PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL CANDIDAT, PROF. STEMATE ANA -MARIA ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1 ROATA DE JOS, GIURGIU 2020 1 UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI… [618618]

UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

LUCRARE METODICO -ȘTINȚIFICĂ
PENTRU GRADUL DIDACTIC I

ÎNDRUMĂTOR,
PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL
CANDIDAT: [anonimizat]. STEMATE ANA -MARIA
ȘCOALA GIMNAZ IALĂ NR.1
ROATA DE JOS, GIURGIU

2020

1
UNIVERSITATEA DIN BUCUREȘTI
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ

METODICA REZOLVĂRII
PROBLEMELOR DE GEOMETRIA
TRIUNGHIULUI

ÎNDRUMĂTOR,
PROF. UNIV. DR. PRIPOAE GABRIEL

CANDIDAT: [anonimizat]. STEMATE AN A-MARIA
ȘCOALA GIMNAZIALĂ NR.1
ROATA DE JOS, GIURGIU

2020

2
Cuprins

Introducere
Capitolul I. Rezultate generale privind geometria triunghiului
Capitolul II. Teoreme remarcabile privind geometria triunghiului
Capitolul III. Considerații metodice, pedagogice si psihologice privind predarea
geometriei triunghiului
Capitolul IV. Probleme cu caracter aplicativ
Bibliografie
Index de notații
Index de noțiuni

3
Introducere
„Matematica este un mod de exprimare a legilor
naturale, este cel mai simplu și cel mai potrivit chip de a
înfățișa o lege generală sau curgerea unui fenomen, este
cea mai perfectă limbă în care se poate povesti un fenomen
natural. ” – Gheorghe Țițeica .

Prin predarea geometriei în gimnaziu, și mai apoi în liceu, se urmărește ca ele vii
să-și însușească un număr de cunoștințe de ge ometrie, și în același timp să se dezvolte
facultățile psihice ale elevilor. Geometria, în mod deosebi t, dezvoltă gândirea activă ,
complexă și dialectică a elevilor, capacitatea de a analiza și generaliza, de a extrage
esențialul, de a schematiza reali tatea. În cadrul demonstrațiilor și al rezolv ării problemelor
de geometrie, prin parcurgerea raționamentelor, se urmărește dezvo ltarea gâ ndirii sub
aspectul logic formal, scopul fiind ca toate cunoștințele dobândite să devină bunuri proprii,
instrumente de lucru, nu numai să fie reținute pur și simplu. Astfel, scopul instructiv se
împletește cu cel educativ și cu activitatea concretă, practică.
În contextul unor schimbări continue a învățământului românesc, în centrul
preocupărilor școlii trebuie să fie cul tivarea accentuată a gândirii logice a elevilor. Fiecare
lecție necesită o evaluare temeinică , pentru a stabili nivelul de cunoșt ințe și deprinderi ale
elevului. Învățarea ge ometriei exersează gândirea, stimulează organizarea logică a ideilor,
întăreș te atenția și puterea de concentrare, sporește memo ria, dezvoltă un ascuțit simț critic
constructiv și înclinația spre precizie și obiectivitate.
Importanța și actualitatea temei
În cadrul s tudiului geometriei triunghiului, elevii își formează noțiunile și
cunoștințele prin observarea obiect elor din realitatea cuno scută lor. Se face apoi o
abstractizare a formelor observate, finalizată prin desen. În gimnaziu se acum ulează un
număr relativ mare de cunoștințe geometrice, principala preocupare rămânând observarea
practică. Treptat se urmărește ca elevii să se desprindă de contactul cu realitatea obiectivă
și să poată studia figuri geometrice fără ca ele să fie legate de exemple concrete.
Acumularea sistematică a cunoștințelor, proces rezultat din predarea definițiilor,
teoremelo r, demonstrațiilor, trecerea de la problemele practice la cele abstracte, adaptarea
nivelului de dificultate al problemelor la n ivelul clasei și la nivelul capacităților elevului,
toate necesită o măiestri didactică din partea dascălului. De aceea, o aplic are adecvată a
metodicii predării geometriei triunghiului este foarte importantă în debutul studiului
geometriei, punând bazele geometriei în spațiu , geometriei vectoriale , geometriei analitice.
Motivarea alegerii temei
În zilele noastre matematica este un instrument esențial de lucru pentru toate
domeniile tehnice, așadar este firesc ca în ce ntrul preocupărilor actuale ale școlii românești
să se situeze cultivarea accentuată a gândirii elevilor. Alegerea acestei t eme est e motivată

4
de importanța deosebită pe care geometria o are în cadrul matematicii. În urma activității la
clasă am avut posibilitatea să observ că unii elevi întâmpină greutăți în studiul geometriei,
care îi s olicită mai mult decât o fac celela lte ramuri ale matematicii. Am constatat că
trebuie să se țină seama de etapele dezvoltării psihopedagog ice ale copilului în toate
formele de predare și că trebuie trezit interesul acestuia pentru aplicarea în practică a
cunoștințelor dobândite. Scopul principal al procesului didactic rămân e acela de a -l învăța
pe elev „să învețe ”. Pentru aceasta trebuie aplicat un stil de lucru activ formativ, metodele
și procedeele didactice alese având un rol esențial.
Alegerea temei a stat la baza răsp unsului la întrebarea continuă: ”Ce metode
putem folosi pentru a ușura înț elegerea noțiunilor privind predarea -învățarea geometriei
triunghiului?” .

5
Capitolul I . Rezultate generale privind geometria triunghiului

I.1. Definirea triunghiului. Elemente de bază ale unui triunghi
Definiție. Se numește mulțime convexă o mulțime M de puncte, care are
următoarea proprietate: dacă P și Q sunt puncte distincte oarecare ale mulțimii M, atunci
M conține toate punctele segmentului (PQ):
P,Q M (PQ) M.
Mulțimea vidă și mulțimile formate dintr -un singur punct se consideră convexe. O
mulțime formată din două puncte nu este convexă.

P Q P Q

Fig. I.1 Mulțime convexă Fig. I.2 Mulțime care nu este convexă
Exemple de mulțimi convexe avem : planul, dreptele semiplanul, semidreptele,
segmentele. Intersecția a două mulțimi convexe este o mulțime convexă.
Definiție. O linie poligonală este o mulțime de forma L=[P 1P2] [P2P3]
PnPn+1].
Punctele P 1,P2,P3,….,P n+1 se numesc vârfurile liniei, iar segmentele [P 1P2],
[P2P3], …[ P nPn+1] se numesc laturile ei. Linia poligonală se numește închisă dacă P 1=Pn+1
și simplu închisă dacă în plus oricare două laturi nevecine nu au punct comun și două laturi
vecine au suporturi diferite. O linie poligonală simplu închisă se numește poligon.
Definiție. Un poligon cu trei laturi se numește triunghi.
Introducem noțiunea de interior al unu i triunghi astfel:
Interiorul unui poligon convex reprezintă intersecția semi planelor deschise limitate
de suporturile laturilor poligonului și care conțin vârfurile nesituate pe laturile respective.
Reuniunea dintre un poligon convex P 1P2P3,….,P n și interiorul său se numește suprafață
poligonală convexă și se notează cu [P 1P2P3,….,P n]. În cazul triunghiului ABC, mulțimea
[ABC] se numește suprafață triunghiulară .

6
A
int ABC
B C
Fig.I.3 Suprafață triunghiulară
La nivelul cunoștințelor de clasa a VI -a, triunghiul este definit astfel:
Definiție. Fie A,B,C trei puncte necoliniare. Figura geometrică obținută prin reuniunea
[AB] [BC] [CA] se numește triunghi.
A

B C
În ABC :
– [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului;
– A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.

I.2. Clasificarea triunghiurilor

Clasificarea triunghiurilor se poate face după măsurile unghiurilor sau comparând
măsurile laturilor astfel:
 În funcție de măsurile unghiurilor , triunghiurile se clasifică astfel :
– Triunghi ascuțitunghic – triunghiul ca re are toate unghiurile ascuțite,
– Triunghi dreptunghic – triunghiul cu un unghi drept ,
– Triunghi obtuzunghic – triunghiul cu un unghi obtuz.

 Comparând lungimile laturilor, triunghiurile se clasifică astfel:
– Triunghi oarecare (scalen) – triunghi cu lungimile laturilor diferite,
– Triunghi isoscel – triunghi cu două laturi congruente,
– Triunghi echilateral – triunghi cu toate laturile congruente.

7

după măsurile
unghiurilor

comparând
lungimile laturilor Ascuțitunghic
m( A)<90o
m( B)<90o
m( C)<90o Dreptunghic
m( A)=90o
[AB], [AC] catete
[BC] ipotenuză Obtuzunghic
m( A)>90o
Oarecare
AB≠BC≠AC
A
C
B B

A C C

A C
Isoscel
AB=AC A

B C A

B C A

B C
Echilateral
AB=BC=AC A

B C
Fig. I.4 Clasificarea triunghiurilor

I.3. Congruența triunghiurilor
Definiție. Fie ∆ABC și ∆A’B’C’ două triunghiuri. Dacă (AB) (A’B’), (AC) (A’C’),
(BC) (B’C’), A A’, B ≡ B’, C C’, atunci spunem că există o congruență
între triunghiurile ∆ABC și ∆A’B’C’ și scriem ∆ABC ∆A’B’C’.
Axioma de congruență L.U.L Fie ∆ABC și ∆A’B’C’ două triunghiuri (Fig. I.5). Dacă
(AB) (A’B’), (AC) (A’C’) și A A’ atunci ∆ABC ∆A’B’C’.

Fig. I.5 Triunghiuri congruente (L.U.L)

8
Teorema de congruență U.L.U Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A’B’C’ au (AB) (A’B’),
A A’, B ≡ B’ atunci ∆ABC ∆A’B’C’. P
C C’

A B A’ B’
Fig. I.6 Triunghiuri congruente(U.L.U)
Demonstrație. Fie punctul P (A’C’ astfel încât (AC) (A’P). Conform axiomei L.U.L
rezultă ∆ABC ∆A’B’P. Cum B ≡ A’B’P, B ≡ A’B’C’ și P, C’ sunt de aceeași parte
a lui A’B’ rezultă că [B’C’ și [B’P coincid, iar C’=P. Prin urmare ∆ABC ∆A’B’C’.
Teorema de congruență L.L.L Dacă triunghiurile ∆ABC și ∆A’B’C’ au (AB) (A’B’),
(AC) (A’C’), (BC) (B’C’), atunci ∆ABC ∆A’B’C’.

I.4. Linii importante în triunghi
I.5. Asemănarea triunghiurilor
I.6. Aplicații ale trigonometriei în geometria triunghiului
I.7. Coliniaritate, concurență, paralelism. Calcul vectorial în geometria
triunghiului

9
Capitolul II. Teoreme remarcabile privind geometria triunghiului

II.1 Egalități și inegalități geometrice
Teorema 1 (Teorema lui Thales) O paralelă la una din laturile unui triunghi determină,
pe celelalte laturi sau pe prelungirile lor, segmente proporționale.
Demonstrație. Fie un triungh i ABC și o dreaptă s, s BC , A s. Notăm s∩AB={D} și
s∩AC={E} . Demonstrăm că

.
Cazul I. D (AB) și E (AC).
Fie
=
, unde m, n . Rezultă

, adică (AD, AB) și ( m,n) sunt
proporționale, cu k>0 coeficientul de proporționalitate. Deci AD=k· m și AB=k· n. Fie
punctele M 1, M 2, M 3,…, M n-1 pe (AB), astfel încât segmentele formate să fie congruente și
AM 1=k, AM 2=2k, …, AM n-1=(n-1)k, AB=nk. Deoarece AD= k·m rezultă că D=M m. Prin
punctele M i, i= se duc paralele la BC care intersectează (AC) în punctele N i,
i= . Deoarece DE este una dintre aceste paralele, E=N m. Atunci (AN 1) (N1N2) …
(Nn-1C). Atunci AE= mAN 1 și AC= nAN 1 deci

și

.
A
M1 N1
D=M m E=N m
Mn-1 Nn-1
B=M n C=N n
Fig. II.1 Teorema lui Thales
Cazul II. B (AD) și C (AE). Aplicăm rezultatul de la cazul I pentru triunghiul ADE și
dreapta BC. A

B C
D E
Fig. II. 2 Teorema lui Thales

10
Cazul III. A (BD) și A (CE). Fie segmentele (AM) și (AN) ,
(AM) (AB), (AN) (AC), astfel încât EMND este paralelogram și MN
Aplicând cazul I triunghiului A și dreptei MN obținem proporția cerută
E D

A
M N

B C
Fig. II. 3 Teorema lui Thales
Teorema 2 (Teorema bisectoarei) Fie triunghiul ABC și D (BC). AD este bisectoarea
unghiului BAC dacă și numai dacă

.
Demonstrație. „ ” Arătăm că dacă [AD este bisectoarea unghiului BAC , atunci

.
Construim prin C paralela la AD care intersectează AB în E (fig. II.4). Aplicând
teorema lui Thales rezultă că

. Cum unghiurile AEC și BAD sunt unghiuri
corespondente congruente, rezultă că triunghiul ACE este isoscel, deci (AE) , de
unde

E
A

B D C
Fig. II. 4 Teorema bisectoarei
„ ” Arătăm că dacă

atunci [AD este bisectoarea unghiului
BAC .

11
Considerăm D’ (BC) , astfel încât [AD’ este bisectoarea unghiului BAC.
Atunci

și

. Prin proporții derivate rezultă că

și deci
BD=BD’ și D=D’.

II.2 Relații metrice

12
Capitolul III. Considerații metodice, pedagogice si psihologice privind
predarea geometriei triunghiului

III. 1. METODE PEDAGOGICE DE REZOLVARE A PROBLEME LOR DE GEOMETRIE
Studierea unor metode pedagogice de rezolvare a problemelor de geometrie este
necesară, deoarece acestea înlesnesc înțelegerea demonstrațiilor , fiind mijloace de
cerce tare în rezolvarea problemelor și î l ajută pe elev să -și dea seama ce înseamnă un
raționament logic . Problemele au:
 Rol informativ – matematica aplicată în viața curentă, calcul, măsură, în studiul
fizicii, studii tehnice , matematica privită ca obiect de cultură generală.
 Rol formativ – exercițiul gândirii logice, educarea gândirii creatoare. O problemă cu
rol formativ însemnă că soluția ei are interes și în sine, ca rezult at ce trebuie reținut:
ceva ce vom folosi ulterior în alte probleme. Rolul formativ constituie un exercițiu
al gândirii logice și al gândirii inventive.
Metode de rezolvare a problemelor de geometrie
Metoda este legată de conținut, adică fiecare din cele trei moduri de a face
matematică: euristică, logică și aplicată, își are stilul său specific.
Elementul intuitiv își are rolul lui în înțelegerea acțiunii de a construi acest sistem
care este substituit cu rigoarea raționamentului logic. Nu numai pentru legătura lui cu
practica, ci și psihologic, ca suport al investigației euristice, elementul intuitiv își are rolul
lui. De aceea nu trebuie să eliminăm complet justificările intuitive, limitându -ne la
demonstrații complet riguroase. Demonstrația riguroasă este mai bine prinsă în rostul ei
când vine după o critică a justificării intuitive, înlocuind -o în fundamentarea logică, dar
păstrând -o ca element activ în cercetarea euristică.
Problema de a întelege un text matematic este mai dificilă decât a rezolva o
problemă propriu -zisă. Pentru a citi și înțelege un text matematic, cititorul trebuie să aibă o
vastă experiență în rezolvări de probleme, să -și dea seama că descifrarea textului este în
fond rezolvarea unei probleme. Deși textul este complet din punct de vedere logic el este
incomplet din punct de vedere psihologic.
Înțelegerea enunțului problemei presupune cunoașterea problemei astfel încât să
distingă clar ce se dă și ce se cere în problemă. Cunoașterea unor anumite procedee și

13
metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie care să aibă semnificația lui „cum
gândim ”, deci semnificația strategiei punerii și rezolvării problemelor mari și mici.
Esența activității matematice este dezvăluirea implicațiilor logice ascunse, iar actul
de cunoaștere pe viu este o îmbinare între informații dobândite senzorial și cele care
izvorăsc din acestea pe cale logică, în ambele cazuri vizându -se cunoștințe neevidente.
Discuțiile metodice menite să ducă la descoperirea prin gândire, privită nu numai
prin prisma scopului educativ de dezvoltare a puterii de gândire ci și a celui instructiv: nu
se poate înțelege și asimila cu adevărat un enunț matematic sau o demonstrație dacă se
învață pasiv și se recepționează gata făcută, ci numai atunci când ea se r edescoperă.
Cunoștințele matematice nu sunt statice, un material depozitat în memorie, ci un
instrument de lucru. Valențele educative ale matematicii (prin rezolvarea de probleme) se
extind în sfera personalității elevului (prezente și ulterioare) de zvoltâ nd și influențând
pozitiv aptitudini, ingeniozitate, flexibilitatea gândirii, imaginație, spontaneitate, spiritul
critic.
Rezolvarea de probleme în grup înlătură tendința de subordonare, frica de a
domina, dezvoltă receptivitatea, interrelații sănătoase p rin lipsa unei rivalități dăunătoare.
Învățarea noțiunilor prin probleme este conștientă pentru că elevul nu poate
construi un raționament dacă nu posedă itemurile necesare în structura sa cognitivă.
Călăuzirea gândirii prin întrebări trebuie astfel făcu tă încât să se aibă mereu în
atenție problema întreagă și ori de câte ori se rezolvă o secvență a ei, să fie prezentată și
legătura acesteia cu întregul. După parcurgerea analitică a demonstrației, care durează mai
mult pentru că trebuie rezolvate aspecte le ei parțiale, este necesar să se facă o privire
sintetică a ei care să sublinieze ideea demonstrației.
Elevul nu trebuie să rețină demonstrația în desfășurarea ei analitică; el trebuie să
înțeleagă și să rețină ideea demonstrației, și în funcție de ea s -o poată reconstitui singur în
detaliu.
Principul însușirii temeinice a cunoștințelor: cunoștințele descoperite prin efort
propriu sunt fixate mai bine în memorie, sunt ușor de reprodus, identificat și utilizat.
Prin investigarea figurii, corelarea între ce știu și ce nu știu , învățarea se înscrie în
cele trei procese ce generează temeinicia învățării:
 însușirea informației noi;
 transformarea cunoștințelor pentru a le folosi în rezolvarea sarcinilor noi;
 evaluarea (adecvarea) informației la noile sarcini.

14
Observația didactică constă în urmărirea atentă a figurii din problemă sub
îndrumarea profesorului, observare sistematică sau autonomă, observare independentă, în
scopul depistării unor aspecte ale realității, a unor relații între elementele ce se dau și ce se
cer. Poate contribui la operații logice corecte, exprimarea unor deosebiri de relații cu alte
figuri.
Este util pentru valențele educative ale acestei metode să zăbovim și în sensul ei
întrucât este util să cultivăm calități moral – psihice precum i maginația, răbdarea,
perspicacitatea, spiritul de observație și evitarea confuziilor, mai ales la corpurile
geometrice.
Exercițiul didactic este util în cadrul problemelor de geometrie, la clasele III – V,
unde este predominant caracterul intuitiv: măsur ări de arii, volume și mai puțin la
problemele tip geometrie preeuclidiană, unde totuși predomină intuiția adevărului cu mai
puțin accent pe demonstrații riguroase. Ca orice acțiune motrice are valențe formative:
adâncirea înțelegerii algoritmului de rezol vat, dezvoltarea operațiilor mintale și constituirea
lor în structuri operaționale, sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor,
deprinderilor, prevenirea uitării, evitarea confuziilor, dezvoltarea unor calități morale ca
voința.
Pentru a beneficia de consecințele psihologice și de ordin mental ale metodelor
intuitive, profesorul trebuie să confrunte elevul cu materialul concret, nemijlocit
exersându -i priceperea, contemplarea, creând mutații ca intuiții superioare, subtile, ajutând
și la generalizări și abstractizări. Și aici supralicitarea riscă să transforme matematica în „
lucru manual ”.
Descoperirea didactică este o metodă euristică; presupune crearea condițiilor de
reactualizare a experiențelor, capacităților individuale și deslușire a unor relații. Se pleacă
cu delimitarea a ceea ce este util, oportun să sesizeze elevul dirijat de profesor, lăsându -i
acestuia să descopere prin proprie inițiativă restul.
Raționamentele euristice sunt importante deși nu dovedesc nimic. De asemenea,
este important să ne clarificăm raționamentele euristice, deși în spatele fiecărui raționament
clarificat există multe altele care rămân obscure și sunt uneori poate și mai importante.
În rezolvarea problemelor se ține cont de câteva reguli elementare:
 citirea corectă a enunțului problemei , scrierea ipotezei și concluziei și construirea
corectă a figurii geometrice ;
 însușirea enunțului problemei (eventual toate noțiunile și teoremele în legătură cu
problema, ținând cont de date și relații );

15
 cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea problemelor de
geometrie;
 construirea de raționamente noi bazate pe axiome, definiții și alte raționamente
învățate anterior;
 stabilirea de relații între diferite elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajuto rul
simbolurilor matematică , pe baza raționamentelor construite, ce permit urmărirea
lanțului de judecăți ce formează demonstrația problemei;
 discutarea problemei (în unele probleme de geometrie, o soluție nu încheie
rezolvarea ei, ci trebuie examinate și condițiile care ne arată existența altor soluții,
numărul lor, precum și diferite cazuri particulare ce pot apărea, sau generalizarea
ei);
 verificarea soluțiilor problemei (trebuie făcută mai ales în problemele de
construcții geometrice; ea constă dintr -o demonstrație care trebuie să arate că figura
obținută corespunde cu cea cerută în enunțul problemei).

III. 2. METODE FOLOSITE ÎN GE OMETRIE PENTRU REZOLVAREA PR OBLEMELOR

În matematică, prin metodă se înțelege calea rațională care trebuie folosită pentru a
demonstra o teoremă sau pentru rezolvarea unei probleme. Metodele pentru rezolvarea
problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale și particulare.
Metodele analizei și sintezei sunt singurele metode generale care se aplică în
demonstrarea unui număr foarte mare de teoreme și probleme.
Metodele folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele:
 metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul
 metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație
 metoda analizei
 metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul
 metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstrație
 metoda construcțiilor geometrice
 metoda reducerii la absurd în problemele de geometrie
 metoda analitico – sintetică în problemele de geometrie
 metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de demonstrație

16
 metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de calcul
 metode de rezolvarea a problemelor de coliniaritate
 metode de rezolvarea a problemelor de concurență

17

Capitolul IV. Probleme cu caracter aplicativ

Ca urmare a rezultatelor generale privind geometria triunghiului, în scopul utilizării
teoremelor remarcabile privind geometria triunghiului, pot apărea probleme de concurență,
de coliniaritate și drepte celebre, probleme de arii, de minim și maxim, probleme de loc
geometric,etc.
IV.1. Probleme de concurență
Problema 1. Fie ABC un triunghi și o dreaptă oarecare d. Fie A’, B’, C’ respectiv
proiecțiile pe d ale vârfurilor A, B, C. Perpendicularele duse din A’, B’, C’ pe laturile
[BC], [CA], [AB] sunt concurente, iar punctul lor de intersecție se numește ortopolul
dreptei d față de triunghiul ABC.
Soluție.

Fig. IV.1
Folosind teorema lui Carnot, vom demonstra că dreptele B’B’’, C’C’’, A’A’’ sunt
concurente. Fie un punct P interior triunghiului, care se proiectează pe laturile acestuia în
punctele A”, B”, C’’. Conform teoremei lui Carnot există relația:
A”B2 – A”C2 +B”C2 – B”A2 + C”A2 – C”B2 = 0
Vom arăta că și perpendicularele duse din A’, B’, C’ verifică relația de mai sus, deci sunt
concurente.
În triunghiul A’A”B, conform teoremei lui Pitagora, A’A”2=A’B2-A”B2.
În triunghiul A’A”C, conform teoremei lui Pitagora, A’A”2=A’C2-A”C2.
Deci A’B2-A”B2= A’C2-A”C2 A”B2-A”C2= A’B2-A’C2 .
În triunghiul A’BB’, conform teoremei lui Pitagora, A’B2=A’B’2+BB’2.
În triunghiul A’CC’, conform teoremei lui Pitagora, A’C2=A’C’2+C’C2.
Așadar A”B2-A”C2= A’B’2 – A’C’2+BB’2 – C’C2 (1)

18

În triunghiul B’AB”, conform teoremei lui Pitagora, B’B”2=B’A2-B”A2.
În triunghiul A’A”C, conform teoremei lui Pitagora, B’B”2=B’C2-B”C2.
Deci B’A2-B”A2= B’C2-B”C2 B”C2-B”A2= B’C2-B’A2 .
În triunghiul B’CC’, conform teoremei lui Pitagora, B’C2=C’B’2+CC’2.
În triunghiul B’AA’, conform teoremei lui Pitagora, B’A2=B’A’2+A’A2.
Așadar B”C2-B”A2= B’C’2 – B’A’2+CC’2 – AA’2 (2)
Analog C”A2-C”B2= C’A’2 – C’B’2+AA’2 – BB’2 (3)
Adunând relațiile (1), (2), (3) rezultă A”B2 – A”C2 +B”C2 – B”A2 + C”A2 – C”B2 = 0 și
deci conform teoremei lui Carnot, B’B’’, C ’C’’ , A’A” sunt concurente.

Problema 2. Fie A’ mijlocul laturii [BC] a triunghiului ABC, L punctul de intersecție a
tangentei în A la cercul circumscris triunghiului ABC cu latura [BC]. Să se arate că ce rcul
lui Euler al triunghiului AA’L trece prin centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Soluție:

Fie A 1 piciorul înălțimii din A pe BC, A 2 mijlocul segmentului [AH] și W centrul cercului
lui Euler al triunghiului ABC. În triunghiul AOH, [WA 2] este linie mijlocie, rezultă că
WA 2 OA Notăm cu A 3 intersecția dreptelor A’A 2 și AL diametrul [A’A 3] al cercului
lui Euler al triunghiului ABC este pa ralel cu OA A’A 3 AL A2 este ortocentrul
triunghiului AA’L. Dar (A’W) (WA 2), deci cercul lui Euler al triunghiului AA’L trece
prin W.

19
Bibliografie
1. Bogdanov Z., Călugărița GH., Opreanu E., Sandu M., Metodica predării
geometriei, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965.
2. Brânzei D., Brânzei R., Metodica predării matematicii , Editura Paralela 45, Pitești,
2000.
3. Coța A., Rado M., Răduțiu M., Vornicescu F., Matematică – Geometrie și
trigonometrie – Manual pentru clasa a IX -a, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1997.
4. Ganga M., Matematică – Manual pentru clasa a IX -a, Editura MathPress, Ploiești,
2004.
5. Ganga M., Matematică – Manual pentru clasa a X -a , Editura MathPress, Ploiești,
2001.
6. http://ro.math.wikia.com/wiki/Axiomele_geometriei
7. Ianuș S., Soare N., Niculescu L., Tena M., Probleme de geometrie și trigonometrie
pentru clasele IX – X, Editura didactică și pedagogică, București, 1983.
8. Ion V., Enache M., Spiță A., Geometrie plană pentru gimnaziu, Editura Univers –
Mat, Brăila, 1994.
9. Iurea Gh., Luchian D., Popa G., Zanoschi A., Matematică – Evaluarea Națională
pentru absolvenții clasei a VIII -a, Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
10. Iurea Gh., Zanoschi A., Matematică – Algebră, Geometrie: clas a VII -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2016.
11. Lupu C., Săvulescu D., Metodica predării geometriei, Editura Paralela 45, Pitești,
2000.
12. Negrilă A., Negrilă M., Matematică: Algebră, Geometrie: clasa a VII -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2014.
13. Nicolae S., Chilom I., Sas M., Matematică – exerciții și probleme pentru clasa a
VII-a, Editura Booklet, București, 2017.
14. Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică
București, 1990.
15. Peligrad S., Țurcanu A., Popa Ș., Teste de evaluare standard – clasa a VII -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2014.
16. Perianu M., Stănică C., Balica I., Matematică pentru Evaluarea Națională, Editura
Art Educațional, București, 2017.
17. Pervain I., Baicu V., Matem atică, jurnal de vacanță – clasa a VI -a, Editura Delfin,
București, 2013.
18. Petrică I., Ștefan C., Matematică – probleme pentru clasele V -VIII, Editura Petrion,
București, 1995
19. Radu D., Radu E., Matematică, manual pentru clasa a VII -a, Editura Teora,
Bucure ști, 2011.
20. Săvulescu D., Sinteze teoretice pentru pregătirea Evaluării Naționale, Editura Art,
București, 2016.
21. Teodorescu N., Societatea de Științe Matematice din România, Gazeta matematică,
nr. 1 -5, București, 1985.

20
22. Tudor I., Matematică – algebră, geome trie- Modalități de lucru diferențiate, clasa a
VII-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2017.
23. Țițeica G, Culegere de probleme de geometrie, Editura Tehnică, București, 1965 .
24. Udriște C., Tomuleanu V., Geometrie analitică, manual pentru clasa a XI -a,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995.
25. Zanoschi A., Iurea Gh., Popa G., Răducanu P., Șerdean I., Matematică – Teste
pentru Bacalaureat, Editura Paralela 45, Pitești, 2016.

Index de notații
Index de noțiuni