LUCRARE METODICO-¸ STIIN ¸ TIFIC ˘A PENTRU OB ¸ TINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator ¸ stiin¸ tific, Prof. univ. dr. Vicen¸ tiu R ˘adulescu… [616031]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOV A
FACULTATEA DE ¸ STIIN ¸ TE
LUCRARE METODICO-¸ STIIN ¸ TIFIC ˘A PENTRU
OB ¸ TINEREA GRADULUI DIDACTIC I
Coordonator ¸ stiin¸ tific,
Prof. univ. dr. Vicen¸ tiu R ˘adulescu
Candidat,
G˘aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
Seria 2016-2018

UNIVERSITATEA DIN CRAIOV A
FACULTATEA DE ¸ STIIN ¸ TE
FUNC ¸ TII CONVEXE ¸ SI CONCA VE;
APLICA¸ TII ÎN STUDIUL INEGALIT ˘A¸ TILOR
Coordonator ¸ stiin¸ tific,
Prof. univ. dr. Vicen¸ tiu R ˘adulescu
Candidat,
G˘aman Adrian George
Liceul Teoretic Constantin Noica,
Alexandria, Teleorman
Seria 2016-2018

ACORD
Subsemnatul,Vicen¸ tiu R ˘adulescu , prof.univ.dr., la Facultatea de ¸ Stiin¸ te, Departamentul de Ma-
tematic ˘a , sunt / nu sunt de acord cu depunerea lucr ˘arii metodico-¸ stiin¸ tifice pentru ob¸ tinerea gra-
dului didactic I, elaborat ˘a de G ˘aman Adrian George, profesor la Liceul Teoretic Constantin Noica,
localitatea Alexandria, jude¸ tul Teleorman, cu titlul FUNC¸ TII CONVEXE ¸ SI CONCAVE; APLICA-
¸ TII ÎN STUDIUL INEGALIT ˘A¸ TILOR .
Profesor coordonator,
Data,

Declara¸ tie de autenticitate
Subsemnatul G ˘aman Adrian George, având func¸ tia didactic ˘a de profesor la unitatea ¸ scolar ˘a
Liceul Teoretic Constantin Noica, localitatea Alexandria, jude¸ tul Teleorman, declar pe propria
r˘aspundere c ˘a lucrarea cu titlul FUNC¸ TII CONVEXE ¸ SI CONCAVE; APLICA¸ TII ÎN STUDIUL
INEGALIT ˘A¸ TILOR având coordonator ¸ stiin¸ tific prof. univ. dr. Vicen¸ tiu R ˘adulescu a fost elaborat ˘a
personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experien¸ tei personale ¸ si îmi apar¸ tine în
întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele men¸ tionate în bibliografie, nu au fost
preluate texte, date sau elemente de grafic ˘a din alte lucr ˘ari, f ˘ar˘a a fi citate ¸ si f ˘ar˘a a fi precizat ˘a sursa
prelu ˘arii, inclusiv în cazul în care sursa o reprezint ˘a alte lucr ˘ari ale candidat: [anonimizat].
Data
Semn ˘atura candidat: [anonimizat] 6
ICAPIT OLUL I-FUNC ¸TIICONVEXE PER 9
I.1 No¸tiuni introducti ve…………………………….9
I.2 Diferen ¸tiabilitatea func¸tiilor convexe…………………….13
I.3 Câtevainegalit˘a¸ticlasice ………………………….17
I.4 Subdiferen ¸tiala ………………………………19
I.5 Aplica ¸tii………………………………….23
IICAPIT OLUL II-FUNC ¸TIICONVEXE PESPA¸TIIBANACH 35
II.1 No¸tiuni introducti ve…………………………….35
II.2 Func ¸tiiconvexeconjug ate …………………………37
II.3 Continuitatea func¸tiilor convexe………………………42
II.4 Func ¸tiiomogene ……………………………..44
II.5 Subdiferen ¸tiala ………………………………46
IIICAPIT OLUL III-INEGALIT ˘A¸TIVARIA ¸TION ALE 52
III.1 Ecua ¸tiineliniare ………………………………52
III.2 Inegalit˘a¸tivaria¸tionale eliptice deprima spe¸t˘a………………..56
III.3 Inegalit˘a¸tivaria¸tionale eliptice despe¸taadoua ………………..59
III.4 Ecua ¸tiineliniare ceprovindininegalit˘a¸tivaria¸tionale …………….64
IVCAPIT OLUL IV-PROIECT AREA ¸SIDESF ˘A¸SURAREA CERCET ˘ARII 66
IV.1Ipoteza /Ipotezele cercet ˘arii…………………………66
IV.2Scopul ¸siobiecti velecercet ˘arii ……………………….66
IV.3E¸santionul desubiec ¸ti……………………………67
IV.4E¸santionul decon¸tinut …………………………..67
IV.5Locul ¸sidurata cercet ˘arii ………………………….67
IV.6Metodologia cercet ˘arii …………………………..68
4

VCAPIT OLUL V-PREZENT AREA REZUL TATELOR, PEETAPE ALE CERCET ˘A-
RII 70
V.1Rezultatele dinetapa constatati v˘a………………………70
V.2Etapa experimental-ameliorati v˘a………………………80
V.2.1 Exemple deactivit˘a¸tididactice formati vederulate …………..85
V.3Rezultatele dinposttest …………………………..99
VICAPIT OLUL VI-COMP ARAREA ¸SIITERPRET AREA STATISTIC ˘AADATE-
LOR OB¸TINUTE 109
VI.1 Compararea rezultatelor dinpretest cuceledinposttest ……………109
VI.1.1 E¸santion experimental versus decontrol, înpretest ………….109
VI.1.2 E¸santion experimental versus decontrol, înposttest ………….111
VI.1.3 E¸santion experimental înpretest, versus e¸santion experimental înposttest .112
VI.1.4 E¸santion control înpretest, versus e¸santion control înposttest …….113
VI.2 Concluzii desprinse înurma interpret ˘arilor ¸si
compara ¸tiilor ……………………………….115
VI.3 Direc ¸tii¸siperspecti veulterioare deabordare atemei ……………..115
CONCLUZII FINALE 117
BIBLIOGRAFIE 119
5

INTR ODUCERE
Matematica este oparte fundamental ˘aagândirii ¸silogicii umane, oparte integrant ˘aa
încerc ˘arilor deîn¸telegere alumii ¸sianoastr ˘aîn¸sine. Matematica ofer˘aomodalitate eficient ˘ade
aconstrui disciplina mental ˘a¸siîncurajeaz ˘ara¸tionamentul logic ¸sirigurozitatea mental ˘a.Înplus,
cuno ¸stin¸telematematice joac˘aunrolcrucial înîn¸telegerea con¸tinutului altor discipline ¸scola re,
cum arfi¸stiin¸ta,studiile sociale ¸sichiar muzica ¸siarta.
Func ¸tiile convexeaufostobiectul multor studii dinultimii osut˘adeani. Convexitatea
de¸sipare ono¸tiune simpl ˘aavând contrib u¸tiitimpurii înanaliza convex˘af˘acute deHolder(1889),
Jensen (1906), ¸siMink owski (1910, 1911) estedefaptotem˘adestul decomplicat ˘a,pentru ceicare
nuaustudiat suficient analiza matematic ˘a.
Tema acestei lucr˘arimetodico- ¸stiin¸tifice este "Func¸ tiiconvexe¸siconca ve;aplica¸ tiiîn
studiul inegalit ˘a¸tilor".
Moti vulalegerii acestei teme esterolul important pecareîljoac˘afunc¸tiileconvexeînsfera
matematicii. Aplicarea fuc¸tiilorconvexeseimpune înstudiul problemelor deoptimizare, care se
disting printr -unnum˘ardepropriet ˘a¸ticonvenabile ¸siapar înmulte modele matematice utilizate în
economie, inginerie etc.
Înteoria probabilit ˘a¸tii,ofunc¸tieconvex˘aaplicat ˘alavaloarea a¸steptat ˘aaunei variabile
aleatoare esteîntotdeauna maimic˘asauegal˘acuvaloarea a¸steptat ˘aafunc¸tieiconvexeavariabilei
aleatoare. Acest rezultat, cunoscut cainegalitatea luiJensen, st˘alabaza multor inegalit˘a¸tiimpor –
tante (inclusi v,deexemplu, inegalitatea mediei aritmetice-geometrice ¸siinegalitatea luiHolder).
Cre¸sterea exponen ¸tial˘aesteuncazspecial deconvexitate. Expansiunea crescut ˘ainseamn ˘a
"cre¸sterea laorat˘apropor ¸tional ˘acuvaloarea actual ˘a",întimp cecre¸sterea convex˘aînseamn ˘aîn
general "cre¸sterea cuorat˘acrescend ˘a(darnuneap ˘aratpropor ¸tional ˘acuvaloarea curent ˘a)".
Lucrarea defa¸t˘adore¸steaprofundarea no¸tiunilor defunc¸tieconvex˘a/conca v˘apentru un
maibundemers instructi v-educati v.
Pentru început amrealizat cercetarea bibliogr afic˘acuîntocmirea indexului ¸siafi¸selor
pentru aplicabilitatea func¸tiilor convexe/conca veînstudiul inegalit˘a¸tilor.
Etapa urm˘atoare afostdocumentarea efecti v˘aamaterialelor g˘asite înelaborarea ¸stiin¸tific˘a
6

aacestei lucr˘ari.
Toate activit˘a¸tileprezentate înlucrare aufostefectuate împreun ˘acueleviiLiceului Teo-
retic „Constantin Noica„ dinAlexandria bucurându-ne desprijinul domnului director ¸sialprofe –
sorilor acestui liceu unde func¸tionez caprofesor titular .
Ultima etap˘aaconstat înredactarea propriu-zis ˘aalucr˘ariidup˘acum sepoate observ a.
Primul capitol intitulat "Func¸ tiiconvexepeR"arecascop prezentarea no¸tiunilor intro-
ducti ve,aunor teoreme privind diferen ¸tiabilitatea func¸tiilor convexe,precum ¸sicâtevarezulatate
aleacestora "Inegalitatea mediilor", "Inegalitatea Popo viciu", "Inegalitatea luiYoung.".
Încontinuare amintrodus no¸tiuni despre subdiferen ¸tial˘a,iarînincheierea capitolului am
prezentat rezolv ˘arideexerci¸tiicuprivirela"Inegalitatea luiJensen", prezente atâtînstudiul liceal
cât¸siînconcursurile ¸scolare.
Aldoilea capitol inititulat "Func¸ tiiconvexepespa¸tiiBanach" prezint ˘aconcepte debaz˘a
¸sipropriet ˘a¸tilefunc¸tiilor convexecuvalori înaxareal˘aextins ˘adefinite peunspa¸tiuBanach. Prici-
palul subiect esteconceptul desubdiferen ¸tial˘a.
Înaltreilea capitol intitulat "Inegalit ˘a¸tivaria¸tionale" nevomcanaliza aten¸tiaasupra unor
ecua¸tiineliniare enun ¸tateprinintermediul operatorilor taremonotoni ¸siLipschitz defini ¸tipespa¸tii
Hilbert, asupra inegalit˘a¸tilor varia¸tionale despe¸taîntâi ¸siadoua ¸siecua¸tiilor neliniare ceprovin
dininegalit˘a¸tivaria¸tionale.
Înprima sec¸tiune sunt prezentate dou˘arezultate fundamentale dinAnaliza Func ¸tional ˘a¸si
anume Teorema Minty-Bro wder ¸siversiunea neliniar ˘aaLemei Lax-Milgram.
Încontinuare studiem inegalit˘a¸tivaria¸tionale eliptice deprima spe¸t˘a,precum ¸siinegalit˘a¸ti
varia¸tionale despe¸taadoua. Pentru ambele inegalit˘a¸tiprezentate maisusvomstabilirezultate de
existen ¸t˘a,unicitate ¸sidependen ¸t˘aLipschitz dedata ini¸tial˘a.Înultima sec¸tiune studiem dependen ¸ta
solu¸tieiinegalit˘a¸tiianterioare defunc¸tionala .
Înultimele 3capitole alelucr˘ariiamprezentat demersul metodico -experimental.
Pentru cercetarea defa¸t˘aamcuprins ansamblul con¸tinuturilor/informa ¸tiilor privind uti-
lizarea func¸tiilor convexeînstudiul inegalit˘a¸tiilor ,folosid cae¸santion clasa aXI-a AaLiceului
Teoretic "Constantin Noica", Alexandria. Laînceput amprezentat ipotezele, scopul ¸siobiecti vele
cercet ˘arii.
Pebaza rezultatelor ob¸tinute deelevilatestul ini¸tialamstabilit nivelulcuno ¸stin¸telor ele-
vilor înmomentul începerii experimentului ¸siamalesstrate giadidactic ˘anecesar ˘aatingerii obiec-
tivelorpropuse pentru etapa experimental -ameliorati v˘a.
Prin strate giaaleas ˘aamurm˘aritdezvoltarea capacit ˘a¸tilor intelectuale, priceperile, deprin-
derile, aptitudinile elevilor cuajutorul unui ansamblu comple x¸sicircular demetode, tehnici, mij-
loace deînv˘a¸t˘amânt ¸siforme deorganizare aactivit˘a¸tii.
Înelaborarea acestuiplan delucru am¸tinut cont deoserie defactori care auajutat labuna
desfa¸surare aac¸tiunilor depredare -înv˘a¸tare-evaluare.
Pentru caactivitatea s˘afieactivizat ˘aamprev˘azut implicarea elevilor înrealizarea acestui
demers. Astfel eiauputut s˘a-¸simanifeste dorin ¸tadecunoa ¸stere, deactivitate intelectual ˘a¸sidea
7

înv˘a¸ ta prin cooperare în echip ˘a, colectiv ¸ si individual.
Pe parcursul perfect ˘arii studiului am primit îndrum ˘ari pre¸ tioase din partea coordonatorului
¸ ttiin¸ tific al lucr ˘arii, Prof. univ. dr. Vicen¸ tiu R ˘adulescu, c ˘aruia îi aduc ¸ si pe aceast ˘a cale sincere ¸ si
respectuoase mul¸ tumiri.
8

Capitolul I
FUNC ¸ TII CONVEXE PE R
I.1 No¸ tiuni introductive
Defini¸ tia 1.1. O mul¸ timeAse nume¸ ste convex˘ a, dac˘ a pentru oricare dou˘ a puncte x;y2A¸ si
orice2[0;1]avem:
x+ (1)y2A:
Figura I.1:
Defini¸ tia de mai sus mai poate fi enun¸ tat ˘a astfel: " Mul¸ timeaAeste convex˘ a dac˘ a segmen-
tul care une¸ ste oricare dou˘ a puncte din mul¸ timea Ase afl˘ a în aceast˘ a mul¸ time ".
Defini¸ tia 1.2. FieARun interval. O func¸ tie f:A!Rse nume¸ ste convex˘ a dac˘ a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y); (1.1)
pentrux;y2A¸ si2[0;1]:
9

Func¸ tiafse nume¸ ste strict convex˘ a dac˘ a inegalitatea (1:1)este strict˘ a pentru oricare
x6=y¸ si2(0;1).
Func¸ tia fse nume¸ ste concav ˘a dac ˘a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y); (1.2)
pentrux;y2A¸ si2[0;1].
Dac˘afeste o func¸ tie convex ˘a sau strict convex ˘a atuncifeste concav ˘a sau strict concav ˘a.
Dac˘a o func¸ tie este în acela¸ si timp convex ˘a ¸ si concav ˘a atunci aceasta este afin ˘a.
Geometric func¸ tia f:A!Reste convex ˘a dac ˘a punctele de pe graficul func¸ tiei se afl ˘a
sub sau pe coarda care une¸ ste punctele de coordonate A(a;f(a))¸ siB(b;f(b)). Atunci:
f(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa); (1.3)
pentru8x2[a;b]¸ sia;b2A;a<b .
Acest lucru arat ˘a ca func¸ tiile convexe sunt majorate la nivel local de func¸ tii afine.
Figura I.2:
În continuare sunt prezentate opera¸ tiile func¸ tionale ale func¸ tiilor convexe.
Propozi¸ tia 1.3.
1. Adunarea a dou˘ a func¸ tii convexe, definite pe acela¸ si interval, este o func¸ tie convex˘ a. Dac˘ a
una dintre acestea este strict convex˘ a atunci suma este strict convex˘ a.
2. Înmul ,tind o func¸ tie convex˘ a (strict convex˘ a) cu un scalar pozitiv ob¸ tinem tot o func¸ tie con-
vex˘ a (strict convex˘ a).
10

3. Restric¸ tia fiec˘ arei func¸ tii convexe (strict convexe) pe un subinterval al domeniului de defini¸ tie
este de asemenea o func¸ tie convex˘ a (strict convex˘ a).
4. Dac˘ af:A!Reste o func¸ tie convex˘ a (strict convex˘ a) ¸ si g:R!Reste o func¸ tie monoton
cresc˘ atoare (strict cresc˘ atoare) ¸ si convex˘ a atunci gfeste o func¸ tie convex˘ a (strict convex˘ a).
5. Fief:A!Bo func¸ tie bijectiv˘ a. Dac˘ a feste cresc˘ atoare atunci feste (strict) con-
vex˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f1este (strict) concav˘ a. Dac˘ a f este o func¸ tie descresc˘ atoare ¸ si
bijectiv˘ a, atunci f¸ sif1au acela¸ si tip de convexitate.
Putem generaliza inegalitatea (1.1) pentru o func¸ tie convex ˘afcu ajutorul variabilelor
x;y;z cu ponderile ;;2[0;1]astfel încât++= 1. Re¸ tinem c ˘a+= 1. În acest
mod cazul cu 3 variabile poate fi transformat într-un caz cu 2 variabile dup ˘a cum urmeaz ˘a:
f(x+y+z)f
x+ (1)y+z
+
f(x) + (1)fy+z
+
=f(x) + (1)f
+
y+
+
z
f(x) + (+)
+
f(y) +
+
f(z)
=f(x) +f(y) +f(z):
Procedând inductiv se poate ar ˘ata faptul c ˘af:A!Reste convex ˘a,8×1;:::;xn2A¸ si
81;:::;n2[0;1]a.î.Pn
i=1i= 1avem
f nX
i=1ixi!
nX
i=1if(x1):
Teorema 1.4. (Jensen [10]) Fie f:A!Ro func¸ tie continu˘ a. Atunci f este convex˘ a dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a:
fx+y
2
f(x) +f(y)
2;8x;y2A: (1.4)
Demonstra¸ tie. Se demonstreaz ˘a doar suficien¸ ta, necesitatea fiind evident ˘a.
Presupunem prin reducere la absurd c ˘afnu este o func¸ tie convex ˘a, deci exist ˘a un interval [a;b]
astfel încât graficul func¸ tiei nu este sub coarda format ˘a de punctele A(a;f(a))¸ siB(b;f(b)). Asta
înseamn ˘a c˘a func¸ tia:
g(x) =f(x)f(b)f(a)
ba(xa)f(a); x2[a;b];
11

verific ˘a
=supfg(x) :x2[a;b]g>0. Observ ˘am c ˘ageste continu ˘a ¸ sig(a) =g(b) = 0 .
Prin calcul direct observ ˘am de asemenea c ˘agverific ˘a ingalitatea (1.4). Fie c=inffx2[a;b] :
g(x) =
g. Atuncig(c) =
¸ sic2(a;b)¸ si pentru to¸ ti t>0cuct2(a;b):
g(ct)<g(c)¸ sig(c+t)g(c)
g(c)>g(ct) +g(c+t)
2
ceea ce contrazice faptul c ˘agsatisface (1.4). 
Teorema 1.5. (Jensen [10]) Dac˘ a feste convex˘ a pe intervalul A, atunci pentru orice
1;2;:::;n2[0;1], cu1+2+:::+n= 1, ¸ si pentrux1;x2;:::;xn2A, deducem c˘ a
f(1×1+2×2+:::+nxn)1f(x1) +2f(x2) +:::+nf(xn): (1.5)
Aceasta mai poate fi scris˘ a
fx1+x2+:::+xn
n
f(x1) +f(x2) +:::+f(xn)
n: (1.6)
Demonstra¸ tie. Pentru a demonstra inegalitatea de mai sus proced ˘am prin induc¸ tie. Pentru n=
2inegalitatea se reduce la (1.1). Presupunând inegalitatea adevarata pentru combina¸ tii convexe de
câten1elemente avem
f(1×1+2×2+:::+nxn) =f
(1n)1
1nx1+:::+n1
1nxn1
+nxn
(1n)f1
1nx1+:::+n1
1nxn1
+nf(xn)
¸ si folosind ipoteza de induc¸ tie ob¸ tinem
(1n)1
1nf(x1) +:::+n1
1nf(xn1)
+nf(xn)
=1f(x1) +2f(x2) +:::+nf(xn):
Pentru1=2=:::=n=1
ninegalitatea (1.6) este demonstrat ˘a. 
Corolar 1.6. Fief:A!Ro func¸ tie continu˘ a. Atunci feste convex˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
f(x+t) +f(xt)2f(x)0: (1.7)
pentru oricare x2A¸ sit>0astfel încâtx+t;xt2A.
Se observ ˘a c˘a Teorema 1.5 ¸ si Corolarul 1.6 au variante simple în cazul func¸ tiilor strict
convexe.
12

I.2 Diferen¸ tiabilitatea func¸ tiilor convexe
Func¸ tieif:A!R¸ si punctului a2Ale ata¸ s ˘am func¸ tiama:Anfag!R,ma(x) =
f(x)f(a)
xa, unde valoarea în xreprezint ˘a panta coardei care une¸ ste punctele (a;f(a))¸ si(x;f(x))a
graficului func¸ tiei f.
Teorem ˘a 1.7. (Galvani [9]) Fie f:A!R. Atuncifeste convex˘ a (respectiv strict convex˘ a) dac˘ a
¸ si numai dac˘ a func¸ tia ata¸ sat˘ a maeste monoton cresc˘ atoare (respectiv strict cresc˘ atoare)
Adic ˘a,
ma(y)ma(x)
yx=1x f(x)
1y f(y)
1a f(a)
1x x2
1y y2
1a a20(>0) (1.8)
pentru toate punctele x;y;a2A.
Demonstrarea teoremei de mai sus se realizeaz ˘a cu urm ˘atoarea lem ˘a:
Lema 1.8. Fief:A!R. Atuncifeste convex˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)
1x x2
1y y2
1z z20; (1.9)
pentru toate punctele x;y;z2Acux6=y6=z.
Dac˘ a func¸ tia este strict convex˘ a atunci inegalitatea este verificat˘ a inlocuind inegalitatea cu
una strict˘ a.
Demonstra¸ tie. V om considera numai cazul x<y<z celelalte cazuri fiind similare. Condi¸ tia
de mai sus inseamn ˘a
(zy)f(x)(zx)f(y) + (yx)f(z)0;
13

pentrux<y <z dinA. Pentru fiecare y2(x;z)acesta poate fi scris ca y= (1)x+z, iar
ultima condi¸ tie este echivalent ˘a cu afirma¸ tia urm ˘atoare
f((1)x) +z)(1)f(x) +f(z);
pentrux<z dinA¸ si2[0;1]. 
Teorema 1.9. (Stolz [17]) Fie f:A!Ro func¸ tie convex˘ a. Atunci feste continu˘ a pe interiorul
intA al luiA¸ si are derivate laterale finite în fiecare punct al intA . Mai mult, dac˘ a x < y din
intA implic˘ a
f0
s(x)f0
d(x)f0
s(y)f0
d(y): (1.10)
În particular, f0
s¸ sif0
dsunt monoton cresc˘ atoare pe intA .
Demonstra¸ tie. Conform Teoremei 1.7, avem
f(x)f(a)
xaf(y)f(a)
yaf(z)f(a)
za
pentruxy<a<z din A. Aceste date ne asigur ˘a c˘a derivata la stânga exist ˘a ¸ si
f0
s(a)f(z)f(a)
za;
Folosind un ra¸ tionament asem ˘an˘ator ob¸ tinem existen¸ ta f0
d(a)¸ si verificarea inegalit ˘a¸ tii
f0
s(a)f0
d(a). Altfel dac ˘ax<uv<y2int A, conform Teoremei 1.7 avem
f(u)f(x)
uxf(v)f(x)
vxf(v)f(y)
vy;
pentruu!x;u>x ¸ siv!y;v<y ob¸ tinemf0
s(a)f0
d(a)
Deoarecefadmite derivate laterale finite în fiecare punct, atunci este continu ˘a în fiecare
punct. 
Conform Teoremei 1.9 orice func¸ tie continu ˘a ¸ si convex ˘a definit ˘a pe intervalul [a;b]admite
derivatelef0
d(a)¸ sif0
s(b)în aceste puncte , acestea putând fi infinite astfel încât
1f0
d(a)<1 ¸ si1<f0
s(b)1
Propozi¸ tia 1.10. Dac˘ af: [a;b]!Ro func¸ tie convex˘ a, atunci f(a+)¸ sif(b)exist˘ a în R¸ si
~f(x) =8
>>><
>>>:f(a+);dac˘ a x=a,
f(x);dac˘ a x2(a,b),
f(b);dac˘ a x=b,
14

este convex˘ a.
Propozi¸ tia 1.11. Dac˘ af:A!Reste convex˘ a, atunci fiecare feste monoton˘ a pe int A, sau
exist˘ a2intA astfel încâtfeste monoton descresc˘ atoare pe intervalul (1;]\A¸ si monoton
cresc˘ atoare pe intervalul [;1)\A.
Demonstra¸ tie.
Deoarece orice func¸ tie convex ˘a verific ˘a formula (1.3), r ˘amâne s ˘a consider ˘am cazul în care
Aeste deschis. Dac ˘afnu este monoton ˘a, atunci exist ˘a punctelea<b<c dinAastfel încât
f(b)<f(a)¸ sif(b)<f(c):
Cazulf(b)> f(a)¸ sif(b)> f(c)nu este acceptat tot de formula (1.3). Deoarece feste
continu ˘a pe[a;c]aceasta î¸ si atinge infimumul pe acest interval în punctul 2[a;c], acesta fiind
f() =inff ([a;c]):
De fapt,f() =inff (A). Adic ˘a, dac ˘ax<a atunci în conformitate cu Teorema 1.7 avem
f(x)f()
xf(a)f()
a;
ceea ce conduce la
(a)f(a)(xa)f() + (x)f(a)(a)f();
ceea ce rezult ˘a
f(x)f();
Analog putem ar ˘ata ¸ si cazul în care c<x . Dac ˘au<v< atunci
su() =s(u)s(v) =f(v)f()
v0;
de unde
su(v)su()0:
Rezult ˘a c˘afeste monoton descresc ˘atoare peA\(1;]. Analog, dac ˘a < u < v ¸ sisv()
sv(u)ob¸ tinem c ˘af(v)f(u), decifeste monoton descescatore pe A\[;1): 
Corolar 1.12. Orice func¸ tie convex˘ a f:A!Rcare nu este monoton˘ a pe intA are un minim
global interior.
15

Teorema 1.13. Dac˘ af:A!Reste o func¸ tie convex˘ a, atunci feste Lipschitz pe orice interval
compact [a;b]con¸ tinut în interiorul lui A.
Demonstra¸ tie. Din Teorema 1.9 avem
f0
d(a)f0
d(x)f(y)f(x)
yxf0
s(y)f0
s(b)
pentru8x;y2[a;b], cux<y , decifj[a;b]verific ˘a condi¸ tia Lipschitz cu
L=maxfjf0
d(a)j;jf0
s(b)jg:

Consider ˘am derivatele superioar ˘a ¸ si inferioar ˘a de ordin doi dfinite de formulele:
D2f(x) = lim sup
h!0f(x+h) +f(xh)2f(x)
h2;
D2f(x) = lim sup
h!0f(x+h) +f(xh)2f(x)
h2
Dac˘a func¸ tiafeste de dou ˘a ori derivabil ˘a în punctul x, atunci
D2f(x) =D2f(x) =f00(x); (1.11)
undeD2f(x)¸ siD2exist ˘a ¸ si în punctele de discontinuitate.
Teorema 1.14. Dac˘ aAeste un interval deschis, atunci o func¸ tie f:A!Reste convex˘ a dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a feste continu˘ a ¸ si D2f(x)0.
Altfel, dac˘ a func¸ tia f:A!Reste convex˘ a în vecin˘ at˘ a¸ tile oric˘ arui punct din A, atunci este
convex˘ a pe întreg intervalul A.
Demonstra¸ tie. Dac˘afeste convex ˘a, atunci
D2f(x)D2f(x)0
Continuitatea func¸ tiei fse deduce din Teorema 1.9.
Presupunem c ˘aD2f(x)>0peA. Dac ˘afnu este convex ˘a, atunci exist ˘a un punctx0
astfel încâtD2f(x)0, care este o contradic¸ tie. În acest caz exist ˘a subintervalul A0= [a0;b0]
astfel încât
fa0+b0
2
>f(a0) +f(b0)
2;
Folosind unul din intervalele [a0;a0+b0
2];[3a0+b0
4;a0+3b0
4];[a0+b0
2;b0], putem alegem s ˘a înlo-
cuim peA0cuA1= [a1;b1]cub1a1=b0a0
2¸ sif(a1+b1
2)>f(a1)+f(b1)
2
Utilizând induc¸ tia matematic ˘a, din principiul includerii intervalelor ob¸ tinem punctul x0.
16

În general,
fn(x) =f(x) +1
nx2:
AtunciD2f(x)>0¸ si din cele de mai sus, rezult ˘a c˘afneste convex ˘a.
Evident,
fn(x)!f(x);8x2A
de undefeste convex ˘a.

Corolar 1.15. Consider˘ am f:A!Ro func¸ tie de dou˘ a ori derivabil˘ a. Atunci:
1. f este convex˘ a()f000;
2. f este strict convex˘ a ()f000¸ si grupul punctelor unde f” se anuleaz˘ a nu include inter-
vale de lungime pozitiv˘ a.
I.3 Câteva inegalit ˘a¸ ti clasice
Teorem ˘a 1.16. (Inegalitatea ponderat˘ a mediilor A-G [16]) Dac˘ a x1;


;xn2(0;1)¸ si1;


;n2
(0;1),Pn
k=1k= 1,atunci
nX
k=1kxkx1
1


xn
n; (1.12)
cu egalitate dac˘ a ¸ si numai dac˘ a x1=


=xn.
Înlocuind pe xkcu1
xkîn inegalitatea (1.12) ob¸ tinem
x1
1


xn
n1Pn
k=1k
xk;
din nou cu egalitate dac ˘a ¸ si numai dac ˘ax1=


=xn, ceea ce reprezint ˘a inegalitatea ponderat ˘a
dintre media geometric ˘a ¸ si media armonic ˘a. Pentru1=:::=n=1
nob¸ tinem inegalita¸ tile cla-
sice dintre media aritmetic ˘a si media geometric ˘a, respectiv media geometric ˘a ¸ si media armonic ˘a.
Teorem ˘a 1.17. (Inegalitatea Popoviciu [13]) Fie f:A!Ro func¸ tie continu˘ a. Atunci feste
convex˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
f(x) +f(y) +f(z)
3+fx+y+z
3
2
3
fx+y
2
+fy+z
2
+fx+z
2
(1.13)
pentru orice x;y;z2A.
Dac˘ a func¸ tia este strict convex˘ a inegalitatea (1.13) este strict˘ a exceptând cazul x=y=z:
17

Demonstra¸ tie. Necesitatea. Presupunem c˘ a xyz. Dac˘ ayx+y+z
3, atunci
x+y+z
3x+z
2z;
¸ si
x+y+z
3y+z
2z;
ceea ce duce la alegerea numerelor s;t2[0;1]astfel încât
x+z
2=s
x+y+z
3+ (1s)
z;
y+z
2=t
x+y+z
3+ (1t)
z;
)(x+y2z)(s+t3
2) = 0:
Dac˘ ax+y2z= 0atuncix=y=z, iar inegalitatea 1.13 este evident˘ a.
Dac˘ as+t=3
2avem:
fx+z
2
s
fx+y+z
3
+ (1s)
f(z);
fy+z
2
t
fx+y+z
3
+ (1t)
f(z);
fx+y
2
1
2
f(x) +1
2
f(y);
Însumând ultimele 3 inegalit˘ a¸ ti ob¸ tinem:
fx+y
2
+fx+y
2
+fx+y
2
1
2
(f(x) +f(y) +f(z)) +3
2
x+y+z
3:
Înmul¸ tind inegalitatea cu2
3ob¸ tinem inegalitatea Popoviciu.
Analog se demonstreaz˘ a cazul în carex+y+z
3<y.
Suficien¸ ta.
Candy=xfolosim urm˘ atoarea substitu¸ tie a convexit˘ a¸ tii punctului de mijloc:
1
4f(x) +3
4fx+ 2y
3
fx+y
2
8x;y2A: (1.14)
Din Teorema 1.5 rezult˘ a inegalitatea cerut˘ a. 
Teorem ˘a 1.18. (Inegalitatea lui Young) Fie f: [0;1)![0;1)o func¸ tie cresc˘ atoare astfel încât
f(0) = 0 ¸ silimx!1f(x) =1. Atunci
abZa
0f(x)dx+Zb
0f1(x)dx;
18

pentru oricare a;b0, egalitatea având loc dac ˘a ¸ si numai dac ˘ab=f(a).
Demonstra¸ tie. Consider ˘am func¸ tia
F(x) =Zx
0f(t)dt+Zf(x)
0f1(t)dtxf(x): (1.15)
FunctiaF(x)este derivabil ˘a cuF0= 0. Acestea conduc la
0ua; 0vf(a))uvZu
0f(t)dt+Zv
0f1(t)dt;
si acum teorema este demonstrat ˘a. 
Func¸ teig:A!R¸ si punctului x0le ata¸ s ˘am func¸ tiafdefint ˘a prin
f(x) =Zx
x0g(t)dt;
Deoarecegeste marginit ˘a pe intervale m ˘arginite rezult ˘a c˘ageste o func¸ tie Lipschitz, fiind
deasemenea o func¸ tie convex ˘a. Utilizând Teorema 1.5 este suficient s ˘a ar˘at˘am c ˘afeste convex ˘a.
Pentruxy2Aavem
f(x) +f(y)
2fx+y
2
=1
2 Zy
x+y
2g(t)dtZx+y
2
xg(t)dt!
0;
deoarecegeste monoton cresc ˘atoare.
Se observ ˘a c˘afeste derivabil ˘a în fiecare punct de continuitate al func¸ tiei g¸ sif0=gla
aceste puncte.
I.4 Subdiferen¸ tiala
Fief:A!R. Spunem c ˘afadmite o dreapt ˘a suport pentru x2Adac˘a exist ˘a2R
astfel încât
f(y)f(x) +(yx);8y2A: (1.16)
Definim
@f(x) =f2R:satisface (1:16)g;
ca fiind subdiferen¸ tiala func¸ tiei fîn punctulxpentru orice . Orice element 2@f(x)se nume¸ ste
subgradient al func¸ tiei fîn punctulx.
Lema 1.19. Fief:A!Ro functie convex˘ a. Atunci @f(x)6=?pentru orice punct interior al
intervalului A. În plus, toate func¸ tiile g:A!Rcug(x)2@f(x), pentrux2intA verific˘ a dubla
inegalitate:
f0
s(x)g(x)f0
d(x);
19

¸ si aceasta este monoton crescatoare pe int A.
Demonstra¸ tie. Ar˘at˘am c ˘af0
d(x0)2@f(x0)pentru fiecare x02intA . Dac ˘ax2A, cuxx0,
atunci
f((1t)x0+tx)f(x0)
tf(x)f(x0);
pentru orice t2(0;1], ceea ce rezult ˘a
f(x)f(x0) +f0
d(x0)
(xx0);
Dac˘axx0, printr-un ra¸ tionament similar ob¸ tinem
f(x)f((x0) +f0
s(x0)
(xx0);
sau
f0
s(x0)
(xx0)f0
d(x0)
(xx0); (1.17)
deoarecexx00.
Analog, spunem c ˘af0
s(x0)2@f(x0)pentru orice x02intA .
Din Teorema 1.9 rezult ˘a c˘a func¸ tiageste monoton cresc ˘atoare.

Propozi¸ tia 1.20. FieF:A!Ro func¸ tie convex˘ a ¸ si continu˘ a ¸ si f:A!Ro func¸ tie astfel încât
f(x)2@f(x). Pentru toate punctele a;b2Acua<b avem:
F(b)F(a) =Zb
af(t)dt:
Demonstra¸ tie. Ar˘at˘am cazul în care [a;b]intA . Pentru diviziunea a=t0< t 1< ::: <
tn=ba intervalului [a;b]avem
F0
s(tk1)F0
d(tk1)F(tk)F(tk1)
tktk1F0
s(tk)F0
d(tk);8k;
Deoarece
F(b)F(a) =nX
k=1[F(tk)F(tk1)];
ob¸ tinem
F(b)F(a) =Zb
aF0
s(t)dt=Zb
aF0
d(t)dt;
20

Se observ ˘a c˘aF0
sfF0
d, cu egalitate pentru afirma¸ tia Propozi¸ tiei 1.20. 
Teorema 1.21. Fief:A!Ro func¸ tie continu˘ a ¸ si convex˘ a ¸ si g:A!Ro func¸ tie astfel încât
g(x)2@f(x)pentru orice x2intA . Atunci
f(y) =supff(x) + (yx)g(x)jx2intAg;8y2A:
Demonstra¸ tie. Este evident pentru intervalul deschis A. Dac ˘ayeste cel mai mic punct al
intervalului, observ ˘am c ˘a
f(y+t)f(y)t
g(y+t)f(y+ 2t)f(y+t); t> 0;
culimt!0+t
g(y+t) = 0 . Consider ˘am">0cu>0astfel încât
jf(y)f(y+t)j<"
2;
¸ si
jt
g(y+t)j<"
2;0<t<:
Ob¸ tinem
f(y+t)t
g(y+t)<f(z) +";0<t<:

Teorema 1.22. Fief:A!Ro func¸ tie astfel încât @f(x)6=?pentru toate punctele interioare
x2A. Atuncifeste convex˘ a.
Demonstra¸ tie. Fiea;b2A;a6=b¸ sit2(0;1). Atunci (1t)a+tb2intA pentru orice
2@f((1t)a+tb)avem
f(a)f((1t)a+tb) +t(ab)
;
f(b)f((1t)a+tb)(1t)(ab)
;
Înmul¸ tind inegalit ˘a¸ tile cu 1t¸ sitob¸ tinem
f(a)f((1t)a+tb) +t(ab)

(1t);
f(b)f((1t)a+tb)(1t)(ab)

t;
Adunând inegalit ˘a¸ tile
21

(1t)f(a) +t
f(b)f((1t)a+tb);
decifeste o func¸ tie convex ˘a. 
Teorema 1.23. Fie punctele xnxn1:::x1din intervalul [a,b] ¸ si numerele reale tk;k=
1;nastfel încâtPk=Pk
i=1tiverific˘ a rela¸ tiile
0PkPn¸ siPn>0:
Atunci orice func¸ tie convex˘ a fdefinit˘ a pe [a;b]verific˘ a inegalitatea:
f
1
PnnX
k=1tkxk!
1
PnnX
k=1tkf(xk):
Demonstra¸ tie. Consider ˘amx=Pn
k=1tkxk
Pn¸ siPk=PnPk1=Pn
i=kti. Atunci
Pn(x1x) =nX
i=1t1(x1xi) =nX
j=2(xj1xj)Pj0;
¸ si
Pn(xxn) =n1X
i=1ti(xixn) =n1X
j=1(xjxj+1)Pj0;
ne arat ˘a c˘axnxx1. Consider ˘am cazul în care feste continu ˘a ¸ si punctele x1;x2;:::;x 3apar¸ tin
(a;b). Conform Lemei 1.19 consider ˘am func¸ tiag:A!Rastfel încâtg(x)2@f(x)pentru orice
x2intA . Atunci
f(z)f(y)g(c)(zy)dac˘azyc;
¸ si
f(z)f(y)g(c)(zy)dac˘aczy:
Deasemenea alegem un indice mastfel încât x2[xm+1;xm]. Atunci
f
1
PnnX
k=1tkxk!
1
PnnX
k=1tkf(xk)
este majorat ˘a de
m1X
i=1[g(x)(xixi+1)f(xi) +f(xi+1)]Pi
Pn
22

+[g(x)(xmx)f(xm) +f(x)]Pm
Pn
+[f(x)f(xm+1)g(x)(xxm+1)]Pm+1
Pn
+n1X
i=m+1[f(xi)f(xi+1)g(x)(xixi+1)]Pi+1
Pn;
care este o sum ˘a de numere negative.

I.5 Aplica¸ tii
Exerci¸ tiul 1. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1ar˘ata¸ ti c ˘a:
x
y+z+t+y
x+z+t+z
x+y+t+t
x+y+z4
3:
Rezolvare. Dinx+y+z+t= 1avem8
>>>>>><
>>>>>>:y+z+t= 1x;
x+z+t= 1y;
x+y+t= 1z;
x+y+z= 1t.
Înlocuind, inegalitatea devine
x
1x+y
1y+z
1z+t
1t4
3:
Pentru a arat ˘a inegalitatea consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!R; f(a) =a
1a. Calculând
f0(a) =1
(1a)2;¸ sif00(a) =22a
(1a)4;
observ ˘am c ˘afeste convex ˘a atunci aplicând inegalitatea lui Jensen,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic˘a,
x
1x+y
1y+z
1z+t
1t
4f1
4
;
x
1x+y
1y+z
1z+t
1t4
1
4
11
4:
Inegalitatea este demonstrat ˘a, deoarece rela¸ tia de mai sus devine
23

x
y+z+t+y
x+z+t+z
x+y+t+t
x+y+z4
3:
Remarca 1.24. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1ar˘ ata¸ ti c˘ a:
x1
x2+:::+xn+:::+xn
x1+:::+xn1n
n1:
Exerci¸ tiul 2. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t1ar˘ata¸ ti c ˘a:
x2
y+z+t+y2
x+z+t+z2
x+y+t+t2
x+y+z1
3:
Rezolvare.
Consider ˘amx+y+z+t=S, de unde avem8
>>>>>><
>>>>>>:y+z+t=Sx;
x+z+t=Sy;
x+y+t=Sz;
x+y+z=St.
Dup˘a înlocuire inegalitatea devine
x2
Sx+y2
Sy+z2
Sz+t2
St1
3;
Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rdefinit ˘a astfelf(a) =a2
Sa. Deoarece
f0(a) =2aSa2
(Sa)2;¸ sif00(a) =2S2(Sa)
(Sa)4;
rezult ˘a c˘afeste convex ˘a atunci aplicând inegalitatea lui Jensen vom avea:
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic˘a,
x2
Sx+y2
Sy+z2
Sz+t2
St
4fS
4
;
x2
Sx+y2
Sy+z2
Sz+t2
St4
S
42
SS
4;
24

x2
Sx+y2
Sy+z2
Sz+t2
St4
S
3:
DeoareceS1, atunci inegalitatea este demonstrat ˘a, rela¸ tia de mai sus devenind
x2
y+z+t+y2
x+z+t+z2
x+y+t+t2
x+y+z4
3:
Remarca 1.25. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn1ar˘ ata¸ ti c˘ a:
x2
1
x2+:::+xn+:::+x2
n
x1+:::+xn11
n1:
Exerci¸ tiul 3. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1ar˘ata¸ ti c ˘a:
xp1x+yp1y+zp1z+tp1t2p
3
3:
Rezolvare. Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rf(a) =ap1a. Calculând
f0(a) =2a
2p1a(1a); f00(a) = (1a)3
2+3a
4
(1a)5
2;
observ ˘am c ˘a func¸ tiafeste convex ˘a, folosind inegalitatea lui Jensen, avem:
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
xp1x+yp1y+zp1z+tp1t4
f1
4
;
xp1x+yp1y+zp1z+tp1t4
1
4q
11
4;
În urma unui calcul simplu inegalitatea devine
xp1x+yp1y+zp1z+tp1t2p
3
3:
Remarca 1.26. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1ar˘ ata¸ ti c˘ a:
x1p1x1+:::+xnp1xnrn
n1:
25

Exerci¸ tiul 4. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive, ar ˘ata¸ ti c ˘a:
31
y+z+t+1
x+z+t+1
x+y+t+1
x+y+z
16
x+y+z+t:
Rezolvare. Consider ˘amx+y+z+t=S, de unde avem8
>>>>>><
>>>>>>:y+z+t=Sx;
x+z+t=Sy;
x+y+t=Sz;
x+y+z=St.
Inegalitatea devine
31
Sx+1
Sy+1
Sz+1
St
16
S:
Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rf(a) =1
Sa:Atunci
f0(a) =1
(Sa)2; f00(a) =2(Sa)
(Sa)2:
Deoarecefeste convex ˘a atunci aplic ˘am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic˘a,
1
Sx+1
Sy+1
Sz+1
St4
fS
4
;
1
Sx+1
Sy+1
Sz+1
St4
1
SS
4;
1
Sx+1
Sy+1
Sz+1
St16
3S:
Înmul¸ tind inegalitatea cu 3¸ si inlocuind Sg˘asim
31
y+z+t+1
x+z+t+1
x+y+t+1
x+y+z
16
x+y+z+t:
Remarca 1.27. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive, ar˘ ata¸ ti c˘ a:
(n1)1
x2+:::+xn+:::+1
x1+:::+xn1
n2
x1+:::+xn:
26

Exerci¸ tiul 5. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive, ar ˘ata¸ ti c ˘a:
x
(y+z+t)2+y
(x+z+t)2+z
(x+y+t)2+t
(x+y+z)216
9(x+y+z+t):
Rezolvare. Consider ˘amx+y+z+t=S, de unde avem8
>>>>>><
>>>>>>:y+z+t=Sx;
x+z+t=Sy;
x+y+t=Sz;
x+y+z=St.
Dup˘a înlocuire vom avea de ar ˘atat inegalitatea
x
(Sx)2+y
(Sy)2+z
(Sz)2+t
(St)216
9S:
Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rf(a) =a
(Sa)2. Dup ˘a rezultatele
f0(a) =S+a
(1a); f00(a) =2S
(Sa)2;
observ ˘am c ˘afeste convex ˘a atunci aplic ˘am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic˘a,
x
(Sx)2+y
(Sy)2+z
(Sz)2+t
(St)2
4fS
4
;
x
(Sx)2+y
(Sy)2+z
(Sz)2+t
(St)24
S
4
(SS
4)2;
x
(Sx)2+y
(Sy)2+z
(Sz)2+t
(St)216
9S:
De unde rezult ˘a inegalitatea dorit ˘a.
Remarca 1.28. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive, ar˘ ata¸ ti c˘ a:
x1
(x2+:::+xn)2+:::+xn
(x1+:::+xn1)2n2
(n1)2(x1+:::+xn):
27

Exerci¸ tiul 6. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t1ar˘ata¸ ti c ˘a:
xpx
y+z+t+ypy
x+z+t+zpz
x+y+t+tp
t
x+y+z2
3:
Rezolvare. Consider ˘amx+y+z+t=S, de unde avem8
>>>>>><
>>>>>>:y+z+t=Sx;
x+z+t=Sy;
x+y+t=Sz;
x+y+z=St.
Aceasta devine,
xpx
Sx+ypy
Sy+zpz
Sz+tp
t
St2
3:
Fie func¸ tiaf: (0;1)!R;¸ sif(a) =apa
Sa. Din convexitatea func¸ tia faplicând inega-
litatea lui Jensen ob¸ tinem,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
adic˘a,
xpx
Sx+ypy
Sy+zpz
Sz+tp
t
St
4fS
4
;
xpx
Sx+ypy
Sy+zpz
Sz+tp
t
St4
S
4q
S
4
SS
4:
PentruS1ob¸ tinem
xpx
y+z+t+ypy
z+z+t+zpz
x+y+t+tp
t
x+y+z4q
S
4
32
3:
Remarca 1.29. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn1ar˘ ata¸ ti c˘ a:
x1px1
x2+:::+xn+:::+xnpxn
x1+::+xn1pn
n1:
Exerci¸ tiul 7. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t=xyzt ar˘ata¸ ti c ˘a:
1
1 +yzt+1
1 +xzt+1
1 +xyt+1
1 +xyz4
5:
28

Rezolvare Consider ˘amx+y+z+t=xyzt =S, de unde avem8
>>>>>><
>>>>>>:yzt=S
x;
xzt=S
y;
xyt=S
z;
xyz=S
t.
Inegalitatea devine
1
1 +S
x+1
1 +S
y+1
1 +S
z+1
1 +S
t4
5;
adic˘a,
x
x+S+y
y+S+z
z+S+t
t+S4
5:
Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rf(a) =a
a+S. Atunci
f0(a) =S
(a+S)2; f00(a) =2S(a+S)
(a+S)4:
Deoarecefeste concav ˘a atunci aplic ˘am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
adic˘a,
x
x+S+y
y+S+z
z+S+t
t+S
4fS
4
;
x
x+S+y
y+S+z
z+S+t
t+S4
S
4
S
4+S;
x
x+xyzt+y
y+xyzt+z
z+xyzt+t
t+xyzt4
5:
De unde rezult ˘a inegalitatea cerut ˘a.
Remarca 1.30. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn=x1
:::
xnar˘ ata¸ ti c˘ a:
1
1 +x2
:::
xn+:::+1
1 +x1
:::
xn1n
n+ 1:
29

Exercitiul 8. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1ar˘ata¸ ti c ˘a:
1p1 +x+1p1 +y+1p1 +z+1p1 +t8p
5:
Rezolvare. Consider ˘am func¸ tiaf: (1;0)!f(a) =1p1+a. Calculând
f0(a) =1
2
(1 +a)3
2; f00(a) =3
4
(1 +a)5
2
observ ˘am c ˘a func¸ tiafeste convex ˘a, folosind inegalitatea lui Jensen, avem:
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
;
1p1+x+1p1+y+1p1+z+1p1+t
4f1
4
;
1p1 +x+1p1 +y+1p1 +z+1p1 +t4
1q
1 +1
4;
În urma calculului ob¸ tinem
1p1 +x+1p1 +y+1p1 +z+1p1 +t8p
5:
Remarca 1.31. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1ar˘ ata¸ ti c˘ a:
1p1 +x1+:::+1p1 +xnnpnpn+ 1:
Exerci¸ tiul 9. Pentru;;
; ¸ six;y;z;t numere reale pozitive, ar ˘ata¸ ti c ˘a:
4p

 +4pxyzt4p
(+x)(+y)(
+z)(+t):
Rezolvare. Împ˘ar¸ tind inegalitatea cu4p
 , ob¸ tinem
1 +4rx

y

z

t
4s+x


+y



+z



+t

;
1 +4rx

y

z

t
4s
1 +x



1 +y



1 +z




1 +t

;
30

Notânda1=x
; a 2=y
; a 3=z

; a 4=t
, avem
1 +4pa1
a2
a3
a44p
(1 +a1)
(1 +a2)
(1 +a3)
(1 +a4):
Consider ˘am func¸ tiaf:R!R; f(u) = ln(1 +eu)si observ ˘am c ˘a
f0(u) =eu
1 +euf00(u) =eu
(1 +eu)2;
deci func¸ tia feste convex ˘a, folosind inegalitatea lui Jensen, avem notând eu=ak:
ln(1 +a1) + ln(1 +a2) + ln(1 +a3) + ln(1 +a4)
4ln
1 + (a1
a2
a3
a4)1
4
;
1
4ln[(1 +a1)
(1 +a2)
(1 +a3)
(1 +a4)]ln
1 + (a1
a2
a3
a4)1
4
;
ln[(1 +a1)
(1 +a2)
(1 +a3)
(1 +a4)]1
4ln
1 + (a1
a2
a3
a4)1
4
;
[(1 +a1)
(1 +a2)
(1 +a3)
(1 +a4)]1
41 + (a1
a2
a3
a4)1
4;
de unde ob¸ tinem inecu¸ tia.
Remarca 1.32. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrua1:::an¸ six1;:::;xnnumere reale pozitive, ar˘ ata¸ ti c˘ a:
npa1
:::
an+npx1
:::
xnnp
(a1+x1)
:::
(an+xn):
Exerci¸ tiul 10. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x+y+z+t= 1ar˘ata¸ ti c ˘a:

x+1
x2
+
y+1
y2
+
z+1
z2
+
t+1
t2
289
4:
Rezolvare Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rf(a) =a+1
a. Atunci
f0(a) = 2a41
a3
; f00(a) =x4+ 3
x4:
Deoarecefeste convex ˘a atunci aplic ˘am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z) +f(t)
4fx+y+z+t
4
31

adic˘a,

x+1
x
2+
y+1
y2
+
z+1
z
2+
t+1
t
2
4f1
4
;

x+1
x2
+
y+1
y2
+
z+1
z2
+
t+1
t2
4
1
4+ 42
;

x+1
x2
+
y+1
y2
+
z+1
z2
+
t+1
t2
4
17
42
:
În urma calculului rezult ˘a inegalitatea cerut ˘a.
Remarca 1.33. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1+:::+xn= 1ar˘ ata¸ ti c˘ a:

x1+1
x12
+:::+
x1+1
x12
(n2+ 1)2
n
Exerci¸ tiul 11. Pentrux;y;z;t numere reale pozitive cu x;y;z;t> 1ar˘ata¸ ti c ˘a:
1
1 +x+1
1 +y+1
1 +z+1
1 +t4
4pxyzt + 1:
Rezolvare Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!Rf(a) =1
1+ea. Atunci
f0(a) =ea
(1 +ea)2; f00(a) =ea(ea1)
(ea+ 1)3:
Se observ ˘a c˘a func¸ tia este convex ˘a. Pentru a putea aplica inegalitatea lui Jensen consider ˘am
x=ea1,y=ea2,z=ea3,t=ea4. Deci,
f(a1) +f(a2) +f(a3) +f(a4)
4fa1+a2+a3+a4
4
adic˘a,
1
1 +ea1+1
1 +ea2+1
1 +ea3+1
1 +ea44
1
e(a1+a2+a3+a4
4 )+ 1;
1
1 +x+1
1 +y+1
1 +z+1
1 +t4
4p
ea1+a2+a3+a4+ 1:
32

1
1 +x+1
1 +y+1
1 +z+1
1 +t4
4pea1
ea2
ea3
ea4+ 1:
Înlocuind cu x,y,z,t ob¸ tinem:
1
1 +x+1
1 +y+1
1 +z+1
1 +t4
4pxyzt + 1:
Remarca 1.34. Putem observa c˘ a acest exerci¸ tiu se poate generaliza astfel:
Pentrux1;:::;xnnumere reale pozitive cu x1;:::;xn>1ar˘ ata¸ ti c˘ a:
1
1 +x1+:::+1
1 +xnn
npx1
:::
xn+ 1:
Evercitiul 12. Pentru x,y,z numere reale pozitive ar ˘ata¸ ti c ˘a:
x2+y2+z2+ 2xyz+ 12
(x
y+x
z+y
z)
Rezolvare
Dac˘ax= 0,y= 0sauz= 0inegalitatea este evident ˘a. Altfel consider ˘am func¸ tiaf:R!
(0;1)f(a) =e2a. Atunci
f0(a) = 2e2a; f00(a) = 4e2a:
Observ ˘am c ˘a func¸ tia este convex ˘a de unde aplicând 1.13 pentru a,b,cob¸ tinem:
e2a+e2b+e2c+ 3e(2a+2b+2c
3)2[ea+b+ea+c+eb+c];
(ea)2+
eb
2+ (ec)2+ 33p
e(2a+2b+2c))2[ea
eb+ea
ec+eb
ec]
(ea)2+
eb
2+ (ec)2+ 33q
(ea)2+ (eb)2+ (ec)22[ea
eb+ea
ec+eb
ec]
Înlocuindx=ea,y=eb¸ siz=ecob¸ tinem
x2+y2+z2+ 33p
x2+y2+z22
(x
y+x
z+y
z) (1.18)
Folosind 1.12 avem:
2xyz+ 1 =xyz+xyz+ 1
33p
(xyz)
(xyz)
1 (1.19)
33

Din 1.18 ¸ si 1.19 avem
x2+y2+z2+ 2xyz+ 12
(x
y+x
z+y
z):
Exercitiul 13. S˘a se determine cel mai mare num ˘ar natural pentru care
rx
y+z+ry
x+z+rz
x+y>C;
oricare ar fi numerele pozitive x;y;z .
Rezolvare. Consider ˘amx+y+z=S, de unde avem8
>>><
>>>:y+z=Sx;
x+z=Sy;
x+y=Sz;
Inegalitatea devinerx
Sx+ry
Sy+r
z2
Sz>C:
Consider ˘am func¸ tiaf: (0;1)!R; f(a) =pa
Sa. Avem
f0(a) =2aSa2
(Sa)2; f00(a) =2S2(Sa)
(Sa)4:
Deoarecefeste convex ˘a, aplic ˘am inegalitatea lui Jensen. Deci,
f(x) +f(y) +f(z)
3fx+y+z
3
adic˘a,
px
Sx+q
y
Sy+pz
Sz
3fS
3
;
rx
Sx+ry
Sy+rz
Sz3
s
S
3
SS
3;
rx
y+z+ry
x+z+rz
x+y3p
2:
Trebuie sa g ˘asim cel mai mare num ˘ar natural care satisface3p
2>C. Un calcul simplu arat ˘a
c˘aC= 2.
O alt ˘a metod ˘a de rezolvare poate fi g ˘asit˘a în [15].
34

Capitolul II
FUNC ¸ TII CONVEXE PE SPA¸ TII BANACH
II.1 No¸ tiuni introductive
O submul¸ time Ca unui spa¸ tiu liniar Eeste convex ˘a dac ˘a con¸ tine segmentul
[x;y] =f(1)x+y:2[0;1]g;
care face lag ˘atura între punctele x¸ siy.
Considerând
A+B=fx+y:x2A;y2Bg;
pentruA;BE¸ si;2Rputem ob¸ tine diferite exemple. Se poate ar ˘ata c ˘aA+Beste
convex, cu condi¸ tia c ˘aA;B convexe ¸ si;0.
Submul¸ timea Aa luiEse spune c ˘a este afin˘ a dac˘a este con¸ tinut ˘a întreaga dreapt ˘a ce trece prin
cele dou ˘a puncte. Astfel putem scrie algebric
x;y2A¸ si2R)(1)x+y2A:
Conform defini¸ tiei, orice submul¸ time afin ˘a este deasemenea convex ˘a, dar reciproca nu este
adev ˘arat˘a.
Pentru un num ˘ar finit de elemente x1;x2;:::;xndinE, putem considera o combina¸ tie afin˘ a a
acestora pentru orice punct de forma
x=nX
k=1kxk;
unde1;:::;n2R¸ si1+2+:::+n= 1. Dac ˘a în plus,1;2;:::;n0, atuncixeste o
combina¸ tie convex˘ a a punctelorx1;x2;:::;xn.
35

Lema 2.1.
O submul¸ time Ca unui spa¸ tiu liniar Eeste convex˘ a/afin˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a aceasta con¸ tine
orice combina¸ tie convex˘ a/afin˘ a de puncte din C.
Demonstra¸ tie. Suficien¸ ta demonstra¸ tiei este evident ˘a, iar necesitatea poate fi demonstrat ˘a prin
induc¸ tie matematic ˘a. 
Teorema 2.2. Consider˘ am c˘ a Ieste o submul¸ time a spa¸ tiului liniar E¸ si are acoperirea convex˘ a
co(I), cu dimensiunea p. Atunci orice punct x2co(I)este o combina¸ tie convex˘ a a cel mult p+ 1
puncte dinI.
Demonstra¸ tie. Presupunem c ˘a
x=nX
k=0kxk;undexk2I;k>0;¸ si1+2+:::+n= 1:
Dac˘an>p , atunci multimea J=fx0;:::;xngverific ˘a
dim(aff(J)dim(aff(I)) =pn1
cufx1x0;x2x0;:::;xnx0gmul¸ time liniar dependent ˘a.
Aceasta ne d ˘a o mul¸ time de numere reale 0;1;:::;nnu toate nule, astfel încât
nX
k=0kxk= 0 ¸ sinX
k=0k= 0:
Alegândt>0pentru orice uk=ktk0cuk= 0;:::;n ¸ siuj= 0. Aceasta ne permite
s˘a reducem num ˘arul termenilor în scrierea lui x. Deci,
x=nX
k=0kxk=nX
k=0(uk+tk)xk=X
k6=jukxk;
¸ si
X
k6=juk=nX
k=0uk=nX
k=0(ktk) =nX
k=0k= 1:

Lema 2.3. Dac˘ aUeste o mul¸ time convex˘ a a unui spa¸ tiu liniar normat, atunci intU ¸ siUsunt
convexe.
Demonstra¸ tie. Dac˘ax;y2intU ¸ si2(0;1), atunci
x+ (1)y+u=(x+u) + (1)(y+u)2U;
36

pentru orice udinB"(0). Aceasta arat ˘a c˘aintU este convex ˘a.
Fiex;y2U. Exist ˘a dou ˘a ¸ siruri (xk)k;(yk)kUcuxk!x¸ siyk!y, cândk!1 . V om
ob¸ tine
x+ (1)y= lim
k!1[xk+ (1)yk]2U;
pentru to¸ ti2[0;1]de unde rezult ˘a c˘a ¸ siUeste convex ˘a. 
Lema 2.4. DacaUeste o mul¸ time deschis˘ a a spa¸ tiului liniar normat E, atunci acoperirea convex˘ a
este deschis˘ a. Dac˘ a Eeste finit dimensional ¸ si Keste o mul¸ time compact˘ a, atunci acoperirea
convex˘ a este compact˘ a.
Demonstra¸ tie. Consider ˘am combina¸ tia convex ˘ax= m
k=0kxkde elemente ale mul¸ timii U.
Avem,
x+u= m
k=0k(xk+u)pentru orice u2E;
rezult ˘a c˘axk+u2Upentru orice k, deoareceIeste deschis ˘a, ceea ce asigur ˘a c˘ajjujjeste suficient
de mic. Pentru u2B"(0)vom aveax+u2co(I).
Presupunem c ˘a
f(0;:::;n;x0;:::xn) = kxkcu0;:::;n2[0;1];n
k=0k= 1;x0;:::xn2K:
Deoarecefeste continu ˘a ¸ si domeniul de defini¸ tie este un spa¸ tiu compact, a¸ sa este ¸ si domeniul lui
f.
Domeniul lui feste exactco(I)folosind Teorema 3.2.

II.2 Func¸ tii convexe conjugate
Consider ˘am :E!R[f1g cu domeniul
D( ) =fx2E: (x)<1g:
Mul¸ timea
Epi =f(x;)2ER: (x)g;
se nume¸ ste epigraful lui .
Defini¸ tia 2.5. PentruEun spa¸ tiu topologic func¸ tia :E!R[f1g se nume¸ ste inferior
semicontinu˘ a dac˘ a pentru orice 2Rmul¸ timea
[ ] =fx2E (x)g;
este închis˘ a.
37

Defini¸ tia 2.6. Func¸ tia :E!R[f1g se nume¸ ste convex˘ a dac˘ a
(tx+ (1t)y)t (x) + (1t) (y)8x;y2E;8t2(0;1):
Propiet ˘a¸ tile elementare ale func¸ tiilor convexe:
a) Dac ˘a este o func¸ tie convex ˘a, atunciEpi este o mul¸ time convex ˘a înER¸ si reciproc.
b) Dac ˘a este o func¸ tie convex ˘a, atunci, pentru oricare 2Rmul¸ timea [ ]este convex ˘a.
Reciproca nu este adev ˘arat˘a.
c) Dac ˘a 1¸ si 2sunt convexe, atunci 1+ 2este convex ˘a.
d) Dac ˘a( i)i2Ieste o familie de func¸ tii convexe, atunci anvelopa superioar ˘a a acestei familii este
convex ˘a.
Defini¸ tia 2.7. Fie :E!R[f1g astfel încâtD( )6=;. Definim func¸ tia conjugat˘ a a lui
prin :E0!R[f1g
(f) = sup
x2Efhf;xi (x)g;(f2E0):
Pentru orice x2Efixat, aplica¸ tia f7!hf;xi (x)este convex ˘a ¸ si continu ˘a peE0, deci ¸ si
inferior semicontinu ˘a. De unde se deduce c ˘a anvelopa superioar ˘a a acestor func¸ tii, când xparcurge
E, este convex ˘a ¸ si inferior semicontinu ˘a.
Propozi¸ tia 2.8. Presupunem c˘ a :E!R[f1g este convex˘ a, inferior semicontinu˘ a ¸ si D( )6=
;. AtunciD( )6=;¸ si este marginit˘ a inferior de o func¸ tie continu˘ a afin˘ a.
Demonstra¸ tie. Fiex02D( )¸ si lu˘am0< (x0). Aplicând a doua formul ˘a geometric ˘a a
Teoremei Hahn-Banach în spa¸ tiul ERcuA=epi ¸ siB=f[x0;y0]g.
Avem un hiperplan închis H= [ =]înERcare separ ˘a strict mul¸ timile A¸ siB. Observ ˘am
c˘a aplica¸ tiax2E7! ([x;0])este o func¸ tionala liniar ˘a ¸ si continu ˘a peE¸ si deci ([x;0]) =hf;xi,
pentruf2E0. Înlocuindk= ([x;0])avem
([x;]) =hf;xi+k; [x;]2ER:
Luând > peA¸ si < peBob¸ tinem:
hf;xi+k>;8[x;]2Epi ;
¸ si
hf;x 0i+k0<:
În particular, avem
hf;xi+k (x)>;8x2D( ); (2.1)
38

de unde
hf;x 0i+k (x0)>>hf;x 0i+k0:
Rezult ˘ak>0. Din inegalitatea (2.1) avem

1
kf;x
(x)<
k;8x2D( );
¸ si avem 
1
kf

<+1.

Dac˘a,D( )6=;, definim aplica¸ tia :E00!R[f1g prin
(x) = sup
f2E0fhf;xi (f)g;
pentrux2E.
Teorema 2.9. (Fenchel-Moreau) Presupunem c˘ a :E!R[f1g este convex˘ a, inferior semi-
continu˘ a ¸ siD( )6=;. Atunci = .
Demonstra¸ tie. Este realizat ˘a în dou ˘a etape.
Etapa 1 : Presupunem c ˘a 0¸ si afirm ˘am c ˘a = . Se observ ˘a c˘a  . Din defini¸ tia lui
avem c ˘a
hf;xi (f) (x); x2E; f2E0:
Pentrux02Edemonstr ˘am c ˘a = prin reducere la absurd, presupunând c ˘a (x0)<
(x0). Putem avea (x0) = +1, dar întotdeauna
(x0)<+1:
Alicând a doua form ˘a geometric ˘a a Teoremei Hahn-Banach în spa¸ tiul ERcuA=Epi
¸ siB= [x0; (x0)]. Avemf2E0;k2R¸ si2Rastfel încât
hf;xi+k>;8[x;]2Epi ; (2.2)
hf;x 0i+k (x0)<: (2.3)
Rezult ˘ak0. Conform (2.2), exist ˘a">0asfel încât
hf;xi+ (k+") (x);8x2D( ):
Avem

f
k+"

k+":
39

Din defini¸ tia lui (x0)rezult ˘a c˘a
(x0)
f
k+";x0

f
k+"

f
k+";x0
+
k+":
De unde
hf;x 0i+ (k+") (x0); "> 0;
contradictie cu (2.3).
Etapa 2 : În caz general fix ˘amf02D( )¸ si definim
(x) = (x)hf0;xi+ (f0):
Func¸ tia este convex ˘a, inferior semicontinu ˘a,D( )6=;¸ si 0. Deoarece

= ,
din Etapa 1, vom calcula

¸ si

. Avem


(f) = (f+f0) (f0);
¸ si

(x) = (x)hf0;xi+ (f0):
Rezult ˘a c˘a = .

Lema 2.10. FieCEo mul¸ time convex˘ a, atunci intC este o mul¸ time convex˘ a. Dac˘ a intC6=;,
atunci
C=intC:
Teorema 2.11. Fie ¸ si'func¸ tii convexe. Presupunem c˘ a exist˘ a x02D( )\D(')astfel încât
este continu˘ a în x0. Atunci
inf
x2Ef (x) +'(x)g= sup
f2Ef (f)'(f)g
= max
f2E0f (f)'(f)g:
Demonstra¸ tie. Consider ˘am
a= inf
x2Ef (x) +'(x)g;
¸ si
b= sup
f2E0f (f)'(f)g:
Evidentba. Dac ˘aa=1 teorema este demonstrat ˘a.
40

Presupunem c ˘aa2R. Not ˘amC=Epi . Deoarece este continu ˘a înx0rezult ˘a c˘aintC6=;.
Putem aplica prima form ˘a geometric ˘a a teoremei Hahn-Banach cu A=intC ¸ si
B=f[x;]2ER:a'(x)g;
deoareceA¸ siBsunt convexe ¸ si nevide cu A\B=;deoarece dac ˘a[x;y]2A, atunci
> (x)a'(x);
de unde [x;y]6=B. Exist ˘a un hiperplan închis Hcare separ ˘aA¸ siBîn sens larg. Conform Lemei
2.10 rezult ˘a c˘aHsepar ˘a în sens larg ¸ si mul¸ timile A¸ siB. Deci exist ˘af2E0; k2R¸ si2R
astfel încât hiperplanul H= [ =]separ ˘a înERmul¸ timileC¸ siB, unde
([x;y]) =hf;xi+k;8[x;]2ER:
Deci,
hf;xi+k;8[x;]2C; (2.4)
hf;xi+k;8[x;]2B: (2.5)
Alegândx=x0¸ si l˘asând!+1în (2.4) observ ˘am c ˘a avemk0. Se observ ˘a, c˘a de fapt
k>0: (2.6)
Reamintim c ˘a6= 0, ceea ce înseamn ˘a c˘ajjfjj+jkj6= 0. Presupunem, prin asurd, k= 0. Din
(2.4) ¸ si (2.5) rezult ˘a c˘a
hf;xi;8x2D( );
hf;xi;8x2D('):
DarB(x0;"0)D( )pentru"0>0suficient de mic, deci
hf;x 0+"0zi;8z2B(0;1);
de unde rezult ˘a c˘ahf;x 0i+"0kfk. Altfel,
hf;x 0i; pentrux02D('):
De unde rezult ˘a afirma¸ tia fals ˘af= 0, deoarecek= 0. Astfel am demonstrat rela¸ tia (2.6). Din
(2.4) ¸ si (2.5) deducem c ˘a

f
k

k;
¸ si
41

'f
k

ka;
de unde

f
k
'(f
k)a:
Din defini¸ tia lui b, avem

f
k
'(f
k)b;
de unde rezult ˘a
a=b= 
f
k
'f
k
:

II.3 Continuitatea func¸ tiilor convexe
Propozi¸ tia 2.12. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si :X!R[f1g o func¸ tie convex˘ a. Dac˘ a este local
m˘ arginit˘ a superior in x02int(D( )), atunci este local m˘ arginit˘ a în x0.
Demonstra¸ tie. Presupunem m˘arginit ˘a superior de MpeBr(x)D, undeD=int(D( ))
¸ sir>0. Ar˘at˘am ca este marginit ˘a inferior pe în Br(x).
Dac˘ay2Br(x)atunci rezult ˘a c˘a2xy2Br(x)¸ si
(x)1
2[ (y) + (2xy)]1
2[ (y) +M];
deci,
(y)2 (x)M;
pentruy2Br(x).

Propozi¸ tia 2.13. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si :X!R[f1g o func¸ tie convex˘ a. Dac˘ a este
local m˘ arginit˘ a în x02int(D( )), atunci este local Lipschitz în x0.
Demonstra¸ tie. Presupunem c ˘aj j<M peB2r(x0)D( ), pentru unr>0.
Pentrux;y2Br(x0)cux6=yconsider ˘am=jjyxjj¸ siz=y+r
(yx), de unde
z2B2r(x0). Deoarece
y=
+rz+r
+rx;
42

este o combina¸ tie convex ˘a dinB2r(x0), avem
(y)
+r (z) +r
+r (x):
Deci,
(y) (x)
+r( (z) (x))2M
r=2M
rkyxk:
Schimbândx¸ siyrezult ˘a c˘a
j (y) (x)j2M
rkyxk:

Teorema 2.14. (Propietatea Lipschitz a func¸ tiilor convexe) Fie Xun spa¸ tiu Banach ¸ si :X!
R[f1g o func¸ tie convex˘ a lipschitz. Atunci este local Lipschitz pe int(D( )).
Demonstra¸ tie. Din Propozi¸ tiile 2.12 ¸ si 2.13 r ˘amâne de ar ˘atat c ˘a este local marginit ˘a supe-
rior.
Pentru oricare j2NdefinimDj=fx2X: (x)jg:Mul¸ timileDjsunt închise ¸ si
int(D( ))[1
j=1Dj:
Deoareceint(D( ))este o mul¸ time deschis ˘a, din teorema de categorie Baire, exist ˘a pentru oricare
jastfel încât int(Dj)este nevid ˘a. Presupunem c ˘aBr(x)int(Dj). Atunci este marginit ˘a
superior dejpeBr(x).
Deoareceint(D( ))este deschis ˘a cuy2int(D( ))¸ siy6=xatunci exist ˘a >1astfel încât
z=x+(yx)2int(D( )). Fie=1
2(0;1). Mul¸ timea
V=fz+ (1)b:b2Br(x)g;
este vecin ˘atate pentru oricare y2int(D( )). Pentru orice punct
v=z+ (1)b2V;
avem,
(v) (z) + (1)j;
atunci este marginit ˘a superior în Vde unde rezult ˘a c˘a este local Lipschitz în y. 
II.4 Func¸ tii omogene
Func¸ tiile " pozitiv omogene " folosite în analiza convex ˘a sunt definite pe un con convex CdinRn
care verific ˘a rela¸ tia:
43

f(x) =f(x)pentru toti x2C¸ si0:
Lema 2.15. Fiefo func¸ tie pozitiv omogen˘ a definit˘ a pe conul convex C2Rn. Atuncifeste
convex˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a feste subaditiv˘ a.
Demonstra¸ tie. Presupunem c ˘afeste convex ˘a ¸ six;y2C. Atunci
1
2f(x+y) =fx+y
2
1
2(f(x) +f(y));
f(x+y)f(x) +f(y):
Necesitatea. Presupunem c ˘afeste subaditiv ˘a, de unde avem:
f((1)x+y)f((1)x) +f(y) = (1)f(x) +f(y);
pentru8x;y2C¸ si2[0;1]de unde se observ ˘a c˘afeste convex ˘a. 
Lema 2.16. Fiefo functie omogen˘ a strict pozitiv˘ a definit˘ a pe conul convex C2Rnastfel încât
subintervalul x2Cjf(x)1este convex. Atunci feste o func¸ tie convex˘ a.
Demonstra¸ tie. Conform lemei de mai sus este suficient s ˘a ar˘at˘am c ˘a func¸ tia este subaditiv ˘a.
Consider ˘amx;y2C, legem scalarii ; astfel încât > f (x)¸ si > f (y). Deoarecefeste o
functie omogea strict pozitiva, atunci
fx

1¸ sify

1
Alegemx
¸ siy
. Ob¸ tinem din convexitatea func¸ tiei pe subinterval:
1
+f(x+y) =fx+y
+
=f
+
x
+
+
y

1;
f(x+y)+
pentru oricare >f (x); >f (y). Deci
f(x+y)f(x) +f(y);
de unde rezult ˘a c˘afeste subaditiv ˘a. 
Pentrup2[1;1)consider ˘am func¸ tia omogen ˘a strict pozitiv ˘a dat ˘a de formula
f(x1;:::;xn) = (xp
1+:::+xp
n)1
p
fpeste convex ˘a ca o sum ˘a de func¸ tii convexe. Deci
44

fx2Xjf(x)1g=fx2Xjfp(x)1g;
este convex ˘a ceea ce implic ˘a c˘afeste o func¸ tie convex ˘a.
Lema 2.17. Fie functiaJ:R2
+!R. Atunci sunt echivalente:
a)Jeste convex˘ a;
b)'=J(1;t)este convex˘ a
c) exist˘ a o submul¸ time GR2astfel încât
J(u;v) =supfau+bvj(a;b)2Gg:
Demonstra¸ tie.
a))b)este evident ˘a.
b))c)consider ˘am
J(u;v) =uJ
1;v
u
dac˘au>0;
¸ si
J(u;v) =vJ(0;1)dac˘au= 0:
Conform Teoremei (1.21)
'(t) =supfa+btj(a;b)2Gg;
unde,G=f('(s)sb;b)jb2@'(s);s2Rg.
c))a)este evident ˘a.

Teorema 2.18. FieJ:R2
+!Ro func¸ tie omogen˘ a pozitiv˘ a continu˘ a ¸ si convex˘ a. Atunci pentru
orice spa¸ tiu de m˘ asur˘ a (X;;)¸ si orice func¸ tie -integrabil˘ a f:X!R2
+pentru care Jfeste
deasemenea -integrabil˘ a, avem inegalitatea
JZ
Xfd
Z
XJfd: (2.7)
Demonstra¸ tie.
Fief= (f1;f2). Conform lemei de mai sus ¸ si teoremei de convergen¸ t ˘a dominat ˘a a lui Lebes-
gue, avem
45

Z
X(Jf)(x)d=Z
Xsup
(a;b)2G(af1+bf2)d
 sup
(a;b)2G
aZ
Xf1d+bZ
Xf2d
=J(Z
Xfd):

Teorema 2.19. Pentrup2(1;0)[[1;1)¸ sif;g2Lp()avem
jjf+gjjLpjjfjjLp+jjgjjLp;
dac˘ a 0<p< 1inecua¸ tia este adevarat˘ a ¸ si pentru
jjf+gjjLpjjfjjLp+jjgjjLp;
Dac˘af6= 0 aprope peste tot, atunci avem egalitate dac ˘a ¸ si numai dac ˘ag=faprope peste
tot, pentru0.
Demonstra¸ tie. J(1;t) = (1+t1
p)peste strict convex ˘a pentrup2(0;1)¸ si strict concav ˘a pentru
p2Rn[0;1]. Rezult ˘a demonstra¸ tia aplicând Teorema de mai sus. 
Corolar 2.20. Fie(X;;)un spa¸ tiu de m˘ asur˘ a finit˘ a. Pentru orice f;g2L1();f;g0avem:
exp1
(X)Z
Xlog(f(x) +g(x))d

exp1
(X)Z
Xlogf(x)d) +exp(1
(X)Z
Xlogg(x)d
:
II.5 Subdiferen¸ tiala
FieXun spa¸ tiu Banach. Definim subdiferen¸ tiala convex ˘a a func¸ tiei convexe :X!
R[f+1gînx2dom prin
@ (x) =fx2Xj (y) (x)hx;yxi;pentru to¸ ti y2Xg; (2.8)
¸ si definim domeniul
dom@ =fx2Xj@ (x)6=g:
Un element al @ (x)se nume¸ ste subgradientul lui înx. Cu toate c ˘a domeniul unei func¸ tii
convexe este întotdeauna convex nu este neaparat ¸ si pentru @ .
46

Pentru mul¸ timea convex ˘a închis ˘aCX, definim conul normal pe Cînx2CprinN(C;x) =
@lC(x). Putem folosi ¸ si nota¸ tia NC(x) =N(C;x). O caracterizare util ˘a a conului normal este
x2N(C;x)dac˘a ¸ si numai dac ˘a, pentru to¸ ti y2C;hx;yxi0:.
Propozi¸ tia 2.21. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si fie :X!Ro func¸ tie convex˘ a ¸ si proprie. Atunci
punctulx2Xeste un minim global pentru dac˘ a ¸ si numai dac˘ a condi¸ tia 02@ (x)este
verificat˘ a.
Luând alternativ minimele func¸ tiei , acestea fiind exact "zerourile" lui @ . Este evident c ˘a
@ (x)@F (x)¸ si avem de fapt egalitate.
Pentru func¸ tiile convexe avem un rezultat asem ˘an˘ator dar mai puternic: subdiferen¸ tiala unei
func¸ tii convexe semicontinu ˘a este nevid ˘a în fiecare punct din core(dom ).
Fie :X!R[f+1g¸ si lu˘amx2dom , ¸ sid2X. Derivata dup ˘a o direc¸ tie a lui înxcu
direc¸ tiadeste definit ˘a de
0(x;d) = lim
t!0+ (x+td) (x)
t:
dac˘a aceast ˘a limit ˘a exist ˘a.
Dac˘a func¸ tia convex ˘a verific ˘a condi¸ tia
(x+y) (x) + (y);pentru to¸ ti x;y2X;;0;
putem spune c ˘a este subliniar ˘a.
Dac˘a
(x) = (x)pentru to¸ ti x2X ¸ si0; (2.9)
atunci este omogen ˘a ¸ si pozitiv ˘a; în particular avem f(0) = 0 .
Dac˘a
(x+y) (x) + (y)pentru to¸ ti y2X; (2.10)
atunci putem spune c ˘a este subaditiv ˘a.
Propriet ˘a¸ tile 2.9 ¸ si 2.10 caracterizeaz ˘a o func¸ tie subliniar ˘a.
Propozi¸ tia 2.22. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si fie f:X!R[f+1go func¸ tie cu valori în axa
real˘ a estins˘ a. Atunci este subliniar˘ a dac˘ a ¸ si numai dac˘ a este pozitiv omogen˘ a ¸ si subaditiv˘ a.
Rezult ˘a imediat c ˘a dac ˘a func¸ tia este subliniar ˘a atuncif(x)f(x)pentru to¸ tix2X.
Spa¸ tiul liniar generat de func¸ tiei subliniare este mul¸ timea
lin =fx2Xj (x) = (x)g:
47

Rezultatul urm ˘ator ne arat ˘a c˘a aceast ˘a multime este un subspa¸ tiu.
Propozi¸ tia 2.23. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si fie :X!R[f+1go func¸ tie subliniar˘ a. Atunci
spa¸ tiul liniar lin pe este este un subspa¸ tiu mai mare al lui Xpe care este liniar˘ a.
Demonstra¸ tie. Este evident c ˘a dac ˘aYeste un subspa¸ tiu pe care este linear ˘a atunciY
lin . Este suficient s ˘a ar˘at˘am c ˘alin este un subspa¸ tiu. Consider ˘amx2lin ¸ sia2R.
Deoarece este omogen ˘a avem
(ax) =jaj a
jajx
=jaj 
a
jajx
= 
jaj
a
jajx
=f(ax);
astfel încâtax2lin . Fiex;y2lin . Deoarece este subaditiv ˘a avem
(x+y) (x) + (y) = (x) (y) (xy) = ((x+y));
a¸ sa c ˘ax+y2lin . Astfellin este un subspa¸ tiu. 
Este u¸ sor de verificat c ˘a dac ˘a punctulxse afl ˘a înteriorul domeniului func¸ tiei convexe atunci
0(x;
)este bine definit ¸ si pozitiv omogen .
Propozi¸ tia 2.24. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si fie :X!R[f+1go func¸ tie convex˘ a. Presupunem
c˘ ax2core(dom ). Atunci derivata dup˘ a o direc¸ tie 0(x;
)este peste tot finit˘ a ¸ si subliniar˘ a.
Demonstra¸ tie.
Pentrud2X¸ sit6= 0; t2R, definim
g(d;t) = (x+td) (x)
t:
Ob¸ tinem din convexitate pentru 0<ts2R, inegalitatea
g(d;s)g(d;t)g(d;t)g(d;s):
Deoarecexse afl ˘a încore(dom ), pentru oricât de mic s >0, atuncig(d;s)¸ sig(d;s)sunt
finite, astfel încât t#0avem
+1>g(d;s)g(d;t)#f0(x;d)g(d;s)>1: (2.11)
Tot din convexitate avem pentru orice direc¸ tii d¸ siedinX¸ si num ˘arul realt>0,
g(d+e;t)g(d; 2t) +g(e; 2t)
48

Folosindt#0se observ ˘a c˘af0(x;
)este subaditiv ˘a. Omogenitatea pozitiv ˘a se poate verifica
u¸ sor. 
Propozi¸ tia 2.25. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si fie :X!R[f+1go func¸ tie convex˘ a ¸ si x2dom .
Atuncix2Xeste subgradient al lui înxdac˘ a ¸ si numai dac˘ a satisface x 0(x;
).
Demonstra¸ tie.
(Suficien¸ ta) Fie x2@ (x). Atunci, pentru orice h2X¸ sit>0,
hx;thi (x+th) (x):
Împ˘ar¸ tind print¸ si trecând la limit ˘a cândt!0avemhx;hi 0(x;h).
(Necesitatea) Din demonstra¸ tia Propozi¸ tiei 2.24 avem pentru orice h2X¸ sit>0
hx;hi 0(x;h) (x+th) (x)
t:
Alegem un element arbitrar x2X. În inegalitatea de mai sus înlocuind h=xx¸ sit= 1
avem
hx;xxi (x) (x);
de undex2@ (x). 
Lema 2.26. FieXun spa¸ tiu Banach ¸ si fie p:X!R[f+1go func¸ tie subliniar˘ a. Presupunem
c˘ ad2core(domp ). Atunci func¸ tia q(
) =p0(d;
)satisface condi¸ tiile:
1.q(d) =p(d)pentru toate numerele reale ,
2.qp,
3. linqlinp+spanfdg;
4.p=qpelinp.
Cu aceste instrumente putem acum s ˘a enun¸ t ˘am rezultatul principal, care ne ofer ˘a condi¸ tiile
privind existen¸ ta unui subgradient a unei func¸ tii convexe. Propozi¸ tia anterioar ˘a ne arat ˘a cum s ˘a
identific ˘am subgradien¸ tii din deriva¸ tii direc¸ tionali; Urm ˘atorul rezultat ne arat ˘a cum se poate mi¸ sca
în sens invers. Pentru prelungirea func¸ tiei folosimcont pentru a indica mul¸ timea tuturor punc-
telor în care este finit ˘a ¸ si continu ˘a.
Teorema 2.27. FieXun spa¸ tiu Banach, d2X¸ si fie :X!R[f+1go func¸ tie convex˘ a.
Presupunem c˘ a oricare
1.x2core(dom )¸ si este semicontinu˘ a
49

2.x2cont
Atunci,
0(x;d) = maxfhx;dijx2@ (x)g: (2.12)
Demonstra¸ tie. Folosind propozi¸ tia 2.25 este u¸ sor de ar ˘atat c ˘a pentru orice dfixat dinXatunci
exist ˘a un subgradient xcare satisfacehx;di= 0(x;d).
Fiep(
) = 0(x;d). Atuncipeste o func¸ tie liniar ˘a definit ˘a peX. Not ˘am cuSfamilia de func¸ tii
majorate de p¸ si identificând pcud, având o ordine par¸ tial ˘a ordonat ˘a dep2p1dac˘a ¸ si numai
dac˘a linp2linp1¸ sip1p2cu verificarea egalit ˘a¸ tii pe linp2.
Putem verifica c ˘a orice lan¸ tfpaga2ASare o limit ˘a superioar ˘ap= infa2Apadefinit ˘a peS
a2Adom(pa).
Din Lema lui Zorn ([7]) Sare un maxim element x. Conform Lemei 2.26 ob¸ tinem x=X.
Sub însu¸ sirea condi¸ tiilor impuse 1:¸ si2: este local Lipschitz în x.
Când " 1:" este verificat ˘a de Torema 2.14 ¸ si Teorema 4.1.8 [6]. Dac ˘a "2:" este verificat ˘a rezult ˘a
direct din Propozi¸ tia 2.13.
Consider ˘amLo constant ˘a Lipschitz a func¸ tiei dintr-o vecin ˘atate a luix. Atunci
j 0(x;h)jLjjhjjpentru orice h2X:
Deoarecexeste majorat ˘a dep(
) = 0(x;
)vom aveax2X¸ si deasemenea x2@ (x).
Teorema rezult ˘a din
hx;di=p(d) = 0(x;d)

Teorema 2.28. FieXun spa¸ tiu Banach, ¸ si fie :X!R[f+1go func¸ tie convex˘ a. Presupunem
c˘ a oricare
1.x2core(dom )¸ si este semicontinu˘ a
2.x2cont
Atunci subdiferen¸ tiala @ (x)este nevid˘ a.
Condi¸ tiile impuse din Teoremele 2.27 ¸ si 2.28 sunt necesare în orice spa¸ tiu infinit dimensional,
deoarece în orice spa¸ tiu normat de dimensiune infinit ˘a exist ˘a o func¸ tie liniar ˘a discontinu ˘a definit ˘a
pe întreg spa¸ tiul.
Ob¸ tinem imediat un rezultat privind diferen¸ tiabilitatea func¸ tiilor convexe. Folosind c ˘a func¸ tia
:x!Reste diferen¸ tiabil ˘aG^ateaux înx, aceasta ne arat ˘a c˘a dac ˘a exist ˘ax2Xastfel încât
pentru orice v2X, direc¸ tia derivatei 0(x;v)exist ˘a ¸ si 0(x;v) =hx;vi:
50

Corolar 2.29. FieXun spa¸ tiu Banach, lu˘ am :X!R[f+1go func¸ tie convex˘ a ¸ si x2
core(dom ). Atunci este diferen¸ tiabil˘ a G^ateaux înxexact când are un unic subgradient în
x.
51

Capitolul III
INEGALIT ˘A¸ TI V ARIA¸ TIONALE
III.1 Ecua¸ tii neliniare
Pe parcursul acestui capitol (H;h
;
iH;k
kH)va desemna un spa¸ tiu Hilbert real.
Defini¸ tia 3.1. Spunem c˘ a un operator T:H!Heste tare monoton dac˘ a exist˘ a o constant˘ a
mT>0astfel încât
hTuTv;uviHmTkuvk2
H;8u;v2H:
Defini¸ tia 3.2. Spunem c˘ a un operator T:H!HesteLipschitz dac˘ a exist˘ a o constant˘ a LT>0
astfel încât
kTuTvkHLTkuvkH;8u;v2H:
Remarca 3.3. Pentru un operator tare monoton ¸ si Lipschitz T, avemmTLT. Într-adev˘ ar,
mTkuvk2
H hTuTv;uviH
 kTuTvkHkuvkHLTkuvk2
H;8u;v2H:
Teorema 3.4. (Teorema Minty-Browder )FieT:H!Hun operator tare monoton ¸ si Lipschitz
¸ sif2H. Atunci exist˘ a un unic element u2Hastfel încât
Tu=f: (3.1)
Demonstra¸ tie. Fie>0. Consider ˘am operatorul S:H!Hdefinit astfel
S:=u;
unde
u:=fT+:
52

V om ar ˘ata c ˘a pentruconvenabil ales operatorul Seste o contrac¸ tie. Avem
kS1S2kH=ku1u2kH
=k12(T1T2)kH:
Dar,
ku1u2k2
H=h12(T1T2);12(T1T2)iH
=k12k2
H2hT1T2;12iH+2kT1T2k2
H:
Utilizând faptul c ˘aTeste un operator tare monoton ¸ si Lipschitz ob¸ tinem
kS1S2k2
H(12mS+2L2
S)k12k2
H:
V om notaf() = 12mT+2L2
T. Aceasta este o ecua¸ tie de gradul al II-lea în necunoscuta al
c˘arei discriminant
= 4m2
T4L2
T= 4(m2
TL2
T)0conform Observa¸ tiei 3.3. Dac ˘amT<LT
atuncif()>0, iar dac ˘amT=LTf() = (1mT)20. Astfel,f()0pentru orice 2R
¸ si
kS1S2kHq
12mT+2L2
T
k12kH:
V om ar ˘ata c ˘a pentru>0convenabil fixat avemp
12mT+2L2
T<1. Într-adev ˘ar,
12mT+2L2
T= 1(2mTL2
T)<1dac˘a2mTL2
T>0:
A¸ sadar, pentru orice 2
0;2mT
L2
T
,Teste contrac¸ tie ¸ si putem aplica Teorema lui Banach de punct
fix.
Fieunicul punct fix al lui S0cu0fixat(0< 0<2mT
L2
T). Atunci
S0=u=:
Deci
u=fTu+u;
adic˘af=Tu¸ si astfel am ar ˘atat c ˘aueste o solu¸ tie pentru (3.1).
V om demonstra în continuare unicitatea solu¸ tiei. Fie u1;u22Xastfel încât Tu1=f¸ si
Tu2=f. Avem
hTu1;vu1iH=hf;vu1iH;8v2H (3.2)
hTu2;vu2iH=hf;vu2iH;8v2H: (3.3)
Fiev=u2în (3.2) ¸ siv=u1în (3.3). Sumând,
hTu1Tu2;u2u1iH= 0:
53

DeoareceTeste tare monoton avem mTku1u2k2
H0, adic ˘au1=u2. 
Propozi¸ tia 3.5. Fieu1;u2solu¸ tii pentru (3.1) corespunz˘ atoare datelor f1;f22H. Atunci exist˘ a o
constant˘ aC > 0astfel încât
ku1u2kHCkf1f2kH:
Demonstra¸ tie. Deoareceu1¸ siu2sunt solu¸ tii pentru (3.1) corespunz ˘atoare datelor f1;f22H
avem
hTu1;vu1iH=hf1;vu1iH;8v2H (3.4)
hTu2;vu2iH=hf2;vu2iH;8v2H: (3.5)
Fiev=u2în (3.4) ¸ siv=u1în (3.5). Sumând,
hTu1Tu2;u2u1iH=hf1f2;u2u1iH;
hTu1Tu2;u1u2iH=hf1f2;u1u2iH;
adic˘a
mTku1u2k2
Hkf1f2kHku1u2kH;
din faptul c ˘aTeste tare monoton.
Dac˘au16=u2rezult ˘a c˘aku1u2kH6= 0¸ simTku1u2kHkf1f2kH. În acest caz, C= 1=mT.
Dac˘au1=u2, avemku1u2kH= 0,0C
0, inegalitate adev ˘arat˘a pentru orice constant ˘a
pozitiv ˘a, în particular ¸ si pentru C= 1=mT. A¸ sadar, inegalitatea cerut ˘a are loc pentru C=1
mT.
Remarca 3.6. În literatura de specialitate acest rezultat se nume¸ ste ¸ si dependen¸ t˘ a Lipschitz de
data ini¸ tial˘ a .
Propozi¸ tia 3.7. FieT:H!Hun operator tare monoton ¸ si Lipschitz. Atunci T1:X!Xeste
tare monoton ¸ si Lipschitz.
Demonstra¸ tie. Fief2H. Aplicând Teorema 3.4 rezult ˘a c˘a exist ˘a ¸ si este unic un element
u2Hastfel încâtTu=f. Acest lucru este echivalent cu faptul c ˘a operatorul Teste inversabil.
Fieu1;u22Hastfel încâtTu1=v1¸ siTu2=v2. Folosind faptul c ˘aT1v1=u1,T1v2=u2
¸ siTeste tare monoton avem
hT1v1T1v2;v1v2iH=hu1u2;Tu 1Tu2iH
mTku1u2k2
H=mTkT1v1T1v2k2
H:
Folosind acum faptul c ˘aTeste Lipschitz avem
kTu1Tu2kHLTku1u2kH()kv1v2kHLTkT1v1T1v2kH:
54

Deci
mTkT1v1T1v2k2
HmT
L2
Tkv1v2k2
H:
Rezult ˘a c˘a
hT1v1T1v2;v1v2iHmT
L2
Tkv1v2k2
H:
Am ar ˘atat astfel existen¸ ta unei constante mT1:=mT
L2
T, adic ˘a operatorul T1este tare monoton.
Utilizând inegalitatea Cauchy-Schwarz se ob¸ tine
hTu1Tu2;u1u2iH kTu1Tu2kHku1u2kH
=kv1v2kHku1u2kH:
Dar cumTeste tare monoton rezult ˘a
mTku1u2kHkv1v2kH:
A¸ sadar,
kT1v1T1v2kH=ku1u2kH1
mTkv1v2kH:
Am ar ˘atat astfel existen¸ ta unei constante LT:=1
mT, adic ˘a operatorul T1este Lipschitz. 
Consider ˘am problema:
(P)Cautu2Hastfel încâta(u;v) =b(v);8v2H:
Admitem ipotezele:
(A1)b:H!Raplica¸ tie liniar ˘a ¸ si continu ˘a;
(A2)a:HH!Rcu proprietatea c ˘a pentru fiecare w2H,
aplica¸ tiav7!a(w;v)este liniar ˘a ¸ si continu ˘a;
(A3) exist ˘ama>0astfel încât
a(u;uv)a(v;uv)makuvk2
H;8u;v2H;
(A4) exist ˘aLa>0astfel încât
ja(u;w)a(v;w)jLakuvkHkwkH;8u;v;w2H:
Teorema 3.8. (Lema Lax-Milgram neliniar ˘a)Problema (P)are solu¸ tie unic˘ a.
Demonstra¸ tie. Cu ajutorul func¸ tiei avom defini operatorul T:H!H. Pentruw2H,Tw
este elementul din Hcare verific ˘a:
a(w;u) =hTw;uiH;8u2H:
55

Avem
hTuTv;uviH=hTu;uviHhTv;uviH
=a(u;uv)a(v;uv)
makuvk2
H;
adic˘a operatorul Teste tare monoton.
V om ar ˘ata în continuare c ˘a operatorul Teste Lipschitz. Avem
kTuTvkH= sup
w2H
w6=0HjhTuTv;wiHj
kwkH
= sup
w2H
w6=0Hja(u;w)a(v;w)j
kwkH;
¸ si
ja(u;w)a(v;w)j
kwkHLakuvkHkwkH
kwkH
=LakuvkH:
Utilizând Teorema de reprezentare a lui Riesz rezult ˘a c˘a exist ˘a ¸ si este unic un element z2
Hastfel încât b(v) =hz;viH, oricare ar fi v2H. A¸ sadar, problema (P)este echivalent ˘a cu
urm˘atoarea problem ˘a:
(P’) Cautu2Hastfel încât
hTu;viH=hz;vi;8v2H:
DarhTu;viH=hz;viH;8v2H,Tu=z; c˘aci luândv=TuzavemhTu;viH=
hz;viH,kTuzk2
H= 0,Tu=z.
Existen¸ ta ¸ si unicitatea solu¸ tiei problemei (P)este astfel asigurat ˘a de Teorema Minty-Browder.

Remarca 3.9. Dac˘ aaeste liniar˘ a ¸ si în primul argument, atunci se poate verifica u¸ sor c˘ a aeste
form˘ a bilinar˘ a, continu˘ a ¸ si H-eliptic˘ a. Astfel se redescoper˘ a Lema Lax-Milgram.
III.2 Inegalit ˘a¸ ti varia¸ tionale eliptice de prima spe¸ t ˘a
Teorema 3.10. Fie(H;h
;
iH;k
kH)un spa¸ tiu Hilbert real. Fie KHo submul¸ time nevid˘ a,
convex˘ a ¸ si închis˘ a. Admitem c˘ a T:H!Heste un operator tare monoton ¸ si Lipschitz. Atunci,
56

pentruf2Hdat, exist˘ a o unic˘ a solu¸ tie a inegalit˘ a¸ tii varia¸ tionale eliptice de prima spe¸ t˘ a:
8
<
:hTu;vuiHhf;vuiH;8v2K
u2K:(3.6)
Demonstra¸ tie. Fie>0. DefinimA:K!Kastfel
Au:=PK(u(Auf));
undePKeste operatorul de proiec¸ tie pe K. Reamintim c ˘a operatorul de proiec¸ tie este un operator
monoton, adic ˘a
hPKuPKv;uviH0;8u;v2H;
¸ si non-expansiv (vezi Brezis [7]),
kPKuPKvkHkuvkH;8u;v2H:
V om ar ˘ata c ˘aAeste o contrac¸ tie pentru convenabil ales. Deoarece operatorul de proiec¸ tie
PKnu m ˘are¸ ste distan¸ ta avem
kAu1Au2kX=kPK(u1(Tu1f))PK(u2(Tu2f))k
 k (u1u2)(Tu1Tu2)kH:
Utilizând faptul c ˘aTeste un operator tare monoton ¸ si Lipschitz se ob¸ tine
kAu1Au2k2
H ku1u2k2
H2hTu1Tu2;u1u2iH+2kTu1Tu2k2
H
 ku1u2k2
H2mTku1u2k2
H+2L2
Tku1u2k2
H
= (12mT+2L2
T)ku1u2k2
H:
Dup˘a cum am v ˘azut în cadrul demonstra¸ tiei Teoremei Minty-Browder expresia 12mT+2L2
T
0pentru orice 2R, iar pentru 2
0;2mT
L2
T
avemp
12mT+2L2
T<1. A¸ sadar, pentru
orice 0<<2mT
L2
T,Seste contrac¸ tie.
Fie0<  0<2mT
L2
T. Aplicând Teorema lui Banach de punct fix deducem c ˘aS0are un unic
punct fixu, adic ˘a
S0u=u=PK(u0(Tuf)):
Utilizând Teorema de proiec¸ tie avem
hPK(u0(Tuf))(u0(Tuf));vPK(u0(Tuf))iH0;8v2K
¸ si de aici
huu+0(Tuf);vuiH0;8v2K
0hTuf;vuiH0:
57

Cum0>0, deducem
hTu;vuiHhf;vuiH;8v2K:
În plus, not ˘am c ˘au2K.
V om demonstra în continuare unicitatea solu¸ tiei. Pentru f2Hdat presupunem ca exist ˘a dou ˘a
elementeu1;u22Kastfel încât
hTu1;vu1iHhf;vu1iH;8v2K (3.7)
hTu2;vu2iHhf;vu2iH;8v2K: (3.8)
Fiev=u2în (3.7) ¸ siv=u1în (3.8). Sumând,
hTu1Tu2;u2u1iH0:
DeoareceTeste tare monoton avem mTku1u2k2
H0, adic ˘au1=u2. 
Propozi¸ tia 3.11. Fieu1¸ siu2solu¸ tii pentru (3.6) corespunz˘ atoare datelor f1;f22H. Atunci exist˘ a
o constant˘ a C > 0astfel încât
ku1u2kHCkf1f2kH:
Demonstra¸ tie. Deoareceu1¸ siu2sunt solu¸ tii pentru (3.6) corespunz ˘atoare datelor f1;f22H
avem
hTu1;vu1iHhf1;vu1iH;8v2K (3.9)
hTu2;vu2iHhf2;vu2iH;8v2K: (3.10)
Fiev=u2în (3.9) ¸ siv=u1în (3.10). Sumând,
hTu1Tu2;u2u1iHhf1f2;u2u1iH;
hTu1Tu2;u1u2iHhf1f2;u1u2iH;
adic˘a
mTku1u2k2
Hkf1f2kHku1u2kH;
din faptul c ˘aTeste tare monoton.
Dac˘au16=u2rezult ˘a c˘aku1u2kH6= 0¸ simTku1u2kHkf1f2kH. În acest caz, C= 1=mT.
Dac˘au1=u2, avemku1u2kH= 0,0C
0, inegalitate adev ˘arat˘a pentru orice constant ˘a
pozitiv ˘a, în particular ¸ si pentru C= 1=mT. A¸ sadar inegalitatea cerut ˘a are loc pentru C=1
mT.
Remarca 3.12. Dac˘ aTeste un operator liniar, atunci putem defini forma biliniar˘ a a:HH!
Rastfel încât a(u;v) =hAu;viH. În plus,aeste continu˘ a ¸ si H-eliptic˘ a. Redescoperim astfel
Teorema lui Stampacchia.
58

III.3 Inegalit ˘a¸ ti varia¸ tionale eliptice de spe¸ ta a doua
Fie(H;h
;
iH;k
kH)un spa¸ tiu Hilbert real, operatorul T:H!H, aplica¸ tia :H!
(1;+1]¸ si un element f2H.
Defini¸ tia 3.13. O func¸ tional˘ a :H!(1;+1]se nume¸ ste inferior semicontinu ˘aînu2H
dac˘ a
lim inf
n!1 (un) (u);
pentru orice ¸ sirfungHcare converge la uînH. Spunem c˘ a este inferior semicontinu˘ a pe
Hdac˘ a este inferior semicontinu˘ a în orice punct u2H.
Consider ˘aminegalitatea varia¸ tional˘ a eliptic˘ a de spe¸ ta a doua :
(P)Datf2Hs˘a se determine u2Hastfel încât
hTu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H:
Admitem ipotezele:
9mT>0astfel încâthTuTv;uviHmTkuvk2
H;8u;v2H (3.11)
9LT>0astfel încâtkTuTvkHLTkuvkH;8u;v2H (3.12)
:H!(1;1]este proprie, convex ˘a ¸ si inferior semicontinu ˘a: (3.13)
Amintim acum o teorem ˘a a lui Weierstrass.
Teorema 3.14. Fie(E;k
kE)un spa¸ tiu Banach reflexiv, AEo mul¸ time nevid˘ a, convex˘ a, închis˘ a
¸ si':T!(1;+1]proprie, convex˘ a ¸ si inferior semicontinu˘ a. Dac˘ a Teste nem˘ arginit˘ a
presupunem c˘ a
lim
x2T
kxkE!1'(x) = +1:
Atunci'i¸ si atinge minimul pe T, adic˘ a exist˘ a x02Tastfel încât'(x0) = minx2T'(x).
Teorema 3.15. Admitem ipotezele (3.11)-(3.13). Fiind dat f2H, problema (P)are solu¸ tie unic˘ a.
În plus, solu¸ tia depinde Lipschitz de data f.
Consider ˘am problema auxiliar ˘a:
(Paux)Datf2Hs˘a se determine u2Hastfel încât
hu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H:
59

Lema 3.16. Problema (Paux)are solu¸ tie unic˘ a. În plus, pentru f1;f22H, notând cu u1;u2
solu¸ tiile corespunz˘ atoare problemei (Paux), avem
ku1u2kHkf1f2kH:
Demonstra¸ tie. Consider ˘am aplica¸ tia J:H!(1;+1]definit ˘a astfel
J(v) =1
2kvk2
H+ (v)hf;viH:
Jeste strict convex ˘a ¸ si inferior semicontinu ˘a. Aplicând Teorema 3.14 rezult ˘a c˘a exist ˘au2H
astfel încâtJ(u)J(v), pentru orice v2H. Presupunând c ˘a exist ˘au1;u22H,u16=u2astfel
încâtJ(u1) =J(u2) = min
v2HJ(v), ob¸ tinem
Ju1+u2
2
<1
2J(u1) +1
2J(u2) = min
v2HJ(v);
ceea ce reprezint ˘a o contradic¸ tie.
Deci exist ˘a un unic element u2Hastfel încât
J(u)J(v);8v2H:
Not˘am c ˘a (u)<+1. În caz contrar,1 este mai mare sau egal decat un num ˘ar finit. Astfel, J
este proprie.
V om ar ˘ata în continuare c ˘auminimizeaz ˘aJdac˘a ¸ si numai dac ˘aueste solu¸ tie pentru (Paux).
Pentru a demonstra prima implica¸ tie consider ˘amv2H¸ sit2(0;1)astfel încât J(u)
J(u+t(vu)), inegalitate care conform defini¸ tiei lui Jdevine
1
2kuk2
H+ (u)hf;uiH1
2ku+t(vu)k2
H+ (u+t(vu))hf;u+t(vu)iH:
Cum este convex ˘a avem
(u+t(vu)) = ((1t)u+tv)t (v) + (1t) (u)
iar
ku+t(vu)k2
H=kuk2
H+ 2thu;vuiH+t2kvuk2
H:
A¸ sadar,
1
2kuk2
H+ (u)hf;uiH1
2kuk2
H+thu;vuiH+t2
2kvuk2
H
+t (v) + (1t) (u)hf;uiHthf;vuiH;
expresie care dup ˘a simplificare devine
t2
2kvuk2
H+thu;vuiX+t( (v) (u))thf;vuiH0:
60

Cumt>0putem împ ˘ar¸ ti print¸ si ob¸ tinem
hu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiHt
2kvuk2
H:
Facemt!0¸ si ob¸ tinem c ˘aueste solu¸ tie pentru (Paux).
Reciproc, admitem c ˘aueste solu¸ tie pentru (Paux), adic ˘a
hu;vuiX+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H:
Evalu ˘am
J(v)J(u) =1
2kvk2
H+ (v)hf;viH1
2kuk2
H (u) +hf;uiH
=hu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH
+1
2kvk2
H1
2kuk2
Hhu;vuiH:
Dar,
1
2kvk2
H1
2kuk2
Hhu;viH+kuk2
H=kvk2
H2hu;viH+kuk2
H
2
=hvu;vuiH
2
=kvuk2
H
2:
Ob¸ tinem
J(v)J(u) =hu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH+kvuk2
H
20:
A¸ sadar minimizantul lui Jeste unica solu¸ tie a problemei (Paux).
Fief1;f22H¸ siu1;u2solu¸ tiile corespunz ˘atoare problemei (Paux). Atunciu1;u2verific ˘a
(u1)<1; (u2)<1¸ si
hu1;vu1iH+ (v) (u1)hf1;vu1iH;8v2H (3.14)
hu2;vu2iH+ (v) (u2)hf2;vu2iH;8v2H: (3.15)
Fiev=u2în (3.14) ¸ siv=u1în (3.15). Sumând,
hu1u2;u2u1iH+ (u2) (u1) + (u1) (u2)hf1f2;u2u1iH:
Deci
ku1u2k2
Hhf1f2;u1u2iHkf1f2kXku1u2kH:
¸ Si de aici,ku1u2kHkf1f2kH. 
Demonstra¸ tia Teoremei 2.5. Definim operatorul proxj:H!Hastfel
proxj(f) :=u
61

undeueste solu¸ tia problemei (Paux). Lema 3.16 ne spune c ˘a operatorul proxjeste non-expansiv.
În plus, inegalitatea
hf1f2;u1u2iHku1u2k2
H
implic ˘a
hprox (f1)prox (f2);f1f2iH0;8f1;f22H;
adic˘aproxjeste operator monoton.
Existen¸ ta. Fief2H; > 0¸ si :H!(1;+1]o func¸ tional ˘a proprie, convex ˘a ¸ si inferior
semicontinu ˘a. DefinimS:H!Hastfel
S(v) :=prox (fAv+v)8v2H:
V om demonstra în continuare c ˘aSeste contrac¸ tie pentru convenabil ales. Fie u;v2H. Avem
kS(u)S(v)kH=kprox (fTu+u)prox (fTv+v)kH:
Cumproxjeste non-expansiv,
kS(u)S(v)kHkuv+(SvSu)kH:
Deci
kS(u)S(v)k2
H kuvk2
H2hTuTv;uviH+2kTuTvk2
H
(12mT+2L2
T)kuvk2
H:
Considerând 0<<2mT
L2
Tavem 0<12mT+2L2
T<1.
Fie acum02
0;2mT
L2
T
. Atunci
kS0(u)S0(v)kHq
120mT+2
0L2
T
kuvkH
adic˘aS0este contrac¸ tie. Aplicând Teorema lui Banach de punct fix deducem c ˘a exist ˘a un unic
elementu2Hastfel încât
S0u=u=prox0 (0f0Tu+u):
Deciueste solu¸ tie a problemei (Paux)¸ si verific ˘a
hu;vuiH+0 (v)0 (u)h0f0Tu+u;vuiH;8v2H
0hTu;vuiH+0( (v) (u))0hf;vuiH;8v2H:
Cum0>0, deducem
hAu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H:
62

Deciueste solu¸ tie a problemei (P).
Unicitatea. Fieu1¸ siu2dou˘a solu¸ tii ale problemei (P). Atunciu1¸ siu2verific ˘a
hTu1;vu1iH+ (v) (u1)hf;vu1iH;8v2H: (3.16)
hTu2;vu2iH+ (v) (u2)hf;vu2iH;8v2H: (3.17)
Fiev=u2în (3.16) ¸ siv=u1în (3.17). Sumând, ob¸ tinem
hTu1Tu2;u2u1iH0:
Dar conform ipotezei (3.11)
mTku1u2k2
HhTu1Tu2;u1u2iH0
ob¸ tinem egalitatea u1=u2.
Stabilitatea. Fieu1¸ siu2dou˘a solu¸ tii pentru problema (P)corespunz ˘atoare datelor f1;f22H.
Atunci
hTu1;vu1iH+ (v) (u1)hf1;vu1iH;8v2H: (3.18)
hTu2;vu2iH+ (v) (u2)hf2;vu2iH;8v2H: (3.19)
Consider ˘amv=u2în (3.18) ¸ siv=u1în (3.19) ¸ si sumând,
hTu1Tu2;u1u2iH jhf1f2;u1u2iHj
 kf1f2kHku1u2kH:
Utilizând din nou ipoteza (3.11) avem
mTku1u2k2
Hkf1f2kHku1u2kH:
A¸ sadar,
ku1u2kH1
mTkf1f2kH:
Remarca 3.17. Dac˘ aj0problema (P)este echivalent˘ a cu
hAu;vuiHhf;vuiH;8v2H()Au=f:
Remarca 3.18. Dac˘ a =IK(func¸ tia indicator a mul¸ timii K), undeKHeste o mul¸ time
nevid˘ a, convex˘ a ¸ si închis˘ a iar
IK(v) =8
<
:0v2K
1v62K;(3.20)
este o func¸ tional˘ a proprie, convex˘ a ¸ si inferior semicontinu˘ a, atunci
hTu;vui+IK(v)IK(u)hf;vuiH;8v2H:
63

Dac˘ au2Katunci
hTu;vuiHhf;vuiH;8v2K:
Remarca 3.19. Dac˘ aTeste liniar ¸ si 0atunci reg˘ asim Teorema Lax-Milgram.
Remarca 3.20. Dac˘ aTeste liniar ¸ si =IKredescoperim Teorema lui Stampacchia.
III.4 Ecua¸ tii neliniare ce provin din inegalit ˘a¸ ti
varia¸ tionale
Fie(H;h
;
iH;k
kH)un spa¸ tiu Hilbert real, operatorul T:H!H, func¸ tionala :H!
(1;+1]¸ si un element f2H.
Consider ˘am problema studiat ˘a ¸ si în sec¸ tiunea anterioar ˘a:
(Pv)Datf2Hs˘a se determine u2Hastfel încât
hTu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H;
pentru care am admis ipotezele (3.11)-(3.13). Fie usolu¸ tia unic ˘a a lui (Pv), adic ˘a
(v) (u)hfTu;vuiH;8v2H;
echivalent cu
fAu2@ (u):
Dac˘a este diferen¸ tiabil ˘a G^ateaux, atunci, cum este ¸ si convex ˘a,
@ (u) =fr (u)g:
Prin urmare,
fTu=r (u);
echivalent cu
Tu+r (u) =f:
Consider ˘am problema:
(P)hTu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H:
Admitem c ˘a :H!Reste convex ˘a, inferior semicontinu ˘a,T:H!Heste operator tare
monoton ¸ si Lipschitz. În plus, admitem c ˘a
(I)8
>>><
>>>:exist ˘aF:R+!R+astfel încât
j (v) (v)jF()8v2H;8>0
lim!0F() = 0:(3.21)
64

Admitem c ˘a pentruT:H!Htare monoton ¸ si Lipschitz ¸ si :H!Rconvex ˘a ¸ si inferior
semicontinu ˘a,
(Pv)hTu;vuiH+ (v) (u)hf;vuiH;8v2H; (3.22)
are solu¸ tie unic ˘a.
Teorema 3.21. FieT:H!Hoperator tare monoton ¸ si Lipschitz, iar ; :H!Rfunc¸ tionale
convexe ¸ si inferior semicontinue. Admitem în plus (I). Atunci
u!uînHcând!0:
Demonstra¸ tie. Considerând v=uîn inegalitatea din problema (P)¸ siv=uîn inegalitatea
(3.22) ¸ si sumând, ob¸ tinem
hTuTu;uuiH+ (u) (u) + (u) (u)0;
¸ si de aici,
hTuTu;uuiH (u) (u)( (u) (u))
 j (u) (u)j+j (u) (u)j
2F():
CumTeste tare monoton,
mTkuuk2
H2F():
Deducem de aici c ˘a
u!ucând!0:

Remarca 3.22. Dac˘ a (0H) = 0 ¸ si (v)0, atuncifugeste ¸ sir m˘ arginit. Într-adev˘ ar, punând
v= 0Hîn(P)avem
hTu;uiH+ (0H) (u)hf;uiH
hTuT0H;u0HiHhf;uiH+hT0H;uiH
de unde
kukH1
mT(kfkH+kA0HkH):
65

Capitolul IV
PROIECTAREA ¸ SI DESF ˘A¸ SURAREA
CERCET ˘ARII
IV .1 Ipoteza /Ipotezele cercet ˘arii
Elevii întâlnesc no¸ tiunea de convexitate/convavitate înc ˘a din ciclu gimnazial, în clasa
a VII-a, când intr ˘a în leg ˘atur˘a cu patrulaterul convex privit ca un exemplu de mul¸ time convex ˘a
¸ si reg ˘asesc în ciclu liceal luând o nou ˘a forma de "func¸ tie convex ˘a" întâlnit ˘a la func¸ tia de gradul
al II-lea, func¸ tia exponen¸ tial ˘a, logaritmic ˘a, func¸ tia sinus, func¸ tia cosinus. În clasele terminale
dobândesc utilizarea unor teoreme pentru determinarea intervalelor de convexitate/concavitate a
unei func¸ tii precum ¸ si demonstrarea unor inegalit ˘a¸ ti. Astfel elevii se reg ˘asesc cu noi ¸unea de fuc¸ tie
convex ˘a pe tot parcursul liceului.
Dac˘a la începutul cercet ˘arii au fost expuse no¸ tiuni introductive asupra func¸ tiilor convexe
¸ si a unor inegalit ˘a¸ ti clasice, cercetarea se concentreaz ˘a subiectiv, pe anumite etape ce ajut ˘a la
în¸ telegerea ¸ si rezolvarea anumitor inecua¸ tii.
IV .2 Scopul ¸ si obiectivele cercet ˘arii
În cadrul acestui experiment mi-am propus înlocuirea metodelor tradi¸ tionale
(demonstra¸ tia, explica¸ tia ) cu metodele active, euristice, care îi conduc pe elevi la situa¸ tia de a
descoperii no¸ tiunile noi, aceast ˘a activitate fiind deosebit de motivant ˘a pentru ei.
Cercetarea de fa¸ t ˘a a fost proiectat ˘a în func¸ tie de scopurile urm ˘arite. Obiectivele cercet ˘arii
sunt:
Utilizarea metodelor matematice de rezolvare a problemelor prin analogie pentru punerea
problemelor în inegalit ˘a¸ ti;
66

Formarea deprinderilor de munc ˘a individual ˘a care s ˘a dezvolte gândirea prin multitudinea
situa¸ tiilor cu care se confrunt ˘a;
În¸ telegerea ¸ si utlizarea corect ˘a a terminologiei matematice;
Cre¸ sterea unor abilit ˘a¸ ti de lucru cu metode ¸ si tehnici moderne;
Rezolvarea problemelor prin mai multe metode, prin procedee variate.
IV .3 E¸ santionul de subiec¸ ti
În cercetare am folosit clasa a XI-a A a Liceului Teoretic "Constantin Noica", Alexan-
dria, jude¸ tul Teleorman, pe care am împar¸ tit-o în dou ˘a loturi, unul de control ¸ si altul experimental.
În total fiind investiga¸ ti 22 de elevi(10 fete ¸ si 12 b ˘aie¸ ti), cu vârste cuprinse între 17 ¸ si 18 ani.
IV .4 E¸ santionul de con¸ tinut
E¸ santionul de con¸ tinut urm ˘are¸ ste ansamblul con¸ tinuturilor/ informa¸ tiilor despre utiliza-
rea func¸ tiilor convexe în studiul inegalit ˘a¸ tiilor, care sunt valorificate ¸ si testate în cazul cercet ˘arii
realizate.
IV .5 Locul ¸ si durata cercet ˘arii
Tema este tratat ˘a în cadrul orelor de matematic ˘a cât ¸ si în cele de preg ˘atire suplimentar ˘a,
în semestrul II, an ¸ scolar 2016/2017, desf ˘a¸ surate la Liceul Teoretic Constantin Noica, Alexandria,
jude¸ tul Teleorman.
Etape Constatativ ˘a Experimental ˘a Post-test
Timp de desf ˘a¸ surare 13 februarie 2017 1 martie 2017 5 iunie 2017 –
28 februarie 2017 31 mai 2017 16 iunie 2017
Tabela IV .1: Durata ¸ si etapele cercet ˘arii
67

IV .6 Metodologia cercet ˘arii
Metodele ¸ si tehnicile de cercetare utilizate în elaborarea lucr ˘arii sunt:
Ancheta pe baz ˘a de chestionar
Studiul documentelor ¸ scolare
Metoda compara¸ tiei
Interviul
Auto-observa¸ tia
Analiza con¸ tinutului comunic ˘arii
Observa¸ tia sistematic ˘a
Testul
Grile de interpretare
Metoda bibliografic ˘a sau studiul bibliografiei de specialitate – baz ˘a a document ˘arii
Metoda statistico-matematic ˘a – metod ˘a auxiliar ˘a de cuantificare a rezultatelor
cercet ˘arii
68

Tabela IV .2: Metodele ¸ si tehnicile de cercetare ¸ si momentul aplic ˘arii în etapele cercet ˘arii
Metoda Etape ale cercet ˘arii
Constatativ ˘aExperimental ˘aPost-test Re-test
Auto-observa¸ tia x x x x
Observa¸ tia sistematic ˘a x x x x
Ancheta pe baz ˘a de x x x –
chestionar
Studiul documentelor x x x x
curriculare ¸ si ¸ scolare
Testul x x x x
Interviul – x x x
Grile de interpretare x x x x
Analiza con¸ tinutului x x x x
comunic ˘arii
Metode statistice de – x x x
colectare, interpretare ¸ si
corelare a datelor
Metoda bibliografic ˘a x x x x
Metoda compara¸ tiei x x x x
69

Capitolul V
PREZENTAREA REZULTATELOR, PE
ETAPE ALE CERCET ˘ARII
V .1 Rezultatele din etapa constatativ ˘a
Etapa constatativ ˘a a fost realizat ˘a în perioada 13 februarie 2017 – 28 februarie 2017.
Sarcina acestei etape este de a stabili nivelul elevilor în momentul începerii experimentului
psihopedagogic, la lotul de control, cât ¸ si la cel experimental.
Pe parcursul cercet ˘arii am urm ˘arit stadiul de dezvoltare a competen¸ telor – cheie, stabilite
la nivelul Comisiei Europene: a înv ˘a¸ ta s˘a înve¸ ti, competen¸ te interpersonale, interculturale, sociale
¸ si civice, sensibilitate la cultur ˘a.
Testul aplicat a cuprins itemi care vizau ob¸ tinerea unor informa¸ tii cu privire la:
cunoa¸ sterea ¸ si aplicarea de c ˘atre elevi a no¸ tiunilor matematice;
calitatea calculului matematic dobândit de elev (corectitudine, diversitate, reflexivitate);
calitatea utiliz ˘arii calculului matematic în redactarea rezolv ˘arilor (corectitudine, claritate);
70

LICEUL TEORETIC "CONSTANTIN NOICA " ALEXANDRIA
Lucrare scris ˘a
Disciplina Matematic ˘a
Clasa a XI-a A 28-II-2017
Pentru rezolvarea corect ˘a a tuturor cerin¸ telor din Partea I ¸ si din Partea a II-a se acord ˘a 90 de
puncte. Din oficiu se acord ˘a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (50 de puncte)
10p 1. Completa¸ ti spa¸ tiile puctate:
a) Dac ˘af((1)x+y)(1)f(x) +f(y)atuncifeste …….. pe A
b) Dac ˘af((1)x+y)(1)f(x) +f(y)atuncifeste …….. pe A
20p 2. Folosind metoda de reprezentare grafic ˘a "prin puncte", trasa¸ ti graficele
func¸ tiilor sinus, cosinus pe intervalul [0; 2]
20p 3. S˘a se reprezinte grafic func¸ tiile f(x) = 2x; g(x) = (1
2)x; h(x) = logx
2,
j(x) = logx
1
2pe domeniile de definitie ¸ si s ˘a se indice dac ˘a sunt func¸ tii convexe
sau concave.
Subiectul II (40 de puncte)
10p 1. Folosind inegalitatea lui Jensen verifica¸ ti dac ˘a func¸ tia
f:R!R; f(x) = 3xeste convex ˘a.
10p 2. Folosind defini¸ tia func¸ tiei convexe ar ˘ata¸ ti c ˘a func¸ tiaf:R!Rf(x) =x2
este convex ˘a.
20p 3. Ar ˘ata¸ ti folosind inegalitatea lui Jensen c ˘a func¸ tia tangent ˘a este convex ˘a pe
(0;
2), iar func¸ tia cotangent ˘a este convex ˘a pe(0;)
71

LICEUL TEORETIC "CONSTANTIN NOICA " ALEXANDRIA
Barem de corectare lucrare scris ˘a
28.II.2017
Pentru orice solu¸ tie corect ˘a, chiar dac ˘a este diferit ˘a de cea din barem, se acord ˘a
punctajul corespunz ˘ator.
Nu se acord ˘a frac¸ tiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolv ˘ari
par¸ tiale, în limitele punctajului indicat în barem.
Se acord ˘a 10 puncte din oficiu. Nota final ˘a se calculeaz ˘a prin împ ˘ar¸ tirea punctajului
ob¸ tinut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1.a) convex ˘a 5p
b) concav ˘a 5p
2.
2x10p
3.x1 -2-1 -1
201
2121
f(x)%1
41
21p
21p
224%
g(x)& 42p
211p
21
21
4&4p
4p
Se observ ˘a din reprezentarea grafic ˘a c˘af;gsunt convexe 2p
72

x 01
81
41
21248+1
h(x)% -3-2-10123%
j(x)& 3210-1-2-3&4p
4p
Se observ ˘a din reprezentarea grafic ˘a c˘aheste concav ˘a iarjeste convex ˘a2p
SUBIECTUL II (50 de puncte)
1.Dac˘afeste convex ˘a atuncif(x)+f(y)
2f(x+y
2) 2p
f(x)+f(y)
2f(x+y
2) =3x+3y
23x+y
2 4p
3x+3y2
p3x+3y
2=(p
3xp
3y)2
20: 4p
2.f este convex ˘a,f((1)x+y)(1)f(x) +f(y), 2p
,((1)x+y)2(1)x2+y2, 2p
,(1)x2+(1)y22(1)xy0, 4p
,(1)(xy)20care este adev ˘arat˘a 2p
3.Pentrux;y2(0;
2)avemtgx+tgy
2tgx+y
2= 2p
=sin(x+y)
2 cosxcosytgx+y
2= sinx+y
2(cosx+y
2
cosxcosy1
cosx+y
2) = 4p
sinx+y
2[1cos(xy)]
2 cosxcosycosx+y
20: 2p
Func¸ tiatgeste convex ˘a pe(0;
2)¸ si concav ˘a pe(
2;0). 2p
Pentrux;y2(0;
2)avemctgx+ctgy
2ctgx+y
2= 2p
=sin(x+y)
2 sinxsinyctgx+y
2= cosx+y
2(sinx+y
2
sinxcosy1
sinx+y
2) = 4p
cosx+y
2[1cos(xy)]
2 sinxsinysinx+y
20: 2p
Func¸ tiactgeste convex ˘a pe(0;
2)¸ si concav ˘a(
2;2). 2p
Înregistrarea rezultatelor în etapa constatativ ˘a a fost f ˘acut˘a în tabelul sintetic de mai jos
ceea ce a permis înscrierea punctajului ob¸ tinut în urma aplic ˘arii baremului de corectare ¸ si pune
în eviden¸ t ˘a subiectele pe competen¸ te, rezultatele ob¸ tinute de fiecare elev, atât pe segmentele de
competen¸ te vizate, cât ¸ si nivelul de competen¸ t ˘a general ˘a.
73

Tabela V .1: TABEL SINTETIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV ˘A
Numele ¸ si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Oficiu Total Nota
1 2 3Sub. I 1 2 3Sub. II puncte final˘a
1. B.F.A. 10 10 18 38 – – – – 10 48 4,80
2. B.M.F. 10 16 20 46 810 5 23 10 79 7,90
3. I.A.V . 10 20 20 50 10 10 12 32 10 92 9,20
4. I.M.R. 10 15 20 43 – 5 – 5 10 58 5,80
5. L.M.I. 10 13 20 43 810 5 24 10 76 7,60
6. M.D.A. 10 17 20 47 -10 – 10 10 67 6,70
7. M.M.F. 10 15 20 45 810 5 23 10 78 7,80
8. M.R.E. 10 20 20 50 10 10 8 28 10 88 8,80
9. P.A.E. 10 17 20 47 210 – 12 10 69 6,90
10. S.V .I. 10 20 20 50 10 10 6 26 10 86 8,60
11. Z.D.I. 10 13 20 43 – 3 – 3 10 56 5,60
Tabela V .2: TABEL SINTETIC CU NOTELE ELEVILOR ¸ SI MEDIA CLASEI
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not˘a(xi) 4,8 7,9 9,2 5,8 7,6 6,7 7,8 8,8 6,9 8,6 5,6 79,7
x2
i 23,04 62,41 84,64 33,64 57,76 44,89 60,84 77,44 47,61 73,96 31,36 597,59
Media 7,25
74

Tabela V .3: CENTRALIZATOR – TABEL ANALITIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV ˘A
Num ˘ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
1 2 2 3 2 1 –
11 Procente 9% 18% 18% 28% 18% 9% –
Figura V .1: Distribu¸ tia notelor pe intervale de note
4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99100123
Not˘aNum ˘ar elevi
75

Figura V .2: Diagrama areolar ˘a
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA CONSTATATIV ˘A
0%9%18%
28%
18%
18%9%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
76

Tabela V .4: TABEL SINTETIC
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV ˘A
Numele ¸ si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Oficiu Total Nota
1 2 3Sub. I 1 23Sub. II puncte final˘a
1. B.A.C. 10 17 20 47 -10 – 10 10 67 6,70
2. C.L.M. 10 16 20 46 -10 – 10 10 66 6,60
3. D.A.I. 10 13 20 43 – 4 – 4 10 57 5,70
4. D.C.S. 10 20 20 50 10 10 5 25 10 85 8,50
5. F.A.C. 10 17 20 47 210 – 12 10 69 6,90
6. I.G. 10 13 20 43 810 5 23 10 76 7,60
7. M.C.M. 10 15 20 45 710 5 27 10 77 7,70
8. M.O.A. 10 13 20 43 10 10 6 26 10 79 7,90
9. N.N.M. 10 14 20 44 10 10 5 25 10 79 7,90
10. P.E.D. 10 15 20 45 – 3 – 3 10 58 5,80
11. S.R.C. 10 20 20 50 10 10 7 27 10 87 8,70
Tabela V .5: TABEL SINTETIC CU NOTELE ELEVILOR ¸ SI MEDIA CLASEI
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not˘a(xi) 6,7 6,6 5,7 8,5 6,9 7,6 7,7 7,9 7,9 5,8 8,7 80
x2
i 44,89 43,56 32,49 72,25 47,61 59,29 57,76 62,41 62,41 33,64 75,69 592
Media 7,27
77

Tabela V .6: CENTRALIZATOR – TABEL ANALITIC
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV ˘A
Num ˘ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
– 2 3 4 2 – –
11 Procente – 18% 27% 37% 18% – –
Figura V .3: Distribu¸ tia notelor pe intervale de note
4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,991001234
Not˘aNum ˘ar elevi
78

Figura V .4: Diagrama areolar ˘a
LOT DE CONTROL – ETAPA CONSTATATIV ˘A
0%0%18% 37%
27%18%0%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
Dispersia (s2
Epentru clasa experimental ˘a ¸ sis2
Cpentru clasa de control) este egal ˘a cu
media aritmetic ˘a a abaterilor p ˘atratice de la medie, fiind dat ˘a de formula
s2=P11
i=1(xim)2
n(5.1)
O aproxima¸ tie ceva mai bun ˘a a acestei caracteristici numerice se ob¸ tine utiliz ˆnd va-
loarea
s2=P11
i=1(xim)2
n;unde11X
i=1(xim)2=11X
i=1×2
iT2
n: (5.2)
avândxim= abaterea fiec ˘rei valori de la media (aritmetic ˘a) calculat ˘a
n = num ˘arul total de rezultate
T = totalul rezultatelor pe întreg e¸ santionul
s2
E=597;566352;09
11
10=597;56577;46
10=20;1
10= 2;01
s2
C=5926400
11
10=592581;82
10=10;18
10= 1;018
79

Abaterea standard este r ˘ad˘acina p ˘atrata pozitiv ˘a a dispersiei. Dispersia ¸ si abaterea
standard m ˘asoar ˘a variabilitatea datelor fa¸ t ˘a de medie.
sE=q
s2
E=p
2;01 = 1;42
sC=q
s2
C=p
1;01 = 1;00
Pentru lotul experimental m= 7,25 ¸ sisE= 1,42 de unde rezult ˘a intervalul (m
sE;m+sE) = (5;83; 8;67). Acest lucru înseamn ˘a c˘a 7 din 11 elevi au ob¸ tinut rezultate în
intervalul (5,83;8,67), adic ˘a63;64%. Colectivul de elevi este relativ omogen.
Pentru e¸ santionul de control m= 7,27 ¸ sisC= 1,00 de unde rezult ˘a intervalul (m
sC;m+sC)= (6,27;8,27). Acest lucru înseamn ˘a c˘a 7 din 11 elevi au ob¸ tinut rezultate în intervalul
(6,27;8,27), adic ˘a63;64%, situa¸ tie similar ˘a cu cea de la e¸ santionul experimental.
V .2 Etapa experimental-ameliorativ ˘a
Pe baza rezultatelor ob¸ tinute de elevi la testul ini¸ tial am stabilit nivelul cuno¸ stin¸ telor ele-
vilor în momentul începerii experimentului ¸ si am ales strategia didactic ˘a necesar ˘a atingerii obiec-
tivelor propuse pentru etapa experimental – ameliorativ ˘a.
Strategiile didactice interactive (de predare – înv ˘a¸ tare – evaluare) ofer ˘a ocazii benefice de
organizare pedagogic ˘a a unei înva¸ t ˘ari temeinice, u¸ soare ¸ si pl ˘acute, în acela¸ si timp, cu un pronun-
¸ tat caracter activ – participativ din partea elevilor, cu posibilit ˘a¸ ti de cooperare ¸ si de comunicare
eficiente.
Obiectivele înv ˘a¸ t˘arii trebuie s ˘a fie în concordan¸ t ˘a cu tipul de interaci ¸une proiectat pentru
lec¸ tia respectiv ˘a.
Folosirea sistematic ˘a a strategiilor de interac¸ tiune între participan¸ tii la activitate, presu-
pune desf ˘a¸ surarea unor rela¸ tii de comunicare eficient ˘a ¸ si constructive în cadrul c ˘arora, to¸ ti partici-
pan¸ tii la discu¸ tii, s ˘a ob¸ tin ˘a beneficii în planurile cognitive, afectiv- motiva¸ tional, atitudinal, social
¸ si practice – aplicativ .
Strategia didactic ˘a este modalitatea eficient ˘a prin care profesorul îi ajut ˘a pe elevi s ˘a ac-
cead ˘a la cunoa¸ stere ¸ si s ˘a-¸ si dezvolte capacit ˘a¸ tile intelectuale, priceperile, deprinderile, aptitudinile,
sentimentele ¸ si emo¸ tiile, constituindu-se dintr-un ansamblu complex ¸ si circular de metode, tehnici,
mijloace de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si forme de organizare a activit ˘a¸ tii complementare, pe baza c ˘arora profe-
sorul elaboreaz ˘a un plan de lucru cu elevii, în vederea realiz ˘arii unei înv ˘a¸ t˘ari eficiente.
În elaborarea planului profesorul trebuie s ˘a aib ˘a în vedere o serie de factori care condi¸ tio-
neaz ˘a o bun ˘a desf ˘a¸ surare a ac¸ tiunilor de predare – înv ˘a¸ tare – evaluare .
Pentru reu¸ sita activit ˘a¸ tii, profesorul trebuie s ˘a implice foarte mult elevii, ace¸ stia comple-
teaz˘a planul de lucru cu propriile interese, dorin¸ te de cunoa¸ stere ¸ si de activitate intelectual ˘a.
80

Elevii î¸ si pot manifesta dorin¸ ta de a înv ˘a¸ ta prin cooperare, în echip ˘a, colectiv sau indivi-
dual, pot s ˘a opteze pentru anumite metode, tehnici sau procedee de lucru.
Strategiile didactice interactive de grup sunt o modalitate eficient ˘a de organizare a ac-
tivit˘a¸ tii prin care se favorizeaz ˘a schimburile interreela¸ tionale între participan¸ tii la activitate prin
procese interumane de cooperare ¸ si copmeti¸ tie constructive (educat – educat, educat – profesor,
educat – grup), ele stimuleaz ˘a activismul subiectului în interac¸ tiunea sa, nu numai cu ceilal¸ ti, ci ¸ si
cu materialul de studiu.
Strategiile au în vedere sprijinirea dezvolt ˘arii copilului pe baza interac¸ tiunilor sociale ce
conduc la conturarea suportului cognitive ¸ si socio – afectiv necesar form ˘arii profilului intelectual
¸ si psihologic ¸ si integr ˘arii acestuia în societate.
În elaborarea unei strategii didactice eficiente trebuie s ˘a ¸ tinem cont de urm ˘atoarele etape:
1. Examinarea scopurilor ¸ si a obiectivelor ce trebuiesc atinse.
2. Alegerea con¸ tinuturilor corespunz ˘atoare.
3. Examinarea exigen¸ telor ¸ si orient ˘arilor impuse de normele ¸ si principiile didactice.
4. Examinarea alternativelor metodologice de predare – înv ˘a¸ tare – evaluare disponibile.
5. Analiza resurselor disponibile: umane, materiale, de con¸ tinut, de timp çolar.
6. Alegerea formei de grupare a colectivului de elevi.
7. Alegerea metodelor, tehnicilor de instruire, mijloacelor didactice în func¸ tie de situa¸ tia de
instruire propus ˘a, dup ˘a principiul complementarit ˘a¸ tii al interdependen¸ tei ¸ si al sprijinului re-
ciproc.
8. G ˘asirea unor solu¸ tii alternative asupra posibilit ˘a¸ tilor ¸ si c ˘ailor optime de combinare a meto-
delor, mijloacelor ¸ si formelor de organizare a colectivului, pe baza analizei punctelor forte
¸ si a celor slabe în realizarea cu eficien¸ t ˘a a activit ˘a¸ tii profesorului cu elevii s ˘ai.
9. Op¸ tiunea/decizia asupra strategiei didactice de urmat.
10. Aplicarea strategiei didactice, în mod flexibil ¸ si particular, în cadrul activit ˘a¸ tii instructive –
educative desf ˘a¸ surate cu elevii.
11. Evaluarea permanent ˘a a demersurilor f ˘acute, corectarea ¸ si adaptarea strategiei didactice la
necesit ˘a¸ tile elevilor ¸ si la situa¸ tiile spontane, greu de prevazut.
12. Aprecierea final ˘a a eficien¸ tei strategiei didactice desf ˘a¸ surat ˘a (în func¸ tie de felul cum s-au
sim¸ tit elevii, de modul în care le-a placut sau nu s ˘a studieze, de progresele ¸ si performan¸ tele
ob¸ tinute de ace¸ stia, de realizarea obiectivelor, si de eficien¸ ta îmbin ˘arii metodelor, tehnici-
lor, mijloacelor didactice, formelor de organizare a activit ˘a¸ tii cu variabila ¸ timp disponibil ¸ si
necesar).
81

13. Emiterea predic¸ tiilor care vizeaz ˘a modul cum va fi folosit ˘a strategia didactic ˘a în activit ˘a¸ tile
instructive – educative viitoare .
Strategia didactic ˘a devine astfel teorie ¸ si ac¸ tiune implicate în rezolvarea optim ˘a a unei
situa¸ tii de instruire.
Aceasta presupune o abordare teoretic ˘a în m ˘asur˘a în care valorific ˘a în mod creativ concep-
¸ tia pedagogic ˘a a societ ˘a¸ tii, în general ¸ si pe cea a profesorului în mod special, experien¸ ta împ ˘art˘a¸ sit˘a
de colectivul de cadre didactice asupra modurilor eficiente de concepere a demersurilor didactice.
Implic ˘a o abordare practic ˘a atunci când se face op¸ tiunea concret ˘a asupra combin ˘arii efi-
ciente între metode, mijloace didactice ¸ si formele de organizare (frontal, colectiv ˘a, individual ˘a, pe
grupuri/micro – grupuri, mixt ˘a) a activit ˘a¸ tii.
Strategiile didactice ocup ˘a un loc central în cadrul procesului de înv ˘a¸ t˘amânt. Proiectarea
¸ si organizarea lec¸ tiei se definesc ¸ si se realizeaz ˘a în func¸ tie de decizia stategic ˘a a profesorului.
Aceasta demonstreaz ˘a caracterul organizat ¸ si strategic al activit ˘a¸ tilor interprinse de pro-
fesor cu elevii s ˘ai, opus celui haotic ¸ si întâmpl ˘ator. De aceea lec¸ tia – ca form ˘a principal ˘a de
organizare a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt – reprezint ˘a "cadrul predilect în care pot fi valorificate una
sau mai multe strategii"[14].
Rela¸ tia dintre strategiile didactice ¸ si con¸ tinutul procesului de înv ˘a¸ tamant este foarte im-
portant ˘a. Leg ˘aturile dintre strategiile didactice ¸ si con¸ tinuturile procesului de înv ˘a¸ t˘amânt sunt de
tip determinist ¸ si reglatorii.
Organizarea ¸ si structurarea con¸ tinutului, nivelul de abstractizare ¸ si generalizare a cunos-
tin¸ telor, dozarea ¸ si prelucrarea metodologic ˘a a acestora în manualele ¸ scolare, determin ˘a luarea
unor decizii metodologice din partea profesorului.
Metoda tradi¸ tional ˘a, linear ˘a, bazat ˘a cu prec ˘adere pe prezentarea, descrierea, exemplifica-
rea con¸ tinuturilor impune cu prec ˘adere în procesul de transmitere – asimilare a
cuno¸ stin¸ telor folosirea metodelor tradi¸ tionale ¸ si de multe ori pasive (metode de expunere oral ˘a ¸ si
continu ˘a a cuno¸ stin¸ telor, demonstra¸ tia, exemplificarea etc.).
Dac˘a decizia profesorului vizeaz ˘a prezentarea informa¸ tiilor într-o manier ˘a activ – pro-
blematizant ˘a, impunând participarea direct ˘a a elevilor în redescoperirea cuno¸ stin¸ telor, atunci ¸ si
metodologia utilizat ˘a implic ˘a metodele active ¸ si interactive (problematizarea, descoperirea, cola-
borarea, studiul de caz, înv ˘a¸ tarea reciproc ˘a etc.)
Pentru un con¸ tinut cât mai accesibil profesorul poate opera restructur ˘ari ¸ si adapt ˘ari în
interiorul acestuia, conform logicii înv ˘a¸ t˘arii active. Acela¸ si con¸ tinut poate fi predat folosind stra-
tegii didactice variate, în func¸ tie ¸ si de celelalte component ale acesteia (resurse materiale, de timp,
umane, forme de organizare a colectivului etc.)
Strategiile didactice prescriu felul în care elevul este pus în contact cu noul con¸ tinut de
studiat, precizând traiectoria pe care urmeaz ˘a s˘a o parcurg ˘a în vederea personaliz ˘arii, integr ˘arii
acestuia.
Tot ele ofer ˘a solu¸ tii de ordin srtructural – procedural,cu privire la programarea ¸ si combina-
rea diferitelor metode, procedee, mijloace ¸ si forme de organizare, dar ¸ si cu privire la programarea
82

unui întreg set de opera¸ tii de înv ˘a¸ tare. În func¸ tie de strategia aleas ˘a, profesorul identific ˘a opera¸ tiile
pe care elevii urmeaz ˘a s˘a le efectueze pentru a ajunge la achizi¸ tiile dorite.
Articularea metodelor, procedeelor, mijloacelor ¸ si formelor de organizare genereaz ˘a stra-
tegii didactice care, aplicate în situa¸ tii concrete de predare ¸ si înv ˘a¸ tare pun în valoare con¸ tinuturile
predate, în vederea realiz ˘arii obiectivelor propuse .
Strategiile didactice interactive necesit ˘a anumite condi¸ tii de timp mai îndelungat fa¸ t ˘a de
cele expositive de exemplu (timp de gandire acordat elevilor, timp de interrela¸ tionare, timp de
expunere a ideilor individuale ¸ si comune, timp de evaluare etc.) profesorul trebuie s ˘a analizeze cu
aten¸ tie elementele favorizante ale acestora.
Cel mai important este ca elevul s ˘a primeasc ˘a, spre ingurgitare, cat mai multe informa¸ tii
într-un timp relativ redus, dar s ˘a-i lipseasc ˘a propria contribu¸ tie în acest proces de transmitere, fiind
doar un receptor al mesajului.
În proiectarea strategiilor didactice, în general, profesorul trebuie s ˘a armonizeze metodele,
procedeele ¸ si formele de organizare a colectivului cu resursele disponibile, în func¸ tie de aportul lor
la dezvoltarea cunoa¸ sterii ¸ si la provocarea situa¸ tiilor stimulative de înv ˘a¸ tare.
Strategiile didactice interactive au nevoie, mai mult decât alte tipuri, un efort de proiectare
¸ si corelare atent ˘a a resurselor în concordan¸ ta cu metodele, tehnicile ¸ si forma de organizare grupal ˘a
a elevilor, pentru a men¸ tine constant ¸ si pentru mai mult timp interesul elevilor pentru activitate.
În lipsa acestui interes de participare al elevilor pentru a colabora ¸ si a lucra împreun ˘a ,
strategiile didactice nu î¸ si satisfac condi¸ tiile de eficien¸ t ˘a ¸ si eficacitate dorite. Scopul intractivit ˘a¸ tii
este cel de stimulare a particip ˘arii la interac¸ tiuni ¸ si la g ˘asirea unor solu¸ tii prin cooperare, mijloacele
de înv ˘a¸ t˘amânt trebuie s ˘a constitue în factori de sprijinire a lucrului în grup ¸ si de stimularea înv ˘a¸ t˘arii
individuale ¸ si colective. Lipsa resurselor materiale poate duce la renun¸ t ˘ari ¸ si la discomfort cu efecte
nedorite asupra înv ˘a¸ t˘arii .
Rolul, locul si functiile strategiilor didactice interactive in activitatea instructive – educa-
tive
Locul central pe care-l ocupa strategiile de predare ¸ si înv ˘a¸ tare în cadrul tehnologiei di-
dactice este dat de faptul c ˘a proiectarea ¸ si organizarea lec¸ tiei se realizeaz ˘a în func¸ tie de decizia
strategic ˘a a profesorului, corelat ˘a cu dorin¸ tele ¸ si interesele elevilor.
În consecin¸ t ˘a, demersul s ˘au va urma un anumit plan, bine stabilit care plaseaz ˘a elevul
într-o situa¸ tie de înv ˘a¸ tare propice, într-un context de solicit ˘ari, condi¸ tii ¸ si resurse, care permit
dobândirea competen¸ telor prefigurate prin obiective.
Strategiile interactive au un rol esential ¸ si un loc important în toate cele trei faze ale
conceperii ¸ si realiz ˘arii activit ˘a¸ tii didactice:
1. Faza proiect ˘arii, atunci când, în func¸ tie de factorii care influien¸ teaz ˘a alegerea strategiei
(obiective, resurse disponibile – umane, material, informa¸ tionale, de timp etc.) profesorul
decide ce strategie va folosi în activitatea de predare/înv ˘a¸ tare .
2. Faza de desf ˘a¸ surare a activit ˘a¸ tii, atunci când se materializeaz ˘a/concretizeaz ˘a strategia didac-
83

tic˘a aleas ˘a în mod flexibil ¸ si pin adapt ˘ari continui.
3. Faza (auto)evalu ˘arii, care are în vedere aprecierea rezultatelor calit ˘a¸ tii strategiilor didactice
aplicate.
Menirea strategiei este aceea de a crea ¸ sanse elevilor de a se împlica în situa¸ tii concrete
de înv ˘a¸ tare, în asa fel încât abilit ˘a¸ tile s ˘a fie dobândite la un nivel calitativ superior.
În acest sens, func¸ tiile pe care le îndeplinesc strategiile didactice sunt urm ˘atoarele:
1. Func¸ tia de organizare a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt.
2. Func¸ tia de aranjare, de dispunere ¸ si de combinare a metodelor, tehnicilor, mijloacelor de
înv˘a¸ t˘amânt ¸ si formelor de organizare a activit ˘a¸ tii, în mod congruent ¸ si complementar .
3. Func¸ tia de motivare a înv ˘a¸ târii elevilor ¸ si de asigurare a eficien¸ tei acesteia.
4. Func¸ tia de orientare a demersurilor practice de realizare a înv ˘at˘arii.
5. Func ˆtia de dirijare flexibil ˘a c˘atre atingerea obiectivelor propuse.
6. Func ˆtia de conducere ¸ si coordonare a activit ˘a¸ tilor de predare – înva¸ tare – evaluare, bazat pe
stimularea rela¸ tiilor dintre agen¸ tii educa¸ tionali.
7. Func ˆtii de apreciere a tuturor variabilelor implicate ¸ si de adaptare a lor corespunz ˘atoare la
condi¸ tiile ¸ si situa¸ tiile ap ˘arute.
8. Func¸ tia de stimulare a creativit ˘a¸ tii cadrului didactic în organizarea eficient ˘a a activit ˘a¸ tii, prin
îmbinarea elementelor ce contribuie la cristalizarea strategiilor .
În proiectarea activit ˘a¸ tii instructive – educative, profesorul opteaz ˘a pentru un tip de expe-
rien¸ t ˘a de înv ˘a¸ tare, un tip de lec¸ tie (mixt ˘a, de formare de priceperi ¸ si deprinderi, de recapitulare,
de verificare, activit ˘a¸ ti creative etc.), stabile¸ ste scopurile (informative, formative ¸ si educative )
¸ si obiectivele opera¸ tionale (concrete ),structureaz ˘a ¸ si adapteaz ˘a con¸ tinutul lec¸ tiei, decide asupra
strategiei didactice (în func¸ tie ¸ si de resursele umane, material, de timp, de principiile didactice
etc.) realizând combina¸ tii optime între metodele, tehnicile, procedeele, mijloacele de înv ˘a¸ t˘amânt
¸ si formele eficiente de organizare a colectivului.
Predarea – înv ˘a¸ tarea – evaluarea activit ˘a¸ tii didactice succed ¸ si includ toate aceste opera¸ tii ¸ si
decizii strategice, depinzând în mare m ˘asur˘a de buna lor corelare ¸ si deducere reciproc ˘a , precum ¸ si
de creativitatea cadrului didactic ¸ si de al¸ ti factori ce ¸ tin de elevi (personalitatea ,nivelul de pregatire,
motiva¸ tia etc.).
Accentul se pune nu pe "CE" voi preda elevilor ?" ci pe "CUM" voi reu¸ si s ˘a-i determin pe
elevi s ˘a înve¸ te? Putem deci s ˘a afirm ˘am c ˘a strategiile didactice constituie cheia reu¸ sitei activit ˘a¸ tii
instructive – educative ¸ si elementul ei central.
84

Dezideratele de modernizare ¸ si de perfec¸ tionare a strategiilor didactice se înscriu pe di-
rec¸ tiile sporirii caracterului activ al metodelor ¸ si tehnicior de înv ˘a¸ t˘amânt, în aplicarea unor metode
cu un pronun¸ tat caracter formativ în valorificarea noilor tehnologii instruc¸ tionale (e-learning), în
contaminarea ¸ si suprapunerea problematiz ˘arii asupra fiec ˘arei metode ¸ si tehnici de înv ˘atare, reu¸ sind
astfel s ˘a se aduc ˘a o însemnat ˘a contribu¸ tie la dezvoltarea întregului poten¸ tial al elevului.
Cerin¸ ta primordial ˘a educa¸ tiei progresiviste, cum spune Jean Piaget, este de a asigura o
metodologie diversificat ˘a bazat ˘a pe îmbinarea activit ˘a¸ tiilor de înv ˘a¸ tare ¸ si de munc ˘a independent,
cu activit ˘a¸ tiile de cooperare, de înv ˘a¸ tare în grup ¸ si de munc ˘a interdependent ˘a .
Metodele de înv ˘a¸ t˘amânt ("odos" =cale , drum ;"metha"= c ˘atre , spre) reprezint ˘a c˘aile fo-
losite în ¸ scoal ˘a de c ˘atre profesor în a-i sprijini pe elevi s ˘a descopere via¸ ta, natura, lumea, lucrurile,
¸ stiin¸ ta.
Ele sunt totodata mijloace prin care se formeaz ˘a ¸ si se dezvolt ˘a priceperile, deprinderile
¸ si capacit ˘a¸ tiile elevilor de a ac¸ tiona asupra naturii, de a folosi roadele cunoa¸ sterii transformând
exteriorul în facilitate interioare, formându-¸ si caracterul ¸ si dezvoltându-¸ si personalitatea.
Înv˘at˘amântul modern preconizeaz ˘a o metodologie axat ˘a pe ac¸ tiune, operatorie, deci pe
promovarea metodelor interactive care s ˘a solicite mecanismele gândirii, ale inteligen¸ tei, ale ima-
gina¸ tiei ¸ si creativit ˘a¸ tii.
V .2.1 Exemple de activit ˘a¸ ti didactice formative derulate
Prin strategia aleas ˘a am urm ˘arit dezvoltarea capacit ˘a¸ tilor intelectuale, priceperile, deprinde-
rile, aptitudinile elevilor cu ajutorul unui ansamblu complex ¸ si circular de metode, tehnici, mijloace
de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si forme de organizare a activit ˘a¸ tii.
Utilizarea metodelor interactive ca instrumente de înv ˘a¸ tare conduc spre o înv ˘a¸ tare consti-
ent˘a, profund ˘a ¸ si eficient ˘a, care s ˘a men¸ tina spiritul elevilor deschis spre noi competen¸ te. Eficien¸ ta
unei metode este legat ˘a de modul în care este valorificat ˘a în contextul didactic de influen¸ ta pe care
o are asupra rezultatelor ¸ scolare, de cantitatea, de efortul intelectual ¸ si de volumul de timp investit
de elevi ¸ si cadrul didactic. Metodele folosite au fost metode bazate pe ac¸ tiune, exerci¸ tii, analize ¸ si
jocul didactic. Printre metodele folosite amintesc:
Expunerea sistematic ˘a a cuno¸ stin¸ telor În predarea matematicii se utilizeaz ˘a cel mai mult me-
toda explica¸ tiei. Prin utilizarea acestei metode profesorul expune logic ¸ si argumentat modul
lui de gândire, iar elevii urm ˘arindu-l încearc ˘a s˘a-l inteleag ˘a. Pasivitatea elevilor reprezint ˘a
dezavantajul acestei metode. Profesorul trebuie s ˘a-i stimuleze, s ˘a-i determine s ˘a gândeasc ˘a
o dat ˘a cu ei. Pentru o eficien¸ t ˘a a explica¸ tiei mai bun ˘a se impune ca profesorul s ˘a regân-
deasc ˘a lec¸ tia prin prisma cunostin¸ telor elevilor ¸ si cu mijloacele lor de gândire, iar modul lor
de expunere s ˘a fie clar ¸ si cu anumite pauze.
Transmiterea cuno¸ stin¸ telor prin explica¸ tie se face rar, în condi¸ tii perfect univoce, elevul
prime¸ ste ceea ce i se comunic ˘a în func¸ tie de propria ¸ stiin¸ t ˘a, de propriile presupuneri, de
85

în¸ telegerea codului de comunicare, f ˘ar˘a s˘a mai vorbim de oscila¸ tiile de aten¸ tie. Profesorul
trebuie s ˘a controleze dac ˘a este urmarit de elevi. În matematic ˘a recurgem la explica¸ tie atunci
când lec¸ tia este total nou ˘a, ¸ si printr-o alt ˘a metod ˘a mai activ ˘a nu se poate descoperi acest nou.
Recurgem la explica¸ tie pentru:
în¸ telegerea unor no¸ tiuni matematice
în¸ telegerea unor ra¸ tionamente matematice ce conduc la demonstrarea unor legi, rela¸ tii.
Se pote folosi ¸ si pentru ra¸ tionamentele ce conduc la rezolvarea unor probleme sau pen-
tru explicarea propriet ˘a¸ tilor unor figuri geometrice.
În clasele de liceu momentele de explica¸ tie sunt numeroase. Se folose¸ ste explica¸ tia
pentru introducerea no¸ tiunilor: structuri algebrice, determinan¸ ti, logaritmi, derivate, primele
no¸ tiuni de calculul probabilit ˘a¸ tilor etc.
În clasele mai mari expunerea are o form ˘a mai ¸ stiin¸ tific ˘a, astfel ea poate fi considerat ˘a
ca o prelegere. Nu se recomand ˘a utilizarea prea mult a acesteia pentru faptul c ˘a duce la
pasivitate. Ea se poate îmbina cu conversa¸ tia pentru ca elevii s ˘a fie obi¸ snui¸ ti mai u¸ sor cu
efortul de a urm ˘ari un timp mai îndelungat cuvântul profesorului. Aceasta se folose¸ ste rar ¸ si
numai în clasele mari. Indiferent ce form ˘a se utilizeaz ˘a expunerea nu trebuie utilizat ˘a de-a
lungul unei ore întregi ci trebuie îmbinat ˘a cu celelalte metode de predare.
Metoda conversa¸ tiei const ˘a în dialogul dintre profesor si elevi, stimuland gandirea elevilor in
vederea insusirii de noi cunostinte sau fixarea, sistematizarea cunostintelor si deprinderi-
lor asimilate anterior. Metoda conversatiei se foloseste cel mai mult la matematica precum
demonstarrea matematica si metoda exercitiului. Aceasta metoda ajuta la formarea rationa-
mentului matematic la elevi si la realizarea obiectivelor formative ale invatarii matematice.
Dup˘a num ˘arul de persoane c ˘arora li se adreseaz ˘a intrebarea, conversa¸ tia este:
individual ˘a, când se poart ˘a între profesor ¸ si un singur elev,
frontal ˘a, când profesorul adreseaz ˘a întreb ˘arile întregii clase, iar r ˘aspunsurile vin de la
mai mul¸ ti elevi.
Dup˘a obiectivele urm ˘arite în diversele tipuri de lec¸ tii, conversa¸ tia este:
introductiv ˘a, folosit ˘a în momentele capt ˘arii aten¸ tiei ¸ si reactualiz ˘arii cunos¸ tintelor însu-
¸ site anterior;
conversa¸ tia în cadrul prezent ˘arii noilor no¸ tiunilor;
conversa¸ tia pentru fixarea noilor cuno¸ stin¸ te, când se asigur ˘a re¸ tinerea materialului pre-
dat.
conversa¸ tia pentru recapitulare, se desf ˘a¸ soar ˘a în deosebi pe marginea rezolv ˘arilor de
exerci¸ tii ¸ si probleme cu caracter general;
86

conversa¸ tia în evaluarea cono¸ stin¸ telor.
Indiferent de forma conversa¸ tiei purtate întreb ˘arile trebuie s ˘a verifice:
S˘a fie precise, s ˘a nu fie vagi, s ˘a vizeze un singur r ˘aspuns,
S˘a nu con¸ tin ˘a r˘aspunsul, r ˘aspunsul primit s ˘a nu fie cu "da" ¸ si "nu",
S˘a contribuie la îmbun ˘at˘a¸ tirea gândirii, adic ˘a s˘a fie instructive.
Problematizarea î¸ si propune s ˘a produc ˘a în mintea elevului con¸ stientizarea conflictului dintre in-
forma¸ tia existent ˘a ¸ si o nou ˘a informa¸ tie, intre diferite niveluri de cunoa¸ stere ¸ si lichidarea
acestui conflict s ˘a duc ˘a la descoperirea a noi propriet ˘a¸ ti ale obiectului studiat.
Are o sfer ˘a de existen¸ t ˘a comun ˘a cu conversa¸ tia euristic ˘a. Întreb ˘arile frontale sau indivi-
duale utilizate în etapa de preg ˘atire a introducerii unei no¸ tiuni sau chiar în etapa prezent ˘arii
materilului nou, întreb ˘ari care se adreseaz ˘a gândirii sau ra¸ tionamentului, determin ˘a situa¸ tii
conflictuale. Organizarea situa¸ tiilor problem ˘a trebuie s ˘a fie astfel încât întreb ˘arile s ˘a apar ˘a
în mintea elevului f ˘ar˘a ca acestea s ˘a fie formulate de profesor.
Prin aplicare în predare a problematiz ˘arii, rezultatul final este totdeauna identificarea
solu¸ tiei problemei puse. Astfel descoperirea, în matematic ˘a o vedem ca o întregire a proble-
matiz ˘arii se pot evidentia 3 modalit ˘a¸ ti de înv⸠tare prin descoperire:
inductiv ˘a;
deductiv ˘a;
prin analogie.
Problematizarea ¸ si descoperirea fac parte din metodele a¸ sa-zise formativ –
participativ. Ele solicit ˘a elevul su a gândeasc ˘a, îi pune la încercare voin¸ ta, îi dezvolt ˘a imagi-
na¸ tia ¸ si îi îmbog ˘a¸ te¸ ste experien¸ ta de rezolvare în diverse probleme.
În lec¸ tiile în care aceste metode se aplic ˘a profesorul alege problemele, le formuleaz ˘a,
dirijeaz ˘a înv ˘a¸ tarea, controleaz ˘a ¸ si apreciaz ˘a munca depus ˘a de elevi în toate etapele activit ˘a¸ tii.
Modelarea matematic ˘a conduce elevul la descoperirea adev ˘arului cu ajutorul modelului, gra¸ tie
ra¸ tionamentului prin analogie. S-a constatat existen¸ ta a 2 categorii de modelare:
similar ˘a – care const ˘a în realizarea unui sistem de aceia¸ si natur ˘a cu originalul, care s ˘a
permit ˘a eviden¸ tierea tr ˘as˘aturilor esen¸ tiale ale originalului.
analogic ˘a – nu presupune o asem ˘anare perfect ˘a cu originalul ci numai o analogie.
Momentele cunoa¸ sterii în procesul model ˘arii sunt:
trecerea de la original la model;
87

transformarea modelului sau experimenatarea pe model;
transferul pe original a rezultatelor ob¸ tinute pe model;
verificarea experimental ˘a a existen¸ tei, a propriet ˘a¸ tilor ob¸ tinute pe model.
Acest ˘a metod ˘a se poate clasifica dup ˘a modul în care sunt transmise informa¸ tiile astfel:
modele materiale – au suport material ¸ si se folosesc foarte pu¸ tin în matematic ˘a;
modele ideale – dupa modul în care sunt introduse apar ca modele ideale care au su-
portul format din imagini, având o asem ˘anare cu originalul; sau modele exprimate prin
sisteme de semne, la care asemanarea cu originalul este reprezentat ˘a prin simboluri.
Dintre acestea amintim:
–modele grafice;
–modele logice;
–modele matematice.
Demonstrarea este folosit ˘a în prezentarea unor obiecte, fenomene sau substitute ale acestora,
precum ¸ si în aplicarea sau ar ˘atarea în fa¸ ta elevilor a unor ac¸ tiuni, fenomene, experien¸ te,
având ca scop asigurarea unui suport concret-senzorial al procesului de înv ˘a¸ tare.
Demonstra¸ tia, datorit ˘a aplicabilit ˘a¸ tii sale este o metod ˘a de baz ˘a ale activit ˘a¸ tilor mate-
matice, valorificând noutatea cuno¸ stin¸ telor ¸ si a situa¸ tiilor de înv ˘a¸ tare.
Demonstra¸ tia matematic ˘a este o metod ˘a de predare – înv ˘a¸ tare specific ˘a matematicii.
Ea const ˘a într-un ¸ sir de ra¸ tionamente prin care se verific ˘a un anumit adev ˘ar, exprimat prin
propozi¸ tii.
Metoda exerci¸ tiului este aplicat ˘a în aproape toate lec¸ tiile de matematic ˘a. Exerci¸ tiile sunt ac¸ tiuni
efectuate în mod con¸ stient ¸ si repetat cu scopul de a dobândi priceperi, deprinderi, cuno¸ stin¸ te
noi, pentru a u¸ sura unele activit ˘a¸ ti ¸ si a contribui la dezvoltarea unor aptitudini. Dobândirea
no¸ tiunilor matematice este legat ˘a ¸ si condi¸ tionat ˘a de rezolvarea exerci¸ tiilor ¸ si problemelor.
Metoda exerci¸ tiului are urm ˘atoarele avantaje:
este recomandat ˘a pentru formarea unei gândiri productive;
ofer˘a posibilitatea unei independen¸ te;
ofer˘a posibilitatea de discu¸ tie asupra diverselor metode ¸ si solu¸ tii;
dezvolt ˘a atitudinea critic ˘a ¸ si înnva¸ t ˘a pe elevi s ˘a aprecieze metoda cea mai bun ˘a de
lucru;
ofer˘a posibilitatea analizei erorilor.
88

Pentru matematic ˘a aceast ˘a metod ˘a nu contribuie numai la formarea priceperilor ¸ si de-
prinderilor, ci aduce un aport substan¸ tial la dezvoltarea unui ra¸ tionament flexibil ¸ si operant.
Exerci¸ tiile ¸ si problemele trebuie alese, formulate, tratate ¸ si folosite în urmatorul mod:
alegerea problemelor trebuie s ˘a fie conditionat ˘a de: programele analitice, metodele de
prezentare a no¸ tiunilor în manuale, tehnica de stabilire a rezultatelor ¸ si elevii c ˘arora li
se adreseaz ˘a;
formularea s ˘a ¸ tin ˘a cont de limbajele manualelor, de modul de prezentare a cuno¸ stin-
¸ telor, de no¸ tiunile anterioare pe care le posed ˘a elevii ¸ si de caracterul fundamental sau
aplicativ al problemelor;
analiza s ˘a aib ˘a în vedere analiza rezultatelor pe c ˘ai clare ¸ si verificabile, analiza metode-
lor utilizate, re¸ tinerea tipurilor de ra¸ tionamente folosite, deschiderea unor perspective
pentru probleme mai complexe;
folosirea s ˘a urm ˘areasc ˘a cunoa¸ sterea no¸ tiunilor înv ˘a¸ tate ¸ si adâncirea semnifica¸ tiilor, asi-
milarea metodelor de rezolvare ¸ si aplicarea lor la rezolvarea altor probleme.
Exerci¸ tiile au la baz ˘a capacit ˘a¸ tile intelectuale necesare efectu ˘arii lor. Întâlnim exerci¸ tii
de recuno¸ stere a unor no¸ tiuni matematice, exerci¸ tii aplicative ale unor formule sau ale unor
algoritmi, calculul mintal care are o larga aplicativitate în toate domeniile – el fiind considerat
o adevarat ˘a "gimnastic ˘a a min¸ tii", exerci¸ tiile grafice, problemele de construc¸ tie grafice, care
fac obiectul preocuprilor unor ore de geometrie.
În rezolvarea exerci¸ tiilor se recomand ˘a s˘a se ¸ tin ˘a seama de urm ˘atoarele etape:
analiza ini¸ tial ˘a a exerci¸ tiului, pe baza c ˘areia se realizeaz ˘a un plan de rezolvare, ce va
permite elevilor clasei s ˘a lucreze independent;
rezolvarea propriu-zis ˘a, la exerci¸ tiile a caror rezolvare se face prin mai multe c ˘ai, s˘a se
sublinieze calea ra¸ tional ˘a;
verificarea, care permite elevului s ˘a observe dac ˘a a lucrat corect.
Braistorming este metoda numit ˘a "furtuna de creiere" deoarece este o metod ˘a interactiv ˘a de
dezvoltare de noi idei, ce rezult ˘a din discu¸ tiile purtate între elevi, ace¸ stia venind fiecare
cu o mul¸ time de sugestii. Rezultatul discu¸ tiilor se finalizeaz ˘a cu alegerea celei mai bune
solu¸ tii de rezolvare a situa¸ tiei dezb ˘atute.
Metoda are drept scop emiterea unui num ˘ar cât mai mare de solutii/de idei, privind
modul de rezolvare a unei probleme, în speran¸ ta ca prin îmbinarea lor se va ob tine solu¸ tia
potrivit ˘a. Metoda stimuleaz ˘a creativitatea în cadrul grupului, astfel elevii comunic ˘a f˘ar˘a
teama c ˘a vor spune ceva gre¸ sit sau nepotrivit. Scopul metodei este acela de a-¸ si pune în
eviden¸ t ˘a imagina¸ tia, ideile neobi¸ snuite, ¸ si originale, a p ˘arerilor neconven¸ tionale.
89

Astfel o idee sau o sugestie aparent f ˘ar˘a leg ˘atur˘a cu problema în discutie, poate oferii
variante altor idei din partea celorlal¸ ti participan¸ ti.
Ciorchinele este o metoda care presupune g ˘asirea anumitor leg ˘aturi logice între idei, aceasta poate
fi folosit ˘a benefic atât la începutul lec¸ tiilor, la reactualizarea cunostintelor cât ¸ si în cadrul
lec¸ tiilor de sintez ˘a, recapitulare, de sistematizare a cunostiin¸ telor. Prin utilizarea acestei
metode determin ˘am c ˘aile de acces spre propriile cuno¸ stin¸ te conturând maniera prin care este
în¸ teleas ˘a o tem ˘a sau un anumit con¸ tinut.
Ciorchinele reprezint ˘a o metoda eficient ˘a de predare – înv ˘a¸ tare care stimuleaz ˘a elevii s ˘a
gândeasc ˘a liber ¸ si deschis.
Metoda ciorchinelui are urm ˘atoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / tem ˘a în mijlocul tablei sau a unei foi de hârtie.
2. Elevilor li se vor cere s ˘a-¸ si noteze toate ideile, cuno¸ stin¸ tele pe care le au în minte
în leg ˘atur˘a cu tema dat ˘a, în jurul cuvântului din centru, tr ˘agând linii între acestea ¸ si
cuvântul ini¸ tial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi ¸ si le noteaz ˘a prin cuvintele respective, elevii vor uni
cu linii toate ideile care pot fi conectate.
4. Activitatea inceteaza când se termina toate ideile sau când s-a atins limita de timp
acordat ˘a.
Pentru a utiliza metoda ciorchinelui trebuie s ˘a respectam urm ˘atoarele reguli cum sunt
clasificate de C.L. Oprea în [12]:
Scrie¸ ti tot ce v ˘a trece prin minte referitor la tema / problema pus ˘a în discu¸ tie.
Nu judeca¸ ti / evalua¸ ti ideile produse, ci doar nota¸ tiile.
Nu v ˘a opri¸ ti pân ˘a nu epuiza¸ ti toate ideile care v ˘a vin în minte sau pân ˘a nu expir ˘a timpul
alocat; dac ˘a ideile refuz ˘a s˘a vin ˘a insista¸ ti ¸ si z ˘abovi¸ ti asupra temei pân ˘a ce vor ap ˘area
unele idei.
L˘asa¸ ti s ˘a apar ˘a cât mai multe ¸ si mai variate conexiuni între idei; nu limita¸ ti nici num ˘rul
ideilor, nici fluxul leg ˘aturilor dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de înv ˘a¸ tare sunt:
În etapa de reflec¸ tie vom utiliza "ciorchinele revizuit" în care elevii vor fi ghida¸ ti prin
intermediul unor întreb ˘ri, în gruparea informa¸ tiilor în func¸ tie de anumite criterii.
Fixarea ideilor ¸ si structurarea no¸ tiunilor facilitând re¸ tinerea ¸ si în¸ telegerea acestora.
Adesea poate rezulta un "ciorchine" cu mai mul¸ ti "sateli¸ ti".
90

Mozaicul este o metod ˘a bazat ˘a pe înv ˘a¸ tarea în echip ˘a. Fiecare elev are o sarcin ˘a de lucru în care
trebuie s ˘a devin ˘a expert ¸ si are responsabilitate de a trimite informa¸ tiile asimilate colegilor
s˘ai.
Metoda se desf ˘a¸ soar ˘a astfel: profesorul stabile¸ ste tema de studiu ¸ si o împarte în 4 sau 5
subteme. Subtemele pot fi formulate fie sub forma de intreb ˘ari, fie afirmativ. Dup ˘a ce s-au
fixat subtemele profesorul organizeaz ˘a colectivul de elevi în echipe de câte 4 sau 5 membri.
Fiecare elev prime¸ ste câte un num ˘ar de la 1 la 5 ¸ si are ca sarcin ˘a s˘a studieze în mod
independent sub tema corespunz ˘atoare num ˘arului s ˘au, astfel el trebuie s ˘a devin ˘a expert în
problema dat ˘a.
Dup˘a ce au parcurs faza de lucru independent, exper¸ tii cu acela¸ si num ˘ar se reunesc,
constituind grupe de exper¸ ti pentru a dezbate problema împreun ˘a. Astfel elevii cu num ˘arul 1
p˘ar˘asesc echipele de înv ˘a¸ tare ¸ si se adun ˘a la o mas ˘a pentru a aprofunda subtema cu num ˘arul
1. La fel se procedeaz ˘a ¸ si cu ceilal¸ ti elevi.
Discu¸ tiile în grupul de exper¸ ti se fac pe baza raportului individual la care au lucrat, la
care se adaug ˘a elemente noi ¸ si se stabile¸ ste felul în care noile cuno¸ stin¸ te vor fi transmise ¸ si
celorlal¸ ti membri din echipa ini¸ tial ˘a.
Fiecare elev este membru în grupul de exper¸ ti ¸ si face parte dintr-o echip ˘a de înv ˘a¸ tare.
Elevii "exper¸ ti" se reîntorc în echipa ini¸ tial ˘a de înv ˘a¸ tare ¸ si transmit cuno¸ stin¸ tele asimilate,
re¸ tinând la rândul lor cuno¸ stin¸ tele pe care le transmit cologii lor, exper¸ ti în alte subteme.
Evaluarea se poate face prin intreb ˘ari adresate elevilor, rapoarte, eseuri sau fi¸ se de eva-
luare date spre rezolvare fiec ˘arui elev. Dac ˘a se recurge la o evaluare oral ˘a, atunci fiecarui
elev i se va adresa o întrebare la care trebuie s ˘a r˘aspund ˘a f˘ar˘a ajutorul echipei.
Metoda cubului presupune investigarea unui subiect, a unei situa¸ tii din mai multe situa¸ tii de ve-
dere permi¸ tând abordarea complex ˘a ¸ si integratoare a unei teme.
Profesorul realizeaz ˘a un cub pe ale c ˘arui fe¸ te sunt scrise cuvintele descrie, compar ˘a,
analizeaz ˘a, asociaz ˘a, aplic ˘a, argumenteaz ˘a. În continuare acesta anun¸ t ˘a tema ¸ si subiectul
pus în discu¸ tie ¸ si împarte clasa în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din perspectiva
cerin¸ tei de pe una din fe¸ tele cubului.
Descrie: culorile, formele, m ˘arimile, etc.
Compar ˘a: ce este asem ˘an˘ator? Ce este diferit?
Analizeaz ˘a: spune din ce este f ˘acut, din ce se compune.
Asociaz ˘a: la ce te îndeamn ˘a s˘a te gânde¸ sti?
Aplic ˘a: ce po¸ ti face cu aceasta? La ce poate fi folosit ˘a?
Argumenteaz ˘a: pro sau contra ¸ si enumer ˘a o serie de motive care vin în sprijinul afir-
ma¸ tiei tale.
91

Turul galeriei este o metod ˘a interactiv ˘a de înv ˘a¸ tare bazat ˘a pe colaborarea între elevi, care sunt
pu¸ si în ipostaza de a g ˘asi solu¸ tii de rezolvare a unor probleme. Aceast ˘a metod ˘a presupune
evaluarea interactiv ˘a ¸ si profund formativ ˘a a produselor realizate de grupuri de elevi.
Astfel, turul galeriei const ˘a în urm ˘atoarele:
1. Elevii, în grupuri de trei sau patru, rezolv ˘a o problem ˘a (o sarcin ˘a de înv ˘a¸ tare) suscepti-
bil˘a de a avea mai multe solu¸ tii (mai multe perspective de abordare).
2. Produsele muncii grupului se materializeaz ˘a într-o schem ˘a, diagram ˘a, inventarde idei
etc. notate pe o hârtie (un poster).
3. Posterele se expun pe pere¸ tii clasei, transforma¸ ti într-o veritabil ˘a galerie.
4. La semnalul profesorului, grupurile trec pe r ˘and, pe la fiecare poster pentru a examina
solu¸ tiile propuse de colegi. Comentariile i ¸ observa¸ tiile vizitatorilor sunt scrise pe pos-
terul analizat.
5. Dup ˘a ce se încheie turul galeriei (grupurile revin la pozi¸ tia ini¸ tial ˘a, înainte de plecare)
fiecare echip ˘a î¸ si reexamineaz ˘a produsul muncii lor comparativ cu ale celorlal¸ ti ¸ si dis-
cut˘a observa¸ tiile ¸ si comentariile notate de colegi pe propriul poster.
Turul galeriei se folose¸ ste cu succes împreun ˘a cu metoda cubului.
Pentru buna desf ˘a¸ surare a activit ˘a¸ tii didactice ¸ si o mai bun ˘a în¸ telegere a con¸ tinutului pre-
dat mijloacele didactice au fost folosite pentru a influen¸ ta în mod substan¸ tial procesul de cunoa¸ tere.
Mijloacele de înv ˘a¸ t˘amânt reprezint ˘a ansamblul de obiecte, dispozitive, aparate care con-
tribuie la desf ˘a¸ surarea eficient ˘a a activit ˘a¸ tii didactice. Ele sunt resurse materiale ale procesului de
înv˘a¸ t˘amânt, selec¸ tionate din realitate, modificate sau confeci ¸onate în vederea atingerii unor obiec-
tive pedagogice [8].
Primele mijloace de înv ˘a¸ t˘amânt întalnite au fost tabla, manuscrisele, obiectele de muzeu,
etc.; acestea pot fi utilizate doar direct, adic ˘aprin interac¸ tiunea profesor – elev.
Ulterior au ap ˘arut mijloacele purt ˘atoare de informa¸ tii gata structurate: manuale, alte texte
tip˘arite. Ac¸ tiunea profesorului asupra elevului este imediat ˘a prin intermediul scrisul; folosirea
ma¸ sinilor în procesul de comunicare interuman ˘a este reprezentat ˘a de mijloacele audiovizuale (dis-
pozitive, filmul, înregistr ˘arile sonore, emisiunile T.V . etc).
În ultimul timp mijloacele de înv ˘a¸ t˘amânt se bazeaz ˘a pe dialogul direct între elev ¸ si ma¸ sin¸ s,
cum ar fi cel desf ˘a¸ surat în laboratoarele lingvistice sau în înv ˘a¸ t˘amântul programat; calculatorul este
cel mai complex mijloc de înv ˘a¸ t˘amânt, dezvolt ˆnd interac¸ tiunea elev – ma¸ sin ˘a.
Integrarea mijloacelor de înv ˘a¸ t˘amânt în strategiile didactice adecvate se realizeaz ˘a îin trei etape:
preg˘atirea elevilor pentru receptarea mesajului didacto-vizual, ceea ce determin ˘a: stimularea
aten¸ tiei, a curiozit ˘a¸ tii; actualizarea unor cuno¸ stin¸ te anterior înv ˘a¸ tate; orientarea elevilor în
vederea recept ˘arii optime a mesajului audio-vizual ;
92

utilizarea efectiv ˘a a mijlocului de înv ˘a¸ t˘amânt, urm ˘rindu-se activarea elevilor pe parcursul
utiliz ˘arii;
valorificarea no¸ tiunilor dobândite în urma utiliz ˘arii mijlocului de înv ˘a¸ t˘amânt, prin activit ˘a¸ ti
ulterioare (conversa¸ tie, efectuarea unei teme etc.).
Evaluarea este ultima etap ˘a a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt. Cu evaluarea se încheie circu-
itul predare – înv ˘a¸ tare. Prin evaluare profesorul ob¸ tine informa¸ tiile strict necesare privitoare la
rezultatele activit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ tare(cuno¸ stin¸ te, priceperi, deprinderi, capacitati ) reglând activitatea
urm˘atoare cea a ob¸ tinerii unor performan¸ te superioare. Cunoa¸ sterea performan¸ telor ob¸ tinute la
un moment dat, a eventualelor lacune, a cauzelor acestora constitue indicatorii care stau la baza
aprecierii profesorului.
Importa¸ ta ac¸ tiunilor evaluative devine din ce în ce mai accentuat ˘a ¸ si recunoscut ˘a în lumina
reformei educa¸ tionale din înv ˘a¸ t˘amânt. O evaluare eficient ˘a ajut ˘a profesorii ¸ si elevii s ˘a aprecieze
gradul în care au fost atinse obiectivele instruirii, progresul la înv ˘a¸ t˘atur˘a, dificult ˘a¸ tile în înva¸ tare,
s˘a identifice posibilit ˘a¸ tile alegerii celor mai bune c ˘ai pentru eficientizarea actului de predare ¸ si s ˘a
ofere feed-back-ul necesar.
Procesul de înv ˘a¸ t˘amânt, indiferent de nivel care este abordat, ca o rela¸ tie între predare-
înv˘a¸ tare-evaluare. Evaluarea este punctul final într-o succesiune de evenimente ce urm ˘aresc crearea
unui comportament dezirabil la elevi în situa¸ tii diverse.
Prin evaluare, se în¸ telege actul didactic complex care asigur ˘a eviden¸ tierea cantitativ ˘a a
cuno¸ stin¸ telor ¸ si valoarea, nivelul performan¸ telor ¸ si eficien¸ ta acestora la un moment dat-în mod
curent, periodic ¸ si în final, oferind solu¸ tii de perfec¸ tionare a actului de predare-înv ˘a¸ tare.
Actul de evaluare presupune dou ˘a opera¸ tii diferite, care alc ˘atuiesc un tot unitar
(m˘asurarea performan¸ telor, aprecierea acestora).
Evaluarea are dou ˘a componente principale:
– intern ˘a:evaluarea curent ˘a ¸ si evaluarea continu ˘a,
– exten ˘a:examene ¸ si evalu ˘ari na¸ tionale.
Func¸ tiile evalu ˘arii ¸ si examin ˘arii surprind varietatea ¸ si multitudinea posibilit ˘a¸ tilor lor de
utilizare în diferite situa¸ tii.
Func¸ tiile evalu ˘arii sunt:
-Diagnostic ˘aidentific ˘a nivelul performan¸ tei, a punctelor tari ¸ si slabe, pe domenii ale performan-
¸ tei. Se realizeaz ˘a prin teste psihologice, de inteligen¸ t ˘a, teste de cuno¸ stin¸ te sau de randament
etc.
-Prognostic ˘aestimeaz ˘a domeniile sau zonele cu performan¸ te mexime viitoare ale elevilor. Se
realizeaz ˘a prin teste de aptitudini, de capacit ˘a¸ ti sau abilit ˘a¸ ti specifice
93

-de Selec¸ tie clasific ˘a elevii în ordine descresc ˘atoare a nivelului de performan¸ t ˘a atins într-o situa¸ tie
de examen. Testele standardizate de tip normativ sunt ideale pentru indeplinirea acestei
func¸ tii.
-de Certificare recunoa¸ ste statutul dobândit de c ˘atre elev în urma sus¸ tinerii unui examen sau a
unei evalu ˘ari cu caracter normativ. Certificatele, diplomele sau actele dovedind dobândirea
unor credite reprezint ˘a instrumentele cele mai des utilizate.
-Motiva¸ tional ˘aactiveaz ˘a ¸ si stimuleaz ˘a autocunoa¸ sterea, autoaprecierea, valen¸ tele metacognitive
în raport cu obiectivele procesului educa¸ tional stabilite de la început sau în func¸ tie de obiec-
tivele de evaluare comunicate anterior.
-de Consiliere orienteaz ˘a decizia elevilor ¸ si a p ˘arin¸ tilor în func¸ tie de nivelul performan¸ telor ob-
¸ tinute astfel încât orientarea ¸ scolar ˘a ¸ si/sau profesional ˘a a elevilor s ˘a fie optim ˘a, în echilibru
stimulativ între dorin¸ te ¸ si posibilit ˘a¸ ti.
Evaluarea curent ˘a se realizeaz ˘a cu ajutorul metodelor tradi¸ tionale ¸ si a celor complemen-
tare. Cele mai utilizare metode tradi¸ tionale de evaluare sunt probele orale, scrise ¸ si practice.
Probele orale sunt cel mai des utilizate la cls ˘a. Datorit ˘a fidelit ˘a¸ tii ¸ si validit ˘a¸ ttii lor scazute nu sunt
recomandate în situa¸ tii de examen. Au avantajul în a corecta ¸ si clarifica imediat eventualele
erori sau nein¸ telegeri. Au ca dezavantaj consumul mare de timp deoarece elevii sunt evalua¸ ti
individual.
Probele scrise sunt preferate datorit ˘a avantajelor pe care le ofer ˘a dintre care economia de timp pe
care o realizeaz ˘a, evaluarea unui num ˘ar mare de elevi într-un timp relativ scurt, evaluarea
elevilor pe aceea¸ si secven¸ t ˘a curricular ˘a. Dejavantajul major este întârzierea momentului în
care se realizeaz ˘a corectarea gre ˆselilor.
Probele practice sunt folosite pentru a evalua capacitatea elevilor de a utiliza cuno¸ stin¸ te teoretice,
cât ¸ si a nivelului de st ˘apânire a priceperilor ¸ si deprinderilor de ordin practic.
Metodele complementare de evaluare, concepute ca realizând o legatur ˘a întere probele
scrise, orale ¸ si practice, reprezint ˘a elementele principale ¸ si dominante în desfa¸ surarea evalu ˘arii.
Strategiile moderne de evaluare eviden¸ tiaz ˘a acea dimensiune a ac¸ tiunii de evaluare care s ˘a ofere
elevilor suficiente ¸ si variate posibilit ˘a¸ ti de a confirma "ceea ce ¸ stiu", dar ¸ si "ceea ce pot s ˘a fac ˘a".
Principalele metode moderne de evaluare sunt:
Observarea sistematic ˘a a comportamentului elevilor ofer ˘a profesorului informa¸ tii utile, di-
verse ¸ si complete, greu de ob¸ tinut astfel prin intermediul metodelor de evaluare tradi¸ tionale
[19].
Profesorul ob¸ tine informa¸ tii despre activit ˘a¸ tile elevilor, din perspectiva ac¸ tiunilor sale,
competen¸ telor ¸ si abilit ˘a¸ tilor. Aceast ˘a metod ˘a poate fi verificat ˘a cu ajutorul fi¸ selor de evalu-
are, scara de clasificare, lista de control/verificare.
94

Investiga¸ tia permite elevului de a utiliza în mod creativ no¸ tiunile însu¸ site, pe parcursul unei
ore sau a unei succesiuni de ore. Prin investga¸ tie pot fi urm ˘arite elementele esen¸ tiale
[20]:
–întelegerea ¸ si clarificarea sarcinii de lucru,
–identificarea procedeelor pentru ob¸ tinerea informa¸ tiilor necesare,
–colectarea ¸ si organizarea datelor sau informa¸ tiilor necesare,
–formularea ¸ si testarea unor ipoteze de lucru,
–schimbarea planului de lucru sau a metodologiei de colectare a datelor, dac ˘a este nece-
sar,
–colectarea altor date, dac ˘a este necesar,
–motivarea op¸ tiunii pentru anumite metode folosite în investiga¸ tie,
–scrierea/prezentarea unui scurt raport privind rezultatele investiga¸ tiei.
Demersul investigativ poate fi raportat la trei etape esen¸ tiale care trebuie parcurse
[21]:
–definirea problemei,
–alegerea metodei/metodologiei adecvate,
–identificarea solu¸ tiilor.
Proiectul este o metod ˘a de evaluare mult mai ampl ˘a decât investiga¸ tia. Acesta se realizeaz ˘a
începând din clas ˘a, ¸ si se continu ˘a acas ˘a pe o perioad ˘a de cateva zile pân ˘a la câteva s ˘ap-
t˘amâni. Portofoliu se încheie tot în clas ˘a prin prezenatrea în fa¸ ta colegilor a unui raport
asupra rezultatelor ob¸ tinute, a produsului realizat.
Etapele acestuia presupun direc¸ tionarea eforturilor elevilor în dou ˘a direc¸ tii: colectarea
datelor ¸ si realizarea produsului.
Printre cuno¸ stintele elevilor posibil de evaluat se pot enumera:
1. adecvarea metodelor de lucru;
2. folosirea corespunz ˘atoare a materialelor ¸ si a echipamentelor din dotare;
3. oferirea unei solu¸ tii corecte(rezolvarea de probleme);
4. realizarea cu acurate¸ te a produsului, din punct de vedere tehnic;
5. posibilitatea generaliz ˘arii problemei/solu¸ tiei;
6. prezentarea proiectului.
95

Proiectul ca instrument de evaluare poate lua forma unei sarcini de lucru individuale
sau de grup iar alegerea temei pentru proiect poate fi facut ˘a de c ˘atre profesor sau poate fi
algerea elevului. Strategia de evaluare a proiectului care este una de tip holistic, trebuie ca
ea s˘a fie clar definit ˘a prin criterii negociate sau nu cu elevii, astfel încât s ˘a favorizeze efortul
elevului în realizarea proiectului.
Portofoliul este o metod ˘a complemetar ˘a de evaluare ¸ si este din ce în ce mai des întâlnit ˘a în
practica ¸ scolar ˘a curent ˘a. Reprezint ˘a "cartea de vizita" a elevului, urm ˘arindu-i progresul de
la un semestru la altul, de la un an ¸ scolar la altul ¸ si chiar de la un ciclu ¸ scoalar la altul.
Are func¸ tia de a investiga produsele elevilor prezentând în acelasi timp un stimulent
pentru desf ˘a¸ surarea întregii variet ˘a¸ ti de activit ˘a¸ ti didactice. Portofoliu poate constitui par-
tea integrat ˘a a unei evalu ˘ari sumative sau a unei examin ˘ari prin complexitatea ¸ si boga¸ tia
informa¸ tiei pe care o furnizeaz ˘a, structurând activitatea elevului de-a lungul timpului.
Cel mai important este scopul pentru care este proiectat portofoliul pentru c ˘a acesta
determin ˘a ¸ si structura sa. Scopul este acela de a confirma faptul c ˘a ceea ce este cuprins în
obiectivele înv ˘a¸ t˘arii reprezint ˘a, de fapt, ceea ce ¸ stiu elevii. Pentru a determina scopul unui
portofoliu profesorul trebuie s ˘a r˘aspund ˘a mai întâi unor întreb ˘ari de tipul:
–care este con¸ tinutul(fapte, legi,teorii)?
–ce ar trebui elevii s ˘a fie capabili s ˘a fac ˘a?
–care sunt atitudinile pe care elevii ar trebui s ˘a le dezvolte în realizarea portofoliului?
Autoevaluarea are un rol esen¸ tial în întregirea imaginii elevului din perspectiva judec ˘a¸ tii de
valoare pe care o emite profesorul. Este foarte util ˘a formarea ¸ si exersarea la elevi a capacit ˘a¸ tii
de autoevaluare, ei au nevoie s ˘a ¸ stie cât mai multe lucruri depre personalit ˘a¸ tile lor, despre
ei în¸ si¸ si ¸ si despre manifest ˘arile lor comportamentale. Condi¸ tiile necesare pentru formarea
capcit ˘a¸ tii de autoevaluare la elevi sunt:
–prezentarea unei sarcini de lucru, a obiectivelor curriculare ¸ si de evaluare pe care tre-
buie s ˘a le ating ˘a elevii;
–incurajarea elevilor pentru a-¸ si pune întreb ˘ari legate de modul de rezolvare a unei sar-
cini de lucru ¸ si de efectele formative ale acesteia ¸ si pentru a r ˘aspunde în scris la acestea;
–stimularea evalu ˘arii în cadrul grupului;
–completarea la sfâr¸ situl unei sarcini de lucru importante a unui chestionar.
Pentru o evaluare cât mai concret ˘a ¸ si eficient ˘a am folosit atât itemi obiectivi, semiobiectivi
cât ¸ si cei subiectivi. Clasificarea itemilor, în func¸ tie de tipul de r ˘aspuns a¸ steptat ¸ si de gradul de
obiectivitate a not ˘arii, este urm ˘atoarea:
-itemi obiectivi sunt itemi cu alegere dual ˘a, itemi de tip pereche ¸ si itemi cu alegere multipl ˘a;
96

-itemi semiobiectivi sunt itemi cu r ˘aspuns scurt / de completare, întreb ˘ari structurate;
-itemi subiectivi sunt rezolvarea de probleme, eseul structurat sau liber.
Itemii de completat sunt itemii care solicit ˘a elevului oferirea unui r ˘aspuns scurt în tota-
litatea lui sau o parte component ˘a a unei afirma¸ tii, pentru ca acesta dobânde¸ ste sens ¸ si valoare de
adev ˘ar.
R˘aspunsul corect al unui item de completare este format din unul sau dou ˘a cuvinte, ca s ˘a
se încadreze în afirma¸ tia incomplet ˘a.
Pentru a proiecta un astfel de item spa¸ tiul liber trebuie s ˘a sugereze dac ˘a r˘aspunsul oferit
con¸ tine unul sau mai multe cuvinte.
Utilizarea itemilor de completare prezint ˘a urm ˘atoarele avantaje:
sunt folositori în a evalua cuno¸ stin¸ tele, verificând mai mult decât simpla recunoa¸ stere ¸ si
memorare;
solicit ˘a un anumit grad de coeren¸ t ˘a în relizarea r ˘aspunsului;
permit evaluarea unui mare de concepte, priceperi ¸ si deprinderi;
cerin¸ ta structurat ˘a ¸ si r ˘aspunsul scurt cerut evit ˘a influen¸ ta altor tipuri de abilit ˘a¸ ti;
nu cer mult timp de proiectare.
Utilizarea itemilor de completare prezint ˘a urm ˘atoarele dezavantaje:
nu sunt recomanda¸ ti pentru verificarea unor capacit ˘a¸ ti superioare;
împiedic ˘a dezvoltarea abilit ˘a¸ tiilor complexe;
utilizarea unui num ˘ar mai mare pentru fiecare con¸ tinut.
Itemi de tip pereche solicit ˘a elevii în a determina anumite coresponden¸ te, între cuvinte,
propozi¸ tii, fraze, numere, litere sau alte categorii de simboluri, distribuite pe dou ˘a coloane.
Elementele de pe prima coloan ˘a se numesc premise, formeaz ˘a enun¸ tul itemului, iar cele
din coloana a doua reprezint ˘a r˘aspunsurile. Înainte de a enun¸ ta cele doua coloane de premise ¸ si de
r˘aspunsuri trebuie s ˘a explic ˘am criteriile pe baza c ˘aruia stabilim r ˘aspunsul corect.
Folosim acest tip de itemi pentru a determina rela¸ tia dintre termeni – defini¸ tii, reguli –
exemple, simboluri – concepte, metode – exemplific ˘ari.
Proiectând acest tip de item putem folosi un num ˘ar inegal de r ˘aspunsuri sau de premise,
elevii s ˘a fie instrui¸ ti c ˘a un raspuns nu poate fi folosit sau poate fi folosit o dat ˘a sau de mai multe
ori.
Pentru a nu ghici r ˘aspunsul corect acestea pot fi aranjate într-o ordine logic ˘a(pot fi scrise
în ordine alfabetic ˘a sau cresc ˘ator/ descresc ˘ator pentru r ˘aspunsuri numerice).
Prezint ˘a ca avantaje ¸ si limite:
97

pot fi folosi¸ ti pentru un volum mare de rezulate, într-un interval redus, utilizând eficient
spa¸ tiul pe foile de notare, cât ¸ si utilizarea eficient ˘a a timpului profesorului la notare,
nu pot fi folosite pentru rezultate de înv ˘a¸ tare complex ˘a,
dificultatea în a construi liste de premise sau de r ˘aspunsuri care s ˘a fie omogene.
Itemii cu alegere multipl ˘asolicit ˘a elevul în alegerea unui r ˘aspuns dintr-o list ˘a de variante
oferite pentru un singur item. Acest item presupune existen¸ ta unei itreb ˘ari ¸ si a unei liste de variante
formate dintr-un r ˘aspuns corect ¸ si distractori .
Foloseim itemii cu alegere multipl ˘a pentru verificarea rezultatelor înv ˘a¸ t˘arii: cunoa¸ sterea
terminologiei, cunoa¸ sterea elementelor(formule, propriet ˘a¸ ti, reguli), cunoa¸ sterea metodelor, abili-
tatea de a aplica teoria în rezolvarea problemelor, abilitatea de a justifica alegerea metodelor ¸ si a
procedeelor folosite.
Prezint ˘a urm ˘atoarele avantaje ¸ si limite
Cu ajutorul itemilor cu alegere multipl ˘a vom verifica diferite rezultate ale înva ˘a¸ t˘arii, de la
no¸ tiuni simple, la cerin¸ te complexe. Utilizarea acestora este des folosit ˘a doarece a crescut
num˘arul de variante de la dou ˘a(adev ˘arat/fals) la patru sau mai multe, ceea ce scade modul
de "ghicire" a r ˘aspunsului corect.
Cu ajutorul acestei metode se pot construi itemi de slab ˘a calitate, necesit ˘a un timp mai mare
pentru elaborarea acestora, permit ghicirea r ˘aspunsului, pot afecta modul de înv ˘a¸ tare al ele-
vilor folosind utilizarea excesiv ˘a a acestora.
Rezolvarea de probleme este folosit ˘a în procesul de instruire de c ˘atre profesor propunând-
o la clas ˘a având scop în dezvoltarea creativit ˘a¸ tii, gândirii divergente, imagina¸ tiei, capacit ˘a¸ tii de a
genera o problem ˘a.
Pentru folosirea acestui item urm ˘arim: întelegerea problemei de rezolvat, colectarea in-
forma¸ tiilor pentru rezolvare, formularea ¸ si testarea ipotezelor, expunerea metodelor folosite în
rezolvarea problemei, redactarea unui raport privind rezultatele ob¸ tinute.
Itemul rezolvare de probleme trebuie s ˘a fie adaptat nivelului de vârst ˘a ¸ si de în¸ te-
legere al elevilor, poate fi utilizat individual sau în grup, trebuie sa fie corespunz ˘ator cu obiectivele
¸ si con¸ tinuturile disciplinei. Evaluarea cu ajutorul acestui item trebuie sa fie relevant, urm ˘arind
baremul de notare.
98

V .3 Rezultatele din posttest
LICEUL TEORETIC "CONSTANTIN NOICA " ALEXANDRIA
Lucrare scris ˘a
Disciplina Matematic ˘a
Clasa a XI-a A 07-VI-2017
Pentru rezolvarea corect ˘a a tuturor cerin¸ telor din Partea I ¸ si din Partea a II-a se acord ˘a 90 de
puncte. Din oficiu se acord ˘a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (40 de puncte)
1. Completa¸ ti spa¸ tiile puctate:
Fief:A!Ro func¸ tie de dou ˘a ori derivabil ˘a
5p a)feste ……………. pe A,f000
5p b)feste ……………. pe A,f000
Fief:A!Ro func¸ tie derivabil ˘a
5p c)feste convex ˘a peA,f0este ………… pe A
5p d)feste concav ˘a peA,f0este ………… pe A
10p 2. Stabili¸ ti coresponden¸ tele dintre func¸ tiile urm ˘atoare ¸ si intervalele pe care
aceste sunt concave:
A B
f(x) =x3+x(0;+1)
g(x) =ex+ 2x R
h(x) = lnx (1;0]
j(x) =x1
xR
10p 3. Func¸ tiaf:R!R; f(x) =x33×2+ 5este convex ˘a pe:
a)[0;1)b)[0;1)c)[1;1)d)(1;1]
Subiectul II (50 de puncte)
1. Fie func¸ tia f:R!R; f(x) =2x
x2+1.
20p a) S˘a se determine D;Df00.
10p b) S˘a se determine intervalele de convexitate, concavitate.
10p 2. S˘a se determine numarul real mpentru care func¸ tia
f:R!R; f(x) =ex(x+m)este convex ˘a pe[2;1).
10p 3. Consider ˘am numerele x;y2Rcux+y= 1. Ar˘ata¸ ti c ˘ax
1+x+y
1+y2
3
99

LICEUL TEORETIC "CONSTANTIN NOICA " ALEXANDRIA
Barem de corectare lucrare scris ˘a
07.VI.2017
Pentru orice solu¸ tie corect ˘a, chiar dac ˘a este diferit ˘a de cea din barem, se acord ˘a punc-
tajul corespunz ˘ator.
Nu se acord ˘a frac¸ tiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezol-
v˘ari par¸ tiale, în limitele punctajului indicat în barem.
Se acord ˘a 10 puncte din oficiu. Nota final ˘a se calculeaz ˘a prin împ ˘ar¸ tirea punctajului
ob¸ tinut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1.
a)feste convex ˘a 5p
feste concav ˘a 5p
b)f0cresc ˘atoare 5p
fdescresc ˘atoare 5p
2.f!(1;0] 2.5p
g!R 2.5p
h!R 2.5p
j!(0;+1) 2.5p
3.f00(x) = 6x6;f00(x) = 0)x= 1 5p
)feste convex ˘a pe intervalul [1;1) 5p
100

SUBIECTUL II (50 de puncte)
1.a)f0(x) =2(x2+1)2x
2x
(x2+1)2= 3p
=2×2+2
(x2+1)2 5p
)Df0=R 2p
f00(x) = (f0(x))0= 3p
=4x(x4+2×2+3)
(x2+1)4 5p
)Df00=R 2p
b)f00(x) = 0, 4x(x4+ 2×2+ 3) = 0, 2p
x4+ 2×2+ 3 = 0)x1;2=p
3 2p
x= 0 2p
Func¸ tiafeste convex ˘a pe[p
3;0][[p
3;+1) 2p
Func¸ tiafeste concav ˘a pe(1;p
3][[0;p
3) 2p
2.fconvex ˘a pe[2;+1))f00(x)0 1p
f0(x) =ex(xm+ 1) 2p
f00(x) =ex(x+m2) 2p
)x= 2m,
din tabelul de vari¸ tie avem fconvex ˘a pe[2m;1) 3p
Avem 2m= 2)m= 2 2p
3.f: (0;1)!R; f(x) =x
1+x
f0(x) =1
(x+1)2 2p
f00=2(x+1)
(x+1)4 3p
f00= 0)x2(1;1];f000¸ six2[1;1);f0003p
fconvex ˘a)f(x)+f(y)
2f(x+y
2) 1p
Înlocuind avemx
x+1+y
y+1
2f(x+y
2)
Luândx+y= 1avemx
x+1+y
y+12
31p
101

Tabela V .7: TABEL SINTETIC
LOT EXPERIMENTAL – ETAPA POSTTEST
Numele ¸ si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Oficiu Total Nota
1a 1b 1c 1d 2a 2b 3Sub. I 1a 1b 23Sub. II puncte final˘a
1. B.F.A. 5 5 5 5 5 510 40 8 – 5 10 55 5,50
2. B.M.F. 5 5 5 5 5 510 40 15 59- 29 10 79 7,90
3. I.A.V . 5 5 5 5 5 510 40 20 10 67 43 10 93 9,30
4. I.M.R. 5 5 5 5 5 510 40 10 52- 17 10 67 6,70
5. L.M.I. 5 5 5 5 5 510 40 18 773 35 10 85 8,50
6. M.D.A. 5 5 5 5 5 510 40 15 55- 25 10 75 7,50
7. M.M.F. 5 5 5 5 5 510 40 15 58- 28 10 78 7,80
8. M.R.E. 5 5 5 5 5 510 40 20 10 33 36 10 86 8,60
9. P.A.E. 5 5 5 5 5 510 40 16 55- 26 10 76 7,60
10. S.V .I. 5 5 5 5 5 510 40 20 10 44 38 10 88 8,80
11. Z.D.I. 5 5 5 5 5 510 40 10 7– 17 10 65 6,70
Tabela V .8: TABEL SINTETIC CU NOTELE ELEVILOR ¸ SI MEDIA CLASEI
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not˘a(xi) 5,5 7,9 9,3 6,7 8,5 7,5 7,8 8,6 7,6 8,8 6,7 84,9
x2
i 30,25 62,41 86,49 44,89 72,25 56,25 60,84 73,96 57,76 77,44 44,89 667,43
Media 7,72
102

Tabela V .9: Procent de realizare pe fiecare item în parte la lotul experimental test final
ITEM Subiectul I Subiectul II
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 3 1a) 1b) 2 3
Punctaj maxim 55 55 55 55 55 55 110 220 110 110 110
Punctaj realizat 55 55 55 55 55 55 110 164 69 49 17
Procent de realizare 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 74,54% 62,72% 44,55% 15,45%
Figura V .5: Distribu¸ tia notelor pe intervale de noteI-1a)
I-1b)
I-1c)
I-1d)
I-2a)
I-2b)
I-3)
II-1a)
II-1b)
II-2)
II-3)0102030405060708090100
ItemiProcente
103

Tabela V .10: TABEL SINTETIC
LOT DE CONTROL – ETAPA POSTTEST
Numele ¸ si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Oficiu Total Nota
1a 1b 1c 1d 2a 2b 3Sub. I 1a 1b 23Sub. II puncte final˘a
1. B.A.C. 5 5 5 5 5 510 40 15 4– 19 10 69 6,90
2. C.L.M. 5 5 5 5 5 510 40 13 5– 18 10 68 6,80
3. D.A.I. 5 5 5 5 5 510 40 5 – 5 10 55 5,50
4. D.C.S. 5 5 5 5 5 510 40 20 10 53 38 10 88 8,80
5. F.A.C. 5 5 5 5 5 510 40 20 5– 25 10 75 7,50
6. I.G. 5 5 5 5 5 510 40 20 51- 26 10 76 7,60
7. M.C.M. 5 5 5 5 5 510 40 20 53- 28 10 78 7,80
8. M.O.A. 5 5 5 5 5 510 40 20 10 33 36 10 86 8,60
9. N.N.M. 5 5 5 5 5 510 40 20 63- 29 10 79 7,90
10. P.E.D. 5 5 5 5 5 510 40 10 4– 14 10 64 6,40
11. S.R.C. 5 5 5 5 5 510 40 20 10 84 42 10 92 9,20
Tabela V .11: TABEL SINTETIC CU NOTELE ELEVILOR ¸ SI MEDIA CLASEI
Nr. lucrare 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
Not˘a(xi) 6,9 6,8 5,8 8,8 7,5 7,6 7,8 8,6 7,9 6,4 9,2 83
x2
i 47,61 46,24 33,64 77,44 56,25 57,76 60,84 73,96 62,41 40,96 84,64 641,75
Media 7,54
104

Tabela V .12: Procent de realizare pe fiecare item în parte la lotul experimental test final
ITEM Subiectul I Subiectul II
1a) 1b) 1c) 1d) 2a) 2b) 3 1a) 1b) 2 3
Punctaj maxim 55 55 55 55 55 55 110 220 110 110 110
Punctaj realizat 55 55 55 55 55 55 110 183 64 23 10
Procent de realizare 100% 100% 100% 100% 100% 100% 100% 83,18% 58,18% 20,91% 10%
Figura V .6: Distribu¸ tia notelor pe intervale de noteI-1a)
I-1b)
I-1c)
I-1d)
I-2a)
I-2b)
I-3)
II-1a)
II-1b)
II-2)
II-3)0102030405060708090100
ItemiProcente
105

Figura V .7: Distribu¸ tia notelor pe intervale de notare
4-4.995-5.996-6.997-7.998-8.999-9.9910024
lot experimental
Figura V .8: Distribu¸ tia notelor pe intervale de notare
4-4.995-5.996-6.997-7.998-8.999-9.9910024
lot de control
s2
E=667;437208;01
11
10=667;43655;27
10=12;16
10= 1;216
s2
C=641;756889
11
10=641;75626;27
10=15;48
10= 1;548
Abaterea standard este r ˘ad˘acina p ˘atrata pozitiv ˘a a dispersiei. Dispersia ¸ si abaterea stan-
dard m ˘asoar ˘a variabilitatea datelor fa¸ t ˘a de medie.
sE=q
s2
E=p
1;216 = 1;10
106

sC=q
s2
C=p
1;548 = 1;24
Pentru lotul experimental m= 7,72 ¸ sisE= 1,12 de unde rezult ˘a intervalul (msE;m+
sE) = (6;62; 8;82). Acest lucru înseamn ˘a c˘a 9 din 11 elevi au ob¸ tinut rezultate în intervalul
(6,62;8,82), adic ˘a81;82%. Gradul de omogenitate al e¸ santionului a crescut.
Pentru e¸ santionul de control m= 7,54 ¸ sisC= 1,24 de unde rezult ˘a intervalul (m
sC;m+sC)= (6,31;8,78). Acest lucru înseamn ˘a c˘a 8 din 11 elevi au ob¸ tinut rezultate în intervalul
(6,31;8,78), adic ˘a72;72%. Se observ ˘a o cresteremai mic ˘a fa¸ t˘a de cea a e¸ santionului experimental.
107

I-1a I-1b I-1c I-1d I-2a I-2b I-3 II-1a II-1b II-2 II-30102030405060708090100100 100 100 100 100 100 100
75
61
45
15100 100 100 100 100 100 100
83
58
21
10
Procent (%)Figura 6.9. – Graficul cu privire la rezolvarea itemilor – test final
Procent lot experimental Procent lot de control
108

Capitolul VI
COMPARAREA ¸ SI ITERPRETAREA
STATISTIC ˘A A DATELOR OB ¸ TINUTE
VI.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din posttest
În etapa de evaluare se înregistreaz ˘a ¸ si se m ˘asoar ˘a rezultatele experimentului. Pe baza lor
se stabilesc diferen¸ tele dintre e¸ santioane, între datele înregistrate în pretest ¸ si cele consemnate în
posttest.
VI.1.1 E¸ santion experimental versus de control, în pretest
Tratarea comparativ ˘a a rezultatelor celor dou ˘a e¸ santioane, în pretest, indic ˘a reparti¸ tia
elevilor pe intervale de note.
Astfel, se observ ˘a c˘a lotul experimental înregistreaz ˘a un num ˘ar mai mare de note în in-
tervalele 4-4,99 ¸ si 9-9,99, iar lotul de control în intervalul 6-7,99, în rest num ˘arul de note este
distribuit în mod egal.
În etapa constatativ ˘a, cele dou ˘a loturi sunt în aceea¸ si m ˘asur˘a omogene, lucru reflectat ¸ si
de diferen¸ ta mic ˘a dintre mediile celor dou ˘a loturi.
Procentual aceast ˘a situa¸ tie este reprezentat ˘a în figura de mai jos VI.1.1.
VI.1.2 E¸ santion experimental versus de control, în posttest
Tratarea comparativ ˘a a rezultatelor celor dou ˘a e¸ santioane, în posttest, indic ˘a reparti¸ tia elevilor
pe intervale de note.
Astfel, se observ ˘a c˘a lotul experimental înregistreaz ˘a un num ˘ar mai mare de note în inter-
valele 8-8,99, iar lotul de control în intervalul 6-6,99, în rest num ˘arul de note este distribuit în mod
109

Figura VI.1: Grafic comparativ
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99024
lot experiment-test ini¸ tial
lot de control-test ini¸ tial
Figura VI.2: Rezultatele comparative ale e¸ santioanelor dup ˘a testul ini¸ tial- intervale de notare
4-4.99 6-6.99 8-8.99024
12 23
2
1
0234
2
0Num ˘ar elevi
lot experiment-test ini¸ tial lot de control-test ini¸ tial
Figura VI.3: Graficul procentual al notelor
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
918 1828
18
9
0182737
18
0
Procente (%)
lot experiment-test ini¸ tial lot de control-test ini¸ tial
110

Figura VI.4: Grafic comparativ
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
lot experiment-test final
lot de control-test final
egal, media ob¸ tinut ˘a în posttest de lotul experimental fiind mai mare decât cea ob¸ tinut ˘a de lotul de
control.
Num ˘arul de note pe interval pentru cele dou ˘a clase este în mare m ˘asur˘a egal în posttest.
Cele dou ˘a loturi difer ˘a îns ˘a ca omogenitate.
Figura VI.5: Rezultatele comparative ale e¸ santioanelor dup ˘a testul final- intervale de notare
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
124
3
1 134
2
1Num ˘ar elevi
lot experiment-test final lot de control-test final
Procentual aceast ˘a situa¸ tie este reprezentat ˘a în figura de mai jos VI.1.2.
111

Figura VI.6: Graficul procentual al notelor
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
91837
27
9 92737
18
9
Procente (%)
lot experiment-test final lot de control-test final
VI.1.3 E¸ santion experimental în pretest, versus e¸ santion experimental în
posttest
Tratarea comparativ ˘a a rezultatelor e¸ santionului experimental, pretest versus posttest, indic ˘a repar-
ti¸ tia elevilor pe intervale de note.
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
lot experiment-test ini¸ tial
lot experiment-test final
Astfel, se observ ˘a c˘a lotul experimental înregistreaz ˘a, în mod egal, o sc ˘adere a num ˘arului
de elevi în intervalul 4-5,99 ¸ si o cre¸ stere în intervalul 7-8,99, în rest num ˘arul de note este distribuit
în mod egal.
Ca urmare, media ob¸ tinut ˘a în posttest este mai mare decât cea ob¸ tinuta în pretest, înregis-
trând o cre¸ stere de 0,47. Cre¸ ste gradul de omogenitate al lotului.
Se observ ˘a c˘a diferen¸ ta dintre mediile lotului în posttest ¸ si pretest se accentueaz ˘a în fa-
voarea lotului experimental, ceea ce confirm ˘a ipoteza enun¸ tat ˘a la început.
112

Figura VI.7: Rezultatele comparative ale e¸ santioanului exprimental dup ˘a cele dou ˘a teste – intervale
de notare
4-4.99 6-6.99 8-8.991234
12 23
2
1 124
3
1Num ˘ar elevi
lot experiment-test ini¸ tial lot experiment-test final
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
91837
27
9
0182737
18
0
Percente (%)Grafic procentual al notelor pe intervale de notare
lot experiment-test ini¸ tial lot experiment-test final
VI.1.4 E¸ santion control în pretest, versus e¸ santion control în posttest
Tratarea comparativ ˘a a rezultatelor e¸ santionului de control, pretest versus posttest, indic ˘a
reparti¸ tia elevilor pe intervale de note.
Astfel, se observ ˘a c˘a lotul de control înregistreaz ˘a, în mod egal, o scadere a num ˘arului de
elevi în intervalul 5-5,99 ¸ si o crestere în intervalul 9-9,99, în rest num ˘arul de note este distribuit în
mod egal.
113

Ca urmare, media ob¸ tinut ˘a în posttest înregistreaz ˘a o cre¸ stere de 0,27 fa¸ t ˘a de cea ob¸ tinut ˘a
în pretest, gradul de omogenitate are o cre¸ stere mic ˘a.
Figura VI.8: Rezultatele comparative ale e¸ santioanului de control dup ˘a cele dou ˘a teste – intervale
de notare
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99024
234
2
0134
2
1Num ˘ar elevi
lot de control-test ini¸ tial lot de control-test final
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
182737
18
092737
18
9
Procente (%)Grafic comparativ al notelor pe intervale de notare
lot de control-test ini¸ tial lot de control-test final
114

5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99024
lot de control-test initial
lot de control-test final
VI.2 Concluzii desprinse în urma interpret ˘arilor ¸ si
compara¸ tiilor
Analizând ¸ si interpretând rezultatele ob¸ tinute se obsev ˘a o direc¸ tie pozitiv ˘a de ameliorare a
rezultatelor ¸ scolare ale elevilor, mai ales de c ˘atre lotul experimental.
În urma experimentului f ˘acut pe cele dou ˘a loturi de elevi ai clasei a XI-a am conturat
urm˘atoarele concluzii:
media pe clas ˘a a lotului experimental a crescut cu 0,47 de la 7,25 la 7,72. To¸ ti elevii având
note mai mari decât 5 ceea ce se deduce c ˘a minimul de cuno¸ stin¸ te ¸ si l-au însu¸ sit.
media lotului de control a înregistrat o u¸ soar ˘a cre¸ stere a mediei cu 0,27 de la 7,27 la 7,54.
Notele elevilor înregistreaz ˘a o cre¸ stere în intervalul 9-9.99 ¸ si o sc ˘adere în intervalul 5-5.99,
în rest p ˘astrându-se în mod egal, lucru care este explicabil ¸ si prin diversificarea mijloace-
lor de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si a metodelor de predare, folosind metode moderne, activ-participative,
prezentate anterior.
VI.3 Direc¸ tii ¸ si perspective ulterioare de abordare a temei
Prin folosirea mijloacelor moderne în înv ˘a¸ tare elevii au fost antrena¸ ti în rezolvarea exerci¸ tiilor
¸ si to¸ ti au obb ¸inut rezultate mai bune. Folosirea acestora duce la însu¸ sirea cuno¸ stin¸ telor aproape în
totalitate de c ˘atre to¸ ti elevii.
Procesului de predare-înv ˘a¸ tare a matematicii este influen¸ teaz ˘a modul profesorului cum
conduce acest proces, de felul cum sunt orienta¸ ti elevii s ˘a poat ˘a în¸ telege, descoperi ¸ si aplica cu-
no¸ stin¸ te, priceperi ¸ si deprinderi, de felul cum sunt apoi evaluate ¸ si corectate (unde este cazul)
cuno¸ stin¸ tele însu¸ site.
115

Experien¸ ta didactic ˘a ¸ si de via¸ t ˘a a ar ˘atat de altfel c ˘a succesul nu poate fi cu precizie deter-
minat în spa¸ tiu ¸ si timp, ¸ si c ˘a nimic din ceea ce facem în via¸ t ˘a nu r ˘amâne f ˘ar˘a un rezultat (pozitiv sau
negativ). A¸ sadar munca pe care o depunem ast ˘azi pentru ¸ si împreun ˘a cu un copil î¸ si va cunoa¸ ste
roadele în timp.
116

CONCLUZII FINALE
Probabil no¸ tiunea de convexitate nu este la fel de veche ca cea a numerelor, dar prin
figurile elementelor geometrice de baz ˘a, cum ar fi cercurile sau triunghiurile, revine la începutul
civiliza¸ tiei umane, fiind deja luat ˘a în considerare de filozofii grecii.
Convexitatea este o no¸ tiune de baz ˘a în geometrie, dar este, de asemenea, utilizat ˘a pe scar ˘a
larg˘a în toate domeniile ale matematicii: analiza func¸ tional ˘a, analiza complex ˘a, calculul varia¸ tiilor,
teoria graficelor, ecua¸ tiile par¸ tiale diferen¸ tiale, matematica discret ˘a, geometria algebric ˘a, teoria
probabilit ˘a¸ tilor ¸ si multe altele.
Convexitatea joac ˘a un rol important ¸ si în domenii în afara matematicii, cum ar fi fizica,
chimia, biologia ¸ si alte ¸ tiin¸ te, dar este în afara sferei de aplicare a acestei lucr ˘ari studiului acestor
aplica¸ tii.
Sper ˘a c˘a, cei care citesc aceast ˘a lucrare au fost stimula¸ ti în cercetarea aspectului convexi-
t˘a¸ tii pe cont propriu.
În realizarea acestei lucr ˘ari, am urm ˘arit s ˘a demonstrez c ˘a abordarea acestei teme contri-
buie la preg ˘atirea profesorului cât ¸ si la cre¸ sterea eficien¸ tei activit ˘a¸ tii acestuia în munca la clas ˘a.
De asemenea realizarea acestei lucr ˘ari reprezint ˘a punctul de plecare a unor recomand ˘ari
pe care le urm ˘aresc:
1. recalcularea raportului teoretic – practic în procesul instructiv-educativ;
2. programe educative care s ˘a se bazeze pe dezvoltarea de competen¸ te ¸ si pe evaluarea compe-
ten¸ telor;
3. expunerea de concep¸ tii moderne privind proiectarea ¸ si implementarea curriculumului;
4. apari¸ tia unei concep¸ tii noi despre managementul timpului ¸ scolar;
5. u¸ surarea metodelor de lucru ¸ si posibilitatea pred ˘rii în echip ˘a.
Ca o modalitate suplimentar ˘a de însu¸ sire a cuno¸ stin¸ telor, tema acestei lucr ˘ari se poate
desf˘a¸ sura în cadrul unui op¸ tional dedicat func¸ tiilor convexe/cancave.
Sper ca pe viitor elevii vor folosi cuno¸ stin¸ tele matematice înv ˘a¸ tate ¸ si în alte domenii in
care î¸ si au aplicabilitatea, ei se vor orienta mai bine în intelegerea ¸ si în rezolv ˘arile problemelor
117

concrete pe care le vor întâlni în via¸ ta real ˘a. Datotit ˘a faptului c ˘a înteleg anumite no¸ tiuni complexe,
gândirea lor devine mai p ˘atrunz ˘atoare.
Deprinderile pe care ¸ si le formeaz ˘a vor fi folosite sub diferite forme, oricare ar fi alegerile
lor viitoare.
118

Bibliografie
[1] *** Legea Educa¸ tiei nr. 1/2011
[2] *** OM nr. 5561/2011 Metodologia privind formarea continu ˘a personalului din ˆnv˘a¸ t˘amântul
preuniversitar
[3] *** Programe ¸ scolare pentru clasele IX-XII
[4] *** Suport curs MATEDIDACTICA "Oportunit ˘a¸ ti pentru o carier ˘a didactic ˘a de calitate
printr-un program na¸ tional de formare continu ˘a a profesorilor de matematic ˘a din înv ˘a¸ t˘amân-
tul preuniversitar"
[5] *** Colec¸ tia Gazeta Matematic ˘a
[6] J. M. Borwein-Q. J. Zhu, (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer.
[7] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, (1987), Th eorie et Aplication, Masson.
[8] I. Cerghit, (1988), Mijloace de înv ˘a¸ t˘amînt ¸ si strategii didactice, în: Cerghit Ioan, Vl ˘asceanu
Laz˘ar (coord.), Curs de pedagogie, p. 203, Tipografia Universit ˘a¸ tii, Bucure¸ sti.
[9] L. Galvani, (1916), Sulle funzioni converse di una o due variabili definite in aggregate qua-
lunque, Rend. Circ. Mat. Palermo 41.
[10] J. L. W. V . Jensen, (1906), Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyen-
nes, Acta Math. 30.
[11] C. P. Niculescu-L.E. Persson, (2006), Convex Functions and Their Applications A Contem-
porary Approach, Springer.
[12] C.L. Oprea, (2009),Strategii didactice interactive, E.D.P..
[13] T. Popoviciu, (1965),Sur certaines inegalites qui caracterisent les fonctions convexes, Analele
Stiintifice Univ. Al. I. Cuza, Iasi, Sectia Mat.11.
[14] D. Potolea, (1989), Profesorul ¸ si strategiile înv ˘a¸ t˘arii, Editura Academiei Române.
119

[15] T. R ˘adulescu, (2009), V . R ˘adulescu, T. Andreescu , Problems in real analysis: Advanced
calculs on the real axis, Springer.
[16] L. J. Rogers, (1888), An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of Math.
17.
[17] O. Stolz, (1893), Grunz uge der Differential und Integralrechnung, V ol. 1,Teubner, Leipzig.
[18] M. R. Taskovic, (2012), Mathematica Moravica: Inequalities of General Convex Functions
and Applications, Beograd.
[19] A. Stoica-S. Mustea¸ t ˘a, (1997), Evaluarea rezultatelor ¸ scolare, Chisin ˘au.
[20] A. Stoica – coordonator, (2001), Evaluarea curent ˘a ¸ si examenele, Bucure¸ sti.
[21] R. V . Fairbrother, J. R. Watson, A. T. Jones, (1992), Open Work in Science. Inset for investi-
gation, University of London.
120

ANEXA A – Fragment din planicarea calendaristic a clasei a XI – a ^ n care apar noi unile de convexitate/concavitate
Unitatea Competent e specice Cont inuturi Nr. S ap. Obs.
de ^ nv at are ore
1.Caracterizarea unor  siruri  si funct ii Funct ii derivabile pe un interval:
utiliz^ and reprezentarea geometric a a unor puncte de extrem ale unei
cazuri particulare. funct ii.
2.Interpretarea unor propriet at i ale  sirurilor Teorema lui Fermat, teorema
 si ale altor funct ii cu ajutorul reprezent arilor Rolle. Interpretare geometric a.
grace. Teorema Lagrange, interpretarea
3.Aplicarea unor algoritmi specici calculului lor geometric a, consecint e ale
diferent ial ^ n rezolvarea unor probleme  si teoremei lui Lagrange: derivata
modelarea unor procese. unei funct ii ^ ntr-un punct.
4.Exprimarea cu ajutorul not iunilor de limit a, Regulile lui l'Hospital. Aplica ctii
continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor Rolul derivatei I ^ n studiul
propriet at i cantitative  si calitative ale unei funct iilor:puncte de extrem,
funct ii. monotonia funct iilor. Aplicat ii.
5.Studierea unor funct ii din punct de vedere Rolul derivatei a II-a ^ n studiul
cantitativ si calitativ utiliz^ and diverse funct iilor: concavitate,
procedee: major ari, minor ari pe un interval convexitate, puncte de in
exiune. 16
dat, propriet at ile algebrice  si de ordine ale Aplicat ii
mult imii numerelor reale ^ n studiul calitativ Evaluare
local, utilizarea reprezent arii grace a unei Ore la dispozit ia profesorului
funct ii pentru vericarea unor rezultate  si
pentru identicarea unor propriet at i.
6.Explorarea unor propriet at i cu caracter
local si/sau global ale unor funct ii utiliz^ and ,
continuitatea derivabilitatea sau reprezentarea
grac a.

ANEXA B – PROIECTUL UNIT AT  II DE ^INVAT  ARE
Unitatea de ^ nv at are: DERIVABILITATE Nr. ore alocate: 6 ore Clasa: a XI-a
Cont inuturi Competent e specice Activit at i de ^ nv at are Resurse Evaluare Obs.
1. Rolul derivatei 1. Caracterizarea unor funct ii – Intervalele de monotonie Sarcini -observarea
I ^ n studiul utiliz^ and reprezentarea ale unei funct ii, reprezint a diferent iate; sistematic a a
funct iilor – puncte geometric a a unor cazuri intervalele pe care derivata ^  si elevilor
de extrem particulare; p astreaz a semnul conform Manual;
2. Rolul derivatei 2. Interpretarea unor teoremei lui Fermat -analiza
I ^ n studiul propriet at i ale funct iilor cu – punctele de extrem sunt Fise de lucru modului de
funct iilor – ajutorul reprezent arilor printre punctele critice lucru
monotonia grace; Pentru a determina intervalele Metoda aprecierea
3. Rolul derivatei 3. Aplicarea unor algoritmi de monotonie ale unei funct ii ^ nv at  arii pe r spunsurilor
I-a ^ n studiul specici calculului diferent ial deriavbile: grupe;
funci ilor – ^ n rezolvarea unor probleme; – se determina derivata f0pe
aplicat ii 4. Exprimarea cu ajutorul domeniulDal luif ^ nv at area
4. Rolul derivatei not iunilor de limit a, – se rezolv a ^ n Recuat ia prin -vericarea
a II-a ^ n studiul continuitate, derivabilitate, a f0(x) = 0;x2D cooperare; temei pentru
funci ilor – monotonie, unor propriet at i , determinand punctele critice acas a
concavitate, cantitative  si calitative ale -intervalele pentru care f0conversat ie
convexitate unei funct ii; ^  si p astreaz a semnul constant euristic a;
5. Rolul derivatei 5. Utilizarea reprezent arii reprezint a intervalele de manual;
a II-a^ n studiul grace a unei funct ii pentru monotonie
funct iilor-puncte vericarea unor rezultate  si Pentru a determina intervalele
de in
exiunel pentru identicarea unor de convexitate(concavitate)
6. Aplicat ii ^ n propriet at i; trebuie s a:
studiu prop. 6. Determinarea unor -determin am f00(x)
diverselor funct ii. optimuri situat ionale prin – se rezolv a ^ n Recuat ia
Exercit ii 3h aplicarea calculului diferent ial f00(x) = 0;x2Ddeterminand
7. Evaluare ^ n probleme practice. intervalele pentru care f00^  si
pastreaz a semnul.

Proiect de lec ție

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii.
Disciplina : Matematică. Analiză matematică.
Unitatea de învățare : Reprezentarea grafică a funcțiilor
Titlul lecției : Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor
Tipul lecției : Lecție de comunicare / însușire de noi cunoștințe
Clasa : a XI – a A – 1 oră
Data : 2 .05.2017
Anul școlar : 2016 – 2017
Competențe generale :
1. Folosirea terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice în rezolvarea de probleme
4. Exprimarea și redactarea coerentă în limbaj formal sau în limbaj cotidian, a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a une i probleme
5. Analiza de situații -problemă în scopul descoperirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor
6. Generalizarea unor propri etăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin generalizarea algoritmilor
Competențe specifice:
1.Caracterizarea unor șiruri și funcții utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare
2.Interpretarea unor proprietăți ale șirurilor și ale altor funcții cu ajutorul reprezentărilor grafice.
3.Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme și modelarea unor procese
4.Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitat e, derivabilitate, monotonie, a unor proprietăți cantitative și calitative ale unei
funcții

5.Studierea unor funcții din punct de vedere cantitativ și calitativ utilizând diverse procedee: majorări, minorări pe un inter val dat,
proprietățile algebrice și d e ordine ale mulțimii numerelor reale în studiul calitativ local, utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru
verificarea unor rezultate și pentru identificarea unor proprietăți
6.Explorarea unor proprietăți cu caracter local și/ sau global ale unor funcții utilizând continuitatea, derivabilitatea sau reprezentarea grafică
Obiective afective: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:
1. Să conștientizeze prezența unor exigențe referitoare la noțiunile teoretice re feritoare la rolul derivatei a doua.
2. Să-și perfecționeze automatismele de lucru, conducerea raționamentelor și a calculelor, formate în mod voluntar, prin participar ea activă.
3. Să-și dezvolte capacitatea de reflecție și de formulare a concluziilor ref eritoare la sensul lecției desfășurate.
Obiective psihomotorii: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției, fiecare elev va fi capabil:
1. Să aducă unele completări exercițiilor propuse în fișa de lucru .
2. Să utilizeze corect notațiile, convențiile de reprezentare și denumirile specifice limbajului matematic științific, în rezolv area exercițiilor.
3 .Să-și dezvolte capacitățile rezolutive, perseverența, capacitatea de modelare, atenția, gândirea logică inde pendentă și rapidă, imaginația,
intuiția superioară, spiritul de observație și de comparare, capacitatea de reflecție, capacitatea de deducție, de inducție ș i de analogie,
capacitatea de analiză și de sinteză, modul de exprimare orală și scrisă.
Obiective educative: Pe parcursul activității și la sfârșitul lecției, fiecare elev va fi capabil:
1 Să-și formeze unele de prinderi de muncă intelectuală.
2 Să-și dezvolte gândirea critică, dobândirea de experiență și simțul realității.
3 Să-și dezvolte deprinderile de comunicare.
Strategia didactică:
Metode: conversația, expunerea, explicația, modelarea, observația, exercițiul, demonstrația, munca elevilor cu manualul și cu alte surse de
inforare și de învățare, brainstorming, problematizarea, descoperirea, metoda a ctivității pe bază de fișe, S -V-A, analiza, sinteza, reflecția.
Mijloace de învățământ: Fișa de lucru de tip S -V-A, pentru aplicarea metodei / tehnicii ,,Ști u – Vreau să știu – Am învățat”, Tabla, marker
negru/verde.
Bibliografie : Burtea, M., Burtea, G. – Matematică. Manual pentru clasa a XI -a M1, Editura Carminis, Pitești, 2006;

Nr.
crt Etapele
lectiei Ob.
Op. Activitatea
profesorului Activitatea
elevului
Resurse
materiale Resurse
metodo –
logice Resurse
proce –
durale Evaluarea
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 Moment
organi –
organi zatoric
(2-3m (1 -2 min)
in) O. 2
O. 3
-Organize ază clasa
pentru lecție și
captează atenția
elevilor prin aranjarea
mate rialelor;
-Verifică prezența
elevilor la ora de
curs. – Se pregătesc pentru lecție .
Conversația Activitate
frontală și
individual
ă Evaluarea
formativă:
-metoda
chestionării
orale;
2 Verificarea
temei pentru
acasă
(4min) O.1,
O.2,
O.3,
O.4.
. -Verifică frontal
temele;
-Verifică rezultatele
obținute de către
elevi.
-Prezintă rezultatul
teoretic din anexă
(Anexa 1) – Prezintă temele pentru acasă
la control și verifică rezultatele
obținute.
-Se pregătesc pentru rezolvarea
exercițiilor propuse. Manualul
Culegerea
de
exerciții și
probleme Conversația
Observația
Activitate
frontală,
în perechi
și
individ ual
ă Evaluarea
formativă:
-metoda
chestionării
orale;
–
autoevaluar
ea elevilor,
interevaluar
ea;
3 Asigurarea
conexiunii
inverse
(6 min) O. 1
O. 2
O. 5
-Aplică un test
pentru verificarea și
evaluarea
cunoștințelor
referitoa -re la studiul
derivatei I.

-Rezolvă în mod independent.
Derivați următoarele funcții:
(R1)
(R2)
Tabla,
marker.
Exercițiul Activitate
frontală,
în două
grupe de
elevi (R1,
R2) și
individual
ă Test
pedagogic

4 Informarea
elevilor
asupra
obiectiv elor
propuse
(2min) O.1,
O.2,
O.3,
O.4. – Scrie pe tablă titlul
lecției:
,,Rolul derivatei a
doua în studiul
funcțiilor”
– Enunță obiectivul
fundamental al
lecției;
-Prezintă succint
celelalte obiective
propuse. Ascultă expunerea profesorului
și notează titlul lecției.

– Împart fișele de lucru S – V –
A
de sistematizare a cunoștințelor
din conținutul lecției.
Tabla,
marker

Caietele
elevilor
Fișe de
lucru
S-V-A Expunerea

Conversația

Sinteza
Activitate
frontală
și
individual
ă Observarea
sistematică.
5 Prezenta rea
noului
conținut
(6 min)
O.1,
O.2,
O.3,
O.4.
– Profesorul prezintă
câteva observații
referitoare la modul
de completare a
fișelor de lucru de tip
S-V-A. -Ascultă explicația
profesorului.

-Prezentarea exercițiilor și a
cerințelor de rezolvare: Fișe de
lucru
S-V-A Expunerea

Explicația
Observația
Modelarea
Problemati –
zarea
Descoperi –
rea
Conversația Activitate

frontală și

individual
ă Observarea
sistematică
6 Intensifica –
rea retenției
și a
transferului
(8-10 min) O.2,
O.3,
O.4,
O.5. -Definește
convexitatea și
concavitatea;

– Prezintă determinarea
intervalelor de
convexitate și
concavitate utilizând
semnul derivatei a doua;

-Facilitează învățarea
:

1) Exemplul 1 : Să se
determine intervalele – Ascultă expunerea
profesorului, observă detaliile
conținutului teoretic al lecției,
analizează și sintetizează,
coordonați de către profesor;
-Notează explicațiile de la
tablă, referitoare la studiul
convexității și concavității din
fișa de lucru ;

-elevul 1:
,12 3)(2 x xf iar
x xf 6)(
; Ecuația
0)(xf
are soluția x=0.
Fișa de
lucru
S-V-A

Tabla și
marker

Caietele
elevilor

Expunerea

Modelarea

Observația

Analiza
Activitate
frontală și
individual
ă Evaluarea
formativă:

-metoda
chestio –
nării orale;

-observarea
sistematică;

-aprecierea
corectitudin
ii

de convexitate și
concavitate a funcției

x xxfR Rf 12 )(, :3 

Rezolvare : Funcția f
este de două ori
derivabilă pe R

=Prezintă
determinarea
punctelor de
inflexiune.

Exemplul 2 :
Determinați punctele
de inflexiune pentru
următoarea funcție:

R Rf:
, -elevul 2:
Tabelul de variație
-Elevii notează pe caiete
etapele stabilirii intervalelor de
convexitate și concavitate:
I. Se calculează derivatele
f ,
respectiv
f a funcției f.
II. Se rezolvă ecuația
0)(xf
.
III. Se determină semnul
funcției
f pe intervalele pe
care aceasta nu se anulează și
se trec datele în tabel.
IV. Se stabilesc intervalele de
convexitate și concavitate în
funcție de semnul derivatei
f
.
-Notează explicațiile de la
tablă, referitoare la
detreminarea punctelor de
inflexiune.
-elevul 1:
I. Calculăm
12)(2
xxxf și
2 22
)1 (2 2)(
xxxf

II. Rezolvăm ecuația
02 2 0)(2 x xf

1 ,12 1 x x

III. Studiem semnul funcției
f

Fișa de
lucru
S-V-A

Tabla și
marker

Sinteza

Exercițiul

Explicația

Problemati –
zarea

Metoda
activității pe
bază de fișe

Algoritmi –
zarea

Reflecția răspunsurilo
r;

-verificarea
caietelor
elevilor;

-verificarea
activității
elevilor cu
fișele de
lucru;

-verificarea
corectitudin
ii
calculelor și
a
rezultatelor;

–
autoevaluar
ea
elevilor;

)1 ln()(2 x xf

Tabelul de variație
IV. Din tabel rezultă că funcția
f este concavă pe intervalul ( –
, -1) și pe intervalul (1, ) și
este convexă pe intervalul ( -1,
1). Punctele x = -1 și x = 1 sunt
puncte de inflexiune pentru
funcția f.
7 Intensi –
ficarea
retenției,
asigura – rea
tran-
sferului și
obținerea de
perfor –
manță
(15min) O.2,
O.3,
O.4,
O.5. – Antrenează elevii în
activități diferentiate,
centrate pe elevi,
pentru a rezolva
exercițiile din rubrica
,,Vreau să știu” și
problemele 16, 17 de
la rubrica ,,Am
învățat”.

Exemplul 3 :
Determinați punctele
de inflexiune pentru
următoarea funcție:

R Rf:
,
)6 4 ( )(2 x xexfx

– Îndrumă, coordo –
nează în mod diferen –
țiat activitatea;
– Rezolvă exercițiile propuse
în fișele de lucru și în caiete, în
mod independent, după
explicația profesorului, pentru:
a)Înțelegerea datelor
problemei:

I.Calculăm
)2 2 ( )(2 x xexfx
și
2)( xexfx

II.Rezolvăm ecuația
0 0 0)(2 x xe xfx

III. Studiem semnul funcției
f

Tabelul de variație
IV. Din tabel rezultă că funcția
f este convexă pe R. Funcția f
nu are puncte de inflexiune
deoarece rămâne convexă pe
tot Caietele
elevilor

Portofolii

Fișa de
lucru
S-V-A

Exercițiul

Observația

Problema –
tizarea
Învățarea
prin des –
coperire

Explicația

Observația
Exercițiul

Me
toda
activității pe
bază de fișe
Activitate
frontală și
individual
ă Evaluarea
formativă și
normativă:
-metoda
exercițiului;
-metoda
chestionării
orale;
-observarea
sistematică;

–
autoevaluar
ea elevilor;
-verificarea
corectitudin
ii
rezultatelor;

-Adresează întrebări
ajutătoare elevilor;

-Observă și evaluează
activitatea elevilor. domeniul de definiție (derivata
a doua nu își schimbă semnul).
b)Aplicare și exersare:
Ex. 1 -15
c)Aprofundare si performanta
Ex. 16, 17
Caietele
elevilor

Problemati –
zarea
8 Asigurarea
conexiunii
inverse
(2 min) O.1,
O.2,
O.3,
O.4. – Cere elevilor să facă
o analiză a erorilor .

– Solicită elevilor să
rezolve și să
compună probleme
asemănă -toare, ca
munc ă inde-pendentă
.
– Prezintă și analizează erorile
frecvente.

– Rețin recomandarea
profesorului.
Caietele
elevilor

Portofolii

Expunerea
Conversația
Observația
Analiza
Sintaza
Învățarea
prin desco –
perire Activitate
frontală și
individual
ă –
chestionarea
orală;
-observarea
sistematică;
-verificarea
rezultatelor
și a
portofoliilor
elevilor;
9 Asigurarea
retenției și a
transferului
de
cunoștințe
(2 min) O.1,
O.2,
O.3,
O.4.
– Tema pentru acasă:
Se vor propune spre
rezolvare ca temă
pentru acasă,
exercițiile rămase
nerezolvate din fișa
de lucru. – Notează tema pentru acasă. Portofolii

Expunerea

Conversația

Observația Activitate
frontală și
individual
ă -metoda
chestionării
orale;

-observarea
sistematică.
10 Finalizarea
activității
(1 min) O.3,
O.4 – Încheie activitatea
Se evidențiază elevii
care s -au afirmat în
timpul orei. – Încheie activitatea Portofolii Conversația
finală Activitate
frontală și
individual
ă

1. Determinarea intervalelor de convexitate și concavitate
Definiție: Fie
R If: , o funcție derivabilă pe intervalul I.
a) Funcția f se numește convexă pe intervalul I, dacă tangenta în
orice punct al graficului funcției f se află sub acest grafic.
b) Funcția f se numește concavă pe intervalul I, dacă tangenta în
oricare punct al graficului funcției f se află deasupra acestui
grafic.

Pentru studiul convexității și concavității unei fun cții de două ori
derivabilă, vom utiliza semnul derivatei a doua.
Teoremă : Fie
R If: , o funcție de două ori derivabilă pe
intervalul I. Atunci:
1) Funcția f este convexă pe intervalul I dacă și numai dacă
derivata a doua este pozitivă pe intervalul I.
2) Funcția f este concavă pe intervalul I dacă și numai dacă
derivata a doua este negativă pe intervalul I.
2. Determinarea punctelor de inflexiune
Definiție : Fie
R baf],[: și
),(0 ba x .
Punctul
),(0 ba x se numește punct de inflexiune al funcției
f, dacă f este continuă în x0 și dacă într -o parte a lui x0 funcția f
este convexă, iar în cealaltă parte a lui x0 funcția f este concavă.

Observație: Dacă funcția
R baf],[:
este derivabilă de două ori în punctul de
inflexiune
),(0 ba x , atunci
0)(0xf .
Pentru o funcție de două ori derivabilă
R If: , punctele
de inflexiune sunt printre soluțiile ecuației
0)(0xf .
Determinarea acestora se face studiind semnul derivatei a doua.

Să se determine intervalele de convexitate și
concavitate și punctele de inflexiune ale următoarelor
funcții:

1.
53 3 )(, :2 3  x x xxf f R R
2.
xexf fx  )(, : R R
3.
)2( )(, :   xexf fxR R
4.
)6 2( )(, :   x exf fxR R
5.
6 4 )(, :2  x xexf fxR R
6.
12)(, : xxxf f R 1-\R
7.
arctgxx xf f   )(, : R R
8.
xexxf f   )(, : R R
9.
1 ln)(, :2  x xf f R R
10.
21ln)(, : x xf f  R (-1,1)
11.
)1( )(, :2  x exf fxR R
12.

1)1 ()(, :22
 xxxxf f R 1;1-\R
13.
2)(, :xexf f R R
14.
3 2)(, : x xf f  R R
15.
121)(, :2  x xf f R) [1, ,-1](-

Să se studieze convexitate a și
concavitate a următoarelor funcții:

16.
tgxxff



11)(, : R43;2\][0,
17.
)1 (21arcsin)(, :
2
xxxff R R

A(x0,f(x0))
funcție convexă
funcție concavă

Proiect de lecție
Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii.
Disciplina : Matematică. Analiză matematică.
Unitatea de învățare : Reprezentarea grafică a funcțiilor
Titlul lecției : Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor
Tipul lecției : De sistematizare si recapitulare
Clasa : a XI – a A – 1 oră
Data : 22.05.2017
Anul școlar : 2016 – 2017
Obiectiv de referinta : sa se determine intervalele de convexitete ale functiilor , aplicind diverse modalitati
Obiective operationale:
O1 – sa identifice dintr -o multime de functii functiile polinomiale ;
O2 – sa clasifice functiile dupa criteriile cunoscute;
O3 – sa structureze intr -un context necunoscut determinarea derivatelor si a intervalelor de con vexitate , utilizind suportul teoretic oferit;
O4 – sa argumenteze metoda potrivita pentru rezolvarea fiecarei sarcini propuse, utilizind terminologia aferenta;

O5 – sa rezolve independent cel putin 5 exemple diferite;
O6 – sa compuna in scris functii de di ferite tipuri, in diverse contexte;

Metode si procedee: Asalt de idei (brainstorming oral); Clasificare (Paiangen); Turul Galeriei; Sustinerea proiectului de grup; Brain
ring matematic.
Mijloace didactice: fise cu insarcinari, fise de clasificare, postere, marchere
Forme de organizare: frontal, in grupuri mici (preponderent), individual.
Bibliografie:
1)Burtea, M., Burtea, G. – Matematică. Manual pentru clasa a XI -a M1, Editura Carminis, Pitești, 2006;
2)Dragomir L, Dragomir A, Badescu O, Probleme de matematica pentru clasa a XI -a, Editura Paralela 45, Pitesti, 2016 .

Nr.
crt Etapele lectiei Obiectivele
operationale Activitatea profesorului Activitatea elevului Evaluare
I Moment
organizatoric Motivez necesitatea cunoasterii
funcțiilor de orice fel.
Captarea atentiei.
Trec in revista obiectivul de
referinta si cele operationale ale
lectiei, care sunt scrise din timp pe
un poster. Asculta , din grupuri, cauta greseala,
gasesc argumente, comunica intre
grupe, raspund. Urmaresc modul
de argumentare.

Enuntarea temei si
obiectivelor. Citesc in glas pe rind obiectivele,
patrunzind in esenta lor.
Evaluez gradul de
constientizare a
obiectivelor
propuse.
Reactualizarea
cunostintelor. O.1
O.2 Impart clasa in 4 grupuri a cite 5
elevi si propun fiecarei grupe o
fisa cu 7 funcții . (Anexa 1) Selecteaza din multimea data
functiile clasificandule dupa
criteriile cunoscute. Fisele se
afiseaza si liderul fiecarui grup
argumenteaza raspunsurile. Verifica cum
identifica elevii
functiile dupa
criterii cunoscute.
II Recapitularea si
sistematizarea
cunostintelor. O.3
O.4 Propun fiecarui grup o fisa cu
sarcinile:
a) Sa se determine f’(x) si
f’’(x).
b) Sa se determine intervalele
de convexitate ale functiei
(Anexa 2) Indeplinesc sarcinile, scriu
produsele pe tabla, comentind
raspunsurile prin utilizarea
terminologiei aferente. Apreciez abilitatea
de a comenta
rezolvarea unui
exemplu utilizind
terminologia
aferenta.

O.4 Scriu pe tabla funcția f : R
 R , f(x)
=


0,0,2
xxxx .
a) Studiați derivabilitatea lui f in
punctul x 0=0 , utilizând corolarul
Lagrange
b) Determinați intervalele de
convexitate și concavitate ale funcției
f.
c) Stabiliți dacǎ f are puncte de
inflexiune.
Solicit idei pentru rezolzare,
aplicind tehnica brainstorming
oral.
(Rezolvare – Anexa 3) Propun diferi te idei, discuta
Evalueaza
capacitatea de
analiza,
concentrare pe
problema

O.4 Propunn elevilor problema: Sa se
determine m si n astfel, incit
Se consideră funcția
1, 0:2
 xnx mxxfR f

Cu sarcina: Depistati mai multe
metode. Indicati metoda cea mai
rationala. Discuta in grup, analizeaza si
depisteaza metodele posibile,
rezolva.
Prezinta rezultatul la tabla pe
postere, compara metodele de
rezolvare si fac concluzii despre
momentul rational in rezolvare. Urmaresc
competenta de a
depista mai multe
metode si a
argumenta alegerea
celei mai rationale
prin analiza si
comparare.
O.6
O.5 Cer grupurilor sa indeplineasca
sarcina : Lucreaza dupa tehnica verificare
reciproca: fiecare grup compune o Urmaresc
competenta de a

Compuneti cite o functie pentru a
determina intervalele de
convexitate . Propuneti -o spre
rezolvare echipei vecine. Evaluati
rezolvarea. functie , o propune spre rezolvare
grupului vecin, rez olvind -o in
prealabil pentru a putea evalua
rezultatul grupului vecin. compune sarcini la
tema si de a evalua
lucrul colegilor.

Concluzii.
Realizarea feed –
backului.
O.4
O.5 Propun jocul Brainring matematic
cu 4 insarcinari diferite la tema
(Anexa 4)
Fiecare echipa respecta regulile
jocului, rezolvind individual si in
echipa. Elevii aduc argumente in
favoarea solutiei propuse. Expertul
este un elev cu o performante la
matem atica
Evaluez si,
eventual notez
elevii care
demonstreaza
capacitatea de a
rezolva rapid,
corect, de a
argumenta
raspunsul si a tine
cont de restrictii la
rezolvare.
Tema pentru acasa
O.6
O.4
O.5 Anunt tema pentru acasa:
Ex 388, 393/ pag 166,167 Analizeaza continutul temei ,
adreseaza intrebari pentru precizare Elevii care vor
sustine prin
prezentare publica
vor fi apreciati cu
note.

Anexa 1
Selectati functiile clasificandul e dupa criteriile cunoscute;
Incadrati clasificarea intr -o schema (paiangen).
1)
53 3 )(, :2 3  x x xxf f R R
2)
12)(, : xxxf f R 1-\R
3)
1 ln)(, :2  x xf f R R
4)
xexf fx  )(, : R R 5)
arctgxx xf f   )(, : R R
6)
)1( )(, :2  x exf fxR R
7)
xexxf f   )(, : R R

Anexa 2
Echipa I
Se considera functia f :R→ R, f(x)= x3 + 6 x2 +3 x – 1
a) Sa se determine f’(x) si f’’(x).
b) Sa se determine intervalele de convexitate ale functiei
Echipa II
Se considera functia f :R→ R, f(x)= x3 +3 x2 -11 x – 5
a) Sa se determine f’(x) si f’’(x).
b) Sa se determine intervalele de convexitate ale functiei Echipa III
Se considera functia f :R→ R, f(x)= 6×4 – 5×3 – 38 x2 +5x +6
a) Sa se determine f’(x) si f’’(x).
b) Sa se determine intervalele de convexitate ale functiei
Echipa IV
Se considera functia f :R→ R, f(x)= X4 – 4 X2 + 1
a) Sa se determine f’(x) si f’’(x).
b) Sa se determine intervalele de convexitate ale functiei

Anexa 3
Se considerǎ funcția f : R
 R , f(x) =


0,0,2
xxxx .
a) Studiați derivabilitatea lui f in punctul x 0=0 , utilizând corolarul Lagrange
b) Determinați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției f.
c) Stabiliți dacǎ f are puncte de inflexiune.
Soluție a)
Studiem continuitatea in x 0=0 :

02lim
0
0)( lim
0
0



x
x
xxf
x
x;
0 lim
0
0)( lim
0
0



x
x
xxf
x
x ; f(0)=0

f(0-0)=f(0+0)=f(0)
 f continuǎ in 0.
f este derivabilǎ pe
),0()0,(  si , restricțiile la aceste intervale fiind funcții elementare.
f’(x)=


0 ,
210 ,2
x
xxx
,
0 2lim
0
0)(' lim
0
0



x
x
xxf
x
x ;


01
21lim
0
0xx
x
Deoarece : 1) f este continuǎ in 0
2) f este derivabilǎ pe R*
3)




 )(' lim
0
0)(0)(' lim
0
0)( xf
x
xsi xf
x
x ,
conf. Corolar Lagrange
0)0('sf ,
)0('df
f nu are derivatǎ in 0.

Soluție b) f este derivabilǎ pe R* și 𝑓′(x)=


0,
210,2
x
xxx .Funcția 𝑓′ este derivabilǎ pe R*
Fie x<0 ; 𝑓′′(x)=(2x)’=2 .
Fie x>0 ; 𝑓′′(x)=(
x21 )’=
xxx x
41
41)'(2123
21
  .
⟹ 𝑓′′(x)=

 
0,
410,2
x
xxx ⟹ 𝑓′′(x)
 0
( )x
R*
x –
 0 +

f’’(x) + + + + + + + + + – – – – – – – – – – – – –
f(x) convexǎ
 0 concavǎ


Deci funcția f este convexǎ pe ( –
,0) și concavǎ pe (0,+
 ).
Soluție c) Verificǎm condițiile din definiția punctului de inflexiune ptr. 0
0 este punct interior (convine)
f este continuǎ in 0 (convine)
f este convexǎ pe ( –
,0) și concavǎ pe (0,+
 ) (convine)
f nu are derivatǎ in 0 ( nu convine )
Deoarece nu este indeplinitǎ condiția ca f sǎ aibǎ derivatǎ in 0, rezultǎ cǎ 0 nu este punct de inflexiune.

Anexa 4
Insarcinari pentru Brain ring matematic
Runda I
Determinați derivata întâi și a doua pentru f :ℝ→ℝ, f (x) =𝑥3−3𝑥2 3 min; 3 puncte
f ′(x) = 3 𝑥2 – 6x ; f ″(x) = 6 x – 6 ;
Runda a II
Determinați convexitatea funcției f :ℝ→ℝ, f (x) = 𝑥 3-3x + 2 4 min; 4 puncte.
Rezolvare: I) f ′(x) = 3𝑥2-3; f″(x) = 6𝑥;

f ″ (x) = 06x = 0 x = 0 ;
II ) Din tabelul de variatie avem ( -∞;0] interval de concavitate, iar [0;+∞) interval de convexitete.
Runda a III
Determinați intervalul de convexitate al funcției f :ℝ→ℝ, f(x)=−𝑥2+3𝑥−2
𝑥2 5 min, 5 puncte
Rezolvare
f′(x)=−3𝑥+4
𝑥3
f″(x)=6𝑥−12
𝑥4
f″(x)=0  6𝑥−12
𝑥4=0  6x-12=0  x=2  [2;+∞) interval de convexitate.