Introducere … 1 [617835]

Cuprins

Introducere ………………………………………………………………………………………………. 1
Capitolul 1. Aspecte teoretice cu privire la valorile mobiliare, rentabilitate și
risc …………………………………………………………………………………………………………….. 3
1.1. Conceptul de valori mobiliare, tipuri de valori mobiliare …………………. 3
1.2. Conceptul de variabilă aleatoare și categorii de variabile aleatoare ….. 4
1.3. Distribuția normală …………………………………………………………………………. 6
1.4. Caracteristici numerice ale funcției de distribuție …………………………….. 9
1.5 Rentabilitatea valorilor mobiliare …………………………………………………… 13
1.6 Riscul valorilor mobiliare ……………………………………………………………….. 16
Capitolul 2. Aspecte teoretice cu privire la comportamentul aleatoriu al
valorilor mobiliare și calcul stochastic ………………………………………………………. 18
2.1. Timpul ca unitate de măsură în evoluția cursului valorilor mobiliare 18
2.2. Ecuația de mișcare a cursului bursier în timp discret și în timp continuu
……………………………………………………………………………………………………………… 19
2.2.1 Ecuația de mișcare a cursului în timp discret …………………………………. 19
2.2.2 Ecuația de mișcare a cursului în timp continuu ………………………………. 20
2.2.3 Calculul intervalului de probabilitate ……………………………………………. 22
2.3. Mișcarea browniană și Procesul Wiener ………………………………………… 23
2.4. Proprietatea Markov și proprietatea martingal ……………………………… 25
Capitolul 3. Studiu de caz – evoluția aleatoare și intervale de probabilitate
pentru acțiuni listate la BVB. ……………………………………………………………………. 26
3.1. Metodologia simulării evoluției cursului și a calculului intervalelor de
probabilitate ………………………………………………………………………………………….. 26
3.1.1 Simularea evoluției cotațiilor – Simularea Monte Carlo …………………… 26
3.1.2 Metodologia calculului intervalelor de probabilitate ……………………….. 30
3.2 Simularea evoluției aleatoare și calcului intervalelor de probabilitate
pentru acțiuni listate la BVB ………………………………………………………………….. 31
Concluzii și considerații personale ………………………………………………………….. 57
Bibliografie …………………………………………………………………………………………….. 59
Anexe …………………………………………………………………………………………………….. 60

1

Introducere

Evoluția cotațiilor activelor financiare este un domeniu care a fost și este
intens studiat, datorită faptului că acesta are o influență directă asupra averii
investitorilor, indiferent dacă acestea sunt deținători direcți, investitori în fonduri de
învestiții, fonduri de pensii sau organisme de plasament colectiv.
Deoarece obiectivul principal al investitorilor este prezervarea și
maximizarea averii, este important de înțeles comportamentul prețului valorilor
mobiliare tranzacționate pe piețele financiare secundare.
Piețele financiare sunt într-o evoluție continuă, astfel nu este de ajuns
stabilirea valorii reale an ulei active financiare tranzacționate. Diferența între
valoarea reală și prețul unei active financiare dă indicii privind mișcarea prețului
care poate să fie așteptată în viitorul apropiat, dar trebuie să luăm în considerare
faptul că însuși valoarea ”reală”, calculată, a unei active nu va fi constantă în timp.
Mai mult de atât nici evoluția acesteia nu va fi constantă, încât, cel puțin în cazul
acțiunilor, rezultatele companiilor nu sunt constante, și nici nu au creșteri sau scăderi
constante.
Rezultatele companiilor sunt influențate de mai mulți factori, printre care:
decizii ale managementului companiei, schimbări socioeconomice care afectează
cererea asupra produselor companiei, schimbări ale politicilor fiscale, apariția unor
competitori, efectele unor catastrofe naturale, etc. Acești factori la rândul lor sunt
influențați de alți factori, dintre care mulți nu pot fi prevăzuți, adică sunt factori
aleatorii.
Pe de altă parte evoluția cotațiilor este afectată și de evenimente aleatoare
legate mai strâns de tranzacționarea pe piețe. Un astfel de eveniment aleatoriu este
decizia de tranzacționare (cumpărare sau vânzare) a unui investitor individual,
decizie care la rândul său este determinată de alți factori, cum ar fi disponibilitatea
sau nevoia de fonduri, percepția individuală a investitorului asupra perspectivelor
acțiunii, etc.
Datorită celor sus menționate în această lucrare am studiat comportamentul
prețului acțiunilor prin tehnica stochastică, adică prin tratarea acesteia ca variabile
aleatoare. Tratarea prețului ca variabilă aleatoare înseamnă ca evoluția acesteia în
viitor este definită de evoluția din trecut a acesteia și a unui factor aleatoriu. Putem
presupune ca în viitor prețul unei valori mobiliare va fi afectat în mare parte de
factori aleatorii asemănătoare cu cele care l-au afectat în trecut.
Rezultatele obținute prin simularea evoluției prețurilor și calculul intervalelor
de probabilități în care se va situa prețul acțiunii după un interval de timp și o
probabilitate dată sunt importante în perspectiva înțelegerii riscului aferente
investiției.
Chiar dacă subiectul analizei sunt acțiunile, ideea de bază este aplicabilă și
mărfurilor și instrumentelor cu venit fix.
Principalele obiective propuse sunt: Prezentarea valorilor mobiliare,
prezentarea funcției de distribuție normală și a caracteristicilor numerice ale

2
acesteia, prezentarea rentabilității și a riscului valorilor mobiliare, prezentarea
comportamentului aleatoriu și a ecuației de mișcare a prețului valorilor mobiliare,
prezentarea mișcării browniene și a proprietăților acesteia, simularea de evoluții
aleatoare pentru acțiunile analizate și calculul intervalelor de probabilitate pentru
aceste acțiuni.
Pentru realizarea studiului de caz am ales șapte companii din categoria
Premium listate pe Bursa de Valori București: BRD Groupe Societe Generale S.A.,
Bursa de Valori București S.A., Banca Transilvania S.A., Electrica S.A., SIF
Transilvania S.A., OMV Petrom S.A. și Transgaz S.A.. Criteriul de alegere a
companiilor a fost lichiditatea, însă astfel, datorită dimensiunilor pieței, toate
companiile alese provin din domeniul financiar și energetic, care sunt singurele
domenii cu lichiditate mai mare pe această piață. Scurta descriere a companiilor și
date despre acestea se regăsesc în anexele la lucrare.
Lucrarea este compusă din trei capitole:
În primul capitol se regăsesc aspectele teoretice privind valorile mobiliare,
respectiv rentabilitatea și riscul acestora.
În al doilea capitol se regăsesc aspectele teoretice privind comportamentul
aleatoriu al valorilor mobiliare și procese stochastice.
În capitolul trei este prezentată metoda de simulare a comportamentului
prețurilor, simularea evoluției prețurilor la acțiunile analizate și calculul intervalelor
de probabilitate pentru diferite perioade și probabilități, respectiv compararea
acestora cu evoluția reală a prețului acțiunilor înregistrată pe Bursa de Valori
București.

3

Capitolul 1.
Aspecte teoretice cu privire la valorile mobiliare, rentabilitate
și risc

1.1. Conceptul de valori mobiliare, tipuri de valori mobiliare

Valorile mobiliare sunt titluri de valoare negociabile și transmisibile pe o piață
reglementată (Bursă de Valori), care conferă deținătorului dreptul de proprietate
asupra unei părți din societatea emitentă sau un drept de creanță față de emitent.
În teoria financiară se disting două tipuri de valori mobiliare primare: acțiunile
și obligațiunile.

Acțiunile sunt titluri de valoare emise de societăți. O acțiune reprezintă o
parte din capitalul unei societăți, divizat în părți egale. Veniturile obținute din acțiuni
poartă denumire de dividende (și reprezintă cota parte din profiturile care nu sunt
reinvestite, la care deținătorul de acțiuni este îndreptățit), iar persoanele care dețin
acțiuni sunt numite acționari. În cazul în care deții acțiuni într-o societate, ești
îndreptățit și la o cotă parte din valoarea societății respective, în situația în care
aceasta face obiectul procedurii de lichidare. Acțiunile pot conferi sau nu drept de
vot, ceea ce înseamnă că acționarul poate să nu dețină dreptul de a vota în cadrul
Adunării Generale a Acționarilor (AGA) sau cu privire la administrarea societății.
Asociate acțiunilor mai apar și Drepturile aferente deținerilor de acțiuni
(drepturi de preferință și drepturi de alocare). Drepturile de preferință sunt
instrumente financiare care conferă acționarilor dreptul de a subscrie acțiuni nou
emise înainte ca respectivele acțiuni să fie oferite spre subscriere altor acționari sau
unor părți terțe. Drepturile de preferință sunt tranzacționate separat de acțiunile pe
care acționarii au dreptul să le subscrie. Drepturile de alocare sunt valori mobiliare
negociabile emise pe termen scurt și care atestă dreptul deținătorului de a primi
acțiuni în momentul în care acțiunile societății sunt admise la tranzacționare pe piața
de capital.

Obligațiunile sunt titluri de creanță prin care emitentul autorizat se
împrumută de la deținătorii de obligațiuni și este obligat să ramburseze valoarea
obligațiunii și dobânda aferentă (numită cupon) la o dată viitoare denumită scadență.
Obligațiunea reprezintă, de fapt, un împrumut sub formă de titlu de valoare, dar sub
o altă denumire: emitentul de obligațiuni este echivalentul debitorului, deținătorul
de obligațiuni este echivalentul creditorului, iar cuponul reprezintă dobânda. În
momentul în care cumperi obligațiuni, în fapt, împrumuți bani unui emitent care
poate fi o autoritate publică sau o societate. În contul acestui împrumut, emitentul îți
va plăti o anumită rată a dobânzii pe întreaga durată de viață a obligațiunii (până la
scadență), iar la scadență ți se va returna și valoarea obligațiunii. Atât obligațiunile,

4
cât și acțiunile sunt titluri transferabile, diferența dintre cele două fiind aceea că
acționarii sunt deținători ai unei cote parte din societatea respectivă, iar deținătorii
de obligațiuni sunt creditori ai societății emitente. Tipurile de obligațiuni pentru care
poți opta pe piața de capital din România sunt: obligațiunile corporative, municipale
și internaționale. Obligațiunile corporative sunt obligațiuni emise de societăți.
Obligațiunile municipale sunt titluri de creanță emise de autoritățile locale, regionale
și de alte organisme guvernamentale în scopul atragerii de fonduri cu utilitate
publică. Obligațiunile internaționale sunt obligațiuni emise într-un anumit stat de
către entități din afara statului respectiv.
Titlurile de stat sunt instrumente financiare care atestă datoria publică,
constituind împrumuturile statului pe diferite termene (scurt, mediu sau lung), în
monedă națională sau în valută, fiind purtătoare sau nu de dobândă. Prin intermediul
acestor instrumente financiare, statul contracarează un împrumut pentru finanțarea
diferitelor proiecte proprii, a deficitului bugetului de stat, a datoriei publice, pentru
susținerea balanței de plăți sau pentru consolidarea rezervei valutare.

Titlurile de participare (de tipul unităților de fond sau acțiunilor) sunt
instrumente financiare emise de organisme de plasament colectiv (OPC), la un preț
stabilit în funcție de valoarea activului net al organismului respectiv.

Instrumentele financiare derivate sunt contracte financiare a căror valoare
este determinată de fluctuațiile activului suport care poate fi o acțiune, un indice
bursier, rata dobânzii, rata de schimb etc. Aceste instrumente pot fi utilizate pentru
a administra riscurile, pentru a reduce costurile sau pentru a maximiza profitul.
Instrumentele financiare derivate utilizate cel mai frecvent sunt contractele futures
și opțiunile . Contractele futures și opțiunile sunt contracte standardizate care se
referă la cumpărarea sau vânzarea unui anumit activ suport la o dată viitoare stabilită
și la un preț prestabilit. Data viitoare este denumită data livrării sau data decontării
finale. Prețul prestabilit se numește prețul futures. Prețul activului suport la data
livrării se numește preț de decontare. Un contract futures conferă deținătorului
obligația de a cumpăra sau vinde, în timp ce, în cazul opțiunii, deținătorul are dreptul,
dar nu și obligația de a cumpăra sau vinde. Astfel spus, deținătorul unei opțiuni poate
exercita contractul, în timp ce părțile implicate într-un ”contract futures” sunt
obligate să exercite contractul la data decontării.

1.2. Conceptul de variabilă aleatoare și categorii de variabile
aleatoare

În lumea financiară sunt utilizate trei tipuri de analiză cu scopul de a determina
valoarea instrumentelor financiare: analiza fundamentală, analiza tehnică și analiza
cantitativă.
Analiza fundamentală încearcă să determine valoarea corectă a unei companii
prin studierea situațiilor financiare, rapoartelor, competitorilor etc. Dezavantajele
acestei forme de analiză sunt că necesită cunoștințe aprofundate de contabilitate și

5
foarte multă muncă de analiză pe de o parte și că nici cea mai riguroasă și perfectă
stabilire a valorii unei companii nu înseamnă că se poate câștiga pe cursul bursier al
acesteia. Este posibil ca investitorul să identifice o companie subevaluată, dar nu are
nici o garanție că piața va ”corecta” această subevaluare. ”Piețele pot rămâne
iraționale mai mult timp decât poți tu rămâne solvabil.” (John Maynard Keynes.)
Contrar analizei fundamentale analiza tehnică ia în considerare numai
informațiile incluse în prețul activelor listate, și propune să prezică cursul acestora
prin utilizarea de diverse indicatori, analiză grafică, etc.
Analiza cantitativă este forma de analiză cel mai de succes în ultimii 50 de
ani. Dă o bază solidă teoriei portofoliilor, stabilirii prețului instrumentelor financiare
derivate și managementului riscului. Acest tip de analiză se bazează pe tratarea
cantităților financiare, cum sunt prețurile acțiunilor sau ratelor dobânzii ca fiind
aleatoare și pe găsirea celui mai potrivit model pentru a descrie acest comportament
aletoriu (Wilmott, 2007, p. 96).

Conceptul de variabilă aleatoare

Potrivit (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 29-31) variabila aleatoare sau
variabila stochastică este o variabilă cantitativă (măsurabilă) care ia diferite valori
în urma repetării experienței. Cu alte cuvinte, prin variabilă aleatoare înțelegem o
variabilă care se poate măsura și care este generată de cauze întâmplătoare, chiar
dacă condițiile rămân neschimbate.
Valoarea unei variabile aleatoare nu poate să fie exprimată de către
multitudinea cauzelor care o generează ca urmare valoarea acesteia este considerată
a fi determinată de factori întâmplători. În urma repetării experiențelor se va putea
constata, că anumite valori ale acesteia au o frecvență de apariție mai mare decât
altele, și variabila aleatoare o să fie mai comprehensivă dacă se cunoaște
probabilitatea cu care este luată fiecare valoare a acesteia.
Pentru ca o variabilă aleatoare să fie mai bine precizată este necesară
cunoașterea valorilor posibile ale acesteia, și probabilitățile cu care variabila ia
aceste valori (suma probabilităților trebuie să fie 1, adică 100%).
În această accepție variabila aleatoare are următoarea schemă de distribuție:

𝑋:ቀ𝑥ଵ 𝑥ଶ … 𝑥௡
𝑝ଵ 𝑝ଶ … 𝑝௡ ቁ

Unde: x 1, x2, … xn reprezintă valori le variabilei aleatoare (X); p 1, p2, … pn
reprezintă probabilitatea de apariție eferentă variabilei aleatoare x 1, x2, … xn .

Categorii de variabilă aleatoare

Sunt cunoscute două categorii de variabile aleatoare:
– Variabile aleatoare discrete
– Variabile aleatoare continue

6
Variabila aleatoare discretă este acea variabilă pentru care sunt cunoscute
(numărabile) valorile pe care acesta le poate lua, iar probabilitatea aferentă fiecăreia
dintre aceste valori este una punctuală (exactă). Cu alte cuvinte, variabila aleatoare
discretă este formată dintr-un număr limitat de valori pe care aceasta le poate lua și
probabilități calculate punctual pentru fiecare dintre aceste valori date.
Prin variabilă aleatoare continuă înțelegem acea variabilă pentru care nu sunt
cunoscute (nenumărabile) diferitele valori pe care aceasta le poate lua, ca urmare a
repetării experienței, iar probabilitatea unei valori a variabilei aleatoare poate fi
stabilită doar pe un anumit interval. Cu alte cuvinte, o variabilă aleatoare continuă
este formată dintr-un număr necunoscut (o infinitate) de valori pe care le poate lua
într-un interval și probabilitatea ca o valoare a variabilei aleatoare să se găsească
într-un anumit interval. Probabilitatea ca valoarea variabilei aleatoare continue să fie
una exactă este egală cu zero, iar probabilitatea ca această valoare să se găsească
într-un interval este diferită de zero. (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 29-31)
De exemplu, la aruncarea a doua zaruri, suma numerelor obținute este o
variabilă aleatoare. În general, în experimente în care numărăm (mașini în trafic,
aruncări ale unui zar până la obținerea unui șase, etc) variabilele aleatoare obținute
sunt variabile aleatoare discrete, iar în experimentele în care măsurăm (tensiunea
electrică, cantitatea de apa de ploaie, etc), variabilele obținute sunt variabile
aleatoare continue.
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia valori în intervalul ( x1, x2) se
exprimă cu expresia (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, p. 37):

𝐹(𝑥)= ∑𝑝௜௫మ
௜ୀ௫భ, dacă x este variabilă aleatoare discretă

𝐹(𝑥)= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥,௫మ
௫భ dacă x este variabilă aleatoare continuă

1.3. Distribuția normală

Distribuția normală, cunoscută și ca distribuția Gauss (după matematicianul
german Karl Friedrich Gauss), este o distribuție de probabilitate simetrică pe medie,
și care arată că datele (observațiile) care sunt mai aproape de medie sunt mult mai
frecvente decât cele care sunt mei departe de medie.
Curba densității de probabilitate de a distribuției normale a fost publicată
prima dată în 1733 de către Abraham De Moivre, dar a fost descrisă cu precizitate
științifică de Pierre-Simon Laplace și Gauss.
Distribuția normală este cea mai des utilizată distribuție de probabilitate în
analiza tehnică a instrumentelor financiare și în celelalte tipuri de analize statistice.
Această distribuție are doi parametri, – media și dispersia, și se notează astfel:
N(,2).
Densitatea de repartiție normală:

7
𝑓(𝑥)=1
√2𝑒ି(௫ିఓ)మ
ଶఙమ
Graficul densității de repartiție normală pentru distribuția normală normată
(standardizată) N(0,1):

Figura 1.3.1 Curba densității de probabilitate a distribuției normale

În cazul unei distribuții normale 68% dintre observații se încadrează între +/-
o deviație standard (abaterea medie pătratică, =√ଶ.), 95% între +/- două deviații
standard iar 99,7% între +/- trei deviații standard.

Distribuția normală se bazează pe Teorema limita centrală, care afirmă, că
suma unei număr mare de variabile aleatoare independente, identic distribuite,
standardizate poate fi aproximată de o distribuție normală (Medvegyev, 2017, p.
194). Aceasta poate fi demonstrată cu un experiment simplu: se aruncă o monedă și
depinzând de partea care arată în sus (cap sau pajură) pierdem sau câștigăm un leu.
Experimentul se repetă crescând numărul de aruncări. Distribuția de probabilitate
aferentă se regăsește pe următorul grafic:

Figura 1.3.2 Funcția de densitate a probabilității după mai multe experimente cu
moneda. (Wilmott, 2007, p. 114)
-5
-3
-1
1
3
5

8

Curba de repartiție normală atinge maximul în medie ( x=) și scade treptat și
simetric atât pe partea pozitivă cât și pe partea negativă apropiindu-se asimptotic de
axa absciselor ( lim
௡→ିஶ𝑓(𝑥)= 0; lim
௡→ஶ𝑓(𝑥)= 0). Deoarece funcția ia aceleași valori
pozitive pentru +/- x, și f(x)>0, curba repartiției normale se situează totdeauna
deasupra axei absciselor. Curba are două puncte de inflexiune simetrice pe axa
ordonatelor în punctele x+ și x-.
Suprafața delimitată de axa absciselor și curbă este întotdeauna egală cu unu
(∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥ஶ
ିஶ= 1), schimbarea de formă (înălțarea sau aplatizarea) a curbei de
repartiție depinde de schimbarea dispersiei rezultatelor. Mărirea dispersiei aduce
aplatizarea curbei iar reducerea acesteia aduce înălțarea/ascuțirea curbei. Acest lucru
se poate observa pe figura 1.3.3 pe care sunt reprezentate trei curbe de repartiție
normală, având aceiași medie și abateri medii pătratice diferite.

Figura 1.3.3 Curbe de densități cu dispersii diferite ( =0,5; =0,75; =1)

Funcția de repartiție normală arată probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia
o valoare mai mică decât x și are forma:

𝑓(𝑥)=න1
√2𝑒ି(௫ିఓ)మ
ଶఙమ𝑑𝑥௫
ିஶ

Funcția de repartiție normală normată ( =0,=1)are forma:

(𝑧)=1
√2𝜋න𝑒ି௫మ
ଶ𝑑𝑥௭
ିஶ

unde: ଵ
√ଶగ∫𝑒ିೣమ
మ𝑑𝑥௭
ିஶ=𝑓(𝑥) reprezintă densitatea de repartiție pentru
distribuția normală standard, și se poate demonstra ca probabilitatea ca o variabilă
aleatoare X=N(,2) să ia o valoare în intervalul ( x1,x2) este: P(x1<X<x2)=(z2)-
(z1). (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, p. 52). -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

9
Curba de repartiție este simetrică pe punctul definit de medie pe axa absciselor
și 0,5 pe axa ordonatelor ( ; 0,5) și are o înclinație invers proporțională cu dispersia,
ceea ce poate fi observat pe figura 1.3.4.

Figura 1.3.4 Curbe de repartiție cu dispersii și medii diferite

Ca să obținem o variabilă aleatoare normal distribuită cu media 0 și abaterea
standard 1 ( ZN(0,1)) dintr-o variabilă aleatoare continuă normal distribuită
X=N(,2) utilizăm formula 𝑍=௑ି
 . Acest procedeu este standardizarea variabilei
aleatoare.

1.4. Caracteristici numerice ale funcției de distribuție

Repartiția unei variabile aleatoare X poate fi caracterizată prin indicatori
statistici cum sunt media, abaterea medie pătratică, varianța, covarianța și corelația.
Condensarea datelor care definesc distribuția este necesară când se dorește
compararea a mai multor serii de date diferite. Este importantă definirea cantitativă
a parametrilor repartiției de frecvență, reducându-le numărul cât mai mult posibil.

”Media statistică , este o sumă ponderată a valorilor variabilei aleatoare cu
probabilitățile de realizare a acelor valori. Oricare ar fi modul în care este definită
o medie, este necesar să se precizeze faptul că ea reprezintă o anumită valoare a
variabilei și are aceleași dimensiuni ca și variabila” (Brătian, Bucur, Opreana, 2016,
p. 41).

Media aritmetică a unui eșantion, numită și valoarea așteptată, este valoarea
medie a unui set de numere, mai exact suma valorilor împărțită cu numărul valorilor:

𝑥= 1
𝑛൭෍𝑥௜௡
௜ୀଵ൱=𝑥ଵ+𝑥ଶ+⋯+𝑥௡
𝑛 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
 = 0,  = 1  = 2,  = 0.5  = 1,  = 0.75  = 0,  = 0.5

10

Simbolul 𝑥 reprezintă media aritmetică a unui set de valori 𝑥ଵ,𝑥ଶ,…𝑥௡, dacă
setul de date se bazează pe mai multe observații dintr-o populație statistică, și se
distinge de media repartiției, care se denotă cu simbolul .

Potrivit (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 41-44) media unei variabile
aleatoare discrete X se poate exprima cu relația:

=𝐸(𝑥)=෍𝑥௜∙𝑝௜௡
௜ୀଵ

Media unei variabile aleatoare continue X (când n tinde spre infinit și 𝑥 tinde
spre o valoare limită) se poate exprima cu relația:

=𝑙𝑖𝑚
௡→ஶ𝑥= 𝑙𝑖𝑚
௡→ஶ∑𝑥௜௡
௜ୀଵ
𝑛

=𝐸(𝑥)=න𝑥∙𝑓(𝑥)𝑑𝑥ାஶ
ିஶ

Media aritmetică este considerată ca fiind indicatorul cel mai adecvat pentru
descrierea unei serii de date (cu rare excepții), dar care nu furnizează informații
despre împrăștierea valorilor pe baza cărora este calculată, sau pe care poate lua o
variabilă aleatoare.
Un indicator care servește la caracterizarea gradului de împrăștiere a
mărimilor statistice este amplitudinea care se poate exprima atât în mărimi absolute
cât și relative.
Amplitudinea absolută este diferența între valoarea maximă și minimă a
caracteristicii (𝐴௔=𝑥௠௔௫−𝑥௠௜௡), iar amplitudinea relativă se exprimă de regulă
în procente și se calculează ca raport între amplitudinea absolută și media aritmetică
(𝐴௥=𝐴௔𝑥∙100⁄ ).
Gradul de variație al unei caracteristici depinde de toate abaterile varianțelor
înregistrate și de frecvența lor de apariție și prin urmare indicatorii simpli ai variației
nu pot exprima întreaga variație a unei populații statistice. De aceea a fost necesară
introducerea indicatorilor sintetici ai variației. Indicatorii sintetici ai variației, la fel
ca și indicatorii tendinței centrale trebuie să se bazeze pe toate observațiile, sa fie
ușor de calculat, ușor de înțeles și să fie cât mai puțin afectați de fluctuațiile de
selecție.
Cele mai importante proprietăți ale mediei aritmetice sunt (Csernyák, și alții,
1996, pg. 18-21):
– Media se va situa tot timpul între cea mai mare și cea mai mică valoare.
– Dacă înmulțim valoarea tuturor observațiilor cu un număr diferit de zero,
media rezultată fa vi media observațiilor înmulțită cu același număr.

11
– Dacă adăugăm la fiecare observație același număr media rezultată va fi
mai mare (sau mai mică) cu numărul respectiv față de media observațiilor.
– Suma diferențelor între observații și media acestora este tot timpul egală
cu zero: ∑ (𝑥௜ି𝑥̅)= 0௡
௜ୀଵ

Abaterea medie pătratică și varianța

Media aritmetică descrie datele observate printr-o singură valoare, care nu dă
informații suficiente despre acestea. De exemplu media unei rentabilități de 3% și
de 1% este 2%, dar și media unei rentabilități de 8% și de -4% este tot 2%. Din
cauza este necesară studierea abaterii valorilor față de medie.

Abaterea medie pătratică (volatilitatea) , cunoscută și ca abaterea
standard () se calculează ca o medie pătratică din abaterile tuturor elementelor
seriei de la media lor aritmetică și arată abaterea medie a valorilor față de media
acestora:
Abaterea medie pătratică pentru un eșantion:

𝑠=ඨ∑ (𝑥௜−𝑥)ଶ ௡
௜ୀଵ
𝑛−1

Și pentru o populație statistică:

𝜎=ඨ∑ (𝑥௜−)ଶ ௡
௜ୀଵ
𝑛
Abaterea medie pătratică asigură măsurii împrăștierii aceiași semn matematic,
la care se ajunge prin ridicarea la pătrat a acestora. Acest procedeu este cel mai
simplu dintre procedeele care asigură aceiași semn și este necesar deoarece suma
simplă a abaterilor este întotdeauna egală cu zero.

Varianța sau dispersia este pătratul abaterii standard:

𝜎ଶ=∑ (𝑥௜−)ଶ ௡
௜ୀଵ
𝑛

În cazul în care populația tinde spre infinit, potrivit (Brătian, Bucur, Opreana,
2016, pg. 44-45) varianța este:

𝐷(𝑋)=𝜎ଶ= lim
௡→ஶ∑ (𝑥௜−)ଶ ௡
௜ୀଵ
𝑛=𝐸(𝑥௜−)ଶ

Sau pentru variabila discretă:

12
𝐷(𝑋)=𝜎ଶ=෍(𝑥௜−𝜇)ଶ𝑝௜௡
௜ୀଵ
Pentru variabila continuă:

𝐷(𝑋)=𝜎ଶ=න(𝑥−𝜇)ଶ𝑓(𝑥)𝑑𝑥ାஶ
ିஶ

Varianța este un indicator precis definit care se bazează pe toate observațiile
făcute, este ușor de calculat și se poate demonstra că este măsura împrăștierii cel mai
puțin afectată de fluctuațiile de selecție.

Covarianța și corelația

Covarianța este măsura variației comune a două variabile aleatorii. Dacă
valorile mari ale unei variabile aleatorii corespund valorilor mari a altei variabile
aleatorii, și valorile mici corespund la fel valorilor mici atunci covarianța este
pozitivă. Dacă valorile mari ale unei variabile corespund valorilor mici ale altei
variabile și viceversa, atunci covarianța este negativă. Covarianța exprimă doar o
relație lineară între cele două variabile, asta însemnând că mărimea valorilor
variabilelor nu este proporțională, adică covarianța arată doar direcția nu și mărimea
variabilei.
Covarianța poate fi exprimată cu relația:

𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=𝜎௑௒=1
𝑛෍(𝑥௜௡
௜ୀଵ−𝜇௫)∙(𝑦௜−𝜇௬)

Sau pentru variabila discretă (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, p. 47):
𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=෍෍(𝑥௜௡
௝ୀଵ−𝜇௫)∙(𝑦௜−𝜇௬௡
௜ୀଵ)∙𝑝௜௝

Pentru variabila continuă:
𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)=න න(𝑋−ାஶ
ିஶାஶ
ିஶ𝜇௫)∙൫𝑌−𝜇௬൯𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

Corelația este covarianța normalizată pentru intervalul [-1,1], arată
raporturile reciproce dintre variabilele aleatoare și are următoarea expresie:

𝑅(𝑋,𝑌)=𝜌=𝑐𝑜𝑣(𝑋,𝑌)
ඥ𝜎௑ଶ∙𝜎௒ଶ

13
Valorile corelației sunt cuprinse între -1 și 1. Dacă valoarea este 1 variabilele
sunt perfect corelate, dacă este -1 atunci sunt perfect invers corelate (negativ
corelate) iar dacă valoarea este 0, atunci nu sunt corelate (sunt independente).
Apropierea de 1 a valorii indicelui de corelație arată cât de strânsă este legătura între
cele două variabile.

1.5 Rentabilitatea valorilor mobiliare

Rentabilitatea unei valori mobiliare este plusul sau minusul de valoare obținut
din investiția în acesta, după perioadă de timp. Rentabilitatea poate fi exprimată ca
schimbarea valorii în unități monetare a unei investiții în timp (formă absolută) sau
procentual raportând beneficul (pierderea) obținut la valoare inițială a investiției
(formă relativă).
Valoarea absolută a rentabilității este dată de schimbarea prețului valorii
mobiliare, adică câștigul sau pierderea de capital plus dividendele obținute în cazul
acțiunilor, și câștigul de capital plus dobânda în cazul obligațiunilor. Rentabilitatea
absolută are dezavantajul că nu este comparabilă și nu poate fi folosit în diferite
calcule matematice cum sunt cele pentru calcularea riscului și rentabilității unui
portofoliu, sau cele pentru stabilirea intervalelor de probabilitate pentru prețul unui
instrument financiar sau marfă tranzacționată pe bursă. Din această cauză în
calculele financiare se folosește rentabilitatea relativă.
Rentabilitatea pentru o singură perioadă de orice lungime este:

𝑅=𝑉௙−𝑉௜
𝑉௜

Unde: Vf = valoarea finală a investiției incluzând dividendele sau dobânda, Vi
= valoarea inițială a investiției. Transformarea rentabilității pe întreaga perioadă, R,
în rata rentabilității pe o perioadă t, cu simbolul r, se numește anualizare și are
următoare expresie:
𝑟=𝑅
𝑡

Dacă considerăm că plusvaloarea este reinvestită (în cazul investiției în
acțiuni orice rentabilitate calculată până la momentul vânzării poate fi considerată
reinvestită, deoarece rentabilitatea pentru următoarea fracțiune de perioadă se va
baza pe prețul actual), datorită efectului de acumulare relație între r și R va fi:

(1+𝑟)௧= 1+𝑅

Din care rezultă:
𝑟=√1+𝑅೟−1

14
Și:
൬1+𝑅
𝑡൰௧
= 1+𝑅

Dacă luăm în considerare că valorile și rentabilitățile portofoliilor de valori
mobiliare pot fi calculate în orice moment, și asta va fi diferită după fiecare
schimbare de preț, schimbări care pe perioada T pot avea un număr extrem de mare
(limitat numai de capacitatea sistemului electronic de tranzacționare), atunci putem
considera ca t tinde spre infinit, ceea ce va duce la o rentabilitate continuă.
Rentabilitatea continuă poate fi exprimată astfel: (Brătian, Bucur, Opreana,
2016, pg. 64-65):

lim
௧→ஶ൬1+𝑅
𝑡൰௧
=𝑒ோ

𝑉௙=𝑉௜∙𝑒௥∙௧

Prin substituire se obține:

𝑒ோ= 1+𝑉௙
𝑉௜−1 ⇒ ln 𝑒ோ= ln൬𝑉௙
𝑉௜൰ ⇒𝑅ln𝑒= ln𝑉௙−ln𝑉௜⇒𝑅= ln𝑉௙−ln𝑉௜

Rentabilitatea unei valori mobiliare este o rentabilitate logaritmică , ceea ce
înseamnă că rentabilitatea globală este suma rentabilităților parțiale înregistrate pe
parcursul perioadei.

Figura 1.5.1 Distribuția rentabilităților zilnice la Banca Transilvania SA în perioada 06.12.2018
– 06.12.2019
-25.00%-20.00%-15.00%-10.00%-5.00%0.00%5.00%10.00%15.00%
media rentabilităților zilnice rentabilități zilnice

15
De asemenea, distribuția rentabilităților observate pe o perioadă suficient de
lungă (mai mulți ani), poate fi aproximată de distribuția normală, ceea ce înseamnă
că rentabilitățile din jurul valorii așteptate sunt cele mai frecvente (Száz, 1999, p.
244). Acest fenomen poate fi observat pe figura 1.5.2, din care reiese că pentru
perioada 06.12.2018 – 06.19.2019 la Banca Transilvania S.A. cele mai frecvente
rentabilități zilnice se află într-un interval de 0,5%, respectiv ± 0,25% față de medie.

Figura 1.5.2 Histograma rentabilităților zilnice la Banca Transilvania SA în perioada
06.12.2018 – 06.12.2019 (lățimea unei bare este de 0,5%)

Previziunea rentabilității valorilor mobiliare

Potrivit (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 65-66) pe baza rentabilităților
aritmetice înregistrate în trecut se poate previziona rentabilitatea unei valori
mobiliare. Din rentabilitățile pe o perioadă (de exemplu pe o zi de tranzacționare) se
poate calcula o medie, care, potrivit legii repartiției normale va avea cea mai mare
probabilitate de incidență în viitor.
Dacă rentabilitatea este normal distribuită RN(,2), atunci rentabilitatea
așteptată va avea următoare expresie:

𝜇=1
𝑛෍𝑅௜௡
௜ୀଵ

Unde:  = rentabilitatea așteptată (sperată), n = numărul de rentabilități din
eșantionul analizat, Ri = rentabilitățile înregistrate.

16
1.6 Riscul valorilor mobiliare

În domeniul financiar riscul poate fi definit ca probabilitatea ca beneficiile
unei investiții să difere de la un rezultat sau rentabilitate așteptată. Riscul include și
posibilitatea de a pierde o parte din, sau toată investiția inițială.
Orice activitate de investiții, inclusiv și cele de economisire (depozite bancare
etc.) implică diferite riscuri și o rentabilitate. Aceste riscuri pot fi împărțite în două
categorii: riscuri sistematice și riscuri specifice. Investitorii sunt expuși atât
riscurilor sistematice cât și riscurilor specifice.
Riscurile sistematice, cunoscute și ca riscuri de piață afectează un segment de
piață și o mare parte din piața (economia) totală. Riscul de piață înseamnă riscul de
a pierde dintr-o investiție datorită factorilor politici și macroeconomici care
afectează întreaga piață, și nu poate fi redus ușor prin diversificarea portofoliului.
Alte tipuri de risc sistematic sunt: riscul ratei de dobândă, riscul de inflație, riscul
cursului de schimb valutar, riscul de lichiditate, riscul de țară și riscul sociopolitic.
Riscurile specifice sunt riscuri care afectează numai o ramură de industrie sau
o companie și înseamnă riscul de a avea pierderi datorită factorilor care afectează o
companie sau o ramură a industriei. Aceste riscuri pot fi: riscul apariției unui
competitor, riscul de management, riscul de rechemare, riscul de reglementare.
Aceste riscuri pot fi diversificate prin investiția în active din sectoare diferite.
Riscul unei valori mobiliare se calculează luând în considerare
comportamentul din trecut al acesteia. Pentru cuantificarea riscului se folosește
abatere medie pătratică, care arată volatilitatea din trecut al prețului activului
financiar față de media acesteia:
𝜎=ඥ𝜎ଶ=ඩ1
𝑛−1෍(𝑅௜−)ଶ௡
௜ୀଵ

Volatilitatea este cantitatea cea mai importantă și cea mai grea de explicat în
teoria derivativelor financiare. Datorită scalării cu timpul al acestora, driftul și
volatilitatea au efecte diferite asupra drumului parcurs de prețul unei active. Pe
termen scurt domină volatilitatea iar pe termen lung devine important driftul.
Este foarte puțin probabil ca volatilitatea unei active listate să fi constantă
pentru o perioadă mai lungă. Schimbările condițiilor de piață vor conduce inevitabil
la schimbarea volatilității. Volatilitatea este calculată dintr-o serie de date din trecut
ceea ce nu garantează că volatilitatea calculată este gală cu volatilitatea din prezent
sau viitor (Wilmott, 2007, pg. 108-109).

Criteriul rentabilitate – risc al valorilor mobiliare

Criteriul rentabilitate – risc înseamnă că rentabilitatea potențială a unei
investiții crește proporțional cu riscul acesteia. Investitorii asociază un nivel redus
de incertitudine cu o rentabilitate potențială redusă și un nivel înalt de incertitudine
cu o rentabilitate potențială înaltă. Astfel potrivit acestei principii o investiție va avea

17
o rentabilitate înaltă numai dacă investitorul acceptă un risc mare, adică o posibilitate
mai mare de a avea pierderi.
Criteriul rentabilitate – risc corespunzător fiecărui investitor depinde de mulți
factori, printre care toleranța pentru risc al investitorului, perioada pe care dorește să
investească sau potențialul de înlocuire a fondurilor pierdute.
În general investitorii au o aversiune față de risc, dar totuși diferă între ei prin
măsura riscului pe care îl acceptă. Astfel putem distinge trei categorii de investitori:
riscofobi (cu aversiune mare față de risc), neutri și riscofili (cu preferință față de
risc).
Dintre două investiții cu rentabilități așteptate egale investitorii vor alege pe
cel cu riscul (volatilitatea) mai mic. Acest fapt se datorează gradului de creștere în
scădere al funcției de utilitatea al averii. Utilitatea în plus generată de dublarea averii
este mai mică decât utilitatea deținerii averii. În această accepțiune o oportunitate de
investiție cu risc mai mare înseamnă o posibilitate de mărire și o posibilitate de
pierdere a averii mai mare. Din aversiunea față de risc al investitorilor rezultă că
investitorul va accepta un risc mai mare numai pentru o primă de risc, adică o
rentabilitatea așteptată mai mare (Száz, 1999, pg. 245-246).
Un investitor care investește în valori pe termen lung are posibilitatea de a
aștepta evoluția favorabilă a pieței pentru a recupera o eventuală pierdere, iar un
investitor care investește pe termen scurt nu-și permite acest lucru. Astfel
investitorul pe termen lung va accepta un risc mai mare, decât investitorul pe termen
scurt.
Un investitor cu potențial mare de înlocuire a fondurilor pierdute (de exemplu
care investește doar o parte mică din averea lui în active riscante) va accepta un risc
mai mare în speranța unei rentabilități mai mari pentru că în cazul unei pierderi va
avea fondurile necesare de a realiza noi investiții cu rentabilitate potențială înaltă.
Optimizarea criteriului rentabilitate-risc înseamnă alegerea investiției cu
rentabilitatea maximă sperată ( E(Ri)) în condițiile unui risc dat sau alegerea
investiției cu risc minim în condițiile unei rentabilități sperate.
Satisfacerea criteriului rentabilitate – risc implică maximizarea funcției de
utilitate notat cu U(E(Ri), ). Funcția de utilitate are următoarele proprietăți
(Dragota, 2003, p. 75) citat de (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 75-76):

Pentru riscofobi:
∂𝑈
∂𝐸(𝑅௜)> 0 ș𝑖 ∂𝑈
∂< 0
Pentru neutri:
∂𝑈
∂𝐸(𝑅௜)> 0 ș𝑖 ∂𝑈
∂≈ 0
Pentru riscofili:
∂𝑈
∂𝐸(𝑅௜)> 0 ș𝑖 ∂𝑈
∂> 0

18

Capitolul 2.
Aspecte teoretice cu privire la comportamentul aleatoriu al
valorilor mobiliare și calcul stochastic

2.1. Timpul ca unitate de măsură în evoluția cursului valorilor
mobiliare

Pe baza celor prezentate în capitolele anterioare putem modela rentabilitatea
unei valori mobiliare sub forma unei variabile aleatoare. De asemenea putem calcula
speranța de rentabilitate și riscul aferent unei valori mobiliare. Astfel putem exprima
rentabilitatea unei valori mobiliare prin ecuația (Wilmott, 2007, pg. 105-106) și
(Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 76-79) :

𝑅௜=𝐶௜ାଵ−𝐶௜
𝐶௜=𝜇+𝜎∙𝑍

unde: Z = variabilă normală standard, cu medie 0 și varianță 1, 𝑍~𝑁(0,1);
𝑅௜~𝑁(𝜇,𝜎ଶ).

Pentru a modela efectul timpului asupra distribuției rentabilității notăm pasul
de timp cu ∆𝑡, unde:
∆𝑡=1
𝑇

Ca unitate de timp T este utilizat e regulă anul dar poate să se refere și la alte
perioade de timp (zi, săptămână, lună, multiplu de an, etc.), și se exprimă ca multiplu
al fracțiunii utilizate al acesteia (de exemplu T=252 în cazul în care socotim zilele
de tranzacționare bursieră dintr-un an). ∆𝑡 este o fracțiune de timp al T. Dacă
fracțiunea este luna atunci ∆𝑡= 1/12, iar dacă fracțiunea este o zi de tranzacționare
atunci ∆𝑡= 1/252.
Rentabilitatea și volatilitatea se măsoară în funcție de unitatea de timp. Cu cât
trece mai mult timp cu atât evoluează mai mult cotația valorilor mobiliare, pe medie.
Ca să obținem media aferentă pasului timp trebuie să înmulțim media aferentă
timpului total cu pasul de timp: 𝜇∙∆𝑡, unde 𝜇௔௡௨௔௟=𝜇௟௨௡௔௥∆𝑡⁄, în cazul în care
fracțiunea de timp este o lună (1/12 an).
Dacă se ignoră pe moment factorul aleatoriu ( 𝜎∙𝑍), rezultă ecuația de
mișcare:
𝐶௜ାଵ−𝐶௜
𝐶௜=𝜇∙∆𝑡
Adusă la același numitor:
𝐶௜ାଵ=𝐶௜(1+𝜇∆𝑡)

19
Se poate spune, că dacă cotația inițială a valorii mobiliare este C 0 atunci cotația
viitoare va fi:
– după un pas de timp t=t: 𝐶ଵ=𝐶଴(1+𝜇∙∆𝑡)

– după doi pași de timp t=2t: 𝐶ଶ=𝐶଴(1+𝜇∙∆𝑡)ଶ

– după n pași de timp t=nt=T: 𝐶௡=𝐶଴(1+𝜇∙∆𝑡)௡

Ecuația 𝐶௡=𝐶଴(1+𝜇∙∆𝑡)௡ exprimă mișcarea cotației în timp discret.

Deoarece și volatilitatea se măsoară în funcție de unitatea de timp, și fiecare
termen al acesteia este calculată ca rădăcina pătrată a mediei aritmetice a pătratului
abaterii acestuia față de medie, t devine √∆𝑡, din care rezultă că abaterea medie
pătratică trebuie înmulțită cu rădăcina pătrată a pasului de timp: 𝜎∙√∆𝑡.
𝜎௔௡௨௔௟=𝜎௟௨௡௔௥√∆𝑡⁄, în cazul în care fracțiunea de timp este o lună (1/12 an).

După adăugarea componentei variabile rezultă ecuația de mișcare:

𝐶௜ାଵ−𝐶௜
𝐶௜=𝜇+𝜎√∆𝑡∙𝑍

2.2. Ecuația de mișcare a cursului bursier în timp discret și în timp
continuu

2.2.1 Ecuația de mișcare a cursului în timp discret

Prin rearanjarea ecuației: ஼೔శభି஼೔
஼೔=𝜇+𝜎√∆𝑡∙𝑍 o să avem (Wilmott, 2007, p.
106) și (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, p. 79):

𝐶௜ାଵ−𝐶௜=𝜇𝐶௜∆𝑡+ 𝜎𝐶௜𝑍√∆𝑡

Ecuație de mișcare cu două componente care sunt simetrice. Componenta
𝐶௜ାଵ−𝐶௜ exprimă modificarea cotației bursiere a valorii mobiliare în intervalul de
timp (i, i+1), iar componenta 𝜇𝐶௜∆𝑡+ 𝜎𝐶௜𝑍√∆𝑡 exprimă modul în care se
realizează această modificare în timp discret (.

Analizând ecuația se poate observa că (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, p. 79):

𝐶௜ାଵ=𝐶௜(1+𝜇∆𝑡+𝜎𝑍√∆𝑡)

𝐶௜ାଵ−𝐶௜
𝐶௜=𝜇+𝜎√∆𝑡∙𝑍⇒𝐶௜ାଵ
𝐶௜= 1+𝜇∆𝑡+𝜎𝑍√∆𝑡 ⇒

20
ln൬𝐶௜ାଵ
𝐶௜൰= ln൫1+𝜇∆𝑡+𝜎𝑍√∆𝑡൯⇒𝑅௜= ln൫1+𝜇∆𝑡+𝜎𝑍√∆𝑡൯

2.2.2 Ecuația de mișcare a cursului în timp continuu

Cotația unei valori mobiliare se schimbă de fiecare dată când se face o
tranzacție cu aceasta, la un preț diferit de prețul precedent. Dacă se fac tranzacții
consecutive la aceiași preț atunci putem spune că schimbarea este egală cu zero,
adică rentabilitatea pe perioada determinată de tranzacțiile în cauză este zero.
De obicei în rapoartele sau statisticile privind piețele de capital apar preșurile
de închidere, care sunt ultimele prețuri la care s-a realizat tranzacție într-o ședință de
tranzacționare. Se poate întâmpla ca pe parcursul unei ședințe de tranzacționare să
facă o singură tranzacție sau să nu se facă nici o tranzacție la titluri cu lichiditate
scăzută, însă aceste titluri rareori sunt subiectul analizelor privind evoluția cursului.
În cazul titlurilor cu lichiditate mare într-o ședință de tranzacționare se fac foarte
multe tranzacții, numărul acestora crescând proporțional cu lungimea perioadei
analizate (putem considera că numărul tranzacțiilor tinde spre infinit). De asemenea
nu putem să știm care vor fi valorile pe care cursul o să ia pe perioada tranzacționării,
singurii factori limitator în acest sens poate să fie pasul de tranzacționare bursier
(stabilirea unor pasuri de preț la care se pot introduce ordine de tranzacționare) și
limita de variație zilnică a prețului impusă de operatorul pieței.
Astfel putem spune, că datorită comportamentului cotațiilor pe bursă,
modificarea cursului valorilor mobiliare se realizează în timp continuu.
Pentru transformarea ecuației 𝐶௜ାଵ−𝐶௜=𝜇𝐶௜∆𝑡+𝜎𝐶௜𝑍√∆𝑡 din timp discret
în timp continuu notăm modificarea cotației bursiere cu dC, și mergem la limita lui
∆𝑡= 0. La imită ∆𝑡 devine dt, și ecuația de mișcare a cursului (ecuație diferențială
stochastică) devine (Wilmott, 2007, p. 112) și (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, p.
80):
𝑑𝐶=𝜇𝐶𝑑𝑡+𝜎𝐶𝑍√𝑑𝑡

Termenul 𝑍√𝑑𝑡 reprezintă o mișcare browniană sau proces Wiener și poate fi
notat și ca dB, astfel ecuația de mișcare va avea următoarea formă:

𝑑𝐶=𝜇𝐶𝑑𝑡+𝜎𝐶𝑑𝐵

Un exemplu relevant pentru mișcarea aleatoare log-normală (Weatherwax,
2008, pg. 8-9) citat de (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 81-82) :

Ecuația diferențială pentru C este:

𝑑𝐶=𝜇𝐶𝑑𝑡+𝜎𝐶𝑑𝐵
și folosim euristica:
𝑑𝐶ଶ=𝜎ଶ𝐶ଶ𝑑𝑡=𝜎ଶ𝐶ଶ𝑑𝑡

21
Dacă considerăm o funcție F definită cu următoarea proprietate (Este cunoscut
ca mișcarea cotației acțiunilor urmărește o evoluție care este definită de regula log-
normală.):

𝐹(𝐶)=𝑙𝑛(𝐶)

𝑑𝐹
𝑑𝐶=1
𝐶
Și:
𝑑ଶ𝐹
𝑑𝐶ଶ= −1
𝐶ଶ

Diferențiala funcției F, dezvoltat în serie Taylor este:

𝑑𝐹=𝑑(𝑙𝑛𝐶)=𝑑𝐹
𝑑𝐶𝑑𝐶+1
2𝑑ଶ𝐹
𝑑𝐶ଶ𝑑𝐶ଶ=1
𝐶ଶ(𝜇𝐶𝑑𝑡+𝜎𝐶𝑑𝐵)+1
2൬−1
𝐶ଶ൰𝜎ଶ𝐶ଶ𝑑𝑡
=1
𝐶ଶ𝜇𝐶𝑑𝑡+1
𝐶𝜎𝐶𝑑𝐵−1
2𝐶ଶ𝜎ଶ𝐶ଶ𝑑𝑡=𝜇𝑑𝑡+𝜌𝑑𝐵−1
2𝜎ଶ𝑑𝑡
=൬𝜇−1
2𝜎ଶ൰𝑑𝑡+𝜎𝑑𝐵=൬𝜇−1
2𝜎ଶ൰𝑑𝑡+𝜎𝑍√𝑑𝑡

Expresia poate fi integrată și se obține următoarea ecuație:

𝑙𝑛𝐶(𝑡)−𝑙𝑛𝐶(0)=൬𝜇−1
2𝜎ଶ൰𝑡+𝜎(𝐵(𝑡)−𝐵(0))

Soluția pentru cotație la momentul (t) este:

𝐶(𝑡)=𝐶(0)𝑒ቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାఙ(஻(௧)ି஻(଴))

Unde: B(t) este un proces Gaussian; 𝐵(𝑡)−𝐵(0)=𝑍√𝑡 ; ZN(0,1)

După un pas de timp ∆𝑡 ecuația de mișcare este (Brătian, 2016):

𝐶(𝑡+∆𝑡)=𝐶(𝑡)+∆𝑡=𝐶(𝑡)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ∆௧ାఓ௓√∆௧ቃ

Dat fiind faptul că la momentul inițial cotația activului financiar este C(0),
atunci rentabilitatea pentru o perioadă până la momentul t, în viitor este dată de
expresia 𝑙𝑛஼(௧)
஼(଴) și va avea distribuția normală:
ln𝐶(𝑡)
𝐶(0)𝑁ቆ൬−1
2𝜎ଶ൰𝑡,𝜎√𝑡ቇ

22
2.2.3 Calculul intervalului de probabilitate

Datorită faptului că logaritmul cotației activului financiar este normal
distribuită, poate fi determinat intervalul de încredere pentru C(t), astfel cotația , la
momentul t, se va afla cu o probabilitate de 99% între următoarele limite (Brătian,
Opreana, Bucur, 2017):

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ

Cu o probabilitate de 90% între următoarele limite:

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ

Cu o probabilitate de 75% între următoarele limite:

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ

Adică probabilitatea ca cotația să fie într-un interval după o perioadă t este:

𝑃ቆ൤൬𝜇−1
2𝜎ଶ൰𝑡−2,58𝜎 √𝑡൨≤ ln𝐶(𝑡)
𝐶(0)≤൤൬𝜇−1
2𝜎ଶ൰𝑡+2,58𝜎 √𝑡൨ቇ
→ 𝑃൬𝐶(0)𝑒ቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ,ହ଼ఙ√௧≤ 𝐶(𝑡) ≤ 𝐶 (0)𝑒ቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ,ହ଼ఙ√௧൰= 99%

Figura 2.2.1 Reprezentarea grafică a intervalelor de probabilitate pe curba de densitate a
distribuției normale standard

23
Probabilitatea ca o variabilă aleatoare normal distribuită să se situeze într-un
interval este reprezentată de aria dintre curba de distribuție, axa absciselor și limita
impusă de x pe axa absciselor. Deoarece aria de sub graficul unei funcții este dată
de integrala acesteia se poate calcula probabilitatea ca variabila distribuită normal
standard să se afle într-un interval astfel:
𝑃(−𝑧≤𝑋≤𝑧)=න1
√2𝑒ି௫మ
ଶ𝑑𝑥௭
ି௭

Valoarea z se poate afla din tabelul privind probabilitatea cumulată la
distribuția normală normată, inclusă în anexe, și rezultă următoarele valori:

– pentru o probabilitate de 99% Z = 2,58
– pentru o probabilitate de 90% Z = 1,65
– pentru o probabilitate de 75% Z = 1,15

Adică:
න1
√2𝑒ି௫మ
ଶ𝑑𝑥= 0,99ଶ,ହ଼
ିଶ,ହ଼

න1
√2𝑒ି௫మ
ଶ𝑑𝑥= 0,90ଵ,଺ହ
ିଵ,଺ହ

න1
√2𝑒ି௫మ
ଶ𝑑𝑥= 0,75ଵ,ଵହ
ିଵ,ଵହ

2.3. Mișcarea browniană și Procesul Wiener

Fenomenul de mișcare browniană a fost descris prima dată în 1827 de
botanistul scoțian Robert Brown. Brown a analizat cu ajutorul microscopului
mișcarea particulelor de polen suspendate în apă. Prin experimentele sale Brown a
furnizat prima dată dovadă privind existența agitației termice (mișcare spontană,
complet haotică și dependentă de temperatura mediului, a unor particule sau
molecule aflate într-o suspensie coloidală sau dispersie gazoasă), și privind structura
moleculară a materiei.
În 1905 Albert Einstein a publicat un articol unde a modelat mișcarea
particulei de polen, care este afectată de coliziunea cu moleculele individuale de apă.
Procesul Wiener este un proces stochastic în timp continuu denumit după
matematicianul american Norbert Wiener, datorită studierii proprietăților
matematice a mișcării browniene monodimensionale. Convergența drumurilor

24
aleatoare (random walks) către mișcarea browniană fost demonstrată de Monroe D.
Donsker în 1951.
Procesul Wiener este numită ți ca mișcare browniană datorită legăturii
acesteia cu fenomenul descris de Robert Brown. Este unul dintre cele mai cunoscute
procese Lévy (proces stochastic cu incremente independente), și apare frecvent în
matematică, economie, finanțe cantitative (matematică aplicată care se ocupă de
modelarea piețelor financiare), biologie și fizică (Székely, 2004, pg. 174-175).
O mișcare browniană standard a unei particule într-un interval de timp ( t)
este dată de modificarea lui B (B) în acel interval de timp și are două proprietăți
(Negrea, 2006, pg. 63-67) citat de (Brătian, Bucur, Opreana, 2016, pg. 86-87):

∆𝐵=𝑍√∆𝑡
∆𝐵 la două intervale de timp ( t) este independentă

Prima proprietate arată că modificarea lui B depinde de o variabilă aleatoare
standardizată și de rădăcina pătrată a intervalului de timp, adică modificarea este
normal distribuită cu varianța egală cu rădăcina pătrată a intervalului de timp în care
se produce mișcarea, ∆𝐵~𝑁(0,√∆𝑡).
Modificarea lui B este independentă de modificările anterioare ale acestuia, și
depinde numai de valoarea lui din prezent (urmează un proces Markov).
Procesul Wiener generalizat este un drum aleatoriu în timp continuu în cazul
căruia ecuația de mișcare a unei variabile x este:

𝑑𝑥=𝑎𝑑𝑡+𝑏𝑍√∆𝑡=𝑎𝑑𝑡+𝑏𝑑𝐵

Procesul notat cu ∆𝐵=𝑍√∆𝑡 se mai numește și proces Wiener fundamental,
iar cel notat cu ∆𝑋=𝜇∆𝑡+𝜎𝑍√∆𝑡 proces Wiener generalizat (Moisă, 2002, p.
19).
O mișcare browniană generalizată a unei particule în timp continuu ( t la
limită devine dt) este dată de modificare lui B în timp continuu ( dB) și are
următoarele proprietăți (Wilmott, 2002, pg. 80-81) citat de (Brătian, Bucur,
Opreana, 2016, pg. 87-88):
– este finită și măsurată cu rădăcina pătrată a unității de timp;
– este continuă. Mișcarea browniană este limita în timp continuu a evoluției
aleatoare în timp discret;
– are proprietatea Markov: distribuția lui B(t) este condiționată de B( ), unde
  t;
– are proprietatea de martingal;
– variația pătratică ∑ቀ𝐵൫𝑡௝൯−𝐵൫𝑡௝ିଵ൯ቁଶ
→𝑡 ௡
௝ୀଵ , dacă se împarte intervalul de
timp (0, t) în părți delimitate de n+1 puncte, 𝑡௝=௝௧
௡.

25
2.4. Proprietatea Markov și proprietatea martingal

Proprietatea Markov este o proprietate care definește un proces (lanț)
Markov, denumit după matematicianul rus Andrei Markov. Procesul Markov este
un proces stochastic care nu are memorie, ceea ce înseamnă că o valoare viitoare
determinată de proces depinde doar de valoarea prezentă a acesteia, chiar dacă se
cunosc valorile precedente (Székely, 2004, pg. 168-169).
În cazul valorilor mobiliare proprietatea Markov ne spune că prețul (cotația)
valorii mobiliare Ci din prezent depinde de cursul acesteia din trecut Ci-1 și doar de
acesta.
Această proprietate are o importanță fundamentală în lumea financiară
(Wilmott, 2007, p. 120).

Proprietatea martingal arată că valoarea așteptată în viitor al unei variabile
aleatoare este exact valoarea din prezent a acesteia.
Referitor la valorile mobiliare proprietatea martingal ne spune că speranța
cursului bursier Ci+1 din viitor, este exact cursul valorii mobiliare Ci din prezent.
Dacă Ci+1 Ci atunci procesul se numește submartingal iar dacă Ci+1 Ci atunci
procesul se numește supermartingal. Un proces care în medie crește este
submartingal iar un proces care în medie scade este un proces supermartingal
(Neftci, 2000, p. 120).
Expresia formală:
𝐸(𝐶௜ାଵ|𝐶ଵ 𝐶ଶ…𝐶௜)=𝐶௜
Sau:
𝐸൫𝐶௜ห𝐶௝, 𝑗 𝑖൯=𝐶௝

Expresia ”martingal” provine de la o strategie de pariuri din secolul 18.
populară în Franța. Strategia presupunea ca după un pariu pierzător la pariul următor
pariorul să dubleze suma pariată, astfel în cazul în care câștigă va recupera suma
pierdută la pariul anterior și în plus va câștiga o sumă egală cu suma pariată inițial.
Teoria martingal a fost introdusă în teoria probabilității de către
matematicianul francez Paul Pierre Lévy, cu scopul de a demonstra că nu există o
strategie de pariuri cu siguranță câștigătoare.

26
Capitolul 3.
Studiu de caz – evoluția aleatoare și intervale de probabilitate
pentru acțiuni listate la BVB.

3.1. Metodologia simulării evoluției cursului și a calculului
intervalelor de probabilitate

3.1.1 Simularea evoluției cotațiilor – Simularea Monte Carlo

Pentru simularea evoluției în viitor a cotațiilor am utilizat metoda Monte
Carlo. Simulările Monte Carlo sunt utilizate pentru modelarea probabilității
rezultatelor unor proceduri care sunt greu de prezis datorită efectului variabilelor
aleatoare. Este o tehnică utilizată pentru înțelegerea efectelor riscului și a
nesiguranței în modelele de previziune.
Simulare Monte Carlo poate fi utilizată pentru a aborda o serie de probleme
în aproape toate domeniile, cum sunt finanțele, ingineria și diferite domenii
științifice. Când în procesul e realizare a unei estimări sau previziuni apare o
nesiguranță semnificativă simularea Monte Carlo reprezintă o soluție mai bună decât
utilizarea unei singure medii. Deoarece lumea de afaceri și finanțele sunt afectate
foarte mul de variabile aleatoare Simulările Monte Carlo au foarte multe utilizări
potențiale în aceste domenii. De exemplu sunt utilizate pentru estimarea
probabilității depășirii bugetului la proiecte mari sau a probabilității ca prețul unui
activ financiar se va mișca într-o anumită direcție. În telecomunicații se utilizează
pentru evalua performanța rețelelor, în finanțe pentru a evalua riscul de faliment sau
pentru a analiza instrumente financiare derivate cum sunt opțiunile.
Simulările sunt denumite după renumitul centru european al jocurilor de noroc
și pariuri din principatul Monaco, deoarece norocul și rezultatele aleatoare sunt baza
modelului de simulare, la fel cum sunt și în jocuri cum sunt ruleta sau zarurile.
Modelul a fost dezvoltat pria dată de către matematicianul Stanislaw Ulam,
un matematician care a lucrat la Proiectul Manhattan. Ulam, în timp ce se recupera
după o intervenție chirurgicală a jucat jocul de cărți solitaire pentru a se distra. A
înregistrat rezultatul a sute de jocuri pentru a estima statistic probabilitatea de a
câștiga jocul. Ulterior, datorită faptului că a participat la evaluarea unor rezultate a
calculelor făcute de primul computer electronic (ENIAC) și-a dat seama că accesul
la astfel de echipamente de calcul face utilizarea acestor metode statistice foarte
practică.

Simularea mișcării prețului unui activ financiar cu metoda Monte Carlo se
face pe baza a două componente: driftul și o variabilă aleatoare care reprezintă
volatilitatea.
Pentru a genera o traiectorie posibilă a prețului am utilizat datele istorice
pentru a calcula randamentele zilnice, utilizând logaritmul natural:

27

𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑧𝑖𝑙𝑛𝑖𝑐ă =𝑙𝑛൬𝑃𝑟𝑒ț 𝑑𝑒 î𝑛𝑐ℎ𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒
𝑃𝑟𝑒ț 𝑑𝑒 î𝑛𝑐ℎ𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑧𝑖𝑢𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡 ă൰

Datele istorice se referă la perioada 06.12.2018 – 06.12.2019, ceea ce
reprezintă un număr de 252 zile de tranzacționare.

Pe baza randamentelor zilnice rezultate am calculat driftul ( ), dispersia și
volatilitatea ( 2 și )

Am presupus că randamentele zilnice al acțiunilor analizate sunt normal
distribuite cu media ( ) și abaterea medie pătratică ( ):

𝑟(𝑡)=𝐶(𝑡)−𝐶(𝑡−1)
𝐶(𝑡−1)  𝑁(,)
unde:
r(t) = randamentul din ziua t față de ziua de tranzacționare precedentă.
C(t) = prețul (cotația) de închidere a acțiunii din ziua t.
C(t-1) = prețul (cotația) de închidere a acțiunii din ziua t-1.

Din ecuația de mai sus rezultă:

𝑟(𝑡)=𝐶(𝑡)−𝐶(𝑡−1)
𝐶(𝑡−1)= 𝑡+𝑍√𝑡
unde:
t = 1 zi de tranzacționare = 1/252 din perioada analizată.
 = media/driftul randamentelor.
Z  N (0,1) – variabilă aleatoare normal distribuită, cu media 0 și volatilitatea 1.
 =volatilitatea.

Dacă
𝐶(𝑡)−𝐶(𝑡−1)
𝐶(𝑡−1)= 𝑡+𝑍√𝑡
Atunci:
𝐶(𝑡)−𝐶(𝑡−1)=𝐶(𝑡−1)𝑡+𝐶(𝑡−1)𝑍√𝑡

𝐶(𝑡)=𝐶(𝑡−1)+𝐶(𝑡−1)𝑡+𝐶(𝑡−1)𝑍√𝑡

𝐶(𝑡)=𝐶(𝑡−1)(1+𝑡+𝑍√𝑡)

Pentru simularea evoluției prețurilor acțiunilor analizate am aplicat formula
prima dată la cotația de închidere din ultima zi a perioadei analizate (06.12.2019),
apoi la prețul de închidere calculată pentru ziua precedentă.

28
Exemplu – Simularea evoluției cotațiilor Banca Transilvania SA (TLV)

Pentru perioada analizată, la Banca Transilvania SA (TLV) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 2,59 lei
–  = 0,14218115
–  = 0,36557233

Figura 4.1.1 Evoluția cotației Banca Transilvania în perioada 06.12.2018 – 06.12.2019

Figura 3.1.2 Multiple evoluții aleatoare simulate a cotației Banca Transilvania
1.41.61.822.22.42.62.8
06.12.2018 06.12.2019
1.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252
Număr zile de tranzacționare
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

29
Nr.
Simulare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cotația
simulată din
ziua nr. 252 4.001 3.679 1.558 2.213 3.183 2.370 2.101 5.245 2.873 2.193

Intervalele de probabilitate la un an (252 zile de tranzacționare) calculate pentru
Banca Transilvania SA:

Pentru o probabilitate de 99%: 1,087 ≤ C(t) ≤ 7,172
Pentru o probabilitate de 90%: 1,528 ≤ C(t) ≤ 5,105
Pentru o probabilitate de 75%: 1,834 ≤ C(t) ≤ 4,252

Putem observa că în cazul intervalului de probabilitate pentru probabilitatea
de 99% toate cotațiile simulate (100%) sunt în interval. În cazul intervalului de
probabilitate pentru probabilitatea de 90% avem o simulare peste interval (5,245),
adică 90% din simulații sunt în interval, iar în cazul intervalului de probabilitate
pentru probabilitatea de 75% avem o simulare sub și o simulare peste interval, adică
80% din simulări sunt în interval.
Utilizând Microsoft Excel am rulat de 10 ori consecutiv câte 10000 de
simulări al prețului de închidere după 252 zile de tranzacționare, iar rezultatul se
regăsește în tabelul următor:

Numărul cotațiilor simulate care sunt în intervalul de probabilitate
Numărul simulării Probabilitate
99% Probabilitate
90% Probabilitate
75%
1 9907 8982 7526
2 9910 9008 7545
3 9892 8953 7458
4 9907 9029 7504
5 9899 8987 7467
6 9906 9079 7521
7 9909 9027 7445
8 9899 8995 7580
9 9910 9019 7524
10 9903 9047 7614
Total: 99042 90126 75184
În procente: 99.04% 90.13% 75.18%

Putem observa că din 100000 de simulări rulate 99,04% sunt în intervalul de
probabilitate pentru probabilitatea de 99%, 90,13% sunt în intervalul de probabilitate
pentru probabilitatea de 90% și 75,18% sunt în intervalul de probabilitate pentru
probabilitatea de 75%, ceea ce demonstrează corectitudinea metodei de simulare.

30
3.1.2 Metodologia calculului intervalelor de probabilitate

Metoda de calcul a intervalelor de probabilitate pentru cotațiile acțiunilor este
descrisă în capitolul 2.2.
La calculul intervalelor pentru diferite probabilități am folosit următoarele
formule, potrivit (Brătian, Opreana, Bucur, 2017):

Pentru o probabilitate de 99%:

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡) ≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ

Pentru o probabilitate de 90%:

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡) ≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ

Pentru o probabilitate de 75%:

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡) ≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ

La calculul rentabilităților pentru acțiunile analizate nu am luat în considerare
dividendele plătite de aceste companii. Putem considera ca dividendele au un efect
mic asupra mediei și volatilității rentabilităților și că informațiile privind dividendele
sunt incluse în preșul acțiunilor. Acest efect se manifestă numai în câteva zile de
tranzacționai și implicit numai în câteva rentabilități zilnice, dintre care ce mai
importantă este ziua ex-dividend, în care avem de obicei o rentabilitate zilnică
negativă, al cărei valoare absolută se apropie valoarea dividendului brut.

31

3.2 Simularea evoluției aleatoare și calcului intervalelor de
probabilitate pentru acțiuni listate la BVB

Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru BRD

Figura 3.2.1 Evoluție aleatoare simulată a cotației BRD

Pentru perioada analizată, la BRD – Groupe Societe Genarale SA (BRD) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 15,72 lei
–  = 0,10919229
–  = 0,33905398

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ=
15,72𝑒ି଴,ଵଶଶ଴଺଺≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଵଶସଵଵଷ→ 13,91 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 17,80

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଶସ଼ଶ଴଻≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଶହ଺଼ଶହ→ 12,25 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 20,32 12141618202224
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
Număr zile de tranzacționareEvoluție aleatoare a cotației BRD

32

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ସଶସସହଵ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ସହ଴ଷ଴଼→ 10,28 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 24,66

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ହଽଶ଺ଽଵ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,଺ସସସ଴ହ→ 8,69 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 29,94

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,଻ଵ଼଻଻ଽ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,଻ଽ଺ଷସଽ→ 7,66 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 34,86

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,଼ଶଷ଴ସ଺≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଽଶ଺ସ଻ଷ→ 6,90 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 39,70

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,଴଻଻଺ଽ଺≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,଴଻ଽ଻ସସ→ 14,54 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 17,02

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଵହ଻ଵ଼ସ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଵ଺ହ଼଴ଶ→ 13,43 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 18,55

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଶ଺଺଻ଽଵ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଶଽଶ଺ସ଼→ 12,04 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 21,06

d. t = 0,5 (6 luni)

33
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଷ଺ଽ଻ଶ଺≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ସଶଵସସ଴→ 10,86 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 23,96

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ସସହ଻଴ଷ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ହଶଷଶ଻ସ→ 10,07 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 26,53

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ହ଴଻଻ଶ଺≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,଺ଵଵଵହଷ→ 9,46 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 28,96

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,଴ହଷ଼ସଶ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,଴ହହ଼଼ଽ→ 14,90 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 16,62

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଵ଴଼ଶସ଺≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଵଵ଺଼଺ହ→ 14,11 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 17,67

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଵ଼ଶ଴ଶ଼≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଶ଴଻଼଼ସ→ 13,10 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 19,35

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଶସଽ଼ହଷ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଷ଴ଵହ଺଺→ 12,24 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 21,25

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଶଽ଼଼଼ଽ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ଷ଻଺ସହଽ→ 11,66 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 22,91

34

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
15,72𝑒ି଴,ଷଷ଼ଵଽଽ≤𝐶(𝑡)≤ 15,72𝑒଴,ସସଵ଺ଶ଺→ 11,21 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 24,45

Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru BVB

Figura 3.2.2 Evoluție aleatoare simulată a cotației BVB

Pentru perioada analizată, la Bursa de Valori București SA (BVB) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 25,9 lei
–  = 0,12799033
–  = 0,23341801

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ=
25,9𝑒ି଴,଴଼ଶ଻ସହ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,଴଼଺଻ଷସ→ 23,84 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 28,25

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵ଺ହସଵ଼≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଵ଼ଶଶ଴ଷ→ 21,95 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 31,09 2022242628303234363840
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
Număr zile de tranzacționareEvoluție aleatoare a cotației BVB

35

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଶ଻ହଽଶଶ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଷଶ଺ଶଽ଺→ 19,65 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 35,89

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଷ଻ହସହଽ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ସ଻଺ଶ଴଻→ 17,79 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 41,70

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ସସହଽ଻ହ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ହଽ଻଴ଽ଼→ 16,58 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 47,06

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ହ଴ଵସ଻଴≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,଻଴ଶଽ଺଻→ 15,69 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 52,31

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,଴ହଶଵଽଽ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,଴ହ଺ଵ଼ଽ→ 24,58 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 27,40

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵ଴ଶ଻≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଵଵଽହହ→ 23,37 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 29,19

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵ଺଻ଷ଼ଷ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଶଵ଻଻ହ଻→ 21,91 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 32,20

d. t = 0,5 (6 luni)

36
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଶଶଵଽ଺ଵ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଷଶଶ଻଴ଽ→ 20,74 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 35,76

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଶହ଻ଽ଼≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ସ଴ଽଵ଴ଶ→ 20,01 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 38,99

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଶ଼ସଷଽଵ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ସ଼ହ଼଼଼→ 19,49 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 42,10

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,଴ଷହ଻଻଻≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,଴ଷଽ଻଺଺→ 24,99 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 26,95

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,଴଺ଽ଴଼ଵ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,଴଼ହ଼଺଺→ 24,17 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 28,22

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵ଴ଽ଴ଶ଼≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଵହଽସ଴ଶ→ 23,22 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 30,38

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵଷଽସଷହ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଶସ଴ଵ଼ଷ→ 22,53 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 32,93

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵହ଺ଽ଴଻≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଷ଴଼଴ଶଽ→ 22,14 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 35,24

37

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
25,9𝑒ି଴,ଵ଺଻଺଼ଶ≤𝐶(𝑡)≤ 25,9𝑒଴,ଷ଺ଽଵ଻ଽ→ 21,90 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 37,47

Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru EL

Figura 3.2.3 Evoluție aleatoare simulată a cotației EL

Pentru perioada analizată, la Electrica SA (EL) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 11,20 lei
–  = -0,00892436
–  = 0,25950283

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ=
11,2𝑒ି଴,଴ଽହ଴ହଷ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,଴ଽଷଷ଺଺→ 10,18 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 12,30

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ 891011121314
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
Număr zile de tranzacționareEvoluție aleatoare a cotației EL

38
11,2𝑒ି଴,ଵଽ଺଻଼ଷ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଵ଼ଽ଺଼଺→ 9,20 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 13,54

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଷସହସ଴଻≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଷଶସଵଵ଴→ 7,93 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 15,49

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ସଽସ଻ଵ଼≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ସହଶଵଶଷ→ 6,83 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 17,60

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,଺ଵଵ଻଺ହ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ହସ଻଼଻ଷ→ 6,07 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 19,37

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,଻ଵଶଵଵଷ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,଺ଶ଺ଽଶଶ→ 5,49 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 20,96

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,଴଺ଵ଴ଽସ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,଴ହଽସ଴଻→ 10,54 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 11,89

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଵଶ଻ଵଶ଼≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଵଶ଴଴ଷଶ→ 9,86 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 12,63

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଶଶସ଻ଷଽ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଶ଴ଷସସଵ→ 8,95 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 13,73

d. t = 0,5 (6 luni)

39
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଷଶସ଴଺଺≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଶ଼ଵସ଻ଵ→ 8,10 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 14,84

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ସ଴ଶ଻଺ଵ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଷଷ଼଼଺଼→ 7,49 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 15,72

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ସ଻଴଻଻ହ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଷ଼ହହ଼ସ→ 6,99 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 16,47

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,଴ସଶ଼ଷ଺≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,଴ସଵଵସଽ→ 10,73 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 11,67

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,଴଼ଽ଺଼଴≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,଴଼ଶହ଼ଷ→ 10,24 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 12,16

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଵହଽ଼଺ଷ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଵଷ଼ହ଺ହ→ 9,55 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 12,86

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଶଷଶଷଵ଼ହ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଵ଼ଽ଻ଶଷ→ 8,88 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 13,54

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଶଽ଴ଷଽଷ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଶଶ଺ହ଴଴→ 8,38 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 14,05

40

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
11,2𝑒ି଴,ଷସଵ଴ଶଷ≤𝐶(𝑡)≤ 11,2𝑒଴,ଶହହ଼ଷଷ→ 7,96 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 14,47
Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru SIF3

Figura 3.2.4 Evoluție aleatoare simulată a cotației SIF3

Pentru perioada analizată, la SIF Transilvania SA (SIF3) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 0,36 lei
–  = 0,55558996
–  = 0,19208680

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ=
0,36𝑒ି଴,଴ହଽ଴ଽଽ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଴଼଴ଷ଻଴→ 0,3393 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,3901

b. t = 0,0833 (1 lună)
0.300.350.400.450.500.550.60
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
Număr zile de tranzacționareEvoluție aleatoare a cotației SIF3

41
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ଽ଼ଶଽ଴≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ଵ଼଻଻଻଼→ 0,3263 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4344

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,ଵଵଷହ଴଻≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ଷ଼ଶ଴଻଻→ 0,3214 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5275

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴଼ଵ଼଺≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଺ଵଽ଴଴→ 0,3317 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,6685

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ଶହଷଷଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଼ଷଶ଴ସସ→ 0,3506 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,8273

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
0,36𝑒଴,଴ସଵହହ଻≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒ଵ,଴ଷଶ଻ଶହ→ 0,3753 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 1,0111

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ଷଷଽ଺ଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଴ହହଶଷଷ→ 0,3480 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,3804

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ସ଺଻ଷଵ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ଵଷ଺ଶଵଽ→ 0,3436 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4125

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ଶସଵ଼଺≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ଶଽଶ଻ହ଻→ 0,3514 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4824

42
d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,36𝑒଴,଴ସସସହ଼≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ସଽଶ଺଼ଷ→ 0,3764 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5892

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
0,36𝑒଴,ଵଶ଼ଷ଻ହ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଺଻଻ଷଷ଻→ 0,4093 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,7087

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,36𝑒଴,ଶଶ଴ଵଽ଼≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଼ହସ଴଼ହ→ 0,4487 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,8457

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ଶ଴ସସ଼≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଴ସଵ଻ଵଽ→ 0,3527 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,3753

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
0,36𝑒ି଴,଴ଵଽ଴ଵଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ଵ଴଼ସଽଽ→ 0,3532 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4013

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
0,36𝑒଴,଴ଶଷ଼ଷହ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ଶସସ଻ଷହ→ 0,3687 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4598

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
0,36𝑒଴,ଵଵଶଷ଻ଵ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ସଶସ଻଻଴→ 0,4028 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5505

e. t = 0,75 (9 luni)

43
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,36𝑒଴,ଶଵଵହହଵ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,ହଽସଵ଺ଵ→ 0,4448 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,6521

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,36𝑒଴,ଷଵ଺ଶସଵ≤𝐶(𝑡)≤ 0,36𝑒଴,଻ହ଼଴ସଵ→ 0,4939 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,7683
Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru SNP

Figura 3.2.5 Evoluție aleatoare simulată a cotației SNP

Pentru perioada analizată, la OMV Petrom SA (SNP) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 0,4415 lei
–  = 0,20071246
–  = 0,30592911

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ=
0,4415𝑒ି଴,ଵ଴଼ଵଶଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଵଵସଶଷ଴→ 0,3963 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4949

b. t = 0,0833 (1 lună) 0.300.350.400.450.500.550.600.650.700.750.80
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
Număr zile de tranzacționareEvoluție aleatoare a cotației SNP

44

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଶଵସଽ଼ସ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଶସ଴଺ଶ଺→ 0,3561 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5616

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଷହ଺ଵ଻଴≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ସଷଷଵଶ଼→ 0,3092 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,6808

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ସ଼ଵଵହଽ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,଺ଷହ଴଻ହ→ 0,2729 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,8332

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ହ଺଼ଵଵସ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,଻ଽ଼ଽ଼଼→ 0,2502 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,9816

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,଺ଷହଷ଼ଵ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଽସଷଶଵଷ→ 0,2339 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 1,1339

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,଴଺଼଴ସ଻≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,଴଻ସଵହହ→ 0,4125 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4755

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଵଷଶ଼଺଼≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଵହ଼ହଵ଴→ 0,3866 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5173

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଶଵଷଽଵଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଶଽ଴଼଻ଵ→ 0,3565 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5905

45

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଶ଻ଽଽ଻଻≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ସଷଷ଼ଽସ→ 0,3337 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,6813

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଷଶଵ଻ଵ଼≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ହହଶହଽଶ→ 0,3200 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,7672

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଷହ଴଼଺଻≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,଺ହ଼଺ଽଽ→ 0,3109 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,8531

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,଴ସ଺ହ଴ଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,଴ହଶ଺଴ଽ→ 0,4214 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4653

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,଴଼଼଻ଶ଴≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଵଵସଷ଺ଶ→ 0,4040 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,4950

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଵଷ଻ସଷ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଶଵସଷ଼଼→ 0,3848 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,5471

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଵ଻ଵ଼ଵହ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ଷଶହ଻ଷଵ→ 0,3718 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,6115

e. t = 0,75 (9 luni)

46
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଵ଼ଽଶସ଻≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ସଶ଴ଵଶଵ→ 0,3654 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,6720

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
0,4415𝑒ି଴,ଵଽ଻ଽ଴ଶ≤𝐶(𝑡)≤ 0,4415 𝑒଴,ହ଴ହ଻ଷହ→ 0,3622 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 0,7321
Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru TGN

Figura 3.2.6 Evoluție aleatoare simulată a cotației TGN

Pentru perioada analizată, la Transgaz SA (TGN) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 373 lei
–  = 0,05248980
–  = 0,20934306

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ=
373𝑒ି଴,଴଻ହଷଽସ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,଴଻଺଺଴ହ→ 345,9 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 402,7 300320340360380400420440
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
Număr zile de tranzacționareEvoluție aleatoare a cotației TGN

47

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଵହଷଷଷ଻≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଵହ଼ସଷଵ→ 320,0 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 437,0

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଶ଺ଶସ଴଼≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଶ଻଻଺ଽ଻→ 286,9 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 492,4

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଷ଺଺଺ଶଷ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଷଽ଻ଶ଴ଵ→ 258,5 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 554,9

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
373𝑒ି଴,ସସସ଼ଵଶ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ସଽ଴଺଻଼→ 239,1 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 609,3

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ହ଴ଽହଶ଼≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ହ଻଴଺଼ଷ→ 224,1 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 660,0

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,଴ସ଻ଽଽଽ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,଴ସଽଶଵ→ 355,5 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 391,8

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,଴ଽ଻ଵସ଺≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଵ଴ଶଶସ଴→ 338,5 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 413,2

c. t = 0,25 (3 luni)

48
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଵ଺ହ଴଺ସ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଵ଼଴ଷହଶ→ 316,2 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 446,7

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଶଶ଼ଽହ଻≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଶହଽହଷହ→ 296,7 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 483,5

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଶ଻଺ଶ଴଺≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଷଶଶ଴଻ଶ→ 283,0 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 514,70

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଷଵସ଼ଷଽ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଷ଻ହଽଽସ→ 272,3 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 543,3

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,଴ଷଷଶ଻≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,଴ଷସସ଼ଵ→ 360,8 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 386,1

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,଴଺଺ଽଷ଺≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,଴଻ଶ଴ଷ଴→ 348,9 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 400,9

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଵଵଶ଻ଶ଼≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଵଶ଼଴ଵ଻→ 333,2 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 423,9

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଵହସଽସଷ≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଵ଼ହହଶଵ→ 319,5 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 449,0

49
e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଵ଼ହହହ଼≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଶଷଵସଶସ→ 309,8 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 470,1

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
373𝑒ି଴,ଶଵ଴ଵ଺଻≤𝐶(𝑡)≤ 373𝑒଴,ଶ଻ଵଷଶଶ→ 302,3 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 489,3
Simularea evoluției și calculul intervalelor de probabilitate pentru TLV

Figura 3.2.7 Evoluție aleatoare simulată a cotației BRD

Pentru perioada analizată, la Banca Transilvania SA (TLV) avem:
– Cotația acțiunii la 06.12.2019: 2,59 lei
–  = 0,14218115
–  = 0,36557233

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an ( t = 0,0198; t = 0,0833; t = 0,25; t = 0,5; t =
0,75; t = 1; ), cu o probabilitate de 99% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିభ
మఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ=
2,59𝑒ି଴,ଵଷଵଶଶହ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଵଷସଶ଴ଽ→ 2,271 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 2,962 2.02.53.03.54.04.55.0
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140
147
154
161
168
175
182
189
196
203
210
217
224
231
238
245
252Cotație
TitleTLV

50

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଶ଺ହଽ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଶ଻଼ସଽହ→ 1,985 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 3,422

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ସହଶ଻ସ଼≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ସଽ଴ସଶ଼→ 1,647 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 4,230

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,଺ଶଽଶସ଻≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,଻଴ସ଺଴଺→ 1,380 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 5,240

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,଻଺଴ଶଽହ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,଼଻ଷଷଷହ→ 1,211 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 6,203

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଶ.ହ଼ఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,଼଺଻଼ଵ଻≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒ଵ,଴ଵ଼ହଷ଺→ 1,087 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 7,172

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 90% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,଴଼ଷଷ଼ହ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,଴଼଺ଷ଺ଽ→ 2,383 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 2,824

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଵ଺଻଼ଵହ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଵ଼଴ଷ଻→ 2,190 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 3,102

c. t = 0,25 (3 luni)

51
𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଶ଼ଶ଻ହ଻≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଷଶ଴ସଷ଻→ 1,952 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 3,568

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଷ଼଼଼ସଷ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ସ଺ସଶ଴ଷ→ 1,756 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 4,120

e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ସ଺ହ଼଺ଶ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ହ଻଼ଽ଴ଵ→ 1,625 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 4,621

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,଺ହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,଺ହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ହଶ଻଼ଷହ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,଺଻଼ହହସ→ 1,528 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 5,105

Intervalele de probabilitate în care se va afla cotația acțiunii după 5 zile, 21 de zile
(o lună), 3 luni, 6 luni, 9 luni și un an, cu o probabilitate de 75% sunt:
a. t = 0,0198 (5 zile)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,଴ହ଻଺଺ହ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,଴଺଴଺ସଽ→ 2,445 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 2,752

b. t = 0,0833 (1 lună)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଵଵହ଴଺≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଵଶ଻଺ଵହ→ 2,309 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 2,943

c. t = 0,25 (3 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଵଽଵଷ଺ସ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଶଶଽ଴ସସ→ 2,139 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 3,257

d. t = 0,5 (6 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଶହଽହଽସ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ଷଷସଽହଷ→ 1,998 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 3,620

52
e. t = 0,75 (9 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହఙ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଷ଴଻ହ଺ସ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ସଶ଴଺଴ସ→ 1,904 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 3,944

f. t = 1 (12 luni)

𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ିଵ,ଵହ√௧ቃ≤𝐶(𝑡)≤𝐶(0)𝑒ቂቀఓିଵ
ଶఙమቁ௧ାଵ,ଵହఙ√௧ቃ
2,59𝑒ି଴,ଷସହ଴ସଽ≤𝐶(𝑡)≤ 2,59𝑒଴,ସଽହ଻଺଼→ 1,834 ≤ 𝐶(𝑡) ≤ 4,252

Sumarul intervalelor de probabilitate pentru companiile analizate și cotația reală
observată pe BVB după 5 zile (13.12.2019), 1 lună (14.01.2020) și 3 luni (63 zile de
tranzacționare – 13.03.2020):
Nr.
crt. Compania Perioada
de timp Intervalul de probabilitate Cotația reală
(observată)
Pentru o probabilitate de 99%
1 BRD 5 zile 13,91 ≤ C(t) ≤ 17,80 15,48
1 lună 12,25 ≤ C(t) ≤ 20,32 15,84
3 luni 10,28 ≤ C(t) ≤ 24,66 12,60
6 luni 8,69 ≤ C(t) ≤ 29,94
9 luni 7,66 ≤ C(t) ≤ 34,86
1 an 6,90 ≤ C(t) ≤ 39,70
2 BVB 5 zile 23,84 ≤ C(t) ≤ 28,25 25,80
1 lună 21,95 ≤ C(t) ≤ 31,09 25,50
3 luni 19,65 ≤ C(t) ≤ 35,89 22,00
6 luni 17,79 ≤ C(t) ≤ 41,70
9 luni 16,58 ≤ C(t) ≤ 47,06
1 an 15,69 ≤ C(t) ≤ 52,31
3 EL 5 zile 10,18 ≤ C(t) ≤ 12,30 10,90
1 lună 9,20 ≤ C(t) ≤ 13,54 10,80
3 luni 7,93 ≤ C(t) ≤ 15,49 8,74
6 luni 6,83 ≤ C(t) ≤ 17,60
9 luni 6,07 ≤ C(t) ≤ 19, 37
1 an 5,49 ≤ C(t) ≤ 20,96
4 SIF3 5 zile 0,3393 ≤ C(t) ≤ 0,3901 0,364
1 lună 0,3263 ≤ C(t) ≤ 0,4344 0,396
3 luni 0,3214 ≤ C(t) ≤ 0,5275 0,295
6 luni 0,3317 ≤ C(t) ≤ 0,6685
9 luni 0,3506 ≤ C(t) ≤ 0,8273
1 an 0,3753 ≤ C(t) ≤ 1,0 111
5 SNP 5 zile 0,3963 ≤ C(t) ≤ 0,4949 0,442

53
1 lună 0,3561 ≤ C(t) ≤ 0,5616 0,448
3 luni 0,3092 ≤ C(t) ≤ 0 ,6808 0,298
6 luni 0,2729 ≤ C(t) ≤ 0,8332
9 luni 0,2502 ≤ C(t) ≤ 0,9816
1 an 0,2339 ≤ C(t) ≤ 1,1339
6 TGN 5 zile 345,9 ≤ C(t) ≤ 402,7 369,5
1 lună 320,0 ≤ C(t) ≤ 437,0 335,0
3 luni 286,9 ≤ C(t) ≤ 492,4 225,0
6 luni 258,5 ≤ C(t) ≤ 554,9
9 luni 239,1 ≤ C(t) ≤ 609,3
1 an 224,1 ≤ C(t) ≤ 660,0
7 TLV 5 zile 2,271 ≤ C(t) ≤ 2,962 2,575
1 lună 1,985 ≤ C(t) ≤ 3,422 2,615
3 luni 1,647 ≤ C(t) ≤ 4,230 1,940
6 luni 1,380 ≤ C(t) ≤ 5,240
9 luni 1,211 ≤ C(t) ≤ 6,203
1 an 1,087 ≤ C(t) ≤ 7,172

Nr.
crt. Compania Perioada
de timp Intervalul de probabilitate Cotația reală
(observată)
Pentru o proba bilitate de 90%
1 BRD 5 zile 14,54 ≤ C(t) ≤ 17,02 15,48
1 lună 13,43 ≤ C(t) ≤ 18,55 15,84
3 luni 12,04 ≤ C(t) ≤ 21,06 12,60
6 luni 10,86 ≤ C(t) ≤ 23,96
9 luni 10,07 ≤ C(t) ≤ 26,53
1 an 9,46 ≤ C(t) ≤ 28,96
2 BVB 5 zile 24,58 ≤ C(t) ≤ 27,40 25,80
1 lună 23,37 ≤ C(t) ≤ 29,19 25,50
3 luni 21,91 ≤ C(t) ≤ 32,20 22,00
6 luni 20,74 ≤ C(t) ≤ 25,76
9 luni 20,01 ≤ C(t) ≤ 38,99
1 an 19,49 ≤ C(t) ≤ 42,10
3 EL 5 zile 10,54 ≤ C(t) ≤ 11,89 10,90
1 lună 9,86 ≤ C(t) ≤ 12,63 10,80
3 luni 8,95 ≤ C(t) ≤ 13,73 8,74
6 luni 8,10 ≤ C(t) ≤ 14,84
9 luni 7,49 ≤ C(t) ≤ 15,72
1 an 6,99 ≤ C(t) ≤ 16,47
4 SIF3 5 zile 0,3480 ≤ C(t) ≤ 0,3804 0,364
1 lună 0,3436 ≤ C(t) ≤ 0,4125 0,396

54
3 luni 0,3514 ≤ C(t) ≤ 0,4824 0,295
6 luni 0,3764 ≤ C(t) ≤ 0,5892
9 luni 0,4093 ≤ C(t) ≤ 0,7087
1 an 0,4487 ≤ C(t) ≤ 0,8457
5 SNP 5 zile 0,4125 ≤ C(t) ≤ 0,4755 0,442
1 lună 0,3866 ≤ C(t) ≤ 0,5173 0,448
3 luni 0,3565 ≤ C(t) ≤ 0,5905 0,298
6 luni 0,3337 ≤ C(t) ≤ 0,6813
9 luni 0,3200 ≤ C(t) ≤ 0,7672
1 an 0,3109 ≤ C(t) ≤ 0,8531
6 TGN 5 zile 355,5 ≤ C(t) ≤ 391,8 369,5
1 lună 338,5 ≤ C(t) ≤ 413,2 335,0
3 luni 316,2 ≤ C(t) ≤ 446,7 225,0
6 luni 296,7 ≤ C(t) ≤ 483,5
9 luni 283,0 ≤ C(t) ≤ 5 14,7
1 an 272,3 ≤ C(t) ≤ 543,3
7 TLV 5 zile 2,383 ≤ C(t) ≤ 2,824 2,575
1 lună 2,190 ≤ C(t) ≤ 3,102 2,615
3 luni 1,952 ≤ C(t) ≤ 3,568 1,940
6 luni 1,756 ≤ C(t) ≤ 4,120
9 luni 1,625 ≤ C(t) ≤ 4,621
1 an 1,528 ≤ C(t) ≤ 5,105

Nr.
crt. Compania Perioada
de timp Intervalul de probabilitate Cotația reală
(observată)
Pentru o probabilitate de 75%
1 BRD 5 zile 14,90 ≤ C(t) ≤ 16,62 15,48
1 lună 14,11 ≤ C(t) ≤ 17,67 15,84
3 luni 13,10 ≤ C(t) ≤ 19,35 12,60
6 luni 12,24 ≤ C(t) ≤ 21,25
9 luni 11,66 ≤ C(t) ≤ 22,91
1 an 11,21 ≤ C(t) ≤ 24,25
2 BVB 5 zile 24,99 ≤ C(t) ≤ 26,95 25,80
1 lună 24,17 ≤ C(t) ≤ 28,22 25,50
3 luni 23,22 ≤ C(t) ≤ 30,38 22,00
6 luni 22,53 ≤ C(t) ≤ 32,93
9 luni 22,14 ≤ C(t) ≤ 35 ,24
1 an 21,90 ≤ C(t) ≤ 37,47
3 EL 5 zile 10,73 ≤ C(t) ≤ 11,67 10,90
1 lună 10,24 ≤ C(t) ≤ 12,16 10,80
3 luni 9,55 ≤ C(t) ≤ 12,86 8,74

55
6 luni 8,88 ≤ C(t) ≤ 13,54
9 luni 8,38 ≤ C(t) ≤ 14,05
1 an 7,96 ≤ C(t) ≤ 14,47
4 SIF3 5 zile 0,3527 ≤ C(t) ≤ 0,3753 0,364
1 lună 0,3532 ≤ C(t) ≤ 0,4013 0,396
3 luni 0,3687 ≤ C(t) ≤ 0,4598 0,295
6 luni 0,4028 ≤ C(t) ≤ 0,5505
9 luni 0,4448 ≤ C(t) ≤ 0,6521
1 an 0,4939 ≤ C(t) ≤ 0,7683
5 SNP 5 zile 0,4214 ≤ C(t) ≤ 0,4653 0,442
1 lună 0,4040 ≤ C(t) ≤ 0,4950 0,448
3 luni 0,3848 ≤ C(t) ≤ 0,5471 0,298
6 luni 0,3718 ≤ C(t) ≤ 0,6115
9 luni 0,3654 ≤ C(t) ≤ 0,6720
1 an 0,3622 ≤ C(t) ≤ 0,7321
6 TGN 5 zile 360,8 ≤ C(t) ≤ 386,1 369,5
1 lună 348,9 ≤ C(t) ≤ 400 ,9 335,0
3 luni 333,2 ≤ C(t) ≤ 423,9 225,0
6 luni 319,5 ≤ C(t) ≤ 449,0
9 luni 309,8 ≤ C(t) ≤ 470,1
1 an 302,3 ≤ C(t) ≤ 489,3
7 TLV 5 zile 2,445 ≤ C(t) ≤ 2,752 2,575
1 lună 2,309 ≤ C(t) ≤ 2,943 2,615
3 luni 2,139 ≤ C(t) ≤ 3,257 1,940
6 luni 1,998 ≤ C(t) ≤ 3,620
9 luni 1,904 ≤ C(t) ≤ 3,944
1 an 1,834 ≤ C(t) ≤ 4,252

Se poate observa ca după 5 zile de tranzacționare toate cotațiile sunt în
intervalele de probabilitate calculate.
După o lună de tranzacționare cotația acțiunilor Transgaz SA nu se încadrează
în intervalele de probabilitate pentru probabilitatea de 90% și 75%. Acesta se
datorează faptului că în perioada analizată pe baza căruia s-a calculat dritul și
volatilitatea acțiunea a avut o ”evoluție laterală”, adică o evoluție fără creșteri și
scăderi semnificative de preț, ceea ce s-a schimbat în perioada de o lună.
După trei luni de tranzacționare avem mai multe prețuri care nu se încadrează
în interval, chiar și în cazul intervalelor calculate pentru probabilitatea de 99% (Sif
Transilvania, Banca Transilvania și Transgaz). În cazul intervalelor pentru
probabilitatea de 75% nu avem nici un preț care să se încadreze în interval. Toate
prețurile observate pe BVB sunt sub limita inferioară a intervalelor calculate. Acesta
este rezultatul unei scăderi generalizate pe piață care se datorează în mod clar
temerilor privind scăderea economiei și implicit deteriorarea rezultatelor
companiilor datorate restricțiilor impuse din cauza pandemiei COVID-19.

56

Figura 3.2.8 Graficul evoluțiilor comparative ale acțiunilor analizate, pe Bursa de Valori
București, pentru perioada 09.12.2019 – 15.04.2020 (sursa: www.bvb.ro)

57

Concluzii și considerații personale

În activitatea de investiții financiare se folosesc trei metode pentru prezicerea
prețurilor activelor: analiza fundamentală , analiza tehnică, și analiza cantitativă.
Analiza fundamentală propune sa afle valoarea corectă a activului și prin raportarea
acesteia la preț, să prezică evoluția acesteia, presupunând că în prețul se va apropia
de valoarea corectă, fără să ia în considerare evoluția pe piață a prețului. Analiza
tehnică încearcă să prevadă evoluția viitoare a prețului prin diferite indicatori și
analiză grafică bazând-se numai pe evoluția din trecut al prețului și pe volumul de
tranzacționare. Nici analiza fundamentală nici analiza tehnică nu arată probabilitatea
evoluției prevăzute, iar cazul analizei tehnice putem să avem chiar și predicții
contradictorii, în funcție indicatorii folosiți.
Față de analiza tehnică, și analiza fundamentală, analiza cantitativă, cu
ajutorul calculului stochastic stabilește o probabilitate exactă cu care prețul se va
situa într-un interval după o perioadă exactă e timp, bazându-se pe evoluția din trecut
a prețului.
În lucrare am calculat aceste intervale de probabilitate, pentru care m-am
bazat pe datele istorice dintr-un an de tranzacționare. Tot un an de tranzacționare
este perioada maximă pentru care am calculat intervalele de probabilitate și pentru
care am simulat evoluția acțiunilor. Alegerea unei perioade mai lungi ca bază pentru
calcularea volatilității și mediei pare să fie o alegere mai bună pentru previziunea
prețului, are însă dezavantajul că date vechi și posibil irelevante privind
comportamentul acțiunii vor afecta intervalele de preț calculate. De asemenea
alegerea unei perioade mai scurte ca bază poate să nu ia în considerare mișcări
relevante din trecut ale prețului.
Putem spune că limita acestui mod de previziune a prețurilor instrumentelor
financiare este că se bazează numai pe comportamentul istoric al acțiunii, intervalul
de probabilitate calculat este determinat de media (driftul) și volatilitatea rezultată
din analiza datelor istorice. Dacă intervine o schimbare în sentimentul piețelor
intensitatea mișcărilor poate să se schimbe considerabil. Astfel nu putem să știm
dacă volatilitatea calculată este de fapt cea din prezent, sau că direcția determinată
de media rentabilităților este sustenabilă. În timp este posibilă creșterea sa scăderea
semnificativă volatilității, tot datorită unor factori aleatorii.
Dacă se produc evenimente care au efect major asupra prețului acțiunilor este
posibil ca prețul să nu se încadreze în intervalul de probabilitate. În acest caz putem
considera ca rentabilitatea prețului la sfârșitul perioadei pentru care s-a calculat
intervalul față de prețul de pornire s-a situat la extremitatea curbei de densitate.
Probabilitatea acestui rezultat este egală sau mai mică ca diferența între
probabilitatea de 100% și probabilitatea pentru care s-a calculat intervalul. Acest
fenomen poate fi observat în cazul fiecărei acțiuni analizate, în cazul probabilității
de 75%, după trei luni. Acest comportament se datorează unui fenomen imprevizibil
dar cu efect foarte mare asupra piețelor financiare, care a condus la căderi
semnificative ale cotațiilor pe toate piețele de acțiuni, inclusiv BVB. Pandemia

58
COVID-19 și restricțiile impuse pentru combaterea acesteia au efect negativ serios
atât asupra economiei globale cât și asupra economiilor locale. Piețele au anticipat
acest efect printr-o cădere generalizată.
Cu toate că nici această metodă nu dă răspunsul la întrebarea pentru
care fiecare investitor ar dori să afle răspunsul (unde va fi prețul instrumentului
financiar vizat în viitor), dă un interval în care se va afla prețul cu o probabilitate
definită și cu o acuratețe științifică. Acest interval face posibil ca investitorul să
înțeleagă riscul asumat prin deținerea de instrumente financiar sau mărfuri listate și
ca să folosească această informație pentru managementul/reducerea riscului.

59
Bibliografie

Brătian, Bucur, Opreana. (2016). Finanțe cantitative – Evaluarea valorilor
mobiliare și gestiunea portofoliului. Sibiu: Editura Universității ”Lucian
Blaga”.
Brătian, Opreana, Bucur. (2017). Evaluation of the Stock Quote – Stochastic
Approach, Market Efficiency and Technical Analysis. International Journal of
Economics and Financial Issues, Vol 7, Issue 5 .
Brătian, V. (2016). Brownian movement of stock quotes of the companies listed on
the Bucharest Stock Exchange and probability ranges. Revista Economică 68:1 .
Csallner A., Vincze N. (2015). Bevezetés a valószínűség-számításba és a
matematikai statisztikába . (Szegedi Tudományegyetem) http://www.jgypk.hu/
tamop15e/tananyag_html/statisztika/index.html
Csernyák, L., Tóth, M., Havasy, G., Molnár, M., Szunyogh, Z., & Korpás, A. (1996).
Általános statisztika I. Budapest: Nemzeti Tanköbyvkiadó Rt.
Dragota, V. (2003). Gestiunea portofoliului de valori mobiliare. București: Editura
economică.
Medvegyev, P. (2017). Bevezetés a valószínűségszámításba. Budapest: Corvinus
Egyetem.
Moisă, A. (2002). Inginerie Financiară – sinteză. București: Academia de Studii
Economice.
Neftci, S. (2000). An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives (ed.
2). Cambridge, MA: Academic Press.
Negrea, B. (2006). Evaluarea activelor financiare: o introducere în teoria
proceselor stocastice aplicate în finanțe. București: Editura Economică.
Negrea, B., & Damian, V. (2015). Calcul stocastic aplicat în inginerie financiară.
București: Editura Economică.
Stancu, I. (2002). Finanțe. București: Editura economică.
Száz, J. (1999). Tőzsdei szakvizsga felkészítő III. Rész – Értékpapírszámtan.
Budapest: Közép-Európai Brókerképző Alapítvány.
Székely, G. (2004). Paradoxonok a véletlen matematikájában (ed. 2.). Budapest:
Typotex Kiadó.
Weatherwax, J. (2008). Notes On the Book: Paul Wilmott on Quantitative Finance
by Paul Wilmott. https://waxworksmath.com/Authors/N_Z/Wilmott/PWOQF
/WriteUp/weatherwax_wilmott_notes.pdf
Wilmott, P. (2002). Derivative – Inginerie financiară -Teorie si practică. București:
Editura economică.
Wilmott, P. (2007). Frequently Asked Questions In Quantitative Finance.
Chichester: John Wiley & Sons Ltd.
Wilmott, P. (2007). Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance – Second Edition.
Chichester: John Wiley & Sons Ltd.
www.asfromania.ro
www.bvb.ro

60

Anexe

Scurta prezentare a companiilor analizate:
Bursa de Valori București S.A.
Bursa de Valori București SA este, cea mai importantă instituție a pieței locale
de capital, organizează si administrează piețele reglementate de instrumente
financiare la standarde europene, a devenit societate pe acțiuni in 2005 și s-a listat
pe propria piață in iunie 2010.
Bursa de Valori București administrează două piețe: piața reglementată si
piața AeRO.

Număr total acțiuni: 8.049.246
Valoare nominală: 10,0000
Capital social: 80.492.460,00

BRD Groupe Societe Generale S.A.
BRD Groupe Societe Generale este Urmașa a Societății Naționale de Credit
Industrial, creată în 1923, a îndeplinit funcția de bancă de investiții a Statului Român
înainte de a primi, în 1990, licența de bancă universală. În 1999, Societe Generale a
devenit acționarul majoritar al băncii.
BRD are 2,2 milioane de clienți și operează o rețea de 870 de unități,
activitatea sa desfășurându-se pe trei linii de business: retail și IMM-uri, mari
corporații și investment banking.

Număr total acțiuni: 696.901.518
Valoare nominală: 1,0000
Capital social: 696.901.518,00

Banca Transilvania S.A.
Banca Transilvania este cea mai mare bancă din Romînia după active. Banca
fost înființată în anul 1993, la Cluj-Napoca, de un grup de oameni de afaceri locali,
cu 79% capital românesc și 21% străin.
Activitatea băncii este organizată pe patru linii principale de business, și
anume: corporate, IMM, retail și Divizia pentru Medici. Banca Transilvania are
aproape 1,76 milioane de clienți, 550 de unități și peste 6.000 de angajați.

Număr total acțiuni: 5.216.090.590
Valoare nominală: 1,0000
Capital social: 5.216.090.590,00

Electrica S.A.

61
Grupul Electrica este un jucător-cheie pe piața de distribuție și furnizare a
energiei electrice din România, precum și unul dintre cei mai importanți jucători din
sectorul serviciilor energetice. Grupul oferă servicii la circa 3,8 milioane de
utilizatori și are o arie de cuprindere națională – cu organizare în trei zone pentru
distribuția energiei electrice: Transilvania Nord, Transilvania Sud, Muntenia Nord,
și pe cuprinsul întregii țări pentru furnizarea energiei electrice și pentru întreținere
și servicii energetice.
Din iulie 2014, Electrica este o companie cu capital majoritar privat, listată pe
bursele de valori din București și London Stock Exchange. Electrica este singura
companie românească listată din domeniul distribuției și furnizării energiei electrice
din România.

Număr total acțiuni: 346.443.597
Valoare nominală: 10,0000
Capital social: 3.464.435.970,00

OMV Petrom S.A.
OMV Petrom este cea mai mare companie de energie din Europa de Sud-Est.
Compania este activă de-a lungul întregului lanț valoric al energiei: de la explorarea si
producția de țiței ți gaze, până la rafinare și distribuția de carburanți și, mai departe, la
generarea de energie electrică, precum și comercializarea gazelor naturale și a energiei
electrice.
Grupul OMV Petrom deține o poziție de lider pe piețele de carburanți si gaze
naturale din România și are o contribuție importantă la securitatea aprovizionării cu
energie electrica a țării.

Număr total acțiuni: 56.644.108.335
Valoare nominală: 0,1000
Capital social: 5.664.410.833,50

SIF Transilvania S.A.
Societatea de Investiții Financiare Transilvania S.A. este o societate de
investiții financiare de tip închis, autoadministrată, organizată sub forma unei
societăți pe acțiuni cu capital integral privat, iar acțiunile emise sunt deținute de
acționari individuali și instituționali, atât români cât si străini.
S.I.F. Transilvania are ca obiectiv administrarea investițiilor din portofoliu și
identificarea permanentă de oportunități investiționale, în condițiile asigurării unui
nivel rezonabil al dispersiei riscului investițional, cu scopul de a oferi acționarilor
posibilitatea obținerii unor performante atractive, concomitent cu sporirea
capitalului investit. Portofoliul investițional este alcătuit din acțiuni, obligațiuni și
alte instrumente financiare, principalele sectoare de activitate in care societatea
deține participații fiind turismul, sectorul financiar, sectorul imobiliar si cel
energetic.

Număr total acțiuni: 2.162.443.797

62
Valoare nominală: 0,1000
Capital social: 216.244.379,70

Transgaz S.A.
SNTGN Transgaz SA este operatorul tehnic al Sistemului National de
Transport (SNT) gaze naturale care asigura în condiții de siguranță, eficiență,
competitivitate și cu respectarea standardelor europene de performanță si mediu,
transportul a peste 90% din gazele naturale consumate în România. Societatea
intenționează să devină un operator de transport cu recunoaștere pe piața
internațională a gazelor naturale, un lider pe piața energetica din regiune, cu un
sistem național de transport al gazelor naturale modern, integrat la nivel european și
un sistem de management performant.
Număr total acțiuni: 11.773.844
Valoare nominală: 10,0000
Capital social: 117.738.440,00

Cotațiile acțiunilor studiate, pe Bursa de Valori București, în perioada
06.12.2018 – 06.12.20191:
BRD BVB EL SIF3 SNP TGN TLV
Dec 06, 2018 14.10 22.8 11.30 0.207 0.3615 354.0 2.248
Dec 07, 2018 14.18 23.0 11.14 0.208 0.3660 354.0 2.243
Dec 10, 20 18 13.72 22.9 11.14 0.208 0.3610 349.0 2.169
Dec 11, 2018 13.90 22.8 11.18 0.211 0.3590 351.0 2.179
Dec 12, 2018 13.74 22.6 11.02 0.211 0.3575 346.0 2.174
Dec 13, 2018 13.74 22.9 11.10 0.211 0.3580 349.5 2.169
Dec 14, 2018 13.70 23.0 11.12 0.210 0.3590 344.5 2.179
Dec 17, 2018 13.64 22.8 10.98 0.211 0.3510 336.5 2.169
Dec 18, 2018 13.36 22.7 11.10 0.212 0.3470 332.0 2.169
Dec 19, 2018 11.14 21.7 9.98 0.203 0.3020 300.0 1.737
Dec 20, 2018 10.92 21.5 9.78 0.203 0.2990 302.0 1.754
Dec 21, 2018 10.46 20.9 9.40 0.201 0.2800 299.5 1.662
Dec 24, 2018 11.52 21.7 9.98 0.210 0.3095 318.0 1.846
Dec 27, 2018 11.48 21.6 9.80 0.211 0.3055 319.0 1.845
Dec 28, 2018 11.40 21.2 9.62 0.212 0.3020 318.0 1.855
Dec 31, 2018 11.40 21.0 9.70 0.215 0.2990 316.0 1.851
Ian 03, 2019 11.58 21.3 9.79 0.215 0.2995 314.0 1.897
Ian 04, 2019 11.80 22.0 10.06 0.225 0.3130 320.0 1.939
Ian 07, 2019 11.84 22.0 10.00 0.225 0.3150 323.0 1.948
Ian 08, 2019 11.44 21.9 9.90 0.223 0.3015 316.5 1.906
Ian 09, 2019 11.34 22.5 9.80 0.226 0.2995 316.0 1.883
Ian 10, 2019 11.30 22.4 9.70 0.226 0.2995 320.0 1.839

1 În cazul BVB S.A. perioada analizată este 06.12.2018 – 09.12.2019.

63
Ian 11, 2019 11.00 22.2 9.67 0.224 0.2910 316.0 1.754
Ian 14, 2019 10.34 21.9 9.38 0.217 0.2820 305.0 1.586
Ian 15, 2019 10.20 21.6 9.70 0.218 0.3095 303.0 1.569
Ian 16, 2019 10.36 21.9 9.78 0.220 0.3040 313.0 1.586
Ian 17, 2019 10.80 22.4 9.80 0.228 0.3095 322.0 1.645
Ian 18, 2019 10.80 22.8 9.80 0.230 0.3150 336.0 1.645
Ian 21, 2019 10.78 22.1 9.80 0.222 0.3100 325.0 1.660
Ian 22, 2019 10.70 22.2 10.26 0.222 0.3150 334.5 1.652
Ian 23, 2019 10.64 22.7 9.90 0.222 0.3170 334.5 1.617
Ian 25, 2019 10.30 22.6 9.81 0.221 0.3210 330.0 1.569
Ian 28, 2019 10.00 22.3 9.86 0.220 0.3215 323.0 1.505
Ian 29, 2019 9.90 22.4 9.85 0.220 0.3180 325.0 1.475
Ian 30, 2019 10.02 22.6 9.86 0.220 0.3285 329.0 1.475
Ian 31, 2019 10.00 22.2 9.56 0.222 0.3220 330.0 1.449
Feb 01, 2019 10.10 22.4 9.60 0.220 0.3300 332.0 1.496
Feb 04, 2019 11.20 22.7 9.60 0.225 0.3340 330.0 1.662
Feb 05, 2019 11.40 22.8 9.65 0.227 0.3375 329.5 1.708
Feb 06, 2019 11.50 22.7 9.80 0.224 0.3400 326.0 1.726
Feb 07, 2019 11.88 23.7 10.00 0.223 0.3410 328.0 1.745
Feb 08, 2019 11.82 23.7 10.08 0.230 0.3385 327.0 1.772
Feb 11, 2019 11.32 22.8 10.04 0.225 0.3285 322.0 1.671
Feb 12, 2019 11.64 23.6 10.24 0.229 0.3445 330.0 1.699
Feb 13, 2019 12.04 24.5 10.68 0.232 0.3500 334.0 1.736
Feb 14, 2019 11.70 23.5 10.70 0.229 0.3485 330.0 1.708
Feb 15, 2019 11.52 23.0 10.68 0.235 0.3470 336.5 1.688
Feb 18, 2019 11.86 23.4 10.88 0.235 0.3490 346.0 1.695
Feb 19, 2019 11.80 23.2 11.00 0.240 0.3470 341.0 1.680
Feb 20, 2019 11.90 23.0 10.74 0.250 0.3450 341.5 1.732
Feb 21, 2019 12.26 23.0 11.00 0.249 0.3485 345.0 1.780
Feb 22, 2019 11.98 22.8 10.80 0.246 0.3435 343.0 1.737
Feb 25, 2019 12.08 22.4 10.94 0.246 0.3470 338.0 1.754
Feb 26, 2019 12.08 22.8 10.76 0.246 0.3450 337.0 1.798
Feb 27, 2019 11.90 22.4 10.88 0.250 0.3395 340.0 1.732
Feb 28, 2019 11.90 22.5 10.50 0.249 0.3410 341.0 1.754
Mar 01, 2019 11.88 22.4 10.36 0.249 0.3400 343.0 1.763
Mar 04, 2019 12.26 22.7 10.42 0.251 0.3475 343.5 1.846
Mar 05, 2019 12.50 22.5 10.44 0.249 0.3550 342.5 1.939
Mar 06, 2019 12.64 22.8 10.30 0.251 0.3535 344.0 1.915
Mar 07, 2019 12.58 22.8 10.30 0.250 0.3500 343.5 1.888
Mar 08, 2019 12.60 22.8 10.20 0.250 0.3435 340.5 1.897
Mar 11, 2019 12.70 22.9 10.30 0.249 0.3495 340.5 1.929
Mar 12, 2019 12.70 22.9 10.30 0.247 0.3500 339.5 1.920
Mar 13, 2019 12.50 22.8 10.24 0.248 0.3490 341.5 1.893
Mar 14, 2019 12.56 22.9 10.22 0.246 0.3560 338.0 1.883
Mar 15, 2019 12.68 22.8 10.00 0.250 0.3560 337.0 1.906

64
Mar 18, 2019 12.66 22.9 9.90 0.250 0.3600 338.0 1.902
Mar 19, 2019 12.86 22.3 10.10 0.250 0.3640 337.0 1.929
Mar 20, 2019 13.00 21.8 10.20 0.250 0.3675 336.5 1.952
Mar 21, 2019 12.82 22.2 10.32 0.251 0.3675 333.0 1.966
Mar 22, 2019 12.82 22.0 10.40 0.251 0.3660 334.5 1.952
Mar 25, 2019 12.66 22.0 10.56 0.251 0.3600 330.0 1.911
Mar 26, 2019 12.96 22.0 10.64 0.249 0.3620 337.0 1.939
Mar 27, 2019 13.16 21.6 11.08 0.249 0.3650 338.0 1.957
Mar 28, 2019 13.04 21.5 11.00 0.248 0.3650 337.0 1.948
Mar 29, 2019 13.00 21.9 11.04 0.248 0.3570 339.0 1.915
Apr 01, 2019 13.10 21.8 11.20 0.247 0.3630 334.0 1.966
Apr 02, 2019 13.14 21.7 11.30 0.241 0.3620 335.0 1.962
Apr 03, 2019 13.16 22.2 11.30 0.245 0.3610 338.5 1.976
Apr 04, 2019 13.16 22.0 11.25 0.246 0.3630 338.5 1.980
Apr 05, 2019 13.22 22.0 11.30 0.246 0.3640 338.0 2.003
Apr 08, 2019 13.40 22.2 11.20 0.246 0.3635 347.5 2.022
Apr 09, 2019 13.38 21.9 11.40 0.248 0.3670 355.0 2.008
Apr 10, 2019 13.36 22.2 11.35 0.248 0.3665 353.5 2.013
Apr 11, 2019 13.38 22.0 11.35 0.248 0.3680 353.5 2.003
Apr 12, 2019 13.36 22.0 11.25 0.247 0.3665 347.5 1.999
Apr 15, 2019 13.26 22.0 11.30 0.244 0.3675 348.0 1.980
Apr 16, 2019 13.40 22.1 11.25 0.247 0.3660 351.0 1.957
Apr 17, 2019 13.38 22.2 11.15 0.248 0.3655 350.0 1.971
Apr 18, 2019 13.40 11.10 0.247 0.3660 351.0 1.966
Apr 19, 2019 13.72 22.5 11.00 0.248 0.3670 350.0 2.003
Apr 22, 2019 13.76 22.5 10.75 0.247 0.3785 350.0 2.017
Apr 23, 2019 13.64 22.5 10.40 0.247 0.3800 350.0 1.994
Apr 24, 201 9 13.66 22.7 10.75 0.245 0.3795 352.0 1.985
Apr 25, 2019 13.60 22.5 10.95 0.246 0.3800 354.5 1.989
Apr 30, 2019 13.64 22.3 11.20 0.246 0.3825 355.0 2.036
Mai 02, 2019 13.70 22.5 11.20 0.248 0.3800 356.5 2.008
Mai 03, 2019 13.48 22.4 11.25 0.247 0.3800 356.5 2.008
Mai 06, 2019 13.44 22.3 11.00 0.248 0.3835 354.0 1.989
Mai 07, 2019 13.50 22.2 11.30 0.249 0.3855 356.0 1.989
Mai 08, 2019 13.50 22.2 10.90 0.250 0.3835 355.5 1.980
Mai 09, 2019 11.74 22.2 10.80 0.250 0.3875 355.0 1.985
Mai 10, 2019 11.66 22.2 10.75 0.251 0.3855 355.0 1.985
Mai 13, 2019 11.28 22.2 10.65 0.250 0.3740 355.0 1.939
Mai 14, 2019 11.12 21.8 10.75 0.250 0.3760 355.0 1.939
Mai 15, 2019 11.20 21.8 10.55 0.251 0.3795 354.0 1.943
Mai 16, 2019 11.20 21.9 10.65 0.250 0.3810 356.0 1.957
Mai 17, 2019 11.20 22.4 10.80 0.250 0.3805 355.0 1.952
Mai 20, 2019 10.98 22.0 10.85 0.249 0.3810 357.0 1.952
Mai 21, 2019 10.76 21.9 10.80 0.250 0.3800 356.0 1.943
Mai 22, 2019 10.90 21.7 10.85 0.251 0.3590 356.5 1.948

65
Mai 23, 2019 10.80 22.1 11.00 0.250 0.3590 357.0 1.948
Mai 24, 2019 10.84 22.4 11.05 0.249 0.3680 357.0 1.989
Mai 27, 2019 11.08 22.4 11.00 0.250 0.3690 355.0 2.031
Mai 28, 2019 11.38 22.4 11.20 0.253 0.3895 370.0 2.105
Mai 29, 2019 11.36 22.4 11.15 0.250 0.3850 370.0 2.096
Mai 30, 2019 11.40 22.4 10.70 0.262 0.3780 371.0 2.105
Mai 31, 2019 11.48 22.8 11.10 0.262 0.3845 370.0 2.109
Iun 03, 2019 11.52 22.7 11.20 0.262 0.3820 372.0 2.146
Iun 04, 2019 11.64 22.8 11.15 0.262 0.3820 371.0 2.031
Iun 05, 2019 11.84 22.9 11.30 0.262 0.3850 371.5 2.077
Iun 06, 2019 11.80 22.2 10.80 0.259 0.3900 360.0 2.072
Iun 07, 2019 11.94 22.1 11.10 0.258 0.3925 365.0 2.100
Iun 10, 2019 11.90 22.1 11.35 0.260 0.3925 362.5 2.132
Iun 11, 2019 12.10 22.2 11.40 0.261 0.3950 370.0 2.146
Iun 12, 201 9 12.08 22.0 11.05 0.260 0.3940 368.5 2.142
Iun 13, 2019 11.96 22.1 10.75 0.261 0.3770 366.0 2.123
Iun 14, 2019 12.06 22.1 10.90 0.260 0.3840 369.5 2.114
Iun 18, 2019 12.06 22.1 11.05 0.260 0.3910 367.0 2.109
Iun 19, 2019 12.06 22.0 11.00 0.264 0.3950 369.0 2.123
Iun 20, 2019 12.20 22.1 11.20 0.268 0.3955 370.0 2.160
Iun 21, 2019 12.36 22.2 11.35 0.265 0.3960 369.0 2.183
Iun 24, 2019 12.40 22.1 11.30 0.267 0.3845 350.5 2.197
Iun 25, 2019 12.30 22.1 11.10 0.268 0.3850 350.0 2.160
Iun 26, 2019 12.40 22.1 11.15 0.268 0.3850 351.0 2.174
Iun 27, 2019 12.60 22.1 11.30 0.273 0.3910 363.0 2.179
Iun 28, 2019 12.64 22.3 11.30 0.271 0.3950 360.0 2.211
Iul 01, 2019 12.70 22.4 11.35 0.272 0.3960 360.0 2.220
Iul 02, 2019 12.84 22.5 11.25 0.276 0.3910 360.0 2.229
Iul 03, 2019 12.96 22.5 11.15 0.276 0.3950 361.5 2.243
Iul 04, 2019 13.20 22.5 11.25 0.272 0.3950 360.0 2.276
Iul 05, 2019 13.20 22.4 11.30 0.272 0.3965 363.5 2.276
Iul 08, 2019 13.10 22.6 11.15 0.274 0.3950 362.0 2.252
Iul 09, 2019 13.18 22.7 11.20 0.276 0.3940 362.0 2.229
Iul 10, 2019 13.24 24.6 11.15 0.278 0.3850 362.5 2.252
Iul 11, 2019 13.46 24.8 11.30 0.280 0.3935 360.5 2.308
Iul 12, 2019 13.54 24.9 11.35 0.285 0.4070 361.5 2.312
Iul 15, 2019 13.66 24.5 11.15 0.289 0.4180 362.5 2.345
Iul 16, 2019 13.66 25.0 11.20 0.288 0.4100 364.5 2.354
Iul 17, 2019 13.54 24.9 11.25 0.285 0.4110 360.0 2.336
Iul 18, 2019 13.40 24.1 11.30 0.282 0.4095 361.5 2.308
Iul 19, 2019 13.44 24.5 11.40 0.287 0.4080 362.5 2.336
Iul 22, 2019 13.40 24.3 11.25 0.283 0.4075 362.0 2.340
Iul 23, 2019 13.36 24.0 11.20 0.283 0.4090 363.0 2.331
Iul 24, 2019 13.26 23.5 11.20 0.287 0.3880 360.0 2.317
Iul 25, 2019 13.26 23.4 11.20 0.283 0.3940 361.0 2.322

66
Iul 26, 2019 13.26 23.3 11.10 0.280 0.3920 360.0 2.322
Iul 29, 201 9 13.40 23.9 11.20 0.283 0.3940 363.0 2.336
Iul 30, 2019 13.40 23.8 11.10 0.283 0.3940 363.0 2.345
Iul 31, 2019 13.66 24.0 11.40 0.283 0.4170 364.0 2.386
Aug 01, 2019 13.46 24.0 11.00 0.286 0.4030 361.0 2.405
Aug 02, 2019 13.40 23.6 11.10 0.285 0.4010 361.0 2.375
Aug 05, 2019 13.34 23.6 11.15 0.279 0.3965 360.0 2.350
Aug 06, 2019 13.28 23.5 11.15 0.280 0.3980 360.0 2.360
Aug 07, 2019 13.36 23.7 11.05 0.281 0.3990 358.0 2.370
Aug 08, 2019 13.38 23.8 11.15 0.280 0.4035 360.0 2.375
Aug 09, 2019 13.44 23.1 11.30 0.281 0.4050 362.0 2.370
Aug 12, 2019 13.36 23.2 11.10 0.280 0.4040 359.0 2.375
Aug 13, 2019 13.40 23.0 11.05 0.283 0.4050 358.5 2.380
Aug 14, 2019 13.30 23.0 11.10 0.280 0.4050 348.0 2.330
Aug 16, 2019 13.32 23.0 11.30 0.282 0.4015 345.0 2.320
Aug 19, 2019 13.40 22.6 11.25 0.280 0.4020 350.0 2.350
Aug 20, 2019 13.46 22.7 11.25 0.280 0.4025 351.5 2.335
Aug 21, 2019 13.58 22.7 11.30 0.279 0.4075 353.0 2.350
Aug 22, 2019 13.42 23.0 11.15 0.279 0.4100 350.0 2.335
Aug 23, 2019 13.46 23.3 11.10 0.278 0.4060 349.0 2.345
Aug 26, 2019 13.36 23.1 11.15 0.281 0.4015 348.0 2.325
Aug 27, 2019 13.60 23.5 11.45 0.281 0.4145 357.5 2.380
Aug 28, 2019 13.46 23.7 11.40 0.279 0.4135 354.0 2.355
Aug 29, 2019 13.48 23.9 11.35 0.276 0.4110 353.5 2.360
Aug 30, 2019 13.60 23.7 11.20 0.280 0.4130 351.5 2.350
Sep 02, 2019 13.48 23.0 11.20 0.277 0.4130 355.0 2.355
Sep 03, 2019 13.50 23.1 11.30 0.276 0.4155 354.0 2.350
Sep 04, 2019 13.50 23.2 11.20 0.278 0.4150 352.0 2.360
Sep 05, 2019 13.50 23.3 11.25 0.280 0.4160 352.0 2.360
Sep 06, 2019 13.42 23.6 11.25 0.281 0.4135 351.0 2.365
Sep 09, 2019 13.46 24.0 11.25 0.281 0.4140 349.5 2.360
Sep 10, 2019 13.46 24.3 11.25 0.290 0.4140 348.0 2.350
Sep 11, 2019 13.54 24.3 11.20 0.289 0.4100 346.0 2.355
Sep 12, 201 9 13.58 24.1 11.25 0.287 0.4070 346.5 2.350
Sep 13, 2019 13.56 24.4 11.15 0.285 0.4100 346.0 2.355
Sep 16, 2019 13.60 24.5 11.20 0.289 0.4145 346.5 2.370
Sep 17, 2019 13.62 24.9 11.25 0.294 0.4130 346.0 2.375
Sep 18, 2019 13.70 25.1 11.30 0.297 0.4140 348.0 2.375
Sep 19, 2019 13.86 25.4 11.40 0.298 0.4135 351.5 2.390
Sep 20, 2019 13.92 25.9 11.50 0.304 0.4180 358.5 2.400
Sep 23, 2019 14.10 25.9 11.40 0.300 0.4165 357.0 2.425
Sep 24, 2019 14.00 26.0 11.45 0.299 0.4190 359.5 2.400
Sep 25, 2019 14.02 25.7 11.30 0.300 0.4195 359.5 2.410
Sep 26, 2019 14.16 25.8 11.45 0.300 0.4215 360.0 2.410
Sep 27, 2019 14.30 27.4 11.45 0.300 0.4220 365.0 2.440

67
Sep 30, 2019 14.32 27.0 11.05 0.300 0.4225 365.0 2.400
Oct 01, 2019 14.24 26.9 11.20 0.300 0.4195 365.5 2.400
Oct 02, 2019 14.02 25.8 11.10 0.291 0.4110 360.5 2.390
Oct 03, 2019 14.10 25.9 11.15 0.291 0.4060 365.0 2.390
Oct 04, 2019 14.18 25.9 11.15 0.290 0.4095 365.0 2.395
Oct 07, 2019 14.28 25.6 11.30 0.292 0.4170 366.5 2.415
Oct 08, 2019 14.16 25.7 11.35 0.289 0.4150 366.0 2.385
Oct 09, 2019 14.16 25.7 11.25 0.291 0.4150 366.5 2.405
Oct 10, 2019 14.10 25.6 11.15 0.289 0.4150 366.0 2.390
Oct 11, 2019 14.22 25.8 11.15 0.291 0.4155 366.0 2.400
Oct 14, 2019 14.20 25.9 11.40 0.292 0.4155 370.0 2.390
Oct 15, 2019 14.16 25.9 11.30 0.293 0.4200 368.0 2.390
Oct 16, 2019 14.22 25.9 11.20 0.293 0.4175 365.5 2.380
Oct 17, 2019 14.30 25.7 11.15 0.297 0.4185 366.0 2.385
Oct 18, 2019 14.16 26.2 11.05 0.297 0.4130 368.0 2.380
Oct 21, 2019 14.26 26.0 11.20 0.294 0.4170 368.0 2.390
Oct 22, 2019 14.38 26.1 11.10 0.297 0.4270 369.5 2.390
Oct 23, 2019 14.40 26.0 11.15 0.299 0.4265 369.5 2.380
Oct 24, 2019 14.36 26.0 11.10 0.300 0.4270 367.5 2.400
Oct 25, 2019 14.40 26.1 11.15 0.300 0.4290 369.5 2.440
Oct 28, 201 9 14.46 26.2 11.15 0.301 0.4300 368.5 2.440
Oct 29, 2019 14.50 26.5 11.15 0.303 0.4370 369.0 2.445
Oct 30, 2019 14.28 26.5 11.25 0.302 0.4280 369.5 2.440
Oct 31, 2019 14.20 26.4 11.10 0.303 0.4210 369.0 2.380
Noi 01, 2019 14.24 26.4 11.20 0.306 0.4245 369.5 2.415
Noi 04, 2019 14.38 26.4 11.15 0.302 0.4290 370.0 2.425
Noi 05, 2019 14.52 27.0 11.30 0.306 0.4320 370.0 2.425
Noi 06, 2019 14.64 26.3 11.25 0.305 0.4320 370.0 2.435
Noi 07, 2019 14.52 26.3 11.15 0.308 0.4320 370.0 2.430
Noi 08, 2019 14.42 26.6 11.25 0.310 0.4330 371.0 2.415
Noi 11, 2019 14.58 26.4 11.25 0.309 0.4335 371.5 2.430
Noi 12, 2019 14.50 26.1 11.20 0.308 0.4340 370.0 2.445
Noi 13, 2019 14.68 26.5 11.25 0.311 0.4320 370.0 2.455
Noi 14, 2019 14.44 26.0 11.20 0.315 0.4315 367.5 2.450
Noi 15, 2019 14.34 26.1 11.05 0.319 0.4305 370.0 2.465
Noi 18, 2019 14.54 26.1 11.20 0.322 0.4320 370.0 2.480
Noi 19, 2019 14.54 26.4 11.20 0.325 0.4325 369.0 2.475
Noi 20, 2019 14.56 26.2 11.20 0.333 0.4360 367.0 2.455
Noi 21, 2019 14.52 26.1 11.20 0.338 0.4360 369.0 2.460
Noi 22, 2019 14.66 26.1 11.10 0.349 0.4360 367.0 2.470
Noi 25, 2019 14.90 26.2 11.20 0.342 0.4360 369.0 2.485
Noi 26, 2019 15.00 26.0 11.05 0.346 0.4370 367.0 2.540
Noi 27, 2019 15.30 26.4 11.25 0.359 0.4400 369.0 2.565
Noi 28, 2019 15.26 26.5 11.25 0.357 0.4425 369.5 2.555
Noi 29, 2019 15.30 26.7 11.25 0.360 0.4415 369.5 2.550

68
Dec 02, 2019 15.36 26.5 11.10 0.359 0.4405 368.5 2.570
Dec 03, 2019 15.30 26.0 11.10 0.357 0.4400 368.0 2.580
Dec 04, 2019 15.50 26.2 11.15 0.359 0.4425 370.0 2.600
Dec 05, 2019 15.70 26.0 11.20 0.356 0.4400 370.0 2.600
Dec 06, 2019 15.72 26.0 11.20 0.360 0.4415 373.0 2.590
Dec 09, 2019 25.9

Pentru acțiunea BVB perioada analizată este între 06.12.2018 – 09.12.2019.

Cotațiile simulate ale acțiunilor studiate, pentru o perioadă de 252 zile de
tranzacționare:
BRD BVB EL SIF3 SNP TGN TLV
Ziua 0 15.72 25.9 11.20 0.360 0.4415 373.0 2.590
Ziua 1 16.26 25.4 11.44 0.365 0.4470 370.3 2.646
Ziua 2 16.17 25.0 11.25 0.365 0.4673 375.4 2.700
Ziua 3 16.58 25.4 11.05 0.370 0.4690 374.2 2.611
Ziua 4 16.60 25.5 11.31 0.376 0.4754 371.7 2.590
Ziua 5 16.84 25.1 11.32 0.366 0.4719 369.1 2.558
Ziua 6 17.43 24.5 11.02 0.364 0.4773 374.0 2.543
Ziua 7 17.27 24.3 10.93 0.360 0.4782 369.2 2.526
Ziua 8 17.19 23.9 11.00 0.358 0.4955 366.1 2.625
Ziua 9 16.76 23.7 11.25 0.360 0.4778 366.2 2.639
Ziua 10 17.00 23.6 11.09 0.363 0.4678 368.0 2.654
Ziua 11 17.63 23.4 10.92 0.361 0.4600 371.5 2.659
Ziua 12 17.68 23.8 10.94 0.361 0.4756 376.0 2.695
Ziua 13 17.82 23.7 10.80 0.360 0.4738 374.6 2.850
Ziua 14 17.95 23.1 10.73 0.359 0.4700 378.1 2.896
Ziua 15 18.48 22.9 10.93 0.354 0.4800 379.9 2.963
Ziua 16 17.89 23.6 10.84 0.352 0.4828 377.6 2.986
Ziua 17 17.71 23.7 10.67 0.348 0.4881 382.0 3.007
Ziua 18 18.19 24.3 10.88 0.342 0.4918 388.0 2.935
Ziua 19 17.61 24.9 10.89 0.341 0.4796 390.3 2.964
Ziua 20 17.41 25.3 11.04 0.335 0.5002 388.9 2.906
Ziua 21 17.34 25.4 10.74 0.333 0.5065 391.7 2.843
Ziua 22 17.06 26.2 10.87 0.327 0.4993 398.9 2.744
Ziua 23 16.84 26.7 11.32 0.327 0.5027 397.9 2.649
Ziua 24 16.71 27.0 10.94 0.324 0.4815 402.6 2.596
Ziua 25 17.04 27.8 10.85 0.324 0.4728 405.3 2.528
Ziua 26 17.54 27.5 10.83 0.324 0.4721 400.1 2.612
Ziua 27 17.59 28.0 10.98 0.319 0.4739 400.9 2.585
Ziua 28 17.44 27.2 11.11 0.319 0.4875 392.2 2.626
Ziua 29 17.49 26.7 10.73 0.323 0.4881 391.7 2.706
Ziua 30 17.08 26.6 10.69 0.326 0.4938 393.2 2.696

69
Ziua 31 16.90 27.0 10.90 0.321 0.4862 394.5 2.804
Ziua 32 16.01 27.1 10.95 0.327 0.4981 393.0 2.716
Ziua 33 16.30 27.4 10.99 0.333 0.5095 396.7 2.729
Ziua 34 16.50 26.8 11.18 0.339 0.5166 407.3 2.753
Ziua 35 16.50 26.5 11.35 0.347 0.5150 404.7 2.724
Ziua 36 16.78 26.6 11.61 0.343 0.5211 402.7 2.709
Ziua 37 16.74 26.7 11.78 0.347 0.5119 399.0 2.715
Ziua 38 17.14 26.8 11.63 0.343 0.5178 400.6 2.717
Ziua 39 17.32 26.5 11.30 0.342 0.5053 404.3 2.677
Ziua 40 18.00 26.7 11.41 0.335 0.5301 396.4 2.701
Ziua 41 18.26 27.1 11.36 0.333 0.5258 396.8 2.588
Ziua 42 18.14 27.2 11.26 0.338 0.5359 391.2 2.552
Ziua 43 18.09 27.9 11.03 0.343 0.5405 391.2 2.502
Ziua 44 18.48 27.6 11.07 0.351 0.5543 392.6 2.484
Ziua 45 19.15 28.0 11.35 0.350 0.5702 397.3 2.441
Ziua 46 18.70 28.5 11.73 0.348 0.5620 391.3 2.415
Ziua 47 19.14 28.7 11.78 0.349 0.5616 393.0 2.364
Ziua 48 19.88 28.3 11.60 0.349 0.5771 383.9 2.481
Ziua 49 20.24 28.8 11.76 0.351 0.5880 383.5 2.567
Ziua 50 20.06 28.9 11.34 0.347 0.5747 380.6 2.612
Ziua 51 19.86 29.6 11.24 0.349 0.5827 385.5 2.700
Ziua 52 19.24 29.3 11.10 0.350 0.5882 384.6 2.766
Ziua 53 19.42 29.7 10.97 0.350 0.5793 387.7 2.720
Ziua 54 19.20 29.3 10.82 0.350 0.5778 392.8 2.734
Ziua 55 18.89 28.6 10.50 0.354 0.5881 389.9 2.736
Ziua 56 18.52 29.0 10.38 0.354 0.5861 393.1 2.698
Ziua 57 18.40 28.3 10.67 0.352 0.6080 396.2 2.592
Ziua 58 17.90 28.4 10.67 0.347 0.6166 391.0 2.743
Ziua 59 17.47 28.6 10.79 0.345 0.6205 385.1 2.732
Ziua 60 17.21 28.8 10.84 0.353 0.6234 377.7 2.670
Ziua 61 17.77 28.9 10.89 0.358 0.6353 382.1 2.728
Ziua 62 17.65 28.4 11.01 0.356 0.6270 380.5 2.793
Ziua 63 18.13 28.9 11.04 0.357 0.6359 376.8 2.780
Ziua 64 17.72 28.8 11.05 0.360 0.6378 380.0 2.825
Ziua 65 17.36 29.0 11.01 0.358 0.6515 377.6 2.797
Ziua 66 17.09 29.2 11.16 0.355 0.6679 378.6 2.794
Ziua 67 16.75 28.7 11.39 0.351 0.6733 372.3 2.757
Ziua 68 17.14 28.9 11.33 0.351 0.6714 372.7 2.790
Ziua 69 17.70 28.8 11.29 0.352 0.6782 362.8 2.876
Ziua 70 17.86 28.8 11.30 0.353 0.6521 362.1 2.794
Ziua 71 18.01 29.0 11.11 0.353 0.6420 357.0 2.860
Ziua 72 18.41 29.2 11.23 0.354 0.6382 357.0 2.843
Ziua 73 18.82 29.3 11.47 0.356 0.6337 352.6 2.911
Ziua 74 19.79 29.3 11.56 0.362 0.6280 353.8 2.902
Ziua 75 19.89 29.4 11.73 0.364 0.6466 351.7 2.822

70
Ziua 76 19.65 29.3 11.93 0.370 0.6463 353.6 2.789
Ziua 77 20.20 29.4 12.23 0.372 0.6601 353.9 2.958
Ziua 78 20.30 30.3 12.13 0.370 0.6607 358.1 3.024
Ziua 79 20.22 30.1 11.80 0.375 0.6758 356.5 2.988
Ziua 80 20.66 30.2 11.57 0.372 0.6782 355.6 2.976
Ziua 81 20.82 30.3 11.26 0.374 0.7004 356.1 2.931
Ziua 82 20.97 30.2 11.17 0.372 0.6923 354.0 2.993
Ziua 83 20.56 30.4 11.24 0.374 0.6804 344.8 3.111
Ziua 84 20.77 30.1 11.67 0.370 0.6865 345.6 3.105
Ziua 85 20.49 30.7 11.99 0.375 0.6744 350.6 3.121
Ziua 86 20.36 30.7 11.61 0.373 0.6760 355.5 3.105
Ziua 87 20.25 31.1 11.36 0.369 0.6510 355.9 3.158
Ziua 88 20.59 31.2 11.20 0.371 0.6403 355.2 3.152
Ziua 89 20.65 31.2 11.08 0.375 0.6399 348.3 3.199
Ziua 90 21.09 31.9 11.05 0.375 0.6369 343.9 3.421
Ziua 91 20.51 31.3 11.14 0.369 0.6295 347.9 3.345
Ziua 92 19.89 30.9 11.11 0.374 0.6364 353.8 3.472
Ziua 93 20.17 31.9 11.06 0.369 0.6390 360.5 3.539
Ziua 94 19.67 31.3 11.19 0.366 0.6348 357.5 3.602
Ziua 95 19.89 31.6 11.41 0.367 0.6432 351.6 3.670
Ziua 96 19.48 31.7 11.70 0.366 0.6375 356.4 3.716
Ziua 97 19.41 31.6 11.70 0.366 0.6294 367.1 3.805
Ziua 98 19.29 31.5 11.81 0.368 0.6282 369.2 3.759
Ziua 99 18.91 30.7 11.67 0.366 0.6394 373.2 3.708
Ziua 100 18.83 30.8 11.89 0.363 0.6203 375.5 3.608
Ziua 101 18.51 30.7 11.87 0.370 0.6282 366.8 3.691
Ziua 102 17.99 30.9 12.08 0.373 0.6150 361.8 3.661
Ziua 103 18.49 31.1 12.08 0.370 0.6103 358.5 3.659
Ziua 104 18.38 30.9 11.60 0.375 0.6116 361.6 3.655
Ziua 105 18.50 31.3 11.81 0.380 0.6228 356.3 3.592
Ziua 106 18.60 31.4 11.96 0.384 0.6373 357.9 3.567
Ziua 107 18.80 31.2 12.19 0.380 0.6224 354.1 3.585
Ziua 108 18.26 30.7 12.05 0.373 0.6058 363.5 3.590
Ziua 109 17.86 30.6 12.16 0.379 0.6209 359.2 3.525
Ziua 110 17.81 30.6 12.34 0.381 0.6162 359.3 3.461
Ziua 111 18.34 29.7 12.33 0.386 0.6154 359.9 3.386
Ziua 112 18.35 29.3 12.54 0.392 0.6241 361.1 3.243
Ziua 113 18.47 29.1 12.28 0.390 0.6220 356.6 3.366
Ziua 114 18.04 29.8 12.33 0.387 0.6178 363.6 3.413
Ziua 115 18.06 30.1 12.58 0.387 0.6198 362.8 3.422
Ziua 116 17.92 29.8 12.96 0.385 0.6289 363.8 3.522
Ziua 117 17.77 29.3 12.71 0.390 0.6644 369.9 3.623
Ziua 118 17.74 30.1 12.56 0.400 0.6449 366.9 3.764
Ziua 119 18.34 30.5 12.79 0.405 0.6425 362.1 3.558
Ziua 120 18.07 30.8 12.50 0.402 0.6739 357.9 3.619

71
Ziua 121 18.16 30.3 12.52 0.402 0.6625 367.5 3.548
Ziua 122 18.48 30.4 12.34 0.410 0.6735 371.2 3.398
Ziua 123 18.59 31.1 12.47 0.417 0.6886 371.3 3.365
Ziua 124 18.64 31.4 12.24 0.430 0.6897 364.7 3.402
Ziua 125 18.29 31.5 12.34 0.428 0.6814 364.5 3.413
Ziua 126 18.44 31.9 12.16 0.438 0.6937 352.1 3.325
Ziua 127 18.68 31.8 12.54 0.437 0.6812 346.4 3.342
Ziua 128 18.03 32.4 12.58 0.425 0.6760 349.1 3.373
Ziua 129 18.32 32.9 12.58 0.417 0.6754 338.9 3.319
Ziua 130 17.44 34.0 12.89 0.414 0.6856 338.8 3.372
Ziua 131 17.33 33.9 12.92 0.408 0.6899 337.3 3.315
Ziua 132 16.89 33.6 12.90 0.413 0.6643 336.6 3.258
Ziua 133 16.90 34.0 12.98 0.417 0.6527 342.2 3.351
Ziua 134 16.73 33.8 13.14 0.411 0.6342 340.0 3.267
Ziua 135 17.23 33.7 12.99 0.409 0.6500 340.6 3.256
Ziua 136 17.00 33.6 13.06 0.406 0.6393 334.1 3.271
Ziua 137 17.29 33.3 12.83 0.403 0.6254 330.9 3.234
Ziua 138 18.00 32.7 12.87 0.402 0.6345 329.2 3.183
Ziua 139 17.82 32.9 12.97 0.414 0.6301 334.8 3.094
Ziua 140 17.61 33.3 13.05 0.418 0.6296 336.5 3.153
Ziua 141 17.27 32.5 13.38 0.429 0.6249 337.2 3.094
Ziua 142 16.74 33.2 13.37 0.426 0.6480 333.8 2.979
Ziua 143 16.92 33.9 13.13 0.425 0.6574 327.0 2.990
Ziua 144 16.70 34.4 13.18 0.420 0.6673 329.7 2.994
Ziua 145 17.05 34.0 13.17 0.429 0.6478 328.4 3.032
Ziua 146 17.27 34.1 12.87 0.428 0.6509 330.6 3.070
Ziua 147 17.21 34.7 13.13 0.426 0.6297 339.6 3.053
Ziua 148 16.93 34.7 12.72 0.427 0.6206 343.2 3.096
Ziua 149 17.26 35.6 12.90 0.426 0.6243 346.4 3.100
Ziua 150 17.36 35.1 12.78 0.429 0.6281 346.4 2.993
Ziua 151 17.52 35.2 13.25 0.435 0.6337 341.7 3.031
Ziua 152 17.28 35.3 13.56 0.444 0.6301 340.7 3.079
Ziua 153 17.43 35.3 13.51 0.445 0.6094 341.3 3.082
Ziua 154 17.64 35.0 13.53 0.439 0.6050 343.1 3.141
Ziua 155 17.67 35.5 13.41 0.438 0.6033 341.3 3.229
Ziua 156 17.21 35.3 13.31 0.448 0.6153 349.1 3.341
Ziua 157 17.77 34.7 13.35 0.455 0.6060 351.1 3.381
Ziua 158 18.16 33.9 13.48 0.454 0.6036 349.3 3.358
Ziua 159 17.64 33.4 13.77 0.449 0.6009 348.7 3.415
Ziua 160 17.52 33.4 13.94 0.445 0.5913 345.0 3.511
Ziua 161 17.40 33.6 13.38 0.449 0.5762 348.2 3.546
Ziua 162 17.48 34.2 13.13 0.448 0.5910 353.5 3.476
Ziua 163 16.93 35.1 13.18 0.452 0.5761 351.1 3.464
Ziua 164 16.32 35.5 13.37 0.461 0.5815 348.3 3.385
Ziua 165 16.90 35.5 13.10 0.462 0.5928 353.6 3.290

72
Ziua 166 17.05 37.1 13.15 0.458 0.6099 357.0 3.274
Ziua 167 16.91 35.9 13.01 0.451 0.6012 356.2 3.296
Ziua 168 16.95 36.1 13.10 0.459 0.5874 351.5 3.305
Ziua 169 16.42 36.1 12.77 0.459 0.5829 347.5 3.296
Ziua 170 16.36 35.4 12.54 0.454 0.5804 346.3 3.305
Ziua 171 15.66 35.7 12.67 0.452 0.5578 343.0 3.383
Ziua 172 15.80 34.8 12.71 0.450 0.5555 341.4 3.415
Ziua 173 15.61 34.5 13.20 0.444 0.5632 341.9 3.448
Ziua 174 15.14 35.0 13.27 0.443 0.5668 337.8 3.373
Ziua 175 15.26 34.7 13.12 0.436 0.5767 343.8 3.496
Ziua 176 15.18 35.3 13.09 0.435 0.5629 340.1 3.475
Ziua 177 14.93 34.9 13.00 0.422 0.5589 332.9 3.365
Ziua 178 15.00 34.6 12.75 0.418 0.5492 335.1 3.428
Ziua 179 15.48 33.8 12.65 0.418 0.5528 335.8 3.348
Ziua 180 15.64 33.4 12.89 0.429 0.5370 337.9 3.369
Ziua 181 15.58 33.9 12.52 0.422 0.5384 337.8 3.342
Ziua 182 15.81 33.7 12.57 0.423 0.5266 332.3 3.438
Ziua 183 15.72 34.2 12.61 0.413 0.5304 338.5 3.382
Ziua 184 15.20 35.4 12.83 0.416 0.5280 336.6 3.361
Ziua 185 15.38 34.9 12.67 0.416 0.5425 348.3 3.299
Ziua 186 15.82 35.5 12.43 0.423 0.5435 343.5 3.330
Ziua 187 15.33 34.8 12.71 0.425 0.5378 347.0 3.268
Ziua 188 15.24 35.0 12.70 0.422 0.5394 342.1 3.295
Ziua 189 15.20 34.3 12.85 0.426 0.5460 340.7 3.331
Ziua 190 14.72 34.4 13.06 0.430 0.5440 332.0 3.400
Ziua 191 14.12 35.0 13.12 0.433 0.5394 325.9 3.309
Ziua 192 13.79 35.9 13.21 0.435 0.5533 320.8 3.274
Ziua 193 13.80 36.2 12.95 0.428 0.5599 323.6 3.238
Ziua 194 13.96 36.0 12.96 0.434 0.5521 327.3 3.260
Ziua 195 13.71 36.0 12.79 0.438 0.5648 330.7 3.370
Ziua 196 13.76 35.9 12.82 0.449 0.5805 333.4 3.421
Ziua 197 13.65 35.8 12.88 0.448 0.5842 336.4 3.483
Ziua 198 13.68 35.1 12.96 0.445 0.5777 338.9 3.544
Ziua 199 13.80 35.7 13.24 0.444 0.5811 341.1 3.587
Ziua 200 14.09 35.7 13.12 0.452 0.5751 346.6 3.567
Ziua 201 13.91 36.1 12.91 0.450 0.5632 349.1 3.701
Ziua 202 14.16 35.5 12.84 0.461 0.5486 345.8 3.769
Ziua 203 14.21 35.5 12.96 0.462 0.5475 339.1 3.810
Ziua 204 14.32 35.3 12.79 0.464 0.5568 332.3 4.030
Ziua 205 14.50 35.6 12.88 0.464 0.5657 340.5 4.210
Ziua 206 14.72 36.1 12.94 0.469 0.5651 336.4 4.016
Ziua 207 14.84 36.6 12.78 0.490 0.5681 341.0 3.925
Ziua 208 14.73 35.7 12.95 0.491 0.5797 342.9 3.720
Ziua 209 15.34 34.6 12.92 0.494 0.5743 344.8 3.640
Ziua 210 15.24 35.8 12.88 0.499 0.5749 343.9 3.699

73
Ziua 211 15.32 36.3 13.19 0.509 0.5882 349.3 3.704
Ziua 212 15.31 36.0 13.23 0.506 0.5854 346.1 3.592
Ziua 213 15.82 35.8 12.63 0.511 0.5673 352.0 3.455
Ziua 214 15.23 35.6 12.59 0.504 0.5503 344.8 3.558
Ziua 215 15.32 34.8 12.80 0.501 0.5437 337.5 3.697
Ziua 216 14.51 35.9 12.70 0.500 0.5409 330.8 3.579
Ziua 217 14.59 35.5 12.67 0.493 0.5364 333.6 3.481
Ziua 218 14.38 35.7 12.89 0.498 0.5588 331.0 3.330
Ziua 219 15.14 35.7 13.16 0.502 0.5638 339.7 3.483
Ziua 220 15.19 36.1 13.16 0.503 0.5514 335.8 3.449
Ziua 221 15.41 35.2 13.29 0.497 0.5565 335.8 3.480
Ziua 222 15.62 34.6 12.91 0.496 0.5447 334.8 3.559
Ziua 223 15.73 34.6 12.74 0.492 0.5569 334.7 3.532
Ziua 224 15.74 33.7 12.88 0.485 0.5564 328.9 3.481
Ziua 225 15.84 34.3 12.82 0.491 0.5755 333.9 3.533
Ziua 226 15.67 33.9 12.83 0.497 0.5587 331.7 3.656
Ziua 227 15.43 33.3 13.10 0.498 0.5429 334.4 3.760
Ziua 228 15.18 33.5 13.30 0.499 0.5357 340.8 3.699
Ziua 229 14.66 34.1 13.43 0.499 0.5440 346.4 3.693
Ziua 230 14.97 33.3 13.38 0.496 0.5583 347.1 3.664
Ziua 231 15.52 33.2 13.53 0.499 0.5725 349.3 3.764
Ziua 232 15.59 33.5 13.45 0.507 0.5749 350.8 3.721
Ziua 233 15.90 34.1 13.56 0.512 0.5785 355.6 3.730
Ziua 234 15.54 34.7 13.50 0.519 0.5843 352.4 3.720
Ziua 235 15.72 34.9 13.42 0.531 0.5892 356.1 3.695
Ziua 236 16.12 35.1 13.27 0.526 0.5963 360.0 3.661
Ziua 237 16.29 35.4 13.48 0.525 0.5850 367.4 3.560
Ziua 238 16.00 34.9 13.50 0.525 0.5971 365.6 3.531
Ziua 239 16.32 34.5 13.23 0.516 0.6044 363.2 3.590
Ziua 240 16.44 34.8 13.24 0.517 0.6013 359.5 3.654
Ziua 241 16.55 35.1 13.35 0.512 0.5913 362.3 3.603
Ziua 242 16.93 34.9 13.44 0.512 0.5928 361.3 3.500
Ziua 243 16.81 34.5 13.09 0.509 0.5820 359.0 3.509
Ziua 244 16.39 34.8 13.23 0.504 0.5955 354.8 3.523
Ziua 245 16.54 34.5 13.13 0.506 0.6032 356.9 3.625
Ziua 246 16.59 34.7 12.84 0.507 0.6025 350.7 3.601
Ziua 247 17.08 34.9 12.54 0.506 0.5817 352.7 3.609
Ziua 248 16.65 35.9 12.52 0.506 0.5915 353.2 3.624
Ziua 249 17.09 36.3 12.66 0.522 0.6048 354.9 3.542
Ziua 250 17.86 35.8 12.71 0.519 0.6232 350.6 3.722
Ziua 251 17.72 34.9 12.68 0.525 0.6301 352.8 3.639
Ziua 252 16.94 34.6 12.25 0.529 0.6183 353.6 3.560

74
Tabelul privind probabilitatea cumulată la distribuția normală standard (sursa:
www. z-table.com) :

75