FENOMENE CARE MODIFICĂ POZIȚIILE A ȘTRILOR PE CER [619026]

CAPITOLUL 3

FENOMENE CARE MODIFICĂ POZIȚIILE A ȘTRILOR PE CER

Direcțiile și pozițiile în care se văd corpurile cerești de pe Pământ sunt influențate, mai mult sau
mai puțin, de unele fenomene de care trebuie să ținem seama. Ele modifică rezultatele observațiilor și
îngreunează determinarea coordonatelor aștrilor. Printre acestea, se numără: efectul optic al refrac ției
astronomice; efectul optic al mișcărilor Pământului: aberația diurnă, anuală și seculară; efectul ge ome-
tric al mișcărilor Pământului: paralaxa diurnă, anuală și seculară; deplasarea planetelor fundamentale
de referință: precesia și nutația ; mișcările proprii ale stelelor.
3.1. Refracția astr onomică
Putem considera spațiul interstelar ca fiind un spațiu omogen, în care o rază de lumină (s au or i-
ce radiație electromagnetică) se prop agă în linie dreaptă. Acest lucru este valabil până când raza de
lumină ajunge la atmosferă. Atmosfera, însă, este un mediu neomogen; datorită atracț iei Pământului,
fiecare strat atmosferic exercită o presiune as upra celui inferior lui, având ca rezultat o creștere a de n-
sității pe măsura aproprierii de suprafața terestră. Creșterea densității, face ca și indicele de refracție
să varieze (să scadă) cu înălțimea. Variația acestui indice, se datorează neomogenității și diferenței de
densitate a aerului din straturile atmosferei terestre, variație ce depinde de: altitudine, temperat ură,
presiune și umiditate. De aceea direcția aparentă a unui obiect vizibil se va abate de la direcția adev ă-
rată, raza de lumină descriind o linie frântă cu laturi infinit de mici și infinit de multe, ad ică într -o linie
curbă, până ajunge în ochiul observa torului O ( Fig. 3.1.a).
Refracția astronomică , este unghiul dintre direcția în care se vede aparent astrul σ și direcția d u-
pă care se pro pagă razele de lumină în afara atmosferei t erestre. Acest unghi scade de la orizont spre
zenit și este dat de formula:
R = z' – z. (3.1

Această formulă arată că, datorită fenomenului refrac ției, distanța zenitală a astrului se micș o-
rează cu mărimea R. Conform primei legi a refracției, întreaga traiectorie a razei este situată în ac elași
plan (planul vertical), adică refracția astronomică nu modifică azimutul astrului. Refracția astronomică
micșorează distanța doar zenitală, făcând ca aștri să pară mai sus față de orizont decât sunt ei în r eali-
tate. Un astru situat în zenit are refracția n ulă.
Pe Fig. 3.1.a, observatorul așezat în punctul O vede astrul în direcția tangentei în punctul final al
razei, adică în direcția aparentă Oσ, având distanța zenitală aparentă z = ZOσ. Însă direcția adevăr ată
a astrului este Oσ' , adică paralela prin O la dire cția razei în afara atmosferei. Astfel, distanța zenitală
adevărată a astrului este ungh iul z' = ZOσ' .
Valoarea exactă a refracției se exprimă printr -o formulă de integrală definită după care sunt î n-
tocmite tabele speciale1 menite să ușureze munca astronomilor. Cu toate acestea, o aproximare suf i-
cient de bună pentru cele mai multe scopuri practice este u șor de derivat. S ă ne închipuim un model
simplu de atmosferă omogenă asemenea unui teanc de straturi plan -paralele , deasup ra unui Pământ
plat, fiecare având un anumit indice de refrac ție ni (Fig. 3.1.b). În afara atmosf erei, avem n = 1.
Fie distan ța zenital ă adevărată z' și cea aparent ă, z. Folosind nota țiile din figura 3.1.b, obținem
următoarele ecua ții pentru limitele strat urilor succ esive:

1 Efemeridele dau tabele de refracție astronomică pentru condiții normale și tabele auxiliare pentru c ondiț ii de
temperatură și presiune diferite de cele normale.

Fig. 3.1. a) Schema refracției astronomice.

b) Schema refracției astronomice pentru straturi
plan-paralele.

sin z = nk sin zk,
:
:
n 2 sin z2 = n1 sin z1,
n 1 sin z1 = n0 sin z'.

Simplificând acest set de ecua ții, obț inem:
n0 sin z' = sin z (3.2

Ținând cont că refracția are valori foarte mici, putem considera: cos R = 1, sin R = R sin 1", unde
sin 1" = 1/206 265, dacă R se măsoară în secunde de arc. Punând din relația (3.1) z' = z + R, relația
(3.2) se mai scrie
n0 sin z = sin z + R cos z,
de unde obținem
R = aR tan z'. (3.3
unde am notat aR = n0 – 1 este constanta refracției astronomice . Ea are valoarea de 60",3 pentru cond i-
țiile: temperatura T = 0°C și presiunea atmosferică P = 760 mm Hg). În general,

27360",3760 273RPaT .

Pentru z > 70° formula (3.3) numai este aplicabilă (dând eroarea mai mare de 1°).
O formulă surprinzător de simplă pentru refrac ție, cu o precizie bun ă pentru toate altitudinile de
la 90° la 0°, a fost dat de Bennett, G.G. de la Univers ity of New South Wales. Dacă refrac ția R este
exprim ată în minute de arc, formula lui Bennett are forma :
1,7,31tan4,4R
hh
    (3.4
unde h – înălțimea aparentă în grade de arc. Conform lui Bennett, această formulă are precizia de
0,07 minute de arc pentru toate valorile lui h. Cea mai mare eroare, 0,07 minute de arc, apare la altit u-
dinea de 12 °.
Pentru că la zenit h = 90° , formula (3.4) dă ca rezultat R = –0",08 în loc de zero. Acea sta poate fi
rectificată adăugând +0,001 3515 la rezultat.
Bennett a arătat, de asemenea, modul în care formula lui poate fi rafinată. Calcula ți R cu ajutorul
formul ei (3.4); apoi se calculează corec ția pentru R, exprimată în minute de arc, este
0,06sin(14,7 13) R   ,
unde expresia dintre paranteze este exprimată î n grade. Calculând în acest fel, eroarea maximă este
stabilită la doar 0,015 minute de arc sau 0",9, pentru întreg intervalul de la 90° la 0°.
Formula (3.4) presupune că observa ția se face la nivelul m ării, când presiunea atmosferică este
de 1010 milliba ri și când temperatura aerului este de 10°C. Efectul refracției crește atunci când crește
presiunea sau când temperatura scade.
Dacă presiunea de la suprafa ța Pământului este P millibari și temperatura aerului este T grade
Celsius, atunci valoarea lui R dată de formula (3.4) ar trebui să fie înmul țită cu

283
1010 273P
T.

Pentru conversia presiunii atmosferice, din milimetri coloană de mercur în milibari, avem:

1 mbar = 0,75218 mm Hg.

În acest caz, se scrie: P = (presiune în mm Hg) (1 mbar/0 ,75218 mm Hg) pres iune în mbar.
Așa cum spuneam, rezultatul acestor formule trebuie interpretat ca fiind aproximativ. Problema
este mai complicată , deoarece refrac ția depinde și de lungimea de und ă a luminii. Expresiile d ate mai
sus sunt pentru lumina ga lbenă, unde ochiul uman are sensibilitate maximă.
Refracția astronomică are următoarele consecințe:
– Descreșterea distanței zenitale este cu atât mai mare, cu cât astrul este mai aproape de linia
orizontului.
– Deformarea discurilor aparente ale aștrilor î n vecinătatea orizontului. Corpurile cere ști, care

Fig. 3.2. Schema aberației luminii. prezintă un disc aparent: Soarele și Luna, prezintă deformări majore atunci când sunt situate în apr opi-
erea orizontului, coardele lor verticale părând că se scurtează. Fenomenul se explică ușor: bordul i nfe-
rior al discului cu distanța zenitală mai mare, este ridicat mai mult urmare a refracției, decât bor dul s u-
perior, care are distanța zenitală mai m ică.
– Modifică momentele de apus și răsărit ale aștrilor. Dacă astrul se ridică deasupra orizontului,
refrac ția face ca răsăritul astrului să se producă mai devreme, respectiv apusul să se producă mai tâ r-
ziu cu câteva minute. În cazul Soarelui, al cărui diametru aparent este de aproximativ 32 ′, e lesne de
înțeles, că acesta se vede deasupra orizontului (sau ta ngent la el), când de fapt el este complet sub
linia orizontului. În consecință, răsăritul Soarelui având loc mai devr eme și apusul mai târziu decât
adevăratul răsărit și apus, face ca lungimea zilei să fie m ărită.
– Scânteierea (scintilația) stelelor, fenom en observat ușor în apropierea orizontului: razele de
lumină, trecând prin atmosfera terestră agitată de curenți și variații bruște ale densității, își sc himbă
repede direcția urmare a refracției și se produc și f enomene de interferență.
– Crepusculul , este iluminarea atmosferei inferioare atunci când Soarele nu este direct vizibil,
acesta aflându -se sub orizont. Crepuscul este produs de refracția și difuzia (dispersarea) luminii Soar e-
lui în atmosfera superioară, luminând atmosfera inferioară, astfel încât la suprafa ța Pământului nu este
nici complet luminată, nici complet întunecată.
Partea de zi de la apusul Soarelui, până când înălțimea lui devine h = – 6° se numește crepu s-
cul de seară. În mod analog, înainte de răsăritul Soarelui avem crepusculul de dim ineață. Crepusculul
astfel definit se numește crepuscul civil . Spre deosebire de acesta, crepusculul astronomic (de seară și
dimineață) se definește prin condiția h = – 18°. La sfârșitul acestuia (seara) încep să se vadă stel ele
aflate la limita vizibilit ății cu ochiul liber (de magnitudine stelară +6) și astfel putem spune că a început
noaptea. Analog, la începutul crepusculului (dimineața) stelele de magnitudinea +6 dispar, semn că
noaptea a luat sfârșit și cerul î ncepe să se lumineze.
La latitudini mai mari de 66°34', în jurul solstițiului de vară, cele două intervale de crepuscul (de
seară și de dimineață) se succed unul după altul, apărând fenomenul nopților albe .
În navigația maritimă se utilizează noțiunea de crepuscul nautic , definit prin condiția h = – 12°.
Caracteristica distinctivă a crepusculului este în primul rând absen ța umbrelor și vizibilitatea a ș-
trilor strălucitori pe cerul încă luminat.
3.2. Aberația luminii . Aberația este schimbarea
aparentă a d irecției unui astru, datorită atât mișcări i relative
a observatorului în raport cu astrul, cât și a propagării luminii
cu viteză finită. Dacă co rpurile cerești ar fi în repaus unele în
raport cu altele, sau dacă viteza luminii ar fi infinită,
fenomenul de aberație n -ar exista și pozițiile aștrilor ar
corespunde cu pozițiile lor geometrice.
În Fig.3.2, C este centrul obiectivului unei lunete și E
reticulul (ocularului) în momentul în care o rază de lumină
(fotonul) de la steaua σ ajunge în C. Fie EF paralela în acest
moment, cu direcția în care Pămâ ntul se mișcă în jurul
Soarelui. Fie t, timpul necesar ca fotonul să parcurgă
lungimea CE a lunetei cu viteza luminii c; în acest interval de
timp, Pământul a parcurs distanța EE' sau vt, unde v este
viteza orbitală a Pământului în jurul Soarelui.
Apoi, câ nd raza de lumină ajunge la reticul , acesta se
află în E' și avem CE' = ct. Dacă Pământul ar fi staționar, direcția în care ar fi îndreptată l uneta este de –
a lungul dreptei E'C, pe care o descriem ca direcția adevărată a stelei. De fapt, datorită mișcării Pă-
mântului, luneta va fi îndreptată în direcția EC. În paralelogramul rezultat EE'C'C , avem E'C' paral elă
cu EC, deci E'C' este direcția aparentă a stelei la momentul observației.
Fie unghiul θ =1CE F și θ1 =1 1C E F . Atunci diferența dintre unghiurile θ – θ1 se numeș te unghi
de aberație , pe care îl vom nota cu d θ.
În triunghiul CE'C' avem,
sin ' ' '.sin 'E' 'CE C CC
CC CE

Dar CC' = EE' = vt și CE' = ct. De unde derivăm

sin d θ" = v
c sin θ.

Ungh iul dθ fiind mic, se poate considera sin d θ ≈ dθ, sau, în secunde arc:

dθ" = v
c 206 264,81 sin θ. (3.5

Când direcția aparentă a unei stele este perpendiculară pe direcția de mișcarea a Pământului,
deci când θ = 90°, d θ va avea mă rimea:

v
c 206 264",81 = k, (3.6

mărime numită constanta de aberație .
Dacă în formula (3.6), considerăm doar mișcarea de revoluție a Pământului, avem: v = 29,78
km/s și c = 299 792,25 km/s, se obține k = 20",496, adică constanta de aberație anuală la J2000,0.
Deoarece apexul mișcării anuale a observatorului se află în planul eclipticii și se deplasează într –
un an cu 360°, din formula:
dθ = 20",50 sin θ,

rezultă că steaua aflată în polul eclipticii descrie în jurul poziției adev ărate un cerc de rază egală cu
20",50, pe când stelele situate în planul eclipticii descriu în jurul poziției lor reale o mișcare o scilatorie
de-a lungul arcului de lungime egală cu 20",50  2 ≈ 41". Stelele din alte direc ții descriu, datorită aber a-
ției lu minii, elipse numite elipse de aberație, care au semiaxa mare egală cu 41" și semiaxa mică egală
cu 41" sin β, unde β, este latitudinea ecliptică a stelei respective.
După cum se deduce cu ușurință, aberația anuală a stelelor precum și paralaxa anuală, de spre
care vom discuta în secțiunea următoare, sunt dovezi fizice ale mișcării de revoluție a P ământului în
jurul Soarelui.
Aberația în cazul corpurilor din sistemul solar determină intervalul de timp τ, în care lumina pa r-
curge distanța de la astru la Pămâ nt, interval de timp cunoscut sub numele de timp de ab erație (sau
ecuația luminii ):

τ = 0z,005 776 Δ = 499s,004 78 Δ, (3.7

unde Δ este distanța astrului la Pământ în unități astronomice.
În cazul unei planete din sistemul solar, problema aberației se p rezintă mai simplu astfel: direcția
aparentă a planetei la un moment dat t coincide cu direcția adevărată a planetei la momentul t – τ. Alt-
fel spus, direcția aparentă a planetei coincide cu dreapta care unește pozițiile ocupate de Pământ ș i
planetă la mome ntul t – τ.
O altă aberație, al cărei efect nu poate fi neglijat, corespunde mișcării de rotație a Pământului și
poartă numele de aberație diurnă .
Viteza de rotație a unui punct de pe ecuatorul terestru este:

020,465186 4 0.0πRV  km/s.

În obținere a acestei valori am ținut seama că Pământul are o circumferință circulară la ecuator
cu o r ază R = 6378 km și el face o rotație completă în 24 ore = 3600 x 24 = 86400 secunde.
Viteza de rotație a unui loc de latitudine φ este:

V = V 0 cos φ

Apexul mișcări i de rotație diurne a Pământului este punctul cardinal est, ale cărui coordonate
orare sunt: H = 18h, δ = 0.
Constanta aberației diurne pentru un observator aflat pe ecuator este de 0'',31; în orice alt loc
valoarea sa este 0'',31 cos φ, unde φ este latitu dinea terestră a locului de observație.
După cum se observă, aberația diurnă este cu mult mai mică decât aberația anuală și acest l u-
cru se întâmplă , deoarece viteza de rotație a Pământului este cu mult mai mică decât viteza sa de
translație (viteza de rota ție la ecuator este de aproape 65 de ori mai mică decât viteza de translație).
Aberația seculară este determinată de deplasarea sistemului nostru solar ca ansamblu, printre
stelele vecine spre apexul solar, urmare a revoluției galactice. Această mișcare, a fectează poz ițiile
aparente ale stelelor îndepărtate și obiectelor extragalact ice.
1. Reduceri pentru aberație
– aberația diurnă
α = α0 + (0s,0213 ρ cos φ cos H sec δ),
δ = δ0 + (0s,319 ρ cos φ cos H sin δ), (3.8
unde se notează: α0 și δ0 coordonate le ecuatoriale aparente ale astrului, ρ – raza geocentrică a obse r-
vatorului (vezi capitolul 6) , φ – latitudinea geografică, H – unghiul orar al astrului.
– aberația anuală (formule aproximative) .
α = α0 + (–X' sin α0 + Y' cos α0)/(cos δ0),
δ = δ0 + (–X' cos α0 sin δ0 – Y' sin α0 sin δ0) + Z' cos δ0)/c, (3.9

unde c = 173,1446 u.a./zi și X', Y', Z' sunt componentele vitezei Pământului, care se pot calcula cu
aproximație prin:

X' = +0,0172 sin λ , Y' = –0,0158 cos λ , Z' = –0,0068 cos λ , (3.10

unde λ – longitudinea aparentă a Soarelui (vezi Anexa 3 )
3.3. Paralaxele și determinarea distanțelor cerești
Determinarea paralaxei este una dintre cele mai vechi metode de măs urare a distanțelor.
Se numește paralaxă schimbarea direcției aparente a unui astru dat orită deplasării observator u-
lui. Deoarece observatorul terestru participă la mișcările Pământului, există ca și în cazul aberați ei, mai
multe tipuri de paralaxe.
3.3.1. Paralaxa diurnă sau geocentrică este unghiul dintre direcțiile în care se vede astrul σ' din
centrul Pământului și un punct oarecare O, de pe suprafața terestră, adică unghiul p' (Fig. 3. 3).
Să considerăm, pe figura dată, Pământul T sferic de rază ρ, un punct O pe suprafața sa și un a s-
tru σ.
Din punctul O, astrul se vede la distanța topocen trică Δ' = Oσ și la distanța zenitală
topocentrică z' = ZOσ, unde prin Z am notat zen itul. Elementele Δ' și z' variază în funcție de poziția
punctului O pe glob.
Efemeridele indică însă coordonatele ge o-
centrice ale aștrilor, adică coordonatele raport a-
te la centrul Pământului.
Definim distanța geocentrică Δ = Tσ și dis-
tanța zenitală geocentrică z =ZTσ, raport ate
la un observator fictiv situat în centrul Pământ u-
lui și având același zenit ca și O.
Se numește, prin definiție, paralaxă ge o-
centrică de înălțime a astrului σ unghiul p =
OσT sub care se vede din astru raza geoce n-
trică a locului de observație O. Așadar, p aralaxa
geocentrică de înălțime depinde de locul de pe
glob și de momentul când s -a efectuat observ a-
ția.
Din triunghiul OσT rezultă: z = z' – p
și
sin p
ρ = sin z'
Δ
Obținem:
sin sin 'Δρp z .
Deoarece unghiul p este foarte mic, sin p poate fi înlocuit cu p, deci :
sin 'Δρp z . (3.11
În același loc de pe Pământ, paralaxa geocentrică de înălțime este maximă atunci câ nd z' = 90°,
adică atunci când astrul se află la orizont. În acest caz, ea capătă denumirea de paralaxă orizont ală și
este dată de formula:
Δρπ. (3.12
3.3.2. Paralaxa orizontală a unui astru depinde de distanța ρ de la observator l a centrul Pămâ n-
tului. Această distanță este maximă la ecuator, când ρ = a, și minimă la poli, când ρ = b (unde a este
semiaxa mare a elipsoidului, iar b este semiaxa mică a elipsoid ului).
Avem:
0Δaπ, (3.13
valoare exprimată în radia ni și poartă numele de paralaxă orizontală ecuatori ală.
Valoarea paralaxei în secunde de arc este dată de formula:
0" 206 5Δ.26aπ . (3.14
Paralaxa diurnă se utilizează pentru determinarea distanțelor și dimensiunilor corpurilor din si s-
temul s olar, după formula:

Fig. 3.3. Cele trei latitudini de pe elipsoidul t erestru

Δ =
0206 265
".aπ. (3.15
Astfel, pentru Soare ( ) și Lună ( ), în prezent sunt ut ilizate valorile (J2000,0):

Paralaxa Distanța
Lună 57'02",608 383 397 772,5 m
Soare 8",794 143 149 597 870 700 m

3.3.3. Paralaxa anual ă
Am arătat că paralaxa geocentrică ne ajută la determinarea distanțelor aștrilor din sistemul solar.
Stelele sunt, însă, mult mai îndepărtate, ceea ce face ca paralaxa geocentrică să fie extrem de m ică și
imposibil de determinat. Astfel, trebuie aleasă o altă bază cu dimensiunea mult mai mare decât raza
Pământului, motiv pentru care, în continuare, vom definii paralaxa heliocentrică sau paralaxa anuală a
fixelor .
Pentru a avea o bază suficient de mare, determinarea paralaxei stelare se face din observații
efectuate în punctele de pe orbita Pământului care sunt separate de 6 luni interval unul după celăla lt,
obținându -se astfel dublul paralaxei anuale.
În prezent, paralaxa stelară poate fi determinată de la sol, cu
o precizie de 0",001, iar cu ajutorul sateliților aflați pe orbite în jurul
planetei noastre, se pot determina paralaxe până la v aloarea 0,000
002".
Pământul descrie în jurul Soarelui, în timp de un an, orbita sa
pe care o asimilăm cu un cerc în planul ecli pticei, având Soarele în
centru.
O stea σ este poziționată față de orbita terestră ca în figura
de mai jos.
Din pozițiile diferite pe care le ocupă Pământul T pe orbita sa
în jurul Soarelui S, steaua σ se vede în direcții diferite iar unghiul
TσS variază continuu (Fig. 3.4).
Pe figură am notat cu σ' proiecția stelei σ pe planul eclipticei,
iar din σ' am dus tangenta σ'T la orbita terestră. Astfel, conform te o-
remei celor trei perpendiculare, dreapta σT este perpend iculară în T
pe raza orbitei TS.
Se poate demonstra că din toate pozițiile pe care le ocupă
punctul T pe cercul orbită, unghiul TσS este maxim atunci când
σT este pe rpendiculară în T pe raza TS.
Definim paralaxa heliocentrică sau simplu paralaxă, unghiul sub care se vede din centrul astrului
raza orbitei terestre în momentul când raza vizuală Tσ este normală la raza vectoare ST. Se n otează
cu π acest unghi.
Din figura de mai sus avem:
sinΔaπ. (3.16
Deoarece unghiul este foart e mic, sinusul se poate aproxima cu unghiul (în radiani), deci:
sinΔaπ π  . (3.17
Paralaxele stelelor sunt foarte mici, sub o secundă de arc. Astfel, exprimată în secunde, paral a-
xa este:
" 206265"Δaπ . (3.18
S-a ținut seama de faptul că 1 radian = 206265''.
Dacă știm paralaxa unei stele, atunci distanța heliocentrică, adică distanța de la Soare la stea, Δ
exprimată în u.a. (unități astronom ice), considerând a = 1, este dată de formula:
1 Δ =
π
Din cauza distanțelor enorm e la care se află stelele, distanța de la Pământ la o stea poate fi co n-
siderată aceeași cu distanța heliocentrică.
Paralaxa unei stele se poate determina observând steaua din două poziții T, T' diametral opuse
ale Pământului pe orbita sa (Fig. 3.5).

Fig. 3.4. Paralaxa anuală a stelelor

Așadar, se determină direcțiile stelei în două momente aflate la o jum ă-
tate de an distanță. C unoscând unghiurile de la baza triunghiului TσT' și di a-
metrul TT', se pot determina toate elementele triunghiului TσT', inclusiv se g-
mentul Sσ. Cunoscînd pe Δ = Sσ, obținem:

a sin π =
Δ

Deci m ăsurând valoarea π, se află distanța la stea.

206 265 206 265Δ" Δ. .aπ  u.a. (3.19

Exprimarea distanțelor la stele devine incomodă prin mărimea lor,
aratând că unitatea astronomică este prea mică pentru expr imarea distanț e-
lor enorme ale stelelor. Din această cauză s -au introdus alte unități de măs u-
ră pentru distanțele stel are: persecul și anul-lumină .
Parsecul este distanța corespunzătoare unei paralaxe de 1". Astfel,
avem:

1 pc 206 265206 2651".. a   u.a., (3.20

adică un parsec conține tot atâtea secunde de arc câte numără un radian.
Multiplii parsecului sunt: Kiloparsecul (Kpc) = 1 000 pc și Megaparsecul (Mpc) = 1 000 Kpc =
1!000!000 pc.
Anul-lumină reprezintă distanța parcursă de un fascicul de lum ină (în vid) în timp de 365,25 de
zile, cât numără un an iul ian, cu viteza c = 299 !792,458 km/s.
Pentru a exprima anul -lumină în km facem următorul calcul: într -o zi sunt 24h × 60m × 60 = 86 !400 s e-
cunde; într -un an iulian sunt 365,25 × 86!400 = 31!557!600 secunde , și fiindcă lumina parcu rge
299!792,458 într -o secundă, rezultă 9,461 × 1012 km sau aproximativ 9 !500 de mili arde de km.
În aceste unități de lungime, distanțele se exprimă cu ajutorul formulelor de mai jos:

1
"rπ (parseci) (3.21
sau
13,262"rπ (ani-lumină) . (3.22
De exemplu, de la cea mai strălucitoare stea, α Canis Majoris (Sirius), a cărei paralaxă anuală
este de 0",37921, lumina ajunge la noi în:
13,262 8,60",37921n  ani.

Relații între unităț ile de distanțe

Metru Unități astronomice Ani lumină Parseci
1 m 1 6,684 587 1535 × 10-12 1,057 000 834 × 10-16 3,240 779 29 × 10-17
1 u.a. 149 597 870 700 1 1,581 250 741 × 10-5 4,848 136 811 × 10-6
1 a.l. 9,460 730 473 × 1015 63 241,077 09 1 0,306 601 394
1 pc. 3,085 677 581 × 1016 206 264,806 248 3,261 563 777 1

Primele determinări de paralaxe stelare au fost realizate în anii 1835 -1840 de către Struve în
Rusia, Bessel în Germania și Henderson în Anglia.
Cea mai apropiată stea este Proxima Centa uri, care are paralaxa π = 0'',7 4212.
3.4. Precesia și nutația
În definirea coordonatelor cerești am constatat că sistemul de coordonate orare și unghiul orar
variază continuu ca urmare a rotației Pământului și datorită faptului că planele lor de referinț ă sun t le-
gate de Pământ, deci de locul de observație.
Mai departe, s e admite, pe termen scurt, invariabilitatea coordonatelor ecuatoriale și ecliptice ale
stelelor. Reamintim că atât coordonatele ecuatoriale cât și cele ecliptice au ca punct de referi n-
ță punctul vernal notat cu γ. Coordonatele ecuatoriale au ca plan de referință ecuatorul , iar cele eclipt i-
ce au ca plan de referință ecliptica. În situația când urmărim fenomenele astronomice pe termen lung
trebuie să ținem seama că, de fapt, planele ecuatorul ui și eclipticei nu sunt invariabile în raport cu st e-

Fig. 3.5.

lele "fixe".
Planele fundamentale au deplasări seculare cauzate de perturbațiile pe care le suferă mișcările
de rotație și de translație ale Pământului.
3.4.1. Precesia , a fost descoperită de către Hipar ch, în secolul II î. Hr. El a constat că longitud i-
nea ecli ptică a stelei Spica ( α Virginis) devenise ~174° în anul 129 î.Hr., în timp ce Timocharis găsise,
pentru aceeași stea, valoarea de ~172° în anul 273 î.Hr. Hiparch explică acest fapt prin deplasarea
punctului vernal, în sens retrograd, considerând că punctul γ se deplasează retrograd pe ecliptică i e-
șind în "întâmpinarea" Soarelui. De aceea, dă acestui fenomen  numele de precesie . Primele determ i-
nări ale v itezei unghiulare de deplasare a punctului vernal, au fost date de astronomii antichității,
Ptolemeus și Al -Battani, v aloarea ei fiind determinată la aproximativ 50"/an.
Pentru a putea continua explicațiile trebuie să definim anul tropic și anul sideral .
– Anul tropic – este durata de timp pentru ca longitudinea ecliptică a Soarelui să crească cu
360°. Deoarece longitudinea ecliptică a Soarelui este măsurată în raport cu echinoc țiul, anul tropical
cuprinde un ciclu complet al anotimpurilor, iar lungimea sa es te aproximată pe termen lung cu calend a-
rul civil (gregorian). Anul mediu tropical numără aproximativ 365 de zile, 5 ore, 48 minute, 45 de s e-
cunde.
O defini ție echivalent ă, descriptivă , este: "Baza firească pentru calcularea anilor tropici, este lo n-
gitudine a mijlocie a Soarelui calculată față de echinoc țiul precesional ( echinoc țiul dinamic sau
echinoc țiul la dat ă). Ori de câte ori longitudinea atinge un multiplu de 360° , înseamnă că Soarele tr a-
versează echinoc țiul de prim ăvară și începe un nou an trop ic".
Anul tropic (mijlociu) la epoca J2000,0 , a fost de 365,242 189 zile medii (definiția zilei medii se
dă în capitolul 4).
– Anul sideral – este perioada de revoluție a
Pământului în jurul Soarelui într -un sistem de ref erință
fix. Este t impul necesar pentru ca Soarele să se î n-
toarcă în dreptul acel eiași stele considerată fixă. El
este egal cu 365,256 363 de zile medii la epoca
J2000,0. Anul sideral este mai lung cu aprox imativ 20
de minute decât anul tropic, datorită precesiei echino c-
țiilor.
Se poate face un calcul simplu despre cele pr e-
zentate mai sus.
Diferența dintre anul sideral și anul tropic, este
365,256363 – 365,242189 = 0,014174 zile. Aceasta
înseamnă că, dacă la momentul unui echinocțiu de
primăvară Soarele se afla în punctul γ, împreună cu o
stea σ, după scurg erea unui an tropic, Soarele revine
în punctul γ, dar steaua se găsește într -un punct σ', la
depărtarea arcului γσ', pe care Soarele o mai are de parcurs în timp de 0,014 zile (Fig. 3.6). Deoarece
viteza unghiulară a Soare lui este de 360°/365,2564 = 360 × 3600''/365,2564 = 3548''19/zi, rezultă că în
0,014174 zile Soarele parcurge 3548",19 × 0,014 = 50'',29. Aș adar arcul γσ' are 50'',29, ceea ce î n-
seamnă că pentru toate stelele longitudinile cresc anual cu această v aloare, d atorită retrogradării pun c-
tului vernal.
În concluzie, rezultă că în mișcarea sa pe ecliptică, în sens direct, Soarele revine mai curând la
punctul vernal, decât în dreptul aceleiași stele. Putem spune că revenirea Soarelui la echino c-
țiu precedă revenirea s a în dreptul unei stele, de aici și numele de precesia echinocțiilor dat acestui
fenomen. Deoarece mișcarea punctului vernal γ se face în sens retrograd, fenomenul se mai n umește
retrogr adarea echinocțiilor .
Interpretarea și cauza fenomenului de precesie o datorăm lui Nicolaus Copernic (1473 -1543),
care a arătat că:
– direcția axei terestre nu rămâne invariabilă în spațiu, ci ea descrie în sens retrograd, un con de
revol uție având semiunghiul la vârf egal cu ω;
– în consecință, traiectoria descrisă în mod r etrograd de polul ceresc nord P pe sfera "fixelor" e s-
te un cerc mic de latitudine 90° – ω, având ca centru polul eclipticei Π.
Drept consecință a mișcării axei polilor ca generatoare a unui con circular, planul ecuatorial, care
este normal la axa polilor, își schi mbă poziția în raport cu planul eclipticei, ceea ce are ca efect cele
demonstrate (mai sus) prin calcul, adică punctul vernal γ parcurge ecliptica cu viteza de 50'',29 pe an.
De aici putem deduce că: 360°/50'',29 = 1296000''/50'',29 = 25 770,5 ani. Asta înseamnă că în apro ape
25!800 de ani, punctul vernal parcurge ecliptica.
Să luăm în considerație numai fenomenul de precesie, deci presupunem că ecliptica rămâne f i-
xă, iar înclinarea sa pe ecuator păstrează valoarea constantă ε = 23°26'21'',41 (J2000 ,0).
După cum vom ar ăta, ecliptica variază foarte încet, cu aproape 0'',47 pe an.
Fenomenul precesiei determină polul ecuatorului să execute pe sfera cerească o rotație retr o-
gradă completă, descriind un cerc mic în jurul polului eclipticei cu aceeași peri oadă (Fig. 3.7).

Fig. 3.6. Precesia

Dar observații și cercetări îndelungate au
arătat că precesia este un fenomen mult mai co m-
plicat decât am arătat mai sus, deoarece ca urmare
a pertu rbațiilor pr ovocate de planete în mișcarea
Pământului s -a pus în evidență și deplasarea lentă
a polilor eclipt icii (notat în Fig. 3.7. la centru cu linie
întreruptă) față de st elele considerate fixe, ceea ce
face ca polii lumii să descrie curbe deschise (s ub
forma de spirală) și nu cercuri înch ise.
În figura 3.8. a, sunt prezentate pentru epoca
de referință t0, (de exemplu J2000) și pentru epoca
la dată t, ecliptica mijlocie este desemnată la cele
două epoci prin cele două plane E și E' și ecuat orul
mijloci u pentru aceleași momente, prin cele două
plane notate cu Q și Q'. Intersecția planului E cu
planul E' este marcată prin punctul N (adică long i-
tudinea nodului ascendent al eclipticei), iar interse c-
ția planului Q cu planul Q', prin punctul M (adică
longitudinea nodului ascendent al ecuatorului) .

Fig. 3.8. a) Ecliptica și ecuatorul la epoca inițială t0
și la dată. b) Precesia unghiurilor ζA , zA și θA .
Cele două plane Q' și E' sunt mobile și fictive, în sensul că ele sunt afectate doar de precesie, nu
și de nutație (despre care vom discuta în secțiunea următoare) și de aceea se numesc mijlocii. Inte r-
secția lor se notează cu γ și marchează echinocțiul mijlociu la dată. Mai departe, se notează cu γ1 in-
tersecția planului Q' cu E. Unghiul ε0 este format înt re planurile Q și E și este înclinarea eclipticii pe
ecuatorul de referință. Punctul de intersecție dintre Q cu E, se notează cu γ0 și este echinocțiul la ep o-
ca J2000,0.
Notă
În această secțiune, elementele însoțite de indicele 0 se referă la epoca fixă t0 – de exe mplu,
J2000,0, în timp ce indicele A se referă la unghiul "acumulat" de la epoca fixă t0, la o anumită ep ocă
t, pe c are în text o vom numi "la dată".
Cantitățile precesiei sunt în totalitate determinate din mișcarea polului ecuatorului și polul
eclipticii. Ele sunt definite mai jos, păstrează notațiile adoptate de Lieske et al, (1979) și sunt c on-
forme cu Nota Tehnică nr. 36 a Conve nției IERS din 2010.
Din necesitatea de a păstra notațiile care se folosesc în prezent în literatura de specialitate,
pentru cantitățile acumulate ale ascensiei drepte m și declinației n; precesiei generale în longitudine
Ƥ, precesiei eclipticii π, se dau în continuare n otațiile corespunzătoare și formulele de calcul ale
acestora.
Pentru toate unghiurile precesiei din ace astă secțiune, argumentul de timp este exprimat în
secole iuliene trecute de la epoca de referință J2000,0 și e ste dat de:

. .2 451 545,0
36525JDT , unde JD este data iuliană.

Fig. 3.7. Deplas area polului ceresc printre constelații,
pe durata a ~26 000 de ani.

a). Precesia ecuatorului . Prin atracțiile exercitate asupra deformării ecuatoriale a Pământului,
Soarele și Luna perturbă rotația terestră, producând mișcarea de precesie a axei terestre în aproape
26!000 de ani. Ecuatorul terestru, prin urmare, este înclinat spre ecliptica (J2000,0) sub un unghiul ωA:;
ωA = Nγ1M – înclinarea eclipticei mijlocii (J2000,0) pe ec uatorul mijlociu la dată.

ωA = 23°26'21",406 – 0",025 754 T + 0",051 2623 T2 – 0",007 725 03 T3. (3.23
Punctul de intersec ție γ1 dintre ecuatorul la dată și ecliptica (J2000,0) rămâne în urm a punctului
de intersec ție γ0 dintre ecuatorul (J2000,0) și ecliptica (J2000,0) cu unghiul ψA. Aceasta se nume ște
precesia luni -solară :
ψA = 
0 1γ γ – prec esia luni -solară.

ψA = 5038",481 507 T – 1",079 0069 T2 – 0",001 140 45 T3. (3.24
b). Precesia eclipticei . Deplasarea eclipticei nu este cauzată de Soare și Lun ă, ca în cazul
ecuatorului, ci de planete. Influen țele lor variabile provoac ă o oscila ție a eclipticei în raport cu poziția sa
mijlocie, cu o perioadă de 41 000 de ani și o amplitudine de aproximativ 0",85. Aceasta, definește pre-
cesia în latitudine . Înclina ția eclipticei la dat ă față de ecliptica (J2000,0) poate fi calculată după cum
urmează:
πA = γ0Nγ' – precesia în latitud ine.

πA = 46",998 973 T – 0",003 349 26 T2 – 1",255 × 10-6 T3 (3.25
Intersecția dintre ecliptica la dată și ecliptica (J2000,0) subîntinde arcul ΠA dintre N și punctul
vernal γ0.
ΠA = 
0γ N – longitudinea nodului ascendent al eclipt icii.

ΠA = 174°52'26" ,7936 – 867",957 58 T – 0",157 992 T2 – 0",000 5371 T3. (3.26
Mișcarea de precesie a eclipticii poate fi specificată prin unghiurile πA și ΠA, exprimate ca serii
de timp, raportate la ecliptica și echinocțiul J2000,0. De obicei, seriile sunt date în fo rma:

PA = sin πA sin ΠA = +4",199 094 T + 0",193 9873 T2 – 0",000 224 66 T3, (3.27

QA = sin πA cos ΠA = –46",811 015 T + 0",051 0283 T2 – 0",000 524 13 T3. (3.28

c). Alte cantități. Deși pozițiile diferitelor plane sunt deja determinate de cele patru u nghiuri de
mai sus, există o serie de alte cantită ți de utilitate practic ă în formulele de transformare. Este de osebit
de important unghiul dintre ecliptica la dată și ecuatorul la dat ă, notat cu εA:
εA = NγM – înclinarea ecliptici i mijlocii la dată, pe ec uatorul mijlociu la dată.

εA = 23°26'21",406 – 46",836 769 T – 0",000 1831 T2 + 0",002 0034 T3 (3.29
Mai departe , se poate specifica valoarea deplasării ( spre înainte) a intersec ției γ a ecliptic ei la
dată și a ecuatorului la dată față de intersec ția γ1 a ecliptic ei (J2000,0) și a ecuatorului la dată . Deoar e-
ce această deplasare este cauzată perturbațiile planetelor, acest unghi χA este cunoscut sub numele
de precesie planetară :
χA = 
1γγ – precesia pl anetară.

χA = 10",556 403 T – 2",381 4292 T2 l – 0",001 211 97 T3. (3.30
În sfâr șit, exist ă termenul de precesie generală în longitudine . În conformitate cu Andoyer, se
înțelege prin aceasta, diferența dintre arcele Nγ0 și Nγ , adică ƤA = ΠA – ΛA ; altfel sp us, este deplas a-
rea rezultată dintre precesia planetară și precesia luni -solară.
Precesia generală acumulată în longitudine este arcul , între punctul ve rnal la epoca fixă J2000 și
punctul vernal la dată. Chiar dacă (pentru intervale relativ scurte de câțiv a ani) aceste unghiuri acum u-
late sunt foarte mici, vedem că precesia generală acumulată nu este pur și simplu un unghi în longit u-
dine, ci o mi șcare datorat ă unui set complex de rota ții, ce poate fi calculată după cum u rmează:
ƤA = 
0 γN γ N – diferența dintre distanța de la nodul ascendent al eclipticii N, la ech inocțiul la dată
γ și distanța de la același nod la echinocțiul la ep oca J2000,0, γ0.

ƤA = 5028",796 195 T + 1",105 4348 T2 + 0",000 079 64 T3. (3.31
d). Unghiurile prec esiei.
Pe Fig. 3.8.b se mai pot deduce alte câteva cantități care se găsesc în formulele de transformare. A st-
fel, θA reprezintă unghiul dintre ecuatorul (J2000) și ecuatorul la dat ă; 90° – ζA este unghiul 0Mγși 90° +
zA este u nghiul Mγ.

ζA = 
0 90 γ M – unghiul acumulat, pentru a alinia axa x spre direcția în care p olul este înclinat față
axa z a sistemului ICRF.
zA = 90 γM  – unghiul acumulat, pentru a alinia axa x cu echinoc țiul mijlociul la dată, prin rotirea
de-a lungul ecuatorului mijl ociul la dată.
θA = γ0Mγ' – unghiul acumulat, prin înclinarea planului xy pe ecuatorul mijl ociu la dată.

Forma clasică a formulelor pentru unghi urile precesiei sunt:

ζA = +2",650 545 + 2306",083 227 T + 0",298 8499 T2 + 0",018 081 28 T3, (3.32
zA = –2",650 545 + 2306",077 181 T + 1",092 7348 T2 + 0",018 268 37 T3, (3.33
θA = 2004",191 903 T – 0",429 4934 T2 + 0",041 822 64 T3. (3.34

Dar de pe Fig. 3.8.a se m ai pot defini alte două cantități și anume: precesia în ascensie dreaptă
m = γM – γ0M și precesia în declinație n = γ0Mγ' = θA (T = 0, t), calculabile prin relațiile de mai jos.

m = (ζA + zA) (T = 0, t) = 4612",160 408 T + 1", 391 585 T2 + 0",036 35 T3, (3.35
n = θA (T = 0, t) = 2004",191 903 T – 0",429 4934 T2 – 0",041 822 64 T3. (3.36

În concluzie, efectele precesiei sunt:
– deplasarea polului ceresc printre const elații;
– variația cu timpul a coo rdonatelor ecuatoriale și e cliptice ale aștrilor;
– diferența dinte anul s ideral și anul tropic;
– diferența între perioada de rotație a Pământului și ziua siderală.
Natura mecanică a fenomenului de precesie nu poate fi aprofundată în cadrul restrâns de care
dispunem însă, putem men ționa succint despre aceasta.
Acțiunea gravitațională a Soarelui și Lunii asupra Pământului considerat ca un elipsoid turtit și
omogen, se traduce printr -o forță care poate fi considerată ca aplicată în centrul Pământului și care
imprimă acestuia mișcarea de translație în jurul Soarelui și printr -un cuplu care imprimă planetei noa s-
tre o r otație care, compunându -se cu rotația diurnă, dă fenomenul precesiei.
3.4.2. Reducerea pentru precesie – formule aproximative
Coordonatele cerești ale unui astru , date într -un catalog și care corespund unei anumite epoci
(de exemplu 2000,0) le vom nota cu α0 și δ0. Pentru a corecta efectele precesiei și a le raporta la o altă
epocă, se dau mai jos formul ele:

Reducerea de la epoca J2000,0 Reduc erea la epoca J2000,0
α = α0 + M + N sin αm tan δm α0 = α – M – N sin αm tan δm
δ = δ0 + N cos αm δ0 = δ – N cos αm (3.37

unde αm și δm se referă la epoca mijlocie și cu o suficientă precizie sunt calcul ate prin:

αm = α0 + 1
2( M + N sin α0 tan δ0),
δm = δ0 + 1
2 N cos αm,
αm = α – 1
2( M + N sin α tan δ), (3.38
δm = δ – 1
2 N cos αm.

Formulele de mai sus, nu lucrează pentru regiunile din apropierea pol ilor cere ști, unde valoarea
tan δ tinde spre infinit. În acest caz, este indicat să se folosească formulele de mai jos.
3.4.3. Reducerea pentru precesie – formule exacte
Reducerea coordonatelor de la ep oca de c atalog la dată:

cos δ cos ( α – zA) = cos θA cos δ0 cos ( α0 – ζA) – sin θA sin δ0
cos δ sin ( α – zA) = cos δ0 sin ( α0 – ζA) (3.39
sin δ = sin θA cos δ0 cos ( α0 – ζA) + cos θA sin δ0
sau invers, de la dată la epoca de catalog :

cos δ0 cos (α0 + ζA) = cos θA cos δ cos ( α – zA) + sin θA sin δ
cos δ0 sin ( α0 + ζA) = cos δ sin ( α – zA) (3.40
sin δ0 = – sin θA cos δ cos ( α – zA) + cos θA sin δ
unde ζA , zA , θA sunt unghiurile care servesc pentru a specifica poziția ecuatorului mijloci u și a ech i-

nocțiului la dată, în raport cu ecuat orul mijlociu și echinocțiul la J2000,0.
3.4.4. Reduceri aproximative pentru coordonate ecli ptice și p entru elementele orb itale
Formulele aproximative pentru reducerea coordonatelor ecliptice și element elor ecliptice ale unei
orbite (planete, c omete, etc.).
Se notează cu indice 0, valorile pentru epoca de referință J2000,0, după cum urmează: Ω0 – lon-
gitudinea ecliptică a nodului ascendent al orbitei, i0 – înclinarea planului orbitei pe ecliptică și ω0 – ar-
gume ntul de latitudine al periheliului orbitei. Formulele de mai jos, fac referire la echinocțiul mijlociu și
ecuatorul sau ecliptica la dată:

Reducerea de la epoca J2000,0 Reduc erea la epoca J2000,0
λ = λ0 + a – b cos( λ0 + c) tan β λ0 = λ – a + b cos( λ + c') tan β0
β = β0 + b sin(λ0 + c) β0 = β – b sin(λ + c')
Ω = Ω0 + a – b sin(Ω0 + c) cot i Ω0 = Ω – a + b sin( Ω + c') cot i0 (3.41
i = i0 + b cos( Ω 0 + c) i0 = i – b cos( Ω + c')
ω = ω0 + b sin(Ω 0 + c) csc i ω0 = ω – b sin(Ω + c') csc i0

3.4.5. NUTAȚIA
Până aici, am considerat doar dinamica polului și echinocțiului pe ntru perioad e lung i de timp.
Nutația descrie dinamica acestora pe perioade scurte de timp. De asemenea, pentru precesie am d e-
terminat mi șcarea polului mijlociu și a echinoc țiului mijlociu într-un interval de la t0 la t. Tran sformarea ,
ca urmare a pr ecesiei , a avut loc între un sistem mijlociu la alt sistem mijlociu , dar nutația ne ajută să
determinăm diferența dintre poziția mijlocie și cea adevăr ată pentru o epocă t, adică la dată . Astfel, se
face trecerea pentru aceeași dată, între un sistem mijlociu și unul adev ărat.
Dar din moment ce ne vom ocupa cu axe le adevărate, mai degrabă decât cu axele mijlocii , este
important să se definească exact axa polară în raport cu care se calculează nutația, pentru că în
acea stă situație avem de ales între: axa de rota ție, axa momentului cinetic și axa interm ediară . Fără a
da o defini ție specifică , se consideră că cea mai potrivită ax ă, este axa Polului Ceresc al Efemerid elor
(Celestial Ephemeris Pole – CEP), care corespunde cu axa momentului cinetic , fiind de asemenea foar-
te aproape de axa de rotație a Pământului , care descrie cer cul de prec esie luni -solară, pentru care
sunt calculate nut ațiile.

Fig. 3. 9. Precesia luni -solară și nutația.
3.10 Elementele nutației .

Să ne amintim că nutația se dat orează în primul rând atrac ției luni -solare și prin urmare, po ate fi
modelat ă pe baza unui model geofizic a l Pământului și a mi șcărilor lui în sp ațiu, în raport cu Soarele și
Luna.
Transformarea pentru efectul nutației este realizată cu două un ghiuri, Δ ε și Δψ, care descriu:
– modificarea de la mijlociu la adevărat , a înclin ării ecuatorul ui în raport cu e cliptica mi jlocie, nu-
mită nutație în latitudine și not ată cu Δε;
– schimbare a (din nou, de la mijlociu la ad evărat ) a echinoc țiului de -a lungul eclipticii mijlocii (Fig.
3.10), numită nutație în longitudine și notată cu Δψ.
Altfel spus, nutația este variația în sens r etrograd a polului adevărat în jurul polului mijlociu CEP ,

acesta di n urmă fiind în centrul elipsei nutației. În Fig. 3.9., semiaxa mare, îndreptată mereu spre p olul
ecliptic, măsoară 9",21, iar semiaxa mică măsoară 6",86.
Nutația are o oscilație periodică egală cu perioada de retrogradare a nodului ascendent al orb itei
lunare, care are o durată de 18,6 ani. În afară de această oscilație, mai există o nutație secund ară, cu
perioada de numai o lună de zile, a cărei amplitudine este de doar 0",01. Prin co mpunerea mișcării de
precesie și a celei de nutație, rezultă că polul mi jlociu descrie în sens retrograd o mișcare sinus oidală
pe cercul de precesie, în jurul polului ecliptic. Nutația pr oduce o foarte mică variație a punctului vernal
deci, a tuturor longitudinilor aștrilor , latitudin ile rămânând neschi mbate.
Pentru descrierea nutației conform cu modelul nutației UAI 2000A , se dau mai jos cantitățile au-
xiliare necesare , pentru care val orile termenilor corespund echinocțiului la dată.

2451545,0
36525JDT

Anomalia mijlocie a Lunii

l = 134°,963 40251 + 1 717 915 923" ,2178 T + 31",8792 T2 + 0",051 635 T3;

Anomalia mijlocie a Soarelui

l' = 357°,529 10918 + 129 596 581",0481 T – 0",5532 T2 + 0",000 136 T3;

Argumentul de latitudine al Lunii ( L – Ω)
(3.42
F = 93°,272 09062 + 1 739 527 262",8478 T – 12",7512 T2 – 0",001 037 T3;

Elongația mijlocie a Lunii față de Soare

D = 297°,850 19547 + 1 602 961 601",2090 T – 6",3706 T2 +0",006 593 T3;

Longitudinea mijlocie a nodului ascendent al Lunii

Ω = 125°,044 55501 – 6 962 890",5431 T + 7", 4722 T2 +0",007 702 T3,

unde L este long itudinea mijlocie a Lunii :

L = 218°,316 645 63 + 1 732 564 372",3047 T – 5",279 T2 + 0",006 665 T3. (3.43

a). Reducerea pe ntru nutație
Folosind aceste longitudini , se poate calcula Δε și Δψ, printr-o expresie în serie, în care cei mai
importan ți termeni sunt prezenta ți mai jos. Pentru o acuratețe de 0",3 pentru Δψ și 0",1 Δε este sufic i-
ent să folosim formulele tru nchiate de mai jos:

Δψ2000A = (–17",206 4161 – 0",017 4666 T) sin Ω + (–1",317 0906 – 0",000 1 675 T) sin 2 L
+ (–0",2276413 – 0",0000234 T) sin 2 l + (0",2074554 + 0",0000207 T) sin 2 Ω
+ (0",1475877 – 0",0003633 T) sin l'. (3.44

Δε2000A = (9",205 2331 + 0",000 9086 T) cos Ω + (0",573 0336 – 0",000 3015 T) cos 2 L
+ (0",097 8459 – 0",000 0485 T) cos 2l + (–0",089 7492 + 0",000 0470 T) cos 2 Ω
+ (0",022 4386 – 0",000 0677 T) cos (2L + l')
+ (0",207 4554 + 0",000 0207 T) cos (2 l – Ω), (3.45

unde 2451545,0
36525JDT , iar L – longitudinea mijl ocie a Soarelui , se calculează prin :

L = 280°,46 6 450 16 + 129 602 771",3801 T – 1",0916 T2 + 0",000 072 T3. (3.46

Contribu țiile nuta ției în longitudine Δψ și în oblicitate Δε, pentru reducerea de la poziția mijlocie
la poziția adevărată sunt date de:

Δα = Δψ (cos ε + sin ε sin α1 tan δ1) – Δε cos α1 tan δ1
(3.47
Δδ = Δψ sin ε cos α1 + Δε sin α1

unde ε este înclinarea eclipticii adevărate, adică corectat ă de nutația în oblicitate: și α1 și δ1 sunt coo r-
donatele ecuatoriale corectate de pr ecesie.

Fig. 3.1 1. Mișcarea proprie .

Fig. 3. 12. Mărimea unghiulară a mișcărilor
proprii în 100 de ani, a câtorva stele, comp a-
rativ cu discul ap arent al Lunii. ε = εA + Δε. (3.48

Dispunând de coordonatele co rectate de precesie, obținem coordonatele ecuatoriale adevăr ate
ale astrului , prin:
α = α1 + Δα , δ = δ1 + Δδ. (3.49

3.5. MIȘCAREA PROPRIE ALE STELELOR ȘI VITEZA LOR SPAȚIALĂ
În natură, nu există repaus absolut nicăieri, totul este în mișcare. Stelel e, care din timpuri str ă-
vechi erau cunoscute ca "fixe", de asemenea, sunt în mișcare. Descoper irea a fost făcută în 1718 de
către E. Halley, comparând poziția (de la aceea epocă) a mai multor stele strălucitoare, cu coordona te-
le lor din catalogul lui Ptole meu (luând în considerare, desigur, influența precesiei pentru tot ti mpul
scurs). Mișcarea proprie a stelelor notată cu μ, este exprimată în secunde de arc pe an și reprezintă
totalitatea mișcărilor unei stele, tangențial la planul sferei cerești.
3.5.1. Mișcarea proprie ale stelelor
Mișcarea proprie a unei stele σ, este unghiul sub care s -ar vedea din Soare deplasarea anuală a
stele pe sfera cerească. În urma mișcării pr oprii a stelei σ pe arcul de cerc mare σσ' (Fig. 3.11),
ascensia dreaptă a stelei α, se va modifica cu m ărimea μα = Δα/Δt numită mișcare proprie în ascensie
dreaptă, iar declinația, δ, se va modifica cu m ărimea μδ = Δδ/Δt numită mișcare proprie în declinație.
Formula pentru calcularea mișcării proprii a unei stele:

2 2 2 2" ( cos ) (15 cos )s
α δ α δ μ μ δ μ μ δ μ    . (3.50

Valorile mișcărilor proprii ale stelelor în ascensi e dreaptă și declinație, precum și vitezele lor r adiale
stelelor, sunt în prezent tabelate în efem eride și cataloage stelare.
În prezent, steaua cu cea mai mare mișcare
proprie cunoscută, est e steaua Barnard, a cărei v aloare
μ, măsoară 10 ",27 pe an. La o asemenea m ărime a
deplasării ei aparente, înseamnă că în circa 180 de ani ,
steaua Barnard s e va deplasa pe cer, echivalent cu
diametrul Lunii. Figura 3.1 2, prezintă comparativ cu
discul lunar, deplasările pentru cât eva stele, în 100 de
ani.
Există catalogate peste 100 de stele cu mișcarea
proprie anuală mai mare de 2 "; aproape 500 de stele cu
1"; circa 4 !000 stele cu μ > 0,5 ".
Astfel, în decursul a sute și mii de ani, formele
cunoscute azi ale constelațiilor , vor fi diferite . Figura
3.15, prezintă schimbarea aspectul constelației Ursa
Major datorită mișcărilor proprii a stelelor ce -i dau forma,
pe durata a 20 !000 de ani: a) acum 10 !000 de ani; b) în
prezent și c) peste 10 !000 de ani.
3.5.2. Viteza în spațiu a stelelor
Stele le, au o viteză în spațiu , deci au o mișcare în
raport cu Soarele, de mai mulți kilometri pe secundă.
Viteza în spațiu are două componente, care sunt
măsurate independent: viteza radială și v iteza ta n-
gențială (viteza de -a lung ul liniei de vedere) care duc la
schimbarea unghiulară în poziție a unei stele în timp
(Fig. 3.16). În acest caz mișcarea pr oprie, care este de
fapt viteza tangențială (pe an ) în secunde de arc, poate
fi transformată în viteză tangențială Vt, exprimată ca
viteză în kilometri pe secundă. Cunoscând dista nța r la
stea ( deci paralaxa) și mișcarea proprie pe care am
calculat -o cu formula (3.50), putem scrie:
4,74tμVπ (km/s) . (3.51

Extrăgând dintr -un catalog viteza radială a stelei,
viteza sa față de Soare se calculează prin:

2 2
r t V V V  (km/s) . (3.52

Fig. 3.1 6 Componentele mișcării în spațiu a unei
stele.

Fig. 3. 15. Modificarea aspectului
const elației Ursa Major, în decursul
a 20 000 de ani.