ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR CU COEFICIENTI CONSTANTI PROBLEMA CAUCHY ASOCIATA UNEI ECUATII LINIARE DE ORDIN SUPERIOR Pentru inceput este… [617404]

GEORGESCU HORIA -GEORGE
MASTER TCSI ANUL 1 2017
ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR CU COEFICIENTI
CONSTANTI
PROBLEMA CAUCHY ASOCIATA UNEI ECUATII LINIARE DE ORDIN
SUPERIOR

Pentru inceput este absolut necesar sa prezentam forma generala a unei
ecuatii diferentiale de ordin superior cu coeficienti constanti:
𝑥(𝑛)+𝑎1𝑥(𝑛−1)+⋯+𝑎𝑛−1𝑥′+𝑎𝑛𝑥=𝑓(𝑡)
Unde 𝑓:𝐼→ℝ este o functie continua , 𝑎𝑖∊ℝ,𝑖=1,𝑛.
In cazul in care 𝑓(𝑡)=0, avem ecuatia omogena :
𝑥(𝑛)+𝑎1𝑥(𝑛−1)+⋯+𝑎𝑛−1𝑥′+𝑎𝑛𝑥=0 (∗)
In cele ce urmeaza ne propunem sa rezolvam ecuatia omogena , determinand
ulterior o solutie particulara care sa verifice anumite relatii.
Definim polinomul caracteristic asociat ecuatiei (*) :
𝑃(𝜆)=𝜆𝑛+𝑎1𝜆𝑛−1+⋯+𝑎𝑛−1𝜆+𝑎𝑛=0
Remarca:
Observam ca 𝑥(𝑡)=𝑒𝜆𝑡 este solutie a ecuatiei (*) daca este derivabila de n ori
si verifica ecuatia omogena. Cum exponentiala este infinit derivabila, avem:
𝑥(𝑛)+𝑎1𝑥(𝑛−1)+⋯+𝑎𝑛−1𝑥′+𝑎𝑛𝑥=0< = >
(𝑒𝜆𝑡 )(𝑛)+𝑎1(𝑒𝜆𝑡 )(𝑛−1)+⋯+𝑎𝑛−1(𝑒𝜆𝑡 )′+𝑎𝑛𝑒𝜆𝑡 =0< = >
𝜆𝑛𝑒𝜆𝑡+𝑎1𝜆𝑛−1𝑒𝜆𝑡+⋯+𝑎𝑛−1𝜆𝑒𝜆𝑡+𝑎𝑛𝑒𝜆𝑡=0 < = >
𝑒𝜆𝑡𝑃(𝜆)=0 < = >
𝑃(𝜆)=0.
Ca atare, un prim pas catre aflarea solutiilor unei ecuatii omogene conta in
determinarea radacinilor polinomului asociat ecuatiei (*).
Fie 𝜆1,…,𝜆𝑘 radacinile ecuatiei 𝑃(𝜆)=0 , radacini cu multiplicitatile 𝑚1,…,𝑚𝑘 .
Un sistem fundamental de solutii este de forma urmatoare:
1){𝑒𝜆1𝑡,𝑡𝑒𝜆1𝑡,…,𝑡𝑚1−1𝑒𝜆1𝑡
…
𝑒𝜆𝑘𝑡,𝑡𝑒𝜆𝑘𝑡,…,𝑡𝑚𝑘−1𝑒𝜆𝑘𝑡

In cazul in care 𝑃(𝜆) admite solutii complexe de forma 𝜆𝑗=𝑎𝑗±𝑏𝑗𝑖 , j=1,k ,
tinem cont de relatia 𝑒𝑖𝑎=𝑐𝑜𝑠𝑎+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎 (𝐿.𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟) si avem :
𝑒𝜆𝑡=𝑒(𝑎+𝑏𝑖)𝑡=𝑒𝑎𝑡∙𝑒𝑖𝑏𝑡=𝑒𝑎𝑡(cos(𝑏𝑡)+𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑡))
Deci, avem urmatorul sistem fundamental de solutii :
2)
{ 𝑒𝑎1𝑡cos(𝑏1𝑡),…,𝑡𝑚1−1𝑒𝑎1𝑡cos (𝑏1𝑡)
𝑒𝑎1𝑡sin(b1t),…,𝑡𝑚1−1𝑒𝑎1𝑡sin(𝑏1𝑡)
…
𝑒𝑎𝑠𝑡cos(𝑏𝑠𝑡),…,𝑡𝑚𝑠−1𝑒𝑎𝑠𝑡cos (𝑏𝑠𝑡)
𝑒𝑎𝑠𝑡sin (bst),…,𝑡𝑚𝑠−1𝑒𝑎𝑠𝑡sin (𝑏𝑠𝑡)
Unde 𝑚𝑗,𝑗=1,𝑠 reprezinta multiplicitatile radacinilor complexe respective.
Definim drept solutie a ecuatiei omogene (*) orice combinatie liniara intre
elementele sistemelor 1) si 2).
EXEMPLE:
Rezolvati urmatoarele ecuatii diferentiale:

i) 𝑥"−𝑥=0

Avem 𝑃(𝜆)=𝜆2−1
𝑃(𝜆)=0 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑠𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑐𝑎 (𝜆−1)(𝜆+1)=0

Obtinem solutiile 𝜆1=1 ,𝜆2=−1,𝑚1=1,𝑚2=1.

Sistemul fundamental de solutii este S={ 𝑒𝑡,𝑒−𝑡}

Deci, 𝑥(𝑡)=𝑐1𝑒𝑡+𝑐2𝑒−𝑡

ii) 𝑥′′′−3𝑥′′+3𝑥′−𝑥=0

𝑃(𝑟)=𝑟3−3𝑟2+3𝑟−1
𝑃(𝑟)=0=>(𝑟−1)3=0
Obtinem solutiile 𝑟1=1 ,𝑚1=3.

S={𝑒𝑡,𝑡𝑒𝑡,𝑡2𝑒𝑡}

In concluzie, 𝑥(𝑡)=𝑐1𝑒𝑡+𝑐2𝑡𝑒𝑡+𝑐3𝑡2𝑒𝑡

iii) 𝑥′′′+𝑥′′=0
𝑃(𝑟)=𝑟3+𝑟2
𝑃(𝑟)=0=>𝑟2(𝑟+1)=0
Obtinem solutiile 𝑟1=0 ,𝑟2=−1 ,𝑚1=2 ,𝑚2=1.

S={𝑒0𝑡,𝑡𝑒0𝑡,𝑒−𝑡}={1,𝑡,𝑒−𝑡}

In concluzie, 𝑥(𝑡)=𝑐1+𝑐2𝑡+𝑐3𝑒−𝑡.

iv) 4𝑥′′−8𝑥′+5𝑥=0
𝑃(𝑟)=4𝑟2−8𝑟+5
𝑃(𝑟)=0=>4𝑟2−8𝑟+5=0
𝛥=64−80=−16

𝑟1,2=8±4𝑖
8=1±1
2𝑖
Fixam 𝑟=1+1
2𝑖
𝑆={𝑒𝑡cost
2,etsin𝑡
2)
In concluzie, 𝑥(𝑡)=𝑐1𝑒𝑡cos𝑡
2+𝑐2𝑒𝑡sin𝑡
2 .

PROBLEMA CAUCHY ASOCIATA UNEI ECUATII LINIARE CU
COEFICIENTI CONSTANTI

Problema Cauchy consta in determinarea unei solutii particulare care sa verifice
relatiile de tipul 𝑥(𝑡0)=𝑎 ;𝑥′(𝑡0)=𝑏.
Exemplu:
Rezolvati urmatoarea problema Cauchy:
{𝑥′′−5𝑥′+4𝑥=0
𝑥(0)=1
𝑥′(0)=4
𝑃(𝑟)=𝑟2−5𝑟+4
𝑟1=1,𝑟2=4,𝑚1=𝑚2=1
Sistemul fundamental de solutii este 𝑆={𝑒𝑡,𝑒4𝑡}.
Deci, solutia generala a ecuatiei este 𝑥(𝑡)=𝑐1𝑒𝑡+𝑐2𝑒4𝑡.
𝑥′(𝑡)=𝑐1𝑒𝑡+4𝑐2𝑒4𝑡
𝑥(0)=1=>𝑐1+𝑐2=1
𝑥′(0)=4=>𝑐1+4𝑐2=4
Ca atare 𝑐1=0 𝑠𝑖 𝑐2=1.
Solutia particulara este 𝑥(𝑡)=𝑒4𝑡.