LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA [616034]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
LUCRARE METODICO-S TIINT IFIC A PENTRU OBT INEREA
GRADULUI DIDACTIC I
Conduc ator  stiint ic
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE S TIINT  E
DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC A
FUNCT II CONVEXE S I CONCAVE;
APLICAT II ^IN STUDIUL INEGALIT AT ILOR
Conduc ator  stiint ic
Prof. Univ. Dr. Vicent iu R adulescu
Candidat
G aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
-Seria 2016-2018-

ACORD
Subsemnatul,Vicent iu R adulescu , prof.univ.dr., la Facultatea de S tiint e, Depar-
tamentul de Matematic a , sunt / nu sunt de acord cu depunerea lucr arii metodico-
 stiini ce pentru obt inerea gradului didactic I, elaborat a de G aman Adrian George,
profesor Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, judet ul Teleorman,
cu titlul FUNCT  II CONVEXE S I CONCAVE; APLICAT  II ^IN STUDIUL INEGA-
LITAT  ILOR .
Profesor coordonator,
Numele  si semn atura
Data,

Declarat ie de autenticitate
Subsemnatul G aman Adrian George av^ and funct ia didactic a profesor la unitatea
 scolar a Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, judet ul Teleorma
declar pe propria r aspundere c a lucrarea cu titlul FUNCT  II CONVEXE S I CON-
CAVE; APLICAT  II ^IN STUDIUL INEGALIT AT  ILOR av^ and coordonator  stiint ic
prof.univ.dr. Vicent iu R adulescu a fost elaborat a personal pe baza studierii bibliogra-
ei de specialitate, a experient ei personale  si ^ mi apart ine ^ n ^ ntregime. De asemenea
nu am folosit alte surse dec^ at cele ment ionate ^ n bibliograe, nu au fost preluate texte,
date sau elemente de grac a din alte lucr ari, f ar a a  citate  si f ar a a  precizat a sursa
prelu arii, inclusiv ^ n cazul ^ n care sursa o reprezint a alte lucr ari ale candidat: [anonimizat].
Data
Semn atura candidat: [anonimizat]
1 PROIECTAREA S I DESF AS URAREA CERCET ARII 1
1.1 Ipoteza /Ipotezele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Scopul cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Obiectivele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4 E santionul de subiect i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.5 E santionul de cont inut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.6 Locul  si durata cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6.1 Locul cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6.2 Durata  si etapele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7 Metodologia cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 PREZENTAREA REZULTATELOR, PE ETAPE ALE CERCET ARII 4
2.1 Rezultatele din etapa constatativ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Etapa experimental-ameliorativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Exemple de activit at i didactice formative derulate . . . . . . . . 20
2.3 Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Exemple de activit at i extradidactice cu caracter formativ-educativ
derulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Rezultatele din posttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 COMPARAREA S I INTERPRETAREA STATISTIC A A DATELOR
OBT INUTE 31
3.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din posttest . . . . . . . . . 31
3.1.1 E santion experimental versus de control, ^ n pretest . . . . . . . 31
3.1.2 E santion experimental versus de control, ^ n posttest . . . . . . . 33
iv

3.1.3 E santion control ^ n pretest, versus e santion control ^ n posttest . 34
3.2 Concluzii desprinse ^ n urma interpret arilor  si comparat iilor . . . . . . . 36
3.3 Direct ii  si perspective ulterioare de abordare a temei . . . . . . . . . . 36
Bibliograe 37
v

Capitolul 1
PROIECTAREA S I
DESF AS URAREA CERCET ARII
1.1 Ipoteza /Ipotezele cercet arii
Dac a la ^ nceputul cercet arii au fost expuse not iuni introductive asupra funct iilor con-
vexe  si a unor inegalit at i clasice, cercetarea se concentreaz a subiectiv, pe anumite
etape ce ajut a la ^ nt elegerea  si rezolvarea anumitor inecuat ii.
1.2 Scopul cercet arii
1.3 Obiectivele cercet arii
1.4 E santionul de subiect i
^In cercetare am folosit clasa a XI-a A a Liceului Teoretic "Constantin Noica", Ale-
xandria, judet ul Teleorman, pe care am ^ mpart it-o ^ n dou a loturi, unul de control  si
altul experimental. ^In total ind investigat i 22 de elevi(10 fete  si 12 b aiet i), cu v^ arste
cuprinse ^ ntre 17  si 18 ani.
1.5 E santionul de cont inut
E santionul de cont inut urm are ste ansamblul cont inuturilor/ informat iilor despre utili-
zarea funct iilor convexe ^ n studiul inecuat iilor, care sunt valoricate  si testate ^ n cazul
cercet arii realizate.
1

1.6 Locul  si durata cercet arii
1.6.1 Locul cercet arii
Tema este tratat a ^ n cadrul orelor de matematic a c^ at  si ^ n cele de preg atire suplimen-
tar a, ^ n semestrul II, an  scolar 2016/2017, desf a surate la Liceul Teoretic Constantin
Noica, Alexandria, judet ul Teleorman.
1.6.2 Durata  si etapele cercet arii
Etape Constatativ a Experimental a Post-test
Timp de desf a surare
Tabela 1.1: Durata  si etapele cercet arii
1.7 Metodologia cercet arii
Metodele  si tehnicile de cercetare utilizate ^ n elaborarea lucr arii sunt:
Ancheta pe baz a de chestionar
Studiul documentelor  scolare
Metoda comparat iei
Interviul
Auto-observat ia
Analiza cont inutului comunic arii
Observat ia sistematic a
Testul
Grile de interpretare
Metoda bibliograc a sau studiul bibliograei de specialitate – baz a a docu-
ment arii
Metoda statistico-matematic a – metod a auxiliar a de cuanticare a rezultatelor
cercet arii
2

Tabela 1.2: Metodele  si tehnicile de cercetare  si momentul aplic arii^ n etapele cercet arii
Metoda Etape ale cercet arii
Constatativ a Experimental a Post-test Re-test
Auto-observat ia x x x x
Observat ia sistematic a x x x x
Ancheta pe baz a de x x x –
chestionar
Studiul documentelor x x x x
curriculare  si  scolare
Testul x x x x
Interviul – x x x
Grile de interpretare x x x x
Analiza cont inutului x x x x
comunic arii
Metode statistice de – x x x
colectare, interpretare  si
corelare a datelor
Metoda bibliograc a x x x x
Metoda comparat iei x x x x
3

Capitolul 2
PREZENTAREA
REZULTATELOR, PE ETAPE
ALE CERCET ARII
2.1 Rezultatele din etapa constatativ a
Etapa constatativ a – 15 sept. 2016 – 15 oct. 2016
Sarcina acestei etape este de a stabili nivelul elevilor ^ n momentul ^ nceperii expe-
rimentului psihopedagogic, la lotul de control, c^ at  si la cel experimental.
Pe parcursul cercet arii am urm arit stadiul de dezvoltare a competent elor – cheie,
stabilite la nivelul Comisiei Europene: a ^ nv at a s a ^ nvet i, competent e interpersonale,
interculturale, sociale  si civice, sensibilitate la cultur a.
Testul aplicat a cuprins itemi care vizau obt inerea unor informat ii cu privire la:
cunoa sterea  si aplicarea de c atre elevi a not iunilor matematice;
calitatea calculului matematic dob^ andit de elev (corectitudine, diversitate, re
e-
xivitate);
calitatea utiliz arii calculului matematic ^ n redactarea rezolv arilor (corectitudine,
claritate);
4

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Lucrare scris a
Disciplina Matematic a
Clasa a XI-a A 20-XII-2016
Pentru rezolvarea corect a a tuturor cerint elor din Partea I  si din Partea a II-a
se acord a 90 de puncte. Din ociu se acord a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (50 de puncte)
10p 1. Completat i spat iile puctate:
a) Dac af((1)x+y)(1)f(x) +f(y) atuncifeste …….. pe A
b) Dac af((1)x+y)(1)f(x) +f(y) atuncifeste …….. pe A
20p 2. Folosind metoda de reprezentare grac a "prin puncte", trasat i gracele
funct iilor sinus, cosinus pe intervalul [0; 2 ]
20p 3. S a se reprezinte grac funct iile f(x) = 2x; g(x) = (1
2)x; h(x) = logx
2,
j(x) = logx
1
2pe domeniile de denitie  si s a se indice dac a sunt funct ii convexe
sau concave.
Subiectul II (40 de puncte)
10p 1. Folosind inegalitatea lui Jensen vericat i dac a funct ia
f:R!R; f(x) = 3xeste convex a.
10p 2. Folosind denit ia funct iei convexe ar atat i c a funct ia f:R!Rf(x) =x2
este convex a.
20p 3. Ar atat i folosind inegalitatea lui Jensen c a funct ia tangent a este convex a pe
(0;
2), iar funct ia cotangent a este convex a pe (0 ;)
Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Barem de corectare lucrare scris a
22.V.2017
5

Pentru orice solut ie corect a, chiar dac a este diferit a de cea din
barem, se acord a punctajul corespunz ator.
Nu se acord a fract iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare
pentru rezolv ari part iale, ^ n limitele punctajului indicat ^ n barem.
Se acord a 10 puncte din ociu. Nota nal a se calculeaz a prin ^ mp art irea
punctajului obt inut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1.a) convex a 5p
b) concav a 5p
2. 2p
3p
3.x1 -2-1 -1
201
2121
f(x)%1
41
21p
21p
224%
g(x)& 42p
211p
21
21
4&4p
4p
Se observ a din reprezentarea grac a c a f;gsunt convexe 2p
6

x 01
81
41
21248+1
h(x)%-3-2-10123%
j(x)& 3210-1-2-3&4p
4p
Se observ a din reprezentarea grac a c a heste concav a iar jeste convex a 2p
SUBIECTUL II (50 de puncte)
1.Dac afeste convex a atuncif(x)+f(y)
2f(x+y
2) 2p
f(x)+f(y)
2f(x+y
2) =3x+3y
23x+y
2 4p
3x+3y2
p3x+3y
2=(p
3xp
3y)2
20: 4p
2.f este convex a,f((1)x+y)(1)f(x) +f(y), 2p
,((1)x+y)2(1)x2+y2, 2p
,(1)x2+(1)y22(1)xy0, 4p
,(1)(xy)20 care este adev arat a 2p
3.Pentrux;y2(0;
2) avemtgx+tgy
2tgx+y
2= 2p
=sin(x+y)
2 cosxcosytgx+y
2= sinx+y
2(cosx+y
2
cosxcosy1
cosx+y
2) = 4p
sinx+y
2[1cos(xy)]
2 cosxcosycosx+y
20: 2p
Funct iatgeste convex a pe (0 ;
2)  si concav a pe (
2;0). 2p
Pentrux;y2(0;
2) avemctgx+ctgy
2ctgx+y
2= 2p
=sin(x+y)
2 sinxsinyctgx+y
2= cosx+y
2(sinx+y
2
sinxcosy1
sinx+y
2) = 4p
cosx+y
2[1cos(xy)]
2 sinxsinysinx+y
20: 2p
Funct iactgeste convex a pe (0 ;
2)  si concav a (
2;2). 2p
^Inregistrarea rezultatelor ^ n etapa constatativ a a fost f acut a ^ n tabelul sintetic de
mai jos ceea ce a permis ^ nscrierea punctajului obt inut ^ n urma aplic arii baremului de
corectare  si pune ^ n evident  a subiectele pe competent e, rezultatele obt inute de ecare
elev, at^ at pe segmentele de competent e vizate, c^ at  si nivelul de competent  a general a.
7

Tabela 2.1: TABEL SINTETIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
123Sub. I 12 3Sub. II puncte nal a
1. B.F.A. 101018 38 – – – 10 48 4,80
2. B.M.F. 101620 46 810 5 23 10 79 7,90
3. I.A.V. 102020 50 1010 12 32 10 92 9,20
4. I.M.R. 101520 43 -5 – 5 10 58 5,80
5. L.M.I. 101320 43 810 5 24 10 76 7,60
6. M.D.A. 101720 47 -10 – 10 10 67 6,70
7. M.M.F. 101520 45 810 5 23 10 78 7,80
8. M.R.E. 102020 50 1010 8 28 10 88 8,80
9. P.A.E. 101720 47 210 – 12 10 69 6,90
10. S.V.I. 102020 50 1010 6 26 10 86 8,60
11. Z.D.I. 101320 43 -3 – 3 10 56 5,60
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not a(xi) 4,8 7,9 9,2 5,8 7,6 6,7 7,8 8,8 6,9 8,6 5,6 79,7
x2
i 23,04 62,41 84,64 33,64 57,76 44,89 60,84 77,44 47,61 73,96 31,36 597,59
Media 7,25
8

Tabela 2.2: CENTRALIZATOR – TABEL ANALITIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
1 2 2 3 2 1 –
11 Procente 9% 18% 18% 28% 18% 9% –
Tabela 2.3: Distribut ia notelor pe intervale de note
4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99100123
Not aNum ar elevi
9

Tabela 2.4: Diagrama areolar a
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
0%9%18%
28%
18%
18%9%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
10

Tabela 2.5: TABEL SINTETIC
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV A
Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
123Sub. I 12 3Sub. II puncte nal a
1. B.A.C. 101720 47 -10 – 10 10 67 6,70
2. C.L.M. 101620 46 -10 – 10 10 66 6,60
3. D.A.I. 101320 43 -4 – 4 10 57 5,70
4. D.C.S. 102020 50 1010 5 25 10 85 8,50
5. F.A.C. 101720 47 210 – 12 10 69 6,90
6. I.G. 101320 43 810 5 23 10 76 7,60
7. M.C.M. 101520 45 710 5 27 10 77 7,70
8. M.O.A. 101320 43 1010 6 26 10 79 7,90
9. N.N.M. 101420 44 1010 5 25 10 79 7,90
10. P.E.D. 101520 45 -3 – 3 10 58 5,80
11. S.R.C. 102020 50 1010 7 27 10 87 8,70
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not a(xi) 6,7 6,6 5,7 8,5 6,9 7,6 7,7 7,9 7,9 5,8 8,7 80
x2
i 44,89 43,56 32,49 72,25 47,61 59,29 57,76 62,41 62,41 33,64 75,69 592
Media 7,27
11

Tabela 2.6: CENTRALIZATOR – TABEL ANALITIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV A
Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
– 2 3 4 2 – –
11 Procente – 18% 27% 37% 18% – –
Tabela 2.7: Distribut ia notelor pe intervale de note
4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,991001234
Not aNum ar elevi
12

Tabela 2.8: Diagrama areolar a
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV A
0%0%18% 37%
27%18%0%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
Dispersia (s2
Epentru clasa experimental a  si s2
Cpentru clasa de control) este egal a
cu media aritmetic a a abaterilor p atratice de la medie, ind dat a de formula
s2=P11
i=1(xim)2
n(2.1)
O aproximat ie ceva mai bun a a acestei caracteristici numerice se obt ine utiliz^ nd
valoarea
s2=P11
i=1(xim)2
n;unde11X
i=1(xim)2=11X
i=1×2
iT2
n: (2.2)
av^ andxim= abaterea ec rei valori de la media (aritmetic a) calculat a
n = num arul total de rezultate
T = totalul rezultatelor pe ^ ntreg e santionul
13

s2
E=597;566352;09
11
10=597;56577;46
10=20;1
10= 2;01
s2
C=5926400
11
10=592581;82
10=10;18
10= 1;018
Abaterea standard este r ad acina p atrata pozitiv a a dispersiei. Dispersia  si abaterea
standard m asoar a variabilitatea datelor fat  a de medie.
sE=q
s2
E=p
2;01 = 1;42
sC=q
s2
C=p
1;01 = 1;00
Pentru lotul experimental m= 7,25  sisE= 1,42 de unde rezult a intervalul ( m
sE;m+sE) = (5;83; 8;67). Acest lucru ^ nseamn a c a 7 din 11 elevi au obt inut rezultate
^ n intervalul (5,83;8,67), adic a 63 ;64%. Colectivul de elevi este relativ omogen.
Pentru e santionul de control m= 7,27  sisC= 1,00 de unde rezult a intervalul
(msC;m+sC) = (6,27;8,27). Acest lucru ^ nseamn a c a 7 din 11 elevi au obt inut re-
zultate ^ n intervalul (6,27;8,27), adic a 63 ;64%, situat ie similar a cu cea de la e santionul
experimental.
2.2 Etapa experimental-ameliorativa
Strategiile didactice interactive (de predare – ^ nv at are – evaluare) ofer a ocazii benece
de organizare pedagogic a a unei ^ nvat  ari temeinice, u soare  si pl acute, ^ n acela si timp,
cu un pronunt at caracter activ – participativ din partea elevilor, cu posibilit at i de
cooperare  si de comunicare eciente.
Obiectivele ^ nv at  arii trebuie s a e ^ n concordant  a cu tipul de interaci une proiectat
pentru lect ia respectiv a.
Folosirea sistematic a a strategiilor de interact iune ^ ntre participant ii la activitate,
presupune desf a surarea unor relat ii de comunicare ecient a  si constructive ^ n cadrul
c arora, tot i participant ii la discut ii, s a obt in a benecii ^ n planurile cognitive, afectiv-
motivat ional, atitudinal, social  si practice – aplicativ .
Strategia didactic a este modalitatea ecient a prin care profesorul^ i ajut a pe elevi s a
accead a la cunoa stere  si s a- si dezvolte capacit at ile intelectuale, priceperile, deprinde-
rile, aptitudinile, sentimentele  si emot iile, constituindu-se dintr-un ansamblu complex
14

 si circular de metode, tehnici, mijloace de ^ nv at  am^ ant  si forme de organizare a acti-
vit at ii complementare, pe baza c arora profesorul elaboreaz a un plan de lucru cu elevii,
^ n vederea realiz arii unei ^ nv at  ari eciente.
^In elaborarea planului profesorul trebuie s a aib a ^ n vedere o serie de factori care
condit ioneaz a o bun a desf a surare a act iunilor de predare – ^ nv at are – evaluare .
Pentru reu sita activit at ii, profesorul trebuie s a implice foarte mult elevii, ace stia
completeaz a planul de lucru cu propriile interese, dorint e de cunoa stere  si de activitate
intelectual a.
Elevii ^  si pot manifesta dorint a de a ^ nv at a prin cooperare, ^ n echip a, colectiv sau
individual, pot s a opteze pentru anumite metode, tehnici sau procedee de lucru.
Strategiile didactice interactive de grup sunt o modalitate ecient a de organizare
a activit at ii prin care se favorizeaz a schimburile interreelat ionale ^ ntre participant ii
la activitate prin procese interumane de cooperare  si copmetit ie constructive (educat
– educat, educat – profesor, educat – grup), ele stimuleaz a activismul subiectului ^ n
interact iunea sa, nu numai cu ceilalt i, ci  si cu materialul de studiu.
Strategiile au ^ n vedere sprijinirea dezvolt arii copilului pe baza interact iunilor so-
ciale ce conduc la conturarea suportului cognitive  si socio – afectiv necesar form arii
prolului intelectual  si psihologic  si integr arii acestuia ^ n societate.
^In elaborarea unei strategii didactice eciente trebuie s a t inem cont de urm atoarele
etape :
1. Examinarea scopurilor  si a obiectivelor ce trebuiesc atinse.
2. Alegerea cont inuturilor corespunz atoare.
3. Examinarea exigent elor  si orient arilor impuse de normele  si principiile didactice.
4. Examinarea alternativelor metodologice de predare – ^ nv at are – evaluare dispo-
nibile.
5. Analiza resurselor disponibile: umane, materiale, de cont inut, de timp  colar.
6. Alegerea formei de grupare a colectivului de elevi.
7. Alegerea metodelor, tehnicilor de instruire, mijloacelor didactice ^ n funct ie de
situat ia de instruire propus a, dup a principiul complementarit at ii al interdependent ei
 si al sprijinului reciproc.
8. Gasirea unor solut ii alternative asupra posibilit at ilor  si c ailor optime de combi-
nare a metodelor, mijloacelor  si formelor de organizare a colectivului, pe baza analizei
punctelor forte  si a celor slabe ^ n realizarea cu ecient  a a activit at ii profesorului cu
elevii s ai .
9. Opt iunea/decizia asupra strategiei didactice de urmat.
15

10. Aplicarea strategiei didactice, in mod
exibil  si particular, ^ n cadrul activit at ii
instructive – educative desf a surate cu elevii.
11. Evaluarea permanent a a demersurilor f acute, corectarea  si adaptarea strategiei
didactice la necesit at ile elevilor  si la situat iile spontane, greu de prevazut.
12. Aprecierea nal a a ecient ei strategiei didactice desf a surat a (^ n funct ie de felul
cum s-au simt it elevii, de modul ^ n care le-a placut sau nu s a studieze, de progresele  si
performant ele obt inute de ace stia, de realizarea obiectivelor, si de ecient a ^ mbin arii
metodelor, tehnicilor, mijloacelor didactice, formelor de organizare a activit at ii cu
variabil a timp disponibil  si necesar).
13. Emiterea predict iilor care vizeaz a modul cum va  folosit a strategia didactic a
^ n activit at ile instructive – educative viitoare .
Strategia didactic a devine astfel teorie  si act iune implicate ^ n rezolvarea optim a a
unei situat ii de instruire.
Aceasta presupune o abordare teoretic a ^ n m asur a ^ n care valoric a ^ n mod creativ
concept ia pedagogic a a societ at ii, ^ n general  si pe cea a profesorului ^ n mod special,
experient a ^ mp art a sit a de colectivul de cadre didactice asupra modurilor eciente de
concepere a demersurilor didactice.
Implic a o abordare practic a atunci c^ and se face opt iunea concret a asupra combin arii
eciente ^ ntre metode, mijloace didactice  si formele de organizare (frontal, colectiv a,
individual a, pe grupuri/micro – grupuri, mixt a) a activit at ii.
Strategiile didactice ocup a un loc central ^ n cadrul procesului de ^ nv at  am^ ant. Pro-
iectarea  si organizarea lect iei se denesc  si se realizeaz a ^ n funct ie de decizia stategic a
a profesorului.
Aceasta demonstreaz a caracterul organizat  si strategic al activit at ilor interprinse
de profesor cu elevii s ai, opus celui haotic  si ^ nt^ ampl ator. De aceea lect ia – ca form a
principal a de organizare a procesului de ^ nv at  am^ ant – reprezint a "cadrul predilect ^ n
care pot  valoricate una sau mai multe strategii".(Dan Potolea,1989,p.144)
Relat ia dintre strategiile didactice  si cont inutul procesului de ^ nv at amant este
foarte important a. Leg aturile dintre strategiile didactice  si cont inuturile procesului
de ^ nv at  am^ ant sunt de tip determinist  si reglatorii.
Organizarea  si structurarea cont inutului, nivelul de abstractizare  si generalizare
a cunostint elor, dozarea  si prelucrarea metodologic a a acestora ^ n manualele  scolare,
determin a luarea unor decizii metodologice din partea profesorului.
Metoda tradit ional a, linear a, bazat a cu prec adere pe prezentarea, descrierea, exem-
plicarea cont inuturilor impune cu prec adere ^ n procesul de transmitere – asimilare a
16

cuno stint elor folosirea metodelor tradit ionale  si de multe ori pasive (metode de expu-
nere oral a  si continu a a cuno stint elor, demonstrat ia, exemplicarea etc.).
Dac a decizia profesorului vizeaz a prezentarea informat iilor ^ ntr-o manier a activ –
problematizant a, impun^ and participarea direct a a elevilor^ n redescoperirea cuno stint elor,
atunci  si metodologia utilizat a implic a metodele active  si interactive (problematizarea,
descoperirea, colaborarea, studiul de caz, ^ nv at area reciproc a etc.)
Pentru un cont inut c^ at mai accesibil profesorul poate opera restructur ari  si adapt ari
^ n interiorul acestuia, conform logicii ^ nv at  arii active. Acela si cont inut poate  predat
folosind strategii didactice variate, ^ n funct ie  si de celelalte component ale acesteia
(resurse materiale, de timp, umane, forme de organizare a colectivului etc.)
Strategiile didactice prescriu felul ^ n care elevul este pus ^ n contact cu noul cont inut
de studiat, preciz^ and traiectoria pe care urmeaz a s a o parcurg a ^ n vederea persona-
liz arii, integr arii acestuia. Tot ele ofer a solut ii de ordin srtructural – procedural,cu
privire la programarea  si combinarea diferitelor metode, procedee, mijloace  si forme
de organizare, dar  si cu privire la programarea unui ^ ntreg set de operat ii de ^ nv at are.
^In funct ie de strategia aleas a, profesorul identic a operat iile pe care elevii urmeaz a s a
le efectueze pentru a ajunge la achizit iile dorite.
Articularea metodelor, procedeelor, mijloacelor  si formelor de organizare genereaz a
strategii didactice care, aplicate ^ n situat ii concrete de predare  si ^ nv at are pun ^ n
valoare cont inuturile predate, ^ n vederea realiz arii obiectivelor propuse .
Strategiile didactice interactive necesit a anumite condit ii de timp mai ^ ndelungat
fat  a de cele expositive de exemplu (timp de gandire acordat elevilor, timp de interrelat ionare,
timp de expunere a ideilor individuale  si comune, timp de evaluare etc.) profesorul
trebuie s a analizeze cu atent ie elementele favorizante ale acestora. Cel mai important
este ca elevul s a primeasc a, spre ingurgitare, cat mai multe informat ii ^ ntr-un timp
relativ redus, dar s a-i lipseasc a propria contribut ie ^ n acest proces de transmitere, ind
doar un receptor al mesajului.
^In proiectarea strategiilor didactice, ^ n general, profesorul trebuie s a armonizeze
metodele, procedeele  si formele de organizare a colectivului cu resursele disponibile, ^ n
funct ie de aportul lor la dezvoltarea cunoa sterii  si la provocarea situat iilor stimulative
de ^ nv at are. Strategiile didactice interactive au nevoie, mai mult dec^ at alte tipuri, un
efort de proiectare  si corelare atent a a resurselor ^ n concordant a cu metodele, tehnicile
 si forma de organizare grupal a a elevilor, pentru a ment ine constant  si pentru mai
mult timp interesul elevilor pentru activitate. ^In lipsa acestui interes de participare
al elevilor pentru a colabora  si a lucra ^ mpreun a , strategiile didactice nu ^  si satisfac
17

condit iile de ecient  a  si ecacitate dorite. Scopul intractivit at ii este cel de stimulare
a particip arii la interact iuni  si la g asirea unor solut ii prin cooperare, mijloacele de
^ nv at  am^ ant trebuie s a constitue ^ n factori de sprijinire a lucrului ^ n grup  si de stimula-
rea ^ nv at  arii individuale  si colective. Lipsa resurselor materiale poate duce la renunt  ari
 si la discomfort cu efecte nedorite asupra ^ nv at  arii .
Rolul, locul si functiile strategiilor didactice interactive in activitatea instructive –
educative
Locul central pe care-l ocupa strategiile de predare  si ^ nv at are ^ n cadrul tehnologiei
didactice este dat de faptul c a proiectarea  si organizarea lect iei se realizeaz a ^ n funct ie
de decizia strategic a a profesorului, corelat a cu dorint ele  si interesele elevilor. ^In
consecint  a, demersul s au va urma un anumit plan, bine stabilit care plaseaz a elevul
^ ntr-o situat ie de ^ nv at are propice, ^ ntr-un context de solicit ari, condit ii  si resurse, care
permit dob^ andirea competent elor pregurate prin obiective.
Strategiile interactive au un rol esential  si un loc important ^ n toate cele trei faze
ale conceperii  si realiz arii activit at ii didactice:
1. Faza proiect arii, atunci c^ and, ^ n funct ie de factorii care in
uient eaz a alegerea
strategiei (obiective, resurse disponibile – umane, material, informat ionale, de timp
etc.) profesorul decide ce strategie va folosi ^ n activitatea de predare/^ nv at are .
2. Faza de desf a surare a activit at ii, atunci c^ and se materializeaz a/concretizeaz a
strategia didactic a aleas a ^ n mod
exibil  si pin adapt ari continui.
3. Faza (auto) evaluarii, care are ^ n vedere aprecierea rezultatelor calit at ii strate-
giilor didactice aplicate.
Menirea strategiei este aceea de a crea  sanse elevilor de a se ^ mplica ^ n situat ii
concrete de ^ nv at are, ^ n asa fel ^ nc^ at abilit at ile s a e dob^ andite la un nivel calitativ
superior.
^In acest sens, funct iile pe care le ^ ndeplinesc strategiile didactice sunt urm atoarele:
1. Funct ia de organizare a procesului de ^ nv at  am^ ant.
2. Funct ia de aranjare, de dispunere  si de combinare a metodelor, tehnicilor, mij-
loacelor de ^ nv at  am^ ant  si formelor de organizare a activit at ii, ^ n mod congruent  si
complementar .
3 . Funct ia de motivare a ^ nv at ^ arii elevilor  si de asigurare a ecient ei acesteia.
4. Funct ia de orientare a demersurilor practice de realizare a ^ nv at arii.
5. Func ^tia de dirijare
exibil a c atre atingerea obiectivelor propuse.
6. Func ^tia de conducere  si coordonare a activit at ilor de predare – ^ nvat are – evalu-
are, bazat pe stimularea relat iilor dintre agent ii educat ionali.
18

7. Func ^tii de apreciere a tuturor variabilelor implicate  si de adaptare a lor cores-
punz atoare la condit iile  si situat iile ap arute.
8. Funct ia de stimulare a creativit at ii cadrului didactic ^ n organizarea ecient a a
activit at ii, prin ^ mbinarea elementelor ce contribuie la cristalizarea strategiilor .
^In proiectarea activit at ii instructive – educative, profesorul opteaz a pentru un tip
de experient  a de ^ nv at are, un tip de lect ie (mixt a, de formare de priceperi  si deprinderi,
de recapitulare, de vericare, activit at i creative etc.), stabile ste scopurile (informative,
formative  si educative )  si obiectivele operat ionale (concrete ),structureaz a  si adap-
teaz a cont inutul lect iei, decide asupra strategiei didactice (^ n funct ie  si de resursele
umane, material , de timp, de principiile didactice etc.) realiz^ and combinat ii optime
^ ntre metodele, tehnicile, procedeele, mijloacele de ^ nv at  am^ ant  si formele eciente de
organizare a colectivului.
Predarea – ^ nv at area – evaluarea activit at ii didactice succed  si includ toate aceste
operat ii  si decizii strategice, depinz^ and^ n mare m asur a de buna lor corelare  si deducere
reciproc a , precum  si de creativitatea cadrului didactic  si de alt i factori ce t in de elevi
(personalitatea ,nivelul de pregatire, motivat ia etc.). Accentul se pune nu pe "CE"
voi preda elevilor ?" ci pe "CUM" voi reu si s a-i determin pe elevi s a ^ nvet e? Putem
deci s a arm am c a strategiile didactice constituie cheia reu sitei activit at ii instructive
– educative  si elementul ei central.
……………….pagina 146……………………………… .
Dezideratele de modernizare  si de perfect ionare a strategiilor didactice se ^ nscriu
pe direct iile sporirii caracterului activ al metodelor  si tehnicior de ^ nv at  am^ ant, ^ n
aplicarea unor metode cu un pronunt at caracter formativ ^ n valoricarea noilor teh-
nologii instruct ionale (e-learning), ^ n contaminarea  si suprapunerea problematiz arii
asupra ec arei metode  si tehnici de ^ nv atare, reu sind astfel s a se aduc a o ^ nsemnat a
contribut ie la dezvoltarea ^ ntregului potent ial al elevului.
Cerint a primordial a educat iei progresiviste, cum spune Jean Piaget, este de a asi-
gura o metodologie diversicat a bazat a pe ^ mbinarea activit at iilor de ^ nv at are  si de
munc a independent, cu activit at iile de cooperare, de ^ nv at are ^ n grup  si de munc a
interdependent a .
Metodele de ^ nv at  am^ ant ("odos" =cale , drum ;"metha"= c atre , spre) reprezint a
c aile folosite ^ n  scoal a de c atre profesor ^ n a-i sprijini pe elevi s a descopere viat a,
natura, lumea, lucrurile,  stiint a.
Ele sunt totodata mijloace prin care se formeaz a  si se dezvolt a priceperile, deprin-
derile  si capacit at iile elevilor de a act iona asupra naturii, de a folosi roadele cunoa sterii
19

2.2.1 Exemple de activit at i didactice formative derulate
Activitatea nr. 1 (prezentare, descriere)
transform^ and exteriorul ^ n facilitate interioare, form^ andu- si caracterul  si dezvolt^ andu-
 si personalitatea.
^Inv at am^ antul modern preconizeaz a o metodologie axat a pe act iune, operatorie,
deci pe promovarea metodelor interactive care s a solicite mecanismele g^ andirii, ale
inteligent ei, ale imaginat iei  si creativit at ii.
2.3 Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere)
20

2.4 Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere)
2.5 Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere)
2.5.1 Exemple de activit at i extradidactice cu caracter
formativ-educativ derulate
2.6 Rezultatele din posttest
21

Tabela 2.9: TABEL SINTETIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA POSTTEST
Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
1a1b 1c1d 2a2b 3Sub. I 1a1b 23Sub. II puncte nal a
1. B.F.A. 55555510 40 8 – 8 10 58 5,80
2. B.M.F. 55555510 40 15 59- 29 10 79 7,90
3. I.A.V. 55555510 40 201067 43 10 93 9,30
4. I.M.R. 55555510 40 10 52- 17 10 67 6,70
5. L.M.I. 55555510 40 18 773 35 10 85 8,50
6. M.D.A. 55555510 40 15 55- 25 10 75 7,50
7. M.M.F. 55555510 40 15 58- 28 10 78 7,80
8. M.R.E. 55555510 40 201033 36 10 86 8,60
9. P.A.E. 55555510 40 16 55- 26 10 76 7,60
10. S.V.I. 55555510 40 201044 38 10 88 8,80
11. Z.D.I. 55555510 40 10 5– 15 10 65 6,50
22

ITEM Subiectul I Subiectul II
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 3 1a) 1b) 2 3
Punctaj maxim 55 55 55 55 55 55 110 220 110 110 110
Punctaj realizat 55 55 55 55 55 55 110 167 67 49 17
Procent de realizare 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 75,91% 60,91% 44,55% 15,45%
23

4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991001234
lot de control
control nal
24

Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
1a1b 1c1d 2a2b 3Sub. I 1a1b 23Sub. II puncte nal a
1. B.A.C. 55555510 40 5 – 5 10 55 5,50
2. C.L.M. 55555510 40 20 53- 28 10 78 7,80
3. D.A.I. 55555510 40 201084 42 10 92 9,20
4. D.C.S. 55555510 40 13 5– 18 10 68 6,80
5. F.A.C. 55555510 40 20 63- 29 10 79 7,90
6. I.G. 55555510 40 15 4– 19 10 69 6,90
7. M.C.M. 55555510 40 20 51- 26 10 76 7,60
8. M.O.A. 55555510 40 201033 36 10 86 8,60
9. N.N.M. 55555510 40 20 5– 25 10 75 7,50
10. P.E.D. 55555510 40 201053 38 10 88 8,80
11. S.R.C. 55555510 40 10 4– 14 10 64 6,40
25

ITEM Subiectul I Subiectul II
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 3 1a) 1b) 2 3
Punctaj maxim 55 55 55 55 55 55 110 220 110 110 110
Punctaj realizat 55 55 55 55 55 55 110 183 64 23 10
Procent de realizare 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 83,18% 58,18% 20,91% 10%
26

4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991001234
lot de control
27

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Lucrare scris a
Disciplina Matematic a
Clasa a XI-a A 20-XII-2016
Pentru rezolvarea corect a a tuturor cerint elor din Partea I  si din Partea a II-a
se acord a 90 de puncte. Din ociu se acord a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (40 de puncte)
1. Completat i spat iile puctate:
Fief:A!Ro funct ie de dou a ori derivabil a
5p a)feste ……………. pe A,f000
5p b)feste ……………. pe A,f000
Fief:A!Ro funct ie derivabil a
5p c)feste convex a pe A,f0este ………… pe A
5p d)feste concav a pe A,f0este ………… pe A
10p 2. Stabilit i corespondent ele dintre funct iile urm atoare  si intervalele pe care
aceste sunt concave:
f(x) =x3+x R
g(x) =ex+ 2x(1;0]
h(x) = lnx R
j(x) =x1
x(0;+1)
10p 3. Funct iaf:R!R; f(x) =x33×2+ 5 este convex a pe:
a)[0;1)b)[0;1)c)[1;1)d)(1;1]
Subiectul II (50 de puncte)
1. Fie funct ia f:R!R; f(x) =2x
x2+1.
20p a) S a se determine D;Df00.
10p b) S a se determine intervalele de convexitate, concavitate.
10p 2. S a se determine numarul real mpentru care funct ia
f:R!R; f(x) =ex(x+m) este convex a pe [2 ;1).
10p 3. Consider am numerele x;y2Rcux+y= 1. Ar atat i c ax
1+x+y
1+y2
3
28

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Barem de corectare lucrare scris a
22.V.2017
Pentru orice solut ie corect a, chiar dac a este diferit a de cea din
barem, se acord a punctajul corespunz ator.
Nu se acord a fract iuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare
pentru rezolv ari part iale, ^ n limitele punctajului indicat ^ n barem.
Se acord a 10 puncte din ociu. Nota nal a se calculeaz a prin ^ mp art irea
punctajului obt inut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1.
a)feste convex a 5p
feste concav a 5p
b)f0cresc atoare 5p
fdescresc atoare 5p
2.f! 2.5p
g! 2.5p
h! 2.5p
j! 2.5p
3.[1;1) 10p
SUBIECTUL II (50 de puncte)
29

1.a)f0(x) =2(x2+1)2x
2x
(x2+1)2= 3p
=2×2+2
(x2+1)2 5p
)Df0=R 2p
f00(x) = (f0(x))0= 3p
=4x(x4+2×2+3)
(x2+1)4 5p
)Df00=R 2p
b)f00(x) = 0, 4x(x4+ 2×2+ 3) = 0, 2p
x4+ 2×2+ 3 = 0)x1;2=p
3 2p
x= 0 2p
Funct iafeste convex a pe [p
3;0][[p
3;+1) 2p
Funct iafeste concav a pe (1;p
3][[0;p
3) 2p
2.fconvex a pe [2 ;+1))f00(x)0 1p
f0(x) =ex(xm+ 1) 2p
f00(x) =ex(x+m2) 2p
)x= 2m,
din tabelul de varit ie avem fconvex a pe [2m;1) 3p
Avem 2m= 2)m= 2 2p
3.f: (0;1)!R; f(x) =x
1+x
f0(x) =1
(x+1)2 2p
f00=2(x+1)
(x+1)4 3p
f00= 0)x2(1;1];f000  six2[1;1);f000 3p
fconvex a)f(x)+f(y)
2f(x+y
2) 1p
^Inlocuind avemx
x+1+y
y+1
2f(x+y
2)
Lu^ andx+y= 1 avemx
x+1+y
y+12
32p
30

Capitolul 3
COMPARAREA S I
INTERPRETAREA STATISTIC A
A DATELOR OBT INUTE
3.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din
posttest
3.1.1 E santion experimental versus de control, ^ n pretest
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
0234
2
012 23
2
1Num ar elevi
lot de control-test init ial lot experiment-test init ial
31

4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
0182737
18
0918 1828
18
9
Percente (%)|||||||||
lot de control-test init ial lot experiment-test init ial
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
lot de control-test init ial
lot experiment-test init ial
32

3.1.2 E santion experimental versus de control, ^ n posttest
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
134
2
1 124
3
1Num ar elevi
lot de control-test nal lot experiment-test nal
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
92737
18
9 91837
27
9
Procente (%)|||||||||
lot de control-test nal lot experiment-test nal
33

5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
lot de control-test nal
lot experiment-test nal
3.1.3 E santion control ^ n pretest, versus e santion control ^ n
posttest
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
234
2
0134
2
1Num ar elevi
lot de control-test initial lot experiment-test nal
34

5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
182737
18
092737
18
9
Procente (%)|||||||||
lot de control-test initial lot experiment-test nal
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
lot de control-test initial
lot experiment-test nal
35

3.2 Concluzii desprinse ^ n urma interpret arilor  si
comparat iilor
3.3 Direct ii  si perspective ulterioare de abordare a
temei
36

Bibliograe
[1] T.R adulescu, V. Radulescu, T. Andreescu , Problems in real analysis: Advanced
calculs on the real axis, Springer (2009), 271-272.
[2] L. Galvani, Sulle funzioni converse di una o due variabili denite in aggregate
qualunque, Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1916), 103-134.
[3] J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs
moyennes, Acta Math. 30 (1906), 175-193.
[4] T. Popoviciu, Sur certaines inegalites qui caracterisent les fonctions convexes,
Analele Stiintice Univ. Al. I. Cuza, Iasi, Sectia Mat.11 (1965), 155-164.
[5] L. J. Rogers, An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of
Math. 17 (1888), 145-150.
[6] O. Stolz, Grunz uge der Dierential und Integralrechnung, Vol. 1,Teubner, Leipzig,
1893.
37