Stabilitatea elastica a structurilor [618729]

Capitolul 3

Stabilitatea elastica a structurilor

3.1 Fenomenul de pierdere a stabilitatii elastice

Stabilitatea reprezint ă o problem ă important ă în mecanica solidelor, care trebuie s ă fie
bine cunoscut ă pentru a se evita cedarea elementelor, respectiv cedarea întregii struc turi. Teoria
de stabilitate este foarte important ă pentru structur ile civile, ingineria aerospatial ă, ingineria
nuclear ă. Joac ă de asemenea un rol important în probleme spa țiale, geotehnice, geofizice ale
structur ilor și în știința materialelor. Problema s tabilit ății a început s ă fie mai dezbatut ă odată cu
colapsul Podului Tacoma Narrows din 1940, datorit ă instabilității aerodinamice; colapsul
podului Quebec Bridge în 1907 (Figura 1.a ) ; cedarea pod ului din Melbourne (1971) realizat din
grinzi chesonate de metal; colapsul turnului de racire Ferrybridge (1978) etc. Astfel importan ța
acestui subiect este dat ă de cedarea, colapsul unor structuri importante de -a lungul istoriei.

a) b)
Figura 1 : Colapsul unor poduri

Pierderea formei de echilibru este un fenomen deosebit de periculos și nu poate fi admis
la nici un element de construc ție. Caracterul periculos al acestui fenomen constă în faptul că
apariția sa, de cele mai multe ori, este bruscă și deci nu se pot lua măsuri de prevenire. De aceea
pentru orice element de construc ție condiția de stabilitate devine la fel de obligatorie ca si
condiția de rezisten ță.
Pentru c a un element de rezistență să -și îndeplinească rolul funcțional, pe langa altele,
este necasar să nu -și piardă stabilitatea elastică. Pierderea stabilității elastice, reprezintă așadar, o
stare limită care nu trebuie atinsă într -un element de rezistență. D acă totuși acest fenomen are
loc, este de preferat să se producă în domeniul elastic , deoarece în acest caz, înlăturarea imediată
a sarcinii care a provocat flambajul, conduce la refacerea formei inițiale a elementului de
rezistență. Pierderea stabilității elastice a elementelor de rezistență poate avea loc în mai multe
situații, nu numai la o solicitare axială de compresiune. Se vor prezenta câteva astfel de cazuri,
care se întâlnesc mai des în practică.

Problema stabilitatii elementelor structurale si a corpurilor deformabile (initial, considerata
Teoria Stabilitatii Elastice), este o problema fundamentala a Mecanicii. Teoria de stabilitate a
elementelor deformabile si a elemenetelor structurale este fundamentala, deoarece sunt surpinse
fenomene importan te: schimbarea configuratiei si a parametilor cheie a elementelor (starea
deformata a unui element, legatura tensiuni -deformatii etc ). Odata cu rezolvarea data de Euler,
problema stabilitatii elementelor a dus la formarea si dezvoltarea unor domenii ale Matematicii
aplicate.

Teoria de stabiliate a unui element este importanta pentru ingineri, deoarece pentru
exemplul unei element de tip bara, fenomenului de flambaj i i corespunde Stadiul Inital de
Degradare iar de cele mai multe ori, prin teoria de stabi liate se poate determina degradarea unui
material sau a unui element structural. (1)
Aceasta parte a lucrarii se bazeaza pe stabilitatea elastica statica a elementelor. In acest
context, termenul de flambaj reprezint a pierderea stabilitatii elementului. Materialul constitutiv
si forma geometrica a elementului fac ca un element sa reziste la actiunea incarcarilor, care
trebuie sa isi mentina forma pe durata de exploatare. Consencintele flambajului sunt in special
geom etrice: apar deplasari marii in structura, care vor produce deformarea acesteia. Nivelul de
incarcare la care se produce deformarea structurii se numeste incarcare de flambaj
Determinarea valorii incarcarii critice reperezinta principala cerinta a teoriil or de
Stabilitate. Cel mai cunoscut exemeplu de pierdere a astabilitatii sun actiunea unor incarcari
statice o reprezinta cazul Eulerian de stabiliate (Leipholz, 1968) .

3.2 Stabilitatea elastica in literatura de specialiate

Problema instabilitatii elas tice a capatat incepand cu secolul XX o importanta deosebita,
datorita folosirii otelului si aliajelor de inalta rezistenta in structurile ingineresti, navigatie si
aviatie. Primele probleme de instabilitate elastica au fost rezolvate de L. Euler, care au studiat
flambajul barelor comprimate, acum mai bine de 200 de ani. Deoarece materialele folosite
atunci aveau rezistenta relativ mica (lemnul si piatra), elementele construite erau relativ groase,
iar astfel problema stabilitatii nu era de prima important a. Construirea de poduri la sfarsitul sec.
XIX, in special a podurilor de cale ferata metalice, a facut ca problema flambajului sa capete o
importanta deosebita. Prin folosirea otelului s -au realizat elemente zvelte comprimate, placi
subtiri si invelitori subiri, care pot ceda nu numai din cauza eforturilor mari care pot depasi
rezistenta materialului, ci si datorita insuficientei stabilitatii elastice a elemenetelor sale zvelte
sau cu pereti subiri. In acest sens, au inceput sa fie realizate cercetari int ense teoretice si
exeperimentale, stabilinduse -se limitele in care pot fi aplicate formulele teoretice. De asemenea
s-a stabilit ca flambajul elementelor comprimate este doar un caz particular al instabilitatii
elastice, viitoare cercetari fiind facute a supra comportarii stalpiilor cu sectiune plina, compusa
sau si cu elemente tubulare, table cu inima plina, placi cilindr ice subtiri etc, cu ajutorul ca rora s –
au stabilit mai multe tipuri de cedare a elementelor (Timoshenko &Gere, 1963).

Analiza stabilitat ii in mecanica solidelor a inceput cu rezolvarea Euler, care a studia t
flambajul barelor comprimate (Euler,1744). Leonar Euler (1707 -1783) a studiat stabilitatea
inainte ca teoria elasticitatii sa fie bine definita; el a dezvoltat teoriile lui James si Dan iel
Bernoulli si a dat noi solutii pentru deformarea unei vergele elastic incovoiata, respectiv ecuatiile
diferentiale de echilibru ale acesteia. El a descoperit faptul ca la un element de tip stalpi scurti ,
sub greutate proprie si o incarcare P aplicata l a un capat, aceasta este comprimata. In cazul unui
stalp lung , acesta este incovoiata. Incarcarea critica la care comportamanentul elementul se
schimba este:

2)2(lEI Pcr
Materialele din care erau realizate elementele de stiudiu ale lu Euler au fost piatra si
lemnul. Stabilitatea nu a fost o problema relevanta pentru contructiile din lemn si stanca, iar
solutiile date de Euler nu aveau aplicabiliate in acel secol. Realizarea podurilor din metal odata
cu 1850, au facut ca problema stabilitatii sa fie luata in calcul si sa fie importanta pentru
siguranta.

Problemele de baza de sta biliate au fost rezolvate la sfarsitul sec 19, dupa care au fost
descoperite si rezolvate si noi tipuri stucturale de pierdere a stabilitatii. In secolul XX, s -au

dezvoltat teoriile de de stabilitate in domeniul neliniar , cauzate fie de deformariile mari aparute
sau fie de neliniaritatea de mate rial. In cea dea doua jumatate a sec XX, accentul s -a pus pe
studiul stabilitatii dinamice , in special pentru sistemele non -conservative. Analiza
comportamentului post-critic neliniar , in alnaliza instabilitatii sta tice s -a dezvoltat doar in
ultimele decenii. Majoritatea acestor ascpecte au fost reunite si prezentate succint in cartea lui
Bazant si Cedolin (Stability of Structures, 2010) (2)

3.3 Ipozele simplificatoare folosite in studiile de stabilitate

Calculul sarcinilor critice de flambaj se face pe baza unor ipoteze simplificatoare, folosite
cu scopul de a reduce c omplexitatea relatiilor de calcul si limiteaza domeniul de aplicare la
cazurile care pot fi caracterizate de ele, insa conduc la rezultate sadisfacatoare pentru practica, de
cele mai multe ori.
1. Materialul din care este alcatuit elementul este continu, omogen, izotrop si este se comporta
conform legii Hooke. Pentru cazul in care pierederea stabilitatii se produce dincolo de limita de
proportionalitate, calculul de stabilitate, pentru bara se face conform altui procedeu.
2. In studiul stabilitatii barelo r si sistemelor de bare, ecuatiile de echilibru si determinarea
eforturilor se scriu pe forma deformata a barei, conditie fundamentala in Teoria Stabilitatii.
3. In calculul deplasarilor se admite ipoteza micilor deformatii, care permite liniarizarea
ecuatiilor diferentiale ale formei flambate a structurii.
4. Fortele axiale, evoluand spre situatia critica, sunt in functie de un parametu unic, altfel spus,
fortele cresc proportional spre situatia critica.
5. In calculul de stabilitate se accepta ca fortele axiale sa fie determinate printr -un calcul obisnuit
de Statica Constructiilor, fara considerarea ipotezei considerate la punctul 2. Astfel, fortele axiale
sunt considerate cunoscute si independente de forma deformata a sistemului. Ipoteza 2 ramane
valabil a pentru studiul celorlalte aspecte.
6. Ipoteza conservarii directiei fortelor exterioare in procesul de defomare se aplica in calculul de
stabilitate.
7. Se considera generala si obligatorie ipoteza conform careia orientarea axelor principale de
inertie ale sectiuniilor transversale de pe o bara este acceasi. Barele au sectiune constanta iar
forta axiala este constanta in lungul unei barei, aceste doua ipoteze fiind mai putin generale decat
prima.
8. In studiul probelemor plane de piredere a stabilitatii se admite ca deformarea are loc in planul
sistemului de bare. Rezultatele obtinute trebuie confrnuntate cu legaturile si comportarea reala a
structurii care sa asigure acest lucru. In caz contrar este necesar un calcul spatial.

Pe baza acestor ipoteze , deplasarile structurii fata de forma initiala sunt nule pana la
atingerea sarcinii critice (pentru P <P cr rezulta v=0 ). Structura isi pastreaza, teoretic, forma
initiala si dupa depasirea sarcinii critice, daca nici o cauza exterioara nu o scoate din a ceasta
pozitie. Daca insa ea este putin deplasata in afara pozitiei de echilibru, structura ramane
deformata aparand sageti remanente (pentru P>P cr este posibil atat v=o cat si v≠0) , deci pentu
sarcini ce depasesc valorile critice echilibrul devine labil, iar la atingerea sarcinii critice
echilibrul este indiferent.

3.4 Stari de echilibru
3.4.1 Generalitati

Pentru a se asigura buna exploatare a unei constructii este nec esar ca structura de
rezistenta sa fie rezistenta si stabila.

Prin studiul asupra solicitărilor simple și compuse se urmărește determinarea eforturilor
interioare în bare considerate a fi in echilibru stabil, adică în bare la care este asigurată
stabilitatea formei de echilibru. Deformațiile elastice sunt foarte mici iar forma generală a
corpului, pentru creșteri mici ale fortelor exterioare corespund deformatii mici proporționale.
Stabilitatea reprezintă capacitatea unui elemen t de a rezista acțiunii unei încarcări
exterioare, adică are proprietatea de a -și mentine poziția și de a reveni la poziția inițială, și de a –
și menține echilibrul. Din Mecanica T eoretica s -a aratat ca echilibrul unui corp poate fi: stabil,
instabil (labi l) sau neutru , după cum suprafaț a de rezemare este o suprafata concava, convexa
sau orizontala. Pozitia de echilibru va fi realizata cand punctul de suspensie (A) se afla pe
aceeasi vericala cu punctul G (centrul de greutate al bilei).

Figura 2 Forme de echilibru

Un sistem elastic se afla in pozitie de echilibru elastic stabil daca sub actiunea unei forte,
corpul poate sa revina la pozitia initiala. In cazul in care, sistemul nu mai revine la pozitia initiala
dupa inlaturarea fortei aplicare, acestea se gaseste in pozitie de echilibru instabil sau labil . Daca
sistemul poate avea mai multe pozitii de echilibru fata de cea initiala putem spune ca el este in
echilibru indiferent .
Utilizand notiuniile din mecanica clasica, pentru un sistem mecanic, Dirichlet (1) descrie
fenomenul de pierdere a stabilitatii astfel:" Echilibrul unui sistem mecanic este stabil, dacă prin
deplasarea punctelor sistemului din poziția de echilibru cu o canti tate infinitezimală și dând
fiecărui punct o viteză inițială, deplasările diferitelor puncte ale sistemului rămân, în timpul
mișcării, conținute între anumite limite”. In raport cu aceasta definitie, pentru un sistem elastic
conservativ, putem spune ca un corp aflat in stare de echilibru isi va pierde stabiliatea, doar daca
va fi actionat de o forta exteriora sau un set de forte, sistemului initial in echilibru. La
schimbarea forrmei, din punct de vedere energetic, are loc o crestere a energiei potentiale t otale
in cazul echilibrului stabil si o descrestere in cazul echilibrului instabil. Daca are loc o crestere
destul de mica a fortelor peste valoarea corespunzatoare pozitiei de echilibru indiferent, are loc o
crestere rapida a sagetilor si grinda se rupe.
Ecuatia de echilibru , coniderand legea de conservare a energiei si energia totală, E,
introdusă în sistem de către forța perturbatoare este:

E = Ec + Ep = constant

unde Ec este energia cinetică a sistemului, respectiv Ep este energia potențial ă a acestuia
Fenomenul de trecere al unei bare din ec hilibru stabil în unul instabil poartă numele de
flambaj.
Elementele zvelte, adica cele care au lungime mare în raport cu dimensiunile transversale
(ex: bare si grinzi drepte sau curbe, placi plane sub tiri solicitate in planul lor median, ca si

invelitoeile subtiri), supuse la compresiune, incovoiere sau rasucire , isi pierd stabilitatea
echilibrului elastic la anumite valori ale sarcinilor exterioare, numite sarcini critice , respectiv la
anumite valori ale sarcinilor exterioare, numite sarcini critice.
Pierderea stabilitatii apare pentru diferite tipuri de solicitari: torsiune, incovoiere,
compresiune si este insotita de aparitia deformatiilor mari, care pot avea ca urmare distrugerea
elementului si parbusirea constructiei. Astfel, la barele sau sistemele zvelte, avand elemente
puternic comprimate, problema stabilitatii trebuie considerata (2)
Pentru ca un element structural să se comporte normal se impune respectarea
următoarelor condiț ii:
– de rezistență , adică grinda să reziste solicitărilor la care este supusă
– de rigiditate (deformabilitate), adică sub acțiunea solicitărilor să nu sufere deformații care pun
în per icol buna comportarea grinzii
– de stabilitate, adică în timpul funcționării, grinda să-și păstreze tot timpul starea de echilibru
stabil

3.5 Metode de determinare a incarcarilor critice

Tinand seama de modurile de pierdere a stabilitatii elastice definite mai sus, sarcinile critice se
pot determina prin mai multe metode (4):

a) Metoda energetica (metoda aproximativa)

Este cunoscut faptul că, pentru structurile conservative, lucrul mecanic al forțelor
exterioare se transformă integral în energie de deformație, iat în cazul în care aceste forțe dispar,
energia de deformație este consumată pentru a readuce structura în poziția inițială , nedeformată.
Metoda energetică (5) poate fi utilizată pentru determinarea valorii încărcării critice de pierdere
a stabilității în cazul structurilor conservative. Principiul metodei constă în minimizarea variației
energiei potențiale totale utilizând re lația:

0
jdd
 (3.1)
in care
 este energia potentiala iar
j sunt parametrii nedeterminați ce definesc o curbă
înlocuitoare pentru axa deformată a barei care n u este cunoscută .
Metoda are la baza folosirea variatiei energiei potentiale. Se consideră pentru studiu o
bară simplu rezemată comprimată de forța exterioară P în două poziții deformate: poziția și o
poziție deformată adiac entă foarte apropiată de (Figur a 8).

Figura 3

Celor două poziții le corespund variații ale energiei potențiale astfel: poziției variația y
variatia
)(y , iar poziției y' variația
)'(y . Pentru ca echilibrul barei să fie stabil trebuie ca
energia potențială
)(y să aibă valoare minimă, deci pentru orice poziție defomată apropiată y' ,
)'(y
>
)(y Dacă efectul forțelor axiale asupra deplasărilor bare i în poziția y este neglijat,
atunci înseamnă că
)(y =0, condiția de minim a variației energiei potențiale fiind:

  l l
dxEIydxNy
02
02
02''
2')'( (3.2)
Dacă se presupune că forța axială în bară este constantă ( N=P ), din relați a (3.2) poate fi
determinată valoarea forței critice pentru care bara își pierde stabilitatea:


ll
cr
dxydx EIy
PP
0202
''' (3.3)
Totuși considerând relația ( 3.1) se poate observa că, aplicarea acestei metode pentru
stabilirea valorii încărcării critice este posibilă numai alegând o curbă înlocuitoare y(x) pentru
forma deformată a structurii, inițial necunoscută, lucru ce atestă caracterul aproximativ al
metodei.
Criteriul energetic de stabilitate este potrivit pentru analiza stabilității sistemelor
structurale conservative, metoda energetică putând fi utilizată pentru determinarea valorilor
aproximative ale încărcărilor critice ale structurilor complexe (cazul barelor a căror rigiditate nu
este uniformă, al barelor com primate ce au forță axială variabilă etc.). Totuși valorile încărcărilor
critice obținute utilizând criteriul energetic reprezintă o limită superioară a valorii încărcării
critice. De interes în proiectarea structurilor ar fi însă găsirea unei limite infer ioare a încărcării
critice ce nu trebuie depășită. Plecând de la aceste considerente, au fost dezvoltate alte procedee
aproximative care pot furniza valori satisfăcătoare ale încărcării critice

b) Metoda statica (metod a general a)

Cele două metode de cal cul ale structurilor utilizate în calculul de ordinul I, metoda
generală a eforturilor și metoda generală a deplasărilor [se utilizează și în calculul de ordinul II
și de stabilitate, dar cu anumite modificări, determinate tocmai de caracteristica principa lă a
calculului de ordinul II și anume scrierea ecuațiilor de echilibru considerând structura în poziție
deformată și de faptul că rigiditatea structurii se modifică continuu, în funcție de nivelul
încărcărilor exterioare aplicate și de valoarea deplasăril or din procesul de deformare.
În continuare vor fi amintite pe scurt caracteristicile celor două metode utilizate pentru
calculul de ordinul I.
În metoda generală a eforturilor:
– sistemul de bază provine din structura reală prin suprimarea unor legăt uri;
− necunoscutele problemei sunt eforturile introduse pe direcția gradelor de libertate suprimate;
− ecuațiile de condiție care exprimă identificarea sistemului de bază cu structura reală sunt
ecuații de continuitate.
În metoda generală a deplasăril or:
– sistemul de bază provine din structura reală prin adăugarea unor legături;
– necunoscutele problemei sunt deplasările și translațiile nodurilor;
– ecuațiile de condiție sunt ecuații de echilibru.
Calculul propriuzis al structurilor prin aceste m etode este precedat de o determinare a
forțelor axiale din bare în baza unui calcul de ordinul I. Admițând că distribuția forțelor axiale
rezultată în urma unui calcul de ordinul al II -lea este aproximativ egală cu distribuția forțelor
axiale rezultată din calculul de ordinul I, pentru fiecare bară aparținând structurii se calculează
factorul de încărcare axială (numit și factor de compresiune ):

00
0EIPIv (3.4)
cu indicele "0" fiind notate caracteristicile barei alese ca etalon în raport cu care se vor exprima
toate forțele axiale ca și factorii de încărcare axială evoluând către starea critică a sistemului .

Pentru o bară oarecare se va putea scrie deci:

0
0 0 0vII
NN
II
EIPI vjj j j
jj
j j    (3.5)
Deplasările elastice în calculul de ordinul II pot fi determinate printr -o expresie analogă
expresiei MAXWELL -MOHR:

EIdxMmxII xI III, (3.6)
indicele “II” exprimând faptul că echilibrul se scrie pe structura aflată în poziție deformată.
Acest lucru implică însă cunoașterea prealabilă a diagramei de momente de ordinul al II -lea.
In ambele metode, identificarea sistemului de bază cu structura reală se face prin intermediul
ecuaț iilor de condiție în care necunoscutele sunt fie forțe Xi, fie deplasări de noduri
i .
Coeficienții necunoscutelor sunt funcție de caracteristicile geometrice -elastice ale barelor .

c) Metode numerice ( metoda aproximativa) (3)

c.1) Met oda micilor deplasari
In aceste procedee utile pentru variatii oarecareale rigiditatii, axa deformata a barei nu se
mai reprezinta prin functii ci printr -un ansamblu de deplasari transversale ale unor puncte alese
arbitrar.
Metoda "micilor deplasari" po rneste de la ideea ca pentru un sistem actionat numai de
forte axial, in momentul pierderii stabilitatii, deformata trebuie considerata simultan atat ca efect
al existentei eforturilor in baracat si cauza a aparitiei acestor eforturi. De obicei se tine sea ma de
momentele incovoietoare. Deformata barei se caracterizeaza printr -un numar finit de sageti
v1,…v n . Folosind diagrama de momente se poate calcula v j si se va genera un sistem de n ecuatii
liniare. Pentru compatibiliate, este necar ca determinantul sa fie nul ceea ce constituie ecuatia de
stabilitate.
Metoda admite si o rezolvare prin aproximatii succesive(metoda grafo -analitica ). Se
porneste de la valori arbitrare pentu sageti, se determina momentele incovoietoare, se considera
sarcinile elastice re duse si de aici, pe grinda conjugata, momentele fictive corespunzatoare care
sunt chiar sagetile corespunzatoare sarcinilor elastice reduse. Este evident ca intrucat sarcinile
elastice au fost reduse, are loc relatia:

'' ' '
j cr j vP v (3.7)
si se va determina P cr' care reperezinta prima aproximare a lui P cr. Se pleaca apoi de la valorile
v''j si se reface ciclul de atatea ori pana cand corectiile succesive sunt sub o limita aleasa initial.

c.2) Metoda diferentelor finite este in esenta transformare ecuatiei
EIM/ /1 intr-o
ecuatie cu diferente finite

d) Metoda aproximatiilor succesive

Este folosit cel mai frecvent pornind de la metoda deplasarilor. Se face apel la asa
numitul criteriu al ratiei prog resiei geometrice. Pe baza sistemul de ecuatii scris cu ajutorul
metodei deplasarii, valoarea exacta a Z j, se poate deduce printr -un calcul iterativ:

j jjj
jr rRZ11 0 (3.8)
unde
jr este ratia progresie geometrice formata din corectiile succesive .
Se asemenea se poat e pleca de la considerarea unei ecuații diferențiale de forma :
M(y) – PN(y)=0 (3.9)

In care M, N sunt operatori diferențiali și alegând în prima aproximație o funcție care respectă
condițiile cinematice y=y'"(x), se procedează astfel
1. Se evaluează și se rezolvă
)]( [ )()1( )1(xyN xp si se rezolva
)( )]( [)( )(xp xyMn n
…..
n. Se evaluează și se rezolvă
)]( [ )()( )(xyN x pn n si se rezolva
)( )]( [)1( )2(xp xyM 
Dacă
)()1(xy este o funcție ce descrie o formă proprie de pierdere a stabilității, atunci
)()2(xy
diferă de
)()1(xy numai printr -un factor P atât t imp cât este valabilă ecuația: My(2)- PNy(1)=0.
p(n)(x) sunt funcții cunoscute car e pentru o bară simplu rezemată pot fi distribuții ale încărcării
transversale necesare pentru scoaterea barei din poziția de echilibru. Dacă yn este o funcție ce
descrie o fromă proprie, atunci rezultă:

ncr
nnPyNyM
,) () (

3.6 Tipuri de pierdere a stabilitatii

Sunt definite prin forma curbei deplasare (sageata) – sarcina , v=f(P) si se disting
urmatoarele :
Tabel 1 Forme de pierde re a stabilitatii

Tipul de pierdere a
stabilitatii Caracteristici Reprezentare grafica
1. Pierderea
stabilitatii prin
bifurcarea
echilibrului ( flambaj
prin incovoiere ) – trecerea brusca a barei din pozitie
rectilinie in pozitie deformata ca
pozitie de ech ilibru stabil la limita,
dupa care pentru orice crestere a fortei
axiale aplicate, bara isi pierde
stabilitatea
– dupa o anumita valoare a fortei P cr,
exista mai multe forme de echilibru:
stabile si instabile
– pentru o bara comprimata fara
incarcari tr ansversale Figura 3.a) , in
diagrama v=f(P) la atingerea sarcinii
critice P=P cr, poate sa para o
discontinuitate brusca a pantei curbe
– curba prezinta doua ramuri, din care
una dreapta si alta carecterizata printr –
o crestere brusca a deformatiilor.
(Figura 3.c))
– in Figura 3.b) este indicata
ramificarea care apare in punctul
P=P cr.
-momentul în care încărcările
exterioare ating valorile critice, bara
iese din poziția de echilibru și tinde să
ocupe o nouă poziție de echilibru
– ex: flambajul barelor drepte,
comprimate centric , flambajul

Figura 4:Bifurcarea echilibrului

arcelor, flambajul lateral la incovoiere
al gri nzilor, flambajul prin rasucire,
flambajul placilor plane etc
Figura3.c) bare din materiale care
asculta de legea lui Hooke

2. Pierderea de
stabilitate prin
deformare
contiunu a, divergenta
echilibrului – este caracterizata prin faptul ca
diagrama v=f(P) este de la inceput o
curba continua care in apropierea
valorii critice a sarcinii, prezinta
cresteri mari ale sagetiilor.
– calculul se face luand in considerare
imperfectiuniil e geometrice si
structutrale
– daca in cazul precedent se adauga si
efecte l transversale initiale (momente
incovoietoare) , curba v=v(P) nu mai
prezinta ramificarea din Figura 3.b,
corespunzatoare fortei transversale
– pe masura cresterii incarcarii
exterio are, ca urmare a descresterii
progresive a rigiditatii structurii,
deformatiile structurii se accentueaza
contiunuu
– sarcina limita de echilibru
corespunzatoare momentului anularii
rigiditatii structrii, cand deformatiile
structurii se pot dezvolta fara o
crestere a incarcarii exterioare

Figura 5: Bare din materi ale
ideal elastice ce asculta de
legea lui Hooke si calculate
conform teoriei de ordinul III
3. Pierderea de
stabiliate prin
traversare – este c aracteristica membranelor
pocnitoare, arce cu sageti foarte mici,
arce pleostite subtiri, invelitori subtiri
cu curbura foarte mica si sistemelor
care pot fi reduse la schema din
Figura 5.a)
– diagrama v=f(P) poate avea una di n
formele Figura 5.b), 5.c) iar
deformatiile cresc continuu de la
inceput, pana la o valoare a sarcinii
P=P cr la care structura isi pierde brusc
stabilitatea , prezentand o noua forma
stabila de echilibru coresponzand
unor deformatii foarte mari fata de
pozitia initiala.
– deformatiile c are apar sunt foarte
mari, problemele de pierdere a
stabiliitatii in acest caz se po t rezolva
doar operand cu deplasari finite
– la determinarea sarcinilor critice, se
folosesc formule stabilite pe cale
experimentala
Figura 5 b) : Pierderea stabilitatii in

Figura 6 a), b)

tot domeniul pentru diagrama v=f(P)
Figura 5 c) : Pierderea stabilitatii intr –
un anumit domeniu al diagramei
v=f(P)

Figura 5 c)
4. Disparitia
formelor stabile de
echilibru – in cazul din Figura 6. a) , forta are tot
timpul directie tangentiala la bara si
nu exista alte forte transversale.
– relatia v=v(P) are forma din Figura
b), dupa P=P cr neexistand decat
situatia de i nstabilitate

Figura 7
5. Pierderea de
stabilitate prin
curgere lenta – in cazul barelor solicitate transversal
si cu materiale cu proprietati de
curgere lenta, deformatiile
transversale cresc i n timp, tinzand la
un moment dat la infinit.
– variatia deplasarii in timp e data in
Figura 7.
– cresterea are loc pentru pentru un
timp denumit critic. La doua forte
axiale P 1>P2, corespund doua curbe
caraceristice pentru care t 1,cr< t2,cr
(Figura f).

Figura 8 a), b)