N O T ,I U N I S I R E Z U LTAT E D I N T E O R I A G R U P U R I L O R S ,I A [617784]

Licență

N O T ,I U N I S I R E Z U LTAT E D I N T E O R I A G R U P U R I L O R S ,I A [617784]

Byadmin ianuarie 1, 2024

1
N O T ,I U N I S I R E Z U LTAT E D I N T E O R I A G R U P U R I L O R S ,I A
R E P R E Z E N T ˘A R I L O R G R U P U R I L O R
1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale
Cea mai important˘ a not ,iune in teoria grupurilor este not ,iunea de mult ,ime. Fie M o
mult ,ime nevid˘ a.
Deﬁnit ,ie: Numim lege de compozit ,ie intern˘ a sau operat ,ie algebric˘ a intern˘ a pe mult ,imea
M orice aplicat ,ie
f:MM!M.
Mai departe vom discuta despe proprietat ,ile legilor de compozit ,ie.
Fie f o lege de compozit ,ie interna pe M6=Æ:
Legea f este asociativ˘ a dac˘ a 8x, y, z2M, f(f(x ,y), z)= f(x, f(y, z));
Legea f este comutativ˘ a dac˘ a 8x, y2M, f(x, y)= f(y, x).
Fie o alt˘ a lege de compozi¸ tie intern˘ a pe M6=Æ.
Deﬁni¸ tie: Vom spune c˘ a legea f este distributiv˘ a la dreapta respectiv la stânga fa¸ ta de
legea g dac˘ a
8x,y,z2M,f(g(x,y),z) =g(f(x,z),f(y,z)),
respectiv
8x,y,z2M,f(z,g(x,y)) = g(f(z,x),f(z,y)).
Distributivitatea bilateral˘ a sau simplu distributivitatea este echivalent˘ a cu distributi-
vitatea în ambele sensuri simultan.
Dac˘ a8x,y2M,f(g(x,y),x) = x¸ si g(f(x, y), x)=x, atunci are loc proprietatea de
absorb¸ tie.
Deﬁni¸ tie: Un element x2Mse nume¸ ste idempotent dac˘ a f(x, x)=x.
Deﬁni¸ tie: Un element e2Mse nume¸ ste element neutru pentru legea f dac˘ a
8x2M,f(x,e) = f(e,x) =x
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a legea de compozi¸ tie este aditiv˘ a, atunci elementul neutru se nume¸ ste
element nul, iar dac˘ a legea de compozi¸ tie este multiplicativ˘ a, elementul neutru se nu-
me¸ ste element unitate.
Teorem˘ a: Dac˘ a o lege de compozi¸ tie intern˘ a admite element neutru, atunci acesta
este unic.
Deﬁni¸ tie: Spunem c˘ a un element x02Meste simetric cu x2Mdac˘ a
f(x,x0) = f(x0,x) =e.
Deﬁni¸ tie: În acest caz, spunem c˘ a elementul x este simetrizabil. Dac˘ a legea de com-
pozi¸ tie este aditiv˘ a, atunci elementul simetric se nume¸ ste element opus, iar dac˘ a legea
de compozi¸ tie este multiplicativ˘ a, elementul simetric se nume¸ ste element invers.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 2
Teorem˘ a: Fie f o lege de compozi¸ tie intern˘ a asociativ˘ a ¸ si cu element neutru, deﬁnit˘ a
peM6=Æ. Dac˘ a x2Mare un element simetric, atunci acesta este unic.
Deﬁni¸ tie: Numim element regulat (sau simpliﬁcabil) fa¸ t˘ a de legea f un element a2M,
astfel încât
8x,y2M,f(a,x) = f(a,y),f(x,a) = f(y,a),x=y.
Teorem˘ a: Orice element simetrizabil este element regulat pentru o lege de compozi¸ tie
intern˘ a deﬁnit˘ a pe M 6=Æ, asociativ˘ a ¸ si cu element neutru.
Fie dou˘ a mul¸ timi M6=Æ¸ siW6=Æ.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste lege de compozi¸ tie extern˘ a pe mul¸ timea, cu domeniul de ope-
ratori W, o aplica¸ tie
j:WM!,sauj:MW!M.
Deﬁni¸ tie: Elementul j(a,x)2Mcua2W¸ six2Mse nume¸ ste compusul lui acu x
în raport cu j.
Structuri algebrice
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grupoid o mul¸ time M6=Ædotat˘ a cu o singur˘ a lege de compo-
zi¸ tie intern˘ a.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste semigrup grupoidul care are legea de compozi¸ tie intern˘ a aso-
ciativ˘ a.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste monoid un semigrup cu element unitate.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a legea de compozi¸ tie intern˘ a este comutativ˘ a, structurile algebrice
deﬁnite în raport cu ea se vor numi abeliene.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup o mul¸ time G/2Ædotat˘ a cu o lege de compozi¸ tie intern˘ a
¸ si care veriﬁc˘ a axiomele:
G1: este asociativ˘ a;
G2: are element neutru;
G3: orice element din G este simetrizabil în raport cu legea.
Deﬁni¸ tie: Altfel spus, numim grup orice semigrup cu proprietatea c˘ a dac˘ a
8a,b2G,ecuaiile f (a,x) =b¸ sif(y,a) =bau solu¸ tii unice în G.
Deﬁni¸ tie: Grupul se nume¸ ste ﬁnit dac˘ a mul¸ timea G este ﬁnit˘ a.
Deﬁni¸ tie: Numim ordin al grupului cardinalul mul¸ timii G, notat G. Dac˘ a mul¸ timea
G e ﬁnit˘ a, atunci ordinul grupului coincide cu num˘ arul de elemente ale grupului.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste transformare a mul¸ timii M o aplica¸ tie biunivoc˘ a a acestei mul-
¸ timi pe ea îns˘ a¸ si. Se poate ar˘ ata c˘ a mul¸ timea transform˘ arilor T formeaz˘ a un grup.
Fie dou˘ a grupuri (F, f) ¸ si (G, g).
Deﬁni¸ tie: O aplica¸ tie h: F !G se nume¸ ste omomorﬁsm sau morﬁsm de grupuri dac˘ a
8x,y2F,h(f(x,y)) = g(h(x),h(y)).
Deﬁni¸ tie: Un morﬁsm este injectiv sau monomorﬁsm, respectiv surjectiv sau epimor-
ﬁsm, dac˘ a h este o aplica¸ tie injectiv˘ a, respectiv surjectiv˘ a.
Deﬁni¸ tie: Un morﬁsm bijectiv (bimorﬁsm) este un morﬁsm simultan injectiv ¸ si sur-
jectiv.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a GFatunci morﬁsmul se nume¸ ste endomorﬁsm ¸ si se noteaz˘ a cu
End(G).
Teorem˘ a: Dac˘ a h este un morﬁsm de grupuri atunci, h(e)=e’, unde e ¸ si e’ sunt ele-
mentele unitate din F ¸ si respectiv G.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 3
Teorem˘ a: Imaginea simetricului unui element printr-un morﬁsm de grupuri este si-
metricul imaginii acelui element.
Teorem˘ a: Un morﬁsm de grupuri f: F !G este izomorﬁsm de grupuri dac˘ a ¸ si numai
dac˘ a este bijectiv.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a GFatunci izomorﬁsmul se nume¸ ste automorﬁsm.
Dac˘ a f: G!G’ ¸ si g: G’!G” sunt morﬁsme, atunci h(g, f) este, de asemenea, un
omortﬁsm de grupuri. În nota¸ tie multiplicativ˘ a avem
(gf)(xy) = ( gf)(x)(gf)(y),8x,y2G.
Deﬁni¸ tie: Într-un grup G, un element g 2G se nume¸ ste conjugat cu elementul h 2G,
dac˘ a9x2Gastfel încât xg x1=h.
Deﬁni¸ tie: Aplica¸ tia f: G !G, prin f(g)= xg x1,8g2Gse nume¸ ste automorﬁsm
interior. Deci elementele conjugate sunt deﬁnite de automorﬁsmele interioare ale lui G.
Deﬁni¸ tie: Mul¸ timea elementelor conjugate cu un element dat formeaz˘ a o clas˘ a. Într-
un grup abelian, num˘ arul de clase este egal cu num˘ arul de elemente ale grupului (o
clas˘ a con¸ tine doar un element), c˘ aci
xgx1=gxx1=g.
Deﬁni¸ tie: O mul¸ time H G, H6=Æse nume¸ ste subgrup al grupului G dac˘ a legea
de compozi¸ tie din G induce pe H o lege de compozi¸ tie împreun˘ a cu care H formeaz˘ a o
structur˘ a de grup.
Deﬁni¸ tie: Submul¸ timile G ¸ si {e} ale unui grup G formeaz˘ a subgrupurile improprii ale
acestui grup. Toate celelalte se numesc subgrupuri proprii.
Fie f: F!G un morﬁsm. Atunci:
Deﬁni¸ tie: f(F) e un subgrup al lui G numit imaginea prin f a lui F, (Im f);
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a H e subgrup al lui G, atunci f1(H) e subgrup al lui F. În particular,
f1(e), unde e2Gse nume¸ ste nucleul lui f, (Ker f).
Fie G ¸ si XG,X6=Æ. Subgrupul lui G generat de X (numit sistem de generatori al
acestui subgrup) este reprezentat de intersec¸ tia tuturor subgrupurilor lui G care con¸ tin
pe X.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup ciclic (monogen) un grup generat de un singur element.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup ﬁnit (sau grup ﬁnit generat) grupul generat de o mul¸ time
ﬁnit˘ a de elemente din G.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste subgrup invariant (divizor normal sau subgrup distins) H al
unui grup G un subgrup care are proprietatea c˘ a dac˘ a 8x2G ¸ si8h2H, atunci xh x1
2H.
Deci un subgrup este invariant dac˘ a el con¸ tine odat˘ a cu orice element al s˘ au ¸ si toate
elementele conjugate cu el (adic˘ a transformatele acestuia prin orice automorﬁsm interior
al lui G). În orice grup, subgrupurile improprii sunt invariante. Orice subgrup al unui
grup abelian e invariant (singurul automorﬁsm interior al lui ﬁind cel identic).
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste centrul grupului G, C(G), mul¸ timea tuturor elementelor x 2G
cu proprietatea c˘ a 8y2G, xy= yx.
Centrul unui grup, C(G), este subgrup invariant al lui G. Grupul automorﬁsmelor
interioare ale lui G e subgrup invariant în grupul tuturor automorﬁsmelor lui G.
Teorem˘ a: Dac˘ a f: F !este un morﬁsm ¸ si H este un subgrup invariant în G, atunci
f1(h)este este subgrup invariant în F. În particular, Ker f e subgrup invariant în F.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 4
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste rela¸ tie binar˘ a între dou˘ a mul¸ timi A ¸ si B, distincte sau care
coincid, o submul¸ time R AB.
Elementele asociate prin aceast˘ a rela¸ tie sunt acele elemente a 2A, b2B pentru care
(a, b)2R. Scriem bRa.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste rela¸ tie de echivalen¸ t˘ a o rela¸ tie binar˘ a care satisface propriet˘ a-
¸ tile:
1. este reﬂexiv˘ a:8a2A, aRa;
2. este simetric˘ a:8a2A,8b2B, bRa,aRb;
3. este tranzitiv˘ a:8a2A,8b2B,8c2C, bRa ¸ si cRb)cRa.
Deﬁni¸ tie: Rela¸ tia se nume¸ ste antireﬂexiv˘ a dac˘ a nu are loc aRa, a 2A ¸ si antisimetric˘ a
dac˘ a din aRb ¸ si bRa )a= b, a2A, b2B.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste parti¸ tie a mul¸ timii M o clas˘ a C de submul¸ timi nevide ale lui M
astfel încât:
1. submul¸ timile lui C sunt dou˘ a câte dou˘ a disjuncte;
2. reuniunea submul¸ timilor lui C este M ;
Fie mul¸ timea M, o rela¸ tie de echivalen¸ t˘ a R pe M ¸ si un element x 2M.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste clas˘ a de echivalen¸ t˘ a Cxmul¸ timea elementelor y 2M, astfel
încât yRx, adic˘ a
Cx=fyjyRx;x,y2Mg.
Teorem˘ a: Fiind dat˘ a o rela¸ tie de echivalen¸ t˘ a R în M, clasele de echivalen¸ t˘ a constituie
o parti¸ tie a lui M; reciproc, ﬁind dat˘ a o parti¸ tie în M, rela¸ tia deﬁnit˘ a de yRx, atunci când
x ¸ si y apar¸ tin aceleia¸ si submul¸ timi, este o rela¸ tie de echivalen¸ t˘ a.
Deﬁni¸ tie: Fiind date M ¸ si R pe M, mul¸ timea claselor de echivalen¸ t˘ a se nume¸ ste mul-
¸ time factor (mul¸ time cât) a lui M în raport cu R, (M/R).
Teorem˘ a: Fie R o rela¸ tie de echivalen¸ t˘ a deﬁnit˘ a pe grupul multiplicativ G. Dac˘ a R este
compatibil˘ a la stânga (respectiv la dreapta) cu legea de grup, atunci exist˘ a un subgrup
H în G astfel încât yRx ,y1x2H (respectiv yRx,xy12H ). Reciproc, dac˘ a H este
subgrup, atunci rela¸ tia xRy ,x1y2H (respectiv xRy ,yx12H ) este o rela¸ tie de
echivalen¸ t˘ a pe G, compatibil˘ a la stânga (respectiv la dreapta) cu legea de grup.
Deﬁni¸ tie: Cardinalul mul¸ timii claselor de echivalen¸ t˘ a la stânga (dreapta) se nume¸ ste
indice stâng (drept) al subgrupului H al lui G.
Teorem˘ a: Fie G un grup ¸ si H G un subgrup al s˘ au. Atunci indicele stâng al lui H
este egal cu cel drept ¸ si se nume¸ ste indicele lui H în G.
Teorem˘ a: O rela¸ tie de echivalen¸ t˘ a R deﬁnit˘ a pe G e compatibil˘ a cu structura de grup
a lui G dac˘ a ¸ si numai dac˘ a este determinat˘ a de un subgrup invariant al lui G.
Teorem˘ a: Dac˘ a H (de ordin n) G (de ordin N), atunci N= ni, unde i este indicele
lui H în G.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup simplu un grup care are ca divizori normali (subgrupuri
invariante) doar pe G ¸ si e (cu alte cuvinte, un grup se nume¸ ste simplu dac˘ a nu con¸ tine
subgrupuri invariante proprii). Un grup ﬁnit de ordin impar este simplu.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup semisimplu un grup care nu con¸ tine subgrupuri invari-
ante proprii abeliene.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 5
No¸ tiuni de teoria reprezent˘ arilor unui grup
În general, lucrul cu obiectele unui grup (mai ales atunci când acestea nu sunt obiecte
matematice) este relativ greu de realizat ¸ si de aceea ﬁec˘ arui obiect al unui anumit grup
G i se asociaz˘ a printr-o anumit˘ a lege (aplica¸ tie), T, un alt obiect, în ideea c˘ a lucrul cu
acesta din urm˘ a este mai simplu:
g2G!T(g)2L,
undeLeste numit spa¸ tiul reprezent˘ arii. Practic, noul „obiect” care se asociaz˘ a ele-
mentului g2G este un operator liniar ¸ si evident c˘ a acesta ﬁind un obiect matematic,
lucrul cu el este mult mai facil ¸ si în primul rând mai util.
În general, teoria reprezent˘ arilor grupurilor studiaz˘ a morﬁsmele unui grup arbitrar
G pe toate grupurile de operatori liniari posibile.
Deﬁni¸ tie: Fie G un grup ¸ si Lun spa¸ tiu liniar. Se nume¸ ste reprezentare a grupului G
în spa¸ tiul (pe spa¸ tiul) liniar Lorice aplica¸ tie T care face ca oric˘ arui element g 2G s˘ a-i
corespund˘ a un operator liniar T(g) din spa¸ tiul L, astel încât:
R1: T(e)= 1, unde 1este operatorul indentic în L;
R2T(g1g2)= T( g1)T(g2),8g1,g22G.
Deﬁni¸ tie: În condi¸ tiile de mai sus, Lse nume¸ ste spa¸ tiul reprezent˘ arii, iar T(g) se
numesc operatorii reprezent˘ arii.
În fapt, T(g) este o aplica¸ tie (mai exact o bijec¸ tie) a lui LpeL, c˘ aci
T(g1)T(g) =T(g1g) =T(e) =1,
T(g)T(g1) =T(gg1) =T(e) =1,
T(g1) = ( T(g))1.
Vom nota cu GLgrupul operatorilor liniari deﬁni¸ ti pe L, care aplic˘ a bijectiv Lpe
L.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a G este izomorf cu GLatunci reprezentarea se nume¸ ste exact˘ a sau
punctual˘ a sau unu la unu (în sensul c˘ a ﬁec˘ arui element g din grupul G i se asociaz˘ a un
operator liniar T din grupul GL¸ si numai unul ¸ si invers).
Reprezent˘ ari particulare
1. S˘ a asociem ﬁec˘ arui element g al grupului G tot pe acest element, g. Evident, în
acest caz G este o reprezentare a lui însu¸ si, adic˘ a GLcoincide cu G. Aceast˘ a reprezen-
tare se nume¸ ste reprezentare identic˘ a ¸ si ea exist˘ a totdeauna ﬁind de o mare importan¸ t˘ a
adesea.
Deﬁni¸ tie: Coresponden¸ ta g !T(g)=g furnizeaz˘ a ceea ce se nume¸ ste reprezentarea
identic˘ a a lui G.
2. Fie G un grup ¸ si Lun spa¸ tiu liniar de o anumit˘ a dimensiune. S˘ a asociem ﬁec˘ arui
element g2G operatorul unitate (identitate) din L, adic˘ a g!T(g)= 12L. Reprezen-
tarea astfel ob¸ tinut˘ a (care, de asemenea, exist˘ a totdeauna) se zice reprezentare unitate a
grupului G în L.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a ﬁec˘ arui g 2G îi asociem operatorul unitate din spa¸ tiul Lspunem c˘ a
am deﬁnit reprezentarea unitate.
Deﬁni¸ tie: Dimensiunea spa¸ tiului Lse nume¸ ste dimensiunea reprezent˘ arii, dim L.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 6
Fie dim L= n ¸ si { !ei,i=1,n} o baz˘ a în L. Atunci putem scrie reprezentarea T(g) sub
form˘ a matriceal˘ a astfel:
T(g)! !t(g) =0
@t11(g). . . t1n(g)
. . . . . . . . .
tn1(g). . . tnn(g)1
A
¸ si
T(g) !ek=n
å
j=1tjk(g) !ej,(k=1,n).
Deci o reprezentare de dimensiune ﬁnit˘ a poate ﬁ considerat˘ a ca o func¸ tie matriceal˘ a,
g! !t(g), cu condi¸ tiile !t(e) = 1 ¸ si !t(g1g2)= !t(g1) !t(g2) , unde tjk(e)= 1când j=k
sautjk(e)= 0, când j6=k ¸ si
tjk(g1g2) =n
å
s=1tjs(g1)tsk(g2).
În particular, o reprezentare unidimensional˘ a poate ﬁ asimilat˘ a cu o func¸ tie numeric˘ a
g!t(g) cu acelea¸ si condi¸ tii.
Fie acela¸ si spa¸ tiu liniar Lca mai sus, de dimensiune dim L= n. Atunci, în Lexist˘ a
n elemente liniar independente, !ek, (k= 1,n), prin intermediul c˘ arora se pot exprima
liniar toate celelalte. Se spune c˘ a sistemul {!ek,k=1,n} formeaz˘ a o baz˘ a în spa¸ tiul liniar L
¸ si atunci8 !x2L, avem:
!x=n
å
k=1xk !ek,
unde xk, (k= 1,n) sunt numite componentele vectorului !xîn baza: { !ek}.
Fie acum un alt spa¸ tiu liniar L0de dimensiune dim L0= m ¸ si T un operator de la L
laL0:
T:L!L0, prin !x2L! !
x0=T( !x)2L0,
cu
T( !x+ !y) =T( !x) +T( !y);
T(a !x) =aT( !x).
Fie acum {!ei,i=1,n} ¸ si {!e0
k,k=1,m} dou˘ a baze în L¸ si respectiv L0.
Atunci,
!
x0=m
å
k=1×0
k !
e0
k=T( !x) =T(n
å
i=1xi !ei) =n
å
i=1xiT( !ei) =n
å
i=1xim
å
k=1Tki !
e0
k,
adic˘ a,
x0
k=n
å
i=1Tkixi.
Deci operatorului T i se asociaz˘ a matricea Tik, care este o matrice (m n).
Dac˘ aL0coincide cu L, atunci matricea asociat˘ a operatorului T este una p˘ atratic˘ a,
(nn).
Vorbim în acest caz de ceea ce se nume¸ ste o reprezentare matriceal˘ a. În general, se
cere ca spa¸ tiul liniar pe care se d˘ a/face o reprezentare a unui grup G s˘ a ﬁe un spa¸ tiu
Hilbert.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 7
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste spa¸ tiu Hilbert un spa¸ tiu prehilbertian complet ca spa¸ tiu liniar
normat.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste spa¸ tiu prehilbertian un spa¸ tiu liniar pe care s-a deﬁnit un
produs scalar.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste produs scalar pe un spa¸ tiu liniar Lo opera¸ tie care asociaz˘ a
oric˘ arei perechi ( !x, !y)2LLun num˘ ar complex,
!x, !y2L!( !x, !y)2C,
cu propriet˘ a¸ tile
PS1= (a !x+b !y, !z) =a( !x, !z+b !y), !z,8a,b2C,8 !x, !y, !z2L;
PS2:( !x, !y) = ( !y, !x)=( !y, !x),8 !x, !y2L
PS3:( !x,l !y) = ( l !x. !y) = ( l !x, !y) =l( !x, !y),8l2C,8 !x, !y2L
PS4:( !x, !x)0 dac˘ a ¸ si numai dac˘ a !x=0,8 !x2L
Exemplu: Fie spa¸ tiul liniar Lde dimensiune dim L=n ¸ si {!ei,i=1,n} o baz˘ a în L. Dac˘ a
!x=ån
i=1xi !ei¸ si !y=ån
j=1yj !ej, atunci vom deﬁni produsul scalar al lui !xcu !yprin:
!x, !y2L!( !x, !y) =n
å
i=1n
å
j=1xi !yj !ei !ej=n
å
i=1n
å
j=1xiyjdij=n
å
i=1xiyi=xy.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste spa¸ tiu liniar complet, un spa¸ tiu liniar în care orice ¸ sir Cauchy
este convergent c˘ atre un element al spa¸ tiului.
Deﬁni¸ tie: Un ¸ sir { xn,n2N} dintr-un spa¸ tiu metric (X, d) se nume¸ ste ¸ sir Cauchy dac˘ a 2
#>0,9n#2Nastfel încât d( xn,xm)<#, de îndat˘ a ce n, m n#.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste spa¸ tiu metric orice pereche (X, d), unde X este o mul¸ time
nevid˘ a ¸ si d este o distan¸ t˘ a pe X.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste distan¸ t˘ a pe mul¸ timea nevid˘ a X orice aplica¸ tie d, deﬁnit˘ a pe X
X, cu valori reale pozitive ¸ si care satisface axiomele:
D1:d(x,y) =0,x=y;
D2:d(x,y) =d(y,x),8x,y2X;
D3:d(x,y)d(x,z) +d(z,y),8x,y,z2X.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste spa¸ tiu normat un spa¸ tiu liniar pe care s-a dat o norm˘ a, p.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste norm˘ a orice seminorm˘ a care satisface axioma p(x)= 0)x=0.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste seminorm˘ a pe spa¸ tiul liniar Lorice func¸ tie real˘ a p: L!R
care satisface axiomele
SN1:p( !x+ !y)p( !x) +p( !y),8 !x, !y2L;
SN2:p(l !x) =jljp( !x),8 !x2L
¸ silun scalar nenul.
Cel mai des se utilizeaz˘ a nota¸ tia p( !x)=k !xk, unde prink !xkse în¸ telege r˘ ad˘ acina
p˘ atrat˘ a a produsului scalar al lui !xcu el însu¸ si,k !xk=q
( !x, !x).
Deﬁni¸ tie: Un operator T: L!Lse nume¸ ste m˘ arginit dac˘ a 9c>0ﬁnit, astfel încât8
!x6=0,kT !xk
k !xkc.
Deﬁni¸ tie: Pentru orice operator m˘ arginit, T, se deﬁne¸ ste adjunctul s˘ au, T+, prin
(T !x, !y) = ( !x,T+ !y,8 !x, !y2L.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a T+= T, atunci operatorul T se nume¸ ste hermitic sau autoadjunct.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a T+=T, atunci operatorul T se nume¸ ste unitar.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a to¸ ti operatorii T(g) ai unei reprezent˘ ari sunt unitari, atunci reprezen-
tarea se nume¸ ste unitar˘ a.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 8
Fie G un grup ¸ si Lde dimensiune dim L= n, cu baza {!ei,i=1,n}, un spa¸ tiu liniar al
unei reprezent˘ ari a grupului G, operatorii reprezent˘ arii ﬁind T. În baza dat˘ a, operatorul
T are forma matriceal˘ a dat˘ a de Tik:
8 !x2L, !x=n
å
i=1 !eixi;
!
x0=n
å
k=1 !
e0
kx0
k=T( !x) =T(n
å
i=1 !eixi) =n
å
i=1xiT( !ei) =n
å
i=1n
å
k=1xiTki !
e0
k=n
å
k=1(n
å
i=1xiTki) !
e0
k
de unde
x0
k=n
å
i=1Tkixi=Tkixi.
La o schimbare de baz˘ a în L, !ei0= !ekMki, (i, k= 1,n) operatorului T îi va corespunde
o nou˘ a, matrice, legat˘ a de matricea în vechea baz˘ a, Tki, printr-o transformare numit˘ a de
similaritate,
T0
ki= (MTM)ki.
Într-adev˘ ar, avem:
!ei0= !ekMki, !ei0(M1)ik= !ekMki(M1)ik= !ek;
deci !ei= !ek0(M1)ki,
¸ si atunci,
T !ei0=T !ekMki= !elTlkMki= !em0(M1)mlTlkMki= !em0(M1TM)mi,
adic˘ a
T !ei0= !ek0(M1TM)ki,
a¸ sadar, în noua baz˘ a, {!ei,i=1,n0}, operatorului T îi corespunde matricea (M1TM)ki,
deci putem scrie
T0
ki= (M1TM)ki.
Deﬁni¸ tie: Dou˘ a reprezent˘ ari, T ¸ si M1TM, legate printr-o transformare de similari-
tate se numesc echivalente.
Cazul general. Fie T: L!L¸ si S:M!Mdou˘ a reprezent˘ ari ale unui grup G pe
spa¸ tiile liniare L¸ si respectiv M.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a exist˘ a un operator liniar A care s˘ a aplice bijectiv pe LînMastfel
încât
AT(g) =S(g)A,8g2G,
atunci cele dou˘ a reprezent˘ ari se numesc echivalente.
Deﬁni¸ tie: Un subspa¸ tiu ILse nume¸ ste invariant fa¸ t˘ a de reprezentarea g !T(g)
dac˘ a el este invariant fa¸ t˘ a de to¸ ti operatorii T(g) ai acestei reprezent˘ ari (adic˘ a vectorii
subspa¸ tiului Ise transform˘ a între ei la ac¸ tiunea operatorilor reprezent˘ arii, T(g)).
Deﬁni¸ tie: O reprezentare pe Lse nume¸ ste ireductibil˘ a dac˘ a Lnu con¸ tine subspa¸ tii
diferite de { 0} ¸ siL, care s˘ a ﬁe invariante la ac¸ tiunea opera¸ tiilor reprezent˘ arii. În caz
contrar, reprezentarea se nume¸ ste reductibil˘ a.
Un exemplu de reprezentare reductibil˘ a este aceea a c˘ arei dimensiune este (n+m) ¸ si
a c˘ arei form˘ a matriceal˘ a este de tip bloc-diagonal, adic˘ a
(T) =0
@(T1) O

O(T2)1
A
unde ( T1) – p˘ atratic˘ a de dimensiune (n n), ¸ si ( T2) – p˘ atratic˘ a de dimensiune (m m)
sunt matricele reprezent˘ arilor n-dimensional˘ a ¸ si respectiv m-dimensional˘ a. În acest caz,

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 9
spa¸ tiul reprezent˘ arii L(care are dimensiunea (n+m)) se poate scrie ca suma direct˘ a a
dou˘ a subspa¸ tii de dimensiuni n ¸ si respectiv m, L=LLL, iar pentru reprezentare se
scrie T=T1LT2, ceea ce înseamn˘ a (dup˘ a cum vom vedea mai jos) o sum˘ a direct˘ a de
reprezent˘ ari.
Deci, prin separarea/descompunerea spa¸ tiului de reprezentare în subspa¸ tii invari-
ante, ob¸ tinem practic reprezent˘ arile ireductibile ale unui grup, studiul unei reprezent˘ ari
reductibile revenind astfel la studiul (determinarea) tuturor reprezent˘ arilor ireductibile
ale acelui grup. Acest aspect are aplica¸ tii directe în clasiﬁcarea particulelor elementare
¸ si în determinarea st˘ arilor proprii posibile (precum ¸ si a gradelor de degenerare ale aces-
tora) ale sistemelor cuantice, utilizând teoria reprezent˘ arilor grupurilor.
Teorem˘ a: Dac˘ a T ¸ si S sunt echivalente ¸ si T e ireductibil˘ a, atunci ¸ si S e ireductibil˘ a.
Lemele lui Schur
1. Dac˘ a T ¸ si S sunt reprezent˘ ari ireductibile ale lui G în L, respectiv în M¸ si presu-
punem c˘ a A este un operator de la LlaM, care satisface AT(g)= S(g)A, 8g2G, atunci
operatorul A aplic˘ a bijectiv pe LînM(deci T este echivalent˘ a cu S) sau A= 0.
2. Fie T o reprezentare ﬁnit˘ a a lui G în L. Atunci orice operator liniar B în spa¸ tiul L,
care comut˘ a cu to¸ ti operatorii T(g), g2G, este de forma B=l1, unde leste un num˘ ar.
Deci, dac˘ a
BT(g) =T(g)B,8g2G,
atunci B=l1.
Se arat˘ a c˘ a toate reprezent˘ arile ireductibile de dimensiune ﬁnit˘ a ale unui grup comu-
tativ sunt unidimensionale.
Deﬁni¸ tie: Fie L¸ siMdou˘ a spa¸ tii liniare. Se nume¸ ste form˘ a biliniar˘ a pe perechea
(L,M), func¸ tia numeric˘ a notat˘ a ( !x, !y), deﬁnit˘ a pe LM, care satisface propriet˘ a¸ tile:
FB1:(a !x) =a( !x, !y);
FB2:( !x,a !y) =a( !x, !y);
FB3:( !x1+ !x2, !y) = ( !x1, !y) + ( !x2, !y);
FB4:( !x, !y1+ !y2) = ( !x, !y1) + ( !x, !y2).
Deﬁni¸ tie: Reprezentarea S se nume¸ ste adjuncta reprezent˘ arii T relativ la forma bilini-
ar˘ a ( !x, !y) dac˘ a
(T(g) !x,S(g) !y) = ( !x, !y),8g2G, !x2L, !y2 !M
sau echivalent,
(T(g1) !x, !y) = ( !x,S(g) !y),8g2G, !x2L, !y2M.
Suma direct˘ a ¸ si produsul direct de reprezent˘ ari
FieL=L1LL2L…LLm. Atunci !x2Lse scrie în mod unic sub forma: !x= !x1+ !x2+… !xm, !xm2Lk,(k=1,m). Fie, de asemenea, pe spa¸ tiul 0Lkrepre-
zentarea Tka lui G, (k= 1,m).
Deﬁnim
T(g) !x=T(g)( !x1+ !x2+…+ !xm) =T1(g) !x1+T2(g) !x2+…+T(g) !xm.
Atunci, ob¸ tinem T(e) =1 ¸ siT(g1g2) =T(g1)T(g2),8g1,g22G.
Deﬁni¸ tie: În condi¸ tiile ¸ si cu nota¸ tiile de mai sus, g !T(g) este o reprezentare a lui G
peLnumit˘ a reprezentare sum˘ a direct˘ a a reprezent˘ arilor T1,T2, …,Tm¸ si se noteaz˘ a cu
T=T1LT2L…LTm.

1.1 defini ¸ tii ¸ si teoreme fundamentale 10
Evident, ﬁecare Lk,(k=1,m), este invariant fa¸ t˘ a de T, iar restric¸ tia lui T la Lkeste
Tk.
FieT1¸ siT2dou˘ a reprezent˘ ari ale lui G în L1¸ siL2de dimensiuni n1¸ si respectiv
n2¸ si ﬁe, de asemenea, { !ei}, i= 1,n1¸ si { !fj}, j= j,n2dou˘ a baze în aceste spa¸ tii. Dac˘ a
L=L1NL2are baza { !eiN !fj}= { !hij} de dimensiune n1n2, atunci,8 !z2Lavem:
!z=n1
å
i=1n2
å
j=1( !eiO !fj)zij=n1
å
i=1n2
å
j=1 !hijzij.
Avem, de asemenea,
T1(g) !ei= !ei0=n1
å
j=1t1
ji(g) !ej,(i=1,n1)
¸ si
T2(g) !fi= !fi0=n2
å
j=1t2
ji(g) !fj,(i=1,n2)
Atunci,
T(g) !hij= !hij0= !ei0O !fj0=T1(g) !eiO
T2(g) !fj=n1
å
k=1n2
å
l=1t1
ki(g)t2
lj(g) !ekO !fl=n1
å
k=1n2
å
l=1t(kl)(ij) !hkl,
z0
ij=n1
å
k=1n2
å
l=1t(ij)(kl)(g)zkl=n1
å
k=1n2
å
l=1t1
ik(g)t2
jl(g)zkl,
¸ si
t(ij)(kl)(g) =t1
ik(g)t2
jl(g).
Apoi,
t(ij)(kl)(gu) =t1
ik(gu)t2
jl(gu) =n1
å
s=1t1
is(g)t1
sk(u)p2
å
l=1t2
jp(g)t2
pl(u) =n1
å
s=1n2
å
p=1t(ij)(sp)(g)t(sp)(kl)(u).
Deﬁni¸ tie: În condi¸ tiile ¸ si cu nota¸ tiile de mai sus, g !T(g) este o reprezentare a lui
G peLnumit˘ a reprezentarea produs direct a reprezent˘ arilor T1¸ siT2¸ si se noteaz˘ a cu
T=T1NT2. Generalizarea este imediat˘ a,
T(g)( !x1O !x2O
…O !xm) =T1(g) !x1O
T2(g) !x2O
…O
Tm(g) !xm,
unde T este o reprezentare a lui G pe L=LNLN…NK.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste caracter al unei reprezent˘ ari de dimensiune ﬁnit˘ a T, urma
(trasa) matricei operatorului T(g) al acestei reprezent˘ ari:
c(g) =Tr !t(g) =t11(g) +t22(g) +…+tnn(g).
Propriet˘ a¸ tile caracterelor reprezent˘ arilor de dimensiune ﬁnit˘ a
1) caracterele reprezent˘ arilor echivalente coincid;
2) un caracter este constant pe ﬁecare clas˘ a de elemente conjugate;
3) dac˘ a T ¸ si S sunt adjuncte, atunci cs(g) =cT(g1;
4) caracterul sumei directe de un num˘ ar ﬁnit de reprezent˘ ari este egal cu suma carac-
terelor acestor reprezent˘ ari;
5) caracterul produsului direct de un num˘ ar ﬁnit de reprezent˘ ari este egal cu produ-
sul caracterelor acestor reprezent˘ ari.

1.2 grupuri continue .grupuri lie 11
1.2 grupuri continue .grupuri lie
Grupuri continue
No¸ tiunea de grup continuu poate ﬁ introdus˘ a în mai multe moduri, iar noi aici vom
da dou˘ a dintre ele, pentru a putea în¸ telege mai bine ¸ si a ﬁxa astfel no¸ tiunile, dar ¸ si pen-
tru o sesizare mai detaliat˘ a a tuturor particularit˘ a¸ tilor acestui capitol al teoriei grupurilor.
Înc˘ a de la bun început trebuie s˘ a preciz˘ am c˘ a, dup˘ a cum vom vedea ulterior, studiul
grupurilor continue ¸ si a reprezent˘ arilor acestora este indispensabil în cadrul teoriilor ga-
uge. Întrucât pentru a introduce no¸ tiunea de grup continuu (sau topologic) este absolut˘ a
nevoie de no¸ tiunea de spa¸ tiu topologic (care joac˘ a aici un rol fundamental), vom da în
continuare urm˘ atoarea
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste spa¸ tiu topologic orice mul¸ time nevid˘ a, I, în care exist˘ a un
sistem de submul¸ timi (p˘ ar¸ ti), numite vecin˘ at˘ a¸ ti, care satisfac axiomele:
T1:8×2 Iapar¸ tine unei vecin˘ at˘ a¸ ti, pe care o vom nota cu V(x);
T2: orice submul¸ time care include pe V(x) este, de asemenea, o vecin˘ atate a lui x;
T3: intersec¸ tia unui num˘ ar ﬁnit de vecin˘ at˘ a¸ ti ale lui x este o vecin˘ atate a lui x;
T4: o vecin˘ atate V(x) a lui x este vecin˘ atate ¸ si pentru un element y 2 Isuﬁcient de
apropiat de x.
Dac˘ a not˘ am prin V(x)= [iVi(x)mul¸ timea tuturor vecin˘ at˘ a¸ tilor lui x, numit˘ a sistem
de vecin˘ at˘ a¸ ti pentru x 2 I, atunci putem rescrie primele trei axiome de mai sus astfel:
T1:8×2 I,9V(x)6=Æ;
T2:8V1(x)V(x)3x)V1(x)2V(x);
T3:8V=\iVi(x),Vi2V(x))V2V(x);
Exemplu de spa¸ tiu topologic: Mul¸ timea nevid˘ a de baz˘ a este chiar mul¸ timea numere-
lor reale, IR, iar vecin˘ at˘ a¸ tile sunt date de mul¸ timile V(x)=y 2RjkxykR, unde
R2R+este un num˘ ar real pozitiv.
Vom da în continuare dou˘ a deﬁni¸ tii ale grupului continuu (sau topologic), una în
limbajul vecin˘ at˘ a¸ tilor, iar a doua în limbaj ( #,d(#)). Înainte îns˘ a de a da aceste dou˘ a de-
ﬁni¸ tii vom reaminti (pentru compara¸ tie) deﬁni¸ tia din analiza matematic˘ a a unei func¸ tii
continue, atât în limbajul vecin˘ at˘ a¸ tilor, cât ¸ si în limbaj ( #,d(#)).
Deﬁni¸ tie: Fie f: X R!Ro func¸ tie deﬁnit˘ a pe o submul¸ time X a mul¸ timii nume-
relor reale ¸ si x02Xun punct oarecare din aceast˘ a submul¸ time. Func¸ tia f se nume¸ ste
continu˘ a în punctul x0dac˘ a8V(f(x0)),9V(x0), astfel încât8x2X\V(x0))f(x)2
V(f(x0)).
Deﬁni¸ tie: Fie f:XR!Ro func¸ tie deﬁnit˘ a pe o submul¸ time X a mul¸ timii nu-
merelor reale ¸ si x02Xun punct oarecare din aceast˘ a submul¸ time. Func¸ tia f se nume¸ ste
continu˘ a în punctul x0dac˘ a8#>0,9d(x)>0, astfel încâtjf(x)f(x0)j<#,8x2X, de
îndat˘ a cejxx0j<d(x).
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup continuu (grup topologic) o mul¸ time nevid˘ a, ( G6=Æ),
dotat˘ a cu o lege de compozi¸ tie intern˘ a care satisface axiomele grupului ¸ si care poate ﬁ
structurat˘ a în acela¸ si timp ca spa¸ tiu topologic, structurile de grup ¸ si cea topologic˘ a ﬁind
compatibile în sensul urm˘ ator:
1. Dac˘ a x, y2G, atunci8Wo vecin˘ atate a elementului x y (unde prin „” am de-
semnat legea de compozi¸ tie intern˘ a a grupului), 9Xo vecin˘ atate a lui x ¸ si 9Y o vecin˘ atate
a lui y, astfel încât, din faptul c˘ a x2X¸ siy2Y, s˘ a rezulte c˘ a xy2W;

1.2 grupuri continue .grupuri lie 12
2. Dac˘ a x2G, atunci8Zo vecin˘ atate a lui x1,9Xo vecin˘ atate a lui x, astfel încât
din faptul c˘ a x2Xs˘ a rezulte c˘ a X12Z.
Dac˘ a punem z= xy¸ si w= x1, atunci putem rescrie cele dou˘ a condi¸ tii de mai sus
astfel:
1’.8W(z),9X(x)¸ si9Y(y), astfel încât din x2X(x)¸ siy2Y(y))z=xy2W(z);
2’.8Z(w),9X(x)astfel încât din x2X(x))w=x12Z(w).
Cu alte cuvinte, cerem ca xys˘ a ﬁe func¸ tie continu˘ a de x ¸ si y, iar X1s˘ a ﬁe func¸ tie
continu˘ a de x.
Vom da în continuare deﬁni¸ tia în limbaj ( #,d(#)) a unui grup topologic.
Fie (G,) un grup ¸ si j:G!Emo coresponden¸ t˘ a biunivoc˘ a între elementele grupului
G ¸ si „punctele” (în fapt, vectorii m-dimensionali) din spa¸ tiul euclidian m-dimensional,
Em. Mul¸ timea G, care deja este structurat˘ a ca un grup, poate ﬁ organizat˘ a simultan ¸ si
ca spa¸ tiu topologic. Astfel, drept vecin˘ at˘ a¸ ti ale „punctelor” mul¸ timii G vom considera
acele mul¸ timi de „puncte”, a c˘ aror imagine prin aplica¸ tia jse aﬂ˘ a într-o vecin˘ atate
a „punctelor” mul¸ timii Em, puncte care sunt tocmai imaginile prin jale „punctelor”
ini¸ tial considerate din G, adic˘ a mul¸ timile (pentru o mai u¸ soar˘ a în¸ telegere, vezi Fig. 1.1):
å
#(g)(Sd#) =fg02Gjj(g0)2S#(j(g))g.
Fie în Emo vecin˘ atate sferic˘ a, S#, de raz˘ a #, cu centrul în jg,
S#(Sd(#)) =ff2Emjjfj(g)j#,8#>0g.
Elementele f2Emau deci proprietatea c˘ a 8f2S#Em,9g02Gastfel încât f=j(g0).
å#(g)Sd(#)va ﬁ o vecin˘ atate a lui g2Gdac˘ a prin jelementele sale sunt duse în
vecin˘ atatea Sepsilon a lui j(g). Deci j1induce din Emîn G o structur˘ a topologic˘ a, adic˘ a
prin j1se pot ﬁ construi vecin˘ at˘ a¸ ti în mul¸ timea G a grupului. În acest mod, mul¸ timea
G devine structurabil˘ a ca spa¸ tiu topologic, deci putem vorbi de no¸ tiunea de continuitate
pe aceast˘ a mul¸ time în sensul urm˘ ator:
Fieg1,g2,g32G¸ sig1g2=g3.
Deﬁni¸ tie: Spunem c˘ a legea de compozi¸ tie din G este continu˘ a în elementul g2dac˘ a
8#>0,9d(#)>0, astfel încât (vezi Fig. 1.2)8g2åd(#)(g2)å(g2)G, elementul
g1g2å#(g3)sau, formal, g1åd(#)(g2)å#(g3).
Dac˘ a ne referim acum ¸ si la spa¸ tiul Em, numit în aceast˘ a situa¸ tie spa¸ tiul grupului,
putem scrie:8#>0,9d(#)>0, astfel încâtjf(g1g)f(g3)j<#de îndat˘ a cejf(g)
f(g2)j<d(#),8g2åd(#)(g2). Cu alte cuvinte, „înmul¸ tind” (compunând) elemente din
vecin˘ atatea lui g2cu elementul ﬁxat g1, ob¸ tinem elemente din vecin˘ atatea lui g3.
În aceste condi¸ tii, compatibilitatea dintre cele dou˘ a structuri (cea de grup ¸ si cea topo-
logic˘ a) este asigurat˘ a ¸ si putem deﬁni no¸ tiunea de grup topologic (sau continuu) astfel:
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup topologic (grup continuu) un grup a c˘ arui lege de compo-
zi¸ tie, precum ¸ si inversa sa sunt continue (în sensul deﬁnit mai sus).

1.2 grupuri continue .grupuri lie 13
Deﬁni¸ tie: Un grup topologic se nume¸ ste compact, dac˘ a imaginea sa, j(G), în spa¸ tiul
grupului (Em)este m˘ arginit˘ a, adic˘ a dac˘ a
jj(g)j(g0)j<M<¥,8g,g02G.
În caz contrar, grupul se nume¸ ste necompact.
De exemplu, grupul transla¸ tiilor pe axa real˘ a este necompact (pot exista transla¸ tii de
orice valoare). În schimb, grupul rota¸ tiilor în jurul unei axe ﬁxe este compact, deoarece
o rota¸ tie de orice unghi se poate reduce la o rota¸ tie cu un unghi cuprins în intervalul
m˘ arginit [0, 2p], odat˘ a ﬁxat˘ a rota¸ tia de unghi zero (originea sau elementul nul al grupu-
lui).
Înainte de a deﬁni no¸ tiunea de grup Lie facem observa¸ tia c˘ a elementele unui grup
topologic pot depinde de un num˘ ar oarecare de parametri. Dimensiunea spa¸ tiului gru-
pului este determinat˘ a de fapt de acest num˘ ar de parametri. În acest sens, lucrurile pot
ﬁ privite astfel:
S˘ a asociem într-o manier˘ a unu la unu ﬁec˘ arui element g al grupului topologic G, un
set de parametri (numi¸ ti esen¸ tiali), a= (a1,a2, …,a3), care sunt chiar elementele (vectorii)
spa¸ tiului grupului (sau spa¸ tiului parametrilor, cum i se mai spune).
În acest fel se spune c˘ a am realizat o parametrizare a elementelor grupului topologic
G (în vederea ob¸ tinerii unui grup Lie), parametrizare care se face totdeauna astfel încât
s˘ a ﬁe posibil˘ a o transformare de parametri a’=f(a) arbitrar˘ a ¸ si diferen¸ tiabil˘ a de un anu-
mit num˘ ar (n) de ori (de un num˘ ar necesar de ori).
Grupuri Lie
Deﬁni¸ tie: Un grup topologic G se nume¸ ste grup Lie de dimensiune m dac˘ a exist˘ a o
vecin˘ atate Vma elementului unitate e2Gcu propriet˘ a¸ tile:
L1: Exist˘ a o coresponden¸ t˘ a biunivoc˘ a între elementele lui Vm¸ si punctele unei „sub-
mul¸ timi” a spa¸ tiului grupului, Em, parametrii ak,k= (1,mdinEmﬁind esen¸ tiali (adic˘ a
nici unul din ei nu poate ﬁ exprimat prin restul de m- 1);
L2: Dac˘ a g1=g1(a1,a2, …,am)¸ sig2=g2(a0
1,a0
2, …,a0
m)apar¸ tin vecin˘ at˘ a¸ tii Vm¸ sig1g2=
g3(a00
1,a00
2, …,a00
m)¸ sig1
1=g(a000
1,a000
2, …,a000
m), atunci cerem ca a00
i=a00
i(a1,a2, …,am;a0
1,a0
2, …,a0
m)
¸ sia000
i=a000
i(a1,a2, …,am), (i=1,m) s˘ a ﬁe func¸ tii analitice de argumentele lor.
Deﬁni¸ tie: O func¸ tie f:W!C, unde Weste o mul¸ time deschis˘ a în Cn, se nume¸ ste
analitic˘ a (mai exact mathbbC -analitic˘ a) dac˘ a8z02W,9fCngn0un ¸ sir de numere com-
plexe cu propriet˘ a¸ tile:
1. Seria de puteri ån0cnznare o raz˘ a de convergen¸ t˘ a pozitiv˘ a;
2. Pe o vecin˘ atate a lui z0func¸ tia f(z) se poate reprezenta astfel: f(z) =ån0cn(z
z0)n, coeﬁcien¸ tii cnﬁind astfel univoc determina¸ ti de func¸ tia „dat˘ a” f.
(Raza de convergen¸ t˘ a se deﬁne¸ ste astfel: R=supfr0jån0jcnjrn<¥g)
Observa¸ tii:
1. S-a ales o vecin˘ atate a elementului unitate, Vm, ¸ si nu o alta oarecare, deoarece,
de obicei, se studiaz˘ a transform˘ arile inﬁnitezimale, când parametrii iau astfel de valori,

1.2 grupuri continue .grupuri lie 14
încât elementele lui G sunt situate în vecin˘ atatea elementului unitate al grupului. Orice
transformare ﬁnit˘ a poate ﬁ considerat˘ a (la nevoie) ca o succesiune de trans-form˘ ari inﬁ-
nitezimale;
2. Este util s˘ a se aleag˘ a parametrii a1,a2, …,amastfel încât imaginea lui e2Gs˘ a ﬁe
chiar originea lui Em, adic˘ a e=e(0, 0, …, 0 )de m ori 0.
Grupul parametrilor
Un grup Lie se poate „construi” astfel: ﬁec˘ arui element al unui grup topologic dat
i se asociaz˘ a într-o manier˘ a unu la unu (biunivoc˘ a) un set ﬁnit de parametri esen¸ tiali
a= (a1,a2, …,am). Aceste seturi de parametri esen¸ tiali formeaz˘ a spa¸ tiul grupului sau
spa¸ tiul parametrilor. Parametrizarea elementelor unui grup topologic în vederea ob¸ tine-
rii unui grup Lie se face astfel încât este totdeauna posibil˘ a o transformare de parametri
a’=f(a) arbitrar˘ a ¸ si diferen¸ tiabil˘ a de un num˘ ar necesar de ori.
Coresponden¸ ta unu la unu
g1$(a1,a2, …,am) =a,
g2$(a0
1,a0
2, …,a0
m) =a0,
g1g2$(a00
1,a00
2, …,a00
m) =a00,
implic˘ a existen¸ ta unei legi de compozi¸ tie de grup în spa¸ tiul grupului, de forma:
a00
i=j(a,a0),
unde ji,(i=1,m)sunt func¸ tii analitice de a ¸ si a’. Deci parametrii unui grup Lie for-
meaz˘ a o structur˘ a de grup la rândul lor, grup numit al parametrilor, legea de compozi¸ tie
a grupului ﬁind chiar rela¸ tia a00
i=j(a,a0).
Cum în cele ce urmeaz˘ a ne vom ocupa doar de grupuri Lie (grupuri topologice a
c˘ aror elemente depind de un num˘ ar ﬁnit de parametri, ce iau valori în mod continuu
într-un anumit spa¸ tiu, numit spa¸ tiul grupului), în continuare ne vom opri în mod exclu-
siv aten¸ tia asupra acestui tip de grupuri.
Necesitatea de a ne ocupa de studiul grupurilor Lie e de la sine în¸ teleas˘ a, c˘ aci cerin¸ ta
ca lagrangeanul unui anumit sistem ﬁzic s˘ a ﬁe invariant de un anume fel (de exemplu,
relativist invariant, sau SU2invariant, sau U1invariant etc.) revine la a cere invarian¸ ta
lagrangeanului în raport cu transform˘ arile particulare (depinzând de tipul de invarian¸ t˘ a
cerut) ale func¸ tiilor de und˘ a care îl compun. Or, mai toate tipurile de invarian¸ t˘ a care
sunt cerute revin la considerarea unor transform˘ ari ale func¸ tiilor de und˘ a ce depind de
un num˘ ar ﬁnit de parametri, care iau valori în mod continuu într-un anumit domeniu.
Un exemplu banal e invarian¸ ta relativist˘ a restrâns˘ a (adic˘ a invarian¸ ta în raport cu trans-
form˘ arile grupului Lorentz), în care caz, transform˘ arile respective nu sunt altceva decât
rota¸ tii în spa¸ tiul cuadridimensional (dac˘ a ne referim la elementele grupului), rota¸ tii care
depind de un num˘ ar de ¸ sase parametri (în fapt, unghiurile de rota¸ tie în cele ¸ sase plane
distincte, x1Ox2,x1Ox3,x1Ox4,x2Ox3,x2Ox4,x3Ox4) ce pot lua orice valoare (deci iau va-
lori în mod continuu) în intervalul [0, 2p].
Deﬁni¸ tie: Fie !x= (x1,x2, …,xn)un vector într-un spa¸ tiu n-dimensional. Consider˘ am
mul¸ timea de transform˘ ari
xi=fi(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am),(i=1,n), ( 1.1)
care depinde de m parametri independen¸ ti, reali ¸ si continui, a1,a2, …,am. Admitem
c˘ afi,(i=1,n)sunt func¸ tii analitice de parametrii aj,(j=1,m), astfel încât pentru
a1=a2=…=am=0 s˘ a ob¸ tinem transformarea identic˘ a:
xi=fi((x1,x2, …,xn; 0, 0, …, 0 ),i= (1,n). ( 1.2)

1.2 grupuri continue .grupuri lie 15
Mai presupunem c˘ a exist˘ a o mul¸ time de valori ale parametrilor aj,(j=1,m), astfel încât
xi=fi(x1,x2, …,xn;˜a1,˜a2, …,˜am),i=1,n, ( 1.3)
adic˘ a exist˘ a transformarea invers˘ a transform˘ arii 3.1. S˘ a consider˘ am acum efectul a dou˘ a
transform˘ ari succesive,
xi=fi(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am) (1.4)
=fi(f1(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am),f2(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am), …,fm(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am)),(i=1,n)
¸ si s˘ a admitem c˘ a exist˘ a o mul¸ time de valori ale parametrilor aj, (j=1,n), astfel încât
xi= (x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am),(i=1,n). ( 1.5)
În aceste ipoteze, mul¸ timea de transform˘ ari 1.1formeaz˘ a un grup topologic ﬁnit cu
parametri. Evident, au loc rela¸ tii de forma
xj=jj(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am),(j=1,n). ( 1.6)
Dac˘ a jj,(j=1,m)sunt func¸ tii analitice de argumentele lor (ak,(k=1,m))¸ sial,(l=
1,m), atunci spunem c˘ a transform˘ arile 1.1formeaz˘ a un grup Lie.
Deﬁni¸ tie: Dac˘ a este num˘ arul minim de parametri independen¸ ti necesari pentru ca-
racterizarea elementelor grupului Lie, atunci ace¸ sti parametri se numesc esen¸ tiali, iar
este ordinul sau dimensiunea grupului.
Rela¸ tiile 1.5rezult˘ a cu necesitate prin compararea rela¸ tiilor 1.3¸ si1.4¸ si sunt (ca form˘ a)
foarte asem˘ an˘ atoare rela¸ tiilor de pornire 1.1. De aceea, acestea pot ﬁ privite ca trans-
form˘ ari nu de coordonate, ci de parametri, „parametrii” transform˘ arilor „parametrilor”
ﬁind aici a1,a2, …,am. Dac˘ a func¸ tiile jj,(j=1,m)sunt func¸ tii analitice, atunci rela¸ tiile
1.5deﬁnesc la rândul lor un grup Lie (ca ¸ si transform˘ arile 1.1), izomorf cu cel gene-
rat de transform˘ arile 1.1, numit grupul parametrilor. Datorit˘ a izomorﬁsmului amintit,
adesea se studiaz˘ a grupul Lie al parametrilor, ﬁind mai simplu. Pentru simplitatea
scrierii, pe viitor vom nota transformarea 1.1prin xi=fi( !x, !a),(i=1,n), unde
!x= (x1,x2, …,xn)¸ si !a= (a1,a2, …,am), sau, vectorial, !x= !f( !x, !a), cu !x=
(x1,x2, …,xn, !f= (f1,f2, …,fn)¸ si !
a= !j( !a, !a. Avem, de asemenea, !x= !f( !x, !0)
¸ si !a= !j( !a, !0).
Fiind vorba în fond de transform˘ ari de coordonate, o deplasare inﬁnitezimal˘ a a lui
este în fapt una diferen¸ tial˘ a ¸ si poate ﬁ ob¸ tinut˘ a în dou˘ a moduri:
1) ca o succesiune de dou˘ a transform˘ ari,
(i) !x0! !x, !x= !f( !x0, !a);( !x0= !f( !x0, !0)
(ii) !x! !x+d !x, !x= !x+d !x= !f( !x,d !a) ( !x! !x= !x+d !x)
2) direct, caz în care avem
!x0! !x+d !x, !x+d !x= !f( !x0, !a+d !a).
Datorit˘ a propriet˘ a¸ tii de asociativitate putem scrie !a+d !a=j( !a,d !a). Cum trans-
form˘ arile sunt inﬁnitezimale, avem
d !x= (¶ !f( !x, !a
¶ak) !a=0dak,
sau
d !x=¶ !f( !x0, !a
¶ajdaj,

1.2 grupuri continue .grupuri lie 16
deoarece
!x+d !x= !f( !x, !0) +¶ !f( !x, !a
¶ak !a=0dak+O(d2a)' !x+¶ !f( !x, !a
¶ak !a=0dak
¸ si, respectiv,
!x+d !x= !f( !x, !a+d !a) = !f( !x0, !a) +¶ !f( !x0, !a)
¶aj !a= !adaj+O(d2a)' !x+¶ !f( !x0, !a)
¶ajdaj
Cuui
k( !x) =¶ !fi( !x, !a)
¶aj !a=0,(i=1,n,k=1,m), putem scrie
dxi=ui
k( !x)dak,(i=1,n). ( 1.7)
Din !a+d !a=j( !a,d !0), deoarece jsunt func¸ tii analitice ¸ si j( !a, !0) = !a, prin
dezvoltare în serie Taylor rezult˘ a
!a+d !a=j( !a, !0)+¶ !ji( !a, !a)
¶ak
!a=0dak= !a+¶ !ji( !a, !a)
¶ak
!a=0dak
deci putem scrie
daj=mj
k( !a)dak,(j,k=1,m), ( 1.8)
cu
mj
k( !a) =¶ !ji( !a, !a)
¶ak !a=0,(j,k=1,m)
Din 1.8rezult˘ a c˘ a
dak= (mj
k( !a))1daj=lk
j( !a)daj,(k=1,m), ( 1.9)
cull
j( !a)mj
k( !a) =dl
k,dl
kﬁind simbolul lui Kronecker. Atunci, din ( 7) ¸ si ( 9) avem
dxi=ui
k( !x)dak=ui
k( !x)lk
j( !a)daj,
de unde
¶xi
da=ui
k( !x)lk
j( !a),(i=1,n;j,k=1,m). ( 1.10)
Ecua¸ tiile 1.10se numesc ecua¸ tiile diferen¸ tiale ale grupului. Pentru a ﬁ complet inte-
grabile, trebuiesc îndeplinite condi¸ tiile (de integrabilitate)
¶2xi
¶aj¶al=¶2xi
¶al¶aj.
Din
¶xi
¶aj=ui
klk
j (1.11)
rezult˘ a
¶2xi
¶al¶aj=¶ui
k
¶xs¶xs
¶allk
j+ui
k¶lk
j
¶al=¶ui
k
¶xsus
plp
llk
j+ui
k¶lk
j
¶al
iar din
¶xi
¶al=ui
rlr
l
rezult˘ a
¶2xi
¶aj¶al=¶ui
r
¶xs¶xs
¶ajlr
l+ui
r¶lr
l
¶aj=¶ui
r
¶xsus
nln
jlr
l+ui
r¶lr
l
¶aj
Astfel, condi¸ tia de integrabilitate devine
¶ui
k
¶xsus
nlp
llk
j+ui
k¶lk
j
¶al=¶ui
r
¶xsus
nln
jlr
l+ui
r¶lr
l
¶aj

1.2 grupuri continue .grupuri lie 17
sau, schimbând în mod convenabil indicii de sumare (k în r pentru membrul stâng ¸ si r
în p, iar n în r pentru primul termen din membrul drept),
¶ui
r
¶xsus
plp
llr
j+ui
r¶lr
j
¶al=¶ui
p
¶xsus
rlr
jlp
l+ui
r¶lr
l
¶aj
sau înc˘ a,
us
p¶ui
r
¶xsus
r¶ui
p
¶xs
lp
llr
j+ui
r¶lr
j
¶al¶lr
l
¶aj
=0,
de unde, cu ajutorul m˘ arimilor mj
k, ob¸ tinem

us
p¶ui
r
¶xsus
r¶ui
p
¶xs
=¶lk
l
¶aj¶lk
j
¶al
ml
pmj
rmi
k=m
å
k=1ck
pr( !a)ui
k, ( 1.12)
(i=1,n;p,r=1,m),
unde
ck
pr( !a) =¶lk
l
¶aj¶lk
j
¶al
ml
pmj
r;(j,l,k,p,r=1,m). ( 1.13)
Derivând 1.13în raport cu ajob¸ tinem
¶ck
pr
¶ajui
k=0;i=1,n;(k,p,r=1,m), ( 1.14)
deoarece func¸ tiile ui
k( !x)nu depind de parametrii al,(l=1,m)prin deﬁni¸ tie. Dar para-
metrii aj,(j=1,m)sunt esen¸ tiali, deci func¸ tiile ui
k(x)sunt liniar independente. A¸ sadar,
din rela¸ tia 1.14rezult˘ a c˘ a¶ckpr
¶aj=0, a¸ sa încât m˘ arimile ck
pr,(k,p,r=1,m)sunt constante,
iar rela¸ tiile 1.13¸ si1.14pot ﬁ rescrise astfel:

us
p¶ui
r
¶xsus
r¶ui
p
¶xs
=ck
prui
k,(i=1,n;k,j,l,p,r=1,m), ( 1.15)
¸ si
¶lk
l
¶aj¶lk
j
¶al=ck
prlp
llr
j,(j,l,k,p,r=1,m). ( 1.16)
Generatorii grupurilor Lie
Pentru a introduce generatorii unui grup Lie trebuie s˘ a ne referim la o reprezentare
a grupului, mai exact, va trebui s˘ a introducem spa¸ tiul reprezent˘ arii grupului, care, în
acest caz, poate ﬁ spa¸ tiul func¸ tiilor de clas˘ a C2. La o transformare inﬁnitezimal˘ a de
coordonate, !x! !x= !x+d !x(element al grupului) are loc ¸ si o transformare a
elementelor spa¸ tiului reprezent˘ arii sub ac¸ tiunea operatorilor reprezent˘ arii. Fie F( !x)un
element al acestui spa¸ tiu (al reprezent˘ arii). Atunci,
dF( !x) =¶F
¶xidxi=ui
j¶F
¶xidaj=XjF( !x)daj,
unde,
Xj=ui
j¶
¶xi,(i=1,n,j=1,m)
sunt m operatori numi¸ ti generatorii grupului. Referindu-ne acum la grupul parametrilor,
mai putem scrie
dF=¶F
¶ajdaj,
astfel încât generatorii se mai pot exprima ¸ si sub forma
Xj=¶
¶aj,(j=1,m).

1.2 grupuri continue .grupuri lie 18
Uneori este convenabil s˘ a se deﬁneasc˘ a generatorii sub forma
Xj=K¶
¶aj,(j=1,m),
unde este o constant˘ a complex˘ a.
S˘ a consider˘ am acum ac¸ tiunea succesiv˘ a a doi generatori:
XpXrF( !x) =
us
p¶
¶xs
ui
r¶
¶xiF( !x) =us
p¶ui
r
¶xs¶F( !x)
¶xi+us
pui
r¶2F( !x)
¶xs¶xi.
Analog,
XpXrF( !x) =
ui
r¶
¶xi
us
p¶
¶xsF( !x) =ui
r¶us
p
¶xs¶F( !x)
¶xi+ui
rus
p¶2F( !x)
¶xi¶xs.
Atunci,
(XpXrXrXp)F( !x) = [ xp,Xr]F( !x) =us
p¶ui
r
¶xs¶F( !x)
¶xiui
r¶us
p
¶xi¶F( !x)
¶xs=
us
p¶ui
r
¶xsus
r¶ui
p
¶xs¶F( !x)
¶xi=
=ck
prui
k¶F( !x)
¶xi=ck
prui
k¶
¶xiF( !x) =ck
prXkF( !x),
unde am folosit teorema lui Schwarz (care asigur˘ a egalitatea derivatelor mixte de ordi-
nul doi – în ipoteza c˘ a sunt satisf˘ acute condi¸ tiile cerute de aceast˘ a teorem˘ a) ¸ si rela¸ tia de
deﬁni¸ tie a constantelor ck
prdat˘ a de 1.15. Am g˘ asit astfel c˘ a
[Xp,Xr] =ck
prXk.
Acesta este comutatorul generatorilor grupului de transform˘ ari (grupului Lie), con-
stantele numindu-se constantele de structur˘ a ale grupului. Proprietatea de antisimetrie
a comutatorului,
[Xp,Xr] =[Xr,Xp]
se reﬂect˘ a în aceste constante sub forma condi¸ tiei de antisimetrie a acestora în indicii
inferiori
ck
pr=ck
rp
iar din identitatea lui Jacobi,
[Xp,[Xr,Xk]] + [ Xr,[Xk,Xp]] + [ Xk,[Xp,Xr]] = 0,
se poate ob¸ tine cu u¸ surin¸ t˘ a rela¸ tia
ci
plcl
rs+ci
rlcl
sp+ci
slci
pr=0,(l,i,p,r,s=1,m).
Constantele de structur˘ a ale ﬁec˘ arui grup Lie sunt determinate în mod univoc de
structura grupului.
Astfel, am v˘ azut c˘ a, pornind de la grupul transform˘ arilor de forma
xi=fi(x1,x2, …,xn;a1,a2, …,am),(i=1,n), ( 1.17)
am g˘ asit ecua¸ tiile diferen¸ tiale ale grupului,
¶xi
¶aj=ui
k( !x)lk
j( !a),(i=1,n;j,k=1,m), ( 1.18)
apoi am ob¸ tinut condi¸ tiile

us
p¶ui
r
¶xsus
r¶ui
p
¶xs
=ck
prui
k,(i=1,n;k,s,p,r=1,m) (1.19)

1.2 grupuri continue .grupuri lie 19
¸ si
¶lk
l
¶aj¶lk
j
¶al=ck
prlp
llr
j,(j,l,k,p,r=1,m) (1.20)
iar în ﬁnal,
ck
pr=ck
rp (1.21)
¸ si
ci
plcl
rs+ci
rlcl
sp+ci
slci
pr=0,(l,i,p,r,s=1,m). ( 1.22)
Lie a demonstrat rezultatul remarcabil c˘ a acest drum poate ﬁ inversat, adic˘ a: dac˘ a
identiﬁc˘ am ni¸ ste constante care satisfac 1.21¸ si1.22, putem atunci g˘ asi ni¸ ste „func¸ tii” u
¸ silcare s˘ a satisfac˘ a 1.19¸ si1.20, iar în ﬁnal putem g˘ asi func¸ tiile 1.17care s˘ a ﬁe integrale
ale sistemului 1.18(solu¸ tii ale lui 1.18) ¸ si care s˘ a formeze o structur˘ a de grup.
Teorem˘ a (Ado): Orice grup Lie admite o reprezentare liniar˘ a.
Conform acestei teoreme (pe care o d˘ am, la fel ca ¸ si toate celelalte, f˘ ar˘ a demonstra¸ tie)
orice grup Lie este izomorf cu un grup de transform˘ ari liniare pe un spa¸ tiu vectorial,
ﬁecare element al acestui grup putând ﬁ reprezentat ca un operator liniar ce ac¸ tioneaz˘ a
într-un asemenea spa¸ tiu. Datorit˘ a izomorﬁsmului amintit anterior, e suﬁcient s˘ a ne
ocup˘ am de grupul transform˘ arilor liniare (transform˘ arile de coordonate) ce depind de
m parametri, de tipul
xi!xi=f(xj;ak),(i,j=1,n;k=1,m,
cu ajutorul c˘ arora am deﬁnit anterior no¸ tiunea de grup Lie. Aceste transform˘ ari pot ﬁ
considerate ca ni¸ ste transform˘ ari liniare pe un spa¸ tiu n-dimensional, L, spa¸ tiul vectori-
lor care au n componente, !x= (x1,x2, …,xn). Atunci, un vector !x„trece” în altul !x
ca urmare a ac¸ tiunii unui operator liniar, T, deﬁnit pe spa¸ tiul acestor vectori:
T:L!L, !x! !x=T !x,
adic˘ a, fi,i=1,nsunt în fapt ni¸ ste operatori liniari care depind de m parametri reali,
ak,(k=1,m)¸ si de aceea putem scrie
xi=fi(xj;ak)!g=T(ak),(k=1,m),
aici g ﬁind un element al grupului operatorilor T (de fapt, acela¸ si grup de transform˘ ari
pe care l-am considerat ¸ si pân˘ a aici). Elementul unitate al grupului,
xi!xi=n fi(x1.x2, …,xn; 0, 0, …, 0 ),
se va scrie în noua nota¸ tie astfel:
e=T(0, 0, …, 0 ).
Introducând o baz˘ a pe spa¸ tiul vectorial Lîn care ac¸ tioneaz˘ a operatorii T, ace¸ stia
se vor exprima sub form˘ a matriceal˘ a. Ac¸ tiunea unui operator T asupra unui vector al
spa¸ tiului liniar respectiv se va scrie pe componente,
xi!xi=Ti
j(a1,a2, …,am)xj,
sau, matriceal,
(x)!(x) =T(x),
unde
(x) =0
BBB@x1
x2
…
xn1
CCCA¸ si(x) =0
BBB@x1
x2
…
xn1
CCCA

1.2 grupuri continue .grupuri lie 20
Presupunând transformarea inﬁnitezimal˘ a, operatorii T(ak)pot ﬁ dezvolta¸ ti în serie
Taylor ¸ si, oprindu-ne doar la primii doi termeni din dezvoltare, avem
Ti
j(ak)'Ti
j(ak=0) +¶Ti
j
¶ak !a=0dak.
Elementului unitate e al grupului îi corespunde operatorul identic (unitate), e!
T(0, 0, …, 0 ) =I, sau, pe componente, Ti
j(ak=0) =I(di
j)¸ si atunci vom avea
xi=
di
j+¶Ti
j
¶ak
ak=0dak
xj=xi+dxi,
unde
dxi=¶Ti
j
¶ak
ak=0xjdak,
sau, matriceal,
d(x) =¶T
¶ak
ak=0(x)dak.
Prin compara¸ tie cu rezultatele anterioare, rezult˘ a c˘ a matricele generatorilor au forma
Xk=¶T
¶ak
ak=0,(k=1,m).
Observa¸ tie: Dup˘ a cum se poate observa cu u¸ surin¸ t˘ a, num˘ arul de generatori ai unui
grup Lie este egal cu num˘ arul de parametri esen¸ tiali ai grupului.
S˘ a introducem acum generatorii unui grup Lie în cazul cel mai general (cu alte cu-
vinte, nu doar pentru cazul particular când elementele grupului Lie sunt transform˘ arile
liniare de coordonate care depind de m parametri reali), al unui grup Lie compact oare-
care, G.
Înainte de a face acest lucru preciz˘ am c˘ a, atunci când vorbim despre generatorii unui
grup Lie, în¸ telegem de fapt generatorii reprezent˘ arii identice a grupului Lie considerat,
deoarece no¸ tiunea de generator se deﬁne¸ ste în strâns˘ a leg˘ atur˘ a cu no¸ tiunea de reprezen-
tare a unui grup, neputând ﬁ deﬁnit˘ a în alt mod (adic˘ a f˘ ar˘ a a considera o reprezentare a
acelui grup). De aceea, în cazul general, corect este s˘ a spunem generatorii unei anumite
reprezent˘ ari a unui grup ¸ si nu generatorii unui grup (acesta din urm˘ a ﬁind un caz par-
ticular, când este considerat˘ a reprezentarea identic˘ a a acelui grup).
O no¸ tiune necesar˘ a dezvolt˘ arii ulterioare a ra¸ tionamentelor ¸ si pe care o vom intro-
duce acum este cea de reprezentare topologic˘ a.
Deﬁni¸ tie: O reprezentare se nume¸ ste topologic˘ a dac˘ a:
1. spa¸ tiul reprezent˘ arii este un spa¸ tiu topologic;
2. operatorii reprezent˘ arii grupului topologic pe spa¸ tiul topologic al reprezent˘ arii, ,
satisfac urm˘ atoarele propriet˘ a¸ ti: (i) (operatorul unitate);
(ii)T(g1g2) =T(g1)T(g2);
(iii) Aplica¸ tiafx,gg2LG!T(g)x2Lde laGlaLeste continu˘ a,8×2
L,8g2G.
Observa¸ tie: Orice reprezentare topologic˘ a este reprezentare.
Deﬁni¸ tie: Fie G un grup Lie compact ¸ si g!T(g)o reprezentare topologic˘ a ﬁnit
dimensional˘ a a acestui grup pe spa¸ tiul Hilbert L. Cum G este grup Lie compact m-
dimensional, putem parametriza vecin˘ atatea Vma elementului unitate, e2G¸ si atunci,
8g2Vm,T(g) =T(a1,a2, …,am). Cum reprezentarea este topologic˘ a (continu˘ a) ¸ si depen-
den¸ ta g=g(a1,a2, …,am)este analitic˘ a, rezult˘ a c˘ a operatorii reprezent˘ arii g!T(g)sunt

1.2 grupuri continue .grupuri lie 21
func¸ tii analitice de parametrii ak,(k=1,m¸ si atunci exist˘ a (în sensul c˘ a pot ﬁ deﬁni¸ ti) m
operatori
Ik=¶T( !a)
¶ak
a1=a2=…=am=0,(k=1,m),
numi¸ ti generatorii inﬁnitezimali ai grupului Lie G.
Parametrizarea se face astfel încât e=e(0, 0, …, 0 ). Num˘ arul ge-neratorilor este egal
cu num˘ arul de parametri (ceea ce rezult˘ a chiar din deﬁni¸ tia lor) ¸ si, de asemenea, egal cu
dimensiunea grupului.
Operatorii reprezent˘ arii g !T(g) sunt lega¸ ti de generatorii Ikprintr-o ecua¸ tie dife-
ren¸ tial˘ a satisf˘ acut˘ a de operatorii reprezent˘ arii, T. S˘ a o determin˘ am. Fie pentru aceasta f
¸ si g, dou˘ a elemente ale grupului Lie G, ¸ si x2Lun element al spa¸ tiului de reprezentare.
Vom introduce nota¸ tia
y(g) =T(g)x2L.
Cum g!T(g) este reprezentare, avem
T(f g) =T(f)T(g),
T(e) =1L,
¸ si atunci
T(f g)y(g1) =T(f g)T(g1)x=T(f)T(g)T(g1)x=
=T(f)T(gg1)x=T(f)T(e)x=T(f)x=y(f),
A¸ sadar, am g˘ asit c˘ a
y(f) =T(f g)y(g1).
¸ Tinând cont de parametrizarea f˘ acut˘ a ¸ si limitându-ne la elemente f, g din vecin˘ atatea
Vma elementului unitate al grupului G, vecin˘ atate în care este valabil˘ a parametrizarea,
putem scrie c˘ a
y(ai(f)) = T(ak(f g))y(aj(g1)). ( 1.23)
Am ¸ tinut cont aici de bijec¸ tia care exist˘ a între elementele grupului ¸ si cele ale spa¸ tiului
parametrilor, Em. Prin derivarea rela¸ tiei 1.23în raport cu al(f)avem
¶y(a1(f),a2(f), …,am(f))
¶al(f)=m1
å
k=1¶T(f g)¶ak(f g)
¶ak(f g)¶al(f)y(aj(g1). ( 1.24)
Not˘ am
skl(aj) =¶ak(f g)
¶al(f).
Acestea sunt func¸ tii reale ¸ si depind de:
elementele f, g2VmG;
legea de compozi¸ tie a grupului G;
parametrizarea vecin˘ at˘ a¸ tii Vma elementului unitate, e 2G,
dar nu depind de reprezentarea considerat˘ a, g!T(g)a grupului.
Rela¸ tia 1.24este valabil˘ a8f,g2Vm. Luând (vezi deﬁni¸ tia grupului Lie) avem
¶y(a1,a2, …,am)
¶a1=Ikskl(a1,a2, …,am),
c˘ aci elementul g2G este arbitrar, cu „condi¸ tia pe frontier˘ a”
y(0, 0, …, 0 ) =x,
(deoarece T(0, 0, …, 0 ) =1L¸ siy(g) =T(g)xrezult˘ a c˘ a y(0, 0, …, 0 ) =x)

1.3 algebre .algebre lie 22
¸ Tinând cont ¸ si de caracterul arbitrar al lui x2L, putem scrie în ﬁnal
(¶T(a1,a2,…,am)
¶al=Ikskl(a1,a2, …,am)T(a1,a2, …,am),
T(0, 0, …, 0 ) =1L.
care este ecua¸ tia diferen¸ tial˘ a amintit˘ a anterior (de fapt, este un sistem de ecua¸ tii, c˘ aci
l=1,m).
Condi¸ tiile de integrabilitate pentru acest sistem sunt
¶2T(f)
¶ak¶al=¶2T(f)
¶al¶ak,(l,k=1,m),8f2VmG,
Dar
¶2T
¶ak¶al=Ij¶sjl
¶akT+Ijsjl¶T
¶ak=Ij¶sjl
¶akT+IjsjlIpspkT
¸ si
¶2T
¶ak¶al=Ij¶sjl
¶akT+IjsjlIpspkT.
Pentru f=e,(a1=a2=…=am=0)avem T=IL, deci
Ij¶sjl
¶ak¶sjk
¶al
!a=0=Ijsjl !a=0Ipspk !a=0+Ijsjk !a=0Ipspl !a=0.
Dar
¶T( !a)
¶al=Ikskl( !a)T( !a)
¸ si cum pentru !a=0,T( !0) =1Lavem
IkIlIlIk= [Ik,Il] =Ij¶sjl
¶ak¶sjk
¶al
!a=0=cj
klIj,
unde cj
klse numesc constantele de structur˘ a ale grupului ¸ si au urm˘ atoarele propriet˘ a¸ ti:
1. sunt independente de reprezentarea aleas˘ a;
2. sunt numere reale;
3. depind de grup (legea de compozi¸ tie etc.);
4. depind de parametrizarea grupului;
5. satisfac propriet˘ a¸ tile:
(i)cj
kl=cj
lk,
(ii)cj
klcp
ji+cj
ikcp
jl+cj
licp
jk=0,
propriet˘ a¸ ti care decurg din cele corespunz˘ atoare comutatorilor:
(i)[Ik,Il] =cj
klIj=[Il,Ik],
(ii)[Ii,[Ik,Il]] + [ Ik,[Il,Ii]] + [ Il,[Ii,Ik]] = 0 ,
adic˘ a antisimetria ¸ si identitatea Jacobi, propriet˘ a¸ ti care se pot veriﬁca u¸ sor.
1.3 algebre .algebre lie
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste algebr˘ a peste un corp de scalari (de obicei corpul numerelor com-
plexe,C) o mul¸ time de elemente, A, cu propriet˘ a¸ tile:
1.8l2C,8x2Ase deﬁne¸ ste elementul lx2Anumit „produsul” elementelor
algebrei cu scalari (prima opera¸ tie a algebrei);
2.8x,y2Aeste unic determinat elementul z=x+y2Anumit „suma” elementelor
considerate (a doua opera¸ tie a algebrei);
3.f orallx ,y2Aexist˘ a o opera¸ tie numit˘ a „produsul elementelor algebrei”, prin
(x,y)!z0=xy2A(a treia opera¸ tie a algebrei).

1.3 algebre .algebre lie 23
4. „Produsul” elementelor ¸ si „înmul¸ tirea cu scalari” sunt distributive fa¸ t˘ a de „adu-
nare”, iar „înmul¸ tirea cu scalari” este ¸ si asociativ˘ a:
l(x+y) =lx+ly,8l2C,8x,y2A,
x(y+z) =xy+xz,(x+y)z=xz+yz,8x,y,z2A,
l(xy) = ( lx)y=x(ly),8l2C,8x,y2A
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste algebr˘ a Lie peste un corp de scalari, C, o algebr˘ a L, care are
propriet˘ a¸ tile:
AL1:xy+yx=0;
AL2:x(yz) +y(zx) +z(xy) =0,8x,y,z2L.
Dac˘ a în plus xy=0,8x,y2L, atunci algebra Lie se nume¸ ste abelian˘ a.
Observa¸ tie: De obicei „produsul” elementelor unei algebre Lie se deﬁne¸ ste astfel:
xy= [x,y]
¸ si se nume¸ ste cro¸ setul elementelor (sau comutatorul elementelor).
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste algebr˘ a Lie ﬁnit dimensional˘ a o algebr˘ a Lie L pentru care exist˘ a
un sistem de elemente independente ale algebrei, fXigi=1,m(m se nume¸ ste dimensiunea
algebrei) numit baza algebrei, astfel încât orice element al algebrei se poate reprezenta
ca o combina¸ tie liniar˘ a a elementelor bazei:
8X2L,9Xi2L,(i=1,m), astfel încât X=m
å
i=1aiXi,(i=1,m).
Oric˘ arui grup Lie îi corespunde o algebr˘ a Lie ale c˘ arei elemente sunt chiar generatorii
grupului (de aceea am notat aici elementele algebrei cu majuscule), care am v˘ azut c˘ a
satisfac totdeauna o rela¸ tie de forma:
[Xi,Xj] =fk
ijXk,
care deﬁne¸ ste chiar opera¸ tia „produs” a elementelor algebrei Lie („cro¸ setul” algebrei).
Algebra Lie va ﬁ abelian˘ a dac˘ a toate constantele de structur˘ a sunt nule, c˘ aci, atunci
XiXj=XjXi, adic˘ a generatorii comut˘ a.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste subalgebr˘ a Lie, L’, a unei algebre Lie L, o submul¸ time L0L,
care formeaz˘ a la rândul ei o algebr˘ a cu acelea¸ si opera¸ tii ca ale algebrei de baz˘ a.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste subalgebr˘ a invariant˘ a (sau ideal), I, a unei algebre Lie L, o
subalgebr˘ a care satisface proprietatea:
8x2I,8y2L)xy2I.
Deﬁni¸ tie: O algebr˘ a Lie L se nume¸ ste simpl˘ a, dac˘ a nu are ideale proprii (un ideal
propriu este un ideal diferit de idealele improprii care sunt L ¸ si Æ).
Deﬁni¸ tie: O algebr˘ a Lie L se nume¸ ste semisimpl˘ a dac˘ a nu are ideale abeliene proprii.
Exist˘ a o strâns˘ a leg˘ atur˘ a între tipul grupului Lie ¸ si tipul algebrei Lie a grupului
respectiv, ¸ si anume:
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste subalgebr˘ a Cartan subalgebra abelian˘ a de dimensiune maxim˘ a
a unei algebre Lie L.
Elementele bazei subalgebrei Cartan a unei algebre Lie L se noteaz˘ a de obicei cu
Hi,(i=1,l)(l se nume¸ ste dimensiunea subalgebrei Cartan) ¸ si, evident c˘ a [Hi,Hj] =
0,(i,j=1,l).

1.3 algebre .algebre lie 24
Tabela 1: Corespondenta intre grupurile si algebrele Lie
Grupul Lie G Algebra Lie l
Subgrup Subalgebr˘ a
Subgrup abelian Subalgebr˘ a abelian˘ a
Subgrup invariant Ideal
Subgrup invariant abelian Ideal abelian
Grup simplu Algebr˘ a simpl˘ a
Grup semisimplu Algebr˘ a semisimpl˘ a
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste rangul unei algebre Lie L dimensiunea l a subalgebrei Cartan
a algebrei Lie respective.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste rangul unui grup Lie rangul algebrei Lie a acelui grup.
Observa¸ tii:
1. Generatorii grupurilor Lie formeaz˘ a algebre Lie în care produsul elementelor
algebrei este cro¸ setul generatorilor;
2. Algebra Lie a unui grup Lie este în mod unic ¸ si complet determinat˘ a de grupul Lie
respectiv. Reciproca este adev˘ arat˘ a pân˘ a la un izomorﬁsm, adic˘ a dou˘ a sau mai multe
grupuri Lie izomorfe admit aceea¸ si algebr˘ a Lie.
3. Totdeauna este posibil˘ a o parametrizare exponen¸ tial˘ a a unui grup Lie, adic˘ a acea
parametrizare în care elementele grupului Lie se pot reprezenta sub forma g=e#kIk,
unde #ksunt parametrii grupului în parametrizarea exponen¸ tial˘ a, iar Iksunt generatorii
grupului Lie, c˘ aci:¶g
¶#k
#k=0=¶
¶#k(e#kIk
=Ik,
adic˘ a tocmai deﬁni¸ tia generatorilor. Cum åm
k=1#kIkeste o combina¸ tie liniar˘ a de genera-
tori (generatori care formeaz˘ a algebra Lie a grupului Lie considerat) ¸ si cum orice element
al algebrei se scrie ca o combina¸ tie liniar˘ a de „vectori” ai bazei algebrei („vectori” care
sunt chiar generatorii grupului Lie), rezult˘ a c˘ a, evident, #kIkeste un element din algebra
Lie în cauz˘ a. Formal deci, putem scrie c˘ a G=eA, unde G este un grup Lie, iar A este
algebra Lie a acelui grup Lie.
Reprezent˘ arile algebrelor Lie
Fie L o algebr˘ a Lie ¸ si Lun spa¸ tiu liniar n-dimensional.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste reprezentare a algebrei Lie L pe spa¸ tiul liniar Lo aplica¸ tie T:
L!L,8x2L!T(x)2L, care face ca oric˘ arui element al algebrei s˘ a-i corespund˘ a
un operator liniar pe spa¸ tiul L, cu propriet˘ a¸ tile:
RA 1:T(ax+by) =aT(x) +bT(y),8x,y2L,8a,b2C;
RA 2:T([x,y]) = [ T(x),T(y)],8x,y2L.
Teorem˘ a (Schur-Auerbach): Orice reprezentare a unui grup ﬁnit este echivalent˘ a cu
o reprezentare unitar˘ a.
Teorem˘ a (Maschke): Orice reprezentare reductibil˘ a a unui grup ﬁnit este complet re-
ductibil˘ a.
Aceste dou˘ a teoreme r˘ amân valabile ¸ si în cazul grupurilor compacte; demonstra¸ tia
acestui fapt se bazeaz˘ a pe existen¸ ta integralei invariante pentru astfel de grupuri. În
particular, din teorema Maschke rezult˘ a c˘ a orice reprezentare unitar˘ a este complet re-
ductibil˘ a (reprezentarea se descompune într-o sum˘ a de reprezent˘ ari ireductibile).
Ob¸ tinem astfel urm˘ atorul rezultat foarte important în teoria reprezent˘ arilor: pentru
orice grup compact, ﬁecare reprezentare a sa este echivalent˘ a cu o reprezentare unitar˘ a,

1.3 algebre .algebre lie 25
care, la rândul ei, este complet reductibil˘ a. Prin urmare, în asemenea cazuri este suﬁ-
cient s˘ a studiem reprezent˘ arile unitare ireductibile.
Structura algebrelor Lie
Am v˘ azut c˘ a o algebr˘ a Lie este, în esen¸ t˘ a, o mul¸ time de elemente, Xa, care formeaz˘ a
un spa¸ tiu liniar, L ¸ si care satisfac rela¸ tiile:
[Xi,Xj] =[Xj,Xi],
[Xi,Xj] =ck
ijXk,
[Xi,[Xj,Xk]] + [ Xj,[Xj,[Xk,Xi]] + [ Xk,[Xi,Xj]] = 0.
Dup˘ a cum am v˘ azut, un sistem Xi,(i=1,r)de r vectori liniar independen¸ ti formeaz˘ a
o baz˘ a a algebrei (r-dimensionale) dac˘ a X2L,X=xiXi,(i=1,r), unde xisunt numere
reale.
A g˘ asi toate structurile de algebre Lie e o chestiune matematic˘ a formidabil˘ a. Pro-
blema const˘ a, în fond, în a g˘ asi, pentru orice valoare a lui r, toate solu¸ tiile reale ale
ecua¸ tiei
cl
ijcp
lk+cl
jkcp
li+cl
kicp
lj=0, ( 1.25)
care s˘ a satisfac˘ a condi¸ tia
cs
ij=cs
ji (1.26)
deoarece, dup˘ a cum am v˘ azut, orice algebr˘ a Lie e determinat˘ a în mod univoc de con-
stantele de structur˘ a ale grupului c˘ aruia îi corespunde algebra respectiv˘ a.
Problema este, îns˘ a, diﬁcil˘ a, c˘ aci 1.25sunt ecua¸ tii p˘ atratice în necunoscute. În plus,
multe din solu¸ tii vor ﬁ echivalente cu altele, c˘ aci dac˘ a schimb˘ am baza fXigi=1,r, vom
g˘ asi un nou set de constante de structur˘ a, care vor satisface acelea¸ si ecua¸ tii 1.25¸ si1.26.
Într-adev˘ ar, ﬁe schimbarea de baz˘ a Xi!X0
j, prin
X0
j=ajkXk,
unde ajkeste matricea (nesingular˘ a) de trecere de la baza veche la cea nou˘ a. Atunci,
noile constante de structur˘ a, c0l
js, vor satisface
c0l
jsX0
l= [X0
j,X0
s] = [ ajkXk,asmXm] =ajkasm[Xk,Xm] =ajkasmcp
kmXp=c0l
jsalpXp,
de unde,
c0l
jsalp=ajkasmcp
km.
Înmul¸ tind la dreapta cu inversa matricei a, ob¸ tinem
c0l
js=ajkasmcp
kma1
pl.
A. Pentru r= 1, toate elementele algebrei Lie sunt multipli ai unui acela¸ si vector al ba-
zei, X, deci to¸ ti comutatorii se anuleaz˘ a, iar algebra e abelian˘ a. Grupul Lie corespunz˘ ator
este unul uni-parametric ¸ si abelian (de exemplu, grupul transform˘ arilor de faz˘ a, U( 1)).
B. Pentru r= 2, exist˘ a doi vectori în baz˘ a, X1¸ siX2, ¸ si avem:
[X1,X2] =aX1+bX2.
a. Dac˘ a a=b= 0(de exemplu), atunci [X1,X2] =0, algebra este abelian˘ a ¸ si este dat˘ a de
suma direct˘ a a algebrelor generate de X1¸ si respectiv de X2:
L=L1L2;
b. Dac˘ a a6=0 (de exemplu), atunci se poate g˘ asi o baz˘ a în care [X0
1,X0
2] = X0
1.
Într-adev˘ ar, aceasta este
X0
1=aX1+bX2
X0
2=1
2X2

1.3 algebre .algebre lie 26
c˘ aci
[X0
1,X0
2] = [ aX1+bX2,1
aX2] = [ aX1,1
aX2] + [bX2,1
aX2] = [ X1,X2] =aX1+bX2=X0
1.
Subalgebra generat˘ a de X0
1este invariant˘ a ¸ si abelian˘ a, deci algebra L nu este semisim-
pl˘ a. Astfel, chiar pentru r= 2ob¸ tinem algebre Lie care nu sunt semisimple.
Exemplu: Fie grupul transform˘ arilor de forma x0=f(x) =ax+b.
Generatorii sunt:
X1=u11¶
¶x1=u11¶
¶x=x¶
¶x
X2=u12¶
¶x1=u12¶
¶x=¶
¶x
c˘ aci, din teoria general˘ a ¸ stim c˘ a Xk=uik¶
¶xi,uik( !x) =
¶fi
¶ak
!a=0. În cazul nostru
u11=
¶f(x)
¶a
a=b=0,u12=
¶f(x)
¶b
a=b=0=1¸ si g˘ asim c˘ a [X1,X2] =
x¶
¶x,¶
¶x
=X1.
Grupuri Lie compacte semisimple
Prin deﬁni¸ tie, dac˘ a parametrii unui grup Lie variaz˘ a într-un domeniu ﬁnit, grupul
se nume¸ ste compact. Algebra Lie a unui grup Lie compact se numeste de asemenea,
compact˘ a.
Fie G un grup Lie compact semisimplu ¸ si L algebra Lie asociat˘ a lui. Fiec˘ arui element
A2Ldin algebra Lie L a grupului G i se poate asocia o transformare liniar˘ a (un
operator) astfel: oricare ar ﬁ un alt element S al algebrei, se poate deﬁni comutatorul lui
S cu elementul ﬁxat A, comutator care este tot un element al algebrei. Aplica¸ tia liniar˘ a o
deﬁnim astfel:
pA:L!L,pAS= [A,S]2L.
Deci, oric˘ arui element ﬁxat A2Li se asociaz˘ a operatorul pAdeﬁnit ca mai sus (în
fond, am realizat astfel o reprezentare a algebrei Lie L pe spa¸ tiul algebrei Lie îns˘ a¸ si).
Dac˘ a se consider˘ a o baz˘ a în L, atunci operatorul pAva avea form˘ a matriceal˘ a. Fie deci
fXgi=1,nbaza algebrei Lie n-dimesionale L, în care cele dou˘ a elemente ale algebrei se
vor scrie astfel:
A=aiXi,S=siXi,(i=1,n).
Atunci, în baza aleas˘ a, matricea operatorului pAeste(pA)ij=ci
kjak. Într adev˘ ar,
pAS= (pAS)iXi= [akXk,sjXj] =aksj[Xk,Xj] =aksjci
kjXi,
deci,
(pAS)i=aksjci
kj
Dar(pAS)i= (pA)ijsj¸ si atunci, pentru elementele de matrice ale operatorului pA
rezult˘ a
(pA)ij=ci
kjak.
Fie acum un alt element B al algebrei Lie L. Lui i se va asocia operatorul pb¸ si putem
scrie
pBpAS=pB(pAS) =pB([A,S]) = [ B,[A,S]]2L.
Avem, de asemenea,
(pBpAS)iXi= [B,[A,S]] = [ bsXs,aksjcp
kjXp] =bsaksjcp
kj[Xs,Xp] =bsaksjcp
kjci
spXi
de unde
(pBpAS)i=cp
kjci
spakbssj= (pBpA)ijsj,
adic˘ a
(pBpA)ijsj=ci
spcp
kjakbs=ci
spcp
kjbsak.

1.3 algebre .algebre lie 27
Luând trasa matricei aplica¸ tiei produs pBpAob¸ tinem
Tr(pBpA) = ( pBpA)ii=ci
spcp
kibsak=ci
pscs
kibpak=gpkbpak, ( 1.27)
unde, prin deﬁni¸ tie,
gpk=ci
pscs
ki
¸ si satisfac
gkp=ci
kscs
pi=cs
kici
ps=ci
pscs
ki=gpk
adic˘ a gpksunt m˘ arimi simetrice.
Rela¸ tia 1.27permite deci s˘ a asociem oric˘ aror dou˘ a elemente ale algebrei o form˘ a
biliniar˘ a simetric˘ a, pe care o vom numi produsul scalar al elementelor A ¸ si B ¸ si o vom
nota prin (A, B). Schimbând ¸ si nota¸ tia pentru indici în mod sugestiv, putem scrie,
(A,B) =gmnbman.
S˘ a realiz˘ am acum o schimbare de baz˘ a, Xk!X0
n=ankXk. La aceast˘ a schimbare
de baz˘ a, constantele de structur˘ a se transform˘ a dup˘ a cum am v˘ azut, dup˘ a rela¸ tia c0l
ks=
aknasmcp
nma1
pl. Atunci, avem
gmn!g0
mn=c0j
mic0i
nj=amuaipck
upa1anmajncl
mna1
li=
=amuanmck
upcl
mndlpdnl=amuanmck
ulcl
mk=amuanmgum,
adic˘ a,
g0
mn=amaanbgab,
deci, gmn=gnmse transform˘ a ca un tensor simetric de ordinul doi. De asemenea, se
poate veriﬁca faptul c˘ a produsul scalar r˘ amâne invariant. Într adev˘ ar,
A=aiXi=a0
iX0
i=a0
iaijXj=a0
jajiXi,
de unde, ai=a0
jaji, adic˘ a, a0
j=aia0
ij¸ si atunci,
(A0,B0) =g0
mnb0
ma0
n=amuanmgumbaa0
amaba1
bn=gumbaabdaudbn=gabbaab= (A,B).
Rezult˘ a c˘ a gmnac¸ tioneaz˘ a ca un tensor metric în spa¸ tiul vectorial al algebrei. Se pot
deﬁni atunci noile constante de structur˘ a
clmn=glrcr
mn
¸ si se poate veriﬁca faptul c˘ a ele sunt complet antisimetrice. Pentru aceasta se folose¸ ste
deﬁni¸ tia tensorului metric gmn=ca
mbcb
na, proprietatea lui de simetrie, gmn=gnm, precum
¸ si rela¸ tia (care rezult˘ a din identitatea Jacobi pentru generatori) satisf˘ acut˘ a de constantele
de structur˘ a, cl
ijcp
lk+cl
jkcp
li+cl
kicp
lj=0. Într-adev˘ ar, avem:
cljk=glscs
jkcugls=ca
lbcb
sa,
adic˘ a,
cljk=ca
lbcb
sacs
jk=ca
lb(cb
sjcs
ka+cb
skcs
aj,
c˘ aci cs
jkcb
sa+cs
kacb
sj+cs
ajcb
sk=0. Deci,
cljk=ca
lbcb
sjcs
kaca
lbcb
skcs
aj
Deoarece constantele de structur˘ a sunt antisimetrice în ultimii doi indici, r˘ amâne de
ar˘ atat antisimetria lor în primii doi indici, celelalte combina¸ tii/posibilit˘ a¸ ti ﬁind evidente.
A¸ sadar, va trebui s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a cjlk=cljk. Avem:
cjlk=ca
jbcb
slcs
kaca
jbcb
skcs
al=cs
jaca
blcb
kscb
jscs
akca
bl=ca
lbcb
skcs
aj+ca
lbcb
sjcs
ka=cljk

1.3 algebre .algebre lie 28
ceea ce era de ar˘ atat.
Vom prezenta în continuare grupul GL(n, C), întrucât este unul dintre cele mai im-
portante grupuri în T.C.C., având, de asemenea, cele mai multe ¸ si mai importante sub-
grupuri.
Consider˘ am mul¸ timea matricelor p˘ atratice de ordinul n, cu elemente numere com-
plexe, notat˘ a M(n). Dac˘ a în aceast˘ a mul¸ time introducem opera¸ tia de comutare deﬁnit˘ a
prin rela¸ tia
[A,B] =ABBA;A,B2mathscrM (n),
atunci se veriﬁc˘ a u¸ sor rela¸ tiile
[A,B] =[B,A],
[a,[B,C]] + [ B,[C,A]] + [ C,[A,B]] = 0.
Astfel, mul¸ timea mathscrM (n)formeaz˘ a o algebr˘ a Lie fa¸ t˘ a de opera¸ tia de comutare.
Deﬁni¸ tie: Se nume¸ ste grup liniar de ordinul n, notat GL(n, C), mul¸ timea matricelor
p˘ atratice, inversabile, de ordinul n, cu elemente numere complexe, legea de compozi¸ tie
a grupului ﬁind înmul¸ tirea matricelor:
GL(n,C) =fg2M(n)jdetg6=0g.
Teorem˘ a: Algebra Lie a grupului GL(n, C) este izomorf˘ a cu algebra Lie M(n).
Generatorii grupului GL(n, C) sunt matrice reale, Xij2M(n),(i,j=1,n), având
toate elementele nule, cu excep¸ tia elementului (ij), care este egal cu unitatea, a¸ sa încât
(Xij)kl=dikdjl. Ace¸ sti generatori satisfac rela¸ tiile de comutare
[Xij,Xkl] =djkXildilXkj
¸ si formeaz˘ a baza algebrei Lie a grupului GL(n, C), elementele algebrei ﬁind de forma
X=aijXij,(aij2C). Rela¸ tiile de comutare de mai sus sunt satisf˘ acute ¸ si de operatorii
diferen¸ tiali
Xij=xi¶
¶xj,(xi,xj2(C)n),
care pot ﬁ utiliza¸ ti ca ¸ si generatori.
Teorem˘ a: Exponen¸ tiala grupului GL(n, C) este aplica¸ tia etX=å¥
p=01
p!(tX)p, (t2R),
cu urm˘ atoarele propriet˘ a¸ ti:
1.t!etXeste un omomorﬁsm al lui Rîn GL(n, C);
2.X!etXeste un izomorﬁsm al unei vecin˘ at˘ a¸ ti a matricei nule (notat˘ a cu U
M(n)), într-o vecin˘ atate a elementului unitate (notat˘ a cu VGL(n,C));
3. Aceea¸ si proprietate este adev˘ arat˘ a ¸ si între o subalgebr˘ a a lui M(n)¸ si subgrupul
lui GL(n, C) c˘ aruia îi corespunde aceast˘ a subalgebr˘ a.
În baza acestei teoreme se poate ar˘ ata c˘ a
egXg1=geXg1,eX+Y=eXeY,
unde g2GL(n,C), X, Y2M(n)¸ si [X, Y]= 0.
Teorem˘ a: Dac˘ afligi=1,nsunt n r˘ ad˘ acini caracteristice, distincte sau nu, ale matricei
X2M(n), atunci r˘ ad˘ acinile caracteristice ale exponen¸ tialei eXsuntfeligi=1,n.
O consecin¸ t˘ a a acestei teoreme este rela¸ tia
deteX=eTr(X).
Teorem˘ a: Orice matrice unitar˘ a U, sau hermitic˘ a H, poate ﬁ adus˘ a la forma diagonal˘ a
printr-o transformare de similaritate, U0=V+UV ¸ si respectiv H0=V+HV, unde V este
o matrice unitar˘ a, iar U’ ¸ si H’ sunt diagonale.

1.3 algebre .algebre lie 29
Acest rezultat r˘ amâne valabil ¸ si pentru matricele simetrice ¸ si cele ortogonale cu ele-
mente reale, dar nu ¸ si pentru cele cu elemente numere complexe ce satisfac acelea¸ si
propriet˘ a¸ ti. A¸ sadar, 8U2fUjU+U=Ig¸ si8H2fHjH=H+g,9V2fVjV+V=Ig,
astfel încât U0=V+UV ¸ siH0=V+HV s˘ a ﬁe diagonale.
Folosind aceste rezultate, s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a deteH=eTr(H), unde H este o matrice hermi-
tic˘ a. Conform teoremei de mai sus, H= (hii) =diag(Hik).
Atunci,
eH=I+1
1!H+1
2!H2++1
n!Hn+. . . =0
BBB@1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
…………
0 0 . . . 11
CCCA+1
1!0
BBB@h11 0 . . . 0
0h22. . . 0
…………
0 0 . . . hnn1
CCCA+
+1
2!0
BBB@h2
110 . . . 0
0h2
22. . . 0
…………
0 0 . . . h2
nn1
CCCA+ . . . +1
n!0
BBB@hn
110 . . . 0
0hn
22. . . 0
…………
0 0 . . . hn
nn1
CCCA+ . . . =0
BBB@eh11 0 . . . 0
0eh22. . . 0
…………
0 0 . . . ehnn1
CCCA
deci,
deteh=det0
BBB@eh11 0 . . . 0
0eh22. . . 0
…………
0 0 . . . ehnn1
CCCA=n
Õ
i=1ehii
¸ si atunci,
ln(det eH) =lnn
Õ
i=1ehii=n
å
i=1hii=Tr(H),
adic˘ a
det eH=eTr(H).(q.e.d.)
Folosind acest rezultat, putem concluziona c˘ a dac˘ a dorim ca o matrice unitar˘ a ce se
poate exprima sub forma u=eiH(unde H e o matrice hermitic˘ a) s˘ a aib˘ a determinantul
egal cu unu (s˘ a ﬁe unimodular˘ a) trebuie ca matricea hermitic˘ a H s˘ a aib˘ a trasa nul˘ a.
Dintre subgrupurile Lie ale grupului GL(n,C)men¸ tion˘ am urm˘ atoarele:
1. Grupul liniar special (unimodular), SL(n,C) =fgjg2GL(n,C),det g =1g;
2. Grupul unitar U(n) =fgjg2GL(n,C),g+g=eg;
3. Grupul unitar special SU(n) =fgjg2SL(n,C),g+g=eg=fgjg2U(n),det g =
1g=U(n)TSL(n,C);
4. Grupul liniar real GL(n,R) =fgjg2GL(n,C),Im g =0g;
5. Grupul liniar special real SL(n,R) =fgjg2GL(n,R),det g =0g;
6. Grupul ortogonal real O(n,R) =fgjg2SL(n,R),gTg=eg=U(n)TSL(n,R);
7. Grupul ortogonal real special SO(n,R) =fgjg2SL(n,R),gTg=eg=fgjg2
O(n,R),det g =1g=U(n)TSL(n,R);
Se poate ar˘ ata c˘ a toate aceste grupuri sunt compacte.
Deﬁni¸ tie: O aplica¸ tie f:L!M(cuL¸ siMspa¸ tii topologice) se nume¸ ste omeomor-
ﬁsm sau aplica¸ tie topologic˘ a, dac˘ a f este o bijec¸ tie, iar aplica¸ tiile f ¸ si f1sunt continue.
Deﬁni¸ tie: Dou˘ a spa¸ tii topologice L¸ siMse numesc omeomorfe dac˘ a exist˘ a un ome-
omorﬁsm între L¸ siM.

1.3 algebre .algebre lie 30
În cazul existen¸ tei unei structuri de grup topologic, omeomorﬁsmul atrage dup˘ a sine
omomorﬁsmul.
Teorem˘ a: Grupurile U(n) ¸ si U(1)SU(n)sunt omeomorfe (sau omomorfe).
Teorem˘ a: Fie L o algebr˘ a Lie de matrice X. Aplica¸ tia
X2L!u=eX=I+1
1!X+1
2!X2++1
n!Xn+
deﬁne¸ ste matricele u care formeaz˘ a o structur˘ a de grup Lie fa¸ t˘ a de înmul¸ tirea matricelor.
Teorem˘ a: Orice matrice u2U(n)se poate reprezenta sub forma u=eih, unde h este
o matrice hermitic˘ a. Reciproc, orice matrice eih, unde h este hermitic˘ a, este o matrice
unitar˘ a.
Deci elementele grupului SU(n) pot ﬁ reprezentate prin matricele u=eiX, unde X
este o matrice hermitic˘ a, de tras˘ a nul˘ a. Într-adev˘ ar,
1. u unitar˘ a implic˘ a u+u=I,eih+eih+=ei(hh+)=I)h=h+;
2. u unimodular˘ a înseamn˘ a det u =1)det eih=1)Tr(h) =0.
Teorem˘ a: Fie H un subgrup al grupului SU(n), format din matricele de forma1 0
0g
,
unde g este o matrice de ordinul (n- 1). Atunci, subgrupul H este izomorf cu grupul SU(n-
1), iar mul¸ timea cât SU(n)/H este omeomorf˘ a (sau omomorf˘ a) cu hipersfera din spa¸ tiul
(2n-1)-dimensional.
De asemenea, se poate demonstra c˘ a este posibil˘ a o descompunere de forma SU(n)
U(1)SU(n1), numit˘ a descompunere canonic˘ a. Aceast˘ a descompunere ne conduce
la lan¸ tul canonic de subgrupuri
SU(n)SU(n1) SU(3)SU(2).
Acum e momentul s˘ a ne întoarcem la condi¸ tia de invarian¸ t˘ a a principiului varia¸ tional
la transform˘ arile de simetrie intern˘ a,
ui(x)!u0
i(x) =ui(x) +dui(x),
care se scrie
¶L
¶uidui+¶L
¶(¶muid(¶mui) =0.
Deci, pentru a g˘ asi aceast˘ a condi¸ tie de invarian¸ t˘ a trebuie s˘ a cunoa¸ stem forma varia-
¸ tiei func¸ tiei de câmp, dui(x), precum ¸ si cea a derivatelor func¸ tiei de câmp, d(¶mui(x).
Cum întotdeauna ne ocup˘ am de transform˘ arile inﬁnitezimale, putem scrie c˘ a la o
transformare de simetrie intern˘ a, func¸ tia de câmp se transform˘ a astfel
ui(x)!u0
i(x) +dui(x).
La o transformare a grupului de simetrie al unui anumit sistem, func¸ tiile de und˘ a se
transform˘ a dup˘ a o anumit˘ a reprezentare a grupului. Pentru a în¸ telege mai bine acest
lucru, în continuare vom considera un exemplu concret, cel al invarian¸ tei relativiste. Ast-
fel, se ¸ stie c˘ a la ora actual˘ a orice teorie ce câmp trebuie s˘ a ﬁe una relativist invariant˘ a
(mai corect spus, relativist covariant˘ a). Aceast˘ a cerin¸ t˘ a decurge din necesitatea descrierii
corecte a fenomenelor ﬁzice în domeniul vitezelor mari, comparabile cu viteza luminii.
În mod concret, aceast˘ a invarian¸ t˘ a înseamn˘ a faptul c˘ a lagrangeanul care descrie sistemul
ﬁzic studiat trebuie s˘ a ﬁe invariant la transform˘ arile de coordonate spa¸ tio-temporale ale
spa¸ tiului Minkowski, transform˘ ari care formeaz˘ a o structur˘ a de grup, numit grupul Lo-
rentz.

1.3 algebre .algebre lie 31
Fie spa¸ tiul pseudoeuclidian (mai exact, spa¸ tiul Minkowski în reprezentarea pseudoe-
uclidian˘ a) de coordonate x0,x1,x2,x3, cu metrica ds2=dx2
0d !x2. O rota¸ tie arbitrar˘ a în
jurul originii în acest spa¸ tiu poate ﬁ reprezentat˘ a ca un produs de ¸ sase rota¸ tii succesive
în planele x1Ox2,x2Ox3,x3Ox1,x0Ox1,x0Ox2,x0Ox3. De exemplu, o rota¸ tie de unghi a
în planul x1Ox2se scrie astfel:
8
>>>><
>>>>:x0
1=x1cosa+x2sina,
x0
2=x1sina+x2cosa,
x0
3=x3,
x0
0=x0
iar o rota¸ tie de unghi w în planul x0Ox3se scrie
8
>>>><
>>>>:x0
1=x1,
x0
2=x2,
x0
3=x3chw+x0shw,
x0
0=x3shw+x0chw
Aceste rota¸ tii se pot reprezenta cu ajutorul matricelor
a12=0
BB@cosasina0 0
sinacosa0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCA¸ sia03=0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 chw shw
0 0 shw chw1
CCA
Deci, o rota¸ tie arbitrar˘ a se poate reprezenta cu ajutorul unei matrice ob¸ tinut˘ a prin
efectuarea produsului a ¸ sase matrice corespunz˘ atoare. Toate aceste rota¸ tii în spa¸ tiul
cuadridimensional au propriet˘ a¸ tile:
1. Dou˘ a rota¸ tii succesive reprezint˘ a tot o rota¸ tie: a,b!a+b;
2. Printre aceste rota¸ tii exist˘ a una care transform˘ a spa¸ tiul-timp în el însu¸ si (rota¸ tia
unitate, adic˘ a cea de unghi a=0);
3. Pentru orice rota¸ tie, exist˘ a una invers˘ a ( a!a).
Cele trei propriet˘ a¸ ti de mai sus asigur˘ a structura de grup a rota¸ tiilor, deci ¸ si a matri-
celor prin care ele se reprezint˘ a.
Acest grup al rota¸ tiilor în spa¸ tiul pseudo-euclidian cuadridimensio-nal se nume¸ ste
grupul Lorentz. În forma general˘ a, în cazul grupului Lorentz, transform˘ arile de coordo-
nate se scriu astfel:
xm!x0
m=amnxn,(m,n=0, 1, 2, 3 ),
unde amnreprezint˘ a ¸ si totodat˘ a cuprinde produsul tuturor matricelor corespunz˘ atoare
rota¸ tiilor în diferitele plane posibile. Dac˘ a consider˘ am ¸ si transla¸ tiile de-a lungul celor
patru axe de coordonate, ob¸ tinem transform˘ a-rile de coordonate
xm!x0
m=amnxn+am,(m,n=0, 1, 2, 3 ),
ale grupului Poincaré, unde este un cuadrivector constant arbitrar.
Num˘ arul de parametri independen¸ ti ce determin˘ a transform˘ arile grupului (¸ sase, în
cazul grupului Lorentz, c˘ aci exist˘ a ¸ sase unghiuri de rota¸ tie corespunz˘ atoare celor ¸ sase
plane ¸ si zece în cazul grupului Poincaré, c˘ aci exist˘ a ¸ sase rota¸ tii independente ¸ si patru
transla¸ tii) determin˘ a dimensiunea grupului. Dac˘ a parametrii pot lua valori în mod con-
tinuu într-un anumit domeniu, atunci grupul se zice continuu.
Dup˘ a cum am v˘ azut, grupurile continue ﬁnite (cu un num˘ ar ﬁnit de parametri) se nu-
mesc grupuri Lie. Grupurile Lorentz ¸ si Poincaré sunt exemple de grupuri Lie neabeliene.

1.3 algebre .algebre lie 32
La o transformare de coordonate xm!x0
mse transform˘ a – evident – ¸ si func¸ tia de
câmp u(r)(xm). O particul˘ a de mas˘ a m ¸ si cu spinul s este descris˘ a de o func¸ tie de und˘ a
cu2s+1componente, sau, cum se mai spune, de un multiplet cu 2s+1componente.
De exemplu, o func¸ tie de und˘ a cu patru componente se transform˘ a astfel:
u0(x) =!u0
0(x0) =A00u0(x) +A01u1(x) +A02u2(x) +A03u3(x);
u1(x) =!u0
1(x0) =A10u0(x) +A11u1(x) +A12u2(x) +A13u3(x);
u2(x) =!u0
2(x0) =A20u0(x) +A21u1(x) +A22u2(x) +A23u3(x);
u3(x) =!u0
3(x0) =A30u0(x) +A31u1(x) +A32u2(x) +A33u3(x).
Ca ¸ si transform˘ arile de coordonate, aceste transform˘ ari ale func¸ tiei de câmp sunt
caracterizate de o matrice ¸ si anume,
Ta=0
BB@A00A01A02A03
A10A11A12A13
A20A21A22A23
A30A31A32A331
CCA
Num˘ arul de componente ale func¸ tiei de câmp (dimensiunea multiplului) d˘ a dimen-
siunea matricei (Ta). Deci la o rota¸ tie de un anumit unghi, coordonatele se transform˘ a
dup˘ a matricele amn, iar func¸ tiile de câmp dup˘ a matricele (Ta).
În acest fel, ﬁec˘ arei rota¸ tii spa¸ tio-temporale i se poate pune în coresponden¸ t˘ a o ma-
trice de transformare a componentelor func¸ tiei de câmp, (Ta), astfel încât produsului
a dou˘ a astfel de matrice, (Ta1a2) = ( Ta1a2)s˘ a-i corespund˘ a produsul matricelor a1¸ sia2,
adic˘ a matricea a1a2. Se ob¸ tine astfel o reprezentare a grupului Lorentz pe spa¸ tiul vecto-
rial al func¸ tiilor de câmp:
a!a1a2,
Ta!Ta1a2=Ta1Ta2.
Vectorii spa¸ tiului liniar al reprezent˘ arii sunt chiar func¸ tiile de câmp. Câte compo-
nente are multiplul func¸ tiei de câmp, atâta este ¸ si dimensiunea matricei de transformare
a acestor componente, ¸ si în acela¸ si timp tot atâta este ¸ si dimensiunea spa¸ tiului de repre-
zentare.
Exemple de reprezent˘ ari ale grupului Lorentz
1. S˘ a asociem ﬁec˘ arui rota¸ tii în spa¸ tiul-timp cuadridimensional operatorul unitate al
spa¸ tiului liniar al func¸ tiilor de câmp (operator ce ac¸ tioneaz˘ a asupra acestor func¸ tii). La
o rota¸ tie în spa¸ tiul-timp cuadridimensional, sub ac¸ tiunea operatorilor reprezent˘ arii (în
fond unul singur, anume operatorul unitate al spa¸ tiului reprezent˘ arii), func¸ tia de câmp
trece în ea îns˘ a¸ si. O astfel de func¸ tie de câmp se zice scalar˘ a ¸ si ea descrie particule de
spin zero, având o singur˘ a component˘ a în multiplet ( 2s+1=1). Spa¸ tiul de reprezentare e
monodimensional;
2. S˘ a asociem acum ﬁec˘ arei rota¸ tii în spa¸ tiul-timp cuadridimensional o matrice de
acela¸ si tip ( 44), care d˘ a modul de transformare a func¸ tiilor de câmp cu patru compo-
nente: u0
a(x0) = ( Ta)abub(x),(a,b=0, 1, 2, 3 ). O astfel de func¸ tie de câmp, ale c˘ arei
componente ua(x),(a=0, 1, 2, 3 )se transform˘ a prin intermediul matricelor de acela¸ si
tip cu acela al transform˘ arilor grupului Lorentz ( 4times 4), se nume¸ ste func¸ tie vectorial˘ a.
Ea descrie particule cu spinul unu;
3. S˘ a punem acum în coresponden¸ t˘ a ﬁecare element al grupului Lorentz cu o matrice
de tipul Tab,gd=aagabd. Func¸ tia de câmp care se transform˘ a prin intermediul acestor
matrice va ﬁ una de forma uab(x)¸ si avem:
u0
ab(x0) =Tab,gdugd(x).
O astfel de reprezentare a grupului Lorentz se nume¸ ste tensorial˘ a, func¸ tia de câmp,
uab, ﬁind un tensor de ordinul doi ¸ si descriind particule cu spinul doi;

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 33
4. S˘ a punem acum în coresponden¸ t˘ a ﬁec˘ arui element al grupului Lorentz o matrice
de tipul
smn=1
2i(gmgn+gngm),
unde gmsunt matricele Dirac,
g0=#0
0#
,g1=0s1
s10
,g2=0s2
s20
,g3=0s3
s30
,
unde #=1 0
0 1
¸ sisi,(i=!1, 3)sunt matricile Pauli: s1=0 1
1 0
,s2=0i
i0
,s3=
1 0
01
.
Func¸ tia de câmp care se transform˘ a dup˘ a aceste matrice este un spinor cu patru
componente, Y(x)=0
BB@Y0(x)
Y1(x)
Y2(x)
Y3(x)1
CCA¸ si descrie particulele cu spinul1
2. La o rota¸ tie în spa¸ tiul-
timp cuadridimen-sional, Y(x)se transform˘ a astfel:
Y0(x0) =ei#mnsmnY(x),
iar pentru transform˘ ari inﬁnitezimale,
Y(x)!Y0(x0) =Y(x) +iemnsmnY(x),
unde emnreprezint˘ a parametrii rota¸ tiilor în spa¸ tiul cuadridimen-sional analizat.
Spinorul Y(x) =Y+(x)g0= (Y
0(x),Y
1(x),Y
2(x),Y
3(x))se nume¸ ste spinor conju-
gat Dirac. Aceast˘ a reprezentare se nume¸ ste spinorial˘ a.
Deﬁni¸ tie: Reprezentarea cu dimensiunea egal˘ a cu ordinul grupului se zice reprezen-
tare adjunct˘ a.
Deﬁni¸ tie: Reprezentarea de dimensiune minim˘ a (excluzându-o pe cea unitate) se nu-
me¸ ste fundamental˘ a. Orice alt˘ a reprezentare de dimensiune superioar˘ a se poate ob¸ tine
din cea fundamental˘ a, prin produse directe de reprezent˘ ari.
La o rota¸ tie inﬁnitezimal˘ a de unghi #mn, func¸ tiile de câmp se transform˘ a astfel:
1.j(x)!j0(x0) =j(x)(func¸ tie de câmp scalar˘ a);
2.um(x)!u0
m(x0) = ( dmn+#mn)un(x) +O((#mn)2), (func¸ tie de câmp vectorial˘ a);
3.Y(x)!Y0(x0) = ( 1+iemnsmn)Y(x) +O((#mn)2), (func¸ tie de câmp spinorial˘ a).
Exemple de m˘ arimi invariante relativist (Lorentz invariante):
j(x)j(x)- pentru câmp scalar;
um(x)um(x)- pentru câmp vectorial;
Y(x)gm¶mY(x)- pentru câmp spinorial;
Y(x)gmY(x)um(x)- pentru cuplaj câmp spinorial – câmp vectorial;
Y(x)Y(x)j(x)- pentru cuplaj câmp spinorial – câmp scalar.
1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a
D˘ am în continuare câteva exemple – dintre cele mai des întâlnite ¸ si utilizate în T.C.C.
– de grupuri de simetrie intern˘ a pentru a ilustra teoria general˘ a expus˘ a pân˘ a aici, ¸ si
anume, grupul transform˘ arilor de faz˘ a (grupul U( 1)), grupul transform˘ arilor în spa¸ tiul
de izospin (grupul SU( 2)) ¸ si grupul transform˘ arilor de simetrie unitar˘ a (grupul SU( 3)).

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 34
1.4.1Grupul U( 1). Simetria U( 1)
Conform deﬁni¸ tiei grupului U(n), rezult˘ a c˘ a elementele grupului U( 1) sunt matrice 11,
adic˘ a, în fapt, numere care, conform unei teoreme anterioare se pot scrie sub forma eih,
unde h este un num˘ ar real, care, de obicei se scrie sub forma h=g#, unde #este parame-
trul grupului, iar g este o constant˘ a numit˘ a „de cuplaj” ¸ si depinde de natura câmpului
ﬁzic considerat, câmp care admite simetria U( 1). De exemplu, în cazul câmpului elec-
tromagnetic (al c˘ arui lagrangean este invariant la transform˘ arile grupului U( 1)), g este
chiar sarcina electronului, e, care intr˘ a în expresia constantei structurii ﬁne ¸ si, în acest
caz, se spune c˘ a „ e” este constanta de cuplaj a câmpului electromagnetic.
Conform celor discutate anterior, func¸ tia de und˘ a u(x) a unui anumit sistem ﬁzic se
va transforma astfel:
u(x)!u0(x) =eig#u(x).
Dac˘ a dorim s˘ a descriem particule cu sarcin˘ a, atunci trebuie s˘ a cerem ca func¸ tia de
câmp u(x) s˘ a ﬁe complex˘ a. Aceasta presupune ca, pe lâng˘ a rela¸ tia de mai sus, s˘ a consi-
der˘ am ¸ si conjugata complex˘ a a acesteia,
u(x)!u0(x) =eig#u(x).
Dac˘ a transformarea este ¸ si inﬁnitezimal˘ a, atunci O(#2) = 0 ¸ si, în aproxima¸ tia de
ordinul întâi, putem scrie c˘ a e=1ig#. Atunci, rela¸ tiile de transformare anterioare
devin
u(x)!u0(x) =u(x)ig#u(x) =u(x) +du(x)
¸ si
u(x)!u0(x) =u(x) +ig#u(x) =u(x) +du(x),
de unde,
du(x) =IG#u(x)
¸ si
du(x) =ig#u(x).
Comparând aceste ultime dou˘ a rela¸ tii cu aceea din cazul general, care d˘ a varia¸ tia
unei func¸ tii de und˘ a la transform˘ arile de simetrie intern˘ a global˘ a ale unui anumit grup,
dui(x) = Tk
ij#kuj(x), rezult˘ a c˘ a pentru grupul U( 1) avem #k!#(deci grupul U( 1) este
uniparametric) ¸ si, dac˘ a facem nota¸ tiile u1(x) = u(x)¸ siu2(x) = u(x), atunci, pentru
elementele matriceale ale generatorului (în aceast˘ a reprezentare bidimensional˘ a, u(x)=u1(x)
u2(x)
) avem: T11=ig,T12=0,T21=0,T22=ig, sau, în-tr-o scriere mai compact˘ a,
Tk
ij!=ig0
0 ig
=ig1 0
0
=ig(t3)ij,
unde t3este a treia matrice a lui Pauli:
t1=0 1
1 0
,t2=0i
i0
,t3=1 0
01
.
Evident, dac˘ a sistemul ﬁzic studiat este descriptibil printr-un câmp scalar real (cuan-
tele câmpului sunt particule neutre), r˘ amâne doar rela¸ tia
u(x)!u0(x) =u(x)ig#u(x) =u(x) +du(x),
deci, în acest caz generatorul va ﬁ (T)ij! ig(reprezentarea identic˘ a, aici de dimen-
siune unu). Deci, în func¸ tie de dimensiunea spa¸ tiului de reprezentare, generatorul gru-
pului (în fapt, generatorul reprezent˘ arii considerate a grupului) este o matrice de aceea¸ si
dimensiune.
Un alt exemplu: Fie L=i
2(ygm¶my¶mygmy)Myylagran-geanul unui câmp
spinorial de mas˘ a M. Acest lagrangean este invariant fa¸ t˘ a de grupul de transform˘ ari de
simetrie global˘ a U( 1).

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 35
Într-adev˘ ar, ﬁe transform˘ arile
y!y0=eig#y,
y!y0=yeige.
Dac˘ a transform˘ arile sunt inﬁnitezimale (O( #2=0) atunci rela¸ tiile de mai sus se vor
scrie
y!y0=yig#y=y+dy,
y!y0=y+ig#y=y+dy,
de unde
dy=ig#y,
dy=ig#y.
Comparând cu rela¸ tia general˘ a dui(x) =Tk
ij#kuj(x), pentru elemen-tele de matrice ale
generatorului rezult˘ a
T11=ig,T22=ig,T12=T21=0.
În acest caz Ui(x)!
y
y
, deci spa¸ tiul de reprezentare este bidimensional ¸ si atunci
generatorul reprezent˘ arii este o matrice 2 2 (aceea¸ si cu cea din exemplul de mai sus
pentru câmpul scalar complex u(x), adic˘ a
Tk
ij!(T)ij=ig0
0 ig
=ig1 0
01
=ig(t3)ij
1.4.2Grupul SU( 2). Simetria SU( 2)
Dup˘ a cum am precizat deja în teoria general˘ a, SU(2) =fUjUU+=I,detU =1g, U ﬁind
o matrice p˘ atratic˘ a de ordinul doi. Dac˘ a presupunem c˘ a elementul generic al grupului
are form
U=a b
c d
,
atunci
U+=ab
cd
,
unde adesemneaz˘ a conjugata complex˘ a a elementului matriceal a. Condi¸ tia UU+=I
se va scrie în acest caz astfel:
UU+=a b
c dab
cd
=aa+bbac+bd
ca+dbcc+dd
=I=1 0
0 1
,
iar condi¸ tia de unimodularitate, det U= 1, se va scrie
detU =adbc=1.
Rezult˘ a astfel un sistem de cinci ecua¸ tii algebrice pentru numerele complexe necu-
noscute a, b, c ¸ si d ¸ si anume8
>>>><
>>>>:adbc=1,
aa+bb=1
cc+dd=1
ac+bd=0
ca+db=0.
Pentru compatibilitate trebuie s˘ a avem c=b¸ sid=a, deci,
U=a b
ba
, ( 1.28)

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 36
cujaj2+jbj2=1. Numerele complexe a ¸ si b se numesc parametrii Cayley-Klein com-
plec¸ si. Dup˘ a cum am v˘ azut în teoria general˘ a, orice grup Lie admite o reprezentare de
forma
g2G,g=expX =expå
iaiXi,
unde aisunt parametrii grupului, iar Xigeneratorii lui. În vederea realiz˘ arii parametri-
z˘ arii exponen¸ tiale a grupului, matricea U se ia de forma
U=a0s0i !a !s=a01 0
0 1
-i(a1s1+a2s2+a3s3) =a01 0
0 1
–
i
a10 1
1 0
+a20i
i0
+a31 0
01
=a00
0a0
-0ia1
ia10
+0a2
a20
+
ia3 0
0ia3
=a0ia3a2ia1
a2ia1a0+ia3
Prin compara¸ tie cu ( 29) rezult˘ a c˘ a trebuie s˘ a avem
8
>><
>>:a=a0ia3,
b=a2ia1,
b=a2ia1,
a=a0+ia3
rela¸ tii care sunt compatibile. În plus, condi¸ tia jaj2+jbj2=1 devine a2
0+a2
1+a2
2+a2
3=1.
Numerele a2
0,a2
1,a2
2,a2
3se numesc parametrii Cayley-Klein reali. Deoarece trasa matricei
unui operator nu depinde de alegerea bazei (este un invariant în raport cu alegerea
bazei), rezult˘ a c˘ a este un invariant la alegerea bazei, c˘ aci Tr U= 2a0. Întrucât pentru orice
matrice unitar˘ a (¸ si chiar hermitic˘ a) exist˘ a o alt˘ a matrice unitar˘ a (respectiv hermitic˘ a)
astfel încât printr-o transformare de similaritate aceasta (prima) s˘ a ﬁe adus˘ a la forma
diagonal˘ a (U unitar˘ a – respectiv H hermitic˘ a )9 Vunitar˘ a – respectiv hermitic˘ a, astfel
încât U!U0=V+UV unitar˘ a ¸ si diagonal˘ a – respectiv H!H0=V+HV hermitic˘ a ¸ si
diagonal˘ a), rezult˘ a c˘ a exist˘ a o baz˘ a în care U are forma diagonal˘ a. În baza în care U este
diagonal˘ a trebuie ca b= 0¸ si deci b=0, iar dinjaj2+jbj2=1 r˘ amânejaj2=1, adic˘ a se
poate lua a=eiy¸ si atunci matricea U cap˘ at˘ a forma
U=eiy0
0eiy
Notând y=1
2w, din TrU=2a0=eiy+eiy=eiw
2+eiw
2rezult˘ a c˘ a a0=eiw
2+eiw
2
2=
cosw
2. Apoi, din a2
0+a2=1 rezult˘ a c˘ a a2=1a2
0=1cos2w
2=sin2w
2, adic˘ a a=p
overlinea2=q
a2
1+a2
2+a2
3. De obicei se alege solu¸ tia pozitiv˘ a. Cum 8a,p
overlinea2
0 rezult˘ a c˘ a wtrebuie s˘ a satisfac˘ a urm˘ atoarei condi¸ tii: sinw
00, adic˘ a 0w2p.
Atunci, matricea U devine
U=a0s0i !a !s=s0cosw
2isinw
2ˆa !s,
cu
ˆa !u= !a
a= !a
j !aj
deci
U=s0cosw
2isinw
2njsj,(j=1, 3)
¸ si
nj=aj
a.
Cum de obicei ne ocup˘ am de transform˘ arile inﬁnitezimale, vom lua ¸ si aici winﬁnite-
zimal, deci cosw
2!1 ¸ sisinw
2!w
2¸ si atunci
U=s0iw
2njsj=I2iw
2njsj,(j=1, 3).

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 37
S˘ a not˘ am wnj=#j. Atunci U se va scrie
U=I2i
2#jsj,(j=1, 3),
¸ si reprezint˘ a primii doi termeni din dezvoltarea în serie a exponen¸ tialei
exp
i
2#jsj
(=U).
Parametrii grupului, #j, sunt în num˘ ar de trei (n21=221=3), iar generatorii
reprezent˘ arii identice a grupului sunt
Xj=¶U
¶#j
#j=0=i
2sj,(j=1, 2, 3 ),
deci sunt matrice 2 2, în num˘ ar de trei. Cum matricele sjsunt hermitice, rezult˘ a c˘ a
matricele U sunt unitare, unitaritatea asigurând-o chiar num˘ arul complex i=p1 de
la exponent. Generatorii grupului formeaz˘ a o algebr˘ a Lie a c˘ arei cro¸ set este
[Xi,Xj] =#ijkXk,
baza algebrei Lie ﬁind chiar setul fXkgk=1,3. Elementele grupului se vor scrie atunci
U=exp
å
k#kXk
=expX .
Ca o regul˘ a general˘ a, generatorii grupului într-o reprezentare oarecare „achizi¸ tio-
neaz˘ a” constanta de cuplaj , astfel încât, de exemplu, în reprezentarea identic˘ a (adic˘ a
generatorii reprezent˘ arii Tk
ijsunt chiar generatorii grupului Xk
ij) în loc de
Xk
ij=i
2(sk)ij,(k=1, 3,i,j=1, 2),
vom scrie
Tk
ij=i
2g(sk)ij,(k=1, 3,i,j=1, 2).
Deci, în reprezentarea identic˘ a, generatorii sunt da¸ ti de rela¸ tia de mai sus, ¸ si cum
reprezentarea identic˘ a are dimensiunea doi (generatorii sunt matrice 2 2) rezult˘ a c˘ a
ea va avea ca spa¸ tiu (spa¸ tiul reprezent˘ arii) chiar spa¸ tiul func¸ tiilor de und˘ a cu dou˘ a
componente
ua(x) =u1(x)
u2(x)
,(a=1, 2)
iar transformarea se va scrie astfel:
ua(x)!u0a(x) = ( TA)abub(x),(a,b=1, 2).
În cazul transform˘ arilor inﬁnitezimale, conform re¸ tetei generale,
ua(x)!u0a(x) =ua(x) +dua(x) =ua(x) +Tk
ab#kub(x),
vom avea
ua(x)!u0a(x) =ua(x) +dua(x) =ua(x)i
2g#l(sk)abub(x),
care se mai poate reprezenta ¸ si astfel:
ua(x)!u0a(x) =
exp
i
2g#ksk
abub(x),
c˘ aci am presupus transformarea inﬁnitezimal˘ a, adic˘ a O(#2
k) =0.

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 38
Exemplu: Fie un câmp spinorial care descrie un dublet de particule spinoriale
ya=y1
y2
,(a=1, 2)
de exemplu un proton ¸ si un neutron, c˘ aci având spinul semiîntreg
1
2
ei sunt descri¸ si
de spinori, Np
n
!y1
y2
.
Lagrangeanul invariant SU( 2) al acestui sistem se scrie astfel:
L=i
2(yagm¶mya¶myagmya)myaya.
Dubletul ya,(a=1, 2)se zice de obicei izodublet, deoarece grupului SU( 2) (dup˘ a
transform˘ arile c˘ aruia se transform˘ a func¸ tia de und˘ a ya) i se mai spune grup de izos-
pin (întrucât reprezent˘ arile lui conduc la gruparea hadronilor în multiple¸ ti de izospin).
Deoarece [Tk,Tl] = g#klmTmrezult˘ a c˘ a grupul SU( 2) este neabelian (generatorii lui nu
comut˘ a ¸ si, de asemenea, nici generatorii oric˘ arei reprezent˘ ari a lui), deci în algebra Lie a
grupului sigur exist˘ a elemente care nu comut˘ a (adic˘ a algebra Lie a grupului admite cel
pu¸ tin o subalgebr˘ a necomutativ˘ a).
Lagrangeanul de mai sus este invariant la ac¸ tiunea transform˘ arilor de simetrie glo-
bal˘ a ale grupului de izospin, SU( 2),
ya!(ya)0=
exp
i
2g#ksk
abyb,
ya!(ya)0=yb
expi
2g#ksk
ab.
Pentru transform˘ ari inﬁnitezimale,
ya!(ya)0=ya+dya=yai
2g#k(sk)abyb,
ya!(ya)0=ya+dya=ya+i
2g#kyb(sk)ba.
Pornind de aici se poate foarte simplu g˘ asi lagrangeanul total al sistemului, invariant
la transform˘ arile locale de simetrie.
Func¸ tiile de und˘ a se transform˘ a în cazul general dup˘ a reprezent˘ arile corespunz˘ a-
toare ale grupului SU( 2), adic˘ a dup˘ a reprezent˘ arile de dimensiune egal˘ a cu num˘ arul de
componente ale func¸ tiei de und˘ a.
În cazul grupului SU( 2) reprezentarea fundamental˘ a are dimensiunea doi, iar gene-
ratorii ei sunt
Tk
ij=i
2g(sk)ij,(k=1, 3,i,j=1, 2).
Reprezentarea vectorial˘ a (izovectorial˘ a) a grupului SU( 2) are dimensi-unea trei ¸ si se
mai nume¸ ste ¸ si reprezentarea adjunct˘ a (reprezentarea adjunct˘ a este reprezentarea a c˘ arei
dimensiune este egal˘ a cu ordinul grupului). În acest caz locul matricelor seste luat de
matricele iåale rota¸ tiilor în spa¸ tiul tridimensional (se poate ar˘ ata de altfel c˘ a grupul
SU(2) este omomorf cu grupul rota¸ tiilor în spa¸ tiul tridimensional):
Tk
ij=i
2g(sk)ij!Tk
ij=igk
å
ij,(k=1, 3,i,j=1, 2).
unde
å1=0
@0 0 0
0 0i
0i01
A,å2=0
@0 0 i
0 0 0
i0 01
A,å3=0
@0i0
i0 0
0 0 01
A.

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 39
Pân˘ a la factorul „i” cele trei matrice åjsunt chiar matricele generatorilor rota¸ tiilor.
Avem atunci,
ua
m(x)!(ua
m)0(x) = [da
big#k(k
å)a
b]ua
m(x) +O(#2).
Reprezentarea scalar˘ a (sau izoscalar˘ a, cum este numit˘ a de obicei) este „reprezentat˘ a”
de matricea unitate: T!I, deci j(x)!j0(x) =j(x)(singletul izotopic).
1.4.3Grupul SU( 3). Simetria SU( 3)
Din deﬁni¸ tie rezult˘ a faptul c˘ a elementele grupului SU( 3) sunt matrice 33 unitare ¸ si
unimodulare, care pot ﬁ privite ca reprezentând forma matriceal˘ a a unor operatori care
ac¸ tioneaz˘ a pe un spa¸ tiu al c˘ aror vectori au trei componente. Acest spa¸ tiu este chiar C3,
adic˘ a spa¸ tiul liniar complex tridimensional. Acest spa¸ tiu are vectorii
z=0
@z1
z2
z31
A,zi2C,z=z1e1+z2e2+z3e3,
undefe1,e2,e3gformeaz˘ a o baz˘ a în acest spa¸ tiu. Atunci, grupul SU( 3) poate ﬁ privit ca
grupul operatorilor unitari ¸ si unimodulari deﬁni¸ ti pe C3, prin
z!z0=Uz,
unde U este matricea 3 3 a operatorului. Pe componente,
zi!z0
i=Uj
izj
¸ si
U+U=I3,detU =1.
Mul¸ timea matricelor U formeaz˘ a reprezentarea fundamental˘ a a grupului, reprezen-
tare care se noteaz˘ a de obicei cu „ 3” ¸ si se mai zice ¸ si reprezentarea gradient sau re-
prezentarea triplet covariant˘ a, deoarece numerele zi, care se transform˘ a dup˘ a rela¸ tiile
zi!z0
i=Uj
izjformeaz˘ a un triplet covariant la transform˘ arile lui SU( 3).
Vectorul z+(conjugatul hermitic al lui z) este
z+= (z
1,z
2,z
3),
unde z
i,(i=1, 3)desemneaz˘ a conjugatul complex al elementului z
i. Din zi!z0
i=Uj
izj
avem
(z
i)0= (U
i)jz
j= (U+)i
jzj,
unde am utilizat nota¸ tia z
j=zj. De aici,
zi!(zi)0=zj(U+)i
j=zj(U)i
j (1.29)
adic˘ a,
z+!(z+)0=z+U+=z+U.
Numerele zidin ( 30) formeaz˘ a un triplet contravariant la transform˘ arile grupului
SU(3). Numerele zise transform˘ a cu ajutorul matricei U, iar zicu matricea U. Mul¸ timea
matricelor Uformeaz˘ a tot o reprezentare a grupului SU( 3) (ca ¸ si U) numit˘ a reprezentare
contragradient sau reprezentare triplet contravariant˘ a ¸ si se noteaz˘ a de obicei cu 3 sau cu
3. Aceste dou˘ a reprezent˘ ari nu sunt echivalente, c˘ aci nu exist˘ a nici o transformare de si-
milaritate care s˘ a duc˘ a U în U, adic˘ a nu exist˘ a nici o matrice C, astfel încât U=CUC1.

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 40
Întrucât cea mai des utilizat˘ a parametrizare a grupului SU( 3) este parametrizarea
exponen¸ tial˘ a, în continuare ne vom referi doar la ea. În fapt, orice grup Lie de tipul
SU(n) admite o astfel de parametrizare, care poate ﬁ scris˘ a:
8g2G,g=exp(iX) =exp
å
iiaiXi
,
unde iaisunt parametrii grupului, iar Xisunt generatorii. În plus, matricea X trebuie s˘ a
ﬁe hermitic˘ a (pentru ca g s˘ a ﬁe unitar˘ a) ¸ si de tras˘ a nul˘ a (pentru ca s˘ a ﬁe unimodular˘ a).
Aceste cerin¸ te sunt îndeplinite de matricea X, care se scrie sub forma X=å8
i=1#ili
(deoarece SU( 3) are opt generatori, n21=321=8), unde li,(i=1, 8)se numesc
matricele Gell-Mann ¸ si formeaz˘ a baza algebrei Lie asociat˘ a grupului Lie SU( 3) ¸ si au
forma:
l1=0
@0 1 0
1 0 0
0 0 01
A,l2=0
@0i0
i0 0
0 0 01
A,l3=0
@1 0 0
01 0
0 0 01
A,l4=0
@0 0 1
0 0 0
1 0 01
A,
l5=0
@0 0i
0 0 0
i0 01
A,l6=0
@0 0 0
0 0 1
0 1 01
A,l7=0
@0 0 0
0 0i
0i01
A,l8=1p
30
@1 0 0
0 1 0
0 021
A,
Cro¸ setul algebrei Lie este
[lk,lj] =2i fkjili
¸ si în plus
Tr(lklj) =2dkj.
Constantele de structur˘ a ale algebrei, fkjisunt total antisimetrice, iar cele diferite de
zero au valorile
f123=1,f147=f246=f345=f516=f257=f637=1
2,
f458=f678=p
3
2.
Rangul grupului SU( 3) este doi. În baza format˘ a de matricele Gell-Mann, elementele
grupului se scriu în form˘ a exponen¸ tial˘ a (parametrizarea exponen¸ tial˘ a a grupului),
U=g=e1
2#klk,
„pe post” de generatori ﬁind matricele
Fk=i
2lk,(k=1, 8).
Când se studiaz˘ a interac¸ tiunea unui câmp care admite simetria SU( 3), în vederea
dezvolt˘ arii teoriei gauge, la expresia lui Fkse adaug˘ a constanta de cuplaj g ca factor,
adic˘ a se ia
Fk=i
glk,(k=1, 8).
Func¸ tiile de câmp ale diverselor câmpuri se transform˘ a dup˘ a reprezent˘ arile cores-
punz˘ atoare ale grupului SU( 3). Dup˘ a cum grupului SU( 2) i se spune grup de izospin,
grupului SU( 3) i se spune grup de simetrie unitar˘ a, el descriind propriet˘ a¸ tile de simetrie
unitar˘ a a particulelor (dup˘ a cum SU( 2) descrie propriet˘ a¸ tile de izospin ale particulelor).
Exemple de transform˘ ari ale func¸ tiilor de câmp:
(i) Dac˘ a ne referim la reprezentarea unitate, adic˘ a 8g2SU(3),gU!T(g)
T(U) = I– matricea unitate – atunci j(x)!j0(x) =j(x)(scalar SU( 3) sau, singlet de
spin unitar);
(ii) În cazul reprezent˘ arii fundamentale (sau triplet covariant˘ a, sau înc˘ a, gradient),
func¸ tia de und˘ a are trei componente,

1.4 exemple de grupuri de simetrie intern ˘a 41
ya(x) =0
@y(1)(x)
y(2)(x)
y(3)(x)1
A,(a=1, 3)
(un triplet de particule, de exemplu quarcii ¸ si ). În acest caz,
ya(x)!(ya(x))0=
da
bi
2#k(lk)a
b
yb(x) +O(#2),(a,b=1, 3),
sau, în cazul transform˘ arilor inﬁnitezimale,
ya(x)!(ya(x))0=ya(x) +dya(x) =ya(x)+
i
2#k(lk)a
byb(x)
deci, generatorii reprezent˘ arii vor ﬁ
(Tk)a
b=i
2(lk)a
b,(a,b=1, 3)
(iii) În cazul reprezent˘ arii contragradient (sau triplet contravariant˘ a, sau 3, sau înc˘ a, 3)
func¸ tia de und˘ a este
ya(x) = ( y1(x),y2(x),y3(x)),(a=1, 3)
¸ si se transform˘ a astfel:
ya(x)!(ya(x))0=
db
a+i
2#k(lT
k)a
b
yb(x) +O(#2),
sau, în cazul transform˘ arilor inﬁnitezimale,
ya(x)!(ya(x))0=ya(x) +dya(x) =ya(x) +i
2#k(lT
k)b
ayb(x),(a,b=1, 2, 3 )
deci, generatorii reprezent˘ arii vor ﬁ
(Tk)b
a=i
2(lT
k)b
a,(a,b=1, 3).
Pentru a vedea în mod concret cum apare necesitatea introducerii substitu¸ tiei mini-
male (substitu¸ tie care st˘ a la baza principiului cuplajului minimal) ne vom opri în conti-
nuare aten¸ tia asupra elementelor de baz˘ a ale teoriilor gauge (de etalonare). În acest fel,
considerentele generale f˘ acute în introducerea capitolului (¸ si bazate pe unele formule
care au fost date f˘ ar˘ a nici o justiﬁcare sau demonstra¸ tie) vor c˘ ap˘ ata o riguroas˘ a sus¸ tinere
matematic˘ a.

2
E L E M E N T E D E T E O R I I G A U G E
2.1 condi ¸ tia de invarian ¸ t ˘a global ˘a a unui lagrangean
Fie G un grup Lie de transform˘ ari de simetrie intern˘ a global˘ a având dimansiunea n ¸ si
generatorii inﬁnitezimali Tk,(k=1,n). Într-o anumit˘ a reprezentare, matricele generato-
rilor au forma (Tk
ij) = ( Tk)ij, iar câmpurile de materie ui(x)se transform˘ a (inﬁnitezimal)
astfel:
ui(x)!u0
i(x) =ui(x) =ui(x) +dui(x), ( 2.1)
unde
dui(x) =Tk
ij#kuj(x), ( 2.2)
întrucât, conform teoriei matematice prezentat˘ a anterior, avem:
u0
i(x) =eTk#kui(x)=(I+Tk#k)uj(x) =
=(dij+#kTk
ij)uj(x) =ui(x) +#kTk
ijuj(x),
unde #ksunt parametrii (aici constan¸ ti) ai grupului G, iar generatorii Tksatisfac binecu-
noscuta rela¸ tie de comutare
[Tk,Tl] =fklmTm, ( 2.3)
în care fklmsunt constantele de structur˘ a ale grupului. Matriceal, rela¸ tia ( 33) se scrie
astfel:
Tk
ijTl
jnTl
ijTk
jn=fklmTm
in, ( 2.4)
iar constantele de structur˘ a satisfac rela¸ tia (identitatea Jacobi)
fiklflmn+fkmlflin+fmilflkn=0 ( 2.5)
¸ si proprietatea de antisimetrie în primii doi indici,
fikl=fkil (2.6)
S˘ a impunem condi¸ tia de invarian¸ t˘ a a principiului varia¸ tional, dS=0. Pentru aceasta
ﬁe
L=L(ui(x),¶mui(x)) (2.7)
lagrangeanul unui sistem ﬁzic (câmp de materie liber) descris de func¸ tia de câmp ui(x).
Ac¸ tiunea (integrala ac¸ tiunii) sistemului este
S=Z
(W)dxL(ui(x),¶mui(x)), ( 2.8)
iar varia¸ tia ei se scrie
dS=dZ
(W)dxL(ui(x),¶mui(x)) =Z
(W)dxdL(ui(x),¶mui(x)) =
=Z
(W)dx¶L
¶uidui+¶L
¶(¶mui)(ui(x),d(¶mui))
,
undeWeste un cuadridomeniu arbitrar. ¸ Tinând cont de acest fapt, condi¸ tia de invarian¸ t˘ a
a principiului varia¸ tional se va scrie
¶L
¶uidui+¶L
¶(¶mui)d(¶mui)) = 0 ( 2.9)

2.2 condi ¸ tia de invarian ¸ t ˘a local ˘a(gauge )a unui lagrangean .substitu ¸ tia minimal ˘a 43
Înlocuind aici expresia pentru dui(x)¸ si ¸ tinând cont c˘ a d(¶mui(x)) = ¶m(dui(x)) =
¶m(Tk
ij#kuj(x)) = Tk
ij#k¶muj(x), ob¸ tinem
¶L
¶uiTk
ijui+¶L
¶(¶mui)Tk
ij¶muj
#k=0 ( 2.10)
Întrucât parametrii sunt arbitrari, rezult˘ a
¶L
¶uiTk
ijui+¶L
¶(¶mui)Tk
ij¶muj=0, ( 2.11)
care este condi¸ tia necesar˘ a ¸ si suﬁcient˘ a pentru invarian¸ ta global˘ a a lagrangeanului L
fa¸ t˘ a de transform˘ arile grupului Lie G. Mai sus, indicele k ia valori naturale, de la unu la
dimensiunea grupului G, iar indicii i ¸ si j iau valori (de asemenea naturale) de la unu la
dimensiunea reprezent˘ arii considerate a grupului.
2.2 condi ¸ tia de invarian ¸ t ˘a local ˘a(gauge )a unui lagrangean .substi –
tu ¸ tia minimal ˘a
Trecerea de la condi¸ tia de invarian¸ t˘ a global˘ a la cea local˘ a se realizeaz˘ a prin considerarea
dependen¸ tei spa¸ tio-temporale a parametrilor grupului, #k!#k(xm)#k(x)(am explicat
acest lucru în introducerea capitolului de fa¸ t˘ a). Varia¸ tia func¸ tiei de câmp se va scrie în
acest caz astfel:
dui(x) =Tk
ij#k(x)uj(x), ( 2.12)
iar pentru varia¸ tia derivatelor func¸ tiei de câmp avem
d(¶mui(x)) = ¶m(dui(x)) = ¶m(Tk
ij#k(x)uj(x)) = Tk
ij¶m(#k(x)uj(x)) = (2.13)
=Tk
ij#k(x)¶mui(x) +Tk
ijui(x)¶m#k(x).
În aceste condi¸ tii, pentru varia¸ tia lagrangeanului, dL, putem scrie
dL=dL
¶uidui(x) +dL
¶(¶mui)d(¶mui(x)) =dL
¶uiTk
ij#k(x)uj(x)+
+dL
¶(¶mui)Tk
ij#k(x)dmuj(x) +dL
¶(¶mui)Tk
ijuj(x)dm#k(x).
Luând acum în considerare condi¸ tia de invarian¸ t˘ a global˘ a (care este satisf˘ acut˘ a auto-
mat – s˘ a nu uit˘ am c˘ a aceast˘ a cerin¸ t˘ a este mai slab˘ a decât cea de invarian¸ t˘ a local˘ a), din
rela¸ tia de mai sus r˘ amâne c˘ a
dL=dL
¶(¶mui)Tk
ijuj(x)dm#k(x)6=0, ( 2.14)
adic˘ a, lagrangeanul nu mai este invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile de simetrie local˘ a 2.14.
Pentru a ob¸ tine totu¸ si un lagrangean invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile locale (pornind de
laL) se introduc ni¸ ste câmpuri noi, A0
l(x),(l=1,s), numite câmpuri compensatoare
(deoarece aceste câmpuri sunt introduse cu scopul de a compensa apari¸ tia termenului
dL
¶(¶mui)Tk
ijuj(x)dm#k(x)care „stric˘ a” invarian¸ ta) sau câmpuri de etalonare (gauge), aceast˘ a
denumire ﬁind strâns legat˘ a de cazul particular al simetriei U( 1) (unde câmpul compen-
sator este chiar câmpul electromagnetic, Am(x), care, dup˘ a cum ¸ stim, satisface unei con-
di¸ tii de etalonare (gauge)). Num˘ arul acestor câmpuri (adic˘ a valoarea maxim˘ a a indicelui
s) r˘ amâne deocamdat˘ a nedeterminat ¸ si, pentru simplitate, postul˘ am c˘ a noul lagrangean
al sistemului depinde, pe lâng˘ a variabilele vechi, doar de câmpurile gauge (deci, nu ¸ si
de derivatele acestuia, ¶mA0
l(x)) adic˘ a
L1=L1(ui(x),¶mui,A0
l(x)). ( 2.15)
Întrucât în expresia varia¸ tiei lagrangeanului la transform˘ arile locale inﬁnitezimale
apar atât parametrii grupului G, #k(x), cât ¸ si derivatele acestora, ¶m#k(x), postul˘ am pen-
tru varia¸ tia câmpurilor compensatoare o rela¸ tie de forma
dA0
l(x) =Pk
liA0
i(x)#k(x) +Rk
lm¶m#k(x), ( 2.16)

2.2 condi ¸ tia de invarian ¸ t ˘a local ˘a(gauge )a unui lagrangean .substitu ¸ tia minimal ˘a 44
iar pentru varia¸ tia câmpurilor de materie p˘ astr˘ am aceea¸ si form˘ a ca ¸ si pân˘ a acum
dui(x) =Tk
ij#k(x)uj(x). ( 2.17)
În rela¸ tia 2.15Pk
li= (Pl)k
i¸ siRk
lm= (Rl)k
msunt matrice constante pe care le vom
determina în continuare din condi¸ tia ca noul lagrangean, 2.14s˘ a r˘ amân˘ a invariant la
transform˘ arile de simetrie local˘ a.
Impunem condi¸ tia de invarian¸ t˘ a local˘ a a noului lagrangean, dL=0:
dL1=¶L1
¶uidui+¶L1
¶(¶mui)d(¶mui) +¶L1
¶A0
ldA0
l=0. ( 2.18)
¸ Tinând cont de expresiile varia¸ tiilor func¸ tiilor implicate, anume cele date de 2.12,2.15
¸ si2.16în rela¸ tia 2.17, aceasta din urm˘ a devine
¶L1
¶uiTk
ijuj+¶L1
¶(¶mui)Tk
ij¶muj+¶L1
¶A0
lPk
lmA0
m
#k(x)+¶L1
¶(¶mui)Tk
ij¶muj+¶L1
¶A0
lRk
lm
¶m#k(x) =0,
(2.19)
unde #k(x)¸ si¶m#k(x)sunt cantit˘ a¸ ti arbitrare. Rezult˘ a a¸ sadar urm˘ atoarele dou˘ a condi¸ tii:
¶L1
¶uiTk
ijuj+¶L1
¶(¶mui)Tk
ij¶muj+¶L1
¶A0
lPk
lmA0
m=0 ( 2.20)
¸ si
¶L1
¶(¶mui)Tk
ij¶muj+¶L1
¶A0
lRk
lm=0. ( 2.21)
Având în vedere indicii de sumare, în 2.20avem un sistem de 4n ecua¸ tii, deoarece k=
1,n¸ sim=0, 1, 2, 3. A¸ sadar, pentru a determina în mod univoc câmpurile compensatoare
A0
l,(l=1,seste necesar ca indicele s s˘ a ia 4n valori.
S˘ a admitem c˘ a matricele Rk
lmexist˘ a, sunt nesingulare ¸ si c˘ a exist˘ a, de asemenea, inver-
sele lor, care sunt determinate de
(Rk
lm)1Rk
mm=dlm,Rk
lm)1Ri
ln=dkihmn. ( 2.22)
Vom deﬁni acum noile câmpuri gauge („adev˘ aratele” câmpuri gauge), prin
Ak
m= (Rk
lm)1A0
l. ( 2.23)
Din rela¸ tia lor de deﬁni¸ tie se observ˘ a faptul c˘ a la transform˘ arile grupului Lorentz
aceste câmpuri se transform˘ a ca ¸ si cuadrivectorii; indicele k determin˘ a num˘ arul de com-
ponente în raport cu grupul gauge. Modul în care se transform˘ a aceste câmpuri la o
transformare a grupului gauge îl vom vedea ulterior.
Cu ajutorul rela¸ tiilor 2.22¸ si2.23setul de ecua¸ tii 2.21se va rescrie astfel:
¶L1
¶(¶mui)Tk
ijuj+¶L1
¶Akm=0. ( 2.24)
Într-adev˘ ar, avem
¶L1
¶A0
lRk
lm=¶L1
¶Aj
n¶Aj
n
¶A0
lRk
lm=¶L1
¶Aj
n(Rj
ln)1Rk
lm=¶L1
¶Aj
ndjkhnm=¶L1
¶Akm
Setul de ecua¸ tii 2.24este complet ¸ si jacobian. Pentru ca lagrangeanul L1s˘ a satisfac˘ a
acest set de ecua¸ tii, câmpurile gauge Ak
mtrebuie s˘ a intre în L1sub forma combina¸ tiei
Dmui¶muiTk
ijujAk
m (2.25)
Într-adev˘ ar, pentru ca¶L1
¶(¶mui)Tk
ijuj=¶L1
¶Akmeste necesar ca derivatele lui L1s˘ a coincid˘ a
(s˘ a se fac˘ a în raport cu aceea¸ si variabil˘ a), iar coeﬁcien¸ tii lor (din cei doi membri) s˘ a ﬁe

2.3 câmpurile gauge 45
egali. De aceea, L1trebuie s˘ a depind˘ a de ¶mui¸ siAk
mprin intermediul unei alte m˘ arimi,
pe care o vom nota cu Dmui. Lu˘ am a¸ sadar
Dmui=a¶mui+bikAk
m,
unde coeﬁcien¸ tii – deocamdat˘ a necunoscu¸ ti – a ¸ si bikurmeaz˘ a s˘ a ﬁe determina¸ ti.
Avem
¶L1
¶(¶mui)=¶L1
¶(Dnuj)¶(Dnuj)
¶(¶mui)=ahnmdji¶L1
¶(Dnuj)=a¶L1
¶(Dmui)
Analog,
¶L1
¶Akm=¶L1
¶(Dnuj)¶(Dnuj)
¶Akm)=bjkhnm¶L1
¶(Dnuj)=bjk¶L1
¶(Dmuj)=bik¶L1
¶(Dmui)
Înlocuind expresiile acestor dou˘ a derivate în ( 55) g˘ asim:
a¶L1
¶(Dmui)Tk
ijuj=bik¶L1
¶(Dmui),
ceea ce implic˘ a
aTk
ijuj=bik.
Întrucât o alt˘ a condi¸ tie asupra coeﬁcien¸ tilor a ¸ si biknu exist˘ a, pentru simplitate putem
lua a= 1¸ si atunci bik=Tk
ijuj, ceea ce justiﬁc˘ a 2.25. M˘ arimea Dmuieste numit˘ a în mod
uzual derivat˘ a covariant˘ a (în sens gauge), sau derivat˘ a gauge covariant˘ a. Rezult˘ a a¸ sadar
c˘ a lagrangeanul local invariant trebuie s˘ a aib˘ a urm˘ atoarea dependen¸ t˘ a func¸ tional˘ a:
L1=L1(ui,¶mui,A0
l) =L0
1(ui,Dmui).
Atunci, avem:
¶L1
¶ui=¶L0
1
¶ui
Dmui=const .+¶L0
1
¶(Dmuj)
ui=const .¶(Dmuj)
¶ui=¶L0
1
¶ui
Dmui=const .Tk
jiAk
m¶L0
1
¶(Dmuj)
ui=const .,
¶L1
¶(¶mui)=¶L0
1
¶(Dmuj)
ui=const .¶(Dmuj)
¶(¶mui)=¶L0
1
¶(Dmui)
ui=const .,
¶L1
¶A0
l=¶L0
1
¶(Dmuj)
ui=const .¶(Dmuj)
¶mA0
l=Tk
jiui¶Ak
m
¶A0
l¶(Dmuj)
¶(¶mui)=¶(Dmuj)
¶(¶mui)Tk
jiui(Rk
lm)1. (2.26)
Cerin¸ ta de invarian¸ t˘ a local˘ a revine atunci la înlocuirea în expresia lagrangeanului glo-
bal invariant a derivatelor obi¸ snuite prin cele covariante. Aceast˘ a opera¸ tie este numit˘ a
„substitu¸ tie minimal˘ a”. Termenul al doilea din expresia derivatei covariante determin˘ a
interac¸ tiunea câmpurilor ui(x)– care pot ﬁ numite în mod natural „câmpuri de materie”
– cu câmpurile gauge Ak
m. A¸ sadar, lagrangeanul de interac¸ tiune poate ﬁ ob¸ tinut simplu,
realizând substitu¸ tia minimal˘ a. Acest procedeu a fost ridicat la rang de principiu ¸ si el
este îndeob¸ ste cunoscut sub numele de principiul cuplajului minimal. E necesar s˘ a men-
¸ tion˘ am c˘ a num˘ arul de câmpuri gauge Ak
meste egal cu num˘ arul generatorilor grupului
gauge.
2.3 câmpurile gauge
În continuare vom prezenta cele mai importante propriet˘ a¸ ti ale câmpurilor gauge.
S˘ a deducem legea de transformare a câmpurilor gauge Ak
mfa¸ t˘ a de transform˘ arile
locale ale grupului de simetrie intern˘ a.
Avem:
dAk
m=d[(Rk
lm)1A0
l] = ( Rk
lm)1dA0
l= (Rk
lm)1Pj
liA0
i#j(x)+
+ (Rk
lm)1Rj
ln¶n#j(x) = ( Rk
lm)1Pj
liRm
inAm
n#j(x) +¶m#k(x)

2.3 câmpurile gauge 46
sau,
dAk
m= (Ck
m)jm
nAm
n#j(x) +¶m#k(x), ( 2.27)
unde
(Ck
m)jm
n= (Rk
ln)1Pj
liRm
in
sunt m˘ arimi deocamdat˘ a necunoscute. Pentru a determina aceste matrice vom utiliza
rela¸ tia 2.20. ¸ Tinând cont de 2.26¸ si de deﬁni¸ tia câmpurilor gauge 2.23, rela¸ tia 2.20devine
¶L1
¶uiTk
ijuj¶L0
1
¶(Dmus)Tm
siAm
mTk
ij¶muj+¶L0
1
¶(Dmui)Tk
ijAm
mTk
ij¶muj¶L0
1
¶(Dmus)Tp
siui(Rp
lm)1Pk
lmRn
mnAn
n=0,
(2.28)
sau, înlocuind în termenul al treilea derivata obi¸ snuit˘ a cu cea covariant˘ a,
¶L0
1
¶uiTk
ijuj¶L0
1
¶(Dmus)Tm
siTk
ijAm
muj+¶L0
1
¶(Dmui)DmujTk
ij+
¶L0
1
¶(Dmui)Tk
ijTm
jsAm
mus¶L0
1
¶(Dmus)Tp
si(Cp
m)kn
nAn
nui=0,
adic˘ a,
¶L0
1
¶(Dmus)
(Tk
ijTm
jsTk
jsTm
ij)usAm
mTp
ij(Cp
m)jk
nAn
nuj
=0.
¸ Tinând acum cont de rela¸ tia de comutare satisf˘ acut˘ a de generatori,
Tk
ijTm
jsTk
jsTm
ij=fkmlTl
is,
ob¸ tinem
¶L0
1
¶(Dmui)
fkmlTl
isAm
musTp
ij(Cp
m)kn
nAn
nuj
=0,
sau,
¶L0
1
¶(Dmui)
fkmlTl
ijAm
mujTl
ij(Cl
m)km
nAm
nuj
=0,
Sco¸ tând for¸ tat în factor Tl
ijujAm
ndin primul termen dintre paranteze, ob¸ tinem
¶L0
1
¶(5mui)
fkmlhmn(Cl
m)km
n
Tl
ijAm
nuj=0,
de unde,
(Cl
m)km
n=fkmlhmn.
Înlocuind aceste matrice în rela¸ tia 2.27care d˘ a varia¸ tia câmpurilor gauge, se g˘ ase¸ ste
c˘ a
dAk
m= (Ck
m)jm
nAm
n#j(x) +¶mu#k(x) = fjmkhmnAm
n#j(x) +¶mu#k(x) = flmkAm
n#l(x) +¶mu#k(x).
(2.29)
Lagrangeanul gauge invariant (local invariant) se ob¸ tine deci prin înlocuirea în la-
grangeanul invariant global a derivatei obi¸ snuite (¶m)cu cea gauge covariant˘ a (5m)
(a¸ sa-numita „substitu¸ tie minimal˘ a”). Câmpurile gauge Ak
m(x)se transform˘ a fa¸ t˘ a de gru-
pul local conform rela¸ tiei 2.28.
S˘ a deducem acum legea de transformare a derivatei covariante în sens gauge, 5mui,
fa¸ t˘ a de grupul gauge. Avem:
d(5mui) =d(¶muiTk
ijujAk
m) =d(¶mui)Tk
ijdujAk
mTk
ijujdAk
m=
=Tk
ij¶muj#k(x) +Tk
ijuj¶mu#k(x)Tk
ijTm
js#m(x)usAk
mTk
ijflmkAm
m#l(x)
Tk
ijuj¶m#k(x) =Tk
ij¶muj#k(x)(Tk
ijTm
js+fmklTl
is#m(x)usAk
m=
=Tk
ij¶muj#k(x)Tm
ijTk
js#m(x)usAk
m=Tk
ij#k(x)(¶mujTm
jsusAm
m),
adic˘ a,
d(5mui) =Tk
ij#k(x)5muj. ( 2.30)
Aceast˘ a rela¸ tie arat˘ a c˘ a 5muise transform˘ a fa¸ t˘ a de grupul gauge ca ¸ si câmpurile ui,
din aceast˘ a cauz˘ a ﬁind numit˘ a derivat˘ a „covariant˘ a”.

2.4 câmpurile gauge .lagrangeanul câmpurilor gauge 47
2.4 câmpurile gauge .lagrangeanul câmpurilor gauge
Lagrangeanul gauge invariant L0
1(ui,5mui)con¸ tine lagrangeanul câmpurilor libere ui(x)
¸ si lagrangeanul de interac¸ tiune a acestora cu câmpurile gauge Ak
m(x). Vom determina
acum lagrangeanul câmpurilor gauge libere, L0(Ak
m,¶nAk
m)Lgauge(Ak
m,¶nAk
m). Acesta
trebuie s˘ a ﬁe invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile grupului gauge de simetrie intern˘ a:
dL0=¶L0
¶AkmdAk
m+¶L0
¶(¶nAkmd(¶nAk
m) =0.
Având în vedere rela¸ tia 2.28¸ si faptul c˘ a d(¶nAk
m=¶nu(dAk
m), ob¸ tinem
¶L0
¶AkmflmkAm
m+¶L0
¶(¶nAkm)flmk¶nuAm
m
#l(x)+
¶L0
¶Aln+¶L0
¶(¶nAkm)flmkAm
m
dn#l(x) +¶L0
¶(¶nAkm)¶n¶m#k(x) =0.
¸ Tinând seama c˘ a parametrii #k(x)sunt m˘ arimi arbitrare, rezult˘ a urm˘ atoarele trei rela¸ tii:
1.¶L0
¶AkmflmkAm
m+¶L0
¶(¶nAkm)flmk¶nuAm
m=0,(l=1, 2, …2 ), ( 2.31)
2.¶L0
¶Aln+¶L0
¶(¶nAkm)flmkAm
m=0,(l=1, 2, …, n), ( 2.32)
3.¶L0
¶(¶nAkn)+¶L0
¶(¶nAkm)=0,(k=1, 2, …, n). ( 2.33)
Ultima rela¸ tie rezult˘ a în modul urm˘ ator:
¶L0
¶(¶nAkm)¶n¶m#k(x) =1
2¶L0
¶(¶nAkn)¶n¶m#k(x) +¶L0
¶(¶nAkm)¶n¶m#k(x)
=
=1
2¶L0
¶(¶mAkn)¶m¶n#k(x) +¶L0
¶(¶nAkm)¶n¶m#k(x)
=
=1
2¶L0
¶(¶nAkn)+¶L0
¶(¶nAkm)
¶n¶m#k(x) =0,
unde am avut în vedere egalitatea derivatelor mixte de ordinul al doilea ale lui #k(x)(în
ipoteza c˘ a sunt satisf˘ acute condi¸ tiile din teorema Schwarz).
Din condi¸ tia 3. rezult˘ a c˘ a derivatele ¶mAk
male câmpurilor gauge pot intra în expresia
luiL0doar sub forma combina¸ tiei
Ak
mn=¶mAk
n¶nAk
m,
cuAk
mn=Ak
nm. Într-adev˘ ar, avem:
¶L0
¶(¶nAkm)=¶L0
¶Amrs¶Am
rs
¶(¶nAkm)=¶L0
¶Amrs(dmkhrnhsmdmkhrmhsn) =
=¶L0
¶Aknm¶L0
¶Akmn=2¶L0
¶Akmn.
În mod analog se arat˘ a c˘ a
¶L0
¶(¶mAkn)=2¶L0
¶Aknm=2¶L0
¶Akmn
¸ si atunci condi¸ tia 3. este veriﬁcat˘ a imediat, iar 1. ¸ si2. devin
10.¶L0
¶AkmflmkAm
m2¶L0
¶Akmnflmk¶nuAm
m=0,(l=1, 2, …2 ),
20.¶L0
¶Aln2¶L0
¶AknmflmkAm
n=0,(l=1, 2, …, n),

2.4 câmpurile gauge .lagrangeanul câmpurilor gauge 48
Condi¸ tia 2’. nu poate ﬁ satisf˘ acut˘ a decât dac˘ a L0depinde de Ak
m¸ siAk
mnprin interme-
diul unei alte m˘ arimi, pe care o vom nota cu Fk
mn=Fk
mn(Ak
m,Ak
mn.
Atunci,
¶L0
¶Alm=¶L0
¶Fmrs¶Fm
rs
¶Alm
¸ si
¶L0
¶Akmn=¶L0
¶Fmrs¶Fm
rs
¶Akmn,
iar condi¸ tia 2’. devine
¶L0
¶Fmrs¶Fm
rs
¶Alm+2¶L0
¶Fmrs¶Fm
rs
¶AkmnflskAs
n=0,
sau
¶L0
¶Fmrs¶Fm
rs
¶Alm+2flskAs
n¶Fm
rs
¶Almn
=0. ( 2.34)
Pentru ca aceast˘ a rela¸ tie s˘ a ﬁe satisf˘ acut˘ a, cea mai simpl˘ a alegere este ca m˘ arimea Fk
mn
s˘ a depind˘ a de Ak
m¸ siAk
mnastfel:
Fk
mn=Ak
m+termen p˘ atratic în câmpurile gauge Ak
m. ( 2.35)
În plus, termenul p˘ atratic în câmpurile gauge trebuie s˘ a con¸ tin˘ a constantele de struc-
tur˘ a ale grupului, flmk¸ si s˘ a aib˘ a semnul minus, adic˘ a trebuie s˘ a ﬁe de forma flmkAl
rAm
n.
În concluzie, trebuie ca Fm
rss˘ a ﬁe de forma Fm
rs=Am
rsfnsmAn
rAm
s. Într-adev˘ ar, cum
¶Fm
rs
¶Alm=fnsmAm
sdnlhrmfnsmAn
rdslhsm=flsmAs
shrmfnlmAn
rhsm
¸ si
¶Fm
rs
¶Akmn=dkmhrmhns,
prin înlocuire în rela¸ tia 2.34avem
¶L0
¶Fmrs(flsmAs
shrmfnlmAn
rhsm) +s flskAs
n¶L0
¶Fmrsdkmhrmhns=
=flsmAs
s¶L0
¶FmmsfnlmAn
r¶L0
¶Fmrs+2flsmAs
n¶L0
¶Fmmn=
=flsmAs
n¶L0
¶FmmnfslmAs
n¶L0
¶Fmnm+2flsmAs
n¶L0
¶Fmmn=
=flsmAs
n¶L0
¶FmmnflsmAs
n¶L0
¶Fmmn+2flsmAs
n¶L0
¶Fmmn=0.
Mai general, f˘ ar˘ a a supralicita, putem considera c˘ a m˘ arimea Fk
mndepinde de Ak
m¸ si
Ak
mnsub forma general˘ a:
Fm
rs=aAm
rs+bm
esAe
r, ( 2.36)
unde a este o constant˘ a pur˘ a, iar bm
es=bm
es(As
s)este o func¸ tie liniar˘ a de As
s, pe care,
pentru simplitate o vom considera de forma bm
es=cm
peAp
s, unde, de data aceasta, cm
pesunt
constante veritabile. Atunci,
¶Fm
rs
¶Alm=bm
esdelhrm+Ae
r¶bm
es
¶Alm
¸ si
¶Fm
rs
¶Akmn=admkhrmhns,

2.4 câmpurile gauge .lagrangeanul câmpurilor gauge 49
iar2.36devine
¶L0
¶Fmrs
bm
lshrm+Ae
r¶bm
es
¶Alm+2a flskAs
ndmkhrmhns
=0,
sau,
¶L0
¶Fkmnbk
ln+¶L0
¶FmrsAe
r¶bm
es
¶Alm+2a flskAs
n¶L0
¶Fkmn=0.
Deoarece nu mai avem alte condi¸ tii asupra constantei a ¸ si a func¸ tiei bm
es=bm
es(As
s),
din considerente de simplitate putem alege a= 1¸ si atunci rela¸ tia precedent˘ a devine
¶L0
¶Fkmnbk
ln+¶L0
¶FmrsAe
r¶bm
es
¶Alm+2flskAs
n¶L0
¶Fkmn=0,
sau,
¶L0
¶Fkmnbk
ln+¶L0
¶FkrnuAe
r¶bk
en
¶Alm+2flskAs
n¶L0
¶Fkmn=0, ( 2.37)
Pentru a determina de aici pe bm
es=bm
es(As
s)s˘ a observ˘ am mai întâi c˘ a termenul al
doilea con¸ tine derivata lagrangeanului în raport cu Fk
rnîn loc de Fk
mn, a¸ sa cum ne-ar ﬁ
convenit. În plus, deoarece indicele semniﬁcativ mnu apar¸ tine lui Fk
rn¸ si cum reste
indice de sumare, nu putem schimba pur ¸ si simplu r!m. Singura modalitate de a-
l transforma pe Fk
rnînFk
mneste aceea de a considera (¸ tinând seama de forma func¸ tiei
bm
es=bm
es(As
s)) c˘ a derivata¶bken
¶Almeste egal˘ a cu
¶bk
en
¶Alm=¶(ck
peAp
n)
¶Alm=ck
pedlphmn=ck
lehmn,
prezen¸ ta tensorului hmnasigurând posibilitatea de a schimba indicele dorit. Astfel, ter-
menul al doilea din 2.37devine
¶L0
¶FkrnAe
r¶bk
en
¶Alm=¶L0
¶FkrnAe
rck
lehmn=¶L0
¶FkrmAe
rck
le=¶L0
¶FknmAe
nck
le=¶L0
¶FkmnAs
nck
ls.
Cu acesta în 2.37ob¸ tinem
¶L0
¶Fkmnbk
ln¶L0
¶FkmnAs
nck
ls+2flskAs
n¶L0
¶Fkmn=0,
de unde,
bk
lnAs
nck
ls+2flskAs
n=0.
Pân˘ a aici constantele ck
lsau fost complet arbitrare (dar, evident, nenule). Se observ˘ a
c˘ a cel mai simplu este s˘ a alegem ck
ls=flsk. În acest caz, pentru func¸ tiile bk
lnse ob¸ tine
expresia
bk
ln=flskAs
n,
care, introdus˘ a în 2.36– în care ¸ tinem cont ¸ si de valoarea lui a – g˘ asim în cele din urm˘ a
forma m˘ arimii Fm
rs, anume,
Fm
rs=Am
rsfegmAe
rAg
s,
sau,
Fk
mn=Ak
mnflmkAl
mAm
n=Ak
mn1
2flmk(Al
mAm
nAl
nAm
m),(k=1, 2, …, n;m6=n),
unde am ¸ tinut cont ¸ si de proprietatea de antisimetrie în primii doi indici a constantelor
de structur˘ a flmk(pentru a doua egalitate).
Este interesant ¸ si totodat˘ a important de observat c˘ a m˘ arimea Fk
mn=Fk
nm, numit˘ a
tensorul câmpurilor gauge (de fapt tensorul este Fmn=Fk
mnTk), rezult˘ a ¸ si din comutatorul
operatorilor de derivare covariant˘ a în sens gauge, [5m,5n].

2.4 câmpurile gauge .lagrangeanul câmpurilor gauge 50
Într-adev˘ ar, avem:
[5m,5n]ui=5m(5nui)5 n(5mui) =¶m(5nui)Tm
is(5nus)Am
m¶n(5mui) +Tm
is(5mus)Am
n=
=¶m(5nuiTk
ijujAk
n)Tm
is(¶nusTk
spupAk
n)Am
m¶n(¶muiTk
ijujAk
m)Tm
is(¶musTk
spupAk
m)Am
n=
=¶m¶nuiTk
ij¶mujAk
nTk
ijuj¶mAk
nTm
is¶nusAm
m+Tm
isTk
spupAk
nAm
m¶n¶mui+Tk
ij¶nujAk
m+Tk
ijuj¶nAk
m+
+Tm
is¶musAm
nTm
isTk
spupAk
mAm
n=(¶mAk
n¶nAk
m)Tk
ijuj+ (Tm
isTk
spTk
isTm
sp)upAm
muAk
n=
=(¶mAk
n¶nAk
m)Tk
ijuj+fmklTl
ipupAm
mAkn=(¶mAk
n¶nuAk
m)Tk
ijuj+fmlkTk
ijujAm
mAl
n=
=(¶mAk
n¶nuAk
mfmlkAm
mAl
n)Tk
ijuj=Fk
mnTk
ijuj
De fapt, comutatorul [5m,5n]este legat de curbura conexiunii 5¸ si de aceea Fk
mnse
mai numesc componentele 2-formei de curbur˘ a asociat˘ a acestei conexiuni.
Admi¸ tând c˘ a lagrangeanul câmpului gauge liber L0con¸ tine câmpu-rile gauge Ak
m¸ si
derivatele de ordinul întâi ale acestora, ¶nAk
mdoar prin in-termediul tensorului câmpuri-
lor gauge, Fk
mn, adic˘ a
L0=L0(Ak
m,¶nAk
m) =L0
0(Fk
mn),
rezult˘ a
L0
¶(¶mAkn)=2L0
0
¶Fkmn,L0
0
¶Akm=2L0
0
¶FlmnfmklAm
n, ( 2.38)
c˘ aci, ¸ tinând cont de forma tensorului Fl
rs=¶rAl
r¶sAl
rfmnlAm
rAn
s, avem
L0
¶(¶mAkn)=L0
0
¶Flrs¶Fl
rs
¶(¶mAkn)=L0
0
¶Flrs(dmrdkldnrdmsdkldnr) =
=¶L00
¶Fkmn¶L00
¶Fknm=¶L00
¶Fkmn+¶L00
¶Fkmn=2¶L00
¶Fkmn,
¶L0
¶Akm=¶L00
¶Flrs¶Fl
rs
¶Akm=¶L00
¶Flrs(fmnldkmdrmAn
sfmnldnkdsmAm
r) =
=¶L00
¶Flms(fknlAn
s¶L00
¶Flrm(fmklAm
r) =¶L00
¶FlmnfkmlAm
n¶L00
¶FknmfmklAm
nAm
n=
=¶L00
¶FlmnfmklAm
n+¶L00
¶FlmnfmklAm
n=2¶L00
¶FlmnfmklAm
n
¸ si
¶L0
¶Akmn=¶L00
¶Fkrs¶Fl
rs
¶Akmn=¶L00
¶Fkmn. ( 2.39)
Pân˘ a acum, din cele trei rela¸ tii care au rezultat din cerin¸ ta ca lagrangeanul câmpurilor
gauge s˘ a ﬁe invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile grupului gauge de simetrie intern˘ a am
utilizat doar dou˘ a. Cea de-a treia r˘ amas˘ a neutilizat˘ a pân˘ a aici, se scrie
¶L0
¶AkmflmkAm
m2¶L0
¶Akmnflmk¶nAm
m=0.
F˘ acând uz de rela¸ tiile 2.38¸ si2.39, aceasta devine
2¶L00
¶FsmnfpksAp
nflmkAm
m2¶L00
¶Fkmnflmk¶nAm
m=0, ( 2.40)
sau
¶L00
¶Fkmn(fpskflmsAp
nAm
mfpskflmsAp
mAm
nflmk¶nAm
m+flmk¶mAm
n) =0,
adic˘ a
¶L00
¶Fkmn[(fpskflmsfmskflps)Am
mAp
n+flmk(¶mAm
n¶nAm
m)] = 0. ( 2.41)

2.4 câmpurile gauge .lagrangeanul câmpurilor gauge 51
¸ Tinând acum cont de propriet˘ a¸ tile constantelor de structur˘ a fijk(identitatea Jacobi ¸ si
antisimetria în primii doi indici):
fiklflmn+fklmflin+fmilflkn=0
¸ si respectiv
fikl=fkil,
putem scrie pentru situa¸ tia noastr˘ a,
flmsfspk+fmpsfslk+fplsfsmk=0,
de unde,
fpskflmsfmskflps=fmpsfslk. ( 2.42)
Introducând acum 2.42în2.41ob¸ tinem
¶L00
¶Fkmn[fmpsfslkAm
mAp
n+flmk(¶mAm
n¶nAm
m)] = 0,
sau,
¶L00
¶Fkmn[fmlkfspmAs
mAp
n+flmk(¶mAm
n¶nAm
m)] = 0, ( 2.43)
de unde,
¶L00
¶Fkmn[(¶mAm
n¶Am
m)fspmAs
mAp
n] =0,
sau,
¶L00
¶FkmnflmkFm
mn=0,(l=1,n), ( 2.44)
sau înc˘ a,
¶L00
¶FkmnfmlkFm
mn=0,(l=1,n). ( 2.45)
Deci, lagrangeanul câmpurilor gauge este o func¸ tie de Fk
mn(altfel derivata¶L00
¶Fkmnar
ﬁ identic nul˘ a) care trebuie s˘ a satisfac˘ a 2.44. Alegerea lagrangeanului câmpului gauge
care satisface aceste condi¸ tii nu este îns˘ a unic˘ a. Cel mai simplu lagrangean p˘ atratic în
m˘ arimile Fk
mna fost propus pentru prima dat˘ a de c˘ atre T.D. Lee ¸ si C.N. Yang în anul 1953 ,
se nume¸ ste lagrangean Yang-Mills ¸ si are o form˘ a analog˘ a cu cea din teoria câmpului
electromagnetic:
LYM=1
4Fk
mnFk
mnL00(Fk
mn), ( 2.46)
unde
Fk
mn=¶mAk
n¶nAk
m1
2flmk(Al
mAm
nAl
nAm
m). ( 2.47)
Acest lagrangean satisface condi¸ tiile 2.45dac˘ a ¸ tinem seama de propriet˘ a¸ tile 2.22ale
constantelor de structur˘ a flmkcare, pentru grupurile Lie semisimple compacte se arat˘ a
c˘ a sunt complet antisimetrice:
flmk=fmlk=flkm. ( 2.48)
Într-adev˘ ar,
¶L00
¶FkmnflmkFl
mn=¶
¶Fkmn(1
4Fs
rsFs
rs)flmkFl
mn=
=1
4(dksdrmdsnFs
rs+Fs
rsdksdrmdsn)flmkFl
mn=
=1
2flmkFk
mnFl
mn=1
4[flmk(Fk
mnFl
mn+flkm(Fl
mnFk
mn] =
=1
4(flmk+flkm)Fl
mnFk
mn=0.

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 52
Lagrangeanul complet al sistemului de câmpuri ui(x)(câmpurile materiale) ¸ si Ak
m(x)
(câmpurile gauge) are forma
L=L0(ui(x),5mui(x)) +LYM(Fk
mn). ( 2.49)
De remarcat c˘ a în expresia lui L0(ui,5mui)va ap˘ area lagrangeanul de interac¸ tiune
Lintîntre câmpurile ui(x)¸ siAk
m(x)datorit˘ a derivatei covariante 5muicare con¸ tine ¸ si
câmpurile Ak
m(x), conform deﬁni¸ tiei 2.25:
5mui(x) =¶mui(x)Tk
ijuj(x)Ak
m(x).
Este important de stabilit legea de transformare a tensorului Fk
mnfa¸ t˘ a de transform˘ a-
rile gauge. Pentru aceasta folosim expresia acestui tensor,
Fk
mn=¶mAk
n¶nAk
m1
2flmkAl
mAm
n,
¸ si atunci
dFk
mn=¶Fk
mn
¶(¶rAss)d(¶rAs
s) +¶Fk
mn
¶AsrdAs
r=¶Fk
mn
¶(¶rAss¶r(dAs
s) +¶Fk
mn
¶AsrdAs
r,
sau, folosind expresia varia¸ tiei câmpurilor gauge,
dAk
m(x) =A0k
m(x)Ak
m(x) = flmkAm
m(x)#l(x) +¶m#k(x),
dFk
mn= (dmrdksdnsdnrdksdmr)¶r(flmsAm
s#l+¶s#s)
flmk(dlsdmrAm
sdmsdnrAl
m)(fpnsAn
r#p+¶r#s) =¶m(flmkAm
n#l+¶n#k)
¶n(flmkAm
m#l+¶m#k)flmkfpnlAn
mAm
n#pflmk¶m#lAm
n
flmkfpnmAn
nuAl
mu#pflmk¶n#mAm
m=flmk(¶mAm
n¶nAm
m)#l
(flmkfpnlAn
mAm
n+flmkfpnmAn
nAl
m)#+¶m¶n#k¶n¶mu#k+
+flmkAm
n¶m#lflmkAm
m¶n#lflmk¶m#lAm
nflmk¶n#mAl
m=
=flmk(¶mAm
n¶nAm
m)#l(fmnkfplm+flmkfpnm)Al
mAn
n#p=
=flmk(¶mAm
n¶nAm
m)#l(fplmfmnk+fnpmfmlk)Al
mAn
n#p=
=flmk(¶mAm
n¶nAm
m)#lfnlmfmpkAl
mAn
n#p=flmk(¶mAm
n¶nAm
m)#l+
+fmlkfpnmAp
mAn
n#l=flmk(¶mAm
n¶nAm
mfpnmAp
mAn
n)#l=
=flmkFm
mn(x)#l(x).
Deci,
dFk
mn(x) = flmk#l(x)Fm
mn(x). ( 2.50)
2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor
Conform teoremei Noether, invarian¸ ta lagrangeanului fa¸ t˘ a de un grup continuu de trans-
form˘ ari conduce la conservarea unei cantit˘ a¸ ti ﬁzice. În cazul transform˘ arilor locale m˘ a-
rimile care se conserv˘ a sunt curen¸ tii câmpurilor. Pentru a deduce expresiile lor vom
considera lagrangeanul total
L=L0(ui(x),5mui(x)) +LYM(Fk
mn) =L(ui(x),5mui(x),Ak
m,¶nAk
m)
¸ si apoi vom trece la noile variabile ui(x),5mui(x),Ak
m(x),Fk
mn.
Condi¸ tia de invarian¸ t˘ a local˘ a a lui Leste de forma:
dL=¶L
¶uidui+¶L
¶(¶mui)d(¶mui) +¶L
¶AkmdAk
m+¶L
¶(¶nAkm)d(¶nAk
m) =0, ( 2.51)

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 53
sau, deoarece d(¶mui) =¶m(dui)¸ sid(¶nAk
m) =¶n(dAk
m),
dL=¶L
¶uidui¶m¶L
¶(¶mui)
dui+¶m¶L
¶(¶mui)dui
+ (2.52)
+¶L
¶AkmdAk
m¶n¶n¶L
¶(¶nAkm)
dAk
m+¶n¶L
¶(¶nAkm)dAk
m
=0.
Folosind ecua¸ tiile de câmp pentru ui¸ siAk
msub forma
¶L
¶uidui¶m¶L
¶(¶mui)
=0;¶L
¶Akm¶n¶n¶L
¶(¶nAkm)
=0, ( 2.53)
rela¸ tia 2.52devine
dL=¶m¶L
¶(¶mui)
+¶n¶L
¶(¶nAkm)
=¶m¶L
¶(¶mui)+¶L
¶(¶mAkn)
=0. ( 2.54)
Utilizând expresia varia¸ tiei câmpurilor gauge, dAk
m=flmkAm
m#l+¶m#k¸ si trecând de la
derivatele în raport cu ¶mui¸ si¶mAk
nla cele în raport cu 5mui¸ si respectiv Fk
mn, rela¸ tia 2.54
devine
dL=¶m¶L
¶(5mui)Tk
ijuj(x)#k(x) +2¶L
¶Fkmn(flmkAm
n#l+¶n#k)
= (2.55)
=¶m¶L
¶(5mui)Tk
ijuj(x) +2¶L
¶FkmnfklmAl
n
#k(x)+
+¶L
¶(5mui)Tk
ijuj(x) +2¶L
¶FmmnflmkAl
n2¶n¶L
¶Fkmn
¶m#k+
+2¶L
¶Fkmn¶m¶n#k=0.
Dar
2¶L
¶Fkmn¶m¶n#k=¶L
¶Fkmn¶m¶n#k+¶L
¶Fkmn¶m¶n#k=
=2¶L
¶Fkmn¶m¶n#k+2¶L
¶Fknm¶n¶m#k=¶L
¶Fkmn+¶L
¶Fknm
¶m¶n#k
¸ si
¶n¶L
¶Fknm
=1
2¶n¶L
¶(¶nAkm
=1
2¶L
¶Akm.
Atunci 2.55devine
dL=¶m¶L
¶(5mui)Tk
ijuj(x) +2¶L
¶FkmnfklmAl
n
#k+ (2.56)
¶L
¶(5mui)Tk
ijuj(x) +2¶L
¶FmmnfklmAl
n+¶L
¶Akm
¶m#k+
¶L
¶Fkmn+¶L
¶Fknm
¶m¶n#k=0.
Deoarece #k¸ si¶m#ksunt arbitrare, din 2.56rezult˘ a
¶m¶L
¶(5mui)Tk
ijuj+2¶L
¶FmmnfklmAl
n
=0 ( 2.57)
¸ si
¶L
¶(5mui)Tk
ijuj+2¶L
¶FmmnfklmAl
n+¶L
¶Akm=0. ( 2.58)

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 54
Introducem curen¸ tii câmpurilor prin deﬁni¸ tia
Jk
m(x) =¶L
¶Akm
¸ si atunci, din 2.58avem
Jk
m(x) =¶L
¶(5mui)Tk
ijuj2¶L
¶FmmnfklmAl
n,
iar2.57arat˘ a c˘ a
¶mJk
m=0,
adic˘ a legea de conservare a sarcinilor
Qk=Z
Jk
0(x)d3x.
Într-adev˘ ar, avem:
0=Z
¶mJk
m(x)d3x=d0Z
Jk
0d3x+Z
¶iJk
id3x=d0Qk+I
Jk
idSi,
de unde rezult˘ a c˘ a Qk=const ., deci Q=åkQk=const .
2.5.1Exemple
1. Grupul abelian U( 1). Câmpul electromagnetic – câmp de etalonare (gauge)
Pornim de la lagrangeanul câmpului spinorial (Dirac) liber ycu masa M a cuantelor,
care are expresia cunoscut˘ a,
L=i
2(ygm¶my¶mygmy)Myy. ( 2.59)
Acesta este invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile de faz˘ a globale (care apar¸ tin grupului
U(1))
y!y0=eig#y;y!y0=yeig#, ( 2.60)
unde #este parametrul grupului (aici #este constant), iar g se nume¸ ste constant˘ a de
cuplaj (pentru câmpul y¸ si câmpul electromagnetic Am(x)care va ﬁ câmp de etalon).
Veriﬁcarea invarian¸ tei lagrangeanului fa¸ t˘ a de 2.60este imediat˘ a. Dac˘ a presupunem pa-
rametrul #inﬁnitezimal, atunci din 2.60ob¸ tinem
dy=i#gy,dy=i#gy. ( 2.61)
Pentru a folosi teoria general˘ a vom considera u1=y¸ siu2=ydrept câmpuri indepen-
dente. ¸ Tinând cont c˘ a dui=T1
ij#kuj(x)¸ si având în vedere 2.61putem scrie
dui=T1
ij#1ujTij#uj,j=1, 2, ( 2.62)
adic˘ a,
T11=ig,T12=0,T22=ig,T21=0. ( 2.63)
Întrucât grupul U( 1) este unul abelian, toate constantele de structur˘ a sunt nule,
fklm=0.
S˘ a impunem acum condi¸ tia de invarian¸ t˘ a local˘ a fa¸ t˘ a de transform˘ arile grupului U( 1),
adic˘ a s˘ a consider˘ am #=#(x). Lagrangeanul Ldin2.59nu mai este invariant fa¸ t˘ a de
transform˘ arile 2.61cu#=#(x). Pentru a ob¸ tine un lagrangean invariant în acest caz,
vom introduce derivata covariant˘ a
¶my!5 my=¶my+igyAm, ( 2.64)
¶my!5 my=¶my+igyAm, ( 2.65)

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 55
unde Am(x)Al
m(x)este câmpul de etalon (gauge) introdus conform teoriei generale.
F˘ acând aceast˘ a schimbare în 2.59, ob¸ tinem
L(y,¶my)!L0(y,¶my) =i
2(ygm¶my¶mygmy)MyygygmyAm. ( 2.66)
Folosind formula
Fk
mn=Ak
mnflmkAl
mAm
n=Ak
mn1
2flmk(Al
mAm
nAl
nAm
m),(k=1, 2, …, n;m6=n)
¸ si ¸ tinând cont c˘ a în acest caz flmk=0, construim tensorul câmpului gauge astfel:
F1
mnFmn=¶mAn¶nAm. ( 2.67)
Atunci, lagrangeanul gauge (sau Yang-Mills) pentru câmpul gauge liber Am(x)va ﬁ
L00(Fmn) =LYM=1
4FmnFmn. ( 2.68)
Se observ˘ a c˘ a tensorul 2.67coincide ca form˘ a cu cel al câmpului electromagnetic liber
¸ si în aceast˘ a interpretare Am(x)va reprezenta câmpul electromagnetic (cuadripoten¸ tialul
lui), iar constanta g va avea semniﬁca¸ tia sarcinii electronului, g=e. Conform rela¸ tiei
generale, dAk
m(x) = flmkAm
m(x)#l(x) +¶m#k(x), în cazul lui U( 1) avem
dAm(x) =¶m#(x). ( 2.69)
Curentul Jm(x)va avea forma
Jm(x) =gygmy. ( 2.70)
Comparând aceast˘ a expresie cu cea cunoscut˘ a din electrodinamic˘ a ( Jm(x) =gygmy)
rezult˘ a g=e ¸ si astfel avem justiﬁcarea identiﬁc˘ arii câmpului gauge Am(x)cu câmpul elec-
tromagnetic.
2. Grupul neabelian SU( 2) ¸ si câmpul Yang-Mills
Consider˘ am un izodublet (dublet SU( 2)) de câmpuri spinoriale,
ya=y1
y2
(a=1, 2), ( 2.71)
unde y1¸ siy2sunt spinori Dirac.
De exemplu, y1poate descrie un proton de mas˘ a M ¸ si y2un neutron cu aceea¸ si mas˘ a.
Lagrangeanul acestui dublet are forma
L=i
2(yagm¶mya¶myagmya)Myaya. ( 2.72)
Acest lagrangean este invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile de simetrie global˘ a ale grupu-
lui SU( 2):
ya!y0a=
exp
i
2g#ktk
abyb;(k=1, 2, 3; a,b=1, 2), ( 2.73)
ya!y0a=yb
expi
2g#ktk
bayb;(k=1, 2, 3; a,b=1, 2), ( 2.74)
unde #,(k=1, 2, 3 )desemneaz˘ a parametrii grupului SU( 2),tk, (k= 1,2,3) sunt matricele
lui Pauli (privite ca matrice de izospin), iar g este o constant˘ a, numit˘ a de cuplaj.
Dac˘ a presupunem #km˘ arimi inﬁnitezimale, atunci transform˘ arile anterioare devin
dya=i
2g#k(tk)abyb, ( 2.75)

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 56
dya=i
2g#kyb(tk)ba. ( 2.76)
Înseamn˘ a c˘ a generatorii Tkai lui SU( 2) au în aceast˘ a reprezentare bidimensional˘ a
(izodublet) forma
Tk
ab=i
2g(tk)ab,Tk=i
2gtk. ( 2.77)
Atunci,
Tk,Tl
=g2
4[tk,tl] =g2
42i#klmtm=g#klmTm, ( 2.78)
deci constantele de structur˘ a vor ﬁ
fklm=g#klm, ( 2.79)
unde #klmeste simbolul Levi-Civita.
S˘ a consider˘ am acum invarian¸ ta SU( 2) local˘ a, ceea ce impune considerarea dependen-
¸ tei spa¸ tio-temporale a parametrilor grupului, #k=#k(x). Atunci, lagrangeanul 2.72va
deveni local invariant dac˘ a în el vom realiza substitu¸ tia minimal˘ a, ¶m!5 m:
¶mya!5 mya=¶mya+i
2g(tk)abybAk
m,(k=1, 2, 3 ), ( 2.80)
unde Ak
m(x),(k=1, 2, 3 )sunt câmpurile gauge introduse pentru a com-pensa neinvari-
an¸ ta lui L. M˘ arimile Fk
mnau forma
Fk
mn=¶mAk
n¶nAk
m1
2g#klm(Al
mAm
nAl
nAm
m) (2.81)
¸ si cu ajutorul lor construim lagrangeanul gauge
L00(Fk
mnLYM=1
4Fk
mnFk
mn. ( 2.82)
Câmpurile gauge se transform˘ a dup˘ a legea
dAk
m(x) =g#lmkAm
m(x)#l(x) +¶m#k(x). ( 2.83)
Înlocuind 2.80în2.72¸ si ordonând termenii, rezult˘ a urm˘ atoarea expresie pentru la-
grangeanul total:
Ltotal=1
2(yagm¶mya¶myagmya)Myaya+LYM1
2gyagm(tk)abybAk
m. ( 2.84)
Constanta g joac˘ a rolul unei constante de cuplaj pentru câmpul gauge Ak
mcu câmpul
spinorial ya¸ si cu el însu¸ si.
Folosind deﬁni¸ tia curen¸ tilor câmpului, Jk
m, rezult˘ a
Jk
m=g
2yagm(tk)abybg#klmAm
n[¶mAl
n¶nAl
m#
2#lij(Ai
mAj
nAi
nAj
m)]. ( 2.85)
Într-adev˘ ar, deoarece Fm
sn=¶sAm
n¶nAm
sg#mlpAl
sAp
navem:
Jk
m=¶L
¶Akm=¶LYM
¶Akmg
2yagm(tk)abyb=1
4¶
¶Akm
g
2overline yagm(tk)abyb=g
2yagm(tk)abyb1
2¶Fm
sn
¶AkmFm
sn=
=g
2yagm(tk)abyb+1
2g#mlp(dkldsmAp
nAl
sdkpdnm)Fm
sn=
g
2yagm(tk)abyb+ (1
2(#mkpAp
nFm
mn#mlkAl
sFm
sm) =
=g
2yagm(tk)abyb+ (1
2(#lkmAm
nFl
mn#mlkAm
nFl
nm) =
=1
2(#mlkAp
nFm
mn#mlkAl
sFm
sm=
g#klmAm
nFl
mn.

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 57
Cele trei câmpuri Ak
m(x)descriu trei bosoni vectoriali, A+,W,Z0, care mediaz˘ a in-
terac¸ tiunile slabe dintre particulele descrise de câmpurile ya(de exemplu protonii ¸ si
neutronii).
3. Simetria SU( 3) ¸ si câmpurile gluonice
Consider˘ am un triplet SU( 3) de câmpuri spinoriale,
ya(x) =0
@y1(x)
y2(x)
y3(x)1
A,(a=1, 2, 3 ), ( 2.86)
care pot ﬁ, de exemplu, cei trei quarci ( q1,q2,q3) cunoscu¸ ti ini¸ tial (up, down, strange).
Lagrangeanul liber al acestui triplet se scrie sub forma
L=i
2(yagm¶mya¶myagmya)Myaya,(a=1, 2, 3 ). ( 2.87)
El este invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile de simetrie global˘ a ale grupului SU( 3),
ya!y0a=
exp
ig
2lm#m
abyb;(m=1, 8;a,b=1, 2, 3 ), ( 2.88)
ya!y0a=yb
exp
ig
2lm#m
ba;(m=1, 8;a,b=1, 2, 3 ), ( 2.89)
Aici#m(m=1, 2, 3, …, 8 )sunt parametrii grupului SU( 3),lm,(m=1, 8)sunt matri-
cele Gell-Mann, iar g este constanta de cuplaj.
Observa¸ tie: Elementele grupului SU( 3) se consider˘ a ac¸ tionând într-un spa¸ tiu cu opt
dimensiuni, numit spa¸ tiu de culoare, iar modelul pe care-l dezvolt˘ am aici conduce la
teoria numit˘ a cromodinamic˘ a cuantic˘ a. Dac˘ a parametrii grupului SU( 3),#msunt inﬁni-
tezimali, atunci 2.88¸ si2.89devin
dya(x) =i
2g(lm)abyb(x)#m, ( 2.90)
dya(x) =i
2gyb(x)(lm)ba#m, ( 2.91)
Generatorii inﬁnitezimali ai grupului în aceast˘ a reprezentare au deci expresiile
Tk
ab=i
2g(lk)ab (2.92)
unde
[lk,ll] =2i fklmlm. ( 2.93)
Atunci,
[Tk,Tl]ab=g2
4[lk,ll]ab=g fklmTm
ab(2.94)
S˘ a consider˘ am acum invarian¸ ta SU( 3) local˘ a, ceea ce impune considerarea dependen-
¸ tei spa¸ tio-temporale a parametrilor grupului, #m=#m(x).
Introducem opt câmpuri de etalon, Vm
m(x),(m=1, 8)¸ si scriem derivata covariant˘ a
5mya(x) =¶mya(x) +i
2g(lm)abyb(x)Vm
m(x),(m=1, 8). ( 2.95)
Cele opt câmpuri Vm
m(x),(m=1, 8)se numesc câmpuri gluonice ¸ si ele medi-az˘ a inte-
rac¸ tiunile tari dintre hadroni.

2.5 curen ¸ tii câmpului ¸ si conservarea lor 58
Lagrangeanul gauge pentru câmpurile gluonice are forma
L00(Fk
mn)LYM=1
4Fk
mnFk
mn (2.96)
unde tensorul câmpurilor gluonice Fk
mneste dat de
Fk
mn=¶m=¶mVk
n¶nVk
mg fnpk(Vn
mVp
nVn
nVp
m). ( 2.97)
Câmpurile gluonice se transform˘ a dup˘ a legea
dVm
m(x) =g fnpmVp
m(x)#n(x) +¶m#m(x), ( 2.98)
iar lagrangeanul total, invariant fa¸ t˘ a de transform˘ arile de simetrie local˘ a ale grupului
SU(3) are expresia
Ltotal=i
2(yagmya¶myagmya)Myayayagm(lm)abybVm
m1
4Fm
mnFm
mn.
Acesta este lagrangeanul cromodinamicii cuantice, dezvoltat˘ a în prezent ca o teorie
cuantic˘ a a interac¸ tiunilor tari.
¸ Tinând cont de rela¸ tia de deﬁni¸ tie, Jk
m(x) =¶L
¶Akm, cuadricuren¸ tii corespunz˘ atori Jm
m(x),
(m=1, 8)sunt în acest caz:
Jm
m(x) =¶L
¶(5mya)ig
2(lm)abyb¶L
¶(5mya)ig
2yb(lm)ba2g¶L
¶FnmnfmnpVp
n. ( 2.99)
Examinând lagrangeenii ob¸ tinu¸ ti anterior, observ˘ am c˘ a diferitele câmpuri de etalon
(Am(x),Ak
m(x),(k=1, 2, 3 );Vm
m(x),(m=1, 8))au ma-sa nul˘ a, deoarece în expresia la-
grangeanului asociat lor, LYM, nu intr˘ a vreun termen de mas˘ a. Asocierea de mas˘ a
particulelor corespunz˘ atoare câmpurilor gauge se realizeaz˘ a prin ruperea spontan˘ a a si-
metriilor locale ¸ si mecanismul Higgs, pe care nu le vom prezenta aici, întrucât nu fac
obiectul lucr˘ arii de fa¸ t˘ a.

3
I N T E G R A L E D E D R U M ¸ S I A M P L I T U D I N I D E T R A N Z I ¸ T I E
Teoriile cuantice difer˘ a, de exemplu, prin amplitudinea de tran¸ tie. Generic, amplitudinea
de tranzi¸ tie este exprimat˘ a ca valoarea produsului dintre operatorii de generare si cei de
anihilare din vid. Într-o alta abordare amplitudinea de tranz¸ tie este exprimat˘ a in func¸ tie
de integralele de drum.
3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere
3.1.1Sisteme cu un singur grad de libertate
Consideram un sistem clasic cu un singur grad de libertate descris de coordonata cano-
nic˘ a q ¸ si de impulsul conjugat p. Mi¸ scarea sistemului este descris˘ a de Hamiltonianul
H(p, q).
Dac˘ a facem trecerea din mecanica clasic˘ a in mecanica cuantic˘ a, q ¸ si p vor ﬁ inlocui¸ ti
de operatorii ˆq¸ siˆp. Func¸ tia H(p, q) va ﬁ înlocuit˘ a de operatorul H( ˆq,ˆp)
Operatorii ˆq¸ siˆpnu comut˘ a astfel încât consider˘ am ca regul˘ a ca operatorul ˆqs˘ a se
scrie întotdeauna la drepta operatorului ˆp.
În cazul acesta ecua¸ tia Schrodinger determin˘ a evolu¸ tia sistemului:
i¶y(x,t)
¶t=ˆH(ˆp,ˆq)y(x,t) (3.1)
Solu¸ tia ecua¸ tiei este urm˘ atoarea:
y(t00) = ˆU(t00,t0)y(t0), ( 3.2)
ˆU(t00,t0)se nume¸ ste operatorul evolu¸ tie ¸ si este dat de:
ˆU(t00,t0) =exp[iˆH(ˆp,ˆq)(t00t0)]. ( 3.3)
Amplitudinea de tranzi¸ tie a sistemului din starea jq0,t0>în starea <q00,t00jse determin˘ a
astfel:
<q00jˆU(t00,t0)jq0>=<q00jexp[iˆH(t00t0)]jq0><q00,t00jq0,t0> (3.4)
Amplitudinea poate ﬁ exprimat˘ a sub forma ingtegralei de drum. La momentul t’
sistemul va avea coordonata q’ ¸ si la momentul t” va avea coordonata q”. In cazul în care
sistemul ar ﬁ fost clasic atunci la momentul tiar ﬁ avut coordonata qila fel cum este
ilustrat in ﬁgura de jos:
Un sistem cuantic poate sa ajung˘ a dintr-un punct în alt punct prin mai multe traiec-
torii cu o anumit˘ a probabilitate.
Suma amplitudinilor de tranzi¸ tie pentru toate st˘ arile intermediale qicorespunz˘ atoare
momentelor tieste egal˘ a cu 1:
å
qijqi,ti>< qi,tij=1.

3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere 60
Prin urmare, putem scrie ecua¸ tia 3.4în modul urm˘ ator:
<q00,t00jq0,t0>=å
qi<q00,t00jq,t>< q,tjq0,t0> (3.5)
Putem s˘ a înlocuim suma cu integral˘ a deoarece coordonatele qiau valori arbitrare:
<q00,t00jq0,t0>=Z
<q00,t00jq,t>< q,tjq0,t0>dqi (3.6)
Împ˘ ar¸ tim intervalul de timp (t”, t’) în intervale de timp egale: t0,t1, …,tN1,t00ca în
ﬁgur˘ a:
ti+1ti=t00t0
N,i=1,N1
t0t0
tNt00
Putem scrie amplitudinea ca o integral˘ a ﬁnit dimensional astfel încât ¸ tinem cont ex-
plicit ¸ si de evolu¸ tia sistemului in timp:
<q00,t00jq0,t0>=Z
dq1…Z
dqN1<q00,t00jqN1,tN1>…<g2,t2jq1,t1>< q1,t1jq0,t0>,
(3.7)
,<q00,t00jq0,t0>=Z
dq1…Z
dqN1<q00jexp[iˆH(t00tN1)]jqN1>…<q1jexp[iˆH(t1t0)]jq0>
(3.8)
Ne folosim de intervalul temporal cel mai mic (ti+1,ti)pentru a analiza mai departe
elementele matricei din integrandul din ecua¸ tia 3.8. În cazul acesta exponen¸ tii se pot
extinde în puteri de (ti+1,ti):
exp[iˆH(ti+1ti)]'1iˆH(ti+1ti) +…)
)<q00,t00jq0,t0>=Z
dq1…Z
dqN1<q00jexp[1iˆH(t00tN1)]jqN1>…<q1jexp[1iˆH(t1t0)]jq0>

3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere 61
Putem g˘ asi elementul matrice al operatorului ˆH(ˆq,ˆp)astfel:
<qi+1jˆHjqi>=Z
dqy(q;qi+1)ˆH
q,i¶
¶q
y(q;qi)
y(q;qi+1) =d(qqi)1
2pZ
exp[i(qiq)p]
Din ultimile dou˘ a rela¸ tii rezult˘ a:
<qi+1jˆHjqi>=1
(2p)2Z
dqdpd ˜pexp[i(qqi+1p]ˆH
q,i¶
¶q
exp[i(qiq)˜p]
¸ Tinând cont de:
ˆH
q,i¶
¶q
exp[i(qiq)˜p] =¥
å
n=0an(q)
i¶
¶q2
exp[i(qiq)˜p])
)ˆH
q,i¶
¶q
exp[i(qiq)˜p] =H(q,˜p)exp[i(qiq)˜p],
<qi+1jˆHjqi>=Zdpi
2pexp[i(qi+1qi)pi]H(qi,pi)(3.80)
Elementul matrice al operatorului ˆH(ˆp,ˆq)l-am exprimat în func¸ tie de de Hamiltonia-
nul clasic H(p, q).
Mai departe, expresia amplitudinii reiese din relatia ( 3.8’):
<q00,t00jq0,t0>=Z
dq1…Z
dqN1exp[i(q00qN1)pNiH(pN,qN)(t00tN1)dpN
2p…Z
exp[i(q1q0)p1iH(p1,q1)(t1t0)dp1
2p
(3.9)
=ZN1
Õ
i=1dqN
Õ
i=1dpi
2pexpfiN
å
j=1[(qjqj1)pjh(pj,qj)(tjtj1)g,
unde tN=t00,qn=q00,t0=t0,q0=q0.
La limit˘ a, când N tinde la inﬁnit, tjtj1=dt, num˘ arul variabilelor de integrare
tinde la inﬁnit.
Consider˘ am integrarea dup˘ a valorile func¸ tiilor p(t) ¸ si q(t) pentru toate momentele t
din intervalul (t”, t’). Func¸ tia q(t) impune urm˘ atoarele condi¸ tii limit˘ a:
q(t0) =q0, ( 3.10)
q(t0) =q00
Astfel, amplitudinea de tranzi¸ tie din starea |q’, t’> în starea <q”, t”| poate ﬁ scris˘ a
ca o integral˘ a de drum, o integral˘ a ﬁnit dimensional˘ a:
<q00,t00jq0,t0>=lim N!¥ZN1
Õ
i=1dqiN
Õ
i=1dpiexp
iN
å
j=1
pjqjqj1
tjtj1H(pj,qj)
(tjtj1)
(3.11)
Z
Õ
tDp(t)Dq(t)
2pexp
iZt00
t0[p˙qH(p,q)]dT
Integrarea se face dup˘ a func¸ tii în loc de variabile astfel încât am folosit nota¸ tia Dîn
loc de dp(t).
Într-un ﬁnal se ob¸ tine:
<q00,t00jq0,t0>=Z
Õ
tDp(t)Dq(t)
2pexp[iI(t00,t0). ( 3.12)

3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere 62
I(t”, t’) se nume¸ ste ac¸ tiunea.
Integrala de drum este o integral˘ a func¸ tional˘ a a ac¸ tiunii clasice în func¸ tie de toate
traiectoriile posibile în spa¸ tiul fazelor (p, q) cu condi¸ tiile limita date de 3.10
ExpresiaDp(t)Dq(t)
2pse nume¸ ste m˘ asur˘ a de integrare.
Introducând un num˘ ar inﬁnit de momente intermediare am ajuns la forma ﬁnal˘ a a
integralei de drum. Toate valorile posibile ale coordonatelor qila momentele corespun-
z˘ atoare tiau fost luate in considerare ¸ si, pe de alt˘ a parte, cantit˘ a¸ tile opera¸ tionale au fost
înlocuite de canti˘ a¸ ti clasice în descrierea evolu¸ tiei sistemului ¸ tinând cont de timp. Astfel,
s-a exprimat amplitudinea cuantic˘ a in func¸ tie de cantit˘ a¸ tile clasice, dar în schimb s-a
introdus o integral˘ a inﬁnit dimensional.
P˘ atratul modului amplitudinii determin˘ a probabilitatea de tranzi¸ tie, P:
P=j<q00,t00jq0,t0>j2
Observa¸ tii
1. Tranzi¸ tiile între toate st˘ arile permise sunt caracterizate atât de amplitudini cât ¸ si
de probabilit˘ a¸ ti. Prin urmare, deoarece avem efecte de interferen¸ t˘ a cuantice nu putem
s˘ a reducem mecanica cuantic˘ a la mecanic˘ a clasic˘ a în ciuda faptului c˘ a am exprimat am-
plitudinea de tranzi¸ tie cu ajutorul unor cantit˘ a¸ ti clasice.
2. Dac˘ a consider˘ am limita clasic˘ a (de exemplul, limita constantei Planck h !0) a
amplitudinii 3.12, atunci sunt permise numai traiectoriile clasice.
În limita clasic˘ a, h1I(t00,t0)1 ac¸ tiunea I este mult mai mare ca h.
Dac˘ a o traiectorie nu este o solu¸ tie a ecua¸ tiei clasice de mi¸ scare, atunci o varia¸ tie
mic˘ aa traiectoriei va duce la o varia¸ tie mare a frac¸ tieiI
hîn formula 3.12¸ si la oscila¸ tii
rapide ale amplitudinii.
Prin urmare, constribu¸ tiile acestor amplitudini sunt nule.
Cu toate acestea, pentru traiectoria determinat˘ a de ecua¸ tia de mi¸ scare clasic˘ a, dI=0;
devia¸ tii mici ale traiectoriei nu schimb˘ a magnitudinea lui I. Astfel, traiectoriile care sunt
apropriate de cele clasice contribuie la amplitudine, fazele ﬁind la fel.
La limita clasic˘ a, cea mai mare contribu¸ tie o are traiectoria clasic˘ a.
Dac˘ a ¸ tinem cont de ﬂuctua¸ tiile mici in jurul traiectoriei clasice ajungem la aproxima-
¸ tia cvasiclasic˘ a unde ac¸ tiunea se exprim˘ a:
I=Icl+DI,
DIse nume¸ ste devia¸ tia de la traiectoria clasic˘ a.
3. Nu putem calcula integrala de drum printr-o metod˘ a general˘ a, deoarece nu exist˘ a
una. Magnitudinea integralei de drum are valori diferite în func¸ tie de conven¸ tia care se
alege pentru ordonarea operatorilor.
Nu cunoa¸ stem limitele pentru clasa de func¸ tionale ¸ si nici pentru func¸ tionala de spa-
¸ tiu pentru a cuprinde tot domeniul de integrare.
4. Integralele de drum a c˘ aror Hamiltonian depinde cuadruplu de impuls ¸ si de co-
ordonate se numesc gaussiene. Integralele gaussiene nu au varibile mixte ¸ si se pot ﬁ
calculate exact, ceea ce inseamn˘ a c˘ a nu conteaz˘ a ordinea termenilor ¸ si existen¸ ta limitei.
Pentru cel mai simplu Hamiltonian avem:
H=p2
2m+V(q)

3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere 63
de unde rezult˘ a integrala de drum:
<q00,t00jq0,t0>=Z
Õ
tDp(t)Dq(t)
2pexp
iZt00
t0dt
p˙qp2
2mV(q)
Pentru a calcula integrala trebuie sa facem urm˘ atoarea schimbare:
p(t)!p(t) +m˙q
<q00,t00jq0,t0>=Z
Õ
tDp(t)Dq(t)
2pexp
iZt00
t0dt
p˙q+m˙q2p2
2mm˙q2
2p˙qV(q)
,
,<q00,t00jq0,t0>=Z
Õ
tDp(t)Dq(t)
2pexp
iZt00
t0dtm˙q2
2p2
2mp˙qV(q)
,
,<q00,t00jq0,t0>=Z
Õ
tDp
2pexp
iZt00
t0dtp2
2mZ
Õ
tDqexp
iZt00
t0dtm˙q2
2V(q)
,
)<q00,t00jq0,t0>=1
NZ
Õ
tDqexp
iZt00
t0dtm˙q2
2V(q)
Factorul de normare N este independent de q’ ¸ si q”.
În cazul lui V(q) care depinde de q, integrala dup˘ a q devine gaussian˘ a ¸ si poate ﬁ
calculat˘ a explicit.
3.1.2Sisteme cu un num˘ ar ﬁnit de grade
Printr-o metod˘ a asem˘ an˘ atoare putem ob¸ tine urm˘ atoarea expresie pentru amplitudinea
de tranzi¸ tie a unui sistem cu un num˘ ar ﬁnit de grade de libertate:
<q00
1, …,q00
n;t00jq0
1, …,q0
n;t0>=Z
Õ
tn
Õ
k=1Dpk(t)Dqk(t)
2pexp[iI(t00,t0)] (3.13)
qireprezint˘ a coordonatele canonice, iar pisunt impulsurile cu i=1,n, unde n este
num˘ arul de grade de libertate.
I(t”, t’) se nume¸ ste ac¸ tiunea sistemului ¸ si depinde de p1,p2, …,pn;q1,q2, …,qn.
3.1.3Câmpurile bozonice
Consider˘ am un câmp scalar neutru care este descris de func¸ tia de unda f(x).
Pentru a reduce câmpul la un sistem cu num˘ ar de grade de libertate ﬁnit, vom alege
volumul ﬁnit V pe care îl imp˘ ar¸ tim la rândul sau in volume egale vm.
Fiec˘ arui volum vmîi corespunde func¸ tia f(x)f(x0,x)pe care o vom aproxima cu
func¸ tia fm(x0)
R
vmdxf(x0,x)
vm.
În cazul acesta, func¸ tiile fm(x0)¸ si˙fm=¶fm(x0)
¶x0sunt coordonate generalizate, respec-
tiv impulsurile.
Lmo sa ﬁe densitatea de Lagrangian a câmpului pentru volumul vm.
L(x0) =å
mvmLm(˙fm(x0),fm(x0) (3.14)

3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere 64
Prin intermediul acestui Lagrangian, impulsul generalizat pmal câmpului poate ﬁ
deﬁnit în modul urm˘ ator
Pm(x0) =¶L(˙fm,fm)
¶˙fm
Atunci Hamiltonianul câmpului devine:
H=å
mvm[pm(x0)˙fm(x0)Lm(x0)]
În cazul acesta, rela¸ tia 3.13se poate scrie astfel:
S=ZN1
Õ
i=1Õ
mdfm(x0i)N
Õ
i=1Zdpm(x0i)
2pexpfiN
å
j=1[å
mvm(pm(x0j)˙phim(x0iHm(pm(xoj),fm(xoj)Dtj]g
(3.15)
Aceast˘ a rela¸ tie descrie evolu¸ tia sistemului din starea t’ în starea t”.
Mecanica cuantic˘ a se ocup˘ a cu tranzi¸ tii din starea cu t=¥în starea cu t= +¥,
astfel pentru a ob¸ tine amplitudinea pentru o asemenea tranzi¸ tie trebuie sa trecem la li-
mit˘ a când: t0!¥, iar t00!+¥. Pentru aceasta ne vom folosi de operatorul ˆHpentru
func¸ tia ini¸ tial˘ a ¸ si cea ﬁnal˘ a mergând de la presupunerea c˘ a t’<-T ¸ si t”>T,unde T este un
interval oarecare ﬁnit.
Dependen¸ ta amplitudinii de timp va ﬁ determinat˘ a de termenii exp[iEn(t00+T)]¸ si
exp[iEn(t0T)], unde Eneste energia unei st˘ ari sta¸ tionare a sistemului.
La limita t!¥, numai tranzi¸ tia de pe starea cu energia minim˘ a determin˘ a am-
plitudinea. În teoria câmpurilor, vidul ﬁzic reprezint˘ a starea ini¸ tial˘ a. Pentru t!¥,
amplitudinea determinat˘ a de 3.15descrie tranzi¸ tia vid-vid.
Dac˘ a ¸ tinem cont de faptul ca vm tinde la o, rezult˘ a c˘ a:
pm(x0)!p(x),fm(x0)!f(x),Hm(pm(x),fm(x)!H(p(x),f(x)),
Dac˘ a trecem in ecua¸ tia la limitele ¸ si ob¸ tinem expresia dorit˘ a a amplitudinii de tranzi-
¸ tie vid-vid pentru câmpul scalar:
S=Z
vm!0,v!¥Õ
x0Õ
m1
2pdfm(x0)dpm(x0)expfiZ
dx[p(x)˙f(x)H(p(x),f(x))]g
(3.16)
Not˘ am cu:
Dm(f(x),p(x)) = lim vm!0,v!¥Õ
x0Õ
m1
2pdfm(x0)dpm(x0) =pxDf(x)Dp(x)
2p!(3.17)
!S=Z
Dm(f(x),p(x))expfiZ
dx[p(x)˙f(x)H(p(x),f(x)]g
În cazul în care Hamiltonianul depinde de p˘ atratul impulsului ajungem la o integral˘ a
de drum gaussian˘ a care poate ﬁ rescris˘ a într-o form˘ a special˘ a ca integral˘ a de drum dup˘ a
toate câmpurile.
S˘ a lu˘ am ca exemplu urm˘ atorul Lagrangia:
L=1
2(¶mf)(¶mf)m2
2f2g
3!f3(3.18)
Momentul generalizat corespunz˘ ator acestui Lagrangian este:
p(x) =¶L
¶˙f=˙f(x) (3.19)

3.1 câmpuri f ˘ar˘a constrângere 65
De asemenea, Hamiltonianul este:
H(p,f) =p˙fL=1
2p2(x) +1
2(5f(x))2+m2
2f2(x) +g
3!f3(x) (3.20)
Dac˘ a înlocuim rela¸ tia 3.20în rela¸ tia 3.16vom ob¸ tine:
S=Z
Õ
xDf(x)Dp(x)
2pexp
iZ
dx
p˙f1
2p21
2(5f2m2
2f2g
3!f3
(3.21)
Facem schimbarea de variabil˘ a p(x)!p(x) + ˙f(x). Dac˘ a ¸ tinem cont c˘ a Jacobianul
aceste transform˘ ari este 1, atunci ob¸ tinem expresia amplitudinii de tranzi¸ tie vid-vid sub
forma integralei de drum dup˘ a toate câmpurile.
S=Z
Õ
xDf(x)Dp(x)
2pexp
iZ
dx
p˙f+˙f21
2p21
2˙f2p˙f1
2(5f)2m2
2f29
3!f3
S=Z
Õ
xDf(x)Dp(x)
2pexp
iZ
dx1
2˙f21
2p21
2(5f)2m2
2f29
3!f3
Am notat N=R
ÕxDp(x)
2pexp
i
2R
dxp2(x)].
Rezult˘ a:
S=NZ
Õ
xDf(x)expfiZ
dxL(f(x),¶mf(x)]g. ( 3.22)
Ecua¸ tia 3.22se poate aplica pentru un Lagrangia arbitrar pentru interac¸ tiunea propie
a unui câmp f˘ ar˘ a derivate.
3.1.4Câmpurile fermionice
Putem ob¸ tine prin aceea¸ si metod˘ a amplitudinea de tranzi¸ tie vid-vid sub forma integralei
de drum dup˘ a toate câmpurile pentru câmpurile fermionice.
Pentru câmpul Dirac fermionic liber avem:
S=NZ
Õ
xDy(x)Dy(x)expfiZ
dx[iy(x)gm¶m(x)My(x)y(x)]g(3.220)
Trebuie pus accentul pe faptul ca integrarea se face dup˘ a variabilele independente
necomutative, câmpurile fermionice y(x)¸ siy(x).
Deoarece opera¸ tiile cu variabile anticomutative au propriet˘ a¸ ti diferite vom lua ca
exemplu cazul general când avem un num˘ ar mare de variabile anticomutative (h1, …,hn)
¸ si cazul când avem mai multe seturi de variabile mixte (ni,ai).
Pentru dou˘ a variabile h1,h2se pot scrie urm˘ atoarele rela¸ tii de comutativitate:
[h1,h2]h1h2+h2h1=0) (3.23)
)h2
1=h2
2=0 ( 3.24)
Rezult˘ a c˘ a o func¸ tie de variabile h1,h2poate ﬁ liniar˘ a, polinomial˘ a ¸ si ﬁnit˘ a în ambele
variabile h1¸ sih2:
f(h1,h2) =a0+a1h1+a2h2+a12h1h2 (3.25)
Derivata func¸ tiei f(h1,h2)în raport cu h1¸ sih2se scrie dup˘ a formula:
¶
¶hihk=dik (3.26)

3.2 câmpuri cu constrângeri 66
Prin deﬁni¸ tie, derivatele în raport cu h1¸ sih2anticomut˘ a:
¶
¶h1¶
¶h2=¶
¶h1¶
¶h2(3.27)
Pe de alt˘ a parte,
[¶
¶hkhk]+=¶
¶hkhm+hm¶
¶hk=0,k6=m
Exist˘ a urm˘ atoarea rela¸ tie de comutativitate între diferen¸ tialele variabilelor h1¸ sih2:
[dhk,dhm]dhkdhm+dhmdhk=0 ( 3.28)
¸ Tinând cont de 3.28, integrala dup˘ a variabilele h1¸ sih2are urm˘ atoarea form˘ a:
Z
dhk=0 ( 3.29)
Z
dhmhk=dkm (3.30)
O s˘ a avem de exemplu,
Z
dh1f(h1,h2) =Z
h1(a0+a1h1+a2h2+a12h1h2) =a1+a12h2
Regula de schimbare în integrale dup˘ a variabilele anticomutative este urm˘ atoarea
hi=aijxj
Õ
idhi= (deta)1Õ
izi
Variabilele ¸ si diferen¸ tialele se transform˘ a cu ajutorul matricilor inversabile.
De exemplu,
Z
h1h2dh1dh2=det(a)[det(a)]1Z
dx1dx2x1x2=Z
dx1dx2x1x2
3.2 câmpuri cu constrângeri
3.2.1Sisteme cu un num˘ ar ﬁnit de grade de libertate
Dac˘ a avem un sistem cu n grade de liberatate descris de coordonatele canonice qi¸ si
impulsurile pi, cu i=i,n.
Se impun m constrângeri asupra sistemului astfel încât variabilele qi¸ sipitrebuie s˘ a
satisfac˘ a ecua¸ tiile:
fa(pi,qi) =0,a=i,m (3.31)
Trebuie s˘ a g˘ asim expresia matricei elementelor pentru operatorul evolu¸ tie sub forma
integralelor de drum ¸ tinând cont de aceste constrângeri pentru un sistem hamiltonian
generalizat.
Nu putem explica ecu¸ tia 3.13în contextul unui sistem cu constrângeri din cauza
prezen¸ tei variabilelor canonice independente qi¸ sipi. Va trebui sa modiﬁc˘ am ecua¸ tia
3.13cu ajutorul unui formalism.
În primul rând, trebuie sa ob¸ tinem matricea elementelor operatorului evolu¸ tie pentru
integrala de drum care are numai variabile independente. Aceast˘ a integral˘ a se reduce
mai apoi la o integral˘ a dup˘ a toate variabilele canonice, constrângerile ﬁind incluse ca
factori func¸ tionali în masura de integrare. Prin urmare, nu mai trebuie sa rezolv˘ am
ecua¸ tiile cu constrângeri.

3.2 câmpuri cu constrângeri 67
3.2.2Constrângeri primare ¸ si secundare. Constrângeri subsidiare
Se consider˘ a un sistem caracterizat de Hamiltonianul H( pi,qi). Constrângerile sistemului
vor ﬁ impuse de multiplicatorii Lagrange lambda 0.
Ecua¸ tiile canonice de mi¸ scare se ob¸ tin prin varia¸ tia ac¸ tiunii:
Z
dit[pi˙qiH0(pi,qi)], ( 3.32)
H0(pi,qi) =H(pi,qi) +m
å
a=1lafa(pi,qi)
Dup˘ a aceea se scriu sub forma
˙qi=¶H0
¶pi=¶H
¶pi+m
å
a=1la¶ya
¶pi(3.33)
˙pi=¶H0
¶qi=¶H
¶qim
å
a=1la¶ya
¶qi
Pentru o func¸ tie arbitrar˘ a f( pi,qi) derivata func¸ tiei va ﬁ:
˙f(pi,qi) =¶f
¶qi˙qi+¶f
¶pi˙pi=fH,fg+m
å
a=1lafya,fg (3.34)
Variabilele qi¸ sipinu variaz˘ a independent astfel încât trebuiesc satisf˘ acute anumite
condi¸ tii de compatibilitate pentru ecua¸ tiile de mi¸ scare ¸ si ecua¸ tiile de constrângere pentru
ca problema s˘ a ﬁe self-consistent.
Constrângerile din rela¸ tia 3.31sunt independente temporal:
fa(pi,qi) =0
Dac˘ a înlocuim f(pi,qi) =fa(pi,qi)în3.34ajungem la condi¸ tiile de consisten¸ t˘ a:
fH,fag+m
å
b=1lbffa,fbg=0 ( 3.35)
Pentru a g˘ asi condi¸ tiile de consisten¸ t˘ a avem 3cazuri:
1. Condi¸ tiile 3.35sunt îndeplinite dac˘ a ambele paranteze Poisson sunt 0astfel încât
condi¸ tiile de consisten¸ t˘ a se reduc la
ffa,fbg=m
å
c=1cabcfc,fH,fag=m
å
c=1cabfb (3.36)
2. Dac˘ afFa,Fbg=0, iarfH,Fag=F1a,atunci F1atrebuie s˘ a ﬁe egalat cu 0pentru
a satisface condi¸ tia 3.35.F1aeste independent de prin urmare condi¸ tia de consisten¸ t˘ a se
scrie în modul urm˘ ator
F1a(pi,qi) =0 ( 3.37)
Ultima egalitate impune condi¸ tii suplimentare variabilelor qi¸ sipi.
Dirac a numit constrângerile determinate de 3.31constrângeri primare ¸ si cele deter-
minate de 3.37constrângeri secundare. Prin deﬁni¸ tie, constrângerile secundare nu pot ﬁ
reduse la constrângeri primare.
Constrângerile secundare F1a, trebuie sa satisfac˘ a condi¸ tia:
˙F1a(pi,qi) =fH,F1ag+m0
å
b=1lbfF2b,F2ag=0.
Dac˘ afH,F1ag6=0 ¸ sifH,F1ag=F2aatunci trebuie s˘ a introducem constrângeri se-
cundare suplimentare, atunci avem . Astfel vom avea mai multe constrângeri secundare

3.2 câmpuri cu constrângeri 68
de tipul 3.37.
3. Dac˘ a ambele paranteze Poisson sunt diferite de 0, atunci ¸ tinând cont de condi¸ tia
3.35vom ob¸ tine un sistem de ecua¸ tii liniare neomogene în raport cu coeﬁcien¸ tii necunos-
cu¸ tila.
Solu¸ tia generala a acestui sistem de ecua¸ tii poate ﬁ scris˘ a ca o sum˘ a de solu¸ tii
la=La+å
avbVba
vasunt coeﬁcien¸ ti arbitrari.
Dac˘ a num˘ arul coeﬁcien¸ tilor vbeste mai mic decât num˘ arul coeﬁcien¸ tilor la, atunci o
parte din coeﬁcien¸ tii lanu vor ﬁ arbitrari.
Mai departe, consider˘ am cayul în care ambele paranteze Poisson sunt 0¸ si to¸ ti coeﬁ-
cien¸ tii lambdaa sunt arbitrari. Prin urmare, variabilele f( pi,qi;t) la orice moment de timp
nu sunt unic determinate de valorile lor ini¸ tiale.
Se consider˘ a variabila f( pi,qi;t) la momentul t. Valoarea acestuia dupa intervalul de
timp dt, unde dteste o varia¸ tie inﬁnitezimal˘ a de timp, o s˘ a ﬁe
f(pi,qi;t+dt) = f(pi,qi;t) +dt˙f(pi,qi;t) =
=f(pi,qi;t) +dt¶f
¶qi˙qi+¶f
¶pi˙pi
=f(pi,qi;t) +dt(fH,fg+m
å
a=1laffa,fg)
=f(pi,qi;t) +dtfH,fg+dtm
å
a=1laffa,f(pi,qi;t)
Dac˘ a consider˘ am alte valori pentru lambdaa, pe care le notam l0
a, atunci ob¸ tinem:
Df(pi,qi;t+dt) =dtm
å
a=1(lal0
a)ffa,d(pq,qi;t)
Dac˘ a variem coeﬁcien¸ tii la, atunci la un moment dat g˘ asim un set de valori pentru
variabila f( pi,qi;t), care s˘ a corespund˘ a unei singure valori ini¸ tiale.
Setul de valori corespunz˘ ator lui f pentru to¸ ti coeﬁcien¸ tii lambdaa se nume¸ ste orbit˘ a.
Pentru toate momentele de timp vom ob¸ tine un set de orbite.
Cu toate acestea, toate valorile unei variabile dinamice de pe o orbita sunt de fapt
acelea¸ si, deci este suﬁcient s˘ a ﬁx˘ am numai o singur˘ a valoare a lui a pe orbit˘ a. Pentru
acest lucru impunem sistemului urm˘ atoarele condi¸ tii subsidiare:
cb(pi,qi) =0 ( 3.38)
Pentru ca cbs˘ a corespund˘ a unei valori unice la, condi¸ tiile subsidiare trebuie s˘ a înde-
plineasc˘ a anumite condi¸ tii. Pentru a g˘ asi aceste limite substituim func¸ tiile cb(pi,qi)
în3.34. Drept urmare, ajungem la condi¸ tiile de compatibilitate de tipul 3.35
˙chiv=fH,cbg+m
å
a=1laffa,cbg=0
Pentru a g˘ asi valoarea lui lambdaa vom considera al treilea caz, ffa,cbg6=0 ¸ si vom
ob¸ tine un set de ecua¸ tii pentru lacare se va rezolva în mod unic pentru un singur la
dac˘ a:
a) num˘ arul de constrângeri faeste egal cu num˘ arul de constrângeri subsidiare cb;
b) este satisf˘ acut˘ a rela¸ tia
detjffa,cbgj6=0,a=b=1, 2, …, m; ( 3.39)
În alt˘ a ordine de idei, cel mai convenabil este s˘ a alegem func¸ tiile cb(pi,qi)astfel
încât:
fca,cbg=0 ( 3.40)
În continuare consider˘ am c˘ a asupra sistemului se aplic˘ a m constrângeri de tipul ??
¸ si m constrângeri subsidiare. Prin urmare, variabilele vor satisface 2m condi¸ tii, ﬁind
deﬁnite de subspa¸ tiul Gcare are dimensiunea 2(n-m) în spa¸ tiul Gcu dimensiunea 2n.

3.2 câmpuri cu constrângeri 69
3.2.3Dinamica in spa¸ tiul G
În spa¸ tiul G,2(n-m) variabilele independente canonice, p
b¸ si cu q
bcu b=m+ 1,…,n, se pot
introduce ca s˘ a satisfac˘ a ecua¸ tiile lui Hamilton cu hamiltonianul H care s-a ob¸ tinut de la
Hamiltonianul Himpreun˘ a cu rela¸ tiile 3.31¸ si3.38.
În spa¸ tiul Gpi¸ siqise transform˘ a în Pi¸ siQicui=1,n.
Cu ajutorul rela¸ tiei 3.40, func¸ tiile ca(pi,qi)se pot alege ca m impulsuri noi:
ca=Pa,a=1,m
Qareprezin˘ a coordonatele conjugate.
Coordonatele ¸ si impulsurile canonice r˘ amase se noteaz˘ a în modul urm˘ ator:
Pb=p
b;Qb=q
b,b=m+1, …, n
Variabilele Pi¸ siQisunt variabile canonice ¸ si îndeplinesc urm˘ atoarele rela¸ tii:
fQi,Qkgp,q=0 ( 3.41)
fPi,Pkgp,q=0
fPi,Qkgp,q=0
fca,ccgp,q=fca,ccgP,Q=f¶a,ccgP,Q=å
idai¶fc
¶Qi=¶fc
¶Qa
det¶fc(P,q)
¶Qa6=0 ( 3.42)
Din ultimile dou˘ a rela¸ tii iese c˘ a ecua¸ tiile de constrângere 3.31se rezolv˘ a în func¸ tie de
coordonatele Qa, sub forma Qa=Qa(p
b,q
b).
Observa¸ tie: în subspa¸ tiul G, impulsul Paeste nul.
Hamiltonianul sistemului este
H(p
b,q
b) =H(pi,qi)fa=0,ca=0 (3.43)
În cazul acesta, ecua¸ tiile de mi¸ scare 3.33se rescriu în func¸ tie de noile variabile cano-
nice Pa,Qa,p
b¸ siq
b:
˙q
b=¶H(Pa,Qa,p
b,q
b)
¶p
b+å
ala¶H(Pa,Qa,p
b,q
b)
¶p
b, ( 3.44)
˙p
b=¶H
¶q
bå
ala¶fa
¶q
b,
˙Qa=¶H
¶Pa+å
clc¶fc
¶Pa,
˙Pa=˙c=¶H
¶Qaå
clc¶fc
¶Qa=0
Deoarece pentru a elimina ambiguitatea în privin¸ ta func¸ tiilor ca=0, am ales condi¸ ti-
ile subsidiare sub forma chi ,ultimile 3ecua¸ tii fac imposibil˘ a exprimarea lui laîn func¸ tie
de variabilele p
b¸ siq
b.
Din ecua¸ tia reiese 3.43:
8
><
>:¶H
¶q
b=¶H
¶q
b+¶H
¶Qa(p,q)¶Qa(p,q)
¶q
b
fa=0
Din 3.44)¶H
¶Qa=åclc¶fc
¶Qa

3.2 câmpuri cu constrângeri 70
)¶H
¶q
b=¶H
¶q
bå
clc¶fc
¶Qa¶Qa
¶q
b)
)¶H
¶q
b=¶H
¶q
b+å
ala¶fa
¶q
bsi din 3.44)
)˙p
b=¶H(p,q)
¶q
b
Ecua¸ tia pentru q
bse g˘ ase¸ ste asem˘ an˘ ator. Ecua¸ tiile lui Hamilton pentru sistemul G
cu2(n-m) variabile independente vor ﬁ:
˙q
b=¶H(p,q)
¶p
b(3.45)
˙p
b=¶H(p,q)
¶q
b
Prin urmare, un sistem hamiltonian cu 2n variabile independente pi ¸ si qi supus la m
constrângeri ¸ si m condi¸ tii subsidiare poate ﬁ redus la un sistem hamiltonian cu 2(n-m)
variabile independente p
b¸ siq
b.
3.2.4Amplitudinea de tranzi¸ tie
Amplitudinea de tranzi¸ tie pentru un sistem cu constrângeri poate ﬁ exprimat˘ a sub forma
integralei de drum. Pentru aceasta trebuie sa rezolv˘ am ecua¸ tiile cu constrângeri ¸ si ecu-
a¸ tiile cu constrângeri subsidiare în raport cu variabilele canonice suplimentare p¸ siq.
Utilizând rela¸ tia 3.43avem:
<q00
1, …,q00
n;tjq0
1, …,q0
n;t0>=Z
Õ
t,bDp
bDq
b(t)
2pexp
iZt00
t0dtm
å
n=m+1Pa˙Qa+m
å
b=m+p
b˙q
bH(Qa(p
b,q
b),q
b, 0,p
b)
(3.46)
Pentru a evita rezolvarea ecua¸ tiilor cu constrângeri putem trece de la variabilele p
b,
q
bla variabilele originale pi¸ siqi, astfel încât rescriem ecua¸ tia 3.46
<q00
1, …,q00
n;tjq0
1, …,q0
n;t0>=Z
Õ
t,bDp
bDq
b(t)
2pm
Õ
a=1DPa(t)DQa(t)b(t)
2pd(Pa)d(QaQa(p
b,q
b)
(3.47)
exp
iZt00
t0dtm
å
a=1Pa˙Qa+m
å
b=m+1p
b˙q
bH(Pa,Qa,p
b,q
b)
¸ Tinând cont de faptul c˘ a: d(QaQa(p,q)) = det¶fc
¶Qad(fc)rela¸ tia devine:
<q00
1, …,q00
n;tjq0
1, …,q0
n;t0>=Z
Õ
tDm(Pi(t),Qi(t))exp
iZt00
t0dtm
å
a=1Pa˙Qa+m
å
b=m+1p
b˙q
bH(Pa,Qa,p
b,q
b)
(3.48)
Dm(Pi(t),Qi(t)) =Õ
t,bDp
bDq
b(t)
2pÕ
a,c=1DPa(t)DQa(t)d(Pa)d(fc)det¶fc
¶Qa
Vom face transformarea canonic˘ a din variabilele Pi,Qiîn variabilele pi,qi.

3.2 câmpuri cu constrângeri 71
Conform teoremei lui Storm Liouville, ÕDPiDQi¸ siÕDpiDqisunt invariante ¸ si va-
riabilele canonice pi¸ siqisunt legate de variabilele canonice Pi,Qiprin func¸ tia F(p, q)
pentru care:
dF=å
ipidqi+å
iQidPi+ (H0H)dt
pi=¶F
¶qi,
Qi=¶F
¶Pi
H0=h+¶F
¶t
H este Hamiltonianul pentru variabilele Pi,Qi;
H’ este Hamiltonianul pentru variabilele pi,qi.
Observa¸ tie: func¸ tia F nu depinde explicit de timp.
H0=H)
)(å
ipi˙qiH)dt=å
i(Pi˙Qih)dt+d(Få
iPiQi)Z
)Zt00
t0(å
ipi˙qiH)dt=Zt00
t0(å
iPi˙QiH)dt(Få
iPiQi)t00
t0
Înlocuim ultima formul˘ a în rela¸ tia 3.48. Ultimul termen va schimba integrandul
numai la limitele de integrare. Acest termen poate ﬁ omis din integrand ca factor. Astfel
se ob¸ tine expresia c˘ autat˘ a pentru integrala de drum dup˘ a variabilele pi,qi:
<q00
1, …,q00
n;tjq0
1, …,q0
n;t0>=Z
Õ
tDm(q(t),p(t))exp
iZt00
t0dt
å
ipi˙qiH(pi,qi)
(3.49)
Dm(q(t),p(t)) =Õ
a,cd(ca)d(fc)detjfca,fcgjn
Õ
i=1Dpi(t)Dqi(t)
(2p)nm(3.50)
S-a omis rezolvarea ecua¸ tiilor cu constrângeri deoarece în integrala de drum pe care
am ob¸ tinut-o pentru amplitudine, integrarea se efectueaz˘ a dup˘ a toate variabilele cano-
nice pi,qi, în timp ce constrângerile sunt incorporate în m˘ asura de integrare.
Expresia amplitudinii în func¸ tie de integrala de drum este:
<q00
1, …,q00
n;tjq0
1, …,q0
n;t0>=Z
Õ
tm
Õ
a,c=1d(ca)detjfca,fcgjn
Õ
i=1Dpi(t)Dqi(t)
(2p)nmDlc(t)
2p
(3.51)
exp
iZt00
t0dt
å
ipi˙qiH(pi,qi)m
å
a=1lafa
3.2.5Câmpul electromagnetic
Mai departe vom analiza sisteme constrânse cu un num˘ ar inﬁnit de grade de liber-
tate cum ar ﬁ câmpurile gauge, câmpul electromagnetic sau câmpul Yang-Mills. Am-
plitudinea de tranzi¸ tie pentru aceste câmpuri se ob¸ tine la fel ca pentru cele care nu au
constrângeri.
În primul rând, trebuie s˘ a pornim de la expresia amplitudinii sistemului cu un nu-
m˘ ar ﬁnit de grade de libertate ¸ si mai departe, vom generaliza pentru un num˘ ar inﬁnit
de grade de libertate.

3.2 câmpuri cu constrângeri 72
Pentru început, consider˘ am câmpul electromagnetic liber.
În cazul acesta alegem ca variabile independente câmpul Am(x)¸ si tensorul Fmn(x)
astfel încât sa ob¸ tinem Lagrangianul:
Le=1
2(¶mAn¶nAm1
2Fmn)Fmn (3.52)
Rescriem Lagrangrianul în 3dimensiuni astfel încât m=0,k;n=0,l;cuk,l=1, 2, 3.
Observa¸ tie se omit divergen¸ tele întregi ¸ si nu scrie scrie explicit dependen¸ ta de A0¸ si
E0.
Le=Ek˙AkH(Ek,Ak); ( 3.53)
Ak(x)¸ siEk(x)sunt variabile canonic conjugate care au paranteza Poisson:
fEk(x),Al(y)g=dkld(xy) (3.54)
˙Ak=¶0Ak
Ek=Fk0
H(Ek,Ak) =1
2(E2
k+G2
k)l
Gk=1
2#ijkFji
În acest caz, Am(x)va ﬁ coordonata generalizat˘ a ¸ si Bm(x) = Fm0(x) = Em(x)va ﬁ
impulsul generalizat.
Prima constrângere este dat˘ a de egalitatea:
B0(x) =E0(x) =0
Trei alte momente Bk(x)sunt egale cu componentele Ek(x)ale câmpului electric.
Deoarece Z
d3xH(Ek,Ak),E0(x)
=¶kEk, ( 3.55)
condi¸ tia de consisten¸ ta implic˘ a faptul c˘ a a doua constrângere este dat˘ a de ¶kEk=0
¸ si satisface condi¸ tiile:
f¶kEk(x),¶kEk(y)g=0 ( 3.56)
Z
d3xH(Ek,Ak),¶iEi(y)
=0 ( 3.57)
Observa¸ tie: nu mai avem nicio constrângere secundar˘ a suplimentar˘ a.
Câmpul electromagnetic este un câmp cu constrângeri primare E0(x) = 0 ¸ si cu con-
strângeri secundare ¶kEk(x) =0, ceea ce inseamn˘ a c˘ a nu mai avem paranteze Poisson.
Trebuie s˘ a g˘ asim condi¸ tiile subsidiare sau cum ne numesc în teoria câmpurilor, con-
di¸ tiile gauge. În acest caz, condi¸ tiile gauge sunt asem˘ an˘ atoare cu cele pentru un sistem
cu num˘ ar ﬁnit de grade de libertate.
Transform˘ arile ﬁnite pentru câmpurile gauge Ak
m(x), au forma:
Am(x)!Aw
m(x) =w(x)Am(x)w1(x) +w1(x)¶mw(x)
unde w(x)sunt elementele grupului gauge deﬁnite astfel:
w(x) =1+#k(x)Tk(3.58)
Pentru aceste transform˘ ari într-un punct dat x corespunde o clas˘ a de câmpuri sau o
orbit˘ a un set de câmpuri Akw
mcuw(x).

3.2 câmpuri cu constrângeri 73
Invaria¸ ta gauge inseamn˘ a c˘ a Akw
m(x)¸ siAkw0
m(x)descriu acelea¸ si st˘ ari ﬁzice. Prin ur-
mare, o stare ﬁzic˘ a nu este descris˘ a numai de un set de câmpuri Ak
m(x), ci de seturi
echivalente Akw
m(x).
În practic˘ a, pentru câmpuri gauge echivalente este suﬁcient s˘ a alegem un singur
reprezentant din ﬁecare clas˘ a. Pentru aceasta trebuie s˘ a impunem condi¸ tiile gauge.
Urm˘ atoarele condi¸ tiile gauge sunt cel mai des utilizate în electrodinamic˘ a:
¶kAk(x) =0,k=1, 2, 3 condi¸ tia gauge Coulomb ( 3.59)
¶mAm(x) =0,k=1, 2, 3 condi¸ tia gauge Lorentz ( 3.60)
A0(x) =0 condi¸ tia gauge Hamilton ( 3.61)
Din condi¸ tia gauge trebuie s˘ a rezulte un set de ecua¸ tii pentru func¸ tiile care au o so-
lu¸ tie unic˘ a.
O orbit˘ a poate ﬁ considerat˘ a ca o linie ale c˘ arei puncte sunt echivalente ¸ si pot ﬁ
transformate unele în altele prin intermediul transform˘ arilor gauge.
Condi¸ tiile gauge pot ﬁ reprezentate ca o suprafa¸ t˘ a care intersecteaz˘ a ﬁecare orbit˘ a o
singur˘ a dat˘ a:
Observa¸ tie: num˘ arul de condi¸ tii gauge trebuie s˘ a ﬁe egal cu num˘ arul de constrângeri.
Consider˘ am constrângerea ¶kEk=0 c˘ areia îi asociem condi¸ tia gauge Coulomb pentru
aceasta condi¸ tiile se scriu:
f¶kAk(x),¶iAi(y) =0, ( 3.62)
f¶kEk(x),¶iEi(y) =¶k¶kd(xy) =4d(xy) =Mecd(xy) (3.63)
În teoria perturba¸ tiei, Laplacianul este reversibil ¸ si detjf¶kEk,¶iAigj6=0. Astfel spus,
în teoria perturba¸ tiei rela¸ tia 3.59îndepline¸ ste condi¸ tia de unicitate. Dac˘ a teoria pertur-
ba¸ tiei nu poate ﬁ aplicat˘ a atunci solu¸ tia s-ar putea s˘ a nu ﬁe unic˘ a.
Putem face o analiz˘ a asem˘ an˘ atoare pentru a doua constrângere E0=0, dac˘ a îi aso-
ciem ¸ si egalitatea A0=0.
¸ Tinând cont de constrângeri, de condi¸ tia gauge aleas˘ a ¸ si de relatia 3.49, atunci avem
amplitudinea de tranzi¸ tie pentru câmpul electromagnetic liber exprimat˘ a sub forma in-
tegralei de drum dup˘ a variabilele canonice Ak(x),Ek(x),A0(x),E0(x):
S=Z
Õ
xÕ
kDAk(x)DEk(x)DA0(x)DE0(x)d(¶kAk(x))d(¶kEk(x)detjMecj (3.64)
d(A0(x))dE0(x)expfiZ
dx[Ek˙Ak+E0˙A0H(Ek,Ak,E0,A0)]g
)S=Z
Õ
xDAm(x)d(¶kAk(x)expfiZ
dxLe(x)g
Lagrangianul Leeste determinat de rela¸ tia 3.52.

3.2 câmpuri cu constrângeri 74
Operatorul Mec este independent de Ak(x)astfel încât determinantul s˘ au poate ﬁ
inclus în factorul de normalizare, care a fost omis.
Putem integra dup˘ a d(A0)¸ sid(E0)deoarece amplitudinea se exprim˘ a ¸ si în func¸ tie de
varia¸ tiile inﬁnitezimale.
Expresia amplitudinii dat˘ a de rela¸ tia 3.54nu depinde direct de variabilele A0¸ siE0, de
aceea în rela¸ tia ﬁnal˘ a nu am scris explicit dependen¸ ta amplitudinii de aceste variabile.
3.2.6Câmpul Yang-Mills
Vom considera câmpul Yang-Mills din perspectiva simetriei SU2.
Pentru câmpul Yang-Mills Lagrangianul în cadrul formalismului de ordine I se scrie:
LYM=1
2
¶mAk
n¶nAk
mg
2#lmk(Ae
mAm
nAe
nAm
m)1
2Fk
mnbiggrgFk
mn (3.65)
Tridimensional Lagrangianul are urm˘ atoarea form˘ a:
LYM=Ek
i˙Ak
iH(Ek
i,Ak
i)
H(Ek
i,Ak
i) =1
2[(Ek
i)2+ (Gk
i)2]
Ek
i=Fk
i0
Gk
i=1
2#lijFk
jl
H(Ek
i,Ak
i) =Hamiltonianul
Ek
i(x)¸ siAk
i(x)sunt variabilele canonic conjugate care au parantezele Poisson
fEk
i(x),Al
k(x)g=dkldijd(xy)
Pentru câmpul Gauge constrângerile primare ¸ si secundare se scriu astfel:
Ek
0=0,
Ck(x) =¶iEk
i(x)g#klmAl
iEm
i=0
La rândul ei condi¸ tia secundar˘ a trebuie sa îndeplineasc˘ a urm˘ atoarele condi¸ tii:
fCk(x),Cl(y)g=g#klmCm(x)d(xy) (3.66)
fZ
d3xH(Ek
i,Gk
i),Cl(y)g=0
Deoarece nu exist˘ a constrângeri subsidiare secundare pentru câmpul gauge ambele
paranteze Poisson dispar.
Condi¸ tiile gauge pentru câmpul Yang-Mills sunt:
¶iAk
i(x) =0, condi¸ tia gauge Coulomb ( 3.67)
¶mAk
m(x) =0, condi¸ tia gauge Lorentz ( 3.68)
nmAk
m(x) =0, condi¸ tia gauge axial˘ a ( 3.69)
nmeste cudrivectorul unitate
Dac˘ a consider˘ am contrângerea Ck(x) =0 ¸ si condi¸ tia gauge Coulomb, atunci ecua¸ tiile
devin
f¶iAk
i(x),¶jAl
j(y)g=0 ( 3.70)
fCk(x),¶iAl
i(y)g= (4dkl+g#klmAm
i¶i)d(xy) =Mkl
YC(Am
i)d(xy).

3.2 câmpuri cu constrângeri 75
unde Mkl
YC(Am
i) =4dkl+g#klmAm
i¶i
În teoria pertuba¸ tiei operatorul este reversibil ceea înseamn˘ a c˘ a jMkl
YC(Am
i)j6=, deci
condi¸ tia de unicitate este satisf˘ acut˘ a.
Dac˘ a consideram constrângerea Ek
(x) = 0 si rela¸ tia Ak
0(x) = 0 putem s˘ a facem o
analiz˘ a asem˘ an˘ atoare.
Integrala de drum dup˘ a variabilele canonice este:
S=Z
Õ
x,kDAk
i(x)DEk
i(x)DAk
0(x)DEk
0(x)detjMkl
YC(Am
i)j (3.71)
d(¶iAk
i(x))d(Ck(x)d(Ak
0(x))d(Ek
0(x))
expfiZ
dx[Ek
i˙Ak
i+Ek
0˙Ak
0H(Ek
i,Ak
0,Ek
0,Ak
0]g
Integrala de drum dup˘ a toate câmpurile va avea forma:
S=Z
Õ
x,kDAk
m(x)d(¶iAk
i(x))detjMkl
YC(Am
i)jexp[iZ
dxLYM(x)] (3.72)
Un dezavantaj al integralelor de drum este c˘ a sunt neinvariante relativistic din cauza
condi¸ tiei gauge Coulomb care la rândul ei este neinvariant˘ a relativistic. Trecerea la
integrale invariante relativistic se face în cazul acesta prin trecerea de la condi¸ tia gauge
Coulomb la cea Lorentz.
Pentru aceasta se introduce func¸ tionala 4L(Ak
m(x))deﬁnit˘ a de rela¸ tia:
4L(Ak
m)Z
Õ
x,kDw(x)d(¶mAkw
m) =1 ( 3.73)
Dw(x)reprezint˘ a invariantul masurii de integrare în func¸ tie de grupul gauge:
D(ww0) =D(w0w) =D(w)
Dac˘ aD(x)este invariant implicit ¸ si func¸ tionala 4L(Ak
m(x))va ﬁ invariant gauge:
4L(Akw
m) =4L(Ak
m)
Dac˘ a înlocuim 3.73în3.72ob¸ tinem
S=Z
Õ
x,kDw(x)DAk
m(x)exp[idxLYM(x)]d(¶iAk
i(x))detjMkl
YC(Am
i)j4 L(Ak
m)d(¶mAkw
m(x)).
(3.74)
Introducem o alt˘ a func¸ tionala invariant˘ a gauge 4C(Ak
m)pe suprafa¸ ta ¶iAk
i=0 ¸ si
deﬁnit˘ a de
4C(Ak
m)Z
Õ
x,kDw(x)d(¶iAkw
i(x)) = 1 ( 3.75)
Func¸ tionala coincide 4C(Ak
m)cu determinantul func¸ tional detjMkl
YC(Am
i)j.
Din condi¸ tia ¶iAk
i=0 rezult˘ a c˘ a vecin˘ atatea elementului unitate are cea mai mare
contribu¸ tie la integral˘ a.
Dac˘ a dezvolt˘ am în serie în aceast˘ a vecin˘ atate ob¸ tinem:
Z
Õ
x,kDw(x)d(¶iAkw(x)) =Z
Õ
x,kD#k(x)d(Mkl
YC#l(x)) (3.76)
Pentru a calcula integrala ¸ stim c˘ a:
Mkl
YC#l(x) =l#k(x);d(l#) =jlj1d(#)
¸ si înlocuim în rela¸ tia 3.76
Z
Õ
x,kD#k(x)d(Mkl
YC#l(x)) =Õx,kjlj1(3.77)

3.2 câmpuri cu constrângeri 76
Produsul operatorului este egal cu determinantul matricei:
Õ
x,kjlj1= (detjMkl
YC(Ak
i)j)1(3.78)
Din ultimile rela¸ tii ob¸ tinem:
4C(Ak
m)j¶iAk
i=0=detjMkl
YC(Ak
i)j (3.79)
Dac˘ a înlocuim rela¸ tia 3.79în rela¸ tia 3.74¸ si facem schimbarea de variabil˘ a care are
Jacobianul egal cu unitatea, ob¸ tinem cu ajutorul ac¸ tiunii gauge-invariante ¸ si a func¸ tiona-
lelor4L¸ si4C:
S=Z
Õ
x,kDw(x)DAk
m(x)expfiZ
dxLYM(x)gd(¶mAk
m)4L(Ak
m)d(¶iAkw1)4C(Ak
m)
Dac˘ a mai facem înc˘ a o schimbare de variabil˘ a ¸ si ¸ tinem cont de rela¸ tia 3.75atunci re-
zult˘ a expresia amplitudinii de tranzi¸ tie pentru câmpul gauge în condi¸ tia gauge Lorentz.
S=Z
Õ
x,kDAk
m(x)4L(Ak
m(x))d(¶mAk
m(x))exp[iZ
dxLYM(x)] (3.80)
Pentru ¶mAk
m=0 ob¸ tinem o rela¸ tie asem˘ an˘ atoare cu 3.79
4L(Ak
m(x)) = detjdkl+g#klmAm
m(x)¶mj (3.81)
4L(Ak
mse poate exprima ca o integrala de drum dup˘ a câmpurile scalare necomutative
Ck(x)¸ siCk(x)care se mai numesc ¸ si fantomele Faddeev-Popov
4L(Ak
m=Z
Õ
x,kDck(x)Dck(x)expfiZ
dx[ckck+g fklmckAm
m¶mcl]g (3.82)
Introducem urm˘ atoarea integral˘ a:
I=Z
Õ
x,kDck(x)Dck(x)expfiZ
dxdyck(x)Mkl
YL(Ak
m)cl(y)g (3.83)
Facem schimb˘ arile de variabile:
ck(x) =xk(x)
Mkl
YL(Ak
m)cl(x) =xk(x)
¸ Tinând cont de regula de schimbare a variabilelor anticomutative, integrala se poate
scrie:
I=detjMkl
YL(Ak
mj
Putem proceda asem˘ an˘ ator pentru a trece de la condi¸ tia gauge Coulomb la condi¸ tia
gauge Lorentz în integralele.
În acest caz func¸ tionalele 4C¸ si4Lsunt independente de câmpul gauge Am(x). Prin
urmare,4C¸ si4Lpot ﬁ scoase din integrand.
Amplitudinea de tranzi¸ tie pentru câmpul electromagnetic liber în condi¸ tia gauge
Lorentz se scrie astfel:
S=Z
Õ
xDAm(x)exp[iZ
dxLe(x)]d(¶mAm(x)) (3.84)
Putem ob¸ tine asem˘ an˘ ator expresii invariante relativist pentru amplitudinea câmpului
gauge:
¶mAk
m(x) =ak(x) (3.85)
Se introduce func¸ tionala deﬁnit˘ a:
4a(Ak
m)Z
Õ
x,kDw(x)d[¶mAkw
m(x)ak(x)] = 1

3.3 func ¸ tiile green 77
Pe suprafa¸ ta ¶mAk
m(x) =ak(x)avem deﬁnit˘ a rela¸ tia:
4a(Ak
m) =detjdkl+g#klm(Am
m¶m+¶mAm
m)j
Notam cu Ma=dkl+g#klm(Am
m¶m+¶mAm
m).
Prin urmare, amplitudinea se scrie astfel:
S=Z
Õ
x,kDAk
m(x)d(¶mAk
m(x)ak(x)detjMajexp(iZ
dx1
4Fk
mnFk
mn)
Determinantul nu depinde de ak(x)de unde rezult˘ a c˘ a putem integra ultima formula
dup˘ a ak(x):
S=Z
Õ
x,kDAk
m(x)detjMajexp
iZ
dx
1
4Fk
mnFk
mn1
2a(¶mAk
m)2
Pentru teoriile gauge neabeliene, pentru anumite alegeri ale gauge-urilor nu apar
st˘ ari fantom˘ a.
S-au ob¸ tinut expresiile amplitudinii pentru tranzi¸ tia vid-vid. Un interes practic este
pentru tranzi¸ tiile unui sistem cu particule ini¸ tial libere într-un sistem cu particule libere.
Elemenetele matricei S descriu astfel de tranzi¸ tii.
Mai departe dorim sa g˘ asim expresia elementului matrice al matricei S iar pe de alta
parte, expresia amplitudinii de tranzi¸ tie între dou˘ a st˘ ari în func¸ tie de integrala de drum
cu ajutorul func¸ tiilor Green.
3.3 func ¸ tiile green
Func¸ tiile lui Green pot ﬁ exprimate în func¸ tie de valoarea a¸ steptat˘ a a vidului, produ-
sul operatorilor câmp ordonându-se cronologic adic˘ a astfel încât argumentul s˘ a creasc˘ a
de la drepta la stânga.
De exemplu, produsul cronologic a doi operatori ai unui câmp scalar arbitrar este:
T(f(x),f(y)) = f(x),f(y)pentru x0>y0;
T(f(x),f(y)) = f(y),f(x)pentru x0<y0
În reprezentarea Heisenberg func¸ tia Green descrie propagarea unei particule între
dou˘ a puncte arbitrare x1¸ six2
i<0jT(f(x1),f(x2))j0>=func¸ tie de propagare sau propagator ( 3.86)
Putem reprezenta graﬁc func¸ tia propagator pentru dou˘ a puncte astfel:
Func¸ tia Green care descrie propagarea unei particule în trei puncte va avea un opera-
tor câmp suplimentar:
i<0jT(f(x1),f(x3),f(x3))j0>=func¸ tie Green cu 3operatori ( 3.87)
Func¸ tiile Green pentru un num˘ ar mai mare de operatori de câmp se deﬁnesc dup˘ a
rela¸ tia:
i<0jT(f(x1),f(x2),f(x3), …,f(xin)j0>=func¸ tie Green cu n operatori

3.3 func ¸ tiile green 78
Func¸ tiile Green se pot exprima ¸ si ca integrale de drum, astfel pentru func¸ tia de pro-
pagare ob¸ tinem:
i<0jT(f(x1),f(x2))j0>=iZ
Õ
xDf(x)[f(x1)f(x2)exp
iZ
dxL(x)
] (3.88)
Pentru func¸ tiile Green cu un num˘ ar arbitrar de operatori putem scrie ultima rela¸ tie
într-un mod general:
i<0jT(f(x1),f(x2), …f(xn))j0>=iZ
Õ
xDf(x)[f(x1)f(x2), …,f(xn)exp
iZ
dxL(x)
]
Observa¸ tie: Dac˘ a se elimin˘ a produsul f(x1)f(x2)din rela¸ tia 3.88, aceasta se reduce
la expresia ecua¸ tiei 3.22.
3.3.1Func¸ tionala generat˘ a W(J)
Pentru a deriva func¸ tiile Green folosim func¸ tionale generatoare astfel încât trebuie s˘ a
introducem pentru ﬁecare camp ui(x)o surs˘ a auxiliar˘ a, imaginar˘ a care s˘ a corespund˘ a
unui curent auxiliar Ji(x). Prin urmare, în formula Lagrangianului va ap˘ area produsul
Ji(x)ui(x), iar ac¸ tiunea devine o func¸ tional˘ a de Ji(x)cu forma:
Z
dxL0(x) =Z
dx[L(x) +Ji(x)ui(x)] (3.89)
Introducem func¸ tionala generatoare W(J) deﬁnit˘ a ca
W(J) =Z
Õ
xDm(u1(x), …,un(x))exp
idx
L(x) +u1(x)J1(x) +…+un(x)Jn(x)
(3.90)
D(ui(x))= m˘ asura de integrare
Dac˘ a deriv˘ am vara¸ tional în raport cu curent¸ tii func¸ tionala generatoare ¸ si trecem la
limita, vom gasi func¸ tiile Green:
<0jT(u1(x), …,un(x))j0>= (i)nd
dJ1(x1)…d
dJn(xn)W(J)
J1=…=Jn(3.91)
Dac˘ a particularizam pentru func¸ tia Green care descrie propagarea unui electron între
doua puncte ob¸ tinem:
G(x1x2) =id
dh(x1)d
dh(x2)W(J,h)
Jm=h=h=0(3.92)
Pentru func¸ tia Green care descrie propagarea unui foton între doua puncte ob¸ tinem
o rela¸ tie asem˘ an˘ atoare:
Dmn(x1x2) =id
dJm(x1)d
dJn(x2)W(J,h)
Jm=h=h=0
În alt˘ a ordine de idei, pentru func¸ tia Green care descrie propagarea unei particule
între 3puncte ob¸ tinem rela¸ tia:
4m(x1,x2;x3) = (i)2d
dh(x1)d
dh(x2)d
dJm(x3)W(J,h)biggrjJm=h=h=0 (3.93)
3.3.2Func¸ tiile Green în teoria perturba¸ tiei
Consider˘ am urm˘ atoarea form˘ a a Lagrangianului care descrie electrodinamica cuan-
tic˘ a:
L=1
4FmnFmn+iygm¶myMyyeygmyAm

3.3 func ¸ tiile green 79
Func¸ tionala generatoare va ﬁ:
W(J,h) =Z
DAm(x)Dy(x)Dy(x)d(¶mAm)exp[iZ
dx(L+JmAm+hy+yh)
Putem exprima ac¸ tiunea în urm˘ atorul mod:
Z
dxL(x) =Z
dxL0(x)ey(x)gmy(x)Am(x)
=Z
dxL0(x) +Z
dxLI(x)
L0reprezint˘ a Lagrangianul câmpurilor libere.
LIse nume¸ ste Lagrangianul interac¸ tiune dintre câmpul spinor ¸ si câmpul electromag-
netic.
Dac˘ a dezvolt˘ am în serie în raport cu constanta e rela¸ tia exp[iR
dxLI(x)]ajungem la
teoria pertuba¸ tiei:
exp[iZ
dxLI(x)] =¥
å
n=0in
n!Z
dx1Z
dx2…Z
dxnLI(x1)LI(x2)….LI(xn) (3.94)
Dac˘ a înlocuim rela¸ tia 3.94în rela¸ tia 3.93ob¸ tinem func¸ tia Green care descrie propaga-
rea electronului între dou˘ a puncte în teoria perturba¸ tiei:
G(xy) =id
dh(x)d
dh(x)Z
xDAm(x)Dy(x)Dy(x)d(¶mAm)
=exp
iZ
dx
L0+JmAm+hy+yh
1+iZ
LI(x)dx+i2
2Z
dxZ
dyLI(x)LI(y)
+i3
6Z
dxZ
dyZ
dzLI(x)LI(y)LI(z) +…
Jm=h=h=0
Diagramele Feynman asociatie func¸ tiei Green care descrie propagarea electronului
între dou˘ a puncte în teoria perturba¸ tiei pentru n sunt reprezentate mai jos:
Observa¸ tie: Func¸ tiile Green con¸ tin toate ordinele din teoria perturba¸ tiei.
În cazul a sunt diagrame deconectate care con¸ tin p˘ ar¸ ti deconectate de la linie. Aces-
tea corespund func¸ tiilor Green complete.
În cazul b diagramele sunt conectate, ﬁecare vertex poate ﬁ conectat de alt vertex
dac˘ a se mi¸ sc˘ a de-alungul liniilor graﬁcului ¸ si corespund func¸ tiilor Green conectate.
În cazul c avem diagrame ireductibile uniparticul˘ a care nu pot ﬁ transformate în gra-
ﬁce t˘ aind o singur˘ a linie, care corespund func¸ tiilor Green ireductibile.
Observa¸ tie: Diagramele din interiorul acoladelor con¸ tin tranzi¸ tii vid-vid. Aceste
tranzi¸ tii nu descriu împr˘ a¸ stierea particulelor, deci le vom ignora.
Putem utiliza faptul c˘ a diagramele func¸ tiilor Green pot ﬁ exprimate pentru toate gra-
dele de expansiune ca un produs de dou˘ a sume una con¸ tinând transformarea vid-vid ¸ si

3.3 func ¸ tiile green 80
alta f˘ ar˘ a aceste diagrame.
Func¸ tionala W descrie suma func¸ tiilor Green asociat˘ a cu diagramele de tranzi¸ tie vid-
vid. Dac˘ a dividem func¸ tionala generatoare W(J) prin W( 0) rezult˘ a o func¸ tional˘ a care nu
con¸ tine tranzi¸ tiile vid-vid.
3.3.3Func¸ tionala generatoare Z(J)
Introducem func¸ tionala generatoare W(J) ¸ si Y(J) deﬁnit˘ a ca
Z(J) =ilnW(J)
Trebuie s˘ a g˘ asim func¸ tia Green generat˘ a de func¸ tionala Z(J).
Începem prin a scrie expresia func¸ tiei Green cu 4operatori în teoria perturba¸ tiei:
id4Z(J)
dJ1dJ2dJ3dJ4
J=0=1
W(0d4W(J)
dJ1dJ2dJ3dJ4
J=01
W2(0d2W(J)
dJ1dJ2
J=0d2W(J)
dJ3dJ4
J=0(3.95)
1
W2(0d2W(J)
dJ1dJ3
J=0d2W(J)
dJ2dJ4
J=01
W2(0d2W(J)
dJ1dJ4
J=0d2W(J)
dJ3dJ2
J=0
Primul termen con¸ tine func¸ tii Green cu 4operatori conectate ¸ si deconectate ¸ si nu
con¸ tine func¸ tii Green care s˘ a descrie tranzi¸ tiile vid-vid.
Ultimii 3termeni sunt asocia¸ ti cu func¸ tiile Green deconectate ¸ si sunt extrase din pri-
mul termen. Deci vom avea numai func¸ tii Green conectate.
Observa¸ tie: Func¸ tiile Green cu un num˘ ar arbitrar de operatori au o structur˘ a similar˘ a.
Prin urmare, func¸ tionala Z este func¸ tionala generatoare pentru func¸ tiile Green conectate.
3.3.4Func¸ tionala generatoare
Consider˘ am diagramele uniparticul˘ a ireductibile ¸ si func¸ tiile Green corespunz˘ atoare
ale c˘ aror linii exterioare sunt ignorate. Aceste func¸ tii Green se numesc func¸ tii Green
vertex ¸ si putem s˘ a le atribuim func¸ tionala G(f).
Pentru o func¸ tional˘ a generatoare dat˘ a, Z(J), func¸ tionala generatoare G(fi)a func¸ tiei
Green vertex este determinat˘ a de rela¸ tia:
G(fi) =Z(Ji)Z
dxJ i(x)fi(x), ( 3.96)
unde am notat cu f(x) =¶Z(J)
¶JI(x)(3.97)
Expresia 3.96descrie transformarea func¸ tional˘ a Legendre care introduce argumentul
func¸ tional, fi(x), în locul argumentului Ji(x).
Dac˘ a deriv˘ am G(f)în raport cu fi(x)ob¸ tinem curentul Ji(x):
¶G(f)
¶fi(x)=Ji(x) (3.98)
Dac˘ a deriv˘ am a doua oar˘ a rezult˘ a
(i)2d2G(f)
dfi(x)=Xij(xy;f) (3.99)
Pentru fnul rela¸ tia anterioara se reduce la expresia propagatorului invers. A doua
derivat˘ a a func¸ tionalei Z(J) va ﬁ:
d2Z(J)
dJi(x)dJj(y)=X1
ij(xy;J) (3.100)

3.3 func ¸ tiile green 81
Pentru J nul ajungem din nou la expresia propagatorului.
Dac˘ a diferen¸ tiem relat¸ tiile în raport cu Ji(y)¸ sifj(y)¸ si transform˘ am expresiile g˘ asite
ob¸ tinem:Z
dyd2Z(J)
dJi(x)dJj(y)(i)2d2G(f)
dfi(x)=diKd(xz) (3.101)
Produsul dintre func¸ tia Green ¸ si inversa ei este o func¸ tie d, care descrie func¸ tia Green
cu doi operatori astfel încât va coincide cu propagatorul invers dac˘ a ¸ si numai dac˘ a J ¸ si f
sunt nule.
Dac˘ a diferen¸ tiem rela¸ tia 3.101 în raport cu JK(z), apoi dac˘ a deriv˘ am rela¸ tia 3.97în
func¸ tie de Jj(x)¸ si rela¸ tia 3.98în func¸ tie de vom ob¸ tine urm˘ atoarea expresie pentru deri-
vata a III-a func¸ tionalei Z(J) în raport cu Ji(x):
(i)2 d3Z(y)
dJi(x)Jj(y)JK(z)=Z
dzdxdhX1
il(xz;J) (3.102)
X1
jm(yxiJ)X1
Km(zh;J)(i)2 d3G(f)
dfl(z)dm(x)dfn(h)
Integrandul con¸ tine produsul a 3propagatori ¸ si a unei func¸ tii vertex cu 3operatori,
atunci când feste nul.
G(z,h,x) =(i)2d3G(f)
df(z)d(x)df(h)
Aceast˘ a rela¸ tie s-a ob¸ tinut din func¸ tia Green uniparticul˘ a ireductibil˘ a corespunz˘ a-
toare eliminând propagatorii externi.
Asem˘ an˘ ator putem g˘ asi derivata de ordinul 4a func¸ tionalei Z(J) în raport cu Ji(x).
Observa¸ tie: G(f)este func¸ tionala generatoare pentru func¸ tiile Green vertex.
3.3.5Aproxima¸ tia pentru G(F)
G(F)are o form˘ a simpl˘ a pentru primii termeni din dezvoltarea în serie a amplitudinii.
Func¸ tiilor Green cu n impulsuri interne independente le corespunde o diagram˘ a cu
n bucle.
Pentru a sc˘ apa de bucle vom face aproxima¸ tia Tree.
În cazul aproxima¸ tiei Tree func¸ tionala Z(J) are forma:
ZTree(J) =I(f0i) +Z
dxJ i(x)f0i(x) (3.103)
I(f0i) =ac¸ tiunea clasic˘ a;
f0i=solu¸ tiile ecua¸ tiilor de câmp cu surse externe Ji(x).
dI(f0i)
df0i(x)=Ji(x) (3.104)
Cunoa¸ stem expresia lui F(x)deci putem s˘ a înlocuim func¸ tionala Z(J) în aceasta dup˘ a
care s˘ a deriv˘ am în raport cu Ji(x):
Fi(x) =dZTree(J)
dJi(x)=Z
dydI(f0i
dphi0j(I)df0j(J)
dJi(x)+Jj(y)df0j(J)
dJi(x)
+f0i(x) =f0i(x)(3.105)
Dac˘ a înlocuim rela¸ tiile 3.103 ¸ si3.104în3.105ob¸ tinem expresia func¸ tionalei genera-
toare în aproxima¸ tia Tree:
GTree(F) =ZTree(J)Z
dxJ i(x)Fi(x) =I(Fi)

3.3 func ¸ tiile green 82
3.3.6W(J) în alt˘ a form˘ a
Putem utiliza urm˘ atorul algoritm pentru a transforma expresia 3.87într-o forma conve-
nabil˘ a pentru calcularea func¸ tiilor Green.
Pentru început, vom pune în eviden¸ ta Lagrangianul de interac¸ tiune în rela¸ tia:
W(J) =Z
Õ
xDm(uK(x))exp
iZ
dxL0(x)
exp
iZ
dx[L1(x) +uK(x)JK(x)]
(3.106)
undeDm(uK(x)) =Du1(x)Du2(x)…Dun(x)
În al doilea rând, dac˘ a ¸ tinem cont de formula
exp
å
KaKuK+Ju
=exp
å
KaKd
dJK
exp(Ju)
Putem rescrie ultimul factor din rela¸ tia 3.106în modul urm˘ ator:
exp
iZ
dxL1
id
dJ1(x), …,id
dJn(x)
exp
iZ
JKuK
Astfel, putem rescrie 3.106
W(J) =exp
iZ
dxL11
id
dJ1, …,1
id
dJnZ
Õ
xDm(uK(x))exp
iZ
dx[L0(x) +uK(x)JK(x)]
(3.107)
În al treilea rând, putem exprima integrala care con¸ tine Lagrangianul astfel:
I0=1
2Z
dxdyu i(x)Kij(xy)ui(y) (3.108)
K(ij)este un operator diferen¸ tial care este determinat de L0.
În alt˘ a ordine de idei, daca înlocuim rela¸ tia 3.108în rela¸ tia 3.107¸ si facem schimbarea
de variabil˘ a:
ui(x)!˜ui(x)Z
K1
il(xy)Jl(y)dy1, (3.109)
Z
Õ
xDm(uK(x))expi
2Z
dxdyu i(x)Kij(xy)uj(y) +iZ
dxu i(x)Ji(x)
=
=Nexp
i
2Z
dxdyJ i(x)K1
ij(xy)Jj(y)
(3.110)
N=Z
Õ
xDm(˜uK(x))expi
2Z
dxdy ˜ui(x)Kij(xy)˜uj(y)
În alt˘ a ordine de idei, daca înlocuim rela¸ tia 3.108în rela¸ tia 3.107¸ si elimin˘ am factorul
N, ob¸ tinem expresia dorit˘ a pentru W(J):
W(J) =exp
iZ
dxLI1
id
dJ1(x), …,1
id
dJn(x)
exp
i
2Z
dxdyJ i(x)K1
ij(xy)Jj(y)
(3.111)
3.3.7Expresia elementelor matricei S în raport cu Func¸ tiile Green
Pentru a ob¸ tinem elementele matricei S în teoria perturba¸ tiilor vom porni de la ultima
rela¸ tie.
Introducem mai întâi o nou˘ a func¸ tional˘ a care s˘ a aib˘ a expresia în func¸ tie de W(J):
S(u0
K) =exp
iZ
dxLI1
id
dJ1(x), …,1
id
dJn(x)
(3.112)
exp
iZ
dxu0
K(x)JK(x)i
2Z
dxdyJ i(x)K1
ij(xy)Jj(y)
J1=…=Jn=0

3.4 modelul de interac ¸ tiune f483
u0
K(x)sunt func¸ tii arbitrare.
Atunci când u0
K(x)tinde la 0, rela¸ tia devine similar˘ a cu:
S(u0
K) =exp
iZ
dxLI1
id
dJ1(x), …,1
id
dJn(x)

exp
i
2Z
dxdyJ i(x)K1
ij(xy)Jj(y)
J1=…=Jn=0
Nu putem calcula func¸ tionala S(u0
K)decât în teoria perturba¸ tiilor.
Dac˘ a dezvolt˘ am în serie în teoria perturba¸ tiilor 3.112expresia ob¸ tinem diagrame cu
puncte libere externe c˘ arora le vor corespunde func¸ tii arbitrare u0
K(x).
În diagramele pentru elementele matricei S, punctele libere exterioare sunt con¸ tinute
¸ si asociate cu func¸ tiile und˘ a uK(x), acestea sunt solu¸ tiile pentru ecua¸ tiile particulelor
libere.
Dac˘ a vrem s˘ a ob¸ tinem expresiile elementelor matricei S, trebuie sa înlocuim func¸ tiile
u0
K(x)în rela¸ tia cu func¸ tionala uK(x). Prin urmare, elementul Sm!ncare descrie tranzi¸ tia
a m particule libere ini¸ tiale într-un sistem de n particule ﬁnale libere se ob¸ tine conform
reguli:
Sm!n=ui1(x)d
du0
1(x)…uim(x)d
du0m(x)ufm+1(y)d
du0
m+1(y)…ufm+n(y)d
du0
m+n(y)S(u0
K)
u0
1=0
(3.113)
u0
K(x)sunt func¸ tii arbitrare;
uiK(x)sunt func¸ tii de und˘ a libere ale st˘ arii ini¸ tiale;
ufj(x)sunt func¸ tii de und˘ a ale st˘ arii ﬁnale;
uiK(x)¸ siufj(x)satisfac ecua¸ tiile pentru particulele libere corespunz˘ atoare.
3.4 modelul de interac ¸ tiune f4
Lagrangianul
L=1
2(¶mf)2m2
2f2g
4!f4(3.114)
descrie modelul de interac¸ tiune
Dac˘ a integr˘ am prin par¸ ti ob¸ tinem:
Z
dx[(¶mf)2m2f2] =Z
dxf(x)(+m2)f(x),¶m¶m
Putem rescrie func¸ tionala generatoare W(J) conform rela¸ tiei 3.107
W(J) =exp
iZ
dyg
4!1
id
dJ(y)4
Õ
xDf(x)expi
2Z
dx
f(+m2)f
+iZ
dxfJ
W(J) se poate reduce la rela¸ tia 3.111
W(J) =exp
ig
4!Z
dy1
id
dJ(y)4
exp
i
2Z
dxdyJ (x)K1(xy)J(y)
Din ecua¸ tia 3.112rezult˘ a urm˘ atoarea rela¸ tie pentru func¸ tionala generatoarea S(f0):
S(f0) =exp
ig
4!Z
dy1
id
dJ(y)4
exp
iZ
dxf0(x)J(x)i
2Z
dxdyJ (x)K1(xy)J(y)
J=0
(3.115)
Mai departe trebuie s˘ a gasim operatorul K1(xy). ¸ Stim ca operatorul are expresia:
K(xy) =(+m2)d(xy).

3.4 modelul de interac ¸ tiune f484
De asemenea, ¸ stim rela¸ tia de leg˘ atur˘ a între K(x-y) ¸ si inversul s˘ au
Z
dyK(xy)K1(yz) =d(xz) =1
(2p)4Z
d[eip(xz)(3.116)
Dac˘ a îl înlocuim pe K(x-y) în rela¸ tia 3.116rezult˘ a
(+m2)x1
(2p)4Z
dpK1(p)eip(xz)=1
(2p)4Z
dp(p2m2)K1(p)eip(xz)
Din ultima rela¸ tie putem s˘ a îl scoatem pe K1în reprezentarea impuls:
K1(p) =1
p2m2(3.117)
În reprezentarea coordonatelor K1are urm˘ atoarea form˘ a:
K1(xy) =1
(2p)4Z
dp1
p2m2eip(xz)(3.118)
Pentru a scrie S(f0)în teoria perturaba¸ tiei, dezvolt˘ am S(f0)în serie în raport cu
constanta de cuplaj g a operatorului diferen¸ tial din 3.116:
Sn(f0) =
1ig
4!Z
dxd
dJ(x)4
+1
2
ig
4!4Z
dxdyd
dJ(x)4d
dJ(y)4
+…
(3.119)
exp
1iZ
dxf0(x)J(x)i
2Z
dxdyJ (x)K1(xy)J(y)
J=0
Pentru n = 0, adic˘ a în absen¸ ta oric˘ aror interac¸ tiuni avem:
S0(f0) =1;
Pentru n = 1, S va avea urm˘ atoarea expresie:
S(1)(f0) =ig
4!Z
dxd
dJ(x)4
exp
1iZ
dxf0(x)J(x)i
2Z
dxdyJ (x)K1(xy)J(y)
J=0
=ig
4!Z
dxf4
0(x) +6g
4!Z
dxf2
0(x)K1(0) +i3g
4!Z
dx[K1(0)]2;
Pentru n = 2
S2(f0) =1
2g2
(4!)2Z
dxdyff4
0(x)f4
0(y) +16f3
0(x)f3
0(y)iK1(xy) +72f2
0(x)f2
0(y)[iK1(xy)]2
+96f0(x)f0(y)[iK1(xy)]3+24[iK1(xy)]4+12if2
0(x)K1
x(0)f4
0(y)6[K1
x(0)]2f4
0(y)
96f0(x)K1
x(0)K1(xy)f3
0(y)36f0(x)K1
x(0)K1
y(0)f2
0(y)144K1
x(0)[K1(xy)]2f2
0(y)
36[K1
x(0)]2iK1
y(0)f2
0(y)144f0(x)K1
x(0)iK1(xy)K1
y(0)f0(y) +72K1
x(0)[K1(xy)]2K1
y(0),
(3.120)
K1(0)K1(xy).
Mai departe c˘ aut˘ am amplitudinea în teoria perturba¸ tiilor pentru un proces de dezin-
tegrare din 2particule în 2particule.
Pentru început rescriem rela¸ tiile în reprezentarea impulsurilor:
S(2)
2!2=f(q1)d
df0(q1)…f(q4)d
df0(q4)
f0(qi)=0i=!1, 4
unde f(q1)¸ sif(q2)sunt func¸ tiile de und˘ a ale particulelor ini¸ tiale cu coordonatele q1¸ si
q2iarf(q3)¸ sif(q4)sunt func¸ tiile de und˘ a ale particulelor ﬁnale cu coordonatele q3¸ siq4.
S(2)
2!2=(ig)f(q3)f(q4)Z
dpK1(p)K1(pq1q2)
f(q1)f(q2)d(q1+q2q3q4)
unde K1(p) =1
p2m2.

3.4 modelul de interac ¸ tiune f485
În teoria perturba¸ tiilor expresiile pentru amplitudine con¸ tin combina¸ tii diferite de
func¸ tii pentru particulele libere, propagatorii ¸ si vertexurile corespunz˘ atoare pentru inte-
rac¸ tiunea a 4particule.
Func¸ tiile vertex în aproxima¸ tia Tree se vor numi vertexuri de interac¸ tiune.
Propagatorul D(xy)al câmpului scalar liber [LI(x) =0]este determinat de:
D(xy) =d
dJ(x)d
dJ(y)Z0(J)
J=0
unde Z0(J)este valoarea func¸ tionalei Z(J) pentru L1(x) =0.
Dac˘ a înlcouim rela¸ tia ??în rela¸ tia de mai sus ¸ si ¸ tinem cont de 3.120 ¸ si de 3.118
ajungem la reprezentarea impulsurilor
D(p) =1
p2m2(3.121)
sau în reprezentarea coordonatelor avem:
mathscrD (xy) =1
(2p)4Z
dp1
p2m2eip(xy)
Pentru a p˘ astra condi¸ tia de unicitate a func¸ tiilor Green trebuie s˘ a integr˘ am pe un
contur astfel încât s˘ a ajungem la regula lui Feznman care da capetele de deﬁni¸ tie ale
func¸ tiei Green.
Pentru g˘ asi vertexurile de interac¸ tiune, ne folosim de rela¸ tia 3.105
GTree(F) =Z
dxL(F) =Z
dx1
2¶mF¶mFm2
2Fg
4!F4
(3.122)
undeF(x) =dZTree(J)
dJ(x)
ZTree(J) = J(f0i+Z
dxJi(x)f0i(x)
Prin deﬁni¸ tie vertexul pentru interac¸ tiunea cudridimensional˘ a este
G0(x,y,z,u) = (i)3d
dF(x)d
dF(y)d
dF(z)d
dF(u)GTree(F)
F=0
d
dF(x)=Z
dKeikx d
dF(k))
G0(x,y,z,u) = (i)3Z
dkdpdqd f eikx+ipy+iqz+i f u d
dF(k)
d
dF(p)d
dF(q)d
dF(f)1
(2p)16Z
dxex(r+s+t+v)drdsdtdv

g
4!
F(r)F(s)F(t)F(v)
G0(x,y,z,u) =ig
(2p)12Z
dkdqdpd f d(k+p+q+f)eikxipyiqzi f u
Dac˘ a compar˘ am ultima rela¸ tie cu cea pentru reprezentarea în coordonatele impul-
surilor ob¸ tinem vertexul interac¸ tiune cuadridimensional prin omiterea termenului d(k+
p+q+f):
G0(k,p,q,f) =ig

3.5 un model cu câmpuri gauge neabeliene 86
3.5 un model cu câmpuri gauge neabeliene
Se consider˘ a un model cu câmpuri neabeliene care con¸ tine un multiplet de câmpuri
spinor ya(x), câmpuri cu sarcin˘ a fa(x)¸ si câmpuri gauge Ak
m(x).
Lagrangianul în acest caz are urmâtoarea form˘ a:
L=1
4Fk
mnFk
mn1
2a(¶mAk
m)2+iyagm(¶mdab+ig(tk)abAk
m)ybMyaya+
+j(¶mdab+ig(qk)abAk
m)fbj2m2fa†fb†fcfd(¶mck)Am
mcl(3.123)
unde ck(x)sunt fantomele Faddeev-Popov; t ¸ si qsunt generatorii reprezent˘ arilor dup˘ a
care câmpurile de spinori ¸ si câmpurile scalare se transform˘ a.
Primii 2termeni descriu câmpul gauge, al treilea ¸ si al patrulea descriu campul spino-
rial ¸ si interac¸ tiunea lui cu câmpul gauge.
Al V-lea termen ¸ si al VI-lea termen descriu câmpul scalar ¸ si interac¸ tiunea acestuia cu
câmpul gauge.
Al VII-lea termen ¸ si al VIII-lea termen descriu interac¸ tiunea YuKawa dintre câmpul
fermionic ¸ si cel scalar.
Al IX-lea termen descrie interac¸ tiunea proprie a câmpului scalar.
Ultimii doi termeni descriu câmpurile fantom˘ a ¸ si interac¸ tiunea lor.
Termenii corespunz˘ atori câmpurilor fantom˘ a se ob¸ tin în acela¸ si mod ca în rela¸ tia
3.117¸ si3.118.
Lagrangianul câmpului gauge ¸ si a câmpurilor fantoma este suma a doi Lagrangieni:
L0=1
2(¶mAk
n)21
2a(¶mAk
m)2+1
2(¶mAk
n)(¶nAk
m)¶mck¶mck(3.124)
L0este asociat cu câmpul gauge liber ¸ si câmpurile fantoma
L0I=g fjpk(¶mAk
n)Aj
mAp
ng
4fjpkfklmAj
mAp
nAl
mAl
mAm
ng fklm(¶mck)Am
mcl(3.125)
L0Idescrie interac¸ tiunea proprie a câmpuiui gauge ¸ si interac¸ tiunile acestuia cu câmpu-
rile c.

3.5 un model cu câmpuri gauge neabeliene 87
Din rela¸ tia 3.107rezult˘ a c˘ a func¸ tionala generatoare W are urm˘ atoarea form˘ a:
W(Jk
m,Ja†,Ja,ha,ha,ck,ck) =exp
iZ
dxLI
id
dJkm(x), …Z
Õx,m, , ˛aDAk
m(x)Dya(x)Dya(x)
Dfa†(x)Dfa(x)Dck(x)Ck(x)exp
iZ
dx1
2Ak
m(x)dkl
gmn
11
a
¶m¶n
Al
n(x)+
ya(x)dab(igm¶mM)yb(x)fa†(x)dab(+m2)fb(x)ck(x)dklcl(x)+
Jk
m(x)Ak
m(x) +fa†(x)Ja(x) +J†(x)fa(x) +ha(x)ya(x) +ya(x)ha(x) +ck(x)ck(x) +ck(x)ck(x)]
LI
id
dKkm(x), …
este Lagrangianul de interac¸ tiune în care toate câmpurile sunt înlocu-
ite de derivatele corespunz˘ atoare.
Dac˘ a transform˘ am aceast˘ a expresie în forma, atunci avem:
W(Jk
m, …) =exp
iZ
dxL
id
dJkm(x), …
exp
iZ
dxdy1
2Jk
m(x)(Kkl
mn(xy))1Jl
n(y)+
+Ja†K1
ab(xy)Jb(y) +ha(x)K1
ab(xy)hb(y) +ck(x)K1
kl(xy)cl(y)
Func¸ tionala generatoare S(Ak
m0, …)pentru elementele matricei reiese din 3.112:
S(Ak
m0, …) =exp
iZ
dxLI
id
dJkm(x), …
exp
iZ
dx(Ak
m0Jk
m+Ja†fa†
0+fa†
0Ja+ya
0ha+
+haya
0)iZ
dxdy1
2Jk
m(x)(Kkl
mn(xy))1Jl
n(y) +Ja†
a(x)K1
ab(xy)Jb(y)+
+ha(x)K1
ab(xy)hb(y) +ck(x)K1
kl(xy)cl(y)
Jkm=…=0(3.126)
K1
ab(xy) =dabRdK
K2m2eiK(xy), ( 3.127)
[Kkl
mn(xy)]1=dkl
(2p)4ZdK
K2
gmn(1a)KmKn
K2
eiK(xy), ( 3.128)
K1
ab(xy) =dabRdp
PMeip(xy), ( 3.129)
K1
kl(xy) =dklRdK
K2eiK(xy)(3.130)
Dac˘ a dezvolt˘ am în serie pe S(Ak
m0, …)g˘ asim rela¸ tia 3.128în teoria perturba¸ tiei:
S(Ak
m0, …) =
1+iZ
dxLI
id
dJkm(x), …
+i2
2Z
dxdyLI
id
dJkm(x), …
LI
id
dJkm(x), …
+…
exp
iZ
dx((Ak
m0Jk
m+Ja†fa†
0+fa†
0Ja+ya
0ha+haya
0)
iZ
dxdy1
2Jk
mKkl1
mnJl
n+Ja†K1abJb+haK1
abhb+KkK1
klcl
Jkm=…=0
Expresiile amplitudinii depind de combina¸ tiile de func¸ tii ale câmpurilor libere, pro-
pagatori si vertexuri de interac¸ tiune.
Prin deﬁni¸ tie, pentru propagatorii câmpului gauge ¸ si pentru o fantom˘ a a câmpului
c:
Dkl
mn(xy) =d
dJkm(x)d
dJln(y)Z0(Jk
m, …)
Jkm=…=0(3.131)
Dkl
mn(xy) =d
dJckm(x)d
dcl
n(y)Z0(Jk
m, …)
Jkm=…=0(3.132)

3.5 un model cu câmpuri gauge neabeliene 88
Dac˘ a înlocuim valoare lui Z(J) =lnW(J)în rela¸ tiile 3.131¸ si3.132¸ si ¸ tinem cont de
rela¸ tiile 3.125,3.128,3.130ob¸ tinem:
Dkl
mn(xy) =dkl
(2p)4Zdk
k2
gmn(1a)kmkn
k2eik(xy)(3.133)
Dkl(xy) =dkl
(2p)4Zdk
k2eik(xy)(3.134)
În reprezentarea impulsurilor avem:
Dkl
mn(k) =dkl
k2
gmn(1a)kmkn
k2eik(xy)(3.135)
Dkl(k) =dkl
k2(3.136)
Pentru a=0 rezult˘ a propagatorul pentru câmpul gauge în gauge-ul Landau.
Pentru a=1 rezult˘ a propagatorul pentru câmpul gauge în gauge-ul Feynman.
Mai departe c˘ aut˘ am propagatorul câmpului gauge în gauge-ul axial. Pentru inceput
consider˘ am:
Kkl
mn(xy) =Z
dkdkl
k2gmn+kmkn1
anmnn
eik(xy)
Dac˘ a atinde la 0, vom avea urm˘ atoarea form˘ a pentru propagator:
Dkl
mn(xy) =dkl
(2p)4Zdk
k2
gmn+n2kmkn(nk)kmnn(nk)nmkn
(nk)2
eik(xy)(3.137)
Expresiile propagatorilor pentru câmpurile gauge pentru diferite gauge-uri sunt ta-
belate împreun˘ a cu diagramele corespunz˘ atoare ¸ si expresiile analitice.
Pentru a g˘ asi vertexurile de interac¸ tiune pentru câmpurile gauge nonabeliene pronim
de la:
GTree(Ak
m,Fa†,Fa,Ya,Ya,Ck,Ck) =Z
dxL(Ak
m(x),Fa†(x),F(x)…) (3.138)
Ak
m=dZTree(Jk
m, …)
dJkm(x),
Fa(x) =dZTree(Jk
m, …)
dJa†(x),
Ya(x) =dZTree(Jk
m, …)
dha(x),
C(x) =dZTree(Jk
m, …)
dck(x),Ya†(x) =dZTree(Jk
m, …)
dJa(x),
Ya(x) =dZTree(Jk
m, …)
dha(x)
Ck(x) =dZTree(Jk
m, …)
dck(x)
1. Vertexul de interac¸ tiune pentru dou˘ a câmpuri spinori ¸ si câmpul gauge este deﬁnit˘ a
de
Gksb
0m(x,y,z) = (i)2d
dAkm(x)d
dYb(z)d
d(Y)a(y)GTree(Ak
m, …)
A=…=0
Dac˘ a p˘ astr˘ am în rela¸ tia 3.137numai termenul asociat cu interac¸ tiunea dintre campu-
rile fermionice ¸ si cele gauge, atunci putem g˘ asi:
Gkab
0m([,q,r) =ggm(tk)ab (3.139)
2. Vertexul de interac¸ tiune pentru 3câmpuri gauge este deﬁnit:
Gklm
0mn$(x,y,z) = (i)2d
dAkm(x)d
dAln(y)d
dAm$(z)GTree(Ak
m, …)
A=…=0

3.5 un model cu câmpuri gauge neabeliene 89
Dac˘ a p˘ astr˘ am numai termenul asociat cu interac¸ tiunea celor 3câmpuri gauge rezult˘ a
Gklm
0mn$(x,y,z) = (i)2Z
dpdqdreipx+igy+irz d
dAkm(p)d
dAln(q)d
dAm$(r)(3.140)
1
(2p)12Z
dsdtdvd xeixsixtixvg fjpn(isalpha)An
b(s)Aj
a(t)Ap
b(v)
Dac˘ a diferen¸ tiem în raport cu ob¸ tinem
g fjpm(isalpha)Aj
a(t)Ap
$(v)d(sr) +g fmpn(is$)An
b(s)An
b(v)d(tr)
+g fjmn(isa)Aj
a)An
$(s)Aj
a(t)d(vr)
Într-un ﬁnal ob¸ tinem vertexul de interac¸ tiune a 3câmpuri gauge:
Gklm
0mn$(p,q,r) =g fklm[gmn(qp)$+gm$(pr)nu+gn$(rq)m] (3.141)
3. Vertexul de interac¸ tiune pentru 4câmpuri gauge se deﬁne¸ ste
Gabcd
0abgd(x,y,z,u) = (i)3d
dAaa(x)d
dAb
b(y)d
dAcg(c)d
dAd
d(u)GTree(Ak
m, …)
A=…=0
Dac˘ a diferen¸ tiem în raport cu ¸ si calcul˘ am derivatele ob¸ tinem vertexul de interac¸ tiune
pentru 4câmpuri gauge:
Gabcd
0abgd(p,q,r,s) =ig2fkacfkbd(gabggdgadgbg)
ig2fkadfkbc(gabggdgaggbd) (3.142)
ig2fkabfkcd(gaggbdgadgbg)

4
T E O R I A G A U G E A I N T E R A C ¸ T I U N I I E L E C T R O S L A B E
4.1 modelul standard pentru interac ¸ tiunile electroslabe dintre lep –
toni
Modelul Standard este cel mai simplu model, care uniﬁc˘ a interac¸ tiunea electromag-
netic˘ a cu interac¸ tiunea slab˘ a. Modelul Standard a fost implementatde Sheldon Glashow,
Abdus Salam ¸ si Steven Weinberg, care au primit premiul Nobel pentru aceast˘ a realizare.
Pentru a descrie interac¸ tiunea slab˘ a dintre leptoni, trebuie s˘ a introducem cel pu¸ tin
3câmpuri gauge. Pe de alt˘ a parte, pentru a descrie interac¸ tiunea electromagnetic˘ a este
suﬁcient un singur câmp gauge.
Pentru a descrie cele dou˘ a interac¸ tiuni putem folosi grupuri cu dimensiuni corespun-
z˘ atoare cum ar ﬁ grupul SU 2¸ si grupul U 1. Astfel, grupul gauge al modelului va ﬁ
exprimat sub forma produsului dintre cele dou˘ a grupuri, SU2U1.
În acest caz, particulele primare vor ﬁ electronul, leptonul m, leptonul t¸ si neutrinii
corespunz˘ atori. Presupunem c˘ a aceste particule formeaz˘ a cea mai simpl˘ a reprezentare
a grupului SU2sub forma urm˘ atoarelor dublete:ne
e
,nm
m
¸ sint
t
.
Particulele de dreapta ¸ si particulele de stânga corespunz˘ atoare ﬁec˘ arui dublet se scriu
astfel:
S=1
2(1+g5)ne
e
La,
S=1
2(1g5)ne
e
Ra,
a=1, 2;
g5=ig0g1g2g3
Experimental neutrinii de dreapta ¸ si dubletele leptonilor de dreapta nu sunt observa-
bili pentru energiile care se produc în acceleratoarele actuale. Prin urmare, vom consi-
dera numai dubletele SU2pentru leptoni de stânga ¸ si singleturile SU2pentru leptoni de
dreapta.
Celor 3câmpuri gauge vectoriale le vom asocia o mas˘ a, iar al IV-lea câmp, cel fotonic,
va r˘ amâne f˘ ar˘ a mas˘ a. Astfel, va trebui sa introducem cel pu¸ tin 4câmpuri scalare. Le
vom combina pe acestea în dubletul SU2pentru câmpuri scalare complexe.
Modelul con¸ tine 3dublete leptonice de stânga, 3singlete leptonice de dreapta ¸ si un
dublet mezonic complex scalar.
Deoarece sectoarele electronului, miunonului ¸ si leptonului sunt acelea¸ si, vom consi-
dera numai sectorul electronului.
Lagrangianul corespunz˘ ator electronului este invariant global. Acesta reprezint˘ a o
sum˘ a de mai mul¸ ti lagrangieni lagrangianul câmpului fermionic f˘ ar˘ a mas˘ a, lagrangianul
câmpurilor scalare Higgs ¸ si lagrangianul care descrie interac¸ tiunea dintre câmpul Higgs
¸ si cel fermionic (constanta h este cea care descrie aceast˘ a interac¸ tiunea, h reprezint˘ a
constanta Yukawa) ¸ si de asemenea, interac¸ tiunea proprie a câmpului Higgs cu el însu¸ si

4.1 modelul standard pentru interac ¸ tiunile electroslabe dintre leptoni 91
(f reprezint˘ a constanta de cuplaj care descrie interac¸ tiunea proprie). Fermionii vor avea
mas˘ a cu ajutorul termenilor Yukawa.
L=iLagm¶mLa+iRgm¶mR+¶mfa¶mfa+m2fafahLafaRhRfaLa1
4f(fafa)2.
(4.1)
Poten¸ tialul pentru câmpul Higgs conduce la o valoare nenul˘ a pentru câmpuri:
V(f) =m2fafa+1
4f(fafa)2
Transform˘ arile câmpurilor sub grupul SU2sunt:
La(x)!L0a(x) =exp
i
2gtk#k
abLb(x),
R(x)!R0(x) =R(x), ( 4.2)
fa(x)!f0a(x) =exp
i
2gtk#k
abLb(x)fb(x).
Pe de alt˘ a parte, transform˘ arile câmpurilor sub grupul U1sunt:
La(x)!L0a(x) =exp
i
2g1YLk#4
abLb(x),
R(x)!R0(x) =exp
i
2g1YRk#4
R(x), ( 4.3)
fa(x)!f0a(x) =exp
i
2g1#4
abLb(x)fb(x).
Y reprezint˘ a operatorul hipersarcin˘ a:
1
2Y=QI3.
Q reprezint˘ a operatorul de sarcin˘ a, iar I3=1
2t3tau este operatorul izospin.
Dac˘ a înlocuim în rela¸ tia precedent˘ a valorile operatorilor Q ¸ si I3pentru leptoni, atunci
g˘ asim:
1
2YL=0 0
01
-1
20
01
2
=1
20
01
2
,
1
2YR=1
Lagrangianul local include câmpurile gauge f˘ ar˘ a mas˘ a: Am(x)¸ siAk
m(x), dou˘ a con-
stante de cuplaj g ¸ si g1care corespund grupurilor SU2¸ siU1.
L=1
4Fk
mnFk
mn1
4FmnFmn+
¶mfai
2gfb(tk)baAk
mi
2g1faAm

¶mfa+i
2g(tk)abfbAk
m+i
2g1faAm
+iLagm
¶mLa+i
2g(tk)abLbAk
m+i
2g1(YL)abLbAm
iRgm(¶mR+i
2g1YRRAm)hLafaRhRfaLa
+m2fafaf
4(fafa)2(4.4)
Observa¸ tie Simetria grupului SU2U1se rupe spontan, astfel încat, vom alege func-
¸ tiafa(x)de forma:
fa
v(x) =p
2mp
f
01
.

4.1 modelul standard pentru interac ¸ tiunile electroslabe dintre leptoni 92
Se introduc câmpurile scalare reale s(x)¸ siqk(x), cu k=1, 2, 3.
Dac˘ a înlocuim rela¸ tiile:
fa=1p
2
2mp
f+s+itkqk0
1
,
fa=1p
20
1
2mp
f+siqktk
în rela¸ tia ??¸ si consider˘ am c˘ a q0k(x) = 0 rezult˘ a urm˘ atoarea expresie a Lagrangianu-
lui:
L=L0+L1,
L0=1
4(¶mAk
n¶nAk
m)(¶mAk
n¶nAk
m)1
4(¶mAn¶nAm)(¶mAn¶nAm)+
+g2m2
2fAk
mAk
m+g2
1m2
2fAmAmgg1m2
fA3
mAm+1
2¶ms¶msm2s2+
+iRgm¶mR+iL1gm¶mL1+iL2gm¶mL2p
2hmp
fL2Rp
2hmp
fRL2;
LI=g
4#lmk(Al
mAm
nAl
nAm
m)(¶mAk
n¶nAk
m)g2
8(Al
mAm
nAl
nAm
m)(Al
mAm
nAl
nAm
m)
+g2
1m
2p
fsAmAm+g2
1
8s2AmAm+g2m
2p
fsAk
mAk
m+g2
8s2Ak
mAk
m
gg1mp
fsA3
mAmgg1
4s2A3
m+g1RgmRAm+g1
2L1gmL1Am
g1
2L2gmL1(A1
m+iA2
m)g
2L1gmL2(A1
miA2
m)
p
2
2hsL2Rp
2
2hsRL21
2mp
fs31
16fs4. ( 4.5)
Se observ˘ a c˘ a se pot grupa termenii astfel:
8
>>><
>>>:Wm=1p
2(A1
m+iA2
m),
Wm=1p
2(A1
miA2
m),
Zm=A3
mcosqAmsinq,
Bm=A3
msinq+Amcosq,
La(x) =ne(x)
e(x)
L,nm(x)
m(x)
L,nt(x)
t(x)
L,
R(x) =e
R(x),m
R(x),t
R(x);fa(x)
Dac˘ a înlocuim rela¸ tiile ob¸ tinem Lagrangianul Modelului Standard:
L=L0+L1,
L0=1
2(¶mW
npartial nW
m)(¶mWnpartial nWm) +g2m2
fWWm
1
4(¶mZn¶nZm)(¶mZn¶nZm) +m2(g2+g2
1)
2fZmZm
1
4(¶mBn¶nBm)2+1
2¶ms¶msm2s2+iegm¶me
p
2hmp
fee+isegm1+g5
2¶mne, ( 4.6)
L0con¸ tine câmpurile care pot ﬁ identiﬁcate cu câmpul bozonic vectorial înc˘ arcat
intermediar, Wm(x), cu masagmp
f; cu câmpul bozonic vectorial neutru, Zm(x), cu masa
gmp
f; cu câmpul electromagnetic, Bm(x); cu câmpul scalar real, s(x), cu masa mp
2; cu
câmpul electric cu masa mhq
2
f¸ si cu câmpul de dreapta neL(x);g=q
g2+g2
1.

4.1 modelul standard pentru interac ¸ tiunile electroslabe dintre leptoni 93
LI=ig2
q
g2+g2
1W
mWn(¶mZn¶nZm)igg1q
g2+g2
1W
mWn(¶mBn¶nBjmu)
+ig2
q
g2+g2
1(W
n¶nWmWn¶nW
m+Wn¶mW
nW
n¶mwn)Zm
igg1q
g2+g2
1(W
n¶nWmWn¶nW
m+Wn¶mW
nW
n¶mwn)Bm
g2
2W
mWmW
nWn+g2
2W
mW
mWnWng4
g2+g2
1W
mWmZnZn
+g4
g2+g2
1W
mWnZmZng2g1
g2+g2
1W
mWmBnBn+g2g1
g2+g2
1W
mWnBmBn
2g3g1
g2+g2
1W
mWmZnBn+g3g1
g2+g2
1W
mWnZmBn+g3g1
g2+g2
1W
mWnZnBm+
+g2mp
fsW
mWm+m(g2+g2
1)
2p
fsZmZm+1
4g2s2W
mWm+g2+g2
1
8s2ZmZm+gg1q
g2+g2
1egmeBm
g
2p
2negm(1+g5)eW
mg
2p
2egm(1+g5)neWmq
g2+g2
1
4

negm(1+g5)neegm
g5+g23g2
1
g2+g2
1
e
Zm1p
2hsee
1
2mp
fs31
16fs4(4.7)
LIcon¸ tine termenii care descriu interac¸ tiunea dintre câmpurile: Wm(x),Zm(x),Bm(x),
câmpul electric ¸ si neL(x).
Lagrangianul pentru interac¸ tiunea electromagnetic˘ a a leptonilor are forma:
LI=Je,l
m(x)Bm(x), ( 4.8)
e=gg1
g
Je,l
m(x) =e(x)gme(x) +m(x)gmm(x) +t(x)gmt(x)reprezint˘ a curentul leptonic electromagnetic
(4.9)
Lagrangianul pentru interac¸ tiunea dintre curen¸ tii leptonici slabi este
LI=g
2p
2J(+),l
m(x)W
m(x) +conjugatul Hermitic, ( 4.10)
unde Wm¸ siW
msunt câmpurile bozonice W+¸ siW.
J(+),l
m(x) =ne(x)gmLe(x) +nm(x)gmLm(x) +nt(x)gmLt(x)reprezint˘ a curentul leptonic cu sarcin˘ a
(4.11)
Lagrangianul pentru curentul leptonic de interac¸ tiune este:
LI=1
2g[Jn,n
m(x) +Jn,l
m(x)]Zm(x), ( 4.12)
Jn,n
m(x) =1
2[ne(x)gmL(x)ne(x) +nm(x)gmLnm(x) +ntgmLnt(x)] (4.13)
=curentul slab neutru format de neutrini,
Jn,l
m(x) =
1
2+sin2qw
[e(x)gmLe(x) +m(x)gmLm(x) +t(x)gmLt(x)]+
+sin2qw[e(x)gmRe(x) +m(x)gmRm(x) +t(x)gmRt(x)] (4.14)
=curentul slab neutru al leptonilor înc˘ arca¸ ti,

4.1 modelul standard pentru interac ¸ tiunile electroslabe dintre leptoni 94
gmL=gm(1+g5),
gmR=gm(1g5),
x=sin2qW=g2
1
g2,
în raport cu spinonurl care satisface ecua¸ tia Dirac, avem urm˘ atoarele rela¸ tii:
yL=1
2(1+g5)y,
yL=y1
2(1g5),
yR=1
2(1g5)y,
yR=y1
2(1+g5),
yL¸ siyRsunt spinorii de stânga ¸ si de dreapa.
gm(1+g5) =1
2(1g5)gm1
2(1+g5))
)ygmLy=2yLgmyL
ygmRy=2yRgmyR
Observa¸ tie: Expresiile curen¸ tilor pot ﬁ exprimate în dou˘ a moduri cu spinori polari-
za¸ ti sau nepolariza¸ ti.
Pentru curentul pozitiv, J(+)
m¸ si conjugatul s˘ au hermitic avem urm˘ azoarea rela¸ tie de
leg˘ atur˘ a:
(J(+)
m(x))†=J()
m(x).
Modelul Standard conduce atât la Lagrangianul pentru interac¸ tiunea electromagne-
tic˘ a, cât ¸ si la cel pentru interac¸ tiunea slab˘ a, astfel încât, este un model, care uniﬁc˘ a aceste
interac¸ tiuni.
Lagrangianul care descrie interac¸ tiunea electromagnetic˘ a dintre leptoni este analog
cu lagrangianul interac¸ tiunii electromagnetice din electrodinamica cuantic˘ a:
L1=gg1
gygmyAm=eygmyAm
Prin urmare, interac¸ tiunea electromagnetic˘ a dintre leptoni implic˘ a schimbul de fo-
toni. Deoarece fotonii sunt particule f˘ ar˘ a mas˘ a, interac¸ tiunea electromagnetic˘ a este de
raz˘ a lung˘ a.
Interac¸ tiunea slab˘ a dintre leptoni în Modelul Standard provine din schimbul de bo-
zoni intermediari înc˘ arca¸ ti W¸ si Z. Deoarece bozonii intermediari sunt particule masive,
interac¸ tiunea slab˘ a se manifest˘ a pe distan¸ te mici.
În forma elementului matrice M al procesului cauzat de curen¸ tii slabi înc˘ arca¸ ti apare
un propagator:
M(g/(2p
2)2
q2m2
W(4.15)
q=impulsul
mW=masa bozonului intermediar
jq2j m2
W)Mg2
8m2
W(4.16)
Interac¸ tiunea slab˘ a prin schimbul de bozoni intermediari este imaterial˘ a. Pentru
energii mici, lagrangianul ??se reduce la un lagrangian efectiv care descrie interac¸ tiunea
a4fermioni într-un punct.

4.2 modele de cuarci ale hadronilor 95
4fermioni care interac¸ tioneaz˘ a sunt caracteriza¸ ti de constanta de cuplaj G ¸ si matricea
element care este propor¸ tional˘ a cu aceast˘ a constant˘ a:
M1p
2G. ( 4.17)
Dac˘ a egal˘ am rela¸ tiile 4.16¸ si4.17ob¸ tinem c˘ a:
Gp
2=g2
wm2
W)G=g2p
2
8m2
W. ( 4.18)
8
>>>>><
>>>>>:sin2qW=g2
1
g2
e=gg1
g)
cosq=gp
g2+g2
1
sinq=g1p
g2+g2
1
sin2qW=g2
1
g2)sinqW=g1
g)
)e=gsinqW
Idem se ob¸ tine c˘ a: e=g1cosqW¸ sie=gsinqWcosqW
e=gg1
g=gsinqW=gg1
g+g1)
1
e=g+g1
g+g1,1
e=1
g+2
g1)
)1
e2=1
g2+2
g2
1
Pentru Modelul Standard interac¸ tiunea dintre toate câmpurile gauge este determi-
nat˘ a de sarcina electric˘ a ¸ si de parametrul qW, care se nume¸ ste unghi Weinberg.
Gp
2=g2
8m2
W)mW=pap
2G21
sinqW=37.3
sinqWGeV .
8
>><
>>:mW=gmp
f
mZ=gmp
f
mW
mZ=cosqW
mW
mZ=cosqW)mZ=mW
cosqW=37.3
sinqWcosqWGeV=74.6
sin 2qWGeV
4.2 modele de cuarci ale hadronilor
Între hadroni se manifest˘ a atât interac¸ tiunea slab˘ a, cât ¸ si interac¸ tiunea electromagne-
tic˘ a.
Experimental s-a observat c˘ a hadronii se combin˘ a în multiple¸ ti: izomultiple¸ ti, multi-
ple¸ ti unitate ¸ si multiple¸ tii charmed, care corespund simetriei SU2,SU3¸ siSU4.
Octe¸ tii ¸ si decuple¸ tii barionilor ¸ si octe¸ tii mezonici sunt multiple¸ ti unitate.
Exist˘ a un triplet SU3fundamental format din cuarcii u, d ¸ si s. Cuarcii s ¸ si d formeaz˘ a
dubletul SU2cu izospinul I=1
2¸ si sarcina de stranietate 0. Cuarcul s formeaz˘ a un singlet
SU2cu izospinul I=0 ¸ si sarcina de stanietate s=1.

4.2 modele de cuarci ale hadronilor 96
Hadronii sunt st˘ ari legate ale cuarcilor sau anticuarcilor sau ale amândurora simul-
tan.
Spinul spa¸ tial al cuarcilor trebuie s˘ a ﬁe pe jum˘ atate întreg pentru ca s˘ a coincid˘ a cu
spinul barionilor ¸ si mezonilor.
Mezonii sunt forma¸ ti dintr-un cuarc ¸ si un anticuarc.
Barionii sunt forma¸ ti din 3cuarci.
Sarcina electric˘ a a cuarcilor se determin˘ a dup˘ a formula:
Q=I3+Y
2=I3+B+S
2,
B = num˘ arul barionic,
Y = hipersarcina,
I = izospinul,
I3= proiec¸ tia izospinului,
Q = sarcina electric˘ a,
S = sarcina de stranietate.
Pentru a construi particulele charmed avem nevoie de înc˘ a un cuarc, cuarcul c.
Cuarcul c are:
Q=2
3,
C=1,
S=0,
B=1
3,
Y=2
3,
S=1
2,
I3=0.
În simetria SU4, mezonii formeaz˘ a un multiplet de ordinul 15, care este format dintr-
un octet de mezoni SU 3non-charmed, un nou mezon cu charm-ul ascuns, format din
cuarcul c ¸ si anticuarcul c¸ si6mezoni charmed.
Multipletul de ordinul 15este format din mezoni pseudoscalari ¸ si vectoriali: Mezoni
pseudoscalari:
Mezoni vectoriali:
Un multiplet de ordinul 15se reprezint˘ a graﬁc ca un octahadron, un plan t˘ aiat care
con¸ tine mezonii non-charmed ai octetului SU 3:

4.2 modele de cuarci ale hadronilor 97
Barionii sunt forma¸ ti din 3cuarci 2normali ¸ si unul charmed.
În simetria SU4pot avea loc 3multiple¸ ti de ordinul 20.
În modelul cu 4cuarci, sarcina Q a unui curac se determin˘ a în func¸ tie de numerele
cuantice ale cuarcului dup˘ a formula:
Q=I3+B+S+C
2
Cuarcii au spin pe jum˘ atate întreg ¸ si satisfac principiul lui Pauli. Cu toate acestea,
pentru particulele care sunt formate din 3cuarci, principiul lui Pauli nu este satisf˘ acut
tot timpul. Pentru a evita înc˘ alcarea principiului lui Pauili, cuarcilor li s-a atrebuit înc˘ a
un num˘ ar cuantic culoarea.
Pentru a m˘ ari num˘ arul de cuarci trebuie s˘ a m˘ arim simetria. Cel mai convenabil mod
este de a trece de la simetria SU2la simetria SU4SU0
3, unde SU0
3reprezint˘ a grupul de
simetrie al culorii.
Cuarcii u, d, s, c sunt caracteriza¸ ti de arom˘ a, care se va indexa prin indicele a=1, 4,
¸ si culoare care se va indexa prin indicele a=1, 3. Astfel, cei 12cuarci pot ﬁ descri¸ si de
func¸ tia matriceal˘ a:
qa
a=0
BB@u1u2u3
d1d2d3
s1s2s3
c1c2c31
CCA
Generatorii simetriei SU4sunt în leg˘ atur˘ a cu indicii a, generatorii simetriei de culoare
sunt în leg˘ atur˘ a cu a. Prin urmare, generatorii grupului de culoare SU4vor schimba rân-
durile matricei qa
a, în timp ce generatorii grupului de culoare SU0
3va schimba coloanele
acesteia.
În alt˘ a ordine de idei, experimental nu s-au observat hadroni colora¸ ti astfel încât se
impune c˘ a to¸ ti hadronii trebuie s˘ a formeze numai single¸ ti dintr-un grup colorat. De
unde reiese c˘ a barionii sunt forma¸ ti din 3cuarci de culori diferite ¸ si c˘ a mezonii sunt
forma¸ ti din cuarci ¸ si anticuarci din toate cele 3culori în egal˘ a m˘ asur˘ a.
Simtria cuarc-lepton se refer˘ a la coresponde¸ ta dintre cuarci ¸ si leptoni:
neenmm…
u d c s …
În cadrul simetriei cuarc-lepton se poate atribui culoare leptoni astfel încât leptonii ¸ si
cuarcii s˘ a se poat˘ a combina. În cazul acesta simetria se va extinde la SU4SU0
4. Astfel
vor ﬁ 16particule, care vor ﬁ descrise de matricea qa
a(x)cua,a=1, 4:
qa
a(x) =0
BB@u1(x)u2(x)u3(x)u4(x)
d1(x)d2(x)d3(x)d4(x)
s1(x)s2(x)s3(x)s4(x)
c1(x)c2(x)c3(x)c4(x)1
CCA
Atunci când simetria culorii interac¸ tioneaz˘ a cu for¸ te tari avem dou˘ a cazuri: pe de o
parte, simetria nu se rupe, iar pe de alt˘ a parte, simetria se rupe.

4.2 modele de cuarci ale hadronilor 98
În cazul în care simtria se rupe, sarcina electric˘ a a cuarcilor nu depinde de culoarea
lor ¸ si trebuie s˘ a ﬁe frac¸ tionar˘ a.
În cazul în care simetria nu se rupe, cuarcii pot avea atât sarcini întregi, cât ¸ si sar-
cini frac¸ tionare. Pentru a demonstra acest lucru se ia ca exemplu modelul pentru care
grupul de arom˘ a este reprezentat de grupul SU4, iar grupul de culoare este reprezentat
de grupul SU0
4. Grupului SU4îi corespunde indicele "a" al func¸ tiei, iar grupului SU0
4îi
corespunde indicele " a" al acelea¸ si func¸ tii.
Generatorii grupului SU4,Lk, sunt analogi matricilor li.
Generatorii reprezent˘ arii conjugate, Lc
k=LT
k.
Grupul SU4are3generatori liniari independen¸ ti.
I3=0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 0 0 0
0 0 0 01
CCA=matricea izospin,
Y=0
BB@1
30 0 0
01
30 0
0 02
30
0 0 0 01
CCA=matricea hipersarcin˘ a,
C=0
BB@1
40 0 0
01
40 0
0 01
40
0 0 03
41
CCA=matricea charm,
Aceste matrici au leg˘ atur˘ a cu aroma.
Culorile sunt reprezentate de matricile:
I0
3=0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 0 0 0
0 0 0 01
CCA=matricea izospin,
Y0=0
BB@1
30 0 0
01
30 0
0 02
30
0 0 0 01
CCA=matricea hipersarcin˘ a,
C0=0
BB@1
40 0 0
01
40 0
0 01
40
0 0 03
41
CCA=matricea charm,
Q=I3+B+S+C
2=I3+Y+C
2
Q+Q0=I3+I0
3+1
2Y+1
2Y0+1
2C+1
2C0=
I3+1
2Y+1
2C
+
I0
3+1
2Y0+1
2C0
(Q+Q0)ab,ab=
I3+1
2Y2
3C
ab,ab+
I0
3+1
2Y02
3C0
ab,ab
"0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 0 0 0
0 0 0 01
CCA+1
20
BB@1
30 0 0
01
30 0
0 02
30
0 0 0 01
CCA2
30
BB@1
40 0 0
01
40 0
0 01
40
0 0 03
41
CCA#
abdab+

4.3 modelul standard pentru interac ¸ tiunea electroslab ˘a a cuarcilor 99
"0
BB@1
20 0 0
0+1
20 0
0 0 0 0
0 0 0 01
CCA+1
20
BB@1
30 0 0
01
30 0
0 02
30
0 0 0 01
CCA2
30
BB@1
40 0 0
01
40 0
0 01
40
0 0 03
41
CCA#
abdab=
=0
BBBBBBBB@
1
2+1
21
32
31
4
0 0 0
0
1
2+1
21
32
31
4
0 0
0 0
1
22
32
31
4
0
0 0 01
21
CCCCCCCCA
abdab+
+0
BBBBBBBB@
1
21
21
3+2
31
4
0 0 0
0
1
21
21
3+2
31
4
0 0
0 0
1
22
3+2
31
4
0
0 0 0 2
33
41
CCCCCCCCA
abdab=
=0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 01
20
0 0 01
21
CCA
abdab+0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 01
20
0 0 01
21
CCA
abdab)
(Q+Q0)ab,abqb
b=0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 01
20
0 0 01
21
CCA
abqa
b+0
BB@1
20 0 0
01
20 0
0 01
20
0 0 01
21
CCA
abqb
a
Valorile pentru sarcinile electrice ale cuarcilor în cazul grupului SU4SU4:
0
BB@u1u2u3ne
d1d2d3e
s1s2s3m
c1c2c3nm1
CCA)0
BB@0 1 1 0
1 0 01
1 0 01
0 1 1 01
CCA
Se observ˘ a c˘ a valorile sarcinilor cuarcilor sunt întregi. În practic˘ a se lucreaz˘ a cu va-
lori frac¸ tionare.
Cuarci grei
Recent s-a descoperit mezonul U, care are masa de 10GeV .
Se presupune ca mezonul Ueste o manifestare a unui nou cuarc, mult mai greu, ce
are o nou˘ a arom˘ a care se nume¸ ste bottom.
Prin urmare, mezonul Ueste format din cuarcul b ¸ si anticuarcul b, ﬁind asem˘ an˘ ator
mezonului y.
Prin analogie cu ceillal¸ ti cuarci, cuarcul b ar avea o parte opus˘ a numit˘ a t care nu a
fost înc˘ a descoperit˘ a.
4.3 modelul standard pentru interac ¸ tiunea electroslab ˘a a cuarcilor
Pentru a uniﬁca interac¸ tiunea electromagnetic˘ a ¸ si interac¸ tiunea slab˘ a a cuarcilor tre-
buie s˘ a folosim grupul SU(2)U(1).
Pentru acest model cunoa¸ stem 12cuarci care au numai chiralitate de stânga astfel
încât se combin˘ a în dublete SU2.
La
1=1
2(1+g5)u
d0a
=u
d0a
L

4.3 modelul standard pentru interac ¸ tiunea electroslab ˘a a cuarcilor 100
La
2=1
2(1+g5)c
s0a
=c
s0a
L
La
3=1
2(1+g5)t
b0a
=t
b0a
L
Cuarcii de dreapta vor forma single¸ ti SU2:
Ra
1=1
2(1g5)ua=ua
R,
Ra
2=1
2(1g5)ca=ca
R,
Ra
3=1
2(1g5)ta=ta
R,
Ra
4=1
2(1g5)d0a=d0a
R,
Ra
5=1
2(1g5)s0a=s0a
R,
Ra
6=1
2(1g5)b0a=b0a
R.
aeste indicele care corespunde culorii,
a=1, 2, 3.
Cuarcii d’, s’ ¸ si b’ reprezint˘ a o combina¸ tie liniar˘ a de cuarci d, s ¸ si b.
Pentru câmpurile scalare Higgs, se introduce dubletul SU2pentru câmpuri complex-
scalare fa(x).
Acest model include 9dublete de cuarci de stânga, 18single¸ ti de cuarci de dreapta ¸ si
un dublet al câmpurilor complexe scalare fa(x).
Forma Lagrangeanului global invariant este um˘ atoarea:
L=iLa
nagm¶mLa
na+iRa
mgm¶jmuRa
m+¶mfa¶mfa+m2fafa1
4f(fafa)2
hnLa
nafaRa
n+3hnRa
n+3faLa
na˜hnLa
na˜faRa
n˜hnRa
n˜faLa
na
a=1, 2;
n=1, 2, 3;
m=1, 6;
a=1, 2, 3;
˜f=it2f
Transform˘ arile func¸ tiilor care intr˘ a în aceast˘ a expresie sub grupul SU2sunt determi-
nate de:
La(x)!L0a(x) =exp
i
2gtk#k
abLb(x),
R(x)!R0(x) =R(x),
fa(x)!f0a(x) =exp
i
2gtk#k
abfb(x).
Iar transform˘ arile func¸ tiilor care intr˘ a în aceast˘ a expresie sub grupul U1sunt deter-
minate de:
La(x)!L0a(x) =exp
i
2g1YL#4
abLb(x),
R(x)!R0(x) =exp
i
2g1YR#4
R(x),
fa(x)!f0a(x) =exp
i
2g1#4
abfb(x).

4.3 modelul standard pentru interac ¸ tiunea electroslab ˘a a cuarcilor 101
Pentru sectorul cuarcilor avem:
1
2YL=2
30
01
3
1
20
01
2
=1
60
01
6
1
2YR=2
30
01
3
Prin analogie cu modelul lui Glashow-Salam-Weinberg, g˘ asim Lagrangeanul invari-
ant local.
În acest caz, lagrangeanul cuprinde, printre al¸ ti termeni ¸ si:
1. Lagrangeanul pentru interac¸ tiunea electromagnetic˘ a a cuarcilor:
LI=eJe,q
m(x)Bm(x),
Je,q
m=1
3[d0(x)gmd0(x) +s0(x)gms0(x) +b0(x)gmb0(x)]
2
3[u(x)gmu(x) +c(x)gmc(x) +t(x)gmt(x)]
=curentul electromagnetic al cuarcilor.
2. Lagrangeanul interac¸ tiunea pentru curen¸ tii slabi ai cuarcilor:
L=g
2p
2J(+),q
m W
m+conj. Hermitic˘ a,
J(+),q
m=u(x)gmLd0(x) +c(x)gmLs0(x) +t(x)gmLb0(x)
=curentul slab înc˘ arcat al cuarcilor
W
m(x)este câmpul bozonic intermediar W.
3. Lagrangeanul interac¸ tiune pentru curen¸ tii cuarcilor slab neutri
L=1
2gJn,q
m(x)Zm(x),
Forma lagrangeanului interac¸ tiunii cuaren¸ tilor slab neutri nu prezint˘ a curen¸ ti care î¸ si
pierd aroma. În plus, procese care provoac˘ a schimbarea sarcinii de tranietate sunt strict
interzise în acest model.
Cu alte cuvinte, procesele
k0
L!m+m,k+!p+ee+
sunt strict interzise.
Jn,q
m=1
22
3sin2qW
[u(x)gmLu(x) +c(x)gmLc(x) +t(x)gmLt(x)]
2
3sin2qW[u(x)gmRu(x) +c(x)gmRc(x) +t(x)gmRt(x)]+
+
1
2+1
3sin2qW
[d0(x)gmLd0(x) +s0(x)gmLs0(x) +b0(x)gmLb0(x)]+
+1
3sin2qW[d0(x)gmRd0(x) +s0(x)gmRs0(x) +b0(x)gmRb0(x)].
Jn,q
mreprezint˘ a curentul cuarcilor slab neutri.

4.3 modelul standard pentru interac ¸ tiunea electroslab ˘a a cuarcilor 102
Jn,q
m(x) =1
2u(x)gmLu(x) +1
2c(x)gmLc(x) +1
2t(x)gmLt(x)2
3sin2qWugmLu(x)
2
3sin2qWcgmLc(x)2
3sin2qWtgmLt(x)2
3sin2qWugmRu(x)2
3sin2qWcgmRc(x)
2
3sin2qWtgmRt(x)1
2d0(x)gmLd0(x)1
2s0(x)gmLs0(x)1
2b0(x)gmLb0(x)
+1
3sin2qWd0gmLd0(x) +1
3sin2qWs0gmLs0(x) + +1
3sin2qWb0gmLb0(x) + +1
3sin2qWd0gmRd0(x)+
+1
3sin2qWs0gmRs0(x) + +1
3sin2qWb0gmRb0(x) =
=2
3sin2qW[u(x)gm(1+g5)u(x) +ugm(1g5)u(x)]
2
3sin2qW[c(x)gm(1+g5)c(x) +cgm(1g5)c(x)]
2
3sin2qW[t(x)gm(1+g5)t(x) +ugm(1+g5)u(x)]+
+1
3sin2qW[d0(x)gm(1+g5)d(x) +d0gm(1g5)d(x)]+
+1
3sin2qW[s0(x)gm(1+g5)s(x) +s0gm(1+g5)s(x)]+
+1
3sin2qW[b0(x)gm(1+g5)b(x) +b0gm(1+g5)b(x)]+
+1
2[u(x)gmLu(x) +c(x)gmLc(x) +t(x)gmLt(x)]
1
2[d0(x)gmLd0(x) +s0(x)gmLs0(x) +b0(x)gmLb0(x)] =
=2
3sin2qW[u(x)gmu(x) +u(x)gmg5u(x) +u(x)gmu(x)ugmg5u(x)]
2
3sin2qW[c(x)gmc(x) +c(x)gmg5c(x) +u(x)gmc(x)cgmg5c(x)]
2
3sin2qW[t(x)gmt(x) +t(x)gmg5t(x) +t(x)gmt(x)tgmg5t(x)]+
+1
3sin2qW[d0(x)gmd(x) +d0(x)gmg5d(x) +d0(x)gmd(x)d0gmg5d(x)]+
+1
3sin2qW[s0(x)gms(x) +s0(x)gmg5s(x) +s0(x)gms(x)s0gmg5s(x)]+
+1
3sin2qW[b0(x)gmb(x) +b0(x)gmg5b(x) +b0(x)gmb(x)b0gmg5b(x)]+
+1
2[u(x)gmLu(x) +c(x)gmLc(x) +t(x)gmLt(x)]
1
2[d0(x)gmLd0(x) +s0(x)gmLs0(x) +b0(x)gmLb0(x)] =
=4
3[u(x)gmu(x) +c(x)gmc(x) +t(x)gmt(x)]+
+2
3[d0(x)gmd0(x) +s0(x)gms0(x) +b0(x)gmb0(x)]+
+1
2[u(x)gmLu(x) +c(x)gmLc(x) +t(x)gmLt(x)]
1
2[d0(x)gmLd0(x) +s0(x)gmLs0(x) +b0(x)gmLb0(x)].

4.3 modelul standard pentru interac ¸ tiunea electroslab ˘a a cuarcilor 103
Pentru a scrie expresiiile curen¸ tilor leptonilor ¸ si ai cuarcilor înc˘ arca¸ ti slab neutri într-
un mod compact pornim de la rela¸ tiile:
J(+),l
m(x) =ne(x)gmLe(x) +nm(x)gmLm(x) +nt(x)gmLt(x),
Jn,n
m(x) =1
2[ne(x)gmLne(x) +nm(x)gmLnm(x) +nt(x)gmLnt(x),
Jn,l
m(x) =
1
2+sin2qW
[e(x)gmRe(x) +m(x)gmRm(x) +t(x)gmRt(x)]+
+sin2qW[e(x)gmLe(x) +m(x)gmLm(x) +t(x)gmLt(x)]
J(+),q
m(x) =u(x)gmLd0(x) +c(x)gmLs0(x) +t(x)gmLb0(x).
J(+)
m=ne(x)gmLe(x) +nm(x)gmLm(x) +nt(x)gmLt(x) +u(x)gmLd0(x) +c(x)gmLs0(x) +t(x)gmLb0(x) =
=ne(x)gme(x) +ne(x)gmg5e(x) +nm(x)gmm(x) +nm(x)gmg5m(x)+
+nt(x)gmLt(x) +nt(x)gmg5t(x) +u(x)gmd0(x) +u(x)gmg5d0(x)+
+c(x)gmLs0(x) +c(x)gmg5s0(x) +t(x)gmb0(x) +t(x)gmg5b0(x),
J(+)
m=2å
kLkgm1
2(t1+it2)Lk.
Lkreprezint˘ a duble¸ tii SU2de dreapta:
ne
e
L,nm
m
Lnt
t
Lu
d0
Lc
s0
Lt
b0
L,
treprezint˘ a matricile Pauli:
t1=0 1
1 0
,
t2=0i
i0
,
t3=1 0
01
.
Din rela¸ tiile:
J(+)
m2å
kLkgm1
2(t1+it2)Lk,
J(+)
m=J(+),l
m+J(+),q
m ,
Jn
m=2å
kLkgm1
2t3Lk2 sin2qWJe
m,
Jn
m=Jn,l
m+Jn,n
m+Jn,q
m.
putem scrie lagrangeanul interac¸ tiunii slabe:
L=g
2p
2J(+)
m(x)W
m(x) +conjugata Hermitic˘ a g
2 cos qWJn
m(x)Zm,
L=L0
I+L00
I,
Pentrujq2j m2
Z,Wrezult˘ a lagrangeanul efectiv:
Le f=Gp
2
J(+)
mJ()
m+m2
W
m2
Zcos2qWJn
mJn
m
,
m2
W
m2
Zcos2qW=1)
)Le f=Gp
2
J(+)
mJ()
m+Jn
mJn
m
.

4.4 alte modele 104
Lagrangeenii ¸ si curen¸ tii în Modelul Standard au urm˘ atoarele proprietc¸ ti:
1. Curentul electromagnetic este un vector astfel încât lagrangeanul interac¸ tiunii elec-
tromagnetice este invariant la inversarea spa¸ tiului.
2. Curen¸ tii înc˘ arca¸ ti slab au urm˘ atoarea structur˘ a spa¸ tio-temporal˘ a:
qgm(1+g5)q=q(gmg5gm)q=VA
Mai departe putem egala ecua¸ tia cu diferen¸ ta dintre cei doi vectori V ¸ si A care repre-
zint˘ a interac¸ tiunea dintre curen¸ tii slab înc˘ arca¸ ti.
Din forma rela¸ tiilor:
J(+)
m2å
kLkgm1
2(t1+it2)Lk,
J(+)
m=J(+),l
mJ(+),q
m ,
putem deduce c˘ a avem spinori numai de stânga.
3. Diferen¸ ta "V-A" reprezint˘ a interac¸ tiunea dintre curen¸ tii slab înc˘ arca¸ ti, aceasta este
neinvariant˘ a atunci când invers˘ am spa¸ tiul, deoarece vectorul V nu î¸ si schimb˘ a semnul,
de¸ si vectorul A îl schimb˘ a.
Prin urmare, lagrangeanul efectiv se scrie în modul urm˘ ator:
(VA)(VA)†=VV†+AA†VA†AV†
VV†¸ siAA†r˘ amân invarian¸ ti la inversiunea spa¸ tiului, în timp ce ¸ si î¸ si schimb˘ a sem-
nul.
S-a conﬁrmat experimental c˘ a lagrangeanul este invariant pentru interac¸ tiunile slabe
sub invarian¸ ta spa¸ tiului.
4. Din ecua¸ tia lagrangeanului (VA)(VA)†=VV†+AA†VA†AV†rezult˘ a
c˘ a interac¸ tiunea slab˘ a este neinvariant˘ a în raport cu conjugarea înc˘ arcat˘ a.
5. Curen¸ tii neutri prezint˘ a 2caracteristici speciale, conﬁrmate experimental:
i. sunt diagonali, convertesc particulele;
ii. includ atât componente de dreapta cât ¸ si componente de stânga.
6. Expresiile pentru curen¸ tii produ¸ si de cuarcii slabi înc˘ arca¸ ti trebuie s˘ a cuprind˘ a o
combina¸ tie liniar˘ a de cuarci, ci nu cuarci pur ¸ si simplu.
4.4 alte modele
Pe lâng˘ a Modelul Standard s-au conceput ¸ si alte modele care s-au denumit Modele
Nonstandard. Punctul forte al acestor modele este aplica¸ tia practic˘ a.
Pentru a construi un model de uniﬁcare (a interac¸ tiunilor), trebuie mai întâi s˘ a se
aleag˘ a un grup de simetrie, reprezent˘ arile grupului de simetrie care se asociaz˘ a cu
fermionii, un set de particule ini¸ tiale, modul în care sunt reprezentate particulele în
reprezentarea aleas˘ a, reprezentarea grupului de simetrie asociat cu câmpurile Higgs, la-
grangeanul interac¸ tiune pentru câmpurile fermionice ¸ si Higgs ¸ si lagrangeanul pentru
câmpurile Higgs.
Cele mai simple modele sunt cele care se bazeaz˘ a pe grupul de simetrie SU 2times
U1. Acestea folosesc duble¸ ti în loc de reprezentarea scalar˘ a pentru fermionii de dreapta.
Tabelul 6.6
Exemple de modele:

4.4 alte modele 105
1. Modelul vectorial, unde to¸ ti fermionii de dreapta se combin˘ a în duble¸ ti, unul
dintre ace¸ stia este:Ne
e
R,u
b
R,t
d
R,
2. Modelul asimetric în care fermionii de dreapta Ne¸ sieformeaz˘ a un dublet, în
timp ce fermionii u ¸ si d r˘ amîn sub form˘ a de simngle¸ ti:
Ne
e
R,uR,dR
În cazul acesta Neeste un lepton neutru greu, care nu s-a observat experimental p˘ an˘ a
acum.
3. Modelul SU3U1
Grupul SU3U1este grupul gauge. Modelul SU3U1include un total de 9câmpuri
gauge.
Fermionii sunt plasa¸ ti în cea mai de jos reprezentare a grupului SU3, de exemplu, în
single¸ ti ¸ si triple¸ ti.
S-au ales urm˘ atorii multiple¸ ti de fermioni de drepta ¸ si de stânga:
a) triple¸ ti de leptoni:
0
@e
ne
E0
11
A
L,0
@m
nm
M0
11
A
L,0
@e
E0
1
E0
21
A
R,0
@e
M0
1
M0
21
A
R,0
@T
T0
1
T0
21
A
R.
b) single¸ tii de leptoni: t
R,t
L,E0
2L,M0
2L,T0
2L
c) triple¸ tii de cuarci:0
@u
d
b1
A
L,0
@c
s
h1
A
L,0
@u
b
d1
A
R,0
@g
h
s1
A
R,
d) single¸ tii de cuarci: cR,gL
E0
i,M0
i,iT0
isunt noi leptoni neutri grei, care nu au fost înc˘ a descoperi¸ ti experimental.
S-au introdus 2triple¸ ti f¸ sif0
i¸ si2octe¸ ti fij¸ sif0
ijale câmpurilor Higgs. Astfel,
Modelul Standard include multiple¸ tii leptonilor ¸ si cuarcilor, y¸ si câmpurile Higgs, F.
Lagrangeanul invariant global are forma:
L=iygm¶y1
2¶mF¶mF+YGFP(F),
P(F)lagrangeanul interac¸ tiune pentru câmpurile Higgs.
Forma lui P(F)s-a ales astfel încât s˘ a se ob¸ tina urm˘ atoarele valori:
(fij)v=n1p
20
@0 0 0
0 0 1
0 1 01
A,
(f0
ij)v=n2p
20
@0 0 0
0 0i
0i01
A,
(fi) =w10
@0
0
11
A,
(f0
i) =w20
@1
0
01
A,
n1,n2,w1¸ siw2sunt parametrii care determin˘ a masa particulelor.

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: N O T ,I U N I S I R E Z U LTAT E D I N T E O R I A G R U P U R I L O R S ,I A [617784] (ID: 617784)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

N O T ,I U N I S I R E Z U LTAT E D I N T E O R I A G R U P U R I L O R S ,I A [617784]

Copyright Notice

Popa Lavinia. Licență Buna2 [619730]

313.2 355.2457.3+MS, 30.9min #3019 02465x10Intens. 50 100 150 200 250 300 350 400 450 m/z 43.1 55.073.0 85.0 97.0114.0 131.0 143.0 153.0171.0 [600540]

Managementul și Administrarea afacerilor [607547]

UNІ VE RЅІ TA TE A NAȚIONALĂ DE MUZICĂ BUCUREȘTI LUS RA RE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Ѕtuԁі ul і nѕtrum e nte lοr ԁe… [627246]

Fabricarea de substraturi fibroase cu efect antiinflamator obținute prin electrofilare [305022]

,,Carol Davila București [627071]

Copyright Notice

Similar Posts