Calea Mărășești, nr. 157, Bac ău, cod 600115 [618664]

1

ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI” DIN BACĂU
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
Calea Mărășești, nr. 157, Bac ău, cod 600115
Tel.Fax: 0234/588935; Tel.Fax: 0234/580050
E-mail: [anonimizat]; sdppd@ub .ro

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. MOCANU MARCELINA – CRISTINA

CANDIDAT: [anonimizat].înv. primar, Enachi (Cucu) Iulia – Elena

SPECIALIZAREA: Învățători

BACĂU
2017

2

ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE
UNIVERSITATEA „VASILE ALECSANDRI” DIN BACĂU
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA
PERSONALULUI DIDACTIC
Calea Mărășești, nr. 157, Bac ău, cod 600115
Tel.Fax: 0234/588935; Tel.Fax: 0234/580050
E-mail: [anonimizat] ; [anonimizat]

CONTRIBUȚII METODICE PRIVIND PREDAREA –
ÎNVĂȚAREA OPERAȚIILOR MATEMATICE DIN
ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC :
Conf. univ. dr. MOCANU MARCELINA – CRISTINA

CANDIDAT: [anonimizat]. înv. primar, Enachi (Cucu) Iulia – Elen a

BACĂU
2017

3
CUPRINS

INTRODUCERE

Capitolul I CARACTERISTICI PSIHOPEDAGOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ
ȘCOLARĂ MICĂ, CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII
I.1. Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică ; semnificația psiholo gică a
contactului cu matematica
I.2. Rolul matematicii în dezvoltarea intelectuală a școlarului mic
I.3. Aptitudinea matematică la școlari
I.4. Jocul didactic și activitățile matematice

Capitolul II ELEMENTE DE TEORIE MATEMATICĂ
II.1. Mulțimi
II.2. Mulțimi echipotente. Număr cardinal
II.3. Noțiunea de număr natural. Numere naturale
II.4. Operații cu numere naturale
II.5. Probleme specifice predării – învățării adunării și scăderii numerelor până la 10
II.6. Probleme specifice predării – învățării adun ării și scăderii numerelor naturale cu trecere peste
ordin
II.7. Modalități de predare – învățare a operațiilor de înmulțire și împărțire a numerelor naturale

Capitolul III COORDONATELE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII APLICATIVE
III.1. Ipoteza și obiectivel e cercetării
III.2. Metodologia cercetării

Capitolul IV ANALIZA, PRELUCRAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR
CERCETĂRII
IV.1. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor evaluării inițiale
IV.2. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor evaluării formati ve
IV.3. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor evaluării finale
IV.4. Analiza comparativă a rezultatelor

4
CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

5
INTRODUCERE
Importanța și actualitatea temei
Matematica, alături de celel alte discipline de învățământ, contribuie la formarea elevului
pentru o activitate socială și profesională utilă.
Etapa actuală de dezvoltare a lumii se caracterizează printr -un progres accelerat al științei
și tehnicii, ceea ce conduce la o înnoire conti nuă a programelor școlare, în general, și a celor de
matematică în particular , matematica reprezentând astăzi un instrument de lucru indispensabil
pentru toate domeniile științei și tehnicii.
În învățământul matematic, un pas important îl constituie i nocularea convingerii că
această știință are aplicabilitate practică directă sau indirectă, fapt cu atât mai necesar cu cât
gradul său de abstractizare conduce elevii către impresia că matematica nu are nimic în comun
cu realitatea, ci constituie o lume a abs tracțiilor greu accesibile.
Primul text românesc despre învățământul matematic aparține, se presupune, lui
Gheorghe Asachi și face parte din instrucțiunile Regulamentului organic (1831): “ Aritmetica,
deosebit de întrebuințarea ei cea de obște, cuprinde, precum toate celelalte științe exacte, folosul
de a deprinde cugetarea și pătrunderea la înțelegere și a da plăcere pentru deslușirea ideilor; de
aceea aritmetica trebuie să se învețe ca un mijloc de deprindere a înțelegerii, iar nu într -un chip
mecanic sau ca un lucru numai de ținere de minte. Nu este îndestul ca școlarul să învețe regulile
pe dinafară, ci trebuie să dea și cuvântul pentru fiecare regulă; școlarul trebuie să se povățuiască
astfeliu la această învățătura, încât să poată găsi singur regul a. Rolul profesorului este a unui
povățuitor care luminează drumul școlarului și prin întrebări și probleme îl oprește oricând vede
că școlarul se abate din drum.”
Deși acestea au fost spuse cu aproape două secole în urmă, recunoaștem actualitatea
concepț iei lui Asachi în faptul că reforma demarată în învățământul românesc vizează
accentuarea caracterului formativ al procesului de învățământ.

6
Ipoteza cercetării

În desfășurarea cercetării experimental e ameliorative, am pornit de la următoarea ipot eză:
utilizarea și integrarea adecvată în lecțiile de matematică a jocului didactic poate duce la creșterea
eficienței învățării operațiilor matematice și prin aceasta la îmbunătățirea performanțelor școlare
ale elevilor din ciclul primar.

Motivarea aleg erii temei
Am optat pentru studierea / cercetarea temei “ Contribuții metodice privind
predarea – învățarea operațiilor matematice din învățământul primar “ deoarece am recunoscut
legătura strânsă, confundabilă deseori între operațiile aritmetice și al e gândirii . Predarea -învățarea
operațiilor aritmetice cu numere naturale are bogate valențe formative, fiind o modalitate
însemnată în a dezvolta gândirea independentă a copiilor.
Am pornit de la întrebări legate de metodele pe care le -am putea folosi pent ru a facilita
înțelegerea operațiilor aritmetice de către elevii din clasele primar e. Experiența didactică
acumulată mi -a arătat că jocul didactic este o formă eficientă de lucru cu el evii din clasa
pregătitoare până cei din clasa a IV -a.
În predare, învă țare și evaluare, în lecțiile de matematică din clasele primare , jocul
didactic aduce varietate și atractivitate lecției și, făcând ca drumul spre formarea deprinderi lor
matematice să fie mai sigur și mai plăcut.
În această lucrare îmi propun următorul obiectiv fund amental: folosirea modalităț ilor de
optimizare a predării într-un mod creator pentru a realiza o însușire corectă și conștientă a
operațiilor cu numere naturale și a proprietăților acestora.

Aspecte ale cercetării
Verbul “ a ce rceta” are mai multe în țelesuri: a observa, a examina cu atenție, a întreba, a
căuta etc.
Obiectul unei cercetă ri psihopedagogice îl constituie o problemă , „un fapt” pe care
cercetătorul îl identifică și îl delimitează din ansamblul structural din care fac e parte, cu intenția
de a-i da o explicație plauzibilă și de a obține date certe privind funcționalitatea sa.

7
Experimentul psihopedagogic de tip constatativ -ameliorativ a reprezentat principala
metodă de investigație. Experimentul psihop edagogic presupune crearea unor situații noi, prin
introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale cu scopul verificării ipotezei
care a declanșat aceste inovații. Observația a fost utilizată în perioada premergătoare și în timpul
desfășurării experiment ului.

Cercetarea întreprinsă de mine s-a desfășurat în anul școlar 201 6 – 2017 pe grupuri de elevi
de vârstă școlară mică (8 -9 ani), mai precis în perioada 17 .10.201 6 – 14.04.2017 (22 săptămâni).
Am avut în vedere două clase de elevi de clasa a II-a, respectiv clasa II-a B de la Școala
Gimnazială „ Ion Strat“ Gioseni – grupul experimental – format din 27 elevi (14 băieți și 13 fete)
și clasa a II -a A de la Școala Școala Gimnazială „ Ion Strat“ Gioseni – grupul martor (eșantionul
de control) –alcătuit din 23 elevi (11 băieți și 12 fete). Colectivele de elevi sunt omogene, de
nivel apropiat, din medii similare de proveniență .

Cercetarea s-a desfășurat în trei etape:
A. Etapa inițială – care conține un caracter constatativ.
B. Etapa format ivă – etapa intervenției ameliorative; aici s -a aplicat factorul de progres,
ținându -se cont și de dezvoltarea personalității școlarilor .
C. Etapa finală, aici aplicându -se evaluare suma tivă, urmată de analiza rezultatelor
obținute în urma intervenției experimental e.
Experimentarea presupune determinarea cantitativă prin măsurare a fenomenelor
investigate, pe aceasta bază ea oferind posibilitatea evidențierii obiective a eficienței noilor
strategii didactice.
Rezultatele probelor de evaluare aplicate au fost înregistrate și prelucrate statistic, prin
tabele, procente, medii și reprezentate grafic prin diagrame de diverse tipuri (histograme,
diagrame areolare, poligoane de frecvență) . Pentru fiecare probă, fiecare item al probei, la ambele
eșantioane, am calculat procentul calificativelor de la “suficient” în sus.
Probele de evaluare au fost folosite pentru a măsura cât mai exact volumul și cunoștințele
înainte, în timpul și du pă aplicarea factorului de progres .

8
Testul final a avut în vedere evaluarea cunoștințe lor și deprinderilor , probând atât
competența de reproducere a unor cunoștințe, cât și nivelul de dezvoltare a capacităților de
analiză și sint eză, de aplicare a cunoștințelor în împrejurări noi.
Structura lucrării
Capitolul I – ,,Caracteristici psihopedagogice ale copiilor de vârstă școlară mică, cu
implicații în învățarea matematicii” , vizează aspecte privind particularitățile psihopedagogice
ale vârstei ș colarului mic, semnificația psihopedagogică a contactului acestuia cu matematica,
aspecte privind rolul acesteia în viața lui, metode didactice de predare -învățare -evaluare privind
predarea – învățarea operațiilor matematice din învățământul primar.

Capitolul II – ,,Elemente de teorie matematică ”, prezintă principalele noțiuni și concepte
matematice necesare stabilirii conceptelor de număr natural și operații cu numere naturale
(adunare, scădere, înmulțire și împărțire ).
Ultimele două capitole au fost dedicate cercetării de tip experimental prin care mi -am
propus să demonstrez importanța și eficiența aplicării unor metode didactice de activizare în
predarea – învățarea operațiilor matematice din învățământul primar.

Capitolul III – ,,Coordonatele metodologice ale cercetării aplicative ”, prezintă ipoteza și
obiectivele cercetării, metodologia cercetării, descrierea eșantioanelor , precum și metodele și
tehnicile de cercetare.
Capitolul IV – ,,Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor cerc etării” , în care am prezentat
probele de evaluare aplicate și analiza comparativă a rezultatelor obținute la acestea.

9
CAPITOLUL I
CARACTERISTICI PSIHOPEDA GOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ
MICĂ, CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

I.1. Pa rticularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică ; semnificația psihologică
a contactului cu matematica
Pavelcu V . sublinia : ,, Fiecare om , în același timp seamănă cu toți, seamănă cu unii și nu
seamănă cu nimeni .”
Doi copii pot fi asemăn ători, chiar tipici în ceea ce privește caracteristicile generale de
vârstă , dar extrem de diferiți în manifestarea concretă a acestora.
Deci, pe fondul general al particularităților de vârstă, își spun cuvântul par ticularitățile
psiho -individuale . În dezvoltarea sa psihică, individul nu are doar un caracter studial, ci și unul
personal, particular, caracteristic fiecăruia .
De la naștere și până la maturitate, omul străbate un drum lung de dezvo ltare. În decursul
anilor , în viața copilului se produc tra nsformări fizice și psihice însemnate. Aceste transformări
nu constau doar în creșterea în înălțime și greutate sau în multiplicarea cunoștinșelor și
deprinderilor elevilor. Progresul acestuia nu poate fi privit doar ca un proces de schimbări
cantitative. Faptele arată că în dezvoltarea psihică se produc și schimbări calitative importante .
Așadar, prin dezvoltare trebuie să înțelegem în primul rând transformările calitative , de
natură fizică si psihică, ce se produc în viața copilului . Dezvolt area psihic ă a copilului constă, în
primul rând, în comp licarea și adâncirea activității sale de cunoaștere . Ea se caracterizează prin
modificarea relațiilor sale cu cei din jur, prin schimbarea atitudinii sale față de mediul
înconjurător .
Strânsa legătură a relați ilor copilului cu cei din jurul său , îi va dezvolta treptat viața sa
afectivă, cu dezvoltarea sentimentelor și atitudinilor față de obi ectele și fenomenele realității .
Pornindu -se de la această bază, se conturează treptat trăsăturile de caracter ale copilu lui,
perfecționându -se și activitatea acestuia. La început, mișcăr ile sale sunt răspunsuri simple , directe
la stimulări externe si interne. Aceste acte se complică treptat, câstigând în precizie și coordonare.
Putem spune că direcțiile principale ale dezvo ltării psihice a copilului sunt : complicarea și
adâncirea activității sale de cunoaștere, transformarea vieții sale afective, a relațiilor sale față de
mediul înconjurător și perfecționarea activității în sensul dezvoltării conduitei voluntare .

10
Copilul s e dezvoltă sub influența educației și a condițiilor de viață . Acțiunea mediului
social și a educației, nu se desfășoară însă pe ,,teren ’’ gol . El se naște cu anumite dispoziții
naturale, care reprezintă pre misele dezvoltării sale psihice . Aceste dispoziț ii moștenite nu conțin
însușiri psihice și aptitudini gata formate. Ele se formează și se dezvoltă, pe baza dispozițiilor
înnăscute, în procesul activității, educației și instru irii.
Intrarea în școală constituie un moment important în educația și dezvolt area copilului. El
intră într -un cerc de relații noi: cu învățătorul, cu elevii din clas ă și sporadic cu colectivul școlii.
Apar cerințe noi, copilul învață sistematic, cu sentimentul tot mai clar că desfășoară o activitate
serioasă, de importanță socială. Modul cum își îndeplinește obligațiile de elev, definește poziția
sa în școală, în colectivul de clasă și în familie.
Cunoașterea profilului psihologic al școlarilor mici este de o mare importanță în
abordarea strategiilor didactico -educative, în stilul de muncă al cadrului didactic și în relațiile cu
copiii.
Fiecare disciplină care se studiază în școală are menirea de a ,, construi’’ și ,,r econstrui ’’
logic și treptat în organizările mentale ale elevului un ansamblu de cunoștințe științifice care să se
aproprie de logica științei respective.
Matematica este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate. Ca
,,abstracțiuni ale abstracțiunilor’’ ele se construiesc la diferite ,,etaje’’ prin inducție, deducție,
transducție .
Proprietatea fundamentală prin care se arată specificul gândirii copilului de vârstă școlară
mică este aceea de a fi concret intuitivă. Așa cum arată J. Piaget, ne găsim în stadiul operațiilor
concrete. Copilul gândește mai mult , operând cu mulțimi concrete.
În acest cadru teoretic se înscrie și cerința ca proiectarea ofertei de cunoștințe matematice
la clasele mici să ia în considerare formele și operațiile specifice gândirii copilului.
Gândirea este dominată de concret, fiind specifică vârstelor între 6/7 – 10/11 ani. Percepția
lucrurilor ramâne încă globală ,, văzul lor se oprește asupra întregului încă nedescompus “,
lipsește dubla mișcare rapidă de disociere recompunere (H . Wallon); comparația reușește pe
contraste mari, nu sunt sesizate stările intermed iare. Domină operațiile concrete, legate de acțiuni
obiectuale, apare ideea de invarianță, de conservare (a cantității, volumului , masei etc.). Se poate
vorbi de puterea de deducție imediată; copiii pot efectua anumite raționamente de tipul ,,dacă

11
….., atunci”, cu sprijin pe obiecte concrete sau exemple. De asemeni se remarcă prezența
raționamentului progresiv, de la cauză la efect , de la condiții la consecințe.
Spre clasa a IV -a (vârsta 10/11 ani ) putem întâlni, evident diferențiat și individualizat,
,,manifestări ale stadiului preformal, simultan cu menținerea unor manifestări intelectuale situate
la nivelul operațiilor concrete .(Aron I.1)
Caracteristicile acestui stadiu generează și unele opțiuni metodologice bazate pe strategii
alternative destin ate formării și învățării conceptelor matematice.
În acest sens, zona culminantă dezvoltării capacității intelectuale a elevilor din punct de
vedere al vârstei va avea întăietate și nu doar etapa strict delimitată în care se găsesc aceștia .
Aceasta nu îns eamnă, cum afirmă specialiștii (Dottrens R., Miliaret G , D.P. Ausubel 13) o
situare exactă în stadiu și nici a ,,sări “ în predare -învățare cu mult peste posibilitățile copiilor.
Esențial este ca legitățile construcției psiho -genetice să fie cunoscute, i ar formarea noilor
noțiuni și operații mintale să pornească de la modele concrete. Pentru formarea conceptelor și
pentru constituirea operativității matematicii, lectura perceptivă este o realitate, așa cum dorința
de exteriorizare sub forma unor a cțiuni m ateriale sau materializate, fie cu obiecte, fie cu
substitute ale acestora (modele, scheme grafice, bile, jetoane etc) reprezintă fundamentul real în
materializarea actului mintal (P. I. Galperin ) .
De aici reiese că gândirea logică la clasele mici nu se poate dispensa de intuiție, de
operațiile concrete cu mulțimi de obiecte.
Logica noțională se constituie în planul acțiunilor obiectuale și ale operațiilor concrete,
înainte de a se aplica propozițiile, enunțurile verbale . De aceea, procesul de predare -învățare a
matematicii din clasa pregătitoare până la clasa a IV-a trebuie să semnifice efectua rea unor
acțiuni concrete( operații cu obiecte), care se structurează și se in teriorizează, devenind treptat ,
operații logice, ab stracte .
Constituirea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și
abstract, unde relația între concret și logic se modifică în dir ecția esențializării realită ții. În acest
proces trebuie fructificate diverse surse intuitive : experiența empirică a copiilor , matematizarea
realității înconjurătoare, operații cu mulțimi concrete de obiecte, limbaju l grafic. Astfel, se pot
exemplifica noțiunile de mulțime, apartenență, incluziune, intersecție, reuniune ș.a. cu obiecte
reale (bănci, caiete, cărți ) și cu obiecte cunoscute de către copii, (păsări, copaci ,flori etc.).
Însușirea caracteristică a obiectelor ce aparțin mulțimii respective este intuită de copii, sesizată

12
prin experiența lor spontană și nu determinată în mod precis. Au loc însă operații de clasificare a
obiectelor care au însușirea ce caracterizează mulțimea respectivă și aparțin acesteia.
În compararea mulțimilor prin procedeul formării perechilor („unu la unu”) se poate face
apel la cărți, caiete, scaune (banci), elevi; pentru mulțimile cu ,,tot atâtea elemente” se pot
compara mulțimi ca: elevi -paltoane, ghiozdane -elevi ș.a. Putem efectua cu elevii clasificări de
genul: baieți -fetițe = copii ,câine –pisică = animale domestice, vrabiuțe -rândunele = păsărele ș.a.
Noțiunile de relații între mulțimi pot fi cunoscute de copii și în cadrul diferitelor ilustrații
(tablouri, ilustrații din carte) prin care ei sunt conduși să sesizeze noțiunea sau relația respectivă
în imaginile care prezintă aspecte din viață (copii care se joacă cu mașinuțe, cu mingi, cu
iepurași, cățeluși). Referitor la această problemă, J.Piaget afirma că nu obiectele în sine poartă
principiile matematice, operațiile cu mulțimi concrete .
De aceea, în primul rănd, o perațiile logice trebuie cunoscute în acțiunile concrete cu
obiectele , apoi interiorizate ca structuri operatorii ale gândirii. Elevul este pus să efectueze
operații logice cu mulțimi de obiecte care poartă în ele legitățile matematice (bețișoare ,bile,
riglete ș.a.). Acest lucru se poate face de la nivelul clasei pregătitoare p ână la nivelul clasei a IV-
a, fără a recurge la terminologia utilizată în studiul structurilor matematice. Introducerea mai
târziu a noțiunilor de teoria mulțimilor (care se efectuează începând cu clasa a V – a) nu împiedică
exersarea de la clasa pregătitoa re și până la clasa a IV-a a grupărilor logice utile în conformitate
cu intenția dezvoltării lor ulterioare .
Pentru a dovedi cu multă exactitate și precizie mulțimile, relațiile dintre mulțimi ca bază a
formării noțiunii de număr natural și operațiile cu mulțimi, ca bază a operațiilor cu numere
naturale, materialul didactic adecvat este format din truse. Structurile logice se pot demonstra în
mod exact, d atorită faptului că însușirea (caracteristica) după care se constituie mulțimile ca
figuri este precis determinat ă. De aceea, putem aprecia că aceasta reprezintă materialul didactic
concret cu cea mai bogată încărcătură logică, cu valențele cele mai mari în a -i ajuta pe copii să
înțeleagă cu precizie și siguranță, relațiile dintre mulțimi, operațiile cu mu lțimi. În operarea cu
piesele jocurilor logice, copii se găsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice. De aceea
instrucțiunile cadrului didactic trebuie să lase mai mult loc pentru independența, inițiativa și
inventivitatea copilului (de exemplu: ” formați o mulțime din piese de aceeași culoare, sau de
aceeași formă, sau de aceeași formă și aceeași culoare” etc.) .

13
Reprezentările grafice și limbajul grafic sunt foarte aproape de noțiuni. Acestea fac
legătura între concret și logic, între reprezent are și noșiune care este o reprezentare a
proprietăților relațiilor esențiale ale unei categorii de obiecte sau fenomene, între cele două
niveluri, inter acțiune este logică și continuă . Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul
conceptelor figurative, al imaginilor esențializate sau schematizate care beneficiază, prin
generalitatea semnificațiilor purtate de apartenența lor la rețeaua conceptuală și prin impregnarea
lor senzorială, de aportul inepuizabil al concretului.
Imaginile mintale, ca modele pa rțial generalizate și reținute în gândire într -o formă
figurativă, de simbol sau abstractă, îl aproprie pe copil de logica operației intelectuale cu
obiectele, procesele și evenimentele realității, devenind astfel sursa principală a act ivității gândirii
și imaginației . Generate în mod continuu de interacțiunea noastră cu lumea înconjurătoare,
imaginile mintale se interpun între noile stimulări (cunoștințe, operații) și răspunsurile elevilor,
mediind, în sensul cel mai larg al cuvântului, cunoașterea realită ții matematice.
Când elevul este capabil să exprime prin semne grafice simple (puncte, linii,
cerculețe, figuri geometrice) ideea generală care se desprinde în urma operațiilor efectuate cu
mulțimi concrete de obiecte , putem spune că am ajuns la o perația de generalizare. Semnul grafic
sugerează obiectele pe care le reprezintă ca element al mulțimii. Criteriul de apartenență la o
mulțime sau alta (culoare, formă, mărime) a rămas doar în mintea elevului ca o structură logică.
El exprimă grafic fenomenul mat ematic pe baza înțelegerii lui, a sesizării esențialului, ceea ce
înseamnă de fapt pe baza definiț iei lui. Etapele de construcție prezentate mai sus nu se succed
linear în formarea conceptelor matematice. La fiecare nivel, pe măsură ce ne apropiem de
concept, există o îmbinare complexă între concretul ,,cel mai concret” și imagine, între senzorial
și logic. D e aceeea nu putem vorbi de o parcurgere statică și strict liniară a acestor etape , ci de o
sistematizare și dirijare rațională, metodică a relației int uitiv-logic potrivite formării conceptului
respectiv, în strânsă legătură cu condițiile concrete în care se desfășoară activitatea didactică.
Important este ca activitatea elevilor să fie dirijată pe linia atingerii progresive a esenței
conceptului respect iv. Reies astfel mai clare conceptele: formarea mulțimilo r, pe linia însușirii
proprietății caracteristice pe care trebuie s -o aibă elementele respective pentru aparține unei
mulțimi, formarea noțiunii de numă r, pe linia clasei de echivalență a mulțimilo r echivalente,
operația de adunare , pe linia reuniunii mulțimilor disjuncte, care trebuie nu numai constatată pe
un desen din ma nual, ci operată prin mânuirea obiectelor la stadii i diferite de concretul logic.

14
Mulțimile ne apar deci , ca fiind produsul uno r operații mintale, în timp ce obiectele din
care sunt alcătuite, sunt obiecte fizice. De aceea, pe întreg parcursul formării conceptelor de
număr natural, de operații cu numere naturale pe baza mulțimilor trebuie să se realizeze
îmbinarea între concret și logic, cu negarea dialectică, treptată, a concretului și asimilarea
(interiorizarea) modelului (abstracțiunii) respectiv.

I.2 Rolul matematicii în dezvoltarea intelectuală a școlarului mic
Matematica, pătrunzând în apr oape toate domeniile de cercetare și aducându -și
contribuția la dezvoltarea tuturor științelor, este chemată să -și îndeplinească rolul de factor
esențial la adaptarea rapidă a fiecărui cetățean la cerințele mereu crescânde ale societății în care
trăim. Baz ele unei bune pregătiri și formări matematice se pun încă din clasele primare, cu
accentul pe dezvoltarea capacității intelectuale ale elevilor și a priceperii de a le utiliza în mod
creator.
Matematica modernă următește antrenarea sistemică și gradat ă a gândirii elevilor în
rezolvarea exercițiilor și problemelor, disciplinarea gândirii elevilor și formarea capacității de a
gândii condesat, în tensiune maximă, care solicită gândirea la un efort susținut și gradat.
Matematica este disciplina care, p rin însăși existența ei, are menirea de a forma o
gândire investigatoare. Este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe
legături de viață. De aceea, se impune o permanentă preocupare în perfecționarea continuă a
metodelor și mijlo acelor de învățământ pentru a realiza nu o simplă instruire matematică, ci o
educație matematică, cu implicații serioase în dezvoltarea tineretului și formarea lui ca om
folositor societății din care face parte.
Școala are obligația să facă din studiu l matematicii un instrument de acțiune eficientă,
constructivă și modelatoare asupra personalității elevului.
Apariția matematicii în cele mai diverse științe, de la astronomie, chimie, la medicină,
face ca orientarea tineretului către mate matică să fie un proces obiectiv. Astăzi se afirmă cu tot
mai multă convingere ca fundamentul culturii moderne îl constituie matematica.
Profesorul universitar Ștefan Bârsănescu spunea pe drept cuvânt că intrarea în țara
cunoașterii se face pe podul matematicii. Matematica înseamnă gândire, gândire organizată. Prin
însăși esnța ei, matematica are și misiunea de a forma o gândire investigatoare, inventivă. Este o
apropiere de cunoștințe noi, de necunoscut printr -un mod de cercetare adevărat.

15
Indiferent de domeniul în care activează, omul modern trebuie să posede o bună
pregătire matematică, pentru a putea soluționa multiplele si variatele probleme ale vietii socio –
profesionale. Aceasta cerin ță necesita multiple exigențe cu p rivire la formarea personalității.
Stând întotdeauna la baza evoluției , constituind impulsul dinamicii sociale, de aceea a ccentul
cade, în primul rând , pe gândire . Ori o gândire critică și novatoare, originală și creatoare,
matematica o formează.
Obiectivul principal pe care îl urmărește învățământul matematic nu se reduce la partea
informativă, ci prin predarea acestei discipline se realizează mai ales dezvoltarea raționamentului
și a spiritului de receptivitate, a deprinderilor de gândire logică, de definire clară și precisă a
noțiunilor de adapta re creatoare la cerințele prezente .
Gândirea matematică se manifestă printr -o mare varietate de activități intelectuale legate
de memorie și imaginație și anume: judecare, raționare, înțelegere, explicare, invenție, deducție,
inducție, analogie, abstractizare, generalizare, comparație, concretizare, clasificare, diviziune,
rezolvare de situații -problemă, etc. Prin modernizare nu trebuie să se înțeleagă moda și nici
renunțarea la trecu t, așa cum arată academicianul Gheorghe Mihoc, ci îmbinarea a ceea ce s -a
dovedit valoros de -a lungul trecutului cu ceea ce se impune în condițiile vieții contemporane.
Printr -o muncă de milenii, pornind de la adevărul simplu, a fost cons truită matematica
modernă. Ea a cunoscut o evoluție mai rapidă decât celelalte științe, datorită specificului ei. Este
știința probei formale și a demonstrației logice care întruchipează într -un grad înalt idealul de
rigoare și de construcție logică.
În majoritatea țărilor s -au întreprins și se întreprind experimente care tind să dezvolte
copilului încă de la început caracteristicile generale ale matematicii moderne. Raționamentul
matematic și gândirea riguros științifică creează elevului po sibilitatea de înțelegere a celorlalte
discipline cât și de pătrundere a problemelor privitoare la natur ă, viață, societate. Astfel, se
participă la formarea și dezvoltarea capacității de a munci sistematic și ritmic, a perspicacității, a
spiritului de in vestigație.
Învățământul matematic are ca rezultat formarea unor deprinderi și capacități necesare
în activitatea matematică și care devin utile în activitatea practică a omului.
În primele cinci clase ale școlii generale, în cadrul cărora elevii dobândesc cunoștințe
elementare de calcul numeric precum și câteva noțiuni simple de geometrie, accentul principal se

16
pune pe formarea conștientă a deprinderilor de calcul oral și scris corect și rapid cu utilizarea
procedeelor rațion ale de calcul.
Formarea deprinderilor de calcul este o sarcină fundamentală a învățământului
matematic. Ele reprezintă „instrumente” operaționale utile pe întregul parcurs al învățământului,
stând la baza întregului sistem al deprin derilor m atematice. Deprinderea de bază pentru
rezolvarea de probleme este deprinderea de calcul mintal (oral sau scris
Obiectivul final al învățării calculului mintal este dezvoltarea gândirii logice a elevilor
și are o importantă contribuție la dezvoltarea gândirii Supusă la un antrenament continuu prin
efectuarea unor calcule exacte și rapide, judicios gradate, gândirea elevului se dezvoltă și se
disciplinează. Elevul este pus în postura de a hotărî procedeul de calcul cel mai potrivit cazului
dat pentru a afla mai repede și mai ușor rezultatul, de a utiliza în unele cazuri particulare
principiul de rezolvare. În acest mod se dezvoltă puterea de înțelegere, spiritul de inițiativă,
perspicacitatea.
La clasele pregătitoare și a IV – a, datorită lipsei de experiență a copiilor și plasticității
sistemului lor nervos, putem vorbi de formarea deprinderilor elementare de calcul, care stau la
baza întregului sistem al deprinderilor matematice, de înarmare cu „instrumente” operaționale
utile pe întregul parcurs al învățământului matematic și utile mai ales în viață.
Studiul matematicii în ma nieră modernă încă de la clasa pregătitoare urmărește să ofere
elevilor, la nivelul lor de înțelegere, posibilitatea explicării științifi ce a conceptului de număr
natural și a operațiilor cu numere naturale.
Sistemul cunoștințelor matematice formează în mintea elevilor o construcție după
modelul riguros logic al științei matematice. Acest model este caracterizat prin continu itate și
legătura logică, prin utilizarea raționamentului deductiv și inductiv în formarea conceptelor
matematice.
În vederea dezvoltării gândirii logice a elevilor din ciclul primar se va desfășura un
învățământ modern formativ, ceea ce p resupune: înțelegerea noțiunilor de matematică de către
elevi pe cât posibil prin efort personal, căutând să -i deprindem pe elevi să gândească matematic;
să antrenăm gândirea elevilor prin rezolvarea în mod permanent de probleme; dezvoltarea
spiritului de independență și a încrederii în forțele proprii prin stimularea inițiativei de a încerca
rezolvări cât mai variate și cât mai ingenioase prin e încerca rezolvări cât mai variate și cât mai
ingenioase prin extinderea muncii independente.

17
Pentru a putea realiza aceste sarcini, învățătorul trebuie să aibă mereu în vedere
următoarele: predarea să fie în așa fel realizată, încât noțiunile însușite să constituie suport pentru
viitoarele cunoștințe; utilizarea metodelor și tehnicilor de lucru care să imprime actului învățării
un caracter activ, care să facă din elev un participant conștient la dobândirea cunostințelor,
priceperilor și deprinderilor; abordarea creativă a materiei de către învățător; să contribuie la
însușirea matematicii de către elevi mai ușo r pentru ca să le permită să -și organizeze experiențele
în formele economice și sistematice; legătura matematicii cu viața, să -i provocăm în permanență
să gândească matematic punându -i în situația de a matematiza aspecte reale din viață.
Matematica este disciplina care, prin însăși existența ei, are menirea de a forma o
gândire investigatoare. Este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe
legături de viață. De aceea, se impune o permanentă preocupare în perfecționarea co ntinuă a
metodelor și mijloacelor de învățământ pentru a realiza nu o simplă instruire matematică, ci o
educație matematică, cu implicații serioase în dezvoltarea tineretului și formarea lui ca om
folositor societății din care face parte.
Matematica este nu numai interesantă și frumoasă, ea nu oferă numai bucurie ci
este și utilă. Oricine știe că fără matematică, tehnica noastră modernă n -ar fi posibilă, că ea a
pătruns ca aerul în toate domeniile vieții moderne.
Toate obiectele care ne atrag at enția își exprimă ființa sau frumusețea prin forme,
prin volume, prin proporții sau prin metodele care ascund vechiul în combinări noi.
Matematica se ocupă cu dezvăluirea implicațiilor ascunse. Așa cum arată Athanase Joja,
matematica are un teren comun cu logica, dar își are și domeniul ei propriu. Ea este știința probei
formale și a demonstrației logice, care întruchipează într -un grad înalt idealurile de rigoare și
de consecuție logică. Ea este o știință suplă, dinamică, deschisă, capabilă de restruct urări care să
înglobeze esențialul vechiului și să facă saltul la nou. De aceea, matematica nu trebuie privită ca o
simplă știință logică sau ca un instrument util în tehnică sau ca o disciplină educativă, ci ca o
activitate umană, atât de naturală în resorturile ei, încât nu se termină niciodată și care în
dezvoltarea ei neîncetată și mereu frământată depune în anumite puncte stații rezultate utile,
continuându -și apoi drumul.
„Intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii" spunea profesoru l
universitar Ștefan Bârsănescu. Indiferent în ce domeniu va lucra, omul zilelor noastre, și cu atât
mai mult omul viitorului, trebuie să posede o bună pregătire matematică. Matematica este

18
mai mult decât o știință; este un act de cultură, este unul din mo durile fundamentale ale gândirii
umane.
Pentru a -și extinde capacitatea de înțelegere a fenomenelor ce ies de sub incidența
simțurilor sale mărginite, omul folosește alături de alte modalități de cunoaștere și cunoașterea
matematică. „Tot ceea ce est e gândire concretă – spune academicianul Miron Nicolescu – este
sau matematică sau susceptibil de matematică. Ce lucru va ajuta să gândim mai repede decât o
facem și mai ales fără risc de eroare în decizii? Răspunsul este cunoscut de multă vreme. Este
vorba de ansamblul de metode, de reguli de calcul ale gândirii, de concepte, de fapte care se
numește matematică" – spunea Oprescu Nicolae.
Matematica este disciplina care, prin însăși esența ei – de știință a structurilor
creatoare de modele și limbaje șt iințifice ale realității, ce folosește cu precădere modele analogice –
poate și are menirea de a forma o gândire investigatoare, creatoare, o apreciere de cunoștințe noi
în general, o apropiere de necunoscut printr -un adevărat stil de cercetare.
Școala are obligația să facă din studiul matematicii un instrument de acțiune eficientă,
constructivă și modelatoare asupra personalității elevului.
„Nu trebuie să educăm copiii pentru ceea ce suntem n oi azi, ci pentru ceea ce vor f i ei
mâine” (acad emician Gheorghe Mihoc în „Matematica în ciclul primar”). Adică, să avem în
vedere nu numai realizarea prezentă a vieții , ci mai ales perspectivele ei.

I.4. Aptitudinea matematică la școlari
„În psihologia modernă s -a validat ideea posibilităț ilor de dezvoltare a aptitudinilor.
Aptitudinile matematice sunt printre cele mai solicitate în viața de zi cu zi a omului modern.
Rămâne deschisă problema interrelațiilor dintre aptitudini și abilități, interese, personalitate și
mai ales aceea a tehnicil or prin care se pot mai bine dezvolta setul de aptitudini de randament
înalt”, afirma profesor doctor Ursula Șchiopu prefațând lucrarea lui Ion Berar despre aptitudinea
matematică la școlari.
Teoria și practica psihologică actuală au demonstrat cu suficie ntă forță de convingere că
fiecare om este mai apt pentru un anumit tip de activitate și mai puțin pentru altul. Alături de
interese și preferințe, adesea conjuncturale, aptitudinile joacă un rol hotărâtor atât în determinarea
specificului, cât și a nivelu lui performanțelor la unul și același elev.

19
A. Binet consideră, pe baza cercetărilor întreprinse, că există o aptitudine pentru calcul
mintal și inteligența matematică, facultate cu totul specială, întemeiată pe calități ale gândirii greu
de explicat deoc amdată. Sigur este că în testele de inteligență și cele de matematică se obțin
rezultate compatibile. În țara noastră, M. Bejat și A. Perju, supunând analizei rezultatele unor
loturi de elevi detașează trei factori semnificativi : de gândire abstractă impl icat în rezolvarea de
probleme de perspicacitate și desprinderea de reguli pentru un șir de numere, factorul gândirii în
imagini și un factor de creativitate prezent în probele cu soluții multiple și compunere de
probleme.
Pentru învățător se conturează t ipurile de sarcini prin care se va depista școlarul cu
aptitudine matematică și se va dezvolta aceasta. Se mai impune de reținut că școlarul mic nu
poate gândi abstract decât după mai multe operații în plan concret și va desprinde esențialul abia
când uită de „datele” problemei, reținând doar relațiile dintre acestea.
Ca să urmărim această aptitudine la școlar, să o putem exploata și dezvolta, trebuie să
știm foarte clar ce căutăm. Deci, aptitudinea matematică este o componentă specifică
personalității, o substructură a a cesteia relativ independentă, formată din componente cognitive,
afectiv -motivaționale și volitive, elaborată in adaptări succesive la modele matematice externe ce
facilitează obținerea de performanțe școlare superioare mediei.
În discuții le lor, copiii afirmă despre un anumit elev că „vede” matematică. Poate chiar
elevii au găsit cea mai sugestivă definiție a aptitudinii matematicii. Cel în cauză „vede” imediat
datele esențiale ale problemei, sesizează insuficiența informației sau o dată g reșită fără a calcula,
„vede” și alte căi de rezolvare sau calea cea mai scurtă și este capabil de a „traduce” în limbaj
matematic cum a judecat.
Am observat însă două trăsături ale elevilor cu astfel de aptitudini : nu trebuie să fie
ajutați de o memorie foarte bună și pot foarte ușor să se transforme în „meditatori” pentru colegii
lor mai puțini buni.
Învățătorul are obligația nu numai de a transmite cantitatea de cunoștințe prevăzute în
curriculum, ci să valorifice potențialul fiecărui elev la nivelul cel mai înalt posibil. De aceea se
impune munca diferențiată, oricât ar fi de greu în condițiile claselor cu număr mare de elevi.

20
I.5. Jocul didactic și activitățile matematice
Jocul este o dimensiune a existenței umane, o realitate permanentă ce însoț ește omul în
diverse momente ale vieții sale sociale având un loc și un rol diferit în funcție de vârstă și
caracterul acestuia. (Pâslaru, G. C., Cazacu, O., 2005, p.27)
Înglobat în activitatea didactic ă, elemen tul de joc întipăreș te acesteia un caracter mai viu
și mai atră gător, aduce varietate și o stare bun ă de dispozi ție funcțională, de veselie și de bucurie,
de divertisment și de destindere, ceea ce previne apari ția oboselii și a plictiselii . Restabilind un
echilibru în activitatea școlarilor, jocul fortifică energiile intelectuale și fizice ale elevilor,
generând o motiva ție secundar ă, dar stimulator ie, constituind o prezen ță indispensabi lă în ritmul
accentuat al muncii școlare.
Jocul didactic este o categorie specifică de activitate prin care înv ățătorul consolideaz ă,
precizeaz ă și chiar verific ă cunoș tințele elevilor, le îmbogățește sfera lor de cunoș tințe, pune în
valoare și le antreneaz ă capacitățile creatoare ale acestora.
Așadar, atunci când jocul este aplicat în procesul de înv ățământ, el dobândește funcții
psihopedagogice semnificative, asigurând participarea activ ă a elevului la lec ție, sporind interesul
de cunoaștere față de conținutul lecț iei.
Procesul de integrare în viața școlară începe cu vârsta de 6 ani ca o necesitate obiectiv ă
determinată de cerințe le instruirii și dezvoltării sale multilaterale. Deși o bună parte din timp este
alocată școlii și activității de învățare care devine o preocupare major ă, în programul zilnic al
elevului intervin schimb ări impuse de ponderea pe care o are acum școala, schimb ări care nu
diminueaz ă însă dorința lui de joc, jocul rămânând pricipala ocupație în timpul întregii copil ării.
În aceste condi ții, se impune o exigen ță sporită în ceea ce prive ște dozarea ritmic ă a
volumului de cuno ștințe matemati ce ce trebuie as imilate de elev și, în mod deosebit , necesitatea
ca lecția de matematic ă să fie completat ă sau intercalat ă cu jocuri didactice cu con ținut
matematic.
Un exerci țiu sau o problemă de matematic ă poate deveni joc didactic matematic dacă:
– realizează un scop ș i o sarcină didactică din punct de vedere matematic;
– folosește elemente de joc în vederea realiz ării sarcinii propuse;
– folosește un conținut matematic accesibil și atractiv;
– utilizează reguli de joc cunoscute anticipat și respec tate de elevi.

21
a) Scopul didactic se formuleaz ă în legătură cu cerințele programei școlare pentru clasa
respectivă, convertite în finalit ăți funcționale de joc. Formularea trebuie s ă fie clară și să
oglindeasc ă problemele specifice impuse de realizarea jo cului respectiv. O formulare
corespunz ătoare a scopului determin ă o bună orientare, organizare și desfășurare a activit ății
respective.
b) Sarcina didactică
Sarcina jocului didactic matematic este legat ă de cuprinsul acestuia, de structura lui și
se referă la ceea ce trebuie să facă în mod precis elevii în timpul jocului, pentru a se atinge scopul
propus. Sarcina didactic ă reprezintă esența activității respective, antren ând intens operaț iile
gândirii: analiza, sinteza, compara ția, dar și ale imagina ției. Jocul didactic matematic cuprinde și
rezolvă cu succes, de regul ă, o singur ă sarcină didactică, în concluzie, sarcina didactic ă
constituie elementul de bază prin care se transpune , la nivelul elevilor, scopul urmă rit în
activitatea respectiv ă. Spre exemplu , în jocul didactic “Caut ă vecinii” , scopul didactic este
consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere, iar sarcina didactic ă este să găsească
numărul mai mare sau mai mic cu o unitate dec ât numărul dat; în jocul “Cine urc ă scara mai
repede” scop ul este consolidarea deprinderilor de calcul cu cele patru operații, iar sarcina
didactică este efectuarea unor exerci ții de adunare , scădere, înmul țire și împă rțire.
c) Elemente de joc
În jocurile didactice ma tematice se poate opta pentru cele mai difer ite elemente de joc:
întrecere (emula ția / competiția) individual ă sau pe grupe de elevi, cooperarea între participan ți,
recompensarea rezultatelor bune sau penalizarea gre șelilor comise de c ătre cei antrena ți în
jocurile de rezolvare a exerci țiilor sau a problemelor, bazate pe surpriz ă, așteptare, aplauze,
cuvântul stimulator etc. O parte din aceste elemente se utilizeaz ă în majoritatea jocurilor
didactice, altele, în func ție de con ținutul jocului. Important este ca elementele de joc s ă se
împleteasc ă strâns cu sarcina didactic ă, să mijloceasc ă realizarea ei în cele mai bune condi ții.
d) C onținutul matematic al jocului didactic trebuie s ă fie accesibil, recreativ și atractiv
prin forma în care se desf ășoară, pri mijloacele de înv ățământ utilizate, prin vo lumul de
cunoștințe la care se apeleaz ă.
e) Materialul didactic
Reuș ita unui joc didactic matematic depinde în mare parte și de materi alul didactic folosit,
de selectare a corespunz ătoare și de calitatea lui .

22
Materialul didactic trebuie s ă fie variat, câ t mai adecvat con ținutului joculu , să slujească
cât mai bine scopul urmă rit. Astfel , se pot folosi: plan șe, folii, fi șe individuale, cartonaș e,
jetoane, trus ă cu figure geometrice etc.

f) Regulile jocului
Regulile jocului sunt propuse de către învățăto r sau sunt cunoscute, în general, de către
elevi și sunt p entru a realiza sarcina propusă și pentru a stabili rezultatele întrecerii. Aceste reguli
concretizeaz ă sarcina didactic ă și realizeaz ă, în acela și timp, sudura între aceasta și acțiunea
jocului. Re gulile de joc transform ă de fapt exerci țiul sau problema de joc, antrenând întregu l
colectiv de elevi la îndeplinirea atribuțiilor prim ite. În unele jocuri, elevii sunt mobilizați pe rând
la îndeplinirea sarcinilor didactice. În aceste jocuri este recomand abil ca propun ătorul să
introducă o completare la regul ă, în sensul de a cere grupei s ă-l urmărească pe cel întrebat și să
răspundă în locul lui, dac ă este cazul.
În jocul “Cine urc ă scara mai repede ”, regula cere elevilor s ă completeze pe planșe, pe
tablă, rezultatul , ieșind victorioasă echipa care va reuș i să rezolve corect și rapid exerci țiile, adică
cea care va ajunge mai repede în v ârf.
Deci , jocurile didactice matematice conțin unele reguli care menșioneaz ă cine poate
deveni câ știgătorul jocului. Î n acelaș i timp ele cuprind și unele restric ții: elevii care nu reu șesc,
vor fi sco și din joc sau vor fi penaliza ți, depuncta ți.
Prin utilizarea jocurilor didactice în predarea matemati cii la clasele mici se îndeplinesc și
importante sarcini fo rmative al e procesului de învață mânt.
Astfel , jocurile didactice matematice :
– antreneaz ă operațiile gândirii: analiza, sinteza, compara ția, clasificarea, ordonarea,
abstractizarea, generalizarea, concretizarea ;
– dezvoltă spiritu l de inițiativă și independen ță în muncă, precum și spiritul de echip ă;
– dezvoltă spiritul imaginativ -creator și de observa ție;
– dezvoltă atenția , disciplina ș i spiritul de ordine în desf ășurarea unei activit ăți;
– formează deprinderi de lucru corect și rapid;
– asigură însușirea mai rapid ă, mai temeinic ă, mai accesibil ă și mai placut ă a unor
cunoștințe relativ aride pentru acest ă vârsta (numera ția, operațiile aritmetice etc.).

23
Reușita jocului didiactic este condi ționată de pro iectarea, orag anizarea ș i desfășurarea lui
metodică, de modul în care înv ățătorul știe să asigure o concordan ță deplină între toate
eleme ntele ce-l definesc.
Pentru aceasta, înv ățătorul va avea în vedere urm ătoarele cerin țe de bază:
– pregătirea j ocului didactic;
– organizarea judicioas ă a acestuia;
– respectarea momentelor jocului didactic;
– ritmul și strategia conducerii lui;
– stimularea elevilor în vederea particip ării active la joc;
– asigurarea unei at mosfere prielnice de joc;
– varietatea elementelor de joc (complicarea joculu i, implementarea altor variante).
Pregătirea jocului didiactic presupune, în general, urm ătoarele:
– studierea atent ă a conținutului acestuia, a astructurii sale;
– pregătirea materialului (confec ționarea sau procurarea lui);
– elaborarea proiectului (planului) jocului didactic .
Desfășurarea jocului didactic cuprinde, de regul ă, următoarele momente (faze):
• introducerea în joc (discu ții pregătitoare);
• anunțarea titlului jocului și a scopului acestuia;
• prezentarea materialului;
• explicarea ș i demonstrarea regulilor jocului;
• fixarea regulilor;
• executarea jocului de c ătre elevi;
• complicarea jocului;
• închiderea jocului (evaluarea conduite i de grup sau individual ă).
Introducerea în joc , ca etapă, are forme diferite, în funcție de tema jocului.
Dacă este necesar s ă familiariz ăm elevii cu con ținutul jocului, activitatea poate să înceapă
printr -o discuție simplă cu caracter motivaț ional . În alte situații , introducerea în joc se poate
realiza printr-o scurtă descriere care să stârnească interesul și atenția elevilor. Atunci când de
logica materialului este legată întreaga activitate a elevilor, introducerea în joc se poate realiza
prin simpla prezentare a materialului didactic. In troducerea în jocul matematic nu este un
moment întotdeauna obligatoriu. Propun ătorul poate începe jocul anun țând direct titlul acestuia.

24
Anunț area jocului trebuie f ăcută sintetic, în terme ni exacți , spre a nu lungi inutil începutul
acestei activit ăți. De exemplu: “Ast ăzi vrem să vedem care dintre voi ș tie să calculeze f ără să
greșească; de aceea vom organiza împreun ă jocul….”.
Învățătorul poate folosi și formula clasic ă: “Copii, ast ăzi vom organiza un joc nou. Jocul
se numește…. El const ă în….”.
Alteori, se poate începe anun țarea printr -o frază interogativ ă: “Știti ce o s ă ne jucăm
astăzi? Vreți să vă spun?”. Înv ățătorul poate gă si formulele cele mai variate de anun țare a
jocului, astfel ca, de la o lec ție la alta , ele să fie cât mai adecvate con ținutului acestuia.
Un moment hot ărâtor pentru succesul jocului didactic matematic este demonstrarea și
explicarea acestuia.
Învățătorului îi revin urm ătoarele sarcini:
– să facă pe elevi s ă înțeleagă sarcinile ce le revin;
– să precizeze regulile jocului, asigurând î nsușirea lor rapid ă și corectă de către elevi;
– să precizeze con ținutul jocului și principalele lui etape, în func ție de regulile jocul ui;
– să dea explicaț ii cu privire la mod ul de întrebuințare a materialului didactic;
– să scoată în evidență sarcinile conducă torului de joc și cerințele pentru a deveni câ știgător.
Fixarea regulilor
Uneori, în timpul explica ției sau dup ă explicație, se obi șnuiește să se fixeze, reguli le
transmise.
Acest lucru se recomand ă, de regul ă, atunci când jocul are o ac țiune mai complicat ă,
impunându -se astfel, o subliniere special ă a acestor reguli. Deoarece elevii le reproduc în mod
mecanic, d e multe ori fixarea regulilor nu se justific ă.
Executarea jocului
Semnalul jocului îl va da conducătorul acestuia. La început acesta intervine mai des în
joc, reamintind regulile, dând unele informa ții organizatorice.
Pe măsură ce se înaintează în joc sau elevii capat ă experiența jocurilor matematice,
propunătorul acord ă independen ță elevilor, îi las ă să acționeze liber.
Se desprind, în general dou ă moduri de a conduce jocul elevilor:
– conducerea direct ă (învățătorul conduce jocul);
– conducerea indirect ă (învățătorul ia p arte la joc fă ră să-l conducă).

25
Pe durata unui joc didactic matematic înv ățătatorul poate trece de la conducerea direct ă la
cea indirect ă sau le poate alte rna.
Totuși, chiar dac ă învățătorul nu particip ă direct la joc, sarcinile ce revin sunt deosebite.
Astfel, în ambe le cazuri, înv ățătorul trebuie:
– să imprime un anumit ritm jocului (timpul este limitat);
– să mențină atmosfera de joc;
– să urmărească evoluția jocului, evitând momentele de monotonie;
– să controleze modul în care elevii rezolvă sarcina didactic ă, respectându -se regulile
stabilite;
– să creeze condiț ii necesare pentru ca fiecare elev s ă rezolve sarcina didactic ă în mod
independent sau în cooperare;
– să urmărească comportarea elevilor, rela țiile dintre ei;
– să activizeze toț i elevii la joc, g ăsind mijloace potrivite pentru a -i antrena și pe cei timizi;
– să urmarescă felul în care se respect ă, cu stricte țe, regulile jocului.
Sunt situaț ii când pe parcursul jocului pot intervene elemente no i: auto conducerea jocului
(elevii devin conduc ătorii jocului, îl organizeaz ă în mod independent), schimbarea materialului
între elevi (pentru a le da posibilitatea s ă rez olve probleme c ât mai diferite în cadrul aceluia și
joc), complicarea sarcinilor jocul ui, introducerea unui element de joc nou, introducerea unui
material nou.
Încheierea jocului
În încheiere , învățătorul va formula concluzii și va aprecia felul în care s -a desfăș urat
jocul și va face precizări asupra modului în care s -au respectat regul ile de joc și s-au executat
sarcinile prim ite, asupra comportamentului elevilor, f ăcând recomand ări și evaluări cu caracter
individual și general.
Indiferent de tipul de lecție și de clasă (ne referim strict la învățământul primar), j ocul
didac tic matemat ic poate fi aplicat cu succes.
Exemple de jocuri didactice
1. “Hai să socotim!”
Scopul – consolidarea deprinderilor de calcul oral.
Sarcina didactic ă – să rezolve exerci ții de adunare și scădere, în concentrul 0-100.
Materialul didactic – trei săculețe de panză, unul galben, unul negru și unul alb;

26
– cartonaș e pe care vor fi scrise exerci ții de adunare sau sc ădere în concentrul
0-100 și apoi introduce în s ăculețul galben;
– buline albe și negre din carton ce vor fi introduse în sacule țele
corespunz ătoare.
Se stabilesc două echipe. Prima pereche, format ă din câte un reprezentant al fiec ărei
echipe, vine în fa ța clasei și fiecare elev scoate c âte un cartona ș din săculeț ul galben. Se rezolv ă
exercițiile, clasa apreci ind dacă răspunsurile sunt corecte sau nu. Elevul care a răspuns bine
scoate o bulin ă din săculețul alb, iar cel care a dat un r ăspuns gre șit scoate o bulin ă din săculețul
negru. Identic se procedează și cu celelalte perechi. În final , fieca re elev ridic ă bulina ob ținută, iar
conducătorul de joc totalizeaz ă, pe echipe, numă rul și culoarea bulinelor ob ținute. Echipa care a
obținut cele mai multe buline albe va fi declarat ă câștigă toare.

2. “Cine știe , scrie”
Scopul – dezvoltarea deprinderii de calcul oral și scris.
Sarcina didactic ă – formularea și rezolvarea unor exerci ții de compunere a numerelor naturale în
concentrul 1-10, citirea și scrierea lor.
Desfășurarea jocului – se împarte clasa în dou ă echipe, apoi se formeaz ă grupe de câte doi e levi
care vor veni la joc pe rând. Reprezentan ții echipei A vor lucra în jumatatea stângă a tablei, iar
cei din echipa B în cealaltă jumătate . Prima pereche de elevi, format ă din câte un reprezentant din
fiecare echip ă vine la tablă . Conducătorul jocului i ndică un număr și cere elevilor de la tabl ă să
formuleze în scris diferite exerci ții de adunare și de scădere al c ăror rezultat s ă fie egal cu
numă rul dat. Dup ă scurgerea a 3 -4 minute, se d ă semnalul de încetare ș i se face aprecierea
rezult atelor. Pentru a menț ine trează atenția elevilor, aprecierea va fi facut ă de elevii din banc ă a
echipei adverse. Ace asta va primi câte un punct pentru fiecare gre șeală descoperit ă. Însumându –
se apoi punctele ob ținute pentru rezultate bune și pentru depistar ea greș elilor , se declară echipa
câștigătoare.
Exemple : conducătorul jocului spune cifra 6.
Exerciții ce se pot scrie:
1 + 5 = 6 1 + 4 + 1 = 6 2 + 2 + 2 = 6
2 + 4 = 6 1 + 2 + 3 = 6 4 + 2 + 0 = 6
3 + 3 = 6 5 + 1 + 0 = 6 3 + 2 + 1 = 6

27

Acest joc se poate organiza ș i la celelalte clase, dar trebuie ca numărul indicat să fie mai
mare ș i să se foloseasc ă cele patru operații.
Exemplul 1:
Dacă se păstrează un număr mai mic decât 10, dar se cere s ă se foloseac ă cele patru operații.
Num ărul 6:
(24 + 32 – 20) : 6 x 1 = 6 sau 24 : 3 x 5 – 38 + 4 = 6
Exemplul 2:
Numărul indicat s ă fie mai mare decâ t 10, iar exerci țiile prin care s ă se compun ă acest num ăr să
cuprindă cele patru tipuri de operaț ii sau numai dou ă.
Num ărul 90:
80 + 40 – 30 = 90 sau 8 x 9 – 6 : 3 + 20 = 90

3. Câți ani are plopul ?

Scopul jocului:
– consolidarea deprinderii de calcul mintal (0 – 1 000)
Sarcina didactică:
– efectuarea operațiilor dat e pentru a afla vârsta plopului;
Material didactic :
– fișe de lucru
Regula jocului:
Se cere elevilor să urmărească cu atenție desenul după care: se adună numerele,
rezultatul se în mulțește cu 10, se împarte la 5 , din acest numă r se scade suma inițială și se află
vârsta plopului.

5
3 1
4 7
3 2
8 7 7

28
4. Descifrează mesajul

Scopul jocului:
– formarea deprinderii de calcul ;
– realizarea corespondenței dintre literă și rezultatul adunării;
Sarcina didactică;
– descifrarea mesajului cu ajutorul adunării;
Material didactic:
– fișe de lucru;
Regula jocului:
Elevii vor calcula corespunzător adunările din interiorul căsu ței, vor găsi corespondența
fiecărei litere cu rezultatul dat. La sfârșit, după o completare core ctă vor avea o surpriză plăcută:
„Îmi place mult matematica! ”

5. Surpriza florilor

T
21 +
69 C
17 +
26

E
36 +
45 A
24 +
25
M
16 +
48 Î
45 +
27
I
19 +
57 L
56 +
9
U
27 +
28 P
49 +
24
72 64 76 73 65 59 43 81
64 55 65 90
64 59 90 81 64 59 90 76 43 59

12+13 15+10

20+15
20+5

16+9
20-4
26-10
29-13
19-6
25 16

29
6. Câți șoareci a prins „Motănel” ?

7. Istețel

Scopul jocului:
– formarea deprinderilor de adunare și scădere a numerelor natural e (0 – 10)
– dezvoltarea gândirii și a raționamentului matematic;
Sarcina didactică:
– adunarea și scăderea numerelor naturale (0 -10)
Material didactic: fișe de lucru;
Regula jocului:
Învățătorul cere elevilor să urmăre ască cu atenție desenul și să efectueze corect
adunările și scăderile din interior, iar rezultatele se vor trece în pătrățelele libere.

30

708 429
8 +
521 601
= X =

9

=

=
598
9
127 X
6 =
=
274

+
479

31
CAPITOLUL II
ELEMENTE DE TEORIE MATEMATICĂ
II.1. Noțiunea de număr natural . Numere naturale
Există în general două puncte de vedere sau două perspective asupra formării conceptului
de număr natural: primul are ca punct de plecare noțiunea de mulțime ( corespondența între
mulțimi finite), iar al doilea de succesiune.
În manualele alternative se propune întrebuințarea axei numerelor pen tru cercetarea
proprietăților lor. Aceasta presupune cunoașterea axiomaticei lui Peano (1891) de către
învățător. 1
– 0 este un număr natural;
– orice număr natural n are un singur succesor n ;
– 0 nu este succesorul nici unui număr;
– două numere di stincte au succesori diferiți;
– mulțimea numerelor naturale N este cea mai “ mică “ mulțime cu proprietățile:
 îl conține pe 0;
 odată cu orice număr n , conține și succesorul său n
II.2. Mulțimi echipotente. Număr cardinal
Mulțimile A și B sunt e chipotente dacă există o funcție bijectivă definită pe A cu valori în
B. Vom reveni ulterior asupra explicării noțiunii de funcție bijectivă.
Se scrie A~ B și se citește ,, A este echipotentă cu B“. Se constată că această relație de
echipotență are următo arele proprietăți:
 Relația de echipotență este reflexivă , adică A~A . Mulțimea A este echipotentă cu ea
însăși, deoarece avem funcția identică
A1: A → A care este bijectivă, (
 )
Ax ,
x xA)(1

 Relația de echipotență este simetrică. Dacă
f: A →B este bijectivă, atunc i există și este
bijectivă aplicația inversă
1f :B →A. Deci A~B implică B~A.
 Relația de ech ipotență este tranzitivă. Dacă
f : A →B și g : B → C sunt aplicații
bijective, atunci aplicația
fg: A →C este bijectivă. Rezultă că A~B și B~C implică
A~C.

1 Lupu, C., Metodica predării matematicii în ciclul primar , Editura “Gheorghe Alexandru”, 2008, pag. 60

32
Arătând aceste proprietăți, relația de echipotență este o relație de echivalență și împarte
mulțimea în clase de echivalență.
O clasă de echivalență, definită de relația de echipotență, se denumește printr -un
simbol care se numește număr cardinal sau „puterea“ fiecărei mulțimi din clasa respectivă.
Dacă mulțimile A și B sunt echipotente ele au aceeași p utere și li se asociază
același număr cardinal. Notăm cardinalul mulțimii A cu A sau card A. Toate mulțimile vide
au cardinalul 0 (zero). Mulțimile cu un element au cardinalul 1 (unu), iar cele cu două
elemente formează clasa cu cardinalul 2 (doi).
Axa numerelor însă nu permite școlarului de clasa pregătitoare să opereze concret, de
aceea rolul formării conceptului de număr natural revine mulțimilor.
Obiectele care formează mulțimea se numesc elementele mulțimii. Mulțimea se notează
cu litere mari, iar elementele mulțimii cu litere mici, cifre sau alte semne. Dacă A este o mulțime
iar a un element al său, vom scrie a є A ( a aparține mulțimii A), iar dacă a nu este în mulțimea A
vom scrie a
 A. Elementele unei mulțimi sunt distinc te și bine determinate.
O mulțime poate fi determinată :
a) sintetic (numind individual toate elementele sale ) A = {1, 2, 3, 7, 9 };
b) analitic (specificând o proprietate pe care o au elementele sale și nu o au toate elementele ) A =
{ x / P (x)}.
Mulțimea fără nici un element se numește mulțime vidă si se notează cu Ø.
Relația de incluziune
Mulțimea A este inclusă în mulțimea B (A
 B sau B
 A) dacă orice element al lui A
este și element al lui B. In acest ca z A se numește submulțime a lui B.
Relația de inclu ziune este o relație de ordine, având următoarele proprietăți :

 Reflexivitate: A
A pentru orice mulțime A
 Antisimetri e: (A
B
 B
A )
 A= B
 Tranzitivitatea : (A
 B
 B
C )
 A
C
Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi se numește mulțimea p ărților acelei mulțimi
și se notează P(A) = { B / B
A}.
Mulțimi egale Spunem că două mulțimi sunt egale dacă au aceleași elemente . Astfel, mulțimea
A este egală cu mulțimea B (A=B ) dacă și numai dacă A
 B și A
 B.

33
Operaț ii cu mulțimi
1.Reuniunea mulțimilor se numește mulțimea tuturor elementelor ce aparțin cel puțin uneia din
mulțimile A sau B. Notăm A
 B = { x | x
 A sau x
 B }.
Proprietățile reuniunii :
A
 A
 B, B
 A
 B, A

 = A
A
 A = A (idempotență)
A
 B = B
 A (comutativitatea)
A
 ( B
 C ) = ( A
 B )
 C (asociativitatea)
2.Intersecția mulțimilor se numește mulțimea elementelor comune lui A și B.
A
 B = {x | x
 A și x
 B }
Mulțimile A și B sunt disjunctive dacă nu au nici un element comun.
Proprietățile intersecției :
A
 A = A (idempotența )
A
 B
 A și A
 B
 B
A
 B = B
 A (comutativitatea)
A
 ( B
 C ) = ( A
 B )
 C (asociativitatea)
A

 =

Dacă A
 B
 A
 B = A
3.Diferența mulțimilor A și B se numește mulțimea elementelor lui A care nu aparțin lui B.
A – B sau A / B = { x | x
 A și x
 B }
Dacă A este o submulțime a lui E, toate elementele lui E care nu aparțin lui A formează
complementara luiA țime a lui E, toate elementele lui E care nu aparțin lui A formează
complementara lui A în raport cu E.
Proprietățile diferenței :
Dacă A
 B atunci A – B =

Dacă A
 B atunci B – A = CвA
Diferența mulțimilor nu este asociativă.
Dacă A
 C =
 atunci ( A – B ) – C = A – ( B – C )
CвB =
 și Cв
 = B
4.Produs cartezian este mulțimea ale cărei elemente sun t toate perechile ordonate ( a, b) în care
a
 A și b
 B și se notează A X B.

34
A X B = {(a, b) | a
 A și b
 B}.
Relații între mulțimi
Semnificația matematică a cuv ântului relație se poate pune în legătură cu raport,
corespondență, legătură, asociere.
Se numește relație între două mulțimi A și B o submulțime R a produsului cartezian
A X B (a, b)
 R sau relația binară între A, B este un triplet ordonat R = (A, B, R), unde R
este submulțime a lui A X B.
Arb = brA
Proprietățile relațiilor :
 Reflexivă
 a
A
 aRa
 Simetrică
 a,
 b
bRa
 aRb
 Antisimetrică
Rb
 bRa
 a = b
 Tranzitivă
 a,
 b,
 c, bRa
 cRb
 cRa

Relații de echivalență
Se numește relație de echivalență orice relație reflexivă, simetrică și tranzitivă.Două
elemente asociate printr -o astfel de relație se numesc echivalente.Denumirea de echivalență este
insipirată din egalitatea obișnuită sau de “echivalența” din geometrie.Relațiile : “a fi născuți în
același an”, “a fi amândouă numere pare “ (în N) sunt relații de echivalență.Elementele unei
mulțimi cu relație de echivalență se împart în compartimente, în “familii”.
Fiind dată o mulțime I, se numește partiție a lui I o clasă K de submulțimi nevide ale lui I,
astfel că :
 Submulțimile lui K sunt disjuncte două câte două;
 Reuniunea submulțimilor lui K este I.
Prin definiția partiției se observă că dacă aR b și bRa
 a = b. Este același lucru dacă se
stabilește o relație de echivalență sau o partiție.
Fiind dată o relație de echivalență R în I și un x
 I, se numește clasă de echivalență Cx
mulțimea elementelor y dinI astfel ca yRx(Cx = {y| yRx}).
Fiind dată o relație de echivalență în I, clasele de echivalență constituie o partiție a lui I.

35
Relații de ordine
Faptul fundamental care stă ascuns în cuvintele ordonare, ordine este posibilitatea de a
compara elemente. Posibilitatea de comparare nu permite întotdeauna compararea tuturor
elementelor mulțimii. Se mai cere observat că aceeși mulțime poate fi dotată cu ordonări diferite.
Definiție : Se numește relație de ordine sau ordonare o relație indicată, de obicei, pr intr-unul din
simbolurile
 ,
,
 care se bucură de proprietățile : reflexivitate, tranzitivitate, antisimetrie,
astfel încât :
Pentru orice a, a
 a;
Dacă b
 a, c
 b
c
a;
Dacă b
 a, a
 b
a = b.
O mulțime dotată cu o relație se numește mulțime ordonată. Un element al mulțim ii care
le precede pe toate celelalte se numește minim, iar un eventual element care urmează după toate
celelalte se numește maxim.
O ordonare în care două elemente pot fi întotdeauna comp arate se numește totală. Relația
de ordine totală are proprietățile :
a
a pentru orice a (reflexivitate);
dacă b
 a, c
 b
c
a (tranzitivitate);
fiind date a
 b
a
b sau b
 a, dar nu ambele.
Într-o mulțime de numere reale, relația
 este o relație de ordine totală.
Relația de ordine în sens strict este o relație care este antireflexivă și tranzitivă, astfel
încât :
 nu există a < a;
 dacă b < a și c < b
 c < a.
O relație trihotomică și tranzitivă se numește relație de ordine în sens strict :
a, b
mulțimii, între ele apar numai una din situațiile a = b sau a < b sau a > b;
dacă a < b și b < c
 a < c.
Iată câteva feluri de ordonări :
incluziunea “
 ” de incluziune între mulțimi ;
relația “≤” pentru relația de ordine totală “mai mic sau egal” între numerele naturale ;
incluziunea în sens strict “
 ” pentru ordine strictă;
relația “ < “ între numere naturale , pentru relația de ordine mai mic în sens strict.

36
Funcții
Orice relație între A și B se poate gândi ca fiind o lege, astfel încât la fiecare element di n
A să se asocieze unul sau mai multe elemente din B sau chiar nici un element.
Importante sunt acele relații care asociază fiecărui element din A un element și numai
unul din B. In felul acesta s -a găsit util să se dea o denumire specială pentru asemenea relații.
Dacă R este o relație binară de la mulțimea A la mulțimea B, atunci mulțimile :
Dom ( R ) = { x
 A |
 y
B, xRy }
Codom (R) = { y
 b |
 x
 A, xRy } sunt domeniul și codomeniul relației
binare R.
O relație binară f
 A X B se zice :
relație funcțională de la A la B, dacă pentru orice x
 Dom (f) există un unic y
 Codom ( f) cu
xfy;
funcție sau aplicație definită pe A cu valori în B și notăm f : A
 B dacă f este o relație
funcțională de la A la B cu Dom ( f ) = A.
Deci, f este o funcție definită pe A cu valori în B dacă și numai dacă pentru orice x

A există o unică pereche ( x, y )
 f. Pentru a arăta că x și y sunt asociate în relație funcțională
se scrie y = f ( x ) sau x
 f (x).
Dacă f : A
 B atunci unicul element y
 B cu x f y se notează y = f (x) și se
numește imaginea lui x prin f sau valoarea funcției f pentru elementul x.
Fie f : A
 X
 Y și g : X
 Y. Dacă f(a) = g(a) pentru orice a
 A atunci f se
zice restricție a lui g la mulțimea A, iar g se zice că este o prelungire a lui f la mulțimea X.
Mulțimea tuturor funcțiilor f : A
 B se notează cu F (A, B ).
Funcția f : A
 B definită prin f(x) = x pentru orice x
 A se numește funcție
identitate sau identică pe A și se notează 1x.
Dacă f : A
 B, atunci mulțimea Gf = {( x, y )
 A X B | y = f (x)} se numește
graficul funcției.

37
Moduri de definire a funcției
a) Funcții definite sintetic
O funcție f : A
 B poate fi definită precizând pentru fiecare element din A ce
element i se asociază din mulțimea B. Exemplu : A = {a, b, c, d }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, f : A

B.
Astfel f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 4, f(d) = 5 sau
x a b c d
F ( x) 1 3 4 5

Sau

A B
b) Funcții definite analitic
O funcție f : A
 B poate fi definită specificând o proprietate, regula ce leagă un
element oarecare x din A de elementul f(x) din B.
f : A
 B, A = { 1, 2, 3}, B = { 3, 4, 5 } , f(x) = x + R
Ținând cont că o funcție f se descrie prin cele trei elemente, domeniul de definiție,
codomeniul și legea de corespondență, putem preciza că două funcții f : A
 B și g : C
 D
sunt egale dacă și numai dacă A = C, B = D și f(x) = g(x),
 x
 A.
Spunem că f este pară dacă f(x) = f( -x), iar f este impară dacă f( -x) = -f(x).
a

b

c

d 1

2

3

4

5

38
Funcții monotone
Fie f : D
 R (D
 R ). Funcția f se numește :
a) monoton crescătoare pe D dacă
 x1 x2
 D, x1 < x2
 f (x1)
 f (x2);
b) strict crescătoare pe D dacă
 x1 x2
 D, x1 < x2
 f(x1) = f(x2);
c) monoton descrescătoare pe D dacă
 x1 x2
 D, x1 < x2
 f(x1)
 f(x2);
d) strict descrescătoare pe D dac ă
x1 x2
 D, x1 < x2
 f(x1) > f(x2);
e) monotonă pe D dacă f este monoton crescătoare sau monoton descrescătoare pe D;
f) strict monotonă dacă f este strict crescătoare sau strict descresc ătoare.
Funcții injective, surjective, bijective
O funcție f : A
 B se spune că este :
a)injectivă dacă pentru orice x 1 x2
 A cu x 1
 x2 avem f(x 1)
 f(x2) sau dacă pentru
f(x1) = f(x 2)
 x1 = x 2;
b)surjectivă dacă pentru orice y
 B, există x
 A astfel încât y 0 f (x);
c)bijectivă dacă este injectivă și surjectivă .
Fie f : A
 B și g : C
 D două funcții. Se definește g
 f : A
 C numită funcția compusă
a lui g cu f, funcție care are ca domeniu pe A și codomeniu pe C și ( g
 f ) (x) = g (f (x)).
Compunerea a două funcții bijective este o funcție bijectivă.
Numere naturale
Cardinalul a este finit dacă a
 a + 1,dacă un cardinal nu este finit sau transfinit.
Mulțimea simbolurilor care reprezintă cardinalele f inite se numește mulțimea numerelor
naturale și se notează cu N.
N = { 0, 1, 2,….,n, ….}, N* = { 1, 2, …, n, …}.
Teoremă : Dacă a + 1 = b + 1, atunci a = b.
Fie mulțimea M, care are cardinalul a + 1 = b + 1.
Există mulțimile A și B, care îndep linesc condiția M = A
 {u} = B
 {v}.
Putem construi aplicația bijectivă f : A
 {u}
 B
 {v}, în care avem f(u) = v. Facem o
restricție a aplicaț iei f, excluzând, din domeniul de definiție pe u și din codomeniu pe v.
Rămâne funcția bijectivă f : A
 B. Deci, A
~ B și A = B. Atunci, card(A
 {u}) = a +
1
 A = a
 a = b; card (B
 {v}) = b + 1
 B = b.
Teoremă: dacă numărul natural a este finit, atunci și a + 1 este finit.

39
Presupunem că a + 1 nu este finit. Atunci avem : a + 1 = (a+1) + 1, iar din teore ma
anterioară rezultă că a = a + 1, adică a nu ar fi finit, ceea ce contrazice ipoteza.
Schematic, inducția matematică se prezintă astfel : P(a) este adevărată.
Ipoteza: P (n) se presupune adevărată.
Concluzia : P(n+1) se demonstrează că este adevărată.
Folosind inducția, se demonstrează că numerele naturale sunt și regulate față de adunare
(adică, dacă a + n = b + n, atunci a = b) și numerele mulțimii N* sunt regulate față de înmulțire
(adică, dacă a x n = b x n, atunci a = b).
Adunarea și înmulțirea numerelor natural verifică aceleași proprietăți ca și adunarea și
înmulțirea ca rdinalelor.

II.3. Operații cu numere naturale
a) Adunarea
Numerele care se adună se numesc termeni, iar rezultatul adunării se numește sumă.
Adunarea numerelor natural are acel eași proprietăți cu cea a cardinalelor :
adunarea a două numere naturale este tot un număr natural ( se spune că în N adunarea este parte
stabilă ), deci
 a, b
 N
 a + b
 N;
comutativitate :
 a, b
 N, avem a + b = b + a;
asociativitate :
 a, b, c
 N
 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ;
0 este element neutru la adunare, căci
 a
 N, avem a + 0 = 0 + a = a.
Asociativitatea poate fi folosită cu succes în calculele mintale.
Exemplu : :
1+2+3+…+97+98+99+100=100+(1+99)+(2+98)+(3+97)+…=(100×99):2+100=( 100×101):2
b) Scăderea
A scădea două numere a și b, primul numit descăzut, al doilea scăzător, înseamnă a găsi
un număr, numit rest sau diferență, care adunat cu scăzătorul să ne dea descăzutul.Operația se
notează cu semnul “ -“.În felul acesta, se mai spune că scăderea este operația inversă adunării.
Avem deci a -b =x, dacă b+x=a. In mulțimea numerelor natural operația de scădere este posibilă
numai dacă a
 b.
Proprietăți și reguli de calcul :

a, b
 N, avem a+b -b=a;

40
pentru a scădea un număr dintr -o sumă este suficient să -l scădem dintr -un termen al sumei (dacă
este p osibil ) : a+b+c+d -m=a+b+(c -m)+d, c > m;
dacă mărim și descăzutul și scăzătorul cu același număr, diferența nu se schimbă : (a+b )-(b+c)=a –
b;
dacă micșorăm și descăzutul și scăzătorul cu același număr, diferența nu se schimbă : (a -c)-(b-
c)=a-b;
dacă scăzătorul crește sau scade cu un număr, atunci și diferența crește sau scade cu același
număr :a -(b+c)=a -b-c; a-(b-c)=a-b+c;
dacă desc zzutul crește sau scade cu un număr, atunci și diferența crește sau scade cu același
număr : (a+c) -b=(a-b)+c; (a -c)-b=(a-b)-c.
c) Înmulțirea
A înmulți două numere a și b, primul numit deinmulțit, al doilea înmulțitor, înseamnă a
afla s uma a “b” terme ni egal i cu a :
axb =a+a+a+…+a, unde suma precedent ă are b termeni.
Tot prin definiție ax1=a și ax0=0.
Numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.
Proprietăți :
comutativitate : a x b = b x a,
 a, b
 N;
asociativitate : a x (b x c) = (a x b) x c,
 a, b, c
 N;
distributivitate față de adunare : a x (b + c) = a x b + a x c,
 a, b, c
 N;
numărul 1 este element neutru : a x 1 = 1 x a,
 a
 N.
Reguli de calcul :
– într-un produs de mai mulți factori putem schimba oricum ordinea factorilor, fără ca
produsul să se schimbe;
– într-un produs de mai mulți factori putem înlocui doi sau mai mulți factori prin produsul
lor;
– produsul aceluiași factor se numește putere; a x a x a x…xa = an ; n factori
– înmulțirea este distributivă față de scădere :
a x (b -c) = a x b – a x c,
 a, b, c
 N (b > c);
-dacă un factor al produsului se înmulțește de n ori, produsul însuși se mărește de tot
atâtea ori.

41
d) Împărțirea
A împărți două numere date a și b, primul deîmpărțit, al doilea împărțitor, înseamnă a gă si
un număr numit cât, care înmulțit cu împărțitorul să ne dea deîmpărțitul.
Împărțirea lui a la b se scrie a : b sau a / b.
Împărțirea este operația inversă a înmulțirii. Ea nu este totdeauna posibilă, Când
împărț irea este posibilă, câtul este unic. Îm părțirea la 0 nu este niciodată posibilă.
Această operație poate fi văzută și ca o scădere repetată. Cu ajutorul mulțimilor, ea se
pune în evidență astfel : fiind dată o mulțime A cu elemente, formăm submulțimi disjun ctive,
fiecare având același număr de elemente.
Se pun în evidență două procedee de împărțire :
– împărțirea prin cuprindere este procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al
submulțimii B, trebuie să aflăm numărul de submulțimi;
– împărțirea în părți egale este procedeul prin care , cunoscând numărul de elemente al
mulțimii A și numărul de submulțimi B, trebuie să aflăm numărul de elemente dintr -o
submulțime.
Teorema împărțirii cu rest :

a, b
 N (b
 0), există do uă numere natural q și r, numite respective cât și rest, astfel încât :
a = b x q + r, r < b (D = Î x Q +R). Numerele q și r determinate de aceste condiții sunt unice.
Când restul este 0, spunem că avem o împărțire exactă.
Proprietăți și reguli de calcul :
( a : b) x b = a;
a x b x c : m = a x (b : m) x c;
-dacă înmulțim deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr, câtul nu se schimbă: a x c : b
x c = a : b;
-dacă împărțim și deîmpărțitul și împărțitorul la același număr , câtul nu se schimbă : (a :
c : (b : c) =a : b;
-pentru a împărți un număr la un produs, împărțim pe rând la fiecare factor al produsului;
-pentru a împărți un produs la un alt produs, se efectuează mai întâi simplificările;
-pentru a împărți o sumă sau o diferență la un număr, p utem împărți fiecare termen la acel
număr : (a+b -c) : m = a:m + b:m – c:m;
Împărțirea cu rest are următoarele reguli :

42
– dacă înmulțim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr, câtul împărțirii rămâne
același, dar restul se inmulțește și el cu ac el număr;
– dacă împărțim și deîmpărțitul și împărțitorul la același număr, câtul împărțirii rămâne
același, dar restul se împarte și el la acel număr.

II.4. Probleme specifice predării –învățării adunării și scăderii numerelor până la 10
Am arătat că î nvățarea operațiilor aritmetice se face prin analogie, spre exemplu, adunarea
numerelor formate din zeci se face prin analogie cu adunarea numerelor formate numai din
unități. Extinderea concentrului presupune o însușire corectă a noțiunii de număr natural și
înțelegerea operației la nivelul celor mai mici numere (concentrul 0 -10). Concentrele sunt
stabilite în concordanță cu baza de numerație (baza 10) și sistemul zecimal pozițional utilizat.
Se începe cu operațiile de adunare și scădere pentru că sunt ma i accesibile școlarului de
vârstă mică și pentru că toate celelalte operații se bazează pe acestea. Pentru că nu se poate vorbi
la clasa pregătitoare și I-IV de numere întregi, scăderea este pentru copil o operație inversă a
adunării. Înmulțirea este o ad unare repetată de termeni egali, iar scăderea repetată a aceluiași
scăzător reprezintă împărțirea, procedeul „cuprinderii” bazându -se pe acestea.
Introducerea operațiilor de adunare și scădere se face folosind reuniunea și disjuncția
mulțimilor. Acțiunile concrete cu mulțimi de obiecte îi pregătesc pe elevi pentru înțelegerea
esenței operației. Folosind exemple variate de mulțimi, elevul trebuie să înțeleagă că rezultatul
adunării este cardinalul reuniunii a două mulțimi disjuncte.
Cum se procedează în tr ecerea de la etapa perceptivă la cea a reprezentărilor și api la
conceptul de adunare?
Faza concretă (acțiunea concretă și nemijlocită cu obiectul cunoașterii sau de reprezentare
acțională după Jerome Bruner ): se cere elevilor să formeze mulțimi cu 3 și cu 4 bețișoare și să le
alăture (reunească), se obține o mulțime formată din 7 bețișoare. Pentru a evita o generalizare
îngustă și a asigura suportul intuitiv în parametri optimi se procedează asemănător cu mulțimi de
jetoane, creioane, flori, bile, etc. Elevul observă că, indiferent de elementele mulțimii, reunind
mulțimea de 3 elemente cu cea de 4 elemente obține o mulțime ( mai mare ) de 7 elemente.
Faza semiabstractă a formării reprezentărilor imaginativ concrete: elevii desenează în
caiete mulțimi c u elemente cunoscute de ei (bețișoare, brazi, steluțe).

43

Trebuie explicat elevilor că există o modalitate mai ușoară de a scrie ce am făcut. Se scrie
pe tablă : 3 4 7. Elevii vor observa că nu prezintă nici un înțeles această scriere. Le -am explicat
apoi că vom folosi semnul „+”, numit plus, pentru a arăta că am reunit două mulțimi (una cu 3
elemente și cealaltă cu 4 elemente ); semnul „+” se scrie între numerele care reprezintă numărul
de elemente al fiecăreaia dintre cele două mulțimi ce au fost reunite (adunate, 3+4 și 4+3). Pentru
că simbolurile grafice 3+4 și 7 arată numărul de elemente ale aceleiași mulțimi, se folosește între
ele simbolul „=”, numit egal și vom scrie 3+4=7. Analog, 4+3=7.
Am definit termenii operației de adunare și rezultatul (sumă sau total).
Deoarece 3+4 și 4+3 reprezintă același număr (7), deci sumele dintre 3 și 4 și, respectiv, 4
și 3 sunt egale, spunem că oper ația de adunare are proprietatea de comutativitate. Dirijați de
învățător, prin efectuarea mai multor adunări, elevii vor descoperi singuri această proprietate,
enunțând -o în „limbajul lor”; vor spune că pot „muta” numerele între ele sau pot schimba locul
lor și obțin același rezultat.
Tot cu operații pe mulțimi am dedus proprietatea de simetrie a unei egalități (3+4=7 și
7=3+4 sau 4+3=7 și 7=4+3), ceea ce exprimă faptul că un număr se poate descompune în sumă
de două sau mai multe numere. Această propriet ate se va folosi în învățarea operațiilor cu trecere
peste ordin. Reunind o mulțime cu un element cu o mulțime cu 6 elemente se va obține o mulțime

44
cu 7 elemente. Și, în același mod, reunind o mulțime cu 6 elemente cu o mulțime formată dintr –
un element se obține o mulțime formată din 7 elemente.

Deci : 3+4=7 4+3=7
1+6=7 6+1=7
Consolidându -se operația de adunare în concentrul 0 – 10 a două numere, vor reuși să
adune și trei numere în același concentru, prilej cu care se va introduce proprie tatea de
asociativitate a adunării.
După operarea pe mulțimi, elevii vor obține 1+2+4=7; 1+4+2=7; 2+4+1=7 și vor
concluziona că nu contează ordinea termenilor în efectuarea adunării, acești termeni pot fi
grupați, asociați diferit, rezultatul adunării r ămânând neschimbat.
Pentru a se asigura funcționalitatea cunoștințelor se vor rezolva și compune probleme
simple, cu obiecte concrete, uzuale.
Pe parcursul rezolvării de probleme elevii vor observa că expresiile „împreună”, „la un
loc”, „suma lor”, „în t otal”, „cu atât mai mult”, „mărit cu”, „mai mare cu” cer operația de
adunare.
Scăderea numerelor naturale în concentrul 0 – 10 se introduce în strânsă legătură cu
operația de diferență dintre o mulțime și o submulțime a sa. Deci, la baza operației de scăd ere stă
conceptul de mulțimi complementare. Dintr -o mulțime de obiecte ce au un atribut comun se
izolează ( se extrage, se retrage, se îndepărtează, se ia )o submulțime de obiecte, rămânând o
mulțime de obiecte cu un număr mai mic decât cel al mulțimii ini țiale.
Etapele formării conceptului sunt aceleași ca la adunare, respectiv vor manipula mai întâi
obiecte, vor desena apoi obiectele în mulțimi, apoi mulțimi cu diferite simboluri. Trecându -se la
etapa reprezentărilor simbolice, se precizează că simbolul operației de scădere este semnul grafic
„-„ (minus), că numărul din care se face scăderea se numește descăzut, iar cel care se scade,
scăzător , iar rezultatul scăderii se numește diferență (rest).
7-4=3 7
 descăzut
„-„
simbolul operației de scădere
4
 scăzător
3
 diferență sau rest

45
După efectuarea mai multor scăderi se vor dirija elevii în a observa că descăzutul trebuie
să fie mai mare sau egal cu scăzăt orul pentru a fi posibilă scăderea numerelor naturale.
Ca și la adunare, este necesar să se rezolve și compună probleme, atât pentru motivația
învățării scăderii, cât și pentru consolidarea acesteia.
În urma rezolvării problemelor, elevii vor observa că anumite expresii presupun
efectuarea scăderii : „mai puțin cu”, „mai mic cu”, „să se afle diferența”, „mai tânăr cu”, „cu cât
are mai puțin”, „cu cât are mai mult”.
Acum se pot asimila și modurile în care se poate proba corectitudinea efectuării operației
și se pot stabili „reguli” de aflare a termenului necunoscut dintr -o egalitate unde apare adunarea
sau scăderea.
Pentru a nu permite însușirea mecanică a regulii de aflare a descăzutului, spre exemplu, se
impun multe operații în plan concret, reversibili tatea gândirii nefiind antrenată suficient la
această vârstă, școlarul trebuie să alăture mulțimi și apoi să le separe până la înțelegerea legăturii
dintre adunare și scădere.

II.5. Probleme specifice predării – învățării adunării și scăderii numerelor n aturale cu
trecere peste ordin
Pornind de la adunări și scăderi în concentrul 0 – 10, elevii dispun de cunoștințe și tehnici
de lucru, se poate extinde mulțimea numerelor naturale ce sunt implicate în adunări și scăderi.
Elevii cunosc:
– mulțimi și operații cu submulțimi;
– noțiunea de număr natural, sistemul de numerație, operațiile de adunare și de scădere;
– proprietățile operațiilor, probele prin adunare și scădere, simetria egalităților.
Toate acestea trebuie împrospătate, reactualizate, mai al es descompunerea numerelor în
așa fel încât să se evidențieze ordinele.
În adunările de felul 14 + 3 elevii nu vor întâmpina dificultăți la fel de mari ca atunci
când suma unităților depășește zecea ( 7 + 5 ), chiar dacă termenii sunt mai mic i decât în primul
caz.
Este indispensabil ca elevul să opereze adunarea bețișoarelor pe bancă. Învățătorul
dirijează astfel modul de operare : după ce elevii au mulțimile de 7 și 5 bețișoare formate pe
bancă, li se cere să adauge celor 7 cât mai trebuie pentru a forma o zece (3).Elevii vor observa că

46
au pe bancă o zece (7+3) și încă două bețișoare, deci douăsprezece. Dacă nu sunt conduși spre
acest mod de lucru, elevii vor alătura mulțimile și vor număra apoi câte bețișoare au în această
reuni une.
Descompunerea unui termen în sumă de două numere se aplică atât primului termen, cât
și celui de -al doilea, accentuându -se folosirea comutativității și asociativității.
Se utilizează în învățarea numerelor mai mari decât 10 bețișoarele grupate în zeci, pentru
ca elevul să poată desface și reface, să ajungă singur la concluzia că putem reprezenta 1 bețișor,
o zece sau o sută de bețișoare cu ajutorul aceleiași cifre, așezată pe alt loc (sistemul pozițional),
deoarece în moment ul „împrumutului” de la ordinul imediat superior la scăderea cu trecere peste
ordin școlarul să nu aibă dificultăți.
Pentru aceasta, în pregătirea lecțiilor de scădere cu trecere peste ordin se reactualizează
cunoștințele privind :
 numerele na turale de la 0 la 20 (formare, numărare, citire, scriere, relație de ordine);
 compunerea și descompunerea numerelor naturale mai mic și mai mari decât 10;
 adunarea a două sau mai multe numere naturale;
 reprezentarea în limbaj matematic a expresiilor „mai m ic cu”, „mai mare cu”, etc.
Scăderea cu trecere peste ordin în concentrul 0 -20 pune bazele scăderii cu trecere peste
ordinul zecilor, sutelor, miilor de mai târziu. De aceea trebuie să i se acorde o atenție sporită, mai
ales cazului în car e unitățile scăzătorului sunt mai multe decât cele ale scăzătorului. Acest caz de
scădere poate fi explicat prin două procedee :
1. prin descompunerea unităților scăzătorului în două : o parte cu numărul unităților descăzutului
care se scade din acestea ș i se obține restul zero, iar a doua parte a unităților scăzătorului se
scade din zecea descăzutului. Exemplu :
13 – 8 = 10 + 3 – 8 = 10 + 3 -3 -3’5 = 10 + 0 – 5 =5
2. prin descompunerea descăzutului în zeci și unități, apoi din zecea descăzutului se scad toate
unitățile descăzutului. Exemplu :
13- 8 = 10 + 3 -8 = 10 – 8 + 3 = 2 +3 = 5
Astfel am dat elevilor posibilitatea de a opta pentru procedeul care li se pare mai ușor de
aplicat.

47
Scăderile mai sus amintite necesită efectuarea unui număr ma i mare de ore și foarte
atentă evaluarea, deoarece stăpânirea unei tehnici permite accesul la următoarea treaptă
superioară.
Prezentarea tuturor căilor posibile de a ajunge la rezultat are un pronunțat caracter
formativ și înarmează bine elev ul în „lupta” cu matematica. Așezarea unele sub altele cred că
trebuie utilizată după ce toți elevii dovedesc înțelegerea tehnicii scăderii cu trecere peste ordin,
această scriere fiind cea mai comodă și economică formă de calcul, dar conține un pas spre
abstractizare, nepermițând descompunerea în scris, a scăzătorului.

II.6. Modalități de predare – învățare a operațiilor de înmulțire și împărțire a numerelor
naturale
În clasa a II-a, când elevii au dobândit cunoștințe și și -au format priceperi și deprind eri de
efectuare a adunării și scăderii, se învață înmulțirea și împărțirea.
Înmulțirea, ca adunare repetată, presupune reactualizarea cunoștințelor despre adunare (
proprietățile adunării, modul de formare, citire și scriere a numerelor naturale).
După mai multe exerciții de adunare de termeni egali ( 2+2+2; 3+3+3+3) li se explică
elevilor că aceste exerciții se citesc și în alt mod (2 luat de 3 ori sau 3 ori 2, 3 luat de 4 ori sau 4
ori 3) și se poate folosi o altă scriere :
 2+2+2=2×3 (se citește 2 ori 3 sau de 3 ori 2);
 3+3+3+3=3×4 ( 3 ori 4 sau de 4 ori 3).
Se explică termenul de înmulțire, folosindu -se și cunoștințele copiilor. Se prezintă
simbolul operației de înmulțire „x”( „∙”) ori , înmulțit ; se denumesc numerele care se înmulțesc (
factori, F1 și F2) și rezultatul înmulțirii ( produs :P) .
Pe baza materialului concret ( 5 grupe a câte 2 bețișoare ) se dovedește că 10 este de 5 ori
mai mare decât 2.Se vor stabili, după efectuarea multor exerciții, expresiile care cer înmulțirea :
„aflați pro dusul”, „mai mare de atâtea ori”, „mărit de atâtea ori”.
Încă din primele ore de predare a înmulțirii se urmărește proprietatea de comutativitate ,
ce va fi folosită în stabilirea rezultatelor înmulțirii, în alcătuirea tablei înmulțirii.
Distributivitat ea înmulțirii față de adunare se descoperă eficient în probleme.

48
Tabla înmulțirii este cerută la un moment dat chiar de elevi. Se calculează prin adunare
repetată 7×9=63, apoi se rezolvă o problemă ce are ca rezolvare acest exercițiu. Elevii vor
observa c ă nu trebuie să mai calculeze, având deja rezultatul calculat.
Tabla înmulțirii cu un număr parcurge etapele :
 repetarea tablei înmulțirii cu numărul precedent (numerele precedente);
 stabilirea înmulțirilor cunoscute cu numărul respectiv ca factor ;
 obținerea rezultatelor celorlalte înmulțiri prin folosirea rezu ltatelor înmulțirilor cunoscute ;
 scrierea completă a tablei înmulțirii cu același număr ;
 învățarea tablei înmulțirii cu numărul respectiv ;
 aplicarea înmulțirilor învățate în exerciții și probleme.
Împărțirea numerelor naturale se efectuează prin două procedee :
– împărțirea prin părți egale ;
– împărțirea prin cuprindere.
Împărțirea în părți egale este mai accesibilă înțelegerii copilului; exprimarea întrebuințată
este în concordanță cu procesul de g ândire care are loc, iar justificarea operațiilor se face fără
dificultăți.
Numărul pe care îl împărțim se numește deîmpărțit , iar cel la care împărțim, împărțitor.
Rezultatul operației se numește cât.
Pentru efectuarea înmulțirilor și împărțirilor cu t recere peste ordin este important ca
etapele prezentate până acum să fie o însușire logică și corect gradată.
Dificultăți întâmpină unii școlari în înmulțirea a două numere scrise cu două sau mai
multe cifre, la așezarea produselor parțiale, dar am obser vatcă acest fapt își are obârșia în
neînțelegerea sistemului pozițional, cheia tuturor formelor de calcul „unele sub altele”.
Înmulțirea cu 10, 100, 1000 nu presupune greutăți în înțelegerea regulii, dar impune o
bună fixare întrucât sunt calcule de bază în transformarea dintr -o unitate de măsură în alta.
Imediat școlarii au observat legătura dintre înmulțire și împărțire. Consider că la această vârstă
reversibilitatea trebuie bine antrenată.
Este greu de înțeles de către elevi că și înmulțirea și împărți rea sunt legi de compoziție
multiplicative, că împărțirea este de fapt o înmulțire cu inversul celui de -al doilea număr. O idee
în acest sens vor căpăta în clasa a IV -a la capitolul despre fracții.

49
CAPITOLUL III
COORDONATELE METODOLOGICE ALE CERCETĂRII A PLICATIVE
Orice cercetare – arată Gėnėze – începe printr -o observație relativ inițială (I) care dă
naștere unei conjecturi (II), transformă prin inducție (III) în ipoteză (IV), continuă cu ajutorul
deducției (V) formulându -se previziuni pe care experimentu l (VI)și observația relativ finală
(VII) le confirmă sau le infirmă (apud V. Miftode, 1982, p. 161).

III.1. Ipoteza și obiectivele cercetării
În cadrul cercetării efectuate am pornit de la urmă toarea ipoteză: utilizarea și integrarea
adecvată în lecțiile de matematică a jocului didactic poate duce la creșterea eficienței învățării
operațiilor matematice și prin aceasta la îmbunătățirea performanțelor școlar e ale elevilor din
ciclul primar.
Din prezumția formulată se desprind două variabile ale cercetării :
– variabila independentă – utilizarea jocului didactic în cadrul lecțiilor de matematică;
– variabila dependentă – creșterea eficienței însușirii operațiilor aritmetice , demonstrată
prin progresul școlar al elevilor.
În vederea demonstrării acestei i poteze mi -am propus declanșarea unei cercetări
psihopedagogice care are ca obiectiv dovedirea eficienței jocului didactic în orele de matematică.
Variabila independentă este utilizarea jocului didactic în înțelegerea mulțimilor și
aplicării lor în rezolva rea exercițiilor și problemelor de matematică.
Variabila dependentă este randamentul învățării reflectat în rezultatele obținute la testele
de evaluare sumative aplicate la lotul experimental, respectiv, cel de control.
În vederea organizării și desfășură rii investigației practice mi -am propus realizarea
următoarelor obiective:
– cunoașterea psihologică a elevilor, a trebuințelor, intereselor, aptitudinilor, nivelului de
aspirații;
– găsirea acelor strategii didactice care au ca scop activizarea elevilor la or ele de
matematică;
– descoperirea acelui stimul complex care să contribuie la educarea atenției elevilor;
– eleborarea și aplicarea unor probe de evaluare la disciplina matematică;

50
– înregistrarea, analiza, prelucrare și interpretarea rezultatelor obținute în ve derea stabilirii
progresului/regresului elevilor în urma aplicării jocului didactic în rezolvarea exercițiilor și
problemelor propuse;
– elaborarea concluziilor asupra studiului realizat.

III.2. Metodologia cercetării
A.Metode și tehnici de colectare a d atelor:
– Observația – este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin
cunoștințe, sau organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar. Această metodă asigură
baza intuitivă a cunoașterii, care permite o p ercepție polimodală, asigură formarea de reprezentări
clare despre obiecte devenite în timpul orei material didactic și însușirile caracteristice ale
acestora; asigură investigarea directă a unor relații sau corelații. Ca metodă, observația este
însoțiță d e explicație -elementul de dirijare a l observației . Trebuie avut permanent în vedere
utilizarea unui limbaj adecvat care însoțește observația. Perfecționarea metodei vizează
asigurarea saltului de la observația sistematică dirijată, la observația sistemati că realizată
independent de elev .
– Experimentul – este apreciat ca cea mai importantă metodă de cercetare, pentru că
relatează date precise. Experimentul constă în provocarea intenționată a subiectului – în cazul
nostru elevii, fiind provocați p rin exerciții și probleme în scopul verificării ipotezei de lucru.
Aceasta va fi confirmată sau infirmată în timpul cercetării.
Experimentul în literatura de specialitate este prezentat sub mai multe tipuri:
– experiment de laborat or – care presupune scoaterea subiectului din mediul lui obișnuit, și
introdus într -o ambianță anume creată – în cazul nostru elevii să fie meditați
– experimentul natural – unde subiecții sunt studiați și urmăriti în condiții obișnuite de v iață –
în cazul nostru elevii sunt observați în clasă.
– Metoda analizei produselor activității – este o metodă care dezvăluie informații despre
procesele psihice și unele trăsături de personalitate ale elevilor prin activitățile desfășurate de
aceștia, cum ar fi: lucrări scrise, caiete de teme, referate, compuneri de exerciții și probleme,
creații literare. Această metodă permite descoperirea elevilor cu potențial remarcabil în
rezolvarea exercițiilor și problemelor.

51
– Metoda testelor – este o metodă care ajută la diagnosticarea nivelului de dezvoltare a
subiectului – aici fiind vorba de elevi – și formularea pe această bază a unei prognoze asupra
evoluției lor. Pentru măsurarea dezvol tării intelectuale a elevilor trebuie aplicate mai multe teste ,
iar rezultatele obținute trebuie corelate cu rezultatele celorlalte metode aplicate.
B.Metode matematico -statistice:
– Tabele analitice;
– Tabele sintetice;
– Reprezentări grafice: diagrama areolară, poligon de frecvență, histogr ama;
– Indici statistici: media, mediana, modulul;
– Indicii variabilității: amplitudinea, abaterea de la medie sau media abaterilor absolute,
dispersia sau varianta, abaterea standard sau tip, metoda rangurilor.

Cercetarea a cuprins trei etape:
A. Etapa inițială care a avut un caracter constatativ.
B. Etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă în stimularea proceselor
psihice și a personalității elevilor.
C. Etapa evaluării ce a avut un caracter comparativ, cu p rivire la rezultatele obținute
în urma demersului experimental formativ.

C. Eșantionul experimental:
În vederea urmăririi obiectivelor și a verificării ipotezei formulate, am cupr ins în cercetare
un număr de 27 elevi -14 băieți și13 fete de la Școala Gimnazială “Ion Strat“ Gioseni, clasa a II –
a B – grup experimental (eșanti onul experimental ) – respectiv 23 elevi – 14 baieți și 13 fete de la
Școala Gimnazială “Ion Strat“ Gioseni, clasa a II – a A – grup de control (eșantionul martor ).
Cercetarea s -a desfășurat în anul școlar 2016 – 2017, în perioada 17 . 10. 2016 – 14. 04 . 2017
(22 săptămâni – 88 ore).

52
Capitolul IV ANALIZA, PRELUCRAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR
CERCETĂRII

IV.1. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor evaluării i nițiale

Etapa inițială a constat în aplicarea unui test de evaluare inițială. Scopul a fost acela de a
stabili punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental.
Având un caracter constatativ, testul de evaluare inițială reflectă volumul și cali tatea
cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor de calcul aritmetic al elevilor, constituind un punct de
pornire în demersul formativ.
Același test a fost dat ambelor eșantioane.
Unitatea de învățare: „Operații cu numere naturale în concentrul 0 – 100”
Conținut: „Numărăm și calculăm până la 100, călătorind prin Univers ”
OBIECTIVE ITEMI
O1 – să numere corect, respectând cerința 1. Numără:
a) din 2 în 2 de la 46 până la 60
b)din 5 în 5 de la 85 până la 50
c) din 10 în 10 de la 100 până la 30
O2 – să scrie în ordine crescătoare numerele
date 2. Scrie crescător numerele: 44 ; 67; 34; 13; 20;
29; 92;40;57 .

O3 – să recunoască numerele pare 3. Încercuiește numerele pare:
43; 78; 99; 32; 90; 16; 77; 64; 81; 53 .

O4 – să compare perechile de numere 4. Compară numerele:
33…..67; 44…..24 ; 61…..16; 59…..59;
82…..83 ; 72…..27 .

O5 – să descompună numerele date în zeci și
unități 5. Scrie sub formă de sumă (zeci + unități):
45= 66=
91= 15=
70= 83=

53

O6 – să efectueze adunările și scăderile date

O7 – să recunoscă operația ce trebuie efectuată 6. Calculează:
7 + 2= 9 – 6=
20+45+13= 89 -35=
14+24= 43+12 -21=
68 -42= 50+46=

7. Află suma numerelor 24 ; 81; 35 cu
răsturnatele lor:
O8 – să afle numerele, folosind operația
potrivită

8. Află numărul necunoscut:
a+43 =65 b -17=42
a= b=
a= b=
88 – c=46
c=
c=
O9 – să rezolve corect problema 9. Marin are 26 cuburi.Aurel îi dăruiește 13
cuburi. Câte cuburi are acum Marin?

Descriptori de performanță
Itemul Suficient Bine Foarte bine
1 face corect o numărătoare face corect două
numărători face corect trei numărători

2 scrie trei numere în ordine scrie șase numere în ordine scrie nouă numere în ordine

3 încercuiește trei numere încercuiește șase numere încercuiește nouă numere

4 compară două perechi compară patru perechi compară șase perechi

54
5 descompune două numere descompune patru numere descompune șase numere

6 calculează corect trei
exerciții calculează corect șase
exerciții calculează corect nouă
exerciții

7 află corect un număr află corect două numere află corect trei numere

8 efectuează o operație
corectă efectuează două operații
corecte efectueaz ă trei operații
corecte

9 rezolvă cu două lipsuri rezolvă cu o lipsă rezolvă corect , scrie
rezolvare a, menționează
răspunsul

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial la eșantionul
experimental
Nr.
crt. Subiecț
i I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Calificativ
final
1. A. N. I S. I. S. I. I. I. I. I. Insuficient
2. B.L.I. I. I. I. I. I. I. I. I. I. Insuficient

3. B. E.
A. B. B. F.B. B. B. B. B. B. B. Bine
4. B. A.
A. B. B. F.B. B. B. B. B. B. B. Bine
5. B. D.
L. F.B. F.B. B. F.B. B. B. F.B. B. B. Bine
6. B. I
.L.I. B. B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. Bine
7. C.M.I. S. S. B. B. B. S. S. S. I. Suficient
8. D.E. S. S. I. I. S. S. S. I. I. Suficient

55
9. D.A.M. I. I. S. S. I. I. I. I. I. Insuficient
10. G.A.N. B. S. B. B. B. B. B. B. S. Bine
11. H.C. F.B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. Bine
12. H.D. B. B. S. B. B B. B. B. B. Bine
13. H.S.R. B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. Bine
14. I.A.I. I. S. I. S. S. I. I. I. I. Insuficient
15. M.A. S. B. S. I. I. S. S. I. I. Suficient
16. M.A.M
. S. B. B. S. S. S. S. S. S. Suficient
17. M.A.D. F.B. F.B. B. F.B. B. F.B. B. B. B. Bine
18. P.G.P. B. F.B. F.B. F.B. B. F.B. B. B. B. Bine
19. P.P.D. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. B. F.B. B. Foarte bine
20. P.R. I. S. I. B. S. I. I. I. I. Insuf icient
21. P.S. B. B. B. F.B. F.B. B. S. S. S. Bine
22. S.D.G. F.B. F.B. F.B. B. F.B. B. B. B. B. Bine
23. Ș.G. B. B. S. B. B. B. S. S. S. Bine
24. Ț.A. B. S. B. S. S. S. S. I. I. Suficient
25. Ț.B.Ș. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. B. Bine
26. V.A. F.B. F.B. F.B. B. F.B. F.B. B. B. B. Foarte bine
27. V.C.D. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. B. Bine
Pro
centaj 81%
93%
81%
89% 85%
81% 81% 70% 67% 82%

Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul experimental

Calificative obținute Numărul elevilor Procentaj
Foarte bine 2 7%
Bine 15 55%
Suficient 5 19%
Insuficient 5 19%

56

Histograma calificativelor la evaluarea inițială, eșantion experimental
0246810121416
I S B FBNumărul de copii

Diagrama areolară la testarea inițială, eșantion experimen tal
7%
55%19%19%
FB
B
S
I

57

Poligonul de frecvență la test area inițială, eșantion experimental
0246810121416
I S B FBNumăr copii

Calificative/Procente evaluare inițială eșantion experimental

În urma rezultatelor obținute la testarea inițială la eșantionul experimental s -au constatat
următoarele꞉ s-a observat că 75% dintre elevi stăpânesc operațiile de ordinul I, precum și
vocabularul matematic, iar 25% întâmpină greutăți la rezolvarea itemilor 8 și 9. Un număr de 8
elevi au întâmpinat dificultăț i la rezolvarea exercițiului de aflare a numărului necunoscut. În ceea
ce privește rezolvarea problemei, s -a obținut un procent de 67%. Procentul final obținut la acest
test a fost de 82% ( calificativul BINE).

58
Tabel analitic cu rezultatele obținu te în urma aplicării testului inițial la eșantionul de
control

Nr.
crt. Subiecți I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 I9 Calificativ
final
1. A.M.C. I S. I. S. I. I. I. I. I. Insuficient
2. B.L. I. I. I. I. I. I. I. I. I. Insuficient

3. B.C.I. B. B. F.B. B. B. B. B. B. B. Bine
4. B.R.B. B. B. F.B. B. B. B. B. B. B. Bine
5. C.C.L. F.B. F.B. B. F.B. B. B. F.B. B. B. Bine
6. C.D. B. B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. Bine
7. C.A. S. S. B. B. B. S. S. S. I. Suficient
8. F.I.A. S. S. I. I. S. S. S. I. I. Suficient
9. F.S.M. I. I. S. S. I. I. I. I. I. Insuficient
10. H.D.I. B. S. B. B. B. B. B. B. S. Bine
11. H.D.M. F.B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. Bine
12. H.R.I. B. B. S. B. B B. B. B. B. Bine
13. I.I.M. B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. B. Bine
14. I.T.I. I. S. I. S. S. I. I. I. I. Insuficient
15. J.D.L. S. B. S. I. I. S. S. I. I. Suficient
16. M.P. S. B. B. S. S. S. S. S. S. Suficient
17. M.M. F.B. F.B. B. F.B. B. F.B. B. B. B. Bine
18. P.A.M. B. F.B. F.B. F.B. B. F.B. B. B. B. Bine
19. S.L.M. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. B. F.B. B. Foarte
bine
20. Ș.G. I. S. I. B. S. I. I. I. I. Insuficient
21. Ț.R.N. B. B. B. F.B. F.B. B. S. S. S. Bine
22. V.C.D. F.B. F.B. F.B. B. F.B. B. B. B. B. Bine
23. V.R.I. B. B. S. B. B. B. S. S. S. Bine

59
Procent aj 78% 91% 78% 86% 83% 78% 78% 70% 65% 78%

Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul de control
Calificative obținute Numărul elevilor Procentaj
Foarte bine 1 4%
Bine 13 57%
Suficient 4 17%
Insuficient 5 22%

Histograma calificativelor la evaluarea inițială la eșantionul de control

02468101214
I S B FBNumărul de copii

60
Diagrama areolară la evaluarea inițială la eșantionul de control
4%
57%17%22%
FB
B
S
I

Poligonul de frecvență la evaluarea inițială la eșantionul de control
02468101214
I S B FBNumărul de
copii

61
Calificative/Procente evaluare inițială eșantion de control

0%10%20%30%40%50%60%
I S B FBEșantionul de
control

În urma rezultatelor obținute la testarea inițială a eșantionului de control s -a constatat că
un procent de 78% dintre elevi stăpânesc op erațiile de ordinul I, iar 22% întâmpină dificultăți la
determinarea unei necunoscute sau la rezolvarea problemelor cu două operații.

62
Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul inițial în procente:
0%10%20%30%40%50%60%
FB B S IEșantion
experimental
Eșantion de
control

Comparând rezultatele obținute de cele două eșantioane la testul inițial s -a constatat că
rezultatele pe clase sunt apropiate (82% eșantionul experimental și 78% eșantionul de control).
La obținerea calificativelor de Foarte bine s -a constatat că au f ost 2 elevi de la eșantionul
experimental și un elev de la eșantionul de control.
Calificativul Bine a fost obținut de către 15 elevi de la eșantionul experimental și 13 elevi
de la cel de control.
S-au obținut 5 calificative de Suficient la eșantionul experimental și 4 la eșantionul de
control, iar calificativul Insuficient a fost obținut în mod egal de către 5 elevi de la ambele
eșantioane.

IV.2. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor evaluării formative
B. Etapa intervenției ameliorative a avut un pronununțat caracter formativ, constând în
folosirea jocului didactic în orice variantă de lecție. Am aplicat ambelor clase un test de
ameliorare, în care am folosit atât metode tradiționale, dar, mai ales, metoda jocului didactic
pentru atingerea ob iectivelor propuse.
Unitatea de învățare: „Operații cu numere naturale în concentrul 0 – 100”
Conținut: „Numărăm și calculăm până la 100, călătorind prin Univers ”

63
Obiective urmărite Itemii testului
O1 – să rezolve corect adunările și scăder ile
propuse 1.Unește cu o săgeată fiecare exercițiu din
coloana A cu rezultatul corect din coloana
B:
A B A B
200+700 667 800 -300 724
143+246 398 978-254 500
470+280 900 730 -550 753
289+378 750 806 -369 180
389 437
O2 – să utilizeze corect terminologia
matematică învățată 2. Calculează suma și diferența numerelor
343 și 86 .
.
O3 – să identifice modalitatea de calcul pentru
aflarea termenului necunoscut 3. Calculați și aflați termenii necunoscuți:
200+a=287 211 – b=189
a= b=
a= b=

c-224=33 d+120=360
c= d=
c= d=

O4 – să rezolve corect problema 4 .În parc s -au plantat 348 pansele și cu 135
mai puține garoafe.
Câte fire de flori s -au plantat în total?
O5 – să completeze cu datele corespunzătoare
și să rezolve problema 5.Completează și rezolvă:
La o serbare s -au folosit baloane roșii și
galbene. Baloanele roșii erau ………, iar cele
galbene erau cu …….. mai multe.

64
Descriptori de performanță

Itemul Suficient Bine Foarte bine
1 Rezolvă corect toate
situațiile Rezolvă corect 6 -7 situații Rezolvă corect toate
situațiile
2 Identifică exercițiile și
rezolvă Identifică exercițiile și
rezolvă cel puțin două
exerciții Identifică exe rcițiile și le
rezolvă
3 Află corect toți termenii
necunoscuți Află corect 2 -3 termeni
necunoscuți Află corect toți termenii
necunoscuți
4 Rezolvă corect problema Rezolvă corect o aflare Rezolvă corect problema
5 Completează și rezolvă
problema Complete ază și rezolvă o
cerință Completează și rezolvă
problema

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului de ameliorare
pe eșantionul experimental
Nr. crt. Subiecți I1 I2 I3 I4 I5 Calificativ
final
1. A. N. B. S. S. S. I. Suficient
2. B.L.I. S. I. I. I. I. Insuficient
3. B. E. A. B. B. F.B. B. B. Bine
4. B. A. A. B. B. F.B. B. B. Bine
5. B. D. L. F.B. F.B. B. B. B. Bine
6. B. I .L.I. F.B. F.B. B. B. B. Bine
7. C.M.I. B. B. B. S. S. Bine
8. D.E. B. B. B. S. S. Bine
9. D.A.M. S. I. S. S. I. Suficient
10. G.A.N. B. B. B. B. B. Bine

65
11. H.C. F.B. F.B. B. B. B. Bine
12. H.D. B. B. S. B. B Bine
13. H.S.R. F.B. F.B. B. B. B. Bine
14. I.A.I. S. S. I. S. S. Suficient
15. M.A. B. B. B. S. I. Bine
16. M.A.M. B. B. B. S. S. Bine
17. M.A.D. F.B. F.B. B. B. B. Bine
18. P.G.P. F.B. F.B. B. B. B. Bine
19. P.P.D. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
20. P.R. B. B. B. S. I. Bine
21. P.S. F.B. F.B. B. B. B. Bine
22. S.D.G. F.B. F.B. F.B. B. F.B. Foarte
bine
23. Ș.G. B. B. S. B. B. Bine
24. Ț.A. B. B. B. S. S. Bine
25. Ț.B.Ș. F.B. F.B. B. B. B. Bine
26. V.A. F.B. F.B. F.B. B. F.B. Foarte
bine
27. V.C.D. F.B. F.B. B. B. B. Bine
Procentaj 99,99% 92,58% 92,57% 96,28% 81,47% 96,29%

Tabel analitic cu rezultatele testului de amelio rare la eșantionul experimental
Calificative obținute Numărul elevilor Procentaj
Foarte bine 3 11%
Bine 20 74%
Suficient 3 11%
Insuficient 1 4%

66
Histograma calificativelor la evaluarea formativă eșantion experimental
02468101214161820
I S B FBNumărul de copii

Diagrama areolară la evaluare a formativă eșantion experimental
11%
74%11%4%
FB
B
S
I

67
Poligonul de frecvență la evaluare a formativă eșantion experimental
0510152025
I S B FBNumăr copii

Calificative/Procentaj evaluar e formativă eșantion experimental
0%10%20%30%40%50%60%70%80%
I S B FBEșantion
experimental

Din datele mai sus menționate se constată o creștere a procesului de realizare a itemilor
propuși , cât și a procentului pe clasă, de la 82% la testul inițial, la 96,29% la testul de amelior are.
A scăzut numărul elevilor cu rezultate nesatisfăcătoare, de la 5 la 1 și a crescut numărul
celor cu rezultate bune și foarte bune.

68
Este un lucru îmbucurător, deoarece toate acestea nu înseamnă doar un progres în
cunoștințele elevilor, ci și în capac itatea lor intelectuală.

Tabel analitic cu rezultatele ob ținute în urma aplic ării testului de ameliorare pe eșantionul
de control
Nr.
crt. Subiecți I1 I2 I3 I4 I5 Calificativ
final
1. A.M.C. S. S. I. S. I. Suficient
2. B.L. I. I. I. I. I. Insuficient
3. B.C.I. B. B. F.B. B. B. Bine
4. B.R.B. B. B. F.B. B. B. Bine
5. C.C.L. F.B. F.B. B. F.B. B. Bine
6. C.D. B. B. F.B. F.B. B. Bine
7. C.A. B. B. B. S. S. Bine
8. F.I.A. B. B. B. I. S. Bine
9. F.S.M. I. I. S. S. I. Insuficient
10. H.D.I. B. S. B. B. B. Bine
11. H.D.M. F.B. F.B. F.B. F.B. B. Bine
12. H.R.I. B. B. S. B. B Bine
13. I.I.M. B. F.B. F.B. F.B. B. Bine
14. I.T.I. S. S. I. S. S. Suficient
15. J.D.L. B. B. B. S. I. Bine
16. M.P. B. B. B. S. S. Bine
17. M.M. F.B. F.B. B. F.B. B. Foarte b ine
18. P.A.M. B. F.B. F.B. F.B. B. Foarte bine
19. S.L.M. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte bine
20. Ș.G. S. S. I. B. S. Sufi
cient
21. Ț.R.N. B. B. B. F.B. F.B. Bine

69
22. V.C.D. F.B. F.B. F.B. B. F.B. Bine
23. V.R.I. B. B. S. B. B. Bine
Procent aj 91,29% 91,29% 82,60% 91,29% 82,59% 91,29 %

Tabel analitic cu rezultatele testu lui de ameliorare la eșantionul de control
Calificative obținute Numărul elevilor Procentaj
Foarte bine 3 13%
Bine 15 65%
Suficient 3 13%
Insuficient 2 9%

Histograma calificativelor la evaluarea formativă la eșantionul de control
0246810121416
I S B FBNumărul de copii

70
Diagrama areolară la evaluarea formativă la eșantionul de control
13%
65%13%9%
FB
B
S
I

Poligonul de frecvență la evaluarea formativă la eșantionul de control
0246810121416
I S B FBNumăr copii

71
Calificative/Procente la evaluarea formativă la eșantionul de control
0%10%20%30%40%50%60%70%
I S B FBEșantion de
control

Eșantionul experimental și cel de control după evaluarea formativă
0%10%20%30%40%50%60%70%80%
I S B FBEșantion
experimental
Eșantion de
control

Din datele înregistrate mai sus se constată o îmbunătățire a procentajului rezultatelor bune
și foarte bune pe clase. A crescut numărul elevilor care au obținut calificativul Foarte bine, 3 la
ambele clase, precum și a celor cu calificativul Bine, 20 la clasa experi mentală, respectiv 15 la
cea de control.
Elevii cu calificativul Suficient au scăzut la număr, fiind câte 3 la ambele clase.

72
Îmbucurător este faptul că a scăzut semnificativ numărul elevilor cu calificativul
Insuficient ( 1 la eșantionul experimental și 2 la cel de control).

IV.3. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor evaluării finale
C. Etapa evaluării finale constă în aplicarea unor teste de evaluare finală în scopul
comparării rezultatelor obținute după proiectarea și desfășurarea lecțiilor c u ajutorul metodei
jocului didactic, cu rezultate de la testele inițiale.
În lecțiile pregătitoare testului final s -a acordat o atenție deosebită eliminării lacunelor
existente în pregătirea elevilor la matematică prin continuarea utilizării jocului didac tic; crearea
suportului afectiv și motivațional necesar participării active la lecții; aplicarea unui curriculum
diferențiat; stimulări și aprecieri pozitive în caz de reușită; jocuri diverse, concursuri pe echipe
cu sarcini antrenante.
Testul de evaluar e finală și -a propus să îndeplinească obiective asemănatoare testului
inițial, însă cuprinzând sarcini de mai mare dificultate.
Unitatea de învățare: „Operații cu numere naturale în concentrul 0 – 100”
Conținut: „Numărăm și calculăm până la 100, călătorind prin Univers ”

Obiective urmărite Itemii testului
O1- să numere în intervalele date, crescător și
descrescător
1. Scrie numerele naturale:
 de la 47 la 54
 de la 234 la 244, din 2 în 2
 de la 685 la 660, din 5 în 5:

O2- să ordoneze numerele din șirul dat
2. Se dau numerele naturale: 253; 108; 41; 876;
232; 401; 322; 690; 786; 69.
 Așază în ordine crescătoare numerele
date:
 Așază în ordine descrescătoare doar
numerele pare:

O3 – să compare numerele date 3. Compară numerele, punând semnul <, > sau =

73
:453…543 629…269 278…278
151…151 607…677 180…

O4 – să efectueze exercițiile de adunare și
scădere cu și fără trecere peste ordin
4.Calculează:
34 + 42 = 820 + 127 =
25 + 68 = 371 + 219 =
97 – 35 = 775 – 142 =
82 – 77 = 583 – 406 =

O5- să afle numărul necunoscut la adunare și
scădere
5.Află numărul necunoscut:
a – 302 = 189 b + 237= 493
a = b=
a= b=
621 – c = 249
c =
c=

O6- să rezolve problema demonstrând
cunoașterea terminologiei matematice

O7 – să rezolve problema, folosind ca unitate
de măsură litrul
6. La suma numerelor 28 și 164 adaugă diferența
numerelor 736 și 583.
7. Într -un butoi sunt 175 litri de vin, iar în altul sunt
cu 28 litri mai puțin.
Câți litri de vin sunt în cele două butoaie în
total?

Descriptori de performanță
Nr.
Itemi FB B S
1. să numere în intervalele să numere în intervalele date, să numere în intervalele date,

74
date, crescător și
descrescător crescător și descrescător – 2
situații crescător și descrescător -1
situație
2. să ordoneze numerele din
șirul dat să ordoneze numerele din
șirul dat -cu mici omisiuni la
alegerea nr. pare să ordoneze numerele din
șirul dat, doar crescător
3. să compare numerele
date-6 situații să compare numerele date -4
situații să compare numerele date -2
situații
4. să efectueze exercițiile de
adunare și scădere cu și
fără trecere peste ordin -8
exerciții
să efectueze exercițiile de
adunare și scădere cu și fără
trecere peste ordin – 6
exerciții
să efectueze exercițiile de
adunare și scădere cu și fără
trecere peste ordin – 2
exerciții

5. să afle numărul
necunoscut la adunare și
scădere – 3 situații să afle numărul necunoscut la
adunare și scădere -2 situații să afle numărul necunoscut
la adunare și scădere -1
situație
6. să rezolve problema
demonstrând cunoașterea
terminologiei matematice să rezolve problema
demonstrând cunoașterea
terminologiei matematice –
află suma și diferența fără a
le mai scădea să rezolve problema
demonstrând cunoașterea
terminologiei matematice –
află doar suma sau diferența
7. – să rezolve problema,
folosind ca unitate de
măsură litrul -scrie cele 2
întrebări și rezolvă corect
exerciții le – să rezolve problema,
folosind ca unitate de măsură
litrul – scrie corect cele două
întrebări dar greșește la
operații – să rezolve problema,
folosind ca unitate de măsură
litrul – scrie o întrebare fără a
rezolva exercițiul

75
Tabel analitic cu rezu ltatele obținute în urma aplicării testulu i final pe eșantionul
experimental
Nr. crt. Subiecți I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 Calificativ
final
1. A. N. S. S. S. S. S. I. I. Suficient
2. B.L.I. B. B. B. S S. S. S. Suficient
3. B. E. A. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
4. B. A. A. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
5. B. D. L. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
6. B. I .L.I. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
7. C.M.I. B. B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
8. D.E. S. B. B. B. B. S. S. Bine
9. D.A.M. S. S. S. S. S. S. S. Suficient
10. G.A.N. B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
11. H.C. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
12. H.D. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
13. H.S.R. F.B. B. B. F.B. F.B. B. B. Bine
14. I.A.I. S. S. B. B. B. B. S. Bine
15. M.A. B. B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
16. M.A.M. B. B. F.B. F.B. F.B. B. B. Bine
17. M.A.D. F.B. B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
18. P.G.P. B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
19. P.P.D. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
20. P.R. S. B. B. S. B. B. B. Bine
21. P.S. B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. Bine

76
22. S.D.G. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
23. Ș.G. B. B. B. B. B. B. B. Bine
24. Ț.A. S. S. B. S. B. B. B. Bine
25. Ț.B.Ș. B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
26. V.A. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
27. V.C.D. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
Procentaj 99,99% 99,99% 99,98% 99,98% 99,99% 96,28% 96,28% 99,99%/
Foarte
bine

Tabel analitic cu rezultatele testului final la eșantionul experimental
Calificati ve obținute Număr de elevi Procentaj
Foarte bine 7 26%
Bine 17 63%
Suficient 3 11%
Insuficient 0 0%

77
Histograma calificativelor obținute la evaluarea finală, eșantion experimental
024681012141618
I S B FBNumăr de copii

Diagrama areolară, evaluare finală, eșantion experimental
26,00%
63%11% 0%
FB
B
S
I

78
Poligonul de frecvență, evaluare finală, eșantion experimental
024681012141618
I S B FBNumăr copii

Calificativ/Procentaj evaluare finală, eșantion experimental
0%10%20%30%40%50%60%70%
I S B FBEșantion
experimental

În urma evaluării finale la eșantionul experimental s -a constatat o creștere a procentajelor
rezultatelor foarte bune (26%) și bune (63%). Absența rezultatelor nesatisfăcătoare dovedește că
elevii și -au însușit bine cunoștințele de la acest capitol, calcule ază cu ușurință suma, diferența
numerelor naturale, află numerele naturale dintr -o expresie dată, cunosc terminologia specifică
matematicii și rezolvă cu ușurință problemele cu mai multe operații. Cei 17 elevi care au obținut
calificativul Bine, dovedesc a celași lucru, doar că efectuează în grabă unele calcule.
Procentajul final la această probă, la eșantionul experimental , este de 99,99%

79
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma testului final la eșantionul de control

Nr.
crt. Subiecți I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 Calificativ
final
1. A.M.C.
S. S. I. S. I. S. I. Suficient
2. B.L. S. S. S. S. S. S. S. Suficient
3. B.C.I. F.B. F.B. F.B. F.B. B. B. B. Foarte
bine
4. B.R.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B Foarte
bine
5. C.C.L. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
6. C.D. F.B. B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
7. C.A. B. B. B. B. S. S. S. Suficient
8. F.I.A. B. B. B. B. S. B. S. Bine
9. F.S.M. S. S. S. I. I. I. I. Insuficient
10. H.D.I. B. B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
11. H.D.M. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
12. H.R.I. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
13. I.I.M. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
14. I.T.I. S. S. I. S. S. S. S. Suficient
15. J.D.L. B. B. B. S. I. S. S. Suficient
16. M.P. B. B. B. B. B. S. S. Bine
17. M.M. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
18. P.A.M. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
19. S.L.M. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
20. Ș.G. S. B. F.B.. S. S. S. S. Suficient

80
21. Ț.R.N. F.B. F.B. F.B. B. B. B. B. Bine
22. V.C.D. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. F.B. Foarte
bine
23. V.R.I. B. B. F.B. F.B. B. B. B. Bine
Procent
realizat 99,98% 99,99% 91,29% 91,30% 86,93% 95,63% 91,29% 95,63%

Tabel analitic cu rezultatele testului final la eșantionul de control
Calificative obținute Număr elevi Procentaj
Foart e bine 6 26%
Bine 10 44%
Suficient 6 26%
Insuficient 1 4%

Histograma calificativelor la evaluarea finală, eșantion de control

012345678910
I S B FBNumărul de copii

81
Diagrama areolară la evaluarea finală, eșantion de control
26,00%
44,00%26,00%4,00%
FB
B
S
I

Poligonul de frecvență la evaluarea finală, eșantionul de control
024681012
I S B FBNumăr copii

82
Compararea rezultatelor la evaluarea inițială și evaluarea finală , eșantionul experimental
024681012141618
I S B FBEvaluare ini țială
Evaluare finală

Compararea rezultatelor la evaluarea inițială și evaluarea finală, eșantion de control
02468101214
I S B FBEvaluare ini țială
Evaluare finală

83
Poligoane de frecvență – evaluare inițială și evaluarea finală , eșantion experimental

05101520253035
I S B FBEvaluare finală
Evaluare
inițială

Poligo ane de frecven ță – evaluarea inițială și evaluarea finală, eșantion de control
0510152025
I S B FBEvaluare finală
Evaluare
inițială

84
IV.4. Analiza comparativă a rezultatelor
Compararea rezultatelor obținute la cele trei probe de evaluare, eșantion experimental
Calificati vul obținut Evaluare inițială Evaluare formativă Evaluare finală

FOARTE BINE 2 3 7
BINE 15 20 17
SUFICIENT 5 3 3
INSUFICIENT 5 1 0

Histograma calificativelor la cele trei probe de evaluare – eșantion experimental

02468101214161820
I S B FBEvaluarea ini țială
Evaluarea
formativă
Evaluarea finală

85
Poligonul de frecvență la cele trei tipuri de evaluări, eșantion experimental
0510152025
I S B FB
Evaluare ini țială Evaluare formativă
Evaluare finală

Calificative / Procente cele trei tipuri de evaluări, eșantion experimental
0%20%40%60%80%
I S B FB
Evaluare ini țială Evaluare formativă
Evaluare finală

Compararea rezultatelor obținu te la cele trei probe de evaluare, eșantion de control
Calificativul obținut Evaluare inițială Evaluare formativă Evaluare finală

FOARTE BINE 1 3 6
BINE 13 15 10
SUFICIENT 4 3 6
INSUFICIENT 5 2 1

86
Histograma calificativelor la cele trei probe de evaluare – eșantion de control
0246810121416
I S B FBEvaluare ini țială
Evaluare
formativă
Evaluare finală

Poligonul de frecvență la cele trei tipuri de evaluări, eșantion de control
05101520
I S B FB
Evaluare ini țială Evaluare formativă
Evaluare finală

Calificative / Procente cele trei tipuri de evaluări, eșantion de control
050100
I S B FB
Evaluare inițială
Evaluare formativă
Evaluare finală

87
În urma analizării rezultatelor de la cele trei probe de evaluare s-au constatat
următoarele: cele două clase au înregistrat un progres real de la evaluarea inițială la cea finală,
după cum arată și graficele comparative.

În diagrama precedentă am prezentat comparativ procentajele calificativelor de la
“suficient” în sus, obținute de către cele două eșantioane, la cele trei probe de evaluare.
Observând aceste grafice, am ajuns la concluzia că jocul didactic a fost metoda cheie, care a
făcut posibilă la grupul experimental creșterea mai accentuată a procentajelor calificativelor de la
“suficient” în sus , iar calculele matematice și rezolvarea de probleme au fost bine însușite acolo
unde a fost aplicată această metodă.

81%96% 100%
78%91%96%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%
Eșantion
experimentalEvaluare inițială
Evaluare formativă
Evaluare finală

88
CONCLUZII
Pe parcursul celor 16 ani de experiență la catedră, am observat că măiestria didactică
constă în găsirea unor stimuli care să aibă menirea de a le educa atenția și gândirea elevilor.
Rezolvarea exercițiilor și problemelor în cadrul unui joc dida ctic poate fi unul dintre acești
stimuli, deoarece jocul este preferatul elevilor, atâta timp cât este corect pregătit și organizat .
Acest lucru a fost demonstrat de activitatea întreprinsă clasa a II -a B ( grupul experimental, cu 27
de elevi), cât și pe c ei de la clasa a II –a A (grupul martor, cu 23 de elevi), ambele clase de la
Școala Gimnazială “Ion Strat„ Gioseni, județul Bacău.
Facto rul de progres l -a reprezentat utilizarea jocului didactic în lecțiile de matematică.
Jocul a constituit p entru elevi o modalitate stimulativă , de antrenar e la lucru, de motivare a
învăță rii.
În urma analizei datelor obținute în urma experimentului întreprins , se poate observa cu
ușurință că elevii au fost mai eficienți în rezolvarea exercțiilor și problemel or în cadrul unor
jocuri didactic e organizate de catre învățător.
Se știe că jocul didactic dezvoltă creativitatea și reprezintă o activitate de profunzime cu
caracter de analiză și sinteză superioară a individualității umane . În cadrul uno r jocuri didactice,
elevul are libertatea de a alege modalități diferite de rezolvare a exercițiilor și problemelor ,
deoarece la sfârșitul clasei a II -a posedă deja deprinderi de muncă intelectuală și independentă.
Conform rezultatelor o bținute se pot oferi informații detaliate care pot fi luate în calcul
la elaborarea mă surilor ameliorative pentru elevi astfel: el evii cu capacități reduse de înțelegere ș i
asimilare vor primi spre rezolvare sarcini de nivel reproductiv ș i de cunoa ștere pe ntru a -i ajuta să
realizeze obiectivele programei; iar celor cu potențial creativ, li se vor crea condiții propice, în
care să li se poata dezvolta nestânjenit capacităț ile creative.
Prin aceste probe de evaluare se realizeaza o e ficientă conexiune inversă; învățătorul
cunoaște despre fiecare elev ce știe și ce nu ș tie din capitolul respectiv, iar elevii devin conștienț i
de ceea ce au realizat.
Evaluarea a asigurat analiza cantitativă și calitativă a rezultatelor învăță rii pe parcursul
întregii etape experimentale .
În urma experimentului efectuat aș putea spune ca utilizarea jocului didactic satisface
cerintele unui învăță mânt formativ , deoarece antrenează majoritatea elevilor, sporește gradul de

89
motivație a învățăturii pri n satisfacțiile pe care elevii le obți n prin rezultatele pozitive ale muncii
lor.
În cadrul orelor de matematică, a m avut în vedere ca elevii să participe cu drag și să -și
însușească cunoștințele în funcție de posibilităț ile lor intelectuale.
Prin mulțimea de jocuri didactice pe care le -am folosit am reu șit să realizez sarcina
învățării: însușirea de cunoș tinte matematic e care sunt necesare etapelor următoare ale învăță rii
acestei discipline, cât și dezvoltarea unor trăsături de perso nalitate la elevi: aptitudini, voință,
capacitate creatoare, spirit de colaborare.
Prin testele aplicate am încercat să demonstrez importaț a jocului didactic l a orele de
matematică , faptul că elevii rezolvă cu mai placere și interes jocurile , care nu sunt altceva decât
exerciții și probleme prezentate sub o altă formă .
Adoptând cele mai eficiente strategii didactice, combinând metodele tradiționale cu cele
moderne, putem insufla elevilor dragostea pentru matematică și îi putem mobiliza în rezolvarea
unor sarcini de învățare care să -i ajute să-și dezvolte gândirea logic ă, imaginaț ia.
În scopul stimularii potențialului creativ al elevilor, învățătorul trebuie să fie cel puțin
neutru față de evolu ția acestuia, în sensul de a nu înăbuși manifestările și dezvoltarea , să intervină
conștient ș i activ pentru îndepărtarea blocajelor obiective și subiective ale creativității elevilor, să
încurajeze în mod organizat potenț ialul creativ al fiecarui copil.
Munca independen tă are un rol important în dobândirea cunoștințelor de către elevi ,
aceștia trebuind să lucreze în ora de matematică individual, să facă efort nu numai aplicativ, cât
mai ales mintal creator. În cadrul activitatii independente din clas ă, trebuie să realiză m și
învățarea în rit m propriu, deoarece într -o clasă de elevi exis tă mai multe nivele de gândire ș i
ritmuri de lucru variate , specifice fiecarui copil.
Principiul participării conștiente ș i active a elevilor în procesul de învăță mânt este unul
din cele ma i importante principii ale didacticii, exprimând esența procesului învățării în sens
modern și are cea mai mare participare la realizar ea eficien ței formative a învățământului.
Trăinicia cunoștințelor este asigurată de însușirea conștientă a acestora, iar dezvoltarea
intele ctuală , în primul rând a gândirii, precum ș i la dezvol tarea spiritului de independență, de
investigație, de creativitate. Este important ca elevii să fie obișnuiți să-și pună întrebări , să
creeze probleme și exerciții pe care să le re zolve, astfel încât ora de matematică să fie o oră în
care elevii să fie activi.

90
Să-i înveți pe elevi cum să învețe a devenit o problemă majoră a școlii. Iată de ce un loc
important în formarea ș i dezvoltarea la elevi a capacităților de creație îl ocupă învățarea prin
descoperire ș i redescoperire. Toate aceste achiziț ii ale elevilor sunt premise minime pentru orice
act de creație, bază a oricăror creații viitoare ș i a comportamentului creativ.
Această lucrare încearcă să facă simțită armonia in terioara a matematicii, aptă să
trezească conștiința că există exerciții și probleme matematice atr active, pentru înțelegerea că rora
nu este nevoie de un talent special și nici de o pregă tire care să depășească nivelul claselor
elementare.

91
BIBLIOGRAFIE
1. Aron, I ., (1972), Metodica predării matematicii la clasele I -IV, manual pentru liceele
pedagogic , Editura Didactică și Pedagogică , Bucureșt i
2. Ausubel, D.P.; Robinson , F.G. , (1981), Învățarea școlară, o introducere în psihologia
pedagogică , Editura Didactică și Pedagogică , București
3. Cerghit , I., (1980) – Metode de învățămân t, Editura Didactică și Pedagogică , București ,
ediția a II -a, revăzută și ad ăugită
4. Cerghit , I., (1983) – Perfecționarea lecției în școal a modernă , Editura Didactică și
Pedagogică , București
5. Cojocariu , V. M., (2004) – Teoria și metodologia instruirii , Editura Didactic ă și
Pedagogică București
6. Cosmovici, A., (1996) – Psihologia generală , Editura Polirom, Iași
7. Crețu , C., (1998) , – Curriculum dif erențiat și personalizat , Editura Polirom , Iași
8. Cristea , S., (2002) – Dicționar de pedagogie , Editura Litera Educațional , Chișinău
9. Cristea , S., (1997) – Pedagogie pentru pregătirea examenelor de definitivare, grade
didactice, reciclare , Editura Hardi scom
10. Cucoș , C., (coord) , (1998) – Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade
didactice , Editura Polirom , Iași
11. Debesse , M., (1981) – Etapele educației , traducerea Magdalena Chelsoi, Editura Didactică
și Pedagogică București
12. Dottrens R, Mili aret G., Rast E., Rai M. , (1970) – A educa și a instru i, Editura Didactic ă
13. Drăgan I., Nicola I., (1993) – Cercetare psihopedagogică , Editura Tipomur , Târgu Mure ș
14. Dumitriu , C., (2004) – Introducere în cercetarea psihopedagogică , Editura Didactică și
Pedagogică, București
15. Dumitr iu, Gh., (2003) – Introducere în psihopedagogie , Bacău
16. Dumitriu , Gh., Dumitriu , C., (2003) – Psihopedagogie , Editura Didactică și Pedagogică,
R.A. , București
17. Gugiuman , A., și colaboratorii (1993) – Introducere în cercetarea ped agogic ă, Editura
Tehnică , Chi șinău
18. Herescu Gh., Dumitru A., Aron I., (1996) – Matematica pentru învățători , Editura
Didactică și Pedagogică , București

92
19. Joița, E., (1994) – Didactica aplicat ă. Învățământul primar, partea I ”, Editura Gheorghe
Alexandrescu , Craiova
20. Lupu , C., (2006) – Didactica matematicii , Editura C aba, Bucure ști
21. Lupu , C., (1998) – Metodica predării matematicii. Manual pentru clasa a XII -a licee
pedagogice , Editura Paralela 45, Pitești
22. Lupu , C., Săvulescu , D., (1998) – Metodica pred ării matematicii. Manual pentru clasa a
IX-a licee pedagogice , Editura Paralela 45, Pitești
23. Lupu , C., Săvulescu , D., Lupu , I., (2002) – Aritmetica: teorie, probleme, metode de
rezolvare , Editura Egal, Bacau
24. Mihoc, Ghe., – Matematica în ciclul primar , Editura Didactică și Pedagogică, București
25. Neacșu, I., (1990) – Metode și tehnic i de înv ățare eficient ă, Editura Militară, București
26. Neacșu , I., și colaboratorii (1998) – Metodica predării matematicii la clasele I -IV. Manual
pentru liceele pedagogice c lasele XI -XII, Editura Didactic ă și Pedagogic ă, București
27. Nicola , I., (1996) – Tratat de p edagogie școlar ă, Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
București
28. Neveanu , P.P., (1978) – Dicționar de psihologie , Editura Albatros , București
29. Neveanu P.P., (coord), Zl ate, M., Crețu, T., (1997) – Psihologie. Manual pentru clasa a
XI-a, școli normale și licee , Editura Didactic ă și Pedagogică , București
30. Pantelimon , G., Mielu , Z., Verza, E., (1993) – Psiholo gia Copilului. Manual pentru
clasa XI -a , școli normale , Editura Didactică și Pedagogică , București
31. Radu , I.T., (1981) – Teorie și practic ă în evaluarea eficienței înv ățământului , Editura
Didactică și Pedagogică , București
32. Radu , N., Singer , M., (2004) – Matematic ă, clasa I. Ghid pentru învățători și părinți ,
Editura Sigma , București
33. Roșu , M., (2006) – Pedagogia învățământului primar și preșcolar
34. Rusie, E., (1969) – Psihologia activităților matematice , Editura Științifică , București –
35. Singer , M., (1998) – Învățarea matematicii în școala primară – perspectiva noilor
programe , Revistă de pedagogie , nr.4
36. Singer , M., (2004) – Matematic ă , manual pentru clasa a II -a, Editura Sigma , București
37. Solomon , M., (1963) – Lingvistică matematică . Modele matematice în lingvistică , Editura
Didactică și Pedagogic, București

93
38. Șchiop u, U., – Psihologia general ă a copilului , Editura Didactică și Pedagogică
39. www.didactic.ro
wwwww semestrul III

94
ANEXE
PROIECT DIDACTIC
CLASA: a II-a B
ARIA CURRICULARĂ: Matematică și Științe ale naturii
DISCIPLINA: Matematică
CONȚINUTUL ÎNVĂȚĂRII: Adunarea si scăderea numerelor naturale în concentrul
0-1000, fără trecere peste ordin și cu trecere peste ordin
TIPUL LECȚIEI : consolidare și sistematizare
OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:
1.3. – să efectueze o perații de adunare și de scădere cu numere naturale de la 0 la 1000,
fără și cu trecere peste ordin;
2.6. – să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate;
2.7 să rezolve probleme care presupun cel puțin două operații de adunare sau scădere
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
cognitive:
O1- să utilizeze terminologia specifică matematicii: sumă, termeni, diferență, scăzător,
descăzut, mai mare, mai mic, ,,cu … mai puțin”, cu … mai mult”;
O2 – să efectueze corect operații de adu nare și scădere în concentrul 0 -1000, cu și fără
trecere peste ordin;
O3- să afle numere necunoscute în cadrul operațiilor de adunare și scădere ;
O4- să rezolve problema propusă
afectiv – atitudinale:
O5- să-și dezvolte interesul pentru matematică prin jocul didactic;

95
O6- să verbalizeze modalitățile de calcul utilizate în rezolvarea de exerciții și probleme.
psihomotorii:
O7- să adopte o poziție corectă în bancă.
STRATEGIA DIDACTICĂ:
 Resurse procedurale : conversația, exercițiul, explicația, ciorchinele, munca
independentă, lucru pe echipe, problematizarea
 Resurse materiale : fișe, jetoane cu personajele ascunse (măr, pitic, cățel, copil)
 Forme de organizare : pe grupe, frontal, individual

BIBLIOGRAFIE:
 Curriculum Național – Programe școlare pentru învăță mântul primar , București,
2003;
● Costică Lupu, Metodica predării matematicii, manual pentru clasa a XII -a, liceele
pedagogice, Editura Paralela 45, Pitești, 1999;
 Constantin Cucoș (coord.), Psihopedagogie pentru examenele d e definitivare și
gradele didactice , Iași, Editura Polirom, 1998;
 Angelica Gherman, Culegere de exerci ții și probleme de matematică pentru clasele
I-VIII, București, Editura Elis, 2009
 Ștefan Pacearcă, Maria Mogoș, Matematică: manual pentru clasa a II -a, București,
Aramis 2004

96
SCENARIUL DIDACTIC

Ob
Op CONȚINUTUL LECȚIEI RESURSE
EVALUA –
RE Procedurale Materiale Umane
MOMENT ORGANIZATORIC
 se stabilește ordinea și disciplina în sala de clasă

 se pregătesc materialele necesare pentru
desfăș urarea activitatii

conversația

caiete
planșă
fișe

activitate
frontala
obs sist.
VERIFICAREA TEMEI
 se verifica si se corecteaza tema frontal

 se fac aprecieri cu privire la efectuarea temei

conversația

activitate
frontala
obs sist.

CAPTA REA ATENȚIEI
 – Dragi copii, după cum observați , prietenii
voștri au dispărut de pe planșă. Știind că vouă vă
place să vă jucați, s -au gândit să se ascundă, iar voi
să-i căutați. Așadar să ne jucăm “de -a ascunselea” și
să-i găsim. Dar nu oricum: îi veț i găsi, pe rând, dacă
veți rezolva exercițiile și problemele propuse de ei.
Acestea sunt lăsate de fiecare personaj pe locul
unde a fost.

observația
explicația
conversația

activitate
frontala
obs sist.
ANUNȚAREA TEMEI ȘI A OBIECTIVELOR
 – Astăzi la ora de matematică vom rezolva
exerciții de adunare, scădere, aflare a numărului
necunoscut și probleme cu numere până la 1000.
-se scrie titlul pe tabla:
Exerciții și probleme
conversația
explicatia

caiete
activitate
frontala

obs sist.

97

O1
O2

O2
O5

O1

O3

O2 DIRIJAREA ÎNVĂȚĂRII
 – Ca să -i putem găsi pe cei patru prieteni să
ne încălzim putin mintea rezolvând oral la câteva
exerciții:
 Cum se numesc numerele care se adună?
 Cum se numesc numerele care se scad?
 Cum se numește rezultatul scăderii? Dar al
adunării?
 Care este cel mai mic număr de 3 cifre?
Dar cel mai mare?
 Care sunt vecinii numărului 100?
 Aflați suma numerelor 200 și 500.
 Aflați diferența numerelor 900 și 400.
 Măriți cu 10 numărul 5.
 Micsorați cu 40 număr ul 240.
 Cu cât este mai mic numărul 7 decât
numărul 15?
 Care este numărul cu 8 mai mare decât 10?
 Care este numărul cu 9 mai mare decât 30?

 – Acum să rezolvăm ciorchinele de pe fișă.
Mai întâi scrieți care sunt cele două operații
învățate. Trebuie să scri eți cât mai multe cuvinte
care vă duc cu gândul la cele două operații
învățate .(Anexa 1)

 – Acum sunteți pregătiți să -i găsim pe
peritenii noștri. Să vedem care sunt primele indicii.

Exercițiu

Problematiza
rea

Conversația
ciorchinele

Explicația

exercițiul

Exercițiul
problematizare
a

Fișă cu
ciorchine

Fișa marului

caiete

activitate
frontala

activitate
pe grupe

activitate
pe grupe

Activitate
frontală

Activitate
frontală

obs sist.

Aprecierea
verbala

Aprecierea
verbala și
cu note

Observația

Aprecierea
cu note

98
O3

O4

Se desprinde primul plic și se citesc indicațiile.
 Pentru a găsi mărul fiecare echipă trebuie să
rezolve câteva adunări și scăderi scrise pe fișă,
să încercuiască de la rezultatul obținut cifra
sutelor și la final să le adune. Rezultatul obținut
de fiecare echipă trebuie să fie 10 .(ANEXA 2)
 Dacă toate echipele obtin acest rezu ltat primesc
indiciul care îi va ajuta să descopere mărul
ascuns.

 – pentru a vă spune unde se ascunde , piticul
va lăsat spre rezolvare următoarele exerciții:

1. Aflați numerele necunoscute:
a + 350 = 799 c – 419 =237
500 – b = 163 192 + d = 793
 Ordonați rezultatele crescător.
-După ce rezolvă exercițiile vor primi indiciile
piticului.

 – Cățelul v-a lăsat spre rezolvare câteva
exerciții problemă:

1. Un termen al adunării este 232, iar suma este
682. Aflați celălalt termen.

problematizare
a

caiete

Fișă cu
problema

99

2. La diferența num erelor 8978 și 565 adaugă
numărul 436.

3. *Micșorați cu 231 suma numerelor 462 și 327.

 La final vor afla unde se ascunde cățelul.

 – Cel de -al patrulea prieten, băiatul, le-a
scris o problemă și le cere să o rezolve (anexa 3 ):
Azor a ros într -o săptămână 150 de oase, iar
Lăbuș cu 29 de oase mai puțin.
Câte oase a ros Lăbuș?

OBȚINEREA PERFORMANȚEI
 Transformă problema, astfel încât să se
rezolve printr -o operație de adunare.
 Ce întrebare trebuie să punem pentru a
rezolva problema prin două operații?

 După rezolvarea problemei v or primi și ultimul
indiciu.

Conversatia
problematizare
a

activitate
frontala obs sist
orala

100
CONEXIUNEA INVERSĂ
Se împarte fiecarui elev câte o fișă. Se precizează
elevilor conținutul fișei de evaluare și timpul de
lucru (Anexa 4)

*Elevii sunt laud ati pentru participarea la lectie.
Exercițiul

activitate
indepen
dentă obs sist.
TEMA PENTRU ACASĂ
*se da și se explică tema pentru acasă. fise de lucru activitate
frontala obs sist.

101
ANEXA 1

S
SS

OPERAȚII
ADUNAREA

SUMĂ

COMUTA
TIVĂ
MAI MULT
CU ATÂT
ASOCIATI
VĂ TERMENI SCĂDEREA
DESCĂZUT

SCĂZĂTOR
AFL AREA
DESCĂZU
TULUI
MAI PUȚIN
CU ATÂT
AFLAREA
SCĂZĂ
TORU LUI

DIFE
RENȚĂ

102

ANEXA 2
Fișă
1. Calculați:

2. Încercuiți la rezultatul găsit cifra sutelor, apoi aflați care este suma cifrelor
încercuite.

Fișă de lucru
1. Calculați:

2. Încercuiți la r ezultatul găsit cifra sutelor, apoi aflați care este suma cifrelor încercuite.
Fișă de lucru
1. Calculați:

800-
524 777-
568 111+
143 987-
758 192+
8

2. Încercuiți la rezultatul găsit cifra sutelor, apoi aflați care este suma cifrelor încercuite.

165+
209 786-
517 689-
498 132+
356

786-
517
689-
498 356+
124 156+
173

103
ANEXA 3

Azorel a ros într -o săptămână 150 de oase, iar Lăbuș cu 29 de oase
mai puțin.
Câte oase a ros Lăbuș?

a. Transformă problema astfel încât să se rezolve printr -o adunare.
Răspuns: Azorel a ros într -o săptămână 150 de oase, iar Lăbuș cu 29 de oase mai multe.
Câte oase a ros Lăbuș?

b. Ce întrebare putem pune pentru a rezolva problema prin două operații
Răspuns: Câte oase au ros cei doi căței?

104
ANEXA 4

Numele și prenumele …………………………………………………………………

Fișă de evaluare
1. Efectuează:

356 + 468 + 976 – 1000 –
115 30 286 142
2. Aflați:

a) suma numerelor 243 și 328; __________________________
b) numărul cu 118 mai mic decât 623. ___________________ _______

3. O florăreasă a vândut într -o săptămână 509 lalele și cu 235 narcise mai puțin. Câte flori a
vândut florăreasa?

Rezolvare :
_______________________________________________________________________________
_________________________________________ ______________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________

105
Numele și prenumele Data
……………… …………………. ……………………

Evaluare inițială

1. Numără:
a) din 2 în 2 de la 46 până la 60;
b) din 5 în 5 de la 85 până la 50;
c) din 10 în 10 de la 100 până la 30.

2. Scrie crescător numerele: 44; 67; 34; 13; 20; 29; 92; 40; 57.

3. Încercuiește numerele pare: 43; 78; 99; 32; 90; 16; 77; 64; 81; 53.

4. Compară numerele:

33….67; 44….24; 61….16;

82….83; 72….27; 59….59.

5. Scrie sub formă de sumă ( Z + U):

45 = 66 =
91 = 15 =
70 = 83 =

6. Calculează:

7 + 2 = 9 – 6 =
20+45+13= 89 – 35 =
14 + 24 = 43+12 -21=
68 – 42 = 50 + 46 =

7. Află suma numerelor 24; 81; 35 cu răsturnatele lor.

8. Află numărul necunoscut:
a + 43 = 65 88 – c = 46
a = c =
a = c =

b – 17 = 42
b =
b =

9. Marin are 26 cuburi. Aurel îi dăruiește 13 cuburi.
Cîte cuburi are acum Marin?

106
Numele și prenumele Data
……………………………… …………………..

Evaluare for mativă

1. Unește cu o săgeată fie care exercițiu din coloana A cu rezultatul corect din coloana B:
A B A B
200 + 700 = 667 800 – 300 = 724
143 + 246 = 398 978 – 254 = 500
470 + 280 = 900 730 – 550 = 753
289 + 378 = 750 806 – 369 = 180
389 437

2. Calculează suma și diferența numerelor 343 și 86.

3.Calculați și aflați termenii necunoscuți:
200 + a = 287 211 – b = 189
a = b =
a = b =

c – 224 = 33 d + 120 = 360
c = d =
c = d =

4. În parc s -au plantat 348 pans ele și cu 135 mai puține garoafe.
Câte fire de flori s -au plantat în total?

5. Completează și rezolvă:
La o serbare s -au folosit baloane roșii și galbene. Baloane roșii erau……., iar cele galbene
erau cu……mai multe.

107
Numele și prenumele: Data:
………………………………. ……………………

Evaluare finală

1. Scrie numerele naturale:
a) de la 47 la 54;
b) de la 234 la 244, din 2 în 2.

2. Se dau numerele naturale: 253; 108; 41; 876; 232; 401; 322; 690; 786; 69.
a) Așază în ordine crescătoare numerele date;
b) Așază în ordine descrescătoare doar numerele pare.

3. Compară numerele, punând semnul <, > sau = :
453….543 629….269 278….278
151….151 607….677 180….108

4. Calculează:
34 + 42 = 820 + 127 =
25 + 68 = 371 + 219 =
97 – 35 = 775 – 142 =
82 – 77 = 583 – 406 =

5. Află numerele necunoscute:
a – 302 = 189 b + 237 = 493
a = b =
a = b =

621 – c = 249
c =
c =

6. La suma numerelor 28 și 164 ada ugă diferența numerelor 736 și 583.

7. Într -un butoi sunt 175 litri de vin, iar în altul sunt cu 28 litri mai puțin.
Câți litri de vin sunt în cele două butoaie în total?

108
EXERCIȚII ȘI PROBLEME NONSTANDARD

1. Să se calculeze sumele:
a) 1+2+3+4+………+58
b) 4+5+6+7+………+63
c) 1+2+3+4+……….+59
d) 4+5+6+7+……….+64
2. Să se scrie numerele naturale de la 1 la 10 ca suma de doi termeni naturali.
3. Să se calculeze:
e) 1+23+399
f) 55+76+445
g) 1278+374+26+22
h) 12+13+14+15+16+17+18
i) 31+32+33+34
j) 5+10+15+20+25+30+35+40

4. Să se completeze tabelul:
A b C D a-b a-c b-c c-d a-d b-d
1 20 18 7 2
2 300 226 220 112
3 78 72 56 55
4 912 888 824 222
5 425 347 276 128
6 1278 1200 987 458
7 4455 3445 1896 794

5. Aflați diferența di ntre cel mai mare număr de 4 cifre și cel mai mic număr de 4 cifre ce nu au
cifre identice.
6. Aflați diferența, respectiv suma dintre cel mai mic număr de 4 cifre format din cifre identice și
cel mai mare număr de 3 cifre format din cifre identice.
7.Completați tabelul:
A 54468 200006 8741
B 35698 54273
a-b 52375 3452
a+b 324754

8. Câte numere mai mici decât 100 aparțin ambelor șiruri?
a) 8;12;16;20;24;28;32………si 5;10;15;20………

109
b) 3;6;9;12;15;18;……………si 5;10;15;20………….
9. Un număr format din 3 cifre are suma cifrelor 16, iar suma primelor două cifre este 13.Care
este numărul? ( Câte soluții putem avea? )
10. Scrieți toate numerele naturale de la 1 la 20 ca produs de 2 factori.
a. 11
×11=11×
(10+1)=11
 10+11=110+11=121. După acest model calculați înmulțirea cu 11
a numerelor de la 12 la 30.
11. Calculați mai ușor folosind proprietățile înmulțirii:
a)
25412
b)
28950
c)
52 345
d)
205 20640 
e)
6 30 25

12. Calculați dând factor comun:
a)
83 12417 124 
b)
70 14518 14512 145 
c)
90 234 54 234 46 234 
13. Să se completeze tabelu l urmator:
A B c a+bc (a+b)c ab+c a(b+c) ab+ac a+b:c a:b-c a:(b-c)
3 5 8
7 10 2
12 4 2
70 10 5
8 11 20
24 6 3

14. Să se afle toate numerele naturale care împărțite la 6 dau catul 12.
15. Suma a doua n umere naturale este 23. Împărțind numărul mai mare la cel mai mic obținem
câtul 2 și restul 5. Să se afle numerele.
16. Diferența a două numere este 14. Împărțind numărul mai mare la cel mai mic obținem câtul 3
și restul 4. Să se afle numerele.

110
17. Suma a trei numere este 152; primul număr este cu 15 mai mare decât triplul celui de al
doilea, iar al treilea este cu 8 mai mic decât al doilea.Aflați numerele.
18. Suma a două numere naturale este 767.Dacă împărțim numarul mai mare la triplul numărului
mai mic, obținem câtul 2 și restul 11. Aflați numerele.
19. Câte numere naturale cuprinse între 100 și 1000 se împart exact la 8? Câte dau restul 5?
20. Restul împărțirii unui număr de două cifre la unul de o cifră este 7 . Care este cel mai mare
deîmpărțit posib il? Dar cel mai mic?
21. O suma de 5 numere impare este un număr par sau impar?
22. Suma a trei numere naturale este 1082. Daca din fiecare se scade același număr se obțin
numerele 467, 276 si 315. Aflați cele trei numere.
23. Cu ce cifre se pot termina numerele care împărțite la 8 dau restul 7?
24. Suma a doua numere naturale este 755, iar diferenț a lor este 101. Aflați cele două numere.

25. Verifică dacă sunt adevărate egalitățile:
a. 360 x 2 = 140 x 5 + 20
b. ( 3 x 100 + 6) x 3 = (10 x 10 + 3) x 4 – 15
c. 38 x 10 = 60 x 3 x 0 = 380
26. Compune o problemă după exercițiul : 308 + ( 308 x 3 ) =
27. Rezultatul corect al exercițiului 201 – 100 x 2 + 3 x 7 : 3 + 56 : 7 este:

A B C D
14 16 22 6

111