Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616079]

Universitatea Babes »-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematic ¸a s »i Informatic ¸a
Tez¸a de Doctorat
Contribut »ii la Teoria Aproxim¸ arii Funct »iilor
de Variabil¸ a Real¸ a » si Complex¸ a
Doctorand: [anonimizat] »Conduc¸ ator » stiint »i¯c:
Prof. univ. dr. Sorin Gal
Cluj-Napoca
2017

2

Cuprins
1 Introducere General¸ a 5
2 Aproximare cu operatori integrali neliniari 1
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Choquet . . . . . . . . . 1
2.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Aproximare cu operatori integrali posibilistici . . . . . . . . 8
2.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Schema lui Feller ^ ³n termenii integralei posibilistice . 11
2.2.3 Aproximare cu operatori posibilistici de convolut »ie . . 17
3 Ordin arbitrar prin operatori Sz¶ asz » si Baskakov 23
3.1 Operatori reali Baskakov generalizat »i . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Cazul operatorilor q-Baskakov, 0 < q < 1 . . . . . . . 29
3.2 Operatori reali Sz¶ asz-Stancu generalizat »i . . . . . . . . . . . 33
3.3 Operatori reali Baskakov-Stancu generalizat »i . . . . . . . . . 33
3

4 CUPRINS
4 Operatori Sz¶ asz » si Baskakov complec» si 35
4.1 Ordin arbitrar ^ ³n discuri compacte . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.2 Operatori complec» si Sz¶ asz » si Sz¶ asz-Kantorovich . . . 37
4.1.3 Operatori complec» si Baskakov generalizat »i . . . . . . 39
4.2 Ordin arbitrar prin operatori Baskakov-Faber . . . . . . . . 42
4.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Bibliogra¯e 46

Cap. 1
Introducere General¸ a
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine rezultatele pe care le-am obt »inut ^ ³n domeniul teoriei
aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de o variabil¸ a complex¸ a.
Teoria aproxim¸ arii este o parte a Analizei matematice, av^ ³nd r¸ ad¸ acinile
^ ³n secolul al 19-lea, care se ocup¸ a, ^ ³n esent »¸ a, cu aproximarea unor elemente
complicate (de cele mai multe ori funct »ii), cu elemente mai simple (de cele
mai multe ori polinoame algebrice, polinoame trigonometrice sau funct »ii
spline, etc). ^In plus, ^ ³n cadrul acelea» si teorii, se obt »in » si caracteriz¸ ari canti-
tative ale aproxim¸ arii, de cele mai multe ori^ ³n termenii a» sa numit »ilor moduli
de continuitate (de netezime).
Din punct de vedere istoric, ^ ³n cazul aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a
real¸ a, probabil c¸ a primul rezultat principal ^ ³n aceast¸ a teorie a fost obt »inut
de c¸ atre matematicianul german K. Weierstrass ^ ³n 1895, rezultat care poate
¯ enunt »at ^ ³n felul urm¸ ator :
Teorema A. Dac¸ a f: [a; b]!Reste o funct »ie continu¸ a pe inter-
valul [a; b], atunci exist¸ a un » sir de polinoame algebrice cu coe¯cient »i reali,
Pmn(x) =a0xmn+:+amn¡1x+amn, astfel ^ ³nc^ ³t limn!1Pmn(x) =f(x),
uniform ^ ³n raport cu x2[a; b].
5

6 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
O demonstrat »ie constructiv¸ a a teoremei de mai sus a fost obt »inut¸ a de
c¸ atre matematicianul rus S.N. Bernstein ^ ³n 1912, care a ar¸ atat c¸ a » sirul
de polinoame algebrice care ast¸ azi ii poart¸ a numele, anume Bn(f)(x) =
Pn
k=0¡n
k¢
xk(1¡x)n¡kf)k=n), converge uniform la funct »ia fpresupus¸ a con-
tinu¸ a pe [0 ;1].
Primul rezultat cantitativ ^ ³n teoremele lui Weierstrass » si Bernstein de
mai sus, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul rom^ an Tiberiu Popoviciu
^ ³n anul 1942, care a ar¸ atat c¸ a
jBn(f)(x)¡f(x)j ·3
2!1(f; 1=pn);8×2[0;1]; n2N;
unde !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1];jx¡yj ·±greprezint¸ a
modulul de continuitate al funct »iei f.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor continue » si 2 ¼-periodice, primul rezultat
constructiv a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul maghiar L. Fej¶ er ^ ³n anul
1900, care a ar¸ atat urm¸ atoarele : dac¸ a f:R!Reste o funct »ie 2 ¼-periodic¸ a
» si continu¸ a pe R, not^ ³nd cu Sn(f)(x) =Pn
k=0akcos(kx) +bksin(kx), unde
ak» sibksunt coe¯cient »ii Fourier ai lui f, atunci Tn(f)(x) =S0(f)(x)+:::+Sn(f)(x)
n+1
reprezint¸ a un » sir de polinoame trigonometrice care converge uniform la
funct »ia fpeR.
Primul rezultat cantitativ » si constructiv ^ ³n cazul aproxim¸ arii cu poli-
noame trigonometrice, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul american D.
Jackson ^ ³n teza lui de doctorat din 1911, care poate ¯ enunt »at ^ ³n felul
urm¸ ator : dac¸ a f:R!Reste continu¸ a » si 2 ¼-periodica, atunci se poate
construi un » sir de polinoame trigonometrice Jn(f)(x),n2N, cu propri-
etatea c¸ a
jJn(f)(x)¡f(x)j ·C!2(f; 1=n);8x2R; n2N;

7
unde !2(f;±) = sup fjf(x+h)¡2f(x) +f(x¡h)j; 0·h·±; x2Rg
reprezint¸ a modulul de netezime de ordinul 2 al funct »iei f.
O direct »ie important¸ a ^ ³n Teoria Aproxim¸ arii Funct »iilor este reprezentat¸ a
de teoria aproxim¸ arii cu » siruri de operatori liniari si pozitivi, cu r¸ ad¸ acinile
^ ³ntre anii 1950 » si 1970 prin rezultatele de acum clasice ale lui Tiberiu Popovi-
ciu, Bohman, Korovkin, Shisha-Mond » si alt »ii. ^In esent »¸ a, aceste rezultate
a¯rm¸ a faptul c¸ a pentru ca un » sir de operatori liniari si pozitivi, ( Ln(f))n2N,
s¸ a convearga uniform la fpentru orice funct »ie continu¸ a pe [ a; b], este su¯-
cient ca Ln(ek) s¸ a convearg¸ a uniform la ek, doar pentru k= 0;1 » si 2, unde
e0(x) = 1, e1(x) =x» sie2(x) =x2.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor complexe sau/si » de o variabil¸ a complex¸ a,
r¸ ad¸ acinile acestei teorii se g¸ asesc ^ ³n aproximarea funct »iilor continue prin
polinoame sau prin funct »ii ^ ³ntregi, prin lucr¸ arile lui MÄ untz-Sz¶ asz » si Carle-
man, iar ^ ³n aproximarea funct »iilor analitice de variabil¸ a complex¸ a prin poli-
noame sau prin funct »ii rat »ionale, ment »ion^ ³nd aici, ^ ³n principal, rezultatele
obt »inute de c¸ atre Runge, Walsh, Faber, Mergelyan, Arakelyan » si Dzyadyk.
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine contribut »iile originale pe care le-am obt »inut ^ ³n
domeniul teoriei aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de o variabil¸ a
complex¸ a.
Teza este structurat¸ a ^ ³n 4 capitole.
^In Capitolul prezent 1, se face o introducere general¸ a ^ ³n Teoria Aproxi-
m¸ arii » si o descriere rezumativ¸ a a tezei.
^In Capitolul 2 ^ ³ntitulat "Aproximare cu operatori integrali neliniari",
idea de baz¸ a este ^ ³nlocuirea integralei clasice ^ ³n expresiile unor operatori
de aproximare liniari integrali, cu integrale mai generale (care nu mai sunt
liniare), » si studierea propriet¸ at »ilor de aproximare ale operatorilor noi obt »inut »i.
Capitolul are dou¸ a sect »iuni.

8 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
Astfel,^ ³n prima sect »iune,^ ³ntitulat¸ a "Aproximare cu operatori Durrmeyer-
Choquet",^ ³n expresiile operatorilor clasici Bernstein-Durrmeyer, se^ ³nlocuie» ste
integrala Lebesgue cu integrala (neliniara) a lui Choquet ^ ³n raport cu o
funct »ie de mult »ime monoton¸ a si submodular¸ a. Se arat¸ a ca noii operatori
(neliniari de data asta) ram^ ³n uniform convergent »i la funct »ia continua aprox-
imat¸ a.
^In a doua sect »iune a capitolului, ^ ³n clasica schem¸ a de aproximare a lui
Feller de generare a operatorilor liniari si pozitivi cu propriet¸ at »i de aprox-
imare, se ^ ³nlocuieste integrala clasica liniara ^ ³n raport cu o masur¸ a tip
Lebesgue, cu integrala neliniar¸ a posibilistic¸ a. ^In acest mod, se genereaz¸ a
noi operatori (neliniari) cu propriet¸ at »i bune de aproximare, incluz^ ³nd » si a» sa
numit »ii operatori max-produs studiat »i ^ ³ntr-o lunga serie de lucr¸ ari de catre
B. Bede, L. Coroianu » si S.G. Gal (care culmineaz¸ a cu monogra¯a de cerc-
etare [10] aparuta la editura Springer).
Tot ^ ³n aceast¸ a sect »iune se studiaz¸ a » si propriet¸ at »ile cantitative de aprox-
imare ale operatorilor posibilistici de convolut »ie obt »inut »i prin schema lui
Feller adaptat¸ a.
^In Capitolul 3^ ³ntitulat "Ordin arbitrar prin operatori Sz¶ asz » si Baskakov",
plec^ ³nd de la un » sir ¸n>0,n2N, converg^ ³nd la zero cit de rapid dorim
(adic¸ a arbitrar de rapid), se construiesc » siruri de operatori Baskakov, q-
Baskakov, Sz¶ asz-Stancu » si Baskakov-Stancu, care converg la funct »ia aproxi-
mat¸ a f: [0;1)!Rcu ordinul de convergent »a !1(f;p¸n) (^ ³n fapt, arbitrar
de bun, deoarece ¸npoate s¸ a ¯e ales ca s¸ a tind¸ a la zero, arbitrar de rapid).
Din acest motiv, rezultatele din acest capitol obt »inute pentru operatori
de tip Sz¶ asz si Baskakov, sunt de tip de¯nitiv (adic¸ a cele mai bune posibile).
^In acela» si timp, rezultatele obt »inute au » si un puternic caracter uni¯cator,
^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele obt »inute anterior de

9
numero» si alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale nodurilor ¸n.
^In Capitolul 4, ^ ³ntitulat "Operatori Sz¶ aasz » si Baskakov complec» si", se
aplic¸ a ideile din Capitolul 3, la cazul aproxim¸ arii funct »iilor analitice de o
variabil¸ a complex¸ a, prin operatori complec» si Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si
Baskakov.
^In prima sect »iune a capitolului, plec^ ³nd din nou de la un » sir ¸n>0,
n2N, converg^ ³nd la zero c^ ³t de rapid dorim (adic¸ a arbitrar de rapid), se
construiesc » siruri de operatori Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si Baskakov ata» sat »i
unei funct »ii analitice si de cre» stere exponential¸ a ^ ³ntr-un disc compact cu
centrul^ ³n origine, care aproximeaz¸ a functia fcu ordinul O(¸n) » si pentru care
se obt »in rezultate tip Voronovskaja, cantitative cu ordinul de aproximare
O(¸2
n).
^In a doua sect »iune a capitolului, se consider¸ a aceea» si problematic¸ a ca
» si ^ ³n sect »iunea ^ ³ntii, cu deosebirea c¸ a acum se consider¸ a operatori de tip
Baskakov-Faber, ata» sat »i prin intermediul polinoamelor Faber, unei funct »ii
analitice de cre» stere exponential¸ a ^ ³ntr-o mult »ime compact¸ a arbitrar¸ a (care
nu este neap¸ arat un disc).
S »i rezultatele din aceast¸ a sect »iune se pot considera de tip de¯nitiv, ^ ³n
sensul c¸ a sunt cele mai bune posibile.
Rezultatele prezentate ^ ³n aceast¸ a tez¸ a au fost obt »inute de c¸ atre autor,
^ ³n colaborare cu domnul profesor universitar dr. Sorin Gal, cu Nazim Mah-
modov, cu Lucian Coroianu, cu Sorin Trifa sau ca » si singur autor, ^ ³n 6
lucr¸ ari, publicate (sau trimise spre publicare) ^ ³n urm¸ atoarele reviste, dup¸ a
cum urmeaz¸ a :
1) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D., Approximation with an ar-
bitrary order by modi¯ed Baskakov type operators. Appl. Math.
Comput., 265 (2015), 329-332 (Factor de impact ISI pe 2015 :

10 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
1.345, Scor relativ de in°uent »¸ a pe 2015 : 0.694)
2) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D., Uniform and pointwise
convergence of Bernstein-Durrmeyer operators with respect to
monotone and submodular set functions. J. Math. Anal. Appl.
424 (2015), no. 2, 1374-1379 (Factor de impact ISI pe 2015 :
1.014, Scor relativ de in°uent »¸ a pe 2015 : 1.121)
3) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D., Approximation of analytic
functions with an arbitrary order by generalized Baskakov-Faber
operators in compact sets. Complex Anal. Oper. Theory 10
(2016), no. 2, 369-377 (Factor de impact ISI pe 2015 : 0.663, Scor
relativ de in°uent »¸ a pe 2016 : 0.724)
4) Gal, Sorin G.; Mahmudov, Nazim I.; Opri» s, Bogdan D.,
Approximation with an arbitrary order of Szsz, Szsz-Kantorovich
and Baskakov complex operators in compact disks. Azerb. J.
Math. 6 (2016), no. 2, 3-12 (revist¸ a recenzat¸ a ^ ³n Mathematical
Reviews » si Zentralblatt fÄ ur Mathematik)
5) Coroianu, Lucian ; Gal, Sorin G. ; Opri» s, Bogdan D.; Trifa,
Sorin, Feller's scheme in approximation by nonlinear possibilistic
integral operators, trimis¸ a spre publicare.
6) Opri» s, Bogdan, D., Approximation with an arbitrary or-
der by generalized Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu operators,
trimis¸ a spre publicare.
Rezultatele originale obt »inute ^ ³n tez¸ a sunt urm¸ atoarele :
Capitolul 2. Sect »iunea 2.1 : Lema 2.1.2, Teorema 2.1.3, Teorema 2.14
;Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [46];
Sect »iunea 2.2 : Teorema 2.2.2, Lema 2.2.3, Teorema 2.2.4, Teorema 2.2.5,
Corolarul 2.2.6, Teorema 2.2.7, Corolarul 2.2.8, Teorema 2.2.9, Corolarul

11
2.2.9 ; Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [21] ;
Capitolul 3. Sect »iunea 3.1 : Lema 3.1.1, Corolarul 3.1.2, Teorema 3.1.3,
Corolarul 3.1.4, Lema 3.1.5, Teorema 3.1.6, Corolarul 3.1.7, Corolarul 3.1.8
;Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [45];
Sect »iunea 3.2 : [61]
Sect »iunea 3.3 :
Capitolul 4. Sect »iunea 4.1 : Teorema 4.1.1, Teorema 4.1.2, Teorema
4.1.3 ; Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [48];
Sect »iunea 4.2 : De¯nit »ia 4.2.1, Lema 4.2.2, Lema 4.2.3, Teorema 4.2.4.
Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [47].
Cuvinte cheie : funct »ie de mult »ime monoton¸ a » si submodular¸ a, inte-
grala Choquet, operator Bernstein-Durrmeyer, convergent »¸ a uniforma, conver-
gent »¸ a punctual¸ a ; teoria posibilit¸ at »ii, schema lui Feller, inegalitatea de tip
Chebyshev, integrala posibilistica neliniara, operatori posibilistitici Picard,
operatori posibilistici Gauss-Weierstrass, operatori posibilistici Poisson-Cau-
chy, operatori max-produs (posibilistici) de tip Bernstein ; operator gen-
eralizat Baskakov de o variabil¸ a real¸ a, operatori liniari » si pozitivi, modul
de continuitate, ordin de aproximare, q-calcul diferent »ial ; operatori com-
plec» si generalizat »i Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si Baskakov, rezultate de tip
Voronovskaja ; mult »imi compacte, polinoame Faber, operator Baskakov-
Faber generalizat.
Doresc s¸ a mult »umesc conduc¸ atorului » stiint »i¯c, domnului profesor uni-
versitar dr. Sorin Gal, pentru deosebita ^ ³ndrumare a mea pe parcursul
elabor¸ arii tezei.

12 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A

Cap. 2
Aproximare cu operatori
integrali neliniari
^In acest capitol, ne ocup¸ am de studiul propriet¸ at »ilor de aproximare a oper-
atorilor integrali, ^ ³n care integrala liniara clasica este ^ ³nlocuita cu integrala
neliniara Choquet » si cu integrala nelniara posibilistic¸ a. Capitolul consist¸ a
din dou¸ a sect »iuni : ^ ³n prima sect »iune ne ocup¸ am de operatorii Durrmeyer-
Choquet, iar ^ ³n sect »iunea a doua ne ocup¸ am de operatorii posibilistici.
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Cho-
quet
^In aceast¸ a sect »iune ne ocup¸ am de operatorul multivariat (adic¸ a de mai multe
variabile) Bernstein-Durmayer Mn;¹, ^ ³n termenii integralei Choquet ^ ³n ra-
port cu o funct »ie de mult »ime monotona » si submodular¸ a ¹, pe simplexul
standard d-dimensional. Acest operator este neliniar » si generalizeaza oper-
atorul liniar Bernstein-Durrmeyer ^ ³n raport cu o masur¸ a Borel nenegativ¸ a
1

2CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
» si marginit¸ a (incluz^ ³nd m¸ asura Lebesgue). Demonstr¸ am convergent »a uni-
form¸ a » si punctual¸ a a lui Mn;¹(f)(x) laf(x) pentru n! 1 , generaliz^ ³nd
astfel rezultatele obt »inute ^ ³n lucrarile recente [11] and [12].
2.1.1 Introducere
Plec^ ³nd de la lucrarea [13], ^ ³n alte trei lucr¸ ari recente [11], [12] » si [54], s-a
obt »inut convergent »a uniform¸ a, punctual¸ a » si^ ³n Lpa luiMn;¹(f)(x) catre f(x)
(pentru n! 1 ), unde Mn;¹(f)(x) noteaza operatorul liniar multivariat
Bernstein-Durrmeyer ^ ³n raport cu o masur¸ a Borel nenegativ¸ a, marginit¸ a, ¹,
de¯nita pe simplexul standard
Sd=f(x1; :::; x d); 0·x1; :::; x d·1;0·x1+:::+xd·1g;
prin formula
Mn;¹(f)(x)
=X
j®j=nR
Sdf(t)B®(t)d¹(t)R
SdB®(t)d¹(t)¢B®(x) :=X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N;
(2.1)
unde feste presupus¸ a ¹-integrabila pe Sd. De asemenea, ^ ³n formula (2.1),
am notat ®= (®0; ®1; :::; ® n), cu ®j¸0 pentru tot »i j= 0; :::; n ,j®j=
®0+®1+:::+®n=nsi
B®(x) =n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!(1¡x1¡x2¡:::¡xd)®0¢x®1
1¢:::¢x®d
d
:=n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!¢P®(x):
^In cele ce urmeaz¸ a, vom arata ca rezultatele din [11] » si [12] asupra con-
vergentei punctuale » si uniforme , ram^ ³n valabile ^ ³n cadru mult mai general
c^ ³nd¹este o funct »ie de mult »ime monoton¸ a, marginit¸ a » si submodular¸ a pe Sd
iar integralele apar^ ³nd ^ ³n expresiile coe¯cientilor c(®; ¹) din formula (2.1),
sunt integrale Choquet ^ ³n raport cu ¹.

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 3
2.1.2 Preliminarii
^In aceast¸ a subsect »iune, prezent¸ am concepte » si rezultate folosite ^ ³n subsect »i-
unile urm¸ atoare.
De¯nit »ia 2.1.1. Fie (­ ;C) un spat »iu m¸ asurabil, adic¸ a ­ este o mult »ime
nevid¸ a iar Ceste o ¾-algebra de submult »imi ale lui ­.
(i) (vezi, de exemplu, [65], p. 63) Funct »ia de mult »imi ¹:C ! [0;+1]
este numit¸ a monoton¸ a (sau capacitate) dac¸ a ¹(;) = 0 iar A; B2 C, cu
A½B, implic¸ a ¹(A)·¹(B). De asemenea, ¹este numit¸ a submodular¸ a
dac¸ a
¹(A[
B) +¹(A\
B)·¹(A) +¹(B);pentru tot »i A; B2 C:
Dac¸ a ¹(­) = 1, atunci ¹se nume» ste normalizat¸ a.
(ii) (vezi [16], sau [65], p. 233) Fie ¹o funct »ie de mult »imi normalizata » si
monoton¸ a, de¯nita pe C. Reamintim c¸ a f: ­!Rse nume» ste C-m¸ asurabil¸ a,
dac¸ a pentru oricare B, submult »ime Borel din R, avem f¡1(B)2 C.
Dac¸ a f: ­!ResteC-m¸ asurabil¸ a, atunci pentru oricare A2 C, inte-
grala Choquet este de¯nit¸ a prin
(C)Z
Afd¹=Z+1
0¹(F¯(f)\
A)d¯+Z0
¡1[¹(F¯(f)\
A)¡¹(A)]d¯;
unde F¯(f) =f!2­;f(!)¸¯g. Dac¸ a ( C)R
Afd¹exist¸ a ^ ³nR, atunci fse
nume» ste integrabil¸ a Choquet pe A. Observ¸ am c¸ a dac¸ a f¸0 on A, atunci
termenul care cont »ine integralaR0
¡1^ ³n formula de mai sus, devine egal cu
zero.
C^ ³nd ¹este m¸ asura Lebesgue (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a), atunci integrala
Choquet ( C)R
Afd¹se reduce la integrala Lebesgue.
^In cele ce urmeaz¸ a, list¸ am ni» ste propriet¸ at »i cunoscute de care vom avea
nevoie ^ ³n sect »iunea principala.

4CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Observat »ii. S¸ a presupunem ca ¹:C ! [0;+1] este o funct »ie monoton¸ a
de mult »imi. Atunci, au loc urm¸ atoarele propriet¸ at »i :
(i) (C)R
Aeste pozitiv omogena, adic¸ a pentru tot »i a¸0 avem
(C)Z
Aafd¹ =a¢(C)Z
Afd¹;
(pentru f¸0 vezi, de exemplu, [65], Teorema 11.2, (5), p. 228 iar pentru
fde semn arbitrar, vezi, de exemplu, [23], p. 64, Propozitia 5.1, (ii)).
(ii)^In general, ( C)R
A(f+g)d¹6= (C)R
Afd¹+(C)R
Agd¹. Totusi, avem
(C)Z
A(f+c)d¹= (C)Z
Afd¹+c¢¹(A);
pentru tot »i c2R» sifde semn arbitrar (vezi, de exemplu, [65], pp. 232-233,
sau [23], p. 65).
Dac¸ a ¹este » si submodular¸ a, atunci integrala Choquet este subliniara,
adic¸ a
(C)Z
A(f+g)d¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Agd¹;
pentru toate f; gde semn arbitrar » si marginite inferior (vezi, de exemplu,
[23], p. 75, Teorema 6.3).
(iii) Dac¸ a f·gpeAatunci ( C)R
Afd¹·(C)R
Agd¹(vezi, de exemplu,
[65], p. 228, Teorema 11.2, (3) pentru f; g¸0 » si p. 232 pentru f; gde semn
arbitrar).
(iv) Fie f¸0. Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult· a imediat ca dac¸ a
A½Batunci
(C)Z
Afd¹·(C)Z
Bfd¹
iar dac¸ a, ^ ³n plus, ¹este ¯nit subaditiv¸ a, atunci
(C)Z
ASBfd¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Bfd¹:

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 5
(v) Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult· a imediat c¸ a
(C)Z
A1¢d¹(t) =¹(A):
(vi) Exemple concrete simple de funct »ii de mult »imi ¹, monotone » si sub-
modulare, pot ¯ obt »inute dintr-o masur¸ a probabilist¸ a Mde¯nita pe o ¾-
algebr¸ a a lui ­ (adic¸ a M(;) = 0, M(­) = 1 » si Meste num¸ arabil aditiv¸ a),
prin formula ¹(A) =°(M(A)), unde °: [0;1]![0;1] este o funct »ie cresca-
toare » si concava, cu °(0) = 0, °(1) = 1 (vezi, de exemplu, [23], pp. 16-17,
Exemplu 2.1). Observ¸ am c¸ a dac¸ a de fapt Meste doar ¯nit aditiv¸ a, atunci
¹(A) =°(M(A)) ram^ ³ne ^ ³nca submodular¸ a.
De asemenea, orice masur¸ a de posibilitate ¹este monoton¸ a » si sub-
modular¸ a. ^Intra-adevar, ^ ³n timp ce monotonia este imediat¸ a din axioma
¹(ASB) = max f¹(A); ¹(B)g, submodularitatea este imediat¸ a din propri-
etatea ¹(ATB)·minf¹(A); ¹(B)g.
Reamintim aici ca o funct »ie de mult »imi ¹:P(­)![0;1] (unde P(­)
noteaza famila tuturor submult »imilor lui ­) se nume» ste m¸ asur¸ a de posibil-
itate pe mult »imea nevid¸ a ­, dac¸ a ea satisface axiomele ¹(;) = 0, ¹(­) = 1
» si¹(S
i2IAi) = sup f¹(Ai);i2Igpentru toate Ai2­, » si orice familie de
indici I.
Este binecunoscut faptul ca orice distribut »ie de posibilitate (pe ­), adic¸ a
o funct »ie ¸: ­![0;1], astfel^ ³nc^ ³t sup f¸(s);s2­g= 1, induce o m¸ asur¸ a de
posibilitate ¹¸:P(­)![0;1], dat¸ a de formula ¹¸(A) = sup f¸(s);s2Ag,
pentru toate A½­,A6=;,¹¸(;) = 0 (vezi, de exemplu, [27], Capitol 1).
2.1.3 Rezultate principale
FieBSdsigma algebra a tuturor submult »imilor Borel measurabile din P(Sd)
iar¹:BSd![0;+1) o funct »ie de mult »imi normalizata, monoton¸ a » si

6CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
submodular¸ a pe BSd.
Spunem ca ¹este strict pozitiva dac¸ a ¹(A\Sd)>0, pentru ¯ecare
mult »ime deschis¸ a A½RncuA\Sd6=;.
De asemenea, prin de¯nit »ie, suportul lui ¹,supp(¹), este mult »imea tu-
turor x2Sdcu proprietatea ca pentru ¯ecare vecinatate deschis¸ a Nx2 B Sd
a lui x, avem ¹(Nx)>0.
Notam cu C+(Sd) spat »iul tuturor funct »iilor pozitive » si continue pe Sd
iar cu L1
¹(Sd), spat »iul funct »iilor reale, BSd-m¸ asurabile f, astfel c¸ a exist¸ a
o mult »ime E½Sd(depinz^ ³nd de f) cu¹(E) = 0 iar feste marginit¸ a pe
SdnE.
Notam
Mn;¹(f)(x) =X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
Aplic^ ³nd Observat »ia 2.2, (i), rezult· a u» sor
c(®; ¹) =(C)R
Sdf(t)B®(t)d¹(t)
(C)R
SdB®(t)d¹(t)=(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t):
Este bine de mentionat aici ca prin normalizarea funct »iei de mult »imi ¹,
nu se pierde generalitatea » si c¸ a, condit »ia supp(¹)n@Sd6=;, garanateaz¸ a c¸ a
(C)R
SdB®(t)d¹(t)>0, pentru tot »i B®.
Pentru demonstrat »iile rezultatelor principale, avem nevoie de urm¸ atoarele
rezultate auxiliare.
Lema 2.1.2. S¸ a presupunem c¸ a ¹este o funct »ie de mult »imi, normal-
izat¸ a, monoton¸ a » si submodular¸ a. Dac¸ a de¯nim Tn:C+(Sd)!R+prin
Tn(f) = (C)Z
Sdf(t)P®(t)d¹(t); f2C+(Sd); n2N;j®j=n;
atunci pentru toate f; g2C+(Sd), avem
jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj) = (C)Z
Sdjf(t)¡g(t)j ¢P®(t)d¹(t):

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 7
Primul rezultat principal este analog Teoremei 1 din [11] » si se refer¸ a la
aproximare uniform¸ a.
Teorema 2.1.3. Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizata, monoton¸ a,
submodular¸ a » si strict pozitiva pe BSd, astfel ^ ³nc^ ³t supp(¹)n@Sd6=;. Pentru
¯ecare f2C+(Sd)avem
lim
n!1kMn;¹(f)¡fkC(Sd)= 0;
undekFkC(Sd)= max fjF(x)j;x2Sdg.
Al doilea rezultat principal este un analog al Teoremei 1 din [12] » si se
refera la convergent »a punctual¸ a. ^In acest sens, analiz^ ³nd rat »ionamentele
din demonstrat »ia Teoremei 1 din [12] » si folosind acelea» si propriet¸ at »i ale
integralei Choquet ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.1.3 de mai sus, rezult· a
u» sor urm¸ atoarea.
Teorema 2.1.4. Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizata, monoton¸ a,
submodular¸ a pe BSd, cusupp(¹)n@Sd6=;. Dac¸ a f2L1
¹(Sd)» sif(x)¸0,
pentru tot »i x2Sd, atunci ^ ³n ¯ecare punct x2supp(¹)unde fese continu¸ a,
avem
lim
n!1jMn;¹(f)(x)¡f(x)j= 0:
Observat »ii. 1) Potrivit cu Observat »ia anterioara, (vi), un exemplu
de funct »ie de mult »imi ¹, submodular¸ a » si satisfac^ ³nd toate cerint »ele din
enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4, poate ¯ simplu de¯nita prin ¹(A) =
p
ș(A), unde șeste o m¸ asur¸ a Borel de probabilitate ca » si ^ ³n [11] » si [12].
De asemenea, este bine de notat ca datorita nonlinearitat »ii integralei Cho-
quet (vezi Observat »ia (ii)), spre deosebire de cazul din [11], [12], operatorul
Bernstein-Durrmeyer-Choquet este nelinear.

8CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
2) Pozitivitatea funct »iei fdin Teoremele 2.1.3 » si 2.1.4 este necesar¸ a din
cauza pozitiv omogeneitat »ii integralei Choquet, aplicata ^ ³n demonstrarea
relat »ie. Totu» si, dac¸ a feste de semn arbitrar pe Sd, atunci rezult· a imediat
ca enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4 au loc pentru operatorii Bernstein-
Durrmeyer-Choquet u» sor modi¯cat »i, de¯nit »i prin
M¤
n;¹(f)(x) =Mn;¹(f¡m)(x) +m;
unde m2Reste o margine inferioar¸ a pentru f, adic¸ a f(x)¸m, pentru
tot »ix2Sd.
2.2 Aproximare cu operatori integrali posi-
bilistici
Prin analogie cu schema general¸ a a lui Feller folosit¸ a ^ ³n construct »ia » sirurilor
de operatori liniari » si pozitivi, convergent »i la funct »ia aproximata, ^ ³n aceast¸ a
sect »iune vom introduce » si studia schema lui Feller bazata pe ^ ³nlocuirea inte-
gralei clasice, cu integrala posibilistic¸ a. ^In acest mod, se vor construi » siruri
de operatori neliniari, care converg la funct »ia aproximata. ^In particular, ^ ³n
cazul discret, se reobt »in a» sa numit »ii operatori de tip max-produs Bernstein
» si rezultatele lor calitative de convergent »a. De asemenea, operatori posi-
bilistici neliniari de tip Picard, Gauss-Weierstrass » si Poisson-Cauchy sunt
studiat »i iar cei de tipul de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jackson sunt mentionat »i
pentru direct »ii viitoare de cercetare.
2.2.1 Introducere
^In lucrarea foarte recent¸ a Gal [33], a» sa numit »ii operatori max-produs de tip
Bernstein, tip Favard-Sz¶ asz-Mirakjan, tip Baskakov, tip Bleimann-Butzer-

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 9
Hahn » si tip Meyer-KÄ onig-Zeller (ale c¸ aror propriet¸ ati cantitative de aprox-
imare au fost studiate intensiv ^ ³n multe lucr¸ ari, ca de exemplu, ^ ³n [8], [9],
[17]-[20], vezi » si bibliogra¯a din [33]), au fost ^ ³n mod natural interpretat »i
ca » si valori de expectant »a posibilistic¸ a ale unor variabile fuzzy particulare
discrete, av^ ³nd variate distribut »ii de posibilitate. Folosind idea lui Bernstein
din [14], (vezi de asemenea mult mai accesibila lucrare [53]), dar bazat »i pe
o inegalitate de tip Chebyshev din teoria posibilit¸ at »ii, aceste interpret¸ ari au
permis obt »inerea unor rezultate calitative de convergent »¸ a.
Este bine de ment »ionat aici c¸ ateoria posibilit¸ atii este o teoria matematic¸ a
bine dezvoltat¸ a, ocup^ ³ndu-se cu anumite tipuri de fenomene de incertitu-
dine, ¯ind considerat¸ a ca » si o alternativ¸ a la teoria probabilit¸ at »ilor (vezi, de
exemplu, [27], [22]).
Scopul principal al acestei sect »iuni este de a prezenta binecunoscuta
schema probabilistic¸ a a lui Feller , ^ ³n cadrul teoriei posibilitat »ii. ^In par-
ticular, aceast¸ a schem¸ a va permite nu doar o alta abordare a operatorilor
max-produs, dar » si introducerea a multor altor operatori posibilistici de
aproximare.
Mai ^ ³nt^ ³i, s¸ a reamintim c¸ a o schem¸ a clasic¸ a ^ ³n construirea de » siruri de
operatori liniari » si pozitivi, este schema probabilistic¸ a a lui Feller (vezi [29],
Capitolul 7, sau mai detailat, [3], sect »iunea 5.2, pp. 283-319).
Descris¸ a pe scurt, ea const¸ a^ ³n ata» sarea la o funct »ie continu¸ a » si marginit¸ a
f:R!R, a unor operatori de aproximare de forma
Ln(f)(x) =Z
­f±Z(n; x)dP=Z
RfdP Z(n;x);
unde Peste o m¸ asur¸ a de probabilitate pe spat »iul m¸ asurabil (­ ;C),Z:
N£I! M 2(­), cu Iun subinterval a lui R,M2(­) reprezint¸ a spat »iul
tuturor variabilelor aleatoare de patrat integrabile pe ­ ^ ³n raport cu Piar

10CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
PZ(n;x)denota distibutia variabilei aleatoare Z(n; x) ^ ³n raport cu Pde¯nita
prin PZ(n;x)(B) =P(Z¡1(n; x)(B)), pentru toate submult »imile lui R,B-
Borel m¸ asurabile. Apoi, not^ ³nd cu E(Z(n; x)) » si V ar(Z(n; x)) expectant »a
» si variant »a variabilei aleatoare Z(n; x), ^ ³n mod respectiv, » si presupun^ ³nd c¸ a
limn!1E(Z(n; x)) = x, lim n!1V ar(Z(n; x)) = 0, ^ ³n mod uniform pe I,
este demonstrat c¸ a pentru toate fca mai sus, Ln(f) converge la funiform
pe ¯ecare subinterval compact al lui I.
^In plus, dac¸ a pentru variabila aleatoare Z(n; x), densitatea ei de proba-
bilitate ¸n;xeste cunoscuta, atunci pentru orice fputem scrie
Z
RfdP Z(n;x)=Z
Rf(t)¢¸n;x(t)dP(t);
formula care este folositoare ^ ³n construirea de operatori concreti Ln(f)(x).
^In lucrarea foarte recenta Gal [34], schema lui Feller a fost generalizata
la cazul c^ ³nd integrala liniara clasica, este ^ ³nlocuita cu integrala neliniara
Choquet ^ ³n raport cu o funct »ie de mult »imi, monoton¸ a » si subaditiv¸ a.
Prin analogie cu considerat »iile de mai sus, ^ ³n subsect »iunea urm¸ atoare
vom considera o schem¸ a Feller bazata pe integrala posibilistic¸ a, pentru con-
struirea de » siruri convergente de operatori neliniari.
^In particular, ^ ³n cazul discret, se reobt »in a» sa numit »ii operatori de tip
max-produs Bernstein » si rezultatele lor calitative de convergent »a. De aseme-
nea, operatori posibilistici neliniari de tip Picard, Gauss-Weierstrass » si Pois-
son-Cauchy sunt studiat »i, iar cei de tipul de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jack-
son sunt mentionati pentru directii viitoare de cercetare.

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 11
2.2.2 Schema lui Feller^ ³n termenii integralei posibilis-
tice
Mai ^ ³ntii sumariz¸ am concepte binecunoscute pentru variabile fuzzy dis-
crete » si ne-discrete din teoria posibilit¸ at »ii, care ne vor ¯ utile ^ ³n celelalte
subsect »iuni ale acestei sect »iuni.
Dup¸ a cum se vede u» sor, aceste concepte sunt corespondente celor din
teoria probabilitat »ilor, precum variabila aleatoare, distribut »ie de probabili-
tate, valoare medie (expectant »a), probabilitate, etc. Pentru detalii, se pot
consulta, de exemplu, [27] » si [22].
De¯nit »ia 2.2.1. Fie ­ o mult »ime nevid¸ a, discret¸ a (adic¸ a cel mult
num¸ arabila) sau o mult »ime ne-discret¸ a.
(i) O variabil¸ a fuzzy Xeste o aplicat »ie X: ­!R. Dac¸ a ­ este o
mult »ime discret¸ a, atunci Xeste numit¸ a variabil¸ a fuzzy discret¸ a. Dac¸ a ­
este ¯nita atunci Xeste numit¸ a o variabil¸ a fuzzy ¯nita. Dac¸ a ­ este ne
discret¸ a, atunci Xeste numit¸ a variabil¸ a fuzzy ne-discret¸ a.
(ii) O distribut »ie posibilistic¸ a (pe ­), este o funct »ie ¸: ­![0;1], astfel
^ ³nc^ ³t sup f¸(s);s2­g= 1.
(iii) Expectant »a posibilistic¸ a a unei variabile fuzzy X(pe ­), cu distribu-
t »ia posibilistic¸ a ¸este de¯nit¸ a prin Msup(X) = sups2­X(s)¸(s). Variant »a
posibilistic¸ a a lui Xeste de¯nita prin
Vsup(X) = sup f(X(s)¡Msup(X))2¸(s);s2­g:
(iv) Dac¸ a ­ este o mult »ime nevid¸ a, atunci o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a este
o aplicat »ie P:P(­)![0;1], satisfac^ ³nd axiomele P(;) = 0, P(­) = 1 » si
P(S
i2IAi) = sup fP(Ai);i2Igpentru toate Ai2­, » si orice I, o familie
de indici cel mult num¸ arabila (dac¸ a ­ este ¯nita, atunci ^ ³n mod evident » si I
trebuie s¸ a ¯e ¯nita). Observ¸ am c¸ a dac¸ a A; B½­, satisface A½B, atunci

12CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
din ultima proprietate rezult¸ a u» sor c¸ a P(A)·P(B) » si c¸ a P(ASB)·
P(A) +P(B).
Este binecunoscut faptul (vezi, de exemplu, [27]) c¸ a orice distribut »ie
posibilistic¸ a ¸pe ­, induce o m¸ asur¸ a de posibilitate P¸:P(­)![0;1],
dat¸ a de formula P¸(A) = sup f¸(s);s2Ag, pentru toate A½­.
Pentru ¯ecare variabil¸ a fuzzy (posibilistic¸ a) X: ­!R, putem de¯ni
m¸ asura ei de distribut »ie ^ ³n raport cu m¸ asura de posibilitate Pindus¸ a de
distribut »ia posibilistic¸ a ¸, prin formula
PX:B !R+; PX(B) =P(X¡1(B)) =P(f!2­;X(!)2Bg); B2 B;
undeR+= [0;+1) iarBeste clasa tuturor submult »imilor lui Rcare sunt
Borel m¸ asurabile. Este clar c¸ a PXeste o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a pe B, indus¸ a
de catre distribut »ia posibilistic¸ a de¯nit¸ a de
¸¤
X:R![0;1]; ¸¤
X(t) = sup f¸(!);!2X¡1(t)g;ifX¡1(t)6=;;
¸¤
X(t) = 0 ;ifX¡1(t) =;:
(v) (vezi, de exemplu, [22]) Integrala posibilistic¸ a a lui f: ­!R+
peA½­, ^ ³n raport cu m¸ asura posibilistic¸ a P¸indus¸ a de catre distribut »ia
posibilistic¸ a ¸, este de¯nita prin
(Pos)Z
Af(t)dP¸(t) = sup ff(t)¢¸(t);t2Ag:
Este clar c¸ a aceast¸ a De¯nit »ie este un caz particular al integralei posibilistice
^ ³n raport cu o semi-norma t, introdus¸ a ^ ³n [22], lu^ ³nd acolo t(x; y) =x¢y.
De asemenea, not^ ³nd ¤ 1: ­![0;1], ¤ 1(x) = 1, pentru tot »i x2­, este
imediat c¸ a putem scrie
(Pos)Z
Af(t)dP¤1(t) = sup ff(t);t2Ag;

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 13
(Pos)Z
Af(t)dP¸(t) = (Pos)Z
Af(t)¢¸(t)dP¤1
» sidP¸(t) =¸(t)¢dP¤1(t).
Este de asemenea bine de mentionat c¸ a de¯nit »ia conceptului de mai sus
de integrala posibilistic¸ a, are un sens doar pentru funct »ii cu valori poz-
itive, deoarece, de exemplu, dac¸ a not¸ am R¡= (¡1;0], atunci pentru
price f: ­!R¡cuf(!0) = 0 pentru un anumit !02A½­, primim
(Pos)R
Af(t)dP¸(t) = 0.
^In cele ce urmeaz¸ a, de asemenea avem nevoie^ ³n cadrul teoriei posibilitat »ii
de o analoaga a inegalitat »ii lui Chebyshev din teoria probabilitat »ilor.
Teorema 2.2.2. (vezi [33]) Fie­o mult »ime nevid¸ a, ¸: ­![0;1]» si
consider¸ am X: ­!Rcu distribut »ia de posibilitate ¸. Atunci, pentru orice
r >0avem
P¸(fs2­;jX(s)¡Msup(X)j ¸rg)·Vsup(X)
r2;
unde P¸este m¸ asur¸ a de posibilitate indus¸ a de ¸.
Acest rezultat a fost demonstrat ^ ³n Teorema 2.2 din [33] pentru ­
mult »ime discret¸ a, dar analiz^ ³nd demonstrat »ia ei, este evident c¸ a ea ram^ ³ne
adevarata » si ^ ³n cazul ne-discret.
^In cazul particular c^ ³nd X: ­!R+, ^ ³n termenii integralei posibilistice,
inegalitatea lui Chebyshev poate ¯ scris¸ a ca si
P¸(fs2­;jX(s)¡(Pos)Z
­X(t)dP¸(t)j ¸rg)
·(Pos)R
­(X¡(Pos)R
­X(t)dP¸(t))2dP¸
r2:
^In cele ce urmeaz¸ a, prin analogie cu schema lui Feller din teoria probabi-
litat »ilor, care produce operatori liniari » si pozitivi cu propriet¸ at »i frumoase de
aproximare, vom considera o schem¸ a de aproximare analoaga, dar care va

14CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
produce operatori de aproximare neliniari, construiti cu ajutorul integralei
posibilistice.
^In acest scop, s¸ a notam cu V arb(­) clasa tuturor X: ­!Rmarginite
» si cu V arb
+(­) clasa tuturor X: ­!R+, marginite. De asemenea, pentru
I½Run interval (marginit sau nemarginit), s¸ a consider¸ am aplicat »ia Z
de¯nita peN£I!Yunde Y=V arb(­) sau Y=V arb
+(­), depinz^ ³nd de
context.
Observ¸ am c¸ a dac¸ a pentru orice ( n; x)2N£Iavem Z(n; x)2V arb
+(­),
atunci pentru conceptele de expectant »a posibilistic¸ a » si variant »a posibilistic¸ a
a lui Z(n; x) (de¯nite prin De¯nit »ia 2.2.1, (iii), de mai sus) putem scrie
formulele integrale
Msup(Z(n; x)) = ( Pos)Z
­Z(n; x)(t)dP¸(t) :=®n;x; (2.2)
Vsup(Z(n; x)) = ( Pos)Z
­(Z(n; x)(t)¡®n;x)2dP¸(t) :=¾2
n;x: (2.3)
Acum, potrivit schemei lui Feller, la f:R!R+s¸ a ata» sam un » sir de
operatori prin formula
Ln(f)(x) := ( Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t); n2N; x2I; (2.4)
unde PZ(n;x)este de¯nita ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv), adic¸ a ^ ³n raport cu
m¸ asura de posibilitate P¸indus¸ a de distribut »ia posibilistic¸ a ¸.
Mai ^ ³nt^ ³i, pentru operatorii dat »i de (2.4), are loc urm¸ atoarea formul¸ a de
reprezentare.
Lema 2.2.3. Cu notat »iile anterioare, dac¸ a Z:N£I!V arb(­)si, ^ ³n
plus, f:R!R+este marginit¸ a pe R, atunci are loc formula
Ln(f)(x) = (Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸; x2I(2.5)
» si ambele integrale sunt ¯nite.

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 15
Dac¸ a f:I!R+este marginit¸ a pe I, unde I½Reste un subinterval
» siP¸(f!2­;Z(n; x)(!)2Ig) = 1 , atunci avem
Ln(f)(x) = (Pos)Z
If(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸:
Observat »ie. ^In mod explicit, formula (2.5) poate ¯ scris¸ a ca
Ln(f)(x) = sup ff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg= supff[Z(n; x)(t)]¢¸(t);t2­g;
unde ¸¤
Z(n;x)(t) este de¯nita ^ ³n raport cu ¸, ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv).
Deoarece urm¸ atorul rezultat principal foloseste cantitatea ®n;xdat¸ a de
formula (2.2), ^ ³n mod necesar vom presupune ca Z(n; x)2V arb
+(­).
Are loc urm¸ atorul rezultat de tip Feller.
Teorema 2.2.4. FieI½Run subinterval, Z(n; x)2V arb
+(­)pentru
tot »i(n; x)2N£I» si s¸ a presupunem c¸ a f:R!R+este uniform continu¸ a » si
marginit¸ a peR. Cu notat »ile din formulele (2.2), (2.3) » si din enunt »ul Lemei
2.2.3, dac¸ a limn!+1®n;x=x» silimn!+1¾2
n;x= 0, uniform ^ ³n raport cu
x2I, atunci limn!1Ln(f)(x) =f(x), uniform ^ ³n raport cu x2I.
Observat »ii. 1) Analiz^ ³nd demonstrat »ia Teoremei 2.2.4, rezult¸ a u» sor c¸ a
fara nici o schimbare ^ ³n demonstrat »ia ei, constructia operatorilor Ln(f)(x)
poate ¯ u» sor generalizata consider^ ³nd c¸ a nu doar Zdepinde de n» six, dar
c¸ a » si ¸(» si ^ ³n consecint »¸ a » si P¸) pot depinde de n» six. Mai exact, putem
considera Ln(f)(x) de forma mai geerala
Ln(f)(x) := ( Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x; x2I;
unde P¸n;x:P(­)![0;1], (n; x)2N£I, este o familie de masuri posi-
bilistice induse de o familie de distribut »ii posibilistice ¸n;x, (n; x)2N£I.
Aceast¸ a Observat »ie este folositoare ^ ³n producerea de exemple concrete de
astfel de operatori.

16CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
De asemenea, este bine de notat aici c¸ a dac¸ a presupunem c¸ a P¸(f!2
­;Z(n; x)(!)2Ig= 1, atunci operatorii Lnpot ¯ ata» sat »i la funct »ii con-
tinue, m¸ arginite de¯nite pe subinterval I½R,f:I!R+, extinz^ ³nd f
la o funct »ie continu¸ a » si marginit¸ a, f¤:R!R+» si tin^ ³nd cont the relat »ia
evidenta
(Pos)Z
Rf¤dPZ(n;x)= (Pos)Z
IfdP Z(n;x):
2) Dac¸ a f:I!Rnu este neaparat pozitiva, dar este marginit¸ a, atunci
^ ³n mod evident c¸ a exist¸ a o constant¸ a c >0 astfel ^ ³nc^ ³t f(x) +c¸0, pentru
tot »ix2I» si ^ ³n acest caz, pentru n2N, putem ata» sa lui foperatorii de
aproximare
Ln(f)(x) = (Pos)Z
I(f(t) +c)dPZ(n;x)(t)¡c
= (Pos)Z
­(f+c)±Z(n; x)dP¸n;x¡c:
3) Ca » si cazuri particulare de operatori pentru care propriet¸ at »ile cal-
itative de aproximare pot ¯ deduse prin schema lui Feller din Teorema
2.2.4, sunt tot »i a» sa numit »ii operatori Bernstein de tip max-produs. Ast-
fel, de exemplu, dac¸ a luam ­ = f0;1; :::; ng,I= [0;1],Z(n; x)(k) =k
n,
f: [0;1]!R+,¸n;x(k) =pn;k(x)Wn
j=0pn;j(x), cu pn;k(x) =¡n
k¢
xk(1¡x)n¡k» si
Wn
j=0pn;j(x) = max j=f0;:::;ngfpn;j(x)g, atunci prin formula din Lema 2.2.3 » si
din de¯nit »ia integralei posibilistice, primim
Ln(f)(x) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x=nW
k=0pn;k(x)f¡k
n¢
nW
k=0pn;k(x);
care sunt exact operatorii Bernstein max-produs B(M)
n(f)(x). Propriet¸ at »ile
calitative de aproximare ale lui B(M)
n(f)(x) pot ¯ deduse acum din Teorema
2.2.4.

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 17
^In mod analog, dac¸ a, de exemplu, luam ­ = f0;1; :::; k; :::; gnum¸ arabil¸ a
» siP¸n;xm¸ asura posibilistic¸ a indus¸ a de distribut »ia posibilistic¸ a
¸n;x(k) =sn;k(x)W1
k=0sn;k(x); x2[0;+1); k2N[
f0g;
cusn;k(x) =(nx)k
k!» siW1
k=0sn;k(x) = max k=f0;1;:::;k;:::; gfsn;k(x)g, atunci for-
mula din Lema 2.2.3 ne da operatorii max-produs Favard-Sz¶ asz-Mirakjan.
^Intr-un mod similar, din Teorema 2.2.4 pot ¯ obt »inute propriet¸ at »i de
aproximare calitative » si pentru alti operatori de tip max-produs, precum
pentru cei de tip Baskakov, de tip Bleimann-Butzer-Hahn » si de tip Meyer-
KÄ onig-Zeller.
Este bine de mentionat aici c¸ a folosind alte metode (directe), pentru
acesti operatori s-au obt »inut estim¸ ari cantitative^ ³ntr-o serie lunga de lucrari,
vezi de exemplu, [8], [9], [17]-[20] » si bibliogra¯ile lor.
2.2.3 Aproximare cu operatori posibilistici de convo-
lut »ie
^In aceast¸ a subsect »iune, folosind schema lui Feller anterioara, introducem » si
studiem variante posibilistice ale operatorilor liniari clasici de convolutie ai
lui Picard, Gauss-Weierstrass » si Poisson-Cauchy, date ^ ³n mod formal prin
formulele
Pn(f)(x) =n
2Z
Rf(t)e¡njx¡tjdt; W n(f)(x) =pnp¼Z
Rf(t)e¡njt¡xj2dt;
Qn(f)(x) =n
¼Z
Rf(t)
n2(t¡x)2+ 1;
^ ³n mod respectiv, unde n2Nandx2R.

18CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Not^ ³nd ­ = f0;1; :::; k; :::; g» siZ(n; x) ca » si ^ ³n Observat »ia 3) anterioara
» si de¯nind ¸n;x(k) =e¡njx¡k=njW1
k=¡1e¡njx¡k=nj, prin formula din Lema 2.2.3
Ln(f)(x) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x;
obt »inem urm¸ atorii operatori posibilistici (max-produs !) discreti, ai lui Pi-
card
P(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢e¡njx¡k=nj
W+1
k=¡1e¡njx¡k=nj:
^In mod similar, pentru ¸n;x(k) =e¡n(x¡k=n)2
W1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2si
¸n;x(k) =1=(n2(x¡k=n)2+ 1)W1
k=01=(n2(x¡k=n)2+ 1);
obt »inem urm¸ atorii operatori posibilistici (max-produs !) discret »i
W(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2
W+1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2 ;- de tip Gauss-Weierstrass ;
Q(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢1
n2(x¡k=n)2+1W+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1;- de tip Poisson-Cauchy :
S¸ a not¸ am cu BUC +(R), spat »iul tuturor funct »iilor uniform continue, m¸ ar-
ginite » si cu valori pozitive. Convergent »a acestor operatori poate ¯ demon-
stratat¸ a folosind Teorema 2.2.4. Totu» si, putem obt »ine » si urm¸ atoarele es-
tim¸ ari cantitative, prin demonstrat »ie direct¸ a, dup¸ a cum urmeaz¸ a.
Teorema 2.2.5. Pentru orice f2BUC +(R)avem
jP(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=n)R:
De asemenea, putem considera trunchiat »ii operatorului P(M)
n.^In acest
sens, putem enunt »a urm¸ atorul.

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 19
Corolar 2.2.6. Fie(m(n))n2Nun » sir de numere naturale cu propri-
etatea ca limn!1m(n)
n= +1iar pentru f2BUC +(R)s¸ a de¯nim
T(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢e¡njx¡k=nj
W+m(n)
k=¡m(n)e¡njx¡k=nj:
Atunci, T(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe orice subinterval
compact de forma [¡A; A],A >0.
^In cele ce urmeaz¸ a, prezent¸ am rezultate similare pentru ceilalt »i operatori
posibilistici, W(M)
n(f)(x),Q(M)
n(f)(x) » si trunchiat »ii lor corespunzatori dat »i
de
S(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2
W+m(n)
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2
si
U(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢1
n2(x¡k=n)2+1W+m(n)
k=¡m(n)1
n2(x¡k=n)2+1:
Teorema 2.2.7. Pentru tot »i f2BUC +(R)avem
jW(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=pn)R:
Corolar 2.2.8. Fie(m(n))n2Nun » sir de numere naturale cu propri-
etatea c¸ a limn!1m(n)
n= +1. Atunci, pentru orice f2BUC +(R),S(M)
n(f)
converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe orice subinterval compact de
forma [¡A; A],A > 0(S(M)
n(f)este de¯nit chiar deasupra enunt »ului Teo-
remei 2.2.7).
Teorema 2.2.9. Pentru toate f2BUC +(R)avem
jQ(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=(2n))R:

20CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Corolar 2.2.10. Fie(m(n))n2Nun » sir de numere naturale cu propri-
etatea c¸ a limn!1m(n)
n= +1. Atunci, pentru orice f2BUC +(R),U(M)
n(f)
converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe orice subinterval compact de
forma [¡A; A],A >0(U(M)
n(f)este de¯nit tocmai deasupra enunt »ului Teo-
remei 2.2.7).
Observat »ii. 1) S¸ a not¸ am ca ^ ³n [28], Favard a introdus forma discret¸ a a
integralei singulare clasice a lui Gauss-Weierstrass, prin formula
Fn(f)(x) =1p¼n¢+1X
k=¡1f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2; n2N; x2R
» si a demonstrat c¸ a dac¸ a f:R!Reste continu¸ a pe R, cu cresterea expone-
tialajf(t)j ·MeAt2pentru tot »i t2R(aici M; A > 0), atunci Fn(f)(x)
converge la f(x) punctual pentru ¯ecare x2R» si uniform ^ ³n orice subin-
terval compact al lui R. Alte propriet¸ at »i de aproximare ale lui Fn(f)(x), ^ ³n
mod special, ^ ³n variate spat »ii ponderate, au fost studiate ^ ³n multe lucrari,
vezi, de exemplu, [1] » si biblioga¯a de acolo.
Exact ca » si pentru alt »i operatori max-produs studiat »i ^ ³n lucr¸ ari ante-
rioare (vezi, de exemplu, [17]-[20]), legat de contrapartea ei liniara, Fn(f)(x),
pentru operatorii max-produs W(M)
n(f)(x), poate ¯ demonstrat c¸ a ^ ³n anu-
mite subclase de funct »ii f, au propriet¸ at »i de aproximare global¸ a mai bune
» si prezinta rezultate de localizare mult mai puternice.
Mai precis, ei reprezint¸ a local, mult mai bine (probabil cel mai bine)
functia aproximata, ^ ³n sensul c¸ a dac¸ a f» sigcoincid pe un subinterval strict
inclus^ ³n I½R, atunci pentru orice subinterval I0strict inclus^ ³n I,W(M)
n(f)
» siW(M)
n(g) coincid ^ ³n I0pentru nsu¯cient de mare.
2) Folosind schema posibilistic¸ a Feller, putem introduce pentru studiu
variante posibilistice ale operatorilor liniari clasici, trigonometrici de con-
volutie, ai lui de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jackson, ^ ³n mod formal de¯nit »i

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 21
prin formulele
Vn(f)(x) =1
2¼Z¼
¡¼f(t)kn(x¡t)dt; F n(f)(x) =1
2¼Z¼
¡¼f(t)bn(x¡t)dt;
Jn(f)(x) =1
¼Z¼
¡¼f(t)cn(x¡t)dt;
^ ³n mod respectiv, unde feste 2 ¼-periodic,
kn(t) =(n!)2
(2n)!(2 cos( t=2))2n; bn(t) =1
nµsin(nt=2)
sin(t=2)¶2
» sicn(t) =3
2n(2n2+1)³
sin(nt=2)
sin(t=2)´4
.
Mai precis, not^ ³nd ­ = f¡n; :::;¡1;0;1; :::; ng» si de¯nind Zn;x(k) =k¼
n,
pentru f: [¡¼; ¼]!R» si¸n;x(k) =kn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nkn(x¡k¼=n ), prin formula din Lema
2.2.3 » si din de¯nit »ia integralei posibilistice, obt »inem operatorii posibilistici
ai lui de la Vall¶ ee-Poussin
V(M)
n(f)(x) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x=Wn
k=¡nf(k¼=n )kn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nkn(x¡k¼=n ):
^In mod similar, putem obt »ine operatorii posibilistici de tip Fej¶ er
F(M)
n(f)(x) =Wn
k=¡nf(k¼=n )bn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nbn(x¡k¼=n )
» si de tip Jackson
J(M)
n(f)(x) =Wn
k=¡nf(k¼=n )cn(x¡k¼=n )Wn
k=¡ncn(x¡k¼=n ):
Studierea acestor operatori ram^ ³ne ca » si o direct »ie de cercetare viitoare.

22CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI

Cap. 3
Aproximare cu un ordin
arbitrar prin operatori Sz¶ asz » si
Baskakov de variabil¸ a real¸ a
Fiind dat un » sir arbitrar ¸n>0,n2N, cu proprietatea c¸ a lim n!1¸n= 0
cit de rapid dorim, ^ ³n acest capitol construim operatori de tip Baskakov » si
Sz¶ asz, av^ ³nd ordinul de aproximare !1(f;¸n).
Construct »ia acestor operatori generalizat »i, se bazeaz¸ a pe urm¸ atoarea
idee simpl¸ a : ^ ³n formulele clasice ale operatorilor de tip Baskakov si de tip
Sz¶ asz, se ^ ³nlocuie» ste pest tot ncu1
¸n.
Spre exempli¯care, plec^ ³nd de la formula clasic¸ a a operatorilor Sz¶ asz
Sn(f)(x) =e¡nx1X
k=0(nx)k
k!f(k=n);
prin ^ ³nlocuirea lui ncu1
¸nobt »inem operatorul Sz¶ asz generalizat
Sn(f;¸n)(x) =e¡x=¸n1X
k=01
k!µx
¸n¶k
¢f(k¸n);
23

24CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
iar plec^ ³nd de la formula clasic¸ a a operatorului Baskakov
Vn(f)(x) = (1 + x)¡n1X
j=0µn+j¡1
j¶µx
1 +x¶j
¢fµj
n¶
= (1 + x)¡n1X
j=0(n+j¡1)!
(n¡1)!j!µx
1 +x¶j
¢fµj
n¶
= (1 + x)¡n1X
j=01
j!¢n(n+ 1)¢:::¢(n+j¡1)µx
1 +x¶j
¢fµj
n¶
;
prin ^ ³nlocuirea lui ncu1
¸nobt »inem operatorul Baskakov generalizat
Vn(f;¸n)(x)
= (1 + x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢µx
1 +x¶j
f(j¸n):
3.1 Operatori reali Baskakov generalizat »i
Fiind dat un » sir arbitrar ¸n>0,n2N, cu proprietatea c¸ a lim n!1¸n= 0 cit
de rapid dorim, ^ ³n aceast¸ a sect »iune introducem » si studiem operatori de tip
Baskakov, astfel^ ³nc^ ³t pe ¯ecare subinterval compact din [0 ;+1), s¸ a obt »inem
ordinul de aproximare uniform¸ a !1(f;p¸n). Ace» sti operatori modi¯cat »i,
pot aproxima o funct »ie 1-Lipschitz 1 pe ¯ecare subinterval compact din
[0;+1), cu ordinul de aproximare arbitrar de bun,p¸n. De asemenea,
considerat »ii similare facem pentru operatori modi¯cat »i qn-Baskakov, cu 0 <
qn<1, lim n!1qn= 1.
3.1.1 Introducere
Fie (¸n)nun » sir de numere reale pozitive cu proprietatea c¸ a lim n!1¸n= 0.

3.1. OPERATORI REALI BASKAKOV GENERALIZAT »I 25
^In lucrarea [15], Cetin » si Ispir au introdus o remarcabila generalizare
a operatorilor Sz¶ asz-Mirakjan ata» sat »i unei funct »ii analitice f, de crestere
exponentiala ^ ³ntr-un disc compact,
Sn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
k=01
k!µz
¸n¶k
¢f(k¸n);
care aproximeaza f^ ³n orice disc compact jzj ·r,r < R , cu ordinul de
aproximare ¸n.
Implic^ ³nd ^ ³n construirea lor » si polinoamele Faber, ace» sti operatori » si or-
dinul lor de aproximare au fost extinse^ ³n Gal [37], pentru a aproxima funct »ii
analitice ^ ³n submult »imi compacte ale planului complex. Apoi, ^ ³n Gal [32],
Sn(f;¸n)(x) a fost puternic generalizat pe axa reala prin intermediul poli-
noamelor She®er, demonstr^ ³nd pentru ele ordinul de aproximare !1(f;p¸n).
Marele avantaj al tuturor acestor constructii este c¸ a » sirul ¸n,n2N, poate
¯, ^ ³n mod evident, ales s¸ a convearga la zero, cu un ordin arbitrar de mic.
Observ¸ am c¸ a de fapt, toate rezultatele mentionate mai sus au fost obt »inute
pentru ¸nscris ^ ³n forma mai complicata (dar ne-necesara) ¸n=¯n
®n.
^In primul r^ ³nd, vom introduce » si studia operatorii liniari modi¯cat »i/gene-
ralizat »i de tip Baskakov de¯nit »i prin
Ln(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡1)j'(j)(¸n;x)xj
j!f(j¸n); (3.1)
pentru funct »ii f: [0; b)!R(aicibpoate ¯ » si + 1) astel c¸ a seria de mai sus
converge (de exemplu, dac¸ a feste marginit¸ a » si uniform continu¸ a pe [0 ; b)),
unde » sirul de funct »ii analitice 'n: [0; b)!R,n2N, satisface ipotezele :
(i)'(¸n; 0) = 1; (ii) ( ¡1)j'(j)(¸n;x)¸0, pentru tot »i n; j2N,x2[0; b].
Este bine de observat c¸ a pentru cazul particular ¸n=1
n» si sub ipoteza
aditionala

26CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
(iii) exist¸ a un » sir m(n),n2Ncu lim n!1n
m(n)= 1 si '(k)
n(¸n;x) =
¡n'(k¡1)
n(¸n;x), pentru tot »i x2[0; b),n2N,k2N, operatorii din (3.1)
au fost introdu» si » si studiat »i ^ ³n Baskakov [7].
Aleg^ ³nd '(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n^ ³n (3.1), din cauza formulei
'(j)(¸n;x) = (¡1)j1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢(1 +x)¡j¡1=¸n;(3.2)
obt »inem imediat operatorii Baskakov modi¯cat »i de¯nit »i prin
Vn(f;¸n)(x)
= (1 + x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢µx
1 +x¶j
f(j¸n);
(3.3)
x¸0, unde prin convent »ie1
¸n³
1 +1
¸n´
¢:::¢³
j¡1 +1
¸n´
= 1 pentru j= 0.
Pentru acesti operatori Vn(f;¸n)(x) din (3.3),^ ³n Subsect »iunea urm¸ atoare
demonstr¸ am c¸ a^ ³n ¯ecare subinterval compact din [0 ;+1), ordinul de aprox-
imare uniform obt »inut este !1(f;p¸n), » si ^ ³n consecint »a, aproximeaz¸ a uni-
form o funct »ie 1-Lipschitz, pe ¯ecare subinterval compact din [0 ;1), cu
ordinul de aproximare arbitrar de bunp¸n. Cu alte cuvinte, din punct de
vedere al teoriei aproximarii, acesti operatori Baskakov modi¯cat »i reprezint¸ a
cea mai buna constructie. ^In acela» si timp, rezultatele obt »inute au » si un put-
ernic caracter uni¯cator, ^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele
obt »inute anterior de numero» si alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale
nodurilor ¸n. Este de asemenea de remarcat, c¸ a modi¯c^ ³nd un tip de op-
erator Baskakov introdus ^ ³n Lopez-Moreno [55], considerat »ii similare pot ¯
facute pentru operatorul de¯nit prin formula
Ln;r(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡1)rf(j¸n)¢'(j+r)(¸n;x)¢(¡x)j
j!¢(¸n)r; r; n2N:
(3.4)

3.1. OPERATORI REALI BASKAKOV GENERALIZAT »I 27
Apoi, ^ ³n subsect »iunea urm¸ atoare facem considerat »ii similare pentru op-
eratorii modi¯cat »i q-Baskakov, 0 < q < 1.
3.1.2 Rezultate principale
Mai ^ ³ntii, avem nevoie de urm¸ atoarele rezultate auxiliare.
Lema 3.1.1. Fie¸n>0,n2N, culimn!1¸n= 0.
(i) Dac¸ a Ln(f;¸n)(x)dat de (3.1) este bine de¯nit¸ a, atunci se poate
scrie
Ln(f;¸n)(x) =1X
j=0(¸n)j¢(¡1)j¢'(j)(¸n; 0)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f]¢xj; x2[0; b];
unde [0; ¸n; :::; j¸ n;f]este diferenta » divizat¸ a a lui fpe nodurile 0; ¸n; :::; j¸ n.
(ii) Not^ ³nd ek(x) =xk, avem
Ln(e0;¸n)(x) = 1 ; Ln(e1;¸n)(x) =¡x¸n'0(¸n; 0);
Ln(e2;¸n)(x) = (¸n)2¢[x2'00(¸n; 0)¡x'0(¸n; 0)]:
Observat »ie. ^In cazul c^ ³nd ¸n=1
n, formula din Lema 3.1.1, (i) a fost
obt »inuta de catre Lupas [56].
Corolar 3.1.2. (i) Dac¸ a, prin convent »ie, (1 +¸n):::(1 + ( j¡1)¸n) =
1pentru j= 0, atunci pentru Vn(f;¸n)(x)dat de (3.3), avem
Vn(f;¸n)(x) =1X
j=0(1 +¸n):::(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f]xj; x¸0:
(ii)Vn(e0;¸n)(x) = 1 ,Vn(e1;¸n)(x) =x,Vn(e2;¸n)(x) =x2+¸n¢x(1+x)
;
Vn((¢ ¡x)2;¸n)(x) =¸nx(1 +x):

28CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
Deoarece Vn(f;¸n),n2N, sunt operatori liniari » si pozitivi, putem
enunt »a urm¸ atorul rezultat.
Teorema 3.1.3. Fief: [0;1)!Runiform continu¸ a pe [0;1). Notam
!1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;jx¡yj ·±; x; y 2[0;1)g. Pentru tot »i x2
[0;1),n2Navem
jVn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2¢!1³
f;p
¸n¢p
x(1 +x)´
:
Ca » si o consecint »a imediata a Teoremei 3.1.3, primim urm¸ atorul rezultat.
Corolar 3.1.4. Dac¸ a exist¸ a L >0astfel ^ ³nc^ ³t jf(x)¡f(y)j ·Ljx¡yj,
pentru tot »i x; y2[0;1), atunci
jVn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2Lp
x(1 +x)¢p
¸n; n2N; x¸0:
Observat »ii. 1) Dac¸ a xapart »ine la un subinterval compact al lui [0 ;+1),
atunci evident c¸ a primim convergent »a uniform¸ a ^ ³n acel subinterval.
2) Optimalitatea estim¸ arilor din Teorema 3.1.3 » si Corolarul 3.1.4 consist¸ a
^ ³n faptul c¸ a ¯ind dat un » sir arbitrar de numere strict pozitive ( °n)n, cu
limn!1°n= 0 » si un subinterval compact al lui [0 ; b], putem gasi un » sir ¸n,
satisfac^ ³nd 2 !1(f;p¸n¢p
x(1 +x))·°npentru tot »i n2N,x2[0; b] ^ ³n
cazul Teoremei 3.1.3 » si 2 Lp¸n¢p
x(1 +x)·°npentru tot »i n2N,x2[0; b]
^ ³n cazul Corolarului 3.1.4.
3) Dac¸ a feste uniform continu¸ a pe [0 ;+1), atunci este binecunoscut
faptul ca cresterea ei pe [0 ;+1) este liniara, adic¸ a exist¸ a ®; ¯ > 0 astfel
^ ³nc^ ³tjf(x)j ·®x+¯, pentru tot »i x2[0;+1) (vezi, de exemplu, [25], p. 48,
Problµ eme 4, sau [26]). Aceasta implic¸ a faptul c¸ a ^ ³n acest caz, Vn(f;¸n)(x)
este bine de¯nita pentru tot »i x2[0;1).

3.1. OPERATORI REALI BASKAKOV GENERALIZAT »I 29
4) Dac¸ a ^ ³n Lema 3.1.1, Corolarul 3.1.2, Teorema 3.1.3 » si Corolarul 3.1.4
consider¸ am '(¸n;x) =e¡x=¸n, atunci pentru x¸0,Ln(f;¸n)(x),x¸0
devine un caz particular al operatorilor Sz¶ asz-Mirakjan modi¯cat »i studiat »i
^ ³n [32], ^ ³n timp ce pentru z2C, devine operatorul Sn(f;¸n)(z) studiat ^ ³n
[15].
5)^In lucrarea [55], au fost studiat »i operatorii Baskakov de forma
Ln;r(f)(x) =1X
j=0(¡1)rfµj
n¶
¢'(j+r)
n(x)¢(¡x)j
j!¢µ1
n¶r
; r; n2N;
obt »in^ ³nd, de exemplu dac¸ a 'n(x) = (1 + x)¡n, estim¸ arile cantitative de or-
dinul ­( f;n¡1=2)+C
n, unde ­( f;±) este un modul de continuitate ponderat.
Urm^ ³nd liniile demonstrat »iilor din [55], aleg^ ³nd '(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n^ ³n
operatorul Baskakov modi¯cat Ln;r(f;¸n)(x) dat de formula (3.4), se obt »ine
ordinul de aproximare ­¡
f;p¸n¢
+C¸n, unde ¸npoate ¯ ales s¸ a convearga
la zero cit de rapid dorim.
3.1.3 Cazul operatorilor q-Baskakov, 0< q < 1
Mai ^ ³ntii, avem nevoie de urm¸ atoarele concepte din "quantum calculus"
(vezi, de exemplu, e.g. [52], pp. 7-13).
Pentru 0 < q,q6= 1, » si a2R,q-analogul lui aeste de¯nit prin [ a]q=
1¡qa
1¡q. Pentru n2N[f0g, primim [ n]q= 1+ q+:::+qn¡1,n2N, [0] q= 1. q-
factorialul este de¯nit prin [ n]q! = [1] q¢[2]q¢:::¢[n]q» si coe¯cientul q-binomial
este dat de¡n
k¢
q=[n]q!
[k]q!¢[n¡k]q!,k= 0;1; :::n.
Observ¸ am c¸ a pentru q= 1 primim [ n]q=n» si ^ ³n consecint »¸ a, [ n]q! =n!
» si¡n
k¢
q=¡n
k¢
.
q-derivativa unei funct »ii f:R!Reste de¯nit¸ a prin Dq(f)(x) =
f(x)¡f(qx)
x(1¡q); x6= 0,Dq(f)(0) = lim x!0Dq(f)(x), » siq-derivatele de ordin supe-
rior sunt date recursiv prin D0
q(f) =f,Dn
q(f) =Dq(Dn¡1
q(f)),n2N.

30CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
Peste tot ^ ³n aceast¸ a sect »iune, consider¸ am 0 < q < 1.
^In, de exemplu, lucr¸ arile [2], [62], [4]{[6], [51], [30], au fost studiate
diverse tipuri de operatori q-Baskakov.
Urm^ ³nd ideile anterioare » si sugerat de operatorii q-Baskakov introdu» si » si
studiat »i ^ ³n [62] » si [2], introducem ^ ³n cele ce urmeaz¸ a un operator q-Baskakov
modi¯cat, astfel.
Fie¸n>0,n2Ncu lim n!11
¸n= +1. Este clar c¸ a fara a pierde din
generalitate, putem presupune c¸ a1
¸n¸1,n2N. Pentru '(¸n;¢) : [0;1)!
R,n2N, un » sir de funct »ii analitice satisfac^ ³nd ipotezele (i) '(¸n; 0) = 1;
(ii) (¡1)j'(j)(¸n;x)¸0, pentru tot »i n; j2N,x2[0;1), s¸ a introducem
operatorii q-Baskakov dat »i prin
Tn;q(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡x)j
[j]q!¢q(k(k¡1)=2Dk
q'(¸n;x)fµ[j]q
qk¡1¢1
[1=¸n]q¶
;(3.5)
ata» sat »i funct »iilor pentru care Tn;q(f;¸n)(x) este bine de¯nit.
Observ¸ am c¸ a pentru 1 =¸n=n, reobt »inem operatorii q-Baskakov din
[62], [2].
Urm^ ³nd exact liniile din demonstrat »ia Lemei 1 din [62] » si de asemenea
folosind relat »iile (21) » si (22) din [2], obt »inem imediat urm¸ atoarea.
Lema 3.1.5. Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Nculimn!11
¸n= +1. Pentru
tot »in2N; x¸0» si0< q < 1, avem :
(i)Tn;q(e0;¸n)(x) = 1 ;Tn;q(e1;¸n)(x) =¡x¢Dq('(¸n;¢))(0)¢1
[1=¸n]q;
(ii)Tn;q(e2;¸n)(x) =x2¢D2
q('(¸n;¢))(0)¢1
q¢[1=¸n]2q¡x¢Dq('(¸n;¢))(0)¢
1
[1=¸n]2q;
(iii)Tn;q((¢ ¡x)2;¸n)(x) =An;qx2+Bn;qx, unde
An;q= 1 + D2
q('(¸n;¢))(0)¢1
q¢[1=¸n]2
q+ 2¢Dq('(¸n;¢))(0)¢1
[1=¸n]q

3.1. OPERATORI REALI BASKAKOV GENERALIZAT »I 31
si
Bn;q=¡Dq'(¸n; 0)
[1=¸n]2
q:
Not^ ³nd cu CB(R+) spat »iul tuturor funct »iilor reale marginite » si continue pe
[0;1) » si urm^ ³nd exact liniile de demonstrat »ie a Teoremei 2 din [2], putem
enunt »a urm¸ atoarea.
Teorema 3.1.6. Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Nculimn!11
¸n= +1» si ¯e
(qn)n2Nun » sir astfel ^ ³nc^ ³t 0< qn<1pentru tot »i n2N» silimn!1qn= 1.
Atunci, pentru f2CB(R+)uniform continu¸ a, operatorii qndat »i de formula
(3.5), satisfac
jTn;qn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1 +p
maxfx; x2g)¢!1(f;p
Cn;qn); n2N; x¸0;
unde Cn;qn=jAn;qnj+Bn;qn,(An;qn)n;(Bn;qn)nsunt date de Lema 3.1.5, (iii)
» si!1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1);jx¡yj ·±g.
Drept consecint »e ale Teoremei 3.1.6, primim urm¸ atoarele dou¸ a corolare.
Corolar 3.1.7. Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Nculimn!11
¸n= +1» si
(qn)n2Nun » sir astfel ^ ³nc^ ³t 0< qn<1pentru tot »i n2Nandlimn!1qn= 1.
Atunci, pentru f2CB(R+)uniform continu¸ a, operatorii dat »i de
Tn;qn(f;¸n)(x) =1
(1 +x)1=¸n
¢1X
j=0[1=¸n]qn¢[1=¸n+ 1] qn¢:::¢[1=¸n+j¡1]qn
[j]qn!¢qj(j¡1)=2
¢xj
(1 +x)j¢fµ[j]qn
qj¡1
n¢1
[1=¸n]qn¶
; (3.6)
satisfac estimarea
jTn;qn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1+p
maxfx; x2g)¢!1Ã
f;r1 +qn
qn¢1p
[1=¸n]qn!
;
n2N; x¸0:

32CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
Corolar 3.1.8. Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Nculimn!11
¸n= +1» si
(qn)n2Nun » sir astfel ^ ³nc^ ³t 0< qn<1pentru tot »i n2N» silimn!1qn= 1.
Atunci, pentru f2CB(R+)uniform continu¸ a, operatorii dat »i de
Sn;qn(f;¸n)(x)
=1X
j=0([1=¸n]qnx)j
[j]qn!¢qj(j¡1)
n¢Eqn(¡[1=¸n]qnqj
nx)¢fµ[j]qn
qj¡1
n¢1
[1=¸n]qn¶
;(3.7)
satisfac estimarea
jSn;qn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1 +p
maxfx; x2g)¢!1Ã
f;1p
[1=¸n]qn!
;
n2N; x¸0:
Observat »ii. 1) Corolarul 3.1.8 este o generalizare a rezultatului din
[32], la cazul operatorilor q-Sz¶ asz-Mirakjan, cu 0 < q·1.
2) Ordinul de aproximare pentru operatorii qn-Baskakov din Corolarul
3.1.7 » si pentru operatorii qn-Sz¶ asz-Mirakjan din Corolarul 3.1.8 este
O(1=q
[1=¸n]qn):
Pe de alta parte, pentru qn= 1, pentru tot »i n2N, ordinul de aproximare
esteO(1=p
1=¸n) =O(p¸n) (vezi Teorema 3.1.3 din cazul operatorilor tip
Baskakov » si [32] ^ ³n cazul operatorilor Sz¶ asz-Mirakjan).
Totu» si, pentru 0 < q n<1 pentru tot »i n2N, este u» sor de v¸ azut c¸ a
p¸n·p
2p
[1=¸n]qn, deoarece [1 =¸n]qn·2=¸n.
^Intr-adevar, not^ ³nd cu [ a]¤partea^ ³ntreag¸ a a lui a, avem 1 =¸n·[1=¸n]¤+
1, ceea ce prin 0 < qn<1 implic¸ a q[1=¸n]¤+1
n ·q1=¸nn, conduc^ ³nd la [1 =¸n]qn·
[[1=¸n]¤+ 1] qn·[1=¸n]¤+ 1·2=¸n.
Pe de alta parte, din [24], Lema 3.4, n·C0[n]qn, pentru tot »i n2N(cu
C0>0 independenta de n), dac¸ a » si numai dac¸ a exist¸ a o constant¸ a c >0 » si

3.2. OPERATORI REALI SZ ¶ASZ-STANCU GENERALIZAT »I 33
n02N(independent¸ a de n) astfel ^ ³nc^ ³t qn
n¸c, pentru tot »i n¸n0. Deci,
^ ³n acest caz, obt »inem
1=¸n·[1=¸n]¤+ 1·C0[[1=¸n]¤+ 1] qn
·C0[2[1=¸n]¤]qn·2C0[[1=¸n]¤]qn·2C0[1=¸n]qn:
^In concluzie, dac¸ a ^ ³n Corolariile 3.1.7 » si 3.1.8, qneste ales s¸ a satisfac¸ a qn
n¸
c, pentru tot »i n¸n0, 0< q n<1,n2N, » si lim n!1qn= 1, atunci
ordinele de aproximare pentru operatorii qn-Baskakov » si qn-Sz¶ asz-Mirakjan
corespunzatori, sunt !1¡
f;p¸n¢
, care pot ¯ alese s¸ a convearg¸ a la zero cit
de rapid dorim.
3.2 Operatori reali Sz¶ asz-Stancu generalizat »i
3.3 Operatori reali Baskakov-Stancu generalizat »i

34CAP. 3. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV

Cap. 4
Aproximarea cu un ordin
arbitrar prin operatori de tip
Sz¶ asz » si Baskakov de variabil¸ a
complex¸ a
^In acest capitol, se reiau ideile din capitolul precedent » si se transpun la cazul
aproximarii funct »iilor analitice, prin operatori complec» si Sz¶ asz » si Baskakov,
^ ³n mult »imi compacte din C. Studiem dou¸ a cazuri : (i) aproximare ^ ³n discuri
compacte cu centrul ^ ³n origine ; (ii) aproximare ^ ³n mult »imi compacte arbi-
trare, prin folosirea polinoamelor Faber ata» sate acestor mult »imi compacte.
4.1 Ordin arbitrar ^ ³n discuri compacte
Fie deci ¸n>0,n2N, un » sir cu proprietatea c¸ a ¸n!0 cit de rapid dorim.
Pentru citiva operatori complecsi generalizat »i de tip Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kan-
torovich, » si Baskakov, ata» sat »i funct »iilor ^ ³ntregi sau funct »iilor analitice de
35

36 CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV COMPLECS »I
crestere exponentiala ^ ³n discuri compacte ( » si fara a mai implica » si valorile
funct »iei fpe [0;+1), obt »inem ordinul de aproximare O(¸n) .
4.1.1 Introducere
^In lucrarea [15], cu notat »iile de acolo pentru dou¸ a » siruri anandbn,n2N
(si not^ ³nd aici ¸n=bn
an) autorii au introdus operatorul complex generalizat
de tip Sz¶ asz, prin formula
Sn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢f(j¸n); (4.1)
unde ¸n>0,¸n!0.
Pentru acest operator, ata» sat funct »iilor f:DRS[R;+1)!Cde
crestere exponentiala^ ³n DRS[R;+1), analitic¸ a^ ³n discul DR=fz2C;jzj<
Rg,R > 1 » si continu¸ a pe [0 ;+1), ^ ³n [15] a fost obt »inut ordinul exact de
aproximare O(¸n). De asemenea, ^ ³n aceeasi lucrare a fost obt »inut un rezul-
tat de tip Voronovskaja, cu o estimare superioara de ordinul O(¸2
n).
Primul scop al acestei sect »iuni este de a extinde rezultatele din [15] la
cazul funct »iilor ^ ³ntregi » si apoi, la un tip de operator Sz¶ asz, care nu implic¸ a
valorile lui fpe [0 ;+1). De asemenea, se introduce un operator de tip
Sz¶ asz-Kantorovich, pentru care se obt »in rezultate similare, imbunatat »ind
atfel ^ ³n mod esential ordinul de aproximare O(1=n) obt »inut ^ ³n [60].
^In al doilea r^ ³nd, ^ ³n aceast¸ a sect »iune introducem operatori complecsi
Baskakov generalizat »i, pentru care se obt »in rezultate similare cu cele pentru
operatorii de tip Sz¶ asz.

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 37
4.1.2 Operatori complec» si Sz¶ asz » si Sz¶ asz-Kantorovich
^In cazul operatorului complex de tip Sz¶ asz, putem demonstra urm¸ atorul
rezultat.
Teorema 4.1.1. Fie¸n>0,n2Ncu¸n!0cit de rapid dorim. Fie
f:DR!C,1< R·+1, adic¸ a f(z) =P1
k=0ckzk, pentru tot »i z2DR.
Presupunem c¸ a exist¸ a M > 0» siA2(1=R;1), cu proprietatea jckj ·MAk
k!,
pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·MeAjzjpentru tot »i z2DR).
Consider¸ am 1·r <1
A.
(i) Dac¸ a R= +1, (1=R= 0), adic¸ a feste o funct »ie ^ ³ntreaga, atunci
Sn(f;¸n)(z)este funct »ie ^ ³ntreaga, pentru tot »i z2C,n2Navem
Sn(f;¸n)(z) =1X
k=0ckSn(ek;¸n)(z)
» si pentru tot »i jzj ·rurm¸ atoarele estim¸ ari au loc :
jSn(f;¸n)(z)¡f(z)j ·Cr;M;A¢¸n;
jS(p)
n(f;¸n)(z)¡f(p)(z)j ·p!r1¢Cr1;M;A
(r1¡r¢¸n;
¯¯¯¯Sn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2zf00(z)¯¯¯¯·Mr(f)(z)¢¸2
n·Cr(f)¢¸2
n;
kS(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr»¸n;
ultima echivalenta av^ ³nd loc dac¸ a fnu este un polinom de gradul ·p2N
iar constantele din echivalenta depind de f,r,p.
Mai sus avem, Cr;M;A =M
2rP1
k=2(k+1)(rA)k<1,p2N,1·r < r 1<
1
A,Mr(f)(z) =3MAjzj
r2¢P1
k=2(k+ 1)( rA)k¡1<1,Cr(f) =3MA
r¢P1
k=2(k+
1)(rA)k¡1» sikfkr= max fjf(z)j;jzj ·rg.
(ii) Dac¸ a R <+1, atunci operatorul de aproximare complex
S¤
n(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢Sn(ek;¸n)(z); z2Dr;

38 CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV COMPLECS »I
este bine de¯nit » si S¤
n(f;¸n)(z)satisface toate estim¸ arile de la punctul (i),
pentru tot »i 1·r <1
A< R.
^In cele ce urmeaz¸ a, putem de¯ni operatorul complex, generalizat Sz¶ asz-
Kantorovich prin formula
Kn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢1
¸n¢Z(j+1)¸n
j¸nf(v)dv
=e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢Z1
0f((t+j)¸n)dt:
Not^ ³nd F(z) =Rz
0f(t)dt, un calcul simplu ne conduce la formula (sub
ipoteza c¸ a seria Sn(F;¸n)(z) este uniform convergent¸ a)
Kn(f;¸n)(z) =S0
n(F;¸n)(z): (4.2)
Putem demonstra urm¸ atoarele rezultate.
Teorema 4.1.2. Fie¸n>0,n2Ncu¸n!0oricit de rapid dorim.
Fief:DR!C,1< R·+1, adic¸ a f(z) =P1
k=0ckzk, pentru tot »i
z2DR. Presupunem c¸ a exist¸ a M > 0» siA2(1=R;1), cu proprietatea
jckj ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·MeAjzjpentru
tot »iz2DR). De asemenea, consider¸ am 1·r <1=A.
(i) Dac¸ a R= +1, (1=R= 0), adic¸ a feste o funct »ie ^ ³ntreag¸ a, atunci
Kn(f;¸n)(z)este funct »ie ^ ³ntreag¸ a, pentru tot »i z2C,n2Navem
Kn(f;¸n)(z) =1X
k=0ckKn(ek;¸n)(z)
» si pentru tot »i jzj ·r, au loc urm¸ atoarele estim¸ ari :
¯¯¯¯Kn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2[f0(z) +zf00(z)]¯¯¯¯·C0
r(f)¢¸2
n;
kK(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr»¸n;

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 39
ultima echivalent »a av^ ³nd loc dac¸ a fnu este un polinom de gradul ·p» si
constantele din echivalent »a depind de f,r,p.
Mai sus, avem p2NSf0g,C0
r(f)<1este o constant¸ a independent¸ a
den» siziarkfkr= max fjf(z)j;jzj ·rg.
(ii) Dac¸ a R <+1, atunci operatorul complex de aproximare
K¤
n(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢Kn(ek;¸n)(z); z2Dr;
este bine de¯nit » si K¤
n(f;¸n)(z)satisface toate estim¸ arile de la punctul (i),
pentru tot »i 1·r <1
A< R.
Observat »ii. 1) Este bine de ment »ionat c¸ a ^ ³n cazul variabilei reale,
operatorii Sz¶ asz generalizat »i de¯nit »i prin formula (4.1), au fost considerat »i^ ³n
[39], unde, not^ ³ndbn
an:=¸n, a fost obt »inut ordinul de aproximare !1(f;p¸n),
cu!1not^ ³nd modulul de continuitate a lui fpe [0 ;+1).^In concluzie,
rezultatele din cazul real din [39] » si cele din cazul complex Teoremele 4.1.1 » si
4.1.2, par s¸ a ¯e de tip de¯nitiv, ^ ³n sensul c¸ a permit construirea de operatori
care pot aproxima funct »iile cu un ordin arbitrar, ales dinainte.
2) Prima estimare din enunt »ul Teoremei 4.1.1, (i), a fost extins¸ a (cu o
constant¸ a diferit¸ a desigur) ^ ³n [37] la aproximarea cu operatori generalizat »i
Sz¶ asz-Faber, ^ ³n mult »imi compacte din C.
4.1.3 Operatori complec» si Baskakov generalizat »i
Pentru xreal » si ¸0, formula original¸ a a operatorului clasic al lui Baskakov,
este dat¸ a de (vezi [7])
Zn(f)(x) = (1 + x)¡n1X
k=0µn+k¡1
k¶µx
1 +x¶k
f(k=n):
Multe rezultate de aproximare ale acestui operator clasic au fost publicate
dea lungul timpului.

40 CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV COMPLECS »I
Potrivit Teoremei 2 din [56], sub acelea» si ipoteze ale lui fpotrivit c¸ arora
Zn(f)(x) este bine de¯nit » si not^ ³nd cu [0 ;1=n; :::; j=n ;f] diferent »a divizat¸ a a
luifpe nodurile 0, …, j=n, pentru x¸0 putem scrie Zn(f)(x) =Wn(f)(x),
x¸0, unde
Wn(f)(x) :=1X
j=0µ
1 +1
n¶
¢:::¢µ
1 +j¡1
n¶
¢[0;1=n; :::; j=n ;f]xj; x¸0;
(4.3)
(aici pentru j= 0 » si j= 1 luam (1 + 1 =n)¢:::¢(1 + ( j¡1)=n) = 1).
Pentru ¸n&0, arbitrar, din formula (1) din lucrarea [45] (particu-
lariz^ ³nd acolo 'n(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n),Zn(f)(x) poate ¯ generalizat prin
formula
Zn(f;¸n)(x)
= (1+ x)¡1=¸n¢1X
j=01
j!¢1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢µx
1 +x¶j
f(j¸n);
x¸0;unde prin convent »ie avem1
¸n³
1 +1
¸n´
¢:::¢³
j¡1 +1
¸n´
= 1 pentru
j= 0.
Pentru aceast¸ a generalizare, ^ ³n [45] s-a obt »inut ordinul de aproximare
!1(f;p¸n¢p
x(1 +x)).
^In mod corespunz¸ ator, Wn(f)(x) dat de formula (4.3), poate ¯ general-
izat prin formula
Wn(f;¸n)(x) =1X
j=0(1 +¸n):::(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f]xj; x¸0;
unde prin convent »ie, (1 + ¸n):::(1 + ( j¡1)¸n) = 1 pentru j= 0.
Este clar c¸ a Zn(f;¸n)(x) =Wn(f;¸n)(x) for all x¸0, dar dup¸ a cum
a fost observat ^ ³n [35], p. 124, ^ ³n cazul particular ¸n=1
n, dac¸ a jxj<1 nu
este pozitiv, atunci Wn(f;¸n)(x) » siZn(f;¸n)(x) nu neaparat coincid » si din

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 41
cauza acestui motiv, ^ ³n sect »iunea 1.8 a cart »ii [35], pp. 124-138, ei au fost
studiat »i separat, sub diferite ipoteze asupra lui f» siz2C.
^In cele ce urmeaz¸ a, vom studia propriet¸ at »ile de aproximare ale op-
eratorilor Baskakov generalizat »i complec» si Wn(f;¸n)(z), ata» sat »i funct »iilor
analitice satisfac^ ³nd anumite condit »ii de cre» stere exponentiala.
^In acest sens, putem enunt »a urm¸ atoarea.
Teorema 4.1.3. Fie0< ¸ n·1
2,n2Ncu¸n!0cit de ra[id dorim.
Fief:DR!C,1< R·+1, adic¸ a f(z) =P1
k=0ckzk, pentru tot »i
z2DR. Presupunem c¸ a exist¸ a M > 0» siA2(1=R;1), cu proprietatea
jckj ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·MeAjzjpentru
tot »iz2DR). Consider¸ am 1·r <1
A.
(i) Dac¸ a R= +1, (1=R= 0), adic¸ a feste o funct »ie ^ ³ntreag¸ a, atunci
pentru jzj ·r,Wn(f;¸n)(z)este funct »ie analitic¸ a, avem Wn(f;¸n)(z) =
P1
k=0ckWn(ek;¸n)(z)» si au loc urm¸ atoarele estim¸ ari :
jWn(f;¸n)(z)¡f(z)j ·Cr;M;A¢¸n;
jW(p)
n(f;¸n)(z)¡f(p)(z)j ·p!r1¢Cr1;M;A
(r1¡r¢¸n;
¯¯¯¯Wn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2z(1 +z)f00(z)¯¯¯¯·Mr(f)¢¸2
n;
kW(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr»¸n;
ultima echivalent »a av^ ³nd loc dac¸ a fnu este un polinom de grad ·p2Niar
constantele din echivalent »¸ a depind de f,r,p.
Mai sus, Cr;M;A = 6MP1
k=2(k+ 1)( k¡1)(rA)k<1,p2N,1·
r < r 1<1
A,Mr(f) = 16 M¢P1
k=3(k¡1)(k¡2)(rA)k<1andkfkr=
maxfjf(z)j;jzj ·rg.
(ii) Dac¸ a R <+1, atunci operatorul complex de aproximare
W¤
n(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢Wn(ek;¸n)(z); z2Dr;

42 CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV COMPLECS »I
este bine de¯nit » si W¤
n(f;¸n)(z)satisface toate estim¸ arile de la punctul (i),
pentru tot »i 1·r <1
A< R.
Observat »ie. Datorita rezultatelor din cazul variabilei reale din [45]
» si celor din cazul complex din Teorema 4.1.3, putem spune c¸ a ele sunt
de¯nitive, ^ ³n sensul c¸ a pun ^ ³n evident »a operatori de tip Baskakov care pot
aproxima funct »iile cu un ordin arbitrar, ales dinainte.
4.2 Ordin arbitrar prin operatori Baskakov-
Faber
Fie un » sir ¸n>0,n2Ncu proprietatea c¸ a ¸n!0 cit de repede dorim. ^In
aceast¸ a sect »iune, pentru un operator generalizat Baskakov-Faber, ata» sat
funct »iilor analitice de crestere exponentiala ^ ³ntr-un continuum G½C,
obt »inem ordinul de aproximare O(¸n). Indic¸ am mai multe exemple concrete
de continuumuri G, pentru care acest operator poate ¯ construit ^ ³n mod
explicit. ^In acest mod, se generalizeaza rezultatele obt »inute ^ ³n sect »iunea
anterioara pentru discuri compacte, la cazul mai general c^ ³nd discul este
^ ³nlocuit cu o mult »ime compact¸ a din C.
4.2.1 Introducere
^In conformitate cu considerat »iile din Subsect »iunea 4.1.1, not^ ³nd
Wn(f)(z) =1X
j=0µ
1 +1
n¶
¢:::¢µ
1 +j¡1
n¶
¢[0;1=n; :::; j=n ;f]zj;
pentru funct »ii analitice satisfac^ ³nd anumite condit »ii de cre» stere exponen-
tial¸ a, estim¸ ari cantitative de ordinul O¡1
n¢
^ ³n aproximarea cu Wn(f)(z) ^ ³n
discuri compacte cu centrul ^ ³n origine, au fost pentru prima dat¸ a obt »inute

4.2. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI BASKAKOV-FABER 43
^ ³n [35], sect »iunea 1.9, pp. 124-138. Pentru f(z) =P1
k=0akzk, toate rezul-
tatele cantitative se bazeaza pe formula Wn(f)(z) =P1
k=0ak¢Wn(ek)(z),
cuek(z) =zk, adic¸ a
Wn(f)(z) =1X
k=0ak¢kX
j=0µ
1 +1
n¶
¢:::¢µ
1 +j¡1
n¶
¢[0;1=n; :::; j=n ;ek]zj:
(4.4)
De asemenea, este bine de notat c¸ a estim¸ ari cantitative similare ^ ³n aprox-
imare cu alt »i operatori complecsi pot ¯ g¸ asite ^ ³n, de exemplu, cartile [35],
[36], [50] » si ^ ³n lucr¸ arile [15], [38], [40]-[49], [57]-[59].
Folosind un » sir de numere reale pozitive, ( ¸n)n2N, cu¸n!0 » si sug-
erat¸ a » si de formula (4.4), ^ ³n aceast¸ a sect »iune com generaliza rezultatele
obt »inute pentru operatorii Wn(f)(z), la aproximarea prin a» sa numit »ii oper-
atori Baskakov-Faber generalizat »i, ata» sat »i unor funct »ii cu cre» steri exponen-
tiale ^ ³ntr-un continuum din C, obt »in^ ³nd » si ordinul de aproximare O(¸n).
Deoarece ¸n!0, evident c¸ a fara a pierde din generalitate, putem pre-
supune c¸ a 0 < ¸ n·1
2, pentru tot »i n2N.
4.2.2 Preliminarii
Mai ^ ³ntii, amintim pe scurt citeva concepte de baz¸ a asupra polinoamelor
Faber » si ale dezvolt¸ arilor ^ ³n serie Faber.
Pentru G½Co mult »ime compact¸ a astfel^ ³nc^ ³t ~CnGeste conexa, ¯e A(G)
spat »iul Banach al tuturor funct »iilor care sunt cont^ ³nue pe G» si analitice ^ ³n
interiorul lui G, ^ ³nzesrat cu norma kfkG= supfjf(z)j;z2Gg. Not^ ³ndDr=
fz2C;jzj< rg, potrivit Teoremei lui Riemann, exist¸ a o unica aplicat »ie
conforma ă of ~CnD1pe~CnGastfel c¸ a ă( 1) =1» si ă0(1)>0. Atunci,
luiGse poate ata» sa polinomul de grad exact n,Fn(z), numit polinom Faber ,
de¯nit prină0(w)
ă(w)¡z=P1
n=0Fn(z)
wn+1; z2G;jwj>1.

44 CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV COMPLECS »I
Dac¸ a f2A(G) atunci
an(f) =1
2¼iZ
juj=1f(ă(u))
un+1du=1
2¼Z¼
¡¼f(ă(eit))e¡intdt; n2N[ f0g
sunt numit »i coe¯cientii Faber ai lui fiarP1
n=0an(f)Fn(z) este numit¸ a seria
(dezvoltarea) Faber ata» sata lui fpeG. Este bine de notat c¸ a seria Faber
reprezint¸ a o generalizare natural¸ a a serie Taylor, c^ ³nd discul unitate este
^ ³nlocuit cu un domeniu simplu conex m¸ arginit de o curb¸ a cu propriet¸ at »i
de netezime su¯cient de bune. Detalii asupra propriet¸ at »ilor polinoamelor » si
dezvoltarilor Faber pot ¯ gasite ^ ³n, de exemplu, [31], [64].
FieGun compact conex din C(adic¸ a un continuum) » si presupunem c¸ a
feste analitic¸ a pe G, adic¸ a exist¸ a R >1 astfel ^ ³nc^ ³t feste analitic¸ a ^ ³n GR,
dat¸ a prin formula f(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),z2GR. Reamintim aici c¸ a GR
noteaza ^ ³nteriorul curbei de nivel ^ ³nchise ¡ R, dat¸ a de ¡ R=fă(w);jwj=Rg
(si c¸ a G½Grpentru tot »i 1 < r < R ).
Sugerat¸ a de formula (4.4), putem introduce urm¸ atoarea.
De¯nit »ia 4.2.1. Operatorul Baskakov-Faber generalizat ata» sat lui G» si
feste de¯nit prin Wn(f;¸n; G;z) =P1
k=0ak(f)¢Wn(ek;¸n; G;z), adic¸ a,
Wn(f;¸n; G;z)
=1X
k=0ak(f)¢kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢Fj(z);(4.5)
unde pentru j= 0 » si j= 1, prin convent »ie (1 + ¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n) = 1.
Observat »ie. Pentru ¸n= 1=n,n2N» siG=D1, deoarece Fj(z) =zj,
generalizarea de mai sus se reduce la operatorul complex Baskakov clasic,
introdus » si studiat ^ ³n [35], sect »iunea 1.9.

4.2. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI BASKAKOV-FABER 45
4.2.3 Rezultate principale
Pentru demonstrat »ia rezultatului principal, avem nevoie de dou¸ a leme, dup¸ a
cum urmeaz¸ a.
Lema 4.2.2. Fie0< ¸ n·1
2<1,n2N, cu ¸n!0. Pentru tot »i
k; n2Ncuk·[1=¸n](aici [a]noteaza partea ^ ³ntreaga a lui a) avem
inegalitatea
Ek;n:=k¡1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]·¸n¢(k+ 3)!:
Prin convent »ie, pentru j= 0» sij= 1lu¸ am (1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n) = 1 :
De asemenea, putem demonstra urm¸ atoarea.
Lema 4.2.3. Fie0< ¸ n·1
2,n2N, cu¸n!0. Pentru tot »i k¸0» si
n2N, avem
Gk;n:=kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]·(k+ 1)!:
Rezultatul principal este urm¸ atorul.
Teorema 4.2.4. Fiefanalitic¸ a pe continuumul G, adic¸ a exist¸ a R >
1astfel ^ ³nc^ ³t feste analitic¸ a ^ ³n GR, dat¸ a prin f(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),
z2GR. Deasemenea, presupunem c¸ a exist¸ a M > 0andA2¡1
R;1¢
, cu
jak(f)j ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·C(r)MeAr
pentru tot »i z2Gr,1< r < R ).
Fie1< r <1
Aarbitrar ¯xat. Atunci, exist¸ a un indice n02N» si o
constant¸ a C(r; f)>0depinz^ ³nd doar de r» sif, astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i
z2Gr» sin¸n0, avem
jWn(f;¸n; G;z)¡f(z)j ·C(r; f)¢¸n:

46 CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV COMPLECS »I
Observat »ii. 1) Teorema 4.2.4 generalizeaza Teorema 1.9.1, p. 126 din
[35], ^ ³n dou¸ a sensuri : mai ^ ³nt^ ³i, este extins¸ a de la discuri compacte centrate
^ ³n origine, la mult »imi compacte, iar ^ ³n al doilea r^ ³nd, ordinul de aproximare
O¡1
n¢
este ^ ³n mod esential imbunatat »it la ordinul O(¸n), cu ¸n!0 cit de
rapid dorim.
2) Este clar c¸ a Teorema 4.2.4 are loc sub ipoteza mult mai general¸ a
jak(f)j ·Pm(k)¢Ak
k!, pentru tot »i k¸0, unde Pmeste un polinom algebric
de grad mcuPm(k)>0 pentru tot »i k¸0.
3) Sunt multe exemple pentru Gc^ ³nd aplicat »ia conforma ă » si poli-
noamele Faber asociate lui G, » si ^ ³n consecint »¸ a c^ ³nd » si operatorii Baskakov-
Faber, pot ¯ explicit scrisi (vezi, de exemplu, [36], pp. 81-83, sau [37]),
dup¸ a cum urmeaz¸ a : G= [¡1; 1], Geste continuumul marginit de m-
hypocycloidul, Gestem-steaua regulata ( m= 2;3; :::;),Gestem-lemniscata
simetrica, m= 2;3; :::;sauGeste un semidisc.

Bibliogra¯e
[1]Abel, U., Butzer, P. L., Complete asymptotic expansion for general-
ized Favard operators, Constr. Approx. ,35(2012), 73-88.
[2]Agratini, O., Radu, C., On q-Baskakov-Mastroianni operators, Rocky
Mount. J. Math. ,42(3)(2012), 773-790.
[3]Altomare F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and
its Applications , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17. New
York, Berlin (1994).
[4]Aral, A., A generalization of Sz¶ asz-Mirakjan operator based on q-
integers, Math. Comput. Model. ,47(2008), 1052-1062.
[5]Aral, A., Gupta, V., On q-Baskakov type operators, Demonstratio
Math. ,47(1)(2009), 109-122.
[6]Aral, A., Gupta, V., On the Durrmeyer type modiication of q-
Baskakov type operators, Nonlinear Anal. ,72(2010), No. 3-4, 1171-
1180.
[7]Baskakov, V. A., An example of a sequence of linear positive opera-
tors in the space of continuous functions (Russian), Dokl. Akad. Nauk
SSSR ,113(1957), 249-251.
47

48 BIBLIOGRAFIE
[8]Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the Bernstein operator of max-product kind,
Int. J. Math. Math. Sci. , volume 2009, Article ID 590589 , 26 pages,
doi:10.1155/2009/590589.
[9]Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the nonlinear Meyer-KÄ onig and Zeller operator
of max-product kind, Numer. Funct. Anal. Optim. ,31(2010), No. 3,
232-253.
[10]Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation by Max-Product
Type Operators , Springer, New York, 2016.
[11]Berdysheva, E. E., Uniform convergence of Bernstein-Durrmeyer op-
erators with respect to arbitrary measure, J. Math. Anal. Appl.
394(2012) 324-336.
[12]Berdysheva, E. E., Bernstein-Durrmeyer operators with respect to
arbitrary measure, II : Pointwise convergence, J. Math. Anal. Appl.
418(2014) 734-752.
[13]Berdysheva, E. E., Jetter, K., Multivariate Bernstein-Durrmeyer op-
erators with arbitrary weight functions, J. Approx. Theory 162(2010)
576-598.
[14]Bernstein, S. N., D¶ emonstration du th¶ eor¶ em de Weierstrass fonde¶ e
sur le calcul des probabilit¶ es, Commun. Soc. Math. Kharkov ,
13(1912/1913), 1-2.

BIBLIOGRAFIE 49
[15]Cetin, N., Ispir, N., Approximation by complex modi¯ed Sz¶ asz-
Mirakjan operators, Studia Sci. Math. Hungar. ,50(3) (2013), 355-
372.
[16]Choquet, G., Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
5(1954) 131-295.
[17]Coroianu, L., Gal, S. G., Classes of functions with improved estimates
in approximation by the max-product Bernstein operator, Anal. Appl.
(Singap.) ,9(2011), No. 3, 249-274.
[18]Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the Bernstein max-
product operator, Appl. Math. Comp. ,231(2014), 73-78.
[19]Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the max-product
Meyer-KÄ onig and Zeller operator, Numer. Funct. Anal. Optim. ,
34(2013), No. 7, 713-727.
[20]Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the non-truncated
max-product sampling operators based on Fej¶ er and sinc-type kernels,
Demonstratio Math. ,49(2016), no. 1, 38-49.
[21]Coroianu, L., Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Trifa, S., Feller's scheme
in approximation by nonlinear possibilistic integral operators, trimis¸ a
spre publicare .
[22]De Cooman, G., Possibility theory. I. The measure-and integral-
theoretic groundwork, Internat. J. Gen. Systems ,25(1997), no. 4,
291-323.
[23]Denneberg, D., Non-Additive Measure and Integral , Kluwer Academic
Publisher, Dordrecht, 1994.

50 BIBLIOGRAFIE
[24]Derriennic, M. M., Modi¯ed Bernstein polynomials and Jacobi poly-
nomials in q-calculus, Rend. Circ. Mat. Palermo ,76(2005), 269-290.
[25]Dieudonn¶ e, J., ¶El¶ ements dAnalyse ; 1. Fondements de l'Analyse Mod-
erne, Gauthiers Villars, Paris, 1968.
[26]Djebali, S., Uniform continuity and growth of real continuous func-
tions, Int. J. Math. Education in Science and Technology ,32(2001),
No. 5, 677-689.
[27]Dubois D., Prade, H., Possibility Theory , Plenum Press, New York,
1988.
[28]Favard, J., Sur les multiplicateurs d'interpolation, J. Math. Pures
Appl. ,23(1944), No. 9, 219-247.
[29]Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications ,
vol. II, Wiley, New York, 1966.
[30]Finta, Z., Gupta, V., Approximation propertis of q-Baskakov opera-
tors, Centr. Eur. J. Math. ,8(2010), No. 1, 199-211.
[31]Gaier, D., Lectures on Complex Approximation , Birkhauser, Boston,
1987.
[32]Gal, S. G., Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz¶ asz-Mirakjan operators, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math. ,59(2014),
77-81.
[33]Gal, S. G., A possibilistic approach of the max-product Bernstein kind
operators, Results Math. ,65(2014), 453-462.

BIBLIOGRAFIE 51
[34]Gal, S. G., Approximation by Choquet integral operators, Annali Mat.
Pura Appl. ,195(2016), No. 3, 881-896.
[35]Gal, S. G., Approximation by Complex Bernstein and Convolution-
Type Operators , World Scienti¯c Publ. Co, Singapore-Hong Kong-
London-New Jersey, 2009.
[36]Gal, S. G., Overconvergence in Complex Approximation , Springer,
New York, 2013.
[37]Gal, S. G., Approximation of analytic functions by generalized Favard-
Sz¶ asz-Mirakjan-Faber operators in compact sets, Complex Anal. Oper.
Theory ,9(2015), No. 5, 975-984.
[38]Gal, S. G., Approximation in compact sets by q-Stancu-Faber poly-
nomials, q >1,Comput. Math. Appl. ,61(2011), no. 10, 3003-3009.
[39]Gal, S. G., Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz¶ asz-Mirakjan operators, Studia Univ. Babes-Bolyai Math. ,59(1)
(2014), 77-81.
[40]Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by complex Durrmeyer type op-
erators in compact disks , in : Mathematics without Boundaries, Sur-
veys in Interdisciplinary Research, P.M. Pardalos and T.M. Rassias
(editors), Springer, New York-Heidelberg-Dordrecht-London, 2014,
pp. 263-284.
[41]Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by the complex form of a link
operator between the Phillips and the Sz¶ asz-Mirakjan operators, Re-
sults Math. ,67(2015), 381-393.

52 BIBLIOGRAFIE
[42]Gal, S. G., Gupta, V., Mahmudov, N. I., Approximation by a complex
q-Durrmeyer type operator, Ann. Univ. Ferrara ,58(1) (2012), 65-87.
[43]Gal, S. G., Gupta, V., Verma, D. K., Agrawal, P. N., Approximation
by complex Baskakov-Stancu operators in compact disks, Rend. Circ.
Mat. Palermo ,61(2012), no. 2, 153-165.
[44]Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation by complex q-
Sz¶ asz-Kantorovich operators in compact disks, q >1,Complex Anal.
Oper. Theory ,7(2013), No. 6, 1853-1867.
[45]Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation with an arbitrary order by
modi¯ed Baskakov type operators, Appl. Math. Comp. ,265(2015),
329-332.
[46]Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Uniform and pointwise convergence of
Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and sub-
modular set functions, J. Math. Anal. Appl. ,424(2015), 1374-1379.
[47]Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation of analytic functions with an
arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in compact
sets, Complex Anal. Oper. Theory ,10(2016), No. 2, 369-377.
[48]Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Opri» s, D. B. , Approximation with an
arbitrary order by Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich and Baskakov complex
operators in compact disks, Azerbaijan J. Math. ,6(2016), No. 2, 3-
12.
[49]Gupta, V., Complex Baskakov-Sz¶ asz operators in compact semi-disks,
Lobachevskii J. Math. ,35(2014), no. 2, 65-73.

BIBLIOGRAFIE 53
[50]Gupta, V., Agarwal, R. P., Convergence Estimates in Approximation
Theory , Springer, New York, 2014.
[51]Gupta, V., Aral, A., Some approximation properties of q-Baskakov-
Durrmeyer operators, Appl. Math. Comput. ,218(2011), No. 3, 783-
788.
[52]Kac, V., Cheung, P., Quantum Calculus , Universitext, Springer-
Verlag, New York, 2002.
[53]Levasseur, K. N., A probabilistic proof of the Weierstrass approxima-
tion theorem, Amer. Math. Monthly ,91(1984), No. 4, 249-250.
[54]Li, B.-Z., Approximation by multivariate Bernstein-Durrmeyer oper-
ators and learning rates of least-square regularized regression with
multivariate polynomial kernel, J. Approx. Theory 173(2013) 33-55.
[55]Lopez-Moreno, A.-J., Weighted simultaneous approximation with
Baskakov type operators, Acta Math. Hungar. ,104(1-2) (2004), 143-
151.
[56]Lupa» s, A., Some properties of the linear positive operators, II, Math-
ematica(Cluj) ,9(32) (1967), 295-298.
[57]Mahmudov, N. I., Approximation properties of complex q-Sz¶ asz-
Mirakjan operators in compact disks, Comput. Math. Appl. ,60(6)
(2010), 1784-1791.
[58]Mahmudov, N. I., Convergence properties and iterations for q-Stancu
polynomials in compact disks, Comput. Math. Appl. ,59 (12) (2010),
3763-3769.

54 BIBLIOGRAFIE
[59]Mahmudov, N. I., Approximation by Bernstein-Durrmeyer-type oper-
ators in compact disks, Appl. Math. Lett. ,24(7) (2011), 1231-1238.
[60]Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation theorems for complex
Sz¶ asz-Kantorovich operators, J. Comput. Anal. Appl. ,15(1) (2013),
32-38.
[61]Opri» s, D. B. , Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu operators, trimis¸ a spre publicare.
[62]Radu, C., On statistical approximation of a general class of posi-
tive linear operators extended in q-calculus, Appl. Math. Comput. ,
215(2009), 2317-2325.
[63]Shisha, O., Mond, B., The degree of convergence of linear positive
operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. ,60(1968), 1196-1200.
[64]Suetin, P. K., Series of Faber Polynomials , Gordon and Breach, Am-
sterdam, 1998.
[65]Wang, Z., Klir, G.J., Generalized Measure Theory , Springer, New
York, 2009.