Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616069]

Universitatea Babes »-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematic ¸a s »i Informatic ¸a
Tez¸a de Doctorat
Contribut »ii la Teoria Aproxim¸ arii Funct »iilor
de Variabil¸ a Real¸ a » si Complex¸ a , PARTEA I-a
Doctorand: [anonimizat] »Conduc¸ ator » stiint »i¯c:
Prof. univ. dr. Sorin G. Gal
Cluj-Napoca
2017

2

Cuprins
1 Introducere General¸ a 5
2 Aproximare cu operatori integrali neliniari 1
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Choquet . . . . . . . . 1
2.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Aproximare cu operatori integrali posibilistici . . . . . . . . 11
2.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Schema lui Feller ^ ³n termenii integralei posibilistice . 13
2.2.3 Aproximare cu operatori posibilistici de convolut »ie . . 24
Bibliogra¯e 32
3

4 CUPRINS

Cap. 1
Introducere General¸ a
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine rezultatele pe care le-am obt »inut ^ ³n domeniul teoriei
aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de o variabil¸ a complex¸ a.
Teoria aproxim¸ arii este o parte a analizei matematice ap¸ arut¸ a ^ ³n secolul
al 19-lea, care se ocup¸ a, ^ ³n esent »¸ a, cu aproximarea unor elemente compli-
cate (de cele mai multe ori funct »ii), cu elemente mai simple (de cele mai
multe ori polinoame algebrice, polinoame trigonometrice sau funct »ii spline,
etc). ^In plus, ^ ³n cadrul acelea» si teorii, se obt »in » si caracteriz¸ ari cantitative
ale aproxim¸ arii, de cele mai multe ori ^ ³n termenii a» sa numit »ilor moduli de
continuitate (de netezime).
Din punct de vedere istoric, ^ ³n cazul aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a
real¸ a, probabil c¸ a primul rezultat principal ^ ³n aceast¸ a teorie a fost obt »inut
de c¸ atre matematicianul german K. Weierstrass ^ ³n 1895, rezultat care poate
¯ enunt »at ^ ³n felul urm¸ ator :
Teorema A. Dac¸ a f: [a; b]!Reste o funct »ie continu¸ a pe inter-
valul [a; b], atunci exist¸ a un » sir de polinoame algebrice cu coe¯cient »i reali,
Pmn(x) =a0xmn+:+amn¡1x+amn, astfel ^ ³nc^ ³t limn!1Pmn(x) =f(x),
uniform ^ ³n raport cu x2[a; b].
5

6 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
O demonstrat »ie constructiv¸ a a teoremei de mai sus a fost obt »inut¸ a de
c¸ atre matematicianul rus S.N. Bernstein ^ ³n 1912, care a ar¸ atat c¸ a » sirul
de polinoame algebrice care ast¸ azi ii poart¸ a numele, anume Bn(f)(x) =
Pn
k=0¡n
k¢
xk(1¡x)n¡kf)k=n), converge uniform la funct »ia fpresupus¸ a con-
tinu¸ a pe [0 ;1].
Primul rezultat cantitativ ^ ³n teoremele lui Weierstrass » si Bernstein de
mai sus, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul rom^ an Tiberiu Popoviciu
^ ³n anul 1942, care a ar¸ atat c¸ a
jBn(f)(x)¡f(x)j ·3
2!1(f; 1=pn);8×2[0;1]; n2N;
unde !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1];jx¡yj ·±greprezint¸ a
modulul de continuitate al funct »iei f.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor continue » si 2 ¼-periodice, primul rezultat
constructiv a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul maghiar L. Fej¶ er ^ ³n anul
1900, care a ar¸ atat urm¸ atoarele : dac¸ a f:R!Reste o funct »ie 2 ¼-periodic¸ a
» si continu¸ a pe R, not^ ³nd cu Sn(f)(x) =Pn
k=0akcos(kx) +bksin(kx), unde
ak» sibksunt coe¯cient »ii Fourier ai lui f, atunci Tn(f)(x) =S0(f)(x)+:::+Sn(f)(x)
n+1
reprezint¸ a un » sir de polinoame trigonometrice care converge uniform la
funct »ia fpeR.
Primul rezultat cantitativ » si constructiv ^ ³n cazul aproxim¸ arii cu poli-
noame trigonometrice, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul american D.
Jackson ^ ³n teza lui de doctorat din 1911, care poate ¯ enunt »at ^ ³n felul
urm¸ ator : dac¸ a f:R!Reste continu¸ a » si 2 ¼-periodica, atunci se poate
construi un » sir de polinoame trigonometrice Jn(f)(x),n2N, cu propri-
etatea c¸ a
jJn(f)(x)¡f(x)j ·C!2(f; 1=n);8x2R; n2N;

7
unde !2(f;±) = sup fjf(x+h)¡2f(x) +f(x¡h)j; 0·h·±; x2Rg
reprezint¸ a modulul de netezime de ordinul 2 al funct »iei f.
O direct »ie important¸ a ^ ³n teoria aproxim¸ arii funct »iilor este reprezentat¸ a
de teoria aproxim¸ arii cu » siruri de operatori liniari si pozitivi, cu r¸ ad¸ acinile
^ ³ntre anii 1950 » si 1970 prin rezultatele de acum clasice ale lui Tiberiu Popovi-
ciu, Bohman, Korovkin, Shisha-Mond » si alt »ii. ^In esent »¸ a, aceste rezultate
a¯rm¸ a faptul c¸ a (vezi teoremele lui Korovkin) pentru ca un » sir de operatori
liniari si pozitivi, ( Ln(f))n2N, s¸ a convearga uniform la fpentru orice funct »ie
continu¸ a pe [ a; b], este su¯cient ca Ln(ek) s¸ a convearg¸ a uniform la ek, doar
pentru trei valori ale lui k, adic¸ a k= 0;1 » si 2, unde e0(x) = 1, e1(x) =x» si
e2(x) =x2.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor complexe sau/si » de o variabil¸ a complex¸ a,
r¸ ad¸ acinile acestei teorii se g¸ asesc ^ ³n aproximarea funct »iilor continue prin
polinoame sau prin funct »ii ^ ³ntregi, prin lucr¸ arile lui MÄ untz-Sz¶ asz » si Carle-
man, iar ^ ³n aproximarea funct »iilor analitice de variabil¸ a complex¸ a prin poli-
noame sau prin funct »ii rat »ionale, ment »ion^ ³nd aici, ^ ³n principal, rezultatele
obt »inute de c¸ atre Runge, Walsh, Faber, Mergelyan, Arakelyan » si Dzyadyk.
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine, in principal, contribut »iile originale pe care le-am
obt »inut ^ ³n domeniul teoriei aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de
o variabil¸ a complex¸ a.
^In Capitolul prezent, 1, se face o introducere general¸ a ^ ³n teoria aproxi-
m¸ arii » si o descriere rezumativ¸ a a tezei.
^In Capitolul 2 ^ ³ntitulat Aproximare cu operatori integrali neliniari , idea
de baz¸ a este ^ ³nlocuirea integralei clasice ^ ³n expresiile unor operatori de
aproximare liniari integrali, cu integrale mai generale (care nu mai sunt
liniare), » si studierea propriet¸ at »ilor de aproximare ale operatorilor noi obt »inut »i.
Capitolul are dou¸ a sect »iuni.

8 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
Astfel, ^ ³n prima sect »iune, ^ ³ntitulat¸ a Aproximare cu operatori Durrmeyer-
Choquet , ^ ³n expresiile operatorilor clasici Bernstein-Durrmeyer, se ^ ³nlocuie» s-
te integrala Lebesgue cu integrala (neliniara) a lui Choquet ^ ³n raport cu o
funct »ie de mult »ime monoton¸ a si submodular¸ a. Se arat¸ a ca noii operatori
(neliniari de data asta) ram^ ³n uniform convergent »i la funct »ia continua aprox-
imat¸ a.
^In a doua sect »iune a capitolului, ^ ³n clasica schem¸ a de aproximare a lui
Feller de generare a operatorilor liniari si pozitivi cu propriet¸ at »i de aprox-
imare, se ^ ³nlocuieste integrala clasica liniara ^ ³n raport cu o masur¸ a tip
Lebesgue, cu integrala neliniar¸ a posibilistic¸ a. ^In acest mod, se genereaz¸ a
noi operatori (neliniari) cu propriet¸ at »i bune de aproximare, incluz^ ³nd » si a» sa
numit »ii operatori max-produs studiat »i ^ ³ntr-o lung¸ a serie de lucr¸ ari de c¸ atre
B. Bede, L. Coroianu » si S.G. Gal (care culmineaz¸ a cu monogra¯a de cerc-
etare [12] aparuta la editura Springer).
Tot ^ ³n aceast¸ a sect »iune se studiaz¸ a » si propriet¸ at »ile cantitative de aprox-
imare ale operatorilor posibilistici de convolut »ie obt »inut »i prin schema lui
Feller adaptat¸ a.
Rezultatele prezentate ^ ³n aceast¸ a tez¸ a au fost obt »inute de c¸ atre
autor, ^ ³n colaborare cu domnul profesor universitar dr. Sorin Gal,
cu Nazim Mahmodov, cu Lucian Coroianu, cu Sorin Trifa sau ca » si
singur autor, ^ ³n 6 lucr¸ ari, publicate ^ ³n urm¸ atoarele reviste, dup¸ a
cum urmeaz¸ a :
1) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D. ,Approximation with an arbitrary
order by modi¯ed Baskakov type operators .Appl. Math. Comput. , 265
(2015), 329-332 (Factor de impact (FI ISI) pe 2015 : 1.345, Scor relativ de
in°uent »¸ a (SRI) pe 2016 : 0.733)
2) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D. ,Uniform and pointwise con-

9
vergence of Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and
submodular set functions .J. Math. Anal. Appl. 424 (2015), no. 2,
1374-1379 (FI pe 2015 : 1.014, SRI pe 2016 : 1.125)
3) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D. ,Approximation of analytic func-
tions with an arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in
compact sets .Complex Anal. Oper. Theory 10 (2016), no. 2, 369-377
(FI ISI pe 2015 : 0.663, SRI pe 2016 : 0.724)
4) Coroianu, Lucian ; Gal, Sorin G. ; Opri» s, Bogdan D. ; Trifa, Sorin,
Feller's scheme in approximation by nonlinear possibilistic integral opera-
tors,Numer. Funct. Anal. and Optim. , 38 (2017), No. 3, 327-343 (FI
ISI pe 2015 : 0.649, SRI pe 2016 : 0.540).
5) Gal, Sorin G.; Mahmudov, Nazim I.; Opri» s, Bogdan D. ,Approx-
imation with an arbitrary order of Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich and Baskakov
complex operators in compact disks .Azerb. J. Math. 6 (2016), no. 2,
3-12 (revist¸ a recenzat¸ a ^ ³n Mathematical Reviews » si Zentralblatt fÄ ur Math-
ematik)
6)Opri» s, Bogdan, D. ,Approximation with an arbitrary order by gen-
eralized Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu type operators ,Anal. Univ.
Oradea, fasc. math. , XXIV(2017), No. 1, 75-81 (revist¸ a B+, recenzat¸ a
^ ³n Mathematical Reviews » si Zentralblatt fÄ ur Mathematik).
Rezultatele originale obt »inute ^ ³n tez¸ a sunt urm¸ atoarele :
Capitolul 2.
Sect »iunea 2.1 : Lema 2.1.2, Teorema 2.1.3, Teorema 2.1.4 ; Rezultatele
au fost publicate ^ ³n lucrarea [46];
Sect »iunea 2.2 : Teorema 2.2.2, Lema 2.2.3, Teorema 2.2.4, Teorema 2.2.5,
Corolarul 2.2.6, Teorema 2.2.7, Corolarul 2.2.8, Teorema 2.2.9, Corolarul
2.2.9 ; Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [23] ;

10 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
Doresc s¸ a mult »umesc conduc¸ atorului » stiint »i¯c, domnului profesor uni-
versitar dr. Sorin Gal, pentru deosebita ^ ³ndrumare a mea pe parcursul
elabor¸ arii tezei.

Cap. 2
Aproximare cu operatori
integrali neliniari
^In acest capitol, ne ocup¸ am de studiul propriet¸ at »ilor de aproximare ale
unor operatori de tip integrali, ^ ³n care integrala liniara clasica este ^ ³nlocuita
cu integrala neliniara Choquet » si/sau cu integrala neliniara posibilistic¸ a.
Capitolul are dou¸ a sect »iuni : ^ ³n prima sect »iune ne ocup¸ am de operatorii
Durrmeyer-Choquet, iar ^ ³n sect »iunea a doua ne ocup¸ am de operatorii posi-
bilistici.
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Ch-
oquet
^In aceast¸ a sect »iune ne ocup¸ am de operatorul Bernstein-Durrmeyer de d
variabile reale, Mn;¹, ^ ³n care integralele scrise in raport cu o masur¸ a ¹de
tip Borel de¯nit¸ a pe simplexul d-dimensional (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a, deci
incluz^ ³nd » si m¸ asura Lebesgue), se ^ ³nlocuiesc cu integrale Choquet ^ ³n raport
1

2CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
cu¹, presupus¸ a doar monoton¸ a » si submodular¸ a. Se obt »ine astfel un operator
neliniar, care este mai general dec^ ³t operatorul liniar Bernstein-Durrmeyer.
Pentru acest operator neliniar, pe care putem s¸ a-l denumim operator de
tip Durrmeyer-Choquet, demonstr¸ am convergent »a punctual¸ a » si uniform¸ a
c¸ atre f(x).
^In consecint »¸ a, rezultatele obt »inute le generalizeaz¸ a pe cele recente din
lucr¸ arile [13], [14].
2.1.1 Introducere
Fie simplexul standard din Rd
Sd=f(x1; :::; x d); 0·x1; :::; x d·1;0·x1+:::+xd·1g:
Inspirate de lucrarea [15], ^ ³n lucr¸ arile recente [13], [14] » si [55], s-a demon-
strat convergent »a (pentru n! 1 ) punctual¸ a, uniform¸ a » si ^ ³n spat »iul Lpa
luiMn;¹(f)(x) c¸ atre f(x), unde Mn;¹(f)(x) desemneaz¸ a operatorul liniar de
tip mixt Bernstein-Durrmeyer de mai multe variabile, ^ ³n raport cu o masur¸ a
Borel ¹:Sd!R+, m¸ arginit¸ a), de¯nit prin formula (presupun^ ³nd c¸ a feste
¹-integrabila pe Sd)
Mn;¹(f)(x)
=X
j®j=nR
Sdf(t)B®(t)d¹(t)R
SdB®(t)d¹(t)¢B®(x) :=X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
(2.1)
^In formula (2.1) de mai sus, am folosit notat »iile ®= (®0; ®1; :::; ® n), cu
®j¸0 pentru tot »i indicii j= 0; :::; n ,j®j=®0+®1+:::+®n=n» si
B®(x) =n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!(1¡x1¡x2¡:::¡xd)®0¢x®1
1¢:::¢x®d
d
:=n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!¢P®(x):

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 3
Vom ar¸ ata c¸ a rezultatele de tip calitativ din [13] » si [14] (privind convergent »a
punctual¸ a » si uniform¸ a), ram^ ³n valabile ^ ³n cadrul mult mai general c^ ³nd ¹
este o funct »ie de mult »ime doar m¸ arginit¸ a, monoton¸ a » si submodular¸ a pe
Sdiar integralele care apar ^ ³n ^ ³n formula (2.1), reprezint¸ a integrale de tip
Choquet ^ ³n raport cu ¹.
2.1.2 Preliminarii
^In aceast¸ a subsect »iune, prin De¯nit »ia 2.1.1 » si prin Observat »iile de dup¸ a
aceast¸ a de¯nit »ie, vom prezenta concepte » si rezultate cunoscute, dar care
vor ¯ utile ^ ³n subsect »iunile urm¸ atoare.
De¯nit »ia 2.1.1. Consider¸ am ­ o mult »ime nevid¸ a, Co¾-algebra de
submult »imi ale lui ­ iar (­ ;C) un spat »iu m¸ asurabil.
(i) (vezi, de exemplu, [66], p. 63) Funct »ia de mult »imi ¹:C ! [0;+1] se
va numi monoton¸ a (sau capacitate), dac¸ a ¹(;) = 0 iar A; B2 C, cuA½B,
implic¸ a ¹(A)·¹(B). Dac¸ a
¹(A[
B) +¹(A\
B)·¹(A) +¹(B);pentru tot »i A; B2 C;
atunci ¹este numit¸ a submodular¸ a. In ¯ne, ¹se va numi normalizat¸ a, dac¸ a
¹(­) = 1.
(ii) (vezi [18], sau [66], p. 233) Fie ¹:C ! [0;+1], normalizat¸ a » si
monoton¸ a. Funct »ia f: ­!Rse nume» ste C-m¸ asurabil¸ a, dac¸ a pentru
oricare submult »ime Borel B½R, are loc f¡1(B)2 C.
Dac¸ a f: ­!ResteC-m¸ asurabil¸ a, atunci pentru ¯ecare A2 C, inte-
grala Choquet va ¯ de¯nit¸ a prin formula
(C)Z
Afd¹=Z+1
0¹(F¯(f)\
A)d¯+Z0
¡1[¹(F¯(f)\
A)¡¹(A)]d¯;
unde F¯(f) =f!2­;f(!)¸¯g. Dac¸ a ( C)R
Afd¹exist¸ a ^ ³nR, atunci fse
nume» ste integrabil¸ a Choquet pe A. Observ¸ am c¸ a dac¸ a f¸0 on A, atunci

4CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
termenul din formula de mai sus care cont »ine integralaR0
¡1, devine egal cu
zero.
In cazul^ ³n care ¹este m¸ asura Lebesgue (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a), atunci
integrala Choquet ( C)R
Afd¹se reduce la integrala Lebesgue.
^In r^ ³ndurile observat »iilor urm¸ atoare, prezent¸ am (f¸ ar¸ a demonstrat »ii) ni» ste
propriet¸ at »i cunoscute, de care vom avea nevoie pe mai departe.
Observat »ii. Fie¹:C ! [0;+1] o funct »ie monoton¸ a de mult »imi. Au
loc propriet¸ at »ile :
(i) (C)R
Aeste pozitiv omogen¸ a, adic¸ a pentru orice a¸0 avem
(C)Z
Aafd¹ =a¢(C)Z
Afd¹;
(pentru f¸0 vezi, de exemplu, [66], Teorema 11.2, (5), p. 228 iar pentru
fde semn arbitrar, vezi, de exemplu, [25], p. 64, Propozit »ia 5.1, (ii)).
(ii)^In cazul general pentru f» sig, avem ( C)R
A(f+g)d¹6= (C)R
Afd¹+
(C)R
Agd¹. Dac¸ a ¹este » si submodular¸ a, atunci integrala Choquet este
subliniar¸ a, adic¸ a
(C)Z
A(f+g)d¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Agd¹;
pentru toate funct »iile f; gde semn arbitrar » si m¸ arginite inferior (vezi, de
exemplu, [25], p. 75, Teorema 6.3).
Apoi, pentru orice c2R» sifde semn arbitrar, are loc
(C)Z
A(f+c)d¹= (C)Z
Afd¹+c¢¹(A);
(vezi, de exemplu, [66], pp. 232-233, sau [25], p. 65).
(iii) Dac¸ a f·gpeAatunci ( C)R
Afd¹·(C)R
Agd¹(vezi, de exemplu,
[66], p. 228, Teorema 11.2, (3) pentru f; g¸0 » si p. 232 pentru f; gde semn
arbitrar).

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 5
(iv) Fie f¸0. Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult¸ a imediat ca dac¸ a
A½Batunci
(C)Z
Afd¹·(C)Z
Bfd¹
iar dac¸ a, ^ ³n plus, ¹este ¯nit subaditiv¸ a, atunci
(C)Z
ASBfd¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Bfd¹:
(v) Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult· a imediat c¸ a
(C)Z
A1¢d¹(t) =¹(A):
(vi) Exemple simple de funct »ii de mult »imi ¹, monotone » si submodulare,
pot ¯ obt »inute dintr-o masur¸ a probabilist¸ a Mde¯nit¸ a pe o ¾-algebr¸ a a
lui ­ (adic¸ a M(;) = 0, M(­) = 1 » si Meste num¸ arabil aditiv¸ a), prin
formula ¹(A) =°(M(A)), unde °: [0;1]![0;1] este o funct »ie cresc¸ atoare
» si concav¸ a, iar °(0) = 0, °(1) = 1 (vezi, de exemplu, [25], pp. 16-17,
Exemplu 2.1). Observ¸ am c¸ a dac¸ a de fapt Meste doar ¯nit aditiv¸ a, atunci
¹(A) =°(M(A)) ram^ ³ne ^ ³nca submodular¸ a.
Reamintim aici ca o funct »ie de mult »imi ¹:P(­)![0;1] (unde P(­)
noteaz¸ a famila tuturor submult »imilor lui ­) se nume» ste m¸ asur¸ a de posibil-
itate pe mult »imea nevid¸ a ­, dac¸ a ea satisface axiomele ¹(;) = 0, ¹(­) = 1
» si¹(S
i2IAi) = sup f¹(Ai);i2Igpentru toate Ai2­, » si orice familie Ide
indici.
Legat de acest concept, se observ¸ a c¸ a orice masur¸ a de posibilitate ¹
este monoton¸ a » si submodular¸ a. ^Intra-adev¸ ar, ^ ³n timp ce monotonia este
imediat¸ a din axioma ¹(ASB) = max f¹(A); ¹(B)g, submodularitatea este
imediat¸ a din proprietatea ¹(ATB)·minf¹(A); ¹(B)g.
Se mai » stie c¸ a orice distribut »ie de posibilitate (pe ­), adic¸ a o funct »ie
¸: ­![0;1] cu proprietatea sup f¸(s);s2­g= 1, induce m¸ asura de

6CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
posibilitate ¹¸:P(­)![0;1], de¯nit¸ a de formula ¹¸(A) = sup f¸(s);s2
Ag, pentru orice A½­,A6=;,¹¸(;) = 0.
Pentru de¯nit »ia si propriet¸ at »ile de mai sus legate de m¸ asurile de posibil-
itate, se poate consulta, de exemplu, [29], Capitolul 1.
2.1.3 Rezultate principale
Not¸ am cu BSd, sigma algebra a tuturor submult »imilor m¸ asurabile Borel din
P(Sd). Fie ¹:BSd![0;+1) o funct »ie de mult »imi, normalizat¸ a, monoton¸ a
» si submodular¸ a.
¹se va numi strict pozitiv¸ a dac¸ a ¹(A\Sd)>0, pentru orice mult »ime
deschis¸ a A½Rncu proprietatea A\Sd6=;.
De asemenea, tot prin de¯nit »ie, suportul lui ¹, notat cu supp(¹), este
mult »imea tuturor x2Sdcu proprietatea c¸ a pentru ¯ecare vecin¸ atate de-
schis¸ a Nx2 B Sda lui x, avem ¹(Nx)>0.
Desemn¸ am prin C+(Sd), spat »iul tuturor funct »iilor pozitive » si continue
peSdiar cu L1
¹(Sd), spat »iul funct »iilor reale, BSd-m¸ asurabile f, astfel c¸ a
exist¸ a o mult »ime E½Sd(depinz^ ³nd de f) cu¹(E) = 0 iar feste m¸ arginit¸ a
peSdnE.
Not¸ am
Mn;¹(f)(x) =X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
Aplic^ ³nd Observat »ia 2.2, (i), rezult· a u» sor
c(®; ¹) =(C)R
Sdf(t)B®(t)d¹(t)
(C)R
SdB®(t)d¹(t)=(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t):
Este bine de ment »ionat aici ca prin normalizarea funct »iei de mult »imi
¹, nu se pierde generalitatea rezultatelor obt »inute » si c¸ a, condit »ia supp(¹)n
@Sd6=;, garanteaz¸ a c¸ a ( C)R
SdB®(t)d¹(t)>0, pentru tot »i B®.

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 7
^In demonstrarea rezultatelor principale, vom avem nevoie de urm¸ atoarea
lemm¸ a important¸ a.
Lema 2.1.2. (Gal-Opri» s [46]) Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizat¸ a,
monoton¸ a » si submodular¸ a. Dac¸ a de¯nim Tn:C+(Sd)!R+prin
Tn(f) = (C)Z
Sdf(t)P®(t)d¹(t); f2C+(Sd); n2N;j®j=n;
atunci pentru toate funct »iile f; g2C+(Sd), avem
jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj) = (C)Z
Sdjf(t)¡g(t)j ¢P®(t)d¹(t):
Demonstrat »ie. Deoarece P®(t)¸0 pentru orice t2Sd, funct »ionala
Tnare urm¸ atoarele propriet¸ at »i : este pozitiv omogen¸ a (din Observat »ia an-
terioar¸ a (i)), monoton cresc¸ atoare (din Observat »ia (iii)) » si subliniar¸ a (din
Observat »ia (ii)).
Fief; g2C+(Sd). Avem f=f¡g+g· jf¡gj+g, din care, ^ ³n
mod succesiv obt »inem Tn(f)·Tn(jf¡gj) +Tn(g), that is Tn(f)¡Tn(g)·
Tn(jf¡gj).
Scriind acum g=g¡f+f· jf¡gj+f» si aplic^ ³nd rat »ionamentele de
mai sus, rezult· a Tn(g)¡Tn(f)·Tn(jf¡gj), care combinata cu inegalitatea
de mai sus, ne da jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj). ¤
Primul rezultat principal este analog Teoremei 1 din [13] » si se refer¸ a la
aproximare uniform¸ a.
Teorema 2.1.3. (Gal-Opri» s [46]) Fie¹o funct »ie de mult »imi, normal-
izata, monoton¸ a, submodular¸ a » si strict pozitiva pe BSd, astfel ^ ³nc^ ³t supp(¹)n
@Sd6=;. Pentru ¯ecare f2C+(Sd)avem
lim
n!1kMn;¹(f)¡fkC(Sd)= 0;
undekFkC(Sd)= max fjF(x)j;x2Sdg.

8CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Demonstrat »ie. Urmam rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 1
din [13], pastr^ ³nd » si notat »iile de acolo.
^In acest sens, ¯e ¦ dmult »imea tuturor permutarilor mult »imii fd; d¡
1; :::;1;0g» si notam a=®
n=¡®0
n; :::;®d
n¢
2Sd, ^ ³n coordonate baricentrice.
Pentru ¼2¦d, s¸ a consider¸ am (^ ³n coordonate baricentrice)
S¼=fa= (a0; a1; :::; a d)2Sd;a¼(d)·a¼(d¡1)·:::·a¼(1)·a¼(0)g:
De asemenea, pentru ´ > 0,a2Sd» si¼2¦d, s¸ a de¯nim cubul deschis
d-dimensional
U¼(a;´)
=fx2Rd;a¼(d)¡´ < x ¼(d)< a ¼(d)+´; :::; a ¼(1)¡´ < x ¼(1)< a ¼(1)+´g
» si simplexul ^ ³nchis, d-dimensional
V¼(a;´) =fx2Rd;a¼(d)·x¼(d)·a¼(d)+´; :::; a ¼(1)·x¼(1)·a¼(1)+´;
a¼(d)+:::+a¼(1)·x¼(d)+:::+x¼(1)·a¼(d)+:::+a¼(1)+´g:
Observ¸ am c¸ a dac¸ a a2Sd» si 0< ´·1
d+1, atunci V¼(a;´)µSd(vezi [13],
p. 327).
Pentru " >0, din continuitatea uniform¸ a a lui fpeSd, exist¸ a ± >0,
astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i x; y2Sdcukx¡yk1<±, rezult· a jf(x)¡f(y)j< ",
undekx¡yk1:= max fjxi¡yij;i= 1; :::; dg.
S¸ a lu¸ am ±= min f±=d;1=(d+ 1);1=6g,M=kfkC(Sd),j®j=n,¼2¦d,
a=®
n2Sd.
Urmimd ideile demonstrat »iei din [13], p. 328, putem scrie
jc(®; ¹)¡f(a)j
=¯¯¯¯(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)¡(C)R
Sdf(a)¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)¯¯¯¯(2.2)

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 9
=j(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)¡(C)R
Sdf(a)¢P®(t)d¹(t)j
(C)R
SdP®(t)d¹(t)
·(C)R
Sdjf(t)¡f(a)j ¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)(2.3)
·(C)R
SdTU¼(a;±)jf(t)¡f(a)j ¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)
+(C)R
SdnU¼(a;±)jf(t)¡f(a)jP®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)(2.4)
·"+ 2M¢(C)R
SdnU¼(a;±)P®(t)d¹(t)
(C)R
Sd\U¼(a;±)P®(t)d¹(t)(2.5)
·"+ 2M¢(C)R
SdnU¼(a;±)P®(t)d¹(t)
(C)R
V¼(a;±2)P®(t)d¹(t)(2.6)
·"+ 2M¢maxfP®(x);x2SdnU¼(a;±)g ¢¹(Sd)
minfP®(x);x2V¼(a;±2)g ¢¹(V¼(a;±2))(2.7)
·"+ 2M¢maxfP®(x);x2SdnU¼(a;±)g
minfP®(x);x2V¼(a;±2)g ¢infa2S¼¹(V¼(a;±2)):
Observ¸ am c¸ a mai sus, (2.2) este obt »inut¸ a din Observat »ia anterioar¸ a, (i),
(2.3) este obt »inut¸ a din Lema 2.1.2, (2.4) este obt »inut¸ a din inegalitatea a
doua a Observat »iei (iv) (deoarece ¹este » si subaditiv¸ a), (2.5), (2.6) sunt
obt »inute din Observat »iile (iii), (i) » si din prima inegalitate din Observat »ia
(iv), ^ ³n timp ce (2.7) este obt »inut¸ a din Observat »iile (iii), (i) » si (v).
Deoarece ^ ³n demonstrat »ia Lemei 2 din [13], doar monotonia » si strict
pozitivitatea m¸ asurii este folosit¸ a, ^ ³n mod analog rezult· a c¸ a
inf
a2S¼¹(V¼(a;±2))>0:
Pe deasupra, deoarece ^ ³n restul demonstrat »iei Teoremei 1 din [13], m¸ asura
nu mai este implicat¸ a (vazi Lemele 3, 4 » si 5 din [13]), obt »inem imediat » si
demonstrat »ia Teoremei 2.1.3. ¤

10CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Al doilea rezultat principal este un analog al Teoremei 1 din [14] » si se
refera la convergent »a punctual¸ a. ^In acest sens, analiz^ ³nd rat »ionamentele
din demonstrat »ia Teoremei 1 din [14] » si folosind acelea» si propriet¸ at »i ale
integralei Choquet ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.1.3 de mai sus, rezult· a
u» sor urm¸ atoarea.
Teorema 2.1.4. (Gal-Opri» s [46]) Fie¹o funct »ie de mult »imi, nor-
malizata, monoton¸ a, submodular¸ a pe BSd, cu supp(¹)n@Sd6=;. Dac¸ a
f2L1
¹(Sd)» sif(x)¸0, pentru tot »i x2Sd, atunci ^ ³n ¯ecare punct
x2supp(¹)unde fese continu¸ a, avem
lim
n!1jMn;¹(f)(x)¡f(x)j= 0:
Observat »ii. 1) Potrivit cu Observat »ia anterioara, (vi), un exemplu
de funct »ie de mult »imi ¹, submodular¸ a » si satisfac^ ³nd toate cerint »ele din
enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4, poate ¯ simplu de¯nita prin ¹(A) =
p
ș(A), unde șeste o m¸ asur¸ a Borel de probabilitate ca » si ^ ³n [13] » si [14].
De asemenea, este bine de notat ca datorita nonlinearitat »ii integralei Cho-
quet (vezi Observat »ia (ii)), spre deosebire de cazul din [13], [14], operatorul
Bernstein-Durrmeyer-Choquet este nelinear.
2) Pozitivitatea funct »iei fdin Teoremele 2.1.3 » si 2.1.4 este necesar¸ a din
cauza pozitiv omogeneitat »ii integralei Choquet, aplicata ^ ³n demonstrarea
relat »iei (2.2). Totusi, dac¸ a feste de semn arbitrar pe Sd, atunci rezult· a
imediat ca enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4 au loc pentru operatorii
Bernstein-Durrmeyer-Choquet u» sor modi¯cat »i, de¯nit »i prin
M¤
n;¹(f)(x) =Mn;¹(f¡m)(x) +m;
unde m2Reste o margine inferioar¸ a pentru f, adic¸ a f(x)¸m, pentru
tot »ix2Sd.

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 11
2.2 Aproximare cu operatori integrali posi-
bilistici
Prin analogie cu schema general¸ a a lui Feller folosit¸ a ^ ³n construct »ia » sirurilor
de operatori liniari » si pozitivi, convergent »i la funct »ia aproximata, ^ ³n aceast¸ a
sect »iune vom introduce » si studia schema lui Feller bazata pe ^ ³nlocuirea inte-
gralei clasice, cu integrala posibilistic¸ a. ^In acest mod, se vor construi » siruri
de operatori neliniari, care converg la funct »ia aproximata. ^In particular, ^ ³n
cazul discret, se reobt »in a» sa numit »ii operatori de tip max-produs Bernstein
» si rezultatele lor calitative de convergent »a. De asemenea, operatori posi-
bilistici neliniari de tip Picard, Gauss-Weierstrass » si Poisson-Cauchy sunt
studiat »i iar cei de tipul de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jackson sunt mentionat »i
pentru direct »ii viitoare de cercetare.
2.2.1 Introducere
^In lucrarea foarte recent¸ a Gal [34], a» sa numit »ii operatori max-produs de tip
Bernstein, tip Favard-Sz¶ asz-Mirakjan, tip Baskakov, tip Bleimann-Butzer-
Hahn » si tip Meyer-KÄ onig-Zeller (ale c¸ aror propriet¸ ati cantitative de aproxi-
mare au fost studiate intensiv ^ ³n multe lucr¸ ari, ca de exemplu, ^ ³n [10], [11],
[19]-[22], vezi » si bibliogra¯a din [34]), au fost ^ ³n mod natural interpretat »i
ca » si valori de expectant »a posibilistic¸ a ale unor variabile fuzzy particulare
discrete, av^ ³nd variate distribut »ii de posibilitate. Folosind idea lui Bernstein
din [16], (vezi de asemenea mult mai accesibila lucrare [54]), dar bazat »i pe
o inegalitate de tip Chebyshev din teoria posibilit¸ at »ii, aceste interpret¸ ari au
permis obt »inerea unor rezultate calitative de convergent »¸ a.
Este bine de ment »ionat aici c¸ ateoria posibilit¸ atii este o teoria matematic¸ a
bine dezvoltat¸ a, ocup^ ³ndu-se cu anumite tipuri de fenomene de incertitu-

12CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
dine, ¯ind considerat¸ a ca » si o alternativ¸ a la teoria probabilit¸ at »ilor (vezi, de
exemplu, [29], [24]).
Scopul principal al acestei sect »iuni este de a prezenta binecunoscuta
schem¸ a probabilistic¸ a a lui Feller , ^ ³n cadrul teoriei posibilitat »ii. ^In par-
ticular, aceast¸ a schem¸ a va permite nu doar o alta abordare a operatorilor
max-produs, dar » si introducerea a multor altor operatori posibilistici de
aproximare.
Mai ^ ³nt^ ³i, s¸ a reamintim c¸ a o schem¸ a clasic¸ a ^ ³n construirea de » siruri de
operatori liniari » si pozitivi, este schema probabilistic¸ a a lui Feller (vezi [31],
Capitolul 7, sau mai detailat, [4], sect »iunea 5.2, pp. 283-319).
Descris¸ a pe scurt, ea const¸ a^ ³n ata» sarea la o funct »ie continu¸ a » si m¸ arginit¸ a
f:R!R, a unor operatori de aproximare de forma
Ln(f)(x) =Z
­f±Z(n; x)dP=Z
RfdP Z(n;x);
unde Peste o m¸ asur¸ a de probabilitate pe spat »iul m¸ asurabil (­ ;C),Z:
N£I! M 2(­), cu Iun subinterval a lui R,M2(­) reprezint¸ a spat »iul
tuturor variabilelor aleatoare de patrat integrabile pe ­ ^ ³n raport cu Piar
PZ(n;x)denota distibutia variabilei aleatoare Z(n; x) ^ ³n raport cu Pde¯nita
prin PZ(n;x)(B) =P(Z¡1(n; x)(B)), pentru toate submult »imile lui R,B-
Borel m¸ asurabile. Apoi, not^ ³nd cu E(Z(n; x)) » si V ar(Z(n; x)) expectant »a
» si variant »a variabilei aleatoare Z(n; x), ^ ³n mod respectiv, » si presupun^ ³nd c¸ a
limn!1E(Z(n; x)) = x, lim n!1V ar(Z(n; x)) = 0, ^ ³n mod uniform pe I,
este demonstrat c¸ a pentru toate fca mai sus, Ln(f) converge la funiform
pe ¯ecare subinterval compact al lui I.
^In plus, dac¸ a pentru variabila aleatoare Z(n; x), densitatea ei de proba-
bilitate ¸n;xeste cunoscuta, atunci pentru orice fputem scrie
Z
RfdP Z(n;x)=Z
Rf(t)¢¸n;x(t)dP(t);

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 13
formula care este folositoare ^ ³n construirea de operatori concreti Ln(f)(x).
^In lucrarea foarte recenta Gal [35], schema lui Feller a fost generalizata
la cazul c^ ³nd integrala liniara clasica, este ^ ³nlocuita cu integrala neliniara
Choquet ^ ³n raport cu o funct »ie de mult »imi, monoton¸ a » si subaditiv¸ a.
Prin analogie cu considerat »iile de mai sus, ^ ³n subsect »iunea urm¸ atoare
vom considera o schem¸ a Feller bazata pe integrala posibilistic¸ a, pentru con-
struirea de » siruri convergente de operatori neliniari.
^In particular, ^ ³n cazul discret, se reobt »in a» sa numit »ii operatori de tip
max-produs Bernstein » si rezultatele lor calitative de convergent »a. De aseme-
nea, operatori posibilistici neliniari de tip Picard, Gauss-Weierstrass » si Pois-
son-Cauchy sunt studiat »i, iar cei de tipul de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jack-
son sunt mentionati pentru directii viitoare de cercetare.
2.2.2 Schema lui Feller^ ³n termenii integralei posibilis-
tice
Mai ^ ³ntii sumariz¸ am concepte binecunoscute pentru variabile fuzzy dis-
crete » si ne-discrete din teoria posibilitatii, care ne vor ¯ utile ^ ³n celelalte
subsect »iuni ale acestei sect »iuni.
Dup¸ a cum se vede u» sor, aceste concepte sunt corespondente celor din
teoria probabilitat »ilor, precum variabila aleatoare, distribut »ie de probabili-
tate, valoare medie (expectant »a), probabilitate, etc. Pentru detalii, se pot
consulta, de exemplu, [29] » si [24].
De¯nit »ia 2.2.1. Fie ­ o mult »ime nevid¸ a, discret¸ a (adic¸ a cel mult
num¸ arabila) sau o mult »ime ne-discret¸ a.
(i) O variabil¸ a fuzzy Xeste o aplicat »ie X: ­!R. Dac¸ a ­ este o
mult »ime discret¸ a, atunci Xeste numit¸ a variabil¸ a fuzzy discret¸ a. Dac¸ a ­

14CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
este ¯nita atunci Xeste numit¸ a o variabil¸ a fuzzy ¯nita. Dac¸ a ­ este ne
discret¸ a, atunci Xeste numit¸ a variabil¸ a fuzzy ne-discret¸ a.
(ii) O distribut »ie posibilistic¸ a (pe ­), este o funct »ie ¸: ­![0;1], astfel
^ ³nc^ ³t sup f¸(s);s2­g= 1.
(iii) Expectant »a posibilistic¸ a a unei variabile fuzzy X(pe ­), cu distribut »ia
posibilistic¸ a ¸este de¯nita prin Msup(X) = sups2­X(s)¸(s). Variant »a posi-
bilistic¸ a a lui Xeste de¯nita prin
Vsup(X) = sup f(X(s)¡Msup(X))2¸(s);s2­g:
(iv) Dac¸ a ­ este o mult »ime nevid¸ a, atunci o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a este
o aplicat »ie P:P(­)![0;1], satisfac^ ³nd axiomele P(;) = 0, P(­) = 1 » si
P(S
i2IAi) = sup fP(Ai);i2Igpentru toate Ai2­, » si orice I, o familie
de indici cel mult num¸ arabila (dac¸ a ­ este ¯nita, atunci ^ ³n mod evident » si I
trebuie s¸ a ¯e ¯nita). Observ¸ am c¸ a dac¸ a A; B½­, satisface A½B, atunci
din ultima proprietate rezult¸ a u» sor c¸ a P(A)·P(B) » si c¸ a P(ASB)·
P(A) +P(B).
Este binecunoscut faptul (vezi, de exemplu, [29]) c¸ a orice distribut »ie
posibilistic¸ a ¸pe ­, induce o m¸ asur¸ a de posibilitate P¸:P(­)![0;1],
dat¸ a de formula P¸(A) = sup f¸(s);s2Ag, pentru toate A½­.
Pentru ¯ecare variabil¸ a fuzzy (posibilistic¸ a) X: ­!R, putem de¯ni
m¸ asura ei de distribut »ie ^ ³n raport cu m¸ asura de posibilitate Pindus¸ a de
distribut »ia posibilistic¸ a ¸, prin formula
PX:B !R+; PX(B) =P(X¡1(B)) =P(f!2­;X(!)2Bg); B2 B;
undeR+= [0;+1) iarBeste clasa tuturor submult »imilor lui Rcare sunt
Borel m¸ asurabile. Este clar c¸ a PXeste o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a pe B, indus¸ a
de c¸ atre distribut »ia posibilistic¸ a de¯nit¸ a de
¸¤
X:R![0;1]; ¸¤
X(t) = sup f¸(!);!2X¡1(t)g;ifX¡1(t)6=;;

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 15
¸¤
X(t) = 0 ;ifX¡1(t) =;:
(v) (vezi, de exemplu, [24]) Integrala posibilistic¸ a a lui f: ­!R+
peA½­, ^ ³n raport cu m¸ asura posibilistic¸ a P¸indus¸ a de c¸ atre distribut »ia
posibilistic¸ a ¸, este de¯nita prin
(Pos)Z
Af(t)dP¸(t) = sup ff(t)¢¸(t);t2Ag:
Este clar c¸ a aceast¸ a De¯nit »ie este un caz particular al integralei posibilistice
^ ³n raport cu o semi-norma t, introdus¸ a ^ ³n [24], lu^ ³nd acolo t(x; y) =x¢y.
De asemenea, not^ ³nd ¤ 1: ­![0;1], ¤ 1(x) = 1, pentru tot »i x2­, este
imediat c¸ a putem scrie
(Pos)Z
Af(t)dP¤1(t) = sup ff(t);t2Ag;
(Pos)Z
Af(t)dP¸(t) = (Pos)Z
Af(t)¢¸(t)dP¤1
» sidP¸(t) =¸(t)¢dP¤1(t).
Este de asemenea bine de mentionat c¸ a de¯nit »ia conceptului de mai sus
de integrala posibilistic¸ a, are un sens doar pentru funct »ii cu valori poz-
itive, deoarece, de exemplu, dac¸ a notam R¡= (¡1;0], atunci pentru
price f: ­!R¡cuf(!0) = 0 pentru un anumit !02A½­, primim
(Pos)R
Af(t)dP¸(t) = 0.
^In cele ce urmeaz¸ a, de asemenea avem nevoie^ ³n cadrul teoriei posibilitat »ii
de o analoaga a inegalitat »ii lui Chebyshev din teoria probabilitat »ilor.
Teorema 2.2.2. (vezi [34]) Fie­o mult »ime nevid¸ a, ¸: ­![0;1]» si
consider¸ am X: ­!Rcu distribut »ia de posibilitate ¸. Atunci, pentru orice
r >0avem
P¸(fs2­;jX(s)¡Msup(X)j ¸rg)·Vsup(X)
r2;
unde P¸este m¸ asur¸ a de posibilitate indus¸ a de ¸.

16CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Acest rezultat a fost demonstrat ^ ³n Teorema 2.2 din [34] pentru ­
mult »ime discret¸ a, dar analiz^ ³nd demonstrat »ia ei, este evident c¸ a ea ram^ ³ne
adevarata » si ^ ³n cazul ne-discret.
^In cazul particular c^ ³nd X: ­!R+, ^ ³n termenii integralei posibilistice,
inegalitatea lui Chebyshev poate ¯ scris¸ a ca si
P¸(fs2­;jX(s)¡(Pos)Z
­X(t)dP¸(t)j ¸rg)
·(Pos)R
­(X¡(Pos)R
­X(t)dP¸(t))2dP¸
r2:
^In cele ce urmeaz¸ a, prin analogie cu schema lui Feller din teoria probabi-
litat »ilor, care produce operatori liniari » si pozitivi cu propriet¸ at »i frumoase de
aproximare, vom considera o schem¸ a de aproximare analoaga, dar care va
produce operatori de aproximare neliniari, construiti cu ajutorul integralei
posibilistice.
^In acest scop, s¸ a notam cu V arb(­) clasa tuturor X: ­!Rm¸ arginite
» si cu V arb
+(­) clasa tuturor X: ­!R+, m¸ arginite. De asemenea, pentru
I½Run interval (m¸ arginit sau nem¸ arginit), s¸ a consider¸ am aplicat »ia Z
de¯nita peN£I!Yunde Y=V arb(­) sau Y=V arb
+(­), depinz^ ³nd de
context.
observ¸ am c¸ a dac¸ a pentru orice ( n; x)2N£Iavem Z(n; x)2V arb
+(­),
atunci pentru conceptele de expectant »a posibilistic¸ a » si variant »a posibilistic¸ a
a lui Z(n; x) (de¯nite prin De¯nit »ia 2.2.1, (iii), de mai sus) putem scrie
formulele integrale
Msup(Z(n; x)) = ( Pos)Z
­Z(n; x)(t)dP¸(t) :=®n;x; (2.8)
Vsup(Z(n; x)) = ( Pos)Z
­(Z(n; x)(t)¡®n;x)2dP¸(t) :=¾2
n;x: (2.9)

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 17
Acum, potrivit schemei lui Feller, la f:R!R+s¸ a ata» sam un » sir de
operatori prin formula
Ln(f)(x) := ( Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t); n2N; x2I; (2.10)
unde PZ(n;x)este de¯nita ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv), adic¸ a ^ ³n raport cu
m¸ asura de posibilitate P¸indus¸ a de distribut »ia posibilistic¸ a ¸.
Mai ^ ³nt^ ³i, pentru operatorii dat »i de (2.10), are loc urm¸ atoarea formul¸ a
de reprezentare.
Lema 2.2.3. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Cu notat »iile anterioare,
dac¸ a Z:N£I!V arb(­)si, ^ ³n plus, f:R!R+este m¸ arginit¸ a pe R,
atunci are loc formula
Ln(f)(x) = (Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸; x2I
(2.11)
» si ambele integrale sunt ¯nite.
Dac¸ a f:I!R+este m¸ arginit¸ a pe I, unde I½Reste un subinterval
» siP¸(f!2­;Z(n; x)(!)62Ig) = 0 , atunci avem
Ln(f)(x) = (Pos)Z
If(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸:
Demonstrat »ie. Din de¯nit »ia integralei posibilistice (vezi De¯nit »ia 2.2.1,
(v)), putem scrie
R:= (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸= supff[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2­g
si
L:= (Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = sup ff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg
= supff(t)¢supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g;t2Rg;

18CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
unde ¸¤
Z(n;x)induce m¸ asura posibilistic¸ a PZ(n;x)» si este de¯nit¸ a cu ajutorul
lui¸, ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv).
Fie!2­ ¯xata, arbitrara » si notam Z(n; x)(!) =t. Primim
f[Z(n; x)(!)]¢¸(!) =f(t)¢¸(!)·f(t)¢supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g
·supff(t)¢supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g;t2Rg=L:
Trec^ ³nd la supremum dup¸ a !2­, primim R·L.
Invers, ¯e " >0 » sit2Rarbitrare, ¯xate. exist¸ a !"2Z¡1(n; x)(t),
astfel ^ ³nc^ ³t
supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g< ¸(!") +":
Aceasta implic¸ a
f(t)¢¸¤
Z(n;x)(t)< f[Z(n; x)(!")]¢(¸(!") +")
·supff[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2­g+"¢K=R+"¢K;
unde K= sup ff(t);t2Rg. Trec^ ³nd la supremum cu t2R, primim
L·R+"¢K. Cum " >0 este arbitrar, trec^ ³nd aici la supremum cu "!0,
rezult¸ a L·R, ceea ce conduce la L=R.
Deoarece fese m¸ arginit¸ a pe R, ¯nitudinea ambelor integrale L» siReste
imediat¸ a.
Pentru a doua parte a lemei, extindem fla o funct »ie m¸ arginit¸ a f¤:
R!R+. Deoarece P¸este o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a, aceasta implic¸ a faptul c¸ a
PZ(n;x)este o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a.
Dar, pentru orice m¸ asur¸ a posibilistic¸ a P½,A» siBcuP½(B) = 0 » si orice
funct »ie m¸ arginit¸ a F:ASB!R+, avem
(Pos)Z
AFdP ½·(Pos)Z
ASBFdP ½= supfF(t)¢½(t);t2A[
Bg

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 19
= max fsupfF(t)¢½(t);t2Ag;supfF(t)¢½(t);t2Bgg
·supfF(t)¢½(t);t2Ag+ supfF(t)¢½(t);t2Bg
= (Pos)Z
AFdP ½+ (Pos)Z
BFdP ½= (Pos)Z
AFdP ½;
adic¸ a,
(Pos)Z
ASBFdP ½= (Pos)Z
AFdP ½;
pentru ca
(Pos)Z
BFdP ½= supfF(t)¢½(t);t2Bg · k FkB¢supf½(t);t2Bg
=kFkB¢P½(B) = 0 :
AicikFkB= supfF(t);t2Bg<1.
Aplic^ ³nd asta pentru A=I,B=RnI,F=f¤» siP½=PZ(n;x), din
concluzia primei parti a lemei, obt »inem imediat
(Pos)Z
­f¤±Z(n; x)dP¸= (Pos)Z
Rf¤dPZ(n;x)= (Pos)Z
IfdP Z(n;x):
Apoi, deoarece prin ipotez¸ a avem sup f¸(!);!2­; !62Z¡1(n; x)(I)g= 0
» si deci sup f¸(!);!2­; !2Z¡1(n; x)(I)g= 1, obt »inem
(Pos)Z
­f¤±Z(n; x)dP¸
= max fsupff¤[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2­; !2Z¡1(n; x)(I)g;
supff¤[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2­; !62Z¡1(n; x)(I)gg
= supff[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2­; !2Z¡1(n; x)(I)g
= (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸;
deoarece
0·supff¤[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2­; !62Z¡1(n; x)(I)g

20CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
· kf¤k ¢supf¸(!);!2­; !62Z¡1(n; x)(I)g= 0:
Demonstrat »ia lemei este completa. ¤
Observat »ie. ^In mod explicit, formula (2.11) poate ¯ scris¸ a ca
Ln(f)(x) = sup ff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg= supff[Z(n; x)(t)]¢¸(t);t2­g;
unde ¸¤
Z(n;x)(t) este de¯nita ^ ³n raport cu ¸, ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv).
Deoarece urm¸ atorul rezultat principal folose» ste cantitatea ®n;xdat¸ a de
formula (2.8), ^ ³n mod necesar vom presupune ca Z(n; x)2V arb
+(­).
Are loc urm¸ atorul rezultat de tip Feller.
Teorema 2.2.4. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) FieI½Run subin-
terval, Z(n; x)2V arb
+(­)pentru tot »i (n; x)2N£I» si s¸ a presupunem c¸ a
f:R!R+este uniform continu¸ a » si m¸ arginit¸ a pe R. Cu notat »ile din for-
mulele (2.8), (2.9) » si din enunt »ul Lemei 2.2.3, dac¸ a limn!+1®n;x=x» si
limn!+1¾2
n;x= 0, uniform ^ ³n raport cu x2I, atunci limn!1Ln(f)(x) =
f(x), uniform ^ ³n raport cu x2I.
Demonstrat »ie. Deoarece feste uniform continu¸ a pe R, pentru orice
" >0, exist¸ a ± >0, astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i t; x2Rcujt¡xj< ±, avem
jf(t)¡f(s)j ·"=2.
Avem
jLn(f)(x)¡f(®n;x)j=j(Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t)¡f(®n;x)j
=jsupff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg ¡supff(®n;x)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rgj
·supfjf(t)¡f(®n;x)j¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg= (Pos)Z
Rjf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t):
S¸ a consider¸ am descompunerea
R=ft2R;jt¡®n;xj< ±g[
ft2R;jt¡®n;xj ¸±g:=T1[
T2

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 21
» si s¸ a not¸ am ­ T1=Z¡1(n; x)(T1), ­ T2=Z¡1(n; x)(T2).
Din de¯nit »ia integralei posibilistice, obt »inem u» sor
(Pos)Z
Rjf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)
= max
f(Pos)Z
T1jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t);(Pos)Z
T2jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)g
·(Pos)Z
T1jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t) + (Pos)Z
T2jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)
·"
2(Pos)Z
T11¢dPZ(n;x)(t) + 2kfk ¢P¸(fjZ(n; x)¡®n;xj ¸±g)
·"
2+ 2kfk ¢¾2
n;x¢±¡2·"
2+"
2=";
pentru tot »i n¸n0, uniform ^ ³n raport cu x2I.
Mai sus, kfk= supfjf(t)j;t2Rg» si de asemenea am folosit relat »iile
(Pos)Z
T11¢dPZ(n;x)(t) = sup f1¢¸¤
Z(n;x)(t);t2T1g
= supf¸(!);!2­T1g ·1;
(Pos)Z
T2jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)·2kfk ¢(Pos)Z
T21¢dPZ(n;x)(t)
= 2kfk ¢supf¸(!);!2­T2g
= 2kfk ¢P¸(­T2) = 2kfk ¢P¸(f!2­;jZ(n; x)(!)¡®n;xj ¸±g)
» si inegalitatea lui Chebyshev din Teorema 2.2.2, ceea ce implic¸ a
P¸(f!2­;jZ(n; x)(!)¡®n;xj ¸±g)
=P¸µ½
!2­;¯¯¯¯Z(n; x)(!)¡(Pos)Z
­Z(n; x)dP¸¯¯¯¯¸±¾¶
·(Pos)R
­[Z(n; x)¡(Pos)R
­Z(n; x)dP¸]2dP¸
±2=Vsup(Z(n; x))
±2=¾2
n;x
±2:¤

22CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Observat »ii. 1) Analiz^ ³nd demonstrat »ia Teoremei 2.2.4, rezult¸ a u» sor c¸ a
fara nici o schimbare ^ ³n demonstrat »ia ei, constructia operatorilor Ln(f)(x)
poate ¯ u» sor generalizata consider^ ³nd c¸ a nu doar Zdepinde de n» six, dar
c¸ a » si ¸(» si ^ ³n consecint »¸ a » si P¸) pot depinde de n» six. Mai exact, putem
considera Ln(f)(x) de forma mai geerala
Ln(f)(x) := ( Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x; x2I;
unde P¸n;x:P(­)![0;1], (n; x)2N£I, este o familie de masuri posi-
bilistice induse de o familie de distribut »ii posibilistice ¸n;x, (n; x)2N£I.
Aceast¸ a Observat »ie este folositoare ^ ³n producerea de exemple concrete de
astfel de operatori.
De asemenea, este bine de notat aici c¸ a dac¸ a presupunem c¸ a P¸(f!2
­;Z(n; x)(!)62Ig= 0, atunci operatorii Lnpot ¯ ata» sat »i la funct »ii con-
tinue, m¸ arginite de¯nite pe subinterval I½R,f:I!R+, extinz^ ³nd f
la o funct »ie continu¸ a » si m¸ arginit¸ a, f¤:R!R+» si tin^ ³nd cont the relat »ia
evidenta
(Pos)Z
Rf¤dPZ(n;x)= (Pos)Z
IfdP Z(n;x):
2) Dac¸ a f:I!Rnu este neaparat pozitiva, dar este m¸ arginit¸ a, atunci
^ ³n mod evident c¸ a exist¸ a o constant¸ a c >0 astfel ^ ³nc^ ³t f(x) +c¸0, pentru
tot »ix2I» si ^ ³n acest caz, pentru n2N, putem ata» sa lui foperatorii de
aproximare
Ln(f)(x) = (Pos)Z
I(f(t) +c)dPZ(n;x)(t)¡c
= (Pos)Z
­(f+c)±Z(n; x)dP¸n;x¡c:
3) Ca » si cazuri particulare de operatori pentru care propriet¸ at »ile cal-
itative de aproximare pot ¯ deduse prin schema lui Feller din Teorema

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 23
2.2.4, sunt tot »i a» sa numit »ii operatori Bernstein de tip max-produs. Ast-
fel, de exemplu, dac¸ a luam ­ = f0;1; :::; ng,I= [0;1],Z(n; x)(k) =k
n,
f: [0;1]!R+,¸n;x(k) =pn;k(x)Wn
j=0pn;j(x), cu pn;k(x) =¡n
k¢
xk(1¡x)n¡k» si
Wn
j=0pn;j(x) = max j=f0;:::;ngfpn;j(x)g, atunci prin formula din Lema 2.2.3 » si
din de¯nit »ia integralei posibilistice, primim
Ln(f)(x) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x=nW
k=0pn;k(x)f¡k
n¢
nW
k=0pn;k(x);
care sunt exact operatorii Bernstein max-produs B(M)
n(f)(x). Propriet¸ at »ile
calitative de aproximare ale lui B(M)
n(f)(x) pot ¯ deduse acum din Teorema
2.2.4.
^In mod analog, dac¸ a, de exemplu, luam ­ = f0;1; :::; k; :::; gnum¸ arabil¸ a
» siP¸n;xm¸ asura posibilistic¸ a indus¸ a de distribut »ia posibilistic¸ a
¸n;x(k) =sn;k(x)W1
k=0sn;k(x); x2[0;+1); k2N[
f0g;
cusn;k(x) =(nx)k
k!» siW1
k=0sn;k(x) = max k=f0;1;:::;k;:::; gfsn;k(x)g, atunci for-
mula din Lema 2.2.3 ne da operatorii max-produs Favard-Sz¶ asz-Mirakjan.
^Intr-un mod similar, din Teorema 2.2.4 pot ¯ obt »inute propriet¸ at »i de
aproximare calitative » si pentru alti operatori de tip max-produs, precum
pentru cei de tip Baskakov, de tip Bleimann-Butzer-Hahn » si de tip Meyer-
KÄ onig-Zeller.
Este bine de mentionat aici c¸ a folosind alte metode (directe), pentru
ace» sti operatori s-au obt »inut estim¸ ari cantitative^ ³ntr-o serie lunga de lucr¸ ari,
vezi de exemplu, [10], [11], [19]-[22] » si bibliogra¯ile lor.

24CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
2.2.3 Aproximare cu operatori posibilistici de convo-
lut »ie
^In aceast¸ a subsect »iune, folosind schema lui Feller anterioara, introducem » si
studiem variante posibilistice ale operatorilor liniari clasici de convolutie ai
lui Picard, Gauss-Weierstrass » si Poisson-Cauchy, date ^ ³n mod formal prin
formulele
Pn(f)(x) =n
2Z
Rf(t)e¡njx¡tjdt; W n(f)(x) =pnp¼Z
Rf(t)e¡njt¡xj2dt;
Qn(f)(x) =n
¼Z
Rf(t)
n2(t¡x)2+ 1;
^ ³n mod respectiv, unde n2Nandx2R.
Not^ ³nd ­ = f0;1; :::; k; :::; g» siZ(n; x) ca » si ^ ³n Observat »ia 3) anterioara
» si de¯nind ¸n;x(k) =e¡njx¡k=njW1
k=¡1e¡njx¡k=nj, prin formula din Lema 2.2.3
Ln(f)(x) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x;
obt »inem urmatorii operatori posibilistici (max-produs !) discreti, ai lui Pi-
card
P(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢e¡njx¡k=nj
W+1
k=¡1e¡njx¡k=nj:
^In mod similar, pentru ¸n;x(k) =e¡n(x¡k=n)2
W1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2si
¸n;x(k) =1=(n2(x¡k=n)2+ 1)W1
k=01=(n2(x¡k=n)2+ 1);
obt »inem urm¸ atorii operatori posibilistici (max-produs !) discret »i
W(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2
W+1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2;- de tip Gauss-Weierstrass ;
Q(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢1
n2(x¡k=n)2+1W+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1;- de tip Poisson-Cauchy :

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 25
S¸ a not¸ am cu BUC +(R), spat »iul tuturor funct »iilor uniform continue, m¸ arginite
» si cu valori pozitive. Convergent »a acestor operatori poate ¯ demonstratat¸ a
folosind Teorema 2.2.4. Totu» si, putem obt »ine » si urm¸ atoarele estim¸ ari can-
titative, prin demonstrat »ie direct¸ a, dup¸ a cum urmeaz¸ a.
Teorema 2.2.5. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Pentru orice f2
BUC +(R)avem
jP(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=n)R:
Demonstrat »ie. Este u» sor de vazut c¸ a au loc propriet¸ at »ile P(M)
n(f+g)(x)·
P(M)
n(f)(x) +P(M)
n(g)(x),P(M)
n(®f)(x) =®¢P(M)
n(f)(x) » si ca f(x)·g(x),
pentru tot »i x2R, implic¸ a P(M)
n(f)(x)·P(M)
n(g)(x), pentru tot »i x2R,
n2N.
Deci, potrivit estim¸ arii din Corolarul 2.4 din [10], primim
jP(M)
n(f)(x)¡f(x)j ··
1 +1
±P(M)
n('x)(x)¸
!1(f;±)R;
unde 'x(t) =jt¡xj.
Aici
P(M)
n('x)(x) =W+1
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡njx¡k=nj
W+1
k=¡1e¡njx¡k=nj; x2R:
Fien2N» six2R¯xate. Exist¸ a un unic k02Z, astfel ^ ³nc^ ³t x2£k0
n;k0+1
n¤
.
Este clar c¸ a supremumul de la numitorul lui P(M)
n('x)(x) este atins pentru
acelk2Zpentru care jx¡k=njare valoare minima, ceea ce implic¸ a faptul
ca
minfjx¡k=nj;k2Zg= min fx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg:
De asemenea, deoarece functia h(y) =y¢e¡ny,y¸0 are y=1
nca » si punct
de maxim global, rezult¸ a u» sor c¸ a supremumul de la numaratorul lui este
at »ins de acel k2Zpentru care jx¡k=njeste cel mai aproape de valoarea

26CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
1
n, ceea ce implic¸ a acea valoare a lui kpentru care jx¡k=njare valoare
maxim¸ a, adic¸ a
maxfjx¡k=nj;k2Zg= max fx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg:
^In concluzie, pentru tot »i n2N» six2£k0
n;k0+1
n¤
, obt »inem
P(M)
n('x)(x) =maxfx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg ¢e¡n¢maxfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
e¡n¢minfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
= max fx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg ¢en¢minfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
en¢maxfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
·maxfx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg ·1
n:
Aceasta implic¸ a imediat estimarea dorit¸ a. ¤
De asemenea, putem considera trunchiat »ii operatorului P(M)
n.^In acest
sens, putem enunt »a urm¸ atorul.
Corolar 2.2.6. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Fie(m(n))n2Nun » sir
de numere naturale cu proprietatea ca limn!1m(n)
n= +1iar pentru f2
BUC +(R)s¸ a de¯nim
T(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢e¡njx¡k=nj
W+m(n)
k=¡m(n)e¡njx¡k=nj:
Atunci, T(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe orice subinterval
compact de forma [¡A; A],A >0.
Demonstrat »ie. Rat »ion^ ³nd exact ca » si^ ³n cazul operatorului netrunchiat,
ajungem la estimarea
jT(M)
n(f)(x)¡f(x)j ··
1 +1
±T(M)
n('x)(x)¸
!1(f;±)R;
unde
T(M)
n('x)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)jx¡k=nj ¢e¡njx¡k=nj
W+m(n)
k=¡m(n)e¡njx¡k=nj; x2R:

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 27
FieA > 0 arbitrar, ¯xat. Exist¸ a n02N(depinz^ ³nd de A), astfel ^ ³nc^ ³t
m(n)
n> A, pentru tot »i n¸n0.
Acum, pentru n¸n0» six2[¡A; A] ¯xat »i, exist¸ a un unic k02Z, astfel
^ ³nc^ ³t¡m(n)·k0< k 0+ 1·m(n), » six2£k0
n;k0+1
n¤
. Rat »ion^ ³nd exact ca » si
^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.5, obt »inem T(M)
n('x)(x)·1
n» si deci
jT(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=n)R;for all x2[¡A; A]; n¸n0:
Aceasta demonstreaz¸ a corolarul. ¤
^In cele ce urmeaz¸ a, prezent¸ am rezultate similare pentru ceilalt »i operatori
posibilistici, W(M)
n(f)(x),Q(M)
n(f)(x) » si trunchiat »ii lor corespunzatori dat »i
de
S(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2
W+m(n)
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2
si
U(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢1
n2(x¡k=n)2+1W+m(n)
k=¡m(n)1
n2(x¡k=n)2+1:
Teorema 2.2.7. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Pentru tot »i f2BUC +(R)
avem
jW(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=pn)R:
Demonstrat »ie. Rat »ion^ ³nd ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.5, este
su¯cient s¸ a estim¸ am expresia
W(M)
n('x)(x) =W+1
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2
W+1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2; x2R:
Pentru x2R¯ek02Z, astfel ^ ³nc^ ³t x2£k0
n;k0+1
n¤
, este u» sor de vazut c¸ a
pentru orice k2Zn fk0; k0+ 1gavem
e¡n(x¡k=n)2·maxn
e¡n(x¡k0=n)2; e¡n(x¡(k0+1)=n)2o
:

28CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Aceasta implic¸ a
+1_
k=¡1e¡n(x¡k=n)2= maxn
e¡n(x¡k0=n)2; e¡n(x¡(k0+1)=n)2o
:
Pe de alta parte, deoarece 0 ·minfjx¡k0=nj;jx¡(k0+ 1)=n)jg · 1=2n,
rezult¸ a ca e¡1=4n·maxn
e¡n(x¡k0=n)2; e¡n(x¡(k0+1)=n)2o
·1. Astfel, primim
e¡1=4n·+1_
k=¡1e¡n(x¡k=n)2·1.
Apoi, observ¸ am c¸ a pe [0 ;1), punctul de maxim global al funct »iei y!
y¢e¡ny2este atins ^ ³n y= 1=p
2n. Aceasta implic¸ a
+1_
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2·1=p
2n¢e¡n(1=p
2n)2
= 1=p
2n¢e¡1=2:
Din aceste dou¸ a ultime inegalitat »i, primim W(M)
n('x)(x)·e1=4np
2en·1=pn.
Acum, rat »ion^ ³nd exact ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.5, rezult¸ a esti-
marea din enunt ». ¤
Corolar 2.2.8. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Fie(m(n))n2Nun » sir
de numere naturale cu proprietatea ca limn!1m(n)
n= +1. Atunci, pentru
orice f2BUC +(R),S(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe
orice subinterval compact de forma [¡A; A],A > 0(S(M)
n(f)este de¯nit
chiar deasupra enunt »ului Teoremei 2.2.7).
Demonstrat »ie. Rat »ion^ ³nd ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.7, este
su¯cient s¸ a estim¸ am expresia
S(M)
n('x)(x) =Wm(n)
k=¡m(n)jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2
Wm(n)
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2; x2R:
Acum, ¯e din nou (ca » si ^ ³n demonstrat »ia Corolarului 2.2.6) n02Nastfel
^ ³nc^ ³tm(n)
n> A, pentru tot »i n¸n0. Aceasta implic¸ a u» sor (trebuie doar s¸ a

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 29
repet¸ am rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 2.2.7) c¸ a pentru orice
x2[¡A; A] avem
m(n)_
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2=1_
k=¡1e¡n(x¡k=n)2
si
m(n)_
k=¡m(n)jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2·1_
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2
» si deci din estimarea pentru W(M)
n('x)(x) din demonstrat »ia Teoremei 2.2.7,
rezult¸ a ca
S(M)
n('x)(x)·W(M)
n('x)(x)·1pn:
De aici, obt »inem u» sor concluzia din corolar. ¤
Teorema 2.2.9. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Pentru toate f2
BUC +(R)avem
jQ(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=(2n))R:
Demonstrat »ie. De aceast¸ a dat¸ a, trebuie s¸ a estim¸ am expresia
Q(M)
n('x)(x) =W+1
k=¡1jx¡k=nj ¢1
n2(x¡k=n)2+1W+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1; x2R:
Pentru x2Rarbitrar, ¯e din nou k02Z, astfel ^ ³nc^ ³t x2£k0
n;k0+1
n¤
.
Aceasta implic¸ a
+1_
k=¡11
n2(x¡k=n)2+ 1
= max½1
n2(x¡k0=n)2+ 1;1
n2(x¡(k0+ 1)=n)2+ 1¾
» si de aici obt »inem u» sorW+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1¸4
5.

30CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Apoi, observ¸ am c¸ a pe [0 ;1), maximul global al funct »iei g(y) =y
n2y2+1
este atins ^ ³n y= 1=niar aceasta implic¸ a
+1_
k=¡1jx¡k=nj ¢1
n2(x¡k=n)2+ 1·g(1=n) =1
2n:
Din cele dou¸ a inegalitat »i de mai sus, primim Q(M)
n('x)(x)·5
8n<1
n. De
aici, primim u» sor concluzia dorit¸ a. ¤
Corolar 2.2.10. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Fie(m(n))n2Nun » sir
de numere naturale cu proprietatea c¸ a limn!1m(n)
n= +1. Atunci, pentru
orice f2BUC +(R),U(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe
orice subinterval compact de forma [¡A; A],A > 0(U(M)
n(f)este de¯nit
tocmai deasupra enunt »ului Teoremei 2.2.7).
Demonstrat »ie. Demonstrat »ia este identic¸ a cu cea pentru operatorul
S(M)
n(f). ¤
Observat »ii. 1) S¸ a not¸ am ca ^ ³n [30], Favard a introdus forma discret¸ a a
integralei singulare clasice a lui Gauss-Weierstrass, prin formula
Fn(f)(x) =1p¼n¢+1X
k=¡1f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2; n2N; x2R
» si a demonstrat c¸ a dac¸ a f:R!Reste continu¸ a pe R, cu cresterea expone-
tialajf(t)j ·MeAt2pentru tot »i t2R(aici M; A > 0), atunci Fn(f)(x)
converge la f(x) punctual pentru ¯ecare x2R» si uniform ^ ³n orice subin-
terval compact al lui R. Alte propriet¸ at »i de aproximare ale lui Fn(f)(x), ^ ³n
mod special, ^ ³n variate spat »ii ponderate, au fost studiate ^ ³n multe lucr¸ ari,
vezi, de exemplu, [1] » si biblioga¯a de acolo.
Exact ca » si pentru alt »i operatori max-produs studiat »i ^ ³n lucr¸ ari ante-
rioare (vezi, de exemplu, [19]-[22]), legat de contrapartea ei liniara, Fn(f)(x),
pentru operatorii max-produs W(M)
n(f)(x), poate ¯ demonstrat c¸ a ^ ³n anu-

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 31
mite subclase de funct »ii f, au propriet¸ at »i de aproximare global¸ a mai bune
» si prezint¸ a rezultate de localizare mult mai puternice.
Mai precis, ei reprezint¸ a local, mult mai bine (probabil cel mai bine)
functia aproximata, ^ ³n sensul c¸ a dac¸ a f» sigcoincid pe un subinterval strict
inclus^ ³n I½R, atunci pentru orice subinterval I0strict inclus^ ³n I,W(M)
n(f)
» siW(M)
n(g) coincid ^ ³n I0pentru nsu¯cient de mare.
2) Folosind schema posibilistic¸ a Feller, putem introduce pentru studiu
variante posibilistice ale operatorilor liniari clasici, trigonometrici de con-
volutie, ai lui de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jackson, ^ ³n mod formal de¯nit »i
prin formulele
Vn(f)(x) =1
2¼Z¼
¡¼f(t)kn(x¡t)dt; F n(f)(x) =1
2¼Z¼
¡¼f(t)bn(x¡t)dt;
Jn(f)(x) =1
¼Z¼
¡¼f(t)cn(x¡t)dt;
^ ³n mod respectiv, unde feste 2 ¼-periodic,
kn(t) =(n!)2
(2n)!(2 cos( t=2))2n; bn(t) =1
nµsin(nt=2)
sin(t=2)¶2
» sicn(t) =3
2n(2n2+1)³
sin(nt=2)
sin(t=2)´4
.
Mai precis, not^ ³nd ­ = f¡n; :::;¡1;0;1; :::; ng» si de¯nind Zn;x(k) =k¼
n,
pentru f: [¡¼; ¼]!R» si¸n;x(k) =kn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nkn(x¡k¼=n ), prin formula din Lema
2.2.3 » si din de¯nit »ia integralei posibilistice, obt »inem operatorii posibilistici
ai lui de la Vall¶ ee-Poussin
V(M)
n(f)(x) = (Pos)Z
­f±Z(n; x)dP¸n;x=Wn
k=¡nf(k¼=n )kn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nkn(x¡k¼=n ):
^In mod similar, putem obt »ine operatorii posibilistici de tip Fej¶ er
F(M)
n(f)(x) =Wn
k=¡nf(k¼=n )bn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nbn(x¡k¼=n )

32CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
» si de tip Jackson
J(M)
n(f)(x) =Wn
k=¡nf(k¼=n )cn(x¡k¼=n )Wn
k=¡ncn(x¡k¼=n ):
Studierea acestor operatori ram^ ³ne ca » si o direct »ie de cercetare viitoare.

Bibliogra¯e
[1] Abel, U., Butzer, P. L., Complete asymptotic expansion for general-
ized Favard operators, Constr. Approx. ,35(2012), 73-88.
[2] Agratini, O., Approximation by Linear Operators (Romanian), Uni-
versity Press, "Babe» s-Bolyai" University, Cluj-Napoca, 2000.
[3] Agratini, O., Radu, C., On q-Baskakov-Mastroianni operators, Rocky
Mount. J. Math. ,42(3)(2012), 773-790.
[4] Altomare F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and
its Applications , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17. New
York, Berlin (1994).
[5] Aral, A., A generalization of Sz¶ asz-Mirakjan operator based on q-
integers, Math. Comput. Model. ,47(2008), 1052-1062.
[6] Aral, A., Gupta, V., On q-Baskakov type operators, Demonstratio
Math. ,47(1)(2009), 109-122.
[7] Aral, A., Gupta, V., On the Durrmeyer type modiication of q-
Baskakov type operators, Nonlinear Anal. ,72(2010), No. 3-4, 1171-
1180.
33

34 BIBLIOGRAFIE
[8] Akut, C., On the approximation of functions together with derivatives
by certain linear positive operators , Commun. Fac. Sci. Ankara Univ.,
ser. A1, math. stat., 46(1997), nr. 1-2, 57-65.
[9] Baskakov, V. A., An example of a sequence of linear positive opera-
tors in the space of continuous functions (Russian), Dokl. Akad. Nauk
SSSR ,113(1957), 249-251.
[10] Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the Bernstein operator of max-product kind,
Int. J. Math. Math. Sci. , volume 2009, Article ID 590589 , 26 pages,
doi:10.1155/2009/590589.
[11] Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the nonlinear Meyer-KÄ onig and Zeller operator
of max-product kind, Numer. Funct. Anal. Optim. ,31(2010), No. 3,
232-253.
[12] Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation by Max-Product
Type Operators , Springer, New York, 2016.
[13] Berdysheva, E. E., Uniform convergence of Bernstein-Durrmeyer op-
erators with respect to arbitrary measure, J. Math. Anal. Appl.
394(2012) 324-336.
[14] Berdysheva, E. E., Bernstein-Durrmeyer operators with respect to
arbitrary measure, II : Pointwise convergence, J. Math. Anal. Appl.
418(2014) 734-752.

BIBLIOGRAFIE 35
[15] Berdysheva, E. E., Jetter, K., Multivariate Bernstein-Durrmeyer op-
erators with arbitrary weight functions, J. Approx. Theory 162(2010)
576-598.
[16] Bernstein, S. N., D¶ emonstration du th¶ eor¶ em de Weierstrass fonde¶ e
sur le calcul des probabilit¶ es, Commun. Soc. Math. Kharkov ,
13(1912/1913), 1-2.
[17] Cetin, N., Ispir, N., Approximation by complex modi¯ed Sz¶ asz-
Mirakjan operators, Studia Sci. Math. Hungar. ,50(3) (2013), 355-
372.
[18] Choquet, G., Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
5(1954) 131-295.
[19] Coroianu, L., Gal, S. G., Classes of functions with improved estimates
in approximation by the max-product Bernstein operator, Anal. Appl.
(Singap.) ,9(2011), No. 3, 249-274.
[20] Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the Bernstein max-
product operator, Appl. Math. Comp. ,231(2014), 73-78.
[21] Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the max-product
Meyer-KÄ onig and Zeller operator, Numer. Funct. Anal. Optim. ,
34(2013), No. 7, 713-727.
[22] Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the non-truncated
max-product sampling operators based on Fej¶ er and sinc-type kernels,
Demonstratio Math. ,49(2016), no. 1, 38-49.

36 BIBLIOGRAFIE
[23] Coroianu, L., Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Trifa, S., Feller's scheme in
approximation by nonlinear possibilistic integral operators, Numer.
Funct. Anal. and Optim. ,38(2017), No. 3, 327-343.
[24] De Cooman, G., Possibility theory. I. The measure-and integral-
theoretic groundwork, Internat. J. Gen. Systems ,25(1997), no. 4,
291-323.
[25] Denneberg, D., Non-Additive Measure and Integral , Kluwer Academic
Publisher, Dordrecht, 1994.
[26] Derriennic, M. M., Modi¯ed Bernstein polynomials and Jacobi poly-
nomials in q-calculus, Rend. Circ. Mat. Palermo ,76(2005), 269-290.
[27] Dieudonn¶ e, J., ¶El¶ ements dAnalyse ; 1. Fondements de l'Analyse Mod-
erne, Gauthiers Villars, Paris, 1968.
[28] Djebali, S., Uniform continuity and growth of real continuous func-
tions, Int. J. Math. Education in Science and Technology ,32(2001),
No. 5, 677-689.
[29] Dubois D., Prade, H., Possibility Theory , Plenum Press, New York,
1988.
[30] Favard, J., Sur les multiplicateurs d'interpolation, J. Math. Pures
Appl. ,23(1944), No. 9, 219-247.
[31] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications ,
vol. II, Wiley, New York, 1966.
[32] Finta, Z., Gupta, V., Approximation propertis of q-Baskakov opera-
tors, Centr. Eur. J. Math. ,8(2010), No. 1, 199-211.

BIBLIOGRAFIE 37
[33] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation , Birkhauser, Boston,
1987.
[34] Gal, S. G., A possibilistic approach of the max-product Bernstein kind
operators, Results Math. ,65(2014), 453-462.
[35] Gal, S. G., Approximation by Choquet integral operators, Annali Mat.
Pura Appl. ,195(2016), No. 3, 881-896.
[36] Gal, S. G., Approximation by Complex Bernstein and Convolution-
Type Operators , World Scienti¯c Publ. Co, Singapore-Hong Kong-
London-New Jersey, 2009.
[37] Gal, S. G., Overconvergence in Complex Approximation , Springer,
New York, 2013.
[38] Gal, S. G., Approximation of analytic functions by generalized Favard-
Sz¶ asz-Mirakjan-Faber operators in compact sets, Complex Anal. Oper.
Theory ,9(2015), No. 5, 975-984.
[39] Gal, S. G., Approximation in compact sets by q-Stancu-Faber poly-
nomials, q >1,Comput. Math. Appl. ,61(2011), no. 10, 3003-3009.
[40] Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by complex Durrmeyer type op-
erators in compact disks , in : Mathematics without Boundaries, Sur-
veys in Interdisciplinary Research, P.M. Pardalos and T.M. Rassias
(editors), Springer, New York-Heidelberg-Dordrecht-London, 2014,
pp. 263-284.
[41] Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by the complex form of a link
operator between the Phillips and the Sz¶ asz-Mirakjan operators, Re-
sults Math. ,67(2015), 381-393.

38 BIBLIOGRAFIE
[42] Gal, S. G., Gupta, V., Mahmudov, N. I., Approximation by a complex
q-Durrmeyer type operator, Ann. Univ. Ferrara ,58(1) (2012), 65-87.
[43] Gal, S. G., Gupta, V., Verma, D. K., Agrawal, P. N., Approximation
by complex Baskakov-Stancu operators in compact disks, Rend. Circ.
Mat. Palermo ,61(2012), no. 2, 153-165.
[44] Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation by complex q-
Sz¶ asz-Kantorovich operators in compact disks, q >1,Complex Anal.
Oper. Theory ,7(2013), No. 6, 1853-1867.
[45] Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation with an arbitrary order by
modi¯ed Baskakov type operators, Appl. Math. Comp. ,265(2015),
329-332.
[46] Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Uniform and pointwise convergence of
Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and sub-
modular set functions, J. Math. Anal. Appl. ,424(2015), 1374-1379.
[47] Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation of analytic functions with an
arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in compact
sets, Complex Anal. Oper. Theory ,10(2016), No. 2, 369-377.
[48] Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Opri» s, D. B. , Approximation with an
arbitrary order by Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich and Baskakov complex
operators in compact disks, Azerbaijan J. Math. ,6(2016), No. 2, 3-
12.
[49] Gupta, V., Complex Baskakov-Sz¶ asz operators in compact semi-disks,
Lobachevskii J. Math. ,35(2014), no. 2, 65-73.

BIBLIOGRAFIE 39
[50] Gupta, V., Agarwal, R. P., Convergence Estimates in Approximation
Theory , Springer, New York, 2014.
[51] Gupta, V., Aral, A., Some approximation properties of q-Baskakov-
Durrmeyer operators, Appl. Math. Comput. ,218(2011), No. 3, 783-
788.
[52] Gupta, V., Verma, D., Approximation by complex Favard-S¶ asz-
Mirakjan-Stancu operators in compact disks, Math. Sci. (Springer) ,
6(2012), Art. 25, 8 pages.
[53] Kac, V., Cheung, P., Quantum Calculus , Universitext, Springer-
Verlag, New York, 2002.
[54] Levasseur, K. N., A probabilistic proof of the Weierstrass approxima-
tion theorem, Amer. Math. Monthly ,91(1984), No. 4, 249-250.
[55] Li, B.-Z., Approximation by multivariate Bernstein-Durrmeyer oper-
ators and learning rates of least-square regularized regression with
multivariate polynomial kernel, J. Approx. Theory 173(2013) 33-55.
[56] Lopez-Moreno, A.-J., Weighted simultaneous approximation with
Baskakov type operators, Acta Math. Hungar. ,104(1-2) (2004), 143-
151.
[57] Lupa» s, A., Some properties of the linear positive operators, II, Math-
ematica(Cluj) ,9(32) (1967), 295-298.
[58] Mahmudov, N. I., Approximation properties of complex q-Sz¶ asz-
Mirakjan operators in compact disks, Comput. Math. Appl. ,60(6)
(2010), 1784-1791.

40 BIBLIOGRAFIE
[59] Mahmudov, N. I., Convergence properties and iterations for q-Stancu
polynomials in compact disks, Comput. Math. Appl. ,59 (12) (2010),
3763-3769.
[60] Mahmudov, N. I., Approximation by Bernstein-Durrmeyer-type oper-
ators in compact disks, Appl. Math. Lett. ,24(7) (2011), 1231-1238.
[61] Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation theorems for complex
Sz¶ asz-Kantorovich operators, J. Comput. Anal. Appl. ,15(1) (2013),
32-38.
[62]Opri» s, D, B. , Approximation with an arbitrary order by general-
ized Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu type operators, Anal. Univ.
Oradea, fasc. math. ,XXIV (2017), No. 1, 75-81.
[63] Radu, C., On statistical approximation of a general class of posi-
tive linear operators extended in q-calculus, Appl. Math. Comput. ,
215(2009), 2317-2325.
[64] Shisha, O., Mond, B., The degree of convergence of linear positive
operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. ,60(1968), 1196-1200.
[65] Suetin, P. K., Series of Faber Polynomials , Gordon and Breach, Am-
sterdam, 1998.
[66] Wang, Z., Klir, G.J., Generalized Measure Theory , Springer, New
York, 2009.