Argument … .3 [617296]

2
CUPRINS
Argument …………………………………………………………………………………… .…3
CAPITOLUL I
I.Polinoame cu coeficienți ȋntr -un corp ………………………………………………………………………. 4
I.1.Inele și domenii de integritate ………………………………………………………………4
I.2. Polinoame cu coeficienți ȋntr -un inel ……………………………………………………..11
I.3. Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți într -un corp ……………………………………18
I.4. Teorema fundamentală a algebrei …………………………………………………………30
CAPITOLUL II
II Rezolvarea ecuațiilor algebrice …………………………………………………………….33
II.1 Rezolvarea ecuației de gradul I …………………………………………………………..33
II.2 Rezolvarea ecuației de gradul II ………………………………………………………….33
II.3 Relații între rădăcini și coeficienți ………………………………………………………..35
II.4 Rezolvarea ecuației de gradul III …………………………………………………………37
II.5. Rezolvarea ecuației de gradul IV ……………………………………………………….. 41
II.6. Ecuații de grad superior …………………………………………………………………. 44
CAPITOLUL III
III Aproximarea rădăcinilor ecuațiilor algebrice ……………………………………………… 51
III.1.Separarea rădăcinilor prin metoda șirului lui Rolle …………………………………….. 51
III.2. Metoda iterativă a tangentei ……………………………………………………………. 52
CAPITOLUL IV
IV. Aspecte metodice ale rezolvării ecuațiilor algebrice …………………………………….. 56
IV.1.Aplicații ………………………………… ……………………………………………… 56
IV.2. Proiect didactic clasa a VIII -a………………………………………………………….. 80
IV.3. Proiect didactic clasa a X -a…………………………………………………………….. 90
Anexa 1 ………………………………………………………………………………………. 95
Anexa 2 ……………………………………………………………………………………….9 7
CONCLUZII ………………………………………………………………………………….9 9
BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………………………… ..100

3
ARGUMENT

Matematica contribuie esen țial la educarea memoriei, atenției, voinței, imaginaț iei,
la amplificarea setei de cunoaș tere și are un rol important în educa ția estetic ă a celor ce o
studiaz ă. Algebra este una dintre ramurile cele mai importante ale matematicii, cunosc ând
ȋn timp o dezvoltare foarte accentuat ă. Problematica de care se ocupa a devenit mai vasta și
mai variat ă.
Scopul lucrării este de a încerca rea lizarea unei colecții de aplicații legate de
ecuațiile algebrice, un material care să arate că algebra este apropiată de realitate și să
convingă de interesul și aplicabilitatea ei. O cunoaștere aprofundată a conceptelor teoretice
poate duce la conceperea de către profesor a unor lecții atractive ȋn care noțiunile sunt
însoțite permanent de aplicații și exemple. Profesorul are rolul de a -l face pe elev să fie
convins că, matematica, ca o disciplină reală, poate fi aplicată la diverse discipline.
Parcurger ea unui text matematic, prin definițiile sau teoremele introduse, trebuie să
capete un suport intuitiv și să fie legate de noțiunile deja cunoscute prin exemple și
contraexemple. Astfel, se are în vedere și latura didactică, pun ându-se accent pe noțiunile
care au legătură directă cu matematica studiată în învățământul preuniversitar.
Începȃnd din clasele primare cȃnd elevii studiază primele noțiuni despre
necunoscute, continuȃnd cu gimnaziu cȃnd aceste necunoscute sunt puse sub forma unor
ecuații de gradul I sau II, apoi cu liceul unde gradul ecuațiilor crește la III, IV sau grad
superior și aprofundȃnd ȋn ȋnvățămȃntul universitar, cei pasionați de matematică, aspectele
privind rezolvarea ecuațiilor algebrice sunt considerate o temă complexă studiată gradua l.
Prin această lucrare se pune accent pe noțiunile despre ecuații care au legătură
directă cu matematica studuată ȋn ȋnvățămȃntul preuniversitar. Lucrarea este structurată pe
capitole, astfel: primele trei capitole reprezentȃnd partea teoretică conțin co nceptele
teoretice legate de polinoame cu coeficienți ȋntr -un corp, metode de rezolvare a ecuațiilor
algebrice și aproximarea rădăcinilor ecuațiilor algebrice; capitolul patru constȃnd ȋn aspect
metodice ale rezolvării ecuațiilor algebrice avȃnd ca și conț inut aplicații rezolvate ale
acestor noțiuni și proiecte didactice.

4
CAPITOLUL I
I.Polinoame cu coeficienți ȋntr -un corp
I.1.Inele și domenii de integritate
Mulțimea Z a numerelor ȋntregi ȋnzestrată cu operațiile de adunare ṣi de ȋnmulțire a
servit ca bază aritmeticii, dar ṣi algebrei, ȋn care prin preluarea diferitelor proprietăți ale
acestei mulțimi, s -au construit structuri noi.
I.1.1 Definiție: Se nume ṣte inel , o mulțime nevidă R, ȋnzestrată cu două legi de
compoziție notate de obicei aditiv ṣi multiplicativ, astfel ȋnc ât:
a) R are o structură de grup abelian ȋn raport cu legea aditivă;
b) R are o structură de semigrup ȋn raport cu legea multiplicativă;
c) Legea multiplicativă este distributivă ȋ n raport cu legea aditivă .
Pentru a nu complica scrierea, a tunci cȃnd este posibil, vom folosi notațiile "+" ṣi "•"
pentru cele două legi de compoziție , prin analogie cu cele două operații din mulțimea
numerelor ȋntregi . Convenim de asemenea să scriem ab ȋn loc de a•b. Elementul neutru al
operației aditive ȋl vom nota cu 0. Simetricul elementului a ȋl notăm cu -a ṣi ȋl numim
opusul lui a, iar ȋn loc de a+(-b) notăm pe scurt a-b. Condiția c) din definiție se scrie:
𝑎(𝑏 + 𝑐)=𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 ș𝑖 (𝑎 + 𝑏)𝑐=𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 ,
pentru orice elemente a, b, c ale inelului R.
În teoria generală a inelelor se consideră și alte sisteme de axiome pentru structura
de inel, diferite de cele de mai sus. De exemplu, condiția de asociativitate a operației
multiplicative este eliminată iar un inel care satisface și această condiție este numit inel
asociativ. Altă variantă adaugă sistemului de axiome din definiția 1.1 condiția ca operația
multiplicativă să aibă element unitate. Păstrând sistemul de axiome din definiția 1.1, un
inel în care operația multiplicativă are element unitate va fi numit inel cu unitate sau inel
unitar iar elementul său unitate, atunci când nu există pericolul unei confuzii va fi notat cu
1.
Dacă legea de compoziție multiplicativă a inelului R este comutativă, atun ci
inelul R se numește inel comutativ.
Pe o mulțime R formată dintr -un singur element a se poate defini o singură
structură de inel, pun ând a+a =a•a=a. În acest caz a=1=0 și R se numește inel nul. Un inel
care conține cel puțin două elemente se numește inel nenul.

5
Dacă R este un inel unitar, atunci elementele lui R simetrizabile în raport cu
operația multiplicativă se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului R. Inversul
sau simetricul lui a se notează 𝑎−1 . Mulțimea unităților inelului R se notează cu U(R) și,
așa cum este cunoscut din cazul monoizilor , U(R) are o structură de grup în raport cu
operația multiplicativă. Acest grup va fi numit grupul multiplicativ al elementelor
inversabile ale inelului R. Elementul unitate 1 al inelului R este una din unitățile inelului R
și are rol de element neutru în grupul U(R).
Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecințe care de obicei sunt
numite reguli de calcul într-un inel.
I.1.2 Propoziție: Dacă R este un inel, atunci :
1) 𝑎0=0𝑎=0, pentru orice a ∈ R;
2) 𝑎(−𝑏)= (−𝑎)𝑏=−(𝑎𝑏) ș𝑖 (−𝑎) (−𝑏) = 𝑎𝑏, pentru orice a, b ∈ R;
3) 𝑎(𝑏−𝑐)= 𝑎𝑏−𝑎𝑐 ș𝑖 (𝑎−𝑏)𝑐=𝑎𝑐−𝑏𝑐, pentru orice a, b,c ∈ R;
4) a 𝑏𝑖𝑛
𝑖=1 = 𝑎𝑏𝑖𝑛
𝑖=1 , 𝑎𝑖𝑛
𝑖=1 b= 𝑎𝑖𝑏𝑛
𝑖=1 , unde n∈N, a, b, 𝑎1, …𝑎𝑛, 𝑏1,
…..𝑏𝑛 ∈ R. În particular a(nb)=(na) 𝑏=n (ab) ;
5) 𝑎𝑖𝑛
𝑖=1 • 𝑏𝑗𝑚
𝑗=1 = 𝑎𝑖𝑚
𝑗=1𝑛
𝑖=1 𝑏𝑗 unde n, m ∈ N, 𝑎1, …𝑎𝑛, 𝑏1, …..𝑏𝑛 ∈ R;
6) Dacă R este un inel comutativ, a și b sunt elemente din R și n ∈ N, atunci are loc
formula Binomului lui Newton:

( 𝑎+𝑏)n = 𝐶𝑛𝑖𝑛
𝑖=0 an-i bi .
Demonstrație: În relațiile 4), 5), și 6) se păstrează notațiile făcute în cadrul
grupurilor pentru produse (sume) iterate și puteri (multipli). Din relația 0 + 0 = 0 rezultă a
(0+0)= a0 sau a0 + a0 = a0 și adunând în ambii membrii – (a0) se obține a0=0. Analog se
demonstrează relația 0a=0. Din relația b + ( – b) = 0 rezultă a(b + ( -b))=a0 sau ab+a( -b)=0
de unde a( -b) = – (ab). Analog se arată că ( -a)b= -(ab). Dacă în ultima relație înlocuim b
cu –b și ținem seama de proprietatea –(-x)=x, obținem ( -a)(-b)=-(a(-b))= -(-(ab))= ab.
Relația 3) se obține prin calcul :
a (b-c) = a(b+( -c)) = ab+ a ( -c) = ab + ( -(ac))= ab – ac.
Relația 4) se demonstrează prin inducție după n ∈ N. Pentru n=0, relația devine a•0= 0.
Presupun ând egalitatea adevărată pentru un număr natural n.
a 𝑏𝑖𝑛+1
𝑖=1 = a 𝑏𝑖 𝑛
𝑖=1 +𝑏𝑛+1 = a 𝑏𝑖𝑛
𝑖=1 + a𝑏𝑛+1 = 𝑎𝑏𝑖𝑛
𝑖=1 + a𝑏𝑛+1 = 𝑎𝑏𝑖𝑛+1
𝑖=1
.

6
Relația 5) se demonstrează prin inducție după m iar relația 6) se demonstrează prin
inducție dup ă n.
Dacă în inelul unitar R, 1 = 0 atunci R este inel nul. Într -adevăr , pentru orice
element a ∈ R, avem :
a= 1•a = 0•a = 0
Prin urmare, condiția 1= 0 este necesară și suficientă ca un inel să fie nul.
Dacă pentru inelul unitar nenul R are loc relația U(R)= R \{0}, atunci R se numește
corp. Dacă în plus inelul este comutativ, atunci spunem că R este corp comutativ. Din
propoziția 1.2 rezultă că dacă în pro dusul ab unul din factori este 0, atunci produsul este 0.
Este posibil și cazul în care produsul este 0 făr ă ca vreunul din factorii săi săa fie 0.Acești
factori se numesc divizori ai lui zero. Mai precis:
I.1.3. Definiție. Elementul 𝑎∈𝑅, se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui
zero dacă există 𝑏∈ 𝐵,𝑏≠0, astfel încât 𝑎𝑏=0 (𝑏𝑎=0).
Dacă inelul R este comutativ, atunci noțiunile de divizor la stânga și divizor la
dreapta al lui zero coincid.
Dacă a∈ R nu este divizor la stînga (la dreapta) al lui 0 și b,c ∈ R, atunci din ab=ac
(ba=ca) rezultă b=c. Într -adevăr, din ab=ac se obține a (b -c)=0, de unde b -c=0 sau b=c.
Analog se demonstrează și pentru cazul al doilea.
I.1.4.Definiție. Un inel R nenul comutativ, unitar și fără divizori ai lui zero diferiți
de zero se numește domeniu de integritate sau inel integru.
Din observația precedentă rezultă că într -un domeniu de integritate, ambii membrii
ai unei egalități pot fi simplificați prin același element nenul.
Să consideră m câteva exemple pentru noțiunile definite până aici.
1. Mulțimea ℤ a numerelor a numerelor întregi în raport cu operațiile obișnuite de
adunare și înmulțire este un inel integru. Unitățile acestui inel sunt 1 și -1.
2. Mulțimile ℚ,ℝ,ℂ în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire sunt
corpur i comutative.
3. Mulțimea Z 𝒊 = {𝑧∈𝐶|𝑧=𝑚+𝑛𝑖;𝑚,𝑛 ∈𝑍} în raport cu operațiile obișnuite de
adunare și înmulțire a numerelor complexe este un domeniu de integritate. Unitățile acestui
inel sunt +1, -1, +i, -i. Inelul Z 𝒊 poartă numele de inelul întregilor lui Gauss. Așa cum
vom vedea în capitolul VI inelul Z 𝒊 mai are și alte proprietăți asemănătoare cu
proprietățile inelului Z.

7
4. Fie A și B două inele în care operațiile sunt notate cu "+" și "•". Produsul cartezian
A×B se poate înzestra în mod natural cu o structură de inel, definind:
(𝑎,𝑏) + (𝑐,𝑑) = (𝑎 + 𝑐,𝑏+ 𝑑)
(𝑎,𝑏) • (𝑐,𝑑) = (𝑎𝑐,𝑏𝑑)
Verificarea axiomelor structurii de inel a lui A ×B nu prezintă nici o dificultate. Inelul
obținut se numește produsul direct al inelelor A și B. Perechea (0,0) este elementul ne utru
la adunare al inelului A ×B . Dacă a ∈𝐴 ș𝑖 𝑏∈𝐵 , atunci elementele
(a, 0) • (0, b) = (0, b) • (a, 0)= (a0, 0b) = (0,0). Dacă A și B sunt inele unitare atunci și
A×B este inel unitar și elementul său unitate este (1, 1). În această pereche prim ul 1
reprezintă unitatea lui A iar al doilea 1 reprezintă unitatea (elementul unitate) al lui B. De
asemenea, dacă A și B sunt inele comutative atunci și produsul direct A ×B este un inel
comutativ. Deoarece în A ×B există totdeauna divizori ai lui 0 (pentru A și B inele
nenule ) rezultă că produsul direct a două corpuri nu este un corp. Este interesant de văzut
cum arată unitățile inelului A ×B.
I.1.5. Propoziție. Dacă A și B sunt inele unitare, atunci: 𝑼( 𝐴×𝐵 ) = 𝑼(𝑨) ×
𝑼(𝑩).
Demonstrație: Dacă a ∈𝑈(𝐴) și b∈ U(B) iar a-1 ∈ A și b-1 ∈ B sunt inversele acestor
elemente în A, respectiv în B, atunci (a, b) • (a-1 , b-1 ) = (a a-1, b b-1) = (1, 1) . Analog, (a-1
, b-1) • (a, b )= (1, 1) deci (a, b) ∈ U( A×B ) și (a, b)-1 = (a, b) • (c, d) = (1, 1) = (c, d)• (a,
b). De aici rezultă ac = ca = 1 și bd = db = 1, adică a ∈𝑈(𝐴) și b ∈ U(B) iar a-1= c, b-1= d.
5. Fie R un inel ș i M o mulțime oarecare nevid ă. Mulțimea RM a funcțiilor definite pe M
și cu valori în inelul R se poate înzestra în mod natural cu o structură de inel, definind
următoarele operații, pentru f și g ∈ RM.:
( 𝑓 + 𝑔 )( 𝑥 ) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥).
Elementul neutru al acestui inel este funcția ơ: M→ R,definită prin ơ(𝑥)=0, pentru orice
x∈ M . Funcția –f: M→R, definită prin ( -f) (x)= -f(x), pentru orice x ∈𝑀 este opusa lui f
(în raport cu structura aditivă definită pe RM). Dacă R este inel unitar, atunci și RM este
inel unitar , având ca element unitate funcția i: M →R , definită prin i(x) = 1, pentru orice x
∈ M. Dacă M conține cel puțin două elemente, atunci în RM există divizori ai lui zero. Într –
adevăr , fie a ∈M fixat și funcțiile f, g : M →𝑅, definite prin :

𝑓(𝑥) = 1,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑥=𝑎
0,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑥≠𝑎 𝑔(𝑥) = 0,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑥=𝑎
1,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑥≠𝑎

8
Funcțiile f și g sunt divizori ai lui zero, deoarece f, g ≠ơ și fg = ơ.
6. Fie R un inel comutativ unitar și ℕ mulțimea numerelor naturale. În afara structurii de
inel definite la 5. mulțimea RN se poate înzestra cu o structură deosebit de importantă.
Operația aditivă se pastrează cea definită la 5 iar ca operație multiplicativă se consideră
următoarea:
(𝑓𝑔) (𝑛) = 𝑓 𝑖 𝑔(𝑗) 𝑖+𝑗=𝑛
Inelul care se obține se numește inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în
inelul R .
7. Dacă R este un inel comutativ și unitar și n ∈ ℕ, atunci mulțimea ℳ𝑛 (R) a matricelor
pătrate de ordin n și cu elemente din R are o structură de inel unitar (necomutativ pentru
𝑛>1 ) în raport cu adunarea și înmulțirea obișnuită a matricelor.
I.1.6. Definiție. Fie A și B două inele . O funcție 𝑓: 𝐴→𝐵 se numește morfis m de
inele dacă pentru orice a și b din A au loc relațiile :
i. 𝑓(𝑎+𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)
ii. 𝑓 𝑎𝑏 = 𝑓 𝑎 𝑓(𝑏)
Dacă A este un inel, atunci aplicația identică a lui A , notată 1𝐴 este un morfism de inele.
Dacă 𝑓: 𝐴→𝐵 și 𝑔: 𝐵→𝐶 sunt morfisme de in ele , atunci g ∘𝑓:𝐴→𝐶 este de
asemenea un morfism de inele.
Din relația i) rezultă căa f este în particular un morfism al grupului (A, +) în grupul (B, +)
și vor fi verificate relațiile: 𝑓(0) = 0,𝑓(−𝑎) = −𝑓(𝑎). În demonstrarea relației f(0) =
0, la grupuri s -a folosit faptul că un element oarecare are simetric în raport cu operația din
grup. Nu același lucru se poate deduce și despre elementele unitate ale operațiilor
multiplicative in care inelele A și B sunt unitare. De exemplu, fun cția 𝑓: ℤ→ℳ2 (ℤ)
definită prin 𝑓(𝑚) = 𝑚 0
0 0 este un morfism de inele dar 𝑓(1) = 10
00 ≠ 10
01
Un morfism de inele unitare care satisface în plus condiția :

iii. f(1) = 1
se numește morfism unitar de inele.
Dacă A și B sunt inele unitare și 𝑓:𝐴 →𝐵 este un morfism de inele, funcție surjectivă,
atunci f este morfism unitar. Într -adevăr, dacă 𝑏∈𝐵, atunci există 𝑎∈𝐴, astfel încât
𝑓 𝑎 = 𝑏. Din egalitățile 𝑎•1 = 1•𝑎 = 𝑎 rezultă 𝑏•𝑓(1)=𝑓(1)•𝑏 = 𝑏. Din
unicitatea elementului unitate al inelului B rezultă 𝑓(1) = 1.

9
I.1.7.Definiție. Fie R un inel și R′ o submulțime nevidă a sa. 𝑅′ se numește subinel
al lui 𝑅 dacă operațiile din 𝑅 induc pe 𝑅′ o structură de inel.
Din definiție rezultă că în particular R′ este un subgrup al gr upului (𝑅,+) și R′ este o
parte stabilă a lui 𝑅 în raport cu operația multiplicativă . Prin urmare condițiile :
1) 𝑎−𝑏∈𝑅′ 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑎,𝑏∈𝑅′
2) 𝑎𝑏 ∈𝑅′ 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑎,𝑏∈𝑅′
sunt condiții necesare pentru ca 𝑅′ să fie un subinel al lui R. Să verificăm că aceste
condiții sunt și suficiente. Din condiția 1) rezultă că 𝑅′ este subgrup al grupului aditiv 𝑅
iar din condiția 2) rezultă că 𝑅′ are o structură de semigrup în raport cu operația
multiplicativă din 𝑅. Distributivitatea operației multiplicative în raport c u operația aditivă
pentru elementele lui 𝑅′ rezultă din aceeași proprietate verificată pentru elementele lui 𝑅.
Pentru orice inel R, mulțimile {0} și 𝑅′ sunt subinele ale lui 𝑅. Inelul nume relor
întregi ℤ este un subinel al inelului ℤ 𝑖 al întregilor lui Gauss. Mulțimea 2 ℤ a numerelor
pare este un subinel al inelului ℤ. Dacă 𝐴 și 𝐵 sunt două inele oarecare , atunci 𝐴× 0 și
0 ×𝐵 sunt subinele ale produsului direct 𝐴×𝐵. Mulțimea matricelor de forma 𝑎𝑏
0𝑐
cu 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 (inel comutativ) formează un subinel al lui ℳ2(𝑅) dar mulțimea matricelor
de forma 0𝑎
𝑏𝑐 nu formează un subinel al lui ℳ2(𝑅) deoarece nu este verificată condiția
2).
I.1.8. Propoziție. Dacă {𝑅𝑖}𝑖∈𝐼 este o familie de subinele ale inelului 𝑅 , atunci
𝑅𝑖𝑖∈𝐼 este de asemenea un subinel al lui 𝑅.
Demonstrație: Să notăm 𝑅𝑖𝑖∈𝐼 = 𝑅′ . 𝑅′ ≠∅ deoarece 0 ∈𝑅′. Dacă 𝑎,𝑏 ∈ 𝑅′
atunci 𝑎,𝑏∈𝑅𝑖 pentru orice 𝑖∈𝐼. 𝑅𝑖 fiind subinel , 𝑎−𝑏∈𝑅𝑖 și 𝑎𝑏∈ 𝑅𝑖 . Deci a – b
∈ 𝑅′ și 𝑎𝑏∈ 𝑅𝑖.
În general o reuniune de subinele, nu este subinel. De exemplu 2 ℤ și 3ℤ sunt
subinele ale lui ℤ dar 2ℤ ∪ 3ℤ nu este subinel pentru că 2,3 ∈ 2ℤ ∪ 3ℤ dar 3−2=1∉
2ℤ ∪ 3ℤ.
Fie R un inel și M o submulțime a sa. Există subinele ale inelului R care includ M , de
exemplu R. Intersecția tuturor acestor subinele este de asemenea un subinel al lui R care
include M. Acest subinel poartă numele de subinelul generat de mulțimea M. Din definiție
rezultă că subinelul generat de mulțimea M este cel mai mic subinel ( în raport cu
incluziunea ) al lui R care include mulțimea M. Subinelul generat de {0} este chiar {0} iar
inelul generat de R este chiar R. În inelul ℤ al numerelor întregi subin elul generat de

10
mulțimea 4,6 este mulțimea numerelor pare. Să justificăm această afirmație. Am
observat că 2Z este subinel al lui 𝑍∙2𝑍⊇ 4,6 . Dacă 𝑅′ este un subinel al lui Z care
conține pe 4 și pe 6, atunci 𝑅′ conține și pe 6 – 4 = 2 și toți multipli i lui 2, adică 𝑅′⊇2𝑍.
I.1.9. Propoziție. Fie 𝑓:𝑅⟶𝑅1, un morfism de inele. Atunci: a) Dacă 𝑅′ este un
subinel al lui R, atunci f( 𝑅′) este subinel al lui 𝑅1. În particular, 𝐼𝑚𝑓=𝑓 𝑅 este subinel
al lui 𝑅1 ; b) Dacă 𝑅1′ este subinel al lui 𝑅1, atunci 𝑓−1 𝑅1′ este subinel al lui 𝑅1 care
include mulțimea 𝐾𝑒𝑟 𝑓= 𝑎∈𝑅 𝑓 𝑎 =0 ; c) Fie 𝛿 𝑅,𝐾𝑒𝑟𝑓 mulțimea subinelelor lui
R care includ 𝐾𝑒𝑟𝑓 și 𝛿 𝑅1 mulțimea subinelelor lui 𝑅1. Dacă f este morfism surjectiv,
atunci aplicația 𝐹:𝛿 𝑅,𝐾𝑒𝑟𝑓 ⟶ 𝛿 𝑅1 , definită prin 𝐹 𝑅′ =𝑓 𝑅′ este o bijecție care
păstrează incluziunea.
Demonstrație. a) Dacă 𝑦1,𝑦2∈𝑓 𝑅′ , atunci există 𝑥1,𝑥2∈ 𝑅′ astfel încât
𝑦1=𝑓 𝑥1 și 𝑦2=𝑓 𝑥2 ; 𝑦1−𝑦2=𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥2 =𝑓 𝑥1−𝑥2 și 𝑦1𝑦2=
𝑓 𝑥1 𝑥2 =𝑓 𝑥1𝑥2 . Deoarece 𝑅′ este subinel al lui 𝑅,𝑥1−𝑥2 și 𝑥1,𝑥2∈ 𝑅′, deci
𝑦1−𝑦2 și 𝑦1,𝑦2∈𝑓 𝑅′ . Prin urmare 𝑓 𝑅′ este subinel al lui 𝑅1.
b) Fie 𝑥1,𝑥2∈𝑓−1 𝑅1′ , deci 𝑓 𝑥1 , 𝑓 𝑥2 ∈𝑅1′. Deoarece 𝑅1′ este subinel al lui
𝑅1, 𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥2 =𝑓 𝑥1−𝑥2 ∈𝑅1′ și 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 =𝑓 𝑥1𝑥2∈𝑅1′ , adică 𝑥1−𝑥2 și
𝑥1𝑥2∈𝑓−1 𝑅1′ . Din b) deducem în particular că 𝑓−1 0 = 𝐾𝑒𝑟𝑓 este subinel al lui R.
c) Să definim 𝐺:𝛿 𝑅1 ⟶ 𝛿 𝑅,𝐾𝑒𝑟𝑓 , punând 𝐺 𝑅1′ =𝑓−1 𝑅1′ . Este suficient
să demonstrăm egalitățile:
𝐹∘𝐺=1𝛿 𝑅1 și 𝐺∘𝐹=1𝛿 𝑅,𝐾𝑒𝑟 𝑓 .
Fie 𝑅1′∈𝛿 𝑅1 . 𝐹∘𝐺 𝑅1′ =𝑓 𝑓−1 𝑅1′ =𝑅1′ deoarece f este surjectiv.
Fie 𝑅′∈𝛿 𝑅,𝐾𝑒𝑟𝑓 . 𝐺∘𝐹 𝑅′ =𝑓−1 𝑓 𝑅′ ⊃𝑅′. Fie 𝑥∈𝑓−1 𝑓 𝑅′ . Rezultă:
𝑓 𝑥 ∈ 𝑓 𝑅′ , deci există 𝑧∈ 𝑅′ astfel încât 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑧 sau 𝑓 𝑥−𝑧 =0 și 𝑥−𝑧=
𝑎∈𝐾𝑒𝑟𝑓⊂𝑅′. Atunci 𝑥=𝑎+𝑧∈𝑅′ și am demonstrat incluziunea 𝑓−1 𝑓 𝑅′ ⊂𝑅′.
Dacă B este o A – algebră de morfism structural injectiv 𝜑 atunci A este izomorf cu
𝐼𝑚𝜑=𝜑 𝐴 . Prin acest izomorfism elementele a ale inelului și imaginile lor 𝜑 𝑎 se pot
identifica. A devine subinel al inelului B sau inelul B este o extindere a inelului A. Vom
întâlni astfel de situații, de exemplu, în construcția inelului polinoamelor de o
nedeterminată, a inelului de fracții ș.a.
Fie R un inel fără unitate. Vom construi un inel 𝑅1 unitar care include ca subinel pe
R. Dacă Z este inelul numerelor întregi, atunci, pe produsul cartezian Z X R se definesc
operațiile :

11
𝑛,𝑎 + 𝑚,𝑏 = 𝑛+𝑚,𝑎+𝑏
𝑛,𝑎 ∙ 𝑚,𝑏 = 𝑛𝑚,𝑛𝑎+𝑚𝑏+𝑎𝑏 .
Se verifică fără dificultate că aceste operații conferă lui 𝑅1=𝒁𝑋𝑅 o structură de inel
unitar în care elementul unitate este 1,0 . Definim funcția 𝑓:𝑅⟶𝑅1, prin 𝑓 𝑎 = 0,𝑎 .
f este un morfism injectiv și R este izomorf cu imaginea sa prin 𝑓,𝑅=𝑰𝑚𝑓′ care este
subinel al lui 𝑅1. Acest izomorfism ne permite să identificăm elementele de forma 0,𝑎
ale lui 𝑅1 cu elemente 𝑎∈𝑅. În acest mod realizăm scopul propus: Inelul R este subinel al
inelului unitar 𝑅1.
Fie 𝜑:𝑅⟶𝑅1 un morfism de inele. În par ticular 𝜑 este un morfism al grupurilor
aditive 𝑅,+ și 𝑅1,+ . Prin nucleul morfismului de inele 𝜑, înțelegem nucleul lui 𝜑
considerat ca morfism de grupuri. Deci Ker 𝜑 este un subgrup al grupului 𝑅,+ În plus,
dacă 𝑎,𝑏∈𝑲𝑒𝑟 𝜑, atunci 𝜑 𝑎𝑏 =𝜑 𝑎 ∙𝜑 𝑏 =0∙0=0. Deci 𝑎,𝑏∈𝑲𝑒𝑟 𝜑 și așa
cum am văzut în propoziția I.1.9., 𝑲𝑒𝑟 𝜑 este chiar un subinel al inelului R. Se observă că
pentru a obține 𝜑 𝑎𝑏 =0 este suficient ca numai unul din factorii 𝜑 𝑎 ,𝜑 𝑏 să fie 0,
adică numai unul din factori i a, b să aparțină lui 𝑲𝑒𝑟 𝜑.

I.2. Polinoame cu coeficienți ȋntr -un inel
Noțiunea de polinom este una dintre noțiunile fundamentale ale algebrei. Originea
acestei noțiuni se găsește într -o problemă foarte veche de matematică și anume aceea de a
elabora un formalism general al calculelor algebrice care se efectuează de obicei cu sume
și produse în care intervin un număr finit de numere. Această problemă constituie de altfel
chiar începutul studiului algebrei în gimnaziu, când se consideră expresii de tipul:
2𝑥,2𝑥+𝑦,𝑥2𝑦3,𝑥2𝑦3+3𝑥𝑦 etc.,
În care se spune despre 𝑥 și 𝑦 că sunt numere arbitrare (neprecizate). Dezvoltând regulile
de calcul cu asemenea expresii, algebra elementară are la bază anumite convenții care nu
pot fi explicate decât definind în mod riguros cadrul în care se efectuează calculele și
punând în evidență legătura sa c u corpurile de numere sau cu alte corpuri sau inele
abstracte. Acest cadru îl constituie teoria inelelor de polinoame. Ca și alte noțiuni
matematice, noțiunea de polinom nu poate fi definită în mod intrinsec. De aceea vom
defini, plecând de la un inel A, i nelul polinoamelor cu coeficienți în A. În acest fel, un
polinom va fi un element al inelului astfel construit iar proprietățile algebrice ale inelului

12
polinoamelor se vor deduce atât în construcția pe care o facem cât și din proprietățile
inelului A.
Vom începe cu o problemă simplă de algebră , strâns legată de aceea a calcului
algebric. Fie A un inel și 𝐶𝑖 𝑖∈𝐼 o familie de subinele în A (adică 1∈𝐶𝑖 și 𝑎−𝑏∈𝐶𝑖,
𝑎𝑏∈𝐶𝑖 dacă 𝑎∈𝐶𝑖 și 𝑏∈𝐶𝑖). Se știe atunci că
𝐶= 𝐶𝑖𝑖∈𝐼 este un subinel al lu i A. Dacă 𝐶⊆𝐴 este un subinel și 𝑀⊂𝐴 este o
submulțime considerăm familia nevidă de subinele:
𝜗𝜋= 𝐶′ 𝐶′⊇𝐶,𝐶′⊇𝑀,𝐶 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑒𝑙 î𝑛 𝐴′ .
Atunci 𝐶′
𝐶′∈𝜗𝜋 este de asemenea un subinel pe care -l vom nota
𝐶 𝑀 = 𝐶′
𝐶′∈𝜗𝜋
În mod evident 𝐶⊆𝐶 𝑀 și 𝑀⊆𝐶 𝑀 . În plus din construcția lui 𝐶 𝑀 se deduce că
𝐶 𝑀 este cel mai mic subinel al lui A care conține pe C și pe M în sensul că orice subinel
𝐶′⊆𝐴 cu proprietățile 𝐶′⊇𝐶,𝐶′⊇𝑀 are proprietatea 𝐶⊇𝐶 𝑀 .
I.2.1. Definiție 𝐶 𝑀 se numește subinel generat de C și M în A, sau subinelul
obținut prin adjuncționarea lui M la C în A.
Ne propunem să calculăm forma elementelor lui 𝐶 𝑀 când se cunosc mulțimile C
și M. Să observăm mai întâi că dacă 𝑐∈𝐶 și 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛∈𝑀, atunci ori care ar fi
numerele naturale 𝑖1,𝑖1,…,𝑖𝑛 avem:
𝑐𝑥1𝑖1𝑥2𝑖2…𝑥𝑛𝑖𝑛∈𝐶 𝑀
Un asemenea produs se va numi monom, sau mai precis, monom în elementele 𝑥1,…,𝑥𝑛
cu coeficientul 𝑐∈𝐶. Dacă 𝑐𝑖1𝑖2…,𝑖𝑛𝑥1𝑖1…,𝑥𝑛𝑖𝑛 𝑖1,…,𝑖𝑛 este o familie finită de monoame
atunci suma finită
𝑐𝑖1,
𝑖1,…𝑖𝑛…,𝑖𝑛𝑥1𝑖1
Aparține de asemenea lui 𝐶 𝑀 . Vom numi o asemenea sumă – expresie polinomială în
𝑥1,…𝑥𝑛 cu coeficienții în C.

13
I.2.2. Propoziție. Inelul 𝐶 𝑀 coincide cu mulțimea elementelor lui A care se
pot scrie ca expresii polinomiale în elemente din M cu coeficienți în C.
Demonstrație. Se observă mai întâi că mulțimea expresiilor polinomiale în
elemente din M cu coeficienți în C formează un subinel 𝐶0⊆𝐴. De asemenea, pentru că
𝐶⊆𝐶0, și 𝑀⊆𝐶0, avem 𝐶 𝑀 ⊆𝐶0. Pe de altă parte, am văzut mai sus că 𝐶0⊆𝐶 𝑀 .
Dacă M este o mulțime finită, 𝑀= 𝑥1,…,𝑥𝑛 atunci scriem 𝐶 𝑥1,…,𝑥𝑛 în loc de
𝐶 𝑥1,…,𝑥𝑛 și avem
𝐶 𝑥1,…,𝑥𝑛 = 𝑧∈𝐴 ∃𝑐𝑖1,,,𝑖𝑛∈𝐶 a.î.,z= ci1…inx1i1…xnin
Unde familia 𝑐𝑖1…𝑖𝑛 este o f amilie finită, indexată de mult indici i 𝑖1,…𝑖𝑛 ∈𝑁𝑛. În
particular, dacă 𝑀= 𝑥 avem
𝐶 𝑥 = 𝑧∈𝐴 ∃𝑐0,𝑐1,…𝑐𝑛∈𝐶 a.î., z= cixin
i=0

Exemple. (1) Fie 𝐴=𝐶,𝐶=𝑍,𝑀= 𝑖 , unde 𝑖2=−1. Atunci
𝐶 𝑀 = 𝑧∈𝐶 𝑧=𝑚+𝑛𝑖;𝑚,𝑛∈𝑍 este inelul întregilor lui Gauss, notat apriori cu
𝑍 𝑖 . Într -adevăr, dacă 𝑧∈𝐶 𝑀 avem 𝑧=𝑐𝜌+𝑐1𝑖+⋯+𝑐𝑘𝑖𝑘 cu 𝑐𝜌,𝑐1,…,𝑐𝑘∈𝑍.
Ținând seama de valorile puterilor lui i și grupând avem 𝑧= 𝑐𝜌−𝑐2+𝑐4−⋯ +
𝑐1−𝑐3+𝑐5−⋯ 𝑖=𝑚+𝑛𝑖 este un întreg al lui Gauss.
(2) Dacă 𝐴=𝑅,𝐶=𝑄,𝑀= 𝑥,𝑦 unde 𝑥= 2 și 𝑦= 3, atunci 𝐶 𝑥,𝑦 =
𝑄 2,3 = 𝑧∈𝑅 𝑧=𝑎+𝑏 2+𝑐 3+𝑑 6,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈𝑄 .
Într-adevăr, din 𝑥2=2,𝑦2=3 rezultă că orice monom 𝑎𝑥𝑚𝑦𝑛,𝑎∈𝑄,𝑚,𝑛∈𝑁 se scrie
sub forma 𝑎𝛾𝑥𝑟𝑦𝑠,𝑎𝛾∈𝑄,𝛾,𝑟,𝑠∈ 0,1 𝛾≡𝑚 𝑚𝑜𝑑 2𝑍 , 𝑠≡𝑛 𝑚𝑜𝑑 2 𝑍 .
(3) Dacă 𝐴=𝑅,𝐶=𝑄,ș𝑖 𝑀= 𝜋 unde 𝜋=3,141… atunci𝑄 𝑛 =
𝑧∈𝑅 𝑧=𝑐0+𝑐1𝜋+⋯+𝑐𝑛𝜋𝑛,𝑛∈𝑁,𝑐𝑖∈𝑄 . Observăm că în expresia algebrică a
elementelor lui 𝑸 𝜋 , exponentul puterii la care apare 𝜋 nu mai este limitat ca în primele
două exemple. De asemenea, elementul 𝑥=𝑖 adjuncționat în exemplul 1, are proprietatea
𝑥2=𝑖2=−1 în timp ce elementul 𝑥= 2 din exemplul 2 are prioritatea 𝑥2=2.

14
Aceasta ne arată că î n inelele 𝒁 𝑖 și 𝑸 2, 3 expresia algebrică 𝑥2+1 are semnificații
diferite, deci dacă dorim ca în cele două inele să aducem anumite expresii algebrice la o
formă cât mai simplă, trebuie să folosim reguli de calcul diferite. În același timp, în inelul
𝑸 𝜋 expresia 𝑥2+1=𝜋2+1 nu poate fi scrisă sub formă mai simplă.
Inelul polinoamelor de o nedeterminată, pe care -l vom defini în cele ce urmează,
este exemplul cel mai general de inel obținut prin adjuncționarea unui element . Fie deci A
un inel și considerăm mulțimea 𝐴𝑁 a funcțiilor arbitrare 𝑓:𝑵⟶A. În analiza matematică
o asemenea funcție se numește șir de elemente din A și dacă 𝑓 𝑛 =𝑓𝑛,𝑛∈𝑵, șirul se
notează 𝑓= 𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,… . Tot din analiza matematică se știe că suma a două șiruri f și
g se definește astfel:
𝑓+𝑔 𝑛 =𝑓 𝑛 +𝑔 𝑛 ,𝑛∈𝑵
Cu notația indicială, dacă 𝑓= 𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,… și 𝑔= 𝑔0,𝑔1,…,𝑔𝑛,… atunci 𝑓+𝑔=
𝑓0+𝑔0,𝑓1+𝑔1,…,𝑓𝑛+𝑔𝑛,… . În raport cu adunarea, mulțimea 𝐴𝑵 este un grup abelian
în care șirul constant nul 0= 0,0,…0,… este elementul nul. În mulțimea 𝐴𝑵 considerăm
submulțimea 𝐴 𝑵 a șirurilor care au numai un număr finit de termeni nenuli. Aceasta
înseamnă că 𝑓∈𝐴 𝑵 dacă și numai dacă există 𝑚∈𝑵, cu proprietatea 𝑓 𝑖 =0 dacă
𝑖≥𝑚. Mulțimea de numere naturale asocia tă lui 𝑓∈𝐴 𝑵 ,
𝑚∈𝑵 𝑓 𝑖 =0 𝑑𝑎𝑐ă 𝑖≥𝑚
admite un prim element, fie el n. Dacă 𝑛=0 rezultă că 𝑓=0 iar dacă 𝑛>0 rezultă că
𝑓 𝑛−1 ≠0. În acest ultim caz, numărul natural 𝑛−1 se numește gradul lui f și se
notează 𝑔𝑟 𝑓 ; în caz că 𝑓=0 convenim că 𝑔𝑟 𝑓 =−∞. În consecință, dacă 𝑓∈𝐴 𝑵 și
𝑔𝑟 𝑓 =𝑛 putem scrie 𝑓= 𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,0,… . Dacă 𝑓,𝑔∈𝐴𝑵,𝑔𝑟 𝑓 =𝑛 ș𝑖 𝑔𝑟 𝑔 =
𝑚 atunci 𝑓+𝑔∈𝐴𝑵 și în plus avem:
𝑔𝑟 𝑓+𝑔 = 𝑚𝑎𝑥 𝑚,𝑛 ,𝑑𝑎𝑐ă 𝑚≠𝑛
𝑛 ,𝑑𝑎𝑐ă 𝑚=𝑛 ș𝑖 𝑓𝑛+𝑔𝑛≠0
𝑛′<𝑛 ,𝑑𝑎𝑐ă 𝑚=𝑛 ș𝑖 𝑓𝑛+𝑔𝑛=0
Mulțimea 𝐴 𝑵 este deci un subgrup al grupului tuturor șirurilor. Vom introduce pe 𝐴 𝑵 o
lege de compoziție notată multiplicativ și care este diferită de înmulțirea șirurilor din
analiza matematică: dacă 𝑓,𝑔∈𝐴𝑵 atunci 𝑓𝑔:𝑵⟶A este dată de
𝑓𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗
𝑖+𝑗=𝑛
sau, echivalent, de:

15
𝑓𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑖 𝑔 𝑛−𝑖 𝑛
𝑖=0
În notația indicială, dacă 𝑓𝑔= 𝑕0,𝑕1,…,𝑕𝑛… atunci
𝑕𝑛= 𝑓𝑖𝑔𝑗
𝑖+𝑗=𝑛
Este clar că 𝑔𝑟 𝑓𝑔 ≤𝑔𝑟 𝑓 +𝑔𝑟 𝑔 , deci 𝑓𝑔∈𝐴 𝑵 .
I.2.3. Propoziție. Mulțimea 𝐴 𝑵 împreună cu adunarea și înmulțirea definite
mai sus este un inel comutativ. Aplicația 𝜀:𝐴⟶𝐴 𝑵 ,𝜀 𝑎 = 𝑎,0,… este un morfism
injectiv de inele.
Demonstrație . Verificăm mai întâi asociativitatea înmulțirii 𝑓𝑔 𝑕=𝑓 𝑔𝑕 , cu
𝑓,𝑔,𝑕∈𝐴 𝑵 . Aceasta rezult ă din:
𝑓𝑔 𝑕 𝑛 = 𝑓𝑔 𝑙 𝑔 𝑘 = 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗
𝑖+𝑗=𝑙 𝑕 𝑘 = 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 𝑕 𝑘
𝑖+𝑗+𝑘=𝑛 𝑙+𝑘=𝑛 𝑙+𝑘=𝑛

Pe de altă parte calculul lui 𝑓 𝑔𝑕 𝑛 dă același rezultat.
Înmulțirea este comutativă, adică 𝑓𝑔=𝑔𝑕, pentru că
𝑓𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑔 𝑗 𝑓 𝑖 = 𝑔𝑓 𝑛 .
𝑗+𝑖=𝑛 𝑖+𝑗=𝑛
Înmulțirea este distributivă față de adunare; adică
𝑓 𝑔+𝑕 =𝑓𝑔+𝑓𝑕, pentru 𝑓,𝑔,𝑕∈𝐴 𝑵
Prin calcul se obține pentru 𝑛∈𝑵:
𝑓 𝑔+𝑕 𝑛 = 𝑓 𝑖 𝑔+𝑕 𝑛−𝑖 = 𝑓 𝑖 𝑔 𝑛−𝑖 +𝑕 𝑛−𝑖 =𝑛
𝑖=0𝑛
𝑖=0
= 𝑓 𝑖 𝑔 𝑛−𝑖 + 𝑓 𝑖 𝑕 𝑛−𝑖 = 𝑓𝑔 𝑛 + 𝑓𝑕 𝑛 = 𝑓𝑔+𝑓𝑕 𝑛 𝑛
𝑖=0𝑛
𝑖=0 .
Elementul neut ru la înmulțire este șirul 𝜀 1 = 1,0,… . În final se vede cu ușurință că 𝜀
este morfism injectiv.

16
I.2.4. Definiție. Inelul 𝐴 𝑵 se numește inelul polinoamelor de o nedeterminată
cu coeficienți în A. Un element 𝑓∈𝐴 𝑵 se numește polinom de o nedeterminată cu
coeficienți în A. Dacă 𝑛=𝑔𝑟 𝑓 și 𝑓= 𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,0,… , elementele 𝑓𝑖 se numesc
coeficienții polinomului f iar 𝑓𝑛 se numește coeficientul dominant al lui f.
Polinomul de gradul întâi 𝑋∈𝐴 𝑵 definit prin
𝑥 𝑛 = 1,𝑑𝑎𝑐ă 𝑛=1
0,𝑑𝑎𝑐ă 𝑛≠1
se numește nedeterminată.
Înmulțirea unui polinom f cu nedeterminata X se face după următoarea lemă:
I.2.5. Lemă. Pentru orice 𝑓∈𝐴 𝑵 avem
𝑋𝑓 𝑛 = 0,𝑑𝑎𝑐ă 𝑛=𝑜
𝑓 𝑛−1 ,𝑑𝑎𝑐ă 𝑛≥1
𝑖 𝑔𝑟 𝑋𝑓 =1+𝑔𝑟 𝑓 .
Demonstrație . Din relația 𝑋𝑓 𝑛 = 𝑋 𝑖 𝑓 𝑛−𝑖 𝑛
𝑖=0 , ținând seama de definiția
lui X, reținem în sumă doar termenul corespunzător lui 𝑖−1. Deci 𝑋𝑓 0 =0 iar pentru
𝑛≥1, 𝑋𝑓 𝑛 =𝑋 1 𝑓 𝑛−1 =𝑓 𝑛−1 . Sub formă de șir, dacă
𝑓= 𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,0,… atunci 𝑋𝑓= 0,𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,0,… . Relația 𝑔𝑟 𝑋𝑓 =1+𝑔𝑟𝑓
este evidentă din ultima egalitate.
În particular, din lema de mai sus se obțin egalitățile:
𝑋= 0,1,0,…0,…
𝑋2= 0,0,1,…,0,…
𝑋𝑛= 0,0,0,…,1,… 1 𝑝𝑒 𝑙𝑜𝑐𝑢𝑙 𝑛+1
De asemenea, dacă 𝑎∈𝐴 se obține pentru orice 𝑛∈𝑵 formula
𝜀 𝑎 𝑋𝑛= 0,0,0,…,𝑎,… (1)
unde a se găsește pe locul 𝑛+1. Dacă 𝑓∈𝐴 𝑵 și 𝑛=𝑔𝑟 𝑓 , ținând seama de formula
(1), obținem formula
𝑓= 𝑓0,𝑓1,…,𝑓𝑛,0,… = 𝜀 𝑓𝑖 𝑋𝑖.𝑛
𝑖=0 (2)
Morfismul 𝜀 definește pe 𝐴 𝑵 o structură de A – algebră și pentru că 𝜀 este injectiv putem
identifica A cu subinelul 𝜀 𝐴 ⊆𝐴 𝑵 format din polinoamele de grad ze ro, identificând
elementul 𝑎∈𝐴 cu 𝜀 𝑎 . Atunci din relația (2) se deduce următoarea propoziție:

17
I.2.6. Propoziție. Inelul 𝐴 𝑵 coincide cu subinelul său 𝐴 𝑋 obținut prin
adjuncționarea lui X la subinelul A. În plus, orice polinom 𝑓∈𝐴 𝑵 se scrie în mod unic ca
o expresie polinomială
𝑓= 𝑓𝑖𝑋𝑖𝑛
𝑖=0 (3)
unde 𝑛=𝑔𝑟 𝑓 și 𝑓𝑖 sunt coeficienții lui f.
Această propoziție explicitează structura algebrică a inelului polinoamelor și
justifică următoarea schimbare de notație: în loc de 𝐴 𝑵 vom nota cu 𝐴 𝑋 inelul
polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în A. Notația este evident convențională ,
căci ea introduce o literă, și anume X, pentru a desemna polinomul 0,1,0,… . Vom folosi
uneori și notațiile 𝐴 𝑌 ,𝐴 𝑇 ,𝐴 𝑡 etc., dacă în raționament apar mai multe inele de
polinoame. Dacă 𝑓∈𝐴 𝑋 este un polinom, vom nota uneori pe f cu 𝑓 𝑋 și aceasta mai
ales când se folosește scrierea (3) a lui f, sau este necesar să se pună în evidență
nedeterminata.
I.2.7. Teoremă. Fie A un inel, 𝑓= 𝑓𝑖𝑋𝑖 𝑛
𝑖=0 și 𝑔= 𝑔𝑗𝑋𝑖 𝑚
𝑖=0 polinoame din
𝐴 𝑋 𝑐𝑢 𝑛=𝑔𝑟 𝑓 ș𝑖 𝑚=𝑔𝑟 𝑔 . Dacă 𝑓𝑛𝑠𝑎𝑢 𝑔𝑚 nu sunt divizori ai lui zero în A atunci
𝑔𝑟 𝑓𝑔 =𝑔𝑟 𝑓 +𝑔𝑟 𝑔 . Dacă A este un inel integru, atunci 𝐴 𝑋 este un inel integru și
pentru orice 𝑓,𝑔∈𝐴 𝑋 avem:
𝑔𝑟 𝑓𝑔 =𝑔𝑟 𝑓 +𝑔𝑟 𝑔 .
Demonstrație . Din înmulțirea polinoamelor avem 𝑔𝑟 𝑓𝑔 ≤𝑛+𝑚 ș𝑖 𝑓𝑔 𝑛+
+𝑚=𝑓𝑛𝑔𝑚.
Dacă 𝑓𝑛𝑔𝑚=0 ar rezulta 𝑓𝑚ș𝑖𝑔𝑚 divizori al lui 0. Restul propoziției este acum evident.
din această teoremă rezultă că dacă A este un inel integru, unitățile inelului 𝐴 𝑋 coincid
cu unitățile lui A. Într -adevăr, dacă 𝑓,𝑔∈𝐴 𝑋 ș𝑖 𝑓𝑔=1 rezultă 𝑔𝑟 𝑓 +𝑔𝑟 𝑔 =0,
deci 𝑔𝑟 𝑓 =𝑔𝑟 𝑔 =0. Aceasta înseamnă că 𝑓=𝑓0∈𝐴,𝑔=𝑔0∈𝐴 ș𝑖 𝑓0𝑔0=𝑓𝑔=1.
În particular dacă K este un corp, elementele inversabile din 𝐾 𝑋 sunt polinoamele de
grad 0 iar în inelul 𝑍 𝑋 unitățile sunt 1 și -1.

18
I.3. Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți într -un corp
I.3.1. Noțiunea de corp. După cum se știe un inel A unitar și care conține cel puțin
două elemente se numește corp dacă orice element nenul din A este inversabil față de
operația de înmulțire din A.
În această definiție cerința ca inelul să fie unitar, adică inelul A să aibă element
unitate față de înmulțire, este necesară pentru a exista elemente inversabile iar cerința ca
inelul să conțină cel puțin două elemente este echivalentă cu faptul că A este diferit de
inelul nul sau cu 1≠0. Prin urmare, se exclude, prin definiție, ca inelul nul, adică format
dintr -un singur element =𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑙 𝑛𝑢𝑙 , să fie corp. Acest fapt este o convenție
general acceptată. Dar cea mai frecventă greșeală care se f ace, la defi nirea noțiunii de corp,
este ace ea că nu se specifică ca numai elementele nenule sunt inversabile. Căci în orice inel
nenul elementul nul nu este inversabil. Mai general: în orice inel nenul un divizor al lui 0
nu este inversabil.
Într-adevăr, fie a un divizor al lui 0 în inelul nenul A. Să presupunem că a este un
divizor al lui 0 la dreapta, adică există 𝑏≠0,𝑏∈𝐴 astfel încât 𝑎𝑏=0. Dacă a ar fi
inversabil în A, atunci ar exista 𝑎′∈𝐴 astfel încât 𝑎′𝑎=𝑎𝑎′=1. Deducem 𝑎′𝑎𝑏=𝑏 =
=0, contradicție. De aici rezultă că un corp nu are divizori al lui zero diferiți de zero.
Reamintim, de asemenea, că elementele nenule dintr -un corp formează grup față de
operația de înmulțire, cum de altfel formează grup elementele inversabile din orice inel. Un
corp se numește comutativ dacă înmulțirea este operație comutativă.

I.3.2. Proprietăți ale corpurilor.

Deoarece orice corp este inel, toate proprietățile inelelor rămân valabile în cazul
corpurilor. Însă unele dintre proprietățile inelelor devin caracteristice în cazul corpurilor.
I.3.2.1. Propoziție. Într-un corp există doar două ideale, idealul nul și tot corpul,
care sunt ideale bilaterale.
Demonstrație . Fie I un ideal la stânga în corpul K. Dacă 𝐼≠ 0 , atunci există în I
un element nenul a. Fie b un element arbitrar din K, atunci egalitatea 𝑏=𝑏𝑎−1𝑎 arată că
𝑏∈𝐼, deci I conține toate elementele lui K, adică 𝐼=𝐾. În mod analog se arată că orice
ideal drept coincide sau cu (0) sau cu K. Prin urmare, cu atât mai mult singurele ideale
bilaterale în K sunt (0) și K, care, de altfel, sunt ideale bilaterale în orice inel K.
I.3.2.2. Propoziție. Fie K un inel nenul care are numai două ideale (0) și K.

19
Atunci K este un corp.
Demonstrație . Pentru a demonstra că K este un corp trebuie să ară tăm că orice
element nenul din K este inversabil. Fie 𝑥∈𝐾,𝑥≠0. Deoarece idealele xK și Kx sunt
nenule, rezultă 𝑥𝐾=𝐾 ș𝑖 𝐾𝑥=𝐾. Din aceste relații rezultă că există 𝑥′,𝑥′′∈𝐾 astfel
încât 𝑥𝑥′=1 ș𝑖 𝑥′′𝑥=1. Atunci se obține 𝑥′=1𝑥′= 𝑥′′𝑥 𝑥′=𝑥′′ 𝑥𝑥′ =𝑥′′1=𝑥′′,
deci 𝑥′=𝑥′′ și deci x este inversabil.
Din propozițiile precedente rezultă că în cadrul inelelor, corpurile pot fi definite și
ca inele nenule care au doar două ideale.
Corpurile fiind inele, morfismele de inele se aplică și în cazul corpurilor. În cazul
corpurilor există următoarea proprietate.
I.3.2.3. Propoziție. Fie K un corp, atunci orice morfism de la K la un inel A nenul
este injectiv.
Demonstrație . Menționăm că prin inel înțelegem un inel unitar iar prin morfism de
inele un morfism unitar, adică care duce elementul unitate al domeniului de definiție în
elementul unitate al domeniului valorilor. Fie 𝑢:𝐾⟶𝐴 un morfism de inele. Se știe că u
este in jectiv dacă și numai dacă 𝐾𝑒𝑟 𝑢 este idealul nul în K. Deoarece 𝐾𝑒𝑟 𝑢 este ideal
bilateral în K și K este corp deducem că 𝐾𝑒𝑟 𝑢=𝐾 sau 𝐾𝑒𝑟 𝑢=0, după cum deducem
din I.3.2.1. Egalitatea 𝐾𝑒𝑟 𝑢=𝐾 nu poate avea loc deoarece ar rezulta că 𝑓 1 =0, ceea
ce contrazice faptul că 𝑓 1 este elementul unitate la înmulțire în A și acesta este diferit de
zero, întrucât A este inel nenul.
I.3.2.4. Propoziție. Fie un K inel comutativ cu proprietatea că orice morfism de la
K la un inel nenul este in jectiv. Atunci K este corp.
Demonstrație . Este suficient să arătăm că dacă K este un corp există un morfism de
la K la un inel nenul care nu este injectiv. Dacă K nu este corp, din propoziția I.3.2.2.
rezultă că există în K un ideal I diferit (0) și K. De oarece K este un inel comutativ, idealul I
este bilateral, deci există inelul factor 𝐴=𝐾𝐼 . Atunci morfismul canonic 𝑝:𝐾⟶𝐾𝐼 nu
este injectiv, căci 𝐾𝑒𝑟 𝑝=𝐼≠(0).

20
I.3.3. Subcorpuri. Extinderi de corpuri

I.3.3.1. Noțiunea de subcorp. Ca și la grupuri și inele un rol important în studiul
corpurilor îl au subcorpurile. Prin analogie cu subgrupurile și subinelele, un subcorp k al
unui corp K este o submulțime a lui K care conține cel puțin două elemente și cu
proprietatea că operațiile de adunare și înmulțire din K induc pe k operații algebrice
împreună cu care este corp. Aceasta înseamnă că k cu adunarea este subgrup în K, cee a ce
este echivalent cu :
a) ∀𝑥,𝑦∈𝑘⟹𝑥−𝑦∈𝑘,
apoi ca elementele din 𝑘\ 0 ( observăm că deoarece k este subgrup pentru grupul aditiv al
lui K, rezultă că 0∈𝑘 ) formează subgrup al grupului elementelor nenule din K, ceea ce
revine la faptul că
b) ∀𝑥,𝑦∈𝑘,𝑥≠0,𝑦≠0⟹𝑥𝑦−1∈𝑘.
Prin urmare, putem spune că un subcorp al corpului K este o submulțime k care conține cel
puțin două elemente și care verifică condițiil e a) și b) de mai sus. Mai observăm că în
condiția b) se poate omite cererea ca 𝑥≠0, căci pentru 𝑥=0 se obține totdeauna 𝑥𝑦−1∈
𝑘. Din definiția subcorpului rezultă că orice subcorp conține elementul nul și elementul
unitate al corpului.
I.3.3.2. Exemp le de subcorpuri . În corpul numerelor complexe C, corpul numerelor
reale R și corpul numerelor raționale Q sunt subcorpuri. Corpurile Q, R, C sunt subcorpuri
în corpul cuaternionilor P. De asemenea Q este subcorp al lui R. Mulțimea numerelor
complexe de forma 𝑎+𝑏𝑖, unde 𝑎,𝑏∈𝑸, se notează de obicei prin 𝑸 𝑖 este subcorp al
lui C. De asemenea numerele reale de forma 𝑎+𝑏 2,𝑎,𝑏∈𝑸 formează un subcorp al
corpului numerelor reale R.
Să observăm că dacă k este subcorp al corpului K și la rândul său, K este subcorp al
corpului L, atunci rezultă că k este subcorp al lui L. Prin urmare, subcorpurile posedă o
proprietate de tranzitivitate.
I.3.3.3. Semnificația extinderilor de corpuri . Dacă k este un subcorp al corpului K,
atunci se spune că corpul K este o extindere a corpului k. E firească întrebarea: de ce se
mai introduce și noțiunea de subcorp? Acest fapt este necesar pentru simplificarea
limbajului în cazul în care se studiază un corp și acele corpuri î n care el este un subcorp,
deci extinderile acelui corp, spre deosebire de cazul în care se studiază subcorpurile unui
corp dat.

21

I.3.3.4. Propoziție. O intersecție de subcorpuri ale unui corp este un subcorp.
Demonstrație . Fie K un corp și 𝐾𝑖,𝑖∈𝐼 o mulțime arbitrară de subcorpuri ale lui K.
Atunci 𝑘= 𝐾𝑖𝑖∈𝐼 conține cel puțin elementele 0 și 1 din K. Să verificăm condițiile a) și
b) din I.3.3.1. pentru k. Fie 𝑥,𝑦∈𝑘. Atunci rezultă că 𝑥,𝑦∈𝐾𝑖,∀𝑖∈𝐼 . Deci 𝑥−𝑦∈𝐾𝑖
și dacă 𝑦≠𝑜,𝑥𝑦−𝑖∈𝐾𝑖, ∀𝑖∈𝐼, deoarece 𝐾𝑖 este subcorp al lui K. De aici deducem că
𝑥−𝑦∈ 𝐾=𝑘 𝑖∈𝐼 și dacă 𝑦≠0,𝑥𝑦−1∈ 𝐾𝑖𝑖∈𝐼 =𝑘.
I.3.3.5. Definiție. Fie 𝑘⊂𝐾 o extindere de corpuri și M o submulțime a lui K..
Intersecția subcorpurilor lui K care conține pe k și pe M se notează cu k(M) și este un
subcorp al lui K, conform propoziției precedente. Corpul k(M) se numește subcorpul lui K
generat de M peste k. Subcorpul k(M) al lui K este format din toate elementele 𝑥∈𝐾
pentru că există polinoamele f,g în s, res pectiv t nedeterminate și elementele 𝑚𝑖,𝑚𝑗′∈
𝑀,𝑖=1,…,𝑠;𝑗=1,…,𝑡, cu 𝑔 𝑚1′,…,𝑚𝑡′ ≠0 astfel încât x se scrie sub forma
(1) 𝑥=𝑓 𝑚1,…,𝑚𝑠
𝑔 𝑚1′,…,𝑚𝑡′
Pentru demonstrarea acestei afirmații este suficient să observăm că elementele 𝑥∈𝐾 care
se scriu sub forma (1) formează subcorp al lui K și că orice subcorp al lui K care conține
pe k și pe M conține toate elementele de această formă. În cazuri particula re scrierea
elementelor din corpul 𝑘 𝑀 poate să fie mult mai simplă. Astfel dacă considerăm
extinderea de corpuri 𝑸⊂𝑪 și subcorpul lui C generat de 𝑖∈𝐶 peste Q se obține corpul
𝑸 𝑖 care este format din toate elementele de forma 𝑥=𝑎+𝑏𝑖,𝑎,𝑏∈𝑸. În adevăr,
elementele de forma indicată formează un subcorp al lui C. Pe de altă parte, orice subcorp
al lui C care conține pe i și pe Q conține toate elementele de forma 𝑎+𝑏𝑖 𝑐𝑢 𝑎,𝑏∈𝑸. În
mod analog subcorpul lui R generat peste Q de 2 se notează cu 𝑸 2 și este format de
elementele de forma 𝑎+𝑏 2,𝑎,𝑏∈𝑸. Observăm că și subcorpul generat de 2 peste Q
în C coincide tot cu 𝑸 2 . Acest fapt exprimă o anumită independență a corpului 𝑘 𝑀
față de K care rezultă evident din definiție.
O submulțime M a corpului K se numește sistem de generatori ai lui K peste k dacă
𝐾=𝑘 𝑀 . Corpul K se numește extindere de tip finit a lui k dacă există o submulțime
finită M din K astfel încât 𝐾=𝑘 𝑀 . Corpurile 𝑸 𝑖 și 𝑸 2 sunt extinderi de tip finit
ale lui Q. Corpul numerelor complexe C este extindere de tip finit al lui R, căci 𝑪=𝑹 𝑖 .
Dacă K este un corp, atunci corpul fracțiilor algebrice raționale peste K în n nedeterminate,
notat cu 𝐾 𝑋1,…,𝑋𝑛 , este extindere de tip finit al lui Q și notarea sa concord ă cu cea

22
precedentă. Din faptul că Q este o mulțime numărabilă iar R este nenumărabilă rezultă,
printr -un raționament analog cu cel din I.3.6.2. că R nu este o extindere de tip finit a lui Q.

I.3.4. Corpuri prime. Caracteristica unui corp

Fie K un corp. Atunci K poate fi privit și ca subcorp în K. Un subcorp al lui K
diferit de K se numește subcorp propriu al lui K. Se numește corp prim un corp care nu are
subcorpuri proprii. Deci într -un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însuși.
I.3.4.1. Propoziție. Corpurile Q și 𝒁𝑝,𝑝>0, număr întreg prim, sunt corpuri
prime.
Demonstrație . Fie K un subcorp al lui Q. Atunci 1∈𝐾, de unde deducem că pentru
𝑛∈𝒁,𝑛>0,𝑛∈𝐾, căci 𝑛=1+1+⋯+1 de n-ori. Apoi obținem −𝑛∈𝐾. Deci 𝒁⊆
𝐾. Cum inversele elementelor din Z trebuie să fie și ele în K rezultă 𝐾=𝑸.
Fie 𝑝>1 număr întreg prim. Atunci 𝒁𝒑 are p elemente 0 ,1 ,…,𝑝−1 . Orice
subcorp K al lui 𝒁𝒑 conține pe 0 ș𝑖 1 . Pentru orice 𝑟 ,0≤𝑟≤𝑝−1, avem 𝑟 =1 +1 +
⋯+1 de r-ori, deci 𝑟 ∈𝐾. Prin urmare 𝐾=𝒁𝒑.
Ne propunem să arătăm că Q și 𝒁𝒑 sunt singurele corpuri prime. Pentru aceasta este
suficient să mai demonstrăm următoarea propoziție.
I.3.4.2. Propoziție. Orice corp conține un subcorp izomorf cu unul și numai unul
dintre corpurile Q sau 𝒁𝒑,𝑝>0, număr întreg prim.
Demonstrație . Fie K un corp. Atunci există un unic morfism de inele 𝑢:𝒁→𝐾,
definit prin 𝑢 𝑎 =1𝑎, unde 𝑎∈𝒁 iar 1 este elementul unitate din K. 𝑢 𝒁 este subinel în
K și este izomorf cu Z / 𝐾𝑒𝑟 𝑢. Cum 𝑢 𝒁 este un inel integru, dacă 𝐾𝑒𝑟 𝑢≠0, atunci
există 𝑝>0 număr întreg prim astfel încât 𝐾𝑒𝑟 𝑢=𝑝𝒁, deci 𝑢 𝒁 ≈𝒁𝑝 și deci K conține
corpul 𝒁𝑝. Dacă 𝐾𝑒𝑟 𝑢= 0 , atunci Z este izomorf cu 𝑢 𝒁 . Atunci u se extinde la un
morfism de inele 𝑢′:𝑸→𝐾 punând pentru 𝑎,𝑏∈𝒁,𝑏≠0,𝑢′ 𝑎𝑏 =𝑢 𝑎 𝑢 𝑏 −1,
după cum se verifică cu ușurință. Pentru a arăta că în K există numai un singur subcorp
izomorf cu un corp prim, observăm că dacă ar conține două astfel de subcorpuri distincte,
intersecția lor ar fi un subcorp propriu a cel puțin unuia dintre subcorpuri, ceea ce ar
contrazice faptul că subcorpurile sunt corpuri prime.

23
I.3.4.3. Propoziție. Singurul endomor fism al unui corp prim este automorfismul
identic.
Demonstrație . Dacă 𝑢:𝑲→𝐾 este un endomorfism al corpului prim K, atunci cum
u este injectiv iar 𝑢 𝐾 este un subcorp al lui K, deducem că 𝑢 𝐾 =𝐾, adică u este
automorfism al lui K, fiind injectiv ( I.3.2.3.). Însă din faptul că 𝑢 1 =1 rezultă că
𝑢 𝑟 =𝑟 , pentru orice r număr întreg 0≤𝑟<𝑝 dacă 𝐾=𝒁𝑝, 𝑝>0 număr întreg prim.
Deci în acest caz u este automorfismul identic. Dacă 𝐾=𝑸, tot din faptul că 𝑢 1 =1
rezultă 𝑢 𝑛 =𝑛 pentru orice 𝑛∈𝒁, apoi pentru 𝑎,𝑏∈𝒁,𝑏≠0 rezultă 𝑢 𝑎𝑏 =
𝑢 𝑎 𝑢 𝑏−1 =𝑎𝑏−1 , adică u este și în acest caz identitatea.
Propoziția I.3.4.2. ne permite să dăm următoarea definiție.
I.3.4.4. Definiție. Fie K un corp. Se spune că K are caracteristica zero dacă K
conține pe Q, respectiv are caracteristica 𝑝>0, p fiind un număr întreg prim >0, dacă K
conține corpul 𝒁𝑝 .
Din această definiție rezultă: corpurile Q, R, C sunt de caracteristică 0 iar corpul
𝒁𝑝 are caracteristica p. Se deduce, de asemenea, direct prin definiție, că dacă 𝑘⊂𝐾 este o
extindere de corpuri, atunci corpurile k și K au aceeași caracteristică. Uneori în loc de
caracteristica unui corp se folosește exponentul caracteristic, care prin de finiție este 1 dacă
caracteristica corpului este și 𝑝>0, dacă caracteristica corpului este p.
În continuare vom indica un alt mod de a introduce caracteristica unui corp, care
este, poate, mai sugestiv.
Fie K un corp și e elementul unitate la înmulțire în K. Atunci caracteristica lui K
este cel mai mic număr natural 𝑝>0 cu proprietatea 0=𝑝𝑒=𝑒+𝑒+⋯++𝑒, de p-ori.
Dacă nu există nici un număr natural cu această proprietate vom spune că corpul K este de
caracteristică 0. Să arătăm că dacă numărul natural 𝑝>0 există el este prim. În adevăr,
dacă 𝑝=𝑝1𝑝2, atunci 𝑝𝑒= 𝑝1𝑒 𝑝2𝑒 ș𝑖 𝑝𝑒=0, iar K fiind corp, se obține sau 𝑝1𝑒=0
sau 𝑝2𝑒=0. Din proprietatea de minimalitate a lui p se obține sau 𝑝1=𝑝 𝑠𝑎𝑢 𝑝2=𝑝.
Observăm că în corpul 𝒁𝑝 , p este cel mai mic număr natural cu proprietatea 𝑝1 =
0, deducem ușor echivalența dintre cele două moduri de a introduce caracteristica unui
corp.

24
I.3.5. Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți într -un corp

Fie K un corp și 𝑓∈𝐾 𝑋 . Se spune că un element 𝑎∈𝐾 este o rădăcină a lui f,
sau că a este rădăcină a ecuației asociate 𝑓 𝑥 =0, dacă 𝑓 𝑎 =0. Se știe că a este
rădăcină a lui f dacă și numai dacă 𝑋−𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑝𝑒 𝑓. Datorită echivalenței de mai sus se
introduce noțiunea de rădăcină multiplă de ordin 𝑛,𝑛≥1 număr întreg. Se spune că
elementul 𝑎∈𝐾 este rădăcină multiplă de ordin n a polinomului 𝑓∈𝐾 𝑋 , dacă
𝑋−𝑎 𝑛𝑓 ș𝑖 𝑋−𝑎 𝑛+1 nu divide pe f.
I.3.5.1. Propoziție. Fie K un corp și 𝑓∈𝐾 𝑋 un polinom de grad ≥1. Dac ă
𝑎1,…,𝑎𝑟 sunt elemente distincte din K care sunt rădăcini multiple de ordine de
multiplicitate respectiv 𝑛1,…,𝑛, ale lui f, atunci
(1) 𝑓= 𝑋−𝑎1 𝑛1 𝑋−𝑎2 𝑛2… 𝑋−𝑎𝑟 𝑛𝑟𝑔,
unde 𝑔∈𝐾 𝑋 .
Demonstrație . Se face prin i nducție după r. Dacă 𝑟=1, afirmația rezultă din faptul
că 𝑎1 este rădăcină multiplă de ordin 𝑛1. Presupunem afirmația adevărată pentru 𝑟−1,𝑟≥
2. Atunci avem
(2) 𝑓= 𝑋−𝑎1 𝑛1… 𝑋−𝑎𝑟−1 𝑛𝑟−1𝑔′,
Unde 𝑔′∈𝐾 𝑋 . Din fapt ul că 𝑎𝑟 este rădăcină multiplă de ordin 𝑛𝑟 a lui f, rezultă că
𝑋−𝑎𝑟 𝑛𝑟 \f. Atunci se obține că 𝑋−𝑎𝑟 𝑛𝑟 divide pe 𝑔′, adică 𝑔′= 𝑋−𝑎𝑟 𝑛𝑟 g și
înlocuind în (2) se obține (1), dacă arătăm că:
𝑋−𝑎𝑟 𝑛𝑟, 𝑋−𝑎𝑖 𝑛𝑖𝑟−1
𝑖=1 =1.
Pentru a termina demonstrația propoziției, ținând seama de faptul că într -un inel factorial A
un element a relativ prim cu elementele 𝑏1,…,𝑏𝑟 este relativ prim și cu produsul lor, este
suficient să demonstrăm lema care urmează.
I.3.5.2. Lemă. Fie K un corp. 𝑎,𝑏∈𝐾,𝑎≠𝑏. Atunci polinoamele 𝑋−𝑎 ș𝑖 𝑋−𝑏
din 𝐾 𝑋 sunt relativ prime.
Demonstrație . Deoarece 𝑋−𝑎 − 𝑋−𝑏 ≠0 este element inversabil în 𝐾 𝑋
rezultă că 𝑋−𝑎 și 𝑋−𝑏 sunt relativ prime.
I.3.5.3. Corolar. Un polinom cu coeficienți într-un corp are cel mult atâtea rădăcini
în K cât este gradul său. Aci se numără fiecare rădăcină de atâtea ori cât este ordinul său de
multiplicitate.

25
Fiind dat un polinom cu coeficienți într-un corp K se poate ca el să nu aibă nici o
rădăcină în K. De exemplu, dacă 𝐾=𝑹 ș𝑖 𝑓=𝑋2+1. Totuși f are rădăcini în C, care este
o extindere a lui R. Vom arăta, în continuare, că acest fapt este mai general.
I.3.5.4. Propoziție. Fie K un corp și 𝑓∈𝐾 𝑋 cu grad 𝑓≥1. Atunci există o
extindere L a corpului K în care f are cel puțin o rădăcină.
Demonstrație . Fie g un factor ireductibil al lui f. Dacă grad 𝑔=1, atun ci f are o
rădăcină în K. În cazul contrar, vom construi o extindere L a lui K în care g are o rădăcină.
Considerăm inelul factor 𝐿=𝐾 𝑋 /𝑔𝐾 𝑋 al lui 𝐾 𝑋 în raport cu idealul generat de g.
Întrucât g este ireductibil, rezultă că L este corp. Căci dacă 𝛼∈𝐿,𝛼=𝑕 ,𝑕∈𝐾 𝑋 ș𝑖 𝛼≠
0 , ceea ce este echivalent cu 𝑕∉𝑔𝐾 𝑋 , rezultă că h este relativ prim cu g, deci există
polinoamele 𝑕′ ș𝑖 𝑔′ din 𝐾 𝑋 astfel încât 1=𝑕′𝑕+𝑔′𝑔, deoarece 𝐾 𝑋 este inel
principal. Urmează că 1 =𝑕′ 𝑕 , deci clasa lui 𝑕′ în L este inversul lui 𝛼. Să observăm că,
clasa 𝑋 a lui X în L este o rădăcină a lui g. În adevăr, avem 𝑔 𝑋 =𝑔 =0.
I.3.5.5. Propoziție. Fie K un corp și 𝑓∈𝐾 𝑋 , cu grad 𝑓=𝑛≥1. Atunci există o
extindere L a lui K în care f are n rădăcini ( numărând fiecare rădăcină cu ordinul său de
multiplicitate).
Demonstrație . Inducție după n. Dacă 𝑛=1, atunci f are o rădăcină în K, deci
afirmația este dovedită în a cest caz. Presupunem afirmația adevărată pentru 𝑛−1 și o
dovedim pentru n. Din propoziția precedentă rezultă o extindere 𝐿′ a lui K astfel încât în 𝐿′
polinomul f are o rădăcină a. Deci în 𝐿′ 𝑋 polinomul f se descompune sub forma 𝑓=
𝑋−𝑎 𝑓′,𝑓′∈𝐿′ 𝐾 . Prin ipoteza inductivă deoarece grad 𝑓′=𝑛−1, rezultă că există o
extindere L a lui 𝐿′ în care 𝑓′𝑎𝑟𝑒 𝑛−1 rădăcini. Atunci în L polinomul f are n rădăcini.
În studiul rădăcinilor multiple ale unui polinom este important următorul criteriu.
I.3.5. 6. Propoziție. Fie k un corp de caracteristică zero și f un polinom de grad
𝑛≥1 din 𝐾 𝑋 . Atunci un element 𝑎∈𝐾 este rădăcină multiplă de ordin s dacă și numai
dacă 𝑓𝑖 𝑎 =0,1,…,𝑠−1 ș𝑖 𝑓𝑠 𝑎 ≠0, unde prin 𝑓𝑖 se înțelege derivata de ordin i a lui
f.
Demonstrație . Reamintim că derivata unui polinom
𝑓∈𝐾 𝑋 ,𝑓= 𝑎𝑖𝑋𝑖 𝑛
𝑖=0 se definește prin formula: 𝑓 1 = 𝑖𝑎𝑖𝑋𝑖−1 𝑛
𝑖=1 iar derivatele de
ordin 𝑖>1 se definesc inductiv prin 𝑓 𝑖 = 𝑓𝑖−1 1 ș𝑖 𝑓 0 =𝑓. Această definiție este
analogă, dacă 𝐾=𝑹, cu cea definită în analiză. Revenind la demonstrația propoziției, știm
că polinomul f poate fi scris, în mod unic , sub forma

26
3 𝑓= 𝑏𝑖 𝑋−𝑎 𝑖𝑛
𝑖=0
unde 𝑏𝑖∈𝐾,𝑖=0,1,…,𝑛. Din (3) re zultă că
(4) 𝑓 𝑖 𝑎 =𝑖!𝑏𝑖.
Din (3) rezultă că dacă a este rădăcină multiplă de ordin s, atunci
𝑏0=𝑏1=⋯=𝑏𝑠−1=0 ș𝑖 𝑏𝑠≠0. Deci în acest caz 𝑓 𝑖 𝑎 =0,𝑖=0,1,…,𝑠−1 și
𝑓 𝑠 𝑎 ≠0. Reciproc, d acă 𝑓 𝑖 𝑎 =0,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑖=0,1,…,𝑠−1 și 𝑓 𝑠 𝑎 ≠0, atunci
din (4) deducem că 𝑏𝑖=0,𝑖=0,1.,…,𝑠−1 ș𝑖 𝑏𝑠≠0, deci a este rădăcină multiplă de
ordin s a lui f.
Observăm că dacă corpul K este de caracteristică 𝑝>0 atunci se poate ca un
element 𝑎∈𝐾 să fie rădăcină a unui polinom 𝑓∈𝐾 𝑋 și a tuturor derivatelor sale și să nu
fie rădăcină multiplă de ordin egal cu gradul polinomului. De exemplu, dacă în inelul
𝒁𝑝 𝑋 considerăm polinomul 𝑓=𝑋𝑝2+𝑋𝑝, atunci 0 este rădăcină multiplă de ordin p a
lui f și 𝑓 𝑖 0 =0 pentru orice 𝑖≥0. Mai mult 𝑓 𝑖 =0, pentru orice 𝑖>0. În particular,
pentru corpurile de caracteristică 𝑝>0 propoziția precedentă nu mai rămâne adevărată.

I.3.6. Elemente algebrice și transcendente. Extinderi algebrice și
transcendente. Ex tinderi finite

Fie 𝐾⊆𝐿 o extindere de corpuri. Se spune că un element 𝑥∈𝐿 este algebric peste
K dacă există un polinom nenul 𝑓∈𝐾 𝑋 astfel încât 𝑓 𝑥 =0. Cu alte cuvinte, x este
algebric peste K dacă și numai dacă este rădăcină a unui polinom nenul cu coeficienți din
K. Un element din L care nu este algebric peste K se numește transcendent peste K.
Extinderea 𝐾⊆𝐿 se numește algebrică dacă orice element din L este algebric peste K și
transcendentă în caz contrar.
Pentru orice extindere de corpuri 𝐾⊆𝐿 un element 𝑥∈𝐾 este algebric peste K
căci este rădăcină a polinomului 𝑋−𝑥 𝑑𝑖𝑛 𝐾 𝑋 . Dacă 𝑥∈𝐿 este un element algebric
peste K, atunci mulțimea M a polinoamelor nenule 𝑔∈𝐾 𝑋 cu proprietatea că 𝑔 𝑥 =0
este nevidă și deci în această mulțime e xistă un polinom de grad minim. Fie f un polinom
de grad minim din M 𝑔∈𝑀. Aplicând teorema împărțirii cu rest se obține 𝑔=𝑓𝑞+𝑟,
unde 𝑞,𝑟∈𝐾 𝑋 și grad 𝑟<grad f . Rezultă că 𝑟 𝑥 =0 și cum f este polinomul de grad
minim în M se deduce că 𝑟=0, deci f divide pe g în 𝐾 𝑋 . Așadar, orice polinom nenul

27
din 𝐾 𝑋 care are pe x ca rădăcină se divide cu orice polinom nenul de grad minim din
𝐾 𝑋 care are pe x ca rădăcină. În particular, două polinoame nenule de grad minim care
au ca rădăcină pe x sunt asociat e în divizibilitate, deci diferă printr -un factor nenul din K .
Rezultă că există un polinom unitar (adică cu coeficientul monomului de grad maxim egal
cu 1) în 𝐾 𝑋 de grad minim care are pe x ca rădăcină. Acest polinom se numește
polinomul minimal al lui x peste K. Dacă 𝑥∈𝐾 polinomul minimal al lui x peste K este
𝑋−𝑥.
I.3.6.1. Propoziție. Fie 𝐾⊆𝐿 o extindere de corpuri și 𝑥∈𝐿 un element algebric
peste K, atunci polinomul minimal al lui x peste K este ireductibil. Reciproc, dacă x este
rădăcină a unui polinom f ireductibil din 𝐾 𝑋 , atunci f este asociat în divizibilitate cu
polinomul minimal al lui x.
Demonstrație . Fie F polin omul minimal al lui x peste K. Dacă F ar fi reductibil ar
exista două polinoame G, 𝐻∈𝐾 𝑋 cu grade strict mai mici decât gradul lui F astfel încât
𝐹=𝐺𝐻. Deoarece 𝐺 𝑥 𝐻 𝑥 =𝐹 𝑥 =0 rezultă sau 𝐺 𝑥 =0 sau 𝐻 𝑥 =0, ceea ce
contrazice faptul că r este polino mul de grad minim care are pe x ca rădăcină. Partea a
doua a propoziției se deduce din faptul că F divide în 𝐾 𝑋 pe f conform celor demonstrate
în aliniatul care precede propoziția.
Să observăm că polinomul minimal al unui element depinde, în mod esențial , de
corpul peste care se consideră polinomul minimal. Astfel dacă se consideră extinderea
𝑸⊂𝐶, elementul 2 are ca polinom minimal peste Q pe 𝑋2−2, iar dacă se consideră
extinderea 𝑹⊂𝑪, atunci polinomul minimal al lui 2 peste R este 𝑋− 2. Polinomul
minimal al lui 2 1+𝑖 /2∈𝑪 peste Q este 𝑋4+1 iar peste R este 𝑋2− 2𝑥+1.
Fie 𝐾⊆𝐿 o extindere de corpuri, 𝑥∈𝐿 un element algebric peste K și f polinomul
minimal al lui x peste K. Orice rădăcină al lui f în L se numește conjugat al lui x pest e K.
Ținând seama de faptul că orice polinom nenul din 𝐾 𝑋 care are pe x ca rădăcină se divide
cu f, deducem că orice polinom din 𝐾 𝑋 care are pe x ca rădăcină, are ca rădăcină și orice
conjugat al lui x. Această afirmație generalizează cunoscuta afirmaț ie că dacă un număr
complex 𝑎+𝑏𝑖,𝑏≠0,𝑎,𝑏∈𝑹 este o rădăcină a unui polinom nenul cu coeficienți reali,
atunci 𝑎−𝑏𝑖 este o rădăcină a acestui polinom și a afirmației analoage: dacă un număr real
de forma 𝑎+𝑏 2,𝑎,𝑏∈𝑸,𝑏≠0, este rădăcină a unui polinom cu coeficienți raționali,
atunci și 𝑎−𝑏 2 este o rădăcină a aceluiași polinom.
Dacă se consideră extinderea 𝑸⊂𝑪, atunci elementele din C algebrice peste Q se
numesc numere algebrice. Deoarece orice rădăcină a unui polinom f din 𝑸 𝑋 este și

28
rădăcină a polinomului 𝑓′ din 𝒁 𝑋 care se obține prin înmulțirea lui f cu un element nenul
din Z, deducem că un număr complex este algebric dacă și numai dacă este răd ăcină a unui
polinom nenul cu coeficienți întregi.
Pe de altă parte, există numere complexe și chiar reale care sunt elemente
transcendente peste Q, numite numere transcendente. Dintre aceste numere menționăm pe
e, baza logaritmilor naturali și 𝜋 raportul dintre lungimea cercului și diametrul său.
Demonstrațiile transcendenței lui e și 𝜋 utilizează relații în care intervine conceptul de
integrală și de aceea ele se găsesc în unele manuale de calcul integral. Aceste demonstrații
au fost date încă în secolul trecut. Mai ușor se poate arăta că există numere transcendente și
se pot da exemple de astfel de numere. Pentru a demonstra aceste afirmații vom demonstra
mai întâi o lemă.
I.3.6.2. Lemă. Mulțimea numerelor algebrice este numărabilă.
Demonstrați e. Este suficient să arătăm că 𝒁 𝑋 este o mulțime numărabilă. În
adevăr, orice număr algebric este rădăcină a unui polinom ireductibil din 𝒁 𝑋 și orice
polinom din 𝒁 𝑋 are un număr finit de rădăcini. Dacă notăm cu 𝑛 𝑓 mulțimea rădăcinilor
complexe ale polinomului 𝑓∈𝒁 𝑋 , atunci deducem că mulțimea 𝑸 a numerelor algebrice
este egală cu ∪𝑛 𝑓 , când f parcurge polinoamele ireductibile din 𝒁 𝑋 . Cum 𝑛 𝑓 este o
mulțime finită și o reuniune numărabilă de mulțimi finite este o mulțime numărabilă este
sufici ent să arătăm că 𝒁 𝑋 este mulțime numărabilă. Dacă pentru un polinom
𝑓∈𝒁 𝑋 ,𝑓= 𝑎𝑖𝑋𝑖𝑚
𝑖=0,𝑎𝑖∈𝒁
notăm cu
𝑓 = |𝑎𝑖|𝑚
𝑖=0
și cu 𝐴 𝑛 = 𝑓∈𝒁 𝑋 ,𝑐𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓≤𝑛 ș𝑖 𝑓 ≤𝑛,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑛∈𝑵 , atunci
𝒁 𝑋 = 𝐴 𝑛
𝑛∈𝑵
observând că 𝐴 𝑛 este mulțime finită, pentru orice 𝑛∈𝑵, deducem că 𝒁 𝑋 este mulțime
numărabilă.
I.3.6.3. Propoziție. Există numere reale care nu sunt numere algebrice.
Demonstrație . Deoarece C este mulțime nenumărabilă iar submulțimea numerelor
algebrice 𝑸 este număra bilă deducem că există numere complexe care nu sunt algebrice.

29
De asemenea, R fiind mulțime nenumărabilă și 𝑸 ∩𝑹 este numărabilă, ca submulțime a
unei mulțimi numărabile, deducem că există numere reale care nu sunt algebrice.
Din demonstrația propoziției precedente rezultă că mulțimea numerelor reale
transcendente (și deci și mulțimea numerelor complexe transcendente) este nenumărabilă.
Ne propunem acum punem în evidență unele numere reale care sunt transcendente.
Pentru aceasta vom demonstra următoarea proprietate, a unui număr real algebric, datorat ă
lui Liouville.
I.3.6.4. Teoremă. Fie 𝛼∈𝑹 o rădăcină a unui polinom f ireductibil de grad 𝑛≥2,
cu coeficienți întregi iar 𝑝 ș𝑖 𝑞>0 numere în tregi. Atunci există un număr real 𝑐>0, care
nu depinde de p și q, astfel încât |𝛼−𝑝/𝑞|>𝑐/𝑞𝑛.
Demonstrație . Fie
𝑓= 𝑎𝑖𝑋𝑖𝑛
𝑖=0,𝑎𝑖∈𝒁,𝑖=0,1,…,𝑛.
Putem presupune că |𝛼−𝑝/𝑞|<1, căci în cazul contrar putem lua 𝑐=1. Fie 𝛼1=
𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛∈𝑪 toate rădăcinile lui f. Obținem
|𝑓(𝑝/𝑞) |=|𝑎_𝑛 ||𝛼−𝑝/𝑞| | 𝛼𝑖−𝑝
𝑞 |≤|𝑎𝑛| |𝛼−𝑝
𝑞| 𝛼 +1+|𝛼𝑖| =𝑛
𝑖=2𝑛
𝑖−2
𝑐′|𝛼−𝑝𝑞|,
unde
𝑐′= 𝑎𝑛 𝛼 +1+|𝛼𝑖| >0𝑛
𝑖=2 este o constantă care nu depinde de p și q. Numărul
𝑓 𝑝/𝑞 este rațional nenul (deoarece f este ireductibil și grad 𝑓≥2) și poate fi scris sub
forma 𝑎/𝑞𝑛, 𝑎∈𝒁, de unde deducem că 𝑐^′ |𝛼−𝑝/𝑞|≥|𝑓(𝑝/𝑞)|≥1/𝑞𝑛. Punând
𝑐=1/𝑐′ se obține afirmația teoremei.
Această teoremă exprimă că numerele algebrice, care nu sunt raționale nu sunt
suficient de bine aproximate prin numere raționale și deci acele numere reale care nu
satisfac condiția din teorema precedentă vor fi numere transcendente. Folosind acest fapt
vom arăta că numerele reale de forma
1 𝛼= 1
𝑎𝑛!∞
𝑛=1
Unde 𝑎>1 este un număr întreg sunt transcendente.
În adevăr, să arătăm mai întâi că 𝛼 nu este un număr rațional. Să presupunem că
𝛼=𝑝/𝑞,𝑐𝑢 𝑝,𝑞>1 numere întregi. Pentru orice 𝑘∈𝑁, înmulțind în egalitatea (1) cu
𝑞𝑎𝑘! se obține o relație de forma

30
2 𝑏=𝑐+𝑞 𝑎−𝑛!+𝑘!∞
𝑛=𝑘+1
În care 𝑏,𝑐∈𝒁. Întrucât seria care determină pe 𝛼 este convergentă, deducem că pentru k
suficien t de mare avem
0≠𝑞 𝑎−𝑛!+𝑘!<1,∞
𝑛=𝑘+1
ceea ce contrazice relația (2), deci 𝛼 nu poate fi număr rațional. Deci dacă 𝛼 ar fi număr
algebric, polinomul său nominal ar avea gradul 𝑟≥2. Din teorema precedentă rezultă că
există un număr real 𝑑>0 astfel în cât, notând
𝑠𝑡= 𝑎−𝑛! 𝑡
𝑛=1 , să avem
3 𝛼−𝑠1 = 𝑎−𝑛!>𝑑𝑎𝑟𝑡!∞
𝑛=𝑡+1
adică
𝑑<𝑎𝑟𝑖! 𝑎−𝑛!=∞
𝑛=𝑡+1 𝑎−𝑛!+𝑟𝑡!∞
𝑛=𝑡+1
Deoarece șirul
𝑎−𝑛!+𝑟𝑡!=𝑠𝑡′ ∞
𝑛=𝑡+1 ,𝑡∈𝑵 este convergent deducem că inegalitatea (3) nu poate avea loc
pentru nici un număr real 𝑑>0, dacă t este ales suficient de mare. Prin urmare 𝛼 este un
număr transcendent.
În continuare vom folosi elemente din teoria spațiilor vectoriale. Dacă 𝐾⊆𝐿 este o
extindere de corpuri, atunci L cu adunarea și înmulțirea în L cu elemente din K introduce o
structură de spațiu vectorial al lui L peste K. Dimensiunea lui L peste K ca spațiu vectorial
se mai numește și gradul extinderii L peste K și se notează de obicei prin 𝐿:𝐾 .
Extinderea 𝐾⊆𝐿 se numește finită dacă 𝐿:𝐾 <∞, adică dacă există o bază finită a lui L
peste K. De exemplu, C este extinderea finită a lui R, în schimb se poate arăta că C și R nu
sunt extinderi finite ale lui Q. Căci dacă 𝛼∈𝑹 este transcendent peste Q, atunci
elementele 1,𝛼,𝛼2…,𝛼𝑛,… sunt liniar independente peste Q.

I.4. Teorema fundamentală a algebrei
Enun ț: Orice polinom cu coeficienți în C are cel puțin o rădăcină în C.
Demonstrație . Va fi suficient să arătăm că orice polinom 𝑓∈𝑪 𝑋 cu grad 𝑓≥1
are cel puțin o rădăcină în C. Dacă grad 𝑓=1, afirmația este evidentă. Dacă grad 𝑓=2,

31
de asemenea, se obține o rădăcină a lui f în C cu ajutorul formulei de rezolvare prin
radicali. Adică 𝑓=𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐,𝑐𝑢 𝑎≠0, atunci
𝑥=−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
este o rădăcină a lui f în C. Pentru cazul în care grad 𝑓>2 vom proceda în modul următor.
Presupunem mai întâi, că 𝑓∈𝑹 𝑋 . Dacă grad f este impar, folosind faptul că
lim𝑥→∞𝑓 𝑥 𝑓 −𝑥 =−1 și continuitatea funcției polinomiale asociate 𝑓:𝑹→𝑹 se
deduce că f are o rădăcină în R. Dacă gradul n a lui f este par, vom scrie 𝑛=2𝑠𝑛′, unde 𝑛′
este un număr impar și vom face o inducție după s. Când 𝑠=0, n este impar și af irmația a
fost dovedi tă mai sus. Presupunem afirmația adevărată pentru 𝑠−1 și o dovedim pentru s.
Rezultă că există o extindere K a lui C în care f are n rădăcini 𝑡1,…𝑡𝑛. Pentru fiecare
𝑎∈𝑹 notăm 𝑢𝑖𝑗𝑎=𝑡𝑖𝑡𝑗+𝑎 𝑡𝑖+𝑡𝑗 pentru toți 𝑖,𝑗∈𝑵,1≤𝑖<𝑗≤𝑛. Considerăm
polinomul
𝑔𝑎= 𝑋−𝑢𝑖𝑗𝑎
1≤𝑖<𝑗≤𝑛
care are evident coeficienții în 𝐾 𝑋 . Deoarece coeficienții lui 𝑔𝑎, sunt polinoame
simetrice în 𝑢𝑖𝑗𝑎 și în 𝑡𝑖,𝑖=1,…,𝑛. Din teorema fundamentală a polinoamelor simetrice
deducem că 𝑔𝑎 are coeficienții în R, căci coeficienții lui 𝑔𝑎 sunt polinoame cu coeficienții
reali de coeficienții lui f. Deoarece gradul lui 𝑔𝑎 este 𝑚=𝑛 𝑛−1 2 rezultă că 2𝑠−1
divide pe m și 2𝑠 nu divide pe m, deducem , din ipoteza inductivă, că 𝑔𝑎 are o rădăcină în
C. Întrucât mulț imea R este infinită, iar mulțimea perechilor 𝑖,𝑗 cu 1≤𝑖<𝑗≤𝑛 este
finită, rezultă că există indicii 𝑠,𝑟,𝑐𝑢 1≤𝑠<𝑟≤𝑛 ș𝑖 𝑎,𝑏∈𝑹 𝑎≠0 astfel încât
𝑢𝑠𝑟𝑎 ș𝑖 𝑢𝑠𝑟𝑏 aparțin lui C. Deci 𝑢𝑠𝑟𝑎−𝑢𝑠𝑟𝑏= 𝑎−𝑏 𝑡𝑠+𝑡𝑟 ∈𝑪, adică 𝑡𝑠+𝑡𝑟∈𝑪.
Obținem apoi că 𝑡𝑠𝑡𝑟=𝑢𝑠𝑟𝑎−𝑎 𝑡𝑠+𝑡𝑟 ∈𝑪. Urmează că 𝑡𝑠 ș𝑖 𝑡𝑟 sunt rădăcini ale unui
polinom de grad 2 cu coeficienți în C, deci 𝑡𝑠 ș𝑖 𝑡𝑟 aparțin lui C. Prin urmare f are o
rădăcină în C. Până acum am arătat că orice polinom cu coefici enți reali are o rădăcină
complexă. Fie acum 𝑓∈𝑪 𝑋 . Notăm cu 𝑓 polinomul obținut din f luând conjugatul
fiecărui coeficient al lui f. Adică dacă
𝑓= 𝑎𝑖𝑋𝑖𝑛
𝑖=0
𝑎𝑖∈𝑪,𝑖=0,1,…,𝑛. Notând cu 𝑎 conjugatul unui număr complex a, obținem
𝑓 = 𝑎 𝑖𝑋𝑖𝑛
𝑖=𝑜

32
Se deduce imediat că polinomul produs 𝑓𝑓 are coeficienții în R, căci 𝑓𝑓 =𝑓 𝑓=𝑓𝑓 .
Rezultă că 𝑓𝑓 are o rădăcină 𝑎∈𝑪. Deci 𝑓𝑓 𝑎 =𝑓 𝑎 𝑓 𝑎 =0, de unde deducem că
𝑓 𝑎 =0 sau 𝑓 𝑎 =0. În primul caz a este o rădăcină a lui f iar în cel de al doile a caz din
𝑓 𝑎 =0 se obține că 0=𝑓 𝑎 =𝑓 𝑎 , deci 𝑎 este o rădăcină a lui f. Prin urmare, f are o
rădăcină în C.
I.4.1. Corolar . Corpul 𝑄 al numerelor algebrice este algebric închis.
În adevăr, fie 𝑓∈𝑸 𝑋 un polinom de grad 𝑛≥1. Fie 𝑎∈𝑪 o rădăcină a lui f. Va fi
suficient să arătăm că 𝑎∈𝑸. Dacă 𝑓= 𝑎𝑖𝑋𝑖,𝑛
𝑖=0𝑎𝑖∈𝑸,𝑖=0,1,…,𝑛, atunci
𝑸 𝑎𝑜,𝑎1,…,𝑎𝑛 este extindere finită a lui Q iar a este algebric peste 𝑸 𝑎𝑜,𝑎1,…,𝑎𝑛 .
Atunci deducem că 𝑸 𝑎𝑜,𝑎1,…,𝑎𝑛,𝑎 =𝑸 𝑎𝑜,𝑎1,…,𝑎𝑛 𝑎 este extindere finită a lui
𝑸 𝑎𝑜,𝑎1,…,𝑎𝑛 și deci și a lui Q. Prin urmare 𝑎∈𝑸.
Se poate arăta mai mult că orice corp are o extindere algebrică care este corp
algebric închis.
I.4.2. Corolar . Polinoamele ireductibile din 𝑹 𝑿 sunt cele de gradul 1 și
polinoamele de gradul 2 de forme 𝑎𝑋2+𝑏𝑋+𝑐,𝑐𝑢 𝑎≠0 ș𝑖 𝑏2+4𝑎𝑐<0.
Într-adevăr, fie f un polinom ireductibil din 𝑹 𝑋 de grad >1. Dacă f are o rădăcină
în R, atunci f are gradul 1. În caz contrar, f are o rădăcină 𝑥∈𝑪,𝑥∉𝑹.
Numărul complex x și conjugatul său complex 𝑥 sunt rădăcini ale unui polinom de gradul
doi 𝑔∈𝑹 𝑋 . Cum 𝑔,𝑓 ≠1 și f este ireductibil obținem 𝑔/𝑓, de unde deducem că f și g
sunt polinoame asociate în divizibilitate, deci f are gradul 2. Dacă 𝑏2−4𝑎𝑐>0, atunci f
ar avea rădăcina reală 𝑥= −𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐 /2𝑎, contradicție.

.

33
CAPITOLUL II
II Rezolvarea ecuațiilor algebrice

II.1 Rezolvarea ecuației de gradul I
Fie 𝑎,𝑏∈ℝ două numere date. Rezolvarea ecuației 𝑎𝑥+𝑏=0, în necunoscuta
𝑥∈ℝ, se realizează astfel:
 dacă 𝑎≠0, atunci ecuația este echivalentă cu 𝑥=−𝑏
𝑎, deci 𝑆= −𝑏
𝑎 ;
 dacă 𝑎=0, și 𝑏≠0, atunci ecuația se scrie 0∙𝑥=𝑏, deci 𝑆=∅;
 dacă a = 0, și b = 0, atunci ecuația se scrie 0∙𝑥=0, deci 𝑆=ℝ.
Fie 𝑎,𝑏∈ℝ. Despre ecuația 𝑎𝑥+𝑏=0, 𝑥∈ℝ, afirmăm:
 admite soluția unică numai dacă 𝑎≠0;
 nu admite soluție dacă 𝑎=0, și 𝑏≠0;
 orice număr real este soluție dacă a = 0, și b = 0.

II.2 Rezolvarea ecuației de gradul II
Vom studia rezolvarea in ℝ a ecuației 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, în necu noscuta x, unde
𝑎,𝑏,𝑐,𝑎≠0, sunt numere reale numite coeficienții ecuației.
Soluție . Un număr 𝛼∈ℝ se numește soluție sau rădăcină a ecuației 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=
0, dacă este adevărată propoziția 𝑎𝛼2+𝑏𝛼+𝑐=0.
Forma canonică a expresiei 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0. Orice expresie 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0,
𝑎≠0, poate fi scrisă sub forma 𝑎 𝐴2+𝐵2 sau 𝐶2−𝐷2 , chiar cu D = 0, deci ca o sumă
sau ca o diferență de pătrate înmulțită cu un număr real.
Se procedează astfel:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥2+𝑏
𝑎∙𝑥+𝑐
𝑎 =𝑎 𝑥2+2∙𝑥∙𝑏
2𝑎+𝑐
𝑎 =𝑎 𝑥2+2∙𝑥∙𝑏
2𝑎+
b2a2−−b2a2+ca=𝑎x+b2a2−b2−4ac4a2

34
Am obținut pentru orice 𝑥∈ℝ, egalitatea
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐= 𝑎 x+b
2a 2
−b2−4ac
4a2 (1)
Membrul drept al egalității (1) se numește forma canonică a expresiei 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.
Numărul ∆=𝑏2−4𝑎𝑐 se numește discriminantul expresiei 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 sau (
discriminantul ecuației 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 ).
Din relația (1) deducem:
 ∆>0, atunci ∆= ∆ 2 și
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐= 𝑎 x+b
2a 2
− ∆
2a 2
=𝑎 𝑥+𝑏
2𝑎+ ∆
2a 𝑥+𝑏
2𝑎− ∆
2a
 ∆=0, 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=a x+b
2a 2

 ∆<0 avem −∆>0 și −∆= −∆ 2 deci 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐= 𝑎 x+b
2a 2
+
+−∆2a2
Teorema 1
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, unde 𝛼,𝑏,𝑐∈ℝ, 𝑎≠0 și discriminantul ecuației
∆=𝑏2−4𝑎𝑐. Putem spune că:
 dacă ∆>0, atunci ecuația admite două soluții reale distincte:
𝑥1=−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎, 𝑥2=−𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎;
 dacă ∆=0, atunci ecuația admite o singură soluție reală
𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎;
 ∆<0, atunci ecuația nu admite soluții reale.
Descompunerea expresiei 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 în produs de factori de forma 𝑝𝑥+𝑞 cu
coeficienți reali. Fie expresia 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 cu 𝑎≠0 și ∆=𝑏2−4𝑎𝑐.
Dacă ∆≥0, atunci expresia 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 are rădăcinile reale 𝑥1,𝑥2 ( eventual
egale ). Din relațiil e (𝐶)1 ș𝑖 ( 𝐶2) rezultă că pentru orice 𝑥∈ℝ are loc egalitatea

35
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥−𝑥1 𝑥−𝑥2 . (2)
Membrul drept al egalității (2) se numește descompunerea expresiei 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
în factori de forma px + q, cu coeficienți reali.
Dacă ∆<0, atunci expresia 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 nu poate fi descompusă în factori de
forma
𝑝𝑥+𝑞, cu 𝑝,𝑞∈ℝ.
II.3 Relații între rădăcini și coeficienți
Teorema 2
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0 (1)
1) Dacă 𝑥1,𝑥2 sunt soluțiile ecuației (1), atunci au loc relațiile:
𝑥1+𝑥2=−𝑏
𝑎,𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎, (2)
care se numesc relațiile între soluțiile și coeficienții ecuației 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 sau
relațiile lui 𝑉𝑖𝑒𝑡𝑒 .
2) Reciproc, dacă numerele p, q verifică relațiile
𝑝+𝑞=−𝑏
𝑎, 𝑝𝑞=𝑐
𝑎,
atunci p, q sunt soluțiile ecuației (1).
Relațiile lui 𝑉𝑖𝑒 𝑡𝑒 se deduc imediat din formula de rezolvare.
Reciproc, dacă p,q verifică relațiile date și 𝑥1,𝑥2 sunt rădăcinile ecuației (1), atunci
𝑥1+𝑥2=𝑝+𝑞 și 𝑥1,𝑥2=𝑝𝑞, de unde deducem 𝑥1=𝑝 și 𝑥2=𝑞 sau 𝑥1=𝑞 și 𝑥2=𝑝
(are loc egalitatea de mulțimi 𝑥1,𝑥2 = 𝑝,𝑞 ).
A. Condiția ca două ecuații să aibă aceleași soluții
Reamintim că numerele a, b, c sunt proporționale cu a', b', c' dacă există 𝜆∈ℝ∖
0 astfel încât a′=λa,b′=λb,c′=λc. Dacă a, b, c sunt nenule, proporționalitatea lor cu
a', b', c' revine la a′
𝑎=b′
𝑏=c′
𝑐.

36
Teorema 3
Fie ecuațiile 𝑎𝑥2+𝑏𝑥2+𝑐=0 (1), a′𝑥2+b′x+c′=0 (1'), 𝑎≠0, a′≠0.
a) Dacă numerele a, b, c sunt proporționale cu a', b', c' atunci ecuațiile (1) și
(1') au aceleași soluții.
b) Reciproc, dacă ecuațiile (1) și (1') au aceleași soluții, atunci ele au
coeficienții proporționali.

Observa ție ! Pentru orice 𝜆∈ℝ∖ 0 , ecuațiile
𝑎𝑥2+𝑏𝑥2+𝑐=0 și 𝜆𝑎𝑥2+𝜆𝑏𝑥+𝜆𝑐=0
Au aceleași soluții (sunt echivalente).
B. Ecuația care are ca soluții două numere date
Fie m, n două numere reale . Ele sunt soluțiile oricărei ecuații de forma
𝜆 𝑥−𝑚 𝑥−𝑛 =0, 𝜆∈ℝ∖ 0 sau 𝑥2− 𝑚+𝑛 𝑥+𝑚𝑛=0.
În consecință ob ținem:
Teorema 4
Dacă se cunosc suma S și produsul P al numerelor m, n, atunci numerele m și n
sunt soluțiile ecuației 𝑥2−𝑆𝑥+𝑃=0.
C. Semnele soluțiilor reale
Dacă ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0 are soluții reale, putem determina semnele
acestor soluții, fără a rezolva efectiv ecuația.
Teorema 5
Fie ecuația 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 𝑎≠0, 𝑆=𝑥1+𝑥2, 𝑃=𝑥1𝑥2 unde 𝑥1,𝑥2 sunt
soluțiile ecuației. Dacă es te îndeplinită condiția din coloana A, atunci 𝑥1,𝑥2 au
proprietățile înscrise pe aceeași linie în coloana B și reciproc:

37
A B
𝑃<0 Soluții reale, de semne contrare
𝑃>0 și ∆<0 Nu există soluții reale
𝑃>0 și ∆≥0 și 𝑆>0 Soluții reale (eventual egale), pozitive
𝑃>0 și ∆≥0 și 𝑆<0 Soluții reale (eventual egale), negative
𝑃=0 O soluție este 0, cealaltă este −𝑏
𝑎

Vom demonstra numai prima echivalen ță, celelalte rezultând ușor prin analogie .
Dacă ecuația are soluțiile reale 𝑥1>0 și 𝑥1<0, atunci 𝑃<0.
Reciproc, dacă 𝑃=𝑐
𝑎<0, rezultă 𝑎𝑐<0, deci ∆=𝑏2−4𝑎𝑐>0, ceea ce
înseamnă că ecuația are soluții reale și semne contrare.

II.4. Rezolvarea ecuației de gradul III
Formula de rezolvare pentru ecuația de gradul al treilea.
a) Considerăm ecuația de gradul al treilea
ax3 + bx2 + cx + d = 0;
substituim
x → x + h
și putem să -l alegem pe h astfel ca în noua ecuație să se anuleze coeficientul în x2; avem în
adevăr acest termen în monoamele
a(x + h)3 + x + h)2
cu coeficientul
3ah + b,
deci putem să luam

38
𝑕= − 𝑏
3𝑎.
b) Presupunem deci ecuația redusă la forma simplificată
X3 + px + q = 0.
Căutăm o soluție de forma
X = u + v,
deci
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0,
u3 + v3 + (u + v) (3uv + p) + q = 0. (1)
Pentru determinarea necunoscutelor u, v în afară de (1) putem să punem o condiție în
plus, preferabil o astfel de condiție care să simplifice ecuația (1), de exemplu
3uv + p = 0,
pentru care (1) se reduce la
u3 + v3 + q = 0. (2)
Avem deci
u3 + v3 = q, u3v3 = – 𝑝3
27.
Deci u3, v3 sunt rădăcinile ecuației
z2 + qz – 𝑝2
27 = 0,
adică
u3, v3 = – 𝑞
2 ± 𝑞2
4+𝑝3
27. (3)
Obținem astfel formula lui Cardan
x = −𝑞
2+ 𝑞2
4+𝑝
273 3
+ −𝑞
2− 𝑞2
4+𝑝
273 3
.

39
Obținem celelalte două soluții, observând că pentru u, v avem trei valori deduse din (3), de
forma
u, 𝜀𝑢, 𝜀2𝑢; v, 𝜀𝑣, 𝜀2𝑣,
unde 𝜀,𝜀2 sunt rădăcinile cubice complexe ale unității, grupate astfel ca produsul uv, dat de
(2), să aibă valoarea – 𝑝
3.

II.4.1 . Relații între rădăcini și coeficienți
a) Dacă 𝑥1,𝑥2,𝑥3 sunt rădăcinile ecuației de gradul al treilea, avem:
𝑎 𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑=𝑎 𝑥−𝑥1 𝑥−𝑥2 𝑥−𝑥3 , (1)
de unde
𝑥1+𝑥2+𝑥3=−𝑏
𝑎,
𝑥1𝑥2+𝑥2𝑥3+𝑥3𝑥1=𝑐
𝑎 ,
𝑥1𝑥2𝑥3=−𝑑
𝑎. (2)
Sistemul (2) este echivalent cu (1), la care se reduce prin eliminarea a două dintre
necunoscute. Dar dacă ne este dată încă o relație între rădăcini, folosirea sistemului (2)
poate să devină utilă.
Relațiile (2) dau naștere la diverse aplicații.
b) Notăm
𝑆𝑚=𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐𝑚
𝑚. (3)
Dacă 𝑠1=0, atunci
𝑠5=𝑠2𝑠3, 𝑠7=𝑠2𝑠5 (4)
Considerăm pe a, b, c ca rădăcinile ecuației
𝑥3+𝑝𝑥+𝑞=0, (5)

40
deci
𝑎+𝑏+𝑐=0,𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=𝑝,𝑎𝑏𝑐=−𝑞 .
Notăm
𝑆𝑚=𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐𝑚.
Rezultă
𝑆1=𝑎+𝑏+𝑐=0,
𝑆2=𝑎2+𝑏2+𝑐2= 𝑎+𝑏+𝑐 2−2 𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎 =−2𝑝,
𝑆3=𝑎3+𝑏3+𝑐3= 𝑎+𝑏+𝑐 3−3 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 =3𝑎𝑏𝑐=−3𝑞.
Înmulțim ecuația (5) cu 𝑥𝑛
𝑥𝑛+3+𝑝𝑥𝑛+1+𝑞𝑥𝑛=0;
Înlocuim pe x prin a, b, c și adunăm rezultatele; obținem:
𝑆𝑛+3+𝑝𝑆𝑛+1+𝑞𝑆𝑛=0,
deci
𝑆4=−𝑝𝑆2=2𝑝2,
𝑆5=−𝑝𝑆3−𝑞𝑆2=5𝑝𝑞,
𝑆6=−𝑝𝑆4−𝑞𝑆3=−2𝑝3+3𝑞2,
𝑆7=−𝑝𝑆5−𝑞𝑆4=−7𝑝2𝑞,
de unde
𝑠2=−𝑝,𝑠3=−𝑞,𝑠5=𝑝𝑞,𝑠7=−𝑝2𝑞,
ceea ce justifică relațiile (4).

41
II.5. Rezolvarea ecuației de gradul IV
Formula de rezolvare a ecuației de gradul al patrulea. Considerăm ecuația
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, 𝑎≠0;
prin substituția
𝑥→𝑥−𝑏
4𝑎
aducem ecuația la forma redusă
x4 + px2 + qx + r = 0. (1)
Căutăm pentru această ecuație o soluție de forma
x = u + v + w,
deci
x2 = u2 + v2 + w2 + 2(uv + vw + uw),
x4 = (u2 + v2 + w2)2 + 4(uv + vw + uw) (u2 + v2 + w2) + 4(u2v2 + v2w2 + u2w2) +
+ 8uvw(u + v + w).
Înlocuim în (1)
(u2 + v2 + w2)2 + 4(uv + vw + uw) u2+ v2 + w2+𝑝
2 + p(u2 + v2 + w2) + (u + v +
+ w)(8uvw + q) + 4(u2v2 + v2w2 + u2w2) + r = 0.
Supunem pe u, v, w la condiția de a anula doi coeficienți
u2+ v2 + w2+𝑝
2=0,uvw +𝑞
8=0;
rămâne
(u2 + v2 + w2)2 + p(u2 + v2 + w2) + 4(u2v2 + v2w2 + u2w2) + r = 0,
u2+ v2 + w2+𝑝
2 2 + 4(u2v2 + v2w2 + u2w2) + 𝑟−𝑝2
4=0.
Avem deci

42
u2 + v2 + w2 = −𝑝
2, u2v2 + v2w2 + u2w2 = 𝑝2−4𝑟
16,
u2v2w2 = 𝑞2
64,
deci u2, v2,w2 sunt rădăcinile ecuației
𝑦3+𝑝
2𝑦2+𝑝2−4𝑟
16𝑦−𝑞2
64=0.
Rezolvarea ecuației de gradul al patrulea revine la rezolvarea unei ecuații de gradul
al treilea; dacă 𝑦1,𝑦2,𝑦3 sunt rădăcinile acestei ecuații, ecuația (1) are rădăcinile
𝑥=± 𝑦1± 𝑦2± 𝑦3,
alegând semnele astfel ca produsul radicalilor să dea −𝑞
8.
Formula are numai valoarea teoretică, arătând posibilitatea exprimării rădăcinilor
ecuației în funcție de coeficienț i; aceste funcții sunt din nou iraționale.

II.5.1 Relații între rădăcini și coeficienți
a) Fie 𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 rădăcinile ecuației
𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑑𝑥+𝑒=𝑎 𝑥−𝑥1 𝑥−𝑥2 𝑥−𝑥3 𝑥−𝑥4 . (1)
Rezultă
𝑥1=−𝑏
𝑎 , 𝑥1𝑥2=𝑐
𝑎 , 𝑥1𝑥2𝑥3=−𝑑
𝑎, 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4=𝑒
𝑎 . (2)
b) Mai general, orice expresie simetrică de rădăcinile ecuației este funcție
rațională de coeficienți.
În particular să notăm
𝑆𝑚=𝑥1𝑚+𝑥2𝑚+𝑥3𝑚+𝑥4𝑚 (3)
și deoarece 𝑎≠0 să scriem ecuația sub forma
𝑥4+𝑝𝑥3+𝑞𝑥2+𝑟𝑥+𝑠=0. (4)

43
Avem
𝑆1=−𝑝, 𝑆2= 𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4 2−2 𝑥1𝑥2=𝑝2−2𝑞 (5)
Pentru calcularea lui 𝑆3 să înmulțim parte cu parte relațiile
𝑥1=−𝑝, 𝑥1𝑥2=𝑞 ;
obținem
𝑥12𝑥2+3 𝑥1𝑥2𝑥3=−𝑝𝑞,
deci
𝑥12𝑥2=−𝑝𝑞+3𝑟. (6)
Înmulțim acum parte cu parte relațiile
𝑥1=−𝑝, 𝑥12=𝑝2−2𝑞
și obținem
𝑥13+ 𝑥1𝑥22=−𝑝3+2𝑝𝑞,
și ținând seama de (6), obținem
𝑆3= 𝑥13=−𝑝3+3𝑝𝑞−3𝑟.
Mai departe, înmulțind ecuația (4) cu 𝑥𝑛, înlocuind apoi pe x prin 𝑥1 ,𝑥2,𝑥3,𝑥4 și
sumând, obținem relația de recurență:
𝑆𝑛+4+𝑝𝑆𝑛+3+𝑞𝑆𝑛+2+𝑟𝑆𝑛+1+𝑠𝑆𝑛=0,
de unde
𝑆4=𝑝4−4𝑝2𝑞+4𝑝𝑟+2𝑞2−4𝑠,
𝑆5=−𝑝5+5𝑝3𝑞−5𝑝2𝑟−5𝑝𝑞2+5𝑞𝑟+5𝑝𝑠.

44
II.6. Ecuații de grad superior

Se numește ecuație algebrică cu o singură necunoscută o ecuație de forma:
𝑓 𝑥 =0 (1)
unde f este un polinom nenul.
Dacă f este polinomul 𝑓=𝑎0+𝑎1𝑋+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛 (𝑎𝑛≠0) atunci ecuația
algebrică (1) se scrie:
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯𝑎1𝑥+𝑎0=0. (1')
Gradul polinomului f se numește gradul ecuației algebrice (1) sau (1') iar numerele
complexe 𝑎0,𝑎1,…,𝑎𝑛 se numesc coeficienții ecuației algebrice (1) sau (1').
Dacă coeficienții ecuației algebrice sunt numere reale (respectiv raționale), atunci
se zice că ecuația al gebrică (1) sau (1') este cu coeficienții reali (respectiv raționali). O
ecuație care nu poate fi redusă la o ecuație algebrică folosind operațiile: adunare, înmulțire,
ridicare la putere etc. se numește transcendentă.
Să considerăm din nou ecuația algebri că
𝑓 𝑥 =0. (1)
Numărul complex a se numește soluția sau rădăcina ecuației (1) dacă are loc egalitatea
𝑓 𝑎 =0. Se vede că a este rădă cină a ecuației (1) dacă și numai dacă a este rădăcină a
polinomului f.
Determinarea rădăcinilor ecuației algebrice (1) este una dintre cele mai importante
probleme ale matematicii și multă vreme a constituit obiectul principal al algebrei.
Încercările ulterioare ale matematicienilor de a găsi formule de rezolvare pentru
ecuațiile algebrice de grad mai mare decât patru au fost zadarnice. Problema a fost
rezolvată (în sens negativ) de matematicianul norvegian H. Abel și matematicianul italian
A. Ruffini l a începutul secolului al XIX -lea.

45
II.6.1. Teorema lui Abel -Ruffini
Ecuația algebrică generală1 de grad mai mare decât patru nu poate fi rezolvată prin
radicali (cu alte cuvinte, nu există nici o formulă (expresie) cu radicali formată cu
coeficienții ecuației, care să fie o rădăcină a ecuației).
Sunt bine cunoscute formulele de determinare a rădăcinilor pentru ecuațiile de
gradul I și gradul II. De asemenea se cunosc formulele de rezolvare pentru ecuația de
gradul III (numite formulele lui Cardano) precum și pentru ecuația de gradul IV.
Inconvenientul acestor formule (pentru ecuațiile de gradele III și IV) constă în aceea că
sunt foarte complicate și nu au nici o utilizare practică. Am văzut prin teorema lui Abel –
Ruffini că pen tru ecuația generală de grad ≥5 nu se pot da formule de determinare a
rădăcinilor prin radicali.
Ceea ce ne propunem în acest paragraf este de a arăta că există ecuații de grad ≥3
pentru care se pot da formule de determinare a rădăcinilor lor.
II.6.2. Ecuații binome
Forma ecuațiilor binome este
(1) 𝑥𝑛−𝑎=0 𝑎∈𝐶,𝑛≥1 .
Rezolvarea acestor ecuații este făcută în manualul de Geometrie. Se procedează astfel: se
scrie numărul a sub formă trigonometrică, 𝑎=𝛾 𝑐𝑜𝑠𝜑+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑 . Atunci soluțiile ecuației
(1) sunt date de formula
𝑥= 𝛾𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜑+2𝑘𝑛
𝑛+𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑+2𝑘𝑛
𝑛 .
unde 0≤𝑘≤𝑛−1.
Trebuie să observăm că rezolvarea ecuațiilor de gradele I și II se reduce la rezolvarea unor
ecuații binome.
Ideea de r ezolvare a ecuațiilor de grad ≥3 este de a reduce la rezolvarea succesivă
a unui număr de ecuații simple (de regulă ecuații binome).

1 Prin ecuația algebrică generală de gradul n înțelegem o ecuație de forma (1') în care coeficienții
𝑎0,𝑎1,… 𝑎𝑛 sunt ”variabile”

46
II.6.3. Ecuații bipătrate
Forma generală a ecuațiilor bipătrate este:
(2) 𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐=0,
unde 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑪 ș𝑖 𝑎≠0.
Rezolvarea ecuației (2) se face astfel.
Se face substituția 𝑥2=𝑦 și obținem ecuația de gradul doi
(3) 𝑎𝑦2+𝑏𝑦+𝑐=0.
Ecuația (3) se numește rezolventa ecuației (2) și rădăcinile ei sunt:
𝑦1=−𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 și 𝑦2=−−𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎.
Din egalitatea 𝑥2=𝑦 obținem ecuațiile
𝑥2=𝑦1 ș𝑖 𝑥2=𝑦2.
Ecuația 𝑥2=𝑦1 are rădăcinile :
𝑥1= −𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 și 𝑥2=− −𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Ecuația 𝑥2=𝑦2 are rădăcinile :
𝑥3= −𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 și 𝑥4=− −𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎.
Numerele 𝑥1,𝑥2,𝑥3, 𝑥4 sunt rădăcinile ecuației (2).
Rădăcinile ecuației (2) pot fi cuprinse în formula

(4) x=± −𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
numită formula de rezolvare a ecuației bipătrate.

47
Observație . În formula de rezolvare a ecuației bipătrate apar radicali de forma
𝐴+ 𝐵. Acești radicali pot fi aduși la o sumă sau diferență de radicali mai simpli
utilizând formula:
(5) 𝐴± 𝐵= 𝐴+ 𝐴2−𝐵
2± 𝐴− 𝐴2−𝐵
2
(𝐴2≥𝐵,𝐵≥0 ) ( această formulă se verifică direct prin ridicare la pătrat ).

II.6.4. Ecuații reciproce
O ecuație de forma
𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0=0, 𝑎𝑛≠0 ,
având proprietatea 𝑎𝑛−𝑖=𝑎𝑖 oricare ar fi 𝑖 (0≤𝑖≤𝑛), se numește ecuație reciprocă de
gradul n (astfel spus, o ecuație este reciprocă dacă coeficienții termenilor egal depărtați de
extremi sunt egali).
1* Dacă ecuația reciprocă are rădăcina 𝛼, atunci ea are și rădăcina 1
𝛼.
Într-adevăr, dacă 𝑓 𝑥 𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0 este o
ecuație reciprocă având rădăcina 𝛼, atunci 𝑎𝑛𝛼𝑛+𝑎𝑛−1𝛼𝑛−1+⋯++𝑎2𝛼2+
𝑎1𝛼+𝑎0=0. Cum 𝛼≠0 (în caz contrar, ar rezulta 𝑎0=0 ș𝑖 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑎𝑛=0)
putem să împărțim cu 𝛼𝑛 și obținem relația:
𝑎𝑛+𝑎𝑛−11
𝛼+⋯+𝑎2 1
𝛼 𝑛−2
+𝑎1 1
𝛼 𝑛−1
+𝑎0 1
𝛼 𝑛
=0.
Ținând cont de faptul că 𝑎𝑖=𝑎𝑛−𝑖 oricare ar fi 𝑖 (0≤𝑖≤𝑛) obținem:
𝑎𝑛 1
𝛼 𝑛
+𝑎𝑛−1 1
𝛼 𝑛−1
+⋯+𝑎11
𝛼+𝑎0=0.
și deci și 1
𝛼 este de asemenea rădăcină.
2* Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcina 𝑥=−1.
Într-adevăr fie
𝑓 𝑥 =𝑎2𝑝+1𝑥2𝑝+1+𝑎2𝑝𝑥2𝑝+⋯+𝑎𝑝+1𝑥𝑝+1+𝑎𝑝𝑥𝑝+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0.

48
o ecuație reciprocă de grad impar 𝑛=2𝑝+1.
Înlocuind 𝑥=−1, obținem în membrul stâng numărul:
𝑓 −1 =𝑎2𝑝+1 −1 2𝑝+1+𝑎2𝑝 −1 2𝑝+⋯+𝑎𝑝+1 −1 𝑝+1+𝑎𝑝 −1 𝑝+⋯+
+𝑎1 −1 +𝑎0=−𝑎2𝑝+1+𝑎2𝑝+⋯+𝑎𝑝+1 −1 𝑝+1+𝑎𝑝 −1 𝑝+⋯+ −𝑎1 +𝑎0.
Cum 𝑎0=𝑎2𝑝+1, 𝑎1=𝑎2𝑝,𝑎2=𝑎2𝑝−1,…,𝑎𝑝=𝑎𝑝+1, atunci grupând termenii egal
depărtați de extremi obținem:
𝑓 −1 = 𝑎𝑜−𝑎2𝑝+1 + 𝑎2𝑝−𝑎1 + 𝑎2−𝑎2𝑝−1 +⋯+ −1 𝑝 𝑎𝑝−𝑎𝑝+1 =0.
Rezultă că 𝑥=−1 este rădăcină pentru ecuația reciprocă de grad impar.
3* Orice ecuație reciprocă de grad impar
𝑓 𝑥 =𝑎2𝑝+1𝑥2𝑝+1+𝑎2𝑝𝑥2𝑝+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0=0,
se reduce la rezolvarea ecuației 𝑥+1=0 și a unei ecuații reciproce de grad par,
𝑔 𝑥 =𝑏2𝑝𝑥2𝑝+𝑏2𝑝−1𝑥2𝑝−1+⋯𝑏1𝑥+𝑏0=0.
Într-adevăr, din 2* ecuația 𝑓 𝑥 =0 are rădăcină 𝑎=−1. Conform teoremei lui
Bezout putem scrie:
𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝑔 𝑥 .
Presupunem că 𝑔 𝑥 =𝑏2𝑝𝑥2𝑝+𝑏2𝑝−1𝑥2𝑝−1+⋯+𝑏1𝑥+𝑏0. Deci
𝑎2𝑝+1𝑥2𝑝+1+𝑎2𝑝𝑥2𝑝+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0= 𝑥+1 ⋅ 𝑏2𝑝𝑥2𝑝+𝑏2𝑝−1𝑥2𝑝−1+⋯+𝑏1𝑥+
+𝑏0.
de unde obținem:
𝑎2𝑝+1=𝑏2𝑝,𝑎0=𝑏0,
𝑎2𝑝=𝑏2𝑝+𝑏2𝑝−1,𝑎1=𝑏1+𝑏0,
𝑎2𝑝−1=𝑏2𝑝−1+𝑏2𝑝−2,𝑎2=𝑏2+𝑏1,
…………………………………………………..

49
Cum 𝑎𝑖=𝑎2𝑝+1−𝑖,𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑎𝑟 𝑓𝑖 𝑖 0≤𝑖≤2𝑝+1 obținem din primele egalități
𝑏0=𝑏2𝑝. Cum 𝑏2𝑝+𝑏2𝑝−1=𝑏1+𝑏0 𝑜𝑏ț𝑖𝑛𝑒𝑚 𝑏1=𝑏2𝑝−1. Din următoarele egalități
obținem că 𝑏2=𝑏2𝑝−2 .
Procedând la fel, din egalitățile următoare deducem în final că
𝑏𝑖=𝑏2𝑝−𝑖 𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒 𝑎𝑟 𝑓𝑖 0≤𝑖≤2𝑝.
Deci ecuația 𝑏2𝑝𝑥2𝑝+𝑏2𝑝−1𝑥2𝑝−1+⋯+𝑏1𝑥+𝑏0=0 este reciprocă.

II.6.4.1. Rezolvarea ecuației reciproce de gradul III
Forma generală a ecuației reciproce de gradul III este:
(1) 𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑏𝑥+𝑎=0, 𝑎≠0 .
Această ecuație are rădăcina 𝑥=−1. Atunci putem să scriem
𝑥+1 𝑎𝑥2+ 𝑏−𝑎 𝑥+𝑎 =0.
Ecuația (1) admite rădăcinile:
𝑥1=−1 ș𝑖 𝑥2,𝑥3 𝑑𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎ț𝑖𝑎 𝑎𝑥2+ 𝑏−𝑎 𝑥+𝑎=0.

II.6.4.2. Rezolvarea ecuației reciproce de gradul IV
Forma generală a ecuației reciproce de gradul IV este:
(2) 𝑎𝑥4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎=0, 𝑎≠0 .
Cum 𝑎≠0, ecuația (1) nu admite ca rădăcină pe 𝑥=0. În (1) împărțim cu 𝑥2 și obținem
ecuația
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+𝑏
𝑥+𝑎
𝑥2=0
grupând termenii în mod convenabil avem:
𝑎 𝑥2+1
𝑥2 +𝑏 𝑥+1
𝑥 +𝑐=0.

50
Facem substituția 𝑦=𝑥+1
𝑥. Cum 𝑥2+1
𝑥2=𝑦2−2 obținem ecuația în y
𝑎 𝑦2−2 +𝑏𝑦+𝑐=0 𝑠𝑎𝑢 2 𝑎𝑦2+𝑏𝑦+𝑐−2𝑎=0.
Ecuația (2) se numește rezolventa ecuației (1).
Dacă 𝑦1,𝑦2 sunt rădăcinile ecuației (2) atunci obținem două ecuații:
𝑥+1
𝑥=𝑦1 ș𝑖 𝑥+1
𝑥=𝑦2
sau (3) 𝑥2−𝑦1𝑥+1=0
și (4) 𝑥2−𝑦2𝑥+1=0.
Dacă 𝑥1,𝑥2 sunt rădăcinile ecuației (3) și 𝑥3,𝑥4 sunt rădăcinile ecuației (4) atunci
𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4 sunt rădăcinile ecuației (1).

II.6.4.3. Rezolvarea ecuației reciproce de gradul V
Forma generală a ecuației de gradul V este:
𝑎𝑥5+𝑏𝑥4+𝑐𝑥3+𝑐𝑥2+𝑏𝑥+𝑎=0.
Deoarece această ecuație este de grad impar, din proprietatea 3* rezolvarea acestei ecuații
se reduce la rezolvarea ecuației 𝑥+1=0 și a unei ecuații reci proce de gradul IV.

51
CAPITOLUL III
III Aproximarea rădăcinilor ecuațiilor algebrice
III.1. Separarea rădăcinilor prin metoda șirului lui Rolle
Puține sunt situațiile în care rădăcinile reale ale acestei ecuații se pot determina
exact. După cum se știe chiar în cazul particular al ecuațiilor algebrice cu coeficienți reali
rădăcinile nu se pot determina exact pentru ecuații de grad mai mare decât 4 (în
confor mitate cu teorema lui Abel – Ruffini prezentată în capitolul precedent). Așadar, are
sens și este pe deplin justificată problema aproximării rădăcinilor reale ale ecuației
𝑓 𝑥 =0.
Primul pas în aproximarea rădăcinilor reale ale ecuației 𝑓 𝑥 =0 este izolarea
fiecărei rădăcini reale într -un interval al axei reale de lungime cât mai mică. Un procedeu
de izolare a rădăcinilor este dată în metoda șirului lui Rolle, iar pentru micșorarea fiecărui
interval astfel obținut se continuă cu aplicarea câtor va pași din algoritmul înjumătățirii
intervalului. O dată izolată rădăcina într -un interval de lungime mică se aplică pentru
aproximarea acesteia o metodă iterativă care furnizează un șir de aproximații ale rădăcinii.
Oprirea algoritmului se realizează la acel termen al șirului care aproximează rădăcina cu
precizia dorită.
Teorema III.1.1. Fie 𝐼⊂ℝ un interval și 𝑓:𝐼→ℝ o funcție continuă. Atunci ∀ 𝑎,𝑏∈
𝐼,𝑎<𝑏,𝑓(𝑎)∙𝑓(𝑏)<0 există 𝑥0∈(𝑎,𝑏) astfel încât 𝑓𝑥0=0. Dacă, în plus, f este strict
monoto nă pe (a, b) atunci ecuația 𝑓 𝑥 =0 are în intervalul (a, b) o soluție unică.
Demonstrație . Deoarece funcția f este continuă, va avea proprietatea lui Darboux și
întrucât și 𝑓(𝑎)∙𝑓(𝑏)<0 deducem că 𝑓(𝑎)<0<𝑓(𝑏) sau 𝑓(𝑏)<0<𝑓(𝑎). Atunci
intervalul 𝑓 𝑎 ,𝑓(𝑏) 𝑠𝑎𝑢 𝑓 𝑏 ,𝑓(𝑎) conține pe zero și din proprietatea lui Darboux
rezultă că există 𝑥0∈(𝑎,𝑏) astfel încât 𝑓(𝑥0)=0. Dacă funcția f este și strict monotonă
atunci va fi injectivă și nu poate avea mai mult de o soluție în intervalul (a, b).
Definiție: fie 𝐼=(𝑎,𝑏) cu a, b finite sau infinite, 𝑎<𝑏 ș𝑖 𝑓:𝐼→ℝ o funcție
derivabilă astfel încât funcția 𝑓´ este continuă și se anulează într -un număr finit de puncte
distincte 𝑥1<𝑥2<⋯<𝑥𝑛−1. Atunci șirul
lim𝑥→𝑎,𝑥>𝑎𝑓 𝑥 ,𝑓 𝑥1 ,…,𝑓(𝑥𝑛−1),lim𝑥→𝑏,𝑥<𝑏𝑓 𝑥 se numește șirul lui Rolle asociat
funcției f.
Teorema III.1.2. Fie ecuația 𝐼= 𝑎,𝑏 cu a, b finite sau infinite, 𝑎<𝑏 și 𝑓:𝐼→ℝ o
funcție derivabilă astfel încât funcția 𝑓´ este continuă și se anulează într -un număr fi nit de

52
puncte distincte 𝑥1<𝑥2<⋯<𝑥𝑛−1. Dacă notăm 𝑥0=𝑎,𝑥𝑛=𝑏 și dacă există 𝑖∈
1,…,𝑛 astfel încât 𝑓𝑥𝑖−1∙𝑓𝑖<0 (respectiv 𝑓𝑥𝑖−1∙𝑓𝑖>0), atunci în intervalul (𝑥𝑖−1,𝑥𝑖)
există o singură rădăcină a ecuației 𝑓 𝑥 =0 (respectiv, în intervalul (𝑥𝑖−1,𝑥𝑖) nu există
nici o rădăcină a ecuației 𝑓 𝑥 =0).
Demonstrație : deoarece pe intervalele 𝑥𝑖−1,𝑥𝑖 , 𝑖=1,𝑛 funcția 𝑓´ nu se anulează,
în virtutea continuității sale avem 𝑓´ 𝑥 ≠0,∀𝑥∈(𝑥𝑖−1,𝑥𝑖) și astfel f este strict monotonă
pe intervalele (𝑥𝑖−1,𝑥𝑖), 𝑖=1,𝑛 . Dacă 𝑓(𝑥𝑖−1)∙𝑓(𝑥𝑖)<0 atunci în virtutea teoremei
precedente ecuația 𝑓 𝑥 =0 are în intervalul 𝑥𝑖−1,𝑥𝑖 exact o soluție. Dacă 𝑓(𝑥𝑖−1)∙
𝑓(𝑥𝑖)>0 atunci 𝑓 𝑥𝑖−1 ,𝑓(𝑥𝑖)>0 sau 𝑓 𝑥𝑖−1 ,𝑓(𝑥𝑖)<0 și deoarece f este strict
monotonă pe intervalul (𝑥𝑖−1,𝑥𝑖) rezultă că nu se poate anula în interiorul intervalului
(𝑥𝑖−1,𝑥𝑖).
Observația 1 . Teorema precedentă se poate reformula astfel: între două rădăcini
consecutive ale der ivatei există cel mult o rădăcină a funcției. Acest enunț se mai numește
consecința teoremei lui Rolle, iar aplicarea sa crează metoda șirului lui Rolle de separare a
rădăcinilor.
În condițiile teoremei precedente, numărul variațiilor de semn din șirul lui Rolle
(din care am exclus termenii nuli) este egal cu numărul rădăcinilor reale ale ecuației
𝑓 𝑥 =0 situate în mulțimea (𝑎,𝑏)∖ 𝑥1,…,𝑥𝑛−1 .
Observația 2 . O dată cu aplicarea teoremei precedente, fiecare rădăcină reală a
ecuației 𝑓 𝑥 =0 este izolată într -un interval de forma 𝑥𝑖−1,𝑥𝑖 pentru care avem
inegalitatea 𝑓(𝑥𝑖−1)∙𝑓(𝑥𝑖)<0 pentru doi termeni consecutivi din șirul lui Rolle. Acest
interval se poate micșora prin aplicarea în continuare a metodei înjumătățirii intervalului.
Scopul acestei micșorări a intervalului este acela de a izola rădăcina într -un interval pe care
să poată fi îndeplinite condițiile de convergență a metodei iterative care se va aplica în
continuare pentru a aproxima cu acuratețe cât mai mare rădăcina ecuați ei.
III.2. Metoda iterativă a tangentei
Fie 𝑓: 𝑎,𝑏 →ℝ derivabilă pe 𝑎,𝑏 cu derivate continue. Presupunem că în urma
aplicării metodei șirului lui Rolle de separare a rădăcinilor și în urma aplicării unor pași din
metoda înjumătățirii intervalului ecuației 𝑓 𝑥 =0 are în intervalul 𝑎,𝑏 o singură soluție
reală 𝑥∗∈(𝑎,𝑏). De asemenea presupunem că 𝑓´(𝑥)≠0, ∀𝑥∈(𝑎,𝑏). Alegând un punct
𝑥0∈ 𝑎,𝑏 , în care 𝑓´𝑥0≠0, tangentă la graficul funcției f în punctul (𝑥0,𝑓 𝑥0 ) are
ecuația car teziană explicită
𝑦=𝑓 𝑥0 +𝑓´ 𝑥0 (𝑥−𝑥0)

53
Și intersecția acestei drepte cu axa 𝑂𝑥 ne dă pe această axă punctul 𝑥1,0 cu
𝑥1=𝑥0−𝑓(𝑥0)
𝑓´(𝑥0)
Astfel, din acest raționament geometric, punctul 𝑥1∈(𝑎,𝑏) aproximează rădăcina 𝑥∗.
Procedeul poate continua alegând în locul punctului 𝑥0 pe 𝑥1. Tangenta la graficul funcției
f în punctul 𝑥1,𝑓(𝑥1) are ecuația carteziană explicită
𝑦=𝑓 𝑥1 +𝑓´ 𝑥1 (𝑥−𝑥1)
și intersecția sa cu axa 𝑂𝑥 este punctul 𝑥2,0 cu 𝑥2∈(𝑎,𝑏)
𝑥2=𝑥1−𝑓(𝑥1)
𝑓´(𝑥1)
Continuând în acest mod se obține un șir 𝑥𝑛 𝑛∈ℕ de aproximații ale rădăcinii 𝑥∗ cu
𝑥𝑛∈(𝑎,𝑏), ∀ 𝑛∈ℕ∗, dat în mod recurent prin
𝑥𝑛=𝑥𝑛−1−𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓´(𝑥𝑛−1),𝑛∈ℕ∗ (1)
Pentru convergența către 𝑥∗ a șirului dat prin recurență în (1) are loc:

Teorema III.2.1. Fie 𝑓: 𝑎,𝑏 →ℝ o funcție de clasa 𝐶2 𝑎,𝑏 cu 𝑓´ 𝑥 ≠
0,𝑓′′ 𝑥 ≠0,∀𝑥∈ 𝑎,𝑏 ș𝑖 𝑓 𝑎 ⋅𝑓 𝑏 <0. Atunci ecuația 𝑓 𝑥 =0 are o unică soluție
în intervalul 𝑎,𝑏 , obținută ca limită a șirului 𝑥𝑛 𝑛∈ℕ dat în mod recurent în (1) unde
𝑥0∈ 𝑎,𝑏 este fixat arbitrar astfel încât 𝑓 𝑥0 ⋅𝑓′′ 𝑥0 >0.
Demonstrație : Din continuitatea funcției f și din condiția 𝑓 𝑎 ⋅𝑓 𝑏 <0 deducem
că ecuația 𝑓 𝑥 =0 are o soluție în intervalul 𝑎,𝑏 . Deoarece 𝑓´ 𝑥 ≠0,∀𝑥∈
𝑎,𝑏 rezultă că funcția f este strict monotonă și atunci ecuația 𝑓 𝑥 =0 are o unică soluție
în intervalul 𝑎,𝑏 . Fie aceasta 𝑥∗∈(𝑎,𝑏). Având 𝑓 𝑎 ⋅𝑓 𝑏 <0 deducem că ori
𝑓 𝑎 <0,𝑓 𝑏 >0,𝑜𝑟𝑖 𝑓 𝑏 <0,𝑓 𝑎 >0. Presupunem că suntem în primul caz ( în
celălalt ca z demonstrația se realizează analog). Atunci f este strict crescătoare și 𝑓′ 𝑥 >
0,∀𝑥∈ 𝑎,𝑏 . Din condiția 𝑓 𝑥0 ⋅𝑓′′ 𝑥0 >0 deducem că ori 𝑓 𝑥0 >0,𝑓′′ 𝑥0 >0,
ori 𝑓 𝑥0 <0,𝑓′′ 𝑥0 <0. Presupunem că suntem în prima situație (în cealaltă situație
demonstrația se realizează analog) . Atunci 𝑓′′ 𝑥 >0,∀𝑥∈ 𝑎,𝑏 ș𝑖 𝑎<𝑥∗<𝑥0≤𝑏.
Vom arăta prin inducție că pentru termenii șirului dat (1) avem 𝑥𝑛>𝑥∗,∀ 𝑛∈ℕ∗.
Deoarece 𝑥0>𝑥∗, vom presupune că 𝑥𝑛>𝑥∗ și vom arăta că 𝑥𝑛+1>𝑥∗. Folosind
formula lui Taylor pentru f uncții de clasa 𝐶2 𝑎,𝑏 :
𝑓 𝑥 =𝑓 𝑥0 +𝑓′ 𝑥0 𝑥−𝑥0 + 𝑥−𝑥0 2𝑓′′ 𝜀
2,∀𝑥∈ 𝑎,𝑏 unde 𝜀∈ 𝑎,𝑏 , pentru
𝑥𝑛 ș𝑖 𝑥∗ avem,

54
0=𝑓 𝑥∗ =𝑓 𝑥𝑛 +𝑓′ 𝑥𝑛 𝑥∗−𝑥𝑛 + 𝑥∗−𝑥𝑛 2⋅𝑓′′ 𝜀
2 (2)
și deoarece 𝑓′′ 𝜀 >0, deducem că 𝑓 𝑥𝑛 +𝑓′ 𝑥𝑛 𝑥∗−𝑥𝑛 <0, adică,
𝑥∗<𝑥𝑛−𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 =𝑥𝑛+1.
Deci, 𝑥𝑛>𝑥∗,∀ 𝑛∈ℕ. Din faptul că funcția f este strict crescătoare rezultă că 𝑓 𝑥𝑛 >
𝑓 𝑥∗ =0,,∀ 𝑛∈ℕ și atunci
𝑥𝑛+1=𝑥𝑛−𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 <𝑥𝑛,∀ 𝑛∈ℕ (3)
adică șirul 𝑥𝑛 𝑛∈ℕ este strict descrescător și în plus, 𝑥∗<𝑥𝑛<𝑥0 ,∀ 𝑛∈ℕ∗. Prin
urmare, acest șir este monoton și mărginit, deci convergent. Fie z limita sa. Pri n trecere la
limită în egalitatea (1), în virtutea continuității funcțiilor 𝑓 și 𝑓′ se obține
𝑧=𝑧−𝑓 𝑧
𝑓′ 𝑧
adică 𝑓 𝑧 =0. Datorită unicității soluției ecuației 𝑓 𝑥 =0 deducem 𝑧=𝑥∗.
Deci, lim𝑛→∞𝑥𝑛=𝑥∗.
Datorită convergenței menționate în teorema p recedentă putem aproxima soluția 𝑥∗
cu termenii șirului 𝑥𝑛 𝑛∈ℕ dat în (1). Asupra erorii acestei aproximări avem:
Teorema III.2.2. În condițiile teoremei precedente au loc inegalitățile:
𝑥∗−𝑥𝑛 ≤ 𝑓 𝑥𝑛
𝑚1,∀ 𝑛∈ℕ∗ (4)

𝑥∗−𝑥𝑛 ≤𝑀2
2𝑚1⋅ 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 2,∀ 𝑛∈ℕ∗ (5)
unde
𝑚1=min
𝑥∈ 𝑎,𝑏 𝑓′ 𝑥 , 𝑀2=max
𝑥∈ 𝑎,𝑏 𝑓′′ 𝑥 .
Demonstrație : Fie 𝑥∈ 𝑎,𝑏 fixat arbit rar. Din teorema creșterilor finite a lui
Lagrange rezultă că există 𝑐 cuprins între 𝑥 ș𝑖 𝑥∗ astfel încât
𝑓 𝑥∗ −𝑓 𝑥 = 𝑥∗−𝑥 ⋅𝑓′ 𝑐
și atunci
𝑥∗−𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑓′ 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥
𝑚1.
De aici rezultă ,
𝑥∗−𝑥𝑛 ≤ 𝑓 𝑥𝑛
𝑚1,∀ 𝑛∈ℕ∗ .
Aplicând formula lui Taylor, pentru 𝑥𝑛 ș𝑖 𝑥𝑛−1 rezultă

55
𝑓 𝑥𝑛 =𝑓 𝑥𝑛−1 +𝑓′ 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 2⋅𝑓′′ 𝑐
2
cu 𝑐 cuprins între 𝑥𝑛−1 ș𝑖 𝑥𝑛. Din formula (1) deducem că

𝑓 𝑥𝑛−1 +𝑓′ 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 =0
și atunci
𝑓 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 2⋅𝑓′′ 𝑐
2
ceea ce conduce la,
𝑥∗−𝑥𝑛 ≤ 𝑓 𝑥𝑛
𝑚1= 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 2⋅𝑓′′ 𝑐
2𝑚1≤𝑀2
2𝑚1⋅ 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 2,∀ 𝑛∈ℕ∗.
Din (2) rezultă
𝑥∗−𝑥𝑛=−𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑥∗−𝑥𝑛 2⋅𝑓′′ 𝜀
2𝑓′ 𝑥𝑛
iar din aceasta și (3) obținem
𝑥∗−𝑥𝑛+1=𝑥∗−𝑥𝑛+𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 =− 𝑥∗−𝑥𝑛 2⋅𝑓′′ 𝜀
2𝑓′ 𝑥𝑛
și atunci,
𝑥∗−𝑥𝑛+1 ≤ 𝑓′′ 𝜀
2 𝑓′ 𝑥𝑛 ⋅ 𝑥∗−𝑥𝑛 2≤𝑀2
2𝑚1⋅ 𝑥∗−𝑥𝑛 2,∀ 𝑛∈ℕ∗.
Observație . Estimarea aposteriori (5) ne arată că ordinul erorii acestei metode este
2, adică, 𝑥∗−𝑥𝑛 ≤𝐾⋅ 𝑥𝑛−𝑥𝑛−1 2,∀ 𝑛∈ℕ∗, unde 𝐾 este o constantă ce depinde doar
de funcția 𝑓 și de intervalul 𝑎,𝑏 (nedepinzând de termenii șirului), și ne permite să
stabilim un criteriu de oprire a algoritmului, util implementării sale.

56
CAPITOLUL IV
IV. Aspecte metodice ale rezolvării ecuațiilor algebrice
În programa școlară studiul ecuații lor algebrice ocupă un loc de seamă atât datorită
importanței lor pe plan teoretic cât și a multiplelor și a variatelor lor aplicații. Ecuațiile pot
fi privite ca modele matematice ȋn cele mai diferite modele de activitate, au avut și au ȋn
continuare un r ol important ȋn dezvoltarea multor științe: fizică, chimie, biologie,
astronomie, geografie, tehnică, etc.
Rezolvarea ecuațiilor algebrice de către elevi, studiul existenței rădăcinilor reale,
separarea și aproximarea acestora sunt teme esențiale atât ȋn ceea ce privește di sciplina
matematică studiată ȋn gimnaziu cât și diversele tipuri de ecuații studiate ȋn liceu.
Acest capitol prezintă aspecte metodice ale predării ecuațiilor ȋn gimnaziu și liceu,
tipuri de ecuații, metode de rezolvare, aplicații ale r elațiilor lui Viete, metode de
aproximare a rădăcinilor reale.
Aspectele metodice privind rezolvarea ecuațiilor algebrice ȋn gimnaziu și liceu sunt
ilustrate ȋn acest capitol prin prezentarea unor aplicații, probleme rezolvate, probleme
propuse, teste de evaluare ș i proiecte didactice.

IV.1.Aplicații

4* Să se rezolve ecuațiile în :
a.
b.
Rezolvare:
Observăm că ecuațiile date sunt bipătratice.
a. Fie . Se obține ecuația rezolventă Rezolvăm această
ecuație rezolventă.

57

Atunci avem că:
,
având soluțiile și

58
,
având soluțiile și
b. Fie . Se obține ecuația rezolventă Rezolvăm această
ecuație rezolventă.

59
Atunci avem că:
,
cu soluțiile și
,
cu soluțiile și

5* Să se rezolve ecuațiile binome:
a.
b.
Rezolvare:
a. Scriem ecuația binomă sub forma
Forma trigonometrică a numărului se scrie folosind
formula , unde

Avem . Pentru a avea loc această relație,
și
Pentru a îndeplini simultan condițiile , respectiv trebuie
ca
Așadar, forma trigonometrică a numărului
este
Atunci, rădăcinile complexe ale lui le aflăm folosind formula:

60

Aflăm pe rând rădăcinile ecuației binome date:
Pentru avem că:

Pentru avem că:

61

Pentru avem că:

Luăm separat și calculăm respectiv

62

63

Revenind la calcularea rădăcinei , obținem:

64
Am găsit rădăcinile și care verifică
ecuația binomă dată.
b. Scriem ecuația binomă sub forma
Forma trigonometrică a numărului se scrie folosind
formula , unde

Avem . Pentru a avea loc această relație,
și
Pentru a îndeplini simultan condițiile , respectiv trebuie
ca sau
În cele ce urmează vom folosi .
Așadar, forma trigonometrică a numărului
este
Atunci, rădăcinile complexe ale lui le aflăm folosind formula:

Aflăm pe rând rădăcinile ecuației binome date:

65
Pentru avem că:

Pentru avem că:

Luăm separat și calculăm respectiv

66

Revenind la calcularea rădăcinei , obținem:

67

Pentru avem că:

Luăm separat și calculăm respectiv

68

Revenind la calcularea rădăcinei , obținem:

Pentru avem că:

69

Am găsit rădăcinile și care
verifică ecuația binomă dată.

6* Să se rezolve în ecuația : 𝟐𝒙𝟑−𝟓𝒙𝟐 −𝟓𝒙 +𝟐 = 0
Rezolvare:
Scriem ecuația astfel:

De aici avem prima soluție
Pentru a afla celelalte două soluții, rezolvăm ecuația .

70

Ecuația dată are soluțiile și

7* Să se rezolve ecuația reciprocă
Rezolvare:
Conform algoritmului de rezolvare a ecuației reciproce de gradul avem următorii pași:
Pasul : Împărțim cu și obținem
Pasul : Grupăm termenii cu coeficienți egali,
obținând:
Pasul : Facem notația și ne rezultă că de unde
avem ecuația de gradul în
Pasul : Rezolvăm ecuația rezolventă

71

72
Pasul : Rezolvăm ecuațiile și care se aduc la
forma și
Luăm pe rând cele două ecuații și le rezolvăm:

Am obținut primele soluții
Rezolvăm cea de -a doua ecuație,

Putem obține celelalte două rădăcini:

73

Am găsit soluțiile și
Observații:
1. Dacă este polinom reciproc de gradul număr impar, atunci
rezolvarea ecuației reciproce de gradul se reduce la rezolvarea ecuației
și a unei ecuații reciproce de gradul

8* Să se rezolve ecuația
Rezolvare:
Observăm că este soluție a ecuației date. Ne rezultă prima soluție a ecuației
date
Împărțim polinomului la polinomul

Obținem descompunerea

74
Rezultă ecuația
Avem o soluție, iar celelalte patru soluții sunt date de ecuația reciprocă

Rezolvăm ecuația reciprocă folosind algoritmul de rez olvare a unei ecuații reciproce de
grad .

Facem notația și ne rezultă că de unde avem ecuația de
gradul în .
Rezolvăm ecuația rezolventă

75

Rezolvăm ecuațiile și care se aduc la
forma și
Luăm pe rând cele două ecuații și le rezolvăm:

76
Am obținut următoarele soluții
Rezolvăm acuma cea de -a doua ecuație,

Putem obține acuma celelalte două rădăcini:

Am găsit soluțiile și
2. Dacă este un polinom reciproc de gradul adică
este număr par, atunci rezolvarea ecuației reciproce atașate se poate reduce la

77
rezolvarea unei ecuații de gradul cu necunoscuta și a ecuații de
gradul date de ecuațiile
Exemplu:
Să se rezolve în mulțimea ecuația reciprocă de
gradul
Rezolva re:
Împărțim ecuația reciprocă dată la și obținem:

Notăm acuma
Atunci avem:

și

Obținem astfel ecuația rezolventă de gradul în

78

Avem o soluție Aflăm și celelalte două soluții, rezolvând ecuația de gradul
doi

79

Am găsit soluțiile și
Se rezolvă acuma ecuația care se scrie echivalent
unde

80

IV.2. Proiect didactic clasa a VIII -a
CLASA : a VIII -a
PROPUNĂTOR: OANCEA OTILIA -ELENA
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Ecua ții, inecua ții, sisteme de ecuații
SUBIECTUL: Ecuația de gradul al II -lea
DATA:
TIPUL: Lecție de dobândire de noi cunoștin țe

Compe tențe generale :
CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
CG 3. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
CG 5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matemati ce ale unei situați problemă
CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii

Compe tențe specifice:
1.1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a numerelor reale și a formulelor de calcul prescurtat
1.2. Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu numere
reale
1.3. Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații
1.4. Identificarea unor probleme care se rezo lvă cu ajutorul ecuațiilor, inecuațiilor sau a sistemelor de ecuații, rezolvarea
acestora și interpretarea rezultatului obținut

81
Obiective opera ționale (compe tențe derivate ):
O1- Să recunoască formele unei ecuații de gradul al II -lea completă și incompletă;
O2- Să reproducă și să aplice formula discriminantului ecuației ax2+bx+c= 0 ,a 0
O3- Să anticipeze num ărul de soluții reale ale ecuației ax2+bx+c= 0 ,a 0
O4- Să rezolve ecuații reductibile la forma ax2+bx+c= 0 ,a 0
O5- Să aplice metodele cele mai potrivit e în scopul eficientizării rezolvărilor
O6- Să descompună în factori expresii de forma ax2+bx+c

FORME DE ORGANIZARE
 a conținuturilor: Fise de lucru, fise de evaluare
 a activității: frontal, individual, pe grupe
TIPURI DE INTERACȚIUNI : elev-elev, elevi -profesor
TIPURI, FORME, STRATEGII ȘI INSTRUMENTE DE EVALUARE: evaluare orala, evaluare scrisa, observare sistematica,
autoevaluare.
RESURSE: – pedagogice (metode și procedee): conversația dirijată , explicația , observația , exercițiul , munca independ entă/ în
echipă , jocul didactic , problematizarea, algoritmizarea, masa rotunda (tehnica Kagan)
– materiale : Fișe de lucru, caiete, manuale, culegere, creta alb ă și colorat ă
– bibliografice: Matematică – Clasa a VIII -a –Editura Paralela 45; Manual Matematică – Clasa a VIII -a- Editura Teora,
Matematică – Clasa a VIII -a –Editura Delfin
– temporale – 50 minute

82
Desfășurarea activității
ETAPELE
LECȚIEI OB. RESURSE PROCEDURALE
De conținut de
timp forme de
organizare metode și
procedee mijloace
didactice
1. Captarea
atenției si
preg ătirea
pentru lec ție

Se face prezen ța, se preg ătesc fișele, caietele și flip –
chart -ul.
2min. activitate
frontală
conversația

2. Anunțarea
obiectivelor
Se anunță tema și obiectivele lecției.
Se scrie titlul lec ției pe tablă: Ecuația de gradul al
II-lea
1min. activitate
frontală
conversația
observația
tablă
3.Actualizarea
cuno ștințelor
Ce este o ecua ție?
Ce este o soluție a unei ecuații?
Ce ȋnseamn ă a rezolva o ecua ție? 2 min activitate
frontală
conversația
examinatoare

83
4. Prezentarea
de material
nou și
dirijarea
ȋnvățării O1
O2
O3
O4
Forma generală a ecua ției de gradul al II -lea este
ax2+bx+c= 0, a 0, unde a, b, c
 .
Numerele a, b, c se numesc coeficienții ecuației, iar x
este necunoscuta ecuației.
Exemple: x2+7x+5= 0, 3×2-120x+45= 0 x2+10= 0,
x2 -5x= 0
Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II -lea
parcurgem urm ătoarele etape:
Pas 1 : Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
Pas 2 : Calcul ăm discriminantul ecuației dup ă
formula:
ac b 42
Pas 3 : Natura solu țiilor ecuației depind de valoarea
discriminantului, astfel:
 Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții reale
 Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă soluții egale
abx x22 1

 Dacă Δ> 0 atunci ecuația are dou ă soluții
diferite
abxabx2;22 1 10
min activitate
frontală
expunerea

explica ția

Algoritmizarea
planșă
tablă
caiete

Plansa
Flip-chart

84
5. Fixarea și
sistematizarea
cunoștin țelor O1
O2
O3
O4

O5
Exemplu: 1 .
03 42x x
a =1, b = -4, c =3
ac b 42
= (-4)2-4·1·3=16 -12 = 4
Pentru c ă Δ> 0, ecuația are dou ă soluții diferite
abxabx2;22 1

X1=3; X 2=1
2.
09 62x x
a =1, b = 6, c =9
ac b 42
= 62-4·1·9=36 -36 = 0
Pentru c ă Δ= 0, ecuația are dou ă soluții egale
abx x22 1
, deci X 1= X 2=-3
3.2
04 52x x
a =2, b = 5, c =4
ac b 42
= 52-4·2·4=25 -32 = -7
Pentru c ă Δ< 0, ecuația nu are soluții reale.
Cazuri particulare: (forme incomplete)
1. b=0
x2-25= 0
a=1, b=0, c = -25
x2= 25, x=5 sau x= -5
2. c=0
x2+10x= 0 10
min

5 min activitate
frontală

Activitate
frontala

Activitate
individuala

Activitate
frontal ă Exercițiul

Exercițiul

Exercițiul

Tabla

85
6. Prezentarea
de material
nou și
dirijarea
ȋnvățării O1
O2
O3
O4
O6

O5 Aplica ții imediate:
Orice expresie de forma E(x) = ax2 +bx+c a c ărui Δ
este mai mare sau egal cu 0, s e poate descompune ȋn
factori astfel:
E(x) = a(x -x1)(x-x2)
Exemplu: 1.
3 42x x = (x-1)(x-3), pentru c ă 1 și 3
erau r ădăcinile ec. determinate anterior.
2. Descompune ți ȋn factori
12 72x x
a =1, b = 7, c =12
ac b 42
= 72-4·1·12=49 -48 = 1
Pentru c ă Δ> 0, ecuația are dou ă soluții diferite
abxabx2;22 1

X1=-3; X 2=-4
Deci
12 72x x = (x+3) (x+4)
Observa ție : Metoda II:

12 72x x =
12 4 32 x x x =
=
)4 )(3()3(4)3(  x x x xx 5 min activitate
frontală

activitate
independent ă

activitate
frontală

activitate
frontală Problematizarea

Exercițiul

explica ția

Problematizarea Tabla

Caiete

Tabla

Tabla

86
7)Obținerea
de
performanță O1
O2
O3
O4
O5
O6 Elevii sunt ȋmp ărțiți ȋn grupe de 3 elevi, grupe
eterogene, pentru a rezolva exerci țiile de pe fișa prin
tehnica Kagan (masa rotunda). Elevul 1 va realiza
pasul 1 din rezolvarea ecua ției (determinarea
coeficien ților), elevul 2 va realiza pasul 2 (calcularea
discriminantului), elevul 3 va realiza pasul 3
(calcularea celor doua r ădăcini), Fiecare elev verific ă
dacă elevul anterior a rezolvat corect sarcina și ȋi trece
numele ȋn dreptul sarcinii corect realizate. 10
min activitate pe
grupe masă rotund ă fișe de lucru
8) Verificarea
cuno ștințelor O1-
O6 Fiecare elev prime ște o fi șă de evaluare
5 min activitate
individuală munc ă
independentă fișe de evaluare
9) Încheierea
lecției O1-
O6 Tema de cas ă: Fiecare elev prime ște o fi șa cu ecua ții de
gradul al II -lea activitate
frontală explica ția fișe

87
FIȘĂ DE LUCRU

1. Rezolvați următoarele ecuații:
a)
09 102x x
a = , b = , c =
ac b 42
= , deci

b)
0 25 102x x
a = , b = , c =
ac b 42
= , deci

c)
0 252x
a= , b= , c=
ac b 42
= , deci

88
FIȘĂ DE EVALUARE

Ecuația ax
2 + bx + c = 0,
unde a,b,c
 R, a
 0 a b c Rezolvarea ecuației

1.
06 72x x

7.
05 42x x

8.
0 22x x

89

Ecuația de forma ax
2 + bx + c = 0, unde a,b,c
 R, a
 0

Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II -lea parcurgem urm ătoarele etape:

Pas 1: Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
Pas 2: Calcul ăm discriminantul ecuației dup ă formula: ∆=𝑏2−4𝑎𝑐
Pas 3: Natura solu țiilor ecuației depind de valoarea discriminantului, astfel:
 Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții reale
 Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă soluții egale 𝑥1=𝑥2=−𝑏
2𝑎
 Dacă Δ> 0 atunci ecuația are dou ă soluții diferite
𝑥1,2=−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎

90
IV.3. Proiect didactic clasa a X-a

Clasa :a X a
Data :
Profesor: Oancea Otilia Elena
Disciplina : Matematică -algebră
Titlul lecției : Rezolvarea in C a ecuației de gradul al II -lea cu coeficien ți reali
Tipu l: consolidare și însușire de noi cuno ștințe

Competențe generale :
CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care
au fost definite
CG 3. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală
a unei situații concrete
CG 5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situați problemă
CG 6. Modelarea matematică a unor conte xte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor
din diferite domenii

Obiective operaționale: La sfârșitul orei elevul va fi capabil :
 Să cunoască formele unei ecuații de gradul al II -lea completă si incompletă;
 Să reproducă si să aplice formula discriminantului si formulă de rezolvare a ecuației
ax2+bx+c= 0 ,a 0
 Să anticipeze num ărul de soluții reale ale ecuației ax2+bx+c= 0 ,a 0
 Să rezolve ecuații reductibile la forma ax2+bx+c= 0 ,a 0
 Să aplice metodele cele mai potrivite în scopul eficientizării rezolvărilor
 Să manifeste perseverența si interes pentru rezolvarea ecuației de gradul al II -lea

Obiective specifice lecției :
a)cognitive :-să-și însușeasc ă formula discriminantului si formula de rezolvare in C a
ecuației d e gradul al II -lea ax2+bx+c= 0 ,a 0

91
b)formative :-să poată determina dacă o ecuație de gradul al II -lea are sau nu soluții comp lexe și
în caz afirmativ să știe să le determine folosind formula de rezolvare;
-să prezinte într -o maniera clară, corectă și co ncisă, oral sau scris succesiunea pașilor de
rezolvare a ecuației de gradul al II -lea folosind terminologia si noțiunile adecvate;
c)afective :-dezvoltarea dorinței de a cunoaște cât mai bine ecuația de gradul al II -lea

Metode si procedee : conversația euri stica, explicația, demonsțratia, exercițiul,
observația, munca individuala, expunerea;

Resurse: a)materiale: -manual
-cretă albă, caiete de notițe, fișe de lucru;
b)umane: -clasă omogenă cu cunoștințe ce necesită consolidare;
-activități frontale,individuale;
c)timp: 50min;

93
Scenariu didactic :

Secven țele
lecției Obs.
de ref. Activit ăți ale lecției
Capitolul 2 Resurse
Timp
Metode
Evaluare
1.Moment
organizatoric -verificarea prezenței elevilor si notarea absențelor in catalog;
-verificarea ținutei elevilor si celor necesare desf ășurării orei
-asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desf ășurare a
orei
2` Activitate
comună
2.Capterea
atenției -verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor
–elev, elev -elev,prin confruntarea rezultatelor. In cazul in care
apar diferențe mari la rezultat se rezolvă exercițiile la tablă;
2` Activitate
comună Analiza
răspunsurilor
3.Informarea
elevilor asupra
lecției In cadrul orei de astăzi vom recapitula si sistematiza cunoștințele
referitoare la ecuația de gradul al II -lea învățate în anii anterior
(Anex a 1)si vom preda “Rezolvarea in C a ecua ției de gradul al
II lea cu coeficien ți reali” iar la sfârșitul orei toți elevii vor
trebui să știe să rezolve o ecuație de gradul al II -lea 2` explicația Observare
sistematică a
atenției
4.Verificarea
cunoștințelor 1.1

1.2

Se propune elevilor o activitate interactiva frontală în care elevii
vor scrie la tablă și în caietele de notițe forma ecuației de gradul
al II -lea, formula discriminantului si formula de rezolvare a
ecuației si num ărul de soluții ale ecuației din condițiile
discriminantului

4`

Activitate
frontala

Aprecieri
verbale

5.Consolidarea
cunoștințelor si
asigurarea feed –
back -ului 1.1

1.2
1.3
1.4
1.5
1.6 Se propune elevilor o fișă de lucru ce conține:
-aplicații ce conduc la obținerea formulei de rezolvare a ecuației
de gradul al II -lea
-exerciții de validare a condițiilor impuse discriminantului pentru
ca o ecuație să aibă sau nu soluții reale;
-găsirea unor metode alternative de rezolvare a ecuației d e gradul
al II-lea 30` colaborare in
grup
exercițiul

activitate pe
grupe

Analiza
răspunsurilor
Investigația
6.Retenția si
transferul Profesorul propune elevilor o fișă de lucru(Anexa 2) în care
fiecare elev va avea de rezolvat o ecuație de gradul al II -lea.
-profesorul va accentua astfel importanța asimil ării de către elevi
a acestor cunoștințe referitoare la ecuația de gradul al II -lea .

5`

Exercițiul

Probă scrisă

94

8.Tema pentru
acasă -manual pagina 61 problemele E1,E2,E3 +problemele răm ase din
fisă
-indicații la temă; 3` Conversația
9.Aprecieri -se notează elevii ce s -au eviden țiat in timpul orei 2` Aprecieri
verbale note

95
Anexa 1
Ecua ții de gradul al doilea

Ecua ția de forma ax2 + bx + c = 0; (1) unde a; b; c ϵ R; a ≠ 0, x – variabila, se nume ște
ecuație de gradul al doilea (ecua ția pătrată).

Numerele a; b si c din (1) se numesc coeficien ți ai ecua ției de gradul al doilea, iar num ărul Δ =
b2 – 4ac se nume ște discriminant al ecua ției de gradul al doilea.

96

97
Anexa 2

FISA DE LUCRU
1. Să se rezolve ecua țiile:

a) 6×2 – 6x + 3= 0; b) x2 – x + 1 = 0;
c) -x2 + 8x -16 = 0; d) – x2 – 9x- 8 = 0;

e)- x2- x – 9 = 0; f) 6×2- x + 1 =0;
g)-5×2 +4 x – 9 = 0; h) x2-7x+ 10 = 0.

2. Să se formeze ecua ții de gradul al doilea, care au rădăcinile:

a) x 1 =-3 si x2 =5; c) x 1 =2 + 3 si x2 =2- 3 ,
b) x 1 = 2 + 2i si x2 =2 – 2i; d) x 1 = 2 + 3i si x2 = 2 – 3i .

3. Sa se rezolve ecuatiile:

a) x2 + 9 = 0; c) x2 + 25= 0
b) 9×2 + 25 = 0; d) x2 + 49=0
e) x2 + 36=0 f) 9×2+36=0
g) 4×2+100=0 h) x2 + 625=0

4. Fie ecua ția x2- 4x + 7=0 si x 1 , x2 soluțiile ei . S ă se formeze ecua ția de gradul doi cu solu țiile y1, y2
daca:

a) y1=x1-i√3 si y2= x 2(2+i√3)
b) y1 = x1 * x2 si y2= x 1 +x2
c) y1 = x1 2 si y2= x 22
d) y1 = x1 2 +x22 si y2= x 1 2 – x22

98
5.Daca x 1 , x2 sunt solu țiile ecua ției x2+x+1=0 ,sa se calculeze:

a) x 1 +x2 b) x 1 * x2 c)( x 1 +x2)2 d) x 1 2 +x22 e) x 1 2 – x22
f) ( x 1 – x2)2 g)
2
22
11 1
x x h)
2
21
xx i)
2
12
xx

99
CONCLUZII

Prezenta lucrare este destinată abordării rezolvării tuturor ecu ațiilor, de orice grad, cu o
nedeterminata, pe baza unor teorii de abordare mai complexe . Se știe până în prezent că există formule
de rezolvare pentru ecu ția de gradul 1 și 2 , formule clasice, care sunt aplicabile ușor. De la ecuația de
gradul 2 în sus ,nu mai sunt formule de rezolvare aplicabile ușor. De exemplu mai avem formulele lui
Cardan pentru ecuația de gradul 3 și o formulă conținând un radical de i ndice 4, pentru soluțiile
ecuaților de gradul 4, dar aceste formule sunt greoaie, nu dau întotdeauna rezultate și sunt greu
aplicabile ceea ce le face de multe ori nefolosibile frecvent. De aceea, o alternativă este utilizarea
metodelor numerice de aproxim are a rădăcinilor cu o toleranță precizată . Metodele și formulele
prezentate sunt mai ușor aplicabile și cu rezul tate precise și sigure în cazul ecuațiilor .
Însușirea cunoștințelor de către elevi este eficientă dacă activitatea centrată pe acesta ȋl pune ȋn
fața unor ȋntrebări, fiind continuu antrenat ȋn găsirea și stabilirea unor concluzii. Asimilarea
cunoștințelor de matematică la clasă de către elevi este favorizată de munca ȋn grup, de lecțiile
interactive, de fișe de lucru, fișe de evaluare și alte ma teriale puse la dispoziție de către profesor. Chiar
dacă algebra este aplicabilă ȋn multe discipline de studiu, fizică, chimie, etc, există ȋn activitatea
didactică probleme referitoare la necorelarea unor noțiuni, astfel că noțiunile matematice utilizate la
aceste discipline sunt tratate mai tȃrziu la disciplina matematică.
Unul din scopurile acestei lucrări este argumentarea ideii că algebra și ȋn special noțiunea de
ecuație algebrică are un rol determinant ȋn fundamentarea matematicii cu diverse aplica ții și ȋn alte
domenii. În realizarea acestei lucrări am adunat documentație utilizȃnd manuale alternative de
gimnaziu și liceu, lucrări științifice de specialitate, culegeri de exerciții și probleme, fișe de algebră.

100

BIBLIOGRAFIE

 N. Mihăileanu, C omplemente de algebră elementară, Editura Didactică și Pedagogică,
București, 1968;
 M. Ganga, Matematică pentru clasa a XII -a, Editura MathPress, 2007;
 N. Ghircoiașiu, M. Iașinschi, Fișe de algebră pentru elevi și absolvenți de licee, Editura Dacia,
Cluj-Napoca, 1976;
 C. Năstăsescu, C. Niță, Culegere de exerciții pentru liceu, Editura Rotech Pro, București, 2004;
 M.Becheanu, C.Niță, A.Dincă, I.Purdea, C.Vraciu, M.Stefanescu, Algebra pentru
perfectionarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București,1983;
 C. Năstăsescu, C. Niță, S.Popa, Matematică, Algebră, manual pentru clasa a X -a, Editura
Didactică și Pedagogică, București,1999;
 I.D. Ion, N. Radu, Algebră, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1975.
 Gh. Pic, I. Purdea, Tratat de algebră modernă, vol. I, Ed. Academiei R. S. România, București,
1977.
 I. Purdea, Tratat de algebră modernă, vol. II, Ed. Academiei R. S. România, București, 1983.
 I.D. Ion, C. Năstăsescu, C. Niță, Complemente de algebră, Ed. Științifică și Enciclopedică,
București, 1984.
 C. Niță, C. Năstăsescu, Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, Ed. Tehnică, București, 1979.
 I.C. Drăghicescu, L. Panaitopol, Polinoame și ecuații algebrice, Ed. Albatros, București, 1980.
 Gh. Sirețchi, Calcul diferențial și integral, v ol. I, Ed. Științifică și Enciclopedică, București,
1985.
 F. Cîrjan, Didactica matematicii, Ed. Corint, București, 2007.
 Proiect didactic clasa a VIII-a
 Proiect didactic clasa a X a