^In studiul funct iilor reale, inclusiv al celor care modeleaz a procese zice, este important a cunoa sterea comport arii acelor funct ii ^ n… [618423]

LIMITE DE FUNCT II.
^In studiul funct iilor reale, inclusiv al celor care modeleaz a procese zice, este
important a cunoa sterea comport arii acelor funct ii ^ n vecin atatea anumitor puncte
xate. mai precis, dac a f:D)R(DR) este o funct ie real a de variabil a real a
 si dac ax2Deste "apropiat" de o valoare , ce se poate spune despre f(x)? de
exemplu, dac a un  sir ( xn)n0de puncte din Dconverge c atre , ce se poate spune
despre convergent a  sirului ( f(xn))n0? la astfel de ^ ntreb ari se va r aspumde ^ n con-
tinuare, c aut^ and s a preciz am sensul armat iei: dac a xse apropie de , atuncif(x)
se apropie de l.
Fie funct ia f:R)R; f(x) =x+ 1  si punctul = 2. ^Intr-un sens intuitiv,
^ nc a neprecizat, se observ a c a dac a xeste "apropiat" de 2, atunci f(x) =x+ 1 este
"apropiat" de 3;
Se consider a o funct ie f:D)R(DR)  si un punct care poate s a nu
apart in a lui Ddar este punct de acumulare pentru D. Remarc am c a ^ n acest caz
exist a  siruri de puncte din Dcare converg c atre ; ^ ntr-adev ar, dac a 2R,
atunci pentru orice n1 natural, ^ n vecin atatea
1
n;+1
n

a punctului se
a
 a cel put in un punct xn2D,xn6=, decijxnj<1
n si, care atare, xn!.
Dac a=1, alegemxn2D,xn>n sixn!1 etc.
Reciproc, dac a exist aun  sir ( xn);xn2A;xn6=a;(8)n;xn!, atunci s a prob am c a a
este punct de acumulare pentru A.
FieV2Va;iarxn!a;xn2A;xn6=a, atunci (9)nV2Nastfel ^ nc^ at (8)nnV
s a avemxn2V. Cumxn6=ase deduce c a ( Vfag)\A6=;, ceea ce arat a c a a
estepunct de acumulare pentru A.
Aceast a propozit ie arm a c a aestepunct de acumulare al mult imii Adac a  si numai
dac a se poate g asi cel put in un  sir de elemente din A, diferit de a,  si convergent la
a.
1. Punct de acumulare  si punct izolat.
Denit ie: Fie A o submult ime nevid a din R. Un punct 2Rse nume ste
punct de acumulare (sau punct limit a ) pentru mult imea A dac a (8)V2Va(=
mult imea vecin at at ilor punctului a) s a rezulte (Va\A6=)
^In continuare vom da o propozit ie de caracterizare pentru un punct de acumulare,
caracterizare ce va ajuta mai t^ arziu la ^ nt elegerea conceptului de limit a a unei funct ii
^ ntr-un astfel de punct.
Propozit ie: Punctula2Reste punct de acumulare al mult imii Adac a  si numai
dac a exist a un  sir ( xn); xn2A; xn6=a;(8)ncu proprietatea c a xn!a.
1

2 LIMITE DE FUNCT II.
Demonstrat ie:
Presupunem c a a2A0. Deci pentru orice vecin atate Va luia, (Vna)\
A6=a. Cum un sistem fundamental de vecin at at i al punctului aeste mult imea
a1
n; a+1
n
jn2N
, atunci pentru orice Vn=
a1
n; a+1
n
; n2N,
avem (Vnfag)\A6=;, ceea ce ^ nseamn ac a pentru ecare Vn, exist axn2
(Vnfag)\A, adic axn2A;xn6=a sixn2
a1
n; a+1
n
. Aceste relat ii
le traducem prin xn2A,xn6=a sia1
n<xn<a+1
n,xn2A,xn6=a,1
n<
xna <1
n,xn2A,xn6=a;jxnaj<1
n. decixn!a;xn2A;xn6=a;(8)n.
(conform criteriului major arii)
Exemple
Dac a:
A= (a;b); atunci A0= [a;b] ;
A= [a;b); atunci A0= [a;b] ;
A= (a;b]; atunci A0= [a;b] ;
A= [a;b]; atunci A0= [a;b] ;
A=;; atunci A0=;;
A=fa1;a2;:::;ang; atunci A0=;;
A=1
n;n1
; atunci A0=f0g;
A=N; atunci A0=f+1g;
A=Z; atunci A0=f1;+1g;
A=R; atunci A0=R;
Denit ie: FieAo mult ime nevid a din R. Un punct x02Ase nume ste punct izolat
al mult imii Adac a exist a cel put in o vecin atate Va punctului x0astfel ^ nc^ at
V\A=fx0g.
Exemple: Dac aA= [0;1][f2g, atuncix0= 2 este punct izolat pentru mult imea
Adeoarece exist a V=
21
2;2 +1
2
astfel ^ nc^ at V\A=f2g.
Dac aA=N, atunci orice num ar din Aeste punct izolat.
Observat ie. Orice punct al unei mult imi Aeste e punct de acumulare , epunct
izolat .
2. Limita unei funct ii ^ ntr-un punct.
Formularea problemei ^In cele ce urmeaz a se consider a o funct ie f:E!R sia
un unct de acumulare pentru E(care poate s a apart in a sau nu lui E).

LIMITE DE FUNCT II. 3
problema care ne intereseaz a este comportarea funct iei f^ n jurul lui a, f ar a a lua ^ n
considerare valoarea funct iei ^ n a(^ n cazul ^ n care f(a) exist a).
Deci lu^ and valori x2E;x6=a;xdin ce ^ n ce mai apropiat de a, oare valorile funct iei
f^ n aceste puncte, f(x), se apropie din ce ^ n ce mai mult de acela sinum ar l2R?
Dac a da, atunci num arul lreprezint a limita funct iei f^ n punctul a. Exprimarea de
mai sus nu mai poate  luat a drept denit ie, deoarece trebuie v azut ce ^ nseamn a^ n
limbaj matematic " xdin ce ^ n ce mai apropiat de a", precum  si " f(x) se apropie
din ce ^ n ce mai mult de acela si num ar l"
Mai precis: lu^ and  siruri xn!a, formate din punctele xn6=a;xn2E;(8)nse poate
spune c a  sirurile imagine ( f(x)) au o aceea si limit a comun a l?
Dac a da, atunci lreprezint a limita funct iei f^ na si se scrie lim x!af(x) =l(citim:
limit a def(x) c^ andxtinde c atre aeste egal a cu l).
S a observ am c a aind punct de acumulare pentru E, astfel de  siruri xn2E; xn6=
a;(8)n; xn!aexist a.
Exemple:
1).Fie funct ia f:R!R; f(x) = 2x+ 1  sia= 1. S a studiem comportarea
funct ieif^ n jurul punctului a= 12R. Fie pentru aceasta diferite  siruri ( xn); xn6=
1;(8)n; xn!1. Ce se ^ nt^ ampl a cu  sirul imagine ( f(xn)), are sau nu o aceea si
limit a?
Lu am  sirul ( xn) : 1 +1
1;1 +1
2:::;1 +1
n;


! 1 (xn&1) pentru care  sirul
(f(x)) : 2
1 +1
1
+ 1;2
1 +1
2
+ 1; :::; 2
1 +1
n
+ 1;


! 2 + 1 =
3 (f(xn)&3).
Dac a se ia  sirul ( x0
n) : 11
1;11
2:::; 11
n;


! 1 (xn%1), atunci  sirul
(f(x0
n)) : 2
11
1
+ 1;2
11
2
+ 1; :::; 2
11
n
+ 1;


! 3 (f(xn)%3)
Fie acum  sirul ( x00
n) : 1 +1
1;11
2;1 +1
3;11
4:::; 11
2n;1 +1
2n+ 1;


! 1
(termenii  sirului sunt situat i de o parte  si de alta a lui a= 1).
S irul (f(x00
n)) : 2
1 +1
1
+1;2
11
2
+1; :::; 2
11
2n
+1;2
1 +1
2n+ 1
+
1;


! 3
Constat am c a ^ n cele trei cazuri dac a xn6= 1; xn!1, atuncif(xn)!3:
Fie acumxncuxn6= 1;(8)n;xn!1.^In acest caz f(xn) = 2xn+ 1!3:Deci am
obt inut urm atorul rezultat ( 8) (xn); xn6= 1;(8)n;xn!1)f(xn)!3
2).Fief:R2!R; f(x) =x24
x2=x+ 2. Cum limita ^ n a= 2 nu se refer a
la valoarea funct iei ^ n a= 2, atunci
lim
x!2×24
x2= lim
x!2(x+ 2)

4 LIMITE DE FUNCT II.
sensul acestei egalit at i este c a dac auna din limite exist a, atunci  si cealalt a exist a c
si mai mult sunt egale. Deci ^ n loc s a calcul am limita funct iei f(x) =x24
x2(mai
complex a) este sucient de g asim limita funct iei mai simple g(x) =x+ 2 ^ na= 2.
Cum pentru (8)xn!2; xn6= 2;(8)nrezult ag(xn) =xn+ 2!4 se deduce
lim
x!2g(x) = 4
Deci
lim
x!2f(x) = lim
x!2g(x) = 4
3).^In ne un ultim exemplu de funct ie multiuniform a, f:R!R.
f(x) =8
<
:2x+ 1;x< 1
1; x= 1; a= 1
2x1; x> 1
Fie  sirul (xn); xn<1; xn!1, atuncif(xn) = 2xn+ 1!3, ^ n timp ce pentru un
 sir (x0
n); x0
n>1; x0
n!1 rezult af(x0
n) = 2×0
n1!1:
decinu pentru orice  sir (xn);xn6= 1;(8)n; sirul (f(xn)) are aceea si limit a. Aceasta
^ nseamn a c a funct ia fnu are limit a ^ n a= 1.
3. Denit ia limitei unei funct ii ^ ntr-un punct
Fief:E!Ro funct ie  si a un punct de acumulare (nit sau innit) a lui E. Deci
exist a  siruri ( xn); xn2E; xn6=a;(8)n; xn!a.
Denit ie Heine. Se spune c a num arul l(nit sau innit) este limita funct iei f
^ n punctul a, dac a oricare ar   sirul ( xn); xn2E; xn6=a;(8)n sirul (f(xn)) al
valorilor funct iei tinde c atre l.
Se scrie
lim
x!af(x) =l
(Citim: limit a de f(x), c^ andxtinde laaeste egal a cu lsauf(x) tinde laldac ax
tinde laa). Condit ia din denit ie poate  enunt at a simplicat astfel:
dac ax!a; x6=a; atuncif (x)!l.
Pentru a ar ata c a o funct ie nu are limit a ^ ntr-un punct de acumulare atrebuie s a
alegem dou a  siruri xn six0
ndinEcare tind la adar pentru care  sirurile f(xn) si
f0(xn) au limite diferite.
Exemplu:
Fief:R![1;1];f(x) =sin x . S a ar at am c a aceast a funct ie nu are limit a ^ n
punctula=1.
Consider am  sirurile:
(xn) :xn=
2+2n!1 pentru care  sirul f(xn) = sin
2+ 2n
= sin
2= 1!1
 si (x0
n) :x0
n= 2n!1 c^ andf(x0
n) = 2n= 0!0
Cum 16= 0 rezult a f(x) = sinxnu are limit a la +1. Analog se arat a c a funct ia

LIMITE DE FUNCT II. 5
f(x) = sinxnu are limit a la1.
4. Caracterizarea limitei unei funct ii ^ ntr-un punct
Criteriul urm ator, cunoscut sub numele de criteriul lui Cauchy (sau criteriul ), d a
condit ia necesar a  si sucient a pentru limita unei funct ii ^ ntr-un punct de acumulare.
Teorema lui Cauchy Fief:E!Ro funct ie  si aun punct de acumulare pentru
E; a2R. Funct iafare limit a ^ n punctul x=anum arull2Rdac a  si numai dac a
pentru orice >0, exist a un num a real ()>0 astfel ^ nc^ at
(8)x2E;0<jxaj<() (1) s a rezultejf(x)lj<. (2)
Demonstrat ie: Din (1) rezul a c a x6=a. Presupunem ca limx!af(x) =l^ n sensul
denit iei cu  siruri (Heine)
Pentru a demosntra partea a doua a teoremei vom proceda prin reducere la absurd.
Aceasta ^ nseamn a c a exista a un num a real  >0 astfel ^ nc^ atpentru orice  >0 se
poate alege un x2Ece veric a relat ia (1)  si jf(x)lj.
Consider am  sirul ( n); n>0; n!. Pentru ecare n, exist a un xn2Eastfel
^ nc^ at0<jxnaj<n(3)  si pentru care jf(xn)lj. (4).
Din (3) rezult a c a xn!a(criteriul major arii), iar din (4) se deduce c a  sirul ( f(xn))
nu converge la num arul l. Contradict ie cu faptul  a
lim
x!af(x) =l
Reciproc, presupunem c a are loc partea a doua a criteriului  si s a demonstr am c a
lim
x!af(x) =l
utiliz^ and denit ia cu  siruri.
Deci pentru orice >0, se poate alege un ()>0 astfel ^ nc^ atpentru orice x2Ece
veric a (1) se realizeaz a(2). Fie acum un  sir ( xn); xn2E; xn6=a;(8)n; xn!a.
Din denit ia limitei unui  sir rezul a c a pentru () se poate g asi un rang n2Nastfel
^ nc^ at (8)nn, s a se obt in a 0 <jxnaj< (). T  in^ and seama de (2) rezult a
jf(xn)lj<; (8)nn, ceea ce arat a c a f(xn)!l.Obervat ii
1) Dac a se accept a ca denit ie partea a doua a teoremei atunci denit ia Heine devine
teorem a.
2) Dac a rescriem condit iile (1)  si (2) din teorem a sub forma ( 8)x2E; a()<
x < a +() (1')  si respectiv l < f (x)< l+, (2') atunci putem da
o alt a caracterizare limitei unei funct ii f^ n punctul de acumulare acu ajutorul
vecin at at ilor astfel:
(8)V2Vl;(9)U2Vaastfel ^ nc^ at (8)x2U\E;x6=as a rezultef(x)2V. O
vecin atateVa luilcare cont ine o vecin atate simetric a centrat a ^ n lde forma (l
; l+)V; > 0:Pentru>0 exist a un ()>0. Se alege U= (a(); a+())
drept vecin atate a punctului a. Atunci pentru x2V; x6=a, avemf(x)2V.
5. Unicitatea limitei unei funt ii
Dac al1 sil2sunt dou a limite ale funct iei f:E!R^ n punctul de acumulare a(2E0)
atuncil1=l2.

6 LIMITE DE FUNCT II.
Demonstrat ie:
Fiexn2E; xn6=a;(8)n; xn!a. Atunci lim nf(xn) =l1;limnf(xn) =l2. Cum
limita unui  sir este unic a, rezult a l1=l2.
6. Limite laterale
Urm atoarele denit ii vin s a precizeze mai ecact not iunile de limite laterale pentru o
funct ie ^ ntr-un punct de acumulare.
Fief:E!R siaun punct de acumulare pentru mult imea Es=E\(1; a) =
x2Ejx<a (deci exist a  siruri xn2Es; xn!a).
Denit ie. Se spune c a num arul ls(nit sau innit) este limita la st^ anga a funct iei
f ^ n punctul adac a pentru orice  sir xn2Es; xn!as a avemf(xn)!ls.
Se scrie:
ls= lim
x!a x<asau ls= lim
x%af(x)
sau ^ n loc de lsse mai scrie f(a0)
Fief:E!R siaun punct de acumulare pentru mult imea Ed=E\(a;1) =
fx2Ejx>ag(deci exist a  siruri xn2Ed; xn!a).
Denit ie Se spune c a num arul ld(nit sau innit) este limita la dreapta a funct iei
^ n punctul adac a pentru orice  sir xninEd; xn!as a avemf(xn!ld):
Se srcie:
ld= lim
x!a x>af(x)sau ld= lim
x&af(x)
sau ^ n loc de ldse mai scrie f(a+ 0).
Urm atoarea teorem avine s a caracterizeze limita unei funct ii ^ ntr-un punct cu aju-
torul limitelor laterale.
Teorem a. Fief:e!Ro funct ie  si a2Run punct de acumulare pentru Ecu pro-
prietatea c a funct ia fare limite laterale ^ n punctul a(deci exist a f(a0; f(a+0))).
Atunci urm atoarele armat ii sunt echivalente:
1)fare limit a ^ n punctul a;
2)f(a0 =f(a+ 0)):
^In aceste condit ii
lim
x!af(x) =f(a0) =f(a+ 0)
Demonstrat ie: 1))2). Fiexn!a; xn<a: Atuncif(xn)!l= limx!af(x). Anaog
dac axn!a; xn>a, atuncif(xn)!l= limx!af(x). Decils=ld=l.
2))1). Folosim criteriul . Presupunem c a ls=ld=l. Presupunem  >0,
arbitrar, exist a numerele 1>0;  2>0 astfel ^ nc^ at dac a 0 < xa <  1sau
0< ax <  2; x2Es a rezultejf(x)lj< : Lu^ and=min(1;  2), atunci
x2Ecu 0<jxaj<rezult ajf(x)l<j, ceea ce arat a c a limx!af(x) =l
7. Criteriul major arii
Ca  si ^ n cazul  sirurilor c^ and cunoa sterea limitei unui  sir permite determinarea limitei

LIMITE DE FUNCT II. 7
altui  sir (criteriul major arii)  si^ n cazul funct iilor cunoa sterea limitei unei funct ii^ ntr-
un punct permite calcularea limitei altei funct ii ^ n acela si punct utiliz^ and un criteriu
asem an ator.
Teorem a (Criteriul major arii). Fief; g :E!Rdou a funct ii  si aun punct
de acumulare pentru E siVo vecin atate a lui a. Dac ajf(x)ljg(x);(8)x2
V\E; x6=a si dac a
lim
x!ag(x) = 0; atunci lim
x!af(x) = 1
Demonstrat ie Fiexn!a; xn2V\Epentrunnv; nv2N;xn6=a.
Decijf(xn)ljg(xn);(8)nnv. Aplic^ and criteriul major arii de la  siruri se
deduce c a
lim
nf(xn) =l; adic alim
x!af(x) =l
Limitele funct iilor sin  si cos ^ ntr-un punct oarecare a2Rse obt in ^ nlocuind direct
pexcua.
Funct iile sin  si cos nu au limit a la1
Utiliz^ and criteriul major a rii la 1pentru  siruri se pot formula criterii asem an atoare
pentru limite de funct ii.
Teorem a. Criteriul major arii la +1. Fief;g:E!R; aun punct de acumu-
lare pentru E siVo vecin atate a lui a. Dac af(x)g(x);(8)x2V\E; x6=a
 si
lim
x!ag(x) =1; atunci lim
x!af(x) =1
Teorem a. Criteriul major arii la =1. Fief;g:E!R; aun punct de
acumulare pentru E siVo vecin atate a lui a. Dac af(x)g(x);(8)x2V\E; x6=a
 si
lim
x!ag(x) =1; atunci lim
x!af(x) =1
8. Operat ii algebrice asupra limitelor
Teorem a. Fief;g:E!R; aun punct de acumulare pentru E.
Dac a
lim
x!af(x) =l1silim
x!ag(x) =l2; l1; l22R; c2R; atuncifunc t ia:
1). Limita sumei este egala cu suma limitelor. ( f+g) are limit a ^ n a si
lim
x!a(f+g)(x) =l1+l2= lim
x!af(x) + lim
x toag(x)
2). O constant a iese ^ n afara limitei. ( cf) are limit a ^ n a si
lim
x!acf(x) =cl1=clim
x!af(x)
3). Limita produsului este egal a cu produsul limitelor. ( fg) are limit a ^ n a si
lim
x!a(fg)(x) =l1
l2= lim
x!af(x)
lim
x toag(x)

8 LIMITE DE FUNCT II.
Caz exceptat: (0
1); l1= 0si l 2=1sau l 11; l2= 0
4). Limita c^ atului este ega; a cu c^ atul limitelor.f
gare limit a ^ n a si
lim
x!af
g
=l1
l2=limx!af(x)
limx!ag(x); l26= 0
Cazuri exceptate0
0;1
1
; l1=l2= 0sau l 1=1; l2=1
5). Limita modulului este egal a cu modulul limitei. jfjare limit a ^ n a si
lim
x!ajf(x)j=jlim
x!af(x)j=jl1j
9. Trecerea la limit a ^ n inegalit at i
Teorem a. Fief;g:E!R; apunct de acumulare pentru E siVo vecin atate a
punctuluia. Dac af(x)g(x);(8)x2V\E; x6=a si dac af sigau limite ^In
punctula^ nR, atunci
lim
x!af(x)lim
x!ag(x)
Corolar . Fief:E!R; a2E0; fare limit a ^ n a siV2Va
– Dac af(x)0;(8)x2V\E; x6=a;atunci
lim
x!af(x)0
– Dac af(x)0;(8)x2V\E; x6=a;atunci
lim
x!af(x)0
– Dac af(x);(8)x2V\E; x6=a;atunci
lim
x!af(x)
Teorema "Cle stelui" sau "a celor doi jandarmi".
Fie trei funct ii f;g;h :E!R; aun punct de acumulare pentru E(a2E0),  siVo
vecin atate a lui a. Dac a:
1).f(x)g(x)h(x);(8)x2V\E; x6=a;
2).
lim
x!af(x) = lim
x!ah(x) =l
atuncigare limit a ^ n a si mai mult limx!ag(x) =l.
Exemplu: Utiliz^ and inegalitateax
x+ 1ln(1 +x)x; x>1 s a se arate c a
lim
x!0ln(x+ 1)
x= 1

LIMITE DE FUNCT II. 9
Mai ^ nt^ ai s a observ am c a dac a am lua separat limita num ar atorului  si numitorului
am obt ine cazul de nedeterminare0
0.
Dac ax>0, atunci din inegalit at ile date, prin ^ mp art irea cu x, rezult a
1
1 +xln(1 +x)
x1
Aplic^ and criteriul "cle stelui" avem
lim
x&0ln(x+ 1)
x= 1 (1)
Dac ax<0, atunci proced^ and ca mai sus se obt ine:
1
1 +xln(1 +x)
x1
Din nou criteriul "cle stelui" d a
lim
x%0ln(1 +x)
x= 1 (2)
Din (1)  si (2) avem:
lim
x!0ln()1 +x
x= 1
Un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs de funct ii este
dat de:
Teorem a (Criteriu). Fief;g:E!R, dou a funct ii, a2E0(punct de acumulare),
V2Vacu propriet at ile:
1)jf(x)jM;(8)x2V\E; M > 0 (f m arginit a pe o vecin atate a lui a).
2)
lim
x!ag(x) = 0
Atunci
lim
x!af(x)g(x) = 0
Limita produsului dintre o funct ie m arginit a  si o funct ie de limit a zero este zero.
10. Calculul limitelor de funct ii
Pentru ca operat iile cu limite de funct ii s a devin aoperabile este nevoie de cunoa sterea
procedurii de calcul a limitelor principalelor funct ii. Vom da regula de calcul pentru
limita funct iei, ^ n general, ^ n dou a cazuri>
a). c^ andaeste punct de acumulare nit;
b). c^ andaeste punct de acumulare innit (dac a exist a).

10 LIMITE DE FUNCT II.
(1)Limita funct iei constante
Fief:R!R; f(x) =c; c2R. Atunci
lim
x!af(x) =c;(8)a2R
^Intr-adev ar dac a xn2R; xn!a; x6=a;atuncif(xn) =c!c. Deci
lim
x!af(x) =c:
(2)Limita funct iei polinomiale
Fief:R!R,f(x) =akxk+ak1xk1+


+a1x+a0,ai2R,i=
0;k; ak6= 0:
Consider am punctul de acumulare a2R(deci nit)  si xn!a; xn2R; xn6=
aAtuncif(xn) =akxk+ak1xk1+


+a1x+a0!nakak+ak1ak1+


+
a1a+a0.
Deci limita unei funct ii polinomiale ^ ntr-un punct de acumulare nit a, se
obt ine ^ nlocuind xcua
lim
x!af(x) =f(a)
A sadar limita unei funct ii polinomiale la 1 este aceea si cu limita termenu-
lui de grad maxim.
lim
x!1f(x) = lim
x!1akxk
(3)Limita funct iei rat ionale
Fief(x) =P(x)
Q(x); f:RfxjQ(x) = 0g!R, undeP siQsunt funct ii
polinomiale, P(x) =akxk+ak1xk1+


+a1x+a0,Q(x) =bpxp+
ap1xp1+


+b1x+b0,ai; bi2R,ak;bp6= 0:
Pentruapunct de acumulare nit ( a2R)
Se disting subcazurile:
a).Q(a)6= 0;decianu este r ad acin a pentru numitor.
Fiexn!a; xn6=a:Atuncif(xn) =P(xn)
Q(xn)!P(a)
Q(a)=f(a), ceea ce arat a
c a
lim
x!af(x) =f(a)
Deci ^ n acest caz limita funct iei rat ionale se obt ine ^ nlocuind xcua.
b).Q(a) = 0, adic a aeste r ad acin a petru numitor.
Discut ia pentru acest caz este mai complex a. Vom ilustra aceast a situat ie
prin diferite exemple, ar at^ and cum proced am practic ^ n calcularea limitelor.
Dac a, de exemplu,  si num ar atorul,  si numitorul se anuleaz a ^ n a,P(a) = 0,
atunci se efectueaz a mai ^ nt^ ai simplicarea fract iei prin xa(x6=a) dup a
care se vede dac a numitorul fract iei simplicate ^ l mai are pe aca r ad acin a
sau nu.

LIMITE DE FUNCT II. 11
Pentruapunct de acumulare innit ( a=1)
^In acest caz avem pentru fscrierea
lim
x!1f(x) = lim
x!1xk
ak+ak1
x+


+a1
xk1+a0
xk
xp
bp+bp1
x+


+b1
xp1+a0
xp;
Termenii care cont in pe cfrac 1xla diferite puteri au limita zero. Deci:
lim
x!1f(x) =8
>>>><
>>>>:ak
bp(1); pentru k>p
ak
bp; pentru k =l
0; pentru k<l
(4)Limita funct iei radical
Pentruf: [0;1)![0;1);f(x) =2kpx; k2N,  sia2[0;1) punct de
acumulare, atunci
lim
x!a=2kpx=2kpa
Dac aa=1, atunci
lim
x!12kpx=1
Pentruf:R!R;f(x) =2k+1px; k2N sia2Ravem:
lim
x!a=2k+1px=2k+1pa
iar dac aa=1
lim
x!1=2k+1px=1;iarlim
x!1=2k+1px=1
(5)Limita funct iei exponent iale
Pentru funct ia f:R!(0;1); f(x) =bx; b> 0; n6= 1
Dac a 0<b< 1 atunci: 1) pentru a2R,
lim
x!abx=ba
2) pentrua=1,
lim
x!1bx=1
3) pentrua=1,
lim
x!1bx= 0
Dac ab>1, atunci: 1) pentru a2R,
lim
x!abx=ba
2) pentrua=1,
lim
x!1bx= 0

12 LIMITE DE FUNCT II.
3) pentrua=1,
lim
x!1bx=1
(6)Limita funct iei logaritmice
Se consider a funct ia f: (0;1); f(x) = logbx; b> 0;b6= 1 Dac a 0 <b< 1
atunci: 1) pentru a= 0,
lim
x!a;x>0logbx=1
2) pentrua2(0;1),
lim
x!alogbx= logba
3) pentrua=1,
lim
x!1logbx=1
Dac ab>1, atunci: 1) pentru a= 0,
lim
x!a;x>0logbx=1
2) pentrua2(0;1),
lim
x!alogbx= logba
3) entrua=1,
lim
x!1logbx=1
(7)Limitele funct iilor trigonometrice directe
a).sin :R![1;1]
1). Dac a punctul de acumulare este nit , adic aa2R, atunci>
lim
x!asinx= sina
Deci limita funct iei sin ^ ntr-un punct de acumulare nit a2Rse obt ine
^ nlocuind pe xcua.
2). Dac aa=1, atuncifnu are limit a
b).cos :R![1;1]
1). Dac a punctul de acumulare este nit, adic a a2R, atunci
lim
x!acosx= cosa
Deci limita funct iei cos ^ ntr -un punct de acumulare nit a2Rse obt ine
^ nlocuind pe xcua.
2). Dac aa=1, atuncifnu are limit a
c).tg :R
(2k+ 1)
2jk2Z!R
Dac aaapart ine domeniului de denit ie, atunci
lim
x!atanx= tana

LIMITE DE FUNCT II. 13
Deci limita funct iei tg ^ ntr-un punct de acumulare din domeniul de denit ie
se obt ine ^ nlocuind pe xcua. Dac a
lim
x%
2tanx= +1; lim
x&
2=1
lim
x!
4tanx= tan
4= 1; lim
x!tanx= tan 0 = 0
lim
x%3
2tanx= +1; lim
x&3
2=1
d).cot :Rfkjk2Zg!R
Dac a punctul de acumulare aeste din domeniul de denit ie al funct iei, atunci
lim
x!acotx= cota
Deci limita funct iei ctg ^ ntr-un punct de acumulare din domeniul de denit ie
se obt ine ^ nlocuind pe xcua.
Dac aa=o, atunci
lim
x%0cotx=1; lim
x&0cotx=1