Ecuații algebrice [617711]

Ecuații algebrice

Definiție.
Se numește ecuație algebrică de necunoscută x, o ecuație de forma
0xf , unde f este
un polinom nenul.
Gradul polinomului f dă gradul ecuației algebrice. Dacă
n
nXa Xaaf  …1 0 ,
0na ,
atunci ecuația are gradul n, iar coeficienții
0 1,…, , a aan n se numesc coeficienții ecuației
algebrice . O ecuație care nu poate fi redusă la o ecuație algebrică prin operațiile de adunare,
înmulțire, ridicare la putere, etc. se numește ecuație transcend entă ( exemplu:
x xx2sin ,
1 lnxx
).
Definiție.
Spunem că
Ca este soluție (rădăcină) a ecuației
0xf , dacă înlocuind x cu a în
ecuație, aceasta se verifică, adică
0af .
Să observăm că dacă a este rădăcină a ecuației
0xf , atunci a este rădăcină și pentru
polinomul f și reciproc. Prin urmare, rezultatele stabilite pentru rădăcinile polinoamelor rămân
valabile și pentru ecuațiile algebrice definite de a cestea. A rezolva o ecuație algebrică înseamnă a –
i determina soluțiile.
Ecuația de gradul unu.
0b ax ,
0a are soluția
abx .
Ecuația de gradul doi.
02 c bx ax ,
0a are soluțiile date de formulele:
abx21
,
abx22 ,
unde
ac b 42 se numește discriminantul ecuației.
Dacă
0 , atunci cele două rădăcini sunt reale și distincte. Dacă
0 , atunci cele două
rădăcini sunt reale și egale. Dacă
0 , atunci cele două rădăcini sunt complexe și conjugate.
Ecuațiile algebrice de grad superior vor fi acele ecuații algebrice având gradul mai mare sau egal
cu trei. Pentru ecuați a de gradul trei matematicianul italian Tartaglia a determinat formula de
rezolvare, iar matematicianul italian Ferrari a determinat formula de rezolvare a ecuației de gradul
patru ( în secolul al XVI -lea ).
Atât pentru ecuația de gradul trei cât și pentru cea de gradul patru, formulele care dau rădăcinile
ecuațiilor se exprimă cu ajutorul radicalilor.

Ecuațiile generale de grad strict mai mare decât patru nu pot fi rezolvate prin radicali (rezultatul
datorat matematicienilor H.Abel și A. Ruffini ).
Ecuația de gradul trei.
02 3 dcx bx ax ,
0a .
Reducem termenul de grad doi prin schimbarea de variabilă
aby x3 , ecuația aducându -se
la forma
03 q px x
. (1)
Pentru a rezolva ecuația ( 1) vom căuta două numere u și v a căror sumă trebuie să fie x, adică
o rădăcină a ecuației ( 1).
Trebuie să avem
 03 qvup vu , care după calcule devine
0 33 3 p uvvuqvu
. Alegem u și v astfel încât
q v u3 3 și
3puv .
Formăm ecuația de grad doi cu soluțiile
3u și
3v ,
0273
2pqzz , care are rădăcinile:
27 4 23 2
13 p q qz u 
și
27 4 23 2
23 p q qz v  .
Rezultă
3 3
11z u
și
3 3
21z v .
Rădăcinile de ordin trei ale unității sunt: 1,
23 1i ,
23 1 2 i . Ținând cont de
relația
3puv , obținem rădăcinile ecuației de grad trei:
vux1
,
v u x2
2 ,
v u x2
3 .
Formulele care dau rădăcinile ecuației sunt cunoscute sub numele de formulele lui Cardan.
În funcție de semnul expresiei
27 43 2p q avem următoarele situații:
1) Dacă
0 , ecuația are trei rădăcini reale dintre care una este dublă;
2) Dacă
0 , ecuația are trei rădăcini reale și distincte;
3) Dacă
0 , ecuația are o singură rădăcină reală și două complexe conjugate.
Ecuația de gradul p atru.
00 12
23
34
4  axaxaxaxa ,
04a .
Împărțim ecuația prin
4a și obținem:
02 3 4 dcx bx axx
, (2)

unde
43
aaa ,
42
aab ,
41
aac ,
40
aad . Căutăm să punem ecuația ( 2) sub forma
 0222
2 C Bx Ax yxax
, (3)
unde y trebuie ales astfel ca trinomul
C Bx Ax2 să fie pătratul unui binom. După
identificarea coef icienților obținem:
422aby A 
,
c ayB și
dyC2 .
Pentru ca
C Bx Ax2 să fie pătratul unui binom trebuie ca
0 42AC B . Se va obține o
valoare
0y pentru care vom avea
2 2 x C Bx Ax . Astfel ecuația ( 3) se va desface în
două ecuații de gradul doi.
Definiție
O ecuație
 0 …1 0 n
nxa xaaxf se numește reciprocă dacă coeficienții simetrici
(coeficienții de pe lângă acele puteri ale lui x ai căror expone nți au o sumă egală cu gradul
ecuației) sunt egali doi câte doi ,
kn ka a ,
n k ,0 , sau sunt numere opuse
kn k a a ,
n k ,0
.
Observații:
1. O ecuație reciprocă de grad impar admite totdeauna ră dăcina -1 sau 1 după cum coeficienții
simetrici sunt egali sau au valori contrare. În acest caz termenii ecuații se pot grupa în
binoame de forma
12kn k
kxxa atunci când
kn ka a sau în binoame de forma
12kn k
kxxa
dacă avem
kn k a a . Numărul n fiind impar și
k n2 este impar; prin
urmare
12knx se divide cu
1x , iar
12knx se divide cu
1x .
2. O ecuație reciprocă de grad par care are coeficienții simetrici numere contrare admite ca
rădăcini atât pe 1 cât și pe -1. Termenii ecuației se pot grupa în binoame de forma
12kn k
kxxa
. Deoarece
k n2 este par,
12knx se divide prin
12x .
Când avem de rezolvat o ecuație reciprocă, mai întâi elimină rădăcinile
1 , după care
ajungem întotdeauna la o ecuație reciprocă de grad par care are coeficienții simetrici egali. O
astfel de ecuație are forma
0 …2 1212
12
0 
n nn nbyb yb yb
, (4)
unde
kn kb b2 ,
n k 2,0 .

Pentru rezolvare, împărțim termenii ecuației ( 4) prin
ny și grupăm laolaltă, doi câte doi
termenii care au coeficienții simetrici egali. Notăm
xyy1 și exprimăm
kk
yy1 ,
n k ,2
în funcție de x. Pentru aceasta folosim relația de recurență
x ux xuxun n n 2 1  
,
2n (5)
unde
kk
kyy xu1 ,
n k ,0 . Astfel ecuația ( 4) se reduce la rezolvarea ecuației de grad n
0xun
, obținându -se rădăcinile
nx xx ,…,,2 1 . Pentru a afla rădăcinile ecuație i (4) avem de
rezolvat
11xyy
,
21xyy ,…,
nxyy1 ,
care dau cele 2 n rădăcini căutate.

Exerciții .
1. Să se rezolve ecuația
0 196 42 92 3 x x x .
Facem schimbarea de variabilă
3y x și obținem ecuația
0 124 153y y . Obținem
15p
,
124q . Calculăm
22 3
63 39692 3q p . Rezultă
1 63 623u ,
5 63 623v
.
Soluțiile ecuației în necunoscuta y sunt
41  vuy ,
3322
2 i v u y  ,
3322
3 i v u y 
. De aici, obținem soluțiile ecuației inițiale:
71x ,
3312 i x
,
3313 i x .
2. Să se rezolve ecuația
02 22 3 4 5 xxxxx .
Se observă că ecuația este re ciprocă de grad impar. Rezultă că admite rădăcina
11x .
Împărțim polinomul
2 22 3 4 5 xxxxx la
1x , folosind schema lui Horner, și
obținem câtul
2 2 22 3 4 xx xx . Rezolvăm ecuația reciprocă de grad par
02 2 22 3 4 xx xx
. Împărțim ecuația prin
2x și obținem, după gruparea termenilor
corespunzători, ecuația
021 1222xxxx . Notăm
xxy1 . Atunci
21 2
22 yxx
. Rezultă ecuația
02 22y y cu soluțiile
417 1
1y și
417 1
2y .

Rezolvăm ecuațiile
11yxx și
21yxx , și obținem
8172 46 17 1
2ix ,
8172 46 17 1
3ix
,
8172 46 17 1
4ix ,
8172 46 17 1
5ix .
3. Să se rezolve ecua ția :
01 5 2 52 3 4 x x x x .
Ecua ția dat ă este o ecua ție simetric ă de gradul patru. Cum x = 0 nu e ste soluție, ecuația este
echivalent ă cu ecua ția
02151
22xxxx . Se noteaz ă
xxy1 . Atunci
21 2
22 yxx
. Rezultă ecuația
0 52y y cu soluțiile
01y și
52y . Rezolvăm
ecuațiile
11yxx și
21yxx , și obținem
ix1 ,
i x2 ,
221 5
3x ,
221 5
4x
.
4. Să se rezolve ecua ția :
02 3 4 3 22 3 4 x x x x .
Cum
0x nu este solu ție a ecua ției date, se împarte cu
2x și se ob ține ecua ția
04131222xxxx
. Se noteaz ă
xxy1 . Atunci
21 2
22 yxx . Rezultă
ecuația
0 3 22y y cu soluțiile
01y și
23
2y . Rezolvăm ecuațiile
11yxx și
21yxx
, și obținem
11x ,
12x ,
23x ,
21
4x .
Definiție. Ecuația ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, unde a, b, c, d, e
 R, a
 0 , b  0 și
2
bd
ae
se numește ec uație reversibilă de gradul patru. Acest tip de ecuații se reduc la
ecuații de gradul al doilea utilizând substituția
bxdxt .
5. Să se rezolve ecua ția
04 2 62 3 4 x x xx .
Se observ ă că
2
12
14 și prin urmare ecua ția este o ecua ție reversibil ă de gradul patru.
Cum
0x nu este sol uție, se împarte la
2x și se ob ține ecua ția
062 4
22xxxx .
Se noteaz ă
xxy2 . Atunci
44 2
22 yxx . Rezultă ecuația
022y y cu soluțiile
21y
și
12y . Rezolvăm ecuațiile
11yxx și
21yxx , și obținem
3 11x ,
3 12x
,
13x ,
24x .
6. Să se determine parametrul real a astfel încât ecuația
03 5 5 32 3 4 x axx x să aibă
toate rădăcinile reale.

Observăm că ecuația este reciprocă de grad par. Împărțim ecuația prin
2x și obținem, după
gruparea termenil or corespunzători, ecuația
0151322 axxxx . Notăm
xxy1 .
Atunci
21 2
22 yxx . Rezultă ecuația
06 5 32 ay y . Deoarece soluțiile ecuației în x
sunt reale, rezultă că discriminantul ecuației în y este mai mare s au egal cu 0, iar soluțiile
ecuației sunt în modul mai mari sau egale cu 2.
1297, 0 12 97 a a . Studiem
cazurile: 1)
2 ,2 1yy , 2)
2 ,2 1yy , 3)
21y ,
22y . 1) Considerăm ecuația în
necunoscuta z cu rădăcinile
21 1yz ,
22 2y z ,
0 16 17 32 az z . În cazul
0 ,2 1zz
avem condițiile
0z ,
0zS ,
0zP . Cum
317zS , acest caz este imposibil. 2)
Considerăm ecuația în necunoscuta z cu rădăcinile
21 1yz ,
22 2y z ,
04 7 32 az z
. În cazul
0 ,2 1zz avem condițiile
0z ,
0zS ,
0zP . Cum
37zS
, acest caz este imposibil. 3) Considerăm ecuația în necunoscuta z cu rădăcinile
22
11
1yyz
,
22
22
2yyz ,
 0 16 18 2 42 az a z a . În cazul
0 ,2 1zz avem
condițiile
0z ,
0zS ,
0zP , echivalente cu
16,a .
7. Să se rezolve ecuația
03 4 36 4 32 3 4 x x x x .
Împărțim ecuația prin
2x și obținem, după gruparea termenilor corespunză tori, ecuația
036141322xxxx
. Notăm
xxy1 . Atunci
21 2
22 yxx . Rezultă
ecuația
034 4 32y y , cu soluțiile
321y și
332
2y . Pentru ecuația inițială se
obțin soluțiile:
231x ,
232x ,
33x ,
33
4x .
8. Să se rezolve ecuația
0 16 82 3 4 bx axx x și să se determine parametrii reali a și b
știind că rădăcinile ecuației sunt numere reale negative.

Fie
ix ,
4,1i rădăcinile ecuației date. Formăm ecuația cu rădăcinile
i i x y ,
4,1i , care
este
0 16 82 3 4 by ayy y . Observăm că
4
43214 3 2 1
4yyyyy y yy , adică
24 3 2 1  y y yy
. De ai ci
2ix ,
4,1i și
24a ,
32b .
9. Fie
2,2 ,ba . Arătați că rădăcinile ecuației
 01 22 3 4 xba x ab xba x
au modulul egal cu 1.
Împărțim ecuația prin
2x și obținem, după gruparea termenilor corespunzători, ecuația
 021 1
22 abxxbaxx
. Notăm
xxy1 . Atunci
21 2
22 yxx . Rezultă
ecuația
 02 abyba y , cu soluțiile
ay1 și
by2 . Analizăm doar situația
xxa1 ,
cealaltă fiind asemănătoare.
I. Dacă
2a , atunci
12 1xx și deci
12 1x x .
II. Dacă
2a , atunci
12 1xx și deci
12 1x x .
III. Dacă
2,2a , atunci ecuația are rădăcini complexe conjugate, deoarece
042a
. Fie
ivux1 și
ivux2 . Cum
1 12 2
21  v u xx , rezultă că
12 2
2 1  v u x x .
10. Să se arate că ecuația
01 2 …3 1 2 …4 2  n x x x n x x xx are toate
rădăcinile reale.
Fie
1 2 …3 1 2 …4 2  n x x x n x x xxxf . Pentru
Nk ,
1 0 nk ,
avem
1 2…11…1 2 2  kn k k f și
1 2…11…1 2 2 2  kn k k f
, de unde obținem prin înmulțirea relațiilor
  01 21 2…11…1 2 1 2 2 2 22 kn kn k k k fk f
. Rezultă
că polinomul are cel puțin o rădăcină în intervalul
 k k 2,2 2 ,
1 0 nk , adică f are
cel puțin n rădăcini reale. Cum f are gradul
1n rezultă că f are toate rădăci nile reale,
neputând avea doar una complexă.
11. Să se rezolve ecuația
013 5 6 7 xxxx .
Fie
R-C , rădăcina de ordin trei a unității, adică
13 și
 13 5 6 7 xxxxxf .
Observăm că
 01 12 3 5 6 7 f și
012 f , adică
ecuația admite rădăcinile
, ,, , deci f se divide cu
1 12 2 xx x x . Efectuând
împărțirea și scriind teorema împărțirii cu rest obținem

1 1 12 3 2 2 xx xx x x xf. Pentru rezolvarea ecuației
012 3xx folosim
formulele lui Cardano. Facem schimbarea de variabilă
31y x și obținem ecuația
02725
31 3y y
. Obținem
31p ,
2725q . Calculăm
22 3
1869
2 3q p . Rezultă
3
1869
5425u
,
3
1869
5425v .
Soluțiile ecuației în necunoscuta y sunt
vuy1 ,
v u y 2
2 ,
v u y 2
3 . De
aici, obținem soluțiile ecuației inițiale.
12. Se consideră polinomul
kn
kXknf

0 11 . Să se arate că ecuația
xf xf2 2 nu are
rădăcinile reale.
Dacă
kn
kkXa f

0 este un polinom cu coeficienți nenegativi atunci pentru fiecare x real,
aplicând inegalitatea Cauchy -Buniakovski avem:
 2 2
0 02
021 xf f xa a xa a xfkn
kkn
kkk
kn
kk 





   
  
. Dar
 1111
0
n
knf . Atunci
xf xf2 2
adică ecuația nu are soluții reale.