CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE FACULTATEA DE ȘTIINȚ E DEPARTAMENTUL DE SPE CIALITATE CU PROFIL PSIHOPEDAGOGIC ASPECTE DIDACTICE R EFERITOARE… [618403]

1
UNIVERSITATEA TEHNIC Ă CLUJ -NAPOCA
CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE
FACULTATEA DE ȘTIINȚ E
DEPARTAMENTUL DE SPE CIALITATE CU PROFIL PSIHOPEDAGOGIC

ASPECTE DIDACTICE R EFERITOARE LA
PREDAREA -ÎNVĂȚAREA NOȚIUNILO R DE
GEOMETRIE

Coordonator:
Conf. univ. dr. Horvat -Marc Andrei
Absolvent: [anonimizat]
2016

2
Cuprins

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 3
1. DIRECȚII ALE ÎNVĂȚĂMÂNTULUI MODERN ………………………….. ………………………….. …………… 4
1.1. Implicațiile fenomenului de globalizare asupra educației ………………………….. ……………. 4
1.2. Necesitatea modernizării sis temului de învățământ ………………………….. ………………….. 6
1.3. Competențele – finalități ale educației ………………………….. ………………………….. ……….. 8
2. METODE, MIJLOACE ȘI PROCEDEE DE PREDARE -ÎNVĂȚARE ………………………….. ………………. 12
2.1. Elemente ale procesului de instruire din perspectiva competențelor ……………………….. 12
2.2. Semnificația conceptului de metodă în procesul de învăț ământ ………………………….. …. 13
2.3. Clasificarea metodelor de predare -învățare ………………………….. ………………………….. . 15
2.4. Metode și tehnici de predare -învățare utilizate în matematică ………………………….. …… 17
2.4.1. Metode de expunere a cunoștințelor ………………………….. ………………………….. … 17
2.4.2. Metoda conversației ………………………….. ………………………….. ………………………. 18
2.4.3. Metoda exercițiului ………………………….. ………………………….. ……………………….. 20
2.4.4. Metode active de pred are-învățare ………………………….. ………………………….. …… 21
2.4.5. Instruirea programată ………………………….. ………………………….. …………………….. 26
2.4.6. Metode interactive de predare -învățare ………………………….. …………………………. 28
2.4.7. Instruirea asistată de calculator ………………………….. ………………………….. ………… 46
3. ASPECTE DIDACTICE PRIVIND PREDAREA -ÎNVĂȚAREA GEOMETRIEI ………………………….. ……. 48
3.1. Axiomatica spațiului euclidian ………………………….. ………………………….. ………………… 48
3.2. Abordări didactice ale unor noțiuni de geometrie în gimnaziu ………………………….. ……. 57
3.2.1. Noțiuni geometrice elementare ………………………….. ………………………….. ……….. 57
3.2.2. Unghiuri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 68
3.2.3. Triunghiuri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 70
3.2.4. Patrulatere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 80
3.2.5. Cercul ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 90
3.2.6. Noțiunea de arie ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 91
4. PROBLEME REZOLVATE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 97
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 111

3

INTRODUCERE

Matematica este aplicată în viața de zi cu zi în domenii variate , de la științele naturii,
până la științele sociale, precum de la științele economice până la artă. Principiile
matematice sunt aplicate pentru rezolvarea de probleme din majoritatea domeniilor,
dovedind astfel cât de mult servesc acestea nevoilor concrete ale oamenilor și cât de necesare
sunt pentru formarea tinerilor și pentru educarea omului, în gene ral.
Prin predarea geometriei în școală, ca ramură a matematicii, se urmărește ca, pe lângă
însușirea cunoștințel or de geometrie din programă, elevii să -și dezvolte facultățile psihice,
gândirea critică, activă, inițiativa personală în gândire. În însușir ea de cunoștințe se
urmărește ca acestea să nu fie reținute, pur și simplu, doar pentru a fi reproduse, ci să devină
un in strument de lucru în rezolvarea de noi probleme, pentru a descoperi pe baza lor lucruri
noi. Pentru aceasta, profesorii trebuie să găs ească metode și strategii didactice adecvate care
să-i stimuleze pe ele vi, să le stârnească curiozitatea și plăcerea de a descoperi lucruri noi
pentru ei, prin efort personal, folosind cunoștințe anterioare.
În ace st sens, prin lucrarea de față, …

4

1. DIRECȚII ALE ÎNVĂȚĂMÂNTULUI MODERN

1.1. Implicațiile fenomenului de globalizare asupra
educației

În lumea contemporan ă, fenomenul de globalizare a luat amploare, afectând
sistemele celor mai multe state și popoarele acestora, în tot mai mare măsură. Manifestat
inițial cu preponderență în domeniul economic ca urmare a extinderii comerțului mondial,
fenomenul de globalizare cuprinde treptat și alte domenii precum cel social, cultural și
politic, generând schimbări de mari proporții și devenind una dintre cele mai semnificative
provocări ale lumii actuale .
Procesul globalizării economice, ca rezultat al răspândirii corporațiilor internaționale
în toată lumea, a afectat implicit și educația, în special curriculum -ul, impunâ ndu-se
necesitatea adaptării acestuia la noile evoluții . Astfel a apărut tendința generală de a scoate
învățarea din cadrul clasic disciplinar și de a o reorienta către o globalizare a învățării.
Studiul implicațiilor fenome nului de globalizare în educație a dezvoltat unele teorii
care încearc ă să evidențieze faptul că însuși fundamentul acesteia este afectat profund .
Jaques Donald, afirm ă că globalizarea economic ă și revoluția informațional ă au schimbat
radical natura procesului de predare -învățare, conducând dezinstituționalizarea acestuia. De
asemenea, d iversificarea și fragmentarea, specifice societ ăților globale, ar duce la anularea
idealurilor educaționale națion ale, care vor fi limitate pentru a răspunde cerințelor economice
în condițiile competiției globale.
Ca efect al globaliz ării apare tendința de internaționalizare a educației, transpus ă în
mobilitatea elevilor, a studenților și cad relor didactice (prin programe ale Uniunii Europen e
precum Erasmus, Al pha, Comenius, Leonardo).

5
Globalizarea învățării și a curriculum -ului, dar și schimburile de opinie între factorii
de decizie educaționali a fost încurajat ă de organizații internaționale precum OEC D
(Organisation for Economic Co operatio n and Development), CEDEFOP (European Centre
for the Development of Vocational Training), UNESCO (United Nations Educational,
Scientific and Cultural Organisation), WB (World Bank).
Evoluția în ritm rapid a tehnologiilor informaționale și comunicaționale a condus la
dezvoltarea sistemelor alternative de învățare de tip e -learning (învățare electronică) folosite
cu precădere în m odelele de educație la distanță , populare mai ales în rândul studenților și
a celor care fac studii concomitent cu implicarea î n activitatea profesională.
Totuși, p ericolul dezinstituționalizării, cel puțin la nivelul școlii elementare, pare o
exagerare, ca și posibilitatea substituirii totale a profesorului cu învățarea asistată de
calculator și software -ul educațional sau a înlo cuirii școlii tradiționale cu cea virtuală. Omul
nu se naște om, „tot ceea ce constituie umanitate: limbajul, gândirea, sentimentele, arta,
morala, nimic nu trece în organismul noului născut” fără educație , scrie O. Reboul în
lucrarea sa ” La philosophie d e l’éducation ”.
Prin urmare d eprinderile elementare de muncă intelectuală trebuie dobândite și aici
rolul unui profesor bun este incontestabil.
Totodată, se dezvoltă instrumente noi de educație, apar produse educative noi, se
dezvoltă în școli programe de protecție a mediului natural și social, de formare de lideri,
de dezvoltare a calității antreprenoriale. Elevii vor învăța să învețe , să găsească informațiile
necesare, să utilizeze mijloacele moderne de investigare a informației, să proiecteze un
traseu propriu de carieră încă din perioada școlii. Profesorul nu va mai fi pregătit în spirit
enciclopedist, conștientizându -se faptul că nu este important volumul cun oștințelor de
transmis, ci felul în care elevii sunt îndrumați către înțelegerea unor metodolog ii de
investigare proprii, către scopul care corespunde nevoilor și aspirațiilor i ndividuale.
Profesorul va pune accentul pe dezvoltarea gândirii critice, laterale, complexe, analitice, pe
care ele vii o vor folosi pe tot parcursul vieții.

6

1.2. Necesitatea modernizării sistemului de învățământ

În utlima perioadă lumea contemporană se confruntă cu „noi tipuri de probleme, care
se identifică atât prin caracterul lor grav și presant, cât și prin dimen siunile lor regionale și
universale ”, precum d eteriorarea mediului și a atmosferei, limitarea resurselor naturale,
creșterea demografică etc. (M. Marinescu) Toate acestea au condus la introducerea unui
concept nou și anume problematica lumii contemporane .
Problematica lumii contemporane se caracteriz ează prin universalitate, globalitate,
complexitate, caracter emergent încorporând tendințe, aspecte noi ce apar în simultaneitate
sau în succesiune în toate zonele lumii.
Printre răspunsurile pe plan internațional se regăsesc noile tipuri de conținuturi sau
noile educații propuse atât în planurile școlare, cât și în cele universitare.
La nivel european , necesitatea de a găsi soluții problematicii lumii contemporane a
condus pe la sfârșitul anilor ʼ 80 la apariția conceptului de dimensiunea europeană a
educ ației. Acest concept a evoluat de -alungul anilor, evidențiindu -se trei momente
importante ale acestei evoluții:
 În Trata tul Uniunii Europene conceptul se referea la realizarea unor acțiuni care să
conducă la cunoaștere reciprocă, la schimburile de experiență și proiectele comune
realizate de unitățile de învățământ din țările U niunii Europene .
 Al doilea moment în această evoluție s -a produs după schimbările politice din 1989.
Toate țările Europei geografice au devenit membre ale C onsiliului European.
Dimensiune a europeană a educației urmărește o finalitate comună pentru toate țările,
finalitatea structurată în jurul a trei valori reprezentative: drepturile omului,
pluralismul și statul de drept.
 Al treilea moment în evoluția dimensiunii europene a educației se desfășoară în
prezent, ca urmare a adoptării celor două formațiuni politice , Uniunea Europeană și
Consiliul European , a unor strategii comune . Consiliul de la Lisabona a proclamat
pentru prima dată educația ca politică europeană.
Obiectivul comun al politicilor educative europene este „asigurarea dezvoltării unei
cetățenii democratice și garantarea coeziunii sociale în cadrul societăților deschise și
pluraliste, unde se respectă drepturile copiilor și drepturile omului și unde excluderea
individuală și colectivă lipsește” și a fost formulat pentru prima dată în anul 2000, în

7
Declarația mi niștrilor europeni ai educației (A 20 -a sesiune a Conferinței permanente,
Cracovia, 2000) .
Consiliul European de la Lisabona, din martie 2000, a stabilit obie ctivele prioritare
pentru ca Uniunea Europeană să devină cea mai dinamică economie bazată pe cunoaștere din
element esențial al acestei strategii, în special în ceea ce privește promovarea incluziunii
sociale, a coeziunii, mobilității, capacității de angaj are și a competitivității.
În martie 2001, Consiliul European s -a întrunit la Stockholm unde a întocmit raportul
„Obiectivele viitoare ale sistemelor de educație și formare” prin care s -au stabilit noi direcții
de acțiuni comune pentru realizarea obiective lor trasate la Consiliul European de la
Lisabona. Aceste direcții se bazează pe trei obiective strategice:
– îmbunătățirea calității și eficacității sistemelor de educație și formare din Uniunea
Europeană;
– facilitarea accesului tuturor la sistemele de educaț ie și formare;
– deschiderea siste melor de educației și formare că tre o lume mai largă.
În 12 noiembrie 2002, Consiliul Uniunii Europene a adoptat o „Rezoluție privind
întărirea cooperării în domeniul educației și formării profesionale” prin care statele membre
sunt invitate să se implice și să coopereze pentru dezvoltarea unei educații de calitate.
Toate aceste demersuri ale Uniunii Europene și ale Consiliului European urmăresc
modernizarea educației . Schimbările majore din toate domeniile de act ivitate , datorate în
mare măsură evoluției exponențiale a descoperirilor științifice și tehnologice și
implementării rapide a acestora , la care , ca urmare a globalizării economiei și pieței muncii,
omul are acces și la care trebuie să se adapteze continuu, impun regândirea sistemului de
învățământ la nivelul fiecărui stat, astfel încât să se diminueze decalajul care există între
educație și nivelul de dezvoltare a societății contemporane și să se accelereze ritmul
progresului social.

8

1.3. Competențele – finalități ale educației

Didactica reprezintă acea parte a pedagogiei care se ocupă în mod predominant de
organizarea procesului instructiv -educativ . De-alungul timpului aceasta a suferit mai multe
schimbări fiind influențată de formularea unor finalități educaționale , asumate de societate la
un moment dat.
Dacă p ână pe la jumătat ea secolului XX a predominat o „didactică a conținuturilor”,
care punea accentul pe transmiterea sub formă enciclopedică a unor cunoștințe gata
elaborate , fără a se insista pe uti litatea lor formativă sau pe analiza critică a acestora, după
această perioadă finalitățile educației se mută din zona competențelor în zona obiectivelor .
Taxonomia obiectivelor educaționale realizată de Bloom a ușurat tranziția de la „didactica
conținutur ilor” la „didactica obiectivelor” permițând o abordare complexă a procesului de
instruire, folosind elemente de psihologie a învățării.
În dezvoltarea „didacticii obiectivelor” un punct importa nt l-a reprezentat tehnica
„operaționalizării obiectivelor” , dezvoltată de R. Mage r, care a oferit un grad mai mare de
precizie în descrierea exactă a comportamentelor urmărite.
În țara noastră , în programele școlare și în curriculum, finalitățile educaționale au
evoluat de la finalități de tip „scopuri ”, cum erau formulate până în anul 1970, la finalități
de tip „obiective” . Și obiectivele au suferit mai multe modificări de -alungul timpului, astfel:
între anii 1970 -1992 au fost introduse obiective instructiv –educative, între 1992 -2000 –
obiective generale și obiective specifice, iar după anul 2000 – obiective cadru și ob iective de
referință .
În ultimile două -trei decenii , finalitățile procesul ui de instruire se mută treptat din
sfera obiectivelor, în sfera competențelor . La nivel european s-a ajuns la concluzia că fiecare
cetățean trebuie să dobândească un set de competențe -cheie care să -l ajute să se adapteze
unei lumi aflată în continuă schimbare și supusă tot mai mult fenomenului de globalizare.
În accepț iunea europeană , competen țele-cheie „reprezintă un pachet transferabil și
multifuncțional de cunoștințe, deprinderi (abilități) și atitudini de care au nevoie toți
indivizii pentru împlinirea și dezvoltarea personală, pentru incluziune socială și inserție
profesională. Acestea trebuie dezvoltate până la finalizarea educației obligatorii și trebuie
să acționeze ca un fundament pentru învățarea în continuare, ca parte a învățării pe
parcursul întregii vieți ”.

9
Țările europene trebuie să -și revizuiască sistemele de învățământ urmăr ind centrarea
curriculumului și a programelor școlare pe compețențe ca finalități ale educației. Pentru a
asista statele în acest demers, Comisia Europeană a adoptat un cadru european privind
competențele esențiale, propunând opt domenii de competențe -cheie.
Cele opt competențe -cheie sunt:
1. Comunicarea în limba maternă , care reprezintă capacitatea de a exprima și
interpreta concepte, gânduri, sentimente, fapte și opinii, atât în formă orală, cât și în formă
scrisă (ascultare, vorbire, citire și scriere) și de a interacționa lingvistic într -un mod adecvat
și creativ în diferite contexte cul turale și sociale (în educație și în formare profesionale, la
locul de muncă sau activități de petrecere a timpului liber) .
2. Comunicarea în limbi străine, care care extinde deprinderile de comunicare în
limba maternă implicând abilitățile de mediere și înțelegere interculturală.
3. Competența matematică și competențe de bază în științe și tehnologii constă în
capacitatea de a dezvolta și a ap lica gândi rea matematică în rezolv area diferit elor probleme
în viața cotidienă , accentul punându -se pe proces, activitate și cunoștințe. Competențele de
bază privind știința și teh nologia se referă la capacitatea și abilitatea de a folosi și aplica
cunoștințe și a metodologii în vederea explică rii lumii înconjurătoare , ceea ce implică o
înțelegere a schimbărilor cauzate de activitatea umană și a responsabilității fiecărui individ în
calitate de cetățean. De asemenea, aceste competențe includ capacitatea de a folosi
instrumente și aparate tehnologice, dar și date științifice pentru a formula o concluzie
argumentată științific.
4. Competența digitală presupune utilizarea cu încredere și în mod critic a teh –
nologiei din societa tea informațională (TSI) și implică abilități de bază privind tehnolo gia
informației și a comunicației (TIC) pentru a putea produce, prezenta și înțelege informații
complexe sau pentru a accesa și utilize servicii prin Internet . TSI cere o atitudine critic prin
folosirea responsabilă a mijloacelor media interactive.
5. Compete nța de a învăța să înveți reprezintă abilitatea omului de a -și urmări și
organiza propria învățare, individual sau în grupuri, conform nevoilor proprii, printr -o bună
gestionare a timpului și a resurselor. Competența de a învăța presupune conștientizarea
fiecărui individ a strategiilor de învățare care i se potrivesc, punctele tari și punctele slabe ale
deprinderilor și calificărilor sale.
6. Competențe sociale și civice. Competențele sociale se referă la com petențele
personale, interpersonale și interculturale și toate formele de comportament care permit

10
fiecărei pers oane să participe eficient și constructiv la viața socială și profesional ă. Aceste
competențe au legătură cu bunăstarea personală și socială , ca re presupune înțelegerea
necesității și a modului de a adapta un stil de viață sănătos . Este esențială înțelegerea
coduri lor de conduită și maiere general acceptate în diferite medii sociale sau de muncă .
Competențele civice se bazează pe cunoașterea struc turilor sociale și politice și a conceptelor
de democrație, justiție, egalitate , cetățenie și drepturi civi le, precum și a modului cum sunt
aplicate de către diferite instituții la nivel local, regional, național sau internațional.
7. Competențele antrepreno riale se referă la capacitatea de a transfor ma ideile în
acțiune. Acest simț presupune creativitate, inovație și asumarea unor riscuri, precum și
capacitatea de a planifica ș i gestiona proiectele în scopul atingerii obiectivelor. Persoana este
conștientă de contextul propriei sale activități și este capabilă să valorifice oportunitățile
apărute.
8. Competența de exprimare cultural care implică aprecierea importanței ex presiei
culturale a ideilor, a experiențelor și a emoțiilor printr -o serie de canale (muzică, teatru,
literatură și arte vizuale).1
Aceste competenț e-cheie se află într -o relație de interdependență și vizează gândirea
laterală , creativitate a, inițiativ a, capacitatea de adaptare, capacitatea de a găsi soluții și de a
rezolva probleme , evaluarea riscurilor, luarea deciziilor .
Pentru țara noastră, s istemul de competențe -cheie a reprezentat un cadru de referință
al planurilor de învăță mânt din anii 2003, 2004 si 2006, fiind inclus ca atare î n nota de
fundamentare a acestora, în care se consider ă că ariile curric ulare sunt compatibile cu cele
opt domenii de competenț e-cheie stabilite la nivel european și unde competenț ele-cheie sunt
apreciate ca fiind transversale , formâ ndu-se prin mai multe discipline ș i nu doar prin studiul
unei anumite discipline .
În Legea Educației Naționale se specifică clar că „Finalitatea principală a educării o
reprezintă formarea competențelor (definite ca „un ansamblu multifuncțional și trasferabil
de cunoș tințe, deprinderi /abilităț i și aptitudini necesare î n situații diferite”)” și se subliniază
faptul că învățarea pe tot parcursul vieții este un drept garantat și reprezintă o țintă majoră a
educației .
Dacă la început , competențele – ca finalități ale educației au fost introduse doar la
clasele superi oare de l iceu, mai apoi, programele centrate pe competențe au fost revizuite și

1Recommendation of the European Parliament and of the Council of 18 December 2006 on key competences
for lifelong learning

11
generalizate la întreg ciclul liceal, organizându -se mai multe serii de formare a cadrelor
didactic e pentru a putea fi implementat e în curriculumul școlar aplicat. În anul 2009 au fost
revizuite și programele școla re pentru gimnaziu , prin introducerea competențelor generale și
specifice în locul obiectivelor cadru și al e obiectivelor de referință.
În literatura de specialitate actuală , competențele sunt apreciate ca fiind rezultate ale
învățării – considerate ieșiri, care sunt echivalente cu ceea ce trebuie să facă elevul , prin
opoziție cu obiectivele educaționale – considerate intrări , care stabilesc ceea ce trebuie să
învețe elevul .
Compe tențele nu pot fi transformate în obiective de învățare sau î n obiective
operaționabile și astfel nu se poate realiza o echivalență între formularea și exprimarea
acestora. Competența reprezintă capacitatea elevului de a rezolva o anumită situație, pe
baza unor deprinderi si cunostințe dobândite anteri or.
Programele școlare centrate pe competențe reprezintă modele curriculare ce descriu
elementele esenț iale ale disciplinei școlare. Acestea cuprind disponibilitățile educaționale ale
disciplinei, sistemul propriu de competențe generale, sistemul conceptual si terminologic,
dimensiunile metodologice, posibilităț ile atitudinale ș i axiologice, modalitățile de
concretizare a specificului disiplinei în curriculum ș colar. În elaborarea lor trebuie să se țină
seama de câteva aspect e. Astfel, acestea tre buie să răspundă exigenț elor sociale, să permită
pregătirea elevilor pentru viața socială și profesională , să implic e elevii în activitatea de
învățare continuă și în autoevaluarea competenț elor.
Programele școlare actuale conțin nota de p rezentare, sistem de atitudini ș i valori,
competenț e generale și specifice , conț inuturi și sugestii metodologice.
Competențele generale sunt definite p entru fiecare obiect de studiu ș i se formează pe
durata unui ciclu de î nvăță mânt, deș i abordează niveluri de formare dife rite de la un an la
altul. Acestea exprimă rezultate durabile ale î nvățării, condiționează nivelul la care elevul
învață noi sarcini ș i pot fi transferate la o mare varietate de sarcini specifice. Pot f i focalizate
pe cunoaș tere, pe anumite abilităț i și priceperi sau pe atitudini.
Competențele specifice sunt considerate etape intermediare în dobâ ndirea
competențelor generale, din care sunt derivate, se definesc la nivelul unui obiect de studiu și
se formează î ntr-un interval de timp mai mic.
Conținuturile sunt redate î ntr-o formă minimală (fără a avea profunzime analitică ) și
sunt reperabile prin tematica pe care o descriu.
Sugestiile metodologice sunt foarte diferite de la o programă la alta ș i fac frecvent
referiri la procesul de instruire, evaluarea ș colară și activităț ile de î nvățare.

12

2. METODE, MIJLOACE ȘI PROCEDEE DE PREDARE –
ÎNVĂȚARE

2.1. Elemente ale procesului de instruire din perspectiva
competențelor

Procesul de instruire reprezintă un sistem constituit dintr -un ansamblu de elemente
componente și interacțiuni între acestea, care se află într -o conexiune funcțională și care de-
alungul timpului au fost supuse unor transformări, mai mult sau mai puțin radicale, privind
conținuturile și scopurile cărora i -au fost subordonate, adaptându -se mereu schimbărilor din
societate.
Principalele elemente sunt:
 Caracteristicile elevilor: momentul inițial al procesului de instruire trebuie să se bazeze
pe o investigare obiectivă a nivelului anterior pe care îl au elevii. Î n acest sens, un
ansamblu relativ simplu de instrumente de evaluare, poate să pună î n evidență acest nivel
inițial.
 Caracteristicile mediului educațional : aceste caracteristici, foarte diferite de la o
unitate cola ră la alta, privesc elemente legate de societ ate, familie, baza materială a
școlii, sursele multimed ia, colectivitatea didactică a ș colii, managemen tul ș colar.
 Programa școlară: acest element determinant al procesului de instruire are o valoare
funcționa lă deosebită, deoarece reprezintă ele mentul central după care se produce
predarea la clasă. Activitatea centrală a cadrelor didactice constă în transpunerea câ t mai
fidelă a programei în lecții, activități, cunoștințe, rezultate la î nvățătură.
 Activitățile de învățare: există tendinț a de a diversifica activitățile tradiționale în forme
noi, influențate de multimedia ș i mijloacele auxiliare. Astfel, activitatea preponderentă a
elevului nu mai este de a asculta, a lua notițe, a transcrie, a copia, ci de a int eracționa cu

13
suporturi construite, de a investiga individual sau î n grup, adică de a se implica activ î n
procesul formării sale.
 Activitățile de predare ale profesorului : elementul principa l îl reprezintă trecerea
cadrului didactic din postur a de "emițător de cunostințe", î n cea de "organizator de
instruire"; această tendință, realizată î n proporții tot mai mari, reprezintă un deziderat
spre care probabil vor trebui să se î ndrepte aproape toate cadrele didactice. În acest sens
se folosesc tot mai mult metod e ineractive de predare centrate pe elev.
 Evaluarea: evalu area rezultatelor instruirii a î nceput s ă aibă transformări sesizabile î n
ultimii ani, datorită modelelor de evaluare practicate la examenele naționale, ceea ce
reprezintă premisa realizării î n pers pectivă a unei re lații reale între instruire ș i evaluare.
 Resursele instruirii: acestea se află într -un proces de extindere ș i diversificare (material
auxiliare, manuale si materiale alternative, emisiuni TV, reviste, alte surse
complementare, mijloacele informatice și altele).2

2.2. Semnificația conceptului de metodă în procesul de
învățământ

Cuvântul ”metodă”, provenit din termenul grecesc „methodos” („metha” – către, spre
și „odos” – cale, drum) semnifică „calea care duce către”… aflarea adevărului, atingerea unui
scop, obținerea unui rezultat.
Prin prisma activității didactice, metoda de învățământ reprezintă „o modalit ate de
acțiune, un instrument cu ajutorul căruia elevii, sub îndrumarea profesorului sau în mod
independent, își însușesc și aprofundează cunoștințe, își formează și dezvoltă priceperi și
deprinderi intelectuale și practice, aptitudini, atitudini“ pe parcu rsul procesului didactic (M.
Ionescu, M. Bocoș). În ceea ce privește profesorul, metoda reprezintă o cale de organizare și
de dirijare a activității de învățare a elevului, „un instrument didactic cu ajutorul căruia îi
determină pe cei aflați pe băncile șc olii la un demers de asimilare activă a unor noi
cunoștințe și forme comportamentale, de stimulare, în același timp, a dezvoltării forțelor lor
cognitive, intelectuale”(I. Cerghit).

2 MÂNDRUȚ OCTAVIAN, MÂNDRUȚ MARILENA, CATANĂ LUMINIȚA, Instruirea centrată pe
competențe, Cercetare -Inovare -Formare -Dezvoltare, „Vasile Goldiș” University Press, ARAD, 2012

14
Potrivit lui I. Cerghit, „sub raport structural și funcțional, metoda est e considerată a fi
un ansamblu organizat de procedee sau moduri de realizare practică a operațiilor care stau la
baza acțiunii”, procedeele fiind considerate „niște detalii sau componente particulare” ale
metodei.
Metodele de predare -învățare reprezintă un set de procedee pe care profesorul sau
elevul le folosește ca pe niște instrumente în procesul de predare, respectiv de învățare, în
mod conștient, controlat și intenționat.
Figura de mai jos reprezintă conceptualizarea metodelor de predare -învățare.

Ansamblul de metode, mijloace și tehnici didactice alese pentru formarea
competențelor didactice definesc strategia didactică . pentru Metodele de predare -învățare
pe care sunt
profesorul/elevul le folosește
prin instrumente flexibile
a învăța a rezolva probleme într-un
mod
conștient
controlat
intenționat cum ansamblu
de
pași
operații
deprinderi procedee

15

2.3. Clasificarea metodelor de predare -învățare

La o primă analiză, o clasificare a metodelor de învățământ poate să pară ușoară.
Totuși, datorită ritmului crescut al evoluției metodologiei didactice clasificarea acestora s -a
dovedit a fi un demers deloc facil. Mereu apar procedee și tehnici noi, iar domeniile de
intersecție dintre metodele existente creează noi metode mai complexe.
Literatura de specialitate oferă mai multe taxonomii ale metodelor de învățământ,
operând cu mai multe criterii de clasificare:
1. Foarte mult folosit este criteriul istoric care clasifică metodele în două grupe:
metode tradiționale (clasice) și metode moderne .
Tradiționale sunt considerate a fi metodele centrate pe profesor (ca sursă de
informații), bazate pe comunicarea unidirecțională, având ca scop transmiterea de cunoștințe,
care induc elevilor o atitudine pasivă și care, în general, cultivă autoritatea profesorului.
Prin comparație, metodele moderne sunt centrate pe elevi și pe activitate, se bazează
pe comunicarea multidirecțională și pun accentul pe dezvoltarea gândirii, a formării de
aptitudini și deprinderi. Acestea încurajează implicarea elevilor în actul educativ, precum și
inițiativa și creativitatea acestora.
2. Un alt criteriu de clasificare este gradul de dirijare a învățării care împart
metodele în:
– metode algoritmice (în care activitatea de învățare este dirijată);
– metode semialgoritmice (activitate cu posibilități de autoorganizare);
– metode euristice (activitate creativă, prin investigații personale și căutări
independente).

3. Din punct de vedere al modalit ăților de învățare promovate metodele au fost
clasificate în:
– metode de învățare prin receptare ;
– metode de învățare prin descoperire ;
– metode de învățare prin acțiune practică ;
– metode de învățare prin creație .

16
4. După modul de realizare a activității metodele pot fi clasificate în:
– metode frontale ;
– metode de învățare în grup ;
– metode de activitate în perechi ;
– metode individuale .

5. După funcția didactică principală metodele pot fi:
– metode de predare și comunicare ;
– metode de fixare și consolidare ;
– metode de verificare și apreciere a rezultatelor activității școlare .

6. În funcție de gradul de generalitate și de sfera de aplicabilitate metodele sunt
clasificate în metode generale (precum expunerea, prelegerea, conversația, lucrările
practice, etc.) va labile în predarea celor mai multe discipline și metode particulare
(speciale) restrânse la predarea unor discipline de învățământ.
Exemplele de clasificare ar putea continua, însă taxonomiile interesează mai puțin, în
lucrarea de față urmărindu -se evidenț ierea unor aspecte didactice privind predarea -învățarea
noțiunilor de geometrie .

17

2.4. Metode și tehnici de predare -învățare utilizate în
matematică

2.4.1. Metode de expunere a cunoștințelor

Considerate ca făcând parte din metodele tradiționale de predare -învățare, metodele
expozitive lasă impresia că nu ar mai fi în conformitate cu noile tendințe ale pedagogiei care
pun accentul pe participarea activă și conștientă a elevului.
Totuși, în unele situații ele se mai folosesc. Transmiterea sistematică și continuă a
unor cunoștințe reprezintă o cale simplă și rapidă de instruire, permițând ca într -un timp
scurt să se comunice și să se recepteze un volum mare de informații.
Un avantaj al acestor metode ar fi faptul că, în expunerea profe sorului, elevii gă sesc
un model coerent de gândire și exprimare științifică, de tratare a unei situații problemă. De
asemenea, o expunere bine structurată îi ajută pe elevi să -și dezvolte capacitatea de a -și
organiza cunoștințele la un nivel superior de abstractizare și să -i disciplineze intelectual.
Metodele expozitive prezintă însă și dezavantaje : profesorul comunică niște
cunoștințe gata elaborate, impuse în mod autoritar , elevii fiind nevoiți să accepte, să
înțeleagă și să rețină informațiile primite. Astfel, unei activi tăți intense a profesorului îi
corespunde o activitate redusă a elevului care , de cele mai multe ori, duce la plictiseală și la
deficiențe ale atenției.
Prin urmare, profesorul trebuie să se coboare la nivelul cunoștințelor elevilor, să
organizeze în așa fel lecția încât să -i determine să gândească odată cu el .
Metodele de expunere a cunoștințelor sunt povestirea , descrierea , explicația ,
prelegerea și cursul.
Povestirea este o metodă expozitivă puțin folosită în matematică. La debutul unor
capitole noi se pot introduce, pentru trezirea interesului, câteva elemente de istorie sau
elemente biografice ale unor matematicieni celebri folosindu -se povestirea.
Descrierea este o metodă de expunere prin care se înfățișează în mod direct aspecte
ale unei realități, care prezintă caracteristicile unui obiect, a unui fapt, sau acțiun i insistându –

18
se asupra aspectelor de formă, dimensiune, relații. Descrierea se bazează pe observare
intuitivă, însă profesorul poate interveni prin dirijarea acestei observări.
Explicația este forma expunerii cea mai mult folosită în predarea matematicii și în
care predomină argumentarea rațională . Explicația „se bazează pe declarație, adică
profesorul pornește de la enunțarea unei reguli, legi, teoreme și numai după aceea se
analizează argumentele sau cauzele și se prezintă exemplele”.
Prelegerea este o formă a expunerii care se folosește destul de rar și mai mult la
clasele de liceu, având caracterul unei înlănțuiri logice de raționamente cu ajutorul căruia
profesorul comunică un material informațional nou.
Prelegerea se folosește de obicei, atunci când tema impune o expunere continuă, iar
fragmentarea ar afe cta înțelegerea.
Cursul (magistral) este o formă de prelegere folosită în invățământul superior.
Oricare dintre metodele de expunere s -ar folosi, pentru a putea fi eficiente, ele trebuie
îmbinate cu alte forme de predare.

2.4.2. Metoda conversației

Conversația didactică rezidă în dialogul dintre profes or și elev, rolul profesorului
fiind cel al unui partener care pune întrebări, dar care și răspunde la întrebări.
Deși este considerată ca fiind o metodă tradițională, metoda conversației implică o
participare activă a elevilor, aceștia fiind solicitați să răspundă întrebărilor profesorului și, de
asemenea, să pună întrebări în legătură cu tema predată. Astfel gândire a elevilor este
stimulată în vederea însușirii de noi cunoștințe, de fixare sau de sistematizare a acestora, etc.

Clasificarea formelor de conversație
a). După numărul de persoane cărora li se adresează întrebările, conversația poate fi:
individuală (dialogul se poartă între profesor și un singur elev) sau frontală (întrebările sunt
adresate întregii clase).

19
b). După obiectivele urmărite putem avea :
– conversație introductivă, folosită în momentele captării atenției și reactualizarea
cunoștințelor a nterior dobândite;
– conversația în cadrul prezentării materialului nou ;
– conversația pentru fixarea cunoștințelor ;
– conversația pentru recapitularea cunoștințelor;
– conversația pentru evaluarea cunoștințelor.
c). După tipul de raționament pe care -l face elevul când răspunde la întrebări, conversația
poate fi euristică sau catehetică .

Conversația euristică
Dacă întrebările profesorului se adresează gândirii și sunt astfel formulate încât
conduc la efectuarea unor raționamente în urma cărora să rezulte, ca o concluzie, adevărul
pentru elev, sau prin analiza mai multor posibilități să identifice și alte soluții, atunci este
vorba despre conversație euristică.
În cadrul conversației euristice, profesorul orientează în permanență gândirea
elevul ui, astfel încât prin formularea întrebărilor ” din aproape în aproape” să ajungă la
descoperirea noilor cunoștințe .
Utilizare a conversației euristice este condiționată de cuno ștințele anterioare ale
elevului, care să -i permită să dea răspuns la întrebările ce i se pun.
În conversația catehetică întrebările se adresează memoriei, răspunsurile constituind
reproduceri ale noțiunilor învățate anterior. Funcția principală a conversației catehetice este
constatarea nivelului cunoștințelor elevilor la un moment dat.

20

2.4.3. Metoda exercițiului

Metoda exercițiului constă în efectuarea unor acțiuni și operații în mod conștient și
repetat, cu scopul de a forma deprinderi și priceperi, precum și de a consolida anumite
cunoștințe.
Învățarea prin acțiune este foarte importantă în formarea tinerilor, de aceea metoda
exercițiului este o metodă comună tuturor disciplinelor, tuturor ciclurilor școlare și tuturor
formelor de organizare a activității. Astfel, în utilizarea metodei exercițiului, activitatea
poate fi organizată pe grupe, folosind fișe de lucru, sau frontal, cu clasa, dar și individual.
În cazul muncii independente, se pot folosi exerciții cu grad de dificulta te diferențiat,
în funcție de a chizițiile anterioare ale fiecărui elev. Dacă activitatea se desfășoară frontal,
atunci un elev va lucra la tablă, iar ceilalți vor lucra independent, comparând doar rezultatele
obținute cu cele de la tablă. În acest caz profesorul trebuie să urmărească activi tatea elevilor
din bănci pentru a se evita ca aceștia să devină simpli copiatori, caz în care aceștia încetează
să mai gândească.
Practica școlară folosește o gamă largă de tipuri de exerciții . Astfel, după funcțiile
indeplinite exercițiile pot fi introdu ctive , operatorii , aplicative, de observație, de asociere,
de formare a automatismelor, de dezvoltare, de consolidare, de evaluare, de exprimare
concretă sau de exprimare abstract, etc.
După gradul de intervenție al profesorului , exercițiile pot fi dirijate, semidirijate sau
autodirijate sau combinate.
După subiecți, exercițiile se împart în exerciții individuale , de echipă sau frontale .
După sarcina didactică, există exerciții de comunicare, euristice, de problematizare,
de algoritmizare, etc.
Indiferent de tipul de exerciții utilizate calitatea învățării va crește dacă sunt
respectate câteva norme:
– profesorul trebuie să cunoască structura , valoarea și limitele exercițiului înainte de
a-l propune elevilor;
– elevii să fie conștienți de scopul în car e se efectuează exercițiul și să
conștientizeze modelul acțiunii ce trebuie să o învețe;
– succesiunea exercițiilor să fie gradual în funcție de dificultate;
– exercițiile să aibă continuitate în timp, folosindu -se un ritm optim pentru a înlesni

21
formarea automatismelor, fără a se omite alternanța exersării cu pauzele necesare refacerii
potențialului neurofiziologic;
– exercițiile trebuie să fie variate și clar formulate, urmărindu -se corectitudinea
efectuării acestora pentru a evita formarea unor deprinderi greșite;
– controlul și autocontrolul trebuie făcute în așa fel încât intervenția profesorului să
scadă treptat, iar gradul de independență a elevilor în realizarea exercițiilor să crească.
Foarte importantă în predarea noțiunilor teoreti ce de matematică est e folosirea
exemplelor. Un exemplu prezentat convingător asigură reținerea noțiunilor predat e,
înlăturând eventualele nelămu riri.
În matematică se folosesc mult și contraexemplele cu ajutorul cărora se demonstrează
că o anumită proprietate nu este întotdea una adevărată.
De exemplu, ”Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este pătrat. ” este o
propoziție falsă, întrucât perpendicularitatea diagonalelor nu este o condiție suficientă pentru
ca un paralelogram să fie pătrat. Acest fapt se poate demonstra cu ajutorul unui
contraexemplu: rombul este un paralelogram cu diagonalele perpendiculare fără a fi pătrat.

2.4.4. Metode active de predare -învățare

Metodele active sunt acele metode , centrate pe elev, astfel încât elevul să nu
fie un simplu spectator în actul didactic, ci să fie implicat activ în procesul educativ.
Metodele care pun elevul în situația de a găsi singur, prin propria activitate , o
proprietate, un algoritm de calcul , o metodă de rezolvare a unei probleme sau a unui
grup de probleme, exemple sau contraexemple, fără a -i fi fost prezentate înainte de
către profesor la clasă , sunt considerate a fi metode active . Aceste metode au rolul de
a dezvolta gândirea cr eativă a elevilor și vizează latura formativă a educației.
În continuare vor fi prezenta te câteva metode active, des folosite în
matematică.

22
 Munca independentă a elevului

Munca sau studiul individual nu pot fi decât active, ,,în sensul angajării gândirii
independente și a libertății de a opera transferuri de cunoștințe, de a pune probleme, de a
emite ipoteze și de a găsi soluții, de a descoperi idei.” (I. Cerghit)
În general elevii nu lucrează independent decât dacă li se solicită acest lucru. De
aceea, pentru a forma elevilor deprinderi și priceperi de a lucra independent, profesorii
utilizează periodic diferite forme de muncă independentă, cum ar fi temele pentru acasă,
fișele de lucru, scurte lucrări de control pentru verificarea sau fixarea cunoștințelor.
Munca independentă a elevului poate să fie individuală sau pe grupe.
Pentru o învăț are eficientă munca individuală ar trebui să fie diferențiată în funcție de
nivelul cunoștințelor fiecărui elev, ceea ce presupune o bună cunoaștere a acestora. Astfel,
exercițiile și problemele propuse pentru a fi rezolvate individual de către elevi ar pu tea fi
grupate pe categorii cu grade diferite de dificultate: pentru elevi slabi , buni și foarte buni.
Munca pe grupe vine în completarea activității independente a elevilor. Grupele
formate pot fi omogene, când elevii au nivel apropiat de pregătire sau et erogene când există
diferențe mai mari privind nivelul de pregătire al elevilor.

 Munca cu manualul

Manualele sunt cărți fundamentale pentru elevi, acestea conținând informațiile
necesare atingerii nivelului de pregătire obligatorie al elevilor.
De cele mai multe ori elevii obișnuiesc să învețe după notițele din clasă și folosesc
manualul doar pentru rezolvarea exercițiilor și problemelor propuse ca temă pentru acasă.
Capacitatea de a gândi a elevilor se dezvoltă mai ales prin activitate proprie, astfel că munca
cu manualul oferă, pe lângă asimilarea unor cunoștințe noi, și formarea unor deprinderi de
activitate intelectuală. P rin urmare, profesorul are obligația de a -l îndruma pe elev să
folosească manualul.
De exemplu, profesorul poate rezolva o teoremă la tablă după care le poate cere
elevilor să studieze o altă variantă de demonstrație a teoremei din manual , făcând analize și
comparații. Sau li se poate cere elevilor să studieze din manual teoria (pentru lecțiile ușoare
și scurte) sau modele de exerciții rezolvate.

23
 Modelarea

Modelarea , ca metodă didactică folosită în predarea -învățarea matematicii,
reprezintă un mod de lucru prin care gândirea elevului este dirijată spre descoperirea
adevărului cu ajutorul modelelor, utilizându -se raționamentul prin analogie. Cu ajutorul
modelării se dezvoltă spiritul de observație, capacitatea de abstractizare, flexibilitatea.
Modelarea poate fi similară sau analogică.
Modelarea similară presupune reproducerea unui sistem de aceeași natură cu
originalul, care pune în evidență particularități ale sistemului original și care înlesnește
cunoașterea acestuia.
Deși acest tip de modelare se pretează mai mult la științele naturii, se poate folosi și
în matematică; schițele sau reprezentările grafice pot fi considerate modele.
De exemplu , pentru a calcula cantitatea de pavaj (în formă cubică) necesară pentru a
pava curtea unei case, se realizează o schiță model a curții. Aceasta permite calculul
cantității de pavaj cu ajutorul noțiunilor despre arii.
Rezultatul obținut se transferă asupra originalului.

Modelarea analogică diferă de modelarea similară prin faptul că m odelul nu
presupune o asemănare perfectă cu originalul, ci doar o analogie. Astfel, această metodă
constă în realizarea unui sistem a cărui descriere matematică este aceeași cu cea a sistemului
original și cu ajutorul căruia se găsesc soluții ce se pot aplica sistemului original.
Exemplu : Pentru funcția 𝑓:ℝ→ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, cu 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ și 𝑎≠
0, determinați pozițiile rădăcinilor x1, x2 ale ecuației 𝑓(𝑥) = 0 față de intervalul [ 𝛼,𝛽].
i). Cazul x1< x 2<𝛼
Modelul grafic :

sau

24
Modelul logic :

ii). Cazul x1<𝛼<x2< 𝛽

Modelul grafic :

sau

Modelul logic :

Se poate continua, în mod analog, cu restul cazurilor.

 Problematizarea și învățarea prin descoperire

În zilele noastre, când știința și tehnica se dezvoltă cu o viteză amețitoare, când, de la
o generație la alta, apar noi și noi profesii , oamenii se văd nevoiți să învețe toată viața pentru
a se putea adapta noilor cerințe. Astfel școala trebuie să -i formeze pe elevi în așa fel încât să
se poată orienta singu ri într -un câ mp de probleme noi. {∆≥0
𝑎 𝑓(𝛼)>0
−𝑏
2𝑎<𝛼
{∆>0
𝑎 𝑓(𝛼)<0
𝑎 𝑓(𝛽)>0

25
Se impune astfel nevoia ca, în procesul de predare -învățare, să se pună cât mai mult
accentul pe acele metode și strategii care îi stimulează pe elevi să -și însușească în mod
conștient și creativ, prin eforturi personale de gândire și acțiune, noi cunoștințe și metode de
investigare , care le dezvoltă spiritul de observare și capacitatea de analiză și sinteză .
Acest lucru se poate face prin problematizare , o metodă de predare -învățare care îl
scoate pe elev din ,,postura unui simplu rece ptacul de cunoștințe gata sistematizate” și-l
pune în situația de a le redescoperi prin eforturi proprii de gândire.
Problematizarea dă naștere unor stări conflictuale în gândire, elevul trebuind să
realizeze diferența dintre cunoștințele sale anterioare și o nouă informație. Aceste stări
conflictuale poartă denumirea de „ situații -problemă” (sau „ întrebări -problemă” ) care, odată
rezolvate, vor conduce la descoperirea unor noi proprietăți ale obiectului studiat.
Situațiile -problemă sunt organizate și structurate logic de către profesor, pe baza
obiectivelor și co mpetențelor specifice urmărite și în concordanță cu conținuturile învățării,
dar în așa fel încât întrebările să apară în mintea elevului fără ca acestea să fie formulate de
către profesor, iar redescoperirea să fie doar semidirijată.
Există mai multe tipuri de situații -problemă:
– când există un dezacord între cunoștințele elevului și ceea ce i se cere pentru
rezolvarea noii probleme;
– când elevul trebuie să selecteze din achizițiile sale ante rioare pe acelea cu valoare
operațională , conștientizând că uneori acestea sunt insuficiente fiind necesară
completarea informației ;
– când i se cere elevului să aplice cunoștințele în situații noi.
Etapele problematizării sunt:
– prezentarea informațiilor preliminare de către profesor care -l pun în temă pe elev
(oral, în scris, grafic, etc.);
– identificarea și definirea situației -problemă de către elev, care -și însușește enunțul
și caută corespondențe între date;
– formularea de către elev a uno r ipoteze în vederea aflării soluției;
– verificarea succesivă a ipotezelor până la găsirea uneia care să conducă la
descoperirea soluției.
În concluzie, rezultatul final al problematizării este întotdeauna descoperirea soluției.

26
Descoperirea apare astfel ca o consecință a problematizării și constă în găsirea de
către elev, printr -un procedeu propriu (de analiză, inducție sau generalizare) a unei
demonstrații, proprietăți, teoreme, a unui procedeu de calcul, etc.
Există trei modalități principale de învățare prin descoperire:
– inductivă (de la particular la general);
– deductivă (de la general la particular);
– prin analogie (prin asemănare sau modelare).

2.4.5. Instruirea programată

Instruirea programată a fost inspirată din ideile ciberneticii, astfel că procesul de
predare -învățare -evaluare a fost regândit prin prisma principiul ui comandă -control -reglare
(autoreglare).
În instruirea programată materia de învățat este fragmentată în secvențe mici și
accesibile (unități didactice) , înlănțuite logic și gradual din punct de vedere al dificultății. De
asemenea, după fiecare secvență sunt fixate întrebări de control (exerciții sau probleme) ce
pot fi rezolvate p e baza unității didactice parcurse.
Procesul i nstruir ii programat e presupune elaborarea unor fișe sau manuale care să
cuprindă unitățile didactice și un program al acțiunilor pas cu pas. În zilele noastre, aproape
toate școlile sunt dotate cu laboratoare de informatică, astfel că fișele și manualele
programate pot fi înlocuite cu calculatorul. În ultimul timp profesorii au beneficiat de foarte
multe cursuri și programe de formare unde au învățat să utilizeze calculatorul și diferite
aplicații cu ajutorul cărora să creeze softuri educaționale care respec tă pri ncipiile și etapele
instruirii programate.
În practica pedagogică se cunosc trei tipuri de programare liniară: programare
liniară (elaborată de Skinner), programare ramificată (de tip Krowder) și programare mixtă .
În pr ogramarea liniară , materialul de învățat este împărțit în cele mai mici unități
didactice, iar fiecare unitate didactică este urmată de întrebarea (exercițiul, problema) de
control la care elevul trebuie să formuleze răspunsul. În etapa următoare răspunsul este
comparat cu cel corect, după care se trece la secvența următoare care are aceeași structură.

27
În programarea ramificată, unitățile didactice prezintă dificultăți mai mari, iar elevul
(după î nsușirea informației) trebuie să aleagă răspunsul corect din mai multe răspunsu ri date.
Un eventual răspuns greșit este urmat de o informație suplimentară, după care este obligat să
aleagă din nou răspunsul corect; abia după ce l -a găsit poate trece la unitatea didactică
următoare.
În figura următoare sunt reprezentat e schematic cele două tipuri de programare.

Programarea de tip mixt presupune combinarea celor două tipuri de programare prezentate.
Principalele avantaje ale învățării prin instruirea programată sunt participarea activă
a elevului în procesul de instruire, informarea operativă asupra rezultatelor învățării necesare
atât elevului, cât și profesorului, corectarea imediată și pas cu pas, precum și ameliorarea
rezultatelor slabe prin revizuirea unităților de învățare și adaptarea acestora la dificultățile de
asimilare ale elevilor.
Instruirea programată are și unele dezavantaje : fragmentarea excesivă a materialului
de învățat poate conduce la diminuarea capacității de sinteză a elevilor și la schematizarea
gândirii acestora.

unitate didactică
întrebare/exercițiu
/problemă
răspuns formulat
confruntarea cu
răspunsul corect corect greșit
informație
suplimentară unitate didactică
întrebare/exercițiu
/problemă
alege răspunsul Programare liniară
(Skinner) Programare ramificată
(Krowder)

28
2.4.6. Metode interactive de predare -învățare

Metodele interactive sunt metode active care se bazează pe învățarea în grup.
Aceste metode stimulează interacțiunea dintre ideile elevilor, dintre personalitățile lor ,
solicitând participarea și efortul fiecărui elev, ceea ce conduce la o învățare activă,
conștientă .
Interactivitatea implică atât cooperarea, cât și competiția, componente care
stimulează productivitatea elevilor ajutându -i să-și descopere propriile valori, capacități sau
limite. Învățarea interactivă dezvoltă competențel e elevilor de a lucra în echipă, de a deveni
competitivi, stimulează gândirea divergentă, gândir ea critică, precum și creativitatea
acestora . Lucrul în echipă îi învață pe elevi să interacționeze, să se implice și să-și aducă
contribuția prin împărtășirea ideilor și experienț ei lor, să aibă încredere, să se susțină și să
nu gândească individualist, să aibă curajul să -și asume riscuri și să -și controleze teama de
eșec. De asemenea , interactivitatea duce la „educarea stăpânirii de sine și a unui
comportament tolerant față de opiniile celorlalți, înfrângerea subiectivis mului și acceptarea
gândirii colective”. (C. Oprea)
Toate acestea au rolul de a -i pregăti pe elevi pentru viață și pentru activitatea lor
profesională viitoare.
În cele ce urmează voi prezenta câteva dintre metodele de predare -învățare
interactivă ce pot f i aplicate cu succes și la disciplina matematică .

 Brainstorming -ul

Brainstorming -ul (engl. brain=creier, engl. storming= furtunos) , cunoscut și ca
„metoda asaltului d e idei” sau „evaluarea amânată” a fost inițiat de către Alex F. Osborn și
prezintă numeroase asemănări cu o veche metodă indiană, Prai Barshana, care în traducere
etimologică înseamnă strategie ce nu admite nici un fel de critică .
Metoda constă în emiterea unu i număr cât mai mare de idei privind mod ul de
rezolvare a unei probleme și dezvoltarea ulterioară de noi idei emise în cadrul discuțiilor de
grup. Obținerea acestor idei se bazează pe stimularea creativității în cadrul grupului, într -o
atmosferă lipsită de critică, neinhibatoare . Scopul acestei metode este de a da frâ u liber
imaginației, a ideilor originale, a părerilor neconvenționale, provocând o reacție în lanț,

29
constructivă, de creare a „ideilor pe idei.” În acest sens, o idee sau sugestie, aparent fără
legătură cu problema în discuție, poate oferi premise apariție i altor idei din partea celorlalți
participanți. Există și un moment de evaluare plasat la finalul exercițiului, motiv pentru care
metoda mai poartă și denumirea de „metoda evaluării amânate”.
Etapele metodei
1. Prezentarea temei și a sarcinii de lucru .
2. Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, fără cenzură,
a tuturor ideilor ( se acceptă toate ideile și nu se vor admite referiri critice sau obser vații
negative ).
3. Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă sau flip chart).
4. Anunțarea unei pauze „de așezare a ideilor” (de la 15 minute până la o zi dacă activitatea
se poate extinde pe o durată mai lungă).
5. Reluarea ideilor emise pe rând și gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie,
imagini care reprezintă dife rite criterii .
6. Analiza critică, evaluarea, argumentarea și contraargumentarea ideilor emise anterior la
nivelul clasei.
7. Selectarea ideilor cele mai originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru
problema supusă atenției .
8. Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și mai originale.
Avantajele metodei sunt stimularea gândirii creative, obținerea unui volum mare de
idei care ulterior generează calitate, dezvoltarea relațiilor interpersonale, exprimarea liberă și
asumarea opiniilor, creare a unui climat stimulativ pentru învățare.
Exemplu :
Subiectul lecți ei: Trunchiul de con – clasa a VIII -a
Tipul lecției: dobândirea de noi cunoștințe
Se va aplica me toda Brainstorming; în acest sens se vor parcurge următoarele etape:
1. Comunicarea sarcinilor de lucru, subiectul fiind formulat sub forma unor întrebări
problem atizante, la care elevii trebuie să răspundă:
– Cum credeți că se obține un trunchi de con? Care sunt elementele lui? (formarea
capacităților de a observa, analiza, prognoza)

30
– Care sunt asemănările/deosebirile cu/față de trunchiul de piramidă? (formarea
capacității de a compara)
– Care este desfășurarea unui trunchi de con? Ce secțiuni se pot face în trunchiul
de con și ce se obține? (formarea capacității de a analiza și prognoza)
– Ce relației există între G, h, r, R? Cum calculăm A t , V?(formarea capacităților
deductive)
2. Comunicarea regulilor de grup:
– Fiți imaginativi!
– Preluați în scris ideile emise de ceilalți.
– Toate răspunsurile sunt acceptate.
– Fiecare are dreptul la opinie personală.
– Fiecare ascultă și respectă părerea celorlalți.

3. Emisia și înregistrarea ideilor: activitate în grup.
4. Prezentarea ideilor: activitate frontală.
5. Evaluarea ideilor: se aleg cele mai bune idei, se completează cu altele neemise.

 Starbursting -ul

Starbursting -ul (engl. star=stea; engl. to burst = a exploda) este o metodă nouă de
dezvoltare a creativității, similară brainstorming -ului. Începe din centrul conceptului și se
împrăștie în afară, cu întrebări, asemeni exploziei stelare.
Se scrie ideea sau problema pe o foaie de hârtie și se înșiră cât mai multe întrebări
care au legătură cu ea. Un bun punct de plecare îl constituie cele de tipul: Ce?, Cine?, Unde?,
De ce?, Când?.
Întrebări le inițiale pot genera altele, neașteptate, care cer și o mai mare concentrare.

31
Scopul metodei este de a obține cât mai multe întrebări și astfel cât mai multe
conexiuni între concepte.
Etape le metodei
1. Propunerea unei problem e sau teme de studiat . Colectivul clasei poate fi organiza t pe
echipe .
2. Echipele elaborează o listă cu cât mai mult e întrebări și cât mai diverse referitoare la
tema abordată .
3. Comunicar ea rezultatelor muncii de grup.
Evidențierea celor mai interesante întrebări și aprecierea muncii în echipă.

Avantajele metodei Starbursting
Metoda S tarbursting reprezintă o modalitate de stimulare a creativității individuale și
de grup, fiind ușor de aplicat oricărei vârste și unei game extinse de domenii. Nu este
costisitoare, iar elevii se prin repede în joc. Este, pe de o parte, o modalitate de relaxare, iar,
pe de altă parte, o modalitate de a descoperi lucruri noi.
Exemplu :
Metoda se poate aplica la lecția cu tema Relații între puncte, drepte și plane la clasa
a VIII-a, lecție de recapitulare și sistematizare . Pornind de la ideea formulării de întrebări la
întrebări, se organizează clasa în 4 grupe și se parcurg următoarele etapele prezentate.
Exemple de între bări:
Ce poziții relative ale unei drepte față de u n pl an cu n o ști?
Ce poziții relative a două plane cunoști?
Unde în sala de clasă ați identificat drepte paralele? Dar drepte perpendiculare pe un plan?
Când spunem c ă o dreaptă este perpendicular pe u n pl an ?
Cine dorește să descrie și să reprezinte piramida? Dar prisma?
Ce se înțelege prin tranzitivitatea relației de paralelism între plane?
Cine continuă en u nțul teoremei alăturate? Dacă un plan conține două drepte
concurente paralel e cu un alt plan, atunci…
Ce legătură este între dreapta perpendiculară pe un plan și distanța de la un punct la un plan?
Ce cazuri de determinare a dreptei cunoști?

32
Când spunem că o dreaptă este paralelă cu un plan?
Ce metodă întâlnim mai des în demonstrarea teoremelor de geometrie în spațiu?
De ce afirmația de mai jos este falsă? „Dându -se două plane paralele, orice dreaptă dintr-
un plan este paralelă cu ori ce dreptă din al doilea plan.”
Când spunem că două plane sunt paralele?
Ce cazuri de determinare a planului cunoști?

 Tehnica 6 / 3 / 5

Tehnica 6/3/5 este asemănătoare bra instorming -ului. Ideile noi însă se scriu pe foi de
hârtie care circulă între participanți, motiv pentru care se mai numește și metoda
brainwriting. Tehnica se numește 6/3/5 pentru că există 6 membri în grupul de lucru, care
notează pe o foaie de hârtie câte 3 soluții fiecare, la o problemă dată, timp de 5 minute
(însumând 108 răspunsuri, în 30 de minute, în fiec are grup) .
Etapele metodei
1. Împărțirea clasei î n grupe a câte 6 membri fiecare.
2. Formularea problemei și explicarea modalității de lucru. Fiecare elev primește câte o
foaie de h ârtie împărțită în trei coloane.
3. Desfășurarea activității în grup. În această etapă are loc o îmbinare a activității
individuale cu cea colectivă. Pentru problema dată, fiecare dintre cei 6 participanți, are
de notat pe o foaie, 3 soluții în tabelul cu 3 coloane, într -un timp maxim de 5 minute.
Foile migrează apoi de la stânga spre dreapta până ajung la posesorul inițial. Cel care a
primit foaia colegului din stânga, citește soluțiile deja notate și încearcă să le modifice în
sens creativ, prin formulări noi, adaptându -le, îmbunătățindu -le și reconstruindu -le
continuu.
4. Analiza soluți ilor și reținerea celor mai bune. Se centralizează datele obținute, se discută
și se apreciază rezultatele.
Avantajele aplicării tehnicii 6/3/5
– oferă elevilor mai puțin comunicativi posibilitatea de a se exprima;
– similar brainstorming -ului, stimulează construcția de „idei pe idei”;
– încurajează solidaritatea în grup și competiția între grupuri, îmbinând munca individuală

33
cu cea de echipă;
– are caracter formativ -educativ, dezvoltând atât spiritul de echipă cât și procesele psihice
superioare (gândirea cu operațiile ei: analiza ideilor emise de ceilalți, comparația, sinteza,
generalizarea și abstractizarea; dezvoltă imaginația, creativitatea, calitățile atenției etc).
Dezavantajele
– rezultă din constrângerea participanților de a răspunde într -un timp fix;
– pot exista fenomene de contagiune negativă între răspunsuri;
– elevii pot fi influențați de soluțiile anterioare, intrând într -un blocaj creativ.

 Metoda Philips 6/ 6

Metoda Philips 6/6 a fost elaborată de către profesorul de literatură J. Donald
Philips (de unde provine și numele) care a testat -o la Universitatea din Michigan. Este
similară brainstorming -ului și tehnicii 6/3/5, însă se individualizează prin limitarea discuției
celor 6 participanți la 6 minute. Acest fapt are ca scop intensi ficarea producției creative, ca și
în cazul tehnicii 6/3/5.
Se pare că e foarte utilă metoda în educarea adulților. Grupurile sunt conduse de „un
conducător de discuții“ (moderator) și își desfășoară activitatea pe 3 coordonate: pregătirea,
desfășurarea și va lorificarea producției de idei. Reuniunea se întinde pe două ore și
presupune două faze: discuția pe grupe și dezbaterea în plen.
Etapele metodei
1. Constituirea grupurilor de câte 6 (4 membri + 1 secretar + 1 conducător de grup).
Secretarul fiecărui gr up are în plus, sarcina de a consemna ideile colegilor. Conducătorul
este cel care dirijează dezbaterea în cadrul grupului și prezintă concluziile.
2. Înmânarea temei/problemei ce urmează a fi dezbătută în particular, de către fiecare grup
și motivarea importanței acesteia.
3. Desfășurarea discuțiilor pe baza temei, în cadrul grupului, timp de 6 minute. Acestea pot
fi libere, în sensul că fiecare membru pr opune un răspuns și la sfârșit se rețin ideile cele
mai importante sau pot fi discuții progresive în care fiecare participant expune în cadrul
grupului său o variantă care e analizată și apoi se trece la celelalte idei.
4. Colectarea soluțiilor elaborate. Conducătorii fiecărui grup expun ideile la care au ajuns,

34
apoi ele sunt predate în scris coordonatorului colectivului (profesorului).
5. Discuția colectivă este urmată de decizia colectivă în ceea ce privește soluția finală, pe
baza ierarhizării variantelor pe t ablă. Dezbaterea în plen este reuniunea propriu -zisă și
debutează cu expunerile liderilor; intervențiile sunt libere; se realizează selecția și
ierarhizarea soluțiilor.
6. Încheirea discuției se face în urma prezentării din partea profesorului a concluziilor
privind participarea la desfășurarea activității și a eficienței demersurilor întreprinse.
Evaluarea generală a ideilor este realizată de către profesor; el sintetizează informațiile și
susține motivațional interacțiunea participanților.
Avantajele metod ei Philips 6/6
– sunt similare brai nstorming -ului și tehnicii 6/3/5, în ceea ce privește facilitarea
comunicării, obținerea într -un timp scurt a numeroase idei, prin intensificarea
demersului creativ și prin stimularea imaginației tuturor participanților ;
– permite întărirea coeziunii grupul ui și angajează elevii în (auto)evaluare ;
– cooperarea din interiorul echipei se îmbină cu competiția dintre grupuri.
Dezavantajele apar atunci când numărul elevilor nu este multiplu de 6 și mai pot fi
create de limita de timp impusă, de 6 minute.

 Metoda ciorchinelui

Metoda ciorchinel ui este o metodă de brainstorming neliniară care presupune
identificarea u nor conexiuni logice între idei. Aceasta poate fi folosită cu succes atât la
începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul
lecțiilor de sinteză sau de recapitulare și de sistematizare a cunoștințelor.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare -învățare care încurajează elevii
să gândească liber și deschis.
Etapele metodei
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a unei foi
de hârtie.

35
2. Elevii vor fi solicitați să -și noteze toate ideile, si ntagmele sau cunoștințele pe care le
au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându -se
linii între acestea și cuvântul inițial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor
trage linii între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s -a atins limita de timp
acordată.
5. În ultima etapă, etapa de reflecție, se va realiza “ciorchinele revizui t” în care elevii
vor fi îndrumați, cu ajutorul unor întrebări, să grupeze informațiile în funcție de
diferite criterii.
Avantajul principal al metodei îl reprezintă faptul că p rin această metodă se fixează
mai bine ideile și se structurează infomațiile facilizându -se reținerea și înțelegerea acestora.
Exemplu : Unghiul – clasa a VI -a

raportor
unghiuri
improprii 𝐴𝑂𝐵̂
sau 𝑂̂
unghi nul
=unghi cu
măsura de 0o
unghi alungit
=unghi cu
măsura de
180o unghi obtuz
=unghi cu
măsura > 180o
unghi ascuțit
=unghi cu
măsura ˂90o unghi drept
=unghi cu
măsura egală
cu 90o unghiuri
proprii Se numește unghi figura geometrică
formată din reuniunea a două
semidrepte închise care au aceeași
origine . (∡𝐴𝑂𝐵=[𝑂𝐴∪[𝑂𝐵)
grade
radiani ∡𝐴𝑂𝐵
sau ∡𝑂
definiție
unități de
măsură
clasificare Notații
Unghiul
B A
O instrument
de măsură

36
Înălțimi Mediatoare  Diagrama Venn

Diagrama reprezintă o formă grafică de prezentare a asemănărilor și deosebirilor
dintre două concepte. Se pot realiza două sau mai multe cercuri secante, având zone comune.
În zona comună se notează asemănările, iar în afara ei deosebirile dintre conceptele
comparate.
Exemplu : Redarea asemănăr ilor și deosebirilor dintre înălțimile și mediatoarele
unui triunghi.

Deosebiri Deosebiri Asemănari -sunt segmente
-unesc vârful unui
triunghi cu piciorul
perpendicularei dusă
din acel vârf pe latura
opusă
-punctul lor de
intersecție se numește
otrocentru și se
notează cu H

-sunt drepte

-„pică” perpendicular
pe mijlocul laturilor
triunghiului
-punctul lor de
intersecție este centrul
cercului circumscris
triunghiului și se
notează cu O -sunt perpendiculare
pe laturile triunghiului

-sunt concurente

– sunt în număr de trei

37
 Metoda Schimbă perechea

Metoda Schimbă perechea este o metodă interactivă care urmărește dezvoltarea
capacităților de analiză, sistematizare și relaționare.
Etapele metodei
1. Elevii sunt împărțiți în două grupuri egale ca număr de participanți (dacă numărul
elevilor este impar, doi dintre aceștia pot lucra în tandem sau poate participa și
profesorul). Băncile sunt aranjate în cerc, iar elevii se așază față în față, formând două
cercuri concentrice.
2. Profesorul propune o sarcină de lucru. (De exemplu, le propune elevilor ca, pornind de la
definiția paralelogramului, să deducă proprietăți ale acestuia. )
3. Elevii aflați față în față se vor consulta și împreună vor încerca, timp de câ teva minute, să
rezolve sarcina de lucru primită (să deducă proprietăți ale paralelogramulu i), notându -și
rezultatele obținute.
4. La semnalul profesorului, elevii aflați în cercul exterior se vor deplasa în sensul acelor de
ceasornic, schimbându -se astfel, perechile. Noii parteneri își vor împărtăși soluțiile
găsite, argumentându -le, iar dacă vor considera că sunt corecte și le vor însuși.
Schimbarea perechilor se continuă până se ajunge la partenerii inițiali.
În acestă etapă profesorul are rol de observa tor, dar dacă elevii nu se descurcă poate
interveni cu unele sugestii care să -i ajute. (Pentru exemplul considerat , ar putea să le
sugereze să traseze diagonalele paralelogramului și să analizeze triunghiurile care se
formează. )
5. În ultima etapă clasa se re grupează și se analizează, împreună cu profesorul, soluțiile
găsite (proprietățile paralelogramului deduse), adăugându -se completări dacă este
necesar.

Avantajele metodei
Elevii sunt implicați activ în activitate , având posibilitatea de a lucra cu fiecar e dintre
colegii de clasă. Această metoda stimulează cooperarea și respectul față de opinia celorlalți.

38
 Metoda Cubului

Metoda Cubului se folosește atunci când se dorește explorarea unui subiect, a unei
situaț ii din mai multe perspective și se bazează pe exersarea operațiilor de gândire implicate
în învățarea logică de conținut.
Etapele metodei
1. Elevii lecturează un text propus în vederea unei anumite problematici.
2. În a doua etapă, e levii vor confecționa un cub de hârtie pe ale cărui fețe se notează
următoarele operații :
 Descrie ți: Examinați subiectul cu atenție și descrieți ce vedeți (forme,
dimunsiuni, culoare, etc.).
 Comparați: Identificați asemănările și deosebirile raportate la un alt
subiect/altă disciplină.
 Asociați: Faceți cât mai multe asoc ieri, cât mai îndrăznețe.
 Analizați: Priviți cu atenție și stabiliți ce structură are, ce caracteristici
deține?
 Aplicați: Cum poate fi utilizat? Ce ipostaze practice se pot crea?
 Argumentați: Folosiți un anume tip de raportare, pro sau contra, vizavi de
subiectul propus. Logica argumentelor este importantă.
3. Se face redactarea de sinteză cu împărtășirea rezultatelor celorlalte grupe, urmată de
afișarea produsului final pe tablă.
Avantajele metodei:
– permite difer ențierea sarcinilor de învățare;
– stimulează gândirea logică;
– sporește eficiența învățării (elevii învață unii de la alții).
Dezavantaje:
– pregătirea activității necesită foarte mult timp;
– urmărirea activității din cadrul grupelor este dificilă din cauza sarcinilor diferite.

39
Exempl u:
Metoda poate fi aplicată în cadrul lecției despre Corpuri rotunde – lecție de
recapitulare și sistematizare.
Se parcurg următoarele etape:
 Comunicarea sarcinii de lucru : se împarte clasa pe patru rânduri. Fiecare rând va avea o
temă diferită (cilindrul, co nul, trunchiul de con și sfera). Fiecare elev de pe același rând
scrie pe caiet răspunsurile la cele șase întrebări de pe fețele cubului .
 Activitate frontal ă: profesorul scrie pe tablă instrucțiunile:
Descrie: Cum arată (desen)? Cum se definește?
Compară: Cu ce poliedru se aseamănă? În ce constau asemănările? De ce poliedru
diferă?
Asociază: Ce este desfășurarea corpului? Ce figure plane intervin?
Analizează: Ce elemente are? Ce caracteristici are?
Aplică: Ce noțiuni din geometria plană utilizăm pentru a deduce formulele de
arie/volum?
Argumentează: Ce obținem prin secțiune axială/transversală? De ce se numește corp
de rotație?
 Activitate individuală : elevii rezolvă sarcinile primate
 Activitate în perechi : fiecare elev va prezenta colegului de bancă ce răspunsuri a dat
pentru fiecare întrebare de pe fața cubului. Ascultătorul spune care dintre răspunsuri
le consideră corecte, iar pentru care nu este de acord face corectări sau aduce
completări, apoi schimbă rolurile.

 Metoda Turul galeriei

Turul galerie i este o metodă interactivă de grup folosită pentru rezolvarea unei
situații problematice în mod creativ. Elevii emit soluții la o problemă sau întrebare care a
fost analizată și dezbătută anterior.
Etapele metodei
1. Clasa este împărțită în echipe de câte 3 sau 4 elevi, c are vor lucra împreună la
soluționarea unei probleme.

40
2. Soluția găsită în urma interacțiunii membrilor fiecărei echipe va fi notat , de către aceștia,
pe coli de flip -chart, care vor fi postate pe pereții clasei ca într -o „galerie de artă ”.
3. Fiecare echipă vine în fața posterului propriu, iar la semnalul profesorului se deplasează,
în sensul acelor de ceasornic, parcurgând toată „galeria” în calitate de „vizitatori” sau
„critici”. Un elev dintre membrii echipelor poate avea rolul de „ghid”, acesta rămânând
în fața posterului propriu pentru a da eventuale explicații „vizitatorilor”.
Rolul deplasării elevilor nu este numai acela de a urmări soluțiile propuse de către ceilalți
colegi, ci și acela de a veni cu completări, întrebări sau observații refer itor la acestea.
4. După încheierea „turului galeriei”, echipele revin la locul inițial ș i își reexaminează
posterele prin prisma observațiilor colegilor. Acest moment al lecției este echivalent cu
fixarea cunoștințelor din lecția tradițională, deoarece elev ii își lămuresc unele probleme
apărute pe parcursul derulării lecției prin discuțiile cu ceilalți co legi. În această etapă,
rolul profesorului este acela de a coordona desfășurarea discuțiilor și de a oferi informații
suplimentare unde este necesar.

Avantajele metodei constau în stimularea învățării prin implicarea directă a tuturor
elevilor în analizarea problemei și emiterea soluțiilor. De asemenea, elevii primesc și oferă
feedback imediat referitor la activitatea lor.
Metoda permite aplicarea unor procedee prin care să fie puși în valoare și elevii care
necesită condiții educative speciale.
Dezavantajul ar fi faptul că metoda necesită un timp lung de lucru pentru realizarea
posterelor de către elevi, analizarea lor de către col egi și, la final, discutarea cu întreaga
clasă .
Exempl u:
Se propune un număr de sarcini de lucru (asemănătoare ca structură) egal cu numărul
echipelor. În realizarea posterelor echipele vor folosi markere de culori diferite; astfel fiecare
echipă se poate identifica cu o anumită culoare.
S1: Datele din tabelul următor se referă la piramida triunghiulară regulată și sunt
exprimate în metri, metri pătrați, respectiv metri cubi. Determinați elementele necunoscute.
l h ap Ab Al At V
9 3√3

41
S2: Datele din tabelul următor se referă la piramida triunghiulară regulată și sunt
exprimate în metri, metri pătrați, respectiv metri cubi. Determinați elementele necunoscute.
l h ap Ab Al At V
12 4√3

S3: Datele din tabelul următor se referă la piramida triunghiulară regulată și sunt
exprimate în metri, metri pătrați, respectiv metri cubi. Determinați elementele necunoscute.
l h ap Ab Al At V
4√3 16

S4: Datele din tabelul următor se referă la piramida triunghiulară regulată și sunt
exprimate în metri, metri pătrați, respectiv metri cubi. Determinați elementele necunoscute.
l h ap Ab Al At V
45√3 72√3
Pentru o verificare mai ușoară a corectitudinii rezultatelor obținute, valorile
elementelor cunoscute din tabel se pot alege în așa fel încât pentru toate elementele
piramidei, în toate cele patru situații să se obțină aceleași valori. Astfel elevii, la vizitarea
posterelor colegilor lor, se pot concentra mai mult asupra metodelor de rezolvare a sarcinilor
de lucru, decât asupra veridicității calculelor efectuate, economisindu -se timp.
În timpul deplasării , fiecare echipă va nota pe posterelor colegilor lor, cu culoarea
corespunzătoare echipei lor, semnul √ (în dreptul soluțiilor pe care le consideră corecte),
semnul X (în dreptu l rezolv ărilor pe care le consideră incorecte și pentru care au ei o altă
soluție) sau semnul ? (în dreptul rezolvărilor pe care le găsesc in corect e și pentru care nu pot
da nici ei soluția corectă).
La finalul activității se vor analiza posterele pe baza semnelor lăsate. Posterele pot fi evaluate
de către profesor sau echipe.

42
 Metoda Mozaic

Metoda Mozaic (cunoscută și sub numele de „Jigsaw puzzle” – inițiată de Harold
Aarons) este o metodă de învățare care îmbină învățarea individual ă cu învățarea în echipă.
Etapele metodei
1. Profesorul stabilește tema de învățat (o temă mai amplă) pe care o împarte în 4 sau 5
subteme, pe care le va numerota cu numere de la 1 la 4 (sau 5) .
2. Clasa este împărțită în grupuri de învățare formate dintr -un număr de elevi egal cu
numărul de subteme stabilite în etapa anterioară. Fiecare elev va primi un număr de la 1
la 4 (sau 5, dacă s -au ales cinci subteme), cu precizarea că urmează să devină „exp ert” în
subtema aferentă numărului său care îi revine să o studieze, în mod independent.
Grupurile vor primi fișe cu tema și cele 4 sau 5 subteme propuse, dar și alte materiale
didactice necesare.
3. Fiecare elev studiază , în mod i ndependent , subtema ce -i rev ine. Acest studiu individual
poate fi făcut în clasă sau, pentru a economisi timp, poate constitui o temă pentru acasă
înaintea aplicării metodei mozaicului.
4. După parcurgerea etapei de studiu individual, experții cu același număr părăsesc
grupurile de învă țare inițiale și se reunesc, la o altă masă, în grupu ri de experți. Aceștia
vor dezbate împreună s ubtema ce au avut -o de învățat, asigurându -se că au înțeles și că
și-au însușit corect materialul și stabilind totodată modalitatea în care vor prezenta
cunoș tințele asimilate colegilor lor din grupul inițial. Fiecare expert trebuie să
conștientizeze faptul că trebuie să se instruiască cât mai bine, fiind responsabili pentru
propria învățare, dar și pentru predarea materialului colegilor din grupurile de învăța re
inițiale.
5. După ce grupurile de experți și -au încheiat lucrul, fiecare individ se întoarc e la grupul
său inițial pentru a preda celorlalți membri materialul pregătit . La rândul lui, fiecare
„expert” trebuie să rețină cunoștințele pe care le expun experți i celorlalte subteme. Elevii
vor fi încurajați să discute, să -și exprime punctele de vedere, să pună întrebări, astfel
încât să -și clarifice orice nelămurire pentru a asimila corect întreg materialul. Dacă , după
discuțiile din grupul de învățare, rămân nel ămuriți asupra vreunei părți dintr -o subtemă ,
pot adresa întrebarea întregului grup de experți în subtema respectivă sau profesorului.
Scopul final al fiecărei grupe de învățare este ca fiecare membru să stăpânească
conținutul întregii teme.

43
6. În ultima etapă, profesorul reamintește tema centrală și subtemele , apoi le cere elevilor să
prezinte oral, în ordinea inițială, materialul cuprins în fiecare subtemă , așa cum l-au
asimilat în cadrul grupului de "experți". Astfel tema va fi prezentată în a nsamblul ei, în
ordine logică .
Pentru realizarea feedback -ului activității, profesoru l poate aplica un test sau poate
adresa întrebări pentru a verifica gradul de înțelegere a noului conținut, capacitatea de
analiză, sinteză, de argumentare a afirmațiilor făcute.
Este foarte important ca profesorul să monitorizeze predarea, pentru a fi sigur că
informația se transmite corect și că poate servi ca punct de plecare pentru diverse întrebări.
Avantajele metodei Mozaic sunt multiple. Aceasta stimulează cooperare a, asigură
implicarea și participarea tuturor membrilor. Elevii trebuie să asculte activ materialul
prezentat de către colegii lor și să fie capabili să expună ceea ce au învățat. Astfel se creează
o relație de interdependență între membrii grupului, aceștia fiind responsabili atât pentru
propria învățare cât ș i pentru învățarea colegilor lor.
Metoda cuprinde activități care conduc la dezvoltarea abilităților de comunicare
argumentativă și de relaționare în cadrul grupului. Prin această metodă se evită instituirea
unor ierarhii în grupuri; elevii foarte buni în vață de la ceilalți în aceeași măsură în care ei î și
ajută colegii să -și însușească noi cunoștințe.
Exemplu : Paralelograme particulare – clasa a VI -a
Metoda Mozaic se pretează la predarea paralelogramelor particulare, și anume,
rombul, dreptungh iul și pătratul . Profesorul împarte materialul de studiat în trei subteme pe
trei fișe expert, câte una pentru fiecare paralelogram particular. Fiind doar trei subteme,
pentru o clasă mai numeroasă se vor obține un număr mare de experți pentru fiecare
subtemă. Pentru a nu îngreuna activitatea acestora se pot forma câte două grupuri de experți
asociați fiecărei subteme în parte.

44
 Metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat

Metoda de predare Știu/Vreau să știu/Am învățat presupune utilizarea achizițiilor
anterior dob ândite ale elevilor în procesul de predare -învățare a noilor cunoștințe.
Metoda constă în completarea un ui tabel cu trei coloane , precum cel din exemplul de
mai jos, prin activități de grup sau individual.
Știu Vreau să știu Am învățat

Completarea tabelului se realizează în trei etape.
În prima etapă are loc accesarea cunoștințelor anterioare folosind brainstorming -ul,
reactualizându -se astfel, ceea ce elevii știu despre tema ce urmează a fi predată. Aceste
cunoștințe vor fi sintetizate și structurate cu ajutorul profesorului, după care vor fi notate în
coloana Știu.
În a doua etapă se încearcă determinarea a ceea ce se dorește a învăța. În acest sens,
elevii vor analiza ceea ce știu și vor încerca să identific e puncte comune în cunoștințele lor
care pot fi extinse sau generalizate, raportându -se la tema ce trebuie discutată. Apoi, aceștia
vor fi ajutați să formuleze întrebări despre ceea ce nu știu sau nu sunt siguri, întrebări ce vor
fi notate în coloana Vreau să știu a tabelului.
Pentru a afla răspunsurile la întrebările formulate, profesorul le poate pregăti elevilor
fișe teoretice pe care să le studieze, sau, le poate cere să lectureze lecția din manual. La
matematică, însă, se pretează foarte bine pregătirea unor sarcini de lucru care să conducă la
descoperirea răspunsurilor acestor întrebări.
În a treia etapă, după lecturarea textului sau după realizarea sarcinilor de lucru ,
profesorul va reveni asupra întrebărilor notate în coloana a doua și va verifica care întrebări
și-au găsit răspunsul. Aceste răspunsuri, dar și alte informații descoperite, în legătură cu care
nu au pus întrebări, vor fi notate în coloana Am învățat.
Dacă au rămas întrebări fără răspuns sau cu răspuns parțial, profesorul le p oate
sugera elevilor lecturi sau explicații suplimentare.
Avantajele metodei
Pe lângă avantajele comune tuturor metodelor interactive precum mobilizarea
întregului colectiv de elevi și implicarea activă a acestora în procesul de predare -învățare,
prin int ermediul metodei Știu/Vreau să știu/ Am învățat se clarifică ceea ce știu elevii despre

45
o anumită temă. Astfel profesorul poate alege cele mai potrivite metode de a preda noile
conținuturi.
Exemplu : Determinarea formulelor de calcul pentru latura triunghiul ui
echilateral (în funcție de raza cercului circumscris acestuia ), raza cercului circumscris
triunghiulu i echilateral , apotema și aria triunghiului echilateral .
ȘTIU VREAU SĂ Ș TIU AM ÎNVĂȚ AT
-definiț ia poligonului regulat:
poligonul cu toate laturile și
toate unghiurile respectiv
congruente se numește poligon
regulat;
-identificarea poligoanelor
regulate:
-cu trei laturi – triunghiul
echilateral ;
-cu patru laturi – pătratul ;
-cu șase laturi – hexagonul
regulat;
-definiția apotemei poligonului
regulat: este distanța de la
centrul poligonului regulat la
o latură a sa se numește
apotema poligonului regulat ;
-𝐴Δ=𝑎·ℎ𝑎
2=𝑏·ℎ𝑏
2=𝑐·ℎ𝑐
2,
unde a,b,c sunt laturile
triunghiului, iar ℎ𝑎,ℎ𝑏,ℎ𝑐 sunt
lungimile înălțim ilor corespun –
zătoare acestora ;
– 𝑃∆𝑒𝑐ℎ𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 3·l, unde
l reprezintă lungimea laturii
triunghiului echilateral. -formu le de calcul pentru:
-înălțimea triunghiului
echilateral;
-raza cercului circumscris
triunghiului echilateral;
-apotema triunghiului
echilateral;
-latura triunghiului
echilateral în funcție de
raza cercului circumscris;

– alte formule de calcul
pentru aria triunghiului
echilateral ;

ℎ3=𝑙√3
2
𝑅3=𝑙√3
3
𝑎3=𝑙√3
6

L3 = R
3

𝐴3=𝑙2√3
4
𝐴3=3𝑅2√3
4

46
2.4.7. Instruirea asistată de calculator

În zilele noastre, calculatorul a devenit un instrument indispensabil pentru toți cei
care își doresc să fie în pas cu dezvoltarea științei, economiei și a societății în general. În
sistemul de învățământ românesc s -a înțeles necesitatea ca fiecare elev să învețe să utilizeze
calculatorul. De aceea s -a adoptat o strategie națională de informati zare a sistemului de
învățământ prin care s -au dotat majoritatea școlilor cu laboratoarede informatică, s -au
introdus discipline ob ligatorii sau opționale de tehnologie a informațiilor și comunicațiilor
(TIC) încă din ciclul gimnazial, astfel încât fiecare elev să aibă oportunitatea de a învăța să
opereze cu un calculator și cu diferite programe.
Instruirea și autoinstruirea asistată de calculator se referă la utilizarea
calculatorului în procesul de învățămân t, în scopuri didactice.
În matematică și științe, calculatorul poate reprezenta liantul dintre teorie și practică,
cu ajutorul acestuia put ându-se exploata diferite modele în care anumite elemente sunt
parametri variabili ce modifică calitățile intrinseci. De asemenea, se pot realiza eficient
simulări ale unor experimente și fenomene, diagrame sau hărți interactive, grafice, animații,
etc.
Odată cu dezvoltarea și perfecționarea noilor tehnologii ale informației și comunicării
s-au dezvoltat și mai multe tipuri de aplicații pentru instruirea asistată de calculator care, prin
prisma procesului de predare -învățare -evaluare, pot avea rolul de re sursă pentru activitatea
educativă sau suport în administrarea resurselor și timpului.
Astfel, s e pot distinge două tipuri de aplicații ce se pot utiliza în actul educativ:
-softul folosit ca suport pentru activitățile didactice, precum utilitarele și soft ul
tematic (cum este, spre exemplu, platforma AeL, de care majoritatea școlilor beneficiază ca
urmare a strategiei naționale de informatizare a învățământului românesc);
-softul educațional propriu -zis, constând în aplicații elaborate pentru a -i ajuta pe
elevi să dobândească competențe pentru demonstrații, simulări, experimente .
Soft educațional poate fi considerat și forma electronică a unui conținut teoretic,
prezentat printr -un program care oferă o interfață cu utilizatorul ce permit e o modalitate de
lucru interactivă (bazată pe meniuri, ferestre, butoane, etc .).
Un soft educațional performant trebuie să atragă prin calitatea prezentării, să asigure
necesarul de informații pentru o anumită temă, să asigure interacțiunea dintre calcula tor și
utilizator , să se poată adapta în funcție de caracteristicile utilizatorului (de exemplu,
programe care să prezinte mai multe niveluri de dificultate, trecerea la un nivel superior

47
presupunând parcurgerea nivelurilor anterioare). Elaborarea softului educațional se bazează
pe metode didactice obișnuite, precum instruirea programată, algoritmizarea, metoda
demonstrației, utilizarea modelelor (modele matematice, grafice, diagrame, etc.).
Avantaje și dezavantaje
Un avantaj major al instruirii asistate de calculator este faptul că, prin intermediul
acesteia , se poate realiza o educație individualizată, bazată pe profilul intelectual al fiecărui
elev. Elevul este pus în situația de a interacționa și comunica rapid , într-un mediu care
permite o difuzare mare de conținut uri și o flexibilitate a timpulu i, oferindu -i-se în același
timp un feedback permanent .
Totodată, instruirea asistată de calculator permite o abordare interdisciplinară a
conținuturilor prin asociere cu alte domenii , facilitându -se astfel o înț elegere mai profundă a
materialului de studiat.
Un alt avantaj al instruirii asistate de calculator este reducerea, în mod simțitor , a
timpul ui necesar predării și însușirii cunoștințelor.
Datorită ritmului tot mai crescut al dezvoltării științei și tehnologiei, în societatea
actuală s -a impus tot mai mult ideea necesității ca învățarea să nu se limiteze doar la
învățarea școlară, ci la menținerea acesteia pe tot parcursul vieții, dezvoltând u-se astfel,
conceptul de „învățare continuă”. Din acest punct de vedere, instruirea asistată de calculator
poate aduce o contribuție semnificativă la pregătirea elevilor pentru învățarea continuă.
Pe lângă această serie de avantaje, instruirea asistată d e calculator are și unele limite.
Există riscul ca, prin individualizarea excesivă a învățării, „să se piardă obișnuința
discuțiilor, a argumentării și contraargumentării, de a se reduce capacitatea de exprimare
verbal a elevilor”. (I. Cerghit)
De asemene a, materialul de învățat este prea mult segmentat și atomizat, iar
activit atea mental ă a elevului este mereu dirijată, pas cu pas , ceea ce împiedică dezvoltarea
capacităților creative ale acestuia.

48

3. ASPECTE DIDACTICE PRIVIND PREDAREA –
ÎNVĂȚAREA GEOMETRIEI

În prima parte a acestui capitol se vor prezenta sistemele axiomatice ale lui David
Hilbert și George David Birkhoff pe care se bazează predarea geometriei din învățământul
gimnazial actual. Se vor introduce noțiunile și relațiile primare, precum și axiomele gradat,
împărțite pe grupe, urmărindu -se o prezentare în paralel a celor două sisteme axiom atice (nu
se va insista pe rezultatele ce se rezultă pe baza acestor axiome , fiind prezentate doar cele
asociate axiomel or de incidență).
În a d oua parte a capitolului se vor prezenta aspecte didactice legate de predarea –
învățarea unor noțiuni de bază din geometria plană .

3.1. Axiomatica spațiului euclidian

Cunoștințele de geometrie acumulate în clasele gimnaziale pot fi încadrate într -un
sistem log ic de propoziții matematice: axiome, definiții, teoreme, consecințe, leme, etc.
Amintim că noțiunile geometrice ce nu se definesc se numesc noțiuni geometrice primare.
De regulă, acestea sunt: punct, dreaptă, plan. Punctele, dreptele și planele se notează
respectiv cu literele 𝐴,𝐵,𝐶,…,𝑎,𝑏,𝑐,…,𝛼,𝛽,𝛾,… eventual indexate sau accentuate .
Noțiunile ce se definesc cu ajutorul noțiunilor primare se numesc noțiuni derivate. Spre
exemplu segment ul, sem idreapta , unghi ul, triunghi ul, etc. su nt noțiun i derivate. Între puncte,
drepte și plane există anumite relații numite rel ații primare. Acestea pot fi relații „de
incidență” ( de apartenență), „ de fi între”, „ de congruență”. Natura obiectelor primare (punct,
dreaptă, plan) și a relațiilor primare poate fi arbitrară cu condiția c a ele să fie legate printr -un
sistem de axiome .

49
Axiomele sunt propoziții cu caracter de ipoteză (care nu se demonstrează) și care
descriu legătura dintre noțiunile primare și relațiile primare. Ele reprezintă proprietățile de
bază ale obiectelor de bază și se consideră adevărate. Sistemul de axiome ales trebuie să
verifice următoarele condiții:
– axiomele trebuie să nu se contrazică;
– axiomele să fie suficient de numeroase, astfel încât pornind de la ele să se poată
studia, explica toate situațiile posibile.
În geometria elementară se iau ca axiome proprietăți ale punctelor și dreptelo r deja
familiarizate și amplu utilizate în gimnaziu. La ele se mai adaugă și alte câ teva proprietăți
importante sugerate de observații și experimentări. Una și aceeași proprietate poate fi
considerată într -un sistem de proprietăți drept axiomă, iar în alt sistem de axiome drept o
consecință din axiomele acceptate, adică drept teoremă.
Prin urmare, a xiomele sunt propoziții cu caracter de ipoteză (care nu se
demonstrează) care descriu legătura dintre noțiunile primare și relațiile primare. Teorema
este o propoziție a cărei valoare de adevăr se demonstrează și care descrie proprietățile
noțiunilor primare și deriva te. Teoremele se demonstrează cu ajutorul axiomelor, definițiilor,
lemelor sau teoremelor deja demonstrate. Lema este o propoziție a cărei valoare de adevăr se
demonstrează și se aplică la demonstrarea unei teoreme. Definiția este o propoziție sau un
grup de propoziții prin care se introduce o noțiune nouă.
Alegerea noțiunilor primare, relațiilor primare și a sistemului de axiome , astfel încât
toată geometria elementară să fie dedusă bazându -ne doar pe ele și pe legile logicii se
numește construcție axiomat ică a geometriei elementare . Se cunosc mai multe sisteme de
axiome ale geometriei elementare . În literatura științifică cel mai des utilizat e sunt sistemele
axiomatice Hilber t și Birkhoff . Geom etria organizată conform acestor sistem e de axiome
corespunde c u geometria spațiului din jurul nostru, observată cu „ochiul liber”.
În afară de această geometrie matematică au mai fost definite și alte geometrii, bazate
pe alte axiome, unele din ele contrazic ând axiomele geometriei elementare. Aceste geometrii
sunt utile în explicarea și prezicerea fenomenelor ce se petrec în Univers: teoria relativității,
evoluția stelelor, propagarea luminii, etc.
În continuare se vor în revistă sistemele axiomatice Hilbert și Birkhoff urmărindu -se
o expunere comparativă a acestora .3

3 Ideile din această parte a capitolului au fost preluate din lucrarea BRÂ NZEI DAN, ANIȚA SEBASTIAN,
COCEA CONSTANTIN , Planul și spațiul euclidian, EDITURA ACADEMIEI REPUBLICII SOCIALISTE
ROMÂNIA, București, 19 86

50
Pentru ușurarea exprimării s e consideră spațiul euclidian tridimensional E3 drept o
mulțime ale cărei elemente sunt puncte. Familia tuturor dreptelor (submulțime a lui E3) va fi
notată prin D, iar familia a planelor va alcătui o mulțime notată P.
Între puncte și drepte și, respectiv între puncte și plane, se va lua în considerare
relația de apartenență ∈, ca o relație binară cu mulțimi de bază E3 și D ∪P. Pentru situația
𝐴∈𝑑 se vor folosi și alte exprimări, precum: „A este pe d” , „A este incident dreptei d” ,
„dreapta d este incidentă punctului A” , „d trece prin A” , „d conține A” etc. Exprimări
analoage vor consemna situația 𝐴∈𝛼.
Se va folosi de asemenea și relația de incluziune, ⊂, cu înțelesul pe care îl are în
teoria mulțimilor. De ex emplu, 𝑑⊂𝛼 este o notație prescurtată pentru implicația 𝐴∈𝑑⇒
𝐴∈𝛼.
Se vor folosi pentru anume familii F de puncte adjectivele necoliniare , respectiv
necoplanare cu semnificații evidente: „nu există o dreaptă 𝑑∈ D astfel încât 𝑭⊂𝑑”,
respectiv „nu există un plan 𝛼∈ P astfel încât 𝑭⊂𝛼”.

Axiome de incidență (grupa I)

Pentru edificarea geometriei plane se acceptă inițial urm ătoarele trei axiome de
incidență din sistemul lui Hilbert:
I1: Fiind date punctele A, B, există cel puțin o dreaptă incidentă lor.
I2: Pentru oricare două puncte distincte există cel mult o dreaptă incidentă lor.
I3: Fiecare dreaptă este incidentă cu cel puțin două puncte distincte. Există trei
puncte necoliniare.
A doua parte a axiomei I3 devine inutilă dacă se acceptă și axiomele de incidență în
spațiu, fiind o consecință a axiomei I8.
Pentru edificarea geometriei în spațiu se acceptă pentru ansamblul (E3, D, P, ∈) încă
cinci axiome din același sistem al lui Hilbert.
I4: Pentru punctele A, B, C esxistă cel puțin un plan incident lor. Orice plan este
incident cel puțin unui punct.
I5: Fiind date trei puncte necoliniare, există cel mult un plan incident lor.
I6: Dacă două puncte distincte ale unei drepte sunt incidente unui plan, atunci
dreapta este inclusă în plan.

51
I7: Dacă două plane sunt incidente unui punct A, atunci ele mai sunt incidente măcar
încă unui punct.
I8: Există patru puncte necoplanare.
Pe baza acestor axiome se pot demonstra imediat următoarele teoreme.
Teorema 1. Oricare ar fi punctele necoliniare A, B, C există un plan unic 𝛼 incident
lor.
Demonstrație :
Se aplică axiomele I4 și I5; planul α se notează (ABC).

Teorema 2. Oricare ar fi punct ul A neincident dreptei d există un plan unic 𝛽
incident l ui A care include dreapta d.
Demonstrație :
Se consideră punctele distincte B și C pe dreapta d (axioma I3). Conform axiomei I6
se constată că planul β=(ABC) satisface condițiile din enunț . Orice alt plan γ, care include
dreapta d va conține punctele B și C. Dacă în plus A∈γ rezultă, conform I5, că γ=β.

Teorema 3. Fie a și b două drepte distince și secante. Există un plan unic 𝛼 ce
include dreaptele a și b.
Demonstrație :
Se consideră punctul O comun dreptelor a și b și punctele 𝐴∈𝑎 și 𝐵∈𝑏 distincte de
O. Punctele O, A, B nu pot fi coliniare dacă dreptele a, b sunt distincte.

Teorema 4. Oricare ar fi un plan 𝛼 (o dreaptă a), există cel puțin un punct A
neincident planului 𝛼 (dreptei a).
Demonstrație :
Fie, conform I8, punctele A, B, C, D necoplanare. Cel puțin unul dintre aceste puncte
este neincident planului 𝛼 și cel puțin două nu sunt incidente dreptei a.

Teorema 5. Dacă intersecția planelor distincte 𝛼,𝛽 este nevidă atunci aceasta este
o dreaptă.

52
Demonstrație :
Dacă intersecția planelor distincte 𝛼, 𝛽 este nevidă va conține un punct A. Conform
I7, intersecția va mai conține un punct B ≠ A. conform axiomei I6, dreapta AB va fi inclusă în
fiecare din planele 𝛼, 𝛽, deci în 𝛼∩𝛽.
Dacă ar exista în 𝛼∩𝛽 și un punct C, nesituat pe dreapta AB, ar rezulta, conform
teoremei 2, că planele 𝛼 și 𝛽 coincid, contrar condiției din enunț.

Teorema 6. În fiecare plan 𝛼 există cel puțin trei puncte necoliniare.
Demonstrație :
Conform I4, există 𝐴∈𝛼. Pe baza teoremei 4 putem deduce că există un punct M
neincident lui 𝛼 și un punct N nesituat pe dreapta AM.
Conform teoremei, putem considera planul 𝛽=
(𝐴𝑀𝑁). Deoarece planele 𝛼, 𝛽 au în comun punctul A
vor mai avea în comun un punct B ≠ A.
Conform teoremei 4 există un punct P nesituat în
planul 𝛽, deci nici pe dreapta AM. Punctele A, M, P sunt
incidente, conform teoremei 1, unui plan 𝛾. Conform I7,
planele 𝛼 și 𝛾 au în comun un punct 𝐶≠ A.
Punctul 𝐶∉𝐴𝑀 deoarece, în caz contrar, ar urma 𝑀∈𝐴𝐶, ceea ce ar contrazice
ipoteza că 𝑀∉𝛼.
Dacă, prin absurd, punctele A, B, C ar fi coliniare , atunci 𝐶∈𝐴𝐵⊂𝛽 și planele 𝛽 și
𝛾 ar coincide conform teoremei 1, deoa rece ar conține punctele necoliniare A, C, M . Dar 𝛽=
𝛾, 𝑃∉𝛽 și 𝑃∈𝛾 nu pot avea loc simultan. Contradicția obținută probează că punctele A,
B, C sunt necoliniare. (q.e.d.)

Teorema 7. Fie A, B, C, D patru elemente arbitrare și E3 mulțimea constituită din
aceste elemente. Fie D și P mulțimile alcătuite din submulțimile lui E3 avînd câte două,
respectiv trei elemente. Pentru ansamblul ( E3, D, P , ∈) sunt îndeplinite axiomele de
incidență I 1–I8.
Proprietățile de incidență postulate sau demonstrate ale ansamblului (E3, D, P , ∈) pot
fi deduse și din următorul sistem de axiome ale lui Birkhoff.

53
B1: Prin orice două puncte distincte trece exact o dreaptă.
B2: Prin trei puncte necoliniare trece exact un plan.
B3: O dreaptă ce are două puncte distincte situate într -un plan este inclusă în acel
plan.
B4: Dacă intersecția a două plane distincte este nevidă, atunci aceasta este o
dreaptă.
B5: Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte. Orice plan conține ce l
puțin trei puncte necoliniare. Există cel puțin patru puncte necoliniare.
Exceptând axioma B1 – consecință imediată a axiomelor I1 și I2, celelalte axiome din
sistemul Birkhoff sunt axiome ale lui Hilbert sau teoreme mai sus demonstrate.
Se constată cu ușurință și că axiomele lui Hilbert sunt consecințe ale sistemului lui
Birkhoff și astfel este dovedită echivalența celor două sisteme axiomatice.

Axiome de ordine (grupa II)

În cadrul axiomelor de ordine intervine și relația primară „a fi între” pentru care se
Hilbert folosește notația A–B–C (se citește: B se află între A și C) sau 𝐵∈[𝐴𝐶] (se citește B
este interior segmentului [A C]). Pentru această relație se mai folosește și simbolulul b,
inițiala cuvântului englezesc betweeness (între).
Pentru ansamblul (E3, D, P, ∈, b) mai sunt îndeplinite astfel axiomele următoare:
II1: Dacă A –B–C, atunci A, B, C sunt coliniare distincte și C –B–A.
II2: Pentru orice A ≠B există C astfel încât A –B–C.
II3: Dintre situațiile A –B–C, B–A–C și A –C–B poate avea loc cel mult una.
II4: (Pasch ) Fiind dată o dreaptă d situată în planul triunghiului ∆ABC, neincidentă
niciunuia dintre vârfurile A, B, C, dacă d taie o latură a triunghiului atunci mai taie puțin
încă una.
În cadrul axiomaticii lui Birkhoff mai intervine o noțiune primară, distanța ,
concepută ca o funcție d:E3xE3→R+. Se introduce apoi noțiunea derivată de sistem de
coordonate pentru dreapta a, o aplicație bijectivă x:a→R (unde x(M) se notează x M) având
proprietatea (∀)𝑀,𝑁∈𝑎,|𝑥𝑀−𝑥𝑁|=𝑑(𝑀,𝑁).

54
În cadrul sistemului Birkhoff noțiunea „a fi între” este noțiune derivată, definită prin:
A–B–C ⇔A≠B≠C și d(A, B)+d(B, C)=d(A, C)
Ca și în sistemul Hilbert, se introduce formularea dreapta d separă punc tele B și C ,
cu înțelesul d este incidentă unui punct X interior (aparținând) segmentului [BC].
Sistemul lui Birkhoff introduce două axiome referitoare la ansamblul (E3, D, P, ∈, d):
B6: (Axioma riglei) Oricare ar fi punctele A, B distincte, există un sistem unic de
coordonate x pentru dreapta AB astfel încât xA=0 și x B˃0.
B7: (Axioma de separare) Fie un plan 𝛼, punctele A, B, C incidente lui și o dreaptă d
inclusă în 𝛼, neincidentă cu punctul C. dacă d separă punctele A, B și nu separa punctele A,
C, atunci d separă punctele B, C.

Axiome de congruență (grupa III)

În cadrul sistemului axiomatic Hilbert se mai folosește o relație primară,
„congruența” , notată prin simbolul ≡. În fapt, aceasta este un cuplu de relații omogene: o
relație în mulțimea segmentelor lui E3 și o a doua în mulțimea unghiurilor.
Axiomele de congruență referitoare la ansamblul (E3, D, P, ∈, b, ≡ ) sunt:
III1: Oricare ar fi A ≠B și o semidreaptă A ’x există cel puțin un punct B ’∈A’x astfel
încât [AB] ≡[A’B].
III2: Din [AB] ≡[CD] și [A ’B’] ≡[CD] rezultă [AB] ≡[A’B’].
III3: Din A –B–C și A ’–B’–C’, [AB] ≡ [A’B’] și [BC] ≡ [B’C’] rezultă [AC] ≡
[A’C’].
III4: Pentru orice unghi propriu ∡(ℎ,𝑘), orice semiplan (d, X) și orice semidreaptă
h’ inclusă în d, există o semidreaptă unică inclusă în (d, X), k’, astfel încât ∡(ℎ,𝑘)≡
∡(ℎ’,𝑘’). Orice unghi este congeuent cu el însuși.
III5: Pentru triunghiurile ABC și A’B’C’, din [AB] ≡[A’B’], [AC] ≡[A’C’] și
∡(𝐵𝐴𝐶)≡∡(𝐵’𝐴’𝐶’) rezultă ∡(𝐴𝐵𝐶)≡∡(𝐴’𝐵’𝐶’).
Drept consecințe ale acestei grupe de axiome, relațiile de congruență ale segmentelor
și ale unghiurilor se dovedesc a fi relații de echivalență.

55
Axiomele de continuitate (grupa IV)

O noțiune derivată, inegalitatea segmentelor, este introdusă de definiția:
AB˂CD ⇔(∃)𝑋 astfel încât C –X–D și [AB] ≡ [CX] .
Simbolul n·AB, unde n este număr natural nenul, iar A ≠B, este precizat prin
n·AB=AB n, unde punctele Bn sunt definite recursive prin B1=B, AB 1=B1B2=…= Bn-1Bn și A–
Bi–Bi+1 pentru 0˂ i ≤ n-1.
Cu ajutorul acestor noțiuni derivate se formulează și cele două axiome de continuitate
din grupa a IV -a.
IV1: (Arhimede) Oricare ar fi A ≠B, C, și D există un număr natural n astfel încât
n·AB˃CD.
IV2: (Cantor) Fie, pentru orice număr natural n, segmentul s n=[A nBn], inclus în
dreapta a. Dacă au loc incluziunile s 0⊃s1⊃…⊃sn… și nu există un segment nenul [CD]
inclus în toate segmentele s n, atunci există pe a un punct M interior tuturor segmentelor sn.
În cadrul sistemului axiomatic Birkhoff, în afara noțiunilor și axiomelor precizate
anterior, mai este necesară noțiunea primară de măsură a unghiurilor și de patru axiome.
Măsura unghiurilor este o funcție m definită pe mulțimea U a unghiurilor cu valori în
intervalul [0, 1800].
B8: 𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)=00 dacă și numai dacă semidreptele [OA, [OB coincid;
𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)=1800 dacă și numai dacă are loc A –O–B.
B9: Dacă B ∈ 𝐼𝑛𝑡(∡𝐴𝑂𝐶) sau dacă are loc A –O–C, atunci 𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)+
𝑚(∡𝐵𝑂𝐶)=𝑚(∡𝐴𝑂𝐶).
B10: (Axioma raportorului) Fie un semiplan delimitat de dreapta OA. Pentru orice
număr real a ∈(0, 1800) există în s o semidreaptă unică [OB astfel încât 𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)=𝑎.
B11: Dacă ABC și A ’B’C’ sunt triunghiuri ce satisfac relațiile d(A,B)=d( A’,B’),
d(A,C)=d( A’,C’) și 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶)=𝑚(∡𝐵’𝐴’𝐶’ ), atunci au loc și egalitățile:
d(B,C)=d( B’,C’), 𝑚(∡𝐴𝐵𝐶)=𝑚(∡𝐴’𝐵’𝐶’ )și 𝑚(∡𝐴𝐶𝐵)=𝑚(∡𝐴’𝐶’𝐵’ ).
Ansamblul proprietăților deduse din grupele de axiome I,II, III, IV sau din axiomele
B1–B11 ale sistemului Birkhoff se numește geometrie absolută . Studiul geometriei absolute

56
este mai dificil decât cel al geometriei euclidiene datorită absenței unei axiome care să
asigure unuicitatea paralelei printr -un punct la o dreaptă.

Axioma paralelelor (grupa V)

Pentru a trece de la geometria absolută la ge ometria euclidiană este necesară o singuă
axiomă, formulată cu ajutorul relației derivate de paralelism. Se spune că dreptele a, b sunt
paralele și se notează 𝑎∥𝑏, dacă ele coincid sau sunt coplanare și au intersecția vidă.
Axioma ce trebuie adăugată ge ometriei absolute este aceeași pentru ambele ssisteme
axiomatice Hilbert și Birkhoff.
V1≡B12: Oricare ar fi un punct A și o dreaptă d, există o dreaptă unică incidentă cu
A și paralelă cu d.
Din punct de vedere didactic axiomatica lui Hilbert este greoaie. Nivelul ei de rigoare
și abstractizare nu este accesibil elevilor. În sistemul lui Birkhoff se evidențiază un dublu
avantaj didactic: exprimarea mai concisă a axiomelor și ușurința deducerii principalelor
proprietăți de incidență. De aceea modul de predare al geometriei pla ne în gimnaziu se
bazează pe sistemul axiomatic al lui Birkh off.

57

3.2. Abordări didactice ale unor noțiuni de geometrie în
gimnaziu

3.2.1. Noțiuni geometrice elementare

 Punctul. Dreapta. Planul

O primă întâlnire a elevi lor de gimnaziu cu geometria are loc în că din clasa a V -a, în
capitolul ”Elemente de geometrie și unități de măsură ”, unde sunt prezent ate, pe scurt,
noțiunile elementare folosite în geometrie: punct, dreaptă, segment, relația primară de
apartenență a unui punct la o dreaptă, unghi, precum și alte figuri geometrice și corpuri
geometrice. La acest nivel, noțiunile sunt prezentate doar prin descriere și desen,
competențele s pecifice ce se doresc a fi dezvoltate rezumându -se doar la identificarea unor
elemente de geometrie și recunoașterea acestora într -o configurație dată, desenarea lor și
interpretarea relaționării acestora cu unitățile de măsură studiate.
Începând cu clasa a VI -a, noțiunile primare de punct și dreaptă se reiau,
introducându -se în plus și noțiunea de plan. Axiomele de incidență sunt prezentate ca
propoziții evidente, elementele teoriei axiomatice fiind date inițial într -un mod intuitiv. În
această parte, prov ocarea metodică o constituie îmbinarea corectă a intuiției cu gândirea
abstractă.
Pentru început, p rofesorul trebuie să le explice elevilor că, deși știu multe lucruri din
geometrie din clasele anterioare (cum ar fi să descrie, să recunoască sau să deseneze figuri
geometrice, să calculeze perimetrele sau ariile unor figuri simple, etc.), dintre care unele par
evidente, iar altele deloc simple, până acu m, nu s -a pus problema de a justifica de ce acestea
sunt adevărate. Elevii trebuie să conștientizeze faptul că, de acum înainte, se va începe un
studiu mai sistematic al geometriei. Se vor da definiții pentru noțiunile geometrice folosite ,
cât mai clare și mai exacte. S e vor stabili adevăruri geometrice dând demonstrații logice,
afirmațiile demonstrate numindu -se teoreme . Astfel, când demonstrăm o teoremă, arătăm că
ea rezultă logic din alte teoreme pe care deja le -am demonstrat. Dar prima demonstrație nu

58
are teoreme de la care să pornească, deci trebuie să acceptăm unele afirmații fără
demonstrații, iar aceste afirmații nedemonstrate se numesc axiome .
De asemenea, când se introduce o noțiune nouă, aceasta se definește utilizând noțiuni
deja definite. De ex emplu, unghiul este definit ca „figura geometrică formată din două
semidrepte cu aceeași origine”; această definiție utilizează noțiunile figură geometrică,
semidreaptă, origine, care trebuie, la rândul lor, să fie definite.
Judecând logic, prima definiți e de la care pornim nu poate fi dată în acest mod,
deoarece, în acest caz, nu există nici o noțiune deja definită. Prin urmare, noțiunile
geometrice fundamentale, cele mai simple, se vor folosi fară a încerca să fie definite. Aceste
noțiuni elementare, ned efinite, sunt punctul, dreapta și planul.
Profesorul explică elevilor că punctul, dreapta, planul vor fi privite ca niște concepte
abstracte, acestea fiind sugerate de obiecte fizice. Astfel, punctul poate fi imaginat ca urma
lăsată de apăsarea vârfului un ui creion pe o foaie de hârtie ; dreapta poate fi asociată cu un fir
de ață întins ce poate fi prelungit la ambele capete la infinit ; o suprafață perfect plată,
precum suprafața unei mese (sau a tablei) întinsă la infinit în toate direcțiile, reprezintă o
interpretare bună a ceea ce presupune a fi un plan.
Pentru ca elevii să -și imagineze punctul ca o entitate mentală, abstractă s -ar putea
proceda în felul următor: se desenează puncte (profesorul pe o coală de flipchart, iar elevii în
caiete), folosind creioane de grosimi diferite. Se pornește de la creionul cu cea mai groasă
mină, până la cel cu cea mai subțire mină.
… . . .

Astfel, se poate imagina o urmă tot mai mică decât cea anterioară, până când această
urmă nu va mai fi vizibilă cu ochiul lib er. În acest fel apare ideea unui punct fără
dimensiune, ce poate exista, evident , doar mental. Bineînțeles, pentru a putea face referire la
el, punctul va fi reprezentat grafic printr -un simbol ( · sau x) și se va nota cu litere latine
mari.

· x
Pentru a -și putea imagina dreapta ca o noțiune abstractă se poate cere elevilor să
traseze cu ajutorul riglei o dreaptă. Folosind cre ioane diferit ascuțite se pot desena drepte din
ce în ce mai subțiri, până când devin invizibile. Se subliniază apoi, că în geometrie trebuie să A B

59
ne închipuim dreapta, nu doar foarte subțire, ci absolut fără nici o grosime și prelungită
oricât de mult în am bele sensuri.

Dreapta pe care o desenăm pe tablă sau în caiete are o grosime și nu reprezintă decât
o porțiune, astfel că desenul ne ajută doar să ne imaginăm dreapta geometrică. Se creează
astfel o imagine mentală a dreptei, care va fi automat o mulțime de puncte abstracte, fără
atribute senzoriale. Dreptele se notează cu litere mici.

În mod analog, planul , imaginat ca o suprafață plată și netedă, nemărginită, nu are
dimensiune (grosime), fiind, la rândul lui , o mulțime de puncte . El se reprezintă pe caiete sau
la tablă sub forma unui paralelogram și, prin convenție, se notează cu litere grecești.

Orice mulțime nevidă de puncte este o figură geometrică. Astfel punctul, dreapta și
planul sunt figuri geometrice.

 Poziții relative ale punctelor și dreptelor

După introducerea noțiunilor de punct, dreaptă și plan urmează precizarea pozițiilor
relative ale punctelor și dreptelor și definirea punctelor colini are. La nivelul clasei a VI -a nu
se insistă asupra pozițiilor punctelor și dreptelor față de un plan, acestea aprofundându -se la
începutul clasei a VIII -a. Cel mult se introduc dreptele necoplanare ca fiind drepte situate în
plane diferite (drepte care nu sunt nici paralele, nici concurente) și dându -se exemple din
mediul înconjurător (muchiile pereților din sala de clasă, etc.).
Pentru a stabili poziția relativă a punctelor și dreptelor se pot confecționa și folosi
diferite materiale didactice. De exemplu, se pot aranja băncile în cerc/semicerc, astfel încât d
α

60
spațiul din mijlocul clasei să rămână liber și să poată fi văzut de către toți elevii. Apoi, se
întinde o panglică pe podea care să repezinte o dreapta. Punctele pot fi reprezentate prin
monede, care s e așează, o parte pe panglică, o parte pe podea sau unele peste altele. Astfel
pot fi introduse noțiunile de puncte diferite, respectiv puncte identice (care coincid sau care
se suprapun), poate fi introdusă relația de apartenență sau nonapartenență a unui punct la o
dreaptă, de puncte situate de o parte și de cealaltă a unui drepte, precum și definirea
punctelor coliniare.
După intoducerea și notarea acestor noțiuni, exemplul anterior poate fi transformat,
timp de câteva minute, într -un joc didactic. Astfel locul punctelor poate fi luat de către elevi,
iar profesorul stabilește diferite poziții ale punctelor pe care elevii trebuie să le execute.
Pentru a sugera faptul că punctele se notează cu litere mari, elevii își pot confecționa din
hârtie etichete care să conțină doar majuscula inițialei prenumelui lor (cu indici atașați
pentru prenumele care au aceeași inițială).
Exemplu :
Profesorul: „Punctele C și D 1 aparțin dreptei.”
Elevii cu aceste etichete se vor așeza pe panglică.
Profesorul: „Punctele C, D 1, A și F sunt coliniare.”
Elevii A și F se vor așeza pe panglică.”
Profesorul: „Elevii C și G sunt situați de o parte și d e alta a dreptei.”
Elevul C face un pas în afara panglicii, iar elevul G se așează de cealaltă parte a acesteia.
etc.
Rolul profesorului ar putea fi luat de elevii rămaș i în bancă.
E necesar ca, în cadrul aceleași ore în care se introduc aceste noțiuni, să se rezolve și
un set de probleme care să -i deprindă pe elevi să determine relația de apartenență sau
nonapartenență a unui punct la o dreaptă, precum și să transcrie relația folosind terminologia
de la mulțimi.
Și pentru introducerea pozițiilor relative ale dreptelor față de alte drepte se pot folosi
modele concrete din realitatea înconjurătoare (muchiile pereților/dulapului pentru drepte
concurente, paralele, necoplanare; șinele trenului pe un teren plat, tot pentru drepte paralele,
etc.). Definirea con ceptului de drepte confundate, presupune introducerea, în prealabil a
axiomei dreptei.

61
Cum nu se recomandă simpla enunțare a axiomei , profesorul poate proceda astfel:
desen ează mai multe puncte, diferite două câte două și să le ce re elevilor să precizeze
numărul dreptelor determinate de punctele date (eventual să le și deseneze) . Dacă pentru un
grup de trei sau patru puncte necoliniare elevii reușesc să determine destul de ușor numărul
de drepte ce se pot forma (bineînțeles intuitiv, fără justificare) , pentru un grup mai mare de
puncte pot întâmpina dificultăți în realizarea sarcinii. Unii dintre elevi vor intui că, dacă
formează toate grupele de câte două puncte, astfel încât oricare două grupe să difere printr –
un punct, vor reuși să identifice toate dre ptele determinate de punctele date. Apoi, profesorul
îi poate întreba câte drepte pot să traseze prin două puncte și să justifice. Evident că nu vor
putea justifica și vor da răspunsuri de genul „E clar că așa este!”, „E logic să fie așa!”, etc.
Astfel, pr ofesorul le poate explica ce este o axiomă (deși poate le -a mai fos t definită
axioma, e necesar să le fie reamintită ) și să le enunțe axioma dreptei: „Două puncte distincte
determină o dreaptă și numai una.” sau alte formulări mai apropiate de capacitatea de
înțelegere a elevilor, precum „Oricare ar fi două puncte distincte, există o singură dreaptă
care conține cele două puncte.” sau „Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai
una.”
Tot acum trebuie specificat modul de notare a d reptelor prin două puncte care aparțin
acesteia.

Astfel, dacă A și B sunt două puncte distincte, atunci acestea determină o dreaptă
unică care se mai notează AB.

Orice alt punct C de pe dreapta AB este coliniar cu punctele A și B, iar dreptele AB,
AC, BC coincid.

 Semidreaptă. Semiplan . Segment

Pentru a introduce noțiunea de semidreaptă se poate recurge din nou la realizarea
unui experiment. Se ia un băț subțire din lemn ( sau alt material, dar care să poată fi tăiat cu
ușurință), care să fie drept. Profesorul le spune elevilor că acesta reprezintă o dreaptă și le
reamintește că trebuie să -și imagineze că se poate prelungi la nesfârșit în ambele capete, B A
A C B

62
întrucât dreapta este nemărginită. Pe la jumătatea bățului, profe sorul desenează un punct cu
un marker, după care îl taie prin acel punct, punând deoparte jumătatea stângă. Apoi le
explică că a obținut o altă figură geometrică, numită semidreaptă , care la capătul din stânga
este mărginită de un punct, numit originea sem idreptei, iar la capătul din dreapta este
nemărginită. De asemenea le atrage atenția că, deși cuvântul „semi” înseamnă jumătate nu
este corect să definim semidreapta ca fiind o jumătate de dreaptă, întrucât dreapta este
nemărginită și astfel nu se poate mă sura. De altfel și semidreapta este nemărginită la unul
dintre capete, prin urmare nici aceasta nu se poate măsura. Apoi, profesorul ia și cealaltă
jumătate a bățului explicând elevilor că pe o dreaptă se pot construi două semidrepte: una de
la origine spr e „dreapta”, conținând toate punctele de pe dreaptă aflate la dreapta originii și
alta de la origine spre „stânga”, conținând toate punctele de pe dreaptă aflate la stânga
originii, după care le reprezintă grafic pe tablă:

Mai departe, profesorul introduc treptat , folosind expunerea combinată cu explicația,
și celelalte noțiuni legate de semidrepte: semidrepte deschise/închise, semidrepte opuse,
semidrepte identice cu notațiile acestora, exemplificând de fiecare dată prin figuri .
Exemplu :
Considerăm acum A, O, B trei puncte pe o dreaptă, alese astfel încât punctul O să se
afle între A și B.

Considerăm semidreapta cu originea O, formată din toate punctele aflate de aceeași
parte a lui O ca și punctul A (adică punctele de la dreapta lui A). Mulțimea tuturor acestor
puncte se numește semidreaptă deschisă și se notează (OA.
Dacă la aceste puncte adăugăm și punctul O, mulțimea obținută se numește
semidreaptă închisă și se notează [ OB.
Semidreptele fiind mulțimi de puncte, putem scrie [OA = (OA ∪ {O}.
Analog se definesc semidreapta deschisă (OB și semidreapta închisă [OB.
Dreapta pe care se găsește o semidreaptă se numește dreapta suport a semidreptei.
Să luăm acum punctele distincte A, B, C situate pe o aceeași dreaptă d.

O O
A O B
A B C d

63
Câte semidrepte s -au format? (Unii elevi vor fi tentați să spună că s -au format două
semidrepte [BA și [BC, considerând că punctul din mijloc reprezintă originea
semidreptelor).
Profeso rul le va explica că orice punct de pe o dreaptă determină două semidrepte pe
acea dreaptă. Astfel în figura noastră sunt reprezentate șase semidrepte diferite.
Semidreptele cu aceeași dreaptă suport și cu aceeași origine, dar cu sensuri opuse se
numesc semidrepte opuse (exemplifică prin semidreptele (BA și (BC sau [BA și [BC ).
Semidreprele cu aceeași dreaptă suport, cu aceeași origine și același sens se numesc
semidrepte identice. (exemplifică prin semidreptele (AB și (AC sau [AB și [AC ).
Prin analogie , se int roduce și noțiunea de
semiplan.
Se consideră un plan α, o dreaptă d
inclusă în planul α . Dreapta d împarte planul în
două semiplane (numite semiplane opuse) .
Se poate folosi ca model concret foaia de
mijloc a unui caiet.
Similar semidreptei, se def inește semiplan ul limitat de dreapta d și care conține
punctul A mulțimea formată din punctul A și toate punctele situate de aceeași parte a dreptei
d cu A . Dreapta d se numește frontiera planului. Pot fi semiplane închise sau deschise, după
cum acestea i nclud sau nu punctele situate pe frontieră, n otațiile fiind similare celor pentru
semidrepte: (dA (semiplan deschis) , [dA (semiplan închis) .
Procedând în mod analog se introduce și noțiunea de segment, fiind prezentat mai
întâi intuitiv, ca o porțiune de dreaptă mărginită la ambele capete. (Se poate relua
experimetul cu tăiatul bățului de lemn , de această data la ambele capete .)
Apoi, profesorul poate introduce o definiție mai riguroasă a segmentului, întrucât
elevii trebuie să se obișnuiască treptat cu li mbajul matematic specific geometriei.
Definiție : Figura geometrică formată din mulțimea tuturor punctelor situate pe
dreapta AB între punctele A și B se numește segment . Punctele A și B se numesc capetele
sau extremitățile segmentului.
Dacă definiția este introdusă în acest mod este oportun să li se explice elevilor că se
poate nota, la modul general, cu P (sau o altă literă) orice punct care se află între A și B,

64
iar segmentul poate fi scris în acest caz ca o mulțime de puncte {𝑃∈
𝐴𝐵 𝑃⁄𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑡 î𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 ș𝑖 𝐵}.
Tot folosind terminologia mulțimilor se pot introduce noțiunile de:
– segment deschis (AB) = {P∈AB P⁄este între A și B};
– segment închis [AB] = (AB) ∪ {A,B};
– segment închis la stânga, deschis la dreapta [AB) = (AB) ∪ {A};
– segment închis la dreapta , des chis la stânga (AB] = (AB) ∪ {B}.

 Distanța dintre două puncte. Lungimea unui segment

Toți elevii au auzit de distanța dintre două localități, de aceea profesorul poate apela
din nou la modele concrete pentru introducerea noțiunii de distanță între două puncte ,
folosind în acest sens o hartă pe care localitățile sunt reprezentate prin puncte.

Vor o bserva că orașul Baia Mare este situat mai departe de Sibiu decât de Oradea.
Profesorul le explică că în acest caz se spune că distanța de la Sibiu la Baia Mare este mai
mare decât distanța de la Oradea la Baia Mare . Astfel, pri n exemplul dat , profesorul le poate
sugera elevilor faptul că distanța reprezintă o „măsură” a depărtării dintre două puncte . În
aceste condiții este ne cesară o unitate de măsură: metrul (cu multiplii și submultiplii săi).

65
Prin urmare, distanța dintre două puncte este un număr care exprimă de câte ori o unitate de
măsură se cuprinde în segmentul respectiv. Acest număr se notează |𝐴𝐵|.
Cu ajutorul acestui model din realitatea înconjurătoare profesorul poate defini acum
lungimea unui segment.
Definiție : Distanța dintre două puncte distincte A și B , exprimată printr -o unitate de
măsură, se numește lungimea segmentului [AB].
Odată introdusă noțiunea de distanț ă, relația punctelor „de a fi între”, prezentată
înainte doar intuitiv, poate fi acum definită într -un mod mai ri guros.
Astfel, se spune că un punct M se află între două puncte A și B dacă:
– A, B și M sunt puncte coliniare;
– |𝐴𝑀|+|𝑀𝐵|=|𝐴𝐵|.

De asemenea, dacă M este între A și B, se mai spune că M separă punctele A și B sau
că A și B sunt de o parte și de alta a lui M.

 Segmente congruente. Mijlocul unui segment

Înainte de predarea segmentelelor congruente se obișnuiește să se definească mai
întâi figurile geometrice congruente, ca fiind acele figuri care prin suprapunere coincid. În
prealabil, se confecționează din sârmă (sau alte materiale) diferite figuri geometrice pe care
elevii le vor suprapune pentru a verifica care dintre ele coincid.
Deocamdată elevii nu știu să deseneze pe caiete figuri geometrice congruente, dar
trebuie obișnuiți ca pentru două figuri congruente date, orientate diferit în spațiu, ei să poată
stabili corespondențele între vârfurile celor două figuri, astfel încât să c oincidă prin
suprapunere.
Exemplu :
În acest sens li se pot da următoarele sarcini de lucru:
1. Confecționați din sârmă un triu nghi ABC .
a). D esenați o dreaptă d, așezați triunghiul cu latura AB pe această dreaptă și desenați -i
conturul . Deplasați triunghiul astfel încât latura AB să rămână pe dreapta d, trasați un

66
nou contur și notați -l cu AʼBʼCʼ. Aceleași cerințe pentru dreptunghiul MNPQ pe o
dreaptă a.
b). Desenați un punct O, așezați triunghiul cu vârful A în punctul O și trasați -i conturul.
Deplasați triunghiul astfel încât vârful A să rămână în O și trasați din nou conturul și
notați -l ADE.
c). Desenați dreapta d, așezați triunghiul cu latura AB pe d și trasați -i conturul. Păstrând
punctele A și B fixe, găsiți o altă poziție pentru punctul C, trasați din nou conturul și
notați -l ABF.
Pentru fiecare caz, a), b), c) găsiți o corespondență între vârfurile celor două figuri,
astfel încât să coincidă prin suprapunere. (Exemplu: a). A→Aʼ; B→Bʼ; C→Cʼ)
2. Știind că figurile de mai jos coincid prin suprapunere, găsiți corespondența dintre
vârfurile lor:

Un model material pentru a ilustra congruența segmentelor este metrul t âmplarului ,
construit din bucăți de lemn de aceeași formă și lungimi egale. Elevii pot verifica congruența
rotind aceste bucăți până când ele se suprapun perfect. De asemenea ei pot observa din
gradațiile metrului că aceste segmente au lungimi egale. Astfel, sub îndrumarea profesorului,
ei pot formula o definiție pentru segmentele congruent e: două segmente sunt congruente
dacă au lungimi egale.
Tot acum se introduce pentru prima dată simbolul „ ≡” pentru congruența figurilor
geometrice.
De obicei, mai ales la început, elevii greșesc în folosirea acestui simbol , înlocuindu -l
cu semnul „=”. Deș i se încea rcă formarea unui limbaj corect încă de la primele lecții, nu
trebuie penalizați din această cauză. Important este să înțeleagă noțiunile astfel încât să le

67
poată aplica corect în rezolvarea de probleme. De a ltfel, în manualele vechi , se folosea
sintagma de „figuri egale ” în loc de „figuri congruente” , lăsând să se deducă din context
când era vorba de măsuri și când era vorba de figuri.
Astfel, dacă pentru triunghiurile din figura a). de la punctul 2. din exemplul anterior
elevul va scrie [AB]=[NP] nu li se va spune că este incorect, ci doar li se reamintește că
segmentele sunt mulțimi de puncte, iar două mulțimi nevide sunt egale doar dacă au aceleași
elemente. Prin urmare , segmentele [AB] și [NP], privite ca mulțimi, nu sunt egale (spre
exemplu, A ∈[AB], dar A ∉[CD] ), în schimb se spune că ele sunt congruente, caz în care se
folosește notația [AB] ≡[NP]. După câteva observații de acest gen, elevii vor reuși să
deprindă folosirea corectă a notațiilor.
În rezolvarea problemelor de geometrie un rol foarte important îl are realizarea
desenului (construcția corectă a configurațiilor geometrice ce reies din datele problemei). De
aceea, chiar de la început, orice noțiune nouă sau concept nou introduse sunt însoțite și de
reprezentări grafice prin desen.
În acest sens, după introducerea noțiunilor de segment, lungime a unui segment,
mijlocul unui segment ( „punctul aflat între capetele segmentului care împarte segmentul în
două segmente congruente” ) se pune problema construcției unui segment congruent cu un
segment dat sau a mijlocului unui segment. Acestea se vor realiza atât cu ajutorul riglei
gradate, cât și cu ajutorul riglei negradate și a compasului.

68
3.2.2. Unghiu ri

Începând cu acest capitol se introduc o serie de definiții constructive (ce este unghiul,
ce sunt unghiurile adiacente, ce este bisectoarea unui unghi , etc.), adică „se construiesc” cu
ajutorul noțiunilor fundamentale noțiuni și situații noi care, datorită utilizării lor fr ecvente,
primesc denumiri speciale.
Elevii cunosc unghiul încă din clasa a V -a unde le -a fost prezentat prin descriere și
desen, urmărindu -se mai mult recunoașterea lui și a elementelor sale , fără a i se da o definiție
și fără a se măsura .
Dacă elevii vor fi întrebați cum cred ei că se măsoară unghiurile, cei mai mulți dintrei
ei vor răspunde că le măsurăm laturile (până acum ei măsurând doar lungimi de segmente) ,
fără să se gândească că laturile unghiului sunt semidrepte care nu se pot măsura.
De aceea este indicat să se construiască din sârmă (bețișoare unite cu plastelină )
unghiuri ale căror laturi să fie respectiv congruente, d ar să aibă măsuri diferite. Astfel, când
elevii le vor suprapune, aceștia vor observa că, deși au laturi congruente, ele nu se suprapun.
Profesorul le poate explica astfel că nu mărimea segmentelor contează în compararea
unghiurilor, ci înclinarea unuia față de celălalt, altfel spus „deschizătura dintre ele”.
Măsurarea unghiurilor este introdusă la nivel de gimnaziu doar intuitiv . Mai întâi s e
introduce măsura unghiurilor prin intermediul operației de măsurare a unghiurilor cu raportorul
(pe unghiuri desenate în caiet, pe tablă sau în condiții concrete când acestea există). Cu
raportorul se măsoară în grade sexazecim ale. Se introduc submultiplii gradului (minutul și
secunda) și se subliniază că operația de măsurare este aproximativă .
Se explică algoritmul de efectuare a operațiilor de adunare și scădere a unghiurilor
măsur ate în grade, minute și secunde. Aceste opera ții trebuie fixate prin mai multe exerciții.
Pasul următor constă în definirea geometrică a adunării și scă derii unghiurilor. În acest
sens se introduc e conceptual de unghiuri adiacente. Defin iția formală are trei condiții: vârf
comun, o latură comună și interioare disjuncte . Pentru o mai bună înțelegere este indicat să se
înceapă cu prezentarea cât mai multor d esene prin care să se evidenție ze atât situațiile favorabile
cât și cele nefavorabile (contraexemple).

69
Exemplu : Specificați care dintre următoarele unghiuri sunt adiacente. Justificați!

Tot pornind de la un desen, se poate introduce termenul de unghi sumă, respectiv
diferență echivalent cu egalitățile numerice
𝑚(∡𝐴𝑂𝐶)=𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)+𝑚(∡𝐵𝑂𝐶) și, respectiv
𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)=𝑚(∡𝐴𝑂𝐶)−𝑚(∡𝐵𝑂𝐶) sau
𝑚(∡𝐵𝑂𝐶)=𝑚(∡𝐴𝑂𝐶)+𝑚(∡𝐴𝑂𝐵)

În particular, apar unghiurile c omplementare și respectiv, suple mentare. Trebuie s ă
insistat ca elevii să privească operațiile cu unghiuri atât geometric cât și aritmetic. Aspectul
geometric este specific axiomaticii lui Hilbert și va fi întâlnit în probleme în care măsurile
unghiurilor nu sunt date, dar este necesară operarea cu ele.

a) b) c)
d) e) f)

70
3.2.3. Triunghiu ri

 Construcția triunghiurilor

Elevii sunt familiarizați cu noțiunea de triunghi încă din clasele mici, iar acum după
ce au învățat să privească figurile geometrice ca mulțimi de puncte, definirea acestuia ca
reuniune a trei segmente determinate de trei puncte necoliniare distincte două câte două nu
pun probleme din punct de vedere metodic. Dacă noțiunile fundamentale (punct, dreaptă,
etc.) pornesc de la intuirea realității , imaginându -se cu ajutorul obiectelor idealizate, la
triunghi accentul se pune pe „acțiunea de a construi efectiv sau cu imaginația”.
La început se pune accentul pe construcția efectivă; se cere elevilor să construiască
triunghiuri (prin desen) când se cunosc trei dintre elementele acestuia. Pentru identificarea
cazurilor posibile de construcție profesorul poate propu ne probleme concrete, în locul
simplei expuneri ale acestora.
Exemple :
1. Construiți triunghiul ∆ ABC știind că AB = 5 cm, AC = 4 cm, iar m( ∡A)=45o.
Rezolvare:
Se desenează un unghi ∡XAY cu măsura de
45o. Pe semidreptele [AX, respectiv [AY, se
construiesc segmentele [AB], respectiv [AC] astfel
încât AB = 5 cm și AC = 4 cm. Construind
segmentul [BC] se obține triunghiul.

2. Construiți triunghiul ∆ ABC știind că
m(∡A) = 30o, m(∡B)=50o, iar AB = 6 cm.
Rezolvare:
Se construiește segmentul [AB] de 6 cm, apoi
cu ajutorul raportorului se construiesc [AX și [BY,
astfel încât m(∡XAB) = 30o și m(∡YBA)=50o.
Punctul de intersecție al semidreptelor [AX și [BY
va fi vârful C al triunghiului.

71
3. Construiți triunghiul ∆ ABC șt iind că AB = 2 cm, AC = 3 cm, iar BC = 4 cm.

Rezolvare:
Se construiește segmentul [BC] de 4 cm,
apoi se costruiește cu ajutorul compasului un
cerc cu centrul în punctul B și raza de 2 cm și
un cerc cu centrul în punctul C și raza de 3 cm.
Notăm cu A unul din punctele de
intersecție ale celor două cercuri. Triunghiul
determinat de punctele A, B și C este triunghiul
căutat.
Problema are două soluții corespunzătoare celor două puncte de intersecție ale
cercurilor A și E. (Se poate spune că soluția este u nică dacă facem abstracție de așezarea în
plan, adică de o deplasare).
Nu este indicată rezolvarea acestor probleme de construcție de către profesor, ci este
recomandată o metodă interactivă care să implice toți elevii în rezolvarea acestor a; se poate
folosi cu succes metoda Brainstorming. Etapa de analiză , selecție și grupare a ideilor a
metodei, permite elevilor să identifice (prin întrebări dirijate ale profesorului) cazurile de
construcție ale triunghiurilor, când se cunosc trei dintre elementele acestu ia.
Dacă pentru cazurile LUL și ULU elevii găsesc repede metoda de construcție, la
cazul LLL, de cele mai multe ori întâmpină dificultăți. Pentru a -i ajuta în acest demers,
profesorul poate pregăti mai multe bețișoare cu dimensiunile cerute . Dirijați de către
profesor elevii vor așeza pe bancă bețișorul egal cu lungimea segmentului [BC], apoi,
pornind din unul din capetele acestuia va așeza bețișorul cu lungimea egală cu cea a
segmentului [AB], iar din celălalt capăt va așeza
bețișorul egal cu lungim ea se gmentului [AC]. Vor
constata că ultimele două bețișoare nu se unesc. Vor
repeta procedeul până vor observa că cele două
bețișoare descriu două cercuri . Intersecția cercurilor
este de fapt punctul comun al segmentelor [AB] și
[AC].

72
Dacă profesorul dispune d e calculator și videoproiector el poate apela la diferite soft –
uri (cum ar fi Geogebra) pentru a simula mișcarea circulară pe care o descrie fiecare din
capetele celor două bețișoare.
În unele manuale se obișnuiește să se introducă doar cazurile de constru cție cu soluție
unică (abstracție făcând de așezarea în plan) , datorită utilizării ulterioare a acestora în
determinarea cazurilor de congruență a triunghiurilor. Dar se întâmplă adesea , ca unii ele vi
(chiar și dintre cei „buni”), să ajungă la un moment da t să considere cazul ULL (unghi -latura
alăturată -latura opusă) ca fiind un caz de congruență a triunghiurilor, ceea ce este fals. De
aceea este bine să se introducă și cazul de construcție ULL, măcar printr -un exemplu,
explicându -se că acest caz poate avea două soluții.

4. Construiți triunghiul ∆ ABC știind că m( ∡A)=30o, AB = 6 cm și B C = 4 cm.
Rezolvare:
Se desenează un unghi ∡XAY cu măsura de 30o. Pe semidreapta [AX, se
construiește segmentul [AB] astfel încât AB = 6 cm. Se construiește cercul cu centrul în
punctul B și raza egală cu 4 cm. Acesta intersectează semidreapta [AY în punctele C și C 1.
Se observă că și triunghiul ∆ ABC și ∆ ABC 1
îndeplinesc cerințele problemei. Astfel, se deduce că
acest caz de construcție are două soluții.

73
După identificarea cazurilor de construcție prin probleme concrete se recomandă
notarea lor în caiete (măcar a celor cu soluție unică abstracție făcând de orientarea în plan):
Cazul de construcție LUL (când se cunosc lungimile a și b, a două laturi și măsura m
a unghiului determinat de acestea)
1. Se construiește un unghi cu
măsura m .

2. Se construiește pe fiecare latură
câte un punct situat la distanța
a, respectiv b de vârful
unghiului.
3. Se construiește triunghiul.

Cazul de construcție ULU (când se cunosc lungim ea a, a unei laturi și măsur ile m1 și
m2 a unghiu rilor alăturate ei )
1. Se construiește un segment de
lungime a .

2. Se construie sc două unghiuri de
măsuri m 1 și m 2 cu vârfurile în
capetele segmentului de aceeași
parte a dreptei determinate de
segment.
3. Intersecția celor două laturi ale
triunghiului, dacă există, este
cel de -al treilea vârf al
triunghiului

Cazul de construcție LLL (când se cunosc lungim ile laturilor a, b, c )
1. Se construiește un
segment de lungime a.
Capetele segmentului
sunt două vârfuri ale
triunghiului.

2. Cu centrele în capetele segmentului se
construiesc două cercuri cu razele b,
respectiv c.

3. Intersecția celor două laturi
ale triunghiului, dacă
există, este cel de -al treilea
vârf al triunghiului

m
a a m1 m2
a m1 m2 a
m
b a
m
b

74
Construcția triunghiurilor reprezintă o temă foarte importantă în geometrie. Pornind
de la cazurile de construcție se pot introduce alte teme precum c azurile de congruență sau
cazurile de asemănare ale triunghiurilor, proprietăți ale triunghiurilor precum suma măsurilor
unghiurilor unui triunghi sau relația de inegalitate ce există între laturile triungh iului.
De aceea este bine să se ceară elevilor (eventual ca temă pentru acasă) să contruiască
din sârmă triunghiuri pentru fiecare dintre cele trei cazuri de construcție . Colegii de bancă
trebuie să deseneze triunghiuri cu aceleași măsuri date , pentru a putea fi folosite în lecția
despre congruența triunghiurilor.

 Congruența triunghiurilor

Dacă segmentele congruente s -au definit ca segmente care au aceeași lungime, iar
unghiurile congruente ca unghiuri cu aceeași măsură, triunghiurile congruente nu le p utem
defini făcând referire la măsura lor , ci la mă sura elementelor sale (laturi și unghiuri) .
Pornind de la d efiniția figurilor congruente elevii vor constata cu ușurință că două
triunghiuri sunt congruente dacă putem să le aș ezăm unul peste celălalt în așa fel încât ele să
coincidă, iar apoi vor deduce că fiecare latură a unui triunghi este congruentă cu câte o latură
a celuila lt și fiecare unghi al unui triunghi este congruent cu câte un unghi al celuilalt
triunghi. Rămâne doar definirea triunghiurilor congruente în limbaj matematic cu ajutorul
profesorului.
Pentru introducerea cazurilor (criteriilor) de congruență ale triunghiurilor se pot
folosi ca material didactic triunghiurile din sârmă confecționate de către elevi la lecția de
construcție a triungh iurilor . Folosind metode precum problematizarea și conversația
euristică, profesorul poate orienta gândirea elevilor astfel încât aceștia să reușească să
identifice cele trei cazuri de congruență ale triunghiurilor pe baza cazurilor de construcție.
Profesorul poate crea următoarea situație -problemă:
„Conform definiției două triunghiuri sunt congruente dacă laturile triunghiului sunt
respectiv congruente și unghiurile triunghiului sunt respectiv congruente. Am putea oare
determina criterii de congrue nță ale triunghiului astfel încât să nu trebuiască să
demonstrăm de fiecare dată toate cele șase relații de congruență din definiție?”
Elevii au mai întâlnit termenul „criteriu”, la criteriile de divizibilitate ale numerelor
naturale, unde li s -a explicat că acestea sunt reguli prin care se poate verifica relația de

75
divizibilitate dintre anumite numere fără a mai folosi definiția. Aceste reguli (de altfel
demonstrate) ușurează rezolvarea problemelor.
Astfel, le va cere elevilor (colegi de bancă) să suprapu nă tr iunghiurile construite
(care au aceleași măsuri pentru elementele da te). Elevii vor constata că triunghiurile coincid
prin suprapunere. Astfel, se deduce că dacă se știe că trei elemente ale triunghiului sunt
respectiv congruente, atunci, cu siguranț ă, și celelalte trei elemente vor fi respectiv
congruente. Prin raționament logic, vor deduce cele trei criterii de congruență ale
triunghiurilor (LUL, ULU, LLL) corespondente cazurilor de construcție.
Este important ca elevii să înțeleagă că nu oricare tr ei elemente congruente ale
triunghiurilor implică automat congruența triunghiurilor, ci doar cele trei cazuri specificate
(se poate reaminti cazul de construcț ie ULL prin care, în anumite situații , se pot construi
două triunghiuri care îndeplinesc condițiile date și care nu sunt congruente ).

 Linii importante în triunghi

Introducerea noțiunilor și conceptelor prezentate până acum s -a bazat foarte mult pe
observarea, analiza și generalizarea proprietăților spațiale a le unor modele concrete, reale
(nu o observare contemplativă, ci una activă, o acțiune dirijată a elevului asupra obiectului ).
Astfel de modele concrete sunt greu de conceput pentru introducerea liniilor importante în
triunghi și a proprietăților ace stora . Oricum , până acum, elevii au avut timp să se acomodeze
suficient cu noțiunile și conceptele a bstracte elementare , încât să se poată distanța ușor de
aspectele concrete și să opereze intuitiv, la nivel mental, folosind eventual reprezentări
convenționale introduse prin desen pe caie t și pe tablă.
La definirea liniilor importante în triunghi procesul psihic se bazează pe acțiunea de
a le construi , folosind imaginația în locul modelelor fizice. Astfel se va cere elevilor să
deseneze bisectoare, mediane, înălțimi, mediatoare, în cât mai multe tipuri de triunghiuri,
întrucât numai prin experiența acțiunii de a construi se va fixa înțelesul noțiunilor introduse.
Prin realizarea acestor desene elevi i vor observa anumite proprietăți specifice ale
liniilor importante în triunghi , cum ar fi concurența acestora. Este un moment bun pentru a le
sugera necesitatea unor demonstrații matematice. Astfel elevii pot efectua operații asupra
unor propoziții matema tice admise ipotetic adevărate, fără a mai verifica veridicitatea lor
printr -o operație concretă. Operații le cu propoziții matematice se efectuează pe plan mental
într-o manieră ipotetico -deductivă, formând raționamente logic e.

76
În timpul demonstrațiilor ge ometrice nu se poate renunța la figură, aceasta fiind
folosită pentru a reprezenta simplificat unele operații mentale. Trebuie făcută distinc ția între
figurile geometrice (care sunt abstracte ) și desenul geometric (care este concret).
De exemplu pentru o problemă referitoare la medianele unui triunghi, se imaginează
și apoi se desenează triunghiul și medianele acestuia. Triunghiul desenat este unul oarecare,
reprezent ând o întreagă clasă de triunghiuri cu o anumită proprietate speci ficată î n enunțul
proble mei. Pe de altă parte, el a devenit un triunghi particular, cu dimensiuni fixate, atunci
când a fost desenat. Elevii trebuie s ă înțeleagă că demonstrația făcută este ad evărată pentru
orice triunghi și mediane cu proprietatea dată, chiar dacă s -a utilizat această figură. Deci
desenul ui geometric, i se atașează atribute materiale, pe când figura geometrică este o
entitate mentală . Profesorul supune unor opera ții logico -deductive figuri abstracte
subordonate unui concept, nu aplică aceste operaț ii unor de sene. Gesturile prin care se
desenează concret pe foaie (tablă) sugerează operaț iile mentale făcute asupra figurii
geometrice.
Uneori desenele geometrice sunt mai greu de realizat fiind doar aproximative . De
multe ori, în desenele elevilor liniile importante î n triunghi nu sunt concurente, măsurătorile
făcute de aceștia fiind inexacte. Pentru a evita astfel de situații, profesorul poate folosi la
început, până ce elevii își însușesc noile noțiuni și concepte, diferite soft -uri care permit
modelarea grafi că pe c alculator .
Geogebra este un astfel de soft care poate reprezenta un instrument complementar în
predarea și înțelegerea noțiunilor cu grad ridicat de abs tractizare din geometrie . Cu ajutorul
acesteia se pot realiza construcții geometrice elementare și complexe , de o calitate grafică
deosebită și care, folosind instrumentele de glisare , pot fi vizualizate din divese perspective.
De exemplu, se pot construi cu o precizie mult mai bună decât pe tablă înălțimile,
bisec toarele, medianele și mediatoarele unui triunghi. Se po t evidenția punct ele de intersecție
ale acestora, iar prin glisarea figurii se poate evidenția poziția lor în funcție de tipul
triunghiului.
Exempl e:
După construcția înălțimilor triunghiului oarecare ABC , elevii pot observa că,
indiferent cum se modifică dimensiunile triunghiului prin glisarea punctelor A, B sau C,
înălțimile rămân concurente. Apoi, p rin glisarea punctului A astfel încât să se formeze un
triunghi dreptunghic în B, elevii pot observa că ortocentrul H coincide cu vârful unghiului

77
drept al triunghiului (punctul B ), iar în cazul în care glisarea punctului A transformă
triunghiul ABC într -un triunghi obtuzunghic, ortocentrul cade în exteriorul triunghiului.

78

La fel în cazul medianelor elevii pot observa că acestea sunt concurente indiferent
care sunt dimensiunile triunghiului, iar centrul de greutate, G va fi întotdeauna situat la două
treimi de vârf și o treime de bază pe fiecare dintre cele trei mediane.

79
De asemenea se pot realiza cu precizie construcția cercurilor înscr ise și circumscrise
unui triunghi, reprezentări grafice care pe tablă sau caiete adesea nu reușeau cu exactitate.

80
3.2.4. Patrulatere

 Patrulater e convex e

Studiul patrulaterelor începe cu definirea noțiunilor de patrulater, patrulater convex,
descrierea elementelor acestora, definirea interiorului și exteriorului unui patrulater și
enunțarea proprietății referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex.
Fiind noțiuni relativ simple și clare, pe care elevii și le însușesc cu ușur ință, încă de la
prima prezentare, în introducerea acestora se pot folosi metode de expunere a cunoștințelor
precum descrierea și explicația, îmbinate cu folosirea exemplelor și contraexemplelor.
Deși utilizarea acestor metode implică o participare redusă din partea elevilor, ele
sunt uneori necesare, mai ales la începutul unor capitole noi, întrucât el evii învață din
expunerea profesorului, să utilizeze corect limbajul matematic, să -și organizeze, structureze
și sistematizeze cunoștințele, își dezvoltă gâ ndirea logică și capacități de abstractizare,
disciplinându -i astfel din punct de vedere intelectual. Totuși, pentru a evita menținerea
elevilor într -o stare de pasivitate pe tot parcursul lecției, se recomandă folosi rea pe alocuri
conversația euristică, p roblematizarea sau alte metode active.
Exemplu :
După ce cunoștințele anterioare legate de patrulatere vor fi reactualizate prin întrebări
și prin sarcina de a descrie cu cuvintele lor și de a de sena aceste figuri, profesorul îi anunță
pe elevi că urmează un capitol nou, în care vor studia patrulaterele și proprietățile acestora.
Apoi, începe lecția folosind expunerea didactică.
PATRULATERE
Se dau patru puncte A, B, C, D astfel încât oricare trei dintre ele să fie necoliniare.
Reuniunea de segmente [AB] ∪[BC]∪[CD]∪[DA] reprezintă o figură geometrică cu patru
laturi.
Profesorul desenează pe tablă următoarele figuri.

a) b) B A
C D
C B A
D B
C A
D
c)

81
Apoi, le cere elevilor să analizeze figurile de mai sus și să stabilească c e diferențe
există între ele . Le va explica acestora că figurile geometrice cum sunt 1.a) și 1.b), în care
laturile nu se intersectează, se numesc patrulatere. De asemenea le poate cere elevilor să
încerce definirea patrulaterelor, pe baza explicațiilor date și prin analogie cu definiția
triunghiului stud iată într -un capitol anterior. Apoi, vor nota:
Definiție :
Fie punctele A, B, C, D astfel încât oricare trei dintre ele sunt necoliniare. Figura
geometrică determinată de reuniunea de segmente [AB] ∪[BC]∪[CD]∪[DA], cu proprietatea
că oricare dintre segmentele (AB), (BC), (CD) și (DA) sunt disjuncte, se numește patrulater
și se notează ABCD.

Profesorul le atrage atenția elevilor asupra importanței notației. Vor nota observația și
în caiete.
Observație :
Este importantă ordinea punctelor în notația unui patrulater.
De exemplu, notația ABDC înseamnă [AB] ∪[BD]∪[DC]∪[CA], adică o altă figură
geometrică decât ABCD care reprezintă reuniunea de segmente [AB] ∪[BC]∪[CD]∪[DA].
În cont inuare, profesorul le solicita elevilor identificarea elementele lor patrulaterului
folosind analogia cu elementele triunghiului și noț iunile studiate în clasa a V -a. Apoi, va
sintetiza răspunsurile elevilor ( și completa dacă este cazul ) și le v a nota pe tablă, iar elevii în
caiete.
Elementele patrulaterului
Patrulaterul ABCD are:
– patru vârfuri (punctele A, B, C, D)
– patru laturi (segmentele [AB], [BC], [CD], [DA]) B A
C D

82
– patru unghiuri ( ∢𝐷𝐴𝐵 , ∢𝐴𝐵𝐶 , ∢𝐵𝐶𝐷 , ∢𝐶𝐷𝐴 sau, simplu, ∢𝐴, ∢𝐵, ∢𝐶, ∢𝐷
dacă nu se creează confuzii )
Două vârfuri ale unui patrulater care nu determină o latură se numesc vârfuri opuse
(de exemplu, vârfurile A și C, respectiv B și D pentru patrulaterul ABCD) . De asemenea,
unghiurile care au vârfurile în vârfuri opuse a le patrulaterului se numesc unghiuri opuse.
Două laturi care nu au puncte comune se numesc laturi opuse ([AB] și [CD],
respectiv [BC] și [AD]) .
Segmentele determinate de două vârfuri opuse se numesc diagonale ([AC] și [BD]) .

Interiorul și exteriorul unui patrulater
Profesorul poate introduce aceste noțiuni tot prin analogie cu triunghiul.
Trebuie remarcat faptul că nu are rost să fie impusă reținerea acestor definiți i – lucru
care ar implica un efort deosebit și o pierdere a sensului în tentativa de a o reproduce. Este
mult mai importantă recunoașterea noțiunilor și verificarea pe figură a condițiilor din
definiție.
Definiție :
Mulțimea tuturor punctelor din plan determinată de intersecția semiplanelor (AB,C,
(BC,A, (CD,B și (DA,B se numește interiorul patrulaterului ABCD și se notează Int(ABCD).
Mulțimea punctelor din plan care nu aparțin interiorului patrulaterului ABCD și nici
laturilor sale se numește exteriorul patrulaterului ABCD și se notează Ext(ABCD).
Laturile patrulaterului nu fac pa rte nici din interiorul, nici din exteriorul acestuia.

În figura 2, porțiunea hașurată cu linii oblice reprezintă interiorul patrulaterului
ABCD, iar porțiunea hașurată cu linii orizontale reprezintă exteriorul patrulaterului ABCD. B A
C D
Fig. 2

83
Patrulater convex

Definiție :
Dacă într -un patrulater diagonalele se intersectează (au un punct comun) atunci
patrulaterul se numește patrulater convex.

Se poate aminti în trecere și noțiunea de patrulater concav , doar pentru a face
distincția, însă fără a se insista , întrucât acesta nu se studiază în gimnaziu.
Dacă diagonalele nu se intersectează , atunci patrulaterul se numește patrulater
concav .

Pentru a evita plictiseala indusă de folosirea metodelor expozitive pe o perioadă mai lungă ,
profesorul poate folosi modele materiale pentru deducerea proprietății referitoare la suma
măsurilor unghiurilor unui patrulater convex, urmată de problematizare pentru demonstrarea
acestei proprietăți.
Astfel, profesorul împarte elevilor patrulatere convexe confecționate din carton și le
cere să măsoare unghiurile acestora și să determine suma măsurilor acestora. Vor observa că,
indiferent care sunt măsurile unghiurilor patrulaterelor, cu toții au obținut că suma măsurilor
acestora este egală cu 360o. Profesorul le explică că este o proprieta te a tuturor patrulaterelor
convexe, enunță și notează la tablă (iar elevii în caiete) această proprietate și cere elevilor să
o demonstreze, mai întâi individual și apoi, frontal, la tablă.
C B A
D Patrulater concav B A
C D
Patrulater convex

84
 Paralelogramul. Paralelograme particulare

Definiția paralelogra mului cuprinde, așa cum precizează și denumirea, paralelismul
laturilor . Acest lucru se evidențiază și prin construirea paralelogramului, ducând laturile
paralele, congruența lor apărând ulterior ca proprietate .
Astfel, paralelogramele apar ca o clasă de patrulatere c are au ambele perechi de laturi
opuse paralele (laturile opuse paralele două câte două) . Deci, toate patrulaterele cu această
proprietate sunt paralelograme. Există patrulatere cunoscute din clasele anterioare care
verifică această proprietate? – va veni natural întrebar ea. Elevii vor recunoaște cel puțin
pătratul și dreptunghiul.
Acesta este momentu l în care elevii descoperă că unele dintre paralelograme au
proprietăți specifice pe care le vor evidenția studiind reprezentarea gra fică a acestora.
Urmează expunerea definițiilor, subliniindu -se „minimum -ul necesar” – concept reliefat de
„un unghi drept”, de „două laturi consecutive congruente”, etc., sintagme care apar în
definiții, deși observația elevilor va fi că „ toate unghiurile sunt drepte” și că „ toate laturile
sunt congruente”.
Este un alt moment oportun de a observa că, într -un enunț matematic (teoremă,
problemă, definiție) nimic nu este în plus și nimic nu lipsește !
Este foarte importantă, în continuare, insistența „discretă ” a profesorului de a scoate
în evidență relațiile dintre mulțimile paralelogramelor, pătratelor, dreptunghiurilor și
romburilor, treptat, însă, pe măsura prezentării elementelor acestei mulțimi.
Astfel, o eficientă metodă de verificare a înțelegerii temei este dată de ușurința cu
care elevii vor reuși să sintetizeze, răspunzând la întrebări de genul: ” care paralelograme au
unghiurile drepte?” sau „în care patrulatere diagonalele sunt bisectoare ale unghiurilor?”.
Se pot realiz a diferite schematizări care să evidenți eze, prin comparație, proprietățile
paralelogramelor și să asigure o mai bună reținere a acestora .
De e xempl u o diagram ă Venn .

85

O secțiune importantă în predarea paralelogramelor o reprezintă condițiile necesare și
suficiente, odată cu care profesorul va insista asupra echivalenței implicată de aceasta.
Pentru sintetizarea acestora și o mai bună reținere s -ar putea realiza un ciorchin e precum în
exemplul următor :

Deosebiri – laturile opuse paralele
– laturile opuse
congruente
– unghiurile opuse
congruente
– diagonalele se
înjumătățesc

-toate unghiurile
drepte
-diagonale
congruente

-toate laturile
congruente
-diagonale
perpendiculare
-diagonalele sunt
bisectoare ale
unghiurilor
rombului DREPTUNGHI ROMB
Asemănari Deosebiri

86

Un alt lucru asupra căruia trebuie insistat pentru înțelegerea și aplicarea corectă a
noțiunilor în demonstrații este folosirea în mod corespunzător a instrumentelor pentru
realizarea figurilor, cu atât mai mult cu cât tabla clasei nu este „liniată” și nici foaia de
examen – de exemplu, construirea dreptunghiului sau a pătratului se face translatând echerul
de-a lungul unei drepte, etc.
Este recomandat, de asemenea, prezentare a desenelor paralelogramelor și altfel
orientate în plan , (cum ar fi, de exemplu, rombul desenat cu două laturi opuse orizontale)
pentru a evita formarea la elevi de reprezentări în care poziția desenului influențează
proprietățile lui.
În ceea ce privesc aplicațiile, se recomandă ca acestea să apară pe parcursul întregului
capitol . Se impune odată în plus, prezentarea gradată a problemelor, pentru a ușura
înțelegerea și retenția. Astfel, se va începe firesc, cu aplica ții imediate ale teoriei, (se pot

O condiție necesară
și suficientă ca un… patrulater să fie
paralelogram este
să aibă…
laturile opuse
congruente două
câte două două laturi opuse
paralele și congruente unghiurile opuse
congruente două
câte do uă oricare două
unghiuri alăturate
suplementare
diagonale care se
înjumătățesc
paralelogram să fie
dreptunghi este să
aibă…
diagonalele
congruente paralelogram să fie
romb este să aibă…
diagonalele
perpendiculare
diagonalele
bisectoare

87
repeta aplicații simple cu perimetre, chestiuni cunoscute din clasele anterioare) unele dintre
acestea putând să fie chiar demonstrarea de proprietăți ale paralelogramelor. De exemplu,
când sunt predate condițiile necesar e și suficiente, profesorul poate demonstra o implicație
urmând ca elevii să o demonstreze pe cealaltă, evident cu sprijinul (persuasiv…) al
profesorului.
Apoi, problemele teoretice care ajută la utilizarea reprezentărilor mentale prin analiză și
sinteză:
1. Ce au în comun dreptunghiul și pătratul? Dar pătratul și rombul?
2. Care paralelograme au diagonalele perpendiculare?
3. Care paralelograme au laturile congruente?
4. Care au toate unghiurile congruente?
5. Diagonalele căror paralelograme sunt bisectoarele unghiurilo r acestora?
6. Desenați un romb cu un unghi drept.
7. Desenați un dreptunghi cu oricare două laturi congruente.
8. Desenați un paralelogram care să nu aibă unghiuri drepte.
9. Numiți paralelogramele care să nu fie romburi.
10. Numiți triunghiuri congruente din interiorul unui paralelogram.
Și mai departe:
11. Dacă un romb are un unghi de 60o, atunci o diagonală a sa este congruentă cu laturile.
12. Linia mijlocie în triunghi este jumătate din latura opusă.
13. Mijloacele laturilor unui dreptunghi formează un romb. (Interesant de prezentat
această problemă – evident, și în funcție de nivelul clasei – sub forma: ce formează
mijloacele laturilor unui dreptunghi? Demonstrați.)
14. Mijloacele laturilor unui romb formează un dreptunghi.
15. Mijloacele laturilor unui pătrat formează un pătrat.
(Dintre problemele 13 – 15 este suficientă rezolvarea la tablă doar a uneia dintre ele și să se
recomande ca temă celelalte două).
Este foarte important ca, de la început să se lucreze di ferențiat. Căci este de așteptat
ca elevii buni să deprindă repede utilizarea noțiunilor și a proprietăților acestora. Astfel, o
variantă de rezolvare de probleme este aceea de a distribui fișe de lucru elevilor buni care vor
îndeplini sarcinile individual , iar ceilalți vor rezolva la tablă probleme cu un grad mediu de
dificultate. (Între timp, profesorul va supraveghea și activitatea individuală a celor buni.)

88
De asemenea, este recomandat să se rezolve cu elevii așa-numitele „probleme
remarcabile”, aceasta neimplicând neapărat un grad ridicat de dificultate ci remarcabile
pentru aplicabilitatea lor. De exemplu:
1. Mediana din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic este jumătate din
ipotenuză.
2. Să se demonstreze că mijlocul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal depărtat
de cele trei vârfuri ale triunghiului.
3. Demonstrați că mijloacele laturilor unui patrulater convex reprezintă vârfurile unui
paralelogram.
4. Să se arate că bisectoarele interioare ale unghiurilor unui paralelogram formează un
dreptunghi. Arătați că laturile acestuia sunt paralele cu laturile paralelogramului.
5. În triunghiul ABC, G este punctul de intersecție al medianelor BE și CF. Dacă M și
N sunt mijloacele segmentelor BG și, respectiv CG, să se arate că patrulaterul MNEF
este paralelogram.

 Trapezul

Din punct de vedere metodic, trapezul se tratează asemănător paralelogramelor. Dacă
paralelogramele au fost prezentate ca o clasă specială de patrulatere care a u ambele perechi
de laturi opuse paralele, se poate ridica problema: ce se întâmplă dacă doar două perechi de
laturi opuse sunt paralele? Este de așteptat ca elevii să recunoască trapezul.
Predarea noțiunilor legate de patrulatere oferă ocazia obișnuirii elevilor cu
posibilitatea și necesitatea (în anumite situații) de a executa construcții auxiliare .
De exemplu, p entru a demonstra că un trapez cu diagonalele congruente este isoscel
este necesară cons trucția unei paralele la una dintre diagonalele trapezului , ca în figura de
mai jos.

89
Elevii au învățat că una dintre metodele de a demonstra că două segmente sunt
congruente este metoda triunghiurilor congruente. Astfel, ei trebuie să identifice două
triunghiuri care au ca laturi cele două segmente și despre care pot demonstra că sunt
congruente. Nu va fi greu să identif ice triunghiurile ∆ADB și ∆BCA. Problema care apare
este faptul că nu cunosc decât două perechi de elemente congruente, laturile [DB] ≡ [CA] și
[AB]≡[BA] ca latură comună. Cum despre a treia pereche de laturi nu se poate spune dacă
sunt congruente (repreze ntând concluzia problemei) rămâne de arătat că ∢CAB≡∡DBA
pentru a putea aplica cazul de congruență LUL. Elevii vor analiza toate perechile de unghiuri
determinate de cele două baze paralele și secantele ce apar în figură.
Profesorul trebuie să -i obișnuiască pe elevi ca, în astfel de cazuri în care, după ce au
analizat toate consecințele ce rezultă din ipoteză și figură nu reușesc să întrezărească soluția
problemei, următorul pas este realizarea construcțiilor ajutătoare.
Paralela prin punctul C la diagonala DB intersectează prelungirea bazei AB în E, de
unde elevii pot deduce că patrulaterul BECD, având laturile opuse paralele două câte două,
este paralelogram. Cum diagonalele sunt congruente va rezulta că triunghiul ∆ACE e ste
isoscel și astfel, ∢CAB≡∡CEA. Dar, ∡CEA≡∡DBA ca unghiuri corespondente pentru
paralelele CE și BD tăiate de secanta AE. Din ultimele două congruențe, elevii pot
demonstra relația căutată ∢CAB≡∡DBA , care să -i conducă la demonstrarea concluziei.
O construcția auxiliară cu care este foarte important să se deprindă elevii în cazul
trapezelor o reprezintă trasarea înălțimilor, datorită aplicabilității ei frecvente în rezolvarea
de probleme. Dreptunghiul și cele două triunghiuri dreptunghice în care se descompune
trapezul prin trasarea înălțimilor ne oferă o serie de relații metrice între segmentele rezultate,
mai ales în cazul trapezelor isoscele și dreptunghice.

90
3.2.5. Cercul

Cercul este introdus pentru prima oară în gimnaziu în clasa a V -a unde este p rezentat
în mod intuitiv cu ajutorul unor modele concrete. Un astfel de model îl poate constitui roata
de la bicicletă, cu ajutorul căreia elevii pot intui că punctele de pe cerc se află toate la aceeași
distanță față de un puct fix ( centrul cercului ), raz a fiind sugerată de spițele roții. Tot acum
învață să deseneze cercul cu ajutorul compasului.
Apoi noțiunea de cerc se reia în la finalul clasei a VII -a și se aprofundează. Până l a
acest nivel s-a operat mental suficient de mult cu concepte abstracte pentru a se putea realiza
o distanțare de aspectele concrete. Intuiția continuă să funcționeze, dar ea operează mai mult
cu reprezentări convenționale introduse prin desene pe foaia de caiet sau pe tablă. Astfel se
pot introduce, fără a căuta mode le concr ete, noțiunile de coardă , diametru, unghi la centru,
arce de cerc, etc. și se pot demonstra proprietăți ale acestora be baza operațiilor logico –
deductive.
Totuși mai există situații în care este bine să apelăm la metodele concrete. De
exemplu introducerea numărului 𝜋 . De cele mai multe ori elevii asociază constanta 𝜋 cu
formula de calcul a lungimii și ariei cercului mecanic, fără a reține semnificația ei. De aceea
se recomandă realizare a unei activități practice prin care elevii să deducă singuri această
constantă și legătura ei cu lungimea cercului.
Astfel elevii vor desena pe un carton trei cercuri cu razele respectiv de 2cm, 2,5cm și
4cm, iar apoi vor decupa discurile determinate de cele trei cercuri.
Profesorul le cere să taie trei bucăți de sforă
care să se suprapună exact peste contururile celor trei
discuri. (elevii pot fi împărțiți pe grupe , fiecare grupă
având de decupat câte trei discuri cu raze diferite, astfel
încât să se obțină cât mai multe date experimentale).
Li se cere elevilor să măsoare în centimetri cele
trei bucăți de sfoară și apoi să calculeze, cu două zecimale, câtul dintre lungimea fiecărei
bucăți și lungimea diametrului cercului corespunzător.
Analizând rezultatele obținute vor p utea concluziona că raportul dintre lungimea unui
cerc și diametrul său este același pentru toate cercurile (este constant). Profesorul le va
explica elevilor că această constantă este un număr irațional, care prin convenție se notează
cu 𝜋, iar valoarea acesteia cu aproximație de o sutime prin lipsă este 3,14 (valoarea obținută
de ei).

91
Dacă se notează cu 𝐿𝑐 lungimea cercului și cu 𝑅 raza sa, elevii pot deduce, pe baza
experimentului anterior, formula de calcul a lungimii cercului:
𝐿𝑐
2𝑅=𝜋⟹𝐿𝑐=2𝜋𝑅

3.2.6. Noțiunea de arie

Noțiunea de arie este introdusă în gimnaziu mai întâi la nivel intuitiv, în clasa a V -a,
iar apoi la nivel rațional neformalizat, în clasele VII -VIII.
Obiective le care trebuie atinse la nivelul intuitiv, pentru a putea trece apoi fără efort
la nivelul rațional neformalizat sunt:
1. Formularea conceptului de arie. Stabilirea și fixarea terminologiei uzuale.
2. Intuirea faptului că figurile congruente au aceeași arie.
3. Intuirea și folosirea proprietății de aditivitat e a funcției arie.
4. Deprinderea de a calcula ariile unor suprafețe poligonale simple și de a opera
transformări de unități de măsură ale ariei.
Aceste obiective se realizează prin activități pract ice în care elevul este pus să
manipuleze modele concrete , astfel încât să observe că unele suprafețe au întinderi mai mari
decât altele . Astfel apare natural ideea necesității comparării suprafețelor.
Pentru a putea fi comparate, suprafețele trebuie măsurat e, ceea ce implică o unitate
de măsură pentru suprafețe. Profesorul trebuie să le explice elevilor că unitatea de măsură
pentru suprafețe rezultă din unitatea de măsură pentru lungimi (dacă lungimea se măsoară în
metri, suprafața se măsoară în metri pătraț i, etc., 1 m2 reprezentând măsura suprafeței unui
pătrat cu latura de 1 m).
Apoi, prin analogie cu lungimea unui segment, profesorul poate introduce noțiunea
de arie a unei suprafețe, ca fiind un număr pozitiv unic, care arată câte unități de măsură se
cuprind în suprafața respectivă. La nivel gimnazial funcția arie, la fel ca și funcțiile lungime
sau volum nu sunt explicitate, definirea noțiunii de funcție având loc abia în clasa a VIII -a.

92
La nivelul clasei a V -a programa include și d eterminarea ariei unei suprafețe
poligonale , intuitiv utilizând rețeaua de pătrate unitare (pentru suprafețe poligonale simple –
pătrat, dreptunghi) .
Spre exemp lu, dacă se dă un pătrat cu
latura de lungime 2,5 cm, atunci aria pătratului va
fi exprimată în cm2. Pentru calculul ariei pătratului
se procedează ca în figura alăturată, unde sunt
puse în evidență unitatea de măsură pentru
lungime (1 cm), unitatea de măsură pentru arie
(1 cm2) și o pătrime dintr -un cm2 (1
4 cm2).
Rețelele de pătrate construite pe pătratul ABCD, fiecare având aria de 1
4 cm2, permit
calculul ariei pătratului ABCD: fiind 25 de „pătrățele”, aria pătratului este de 25 de ori 1
4
cm2, adică 25
4 cm2 = 6,25 cm2 = 2,5 cm2. Prin urmare, aria pătratului de lungime 2,5 cm
este pătratul lungimii laturii sale.
Nivelul rațional neformalizat are ca obiective cunoașterea de către elevi a
demonstrațiilor pentru formulele de calcul de arii pentru suprafețe poligonale începând cu
cele simple: triunghi, dreptunghi, paralelogram etc., precum și consolidarea proprietăților
funcției arie , fie că acestea sunt explicitate sau nu.
Pornind de la premisa că aria pătratului de latură a
este a2 (dedusă intuitiv) se poate deduce fo rmula ariei unui
dreptunghi de dimensiuni a și b. Pentru aceasta se
completează dreptunghiul la un pătrat de latură a+b, precum
în figura alăturată . Cele două dreptunghiuri formate sunt
congruente ș i se acceptă intuitiv că au aceeași arie.
Proprietatea de aditivitate (subînțeleasă tot intuitiv) conduce
la egalitatea (a+b)2 = a2 + b2 + 2A , de unde se obține A = ab .
Astfel, s -a dedus că aria dreptunghiului este egală cu produsul dintre lungimea și
lățimea sa .
Odată demonstrată formula de calcul pentru aria dreptunghiului, se poate deduce
formula pentru calculul ariei unui triunghi dreptunghic. Orice suprafață a unui triunghi

93
dreptunghic poate fi privit ă ca fiind jumătate din suprafața unui dreptunghi care are c a
dimensiuni lungimile celor două catete. Prin urmare aria unui triunghi dreptunghic va fi
egală cu jumătate din aria dreptunghiului, adică jumătate din produsul catetelor .
Pornind de la aria triunghiului dreptunghic se poate determina formula de calcul
pentru aria unui triunghi oarecare prin descompunerea
acestuia în sumă sau diferență de triunghiuri
dreptunghice.
𝐴𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐴𝐷𝐵+𝐴𝐴𝐷𝐶 = 𝑥ℎ
2+𝑦ℎ
2=(𝑥+𝑦)ℎ
2=𝑏ℎ
2
Astfel s -a demonstrat că aria unui triunghi este
egală cu jumătate din produsul dintre lungimea
înălțimii și lungimea laturii corespunzătoare.
În gimnaziu se introduce termenul de suprafață poligonală convexă , ce poate fi
descompusă într -un număr finit de triunghiuri care au două câte două interioarele disjuncte.
Pornind de la acest concept (și de la proprietatea de aditivitate a ariei acceptată în mod
intuitiv) aria oricărui poligon convex se poate calcula ca sumă a ariilor unui număr finit de
triunghiuri.
Pentru a demonstra că nu există o unică descompunere a unei suprafețe poligonale
convexe în triunghiuri se va cere elevilor să descompună aceeași suprafață poligonală
convexă în mai multe moduri : fie prin unirea vârfurilor poligonului, fie prin unirea unui
punct din interiorul poligonului cu vârfurile acestuia.

Demonstrarea formulei de calcul pentru paralelogram se face prin descompunerea
acestuia în două triunghiuri congruente prin trasarea unei diagonale. Însă înainte de a o
demonstra trebuie definită noțiunea de înălțime a paralelogramului. Aceasta se defineșt e pornind
de la proprietatea că orice punct al unei drepte este situat la aceeași distanță față de o
dreaptă paralelă cu dreapta dată .

94
Cum în paralelogramul ABCD laturile opuse AB și CD sunt paralele se poate trage
concluzia că lungimea segmentului [MN] este aceeași
indiferent de poziția punctului M pe latura AB.
Această lungime va fi numită lungimea înălțimii
corespunzătoare laturii [CD], iar segmentul [MN] va fi
numit înălțimea dusă din punctual M pe latura [AB].
(La fel se poate vorbi despre înălțimea dusă dintr -un punct oarecare al laturii [BC] pe latura
[AD]).
Odată definită înălțimea paralelogramului, aria acestuia se deduce imediat:

⊿𝐴𝐷𝐶≡⊿𝐶𝐵𝐴 ⇒𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=2·𝐴𝐴𝐷𝐶=2· 𝑏ℎ
2 = 𝑏ℎ

Aria rombului rezultă ca o consecință fiind un paralelogram particular. Astfel aria
rombului este egală cu produsul lungimii unei laturi cu lungimea înălțimii corespunzătoare
ei.
Pornind de la proprietatea că diagonalele sale sunt perpendiculare, pentru r omb se
mai poate demonstra o formulă de calcul a ariei:

𝐴𝐶=⏞𝑛𝑜𝑡
𝑑1 , 𝐵𝐷=⏞𝑛𝑜𝑡
𝑑2
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐴𝐵𝐶+𝐴𝐴𝐷𝐶=
=𝐵𝑂·𝐴𝐶
2+𝐷𝑂·𝐴𝐶
2=𝐴𝐶(𝐵𝑂+𝐷𝑂)
2=𝐴𝐶·𝐵𝐷
2
⇒𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑑1·𝑑2
2

95
Înălțimea trapezului se definește în mod analo g înălțim ii paralelogramului, iar modul
de determinare a formulei de calcul pentru aria trapezului este de asemenea similară.

𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐴𝐷𝐵1+𝐴𝐷𝐶𝐵1=

=ℎ𝐵
2+ℎ𝑏
2=ℎ(𝐵+𝑏)
2

Funcția arie se extinde la regiuni plane mărginite de linii curbe (în particular la
discuri). În gimnaziu aria discului nu poate depăși nivelul intuitiv și reținerea mecanică a
formulelor. Totuși, în unele manual se găsesc unele considerații de natură intui tivă cu scopul
de a favoriza reținerea formulelor. Astfel de observații, mai mult sau mai puțin extinse, se
găsesc, de obicei, în manuale, indiferent de modalitatea de abordare a ariilor suprafețelor
poligonale.
Există unele încercări de a prezenta riguro s aria discu lui la nivel elementar, prin
exploatarea proceselor de trecere la limită implicate în aceste noțiuni. Multe din acestea sunt
foarte interesante și sunt accesibile elevilor foarte buni. Fiind, totuși, complicate, ele nu pot
constitui o pregătire pentru înțelegerea noțiunii de limită, care se poate explica pe situații mai
simple.
Exemplul următor descrie pe scurt o modalitate de a aborda determinarea formulei de
calcul a ariei discului prin trecerea intuitivă la limită. Metoda didactică folosită în acest
demers este problematizarea.
Astfel, se consider ă un cerc de centru O și rază
R în care sunt înscrise triunghiul echilateral ⊿𝐴𝐶𝐸 ,
pătratul MCNF și hexagonal regulat ABCDEF .
Dacă 𝑎1,𝑎2,𝑎3 sunt apotemele, 𝑃1,𝑃2,𝑃3 sunt
perimetrele celor trei poligoane și 𝐴1,𝐴2,𝐴3 sunt ariile
suprafețelor determinate respectiv de cele trei
poligoane, se pune problema de a le expriama în funcție
de raza R și de a arăta că 𝑎1< 𝑎2<𝑎3<𝑅,𝑃1< 𝑃2< 𝑃3<𝐿𝑐𝑒𝑟𝑐 și 𝐴1< 𝐴2<𝐴3. Se
cere de asemenea să se analizeze cum sunt cele trei arii față de aria discului determinat de
cercul de centru O și rază R și care aproximează mai bine aria discului.

96
Se propune apoi, înscrierea într -un cerc de centru O și rază R a unui poligon cu n
laturi 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑛, de latură l și apotemă a.
Se pune problema determinării ariei
triunghiului ∆𝑂𝐴1𝐴2. Apoi, se cere să se arate că dacă
A este aria poligonului 𝐴1𝐴2𝐴3…𝐴𝑛, iar P este
perimetrul său, atunci A = 𝑃·𝑎
2.
Apoi, analog primei situații, se cere să se
analizeze ce se poate spune despre numerele a și R,
despre A și aria discului și, respectiv despre P și
lungimea cercului, când n este foarte mare.
Cerințele sunt formulate în așa manieră încât, după rezolvarea lor corectă, elevii să
poată intui faptul că cu cât numărul laturilor poligonului regulat înscris în cerc este mai
mare, cu atât valoarea apotemei se apropie mai mult de valoarea razei, valoare a perimetrului
poligonului se apropie de cea a lungimii cercului, iar valoarea ariei poligonului se apropie de
cea a discului. Aceste etape premergătoare îi vor ajuta în intuirea formulei de calcul a ariei
discului:
𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑢𝑙𝑢𝑖 =(𝑙𝑢𝑛𝑔𝑖𝑚𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑢𝑙𝑢𝑖)·𝑅
2=2𝜋𝑅·𝑅
2=𝜋𝑅2

Noțiunea de arie nu se folosește doar în problemele de aplicare directă a formulelor de
calcul și a celor în care se cer dive rse relații cu arii. Aceasta poate servi la demonstrarea unor
teoreme sau rezolvarea unor probleme care prin enunț nu trimit sub nici o formă la această
noțiune. Spre exemplu, tot p rin considerații de arii se obțin formulele 𝑅=𝑎𝑏𝑐
4𝑆, 𝑟=𝑆
𝑝 într-un
triunghi (notații standard).

97

4. PROBLEME REZOLVATE

Problema 1
În triunghiul ABC, m( ∡𝑨) = 120o, AB = 42 cm, AC = 56 cm, iar [AD este
bisectoar ea unghiului ∡𝑩𝑨𝑪 , D∈(BC). Aflați lungimea segmentului [AD].

Soluție :

Din faptul că [AD bisectoarea ∡BAC ⇒m(∢BAD)=m(∡CAD)=60o.
Se construiește DE∥AB ⟹ ∢𝐴𝐷𝐸≡∡𝐵𝐴𝐷 (ca unghiuri alterne interne) ⟹ ⊿ADE
echilateral .

Cum [AD bisectoarea ∡BAC t. bisect.⇒ BD
CD=AB
AC⇒BD
CD=42
56=3
4

derivare⇒ BD+CD
CD=3+4
4⟺BC
CD=7
4.

Cum DE ∥ AB se aplică teorema fundamentală a asemănării în triunghiul ⊿ABC
⟹⊿CBA~⊿CDE⟹ BC
CD=AB
DE⟺7
4=42
DE⟹ DE =4∙42
7= 24 cm.
Dar, ⊿ADE echilateral ⟹ AD = D E = 24 cm.
Problema 2

98
Fie triunghiul dreptunghic ABC , 𝒎(∡𝑨)=𝟗𝟎𝟎. Pe segmentul [𝑩𝑪] se consideră
punctele M și D astfel încât [𝑩𝑴]≡[𝑴𝑪], respectiv 𝑨𝑫⊥𝑩𝑪. Fie 𝑺∈𝑨𝑩 astfel ca
𝑫𝑺⊥𝑨𝑩 și 𝑺𝑫∩𝑨𝑴={𝑻}. Să se exprime valoarea raportului 𝑨𝑻
𝑻𝑴 în funcție de
catetele triunghiului dreptunghic ABC.

Soluție :
Cazul I: Se presupune că AC > AB
Se observă că dreptele AC și TS sunt
amândouă perpendiculare pe dreapta AB ceea ce
implică faptul că ele sunt paralele.
TS⊥AB
CA⊥AB|⟹TS∥AC

Paralela TS la AC intersectează prelungirile laturilor (AM) și (MC) ale triunghiului
AMC în punctele T și, respectiv D, ceea ce ne permite să aplicăm teorema lui Thales în
triunghiul AMC.
TS∥AC T.Thales
în ⊿AMC⇒ MT
TA=MD
DC⇔ AT
TM=DC
DM
A exprima raportul AT
TM în funcție de lungimile catetelor triunghiului ABC revine la
a exprima rapotul DC
DM în funcție de acestea.
Pentru a ușura exprimarea calculelor vom nota în continuare lungimile catetelor AB
și AC cu c 1 și, respectiv c 2.
AB c1= not AC c2= not
În continuare putem exprima DC în funcție de cateta AC folosind teorema catetei în
triunghiul AB C.

99
În ∆ABC,m(∡A)
=900|| T.catetei
⇒ c22=DC∙BC⇒DC=c22
BC
T.Pitagora
⇒ BC=√c12+c22 ||⇒DC=c22
√c12+c22 (1)
DM se poate exprima aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADM.
Se ține cont de faptul că AM este egală cu jumătate din BC, fiind mediana corespunzătoare
ipotenuzei în triunghiul dreptunghic ABC, iar pe AD, fiind înălțime în tr iughiul dreptunghic
ABC, se poate exprima ca fiind câtul dintre produsul catetelor și ipotenuză .(conform
teoremei a doua a înălțimii în triunghi dreptunghic)
[BM]≡[MC] ⇒ [AM] −mediană

⊿ABC−dreptunghic în A|⟹ AM=BC
2 ⇔ AM=√c12+c22
2
AD⊥BC⇒⊿ADM este dreptunghic, cu m(∡D)=900 T. Pitagora
⇒
DM2=AM2−AD2=BC2
4−(AB∙AC
BC)2

DM2=c12+c22
4−c12c22
c12+c22=(c12+c22)2
4(c12+c22)−4c12c22
4(c12+c22)=

=c14+2c12c22+c24−4c12c22
4(c12+c22)=c14−2c12c22+c24
4(c12+c22)
⇒DM2=(c12−c22)2
4(c12+c22) ⇒ DM=|c12−c22|
2√c12+c22=⏞c2>c1c22−c12
2√c12+c22 (2)
Din (1) și (2) ⇒ DC
DM=c22
√c12+c22
c22−c12
2.√c12+c22=c22
√c12+c22∙2∙√c12+c22
c22−c12=2c22
c22−c12
⇒ TA
TM=2c22
c22−c12

100
Cazul II: Se presupune că AB > AC
Analog cazului I, se observă că dreptele DT și
CA sunt paralele și se poate aplica teorema lui Thales în
∆MAC .
DS⊥AB
CA⊥AB|⟹DS∥AC⇔DT∥AC⇒
T.Thales
în ⊿MAC⇒ TM
AT=DM
CD⇔ AT
TM=CD
DM

Tot ca în Cazul I, se deduce CD aplicând teorema catetei în triunghiul dreptunghic
ABC și pe DM aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADM (sau ca
diferență între MC, care reprezintă jumătate din ipotenuză, și DC).
Conform teoremei catetei în ⊿ABC, c22=DC∙BC⇒DC=c22
BC⇒ DC = c22
√c12+c22
DM=MC−DC=BC
2−DC=√c12+c22
2−c22
√c12+c22=c12+c22−2c22
2√c12+c22=c12−c22
2√c12+c22
DC
DM=c22
√c12+c22
c12−c22
2√c12+c22=c22
√c12+c22∙2√c12+c22
c12−c22=2c22
c12−c22⇒ TA
TM=2c22
c22−c12
⇒ TA
TM=2c22
c22−c12

101
Cazul III: Se presupune că AB = AC
În acest caz D=M=T, iar în această
situație raportul TA
TM=1.
În concluzie,
dacă c1=c2, atunci raportul TA
TM =1;
dacă c1≠c2, atunci raportul TA
TM=2c22
| c12−c22|.

Problema 3
În triunghiul isoscel ABC, punctul M este mijlocul bazei [BC], perpendiculara în
A pe AB intersectează perpendiculara în C pe BC în punctul E, iar perpendiculara în C
pe AC intersectează pe AM în D.
Demonstrați că:
a). patrulaterul AECD este trapez isoscel.
b). patrulaterul AED B este dreptunghi.

Soluție

a). Din AM ⊥ BC și CE ⊥ BC ⟹ CE ∥ AD. (1)

102
Cum ∆ABC este isoscel, rezultă că mediana [AM] este și bisectoare, de unde
m(∡BAM)=m(∡CAM)=⏞𝑛𝑜𝑡
x.
Avem că m(∡DAE)=m(∡CDA)=90o−x. (2)
Din (1) și (2) rezultă că ADCE este trapez isoscel.

b). Dacă ADCE este trapez isoscel rezultă că AC = DE. Dar, ∆ABC fiind isoscel,
rezultă că AC = AB, de une avem că:
[AB] ≡[DE] (1)
De asemenea, din ADCE t rapez isoscel rezultă și că [AE] ≡[DC].
Dar, în triunghiul isoscel ∆ABC, dreapta suport a medianei [AM] este și mediatoare a
segmentului [BC] , de unde rezultă că [BD] ≡ [DC].
Obținem astfel că:
[AE] ≡ [DB] (2)
Din (1) și (2) și din EA ⊥ AB rezultă că AEDB este dreptunghi.
(q.e.d.)

Problema 4
Fie ABCD un patrulater convex, M mijlocul segmentului (AB) și N mijlocul
segmentului (CD). Arătați că MN≤𝐀𝐃+𝐁𝐂
𝟐 .
Soluție
Construim segmentul [ME] astfel încât ME
∥ AD și ME =AD.
Deducem astfel că AMED este
paralelogram ⇒AM∥DE și AM = DE.(1)
Construim segmentul [MF] astfel încât MF
∥ BC și MF =BC.

103
Deducem astfel că MBCF este paralelogram ⇒
CF ∥ BM și CF = BM . (2)

Cum A, M, B coliniare și AM =BM(𝟏)ș𝒊 (𝟐)
⇒
DECF este paralelogram.
Dar, diagonalele în paralelogram se
înjumătățesc, prin urmare punctul N este mijlocul
segmentului (EF).
Se disting două cazuri în funcție de
coliniaritatea sau necoliniaritatea punctelor M, E, F.
Cazul I :
Presupunem că punctele M, E, F sunt necoliniare.
În continuare vom folosi o proprietate a medianei unui triunghi pe care o vom demonstra mai
jos:
Orice mediană a unui triunghi este mai mică sau egală decât media aritmetică a
laturilor triunghiului, alăturate ei.
Demonstrație :
Construim M’ simetricul punctului M față de
punctul N ⟹ MN = M’N.
În ∆ MEM’, MM’< ME + EM’ ⇔
2MN < ME + EM’
Dar, EM’ = MF (∆MNF≡∆M’NE (L.U.L)) ⇒2MN <
ME + MF ⟹ MN≤𝑀𝐸+𝑀𝐹
2.

Prin urmare , [M N] este mediană în triunghiul ∆ EMF ⟹ MN≤ME+MF
2.
Dar, ME = AD și MF = BC ⟹ MN≤AD+BC
2 . (q.e.d.)
Cazul II :

104
Presupunem că punctele M, E, F sunt coliniare.
În acest caz figura devine:

Avem că ME ∥ AD, MF ∥ BC, iarM, E, F sunt coliniare ceea ce implică, conform
proprietății de tranzitivitate a relației de paralelism, că AD ∥ BC.

AD+BC
2=ME+MF
2=ME+MN+NF
2=MN+MN
2=MN

În concluzie când punctele M, E, F sunt coliniare avem egalitate în relația dată.

Problema 5
Fie ABC un triunghi în care 𝐦(∡𝐁)=𝟒𝟎𝐨 și 𝐦(∡𝐂)=𝟑𝟎𝐨. Pe segmentul [BC]
se ia punctul D astfel încât 𝐦(∡𝐁𝐀𝐃)=𝟔𝟎𝐨. Arătați că [AB]≡[CD].

Soluția 1
Construim triunghiul echilateral ∆ABM
astfel încât punctul M se află în semiplanul opus
semiplanului (BC, A. C onsiderăm punctul N ∈[BC]
astfel încât [AN]≡[NC] , de unde deducem că ∆ANC
este isoscel , ceea ce implică faptul că m(∡NAC)=
m(∡ACD)=30o.
Observăm că m(∡BAC)=110o⟹
m(∡DAN)=110o−60o−30o=20o .

105
Dar, m(∡MBA)=60o,iar m(∡ABC)=40o⟹ m(∡MBN)=20o, de unde
deducem că
m(∡DAN)≡m(∡MBN) (1)
Cum m(∡ANC)=180o−60o=120o⇒m(∡ANB)=60o⇒
m(∡ANB)≡m(∡AMB) (2)
Din (1) și (2) deducem că patrulaterul ABMN este in scriptibil , de unde putem deduce
că m(∡AMN)≡m(∡ABN)=40o.
Dar, cum m(∡DAC)=50o, deducem mai departe că m(∡AMP)=90o, unde
{P}=MN∩AC.
Triunghiul ∆ANC fiind isoscel, deducem că NP este mediatoarea segmentului [AC],
ceea ce impl ică faptul că MA = MC și, prin urmare ∆ AMC isoscel.
Atunci, m(∡MCN)=20o⟹∆BMC este isoscel ⟹ MC = MB. (3)
m(∡MDC)=m(∡ADB)=80o⟹m(∡ANB)≡m(∡DMC)=180o−80o−20o=
80o⟹ ∆CMD este isoscel ⟹ MC = DC. (4)
Din (3) și (4) deducem că DC = MB, dar cum M B = AB ⟹ DC = AB.
(q.e.d.)

Soluția 2

Aplicând teorema sinusurilor î n triunghiul ∆ ABD avem că:
AB
sin(∡ADB)=AD
sin(∡ABD)⇒AB
sin80o=AD
sin40o⇒ AD =AB·sin40o
sin80o
Dar, sin80o=2sin40ocos40o⟹AD = AB
2cos 40o (1)
Aplicând teorema sinusurilor în triunghiul ∆ ACD avem că:

106
AD
sin(∡ADB)=DC
sin(∡ABD)⇒AD
sin30o=DC
sin 50o⇒
Cum sin30o=1
2⟹AD=DC·sin30o
sin50o=DC
2sin50o (2)
Dar, cos40o=sin(90o−40o)=sin 50o (3)
Din (1), (2) și (3) ⟹ AB = CD .
(q.e.d.)

Problema 6
Fie ABCD un patrulater convex. Să se determine un punct P în interiorul lui,
astfel încât suma PA2 + PB2 + PC2 + PD2 să fie minimă.
Soluție
Fie E, F, G respectiv H, mijloacele laturilor AB, BC, DC, respectiv AD.
Cum [EH] și [FG] sunt linii mijlocii în triunghiurile ∆ ABD și ∆ CBD rezultă că EH ∥ BD∥
FG și EH = FG = BD
2, de unde deducem că patrulaterul EFGH este paralelogram.
Notăm cu a, b, c, d lungimile segmentelor [MA], [MB], [MC],[MD]și cu α, β, γ, δ,
lungimile segmentelor [PG], [PH], [PE], [PF].

107
În triunghiurile ∆ PAD și ∆ PBC aplicăm teorema mediane i ⇒
β2 =a2+d2
2−AD2
4 ⟹ 4 β2+AD2=2(a2+d2) și

𝛿2= b2+c2
2−BC2
4 ⟹ 4 𝛿2+BC2=2(b2+c2).
Adunând cele două relații obținem 2(a2+b2+c2+d2)=AD2+BC2+4(β2+𝛿2).
Întrucât suma AD2+BC2 este constantă, rezultă că expresia a2+b2+c2+d2 este
minimă când β2+𝛿2 este minimă.
Fie M mijlocul segmentului [HF]. Aplicând teorema medianei în triunghiul ∆ HPF
obținem că:
PM2=β2+𝛿2
2−HF2
4⟹β2
+𝛿2=HF2
2+2PM2
Deducem astfel, că β2+𝛿2 este minimă când segmentul [PM ] este minim, adică
când P = M; deci P este mijlocul segmentului [HF].
Procedând în mod analog în triunghiurile ∆ P AB și ∆PC D, obținem că expresia dată
este minimă când P este mijlocul segmentului [EG].
Dar, EFGH este paralelogram, astfel că mijloacele segmentelor [HF] și [EG] coincid.
În concluzie, suma PA2 + PB2 + PC2 + PD2 este minimă când punctul P coincide cu
intersecția diagonalelor paralelogramului EFGH.

108
Problema 7
Fie ABCD un patrulater înscris în cercul de centru O. Pe laturile [AB] și [CD] se
consideră punctele F și E astfel încât EO = FO. Se notează cu M și N punctele de
intersecție ale dreptelor AD și, respectiv BC , cu dreapta EF și cu P simetricul lui M
față de mijlocul segmentului [AE]. Să se demonstreze că triunghiurile ∆FBN și ∆CEP
sunt asemenea.

Soluție

Cum EO = FO rezultă că punctele E și F au aceeași putere față de cercul dat, de unde
deduce m că:
ED · EC = FB ·FA (1)
În continuare vo m demonstra că MO ≡ NO.
Notăm cu H punctul de intersecție al dreptelor AM și BN.
Aplicând teorema lui Menelaus pentru patrulaterele ECBF și EDAF cu transversalele
AM și, respec tive BN obținem relațiile:

ED
DC·CH
HB·BA
AF·FM
ME= 1 (2)
EC
CD·DH
HA·AB
BF·FN
NE= 1 (3)

109
Aplicând proprietatea puterii pentru punctul H, exterior cercului, rezultă că: HC·
HB=HD·HA⟹ HC
HA=HD
HB LUL⇒ ∆DHC~∆ BHA⟹
⇒HC
HA=HD
HB =DC
BA (4)
Prin înmulțirea relațiilor (2) și (3) și ținând seama de relația (4), după simplificare,
obținem:
ME·EN
FM·FN=1⟺NF
ME=NE
MF=NF+NE
ME+MF=1
⟹NF+NE=ME+MF⟺2NF+FE=2ME+EF⟹NF=ME.
Cum OE = OF și ∡OFN≡∡OEM (ca suplemente de unghiuri congruente) rezultă că
∆ OEM ≡ ∆ OFN ⟹ MO = NO.
Prin urmare, punctele M și N sunt egal depărtate de central cercului de unde rezultă
că puterile lor față de cercul dat sunt egale, adică:
MD · MA = NC · NB (5)
Aplicând teorema lui Menelaus pentru patrulaterul ABCD cu transversala EF,
obținem:
ED
EC·NC
NB·FB
FA·MA
MD=1⟺ED·EC
EEC2·NC·NB
NB2·FB2
FA·FB·MA2
MD·MA=1

Aplicând relațiile (1) și(5), după simplificări obținem:
FB
EC=NB
MA (6)
Deoarece punctul P este simetricul punctului M față de mijlocul segmentului [AE],
avem că EMAP este paral elogram, de unde rezultă că DA∥EP. Rezultă că ∡CDA≡
∡CEP (unghiuri corespondente).

110
Din asemănarea triunghiurilor ∆DHC și ∆BHA rezultă că ∡CDA≡∡NBF. Astfel
avem că, ∡NBF≡∡CEP și, folosind relația (6) și faptul că MA = EP (laturi opuse în
paralelogram), rezultă că triunghiurile ∆FBN și ∆ CEP sunt asemenea.
(q.e.d.)

Problema 8
Pe cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic se descriu ca diametre cercuri.
Arătați că suma ariilor A 1 și A2 este egală cu aria triunghiului dat.

Soluție
Notăm vârfurile triunghiului dat cu A, B, C, iar lungimile laturil or cu a, b, respectiv
c. Avem cercurile , construite pe ipotenuz ă și catete , de raze a
2,b
2, respectiv c
2, și centre,
respective O1,O2,O3.
Atunci aria hașurat ă este egal ă cu suma ariilor celor dou ă semicercuri construite pe
catete, din care se scad ariile celor dou ă segmente de cerc corespunz ătoare catetelor (I, II).
Ahașurat ă=Asemicercului (O2,b
2)+Asemicercului (O3,c
2)−(Asegm I+Asegm II)=
1
2π∙b2
4+1
2π∙c2
4−(Asem (O1,a
2)−A∆ABC)=π
8(b2+c2)−π
8a2+A∆ABC.
Cum ∆ABC este triunghi dreptunghic, avem, conform teoremei lui Pitagora, b2+
c2=a2 de unde rezultă că:
Ahașurat ă=A∆ABC (q.e.d.)

111
BIBLIOGRAFIE

[1] BRÂNZEI DAN, ANIȚA SEBASTIAN, COCEA CONSTANTIN , Planul și spațiul euclidian,
Editura ACADEMIEI REPUBLICII SOCIALISTE ROMÂNIA, București, 1986
[2] BOCOȘ MUȘATA, Instruire interactivă, Editura PRESA UNIVERSITARĂ
CLUJEANĂ, Cluj -Napoca, 2002
[3] CERGHIT IOAN, Metode de învățământ (Ediția a IV -a revăzută și adăugită), Editura
POLIROM, Iași, 2006
[4] FĂT SILVIA, DUȚĂ NICOLETA, Modulul IV – Metode interactive de predare –
învățare, din cadrul proiectului „Competență, profesionalism și dimensiune europeană
prin integra rea TIC în actul educațional”, material editat de Inspectoratul școlar
Județean Botoșani, 2013
[5] GOLU PANTELIMON, Învățare și dezvoltare, Editura ȘTIINȚIFICĂ și
ENCICLOPEDICĂ, București, 1985
[6] IONESCU MIRON, Demersuri creative în predare și învățare, Editura PRESA
UNIVERSITARĂ CLUJEANĂ, Cluj -Napoca, 2000
[7] IONESCU MIRON, RADU IOAN, Didactica modernă, Editura DACIA, Cluj -Napoca,
1995
[8] MARINESCU MARIANA, Noile educații în societatea cunoașterii, Editura PR O
UNIVERSITARIA , București, 2013
[9] MAGER F. ROBERT, Preparing Instructional Objectives , Lake Publishing Company,
Belmont, USA, 1984
[10] MÂNDRUȚ OCTAVIAN, MÂNDRUȚ MARILENA, CATANĂ LUMINIȚA,
Instruirea centrată pe competențe, Cercetare -Inovare -Formare -Dezvoltare, „Vasile
Goldiș” University Press, ARAD, 2012
[11] MICLĂUȘ GHEORGHE, Metodica predării matematicii, Editura RISOPRINT, Cluj –
Napoca, 2002
[12] MIN ISTERUL EDUCAȚIEI ȘI CERCETĂRII, Programa școlară de matematică clasa
a V-a, a VI -a, a VII -a, a VIII -a, BUCUREȘTI, 2009
[13] NEGRUȚ VASILICA, ARSITH MIRELA , Modulul II – Proiectarea și implementarea
curriculumului centrat pe competențe , din cadrul proiectului „Competență,
profesionalism și dimensiune europeană prin integrarea TIC în actul educațional”,
material editat de Inspectoratul școlar Județean Botoșani, 2013

112
[14] OPREA L. CRENGUȚA, Metode activ -participative de stimulare și dezvoltare a
creativității în educația adulților, în revista „Paideia” , Nr. 1 -2/2000, București, 2000
[15] POPESCU O., RADU V., Metodica predării geometriei în gimnaziu, Editura
DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ, București, 1983
[16] RUSU EUGEN, Metodica predării geometriei în școala generală, Editura IDACTICĂ
ȘI PEDAGOGICĂ, București, 1968
[17] SABĂU ȘTEFAN, SĂVULESCU DUMITRU, Cum să demonstrăm că…? (Probleme
de geometrie plană ), Editura PARALELA 45, Pitești, 1996
[18] SOCIETATEA DE ȘTIINȚE MATEMATICE DIN ROMÂNIA, Colecția Gazeta
matematică
[19] STOICA MARIN, Pedagogie și psihologie pentru examenele de definitivare și grade
didactice: profesori, institutori/învățători, studenți și elevi ai Școlilor Normale, Editura
GHEORGHE ALEXANDRU, Craiova, 2005
[20] SUPORT DE CURS – METODE ACTIVE DE PREDARE -ÎNVĂȚARE , din seria
„Module pentru dezvoltarea profesională a cadrelor didactice, asistenților
educaționali, consilieri, directori din școlile de masă” elaborat în cadrul proiect ului
„Pașaport pentru catedră”, proiect cofinanțat din Fondul Social European prin
Programul Operațional Sectorial Dezvoltarea resurselor umane 2007 -2013
[21] TURCITU GEORGE, GHICIU NICULAE, BASARAB CONSTANTIN, RIZEA
IONICĂ, MIC DAN, BASARAB MARLENA, Matemati că –Manual pentru clasa a
VII-a, Editura RADICAL, Craiova, 2004
[22] UDREA TATIANA, NIȚESCU DANIELA, Matematică -Manual pentru clasa a VI -a,
Editura DIDACTICĂ ȘI PEDAGOGICĂ, București, 2002

113
Anexa 1
PROIECT DIDACTIC
DATA: 11 martie 20 16
CLASA: a VI -a
OBIECTUL: Matematică
PROFESOR: FARCAȘ CRISTINA
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Relații metrice în triunghiul dreptunghic
TEMA LECȚIEI: Aplicații ale teoremei înălțimii, catetei și a lui Pitagora
TIPUL LECȚIEI: fixarea și sistematizarea cunoștințelor
Competențe generale și competențe specifice :
CG1 -Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite
Recunoașterea și descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într -o configurație
geometrică dată
CG2 -Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțuri matematice
Aplicarea relațiilor metrice într -un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente
ale acestuia
CG 3 – Utilizarea algoritmi lor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală
sau globală a unei situații concrete
Deducerea relațiilor metrice într -un triunghi dreptunghic
CG4 -Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularității a două drepte prin relații metrice
CG5 -Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
Interpretarea perpendicularității în relație cu rezolvarea triunghiului dreptunghic
Metode și procedee: explicația, exercițiul, problematizarea, conversația, munca
independentă
Mijloace de învățământ: manual, culegere de probleme Mate 2000+ , fișe de lucru, fișă
de autoevaluare, caiete, cretă colorată
Forme de organizare: frontală, individuală

114
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și
procedee Procedee de
evaluare
Moment
organizatoric
(2 mi n) Asigurarea condițiilor optime pentru desfășurarea lecției.
Verificarea prezenței elevilor. Conversația
Verificarea temei
pentru acasă
(3 min) Se verifică tema cantitativ și calitativ.
Se dau indicații la eventualele probleme din temă care nu s -au știut rezolva
(dacă este cazul) .
Explicația

Anunțarea temei și
a competențelor
(2 min)
Astăzi vom face aplicatii ale teoremelor înălțimii, catetei și a lui Pitagora .
Se scrie titlul lecției pe tablă Aplicații ale teoremei înălțimii, catetei și a lui
Pitagora .
Se prezintă competențele ce trebuiesc dobândite în urma acestei lecții .

Conversația

115
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și
procedee Procedee de
evaluare

Dirijarea activității
(20 min)
Se prezintă metoda de lucru:
-Pentru desfășurarea activității de astăzi veți
lucra pe grupe. Vom organiza patru grupe de câte patru elevi. Pentru fiecare
grupă vom alege un lider. Fieca re grupă va primi o fișă cu patru sarcini de
lucru (patru probleme). Liderul va împărți câte o problemă pentru fiecare
coechipier pe care o vor rezolva independent pe fișa primită (acolo unde sunt 4
elevi în echipă 2 dintre ei vor primi aceeași problemă, urmând să compare
rezultatele). După rezolvarea sarcinilor coechipierii își prezintă unul altuia
rezolvările sarcinilor lor, făcându -se eventuale completări sau corecturi.
La final vor trece rezolvările sarcinilor pe un poster fiecare grupă cu un
marker de o anumită culoare.
După prezentarea metodei se aleg liderii și echipele și se începe realizarea
sarcinilor. Munca în echipă

Munca
independentă

Explicația
Aprecieri verbale

116
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și
procedee Procedee de
evaluare
Dirijarea
activității
(13 min) După terminarea sarcinilor echipele își vor expune posterele.
Fiecare echipă va vizita pe rând posterele celorlalte două echipe verificând
rezolvările acestora și notând, cu marker -ul propriei echipe în dreptul fiecărei
sarcini semnul √ dacă consideră că rezolvarea este corectă, semnul X dacă
consider că este greșit ă și știe care este rezolvarea corectă și semnul ? dacă
consideră că rezolvarea este greșită dar nu știe care este rezolvarea corectă.
Turul gale riei
Aprecieri verbale
Asigurarea
feedback -ului
(8 min) Citirea și discutarea comentariilor (în urma semnelor puse) .
Analizarea rezolvărilor corec te. Investigația
în comun Aprecieri
verbale
Tema pentru acasă
(2 min) Membrii echipei cu cele mai multe √ vor fi notați.
Temă: Mate 2000+ pg. 79/ test autoevaluare

117
FIȘA 1

I. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții (treceți în caseta alăturată A dacă
propoziția este adevărată și F dacă este falsă).

a). Dacă în ΔABC m( ∡A) = 90o și
AD⊥BC (D∈(BC)), atunci
AD2 = BD∙DC

b). Dacă în ΔDEF m( ∡D) = 90o și
DG⊥EF (G∈(EF)), atunci
DE2 = GF∙EF

c). Dacă în ΔMNP m( ∡M) = 90o și
MQ⊥NP (Q∈(NP)), atunci
MP2 = MQ2+QP2

II. Determinați natura unui triunghi Δ ABC știind că unghiurile sale sunt direct proporționale cu
numerele 1, 5 și 6.

III. Fie triunghiul ΔABC cu m( ∡A) = 90o, AD⊥BC (D∈(BC)) și BD = 2 cm și AD = 4 cm .
Asociați prin săgeți segmentelor din coloana A valoarea lungimilor corespunzătoare din
coloana B.
A B

[AB] 8 cm
[AC] 10 cm
[BC] 2√5 cm
[DC] 4√5 cm

IV. În figura de mai jos este reprezentată schematic o grădină în formă de trapez dreptunghic
ABCD, cu AB ∥ CD, m(∡A) = 90o, și AB = 40 m . Se știe că triunghiul ΔABC este
echilateral. Aflați lungimea gardului ce înconjoară grădina.

118

FIȘA 2

I. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții (treceți în caseta alăturată A dacă
propoziția este adevărată și F dacă este falsă).

a). Dacă în ΔMNP m( ∡M)=90o
atunci

NP2 = MN2 + MP2

b). Dacă în ΔDEF m( ∡D)=90o și
DG⊥EF (G∈(EF)), atunci

DE2 = EG ∙ EF

c). Dacă în ΔABC avem că
AD⊥BC (D∈(BC)), atunci

AD2 = BD ∙ DC

II. Fie triunghiul ABC cu m( ∡A)=90o, AD⊥BC (D∈(BC)) și m(∡C)=30o și AB=4 cm . Asociați
prin săgeți segmentelor din coloana A valoarea lungimilor corespunzătoare din coloana B.

A B

[BC] 2 cm
[BD] 4√3 cm
[AC] 2√3 cm
[AD] 8 cm

III. Să se rezolve triunghiul dreptunghic Δ ABC, cu m( ∡A) = 90o, știind că AB = 3 cm și cosB =
1
2 .

IV. În figura de mai jos este reprezentat un spațiu verde sub formă de triunghi dreptunghic ABC,
m(∡A) = 90o, împărțit în trei parcele pe care s -au plantat violete, zambile și narcise .
Cunoaștem AB = 12 cm, AC = 16 cm, BM = 6 cm, iar MN = 4 cm. Determinați perimetrul și
aria terenului plantat cu violete.

119

FIȘA 3

I. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții (treceți în caseta alăturată A dacă
propoziția este adevărată și F dacă este falsă).

a). Dacă în ΔABC m( ∡A) = 90o și
AD⊥BC (D∈(BC)), atunci
AD = 𝐴𝐵∙𝐴𝐶
𝐵𝐶

b). Dacă în ΔMNP m( ∡M)= 90o și
MQ⊥NP (Q∈(NP)), atunci
MP2 = MQ2 + QP2

c). Dacă în ΔDEF m( ∡D) = 90o și
DG⊥EF (G∈(EF)), atunci
DF2 = GF ∙ EG

II. Fie triunghiul ABC cu m( ∡A)=90o, AD⊥BC (D∈(BC)) și AB = 3 cm și BC = 5 cm .
Asociați prin săgeți segmentelor din coloana A valoarea lungimilor corespunzătoare
din coloana B.

A B
[AC] 1,8 cm
[AD] 3,2 cm
[BD] 2,4 cm
[DC] 4 cm

III. Să se rezolve triunghiul dreptunghic Δ ABC, cu m( ∡A) = 90o, știind că AC = 5 cm și
ctgC = 1 .

IV. În figura de mai jos este reprezentat schematic un teren agricol în formă de trapez
isoscel. Dacă AB = AD = 25 m și AH = 15 m aflați aria terenului ABCD .

120

FIȘA 4

I. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții (treceți în caseta alăturată A
dacă propoziția este adevărată și F dacă este falsă).

a). Dacă în ΔABC m( ∡A) = 90o și
AD⊥BC (D∈(BC)), atunci
AD2 = BD∙BC

b). Dacă în ΔDEF m( ∡D) = 90o și
DG⊥EF (G∈(EF)), atunci
DF2 = GF+EF

c). Dacă în triunghiul ΔMNP,
NP2 = MN2 + MP2
atunci triunghiul ΔMNP este
dreptunghic în M.

II. Fie triunghiul ΔABC cu m( ∡A) = 90o. Se știe că măsurile unghiurilor ∡A, ∡B și ∡C
sunt direct proporționale cu numerele 6, 4 și 2, AB = 6 cm și AD⊥BC (D∈(BC)) .
Asociați prin săgeți segmentelor din coloana A valoarea lungimilor corespunzătoare
din coloana B.
A B

[AC] 3 cm
[AD] 3√3 cm
[BC] 12 cm
[BD] 6√3 cm
[DC] 9 cm

III. Să se rezolve triunghiul dreptunghic Δ ABC, cu m( ∡A) = 90o, știind că BC = 6 cm și
sinC = √2
2 .

IV. Un parc are forma unui trapez isoscel ABCD cu bazele AB = 120 cm și CD = 60 m.
Segmentele [AC] și [CM] reprezintă două alei. Se știe că AC ⊥BC și CM ⊥AB.
Deteminați lungimile aleilor CM și AC.

121
Anexa 2
PROIECT DIDACTIC

DATA: 5 martie 2016
CLASA: a VI – a
OBIECTUL: Matematică
PROFESOR: FARCAȘ CRISTINA
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Proprietăți ale triunghiurilor (1)
TEMA LECȚIEI: Medianele în triunghi. Concurența medianelor în triunghi
TIPUL LECȚIEI: mixtă
Competențe generale și competențe specifice
CG1 -Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite
Recunoașterea și descrierea unor proprietăți ale triunghiurilor în configurații geometrice date
CG2 -Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțuri matematice
Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate
CG4 -Expri marea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în
triunghi prin definiții, notații ș i desen
CG5 -Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
Deducerea unor proprietăți ale triunghiurilor folosind noțiunile studiate
Metode și procedee: explicația, exercițiul, problematizarea, conversația, munca
independentă
Mijloace de învățământ: manual, culegere de probleme Mate 2000+ , fișe de lucru, fișă
de autoevaluare, caiete, cretă colorată
Forme de organizare: frontală, individuală

122
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și procedee Procedee de
evaluare
Moment
organizatoric
(2 min) Asigurarea condițiilor optime pentru desfășurarea lecției.
Verificarea prezenței elevilor. Conversația
Reactualizarea
cunoștințelor
anterior
dobândite
(8 min) Elevii primesc câte o fișă de autoevaluare (cu întrebări teoretice sau de
aplicare direct a teoriei) pentru verificarea cunoștințelor anterior dobândite,
necesare în predarea noii lecții (cu o oră în urmă elevii au fost anunțati să
recapituleze următoarele noțiuni: mijlocul unui segment, drepte paralele, linia
mijlocie în triunghi, construcția unui triunghi când se cunosc toate laturile). Munca independentă
Verificarea
temei pentru
acasă
(3 min) După rezolvarea fișei de autoevaluare profesorul verifică mai întâi temă pentru
acasă și dă eventuale indicații pentru problemele din temă nerezolvate. Conversația
Explicația Aprecieri verbale
Anunțarea
temei și a
competențelor
(2 min)
Verifică împreună cu elevii răspunsurile date pe fișa de autoevaluare; elevii se
autoevaluează (își notează pe fișă nota pe care cred că o merită) și fac
corectări acolo unde este cazul.
Se anunță și se scrie pe tablă titlul noii lecții Medianele în triung hi.
Concurența medianelor în triunghi .
Se anunță competențele ce trebuiesc dobândite. Conversația
Autoevaluare

Aprecieri verbale
Dirijarea
învățării
(28 min) Se face analogia cu concurența mediatoarelor, bisectoarelor și înălțimilor în
triunghi.
Explicația

123
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și procedee Procedee de
evaluare
Teoremă: Medianele unui triunghi sunt concurente, iar punctul lor comun se
numește centru de greutate al triunghiului.
Se propune elevilor următoarea aplicație:
În Δ ABC se construiesc medianele [BB ’] și [CC’] și notăm cu G punctul lor
de intersecție. Notăm cu E mijlocul segmentului [BG] și cu F mijlocul lui
[CG].

Se cere elevilor să facă deducții pe baza datelor problemei. Profesorul le face
eventuale sugestii .
Elevii pot observa că [C’B’] este linie mijlocie în ΔABC
⟹C′B′∥BC și C′B′=BC
2 (1)
Elevii pot observă că [EF] este linie mijlocie în ΔBGC
⟹EF∥BC și EF=BC
2 (2)
Din (1) și (2) ⟹ EF∥B′C′ și EF=B’C’
ΔB’GC’≡ ΔEGF ⟹C’G=GF și EG=GB’
Dar GF=FC ( F mijlocul lui [CG]) și EG=EB (cu E mijlocul lui [BG]) ⟹
C’G=GF=FC și EG=GB’=BE ⟹

Problemati -zarea

Aprecieri verbale

124
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și procedee Procedee de
evaluare
GC’=1
3CC′ și CG=2
3CC′
GB′=1
3BB′ și BG=2
3BB′
Procedând analog și cu a treia mediană obținem același rezultate ⟹
medianele sunt într -adevăr concurente și că punctul lor comun se află la două
treimi de vârf și o treime d e bază pe fiecare mediană.

Teoremă: Centrul de greutate al unui triunghi se află la două treimi de vârf
și o treime de bază pe fiecare mediană.

Explicația

Fixarea
cunoștințelor
și asigurarea
feedback -ului
(15 min) Se propun elevilor spre rezolvare problemele de pe fișa de lucru “Aplică” pe
care o vor lucra independent.
Când un elev reușește să rezolve o problemă anunță profesorul și, după ce
acesta o verifică, o va rezolvă și la tablă.
Explicația

Munca independentă Aprecieri verbale
Tema pentru
acasă
(2 min) Notarea elevilor care au activat în caietul profesorului

Temă: Mate 2000+ pg. 129/ pb. 3, 4, 5 Conversația

APLICĂ

1. Medianele [AE], [BF] și [CD] ale triunghiului ABC sunt concurente în G. Să se
calculeze: a). AG dacă AE=9 cm .
b). GF dacă BG=12 cm .
c). GA dacă GE=4 cm .

2. Fie două triunghiuri congruente Δ ABC ≡ Δ A’B’C’ și M mijlocul laturii [BC], iar
M’ mijlocul laturii [B’C’]. Demonstrați că [AM]≡[A’M’].

3. În triughiul Δ ABC dreptunghic în A [AD] este madiană. Determinați centrul
cercului ci rcumscris triunghiului Δ ABC și arătați că BC = 2 ∙ AD.

126

FIȘĂ AUTOEVALUARE 1

1. Știind că M este mijlocul segmentului [AB] completați:
a). Dacă AB = 6 cm, atunci AM =……..cm și MB =……..cm
b). Dacă AM = 4,5 cm, atunci AB =……… cm
c). AB= 2∙ …….= 2 ∙…….
d). AM=….
2

2. În Δ ABC, M este mijlocul lui [AB] și N este mijlocul lui [AC]. Completați:
a). [MN] este ………………………………………….în triunghiul ABC
b). MN ∥ ………………și MN=

3. Dacă avem trei drepte a, b, c, astfel încât a ∥ c și b ∥ c atunci …….. …………………
a
b

c

4. Construiți un triunghi ABC cu AB=4 cm, AC=6 cm și BC=8 cm. Uniți fiecare vârf al
triunghiului cu mijlocul laturii opuse. Ce observați?

Se acordă 2 p din oficiu

2p
2p 2p
2p

127

FIȘĂ AUTOEVALUARE 2

1. Știind că P este mijlocul segmentului [MN] completați:
a). Dacă MN = 8 cm, atunci MP =……..cm și PN =…………cm
b). Dacă MP=3,5 cm, atunci MN=………….cm
c). MN= 2∙ …….=2 ∙…….
d). MP=….
2

2. În Δ DEF, A este mijlocul lui [DE] și B este mijlocul lui [DF]. Completați:
a). [AB] este ………………………………………….în triunghiul ABC
b). AB ∥ ………………și AB=

3. Dacă avem trei drepte d, e, f, astfel încât d ∥ e și f ∥ e atunci
………………………………….
d
e

f

4. Construiți un triunghi ABC cu AB=4 cm, AC=5 cm și BC=6 cm. Uniți fiecare vârf al
triunghiului c u mijlocul laturii opuse. Ce observați?

Se acordă 2 p din ofi ciu

2p
2p
2p
2p

128

Anexa 3
PROIECT DIDACTIC

DATA: 30 martie 2016
CLASA: a VI – a
OBIECTUL: Matematică – Geometrie
PROFESOR: FARCAȘ CRISTINA
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Proprietăți ale triunghiului (1)
TEMA LECȚIEI: Proprietățile triunghiului isoscel
TIPUL LECȚIEI: dobândire de noi cunoștințe
Competențe generale și competențe specifice
CG1 -Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite
Recunoașterea și descrierea unor proprietățiale triunghiurilor în configurații geometrice date
CG2 -Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțuri matematice
Calcularea unor lungimi de segmente și a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate
CG3 -Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală
sau globală a unei situații concrete
Utilizarea unor concepte matematice în t riunghiurile isoscel, echilateral sau dreptunghic
CG4 -Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
Exprimarea caracteristicilor matematice ale triunghiurilor și ale liniilor importante în
triunghi prin definiții, nota ții și desen
CG5 -Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
Deducerea unor proprietăți ale triunghiurilor folosind noțiunile studiate
CG6 -Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoș tințelor din diferite domenii
Interpretarea informațiilor conținute în probleme legate de proprietățile triunghiurilor
Metode și procedee: ciorchinele , conversația, conversația euristică, explicația,
problematizarea, exercițiul, munca independentă
Mijloa ce de învățământ: culegere de probleme Mate 2000+ , fișe de lucru, caiete
Forme de organizare: individual, frontal

DESFĂȘU RAREA LECȚIEI
Etapele lecției Desfășurarea lecției Metode și
procedee Procedee de
evaluare
Moment
organizatoric
(2 min) Asigurarea condițiilor optime pentru desfășurarea lecției.
Verificarea prezenței elevilor. Conversația
Verificarea
temei pentru
acasă
(3 min) Se verifică tema cantitativ și calitativ.
Se dau indicații la eventualele probleme din temă care nu s -au știut rezolva (dacă
este cazul).
Explicația
Recapitularea
cunoștințelor
anterior
dobândite
(7 min) Elevii sunt anunțați că vor recapitula liniile impotante din triunghi folosind metoda
ciorchinelui.
Elevii vor completa ciorchinele cu liniile importante ale triunghiului și proprietățile
acestora (cu ajutorul profesorului) pe tablă.
La final, profesorul împarte elevilor o fișă tipărită cu ciorchinele realizat pentru a o
adăuga la portofoliul personal. (Anexa 3.1) Ciorchine Aprecieri verbale

130

Anunțarea temei
și a
competențelor
(2 min) Se anunță elevilor, și se notează pe tablă, titlul lecției: Proprietățile triunghiului
isoscel și se anunță competențele ce trebuie dobândite.
Se explică elevilor că urmează să se deducă mai multe proprietăți ale triunghiului
isoscel referitoare la unghiurile acestuia și liniile i mportante din triunghi. Conversația
Dirijarea
activității
(18 min)
Profesorul numește un elev să definească triunghiul isoscel și notează definiția pe
tablă, exemplificând și prin desen, iar elevii notează în caiete.
Def: Triunghiul cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel .

[AB]≡[AC]𝒅𝒆𝒇⇒ ∆ABC – isoscel
A-vârful triunghiului isoscel
[BC]-baza triunghiului isoscel

Se propune elevilor rezolvarea următoarei probleme:
Construiți triunghiul ∆MNP cu [PN]≡[PM] și duceți înălțimea [PO], O ∈MN.
Copiați și completați: ∆MNP este triunghi…………. pentru că………..
Demonstrați că ∆POM ≡ ∆PON.
Profesorul numește un elev să rezolve la tablă problema, iar ceilalți elevi rezolvă în
caiete. Conversația
Activitate frontală

Problemati zarea

Explicația

131

Demonstrație :

∆MNP este triunghi isoscel pentru că [PN]≡[PM] .
|−𝐏𝐎=𝐏𝐎 (𝐥𝐚𝐭.𝐜𝐨𝐦.)
−𝐏𝐍=𝐏𝐌 |𝑪𝑰
⇒∆𝐏𝐎𝐌 ≡ ∆𝐏𝐎𝐍

Profesorul le explică elevilor că, pornind de la un triunghi isoscel în care au
construit înălțimea corespunzătoare bazei, au reușit să demonstreze că cele două
triunghiuri care s -au format ( ∆POM și ∆PON) sunt congruente și, apoi, cere elevilor
să spună ce alte congruențe rezultă din congruența triunghiurilor ∆POM ≡ ∆PON și
ce concluzii pot să tragă din noile congruențe.

Elevii vor observa că:
∡𝐌≡∡𝐍
[MO]≡[NO] ⇒ O-mijlocul segmentului [MN] ⇒ [PO] este și mediană și cum
PO⊥MN ⇒PO este și mediatoare
∡𝐌𝐏𝐎≡∡𝐍𝐏𝐎⇒[PO este și bisectoarea ∡𝐌𝐏𝐍

Exercițiul

Conversația
euristică

Aprecieri verbale

Aprecieri verbale

∆POM
∆PON

132

Profesorul le explică elevilor că prin rezolvarea problemei date au reușit să
demonstreze câteva proprietăți ale triunghiului isoscel.
Elevii, sub îndrumarea profesorului, vor enunța proprietățile ce reies din
demonstrarea problemei și acestea vor fi scrise la tablă de către profesor și în caiete
de către elevi.
P1: Într -un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
P2: Într -un triughi isoscel înălțimea corespunzătoare bazei este și mediana și
mediatoarea corespunzătoare bazei, precum și bisectoarea un ghiului opus
bazei.
(Altfel spus, în triunghiul isoscel bisectoarea unghiului de la vârf, înlțimea,
mediana și mediatoarea corespunzătoare bazei coincid.)
Profesorul le explică elevilor că reciprocele acestor proprietăți sunt adevărate și că,
pe lângă def iniție, ele ne ajută în a demonstra că un triunghi este isoscel.
Acestea se vor nota la tablă de către profesor și în caiete de către elevi.
R1: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci triunghiul este
isoscel.
R2: a). Dacă într -un triunghi o bisectoare este și mediană (sau înălțime sau
mediatoare) atunci triunghiul este isoscel.
b). Dacă într -un triunghi o mediană este și bisectoare (sau înălțime sau
mediatoare) atunci triunghiul este isoscel.

Problemati zarea

Explicația

Conversația
euristică

Aprecieri verbale

133

c). Dacă într -un triunghi o înă lțime este și bisectoare (sau mediană sau
mediatoare) atunci triunghiul este isoscel.
d). Dacă într -un triunghi o mediatoare este și bisectoare (sau înălțime sau
mediană) atunci triunghiul este isoscel.
Profesorul le explică elevilor că mediatoa rea bazei este axă de simetrie a
triunghiului întrucât, dacă ar îndoi triunghiul de -alungul mediatoarei, cele două
triunghiuri obținute s -ar suprapune. Se va nota acestă proprietate pe tablă și,
respectiv în caiete.
P3: Într -un triunghi isoscel mediatoarea corespunzătoare bazei este axă de
simetrie.
Asigurarea
feedback -ului
(18 min) Pentru fixarea noilor cunoștințe, profesorul mai parcurge odată, împreună cu elevii,
proprietățile studiate și propune spre rezolvare problemele de pe fișa de lucru
”Aplică” . (Anexa 3.2) Explicația
Exercițiul
Aprecieri verbale
Tema pentru
acasă și notarea
elevilor
(2 min) Problemele de pe fișă nerezolvate rămân ca temă pentru acasă.
Elevii care au activat la oră vor fi notați în caietul personal al profesorului.
Conversația

134

Anexa 3.1

Linii importante în
triunghi Mediatoarele laturilor
triunghiului sunt
concurente În triunghi se pot
construi trei mediatoare
(pentru fiecare latură)
Segmentul determinat
de un vârf al
triunghiului și
mijlocul laturii opuse Medianel e
laturilor unui
triunghi Mediatoarele
laturilor unui
triunghi Dreapta
perpendiculară
pe segment în
mijlocul acestuia
Punctul lor de
intersecție se
notează cu O
O este centrul cercului
circumscris triunghiului
Orice triunghi
are trei mediane Cele trei
mediane sunt
concurente
Punctul lor de
intersecție se
notează cu G
G se numește
centru de
greutate G se află la 2/3 de vârf
și 1/3 de bază pe
fiecare mediană Înălțimile
triunghiului
Orice triunghi are
trei înălțimi
Cele trei înălțimi
sunt concurente Punctul lor de
intersecție se
numește
ortocentru , și
se notează cu H Segmentul determinat de
un vârf al triunghiului și
piciorul perpendicularei
dusă din acel punct pe
dreaptă Bisectoarele
unghiurilor unui
triunghi Semidreapta cu originea în
vârful unghiului, situată în
interiorul lui și care
formează cu laturile
unghiului două unghiuri
congruente În triunghi se pot
construi trei
bisectoare (pentru
fiecare unghi)
Bisectoarele
unghiurilor unui
triunghi sunt
concurente Punc tul lor de
intersecție se
notează cu I I este centrul
cercului înscris
în triunghi

135

Anexa 3.2
clasa a VI -a
30.03.2016
APLICĂ

1. Se consideră triunghiul isoscel ∆ ABC.
a). Dacă AB=3 cm și AC = 4 cm, calculați BC.
b). Dacă AB=3 cm și AC = 7 cm, calculați perimetrul triunhghiului ∆ ABC.

2. Unul dintre unghiurile unui triunghi isoscel are măsura de 40o. Calculați măsurile
celorlalte două unghiuri.

3. În triunghiul isoscel ∆ ABC se știe că m( ∢BAC)=120o. Calc ulați măsurile celorlalte două
unghiuri ale triunghiului.

4. Fie triunghiul dreptunghic ∆ ABC cu m( ∢BAC)=90o. Calculați măsurile celorlalte două
unghiuri. Care sunt laturile congruente?

5. Demonstrați că într -un triunghi isoscel sunt adevărate următoarele prop oziții:
a). medianele corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente;
b). înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente;
c). bisectoarele unghiurilor de la bază sunt congruente.

6. În triunghiul isoscel ∆ ABC cu baza [BC], [AD] este bisectoarea unghiului A.
a). Aflați măsura unghiurilor triunghiului ∆ ABC știind că m( ∢BAD )=32o.
b). Aflați perimetrul triunghiului ∆ ABC știind că AC=10 cm și CD=0,6 dm.

7. Măsura unui unghi exterior unui triunghi isoscel este de 110o. Calculați măsurile
unghiurilor triunghiului. Câte soluții are problema? Dar dacă măsura unghiului exterior
este de 80o?

8. În triunghiul isoscel ∆ ABC (cu AB=AC) se duce înălțimea [AD]. Știind că perimetrul
triunghiului ∆ ABC este egal cu 32 cm și perimetrul triunghiului ∆ ADC este egal cu 24
cm, aflați lungimea înălțimii [AD].

9. Fie triunghiul ∆ ABC și [AM] înălțime. Perpendiculara din M pe dreapta AC
intersectează bisectoarea [AN (cu N∈(BC)) a unghiului ∢MAC în Q. Demonstrați că
triunghiul MNQ este isoscel.