Scurt istoric … … … … 4 [616791]

2 Cuprins

Cuprins ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 2
Scurt istoric ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 4
Capitolul I. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 5
I.1. Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 5
I.2. Motivația alegerii temei ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 7
Capitolul II. Metodologia predării -învățării numerelor raționale în ciclul primar ……………… 12
II.1. Fracț ii ordinare ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 12
II.2. Construcția axiomatică a mulțimii numerelor raționale ………………………….. …………… 13
II.3. Introducerea conceptului de număr rațional î n ciclul primar ………………………….. ……. 16
II.4. Fracții zecimale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 19
II.5. Formarea fracțiilor zecimale. Scrierea și citirea lor. ………………………….. ……………….. 20
II.6. Formarea noțiunii de fracție zecimală. ………………………….. ………………………….. ……… 24
II.7. Formarea noțiunii de număr zecimal, scrierea și citirea numerelor zecimale. …………. 25
II.8. Compararea fracțiilor zecimale ………………………….. ………………………….. ……………….. 28
II.9. Operații cu fracții zecimale ………………………….. ………………………….. …………………….. 29
Capitolul III. Aspecte metodice privind predarea, învățarea și evaluarea numerelor raționale 36
III.1. Noțiunea de număr rațional. Unitate fracționară ………………………….. …………………… 36
III.2. Aspecte metodice privind predarea, învățarea și evaluarea numerelor raționale și a
operațiilor aritmetice cu ele ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 39
III.2.1. Intuiția în predarea fracțiilor or dinare ………………………….. ………………………….. . 39
III.2.2. Formarea fracțiilor ordinare. Scrierea și citirea lor ………………………….. …………. 42
III.2.3. Transformarea fracțiilor ordinare ………………………….. ………………………….. …….. 44
III.2.4. Fracții egale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 45
III.2.5. Compararea unei fracții cu întregul ………………………….. ………………………….. ….. 47
III.2.6. Operații cu fracții care au același numitor ………………………….. ……………………… 50
III.2.7. Aflarea unei fracții dintr -un întreg ………………………….. ………………………….. ……. 55
III.3. Probleme car e se rezolvă folosind regula de trei simplă. ………………………….. ……….. 59
III.3.1. Metoda reducerii la unitate. ………………………….. ………………………….. …………….. 59
Capitolul IV. Activitate metodică și de cercetare ………………………….. ………………………….. …. 63
Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 74
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 76
Anexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 78

3

“Matematica se învață nu pentru a se ști, ci pentru a se folosi, pentru a se face ceva cu
ea, pentru a se aplica în practică. Se poate spune că este știința cea mai operativă, care are cele
mai multe și mai complexe legături cu viața”1

Oprescu Nicolae (1974)

1Oprescu Nicolae, (1974). Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, București: Editura E.D.P

4 Scurt istoric

“Notația fracțiilor este de origin e indiană, astfel Brahmagupta ( sec. 6) așeza
numărătorul deasupra numitorului, însă fără linia de fracție care apare la L. P. Fibonacci
(Liber abaci, 1202 ). Denumirea a fost adoptată în terminologia românească, pentru prima
dată, de A. Pavlid (1852). Se mai numește fracție ordinară . – Fracție algebrică , raport a două
polinoame.
Descoperirea fracțiilor zecimale se datorează chinezilor (sec. 3). Folosirea virgulei
pentru despăr țirea părții întergi de partea zecimală s -a impus la propunerea lui J. Neper
(Rhabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo, 1617 ).
Fracțiile periodice au fost studiate pentru prima dată de J. Wallis (1657), care a arătat
că la transformarea unei fr acții ordinare în fracție zecimală , se obține o fracție zecimală cu un
număr finit de zecimale, dacă numitorul admite ca divizor numai pe 2 și (sau) 5, sau o fracție
zecimală periodică simplă, dacă numitorul nu admite ca divizor pe 2 și 5, iar în celelalte
cazuri, o fracție zecimală periodică mixtă. Teoria completă a fracțiilor zecimale periodice a
fost elaborată de Jean Bernoulli, L. Euler și K. Gauss. În terminologia românească denumirea,
folosită inițial de Gh. Asachi (1814), s -a statornicit prin lucrări le lui I. Eliade Rădulescu
(1832), C. Valștain (1836) ș.a.”2

2Dicționar de matematici generale, (1997), București: Editura Enciclopedică Română, pag.16 -17

5 Capitolul I.
I.1. Introducere

Matematica este disciplina care, prin însăși esența ei de știintă a structurilor, creatoare de
modele și limbaje științifice ale realitații poate, și are menirea de a forma gândirea investigatoare,
creatoare, o apropiere de necunoscut, printr -un adevărat stil de cercetare.
Raționamentul matematic și gândirea creează elevului posibilitatea de înțelegere a celorlalte
discipline cât și de pătrundere a problemelor pri vitoare la natură, viață, societate. De asemenea,
matematica contribuie la dezvoltarea perspicacității, a spiritului de investigaț ie în găsirea unor soluții
noi și eficiente.
Studierea numerelor naturale se face începând de la grupa pregătitoare și clasa I, iar în
clasa a IV -a se încheie studierea acestor numere naturale (fu ndament al gândirii matematice) ,
dar nu în cerc închis, ci luând contact parțial cu o nouă mulțime numerică și anume, aceea a
numerelor raționale (fracțiile ordinare și fracțiile zecima le).
Programa școlară prevede la clasa a IV -a studiul acestui capitol pentru formarea la
elevi a unei imagini mai cuprinzătoare despre numere și familiarizarea cu o nouă mulțime
numerică și anume, mulțimea numerelor raționale. Acest capitol lărgește orizon tul matematic
și completează cunoștințele matematice cu însușirea și formarea la elevi a deprinderilor și
abilităților de efectuare a oper ațiilor aritmetice cu numere raționale. Cunoștințele despre cele
două tipuri de redare fracționară a cantității (cel o rdinar și cel zecimal ) se integrează, ca sens,
unui spațiu de orientare mai larg, vizând adâncimea reprezentării elevului despre noțiunea
fundamentală de număr, abordată acum prin mecanismul scrierii și mânuirii diversificate a
invariatului „relația parte -întreg”, concluzionând că mulțimile de numere sunt variate,
nelimitându -se la numere naturale.
Deci, în clasa a IV -a, experiența de viață a elevilo r creș te, se produce o anumită
maturizare cognitivă, se lărgește aria cunoștințelor matematice, iar formarea conceptului de
număr rațional este un proces mai complicat care presupune manipularea unor elemente
acționale, concrete, trecând la cele de reprezentare matematică (iconică) și atingând cu
ajutorul elementelor simbolice nivelul abstracțiunii.
Este un trase u ce nu poate fi ignorat și nici scurtat deoarece „drumul obișnuit al
dezvoltării intelectului trece de la reprezentarea activă a lumii, prin cea iconică, la cea
simbolică” .3

3J.Bruner, (1973). Modelele dezvoltate în „Pentru o teorie a instruirii”, București: Editura EDP, pag.14

6 Scopul învățarii matematicii nu se reduce la latura informativă, ci urmărește ma i ales
dezvoltarea raționamentului și a spiritului de receptivi tate, formarea priceperilor și a depinderilor de
gândire logică, de definire clară și precisă a noțiunilor.
Învățământul matematic nu se poate rezuma la simpla asimilare de cunoștințe, ci
trebu ie să vizeze formarea unui anumit mod de a gândi creator, de a descoperi noi conexiuni
între date, antrenând permanent gândirea.
Vorbind despre învățarea prin descoperire, Eugen Rusu arată că în sfera exercițiilor
matematice intră, în primul rând, procesul refacerii, redescoperirii so luțiilor problemelor
respective “pentru că nu se poate înțelege și învăța, în fond, matematica decât prin această
atitudine activă prin care însușirea unei demonstraț ii are sensul de a o face așa, a o privi ca și
când tu însuți ai fi descoperit -o”4. De aceea, principiul de bază în învățământul matematic
trebuie să fie să gândești ca și când tu îns uți ai fi acela care descoperă adevărul.
„Predarea și învățarea numerelor raționale implică o proiectare și o desfășurare atentă
a lec țiilor de matematică, cu un mai mare accent pe gradul de accesibilitate și pe însușirea
conștientă de către elevi a noțiunilor abstracte referitoare la numerele raționale. ”5
Studiul numerelor raționale devine interesant pentru elevi în momentul în care ei
constată direct lărgirea orizontului matematic, diversificarea problemelor și căilor de
rezolvare, în pas spre adevărul matematic .
Însușirea conștientă a noțiunii de număr rațional (fracție) se fundamentează pe:
a) înțelegerea de către copil a noțiunii de întreg; orice obiect, imagine, număr ce poate
fi împărțit în părți la fel de mari;
b) înțelegerea de către copil a noțiunii de unitate f racționară ca o parte luată din părțile
la fel de mari în care am împărțit din întreg;
c) înțelegerea noțiunii de număr fracționar ca un cumul de mai multe unități
fracționare;
d) cunoașterea denumirilor și semnificației lor: numărător, numitor, linie de fracție,
parte întreagă, virgulă, parte zecimală;
e) citirea și scrierea fracțiilor (ordinare și zecimale);
f) înțelegere a semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor raționale;
g) înțelegerea ideii de echivalență a fracțiilor;
h) înțelegerea particularităților fracțiilor zecimale în raport cu cele ordinare.

4Rusu Eugen, (1969), Psihologia activității matematice, București: Ed. Științifică
5Ion Neacșu, Monalisa Găleteanu, Petre Predoi, (2001). Metodica matematicii în învățământul primar, Craiova:
Editura AIUS, pag.89

7 I.2. Motivația alegerii temei

Matematica a în ceput a se dovedi necesară în cunoștințele de bază ale unui copil,
alături de cunoașterea și scrierea literelor, deși părând adesea greu accesibilă multor copii, iar
unora chiar inaccesibilă, totuși cadrul didactic știa să -și câștige elevii pentru această disciplină
și nu este deloc ușor să te faci înțeles de ochii limpezi și veșnic nelămuriți ai copiilor, să -i
determini să înțeleagă că învățătura e cea mai prețioasă avuție.
Cadrele didactic e trebuie să prezinte elevilor cunoștințele la nivelul posibilităț ilor lor de
înțelegere , acest lucru fiind foarte important , iar utilizarea și mai apoi transferul noțiuni lor
matematice nu se realizează prin simpla transmitere a acestora de la învățător la elev, ci prin
îndelungate și dirijate procese de căutare și desco perire a lor de către elevi.
Trecerea de la numere naturale la o nouă categorie, a numerelor raționale, dă un nou
aspect asupra imaginii despre numere și mai ales despre modul de operare cu acestea.
Pentru introducerea numerelor raționale cadrul didactic t rebuie să accentueze
motivația și anume să găsească acele procedee care să inducă, din punct de vedere psihologic,
necesitatea acestora.
Datorită experienței matematice reduse la ciclul primar, studierea numărului rațional
ridică probleme și de aceea el tr ebuie introdus plecând de la acțiuni concrete.
Sugestiile metodice incluse în scheme de lecție, cuprinzând întregul capitol, „ Numere
raționale ” sunt axate pe relația predare -învățare -evaluare în ideea că, pe măsură ce elevul
realizează înțelegerea, activi tatea de învățare se conjugă tot mai mult cu cea de predare,
atingând cel mai înalt nivel atunci când elevii sunt solicit ați să colaboreze cu cadrul didactic la
analize, la elabo rarea unor structuri cognitive, sau la efectuarea de demonstrații.
Școala nu r eprezintă doar o instituție unde copiii și tinerii vin să primească informații,
ci un loc unde trebuie să învețe toți cei care lucrează. Școala și educația sunt recun oscute ca
principalele mijloace de socializare și transmițătoare de priceperi și deprinder i manipulative,
vizuale și imagistice, priceperea de operare cu simboluri punând bazele culturii generale, iar
matematica devine o componentă esențială, organică a culturii generale. Învățarea devine un
proiect personal al elevului asistat de către dascălu l-antrenor (organizator, animator, manager)
al situațiilor de învățare eficientă, iar școala un ansam blu de ateliere diversificate.
În primele patru clase, în cadrul cărora elevii dobândesc cunoștințele elementare de calcul,
precum și câteva noțiuni simple de geometrie, accentul se pune cu deosebire pe formarea în mod
conștient a deprinderilor de calcul oral și scris, corect, rapid, cu utilizarea procedeelor raționale de
calcul, precum și pe formarea și acreditarea convingerii că toate cunoștințele dobândit e au legătură
directă cu viața.

8 Educatorul claselor mici, este cel care deschide porțile către o gândire creatoare, care să
situeze elevul într -o poziție permanent activă față de nou, să caute dificilul în situații care -l vor
conduce la reușită și satisfac ții.
În urma activităților didactic e la practica pedagogică, am acordat atenție tuturor
disciplinelor, dar am fost atrasă în mod deosebit de influența pe care o are matematica asupra
dezvoltării capacităților creatoare ale elevilor prin utilizarea unor for me și metode variate și
atractive de participare activă a elevilor la propria învățare și formare.
În timpul activităților didactice la practica pedagogică m-a preocupat permanent
organi zarea și desfășurarea lecțiilor de matematică, în așa fel încât, mater ialul intuitiv ,
metodele și procedeele folosite să se caracterizeze prin alternanță și varietate pentru a
corespunde gândirii concrete a elevului , instabilităț ii atenției lui, precum și evoluției pe care
copilul o înregistrează. Am îmbinat metode care se b azează pe elemente intuitive cu cele
logice, pe stimularea interesului de cunoaștere, a curiozității.
Prin întreaga activitate desfășu rată la clasă am căutat să -i antrenez pe elevi să participe
activ la toate activitățile desfășurate în lecțiile de matemat ică, stimulându -i în același timp și
căutând să obțin ă rezultate maxime pe plan informativ, dar mai ales formativ.
Am ales această temă deoarece ne-am propus să valorific aspecte pozitive ale
învățământului matematic prin folosirea celor mai variate metode , strategii, în vederea activizării
elevilor, cultivării creativității acestora , vom cauta să gasim cele mai potrivite și efici ente
metode de angajare deplină a elevilor în actul învățării, dar firește, căile de activizare sunt
multiple. Important este de a găsi drumul cel mai bun, mai sigur și mai eficient, mai plăcut,
mai atractiv, către universul copilului.
În concepția pedagogului G. Polya ”pentru a învăța eficient, cel ce învață treb uie să
descopere singur o parte -pe cât posibil mai mare în circumstanț ele da te-din materialul pe
care îl are de învățat “6, iar după Ioan Nicola “principiul participării conștiente și active a
elevului în activitatea de învățare se exprimă în considerarea elevului ca subiect al propriului
proces de devenire, de asimilare a celor transmise și d e formare a personalității sale “.7
În accepția lui Jean Piaget, învățar ea este un act de echilibrare a relațiilor dintre elev și
condițiile instruirii, cu modificări în structurile de cunoștințe și în operațiile intelectuale. Pentru
că ne cesită un anumit nivel de conștientizar e și grad de efort, învățatrea are valențe activizante
intrinseci .

6Polya Geor ge, (1971). Descoperirea în matematică – Euristica rezolvării problemelor, București: Editura
Științifică
7Nicola Ioan, (2001). Tratat de pedagogie școlară, București: Editura Aramis

9 “Învațarea eficientă se realizează prin conjugarea comportament ului activizant al
cadrului didactic cu atitudinea activ -participativă a elevilor, al c ărei suport este motivația, a
activismului elevilor cu activizarea lor de către învățător.”8
În practica școlară se acționează cu precădere as pectele externe ale învățării. De multe
ori, chiar și criteriile după care un elev este considerat că a avut o par ticipare activă la lecție se
referă la manifestările lui exterioare: a ridicat mâna, a ieșit la tabl ă, și-a rezolvat sarcina etc., însă
ar trebui să ne întrebăm, țin ând seama de latura procesuală a învățării, cu ce efort intelectual a
efectuat el toate ace ste acțiuni, la ce nivel au funcționa t mecanismele lui intelectuale.
Așadar, pentru realizarea unui învățământ activ, cadrele didactice sunt nevoite să se
străduiască să cunoască, să conștientizeze modul de funcționare a mecanismelor intelectuale
ale elevi lor, observând cu atenție efectele pe care le produc anumite maniere de lucru,
mijloace și strategii didactice folosite în lecții.
Activizarea elevilor în cadrul lecției (d e matematică) nu se realizează numai prin
metode, mij loace și tehnici selecționate. De multe ori, aceste a conduc la un activism formal.
Este necesar să se organizeze toate componentele procesului de învățământ, în primul rând
conținutul rațional, incitant, astfel ca ele toate să provoace și să susțină o
anumită “efervescență” intelectuală.
În “filmul” lecției p e care o pregătește, cadrul didactic trebuie să precizeze nivelurile
la care intenționează să provoace activitatea intelectuală a clasei (uneori a grupelor de elevi),
durata și natura solicitărilor, precum și formele de antrenare, de provocare a elevilor, formele
de interacțiune didactică .
Activizarea în procesul predării -învățării matematicii presupune stimularea unor
mobil uri interne și externe care să declanșez e dorința, interesul, însoțite de satisfacția efortului
tensional, de buc uria succesului. Pe măsură ce elevilor li se pun în față noi dificultăț i, fiind
dirijați și ajutați să le depășească trăiesc bucuria reușitei, capătă încreder e în forțele proprii,
încep să participe activ la procesul învățării.
Activitatea matematică neces ită o tensiune, o înc ordare, o mobilizare a tuturor
componentelor psihicului uman, dar cu precădere a gândirii, a inteligenței. Enunțurile
matematice nu se învață pur și simplu, ci se recepteaz ă, se înțeleg, se integrează și se
îmbogățesc numai în măsura î n care elevul operează cu ele. Efortul intelectual ce se
desfășoară în activitatea matematică este, în esență, un continuu antrenament care are drept
efect dezvoltarea intelectuală reală a elevilor.

8Oprescu Nicolae, (1991). Activism și activizarea în procesul învățării î n Învățământul primar nr.1, București:
Editura E.D.P.

10 Învățarea este un proces activ de cunoaștere care este cu atât ma i valoros cu cât se
realizează prin efort propriu și cu mijloac e și tehnici cât mai productive .
Lucrarea reprezintă o sinteză, un corolar al studiului și experienței, o etapă necesară
pentru activitatea mea viitoare, susceptibilă de îmbunătățiri, u n instrument de lucru.
Ne propun em ca lucrarea ,,Metodologia predării -învățării numerelor raționale în
ciclul primar ”, să fie utilă atât cadrelor didactice , pentru pregătirea lecțiilor, în munca din
clasă, pentru pregătirea suplimentară a elevilor, cât și pentru alte persoane interesate de o
cunoaștere aprofundată a numerelor raționale.
Activitatea de predare -învățare trebuie astfel proiectată și desfășurată încât școlarii din
ciclul primar să realizeze următoarele performanțe:
o Să înțeleagă necesitatea și s tructura numerelor raționale ;
o Să cite ască și să scrie corect numerele raționale;
o Să reprezinte grafic unități fracționale sau fracții date pe diferite mulțimi
model;
o Să exprime fracții ordin are echivalente cu facții date;
o Să cunoască felul fracțiilor, după mărimea lor raportată la un întreg;
o Să cunoască și să aplice algoritmii de aflare a unei a sau ma i multor părți dintr –
un întreg;
o Să-și însușească algoritmii de comparare a numerelor raționale;
o Să stabilească corelațiile specifice între fracțiile zecimale și sistemul unităților
de măsură;
o Să efectueze transformări ale unităților de măsură exprimate prin numere
raționale zecim ale;
o Să adune și să scadă fracții le ordinare cu același numitor;
o Să rezolve și să comp ună probleme în care mărimile su nt exprimate și p rin
numere raționale.
Am conceput secvențele de instruire împletind activitatea de predare și descoperire cu
activitatea independentă a elevilor și evaluarea formativă permanentă.
De altfel, am considerat activitatea de învățare a elevilor o mare aventură a cunoașterii
care implică o activitate umană dusă cu pasiune și simț de răspundere de o echipă b ine sudată:
elevi, cadru didactic , părinți.
Lucrarea de față își propune să prezinte o gamă cât mai largă de strategii și metode
menite să contribuie la învăța rea noțiunilor matematice în ciclul primar. Intenționăm să cercetăm
acest subiect, spre a prezenta o gamă cât mai largă de informații care s -au dovedit utile în
activitatea de învațare a matematicii în ciclul primar, să prezinte procedee de lucru care să

11 inducă din punct de vedere psihologic necesitatea folosirii numerelor raționale, să evidențieze
rezultatele practice ale metodei de cercetare și să prezinte câteva planuri de lecție rod al
experienței didactice, propuneri de activități practice pentru buna desfășurare a activității de
predare -învățare -evaluare.

12 Capitolul II . Metodologia predării -învățării numerelor
raționale în ciclul p rimar

II.1. Fracții ordinare

Fracțiile ordinare se pot defi ni în diferite feluri, dar noi vom ține cont de nivelul
cunoșt ințelor și de dezvoltarea capacităților mintale ale elevilor din clasele I -IV, și mai ales de
felul cum se introduc noțiunile privitoare la formarea fracțiilor ordinare, iar definiția unanim
acceptată se formulează astfel : „Numărul format din una sau mai m ulte părți luate dintr -un
întreg care a fost împărțit într -un număr oarecare de părți egale se numește fracție ordinară .
Sau dacă se introduce întâi noțiunea de unitate fracționară, ca o singură parte dintr -un întreg
care a fost împărțit într -un număr oare care de părți egale, atunci definiția poate fi formulată
astfel: Numărul format din una sau mai multe unități fracționare se numește fracție ordinară .”
Aceste definiții sunt accesibile elevilor claselor primare și prin prisma conținutului lor trebuie
orien tat studiul introductiv al fracțiilor ordinare.
Astfel, se introduce noțiunea de jumătate, îndată după studiul numerelor din
concentrul al II -lea, încă din clasa I, iar această noțiune se repetă in clasa a II -a și se intro duce
în plus noțiunea de sfert. C unoștințele privitoare la noțiunile de jumătate și sfert se adâncesc ,
în clasa a III -a, adoptându -se denumirile de doime, pătrime și introducându -se procedeul
scrierii matematice al acestora. De asemenea, prin introducerea noțiunilor de optime, zecime,
cincime și prin rezolvarea de probleme în legătură cu calcularea unei fracții dintr -un număr
(aflarea unei singure părți sau a mai multor părți dintr -un întreg) , cunostințele referitoare la
fracții se lărgesc pentru elevi . Vom putea vorbi despre începuturile s tudiului sistematic al
fracțiilor ordinare, abia în clasa a IV -a când se introduc și câteva noțiuni teoretice, precum și
operațiile de adunare și scădere cu fracții care au același numitor, urmând ca acest studiu să
fie reluat, completat și desăvârșit în c lasele următoare.
Utilizar ea fracțiilor ordinare, au avut totdeauna întâietate față de fracțiile zecimale,
deoarece pe scara dezvoltării omenirii au apărut intâi fracțiile ordinare. De altfel și astăzi
fracțiile ordinare cele mai simple: doimea, pătrimea e tc. au întrebuințare curentă într -o
proporție mai mare decât fracțiile zecimale.
„Formarea conceptului de număr rațional e ste un proces mai complicat. B azele
psihopedagogice ale predării -învățării lui sunt conectate, ca și în alte cazuri, parcurgerii

13 drumu lui de la acțiuni concrete, manipulative, la cele de repreze ntare matematică sau iconică,
care atinge nivelul abstracțiunii prin elemente simbolice. ”9
Aceasta este și rațiunea pentru care se recomandă cadrului didactic să găsească, să
construiască procedee și mijloa ce de motivare psihologică, a necesității introducerii acestor
numere raționale .
O modalitate este aceea de ai pune pe elevi în situaț ia de a rezolva probleme practice
legate de efectuarea unor cumpărătu ri, sau a unor măsurători de teren etc., care nu au soluție
în mulțimea numerelor natu rale sau operații de împărțire a unui nu măr natural la altul, al căror
rezultat nu este un număr natural ș.a.
„În predarea aritmeticii, studiul treptat al fracțiilor ordinare , aduce o însemnată
contribuție la lărg irea noțiunii de număr și a orizontului matematic al elevilor, îmbogățindu -le
cunoștințele și făcându -i să înțeleagă că mulțimile de numere, varietatea acestora nu se
limitează la numere naturale.”10

II.2. Constr ucția axiomatică a mulțimii numerelor rațion ale

În contextul rezultatelor obținute pentru mulțimea numerelor întregi, construcția
numerelor raționale
pornește de la completarea structurii de inel comutativ cu unitate al
numerelor întregi
,,
până la o structură de corp comutativ. Astfel, este suficient să
construim mulțimea numerelor raționale
, astfel încât aceasta să fie cea mai mică mulțime,
în sensul incluziunii de mulțimi, pe care o prelungire a operației de înmulțir e a numerelor
întregi să fie lege de compoziție, să definească pe mulțimea
\0
o structură de grup
comutativ și, nu în ultimul rând,
 \ 0 ,
să fie subgrup comutativ.
Astfel, în mulțimea
 : \ 0
avem
   , 1 1m n m n m n     
,
de unde, în formalismul structurilor algebrice, avem
 \1 n  
 1 n n n n n      
,
(niciun element diferit de unitate nu este simetrizabil în raport cu operația algebrică de

9Alexandru Gheorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura SITECH,
pag.110
10Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editu ra Didactică și Pedagogică,
pag.137

14 înmulțire a numerelor întregi ). Putem facem co nvenția ca elementul simetric al lui
n
să-l
notăm cu
11::nnn  
și să-l denumim inversul lui, sau fracție (rație ) al lui
n .
Astfel, acceptăm următoarea formulare a definiției fracției sau, mai bine -zis, a
formulării care ar trebui să stea la baza formulării celor care se găsesc în manualele de
matematică pentru ciclul primar.
Definiț ie. Orice întreg se poate împărți în oricâte părți egale vrem. Cu alte cuvinte, oricare ar
fi
n
, întregul, gândit, ca fiind
1
, se poate împărți în
n părți egale, fiecare dintre ele
fiind scrisă sub forma
1
n și citită ca „unu împărțit la
n ” sau „una dintre cele
n părți egale ale
întregului”. Întregul poate fi refăcut din părțile sale egale prin
de ori1 1 11
nn n n   
.
atunci, simbolul
p
n se numește fracție de numărător
p și numitor
n, cu
p
și
n
,
unde
p arată câte părți egale luăm din cele
n părți egale între ele. De asemenea, avem
de ori1 1 1 1:
pppn n n n n     
.
Din definiția de mai sus, observăm că pentru introducerea conceptului de număr
rațional în acest mod este necesară teorema de împărț ire cu rest .
Cum construcția mulțimii numerelor raționale depășește cu mult nivelul copiilor din
ciclul primar, putem să dăm direct definiția mulțimii numerelor raționale în următoarea
formulare.
Definiț ie. Se numește mulțimea numerelor raționale mulțimea definită de
1:p= x p q x pqq          
,
adică mulțimea formată din elemente le care au propri etatea că pot fi scrise sub formă de
fracție, în sensul definiț iei.
Din definiț ie, se deduce imediat că avem

, deoarece orice număr întreg se scrie
sub formă de fracție, al cărui numitor este egal cu
1 ,
 1nnx        
.
Pe mulțimea numerelor raționale
se definește operația de adunare a fracțiilor prin

15
,:
,y x x y y x
xy xy,
p p p px y x yqq qq
      
,
unde
,xyqq este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale
xq și
yq , în sensul
definiț iei, scris în mod unic ca produs factori, prin teorema fundamentală a aritmeticii
 , , , ,x y x y x yqq        
,
astfel încât
xxq și
yyq . Prin simbolul „
 ” se înțelege înmulțirea numerelor
întregi.
Propoziți a 1. Adunarea fracții lor este o lege de compoziție pe mulțimea
și, în plus,
,
este un grup comutativ.
Pe mulțimea numerelor raționale
se definește operația de înmulțire a fracțiilor prin
,:y x y x
x y x yp p p p, x y x yq q q q      

unde prin simbolul „
 ” înțelegem operația de înmulțire a numerelor întregi.
Propoziți a 2. Înmulțirea fracțiilor este o lege de compoziție pe mulțimea
și, în plus,
 \ 0 ,
este un grup comutativ.
Propoziț ia 3. Înmulțirea fracț iilor este distributivă față de adunarea fracțiilor
, , ,y y y x x x x z z z
x y z x y z x y x zp p pp p p p p p p
q q q q q q q q q q                                   

și, în plus, avem
0 0 0p p p
q q q                       
.
Propoziți a 4. Adunarea și înmulțirea fracțiilor definesc pe mulțimea numerelor raționale
o
structură algebrică de tip corp comutativ, adică
 ,,
este corp comutativ.
Propoziț ia 5. Aplicația
  : , , ,1xf x f x   

este un morfism de grupuri injective.
Demonstrație. Evident, avem satisfăcută proprietatea de morfism de grupuri, prin definiț ie.
Astfel, pentru
,xy
, avem:
  :.1 1 1 1x y x y x yf x f y x y f x y        

16 Injectivitatea este imediată, pentru că aplicaț ia este de fapt identitatea pe
, dacă
observăm că avem
 :ff  

Prin propoziț ia de mai sus , am obținut că
,
este subgrup al lui
,
și deci
adunarea numerelor raționale „
 ” este o prelungire a adunării numerelor întregi „
 ”. Astfel
că, aceste operații algebrice se vor nota cu același simbol ș i anume „
 ”.
Propoziț ia 6. Aplicația
  : , , ,1xf x f x   
este un morfism de monoizi injectivi.
Prin propoziț ia de mai sus , am obținut că
,
este submonoid al lui
,
și deci
înmulțirea numerelor raționale „
 ” este o prelungire a înmulțirii numerelor întregi „
 ”.
Astfel că, aceste operații algebrice se vor nota cu același simbol și anume „
 ”.
În conc luzie, vom nota corpul numerelor raționale în loc de
 ,,
,
,,
.

II.3. Introducerea conceptului de număr rațional în ciclul primar

Studierea numărului rațional ridică probleme , datorită experienței matem atice reduse
în ciclul primar, și de aceea el trebuie introdus plecând de la acțiuni concrete.
Aspect ul nou asupra imaginii despre numere și mai ales des pre modul de operare cu
acestea, îl dă t recerea de la numere naturale la o nouă categorie, a numerelor rațio nale, iar
programa de matematică pentru ciclul primar prevede formarea la elevi a unei imagini
cuprinzătoare despre numere.
Unele dificultăți de înțelegere din partea elevilor, se datorează faptului că noua
mulțime, a numerelor raționale o include pe cea a numerelor naturale, dar aceste dificultăți
sunt unele suportabile prin abilitate a didactică a unui bun cadru didactic .
În special aceste posibile dificultăți provin din faptul că un număr rațional are o
infinitate de reprezentanți
123;3 6 9 3kkk    
. Astfel, egalitatea dintre numerele
raționale capătă un aspect nou, acela de echivalență .
Numerele naturale pot fi reprezentate printr -o infinitate de moduri:

4 8 12 44;1 2 3kkk    
.
Elevii vor înțelege că orice număr natural poate fi scris sub forma unu i număr rațional.

17 Vom prezenta pe scurt, cum poate fi introdusă noțiunea de număr rațional pozitiv cu
ajutorul claselor de echivalență, dar cu mențiunea că această modalitate nu se recomandă în
procesul de predare -învățare -evaluare în ciclul primar.
Aceas ta este prezentată în scopul lărgirii orizontului matematic al profesorilor de ciclul
primar și preșcolar , cât și al elevilor liceelor pedagogice în legătură cu conceptul mai larg de
număr.
Să considerăm mulțimea:
  ,| și E p q p q    
. Orice pereche
,p q E
se numește fracție . Notația uzuală pentru fracție este
qp .
Vom scrie
|,pE p qq   

.
Pe mulțimea E se definește relația de echipotență „ ” care, vom demonstra, ca este o
relație de echivalență.
„”:
qp
qp'
' 'qp pq (se va citi echipotență sau echivalență ).
1) Relația „ ” este reflexivă :

qp
qp
qp pq (înmulțirea numerelor este comutativă ).
2) Relația „ ” este simetrică :
Dacă
qp
''
qp, atunci și
''
qp 
qp.
Într-adevăr, dacă ținem cont de comutativitatea înmulțirii, putem scrie:
qp

''
qp
' 'qp pq (1)
și
''
qp

qp
pqqp ' ' , (2)
dar,
pq pq '' și
qp qp '' , conform proprietății de comutativitate a înmulțirii numerelor
naturale. Astfel relațiile (1) și (2) devin echivalente.
3) Relația „ ” este tranzitivă :

qp
''
qpși
''
qp 
''''
qp

qp 
''''
qp
Într-adevăr,

18
''''pppq qpqq
(3)
și

''
qp 
''''''''''pq qpqp (4)
dar, înmulțind relațiile (3) și (4 ) membru cu membru, obținem relația
'''' '''' pqqp qppq
, (5)
pe care o vom simplifica prin
''qp . Obținem astfel:

qpqp pq '' '' 
''''
qp .
Cu alte cuvinte, am arătat că relația de echipotență „ ” este o relație de echivalență.
Relația „” determină pe mulțimea
*E
, pe care a fost definită o partiție a
mulțimii respective în submulțimi disjuncte, numite clase de echivalență .
Mulțimea acestor clase de echiv alență determinate de mulțimea
E în raport cu relația
de echivalență „ ” se notează
*/
.
Elementele mulțimii

se numesc numere raționale pozitive .
Toate fracțiile, perechile de tip ul
,pq care aparțin aceleiași clase de echivalență sunt
reprezentanți ai acestei clase. Conform definiției, se spune că ele reprezintă același n umăr
rațional.
Orice număr rațional are o infinitate de reprezentanți.
Exemplu:
În clasa
52se află toate fracțiile
''
qp echivalente cu fracția
52 :

''
qp 
2' 5'52 q p , cu
'p și
'q*, adică toate fracțiile :

52 ,
104,
156
208 , …
Numărul reprezentat de fracția
qp sau perechea
,pq se desemnează tot prin
qp ,
adică fracțiile se vor nota la fel ca numărul rațional pe care -l reprezintă, făcând eventual
specificația necesară.
Proprietățile aritmetice ale mulțimilor  și Q
 ne permit să identificăm orice număr
natural n cu numărul rațional
1n .

19 II.4. Fracții zecimale

Prin in troducerea în clasa a IV -a a studiului numerelor zecimale, elevii își lărgesc
onsiderabil orizontul matematic, își îmbogățesc c unoștințele, își formează noi deprinderi de
calcul, se înarmează cu metode și procedee noi pentru efectuarea calculelor aritmetice.
Numerele zecimale au o largă aplicare în toate domeniile de activitate ale omului,
alături și în strânsă legătură cu numere le întregi, deoarece mărimile sau cantitățile și relațiile
dintre ele se exprimă nu numai prin numere întregi, ci mai adesea prin numere fracționare,
prin numere formate din întregi și fracții.
Fracțiile zecimale se studiază după ce elevii și -au însușit n oțiunile de bază referitoare
la fecțiile ordinare și la unitățile de măsură.
Numerele zecimale au legături strânse de independență atât cu fracțiile ordinare și
unitățile din sistemul metric, cât și cu numerele îngtregi. În ceea ce privește legătura cu
numerele întregi, formarea fracțiilor zecimale, scrierea și citirea lor au la bază aceleași legi,
iar regulile și procedeele privitoare la cele patru operații aritmetice cu numere zecimale
constituie doar o extindere a acestor numere a regulilor și procedeel or stabilite pentru
numerele întregi.
Fracțiile zecimale au o legătură mult mai strânsă cu fracțiile ordinare datorită faptului
că fracțiile zecimale constituie un ca z particular al celor ordinare și anume acela în care
numitorul este o putere a numărului 10, adică acele fracții care au numitorul 10, 100, 1000
etc.
Ținând seama de structura și relațiile de mărime dintre unitățile sistemului metric,
fracțiile zecimale constituie cel mai potrivit instrument de exprimare a dependenței dintre
diferitele unită ți de măsură, de scriere și citire sub o formă unitară a numerelor concrete
compuse care exprimă unități din sistemul metric . De asemenea, unitățile fracționare zecimale
exprimă dependența submultiplilor față de unitatea principală, precum și dependența or icărei
unități din sistemul metric față de una din unitățile care le succed în ordinea mărimii.
„În ceea ce privește conținutul capitolului privitor la studiul numerelor zecimale,
programa școlară prevede tratarea în clas a a IV -a a următoarelor noțiuni :
– formarea unităților fracționare zecimale, scrierea și citirea lor;
– formarea fracțiilor zecimale și a numerelor zecimale, scrierea și citirea acestora;
– cele patru operații cu numere zecimale;
– mărirea și micșorarea numerelor zecimale de 10, 100, 1000 ori;

20 – transformarea unităților de măsură din sistemul metric cu ajutorul fracțiilor
zecimale.”11
II.5. Formarea fracțiilor zecimale. Scrierea și citirea lor.

O singură parte dintr -un întreg împărțit în 10, 100, 1000 de părți egale se numește
unitate fracționară zec imală. Unitățile fracționare zecimale capătă denumiri după numărul
care arată în câte părți se împarte întregul, adică după numitorul fracției respective. Astfel,
unitățile obținute prin împărțirea întregului în 10 părți egale se numesc zecimi , cele obținu te
prin împărțirea întregului în 100 de părți egale se numesc sutimi , iar cele obținute prin
împărțirea întregului în 1000 de părți egale se numesc miimi etc.
“Unitățile sistemului metric sunt cunoscute de catre elevi, iar cunoștințele despre
fracțiile or dinare sunt recente și, de asemenea cunosc scrierea sub formă de fracții ordinare a
submultiplilor unităților principale, noțiunile de zecime, sutime ș i miime pot fi introduse prin
utilizarea tuturor acestor cunoștințe, realizându -se unitatea lor. Astfel, pentru formarea
noțiunii de zecime, după ce în cadrul unor scurte discuții pregătitoare se reamintește scrierea
în general a fracțiilor ordinare și se scriu pe tablă și pe caiete câteva unități fracționare
ordinare, printre care și cele cu numitorul 10, 10 0 și 1000.”12
Exemplu:

21 ;
41;
61;
101;
1001 ;
10001 .
După care se citesc aceste fracții sub diferite forme:
 1 pe 2, 1 supra 2, o d oime;
 1 pe 4, 1 supra 4, o pătrime;
 1 pe 6, 1 supra 6, o șăsime;
Pentru formarea noțiunilor de zecime se pleacă de la împărț irea ariei unui dreptung hi
în 10 părți la fel de mari.
Exemplu:

Spunem elevilor că
101 se scrie 0,1 ș i se citește o zecime.

11Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.145 -146
12Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică ș i Pedagogică,
pag.146 -147

21  1 pe 10, 1 supra 10, o zecime;
 1 pe 100, 1 supra 100, o sutime;
 1 pe 1000, 1 supra 1000, o miime .
Se va trece la reamintirea unităților de măsură din sistemul metric a căror mărime
reprezintă o z ecime din unitatea principală , după ce elevii vor fi anunțați că în continuare se
vor ocupa numai cu fracțiile care au numitorii 10, 100 și a1000. Se vor scrie relațiile
respective sub formă de fracții ordinare:
1 dm =
101 m; 1 dg =
101 g; 1 dl =
101 l.
Se vor citi:
– 1 dm este egal cu o zecime din metru sau decimetrul este zecimea metrului;
– 1 dg este egal cu o zecime din gram sau decigramul este zecimea gramului;
– 1 dl este egal cu o zecime din litru sau decilitul este z ecimea litrului.
„În vederea s crierii unităților zecimale, elevii pot fi conduși să ajungă singuri la concluzia
că aceste unități își au locul la dreapta unităților întregi, deoarece în stânga unităților simple,
pe locul imediat următor, se află zecile, unități de 10 ori mai mari decât unitățile simple, după
care urmează sutele, care sunt de 100 ori mai m ari decât unitățile simple etc.
Atunci zecimile care sunt de 10 ori mai mici decât unită țile simple, nu pot fi situate decât
pe primul loc din dreapta acestora,mai ales dacă ținem seama și de faptul că unitățile de
diferite ordine, citite de la stânga la dreapta, descresc din 10 în 10. Apare astfel și necesitatea
unui semn care să despartă unitățile întregi de cele zecimale.
Prin u rmare, prima unitate zecimală –zecimea –se va scrie astfel: 0,1 unde zero arată întregi
(întregi nu avem și de aceea scriem zero la locul lor), cifra 1 arată numărul unităților
fracționare (numărul zecimilor), iar virgula desparte partea întreagă de partea fracționară
zecimală și se numește virgulă zecimală .”13
Exemplu:
 1 m = 10 dm, rezultă că 1 dm =
101 m = 0,1 m;
 1 l = 10 dl, rezultă că 1 dl =
101 l = 0,1 l;
 1 g = 10 dg, rezultă că 1 dg =
101 g = 0,1 g.

13Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.146 –147

22 În mod asemănător se vor introduce și fracții le cu numitorul 100 (sau 10
2 ) și noțiunea
de “s utime ”. Astfel, în scriere, sutimile sunt după virgulă, imediat după cifra zecimilor, adică
a doua cifră de după virgulă.
Exemplu:
 1 m = 100 cm, rezultă că 1 cm =
1001 m = 0,01 m;
 1 g = 100 cg, rezultă că 1 cg =
1001 g = 0,01 g;
 1 l = 100 cl, rezultă că 1 cl =
1001 l = 0,01 l.
Fracția cu numitorul 1000 (sau 10
3 ) se va numi “miime ”.
Numărul
10001 se va scrie cu virgulă 0,001. Astfel, cifra miimilor este scrisă imediat în
dreapta cifrei sutimilor, adică este a treia cifră după virgulă.
Exemplu:
• 1 m = 1000 mm, rezultă că 1 mm =
10001 m = 0,001 m;
• 1 g = 1000 mg, rezultă c ă 1 mg =
10001 g = 0,001 g;
• 1 l = 1000 ml, rezultă că 1 ml =
10001 l = 0,001 l.
Se vor face, în continuare, exerciții de transformare a unităților de măsură cu zecimi,
sutimi și miimi.
Exemplu:
 1 dm =
101 m = 0,1 m; 1 dg =
101 g = 0,1 g;
 1 cm =
1001 m = 0,01 m; 1 cg =
1001 g = 0,01 g;
 1 mm =
10001 m = 0,001 m; 1 mg =
10001 g = 0,001 g.
Și invers:
0,3 =
103 ; 1,2 =
1012 ; 1,23 =
100123 ; 2,15 =
100215 sau 0,013 =
100013 .
Pe baza exemplelo r date și după efectuarea mai multor exerciții de acest tip, se
stabilesc următoa rele concluzii :
a) Zecimea este unitatea fracționară zecimală care se obține prin împărțirea î ntregul ui
în 10 părți egale și este reprezentată de prima cifră de după virgulă ;

23 b) Sutimea este unitatea fracționară care se obține prin împărțirea întregului în 100 d e
părți egale și este reprezentată de a doua cifră de după virgulă ;
c) Miimea este unitatea f racționară zecimală care se obține prin împărțirea întregului
în 1000 de părț i egale și este reprezentată în scris, de a treia cifră de după virgulă.
Însușirea tutur or noțiunil or introductive este posibilă să se realizeze în 2 –3 lecții și
anume:
• formarea noțiunilor de unitate fracționară zecimală, fracție zecimală și
număr
zecimal;
• cunoașterea primelor trei unități fracționare zecimale;
• scrierea și ci tirea acestor unități.
În lecțiile următoare cunoștințele dobândite vor fi completate cu exprimarea sub formă
de unități fracționare zecimale a fiecărei unități din sistemul metric față de cele imediat
următoare în ordinea mărimii. Acestă exprimare consti tuie cel mai potrivit procedeu de
consolidare a unităților din sistemul metric, mai ales în ceea ce privește succesiunea și relațiile
lor de mărime bazate pe raportul unitar.
Exemple:
a) hectometrul se obține împărțind kilometrul în 10 părți egale, deci e ste
de 10 ori mai m ic decât kilometrul. Vom scrie:
1 hm =
101 km sau 1 hm = 0,1 km;
b) decametrul este de 10 ori mai mic decât hectometrul și de 100 de ori
mai mic decât kilometrul, deci vom scrie :
1 dam =
101 hm sau 1 dam = 0,1 hm;
1 dam =
1001 km sau 1 dam = 0,01 km;
c) metrul este de 10 ori mai mic dec ât decametrul, de 100 ori mai mic
decât hectometrul și de 1000 or i mai mic decât kilometrul. Vom scrie :
1 m =
101 dam sau 1 m = 0,01 dam;
1 m =
1001 hm sau 1 m = 0,01 hm;
1 m =
10001 km sau 1 m = 0,001 km.

24 Legătura strânsă dintre fracțiile ordinare și cele zecimale se realizeză n u numai prin
scrierea sub forme diferite aceleiași relații, cât mai ales prin identitatea citir ii celor două forme
de scriere.
Spre exemplu, relațiile:
1 m =
101 dam și 1 m = 0,1 dam.
Se citesc amândouă sub forma: „1 m este egal cu o zecime de decametru “ sau „metrul
este
zecimea decametrului “.
Odată cu exprimare a unităților fracționare zecimale cu ajutorul unităților din sistemul
metric, se pot stabili și relațiile dintre cele trei unități fracționare:
1 intreg = 10 zecimi = 100 sutimi = 1000 miimi ;
1 zecime = 10 sutimi= 100 miimi ;
1 sutime = 10 miimi .
Aceste relații se pot observa cu ușurință, că sunt identice cu relțiile dintre unitățile din
sistemul metric.

II.6. Formarea noțiunii de fracție zecimală .

Prin fracție zecimală se înțelege numărul format din una sau mai multe unități
fracționare zecimale .
Exemplu:

102 = 0,2;
1006 = 0,06;
10009 = 0,009.

10015 = 0,15;
1000216 = 0,216.
Citirea numărului 0,216 se face astfel:
„0 întregi, 2 zecim i, 1 sutime și 6 miimi ” sau ”0 întregi și 216 miimi”.
Numărul 0,328 m, ca fracție zecimală cu un conținut concret de unități de lungime, se
va citi astfel:
“0 metri, 3 decimetri, 2 centimetri și 8 milimetri ” sau
“0 metri și 328 de miimi de metru“ sau, ca mai înainte,
“0 întregi, 3 zecimi, 2 sutimi și 8 miimi“ sau
“0 întregi și 328 de miimi“.

25 “Pentru ca elevii să scrie și să citescă în mod conștient fracțiile zecimale și pentru a se
realiza o legătură permanentă cu unitățile de măsură pe care le exp rimă fiecare unitate
fracționară, este necesar să învețe și să folosescă toate modalitățile de citire să li se formeze
capacitatea de a trece cu ușurință de la un tip de citire la altul, realizând astfel unitatea
cunoștințelor asimilare.
Se va accentua fa ptului că orice fracție zecimală are o parte întreagă și o parte
zecimală .
Dacă numărul cifrelor zecimale este finit, fracția respectivă se numește fracție
zecimală finită , iar dacă numărul cifrelor zecimale este infinit și se repetă periodic, atunci se
numește fracție zecimală infinită periodică .”14

II.7. Formarea noțiunii de număr zecimal, scrierea și citirea
numerelor zecimale.

“Numărul format din unități întregi și fracții zecimale se numește număr zecimal, sau
cu alte cuvinte, prin număr zecimal se înțelege numărul format din fracții zecimale sau din
întregi și zecimale. Prin urmare, numărul zecimal este alcătuit din două părți: partea întreagă
(formată în general din unități reprezentate prin cifre semnificative) și partea zecimală
(formată din una sau mai multe unități zecimale). În cazul când lipsesc întregii, locul lor este
marcat totuși prin cifra zero, astfel că în scriere apare totdeauna partea întreagă. De aici
rezultă că noțiunea de număr zecimal cuprinde și pe cea de fracție zecimală. Adică orice
unitate fracționară zecimală este în același timp fracție zecimală și orice fracție zecimală est e
la rândul său număr zecimal.”15
Pentru introducerea noțiunii de număr zecimal se utilizează de asemenea unitățile din
sistemul metric și cele mo netare, exprimându -se anumite mă rimi prin numere zecimale.
Exemple:
• lungimea unei sfori es te de 4 m 7 dm, adică 4,7 m;
• masa unui sac de grâu este 53 kg și 6 dag, adică 53,06 kg ;
• capacitatea unei sticle este de 2 l 8 ml, adică 2,005 l.
Se vor citi as tfel:

14Ion Neacșu, Monalisa Găleteanu, Petre Predoi, (2001). Metodica matematicii în învățământul primar, Craiova :
Editura AIUS, pag.103 -104
15Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I – IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.149

26 • 4 m 7 dm = 4 m (întergi) și 7 zecimi de metri = 4
107 m;
• 53 kg 6 dag = 53 kg (întregi) și 6 sutimi de kilograme = 53
1006 kg;
• 2 l 8 ml = 2 l (întregi) și 8 miimi de litri = 2
10008 l.
Pentru formarea priceperilor și deprinderilor de scriere a numerelor zecimale, trebuie
să se stabilească în mod clar ordinul unităților fracționare zecimale cu locurile ce le sunt
rezervate în scriere și să se utilizeze ca material didactic fișa pentru fo rmarea numerelor
zecimale, precum și tabla cu cifre mobile.
Exemplu:
Dacă li se cere elevilor să formeze numărul 3,008 (doi întregi și cinci miimi),
elevii vor pune cifra 2 în locul unităților întregi, iar cifra 8 pe locul al III -lea de la virgulă spre
dreapta. Atunci locurile corespunzătoare ordinelor I și II de la partea zecimală vor rămâne
libere, astfel că elevii vor înțelege singuri necesitatea completării cu zerouri a acestor locuri.
De asemenea, utilizând aceste materiale, elevii vor putea înțele ge cu ușurință procesul
de transformare a fracțiilor zecimale prin adăugarea unor zerouri la urmă sau prin suprimarea
acestor zerouri, mai ales dacă exemplele utilizate se bazează pe unitățile sistemului metric.
Exemplu:
 o jumătate de metru se poate scr ie: 5 dm = 50 cm = 500 mm sau
0,5 m = 0,50 m = 0,500 m;
Se va citi: cinci zecimi de metri = 50 sutimi de metri = 500 miimi de metri.
După ce vor fi scrise pe tablă aceste numere cu cifre mobile, elevii vor observa c ă cifra
5 se află pe locul I de la virgu lă spre dreapta, deci reprezintă unități fracționare de ordinul I,
adică zecimi de metri și că prin adăugarea unor zerouri la urmă, sau prin suprimarea acestor
zerouri, cifra 5 rămâne mereu pe același loc și rep rezintă același fel de unități.
Din analiza m ai multor exemple de ace lași fel se poate stabili fără dificultăți concluzia:
valoarea unui număr zecimal nu se schimbă prin adăugarea unor zerouri la urmă sau prin
suprimarea acestor zerouri, ci se modifică numai denumirea unităților respective .
Exerciții le de scriere a numerelor zecimale trebuie rânduite după dificultățile pe care le
prezintă, și anume:
• întâi exerciții de scriere a unităților de un singur ordin, adică numai
zecimi, sau numai sutimi, sau numai miimi, fără unități întregi;
• în al doile a rând, exerciții de scriere a fracțiilor zecimale care sunt
formate din unități de două și apoi de trei ordine, tot fără unități întregi;

27 • în al treilea rând, exerciții de scriere a numerelor zecimale formate din
întregi și zecimale.
Primele exerciții de scriere a numerelor zecimale de către elevi trebuie să aibă loc cu
ajutorul tabelului de numerație, adică a tabelului care indică ordinul unităților, așa cum arată
și tabla cu cifre mobile, acest tabel fiind liniat în prealabil pe tablă și pe caiete. Du pă ce elevii
deprind în condiții satisfăcătoare scrierea numerelor zecimale cu ajutorul tabelului și -și
formează în mod clar imaginea locului pe care îl ocupă fiecare unitate fracționară în
comparație cu unitățile întregi, se poate trece treptat la scriere a acestor numere fără tabel.
Unități întregi Uități zecimale
6
sute
de mii 5
zeci
de mii 4
mii 3
sute 2
zeci 1
unități
simple 1
zecimi 2
sutimi 3
miimi
5 , 8
3 7 4 , 9 2
6 1 , 3 5 7

Citirea fracțiilor zecimale se poate face în trei feluri:
• după regula citirii numerelor întregi, cu denumirea unități lor pe
care le reprezintă ultimul ordin al părții zecimale;
Exemplu: 0,357 m  zero întregi și 357 miimi de metri.
• cu denumirea pe rând a tuturor unităților fracționare;
Exemplu: 0,357 m  zero întregi, 3 zecimi, 5 sutimi și 7 miimi de
metri.
• cu denumirea unităților de măsură pe care le reprezintă fiecare unitate
fracționară;
Exemplu: 0,357 m  (zero metri), 3 decimetri, 5 sutimi, și 7
milimetri.
În cazul numerelor abstracte se pot utiliza numai primele două feluri de citiri.
“Pentru ca elev ii să scrie și să citească în mod conștient numerele zecimale și pentru a
se menține legătura permanentă cu unitățile de măsură pe care le exprimă fiecare unitate
fracționară, este necesar ca elevii să învețe și să practice toate cele trei feluri de citiri , să li se

28 formeze capacitatea și deprinderea de a trece cu ușurință de la un fel de citire la altul,
realizând astfel unit atea cunoștințelor dobândite. ”16

II.8. Compararea fracțiilor zecimale

Fracțiile zecimale se pot compara ca și fracțiile care au cel ași numitor, dacă sunt scrise sub
forma:
1001042;10058;100137 .
Am stabilit la studiul fracțiilor ordinare care au același numitor că este mai mare aceea
cu numărătorul mai mare. Astfel,
10058 
100137
1001042 .
Dacă fracțiile sunt scrise cu virgulă, se compară mai întâi partea întreagă (ca și la
numerele naturale), iar dacă părțile întregi sunt egale, se compară părțile zecimale, mai întâi
zecimile, apoi sutimile apoi miimile etc.
Exemplu:





42,10100104237,110013758,010058 rezultă că 0,58  1,37  10,42.
“După realizarea mai multor exerciții de comparare, se pot deduce următoarele reguli:
a) dintre două fracții zecimale, mai mare este aceea care are partea întreagă mai mare;
b) dacă două fracții zecimale au părțile înt regi egale, mai mare este aceea care are
numărul zecimilor mai mare;
c) dacă două fracții zecimale au părțile întregi și numărul zecimilor egale, mai mare este
aceea care are numărul sutimilor mai mare;
d) dacă două frac ții zecimale au părțile întregi , numărul z ecimilor și numărul sutimilor
egale, mai mare este aceea care are num ărul miimilor mai mare ș.a.m.d. ”17

16Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogi că,
pag.150
17Ion Neacșu, Monalisa Găleteanu, Petre Predoi, (2001). Metodica matematicii în învățământul primar, Craiova:
Editura AIUS, pag.105

29 II.9. Operații cu fracții zecimale

Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale

Pentru clasa a IV -a programa prevede toate cele patru operații cu fracții zecimale,
fiecare operație cu cele două cazuri principale și anume:
– cazul când ambii termeni sau factori sunt fracții zecimale;
– cazul când numai unul din termeni sau factori este fracție zecimală, iar celălalt
este număr natural.
În paralel cu aceste cazu ri, la adunare și scădere se mai au în vedere și situațiile când
termenii au un număr inegal de cifre zecimale , care se rezolvă la început prin completarea cu
zerouri a ordinelor unităților zecimale care lipsesc, renunțându -se treptat la această
completare , pe măsură ce elevii reușesc să -și formeze deprinderile de calcul necesare.
Metoda principală care se ut ilizează în studiul operațiilor aritmetice cu numere
zecimale și în for marea deprinderilor de calcul constă în exti nderea asupra acestor numere a
propr ietăților, regulilor teoretice și a procedeelor tehnice dobândite în studiul operațiilor cu
numere întregi.
„Prin urmare, regulile privitoare la scrierea operațiilor, așezarea numerelor și
efectuarea calculel or stabilite la numerele naturale se aplică în î ntregime la fracțiile zecimale
atât pentru calculul oral, cât și pentru cel în scris, ținându -se seama doar de particularitățile
pe care le impune prezența virgulei. ”18
Exemple:
• 3,4 + 2,5 = 5,9 sau 3,5 +
2,3
5,8
• 3,4 – 2,5 = 0,9 sau 3,5 
2,3
1,2
Se va avea grijă ca la punerea fracțiilor zecimale una sub alta, virgulele să corespundă (să fie
una sub alta).
• 5 + 2,3 = 5,0 + 2,3 = 7,3 sau 5,0 +
2,3
7,3

18Alexandru Gheorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pa g.123

30 • 5  2,3 = 5,0 + 2,3 = 2,7 sau 5,0 
2,3
2,7
• 10,2 + 4,307 = 10,200 + 4,307 = 14,507 sau 10,200 +
4,307
14,507
În ceea ce privește succesiunea exercițiilor în cadrul fiecărei operații, astfel ca să se
asigure dozarea progresivă a dificultăților, indicațiile car e pot fi date sunt următoarele:
 întâi se rezolvă exerciții în care termenii au câte o singură cifră zecimală, apoi
câte două cifre zecimale, și în al treilea rând, exerciții cu câte trei sau mai multe cifre
zecimale;
 la adunare și scădere se rezolvă în tâi exerciții fără trecere peste ordin și apoi cu
trecere peste ordin, precizându -se că 10 unități de același ordin reprezintă o unitate din
ordinul imediat superior:
10 miimi = 1 sutime;
10 sutimi = 1 zecime;
10 zecimi = 1 întreg.
 exerciții de aflare a unui termen dintr -o adunare sau scădere: când se
cunoaște suma, respectiv, diferența;
 exerciții cu adunări și scăderi, cu paranteze .
Justificarea regulilor de adunare și scădere a fracțiilor zecimale se bazează pe adunarea
și scăderea fracțiilor cu același numitor și pe faptul că sistemul de formare și scriere a
numerelor naturale și a fracțiilor zecimale este pozițional.
Trebuie precizat faptul că, toate proprietățile –de comutativitate , de asociativitate ,
adunarea cu 0 (element neutru), proba adu nării și scăderii etc., învățate la numere naturale
rămân valabile și în cazul adunării și scăderii fracțiilor zecimale .
La calculul în scris învățătorul va forma elevilor deprinderile de a scrie corect
elementele calcului, adică partea întreagă scrisă cor espunzător sub partea întreagă, virgulă sub
virgulă, zecimile sub zecimi etc.

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu 10, 100, 1000
“Opera țiile prin care se transformă, se măresc sau se micșorează numerele zecimale și
unitățile lor componente sunt u rmătoarele:
• adăugarea sau tăierea zerourilor de la urmă;
• mutarea virgulei spre dreapta sau spre stânga;

31 • înmulțirea și împărțirea cu 10, 100, 1000.
Toate aceste operații se studiază prin aplicarea la numerele zecimale a metodelor
utilizate în studiul nume relor întregi, comparația având rolul predominant. Astfel, concluziile
privitoare la adăugarea sau tăierea zerourilor de la urma unui număr zecimal, precum și cele
privitoare la mutarea virgulei sau suprimarea acesteia, se pot stabili comparând numerele
obținute prin aceste operații cu numerele date și scoțând în evidență transformările care au loc
în fiecare din aceste cazuri.”19
În ceea ce privește înmulțirea unei fracții zecimale cu 10, 100, 1000, aceasta se
efectuează mutând virgula spre dreapta pes te 1 cifră, 2 cifre, 3 cifre ș.a.m. d. , iar dacă nu
există cifre suficiente, se adaugă zerouri.
“Înmulțirea unei fracții zecimale cu 10, 100, 1000 se introduce prin intermediul
exercițiilor, elevii fiind conduși să observe că prin înmulțirea cu 10 ordinele fr acției zecimale
se transformă în ordine de 10 ori mai mari, adică zecimile devin unități întregi, sutimile devin
zecimi, miimile devin sutimi. Acestă aobservație ne conduce la regula: O fracție zecimală se
înmulțește cu 10 mutându -i virgula peste o cifră s pre dreapta .”20
Exemplu:
3,58  10 = 35,8
În acest exemplu, la produs, cifra 3 reprezintă zeci în loc de unități; cifra 5 reprezintă
unități în loc de zecimi; cifra 8 reprezintă zecimi, în loc de sutimi.
În concluzie, cifrele de un anumit ordin ale deînm ulțitului devin cifrele de ordin
imediat superior ale produsului .
Procedând analog se va deprinde și regula înmulțirii unei fracții zecimale cu 100,
1000. Aceasta constă în mutarea virgulei peste două, respectiv trei cifre spre dreapta.
Exemplu:
• 2,457  100 = 245,7 ;
• 1,7405  1000 = 1740,5 .
Un alt procedeu cu ajutorul căruia desprindem regulile de mai sus este cel bazat pe
algoritmul înmulțirii unei fracții zecimale cu un număr natural.
Exemplu:
• pentru înmulțirea fracției zecimale 3,428 cu 100 așeză m numerele unele
sub altele ca în cazul general, adică: 3,428 
100

19Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.151
20Alexandru Gheorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag.123

32 Înmulțim în m od obișnuit, obținând produsele parțiale și apoi pe cel total însumând
produsele p arțiale. La început înmulțim cu zero obținând produsul.
Deoarece primele produse parți ale sunt egale cu zero, observăm că putem omite
înmulțirile cu zero și că factorii la înmulțire îi putem așeza astfel:
3,428 
100
342,800
Deci, înmulțim numai cu 1, iar la produs coborâm cele două zerouri, apoi despărțim
prin virgulă de la dr eapta spre stânga cele trei zecimale ale deînmulțitului. Astfel, obținem
fracția zecimală 342,800 ale cărei zerouri de la sfârșit pot fi omise fără a modifica valoarea
fracției zecimale. Deci, rezultatul înmulțirii este fracția zecimală 342,8 care poate fi obținută
direct din fracția 3,428 prin mutarea virgulei peste două cifre, spre dreapta. Este vorba de
aceeași regulă ce s -a desprins în primul procedeu.

Împărțirea fracțiilor zecimale la 10, 100, 1000
Împărțirea fracțiilor zecimale la 10, 100, 1000 se p oate face prin intermediul unor
exemple ca în cazul înmulțirii, dar prin mutarea virgulei spre stânga, peste o cifră, peste două
cifre, respectiv peste trei cifre. De această dată observăm că unitățile de un ordin oarecare ale
deîmpărțitului ocupă, în urma operației de împărțire descrisă, locul unui ordin de 10 ori mai
mic, de 100 de ori mai mare, respectiv de 1000 de ori mai mic.
Exemplu:
324,1  10 = 32,41 sau 324,1  10 =


1014 20 300  10 =
=
1001
104
1020
10300 =
= 32 + 0,4 + 0,01 =
= 32,41
Alte exemple:
2,73  10 = 0,273 ;
53,6  100 = 0,536 ;
18,42  1000 = 0,01842;
Comparând deîmpărțitul 324,1 și câtul obținut prin împărțirea la 10, adică 32,41
observăm că la cât, cifra 3 reprezintă zeci (în loc de sute); cifra 2 reprezintă unități (în loc de
zeci); cifra 4 reprezintă zecimi (în loc de uni tăți); cifra 1 reprezintă unități (în loc de zecimi).

33 „O fracție zecimală se împarte la 10 mutându -i virgula peste o cifră, spre stânga,
procedând analog f ormulăm următoarea regulă generală:
O fracție zecimală se împarte la 10, 100, 1000 mutându -i virgula respectiv peste 1, 2,
3 cifre, spre stânga .”21
La aceeași regulă putem ajunge și oe altă cale, anume folosind transformarea unităților
de măsură metrice mai mici în unități mai mari, ceea ce presupune împărțirea la 10, 100,
1000.
Exemplu:
10:1,352 m
=

 m m m m1012 50 300 : 10 =
 dm m dam hm 1 2 5 3  : 10 =
=
101
102
105
103 dm m dam hm =
cm dm m dam 1 2 5 3  =
=
m21,35
dam m? 1,352

dam m 21,35 1,352

Așadar, transformăm metri în decametri (unități mai mici în unități mai mari). Este
necesară în acest caz, operația de împărțire la 10, metrul fiind de 10 ori mai mic decât
decametrul.
Fiecare unitare de măsură se micșorează de 10 ori, devenind astfel unitate de ordin
imediat inferior: hm devine dam, dam devine m, m devine dm, dm devine cm, cm devine mm
etc.
Întrucât partea întreagă este exprimată în dam, ea va fi construită din numărul 35, iar
restul reprezintă partea zecimală, separată prin virgulă. Se observă că virgula s -a mutat peste o
cifră spre stânga.
În cazul transformărilor care implică împărțirea la 100, 1000, se procedează similar,
virgula mutându -se tot spre stânga, peste două, respectiv trei cifre.
„Contribuții la studiul fracțiilor zecimale au adus: S. Stevin (1585), B. Pitiscus (1612)
căruia i se datorează numerația zecimală (unde unitățile diferitelor ordine, luate succesiv, de la
stânga la dreapta, formează o progresie geometrică descrescătoare, a cărei rație este o
zecime), W. Oughtred (1631) a publicat cel dintîi procedeu de înmulțire și împărțire
prescurtată a fracțiilor zecimale, care după perfecționarea adusă de J. Fourier (1831), este

21Alexandru G heorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag.124

34 folosit și acum. – Fracție zecimală periodică , fracție zec imală care are un grup de zecimale
(numit perioadă ) ce se repetă necontenit.22
Atunci cand perioada urmează imediat după virgulă, fracția se numește fracție
zecimală periodică simplă .
Exemplu:

65 = 1,666 … = 1,(6).
Dacă perioada nu urmează imediat după virgulă, fracția se numește fracție zecimală periodică
mixtă .
Exemplu:

11053 = 0,32121 … = 0,3(21).
Pentru transformarea unei frac ții ordinare în fracție zecimală se utilizează următoarele
procedee:
 se amplifică fracția ordinară cu acel număr natural, astfel încât numitorul să
devină o putere a lui 10 (dacă acest lucru este posibil):
5,010050
21
;
25,010025
41 ;
 se împarte numărul la numitor, obținându -se după caz:
 fracții zecimale finite ;


1000875875,087
;
 fracții zecimale periodice : simple și mixte ;
•
)3(,6…333,6957 ;
Invers:
957
93
954
936)3(,06)3(,69 sau

957
9663)3(,6  , fracție zecimală periodică simplă cu perioada 3.
•
) 285714(,6744 ;
Invers:
9999996285708
9999996 6285714) 285714(,6 
•
)1(8,690613 ;

22Dicționar de matematici generale, (1997), București: Editura Enciclopedică Română, pag.17

35 Invers:
90613
9068 681)1(8,6  , fracție periodică mixtă .
Înmulțirea sau împărțirea cu 10, 100,1000 anumerelor zecimle poate fi prezentată ca o
consecință a mutării virgulei, adică dacă prin mutarea virgulei spre dreapta peste una, două,
trei citre, numărul se mărește de 10, 100, 1000 ori, rezultă că înmulțirea cu 10, 100, 1000 a
unui număr zecimal se poate face prin mutarea virgulei spre dreapta peste una, două sau trei
cifre. În mod analog, împărțirea unui număr zecimal cu 10, 100, 1000 constituie o consecință
a transformării ce are loc prin mutarea virgulei spre stânga.

36 Capitolul III. Aspecte metodice privind predarea, învățarea
și evaluarea numerelor raționale

III.1. Noțiunea de număr rațional. Unitate fracți onară

Introducerea, în clasa a IV -a, a noțiunii de fracție reprezintă prima lărgire a
conceptului de număr . Elevii vor învăța că noua mulțime numerică o include pe cea a
numerelor naturale, prin înțelegerea fapt ului că o fracț ie cu numitorul 1 reprezintă un număr
natural.
Formarea noțiunii de fracție este un proces mai complicat, ce va conduce, în timp, la
conceptul de număr rațional . Bazele psihopedagogice ale predării –învățării fracțiilor sunt
determinate de sporirea experie nței de viață și didactic e a elevilor, a maturizării lor cognitive,
a lărgirii ariei cunoștințelor lor matematice și din alte domenii ale cunoașterii. Demersul
didactic trebuie să aibă traseul obișnuit în învățarea la această vârstă: de la elementele
acțio nale, concrete, la cele de reprezentare iconică și atingând nivelul abstracțiunii, prin
elemente simbolice.
„Însușirea de către elevi a noțiunilor privitoare la fracțiile ordinare și mai ales a
primelor unități fracționar e trebuie să aibă la bază un proces intuitiv complet, care să asigure
trecerea de la concret la abstract și formarea în mod conștient a noțiunilor care intervin în
studiul fracțiilor.”23
În condițiile învățământului primar, dată fiind experiența matematică redusă a elevilor,
deprinderile inc ipient formate și, mai ales, capacitățile de abstractizare și generalizare încă
nematurizate, teoreticieni și practicieni recomandă ca acest studiu să se realizeze în mai multe
etape sau faze cu momente progresive și nuanțate din punct de vedere al metodic ii și al
materialului didactic folosit.
Orice propunător are la indemână sau iși poate confecționa cu ușurință materialele
intuitive care pot fi întrebuințate în scopul însușirii cunoștințelor și pentru stabilirea relațiilor
dintre diferitele unități fracț ionare. Astfel, orice obiecte care în mod obișnuit se fracționează
în două, patru sau mai multe părți egale, precum și alte materiale a căror lungime, masă sau
capacitate se împart în jumătăți, sferturi, optimi pot fi întrebuințate ca materiale concrete
scopul însușirii cunoștințelor și pentru stabilirea relațiilor dintre diferitele unități fracționare.

23Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clase le I–IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.137

37 Exemplu:
• 1 pâine împărțită în jumătăți sau sferturi de pâine;
• 1 coală de hârtie împărțită în optimi de hârtie;
• 1 m de sfoară împărțit în jumătăți sau sferturi de metru;
• 1 kg de orez împărțit în jumătăți;
• 1 l dintr -un lichid oarecare turnat în două sticle de câte o jumătate de
litru sau în patru sticle de câte un sfert de litru etc.
„În faza de trecere de la concre t la abstract se întrebuințează imag inile unor obiecte și
figurile geometrice: dreptunghiul, pătratul, cercul. Prin împarțirea dreptunghi ului și pătratului
în două sau patru părți egale se obțin tot dreptunghiuri sau pătrate, deci figuri de acelasi fel,
fapt care adeseori produce confuzii în mintea elevilor, se recomandă utilizarea cu deosebire a
cercului, prin a cărui fracționare nu se mai obțin cercuri, ci sectoare de cerc. Pentru ilustrarea
intuitivă a procesului de fracționare a numerelor, de aflare a unei fracții dintr -un număr se pot
întrebuința mulțimi de obiecte care în mod obișnuit se grupează mai multe la un loc, în
grămăjoare. De asemenea, în același scop se întrebu ințează momentele de 5, 10 și 25 bani,
bacnotele de 5, 10 și 25 lei, arătându -se, spre exemplu, că valoarea unei bacnot e de 5 lei
reprezintă jumătate din valoarea celei de 10 lei, sau a cincea parte, o cincime din cea de 25 lei.
Intuitive sunt apoi, în special pentru noțiunile de jumătate și sfert, unitățile de timp, în
utilizarea cărora se întrebuințează în mod curent exp resiile: o jumătate de oră, un sfert sau trei
sferturi de oră. ”24
Astfel, vom identifica următoarele faze ale procesului intuitiv prin care trece studiul
unei unități fracționare :
– fracționarea obiectelor concrete (care se pretează la aceasta și sunt la în demâna
elevilor: măr, portocală, pâine, bețișoare, mulțimi de obiecte, mulțimi de jetoane), adică
tăierea în mod efectiv a unor obiecte în jumătăți, sferturi, cinc imi, etc., atât de către
propună tor în mod demonstrativ, cât și de către elevi, insistându -se ca părțile obținute să fie
egale, chiar dacă în mod practic elevii nu reușesc pe deplin, aceștia vor avea preocuparea de a
obține părți egale;
– fracționarea figurilor geometrice (dreptunghi, pătrat, cerc – deci figuri geometrice
deja cunoscute elevilor, care au axe de simetrie și care pot fi fracționate în părți egale prin
îndoire), adică fracționarea prin îndoire a cercului, dreptunghiului sau pătratului în două sau
patru părți egale, iar p ropunătorul împreună cu elevii vor avea și vor lucra cu figuri de același
fel, dar de dimensiuni mai mici;

24Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.137

38 – fracționarea prin desen (împărțirea unui segment în mai multe segmente de aceeași
lungime, trasarea axelor de simetrie într -un dreptunghi, pătrat, cerc sau altor linii prin care să
se fracționeze aceste figuri ge ometrice plane), adică fracționarea imaginilor unor obiecte sau a
figurilor geometrice desenate, spre exemplu, împartirea, prin trasarea unor linii pe imaginea
unui măr, în jumătate, sfer t sau a imaginii unei clădiri;
Exemplu:
• desenarea și fracționarea u nui segment de dreaptă a unui cerc , pătrat de
către propunător la tablă; elevii vor desena pe caiete , după indicațiile și îndrumările
propunătorului .

-fracționarea numerelor concrete , este etapa de generalizare și abstractizare a
celorlalte etape, adică a numrelor care reprezintă unități de măsură sau anumite obiecte reale.
Exemplu:
• jumătate din 10 lei, un sfert din 20 de lei, o cincime dintr -un metru,adică din 10
dm, jumătate din 6 nuci, un sfert din 8 mere etc. ;
– fracționarea numerelor abstracte , această operație se efectuează pe baza regulilor
stabilite la fracționarea numerelor concrete, iar concluziile se formulează astfel încât să se
asigure trecerea de la concret la abstract și în acela și timp generalizarea procesului respectiv;
Exemplu:
• pentru a afla o cincime din 30 lei se împart cei 30 lei în cinci părți egale;
• pentru a afla o cincime din numărul 25 se împart e acest număr în 5 părți egale;
Concluzie: Pentu a afla o cincime dintr -un număr se împarte acel număr în cinci părți egale.
Pentru a scoate în evidență și a accentua caracterul științific al notiunilor este necesar
să se stabilească concluzia corespunzătoare din fazele specificate mai sus.
Astfel, în cazul fracționării figurilor, spre exemplu, în cazul fracționării dreptunghiului
în 6 părți egale, se va formula concluzia : pentru a afla o șesime dintr -un întreg se împarte
întregul în 6 părți egale. În acest fel, datele experienței sunt utilizate în formarea noțiunilor
abstracte, iar gândirea elevului se va dezvolta treptat de la formel e cele mai simple spre
formele superioare ale acesteia.
Exemplu:
• Un sfert din 1000 lei valorează 250 lei și se află împărțind pe 1000 la 4, iar o pătrime
din 100 este egală cu 25 și se obține împărțind pe 100 la 4.

39 Concluzie: Pentru aflarea unei pătrimi dintr -un număr, se împarte numărul respectiv la 4.
• O treime din 30 este egală cu 10 și se obține împărțind pe 30 la 3.
Concluzie: Pentru aflarea unei treimi dintr -un număr, se împarte numărul respectiv la 3.

III.2. Aspecte metodice privind predarea, înv ățarea și evaluarea
numerelor raționale și a operațiilor aritmetice cu ele

III.2.1. Intuiția în predarea fracțiilor ordinare

Învățarea fracțiilor în clasa a IV -a nu pornește de pe un loc gol, deoarece încă
din clasa a II -a, elevii își însușesc noțiunile de jumătate și sfert în paralel cu învățarea
împărțirii prin 2 și respectiv prin 4.
După ce elevii învață împărțirea prin 2 și înțeleg si mnificația acestei operații
(de micșorare de 2 ori), aceștia își însușesc noțiunea de jumătate (fără a folosi obligat oriu
termenul de doime și fără a in troduce, scrie și citi fracția
21
 .
„Programa de clasa a III -a prevede explicit operarea cu termeni ca jumătate , sfert, în
paralel cu învățarea împărțirii la 2 si 4, fără a folos i termenul de doime sau pătrime și fără
utilizarea scrierii fracționare. Este important ca elevul să poată relaționa termenul de jumătate
cu acțiunea de fracționare a întregului în doua părți egale și cu operația de împărțire prin
micșorare de două ori a u nui număr. Aflarea doimii sau a sfertului este rezultatul fracționării
întregului în două sau patru părți egale.
Este important ca învățătorul să formuleze sarcini care să solicite elevii să opereze cu
întregi diferiți , pentru a evidenția faptul că unitate a fracționară sau fracți a are aceeași
semnificație indi ferent de natur a întregilor, dar să observe că aceeași fracție are valori diferite
în funcție de mărimea întregilor (o jumătate dintr -un măr este diferită ca mărime de o jumătate
dintr -o pâine, dar se scriu fracționar la fel, ambii întregi fiind împarțiți în două părți egale din
care s -a luat o parte). Activitățile practice trebuie să conducă la înțelegerea faptului că o
unitate fracționară este egală cu o altă unitate frac ționară a aceluiași întreg, da că numărul
de părți în care am împărțit întregul este același. ”25
Este important să ș tim și să înțe legem cum va proceda cadrul didactic la clasă:

25Mihaela Neagu, Mioara Mocanu, (2007). Metodica predării matematicii în cicl ul primar, Iași: Editura
Polirom, pag.99 -101

40 – Elevii vor fi conduși să intuiască întregul ca un obiect, o figură geometrică, o mulțime
de obiecte sau imagi ni de același fel sau chiar număr.
– Institutorul împreună cu elevii vor avea la dispoziție materialul didactic intuitiv –
concret necesar, cum ar fi: riglete, bețișoare, figuri geometrice desenate și decupate
(dreptunghi, cer c), măr, creioane colorate etc.
– Cadrul didactic va folosi strategii didactice de genul explicației, demonstrației,
conversației euristice, descoperirii, problematizării și va lucra frontal sau individual cu el evii.
Astfel, se vor putea parcurge următoarele etape:
1) Taie un măr în jumătă ți și pune întrebările:
– Ce am facut?
– Câte părți am obținut ?
– Cum sunt ele?
– Dacă alăturăm cele 2 părți ce obținem?
– Ca să obținem o jumătate dintr -un măr ce trebuie să facem?
– Cine încearcă?
2) Va continua cu împărțirea în două părți egale a imaginii desenate a unui pătrat,
decu pate din hârtie, pe care -l îndo aie sau îl taie, astfel încât, să obțină două părți egale. Se pot
folosi întrebări constatative, de demonstrare și demonstrare analogice celor de mai sus.
3) Poate relua experiența luând un cerc, pătr at sau un dreptunghi în care să traseze
jumătățile acestora, dar cu ajutorul unor linii desenate.
Din aceste secvențe, cu ajutorul unor întrebări sugestive, elevii vor începe să înțeleagă
că pentru a obține o jumătate dintr -un întreg trebuie să -l împartă î n două părți egale.
4) La etapa următoare, va solicita elevii să împartă o mulțime formată dintr -un număr
par de bețișoare, 4, 6, 8, … , în două submulțimi (echivalente), care sa aibă fiecare același
număr de bețiș oare (respectiv 2, 3, 4, … ).
Se poate co ntinua cu mulțimile de jetoane, la care se va proceda în mod analog și se va
scoate în evidență faptul că, pentru a obține dintr -o mulțime dată, cu un număr par de
elemente (nevidă), o altă submilțime care să aibă jumătate din numărul de elemente date, se
împarte numărul de elemente al mulțimii la 2.
5) Se poate continua cu rezolvarea unor probleme simple de tipul:
a) „Marcel are 16 portocale . Jumătate le oferă sorei sa le iar cealaltă jumătate o
mănâncă el. Câte portocale mănâncă Marcel? ”
b) „Alina are 10 iep uri. Jumătate din numărul lor îi oferă, de ziua de naștere,
verișoarei,iar restul îi va da mătușei sale. Câți iepuri va oferi Alina mătușei sale? ”

41 Se mai pot compune 1 -2 probleme de același tip, după care, în urma acestor
experiențe, învățătorul va formula generalizarea: pentru a obține jumătatea unui număr se
împarte numărul respectiv la 2.
Pentru noțiunea de sfert sau pătrime, se vor parcurge etape asemănătoare celor de mai
sus, în paralel cu învățarea împărțirii prin 4.
„În clasa a IV -a, studiul numerelo r raționale va începe cu r epetarea noțiunilor de
jumătate -doime, sfert –pătrime.
Programa analitică, în conformitate cu noul Curriculum Național, prevede introducerea
noțiunilor de unitate fracționară, de doime și de pătrime, precum și simbolurile grafice
corespunzătoare
21 și
41 .
Se va continua cu introducerea altor unități fracționare: treimea, cincimea, șesimea
optimea etc. și a simbolurilor grafice corespunzătoare
31 ,
51,
61 și
81etc.”26
Din cele prezentate, se scoate în evidență, de fiecare dată că:
a) o unitate fracționară este o parte din numărul de părți egale în care s -a împărțit
întregul (obiect sau număr);
b) o unitate fracționară este egală sau nu cu o altă unitate fracționară, dacă numărul
de părți egale în care am împărțit întregul (obiect, imagine, mulțime, număr) este
același sau nu.
Se vor face aplicații, care vor consta în exerciții de compunere a întregilor din mai
multe uni tăți fr acționar e, se vor rezolva și se vor compune probleme cu acestea.
„La p redarea –învățarea unității fracționare se va folosi un bogat si sugestiv material
intuitiv, se vor utiliza metode și procedee didactice de natură să -i incite pe elevi, să activez e
conduita intelectuală a acestora.
În ceea ce privește evaluarea, se vor folosi acele procedee menite să surprindă
progresele făcute de elevi în planul operaționalității specifice gâ ndirii matematice.
Concomitent cu introducer ea unității fracționare și a simbolului său grafic format din
două numere suprapuse despărțite printr -o linie, se va explica și defini elevilor că: numărul de
sub linie poartă denumirea de numitor și arată în câte părți egale (de aceeași mărime) am
împărți t întregul, linia dintre num ere se numește linie de fracție , și că numărul de deasupra

26Alexandru Gheorghe, et. al. , (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag -112

42 liniei de fracție se numește numărător și ne arată că din numărul de părți egale în care am
împărțit întregul s -a luat doar o singură parte. ”27
Pentru exprimarea oricărei fracții, se folosesc două numere naturale separate de o linie
orizontală.

Astfel, cum cifra este semnul grafic al numărului natural așa și fracția este semnul
grafic al numărului rațional.

III.2.2. Formare a fracțiilor ordinare. Scrierea și citirea lor

“Unitățile f racționare ordinare se formează prin împărțirea întregului într-un număr
oarecare de părți egale. În procesul de formare a fiecărei unități fracționare, începând cu
jumătatea, trebuie să se precizeze cum se obțin părțile respective, numărul p ărților obținute și
egalitatea lor. Astfel, pentru noțiunea de jumătat e precizările sunt următoarele:
– jumătatea se obține prin împărțirea întregului în două părți egale ;
– un întreg are două jumătăți;
– cele două jumătăți sunt egale .
Scrierea și citirea fracți ilor se învață abia în clasa a III -a, prin introducerea denumirilor
de numărător, numitor, linie de fracție și a semnificației fiecăreia din aceste noțiuni.
Pentru ca elevii să rețină mai ușor denumirile celor doi termeni ai unei fracții, se poate
preciza că numitorul „numește” unit atea fracționară (de exemplu, 3 –întregul a fost împărțit în
trei părți la fel de mari, numite treimi), iar numărătorul „numără” câte unități fra cționare
formează fracția dată.
Din punct de vedere metodic este indicat ca în prima lecție sau în primele două lecții
să se introducă numai scrierea și citirea unităților fracționare , adică a fracțiilor
21 ,
81,41 , iar în
lecțiile urm ătoare să se treacă la scrierea și citirea numerelor care reprezint ă mai multe unități

27Ion Neacșu, Monalisa Găleteanu, Petre Predoi, (2001). Metodica matematicii în învățământul primar, Craiova:
Editura AIUS, pag.94

43 fracționare :
85,83,82,43,42 etc. pentru ca elevii să aibă posibilitatea să facă distincție clară între
noțiunea de unitate fracționară și număr fracționar, de asemenea să -și însușească în mod clar
semnificația pe care o are numito rul de a arăta numărul părților în care s -a împărțit întregul și
a da nu mele fracției, iar numărătorul de a arăta numărul părților luate .”28
Trebuie să se introducă și să se utilizeze de la început toate posibilitățile de citire
corectă a unei fracții , fiec are citire să corespundă unui anumit proces de gândire sau unei
anumite imagini a fracției respective, ca exprimările elevilor să fie complete și corecte.
Exemplu : fracția
63 se poate citi corect în următoarele 4 feluri :
– 3 șesimi ;
– 3 pe 6;
– 3 supra 6 ;
– 3 părți din 6 .
Dar pentru a evita formalizări ce nu spun nimic elevului d in clasa a IV -a și pentru a
conștientiza noțiunea de fracție, se va citi corect trei șesimi și de asemenea, din punct de
vedere metodic, se recomandă folosirea unei fr acții ai căror numărători/ numitori sunt numere
mai mici decât 10.
Cadrul didactic va parcurge următoarele etape:
– ia un măr și -l taie în două părți egale, care înseamnă două doimi;
– ia un măr și -l taie în patru părți egale din care ia două părți ega le, care
înseamnă două pătrimi;
– ia un segment de 8 cm și -l împarte în patru segmente egale;
După însușirea noțiunii de unitate fracționară se trece la introducerea numerelor raționale.
Primele tipuri de sarcini ale ele vilor vizează precizarea fracție i corespunzătoare unor
părți dintr -un întreg împărțit în părți egale (de exemplu: să se scrie fracția corespunzătoare
părții hașurate/colorate dintr -un întreg împărțit în părți egale). Apoi se cere elevilor să
hașureze/coloreze partea dintr -un întreg împărți t în părți egale ce corespund unei fracții date,
respectiv să împartă întregul și să hașureze/coloreze corespunzător fracțiile date. Sarcinile de
lucru pot fi și de natură practică: să se plieze o foaie de hartie de formă pătrată astfel încât să
se obțină un număr de părți egale și apoi să se coloreze câteva dintre acestea, corespunzător
unei fracții date. Un alt tip de sarcină mai dificil, este cel în care, prezentându -se obiecte
concrete de două feluri sau imagini ale acestora (de exemplu, mere și pere), se cere elevilor să
scrie fracția ce reprezintă numărul obiectelor de primul fel față de toate sau față de cele de

28Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.139

44 felul al doilea (în exemplu: numărul merelor față de numărul fructelo r și față de numărul
perelor).

III.2.3. Transformarea fracțiilor ordina re

“Operațiile de transformare a fracțiilor ordinare sunt în general dificile, pentru că orice
transformare se bazează pe compararea întregilor și a numărului de unități ce se obțin prin
împărțirea acestora în părți egale și deci necesită un proces de gân dire complex care poate fi
dus la capăt numai cu ajutorul unor imagini intuitive. Din acest motiv, operațiile de
transformare trebuie să se desfășoare sistematic și să se bazeze pe scheme care să ușureze
înțelegerea procesului care are loc. În ceea ce priv ește succesiunea acestor transformări se
tratează întâi transformarea doimilor, pătrimilor și optimilor, apoi transformarea cincimilor și
zecimilor, după care urmează și alte categorii de fracții, fiecare categorie studiindu – se
separat.
Utilizarea materia lelor intuitive și a planșe lor care să prezinte în mod sugestiv,
echivalența diferitelor unități este necesară pentru a ilustra transformarea unor anumite unități
fracționare în alte părți mai mici, astfel încât elevii să -și formeze noțiunile teoretice pe baza
unor imagini concrete pe care să și le poată reprezenta ori de câte ori intervin operațiile
respective .
Deosebit de utile sunt transformările unor unități fracționare în unități mai mari și mai
ales transformarea unui număr de unități fracționare în întregi, adică scoaterea întregilor din
fracții. Această operație se bazează pe înțelegerea faptului că orice fracție cu termenii egali
reprezintă un întreg, adică un întreg are 2 doimi, 3 treimi, 4 pătrimi etc., deci întregul se
obține prin strângerea la un loc a tuturor părților în care a fost împărțit. Astfel dacă întregul a
fost împărțit în 5 părți egale, adică în cincimi, pen tru a forma din nou acel întreg trebuie
strânse laolaltă toate cele 5 cincimi.
Transformarea unui număr de unități fracționare în întregi sau scoaterea întregilor din
fracție sunt operații care se efectuează exclusiv prin procese de gândire bazate pe imaginile pe
care le -au format elevii în cursul studiului fracțiilor, astfel că problema formării acestor
imagini cu ajutorul materi alului intuitiv este deosebit de importantă. Aceasta cu atâ t mai mult
cu cât în clasele V–VIII, studiul fracțiilor ordinare presupune un anumit nivel de dezvoltare a

45 gândirii abstracte și, prin urmare, nu mai utilizează imagini intuitive, ci introduc felur ite
procedee de calcul abstract. ”29

III.2.4. Fracții egale

Prin activități practice și prin desene, se descoperă fracțiile egale (echivalente) scrise
în forme diferite:
84,63,42,21 .
„În demersul metodic, învățarea este favorizată de respectarea traseului de la acțiune la
simbolizare: desenul reprezintă etapa iconică a învățării și succedă acțiunea concretă, acesta
fiind asociat cu scrierea simbolică a fracției care reprezintă rezultatul acțiunii efectuate. ”30
Fracțiile egale sunt definite ca fiin d fracțiile ce reprezintă aceeași parte dintr -un întreg
sau din întregi identici. Această definiție nu poate fi asimilată de elevi decât prin intuirea unor
situații particulare. Astfel, se poate cere elevilor să plieze o foaie de hârtie dreptunghiulară
astfel încât să obțină două părți la fel de mari, apoi să hașureze/coloreze într -un alt mod, una
dintre părți



21,deci . Apoi se cere plierea aceleiași foi astfel încât să se obțină patru părți la
fel de mari și să se hașureze/coloreze, constatâ ndu-se că reprezintă aceeași parte din întreg,
motiv pentru care vor fi numite fracții egale și se va scrie
21 =
42.

Exemple de reprezent ări pentru o doime

Familiarizarea cu noțiunea de număr rațional implică î nțelegerea faptului că toate
fracțiile care reprezintă aceeași parte din întregi egali, care au fost împărțiți în același număr de
părți egale fac parte d in aceeași clasă .
Exemplu:
Fracțiile
84,63,42,21 reprezintă forme echivalente de scriere a numărului
21 .

29Ioan Aron, (1969). Metodica predării aritmeticii la clasele I –IV, București: Editura Didactică și Pedagogică,
pag.139 -140
30Mihaela Neagu, Mioara Mocanu, (2007). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Iași: Editura
Polirom, pag.100

46 Ațiunile de acest tip ar putea continua, elevii descoperind că
84
42
21 , ceea ce
constituie un prim pas în sesizarea proprietății de amplificare (înmulțirea atât a numărătorului
cât și a numitorului cu un a celași număr nenul), ce reprezintă și o modalitate de obținere a
fracțiilor egale cu o fracție dată. Analiza șirului de egalități scrise în ordine
inversă


21
42
84 sugerează proprietatea de simplificare a fracțiilor (împărțirea atât a
numărăt orului cât și a numitorului cu un același număr nenul).
Se poate înțelege ușor cu ajutorul suportului intuitiv, al desenului prin care se
reprezintă segmente egale.
Din următorul desen, se observă că
21 din segment reprezintă exact cât
42 și
84 din același
segment.

Deci:
84
42
21 .
În urma acțiunilor formulate e ste important ca ele vul să poată relaționa termenii de
jumătate și sfert, să deducă că pentru a obține jumătatea unui n umăr se împarte numărul la 2
și că rezultatul împărțirii la 4 reprezintă un sfert din numărul dat.
După secționare de obiecte sau figurativ, prin desen, se compară fracții cu întregul din
care provin sau între ele pentru a se defini egalitatea dintre fracț ii: două sau mai multe fracții
sunt egale dacă ele reprezintă aceeași parte dintr -un întreg .

47 III.2.5. Compararea unei fracții cu întregul

Compararea a două fracții

Compararea fracțiilor se realizează în două sensuri și anume, compararea unei fracții
cu un întreg și compararea a d ouă sau mai multe fracții care au același numitor sau acel ași
numărător între ele.
Un întreg poate fi exprimat printr -o fracție în care numărătorul și numitorul sunt
numere egale:

177
66
55
44
33
22
Problema comparării a d ouă fracții apare imediat după problema egalității: dacă
fracțiile nu sunt egale, trebuie stabilite care d intre ele este mai mică/mare, iar în acest fel se va
introduce o relație de ordine în mulțimea fracțiilor.
În compararea fracțiilor, la clasa a IV -a sunt aborda te doar două situații si anume:
a) fracțiile a u același numitor;
b) fracțiile au același numărător.
Prin acțiune directă cu obiecte sau cu imagini elevii își pot însuși informații cu privire
la tipurile de fracții date de compararea cu întregul (subuni tare, echiunitare, supraunitare).
• Se numește fracție subunitară , acea fracție în care numărul părților luate, adică
numărătorul este mai mic decât numărul părților în care am împărțit întregul, adică mai mic
decât numitorul . În acest caz trebuie luate în considerare mai puține unități fracționare decât
are întregul, iar fracția reprezintă mai putin decât un întreg.
Exemplu:
Pentru fracția
73 , întregul a fost împărțit în 7 părți la fel de mari și s -au luat în
considerare doar 3 părți d intre ele. Deci fracția reprezintă mai puțin decât un întreg, numindu –
se subunitară .
• Se numește fracție echiunitară , orice fracție care este egală cu un întreg. Practic
vorbind, este vorba despre acele fracții care au numărătorul egal cu numitorul și se vor lua în
considerare toate unitățile fracționare ale întregului, deci tot întregul.
Exemplu:

48 Pentru fracția
44 , întregul a fost împărțit în 4 părți la fel de mari și s -au luat în
considerare toate cele 4 părți. Deci fracția reprezint ă, în acest caz, tot întregul, numindu -se
echiunitară .
• Se numește fracție supraunitară , acea fracție care are numărătorul mai mare decât
numitorul. În acest caz se constată că nu sunt suficiente unită ți fracționare ale întregului și
este necesară conside rarea încă unui întreg (sau mai mulți) de același fel, pentru a obține
fracția, iar fracția reprezintă mai mult decât un întreg.
Exemplu:
35
;
47;
68;
29; etc.
Comparând fra cțiile cu întregul, se poate concluziona:
• orice fracție subunitară este mai mică decât un întreg;
• orice fracție echiunitară este egală cu un întreg;
• orice fracție supraunitară este mai mare decât un întreg;
• orice fracție subunitară este mai mică de cat orice fracție supraunitară .
„Greutatea constă în aceea că ordonarea se face de la mai mic la mare, dacă fracțiile au
numărători în acee ași relație de ordine (de la mai mic la mai mare) și numi torii egali;
ordonarea se realizeaz ă invers –adică de la mare la mic, dacă fracțiile au aceiași numărători iar
numitorii se ordonează de la mic la mare. ”31
Pentru elevii clasei a IV -a, compararea fracțiilor care au același numărător sau același
numitor este mai dificilă, dar se recomandă ca învățătorul să înceapă cu compararea unităților
fracționare:

21
31
41
51
61
71 . . . .
Putem concluziona că doimea este cea mai mare unitate fracționar ă, pe care o urmează
treimea, pă trimea etc., iar între două unități fracționare mai mare este aceea care are numitorul
mai mic.
Exemplu:
• Dintre fracțiile
41 și
71 este mai mare fracția care are nunitorul mai mic. Adică 4
este mai mic decât 7 sau 7 este mai mare decât 4. Deci,
41 
71, deoarece 4  7 sau fiindcă 7 
4.

31Alexandru Gheorghe, et. al. (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura SITECH,
pag.114

49 • Astfel, pentru
31 
91 se poate înțelege ușor în figura următoare, în care se poate
compara mărimea suprafețelor hașurate corespunzător.

93
31 
91, deci
31
91 deoarece 3  1.
Putem generaliza: dintre două fracții care au același numitor este mai mare fracția care
are numărătorul mai mare.
Exemplu:
3
7
1
7, deoarece 3  1.
Folosind același procedeu figurativ, se va trece la compararea fracțiilor care au același
numărător, dar numitorii di feriți.
Exemplu:
Se arată că
32 
62 deoarece, prin comparație cu întregul, porțiunea
hașurată co respunzătoare celor două treimi este mai mare decâ t porțiunea hașurată pentru
două șesimi.

64 
62

64
32 
62, deoarece 4  2.
Putem generaliza: dintre două fracții care au același numărător este mai mare fracția
care are numitorul mai mic.

50 Exemplificările pot continua cu apel la experiența de viață a copiilor (cumpărături,
acțiuni casnice, jocuri) , iar acest lucru este necesar și se va valorifica aspectul preponderent
intuitiv al noțiunilor, concluzi ile fiind urmarea unui număr su ficient de experiențe de învățare
pe care copilul le va parcurge dirijat, ca parte a unui demers de învățare . Generalizările se
formuleaz ă în cuvinte puține, ca o concluzie a acțiunii de operare cu obiecte, a faptului că a
desenat, explicat ș i rezolvat în scris sarcini variate.
Exemplu:
• Dacă un elev merge la magazin și solicită o pâine și jumă tate,
vânzătoarea îi dă o pâine –deci două jumătăți și încă o jumătate din altă pâine. Deci în total,
trei jumătăți de pâine. Adică,
23 pâini, se mai scrie și 1 -pâini și se citește un înt reg și o doime
de pâini.
Sarcinile care urmea ză, vizează: compararea și ordonarea descrescătoare a mai multor astfel
de fracții, urmată de ordonarea lor crescătoare.

III.2.6. Operații cu fracții care au același numitor

Pentru clasa a IV -a sunt prevăzute numai operații simple cu fracții ordinare, și anume,
adunarea și scăderea fra cțiilor care au același numitor , adică adunarea și s căderea părților de
același fel . Aceste operații de adunare și scădere a fracțiilor cu același numitor , prevăzute de
noua prog ramă curriculară, nu vor ridica probleme metodice deosebite, dar totuși este
recomandat să existe un bogat material intuitiv, deoarece elevii pot discrimina cu ușurin ță
tipul de operații simple întâ lnite, iar partea de calcul va fi corect intuitivă, în urm a unor
desene sugestive și a unor exprimări neformalizate, de tipul: două cincimi + o cincime = ? ; trei
pătrimi  două pătrimi = ?). Astfel, se ajunge la regulile cunoscute de elevi și anume: pentru a
aduna/scădea două fracții cu același numitor se adună/s cad numărătorii, iar numitorul va
rămâne neschimbat.
În perspectiva simetriei relației de egalitate, pentru cultivarea reversibilității gandirii
elevilor este necesară abordarea unei sarcini de tipul scrierii unei fracții ca o sumă/diferență
de fracții car e au același numitor.
Elevii trebuie să înțeleagă că pentru adunarea/scăderea fracțiilor care au același
numitor se procedează ca și la adunarea numerelor concrete, că se adună un număr de unități
fracționare cu același numitor.
Exemplu:

51 Vom ilustra print r-un desen, mai întâi trei șesimi dintr-un înt reg, hașurate, apoi
două șesimi, hașurate, și în final, totul sau suma lor, adică cinci șesimi.

Cu ajutorul simbolurilor vom scrie :
63+
62=
65.
Vom spune că numărul fracționar
64 este suma dintre numerele fracționare
63 și
61. Se
va accentua ideea că numărătorul 4 al sumei este obținut prin adunarea numărătorilor fracției
care se adună, iar 6 este numitorul comun care se pastrează.
Se pot folosi, atât la adunarea cât și la scăderea operațiilor cu fracții care au același
numitor, materiale intuitive concrete, prec um: măr, pâine, ciocolată etc.
Se vor face și adunări de numere raționare care au , ca reprezentanți, fracții cu același
numitor, ale căror rezultate să fie fracții supraunitare.

Exemplu:
• Dacă se adaugă la trei sferturi de măr încă trei sferturi de măr, rezultatul va fi mai
mult decât un măr întreg și se vor obține șase sferturi de măr, adică un măr întreg și încă două
sferturi de măr, ceea ce va scoate în evidență faptul că suma sau totalul obținut este
reprezentat de o fracție supraunitară
46  1.
“Se va scoate în evidență și de această dată, că numărătorul, su mei a două sau mai
multor numere raționale cu același numitor se obține adunând numărătorii fracțiilor, iar ca
numitor se dă numitorul fracțiilor ce se adună. Se va insista deci, pe faptul că, adunarea sau
scăderea fracțiilor cu același numitor –numitorii f racțiilor nu intervin în calcul, adică rămân
neschimbați, adunarea sau scăderea facându -se numai între numărători.
Atât adunarea, cât și scăderea fracțiilor cu același numitor se pot introduce prin
utilizarea unor probleme –acțiuni simple și semnificative d in viața practică a elevilor. ”

52 Vom numi și în cazul operațiilor cu fracții care au același numitor, termenii scăderii :
 descăzut;
 scăzător;
 rest sau diferență (rezultatul scăderii).
“Se introduce în acest fel operația de scădere și se va preciza că și în cazul scadent
dintre două numere raționale care au același numitor, se scade din numărătorul descăzutului
cel al scăzătorului pentru a obține numărătorul restului, iar ca numitor se păstrează
numitorul .”
“Se va insista asupra faptului că pentru a pu tea efectua scăderea este absolut necesar
ca numărătorul descăzutului să fie un număr natural mai mare sau egal cu cel de la
numărătorul scăzutului. ”32
Se vor efectua numai scăderi de tipul:

ma 
mb=
mba , pentru a  b și m  0.
De asemenea, și scăderea se poate intro duce prin reprezentarea grafică.
Exemplu:
Putem ilustra printr -un desen, mai întâi șapte optimi, dintr -un întreg, hașurate, apoi
patru optimi, hașu rate, ast fel, și în final, diferența l or, adică trei optimi.
Cu ajutorul simbolurilor vom scrie:

Prin observație, analiză și comparație elevii vor fi orientați să intuiască propr ietățile
adunării, asociativitatea și comutativitatea, după care se trece la generalizarea lor, la
efectuarea uno r exerciții cu ambele operații, proba adunării și scăderii și compunerea unor
probleme simple care vizează numerele raționale.

32Alexandru Gheorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag.116 -117

53 Exercițiile cu ajutorul cărora se tratează aceste operații sunt de două categorii , și
anume: exerciții de adunare și scădere a un ităților fracționare, sau a fracțiilor ordinare
subunitare, în care și suma este formată dintr -o fracție subunitară;
Mai menționăm că, la nivelul trunchiului comun al programei, este suficient să se
opereze cu fracții subunitare, deoarece utilizarea celorl alte tipuri de fracții (echiunitare,
supraunitare) ar atrage după sine o altă problemă: scoaterea întregilor din fracție .
Exemplu :
51
52
51
;
;96
92
93
91
;62
63
65

.75
74
79etc
– exerciții de adunare și scădere a unităților fracționare, a fracțiilor ordinare subunitare
sau a fracțiilor ordinare supraun itare în care suma este formată dintr -o fracție ordinară
echiunitară sau supraunitară;
Exmplu :
.34
32
36;89
81
82
86;57
53
54;144
43
41etc

După cunoașt erea modului de efectuare a operațiilor de adunare și scădere, se fac și
exerciții în care să apară ambele operații:

78
76+
73
7368 =
75;
Un alt tip de ex erciții, ar fi :
• Pentru adunare:
34 =
31+ ? ;
46 
4?+ ? ;
85= ? + ?;
• Pentru scădere:
53 =
57 ? ;
72 =
7? ? ;
61 = ? + ?.
Putem preciza că atât la adunarea cât și la scăderea numerelor raționale, terminologia
este asemănătoare celei folosite la operațiile de adunare ș i de scădere a numerelor naturale.
La fel ca și proba adunării prin scăderea din sumă a unui termen și obținerea celuilalt,
respectiv a scăderii prin adunarea dintre rest și scăzător sau scăderea dintre descăzut și rest, se
face si la operațiile de adunare și scădere cu fracții ordinare cu același numitor.
Exemplu:
• Pentru adunare:
57
54
53

54
53
57 sau
53
54
57 ;
• Pentru scădere:
36
37
313

37
36
313 și
313
37
36 .

54 Toate operațiile care se încadrează în categoriile de exerciții specificate mai sus
trebuie să se efectueze printr -un proces intuitiv cât mai complet și mai conclu dent, trecându –
se la efectuarea cu numere abstrac te a acestor operații numai după ce elevii și -au format un
câmp larg de reprezentări intuitive în legătură cu fracțiile ordinare.
“Cadrul didactic trebuie să insiste asupra procesului de formare a deprinderii de scriere
corectă a fracțiilor în succesiunea lor în cadrul exercițiilor: scrierea semnului operației ( + sau
) în dreptul liniei de fracție a primului termen, iar după semn, pe aceeași l inie cu cea
orizontală de la “ +” sau cu ““, se va trasa mai întâi linia de fracție a următorului termen și
apoi s e vor scrie numărătorul și numitorul său. ”33
Se va insista cu deosebire și asupra numărului părților și mai puțin asupra felului lor
făcându -i pe elevi să înțeleagă că în operațiile de adunare și scădere a fracțiilor ordinare,
numitorii nu intervin în calcu l, rămân neschimbați, adunându -se sau scăzându -se numai
numărătorii, fiindcă ei arată numărul părților respective.
Exemplu :
• Optimile sunt părți de un anumit fel din întregi, și anume părți obținute prin
împărțirea întregilor în câte 8 părți egale, iar op erațiile cu aceste părți se fac ca și cu orice
obiecte sau unități de măsură: 2 părți( optimi ) și cu 5 părți( optimi ) fac 7 părți( optimi ),
analog 5 lei și cu 2 lei fac 7 lei etc.
Atât adunarea cât și scăderea operațiilor cu fracții care au același numi tor se pot
introduce și prin utilizarea unor probleme simple, inspirate din viața practică a elevilor.
Exemplu:
• “Maria parcurge
72 din drumul spre școală cu metroul,
73 cu autobuzul, iar restul
pe jos. Ce parte fr acționară din drum parcurge cu mijloacele de transport?”

33Alexandru Gheorghe, et. al. , (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag. 117

55 Pentru a aduna cele două fracții cu același numitor, adunăm numărătorii și păstrăm
numitorul comun . Cu ajutorul simbolurilor, vom scrie:
75
73
72 .
• Pentru a introduce operații cu f racții care au același numitor, putem completa
cu întrebarea: „Ce parte fracționară din drum a fost parcursă pe jos?”
Pentru a scădea două fracții cu același numitor , scădem numărătorii într e ei și păstrăm
numitorul comun.
În cazul acesta, cu a jutorul simb olurilor, vom scrie:
72
75
77 .
“Totodată, î n funcție de nivelul cunoștințelor elevilor, de ritmul parcurgerii programei
și în acord cu necesitățile de individualizare și diferențiere a acivității didactice, se realizează
și sarcini de genul:
a) scrierea fracțiilor supraunitare sub formă de fracții mixte;
b) transformarea unei fracții supraunitare în fracție mixtă și invers;
c) efectuarea de adunări și scăderi între numere raționale și întregi(folosindu -se
transformarea întregilor în fracții supraunitar e cu numitorul egal cu al celorlalte
numere funcționare care se operează);
d) ordonarea pe axa numerică a numerelor raționale, raportarea lor față de numerele
naturale;
e) rezolvarea unui însemnat număr de probleme în care datele și soluția să fie numere
raționa le.”34

III.2.7. Aflarea unei fracții dintr -un întreg

O latură importantă a scopului urmărit prin pr edarea fracțiilor ordinare în c lasele I -IV
o constituie aflarea unei fracții dintr -un număr.
Procesul de calculare a unei fracții dintr -un numă r parcurge do uă etape distincte :
a) calcularea unei singure uni tăți fracționare dintr -un număr , adică afl area
unei părți dintr -un întreg ;
b) calcularea unei fracții oarecare dintr -un număr , adică aflarea m ai multor
părți dintr -un întreg.
 Prim a etapă se procedează intuitiv, prin utilizarea unui material didactic , figuri
geometrice desenate și decupat e; lungimi; mase; volume, ajungâ ndu-se treptat la numere.

34Alexan dru Gheorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag.117

56 Exemple :
•
31 din aria unei suprafețe dreptunghiulare ;
•
21 din masa unei lăzi de 60 kg;
•
41 din lungimea unei grădini de 240 m;
•
81 din numărul 160 .
Pentru calcularea dintr -un întreg, dintr -un număr dintr -o mărime sau cantitate a unei
singure unități fracționare, se împarte întregul într -un număr de părți egale cu numitorul, adică
se transformă întregul în părți de felul celor pe care le arată numitorul, de unde urmează că,
pentru acest proces corespu nde operația de împărțire .
Operațiile se scriu astfel :
•
; 302: 60 6021kg kg kg din  
•
m m m din 604: 240 24041  ;
•
208:160 16081 din .
Pentru a înțelege pe deplin procesul de calculare a unei unități fracționare, se
procedează intuitiv, folosind întâi figuri geometrice decupate care se împart prin tăiere într -un
anumit număr de părți egale și apo i figuri geometrice desenate care se împart prin desen în
numărul respectiv de părți egale .
Exemplu:
• Pentru aflarea unei pătrimi dintr -un în treg se pot întrebuința cercuri, pătrate ,
dreptunghiuri care se împart în patru părți egale , atât prin tăiere cât și prin desen ,
stabilindu -se că oricare din părțile obținute reprezintă pătrimi și că o pătrime se obține
prin împărțirea în patru părți egale .

57 • Dacă întregul este reprezentat printr -o sfoară de 20 m, elevii vor înțelege cu
ușurință că pentru a obține o pătrime din această sfoară se va împărți lungimea ei în 4
părți egale, adică:
m m m din 54: 20 2041

Prin utilizarea mai multor exemple asemănătoare și facând analiza lor, se poate stabili
atât operația cât și procedeul pentru aflarea unei singure unită ți fracționare dintr -o mărime,
cantitate sau dintr -un număr.
Pentru calcularea unei f racții oarecare dintr -un întreg, dintr -o mărime sau cantitate, ori
dintr -un număr , sunt necesare două operații :
– împărțirea –pentru aflarea unei singure unități fracționar e de felul celei pe care o
arată numitorul ;
– înmulțirea –pentru aflarea numărului de unități fracționare pe care îl arată
numără torul .
 Pentru a doua etapă se poate porni de la o problemă.
Exemplu:
“Într -o clasă sunt 28 elevi.
73 din e i sunt fete. Câte fete sunt în clasă?”

71 din 2 8 elevi reprezintă: 28 elevi : 7 = 4 elevi

73 din 28 elevi reprezintă: 4 elevi  3 = 12 fete .
Pentru a afla
53 dintr -o lungime de 315 m se află mai întâi o cincime prin împă rțirea
lungimii respective la 5(numitorul ) și apoi 3 cincimi prin înmu lțirea cu 3(numărătorul ) a
numărului de metr i pe care îl prezintă o cincime .
Operațiile de împărțire și de înmulțire pe care le comportă aflarea unei fracții dintr -un
întreg sau dintr -un nu măr se scriu la început separat , pentru ca elevii să -și formeze în mod
conștient priceperile și deprinderile necesare de calcul , știind că pentru a afla o fracție sau mai
multe păr ți dintr -o mărime sau cantitate , se află ma i întâi prin împărțire o singură parte, o
singură unitate fracționară , apoi prin înmulțire m ai multe părți , mai multe unități fracționare.
Astfel :
m m din 635:315 31551
;
m m m din 1893 63 31553
.

58 După ce elevii dovedesc că și -au însușit procedeul , prin mu lte exerciții și probleme de
consolidare, se poate trece la scrierea printr -o singură expresie a operațiilor respective, astfel
se va scoate în evidență caracterul unitar al acestor două operații, scopul fiind aflarea unei
fracții dintr -un întreg .
Adică:
53
din 315 = 315 : 5  3 = 189
După rezolvarea mai multor exerciții și probleme de acest tip, e ste necesar să se
formuleze într -un mod deosebit, la un nivel calitativ superior, procedeul pentru aflarea unei
fracții dintr -un număr, și an ume: pentru a afla o fracție dintr -un număr, se împarte numărul
dat la numitorul fracției și rezul tatul obținut se înmulțește cu numărătorul fracției.
Introducerea acestei formulări ca și a celei dintâi , trebuie să se bazeze pe imaginile
intuitive care se utilizează pentru aflarea mai multor părți dintr -un întreg, adică pe imaginile
pe care și le formează elevii cu prilejul împărțirii într -un anumit număr de părți egale a
figurilor geometrice decupate și desenate, după care urmează demonstrarea modului cum se
află mai multe părți dintr -o mărime sau cantitate și în sfârșit calcula rea unei fracții dintr -un
număr .

Pentru dezvoltarea flexibilității gândirii elevilor se pot rezolva și probleme în care
împărțirea nu se face exact.
Exemplu: “Cum pot 2 băieți sa -și împartă în mod egal 3 pere ?”
Fiecare băiat va lua câte
21 din fiecare pară :

23
21
21
21
Deci fiecare băiat primeste
23 dintr -o pară .
Cadrul didactic trebuie sa -i dirijeze pe elevi în descifrarea celor mai dificile probleme,
datorită faptului că noțiunea de număr rațional este abstractă și va trebui să rezolve multe
probleme împreună cu aceștia.

59 III.3. Probleme care se rezolvă folosind regula de trei simplă .

III.3.1. Metoda reducerii la unitate.

Pedagogul George Polya spunea că „a rezolva o problemă înseamnă a găsi o ieșire dintr -o
dificultate, înseamnă a găsi o cale de a ocoli un obstacol, de a atinge un obiectiv care nu este
direct accesibil. A găsi soluția unei probleme e ste o performanță specifică inteligenței, iar
inteligența este apanajul specific speciei umane; se poate spune că, dintre toate îndeletnicirile
omenești, cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristică.”35
„Capitolul „fracț ii” din manualul de cal sa a IV -a este finali zat cu probleme care se rezolvă
aplicâ nd regula de trei simplă , iar ca metod ă este folosită metoda reducerii la unitate., când
intervin mă rimi direct proporționale sau mărimi invers proporț ionale.
Noțiunea de mărimi direct proporț ionale nu se va da elevilor, dar se poate observa că
două mă rimi se pot afla în următorul raport: în tim p ce una se mărește (sau se micșorează) de
un număr de ori, cealaltă se măreș te (se misc șorează) de același numă r de ori .
Înainte de a trece la rezo lvarea p roblemelor din manual, cadrul didactic trebuie să dea
exemple de mărimi direct proporț ionale, apoi va cere elevilor să dea exemple de astfel de
mărimi. ”36
Exemple:
• „Dacă 9 kg de prune costă 240 00 de lei, atunci 18 kg de prune, de aceeași
calitate, cost ă mai mult sau mai puțin? ”
Rezolvare:
9 kg …………………………………………….. 24000 lei;
18 kg …………………………………………… 24000  2 = 48000 lei.
• „Dacă 6 munc itori au săpat un șanț lung de 3 0 m, atunci 12 muncitori vor
săpa, în același interval de timp, un șanț mai lung sau mai scurt decât cei 6 muncitori? ”
Rezolvare:
6 muncitori …………………………………… 30 m;
12 muncitori …………………………………. 30  5 = 150 m.
Mărimile care stau în relația „când una se mărește de un număr de ori și cealaltă se
mărește de acelșași număr de ori ”, le numim mărimi direct proporționale .

35Polya George, (1971). Descoperirea în matematică – Euristica rezolvării problemelor, București: Editura
Științifică
36Alexandru Gheorghe, et. al ., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag.118

60 Se va insista asupra faptului că mărimile sunt direct proporționale doar în anumite
condiții și a nume:
 cantitatea cumpărată și prețul (la produse de aceeași calitate și același preț);
 numărul de muncitori și lungimea șanțului săpat;
 numărul de zile lucrate de un tractorist și suprafața arată, dacă lucrează cu același
randament în fiecare zi;
 distanța parcursă de un autovehicul și consumul de carburant (la un consum
constant) ș.a.m.d.
„După această pregătire a elevilor, învățătorul poate începe rezolvarea problemelor din
manual, se va insista și asupra așezării corecte în pagină și a redact ării rezolvării astfel încât
să se sugereze reducerea la unitate.”37
Unele probleme îi pot pune în dificultate pe elevi. Vom lua următorul exemplu,
utilizând metoda reducerii la unitate:
„La o fabrică de zahăr se obțin 40 kg de zahăr din prelucrarea a 3 c hintale de
sfeclă. Din câte chintale de sfeclă se pot obține 160 kg de zahăr? ”
Rezolvare:
40 kg (zahăr) ……………………………………….. 3 chintale;
160 kg (zahăr) ……………………………………… x chintale;
40 kg .. ………………………………………………… 3 chintale;
1 kg …………………………………………………….
403 chintale;
160 kg …………………………………………………
403  160 =
40480 = 12
(chintale).
Când vrem să aflăm câte chintale sunt necesare pentru 1 kg de zahăr ar trebui efectuată
împărțirea
403 pe care elevii nu o cunosc deocamdată, în acest caz se poate lua împărțirea
neefectuată, iar când aflăm câte chintale sunt necesare pentru 160 kg de zahăr, efectuăm
înmulțirea:
403  160 =
40480 , ceea ce se acceptă mai ușor de către elevi (dar fără a justifica).
În asemenea pro bleme, se porneș te de la observația că, se dau 3 numere cu a jutorul
cărora se află al patrulea număr. Pentru aflare a celui de-al patrulea număr, aflăm mai întâi
valoarea unei unități, apoi aflăm valoarea totală, corespunzătoare mai multor unități. Cu

37Alexandru Gheorghe, et. al., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar, Craiova: Editura
SITECH, pag.119

61 ajutorul acestei obse rvații se vor explica elevilor denumirile de „regula de trei simplă ” și
„reducerea la unitate ”.
Calcularea unei fracții dintr -un număr este tot o problemă de reducere la unitate. Vom
lua exemplul următor:
„Într-o clasă sunt 32 elevi, iar
73 dintre ei merg la olimpiada de engleză. Câți
elevi din acestă clasă merg la olimpiadă? ”
Modul de rezolvare și așezarea în pagină va fi următoarea :

77 (întregul) ………………………………………… reprezintă 3 2 elevi;

71 (o parte) …………………………………………. reprezintă 32 : 7 = 4 elevi;

73 care merg la olimpiadă ……………………………….. reprezintă 3  4 = 12
elevi.
Pentru rezolvar ea problemelor prin regula de trei simplă (reducerea la unitate) când
intervin mărimi invers proporționale , cadrul didactic va prezenta elevilor săi câteva exemple
de astfel de mărimi, cum ar fi:
 numă rul de muncitoir i și numărul de zile pentru terminarea unei lucrări ;
 viteza și timpul pentru parcurgerea unei anumite distanț e;
 numărul de robinete ș i timpul pe ntru umplerea unui bazin cu apă (toate
robinetele având același debit);
 lungimea și lățimea unui dreptunghi, atunci când aria rămâne constantă.
„Astfel, două mărimi sunt invers proporționale dacă în timp ce una dintre ele se
mărește (sau se micșorează) de un anumit număr de ori, cealaltă se micșorează (respectiv se
mărește) de același număr de ori. ”38
Să procedăm la analiza următoarelor două prob leme:
Problema 1 :
„Un automobil se deplasează cu o viteză de 90 km/h și străbate distanța
dintre două orașe în 4 ore. Cu ce viteză ar trebui să se deplaseze acel automobil pentru a
parcurge aceeași distanță în 3 ore? ”
Rezolvare:
Dacă automobilul re spectiv se deplasează cu 90 km/h pentru a parcurge distanța în 4
ore, atunci distanța este 90  4 = 360 km (v = d/t  d = v  t).

38Ion Neacșu, Monalisa Găleteanu, Petre Predoi , (2001). Metodica matematicii în învățământul primar, Craiova:
Editura AIUS, pag.101

62 Dar, pentru ca această distanță să fie parcursă în 3 ore, automobilul va trebui să mergă
cu o viteză mai mare și anume:
360 : 3 = 120 km/h
Deci, automobilul va trebui să meargă cu 120 km/ h pentru a parcurge distanța în
numai 3 ore.
Problema 2 :
„Un aliaj este format din cupru, cositor și zinc în cantități
proporționale cu numerele 40, 10 și respec tiv 50.
Să se afle ce c antități trebuie luate din fiecare metal pentru a obține 1800 kg de aliaj .”
Rezolvare:
Câte părți din toate cele trei tipuri de metale intră în aliaj?
40 + 10 + 50 = 100 părți .
Dacă:
100 părți ……………………………………………… ….. 1800 kg;
1 parte …………………………………………………….. 1800 kg : 100 = 18 kg;
40 părți cupru …………………………………………… 40  18 = 720 kg cupru;
10 părți cositor …………………………… ……………. 10  18 kg 80 kg = 180 kg
cositor;
50 părți zinc …………………………………………….. 50  18 kg = 900 kg zinc.
Verificare :
720 kg + 180 kg + 900 kg = 1800 kg (masa întregului aliaj).

63 Capitolul IV. Activitate metod ică și de cercetare

IV.1.Proiect de cercetare
,,Formarea priceperilor și deprinderilor matematice prin rezolvarea problemelor de aritmetică
la clasa a IV -a ”

a) Scopul, ipoteza și obiectivele cercetării
Unul dintre obiectivele fundamentale ale predării matematicii este să -i învătăm pe
elevi să gândească, iar unul ditre criteriile folosite în dezvoltare a gândirii logice este
priceperea de a rezolva probleme.
Scopul cercetării a fost identificarea și analiza rolului pe care îl are activitatea de
rezolvar e a problemelor în formarea priceperilor și deprinderilor matematice și în stimularea
gândirii logice.
În acest sens, trebuiesc evidențiate etapele de rezolvare a problemelor într -o formă
interiorizată a școlarilor mici, de tipul: observ și înțeleg, planif ic și calculez, organizez și
redactez, verific și dezvolt, care are un rol important în înlăturarea blocajul ce se manifestă
adesea la elevii din ciclul primar.
Ținând cont de acești pași, elevii pot aborda în mod conștient activitatea de rezolvare a
problemelor de aritmetică, plecând de la cele mai simple, la cele compuse și până la cele mai
complicate.
Prin aceasta, scopul activității de rezolvare a problemelor de aritmetică, este cel de
dezvoltare a gândirii logice, îmbinând corespunzător elementele int uitive cu cele abstracte,
prin folosirea metodei grafice.
Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea, prin operațiile
logice de analiză, sinteza, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme de
aritmetică, se formează la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată, de a intui și a
descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă.
Rezolvarea problemelor de aritmetică, contribuie la clasificarea, aprofundarea și fixarea
cunoștințelor învățate, la dezvoltarea și cultivarea capacităților creatoare ale gândirii la
sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ -imaginative, la educarea perspicacității și
spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii, la f ormarea deprinderilor
eficiente de muncă intelectuală stimulând descoperirea, înțelegerea și raționamentul
matematic.

64 Ipoteza cercetării
În acest proiect de cercetare am pornit de la premisa că, rezolvarea problemelor de
aritmetică, este o activitate impo rtantă în lecția de matematică din ciclul primar și am
presupus că aceasta favorizează formarea priceperilor și deprinderilor matematice și
influențează stimularea gândirii logice a elevilor.

Obiectivele cercetării:
– analizarea modului în care elevii îș i orientează activitatea mentală asupra rezolvării
problemelor de aritmetică, frecvența cu care ei se implică efectiv în activitate utilizând
operațiile gândirii și imaginația creatoare;
– evidențierea nivelului de înțelegere a enunțului matematic, a nivel ului de dezvoltare a
deprinderilor de reorganizare și de reformulare a datelor problemei, de transpunere a acestora
în scheme grafice și calitatea exprimării în scris folosind limbajul matematic;
– investigarea frecvenței noilor deprinderi achiziționate de către elevi, de rezolvare a
problemelor compuse și capacitatea acestora de a aplica metoda grafică de rezolvare în
contexte variate.

b) Metode și procedee utilizate în cercetare
Procesul de cercetare științifică cuprinde trei momente. Primul dintre ele s e bazează pe
observarea unor lucruri, fenomene sau procese.
Cel de -al doilea moment se referă la crearea ipotezei pe baza faptelor observate și a
raporturilor dintre ele. Ipoteza îndeplinește rolul răspunsului la întrebarea pusă în fața
observației.
Ultim a fază o constituie verificarea experimentală a ipotezei, moment al desprinderii
concluziilor pe baza ipotezei și verificarea lor prin intermediul experimentului.
Metodele folosite pentru verificarea ipotezelor cercetării sunt: observația sistemică și
îndelungată, convorbirea cu elevii, metoda testelor, experimentul constatativ și formativ,
organizarea unor jocuri destinate dezvoltării gândirii.
Una dintre metodele utilizate în scopul ipotezelor cercetării noastre este observația pe
care am subordonat -o met odei experimentului, corelând astfel rezultatele obținute în urma
situațiilor experimentale cu datele,mai ales calitative surprinse în condiții obișnuite de
activitate prin observații.
Observația este o metoda principală ce însoțește în mod obligatoriu or ice cercetare,
indiferent prin care metoda se realizează predominant. Observația sistemica și îndelungată a

65 fenomenului instructiv -educativ este deosebit de utilă, permițând înțelegerea schimbării și
dezvoltării lor, stabilirea eficacității mijloacelor fol osite.
În cadrul lecțiilor de matematica s -a observat modul de participare a copiilor,
capacitatea de efort intelectual, ritmul de lucru, interesul și îndemanarea, curiozitatea,
influenta aprecierilor.
Prin intermediul jocurilor didactice, s -a urmărit dezv oltarea capacitățiilor intelectuale
ale elevilor, s -au depistat elevii cu aptitudini și pe cei cu dificultăți în învățarea cunoștințelor
matematice.
O altă metoda utilizată a fost convorbirea cu elevii, dar nu ca metoda de sine
stătătoare, ci integrată alt or metode ( observației, experimentului). Acestă metodă are
importante valențe formative, deoarece solicită personalitatea în ansamblul ei:
intelectual,moral și estetic.
Avantajul convorbirii este că permite recoltarea informațiilor într -un timp relativ scu rt
și fără a necesita materiale speciale, deoarece se desfășoară pe plan verbal, în afara oricărui
material concret -intuitiv.
Testul este un instrument de investigare experimentala, o proba de scurta durată,
reprezentând o situație standardizată (sub aspec tul temei,al condițiilor de aplicare și al celor
de prelucrare a rezultatelor brute) practicabilă individual sau colectiv, în scopul de a
diagnostica prezența unei însușiri,aptitudini,trăsături psihice și a măsura diferențele
individuale,mai ales în perspe ctiva unei ju ste orientări sau selecții.
Testele pedagogice conțin sarcini școlare (teoretice sau practice) și pot fi considerate
instrumente ale experimentului.Cu ajutorul testelor pedagogice am verificat cunoștințele
acumulate de elevi.
S-a ales ca metod a principală a cercetării noastre experimentul psihopedagogic, care
este o formă a experimentului natural aplicat însă în condițiile specifice ale activității
instructiv -educative. Prin metoda experimentului s -a urmărit observarea și măsurare efectelor
manipularii variabilei independente, activitatea de joc, asupra variabilei dependente,
dezvoltarea gândirii școlarului mic.
Variabila independenta produce variația celei dependente. Valoarea experimentului
constă în aceea că permite verificarea imediata a efi cienței practice a cercetării.

c) Prezentarea lotului investigat și etapele cercetării
Pentru verificarea ipotezei de lucru adoptate în cercetare mi -am fixat atenția din motive
deja menționate asupra elevilor de vârstă școlară mică.

66 Lotul de subiecți a fo st format din: 28 de elevi (16 fete și 12 băieți) de la unitatea școlară
unde am făcut practica pedagogică . Noțiunea de omogenitate care a stat la baza caracterizării
eșantionului s -a referit la nivelul de pregătire al elevilor.
Cercet area s -a desfășurat î n anul școlar 2012 -2013 cuprinzând trei etape:
Etapa I : Pretest s -a realizat la începutul semestrului I al anului școlar 201 2-2013 și a urmărit
colectarea datelor prin diferite metode, necesare atingerii obiectivelor investigației;
I. Etapa de pretest
Nive lul de cunoștințe s -a stabilit în urma testului aplicat, de mai jos.

Test inițial.
A. Rezolvați problemele
I.1. Suma a două numere este 73, iar diferența lor este 15. Să se afle numerele.
1.2. Trei copii au împreună 540 vederi. Primul are de 2 ori mai mul te decât al doilea și
de trei ori mai puține decât al treilea. Câte vederi are fiecare copil?
1.3. În două bidoane sunt 420 de litri de lapte. Dacă din primul bidon se toarnă în cel
de-al doilea 35 de litri, atunci în cele două bidoane sunt cantități egale . Câți litri de lapte sunt
în fiecare bidon?

B. Compuneți și rezolvați o problemă după schema grafică dată.
1.4.

Intervalul de timp alocat testului este de 45 de minute.

Descriptori de performanță
Nr.
item FOARTE BINE BINE SUFICIENT
I.1 Rezolvă proble ma de sumă
și diferență cu plan, aflând
corect cele două numere Află corect cele două numere,
rezolvând problema fără plan. Află corect cele două
numere, cu unele
reveniri.
I.2 Face corect graficul și află
cele trei numere, scriind
planul de rezolvare și Face corect graficul, rezolvă
problema cu plan, având o
greșeală de calcul; nu face Face graficul, rezolvă
problema fără plan, cu
unele greșeli.

67 verificarea. verificarea.
I.3 Figurează corect relațiile
dintre datele problemei,
rezolvă corect problema cu
plan. Figurează corect relațiile dintre
datele problemei, dar greșește
la calcule. Realizează graficul
incomplet rezolvă cu
greșeli.
I.4 Compune corect o
problemă după graficul dat. Compune problema după
graficul dat, solicitând indicații
suplimentare. Com pune problema cu
greșeli.

Barem de corectare: punctaj maxim 100 puncte
Fiecare item va fi evaluat printr -un calificativ

CALIFICATIV FB B S I
PUNCTAJ 100 – 81 p. 80 – 61 p. 60 – 51 p. 50 – 0 p.

Itemi
Criterii de evaluare I.1 I.2 I.3 I.4 TEST
Selectarea datelor cunoscute de cele necunoscute 1p 1p 1p 1p 4p
Respectarea etapelor de rezolvare a problemei 1p 1p 1p 1p 4p
Figurarea relațiilor dintre datele problemei prin realizarea
schemei grafice/interpretarea graficului. 2p 4p 5p 6p 17p
Rezolvarea problemei cu plan. Scrierea întrebărilor și a
operațiilor. 15p 15p 15p 10p 55p
Verificarea rezultatului 1p 1p 2p 2p 6p
Compunerea problemei. – – – 6p 6p
Calitatea exprimării scrise folosind limbajul matematic. – – – – 3p
Creativit ate. – – – – 3p
Estetica lucrării. – – – – 2p
TOTAL 20p 22p 24p 26p 100p

Prezentarea rezultatelor. După verificarea și corectarea testului s -au obținut
următoarele rezultate:
– 13 elevi au obținut calificativul Foarte Bine;
– 9 elevi au obținut calific ativul Bine;

68 – 3 elevi au obținut calificativul Suficient;
– 3 elevi au obținut calificativul Insuficient
02468101214
F.B. B S ITest Initial

Rezultatele acestei probe evidențează cunoștințele matematice ale elevilor din clasă.

Etapa a -II-a: Experimentală, car e s-a desfășurat în semestrul I și II al anului ș colar 2012 –
2013 în care s -a urmărit influențarea subiecților de a capta interesul lor pentru activitatea
școlară prin metode de intervenție adecvate;

II. Etapa experimentală
Acestă etapă presupune introduce re problemelor tipice, rezolvate prin metoda grafică la
clasă. Se lucrează cu elevii în mod frecvent probleme de tipul următor:
1. Patru copii au împreună 149 de timbre . Află câte timbre are fiecare știind că al
doilea copil are de 3 ori mai multe decât primu l, al treilea are cu 5 timbre mai puține
decât primul, iar al patrulea cu 18 timbre mai multe decât al doilea .
2. Pe patru rafturi ale un ei biblioteci se află 121 cărți . Dacă se ia de pe fiecare raft
același număr de cărți, atunci pe primul raft rămân 15 că rți, pe al doilea 27 de cărți,
pe al treilea 17 cărți, iar pe al patrulea raft 30 de cărți. Câte cărți se aflau inițial pe
fiecare raft ?
3. În două butoaie sunt 856 litri de vin. După ce din primul butoi se toarnă în al doilea
butoi 92 litri, în primul mai r ămân cu 60 litri mai mult decât în al doilea. Câți litri de
vin sunt în fiecare butoi ?

Avantajele folosirii metodei grafice în cazul problemelor tipice sunt:
 Algoritmizarea pașilor are loc prin vizualizarea schemelor grafice proprii fiecărei
probleme ti pice;
 Prin folosirea schemelor sunt puse mai bine în evidență atât analiza cât și sinteza dând
sens dezvoltării gândirii elevilor;

69  Schemele problemelor tipice îl implică în mod intuitiv în realizarea planului logic al ei
dând posibilitatea elevului să vizu alizeze relațiile dintre date și condiție;
 Prin folosirea metodei grafice se poate cultiva inițiativa, spiritul de răspundere și
activizarea permanentă a elevilor;
Etapa a -III-a: Posttest, desfășurată la sfâr șitul semestrului II al anului anului școlar 201 2-
2013 în care s -a aplicat un test, s -a întocmit de asemenea histograma și s -au comparat
rezultatele din cele două etape.

Test final.
A. Rezolvați problemele
1. Să se afle două numere știind că primul este de două ori mai mare decât al doilea și
diferența lor este 36.
2. La un concurs de matematică, au participat trei elevi. Știind că primul rezolvă de
două ori mai multe probleme decât al doilea și al doilea cu 4 probleme mai puțin decât al
treilea, să se afle câte probleme a rezolvat fiecare, dacă toți t rei au rezolvat 20 de probleme.
3. În două depozite sunt 1400t de cartofi. Știind că dacă din primul depozit s -ar
transfera 360 t în al doilea, cantitățile din ambele depozite devin egale, să se afle ce cantitate
de cartofi se află în fiecare din cele dou ă depozite.

B. Compuneți și rezolvați o problemă după schema grafică dată.
4.

Intervalul de timp alocat testului este de 45 de minute.

Descriptori de performanță
Nr.
item FOARTE BINE BINE SUFICIENT
I.1 Rezolvă problema de sumă
și diferență cu plan, aflând
corect cele două numere Află corect cele două numere,
rezolvând problema fără plan. Află corect cele două
numere, cu unele
reveniri.
I.2 Face corect graficul și află Face corect graficul , rezolvă Face graficul, rezolvă

70 cele trei numere, scriind
planul de rezolvare și
verificarea. problema cu plan, având o
greșeală de calcul; nu face
verificarea. problema fără plan, cu
unele greșeli.
I.3 Figurează corect relațiile
dintre datele problemei,
rezolvă corect problema cu
plan. Figurează corect relațiile d intre
datele problemei, dar greșește
la calcule. Realizează graficul
incomplet rezolvă cu
greșeli.
I.4 Compune corect o
problemă după graficul dat. Compune problema după
graficul dat, solicitând indicații
suplimentare. Compune problema cu
greșeli.

Bare m de corectare: punctaj maxim 100 puncte
Fiecare item va fi evaluat printr -un calificativ

CALIFICATIV FB B S I
PUNCTAJ 100 – 81 p. 80 – 61 p. 60 – 51 p. 50 – 0 p.

Itemi
Criterii de evaluare I.1 I.2 I.3 I.4 TEST
Selectarea datelor cunoscute de cele nec unoscute 1p 1p 1p 1p 4p
Respectarea etapelor de rezolvare a problemei 1p 1p 1p 1p 4p
Figurarea relațiilor dintre datele problemei prin realizarea
schemei grafice/interpretarea graficului. 2p 4p 5p 6p 17p
Rezolvarea problemei cu plan. Scrierea întrebăril or și a
operațiilor. 15p 15p 15p 10p 55p
Verificarea rezultatului 1p 1p 2p 2p 6p
Compunerea problemei. – – – 6p 6p
Calitatea exprimării scrise folosind limbajul matematic. – – – – 3p
Creativitate. – – – – 3p
Estetica lucrării. – – – – 2p
TOTAL 20p 22p 24p 26p 100p

Prezentarea rezultatelor
După verificarea și corectarea testului s -au obținut următoarele rezultate:

71 – 15 elevi au obținut calificativul Foarte Bine;
– 9 elevi au obținut calificativul Bine;
– 3 elevi au obținut calificativul Suficient;
– 1 elevi au obținut calificativul Insuficient

0246810121416
F.B B S ITst Final

0246810121416
F.B B S ITest initial
Test final

Rezultatele testului final
Comparând rezultatele testului inițial cu rezultatele acestui test observăm că numărul
că numărul elevilor cu calificati vul F.B a crescut, următoarele două calificative au rămas
constante , dar a scăzut numărul elevilor cu rezultate slabe, nesatisfăcătoare, rămânând un
singur elev.

e) Valorificarea rezultatelor și concluziile cercetării
Criteriile care au stat la baza anali zei statistice, au fost evaluarea abilităților, a
deprinderilor de rezolvare a problemelor, realizată prin analiza rezultatelor obținute la testul
de evaluare, analiza comparativă a gradului de implicare a elevilor în activitatea
independentă, a receptivit ății acestora în raport cu aplicarea metodei grafice în rezolvarea
problemelor de aritmetică, analiza detaliată, pe diferite, pe diferite abilități materializate în
rezultatele pe grupe de item -uri, formulate în raport cu obiectivele vizate.

72 Tehnicile stat istice de prelucrare a rezultatelor au constat în asocierea, corelarea și
compararea datelor cuprinse în tabele și grafice.
Cercetarea a evidențiat modul cum elevii identifică tipul de problemă, selectează datele
cunoscute de cele necunoscute, cum le corel ează și aplică metoda corespunzătoare rezolvării
ei.
Prin rezolvarea problemelor ce are același mod de organizare a judecăților și același
raționament, a dat posibilitatea ca în mintea elevului să se contureze schema de rezolvare și să
se fixeze algoritmul de lucru.
La nivelul item -urilor au fost vizate capacitățile: cunoașterea conceptelor, cunoașterea
procedurilor de calcul, rezolvarea problemelor tipice, compunerea problemelor ce implică un
anume grad de creativitate.
Tipurile de item -uri care s -au folo sit le -au solicitat elevilor capacitățile cognitive în
găsirea soluțiilor corecte prin utilizarea metodei grafice de rezolvare, în formularea
conținutului unei probleme, având ca suport intuitiv o schemă grafică, ceea ce a condus la
formarea gândirii flexi bile și a creativității.
În urma evaluării modului de implicare al elevilor în rezolvarea problemelor compuse
folosind metoda grafică am constatat că elevii rezolvă corect problemele dacă le analizează cu
atenție, dacă alcătuiesc schema logică de rezolvare și realizează corect graficul.
In rezolvarea problemelor compuse dificultatea a constat în descompunerea în probleme
simple și sesizarea legăturilor dintre acestea, în construirea raționamentului și succesiunea
operațiilor.
Tendința elevului de a lega pr oblema de ordinea succesivă pe care i -o oferă enunțul, a
condus la rezultate greșite, acestea având ca explicație analiza incompletă a datelor care să le
permită re -formulări și interpretări, care să -i apropie de soluția corectă.
În ceea ce privește calita tea operării cu noile cunoștințe în rezolvarea tipurilor de
probleme propuse, am constatat că diferențele între achiziții maxime în aplicare se explică
prin acțiunea ritmurilor de învățare diferite și specifice fiecărui elev.
A-i învăța pe elevi să rezolv e probleme și a -i învăța să comunice rezolvarea sunt două
lucruri diferite care trebuie conștientizate și antrenate permanent, deoarece, elevii selectează,
compară, analizează rezultatele prin căi de rezolvare raționale, bazate pe o activitate
operațională complexă a gândirii prin combinarea datelor cunoscute și dirijarea rezolvării spre
cerința enunțată, ceea ce duce la educarea flexibilității gândirii.
Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o
mobilizare a procese lor psihice de cunoaștere, motivațional -afective și volitive, iar rezolvarea

73 propriuzisă, este o activitate complexă a gândirii ce solicită o alegerea rațională și logică a
metodei, ce va contribui la educarea receptivității și a flexibilității.
Modul în care intervin, în algoritmii de „traducere” din „limbaj -problemă” în „limbaj –
operații” din procesul rezolvării, atenția, spiritul de observație, spiritul competițional, fac din
problemele rezolvate un important mijloc de însușire conștientă a cunoștințelor și de
dezvoltare a deprinderilor dobândite.
De aceea trecerea la rezolvarea problemelor compuse trebuie să se facă treptat prin
parcurgerea mai multor etape, insistându -se pe examinarea problemei prin metoda analitică
sau prin metoda sintetică, metode baz ate pe specificul utilizării operațiilor gândirii pe calea
care conduce la găsirea soluției finale.
Cercetarea a evidențiat nivelul dezvoltării gândirii logice, nivelul capacităților
intelectuale de a opera cu noțiunile dobândite, nivelul priceperilor și d eprinderilor de calcul
achiziționate, capacitatea de a rezolva diverse probleme și de a aplica cele însușite în practică.

74 Concluzii

Matematica s -a născut din nevoile practice ale omului, iar apoi s -a cristalizat ca știință
deschisă, capabilă de un progre s permanent, de o perpetuă aprofundare, descoperire și creare a
unor teorii noi. Dezvoltarea rapidă a științei, a acumulării în ritm tot mai intens a
informațiilor, impun cu acuitate dezvoltarea culturii matematice, care trebuie să -și facă loc cât
mai mult în cultura generală a unui om.
Procesul de predare și însușirea matematicii nu reprezintă un scop în sine ci are un
caracter general, întotdeauna trebuie raportat la obiectivele fundamentale și operaționale ale
activității. Important este ca interesul și atenția elevului să fie orientate spre ceea ce este
esențial din punct de vedere al acestor obiective concrete și specifice fiecărei activități în parte
și nu spre ceea ce lui i se pare sau crede că este important.
În ceea ce privește natura efortului, a s olicitării elevului, trebuie remarcată
complexitatea și dinamica acesteia, în sensul că activizarea angajează concomitent întregul
potențial psiho -fizic al școlarului. În clasele primare elevii prezintă sensibile diferențe de
pregătire, de aptitudini și at itudini, se impune adaptarea și diferențierea activizării lor,
respectiv dozarea intensității, a duratei și naturii efortului pe care trebuie să -l efectueze în
diferite etape ale unei activități.
Studiul fracțiilor asigură cunoștințe de bază, formarea unor deprideri de împărțire a
unui întreg și de calcule a acestora. Prin activitățile de predare a fracțiilor trebuie să cultivăm
interesul și pasiunea elevilor pentru rezolvarea problemelor cu numere raționale. Stimularea
gândirii creativității matematice a e levilor, constituie un suport pentru orientarea gândirii prin
rezolvarea de probleme cu nemere raționale.
Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: a gândi personal și activ, a se
folosi analogii, de a analiza o problemă și de a o descomp une în probleme simple etc. De
asemenea se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe
selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers, plurivalența
gândirii, capacitatea de a depune un efort integral.
Utilizarea și transferul noțiunilor de fracții nu se realizează prin simpla transm itere a
acestora de la cadrul didactic către elev, ci prin îndelungate procese de căutare și descoperire
a lor de către elevi. De aici, caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii,
mai ales prin efort propriu al elevului.
Învățarea prin cooperare asigură relații deschise între elevi, favorizează formarea
atitudinii pozitive față de școală și de învățare, le întărește încrederea în f orțele proprii,

75 împiedică realizarea etichetării între elevi, îi învață să fie toleranți față de opiniile celorlalți și
să învețe unii de la alții. În urma utilizării acestor metode de colaborare se observă că elevii
manifestă mai multă spontaneitate, au c uraj să se exprime și să pună diverse întrebări, învață
că lucrul în echipă dă rezultate și satisfacții mai mari decât lucrul individual.
În sfera matematicii acționează principiul pedagogic conform căruia, cu cât obiectivele
studierii ei sunt formulate ma i precis, în sarcini concrete, relativ limitate și descriu
componentele pe cât posibil observabile, cu atât ele dau posibilitatea realizării funcției de
orientare a tuturor aspectelor predării și învățării, oferind astlfel cadrului didactic posibilitatea
de a forma, a măsura și a aprecia cât mai obiectiv rezultatele și progresele matematice ale
elevilor din ciclul primar.
Studierea numerelor naturale se încheie în clasa a IV -a cu însușirea și formarea
deprinderilor și abilităților de efectuare a operațiilo r aritmetice la elevi cu numere naturale și
raționale. Efectuarea acestor operații se bazează pe sporirea experienței de viață a elevilor, a
maturizării lor cognitive, a lărgirii ariei cunoștințelor lor matematice. În cadrul predării –
învățării numerelor ra ționale este necesar să se scoată permanent în evidență de către cadrul
didactic faptul că pentru a obține o doime,o pătrime, o șesime, o optime, etc. dintr -un obiect,
imagine sau număr trebuie să se împartă obiectul, imaginea sau numărul în două, în patru , în
șase, în opt, etc. părți egale, de aceeași mărime.
Dacă însușirea elevilor de unitate fracționară se face corect și pe deplin înțeleasă,
atunci introducerea și însușirea noțiunilor de fracții ordinare și fracții zecimale, de comparare
a fracțiilor și de efectuare de operații cu ele nu mai prezintă dificultăți majore în însușirea
acestora de către elevii din ciclul primar.

76 Bibliografie

1. Alexandru, G., (2011). Metodica predării matematicii în ciclul primar. Craiova:Editura
SITECH.
2. Anastasiei M., (1985) . Metodica predării matematicii . Iași: Editura Univ. Al. I. Cuza
3. Aron, I., (1969). Metodica predării aritmetice la clasele I -IV. București:Editura Didactică
și Pedagogică.
4. Bruner , J., (1973). Modelele dezvoltate în “ Pentru o teorie a instruirii ”. București :
Editura E.D.P.
5. Catană A., (1983). Metodica predării matematicii . București: Editura E.D.P
6. Dicționar de matematici generale (1997 ). București: Editura Enciclopedică Română.
7. Ezechil, L., Radu, I., (2008). Pedagogie -fundamente teoretice . București:Editura V &I
Integral.
8. Găleteanu , M., Neacșu , I., Petroi , P., ( 2001 ). Metodica matematicii în învățământul
primar . Craiova: Editura AIUS.
9. Kolman, E., (1963). Istoria matematicii .București: Editura Științifică
10. Lupu C., (1996). Aritmetica pentru școli normale . Bucureș ti: Editura E.D.P.
11. Maior, A., Călugărița, A., Maoir, E., (2006). Matematică. Manual pentru clasa a IV -a.
București : Editura Aramis .
12. Neagu , M., Mocanu , M., (2007). Metodica predării matematicii în ciclul primar . Iași:
Editura Polirom.
13. Nicola , I., (2001). Tratat de pedagogie școlară . București: Editura Aramis.
14. Nicolescu, B. N., Petrescu, T. C. (2012). Matematica pentru Științe ale Educației, Pitești:
Editura Paradigme.
15. Oprișoiu N. (1981). Mai în glumă, mai în serios . Cluj – Napoca: Editura Dacia.
16. Oprescu, N., (1991). Activism și activizarea în procesul învățării în învățământul primar.
București: Editura E.D.P.
17. Oprescu, N., (1974). Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar . București:
Editura E.D.P.
18. Păiși, L., Tudor, S., Stan, M., (2009). A deveni și a fi educator. Pitești:Editura
Universității .
19. Păiși Lăzărescu, Mihaela, Țador, Loredana Sofia, Stan Maria Magdalena (2011).
Elaborarea, redactarea și prezentarea Lucrării de licență/disertație în domeniul științelor
educației . Pitești: Editura Universit ății din Pitești.

77 20. Păiși, Lăzărescu, M., (2005), Psihologia educației preșcolarului și școlarului mic , Pitești,
Editura Pararela 45
21. Piajet, J .(1972) „Psihologie și pedagogie ”, București, E.D.P.,
22. Polya, G., (1971). Descoperirea în matematică -Euristica rezolv ării problemelor .
București: Editura Științifică.
23. Radu,T., I., Ezechil, L., (2006), Didactica. Teoria instruirii , Ed. Paralela 45, Pitești,
24. Radu, T., I., Ezechil, L., (2008), Pedagogie – fundamente teoretice , București, Editura
V&I Integral
25. Russu , E., (196 9). Psihologia antichității matematice . București: EdITURA Științifică.
26. Roșu, M., (2010). Elemente de matematică pentru pro fesorii din învățământul primar .
București:Editura Aramis Print .
27. Rus, I.,Varna, D., (1983). Metodica Predării Matematicii. București:E ditura Didactică și
Pedegogică .
28. Săvulescu, D., Lupu, C., (2006). Metodica predării matematiciiîn ciclul primar. Craiova:
Editura „Gheorghe Alexandru”
29. Șerbănescu, M., Mitroi, M., et.al., (2010). Culegere de matematică pentru clasa a IV -a.
Pitești: Editura Patru Anotimpuri .
30. Tomescu, M., (2006). Culegere de exerciții și probleme de matematică. București:Editura
Coresi.

78 Anexe

– Anex a A –

Nume și prenume: Data:

Fișă de lucru

“Alegeți fracțiile cu același numitor și puneți -le în ordine crescătoare. Luați literele
cores punzătoare fracțiilor găsite și formați un cuvânt legat de lecția de matematică.”

S E R D Ț G F I M P A V C
3 7 2 4 5 8 1 6 7 1 3 6 4
4 5 5 7 5 6 5 5 9 4 5 2 5

79 Proiect didactic

Clasa: a IV -a.
Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii.
Disciplina: MATEMATICĂ.
Subiectul: Citirea, scrierea și compunerea fracțiilor ordinare.
Tipul lecției: Formarea de deprinderi și priceperi matematice.
Scopul lecției:
– consolidarea cunoștințelor elevilor, referitoare la fracții ordinare;
– consolidarea deprinderilor, priceperilor și formarea de a citi, a scrie și a compara
fracțiile ordinare;
– dezvoltarea gândirii logi ce și formarea limbajului matematic.
OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:
 să utilizeze fracția pentru a exprima subdiviziuni ale întregului;
 să cunoască semnificația comparării și ordonării fracțiilor prin mai multe
procedee;
 să expună, pe baza unui plan simpl u demersul parcurs în rezolvarea unei
probleme;
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:
a) cognitive:
O
1 – să citescă fracții cu ajutorul unor desene date;
O
2 – să utilizeze terminologia corespunzătoare în citirea f racțiilor;
O
3 – să aleagă, dintr -un șir de fracții date, pe cele care sunt unități fracționare;
O
4 – să scrie corect fracții după cerințe date;
O
5 – să compare fracții cu acel ași numitor sau cu același numărător pe exemple date;
O
6 – să compună o problemă după un desen sau o schemă dată.
b) afectiv -atitudinale:
O
7 – să manifeste interes/ motivație pentru rezolvarea de sarcin i care conțin elemente
fracționare;
O
8 – să manifeste spirit de competiție și corectitudine în calculul matematic specific;
O
9 – să participe cu interes la toate etapele lecției;
c) psiho -motorii:

80 O
10 – să mânuiască materialul didactic cu corectitudinea și rigoarea cerută de specificul
sarcinilor matematice;
O
11 – să aibă o poziție corectă în bancă;
STRATEGII DIDACTICE:
Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, munca independentă,
problematizarea, demonstrația, jocul didactic;
Mijloace de învățământ: planșe cu desene pentru fracții, imagini pentru compunerea
problemelor specifice, fișă de muncă independentă.
Forme de organizare: frontal ă, individuală.
Locul de desfășurare: sala de clasă.
Durata lecției: 50 minute.

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII
Etapele
activității Timp Ob.
Op. Conținutul activității Strategii
didactice Evaluare
1. Moment
organizatoric 2
min.
Creez condițiile necesare
bune i desfășurări a lecției.
Voi ordona și pregăti
materialele didactice. Conversația

Activitate
frontală
2. Anunțarea
temei și a
obiectivelor
1
min.

Voi anunța elevii că astăzi
vom repeta cunoștințele
referitoare la fracții: citirea
fracțiilor cu ace lași numitor
sau același numărător,
compunerea și rezolvarea de
probleme. Conversația

Activitate
fontală Activități
specifice
solicitărilor
3.
Reactualiz area
cunoștințelor
anterioare 7
min.

Voi verifica și corecta tema
pentru acasă prin citirea
soluțiilor exercițiilor prin
sondaj.
Propun calculele orale:
1) Aflați jumătatea
numerelor 4, 8, 16,
30 și 1. Conversația
euristică

Exercițiul
Calculul
mental
Analiză,
Conversația Verificare
frontală

81

O
1

O
4
O
3
O
2

O
3

O
2
O
3 2) Aflați sfertul numerelor:
4, 8, 12, 20
și 1.
3) Câte doimi formează un
întreg?
4) Câte pătrimi formează un
întreg?
5) Mama are 32 ani. Fiul ei
are o pătrime din vârsta ei.
Câți ani are fiul?
Citiți și scrieți fracțiile
corespunzătoare desenelor
de pe planșă.
Voi prezenta o planșă (ex.:
vezi Anexa A) și pentru
fiecare caz în parte, voi pune
următoarele întrebări:
1) În câte părți a afost
împărțit întregul în fiecare
caz?
2) Câte părți s -au luat din
fiecare întreg?
3) Unde scriem numărul
care ne arată în câte părți a
fost împărțit întregul?
4) Cum se numește acest
număr?
5) Unde se scrie numărul
părților luate și cum se
numește?
6) Ce este fracția?
7) La ce operație ne gând im
când auzim cuvântul fracție? Exercițiul
Evaluare
secvențială

Dialogul
euristic

Activitate
frontală și
individuală Aprecieri
orale asupra
rezolvă rii

Aprecieri
orale asupra
răspunsurilor

82 4.Dirijarea
învățării 15
min.

1

O
4

O
5

Voi propune spre rezolvare:
Alege ți și apoi încercuiți

Muncă
independentă

Activitate
individuală

Muncă
independentă

Evaluare
formativă

Evaluare
individuală

83 unitățile fracționare:
4 1 9 1 3 1; ; ; ; ; .5 8 4 5 7 3

Transformați unitățile
fracționare

1 1 1;;3 5 7 în fracții.
1) Care sunt numărătorii
fracțiilor obținute?
2) Dar numitorii lor?
Transformați fracțiile
1 1 1;;2 4 6
în fracții care să nu
fie unități fracționare.
1) Care sunt numărătorii
fracțiilor obținute?
2) Dar numitorii lor?
• Dați exemple de fracții cu
numitorul 2.
• Dați exemple de fracții cu
numărătorul 7.
• Ordonați crescător
fracțiile:

5 1 3 4 2; ; ; ; .8 8 8 8 8
• Ordonați descrescător
fracțiile:
3 3 3 3 3; ; ; ; .5 8 6 9 7
5. Obținerea
performanțe i 10
min. O
6 Compuneți o problemă după
următorul desen:

o parte
trebuie hașutată altfel față de
celelalte două părți, dar nu
știu cum s -o hașurez altfel…
Conversația
Explicația

Problematiza
rea

Evaluare
formativă și
individuală

84 Le voi prezenta elevilor un
exemplu:
“Un elev a citit în prima zi
1
4
din numărul de pagini pe
care le avea de citit, a doua
zi
2
4 și în a treia zi restul.
Câte p agini a citit în a treia
zi?”

Activitate
individuală

6. Asigurarea
feed-back -ului

13
min. O
2

O
5 Voi da fișel e cu următorul
joc:
“Alegeți fracțiile cu același
numitor și puneți -le în
ordine crescătoare. Luați
literele corespunzătoare
fracțiilor găsite și formați un
cuvânt legat de lecția de
matematică.”
Fiecare elev va primi câte o
fișă de lucru, care va fi
lucra tă individual. (ex.: vezi
Anexa B) Conversația
Explicația
Exercițiul

Activitate
individuală
prin fișe de
lucru

Evaluare
frontală
7. Evaluare și
tema pentru
acasă

2
min.

Voi face aprecieri atât
generale cât și individuale
asupra modului de lucr u și
de participare a elevilor la
ora de matematică, voi ține
cont de calitatea
răspunsurilor fiecărui copil,
voi verifica fișele de
evaluare și voi anunța tema
pentru acasă. Conversația

Frontal și
individual

Aprecieri
verbale