Specialitatea: Profesor De Matematic ă [617712]

1
UNIVERSITATEA DIN ORADEA
Departamentul pentru Pregătirea Personalului Didactic
Specialitatea: Profesor De Matematic ă

METODE DE REZOLVARE A ECUAȚIILOR ALGEBRICE

Conducător științific:
CONF. UNIV. DR. FECHETE IOAN

Autor: STIER ILDIKO
Unitatea de învățămănt:Școala Gimnazi ală Tășnad
Localitatea: Tășnad
Județul: Satu Mare

-Oradea 2019 –

2
CUPRINS

INTRODUCERE …………………………………………………………………………………………………4
SCURT ISTORIC …………………………………………………………………………………………………5
CAPITOLUL I.
1. POLINOAME DE O DETERMINANTĂ PESTE CORPUL K……………………………8
1.1. Noțiuni generale ………………………………………………………………….. ………. …………….8
1.2. Gradul unui polinom …………………………………………………………………………………….8
1.3. Egalitatea polinoamelor ………………………………………………………………………………..9
1.4. Valoarea unui polinom ………………. ………………………………………………………………..9
1.5. Adunarea polinoamelor ………………………………………………………………………………..9
1.6. Înmulțirea polinoamelor …………………………………… ………………………………………….11
1.7. Împărțirea polinoamelor ……………………………………………………………………………….12
1.8. Divizibilitatea polinoamelor ………………………………………………….. ……………………..
1.9. Rădăcină a unui polinom ………………………………………………………………………………
CAPITOLUL II
2. ECUAȚII ALGEBRICE………………………………………………………………………. …………
2.1. Noțiuni generale …………………………………………………………………………………………..
2.2. Ecuația de gradul întâi ………………………………………………………………………………….
2.2.1. Noțiuni generale ………………………………………………………………………………..
2.2.2. Rezolvarea ecuație de gradul întâi -caz general ……………………………………..
2.2.3. Rezolvarea ecuație de gradul întâi cu metoda grafică …….. ……………………..
2.2.4. Ecuații reductibile la ecuație de gradul întâi. ………………………………………..
2.3. Ecuația de gradul al doilea cu rădăcini reale ……………………………………………………
2.3.1. Noțiuni generale. ……….. …………………………………………………………………….
2.3.2. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali -formule de
rezolvare ………………………………………………………………………………….. ………..
2.3.3. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu metoda grafică …………………….
2.3.4. Relații între coeficienții și rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea ……..
2.3.5. Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea ……………………..
2.3.6. Ecuații reductibile la ecuația de gradul al doilea ………………………………….
2.4. Ecuația de gradul al treilea …………………………………………………………………………..
2.4.1. Rezolvarea ecuației de gradul al treilea dacă lipsește termenul liber ……….
2.4.2. Rezolvarea ecuației de gradul al treilea folosind formula lui
CARDANO …………………………………………………………………………………….
2.4.3. Natura r ădăcinilor ecuației de gradul trei cu coeficienți reali …………………..

3
2.4.4. Exemple de rezolvări a ecuațiilor de gradul al treilea ……………………………..
2.5. Ecuația de gradul patru ………………………………………………………. ………………………..
2.5.1. Metoda lui Ferrari ……………………………………………………………………………..
2.5.2. Metoda lui Rene Descartes …………………………………………………………………
2.6. Metoda Langrange de rezolvare a ecuțiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu
patru …………………………………………………………………………………………………………..
2.6.1. Rezolvarea ecuației de gradul al treilea prin metoda lui Lagrange …………..
2.6.2. Rezolvarea ecuației de gradul al patrulea prin metoda lui Lagrange ………..

CAPITOLUL III.
3. ASPECTE METODICE ÎN PREDAREA ECUAȚIILOR ALGEBRICE……………….
3.1. Locul și rolul temei în programa școlară ……………………………….. ………………………
3.2. Metode și procedee didactice folosite în predarea ecuațiilor algebrice în
învățămăntul gimnazial. ………………………………………………………………………………..
3.3. Utilizarea calculatorului în procesul de predare învățare la orele de matematică. ….
3.4. Mini culegere de probleme …………………………………………………………………………….
BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………. ………………………….
ANEXE …………………………………………………………………………………………………………….. …

4
Introducere
Ecuațiile joacă un rol important în algebră dar mai ales în viața noastră. În viața de zi cu zi
de multe ori ne întălnim cu ecuații. Viața, natura, societatea sunt supuse unor legi care se
exprimă cu ajutorul ecuațiilor. Ecuațiile reprezintă modelarea ma tematică a unor situații –
problem din cotidian.
Pentru realizarea competențelor generale ale învățămăntului matematic în gimnaziu, se
prevede să se formeze la elevi cunoștințe și deprinderi de a rezolva ecuații.
În învățămăntul preuniversitar se studi ază diferite tipuri de ecuații. Elevii se întălnesc cu
ecuații simple încă din clasele primare, dar noțiunea de ecuații, prima dată, este introdusă
în clasa a VI -a după introducerea mulțimii numerelor întregi. Elevii ciclului gimnazial
rezolvă ecuații mai complexe de gradul I în clasele a VII -a și a VIII -a. Rezolvarea ecuația
de gradul al II -lea este introdusă la sfărșitul clasei a VIII -a și dezvoltată în ciclul liceal.
Ecuațiile de grad superior, care se reduc la rezolvarea ecuațiilor de gradul întăi și a l doilea
sunt rezolvate în clasele liceale.
Lucrarea de față abordează rezolvarea ecuațiilor algebrice prin diferite metode, fiind
împărțit în trei mari capitole.
Primul capitol conține câteva aspect generale legat de noțiunea de polinoame cu o
necu noscută, noțiune necesară pentru introducerea ecuațiilor algebrice.
În capitolul al doilea sunt prezentate diferite metode de rezolvare a ecuațiilor algebrice de
gradul I,II, III sau IV precum și exemple de rezolvare a ecuațiilor algebrice cu metodele
prezentate.
În Capitolul III sunt prezentate aspect metodice pentru predarea ecuațiilor algebrice în
ciclul gimnazial, precum și diferite metode didactice folosite la predarea –învățarea –
evaluarea ecuațiilor algebrice. Deasemenea acest capitol conține și o mini culegere de
probleme cu sugestii și indicații de rezolvare a problemelor.
Lucrarea se termină cu anexe ce cuprind proiecte didactice , proiectarea unității de
învățare, modele de teste folosind diferite tipuri de itemi.

5
Scurt istoric
Rezolv area ecua țiilor algebrice prin radicali i -a preocupat pe matematicieni de peste 2000
de ani. Formulele de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea erau cunoscute de
babilonieni, iar pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea, formulele de rezol vare
sunt cunoscute din perioada Renașterii italiene.
Matematicienii care au contribuit la teoria generală de rezolvare a ecuațiilor algebrice sunt:
Diofant din Alexandria (200-284 sau 214 -298)
A fost un matematician grec considerat părintele algebrei.Diofant a fost autorul unei serii
de cărți grupate sub titlul ,,Arithmetica ”. În lucrările sale expune metodele utilizate pentru
rezolvarea ecuațiilor de gradul I și gradul al II -lea. Necunoscutele au fost notate cu
simboluri.
Este primul matematician grec care a recunoscut fracțiile ca numere. La Diofant apare
pentru prima dată noțiunea de număr negativ, dar el nu a lucrat cu astfel de numere.
Ecuațiile care conduceau la numere negative le conside ra imposibile, absurde.Pentru
rezolvarea problemelor el folosea metoda falsei ipoteze.În general a fost mulțumită de
găsirea unei singure soluții.
Contribuția principală a sa în matematică o constituie așa -numita ecuație diofantică , pe
care a prezentat -o sub forme diferite, fără a indica vreo metodă de rezolvare .
Leonardo Pisano Fibonacci (1170 -1250)
Fibonacci a introdus aritmetica în sistemul commercial European. A dat importanța cifrei
zero și a recunoscut superioritatea sistemului de numerație arabă față de cel roman.
Folosește operații cu numere fracționare, introduce procedeul de aducere la numitor comun,
procedee de rezolvare a problemelor de aritmetică comercială, împărțirea în părți
proporționale, operații cu numere iraționale.
Tratează teoria ecuațiilor de gradul al doilea.
A introdus numerele negative în algebră.

6
Scipione del Ferro (1465 -1526)
Matematician italian, primul care a găsit o metodă de rezolvare a ecuațiilor cubice (ecuație
de gradul al III -lea). Formula de rezolvare a lăsat -o moștenire ginerelui său.
Niccolo Tartaglia (1500 -1567)
Tartaglia a găsit și el formula de rezolvare a ecuației cubice. A arătat lui Cardano
rezolvarea cu condiția ca aceasta să nu o publice. Totuși Cardano cu câțiva ani mai târziu a
văzut rezolvarea lui Ferro care era aceași cu rezolvarea lui Tartaglia, data fiin d mai recentă
decât cel al lui Tartaglia, Cardano a decis să publice metoda de rezolvare a ecuației cubice.
Girolamo Cardano (1501 -1576)
El a adus contribuții deosebite la dezvoltarea algebrei, elaborând procedeul de rezolvare a
ecuațiilor algebrice d e ordinul al treilea. Totuși formulele de rezolvare a acestor ecuații
fuseseră descoperite de Scipione del Ferro în 1515, apoi de Tartaglia în 1535, dar Cardano
le-a dat forma finală. Formula de rezolvare poartă denumirea de Metoda Cardano -Tartaglia.
În 1545 a publicat cartea ,,Ars magne” în care a enumerat toate formulele posibile a
ecuației de gradul III sau IV.
El este primul matematician din Europa care a utilizat sistematic rădăcinile negative și a
descoperit legătura dintre rădăcinile și coeficienții unei ecuații, care astăzi poartă numele de
formulele lui Viete.
Tot lui Cardano se atribuie prima reprezentar e a numerelor complexe.
Ludovico Ferrari (1522 -1565)
Ferrari era elevul lui Cardano cu care a colaborat în studierea ecuațiilor algebrice. El a
descoperit metoda de rezolvare a ecuațiilor algebrice de gradul al IV -lea, metodă publicată
de Cardano în 1 545.Motoda sa constă în introducerea unei necunoscute auxiliare.
De asemenea a demosnstrat și extins formulele pentru rezolvarea ecuațiilor cubice
descoperite de Tartaglia și Ferro.

7
Niels Henrik Abel (1802 -1829)
În 1824 a demostrat că este imposibil a găsi soluții ale ecuațiilor de grad mai mare decât
patru, ecuații în formă generală, cu ajutorul radicalilor. Teorema poartă denumirea de
Teorema Abel Ruffini.
Paolo Ruffini (1765 -1822)
El a publicat o demonstrație incompletă a teoremei Abel – Ruffini, potrivit căreia
polinoamele de gradul patru sau mai mare nu pot avea soluții radicali simpli (1799),
precum și regula lui Ruffini, care este o metodă rapidă pentru descopunerea polinoamelor
de grad superior în factori de polinoame de grad inferior.
Evar iste Galois (1811 -1832)
El a determinat condiția necesară și suficientă pentru ca o ecuație polinomială să fie
rezolvabilă prin formule cu radicali (1831)
A fost primul care a folosit termenul de grup ca noțiune matematică de reprezentare a unei
mulțimi de permutări.

8
CAPITOLUL I .
POLINOAME DE O DETERMINATĂ PESTE UN CORP K
1.1. Noțuni generale
Fie (K,+,·) un c orp comutativ .
Definiție 1 . O expresie de forma 𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛, se numește polinom
de nedeterminanta X peste corpul K, unde 𝑎0,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 sunt coeficienții polinomului.
Mulțimea tuturor polinoamelor de nedeterminanta X peste corpul K se notează cu K [𝑋].
Un element din K [𝑋] este un polinom cu nedeterminanta X și șirul coeficienților
𝑎0,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛 sunt elemente din mulțimea K.
Un polinom din K [𝑋] se poate scrie fie sub forma
𝑓(𝑋)=𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛=∑𝑎𝑘𝑋𝑘𝑛
𝑘=0
sau sub forma
f=(𝑎0,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)
Notații : C[𝑋] este mulțimea polinoamelor cu coeficienți complecși;
R[𝑋] este mulțimea polinoamelor cu coeficienți reali;
Q[𝑋] este mulțimea polinoamelor cu coeficienți raționali;
Z[𝑋] este mulțimea polinoamelor cu coeficienți întregi.
1.2. Gradul unui polinom
Gradul unui polinom este exponentul acelui monom cu coeficient nenul, care are gradul
cel mai mare. Coeficientul acestui monom se numește coeficientul dominant.

9
Dacă 𝑓(𝑋)=𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛 atunci grad f = n , unde 𝑎𝑛 este
coeficientul dominant.
1.3. Egalit atea a două polinoame
Se consider două polinoame 𝑓 ș𝑖 𝑔∈𝐾[𝑋] astfel încât
f=(𝑎0,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛) și g=(𝑏0,𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑛)
Definiție 1 : Polinoamele f și g sunt egale dacă au același grad și șirul coeficienților
polinoamelor sunt egali.
𝑓=𝑔⟺𝑎𝑖=𝑏𝑖,∀ 𝑖≥0
Definiție 2 . Un polinom se numește nul dacă toți coeficienții sunt egale cu 0.
𝑓(𝑋)=𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑙 ⟺𝑎0=𝑎1=𝑎2=⋯=𝑎𝑛=0.
1.4. Valoarea unui polinom
Se consideră 𝑓∈𝐾[𝑋],𝑓(𝑋)=𝑎0𝑋0+𝑎1𝑋1+𝑎2𝑋2+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛 un polinom de gradul
n.
Definiție : Dacă 𝑎∈𝐾, elementul 𝑓(𝑎)=𝑎0𝑎0+𝑎1𝑎1+𝑎2𝑎2+⋯+𝑎𝑛𝑎𝑛∈𝐾 se
numește valoarea polinomului f în a.
Observație :
Dacă 𝑓,𝑔∈𝐾[𝑋], atunci au loc egalitățile:
 (𝑓+𝑔)(𝑋)=𝑓(𝑋)+𝑔(𝑋),∀ 𝑋∈𝐾;
 (𝑓−𝑔)(𝑋)=𝑓(𝑋)−𝑔(𝑋),∀𝑋∈𝐾;
 (𝑓∙𝑔)(𝑋)=𝑓(𝑋)∙𝑔(𝑋),∀𝑋∈𝐾.
1.5. Adunarea polinoamelor
Definiție : Fie
,…) ,…,,,(2 1 0 ka aaaf ,
,…) ,…,.,(21 0 kb bbb g două elemente din
mulțimea K [X]; atunci definim:

10

,…) ,…, , , (2 2 1 1 0 0 k kba bababa gf  ,
Nk

Proprietate : Gradul sumei polinoamelor f și g este mai mic sau egal cu maximul dintre
gradele polinoamelor date, adică
𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒇+𝒈)≤𝐦𝐚𝐱 (𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒇,𝒈𝒓𝒂𝒅 𝒈)

Demonstrație : Într-adevăr, fie f = a 0+ a 1X + a 2X2 + … + a n Xn , an≠0 și g = b 0+ b 1X +
b2X2 + … + b m Xm , bm ≠ 0. Dacă n > m, atunci grad(f +g) este n deoarece a n Xn este
termenul de grad cel mai mare din f + g. Dacă m = n, atunci (a n + b n)Xn este termenul de
grad cel mai mare dacă a n + b n ≠ 0 și deci grad(f + g) = grad(f), iar dacă a n + b n = 0, atunci
grad(f + g) < grad(f). Deci grad(f + g) ≤ max(grad(f), grad(g)).
Proprietățile adunării polinoamelor:

1. Asociativitatea

) ( ) ( hgfhgf 
,
 hgf,, K[X]
Demonstrație: D acă
,…),,(2 1 0aaa f ,
,…),,(210bbb g și
,…),,(210ccc h sunt
polinoame peste korpul K atunci avem
,…) , , (2 2 1 1 0 0 bababa gf  și deci
,…) ) (, ) (, ) (( ) (2 2 2 1 1 1 0 0 0 c bac bac ba hgf 
.
Analog, obținem că
),…) ( ), ( ), ( () (2 2 2 1 1 1 0 0 0 cb acb acb a hgf  .
Cum adunarea numerelor este asociativă, avem
) ( ) (i i i i i i cb ac ba  , pentru orice
0i
.

2. Comutativitatea

fggf ,
gf, K[X]
Demonstrație: D acă
,…),,(2 1 0aaa f și
,…),,(210bbb g sunt polinoame peste corpul
K, avem
,…) , , (2 2 1 1 0 0 bababa gf  ,
,…) , , (2 21 10 0 abababfg 
Cum adunarea numerelor este comutativă, avem
i i i i abba  pentru orice
0i .
Deci
fggf .

3. Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,…) este element neutru pentru adunarea polinoamelor,
în sensul că oricare ar fi
f K[X],avem:
ff f  00
Demonstrație: Dacă
,…),,(2 1 0aaa f este un polinom peste corpul K
𝒇+𝟎=(𝒂𝟎+𝟎,𝒂𝟏+𝟎,𝒂𝟐+𝟎,…,𝒂𝒏+𝟎)=(𝒂𝟎,𝒂𝟏,𝒂𝟐,…𝒂𝒏)=𝒇

4. Elemente inversabile

11
Orice polinom are un opus, adică oricare ar fi
f K[X], există un polinom, notat
)(f
, astfel încât:
0 )()(  f f f f

Demonstrație: Fie f=(a0 ,a1, a2, …, a n) și –f=(-a0,-a1,-a2 ,…,-an)
Se observă că f+(-f)=(a 0+(-a0),a1+(-a1),a2+(-a2),…)=(0,0,0,….)=0

1.6. Înmulțirea polinoamelor
Definiție: Fie
,…),,(2 1 0aaa f ,
,…),,(210bbb g
prin definiție avem :
𝑓∙𝑔=(𝑎0𝑏0,𝑎0𝑏1+𝑎1𝑏0,𝑎0b2+𝑎1b1+𝑎2b0,…)=(c0,c1,c2,…,ck,…), unde :
𝑐𝑘=∑𝑎𝑖𝑏𝑗
𝑗+𝑖=𝑘
Proprietate : Gradul produsului polinoamelor f și g este egală cu suma gradelor
polinoamelor date, adică : 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓∙𝑔)=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓+𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔

Proprietățile înmulțirii:
1. Asociativitatea
Oricare ar fi
hgf,, K[X], avem: (𝑓∙𝑔)∙ℎ=𝑓∙(𝑔∙ℎ)
Demonstra ție:
Fie 𝑓=(𝑎0,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛),𝑔=(𝑏0,𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚)ș𝑖 ℎ=(𝑐0,𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑝)
(𝑓∙𝑔)∙ℎ=∑(∑𝑎𝑖𝑏𝑗
𝑖+𝑗=𝑟)
𝑟+𝑘=𝑙𝑐𝑘=∑𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘
𝑖+𝑗+𝑘=𝑙
𝑓∙(𝑔∙ℎ)=∑𝑎𝑖(∑𝑏𝑗𝑐𝑘
𝑗+𝑘=𝑟)=∑𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘
𝑖+𝑗+𝑘=𝑙 𝑖+𝑟=𝑙
2. Comutativitatea
Oricare ar fi
gf, K[X],avem : 𝑓∙𝑔=𝑔∙𝑓
Într-adevăr dacă
𝑓=(𝑎0,𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)
𝑔=(𝑏0,𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚)

12
Atunci
𝑓∙𝑔=∑𝑎𝑖𝑏𝑗=∑𝑏𝑗𝑎𝑖=𝑔∙𝑓
𝑗+𝑖=𝑘 𝑗+𝑖=𝑘
3. Element neutru
Polinomul 1=(1,0,0,…) este element neutru pentru înmulțirea polinoamelor, adică
oricare ar fi
f K[X],avem: 𝑓∙1=1∙𝑓=𝑓
4. Distributivitatea față de sumă
Oricare ar fi polinoamele
hgf,, K[X],are loc relația :
fh fg hgf ) (
Demontrație:
𝑓(𝑔+ℎ)=∑𝑎𝑖(𝑏𝑗+𝑐𝑗)=∑𝑎𝑖𝑏𝑗
𝑖+𝑗=𝑘+∑𝑎𝑖𝑐𝑗=𝑓𝑔+𝑓ℎ.
𝑖+𝑗=𝑘 𝑖+𝑗=𝑘
1.7. Împărțirea polinoamelor
Fie (K,+,·) un corp comutativ și polinoamele 𝑓,𝑔∈𝐾[𝑋] , g polinom nenul.
Definiție : A împărții polinomul f la polinomul nenul g în K[X] înseamnă a determina
polinoamele 𝑞,𝑟∈𝐾[𝑋], astfel încât:
a. 𝑓=𝑔∙𝑞+𝑟
b. 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑟)<𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑔)
Polinomul f se numește deîmpărțitul, g împărțitorul, q câtul și r restul împărțirii.
Observație: grad(q)=grad(f) -grad(g) .
TEOREMĂ .(teorema împărțirii cu rest)
Fie 𝑓,𝑔∈𝐾[𝑋],𝑔≠0. Atunci esistă și sunt unice polinoamele 𝑞,𝑟∈𝐾[𝑋] cu
proprietățile:
i. 𝑓=𝑔∙𝑞+𝑟
ii. 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑟)<𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑔)

13
Demonstrație:
 Demonstrația unicității câtului și restului:
Se folosește metoda reducerii la absurd.
Presupunem că există polinoamele 𝑞1,𝑞2,𝑟1,𝑟2∈𝐾[𝑋], astfel încât 𝑞1≠𝑞2,𝑟1≠𝑟2
care verifică relațiile 𝑓=𝑔∙𝑞1+𝑟1 și 𝑓=𝑔∙𝑞2+𝑟2 și 𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑟1)<𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑔) și
𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑟2)<𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑔)⟹ 𝑓=𝑔∙𝑞1+𝑟1 =𝑔∙𝑞2+𝑟2 ⟹𝑔(𝑞1−𝑞2)=𝑟2−𝑟1
⟹ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(𝑞1−𝑞2)=𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑟2−𝑟1) *
dar 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑟2−𝑟1)≤𝑚𝑎𝑥{𝑔𝑟𝑎𝑑( 𝑟1),𝑔𝑟𝑎𝑑( 𝑟2)}<𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔
⟹𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑟2−𝑟1)<𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(𝑞1−𝑞2),
Ceea ce contradice egalitatea *, de unde rezultă 𝑞1=𝑞2,𝑟1=𝑟2.
 Demonstrația existenței:
Fie n=grad (f), m=grad (g).
Caz 1. Dacă 𝑛<𝑚, atunci avem f=0·g+f ⟹𝑞=0 ș𝑖 𝑟=𝑓.
Caz 2. Pentru 𝑛≥𝑚, fie 𝑓=𝑎0+𝑎1𝑋+𝑎2𝑋2+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛,
𝑔=𝑏0+𝑏1𝑋++𝑏2𝑋2+⋯+𝑏𝑚𝑋𝑚.
Se consideră polinomul:
𝑔1=𝑎𝑛
𝑏𝑚𝑋𝑛−𝑚∙𝑔=𝑎𝑛𝑋𝑛+𝑎𝑛𝑏𝑚−1𝑏𝑚−1𝑋𝑛−1+⋯+𝑏0𝑎𝑛𝑏𝑚−1𝑋𝑛−𝑚
Rezultă că gradul polinomului 𝑓1=𝑓−𝑔1 este strict mai mic decât gradul lui f.
Fie 𝑓1=𝑐0+𝑐1𝑋+𝑐2𝑋2+⋯+𝑐𝑛1𝑋𝑛1,𝑛1<𝑛
 Dacă 𝑛1<𝑚, avem 𝑓1=𝑓−𝑎𝑛 𝑏𝑚−1𝑋𝑛1−𝑚∙𝑔
⟹𝑓=𝑎𝑛 𝑏𝑚−1𝑋𝑛1−𝑚∙𝑔+𝑓1, deci 𝑞=𝑎𝑛 𝑏𝑚−1𝑋𝑛1−𝑚 ș𝑖 𝑟=𝑓1.

14
 Dacă 𝑛1≥𝑚 se repetă procedeul de micșorare a gradului printr -o nouă
scădere, luând 𝑔2=𝑐𝑛1 𝑏𝑚−1𝑋𝑛1−𝑚∙𝑔 și 𝑓2=𝑓1−𝑔2 ,
𝑛2=𝑔𝑟𝑎𝑑 (𝑓2)<𝑛1<𝑛.
Se repetă procedeul și se obțin relațiile:
𝑓1=𝑓−𝑔1
𝑓2=𝑓1−𝑔2
𝑓3=𝑓2−𝑔3
…………………………
𝑓𝑝+1=𝑓𝑝−𝑔𝑝+1
…………………………….
𝑓𝑠=𝑓𝑠−1−𝑔𝑠
Deoarece între gradele polinoamelor 𝑓,𝑓1,𝑓2,…,𝑓𝑝,… există relațiile:
𝑛>𝑛1>𝑛2>⋯>𝑛𝑝>⋯ și 𝑚∈{1,2,3,…,𝑛}, atunci există un număr 𝑠∈𝑁∗, astfel
încât 𝑠<𝑚.
Adunând relațiile, se obține: 𝑓𝑠=𝑓−𝑔1−𝑔2−⋯−𝑔𝑠 ,𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓𝑠)=𝑛𝑠<𝑚
Se obține 𝑓=(∑𝑔𝑘𝑠
𝑘=1)+𝑓𝑠=𝑔∙𝑞+𝑓𝑠, deoarece fiecare polinom 𝑔𝑘 verifică egalitatea
𝑔𝑘=𝑔∙𝛼∙𝑋𝑛𝑘−𝑚,𝑐𝑢 𝛼∈𝐾.
Considerând 𝑟=𝑓𝑠, teorema este demontrată.
Observație : Teorema împărțirii cu rest oferă un algoritm de determinare a câtului și a
restului împărțirii a două polinoame.
Algoritmul:
 Se împarte monomul dominat al deîmpărțitului la monomul dominantal
împărțitorului. Se obține monomul dominant al câtului.

15
 Se înm ulțește monomul obținut cu împărțitorul și produsul obținut se scade
din deînpărțitul și se obține un polinom f1 .
 Se repetă procedeul anterior până când polinomul f s are gradul mai mic
decât polinomul g.
Schema de calcul arată astfel:
(𝒇): 𝒂𝒏𝑿𝒏+𝒂𝒏−𝟏𝑿𝒏−𝟏+⋯+𝒂𝟏𝑿+𝒂𝟎
-𝒂𝒏𝑿𝒏−𝒂𝒏𝒃𝒎−𝟏𝒃𝒎−𝟏𝑿𝒏−𝟏−⋯ 𝒃𝒎𝑿𝒎+𝒃𝒎−𝟏𝑿𝒎−𝟏+⋯+𝒃𝟎 (g)
𝒂𝒏𝒃𝒎−𝟏𝑿𝒏−𝒎+⋯
Câtul
(f1):…………………………………………………

(f2):………………………………………………
Restul (f s):…………………….

Împărțirea polinoamelor la ( X-a). Schema lui Horner
Teoremă : (a restului)
Restul împărțirii polinomului nemul 𝑓∈𝐾[𝑋], la polinomul 𝑔=𝑋−𝑎∈𝐾[𝑋] este egal
cu valoarea polinomului f în a, adică r=f(a.) .
Pentru a efectua împărțirea unui polinom f prin (x-a) se utilizează uneori SCHEMA LUI
HORNER .
Fie f
 K[X],
0 , ….0 11
1  
 nn
nn
n aaXa Xa Xaf și a
K. Teorema împărțirii cu
rest a lui f la (X – a) se scrie:
f = (x – a)q + r , (1)
unde c âtul q este un polinom de grad n -1, iar restul r = f(a)
 K.
Dacă
0 12
21
1 …. bXb Xb Xbqn
nn
n   

 , relația (1) se scrie:

16

) ( …0 11
1 aX aXa Xa Xan
nn
n  

) …. (0 12
21
1 bXb Xb Xbn
nn
n  

+r
Deci:
0 11
1 …. aXa Xa Xan
nn
n  

=
) ( ) (… ) ( ) (0 1 02
2 31
1 2 1 abr Xabb X ab b X ab b Xbn
n nn
n nn
n   
 
  
(2)
Din egalitatea celor două polinoame ale relației (2) obținem că

.,…….. ………. ……….,,
0 01 1 02 2 31 1 21
a abra ab ba ab ba ab ba b
n n nn n nn n

     (3)
Egalitățile (3) se trec în tabelul următor:

nn
aX
11

nn
aX
22

nn
aX ……..
……..
1aX
00
aX
a
1 1 n n a ab ……..
1 1a ab
0 0a ab

1nb
2nb
3nb ………
0b r
Coeficienții câtului restul

Organizarea calculelor ca în tabelul de mai sus se numește schema lui Horner.

1.8. Divizibilitatea polinoamelor
Definiție 1: Fie f și g două polinoame peste corpul K, cu g nenul, spunem că g divide pe f
dacă există un polinom 𝑞∈𝐾[𝑋] astfel încât 𝑓=𝑔∙𝑞.
Polinomul g e.ste un divizor al polinomului f, iar polinomul f este un multiplu al
polinomului g.
na
2 2 n n a ab

17
Proprietăți le relație de divizibilitate:

 Relația de divizibilitate pe mulțimea K[X] este reflexivă
𝑓⋮𝑓,∀𝑓∈𝐾[𝑋]
 Relația de divizibilitate pe mulțimea K[X] este tranzitiv ă:
Dacă 𝑓,𝑔,ℎ∈𝐾[𝑋],𝑓𝑔⁄ș𝑖𝑔ℎ⁄,𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖𝑓ℎ⁄.
 Polinomul nul 𝑓=0∈𝐾[𝑋] este divizibil cu oricare polinom 𝑔∈𝐾[𝑋].
 Polinoamele constante 𝑓=𝑎,𝑎∈𝐾∗, sunt divizori pentru orice polinom din K.
 Dacă 𝑓,𝑔,ℎ∈𝐾[𝑋], astfel încât 𝑓𝑔⁄ ș𝑖𝑓ℎ⁄, atunci 𝑓(𝑢𝑔+𝑣ℎ) ⁄ ,∀𝑢,𝑣∈𝐾[𝑋].

Definiție 2: Polinoamele 𝑓,𝑔∈𝐾[𝑋] se numesc asociate în divizibilitate și se notează
𝑓~𝑔,𝑑𝑎𝑐ă𝑓𝑔⁄ ș𝑖𝑔𝑓⁄.

1.9. Rădăcină a unui polinom
Definiție 1: Un element 𝑎∈𝐾 este rădăcină a polinomului 𝑓∈𝐾[𝑋] dacă valoarea
polinomului în a este nul , f(a)=0.
TEOREMĂ: (Teorema lui B ézout)
Un element 𝑎∈𝐾 este rădăcină pentru polinomul 𝑓∈𝐾[𝑋],𝑓≠0 dacă și numai dacă
polinomul f este divizibil cu (X-a).
Demonstra ție:
Fie 𝑎∈𝐾 și (X-a) ∈𝐾[𝑋]. Din teorema împărțirii cu rest ⟹∃ℎ,𝑟∈𝐾[𝑋] astfel încât 𝑓=
ℎ∙(𝑋−𝑎)+𝑟,(1).
Din teorema restului r=f(a), relația (1) se scrie 𝑓=(𝑋−𝑎)∙ℎ+𝑓(𝑎),(2).
Dacă a este rădăcină pentru f, atunci f(a)=0 și f=(X -a)h, deci (X-a)/f.
Reciproc, dacă f se divide cu (x-a), din relația (2) se obține că f(a)=0 .
Observație: Polinomul f este divizibil cu 𝑋−𝑎⟺𝑓(𝑎)=0 ceea ce înseamnă că a este
rădăcină a polinomului f.
Definiție 2 : Un element 𝑎∈𝐾 este rădăcină multiplă de ordin p pentru polinomului 𝑓∈
𝐾[𝑋], dacă f se divide cu (𝑋−𝑎)𝑝,𝑝∈𝑁,𝑝≥2, dar f nu se divide cu (𝑋−𝑎)𝑝+1.

18
CAPITOLUL II.
ECUA ȚII ALGEBRICE
2.1. Noțiuni generale
Fie (K,+,·) un corp comutativ și 𝑓∈𝐾[𝑋] un polinom de gradul n, n ∈𝑁∗.
Definiție 1: Se numește ecuație algebrică de necunoscută x cu coeficienți în K, o ecuație
de forma f(x)=0 , unde f este un polinom nenul.
Gradul polinomului f dă gradul ecuației algebrice. Dacă 𝑓=𝑎0+𝑎1𝑥+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛,𝑎𝑛≠0
atunci ecuația are gradul n, iar coeficienții 𝑎𝑛,𝑎𝑛−1,…,𝑎𝑛 se numesc coeficienții ecuației
algebrice. O ecuație care nu poate fi redusă la o ecuație algebrică prin operațiile de adunare,
înmulțire, ridicare la putere, etc. Se numește ecuație transc endentă.
Forma generală a unei ecuație de gradul n este:
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0
Definiție 2: Spunem că 𝛼∈𝐾 este soluție (rădăcină) a ecuației f(x)=0 , dacă înlocuind
necunoscuta x cu numărul 𝛼 în ecuație, aceasta devine adevărată, adică f(𝛼)=0.
A rezolva o ecuație algebrică însemnă a -i determina soluțiile.
În legătură cu ecuațiile algebrice sunt studiate câteva probleme importante.
1.Existența soluțiilor în corpul K.
2.Numărul soluțiilo r ecuației în corpul K.
3.Existența unor formule generale de rezolvare a ecuațiilor algebrice de diferite
grade.
În cazul corpului ℂ al numerelor complexe au fost demonstrate câteva proprietăți generale
care rezolvă cele trei probleme puse.
TEOREMA 1. (Teorema fundamentală a algebrei ) O ecuație algebrică de grad cel puțin 1
cu coeficienți complecși admite cel puțin o soluție complexă.

19
Consecință. O ecuație algebrică de gradul n ∈𝑁∗ cu coeficienți complecși are exact n
soluții complexe.
TEOREMA 2.(Abel -Ruffini)
Fie 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0,𝑎𝑛≠0 o ecuație algebrică de grad 𝑛≥5, cu
coeficienți în ℂ. Atunci nu există o formulă generală de rezolvare a acestei ecuații în care să
apară numai coeficienții 𝑎0,𝑎1,…,𝑎𝑛∈ℂ.
TEOREMA 3.
Fie 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0,𝑎𝑛≠0 o ecuație algebrică de grad 𝑛∈ℕ∗ cu
coeficienți întregi.
a) Dacă 𝑎∈ℤ este soluție a ecuației, atunci a divide pe a0.
b) Dacă 𝑎=𝑝
𝑞∈ℚ,(𝑝,𝑞)=1, este soluție a ecuației, atunci p divide pe a0, iar q
divide pe an.
TEOREMA 4.
Fie 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0,𝑎𝑛≠0 o ecuație algebrică de grad 𝑛∈ℕ∗ cu
coeficienți raționali și 𝑢=𝑎+√𝑏 un numă irațional pătratic.
Dacă u este rădăcină a ecuației de gradul n, atunci
a) 𝑢̅=𝑎−√𝑏 este rădăcină a ecuației .
b) 𝑢 ș𝑖 𝑢̅ au acelați ordin de multiplicitate.
TEOREMA 5.
Fie 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0,𝑎𝑛≠0 o ecuație algebrică de grad 𝑛∈ℕ∗ cu
coeficienți reali. Dacă 𝑧=𝑎+𝑏𝑖∈ℂ,𝑎,𝑏∈ℝ,𝑏≠0 este rădăcină a ecuației, atunci
a) 𝑧̅=𝑎−𝑏𝑖 este rădăcină a ecuației d e gradul n
b) 𝑧 ș𝑖 𝑧̅ au același ordin de multiplicitate.

20
2.2. Ecuația de gradul întâi
2.2.1. Noțiuni generale. Definiții
Definiția 1 . O ecuație de forma 𝑎𝑥+𝑏=0, unde 𝑎,𝑏∈ℝ ș𝑖 𝑥∈𝐷⊂ℝ se numește
ecuație liniară de necunoscuta x.
Definiția 2. O ecuație de forma 𝑎𝑥+𝑏=0, unde 𝑎,𝑏∈ℝ ,𝑎≠0 ș𝑖 𝑥∈𝐷⊂ℝ se
numește ecuația de gradul înt âi de necunoscuta x.
Observație : Forma 𝑎𝑥+𝑏=0, 𝑎≠0 este forma canonică a ecuației de gradul înt âi de
necunoscuta x.
Elementele unei ecuații:
– Numerele reale a și b se numesc coeficienții ecuației
– Numărul real a este coeficientu l necunoscutei x
– Numărul real b este termenul liber
– x este necunoscuta ecuției,
– D este domeniul de valori.
Definiția 3. Un număr real 𝑥0∈𝐷⊂ℝ este rădăcina sau soluție a ecuației de gradul întâi
𝑎𝑥+𝑏=0, unde 𝑎,𝑏∈ℝ ,𝑎≠0 ș𝑖 𝑥∈𝐷⊂ℝ, dacă verifică egalitatea 𝑎𝑥0+𝑏=0.
Definiția 4. A rezolva o ecuație înseamnă a determina mulțimea tuturor soluțiilor reale.
Definiția 5 . Ecuaț iile se numesc echivalente daca au același domeniu de definiție și
aceeași mulțime de soluț ii..
Pentru a rezolva o ecuație, se aduce la o formă cât mai simplă prin transformări
echivalente, cum ar fi:
– Efectuarea de calcule algebrice în fiecare termen al ecu ației,
– Adunarea sau scăderea din ambii membrii a aceluiași termen,
– Înmulțirea sau împărțirea ambilor membrii cu același număr nenul.

21
2.2.2. Rezolvarea ecuației de gradul întâi
În a rezolva ecuația de gradul întâi în necunoscuta x, scrisă sub forma canonică
ax+b=0 , 𝑎,𝑏∈ℝ , destingem trei cazuri:
Cazul I . Ecuație compatibil determinată.
Dacă 𝑎≠0 ș𝑖 𝑏≠0 avem
𝑎𝑥+𝑏=0⟺𝑎𝑥=−𝑏⟺𝑥=−𝑏
𝑎
În acest caz avem soluție unică 𝑥=−𝑏
𝑎, iar mulțimea soluțiilor ecuațies este 𝑆={−𝑏
𝑎}
Cazul al II -lea. Ecuație imposibilă
Dacă 𝑎=0 ș𝑖 𝑏≠0 avem
0∙𝑥+𝑏=0⟺0∙𝑥=−𝑏⟺0=−𝑏 (F)
Se obține o propoziție falsă pentru că numărul real 𝑏≠0.
Soluția ecuației în acest caz este mulțimea vidă. 𝑆={∅}
Cazul al III -lea. Ecuație compatibil nedeterminată.
Dacă 𝑎=0 ș𝑖 𝑏=0 avem
0∙𝑥+0=0⟺0∙𝑥=0⟺0=0 (A)
Se obție o propoziție adevărată.
Soluția ecuației în acest caz este orice număr real. 𝑆=ℝ
Exemple:
1. 4x+12=0,𝑥∈ℤ⟺4𝑥=−12⟺𝑥=−12:4⟺𝑥=−3,𝑆={−3}
2. 2x+7=2x, 𝑥∈ℝ⟺2𝑥−2𝑥=7⟺0=7,𝑆=∅
3. 2(x+3)=2x+6, 𝑥∈ℝ ⟺2𝑥+6=2𝑥+6⟺2𝑥−2𝑥=6−6⟺0=0,𝑆=ℝ

22
2.2.3. Rezolvarea ecuațiilor de gradul I. cu metoda grafică
Metoda grafică presupune reprezentarea într -un sistem de axe ortogonale a unei funcții
obținut din ecuația dată.
Fie ecuația de gradul întâi cu o necunoscută de forma ax+b=0 .
Pentru a folosi metoda grafică se transformă ecuația în funcția f(x)=ax+b, pe care
reprezentăm în sistemul de axe ortogonale xOy. Soluția ecuației se obține, dacă determinăm
punctu l de in tersecție a graficului funcției cu axa Ox, adică se citește valoarea lui x în
punctul de intersecție.
Observație: Această metodă însă are dezavantaje, din cauza faptului că dacă nu avem foie
milimetrică, nu lucrăm cu precizie, nu putem determina exact val oarea necunoscutei. Însă
sunt programe pe calculator pe baza cărora putem să verificăm dacă am lucrat corect sau
nu, cum ar fi programul GEOGEBRA.
Exemplu.
Fie ecuația 5(x+2) -2(x-4)=x+21 , x ∈ℝ
Rezolvarea ecuației cu metoda grafică folosind progra mul Geogebra:
Se aduce expresia la o formă mai simplă:
5x+10 -2x+8=x+21 ⟺ 2x-3=0
Se reprezintă funcția f(x)=2x -3(Figura 1) și conform graficului se obține punctul de
intersecție a graficului funcției cu axa Ox care este punctul A(1,5;0) , de und e rezultă că
soluția ecuației este x=1,5

23

Figura 1.

2.2.4. Ecuații reductibile la ecuații de gradul întâi

 Ecuații produs .
Unele ecuații algebrice pot fi aduse la forma unui produs, factorii acestui produs fiind
ecuații de gradul întâi.
Ecuația 𝑒1(𝑥)∙𝑒2(𝑥)∙…∙𝑒𝑘(𝑥)=0, unde 𝑒1(𝑥), 𝑒2(𝑥),…,𝑒𝑘(𝑥) sunt ecuații de
gradul întăi în necunoscuta x, este o ecuații produs.
Pentru a rezolva acest tip de ecuație se folosește proprietatea operației de înmulțire: Un
produs este egal cu 0, dacă unul dintre fac tori este nul.
Se rezolvă fiecare ecuație separat, obținând pentru fiecare ecuație de gradul întâi o mulțime
de soluție.

24
𝑒1(𝑥)=0⟺𝑠𝑒 𝑜𝑏ț𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑎 𝑥1⟹𝑆1
𝑒2(𝑥)=0⟺𝑠𝑒 𝑜𝑏ț𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑎 𝑥2⟹𝑆2
………………………………………………………………
𝑒𝑘(𝑥)=0⟺𝑠𝑒 𝑜𝑏ț𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢ț𝑖𝑎 𝑥𝑘⟹𝑆𝑘
Mulțimea soluțiilor ecuației produs se obține prin reuniunea mulțimilor soluțiilor obținute
prin rezolvarea ecuațiilor 𝑒1(𝑥), 𝑒2(𝑥),…,𝑒𝑘(𝑥), adică 𝑆=𝑆1∪𝑆2∪…∪𝑆𝑘
Exem plul 1. (2𝑥+5)(𝑥−5)(3𝑥−12)=0,𝑥∈ℚ
Rezolvare:
2𝑥+5=0⟺2𝑥=−5⟺𝑥=−5
2⟺𝑥=−2,5⟹𝑆1={−2,5}
𝑥−5=0⟺𝑥=5⟹𝑆2={5}
3𝑥−12=0⟺3𝑥=12⟺𝑥=4⟹𝑆3={4}
𝑆={−2,5;4;5}
Exemplul 2. 𝑥2+5𝑥+6=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare
 Se descompune în factori expresie 𝑥2+5𝑥+6=(𝑥+2)(𝑥+3)
𝑥2+5𝑥+6=0⟺(𝑥+2)(𝑥+3)=0
 Egalăm fiecare factor cu 0, asfel obținem ecuații de gradul I.
𝑥+2=0⟺𝑥=−2⟹𝑆1={−2}
𝑥+3=0⟺𝑥=−3⟹𝑆2={−3}
 Mulțimea soluțiilor ecuației este 𝑆={−3;−2}

25
 Ecuații fracționare
Definiție : O ecuație algebrică se numește fracționară dacă necunoscuta figurează la
numitorul uneia sau mai multor fracții.
Rezolvarea ecuațiilor fracționare presupune parcurgerea următoarelor etape:
1. Determinarea domeniului de definiți e D, punând condiții de existență a fracțiilor,
adică numitorul fiecârui fracție trebuie să fie diferit de 0;
2. Se aduc fracțiile la același numitor, numitorul comun fiind cel mai mic multiplu
comun;
3. Se rezolvă ecuația astfel obținută;
4. Se verifică dacă soluția găsită se află în domeniul de definiție;
5. Se scrie mulțimea soluțiilor ecuației.
Exemplul 1 . 𝑥+1
𝑥−2=3,𝑥∈𝐷⊂ℝ
Rezolvare:
Etapa1. Se determină domeniul de definiție
Se pune condiția 𝑥−2≠0⇔𝑥≠2
Domeniul de definiție 𝐷=ℝ∖{2}
Etapa 2. Se rezolvă ecuația
𝑥+1
𝑥−2=3⟺𝑥+1=3(𝑥−2)⟺𝑥+1=3𝑥−6⟺𝑥−3𝑥=−1−6⟺−2𝑥=−7
⟺𝑥=7
2⟺𝑥=3,5
Etapa 3. Se determină mulțimea soluțiilor.
Observăm că 3,5 ∈𝐷=ℝ∖{2}, deci mulțimea soluțiilor S= {3,5}.
Exemplul 2. 2
𝑥+1=4−2𝑥
𝑥+1,𝑥∈𝐷⊂ℝ

26
Rezolvare:
 Se determină domeniului de definiție:
Se pune condiția 𝑥+1≠0, deci 𝑥≠−1
 Se rezolvă ecuația :
2
𝑥+1=4−2𝑥
𝑥+1⟺
2
𝑥+1=4𝑥+4
𝑥+1−2𝑥
𝑥+1|∙(𝑥+1)⟺
2=4𝑥+4−2𝑥⟺
−4𝑥+2𝑥=4−2⟺
−2𝑥=2⟺
𝑥=−1
 Se determină mulțimea soluțiilor:
Se observă că necunoscuta nu poate să fie -1 deoarece ecuația în acest caz nu are
sens, deci soluția este mulțimea vidă. 𝑆=∅.

2.3. Ecuația de gradul al doilea cu rădăcini reale

2.3.1. Noțiuni generale.Definiții
Definiția 1 .
Ecuația de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎,𝑏,𝑐 sunt numere reale, cu 𝑎≠0, se
numește ecuație de gradul al doilea cu coeficienți reali.
Elementele unei ecuații de gradul al doilea :
– x este necunoscuta ecuației
– numerele a,b și c sunt coeficienții ecuației
– ax2 este termenul în x2, bx este termenul în x, iar c este termenul liber.
Definiția 2.
Se numește soluție sau rădăcină reală a ecuației de gradul al doilea un număr real 𝛼 astfel
încât să avem relația: 𝑎𝛼2+𝑏𝛼+𝑐=0.

27
Definiția 3.
Prin rezolvarea ecuației de gradul al doilea de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 se înțelege
determinarea tuturor soluțiilor (rădăcinilor) acestei ecuații.
Observație :
1. Dacă numărul real b este 0 sau numărul real c este 0 atunci avem ecuație de gradu l
al doilea cu forma incompletă.
2. Dacă numerele reale 𝑏≠0 ș𝑖 𝑐≠0 atunci ecuație de gradul al doilea are forma
completă.

2.3.2. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali
 Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu forma incompletă.

a. Rezolvarea ecuațiilor de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0,𝑎,𝑏≠0
În acest caz lipsește termenul liber.
Pentru a rezolva o ecuație de acest tip se procedează în felul următor:
 Se descompune mebrul stâng în factori: 𝑥(𝑎𝑥+𝑏)=0;
 Se rezolvă ecuațiile: 𝑥=0 ș𝑖 𝑎𝑥+𝑏=0;
 Dacă domeniul este ℝ, atunci mulțimea soluțiilor o să fie 𝑆={0;−𝑏
𝑎}.
Exemplu: 2𝑥2−6𝑥=0,𝑐𝑢 𝑥∈ℝ
Rezolvare:
2𝑥2−6𝑥=0⟺2𝑥(𝑥+3)=0
⟹{𝑥=0
𝑠𝑎𝑢
𝑥+3=0⟹{𝑥1=0
𝑥2=−3 ⟹𝑆={−3;0}

b. Rezolvarea ecuației de forma 𝑎𝑥2+𝑐=0,𝑎≠0
 Se determină x2
𝑎𝑥2+𝑐=0⟺𝑎𝑥2=−𝑐⟺𝑥2=−𝑐
𝑎
 Se discută soluția ecuație după numărul −𝑐
𝑎.
Penru 𝑥∈ℝ, avem următoarele situații:

28
1. Dacă numărul −𝑐
𝑎<0, atunci 𝑆=∅;
2. Dacă c=0, atunci 𝑆={0};
3. Dacă numărul −𝑐
𝑎>0, atunci 𝑆={−√−𝑐
𝑎;√−𝑐
𝑎}
Exemplul 1. 4𝑥2−9=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare: 4𝑥2−9=0⟺4𝑥2=9⟺𝑥2=9
4⟺𝑥=±3
2 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑆=
{−3
2;3
2}
Exemplul 2. 𝑥2+25=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare: 𝑥2+25=0⟺𝑥2=−25,𝑐𝑢𝑚−25<0⟹𝑆=∅
Exemplul 3. 5𝑥2=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare: 5𝑥2=0⟺𝑥2=0⟺𝑥=0 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑆={0}.
 Rezolvarea ecuației de gradul al d oilea cu forma completă
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎,𝑏,𝑐 sunt numere reale, cu 𝑎≠0.
Pentru a rezolva ecuațiile de gardul al doilea avem nevoie de formulele de rezolvare.
Demonstrația formulelor de rezolvare a ecuației de gradul al doilea:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0⟺
⟺𝑎(𝑥2+𝑏
𝑎𝑥+𝑐
𝑎)=0⟺
⟺𝑎(𝑥2+2∙𝑏
2𝑎∙𝑥+𝑐
𝑎)=0⟺
⟺𝑎(𝑥2+2∙𝑏
2𝑎∙𝑥+(𝑏
2𝑎)2
−(𝑏
2𝑎)2
+𝑐
𝑎)=0⟺
⟺𝑎[(𝑥+𝑏
2𝑎)2
−𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎]=0⟺
⟺𝑎[(𝑥+𝑏
2𝑎)2
−𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2]=0⟺
⟺𝑎(𝑥+𝑏
2𝑎)2
−𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎=0⟺

29
⟺𝑎(𝑥+𝑏
2𝑎)2
=𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎⟺
⟺(𝑥+𝑏
2𝑎)2
=𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
Se observă că termenul stâng a ecuației obținute este un pătrat perfect,deci un număr
nenegativ, de unde rezultă că ecuația de gradul al doilea are rădăcini reale dacă membrul
drept este mai mare sau egală cu 0. Dar 4𝑎2>0,de unde rezultă că soluția ecua ției depinde
de rezultatul expresiei 𝑏2−4𝑎𝑐.
Se notează cu ∆=𝑏2−4𝑎𝑐, unde ∆ este discriminantul ecuației de gradul al doilea.
(𝑥+𝑏
2𝑎)2
=∆
4𝑎2
Ca să determinăm soluțiile ecuației avem mai multe situații:
1. Dacă discriminantul ∆>0 avem două soluții r eale
𝑥+𝑏
2𝑎=±√∆
2𝑎⟺𝑥=−𝑏±√∆
2𝑎⟹
{ 𝑥1=−𝑏+√∆
2𝑎
𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎
2. Dacă discriminantul ∆=0 avem două soluții reale egale:
𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎
3. Dacă discriminantul ∆<0 nu avem soluții reale dar avem soluții complexe.
Exemplul 1.
𝑥2+5𝑥+6=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare: ∆=52−4∙1∙6=1>0⟹𝑥1=−5+√1
2∙1=−2 ș𝑖 𝑥2=−5−√1
2∙1=−3
Exemplul 2.
𝑥2−6𝑥+9=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare: ∆=(−6)2−4∙1∙9=0⟹𝑥1=𝑥2=−−6
2=3
Exemplul 3.
2𝑥2+3𝑥+5=0,𝑥∈ℝ
Rezolvare: ∆=32−4∙2∙5=−31<0⟹𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑎 𝑛𝑢 𝑎𝑟𝑒 𝑟ă𝑑ă𝑐𝑖𝑛𝑖 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒.

30
2.3.3. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu metoda grafică
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎,𝑏,𝑐 sunt numere reale, cu 𝑎≠0. La rezolvarea
grafică a ecuați ei de gradul al II-lea se aduce ecuația la una din forme:
 ax2 + bx +c = 0
 ax2 = -bx – c
 ax2 + c = – bx
 𝑎(𝑥+𝑏
2𝑎)2 = 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Algoritmul rezolvării grafice al ecuațiilor de gradul II:
 Se consideră funcția f(x), egală cu partea stângă și g(x) , egală cu partea dreaptă.
 În același sistem de axe ortogonale se construiește graficul funcției y=f(x) și
y=g(x) .
 Se caută punctele de intersecție a graficelor.
 Abscisele punctelor d e intersecție reprezintă soluțiile ecuației de gradul al II -lea.
Exemplu:
Fie ecuația 𝑥2−2𝑥−3=0
Rezolvarea 1.
 Se consideră funcția 𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3 și g(x)=0
 Se reprezintă funcția 𝑦=𝑥2−2𝑥−3 iar funcția y=0 este chiar axa absciselor
(figura 2)
 Punctele de intersecție a graficului cu axa absciselor reprezintă soluțiile ecuației
dată, adi că x1=−1 și x2=3

31

Figura 2
Rezolvarea 2.
 Se transformă ecuația sub forma 𝑥2=2𝑥+3
 Se consideră funcțiile 𝑓(𝑥)=𝑥2 ș𝑖 𝑔(𝑥)=2𝑥+3
 Se reprezintă cele două funcții într -un sistem de axe ortogonale (Figura 3).
 Abscisa punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor reprezintă cele două
soluții a ecuației date.

Figura 3.

32
Rezolvarea 3.
 Se transformă ecuația sub forma 𝑥2−3=2𝑥
 Se consideră funcțiile 𝑓(𝑥)=𝑥2−3 ș𝑖 𝑔(𝑥)=2𝑥
 Se reprezintă cele două funcții într -un sistem de axe ortogonale (Figura 4)
 Abscisa punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor reprezintă cele două
soluții a ecuației date.

Figura 4.
Rezolvare 4
 Se transformă ecuația sub forma (𝑥−1)2=4
 Se consideră funcțiile 𝑓(𝑥)=(𝑥−1)2 ș𝑖 𝑔(𝑥)=4
 Se reprezintă cele două funcții într -un sistem de axe ortogonale (Figura 5)
 Abscisa punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor reprezintă cele două
soluții a ecuației date.

33

Figura 5.

2.3.4. Relații între coeficienții și rădăcinile unei ecuații de gradul al
doilea
 Relațiile lui Viète
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎,𝑏,𝑐 sunt numere reale, cu 𝑎≠0 și ∆=𝑏2−
4𝑎𝑐≥0.
În acest caz s -a observat că avem două rădăcini reale 𝑥1=−𝑏+√∆
2𝑎 și 𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎.
Teoremă.
Fie ax²+bx +c=0 , a≠ 0 , cu rădă cini reale x1, x2 (distincte sau nu). Atunci au loc relatiile
lui Viète:
𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎 și 𝑥1∙𝑥2=𝑐
𝑎
Demonstrație:
𝑥1+𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎+−𝑏−√∆
2𝑎=−𝑏−𝑏
2𝑎=−2𝑏
2𝑎=−𝑏
𝑎

34
𝑥1∙𝑥2=−𝑏+√∆
2𝑎∙−𝑏−√∆
2𝑎=(−𝑏+√∆)(−𝑏−√∆)
4𝑎2=(−𝑏)2−(√𝑏2−4𝑎𝑐)2
4𝑎2=
=𝑏2−𝑏2+4𝑎𝑐
4𝑎2=4𝑎𝑐
4𝑎2=𝑐
𝑎

 Formarea unei ecuații de gradul al doilea când se cunosc
rădăcinile
Teoremă.
Dacă două numere reale x1, x2 au suma x1+x2=S si produsul x1·x2=P, atunci ele sunt
soluțiile ecuației x²-Sx +P=0. Cele două numere există dacă și numai dacă S2-
4P≥0.
Demonstrație:
(𝑥1)2−𝑆𝑥1+𝑃=𝑥12−(𝑥1+𝑥2)𝑥1+𝑥1𝑥2=𝑥12−𝑥12−𝑥2𝑥1+𝑥1𝑥2=0⟹𝑥1este
soluție a ecuației x²-Sx +P=0.
(𝑥2)2−𝑆𝑥1+𝑃=𝑥22−(𝑥1+𝑥2)𝑥2+𝑥1𝑥2=𝑥22−𝑥1𝑥2−𝑥22+𝑥1𝑥2=0⟹𝑥2este
soluție a ecuației x²-Sx +P=0.
2.3.5. Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎,𝑏,𝑐 sunt numere reale, cu 𝑎≠0 și ∆=𝑏2−
4𝑎𝑐≥0.
Conform relațiilor lui Viète avem {𝑆=𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎
𝑃=𝑥1∙𝑥2=𝑐
𝑎
În raport de semnul lui P și S, se poate stabili dacă rădăcinile ecuației sunt negative sau
pozitive, fără a le calcula, în felul următor:
Cazul 1. Dacă 𝑃>0, atunci ambele rădăcini au același semn. Pentru a stabili semnele
rădăcinilor trebuie să observă m semnul sumei celor două rădăcini. Dacă 𝑆>0, atunci
ambele rădăcini sunt pozitive. Dacă 𝑆<0, atunci ambele rădăcini sunt negative.
{𝑃>0 ș𝑖 𝑆>0⟹𝑥1>0 ș𝑖 𝑥2>0
𝑃>0 ș𝑖 𝑆<0⟹𝑥1<0 ș𝑖 𝑥2<0
Cazul 2. Dacă 𝑃<0, atunci una din rădăcini este pozitivă, ia r cealaltă negativă.După
stabilirea semnului produsului se determină semnul sumei. Dacă 𝑆>0, atunci 𝑥1+𝑥2=

35
𝑆>0 și deci rădăcina pozitivă este mai mare decât valoarea absolută a rădăcinii negative.
Dacă 𝑆<0, atunci 𝑥1+𝑥2<0 și deci valoarea absolută a rădăcinii negative este mai mare
decât rădăcina pozitivă.
{𝑃<0 ș𝑖 𝑆>0⟹𝑥1<0 ,𝑥2>0 ș𝑖 |𝑥1|<𝑥2
𝑃<0 ș𝑖 𝑆<0⟹𝑥1<0 ,𝑥2>0 ș𝑖 |𝑥1|>𝑥2
2.3.6. Ecuații reductibile la ecuație de gradul al doilea

 Ecuații bipătratice
Definiție. Ecuația de forma
𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐=0,
unde 𝑎,𝑏 ș𝑖 𝑐∈ℛ,𝑎≠0,𝑥 este o variabilă, se numește ecuație bipătrată.
Pentru a rezolvarea o ecuație bipătratică se face substituția 𝑥2=𝑡, astfel ecuația bipătratică
devine 𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐=0, ceea ce este o ecuație de gradul doi, care se rezolvă cu formula
de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea. Prin rezolvare se obține două soluții 𝑡1 ș𝑖 𝑡2.
Dacă 𝑡1 ș𝑖 𝑡2 sunt numere reale pozitive atunci soluțiile ecuație bipătrat ice o să fie 𝑥1,2=
±√𝑡1 ș𝑖 𝑥3,4=±√𝑡2
Dacă 𝑡1 ș𝑖 𝑡2 sunt numere reale negative atunci nu avem soluțiile reale pentru ecuația
bipătratică, soluțiile sunt numere complexe.
Exemplu 1.
Fie ecuația 𝑥4−40𝑥2+144=0,𝑥∈ℛ
Rezolvare:
Notăm 𝑥2=𝑡 ⟹𝑡2−40𝑡+144=0, după rezolvarea ecuației se obține soluțiile
𝑡1=4 ș𝑖 𝑡2=36.
Conform substituției avem {𝑥2=4
𝑥2=36 ⟹{𝑥1,2=±2
𝑥3,4=±6
Exemplu 2.
Fie ecuația 𝑥4−2𝑥2−8=0,𝑥∈ℛ
Rezolvare:

36
Notăm 𝑥2=𝑡 ⟹𝑡2−2𝑡−8=0, după rezolvarea ecuației se obține soluțiile
𝑡1=4 ș𝑖 𝑡2=−2.
Pe mulțimea numerelor reale 𝑥2≥0, deci 𝑥2 nu poate să fie -2, rămăne valoarea 4,
iar soluțiile ecuației bipătratice se obține din ecuația 𝑥2=4⟹𝑥1,2=±2.
Exemplu 3.
Fie ecuația 𝑥4+2𝑥2+5=0,𝑥∈ℛ
Rezolvare:
Notăm 𝑥2=𝑡 ⟹𝑡2+2𝑡+5=0, se observă că ∆=4−20=−16<0 ecuația
nu are soluții reale, deci nici ecuația bipătrată nu are soluție reală.
 Ecuații simetrice de gradul patru
Definiție : Ecuația de forma 𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎=0, unde 𝑎,𝑏 ș𝑖 𝑐∈ℛ,𝑎≠0 se
numește ecuație simetrică de gradul patru.
Pentru a rezolva ecuația simetrică de gradul patru se folosește substituția 𝑡=𝑥+1
𝑥.
Cum 𝑥=0 nu este soluție a ecuației dată se po ate împărții ecuația cu 𝑥2
𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎=0|:𝑥2
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+𝑏
𝑥+𝑎
𝑥2=0
𝑎(𝑥2+1
𝑥2)+𝑏(𝑥+1
𝑥)+𝑐=0
Prim substituția 𝑡=𝑥+1
𝑥 ,|𝑡|≥2⟹𝑡2=(𝑥+1
𝑥)2
⟹𝑡2=𝑥2+2+1
𝑥2⟹𝑡2−2=
𝑥2+1
𝑥2 se obținem ecuația de gradul doi 𝑎(𝑡2−2)+𝑏𝑡+𝑐=0, care se rezol vă prin
formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea.
Observație: Pentru ecuația de forma 𝑎𝑥4∓𝑏𝑥3±𝑐𝑥2±𝑏𝑥+𝑎=0 se folosește
substituția 𝑡=𝑥−1
𝑥.
Exemplu
Fie ecuația 𝑥4+5𝑥3+2𝑥2+5𝑥+1=0,𝑥∈ℛ,
Rezolvare:

37
Cum 𝑥≠0, împărțim ecuația cu 𝑥2 și grupăm convenabil termenii se obține ecuația
(𝑥2+1
𝑥2)+5(𝑥+1
𝑥)+2=0
Se notează cu 𝑡=𝑥+1
𝑥,|𝑡|≥2
Ecuația devine 𝑡2−2+5𝑡+2=0
După rezolvarea ecuației se obține soluțiile 𝑡1=0 ș𝑖 𝑡2=−5, cum |𝑡|≥2 se poate lua
cazul când 𝑡=−5⟹𝑥+1
𝑥=−5⟹𝑥2+5𝑥+1=0, după rezolvarea ecuației de
gradul doi se obține soluțiile reale
{ 𝑥1=−5+√21
2
𝑥2=−5−√21
2

2.4. Ecuația de gradul al treilea
Ecuații algebrice, care au gradul mai mare sau egal cu trei se numesc ecuații algebrice de
grad superior. Confor teoremei lui Abel -Ruffini pentru ecuațiile cu grad mai mare sau egal
cu 5 nu există o formulă generală de rezolvare, pentru ecuații de gradul trei formula de
rezolvare a fost determinat de matematicianul italian Tartaglia, iar matematicianul italian
Ferrari a determinat formula de rezolvare a ecuației de gradul patru.
Definiție :
Ecuația de forma 𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=0, cu 𝑎≠0, 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈ℝ se numește
ecuație de gradul al treilea.
2.4.1. Rezolvarea ecuației de gradul al treilea dacă lipsește termenul
liber
Fie ecuația 𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥=0, cu 𝑎≠0.
În cazul când lipsește termenul liber dintr -o ecuație de gradul al treilea, una dintre
soluțiile ecuației este 0, iar restul soluțiilor obținem de fapt prin rezolvarea unei ecuație
de gradul doi obținut după scoaterea factorului comun x.
𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥=0 ⟺𝑥(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)=0⟹𝑥=0 𝑠𝑎𝑢 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0.

38
Rezolvând ecuația de gradul doi 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 se obține, fie rădăcini reale a ecuației
de gradul trei, fie rădăcini complexe în funcție de discriminantul ecuației.
2.4.2. Rezolvarea ecuației de gradul al treilea folosind
formula lui CARDANO .
Pentru rezolvarea ecuația de gradul al treilea se aduce ecuaț ia la o formă mai
simplă, în felul următor:
𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=0 ∕:𝑎
⟹𝑥3+𝑏
𝑎𝑥2+𝑐
𝑎𝑥+𝑑
𝑎=0 (1)
Se notează 𝑦=𝑥+𝑏
3𝑎 ⟹𝑥=𝑦−𝑏
3𝑎.
Înlocuin în ecuația (1) pe x obținem
(𝑦−𝑏
3𝑎)3
+𝑏
𝑎(𝑦−𝑏
3𝑎)2
+𝑐
𝑎(𝑦−𝑏
3𝑎)+𝑑
𝑎=0
𝑦3−3𝑦2𝑏
3𝑎+3𝑦𝑏2
9𝑎2−𝑏3
27𝑎3+𝑏
𝑎(𝑦2−2𝑦𝑏
3𝑎+𝑏2
9𝑎2)+𝑐
𝑎𝑦−𝑏𝑐
3𝑎2+𝑑
𝑎=0
𝑦3−𝑦2𝑏
𝑎+𝑦𝑏2
3𝑎2−𝑏3
27𝑎3+𝑦2𝑏
𝑎−2𝑦𝑏2
3𝑎2+𝑏3
9𝑎3+𝑐
𝑎𝑦−𝑏𝑐
3𝑎2+𝑑
𝑎=0
𝑦3+𝑦(𝑐
𝑎−𝑏2
3𝑎2)+(𝑑
𝑎+2𝑏3
27𝑎3−𝑏𝑐
3𝑎2)=0
Notând cu 𝑝=(𝑐
𝑎−𝑏2
3𝑎2) și 𝑞=(𝑑
𝑎+2𝑏3
27𝑎3−𝑏𝑐
3𝑎2)
Obținem din ecu ația de gradul trei o ecuație tot de graul trei dar mai simplă de forma din
care lipsește termenul y2:
𝑦3+𝑝𝑦+𝑞=0
Fie u și v două variabile , astfel încât u+v=y .
Înlocuind în ecuația dată, se obține:
(𝑢+𝑣)3+𝑝(𝑢+𝑣)+𝑞=0
𝑢3+3𝑢2𝑣+3𝑢𝑣2+𝑣3+𝑝𝑢+𝑝𝑣+𝑞=0
𝑢3+𝑣3+(𝑢+𝑣)(3𝑢𝑣+𝑝)+𝑞=0

39
Se pune condiția că 3𝑢𝑣+𝑝=0, și astfel se obține un sistem de ecuații:
{𝑢3+𝑣3=−𝑞
𝑢𝑣=−𝑝
3⟺{𝑢3+𝑣3=−𝑞
𝑢3𝑣3=−𝑝2
27
În sistemul de ecuații s -a obținut suma și produsul a două numere reale și astfel putem
forma o ecuație de gradul doi în cu necunoscuta t:
𝑡2+𝑞𝑡−𝑝2
27=0
Rezolvând ecuația de gradul doi obținem soluțiile:
𝑡1,2=−𝑞
2±√𝑞2
4+𝑝3
27
Din ultima relație se obține că
𝑢3=−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
27 ⟹𝑢=√−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
273

și
𝑣3=−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
27 ⟹𝑣=√−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
273

Se obține
𝑦=𝑢+𝑣=√−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
273
+√−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
273

Din cauza faptului că √13=
{ 1
𝜀=−1+𝑖√3
2
𝜀2=−1−𝑖√3
2
obținem următoarele soluții:
𝑦1=𝑢+𝑣

40
𝑦2=𝜀𝑢+𝜀2𝑣
𝑦3=𝜀2𝑢+𝜀𝑣
2.4.3. Natura rădăcinilor ecuației de gradul trei cu coeficienți
reali
Definiție : Fie ecuația algebrică de gradul n
𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎𝑛=0.
Dacă 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 sunt rădăcinile ecuației, atunci numărul complex
𝑑=∏(𝑥𝑖−𝑥𝑗)2
1≤𝑖<𝑗≤𝑛
se numește discriminantul ecuației.
Pentru n=3, avem ecuația 𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,
Discriminantul este 𝑑=(𝑥1−𝑥2)2(𝑥2−𝑥3)2(𝑥1−𝑥3)2
Confor relațiilor l ui Viete avem:
{𝑥1+𝑥2+𝑥3=−𝑎
𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥3+𝑥1𝑥3=𝑏
𝑥1𝑥2𝑥3=−𝑐
Se obține 𝑑=−4𝑎3𝑐+𝑎2𝑏2+18𝑎𝑏𝑐−4𝑐2−27𝑐2
Discutarea rădăcinilor ecuației de gradul trei 𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, se reduce la
determinarea rădăcinilor ecuației în care 𝑎=0. Astfel obținem ecuația de forma
𝑥3+𝑝𝑥+𝑞=0 care are discriminantul 𝑑=−(4𝑝3+27𝑞2)=−108(𝑞2
4+𝑝3
27)
În funcție de valoarea discriminantului ecuației de gradul trei, se distinge trei cazuri:
i. Dacă d=0, atunci ecuația de gradul al treilea are trei rădăcini reale, iar cel puțin
una dintre rădăcini este dublă;
Se observă că discriminantul 𝑑=(𝑥1−𝑥2)2(𝑥2−𝑥3)2(𝑥1−𝑥3)2 = 0 dacă cel
puțin două rădăcin sunt egale.
ii. Dacă d<0, atunci ecuația de gradul al treilea are cel puțin o rădăcină reală;
Fie 𝑥1 rădăcina reală a ecuației, deoarece
𝑑=(𝑥1−𝑥2)2(𝑥2−𝑥3)2(𝑥1−𝑥3)2<0, 𝑥2 ș𝑖 𝑥3 sunt numere complexe
conjugate.

41
iii. Dacă 𝑑>0, atunci ecuația are trei rădăcini reale distincte.
Se presupune că 𝑥1este reală. Dacă 𝑥2și 𝑥3 ar fi complexe conjugate atunci
𝑥2=𝑎+𝑏𝑖 și 𝑥3=𝑎−𝑏𝑖,𝑐𝑢 𝑏≠0.
Calculând discriminantul
𝑑=(𝑥1−𝑎−𝑏𝑖)2(−𝑏)2(𝑥1−𝑎+𝑏𝑖)2=(−𝑏2)[(𝑥1−𝑎)2+𝑏2]2<0,
Cea ce este o contradicție, deci ecuați are trei rădăcini reale distincte dacă 𝑑>0.

2.4.4. Exemple de rezolvări a ecuațiilor de gradul al treilea .

1. Fie ecuația 3𝑥3−2𝑥2−𝑥=0
Se observă că lipsește termenul liber, în acest caz se scoate factorul comun x.
𝑥(3𝑥2−2𝑥−1)=0
⟹{𝑥=0
3𝑥2−2𝑥−1=0
Una dintre soluțiile ecuațiilor este 0, iar restul soluțiilor se obține rezolvând ecuația de
gradul al doilea obținut
3𝑥2−2𝑥−1=0
∆=4−4∙3∙(−1)=16
𝑥1=1
𝑥2=−1
6
Ecuația dată are trei soluții reale.
𝑆={−1
6,0,1}
Ecuația se poate rezolva și folosind reprezentarea grafică:
Soluțiile ecuației vor fi punctele de intersecție a graficului funcției f(x)=3×3-2×2-x cu axa Ox
în sistemul de axe ortogonale.(Figura 6.)

42

Figura 6.
2. Fie ecuația 𝑥3−5𝑥2+7𝑥−3=0
Pentru a rezolva ecuația, prima dată se verifică dacă nu există soluții din cadrul
divizorilor termenului liber.
𝐷3={±1,±3}
13−5∙1+7∙1−3=1−5+7−3=0 de unde rezul tă că 1 este soluție a ecuației
dată, iar ecuația dată este divizibilă cu (𝑥−1)
Împărțind polinomul (𝑥3−5𝑥2+7𝑥−3) cu (𝑥−1)se obține polinomul de gradul al
doilea (𝑥2−4𝑥+3)
Rezolvând ecuația 𝑥2−4𝑥+3=0 se obține restul soluțiilor ecuație dată, adică se
obține ca și soluție 1 și 3.
Astfel ecuația 𝑥3−5𝑥2+7𝑥−3=0 are trei s oluții reale pe 1 ca și soluție multiplă și
pe 3.
Reprezentând grafic funcția 𝑓(𝑥)=𝑥3−5𝑥2+7𝑥−3 obținem soluțiile reale prin
intersecția graficului cu axa Ox. (Figura 7.)

43

Figura 7.
3. Fie ecuația 12𝑥3−4𝑥2−3𝑥+1=0
Petru a rezolva ecuația se folosesc divizorii termenului liber și divizorii coeficientului
dominant
Fie 𝑝∈𝐷1={±1} și 𝑞∈𝐷12={±1,±2,±3,±4,±6,±12}
Soluții posibile a ecuației date vor avea forma 𝑝
𝑞, adică ±1,±1
2,±1
3,±1
4,±1
6,±1
12.
Pentru a verifica dacă un numă este soluție vom folosi schema l ui Horner:
𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝒙𝟏 𝒙𝟎
12 -4 -3 1
1 12 8 5 6 x=1 nu este soluție
-1 12 -16 13 -12 x=-1 nu este soluție
𝟏
𝟐 12 2 -2 0 x=𝟏
𝟐 este soluție a
ecuației dată
Dacă 1
2 este soluție a ecuației atunci ecuația dată este divizibilă cu (𝑥−1
2) iar câtul
împărțirii putem observa din schema lui Horner, adică 12𝑥2+2𝑥−2.
Restul soluțiilor se obține rezolvănd ecuația de gradul al doilea astfe l obținut.

44
12𝑥2+2𝑥−2=0 |:2
6𝑥2+𝑥−1=0
∆=12−4∙6∙(−1)=25
𝑥1=−1+5
12=4
12=1
3
𝑥2=−1−5
12=−6
12=−1
2
Soluțiile ecuației sunt −1
2,1
3,1
2.
Aceste soluții se pot observa și reprezentăn graficul funcției asociate ecuației dată.
f(x)= 12𝑥3−4𝑥2−3𝑥+1. Soluțiile fiind punctele de intersecție a graficului cu axa
absciselor. (Figura 8)

Figura 8.
4. Fie ecuația 𝑥3−3𝑥2+12𝑥+16=0
Rezolvarea ecuației folosind metoda Cardano:
Se notează 𝑥=𝑦−𝑏
3𝑎⟹𝑥=𝑦−(−3)
3⟹𝑥=𝑦+1
𝑥2=(𝑦+1)2=𝑦2+2𝑦+1
𝑥3=(𝑦+1)3=𝑦3+3𝑦2+3𝑦+1
Înlocuin în expresia dată se obține:
𝑦3+3𝑦2+3𝑦+1−3𝑦2−6𝑦−3+12𝑦+12+16=0
După calcule se obține ecuația:

45
𝑦3+9𝑦+26=0
Se consideră 𝑦=𝑢+𝑣
𝑦3=(𝑢+𝑣)3=𝑢3+3𝑢2𝑣+3𝑢𝑣2+𝑣3=
=(𝑢3+𝑣3)+3𝑢𝑣(𝑢+𝑣)=
=(𝑢3+𝑣3)+3𝑢𝑣𝑦 ⟹
⟹𝑦3−3𝑢𝑣𝑦−(𝑢3+𝑣3)=0
Cum 𝑦3+9𝑦+26=0 ⟹{−3𝑢𝑣=9
𝑢3+𝑣3=−26⟺{𝑢𝑣=−3
𝑢3+𝑣3=−26
Calculând (𝑢3−𝑣3)2=(𝑢3+𝑣3)2−4(𝑢𝑣)3=(−26)2−4(−3)3=676+108
⟹(𝑢3−𝑣3)2=784⟹𝑢3+𝑣3=±√784=±28
Avem două cazuri:
Cazul 1. {𝑢3−𝑣3=28
𝑢3+𝑣3=−26 și Cazul 2. {𝑢3−𝑣3=−28
𝑢3+𝑣3=−26
2𝑢3=2 2𝑢3=−54
𝑢3=1⟹ 𝑢=√13 𝑢3=−27⟹ 𝑢=√−33
deci 𝑢={1
𝜀
𝜀2 sau 𝑢={−3
−3𝜀
−3𝜀2
din 𝑢𝑣=−3⟹𝑣=
{ −3
1=−3
−3
𝜀=−3𝜀3
𝜀=−3𝜀2
−3
𝜀2=−3𝜀3
𝜀2=−3𝜀 sau 𝑣={1
𝜀2
𝜀

știind că 𝑦=𝑢+𝑣 se obține: {𝑦1=1
𝑦2=𝜀−3𝜀2
𝑦3=𝜀2−3𝜀 ⟹
⟹{𝑥1=𝑦+1=−2+1=−1
𝑥2=1+𝜀−3𝜀2=1+𝜀+𝜀2−4𝜀2=−4𝜀2
𝑥3=1+𝜀2−3𝜀=1+𝜀+𝜀2−4𝜀=−4𝜀
Soluțiile ecuație 𝑥3−3𝑥2+12𝑥+16=0 sunt
𝑥1=−1; 𝑥2=−4𝜀2 ș𝑖 𝑥2=−4𝜀 , unde 𝜀=−1+√3𝑖
2 ș𝑖 𝜀2=−1−√3𝑖
2
Cea ce înseamnă că ecuațiia are o soluție reală și două soluții complexe.

46
2.5. Ecuația de gradul patru
Fie ecuația de gradul patru 𝑥4+𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=0.
Pentru a rezolva ecuația de gradul patru se face substituția 𝑦=𝑥+𝑎
4 de unde rezultă că
necunoscuta 𝑥=𝑦−𝑎
4.
Înlocuind în ecuația de gradul patru se obține o ecuație redusă de gradul patru, în care
lipsește termenul 𝑥3, adică:
(𝑦−𝑎
4)4
+𝑎(𝑦−𝑎
4)3
+𝑏(𝑦−𝑎
4)2
+𝑐(𝑦−𝑎
4)+𝑑=0
Cum
(𝑦−𝑎
4)4
=𝑦4−4𝑦3𝑎
4+6𝑦2𝑎2
16−4𝑦𝑎3
64+𝑎4
256;
𝑎(𝑦−𝑎
4)3
=𝑎(𝑦3−3𝑦2𝑎
4+3𝑦𝑎2
16−𝑎3
64)=𝑎𝑦3−3𝑦2𝑎2
4+3𝑦𝑎3
16−𝑎4
64
𝑏(𝑦−𝑎
4)2
=𝑏𝑦2−𝑎𝑏
2𝑦+𝑎2𝑏
16
Calculând avem:
𝑦4−𝑎𝑦3+3𝑎2
8𝑦2−𝑎3
16𝑦+𝑎4
256+𝑎𝑦3−3𝑎2
4𝑦2+3𝑎3
16𝑦−𝑎4
64+𝑏𝑦2−𝑎𝑏
2𝑦+𝑎2𝑏
16+
+𝑐𝑦−𝑎𝑐
4+𝑑=0
⟺𝑦4+(−3𝑎2
8+𝑏)𝑦2+(2𝑎3
16−𝑎𝑏
2+𝑐)𝑦+(−3𝑎4
256+𝑎2𝑏
16−𝑎𝑐
4+𝑑)=0
Care este o ecuație redusă de gradul patru de forma: 𝑦4+𝑝𝑦2+𝑞𝑦+𝑟=0, unde
{ 𝑝=−3𝑎2
8+𝑏
𝑞=2𝑎3
16−𝑎𝑏
2+𝑐
𝑟=−3𝑎4
256+𝑎2𝑏
16−𝑎𝑐
4+𝑑
Scrisă sub forma redusă ecuația de gradul patru are mai multe metode de rezolvare:

47
2.5.1. Metoda lui Ferrari.
Fie m un parametru, atunci avem
𝑦4+𝑝𝑦2+𝑞𝑦+𝑟=(𝑦2+𝑝
2+𝑚)2
+𝑞𝑦+𝑟−𝑝2
4−𝑚2−2𝑚𝑦2−𝑝𝑚
Sau 𝑦4+𝑝𝑦2+𝑞𝑦+𝑟=(𝑦2+𝑝
2+𝑚)2
−[2𝑚𝑦2−𝑞𝑦+(𝑚2+𝑚𝑝−𝑟+𝑝
4)]
Se alege parametrul m astfel încât polinomul Y
𝑓(𝑌)=2𝑚𝑌2−𝑞𝑌+(𝑚2+𝑝𝑚−𝑟+𝑝2
4)
să fie pătratul u nui polinom de gradul întâi.
Discriminantul ecuație f(y)=0 trebuie să fie nul, adică
∆=𝑞2−8𝑚(𝑚2+𝑝𝑚−𝑟+𝑝2
4)=0
Sau
8𝑚3+8𝑝𝑚2−8(𝑟−𝑝2
4)𝑚−𝑞2=0
Ultima ecuație este o ecuație de gradul trei în necunoscuta m, care are o rădăcină
complexă; fie aceasta m 0.
Atunci pentru m 0 avem
𝑓(𝑌)=2𝑚0(𝑌−𝑞
4𝑚0)2

În acest caz ecuația 𝑦4+𝑝𝑦2+𝑞𝑦+𝑟=0 devine
(𝑦2+𝑝
2+𝑚0)2
−2𝑚0(𝑦−𝑞
4𝑚0 )2
=0
Aplicând formula diferenței a două pătrate se obține:
(𝑦2+𝑝
2+𝑚0−√2𝑚0𝑦+𝑞
2√2𝑚0)(𝑦2+𝑝
2+𝑚0+√2𝑚0𝑦−𝑞
2√2𝑚0)=0
De unde obținem două ecuații de gradul al II -lea:

48
{ 𝑦2−√2𝑚0𝑦+(𝑝
2+𝑚0+𝑞
2√2𝑚0)=0
𝑦2+√2𝑚0𝑦+(𝑝
2+𝑚0−𝑞
2√2𝑚0)=0
După rezolvare celor două ecuații de gradul al doilea se obține cele patru rădăcini a
ecuației de gradul patru.
2.5.2. Metoda lui Rene Descartes
În 1637 Rene Descartes introduce o metodă de a rezolva o ecuație de gradul patru. Această
metodă constă în a scrie ecuația de gradul patru ca produsul a două ecuații de gradul al
doilea.
𝑥4+𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=
=(𝑥2+𝑠𝑥+𝑡)(𝑥2+𝑢𝑥+𝑣)=
=𝑥4+(𝑠+𝑢)𝑥3+(𝑡+𝑣+𝑠𝑢)𝑥2+(𝑠𝑣+𝑡𝑢)𝑥+𝑡𝑣
Comparând cele două expresii se obține următoarele relații:
{𝑠+𝑢=𝑎
𝑡+𝑣+𝑠𝑢=𝑏
𝑠𝑣+𝑡𝑢=𝑐
𝑡𝑣=𝑑
Această metodă se poate simplifica, dacă se folosește forma redusă a ecuației de gradul
patru.
𝑦4+𝑝𝑦2+𝑞𝑦+𝑟=0,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑦=𝑥+𝑏
4
{𝑠+𝑢=0
𝑡+𝑣+𝑠𝑢=𝑝
𝑠𝑣+𝑡𝑢=𝑐=𝑞
𝑡𝑣=𝑟 ⟺{𝑠=−𝑢
𝑡+𝑣−𝑢2=𝑝
−𝑢𝑣+𝑡𝑢=𝑞
𝑡𝑣=𝑟⟺{𝑠=−𝑢
𝑝+𝑢2=𝑡+𝑣
𝑞=𝑢(𝑡−𝑣)
𝑟=𝑡𝑣
Se elimină t și v prin calcule:
𝑢2(𝑝+𝑢2)2−𝑞2=𝑢2(𝑡+𝑣)2−𝑢2(𝑡−𝑣)2=
=𝑢2(𝑡+𝑣+𝑡−𝑣)(𝑡+𝑣−𝑡+𝑣)=𝑢2(2𝑡)(2𝑣)
⟹𝑢2(𝑝+𝑢2)2−𝑞2=4𝑢2𝑡𝑣 |:𝑢2

49
⟹(𝑝+𝑢2)2−𝑞2
𝑢2=4𝑡𝑣 ,𝑑𝑎𝑟 𝑡𝑣=𝑟
⟹(𝑝+𝑢2)2−𝑞2
𝑢2=4𝑟
După calcule se obține ecuația 𝑢6+2𝑝𝑢4+(𝑝2−4𝑟)𝑢2−𝑞2=0
Se face substituția 𝑢2=𝑈 și se obține o ecuație de gradul trei care are forma:
𝑈3+2𝑝𝑈2+(𝑝2−4𝑟)𝑈−𝑞2=0
Ultima ecuație se poate rezolva folosind metoda Cardano pentru rezolvarea ecuației de
gradul al treilea.
2.6. Metoda Langrange de rezolvare a ecuțiilor algebrice de
grad mai mic sau egal cu patru
Metoda Lagrange de rezolvare a ecuțiilor de grad ≤ 4 constă în a reduce o ecuație de acest
tip la o ecuație mai simplă. În această metodă se regăsește ideea dezvoltării teoriei lui
Galois.
Fie 𝐹(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)=𝑓(𝑋1,…𝑋𝑛)
𝑔(𝑋1,…𝑋𝑛) o fracție rațională cu coeficienți numere complexe.
Se notează 𝜎𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝐹(𝑋𝜎(1),…,𝑋𝜎(𝑛)), unde 𝜎∈𝜎𝑛. Se spune că permutarea 𝜎
invariază fracția rațională 𝐹(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛) dacă 𝐹(𝑋𝜎(1),…,𝑋𝜎(𝑛))=𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛).
Se notează 𝐻𝐹mulțimea permutărilor care invariază pe F.
Propoziția 1. 𝐻𝐹 este un subgrup al lui 𝜎𝑛.
Demonstrație.
Fie 𝜎∈𝐻𝐹, atunci 𝐹(𝑋𝜎(1),…,𝑋𝜎(𝑛))=𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)⟹𝐹(𝑋𝜎−1(1),…,𝑋𝜎−1(𝑛)=
𝐹(𝑋𝜎−1(𝜎(1)),…,𝑋𝜎−1(𝜎(𝑛))))=𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)⟹𝜎−1∈𝐻𝐹.
Dacă 𝜎,𝜏∈𝐻𝐹, atunci 𝐹(𝑋𝜏(1),…,𝑋𝜏(𝑛))=𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)⟹𝐹(𝑋𝜎(𝜏(1)),…,𝑋𝜎(𝜏(𝑛)))=
𝐹(𝑋𝜎(1),…,𝑋𝜎(𝑛))= 𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)⟹𝐹(𝑋(𝜎𝜏)(1),…,𝑋(𝜎𝜏)(𝑛))=𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)
⟹𝜎𝜏∈𝐻𝐹⟹𝐻𝐹 este subgrup al lui 𝜎𝑛.
Definiție: Subgrupul 𝐻𝐹 se numește subgrup invariant pentru fracția rațională 𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛).

50
Invers, dat fiind un subgrup H a lui 𝜎𝑛, o fracție rațională 𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛) se spune că este un
invariant pentru H dacă 𝐻=𝐻𝐹.
Observație : 𝐻𝐹=𝜎𝑛 dacă și numai dacă F este o fracție simetrică.
Propoziția 2: Fie 𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛) o fracție rațională cu 𝐻𝐹 subgrupul invariant și fie 𝜋̂=𝜋𝐻𝐹
o clasă de echivalență la stânga modu lo subgrupul 𝐻𝐹. Atunci pentru orice 𝜎∈𝜋𝐻𝐹 avem
𝜎𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝜋𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛).
Demonstrație. Dacă 𝜎∈𝜋𝐻𝐹 , atunci ∃𝜏∈𝐻𝐹 astfel încât 𝜎=𝜋𝜏.
Atunci 𝜎𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝜋𝜏𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝜋𝐹(𝑋𝜏(1),…,𝑋𝜏(𝑛))=𝜋𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=
𝐹(𝑋𝜋(1),…,𝑋𝜋(𝑛)).
Teoremă 1. Fie 𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛) o fracție rațională cu 𝐻𝐹 subgrupul invariant asociat. Atunci
𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛) este rădăcină a unui polinom de gradul 𝑝=[𝜎𝑛:𝐻𝐹] cu coeficienți în inelul
polinoamelor simetrice în nedeterminatele 𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛.
Demonstrație: Fie 𝜋̂1,…,𝜋̂𝑝 clasele de echivalență la stânga modulo subgrupul 𝐻𝐹.
Presupunem că 𝜋1=𝑒.
Fie 𝐹𝑖(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝜋𝑖𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝐹(𝑋𝜋𝑖(1),…,𝑋𝜋𝑖(𝑛)).
Cum 𝜋1=𝑒, atunci 𝐹1(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛).
Se consideră polinomul de gradul p:
𝑃(𝑌)=∏(𝑌−𝑝
𝑖=1 𝐹𝑖(𝑋1,…,𝑋𝑛)).
Fie 𝜎 o permutare arbitrară a lui 𝜎𝑛. Atunci 𝜎𝐹𝑖(𝑋1,…𝑋𝑛) este una dintre valorile
𝐹1,𝐹2,…𝐹𝑝.
Într-adevăr 𝜎𝐹𝑖(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝜎𝜋𝑖𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛).
Dar 𝜎𝜋𝑖 aparține unei clase de echivalență, fie aceasta 𝜋̂𝑗. Din propoziția 2 obținem
𝜎𝜋𝑖𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝜋𝑗𝐹(𝑋1,…,𝑋𝑛)=𝐹𝑗(𝑋1,…,𝑋𝑛).
Dar, dacă 𝑖≠𝑗, avem 𝜎𝐹𝑖≠𝜎𝐹𝑗. Într-adevăr, dacă 𝜎𝐹𝑖=𝜎𝐹𝑗, atunci
𝜎−1(𝜎𝐹𝑖)=𝜎−1(𝜎𝐹𝑗) și deci 𝐹𝑖=𝐹𝑗.
Valorile 𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑝 sunt distincte. Într -adevăr, dacă 𝐹𝑖=𝐹𝑗, atunci 𝜋𝑖𝐹=𝜋𝑗𝐹, de unde
𝜋𝑗−1𝜋𝑖𝐹=𝐹 deci 𝜋𝑗−1𝜋𝑖∈𝐻𝐹, ceea ce implică 𝜋̂𝑖=𝜋̂𝑗, adică se obține o contradicție.

51
⟹{𝜎𝐹1,𝜎𝐹2,…,𝜎𝐹𝑝}={𝐹1,𝐹2,…,𝐹𝑝},∀𝜎∈𝜎𝑛.
Se scrie polinomul 𝑃(𝑌) sub forma:
𝑃(𝑌)=𝑌𝑝−𝐴1𝑌𝑝−1+𝐴2𝑌𝑝−2+⋯+(−1)𝑝𝐴𝑝,
Unde
𝐴1=𝐹1+𝐹2+⋯+𝐹𝑝=∑𝐹𝑖𝑝
𝑖=1,
𝐴2=∑𝐹𝑖𝐹𝑗 1≤𝑖≤𝑗≤𝑝 ,
…………………………………..
𝐴𝑝=𝐹1𝐹2…𝐹𝑝.
Fie 𝜎 o permutare arbitrară a lui 𝜎𝑛. Luând în considerare forma lui P(Y) se obține
𝜎𝐴1=∑𝜎𝐹𝑖=∑𝐹𝑖=𝐴1,𝑝
𝑖=1𝑝
𝑖=1
𝜎𝐴2=∑𝜎𝐹𝑖𝜎𝐹𝑗=∑𝐹𝑖𝐹𝑗=𝐴2,
1≤𝑖≤𝑗≤𝑝 1≤𝑖≤𝑗≤𝑝
……………………………………………………………………
𝜎𝐴𝑝=𝜎𝐹1𝜎𝐹2…𝜎𝐹𝑝=𝐹1𝐹2…𝐹𝑝=𝐴𝑝.
Rezultă că polinoamele 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑝 sunt simetrice și 𝐹1=𝐹 este o rădăcină a
polinomului P(Y).
2.6.1. Rezolvarea ecuației de gradul al treilea prin metoda lui
Lagrange
Se consideră ecuația de gradul trei sub formă redusă: 𝑥3+𝑝𝑥+𝑞=0, unde p și q sunt
numere complexe.
Se consideră expresia 𝐵=(𝑋1+𝜀𝑋2+𝜀2𝑋3)3, unde 𝜀 este o rădăcină cubică a unității,
diferită de 1.
Subgrupul invariant pentru B este 𝐻𝐵={𝑒,(1,2,3),(1,3,2)}. Cum 𝐻𝐵 este de indice 2 în
𝜎3, atunci conform teoremei 1, B verifică o ecuația de gradul doi cu coeficienți polinoame
simetrice în 𝑋1,𝑋2,𝑋3. Se determină această ecuație.

52
Clasele de echivalență la stânga modulo subgrulului 𝐻𝑃 sunt două:
𝑒̂=𝑒∙𝐻𝐵=𝐻𝐵={𝑒,(1,2,3),(1,3,2)},
(1,2)̂=(1,2)𝐻𝐵={(1,2),(1,3),(2,3)}.
Cele două valori ale lui B sunt
𝐵1=𝑒∙𝐵=𝐵=(𝑋1+𝜀𝑋2+𝜀2𝑋3)3,
𝐵2=(1,2)∙𝐵=(𝑋2+𝜀𝑋1+𝜀2𝑋3)3.
Ecuația de gradul doi pe care verifică B este
(𝑧−𝐵1)(𝑧−𝐵2)=0
sau
𝑧2−(𝐵1+𝐵2)𝑧+𝐵1𝐵2=0.
Dar prin calcule se obține
𝐵1+𝐵2=(𝑋1+𝜀𝑋2+𝜀2𝑋3)3+(𝑋2+𝜀𝑋1+𝜀2𝑋3)3=2𝑠13−9𝑠1𝑠2+27𝑠3
și 𝐵1𝐵2=(𝑠12−3𝑠2)3, unde
𝑠1=𝑋1+𝑋2+𝑋3,
𝑠2=𝑋1𝑋2+𝑋1𝑋3+𝑋2𝑋3,
𝑠3=𝑋1𝑋2𝑋3.
Deci B verifică ecuația
𝑧2−(2𝑠13−9𝑠1𝑠2+27𝑠3)𝑧+(𝑠12−3𝑠2)3=0,
Coeficienții săi fiind polinoame simetrice.
Se notează 𝐿𝜀𝑋=𝑋1+𝜀𝑋2+𝜀2𝑋3. Se observă că 𝐵1=𝐿𝜀𝑋3 și 𝐵2=𝐿𝜀2𝑋3, unde 𝐵1și 𝐵2
sunt rădăcinile ultimei ecuații.
Dacă 𝑥1,𝑥2,ș𝑖 𝑥3 sun rădăcinile ecuației 𝑥3+𝑝𝑥+𝑞=0, se notează 𝐿𝜀 𝑋 valoarea lui
𝐿𝜀 𝑋 când facem 𝑋1=𝑥1,𝑋2=𝑥2,𝑋3=𝑥3.
Se obține sistemul de ecuații: {𝑥1+𝑥2+𝑥3=0
𝑥1+𝜀𝑥2+𝜀𝑥3=𝐿𝜀𝑥
𝑥1+𝜀2𝑥2+𝜀𝑥3=𝐿𝜀2𝑥

53
Determinantul acestui sistem es te:
|111
1𝜀𝜀2
1𝜀2𝜀|=3(𝜀2−𝜀)≠0.
Deci sistemul are o soluție unică.
𝑥1=1
3(𝐿𝜀𝑥+𝐿𝜀2𝑥),
𝑥2=1
3(𝜀2𝐿𝜀𝑥+𝜀𝐿𝜀2𝑥),
𝑥3=1
3(𝜀𝐿𝜀𝑥+𝜀2𝐿𝜀2𝑥).
Rezolvarea ecuației de gradul trei se reduce la determinarea lui 𝐿𝜀𝑥 și 𝐿𝜀2𝑥.
Se notează cu 𝑏1 ș𝑖 𝑏2 valorile lui 𝐵1 respectiv 𝐵2 pentru 𝑋1=𝑥1,𝑋2=𝑥2,𝑋3=𝑥3.
Atunci 𝑏1 ș𝑖 𝑏2 sunt soluțiile ecuației
𝑧2−(2𝑠13−9𝑠1𝑠2+27𝑠3)𝑧+(𝑠12−3𝑠2)3=0, unde punem 𝑋1=𝑥1,𝑋2=𝑥2,𝑋3=𝑥3.
În acest caz 𝑠1=0,𝑠2=−𝑝 și 𝑠3=𝑞. Deci 𝑏1 ș𝑖 𝑏2 sunt ră dăcinile ecuației:
𝑧2−27𝑞𝑧−27𝑝3=0.
Această ecuație se numește rezolvența ecuației de gradul trei. Se obține
𝑏1=−27𝑞
2+27√(𝑞
2)2
+(𝑝
3)3
,
𝑏2=−27𝑞
2−27√(𝑞
2)2
+(𝑝
3)3
.
Cum 𝐿𝜀𝑥3=𝑏1⟹𝐿𝜀𝑥=√𝑏1 3, care are trei valori, la fel 𝐿𝜀2𝑥3=𝑏2⟹𝐿𝜀2𝑥=√𝑏2 3.
Dar 𝐿𝜀2𝑥∙𝐿𝜀𝑥=𝑠1−3𝑠2=−3𝑝, deci 𝐿𝜀2𝑥 este determinat de 𝐿𝜀𝑥. Înlocuind în formulele
lui 𝑥1,𝑥2,𝑥3, obținem formula lui Cardano de determinare a rădăcinilor ecuației de gradul
al treilea.
Prin această metodă rezolvarea ecuației de gradul al t reilea se reduce la rezolvarea
ecuației de gradul al doilea și a două ecuații binome de gradul al treilea.

54
Exemplu :
Să se rezolve ecuația 𝑥3−6𝑥+9=0.
Se observă că 𝑝=−6 ș𝑖 𝑞=9
(𝑞
2)2
+(𝑝
3)3
=(9
2)2
+(−6
3)3
=81
4−8=49
4 ⟹√(𝑞
2)2
+(𝑝
3)3
=7
2
𝑏1=−27𝑞
2+27√(𝑞
2)2
+(𝑝
3)3
⟹𝑏1=−17
𝑏2=−27𝑞
2−27√(𝑞
2)2
+(𝑝
3)3
⟹𝑏2=−27∙8
De unde rezultă
{𝐿𝜀𝑥=√𝑏13=√−273=−3
𝐿𝜀2𝑥=√𝑏2 3=√−27∙83=−6
Se obține soluțiile ecuației de gradul III
𝑥1=1
3(−3−6)=−3
𝑥2=1
3[𝜀2(−3)+𝜀(−6)]=−(𝜀2+2𝜀)=−−3+𝑖√3
2=3−𝑖√3
2
𝑥3=1
3[𝜀(−3)+𝜀2(−6)]=−(𝜀+2𝜀2)=−−3−𝑖√3
2=3+𝑖√3
2

2.6.2. Rezolvarea ecuațiilor de gradul al patrulea cu metoda
lui Lagrange
Fie ecuația de gradul al patrulea de forma:
𝑥4+𝑎1𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥+𝑎4=0,
unde 𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4 sunt numere complexe.
Se consideră polinomul 𝐴=𝑋1𝑋2+𝑋3𝑋4.

55
Subgrupul invariant al lui A este
𝐻𝐴={𝑒,(1,2),(3,4),(1,2),(3,4),(1,3),(2,4),(1,4),(2,3),(1,3,2,4),(1,4,2,3)}
care este de indice 3 în 𝜎4.
Clasele de echivalență la stânga modulo subgrupul 𝐻𝐴 sunt
𝑒̂=𝐻𝐴; (1,3)̂=(1,3)𝐻𝐴; (1,4)̂=(1,4)𝐻𝐴.
Cele trei valori ale lui A sunt
𝐴1=𝐴=𝑋1𝑋2+𝑋3𝑋4,
𝐴2=(1,3)𝐴=𝑋1𝑋4+𝑋2𝑋3,
𝐴3=(1,4)𝐴=𝑋1𝑋3+𝑋2𝑋4.
Ecuația de gradul al treilea pe care o satisface A este:
(𝑧−𝐴1)(𝑧−𝐴2)(𝑧−𝐴3)=0
sau
𝑧3−(𝐴1+𝐴2+𝐴3)𝑧2+(𝐴1𝐴2+𝐴1𝐴3+𝐴2𝐴3)𝑧−𝐴1𝐴2𝐴3=0.
Prin calcule se obține:
𝐴1+𝐴2+𝐴3=𝑠2,
𝐴1𝐴2+𝐴1𝐴3+𝐴2𝐴3=𝑠1𝑠3−4𝑠4,
𝐴1𝐴2𝐴3=𝑠12𝑠4+𝑠32−4𝑠2𝑠4.
Prin urmare A satisface ecuația
𝑧3−𝑠2𝑧2+(𝑠1𝑠3−4𝑠4)𝑧−(𝑠12𝑠4+𝑠32−4𝑠2𝑠4)=0.
Fie 𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 rădăcinile ecuației de gradul al patrulea. Se notează 𝛼𝑖 valorile lui
𝐴𝑖,(1≤𝑖≤3) când punem 𝑋1=𝑥1,𝑋2=𝑥2,𝑋3=𝑥3 ș𝑖 𝑋4=𝑥4. Ținănd seama de
relațiile lui Viète, rezultă că 𝛼𝑖,(1≤𝑖≤3) sunt rădăcinile ecuației
𝑧3−𝑎2𝑧2+(𝑎1𝑎3−4𝑎4)𝑧−(𝑎12𝑎4+𝑎32−4𝑎2𝑎4)=0.
Ultima ecuație se numește rezolvența ecuației inițiale.
Dar {𝛼1=𝑥1𝑥2+𝑥3𝑥4
𝛼2=𝑥1𝑥4+𝑥2𝑥3
𝛼3=𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥4

56
Cum 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4=𝑎4, se obține că 𝑥1𝑥2 ș𝑖 𝑥3𝑥4 sunt soluțiile ecuației 𝑧2−𝛼1𝑧+𝑎4=0,
𝑥1𝑥4 ș𝑖 𝑥2𝑥3 sunt soluțiile ecuației 𝑧2−𝛼2𝑧+𝑎4=0
și 𝑥1𝑥3 ș𝑖 𝑥2𝑥4 sunt soluțiile ecuației 𝑧2−𝛼3𝑧+𝑎4=0.
Pentru a determina necunoscutele 𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 trebuie s ă determinăm
𝑥1𝑥2,𝑥1𝑥3,𝑥2𝑥3,𝑥1𝑥4,…
Se știe că 𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4=0,(𝑎1=0)⟹𝑥1+𝑥2=−(𝑥3+𝑥4)
𝑥1𝑥2𝑥3+𝑥1𝑥2𝑥4+𝑥1𝑥3𝑥4+𝑥2𝑥3𝑥4=−𝑎3⟹𝑥1𝑥2(𝑥3+𝑥4)+𝑥3𝑥4(𝑥1+𝑥2)=−𝑎3
⟹
−𝑥1𝑥2(𝑥1+𝑥2)+𝑥3𝑥4(𝑥1+𝑥2)=−𝑎3
Fie 𝜉1=𝑥1𝑥2; 𝜉2=𝑥3𝑥4 soluțiile ecuației 𝑧2−𝛼1𝑧+𝑎4=0,

−𝜉1(𝑥1+𝑥2)+𝜉2(𝑥1+𝑥2)=−𝑎3⟹ 𝑥1+𝑥2=𝑎3
𝜉1−𝜉2
Prin urmare s -a obținut:
{𝑥1+𝑥2=𝑎3
𝜉1−𝜉2
𝑥1𝑥2=𝜉1
respectiv
{𝑥3+𝑥4=−𝑎3
𝜉1−𝜉2
𝑥3𝑥4=𝜉2
Se formează sistemul de ecuații de gradul II
{𝑢2−𝑎3
𝜉1−𝜉2𝑢+𝜉1=0
𝑣2+𝑎3
𝜉1−𝜉2𝑣+𝜉2=0 ,
Iar rădăcinile 𝑢1,𝑢2 ș𝑖 𝑣1,𝑣2 sunt rădăcinile 𝑥1,𝑥2 respectiv 𝑥3,𝑥4 ale ecuației de gradul
IV.
Considerând ecuația 𝑧22−𝛼2𝑧2+𝑎4=0 sau ecuația 𝑧32−𝛼3𝑧3+𝑎4=0, prin același
raționament se găsește aceleași rădăcini pentru ecuația de gradul IV.

57
Rezolvarea ecuației de gradul patru se reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul al treilea
și a trei ecuații de gradul al doilea.
Exemplu:
Să se rezolve ecuația 4𝑥4−8√3𝑥+13=0.
Împărțind ecuația dată cu 4 obținem 𝑥4−2√3𝑥+13
4=0.
Coeficienții sunt: 𝑎1=0,𝑎2=0,𝑎3=2√3 ș𝑖 𝑎4=13
4
Rezolvența ecuației este 𝑧3−13𝑧−12=0, iar rădăcinile ecuației sunt {𝛼1=−1
𝛼2=−3
𝛼3=4
Ecuația de gradul doi care are rădăcinile 𝑥1𝑥2,𝑥3𝑥4 este ecu ația 𝑧12+𝑧1+13
4=0
Rezolvând ecuația se obține soluțiile:
𝜉1=𝑥1𝑥2=−1+2𝑖√3
2
𝜉2=𝑥3𝑥4=−1−2𝑖√3
2
𝑥1+𝑥2=𝑎3
𝜉1−𝜉2=2√3
−1+2𝑖√3
2−−1−2𝑖√3
2=4√3
4𝑖√3=1
𝑖=−𝑖
𝑥3+𝑥4=−𝑎3
𝜉1−𝜉2=−2√3
−1+2𝑖√3
2−−1−2𝑖√3
2=−1
𝑖=𝑖
Se formează două ecuații de gradul II
2𝑢2+2𝑖𝑢−1+2𝑖√3=0 ⟹
{ 𝑢1=𝑥1=−𝑖+2−√3𝑖
2=1−𝑖1+√3
2
𝑢2=𝑥2=−1−𝑖1−√3
2

2𝑣2−2𝑖𝑣−1−2𝑖√3=0 ⟹
{ 𝑣1=𝑥3=1+𝑖1+√3
2
𝑣2=𝑥4=−1+𝑖1−√3
2

58
CAPITOLUL III.
ASPECTE METODICE ÎN PREDAREA ECUAȚIILOR
ALGEBRICE

3.1. Locul și rol ul temei în programa școlară
Ecuațiile joacă un rol important în algebră.
Predarea ecuațiilor în școală se începe cu ecuații cele mai simple, ecuațiile de gradul I
cu o necunoscută, întălnită în clasele primare. Mai târziu, elevii învață să rezolve și ecuații
de grad mai mare și sisteme de ecuații, dar în privința noțiunilor de bază și celor mai simple
transformări, ei râmăn cu ceea ce au învățat la primul lor contact cu această noțiune. Din
această cauză trebuie să se insiste mai mult asupra ecuațiilor de gradul I cu o ne cunoscută.
Pentru predarea noțiunilor de ecuație trebuie urmărite formarea următoarelor
competențe:
 Rezolvarea de ecuații utilizănd regulile de calcul studiate;
 Utilizarea eficientă a metodelor de determinare a unei necunoscute dintr -o ecuație
folosind metoda mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de
egalitate;
 Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor studiate în mulțimea numerelor
naturale, întregi, raționale sau reale;
 Scrierea unei ecuații echivalente cu o ecuație dată;
 Transpunerea unei situație -problemă dată în limbaj matematic, într -o ecuație;
 Validarea soluției unei ecuații prin verificare.
În clasele primare elevii vin în contact cu ecuațiile, fără să volosească cuvăntul ecuației.
Ei rezolvă probleme formu late în felul următor: Aflați numărul necunoscu din următorul
exercițiu. 𝑎+3=5 𝑠𝑎𝑢 𝑎−4=5.
Pentru a determina necunoscuta se folosește metoda balanței. Elevii observă prin desene,
sau intuitiv cum se procedează, pentru ca balanța să fie în echilibru.

59

Exemplul 1.

Exemplul 2.
2a+2=6
Se observă că pentru ca balnța să rămănă în echilibru
putem scoate două cuburi albastre și astfel obținem:
2a=4
Pentru a afla cubul roșu, care corspunde numărului a, se
observă că putem împărți în doi corpurile de pe bal anță,
astfel obținând numărul necunoscut.
a=2.
Se consideră că cel mai răspândit p rocedeu de a introduce noțiunea de ecuație în școală
este de a porni de la o problemă din viață de zi cu zi și de a transcrie această problemă într-
o ecuație . Acest proce deu este util, deoarece în felul acesta elevii observă de la început
importanța ecuațiilor. Abia după ce elevii și -au dat seama, pe baza exemplelor, ce este o
ecuație, se explică originea cuvântului ecuație, adică cuvântul ecuație provine din cuvântul
latin aequus -egal, care înseamnă cuvântul echilibru sau echidistant. Se arată că fi ecare
ecuație este formată din două părți sau doi membri și se explică sensul cuvântului soluție.

60
Pentru a putea rezolva ecuații, elevii trebuie să aplice niște reguli simple. Aceste enunțuri
sunt aplicații ale principiului identității: dacă avem două expresii egale și le supunem la
aceleaș i modificări obținem tot expresii egale.
Matematic vorbind cele spuse mai sus se poate formula în felul următor:
Dacă două numere sunt egale și le adunăm cu același număr sau scădem din ele același
număr, sau le în mulțim cu același număr, sau le împărțim prin același număr (diferit de
zero), obținem numere egale.
Această metode de reprezentare prin desen a ecuațiilor nu se mai poate folosi la predarea
propriuzisă a ecuațiilor în clasele a VII -a sau a VIII -a, când av em ecuații mult mai
complexe. Petru rezolvarea ecuațiilor este introdus algoritmizare, iar ultima etapă este cea
de aprofundare și dezvoltare și este specifică elevilor de liceu.
Ecuațiile echivalente sunt prezentate începând cu clasa a VII -a. Noțiunea de ecuații
echivalente este foarte importantă deoarece cele mai multe ecuații se rezolvă prin
transformări într -o ecuație în alta folosind diferite procedee, cum ar fi numitor comun,
eliminarea numitorului, eliminarea parantezelor, până când se obține o ecuație care se poate
rezolva ușor.
Predare ecuațiilor de gradul al doilea -lea se începe în clasa a VIII -a, cu formele
incomplete. Elevii trebuie să –și însușească, mai întâi, prin exemple numerice procedeele
după care se rezolvă formele incomplete, fără a folosi formule de rezolvare a ecuației de
gradul al doilea . Pentru rezolvarea formei complete, demonstrația formulei trebuie pregătită
prin rezolvarea fără formulă a unui număr de ecuații care se pot descompune în ecuații de
gradul I.
Profesorul ara tă că aceste procedee nu sunt tot timpul la îndemână, și rezolvarea ecuației
de gradul al II -lea are o formulă generală de rezolvare, de a afla soluțiile. De asemenea,
trebuie să se arate elevilor că formula de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea se poate
aplica și în cazul ecuați ilor incomplete, adică ea este general.

61
3.2. Metode didactice activ – participative folosite în predarea
ecuațiilor algebrice în învățămăntul gimnazial.
Metodologia didactică vizează ansamblul metodelor și procedeelor didactice utilizate
în procesul de învățământ precum și teoria care stă la baza acestuia. Prin metodă didactică
se înțelege o modalitate comună de acțiune a cadrului didactic și a el evilor în vederea
realizării obiectivelor pedagogice. Pentru a avea elevul în central activității instructive –
educative, profesorul îndeplinește roluri cu mult mai nuanțate decât în școala tradițională.
Învățarea centrată pe elev reprezintă o abor dare care presupune un stil de predare –
învățare activ și pargurgerea programelor de învățare în funcție de ritmul propriu de
învățare al elevului. Elevul trebuie să fie implicat și responsabil pentru progresele pe care
le face în ceea ce privește propria lui educație.
Avantajele învățării centrate pe elev sunt:
 Creșterea motivației elevilor pentru învățare
 stimularea încrederii în sine a elevilor;
 dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul
grupului;
 dezvolta rea gândirii logice, critice și independente;
 dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;
Metodele de învățare centrat ă pe elev fac lec țiile mai interesante, ajută elevii în
înțelegerea con ținuturilor pe care să fie capabili să le aplice în via ța real ă, dezvoltă spiritul
de observație a elevilor. Dezvoltă capacitatea elevilor de colaborare, de ajutor reciproc.
Printre metodele care activeaz ă predarea -învățarea sunt și cele prin care elevii lucreaz ă
productiv unii cu al ții, își dezvolt ă abilități de colaborare și ajutor reciproc. Ele pot avea un
impact extraordinar asupra elevilor, ofer ă alternative de învățare cu ,,priz ă” la elevi.
Trebuie să utiliz ăm simultan strategii activ -participative, creative cu cele tradiționale,
în vederea dezvolt ării gândirii critice la elevi, ele marcând un nivel superior în
modernizarea strategiilor didactice.

62
Metodele didactice activ participative care pot fi aplicate la orele de matematică fac
parte: brainstormingul,metoda știu/vreu să știu/ am învățat, metoda mozaicului, metoda
cubului, turul galeriei, ciorchinele.
1. Brainstormingul
Brainstormingul sau asaltul de idei este o metodă care ajută la crearea unor idei și
concepte creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile
suspendate vor fi puse de -o parte. Exprimarea va fi liberă și elevii își vor expune ideile și
părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Se prezintă o noțiune, o idee sau o problemă
și fiecare elev își spune ideile și tot ceea ce le trece prin minte despre noțiunea dată ,
inclusiv idei absurde, comice sau inaplicabile.
O sesiune de brainst orming bine dirijată dă fiecărui elev ocazia de a participa la
dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele metodei sunt următoarele:
 Alegerea temei și prezentarea sarcinilor de lucru;
 Exprimarea într -un mod cât mai rapid pe scurt, fără cenzură, a tuturor
ideilor;
 Înregistrarea tuturor ideilor în scris pe tablă;
 Reluarea ideilor și gruparea lor pe categorii;
 Analiza critică, evaluarea, argumentarea, contraargumentarea ideilor emise
anterior.
Pe timpul desfășurării brainstormingului elevilor nu li se vor cere explicații pentru
ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce la o evaluare anticipată a ideilor și o
îngreunare a procesului în sine.
Obiectivul fundamental al metodei brainstorming constă în exprimarea liberă a
opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, se acceptă toate ideile, chiar
trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă
acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina pro gresul în învățare al

63
elevilor , este util să fie pregătiți pentru schimbul de idei astfel încât toți elevii să își exprime
opiniile!
Aplicație:
Rezolvarea unei probleme aritmetice folosind metoda brainstorming.
Într-un parc auto avem mașini cu două sau c u patru uși, în total avem 15 mașini cu 38 de
uși. Aflați numărul mașinilor cu două, respectiv cu patru uși.
Profesorul cere elevilor să spună ideile de rezolvare a problemei.
Idei așteptate:
 Prin încercări;
 Prin metoda falsei ipoteze, presupunem că toat e au două uși;
 Prin ecuație, notăm numărul mașinilor cu două uși cu x, iar numărul mașinilor cu
patru uși va fi 15 -x, scriem ecuația problemei 2x+4(15 -x)=38;
 Printr -un sistem de ecuații: notăm cu x –nr mașinilor cu două uși și cu y – numărul
mașinilor cu p atru uși, scriem și rezolvăm sistemul {𝑥+𝑦=15
2𝑥+4𝑦=38
2. Știu/ vreau să știu/am învățat
Medoda știu/vreu să știu/am învățat constă în alcătuirea unui tabel în care sunt
trecute noțiuni pe care elevii știu deja despre o anumită temă, după care sunt formulate
întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în lecție.
Etapele metodei sunt:
 Se cere elevilor să facă o listă cu tot ce știu despre o temă care urmează să fie
discutată, elevii pot lucra în perechi sau în grupe; între timp profesorul alcătuiește
pe tablă tabelul următor:
Știu Vreau să știu Am învățat

64
 Se discută listele făcute, iar cele cu care toată lumea este de acord se trece în
coloana ,,știu”;
 Cu ajutorul profesorului se completează coloana ,,vreu să știu ” cu întrebări
formulate de elevii clasei;
 Se completează și ultima rublică ,, am învățat ” după prezentarea lecției;
 Se verifică la sfărșit dacă elevii au primit răspuns la fiecare întrebare, dacă au
rămas întrebări fără răspuns se discută cu elevii undear putea căuta aceste
informații;
 La sfârșitul lecției elevii revin la tabelul alcătuit și completat și decid ce au învățat
din lecție. Unele dintre întrebările lor s -ar putea să rămănă fără răspuns și s -ar
putea să apară întrebări noi. În acest caz întrebările pot fi folosite ca punct de
plecare pentru investigații ulterioare.
Aplicație:
Metoda poate fi folosită la rezolvarea unei probleme cu ajutorul ecuațiilor.
Problema: Aflați un număr rațional știind că dacă adunăm o treime din el cu două
cincimi din el obținem 11.
Știu Vreau să știu Am învățat
-transformări în limbaj
matematic
-cum se scriu fracțiile
ordinare
-să rezolve o ecuație
-să efectueze operații cu
fracții ordinare -Care este numărul
căutat?
-Care sunt etapele
rezolvării unei probleme
cu ajutorul ecuațiilor?
-Cum se scrie modelul
matematic de rezolvare a
problemei? -să aplic etapele
rezolvării unei probleme
cu ajutorul ecuațiilor
-să scriu pe baza
informațiilor din
problemă ecuația
(modelul matematic)
-să compun o problemă.

65
3. Mozaicul
Mozaicul este o metodă bazată pe învățarea în echipă. Fiecare elev are o sarcină de
studiu în care trebuie să devină expert . El are în același timp și responsabilitatea de a preda
informațiile învățate, celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este import antă la începutul lecției când
alcătuiește grupurile de lucru și atribuie sarcinile respectiv la sfârșitul activității când va
prezenta concluziile activității , în rest elevii lucrează în grupuri, discută , colaborează între
ei, află informații care trebuie predate, explicate colegilor.
Etapele metodei sunt .
1. Prezentarea subiectului tratat
Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme , realizează o fișă-
expert în care trece cele 4 sau 5 sub -teme propuse și care va fi dat fiecărui grup.
2. Organizarea elevilor clasei în echipe de învățare de câte 4 -5 elevi (în funcție de
numărul elevilor din clasă)
Fiecare elev din echipă, primește câte o fișă de învățare numerotat de la 1 la 4 și are ca
sarcină să studieze în mod independent, sub -tema corespunzătoare literei sale.
El trebuie să devină expert în problema dată.
Faza independentă: fiecare elev studiază sub -tema lui, citește textul corespunzător.
Acest studiu independent poate fi efectuat în clasă sau poate constitui o temă de casă,
realizată înaintea organizării mozaicului.
3. Regruparea elevilor în funcție de n umărul fișelor
După ce au parcurs etapa de studiu individual , experții cu aceași număr se întălnesc ,
formând grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Dacă grupul de experți are
mai mult de 6 membri, acesta se împarte în două grupe mai mici.
Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce
au studiat independent. Au loc discuții în legătură cu datelor și a materialelor avute la
dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în ca re noile cunoștințe vor fi
transmise și celorlați membrii din echipa inițială.
Fiecare elev este membru într -un grup de experți și face parte dintr -o echipă de învățare.

66
Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se clarifice cât mai bine noțiun ile, având
responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.
4. Revenirea în grupul inițial de învățare
Experții transmit cunoștințele dobăndite, reținând și ei cunoștințele pe care le transmit
colegii lor, expe rți în alte sub -teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie atractivă ,
scurtă, concentrat .
Specialiștii într -o sub -temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi prezentări pe
calculator , pot ilustra ideile cu ajutorul desenelor, diagramelor , imaginilor . Membrii sunt
încurajați să discute, să pună întrebări și să -și noteze în caiete , fiecare realizându -și propriul
plan de idei.
5. Evaluarea
Faza demonstrației: fiecare grupă prezintă rezultatele obținute întregii clase. În acest
moment elevii s unt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări,
poate cere un raport ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se
recurge la e valuarea orală, atunci fiecăre elev, fără ajutorul echipei , trebuie să răspundă l a o
întrebare.
Aplicație:
Rezolvarea ecuației de gradul al doilea pe mulțimea numerelor reale – clasa a VIII -a.
Elevii clasei sunt îmărțiți în grupe de patru elevi ceea ce va fi echipă de învățare. Fiecare
membru al grupului primește o fișă de învățare numerotată de la 1 la 4. Elevii sunt regrupați
în funcție de numărul fișei de învățare astfel se formează gupele de experți. În aceste grupe
elevii discută, găsesc modalități de predare, explicare a rezolvării ecuației de gradul al
doilea. După 15 minute elevii revin la grupele inițială unde fiecare membru prezintă echipei
ceea ce a aflat. La sfărșit fiecare grupă de monstrează ce a învățat această etapă poate să fie
o fișă de evaluare cu trei ecuații de gradul al doilea.

67
Fișa de învățare nr.1
1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea de forma 𝑎𝑥2+𝑏=0,𝑎≠0
 Se determină x2
𝑎𝑥2+𝑐=0⟺𝑎𝑥2=−𝑐⟺𝑥2=−𝑐
𝑎
 Se discută soluția ecuație după numărul −𝑐
𝑎.
Penru 𝑥∈ℝ, avem următoarele situații:
4. Dacă numărul −𝑐
𝑎<0, atunci 𝑆=∅;
5. Dacă c=0, atunci 𝑆={0};
6. Dacă numărul −𝑐
𝑎>0, atunci 𝑆={−√−𝑐
𝑎;√−𝑐
𝑎}

2. Exemple: 𝑥2−16=0; 𝑥2+9=0; 2𝑥2−18=0.
Fișa de învățare nr. 2
1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0,𝑎,𝑏≠0
Pentru a rezolva o ecuație de acest tip se procedează în felul următor:
 Se descompune mebrul stâng în factori: 𝑥(𝑎𝑥+𝑏)=0;
 Se rezolvă ecuațiile: 𝑥=0 ș𝑖 𝑎𝑥+𝑏=0;
 Dacă domeniul este ℝ, atunci mulțimea soluțiilor o să fie 𝑆={0;−𝑏
𝑎}.
2. Exemple : 2𝑥2+6𝑥=0

Fișa de învățare nr. 3
1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎≠0, dacă
discriminantul este ≤0.
Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II -le parcurgem următoarele etape:
 Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
 Calcul ăm discriminantul ecuației dup ă formula: ∆=𝑏2−4𝑎𝑐
 Natura solu țiilor ecuației depind de valoarea discriminantului, astfel:

68
Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții reale
Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă soluții egale 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎
2. Exemple: 𝑥2−2𝑥+12=0,𝑥2+4𝑥+4=0.

Fișa de învățare nr. 4
1. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,𝑎≠0, dacă
discriminantul este >0.
Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II -le parcurgem următoarele etape:
 Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
 Calcul ăm discriminantul ecuației dup ă formula: ∆=𝑏2−4𝑎𝑐
 Natura solu țiilor ecuației depind de valoarea discriminantului, astfel dacă
∆>0 avem două soluții reale 𝑥1=−𝑏+√∆
2𝑎 și 𝑥2=−𝑏−√∆
2𝑎
2. Exemple: 𝑥2+6𝑥+8=0; 𝑥2−5𝑥+6=0.
4. Metoda cubului
Metoda cubului presupune explorarea unei temă , a unei situații din mai multe
puncte de vedere , permițând o tratare complexă și integratoare a unei teme.
Etapele metodei :
1. Realizarea unui cub care are fețele de diferite culori, iar culorile reprezintă una
dinntre cuvintele: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează.
2. Prezentarea temei, subiectului pus în discuție.
3. Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintr e ele examinând tema din perspectiva
cerinței de pe una din fețele cubului.
 Descrie : elementele , formele, mărimile, etc.
 Compară : ce este asemănător? Ce este diferit?
 Analizează : spune din ce este făcut, din ce se compune.
 Asociază : la ce te îndeamnă să te gândești?
 Aplică : unde poți aplica ? La ce poate fi folosită?

69
 Argumentează : pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în
sprijinul afirmației tale.
4. Redactarea finală și prezentarea ei celorlalte grupe.
5. Afișarea rezultatelor pe tablă sau pe pereții clasei.
Aplicatie:
Metoda cubului se poate aplica la rezolvarea sistemelor de ecuații clasa a VIII -a.
Elevii clasei sunt împărțiți în șase grupe. Fiecare grupă examinează rezolvarea sistemelor
de ecuații în funcție de cerința de pe una din fețele cubului.
Grupa 1. Descrie
Descrie sistemul de ecuații, elementele, forma generală, metode de rezolvare a sistemelor
de ecuații.
Grupa 2. Compară
Compară metodele de rezolvare a sistemelor de ecuații, adică metoda grafică, metoda
reducerii, metoda subtituției.
Grupa 3. Analizează
Analizează rezolvarea unu sistem de ecuații cu cele trei metode de rezolvare.
Grupa 4. Asociază
Această grupă are de asociat sisteme de ecuații cu soluțiile date.
Grupa 5. Aplică
Rezolvă sisteme de ecuații
Grupa 6. Argumentează
Argumentează folosirea metodelor de rezolvare a sistemelor de ecuații.

70
5. Turul galeriei
Turul galeriei este o metodă interactivă de învățare bazată pe colaborarea între elevi,
care sunt puși în ipostaza de a găsi soluții de re zolvare a unor probleme. Această metodă
presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de
elevi.
Astfel, turul galeriei constă în următoarele:
1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolvă o problemă (o sarcină de î nvățare)
susceptibilă de a avea mai multe soluții (mai multe perspective de abordare).
2. Rezolvările sunt trecute pe postere (hârtie A3)
3. Posterele se expun pe pereții clasei, transformați într -o veritabilă galerie.
4. La semnalul profesorului, grupurile trec p e rând, pe la fiecare poster pentru a
examina soluțiile propuse de colegi. Comentariile și observațiile vizitatorilor sunt
scrise pe flip -chartul analizat.
5. După ce se încheie turul galeriei fiecare echipă revine la locul inițial, își
reexaminează produsul muncii lor comparativ cu ale celorlalți și discută observațiile
și comentariile notate de colegi pe propriul poster.
Aplicație
Să se rezolve următoarea problemă:
Ion parcurge cu autocarul un drum în trei zile. În prima zi a parcurs 20%din drum, în a
doua zi 30% din restul drumului și în a treia zi ultimii 560 de km din drum.Determinați
lungimea drumului parcurs de Ion în cele trei zile.
(E.N. Iunie 2014)
Elevii sunt grupați câte patru, fiecare grupă rezolvă problema dată pe un flip – chart. După
epuizarea timpului planșele sunt expuse pe pereții clasei și sunt examinate de celilalți elevi.
Elevii pot scie pe poster obesrvațiile, comentariile lor respecti ve pot să dea o notă pentru
rezolvarea dată.
I. 20%din x: 20
100𝑥=2
10𝑥

71
II. 30% din rest: 30
100∙8
10𝑥=24
100𝑥
III.560km
2
10𝑥+24
100𝑥+560=𝑥
x=1000km
După ce se încheie turul galeriei fiecare echipă își reexaminează produsul muncii lor
comparativ cu ale celorlalți și discută observațiile și comentariile scrise de colegi pe
propriul poster.
6. Ciorchinele
Este o variantă mai simplă a metodei brainstorming -ului, ciorchinele este o metodă
care presupune identificarea unor legături logice între idei, noțiuni. Metoda poate fi folosită
atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor anterior dobă ndite, cât și în
cazul lecțiil or de sinteză, de recapitulare, de fixare și sistematizare de cunoștințe.
Metoda reprezintă o t ehnică eficientă de predare -învățare care încurajează elevii să
gândească liber și deschis.
Etapele metodei :
1. Se scrie un cuvânt / temă în mijlocul tablei.
2. Elevii vor fi solicitați să -și noteze toate ideile sau cunoștințele în jurul cuvântului
dat, trasân linii între acestea și cuvântul inițial.
3. Elevii grupează ideile care par să aibă legătură.
4. Activitatea ia sfărțit când se epuizea ză toate ideile sau când s -a atins limita de timp
acordată.

Aplicație:
Metoda ciorchinele se poate aplica la o lecție de fixare și sistematizare de cunoștințe
legate de noțiunea de ecuație de gradul I din clasa a VII -a.

72
Metoda se poate aplică la începutul orei, în momentul de reactualizare a cunoștințelor.
Profesorul scrie cuvăntul Ecuație în mijlocul tablei, cere elevilor să scrie în jurul cuvântului
dat tot ceea ce le vine în minte legat de noțiunea dată. (figura)

Utilizarea acestor metode antrenează elevii într -o continuă participare și colaborare,
crește motivarea intrinsecă deoarece li se solicită să descopere fapte, să aducă argumente
pro și contra. Lucrul în echipă dezvoltă atitudi nea de toleranță față de ceilalți, sunt eliminate
motivele de stres , iar emoțiile se diminuează .
În anul școlar 2017 -2018 am aplicat un chestionar pe un eșantiona de 20 de elevi, 10
fete și 10 băieți de clasa a VIII -a. Chestionarul viza opiniile elevilor în legătură cu metodele
activ -participativă de predare.
Rezultatele chestionarului au f ost următoarele:
Prima întrebare era în legătură cu activi tatea de predare a profesorului. Elevii au avut de
ales dintre variantele de răspuns: explicație, d iscuții , rezolvare de e xerciții ,împărtășirea de
cunoștințe noi ECUAȚIE egalitate necunoscută
Operații
Soluție
rezolvare
Schimbarea
semnelor scădere
Înmuțire
Împărțire adunare
Eliminarea
numitorilor
Mulțimea
vidă Mulțimea
soluțiilor
Echivalența Eliminarea
parantezelor

73
Răspunsuri elevilor sunt prezentate în tabelul alăturat:
Răspunsuri Explicație Discuții Exerciții Împărtășirea
de cunoștințe
noi
Nr de elevi 10 3 4 3

Fig.1.
La a două întrebare elevii trebuiau să afirme dacă cunosc sau nu metode de predare activ
participative.
Răspunsurile au fost următoarele:
Răspunsuri Da Nu
Nr de elevi 18 2

Fig.2 50%
15%20%15%
explicare
discuții
exerciții
cunoștințe noi
90%10%
da
nu

74
La a treia întrebare elevii au avut de dat exemple de metode activ participativă. Ei au dat
ca exemplu metodele: asaltul de idei, cubul, pălăria, munca în echipă
Răspunsurile sunt prezentate în tabelul alăturat:
Metode Asaltul de idei Cubul Pălăria Munca în
echipă
Nr de elevi 2 6 5 5

Fig.3.

A patra întrebare era în legătură cu opiniile elevilor legat de folosirea acestor metode la
orele de matematică , adică dacă ar trebui folosite aceste metode.
Răspunsurile au fost următoarele:

Răspunsuri Da Nu
Nr de elevi 18 2
11%
33%
28%28%
asaltul de idei
cubul
pălăria
munca în echiă

75

Fig.4.
La următoarea întrebare elevii au avut de ales dintre variantele de răspuns pentru
întrebarea c e le place la metodele interactive?
1. Munca în echipă
2. Colaborarea cu colegi
3. Lecții mai interesante
4. Participarea la predarea lecției
5. Folosirea diferitelor mijloace didctice
Răspunsurile sunt prezentate în tabelul următor. Elevii au putut alege și mai multe
variante.
Răspuns 1. 2. 3. 4. 5.
Nr de elevi 15 10 5 3 5
procent 75% 50% 25% 15% 25%

Ultima întrebare viza folosirea metodelor activ –participativă la orele de matematică.
Întrebarea era : Cât de des cred elevii că ar trebui să se folosească aceste metode activ –
participative la orele de matematică?
Variantele de răspuns au fost:
o Foarte mult
o Mult
o Puțin
o Deloc 90%10%
Da
NU

76
Răspunsurile sunt prezentate în tabelul de mai jos:
Răspuns Foarte mult mult Puțin deloc
Nr de elevi 5 12 3 0

Fig. 5

Concluzii:
În urma chestionarului s -a observat că majoritatea elevilor cunosc unele metode activ
participative de predare. Ei doresc ca aceste metode să fie folosite mai des la orele de
matematică. Elevii consideră că folosirea acestor metode oferă un climat securizant,
datorită acestor activități atmosfera din clasă este una plăcută, stimulativă și relaxantă .

25%
60%15%0%
foarte mult
mult
puțin
deloc

77
3.3. Utilizarea calculatorului în procesul de predare învățare la
orele de matematică
Calculatorul oferă posibilități reale de individualizare a instruirii. El nu este doar un
mijloc de transmitere a informației ci poate oferi programe de învățare adaptate conduitei și
cunoștințelor elevilor.
Procesul de învățămănt cu calculator includ e:
 Predarea unor lecții de comunicare de noi cunoștințe;
 Aplicarea, consolidarea, sistematizarea noilor cunoștințe;
 Verificarea automată a unor lecții sau a unui grup de lecții(unități);
 Verificarea a unei discipline școlare sau a unei anumite programe șco lare.
Rolul profesorului în predarea asistată de calculator este cel de orientare și coordonare al
învățării. Nu are rolul de a împărți pur și simplu cunoștințe în formă rezumată, el va ajuta
elevii să învețe în felul cel mai bun pentru ei.
Utilizare a calculatorului aduce la atingerea competențelor; creșterea eficienței
activităților de învățare; dezvoltarea competențelor de comunicare și studiu individual.
Avantajele utilizării calculatorului în procesul de predare învățare:
 Stimularea capacității de învățare;
 Consolidarea abilităților de investigare științifică;
 Creșterea randamentului însușirii coerente a cunoștințelor prin aprecierea imediată a
răspunsurilor;
 Întărirea motivației elevilor în procesul de învățare;
 Formarea deprinderilor practice uti le;
 Asigurarea unui feed -back permanent;
 Asigurarea pregătirilor elevilor pentru o societate bazată pe conceptul de educație
permanentă;
Instruirea asitată de calculator asigură și alte facilități cum ar fi:

78
 Comunicarea cu specialiți pe internet;
 Accesul la biblioteci virtuale;
 Informații obținute din articole științifice.
Profesorul trebuie să aibe în vedere unele aspecte în folosirea calculatorului în procesul de
învățare:
 Să decidă când folosirea este benefică atingerii obiectivelor și când este mai puțin
eficientă;
 Să evalueze contribuția pe care a avut -o calculatorul în procesul de predare –
învățare -evaluare.
Interacțiunea elev -calculator permite diversificarea strategiei didactice, facilitând accesul
elevului la informații mai ample, structurate, v ariate, prezentate în modalități diferite de
vizualizare.
Aplicație :
Folosirea calculatorului în reprezentări grafice, folosind programul Geogebra. Verificarea
soluțiilor unor ecuații sau sisteme de ecuații cu ajutorul calculatorului.
Elevii rezolvă ecu ații și sisteme de ecuații în caietele lor după care în programul de
aplicație GEOGEBRA verifică dacă au găsit soluția corectă.
Exemplul 1.
Rezolvați ecuația: 2x+8=3x+5
Elevii rezolvă ecuația în caiete și obțin soluția x=3
Pentru a folosi programul Geog ebra, elevii prima dată trebuie să obțină ecuația care are
partea dreaptă 0, adică 2x+8 -3x-5=0, introduc funcția 2x+8 -3x-5 în aplicație iar aplicația
reprezintă graficul. Intersecția graficului cu axa OX este soluția ecuației, adică punctul
A(3,0), de unde obținem x=3

79

Exemplul 2.
Rezolvați sistemul de ecuații: {2𝑥+3𝑦=5
2𝑥+𝑦=3
După calcule se obține
pentru x=1 și pentru y=1
Elevii scriu cele două
ecuații în aplicația
Geogebra, programul
reprezintă pentru fiecare
ecuație dreapta soluțiilor,
se caută punctul comun a
celor două drepte iar
cordoonatele punctului
găsit reprezintă soluția
sistemului.

80
3.4. Mini culegere de exerciții și probleme
1. Rezolvați următoarele ecuații pe mulțimea numerelor reale.
a. 6(𝑥+3)−7(𝑥+5)=4(𝑥+1)−2(𝑥+6)+12
b. 𝑥+5
3+2𝑥+3
4=𝑥−5
6+7
12
c. 𝑥2−4𝑥+3=0
d. 9𝑥2−12𝑥+4=0
e. −1
2𝑥2+√3𝑥−4=0
f. 𝑥4+2𝑥2+1=0
Rezolvare :
a. 6𝑥+18−7𝑥−35=4𝑥+4−2𝑥−12+12⟺6𝑥−7𝑥−4𝑥+2𝑥=
−18+35−12+12⟺−3𝑥=17⟺𝑥=−17
3
b. Se aduce ecuația la numitor comun, se elimină numitorul
4𝑥+20+6𝑥+9=2𝑥−10+7⟺8𝑥=−32⟺𝑥=−4
c. Se aplică formula de rezolvare a ecuației de gradul II și se obțin rădăcinile ; 𝑥1=
1 și 𝑥2=3
d. Cum ∆=0⟹𝑥1=𝑥2=2
3
e. Se înmulțește cu 2 ecuația iar soluțiile sunt 𝑥1=√3−√11 și 𝑥2=√3+√11
f. Se notază cu 𝑡=𝑥2 se obține o ecuație de gradul II în t, 𝑡2+2𝑡+1=0.
𝑡1=𝑡2=−1, dar pe mulțimea numerel or reale 𝑆=∅

2. Rezolvați ecuațiile stabilind prima dată domeniul de valori.
a. 1
𝑥−2
𝑥−1=2
𝑥
b. 𝑥−2
𝑥+𝑥
𝑥−1−𝑥−5
2𝑥=1
𝑥(𝑥−1)
Rezolvare :
a. Se pune condițiile {𝑥≠0
𝑥−1≠0⟹𝐷=ℝ∖{0,1}
𝑥−1−2𝑥=2𝑥−2⟺𝑥=1
3⟹𝑆={1
3}
b. {𝑥≠0
𝑥−1≠0⟹𝐷=ℝ∖{0,1}
2(𝑥−2)(𝑥−1)+2𝑥2−(𝑥−1)(𝑥−5)=2⟺
2𝑥2−6𝑥+4+2𝑥2−𝑥2+6𝑥−5=2⟺
3𝑥2−3=0⟺𝑥2=1⟹{𝑥1=−1
𝑥2=+1⟹𝑆={−1}

81
3. Să se determine ecuațiile
a. De gradul al doilea care admite rădăcinile 5 și -3;
b. De gradul al treilea care admite rădăcinile 1;2 respectiv 3.
Rezolvare:
a. 𝑥1=5 ș𝑖 𝑥2=−3
{𝑆=𝑥1+𝑥2=5
𝑃=𝑥1𝑥2=−3
Ecuația de gradul II are forma 𝑥2−𝑆𝑥+𝑃=0 ⟹𝑥2−5𝑥−3=0
b. 𝑥1=1; 𝑥2=2 ș𝑖 𝑥3=3
 Ecuația de gradul III are forma general 𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=0
 Din relațiile lui Vièt e se obține
{ 𝑥1+𝑥2+𝑥3=−𝑏
𝑎=−6
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3=𝑐
𝑎=11
𝑥1𝑥2𝑥3=−𝑑
𝑎=−6
 Ecuația căut ată va fi 𝑥3−6𝑥2+11𝑥−6=0.

4. Fie ecuația 𝑥3−5𝑥+1=0. Să se determine ecuația care are r ădăcini dublul
rădăcinilor ecuaț iei date.
Rezolvare
 Fie 𝑥1,𝑥2,𝑥3 soluțiile ecuației dată, respectiv 𝑦1=2𝑥1,𝑦2=2𝑥2,𝑦3=2𝑥3
soluțiile ecuației căutate;
 Conform relațiilor lui Viète avem
{𝑥1+𝑥2+𝑥3=0
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3=
𝑥1𝑥2𝑥3=−1−5 ⟹
{𝑦1+𝑦2+𝑦3=2(𝑥1+𝑥2+𝑥3)=0
𝑦1𝑦2+𝑦1𝑦3+𝑦2𝑦3=4(𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3)
𝑦1𝑦2𝑦3=8𝑥1𝑥2𝑥3=−8=−20
 Ecuația căutată este: 𝑦3−20𝑦+8=0.

5. Să se rezolve ecuația de gradul patru 𝑥4+5𝑥3+2𝑥2+5𝑥+1=0 pe mulțimea
numerelor complexe.
Rezolvare :
 Cum x nu este soluție a ecuației și ecuația este simetrică, se împarte ecuația
cu 𝑥2
𝑥2+5𝑥+2+5
𝑥+1
𝑥2=0⟺(𝑥2+1
𝑥2)+5(𝑥+1
𝑥)+2=0
 Se face substituția 𝑡=𝑥+1
𝑥 iar 𝑡2−2=𝑥2+1
𝑥2

82
𝑡2−2+5𝑡+2=0⟺𝑡2+𝑡=0⟺𝑡(𝑡+1)=0⟹{𝑡1=0
𝑡2=−1
{𝑥+1
𝑥=0
𝑥+1
𝑥=−1⟺{𝑥2+1=0
𝑥2+1=−𝑥⟺{𝑥2+1=0
𝑥2+𝑥+1=0
 Se rezolvă ecuațiile
𝑥2+1=0⟹{𝑥1=𝑖
𝑥2=−𝑖
𝑥2+𝑥+1=0
∆=1−4=−3
𝑥3=−1+𝑖√3
2
𝑥4=−1−𝑖√3
2

6. Să se rezolve ecuația : 𝑥4−2𝑥3−𝑥2+2𝑥+1=0.
Rezolvare:
 Se obține un pătrat perfect adunănd 𝑥2
𝑥4−2𝑥3+𝑥2−𝑥2−𝑥2+2𝑥+1=0⟺(𝑥2−𝑥)2−2(𝑥2−𝑥)+1=0
 Se notează 𝑥2−𝑥=𝑡, iar ecuația devine: 𝑡2−2𝑡+1=0⟹𝑡1,2=1
 Se rezolvă ecuația 𝑥2−𝑥=1⟺𝑥2−𝑥−1=0 și se obține soluțiile 𝑥1=1−√5
2
respectiv 𝑥2=1+√5
2.

7. Să se rezolve ecuația:
𝑥2+(𝑥
2𝑥−1)2
=2.
Rezolvare:
 Se determină domeniul de valori:
2𝑥−1≠0⟹𝑥≠1
2 , deci 𝐷=ℝ∖{1
2};
 La membri ecuației se adună expresia 2𝑥𝑥
2𝑥−1 și se obține ecuația:
𝑥2+2𝑥𝑥
2𝑥−1+(𝑥
2𝑥−1)2
=2+2𝑥𝑥
2𝑥−1⟺
(𝑥+𝑥
2𝑥−1)2
−2𝑥2
2𝑥−1−2=0⟺
(2𝑥2
2𝑥−1)2
−2𝑥2
2𝑥−1−2=0

83
 Se notează 2𝑥2
2𝑥−1=𝑦 și se obține o ecuație de gradul II cu variabila y:
𝑦2−𝑦−2=0
 Se rezolvă ecuația obținută iar rădăcinile sunt: 𝑦1=−1 și𝑦2=2
 Revenind la schimbarea de variabilă se obține ecuațiile:
2𝑥2
2𝑥−1=−1⟺2𝑥2+2𝑥−1=0,
respect iv
2𝑥2
2𝑥−1=2⟺2𝑥2−4𝑥+2=0⟺𝑥2−2𝑥+1=0
 Se rezolvă ecuațiile de gradul doi și se obține soluțiile ecuației date, care sunt:
{ 𝑥1=−1+√3
2
𝑥2=−1−√3
2
𝑥3,4=1

8. Fie ecuația de gradul trei 𝑥3−2𝑥2+𝑥+1=0
Să se calculeze:
a. 𝑥1+𝑥2+𝑥3,𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3,𝑥1𝑥2𝑥3;
b. 𝑥12+𝑥22+𝑥32;
c. 𝑥13+𝑥23+𝑥33;
d. 𝑥14+𝑥24+𝑥34.
Rezolvare:
a. Din relațiile lui Vièt e se obține {𝑥1+𝑥2+𝑥3=2
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3=1
𝑥1𝑥2𝑥3=−1
b. Din formula (𝑥1+𝑥2+𝑥3)2=𝑥12+𝑥22+𝑥32+2𝑥1𝑥2+2𝑥1𝑥3+2𝑥2𝑥3
se obține 𝑥12+𝑥22+𝑥32=(𝑥1+𝑥2+𝑥3)2−2(𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+𝑥2𝑥3)=
22−2∙1=2.
c. Cum 𝑥1,𝑥2,𝑥3 sunt soluțiile ecuației 𝑥3−2𝑥2+𝑥+1=0. Numerele
𝑥1,𝑥2,𝑥3 verifică ecuația dată.
𝑥13−2𝑥12+𝑥1+1=0
𝑥23−2𝑥22+𝑥2+1=0
𝑥33−2𝑥32+𝑥3+1=0+
𝑥13+𝑥23+𝑥33−2(𝑥12+𝑥22+𝑥32)+(𝑥1+𝑥2+𝑥3)+3=0
𝑥13+𝑥23+𝑥33−2∙2+2+3=0⟹𝑥13+𝑥23+𝑥33=−1
d. Înmulțind ecuația dată cu x se obține 𝑥4−2𝑥3+𝑥2+𝑥=0
𝑥14−2𝑥13+𝑥12+𝑥1=0

84
𝑥24−2𝑥23+𝑥22+𝑥2=0
𝑥34−2𝑥33+𝑥32+𝑥3=0+
𝑥14+𝑥24+𝑥34−2(𝑥13+𝑥23+𝑥33)+(𝑥12+𝑥22+𝑥32)+(𝑥1+𝑥2+𝑥3)=0
𝑥14+𝑥24+𝑥34−2∙(−1)+2+2=0⟹𝑥14+𝑥24+𝑥34=−6

9. Fie ecuațiile 𝑥2+𝑎𝑥+𝑏=0 și 𝑦2+𝑐𝑦+𝑑=0, cu rădăcinele 𝑥1,𝑥2 respectiv
𝑦1,𝑦2. Să se determine ecuația care are rădăcinile 𝑥𝑘+𝑦ℎ unde k=1,2 și h=1,2.
Rezolvare:
 Rădăcinile ecuației căutate sunt: {𝑧1=𝑥1+𝑦1
𝑧2=𝑥1+𝑦2
𝑧3=𝑥2+𝑦1
𝑧4=𝑥2+𝑦1
 Din ecuațiile date se obține {𝑥1+𝑥2=−𝑎
𝑥1𝑥2=𝑏 respectiv{𝑦1+𝑦2=−𝑐
𝑦1𝑦2=𝑑
 Se observă că ecuația căutată are patru rădăcini, deci ecuația căutată este o
ecuație de gradul patru.
 Folosind relațiile lui Viètte, se obține:
𝑆1=𝑧1+𝑧2+𝑧3+𝑧4=−2(𝑎+𝑐)
𝑆2=𝑧1𝑧3+𝑧1𝑧4+𝑧2𝑧3+𝑧2𝑧4+𝑧1𝑧2+𝑧3𝑧4=
=(𝑧1+𝑧2)(𝑧3+𝑧4)+𝑧1𝑧2+𝑧3𝑧4=𝑎2+𝑐2+3𝑎𝑐+2𝑏+2𝑑
𝑆3=𝑧1𝑧2𝑧3+𝑧1𝑧2𝑧4+𝑧1𝑧3𝑧4+𝑧2𝑧3𝑧4=
=𝑧1𝑧2(𝑧3+𝑧4)+(𝑧1+𝑧2)𝑧3𝑧4=−(𝑎+𝑐)(2𝑏+2𝑑+𝑎𝑐)
𝑆4=𝑧1𝑧2𝑧3𝑧4
 Ecuația căutată este:
𝑧4+𝑆1𝑧3+𝑆2𝑧2+𝑆3𝑧+𝑆4=0.

10. Să se rezolve ecuația de gradul al patrulea:
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)(𝑥+3)=360.
Rezolvare:
 Se calculează în membrul stâng produsul dintre primul și ultimul factor
respectiv între ceilalți doi factori și se obține ecuația:
(𝑥2+3𝑥)(𝑥2+3𝑥+2)=360
 Se face substituția (𝑥2+3𝑥)=𝑡

85
 Se obține ecuația 𝑡(𝑡+2)=360⟺𝑡2+2𝑡−360=0
 Ecuația astfel obținută are soluțiile 𝑡1=18 respectiv 𝑡2=−20
 Revenind la relația de substituție se obține două ecuații de gradul al doilea:
𝑥2+3𝑥−18=0 respectiv 𝑥2+3𝑥+20
 Rezolvând ecuațiile se obține soluțiile ecuației de gradul al patrulea:
𝑥1=3;𝑥2=−6; 𝑥3,4=−3±𝑖√71
2.

11. Fie ecuația de gradul al patrulea:
(𝑥2+𝑥+1)2−7𝑥2(𝑥2+𝑥+1)+12𝑥4=0
Să se afle rădăcinile reale a ecuației.
Rezolvare:
 Se observă că x=0 nu este soluție a ecuației, astfel se poate împărții întreaga ecuație
cu x4, iar ecuația devine:
(𝑥2+𝑥+1
𝑥2)2
−7(𝑥2+𝑥+1
𝑥2)+12=0
 Se face substituția
𝑥2+𝑥+1
𝑥2=𝑦
 După substituție ecuația devine:

𝑦2−7𝑦+12=0
 Rezolvând ecuația de gradul al doilea se obține:
𝑥2+𝑥+1
𝑥2=3⟺−2𝑥2+𝑥+1=0⟹{𝑥1=1
𝑥2=−1
2
respectiv
𝑥2+𝑥+1
𝑥2=4⟺−3𝑥2+𝑥+1=0⟹
{ 𝑥3=1+√13
2
𝑥4=1−√13
2

12. Fie ecuația 𝑥4−5𝑥3+4𝑥2+𝑚𝑥+𝑛=0 care admite rădăcina 𝑥1=2−√3.
a. Determinați valorile raționale ale parametrilor m și n;
b. Determinați rădăcinile ecuației.
Rezolvare:
 Deoarece ecuația are coeficienți raționali, ea admite ca și rădăcină conjugatul lui
𝑥1=2−√3, adică 𝑥2=2+√3

86
 Polinomul asociat ecuației se poate scrie:
𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)=
=(𝑥−2+√3)(𝑥−2−√3)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)=
=(𝑥2−4𝑥+1)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)
 Se află câtul și restul polinomului f(x) la 𝑥2−4𝑥+1
Câtul este 𝑥2−𝑥−1 iar restul (𝑚−3)𝑥+(𝑛+1)
 Din cauza faptului că împărțirea trebuie să fie exactă, restul trebuie să fie 0, ceea ce
înseamnă că 𝑚−3=0 și 𝑛+1=0.
 Valorile paremetrilor o să fie 𝑚=3 și 𝑛=−1.
 Celelalte două rădăcini obținem dacă rezolvăm ecuația de gradul al doilea
𝑥2−𝑥−1=0
∆=1+4=5⟹𝑥3=1−√5
2 ș𝑖 𝑥4=1+√5
2

13. Fie ecuația de gradul al patrulea: 𝑥4−𝑥3+2𝑥2+7𝑥−5=0
Să se rezolve ecuația, știind că 𝑥1=1−2𝑖 este rădăcina ecuației.
Rezolvare:
 Se observă că ecuația are coeficinți numere reale, iar dacă 𝑥1=1−2𝑖 este rădăcină
a ecuației, atunci și 𝑥2=1+2𝑖.
 Pentru a afla celelalte rădăcini, notate cu 𝑥3,𝑥4 se descompune în factori polinomul
asociat ecuației, adică
𝑓(𝑥)=𝑥4−𝑥3+2𝑥2+7𝑥−5=(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)=
=(𝑥−1+2𝑖)(𝑥−1−2𝑖)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)=
=[(𝑥−1)2−4𝑖2](𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4)=
=(𝑥2−2𝑥+5)(𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4).
 Produsul (𝑥−𝑥3)(𝑥−𝑥4) este câtul împărțirii polinomului f(x) cu polinomul
(𝑥2−2𝑥+5).
𝑥4−𝑥3+2𝑥2+7𝑥−5
−𝑥4+2𝑥3−5𝑥2 𝑥2−2𝑥+5
𝑥2+𝑥−1
+𝑥3−3𝑥2+7𝑥−5
−𝑥3+2𝑥2−5𝑥
−𝑥2+2𝑥−5
𝑥2−2𝑥+5
/ / /

 Câtul îmărțirii este 𝑥2+𝑥−1, iar rezolvând ecuația de gradul al doilea
𝑥2+𝑥−1=0 obținem celelalte rădăcini a ecuației date, adică 𝑥3,4=−1±√5
2.

87
14. Să se rezolve ecuația de gradul al treilea: 𝑥3+9𝑥+42𝑥+196=0.
Rezolvare:
 Ecuația se rezolvă folosind formula lui Cardano;
 Se face scimbarea de variabilă 𝑥→𝑦−𝑏
3𝑎, adică 𝑥→𝑦−3;
 După calcule se obține ecuația redusă de gradul III: 𝑦3+15𝑦+124=0;
 Știind că p=15 și q=124 se calculează discriminantul ecuației:
∆=(𝑝
3)3
+(𝑞
2)2
=3969=632
 Se alege două variabile u și v, unde
𝑢=√−𝑞
2+√∆3=√−62+633=1
și
𝑣=√−𝑞
2−√∆3=√−62−633=−5
 Soluțiile ecuației de gradul III cu variabilă y sunt:
{𝑦1=𝑢+𝑣=−4
𝑦2=𝜀𝑢+𝜀2𝑣=2+3𝑖√3
𝑦3=𝜀2𝑢+𝜀𝑣=2−3𝑖√3
 Soluțiile ecuației cu variabilă x sunt:
{𝑥1=−7
𝑥2=−1+3𝑖√3
𝑥3=−1−3𝑖√3

15. Să se rezolve ecuația: 8𝑥3+18𝑥2+𝑥−6=0.
Rezolvare
 Transformăm ecauția astfel încât coeficientu l dominant să fie 1;
 Se face schimbarea de variabilă 𝑥=𝑦
8;
 Se obține ecuația: 𝑦3+18𝑦2+8𝑦−48=0;
 Fie 𝑦=𝑧−18
3=𝑧−6 de unde se obține ecuația:
(𝑧−6)3+18(𝑧−6)2+8(𝑧−6)−384=0⟺
𝑧3−100𝑧=0⟺𝑧(𝑧2−100)=0
 Soluțiile se găsesc foarte ușor
{𝑧1=0
𝑧2=−10
𝑧3=10⟹{𝑦1=0−6=−6
𝑦2=−10−6=−16
𝑦3=10−6=4⟹

88
{ 𝑥1=−6
8=−3
4
𝑥2=−16
8=−2
𝑥3=4
8=1
2

16. Să se rezolve ecuația: 𝑥4+𝑥3−6𝑥2−2𝑥+4=0.
Rezolvare:
 Se observă că x=0 nu este soluție a ecuației de gradul patru, deci ecuația se poate
împărții la 𝑥2 de unde se obține ecuația:
(𝑥2+4
𝑥2)+(𝑥−2
𝑥)−6=0
 Se notează
𝑡=𝑥−2
𝑥⟹𝑡2=𝑥2−4+4
𝑥2⟹𝑡2+4=𝑥2+4
𝑥2
 Noua ecuație cu variabila t este:
𝑡2+4+𝑡−6=0⟺𝑡2+𝑡−2=0
 Rezolvând ecuația de gradul II se obține: 𝑡1=−2 respectiv 𝑡2=1;
 Se obține ecuațiile:
𝑥2+2𝑥−2=0 respectiv 𝑥2−𝑥−2=0
 Rezolvând cele două ecuații obținem soluțiile ecuației de gradul patru:
𝑥1=−1+√3; 𝑥2=−1−√3; 𝑥3=−1 ș𝑖 𝑥4=−1.

17. Să se rezolve ecuația 𝑥5+𝑥4+𝑥3+𝑥2+𝑥+1=0 pe mulțimea numerelor reale.
Rezolvare
 Ecuația dată este o ecuație reciprocă de grad impar, ceea ce înseamnă că o soluție
este -1;
 Polinomul asociat ecuației se poate împărți la polinomul (x+1)

𝑥5+𝑥4+𝑥3+𝑥2+𝑥+1
−𝑥5−𝑥4 x+1
𝑥4+𝑥2+1
/ / 𝑥3+𝑥2+𝑥+1
−𝑥3−𝑥2
/ / 𝑥+1
−𝑥−1
/ /
 Ecuația dată se poate scrie (𝑥+1)(𝑥4+𝑥2+1)=0
 Se rezolvă ecuația 𝑥4+𝑥2+1
𝑥2=𝑡⟹𝑡2+𝑡+1=0⟹∆=1−4=−4<0

89
Nu are soluții reale;
 Ecuația de gradul 5 are o soluție reală 𝑥=−1.

18. Să se rezolve ecuația 2𝑥5+3𝑥4+2𝑥3+2𝑥2+3𝑥+2=0.
Rezolvare
 Ecuația dată este o ecuație reciprocă de grad impar, ceea ce înseamnă că o soluție
este -1;
 Polinomul asociat ecuației se poate împărți la polinomul (x+1), folosind schema lui
Horner.
𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0
2 3 2 2 3 2
-1 2 1 1 1 2 0

 Ecuația dată se poate scrie (𝑥+1)(2𝑥4+x3+x2+x+2 )=0
 Ecuația (2𝑥4+x3+x2+x+2 )=0 este o ecuație reciprocă de gradul IV, cum
x=0 nu este soluție se împarte ecuația cu x2;
2𝑥2+𝑥+1+1
𝑥+2
𝑥2=0⟺2(𝑥2+1
𝑥2)+(𝑥+1
𝑥)+1=0
 Se notează 𝑡=𝑥+1
𝑥 iar 𝑡2−2=𝑥2+1
𝑥2
 După schimbarea variabilei se obține ecuația:
2𝑡2+𝑡−3=0⟹{𝑡1=1
𝑡2=−3
2
 Pentru a determina soluțiile ecuației de gradul IV se rezolvă următoarele ecuații de
gradul II:
{ 𝑥+1
𝑥=1
𝑥+1
𝑥=−3
2⟺
{
𝑥2−𝑥+1=0
2𝑥2+3𝑥+2=0⟹
{ 𝑥1,2=1±𝑖√3
2
𝑥3,4=−3±𝑖√7
4
 Soluțiile ecuației de gradul V sunt: −1; 1±𝑖√3
2;−3±𝑖√7
4.

19. Să se rezolve ecuația 27𝑥3−9𝑥−2=0 folosind metoda Lagrange.
Rezolvare
 Se transformă ecuația dată astfel încât coeficientul dominant să fie 1 folosind
schimbarea de varia bilă 𝑥=𝑦
3. Ecuația cu variabilă y devine 𝑦3−3𝑦−2=0;
 Folosind metoda Lagrange, se observă că 𝑝=−3 respectiv 𝑞=−2, iar rezolvența
ecuației este 𝑧2−54𝑧+729=0.
 Soluțiile ecuației astfel obținute sunt 𝑎1=𝑎2=27;
 Fie 𝐿𝜀𝑦3=27⟹𝐿𝜀𝑦=3 respectiv 𝐿𝜀2𝑦3=27⟹𝐿𝜀2𝑦=3

90
𝑦1=1
3(𝐿𝜀𝑦+𝐿𝜀2𝑦)=2
𝑦2=1
3(𝜀2𝐿𝜀𝑦+𝜀𝐿𝜀2𝑦)=1
3(−1−𝑖√3
2∙3+−1+𝑖√3
2∙3)=−1
𝑦3=1
3(𝜀𝐿𝜀𝑦+𝜀2𝐿𝜀2𝑦)=1
3(−1+𝑖√3
2∙3+−1−𝑖√3
2∙3)=−1
 Rădăcinile ecuației inițiale sunt:
𝑥1=2
3; 𝑥2=−1
3; 𝑥3=−1
3.

20. Fie ecuația 𝑥4+2𝑥3+5𝑥2+4𝑥+4=0. Folosind metoda lui Ferrari determinați
soluțiile ecuației de gradul patru.
Rezolvare
 Fie m un parametru real astfel încât ecuația dată se scrie ca:
(𝑥2+𝑥+𝑚)2−(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)=0, unde a,b și c sunt numere pentru care
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 să fie pătratul unui polinom de gradul I.
 După calcule se obține:
𝑥4+2𝑥3+5𝑥2+4𝑥+4=
=𝑥4+𝑥2+𝑚2+2𝑥3+2𝑥2𝑚+2𝑥𝑚−𝑎𝑥2−𝑏𝑥−𝑐=
=𝑥4+2𝑥3+(1+2𝑚−𝑎)𝑥2+(2𝑚−𝑏)𝑥+(𝑚2−𝑐)
 Comparând ecuațiile se identifică coeficienții astfel:
{1+2𝑚−𝑎=5
2𝑚−𝑏=4
𝑚2−𝑐=4⟺{𝑎=2𝑚−4
𝑏=2𝑚−4
𝑐=𝑚2−4
 Ecuația de gradul d oi devine:
(2𝑚−4)𝑥2+(2𝑚−4)𝑥+(𝑚2−4)=0
 Se pune condiția ca disciminantul ecuației să fie 0.
(2𝑚−4)2−4(2𝑚−4)(𝑚2−4)=0⟺(2𝑚−4)(2𝑚2−𝑚−6)=0
 Valorile parametrului sunt: 𝑚1=𝑚2=2; 𝑚3=−3
2;
 Cazul I.
Dacă 𝑚=2⟹𝑎=0;𝑏=0;𝑐=0 iar ecuația inițială devine
(𝑥2+𝑥+2)2=0
Soluțiile ecuației sunt:
𝑥1=𝑥3=−1+𝑖√7
2
𝑥2=𝑥4=−1−𝑖√7
2

91
 Cazul II.
Dacă 𝑚=−3
2 atunci 𝑎=−7;𝑏=−7;𝑐=−7
4. În acest caz ecuașia dată devine:
(𝑥2+𝑥−3
2)2
+7(𝑥+1
2)2
=0
Ecuația este adevărată dacă (𝑥2+𝑥−3
2)2
=0 și (𝑥+1
2)2
=0;
Din a doua ecuație obținem soluția 𝑥=−1
2. Dar această valoare nu este soluție
pentru ecuația (𝑥2+𝑥−3
2)2
=0, ceea ce implică faptul că 𝑚=−3
2 nu poate
determina soluțiile ecuației inițiale.

92
BIBLIOGRAFIE

1. Alef O. –Algebră – Funcții și ecuații numerice, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1973
2. Alef O. –Algebră – Mulțimi , aplicații, numere reale, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1973
3. Burtea M., Burtea G. –Matematică (Manual pentru clasa a XII -a), Editura
Carminis, Pitești, 2007;
4. Chirilă C., Cris tescu B., –Formarea continuă a profesorilor de matematică în
societatea cunoașterii, Iași, 2012;
5. Dinescu C., Săvulescu B. –Sinteze de Algebră, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1983;
6. Hollinger A. – Metodica predării algebrei în școala generală, Editura didactică și
pedagogică, București, 1965;
7. Manea D. –Rezolvarea ecuațiilor algebrice de grad superior, Editura Paralelea 45,
2016
8. Năstăsescu C., Niță C. –Teoria calitativă a ecuațiilor algebricce, Editura Tehnică,
București, 1979;
9. Năstăsescu C., Niță C., Brandiburu M., Joiță D. –Culegere de probleme pentru liceu
clasele IX -XII, Editura Rotech Pro, București, 1997;
10. Năstăsescu C.,Niță C., Chițescu I., Mihalca D. –Matematică (Manual pentru clasa a
IX-a), Editura Didactică și Pedagogică, București , 2004;
11. Orțan F., – Pedagogie și elemente de psihologie, Editura Risoprint, Cluj -Napoca,
2014;
12. Panaitopol L.,Drăghicescu I.C. –Polinoame și ecuații algebrice, Editura Albatros,
1980;
WEBOGRAFIE:
1. http://www.experior.ro/Docs/Aplicatii_ale_ecuatiilor_algebrice_de_grad_superior/2
2. http://www.scritub.com/stiinta/matematica/STUDIUL -ECUATIILOR –
ALGEBRICE
3. http://www2.t rinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic%20Formula.pdf
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function
5. https:// iteach.ro/experientedidactice/despre -studiul -ecuatiilor
6. https://www.wikihow.com/Solve -a-Cubic -Equation

93
ANEXA 1.

PROIECT DIDACTIC
ȘCOALA GIMNAZIALĂ TĂȘNAD
OBIECTUL: Matematică
CLASA : a V -a
PROFESOR : Stier Ildiko
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Metode aritmetice de rezolvare a problemelor
SUBIECTUL : Metoda reducerii la unitate, Metoda comparației, Metoda figurativă,
Metoda mersului invers
TIPUL LECȚIEI: fixare și sistematizare de cunoștințe
COMPETENȚ E GENERALE :
 Identificare unor date, mărimi și relații matematice în contextul în care acestea apar.
 Prelucrarea datelor de tip cantitativ,calitativ, structural , specifice matematicii
cuprinse în diverse surse informaționale.
 Modelarea matematică a unei situații date , prin integrarea cunoștințelor din diferite
domenii
COMPETENTE SPECIFICE:
 Identificarea numerelor naturale în contexte variate;
 Efectuarea de calcule cu numere naturale folosind operațiile aritmetice și
proprietățile acestora;
 Modelarea mate matică a unei situații date cu numere naturale , rezolvarea
problemei obținute prin metode aritmetice și interpretarea rezultatului.
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE : Brainstorming, Observația, Exercițiul,
Problematizarea.
FORME DE ORGANIZARE : frontal,pe grupe , individuală
MIJLOACE DIDACTICE : tablă, cretă,flip chart ,marker, fisa de lucru

94
Desfășurarea lecției
Momentele
lecției Activitatea didactică Metode
didactice Forme de
organizare
1.Moment
organizatoric
(2min) Se creează condiții optime desfășurării eficiente a
lecției de matematică
Elevii își pregătesc pe bancă cărțile și caietele de
matematică Conversație Frontală
2.Verificarea
temei (4min) Se verifică modul de efectuare a temei prin sondaj
frontal și individual. Conversația,
explicaț ia Frontală și
individual
3.Anunțarea
temei (1min) Anunțarea temei și obiectivele lecției. Conversația
explicația
4.Reactualizarea
cunoștințelor
anterior
dobăndite
(16 min)

Reactualizarea metodele învățate.
Prezentarea unor exemple. Conversația Frontal și
individual
Metoda figurativă
Ce trebuie să rețin
Această metodă constă în a privi numerele care
apar într -o problema ca fiind lungimile unor
segmente și în a „vizualiza” operațiile aritmetice
(adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea) care
se fac pentru rezolvarea ei
Exemplu :
Dan cântărește cu 10 kg mai mult decât sora sa,
Ana. Mama lor cântărește cât Dan și Ana
împreuna, iar tatăl are greutatea de trei ori mai
decât cea a Anei. Dacă știi că suma greutăților
celor patru membri ai familiei es te 216 kg,
determină greutatea fiecăruia dintre ei.

Soluție:
Ana:
10kg
Dan: 216 kg
10kg
Mama:
Tatăl:
Rezultă că 216 -20=196 este de 7 ori greutatea
Anei, deci greutatea Anei este 196:7=28 kg,
greutatea lui Dan este 28+10=38 kg, greutatea
mamei este 28+38=66 kg și greutatea tatălui este
3∙28=84 kg.

Metoda reducerii la unitate
Ce trebuie să rețin
Această metodă c onstă în aflarea unei părți din
mărimea care trebuie determinată în problemă. Conversatia
problematiz
area,
explicatia
Frontal și
individual

95
Această parte este privită ca o unitate de măsură
și cu ajutorul ei se găsește mărimea cerută în
enunțul problemei .
Exemplul: Iulia a cumpărat de la supermarket 6
cutii identice care conțin 12 litri de suc. Câte cutii
de suc , de același tip, trebuie să cumpere Iulia
dacă are nevoie de 20 litri de suc?

Soluție: O cutie conține 12:6=2 litri de suc. Iulia
trebuie să cumpere 20:2=10 cutii de suc.

Metoda comparației
Ce trebuie să rețin
Uneori, relațiile dintre mărimile care apar într -o
problemă se deduc din compararea a două situații
diferite. Esența metodei comparației constă în a
stabili ce coincide și ce face diferența între cele
două situații .
Exemplul: Ada pune cuburi colorate unul peste
altul și construiește, spune ea, două turnuri.

Un turn ajunge ( vezi desenul de mai sus ), exact,
până la raftul cu manuale și al doilea se înalță
până la raftul cu cărți colorate. Dacă turnul cel
mai înalt este construit din 10 cuburi roșii și din 8
cuburi verzi, iar celălalt turn, este format din 10
cuburi roșii și 4 cuburi verzi, determin ă lungimea
laturii unui cub roșu și a unui cub verde.
Soluție :Înălțimea turnului format din 10 cuburi
roșii și din 8 cuburi verzi este 120 cm și a turnului
format din 10 cuburi roșii și 4 cuburi verzi este 80
cm.
Datele problemei se pot prezenta astfel:
10 cuburi roșii ………. 8 cuburi verzi ……….
120 cm
10 cuburi roșii ………. 4 cuburi verzi ………. 80
cm
Diferența de înălțime dintre cele două turnuri 120 –
80= 40 cm este produsă de cele 8 -4=4 cuburi verzi

96
pe care le conține, în plus, turnul cu înălțimea 120
cm. Lun gimea laturii unui cub verde este 40:4= 10
cm. Înălțimea turnului format cu cele 5 cuburi
roșii din turnul mic este egală cu 40 -2∙10=20.
Lungimea laturii unui cub roșu este 20:5= 4 cm.

Metoda mersului invers
Ce trebuie să rețin
O problemă se poate rezolva prin această metodă
dacă datele problemei sunt legate între ele, câte
două, prin condiții de tipul; „cu a mai mare”,
„cu b mai mic”, „de c ori mai mare”, „de d ori
mai mic” ; unde a, b, c, d sunt numere naturale
cunoscute, c ș i d nenule. De exemplu, dacă datele
problemei sunt A, B, C , iar B se obține din A, C
se obține din B și C este cunoscut , atunci se
pleacă de la C și de la condiția care îl leagă pe C
de B și se determină B astfel:
Dacă C este cu a mai mare decât B, atu nci B=C -a
.
Dacă C este cu b mai mic decât B, atunci B=C+b.
Dacă C este de c ori mai mare decât B, atunci
B=C:c.
Dacă C este de d ori mai mic decât B, atunci
B=C∙d.
Asemănător se determină A.
Exemplul. Un grup de patru prieteni se plimbau în
parc. Impr esionați de un afiș, decid ca toți banii pe
care îi au la ei să -i doneze unei fundații care
construiește adăposturi pentru câinii comunitari.
Se informează care sunt sumele de bani de care
dispun și constată că Radu are cu 5 de lei mai mult
decât Ana, Ioa na are cu 15 lei mai puțin decât
Radu, Ștefan are de două ori mai puțini bani decât
Ioana, adică 15 lei. Care este suma de bani pe
care o pot dona, împreună, cei cinci copii?

Reprezentăm datele problemei în tabelul:
Cu 5 lei mai
mult Cu 15 lei
mai puțin De două
ori mai
puțin 15
lei
Ana → Radu → Ioana → Ștef
an

97
Ideea metodei, așa cum sugerează și numele,
este să inversăm sensul săgeților:

Cu 5 lei mai
mult Cu 15 lei
mai puțin De două
ori mai
puțin 15
lei
Ana ← Radu ← Ioana ← Ștef
an

Din ipoteza „Ștefan are 15 lei și de două ori mai
puțini bani decât Ioana”, rezultă că Ioana are 15
lei∙2=30 lei
Din ipoteza „Ioana are cu 15 lei mai puțin decât
Radu”, rezultă că Radu are 15 lei+30 lei = 45 lei.
Din ipoteza „Radu are cu 5 lei mai mult decâ t
Ana”, rezultă că Ana are 45 lei -5lei = 40 lei
Suma de bani pe care o pot dona, împreună, cei
cinci copii este: 40 lei +45 lei +30 lei +15 lei =
130 lei
6. Asigurarea
feed-back-ului
25 min Elevii se grupează în patru grupe, fiecare grupă
rezolvă problemele de pe fișa de lucru.
Fiecare grupă prezintă rezolvările făcute clasei Rezolvări
de probleme Pe grupe
7. Evaluare
2min Profesorul face aprecieri. Dă notă elevilor care s –
au remarcat Frontal
8.Tema pentru
acasa Temă pentru acasa: FIȘA NR:2. Conversația Frontal

98
Grupa 1.
METODA MERSULUI INVERS
1. Din suma de bani care o are Maria, cheltuie în prima zi 5 lei. A doua zi , bunicul
sau văzând acest lucru îi dublează suma. A treia zi Maria își cumpără o culegere de
matematică pe care achită 14 lei și observă că mai are doar 50 de lei. Ce sumă de
bani a avut Maria la început?
2. Mă gândesc la un număr pe care după ce îl dublez îi adaug 16. Jumătate din suma
obținută o măresc cu 5 și obțin 41 de lei. La ce număr m -am gândit?
3. Mama a pus în fructieră mere. A venit Marian și a luat jumătate din ele. Bianca a
venit și a luat jumătate din merele rămase. Andrei vine și ia jumătate din merele
rămase de la Bianca. Când a venit și Adriana a observant că în fructieră mai era
doar 1 măr. Câte mere a pus în fructieră mama?
Grupa 2.
METODA COMPARAȚIEI
1. Dacă 12 băieți și 8 fete au sortat 416 lădițe cu struguri, iar 14 băieți și 6 fete au
sortat 432 lădițe, aflați câte lădițe a sortat un băiat ș i câte o fată.
2. Cumpărând2 kg de mere și 5 kg de pere achiți 19 lei. La o săptămână cumperi 5 kg
de mere și 10 kg de pere și achiți 40 lei. Cât costǎ un kg de mere și un kg de pere?

Grupa 3.
METODA FIGURATIVĂ
1. Alexandra și Ionela au împreuna 120 de lei. Af lați ce sumă au fiecare , dacă
Alexandra are mai mult decât Ionela cu 30 de lei.
2. Deschizând o carte se observă că suma paginilor este 129. La ce pagină s -a deschis
cartea?
3. George, Marian și Beniamin au împreuna 605 timbre. Marian are de două ori mai
mult decat George și cu cinci mai puțin decât Beniamin. Câte timbre au fiecare?
Grupa 4.
METODA REDUCERII LA UNITATE
1. Un călător parcurge în 3 ore, 12 km. Aflați câți km va parcurge în 5 ore
mergând cu aceeași viteză?
2. Pe 11 kg de portocale, Bianca ac hită 330 lei. Cât ar achita , dacă ar cumpăra doar 7
kg de portocale de același fel cu primele?
3. Mergi la un magazin și cumperi 15 kg de cartofi pe care achiți 30 lei. Ce sumă a
achitat prietenul tău dacă a cumpărat 13 kg de cartofi de același fel?

99

Fisa n r.2
TEMĂ
1. Mergând 5 ore pe jos și 7 ore pe bicicletă un tânăr poate parcurge 104 km.
Mergând 7 ore pe jos și 6 ore pe bicicletă el parcurge 100 km. Câți km parcurge
într-o oră pe Jos și câți pe bicicletă?

2. 12 băieți și 6 fete au cules 150 kg cire șe. A doua zi 24 băieți și 13 fete au cules
305 kg cireșe. Câte kg culege pe zi o fată și câte un băiat?

3. Pentru 125 vaci și 78 cai se dau 2592 kg fân, iar pentru 78 cai și 109 vaci se dau
2400 kg fân. Ce cantitate de fân mănâncă fiecare animal pe zi?

4. Suma a două numere este 25. Dacă adunam dublul primului cu triplul celui de al
doilea obținem 65. Aflați cele două numere.

5. Un număr este cu 12 ma i mare decât altul. Triplul numărului mai mic adunat cu
dublul celui mai mare fac 164. Aflați numerele.

6. Două caiete de matematica și două de desen costă 60000 lei, iar două caiete de
desen și trei de matematică costă 70000 lei. Cât costă fiecare cai et?
7. 20 de iepuri mǎnâncǎ morcovii de pe o parcelǎ în 7 zile. În câte zile vor mânca
morcovii de pe aceeași parcelǎ14 iepuri?
8. Trei elevi au rezolvat împreună 240 probleme. Aflați câte a rezolvat fiecare dacă
primul a rezolvat cât ceilalți doi împreună, iar al doilea cu 10 mai mult decât al
treilea.
9. Trei elevi au împreună 150 de lei. Câți lei are fiecare dacă sumele lor sun t exprimate
prin numere pare consecutive?

100
Anexa 2
PROIECT DIDACTIC
ȘCOALA GIMNAZIALĂ TĂȘNAD
CLASA: a VII -a
DISCIPLINA : Matematică – Algebră
PROFESOR :Stier Ildiko
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Ecuații și inecuații cu coeficienți in mulțimea numerelor reale
TITLUL LECTIEI : Ecuații de gradul I cu o necunoscută și ecuații reductibile la acestea.
TIPUL LECȚIEI : Lecție mixtă
COMPETENȚE SPECIFICE LECȚIEI :
 sǎ efectueze calcule cu numere reale, utilizând reguli de calcul și proprietățile
operațiilor;
 să recunoască veridicitatea unor rezultate obținute prin calcul; să interpreteze date
obținute prin calcul;
 sǎ prezinte în mod coerent soluția unei probleme, utilizând modalități variate de
exprimare;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE :
Elevii vor fi cap abili:
 Să rezolve ecuații de forma ax+b = 0, cu a,b R;
 Să aducă la o formă mai simplă egalități, utilizând proprietățile
relației de egalitate;
 Să rezolve ecuații reductibile la ecuația ax+b = 0, cu a,b R;
 Să aplice corect formulele învățate;
 Să rezolve ecuații de gradul I, deduse dintr -un context geometric.

STRATEGII DIDACTICE:
 METODE ȘI PROCEDEE:metoda ciorchinelui;explicatia;exercițiul ;învățarea
prin descoperire;
 MIJLOACE DE REALIZARE:Fișe de lucru
 FORME DE ORGANIZARE:Frontală și individuală
 METODE DE EVALUARE:continuă , secvențială

101
DESFĂȚURAREA LECȚIEI
Etapele
lecției
Desfasurarea activitatii Strategii didactice
Metode,
procedee Evaluare
1. Moment
Organizatoric Se asigură condițiile optime pentru
desfășurarea lecției.
Conversația

2. Verificarea
cunoștințelor
anterioare și a
temei pentru
acasă
Elevii sunt solicitați să prezinte titlul lecției
anterioare ” Ecuații de gradul I cu o
necunoscută”
– elevii sunt întrebați:
* ce se numește ecuație?
* care este forma generală a ecuației de
gradul I cu o necunoscută?
* ce înseamnă a rezolva o ecuație de gradul I
cu o necunoscută?
* ce numim ecuații echivalente?
Se vor reaminti formulele ( 𝑎±𝑏)2=𝑎2±
2𝑎𝑏+𝑏2
𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)
Profesorul verifică frontal tema scrisă facând
eventul observații, iar dacă există probleme
nefinalizate le sugerează elevilor metoda de
rezolvare
Conversația
Observare
sistematică
3. Anunțarea
temei și a
competențelor
urmărite -Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: ”
Ecuații de gradul I cu o necunoscută și
ecuații reductibile la acestea”.
Conversația

4.
Intensificarea
retinerii și
asigurarea
transferului
Profesorul propune elevilor să rezolvare
următoarea ecuație: ( ciorchine).
(𝑥+1)2−𝑥2=7,𝑥∈𝑅 (1)
(𝑥+1)2−𝑥2−7=0
𝑥2+2𝑥+1−𝑥2−7=0
2x-6 = 0 |+6
2x = 6 |:2
x =3
S={3}
Conversația

Explicatia

Analiza
răspunsurilor

102
Ecuația a putut fi rezolvată deoarece prin
transformari echivalente am reușit să
reducem gradul necunoscutei de la 2 la 1 și
să obținem o ecuație de forma
ax + b =0, ecuație echivalentă cu ecuația
dată.
Spunem că ecuația
(𝑥+1)2−𝑥2=7,𝑥∈𝑅
Este reductibilă la ecuația 2x -6=0 , 𝑥∈
𝑅
Nu toate ecuațiile pot fi reduse la forma
ax+b = 0, 𝑥∈𝑅
Să căutam o metod ă de rezolvare a ecuației
𝑥2−2𝑥=0,𝑥∈𝑅 (2)
Regula produsului nul: Un produs este nul
dacă cel putin un factor este nul.
Să rezolvăm ecuatia (2)
 Descompunem in factori membrul
stang : x(x -2) = 0
 Aplicand regula produsului nul avem
x = 0 sau x – 2 = 0
 Rezolvăm fiecare ecuație in parte și
obținem x=0 sau x=2
 Reunind cele două soluții obținem
S={0,2}
Cum rezolvați următoarea ecuație?
(x+5)(2x -7)=4(2x -7) (3)
Obs. Nu putem impărti in ambii membri ai
unei ecuații cu un factor care conține
necunoscuta, d eoarece se pot pierde soluții.
Vom parcurge următorii pași:
Trecem toți termenii in membrul stang
(x+5)(2x -7) – 4(2x -7) = 0
Descompunem in factori (2x -7)(x+5 -4) = 0
Aplicam regula produsului 2x -7=0 si x+1=0
Rezolvăm ecuațiile obținute rezultă x= 7
2 sau
x = -1
Deci S = {7
2,–1}

Explicatia

Problematizare

Exercițiul

Observare
sistematică

Analiza
răspunsurilor

103
Să rezolvăm ecuația :𝑥
3 – 𝑥−5
2=𝑥
4+5 (4)
Amplificăm numărătorii ș i scriem ecuația
fără numitori:
4x-6x+30 = 3x+60
Separăm necunoscutele de termenii liberi:
4x-6x-30 = 60 -30
Efectuăm operațiile de scădere și adunare : –
5x = 30 de unde x = -6 este soluția ecuației.
Ecuatii cu modul:
 |x-3|=5
 |2x-1| = |x+1|
 |x+4|= –2
Ecuatii de gradul I deduse dintr -un context
geometric:
 Intr-un triunghi dreptunghic,
măsura unui unghi ascutit este
egală cu dublul m ăsurii celuilalt
unghi ascutit . Aflati m ăsurile
celor dou ă unghiuri.
5.Asigurarea
feedback -ului – Fiecare elev primeste o fisă cu două
exerci ții, care vor fi rezolvate independent.
După 5 minute, rezolvările se verifică la
tablă.
1. a)
712x
b) 6(x 1) 5(2 x) = 9(x 2)
2. Determina ți lungimea catetei unui triunghi
dreptunghic isoscel care are ipotenuza egală
cu 8.
Munca
independentă Aprecieri verbale
Analiza
răspunsurilor
6. Evaluarea Aprecierea elevilor care s -au remarcat la
lecție ( +, – ; eventual finalizare cu notă în
catalog). Conversație
Explicatie Aprecieri verbale
7. Tema
pentru acasă Exercițiile care nu s -au rezolvat în clasă, vor
rămâne ca temă; profesorul oferă indicații
pentru rezolvarea problemelor. conversație

104
CLASA a VII -a ALGEBRĂ -FIȘĂ DE LUCRU
1) Rezolva ți in mul țimea numerelor reale ecua țiile:
a) 4(x + 3) – 2x = 6 – 3(2 – x)
b)
 361 322 3  x x
c)
41
103
43
51  xx x x
d)

125
43 4
22 3
33 2 x x x e)
2 2)3 2(6)2 )(2(5 13  x x x x

f)
 )1( 3 22 xxx x
g)
24 3
4 32
232


x x xx
2).Rezolvați ecuațiile următoare, descompunâ nd intr -un produs:
a) x2 – 4 = 0
b) 2𝑥2−3𝑥=0
c) x(x -1) = 2( x – 1) d) 3𝑦3+𝑦2=0
e) (𝑥+1)2−5=4
f) 𝑧2+5𝑧+6=0
3).Ecuații cu modul:
a)
532x
b) √(3𝑥+1)2=7 c) |3x – 2| -3 = 1
d) |3 x-2| = | x+8|
4) Ecuații de gradul I deduse dintr -un context geometric:
Aflați lungimile laturilor triunghiului știind c ă are perimetrul egal cu 70 cm.

x x+1

x+3
Evaluare
1. a)
712x
b) 6(x 1) 5(2 x) = 9(x 2)
2. Determina ți lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel care are ipotenuza egală
cu 8.

105
Anexa 3
PROIECT DIDACTIC

ȘCOALA GIMNAZIALĂ TĂȘNAD
CLASA : a VIII -a
PROFESOR : Stier Ildiko
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE : Ecua ții, inecua ții, sisteme de ecuații
SUBIECTUL : Ecuația de gradul al II -lea
TIPUL : Lec ție de dobândire de noi cunoștinte
COMPE TENȚE GENERALE :
CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în
care au fost definite
CG 3. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau
globală a unei situații concrete
CG 5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situați problemă
CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii
COMPE TENȚE SPECIFICE :
1.1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a numerelor reale și a
formulelor de calcul prescurtat
1.2. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea de algoritmi
pentru optimizarea calculului cu numere reale
1.3. Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații
1.4. Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor
sau a sistemelor de ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului obținut
OBIECTIVE OPERATIONALE:
 Să recunoască formele unei ecuații de gradul al II -lea completă și incompletă;
 Să reproducă și să aplice formula de reyolvare a ecuației ax2+bx+c= 0 ,a 0
 Să anticipeze num ărul de soluții reale ale ecuației ax2+bx+c= 0 ,a 0
STRATEGII DIDACTICE
 METODE SI PROCEDEE DIDACTICE: conversație, explicație, descoperire,
rezolvare de probleme
 FORME DE ORGANIZARE: frontal, pe grupe, individuală
 MIJLOACE DIDACTICE: fișe de lucru, flipchar, lipici,tablă

106
Desfășurarea activității
ETAPELE
LECȚIEI RESURSE PROCEDURALE
de conținut de
timp forme de
organizare metode și
procedee
1. Moment
organizatoric
Se face prezen ța, se preg ătesc fișele,
caietele 2min. activitate
frontală
conversația
2. Enunțarea
obiectivelor Se anunță tema și obiectivele lecției.
Se scrie titlul lec ției pe tablă: Ecuația de
gradul al
II-lea 1min. activitate
frontală
conversația

observația

3.Reactualizarea
cuno ștințelor Ce este o ecua ție?
Ce este o soluție a unei ecuații?
Ce ȋnseamn ă a rezolva o ecua ție? 2 min activitate
frontală

conversația
examinato
are
4. Prezentarea
noi invatari
dirijarea ȋnvățării Forma general ă a ecua ției de gradul al
II-lea este ax2+bx+c= 0, a 0, unde a, b,
c
 .
Numerele a, b, c se numesc coeficien ții
ecuației, iar x este necunoscuta ecuației.
Exemple: x2+7x+5= 0, 3×2-120x+45= 0
x2+10= 0,
x2 -5x= 0
Cazuri particulare: (forme incomplete)
1.b=0
x2-25= 0
x2= 25, x=5 sau x= -5
2. c=0
x2+10x= 0
x(x+10)=0
x=0 sau x= -10

Rezolvati ecuatiile
1.) x2 – 9 = 0
2.) x2 -6x = 0
3.) 3×2 -15x =0
4.) x2 + 4 = 0 10min Activitate
frontala expunerea

explica ția

Problemati
zarea

Rezolvare
de exercitii

107

FORMA COMPLETA
Alcatuirea plansei cu etapele de
rezolvare a ecuatiei de gradul II.
Pentru a rezolva o ecuație de gradul al
II-lea parcurgem urm ătoarele etape:
Pas 1 : Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
Pas 2 : Calcul ăm discriminantul ecuației
după formula:
ac b 42
Pas 3 : Natura solu țiilor ecuației depind de
valoarea discriminantului, astfel:
 Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are
soluții reale
 Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă
soluții egale
abx x22 1
 Dacă Δ> 0 atunci ecuația are dou ă
soluții diferite
abxabx2;22 1
10 min activitate
frontală

Algoritmiz
area
5. Fixarea și
sistematizarea
cunoștin țelor Exemplu: 1 .
03 42x x
a =1, b = -4, c =3
ac b 42
= (-4)2-4·1·3=16 -12 = 4
Pentru c ă Δ> 0, ecuația are dou ă soluții
diferite
abxabx2;22 1
X1=3; X 2=1
2.
09 62x x
a =1, b = 6, c =9
ac b 42
= 62-4·1·9=36 -36 = 0
Pentru c ă Δ= 0, ecuația are dou ă soluții
egale
abx x22 1 , deci X 1= X 2=-3 8 min

activitate
frontală

Activitate
frontala

Exercițiul

Exercițiul

108
3.2
04 52x x
a =2, b = 5, c =4
ac b 42
= 52-4·2·4=25 -32 = -7
Pentru c ă Δ< 0, ecuația nu are soluții
reale.

Activitate
individuala

Exercițiul

7)Obținerea de
performanță Elevii sunt ȋmp ărțiți ȋn grupe de 3 elevi,
grupe eterogene, pentru a rezolva
exercitiile de pe fi șa prin tehnica Kagan
(masa rotunda). Elevul 1 va realiza pasul
1 din rezolvarea ecuatiei (determinarea
coeficientilor), elevul 2 va realiza pasul 2
(calcularea discriminantului), elevul 3 va
realiza pasul 3 (calcularea celor doua
radacini), Fiecare elev verific ă dacă elevul
anterior a rezolvat corect sarcina 7 min
activitate pe
grupe
masă
rotund ă
8) Verificarea
cunoștințelor Fiecare elev prime ște o fi șă de evaluare
5 min activitate
individuală munc ă
independe
ntă
9) Încheierea
lecției Tema de cas ă: Fiecare elev prime ște o fi șa
cu ecua ții de gradul al II -lea activitate
frontală explica ția

109
Fișă de lucru

1. Rezolvați următoarele ecuații:
a)
09 102x x
a = , b = , c =
ac b 42
= , deci

b)
0 25 102x x
a = , b = , c =
ac b 42
= , deci

Fișă de evaluare

Fie ecuația ax
2 + bx + c = 0,
Unde a,b,c
 R, a
 0 a b c Rezolvarea ecuației

1.
0232x x

2.
04 42x x

110
Pentru flip -chart
Ecuația de forma ax
2 + bx + c = 0, unde a,b,c

R, a
 0
Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II -lea
parcurgem urmatorarele etape:
Pas 1: Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
Pas 2: Calcul ăm discriminantul ecuației dup ă
formula:
ac b 42
Pas 3: Natura solu țiilor ecuației depind de
valoarea discriminantului, astfel:
 Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții reale
 Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă soluții
egale
abx x22 1
 Dacă Δ> 0 atunci ecuația are dou ă soluții
diferite
abxabx2;22 1

111
Anexa 4
PROIECT DIDACTIC

ȘCOALA GIMNAZIALĂ TĂȘNAD
PROFESOR : Stier Ildiko
OBIECTU L: Matematică -Algebra
CLASA a VIII -a B
UNITATE DE ÎNVĂȚARE : Ecuații și inecuații
SUBIECTUL : Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau
sistemelor de ecuații
TIPUL LECȚIEI : fixare și sistematizare de cunoștințe
COMPETENȚE SPECIFICE:
– Identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor sau a sistemelor de
ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea rezu ltatului obținut.
OBIECTIVE OPERAȚIONALE :
Elevii clasei vor fi capabili:
– Să transcrie în limbaj matematic diferite situații -problemă
– Să resolve ecuații sau sisteme de ecuații
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE : conversația, explicație,
rezolvare de probleme,

FORME DE ORGANIZARE : frontal,pe grupe, individuală
MIJLOACE DIDACTICE : tablă, cretă,flip chart ,marker, fisa de lucru

112
Desfășurarea lecției
Momentele
lectiei Activitate didactică Metode
didactice Forme de
organizare
Moment
organizatoric
3min Trecera absenților

Organizarea clasei pe grupe omogene

Verificarea temei Conversație Frontal

Reactualizarea
cunostințelor
anterior
dobăndite
5min Profesorul cere elevilor să scrie pe tablă
etapele rezolvării problemelor cu ajutorul
ecuațiilor și a sistemelor de ecuații. conversație frontală
Asigurarea
feed-backului
30min Profesorul împarte fisele de lucru grupelor.
Elevii rezolvă problemele (15min)

Din fiecare grupă un elev prezintă clasei
rezolvările problemelor .(15min)
Celelalte grupe sunt atenți și fac aprecieri
asupra rezolvării problemelor.
Grupa 1.
1. Într-o clasă sunt 23 elevi. Stiind că
numărul băieților este cu 5 mai mare ca
numărul fetelor. aflați câți băieți și câte
fete sunt în clasă.
Rezolvare:
x- nr fete, x+5 nr băieți
X+x+5=23
2x=18
x=9 R: 9 fete și 14 băieți
2. Un biciclist a parcurs în trei zile un
traseu cu lungimea de 108 km.În a doua
zi biciclistul a parcurs cu 6 km mai mult
decât în prima zi, iar în a t reia zi
biciclistul a parcurs cu 6km mai mult
decât în a doua zi. Calculați distanța
parcursă în prima zi.
Rezolvare:
I. X
II. X+6
III. X+6+6=x+12
x+x+6+x+12=108
x=30km
Grupa 2.
1. Ana și Bogdan au împreună 7 mere,
iar Ana și Călin au împreună 8 mere. exercițiu Pe grupe

113
Determinați câte me re are Ana,
știind că, împreună cei trei copii au
12 mere.
(E.N. Iunie 2013)
Rezolvare:
A+B=7, B=7 -A
A+C=8, C=8 -A
A+B+C=12→ A+7 -A+8-
A=12→A=3mere
2. Un test conține 10 întrebări. Pentru
fiecare răspuns correct se acordă 5
puncte, iar pentru fiecare răspuns
greșit se scad 2 puncte.Nu se acordă
puncte din oficiu. Un elev a răspuns
la toate cele 10 întrebări și a obținut
36 de puncte. Determinați numărul
de întrebări din test la care acest elev
a răspuns co rrect.
(EN. 2016 Subiect de rezervă)
Rezolvare:
{𝑥+𝑦=10
5𝑥−2𝑦=36⟺{𝑥=8
𝑦=2
Grupa 3.
1. Ion parcurge cu autocarul un drum în
trei zile. În prima zi a parcurs 20%din
drum, în a doua zi 30% din restul
drumului și în a treia zi ultimii 560 de
km din drum.Determinați lungimea
drumului parcurs de Ion în cele trei
zile.
(E.N. Iunie 2014)
I. 20%din x=20
100𝑥=2
10𝑥
II. 30% din rest=30
100∙8
10𝑥=24
100𝑥
III.560km
2
10𝑥+24
100𝑥+560=𝑥
X=1000km

2. Într-un bloc sunt 23 de apartamente
cu câte două sau câte patru camera,în
total având 60 de camera. Câte
apartamente de fiecare fel sunt?
{𝑥+𝑦=23
2𝑥+4𝑦=60⟺{𝑥=16
𝑦=7

Grupa 4.

114
1. Prețul unui televizor s -a mărit cu
10%. După un timp, noul preț al
televizor ului s -a micșorat cu 10%.
După aceste două modificări
televizorul costă 1980 lei. Determinați
prețul inițial al televizorului.
(E.N.Iunie 2011)
I. x+10
100𝑥=110
100𝑥=11
10𝑥
II.11
10𝑥−10
100∙11
10𝑥=1980
X=2000 de lei
2. Andrei și Vlad sunt frați. Suma
vârstelor celor doi frați este 21 de ani.
În urmă cu trei ani, vârsta lui Andrei
era jumătate din vârsta lui Vlad.
a. Ce vârstă are Vlad acum?
b. Peste câți ani vârsta lui Andrei va
fi două treimi din vârsta lui Vlad?
a. x vârsta lui Andrei
y vârsta lui Vlad
{𝑥+𝑦=21
𝑥−3=𝑦−3
2⟺{𝑥=8
𝑦=13
b. 8+𝑡=2
3∙(13+𝑡)⟺𝑡=2𝑎𝑛𝑖

Verificarea
cunoștințelor
10min Elevii rezolvă problemele de pe fisa de
evaluare.
evaluare Individual
2min Tema expunere Frontal

115
GRUPA 1 Fișă de lucru
1. Într-o clasă sunt 23 elevi. Stiind că numărul băieților este cu 5 mai mare ca numărul
fetelor. aflați câți băieți și câte fete sunt în clasă.

2. Un biciclist a parcurs în trei zile un traseu cu lungimea de 108 km.În a doua zi
biciclistul a parcurs cu 6 km mai mult decât în prima zi, iar în a treia zi biciclistul a
parcurs cu 6km mai mult decât în a doua zi. Calculați distanța parcursă în prima zi.
(Model oficial E.N. 2016)
GRUPA 2 Fișă de lucru
1. Ana și Bogdan au împreună 7 mere, ia r Ana și Călin au împreună 8 mere.
Determinați câte mere are Ana, știind că, împreună cei trei copii au 12 mere.
(E.N. Iunie 2013)
2. Un test conține 10 întrebări. Pentru fiecare răspuns correct se acordă 5 puncte, iar
pentru fiecare răspuns greșit se scad 2 puncte.Nu se acordă puncte din oficiu. Un
elev a răspuns la toate cele 10 întrebări și a obținut 36 de puncte. Determinați
numărul de întrebări din test la care acest elev a răspuns correct.
(EN. 2016 Subiect de rezervă)
GRUPA 3 Fi șă de lucru
1. Ion parcurge cu autocarul un drum în trei zile. În prima zi a parcurs 20%din drum, în
a doua zi 30% din restul drumului și în a treia zi ultimii 560 de km din
drum.Determinați lungimea drumului parcurs de Ion în cele trei zile.
(E.N. Iunie 2014 )
2. Într-un bloc sunt 23 de apartamente cu câte două sau câte patru camera,în total având
60 de camera. Câte apartamente de fiecare fel sunt?
GRUPA 4 Fișă de lucru
1. Prețul unui televizor s -a mărit cu 10%. După un timp, noul preț al te levizorului s -a
micșorat cu 10%. După aceste două modificări televizorul costă 1980 lei. Determinați
prețul inițial al televizorului.
(E.N.Iunie 2011)
2. Andrei și Vlad sunt frați. Suma vârstelor celor doi frați este 21 de ani. În urmă cu trei
ani, vârsta lui Andrei era jumătate din vârsta lui Vlad.
c. Ce vârstă are Vlad acum?
d. Peste câți ani vârsta lui Andrei va fi două treimi din vârsta lui Vlad?

116
Fisa de evaluare
1. Suma a două numere este 15,iar diferența este 7.Care sunt cele două numere?
(1,5p)
2. În vacanță, Mihai a economisit o sumă de bani. După ce a cheltuit două cincimi din
această sumă, lui Mihai i -au rămas 72 de lei. Calculați suma de bani pe care a
economisit Mihai în vacanță. (2,5p)
(E.N. Iunie 2016)
3. Pentru afacerea sa, un agricultor a primit de la Fondul European 7200€.Suma i -a
fost plătită în bancnote de 100€ și de 50€, în total 79 bancnote. Câte bancnote a
primit de fiecare fel agricultorul? (3p)

117
Anexa 5
Evaluare
Ecuații pe mulțimea numerelor reale
Cls a VII -a
Subiectul I (scrieți numai rezultatele ) (8x5p=40p)
1. Soluția ecuației x+7=12 este……….
2. Valorea de adevăr a propoziției ,, 5 este soluție a ecuației 2x+1=12” este….
3. Dintre numerele -3 și 3 este soluție a ecuației x+5=2 numărul real ………
4. Soluția ecuației 2x+3=x -5 este……
5. Soluția negativă a ecuației |𝑥+2|=3 este…..
6. Soluțiile ecuației 𝑥2=16 sunt…..
7. Într-o clasă sunt în total 26 de ele vi. Dacă numărul fetelor este cu 2 mai mare decăt
numărul băieților, atunci avem în clasă ……fete și ………băieți.

Subiectul al II -lea (scrieți rezolvările complete) (50p)
1. Rezolvați ecuațiile pe mulțimea numerelor reale:
a. 5(x+2) -3x= 7+5 x
b.
 5)4( 23 32 xx x x
c.)
135
67
45 3 x x x
2. Tatăl și fiul au împreună 48 de ani. Ce vârstă are fiecare dacă tatăl este de trei ori
mai în vârstă decât fiul.
3. Un călător a parcurs , în prima zi,
72 din întregul drum și încă 10km. A doua zi a
parcurs cu 4 km mai puțin decăt
53 din rest, pentru a treia zi i -au mai rămas 80km.
a. Care este lugimea drumului ?
b. Determinați drumul parcurs în prima și în a doua zi.

118

Barem de corectar e:
Subiectul I.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7a. 7b.
5 Fals -3 -8 -5 -4 și+4 14 fete 12 băieți
5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Subiectul II.
1a. 5(x+2) -3x= 7+5x
5x+10 -3x=7+5x …………….3p
5x-3x-5x=7 -10 ………………….3p
-3x=-3 …………………………2p
x=1 ………………………… 2p
Total 10p

1b.
 5)4( 23 32 xx x x
(𝑥+3)(𝑥−3)=𝑥2−9 …………2p
(𝑥+4)2=𝑥2+8𝑥+16…………2p
𝑥2−9+2𝑥=𝑥2+8𝑥+16+5
2𝑥−8𝑥=16+5+9…………..2p
−6𝑥=30…………………………..2p
𝑥=−5………………………………2p
Total 10p

1c.
135
67
45 3 x x x
3(3𝑥−5)−2(𝑥−7)=4(𝑥−5)+12…………………2p

119
9x-15-2x+14=4x -20+12 ………………………….2p
9x-2x-4x=15 -14-20+12 ………………………….2p
3x= -7 …………………………………………………2p
x= -7/3 ……………………………………………….2p
Total 10p

1. Tatăl și fiul au împreună 48 de ani. Ce vârstă are fiecare dacă tatăl este de trei ori
mai în vârstă decât fiul
Notăm cu x vârs ta fiului, atunci tatăl va fi 3x ……………….1p
Scriem ecuația x+3x=48 ……………………………2p
Rezolvare: 4x=48
x=12 ……………………………1p
Răspuns: Fiul 12 ani, tatăl 36 de ani ………. ……..1p
Total 5p

2. Un călător a parcurs , în prima zi,
72 din întregul drum și încă 10km. A doua zi a
parcurs cu 4 km mai puțin decăt
53 din rest, pentru a treia zi i -au mai rămas 80km.
a. Care este lugimea drumului ?
b. Determinați drumul parcurs în prima și în a doua zi.

x-drumul total
a. I. zi 2
7𝑥+10 …………2p
II. zi 3
5(𝑥−2
7𝑥−10)−4 ………….2p
III. zi 80km

2
7𝑥+10+3
5(𝑥−2
7𝑥−10)−4+80=𝑥 ……. 2p
Rezolvare x= 280km …………………………………………4p
Total 10p

b. I zi. 2
7∙280+10=90𝑘𝑚 …………2p
II zi 3
5(280−90)−4=110𝑘𝑚……..3p
Total 5p

120
Anexa 6.
TEST DE EVALUARE
ECUAȚII, INECUAȚII, SISTEME DE ECUAȚII,
PROBLEME Numele și prenumele elevului

……………………………………………………………………………….
Data: ……………………………………………
Clasa a VIII -a ………….
 Din oficiu se acordă 1 0 puncte.
 Timpul de lucru este de 50 minute.

SUBIECTUL I. Pe foaia de test scrieți numai rezultatele (30 puncte)
5p 1. Soluția ecuației 2x+1=7 este egală cu ………..
5p 2. Soluția sistemului de ecuații


37
yxyx este egală cu


………….
yx
5p 3. Soluțiile naturale ale inecuației x+5≤8 sunt
 ….. ………. ……….
5p 4. Trei caiete costă 7,50 lei. Cinci caiete de aceleși fel costă ………..lei.
5p 5. Suma soluțiilor ecuației
41x este egală cu ………..
5p 6. O soluție a ecuației
03 42x x este egal c u ………..
SUBIECTUL II. Alegeți varianta corectă (30puncte)
5p 1. Soluția ecuației 2𝑥+5=2(𝑥−3) este:
a. ∅ b. ℝ c. 0 d. -1
5p 2. Soluția reală a inecuației 4(2x+1)≥2(3x+2) este:
a. (−∞;2) b. (0;+∞) c.[0;+∞) d. (−∞;0]
5p 3. Discriminantul ecuației
03 42x x este egal c u:
a. 16 b. 12 c. 26 d. 4
5p 4.Soluțiile ecuației 𝑥2+3𝑥+2=0 sunt:
a. {1;2} b. {−1;2} c. {−2;−1} d. {−2;1}
5p 5. Soluția sistemului {𝑥+2𝑦=5
𝑥−3𝑦=−5 este:
a.{(2;1)} b. {(1;2)} c. {(−2;1)} d. {(2;−1)}
5p 6. După ce cheltuiește trei sferturi din suma pe care o avea Ionuț mai are 11 lei .
Ionuț a avut inițial suma de :
a. 33 lei b. 22 lei c. 44 lei d. 36 lei

SUBIECTUL I II. Pe foaia de test scrieți litera corespunzăt oare rezultatului corect (30 puncte)
5p 1. Rezolvați ecuația pe mulțimea numerelor reale
135
67
45 3 x x x

5p 2. Rezolvați inecuația pe mulțimea numerelor reale:
(x-2)2 -6˂(x+1)2-5
5p 3. Rezolvați sistemul de ecuații {2𝑥+3𝑦=5
−2𝑥+𝑦=−1

5p 4. Rezolvați ecuația 𝑥2+𝑥−2=0.

121
5p 5. Într-o clasă sunt 27 elevi. Știind că numărul băieților este cu 3 mai mare ca numărul
fetelor, aflați câți băieți și câte fete sunt în clasă.

5p 6 . Din cele 180de garoafe pe care le are, o florăreasă realizează 50 de buchete de câte trei,
respective, cinci garoafe. Câte buchete de fiecare fel a realizat?

Barem de corectare:
Subiectul I.
Nr item 1 2 3 4 5 6
Rezultatul 3 (5,2) 0,1,2,3 12,50 2 -1 sau -3
Punctaj 5p 5p 5p 5p 5p 5p

Subiectul II
1. a … 5p
2.b … 5p
3.d … 5p
4.c … 5p
5.b … 5p
6.c … 5p
Subiectul III.
Nr
problemă Rezolvare Punctaj
1.
135
67
45 3 x x x

3(3𝑥−5)−2(𝑥−7)=4(𝑥−5)+12

2p

9𝑥−2𝑥−4𝑥=15−14−20+12
1p
3𝑥=−7 1p
Finalizare:
𝑥=−7
3 1p
2. (x-2)2 -6˂(x+1)2-5
(𝑥−2)2=𝑥2−4𝑥+4

1p

(𝑥+1)2=𝑥2+2𝑥+1 1p
−4𝑥+4−6<2𝑥+1−5 1p

122
−6𝑥<−2
𝑥>1
3 1p

Finalizare 𝑥∈(1
3;+∞) 1p
3. {2𝑥+3𝑦=5
−2𝑥+𝑦=−1
4𝑦 =4 ⟺𝑦=1

2p
2𝑥+3=5⟺𝑥=1
2p
Finalizare : 𝑆={(1,1)} 1p
4. 𝑥2+𝑥−2=0
∆=1+8=9

1p

𝑥1=−1+3
2=1 2p

𝑥2=−1−3
2=−2 2p
5. Într-o clasă sunt 27 elevi. Știind că numărul
băieților este cu 3 mai mare ca numărul
fetelor, aflați câți băieți și câte fete sunt în
clasă.
Notăm x –nr fetelor
x+3=nr băieților
𝑥+𝑥+3=27
Nr fetelor: 12
Nr băieților: 15

1p

2p
1p
1p
6. Din cele 180de garoafe pe care le are, o florăreasă
realizează 50 de buchete de câte trei, respective,
cinci garoafe. Câte buchete de fiecare fel a realizat?
x-buchete cu trei garoafe
y-buchete cu cinci garoafe
{𝑥+𝑦=50
3𝑥+5𝑦=180
Buchete cu trei garoafe: 35
Buchete cu cinci garoafe: 15

1p

2p

1p
1p

123
Anexa 7.

Școala Gimnazială Tășnad
Localitatea Tășnad, județul Satu Mare
Anul școlar 2018 – 2019 Clasa a VIII -a
Matematică
Prof. Stier Ildiko

Proiectul unității de învățare
Unitatea de învățare : Ecuații și inecuații liniare
Nr. ore alocate: 7
Conținutul Nr.
ore Săptă
mâna C.S. Activități de învățare Resurse Evaluarea
1. Ecuații de forma
ax+b=0, a,b reale.
Aplicaț ii 1
S24
13-
17
III
5.2, 6.2 -rezolvarea ecuatiei de
forma ax+b=0, unde a si b
sunt numere reale
-Determinarea soluțiilor
unor ecuații cu diferite
domenii de valori -Seturi
de
exerciții
scrise pe
tablă
-Manual,
culegere
Fișe de
lucru -Evaluare
frontală;
-Analiza
rezultatelor
obținute de
elevi.
2. Ecuații reductibile la
ecuațiile de forma
ax+b=0, a,b reale. 1 -rezolvarea ecuatiilor
reductibile la ecuatiile de
forma ax+b=0, a,b reale .
-rezolvarea ecuației modul
-rezolvarea ecuațiilor
fracționale.
-determinarea domeniului
de valori a unor ecuații -Manual,
culegere
-Seturi
de
exerciții
scrise pe
tablă.
-Evaluare
frontală.
3. Ecuații de forma
ax+by+c=0 cu a,b,c
reale. . Interpretare
geometrică 1 S25
20-24.
III – interpretarea grafica a
dreptei solutiilor ecuatiei
ax+by+c=0, unde a,b,c
sunt nr reale
– analiza coliniaritatii
punctelor ale caror
coordonate sunt solutii ale
ecuatiei ax+by+c=0, unde
a,b,c sunt nr reale
– explicitarea multimii
solutiilor unei ecuatii de
forma ax+by+c=0, unde
a,b,c sunt nr reale; -Sarcina
scrisă
pe tablă
-Fișe cu
sarcina
de lucru Evaluare
frontală
-Explicarea
și
argumentar
ea modului
de lucru

124
interpretarea rezultatului
obtinut
4. Inecuații de forma
ax+b≥0
(>, <, ≤). 1 – determinarea solutiilor
inecuatiei de forma
ax+b ≥0 (>, <, ≤).
-Identificarea unor
probleme care se rezolvă
cu ajutorul ecuațiilor,
inecuațiilor sau a
sistemelor de ecuații,
rezolvarea acestora și
interpretarea rezultatului
obținut -Sarcina
scrisă
pe tablă
-Fișe cu
sarcina
de lucru Evaluare
frontală
-Explicarea
și
argumentar
ea modului
de lucru
5. Rezolvarea unor
probleme
cu ajutorul ecuațiilor și
inecuațiilor liniare 2 S26
27-31.
III
-rezolvarea ecuatiei de
forma ax+b=0, unde a si b
sunt numere reale -Seturi
de
exerciții
scrise pe
tablă
-Manual,
culegere
-Evaluare
frontală;
-Analiza
rezultatelor
obținute de
elevi.
Test de evaluare 1 S27
3-7
IV Probă scrisă

125
Anexa 8
CHESTIONAR
1. Pentru voi ce înseamnă activitatea de predare a profesorului?
o Explicare
o Discuții
o Exerciții
o Împărtășirea de cunoștințe noi
2. Știți ce înseamnă metoda activ participativă de predare?
o Da
o Nu
3. Dacă la întrebarea 2 ați răspuns cu DA, scrieți exemple de metode activ participative
cunoscute de voi.
…………………………………………………………………….
4. Vă place dacă la orele de matematică sunt folosite metode interactive de predare?
o Da
o Nu
5. Ce vă place la aceste metode interactive? (se pot alege mai multe răspunsuri)
1. Munca în echipă
2. Colaborarea cu colegi
3. Lecții mai interesante
4. Participarea la predarea lecției
5. Folosirea diferitelor mijloace didctice
6. Cât de des credeți că ar trebui să se folosească aceste metode activ -participative la orele
de matematică?
o Foarte mult
o Mult
o Puțin
o Deloc