Capitolul 2 Numere pitagoreice 2.1. Definire, proprietăți Ecuația de gradul al doilea 2 2 2x y z  (1) unde x, y și z sunt numere întregi este… [618568]

Capitolul 2 Numere pitagoreice

2.1. Definire, proprietăți

Ecuația de gradul al doilea
2 2 2x y z  (1)
unde x, y și z sunt numere întregi este numită ecuația lui Pitagora .
Definiția 1 : Dacă numerele , ,x y z satisfac ecuația lui Pitagora spunem că
ele sunt numere pitagoreice , sau că formează un triplet pitagoreic .

Definiția 2 : O soluție a ecuației lui Pitagora se numește soluție primitivă , dacă
, ,x y z și relativ prime între ele.

Lema 1: Soluțiile ecuației lui Pitagora sunt de forma:
x du
y dv
z dw

 (2)
unde , ,u v w este o soluție primitivă a ecuației lui Pitagora, iar d arbitrar.
Demonstrație:
 Dacă , ,u v weste o soluție primitvă a ecuației 1, atunci 2 2 2u v w  .
Înmulțim cu 2d și obținem 2 2 2 2 2 2d u d v d w  , deci 2 este o soluție a ecuației 1.
 Dacă tripletul , ,x y z este o soluție a ecuației 1 și , ,d x y z , atunci
x du, y dv și z dw și 2 2 2u v w  . Rezultă că , ,u v w este o soluție primitivă a
ecuației 1
În concluzie, pentru a găsi toate soluție ecuației 1 este suficient să găsim
soluțiile primitive ale ei.
În continuare, vom demonstra faptul că pătratul unui număr impar este de
forma 81 , observație ce ne va fi utilă în demonstrația următoarei leme.
 Dacă 4 1x k  2 2 2
8 16 8 1 8 2 1 1x k k k k        
 Dacă 4 3x k   2 2 2
8 16 24 9 8 2 3 1 1 1x k k k k         

Lema 2: Dacă , ,x y z este o soluție primitivă a ecuației 1, atunci x și y
sunt de parități diferite și z este impar.
Demonstrație:
Dacă atunci x și y ar fi ambele pare, atunci și z ar fi par, deci , , 1x y z,
contrar ipotezei că , ,x y z este o soluție primitivă.
Dacă x și y ar fi ambele impare, atunci z ar fi număr par.
Folosind observația precedentă, obținem că
2
8 2 2 2
8 42
812 2
1xz x y
y       
 .
z fiind număr par, rezultă că 2
4z. Obținem astfel o contradicție. 

Teorema 1 (Formula lui Euclid): Soluțiile primitive ale ecuației lui
Pitagora sunt date de formulele:
2 2
2 22x m n
y mn
z m n 

  3
unde ,m n și relativ prime între ele, de parități diferite și m n .
Demonstrație:
 Fie , ,x y z o soluție primitivă a ecuației 1. Atunci 2 2 2x y z  și x, y
sunt de parități diferite, iar z este număr impar.
Considerăm că y este număr par. Rezultă că
2 2 2y z x z x z x     4
iar z x și z x sunt numere pare.
Fie 2
2z x a
z x b 
  , unde ,a b. Rezultă că z a b
x a b 
 .

y este număr par 2 ,y c c   . Înlocuind în 4 obținem: Facem observația că a și b sunt prime între ele deoarece, în caz contrar, obținem
o contradicție, astfel: dacă , , 1d a b d  rezultă că a du
b dv
 cu , 1u v .
2 2 2 2y d u v   y d , imposibil deoarece , ,x y z este o soluție primitivă.

 
    2 2 2 2 2
2 22 4
, 1 2 2 4y c c c ab a m
a b b n y z x z x a b ab              , cu , 1,m n m n   .
Rezultă că 2 2x m n  ,2y mn și 2 2z m n  .

 Fie x, y și z generate de formulele 3. Arătăm că acest triplet este o soluție
primitivă a ecuației 1.
  2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 22 2 4 2 x y m n mn m m n n m n m m n n m n            
Rezultă că , ,x y z este o soluție a ecuației 1. Arătăm că , , 1x y z.
Presupunem că , , , 1x y z d d  . Cum 2 2z m n  este impar d este impar.
2
22 /
/ 2x z m d m
d n z x n 
  , ceea ce contrazice ipoteza că , 1m n.
Prin urmare, presupunerea făcută este falsă, deci 1d.
În concluzie, , ,x y z este o soluție primitivă. 

Observația 1: Tripletul , ,x y z definit ca în 3 generează toate soluțiile primitive ale
ecuației lui Pitagora.

Oservația 2: Toate tripletele pitagoreice sunt date de relațiile:

 2 2
2 22x m n t
y mnt
z m n t 

 
Înainte de descoperirea, de către Euclid, a formulelor de generare a tripletelor
pitagoreice, și Pitagora găsise soluțiile  2 21,2 , 1n n n  , ce generează un subset de
triplete pitagoreice, nu toate primitive.

2.2 Aspecte metodice

Problemele propuse în acest subcapitol pot fi rezolvate, cu ajutor, încă de la
clasa a V-a, deoarece necesită doar cunoștințe de divizibilitate. Cu toate acestea,
deoarece folosesc și formule de calcul prescurtat și metode de demonstrație prin
reducere la absurd, consider că sunt mai utile la clasele a VII-a și mai mari.

1. Rezolvați ecuația 2 2 2x p z , unde ,x z și p este un număr
natural prim.
Rezolvare:
2 2 2
1p z x z x z xz x
p prim      
 și 2z x p 
Obținem astfel, soluția: 21
2pz și 21
2px .

2. Să se rezolve ecuația 2 2 2x p q  , unde x, iar ,p q sunt numere
prime.
Rezolvare :
2 2 2
1p q x q x q xq x
p prim      
 și 2q x p .
Prin urmare, : 21
2px și 21
2pq .

3. Să se rezolve ecuația 2 2 2p q s , unde , ,p q s sunt numere prime.
Rezolvare:
Cum p și q au parități diferite, dar sunt și numere prime, rezultă că unul
dintre ele este par. Fie 2p.
2 24 4q s s q s q      1
4s q
s q   5
2s  și 3
2q .
Cum valorile obținute nu sunt numere naturale, rezultă că ecuația nu are soluții.

4. Să se rezolve ecuația:  2 2 21 , ,x x y x y    .

Rezolvare:
Conform Teoremei 1, avem:
Cazul I:  2 2
2 21 2 , , 1, ,x m n
x mn unde m n m n
y m n 
   
 .
1 2x mn   2 2 2 2 2 2 21 2 2 1 2 2 1 m n mn m n mn m mn n n            
      2 2 2 2 22 1 1 2 1 1 2 m n n m n n m n m n n              .
a. Dacă 1n atunci 2 2m m , iar ecuația nu are soluții.
b. Dacă 1n atunci 2
21 2 2 241 5 1m n n nn saum m m n n                   .
1 1
2 21 2 1 2 3 5
1 2 2 5 21 29x y
x y      
      .
Cazul II:  2 2
2 22
1 , , 1, ,x mn
x m n unde m n m n
y m n
    
 .
2 21 2mn m n    , iar de aici rezolvarea continuă analog, obținând aceleași soluții.

5. Să se rezolve ecuația:  2 2 21 , , x y y x y    .
Rezolvare:
    2 2 21 1 1 2 1x y y y y y y y          , deci ecuația are o infinitate de soluții.

6. Să se rezolve ecuația: 2 2 2, , , ,nx k z x z k n   .
Rezolvare:
2 2 2nk z x z x z x    
Fie ,a b astfel încât 2a b n  și a b. Rezultă că a bz x z x k k   .
,2 2a a b a b
bz x k k k k kz x
z x k        .

7. Determinați numerele pitagoreice în progresie aritmetică.
Rezolvare:

Fie , ,x y z în progresie aritmetică x y r
z y r 
 
, ,x y z pitagoreice    2 22y r y y r     2 2 2 2 22 2y yr r y y yr r      
24 4y yr y r   
Soluțiile problemei sunt 3
4
5x r
y r
z r

 .
8. Rezolvați ecuația: 2 2 21 1 1
x y z  în mulțimea numerelor naturale
nenule.
Rezolvare :
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 x y x y xyx yx y z x y z z z            , rezultă că , ,xyx yz 
   este
un triplet pitagoreic în * /z xy .
Notăm cu xytz, iar relația de mai sus devine 2 2 2x y t . Fie , ,d x y t .
Rezultă că  , , 1x da
y db cu a b c
t dc
 
.
Obținem că 2 2 2a b c , cu , ,a b c prime între ele, două câte două și abdzc. Rezultă
că /c d d ck  .
Avem , ,kabcx kac y kbc z kabc    .
, ,a b c este triplet pitagoreic primitiv, deci 2 2
2 22a m n
b mn
c m n 

  .
În final, obținem soluția problemei: 
 
 4 4
2 2
2 22
2x k m n
y kmn m n
z kmn m n 
 

  .

9. Să se demonstreze că mulțimea numerelor prime este infinită.

Rezolvare:
Fie , ,x y z un triplet pitagoreic.
Presupunem, prin reducere la absurd, că mulțimea numerelor prime este finită,
adică există un cel mai mare număr prim, pe care îl notăm cu kp.
Notăm cu m produsul tuturor numerelor prime, 2 3 5 7 …k m p      .
Fie 1n . Obținem , 1,m n m n  și sunt de parități diferite, deci generează un
triplet pitagoreic: 2 2
2 22x m n
y mn
z m n 

  .
2 2 22 1 2 x y m n mn m m      
 Dacă x y este prim, atunci:
   2 22 3 5 … 2 2 3 5 … 1k k k k x y p p p p              , ceea ce este o
contradicție cu presupunerea că kp este cel mai mare număr prim.
 Dacă x y este compus, atunci are un divizor q prim, 1q. Rezultă că /q m.
Dar 2/ 2 1q m m , deci /1q , ceea ce contrazice presupunerea făcută.
Prin urmare, presupunerea făcută este falsă, deci mulțimea numerelor prime este
infinită.

10. Produsul a trei numere pitagoreice este divizibil cu 60.
Rezolvare:
Fie , ,x y z un triplet pitagoreic. Rezultă că 2 2
2 22x m n
y mn
z m n 

  , cu , 1m n.
Obținem 2 2 2 2 4 42 2xyz mn m n m n mn m n     . Vom arăta că acest produs este
divizibil, pe rând, cu 3, 5 și 4.
Aceste rezultate pot fi propuse și ca probleme separate, premergătoare
concluziei că produsul este divizibil cu 60. Divizibilitatea cu 4 este problema 827 din
Gazeta Matematică 10 / 1988, iar divizibilitatea cu 5 apare ca problema 6303 din
Gazeta Matematică 8/1978.
I. Divizibilitatea produsului xyz cu 3.

 Dacă 3/m sau 3/n atunci 3/xyz.
 Dacă m sau n nu sunt divizibile cu 3, atunci vom arăta că 2 21 mod3 m n  :
   
   2 2 2
2 2 23 1 3 1 9 6 1 1 mod3
3 2 3 2 9 12 4 1 mod3m m
m m   
           
        
2 23, , , 3 / m n m n cu mn      .

Se poate anticipa, astfel, Mica Teoremă a lui Fermat:
Dacă p este un număr prim și , /a p a, atunci
11 modpa p 5
Demonstrație:
Considerăm primii 1p multipli ai numărului a: 1a, 2a, 3a, … ,
1p a . Resturile împărțirii acestora la p sunt respectiv: 1 2 1, , …,p r r r. Avem așadar,
relațiile:
, 0 , 1,2,…, 1i i i i a p c r r p i p        6
Observăm că resturile 1 2 1, , …,p r r r sunt diferite între ele deoarece, dacă am
avea i jr r, ar rezulta că i j i j a p c c   , de unde p a, ceea ce contravine
ipotezei.
Mai observăm că 0ir pentru orice 1,2,…, 1i p  deoarece în caz contrar am
obține că p i a p a  , ceea ce contrazice din nou ipoteza.
Din aceste două observații putem concluziona că resturile 1 2 1, , …,p r r rsunt
numerele 1, 2, …, 1p aranjate în altă ordine.
Înmulțind relațiile 5 obținem:
 1
1 1 2 2 1 1 1 2 … 1 …p
p p p a pc r pc r pc r
             
sau
1 *
1 2 1 1 2 … 1 … ,p
p p a p t r r r t
          
adică
 11 2 … 1 1 2 … 1pp a p t p           
deci

11 2 … 1 1pp a p t       , de unde 11pp a.
Altfel spus, 11 0 modpa p  sau 11 modpa p .
Observație: Relația 5 se mai poate scrie, echivalent, astfel: pp a a .
II. Divizibilitatea produsului xyz cu 5 rezultă aplicând mica teoremă a lui Fermat.
 Dacă 5m n atunci 5x y z .
 Dacă 5 /m n atunci 4 41 mod 5 m n   4 45 m n
Prin urmare 5/xyz.

III. Divizibilitatea cu 4
Deoarece , 1m n și x și y sunt de parități diferite, atunci m și n sunt de
parități diferite.
Dacă 2m k și 2 1n l  atunci:
  2 2 2 24 2 1 4 4 4 1 4 4 4 1xyz k l k l l k l l        4/xyz .
În concluzie, 60/xyz pentru orice triplet pitagoreic , ,x y z.
11. În orice triplet pitagoreic , ,x y z, z și orice putere a sa este suma a
două pătrate diferite.
Rezolvare:
Dacă , ,x y z este un triplet pitagoreic, atunci există  , , , 1m n m n  astfel
încât: 2 2 2 2, 2 , x m n y mn z m n     .
Vom arăta, prin inducție, că k k kz   pentru orice k.
I. Verificarea:
Pentru 1k avem 2 2z m n  , iar pentru 2k avem 2 2 2z x y , deci relația
este verificată.
II. Demonstrarea:
Presupunem că 2 2l
l lz   și arătăm că 1 2 2
1 1l
l lz 
   .
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2l l
l l l l l l z z z m n m m n n              
       2 2 2 2
l l l lm m n n       
       2 2 2 22 2l l l l l l l lm n m n n m m n             

   2 2 2 2
1 1 l l l l l lm n n m             .
Prin urmare, 2 2,k
k k k z       .

12. Se cer lugimile catetelor unui triunghi dreptunghic astfel încât
produsul lor să fie de p ori perimetrul, unde p este un număr prim dat.
Rezolvare:
Fie x, y catetele și z ipotenuza. Rezultă că 2 2 2x y z .
Din ipoteză avem  xy p x y z    2 2 22 2 2mn m n p m mn   
 2 2mn m n m n p m m n     n m n p   . Dar p este un număr prim, deci

   , 1,
, ,1n m n p
n m n p   de unde rezultă că  , 1,1m n p  sau  , 1,m n p p  .
Prin urmare,    
 221 1 2
2 1x p p p
y p    
  sau  
 221 2 1
2 1x p p p
y p p    
  .

13. Există triplete pitagoreice de numere prime? (G.M.-5/1979,
Problema O:35)
Rezolvare:
Dacă , ,x y z este un triplet pitagoreic, atunci 2y mn. Ca acesta să fie
număr prim, atunci 1m n . Dar, în acest caz, 2 20 x m n   , ceea ce este imposibil.
Prin urmare, răspunsul la întrebarea problemei este negativ.

14. Dacă , ,x y z este un triplet pitagoreic, atunci /x y z xy  .
(G.M.12/1979, Problema E:6736)
Rezolvare:

    2 2 2 2 2
2 22 2 2 2
/
2 2x y z m n mn m n m mn m m n
x y z xy
xy m n mn mn m n m n          
  
    .

15. Dacă p și q sunt numere naturale nenule și prime între ele, să se
rezolve ecuația diofantică 2 2 2 2 2 2 22 p x q y p q z  .
Rezolvare:

Considerăm x qu și y pv. Obținem astfel 2 2 2 2 2 2 2 2 22 p q u p q v p q z  , de unde
2 2 22u v z  . Rezultă că 2 2
2
2 2u v u vz           . Aplicând teorema 1, avem
2 2 2 2, 2 ,2 2u v u vm n mn z m n      , de unde obținem soluția:
 
 2 2
2 2
2 22
2x q m mn n
y p m mn n
z m n  
  
  .
16. Să se arate că pentru orice număr natural n , 2017n poate fi scris ca
suma a două pătrate perfecte.
Rezolvare:
O metodă de demonstrație ar fi prin inducție matematică, dar aici o vom aborda prin
prisma tripletelor pitagoreice.
Dacă n este impar, atunci 2 1n k 
2 22 1 2 2 2 22017 2017 2017 2017 44 9 2017 44 2017 9 2017n k k k k k         
Dacă n este par, 2n k, atunci aflăm x și y astfel încât 2 2 22017 x y  . Conform
formulelor lui Euclid, avem 2 2 2 22017 , , 2m n x m n y mn     .
Pentru 44m și 9n obținem 1855x și 792y .
 
   22 2 2 2 2 2 1
2 21 12017 2017 2017 2017 1885 792 2017
1885 2017 792 2017n k k k
k k 
      
   

2.3 Alte proprietăți ale tripletelor pitagoreice

Proprietatea 1
Un subset de triplete pitagoreice, nu toate primitive, este
 2 2
3 1 2 1 2, 2 ,m m m m m mF F F F F F     
unde mF este un număr Fibonacci.
Demonstrație:
Această demonstrație poate fi realizată și cu elevi de gimnaziu, clasele a
VII-a sau a VIII-a.
Dacă mF este șirul Fibonacci, atunci 2 1m m mF F F   . Deci
3 2 1 1 2m m m m mF F F F F       .
Dacă  2 2
3 1 2 1 2, 2 ,m m m m m mF F F F F F      este un triplet pitagoreic, atunci
     2 2 2 2 2
3 1 2 1 22m m m m m mF F F F F F       . Vom calcula pe rând fiecare membru al
egalității.
       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 1 12 4 2 4m m m m m m m m m m m m m mF F F F F F F F F F F F F F              

  2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 14 4 4 2m m m m m m m m m mF F F F F F F F F F           
4 3 2 2 2 2 3 4
1 1 1 1 14 4 4 8 4m m m m m m m m m mF F F F F F F F F F           
 4 4 2 2 2 2
1 1 1 14 8 4 2m m m m m m m mF F F F F F F F        
Membrul al doilea:
     2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 1 2 2m m m m m m m m mF F F F F F F F F            
4 4 2 2 2 2 3 3
1 1 1 1 14 4 4 4 8m m m m m m m m m mF F F F F F F F F F          
 4 4 2 2 2 2
1 1 1 14 8 4 2m m m m m m m mF F F F F F F F         .
Am arătat, astfel, că egalitatea este adevărată deci avem un triplet pitagoreic.

Proprietatea 2
Unul din numerele x, y, x y sau y x dintr-un triplet pitagoreic este
divizibil cu 7.

Proprietatea 3
Toți factorii primi ai lui z dintr-un triplet pitagoreic , ,x y z sunt de forma
4 1n.

Prin sintagma ” prime pitagoreice ” se înțelege numere prime de forma 4 1n.
Primele numere prime pitagoreice sunt 5, 13, 17, 29, 37, 41…

Proprietatea 4: Toate numerele prime de forma 4 1n se pot scrie ca sumă de
două pătrate.
Această observație este cunoscută și sub numele de Teorema lui Fermat de Crăciun
deoarece acesta a enunțat-o pe 26 decembrie 1640 într-o scrisoare către Marin
Mersenne.