celor doi, patron și
subordonat, pot coincide o vreme, dar divergențele odată instalate se ajunge relativ repede la
situația în care o serie de riscuri sunt neidentificate la ti mp, sau gestionate incorect. Probabil că un
manager de risc prost motivat sau cu o mentalitate nesănătoasă este chiar mai periculos pentru
bunul mers al afacerii decât un întreprinzător neinformat.
În concluzie, o simplă clasificare a riscurilor nu este, în sine, suficientă pentru a ajuta un
întreprinzător să se protejeze de rezultatele evenimentelor nefavorabile. Pentru că fiecare alegere
are propriile specificități, este nevoie de o proiecție a cadrului general prezent în teorie, la zona
particulară a fi ecărei activități. Cea mai mare problemă pe care o ridică manifestarea riscurilor este
„potențialitatea”. A pierde sau a nu pierde, dar mai ales cât de departe se poate ajunge cu frecvența
și magnitudinea pierderilor. Pregătirea unei situații elocvente cu privire la tipurile de daune care se
pot înregistra este o muncă dificilă, bazată pe un cumul de metode și tehnici specifice, dar este cea
mai bună cale de a crea puntea de legătură între două spectre permanente sub care există firma:
riscul și pierderea p otențială. Construcția unei astfel de situații este, totuși, doar primul pas în munca
amplă de analiză și gestionare a neprevăzutului, pentru că ei îi urmează firesc măsurarea acestor
expuneri la pierderi. Măsurătorile sunt vitale, pentru a stabili importa nța relativă a pierderilor
potențiale și pentru obținerea de informații necesare în perspectiva alegerii combinației optime de
instrumente manageriale.
2.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
1. Explicați motivele pentru care identificarea riscu rilor este un demers important. Dați
exemplu de o situație în care identificarea greșită a amenințărilor poate cauza daune și
implicit costuri suplimentare pentru un individ.
2. De ce este necesară clasificarea riscurilor? Considerați că existența unor clasi ficări distincte,
realizate din perspective diferite, evidențiază dezacordul dintre specialiști? Explicați.
3. Dați exemplu de un eveniment riscant pe care îl puteți încadra diferit, în clasificări diferite și
explicați motivele pentru care se întâmplă lucrul acesta. ( Indicație: Se recomandă ca studentul să facă
referire la diferite clasificări pe care le poate găsi în materialul bibliografic )
4. Explicați diferitele accepțiuni și descrieri ale riscului la nivel de afacere.
5. Elaborați o clasificare proprie a riscu rilor la care este supusă o afacere. Justificați alegerea
diferitelor categorii de risc și explicați cum puteți să vă asigurați că nu ați omis nimic.
6. Construiți un scenariu despre manifestarea riscului tehnologic într -o afacere. Alegeți tipul de
activitate care vă este cel mai familiar.

45
7. Explicați diferitele accepțiuni ale riscului de piață și subliniați diferențele dintre ele.
8. Explicați ce înțelegeți prin reputație și prin riscul de reputație. Ce diferențiază riscul de
reputație de alte tipuri de risc la nivel de afacere?
9. Enunțați câteva măsuri care trebuie întreprinse în vederea gestionării ex – ante a riscului de
reputație. Explicați care ar trebui să fie rezultatele care se așteaptă ca urmare a
implementării lor.
10. Care sunt metodele recomandate pentru d eterminarea datelor din care ulterior se obțin
informații despre pierderile potențiale? Explicați rolul acestor metode și limitele utilizării lor.

46

CAPITOLUL 3.
RECAPITULAREA UNOR ELEMENTE DE
TEORIA PROBABILITĂȚILOR
3.1. Probabilitatea și riscul. Câteva elemente de ordin general
3.2. Independență și condiționare
3.3. Funcția de repartiție
3.4. Distribuții speciale de probabilitate
3.4. Valori nume rice pentru o variabilă aleatoare
3.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
Obiectivele capitolului
După parcurgerea acestui capitol, studentul va fi capabil să definească probabilitatea, variabila aleatoare
discretă și continuă, să explice de c e este nevoie de teoria probabilităților în studiul riscului, să definească și să
calculeze principalele mărimi numerice ale unei variabile aleatoare .
3.1. Probabilitatea și riscul. Câteva elemente de ordin general
Atunci când ne -am referit, în Capitolul 1 , la exemplul fabricantului de automobile, am discutat despre
faptul că în de scrierea conceptului de risc apar noțiunile de pierdere așteptată și de variabilitate în
jurul acestei valori. De asemenea, atunci când ne -am referit la risc în sens general am am intit ceva
despre rezultatele posibile ale evenimentului potențial g enerator de pagube și despre probabilitățile
cu care apar.
Nu este deloc surprinzător, prin urmare, că am simțit nevoia să includ în această lucrare un capitol
care să reamintească princi palele noțiuni de tepria probabilităților și statistică pe care le vom aplica
în capitolul următor strict legate de problematica evaluării riscului.
Elementele de teoria probabilităților, deși deseori au darul să îi sperie pe studenți, sunt însoțitoarele
noastre permanente încă din copilărie. Destul de devreme în existența noastră conșt entizăm că
uneori lucrurile evoluează altfel decât ne -am fi dorit, decât am planificat sau decât ne -am așteptat și

47
tot relativ de timpuriu înțelegem că există evenimente de care este bine să ne ferim. Intuim, așadar ,
și conceptul de probabilitate ca șansă (sau neșansă?) de a face față unei anumite situații și de
asemenea noțiunea de risc, sau de pericol potențial , ca eveniment posibil pentru care ne dorim să
putem măsura măca r probabilitatea de manifestare .
A încerca să înțelegi și apoi să gestionezi riscul în a bsența cunoașterii unor noțiuni – fie ele și
elementare – de teoria probabilităților este un demers dificil, bazat doar pe intuiție și pe cuvinte
frumoase. Iată de ce acest capitol își propune să prezinte într -o manieră cât mai clară și
exemplificată, principalele noțiuni din sfera probabilităților pe care le vom folosi în capitolele
următoare cu aplicare directă în economie.
Cel mai simplu mod de a defini o experiență aleatoare este prin a spune că aceasta este acea
experiență al cărei rezultat nu poate fi cunoscut decât după încheierea ei. Așa cum am mai comentat
și în primul capitol al lucrării, adunarea lui 2 cu 2 nu conduce la surprize și nu ține pe nimeni cu
suflet ul la gură. Dar dacă ați jucat vreodată canastă, știți câte rugăminți calde ați ridicat către pronia
cerească atunci când ați întins mâns după o piatră din teanc, sperând să se potrivească la configurația
pe care o aveați deja pe tablă. Aceasta este o exp eriență aleatoare, pentru că, dacă jocul acela era în
regulă, precis nu știați ce piatră urmează.
Din cele spuse mai sus, deducem imediat faptul că o experiență aleatoare are mai multe rezultate
posibile. A nu se înțelege că rezultatele acelea apar în ace lași timp, sau că ar fi vreo cât de mică
posibilitate în acest sens. De exemplu, atunci când aruncați un zar aveți șase rezultate posibile dar,
odată încheiată aruncarea, veți obține un număr de puncte clar exprimat. Asta înseamnă că nu veți
putea obține s imultan și 3, și 5 puncte, de exemplu.
O experiență aleatoare va fi descrisă complet, în sensul în care veți ști despre ea tot ce trebuie să
știți, dacă în plus față de rezultatele ei veți putea să calculați și probabilitățile, sau șansele lor de
apariție . În fine, p entru a ușura descrierea unei experiențe aleatoare în termeni de rezultate posibile
și probabilități de apariție se folosește un tablou format din două linii, pe prima linie înscriindu -se
rezultatele posibile ale experienței și pe linia a doua probabilitățile care le corespund.
De exemplu, experiența aleatoare care corespunde aruncării unui zar se poate descrie prin
intermediul următorului tablou:




61
61
61
61
61
61654321
:X

48
Pe prima linie am înscris rezultatele de la 1 la 6, care sunt toate rezulta tele posibile la aruncarea unui
zar, iar pe linia a doua am pus în evidență că fiecare rezultat are o șansă din șase să apară. Putem
completa cele spuse până acum cu faptul că o tabloul care descrie o experiență aleatoare se numește
variabilă aleatoare și de obicei se notează cu litere mari cum ar fi X, Y, Z etc.
Descrierea unei experiențe aleatoare este foarte utilă, pentru că include toată informația la care
avem acces cu privire la experiența în cauză. Totuși, construcția variabilei aleatoare corespunzăt oare
experienței se poate lovi uneori fie de problema enumerării rezultatelor posibile, fie de problema
calculării probabilitălilor lor. Vom exemplifica în continuare ambele situații.
Cu siguranță ați vâzut că pe ambalajele de săpun lichid stă scris volumu l, de exemplu 250 ml, dar mai
există o precizare și anume că umplerea s -a făcut cu o abatere de
 5% față de capacitatea declarată.
Asta înseamnă că în recipientul cu săpun lchid se poate afla, teoretic, orice număr de mililitri cuprin s
între 245 și 255, adică acei 250 declarați la care s -a scăzut, respectiv s -a adăugat, toleranța. Cu
siguranță vă dați seama că nu aveți cum să enumerați toate rezultatele, adică numerele, posibile din
intervalul menționat, pentru că sunt o infinitate și pentru că singura regulă de scriere pe care o
cunoașteți – și care funcționează în acest context – este aceea că volumul de săpun lichid conținut în
recipient aparține intervalului
255,245 ml.
Deja putem desprinde ideea că pe lumea asta ex istă două feluri de variabile aleatoare, unele pentru
care putem enumera rezultatele iar altele pentru care putem preciza doar intervalul, sau intervalele
cărora le aparțin aceste rezultate. În teoria probabilităților se acceptă această diferență și variab ilele
aleatoare de cele două tipuri sunt denumite în mod distinct: sunt variabile aleatoare discrete acelea
pentru care enumerarea rezultatelor este posibilă și sunt variabile aleatoare continue cele pentru
care nu putem enumera rezultatele pentru că ele a parțin unui interval, sau unei reuniuni de mai
multe intervale – dar putem preciza intervalele în cauză. Există unii specialiști, în special cei care
lucrează în perimetrul industriei asigurărilor, care admit și existența unui al treilea tip de variabile
aleatoare, care sunt un amestec între cele discrete și cele continue și pe care le numesc variabile
aleatoare mixte . Desigur că existența acestora a fost acceptată ca urmare a faptului că ele apar în
demersul modelării diferitelor situații prctice și nu doa r din pura plăcere de a complica teoria.
Exemplul 3.1.1. Să ne gândim la acele contracte de asigurări care prevăd o valoare minimă și o
valoare maximă a daunei care se poate lua în discuție: contractul poate să prevadă că dacă dauna
este mai mică decât 150 RON atunci o va suporta asiguratul. De asemenea, polița poate să stipuleze
că dauna maximă pe care o puteți primi este de 20000 RON.

49
În aceste condiții, haideți să notăm cu X variabila aleatoare care descrie pierderea pe care o veți
putea înregistra și să acceptăm că aceasta este o variabilă aleatpare continuă. Ceea ce veți primi,
totuși, ca despăgubire de la societatea de asigurări este o variabilă aleatoare mixtă deoarece include
forma lui X doar pe o porțiune, aceea în care X este mai mare decât 150 RON și maim mică decât
20000 RON. În afara acestor valori, X este de formă discretă și ia fie valoarea 0, fie valoarea 20000.
Asta înseamnă fie că ați înregistrat o daună sub nivelul franșizei de 150 RON, fie dauna a depășit
plafonul pe care l -ați stabilit pr in contract.
Mergând mai departe, cea de -a doua problemă pe care o poate ridica scrierea unei variabile
aleatoare este legată de abilitatea de a evalua valorile de probabilitate cu care apar rezultatele. În
cazul variabilei aleatoare care descrie experienț a aruncării unui zar, lucrurile au fost simple pentru că
toate evenimentele erau egal probabile. În alte situații, însă, evidența nu mai este la fel de puternică
și de aceea este nevoie de elemente teoretice care să ne ajute să determinăm aceste valori de
probabilitate.
Unul din cazurile fericite este acela când ne dăm seama că evenimentul a cărui probabilitate dorim să
o calculăm se produce sub un număr de auspicii favorabile. De exemplu, dacă ne intereseaza să aflăm
probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obținem un număr par de puncte, veți fi de acord că lucrul
acesta se întâmplă dacă la aruncarea zarului obținem 2, 4 sau 6. În consecință, intuiția ne spune că
există trei cazuri favorabile evenimentului care ne interesează dintr -un total de șase cazu ri posibile,
deci probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obșinem un număr par este de 3 împărțit la 6.
Una dintre metodele de calcul al probabilității unui eveniment este tocmai determinarea raportului
dintre numărul de cazuri favorabile și numărul ca zurilor posibile :
P
(eveniment A)
ba , unde a este numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului, iar b este
numărul de cazuri posibile.
Exemplul 3.1.2. Se aruncă două zaruri. Vom determina probabilitatea c a suma punctelor obținute să
fie, pe rând :
i) egală cu 7
ii) mai mare decât 9
iii) mai mică decât 4
iv) un număr par

50
Vom începe prin a spune că l a aruncarea a două zaruri suma punctelor obținute variază între
valoarea 2, pentru cazul în care pe ambele fețe apare 1 și val oarea maximă 12, pentru punctajul
maxim obținut pe ambele fețe, anume 6. Totalul perechilor de rezultate este
26 36. Prezentăm
mai jos matricea rezultatelor:





6,65,64,63,62,61,66,55,54,53,52,51,56,45,44,43,42,41,46,35,34,33,32,31,36,25,24,23,22,21,26,1 5,1 4,1 3,1 2,11,1

i) Suma S egală cu 7 se obține din combinațiile de re zultate: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ,
deci pentru 6 cazuri favorabile din 36 posibile. Deci, aplicând metoda de calcul a probabilității unui
eveniment ca raport între numărul de cazuri favorabile și numprul de cazuri posibile obținem:
 1666,061
3667SP 

ii) O sumă mai mare decât 9, adică 10, 11 sau 12, se poate obține din perechile de mai jos:
Suma 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
Suma 11: (5, 6), (6, 5)
Suma 12: (6, 6)
În total, avem (întâmplarea face) tot 6 cazuri favorabile, din 36 pos ibile. Deci,
 1666,036612SP 11SP 10SP9SP 

iii) Pentru o sumă mai mică decât 4, avem următoarele posibilități:
Suma 3: (1, 2), (2, 1)
Suma 2: (1, 1)
Prin urmare, avem trei cazuri favorabile, din 36 de cazuri posibile, deci:

51

 0833,0121
3633SP2SP4SP  .
iv) Suma est e un număr par în cazul în care este egală cu 2, 4, 6, 8, 10 sau 12. Pentru fiecare în parte
avem cazurile favorabile:
Suma 2: (1, 1)
Suma 4: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
Suma 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
Suma 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
Suma 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
Suma 12: (6, 6)
În total, există 18 cazuri favorabile, deci probabilitatea căutată este:
 5,021
3618parSP 

Desigur, acest ultim rezultat are și un caracter Intuitiv, în sensul că suma punctelor poate fi doar pară
sau impară, iar cele două parități au, evident, șanse egale.
Pe baza acestei metode de calcul a probabilității unui eveniment devine evident că o valoare de
probabilitate este situată întotdeauna în intervalul
1,0 . Valoarea de probabilita te nu poate fi mai
mică decât zero și aspectul acesta poate fi justificat în mai multe moduri. O variantă ar fi să motivăm
prin aceea că atât numărul de cazuri favorabile, cât și numărul de cazuri posibile, sunt mărimi mai
mari decât zero. Singura mărime c are poate fi zero, dar în nici un caz negativă, este numă rul cazurilor
favorabile. De exemplu, la aruncarea unui zar nu există niciun caz favorabil obținerii unui număr de
puncte egal cu 7, deși pentru această experiență rămân tot 6 cazuri posibile. Prin u rmare, o valoare
de probabilitate nu poate fi mai mică decât zero – nici măcar atunci când pentru calculul ei se aplică
alte reguli. Un alt mod de a justifica faptul că probabilitatea este mai mare sau egală cu zero este să
ne amintim că ea este măsura une i șanse de producere a unui eveniment, prin urmare nu are cum să
fie negativă.
A doua caracteristică de discutat este că probabilitatea este cel mult egală cu 1. Putem justifica
această afirmație fie pe baza fatului că numărul cazurilor favorabile nu poat e fi niciodată mai mare

52
decât numărul cazurilor posibile, deci nici rapotul acestor mprimi nu poate fi mai mare decât 1. Pe de
altă parte, intuitiv ne dăm seama că un eveniment cu probabilitate 1 are 100% șanse să aibă loc, deci
a spune că o probabilitate este egală cu 1,2 de exemplu este echivalentul metaforei că evenimentul
se realizează cu șanse de 120%. O astfel de exprimare este o simplă metaforă, nu are nicio reflectare
în rigoarea științifică.
Exemplul 3.1.3. Iată aici exemplul unei urne în care exi stă 6 bile albe și patru bile negre. Experiența
aleatoare este extragerea la întâmplare a unei bile din urnă, iar rezultatele experienței, sau
evenimentele elementare, sunt următoarele:
A: se obține o bilă albă
N: se obține o bilă neagră
Ca să putem descri e complet variabila aleatoare atașată experienței pe care am efectuat -o, vom
calcula probabilitățile evenimentelor A și N conform regulii enunțate anterior. Ținem cont că în urnă
sunt zece bile, dintre care șase, cele albe, sunt favorabile evenimentului A. Probabilitatea lui A va fi,
deci, de 6:10, adică 0,6. Similar, din cele zece bile din urnă un număr de patru sunt negre ceea ce
asigură pentru evenimentul N o probabilitate egală cu 4:10, adică 0,4. În consecință, variabila
aleatoare atașată experienței e xtragerii unei bile din urnă este




4,06,0N A:Y

Atunci când ne referim la variabile aleatoare continue, adică la cele despre care am menționat mai
devreme că enumerarea tuturor rezultatelor nu este posibilă pentru că ele aparțin unui interval sau
unei reuniuni de intervale, este de așteptat că aceeași problemă va apare pe linia a doua, a
probabilităților. Dacă nu putem enumera rezultate, desigur că nu putem enumera nici probabilitățile
care le corespund. Pentru cazul variabilelor aleatoare continu e se utilizează o generalizare a listei
probabilităților din cazul variabilelor aleatoare discrete și anume o funcție care descrie regula pe baza
căreia se obțin aceste valori de probabilitate.
În general, o variabilă aleatoare discretă se scrie în formă restrânsă astfel:
n,1iii
px:X





53
Această scriere arată că rezultatele sunt
n 21 x…,,x,x având respectiv probabilitățile
n 21 p…,,p,p .
Similar, o variabilă aleatoare continuă se scrie sub forma
Ixxfx:X





Această scriere arată că rezultatele sunt denumite generic x și aparțin unui interval, deci nu pot fi
enumerate, iar fiecărui rezultat x îi corespunde probabilitatea
xp . În ambele cazuri, mulțimea
tuturor valorilor de probabilitate pentru var iabila aleatoare, fie ea discretă sau continuă, poartă
numele de densitate de probabilitate, sau densitate de repartiție, iar ansamblul descris ca variabila X
în cele două cazuri descrie ceea ce poartă numele de distribuție de probabilitate pentru variabil a
aleatoare X.
Exemplul 3.1.4. Să ne întoarcem pentru o clipă la exemplul recipientelor umplute cu săpun lichid,
despre volumul cărora am spus că se poate abate cu
%5 față de capacitatea declarată de 250 ml.
Putem afirma, prin urmare, că abaterile exprimate procentual față de volumul mediu, sau standard,
al recipientului, se află situate în intervalul
5,5 . Vom considera, ca un exemplu, că variabila
aleatoare X care descrie valorile x ale acestor abateri are o funcți e densitate de probabilitate de
forma:


altfel,05,5 x,x2503
xf2

Va trebui să spunem că, spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete în care
xp
reprezenta probabilitatea rezultatului x, așa cum în cazul exemplului anterior
Ap reprezintă
probabilitatea evenimentului „bilă albă” și ia valoarea 0,6, în cazul variabilelor aleatoare continue
xf
nu mai reprezintă o valoare de probabilitate, ci arată doar înălțimea graficului funcției f în
punctul x.

54

Figura 3.1. Reprezentarea grafică a funcției densitate de probabilitate din Exemplul 3.1.4. și punerea
în evidență a valorii
2f , care arată înălțimea graficului în acest punc t.
Haideți să vedem de ce în cazul variabilelor aleatoare continue se întâmplă astfel: dacă am aplica
definiția probabilității ca raport între numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile ar
trebui să observăm că probabilitatea ca volumul unui recipient de săpun să se abată cu exact 2% (d e
exemplu) de la valoarea standard de 250 ml este de
1 , pentru că există un singul caz favorabil și o
infinitate de posibilități în intervalul
5,5 . De fapt, ca să fim corecți până la capăt trebuie să
spunem că prob abilitatea lui
1X nu este chiar nulă, ci atât de mică încât să poată fi considerată ca
egală cu zero.
Prin urmare, în cazul unei variabile aleatoare continue ne bvom îndrepta atenția mai degrabă către
calculul probabilității ca un anu mit rezultat să fie situat într -un interval, mai degr abă decât să se
obțină ca atare. Dev exemplu, putem calcula probabilitatea ca un anumit recipient de săpun lichid să
conțină un volum de lichid care să se abată cu maxim 1% de la volumul standard de 250 ml. Pentru
asta va trebui să calculăm următoarea probabilitate:
1X1P . Aceasă scriere arată că
recipientul poate conține mai puțin, sau mai mult cu 1% față de volumul standard. Pentru a rezolva
această problemă vom face apel la integrala Riemann și vom calcula probabilitatea astfel:

1502
3x
2503dxx2503dxxf 1X1P1
13 1
121
1   
  
Mai trebuie spus , în finalul acestei secțiuni, că întotdeauna suma elementelor de pe linia
probabilităților unei variabile aleatoare discrete este 1, iar în cazul unei variabile aleatoa re continue
integrala calculată pe întreaga mulțime a numerelor reale din funcția densitate de probabilitate este
de asemenea egală cu 1.
Exemplul 3.1.5. În acest exemplu vom determina valorile a doi parametri reali a și b astfel încât X și Y
definite după cum urmează să fie variabile aleatoare discretă și respectiv continuă.
X:




21a31311 și Y:




xfx cu

 
altfel,04,1 x,bxxf2 .

55
Ținând cont de afirmația pe care am făcut -o anterior, suma elementelor de le linia a doua a lui X
trebuie să fie egală cu 1, dacă acest tablou reprezintă o variabilă aleatoare. Această condiție se scrie:
61a121a31

O condiție similară o vom impune și asupra lui Y. Pentru că în acest al doilea caz există o infinitate de
valori pe care le poa te lua funcția f pentru x în intervalul
4,1 , va trebui să facem apel la integrala
Riemann care generalizează o sumă finită. Condiția pe care o vom impune în cazul variabilei
aleatoare Y este:
653b13xb1dxbx 1dxxf4
13 4
12
R  
 

Prin urmare, pentru valorile determinate anterior ale lui a și b, X și Y devin variabile aleatoare
discretă și respectiv continuă.
3.2. Independență și condiționare
Să ne amintim de urna U avâ nd structur a: 6 bile albe și 4 bile negre. La extrage rea unei bilă din urnă
am stabi lit următoarele evenimente complementare: A : bila extrasă este albă și N : bila extrasă este
neagră. Spuneam că
6,0)A(P și
4,0)N(P . Așa cum era de așteptat, se verifică egalitatea:
1)N(P)A(P 
.
Exemplul 3.2.1 . În ipoteze le de mai sus, presupunem că din urna U efectuăm o a doua extragere. Ne
interesează care este probabilitatea ca a doua bilă extrasă să fie albă. Problema se poate trata în
două maniere care se vor dovedi ca fiind fundamentale pentru studiul ulterior al t eoriei
probabilităților.
Cazul I. Acest caz îl vom denumi cazul extragerii cu întoarcere . Presupunem că bila de la prima
extragere este repusă în urnă înainte de efectuarea extragerii a doua. Prin urmare, înainte de a doua
extragere structura urnei este ac eeași cu cea dată în ipoteză (6 bile albe și 4 bile negre) și dacă notăm
din nou :
A : bila obținută la prima extragere este albă
B : bila obținută la a doua extragere este albă

56
probabilitatea evenimentului B nu va fi întru nimic diferită față de probabilit atea evenimentului A.
Deci,
53
106)A(P)B(P  .
Cazul al -II-lea. Vom numi acest caz, cazul extragerii fără întoarcere . El presupune că prima bilă
extrasă nu este repusă în urnă, de unde rezultă clar că structura urnei va fi modificată față de
structura inițială. Înainte de cea de -a doua extragere, în urna dată în enunț au mai rămas doar 9 bile
din 10, astfel:
 dacă prima bilă extrasă a fost albă, înaintea celei de -a doua extrageri au mai rămas 5 bile albe și
s-au menținut cele 4 negre care au fost.
 dacă prima bilă extrasă a fost neagră, înaintea celei de -a doua extrageri au mai rămas 3 bile negre
și s-au menținut cele 5 albe care au fost
Concluzia imediată este că rezultatul celei de -a doua extrageri depinde de culoarea bilei extrase
inițial. Notăm:
A : prima bilă extrasă este albă
N: prima bilă extrasă este neagră
B : a doua bilă extrasă este albă.
Deoarece evenimentele A și B, sau N și B de mai sus depind unul de altul, vom spune că ele sunt
evenimente dependente . Evenimentele A și B de la cazul I sunt un exemplu de evenimente
independente . În general, v om considera că două evenimente A și B sunt independente dacă
realizarea sau nerealizarea lui A nu influențează cu nimic realizarea sau nerealizarea lui B. Despre
două evenimente independente, acceptăm ca fiind adevărată egalitatea:
BPAPBAP  și de
asemenea forma ei generală pentru n evenimente independente oarecare.
Exemplul 3.2.2. Două produse destinate consumului casnic sunt lansate pe piață de către o firmă F.
Probabilitatea ca un cumpărător să prefere produsele firmei F unor produse de la o firmă concurentă
este de 0,6. Ne interesează probabilitatea ca pe piața de desfacere cel puțin unul dintre cele două
produse de la F să fie vândute în detrimentul firmei concurente . Pentru rezolvarea prob lemei vom
fixa evenimentele:
:A1
primul produs al firmei F este preferat celui de la firma concurentă

57

:A2al doilea produs al firmei F este preferat celui de la firma concurentă
Se dau probabilitățile:
6,0)A(P)A(P2 1  . Faptul că dintre cele două produse cel puțin unul este
preferat pe piață se scrie ca reuniunea evenimentelor de mai sus, adică:
2 1A A . Cele două
produse se vând independent unul de celălalt, deci are loc:
36,0 A AP APAP A AP2 1 2 1 2 1 
.
În concluzie, avem:

 84,0 36,06,06,0 A APA AP AP AP A AP
2 12 1 2 1 2 1


Introducem notația:

)B(PBAPBAP
(3.1.)
și citim: probabilitatea condiționată a lui A relativ la B. Dacă P (B) = 0, atunci fracția ( 3.1.) conduce la
un caz de nedeterminare
00 , pe care îl vom evita c onsiderând că ori de câte ori vom scrie
probabilitatea condiționată P(A/B), vom ști că se impune P(B) > 0, chiar dacă acest lucru nu este
menționat explicit. P(A/B) înseamnă probabilitatea (șansa) de realizare a lui A, în condițiile în care
știm sigur că B s-a realizat.
Exemplul 3.2.3 . Se consideră o urnă U cu următoarea structură: 4 bile albe și 5 bile negre. Se fac
două extrageri succesive din U, fără a pune bila extrasă înapoi. Să notăm cu:
A1 : la prima extragere am obținut bilă albă
A2 : la a doua ext ragere am obținut bilă neagră.
Avem,
94=)A(P1 deoarece în U avem 4 bile albe, deci 4 șanse de a obține o bilă albă la o extragere,
din 4+5=9 bile care înseamnă toate bilele din urnă. Am putut, deci, stabili P(A 1). Pentru P(A 2), însă nu
putem pre ciza cu exactitate o valoare. Rezultatul celei de -a doua extrageri depinde de noua structură
a urnei, astfel:
Dacă la prima extragere s -a obținut bilă albă, ceea ce înseamnă că evenimentul A 1 s-a realizat, urna U

58
are structura: 3 bile albe + 5 bile negre . Probabilitatea ca la a doua extragere să obținem bilă albă,
deci să se realizeze A 2, este în acest caz
83. Aceasta este o probabilitate condiționată:
83 = )AA(P1 2
Dacă la prima extragere am obținut bilă neagră, deci s -a realizat c omplementarul lui A 1 ( notat CA 1),
structura urnei este: 4 bile albe + 4 bile negre și
21
42CAAP1 2  reprezintă probabilitatea ca la
a doua extragere să rezulte bilă albă, știind că la prima extragere s -a obținut bilă neagră.
Mai putem calcula
1 2 1 2 CA CAPșiA CAP , care se traduc astfel:
1 2A CAP = probabilitatea ca
la a doua extragere să obținem bilă neagră, dacă la prima extrage re am obținut bilă albă și este :
85 = )A CA(P1 2

1 2CA CAP
= probabilitatea ca la a do ua extragere să rezulte bilă neagră, dacă la prima extragerea
a rezultat neagră :
21 = 84 = )CA CA(P1 2 .
3.3. Funcția de repartiție
Acest paragraf se va ocupa de funcția de repartiție pentru o variabilă aleatoare , fie că ea este
discretă, fie continuă. Multiplele utilizări în practică fac ca discutarea acestei funcții să fie un aspect
important al recapitulării elementelor de teoria probabilităților. Pentru a înțelege cum ajungem la
construcția acestei funcții, vo m porni de la un exemplu.
Exemplul 3.3.1. Fie variabila aleatoare discretă X, definită prin




3,02,01,02,02,02 101 2:X . Vom
calcula următoarele valori de probabilitate:
1 XP
,
1XP,3 XP  .
Să observăm că i negalitatea
1 X se traduce prin valorile pe care le ia variabila aleatoare din enunț
(deci, cele înscrise pe prima linie) și care sunt mai mici sau cel mult egale cu -1. În cazul de față există
valorile X = -2 și X = -1 care întrunesc această condiție. Proba bilitățile cu care apar aceste valori sunt
0,2 și 0,2, deci putem scrie:
 4,02,02,01 XP2 XP1 XP 
.

59
Pentru celelalte valori, avem:
0)3 X(P  , deoarece în variabila aleatoare valorile încep de la – 2 și
3,02XP1XP 

Am ales pentru cal culul probabilităților de mai sus forme de inegalitate care includeau valori ale
variabilei aleatoare: -1,1, sau numărul fixat -3. Să presupunem acum că dorim să calculăm
xXP
,unde x este un număr real arbitrar. Vom discuta, desigur, în funcție de valorile pe care le
poate lua x.
 dacă x < – 2, avem în mod evident:
0)xX(P
 dacă – 2
 x < -1, avem:
2,0)2 X(P)xX(P 
 dacă – 1
 x < 0, avem:
4,02,02,0)1 X(P)2 X(P)xX(P 

 dacă 0
 x < 1, avem:
5,01,02,02,0)0X(P)1 X(P)2 X(P)xX(P 

 dacă 1
 x < 2, avem:
7,02,01,02,02,0)1X(P)0X(P)1 X(P)2 X(P)xX(P


 dacă
2x , avem:
13,02,01,02,02,0)2X(P)1X(P)0X(P)1 X(P)2 X(P)xX(P

Aceste rezultate pe care le –
am obținut le vom scrie restrâns astfel:

60








    

2x dacă,12×1 dacă,7,01×0 dacă,5,00×1 dacă,4,01 x2 dacă,2,02 x dacă,0
)x(F2x dacă,3,02,01,02,02,02×1 dacă,2,01,02,02,01×0 dacă,1,02,02,00×1 dacă,2,02,01 x2 dacă,2,02 x dacă ,0
)x(F
Vom spune că F (x) este funcția de repartiție a lui X.
După cum a fost construită, putem defini funcția de repartiție a unei variabile aleatoare discrete ca
fiind
 )xX(P)x(F,1,0R:F  
(3.2.)
Se demonstrează că funcția de repar tiție din definiția anterioară are proprietățile:
 este o funcție monoton crescătoare
 are valoarea minimă egală cu 0 și
0)x(Flim
x

 are valoarea maximă egală cu 1 și
1)x(Flim
x

 este semicontinuă, mai exact este continuă la stânga
Așa cum o arată și exercițiul anterior, funcția de repartiție pentru variabila aleatoare discretă în
discuție este o funcție în scară: graficul ei este în trepte (vezi figura de mai jos). Mai mult, este o
funcție crescătoare, cu valoarea minimă egală cu 0 și valoarea maximă egală cu 1. Față de afirmația
de mai sus, mai avem de verificat semicontinuitatea lui F în fiecare dintre punctele – 2, – 1, 0, 1, 2.
Pentru x = – 2, arătăm că
)2(F)x(Flim
2×2 x
 adică, dacă înlocuim,
)2(F02,0lim
2×2 x
 , ceea ce este
adevărat. Pe de altă parte,
2,02,0lim)x(Flim
2×2 x
2×2 x 

 , deci funcția este continuă doar la dreapta, prin
urmare este semicontinuă.

61
Pentru celelalte puncte avem de dovedit pe rând următoarele egalități:
)1(F)x(Flim
1×1 x
 ,
)0(F)x(Flim
0x0x

,
)1(F)x(Flim
1x1x
 ,
)2(F)x(Flim
2x2x
 . Dată fiind simplitatea verificării, lăsăm ca temă.
1
0,5

Figura 3.2. Funcția de repartiție ca funcție în scară, pentru o variabilă aleatoare discretă.
Observați că, pentru funcția de rep artiție a unei variabile aleatoare discrete, condițiile din definiție
sunt satisfăcute aproape evident.
Funcția de repartiție pentru variabile aleatoare discrete este foarte utilă în aplicații pentru calculul
probabilităților de forma:
bXaP , unde a și b sunt două numere reale. Se poate demonstra cu
ușurință că:
 )a(F)b(FbXaP 
(3.3.)
unde F este funcția de repartiție a variabilei aleatoare X.
În cazul unor variabile aleatoare continue, este foarte clar că funcția de repartiție se va calcula tot pe
baza unor calcule integrale. De fapt, pornind de la (3.2.) vom spune că penbtru o variabilă aleatoare
continuă de forma
Rxxfx:X



 funcția de repartiție F se definește astfel:
 
 x
dttf )xX(P)x(F,1,0 R:F
(3.4.)
Din (3.4.) și din (3 .3.) deducem imediat că pentru o variabilă aleatoare continuă, de forma
Rxxfx:X




, putem calcula:

62

aFbFdttf)bXa(Pb
a (3.5.)
Exemplul 3.3.2. Vom calcula acum funcția de repartiție pentru variabila aleatoare continuă din
exemplul 3.1.5., care are funcția densitate de probabilitate



altfel,04,1 x,x653
xf2 .
Este evident faptul că vom distinge trei cazuri și anume:
1x ,
4,1 x și de asemenea
4x .
Să găsim forma lui
xF pentru fiecare dintre cele trei situații și pentru asta să folosim (3.4.):
Dacă
1x , atunci
 0dt0 dttf )x(Fx x

  , adică
0)x(F
1x .
Dacă
4,1 x , atunci
 

 x
11 x
dttf dt0 dttf )x(F . Continuăm calculul și obținem:
651x
3t
653dtt653dt0 )x(F3x
13 x
121  
 

,

4,1 x
În fine, mai avem cazul
4x și atunci


 x
44
11 x
dttf dttf dttf dttf )x(F

1dt0 dtt653dt0 )x(Fx
44
121
  



În concluzie, funcția de reprtiție pentru var iabila aleatoare continuă pe care o studiem este:






4x,14×1,651×1 x,0
xF3

Dacă dorim acum să calculăm pe baza relației (3.5.) probabilitatea
 3X2P  , aceasta va fi:

63

 6528065132F3F3X2P3

Din modul în care s -a obținut fincția de repartiție în cazul variabilelor aleatoare contiune, deducem că
există o relație între ea și densitatea de probabililate f. Această relație este, în mod evident:
xFxf
(3.6.)
Egalitatea are loc pentru toate acele valori ale l ui x pentru care mărim ile au sens. Exemplul următor
ne va arăta modul în care se poate deduce funcția densitate de probabilitate odată ce cunoaștem
funcția ei de repartiție și vom aduce în discuție o variabilă aleatoare mixtă.
Exemplul 3.3.3. [Arcones, 2005 ] Vom considera că va riabila aleatoare X are funcția de repartiție
definită astfel:






2x,12×1,164 x31x0,82x0x,0
xF2

Vom arăta modul în care se deduce distribuția de probabilitate pentru această variabilă aleatoare și
vom porni de la observația că funcția F nu este continuă așa cum ar cere proprietățile ei teoretice:
82082xFlim0F 0F0F
0x 


161
83
167xFlim1F 1F1F
1x 


 016161xFlim2F 2F2F
2x 

, deci F este continuă în 2.
Valorile de probabilitate pentru rezultatele 0 și 1, care vor face parte din componenta discretă a
variabilei aleatoare X, se calculează din:
820F0F0XP0XP0XP 

64

1611F1F1XP1XP1XP 
Partea discretă a variabilei aleatoare X este, prin urmare:






altfel,01x,1610x,82
xp

Pentru a obține partea continuă a variabilei aleatoare X vom deriva în forma funcției de repartiție F:
 

















altfel,02×1,8x31x0,81
xf
altfel,02×1,164 x31x0,82x
xf2

Se poate observa că variabila aleatoare X este, chiar și în cazul în care este caracterizată de o
componentă discretă și de una continuă, o variabilă aleatoare în adevăratul sens al cuvântului pentru
că probabilitatea totală este 1:

 1 dx8x3dx811XP0XP1 dxxf xp
2
11
0R x
 


3.4. Distribuții speciale de probabilitate
Manualele de teoria probabilităților alocă un spațiu vast descrierii modului în care operează diferite
tipuri de distribuții de probabilitate, care sunt proprietățile lor și cum anume putem stabili că o
variabilă aleatoare urmează o anumită distribuție și nu alta. Cu privire la aceste aspecte vom mai
discuta în capitolul următor, în relație directă cu problematica riscului care ne interesează în această
lucrare.

65
Prezentarea distribuțiilor d e probabilitate ar trebui să înceapă, întotdeauna, cu distribuțiile discrete.
Din punct de vedere formal sunt mai simplu de prezentat și de instrumentat, iar din punct de vedere
practic sunt mai ușor de înțeles. Vom începe și noi tot cu câteva distribuții discrete și vom pune
accent pe posibilitatea utilizării lor în evaluarea riscului la nivel de firmă.
Distribuția binominală cu două stări
Cunoscută și sub numele de distribuția lui Bernoulli, ea modelează următoarea experiență aleatoare:
din n urne cu stru cturi identice, care conțin bile albe și bile negre într -o anume proporție, se face câte
o extragere. Se urmărește numărul de bile albe obținute ca urmare a acestor n extrageri, număr care
în mod cert nu poate fi cunoscut înainte de încheierea experienței. Dacă în fiecare urnă există a bile
albe și b bile negre, este simplu să observăm că din totalul a + b al bilelor din urnă probabilitatea ca la
o extragere să apară o bilă albă este
b aap

Se poate demonstra – și Bernoulli a demonstrat cu mult timp în urmă – că probabilitatea ca din
totalul de n bile extrase să fie k albe și restul de n – k negre, este:
kn kk
n k p1pCP
(3.7.)
Exemplul 3. 3.1: Un utilaj a cărui funcționare este automată, poate genera rebuturi. Experiența
anterioară arată că un produs rezultat pe această linie de producție este respins la controlul de
calitate cu probabilitate de 1,4%. Câte rebuturi generează utilajul, dintr -un total de 20 produse
fabricate?
Multă lume poate răspunde la această întrebare spunând că tr ebuie făcută înmulțirea dintre 20 și
1,4/100, adică va fi vorba de „vreo” 2 sau 3 rebuturi. Într -un anume fel răspunsul este corect, dar el
arată un număr mediu de produse la care ne putem aștepta să fie respinse de controlul de calitate.
Câte rebuturi gen erează efectiv utilajul nu putem ști cu exactitate. Poate să fie vorba de 5, de 17 sau
de nici unul. Orice număr între zero și douăzeci poate fi răspunsul la întrebarea noastră, dar intuim că
anumite variante sunt mai probabile ca altele.
Să vedem legătura între acest exemplu și distribuția binomială: în modelul teoretic, urnele sunt
obiectul de interes. Prin urmare, pe poziția lor se vor găsi cele n = 20 de produse. Extragerile din urnă
sunt asimilate expunerilor la proasta funcționare a utilajului. Rezult atul extragerii este obținerea bilei

66
albe, iar rezultatul studiat în exemplul nostru este apariția rebutului. Probabilitatea apariției unei bile
albe este asimilată șansei (sau neșansei!) de obținere a unui rebut , prin urmare p = 0,014. În
concluzie, pro babilitatea ca din cele 20 de produse un număr egal cu k să fie rebuturi, iar restul de 20
– k să fie corespunzătoare, este:
k20986,0k014,0k
20CkP

Înainte să stabilim cadrul general de aplicare a distribuției binomiale în evaluarea riscului, este nevoie
să mai facem câteva observații importante. Modelul teoretic vorbește despre n urne diferite, dar
identice ca structură. Din fiecare din ele se face exact o extragere, existând posibilitatea obținerii
unei bile de oricare din cele două culori. Aceste ipotez e ne spun, de fapt, că avem de -a face cu n
evenimente (rezultate ale extragerilor):
 Independente, pentru că fiind vorba de urne diferite acestea nu se pot influența reciproc
pentru obținerea de bile de o anumită culoare;
 Egal probabile, pentru că în toat e urnele ponderea bilelor albe este aceeași.
În fine, din fiecare urnă se face exact o extragere, deci atunci când vom aplica practic modelul va
trebui să avem în atenție acest aspect. În exemplul nostru, toate aceste ipoteze sunt îndeplinite:
fiecare pro dus poate de veni rebut indiferent de ce se întâmplă cu celelalte, experiența anterioară ne
spune că probabilitatea să se întâmple un astfel de eveniment este aceeași pentru toate produsele și
nici un produs nu poate deveni rebut de mai multe ori.
La fel c a pentru oricare instrument matematic, utilizarea distribuției binomiale are avantaje și limite.
O primă limită se referă la faptul că numărul n al unităților expuse nu trebuie să depășească 20,
pentru ca rezultatele să fie relevante. Pentru n > 20, vom ve dea că se aplică alte metode de lucru. De
asemenea, nu în toate cazurile se poate vorbi despre aceeași probabilitate de apariție a pierderii
pentru toate unitățile expuse, nici despre independența expunerilor și nici despre faptul că o unitate
nu poate fi expusă de mai multe ori în aceeași perioadă de timp. Devine naturală convingerea că
există și alte distribuții teoretice de probabilitate care se pot utiliza în diferite situații concrete.
Distribuția Poisson
Deși are o formă aparte, în sensul că rezultate le posibile ale acestei distribuții sunt o infinitate, ea
este tot o distribuție discretă de probabilitate, utilizată adesea pentru determinarea numărului de
apariții ale unui eveniment într -un interval de timp specificat, sau într -un anumit spațiu. Ne poa te

67
interesa, de exemplu, numărul defecțiunilor care apar într -o oră pe o linie de producție, numărul de
reparații care trebuie făcute unei mașini în 50.000 km parcurși, sau numărul care nu corespunde
standardelor de greutate, din 200 de pungi rezultate de pe o linie de ambalare. Pentru a putea utiliza
distribuția Poisson este nevoie să fie îndeplinite două condiții pe care le vom enunța imediat și care
ne asigură că probabilitatea apariției de x ori a fenomenului generator de pierdere este dată de o
funcție cunoscută sub numele de funcția de probabilitate Poisson.
1) Probabilitatea de apariție a evenimentului este aceeași, pentru orice două intervale (de timp,
spațiu etc.) de aceeași lungime.
2) Apariția sau neapariția evenimentului în oricare interval este independentă de apariția sau
neapariția evenimentului în oricare interval.
Atunci, funcția Poisson de probabilitate este:
!xexpx
, x = 0, 1, 2, … (3.8.)
Am notat cu μ numărul mediu de apariții ale evenimentului, iar cu e numărul lui Euler, e = 2,71828.
Înainte de a trece mai departe, trebuie să observăm că în (3.8.) nu se impune o limită superioară a
numărului de apariții ale evenimentului, deci teoretic o distribuție Poisson poate avea o infinitate de
rezultate. Referindu -ne la exemplul def ecțiunilor care pot să apară în decurs de o oră pe o linie, de
producție, cu siguranță că presupunerea că ele ar fi 20, 100 sau 2000 este stranie. Dacă ar constata
una ca asta, cu siguranță că întreprinzătorul nu s -ar mai ocupa cu calcul de probabilități, ci ar face o
investiție serioasă într -o linie de producție corespunzătoare. Să nu înțelegem, totuși, că distribuția
Poisson este inaplicabilă, ci să avem încredere în faptul că valorile de probabilitate p(x) care se abțin
pentru un număr nenatural de mare al aparițiilor evenimentului dăunător se dovedesc atât de mici,
încât nici nu vor fi luate în considerație.
Atunci când discutam despre distribuția binomială, spuneam că avantajul utilizării ei ține de faptul că
este necesară cunoașterea unei singure mărim i și anume p. În cazul distribuției Poisson acest avantaj
se menține, în sensul că nu trebuie să determinăm decât numărul mediu de apariții ale
evenimentului nefavorabil, μ, într -un anume interval de timp. Între aceste două distribuii există o
legătură pe care trebuie să o amintim. Dacă, în ipotezele distribuției binomiale, numărul n al
unităților expuse este din ce în ce mai mare, iar valoarea de probabilitate p devine din ce în ce mai
mică astfel încât produsul μ = np să se mențină constant, atunci distri buția Poisson cu μ menționat

68
anterior devine o bună aproximare pentru distribuția binomială. O convenție acceptată16 este aceea
că aproximarea distribuției binomiale cu distribuția Poisson se poate face ori de câte ori p ≤ 0,05 și n
≥ 20. Desigur, aproximar ea este posibilă chiar dacă aceste două condiții nu sunt îndeplinite, dar
rezultatul obținut ar putea să nu fie relevant.
Nu putem încheia această secțiune fără să facem o scurtă prezentare a distribuției normale,
considerată poate cea mai importantă dintr e distribuțiile continue de probabilitate.
Distribuția normală
Scopul acestui paragraf nu este în nici un caz reluarea unor binecunoscute caracteristici matematice,
formale, ale acestei distribuții, deși este esențial să spunem că din punct de vedere al re partiției
normale, probabilitatea obținerii unui rezultat x este:

22
2mx
e
21xf

(3.9.)
unde m și
 sunt doi parametri a căror semnificație, foarte importantă de altfel, va fi reamintită
cititorilor atunci când vom discuta asupra măsurării riscului.
La fel ca și distribuția Poisson, distribuția normală poate fi utilizată pentru a descrie evoluția unui
fenomen aleatoriu luat ca atare, sau pentru aproximarea unei distribuții binomiale. Să spunem de
exemplu, că o firmă producă toare de lapte utilizează o mașină de îmbuteliat care are sarcina să
umple sticle de un litru. Față de această cantitate, se admite o toleranță de ± 5%, dar uneori
sticlele pot fi umplute mai mult sau mai puțin, ceea ce conduce la respingerea lor îna inte de a fi
trimise spre vânzare. Se intuiește faptul că distribuția normală este cea care redă cel mai fidel
apariția abaterilor de la cantitatea de 1 litru motiv pentru care, dacă parametrii m și
 sunt: m
= 1 și  = 0,00 25, atunci probabilitatea ca o sticlă să fie respinsă la controlul de calitate se poate
calcula util izând tabelele repartiției normale.
În cazul în care fenomenul studiat se încadrează în condițiile 1 -3 ale distribuției binomiale și dacă au
loc simultan: n p ≥ 5 și n(1 -p) ≥ 5, atunci distribuția binomială se poate aproxima printr -o distribuție
normală cu parametrii m = np și  = np(1 -p). Imediat ce vom trece la prezentarea măsurilor utilizate

16 Anderson D ., Sweeney D., Williams T. – Statistics for Business and Economics , Second Edition, West
Publishing Company.1984.

69
pentru risc, în capitolul următor, va deveni foarte limpede motivu l pentru care distribuția normală
este foarte agreată în practică.
3.4. Valori numerice pentru o variabilă aleatoare
Această secțiune se va referi doar la variabilele aleatoare discrete, pentru care determinarea valorilor
care ne vor interesa nu presupune calcul integral. Pentru aceia dintre cititori care sunt interesați să
aprofundeze aspectele teoretice legate de variabile aleatoare continue recomandăm un materialul
bibliografic cu un grad mai mare de dificultate , menționat la sfârșitul cărții.
Pentru o variabilă aleatoare putem calcula anumite valori numerice care se vor dovedi deosebit de
utile în aplicații. Cele mai întâlnite astfel de valori sunt media, dispersia și abaterea standard ale unei
variabile aleatoare dar și corelația dintre două astfel de variabile, indiferent că ele sunt discrete sau
continue. Această secțiune se va ocupa, așa cum am precizat, de calculul valorii medii, dispersiei,
abaterii standard și corelației în cazul variabilelor aleatoare discrete.
Dacă




n 2 1n 2 1
p ppx xx:X este o variabilă aleatoare discretă simplă, definim media, au valoarea ei
așteptată, mărimea notată M (X) și definită astfel:
nn 22 11 px pxpxXM  
. (3.10 .)
Dacă X și Y sunt variabile aleatoare discrete, atunci M (X + Y ) = M (X) + M (Y). De asemenea, ca o
consecință directă a acestei afirmații, putem spune că dacă X este o variabilă aleatoare discretă a
cărei medie există și dacă a este o constantă reală, atunci are loc relația: M(aX) = a M(X).
Exemplul 3. 5.1. Fie variabila aleatoare discretă




4,04,02,03 11:X . Vom verifica egalitatea M (3X) =
3M (X). Pentru asta vom spune că regula de înmulțire cu o constantă este următoarea: se înmulțește
cu constanta respectivă întreaga linie a rezultatelor, iar probabilitățile rămân neschimbate.







 
4,04,02,09 33:X34,04,0 2,0333131:X3

Obținem, prin aplicarea lui (3. 10.):
2,44,094,032,0)3()X3(M 

70
Pe de altă parte, avem:
6,14,034,012,0)1()X(M4,04,02,03 11:X 




Relația pe care trebuia să o verificăm este adevărată:
M (3X) = 3M(X)
6,132,4 .
Pentru variabila aleatoare discretă X se calcu lează dispersia notată
2 2sau),X(D  , din formula
următoare:
2 2 2)X(M)X(M)X(D 
(3.11 .)
Numărul
)X(D2 se numește abatere medie pătratică a lui X.
Exemplul 3.5.2. Fie variabila aleatoare discretă




21
41
41101
:X . Vom calcul a media ei, dispersia și
abaterea medie pătratică. Din (3.10 .) rezultă, prin înlocuire:
41
211410411 )X(M 

Calculăm
2X prin ridicarea la pătrat a elementelor de prima linie și lăsând probabilitățile
neschimbate :










43
4110
:X
21
41
4110 1
:X22 2 2
2
43
431410 XM2

Pentru calculul abaterii medii pătratice avem nevoie de dispersie, pe care am definit -o în (3.11 .).
Înlocuim și obținem:
411)X(D1611
41
43)X(D22
2 



Exemplul 3.5.3. Vom scrie variabila aleatoare atașată experienței aruncă rii unui zar. Și apoi vom
calcula media și dispersia ei. Am determinat anterior variabila aleatoare în discuție, ca fiind

71





61
61
61
61
61
61654321
:X





61
61
61
61
61
61654321
:X2 2 2 2 2 2
2
Calculăm:
 2765432161)X(M 

 69165432161XM2 2 2 2 2 2 2

Dispersia se calculează după formula (3.11 .):
1235
449
691)X(D )X(M)X(M)X(D2 2 2 2

6105
1235)X(D2 

Va trebui să facem mențiunea că mărimea
)X(D2 a fost definită pentru o variabilă X arbitrară.
Aceasta ne spune că trebuie ca dispersia unei variabile aleatoare să fie un num ăr pozitiv, indiferent
de forma variabilei aleatoare discrete X, pentru ca radicalul cu ajutorul căruia a fost definită să
existe.
Nu putem încheia această secțiune fără să prezentăm un model de calcul pentru media și dispersia
unei variabile aleatoare co ntinue și în acest scop ne vom referi la tot la variabila Y din Exemplul
3.1.5., pentru care am determinat varoarea b a parametrului ca fiind
653b . Deocamdată să
spunem că dacă o variabilă aleatoare continuă este de forma X:




xfx , atunci media ei se calculează
din:

Rdxxxf XM
, (3.12 .)
iar

R2 2dxxfx XM . (3.13 .)

72
Dispersia ei, odată calculate
XM și
2XM , se determină după aceeași formulă de calcul ca și în
cazul variabilelor aleatoare discrete.
Exemplul 3.5.4. Vom calcula, așadar, media și dispersia variabilei aleatoare continue Y a cărei funcție
densitate de probabilitate este


altfel,04,1 x,x653
xf2 .
Media variabilei Y este:
dxxxf dxxxf dxxxf dxxxf YM
44
11
R

   

 dxx653dx0 dxx653x dx0 YM4
13
44
121





52153
41
44
653
4x
653YM4 44
14



  


Similar,
dxxfx dxxfx dxxfx dxxfx YM
424
121
2
R2 2

   

 dxx653dx0 dxx653x dx0 YM4
14
44
12 21
2 




13123
51
54
653
5x
653YM5 54
15
2


  


Dispersia se va calcula din formula:
 8,052153
13123YM YMYD2
2 2 2



Abaterea standard a variabilei aleatoare Y este:
 894,0 YD2 

73
3.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
1. Explicați din ce motiv este necesară intervenția instrumentelor formale, specifice matematicii
în general și teoriei probabilităților în special, pentru studiul riscului?
2. Explicați noțiunea de experien ță aleatoare și dați 5 exemple de astfel de experiențe pentru
care puteți atribui valori de probabilitate diferitelor rezultate posibile?
3. Ce este o variabilă aleatoare? Dați exemplu de o variabilă aleatoare care să exprime
rezultatele posibile la examenul de Economia Riscului. Există mai multe variabile aleatoare pe
care le puteți construi, relativ la experiența aleatoare pe care v -am formulat -o? Explicați.
4. Care este diferența dintre o variabilă aleatoare discretă și o variabilă aleatoare continuă?
Dați cât e două exemple concrete din fiecare, explicând modul în care ați dedus forma lor din
exemplele practice pe care le -ați ales.
5. Explicați maniera de calcul a probabilității ca raport între numărul de cazuri favorabile și
numărul de cazuri posibile. Dați exemp lu de trei situații concrete în care o astfel de abordare
se poate utiliza și explicați, relativ la fiecare caz în parte, de ce oricare valoare de
probabilitate se află situată în intervalul
1,0 .
6. Explicați ce sunt evenimentele dependent e și evenimentele independente. Dați exemplu de
trei situații practice în care să apară fiecare dintre cele două tipuri de evenimente. Justificați
de ce credeți că evenimentele pe care le -ați ales sunt dependente sau, dimpotrivă,
independente.
7. Enunțați ipo tezele în care funcționează distribuția lui Bernoulli. Găsiți un exemplu practic în
care aceste ipoteze funcționează (justificați!) și construiți, pe baza acestui exemplu, o
problemă de teoria probabilităților. Rezolvați -o!
8. Enunțați ipotezele în care funcț ionează distribuția Poisson. Găsiți un exemplu practic în care
aceste ipoteze funcționează (justificați!) și construiți, pe baza acestui exemplu, o problemă
de teoria probabilităților. Rezolvați -o!
9. Care sunt principalele valori numerice pe care le atașăm în mod tradițional unei variabile
aleatoare și le utilizăm în studiul riscului? Exemplificați calculul pentru următoarele variabile
aleatoare: a)




51
52
51
514321
:X ; b)




xfx:X unde
R R:f ,






altfel,02×1,1x1x,21
xf ; c)
X variabilă aleatoare discretă pentru care

502xxxXP , pentru x egal cu 1, 2, 3 și 4,

74
iar
0xXP dacă X ia alte valori; d) X este variabilă aleatoare a cărei funcție de
repartiție este






4x,14×2,302x3x2x,0
xF2 .
10. Ce este funcția d e repartiție a unei variabile aleatoare și ce semnificație practică îi puteți
acorda? Explicați legătura dintre funcția de repartiție F a unei variabile aleatoare X și
densitatea ei de probabilitate, pentru cazul d) de la exercițiul anterior.

75

CAPITOLUL 4.
DESPRE EVALUAREA RISCULUI
4.1. Construcția distribuțiilor de probabilitate utilizate în studiul riscului
4.2. Nevoia de distribuții teoretice
4.3. Modalități de măsurare a riscului
4.4. Măsuri ale riscului pentru situații particulare
4.5. M ăsuri alternative ale riscului
4.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
Obiectivele capitolului
Acest capitol își propune să prezinte cititorului cele mai obișnuite metode prin care specialiștii înțeleg să
construiască distribuțiile de probabil itate pe care le utilizează apoi în studiul riscului și de asemenea să treacă în
revistă cele mai importante – și totdată cele mai simple – maniere de evaluare a riscului.
4.1. Construcția distribuțiilor de probabilitate
utilizate în studiul riscului
Ori de câte ori veți încerca să aflați cum obțin specialiștii atâtea valori numerice pe baza cărora vă
spun că lucrurile vor sta așa și așa, și vor evolua așa și pe dincolo, vi se va răspunde savant că „se
lucrează cu date statistice”. Dacă vreți să aflați ce va mai mult, fie trebuie să vă purtați frumos, fie să
învățați singuri. Metodele care stau la baza descrierii fenomenelor care au avut loc într -un context nu
sunt nici multe, nici foarte complicate și de aceea este timpul să le luăm în discuție.
4.1.1. Metoda bazată pe date istorice
Așa cum se poate intui din însăși denumirea ei, metoda presupune observarea datelor anterioare
momentului în care se realizează studiul, presupunând că acestea există și sunt accesibile. Interesat
fiind de un anumit tip de pier dere, dintr -o anumită cauză și pentru o perioadă de timp stabilită,
întreprinzătorul va trebui să consulte documentele firmei și să afle, astfel, numărul de apariții ale
pierderilor pe parcursul unei perioade îndelungate de timp. În felul acesta, el va reu și să obțină
informații despre frecvența diferitelor niveluri de pierdere deja apărute și va putea estima
probabilitatea ca ele să se producă din nou.

76
Exemplul 4.1.1. Se poate constata, ipotetic și simplist vorbind, că în ultimii 15 ani firma
întreprinzăto rului despre care vorbeam mai devreme a înregistrat pierderi ca urmare a întreruperii
procesului de producție din cauza defecțiunilor tehnice. Datele istorice pe care le presupunem a fi
obținute ca urmare a studiului acestei perioade sunt trecute în Tabelu l 4.1. Întreprinzătorul va putea
calcula frecvența de apariție a fiecărui nivel al pierderii, stabilind de exemplu că o pierdere de
2400 u.m. are o frecvență relativă egală cu 15/50 = 0,3 în perioada de timp pentru care s -au studiat
datele. Simila r, o pierdere severă de 12.000 u.m. a fost înregistrată o singură dată în 50 de apariții,
deci probabilitatea de a se produce și pe mai departe este estimată ca fiind egală cu frecvența
relativă de 1/50 = 0,02. Conform acestor date istorice , putem const rui (în Tabelul 4 .2.) distribuția de
probabilitate pentru pierderile totale la care se poate aștepta întreprinzătorul în perspectivă.
Întrebarea este: cât de corectă este această distribuție și cât de bine surprinde realitatea
fenomenului „pierdere”?
Spun eam că datele au fost culese pentru ultimii 15 ani. Este foarte posibil ca această perioadă de
timp să nu mai fie relevantă, de exemplu, pentru că schimbarea unor echipamente uzate,
achiziționarea de tehnologii avansate, îmbunătățirea condițiilor de lucru etc. fac ca întreruperile
producției ca urmare a defecțiunilor tehnice să se fi redus foarte mult.
De altfel, este unanim acceptat faptul că viteza uriașă de evoluție tehnologică și permanentele
modificări ale mediului de afaceri intern și extern fac ca p erioadele de timp pentru care datele rămân
relevante să se micșoreze drastic. Dacă, de exemplu, toate pierderile mai mari de 4000 u.m. au fost
înregistrate până la momentul înlocuirii unor echipamente învechite (adică, acum 7 ani), de atunci
încoace pierde rile nedepășind 3800 u.m., cu siguranță că datele din tabelul 4.1. ar trebui să arate
altfel, pentru a putea fi utilizate pentru construcția unei distribuții corecte.
Număr de apariții Pierdere totală (u.m.)
4
8
15
8
7
5 1200
1500
2400
3200
3800
4500

77
2
1 7000
12.000
Total: 50 35.600
Tabel 4 .1.: Numărul de apariții pentru diferitele pierderi totale înregistrate de firmă în perioada de
timp studiată (15 ani)
Pierdere totală
(u.m.) Probabilitate Pierdere totală
(u.m.) Probabilitate
1200
1500
2400
3200 0,08
o,16
0,30
0,16 3800
4500
7000
12.000 0,14
0,10
0,04
0,02
Tabel 4 .2.: Pretinsă distribuție de probabilitate pentru pierderile totale potențiale, obținută pe baza
datelor din tabelul 4 .1.
Este la fel de adevărat faptul că perioadele relevante prea scurte pot păcătui prin date insuficiente,
mai ales dacă întreprinzătorul ia în calcul rezultatele anuale.
Exemplul 4.1.2. Să spunem că, în urmă cu trei ani, o firmă a adus îmbunătățiri și modernizări foarte
importante în majoritatea punctelor nevralgice ale ac tivității, acolo unde se înregistrau de obicei
probleme generatoare de pierderi. Multe din cauzele neplăcerilor au fost astfel eliminate și, de
asemenea, o serie de efecte negative care s -ar fi putut accentua din cauza neregulilor existente, pot
fi presupu se a avea impact mai puțin grav. Cu alte cuvinte, s -a obținut eliminarea unor factori de risc
și deci a pierderilor care li se datorau și, în plus, severitatea perturbărilor rămase a fost redusă. Este
de așteptat, în consecință, ca pierderile potențiale ca re se așteaptă în perioada ulterioară
modernizării firmei să fie diferite față de rezultatele nefaste înregistrate până atunci.
Este de asemenea natural ca prognozele care urmează a fi realizate în privința pierderilor potențiale
să fie făcute pe baza dat elor recente, care corespund perioadei de după îmbunătățirea activității. În
Exemplul 4.1.2. am presupus că este vorba de 3 ani; dacă aceasta este perioada relevantă, firma se
va baza pe trei observații privind pierderile totale anuale și aceste date sunt de-a dreptul insuficiente,
în cele mai multe situații, pentru trasarea unei distribuții corecte de probabilitate. Desigur, se poate
argumenta că trei ani înseamnă 3 ∙ 2 = 6 semestre, sau 3 ∙ 4 = 12 trimestre sau mai bine 3 ∙ 12 = 36
luni. Făcând observații pe aceste perioade de timp mai scurte, numărul datelor istorice crește și

78
crește, astfel, acuratețea cu care se va construi distribuția de probabilitate a pierderilor totale. Din
păcate, însă, nu tot ce este corect în teorie este și comod de aplicat. Dacă ar fi chiar atât de simplu să
analizăm datele lunare din intervalul de trei ani și să construim corect distribuția pierderilor
potențiale din anul al patrulea, statisticienii n -ar mai pretinde că analiza seriilor de timp este o treabă
complicată! În fond, de unde provine dificultatea? Atunci când luăm în calcul pierderile anuale
obținem trei rezultate, mai mult sau mai puțin apropiate unul de altul – deci cu o variabilitate mai
mare sau mai mică.
De pildă, putem afla că în primul an de după modificările a duse în firmă, s -a înregistrat o pierdere
totală de 1500 u.m., în al doilea an de 1600 u.m., iar în anul al treilea de 2800 u.m.
Observăm, așadar, că primele două rezultate sunt apropiate unul de altul, dar al treilea este
substanțial diferit. Această var iabilitate face ca pierderea potențială pentru anul următor să fie dificil
de estimat. Utilizând date despre pierderile înregistrate lunar în cei trei ani anteriori, variabilitatea
datelor poate crește sensibil. În plus, trebuie să recunoaștem că firmele c are pot pretinde că dețin cu
adevărat aceste date lunare cu privire la toate pierderile din ultimii trei ani, sunt extrem de puține.
Prin urmare, exceptând câteva situații fericite, nu ne putem baza pe faptul că o firmă deține propriile
date istorice pent ru a determina corect forma distribuției pierdere. De ajutor pot fi în acest caz
datele suplimentare pe care întreprinzătorul le -ar obține de la firmele de asigurări sau de la institute
de statistică, dar și aici există unele inconveniente care se vor refl ecta în gradul de realism al
distribuției de probabilitate care va rezulta.
În primul rând, astfel de date se referă la firme de diferite dimensiuni, cu expuneri diferite și cu
specificități în capacitatea de răspuns la pierdere. Întreprinzătorul va trebui să aibă, așadar,
capacitatea să extrapoleze sau, dimpotrivă, să particularizeze informațiile la situația propriei afaceri
și lucrul acesta nu este tocmai ușor.
În al doilea rând, datele obținute din surse externe firmei nu se prezintă sub forma distribuț iilor de
probabilitate, ci sunt mărimi exacte care se constituie în serii temporale sau teritoriale sau, mai grav,
pot fi atât de amestecate încât numai cu mare greutate se poate realiza o analiză corectă a lor.
În sfârșit, nu putem să nu atragem atenția a supra unui alt aspect foarte important a cărui neglijare
poate duce la erori grave în evaluarea formei distribuției pierdere. Este binecunoscut faptul că fiecare
perioadă de timp este caracterizată de un anumit nivel al costurilor, fie că acestea se referă la
reparații, fie la înlocuirea totală a obiectelor deteriorate. Este important, deci, să fie făcută o ajustare

79
a valorilor obținute pe baza datelor istorice, pentru ca sumele luate în calcul ca pierderi potențiale să
fie reale.
Pornind de la toate aspect ele pe care le -am semnalat, concluzia firească este că distribuția de
probabilitate pentru pierderile totale potențiale se va evalua cu un grad mai mare sau mai mic de
subiectivism, influențată fiind atât de informațiile disponibile cât și de atitudinea în treprinzătorului
cu privire la pierderile potențiale. Din fericire, teor ia probabilităților vine în sprijinul firmei și pune la
dispoziție o serie de distribuții teoretice de probabilitate care, împreună cu datele particulare pe care
le deține întreprinzăt orul, pot ajuta la estimarea distribuțiilor pierdere.
4.1.2. M etoda bazată pe distribuții teoretice
Oricine deschide o carte de teoria probabilităților va întâlni o sumedenie de distribuții teoretice. În
funcție de complexitatea materialului, va găsi repar tițiile clasice de probabilitate sau multe alte
repartiții care sunt cunoscute doar de un anumit segment de specialiști. Fiecare distribuție în parte
modelează experiențe aleatoare cu anumite caracteristici, bine stabilite, astfel încât unuia și aceluiași
fenomen nu i se pot atribui mai multe repartiții teoretice care să -i descrie comportamentul.
De exemplu, dacă există în firmă un număr „n” de unități expuse independent la evenimente
generatoare de pierdere și dacă probabilitatea fiecărei apariții a pierd erii este aceeași pentru toate
unitățile – și anume p – atunci orice cunoscător al repartițiilor clasice de probabilitate va spune că
numărul de apariții ale pierderilor urmează o distribuție binominală, sau bernoulliană.
Dacă numărul n al unităților este mai mare decât 50, teoreticienii probabiliști spun că ipotezele de
mai sus ne duc cu gândul la o distribuție Prisson și exemplele pot continua.
Deși, mărturisim, ne -ar face o reală plăcere să prezentăm pe larg distribuțiile de probabilitate
utilizate în evaluarea riscului la nivel de firmă, ca și a modului în care se aplică ele în practică, trebuie
să admitem că lucrul acesta depășește scopul prezentei lucrări. Pentru întreprinzător este mai puțin
importantă frumusețea acestor obiecte matematice și, de fa pt, nu prea își pune problema să o
perceapă: însăși forma generală a distribuției normale de exemplu ar avea capacitatea să
demoralizeze orice cititor.
Plăcute la vedere sau nu, distribuțiile teoretice de probabilitate pot fi extrem de utile atunci când
este nevoie să evaluăm pierderile totale potențiale. Motivul este simplu: dacă pentru determinarea
variabilei aleatoare „pierdere totală” prin metoda datelor istorice este nevoie de un volum mare de
informații, de multe ori greu de obținut, atunci când exist ă deja conturat un comportament prin

80
intermediul unei distribuții teoretice de probabilitate mai este nevoie de date relativ puține pentru a
estima caracteristicile ei exacte. În plus, specialiștii au stabilit deja o mulțime de proprietăți ale
distribuțiil or teoretice și, de asemenea, direcțiile practice în care se regăsesc ele de obicei.
Multe lucrări de specialitate prezintă distribuția normală ca fiind cea mai importantă în evaluarea
riscului. E foarte adevărat, ea este specifică unei sumedenii de fenom ene aleatoare din mediul
înconjurător și are, în plus, proprietăți care fac ca utilizarea ei să fie comodă în obținerea și
interpretarea rezultatelor. Nu putem să nu ne referim la ea și îi vom face o scurtă prezentare, dar nu
pentru a repeta informații dej a cunoscute ci pentru a sublinia avantajele și limitele utilizării acestei
distribuții.
Până atunci, însă, considerăm necesar să supunem atenției câteva informații pe care nu le întâlnim
de obicei în materialele referitoare la evaluarea riscului. Motivul absenței lor ar putea fi tocmai lipsa
de comunicare între specialiștii celor două științe, economia și matematica. Matematicienii lucrează,
dar rareori economiștii se simt vizați și, mai ales, ajutați de concluziile studiilor teoretice.
În capitolul al tre ilea am adus în discuție distribuția binomială și este tipul să ilustrăm rolul important
pe care îl poate avea această distribuție teoretică în studiul riscului. Vom reaminti, într -un context
mai aplicat decât în capitolul precedent, ipotezele în care poat e funcționa distribuția binomială și
anume: ( 1) Există în firmă n unități expuse independent la un anumit tip de pierdere, dintr -o anumită
cauză și într-un interval de timp fixat, (2) Fiecare unitate este expusă pierderii o singură d ată, ( 3)
Pentru toate u nitățile expuse, probabilitatea de ap ariție a pierderii este aceeași și este egală cu p.
În aceste condiții, am stabilit că probabilitatea să se înregistreze exact k apariții ale pierderii, este
kn kk
n k p1pC P
(4.1. 1.)
Distribuția binomială ne este, deci, de ajutor în evaluarea numărului de apariții ale pierderii ceea ce
face posibilă determinarea pierderilor totale potențiale, cu condiția să cunoaștem pierderea cauzată
de fiecare apariție.
Exemplul 4.1.3. De exemplu, dacă în cazul utilajului c are produce rebuturi cunoaștem costul total
mediu al unui produs ca fiind 4 u.m., atunci pierderea totală de 40 u.m. corespunde apariției a 10 de
rebuturi și are probabilitatea
10 10 10
20 10 986,0 014,0C P

81
Pentru unii întreprinzători, această valoare ar putea să nu fie demnă de luat în seamă, motiv pentru
care o pierdere de 40 u.m. să nu se afle pe lista lor de amenințări.
Având în vedere faptul că relația (4.1 .1.) nu este tocmai relaxantă, se poate pune întrebarea de ce ar
opta întreprinzătorul pentru utilizarea distribuției binomiale atunci când fenomenul studiat o
permite.
În mod cert, este mult mai simplu decât dacă ar încerca să construiască o distribuție de probabilitate
prin metoda datelor istorice. Pentru a calcula numărul posibil de apariții ale pagubei și probabilitățile
corespunzătoare diferitelor variante, este nevoie să se estimeze doar valoarea p de probabilitate a
apariției. Acest lucru este mai ușor de realizat decât construcția integrală a distribuției de
probabilitate, fără să știm dacă ceea ce a m obținut este sau nu reprezentativ pentru descrierea
fenomenului practic.
Desigur, ca și în oricare altă situație, evaluarea valorii p pentru distribuția binomială are și un anumit
grad de subiectivism: în această evaluare nu se poate ține cont de toate informațiile care există. Cu
toate astea, o valoare a lui p cât mai apropiată de realitate este posibil de obținut.
O altă distribuție de probabilitate pe care am menționat -o în capitolul anterior este distribuția
Poisson.
Exemplul 4.1.4. Să exemplificăm aplicarea distribuției Poisson, considerând că un întreprinzător a
încheiat un număr de contracte identice cu clienții , astfel încât întreaga producție de care dispune la
un moment dat să poată fi vândută. Există posibilitatea ca exact înainte de livrarea mărfii clienții să
denunțe contractul și, pentru moment, întreprinzătorul să înregistreze pierderi în încasări.
Iată similitudinea cu modelul teoretic: (1) Cele n contracte sunt unitățile expuse la pierdere cauzată
de renunțarea clientului la a mai primi marfa. Pentru a ne situa în ipotezele schemei Poisson, trebuie
să ne asigurăm că renunțarea unui client la onorarea contractului nu influențează în nici un fel decizia
celorlalți clienți în această problemă, deci că „expunerile” sunt independente; (2) La momentul la
care ar trebui livrate produsele, contractele pot fi denunțate o singură dată, deci fiecare unitate nu
este expusă pierderii de mai multe ori; (3) Fiecare client are o anumită optică și atitudine cu privire la
respectarea contractului, deci pro babilitățile de neonorare a înțelegerii cu producătorul pot fi diferite
de la un client la altul.

82
Se poate calcula probabilitatea fiecărui număr de respingeri posibile ale contractelor și, ținând cont
de faptul că am menționat deja că orice două contracte sunt identice, vom ști să evaluăm distribuția
pierderilor totale potențiale.
Această ipoteză, a contractelor similare din punct de vedere al cantității care urmează a fi distribuită
clienților, este restrictivă dar folosește la determinarea pierderilor to tale potențiale. Dacă ar exista
diferențe între pierderile ocazionate de respingerea unui contract sau altul, atunci n -am mai avea de
unde să calculăm probabilitatea unui anume nivel al daunei pornind de la numărul de apariții.
Aceasta este în mod cert o l imită a aplicării schemei lui Poisson, dar nu înseamnă că nu putem găsi, în
practică, situații în care ea să ne fie de ajutor.
Exemplul 4.1.5. Pentru o microîntreprindere, este posibil ca existența a cel puțin 20 de unități expuse
la același tip de pierder e, dintr -o aceeași cauză și într -un interval de timp specificat să nu poată fi
îndeplinită. De asemenea, este posibil ca probabilitatea de apariție a pierderii în decursul perioadei
studiate să fie, de exemplu, de 0,12 și atunci nu se îndeplinește nici con diția p < 0,05. Să nu mai
vorbim despre acea condiție de independență în apariția pierderilor, care este și ea discutabilă, în
practică. Să fie, oare, aceste două distribuții, binomială și Poisson, simple invenții ale probabiliștilor?
Cu siguranță, nu.
Condițiile impuse de modelul teoretic pot fi satisfăcute chiar dacă întreprinzătorul nu se decide să
achiziționeze unități suplimentare pe care să le expună și chiar dacă nu poate, oricât și -ar dori, să
minimizeze probabilitatea de apariție a pierderilor pot ențiale. Haideți să punem problema astfel: un
întreprinzător își desfășoară activitatea cu ajutorul a cinci strunguri, fiecare dintre acestea fiind supus
la riscul unor defecțiuni tehnice cu o probabilitate de 0,1 anual.
Dacă gândim să evaluăm numărul def ecțiunilor care pot să apară în decurs de un an, avem o
problemă. Unitățile expuse sunt n = 5, ceea ce face comod de aplicat distribuția binomială, pentru că
n ≤ 20 și este îndeplinită condiția de independență: putem pretinde că, în cele mai multe situați i,
defectarea unui strung nu are de -a face cu defectarea altuia.
Problema este că nu avem argumente în a afirma că o asemenea mașinărie nu intenționează să
creeze probleme în mod repetat. Nu este îndeplinită, deci, condiția 2 din descrierea aplicabilități i
distribuției binomiale, aceea că fiecare unitate este expusă o singură dată. În această formă, despre
distribuția Poisson nici nu poate fi vorba pentru că nici n, nici p nu întrunesc condițiile cerute.

83
Este de intuit că întreprinzătorul nu va considera necesar să achiziționeze încă 15 strunguri doar
pentru a se încadra în ipotezele acestei din urmă distribuții de probabilitate și lucrul acesta este de
înțeles. Ce poate face, totuși? Ideea existenței mai multor posibile apariții ale defecțiunilor tehnice
este foarte utilă.
Nu spune nimeni că aceste probleme vor apărea cu precădere miercurea, sau în luna septembrie,
deci putem reconsidera studiul nostru micșorând, pur și simplu, intervalul de timp. Se poate
considera că fiecare strung ar putea să se defect eze o dată pe lună. Aceasta înseamnă că, pentru
perioada care ne interesează (aceea de un an) numărul unităților expuse la pierdere crește de la 5 la
5 ∙ 12 = 60 și iată că n ≥ 20. Devine logic și faptul că dacă probabilitatea inițială de defectare a fost 0,1
și s-a referit la o perioadă de un an, atunci pentru un interval de o lună ea va fi mult mai mică, poate
chiar 0,1 : 12 și astfel este îndeplinită și condiția p < 0,05.
În concluzie, metoda trecerii la subperioadă de timp face ca distribuția Poisson să poată fi aplicată cu
succes atunci când trebuie aproximată distribuția de probabilitate pentru numărul de apariție al
pierderilor potențiale.
A nu se înțelege faptul că distribuția Poisson este atotputernică, pentru că există în aplicarea ei o
condiție de care trebuie ținut cont: aceea că pentru toate unitățile expuse, probabilitatea de ap ariție
a pierderii este aceeași.
Referindu -ne la exemplul anterior, asta înseamnă că toate cele 5 strunguri au aceeași dorință de a
funcționa sau nu, același potențial t ehnic, eventual sunt identice din toate punctele de vedere. De
multe ori se poate să ne bazăm pe o astfel de presupunere, dar sunt și situații când nu este posibil.
Din fericire, teoria probabilităților ne pune la dispoziție instrumente pentru cele mai dif erite
contexte, dar în privința distribuțiilor discrete utilizate în studiul riscului la nivel de firmă lucrarea de
față se va opri aici.
Este foarte dificil de spus dacă o anumită distribuție de probabilitate este mai utilă decât alta. Fiecare
dintre ele are avantaje și limite ale utilizării într -o situație practică, dar este adevărat că, așa cum am
mai subliniat pe parcurs, este de preferat să știm tipologia spre care evoluează fenomenul și să
rămână de evaluat o mărime de probabilitate, p, sau o mărime m edie, μ, decât să trebuiască să
determinăm distribuția de probabilitate pe baza datelor istorice, adesea insuficiente. Nu trebuie,
însă, uitat că în estimarea acestor mărimi poate să apară o doză de subiectivism care să afecteze
validitatea distribuției. E ste recomandat ca oricare parametru pe baza căruia se va construi o
distribuție de probabilitate să fie obținut din oricât de multe informații pot fi la îndemâna firmei.

84
Trebuie să spunem, totuși, că la fel ca și distribuția Poisson, cea normală ne scapă d e condiția
incomodă că fiecare unitate expusă nu are voie să sufere mai multe pierderi potențiale în perioada
de timp considerată.
4.2. Nevoia de distribuții teoretice
S-ar putea ca într -o zi să trebuiască să discutați cu un om de afaceri japonez. Veți ști , prin urmare, să
nu vă lăsați păcăliți de zâmbetul său permanent, veți avea grijă să nu aruncați cartea lui de vizită în
geantă imediat ce v -a fost oferită și vă veți abține să -l pupați pe amândoi obrajii atunci când lucrurile
iau o turnură care vă convin e. De ce? Pentru că știți din experiența proprie sau a altora că anumite
atitudini sau comportamente pot fi fatale intereselor pe care le urmăriți. Japonezul ar putea fi un tip
de treabă, care să nu ascundă că în ziua aceea îl doare un dinte, sau ar putea să nu țină neapărat să-i
analizați cartea de vizită sau, cine știe, ar putea agrea pupăturile pentru că îi amintesc de o copilărie
fericită, petrecută undeva în Sicilia. Cu toate acestea, atunci când vă prezentați la întâlnire veți fi prudenți.
Ați aflat d in vreme ce nu trebuie să faceți la o discuție de afaceri cu un japonez și nu aveți interesul să
pierdeți din vedere lucrul acesta.
Ați putea să vă prezentați fără nici un fel de informații prealabile despre cultura și obiceiurile oamenilor
din acest popo r, despre ce agrează și ce nu și atunci totul se va desfășura după cum vă e norocul. E posibil
ca pe parcurs să realizați că ați făcut vreo gafă, dar să fie puțin cam târziu să mai schimbați ceva. Prin
urmare, dacă rezultatul întrevederii va fi opusul a ce ea ce v -ați dorit, să nu întrebați de ce.
Cam la fel stau lucrurile și în ceea ce privește distribuțiile de probabilitate, ca ilustrare formală a
fenomenelor aleatoare. O distribuție de probabilitate reprezintă cartea de identitate a riscului care vă
inter esează, un punct de plecare în analiză și o armă de calibru în descrierea lui. Așa cum calitatea de
“japonez” atrage atenția interlocutorului asupra unui set de comportamente posibile, de atitudini și
atenționări în relația care se va stabili cu omul de af aceri, la fel calitatea de “binomial”, de exemplu,
incorporează o cantitate utilă de informație pentru abordarea fenomenului generator de pagube
potențiale. Este foarte adevărat că oricât de multe am cunoaște cu privire la un risc, nu există garanții că
acesta poate fi eliminat. Dar, în loc să ne gândim – în plină desfășurare a unui eveniment dealtfel probabil
– unde anume se va opri și care cum vom face față consecințelor, este de preferat să știm, pe cât posibil,
la ce ne așteptăm și să avem deja pregătit e măsurile de contracarare a efectelor.
Nu vrem să pretindem că, pentru un întreprinzător, vestea despre existența distribuțiilor de probabilitate
ar trebui să echivaleze cu grațierea de neajunsurile provocate de riscuri. Chiar și o singură valoare de

85
probabilitate poate fi extrem de greu de estimat, uneori. Totuși, a cunoaște mai mult decât nimic despre
veșnicul adversar, riscul, este un pas important în bunul mers al activității firmei.
4.3. Modalități de măsurare a riscului
În toate lucrările de special itate se poate întâlni afirmația conform căreia odată ce a fost determinată
distribuția de probabilitate, se poate trece la măsurarea riscului pe baza câtorva valori numerice
cunoscute sub numele de medie, dispersie, abatere standard, procentilă, coeficien t de variație.
Metodele de calcul pentru aceste mărimi sunt fără echivoc și de aceea, la momentul potrivit, vom
face doar o foarte scurtă prezentare a lor.
Nu ne propunem să contestăm valabilitatea acestor măsuri ale riscului, dealtfel nici nu am avea
foarte multe argumente. Există, totuși, câteva aspecte importante care trebuie evidențiate în această
importantă etapă de evaluare a factorilor dăunători.
Vom reveni, pentru moment, la datele ipotetice pe car e le -am prezentat în Tabelul 4 .1. și la
distribuți a de probabilitate pe ca re am construit -o în Tabelul 4 .2. pe baza metodei care în statistică
este cunoscută sub numele de Metoda frecvențelor relative. În oricare dintre cele două tabele avem
informații complete despre nivelul pierderilor și despre frecven ța lor de apariție, iar calculul pierderii
medii potențiale se poate face imediat, printr -o metodă ușor de intuit. Avem de calculat o medie a
pierderilor, ponderată cu frecvențele lor de apariție. Din Tabelul 4 .1. deducem o valoare medie egală
cu:
.m.u 3070m5012001… 15008 12004m


Din Tabelul 4 .2., un calcul similar conduce la aceeași valoare medie, m = 3070 u.m. Am obținut, deci,
aceeași valoare medie pentru pierderea așteptată în următoare perioadă de timp, pe baza datelor
istorice pe care le deține firma.
Așa cum spuneam, însă, de foarte multe ori astfel de date sunt inexistente și de aceea
întreprinzătorul poate fi obligat să apeleze la date statistice culese de instituții abilitate. Este ușor de
intuit că aceste instituții nu au cum să prezinte datele în forma lo r extinsă, pentru că ar fi aproape
imposibil de gestionat.

86
Se procedează la o rezumare a lor și aceasta este forma comunicată întreprinzătorului. Să vedem, în
Tabelul 4.3., un exemplu de de rezumare a informațiilor din Tabelul 4 .1.

Pierdere totală anual ă (RON) Nr de apariții
Cel puțin 1000 și cel mult 2000
Cel puțin 2000 și cel mult 3000
Cel puțin 3000 și cel mult 4000
Cel puțin 4000 și cel mult 5000
Cel puțin 7000 și cel mult 8000
Cel puțin 12000 și cel mult 13000 12
15
15
5
2
1
Total 50
Tabel 4.3.. Datele rezumate din tabelul 4 .1., pentru intervale de pierdere de 1000 u.m.
Din datele rezumate prezentate în Tabelul 4.3. se observă imediat că nu mai putem calcula totalul
pierderilor potențiale, pentru că nu mai cunoaștem decât intervale și nu valori ex acte. Valoarea
medie a pierderilor potențiale nu se mai poate calcula pe baza metodei anterioare și întreprinzătorul
va trebui sî găsească o soluție.
Statisticienii ne spun că pentru calculul mediei ca și a celorlalte mărimi de interes în studiul riscului ,
vom proceda la o aproximare: vom considera că în intervalul 1000 – 2000, pierderea medie este de
1500 u.m.; în intervalul 2000 – 3000, pierderea medie este de 2500 u.m. și tot așa. Tabelul 4.4. arată
toate aceste mijloace ale intervalelor și frecvențele întregistrate în intervalele respective.
Valoarea medie a pierderilor rezultă a fi:
50125001 75002 45005 350015 250015 150012m
3160m
RON
Comparând valorile medii obținute pentru date complete și pentru date rezumate, se poate constata
că există o diferență d e 90 u.m.

87
Este adevărat că aproximarea prin date rezumate nu este sfidător diferită de mărimea reală, dar
trebuie să avem în vedere că nu am definit unitatea monetară. Dacă aceasta este, de exemplu, “mii
euro”, s -ar putea ca diferența de 90 u.m. să fie sem nificativă.
Este la fel de adevărat și faptul că în intervalul 12000 – 1300, mărimea reală a pierderii, aceea de
1200 u.m., apare doar o singură dată și, prin rezumarea datelor, ea a fost aproximată prin adaos cu
12500 u.m. Dacă ar fi apărut de mai multe ori, media de 3160 u.m. ar fi fost sensibil mai mare.
Mijloacele intervalele de pierdere (RON) Nr de apariții
1500
2500
3500
4500
7500
12500 12
15
15
5
2
1
Tabel 4.4. Mijloacele intervalelor de pierderi potențiale și numărul de apariții, conform tabelulu i 4.3.
Exemplul nostru, însă, cuprinde date foarte puține și alegerea mijlocului de interval a generat de
obicei, aproximări prin adaos. Într -o mulțime mare de date, o astfel de procedură poate aduce și
aproximări prin lipsă și abaterile se compensează înt r-o mare măsură.
Atunci când firma își propune să cuantifice riscul, are în vedere ca în viitor să fie la adăpost de unele
neajunsuri. Nimeni nu -i poate garanta unui întreprinzător care a înregistrat în anul anterior o
pierdere totală de 300 u.m. că în pe rioada următoare va înregistra tot atât, sau dublu, sau o treime.
Există în procesul de evaluare a pierderilor o componentă aleatoare suficient de incomodă și, fără să
mai luăm în considerare, posibile erori generate de aproximări asupra datelor. Odată lu ate în calcul
date rezumate, este posibil ca acuratețea estimării valorii medii și a celorlalte măsuri menționate ale
riscului să scadă, mai mult sau mai puțin. Iată de ce există instrumente statistice menite să ofere
informații despre veridicitatea rezultatelor obținute din calcul.
Cineva ar putea argumenta că distribuția de probabilitate care modelează comportamentul unui
fenomen aleator nu este o înșiruire de intervale în care se pot încadra rezultatele, ci este ansamblul
rezultatelor în sine. Dar cum a fost ea construită?

88
În situația în care datele iniți ale au fost prezentate într -o formă rezumată, acele rezultate nu pot fi
altceva decât valori aproximative, medii, care impietează din start asupra acurateții estimărilor
viitoare. Fără a considera că astfel de estimări sunt sortite eșecului, dorim să subli niem importanța
deținerii de date complete, care ar fi ideal să reflecte activitatea anterioară pentru chiar firma care
dorește să desfășoare o analiză de risc. O altă problemă pe care o ridică măsurile despre care vom
discuta în continuare, ține de faptul că ele pot fi obținute doar pentru date cantitative.
Exemplul 4.3.1. Să luăm exemplul unui întreprinzător care trimite pe piață un produs ambalat în
patru moduri diferite. Este de așteptat ca fiecare client să aibă propriile preferințe în materie de
amba laje, prin urmare producătorul poate obține informațiile din Tabelul 4.5., cu privire la 200 de
produse vândute. Se constată imediat că este lipsit de semnificație să încercăm calculul unei valori
medii pentru datele din acest tabel, deci nu are rost să ex primăm nici alte valori numerice.
Este evident că tipul de ambalaj poate influența nivelul vânzărilor, dar ca să poată fi calculate
rezultatele efective este nevoie ca datele să capete o formă monetară, cantitativă și nu calitativă.

Tip ambalaj Nr produse vândute
Tip A
Tip B
Tip C
Tip D 35
120
15
30
Total produse 200
Tabel 4.5.. Date de natură calitativă, care reflectă preferințele consumatorilor pentru un tip de
ambalaj
Să ne întoarcem acum la măsurarea efectivă a riscului și să facem o scurtă trecere în revistă a
definițiilor pentru măsurile clasice acceptate. Pentru aceasta, va trebui să avem deja o distribuție de
probabilitate care să modeleze fenomenul aleator, pe care reamintim din capitolul anterior că o vom
nota cu
iii
px:X


 pentru c azul discret și cu
xxpx:X


 pentru cazul continuu.
În măsura în care variabila aleatoare exprimă nivelul pierderilor potențiale, atunci media ei,
reprezentând valoare anticipată a pierderilor pentru perioada de timp următoare, este o măsură a
riscului la care este expusă firma.

89
Am văzut că valoarea medie se calculează, în funcție de natura discretă sau continuă a variabilei
aleatoare X, într -unul din următoarele moduri:

ii ixp XM
, pentru cazul discret

Rdxxxf XM
, pent ru cazul continuu.
În cazul datelor din Tabelul 4.2., valoarea medie a pierderilor potențiale a rezultat a fi m = 3070 u.m.,
ceea ce într -o altă exprimare înseamnă că întreprinzătorul riscă în perioada de timp următoare o
pierdere anticipată la 3070 u.m.
Așadar, ori de câte ori este nevoie de calculul unei valori așteptate vom proceda la aflarea valorii
medii. Cu toate acestea, media nu este întotdeauna relevantă în studiul riscului și, chiar atunci când
are semnificație, cunoașterea ei poate fi insuficien tă. Următoarea situație va ilustra foarte bine acest
aspect.

8 9 10 11
zile 0,
1 , 0,2 0,3 0,4 0,5 Frecvența relativă 0,1 , 0,2 0,3 0,4 Frecvența relativă
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

90
Figura 4.1. Frecvențe relative cu privire la numărul de zile necesare celor doi furnizori pentru
onorarea comenzilor de aprovizionare
Exemplul 4.3.2. Este recunoscut faptul că o latură importantă a activității unei firme se referă la
procesul de aprovizionare cu materii prime și materiale. În măsura în care apar întârzieri în
aprovizionare, producătorul poate intra sub incidența riscului o perațional.
Să presupunem acum că există doi furnizori care pretind că timpul mediu de livrare a comenzilor este
de zece zile. Pentru început, întreprinzătorul va trebui să aibă încredere în aceste afirmații, urmărind
pe parcurs comportamentul celor doi c olaboratori. După câteva luni s -au adunat următoarele
informații cu privire la numărul de zile necesare fiecărui furnizor pe ntru livrarea mărfii (Figura 4 .1.
arată aceste date exprimate ca frecvențe relative).
Un calcul simplu, efectuat pentru fiecare dint re cele două distribuții de frecvență, arată următoarele
valori medii ale timpilor de aprovizionare:
9,93,0115,0102,081m 
zile
102,0153,0103,091,071,062m 
zile
Deci, valorile medii pentru timpii de livrare sunt, așa cum au declarat cei doi furnizori, de apro ximativ
zece zile.
Această informație nu ne vorbește despre nici o măsură de risc, atât timp cât distribuițiile din Figura
4.1. nu sunt distribuții de pierderi potențiale și nici nu avem motive să credem că întreprinzătorul ar
avea motive să prefere unul sau altul dintre furnizori. La o privire mai atentă, oricine poate observa
că datele referitoare la al doilea furnizor sunt mai “dispersate”, în sensul că au existat situații în care
aprovizionarea s -a făcut foarte rapid, adică în 6 sau 7 zile, dar există și situații oarecum dramatice
când cele 15 zile indicate de distribuția de frecvență ar fi putut cauza întârzieri sau chiar întreruperi în
procesul de producție.
Iată, deci, că valoarea medie nu aduce în acest caz informații despre existența vreunei probl eme în
relația cu furnizorii. Specialiștii au stabilit, prin urmare, că este nevoie de o altă măsură care să
surprindă această variabilitate, sau împrăștiere a rezultatelor și ca atare au optat pentru definirea
dispersiei și apoi, pe baza ei, a abaterii m edii pătratice.
Reamintim, de asemenea, că dispersia se calculează după regula:

91

2 2 2XM XMXD 
Să acceptăm că întreprinzătorul consideră cele două distribuții de frecvență din Figura 4.1. suficient
de bine fundamentate pentru a se baza pe ele în e stimarea comportamentului viitor al celor doi
furmizori. Frecvențele relative vor juca prin urmare rolul probabilității cu care un rezultat se poate
reflecta în perspectivă: de pildă, există o probabilitate de 0,5 ca primul furnizor să aducă materiile
prim e și materialele în termen de zece zile de la momentul comenzii.
Utilizând formula de calcul recent amintită, dispersia pentru variabilele aleatoare care arată numărul
de zile care trebuie să treacă până la primirea comenzii rezultă a fi:
09,1XD2
pentru primul furnizor,
8,7XD2
pentru al doilea furnizor.
Chiar și fără studii aprofundate asupra dispersiei ca instrument de măsură a variabilității rezultatelor,
se poate constata imediat că activitatea celor doi furnizori este, în fond, diferită. Chiar dacă în medie
ambii reușesc să onoreze comenzile firmei în aproximativ 10 zile, întreprinzătorului n -ar trebui să -i fie
indiferent cu care dintre ei va lucra în viitor.
Punând problema într -un cadru general, existența dispersiei rep rezintă credem noi un atu important
atunci când un decident are de ales între două sau mai multe posibilități cu rezultat aleator și care
conduc la valori medii similare. Aspectul neplăcut al acestei mărimi ține de faptul că este greu să -i
atribuim o semni ficație anume. Este de observat că însăși unitatea sa de măsură nu prea are sens: în
exemplul celor doi furnizori valoarea medie este exprimată în zile, iar dispersia în
2zile . Din
fericire, orice putere poate fi eliminată cu ajutorul unui radical potrivit și, de aceea, se definește o
altă măsură a riscului, derivată direct din dispersie și anume abaterea medie pătratică:
XD X2
.
Aplicând această formulă de calcul, obținem pentru timpul de aprovizionare abaterile de la valoa rea
medie:
 1 09,1 X1 
zi,
 38,7 X2 zile.
Devine, astfel, evident că o colaborare cu al doilea furnizor poate aduce întârzieri în procesul de
producție de trei ori mai mari decât în cazul primului furnizor.

92
Din păcate, nu întotdeau na putem obține informații amănunțite cu privire la fenomenul aleator
studiat, doar utilizând valoarea medie și abaterea standard luate ca atare. Ar fi minunat să putem
spune, de exemplu, că pentru cel de -al doilea furnizor există o foarte mare probabilita te ca timpul de
aprovizionare să fie studiat între valoarea medie ± abaterea standard adică între 10 – 3 și 10 + 3 zile.
Asta ar însemna că, foarte probabil, furnizorul va onora comenzile în decurs de 9 sau 10 zile ( a se
vedea figura 4 .1.b). Lucrul aces ta nu este adevărat și o afirmație ca aceea de mai sus poate deveni
validă doar pentru anumite distribuții de probabilitate, așa cum vom vedea în secțiunea următoare.
Ne vom mulțumi, prin urmare, cu faptul că dispersia și implicit abaterea standard ne sunt de folos ori
de câte ori două distribuții de probabilitate au aceeași valoare medie și suntem puși în situația să
alegem între ele.
Ca să încheiem trecerea în revistă a măsurilor utilizate în mod obișnuit pentru cuantificarea riscului,
trebuie să ne refe rim și la coeficientul de variație. Media și dispersia pe care le -am prezentat anterior
sunt de ajutor atunci când trebuie să comparăm două distribuții de probabilitate care au fie aceeași
valoare anticipată, fie aceeași variabilitate a datelor.
Mai exact, dacă
2 1m m și
2 1 , vom alege distribuția
1X cu risc mai mic decât
2X , la aceeași
valoare medie. Dacă
2 1m m și
2 1 , vom face alegerea în funcție de semnificația distribuțiilor.
Dacă
1X și
2X se referă la pierderi potențiale, cu siguranță că vom alege
2X care arată o pierdere
medie așteptată mai mică de cât a lui
1X la același nivel de risc. Dacă, dimpotrivă,
1X și
2X se
referă de exemplu la venituri potențiale, interesul va fi să alegem venitul mediu anticipat
1m , deci
distribuția
1X .
Realit atea este, însă, mult mai complexă decât ar dori teoreticienii și nimeni nu poate garanta că
întreprinzătorul va avea de decis între variante care au medii aproximativ identice sau dispersii
(riscuri) similare.
Exemplul 4.3.3. Într-o firmă se poate pune p roblema alegerii între două acțiuni de tipul următor:
A) Lansarea pe piață a unui produs nou, care va aduce un venit mediu din încasări
4500 m1 u.m. și
înregistrează un risc
4002
1 .
B) Îmbunătățirea unui produs deja existent , ceea ce va aduce o medie a încasărilor
600 m2 u.m. și
prezintă un risc
812
2 .

93
Pentru o astfel de alegere, întreprinzătorul nu are nici o armă până în acest moment. Valorile medii
sunt semnificativ diferite, la fel și dis persiile, deci este nevoie de o altă măsură pentru a putea
compara riscurile celor două inițiative. Este vorba despre coeficientul de variație, pe care l -am definit
în capitolul anterior ca raport între abaterea standard și valoarea medie, exprimat procent ual:
Coeficientul de variație =
%100m .
Informația pe care ne -o furnizează acest coeficient este procentul pe care îl reprezintă abaterea
standard din media variabilei aleatoare. Pentru cele două inițiative posibile ale întreprinzătorului,
obținem:
%44,0%1004500400%100m11
,
%5,1%10060081%100m22 .
Deși, în esență, ambii coeficienți de variație au valori mici, putem spune comparativ că prima variantă
este mai puțin riscantă.
Spre deosebire de dipersie și abaterea standard, utilizarea coeficien tului de variație ca măsură a
riscului impune anumite restricții asupra variabilei aleatoare care descrie fenomenul studiat. În
definirea lui, valoarea medie apare la numitorul fracției și ca atare, pentru a avea sens, trebuie ca
0m
. Chiar și în situația în care m este nenulă dar are valori foarte mici, oricât de mică ar fi
valoarea lui
 se poate ajunge la valori extrem de mari ale coeficientului de variație și, ca atare,
utilizarea lui nu mai este neapărat relevan tă. Pentru a evita astfel de situații, specialiștii au optat
pentru utilizarea acestei măsuri doar în cazul distribuțiilor ale căror rezultate sunt pozitive.
Pentru interesele noastre, o astfel de restricție nu este neapărat deranjantă. Studiul pierderilo r
potențiale aduce în atenția analiștilor mărimi pozitive, exprimate de cele mai multe ori monetar.
Problemele pot să apară atunci când studiul se îndreaptă în zona rentabilității activelor financiare,
unde anumite titluri pot avea evoluții cu rezultate at ât pozitive, cât și negative. Este foarte adevărat
că specialiștii pieței financiare nu vor considera demoralizantă imposibilitatea utilizării coeficientului
de variație în analiza riscului, știut fiind că exact în acest perimetru există modelele de risc d e cea mai
mare complexitate și cu adevărat incredibile prin ingeniozitatea și dificultatea instrumentelor
matematice care stau la baza lor.

94
În ceea ce ne privește, nu ne vom limita doar la prezentarea măsurilor uzuale pentru risc, ci vom
vedea ce devine fi ecare dintre ele în situația în care distribuțiile de probabilitate care descriu
fenomenul aleator se dovedesc a fi de o natură particulară detaliată în secțiunea precedentă.
4.4. Măsuri ale riscului pentru situații particulare
Vom începe această secțiune referindu -ne la distribuția binomială cu două stări, pentru care
particularizarea măsurilor de risc are un caracter spectaculos. Să ne reamintim că, pentru a considera
aplicabilă această distribuție, este nevoie de n unități expuse independent la pierdere într-o perioadă
de timp stabilită, fiecare unitate fiind expusă exact o dată cu probabilitate egală cu p. Valoarea
medie, sau anticipată, a pierderii pentru o astfel de distribuție de probabilitate este egală cu:
npm
. Dispersia se va no ta cu
2 și, pentru acest caz, este
p1np2 . Abaterea standard,
calculată ca radical al dispersiei, este
p1np .
În fine, coeficientul de variație are forma:
Coeficient de variație

npp1
npp1np  .
Să facem câteva observații pornind de la mărimile particulare pe care le -am obținut și ținând cont că
valoarea de probabilitate este cuprinsă între 0 și 1. În primul rând, trebuie să comentăm valorile
extreme:
Dacă
0p , atunci cu sigura nță nici o unitate expusă nu va înregistra pierdere și deci nu are sens să
punem problema vreunei pierderi potențiale. În această situație, aproape imposibilă dealtfel din
punct de vedere practic, nu mai are nici o importanță natura binomială sau de alt fe l a distribuției de
probabilitate, pentru simplul motiv că distribuția nu mai există. Probabilitatea zero denotă
eveniment imposibil, la fel cum probabilitatea unu arată eveniment sigur, ambele cazuri fiind
complet în afara noțiunii de aleator.
Așadar, pe ntru
0p obținem o medie a pierderilor nulă, ceea ce este un motiv suficient pentru a nu
mai calcula vreun coeficient de variație. Abaterea standard este de asemenea nulă, însemnând că un
eveniment care nu se va întâmpla nu comportă risc uri. Celălalt caz, corespunzător lui
1p , are
particularitățile sale. Practic,
1p înseamnă că fiecare expunere va conduce la pagubă, deci
pierderea medie este identică, în această situație, cu pierderea maximă care se poate înregistra.

95

n1nnpm .
Nici aici nu mai este vorba despre o pierdere medie propriu zisă. Distribuția binomială despre care
discutăm arată numărul de apariții posibile ale pagubei în contextul a n unități expuse. Odată ce se
știe că exp unerea atrage după sine în mod cert apariția pierderii, valoarea m va fi o valoare sigură,
egală cu numărul unităților expuse.
Deci, pentru
1p obținem maximul de pierdere, din toate unitățile expuse. Să vedem ce devine
fiecare din celel alte măsuri de risc. Aparent surprinzător, atât dispersia, abaterea standard cât și
coeficientul de variație sunt nule. Adică, fără risc. Și, de fapt, lucrurile chiar așa stau pentru că în
acest caz întreprinzătorul nu are a se teme că pierderea ar putea f i mai mică decât cea maxim
posibilă… Din acest punct de vedere, riscul este nul: expunerea maximă este certă.
Să trecem acum la situații mai probabil întâlnite în practică și anume la cazul în care
1,0p .
Formulele de calcul pe care le -am prezentat sunt de ajutor în estimarea numărului mediu de apariții
ale pierderii, a riscului ca acest număr să fie altul decât cel anticipat de valoarea m și iată că pentru
distribuția binomială putem judeca lucrurile mai profund. Dacă privim coeficientul de variație, vom
vedea că la numitorul fracției care îl definește apare n. În ipoteza în care valoarea lui p rămâne
neschimbată, observăm că mărimea coeficientului de variație depinde de modificarea lui n, în sensul
că o majorare a numărului de unități ex puse generează o scădere a riscului cuantificat astfel.
pnp1
pnp1
pnp1
pnp1
n1
n1nn
2 1 2 1 2 12 1

Am putea observa, din formula de calcul a dispersiei sau a abaterii standard, că acestea cresc odată
cu creșterea lui n. Este perfect adevărat, dar la fel de reală este și creș terea valorii medii odată cu
majorarea numărului de unități expuse, ceea ce face imposibilă o comparare a situației doar pe baza
analizei mediei și dispersiei. Prin urmare, singura măsură relevantă care poate explica modificările
care apar odată cu creșter ea lui n, rămâne coeficientul de variație care arată că riscul relativ scade.
Cum anume scade și dacă din punct de vedere al întreprinzătorul este rentabilă creșterea numărului
de unități expuse, vom vedea imediat. Notăm:
Risc 1
pnp1
1 , Risc 2
pnp1
2

96
Vom face raportul între cele două riscuri, pentru că suntem interesați de comparația dintre ele.
Rezultă imediat că:
12
nn
2 Risc1 Risc

Pe de altă parte, dacă
pn m1 1 și
pn m2 2 , atunci raportul dintre numărul anticipat de apariții va
fi:
2 1
21
21nncu,nn
mm 

Raportul
21
nn reprezintă proporția cu care a crescut numărul unităților expuse, prin urmare raportul
2 Risc1 Risc
ne arată că odată cu această creștere riscul sc ade în relație inversă cu rădăcina pătrată a
acestei creșteri. Ca să fim mai exacți, dacă numărul unităților expuse a crescut de 100 de ori, atunci
riscul relativ scade de numai 10 ori față de cel anterior.
Această metodă de creștere a unităților expuse es te deosebit de importantă și pe larg aplicată de
instituțiile de asigurări17 și acesta este un motiv foarte bun pentru ca un întreprinzător să încerce la
rândul lui să o aplice. În practica firmei, însă, pot să apară probleme. Orice majorare a unităților
expuse riscului presupune, de cele mai multe ori, cheltuieli de achiziționare a acestora. Pentru a
considera mulțumitoare scăderea amenințării, raportul
21
nn trebuie să fie semnificativ. De exemplu,
o creștere de la
10n1 unități la
100000n2 unități scade riscul de zece ori, dar costurile pentru
această extindere cine le suportă? În dorința sa de a minimiza un risc, întreprinzătorul se poate
îndrepta direct către faliment pentru că odată cu ajungerea la 100000 de unități expuse se va majora
spectaculos și numărul mediu al expunerilor la pierdere și implicit pierderea totală potențială.
Odată în plus, putem afirma că în lupta contra riscului doar rareori există rețete și odată în plus
considerăm că un apel la p regătirea întreprinzătorului pentru această confruntare permanentă este
binevenită.

17 Văcărel I., Bercea F., op. cit ., p. 301 – 303

97
Următoarea distribuție de probabilitate, extrem de utilă în stabilirea numărului de apariții ale
pierderii și studiată de noi anterior este distribuția Poisson. Media și d ispersia acestei distribuții sunt
egale cu
 , abaterea standard este
 , iar coeficientul de variație
1
Se poate afirma, deci, că riscul relativ la valoarea medie este cu atât mai mic cu cât num ărul anticipat
(mediu) al aparițiilor este mai mare.
În fine, ne vom referi la „vedeta” distribuțiilor clasice de probabilitate și anume la repartiția normală.
Forma ei este deja cunoscută din capitolul anterior și este timpul să reamintim că valoarea med ie și
dispersia sunt tocmai m și
2 . Motivul pentru care această distribuție este atât de agreată și de
dorită este urmarea formei graficului ei, care arată simetrie față de dreapta
mx , așa cum se
poate observa din Figura 4.2.
Suntem pe deplin conștienți că frumusețea acestui grafic nu este de natură să impresioneze un
fabricant de pantofi, de exemplu. El ar putea fi convins, totuși, că este util și iată cum. Simetria
graficului repartiției normale face ca abaterea s tandard să capete o valoare deosebită.
Exemplul 4.4.1. Dacă vânzătorul de pantofi are o medie lunară a vânzărilor egală cu, să spunem, 45
de perechi și află cumva că abaterea standard a variabilei aleatoare este 5, atunci va ști că sunt
68,26% șanse ca vâ nzările lunare să fie situate între 40 și 50 de perechi, șanse 95,46% ca aceste
vânzări să fie între 35 și 55 de perechi și 99,76% șanse ca vânzările să fie între 30 și 60 de perechi.
Evident, pentru asta e nevoie ca variabila aleatoare care arată numărul de perechi de pantofi
vândute într -o lună să poată fi considerată ca având o repartiție normală cu media
45m și abaterea
standard
5 . Afirmațiile noastre se bazează pe o binecunoscută proprietate a repartiției normale18 și
anume:

18 Hirschey M., Pappas J., Fundamentals of Managerial Economics, Fifth Edition, p. 739

98

Figura 4.2. Graficul funcției de repartiție normală de parametri m și
2 , simetric față de dreapta
mx

 68,26% dintre rezultate sunt cuprinse în intervalul
 m, m
 95,46% dintre rezultate sunt cuprinse în intervalul
  2m,2m
 99,74% dintre rezultate sunt cuprinse în intervalul
  3m,3m
De ce este relevantă o atare proprietate în analiza riscului? Dacă vânzătorul de pantofi se
aprovizionea ză pentru o lună cu 15 perechi, atunci cu siguranță va lucra cu mult sub potențial. Dacă,
dimpotrivă, are de gând să cumpere pentru vânzare o sută de perechi, ideea se poate dovedi proastă
și își va bloca o sumă de bani pe care ar fi putut -o folosi într -o manieră profitabilă. Aceasta pentru că
distribuția normală ne spune, pentru cazul discutat, că nu există decât șanse de 0,26% ca vânzările să
fie mai mici de 30 de perechi lunar și mai mult de 60.
4.5. Măsuri alternative ale riscului
Este ușor de imaginat că intenția oricărui întreprinzător de a capta întreaga informație referitoare la
risc în una sau două mărimi numerice este bună, dar deseori sortită eșecului. Mult prea complex în
sine, riscul crează probleme reale în tentativa de măsurare motiv pentru c are specialiștii au propus și
propun mereu măsuri alternative. Valoarea medie a variabilei aleatoare pierdere potențială, sau
abaterea standard a rentabilității sunt, fără îndoială, elemente de interes pentru un analist dar x f(x)

21

99
acestea nu oferă informații desp re comportamentul distribuției de probabilitate decât în cazul fericit
în unei reprezentări simetrice față de medie (așa cum este repartiția normală, de exemplu). Îndată ce
această condiție nu este îndeplinită, apar probleme în exprimarea unor opinii ferme cu privire la
dimensiunea riscului și nici una dintre mărimile discutate în secțiunile anterioare nu mai este un
însoțitor de nădejde al statisticianului.
Ne vom referi în continuare la câteva măsuri alternative19 pentru riscul ca nivelul anticipat al
rentabilității afacerii să nu fie atins.
4.5.1. Semivarianța
Atunci când am definit dispersia și, ulterior, abaterea standard, am acceptat că abaterile de la
rezultatul mediu (anticipat) pot fi atât în sens pozitiv (obținerea de rezultate mai bune decât media ),
cât și în sens negativ (rezultate aflate sub media calculată).
Câtă vreme ideea de risc este asociată de cele mai multe ori cu ideea de pierdere, specialiștii propun
semivarianța ca măsură a abaterilor de la medie care se pot înregistra doar ca urmare a unor
modificări care presupun evoluții negative (scăderi) semnificative ale rentabilității.
Dacă distribuția de probabilitate are proprietatea de simetrie discutată anterior, atunci semivarianța
se dovedește a fi un „multiplu” de varianță (dispersie) și calculul ei nu aduce informații suplimentare.
Utilitatea ei se vădește pentru distribuții de probabilitate nesimetrice în raport cu dreapta
x .
4.5.2. Semivarianța țintă
Referindu -ne la semivarianță, am spus că ea captează informații cu privire la acele scăderi
semnificative ale rentabilității. Conceptul de „semnificativ” are o doză de subiectivitate, în funcție de
percepția și posibilitățile întreprinzătorului. Fiecare firmă cunoaște nivelul pierderilor pe care le
poate cataloga ca fi ind severe și de aceea estimarea riscului trebuie făcută în raport cu gravitatea
atribuită fiecărui context în parte. Semivarianța țintă este o măsură similară semivarianței pomenite
anterior, dar înregistrează doar acele scăderi posibile de rentabilitate care depășesc un anumit nivel
considerat de întreprinzător ca fiind maxim acceptabil (nivel țintă).
4.5.3. Probabilitatea rentabilității insuficiente

19 Grinold R., Kahn R., Active Portofoliu management, Second Edition, MacGraw -Hill, New Zork, 2000,
Capitolul 3

100
Sub denumirea pretențioasă, dar necesarp stabilirii legăturii cu latura aplicativă a problemei se
ascunde de fapt funcția de repartiție a distribuției rentabilitate, calculată într -un punct pe care
întreprinzătorul îl hotărăște ca fiind minimul acceptat al rezultatelor activității sale. Altfel spus,
probabilitatea rentabilității insuficiente răspunde întrebăr ii: „Care sunt șansele ca rentabilitatea să fie
mai mică decât o valoare țintă, X?”. Această măsură a riscului captează informații despre acea parte a
distribuției care arată valori mai joase decât nivelul rentabilității considerat critic pentru afacere.

4.5.4. Valoarea la risc
Probabil cea mai utilizată, dar și cea mai controversată dintre măsurile alternative, valoarea la risc
înregistrează pierderea efectivă care poate să apară atunci când rentabilitatea esre situată în
regiunea „insuficientă” pomenită mai devreme. Pentru că și aici apare o „rentabilitate țintă”, sau
critică, valoarea la risc va reflecta, mai mult sau mai puțin direct, percepția întreprinzătorului cu
privire la ideea de „sever” sau de „insuficient”. Cu toate că aparent valoarea la risc are o definiție
clară, există în prezent numeroase controverse printre specialiști cu privire la modul în care ar trebui
determinată această „pierdere efectivă” atunci când distribuția de probabilitate implicată nu este o
distribuție normală.
Oricare dintr e măsurile alternative la care ne -am referit poate face obiectul unei lucrări de sine
stătătoare, într -atât este de complexă problema cuantificării riscului. Dealtfel, multe dintre mărimile
care au ca scop cuantificarea riscului pun greu la încercare abili tățile specialiștilor în statistică și
econometrie, atunci când se pune problema calculării lor pe bata datelor concrete. Ori de câte ori
veți întâlni, pe viitor , afirmații despre anumiți parametri care se pot estima într -un fel sau altul, va
trebui păstr at respectul cuvenit pentru volumul de muncă necesar unor asemenea demersuri. Nici o
lucrare, însă, oricât ar fi de complexă, nu poate acoperi toată informația relativ la temă și cu atât mai
puțin o lucrare centrată pe problematica riscului.
4.6. Întrebăr i recapitulative și teme pentru seminar
1. Explicați de ce cunoașterea distribuțiilor de probabilitate pentru evenimentele cu potențial
dăunător este importantă în studiul riscului.
2. Care sunt cele două metode care permit deducerea distribuțiilor de probabilit ate odată ce se
cunosc date statistice sau reguli de manifestare a fenomenelor? Dați exemplu de două

101
situații concrete din viața dvs în care ați fi putut aplica fie una, fie cealaltă metodă și explicați
modul în care ați fi procedat.
3. De ce metoda bazată pe date statistice nu este întotdeauna de folos în determinarea
distribuțiilor de probabilitate și prin ce este diferită metoda bazată pe distribuții teoretice?
4. Cum știți dacă să alegeți o distribuție de tip Bernoulli, sau una de tip Poisson, sau niciuna
dintre ele, atunci când trebuie să modelați un fenomen? Găsiți două situații concrete pe care
să le puteți descrie utilizând cele două distribuții teoretice.
5. Care sunt valorile numerice atașate unei variabile aleatoare pe care le puteți utiliza în
măsurarea riscului? Exemplificați calculul lor pentru următoarele variabile aleatoare: a)




21
2111
:X
și b)




61
61
61
61
61
61654321
:X . Găsiți două situații concrete în care
fenomenul să se poată modela utilizând experiența aruncării unei monede și respecti v
aruncării unui zar, apoi interpretați măsurile găsite pentru risc în cazul acestor situații
concrete.
6. Care sunt măsurile alternative ale riscului și care este motivul pentru care ele sunt chemate
uneori să înlocuiască măsurile tradiționale de cuantificar e?
7. Alcătuiți un referat de trei pagini despre semivarianță ca măsură alternativă a riscului, despre
avantajele și limitele aplicării ei și includeți trei exemple concrete de aplicare a calculului
acestei metode de cuantificare.
8. Aceeași cerință ca mai sus pentru semivarianța țintă.
9. Aceeași cerință pentru probabilitatea rentabilității insuficiente.
10. Alcătuiți un referat de opt – zece pagini despre valoarea la risc ca măsură alternativă a
riscului, despre avantajele și limitele aplicării ei și includeți trei e xemple concrete de aplicare
a calculului acestei metode de cuantificare. Includeți în acest referat date despre istoricul
acestei mărimi, despre importanța ei și despre polemicile pe care le naște printre specialiști.

102

CAPITOLUL 5.
ATITUDINI FAȚA DE RISC,
ÎN SENS FORMAL ȘI INTUITIV.
5.1. Despre utilitate. Locul și rolul ei în viața agentului economic
5.2. Funcțiile utilitate și preferințele individului. Teoria Utilității Așteptate.
5.3. Alte atitidini față de risc și funcții specifice
5.4. Echivalentul cert și prima de risc
5.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar

Obiectivele capitolului
În acest capitol am urmărit prezentarea celor mai importante no țiuni legate de utilitate, de teoria utilită ții
așteptate și de modul în care această teorie poate fi de ajutor în în țelegerea manierei în care se iau deciziile
economice. Au fost prezentate principalele caracteristici ale indivizilor care iau decizii în mediul economic, prin
prisma modului în care se raportează ei la prezen ța riscului.
5.1. Despre utilitate. Locul și rolul ei în via ța agentului economic
În calitatea sa de participant la via ța economică, fiecare individ trebuie să facă alegeri. În primul
capitol al acestei lucrări am amintit câteva dintre întreb ările fundamentale la care î și propune să
răspundă știința economică și am căzut de acord că fiecare dintre ele presupune existen ța unor
evenimente greu de observat, greu de prognozat și uneori chiar neobservabile. Asimetria de
informa ție este, prin urmare , prezentă la fiecare pas și face ca deciziile individului să fie puse sub
semnul întrebării: vor conduce ele la rezultatul dorit? Abaterile de la ceea ce și-a propus individul
sunt tolerabile? A ales individul cea mai bună alternativă posibilă?
Concomiten t cu apari ția acestei a treia întrebări, apare imediat și o problemă : cum stabile ște un
individ că alegerea lui a fost cea mai bună alternativă? Am căzut de acord că marea m ajoritate a
acțiunilor pe care le întreprinde o persoană sunt grevate de un procent important de neprevăzut,
astfel încât acțiunea în sine să aibă natura unei experien țe aleatoare, ceea ce înseamnă că rezultatele
ei se vor putea observa doar după ce ac țiunea a fost întreprinsă. Care este, a șadar, criteriul după care

103
își va motiva alegeri le? Ce anume îi va spune individului că alegerea pe care a efectuat -o este, sau a
fost gândită să fie, în avantajul lui?
Desigur că atunci când ne uităm în jur observăm cele mai diverse criterii de alegere. În mare parte,
oamenii motivează alegerile pe car e le fac argumentând că al ții au procedat la fel. Al ții fac alegeri pe
care cei din jur le consideră cel pu țin iresponsabile. În fine, al ții par a fi modele de comportament și
tot ce fac este bine. Care este motorul acestor decizii pe care le iau oamenii? Și de ce unii oameni iau
atitudini, în vreme ce al ții se complac în a nu decide nimic?
Există, cu siguran ță, o mare varietate de profiluri umane. Nu știu să vă răspund la întrebarea: „de ce
pe unii îi interesează cum decid al ții?”. Acest capitol se dore ște a fi doar o trecere în revistă a
principalelor informa ții pe care ni le pun la dispozi ție speciali știi în privin ța conceptului de func ție
utilitate și a teoriilor care derivă de aici. Ar trebui spus, totu și, că teoriile care s -au construit în jurul
concep tului central al utilită ții au adus printre economi ști un număr impresionant de opinii
contradictorii și au generat polemici care în zilele noastre sfâr șesc, a șa cum era de a șteptat, prin
crearea de echipe interdisciplinare care să explice ceea ce uneori p are de neexplicat.
Problema fundamentală de la care pornim în prezentarea noastră este un fapt u șor observabil: d e
foarte multe ori avem de ales din mai două sau mai multe variante, dintre care cel pu țin una implică
un grad de aleator . În limbajul de spec ialitate, a ceste variante se numesc loterii și ca să putem face
compara ție între ele avem la îndemână mărimile din teoria probabilită ților, cum ar fi media,
dispersia, sau abaterea standard. Calculul și interpretarea acestor mărimi ar putea fi de ajutor pe ntru
a decide asupra celei mai bune variante de alegere. Haide ți să luăm un exemplu în acest sens și să
presupunem că un individ dore ște să cumpere ac țiuni și are de ales între două variante: o ac țiune
oferă o rentabilitate a șteptată de 6% cu o abatere sta ndard de 2%, iar celălalt tip de ac țiune îi aduce
o rentabilitate de 14% și are o abatere standard de 8%. Este evident că vor fi persoane care vor alege
primul tip de ac țiune, pentru că de și nu oferă o rentabilitate foarte mare are o abatere standard
mică, adică un risc destul de mic. Dimpotrivă, al ții vor argumenta că nu sunt foarte speria ți de un risc
de 8% în cazul celei de -al doilea tip de ac țiune, pentru că a risca nu înseamnă neapărat a pierde. Al
doilea tip de ac țiune aduce o rentabilitate mai mare și prin urmare aceste persoane ar putea decide
să cumpere.
Iată că acest prim exemplu , chiar dacă este unul foarte simplist , ne poate aduce argumente în
favoarea faptului că oamenii pot ac ționa în maniere care capătă sens pentru ei, dar car e sunt departe
de a fi în țelese sau aprobate de al ții. Care este motorul acestor alegeri personalizate? Ce anume
caută oamenii să realizeze prin modul în care fac alegerile? Filosofi și psihologi ai zilelor noastre dar și

104
ai secolelor trecute , pornesc de la premisa că oam enii vor să î și maximizeze fericirea și să evite, sau
măcar să minimizeze suferin ța. Și fiecare face cum știe el mai bine ca să î și atingă acest obiectiv.
Unul dintre argumentele care au minunat lumea științifică la începutul anilor 1700, dovedind că nu
întotdeauna oamenii ac ționează în sensul ob ținerii celei mai mari valori în sens monetar, a constituit
un argument în introducerea conceptului de utilitate, concept care a ajutat – sau s -a dorit un
element important de ajutor – în descrierea comportamentulu i de decizie al agentului economic.
Pe scurt, vom reaminti că utili tatea, a șa cum a fost definită la cursul de microeconomie, reprezintă
gradul de satisfac ție pe care îl resimte un individ atunci când consumă o anumită cantitate dintr -un
bun. Și pentru că individul poate fi tentat, în diferite situa ții, să consume diferite cantită ți din bu nul
respectiv, desigur că ar tr ebui să ne gândim la o func ție utilitate, care să atribuie fiecărei cantită ți o
anumită valoare care să exprime mul țumirea individului vizav i de ceea ce a consumat. Deja sim țiți,
probabil, că lucrurile sunt pe cale să scape de sub control. Dacă vă întreb cum măsura ți o cantitate,
veți ști să îmi indica ți câteva unită ți de măsură. Dacă vă întreb despre volum, nu ve ți avea dificultă ți
să răspund eți. Dar dacă vă întreb cum măsura ți gradul de satisfac ție, cu siguran ță că vă va lua ceva
timp ca sa găsi ți un răspuns valabil. Cu aceea și dilemă s -au confruntat și creatorii teoriei utilită ții și au
decis să inventeze o unitate de măsură nouă, numită uti li.
În această exprimare, ve ți putea afirma de exemplu că o prăjitură vă bucură pre ț de 6 utili, două
prăjituri vă încântă de un total de 8 utili, trei prăjituri vă duc undeva spre 9 utili. Mă rog, nu voi
continua pentru că s -ar putea ca de la a treia pră jitură încolo să resim țiți o descre ștere vertiginoasă a
bucuriei de a vă îndopa cu dulciuri și am contrazice astfel ideea unanim acceptată că func ția utilitate
ar fi o func ție strict crescătoare…
Prima întrebare pe care și-ar putea -o pune cineva ( și ar avea perfectă dreptate) ar fi următoarea: ce
ne face să credem că o func ție numită func ție utilitate ar exista cu adevărat și nu este doar crea ția
unor min ți doritoare de a na ște concepte? Răspunsul îl vom da în cele ce urmează, folosindu -ne de
doar una di ntre situa țiile semnalate în decursul timpului ca fiind neconforme cu ceea ce ar trebui să
facă un individ ra țional.
După cum am discutat în primul capitol al lucrării, ra ționalitat ea economică ar impune individu lui
anumite norme comportamentale și printre ele ar trebui să se numere, cu siguran ță, ideea de a
obține cel mai bun câ știg posibil. Iată că, în anul 1738, Daniel Bernoulli a supus aten ției opiniei
publoice o problemă care arăta că din motive necunoscute oamenii nu se comportă întotdeauna în

105
sensul maximizării câ știgului monetar. Problema, cunoscută ulterior sub numele de Paradoxul St.
Petersburg, se enun ță după cum urmează.
Se consideră următorul joc: se aruncă o monedă în mod repetat, până ce apare pentru prima dată
„cap”. Potul începe cu 1$ și se dublează de fiecare dată când apare „cap”. De exemplu, dacă apare
„cap” la prima aruncare, atunci jucătorul va câștiga 1 dolar, dacă apare la a doua aruncare va câștiga
de două ori pe atât adică 2 dolari, la a treia aruncare va câștiga tot de două ori mai mult adică 4, iar
dacă apare „cap” ca aruncarea cu numărul k atunci jucătorul va câștiga
k2 . Odată ce a apărut „cap”,
jocul se oprește.
Așa cum știe toată lumea, ca să joci un joc poten țial aducător de câ știg trebuie mai întâi să plă tești
„intrarea” . Întrebarea este cât ar dori să plătească o persoană ca să intre în acest joc , iar ca să
răspundem acestei întrebări va trebui mai î ntâi să determinăm cam cât se așteaptă un jucător să
obțină. Vom calcula, așadar, valoarea așteptată a câșt igului ca valoare medie a variabilei aleatoare
câștig. Va trebui spus că probabilitatea ca la aruncarea unei monede varianta „cap” să se obțină la
prima aruncare este
21 , probabilitatea ca varianta „cap” să se ob țină la a doua aruncar e este
2
21


și, în general, probabilitatea ca varianta „cap” să se ob țină la aruncarea cu numărul k este
1k
21



. Valoarea medie, sau a șteptată, a câ știgului este următoarea:
 
1i2
3 221…2
212
21121E

Suma seriei este infini t și deci câștigul așteptat al jucătorului acestui joc este nelimitat. Asta înseamnă
că jucătorul este aproape sigur că, pe termen lung, nu contează cât de mult plătește intrarea în joc
din moment ce câștigul așteptat este aproape sigur mult mai mare decât suma pe care a plătit -o.
Conform cu abordarea obișnuită a deciziei cu privire la cât este de avantajos și deci de rațional să
plătești ca să joci, cele d e mai sus spun că jucătorul ar trebui să fie dispus să plătească oricât pentru
oportunitatea de a juca .
În ciuda celor scrise mai sus, se pare că în practică oamenii nu prea sunt dispuși să plătească o sumă
cu mult mai mare de 20 de dolari ca să intre în acest joc. Daniel Bernoulli, în 1738, a explicat că în
mod evident oamenii nu atasează acest ei variant e de a juca o valoare monetară , ci mai degrabă o
valoare subiectivă și de aici concluzia că oamenii nu caută să își maximizeze valoarea așteptată

106
exprimată în sens monetar , ci mai degrabă o altă mărime care caracterizează modul în care se
raportează la ace st joc. Introducerea func ției utilitate a fost doar o formalitate, odată ce acest
element care era în mod cert în afara normelor acceptate – încălcarea principilui maximizării valorii
monetare, sau posibilitatea maximizării acesteia – a fost pus în evide nță.
Func țiile utilitate , despre a căror existen ță ne -a convins Paradoxul St. Petersburg, sunt acceptate de
către economi ști ca fiind instrumentul prin care putem măsura preferin țele agentului ecoonmic, fie
că acesta se află pe pozi ția consumatorului, fie că are de luat o serie de decizii de investi ție, fie că se
află în alte situa ții în care trebuie să aleagă nivelul sumei la care este dispus să renun țe și cantitatea
de risc pe care este dispus să și-o asume cu speran ța că va ob ține un câ știg mai mare . Teoria utilită ții
așteptate, dezvoltată pe baza func țiilor utilitate, este în centrul teoriei moderne a portofoliului și are
un rol important în determinarea portofoliului optim. Ca afirma ție cuprinzătoare, putem spune că
Teoria Utilită ții Așteptate este lar g utilizată în economie pentru a explica criteriile de alegere în
mediu riscant și spune că un individ va alege astfel încât să își maximizeze utilitatea așteptată .
Exemplele următoare vor explica mai clar acest fenomen.
Exemplul 5.1.1. Cu siguranță că max imizarea utilității este un obiectiv care uneori nu este urmărit de
unii indivizi. Ca orice teorie, economică sau de altă natură, și Teoria Utilității funcționează într -un
anumit cadru și sub anumite ipoteze. Exemplul următor va arăta cum putem să stabilim dacă o
persoană urmărește, într -o situație, maximizarea utilității sale sau nu. Cu privire la posibilitatea unor
câștiguri viitoare, un investitor a răspuns următoarelor întrebări dintr -un chestionar:
1. Preferați să primiți suma de 1000 de euro cu certitud ine, mai degrabă decât să vă expuneți
unei investiții care să vă ofere o treime șanse să o câștigați?
2. Ce alegere faceți între o treime șanse să obțineți suma de 1000 de euro dintr -o investiție
riscantă și certitudinea că veți primi suma de 500 de euro?
3. Considerați că a primi 500 de euro cu certitudine este o variantă mai atractivă decât 50%
șanse să îi câștigați?
4. Ce preferați: 25% șanse de a câștiga 1000 de euro, sau 50% șanse de a câștiga 500 de euro?
La aceste întrebări, investitorul a răspuns după cum ur mează:
1. Preferă să primească suma de 1000 de euro cu certitudine.
2. Preferă o treime șanse de a câștiga 1000 de euro.
3. Preferă varianta în care să primească 500 de euro cu certitudine.
4. Preferă 50% șanse să câștige 500 de euro.

107
Vom căuta ca, pe baza datelor de care dispunem, să stabilim dacă investitorul este coerent în
alegerile pe care le face, mai exact dacă alegerile sale urmează principiul de maximizare a utilității
așteptate.
Pentru asta, vom nota cu U funcția utilitate a acestui individ, pe care evident că nu o cunoaștem dar
despre care știm câteva informații generale și anume că este o funcție pozitivă și strict crescătoare.
Aceste presupuneri sunt mai mult decât naturale în acest context, pentru că discutăm despre funcția
utilitate a banilor. Sigur că f iecare persoană va prefera să aibă mai mulți bani decât mai puțini, chiar
dacă fiecare unitate monetară câștigată suplimentar îi va aduce, probabil, o satisfacție din ce în ce
mai mică. De asemenea, este firesc să considerăm că banii aduc mereu utilitate p ozitivă. În
continuare vom exprima în termeni formali afirmațiile investitorului nostru și pentru asta vom ține
cont de faptul că atunci când spunem că o variantă A este preferată unei variante B înseamnă că
utilitatea lui A este mai mare utilității lui B. Cele patru răspunsuri se scriu, formal, astfel:
 1000U311000U
(1)
500U 1000U31
(2)
500U21500U
(3)
 1000U41500U21
(4)
În condițiile în care valorile funcției utilitate sunt pozitive, inegalitățile (1) și ( 3) sunt absolut firești și
le putem elimina din discuție. Inegalitatea (4) se poate îmnulți cu un 2 și obținem:
500U 1000U31
(2)
 1000U21500U
(4)
Din aceste două afirmații rezultă, prin combinare:
 1000U211000U31

108
Asta îns eamnă, însă, că o treime dintr -un număr pozitiv ar fi mai mare decât o jumătate din el, ceea
ce este cu siguranță neadevărat. Prin urmare, din afirmațiile investitorului nostru deducem că el este
oarecum contradictoriu și că obiectivul lui nu este nici pe departe maximizarea utilității așteptate.
5.2. Funcțiile utilitate și preferințele individului. Teoria Utilității Așteptate.
Așa cum a fost ea gândită și implementată în cadrul teoretic al științei economice, o funcție utilitate
măsoară preferințele relat ive ale investi torului pentru diferitele niveluri ale venitului pe care îl are
sau pe care îl poate câștiga. Pentru a accepta în viața lor o astfel de entitate altminteri abstractă,
oamenii au avut nevoie să stabilească unele elemente descriptive care să s e potrivească funcției
utilitate în general, iar aceste elemente au fost construite pe baza unor observații despre
comportamentele de zi cu zi ale indivizilor.
Ipoteza non -sațietății
O primă ipoteză pe care ați întâlnit -o în manualele de economie este ace ea că funcția utilitate este
crescătoare pentru că, ni se spune, orice individ preferă să consume mai mult decât mai puțin și prin
urmare un consum mai mare îl face mai fericit. Sigur că nu putem fi de acord până la capăt cu această
afirmație, sau cel puți n nu în această formulare. Un individ nu se va bucura, în mod cert, dacă îi
cerem să bea o cantitate suplimentară de apă dincolo de pragul său de sațietate și, odată obligat, el
va experimenta mai degrabă o utilitate negativă. Pe de altă parte, dacă ne gân dim la cantitate
preferată în termeni de posesie și nu neapărat de consum efectiv, veți fi de acord că toți oamenii
aceia care se înghesuie prin supermarketuri, achiziționând produse cu mult peste nevoile lor, pe care
în cel mai scurt timp fie le uită într -o debara fie le aruncă, veți înțelege că tendința individului este să
își supraevalueze cu mult nevoile reale, efective. Motivele pentru care oamenii se comportă conform
acestei ipoteze de lucru pe care economiștii au numit -o non – sațietate sunt tratate pe larg în lucrări
de psihologie, iar abordarea lor nu face obiectul lucrării noastre.
Pentru scopurile pe care ni le -am propus este suficient să admitem că oamenii preferă întotdeauna
să aibă mai mult decât mai puțin, iar funcția utilitate exprimă de fap t maniera lor personală de a
manifesta preferințe. Modul în care uneori oamenii aleg împotriva a ceea ce ar putea fi considerat
rațional este ilustrat într -o manieră simplificată în exemplul care va urma.
Până atunci va trebui să mai facem referire la teor ia care în economie poartă numele de Teoria
Utilității Așteptate și în acest scop ne vom reaminti că de obicei un individ se confruntă cu situații în
care rezultatele pe care le va obține dintr -o anumită inițiativă rămân necunoscute până în ultimul
moment. Dacă individul operează în mediu riscant, atunci el știe care sunt variantele posibile și poate

109
calcula și probabilitățile lor, prin urmare știe variabila aleatoare care descrie experiența de care este
interesat. Această variabilă aleatoare poartă numele de loterie , așa cum este ea cunoscută în
limbajul de specialitate.
Achiziționarea unei acțiuni ar putea fi o experiență riscantă, de exemplu, dacă investitorul poate
estima rentabilitățile posibile ale acțiunii la finalul perioadei de investiție, ca și pr obabilitățile cu care
aceste rezultate pot să apară.
În consecință, chiar dacă individul știe care este funcția sa utilitate, el nu va putea să determine
utilitatea achiziționării respectivei acțiuni, ci doar utilitatea rezultatelor posibile ale acesteia .
Utilitatea sa cu privire la deținerea acțiunii devine la rândul său o variabilă aleatoare, iar pentru a
evalua „calitatea” experienței pentru individ, avem nevoie să calculăm valoarea ei medie, sau
așteptată.
O mărime foarte importantă în procesul efectu ării de alegeri și în procesul luării deciziilor în mediu
riscant este, așadar, utilitatea așteptată care se determină ca valoare medie, sau așteptată, a
variabilei aleatoare utilitate asociată unei experiențe riscante. Următorul exemplu va arăta modul în
care pe baza acestei valori se poate alege între două variante de investiție.
Exemplul 5.2.1. Exemplul următor ne va ajuta să înțelegem modul în care un individ poate avea
asupra unei anumite inițiative o altă viziune decât cea exprimată în rezultat moneta r. Deși problema
este formulată în termeni de investiție în titluri financiare, cu siguranță că aceeași abordare se poate
aplica în diverse alte alegeri pe care le poate face o persoană la un moment dat.
O persoană are de ales, așadar, între duă variante de investiție care sunt mutual exclusive. Primul tip
de investiție este descris de variabila aleatoare




2,08,01001:L1 , iar al doilea capătă forma variabilei
aleatoare




01,0 99,01000 10:L2 . Din punct de vedere strict monetar, valorile așteptate ale celor două
investiții sunt următoarele:
 8,202,0 1008,01 LM1 
u.m.
 9,1901,0 100099,010 LM2 
u.m.
Pentru a evalua riscul pe care îl presupune fiecare investiție în parte, determinăm dispersiile lor:

110

 16, 15682,08,20 1008,08,201 LD2 2
12
  99,970201,09,19 1000 99,09,1910 LD2 2
22

Se obs ervă că investiția
1L are o valoare așteptată mai mare și un risc mai mic față de investiția
2L ,
prin urmare o persoană care ar alege doar din punct de vedere al principiului medie – varianță ar
trebui să se orient eze către varianta de investiție
1L .
Așa cum am spus mai devreme, există situații în care oamenii aleg conform altor criterii, sau cel puțin
nu putem afirma că latura mometară are singura, sau cea mai importantă pondere în motivația
alegerii. Am admis că toate aceste criterii care fac ca o alegere să fie importantă pentru o persoană
sunt înglobate în ceea ce numim conceptul de utilitate, iar funcția utilitate este cea care oferă pentru
individ o ierarhie a preferințelor.
Haideți să pr esupunem că pentru exemplul nostru funcția utilitate este de tip logaritmic și anume
wlgwU
unde w este suma de bani față de care individul își manifestă preferințele. Existența
unei funcții utilitate dovedește că individul nu vede investi țiile
1L și
2L așa cum au fost scrise mai
devreme, ci într -un mod propriu, care este de fapt legat de modul în care se transformă variabilele
aleatoare
1L și
2L prin interm ediul funcției U. Prin urmare, individul va percepe aceste două
variante de investiție prin utilitatea lor, deci ca fiind




2,08,0100lg1lg:LU1
și




01,0 99,01000lg10lg:LU2 .
Ceea ce va da un răspuns la întrebarea: care investiție oferă o utilitate mai con venabilă pentru
investitor este valoarea medie, sau așteptată, ale celor două variabile utilitate obținute anterior:
 4,0 100lg2,01lg8,0 LUM1 
u.m.
 02,1 1000lg01,010lg99,0 LUM2 
u.m.
Se observă că a doua investiție, care la o evaluare strict monetară ar fi pierdut bătălia, este cea pe
care o va prefera investitorul cu funcție utilitate logaritmică.
Aversiunea față de risc

111
Proprietatea de a fi avers fa ță de risc este cea de -a doua ipoteză care vine să întregească descrierea a
ceea ce ar trebui să fie o funcție utili tate și ne spune că func ția utilitate este concavă sau, cu alte
cuvinte, că utilitatea marginală a câștigului este descrescătoare pe măsură ce câștigul individului
crește.
Într-o exprimare mult mai apro piată de limbajul de zi cu zi, această ipoteză s pune de fapt că pentru
cineva care are la momentul inițial o unitate monetară , obținere a a încă un ei unități monetare este
destul de importantă. Pentru cineva care are un milion de euro , un euro suplimentar nu înseamnă
foarte mult. Legea diminuării mărimilor m arginale, pe care ați întâlnit -o la cursul de economie în
diferite conjuncturi, funcționează și aici și ne spune că, î n general, cre șterea în utilitate cauzată de
obținerea un ei unități monetare suplimentar e descre ște pe măsură ce suma de care dispune
individul crește.
Din punct de vedere strict al formei graficului funcției utilitate, această condiție de aversiune față de
risc se traduce prin existența unei reprezentări concave așa cum arată figura de mai jos.
Înainte de a trece la prezentarea unui exempl u, vom mai face precizarea că fiecare individ este o entitate
separată și unică în felul ei. Nu ne putem aștepta ca indivizii să aibă funcții utilitate identice, dar putem accepta
că există unele trasături care caracterizează aceste funcții indiferent de persoană. Cele două ipoteze, ce a non
sațietății și cea a aversiunii față de risc, sunt determinanții care ne ajută să avem o reprezentare despre cum
anume se comportă în general o funcție utilitate indiferent de forma pe care o are ea efectiv.

Figura 5.1. Funcție utilitate de formă concavă, care arată aversiunea față de risc a individului
Exemplul 5.2.2. Considerăm un investitor care are o funcție utilitate de tipul von Neumann –
Morgenstern,
w wU . De la bun început se poate comenta f aptul că această funcție este strict
cresctoare și concavă, prin urmare răspunde în același timp celor două ipoteze despre care am
discutat mai devreme: reflectă non sațietatea și indică o diminuare a satisfacției pe măsură ce se
adaugă câte o unitate mone tară la câștigul individului. Din punct de vedere al exprimării matematice

112
a acesor afirmații, funcția utilitate are derivata întâi pozitivă (pentru că este crescătoare) și derivata a
doua negativă (pentru că este concavă).
Să considerăm acum că investit orul nostru dispune de 10 u.m. cu care dorește să achiziționeze o
loterie despre care știe că îi poate aduce cu aceeași probabilitate de 50% fie un câștig de 4 u.m., fie
unul de 16 u.m. Variabila aleatoare care arată ce va obține investitorul este următoar ea:
L:




5,05,0146 .
Ținând cont de faptul că investitorul a plătit pentru această loterie 10 u.m., variabila aleatoare care
arată rentabilitatea este următoarea:
R:




5,0 5,0%100101014%10010106 , sau
R:




5,0 5,0%40%40
Dacă vom calcula valoa rea așteptată a rentabilității acestui joc, vom obține că ea este 0% deci pe
termen lung, dacă investitorul repetă jocul de mai multe ori, nici nu câștigă nici nu pierde. Un astfel
de joc, pentru care valoarea medie, sau a șteptată, este nulă se nume ște jo c corect din punct de
vedere actuarial.
Am prezentat acest exemplu de loterie, sau de joc aleatoriu, caracterizat ca fiind corect din punct de
vedere actuarial pentru că ne va fi de ajutor în descrierea comportamentului unui individ avers față
de risc. C aracteristica generală a unei astfel de persoane este că ea va refuza întotdeauna să joace un
joc pentru care rezultatul așteptat este nul. Un individ avers față de risc va atribui întotdeauna o
pondere mai mare pierderii decât câștigului, atunci când aces tea au aceeași probabilitate de
realizare. Lucrul acesta se poate observa imediat, dacă vom calcula efectele percepuite de către
individ ale celor două variante din jocul exemplificat anterior.
În varianta în care individul câștigă patru unități monetare, el de fapt a pierdut șase din cele zece
unități plătite inițial. În varianta în care individul primește 16 unități monetare, înseamnă că el a
câștigat 6 unități monetare în plus față de cele zece investite inițial. Haideți să calculăm utilitatea
celor trei variante: 6 u.m., 10 u.m. și 16 u.m.

113

 24 4U  utili,
 162,3 10 10U  utili,
 4 16 16U  utili
Se poate observa că pierdere în utilitate generată de scăderea câștigului investitorului de la 10 u.m.
la 4 u.m. este de 1,162 utili, pe când creșterea în utilitate ca urmare a creșterii câștigului
investitorului tot cu 6 unități, de la 10 u.m. la 16 u.m. este de doar 0,837. Iată de ce spunem că un
individ avers față de risc va resimți mai puternic pierderea, decât câștigul atunci când ele au șanse
egale să se producă.
Putem afirma acum că î n general, pentru un investitor avers fa ță de risc, o pierdere de 2x este mai
mult decât de două ori mai rea decât o pierdere de 1x, pe când un câ știg de 2x este mai pu țin decât
de două ori mai bun decât un câ știg de 1x.
Exemplul 5.2.3. Un individ o funcție utilitate medie varianță de forma
w~DAw~Mw~U2 ,
unde A este un coeficient care arat ă aversiunea individului față de risc. Vom explica mai întâi
elementele implicate în această funcție și modul în care operează coeficientul A, apoi vom discuta o
situație concretă. Va trebui să spunem că funcția utilitate medie – varianță este larg folosit ă pentru a
descrie comportamentul agentului economic în perimetrul investițiilor financiare.
Observați, în primul rând, că de această dată am folosit notația
w~ în loc de notația simplă w. Asta
înseamnă că de data aceasta se evaluează utilitatea unei loterii, a unui joc aleator, și nu a unei sume
certe. În evaluarea utilității unei situații aleatoare, o importanță mare o acordăm valorii așteptate,
sau câștigului mediu pe care individul se așteaptă să îl obțină dacă se expune situației respective de
un număr foarte mare de ori și cu siguranță că o persoană va considera o loterie cu atât mai utilă cu
cât valoarea așteptată a câștigului, notată de noi
w~M , este mai mare. Din acest motiv
w~M este
un termen care apare cu semnul plus în forma funcției.
De așteptat va fi și faptul că dispersia loteriei va avea un impact asupra utilității pe care individul o va
acorda jocului. Dacă individul nu este avers față de risc, ne vom aștepta ca această dispersie să
contribuie în sens advers la evaluarea utilității loteriei și din acest motiv
w~D2 apare în expresia
funcției utilitate cu semnul minus. Totuși, va trebui să acceptăm că pentru diferite persoane averse
față de risc, percepțiile asupra unor pierderi potențiale pot fi diferite. Așadar, o aceeași valoare a
dispersiei va fi pentru unii mai amenințătoare decât pentru alții și de aceea termenul
w~D2 este
însoțit de un coeficient A, pe care l -am numit coeficient de aversiu ne față de risc. Cu cât individul se
va simți mai amenințat de valoarea dispersiei, cu atât valoarea lui A va fi mai mare.

114
5.3. Alte atitidini față de risc și funcții specifice
Haideți să discutăm un caz concret și să calculăm utilitatea loteri ilor din Exemplul 5.2.1. Pentru
loteria
1L am stabilit că
 8,20 LM1 și
 16, 1568 LD12 . De aici deducem că utilitatea medie –
varianță este
 16,1568A8,20 LU1 

Similar, pentru loteria
2L obținem du pă înlocuirea mărimilor calculete anterior:
 99,9702A9,19 LU2 

După cum se poate observa, din două valori medii aproape egale se scad, pentru determinarea
utilității medie – varianță, două mărimi sensibil diferite:
16,1568A în cazul prim ei investiții și
99,9702A
în cazul celei de -a doua investiții. Este foarte limpede că atât timp cât coeficientul A de
aversiune față de risc este pozitiv, investiția
2L va fi considerată o variantă de neales de către un
individ avers față de risc. Pe de altă parte, din Exercițiul 5.2.1. știm că există unii indivizi mai ciudați,
care ar putea considera investiția a doua ca fiind pe gustul lor. Haideți să vedem cum ar trebui să fie
coeficientul A în cazul lor, iar răspunsul la această problemă va face trecerea către următorul punct
pe care îl vom aborda în studiul preferințelor indivizilor.
Dacă
1 2 LU LU , atunci obținem din înlocuirea celor două expresii pentru funcțiile utilitate medie
– varianță:
 99,9702A9,19
00011,0 A 16,1568A8,20 

Cu alte cuvinte, o persoană va considera că al doilea tip de investiție este mai util, sau poate mai
plăcut, dacă A, coeficientul său de aversiune față de risc, este negativ. Haideți să vedem ce înseamnă
asta, discutând relativ la forma generală
w~DAw~Mw~U2 a unei funcții utilitate medie –
varianță. Așa cum se știe deja, dispersia unei variabile aleatoare nu poate fi altfel decât pozitivă. Prin
urmare, contribuția termenului
w~DA2 la utilita tea totală va fi în sens de scădere, dacă A iao
valoare pozitivă, în sens de creștere, dacă A ia o valoare negativă, sau acest termen nu va contribui
defel, dacă A ia valoarea zero.
Cazul în care A este pozitiv corespunde situației în care prezența risculu i – exprimat ca dispersie a
variabilei aleatoare – descurajează individul: așa cum spuneam mai sus, riscul este perceput ca fiind

115
cu atât mai neplăcut cu cât coeficientul A este mai mare, pentru că astfel termenul
w~DA2 care
se scade din valoarea medie
w~M devine la rândul lui mare.
Cazul în care coeficientul A este negativ corespunde situației în care prezența riscului contribuie în
sens pozitiv la alegerea individului: cu cât mai mare este dispersia
w~D2 , cu atât mai mare va fi
cantitatea care se va adăuga la valoarea medie
w~M pentru a obține în total utilitatea medie
varianță. Prin urmare, pentru un coeficient negativ al aversiunii față de risc, indivizii sunt cu atât mai
ferici ți cu cât riscul variantei pe care o aleg este mai mare. Acestea sunt persoanele inclinate către
risc, pentru care funcția utilitate ia o formă convexă. În cazul unor astfel de indivizi, este mai
important și mai bobilizator faptul că pot câștiga decât fap tul că pot pierde și de aceea ei acordă o
valoare mult mai mare unei unități monetare câștigate decât unei unități monetare pierdute.
În fine, cea de -a treia variantă corespunde unor indivizi care sunt foarte liniștiți în prezența riscului.
Coeficientul lo r de aversiune față de risc, A, este nul și din acest motiv ei vor fi motivați întotdeauna
de varianta care le va aduce cea mai mare valoare medie, sau așteptată. Între două variante care le
aduc avelași rezultat potențial, ei vor fi complet indiferenți ce aleg pentru că nu se vor interesa care
variantă este mai riscantă. Pentru un individ pe care riscul îl lasă rece, funcția utilitate are o formă
liniară care arată că din punctul lui de vedere se raportează la fel la o unitate monetară câștigată ca și
la o unitate monetară pierdută și din acest motiv el va căuta să își maximizeze valoarea câștigului
indiferent de cât de riscant sau de neriscant este demersul respectiv.
Este de la sine înțeles, iar practica o demonstrează cu prisosință, faptul că un același individ se poate
manifesta în moduri diferite, în situații diferite. Un exemplu simplu este legat chiar de atitudinea ta,
stimate cititor, în cazul în care ai fi invitat să joci un joc care să coste 10 u.m. și care să îți aducă un
câștig ca acela pe care l -a modelat în loteria




5,05,0146 . Dacă unitatea monetară este „banul”, deci
dacă jocul te costă 10 bai, atunci probabil că vei fin indiferent dacă joci sau nu, sau poate vei participa
pentru simpla plăcere a socializării cu cei care organizeaz ă loteria. Dacă, însă, unitatea monetară este
suta de euro, adică intrarea în joc te va costa 1000 de euro și ai șanse 50% să rămâi fără 400 dintre ei,
atunci am dubii că vei decide la fel de senin dacă să joci sau nu.
Iată, prin urmare, că în esență fieca re individ are pe funcția sa utilitate porțiuni convexe, concave și
liniare care arată modul diferit în care se raportează la diferite situații riscante. Pentru oamenii de
afaceri este important, de multe ori, să știe care este profilul pe care îl manifest ă colaboratorii față
de diverse alternative riscante și pentru că oamenii sunt tentați mereu să clasifice și să ierarhizeze, au

116
inventat o măsură a aversiunii față de risc din care să poată deduce cum se comportă un individ în
raport cu altul. Următorul ex emplu va aduce puțină lumină în acest sens.
Exemplul 5.3.1. Un om de afaceri este interesat să știe cum se vor comporta doi dintre colaboratorii
săi în raport cu o propunere de activitate comună. Persoana A are o funcție utilitate de forma
3
A w3 wU
, iar persoana B are funcția utilitate de forma
5,0
B w8wU . Teoreticienii au
definit o funcție, numită funcția de aversiune absolută față de risc pe care o cunoaștem sub numele
de Coeficientul Arrow – Pratt , sau ARA, și care are forma:

wUwUwr

Dacă vom calcula acest coeficient , care se mai notează și cu ARA, pentru fiecare dintre cei doi indivizi,
vom afla dacă unul dintre ei este de felul său mai avers față de risc decât celălalt, sau dacă există
situații în care A est e mai avers decât B și situații în care acest raport se schimbă.
Vom avea nevoie de derivatele de ordinul întâi și al doilea pentru funcțiile utilitate ale celor două
persoane implicate în studiu:
 4
A3
A w9wU w3 wU 
și
5
A w36 wU
 5,0
B5,0
B w4wU w8wU
și
5,1
B w2 wU
Înlocuim în formula generală a coeficientului Arrow – Pratt și obținem:

w4
wUwUwr
AA
A 


w21
wUwUwr
BB
B 
.
Se poate observa imediat că între cele două funcții care definesc aversiunea absolută față de risc
există următoarea relație:
w4
w21
, adică
wrA
wrB

117
Concluzia studiului este că individul A este mai avers față de risc decât individul B, iar asta se
întâmplă indiferent d e valoarea lui w. Prin urmare, omul de afaceri trebuie să știe că A este global
mai avers față de risc decât B și decă că dacă o variantă este acceptată de această persoană, atunci
va fi acceptată și de B.
Exemplul 5.3.2. Acest exemplu ne va ajuta să vedem care este corespondentul practic al funcției
utilitate și pentru asta ne vom referi la un om de afaceri care este interesat să majoreze capitalul
întreprinderii pe care o conduce. Emisiunea de acțiuni i se pare o idee buna, dar ar dori să știe cum va
fi primită această inițiativă de către investitorii potențiali.
Să presupunem că piața arată o asemenea predispoziție, că evoluția indicată pentru acțiunile emise
de omul de afaceri este următoarea:




8,02,011:W~

Asta înseamnă că din deținerea fiec ărei acțiuni, investitorul poate pierde o unitate monetară cu
șanse de 20% și poate câștiga o unitate monetară cu șanse de 80%. Întrebările la care dorește să își
răspundă omul de afaceri sunt următoarele: ce fel de investitori trebuie să caute, ca să fie sigur că
vor fi dornici să cumpere acțiunile? Și, cât sunt dispuși acești investitori să plătească pentru
achiziționarea unui astfel de titlu financiar?
Probabil că sunteți puțin surprinși gândindu -vă că din aceste prea puține date care vi s -au dat în
ipoteză ați putea deduce răspunsul la cele două întrebări care sunt, dealtfel, vitale pentru emitent ul
de acțiuni . Totuși, vă asigurăm că putem da răspunsuri coerente deîndată ce luăm în calcul că fiecare
persoană este caracterizată de o funcție utilitate. Spe cialiștii ne spun că funcția utilitate medie –
varianță descrie destul de bine comportamentul individului în raport cu deciziile sale financiare, prin
urmare vom considera că potențialii investitori au o funcție utilitate de tipul
w~DA21w~Mw~U2
, unde
w~ este variabila aleatoare care arată ceea ce obține individul din
jocul riscant în care se angajează. În cazul nostru, jocul riscant îi aduce fie un câștig de o unitate
monetară, fie o pierdere de același nivel, cu probabilități le pe care le -am amintit deja. Este bine să
observăm , totuși, că acest câștig și această pierdere nu ne spun mare lucru dacă nu știm la ce să le
raportăm. De exemplu, dacă individul a plătit pentru acțiune 10 u.m. și primește un câștig de o
unitate monetar ă, se prea poate să se orienteze către un alt emitent de acțiuni. Dacă primește
acțiunea în schimbul a 0,2 u.m., atunci ar putea considera că tentația de a obți ne o unitate monetară

118
este mare în raport cu cât investește, mai ales pentru că probabilitatea d e pierdere este sensibil mai
mică decât cea de câștig.
Pentru a avea o imagine mai clară asupra a ceea ce oferă acțiunea, va trebui să reformulăm problema
în termeni de rentabilitate: această abordare va pune în evidență atât beneficiile potențiale, cât și
efortul inițial de achiziționare a titlului financiar. Să presupunem, așadar, că omul de afaceri pune în
vânzare o acțiune la prețul
0s , prin urmare variabila aleatoare rentabilitate este de forma:



 
8,0 2,0ss1
ss1
:R~
00
00

Pentru a put ea evalua impactul pe care îl are această ofertă de investiție asupra potențialilor
investitori, va trebui să calculăm funcția utilitate medie varianță pentru această „loterie”. Va trebui,
în acest scop, să calcul ăm media și dispersia ei.

00
00
00
ss6,0
ss18,0ss12,0R~M

2
00
002
00
00 2
ss6,0
ss16,0ss6,0
ss14,0R~D


 


 
Obținem:
2
02
s53248,0R~D
Determinăm utilitatea medie – varianță pentru un individ care are un coeficient A de aversiune față
de risc:
R~DA21R~MR~U2
00
ss6,0
2
0s53248,0A21

Aducem la o f ormă mai simplă și obținem:
2
002
0
s2A 53248,0s2,1s2R~U

Se observă că această ultimă formă a funcției U ne arată modul în care utilitatea pe care o resimte
individul este influențată atât de atitudinea lui față de risc, exprimată prin intermediul coeficientulu i
A, dar și de suma pe care trebuie să o plătească inițial pentru achiziționarea acțiunii. Deocamdată,
rezultatul la care am ajuns este unul foarte abstract și încă nu ne dăm seama care ar fi legătura cu
viața reală. Haideți să răspundem acum la întrebarea : poate vreu investitor să fie tentat să

119
achiziționeze o astfel de acțiune? O variantă de abordare a acestei probleme ar fi să gândim astfel:
pentru ca tentația să funcționeze, potențialul investitor ar trebui să se simtă cumva indiferent între
varianta de a investi banii în acțiunile emise de omul de afaceri și varianta în care să nu facă nimic cu
ei. Cu alte cuvinte, să -i fie indiferent dacă scoate sau nu banii din buzunar. Desigur că un raționament
similar se poate aplica și pentru cazurile în care exist ă și alte alternative de investiție, dar pentru
scopurile noastre este important să prezentăm modul în care trebuie să gândim asupra fenomenului
în general.
Spuneam că în varianta în care individul se simte indiferent între a cumpăra acțiunea emisă de omul
de afaceri și a ține banii în buzunar, există o șansă ca acțiunea să se vândă. De asemenea, trebuie
spus că utilitatea ținerii banilor în buzunar este nulă, dintr -un motiv foarte simplu: banii ținuți în
buzunar aduc, în condiții de stabilitate financiară, o rentabilitate nulă și nu sunt expuși la niciun fel de
risc, deci și dispersia este într -un astfel de caz tot egală cu zero. Pentru ca individul să fie indiferent
între cele două variante menționate mai sus, trebuie ca utilitățile variantelor să fie egal e între ele.
Deci, trebuie ca și utilitatea deținerii unei acțiuni să fie cel puțin tot zero. Aceast a se scrie, din punct
de vedere formal:
0R~U
0
s2A 53248,0s2,1s2
2
002
0

Asta înseamnă că:
0A 53248,0s2,1s202
0  
sau

0A 53248,0s2,1s202
0   (#)
Variabila în această inecuație de gradul al doilea este
0s , iar intenția noastră este să determinăm
prețul la care potențialul investitor ar fi dispus să cumpere acțiunea. Calculăm discriminant ul funcției
de gradul al doilea din membrul din stânga al relației și impunem condiția ca acesta să fie pozitiv
pentru ca funcția de mai sus să poată avea rădăcini reale , adică pentru a fi siguri că individul și -ar dori
să plătească o sumă pentru cumpărarea acțiunii.
A 25984,444,1A 53248,0242,12 

Pentru ca investitorul să fie dispus să plătească ceva pentru achiziționarea acțiunii, va trebui ca
0
:

120

338,0A0A 25984,444,1  
Deci, investitorul se va aștepta ca acțiunile pe care le emite să fie tentante pentru aceia dintre
investi torii potențiali al căror profil față de risc este descris de un coeficient de aversiune
338,0A ,
ceea ce înseamnă că aceștia trebuie să fie destul de aproape de … indiferență față de risc, dacă nu
chiar înclinați către risc . Investitorii al căror coeficient A nu se încadrează în acest interval nu vor
considera investiția ca fiind atractivă.
Haideți să vedem, de exemplu, care va fi suma pe care va fi dispus să o plătească un individ care are
coeficientul de aversiune față de risc
25,0A pentru acțiunea emisă de individ. Pentru a răspunde
la întrebare, va trebui să înlocuim această valoare a lui A în relația (#) și obținem:
0 25,0 53248,0s2,1s202
0  
, sau
0 13312,0s2,1s202
0  

Rezolvăm această ecuație de gradul al doilea și obținem urmă toarele două soluții:
1469,0 s01
u.m. și
4531,0 s02 u.m.
Desigur, vă așteptați să apară întrebarea: „Care soluție va fi aleasă?”. Evident, răspunsul va depinde
de semnificația pe care o are
0s în toată povestea asta. La o primă vedere ați putea spune că
potențialul investitor ar dori să cumpere acțiunea pentru suma mai mică, egală cu 0,1469 u.m., pe
când omul de afaceri care emite acțiunile ar dori să obțină pentru ele cât mai mult, adică în aces t caz
suma de 0,4531 u.m. Un astfel de răspuns are logică, dar nu este corect până la capăt. Realitatea este
că
0s a reprezentat de la bun început exact suma pe care potențialul investitor este dispus să o
plătească pentru achiziționar ea unei acțiuni. De ce, atunci, emitentul să ceară pentru acel titlu 0,1469
u.m. și nu 0,4531 u.m.? Individul este dispus să dea acești bani, conform funcției sale utilitate! Prin
urmare, din perspectiva omului de afaceri el va trebui să aleagă soluția
4531,0 s02 ca preț al
acțiunilor pe care le emite.
Problema pe care tocmai v -am prezentat -o și care în esență nu este deloc dificilă face trimitere către
o noțiune foarte importantă în economia riscului și anume la echivalentul cert. Secțiunea ur mătoare
se va ocupa de cele două noțiuni pe care dorim să le mai discutăm înainte de încheierea acestui
capitol și anume echivalentul cert și prima de risc.

121
5.4. Echivalentul cert și prima de risc
Exemplul 5.3.2. din secțiunea precedentă a adus în discuție situația în care o persoană este
indiferentă între a cumpăra o anumită acțiune și a păstra banii neinvestiți. Într -un mediu riscant, se
poate pune deseori problema care dintre deciziile de a acționa sau a nu acționa este mai bună, sau
altfel spus „Care va riantă este mai bună: varianta sigură, sau varianta riscantă?”.
Conceptul de echivalent cert vine să ne vorbească despre o sumă care ne poate face suficient de
fericiți pentru a nu mai fi nevoie să ne implicăm în acțiuni riscante. Desigur că, odată ce am pomenit
cuvântul „fericit” cu referire clară la o persoană, trebuie să admitem că funcția utilitate trebuie să
aibă un amestec aici.
Acest echivalent cert este acea sumă pe care o notăm c, care este sigură și care asigură individului
aceeași utilitate ca o acțiune riscantă din care el ar avea si de pierdut, și de câștigat. Haideți să fim
mai clari.
Exemplul 5.4.1. Presupunem că într -o dimineață copilul dumneavoastră vine și vă spune că ar dori să
intre în afaceri cu un coleg. Va trebui să investească 1000 de euro, iar din calculele lor rezultă că în
următorul an fie va câștiga 2500 de euro (cu o probabilitate foarte mică, din câte puteți să mirosiși
dumneavoastră), fie va pierde cam tot ce a cheltuit. Pentru că vă e clar că acei 1000 de euro la care
se refe ră puștiul sunt tocmai banii pe care i -ați pus deoparte în perspectiva concediului, și pentru că
nu doriți nici să vă certați urât cu un adfolescent (care poate fi foarte dificil dacă depune efprturi în
acest sens), vâ gândiți să îi propuneți un compromis: îi faceți cadou o pereche de role pe care și le
dorește de multă vreme și uită de povestea cu afacerea. Aflați că dacă puștiul dumneavoastră va
spune „da”, înseamnă că tocmai ați determinat un fel de echivament cert al situației: prețul rolelor.
Se presup une că în această etapă copilului îi este indiferent dacă mai intră în afaceri cu prietenul său,
pentru că obținerea sigură a patinelor cu rotile este destul de tentantă în felul său. Sigur că până la
urmă veți face cumva ca rolele acelea să devină chiar p referință, nu doar o variantă suficient de bună,
dar asta depășește deja scopul exemplului nostru.
Exemplul anterior a explicat pe baza unu exemplu foarte simplu faptul că puștiul aspirant la ststutul
de om de afaceri a evaluat rapid, prin prisma caracter isticilor proprii, utilitatea așteptată a loteriei în
care ar fi intrat cu prietenul său și a comparat -o cu utilitatea posesiunii certe a patinelor cu rotile. În
varianta în care cele două mărimi i -au dat ca fiind egale, probabil că s -a lăsat ușor convins să nu se
complice, ci să meargă mai degrabă să se joace în parc.

122
În general, arunci când avm de comparat o loterie L a cărei utilitate așteptată este
W~UM , cu o
variantă certă c, a cărei utilitate este
cU , spunem că mărimea c este echivalentul cert dacă are loc
egalitatea
cU
W~UM

Pe de altă parte, prima de risc este suma pe care o personă aversă față de risc ar fi dispusă să o
plătească pentru a evita riscul. Modul în care se ca lculează prima de risc nu mai este, din păcate, la
fel de simplu și evident ca în cazul echivalentului cert și de aceea există o întreagă literatură care se
focalizează pe determinarea celor mai bune variante de calcul al acestei mărimi . Ceea ce ne dorim î n
această lucrare este doar să familiarizăm cititorul cu unele noțiuni generale și prin urmare vom alege
să stabilim că prima de risc
 se calculează după formula
W~MU
W~UM

Exemplele următoare vor explica mai clar modul în care se calculează atât echivalentul cert, cât și
prima de risc.
Exemplul 5.4.2. Un individ este caracterizat de o funcție utilitate von Neumann – Morgenstern, de
forma
5,0w wU și dispune de o sumă de 64 u.m.. Ace astă presoană este pusă într -o situație
riscantă din care , cu șanse egale, poate fie să rămână cu suma pe care o are inițial, fie poate să piardă
aproape o jumătate din ea, conform loteriei următoare:




5,0 5,0.m.u64.m.u36:w~

Se pune problema cât este dispu să această persoană să plătească pentru a încheia un contract care
să o acopere împotriva pierderii potențiale de 28 u.m.
Formula de calcul pe care o vom utiliza noi pentru prima de risc este legată de coeficientul Arrow –
Pratt de aversiune față de risc și se scrie explicit astfel:
ARA2w~D2


Deci, prima de risc se calculează ca produs între jumătatea dispersiei loteriei la care este supus
individul și coeficientul Arrow – Pratt de aversiune față de risc.

123
Dispersia lui




5,0 5,0.m.u64.m.u36:w~ se calculează imediat și rezultă egală cu 196. Determinăm acum
derivatele de ordinul întâi și al doilea pentru funcția utilitate, ca să putem calcula ARA:
  5,1 5,0 5,0w25,0 wU w5,0wU w wU  

Atunci:

w21
wUwUwr ARA 
Prima de risc este:

w49
w21
2196ARA2w~D2
  

Haideți să vedem acum care este semnificația practică a relației pe care am obținut -o: prima de risc a
fost determinată în funcție de o valoare w care este acea valoare de care individul dorește să
dispună. De exemplu, loteria din exemplul nostru îi asigu ră individului o valoare medie egală cu
 50 645,0365,0wM 

În realitate, el va dispune fie de 36 u.m., fi e de 64 u.m., dar nu de 50 u.m. Și totuși, dacă persoana
dorește să se asigure că va beneficia de această valoare medie cu siguranșp, ea va putea încheia un
contract de asigurare care să o sedpăgubească în cazul cel mai nefavorabil până la valoarea medie
dorită. Înseamnă că, pentru a putea beneficia de o medie de 50 u.m., persoana va trebui să plătească
o primă de risc egală cu:
.m.u98,05049

5.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
1. Alegeți un eveniment important din viața dvs care urmează să aibă loc. Enumerați cinci dintre
caracteristicile pe care le considerați neobservabile și din cauza cărora nu puteți prevedea cu
exactitat e rezultatul pe care îl veți înregistra.
2. Ce înțelegeți prin utilitate și care este motivul pentru care teoria economică a avut nevoie de
un astfel de concept?
3. Explicați modul în care Padadoxul St. Petersburg dovedește că oamenii nu decid întotdeauna
confor m criteriului maximizării câștigului monetar.

124
4. Explicați diferențșa dintre utilitate și funcție utilitate și dați un exemplu concret care să
exprime această distincție.
5. Care este afirmația de bază a teoriei utilității așteptate? Găsiți un exemplu concret di n viața
dvs când ați acționat pentru maximizarea valorii monetare a unui câștig și un alt exemplu în
care ați luat decizia pe baza unor valori nemonetare dar care v -au maximizat utilitatea în
contextul respectiv.
6. Explicați în ce constă ipoteza non sațietăț ii din teoria utilității așteptate. Întocmiți un referat
de 5 pagini despre tendința individului către consumatorism. Utilizați, în acest scop, cel puțin
5 materiale bibliografice relevante.
7. Explicați în ce constă ipoteza aversiunii față de risc din teoria utilității așteptate. Întocmiți un
referat de 5 pagini despre diferitele tip uri de funcții utilitate pe care le utilizează specialiștii în
evaluarea profilului față de risc pe care îl are un decident . Utilizați, în acest scop, cel puțin 5
materiale biblio grafice relevante.
8. Explicați noțiunile de echivalent cert și primă de risc. Întocmiți un referat de 5 pagini despre
legătura dintre aceste două concepte și despre diferitele metode de calcul pe care le -au
propus specialiștii pentru a determina pri ma de ris c. Subliniați motivele pentru care calculul
acestei valori este atât de mult discutat. Utilizați, în acest scop, cel puțin 5 materiale
bibliografice relevante.
9. Întocmiți un referat de 7 – 8 pagini despre teoria anxietății și despre importanța ei în studiul
luării deciziei în mediu riscant. Utilizați, în acest scop, cel puțin 10 materiale bibliografice
relevante.
10. Întocmiți un referat de 7 – 8 pagini despre limitele teoriei utilității ațteptate și despre teorii
alternative propuse de către specialiști, cum ar fi de exemplu teoria prosprctării. Utilizați, în
acest scop, cel puțin 10 materiale bibliografice relevante.

125

CAPITOLUL 6.
MĂRIMI OBSERVABILE ȘI NEOBSERVABILE
LA NIVEL DE AFACERE
6.1. Provocări ale pieței monopoliste în mediu incert
6.2. Implicațiile prețului necunoscut asupra alegerii optime a inputurilor
6.3. Întrebări recapitulative și teme de seminar
Obiec tivele capitolului
Acest capitol își propune să evidențieze utilitatea introducerii elementului aleator în tratarea anumitor procese
care au loc în mod obișnuit la nivel de afacere. Ne -am îndreptat atenția către provocările la care face față
monopolul temp orar în condițiile în care pe piață tot mai mulți competitori sunt dispuși să își adapteze
produsele conform cu cele mai noi modele lansate de concurență și de asemenea am studiat un exemplu în
care am pus în evidență diferențele dintre deciziile optime pe care le poate lua un om de afaceri înainte și după
ce află care este prețul la care consumatorii primesc produsul pe piață.
6.1. Provocări ale pieței monopoliste în mediu incert
Oricare curs de microeconomie ne învață că în situația în ca re pe piață func țione ază un regim de
monopol profitul este același indiferent dacă monopolistul va hotărî să stabilească prețul produsului
sau cantitatea pe care urmează să o trimită pe piață. Secțiunea de față își propune ca, pornind de la
un aparat matematic simplu, să dovedească faptul că afirmația precedentă nu mai este un adevăr
general valabil atunci când luăm în considerare condițiile reale de pe piață, prin urmare atunci când
acceptăm că agentul economic își desfășoară activitatea în mediu incert. Concluzia, susțin ută riguros
științific, se constituie într -o atenționare pentru acei producători care pentru o perioadă scurtă de
timp se găsesc pe o poziție similară monopolului, ca urmare a trimiterii pe piață a unui produs
suficient de diferențiat pentru a putea afirma că situația se caracterizează ca monopol de
conjunctură.
Ne propune m să abord ăm problema maximizării profitului, ca obiectiv al unei firme care deține un
monopul temporar asupra unui anumit produs. Situația provizorie în care se află firma este dată de
rapidit atea cu care concurența este capabilă și dispusă să copieze ideea noului produs. Astfel, la

126
momentul lansării pe piață de către concurență a unui produs similar, firma își va pierde calitatea de
monopolist și implicit și avantajele pe care i le oferă o astfel de poziție.
Vom porni de la opinia general exprimată în lucrările de Microeconomie și anume că un monopolist
poate în egală măsură stabili prețul sau cantitatea pentru un anumit bun, rareori ambele mărimi
simultan, iar într -o astfel de situație p rin fixarea prețului se stabilește indirect și cantitatea. Tot ca o
concluzie indirectă, se enunță faptul că indiferent dacă monopolistul va stabili prețul sau cantitatea,
el va putea obține același profit.
Încă de la începutul anilor 1970, în literatura e conomică au fost aduse argumente importante care au
arătat faptul că în condiții de incertitudine profitul monopolistului nu este același atunci când acesta
fixează prețul ca și atunci când fixează cantitatea. Pot fi menționați aici Sandmo (1971), Leland
(1972), dar se pot include și contribuții mai recente ca de exemplu Klemperer și Meyer (1986) sau
Lambertini (2006)
Problema căreia trebuie să îi facă față monopolistul de conjunctură nu este o problemă teoretică.
Recentele transformări ale mediului economi c, generate de integrarea în Uniunea Europeană, fac ca
economia în care trăim să fie din ce în ce mai mult cu bază în risc și de aceea deciziile trebuie luate în
deplină cunoștință de cauză.
Nici un monopol nu este scutit de problema existenței bunurilor substituibile, chiar dacă uneori
acestea oferă consumatorului o utilitate mai mică decât produsul de monopol. Câtă vreme există
alternative, monopolistul va trebui să -și pună problema că nu poate anticipa modificării preferințelor
consumatorilor, modificăr i care vor avea impact asupra cererii pentru produs. Câtă vreme preferința
va rămâne în drepturi ca factor al cererii, problema pe care o tratam în această lucrare va fi o
problemă reală pentru orice întreprinzător.
Vom porni de la ipoteza că monopolistul cunoaște curba cererii, notată
,pD , unde p este prețul
produsului iar
 este o variabilă aleatoare care arată modul în care se modifică preferințele
consumatorilor și care are efect asupra cererii. Vom accepta că val oarea așteptată a variabilei
aleatoare
 este zero, iar prețul p este de forma:
0pp
, unde
0p este o mărime certă (1)
Ca urmare a regimului de monopol temporar, vom putea accepta faptul că pentru firma în discuție
cererea se confundă cu cantitatea oferită. Considerăm, deci, că

127

q,pS,pD  (2)
Am exprimat faptul că oferta este egală cu cererea și că mărimea q este cantitatea comună. Vom mai
nota, de asemenea, funcția cost total ca fiin d
qC , ea fiind în mod clar o funcție de două variabile
dacă acceptăm forma lui q din egalitatea (2).
Obiectivul fundamental al monopolistului este maximizarea profitului, prin urmare vom avea de
rezolvat problema următoare:
qqCp max
(3)
Deoarece relația (1) ne spune că variabila preț are în componență un element aleator, problema din
(3) nu poate cere decât o maximizare în medie. În mod indirect, variabila aleatoare
 se regăsește și
în q (din (2)), p rin urmare și în funcția cost.

Cazul în care m onopolistul alege cantitatea
Acest caz corespunde situației în care nivelul lui q este ales înainte de a fi observat
 , iar prețul este
ales după observarea lui
 . Este situația în care prețul produsului se formează pornind de la piață,
deci de la observarea comportamentului consumatorului și de la evaluarea cererii pe care aceștia o
manifestă.
Este nevoie de câteva comentarii suplimentare. În momentul în care alege c antitatea, monopolistul
presupune că el „se confundă” cu cererea globală de pe piață. Pe de altă parte, concomitent cu
evaluarea acestei cereri, port surveni o serie de modificări în preferințele consumatorilor, motiv
pentru care la momentul la care va tre bui dedus prețul monopolistul constată că acesta corespunde,
de fapt, unei alte cantități. În concluzie, odată ce a ales cantitatea q monopolistul nu poate să știe cu
exactitate decât un preț mediu la care trebuie să producă, dedus din condiția
0 E .
Problema maximizării profitului se scrie, așadar:
qCpqEmax maxq  

Deoarece q a fost deja ales, mărimile q și
qC sunt deja determinate, iar despre p putem deduce că
are
0ppE . Problema de maximizare devine:

128

qC qp max max0 q   (4)
Nivelul optim al producției se deduce din condiția de ordinul întâi și din rezolvarea ecuației care
rezultă :
0pqC .
Studiu de caz : Dacă
 q p30,pD  și
4qqC2
 , atunci problema de maximizare a
profitului este:



 4qq30qEmax max2
q

Ținând cont de elementele deja precizate, problema de maximizare conduce la
12q , aceasta fiind
cantitatea optimă în condițiile preferințelor neobservate. Ulterior acestui moment, se poate spune că
prețul va fi de forma
18p dar că valoarea lui exactă nu poate fi cunoscută decât în momentul
determinării valorii manifestate pentru variabila aleatoare
 .
Monopolistul stabilește prețul
Ordinea este, de această dată, următoarea: se alege p, apoi se observă
 și urmarea deținerii acestor
observații se află care este nivelul lui q. Se pune problema determinării nivelului optim al lui p, ca
primă alegere a monopolistului, astfel înc ât profitul să fie maxim.
Această situație este incomparabil mai complicată decât precedenta. Motivul este legat de faptul că
toate mărimila care intră acum în componența profitului capătă caracter aleator, problema de
optimizare fiind de forma:
    ,pDC,ppDEm ax m axp

Faptul că nu cunoaștem forma funcțiilor implicate în această problemă nu ne mai permite de această
dată să aplicăm proprietățile operatorului valoare așteptată. Reamintind însă scopul prezentei
secțiuni și anume acela de a arăta că atunci când operăm în mediu incert afirmația conform căreia
„profitul monopolistului este același indiferent dacă alege prețul sau cantitatea” nu mai este un
adevăr general valabil, înseamnă că este suficient să găsim un caz particular în care să dovedim că
egalitate a mărimilor nu are loc.

129
Studiu de caz : Vom considera tot
 q p30,pD  și
4qqC2
 , de data aceasta problema de
maximizare formulându -se în termeni de preț.




  4p30p30pEmax max2
p

Problema se scrie în formă echivalentă, ținând cont de faptul că p este o mărime stabilită, deci nu are
caracter aleator:








  4p30E pEpp30 max max2
2
p

Condiția de ordinul întâi conduce la
18p . Pentru acest nivel al prețului, cantitatea trimisă pe piață
este
12q .

Concluzii la problema monopolistului
Din calculele anterioare se poate observa o diferență între mărimile optime din fiecare caz în parte.
Atunci când monopolistul alege cantitatea pe care o va trimite pe piață și abia apoi observă
preferințele consumatorilor, avem ca mărimi optime
12q și
18p . Atunci când
monopolistul alege prețul si apoi observă preferințele, se obțin
12q și
18p . Faptul că
apare această diferență de mărimi nu este, deocamdat ă, un argument solid în sprijinul ideii pe care o
susține această lucrare. Vom calcula profitul pentru fiecare dintre combinațiile optime în parte:







p alegerecaz,4121218q alegerecaz,4121812
22
(5)
Despre
 nu știm decât că este o variabilă aleatoare cu me dia zero, valoarea ei exactă nefiind
cunoscută la momentul la care înteprinzătorul face alegerea. Vom calcula profitul așteptat, deoarece
funcția din (5) este, la rândul ei, o variabilă aleatoare.

130

 





p alegerecaz,412E 216q alegerecaz,180
E2 (6)

Funcția

412f2 este o funcție convexă, pentru care inegalitatea Jensen devine:
 Ef fE

412
412E2 2






De aici și din (6) deducem că
180412E 2162




 , adică tocmai faptul că profitul așteptat în
cazul alegerii prețului este mai mic decât pro fitul așteptat în cazul alegerii cantității.
6.2. Implicațiile prețului necunoscut asupra alegerii optime a inputurilor
Funcția de producție este o noțiune pe care o admitem ca fiind indisolubil legată de știința
economică și pe care o întâlnim încă de la primele cursuri legate de producător. Deși primele
tentative de a o estima cu precizie datează de la începutul anilor 1800, chiar și în zilele noastre
această inițiativă ridică probleme destul de serioase. Desigur că acest aspect nu face deloc ca funcția
de producție să fie un concept neimportant pentru teoria și practica economică, iar această secțiune
își propune să arate modul în care această funcție, chiar și în formă abstractă, poate fi utilizată de
întreprinzători în scopul luării deciziilor în mediu l incert în care se desfășoară atât activitatea de
producție cât și de distribuție . Mai exact, ne propunem să stabilim modul în care incertitudinea
asupra prețului produsului poate afecta optimalitatea alegerii inputurilor pe care producătorul le ia
în con siderare într -un ciclu de producție și de asemenea intenționăm să evidențiem faptul că
momentele în care este observată valoarea reală a prețuli produsului determină efecte diferite
asupra cantităților optime de factori de producție.
Pentru început, să fi m de acord cu faptul că p entru fiecare întreprinzător, problemele legate de „ce”,
„cum” și „cât” să producă sunt parte integrantă a activității de zi cu zi. Din păcate nu se poate spune
că răspunsurile la aceste dileme se construiesc o dată pentru totdeaun a, pentru că mediul în care
întreprinzătorul își desfășoară existența este într -o continuă schimbare. Cu toate că decizia asupra a
„ce” să producă se poate modifica în funcție de cererea pentru produsul oferit sau pentru

131
caracteristicile sale, secțiunea de față își propune să considere că această întrebare și -a găsit un
răspuns care va rămâne valabil pe toată durata studiului nostru.
Întrebările „cum” și „cât” sunt întrucâtva mai spinoase și teoria economică oferă pentru descrierea
legăturii dintre tehnolog ie, inputuri (de exemplu capital, muncă, materii prime și materiale) și output,
funcția de producție ca expresie a relaționării optime între mărimile menționate. Din punct de vedere
teoretic, această funcție permite construcția unor modele de lucru menite să asigure
întreprinzătorului succesul în afaceri, dar evidența empirică aduce în discuție faptul că până în acest
moment nici o functională propusă pentru a juca rolul doritei funcții nu poate fi o estimare corectă
până la capăt a fenomenului real.
Marea problemă pe care o ridică economiștii atunci când intră în discuție determinarea formei
funcției de producție este aceea că unele inputuri nu pot fi observate sau exprimate cantitativ. Din
acest motiv, incercările de estimare din ultimii ani, bazate dealt fel pe metode econometrice
moderne, au sfarsit prin a fi criticate si problema a rămas deschisă până în acest moment. Soluților
propuse de Chamberlain (1982), Blundell și Bond (1999) sau Olley și Pakes (1996) de exemplu, li s -au
adus contraargumente legat e de faptul că nu au rezolvat problema coliniarității, care poate genera
erori în interpretarea rezultatelor.
Deloc întîmplător, în decursul timpului au fost propuse diferite forme funcționale pentru funcția de
producție: binecunoscuta funcție Cobb – Doug las (vezi *4+), sau funcția propusă de Solow și
Tinbergen incluzând rolul progresului tehnic, funcția CES (1961) sau funcția Harrod – Domar.
Dincolo de toate formele funcționale propuse și contestate în tot acest timp, specialiștii au căzut de
acord asupr a unui fapt susținut de evidență și anume acela că există în esență două tipuri de funcții
de producție și anume: funcțiile omogene de grad n și, ca o mulțime mult mai generală, funcțiile
omotetice. Se acceptă, de asemenea, faptul că funcția de producție poate fi considerată derivabilă în
raport cu fiecare dintre variabile, că derivatele de ordinul I sunt pozitive și că acelea de ordinul al
doilea sunt negative, funcția neavând astfel puncte de inflexiune și îndeplinind proprietatea de a fi
concavă, lucru în deplin acord cu Legea Randamentelor Descrescătoare.
Pentru o parte din scopurile acestei secțiuni , proprietățile generale enunțate anterior vor fi suficiente
pentru a demonstra că întreprinzătorul poate lua decizii în mediu incert doar pe baza unor elem ente
generale legate de funcția de producție. Mai mult, concluziile la care vom ajunge pot fi implementate
și fără ca agentul economic să cunoască întreg aparatul teoretic care stă la baza elaborării lor.

132
Ne vom referi la situația unui întreprinzător care își desfășoară activitatea în regim „take – pricing”,
problema esențială fiind faptul că prețul outputului ar putea să nu fie cunoscut la momentul la care
se fac demersuri pentru alegerea nivelului inputurilor. Vom considera că este trimis pe piață un
singur produs, că acesta este omogen și că în elaborarea lui se iau în considerare factorii capital și
muncă. Se vor trata două variante posibile și anume: situația în care întreprinzătorul alege să
dimensioneze inputurile înainte de a observa efectiv prețul ș i situația în care își dimensionează
capitalul, apoi observă prețul și apoi dimensionează munca.
O altă ipoteză naturală este aceea că întreprinzătorul urmărește să își maximizeze rezultatele și din
acest motiv ne vom concentra asupra următoarei probleme de maximizare:
  LCKCL,KpQMax2 1L,K
(6.2.1)
Am utilizat următoarele notații:
p = prețul outputului
K = capitalul
L = munca
L,KQ
funcția de producție, de variabile K și L
KC1
= costul capitalului utilizat
LC2
= costul factorului muncă utilizat
În ipotezele menționate vom urmări să determinăm modul în care sunt influențate valorile optime
care se constituie în soluții ale problemei ( 6.2.1), de componenta incertă a prețului și de momentul în
care acest a este cunoscut cu certitudine de către întreprinzător.
Pentru a pune în evidență faptul că prețul este necunoscut de către întreprinzător, îl vom considera
de forma
0pp , unde
0p este o mărime certă, iar
 este o variabilă aleatoare care arată
abaterea posibilă a prețului real față de
0p . Conform cu normele statistice, termenul
 este
caracterizat de o distribuție de probabilitate și are valoarea așteptată n ulă:
0 E .
6.2.1. Alegerea cantităților de factori este premergătoare observării prețului

133
Această situație presupune că întreprinzătorul își va stabili parametrii în care urmează să funcționeze
înainte de a afla nivelul efectiv al prețul ui la care va putea trimite produsul pe piață. Este un caz de
alegere în condiții de risc care face ca rezolvarea problemei de maximizare ( 6.2.1) să nu poată fi
făcută cu exactitate: câtă vreme există măcar o mărime necunoscută apriori, în cazul nostru pre țul,
nu ne putem referi la rezultat decât ca la o valoare medie și nu ca la o mărime certă. De aceea,
rezolvarea problemei ( 6.2.1) se va transforma în rezolvarea următoarei probleme:
  LCKCL,KpQEMax2 1L,K
(6.2.2)
Introducerea operatorului valoare medie a fost absolut necesară, dar proprietățile sale ne spun că au
loc următoarele egalități:
  LCKCpEL,KQLCKCL,KpQE2 1 2 1  

0 0 p pEpE 

În concluzie, avem de rezolvat următoarea problemă de maximizare echivalentă cu ( 6.2.2):
  LCKCL,KQpMax2 1 0L,K
(6.2.3)
Ca urmare a caracteristicilor funcției de producție, problema ( 6.2.3) are cu siguranță soluție și
aceasta nu va depinde în nici un fel de posibilele valori ale variabilei aleatoare
 . Concluzia este că
lipsa cunoașterii prețului atunc i când se aleg K și L nu afectează în nici un fel rezultatul așteptat de
întreprinzător. Trebuie menționat că în realitate se pot înregistra abateri de la așteptările
întreprinzătorului, dar acestea nu sunt efectiv reflectate de abordarea problemei prin pr isma valorii
medii a rezultatului.
Studiu de caz: Considerăm funcția de producție
21
41
LK4L,KQ și vom lucra în ipoteza simplificată
în care costul unei unități de factor este de o unitate atât în cazul lui L cât și în cazul lui K. Problema
de ma ximizare ( 4.2.3) se scrie în acest caz:




 LKLK4p Max21
41
0L,K
(6.2.4)
Condiția de ordinul înt âi conduce la următorul sistem de ecuații:

134




  

1 LK214p1 LK414p
21
41
021
43
0
Soluția sistemului este:
4
0p4K ,
4
0p8L , toate mărimile implic ate fiind de dimensiune certă. Prin
urmare, soluția problemei ( 4.2.4) va fi de asemenea o mărime independentă de valorile efective ale
prețului și va depinde doar de prețul mediu, sau așteptat, pentru produs.
6.2.2. Alegerea nivelului factorului capital e ste premergatoare observării prețului, iar alegerea
nivelului factorului muncă este ulterioară acestei observări.
Din nou, existența variabilei aleatoare preț va face ca problema de maximizare să presupună
optimizarea valorii medii a rezultatului, adică ar trebui să ne referim la ( 6.2.2). De această dată,
alegerea lui L se face după ce se cunosc p și K. Din acest motiv determinarea lui L nu mai are nici o
dimensiune aleatoare, el rezultând din rezolvarea următoarei probleme deterministe:
  LCL,KpQMax2L
(6.2.5)
Față de problema ( 6.2.2), în cazul ( 6.2.5) lipsesc operatorul medie – fapt explicat de natura
deterministă a acestei părți din problemă – și costul factorului K, deoarece el este deja ales și
mărimea este considerată constantă în raport cu ca ntitatea care a rămas de maximizat.
Rezolvarea problemei ( 6.2.5) este urmarea directă a condiției de ordinul întâi:
  LCL,KpQMax2L

Vom nota cu
L soluția problemei, reprezentând nivelul factorului muncă ales astfel încât să
maximizeze rezultatul întreprinzătorului în condițiile cunoașterii prețului produsului și nivelului
factorului capital.
Problema care face ca totul să se complice în acest moment este legată de faptul că în fond
L este o
funcție de două variabile și anume
p,KL . Alegerea lui K trebuie făcută înainte de observarea
prețului, iar problema ( 6.2.5) a fost o problemă de o singură variabilă, anume L.
Adevărata problemă de maximizare a rezultatelor întreprinzătorului este, în m omentul de față,
următoarea:

135

  p,KLCKCp,KL,KpQMax2 1K 
(6.2.6)
Se observă că această problemă nu mai este una deterministă, pentru că prețul este o variabilă
aleatoare și singura manieră în care putem spera într -o rezolvare este trecerea la operatorul medi e:
dependența lui K nu mai poate fi gândită de data aceasta ca fiind o dependență efectivă de p, ci de
distribuția de probabilitate care îl descrie pe acesta.

  p,KLCKCp,KL,KpQEMax2 1K 
Singura mărime care nu are conotație aleatoare este
KC1 , deci problema se scrie în formă
echivalentă:
    KC p,KLCp,KL,KpQEMax1 2K  

Această nouă scriere nu rezolvă foarte multe, pentru că în absența cunoașterii formei funcțiilor
p,KL,KQ
și
p,KLC2 nu putem aplica proprietățile operator ului medie. Pentru a ilustra
procedura care trebuie urmată, vom prezenta în continuare un studiu concret care urmează etapele
generale ale rezolvării problemei.
Studiu de caz: Considerăm aceeași funcție de producție din studiul de caz anterior,
21
41
LK4L,KQ
și vom lucra în aceeași ipoteză simplificată în care costul unei unități de factor este de o unitate atât
în cazul lui L cât și în cazul lui K. Problema de maximizare ( 6.2.5) se scrie în acest caz:




LLpK4 Max21
41
L
(6.2.7)
Rezolvarea co ndiției de ordinul întîâi conduce la:
21
2Kp4p,KL
(6.2.8)
Această formă a lui L este cea care asigură întreprinzătorul de maximizarea rezultatelor, odată ce
acesta a știut nivelul pentru K și p. Pe de altă parte, nu trebuie omis faptul că dime nsionarea lui K

136
trebuie făcută urmărind același obiectiv, ceea ce ne spune că în condițiile în care L este cel din (8)
firma va trebui să aleagă K astfel încât să rezolve problema de maximizare rezultată din ( 6.2.6) prin
înlocuirea lui
p,KL și prin aplicarea proprietăților operatorului medie:




K KpE4 Max21
2
K
(6.2.9)
Rezolvarea condiției de ordinul întâi conduce la:
22
opt pE4pK K 
(6.2.10)
Vom analiza două situații și anume: mai întâi cazul în care p ar avea o valoare cer tă pe care o vom
nota
0p și apoi cazul în care apare componenta incertă și prețul p devine variabila aleatoare pe care
am notat -o deja prin
0pp .
Dacă
0pp , atunci condiția de optimizare nu mai are mo tive să includă operatorul medie și prin
urmare nivelul optim al capitalului este:
4
022
0 p4 p4 K 
(6.2.11)
Folosind formele ( 6.2.10) și ( 6.2.11), vom determina efectele introducerii incertitudinii asupra
nivelului capitalului pe care trebuie să î l aleagă firma pentru a -și maximiza rezultatele. Comparăm
cele două forme ale lui K și observăm că relația dintre
optK și
K este în acest caz relația dintre
2
0p și
2pE
. Dacă vom c onsidera funcția
2xxf , vom constata că ea este o funcție convexă pe întreg
domeniul de definiție, adică R, prin urmare inegalitatea lui Jensen ne spune că:
xEf xfE
.
Înlocuim acum ceea ce definește problema noastră și obține m, pe baza inegalității lui Jensen, că:
2
02 2 2p pE pE pE 

Rezultă că are loc inegalitatea:
optK
K
.

137
În concluzie, incertitudinea asupra lui p are, de această dată, efectul de majorare a nivelului
capitalului optim, spre deosebire de situația anterioară unde această incertitudine nu afecta în nici
un fel rezultatele medii ale întreprinzătorului, nivelul pentru K și L fiind strict determinat.
Deși în prezentarea acestei concluzii ne -am prevalat de un caz particular, nu considerăm că lucrul
acesta afectează în vreun fel calitatea observațiilor pe care le -am efectuat. Din rezolvarea
problemelor concrete pe care le -am prezentat anterior se pot extrage metode de lucru valabile
pentru oricare situație, pentru că aparatul m atematic utilizat este unul cu caracter suficient de
general.
Desigur că nu putem stabili, doar pe baza exemplului propus, că întotdeauna într -o situație în care
observarea mărimii preț se face după stabilirea factorului capital și înainte de determinarea
volumului de muncă, factorul capital are un nivel mai mare decât l -ar fi avut în cazul cert.
Demersurile teoretic matematice care ar face referire la proprietățile abstracte ale funcției de
producție, ale funcțiilor cost etc. ar fi, aici, mai mult decât inutile pentru că informația se dorește a fi
prezentată într -un mod accesibil și nematematicienilor. Pe baza condiderentelor precedente, credem
totuși că în acest moment oricare cititor se poate convinge singur dacă efectele incertitudinii se
resimt pentru un anumit caz de funcție de producție și pentru un anumit tip de funcție cost.
Ceea ce trebuie observat încă de la început este faptul că mărimile implicate în acest studiu sunt
aceleași și în cazul 6.2.1., și în cazul 6.2.2. Diferența între cele două sit uații este legată de ordinea
observării sau determinării lor.
În primul caz funcția de producție este cunoscută, iar mărimile K și L se determină în mod cert pe
baza unei mărimi medii a prețului. Modul în care este implicat prețul în problema de maximizar e face
să nu existe nici un dubiu asupra rezultatului aplicării operatorului valoare medie: apare doar
mărimea
pE pe care o cunoaștem cu exactitate și care face ca asupra lui K și L să nu planeze
incertitudine.
În cel de -al doilea caz, ordinea observării face ca incertitudinea să se implice în problema de
optimizare chiar în structura lui Q. Operatorul valoare medie, a cărui aparitie am justificat -o atunci
când am discutat situația 6.2.2., nu se mai aplică unei funcții cu proprietăți de liniaritate și din acest
motiv nu mai putem beneficia de simplificări de calcul. Concluzia la care am ajuns în acest al doilea
caz este că prezența incertitudinii face ca nivelul capitalului necesar pentru optimizarea rezultatelor
să fie mai mare decât în cazul cert.

138
Pornind de la formele obținute pentru
optK și
K , rezultă imediat că factorul muncă în cazul cert și în
cel incert capătă descrere prin următoarele expresii:
2 2
opt pEp8 L
și
4
022
0 p8 p4L 
Discutând despre
optK și
K , am putut stabili inegalitatea
optK
K . Atunci când este vorba despre
optL
(în cazul incert) și
L (în cazul cert ), nu mai putem determina inegalitatea dintre aceste două
mărimi înainte de a cunoațte efectiv valoarea lui p. O comparație a lor ne va spune că dacă p
observat este mai mare decât prețul mediu, atunci
optL >
L. Totuși, o astfel de inegalitate nu poate
avea loc întotdeauna, pentru simplul motiv că prețul mediu nu poate fi mai mic decât toate valorile
variabilei aleatoare preț. Înseamnă că atunci când prețul observat este mai mic decât prețul mediu,
există șanse ca
optL <
L. Deoarece
optK
K , înseamnă că întâlnim o situație în care în procesul de
maximizare a rezultatelor munca a trebuit susbtituită cu capitalul.
Considerente similare ne permit câte va comentarii asupra nivelului producției pentru situația 6.2.2.
Rezultă imediat, prin înlocuirea mărimilor
optK și
K respectiv
optL și
L :
2
opt ppE16 Q
și
3
022
0 p16 p4 Q 
Comparând aceste două mărimi, vedem că dacă p observat este mai mare decât prețul mediu, atunci
optQ
>
Q , dar dacă lucrul acesta nu se întâmplă atunci sunt șanse ca inegalitatea să fie contrară
indicând o situ ație stranie posibil alarmantă pentru producător: acesta a majorat capitalul, a micșorat
nivelul lui L și rezultatul a fost o scădere a producției.
Analiza situației trebuie făcută în continuare stabilind ce mdificări apar la nivel de costuri ca urmare a
modificării nivelului inputurilor. Este foarte adevărat că întregul calcul a căutat să determine mărimi
optime în context, dar în acestă fază rămâne deschisă problema relației dintre rezultatul în cazul
incert și rezultatul în cazul cert. Răspunsul la acea stă întrebare poate fi oferit numai în măsura în care
se cunoaște mai amănunțit, fie și la nivel de proprietăți, distribuția de probabilitate a variabilei
aleatoare preț.
Momentul și modul de alegere a inputurilor într -un proces de producție s -au dovedit a fi factori care
pot perturba rezultatul unui întreprinzător, prin aducerea în discuție a unei componente incerte care
poate fi evitată sau care poate deveni parte intrinsecă a întregului proces.

139
În funcție de fiecare context în parte, prezența incertit udinii poate fi o premisă pentru o rentabilitate
mai mare sau, dimpotrivă, un factor de evitat, iar răspunsul la întrebarea “În ce ordine trebuie să
aleagă întreprinzătorul?” se poate construi pe baze teoretice, odată ce se cunosc măcar câteva
elemente de descriere a proprietăților variabilei aleatoare preț.
În mod cu totul surprinzător, cunoașterea prețului înainte de a determina nivelul factorului muncă nu
este un motiv de reducere a incertitudinii (așa cum probabil ne -am fi așteptat pornind de la ipotez a
că creșterea gradului de informare reduce riscul), ci unul de aducere a ei ca parte integrantă a
procesului decizional.
6.3. Întrebări recapitulative și teme de seminar
1. Reamintiți -vă de la cursul de Microeconomie principalele caracteristici ale pieței de monopol.
2. Explicați afirmația economiștilor, referitoare la faptul că „un monopolist poate stabili în egală
măsură prețul sau cantitatea pentru un anumit bun, rareori ambele mărimi simultan, iar într –
o astfel de situație prin fixarea prețului se stabilește indirect și cantitatea”.
3. Luați în discuție una dintre firmele care dețin un anumit monopul la momentul la care
urmează să rezolvați această problemă. Identificați caracteristicile pe care le -ați enunțat din
punct de vedere teoretic în cadrul cerinței de l a punctul 1. Întocmiți o lucrare de doua pagini
în care să discutați toate aceste aspecte. Faceți referire atât la surse din mass – media, cât și
la surse bibliografice științiice.
4. Care sunt riscurile cu care se confrontă un monopolist și care credeți că s unt cele mai
periculoase riscuri care caracterizează monopulul de conjuntură? Alegeți un exemplu de
brand care s -a afțat sub unul dintre riscurile pe care le -ați semnalat și întocmiți o lucrare de
două pagini despre modul cum a procedat firma în cauză pent ru gestionarea riscului. Faceți
referire atât la surse din mass – media, cât și la surse bibliografice științiice.
5. Ce diferențe apar, față de modelul pe care l -ați discutat la punctul al doilea al acestei
secțiuni, în cazul în care încep să fie luați în ca lcul factori de risc care determină fluctuații în
prețul produsului monopolistului?
6. Reamintiți -vă de la cursul de Microeconomie ce este funcția de producție, ce semnificație are
ea în viața întreprinzătorului și care sunt legăturile care se stabilesc între aceasta și
rezultatele pe care le obține întreprinzătorul.
7. Întocmiți un referat de 5 pagini despre principalele tipuri de funcții de producție utilizate de
economiști, despre utilitatea și limitele lor. Utilizați în acest scop cel puțin 5 surse
bibliograf ice relevante.

140
8. Explicați ce semnificație are regimul „take pricing” și întocmiți o lucrare despre riscurile pe
care le întâmpină un producător care funcționează într -un astfel de mediu de afaceri. Găsiți
un exemplu care există pe piață la momentul când răs pundeți acestei cerințe și încercați să
descrieți mediul „Take oricing” în acesl caz, precum și riscurile particulare pe care le observați
ca urmare a desfășurării activității în economia românească.
9. Explicați care sunt implicațiile alegerii cantității de factori premergător momentului
observării prețului pentru output.
10. Explicați care sunt implicațiile alegerii nivelului cantității factorului capital premergător
observării prețului, când alegerea factorului muncă se face ulterior acestei observări.
Comparaț i rezultatele cu cele pe care le -ați observat la punctul anterior.

141

CAPITOLUL 7.
VALOAREA ACTUALIZATĂ
ÎN STUDIUL RISCULUI
7.1. Despre valoarea actualizată
7.2. Problema pensiei viagere
7.3. Alegerea celei mai bune variante
7.4. Casă, dulce casă…
7.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
Obiectivele capito lului :
Scopul acest ui capitol este acela de a reaminti unele cunoștințe de matematici financiare, în mod special pe
cele referitoare la calculul valorii actualizate. Am structurat acest capitol ca un număr de exemple care să ajute
cititorul să se familiari zeze, sau refamiliarizeze cu latura calculatorie a problemelor, pe de o parte, dar am
introdus și cerințe care să explice diferitele situații practice în care acest calcul poate fi utilizat.
7.1. Despre valoarea actualizată
De cele mai multe ori, la nivel de afacere deciziile se iau la un anumit moment dar rezultatele vizează
momente viitoare. Acest interval de timp aduce cu sine, de foarte multe ori, factori care afectează
certitudinea asupra rezultatelor. Calculul valorii actualizate transferă în momentul prezent anumite
rezultate viitoare, prin introducerea în calcul a ratei de actualizare. Pentru o persoană care se ocupă
cu gestionarea riscului este esențial să poată face scenarii cu privire la ceea ce se poate întâmpla, iar
această serie de exerciții do rește să pună în evidență că fiecare situație poate fi privită din unghiuri
multiple.
7.2. Problema pensiei viagere
1. Doriți să primiți lunar suma de 700 RON, până la sfârșitul vieții, începând cu sfârșitul acestei
luni (sau începutul lunii viitoare). Dacă s e ia în calcul o rată anuală de actualizare de 12%,
care este valoarea actuală a investiției?

142
2. Găsiți exemple concrete, din viața economică, în care poate fi aplicat calculul anterior.
3. Comentați câteva dintre riscurile aflate în legătură cu exemplele de l a punctul b.

Rezolvare:
a) Vom nota cu
700 S0 RON suma lunară și
%12pa procentul anual de actualizare și cu A
valoarea actualizată a tuturor plăților. Pentru început, vom considera că plățile se efectuează pentru
o perioa dă de timp fixată, să spunem n ani. Pentru că plățile sunt lunare, în final ele vor fi în număr
de 12n.
Tabelul de mai jos arată modul în care calculăm valoarea actualizată a fiecărei plăți în parte, pe baza
formulei cunoscute cu ajutorul căreia se determ ină suma finală a unui plasament efectuat în regim
de dobândă compusă:
t
0 f100p1S S 


(7.1.)
După cum se poate observa, în problema enunțată la punctul a) procentul de actualizare este anual
%12pa
, iar plățile sunt lunare. Deci , rata lunară de actualizare este
%1%1212pl .
Valoarea actualizată a primei plăți, notată prin
1A , reprezintă acea sumă necunoscută pe care ar
trebui să o primiți astăzi, pentru ca peste o lună să devină 700 RON. Ce însea mnă „să devină”?
Înseamnă că dacă am plasa această sumă necunoscută cu un procent lunar de 1%, ea trebuie să se
transforme în 700 RON în timp de o lună. Vom înlocui datele cunoscute în formula ( 7.1.) și obținem:
Plata nr. t
7000S
Plata nr. t -1
7000S
………….. …..
Plata nr. 3
7000S
Plata nr. 2
7000S
Plata nr. 1
7000S

Momentul
actualizării
1A

2A

3A
.
…..
1tA

tA

143
Tabelul 7.1. Detalierea a t plăți lunare efectuate la sfârșitul lunii
1 11
101,1700A10011A 700 



Dacă aplicăm același raționament pentru cea de -a doua valoare actualizată, observăm că formula
(5.1.) se scrie:
2 22
201,1700A10011A 700 



În general, valoarea actualizată a sumei care trebuie să fie plătită în luna k este:
1k,
01,1700Ak k  

Valoarea actualizată a tuturor acestor plăți eșalonate lunare, efectuate tinp de n ani, este suma a 12n
valori actualizate individuale:
n12 2 1 A…AAA 

Înlocuim formele lui
1k,Ak determinate anterior și obținem:
n12 2 101,1700…
01,1700
01,1700A 

Scoatem factor comun mărimea
101,1700 și rezultă:




 1n12 1 101,11…
01,111
01,1700A
(*)
Pentru a putea scrie această sumă într -o formă restrânsă va trebui să utilizăm câteva cunoștințe
despre progresia geometrică și anume:
1q,q1q1q…qq1m
1m 2
(7.2.)

144
În paranteza dreaptă din egalitatea (*) observăm că:
n12m1n121m  și de asemenea că
01,11q
. Înlocuim în ( 7.2.) și obținem:

01,11101,111
01,1700An12
1





Aducem la același numitor în diferența de la numitorul celei de -a doua fracții și obținem succesiv:
 








n12n12
101,11101,0700
01,1101,101,111
01,1700A
(**)
Pentru a ne ușura munca pe mai departe, vom scrie acum o formula generală pentru calculul valorii
actualizate a m plăți efectuate în m perioade de timp egale, în condițiile în care la sfârșitul fiecărei
perioade este plătită suma
0S , iar procen tul de actualizare aferent perioadei este p%: folosim
pentru ghidare versiunea (**) de mai sus și scriem:








m
0
100p111
100pSA
(7.3.)
Să ne reamintim acum că în calculul care a dus la valoarea actualizată totală din (**) am ținut cont de
plăți care se fac pe o perioadă necunoscută, adică de n ani. Pentru o mai bună înțelegere a
rezultatului să vedem ce înseamnă această valoare actualizată, pe rând, pentru n egal cu 1, 2, 3, 4 și 5
ani.
Dacă n este 1, există 12 plăți lunare și valoarea actualizată din ( **) este:
RON55, 787801,11101,0700A112









Asta înseamnă că 12 plăți lunare, fiecare în valoare de 700 RON, plătite la sfârșitul fiecărei luni, sunt
de fapt echivalente cu o sumă unică egală cu 7878,55 RON plătibilă la începutul primei luni a

145
operațiunii, dacă rata de actualizare este de 10%. Cu alte cuvinte, dacă rata de actualizare este de
10%, din punct de vedere al calculului matematic este totuna dacă dispuneți acum de 7878,55 RON
sau dacă vi se plătesc lunar, timp de un an, la sfârșitul lunii, câte 700 RON.
Dacă n este 2, deci plățile se fac timp de doi ani și deci sunt în număr de 24, valoarea lor actualizată
este:
RON4, 1487001,11101,0700A212









Pentru o perioadă de 3 ani vom lua în calcul 36 de plăți și valoarea lor actualizată este:
RON25, 2107501,11101,0700A312









Dacă n este 4, sunt 48 de plăți cu valoarea actualizată:

RON8, 2658101,11101,0700A412








În sfârșit, pentru n egal cu 5 obținem valoarea actualizată a 60 de plăți ca fiind:
RON53, 3146801,11101,0700A512









Se poate observa că pe măsură ce numărul de ani crește de la 1 către 5, v aloarea actualizată crește și
ea considerabil dar din ce în ce mai puțin. Vom mai calcula două valori actualizate, pentru 20 și
respectiv 25 de ani de plăți.
RON53, 3146801,11101,0700A512









RON6, 6646201,11101,0700A2512









146
Se observă că în acest caz creșterea valorii actua lizate este și mai mică, iar cauza este legată de faptul
că termenul
RON6, 6357301,11101,0700A2012







 devine din ce în ce mai mic pe măsură ce
valoarea lui k va crește; pentru cei care își amintesc, acest termen face parte dintr -un șir descrescător
și convergent că tre zero.
Am calculat valoarea actuală a plăților pentru câteva cazuri particulare: de la 1 la 5 ani, apoi 20 și 25.
Problema ne cere, totuși, să calculăm valoarea actualizată a acestor plăți în condițiile în care ele se
desfășoară pentru tot restul vieți i persoanei respective, adică pentru o perioadă pe care nu o
cunoaștem. În funcție de vârsta persoanei am putea, în cel mai bun caz, să ne dăm cu părerea cam
câți ani ar însemna acest ”pentru tot restul vieții”: poate 20, poate 40, poate 5… Dar nu vom pu tea
face un calcul bazat pe o ipoteză certă.
Din aceste considerente plățile care se efectuează pentru tot restul vieții unei persoane au fost
denumite plăți perpetue și se consideră că numărul de ani este suficient de mare pentru a/l putea
aproxima cu in finit. Desigur că din punct de vedere al realității de zi cu zi o astfel de presupunere este
complet nelalocul ei, dar din punct de vedere al calculului matematic ea are o justificare. Tabelul
următor arată că atunci când numărul de plăți m este suficient de mare, termenul
m
01,11

 din
componența valorii actualizate se apropie de zero suficient de mult pentru a nu mai avea un impact
deosebit asupra valorii actualizate A.
Se poate observa că a treia coloană din tabel cuprinde numere din ce în ce mai mici, pe măsură ce
numărul de ani crește. Din acest motiv s -a optat pentru aproximarea cu zero a lui
m
01,11

 , iar
valoarea actualizată în cazul plăților perpetue se obține din (**) prin eliminarea acestui termen:
 RON 700000101,0700A 

Răspunsul la primul punct al problemei este, în concluzie, 70000 RON.
Număr de ani, n Număr de plăți lunare m = 12n
m
01,11


Valoarea actualizată din (**)
20 240 0,092 6357,36
25 300 0,05 66462,6

147
30 360 0,028 68052,8
35 420 0,0153 68928,2
40 480 0,0084 69410,02
45 540 0,00464 69675,245
50 600 0,00255 69821,24
Tabelul 7.2. Valorile actualizate ale plăților lunare pentru diferite perioade de timp
b) Prezentăm acum câteva exemple practice care să se constituie în aplicații ale calc ulului de la
punctul anterior.
Exemplul b1) O persoană încheie o poliță de asigurare pe baza căreia să poată primi, din momentul
pensionării pentru tot restul vieții, la finele fiecărei luni, suma de 700 RON. Dacă societatea de
asigurări ia în calcul o rat ă anuală de actualizare de 10%, atunci persoana ar trebui să dispună deja la
momentul pensionării de un fond de 70.000 RON din care asigurătorul să -i facă plățile.
Exemplul b2) O persoană își constituie un fond propriu de rezervă în vederea pensionării. I ntenția
acestei persoane este să retragă lunar 700 RON din banii strânși, pentru tot restul vieții. Dacă există
posibilitatea ca această sumă să fie supusă unei rate de actualizare de 12%, atunci persoana va trebui
să dispună la momentul pensionării de 70. 000 RON.
Exemplul b3) O firmă dorește să îi motiveze pe câțiva dintre angajații săi foarte buni și le propune, în
acest scop, un plan de pensii. Pentru ca un astfel de angajat să poată primi la sfârșitul fiecărei luni, pe
toată durata vieții sale de pensi onar, suma de 700 RON în condițiile unei rate anuale de actualizare
de 12%, la momentul pensionării firma va trebui să dispună de 70.000 RON special în acest scop.
Exemplul b4) O firmă dorește să mai reducă din personalul care a depășit o anumită vârstă și , în
acest scop, propune un program de pensii private câtorva dintre angajații săi. Pentru fiecare
persoană care ar primi la sfârșitul fiecărei luni, pentru tot restul vieții, suma de 700 RON, firma ar
trebui să dispună la momentul implementării programulu i de câte 70.000 RON special destinați
acestor plăți. S -a luat în calcul o rată de actualizare de 12%.
Exemplul b5) O firmă se confruntă cu situația neplăcută în care un echipament insuficient verificat a
accidentat un muncitor. Instanța de judecată decide ca formă compensatorie pentru acest prejudiciu,
ca firma să -i plătească muncitorului o pensie viageră în valoare de 700 RON, la sfârșitul fiecărei luni.
În ipoteza unei rate de actualizare constante și egale cu 12% anual, firma ar trebui să dispună la
începutul primei luni de plată de o sumă egală cu 70.000 RON.

148
Există o observație care trebuie făcută și anume că suma de 70.000 RON rezultată din calcul nu
include nici comisioanele de administrare a poliței de asigurare din primul exemplu, nici impozitele
pe care trebuie să le plătească persoana care primește dobândă la un plasament ca acela din
exemplul 2. De asemenea, firma care acordă (de bunavoie sau nu) pensia viageră n -ar trebui să se
declare mulțumită dacă dispune de doar 70.000 RON alocați unei perso ane, pentru că aceștia nu
includ taxele și impozitele pe care ar putea trebui să le plătească pentru acest tip de cheltuieli.
c) Discutăm acum câteva tipuri de risc pe care le considerăm ca potențial relevante pentru axemplele
anterioare. Este nevoie să f acem două precizări și anume: (1) scopul acestor exemple este unul pur
didactic, deci este posibil ca unele dintre riscurile care vor fi aduse în discuție să nu fie tratate
deocamdată într -o manieră foarte riguroasă și (2) deocamdată vom aborda conceptul d e risc așa cum
este perceput în accepțiunea curentă, anume aceea de amenințare și vom lăsa pentru tema a doua
abordarea lui teoretică, pentru care vom avea nevoie să lămurim sau să reamintim unele noțiuni de
teoria probabilităților.
Exemplul b1) Se delimit ează două categorii importante de amenințări legate de situația prezentată
aici. Prima este aceea că, din cauza modificării ratei de actualizare, suma de 70.000 RON să devină
insuficientă pentru plata lunară a pensiei în valoare de 700 RON dacă persoana în cauză decide să
trăiască suficient de mult. De exemplu, dacă rata reală de actualizare este de 6% și nu de 12%, atunci
vom calcula mai jos câte plăți vor putea fi acoperite dintr/o sumă inițială de 70.000 RON. Utilizăm
formula (**) în care modificăm proc entul lunar: în loc de
%1%1212pl , vom folosi
%5,0%126pl
. Valoarea A este de 70.000 RON și vom calcula n, adică numărul de luni:
700005,0
005,011005,0700000.70n12







 

5,0005,01
700005,0 000.70
005,011n12 n12






Logaritmăm în ultima egalitate pe care am obținut -o:
5,0ln005,01lnn125,0ln005,01lnn12
 



149

6,11n
005,01ln125,0lnn   ani
În consecință, dacă rata anuală de actualizare s -ar modifica, sau dacă societatea de asigurări ar
considera că această rată a fost evaluată greșit, atunci suma de 70.000 RON ar putea să ajungă
pentru mult prea puțini ani față de nevoile reale ale asiguratului. Diferența ar trebui suportată de
către asigurător, în varianta în care acesta a încheiat cu asiguratul un contract ferm cu privire la suma
de 700 RON lunar plată perpetuă, cu posibile repercursiuni a supra stării financiare a acestuia. Când
spunem că starea financiară a societății de asigurări ar putea fi afectată, desigur că nu luăm în calcul
nicio clipă faptul că 70.000 RON ar fi o sumă demnă de luat în seamă pentru un asigurător:
potențialul financi ar al acestuia este mult peste acest nivel. Cu toate acestea, de cele mai multe ori
produsele lansate pe piață au un caracter standardizat și putem bănui că viitorul pensionar despre
care discutăm în acest moment nu este singurul fericit care a încheiat un astfel de contract cu
compania în cauză. Așa cum vom arăta în capitolele următoare, managerii de risc sunt în mod special
preocupați de acele daune individuale care gîndite individual sunt mici și neamenințătoare dar care,
cumulate, pot deveni o problemă pentru firmă.
Dacă, dimpotrivă, contractul de asigurare a prevăzut posibilitatea modificării ratei de actualizare și
societatea de asigurări a prevăzut posibilitatea modificării sumei lunare în funcție de evoluția în timp
a procentului de 12%, atunci viito rul pensionar are toate motivele să ia în calcul un risc de venit, în
sensul în care evoluția nefavorabilă a ratei de actualizare ar putea să îi scadă veniturile lunare. Tot
sub incidența riscului de venit s -ar putea găsi asiguratul în cazul în care, din d iferite motive,
societatea de asigurări ar intra în imposibilitate de plată și nu i -ar mai pune la dispoziție – pentru un
anumit interval de timp sau deloc – suma lunară la care s -a convenit pein contract.
Exemplul b2) La fel ca și în cazul exemplului pre cedent, există riscul ca rata de actualizare să nu fi
foat evaluată corect și prin urmare cei 70000 RON să nu fie suficienți pentru acoperirea plății lunare
perpetue de 700 RON care s -a convenit a fi efectuată către beneficiarul pensiei viagere. Am adus în
discuție un risc de venit pe care, de această dată, nu îl mai poate prelua o instituție de asigurări
pentru că fondul de 70000 RON nu face obiectul unei polițe de asigurare ci este doar un plasament –
bancar sau nu.
Al doilea risc la care se expune poseso rul banilor este, și în acest caz, legat de posibilitatea ca
instituția aleasă să îi păstreze banii intră în imposibilitate de plată. În felul acesta, persoana care se
așteaptă să beneficieze de o pensie de 700 RON pentru tot restul vieții se poate trezi, la fel ca în cazul

150
menționat la Exemplul b1), în situația de a nu mai vedea niciun ban – pentru o anumită perioadă de
timp, sau chiar definitiv.
Atât în cazul celor două exemple discutate anterior cât și al celor pe care le vom discuta în
continuare, exist ă riscul ca individul care primește cei 700 RON lunar să ajungă la concluzia că această
sumă este insuficientă pentru nevoile sale, din unul sau mai multe motive: fie pentru că banii s -au
devalorizat foarte mult, fie pentru că au crescut cheltuielile medic ale, fie pentru că au apărut
cheltuieli noi și exemplele pot continua.
Exemplul b3) Firma propune programul de pensii ca o măsură clasică de gestionare a riscului de
personal. Prin motivarea angajaților buni se evită neplăcerile generate de căutarea altor lucrători
despre care firma nu știe dacă sunt într -adevăr motivați, competenți sau corecți și se caută să se
elimine eventualele întreruperi în procesul de producție sau activitate, care pot să survină atunci
când un lucrător pleacă înainte de a i se fi gă sit un înlocuitor sau înainte ca înlocuitorul să se fi
familiarizat suficient cu ceea ce are de făcut. Același program de pensii poate urmări fidelizarea
angajaților și sub asteptul atutudinii față de firmă sau al păstrării secretului profesional.
De ceala ltă parte a bunelor intenții se pot afla aceleași riscuri ca și în cazul Exemplului b1). Dacă firma
a subevaluat suma de care are nevoie pentru susținerea acestor plăți atunci fie ea va fi profund
afectată financiar, fie se va putea afla în situația în car e va intra în faliment. Pe de altă parte fostul
angajat, acum pensionar, va fi supus riscului de venit pentru că imposibilitatea de plată în care se
găsește firma îl lipsește – temporar sau definitiv – de un venit pe care îl luase în considerare atunci
când își planificase cheltuielile zilnice.
7.3. Alegerea celei mai bune variante
a) Aveți de ales între două variante prin care puteți primi suma de 10.000 RON: i) plata pe loc a
acestei sume; ii) Plata anuală, la început de an, a sumei de 1.200 RON timp de 10 ani. Știind
că rata de actualizare a acestei operațiuni este de 6%, stabiliți care variantă este mai
avantajoasă din punct de vedere monetar.
b) Găsiți exemple concrete, din viața reală, în care poate fi aplicat calculul de la punctul a).
c) Comentați câteva di ntre riscurile care au legătură cu exemplele de la b).
Rezolvare:
a) În foarte multe situații, studenții răspund la întrebarea de la punctul a) al acestei probleme
comparând suma de 10.000 RON ca plată imediată, cu
200.110 adică 12.000 RON acumulată din

151
plățile anuale, concluzionând că varianta a doua este mai avantajoasă pentru că din punct de vedere
monetar conduce la o valoare mai mare. Un astfel de răspuns, deși este foarte la îndemână și pare a
se bucura și de o componentă intuitivă sol idă, ignoră componenta timp care este totuși foarte
importantă. La fel ca și în cazul Exe mplului 1, și de această dată suma plătită fragmentat – adică
1.200 RON – are o valoare diferită astăzi față de valoarea pe care o va avea mai târziu, adică peste un
an sau peste 10.
Pentru a putea compara cele două operațiuni financiare, anume plata imediată a sumei de 10.000
RON cu plata eșalonată, timp de 10 ani anticipat, a sumei de 1.200 RON, va trebui să le raportăm la
același moment și din acest motiv vom calcul a valoarea actualizată a eșalonării. Un tabel similar
Tabelului 1.1. ne va ajuta să determinăm valorile actualizate pentru fiecare plată în parte și anume:
Anul 10 1.200
………….. ….
Anul 3 1.200
Anul 2 1.200
Anul 1 1.200

Momentul
actualizării
1A

2A

3A
.
….
1tA

Tabelul 7.3. Detalierea celor zece plăți anuale, efectuate la început de an
Va trebui să observăm că, deoarece plățile se fac la începutul perioadei de timp, prima plată este
egală cu valoarea ei actuală:
200.1 A1
RON
Pe baza unui raționament similar celui din exercițiul anterior și ținând cont că de această dată plățile
sunt anuale și procentul va rămâne
%6 pa , obținem:
1 206,1200.1A
,
2 306,1200.1A , …,
9 1006,1200.1A
Deci, valoarea actualizată a plăților eșalonate este:
10 2 1 A…AAA 

152
Înlocuim formele lui
1k,Ak determinate anterior și obținem:





 
9 2 19 2 1
06,11…
06,11
06,111200.106,1200.1…
06,1200.1
06,1200.1200.1A

Folosim formula de calcul ( 5.2.2.) pentru
06,11q și obținem:
06,11106,111
200.1A10





Prin aducere la același numitor și scriere echivalentă obținem:






 


1010
06,11106,006,1200.1
06,1106,106,111
200.1A

Prin generalizare, obținem următo area formulă de calcul pentru valoarea actualizată a unei plăți
eșalonate anuale anticipate de valoare
0S , efectuate pe o perioadă de n ani, cu un procent de
actualizare p%:









n
0
100p111
100p100p1
SA
(1.4.)
Efectuăm calculul efectiv în cazul datelor din exemplul nostru și obținem
9362A RON. Se
observă cum valoarea actualizată a celor zece plăți eșalonate este mai mică decât valoarea plății
unice, efectuabile la momentul inițial, care este în valoare de 10.000 RON. Prin urmare, din punct de
vedere al exprimării strict monetare, plata imediată a sumei de 10.000 RON este preferabilă plății
eșalonate a sumei de 1.200 RON anual, la încept de an, timp de 10 ani.
b) Aducem în discuție patru situații concrete pe care le putem c onsidera aplicații ale calculului
anterior. Desigur, cititorul poate găsi și alte exemple.

153
Exemplul b1) O firmă este în situația să concedieze un număr de 12 angajați, din motive care nu țin
de culpa lucrătorilor. Pentru a evita unele conflicte, care pot culmina cu acționarea firmei în justiție,
angajații solicită ca la momentul disponibilizării să primească suma care reprezintă de zece ori
valoarea unui salariu lunar, ceea ce înseamnă 10.000 RON pentru fiecare persoană.
Din pu nct de vedere al firmei, 12 plăți imediate în valoare de 10.000 RON fiecare reprezintă o sumă
importantă care ar putea afecta activități deja planificate, sau chiar aflate în derulare. Din acest
motiv, directorul firmei propune o alternativă pe care și -ar dori ca muncitorii să o găsească tentantă:
va face plata pe loc a unui salariu și apoi anual, în luna ianuarie, timp de 10 ani, fiecare muncitor
disponibilizat va primi suma de 1.200 RON pentru a acoperi o parte din numeroasele cheltuieli care
însoțesc fie care început de an.
Judecând din punct de vedere strict monetar, observăm că propunerea directorului este mai
avantajoasă decât varianta cerută de muncitori: valoarea actualizată a celor 12 plăți de câte 1.200
RON fiecare a fost deja calculată și este ega lă cu 9362 RON. Acesteia i se adaugă suma plătită imediat
ca si contravaloare a unui salariu, deci încă 1.000 RON. În total, valoarea actualizată a ofertei
directorului de firmă este de 10.362 RON, mai mult decât cei 10.000 RON solicitați ca plată imediată
pentru fiecare angajat. Dacă această propunere va fi acceptată, deci dacă muncitorii vor putea fi
convinși că prin intermediul acestei eșalonări vor câștiga mai mult decât 10.000 RON de persoană,
atunci firma va plăti imediat doar
000.112 , adică 12.000 RON în loc de
000.1012 , adică
120.000 RON. Restul de
000.144 000.1212  RON, reprezentând plățile timp de 10 ani efectuate
în luna ianuarie către cei 12 angajați disponibilizați, vor putea fi luați în calcul din timp și nu vor
reprezenta un șoc financiar pentru firmă.
Exemplul b2) La Extragerea Extraordinară Loto organizată în noaptea de Revelion, ați câștigat
100.000 Euro. La data de 3 ianuarie, deîndată ce se reiau toate activitățile, vă prezentați să vă ridicați
premiul: la timp ca să aflați că plățile se vor efectua în zece rate lunare, cu începere de la 1 martie și
până la sfârșitul anului, fiecare rată fiind în valoare de 10.000 Euro. Din surse proprii, pe care le
considerați de încredere, aflați că pentru anul în curs se preconizează o rată de actualizare de 6%. Pe
baza datelor de care dispuneți acum și cu ajutorul formulei (1.4.) veți putea calcula valoarea
actualizată a celor zece rate lunare în raport cu data de 1 martie, de începere a plăților. Vom ține
cont că dac ă rata anuală de actualizare este
%6 pa , atunci rata lunară va fi
%5,0%126pl .
Înlocuim, așadar, în formula (1.4.) pe
0S cu 10.000, pe n cu 10, iar
005,01005,0
100p :

154

Euro64,790.97005,0111005,0005,01000.10A10









Între mom entul 1 martie și momentul 1 ianuarie, când se presupune că ați câștigat banii, mai există o
distanță de încă două luni. Prin urmare, suma A determinată mai devreme va trebui actualizată din
nou, în raport cu începutul lunii ianuarie. Câștigul efectiv de c are veți beneficia prin programul de
plată eșalonată amânată pe care vițl impone Loteria este, deci:
Câștig efectiv
820.96
1005,0164,790.97
2


 Euro
Asta înseamnă că veți primi, de fapt, cu 3180 de euro mai puțin decât ați fost înștiințat că ați fi
câștigat!
Exemplul b3) Doriți să vindeți un tablou și aveți de ales între următoarele variante de plată:
a) Plata pe loc a sumei de 5000 de euro
b) Plata peste un an a sumei de 6000 de euro
c) Plata lunară, anticipată, timp de un an, a sumei de 500 de euro.
Se consideră ca acceptabilă o rată de actualizare de 6% pe toată durata operațiunilor propuse.
La fel ca și în cazul exemplelor anterioare, pentru a putea compara cele trei variante de plată aveți
nevoie să le exprimați în raport cu același moment, să spunem cel care cor espunde variantei a) a
plății imediate. Valoarea actualizată a sumei de la punctul b) se calculează folosind procentul abual
de 6%, din relația:
38,660.5
100616000A1 b 



Euro.
Deja se poate observa că varianta b) este mai bună decât varianta a), cel puțin l a o analiză din punct
de vedere monetar. Pentru a calcula valoarea actualizată în cazul variantei c), vom folosi formula
(1.4.) pentru
500 S0 Euro, n egal cu 12 și procentul lunar de actualizare, corespunzător unui
procent anual
%6 pa , egal cu
%5,0%126pl . Înlocuim, așadar, și obținem:

155

Euro5,838.5005,0111005,0005,01500A12









În concluzie, compararea valorilor actualizate vă arată că varianta a treia este cea mai avantajoasă.
Această variantă ar putea să fie, de asemenea, cel m ai ușor de suportat și pentru cumpărătorul
tabloului, iar aducerea ei în discuție să reflecte de fapt încercarea de a găsi o soluție reciproc
avantajoasă de încheiere a târgului.
Exemplul b4) Vă doriți un televizor de cea mai nouă generație, dar prețul de 4.000 RON vi se pare
greu de suportat în varianta unei plăți integrale imediate. De la magazin vi se propune cu solicitudine
să acceptați un program de rate pentru o perioadă de 5 ani, astfel încât să plătiți la începutul fiecărei
luni suma de 150 RON. Rad a dobânzii vi se comunică a fi de 19,8% anual.
Perspectiva în care vă veți putea bucura de televizorul dorit fără să vi se ceară uriașa sumă de 4.000
RON, plus rata lunară pe care o puteți percepe ca fiind rezonabilă sub aspectul efortului financiar pe
care ar trebui să îl faceți, sunt lucruri de natură să nu vă mai ridice nicun fel de întrebări cu privire la
modul în care a fost calculat acest sistem de rate. Dacă, totuși, vă întrebați cum s -a ajuns la această
sumă lunară care se presupune că servește achi tării creditului pe care vi l -a acordat magazinul (sau
vreo bancă parteneră acestuia) ca să puteți beneficia de televizor deși nu aveați cei 4.000 RON,
atunci veți fi cu siguranță curioși să urmăriți raționamentul pe care îl vom prezenta în continuare.
Dacă toată povestea ar fi corectă, ar însemna că prin sistemul de rate care vi s -a propus urmează să
achitați suma de 4.000 RON la care se adaugă dobânda calculată lunar, cu un procent anual de
19,8%, la suma care a mai rămas de plătit. Pentru că ați fost de acord cu o durată a creditului de 5
ani, înseamnă că aveți de făcut 60 de plăți lunare (5 ani a câte 12 luni fiecare).
Pentru ca toate ratele pe care le veți plăti să reprezinte eșalonarea în timp a creditului pe care l -ați
primit și a dobânzilor aferente , ar trebui ca valoarea actualizată a tuturor acestor plăți să fie egală cu
prețul actual al televizorului, adică acea sumă pe care ar trebui să o plătiți pentru el dacă l -ați
achiziționa cu banii jos, aici și acum. Pentru aceia dintre cititori care nu au înțeles pe deplin această
afirmație, voi reaminti faptul că dobânda care vi se percepe atunci când contractați un credit este un
fel de preț al bailor pe care urmează să îi utilizați. Deci, acel procent de 19,8% reprezintă o reflectare
a prețului pe care t rebuie să îl plătiți pentru utilizarea celor 4.000 RON care reprezintă prețul
televizorului, și pe care îi rambursați integral după un anumit interval de timp – în cazul acesta 5 ani.
Dacă nu ați solicita această amânare în rambursarea celor 4.000 RON, ar însemna că îi aveți și că îi
puteți achita pe loc. Cu alte cuvinte, plata pe loc a sumei de 4.000 RON sau plata lunară anticipată a

156
sumei de 150 RON pe o perioadă de 5 ani cu dobândă anuală de 19,8% ar trebui să fie echivalente.
Echivalența ar însemna că a ceste două operațiuni financiare, raportate la același moment de timp, ar
trebui să se tradzcă prin acceași sumă. Din acest motiv, valoarea actualizată a plății eșalonate și
prețul televizorului în varianta în care el este achitat pe loc trebuie să fie ega le.
Vom calcula valoarea actualizată a plății eșalonate folosind formula (1.4.) pentru plăți anticipate,
pentru un procent anual
%8,19pa , care corespunde unui procent lunar
%65,1%128,19pl  .
Înlocuim, așadar, în formula (1.4.) pe
0S cu 150, pe n cu 60, iar
0165,010065,1
100pl :
57800165,01110165,00165,01500A60









RON.
Rezultatul calculului ne arată că rata lunară de 150 RON ar fi mai potrivită pentru un produs cu prețul
egal cu 5.780 RON, mai degrabă decât pentru unul de 4.0 00 RON – desigur, dacă procentul de 19,8%
care vi s -a comunicat la magazin este unul real și dacă ați fost înștiințați cu privire la toate
comisioanele pe care, ca din întâmplare, le mai aveți de suportat. În mod normal, ca să obțineți o
valoare actualizat ă de 4.000 RON rata lunară pe o perioadă de 5 ani în condițiile unui procent anual
de 19,8% ar trebui să fie undeva în jurul valorii de 103,82 RON și vă propun să vă convingeți singuri,
pe baza unui calcul care vă este deja familiar!
Dacă veți încerva să a plicați un calcul similar pentru multe dintre produsele pe care le vedeți în
magazine oferite pentru a fi cumpărate în rate, veți avea marea surpriză să constatați că procentul
care vi se comunică pe post de rata anuală a dobânzii la creditul pe care îl co ntractați este foarte
departe de dobânda reală cu care o să vă confruntați pe parcursul următoarei perioade de timp.
Prea puțini sunt, însă, clienții care știu să calculeze o valoare actualizată și prea puțini sunt aceia care
s-ar gândi mai departe de eva luarea suportabilității sumei pe care urmează să o plătească. Dacă 150
RON este o sumă de care cumpărătorul se poate dispensa lunar fără eforturi prea mari, atunci orice
argumente raționale despre cum va fi ea percepută în timp, sau despre faptul că este p rea mare în
raport cu ceea ce a comunicat magazinul ca și condiții de creditare, sunt mult prea de prisos.
c) Vom discuta acum, pe rând, câteva dintre amenințările care grevează în particular situațiile pe care
le-am prezentat.

157
Exemplul b1) prezintă o prop unere a directorului firmei, menită să evite o plată de dimensiune mare
care ar putea crea dificultăți la nivel de afacere. Cu toate că, din punct de vedere al calculelor,
propunerea se dovedește a fi avantajoasă pentru muncitori, se poate întâmpla ca anum ite nevoi
stringente pentru lichididate să îi determine pe cei implicați să refuze plata în rate. Este posibil, de
asemenea, ca angajații care urmează a fi disponibilizați să nu acorde suficient credit bunelor intenții
ale instituției și să considere că o perioadă de zece ani este mult prea mare ca să poată avea
certitudinea că banii vor fi plătiți conform promisiunilor. Urmarea firească a unei astfel de situații
este că firma va fi supusă amenințării pe care de fapt a dorit să o evite: va trebui să plăteas că integral
cei 120.000 RON, în loc să beheficieze de o eșalonare a acestei plăți.
Pe de altă parte, dac cei 12 muncitări aleg să aibă încredere în promisiunea firmei și acceptă că din
punct de vedere al valorii actualizate varianta plății în rate este mai avantajoasă, ei se vor putea
confrunta cu situația în care firma va înceta plățile, sau banii se vor devaloriza suficient de mult
pentru a nu mai acoperi aceleași necesități ca în primul, sau în primii ani. În abele situații, individul ar
fi supus unui ri sc de venit. Și într -o anumită situație, evidentă dealtfel, firma ar fi supusă riscului de a
fi dată în judecată de oamenii păgubiți…
Exemplul b2) arată cum asupra câștigătorului la extragerea Loto se acționează în sensul micșorării
sumei plătite efectiv , cea la care se aștepta și care îi fusese comunicată ca nivel al câștigului. Plata în
rate face ca individul să nu se poată angaja, de exemplu, în cumpărarea imediată a unei locuințe,
lucru care nu s -ar fi întâmplat dacă ar fi primit banii pe loc. De asem enea, lunile de eșalonare fac ca
suma care va fi plătită efectiv să fie echivalentul – în sens de valoare actualizată – de numai 96.820
Euro, în loc de 100.000 Euro așa cum i s -a promis inițial.
Exemplul b3) reiterează riscurile menționate în cazul Exempl ului b1), cu singura mențiune că de
această dată tranzacția se realizează între doi indivizi. În absența unor acte bine întocmite, perfect
valabile, probabilitatea de manifestare a riscurilor menționate în discutarea Exemplului b1) este mult
mai mare.
Exem plul b4) aduce față în față clientul și creditorul în sensul clasic al relației pe care o cunoaștem
între ei. Creditorul își ia întotdeauna măsuri de prevedere pentru a evita nerambursarea sumei
împrumutate, iar clientul este întotdeauna interesat să nu îi fie modificate advers condițiile în care a
contractat creditul. Ambele amenințări se pot manifesta în cazul Exemplului b4), dar pe lângă acestea
este bine să semnalăm și un alt aspect.

158
Din calculele pe care le -am efectuat mai devreme s -a putut observa că există o diferență destul de
mare între valoarea actualizată a tuturor ratelor, adică 5.780 RON și prețul televizorului, adică suma
de 4.000 RON pe care ar trebui să o plătească un cumpărător dacă ar achiziționa obiectul cu plata pe
loc. Diferența de 1.780 RON sugerează în mod evident că procentul de 19,8% nu este un procent real,
că de fapt procentul practicat de creditor este sensibil mai mare.
Dacă 19,8% ar fi o valoare corectă, atunci ar trebui fie ca rata lunară să fie mai mică de 150 RON, fie
perioad a de rambursare să fie mai mică de 60 de luni. Să facem câteva calcule care să elucideze
aceste aspecte.
Cazul I. Dacă procentul ar fi de 19,8% și perioada de rambursare ar fi de 5 ani, adică de 60 de luni,
atunci rata
0S s-ar calcula din ( 1.4.) astfel:
82,103 S0165,01110165,00165,01S 4000060
0 








RON lunar.
Se observă că între rata cerută de magazin, de 150 RON, și rata reală în cazul în care condițiile de
creditare ar fi corecte există o diferență de aproximativ 47 RON.
Cazul al II -lea. Dacă procentul a r fi de 19,8% și rata lunară ar fi de 150 RON, atunci vom calcula
perioada reală de rambursare, pe care o notăm m, din ehalitatea de mai jos:












0165,011500165,0 000.4
0165,01110165,01110165,00165,01150 000.4
mm


567,00165,0110165,011500165,0 000.410165,011
mm








Aplicăm logaritmul natural în ultima egalitate, pentru a putea exp rima puterea m:


0165,011ln567,0lnm0165,011500165,0 000.410165,011m





159
Obținem m=15 luni aprovimativ, ceea ce înseamnă că la o rată de 150 RON lunar și un procent de
dobândă de 19,8%, cumpărătorul televizorului ar trebui să lichideze creditul în 15 luni, adică puțin
mai mult de un an, și nicidecum în 60 de luni, adică 5 ani.
În ambele situații puteți observa cum cumpărătorul este prejudiciat de la bun început. Informația cu
privire la procentul de 19,8% este în totală contradicție cu restul dovezilor rezultate din calcul.
Paradoxul est e că nici măcar nu ne putem referi la această sit uație ca la un risc al clientului , pentru că
prejudiciul apare… cu certitudine, pe când riscul este descris ca fenomen… potențial generator de
pagube! Faptul că sunt comunicate cu multă precizie rata lun ară care urmează a fi plătită și numărul
de plăți care urmează a fi efectuate, determină din partea clientului o atitudine credulă. Acesta nu o
să se întrebe dacă nu cumva în realitate i se cer mai mulți bani decât i s -a spus, dar creditorul este
acoperit prin faptul că a comunicat cuantumul ratei și numărul plăților. Atât majorarea ratei peste
nivelul corect, cât și prelungirea perioadei de timp peste cea corectă, afectează veniturile viitoare ale
clientului și îl fac vulnerabil la alte pericole la care po ate fi expus ca urmare a insuficienței resurselor
financiare.
Aspecte suplimentare la riscurile pe care le presupun calculele bazate pe rate de actualizare vor fi
discutate și în alte teme de seminar.
7.4. Casă, dulce casă…
Una dintre problemele importan te cu care se confruntă tinerii este achiziționarea unei locuințe. În
cele mai multe cazuri, băncile oferă și chiar încurajează creditele pe o perioadă lungă de timp ca de
exemplu 20 sau 25 de ani. Exercițiul vă cere să calculați suma pe care v -o poate împ rumuta un
creditor în condițiile în care se consideră că puteți suporta pe termen lung o rată lunară de 200 euro.
Problema se cere rezolvată în catul unei rate anuale a dobânzii de 9%, pe o perioadă de 10 ani, 20 de
ani și respectiv 25 de ani. Considerăm că plățile lunare se fac la începutul perioadelor de timp.
Rezolvare:
Pentru că plățile sunt anticipate, vom folosi formula (1.4.). Suma pe care o va acorda banca sub
formă de credit este valoarea actualizată a tuturor plăților lunare pe care le -ar efectu a clientul în
fiecare dintre cele trei variante: 10 ani, 20 de ani și respectiv 25 de ani.

160
Procentul anual este de 9%, deci procentul lunar pe care ne vom baza calculul este
%75,0%129pl
. Perioada de timp pe care o vom lua în calcul va fi, după caz:
a) 10 ani, adică 120 luni
b) 20 de ani, adică 240 luni
c) 25 de ani, adică 300 luni.
Alicăm, pe rând, formula (1.4.) pentru cele trei perioade de timp, o rată lunară anticipată de 200 Euro
și un procent lunar de 0,75%.
a) Valoarea împrumutului pentru o peri oadă de rambursare de 120 luni:
15907A0075,1110075,00075,1200A120







 
Euro
b) Valoarea împrumutului pentru o perioadă de rambursare de 240 luni:
22396A0075,1110075,00075,1200A240







 
Euro
c) Valoarea împrumutului pentru o perioadă de rambursare de 300 luni:
24011A0075,1110075,00075,1200A300







 
Euro
Cu siguranță, cititorii vor avea una și aceeași reacție atunci când vor studia rezultatele calculelor pe
care le -am efectuat. În raport cu o plată lunară destul de însemnată, care pentru unele persoane
reprezintă echivalentul salariului lunar, suma acor dată sub formă de credit reprezintă doar o mică
parte din costul actual al unei locuințe. În plus, suma de 200 de euro se consideră a fi plătită lunar, pe
o perioadă foarte mare de timp; raportat la posibilitățile unei familii cu venituri medii, banca își va
pune întrebarea dacă împrumutatul va fi în stare să își ramburseze datoria.
Haideți să comparăm acum suma pe care o primește persoana în cazul unui credit pe 10 ani cu suma
pe care o primește în cazul unui credit pe 20 de ani și apoi cu cazul creditulu i pe 25 de ani. Ne -am
aștepta ca dublarea perioadei de creditare să asigure o creștere importantă a sumei acordate – lucru
pe care calculele nu îl confirmă în niciun caz. La o creștere cu 100% a eforturilor persoanei creditate,

161
suma acordată cu titlu de îm prumut crește cu 40,7%. Dacă vom compara acum variantele a și c vom
vedea cum creșterea cu 150% a eforturilor celui care contractează creditul (perioada de rambursare
crește de la 10 la 25 de ani) conduce la o creștere cu doar 51% a sumei împrumutate.
Aceste procente, de 40,7% și de 51%, și așa destul de neplăcute pentru client, vor fi doar o parte a
condițiilor aspre de creditare dacă între timp banca va dcide majorarea ratei dobânzii față de
dobânda inițială de 9% sau dacă va opera modificări în perimetr ul comisioanelor. Dacă apar astfel de
majorări ale ratei dobânzii, pe care banca le va da pe seama evoluției pieței, atunci clientul va avea
de suportat o rată lunară mai mare chiar de 200 de euro.
Desigur că banca își asumă la rândul său un risc atunci c ând acordă un credit pe o perioadă de timp
de zeci de ani. Pe de altă parte, activitatea ei este suficient de diversificată pentru a ține sub control
și pentru a anticipa destul de corect ceea ce vom învăța că sunt pierderile așteptate. De asemenea,
prin c ontracte încheiate cu clienții săi se stabilesc în mod explicit garanțiile pentru creditul acordat. În
toată această ecuație, clientul depinde de colaborarea cu instituția bancară pentru că de cele mai
multe ori creditul este singura variantă în care acest a își poate procura anumite bunuri de folosință
îndelungată. În mod obișnuit, el nu poate negocia cu banca și nici nu se poate plânge de faptul că
ansamblul condițiilor de creditare crează conjuncturi care îi sunt defavorabile. Tot ce poate face un
client este să evalueze cu exactitate ofertele băncii, astfel încât atunci când va decide cu privire la
alegereas pe care o va face să fie perfect conștient de consecințe.
7.5. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
1. Ce este valoarea actualizată și din ce motiv luarea ei ân calcul este un aspect relevant în
studiul riscului?
2. La ce se referă rata de actualizare? Reamintiți -vă de la cursul de Economie care sunt
elementele relevante pentru discutarea ratei de actualizare.
3. Refaceți calculele de la exemplul prezentat în paragraful 7. 2. pentru o sumă lunară de 1200
RON și o rată anuală de actualizare de 9%.
4. Refaceți calculele de la exemplul prezentat în paragraful 7. 3. pentru o sumă egală cu 8000
RON pentru care se dau alternativele: plata pe loc, sau plata anua lă, la sfârșit de an, a sumei
de 1000 RON în cazul unei rate anuale de actualizare de 9% și apoi de 6%. Comparați
rezultatele în cazul celor două rate de actualizare.
5. Refaceți calculele de la exemplul prezentat în paragraful 7.4. pentru o rată lunară de 30 0
RON și apoi de 700 RON pe rând, în cazul unor rate anuale ale dobânzii de 9%, 12% și apoi de
18%. Perioadele de timp sunt cele menționate în exemplul din paragraful 7.4.

162
6. Enunțați și explicați pierderile indirecte care se pot manifesta odată cu fiecare d intre riscurile
pe care le -am exemplificat pe parcursul exercițiilor rezolvate.
7. Întocmiți un referat de 5 pagini care să indice locul și importanța valorii actualizate în studiul
riscului. Utilizați cel puțin 5 surse bibliografice relevante.
8. Găsiți câte două exemple din experiența dvs în care considerați că ar fi fost util să cunoașteți
informațiile pe care le -ați aflat din fiecare din paragrafele 7.2., 7.3. și 7.4. în parte.
9. Întocmiți un studiu de caz din care să rezulte care sunt riscurile cu care se co nfruntă clientul
care dorește să contracteze un credit de luocuință în condițiile ofertelor care se află pe piață
la momentul la care urmează să rezolvați această chestiune. Aduceți date concrete,
provenind de la instituții existente pe piața românească.
10. Întocmiți un studiu de caz din care să reiasă modul în care o instituție bancară sau o societate
de asigurări utilizează valoarea actualizată. Aduceți date concrete, provenind de la instituții
existente pe piața românească.

163

CAPITOLUL 8.
MODELE PROBABILISTICE
ÎN STUDIUL RISCULUI
8.1. Acoperiea riscului, ca tendință naturală
8.2. Actuarul – sau cine este în spatele poliței de asigurare
8.3. Despre modelele actuariale
8.4. De la enunț particular la model general
8.5. Despre a lte modele probabilistice
8.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
Obiectivele capitolului
După parcurgerea acestui capitol, studentul va fi capabil să explice ce este un actuar, care este rostul lui în cadrul
instituției în care își desfășoa ră activitatea și care sunt principalele tipuri de actuar pe care îi amintește literatura din
domeniu. Studentul va ști să exemplifice modul în care se aplică în practică elementele teoretice legate de variabile
aleatoare discrete și continue și de mărimile numerice atașate lor.
8.1. Acoperi rea riscului, ca tendință naturală
Capitolul 1 din această lucrare a argumentat, sperăm noi suficient de convingător , faptul că viața
oricărui individ este grevată de riscuri și de asemenea că riscurile pot afecta în egal ă măsură atât
afacerea ca întreg cât și persoanele implicate. De foarte multe ori, manifestarea anumitor riscuri
poate atrage după sine daune foarte mari în raport cu posibilitățile individului. Dacă o mașină este
furată din parcare, proprietarul ar resimț i greu pierderea pentru că în cele mai multe cazuri suma pe
care ar trebui să o plătească pentru a acoperi dauna este foarte mare în raport cu posibilitățile sale.
Dacă o locuință cade victimă unui incendiu, costurile reparațiilor îl pot lua pe proprietar pe
nepregătite. Dacă principalul echipament al unei linii productive s -a defectat, proprietarul afacerii se
poate afla într -o postur ă foarte dificilă, obligat fiind să acopere atât reparațiile cât și eventualele
pierderi indirecte despre care am discutat l a începutul acestei cărți.

164
Așa cum discutam în Capitolul al cincilea , indivizii au o tendință generală de a fi averși față de risc.
Unii specialiști sunt de părere că stă în firea omului să se aștepte mai degrabă la un rezultat pozitiv
decât la unul negat iv și de aceea suntem atât de profund afectați atunci când apar pierderi și că
această imagine pe care o avem despre noi înșine determină profilul de avers față de risc al marii
majorități. Indiferent dacă acești specialiști au sau nu dreptate, cu certitud ine oamenii, în marea mor
majoritate, doresc să se pună la adăpost. Societățile de asigurări, ca și variantele alternative
reprezentate de fonduri mutuale și fonduri de autoasigurare, sunt dovada vie a faptului că există o
teamă de latura neagră a neprevăz utului.
Ne-am obișnuit deja să considerăm că este normal ca o societate de asigurări să preia o sumedenie
de riscuri, contra unei sume pe care noi o plătim în funcție de prevederile contractuale. Cu siguranță
știți, pentru că ați învățat la cursurile de A sigurări și Reasigurări, că aceste societăți nu au o pasiune
nativă pentru a prelua riscurile altora. Sunt în realitate organizații pro – profit, prin urmare este clar
că desfășoară această activitate pentru că într -un fel sau altul au decis că este renta bil să o facă.
Chiar dacă până în această etapă totul pare mai mult decât logic, banal chiar, sunt sigură că prea
puțini dintre noi și -au pus cu adevărat întrebarea: de ce, pentru polița CASCO, a trebuit să plătesc o
primă de risc egală cu 4,3% din valoare a mașinii, și nu de 4,7%? Sau, de ce nu 2%?
Realitatea este că suntem foarte, foarte obișnuiți să gândim răspunsul la această întrebare în termeni
care pot suna cam așa: (1) Păi au făcut ei calcule, așa a rezultat. (2) Pai cum de ce, ei din ce să
câștige?. (3) E … sunt înțeleși între ei, toți f ac la fel. (4) Se fac studii și procentul rezultă pe bază de
date statistice. Vă mărturisesc că rareori am auzit alt răspuns înafara celor patru menționate
anterior, sau a variațiunilor pe aceeași temă. Cu toate ace stea puțini sunt cei care știu ce, sau cine se
află cu adevărat în spatele produselor pe care le pune în vânzare o companie de asigurări. Cu un
lucru va trebui să fim cu toții de acord: activitatea dintr -o companie de asigurări este, așa cum spun și
specia liștii, una de tipul „win – win”. Cu alte cuvinte, activitatea se desfășoară astfel încât și
asiguratul, și asigurătorul ies până la urmă în câștig, iar explicația este simplă. Un individ poate face
față cu greu pierderilor importante care îi amenință exis tența. Insecuritatea lui financiară este un
permanent motiv de stres și de aceea el va căuta să transfere responsabilitatea către altcineva.
Pentru că o poliță de asigurare nu costă cât o mașină, sau cât ar costa o locuință, deci pentru că o
poliță de asig urare costă mult mai puțin decât ar costa o daună severă care poate să se manifeste la
un moment dat, individul preferă să cumpere protecția contra riscului. Pe de altă parte, societatea de
asigurări are motive să știe că dacă încheie asigurare contra acel eiași daune potențiale la care este
supus un grup mai mare de indivizi, atunci va putea estima cu destulă exactitate pierderile la care vor
fi supuși asigurații, deci va putea face o prognoză destul de bună a banilor pe care va trebui să îi

165
plătească în co ntul despăgubirilor. Odată ce știe cât o va costa preluarea riscului grupului de indivizi,
va ști să spună și în ce condiții îl va prelua, sau mai exact cât va costa o poliță de asigurare astfel încât
să se obțină și multdoritul profit.
Tot ce am scris an terior este simplu de înțeles, dar ridică o întrebare: cum știe societatea de asigurări
că a prognozat corect daunele la care se poate aștepta după ce a asigurat, de exemplu, un grup
format din 2000 de autoturisme contra riscului de coliziune în trafic? Profesorul de asigurări v -a
arătat, cu siguranță, modul în care se poate demonstra că odată ce numărul de unități asigura te
împotriva unui același risc crește, scade drastic probabilitatea ca dauna medie să se abată cu mult de
la valoarea prognozată. Ei bin e, chiar și după ce a aflat lucrurile acestea îmbucurătoare, de unde știe
asigurătorul cu exactitate cât trebuie să ceară pentru preluarea acestui cumul de 2000 de riscuri? Să
nu uităm că o prognoză este doar o prognoză, iar o daună totală la 2000 de mașin i s-ar putea să fie
ea absolut improbabilă dar destul de neplăcută dacă apare totuși.
Toate estimările care stau la baza elaborării prognozelor despre care am discutat mai sus, ca și a
determinării prețului la care se pot achiziționa diferite polițe de as igurare, se bazează pe instrumente
actuariale complexe care au la bază modele probabilistice. Secțiunea următoare va prezenta pe scurt
câteva informații despre un actuar și despre rolul lui nu doar într -o companie de asigurări, dar și în
probleme mai gener ale de consultanță financiară, după care vom exemplifica utilizarea elementelor
specifice de teoria probabilităților în modelele actuariale.
8.2. Actuarul – sau c ine este în spatele poliț ei de asigurare
Cu siguranță, un om care are calitatea de actuar știe teoria probabilităților. Prezența elementului
neprevăzut, a riscului, face ca modelele deterministe – acelea în care 2 plus 2 fac întotdeauna 4 – să
nu fie mai deloc de ajutor atunci când vrem să descriem o situație sau să prognozăm evoluția ei.
Pentru ac eia dintre cititori care au auzit deja despre actuari, este aproape de la sine înțeles că aceștia
sunt ni ște oameni care lucrează în impresionanta industrie a asigurărilor, unde se ocupă cu
competență de rezolvarea tuturor problemelor care se leagă într -un fel sau altul de pierderi
exprimabile monetar. Actuarii sunt cei care stau în spatele ofertelor pe care le trimit pe piață
instituțiile de asigurări. Eu sunt cei care vă spun, de exemplu, că nu este rentabil pentru o societate
de asigurări să vă ofere un contract de asigurare contra riscului de inundație a apartamentului pe
care îl aveți la bloc, în absența asigurării locuinței contra unei daune totale. Probabil că actuarul știe
că vecinul de deasupra vă poate inunda mult mai des decât ar putea lăsa deschi se gazele care să
arunce tot blocul în aer. Tot actuarul este cel care vă analizează dosarul și vă spune că, pentru mașina

166
pe care o aveți, va trebui să plătiți o rată de 5,4% din valoarea ei pentru a încheia o asigurare CASCO.
Actuarul nu vă va spune, tot uși, de ce la o companie concurentă rata este de doar 4,8%…
Ceea ce trebuie să mai rețineți este că, în plus față de stabilirea produselor unei companii de
asigurări, actuarul este cel pe umerii căruia cad toate responsabilitățile legate de analiza și
prelucrarea datelor statistice care îi pot crea un cadru suficient de informat ca să poată realiza
prognoze ale evenimentelor viitoare. Dacă, de exemplu, veți dori să încheiați o asigurare de viață veți
afla care este prima anuală pe care trebuie să o plăti ți pentru ca, la momentul la care nu veți mai fi,
cineva să se bucure de o anumită sumă de bani (poate nu și de evenimentul în sine al dispariției
dumneavoastră). Nivelul acelei prime va fi stabilit pe baza faptului că aveți o anumită vârstă, că există
o anumită probabilitate să supraviețuiți în anii următori (probabilitate care scade cu cât vârsta crește)
și prin urmare se va stabili prima de asigurare astfel încât să fie cât mai probabil să acoperiți prin
plățile pe care le faceți suma care va fi plătită către beneficiar. Actuarul va trbeui, prin urmare, să
estimeze cât mai exact durata medie a vieții dumneavoastră, posibilitățile de investiție pentru banii
pe care îi plătiți periodic, astfel încât la momentul la care va trebui să achite despăgubirea către
beneficiar compania de asigurări să nu iasă păgubită.
Munca de actuar este dificilă și implică o foarte mare răspundere. În ansamblu ea presupune analiza
tuturor datelor care pot fi în legătură cu posivile riscuri financiare, fie că este vorba despre prel uarea
de riscuri de la polulație de către companiile de asigurări, fie că este vorba despre stabilirea unor
planuri de pensii sau de formularea unor strategii de investiții. Literatura de specialitate estimează că
aproximativ 70% dintre actuari activează î n industria asigurărilor, dar metodele și tehnicile actuariale
pot fi utilizate cu succes pentru acordarea de consultanță afacerilor de diferite dimensiuni, unor
organisme din sectorul public, băncilor și exemplele pot continua. Tot actuarii pot fi solicit ați de către
marile companii în cazul în care acestea doresc să facă achiziții importante, să fuzioneze cu ale
structuri, sau să realizeze planuri de investiție. Desigur că și o persoană fizică poate cere sfatul unui
actuar atunci când dorește să gestionez e un anumit buget sau atunci când este interesată să
stabilească cea mai bună variantă de investiție în perspectiva pensionării.
Există, după cum vă puteți imagina, multe domenii în care un actuar poate fi extrem de folositor, iar
rândurile de mai devreme au adus în discuție doar unele dintre aceste câmpuri de activitate. În
finalul acestei secțiuni mai trebuie spus că, din punct de vedere al unei companii de asigurări, există
două categorii de actuari care au în grijă două domenii distincte. Sunt actuarii specializați în asigurări
de viață, pe care îi putem întâlni ori de câte ori este nevoie de planificare de pensii, de planificare
financiară sau de determinarea fondurilor de rezervă pentru compania care solicită studiul. De
cealaltă parte sunt actuarii ob ișnuiți, care au în grijă toate celelalte produse de asigurare altele decât

167
asigurările de persoane. Întâlnim aici, de fapt, toate asigurările care au legătură cu proprietățile unui
individ sau ale unei instituții. Indiferent de zona efectivă în care își d esfășoară activitatea, un actuar
va trebui să fie capabil să opereze cu date statistice pe baza cărora să construiască distribuțiile de
probabilitate ale fenomenelor aleatoare pe care le studiază.
8.3. Despre modelele actuariale
Atunci când, în Capitolul al treilea, am recapitulat noțiunea de variabilă aleatoare am fost de acord cu
faptul că ea reprezintă metoda cea mai bună de descriere a unei mărimi despre care nu știm cu
exactitate ce valoare ia. Ceva mai devreme am spus că actuarii se folosesc de teori a probabilităților și
de asemenea am afirmat că în studiul riscului doar arareori putem pretinde că 2 plus 2 fac 4. Prin
urmare, trebuie să pornim de la ipoteza nu foarte plăcută că o mare parte dintre mărimile implicate
in economia riscului pot fi descris e ca variabile aleatoare și ca atare că modelele specifice sunt
modele probabiliste.
Pentru a explica mai clar ce anume este un model actuarial și de ce este el important în studiul
riscului, va trebui să reamintim cititorului faptul că un model matematic este o imitație simplificată a
unei probleme pe care o întâlnim în viața reală. Existența modelelor matematice are și alt rost decât
acela al stresării studenților, pentru că un astfel de model ajută la înțelegerea mai ușoară și uneori
mai rapidă a fenome nului real așa cum în mod sigur modelul cererii liniare de bunuri v -a ajutat să
înțelegeți dependența inversă a cantității cerute de prețul unității de bun. Cu siguranță că pentru
multe dintre produsele aflate pe piață funcția cerere are o formă ciudată, d ar modelul liniar
surprinde exența fenomenului și anume acela descris de Legea Cererii.
Modelele actuariale vor fi, prin urmare, acele modele care ajută un actuar să înțeleagă funcționarea
fenomenelor cu care lucrează el. De exemplu, dacă actuarul respect iv dorește să elaboreze o poliță
de asigurare pe care să o pună în vânzare în scopul protecției contra riscului de coloziune a
autovehiculelor, el va trebui să poată elabora, sau utiliza, un model pe baza căruia să determine cât
anume trebuie să plătească posesorul unui automobil pentru a putea beneficia de respectiva poliță
de asigurare. Similar, un actuar care lucrează pentru o bancă va dori să elaboreze un produs de credit
care să acorde împrumuturi clienților astfel încât riscul la care este supusă banc a să fie minim. Și,
pentru că am spus mai devreme că un actuar nu trebuie să lucreze neapărat pentru o instituție
financiară, mai putem da exemplul unei organizații care are nevoie de consultanță pentru a putea
acorda angajaților săi planuri de pensii. Pen tru a stabili cea mai bună metodă de planificare
financiară în acest scop, organizația va putea solicita unui actuar să realizeze un model matematic pe
care să îl utilizeze pentru detreminarea celei mai bune variante.

168
În toate cazurile menționate, modelele matematice se elaborează pe baza unor caracteristici care să
fie relevante în context. De exemplu, pentru stabilirea planului de pensii cel mai avantajos, vor trebui
luate în calcul vârsta angajaților, starea sănătății lor și veniturile, ca să dăm doar câ teva exemple de
variabile care trebuie luate în considerație. În cazul asigurării contra riscului de coliziune, modelul va
trebui să țină cont de informații cum ar fi vârsta șoferului, experiența anterioară, tipul de mașină pe
care îl conduce, distanțele p e care circulă și așa mai departe.
Construcția unui model nu este o muncă ușoară și necesită o bunpă cunoaștere teoretică a
fenomenelor, dar și multă intuiție din partea specialistului. Există, în evaluarea oricărei mărimi care
implică factorul aleator, u n grad de neprevăzut care face ca niciodată modelele să nu poată exprima
cu exactitate ceea ce se întâmplă în viața reală. Tot ceea ce se poate spera de la un model probabilist
este o bună apropiere de fenomenul pe care îl modelează, astfel încât măcar apr oximativ, sau măcar
în medie, lucrurile să stea așa cum au fost prognozate.
Foarte multe dintre utilizările modelelor probabiliste de calcul sunt întâlnite de către copii la cursurile
de asigurări, acolo unde distribuțiile de probabilitate sunt utilizate pentru a calcula mărimi specifice:
pierderea așteptată a unei anumite expuneri la risc, prima de risc pe care o cere o companie de
asigurări pentru a prelua un anumit tip de risc de la o persoană, frecvența daunelor și exemplele pot
continua. Mai puțin se discută, totuși, impactul pe care îl au anumite cerințe ale unei companii de
asigurări asupra individului, iar exemplul care urmează este destinat tocmai acestui scop: să arate
cititorului cum se poate raporta individul la anumite situații care presupun pi erderi potențiale.
Exemplul 8.3.1. O persoană dispune de o sumă inițială de 1200 u.m. și este expusă riscului de a
pierde, cu probabilitate de 0,5, suma de 800 u.m. Se presupune că persoana poate încheia o poliță de
asigurare care să o protejeze contra ace stei posibile pierderi, în următoarele condiții: asigurătorul
este dispus să plătească, în caz de daună, o sumă egală cu D cu condiția ca asiguratul să plătească
pentru acest contract de asigurare o primă egală cu 0,6D. Cu alte cuvinte, asigurătorul este d ispus să
îl despăgubească pe individ cu cele 800 u.m. dacă este acceptat un contract de asigurare prin care
individul să plătească societății de asigurări suma de 0,6 ori 800 adică 480 u.m.
Problema ne spune că individul are o funcție utilitate de tipul v on Neumann – Morgenstern,
 w2 wU
și ne întreabă dacă individul va accepta oferta firmei de asigurări. Dacă da, atunci care
va fi suma pe care o va asigura?
Conform cu forma concavă pe care o are funcția utilitate (care este o funcție radica l), putem deduce
că individul este avesr față de risc. Mai departe, pentru că în capitolul al șaselea am discutat despre

169
aversiunea față de risc, putem afirma că individul va fi foarte incomodat de probabilitatea de 50% ca
pierderea să apară. Va fi tentat , așadar, să se orienteze către o formă de protecție împotriva unui risc
cu probabilitate mare și, în același timp, cu severitate mare: observați că o pierdere de 800 u.m. din
1200 u.m. reprezintă o pierdere importantă.
Pe de altă parte, individul ar putea observa că societatea de asigurări care propune oferta de
protecție nu este tocmai corectă: ea percepe o rată a primei de risc de 0,6, adică de 60%, în condițiile
în care șansele de apariție a pagubei sunt de doar 50%. Individul poate să nu fie încântat d e acest
târg incorect, dar deocamdată nu are altă alternativă. Sau are?
Din enunțul problemei înțelegem că societatea de asigurări nu impune ca persoana în cauză să facă
asigurare pentru toate cele 800 u.m. pierdere potențială, ci se referă mai general la o daună D. Asta
ar putea însemna că individul poate cumpăra protecție pentru mai puțin de 800 u.m., având în
vedere că există, totuși, o șansă de 50% să scape cu fața curată din expunerea la risc .
Haideți să vedem care sunt sumele de care dispune individul în cazul în care pierderea apare și în
cazul în care ea nu apare, înainte de încheierea oricărui contract de asigurare: există 50% șanse ca
individul să rămână cu 1200 u.m. și există tot 50% șanse ca el să rămână cu doar 400 u.m. , în cazul în
care cele 80 0 u.m. s -au pierdut.
În cazul în care individul ia în calcul încheierea unui contract de asigurare prin care societatea de
asigurări să îl despăgubească în caz de manifestare a pierderii cu o daună în valoare D, el va trebui să
plătească o sumă egală cu 0,6D. Așadar, individul va dispune de următoarele sume: în cazul în care
pierderea nu apare, el va avea 1200 u.m. din care se scad 0,6D, cele plătite pentru contractul de
asigurare; dacă pierderea de 800 u.m. apare, persoana va rămâne cu diferența de 400 u .m. la care se
va adăuga suma pe care i -o acordă societatea de asigurări, anume D, minus suma pe care a plătit -o ca
primă de risc și anume 0,6D. Ambele variante se pot întâmpla cu o probabilitate de 50%, sau 0,5 și
sunt rezumate în variabila aleatoare de m ai jos pe care o notăm cu
W~ și care definește suma de care
dispune individul după încheierea asigurării:



  
5,0 5,0D6,0D 800 1200D6,0 1200:W~




  
5,0 5,0D4,0 400D6,0 1200:W~

170
Problema ne întreabă dacă individul va decide să cumpere asigurare și, dacă da, p entru ce sumă?
Asta înseamnă că va trebui să determinăm valoarea lui D, după care vom putea enunța câteva
concluzii. De exemplu, dacă D va fi mai mare decât zero, va însemna că individul decide să cumpere
asigurare. Dacă D va fi mai mică de 800 u.m., vom înțelege că persoana nu simte nevoia să se
protejeze împotriva întregii pierderi ci doar contra unei anumite fracțiuni din ea. Cum vom
determina, așadar, valoarea lui D? Răspunsul va trebui să implice cu siguranță funcția utilitate a
persoanei și de asemen ea teoria conform căreia oric individ va urmări să își maximizeze utilitatea
așteptată.
Pornind de la variabila aleatoare
W~ vom putea determina utilitatea celor două variante și anume:



  
5,0 5,0D4,0 4002D6,0 12002:W~U

Utilitatea așteptată este :
 D4,0 40025,0D6,0 120025,0 W~UM 

 D4,0 400 D6,0 1200 W~UM 

Pentru a determina valoarea lui D care maximizează utilitatea așteptată vom scrie condiția de ordinul
întâi pentru funcția
W~UM :
0
D4,0 40024,0
D6,0 120026,0
dDW~UdM



200D
D4,0 4004,0
D6,0 12006,0


u.m.
Iată, așadar, că individul va decide să se protejeze împotriva unei pierderi cu o probabilitate foarte
mare, dar din cauza ratei mari pe care o percepe societatea de asigurări el decide să nu ceară ca
polița de asigurare să fie încheiată pentru toată suma care este periclitată, adică 800 u.m., ci doar
pentru 200 u.m.
Vă veți întreba, desigur, ce anume are problema asta cu un model actuarial. Ne imaginăm cu toții că
modelele exprimă situații foarte generale, din care oamenii să poată afla informațiile de care a u

171
nevoie fără să mai fie nevoie să mai facă o mulțime de calcule incomode. Secțiunea următoare va
prezenta modul în care se poate generaliza exemplul anterior pentru a condiuce la un model în
adevăratul sens al cuvântului.
8.4. De la enunț particular la model general
Considerăm acum cazul mai general al unui individ avers față de risc (așa cum sunt considerați a fi
mai toți indivizii), care dispune inițial de o sumă w și care este expus la o pierdere L care poate să
apară cu o proba bilitate p. Dacă această pierdere apare, individul va rămâne cu suma w – L.
O societate de asigurări îi oferă individului o variantă de contract prin care se angajează că în cazul în
care dauna apare el va primi o sumă D, cel mult egală cu valoarea totală a pierderii L, în schimbul
unei sume
D care reprezintă costul achiziționării contractului de asigurare. În acest context,

reprezintă rata pe care o percepe asigurătorul pentru fiecare unitate monetară acoperit ă prin
asigurare și care, în mod normal, ar trebui să fie egală cu probabilitatea de apariției daunei. Am spus
„în mod normal” pentru că aceasta este condiția ca un contract de asigurare să fie corect din punct
de vedere actuarial, dar de multe ori este do ar o condiție teoretică pentru care nu găsim neapărat
corespondent în practică.
Problema ne cere să stabilim care este suma optimă D pentru care ar trebui încheiată o asigurare.
Vom urma modelul de raționament pe care l -am prezentat în cazul particular ș i vom fi de acord cu
faptul că dacă pierderea se înregistrează, individul dispune de suma
D DLw  , cu o
probabilitate egală cu p. Dacă pierderea nu apare, pe baza aceluiași raționament deducem că
individul dispune de suma
D w cu probabilitate
p1 .
Variabila aleatoare care descrie suma de care dispune individul după încheierea contractului de
asigurare, în cele două variante de apariție și de neapariție a pierderii, este:





p1 pD wD DLw:W~

Pornin d de la variabila aleatoare
W~ vom putea determina din nou utilitatea celor două variante și
anume:
 




 
p1 pD wUD DLwU:W~U

172
Utilitatea așteptată este:
 D wUp1 D DLwpU W~UM 

Se observă că de această dată nu mai avem o formă explicită funcției utilitate a persoanei și de
aceea va trebui să scriem condiția de ordinul întâi în cazul cel mai general:
 0D wUp1 D DLwU 1pdDW~UdM

Condiția de ordinul al doilea, esențială pentru determinarea maximului utilității așteptate, este:
 D wUp1 D DLwU 1p
dDW~UMd 2 2
22

Pentru că individul este avers față de
risc, funcția sa utilitate este concavă. Din acest motiv, derivata a doua a lui U în orice argument în
caree ste definită va trebui să fie negativă. Din ultima relație scrisă anterior se observă că
0
dDW~UMd
22

.
Valoarea lui D care este optimă pentru individ se determină ca soluție a ecuației pe care ne -o oferă
condiția de ordinul întâi și anume:
 0D wUp1 D DLwU 1p 
(#)
Această relație este un model general care permite determinarea sumei optim e pe care o poate
asigura un individ, în funcție de detaliile care descriu riscul la care este expus și de funcția utilitate
care caracterizează persoana.
Se poate deduce că suma D va depinde de coordonatele particulare ale fiecărei situații și fiecărei
persoane implicate. Cu toate acestea, există un amănunt pe care îl putem deduce chiar din această
formă generală a modelului. Din modul în care au fost enunțate problemele atât în cazul particular
cât și în acest caz general, deducem că o persoană care se a flă față în față cu o situație ca aceea pe
care am descris -o se gândesc să asigure o sumă mai mică decât valoarea integrală a daunei. Se poate
pune întrebarea: de ce n -ar încerca să cumpere asigurare pentru valoarea totală a pierderii, L? Cu
alte cuvinte, ar trebui ca D să fie egal cu L. Pentru ca această variantă să îl bucure pe individ, ar trebui
ca relația obținută din condiția de ordinul întâi să fie îndeplinită. Să facem și noi înlocuirea în (#) :

173

  0L wUp1LLLwU 1p
 0L wUp1L wU 1p

  0L wU p 0L wUp1 1p 

Din această ultimă egalitate se observă că achiziționarea de asigurare pe ntru întreaga sumă expusă
pierderii, în cazul exemplului numeric cele 800 u.m., este optimă doar în situația în care
p . Dacă
rata percepută de so cietatea de asigurări este mai mare decât probabilitatea de apariție a daunei,
atunci cumpărarea de asigurare pentru toată suma este suboptimă.
8.5. Despre alte modele probabilistice
Cele două secțiuni anterioare au prezentat un exemplu de model care poat e aduce puțină lumină în
mintea unei persoane care este pusă în situația de a lua o decizie. Cu toate aceste a, trebuie să
spunem că numărul modelelor care se folosesc în aceast scop este foarte mare pentru că situațiile
din lumea reală sunt dintre cele mai diverse. Fiecare distribuție de probabilitate teoretică se poate
constitui într -un context sau altul într -un model al unei situații reale. Modelul pe care îl vom prezenta
în continuare are la bază un binecunoscut și deja celebru model din finanțe, modelul Markowitz, pe
care l -am adaptat pentru a deveni funcțional în direcția gestionării riscului de piață cu care se
confruntă un om de afaceri.
Vom porni în demersul nostru admițând că m aniera în care un producător ale ge să trimită pe piață
bunurile depinde d e o serie întreagă de factori ca de exemplu : natura bunului, destinația sa,
posibilitățile și opțiunile producătorului în a stabili legătura cu beneficiarii, reputația firmei etc.
Producătorul poate fi vânzător direct, cu amănuntul, poate avea parteneri ca re cumpără un anumit
nivel al producției, bine stabilit, sau parteneri a căror cerere pentru produs se situează într -un
interval fluctuant. În oricare dintre cazuri există un potențial mai mare sau mai mic de manifestare a
riscului ca producția să nu fie v ândută integral într -o perioadă de timp fixată, sau ca vânzarea ei să nu
se realizeze în condițiile unui preț favorabil producătorului.
Ne vom limita pentru moment la situația în care fabricantul deține sau intenționează să dețină o
producție de nivel q p e care o poate distribui către n variante notate de noi cu
n 2 1 V…,,V,V ,
1n,Nn
. Către fiecare dintre aceste direcții, producătorul ar putea să trimită cantitățile
n 21 q…,,q,q
care trebuie să satisfacă o primă condiție restrictivă,
q q…qqn 2 1 
(1)

174
Vom considera că alocarea producției se poate face în oricare cantitate, deci că bunul produs este
divizibil. Condiția este esențială deocamdată pentru corectitudinea modelului formal, dar nu este
indispensabilă ap licării lui în practică.
Diferențele de comportament, de interese, de preferințe și priorități ale diverșilor parteneri,
particularitățile fiecărei piețe, tipurile de influențe pe care le suportă acestea sunt doar câteva
elemente care pot genera rezultate surprinzătoare pentru producător, în procesul de desfacere a
bunului produs. Se poate pune problema modului în care trebuie repartizată cantitativ producția
către cele n variante, dar nu există o certitudine cu privire la rezultat. Fabricantul poate ști d oar
rezultatul pe care și -ar dori să -l obțină și eventual valorile medii de rentabilitate pe care i le oferă
fiecare dintre variante odată ce s -a determinat distribuția de probabilitate a rentabilității. Problema
pe care dorim să o rezolvăm se poate rezuma astfel: „Care este repartizarea optimă a producției
către cele n variante, pe care le vom numi – mai general – piețe, astfel încât întreprinzătorul să
obțină fie o rentabilitate dinainte stabilită la cel mai mic risc posibil, fie un maxim de rentabilitate
pentru un risc dat?” Aceasta conduce, evident, la analiza medie – varianță a cărei aplicare corectă în
acest context necesită o serie de modificări aduse unor elemente legate de formarea prețului pe
piață pentru bunul produs.
În continuare vom defini cota din disponibilitatea inițială CT (costul total) alocată procesului de
producție care are ca destinația piața i, prin
CTCTi
i
,
n,1i (2)
Mărimile
i pot fi influențate doar de către producător, conform cu condițiile pe care le poate
observa pe fiecare piață, cu informațiile deținute și în funcție de percepția lui asupra acestui
ansamblu. Va trebui să fim de acord cu faptul că în condițiile unui mediu concurențial și în contextul
restricțiilor bugetare al e consumatorilor, producătorul nu poate influența decisiv prețul acceptat pe
piață pentru bunul trimis spre vânzare. Eventualele fluctuații ale cantității pe care o oferă nu au forța
să genereze creșteri sensibile ale prețului, întreprinzătorul având puter e de influență doar în sensul
deciziei de scădere a lui – dacă lucrul acesta este cu adevărat necesar. Dacă nu există alte interese de
conjunctură, un producător va face tot posibilul să obțină venitul maxim posibil din vânzarea fiecărei
unități de bun, pr in urmare în condiții normale modificarea prețului pe piață are cauze externe
afacerii. Privită din această perspectivă, rentabilitatea care rezultă din vânzarea unei unități de bun,
la care ne vom referi ca la rentabilitate unitară, devine egală pe piața i cu:

175

n,1i,ccpR
uu i
i  (3)

Dacă nu apar modificări importante ale prețului
ip , s-ar putea crede că producătorul poate conta pe
o rentabilitate relativ stabilă care asigură la rândul ei confortul unor estimări corecte pentru
veniturile brute obținute din vânzări. O astfel de descriere, deși deseori utilizată de teoreticieni, are
neajunsul de a nu include un element esențial și anume posibilitatea deloc de neglijat ca acea unitate
de bun, pentru care s -a calculat rentabilitatea un itară, de fapt să nu se vândă deloc în intervalul de
timp dorit de producător. Atingem acum un element subtil care este, de fapt, cheia întregului
fundament al modelului ce va urma. Vom avea curajul să eliminăm complet posibilitatea de
nevânzare a unității de bun și vom spune că vânzarea este perfect posibilă, dar la un alt preț –
evident mai mic, poate chiar mult mai mic decât prețul dorit. Rămâne doar o problemă de opțiune a
producătorului dacă disponibilizează produsul în aceste condiții sau dacă așteapt ă un moment
prielnic pentru aceasta. Cineva ar putea să argumenteze că există produse care nici nu se vând în
termenul stabilit, nici nu pot aștepta un moment prielnic pentru că au grad mare de perisabilitate și
uneori nu mai pot fi folosite nici ca ingred iente pentru fabricarea altor bunuri. Suntem perfect de
acord, dar asta nu încalcă în nici un fel postulatul nostru: situația descrisă este echivalentă cu
„vânzarea” la preț egal cu zero. Riscăm să mergem chiar mai departe, deranjând poate anumite
tradiții despre modul în care este perceput prețul și spunem că în măsura în care o unitate de bun
nevândută ocazionează costuri suplimentare celor de producție (de stocare, de transport și re –
transport, de curățenie etc), atunci prețul ei poate fi chiar negativ . Nu vedem nimic rău în a accepta o
astfel de abordare, reală și extrem de utilă, atâta vreme cât specialiștii în domeniul finanțelor
operează nestingheriți nu doar cu rentabilități negative, ci și cu capital negativ corespunzător
activelor de împrumut.
Prin urmare, odată ce acceptăm că bunul se poate vinde, acceptăm că prețul devine o variabilă
aleatoare de o natură particulară. Ea va reflecta, de fapt, modul în care este „cotat” produsul: mai
exat, ea va arăta pe baza relației cerere – preț cât ar obține producătorul din vânzarea bunului dar
fără să fie obligat în vreun fel să vândă. Rentabilitatea unitară pe care am definit -o în (3) înglobează
astfel toată informația necesară pentru a putea stabili rezultatele pe care le poate obține
producătorul pe piaț a i. Nu trebuie să uităm nici o clipă faptul că prețul, în modelul nostru, nu este
cel afișat pe eticheta produsului ci acea „cotare” pe care i -o putem atribui în ipoteza unei vânzări

176
sigure a unității de bun, în strânsă legătură cu cererea agregată a cons umatorilor individuali,
reflectând nevoile, preferințele dar și constrângerile lor bugetare.
Să trecem, prin urmare, la formalizarea modelului și să considerăm că producătorul dispune de n
piețe de desfacere pentru bunul produs, toate implicând un anumit grad de risc din punct de verede
al rentabilității unitare, adică vom accepta că aceste rentabilități sunt variabile aleatoare pe care le
vom nota ca și până acum cu
n,1i,Ri . Se vor putea determina valorile lor medii și dispersiile (ca
măsur i ale riscului) și covarianțele. Vom nota, de asemenea: m = vectorul rentabilităților unitare
medii,
 = vectorul ponderilor alocate celor n piețe,
 matricea de varianță – covarianță. Este de
observat că ponderile trebuie să satisfacă restricția:
1 …n 2 1 
(4)
Pentru moment, această constrângere bugetară a producătorului va fi singura restricție la care ne
vom opri și vom accepta ca o condiție teoretică posibilitatea ca întreprinzătorul să poată aloca spre
orice piață o sumă oricât de mică din totalul CT, deci că poate trimite o producție oricât de mică spre
oricare dintre cele n piețe. În plus, în funcție de oportunitățile de moment, de capacitatea sa de
producție și de opțiunea producătorului, putem accepta că acesta se poate împrumuta pe termen
scurt de capital pentru a trimite pe o piață sau alta mai multe bunuri decât și -ar permite din banii
proprii. Aceasta înseamnă că putem accepta și valori negative pentru una sau mai multe ponderi
i ,
păstrând în același timp condiția (4).
Pentru o alocare
 a producției și pentru rentabilitățile așteptate (medii) m, rentabilitatea medie a
repartizării este

n
1iiim m . Dispersia (varianța sau riscul) repartiză rii este:

 n
1iijji2 .
Analiza medie – varianță pe care o vom dezvolta în continuare își are originile în anul 1952, în
lucrările lui H. Markowitz și a fost inițial îndreptată către studiul portofoliilor de investiții.
Genialitatea lui Markowitz nu a fost în inventarea instrumentalului matematic utilizat, binecunoscut
ingredient al tehnicilor teoriei probabilităților, ci în stabilirea conexiunii dintre latura matematică și
aplicarea ei practică. Ceea ce vrem să subliniem este faptul că în acest m oment dorim să extindem
această aplicabilitate într -o sferă care până acum nu a beneficiat o astfel de abordare, fără să avem
pretenția că instrumentele teoretice ne aparțin. Ipoteza esențială de care avem nevoie pentru
exprimarea concluziilor ce rezultă d in analiza medie – varianță este aceea că producătorul va alege
repartizarea producției doar din punct de vedere al celor două mărimi urmărite, media și dispersia, el
considerând optimă o repartizare în unul dintre cazurile:

177
 Repartizarea aduce cea mai mare rentabilitate așteptată pentru un nivel dat al riscului.
 Repartizarea este supusă celui mai mic risc posibil, pentru un nivel dat al rentabilității
așteptate.
O repartizare care îndeplinește aceste criterii de optim o vom numi eficientă medie – varianță, iar
mulțimea tuturor repartizărilor de acest tip va purta numele de frontieră eficientă , ales în mod
natural după modelul similar din teoria portofoliului.
Să ne ocupăm în continuare de repartizări de risc minim, adică acelea care, pentru o rentabilitate
medie (anticipată) stabilită și notată aici cu R au cea mai mică dispersie posibilă. Vom avea nevoie să
impunem condiția ca matricea de varianță – covarianță să fie pozitiv semidefinită, adică
nRn t0 R ,0 
, fapt care ne va permite să ne bazăm pe proprietatea lui
 de a fi
inversabilă, inversa ei fiind de asemenea pozitiv semidefinită și, în plus, că rentabilitatea nici unei
piețe nu poate fi exprimată ca o combinație liniară de rentabilitățile celorlalte piețe, deci nici o pi ață
nu este redundantă. Vom avea nevoie, de asemenea, să introducem notațiile
1…,,1,1 1nR :




 
m mC1 mm 1B1 1A
1tR1t 1 t
RR1 t
R
n nn n

În aceste condiții, din calcule rezultă forma finală pentru repartizarea eficientă și anume:
mDB AR1DBRC 1 t
R1
n 
(5)
Caz par ticular: Să luăm în calcul existența a trei piețe spre care producătorul își poate trimite bunul
rezultat ca urmare a unui proces de producție cu cheltuială inițială CT. Studiile arată că rentabilitățile
la care se poate aștepta pentru fiecare din aceste p iețe sunt următoarele:
%20 m%,6 m%,8 m3 2 1   
.
Matricea de varianță – covarianță este dată:





910140001 . Obținem:

178

26355692D,635968C,63654B,6381A   , deci










7476504
55692654R81
31563
55692R654 5968 .
Să presupunem acum că întreprinzătorul ar dori să obțină o rentabilitate de 9 % pentru ansamblul
producției repartizate către cele trei piețe. Înlocuim
9R și obținem:















105,0125,077,0
7476504
5569275
31563
5569282

În concluzie, pentru a atinge rentabilitatea medie pe ansamblul desfacerii, pe prima piață trebuie
trimis echivalentul produc ției a 77% din costul total, pe a doua piață 12,5% și pe a treia doar 10%. În
aceste condiții, producătorul va avea șanse să obțină rentabilitatea dorită cu minim de risc.
Forma explicită a cazului particular prezentat ne este de ajutor și în altă direcți e, pe care am fi
observat -o cu greu dacă ne păstram în parametri generali. Spuneam că ponderile
i pozitive sunt
asociate situației în care cheltuielile inițiale se fac doar din capitalul deținut de producător și nu din
vreun capital de împrumut. În exemplul nostru, un calcul simplu arată că ponderile sunt pozitive și
riscul minim în condițiile în care rentabilitatea medie fixată de întreprinzător se situează între 7,56%
și 10,896%. Orice altă rentabilitate care depășește această valoare de aproximativ 11% nu se poate
atinge utilizând doar banii proprii, decât eventual violând condiția riscului minim.
Analiza medie – varianță pe care am utilizat -o în modelul precedent este elegantă și simplă, oferind
explicații intuitive pentru o serie de fenomene cu care producătorul de bunuri destinate consumului
se confruntă permanent. Cu toate acestea, trebuie să recunoaștem că este doar primul pas dintr -un
ansamblu de studii care vor trebui elaborate, pentru a face din piața bunurilor de consum un
segment și mai bine fundamentat teoretic. Analiza medie – varianță se oprește, de cele mai multe
ori, la modele statice care pot ajuta producătorul în faza inițială a procesului de desfacere sau în faza
de decizie asupra cantității produse în funcție de cer ere și de condițiile interne firmei, dar nu permite
ca instrument teoretic ajustări pe parcurs ale repartizărilot asupra cărora s -a decis. Este absolut
necesară trecerea către modele dinamice de analiză, așa cum Merton (1973, 1992) a elaborat în
materie de teoria portofoliilor de investiție. De asemenea, intuim că în perioada următoare vom
putea conta pe modele care să determine variabila aleatoare preț în acel sens, oarecum atipic, în
care am utilizat -o în prezentarea noastră. În orice caz, ne -am dorit să punem în evidență faptul că nu

179
doar activele financiare pot fi abordate prin prisma teoriei probabilităților și că o schimbare de optică
asupra unor alte piețe poate aduce elemente de o mare importanță în practica afacerilor.
8.6. Întrebări recapitulative și teme pentru seminar
1. Care sunt motivele pentru care o persoană care dorește să se protejeze contra riscului
apelează la o instituție specializată, ca de exemplu o societate de asigurări? De ce societatea
de asigurări este dispusă să preia riscul diferit elor persoane? Explicați mecanismul „win –
win” care stă la baza acestei alegeri.
2. Explicați motivele pentru care este esențial pentru o societate de asigurări să cunoască
distribuția de probabilitate a pierderilor potențiale. Considerați că doar pentru o s ocietate de
asigurări este recomandat să cunoască această variabilă aleatoare? Explicați și exemplificați.
3. Explicați rolul și atribuțiile actuarului, precum și domeniile în care activează el.
4. Explicați ce este un model matematic și de ce este utilă exist ența lui în știința economică.
Dați exemple de trei cel puțin trei modele matematice pe care vi le amintiți de la cursul de
Economie.
5. Explicați diferența dintre un model determinist și unul probabilist, apoi explicați ce este un
model actuarial și la ce p oate fi utilizat.
6. Refaceți calculele din Exemplul 8.3.1. pentru o sumă inițială de 120 u.m. și o pierdere
potențială de doar 80 u.m.
7. Explicați generalizarea modelului din exercițiul anterior. Găsiți două exemple inspirate din
viața de zi cu zi în care aces te calcule pot fi utile.
8. Explicați modul în care se poate utiliza analiza medie – varianță în studiul riscului de piață la
care este expus un producător.
9. Întocmiți un referat de 8 pagini în care să discutați Analiza medie varianță din perspectiva
apariției sale, a modului în care a fost primită de specialiști și a modului în care a fost
utilizată. Explicați avantajele și limitele utilizării sale, folosind cel puțin 5 referințe
bibliografice reprezentative.
10. Întocmiți un referat de 8 pagini despre analiza me die varianță ca alternativă la teoria utilității
așteptate. Explicați modul în care au privit specialiștii aceste două abordări și menționați
principalele argumente aduse în sprijinul utilizării fiecăreia dintre ele. Utilizați pentru
întocmirea referatului cel puțin cinci lucrări relevante.

180

Bibliografie selectivă

Academia de Studii Economice, Facultatea de Economie Generală, Catedra de Economie și Politici
Economice , (2003) Economie, Ediția a patra, Editura Economică, București,
D Ackerberg, K Caves, G Frazer , (2005) Structural Identificati on of Production Function, Working
Paper,
Andrew W ., (1999) The Three P ’s of Total Risk Management, Februarie 1999, www.nabe.com
Anderson G ., ș.a., (2005) On the Aggregation of Local Risk Models for Global Risk Managem ent,
www.math.fsu.edu
Anderson D., Sweeney D., Williams T . (1984) Statistics for Business and Economics, Second Editio n,
West Publishing Company
Andreica Marin, Stoica Marcel, Luban Florica, (1998) Metode cantitativ e în management, Ed itura
Economică, București
Arcones A. Miguel (2005), Applied Probability Models, Binghamton University
K Arrow, H Chennery, B Minhas, R Sollow, (1961) Capital – Labor Substitution and Economic
Efficiency, Review of Economics and Statistics, 43, 3(Aug. 1961 ), 225 – 50
Băbăiță Ilie, Duță Alexandra , (1998 ) Piețe și prețuri , Editura de Vest, Timișoara
Bârsan -Piu N., Popescu I ., (2003 ) Managementul riscului. Concepte, metode, aplicații,
Editura Universității „Transilvania” Brașov,
Boardman E . Anthony, Greenbe rg H. D avid, Vining R. Aidan, Weimwr L. David, (2001)
Analiza cost – beneficiu. Concepte și practică, Ediția a do ua, Editura ARC, București
Carbonnier Jacques, (1983) La Pract ique de Risk Management, Paris
Colson Gerard , (1995 ) Gestion du Risque, E.A.A., L ille,
Coșea Mircea, Nastovici Luminița , (1997 ) Evaluarea riscurilor – Metode și tehnici de analiză
la nivel micro și macro economic, Editura Lux Libris, Brașov,
Cișmașu I rina., D., (2003) Riscul, element în fundamentarea deciziei. Concept, metode, aplica ții,
Editura Economică, București

181
Ciurel Violeta, (2000) Asigurări și reasigurări: Abordări teoretice și practice în practica internațională,
Editura AllBeck, București,
Constantinescu D. A., Dobrin M., (1998) Asigurarea și Managementul riscului, Editura Tehnică,
București
Cornescu Viorel, Druică Elena , (2005) Întreprindere, management, profit, Editura AllBeck, București
Danu M arcela Cornelia ., (2000) Riscul în afa ceri, Editura Plumb, Bacău
Dicționar de economie , (1999) coordonator Niță Dobrotă, Ed itura Ec onomică, București
Dicționar Macmillan de economie modernă , (1999), Editura CODECS, București,
Diewert, W E (1973) Functional Forms for Profit and Transformation Functions, Journal of Economic
Theory, 6 (3), 284 – 316
Doltu Teodora , (2004) Risc și incer titudine în econ omie, teză de doctorat, ASE
P Douglas, C Cobb , (1928) A Theory of Production, American Economic Reviews, 18 (Supplement),
139 – 165
Druică Zeletin Elena, (2002) Introducere în teoria probabilităților și aplicații, Editura DARECO,
București
Druică Elena , (2006) Risc și afac eri, Ed. ChBeck, București
D Epple, B Gordon, H Sieg, (2006) A Semi – Nonparametric Approach to Estimated Production
Functions When Output Prices and Quantities are Unobserved, No. 105, 2006 Meeting Papers from
Society for Economic Dynamics
Fisher Irving, (1917) Recherces Mathematiques sur la Theorie de la Valeur et des Prix, Libraires
Editeurs, 16, rue Soufflout, Paris,
Georgescu – Roegn Nicholas , (1979 ) Legea entropiei și procesul economi c, Editura Politică, București
Giarini Orio, Stahel R. Walter, (1996), Limitele certitudinii, Editura Edimpress – Camro, București,
Grigore Maria Zenovia, (2005) Noua microeconomie, E ditura Universitară, București
Gogoneață Basarab, (2004) Economia riscului și incertitudinii, Editura Economică, București
Harrington E. Scott, Niehaus R. Gregory (2003), Risk Management and Insurance, Second Edition,
McGraw -Hill/Irwin series in finance, insurance and real estate
Hirschey M., Pappas J ., (1995) Fundamentals of Managerial Ec onomics, The Dryden Press

182
Hofmann D. Laure nce, (1986) Calculus for Business, Economics and the Social and Life Science, Third
Edition, McGraw – Hill Book Company
International Risk Management institute , Dallas: www.irmi.com
The Institute of Risk Management , London: www.theirm.org ;
Jula D., (2003) Introducere în econometrie, Editura Professi onal Consulting, București
Klemperer P., Meyer M. (1986), Price Competition vs. Quantity Competition: The Role of
Uncertainty, RAND Journal of Economics, 17, 618 -38
Kotler Philip , (1999) Managementul M arketingului, Editura TEORA
Lambertini L. (2006), Process RD in Monopoly under Demand Uncertainty, Economics Bulletin, Vol.
15, N0. 14, p. 1 -9
Leland H. (1972), Theory of the Firm Facing Uncertainty Demand, American Economic Review, 62,
278-91
J Levinsohn, A Petrin , (2003) Estimating Production Functions Using Inputs to Control for
Unobservable, Review of Economic Studies , 70, 317 – 42
Mărgulescu S., (2005 ) Asigurări și reasigurări, Ediția a II -a, Editura Cartea Studențească,
București
Merriam – Webster Dictionary on – line, www.m -w.com
Nistor Cornelia, (2005) Elemente de statistică, Edi tura Cart ea Universitară, București
Olteanu A ., Olteanu F. M., Badea L., (2003) Management bancar. Caracteristici, strategii, studii de
caz, Editura DARECO, București
Onicescu Octav , (1969) Principiile teoriei probabilităților , Ed. Academiei, București
Platis Magdalena, (1996) Prețul și formarea lui, Ed itura Economică, București
Ploae Victor, Ruiz Salvador, (2001) Managementul Întreprinderilor mici și mijloc ii, Editura EX PONTO,
Constanța
Prunea P ., (2003 ) Riscul în activitatea economică , Editura Economic ă, București
Purcaru Ion, (1994 ) Matematică și asigurări , Editura Economică, București
Rebonato R., Jäckel , (1999 ) The most general methodology to create a valid correlation matrix for
risk management and option price purposes, octombrie

183
Reny Alfred , (197 3) Dialog despre calculul probabilităților, Ed. Encicl opedia Română, București,
The Public Entity Risk Institute , Nevada: www.riskinstitute.org
Sabdmo A. (1971), On the Theory of the Firm under Price Uncertain ty, American Economic Review,
61, 65 -73
Suciu Marta Christina, (2000 ) Investiția în educați e, Editura Economică, București
Vatn Jorn , (1998 ) „A discussion of the acceptable ris k problem”, in „Reliability Engeneering and
System Safety” 61(1 -2): 11 – 19
Văcă rel Iulian, Bercea Florian , (1999 ) Asigurări și reasigurări, Editura Expert, București,
Williams C. Arthur Jr., Richard M. Heins (1985 ) Risk Managemen t and Insurance, fifth edition ,
McGraw Hill, Inc.
Wilmott Paul, (2002 ) Derivative. Inginerie financiară. Teorie și practică , Editura Economică, București