Investește în oameni [615961]

Investește în oameni!
FONDUL SOCIAL EUROPEAN
Programul OperaŃional Sectorial Dezvoltarea Resurse lor Umane 2007 – 2013
Axa prioritară: 1 „EducaŃia și formarea profesional ă în sprijinul creșterii economice și dezvoltării s ocietăŃii bazate pe cunoaștere”
Domeniul major de intervenŃie: 1.5 „Programe doctor ale și postdoctorale în sprijinul cercetării”
Titlul proiectului: Proiect de dezvoltare a studii lor de doctorat în tehnologii avansateî ”PRODOC”
Numarul de identificare al contractului: POSD RU 6/1.5/S/5
Beneficiar: Universitatea Tehnică din ClujîNapoca

FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂ

Ing. POP Gabriel Vasile

TEZĂ DE DOCTORAT

IMPACTUL REDUCERII CALITĂłII ENERGIEI
ELECTRICE ASUPRA PIERDERILOR DE PUTERE ÎN
SISTEME ELECTROENERGETICE

Conducător știinŃific,
Prof.dr.ing.Mircea CHINDRIȘ

Comisia de evaluare a tezei de doctorat:

PREȘEDINTE: î Prof.dr.ing. Radu CIUPA 2 decan, Facultatea de Inginerie Electrică,
Universitatea Tehnică din ClujîNapoca;
MEMBRI î Prof.dr.ing. Mircea CHINDRIȘ î conducător știinŃific, Universitatea
Tehnică din ClujîNapoca;
î Prof.dr.ing. Nicolae Golovanov : referent, Universitatea Politehnică din
București;
î Prof.dr.ing. Dorin Sarchiz î referent, Universitatea Petru Maior din
TârguîMureș;
î Conf.fiz.dr.ing. Andrei Cziker : referent, Universitatea Tehnică din Clujî
Napoca.

2

3 CUPRINS

Introducere 7
Listă de simboluri și abrevieri 17

1. PerturbaŃii electromagnetice ce influenŃează pie rderile de putere 21
1.1. Nesimetrii 23
1.2. Distorsiuni armonice 34
1.3. Concluzii 44

2. Pierderi de putere în linii electrice 45
2.1. Determinarea parametrilor liniilor electrice 46
2.1.1. RezistenŃa 47
2.1.2. ReactanŃa inductivă 54
2.1.3. SusceptanŃa capacitivă 64
2.1.4. ConductanŃa 69
2.1.5. Modele de analiză a liniilor electrice 70
2.2. Pierderi de putere în regim nesimetric sinusoi dal 71
2.3. Pierderi de putere în regim nesinusoidal simet ric 75
2.3.1. Pierderi în conductoarele liniilor electrice 75
2.3.2. Pierderi în dielectricul liniilor electrice în cablu 81
2.4. Pierderi de putere în regim nesimetric nesinus oidal 82
2.4.1. Analiza reŃelelor electrice trifazate în reg im real 82
2.4.2. Pierderi în conductoarele liniilor electrice în regim real de funcŃionare 85
2.5. Concluzii 88

3. Pierderi de putere în transformatoare electrice 91
3.1. Determinarea parametrilor transformatoarelor e lectrice 95
3.1.1. Parametrii de secvenŃă pozitivă 98

4 3.1.2. Parametrii de secvenŃă negativă 99
3.1.3. Parametrii de secvenŃă zero 99
3.2. Modelarea pierderilor și bilanŃul puterilor în transformatorul electric 101
3.3. Pierderi de putere în regim nesimetric sinusoi dal 105
3.3.1. Pierderi de putere în transformator în siste me de distribuŃie fără
conductor de nul 105
3.3.2. Pierderi de putere în transformator în siste me de distribuŃie cu
conductor de nul 107
3.4. Pierderi de putere în regim nesinusoidal simet ric 109
3.4.1. Pierderi de mers în gol 110
3.4.1.1. Pierderi prin histerezis 110
3.4.1.2. Pierderi prin curenŃi turbionari în miez 1 12
3.4.2 Pierderi de mers în sarcină 114
3.4.2.1. Pierderi în înfășurări 114
3.4.2.2. Pierderi prin curenŃi turbionari în înfășu rări 117
3.4.2.3. Pierderi de scăpări (dispersie) 118
3.4.3. Denominalizarea transformatoarelor 121
3.5. Pierderi de putere în regim nesimetric nesinus oidal 123
3.6. Concluzii 128

4. InfluenŃa bateriilor de condensatoare asupra pie rderilor de putere în reŃele
electrice 131
4.1. Factorul de putere 131
4.2. Circuite echivalente și pierderi în condensato are 133
4.3. Efectele utilizării bateriilor de condensatoar e în reŃelele electrice 134
4.3.1. Reducerea pierderilor în reŃeaua electrică 1 35
4.3.2. Creșterea capacităŃii de transport în putere activă 136
4.3.3. Compensarea căderilor de tensiune 138
4.4. Puterea debitată de bateria de condensatoare ș i influenŃa asupra pierderilor
de putere în regim simetric sinusoidal 138
4.5. InfluenŃa bateriilor de condensatoare asupra p ierderilor de putere în reŃelele 140

5 electrice în regim nesimetric sinusoidal
4.5.1. Conectarea bateriei în sisteme electrice cu conductor de nul 140
4.5.2. Conectarea bateriei în sisteme electrice făr ă conductor de nul 144
4.6. Condensatoare întrîun mediu poluat armonic 149
4.6.1. Pierderi în condensatoare în regim nesinusoi dal 150
4.6.2. InfluenŃa bateriilor de condensatoare asupra pierderilor de putere în
reŃele electrice în regim nesinusoidal simetric 152
4.6.3. RezonanŃa în sisteme electroenergetice 153
4.6.3.1. RezonanŃa paralel 154
4.6.3.2. RezonanŃa serie 158
4.6.4. Valori limită ale distorsiunilor armonice 1 60
4.7. Concluzii 163

5. Concluzii generale și contribuŃii personale 165

Bibliografie 169

6

7 Listă de simboluri și abrevieri

Simbol SemnificaŃie
20α Coeficientul termic al rezistivităŃii electrice la temperatura de 20 oC;
Sα Factor de încărcare în putere aparentă;
SAα,SBα,SCα Factor de încărcare în putere aparentă pe faza A, B , respectiv C;
Uα Factor de tensiune;
UAα,UBα,UCα Factor de tensiune pe faza A, B, respectiv C;
0P∆ Pierderi de mersul în gol, W;
nnP−∆, 0 Pierderi de mers în gol în regim nesimetric nesinus oidal, W;
nsP−∆, 0 Pierderi de mers în gol în regim simetric nesinusoi dal, W;
CP∆ Pierderi de putere activă în sursa de compensare, W ;
CTP∆ Pierderi prin curenŃi turbionari în înfășurări în r egim simetric sinusoidal,
W;
R CTP−∆ Pierderi datorate curenŃilor turbionari pentru frec venŃa fundamentală, %;
nnCTP−∆, Pierderi datorate curenŃilor turbionari în înfășură ri în regim nesimetric
nesinusoidal, W;
nsCTP−∆, Pierderi datorate curenŃilor turbionari în înfășură ri în regim simetric
nesinusoidal, W;
ns CTmP−∆, Pierderi prin curenŃi turbionari în miez în regim s imetric nesinusoidal, W;
CdielP∆ Pierderi active de putere în dielectric, W;
∆∆, CdielP Pierderi în dielectricul condensatoarelor montate î n conexiune D, W;
Y CdielP,∆ Pierderi în dielectricul condensatoarelor montate î n conexiune Y, W;
CrezP∆ Pierderi rezistive ale condensatorului, W;
CtotalP∆ Pierderi totale în condensator, W;
1CuP∆ ,2CuP∆ Pierderi în înfășurarea primară, respectiv secundar ă a transformatorului, W;
corP∆ Pierderi datorate fenomenului corona, W;
nsHP−∆, Pierderi prin histerezis în regim simetric nesinuso idal, W;
izP∆ Pierderi datorate imperfecŃiunii izolaŃiei, W;
LP∆ Pierderi de putere în linia electrică, W;
ALP,∆ ,BLP,∆ ,
CLP,∆ , NLP,∆ Pierderi de putere pe faza A, B, C respectiv pe con ductorul de nul, W;
nnLP−∆, Pierderi de putere în linii în regim nesimetric nes inusoidal, W;
snLP−∆, Pierderi de putere în linii în regim nesimetric sin usoidal, W;
'
,snLP−∆ Pierderi suplimentare de putere introduse de funcŃi onarea în regim
nesimetric, W;

8 nsLP−∆, Pierderi de putere în regim simetric nesinusoidal, W;
'
,nsLP−∆ Pierderi de putere produse de armonicile de curent în regim deformant, W;
"
,nsLP−∆ Pierderi de putere activă când rezistenŃa variază c u frecvenŃa, W;
ssLP−∆, Pierderi de putere în linii electrice în regim sime tric sinusoidal, W;
dielLP,∆ Pierderile dielectrice totale în liniile electrice în cablu, W,
1,dielLP∆ Pierderile în dielectricul liniei electrice în cabl u corespunzătoare
fundamentalei, W;
LdcP∆ Pierderi de putere în linia electrică după compensa re, W;
LfcP∆ Pierderi de putere în linia electrică înainte de co mpensare, W;
RIP∆ Pierderi datorate curentului de sarcină și rezisten Ńei înfășurării în regim
simetric sinusoidal, W;
nsRIP−∆, Pierderi datorate curentului de sarcină și rezisten Ńei înfășurării în regim
simetric nesinusoidal, W;
scP∆ Pierderi în scurtcircuit, W;
nnscP−∆, Pierderi de mers în scurtcircuit în regim nesimetri c nesinusoidal, W;
nsscP−∆, Pierderi de mers în scurtcircuit în regim simetric nesinusoidal, W;
scapP∆ Pierderi datorate scăpărilor de flux în regim simet ric sinusoidal, W;
nn ScapP−∆, Pierderi de scăpări în regim nesimetric nesinusoida l, W;
ns ScapP−∆, Pierderi de scăpări în regim simetric nesinusoidal, W;
nnTP−∆, Pierderi de putere în transformator în regim nesime tric nesinusoidal, W;
snTP−∆, Pierderile de putere în transformator în regim nesi metric sinusoidal, W;
nsTP−∆, Pierderile de putere în transformator în regim sime tric nesinusoidal, W;
ssTP−∆, Pierderile de putere în transformator în regim sime tric sinusoidal, W;
U∆ Cădere de tensiune, V;
AU∆ ,BU∆ ,
CU∆ Căderea de tensiune pe faza A, B, respectiv C, V;
Uδ Factor de distorsiune armonică pentru tensiune, %;
Iδ Factor de distorsiune armonică pentru curent, %;
ε Permitivitatea dielectrică a izolaŃiei;
0ε Permitivitatea electrică a aerului, F/m;
IL∆ε Valoarea reducerii curentului în linia electrică, % ;
nnP−∆, 0ε Creșterea pierderilor de mers în gol în regim nesim etric și nesinusoidal, %;
PL∆ε Valoarea reducerii pierderilor de putere în linia e lectrică, %;
nnPL−∆,ε Creșterea pierderilor de putere în LE în regim nesi metric nesinusoidal, %;
snPL−∆,ε Creșterea pierderilor de putere în LE în regim nesi metric sinusoidal, %;

9 nsPL−∆,ε Creșterea pierderilor de putere în LE în regim sime tric nesinusoidal, %;
RIPT∆ε Creșterea pierderilor în înfășurările transformator ului, %;
hϕ Faza armonicii de ordin h;
+ϕ Unghiul dintre componentele de secvenŃă pozitivă al e tensiunii și
curentului, rad;
−ϕ Unghiul dintre componentele de secvenŃă negativă al e tensiunii și
curentului, rad;
0ϕ Unghiul dintre componentele de secvenŃă zero ale te nsiunii și curentului,
rad;
γ Densitatea de volum a masei tolei, kg/m 3;
hγ Ponderea(nivelul) armonicii de ordinul h;
h3γ Ponderea armonicilor de ordin 3h, %;
sη Constanta lui Steinmetz;
Tη Randamentul transformatorului, %;
ϕλcos, Factor de putere;
Aλ,Bλ,Cλ Fluxul total al conductoarelor A, B și C;
Θcos,Dλ Factor total de putere (în regim nesinusoidal);
cλ Factor dorit la compensare;
i iϕλcos, Factor iniŃial de putere;
n nϕλcos, Factor de putere neutral;
µ Permeabilitatea magnetică a materialului miezului m agnetic, H/m;
rµ Permeabilitatea relativă a materialului conductor;
0µ Permeabilitatea absolută, H/m;
ρ Rezistivitatea materialului, m/Ω ;
tρ Rezistivitatea electrică a conductorului la tempera tura t oC;
20ρ Rezistivitatea electrică a conductorului la tempera tura de 20 oC;
ω PulsaŃia;
ACSR Conductor de oŃelîaluminiu de construcŃie fascicula ră;
a Operator de rotaŃie, °⋅=120jea ;
ca Coeficient în funcŃie de tipul conductorului;
at LăŃimea conductorului profilat, m;
B Densitatea fluxului magnetic, T;
LB SusceptanŃa capacitivă a liniei, mS/ ;
UB SusceptanŃa transformatorului, S;
maxB InducŃia magnetică maximă, T;
bt ÎnălŃimea conductorului profilat, m;

10 hC Amplitudine spectrală complexă;
C Capacitatea condensatorului, F;
YC Capacitatea condensatoarelor montate în stea, F;
∆C Capacitatea condensatoarelor montate în triunghi, F ;
0C Capacitatea de serviciu de zero, F/m;
aC Capacitatea dintre un conductor și celelalte două c onductoare legate la
manta, F/m;
bC Capacitatea dintre manta și cele trei conductoare l egate împreună, F/m;
cC Capacitatea între conductoare și mantaua metalică, F/m;
pcC− Capacitatea între conductor și pământ, F/m;
Ch Capacitatea lineică pe fază corespunzătoare armonic ii de rang h;
sC Capacitatea de serviciu de secvenŃă pozitivă/negati vă, F/m;
smC Capacitatea între conductoare (nu sunt conectaŃi al Ńi conductori sau
ecranul), F/m;
CEE Calitatea energiei electrice;
0c Componenta continuă a undei periodice;
hc Amplitudinea armonicii de ordin h;
10 cosϕ Factorul de putere la funcŃionarea în gol;
CB compA ,, cosϕ Factorul de putere compensat pe faza A, B, respecti v C;
D Puterea deformantă, VAd;
CA BC AB D D D , , DistanŃele între conductoarele de fază A, B și C, m ;
Dci Diametrul cablului izolat, mm;
mD Media geometrică a distanŃelor circuitului care con Ńine faza considerată;
'
mD Media geometrică a distanŃelor dintre fazele neomol oage ale celor două
circuite;
' '
mD Media geometrică a distanŃelor dintre fazele omoloa ge ale celor două
circuite;
cd Diametrul conductorului neizolat, m;
ccd DistanŃa dintre centrele conductoarelor, m;
dg Grosimea tolei, m;
sd Diametrul stratului, m;
1E,2E,3E Tensiunile de fază ale sistemului de alimentare;
re Raportul dintre pierderile datorate curenŃilor turb ionari la frecvenŃa
fundamentală și pierderile rezistive;
FIT Foarte înaltă tensiune;
CT HLF− Factorul de pierderi al curenŃilor turbionari în în fășurări;
Scap HLF− Factorul de pierderi prin scăpări;

11 f FrecvenŃa, Hz;
pf FrecvenŃă de rezonanŃă paralel, Hz;
FeG ConductanŃa transformatorului, S;
LG ConductanŃa laterală a liniei, mS/ ;
Gp ConductanŃa echivalentă paralel a condensatorului, S;
H Intensitatea câmpului magnetic, A/m;
h Ordinul armonicii;
hB ÎnălŃimea bobinei, m;
mh Media geometrică a distanŃelor faŃă de pământ a con ductoarelor, m;
hmax Rangul cel mai mare al armonicei care se ia în cons iderare;
ph DistanŃa dintre conductor și pământ, m;
rh Rangul armonicii la care apare rezonanŃa armonică;
1I,2I,3I CurenŃii de linie;
AI,BI,CI CurenŃii pe faza A, B respectiv C;
+I,−I,0I CurenŃii de secvenŃă pozitivă, negativă respectiv z ero;
IT Înaltă tensiune;
I1 Valoarea efectivă a curentului corespunzător unui s istem simetric și
sinusoidal de curenŃi, A;
10I Valoarea intensităŃii curentului de linie la mersul în gol, A;
aI10 Componenta activă a curentului de mers în gol, A;
rI10 Componenta reactivă a curentului de mers în gol, A;
nI1 Valoarea curentului nominal de fază (conexiunea înf ășurărilor fiind
precizată), A;
NI Curentul prin conductorul de nul, A;
NTI Curentul nominal (de dimensionare) al transformator ului, A;
snNI−, Curentul prin conductorul de nul în regim nesimetri c sinusoidal, A;
nsNI−, Curentul prin conductorul de nul în regim simetric nesinusoidal, A;
chI Valorile efective ale curenŃilor armonici absorbiŃi de bateria de
condensatoare, A;
dcAI,dcBI,dcCI CurenŃii pe fiecare fază înaintea compensării puter ii reactive, A;
efI Valoarea efectivă a curentului electric incluzând t oate armonicele, A;
efC efB efA III ,, Valorile efective ale curenŃilor de fază, incluzând armonicile, A;
fcAI, fcBI, fcCI CurenŃii pe fiecare fază când bateria de condensato are nu este conectată, A;
hI Valoarea efectivă a armonicii h, A;
hC hB hA III ,, ,
hNI Valorile efective ale armonicilor de curent de pe f iecare fază în parte
respectiv pe conductorul de nul, A;

12 lcI Curentul absorbit de condensatorul trifazat, indepe ndent de conexiune, A;
xC xB xA III ,, CurenŃii pe cele trei faze înainte și după compensa re, ()dcfc x ,∈ , A;
0,,x x x III−+ CurenŃii de secvenŃă pozitivă, negativă și zero îna inte, respectiv după
compensare ()dcfc x ,∈ , A;
i0 Curentul de mers în gol al transformatorului, %;
hi Raportul dintre valoarea curentului armonic de rang h și valoarea efectivă a
curentului de sarcină total;
JT Joasă tensiune;
K Factorul K î factor de creștere a pierderilor dator ate curenŃilor turbionari;
K12 Raportul de transformare;
EK Factorul K E;
cK Factor de corecŃie ce Ńine seama de efectul pelicul ar și de proximitate;
kR Coeficientul lui Rogovski;
ak Factorul de amplificare a curentului;
cvk Factor pentru determinarea pierderilor prin scăpări ;
−
nsk Factorul de nesimetrie de tensiune, %;
pk Factor ce depinde de construcŃia conductorului;
prk Factorul datorat efectului de proximitate;
skk Factorul datorat efectului pelicular;
−
Yk Factorul de nesimetrie negativă, %;
0
Yk Factorul de nesimetrie zero, %;
LE Linie electrică;
LEA Linie electrică aeriană;
LEC Linie electrică în cablu;
LES Linie electrică subterană;
AALBBLCCL InductivităŃile proprii ale conductoarelor, H/m;
ABL,BCL,CAL,
BAL,CBL,ACL InductivităŃile mutuale, H/m;
cL Inductivitatea unei linii electrice în cablu, H/m;
eqL Inductivitatea totală a sursei și a transformatorul ui, H;
fazaL Inductivitatea pe fază, H/m;
mL Inductivitatea echivalentă a motoarelor electrice, H;
Ls InductanŃa echivalentă serie a condensatorului, H;
tL Inductivitatea echivalentă a transformatorului de r acord la sistem, H;
l Lungimea conductorului, m;
il1 Lungimea la o întoarcere a conductorului spiralat, m;

13 MT Medie tensiune;
ms Numărul de conductoare pe înălŃimea bobinei, m;
nSt Coeficientul lui Steinmetz;
ns Numărul de conductoare pe lăŃimea bobinei, m;
+P,−P,0P Puterile active de secvenŃă pozitivă, negativă, res pectiv zero;
P Puterea activă, W;
AP, BP, CP Puterea activă pe faza A, B, respectiv C, W;
10P Valoarea puterii absorbite la mersul în gol în prim arul transformatorului,
W;
Pech Puterea activă absorbită a consumatorului echilibra t, W;
hP Puterea activă corespunzătoare armonicii de ordin h , W,
totalP Puterea activă totală (incluzând armonicile), W;
+Q,−Q,0Q Puterile reactive de secvenŃă pozitivă, negativă, r espectiv zero;
Q Puterea reactivă, VAr;
AQ, BQ, CQ Puterea reactivă pe faza A, B, respectiv C, VAr;
NQ Puterea reactivă nominală a bateriei de condensatoa re, VAr;
cAQ,cBQ,cCQ Puterea reactivă debitată de bateria de condensatoa re pe faza A, B, C, VAr;
cQ Puterea reactivă debitată de bateria de condensatoa re, VAr;
hQ Puterea reactivă corespunzătoare armonicii de ordin h, Var;
totalQ Puterea reactivă totală (incluzând armonicile), VAr ;
q Sarcina, C/m;
calq Factorul de calitate al unui circuit rezonant;
qe Exponent constant care depinde de tipul înfășurării și frecvenŃă. Valori
tipice sunt 1,7 pentru transformatorul cu secŃiunea conductoarelor rotundă
sau dreptunghiulară a ambelor înfășurări și 1,5 pen tru înfășurările de joasă
tensiune cu bandă;
+R, −R, 0R RezistenŃa de secvenŃă pozitivă, negativă, respecti v zero, Ω;
2 1,RR RezistenŃele reale ale înfășurărilor primară, respe ctiv secundară, Ω;
'
2R RezistenŃa raportată a înfășurării secundare a tran sformatorului la
înfășurarea primară a acestuia, Ω;
RFe RezistenŃa pentru modelarea pierderilor în miezul f eromagnetic, Ω;
LR RezistenŃa liniei, m/Ω ;
caLR, RezistenŃa liniei electrice în curent alternativ, Ω;
ccLR, RezistenŃa liniei electrice în curent continuu, Ω;
stratLR, RezistenŃa pe strat, m/Ω ;
LsR RezistenŃa echivalentă a sarcinilor pur rezistive, Ω;

14 NR RezistenŃa conductorului de nul, m/Ω ;
nTR, RezistenŃa înfășurărilor transformatorului, Ω;
2 , 1caR RezistenŃa în c.a. a înfășurării primare, respectiv secundare, Ω;
kR RezistenŃa de scurtcircuit a înfășurărilor transfor matorului, Ω;
Rp RezistenŃa echivalentă paralel a condensatorului, Ω;
Rs RezistenŃa echivalentă serie a condensatorului, Ω;
Rst RezistenŃa totală a sursei și a transformatorului, Ω;
c b a rrr ,, Raza conductorului A, B respectiv C, m;
er DistanŃa geometrică proprie a conductorului;
fr Raza exterioară a conductorului funie, m;
+S,−S,0S Puterile aparente de secvenŃă pozitivă, negativă, r espectiv zero;
S Puterea aparentă, VA;
SM Puterea totală a motoarelor electrice;
maxS Puterea aparentă maximă a transformatorului, VA;
xSmax, Puterea aparentă maximă pe faza x, VA;
SnT Puterea nominală aparentă a transformatorului, VA;
scS Puterea de scurtcircuit, VA;
totalS Puterea aparentă totală (incluzând armonicile), VA;
xS Puterea aparentă pe faza x, VA;
s SecŃiunea conductorului, m;
cols SecŃiunea coloanei, m 2;
T Perioada funcŃiei;
THD Factor total de distorsiune armonică, %;
αtg Tangenta unghiului de avans histerezis;
0δtg Tangenta unghiului de pierderi pentru frecvenŃa fun damentală;
htgδ Tangenta unghiului de pierderi;
12U,23U,31U Tensiunile de linie ale sistemului energetic;
'
12U,'
23U,'
31U Tensiunile de linie în punctul de racord;
'
1U,'
2U,'
3U Tensiunile de fază la bornele receptorului în ipote za în care acesta este
echilibrat;
AU,BU, CU Tensiunile de fază A, B respectiv C;
0NU Tensiunea de deplasare a neutrului;
+U,−U,0U Tensiunile de secvenŃă pozitivă, negativă respectiv zero;
U1, U 2 Tensiunile nominale primare și secundare, V;
10U Valoarea tensiunii de linie, la mersul în gol, în p rimar, V;

15 20U Valoarea tensiunii de linie, la mersul în gol, în s ecundar, V;
nU1 Valoarea tensiunii nominale de fază din primarul tr ansformatorului
(conexiunea fiind cunoscută), V;
CA BC AB U U U , , Valorile efective tensiunilor de linie, V;
NU Valoarea efectivă a tensiunii nominale a reŃelei, V ;
efC efB efA U U U , , Valorile efective ale tensiunilor de fază, incluzân d armonicile, V;
fU Tensiunea de fază, V;
kU Valoarea absolută a tensiunii la funcŃionarea în sc urtcircuit, V;
lU Tensiunea de linie a sistemului, V;
puU Tensiunea în per unit din tensiunea nominală a cond ensatorului;
ku Valoarea tensiunii relative de scurtcircuit, %;
usc Tensiunea relativă de scurtcircuit, %;
V Volumul miezului magnetic, m 3;
+X, −X, 0X ReactanŃa de secvenŃă pozitivă, negativă, respectiv zero;
LX ReactanŃa inductivă a liniei, m/Ω ;
0 ,LX ReactanŃa de secvenŃă zero, m/Ω ;
sLX, ReactanŃa de secvenŃă pozitivă/negativă, m/Ω ;
SCX ReactanŃa de scurtcircuit a sistemului, Ω;
cX ReactanŃa capacitivă a condensatorului, Ω;
1dispX ReactanŃa de dispersie a înfășurării primare, Ω;
'
2dispX ReactanŃa de dispersie a înfășurări secundare rapor tată la cea primară, Ω;
kX ReactanŃa echivalentă la scurtcircuit, Ω;
Xu ReactanŃa de magnetizare (utilă), Ω;
1Y,2Y,3Y Sistem nesimetric de mărimi alternative sinusoidale ;
+Y,−Y,0Y Componentele de secvenŃă pozitivă, negativă respect iv zero;
1LY,2LY,3LY AdmitanŃele de linie (conŃin atât sarcina cât și ad mitanŃa sistemului de
alimentare);
+Y, −Y, 0Y Valoarea efectivă a componentele de secvenŃă poziti vă, negativă respectiv
zero;
1Y Valoarea efectivă a fundamentalei;
dY Reziduul deformant al funcŃiei nesinusoidale;
efY Valoarea efectivă a mărimii nesinusoidale;
hY Valoarea efectivă a armonicii de rang h;
LY AdmitanŃa pe unitatea de lungime a liniei electrice , mS/ ;
1Z,2Z,3Z ImpedanŃele de linie ale sarcinii dezechilibrate;
lZ ImpedanŃa sistemului de alimentare;

16 echZ Modulul impedanŃei echivalente a sistemului pe armo nica considerată;
LZ ImpedanŃa pe unitatea de lungime a liniei electrice , m/Ω ;
kZ ImpedanŃa echivalentă la scurtcircuit, Ω;
0Z ImpedanŃa de secvenŃă zero a transformatorului;
zsc ImpedanŃa de scurtcircuit, Ω.

17 Introducere

Energia este și va rămâne una din preocupările glo bale majore ale secolului al XXIîlea,
iar România nu reprezintă o excepŃie. Datorită fapt ului că se preconizează o creștere majoră a
cererii de energie pe plan global în anii următori, sîau ridicat diverse întrebări referitoare la
furnizările de energie în viitor, la competitivitat ea economică a diverselor surse de energie și la
impactul asupra mediului înconjurător.
Utilizarea energiei electrice implică existenŃa si stemelor electroenergetice (SEE) –
sisteme tehnice mari care înglobează ansamblul inst alaŃiilor destinate producerii, transportului,
distribuŃiei și consumului de energie electrică. Un sistem electroenergetic își îndeplinește
funcŃiile dacă satisface simultan cererea de putere a consumatorilor pe întreaga durată a
consumului și la anumite standarde de calitate.
Energia electrică este considerată în prezent un pr odus livrat de furnizor consumatorilor.
Problemele de calitate a energiei electrice, import ante pentru funcŃionarea sistemelor energetice
în ansamblu, au căpătat în ultimii ani o actualitat e și o importanŃă deosebită mai ales datorită
apariŃiei unor consumatori din ce în ce mai sensibi li la perturbaŃii.
Această situaŃie a făcut să existe o preocupare per manentă pentru calitatea energiei
electrice, planificarea și monitorizarea acesteia, standardizarea emisiilor perturbatoare și
stabilirea de niveluri de compatibilitate atât pe p lan internaŃional, european cât și în România.
Studiul calităŃii energiei electrice se poate face din mai multe puncte de vedere dar, în
principal, toate rezultă din prezenŃa perturbaŃiilo r electromagnetice sau a unor incidente care
afectează defavorabil atât elementele furnizorului, cât și pe cele ale consumatorului. PerturbaŃiile
afectează nivelul de tensiune și frecvenŃă, forma c urbei de tensiune/curent, gradul de simetrie al
tensiunilor și curenŃilor, respectiv continuitatea în alimentarea cu energie electrică.
În prezent, regimul de funcŃionare al reŃelelor ele ctrice este unul nesinusoidal și
dezechilibrat. ExistenŃa distorsiunilor armonice și a nesimetriilor în cadrul reŃelelor provoacă
efecte negative cum ar fi creșterea pierderilor de putere și energie în elementele de reŃea, apariŃia
fenomenului de rezonanŃă, creșterea curentului în c onductoarele de nul, etc. Acestea sunt
caracterizate prin indicatori și reprezintă un aspe ct al calităŃii energiei electrice tot mai intens
studiat.
ReŃelele electrice sunt părŃi componente ale sistem ului electroenergetic constituite din
linii electrice (aeriene sau subterane) și din tran sformatoarele electrice existente în staŃiile și
posturile de transformare. În funcŃie de nivelul te nsiunii nominale, de capacitatea de transport, de
lungimea și importanŃa lor, reŃelele electrice pot îndeplini rolul de transport și distribuŃie a
energiei electrice.
FuncŃionarea reŃelelor electrice în regim nesimetri c și nesinusoidal conduce la pierderi
suplimentare în elementele componente ale sistemulu i electroenergetic (linia electrică,
transformatorul electric și condensatorul electric) .
Distorsiunile armonice determină pierderi supliment are în conductoarele liniilor electrice
datorită efectului pelicular și de proximitate (lin ii electrice în cablu). Creșterea rezistenŃei, dar și
mai mult creșterea reactanŃei (o dată cu creșterea frecvenŃei), conduc la creșterea căderilor de
tensiune și a distorsiunii curbei de tensiune. De a semenea, funcŃionarea în regim nesimetric și
nesinusoidal provoacă pierderi suplimentare de pute re precum și creșterea curentului prin
conductorul de nul al reŃelelor electrice cu patru conductoare de joasă tensiune.
În ceea ce privește transformatoarele electrice, ap ar pierderi suplimentare datorită
circulaŃiei curenŃilor armonici prin acestea. Atunc i când un transformator funcŃionează aproape

18 de punctul maxim de încărcare, aceste pierderi pot conduce la defecte timpurii determinate de
supraîncălzire și la apariŃia de puncte calde în în fășurări. Pierderile în transformator sunt date de
pierderile datorate fluxurilor magnetice de dispers ie în circuitul magnetic, de pierderile prin
curenŃi turbionari și de pierderile rezistive în în fășurări. Dintre acestea, pierderile prin curenŃi
turbionari ridică cele mai mari probleme în prezenŃ a armonicilor deoarece cresc aproximativ cu
pătratul frecvenŃei.
Când compensarea puterii reactive (prin baterii de condensatoare) este realizată pentru
sarcini neliniare, poate surveni efectul de rezonan Ńă, pentru un anumit nivel al armonicilor de
tensiune și curent, perturbaŃie care astfel cauzeaz ă pierderi suplimentare, avarierea
echipamentului și distrugerea alimentării cu energi e.
Datorită efectelor nocive apreciabile care decurg d in funcŃionarea în astfel de regimuri se
remarcă, actualmente, un interes major din partea s pecialiștilor în direcŃia identificării,
cuantificării și limitării efectelor negative ale r egimului deformant și nesimetric.
Lucrarea are ca obiectiv studiul impactului regimul ui deformant și nesimetric asupra
pierderilor de putere în elementele componente ale sistemului electroenergetic amintite anterior.
Pentru îndeplinirea scopului propus sîau elaborat u rmătoarele obiective: (1) studiul
regimului deformant și nesimetric existent în reŃel ele electrice, (2) determinarea efectelor
regimului nesimetric și deformant asupra reŃelelor electrice și a elementelor componente, (3)
determinarea modelelor analitice complexe cu luarea în considerare a tuturor parametrilor care
sunt influenŃaŃi de calitatea energiei electrice pe ntru elementele și echipamentele reŃelei electrice
(linii electrice, transformatoare electrice, conden satoare electrice), (4) elaborarea unor metode
pentru determinarea pierderilor de putere în regim real de funcŃionare, (5) realizarea unor pachete
software pentru calculul pierderilor în reŃelele el ectrice.
Lucrarea este dezvoltată în cinci capitole, după c um urmează:

Capitolul 1 : Prezintă principalele noŃiuni cu privire la pertur baŃiile electromagnetice care
influenŃează creșterea pierderilor de putere, și an ume distorsiuni armonice
respectiv nesimetrii. Având în vedere tema lucrării , se descriu aspecte precum
cauzele și efectele perturbaŃiilor, metodele de ana liză prezente în literatura de
specialitate, respectiv indicatorii de calitate și limitele impuse acestora (conform
ultimelor standarde existente în domeniu).

Capitolul 2 î În acest capitol se analizează modul de determi nare a pierderilor de putere în
liniile electrice funcŃionând în regim nesimetric n esinusoidal. Primul subcapitol
cuprinde determinarea modelelor de analiză a liniil or electrice, modele
determinate în funcŃie de tipul liniei (aeriană sau în cablu), de construcŃia
conductoarelor (conductor masiv sau multifilar). To t aici se prezintă influenŃa
armonicilor asupra parametrilor electrici. Următoar ele 3 subcapitole prezintă
modul de determinare a pierderilor în cazul funcŃio nării în regim nesimetric
sinusoidal (subcapitolul 2.2), simetric nesinusoida l (subcapitol 2.3) și nesimetric și
nesinusoidal (subcapitol 2.4) a liniilor electrice.

Capitolul 3 : Pune în evidenŃă creșterea pierderilor de putere în transformatoarele electrice care
funcŃionează în regim real. În partea de început se prezintă determinarea
parametrilor de secvenŃă ai transformatoarelor și m odelarea pierderilor existente în
acestea. Următorul subcapitol studiază creșterea pi erderilor de putere atunci când

19 transformatorul funcŃionează întrîun regim nesimetr ic sinusoidal. În continuare se
prezintă variaŃia pierderilor (de mers în gol și de scurtcircuit) atunci când regimul
de funcŃionare al transformatorului este simetric n esinusoidal. În subcapitolul al
cincilea se analizează variaŃia pierderilor în regi mul real de funcŃionare.

Capitolul 4 : În acest capitol se analizează influenŃa bateriilor de condensatoare asupra
pierderilor în reŃeaua electrică precum și determin area pierderilor în acestea. În
partea de început sunt descrise avantajele utilizăr ii bateriilor de condensatoare,
după care se pun în evidenŃă schemele echivalente ș i pierderile în condensator. În
continuare se expune influenŃa bateriei de condensa toare asupra gradului de
nesimetrie și a pierderilor atunci când regimul de funcŃionare al reŃelei este unul
nesimetric. Următorul subcapitol prezintă pierderil e în condensatoare în regim
deformant, influenŃa asupra pierderilor în reŃelele electrice precum și posibilitatea
apariŃiei fenomenului de rezonanŃă pentru diferite tipuri de transformatoare
întâlnite în exploatare. În final se pune în eviden Ńă domeniul de siguranŃă în
funcŃionare a condensatorului în prezenŃa armonicil or.

Capitolul 5 : Prezintă concluziile generale și contribuŃiile pe rsonale ale autorului.

20

21 1. PerturbaŃii electromagnetice ce influenŃează pie rderile de putere

Energia este și va rămâne una din preocupările glo bale majore ale secolului al XXIîlea,
iar Europa nu reprezintă o excepŃie. Deoarece se pr econizează o creștere majoră a cererii de
energie pe plan global în anii următori, sîau ridic at diverse întrebări referitoare la furnizările de
energie în viitor, la competitivitatea economică a diverselor surse de energie și la impactul
asupra mediului înconjurător.
Sistemul electroenergetic (SEE) reprezintă ansamblu l instalaŃiilor destinate producerii,
transportului, distribuŃiei și consumului de energi e electrică. FuncŃia de bază a sistemelor
electroenergetice este alimentarea cu energie elect rică a tuturor consumatorilor. Alimentarea cu
energie electrică și transformarea energiei electri ce în forme dorite și utile impune sistemului o
serie de condiŃii care să eficientizeze conectarea diferitelor tipuri de receptoare la reŃeaua
electrică.
Orice produs (serviciu) este caracterizat prin cali tate. NoŃiunea de calitate a energiei
electrice este una complexă pentru conturarea cărei a se impune luarea în considerare a unui
număr mare și variat de factori. Conform definiŃiei formulate de OrganizaŃia InternaŃională de
Standardizare î ISO (International Standard Organis ation), calitatea reprezintă totalitatea
caracteristicilor și a particularităŃilor unui prod us sau serviciu, care concretizează aptitudinea de a
răspunde la necesităŃi potenŃiale sau exprimate ale utilizatorului.
Energia electrică este considerată în prezent un pr odus livrat de furnizor consumatorilor.
Problemele de calitate a energiei electrice, import ante pentru funcŃionarea sistemelor energetice
în ansamblu, au căpătat în ultimii ani o actualitat e și o importanŃă deosebită mai ales datorită
apariŃiei unor consumatori din ce în ce mai sensibi li la perturbaŃii.
Această situaŃie a făcut ca din etapa actuală să ex iste o preocupare permanentă pentru
calitatea energiei electrice, planificarea și monit orizarea acesteia, standardizarea emisiilor
perturbatoare și stabilirea de niveluri de compatib ilitate atât pe plan internaŃional, european cât și
în România.
Dacă până nu de mult atenŃia principală pentru asig urarea unei calităŃi corespunzătoare a
energiei electrice se acorda marilor consumatori in dustriali racordaŃi la reŃele de tensiune înaltă,
impactul pe care aceasta îl are în prezent asupra u nui număr tot mai mare de consumatori
racordaŃi chiar și la joasă tensiune, a adus proble ma și în atenŃia unor organizaŃii profesionale.
Calitatea energiei electrice, spre deosebire de al te sectoare de activitate, depinde nu numai
de furnizor, ci și de toŃi consumatorii racordaŃi l a aceeași reŃea de alimentare; unii dintre aceștia
pot determina influenŃe perturbatorii în reŃeaua fu rnizorului, care să afecteze funcŃionarea altor
consumatori, racordaŃi la aceeași reŃea; în conseci nŃă, consumatorii care contribuie la alterarea
calităŃii energiei electrice peste valorile admise trebuie să adopte măsuri pentru încadrarea
perturbaŃiilor produse în limitele alocate sau să a ccepte posibilitatea deconectării lor.
Cu privire la justificarea interesului manifestat p entru domeniul calităŃii energiei electrice
pot fi enumerate câteva argumente [Chindriș, 2003]:
• echipamentele moderne sunt mai sensibile la reducer ea calităŃii energiei electrice datorită
faptului că au în componenŃa lor dispozitive electr onice și sisteme de control bazate pe
microprocesoare, ale căror caracteristici de funcŃi onare sunt afectate de perturbaŃii în
reŃeaua electrică de alimentare;
• preocupările pentru creșterea randamentelor în proc esele de producere, transport și
utilizare a energiei electrice au determinat introd ucerea, pe scară largă, a electronicii de

22 putere în controlul proceselor de conversie a energ iei și a echipamentelor adaptive pentru
controlul factorului de putere;
• consumatorii au devenit mai conștienŃi și mai bine informaŃi asupra impactului pe care
diferite perturbaŃii electromagnetice (aleatoare, s emipermanente sau permanente) îl au
asupra echipamentelor electrice și a proceselor teh nologice (inclusiv asupra calităŃii
produsului finit) și, ca urmare, cer furnizorilor s ă le ofere energie electrică la parametrii
de calitate contractaŃi;
• creșterea complexităŃii sistemelor energetice și a influenŃelor reciproce între acestea și
utilizatori, precum și între consumatorii racordaŃi la același sistem de alimentare.
În figura 1.1. se prezintă organigrama aspectelor de CEE, prin evidenŃierea trăsăturilor
fundamentale ale tipurilor de abateri incluse în ac est concept [Maier, 2007].

Figura 1.1. Organigrama aspectelor de CEE.

Din punct de vedere al aspectelor privind calitatea energiei electrice, prezintă interes
special perturbaŃiile de joasă frecvenŃă și în mod particular (considerând tema prezentei lucrări),
distorsiunile armonice de tensiune și curent, respe ctiv nesimetriile de tensiune și curent. Aceste
perturbaŃii pot avea originea în reŃeaua:
• furnizorului, datorită unor avarii, incidente, mane vre greșite sau conducerii
necorespunzătoare a sistemului;

23 • consumatorului, datorită unor receptoare (care func Ńionează cu șocuri de putere reactivă,
sunt dezechilibrate, poluează reŃeaua cu armonici î receptoare neliniare) sau incidentelor
și avariilor din reŃeaua electrică proprie.

Natura și frecvenŃa perturbaŃiilor depind de tipul reŃelei electrice; de exemplu, în reŃelele
aeriene defectele pot fi pasagere (de scurtă durată ), iar în reŃelele de cabluri, cele mai frecvente
sunt defectele permanente.
PerturbaŃiile care apar în reŃelele electrice pot f i determinate de:
• surse naturale (fenomene atmosferice) cum ar fi tră snetele, depuneri excesive de gheaŃă
asociate cu ruperea conductoarelor, etc;
• surse artificiale, fenomene care se produc în timpu l exploatării echipamentelor de
producere, transport și utilizare a energiei electr ice, ca de exemplu:
a. procese de conectare și deconectare;
b. radiaŃia circuitelor, respectiv a conductoare lor;
c. armonici;
d. nesimetrii, etc.
În mod obișnuit, informaŃiile privind perturbaŃiile electromagnetice generate de
consumatori se regăsesc în curba curentului electri c absorbit. Modul în care aceste perturbaŃii
afectează curba tensiunii electrice (determinantă p entru aprecierea calităŃii energiei electrice
furnizată celorlalŃi consumatori conectaŃi pe acele ași bare de alimentare) depinde în primul rând
de impedanŃa echivalentă maximă a sistemului în nod ul analizat (curentul de scurtcircuit minim).
În acest fel, în rezolvarea problemelor privind cal itatea energiei electrice a consumatorilor
prezintă un interes deosebit cunoașterea configuraŃ iei reŃelei de alimentare care conduce la un
curent de scurtcircuit minim în punctul de alimenta re al consumatorului (efect maxim asupra
curbei tensiunii).
În continuare sunt prezentate perturbaŃiile electr omagnetice care influenŃează pierderile de
putere în reŃelele electrice: nesimetriile, respect iv distorsiunile armonice.

1.1. Nesimetrii

Un sistem electric trifazat este denumit simetric s au echilibrat dacă tensiunile celor trei
faze și cei trei curenŃi au aceeași amplitudine și sunt defazate (defazaŃi) una faŃă de cealaltă cu un
unghi de 3 / 2π⋅ radiani. Dacă una sau ambele condiŃii nu sunt satis făcute, sistemul este denumit
dezechilibrat sau nesimetric (figura 1.2) [Cziker, 2003].
O reŃea trifazată, compusă din linii, generatoare ș i receptoare, poate fi reprezentată prin
impedanŃele respective. În cazul în care impedanŃel e pe cele trei faze ale reŃelei sunt identice,
adică au același modul și același argument, reŃeaua se numește echilibrată. Dacă cel puŃin una din
impedanŃele complexe diferă de celelalte, reŃeaua r espectivă se dezechilibrează.
În analiza regimurilor energetice din reŃelele elec trice se adoptă ipoteza iniŃială potrivit
căreia sursele din sistem determină la borne un sis tem simetric al tensiunilor. Nesimetria în
diferitele noduri din reŃeaua electrică este determ inată fie de sarcinile inegale pe fazele sistemului
datorate consumatorilor dezechilibraŃi, fie de impe danŃele diferite pe fazele reŃelei de transport și
distribuŃie a energiei electrice. În acest fel, chi ar în cazul unui consumator echilibrat, transferul de
energie pe liniile din sistemul energetic conduce l a apariŃia regimurilor nesimetrice.

24

Figura 1.2. Sistem trifazat nesimetric de tensiuni

ConsecinŃa cea mai nefavorabilă a dezechilibrelor d e tensiune este circulaŃia unei
componente suplimentare de curent în reŃeaua electr ică.
În funcŃie de natura cauzei care leîa determinat, d ezechilibrele întrîun sistem
electroenergetic pot fi temporare sau permanente.
Regimul dezechilibrat temporar se datorează influenŃei asupra sistemului a unor de fecte
de natură diferită (scurtcircuite sau întreruperi n esimetrice) sau introducerii accidentale în reŃea a
unor elemente nesimetrice și dispare o dată cu înce tarea cauzei care lîa generat. Studiul său
prezintă interes pentru teoria și concepŃia dispozi tivelor de protecŃie, precum și în cazul studiilor
de stabilitate.
Regimul dezechilibrat permanent apare atunci când reŃeaua este încărcată nesimetric ca
urmare a unei repartiŃii defectuoase a sarcinii pe cele trei faze. Gradul de dezechilibru în acest caz
este în general mic, putând atinge însă valori impo rtante în cazul unor consumatori industriali
monofazaŃi de putere mare. Deși ponderea consumator ilor industriali este majoră, nu trebuie
neglijat nici aportul, din ce în ce mai semnificati v, al consumatorilor casnici monofazaŃi. De
asemenea, unele elemente de transfer al energiei el ectrice prezintă impedanŃe diferite pe faze, ca
urmare a faptului că cele trei conductoare de fază au poziŃii relative inegale unele faŃă de altele
sau faŃă de pământ (liniile electrice netranspuse, reŃelele de bare conductoare, reŃelele scurte ale
cuptoarelor electrice etc.).
Conform altor criterii de clasificare a nesimetriil or care pot apărea întrîo reŃea electrică
[ługulea, 1987], acestea pot fi:
• Nesimetrii longitudinale – întreruperea unei faze;
• Nesimetrii transversale – scurtcircuite între faze, respectiv fazăîpământ;
• Nesimetrii simple sau multiple – în funcŃie de numă rul de impedanŃe și admitanŃe care
intervin;
• Asimetrii și disimetrii – după cum sunt cauzate de componentele de secvenŃă zero,
respectiv de cele de secvenŃă negativă, determinate de apariŃia defectelor care au loc între
două sau mai multe conductoare, cu sau fără punere la pământ (defecte nesimetrice).
În general, din punct de vedere constructiv, liniil e electrice aeriene nu sunt "simetrice". În
cazul dispunerii celor trei conductoare ale unui ci rcuit după vârfurile unui triunghi echilateral,
este necesară o supraînălŃare suplimentară a stâlpi lor de susŃinere și o transpunere repetată a

25 conductoarelor pentru a simetriza aceste circuite, ceea ce uneori nu se poate realiza total. În cazul
dispunerii pe orizontală a celor trei conductoare, conductorul central prezintă, la curenŃi de
secvenŃă pozitivă/negativă, o impedanŃă inferioară cu 6î10% faŃă de cea a celorlalte conductoare.
Căderea de tensiune este, în această situaŃie, mai mică, ceea ce atrage un ușor dezechilibru la
bornele consumatorilor.
Dezechilibrul consumurilor poate fi provocat, spre exemplu, de receptoarele de
construcŃie nesimetrică care, racordate la reŃele t rifazate, absorb curenŃi diferiŃi pe cele trei faze .
Această situaŃie conduce la o nesimetrie a sistemul ui de tensiuni. Probabilitatea de apariŃie a
dezechilibrului consumului pe cele trei faze este m ai mare în cazul reŃelelor cu consumatori
monofazaŃi (tracŃiune electrică, sudură, instalaŃii electrotermice monofazate, consumatori casnici
etc.).
În cele mai multe cazuri practice, cauza principală a nesimetriei o constituie dezechilibrul
sarcinilor. Sarcinile de joasă tensiune sunt de obi cei monofazate, de exemplu calculatoarele
numerice sau sistemele de iluminat, și de aceea est e greu de garantat o încărcare echilibrată a
fazelor. În planul de pozare a conductoarelor siste mului electric care alimentează sarcinile,
acestea sunt distribuite deîa lungul celor trei faz e ale sistemului, de exemplu câte o fază pentru
fiecare nivel al unui apartament sau al unei clădir i administrative sau alternativ în șirul de case. Î n
plus, dezechilibrul sarcinii echivalente la transfo rmatorul de alimentare variază datorită dispersiei
statistice a graficelor de utilizare ale diferitelo r sarcini individuale.
CondiŃiile perturbate din reŃea determină dezechili brarea fazelor. Defectele fază – pământ,
fază – fază și întreruperea unui conductor sunt exe mple tipice. Aceste defecte determină goluri de
tensiune în una sau două dintre fazele implicate și pot determina chiar indirect supratensiuni pe
celelalte faze. Comportarea sistemului este atunci prin definiŃie nesimetrică; astfel de fenomene
sunt clasificate uzual ca perturbaŃii. ProtecŃia pr in relee a sistemului trebuie să elimine aceste
defecte.
Efectele regimului nesimetric prezintă aspecte spec ifice în funcŃie de unele caracteristici
ale receptoarelor din reŃeaua electrică. Principale le tipuri de receptoare din sistemul energetic
sunt indicate în tabelul 1.1, acestea având o ponde re diferită în totalul consumului, în funcŃie de
tipul reŃelei electrice (industrială, urbană, etc.) [Golovanov, 2001].

Tabelul 1.1
Ponderea unor tipuri de receptoare în reŃeaua elect rică

Tipul receptoarelor Ponderea din totalul puterii instalate a
receptoarelor din reŃeaua electrică
[%]
Mașini asincrone, în general
• de tensiune înaltă 47…88
• de tensiune joasă 5…24
Motoare sincrone 29…52
Iluminat electric 8…40
Baterii de condensatoare 15…20

În analiza efectelor regimurilor nesimetrice asupra receptoarelor trifazate de energie
electrică este necesar a lua în consideraŃie :
• influenŃa inegalităŃii, în modul, a amplitudinilor tensiunilor trifazate;

26 • influenŃa defazajelor, diferite de 2π/3, între tens iunile de fază.
Cele mai importante efecte ale nesimetriei tensiuni lor de alimentare constau în încălziri,
pierderi suplimentare (linii, transformatoare și ma șini electrice rotative de tensiune alternativă
trifazată) și reducerea capacităŃii de transport și transformare (în cazul liniilor și
transformatoarelor electrice).
Nesimetria tensiunilor determină reducerea puterii reactive furnizată de bateriile de
condensatoare. Puterea debitată de baterie pe fieca re fază depinde de pătratul tensiunii aplicate,
după cum se observă în relaŃia (1.1). În aceste con diŃii, bateria de condensatoare racordată la o
reŃea de tensiune nesimetrică va contribui la ampli ficarea nesimetriei deoarece pe faza cea mai
încărcată va fi debitată cea mai mică putere reacti vă.

cf
cXUQ2
= [kVAr]. (1.1)

Nesimetria curenŃilor are ca principal efect produc erea de pierderi suplimentare în reŃelele
electrice de transport și distribuŃie, precum și în reŃelele industriale, cu consecinŃe negative asupr a
randamentului de transfer al energiei.
Capacitatea de încărcare a transformatoarelor, cabl urilor și liniilor este redusă datorită
componentei de secvenŃă inversă. Limita de funcŃion are este determinată de valoarea efectivă a
curentului total, cuprinzând parŃial componentele „ nefolositoare” ale curenŃilor de altă secvenŃă
decât cea pozitivă. Acest fapt trebuie luat în cons iderare când se stabilesc reglajele protecŃiilor
care acŃionează la curentul total. Capacitatea maxi mă de încărcare poate fi determinată utilizând
un factor de descărcare, dat de fabricant, și care să poată fi folosit pentru alegerea unui element
cu parametrii mai mari, capabil să suporte sarcina.
Transformatoarele cărora li se aplică tensiuni de s ecvenŃă negativă, le transformă în
același mod ca și tensiunile de secvenŃă pozitivă. Comportarea la tensiunile de secvenŃă zero
depinde de conexiunile înfășurărilor primare și sec undare și, mai mult, de existenŃa conductorului
neutru.
Dacă, de exemplu, o parte are conexiune trifazată c u patru conductoare, pot circula
curenŃi prin neutru. Dacă înfășurarea de pe partea cealaltă are conexiunea în triunghi, curentul de
secvenŃă zero este transformat întrîun curent circu latoriu în cele trei înfășurări (și produce
încălzire). Fluxul magnetic de secvenŃă zero asocia t se închide prin părŃile constructive ale
transformatorului cauzând pierderi parazite în elem ente precum cuva, astfel că uneori este
necesară o reducere a puterii transformatorului.
Încălzirea suplimentară este determinată de curenŃi i de secvenŃă negativă și zero care
parcurg înfășurările mașinilor. De asemenea, nesime tria tensiunilor produce, în mașinile electrice
rotative, cupluri pulsatorii de frecvenŃă ridicată și, în consecinŃă, vibraŃii, care se accentuează în
cazul nesimetriilor fluctuante; în același timp, re zultă o reducere a randamentului motoarelor.
Pentru mașinile asincrone de tensiune alternativă, valoarea câmpului magnetic rotativ
indus este proporŃională cu amplitudinea componente lor de succesiune pozitivă și/sau negativă.
Sensul de rotaŃie al câmpului componentei de secven Ńă negativă este opus câmpului componentei
de secvenŃă pozitivă. Deci, în cazul unei alimentăr i nesimetrice, câmpul magnetic rotitor rezultat
devine „eliptic” în loc să fie circular.
PrezenŃa la bornele mașinilor rotative a unor tensi uni nesimetrice conduce, chiar pentru o
componentă de secvenŃă negativă de valoare scăzută, la o creștere considerabilă a pierderilor de
putere activă, ceea ce are ca efect încălzirea supl imentară a înfășurărilor și a diferitelor părŃi ale

27 statorului și ale rotorului. În [Pop, 2010:1] se ev idenŃiază efectele negative ale alimentării
motoarelor asincrone cu tensiuni nesimetrice.
În cazul instalaŃiilor de redresare, regimul nesime tric are ca efect diminuarea
randamentului și poate conduce la deteriorarea cond ensatoarelor filtrelor de netezire (apare o
armonică de curent de rangul 2, proporŃională cu fa ctorul de netezire, care supraîncarcă
condensatoarele din filtru).
Efectele regimurilor nesimetrice prezintă aspecte s pecifice în funcŃie de unele
caracteristici ale receptoarelor din reŃeaua electr ică. În concluzie, nesimetriile de tensiune și/sau
curent au următoarele efecte energetice negative [C ziker, 2003]:
• consumuri proprii tehnologice suplimentare în reŃel ele electrice ale consumatorilor, cât și
ale sistemului electroenergetic;
• indisponibilizează o putere corespunzătoare în grup urile generatoare, datorită câmpului
învârtitor invers;
• contoarele electrice clasice pentru măsurarea energ iei electrice, bazate pe principiul
inducŃiei electrice, sunt influenŃate negativ (eror i de măsură);
• produc vibraŃii și frânări datorate câmpului învârt itor invers în motoarele electrice și reduc
durata de viaŃă a acestora, din cauza încălzirilor suplimentare produse datorită acestui
regim de funcŃionare .

Întrîun sistem trifazat echilibrat, alimentat cu un sistem de tensiuni simetric, curenŃii care
iau naștere în diversele elemente, precum și căderi le de tensiune corespunzătoare, formează
sisteme trifazate simetrice; de asemenea, în sistem ele echilibrate, diversele faze nu au o influenŃă
reciprocă una asupra celeilalte [Golovanov, 2001].

Figura 1.3. Sistem trifazat simetric de tensiuni și curenŃi electrici

Un sistem polifazat de tensiuni sau curenŃi poate avea caracteristici diferite pe faze, în
ceea ce privește valorile efective sau fazele mărim ilor periodice, sinusoidale, componente ale
sistemelor respective. În consecinŃă, pentru un sis tem nesimetric de mărimi alternative
sinusoidale ( Y1, Y2, Y3) se poate determina setul de componente simetrice , format din mărimile de
secvenŃă (succesiune) pozitivă (directă) +Y , negativă (inversă) −Y și zero (de succesiune
omopolară) 0Y, în baza teoremei StokvisîFortesque.

28 Componentele de secvenŃă se calculează folosind ma tricea de transformare a fazorilor
tensiunilor sau curenŃilor trifazaŃi:





⋅




⋅=




−+
321
220
111 11
31
YYY
a aaa
YYY
. (1.2)

în care operatorul de rotaŃie a este:
°⋅=120jea . (1.3)

Transformările au ca invariant energia electrică, a stfel încât orice putere calculată cu
valorile iniŃiale sau transformate va avea aceeași valoare.
Transformarea inversă este:





⋅




=




−+
YYY
aaa a
YYY0
22
321
111 11
. (1.4)

Sistemul direct este asociat cu câmpul învârtitor p ozitiv, iar sistemul invers cu câmpul
învârtitor negativ (figura 1.4). În cazul unei mași ni electrice de tensiune alternativă, aceasta este o
interpretare corectă, din punct de vedere fizic, pe ntru câmpul magnetic învârtitor [Gheorghe,
2001].
Componentele de secvenŃă zero sunt în fază și doar oscilează. În sistemele fără conductor
neutru, componentele de secvenŃă zero – evident – n u pot circula, însă pot să apară diferenŃe
semnificative de potenŃial, între potenŃialele „pun ctelor neutre” ale conexiunilor în stea (Y) ale
sistemului de alimentare și ale sarcinii.

Figura 1.4. Reprezentarea grafică a componentelor s imetrice

Pentru puterile aparente complexe există relaŃiile:

29
()
( )
( ) . 3, 3, 3
***0 0 0
− − −+ + +
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
I U SI U SI U S
(1.5)

Puterea aparentă complexă exprimată în componentele ei simetrice de secvenŃă pozitivă,
negativă și zero, se poate scrie sub o formă genera lă, astfel:

[ ][ ]* * *
***
1
C C B B A A
CBA
C B A I U I U IU
III
U U U S ⋅+⋅+⋅=




⋅ = . (1.6)

Aplicând teoria componentelor simetrice, ecuaŃia (1 .6) devine:

[]()()() [ ]− + −− ++++= + +⋅= S S S IU IU I U S0* * *0 03 . (1.7)

Se observă că în expresia secvenŃială a puterii apa rente nu apar termeni încrucișaŃi, fapt
care permite efectuarea de bilanŃuri de puteri, sep arat pe fiecare secvenŃă în parte, bilanŃuri
esenŃiale pentru înŃelegerea circulaŃiilor de puter i în regimuri nesimetrice.
Din expresiile puterii aparente prezentate anterio r se pot defini puterile active și reactive
pentru fiecare secvenŃă. Astfel, puterile active de secvenŃă sunt definite după cum urmează:

()+ ++ +⋅⋅⋅= ϕcos 3 I U P [W],
()− −− −⋅⋅⋅= ϕcos 3 I U P [W], (1.8)
()0 0 0 0cos 3 ϕ⋅⋅⋅= IU P [W].

unde: +ϕ î unghiul dintre componentele de secvenŃă pozitivă ale tensiunii și curentului;
−ϕ î unghiul dintre componentele de secvenŃă negativă ale tensiunii și curentului;
0ϕ î unghiul dintre componentele de secvenŃă zero ale tensiunii și curentului.

Puterea activă totală este egală cu suma puterilor pe fiecare secvenŃă, dar de asemenea
este egală cu suma puterilor pe cele trei faze:
C B A P P P P P PP ++=++=− + 0 [W]. (1.9)

Puterile reactive de secvenŃă pozitivă, negativă și zero se definesc similar ca și puterile
active. Astfel, avem:
()+ ++ +⋅⋅⋅= ϕsin 3 I U Q [VAr],
()− −− −⋅⋅⋅= ϕsin 3 I U Q [VAr], (1.10)
()0 0 0 0sin 3 ϕ⋅⋅⋅= IU Q [VAr].

30
Puterea reactivă totală se determină ca sumă dintr e puterile de secvenŃă astfel:

C B A Q Q Q Q Q QQ ++=++=− + 0 [VAr]. (1.11)

Pentru a caracteriza gradul de nesimetrie al unui s istem de fazori se definesc mărimi care
se determină făcând raportul dintre componenta de s ecvenŃă negativă/zero și componenta de
secvenŃă pozitivă. Principalii indicatori utilizaŃi prin care se face aprecierea regimului nesimetric
sunt:
• Factorul de nesimetrie negativă −
Yk, denumit și factorul de disimetrie, este definit p rin
raportul procentual dintre componenta de secvenŃă n egativă −Y și cea de secvenŃă
pozitivă +Y; acesta se determină cu relaŃia:

.[%] 100⋅=+−
−
YYkY (1.12)

O variantă a definiŃiei (relaŃia 1.12) pentru tens iuni este factorul de nesimetrie de tensiune
−
nsk calculat ca raport între valoarea efectivă a compo nentei de secvenŃă negativă de tensiune −U
și valoarea efectivă a tensiunii nominale a reŃelei NU:

.[%]100⋅=−
−
NnsUUk (1.13)

Valoarea maximă admisă a factorului de nesimetrie n egativă a tensiunii −
nsk este de 2 %
[Golovanov, 2001].

• Factorul de nesimetrie zero 0
Yk , denumit și factorul de asimetrie, se definește pri n
raportul dintre componenta de secvenŃă zero și cea de secvenŃă pozitivă, raport exprimat
în procente:
.[%] 1000
0⋅=+YYkY (1.14)

Pentru determinarea valorilor efective ale componen telor simetrice, sîa dezvoltat relaŃia
(1.2) prin explicitarea operatorilor a și a2 și separarea părŃilor reale și imaginare, în veder ea
determinării, în principal, a modulelor componentel or simetrice, acestea fiind necesare la
caracterizarea regimului nesimetric [Maier, 2007].
Componenta de secvenŃă pozitivă +Y se obŃine mai întâi, în complex, cu relaŃia (1.15) .

( ) ( )


−⋅+ ⋅⋅+

−⋅+ ⋅ ⋅= ∑ ∑
= =+3
13
1132sin 132cos31
kk k
kk k k Y j k Y Yπϕπϕ . (1.15)

din care se deduce modulul +Y al acesteia sub o formă care se pretează unui calc ul iterativ:

31
( ) ( )23
123
1132sin 132cos31



−⋅+ ⋅ +


−⋅+ ⋅ ⋅= ∑ ∑
= =+
kk k
kk k k Y k Y Yπϕπϕ . (1.16)

Similar, printrîun artificiu de calcul, sîa dedus relaŃia potrivită calculului iterativ pentru
componenta de secvenŃă negativă:

( ) ( )23
123
1432sin 432cos31



−⋅+ ⋅ +


−⋅+ ⋅ ⋅= ∑ ∑
= =−
kk k
kk k k Y k Y Yπϕπϕ . (1.17)

Componenta de secvenŃă zero se determină cu relaŃi a (1.18).

23
123
10sin cos31

⋅ +

⋅ ⋅= ∑ ∑
= = kk k
kk k Y Y Y ϕ ϕ . (1.18)

Setul de relaŃii (1.16) î (1.18) constituie o bază de calcul scalar, iterativ al componentelor
simetrice. De remarcat faptul că, pe baza relaŃiilo r de forma (1.15), se pot determina și fazele
componentelor simetrice, părŃile reală și imaginară ale expresiilor apărând în această ordine.
Există și alte metode de calcul pentru determinare a directă a componentelor simetrice sau
a unor indicatori ai regimului nesimetric [Dugan, 2 002]. Prima care se impune a fi semnalată este
metoda care poate fi denumită geometrică, deoarece se bazează pe rezolvarea triunghiurilor (lui
Napoleon) care evidenŃiază construcŃia componentelo r simetrice [Maier, 2007].
În cazul în care componenta de secvenŃă zero este nenulă 00 0≠=Y Y metoda
geometrică oferă următoarele relaŃii de calcul al c omponentelor de secvenŃă pozitivă și negativă:

.186 3,186 342
2 2 42
2 2 L L L L L L Y Y YYY Y YY− −=− +=− + (1.19)

în care sîau considerat următoarele notaŃii

.,
4
314
234
12 42
312
232
12 2
Y Y Y YY Y Y Y
LL
++=++= (1.20)

iar (Y 12 , Y 23 , Y 31 ) reprezintă sistemul mărimilor de linie, dat de re laŃiile în complex


−=−=−=
.,,
1 3 313 2 232 1 12
Y Y YY Y YY Y Y
(1.21)

32 Se observă faptul că, deși se calculează component ele simetrice pentru sistemul mărimilor
de fază, sunt necesare și mărimile de linie.

În cazul componentei de secvenŃă zero nule, relaŃi ile de calcul propuse sunt următoarele:

.66 3
,66 342
2 2 42
2 2 f f f f f f Y Y Y
YY Y Y
Y− −
=− +
=− + (1.22)

în care notaŃiile introduse au semnificaŃiile de ma i jos:

.,
4
34
24
1 42
32
22
1 2
Y Y Y YY Y Y Y
ff
++=++=
(1.23)

Rezultate identice cu metoda geometrică furnizează relaŃia Robert – Marquet, dată direct
pentru calculul raportului dintre componenta de sec venŃă negativă și pozitivă (aplicabilă pentru
cazul când 00=Y ) [Golovanov, 2001]:

ββ
63 163 1
−+−−=+−
YY. (1.24)

în care sîa introdus notaŃia:

( )22
32
22
14
34
24
1
Y Y YY Y Y
++++=β . (1.25)

Pentru un sistem nesimetric de tensiuni de linie, v aloarea efectivă a componentei de
secvenŃă pozitivă a tensiunii +U se poate determina [Golovanov, 2001]






−+






+−−⋅+⋅ =+22 22
22 2
24 3121
ABCA BC
AB
ABCA BC
BC ABUU UUUU UU U U [V]. (1.26)

în care: CA BC AB U U U , , î valorile tensiunilor între faze.
De asemenea, se admite că valoarea efectivă a comp onentei de secvenŃă pozitivă a
tensiunii se poate determina cu următoarea relaŃie aproximativă:

3CA BC AB U U UU++≅+ [V]. (1.27)

33 Eroarea de aproximare a valorii efective a componen tei de secvenŃă pozitivă a tensiunii
prin folosirea relaŃiei (1.27) în loc de expresia ( 1.26) nu depășește 0,1% dacă factorul de
nesimetrie negativă de tensiune nu este mai mare de 6%.
Valoarea efectivă a componentei de secvenŃă negativ ă de tensiune −U poate fi
determinată cu ajutorul relaŃiei [Golovanov, 2001]:






−+






+−−⋅−⋅ =−22 22
22 2
24 3121
ABCA BC
AB
ABCA BC
BC ABUU UUUU UU U U [V]. (1.28)

Se admite calculul valorii −U cu relaŃia aproximativă (1.29):

( )min max 62, 0 U U U −⋅≅− [V]. (1.29)

în care: maxU î cea mai mare valoare dintre cele trei tensiuni d e linie
minU î cea mai mică valoare dintre cele trei tensiuni d e linie
Eroarea de determinare a componentei de secvenŃă n egativă de tensiune folosind relaŃia
(1.29) în loc de relaŃia (1.28) nu depășește 8 ± %.
În ceea ce privește valoarea efectivă a componente i de secvenŃă zero de tensiune 0U,
aceasta se poate determina cu :

2
02
00
61
B AU U U +⋅= [V]. (1.30)

în care:

ABA B
ABCA BC
AUU U
UU UU2 2 2 2
0 3−⋅−−= [V], (1.31)
22 2
222 2
2
0 43 4


+−−⋅⋅−


+−−⋅=AB
ABA B
B AB
ABCA BC
BC B U
UU UU U
UU UU U [V]. (1.32)

unde: CA BC AB U U U , , î valorile efective a tensiunilor de linie
AU și BUî valorile efective a tensiunilor de fază.
Acceptând o eroare de cel mult 10 ± %, relaŃia (1.32) poate fi pusă sub forma:

( )min max 62, 0 U U U −⋅≅− [V]. (1.33)

Normativul românesc [***, 2008:1], aliniat la norm ativele internaŃionale, stabilește
necesitatea analizei statistice a nesimetriei de te nsiune și încadrarea în limita de 2 % a factorului
total de nesimetrie în 95 % din perioada de observa re (10 minute).

34 1.2. Distorsiuni armonice

Distorsiunea armonică a unei curbe (de tensiune sau de curent electric) reprezintă o
abatere periodică, în regim permanent, de la forma sinusoidală de frecvenŃă caracteristică
sistemului analizat.
Întrîun sistem electroenergetic, pot fi întâlnite u rmătoarele tipuri de distorsiune armonică:
• componente continue;
• armonici;
• interarmonici;
• impulsuri de comutaŃie;
• zgomote.
Armonicile sunt curenŃi sau tensiuni sinusoidale av ând o frecvenŃă multiplu întreg al
frecvenŃei în care sistemul este proiectat să lucre ze (numită frecvenŃă fundamentală î în mod
normal, 50 Hz sau 60 Hz). PrezenŃa armonicilor își are originea în neliniaritatea caracteristicilor
echipamentelor și a receptoarelor conectate în SEE; nivelul distorsiunii poate fi descris prin
spectrul armonic, cu indicarea amplitudinii și a de fazajului pentru fiecare armonică individuală.
FrecvenŃele armonicilor sunt multipli întregi ai fr ecvenŃei fundamentalei de alimentare.
În figura 1.5 este reprezentată fundamentala peste care sunt suprapuse o armonică de rang
trei cu amplitudinea de 50% din fundamentală și o a rmonică de rang 5 cu amplitudinea de 30 %
din fundamentală. De notat că, în practică, curba d eformată de curent va fi cu mult mai complexă
decât cea din exemplu, cuprinzând mult mai multe ar monici cu defazaje diferite.

Figura 1.5. Undă de curent distorsionată

Curba rezultată evident nu va fi sinusoidală și ace asta înseamnă că echipamentul normat
de măsurare, un multimetru calibrat pentru a măsura valoarea efectivă pe baza valorii medii, va
da indicaŃii incorecte. De observat, de asemenea, c ă pot exista mai multe puncte de trecere prin
zero pe o perioadă în loc de două, astfel că orice echipament care utilizează trecerile prin zero ca
referinŃă va funcŃiona incorect. Curba conŃine frec venŃe diferite de fundamentală și trebuie tratată
corespunzător.

35 Când se vorbește despre armonici în instalaŃiile el ectrice ne referim în principal la curenŃi
deoarece armonicile rezultă datorită curenŃilor și cea mai mare parte a efectelor nocive este
datorată acestor curenŃi. Nu se pot trage concluzii utile fără a cunoaște spectrul armonicilor de
curenŃi.
Regimul deformant este regimul permanent de funcŃio nare a reŃelelor electrice de
tensiune alternativă în care curbele de variaŃie î n timp de tensiune și de curent sunt periodice și
cel puŃin una dintre ele nu este sinusoidală [***,1 990].
Regimul deformant este produs în sistemul energetic de elementele deformante, ulterior el
fiind propagat și amplificat prin reŃelele electric e de transport și distribuŃie. Elementele
deformante sunt aparate care produc sau amplifică t ensiuni și curenŃi armonici și pot fi elemente
deformante care alimentate cu tensiuni sau curenŃi riguros sinusoidali produc fenomene
deformante (categoria I) și elemente care nu dau na ștere la regim deformant, dar care alimentate
cu curenŃi deformanŃi amplifică această deformaŃie (categoria a IIîa).
Sursele de regim deformant mai pot fi clasificate î n surse de tensiuni armonice (surse care
produc tensiuni electromagnetice nesinusoidale) și surse de curenŃi armonici (elemente
deformante care, în regim sinusoidal de tensiune, i ntroduc armonici superioare în curentul
absorbit din reŃea) [Iordache, 1997].
Elementele liniare ale reŃelei ( R, L și C = ct) nu convertesc frecvenŃele tensiunilor și
curenŃilor armonici, ci realizează amplificarea sau atenuarea lor. Elementele neliniare sunt
răspunzătoare și de conversia frecvenŃelor.
Prin urmare, tensiunile armonice, provenind de la s ursele de tensiuni nesinusoidale
aplicate reŃelei în diferite puncte, dau naștere cu renŃilor armonici de ordin corespunzător sau
diferit, amplificaŃi sau atenuaŃi de către elemente le neliniare ale circuitelor și de către cele
reactive ( L, C ). CurenŃii armonici, generaŃi de sursele de curenŃ i nesinusoidali, se vor închide pe
circuitele reŃelei și vor conduce la o deformare co respunzătoare a tensiunii, în funcŃie de valorile
impedanŃelor echivalente ale reŃelei în punctele de injecŃie respective; din acest motiv, spectrul
tensiunii în aceste puncte are calitativ aceeași va riaŃie ca și spectrul curentului nesinusoidal
injectat de sursa deformantă.
În sistemele electroenergetice există o mare variet ate de sarcini care au în componenŃă
circuite electrice (bobine cu miez din fier, conden satoare, redresoare necomandate sau
comandate, arcul electric, descărcarea corona) cu c aracteristici neliniare, ce conduc la apariŃia
unor curenŃi nesinusoidali chiar dacă sursele din r eŃea sunt perfect sinusoidale. CurenŃii
nesinusoidali parcurg elementele liniare din circui t, conducând la căderi de tensiune care,
suprapuse peste tensiunile sinusoidale ale surselor , determină ca în diferite puncte din reŃea
tensiunile să fie deformate. Aceste sarcini nelinia re, numite și elemente deformante, pot fi
clasificate în trei mari categorii:
• receptoare de putere mică, de largă răspândire;
• sarcini de putere medie, cu răspândire frecventă;
• sarcini de putere unitară mare, cu răspândire redus ă.
În grupa receptoarelor de putere unitară mică, de l argă răspândire, sunt incluse aparatele
electrocasnice sau echipamentele de birotică care, fiind conectate în număr mare la reŃeaua de
alimentare de joasă tensiune, reprezintă sursa prin cipală de poluare armonică.
Sarcinile de putere medie, cu răspândire frecventă, cuprind echipamentele pentru
comanda vitezei variabile la motoare electrice, ins talaŃiile de aer condiŃionat de putere medie,
instalaŃiile de încălzire industriale. Aceste sarci ni contribuie în prezent întrîo măsură relativ

36 redusă la poluarea armonică. Trebuie totuși menŃion ată extinderea rapidă a folosirii acestor
echipamente industriale.
În grupa sarcinilor de putere unitară mare, cu răsp ândire redusă, sunt incluse
echipamentele industriale de putere conectate la re Ńelele de medie, înaltă și foarte înaltă tensiune.
Un consumator este considerat deformant dacă deŃine elemente care generează, în punctul
de delimitare, regim deformant.
În cazul în care reŃele electrice sunt slab încărca te, la barele staŃiilor de transformare va
rezulta o tensiune ridicată. În aceste condiŃii vor apărea distorsiuni ridicate ale curentului electri c
deoarece curentul de magnetizare al transformatorul ui va avea o pondere ridicată în curentul total
din circuit. Efectul deformant al transformatoarelo r apare pregnant numai în reŃelele cu un număr
mare de astfel de echipamente funcŃionând în regim de mers în gol sau puŃin încărcate.
TracŃiunea electrică urbană, interurbană și suburba nă este o altă sursă de curenŃi armonici
InstalaŃiile prezintă o caracteristică neliniară, a vând în vedere faptul că se realizează redresarea
tensiunii alternative de la reŃeaua electrică de al imentare.
Circuitele care alimentează instalaŃii cu arc elect ric sunt parcurse de curenŃi armonici
specifici determinaŃi de caracterul neliniar al arc ului electric. Valorile orientative ale spectrului
armonic al curenŃilor determinaŃi de cuptoarele cu arc electric sunt prezentate în tabelul 1.2 [***,
2008:1].
Tabelul 1.2
Spectrul armonic al curentului determinat de cuptoa rele cu arc
Rang armonică 3 5 7 11 14
1/IIh [%] 7,7 3,2 1,3 0,5 0,3

Echipamente cu arc electric sunt întâlnite frecvent în instalaŃiile industriale care cuprind
cuptoare, a căror putere poate atinge câŃiva zeci d e MW, și echipamente de sudare cu arc electric.
Teoretic, funcŃionarea cuptoarelor cu arc electric determină perturbaŃii sub formă de armonici
numai în perioada de ardere în regim staŃionar. În prima etapă, de topire, perturbaŃiile care apar
sunt sub formă de flicker.
Lămpile cu descărcări în gaze și vapori metalici su nt receptoare cu caracteristici neliniare
ce determină în circuitul de alimentare un curent e lectric a cărui formă depinde de tipul lămpii,
tipul balastului (magnetic, electronic, electronic cu filtre de armonici) și schema de montare.
Balasturile electronice pentru lămpi fluorescente a u devenit populare în ultimii ani
datorită necesităŃii creșterii eficienŃei. Inconven ientul principal este că generează armonici în
reŃeaua de alimentare; spectrul curenŃilor armonici generaŃi de aceste lămpi este prezentat în
figura 1.6 [***, 2005:1].
Analiza componenŃei spectrale a curenŃilor absorbiŃ i de instalaŃiile de iluminat fluorescent
pune în evidenŃă faptul că acestea generează în spe cial armonici de rang trei, care se propagă în
reŃeaua electrică de alimentare și pot conduce la o importantă încărcare a conductorului de nul.
Redresoarele trifazate cu tiristoare, conectate în punte și cu filtru inductiv, reprezintă
receptorul poluant armonic cel mai răspândit în sch emele de alimentare ale echipamentelor
industriale. Variatoarele de viteză, unităŃile UPS și convertoarele de tensiune continuă sunt de
regulă alimentate printrîo punte trifazată, denumit ă și punte cu 6 pulsuri. O punte cu 6 pulsuri
generează armonici de rang 1 6±⋅h . Pentru reducerea poluării armonice, în mod obișnu it sunt
utilizate redresoare cu 12 pulsuri.

37 Bateriile de condensatoare existente în sistemele e lectroenergetice reprezintă o categorie
aparte de elemente deformante deoarece ele amplific ă, în primul rând, armonicile de tensiune; pe
de altă parte, sunt și surse de curenŃi armonici.
Condensatoarele reale din reŃeaua electrică sunt ca racterizate întotdeauna de pierderi de
putere activă în dielectric și uneori de o caracter istică q = f(u) neliniară (când reprezintă surse de
curenŃi armonici). Pierderile de putere activă sunt determinate de faptul că dielectricul prezintă o
conductanŃă nenulă precum și de fenomenul de hister ezis dielectric.

Figura 1.6. Spectrul armonic al unei lămpi fluoresc ente compacte tipice

Pierderile de energie care apar datorită regimurilo r deformante conduc la creșterea
cheltuielilor de producere a energiei electrice, su pradimensionarea elementelor reŃelei și deci
majorarea investiŃiilor în sistemul energetic [Albe rt, 1997].
Creșterea ponderii elementelor neliniare în sisteme le electroenergetice, atât ca puteri
instalate, cât și ca tipuri de echipamente, conduce la creșterea nivelului de poluare armonică a
acestora cu amplificarea efectelor negative determi nate de prezenŃa armonicilor în reŃeaua
electrică. Aceste efecte pot fi abordate sub două a specte [Golovanov, 2001]:
• din punct de vedere tehnic:
/head2right elementele componente ale sistemului sunt sensibile fie la curenŃii armonici (pierderi
Joule, perturbaŃii în domeniul audiofrecvenŃă), fie la tensiunile deformate (pierderi în
circuitele magnetice și materialele dielectrice, su pratensiuni, care, în anumite cazuri,
depășesc nivelurile admisibile);
/head2right funcŃionarea corectă a unor echipamente este afecta tă de prezenŃa armonicilor de
tensiune și/sau de curent (sisteme de comandă și co ntrol, echipamente sincronizate cu
tensiunea reŃelei etc.);
• din punct de vedere economic:
/head2right creșterea cheltuielilor de fabricaŃie pentru limita rea neliniarităŃilor specifice diferitelor
echipamente sau pentru creșterea nivelului de imuni tate la perturbaŃii (încadrarea
echipamentelor în clasele de imunitate impuse de no rmativele în vigoare);
/head2right creșterea cheltuielilor de exploatare pentru operaŃ ii de mentenanŃă preventivă sau
corectivă;

38 /head2right creșterea cheltuielilor de producere a energiei ele ctrice și, în general, majorarea
investiŃiilor în sistemele energetice datorită nece sităŃii supradimensionării elementelor
reŃelei.
În sistemele electroenergetice, mărimile electrice caracteristice (tensiuni, curenŃi, puteri,
etc.) sunt mărimi cu variaŃie aleatoare și sunt des crise de legi de repartiŃie statistice. În mod uzua l,
se presupune că stările sistemelor energetice (cons iderate continue, liniare și invariante în timp),
precum și evoluŃia în timp a acestora sunt caracter izate de semnale de tensiune și curent în
laturile și nodurile acestora, semnale care sunt de tip analogic.
În sistemele energetice, semnalele electrice sunt î n general definite prin variaŃia lor în
timp. În cazul în care curbele de curent sau tensiu ne sunt periodice, ele pot fi descrise prin funcŃii
cu proprietatea:

()( )Thtf tf ⋅±= . (1.34)
unde: ∗∈Nh
ωπ/2⋅=T î perioada funcŃiei;
f⋅⋅=πω2 î pulsaŃia
fî frecvenŃa.
Reprezentarea semnalelor se poate face alegând dife rite spaŃii, baze și coordonate, având
drept scop facilitarea unei prelucrări mai comode. În acest sens, se folosesc diferite transformate
matematice. Transformata unui semnal unidimensional f, caracterizat în domeniul timp printrîo
funcŃie f(t), este o operaŃie matematică al cărei rezultat este o reprezentare a semnalului întrîun
domeniu diferit.
În analiza distorsiunilor armonice de tipul armonic ilor, cea mai utilizată metodă de analiză
a semnalelor electrice este transformata Fourier. P rin aplicarea acestei metode, un semnal
periodic nesinusoidal poate fi descompus întrîo com binaŃie liniară de curbe sinusoidale. Dacă
funcŃia f(t) este netedă pe porŃiuni în intervalul de o perioad ă, condiŃie satisfăcută de mărimile ce
intervin în electrotehnică, ea poate fi exprimată p rin sume de semnale (numite serii Fourier) după
cum urmează:
• forma dezvoltată

( ) ( )[ ]∑∞
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ +=
10 cos sin )(
hh h t h bt h a ctf ω ω . (1.35)

• forma restrânsă

( )∑∞
=+⋅⋅⋅ +=
10 sin )(
hh h t h c ctf ϕω . (1.36)

• forma în complex

( ) ( )∑ ∑∞
−∞=⋅⋅⋅∞
=⋅⋅⋅−
−⋅⋅⋅⋅ = ⋅+ ⋅ +=
hthj
h
hthj
hthj
h eC e C eC Ctfω ω ω
10 )( . (1.37)

39 unde: 2h h
hbj aC⋅−= î amplitudine spectrală complexă;
20
0ac= î componenta continuă a undei periodice;
2 2
h h h b a c += î amplitudinea armonicii de ordin h (pentru h=1 se vorbește de armonica
fundamentală).
În ceea ce privește faza hϕ se impune luarea în considerare a semnelor coefici enŃilor ha
și hb, în vederea plasării fazelor în cadranul corect. Î n continuare se propune următorul algoritm
de identificare a fazelor:
• Dacă 0 >ha atunci



−=
hh
habarctg2πϕ , (1.38)
• Dacă 0 <ha







−−=
hh
habarctg22ππϕ , (1.39)
• Dacă 0 =ha și 0=hb
0=hϕ . (1.40)

RelaŃiile (1.35) – (1.37) se simplifică dacă funcŃi ile considerate îndeplinesc condiŃii
suplimentare des întâlnite în electrotehnică cum ar fi paritatea, imparitatea și alte tipuri de
nesimetrii. Practic, analiza armonică a unei funcŃi i periodice nesinusoidale constă în determinarea
valorii coeficienŃilor Fourier ce intervin în rela Ńiile anterioare, întâlninduîse două situaŃii: func Ńia
este cunoscută analitic sau este cunoscută grafic s au prin puncte.
În cazul în care funcŃia f(t) este cunoscută analitic, coeficienŃii Fourier se d etermină după
cum urmează:

∫⋅ =T
dttfTc
00 )(1, (1.41)
∫⋅⋅⋅⋅ =T
h dtt h tfTa
0) cos()(2ω , (1.42)
∫⋅⋅⋅⋅ =T
h dtt h tfTb
0) sin()(2ω , (1.43)
∫⋅ ⋅ =⋅⋅⋅−T
thj
h dt etfTC
0)(1ω. (1.44)

Se observă că 0c este chiar valoarea medie pe o perioadă a funcŃiei f(t) .
În multe situaŃii practice, funcŃia f(t) este cunoscută sub forma unei înregistrări grafice sau
este dată prin puncte (de dorit echidistante) de că tre un sistem de achiziŃie a datelor (Figura 1.7).

40

Figura 1.7. Divizarea perioadei unei unde periodice nesinusoidale

În acest caz coeficienŃii Fourier se calculează por nind de la relaŃiile (1.41) î (1.44) în care
se aplică metode de calcul aproximativ al integrale lor definite [Chindriș, 1999].
Perioada T se împarte în 2p intervale de lungime ) 2/(p Tt ⋅=∆ astfel încât avem:

∑ ∫
=⋅≈⋅ =p
iiT
tfpdttfTC2
1 00 )(21)(1, (1.45)
∑ ∫
=⋅⋅⋅ ≈⋅⋅⋅⋅ =p
iiT
hpi htfpdtt h tfTA2
1 0cos)(1) cos()(2 πω , (1.46)
∑ ∫
=⋅⋅⋅ ≈⋅⋅⋅⋅ =p
iiT
hpi htfpdtt h tfTB2
1 0sin)(1) sin()(2 πω . (1.47)

Eroarea făcută prin aproximare este cu atât mai mic ă cu cât numărul de intervale 2p este
mai mare. Prin înlocuirea seriei Fourier cu suma pr imelor 2p armonici (plus termenul liber dacă
există) se obŃin precizii satisfăcătoare în practic ă. Studiul regimului deformant se recomandă a se
efectua până la armonica 40, astfel se poate accept a p=40 .
În practică, o mărime periodică nesinusoidală se r eprezintă frecvent sub forma

( ) ∑∞
=+⋅⋅⋅⋅ +=
11 0 sin 2
hh h t h Y Yy ϕω . (1.48)

în care: hY î valoarea efectivă a armonicii de rang h;
hϕ î faza iniŃială a armonicii de rang h.
Pentru această formă se definesc următoarele:
• Valoarea efectivă a mărimii nesinusoidale

∑ ∫∞
=+=⋅ =
12 2
0
02 1
hhT
ef Y Y dtyTY . (1.49)

41 egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor valori lor efective ale armonicilor și a pătratului
componentei continue.

• Reziduul deformant al funcŃiei nesinusoidale

2 2
32
22
02
12…h ef d Y Y Y Y Y Y Y +++≅− = . (1.50)

obŃinut prin suprimarea fundamentalei [Chindriș, 20 03].
Pentru punerea în evidenŃă a existenŃei regimului d eformant întrîo reŃea electrică sîau
definit o serie de indicatori ai acestuia, indicato ri care relevă impactul poluării armonice asupra
funcŃionării sistemului electroenergetic și care re prezintă de fapt indicatori de calitate a energiei
electrice. Trebuie însă menŃionat faptul că, fiecar e indicator se referă la un anumit aspect al
acestui impact; pentru analiza în ansamblu a regimu lui deformant, trebuie determinat un număr
relativ mare de indicatori.
Indicatorii regimului deformant sunt:
• Ponderea (nivelul) armonicii ( hγ) de ordinul h se definește ca raportul, exprimat în
procente, dintre valoarea efectivă a armonicii con siderate ( hY) și valoarea efectivă a
armonicii fundamentalei undei ( 1Y). Deci:

100
1⋅=YYh
hyγ [%]. (1.51)
Acest indicator este util în analiza funcŃionării filtrelor, a bateriilor de condensatoare, etc.

• Factorul de distorsiune. Actele normative existente în România [***, 2004], [***,
2008:1] în conformitate cu normele internaŃionale [ ***, 2002:1] definesc factorul de
distorsiune al unei curbe nesinusoidale ca fiind ra portul, exprimat în procente, dintre
reziduul deformant dY și valoarea efectivă a curbei fundamentale 1Y. Astfel:

100
140
22
1⋅ ==∑
=
UU
UU hh
d
Uδ [%], (1.52)

pentru tensiune, respectiv:
100
140
22
1⋅ ==∑
=
II
II hh
d
Iδ [%]. (1.53)

pentru curent, normativele indicând N = 40 (alte standarde dau N = 20…50). Literatura
internaŃională de limbă engleză (inclusiv normele C EI) definește factorul de distorsiune al
tensiunii drept Total distortion factor și îl notează cu TDF, în timp ce în S.U.A. el se numește
Total harmonic distortion și se notează cu THD (factor total de distorsiune armonică); literatura
franceză notează factorul de distorsiune cu τ . Ca sinonime pentru THD apar Harmonic factor 2

42 HF sau Distortion factor 2 DF. Tot standardele americane introduc noŃiunea de Total demand
distortion sau TDD pentru factorul de distorsiune al curentului; în ac est caz, la numitorul relaŃiei
(1.53) apare valoarea curentului absorbit în regimu l cel mai solicitant max1I .

• ImpedanŃa armonică a unei reŃele electrice – reprezintă impedanŃa reŃelei văzută din
punctul în care se racordează consumatorul perturba tor, calculată pentru diferite frecvenŃe
armonice

Regimul deformant reprezintă actualmente aspectul de CEE pentru care se face cea mai
largă detaliere a valorilor limită ale indicatorilo r în reglementări și standarde. Sunt precizate
limite pentru factorii de distorsiune și pentru niv elul armonicilor, atât pentru tensiuni cât și pentr u
curenŃi. Fără a se urmări o prezentare exhaustivă a normării indicatorilor de regim deformant pe
plan internaŃional, se reŃin în continuare câteva d in modalităŃile de limitare a emisiei și circulaŃie i
de armonici de curent sau tensiune.
Astfel, în tabelul 1.3 sunt indicate valorile limi tă ale factorului de distorsiune pentru
armonicile de tensiune, iar în tabelul 1.4 î pentru armonicile de curent [***, 2001:1].

Tabelul 1.3
Valorile limită ale factorului de distorsiune pentr u armonicile de tensiune
Tensiunea în punctul de
racord al sarcinii
perturbatoare, kV Factor de distorsiune
individual, % Factor de
distorsiune total, %
≤ 69 3,0 5,0
69 … 130 1,5 2,5
≥ 130 1,0 1,5

Tabelul 1.4
Nivelurile limită pentru armonicile de curent și fa ctorii de distorsiune limită
pentru curenŃi (raportare la valoarea efectivă a fu ndamentalei)

Isc / I c Nivelurile limită ale armonicilor impare Factorul
de distorsiune
N
<11 11<N
<17 17<N
<23 23<N
<35 3
5<N Limită, %
<20 4,0 2,0 1,5 0,6 0,3 5
20…50 7,0 3,5 2,5 1,0 0,5 8
50…100 10 4,5 4,0 1,5 0,7 12
100…1000 12 5,5 5,0 2,0 1,0 15
>1000 15 7,0 6,0 2,5 1,4 20

unde: scI î curentul de scurtcircuit maxim în punctul de rac ord;
cI î curentul cerut de sarcina perturbatoare în punct ul comun de racord;

Armonicile pare sunt limitate la 0,25 din niveluri le limită admise pentru armonicile
impare. Normele interne limitează factorul de disto rsiune al curbelor de tensiune astfel:

43 • %8≤uδ , pentru reŃele de joasă și medie tensiune;
• %3u≤δ , pentru reŃele de înaltă tensiune.
Se preconizează deja ca limitele perturbaŃiilor să fie diferenŃiate pentru receptoare
individuale și consumatori în ansamblu, precum și î n raport cu modul de măsurare.
Pentru o reŃea electrică trifazată echilibrată for mată din elemente liniare, subsistem
trifazat simetric, mărimile nesinusoidale pot fi s crise în cazul general sub forma:

∑ + =n
h h A th Y ty
1) sin(2 )( γω ,
∑ −+ =n
h h B h th Y ty
1)32sin(2 )(πγω , (1.54)
∑ ++ =n
h h C h th Y ty
1)32sin(2 )(πγω .

în care, A, B și C reprezintă cele trei faze ale re Ńelei electrice.

În sistemele trifazate armonicile de ordin par h = 2·k (k = 1, 2,… , n) sunt nule, iar
celelalte armonici care apar sunt impare și formeaz ă sisteme trifazate, astfel:

• armonicile impare 1, 7, 13, . . . , corespund unui ordin h = 6k + 1 (k = 0,1, 2, . . . ,n) și
formează sisteme de secvenŃă pozitivă; expresiile c elor trei mărimi instantanee
nesinusoidale vor fi:

[ ]16 16 ) 1 6 (sin 2
16 + + ++ =
+ k k A t k Y y
kγω ,

−++ =
+−++ =+ + + ++32) 1 6 ( sin 232) 1 6 ( ) 1 6 ( sin 216 16 16 1616πγωπγωk k k k B t k Y k t k Y y
k, (1.55)

+++ =
++++ =+ + + ++32) 1 6 ( sin 232) 1 6 ( ) 1 6 ( sin 216 16 16 1616πγωπγωk k k k C t k Y k t k Y y
k.

• armonicile impare 5, 11, 17, . . . , sunt de ordin h = 6k 2 1 (k = 1,2, 3, …, n), alcătuiesc
sisteme de secvenŃă negativă, fiind exprimate prin relaŃiile:

[ ]16 16 ) 1 6 (sin 2
16 − − +− =
− k k A t m Y y
kγω ,
( )
++− =
−−+− =− − − −−32) 1 6 ( sin 23216 ) 1 6 ( sin 216 16 16 1616πγωπγωk k k k B t k Y k t k Y y
k , (1.56)
( )
++− =
−++− =− − − −−34) 1 6 ( sin 23216 ) 1 6 ( sin 216 16 16 1616πγωπγωk k k k C t k Y k t k Y y
k .

• armonicile impare 3, 9, 15, …, de ordin h = 3· k (k = 1, 3, 5,…, 2nî1) formează sisteme de
secvenŃă zero, iar expresiile sistemului de mărimi instantanee sunt următoarele:

44 ( )k k A tk Y y
k 3 3 3sin2
3γω+⋅ = ,
) 3sin(2 )323 3sin(23 3 3 33 k k k k B tk Y k tk Y y
kγωπγω + = −+⋅ = , (1.57)
) 3sin(2 )323 3sin(23 3 3 33 k k k k C tk Y k tk Y y
kγωπγω + = ++⋅ = ,

Se remarcă faptul că armonicile de ordinul trei și multiplu de trei coincid ca faze, astfel
încât efectul produs în cazul în care apar în siste mele trifazate nu poate fi neglijat.
În general, apariŃia de armonici impare în reŃelele electrice trifazate, în cazul unor sisteme
de mărimi armonice nesinusoidale, este legată de ti pul conexiunilor formate de impedanŃele
surselor (generatoarelor) și respectiv receptoarelo r electrice.

1.3 Concluzii

Analiza problemelor privind alimentarea cu energie electrică a consumatorilor pune în
evidenŃă două aspecte distincte privind calitatea, aspecte care trebuie urmărite la furnizarea
energiei electrice:
• calitatea energiei electrice, cu referire la parame trii tehnici ai produsului (amplitudinea
tensiunii, frecvenŃa, conŃinut armonic, simetria si stemelor trifazate);
• calitatea serviciului, cu referire la continuitatea în alimentare (întrerupere de scurtă și
de lungă durată, siguranŃa în alimentare).
În mod obișnuit, cele două aspecte sunt cuprinse, g eneric, sub denumirea de calitate a
energiei electrice.
În condiŃiile creșterii numărului și a puterii abso rbite de consumatorii cu sarcini neliniare,
care mai sunt denumiŃi și consumatori perturbatori (echipamente care utilizează electronica de
putere, cuptoare cu arc electric, tracŃiune electri că, aparatură electrocasnică modernă etc.),
asigurarea calităŃii energiei devine o problemă de o complexitate deosebită .
Promovarea riguroasă a unei politici a calităŃii la nivel de stat, a unor programe concrete
la nivelul companiilor de electricitate, presupune definirea și promovarea unei legislaŃii adecvate
și armonizate cu reglementările adoptate la nivel i nternaŃional, care vizează atât responsabilitatea
furnizorilor pentru daune provocate utilizatorilor prin livrarea unei energii electrice de calitate
necorespunzătoare (cu abateri faŃă de indicatorii î nscriși în contractul de furnizare), cât și
responsabilitatea consumatorului pentru perturbaŃii lor determinate în reŃeaua electrică a
furnizorului; astfel de reglementări trebuie să con stituie baza legală a relaŃiei furnizor î
consumator și să stabilească obligaŃii și răspunder i precise pentru toŃi partenerii implicaŃi pe
întregul traseu producŃie î consum.

45 2. Pierderi de putere în linii electrice

Liniile electrice sunt instalaŃii care fac legătura între diferitele elemente ale sistemului
electroenergetic, prin intermediul acestora realizâ nduîse transportul și distribuŃia energiei
electrice. Indiferent de funcŃia reŃelelor (liniilo r) electrice (reŃele de distribuŃie, reŃele de tran sport
sau utilizare) elementele lor componente sunt comun e (omogene), respectiv același tip de element
este folosit practic peste tot.
Dacă linia este scurtă, fenomenele electromagnetice pot fi considerate concentrate în
anumite puncte (circuit cu parametrii concentraŃi), linia putând fi studiată utilizând teoremele
corespunzătoare circuitelor cu parametrii concentra Ńi. În caz contrar (linii lungi) aceste fenomene
nu mai pot fi considerate concentrate în anumite pu ncte, studiul liniilor electrice lungi realizânduî
se prin metode specifice.
Liniile electrice, ce sunt elemente componente ale reŃelelor electrice, se împart din punct
de vedere al construcŃiei și felul instalării lor î n linii electrice aeriene (LEA) și linii electrice în
cablu (LEC).
Liniile electrice aeriene sunt instalaŃiile la car e conductoarele sunt montate în aer liber.
Aceste conductoare sunt suspendate deasupra solului cu ajutorul stâlpilor sau altor construcŃii
speciale de care sunt fixate prin intermediul izola toarelor.
Liniile electrice în cablu sîau dezvoltat nu numai acolo unde nu este posibilă folosirea
liniilor electrice aeriene (mari aglomerări urbane, traversări de ape, zone poluate, etc.) ci și în
intreprinderile industriale datorită numeroaselor a vantaje pe care le prezintă. SiguranŃa în
funcŃionare, lipsa influenŃei factorilor atmosferic i, spaŃiu ocupat mai redus, evitarea pericolului de
atingere directă, criteriul estetic sunt numai câte va din motivele utilizării reŃelelor electrice în
cablu [Barnes, 1966].
Majoritatea cablurilor electrice (de forŃă) sunt i nstalate direct în pământ și de aceea
construcŃia lor a fost concepută pentru aceste cond iŃii chiar dacă în unele cazuri sunt montate în
canale, tuneluri sau subteran. Liniile electrice în cablu se folosesc de la joasă tensiune până la
înaltă tensiune și foarte înaltă tensiune.
În general, se consideră că liniile electrice în c ablu au următoarele elemente componente:
conductoarele, izolaŃia conductoarelor, ecranul și învelișul de protecŃie. Cablurile se pot clasifica
după felul izolaŃiei, după numărul de conductoare, după felul materialului conductoarelor, după
tensiune și după comportarea la flacără și foc.
Conductoarele cablurilor pot fi formate din unul ( conductoare unifilare) sau din mai multe
fire (conductoare multifilare). Materialul din care sunt confecŃionate conductoarele poate fi cupru
sau aluminiu; după forma lor, se deosebesc conducto are unifilare cu secŃiune circulară sau sub
formă de sector. În ceea ce privește conductoarele multifilare acestea pot fi cu secŃiune circulară,
ovală sub formă de sector sau tubulară. În general, conductoarele cablurilor cu secŃiuni mari sunt
multifilare, răsucite, pentru a da cablului flexibi litatea necesară.
Un alt criteriu de clasificare a liniilor electric e este tensiunea de funcŃionare, astfel:
• Linii de joasă tensiune, sub 1 kV;
• Linii de medie tensiune, sub 110 kV și peste 1 kV;
• Linii de înaltă tensiune, 110 și 220 kV;
• Linii de foarte înaltă tensiune, peste 220 kV.

46 2.1. Determinarea parametrilor liniilor electrice

Pentru a se putea determina regimurile de funcŃiona re ale liniilor electrice este necesară
cunoașterea schemelor electrice echivalente. Aceste a se pot determina prin intermediul
cuadripolilor electrici care pot fi de tip “T”, ” Π” și ” Γ”.
Schema în „Π” conservă parametrii longitudinali și divide parametrii transversali. Schema
este simetrică faŃă de sensurile posibile ale circu laŃiei de puteri fiind foarte utilă în calculul
regimurilor de funcŃionare ale reŃelelor complexe, unde nu se cunoaște exact sensul circulaŃiilor
de putere pe diferite laturi.
Schema în „T” divide parametrii longitudinali și îi conservă pe cei transversali. Schema
introduce un nod suplimentar care determină scriere a unui număr suplimentar de ecuaŃii de stare;
se utilizează în cazul reŃelelor complexe unde se c unoaște exact sensul circulaŃiilor de putere.
Schema în „ Γ” nu este simetrică, conservă toŃi parametrii elect rici și se utilizează în cazul
reŃelelor simple, la care se cunoaște sensul circul aŃiilor de puteri. Este cea mai utilizată schemă
echivalentă, cu patru parametri electrici echivalen Ńi – figura 2.1:
î rezistenŃa liniei LR, ] /[mΩ ;
î reactanŃa inductivă a liniei LX, ] /[mΩ ;
î conductanŃa laterală a liniei LG, ]/[mS ;
î susceptanŃa capacitivă a liniei LB, ]/[mS .

ImpedanŃa pe unitatea de lungime a liniei electrice este formată din rezistenŃă și reactanŃă
(parametrii longitudinali):

L L L L L jX R Lj R Z += += ω ]/[mΩ . (2.1)

AdmitanŃa pe unitatea de lungime a liniei electrice este formată din conductanŃă și
susceptanŃă (parametrii transversali):

L L L L jB G Cj GY += += ω ]/[mS . (2.2)

Figura 2.1. Schema electrică echivalentă în Γ a unei linii electrice

47 2.1.1. RezistenŃa

RezistenŃa conductoarelor este elementul activ din schema echivalentă și corespunde
pierderilor de putere activă ce apar în linia elect rică. RezistenŃa în curent alternativ este diferită
de cea în curent continuu [Iacobescu, 1979]. Pentru determinarea rezistenŃei în curent continuu se
folosește următoarea relaŃie:
slRccL ⋅=ρ, [ Ω]. (2.3)
unde :
ρ î rezistivitatea materialului din care este execut at conductorul, ] [m⋅Ω ;
l – lungimea conductorului, [m];
s – secŃiunea conductorului, [m2].
În tabelul 2.1 sunt prezentate câteva dintre caract eristicile electrice ale unor materiale,
luânduîse în considerare temperatura de 0 și 20 oC:
Tabelul 2.1
Caracteristicile electrice ale unor materiale
SubstanŃa ()()C m0
0 0⋅Ωρ ()()C m020⋅Ωρ ()1−grdα
Cupru 81048. 1−⋅ 81068. 1−⋅ 0068. 0
Aluminiu 81044. 2−⋅ 81065. 2−⋅ 0043. 0
Fier 81059. 8−⋅ 81071. 9−⋅ 0065. 0

În cazul în care rezistivitatea electrică variază l iniar cu temperatura, atunci aceasta se
poate exprima folosind următoarea expresie matemati că:

() ( )20 120 20 − + = tt αρρ ][m⋅Ω . (2.4)

unde:
tρ î rezistivitatea electrică a conductorului la temp eratura t;
20ρ î rezistivitatea electrică a conductorului la temp eratura de 20 C0;
20α î coeficientul termic al rezistivităŃii electrice la temperatura de 20 C0.
Valorile coeficientului termic al rezistivităŃii, p entru diferite tipuri de materiale, sunt
prezentate în tabelul 2.2:
Tabelul 2.2
Valorile coeficientului termic al rezistivităŃii
pentru diferite materiale
Tipul
materialului Cupru Fier Aluminiu
20α 0,0068 0,0065 0,0043

În cazul liniilor electrice, rezistenŃa electrică s e calculează în funcŃie de rezistenŃa în
curent continuu, de variaŃia acesteia cu temperatur a, de factorul de suprafaŃă (datorită efectului
pelicular) și cel de proximitate (datorită efectul de proximitate) după cum urmează:

48 () ( )c cc L caL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α [ Ω]. (2.5)
unde:
Kc – factor de corecŃie ce Ńine seama de efectul peli cular și de proximitate.

În cazul liniilor electrice aeriene, f actorul datorat efectului pelicular are o pondere mai
mare decât cel datorat efectului de proximitate dat orită distanŃei mari între conductoare în raport
cu diametrul lor. Este o funcŃie complexă, care imp lică soluŃiile funcŃiei Bessel [Short, 2005]:

2 2
,,
)( )()( )( )( )(
2 qibe qrbeqrbeqbeiqibeqberx
RR
ccLacL
′+′′⋅ −′⋅⋅= , (2.6)

unde:

ccRfx7
2 10 8−⋅⋅⋅=π. (2.7)

În practică se face o aproximare a factorului ce de pinde de efectul pelicular, conform
[Anders, 1998], după cum urmează: se calculează fact orul x în funcŃie de frecvenŃă și rezistenŃa în
curent continuu.
Pentru 8 . 2 ≤x , factorul datorat efectului pelicular se calculeaz ă cu următoarea expresie
matematică:
( )44
8 . 0 192 xx
ksk+= . (2.8)

În cazul în care 8 . 3 8 . 2≤<x , ksk se exprimă astfel:

20563. 0 0177. 0 136. 0 x x ksk ⋅ +⋅ − −= . (2.9)

Pentru o valoare a lui x>3.8, relaŃia prin care se determină factorul de creștere a
rezistenŃei în curent alternativ este:

1511
22− =xksk (2.10)

Efectul pelicular este în mod normal ignorat deoare ce are un efect foarte mic la frecvenŃa
nominală de alimentare, dar peste 350 Hz, adică de l a armonica 7, efectul pelicular devine
important, provocând pierderi suplimentare și încăl zire. Acolo unde există curenŃi armonici,
proiectanŃii trebuie să Ńină seama de efectul pelic ular și să descarce liniile electrice în concordanŃ ă
cu acesta. Utilizarea conductoarelor multifilare sau a barelor laminate contribuie la rezolvarea
acestei probleme. De notat faptul că asamblarea și montarea barelor laminate trebuie astfel
concepută încât să evite rezonanŃa mecanică la frec venŃele armonice.
VariaŃia factorului skk, pentru secŃiunile conductoarelor întâlnite în pra ctică (în mm 2) în
funcŃie de frecvenŃă, se poate vedea în figura 2.2

49

Figura 2.2. VariaŃia cu frecvenŃa a factorului skk pentru secŃiunile întâlnite frecvent

Efectul de proximitate crește, de asemenea, valoarea efectivă a rezistenŃ ei și este asociat
cu câmpurile magnetice a două conductoare care sunt apropiate unul de celălalt. În cazul liniilor
electrice în cablu factorul datorat efectului de pr oximitate are o pondere mai mare decât cel
datorat efectului pelicular, deoarece distanŃele di ntre conductoare sunt de valori mici.
În cazul în care prin fiecare conductor trece un cu rent în aceeași direcŃie, părŃi ale
conductoarelor în imediata apropiere sunt tăiate de un număr mai mare de linii de flux magnetic
decât celelalte părŃi aflate la distanŃă mai mare. În consecinŃă, distribuŃia curentului nu este
constantă în întreaga secŃiune transversală, o mai mare proporŃie fiind transportată de părŃile
conductoarelor mai îndepărtate. În cazul în care cu renŃii circulă în direcŃii opuse, părŃile aflate în
imediata apropiere vor fi parcurse de densităŃi de curent de valori mai mari.
Factorul datorat efectului de proximitate se calcul ează în funcŃie de frecvenŃă și de
distanŃa dintre conductoare, cu relaŃia (2.11) [Ande rs 1998], [***, 1994]:




++⋅ ⋅=27. 018. 1312. 02
ay ya kpr , (2.11)
unde:

( )44
8 , 0 192 xx
a
⋅+= ,
ccc
ddy= , (2.12)

ccp
Rkfx⋅⋅ =02768. 02. (2.13)
pk î factor ce depinde de construcŃia conductorului;
î 1 pentru conductoare rotunde;
î 0,8 dacă aceste conductoare sunt uscate și impreg nate.
cd î diametrul conductorului, [m];
ccd î distanŃa dintre centrele conductoarelor, [m];

50 Pentru o aranjare pe orizontală a cablurilor monof azate 2 1 cc cc cc d d d ⋅ = , unde 1ccd și
2ccd sunt distanŃele dintre centrele conductoarelor.
În ceea ce privește liniile electrice în cablu, pa rametrii de funcŃionare determină
comportamentul acestora în condiŃii normale de func Ńionare. ImpedanŃa cablului, ( RL + jX L), este
utilă pentru calcularea pierderilor în condiŃii nor male de funcŃionare. Modificările parametrilor
datorită variaŃiilor de temperatură și de lungimea cablului modifică valoarea rezistenŃei.
RezistenŃa în curent alternativ a cablului este imp ortantă pentru că aceasta influenŃează
capacitatea de transport a cablului [Dekker, 1998]. Aceasta este afectată în principal de efectul
pelicular și de proximitate:

() ( )( )pr sk cc L caL k k t R R ++⋅−⋅+⋅ = 1 20 120 20, , α [ Ω]. (2.14)

unde:
ksk – factor de corecŃie datorat efectului pelicular;
kpr – factor de corecŃie datorat efectului de proximita te.

Liniile electrice în cablu mai sunt influenŃate de anumiŃi factori care Ńin seama de tipul
cablului și a ecranelor conductoarelor, de existenŃ a mantalelor metalice și de existenŃa tubului de
montare a cablului.
În cazul liniilor electrice în cablu, creșterea val orii rezistenŃei în curent alternativ faŃă de
curent continuu se reprezintă grafic în figura 2.3, în funcŃie de factorul de creștere a rezistenŃei î n
curent alternativ ( Kc Ńine seama atât de efectul pelicular cât și de ef ectul de proximitate și are
valori cuprinse între 1,05 și 2 ) și în funcŃie de temperatură (temperatura t având valori cuprinse
între î30 și 70 oC ).

Figura 2.3. VariaŃia factorului K c în funcŃie de temperatură și pr skk k+

51 Introducerea reŃelelor cu conductoare izolate torsadate în locul celor clasice, construite
cu conductoare neizolate, sîa realizat o dată cu as imilarea în producŃie a maselor plastice cu
proprietăŃi superioare privind rezistenŃa la acŃiun ea razelor solare și în ceea ce privește
caracteristicile electrice și mecanice. Fasciculul de conductoare torsadate este compus din
conductoarele de fază și de nul, fiecare conductor fiind izolat și separat cu un strat de policlorură
de vinil plastifiată (conductoarele sunt răsucite î ntre ele) [***, 2009:1].
Conductoarele de fază sunt din aluminiu, iar cel d e nul din oŃelîaluminiu. Răsucirea
conductoarelor în fascicul (toron) se efectuează în jurul conductorului de nul care are și rolul
mecanic de susŃinere a conductoarelor de fază. Din a cest motiv, se mai numește și nul purtător.
Pentru liniile electrice torsadate, datorită răsuc irii, lungimea conductoarelor componente
ale liniei electrice va fi mai mare decât lungimea liniei electrice. În practică există situaŃii când
rezistenŃa liniei electrice torsadate este greu de determinat; apare o problemă de incertitudine,
care se poate rezolva cu ajutorul variabilelor ling vistice caracteristice logicii și a numerelor
fuzzy. În continuare se prezintă o metodă de implem entare a logicii fuzzy în estimarea rezistenŃei
electrice a liniei electrice torsadate.
RezistenŃa liniei electrice torsadate este influen Ńată de diametrul conductorului în jurul
căruia se face răsucirea celorlalte conductoare de fază (nul purtător) și de lungimea la o întoarcere
a conductorului de fază.
Variabilele lingvistice „Pasul” și „Diametrul” au câ te 3 valori, denumite MIC, MEDIU și
MARE. MulŃimile fuzzy corespunzătoare valorilor vari abilelor lingvistice enumerate anterior
sunt prezentate în figura 2.4 (a și b), iar pentru variabila de ieșire (CreștRezistenŃei [%]) se
definesc 3 valori, cărora le corespund mulŃimile fu zzy prezentate în figura 2.4(c):

a. b.

c.
Figura 2.4. FuncŃiile de apartenenŃă ale: a. Pasul; b. Diametrul; c. CreștRezistenŃei

52
Strategia de determinare a creșterii rezistenŃei in clude ca element esenŃial metoda de
inferenŃă adoptată. Ea leagă mărimile de intrare de variabila de ieșire exprimată și ea lingvistic
[Chindriș, 2004]. O simplificare apreciabilă a descr ierii inferenŃei se obŃine cu ajutorul unei
reprezentări grafice, numită matrice de inferenŃă, bază de reguli sau tabel de reguli (tabelul 2.3).

Tabel 2.3
Tabel de reguli
Pasul
Diametrul Mic Mediu Mare
Mic Med Mic Mic
Mediu Med Med Mic
Mare Mare Med Mic

Metoda de inferenŃă aleasă este maxîmin, realizându îse la nivelul premizei operatorul
SAU prin formare cu maxim și operatorul ȘI prin formare cu minim. Pe de altă parte, concluzia
din fiecare regulă, introdusă prin atunci , leagă gradul de apartenenŃă al premizei cu funcŃi a de
apartenenŃă a variabilei de ieșire “ CreștRezistenŃei” prin operatorul ȘI , realizat în acest caz prin
formare cu minim ; în sfârșit, operatorul SAU , care leagă diferitele reguli, este realizat prin
formare cu maxim .
Determinarea valorii parametrului “ CreștRezistenŃei” se determină în funcŃie de valorile
mărimilor de intrare, și anume pasul și diametrul ( figura 2.5).

Figura 2.5. Determinarea valorii parametrului Creșt RezistenŃei

Defuzzyficarea rezultatelor în vederea obŃinerii uno r valori singulare a coeficienŃilor de
creștere a rezistenŃei liniilor electrice aeriene t orsadate a fost realizată cu metoda centrului de

53 greutate. VariaŃia creșterii rezistenŃei în funcŃie de diametrul conductorului în jurul căruia se face
torsadarea și pasul torsadării se reprezintă grafic în figura 2.6.

Fig. 2.6. VariaŃia parametrului CreștRezistenŃei în funcŃie de
variaŃia variabilelor Diametrul și Pasul

În cazul liniilor aeriene de distribuŃie, aluminiul este un material mai des folosit din cauza
costurilor mai mici și a greutăŃii mai mici, faŃă d e cupru, cu toate că secŃiunea trebuie să fie mai
mare pentru aceeași capacitate de transport [Clapp, 1997]. Dintre conductoarele de oŃelîaluminiu
cel mai răspândit este ACSR.
Un conductor de construcŃie fasciculară oferă o mai mare flexibilitate și este mai ușor de
fabricat decât un conductor solid de mari dimensiun i. Cu toate acestea, rezistenŃa totală va crește,
deoarece conductoarele fasciculului din exterior su nt mai mari decât a celui din interior din cauza
spiralării. Exprimarea rezistenŃei se poate face cu relaŃia (2.15).

Figura 2.7. Conductor de construcŃie fasciculară

211


+⋅=p sRL πρ ]/[mΩ , (2.15)
unde:

211


+pπ î este lungimea conductorului

54 si
dlp1= î l1i î lungimea la o întoarcere a conductorului spirala t, [m];
î ds – diametrul stratului, [m].

CombinaŃia în paralel a n conductoare cu același diametru per strat determin ă rezistenŃa
pe strat după cum urmează:

∑
==n
i iLstratL
RR
1 ,,11 ]/[mΩ . (2.16)

RezistenŃa totală a conductorului funie se calculea ză prin combinarea în paralel a
rezistenŃelor straturilor.
Cu ajutorul mediului de programare Visual C Sharp ș i a relaŃiilor prezentate anterior, sîa
implementat o aplicaŃie software pentru determinarea rezistenŃei conductoarelor liniilor electrice
în funcŃie de tipul constructiv al acestora. Interf aŃa grafică a aplicaŃiei este prezentată în figura
2.8.

Figura 2.8. InterfaŃa grafică pentru determinarea r ezistenŃei conductoarelor LE

2.1.2. ReactanŃa inductivă

ReactanŃa unei LEA este diferită de reactanŃa conduc torului liniei. ReactanŃa
conductorului liniei este indicată de către fabrica constructoare a materialului conductorului

55 liniei. În cazul liniilor electrice aeriene, reacta nŃa liniei depinde de raza conductorului, tipul
constructiv al conductorului, materialul conductoru lui și de poziŃia relativă a conductoarelor pe
stâlp.
Se consideră un sistem trifazat, cu un conductor pe fază ca în figura de mai jos. CurenŃii
IA, I B, și IC circulă deîa lungul conductoarelor cu raza, ra, r b, și r c, iar distanŃele dintre conductoare
sunt DAB , D BC , și D CA (unde D > r ) [Grigsby, 2000].

Figura. 2.9. Fluxul conductorului A faŃă de punctul P (a), al conductorului A faŃă de conductorul B (b )
și al conductorului A faŃă de conductorul C (c) în punctul P

Calcularea fluxului dintre conductoarele A, B, C și punctul P se face cu următoarea
expresie:







+


+


=
ACCP
C
ABBP
B
eAP
A APDDIDDIrDI ln ln ln20
πµλ ,







+


+


=
BCCP
C
eBP
B
BAAP
A BPDDIrDIDDI ln ln ln20
πµλ , (2.17)







+


+


=
eCP
C
CBBP
B
CAAP
A CPrDIDDIDDI ln ln ln20
πµλ .

În cazul liniei electrice cu un singur conductor pe fază, rre= unde r este raza
conductorului în metri, iar re se mai numește și distanŃa geometrică proprie a co nductorului; r e ia
în considerare inductivitatea proprie a conductorul ui. Pentru cazul unui singur conductor pe fază
de construcŃie solidă și o distribuŃie uniformă a c urentului în conductor, distanŃa geometrică
proprie a conductorului se determină cu relaŃia (2. 18):
4r
erreµ−⋅= . (2.18)
în care: rµ 2 permeabilitatea relativă a materialului conductor.

Fluxul pentru fiecare conductor de fază depinde de cei trei curenŃi și, prin urmare,
inductivitatea pe fază nu este numai una ca în sist emul de monofazat. În schimb, există trei
inductivităŃi diferite (proprii și mutuale). Pentru calcularea valorilor inductivităŃilor, pornind de la
ecuaŃiile de mai sus și aranjarea ecuaŃiilor întrîo formă matricială, putem obŃine un set de
inductivităŃi în sistem trifazat:

56





⋅




=




CBA
CC CB CABC BB BAAC AB AA
CBA
III
L L LL L LL L L
λλλ
. (2.19)
unde:
Aλ,Bλ,Cλ î fluxul total al conductoarelor A, B și C;
AALBBLCCL î inductivităŃile proprii ale conductoarelor;
ABL,BCL,CAL,BAL,CBL,ACL î inductivităŃile mutuale.

InductivităŃile pe cele trei faze pot fi obŃinute, cu toate acestea, în cazul în care cele trei
conductoare sunt aranjate la aceeași distanŃă între ele D = D AB = D BC = D CA (de exemplu, așezare
în vârfurile unui triunghi echilateral). Dacă se con sideră că sistemul este echilibrat și
conductoarele sunt de construcŃie masivă unifilare, atunci relaŃiile de mai sus devin:



=
efazarDL ln20
πµ ]/[kmH . (2.20)

În cazul în care cele trei conductoare sunt aranjat e în dispunere altfel decât cea în triunghi
echilateral, iar sistemul de curenŃi este unul sime tric, inductivităŃile se calculează după cum
urmează:







+


+


==
AC AB e AA
AD D r IL1ln1ln1ln20
πµλ,







+


+


==
BC e BA BB
BD r D IL1ln1ln1ln20
πµλ, (2.21)







+


+


==
e CB CA CC
Cr D D IL1ln1ln1ln20
πµλ.
unde:
DAB , D BC , D CA – distanŃele între conductoarele de fază A, B și C

Conductoarele multifilare sunt formate din mai multe fire parcurse de curenŃ i egali și în
același sens. Se consideră un conductor multifilar de lungime l m parcurs de un curent parŃial pe
fiecare fir nI și un punct arbitrar P aflat la aceeași distanŃă D faŃă de fiecare fir al conductorului
multifilar.

Figura 2.10. SecŃiune printrîun conductor multifila r

57 Inductivitatea fiecărui fir se obŃine ca suma induc tivităŃii proprii (interioare și exterioare)
a firului și inductivităŃilor mutuale datorate celo rlalte fire ale conductorului.
Pentru firul 1 se obŃine:



++ + + =
n m DD
DD
DD DL
1 13 12 10
11 ln… ln ln ln2δπµ. (2.22)

Pentru firul 2 avem:



++ + + =
n m DD
DD
DD DL
2 23 21 20
22 ln… ln ln ln2δπµ. (2.23)

Inductivitatea medie a firelor conductorului este:
nL L LLnn
med+++=…12 11. (2.24)

Considerând că toate firele au aceeași inductivitat e, datorită simetriei de așezare, rezultă
că inductivitatea conductorului multifilar este
212 11 …
nL L L
nLLnn med +++= = . (2.25)

Dacă transformăm sumele logaritmilor în logaritmii p roduselor, relaŃia (2.25) devine:

( )2
1…34 2 23 1 13 12 10
… …ln2
n
nnn nn
m DD DD DDDL
4444 34444 21
−=
δπµ. (2.26)

În expresia (2.26) se notează

( )2
1…34 2 23 1 13 12 1 … …n
nnn nn
m m DD DD DD r4444 34444 21
−=δ . (2.27)

ca fiind raza medie a conductorului multifilar care , în funcŃie de numărul de fire componente,
poate lua valorile prezentate în tabelul 2.4 :
Tabel 2.4
Valoarea razei medii a conductorului multifilar [Cz iker, 2010]
Conductoare funie din Conductor din material nemagn etic Conductor din OlîAl
7 fire fr⋅725. 0 fr⋅770. 0
12 fire fr⋅740. 0 î
19 fire fr⋅757. 0 î
28 fire î fr⋅812. 0
30 fire î fr⋅826. 0

unde: frî raza exterioară a conductorului funie, [m].

Inductivitatea proprie a conductorului multifilar d evine:

58
mrDL ln20
πµ= ]/[kmH . (2.28)

Valoarea medie a inductivităŃii pe fază și unitatea de lungime în cazul unui sistem trifazat
cu dublu circuit este dată de relaŃia:
3
' ''
10 lg46, 0−⋅



⋅⋅⋅=
mm m
DrD DL ]/[kmH . (2.29)
unde:
mD î media geometrică a distanŃelor circuitului care conŃine faza considerată
3
31 23 12 ddd Dm ⋅⋅ = . (2.30)

'
mD î media geometrică a distanŃelor dintre fazele neo moloage ale celor două circuite
3
'31 '23 '12'd d d Dm ⋅⋅ = . (2.31)

' '
mD î media geometrică a distanŃelor dintre fazele omo loage ale celor două circuite
3
'33 '22 '11' 'd d d Dm ⋅⋅ = . (2.32)

Inductivitatea totală a unei linii electrice în cab lu este formată din cea proprie (sau
internă) și inductivitatea mutuală (sau externă). I nductivitatea Lc pe un singur conductor sau pe
un cablu format din trei conductoare este obŃinută cu următoarea expresie matematică:

ccc
c cdda L⋅+=2ln2 . 0 ] / [ km mH . (2.33)
unde:
ccd î distanŃa axială dintre conductoarele unui cablu în sistem triunghi sau de 1,26 x
distanŃa dintre faze succesive pozate în același pl an, [mm];
d – diametrul echivalent al conductorului cu secŃiun ea rotundă, [mm];
ca – coeficient în funcŃie de tipul conductorului.
Valorile lui „ ca” pentru număr diferit de fire în cadrul conductoru lui sunt date în tabelul
2.5 [***, 2009:2] .
Tabelul 2.5
Valoarea coeficientului “ ca”
Număr de fire în
conductor ca
7 0.0642
19 0.0554
37 0.0528
61 0.0514

59 Inductivitatea pentru diferite aranjamente ale cond uctoarelor în funcŃie de raportul dintre
distanŃa axială dintre conductorii unui cablu și di ametrul echivalent al conductorului cu secŃiunea
rotundă este reprezentată în figura 2.11:

Figura 2.11. VariaŃia inductivităŃii pentru diferit e aranjamente
ale conductoarelor în funcŃie de raportul ddcc/
ReactanŃa unei linii electrice este influenŃată de frecvenŃa curentului care străbate linia
electrică, dar și de caracteristicile constructive ale acesteia: distanŃa dintre conductoarele fazelor ,
dispunerea conductoarelor (triunghi sau plană), tip ul circuitului (simplu sau dublu circuit), etc.
ReactanŃa de serviciu pentru l = 1000 [m], f = 50 [Hz] și 7
0 10 4−⋅⋅=π µ [H/m] se
determină astfel:
• Pentru LEA conductor masiv, simplu circuit:

esLrDL X lg 1445, 0, ⋅ =⋅=ω []km/Ω , (2.34)
• Pentru LEA conductor multifilar, simplu circuit:

msLDDL X lg 1445, 0, ⋅ =⋅=ω []km/Ω , (2.35)
• Pentru LEA conductor multifilar, dublu circuit:




⋅⋅⋅ =⋅=' ''
, lg 1445, 0
mm m
sLDrD DL Xω []km/Ω , (2.36)
• Pentru LEC conductor multifilar:


 ⋅+⋅ =⋅=dda L Xcc
c sL2ln2 . 0 314. 0,ω []km/Ω . (2.37)

ReactanŃa de secvenŃă zero pentru liniile electrice aeriene și în cablu se po ate determina
în funcŃie de reactanŃele de serviciu după cum urme ază:

60 • Pentru LEA simplu circuit:
()sL L X X, 0 , 43⋅÷= []km/Ω , (2.38)
• Pentru LEC:
( )sL L X X, 0 , 6 , 4 5 , 3 ⋅÷= []km/Ω . (2.39)

În ceea ce privește reactanŃa, sîau analizat cazuri le de configuraŃii constructive ale
coronamentelor stâlpilor existente în exploatarea l inilor electrice aeriene de JT si MT din
România. ConfiguraŃiile constructive corespunzătoar e liniilor electrice aeriene de joasă sunt
prezentate în cele ce urmează:
a. D AB =0,5 [m], DBC = 0,5 [m], DCA = 1 [m], simplu circuit;
b. DAB = 0,56 [m], DBC = 0,5 [m], DCA = 0,56 [m], simplu circuit;
c. DAB = 0,528 [m], DBC = 0,34 [m], DCA 2 0,528 [m], simplu circuit.
Pentru o LEA având secŃiunea conductorului de 50 mm 2, variaŃia reactanŃei [ m/Ω ] în
funcŃie de frecvenŃă [Hz] și configuraŃia constructi vă, pentru cele 3 faze, când sistemul de curenŃi
este echilibrat, este prezentată în figura 2.12:

a. b.

c.
Figura 2.12. VariaŃia reactanŃei în funcŃie de frec venŃă și configuraŃiile constructive
ale LEA JT pentru cele 3 faze: a. Faza A; b. Faza B ; c. Faza C

61
ReactanŃa LEA de MT se calculează în funcŃie de conf iguraŃiile constructive întâlnite în
exploatare. ConfiguraŃiile constructive, având dife rite distanŃe între conductoare, sunt prezentate
în cele ce urmează:

a. DAB = 0,55 [m], DBC = 0,55 [m], DCA = 1.1 [m], simplu circuit;
b. DAB = 1,1 [m], DBC = 1,1 [m], DCA = 2 [m], simplu circuit;
c. DAB = 1,385 [m], DBC = 1,385 [m], DCA = 3,11 [m], simplu circuit;
d. D AB = 1,403 [m], DBC = 1,403 [m], DCA = 2,806 [m], simplu circuit;
e. DAB = 1,415 [m], DBC = 1,415 [m], DCA = 2,83 [m], simplu circuit;
f. D AB = 1,434 [m], DBC = 1,434 [m], DCA = 2,868 [m], simplu circuit;
g. D AB = 1,5 [m], DBC = 1,5 [m], DCA = 1,5 [m], simplu circuit;
h. D AB = 1,55 [m], DBC = 1,55 [m], DCA = 3,02 [m], simplu circuit;
i. DAB = 1,66 [m], DBC = 1,66 [m], DCA = 3.24 [m], simplu circuit;
j. DAB = 2,2 [m], DBC = 2,2 [m], DCA = 4,4 [m], simplu circuit;
k. D AB = 1,32 [m], DBC = 1,32 [m], DCA = 2,64 [m], D AA `=1,476 [m], D BB `=1,476 [m],
DCC `=1,476 [m], dublu circuit
l. D AB = 1,35 [m], DBC = 1,35 [m], DCA = 2,64 [m], D AA `=1,5 [m], D BB `=1,5 [m], D CC `=1,5
[m], dublu circuit

Pentru o LEA având secŃiunea conductorului de 50 mm 2, variaŃia reactanŃei [ m/Ω ] în
funcŃie de frecvenŃă și configuraŃia constructivă, pentru cele 3 faze, când sistemul de curenŃi este
echilibrat, este prezentată în tabelul 2.6:

Tabelul 2.6
VariaŃia reactanŃei în funcŃie de frecvenŃă și conf iguraŃia constructivă, în [m/Ω ]
FrecvenŃa
ConfiguraŃia Faza 50 150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150 12 50
a A 0.38 1.14 1.89 2.65 3.41 4.17 4.92 5.68 6.44 7. 19 7.95 8.71 9.47
B 0.42 1.27 2.11 2.96 3.8 4.64 5.49 6.33 7.18 8.0 2 8.87 9.71 10.6
C 0.38 1.14 1.89 2.65 3.41 4.17 4.92 5.68 6.44 7. 19 7.95 8.71 9.47
b A 0.29 0.87 1.46 2.04 2.62 3.21 3.79 4.37 4.96 5. 54 6.12 6.71 7.29
B 0.34 1.01 1.68 2.35 3.02 3.69 4.36 5.03 5.7 6.3 7 7.04 7.71 8.38
C 0.29 0.87 1.46 2.04 2.62 3.21 3.79 4.37 4.96 5. 54 6.12 6.71 7.29
c A 0.26 0.79 1.31 1.84 2.36 2.89 3.41 3.94 4.46 4. 99 5.51 6.04 6.57
B 0.31 0.92 1.53 2.14 2.76 3.37 3.98 4.59 5.2 5.8 2 6.43 7.04 7.65
C 0.26 0.79 1.31 1.84 2.36 2.89 3.41 3.94 4.46 4. 99 5.51 6.04 6.57
d A 0.26 0.78 1.3 1.83 2.35 2.87 3.39 3.91 4.44 4.9 6 5.48 6 6.52
B 0.3 0.91 1.52 2.13 2.74 3.35 3.96 4.57 5.18 5.7 9 6.4 7 7.61

62 C 0.26 0.78 1.3 1.83 2.35 2.87 3.39 3.91 4.44 4.9 6 5.48 6 6.52
e A 0.26 0.78 1.3 1.82 2.34 2.86 3.38 3.9 4.42 4.94 5.46 5.98 6.5
B 0.3 0.91 1.52 2.12 2.73 3.34 3.95 4.55 5.16 5.7 7 6.37 6.98 7.59
C 0.26 0.78 1.3 1.82 2.34 2.86 3.38 3.9 4.42 4.94 5.46 5.98 6.5
f A 0.26 0.77 1.29 1.81 2.32 2.84 3.36 3.87 4.39 4. 91 5.42 5.94 6.46
B 0.3 0.91 1.51 2.11 2.72 3.32 3.92 4.53 5.13 5.7 3 6.34 6.94 7.54
C 0.26 0.77 1.29 1.81 2.32 2.84 3.36 3.87 4.39 4. 91 5.42 5.94 6.46
g A 0.3 0.89 1.48 2.07 2.67 3.26 3.85 4.44 5.03 5.6 3 6.22 6.81 7.4
B 0.3 0.89 1.48 2.07 2.67 3.26 3.85 4.44 5.03 5.6 3 6.22 6.81 7.4
C 0.3 0.89 1.48 2.07 2.67 3.26 3.85 4.44 5.03 5.6 3 6.22 6.81 7.4
h A 0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4. 75 5.25 5.75 6.25
B 0.29 0.88 1.46 2.04 2.63 3.21 3.8 4.38 4.96 5.5 5 6.13 6.72 7.3
C 0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 3.75 4.25 4. 75 5.25 5.75 6.25
j A 0.24 0.72 1.21 1.69 2.17 2.66 3.14 3.62 4.1 4.5 9 5.07 5.55 6.03
B 0.28 0.85 1.42 1.98 2.55 3.12 3.68 4.25 4.82 5. 38 5.95 6.52 7.09
C 0.24 0.72 1.21 1.69 2.17 2.66 3.14 3.62 4.1 4.5 9 5.07 5.55 6.03
i A 0.2 0.61 1.02 1.43 1.84 2.25 2.66 3.07 3.48 3.8 8 4.29 4.7 5.11
B 0.25 0.74 1.24 1.74 2.23 2.73 3.22 3.72 4.22 4. 71 5.21 5.7 6.2
C 0.2 0.61 1.02 1.43 1.84 2.25 2.66 3.07 3.48 3.8 8 4.29 4.7 5.11

VariaŃia reactanŃei pentru o linie electrică în cabl u în funcŃie de frecvenŃă și de raportul
ddcc/ când conductorul este format din 7, 19, 37, respe ctiv 61 fire este prezentată în figura 2.13.

a. b.

63

c. d .
Figura 2.13. VariaŃia reactanŃei în funcŃie de frec venŃă când conductorul
este format din: a. 7 fire; b. 19 fire; c. 37 fire; d. 61 fire

Figura 2.14. InterfaŃa grafică pentru determinarea reactanŃei inductive a LE

64 În figura 2.14 se prezintă interfaŃa grafică a apl icaŃiei pentru determinarea reactanŃei
inductive a liniilor electrice; aceasta se determin ă în funcŃie de tipul liniei electrice, de distanŃe le
dintre conductoare și tipul constructiv al conducto arelor.

2.1.3. SusceptanŃa capacitivă

SusceptanŃa capacitivă caracterizează o linie elect rică monofazată sau polifazată care
formează un sistem de condensatoare ce au drept arm ături conductoarele liniei și pământul.
Valoarea acesteia se determină cu relaŃia matematică :
s L Cf B ⋅⋅⋅=π2 . (2.40)

Se consideră un conductor solid, cilindric, lung, c u rază r, întrîun spaŃiu liber cu
permitivitatea ε0, precum și cu sarcina q [C/m] uniform distribuită pe suprafaŃă (Figura 2.1 5)
[Glover, 1994].
DiferenŃa de potenŃial sau o diferenŃă de tensiune î ntre două puncte din afară P1 și P2,
corespunzânduîle distanŃele x1 și x2 de la centrul conductorului, este definită prin in tegrarea
intensităŃii câmpului electric de la x1 la x2:
∫=⋅ =−2
112
0 021 ln2 2x
xxx q
xdx qVπε πε. (2.41)

Astfel, capacitatea dintre punctele P1 și P2 se calculează cu relaŃia:

120
2121
ln2
xx VqCπε==
−− [F/m]. (2.42)

Figura 2.15. Câmpul electric produs de un conductor

În cazul în care punctul P1 este situat la suprafaŃa conductorului ( x1 = r ) iar punctul P2
este situat la suprafaŃa pământului ( x2 = h p), atunci capacitatea între conductor și pământ est e:

rhC
ppc
ln20πε=− [F/m]. (2.43)

65 O linie electrică trifazată prezintă trei condensat oare între faze, formate de conductoarele
de fază între ele, și trei condensatoare formate de fiecare fază și pământ.
Capacitatea echivalentă a tuturor capacităŃilor par Ńiale pe care le prezintă o fază în raport
cu celelalte faze și cu pământul poartă denumirea d e capacitate de serviciu. Capacitatea de
secvenŃă pozitivă și negativă are următoarea expres ie, conform [Miron, 2009]:

'0
'2ln2 1
mm ms
DD
rhlC
⋅⋅⋅⋅⋅=
−=επ
αα ] /[ mFµ , (2.44)
iar capacitatea de secvenŃă zero:








⋅⋅⋅⋅⋅=
−=2
'0
' 0
2ln2
21
mm m
DD
rhlCεπ
αα ] /[ mFµ . (2.45)
în care:
0ε î permitivitatea electrică a aerului, [F/m];
r – raza conductorului, [m];
mh î media geometrică a distanŃelor faŃă de pământ a conductoarelor, [m];
mD î media geometrică a distanŃelor dintre conductoar e, [m];
Pentru l = 1000 [m] și 9 010941
⋅⋅=
πε [F/m] rezultă:

'2ln0242. 0
mm ms
DD
rhC
⋅⋅= ] /[ kmFµ , (2.46)








⋅⋅=2
'0
2ln0242. 0
mm m
DD
rhC ] /[ kmFµ . (2.47)

În cazul liniilor electrice aeriene cu dublu circu it și cu o dispoziŃie simetrică a fazelor,
capacitatea de serviciu devine:

'
''
''
'
'0
'2ln2 1
mijmij
miimii
ijmijm ms
DD
DD
DD
rhlC
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
−=επ
αα ] /[ kmFµ , (2.48)
unde:
3
CA BC AB ijm D D D D ⋅⋅ = , 3 ' ' ' '
CA BC AB ijm D D D D ⋅⋅ = , 3
' ' ' ' CA BC AB mij D D D D ⋅⋅ = ,
3 '
''
''
''
' CA BC AB mij D D D D ⋅⋅ = , 3
CC BB AA iim D D D D ⋅⋅ = , 3 ' ' ' '
CC BB AA iim D D D D ⋅⋅ = .

66 Dacă se consideră că '2ijm mD h≈ și '
''
mij ijm D D≈ , capacitatea de serviciu devine:

miimij ijms
DD
rDlC
''0
ln2
⋅⋅⋅⋅=επ ] /[ kmFµ . (2.49)

Capacitatea de serviciu de secvenŃă zero are expre sia:









⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−=2
''
''
''
'0
' 0
2ln2
21
mijmij
ijmijm
miimii m
DD
DD
DD
rhlCεπ
αα ] /[ kmFµ . (2.50)

Dacă se consideră că '2ijm mD h≈ și '
''
mij ijm D D≈ rezultă:

( )
2
' '3 '
'
230
02ln2
mij miimij
ijmm
D DD
DrhlC
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅=επ ] /[ kmFµ . (2.51)

În cazul liniilor electrice aeriene cu dublu circu it și cu o dispoziŃie simetrică a fazelor,
capacitatea de serviciu pentru l = 1000 [m] și 9 010941
⋅⋅=
πε [F/m] rezultă:

miimij ijms
DD
rDC
''ln0242. 0
⋅= ] /[ kmFµ , (2.52)

( )
2
' '3 '
'
23 02ln0242. 0
mij miimij
ijmm
D DD
DrhC
⋅⋅
⋅⋅= ] /[ kmFµ . (2.53)

Calculul capacităŃilor de serviciu și de secvenŃă z ero ale cablurilor este dificil pentru că
implică anumite aproximări deoarece distanŃa dintre conductoare este comparabilă cu diametrul
conductoarelor și trebuie să se Ńină seama de influ enŃa învelișurilor metalice legate la pământ
(manta, armatură, etc.), de faptul că izolaŃia nu e ste omogenă în secŃiune.
Capacitatea între doi conductori este definită ca f iind raportul dintre încărcarea
conductoarelor și diferenŃa de tensiune între ele. Capacitatea cablului este afectată de mai mulŃi
factori, inclusiv de geometria cablului (un singur conductor sau trei), existenŃa unui strat metalic
de protecŃie, precum și de tipul și grosimea materi alului izolant.

67 Capacitatea de serviciu pentru un cablu multifilar cu câmp radial , se calculează în același
mod ca și pentru un condensator format din 2 cilind ri, obŃinânduîse relaŃia :

ccis
dDC
ln18ε= ] /[ kmFµ . (2.54)
unde:
Dci – diametrul cablului izolat, [mm];
dc – diametrul conductorului neizolat, [mm];
ε î permitivitatea dielectrică a izolaŃiei.

Valoarea lui ε pentru materiale de izolaŃie uzuale este prezentat ă în tabelul 2.7 [***,
2009:2] .

Tabelul 2.7
Valoarea lui ε pentru materiale de izolaŃie uzuale
Material de izolaŃie ε
XLPE 2.3
PVC 8
EPR 3

VariaŃia capacităŃii cablurilor în câmp radial când izolaŃia acestora este din diferite
materiale (XLPE, PVC și EPR) iar raportul dintre d iametrul cablului izolat și neizolat ia diferite
valori se prezintă în figura 2.16:

Figura 2.16. VariaŃia capacităŃii cablurilor în câm p radial, ]/[ kmFµ

CapacităŃile de serviciu ale cablurilor trifazate î n câmp neradial se calculează cu ajutorul
valorilor capacităŃilor dintre conductoare și dintr e conductoare și mantaua metalică [Bârlădeanu,
1997].

68

Figura 2.17. CapacităŃile de serviciu a cablurilor în câmp neradial

Primul pas este determinarea capacităŃii dintre un conductor și celelalte două conductoare
legate la manta:
c sm a C C C ⋅+= 2 ] /[ kmFµ . (2.55)

unde: C Cc×=6 , 0 î capacitatea între conductoare (nu sunt conect aŃi alŃi conductori sau
ecranul)
C Cs×=8 , 1 î capacitatea între conductoare și mantaua meta lică.

Al doilea pas ar fi determinarea capacităŃii dintre manta și cele trei conductoare legate
împreună:
C Cb⋅=8 . 1 ] /[ kmFµ . (2.56)

Dacă se transformă conexiunea condensatoarelor C c din triunghi în stea, se obŃine:

6931b a
c sC CC C C−⋅=⋅+= ] /[ kmFµ . (2.57)

Asupra capacităŃii obŃinute se aplică un coeficien t de corecŃie care ia în considerare
capacitatea faŃă de pământ:
1 2 2 , 1C C ×= ] /[ kmFµ . (2.58)

Orientativ, pentru cablurile trifazate cu o tensiu ne nominală de 10 kV și secŃiuni de 70 sau
95 mm 2, capacitatea C 1 are valoarea de 0,33 kmF/µ .

InterfaŃa grafică a aplicaŃiei pentru determinarea susceptanŃei capacitive este prezentată în
figura 2.18. Prin intermediul acesteia se determină susceptanŃa capacitivă atât pentru LEA (în
funcŃie de înălŃimile conductoarelor faŃă de pământ și distanŃele dintre acestea, atât pentru simplu
circuit cât și pentru dublu circuit) cât și pentru LEC (în funcŃie de configuraŃiile constructive ale
acestora și izolaŃia conductoarelor).

69

Figura 2.18. InterfaŃa grafică pentru determinarea susceptanŃei capacitive a LE

2.1.4. ConductanŃa

ConductanŃa GL la liniile electrice aeriene este condiŃionată, pe de o parte, de gradul de
imperfecŃiune al izolaŃiei, iar pe de altă parte de fenomenul corona.
Pierderile transversale de putere activă, în cazul LEA, se datorează imperfecŃiunii izolaŃiei
(izP∆) și fenomenului corona ( corP∆ ). ConductanŃa echivalentă acestor pierderi la tens iunea
nominală nU, este:
l UP PG
ncor iz
L1⋅∆+∆= [S/km]. (2.59)
Scurgerile de curent către pământ se manifestă, în general, în punctele de fixare ale
conductoarelor pe stâlp și sunt mai intense cu cât condiŃiile meteorologice sunt mai defavorabile.
ConductanŃa condiŃionată de imperfecŃiunea izolaŃie i este mică în condiŃiile de funcŃionare
normală, de circa 0,0002 î 0,002 [ µS/km]. Valoarea conductanŃei crește în timpul ploil or de 5 î 6
ori, rămânând însă neglijabilă în raport cu valoril e elementelor de exploatare. De asemenea,

70 trebuie luat în considerare și gradul de poluare a zonelor prin care trec liniile electrice aeriene,
astfel încât se pot atinge și valori de 0,02 î 0,04 [ µS/km].
În cazul liniilor electrice subterane, pierderile d e putere transversale apar datorită
imperfecŃiunii izolaŃiei, fenomenelor de ionizare d in izolaŃie și ciclului de histerezis electric.
Pentru cablurile de tensiuni nominale până la 20 de kV, utilizate în reŃelele industriale, pierderile
de putere transversale sunt mici și de aceea nu se iau în consideraŃie în calculul electric (schema
echivalentă) a liniilor electrice.

2.1.5. Modele de analiză a liniilor electrice

Pentru determinarea cât mai exactă a pierderilor de putere în liniile electrice trebuie
determinate modelele cât mai exacte a acestora. În tabelul 2.8 se prezintă modelele liniilor
electrice în funcŃie de nivelul de tensiune (joasă și medie tensiune), de tipul liniei electrice
(aeriană sau în cablu) și de construcŃia acestora.
Tabel 2.8
Modele de analiză a liniilor electrice
Nr.
Crt Tipul liniei Schema echivalentă RelaŃii de calcul O bservaŃii
1 LEA JT,
conductor
masiv
() ( )c cc L tcaL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α
sk c k K+=1
]/[ 10 ln223 0
, kmrDf X
esL Ω⋅


⋅⋅⋅=−
πµπ

2 LEC JT
Câmp
radial

() ( )c cc L tcaL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α
pr sk c k k K ++=1
3
, 102ln2 . 0 2−⋅

+⋅⋅⋅=dSaf XsL π
]/[
ln18kmF
dDCs µε= acî coeficient ce Ńine
seama de numărul de
fire
3 LEA JT,
torsadat

() ( )c cc L tcaL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α
ras pr sk c k k k K +++=1
04. 0 02. 0−=rask
3
, 102ln2 . 0 2−⋅

+⋅⋅⋅=dSaf XsL π
]/[
ln18kmF
dDCs µε= acî coeficient ce Ńine
seama de numărul de
fire
4 LEA MT
multifilar

() ( )c cc L tcaL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α
sk c k K+=1
2
20,11


+⋅=p sRcc L πρ

71
]/[ 10 ln223 0
, kmDDf X
msL Ω⋅


⋅=−
πµπ
'2ln0242. 0
mm ms
DD
rhC
⋅⋅=








⋅⋅=2
'0
2ln0242. 0
mm m
DD
rhC
5 LEA MT
multifilar
dublu
circuit

() ( )c cc L tcaL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α
sk c k K+=1
2
20,11


+⋅=p sRcc L πρ




⋅⋅⋅ =' ''
, log 1445. 0
mm m
sLDrD DX
miimij ijms
DD
rDC
''ln0242. 0
⋅=
( )
2
' '3 '
'
2302ln0242. 0
mij miimij
ijmm
D DD
DrhC
⋅⋅
⋅⋅=
6 LEC MT
Câmp
neradial

() ( )c cc L tcaL K t R R ⋅−⋅+⋅ = 20 120 20, , α
pr sk c k k K ++=1
3
, 102ln2 . 0 2−⋅

+⋅⋅⋅=dSaf Xsl π
6931b a
c sC CC C C−⋅=⋅+=
1 2 2 , 1C C ×= C2– capacitate LEC
cu luarea în
considerare a
capacităŃii faŃă de
pământ

2.2. Pierderi de putere în regim nesimetric sinuso idal

Regimurile dezechilibrate caracterizate de sisteme nesimetrice de curent și/sau tensiune
influenŃează negativ funcŃionarea reŃelelor electri ce de distribuŃie și a receptoarelor trifazate în
special [Buta, 2000:2]. În elementele reŃelelor de distribuŃie și de alimentare au loc pierderi
suplimentare de putere activă datorate, în special, nesimetriei curenŃilor de sarcină [Cziker,
2008].
În condiŃiile unui regim echilibrat de sarcină, pi erderile de putere activă au loc numai pe
componenta de secvenŃă pozitivă a curentului de sar cină, IA = I B = I C = I +, având următoarele
expresii pentru liniile electrice de distribuŃie, c u trei sau patru conductoare:
()22
, 3 3+
− ⋅=⋅⋅= ∆ IR IR PL L ssL [W]. (2.60)

72 Pentru o sarcină dezechilibrată caracterizată prin valorile diferite ale curenŃilor de fază
(linie), I A ≠ I B ≠ I C, cărora le corespund componentele simetrice de val ori efective I +, I î, I 0,
pierderile de putere activă au fost calculate confo rm relaŃiilor de mai jos:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:
()()() [ ] ()20202 2
, 9 3 I R I I IR PN L snL ⋅⋅+ + + ⋅= ∆− +
− [W]. (2.61)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
()() [ ]2 2
, 3− +
− + ⋅= ∆ I IR PL snL [W]. (2.62)

Pierderile suplimentare de putere activă introduse de funcŃionarea în regim dezechilibrat
de sarcină a reŃelei electrice sunt date de următoa rele diferenŃe ale pierderilor de putere:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:
() () ()20202
, ,'
, 9 3 3 I R I R I R P P PN L L ssL snL snL ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ∆− ∆= ∆−
− − − [W]. (2.63)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
()2
, ,'
, 3−
− − − ⋅⋅= ∆− ∆= ∆ I R P P PL ssL snL snL [W]. (2.64)

Din parcurgerea relaŃiilor de mai sus se constată c ă pierderile suplimentare de putere
activă datorate unui sistem nesimetric de curenŃi, sunt determinate de componentele de secvenŃă
negativă și zero, în cazul liniilor cu patru conduc toare sau numai de componenta de secvenŃă
negativă, în cazul liniilor cu trei conductoare.
Efectuând raportul dintre pierderile suplimentare d e putere activă calculate în regim
dezechilibrat de sarcină și pierderile de putere ac tivă în regim echilibrat de sarcină, se obŃine
creșterea pierderilor suplimentare de putere activă P∆ε care se exprimă sub forma:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:



⋅⋅+


+


=∆∆=+ + +−
−−
−∆II
RR
II
II
PP
LN
ssLsnL
snPL0202
,'
,
, 3 ε [%]. (2.65)
sau
( ) ( )202
, 31nI
fN
nI snPL kRRk ⋅



⋅++ =−
−∆ε [%]. (2.66)
• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu tr ei conductoare:
( )22
,'
,
,−
+−
−−
−∆ =


=∆∆=nI
ssLsnL
snPL k
II
PPε [%]. (2.67)

RelaŃiile de mai sus permit determinarea pierderilo r suplimentare de putere activă în cazul
unui regim dezechilibrat de sarcină, în funcŃie de coeficienŃii de nesimetrie negativă −
nIk și zero
0
nIk pentru curenŃi și parametrii electrici ai elemente lor de reŃea: rezistenŃa specifică a
conductoarelor de fază și nul (unde există) pentru liniile electrice.
În cazul liniilor electrice de joasă tensiune, creș terea pierderilor de putere, pentru diferite
valori ale coeficienŃilor de nesimetrie negativă, r espectiv zero a curenŃilor, se evidenŃiază în

73 figura 2.19; raportul între secŃiunile conductorulu i de fază și nul sunt cele întâlnite în practică, ș i
anume: 1; 1,36; 1,56; 1,71; 2; 2,18 [Pop, 2009:1].

Figura 2.19. VariaŃia pierderilor relative de puter e în reŃele de JT cu 4 conductoare

74 În ceea ce privește liniile electrice de MT, creșt erea pierderilor relative de putere, când
factorul de nesimetrie negativă pentru curenŃi vari ază până la 50% este prezentată în figura 2.20.

Figura 2.20. VariaŃia pierderilor relative de puter e în reŃele de MT

Curentul prin conductorul de nul se va determina ca fiind produsul dintre factorul dezK și
curentul de secvenŃă pozitivă. VariaŃia factorului dezK se reprezintă grafic în funcŃie de factorul
de nesimetrie negativă a curenŃilor (Figura 2.21).

+ +
− ⋅=⋅⋅= I K Ik Idez I snN0
, 3 [A]. (2.68)

Figura 2.21 VariaŃia factorului dezK în funcŃie de 0
Ik

75 Cu ajutorul relaŃiilor prezentate anterior a fost realizat un program de determinare a
pierderilor în liniile electrice care funcŃionează în regim nesimetric sinusoidal (figura 2.22). Cu
ajutorul acestuia se pot determina pierderile total e în LE, creșterea pierderilor faŃă de regimul
ideal, componentele de secvenŃă ale curenŃilor, fac torii de nesimetrie, iar în cazul liniilor cu patru
conductoare se determină curentul care circulă prin conductorul de nul.

Figura 2.22 InterfaŃa grafică pentru determinarea p ierderilor în regim nesimetric sinusoidal

2.3. Pierderi de putere în regim nesinusoidal sime tric

2.3.1 Pierderi în conductoarele liniilor electrice

FuncŃionarea reŃelelor electrice în regim deforman t influenŃează, sub aspectul calităŃii
energiei electrice, randamentul receptoarelor elect rice racordate în reŃea, iar sub aspectul
performanŃelor tehnicoîeconomice, valoarea pierderi lor de putere înregistrate în reŃea [Chindriș,
2007].
Pentru stabilirea pierderilor de putere activă, re spectiv a pierderilor suplimentare de
putere, se vor considera cunoscute datele de intrar e pe fiecare element de reŃea: valorile efective
ale tensiunilor și curenŃilor armonici și coeficien tul de distorsiune sau oscilograma undelor
nesinusoidale de tensiune și curent.

76 Valorile efective ale mărimilor specificate se obŃi n prin măsurători cu aparate speciale
(analizoare de armonici) sau prin calcul pe baza an alizei spectrului de armonici al curbelor
nesinusoidale oscilografiate.
Se au în vedere de asemenea, parametrii electrici s pecifici ai unei linii electrice pentru
conductoarele de fază și conductorul de nul (pentru liniile electrice de joasă tensiune – linii cu
patru conductoare), pentru care se iau în considera re influenŃa variaŃiei frecvenŃei pe armonicile
de ordinul h, în raport cu armonica fundamentală.
RezistenŃa specifică a conductoarelor variază dato rită efectului pelicular în funcŃie de
frecvenŃă, cu valori relativ mici, motiv pentru car e de cele mai multe ori această variaŃie se
neglijează în calcule; în literatura tehnică se est imează creșteri ale rezistenŃelor specifice pentru
armonicile de ordinul h, faŃă de rezistenŃa specifică corespunzătoare frec venŃei de 50 Hz, de 10%
pentru armonica 3, de 20% pentru armonica 5, de 35% pentru armonica 7, de 50% pentru
armonica 9, etc [Arie, 1994].
Evaluarea pierderilor de putere și a pierderilor s uplimentare se efectuează pentru o reŃea
electrică, racordată la un sistem energetic de pute re infinită, care alimentează receptoare electrice
neliniare, generatoare de armonici de curenŃi. De a semenea se vor avea în vedere și următoarele
condiŃii de calcul:
/square4 regimul de sarcină este echilibrat, sistemul de cur enŃi fiind simetric (coeficientul de
nesimetrie fiind în limitele admise);
/square4 sistemul tensiunilor se consideră simetric și sinus oidal (coeficienŃii de nesimetrie și de
distorsiune fiind în limitele admise);
Pentru evaluarea pierderilor suplimentare de puter e în reŃeaua electrică, la funcŃionarea
acesteia în regim deformant este necesar să se expr ime pierderile de putere în următoarele
situaŃii:
a) Pierderile de putere activă ce se produc în regim n ormal de funcŃionare, în lipsa regimului
deformant, atât în linii electrice cu patru conduct oare cât și pentru linii electrice cu 3 conductoare
se calculează cu relaŃiile cunoscute:

2
1 , 3 IR Pf ssL ⋅= ∆− [W]. (2.69)

unde:
I1 – valoarea efectivă a curentului corespunzător unu i sistem simetric și sinusoidal de
curenŃi.

b) Pierderile de putere activă produse de armonicile d e curent în regim deformant se
determină astfel:

• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:

∑ ∑∞
=∞
=− ⋅+⋅= ∆
12
3
22 '
, 3
hh
hN h f nsL I R I R P [W]. (2.70)

unde: hI3î valorile efective a curenŃilor armonici de ordinu l h vehiculaŃi prin conductorul de
nul.

77 • pentru liniile electrice de medie tensiune, cu tr ei conductoare:

∑∞
=− ⋅= ∆
22 '
, 3
hh f nsL I R P [W]. (2.71)

c) Pierderile totale de putere activă produse în regim deformant vor fi date de ecuaŃiile (2.72)
respectiv (2.73):

• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:

∑ ∑∞
=∞
=− ⋅+⋅+⋅= ∆
12
3
22 2
1 , 3 3
hh
hN h f f nsL I R I R IR P [W]. (2.72)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:

∑∞
=− ⋅+⋅⋅= ∆
22 2
1 , 3 3
hh f f nsL I R IR P [W]. (2.73)

d) Efectuând raportul dintre pierderile de putere prod use de armonicile de curenŃi și
pierderile de putere produse în lipsa sistemului de curenŃi nesinusoidali se obŃine creșterea
pierderilor de putere, care se poate scrie și în fu ncŃie de coeficienŃii de ponderi pentru curenŃi sau
de reziduul deformant de curent astfel:

• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:

∑∞
= −−
−∆ 


+ =∆∆=
12
13 2
,'
,
,
hh
fN
I
ssLnsL
nsPLII
RRTHDPPε [%]. (2.74)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:

22
12
122
,'
,
, Id hh
ssLnsL
nsPL THDII
II
PP=


= =∆∆=∑∞
=
−−
−∆ε [%]. (2.75)

Pierderile relative de putere, în reŃelele cu 4 con ductoare în funcŃie de factorul de
distorsiune armonică a curentului și ponderea armon icilor de rang 3h , raportul între secŃiunile
conductorului de fază respectiv de nul sunt cele în tâlnite în practică (1; 1,36; 1,56; 1,71; 2; 2,18),
sunt prezentate cu ajutorul graficelor din figura 2 .23. VariaŃia rezistenŃei electrice a
conductoarelor cu frecvenŃa se neglijează.

78

Figura 2.23. VariaŃia pierderilor relative de puter e în reŃele de JT cu 4 conductoare

79 Creșterea pierderilor relative de putere în reŃele le de MT, când factorul de distorsiune
armonică pentru curenŃi variază până la 100% este p rezentată în figura 2.24:

Figura 2.24 VariaŃia pierderilor relative de putere în reŃele de MT

În cazul în care variaŃia rezistenŃei cu frecvenŃ a nu se neglijează, relaŃiile de calcul ale
pierderilor totale de putere activă se pot scrie as tfel:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:
∑ ∑∞
=∞
=− ⋅ +⋅ ⋅= ∆
12
3
12 "
, 3
hh N
hh f nsL I R I R P
h h [W]. (2.76)
• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
∑∞
=− ⋅ ⋅= ∆
12 "
, 3
hh f nsL I R P
h [W]. (2.77)

În cazul reŃelelor electrice de joasă tensiune cu patru conductoare este necesară
determinarea curentului care circulă în conductorul de nul. O categorie separată o constituie
armonicile de ordin multiplu de 3 care se regăsesc în fiecare fază cu caracteristicile lor specifice
secvenŃei zero și se adună în conductorul de nul ([ Postolache, 2002], [Desmet, 2001]). În aceste
condiŃii, curentul din conductorul de nul se poate determina cu relaŃia (2.78):
1 , I K Iarm nsN ⋅=− [A]. (2.78)

Factorul armK se determină în funcŃie de factorul de distorsiune armonică a curentului și
în funcŃie de ponderea armonicilor de ordin 3h din reziduul deformant. VariaŃia acestuia pentru
diferite valori ale ponderii armonicilor de ordin 3h (10,30,…,90%) se reprezintă grafic în figura
2.25. În cazul în care regimul de funcŃionare al re Ńelei este nesinusoidal, datorită curenŃilor de
ordin 3h , secŃiunea conductorului de nul trebuie să fie cel puŃin egală cu cea a conductorului de
fază [Baggini, 2003].
h I arm THD K3 3 γ⋅ ⋅= , h=1,3,5,7,… (2.79)

80

Figura 2.25 VariaŃia factorului armK în funcŃie de I THD și h3γ

Figura 2.26. InterfaŃa grafică pentru determinarea pierderilor în regim simetric sinusoidal

81 AplicaŃia pentru determinarea pierderilor în condu ctoarele liniilor electrice când acestea
funcŃionează în regim simetric nesinusoidal se prez intă în figura 2.26. Cu ajutorul acestei aplicaŃii
se pot determina pierderile, creșterea acestora (at ât în cazul în care se neglijează variaŃia
rezistenŃei cu frecvenŃa cât și in cazul când nu se neglijează), factorul de distorsiune armonic iar
în cazul liniilor electrice cu 4 conductoare curent ul care trece prin conductorul de nul.

2.3.2. Pierderile în dielectricul liniilor electri ce în cablu

Pierderile în materialele dielectrice apar în cazul izolaŃiei conductoarelor și sunt cauzate
de componenta activă a curentului electric și de re zistenŃa de izolaŃie a materialului dielectric
[Felea, 2002]. Valoarea componentei active a curent ului electric este influenŃată de temperatură și
de umiditatea mediului înconjurător. Mărimea care d efinește pierderile active se numește unghiul
de pierderi. Pentru armonica de rang h se poate scrie:

hh
hQPtg=δ . (2.80)

În cazul liniilor electrice, pentru temperatură ș i umiditate normală, pierderile dielectrice
se pot exprima sub forma:
h h hn
hdielL tg UCh lf P δ π ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆ ∑
=2
1, 3 [W]. (2.81)
unde :
Ch – capacitatea lineică pe fază corespunzătoare armo nicii de rang h.

Dacă notăm cu 12
1 1, 3 δ π tgUClf PdielL ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆ ca fiind pierderile în dielectric
corespunzătoare fundamentalei, pierderile totale în dielectricul liniilor în cablu se pot exprima
sub următoarea formă:
( )diel dielL dielL K P P +⋅ ∆= ∆ 11, , [W]. (2.82)
unde:





⋅


⋅ =∑
= 1 22
1 δδ
tgtg
UUh Khn
hh
diel (2.83)

Unghiul de pierderi în dielectric pentru materialel e de izolaŃie folosite în practică în cazul
cablurilor, este dat în tabelul 2.9 (frecvenŃa f = 50 Hz, tensiunea nominală U = 10 kV).

Tabelul 2.9
Valori ale 1δtg pentru diferite materiale de izolaŃie [***, 2009:2 ]
Materialul de izolaŃie 1δtg
Compus EPR 0.04
PVC 0.1
XLPE 0.008

82 2.4. Pierderi în regim nesimetric nesinusoidal

Regimul nesimetric și nesinusoidal este regimul rea l de funcŃionare existent în sistemul
electroenergetic naŃional. Acesta se caracterizează prin forme de undă nesinusoidale atât pentru
tensiuni cât și pentru curenŃi, precum și nesimetri i ale tensiunilor și curenŃilor.
În figura 2.27 se prezintă formele de undă ale cure nŃilor întrîo reŃea electrică dezechilibrată
și nesinusoidală.

Figura 2.27 Sistem trifazat nesimetric și nesinusoi dal de curenŃi

2.4.1. Analiza reŃelelor electrice trifazate în re gim real de funcŃionare

Întrîun regim nesimetric și nesinusoidal, sistemul de curenŃi descompus în serie Fourier
conduce la obŃinerea unui sistem nesimetric de cure nŃi de frecvenŃă fundamentală, care se poate
descompune în 3 sisteme simetrice. O categorie sepa rată o constituie armonicile de ordin
multiplu de 3 care se regăsesc în fiecare fază cu c aracteristicile lor specifice secvenŃei zero și se
adună în conductorul de nul; celelalte armonici car e, fiecare în parte poate constitui un sistem
nesimetric, se pot descompune în 3 sisteme simetric e care se regăsesc pe fiecare fază.
În condiŃiile existente rezultă că întrîun sistem energetic trifazat circulă curenŃi de
frecvenŃă fundamentală de succesiune pozitivă, nega tivă și zero, curenŃi cu frecvenŃe
corespunzătoare armonicei de ordin 3 și multiplu de 3 și curenŃi de succesiune pozitivă, negativă
și zero corespunzători tuturor celorlalŃi curenŃilo r armonici având frecvenŃe diferite de 3 și
multiplu de 3, cum sunt 5, 7, 11, 13 etc. Astfel, î n fiecare fază circulă un curent real având
componenta fundamentală plus reziduul deformant.
Pentru determinarea pierderilor de putere în regim nesimetric și nesinusoidal se consideră
un sistem trifazat cu conexiunea stea cu conductor de nul ce corespunde reŃelelor electrice de
joasă tensiune. CurenŃii care vor parcurge reŃeaua sunt consideraŃi dezechilibraŃi și nesinusoidali
și se exprimă cu următoarele relaŃii:

. )32sin( 2 )(),34sin( 2 )(, ) sin( 2 )(
111
∑∑∑
++ =++ =+ =
n
h Ch Cn
h Bh Bn
h Ah A
h th I tih th I tith I ti
πϕωπϕωϕω
(2.84)

83
în care, A, B și C reprezintă cele trei faze ale reŃelei electrice.
În acest caz, prin conductorul de nul vom avea o ci rculaŃie de curent, conform relaŃiei:

()()()()titititiC B A N ++= . (2.85)

Cunoscând analitic expresiile curenŃilor pe cele tr ei faze și pe conductorul de nul, acestea
se pot exprima prin sume de semnale (numite serii F ourier) după cum urmează:
( ) ( )
( ) ( ) . sin2, cos2
00
∫∫
⋅⋅⋅⋅ =⋅⋅⋅⋅ =
T
F hT
F h
dtt h tiTbdtt h tiTa
ωω
(2.86)
unde: Fî reprezintă A,B, C și N.

Amplitudinea armonicii de ordin h (pentru h = 1 avem armonica fundamentală) se
determină cu următoarea relaŃie:
2 2
h h h b a c += . (2.87)

În ceea ce privește faza hϕ se impune luarea în considerare a semnelor coefici enŃilor ha
și hb, în vederea plasării fazelor în cadranul corect. Î n continuare se propune următorul algoritm
de identificare a fazelor:
• Dacă 0 >ha atunci:



−=
hh
habarctg2πϕ . (2.88)

• Dacă 0 <ha :







−−=
hh
habarctg22ππϕ . (2.89)

• Dacă 0 =ha și 0=hb :
0=hϕ . (2.90)

Atunci când regimul de funcŃionare a reŃelei electr ice este unul nesimetric și nesinusoidal,
sistemul de secvenŃă pentru fiecare armonică se poa te determina cu transformata Fortesque,
extinsă pentru acest caz, după cum urmează:

• Operatorul de rotaŃie va deveni:
()ha a→ , ( )32hjeha⋅
=π
. (2.91)

84 • Matricea transformării Fortesque va deveni:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) 



=
22
111 1 1
ha haha ha hA . (2.92)

• Componentele de secvenŃă se determină cu relaŃia de mai jos:

()
( )
( )( ) ( )
( ) ( )()
( )
( )



⋅




=




−+
hIhIhI
ha haha ha
hIhIhI
CBA
220
111 1 1
31. (2.93)
Sau

()() ()h I hA hICBA s ,,1⋅ =−. (2.94)

unde: ()hIs î curenŃii de secvenŃă pentru fiecare armonică ;
()h ICBA,, î curenŃii efectivi pe fază pentru fiecare armonic ă.

• Transformarea inversă va fi:

()()()hIhA h Is CBA ⋅=,,. (2.95)

Domeniul fazorilor de secvenŃă este dependent de o rdinul armonicii. În acest mod se obŃin
sistemele de secvenŃă pentru fiecare armonică în fu ncŃie de sistemul de fază și ordinul armonicii.
Componentele simetrice pentru fiecare armonică se c alculează prin explicitarea
operatorului a(h) și separarea părŃilor imaginare și reale în vedere a determinării modulelor
simetrice pentru fiecare armonică, necesare la cara cterizarea regimului nesimetric și nesinusoidal.
Astfel modulele componentelor de succesiune pozitiv ă, negativă respectiv zero pentru curenŃi se
pot determina după cum urmează:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23
123
1132sin 132cos31









− + ⋅ +








− + ⋅ = ∑ ∑
= =k hh hI k hh hI hIk
kk k
kk dπϕπϕ
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23
123
1432sin 432cos31









− + +








− + = ∑ ∑
= =k hh hI k h h hI hIk
kk k
kk iπϕπϕ , (2.96)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )23
123
1sin cos31



⋅ +


⋅ = ∑ ∑
= =h hI h hI hIk
kk k
kk h ϕ ϕ .

85 2.4.2. Pierderi în conductoarele liniilor electric e în regim real

Cunoscând valorile efective ale curenŃilor pe fieca re fază, calculul pierderilor de putere
atunci când reŃeaua electrică este una nesimetrică și nesinusoidală, se face astfel:

CL BL AL nnL P P P P, , , , ∆+∆+∆= ∆− [W]. (2.97)
unde:
• ][
12
, WIR Pn
hhA f AL∑
=⋅ =∆ reprezintă pierderile de putere pe faza A;
• ][
12
, WIR Pn
hhB f BL∑
=⋅ =∆ î pierderile de putere de pe faza B;
• ][
12
, WIR Pn
hhC f CL∑
=⋅ =∆ î pierderile de putere de pe faza C.

În cazul în care există și conductor de nul, la pie rderile totale se adaugă pierderile de
putere apărute pe conductorul de nul, care se pot c alcula astfel:

∑
=⋅ =∆n
hhN N NL IR P
12
, [W]. (2.98)

În relaŃiile de mai sus mărimile folosite au semnif icaŃiile:
• fR,NR î sunt rezistenŃele conductoarelor de fază, în [Ω];
• hC hB hA III ,, ,hNI : reprezintă valorile efective ale armonicilor de cur ent de pe fiecare fază
în parte, respectiv pe conductorul de nul, în [A].

Pierderile în conductoarele active, în contextul în care variaŃia rezistenŃei cu frecvenŃa se
neglijează, se pot determina în funcŃie de curentul la frecvenŃa fundamentală și factorul de
distorsiune armonic al curentului pe fiecare fază.

( )2 2
, 1IA fA f AL THD IR P +⋅⋅=∆ [W],
( )2 2
, 1IB fB f BL THD IR P +⋅⋅=∆ [W], (2.99)
( )2 2
, 1IC fC f CL THD IR P +⋅⋅=∆ [W].

De asemenea, pentru conductorul de nul de poate def ini factorul de distorsiune armonică a
curentului; astfel, pierderile în conductorul neutr u, dacă se neglijează variaŃia cu frecvenŃa a
rezistenŃei, se pot scrie:
( )2 2
, 1IN fN N NL THD IR P +⋅⋅=∆ [W]. (2.100)

Ca urmare, pierderile totale de putere se exprimă d upă cum urmează:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:

86 ( )( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2
, 1 1 1 1IN fN N IC fC IB fB IA fA f nnL THD IR THD I THD I THD IR P + + ++ ++ + = ∆− [W]. (2.101)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
, 1 1 1IC fC f IB fB f IA fA f nnL THD IR THD IR THD IR P +⋅⋅+ +⋅⋅+ +⋅⋅= ∆− [W]. (2.102)

Dacă raportăm valoarea pierderilor totale la valoar ea pierderilor calculate în cazul unui
regim simetric și sinusoidal ( P∆), se obŃine creșterea relativă a pierderile de put ere, dată de
relaŃia (2.103).
1001 100
,,
,, ,
, ⋅



−∆∆=⋅∆∆− ∆=
−−
−− −
−∆
ssLnnl
ssLssL nnL
nnPLPP
PP Pε [%]. (2.103)

În ipoteza în care prin intermediul reŃelei electri ce considerate se alimentează același tip
de receptoare, factorul de distorsiune armonic pe c ele trei faze va fi același
(I IC IB IA THD THD THD THD = = = ). În aceste condiŃii relaŃiile (2.101) și (2.102) se pot scrie
astfel:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 '
, 1 1IN fN N fC fB fA I f nnL THD IR I I I THD R P +⋅⋅+++⋅ +⋅= ∆− [W]. (2.104)

sau în funcŃie de curenŃii de secvenŃă pe fundament ală
( )()()() [ ] ( )()20 2202 22 '
, 1 9 1 3 I THD R I I I THD R PIN N I f nnL ⋅ +⋅⋅+ + +⋅ +⋅⋅= ∆− +
− [W]. (2.105)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
( )( )2 2 2 2 '
, 1fC fB fA I f nnL I I I THD R P ++⋅ +⋅= ∆− [W]. (2.106)

sau în funcŃie de curenŃii de secvenŃă pe fundament ală
( )()() [ ]2 22 '
, 1 3− +
− +⋅ +⋅⋅= ∆ I I THD R PI f nnL [W]. (2.107)

Efectuând raportul dintre pierderile de putere to tale și pierderile de putere produse în lipsa
sistemului de curenŃi nesinusoidali și nesimetrici se obŃine raportarea piederilor totale la
pierderile în regim ideal; acestea se pot exprima ș i în funcŃie de coeficienŃii de ponderi pentru
curenŃi sau de reziduul deformant de curent astfel:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )20 22022
,'
,1 3 1 1nI IN
fN
nI nI I
ssLnnLk THDRRk k THDPP⋅ +⋅⋅+ + +⋅ +=∆∆−
−− [W]. (2.107)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
( ) ( ) []22
,'
,1 1−
−−+⋅ +=∆∆
nI I
ssLnnLk THDPP [W]. (2.108)

Dacă raportăm valoarea pierderilor în regim nesime tric nesinusoidal la valoarea

87 pierderilor calculate în cazul unui regim simetric și sinusoidal ( P∆), se obŃine creșterea relativă a
pierderile de putere, dată de relaŃia:
• pentru liniile electrice de joasă tensiune, cu patr u conductoare:
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1001 1 3 1 120 22022
, ⋅


−⋅ +⋅⋅+ + +⋅ +=−
−∆ nI IN
fN
nI nI I nnPL k THDRRk k THD ε [%]. (2.109)

• pentru liniile electrice de medie tensiune, cu trei conductoare:
( )()[] { }1001 1 122
, ⋅− +⋅ +=−
−∆ nI I nnPL k THD ε [%]. (2.110)

InterfaŃa grafică a aplicaŃiei pentru determinarea pierderilor în regimul real de funcŃionare
se prezintă în figura 2.28.

Figura 2.28. InterfaŃa grafică pentru determinarea pierderilor în regim nesimetric nesinusoidal

88
2.5. Concluzii

În condiŃiile creșterii numărului și a puterii abs orbite de consumatorii cu sarcini neliniare,
care mai sunt denumiŃi și consumatori perturbatori (echipamente cu comenzi și reglare utilizând
electronică de putere, cuptoare cu arc electric, tr acŃiune electrică, aparatură electrocasnică
modernă etc.), asigurarea calităŃii energiei devine o problemă de o complexitate deosebită.
Analiza fenomenelor în reŃeaua electrică necesită cunoașterea formei reale a curbei
curentului electric. Nesimetria curenŃilor are ca p rincipal efect producerea de pierderi
suplimentare în reŃelele electrice cu consecinŃe ne gative în ceea ce privește randamentul
transferului de energie.
În ciuda aspectelor mai susîmenŃionate, inginerii calculează pierderile de putere pentru o
funcŃionare în regim echilibrat sinusoidal; această abordare poate duce la subdimensionarea
elementelor reŃelei, în special, linii electrice. A stfel, în funcŃionare, se pot genera multe
disfuncŃionalităŃi sau chiar căderea întregului sis tem. În acest sens studiile teoretice trebuie
validate de determinări experimentale.
Pentru determinarea pierderilor de putere este nec esară o cunoaștere cât mai exactă a
parametrilor electrici ai liniilor.
În cazul LEA, în calculul rezistenŃei, o importanŃ ă mai mare o are factorul de corecŃie
datorită efectului pelicular faŃă de cel de apropie re, pentru că distanŃele între fazele liniei electr ice
sunt mult mai mari în comparaŃie cu diametrele lor. În ceea ce privește LEC, distanŃele dintre
faze sunt comparabile cu diametrul acestora, astfel că în calculul rezistenŃei o pondere mare o are
factorul de corecŃie datorită efectului de apropier e, când secŃiunile conductoarelor nu depășesc 95
mm 2. Pentru secŃiuni mari, peste 150 mm 2 și frecvenŃe de peste 500 Hz, efectul pelicular es te mai
important decât cel de proximitate.
În cazul în care conductoarele liniilor electrice nu sunt construite din conductor masiv,
atunci în calculul rezistenŃei și reactanŃei trebui e luat în considerare numărul firelor. În cazul
LEC, reactanŃele se calculează în funcŃie de număru l de sârme existent în conductor (7, 19, 37,
61). Capacitatea în cazul LEC se determină luând în considerare tipul izolaŃiei (PVC, XLPE și
compus EPR) precum și grosimea izolaŃiei.
Pierderile suplimentare de putere în regimul real de funcŃionare, faŃă de regimul de
referinŃă, implică o reducere a disponibilităŃii de putere și de energie a echipamentelor alimentate
prin aceste căi de curent (linii electrice).
În cazul liniilor electrice cu patru conductoare, pierderile de putere activă au loc în
conductoarele active ale liniei electrice, inclusiv pe componenta de secvenŃă zero care se închide
la pământ prin punctele neutre ale reŃelei electric e.
Determinarea coeficienŃilor de nesimetrie negativă și zero pentru curenŃi permite
determinarea creșterii pierderilor de putere activă în regim dezechilibrat de sarcină faŃă de
pierderile de putere activă în regim echilibrat cor espunzător componentei de secvenŃă pozitivă.
Folosinduîse un conductor de nul cu secŃiunea la j umătate din secŃiunea de fază se
observă că pierderile relative de putere cresc cu 6 0 %.
În cazul în care sistemul de curenŃi este unul ech ilibrat, dar nesinusoidal, pentru stabilirea
pierderilor de putere activă, respectiv a pierderil or suplimentare de putere, se vor considera
cunoscute datele de intrare pe fiecare element de r eŃea: valorile efective ale tensiunilor și
curenŃilor armonici și coeficientul de distorsiune sau oscilograma undelor nesinusoidale de
tensiune și curent. Se au în vedere, de asemenea, p arametrii electrici specifici ai unei linii

89 electrice pentru conductoarele de fază și conductor ul de nul (pentru liniile electrice de joasă
tensiune), pentru care se ia în considerare influen Ńa variaŃiei frecvenŃei pe armonicile de ordin h,
în raport cu armonica fundamentală.
În concluzie, pentru a pune în aplicare o proiectar e exactă a unei reŃele electrice, în
concordanŃă cu regimul de lucru real, și de a obŃin e valorile apropiate de realitate pentru
pierderile de putere calculate, este necesar a se e fectua calcule complexe exacte, luând în
considerare mulŃi parametri.

90

91 3. Pierderi de putere în transformatoare electrice

Transformatoarele de putere sunt elemente pasive pe ntru SEE și deci, cel puŃin teoretic,
ele sunt independente de sensul circulaŃiei prin ac este elemente.
Parametrii electrici din schema electrică echivalen tă a transformatorului se numesc
constantele transformatorului. Acestea caracterizea ză regimul de funcŃionare al transformatorului.
Constantele transformatorului se determină practic din încercările transformatorului sau prin
măsurători pe transformatoarele existente [Biro, 19 70]. În funcŃie de reŃeaua de secvenŃă ce se
construiește, se disting schemele electrice echival ente de secvenŃă ale transformatoarelor și
corespunzător, constantele de secvenŃă. Acestea sun t constantele de secvenŃă pozitivă, negativă și
zero.
Schemele electrice echivalente de secvenŃă directă și inversă sunt identice, iar constantele
transformatorului de secvenŃă directă și inversă su nt egale. Schema electrică echivalentă de
secvenŃă zero depinde de tipul constructiv al trans formatorului, de schema de conexiuni a
înfășurărilor și de puterea transformatorului.
După funcŃia pe care o au în cadrul sistemului elec tric, se disting următoarele categorii de
transformatoare:
• Transformatoare de putere (monofazate sau trifazate îfigura 3.1) folosite în transportul și
distribuŃia energiei electrice;
• Transformatoare de măsură (de curent sau de tensiun e);
• Transformatoare cu destinaŃii speciale: de sudură, pentru cuptoare electrice, pentru
modificarea numărului de faze, amplificatoare magne tice;
• Autotransformatoare î folosite pentru interconexiun ea a două reŃele cu nivele diferite de
tensiune sau pentru reglarea tensiunii.
Transformatorul este un element component al reŃele i electrice. Prin intermediul
transformatoarelor electrice se transformă o putere electrică alternativă cu anumiŃi parametri întrî
o altă putere electrică alternativă de aceeași frec venŃă dar cu parametrii electrici modificaŃi.

Figura 3.1. Transformator trifazat

Elementele caracteristice sau datele de catalog ale unui transformator sunt:
• Puterea nominală aparentă, SnT ;
• Tensiunile nominale primare și secundare, U1, U 2;
• Raportul de transformare, K12 ;
• ImpedanŃa de scurtcircuit, zsc ;

92 • Tensiunea relativă de scurtcircuit, usc ;
• Curentul de mers în gol, i0;
• Pierderile în scurtcircuit, scP∆;
• Pierderile la mersul în gol, 0P∆;
• Grupa de conexiuni;
• ConfiguraŃia miezului circuitului magnetic;
• Numerele caracteristice.
Înfășurarea care primește energia se numește înfășu rare primară iar înfășurarea care
cedează (alimentează) energia se numește înfășurare secundară.
Puterea nominală este valoarea puterii aparente la bornele circuitului secundar pentru care
nu sunt depășite limitele de încălzire admisibile a le transformatorului. Cele mai frecvent utilizate
puteri nominale se prezintă în tabelul 3.1
Tabelul 3.1
Puteri nominale ale transformatoarelor
Tensiunea înaltă, kV Puterea nominală, MVA
6 si 10 0.063, 0.1, 0.16, 0.25, 0.4, 0.63, 1, 1.6
20 0.063, 0.1, 0.16, 0.25, 0.4, 0.63, 1, 1.6, 4, 6. 3, 10, 16
35 0.25, 0.4, 0.63, 1, 1.6, 4, 6.3, 10, 16, 25
110 10, 16, 25, 40, 63, 80, 125, 150, 190
220 63, 100, 125, 250, 400
400 400,630
3×133.3, 3×210

Tensiunea primară nominală este tensiunea aplicată la bornele de alimentare, în regim
normal de funcŃionare. Tensiunea secundară nominală este cea care corespunde bornelor
secundare atunci când transformatorul funcŃionează în gol, iar circuitului primar i se aplică
tensiunea nominală. Cele mai frecvente tensiuni nom inale între faze la frecvenŃa de 50 de Hz sunt
prezentate în tabelul 3.2
Tabelul 3.2
Tensiunea primară nominală
U[kV] 0.4 6.6 11 16.5 22 38.5 66 121 242 400 750

Raportul de transformare este raportul dintre tensi unile nominale, primară și secundară, la
mersul în gol al transformatorului.
Curentul nominal primar și secundar sunt curenŃii c orespunzători valorilor puterii
nominale și tensiunii nominale primare, respectiv s ecundare.
Conexiunea unui transformator reprezintă schema de conexiuni a înfășurărilor sale și
precizarea unghiului de defazaj al fazorului tensiu nii secundare de linie faŃă de fazorul tensiunii
primare corespunzătoare. Pentru transformatoarele t rifazate de putere se folosesc trei conexiuni
de bază: în stea, în triunghi și în zigîzag.
Conexiunile în stea, triunghi și în zigîzag se repr ezintă convenŃional prin literele Y, D și
Z, pentru înfășurările de înaltă tensiune și prin l iterele y, d și z pentru înfășurările de joasă
tensiune. Când una din înfășurări are nulul accesib il și legat direct la pământ, la simbolul
respectiv se adaugă cifra 0, de exemplu Y 0 sau y 0.
Alegerea grupei de conexiuni a transformatorului se face în funcŃie de condiŃiile de
funcŃionare ale transformatorului. Astfel, pentru t ransformatoarele din staŃiile centralelor electrice

93 înfășurările pe partea centralei se adoptă în triun ghi iar pe partea reŃelei în stea. Pentru
transformatoarele din staŃiile de conexiuni se adop tă conexiunea steaîstea.
În tabelul 3.3 sunt date cele mai uzuale grupe de c onexiuni pentru transformatoarele
trifazate de putere [Cziker, 2006].
Tabelul 3.3
Conexiunile transformatoarelor
Simbol Diagrama vectorială a tensiunilor Schema de conexiuni a înfășurărilor Raportul de
transformare
Yy0

21
WW
Dd0

21
WW
Dy5

21
3WW
⋅
Yd5

213
WW⋅
Yz5

21
32
WW
⋅⋅
Dy11

21
3WW
⋅
Yd11

213
WW⋅
Yz11

21
32
WW
⋅⋅

94 Cele mai importante elemente constructive ale trans formatoarelor care influenŃează
parametrii electrici ale acestora sunt înfășurările și miezul. În funcŃie de materialul acestor părŃi
componente se determină parametrii electrici.
Miezul feromagnetic se confecŃionează din tablă sil icioasă (laminată la rece sau la cald)
sau din benzi din metal amorf.
Miezurile din metal amorf reprezintă o tehnologie n ouă în ceea ce privește
transformatorul, fiind utilizate pe o scară largă î n Japonia și alte Ńări din Asia precum și în
America de Nord. Această tehnologie a fost dezvolta tă, în trecut, pentru transformatoarele
monofazate și de puteri mici deoarece se întâmpinau dificultăŃi în asamblarea miezului acestora
[***, 2010].
Materialele amorfe au o rezistivitate electrică mar e și un domeniu magnetic mic sau
inexistent [Frau, 2007]. Tipurile mai vechi de tran sformatoare ajungeau la saturaŃie la un flux mai
mic, aproximativ 75% din densitatea de flux convenŃ ională care rezultă în transformatoarele mari
[Pop. 2010:2]. Nivelul de saturaŃie a fost crescut și împreună cu alte îmbunătăŃiri din punct de
vedere tehnologic, miezurile amorfe pot fi aplicate și transformatoarelor trifazate de orice putere.
Câștigul în ceea ce privește randamentul este mare.
Pierderile de mers în gol pot fi reduse cu 70î80 % faŃă de oŃelul siliciu ce are performanŃa
cea mai bună, atingând valori cum ar fi 0.065W/kg [ DeCristofaro, 1998].
Banda amorfă nu se poate utiliza decât la miezuril e înfășurate. ConfiguraŃia miezului
folosită pentru trifazate amorfe (atât pentru grupe le de conexiuni Yy, Dy cât și Yz) este cu cinci
coloane.
Principalele caracteristici de material ale metalul ui amorf faŃă de tipurile de tolă
convenŃională frecvent utilizate la transformatoare le de distribuŃie sunt prezentate în tabelul 3.4.

Tabelul 3.4
Caracteristici de material ale metalului amorf/clas ic
TOLA MAGNETICĂ CLASICĂ
alte tipuri
în general
Max – 0,3 LASER–0,23 METAL
AMORF
Grosime 0,18 ÷0,35 mm 0,3 0,23 0,025
Masa de volum 7,65 kg/dm 3 7,18 kg/dm 3
InducŃia de saturaŃie 2,04 T 1,56 T
Coeficient de laminare 93,5 ÷96,6 % 96% 94,8 % ≈ 82 %
Sensibilitate la
tensiuni interne mai mică mai mare
Recoacere pentru
destindere
benefică cu anumite limite
lipsa permisă recoacere sub
câmp magnetic
indispensabilă
Pierderi in gol 60 ÷ 120 % 100 % 65 % 25 ÷ 35 %
Acoperire izolaŃie cu carlit pe cele 2 laturi 

În [Hasegawa, 2007] se prezintă temperatura de fun cŃionare a transformatoarelor cu
miezul din metal amorf, respectiv oŃel cu orientare a particulelor; puterea aparentă este egală cu
10 kVA. O fotografie în infraroșu a celor 2 transfo rmatoare este prezentată în figura 3.2. Se
observă o temperatură mult mai mică în cazul transf ormatorului cu miez din metal amorf (stânga)
faŃă de cazul unui transformator standard cu miezul din oŃel.

95

Figura 3.2. Încălzirea miezului transformatoarelor

3.1. Determinarea parametrilor transformatoarelor electrice

Un transformator trifazat, în regim de încărcare s imetrică și echilibrată poate fi
reprezentat printrîo schemă electrică echivalentă m onofazată raportată la tensiunea nominală a
înfășurării primare sau secundare. Această reprezen tare, pentru schema de secvenŃă directă și
inversă, poate fi în T, Πsau Γ.
Parametrii schemei echivalente (schema în T – figur a 3.3) ai transformatorului se
calculează conform standardelor ([***, 1978], [***, 2001:2] și [***,1997]), pe baza următoarelor
încercări:
• Încercarea la funcŃionarea în gol, pe baza căreia s e determină parametrii din porŃiunea
derivaŃie a schemei echivalente (rezistenŃa pentru modelarea pierderilor în miezul
feromagnetic, RFe , respectiv, reactanŃa de magnetizare (utilă), Xu );
• Încercarea la scurtcircuit, pe baza căreia se deter mină parametrii din porŃiunea serie a
schemei echivalente (rezistenŃele înfășurării prima re și secundare, respectiv, reactanŃele
înfășurării primare și secundare).

Figura 3.3. Schema echivalentă în T a transformator ului

La încercarea de mers în gol se vor obŃine, totodat ă, și următoarele mărimi:
• pierderile în miezul feromagnetic;
• raportul de transformare;
• factorul de putere la mersul în gol.

96 La încercarea de scurtcircuit se determină, totodat ă, și următoarele mărimi:
• pierderile în înfășurările transformatorului (Joule ) și pierderile suplimentare (datorate
efectului de refulare a curentului în conductoare ș i fluxului de scăpări prin pereŃii cuvei
transformatorului);
• tensiunea relativă de scurtcircuit;
• factorul de putere la scurtcircuit.
ObŃinânduîse rezultatele încercărilor specificate m ai sus (gol, respectiv, scurtcircuit) de la
producătorul acestor echipamente, sîau determinat, urmărind recomandările din standarde, toŃi
parametrii schemei echivalente ai transformatorului .
Calculul valorii absolute a curentului la funcŃiona rea în gol se realizează cunoscânduîse
valoarea procentuală a curentului de mers în gol, c u relaŃia:

[]
nIiI110
10100%⋅ = [A]. (3.1)

unde: I1n î valoarea curentului nominal de fază (conexiunea înfășurărilor fiind precizată).
Factorul de putere la funcŃionarea în gol se define ște în funcŃie de valoarea puterii
absorbite la mersul în gol în primarul transformato rului, P10 , valoarea tensiunii de linie, U10 = U 1n
și a intensităŃii curentului de linie la mersul în gol I10 (conexiunea înfășurărilor fiind precizată)
astfel:

10 1010
103cos
I UP
⋅⋅=ϕ . (3.2)

Componentele activă și reactivă ale curentului de m ers în gol se pot evalua cu relaŃiile
(3.3) și (3.4), cunoscând valoarea absolută a curen tului, factorul de putere și 10sinϕ la mersul în
gol al transformatorului.
10 10 10 cosϕ⋅=I Ia [A], (3.3)
10 10 10 sinϕ⋅=I Ir [A]. (3.4)

Pierderile în miezul feromagnetic se modelează prin trîo rezistenŃă care se determină în
funcŃie de puterea și componenta activă a curentulu i de mers în gol.
2
1010
1010
3 3 a aFeIP
IUR
⋅=
⋅= ][Ω. (3.5)

Calculul reactanŃei de magnetizare (utile), conduct anŃei și susceptanŃei transformatorului
se face cu relaŃiile următoare:

rUIUX
1010= ][Ω, (3.6)

FeFeRG1= [S], (3.7)

UUXB1= [S]. (3.8)

97
Raportul de transformare se calculează cu relaŃia ( 3.9):

2010
12UUK= . (3.9)

unde: U10 , U 20 î sunt tensiunile de linie, la mersul în gol, din primar, respectiv din secundar.

Determinarea tangentei unghiului de avans histerezi s:

ra
IItg
1010=α . (3.10)

Având în vedere că pentru transformator se defineșt e, cu predilecŃie, cosinusul unghiului
de defazaj dintre direcŃiile fazorilor a două mărim i, sîa preferat calculul, suplimentar, a
cosinusului unghiului de avans histerezis, cu ajuto rul relaŃiei (3.11).

1010cosIIr=α (3.11)

Valoarea absolută a tensiunii la funcŃionarea în sc urtcircuit se evaluează cunoscânduîse
valoarea tensiunii relative de scurtcircuit (exprim are procentuală) uk, cu relaŃia
nk
k UuU1100⋅= ][V. (3.12)

unde: U1n î reprezintă valoarea tensiunii nominale de fază d in primarul transformatorului
(conexiunea fiind cunoscută).

ImpedanŃa echivalentă la scurtcircuit se definește ca fiind raportul dintre valoarea absolută
a tensiunii la funcŃionarea în scurtcircuit și valo area nominală a intensităŃii curentului de fază din
primarul transformatorului (particularitatea încerc ării de scurtcircuit fiind tocmai aceea că
înfășurarea primară a transformatorului se alimente ază cu acea tensiune care determină stabilirea
curentului nominal prin aceasta).

nk
kIUZ
1= ][Ω. (3.13)

RezistenŃa înfășurărilor transformatorului se poat e calcula din puterea activă absorbită de
transformator la mersul în scurtcircuit, care pract ic este puterea pierdută prin efectul JouleîLenz
în înfășurări:
22
,
nn sc
nTSUPR⋅∆= ][Ω. (3.14)

unde: scP∆ î pierderile nominale în cupru
nU î tensiunea nominală primară sau secundară a trans formatorului, [kV].
nS î puterea nominală aparentă a transformatorului, [ kVA].

98 RezistenŃa de scurtcircuit a înfășurărilor transfor matorului se determină cu relaŃia (3.15)
după cum urmează:
22
12 1'
2 1 Rk R R R Rk ⋅+=+= ][Ω. (3.15)

unde: '
2R î rezistenŃa raportată a înfășurării secundare a t ransformatorului la înfășurarea
primară a acestuia;
2 1,RR î rezistenŃele reale ale înfășurărilor primară, re spectiv secundară.

ReactanŃa echivalentă la scurtcircuit se calculează cu relaŃia de mai jos
2 2
k k k R Z X −= ][Ω. (3.16)

Pentru determinarea reactanŃei de dispersie a înfăș urării primare se utilizează ipoteza
simplificatoare din proiectare, conform căreia reac tanŃa de dispersie a primarului
transformatorului este egală cu reactanŃa raportată – la înfășurarea primară – a secundarului
transformatorului, adică (cu notaŃiile din figura 3 .3):
'
2 1 disp disp X X= ][Ω. (3.17)
Dar :
'
2 1 disp disp k X X X + = ][Ω. (3.18)
Atunci:
21k
dispXX= ][Ω. (3.19)

łinând cont de ipoteza formulată la pasul anterior , reactanŃa de dispersie a înfășurării
secundare se determină cu relaŃia:
'
2 2 21
disp disp X
kX ⋅= ][Ω. (3.20)

3.1.1. Parametrii de secvenŃă pozitivă

ImpedanŃa de secvenŃă pozitivă Z + a unui element component de sistem se definește ca
fiind raportul dintre tensiunea de fază și curentul de linie, atunci când elementul respectiv este
alimentat de la un sistem simetric de secvenŃă pozi tivă.

Figura. 3.4 ImpedanŃa de secvenŃă pozitivă

În cazul transformatoarelor electrice:

99
.,
kk
R RX X
==
++
(3.21)
unde:
X+ , R + î parametri de secvenŃă pozitivă;
Xk , R k î parametrii transformatorului.

3.1.2. Parametrii de secvenŃă negativă

ImpedanŃa de secvenŃă negativă Zî a unui element component de sistem se definește ca
fiind raportul dintre tensiunea de fază și curentul de linie, atunci când elementul respectiv este
alimentat de la un sistem simetric de secvenŃă nega tivă.

Figura. 3.5 ImpedanŃa de secvenŃă negativă

Pentru transformatoarele electrice, impedanŃa de se cvenŃă negativă corespunde
impedanŃei de secvenŃă pozitivă deoarece impedanŃa acestor elemente de sistem nu se schimbă
atunci când un sistem simetric de secvenŃă negativă este aplicat acestora [Darie, 2003]. Valorile
impedanŃelor de secvenŃă negativă și pozitivă difer ă esenŃial între ele numai în cazul mașinilor
rotative. Astfel:

.,
+ −+ −
==
R RX X (3.22)
unde:
X2 , R 2 î parametri de secvenŃă negativă;
X+ , R + î parametri de secvenŃă pozitivă.

3.1.3. Parametrii de secvenŃă zero

Conform recomandărilor [***,1997] pentru transform atoarele cu două înfășurări ce au
conexiunea Y (fără neutru accesibil în primar), respectiv triun ghi ( D), impedanŃa de secvenŃă zero
a transformatorului văzută dinspre primar Zhp , este infinită.
În ceea ce privește înfășurarea secundară pentru c are se utilizează conexiunile zigîzag cu
neutrul accesibil ( zn), respectiv conexiunea stea cu neutrul accesibil ( yn), determinarea
impedanŃelor de secvenŃă zero îmbracă forme diferit e. Astfel, în cazul conexiunii zigîzag cu
neutrul accesibil ( zn), impedanŃa de secvenŃă zero se determină cu relaŃ ia:
nZ Z106 . 0⋅= . (3.23)
în care:
fnfn
nIUZ
11
1= este impedanŃa de bază a transformatorului.
În cazul conexiunii stea cu neutrul accesibil ( yn), impedanŃa de secvenŃă zero se determină
cu relaŃia:

100 kZ Z ⋅=9 . 00. (3.24)

în care: Z kn este impedanŃa echivalentă la scurtcircuit a trans formatorului analizat.

Pentru determinarea reactanŃelor și rezistenŃelor de secvenŃă zero se utilizează
următoarele relaŃii:
• pentru cazul conexiunii zigîzag cu neutrul accesibi l ( zn):
αcos0 0⋅=Z X , (3.25)

()()2020 0X Z R − = . (3.26)

• pentru cazul conexiunii stea cu neutrul accesibil ( y n):
kX X ⋅=9 . 00, (3.27)
kR R ⋅=9 . 00. (3.28)

unde: Rk, X k sunt rezistenŃa echivalentă la scurtcircuit, respe ctiv, reactanŃa echivalentă la
scurtcircuit
În cazul miezurilor și conexiunilor celor mai uzua le transformatoare, impedanŃa de
magnetizare de secvenŃă zero este foarte mare, astf el că circuitul echivalent de secvenŃă zero se
poate considera un circuit deschis. În această ipot eză, circuitele echivalente de secvenŃă zero sunt
date în tabelul 3.5 [Simion, 2000], [Wang, 2006].
Tabel 3.5
Schemele de secvenŃă zero
Grupa de
conexiune Simbol Diagrama transformatorului Circuitul echival ent de secvenŃa
zero
Y0y0

Y0y

Dd

Y0d

Yd

101 3.2. Modelarea pierderilor și bilanŃul puterilor î n transformatorul electric

Pentru a face o analiză a transformatorului, trebui e găsite sursele de pierderi. Astfel avem:

• Pierderi de mers în gol (în miez)

Pierderile de mers în gol (sau pierderi în fier) su nt o foarte mică parte din puterea de
evaluare a transformatorului, de obicei, mai puŃin de 1% [Harlow, 2004]. Cu toate acestea, aceste
pierderi sunt considerate constante pe durata de vi aŃă a transformatorului (nu variază în funcŃie de
sarcină), și de aceea reprezintă o cheltuială consi derabilă de exploatare, în special în cazul în care
costurile energiei sunt ridicate. Prin urmare, măsu rătorile corecte sunt esenŃiale în scopul unei
evaluări precise privind performanŃa individuală a transformatorului.
Pierderile de mers în gol sunt de obicei raportate unei unde sinusoidale a tensiunii de
excitaŃie. Chiar și cu o sursă de tensiune sinusoid ală, nonîliniaritatea miezului transformatorului
introduce armonici importante în curentul de excita Ńie și ar putea conduce la o tensiune de
excitaŃie și un flux distorsionat. Amplitudinea und ei de tensiune distorsionată este de obicei
determinată de impedanŃa de ieșire a sursei de tens iune și de amplitudinea și gradul de poluare a
curentului de excitaŃie. Cu cât acești parametri su nt mai mari, cu atât mai mare va fi amplitudinea
undei de tensiune distorsionată. Pierderile de mers în gol includ:

/head2right Pierderi prin histerezis

În procesul de magnetizare a materialelor feromagne tice histerezisul se manifestă prin
„rămânerea în urmă” a densităŃii fluxului magnetic (mărime notată B) faŃă de intensitatea
câmpului magnetic aplicat din exterior, H.

Figura 3.6. Caracteristica de magnetizare

Figura 3.6 pune în evidenŃă cele două mărimi măsura te întrîun experiment de magnetizare
în câmp magnetic oscilant. Se observă că atunci cân d câmpul magnetic scade până la zero, fluxul
magnetic în oŃel are o valoare nenulă, notată BR; acest fenomen se numește remanenŃă magnetică .
Pentru a anula acest flux remanent trebuie aplicat un câmp magnetic invers, de o valoare notată în
grafic cu HC, câmpul magnetic coercitiv.
Histerezisul este proprietatea materialelor de a av ea „memorie”, adică de a răspunde unei
excitaŃii în funcŃie de tratamentele (excitaŃiile) aplicate precedent. Caracteristica B2H este una de

102 tip histerezis. În timpul magnetizării, prin variaŃ ia fluxului, apar pierderi de energie prin acest
fenomen, proporŃionale cu aria curbei de histerezis (miezul pierde energie magnetizânduîse și
apoi demagnetizânduîse).
Aceste pierderi, „consumând” o parte din curentul c e străbate bobina, vor fi modelate
printrîo rezistenŃă suplimentară în circuitul paral el.

/head2right Pierderi prin curenŃi turbionari

Fluxul magnetic creează la trecerea sa prin miez o diferenŃă de potenŃial; aceasta dă
naștere la rândul ei unui curent turbionar.
CurenŃii turbionari se închid pe trasee circulare, incluse în plane perpendiculare pe
direcŃia fluxului magnetic datorită tensiunilor ele ctromotoare induse prin pulsaŃia fluxului la
nivelul acestor trasee circulare. Valoarea fluxului magnetic prin miez și valoarea pulsaŃiei
acestuia impun mărimea tensiunii electromotoare ind use în regim armonic ( e = dΦ/dt = ωΦ ), iar
intensitatea curenŃilor turbionari este direct prop orŃională cu tensiunea electromotoare și invers
proporŃională cu rezistenŃa electrică a căii de înc hidere a curenŃilor.
Acest efect poate fi diminuat prin folosirea unui m iez cu rezistenŃă cât mai mare.

Figura 3.7. Pierderi prin curenŃi turbionari

Aceste pierderi, „consumând” o parte din curentul c e străbate bobina, vor fi modelate
printrîo rezistenŃă suplimentară în circuitul paral el.

Figura 3.8. Modelarea pierderilor în miez

• Pierderi datorate scăpărilor de flux

Liniile de forŃă ale câmpului magnetic nu urmăresc, în totalitatea lor, traseul miezului
magnetic ci, datorită dispersiunii lor, o parte din ele se închid și pe un traseu mai scurt, prin aer.

103

Figura 3.9. Scăpările de flux

Cum acest flux nu contribuie la transformarea tensi unii (nu este „văzut” de înfășurarea
secundară), putem considera că doar o parte din ten siunea sursei este folosită. Deci, pierderile
datorate scăpărilor de flux pot fi modelate printrî o reactanŃă suplimentară în circuitul serie.

Figura 3.10. Modelarea pierderilor datorate scăpări lor de flux

• Pierderi în înfășurări

Cum înfășurările au o anumită rezistenŃă, se consum ă în ele o putere prin efect Joule.
Aceste pierderi pot fi, de asemenea, reprezentate p rintrîo rezistenŃă suplimentară în circuitul
serie.

Figura 3.11. Modelarea pierderilor în înfășurări

Cunoscând pierderile în transformator, se poate tra sa diagrama de bilanŃ a
transformatorului (figura 3.12).

Randamentul transformatoarelor este unul ridicat, punctul maxi m fiind acolo unde
pierderile de mers în gol sunt egale cu pierderile de mers în sarcină (la o încărcare a
transformatorului de 40î50 %). Randamentul transfor matorului se poate determina din diagrama
de bilanŃ a acestuia ca raport dintre puterea ieșit ă și puterea intrată în el.

104 100 100
2 0 1 22
12⋅∆+∆+∆+∆+∆+=⋅=
Cu CT scap CuTP P P P P PP
PPη [%] (3.29)

Figura 3.12. Diagrama de bilanŃ energetic a unui tr ansformator

Pierderile prin curenŃi turbionari în înfășurări n u se pot determina analitic. Acestea se
determină, împreună cu pierderile de dispersie, ca fiind diferenŃa între pierderile măsurate și
valoarea nominală pierderilor transformatorului. To tuși, există producători de transformatoare
care oferă informaŃii asupra acestui tip de pierder i. Astfel, cunoscând pierderile prin curenŃi
turbionari în înfășurări pentru frecvenŃa nominală, se poate determina creșterea acestora atunci
când regimul de funcŃionare a transformatorului est e nesinusoidal (paragraful 3.4.2.2)
Randamentul transformatoarelor, atât pentru cel cu miezul din oŃel (CRGO) cât și cel cu
miezul din metal amorf este ilustrat în figura 3.13 , pentru un transformator având puterea
nominală de 2000 kVA [***, 2010].

Figura 3.13. Randamentul transformatoarelor

105
3.3. Pierderi de putere în regim nesimetric sinuso idal

3.3.1. Pierderi de putere în transformator în sist eme de distribuŃie fără conductor de
nul

Pierderile de putere în transformator, atunci când acesta funcŃionează întrîun regim
simetric sinusoidal se determină cu relaŃia (3.30).

2
0 , T sc ssT P P P α⋅∆+∆= ∆− [W]. (3.30)

unde: Tα î reprezintă încărcarea transformatorului, [%].

Pornind de la relaŃiile de definiŃie ale mărimilor asociate transformatoarelor monofazate,
pentru un transformator trifazat în construcŃie sim etrică, pierderile de putere activă se pot
determina astfel [Toader, 2002]:

( )2 2 2
22
22 2 2
0 , C B A
nn
sc
nC B A
snT I I I
SUP
UU U UP P ++⋅⋅∆+++⋅∆= ∆− [W]. (3.31)

în care: UA, U B, U C î sunt tensiunile medii de funcŃionare pe faze ale transformatorului;
IA, I B, I C î curenŃii medii de funcŃionare ai transformatorului.

Considerând tensiunile și curenŃii fără componentă de secvenŃă zero, ipoteză valabilă în
sistemele de distribuŃie fără conductor de nul, se pot defini coeficienŃii de nesimetrie negativă
aferenŃi tensiunii și curentului ( − −
I Ukk, ) cu relaŃia (3.32):

( ) ( )
II
I
UU
Uββk,
ββk
⋅−+⋅−−=
⋅−+⋅−−=− −
63 163 1
63 163 1 2 2. (3.32)

iar βU, β I sunt determinate cu (3.33)

( )
( )


=
++++=
++++
=
.,
22 2 24 4 422 2 24 4 4
curenti pentru β
I I II I Itensiuni pentru β
U U UU U U
β
I
C B AC B AC B AC B A
U
(3.33)

Cu notaŃiile precedente relaŃia (3.31) devine :

( )[] ( )[]2
22
2
0 , 1 3 1


⋅⋅ +⋅∆⋅+


⋅ +⋅∆= ∆+
−+
−
−
nn
I sc
nU snTSUIk PUUk P P [W]. (3.34)

106
unde coeficienŃii −
Ukși −
Iksunt definiŃi cu relaŃia (3.32) Ńinând seama de rel aŃia (3.33).
Mărimile U+ si I+ sunt componentele normate de succesiune pozitivă a le tensiunii și
curentului, fiind definite cu relaŃiile:

( ) ( )
( ) ( ) βI I IIβU U UU
IC B AUC B A
. 63 16, 63 16
2 2 2
22 2 2
2
⋅−+⋅++=⋅−+⋅++=
++
(3.35)

Dacă notăm cu +S mărimea
+ +⋅⋅= IU Sn3 [VA]. (3.36)

care se definește ca fiind puterea aparentă de secv enŃă pozitivă și dacă introducem noŃiunile de
factor de tensiune αU și de încărcare în putere aparentă αS definite prin :

nS
nd
USS,UU+
= = α α . (3.37)
atunci relaŃia (3.34) devine:
()[] ()[]2222
0 , 1 1S I sc U U snT k P k P P α α ⋅ +⋅∆+⋅ +⋅∆= ∆− −
− [W]. (3.38)

Figura 3.14. VariaŃia pierderilor relative de puter e în funcŃie de −
Uk și−
Ik

Dacă pierderile în regim nesimetric în transformato r se raportează la pierderile în regim
simetric se obŃine creșterea pierderilor de putere. Astfel, creșterea pierderilor de putere când

107 factorul de nesimetrie negativă a tensiunilor și ce l al curentului variază, iar factorul de încărcare
în tensiune și în putere aparentă ( 1 =skα ) au valori constante [Pop, 2009:2], se reprezintă în
figura 3.14.
100
,, ,⋅∆∆− ∆=
−− −
∆
ssTssT snT
PPP P
kε [%]. (3.39)

Creșterea pierderilor în înfășurări când coeficient ul de nesimetrie negativă a curenŃilor ia
valori de la 0 la 50 %, pentru diferite încărcări a le transformatorului(50%, 75% și 100%) se
reprezintă în figura 3.15.

Figura 3.15 VariaŃia pierderilor relative de putere în funcŃie de −
Ik

3.3.2. Pierderi de putere în transformator în siste me de distribuŃie cu conductor de
nul

În cazul în care transformatoarele funcŃionează în sisteme de distribuŃie a energie electrice
în care există conductor de nul, componenta de secv enŃă zero a curenŃilor poate avea o valoare
însemnată și nu poate fi neglijată. Pierderile în t ransformator în această situaŃie se pot determina
conform ecuaŃiei (3.31).
Dacă se consideră că tensiunile de fază ale transf ormatorului sunt simetrice și echilibrate,
iar valorile amplitudinilor și defazajelor curenŃil or de fază sunt cunoscute, pierderile în
transformator se pot scrie în funcŃie de componente le de secvenŃă ale curenŃilor transformatorului
după cum urmează:
( ) ( ) ( )[ ]2
202 2
0'
, 3


⋅ + +⋅∆⋅+∆= ∆− +
−
nn
sc snTSUI I I P P P [W]. (3.40)
sau în funcŃie de coeficienŃii care caracterizează nesimetria curenŃilor:

108 ( ) ( )[ ]2
1 3202
0'
, 


⋅⋅ + +⋅∆ ⋅+∆= ∆+
−
−
nn
I I sc snTSUIk k P P P [W] (3.41)
Dacă notăm cu +S mărimea definită ca fiind putere aparentă de succ esiune pozitivă și
dacă introducem noŃiunea de coeficient de încărcare în putere aparentă conform (3.37), pierderile
de putere în transformator se pot exprima astfel:
()() [ ]( )2 202
0'
, 1s I I sc snT k k P P P α⋅ + +⋅∆+∆= ∆−
− [W] (3.42)

Creșterea pierderilor în transformator se prezintă în figura 3.16 când factorii de nesimetrie
negativă, respectiv zero variază de la 0 la 50 %. Î ncărcarea transformatorului în putere aparentă
are următoarele valori: 25%, 50%, 75% respectiv 100 %.

a. b.

c. d.
Figura 3.16. VariaŃia pierderilor relative de puter e pentru diferite valori ale încărcării:
a. 25%; b. 50%; c. 75%; d. 100%

109
Cu metodele de determinare a pierderilor în regim nesimetric sinusoidal prezentate
anterior, sîa realizat o aplicaŃie software a cărei interfaŃă grafică este prezentată în figura 3.17. Se
pot determina componentele de secvenŃă ale tensiuni lor, respectiv ale curenŃilor, factorii de
nesimetrie, pierderile totale precum și creșterea a cestora faŃă de regimul ideal.

Figura 3.17. InterfaŃa grafică pentru determinarea pierderilor în regim nesimetric sinusoidal

3.4. Pierderi de putere în regim nesinusoidal sime tric

Pierderile totale în transformator se vor determin a ca fiind suma pierderilor de mers în gol
și de mers în sarcină:
2
, , 0 , T nssc ns nsT P P P α⋅ ∆+∆= ∆− − − [W]. (3.43)

Pierderile în transformator, atunci când regimul e ste unul simetric nesinusoidal, vor crește
datorită prezenŃei armonicilor. În acest caz, pierd erile se vor deteremina după cum urmează:

• Pierderile de mers în gol:
ns CTm nsH ns P P P− − − ∆+ ∆= ∆, , , 0 [W]. (3.44)

î nsHP−∆, î pierderile prin histerezis;

110 î ns CTmP−∆, î pierderile prin curenŃi turbionari în miez.

• Pierderile de mers în scurtcircuit:
ns Scap nsCT nsRI nssc P P P P− − − − ∆+ ∆+ ∆= ∆, , , , [W]. (3.45)

î nsRIP−∆, î pierderi datorate curentului de sarcină și rez istenŃei înfășurării;
î nsCTP−∆, î pierderi datorate curenŃilor turbionari în în fășurări;
î ns ScapP−∆, î pierderile de scăpări.

3.4.1. Pierderi de mers în gol

Pierderile de mers în gol sunt de obicei determinat e și raportate pe baza unei unde
sinusoidale a tensiunii de alimentare. Chiar și cu o sursă de tensiune sinusoidală, nonîliniaritatea
miezului transformatorului introduce armonici impor tante în curentul de mers în gol și ar putea
conduce la o formă distorsionată a tensiunii de ali mentare și a fluxului. Amplitudinea undei de
tensiune distorsionată este de obicei determinată d e impedanŃa de ieșire a sursei de tensiune și de
amplitudinea armonicilor prezente în curentul de me rs în gol. Cu cât acești parametri sunt mai
mari, cu atât mai mare va fi amplitudinea undei de tensiune distorsionată.

Figura 3.18. Undă distorsionată a curentului de mer s în gol și spectrul armonic

În figura 3.18 se prezintă o undă distorsionată tip ică a curentului de mers în gol.
Presupunând o impedanŃă a sursei de 10%, un curent de mers în gol egal cu 2% din curentul
nominal, precum și 50% pentru armonica de ordinul c inci, tensiunea de alimentare rezultată va
avea aproximativ 0,5% pentru armonica cinci [***, 2 002:2].
Pierderile de mers în gol includ: pierderile prin h isterezis și pierderile prin curenŃi
turbionari în miez.

3.4.1.1. Pierderi prin histerezis

Pierderile prin histerezis sunt legate de o proprie tate specifică materialelor magnetice,
feromagnetismul. Aceste materiale au o structură fi zică aparte, realizată din mici domenii în care
momentele de spin ale electronilor au aceeași orien tare.

111 În timpul magnetizării alternative a materialului m agnetic, la fiecare perioadă de variaŃie
în timp a intensităŃii câmpului magnetic, se parcur ge un ciclu complet de histerezis, acest
fenomen fiind însoŃit de pierderi datorate modifică rii domeniilor magnetice și care sunt
proporŃionale cu aria ciclului de histerezis.
Pierderile specifice pe unitatea de masă prin histe rezis se pot calcula cu expresia (3.46),
conform [Reinert, 2001]:

γη f BPStn
s
H⋅⋅=∆max [W/kg]. (3.46)

unde: maxB î inducŃia magnetică maximă, [T];
γ î densitatea de volum a masei tolei, [kg/m 3];
sη î constanta lui Steinmetz;
nSt – coeficientul lui Steinmetz, 1,6< nSt <2,5.
Atât constanta lui Steinmetz cât și coeficientul lu i Steinmetz sunt constante de material
determinate pe cale experimentală pentru fiecare ti p de material magnetic.
În cazul în care mărimile ce se determină pe cale e xperimentală (coeficienŃii lui
Steinmetz) nu sunt cunoscute, atunci pierderile pri n histerezis se pot determina în funcŃie de
secŃiunea coloanei și volumul miezului magnetic cu relaŃia (3.47) [Pop, 2010:3].

VB sfPcol
H ⋅⋅⋅⋅=∆µ2
max 2 [W]. (3.47)
unde:
cols î secŃiunea coloanei, [m 2];
µ î permeabilitatea magnetică a materialului miezulu i magnetic, [H/m];
Vî volumul miezului magnetic, [m 3].

Pierderile totale prin histerezis, când frecvenŃa f undamentală este de 50 Hz, se determină
luând în considerare armonicile existente, după cum urmează:
∑
=− ⋅⋅⋅⋅= ∆max
12
max
,100h
hcol
nsH hV B sPµ [W]. (3.48)

O posibilitate de reducere a pierderilor prin hist erezis este utilizarea de materiale
magnetice cu ciclu cât mai îngust (vezi tabelul 3.6 al valorilor comparative pentru permeabilitatea
relativă, µr) .

Tabelul 3.6
Valoarea permeabilităŃii magnetice relative
Material Valoarea µ r
Otel cu 0.2% impurităŃi 5.000
Otel cu 0.05% impurităŃi 200.000

Pierderile prin histerezis apar în tolele miezului; miezul pierde energie magnetizânduîse și
demagnetizânduîse prin alternanŃa câmpului magnetic . Aceste pierderi depind de tipul de

112 material utilizat pentru construcŃia miezului. OŃel ul siliciu are un histerezis mult mai mic decât
oŃelul obișnuit, iar metalul amorf are performanŃe mult mai bune decât oŃelul siliciu. În prezent
pierderile prin histerezis pot fi reduse prin prelu crarea materialului, cum ar fi laminare la rece,
tratament cu laser sau orientarea particulelor.
Pierderile prin histerezis sunt de obicei responsab ile pentru mai mult de jumătate din
totalul pierderilor de mers în gol (50% la 70%). Ac est raport a fost mai mic în trecut (ca urmare a
contribuŃiei mai mari a pierderilor prin curenŃi tu rbionari, în special în tole relativ groase și
netratate cu laser).
Utilizând relaŃia (3.48) este pusă în evidenŃă vari aŃia pierderilor prin histerezis în cazul a
două transformatoare cu miezuri diferite (din oŃel și din metal amorf), în funcŃie de configuraŃiile
constructive ale acestora și frecvenŃă (figura3.19) . Puterea aparentă a ambelor transformatoare
este de 2000 kVA.

Figura 3.19. VariaŃia pierderilor prin histerezis î n funcŃie de ordinul armonicii

3.4.1.2. Pierderi prin curenŃi turbionari în miez

Pierderile prin curenŃi turbionari sunt cauzate de variaŃia câmpurilor magnetice, inducând
curenŃi turbionari în tole și, astfel, generând căl dură [Sippola, 2003]. Pierderile prin curenŃi
turbionari depind de valoarea intensităŃii acestor curenŃi turbionari și de rezistenŃa căii de
închidere a lor, similar pierderilor de tip Joule [ Roshen, 2007].
Întrîo tolă a cărei grosime dg este mai mică decât adâncimea de pătrundere a câmp ului
magnetic alternativ longitudinal (de frecvenŃă f și inducŃie maximă maxB ), în ipoteza că celelalte
dimensiuni ale tolei sunt mult mai mari decât grosi mea ei, pierderile specifice pe unitatea de
masă se pot calcula cu relaŃia (3.49) [Pop, 2010:3] .

V Bfd Pg CTm ⋅⋅⋅⋅⋅=∆2
max2 22
6ρπ [W]. (3.49)
unde:

113 dg – grosimea tolei, [m];
ρ î rezistivitatea tolei, în [ m⋅Ω ].
Dacă f = 50 Hz , atunci pierderile totale prin curenŃi turbionari în miez variază cu pătratul
ordinului armonicii și în funcŃie de grosimea tolei , astfel:

∑
=− ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆max
12 2
max22 2
,650h
hns CTm h V Bd Pρπ. (3.50)

O cale de reducere a acestor pierderi este micșorar ea intensităŃii curenŃilor turbionari, ceea
ce se poate realiza prin creșterea rezistivităŃii e lectrice a circuitelor elementare de închidere a
curenŃilor turbionari, deci a materialului feromagn etic. Acest lucru se face practic prin alierea
oŃelului electrotehnic cu siliciu și prin lamelarea miezului magnetic, adică realizarea lui din fâșii
de tablă (tole), izolate între ele. Efectul acestor măsuri este de reducere a pierderilor prin curenŃi
turbionari.
Pierderile datorită curenŃilor turbionari reprezint ă aproximativ 30%î50% din totalul
pierderilor de mers în gol. Cel mai mare progres în îmbunătăŃirea eficienŃei transformatoarelor de
distribuŃie a fost realizat prin atenuarea acestor pierderi.
VariaŃia pierderilor prin curenŃi turbionari, confo rm relaŃiei (3.50), este prezentată în
figura 3.20 pentru transformatoare cu miez din oŃel , respectiv metal amorf. În reprezentarea
grafică sîau luat în considerare caracteristicile c onstructive ale fiecărui transformator. Puterea
aparentă nominală este de 2000 kVA.

Figura 3.20. VariaŃia pierderile prin curenŃi turbi onari

Pierderile totale de mers în gol, luând în consider are armonicile existente, se determină
după cum urmează:

114 ∑
=− 


 ⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅= ∆max
12 2
2
max , 025100h
hcol
nshd sh V B Pρπ
µ [W]. (3.51)

InterfaŃa grafică a aplicaŃiei de determinare a pie rderilor de mers în gol (cele prin
histerezis și cele prin curenŃi turbionari în miez) se prezintă în figura 3.21.

Figura 3.21 InterfaŃa grafică pentru determinarea p ierderilor de mers în gol în regim simetric nesinus oidal

3.4.2. Pierderi de mers în sarcină

Pierderile de mers în sarcină sunt reprezentate de pierderile Joule RI 2 în înfășurări,
pierderile datorate curenŃilor turbionari și pierde rile de dispersie:

ns Scap nsCT nsRI nssc P P P P− − − − ∆+ ∆+ ∆= ∆, , , , (3.52)

în care:
nsRIP−∆,î sunt pierderile datorate curentului de sarcină și rezistenŃei înfășurării în curent
continuu;
nsCTP−∆.– pierderi datorate curenŃilor turbionari în înfăș urare;
ns ScapP−∆, î pierderile de scăpări.

3.4.2.1. Pierderi în înfășurări

Pierderile RI 2 sunt datorate trecerii curentului electric prin re zistenŃa înfășurărilor; sunt
numite și pierderi active sau pierderi rezistive în curent continuu. Pierderile active sunt
proporŃionale cu pătratul valorii efective a curent ului electric, care include componentele
armonice, însă sunt independente de frecvenŃă [Drie sen, 2008]. Acestea se determină prin
măsurarea rezistenŃei și calculul pierderilor rezul tate la parcurgerea înfășurărilor de curentul
maxim de sarcină.
2
2 , 1 2 , 1 , 3i T snRI I R P ⋅⋅= ∆− . (3.53)

115
RezistenŃa în curent continuu se determină în funcŃ ie de pierderile nominale în cupru, în
funcŃie de tensiunea nominală și de puterea aparent ă a transformatorului, toate acestea fiind date
de producătorii de transformatoare. Astfel, reziste nŃa, atât pentru înfășurarea primară cât și pentru
înfășurarea secundară, este:
22
2 , 1
2 , 1
Nn Cu
TSUPR⋅∆= . (3.54)

În curent alternativ, când transformatorul funcŃion ează în regim poluat armonic, apare o
majorare a rezistenŃei (datorită efectului pelicula r și de vecinătate) în funcŃie de influenŃa
frecvenŃei:
2 , 1 2 , 1 T ca ca Rk R ⋅= . (3.55)

Acest factor de majorare a rezistenŃei transformato rului se poate determina în funcŃie de
tipul conductorului din care este formată înfășurar ea, după cum urmează [Biro, 2009]:
• Pentru conductoare rotunde:
2 42
42
108 . 0 1s
Bs
R ca mdf
hndk k ⋅⋅



⋅⋅


 ⋅⋅⋅+=
ρ. (3.56)

VariaŃia factorului cak în cazul conductoarelor rotunde în funcŃie de frec venŃă se prezintă
în figura 3.22; diametrul conductorului rotund este 1,555 mm.

Figura 3.22. VariaŃia cu frecvenŃa a factorului kca pentru conductoare rotunde

• Pentru conductoare dreptunghiulare
( ) 2 , 0
1073. 112 42
42
−⋅⋅



⋅⋅


 ⋅⋅⋅+=s t
Bs t
R ca maf
hnbk k
ρ. (3.57)

• Pentru înfășurarea conectată în Z cu conductoare dr eptunghiulare:

116
( ) ( )( )64 220 2
1073. 112 442
42
+⋅⋅−⋅⋅⋅



⋅⋅


 ⋅⋅⋅+=s s t
Bs t
R ca m m af
hnbk k
ρ. (3.58)
În cazul conexiunii Z cu conductoare profilate, var iaŃia factorului cak în funcŃie de
frecvenŃă se reprezintă în figura 3.23; înălŃimea ș i lăŃimea conductorului profilat au următoarele
valori: 10,6 mm, respectiv 2,36 mm.

Figura 3.23 VariaŃia cu frecvenŃa a factorului kca
pentru conductoare dreptunghiulare în cazul conexiu nii Z

În relaŃiile (3.56) – (3.58) mărimile au următoarel e semnificaŃii:
d – diametrul conductorului rotund, [m];
at – lăŃimea conductorului profilat, [m];
bt – înălŃimea conductorului profilat, [m];
ms – numărul de conductoare pe înălŃimea bobinei, [m] ;
ns – numărul de conductoare pe lăŃimea bobinei, [m];
hB – înălŃimea bobinei, [m];
kR – coeficientul lui Rogovski.

În cazul în care transformatorul funcŃionează în re gim poluat armonic, valoarea rezistenŃei
înfășurărilor (datorită factorului de majorare în c .a.) cât și curentul electric ce trece prin înfășur ări
vor crește faŃă de regimul pur sinusoidal; pierderi le se determină astfel:
2
,
1, , 3sipn
ica sTp snRI Ik R P ⋅ ⋅⋅= ∆ ∑
=− [W]. (3.59)

Dacă se neglijează variaŃia rezistenŃei înfășurării cu frecvenŃa, atunci pierderile Jouleî
Lenz în înfășurări se pot exprima în funcŃie de fac torul de distorsiune armonică și valoarea
curentului pe frecvenŃa fundamentală, cu relaŃia (3 .60) [Pop, 2009:3]:
( )2
,2
,1 ,
12
, , , 1 3 3sIp sp sTpn
isip sTp snRI THD I R I R P +⋅⋅⋅= ⋅⋅= ∆ ∑
=− [W]. (3.60)

117 Creșterea pierderilor în înfășurări se exprimă cu relaŃia (3.61) și se reprezintă grafic în
figura 3.24.
100,⋅∆∆ ∆=−
∆
RIRI snRI
PTPP P
RI :ε [%]. (3.61)

Figura 3.24. VariaŃia pierderilor relative în înfăș urări

3.4.2.2. Pierderi prin curenŃi turbionari în înfăș urări

Pierderile prin curenŃi turbionari sunt greu de cal culat. Deocamdată nu există metode
disponibile pentru determinarea individuală a pierd erilor datorate curenŃilor turbionari sau pentru
a separa pierderile de dispersie ale transformatoru lui de pierderile datorate curenŃilor turbionari
[Desmet, 2005]. Suma pierderilor de dispersie și a celor datorate curenŃilor turbionari se
determină prin măsurarea pierderilor totale și scăz ând pierderile rezistive calculate.
Totuși, producătorii de transformatoare pot furniza informaŃii în ceea ce privește
pierderile datorate curenŃilor turbionari în înfășu rări și în funcŃie de acestea se poate determina
creșterea acestui tip de pierderi. Valorile pierder ilor datorate curenŃilor turbionari, pentru
frecvenŃa fundamentală, sunt date în tabelul 3.7 [S antoso, 2002], în funcŃie de puterea
transformatoarelor, nivelul de tensiune si de tipul acestora (uscate sau în ulei).
Tabel 3.7
Valori tipice pentru R CTP−∆
Tipul
transformatorului Puterea
[MVA] Tensiunea
[V] R CTP−∆
[%]
1≤ î 3î8
5 , 1≥ 5 kV 12î20
Uscat
5 , 1≤ 15 kV 9î15
5 , 2≤ 480 V 1
2,5î5 480 V 1î5
În ulei
5> 480 V 9î15

118
Pierderile suplimentare datorate curenŃilor turbion ari depind de pătratul dimensiunii
conductorului, perpendiculară pe câmpul fluxului de scăpări. Ca urmare, pierderile totale în
înfășurări datorate curenŃilor turbionari se calcul ează cu expresia (3.62):

∑=
=− − ⋅
⋅ ∆= ∆max
122
,hh
h NTh
R CT snCT hIIP P [W]. (3.62)
în care:
h 2 rangul armonicii;
hmax î rangul cel mai mare al armonicei care se ia în c onsiderare;
Ih î valoarea efectivă a armonicii h, [A];
INT î curentul nominal (de dimensionare), [A];
R CTP−∆ î pierderile datorate curenŃilor turbionari la cur entul și frecvenŃa nominală.
La capetele înfășurării fluxul se curbează și dimen siunea cea mai mare a conductorului
dreptunghiular este perpendiculară pe un vector com ponent al câmpului fluxului de scăpări.
Egalizarea înălŃimii înfășurărilor primară și secun dară î ceea ce se poate realiza la proiectarea
înfășurării î reduce pierderile datorate curenŃilor turbionari concentrate la capetele înfășurărilor.
Totuși, valoarea este încă mai mare decât în mijloc ul înfășurării datorită acestei curburi a fluxului
de scăpări. Reducerea dimensiunilor conductorului d uce la scăderea procentului de pierderi
datorate curenŃilor turbionari, dar conduce la creș terea pierderilor rezistive.
Utilizarea unor înfășurări cu mai multe conductoare (multifilare) reduce atât pierderile
datorate curenŃilor turbionari, cât și pierderile r ezistive dar, deoarece conductoarele au lungimi
inegale, sunt generaŃi curenŃi de circulaŃie care c onduc la un surplus de pierderi [Brechtken,
2006]. Aceasta se poate evita utilizând o continuă transpunere a conductoarelor, cum se prezintă
în figura 3.25, pentru înfășurări de curenŃi mari. Transformatoarele mici inerent au conductoare
de secŃiuni reduse datorită curenŃilor mici [***, 2 005:2].

Figura 3.25. Transpunerea conductoarelor

3.4.2.3. Pierderi de scăpări (dispersie)

Pierderile de dispersie se produc datorită fluxului de scăpări (de dispersie) care induce
pierderi în miez, cleme, cuvă și alte părŃi din fie r. Pierderile de dispersie pot ridica temperatura
părŃilor constructive ale transformatoarelor. RelaŃ ia de determinare a pierderilor de scăpări se
prezintă în cele ce urmează:

119 N cv R Scap Sk P ⋅= ∆− [W]. (3.63)

unde cvk î reprezintă un factor ce depinde de puterea trans formatorului, aproximativ egal
pentru puteri sub 10 MVA cu:

9 2 510 5 , 1 10 51 , 0− −⋅⋅−⋅⋅+=N N cv S S k . (3.64)

Pentru transformatoarele de tip uscat temperaturi le crescute în aceste regiuni nu
contribuie la creșterea temperaturii în zonele fier binŃi ale înfășurării. Pentru transformatoarele
introduse în lichid, pierderile de dispersie cresc temperatura uleiului și astfel apar zone fierbinŃi
ale înfășurărilor. Pierderile de dispersie vor vari a cu pătratul curentului multiplicat cu frecvenŃa
(rangul armonicii), așa cum rezultă din relaŃia:

( ) ∑=
=− −
− ⋅
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅+= ∆max
12
9 2 5
, 10 5 , 1 10 51 , 0hh
h NTh
N N N sn Scap hIIS S S P [W]. (3.65)

Utilizarea unui material de calitate în construcŃia miezului cum ar fi aliaj amorf oferă un
mare avantaj, nu numai la frecvenŃa fundamentală, c i și în cazul în care distorsiunea curentului de
sarcină și a tensiunii de alimentare crește. Există o creștere a pierderilor totale și o scădere a
randamentului cu cât distorsiunea este mai mare, da r acest fenomen influenŃează pierderile în
materialul miezului mult mai puŃin în cazul metalul ui amorf comparativ cu un transformator cu
miez de proastă calitate.
În [Blackburn, 2007] sunt supuse unor teste două tr ansformatoare trifazate de 250 kVA,
unul cu miez tradiŃional și celălalt cu miez din me tal amorf, atât în cazul în care distorsiunea
armonică e zero, cât și în cazul în care această di feră de zero (valoarea factorului de distorsiune
armonică a curentului ia valoarea de 26 %). Rezulta tele sunt prezentate în tabelul 3.8.

Tabel 3.8
Pierderi în transformatoare
THD=0 THD=26%
Pierderile AMDTr CRGO AMDTr CRGO
Histerezis(A) 99 155 99 155
CurenŃi turbionari(B) 33 311 74 698
Pierderile totale în miez
(C)=(A+B) 132 466 173 853
Pierderi în înfășurări(D) 966 1084 1553 1671
Încărcarea 55 % 58 % 55 % 58 %
Pierderile totale(C+D) 1098 1550 1726 2524

O comparaŃie a pierderilor în transformatoare (CRGO și AMDTr), când acestea
funcŃionează atât în regim sinusoidal cât și în reg im nesinusoidal se prezintă în figura 3.26.

120 0500 1000 1500 2000 2500 3000
Histerezis(A) Curenti
turbionari(B) Pierderile
totale in miez
(C)=(A+B) Pierderi in
infasurari(D) Pierderile
totale(C+D)
Tipul de pierderiPierderi de putere AMDTr THD=0
CRGO THD=0
AMDTr THD=26%
CRGO THD=26%

Figura 3.26. Pierderile în transformator funcŃionân d în regim poluat armonic

Pierderile totale în regim simetric nesinusoidal (a tât cele de mers în gol cât și cele de mers
în sarcină) se pot determina cu ajutorul aplicaŃiei dezvoltate în Visual C Sharp “ Pierderi în regim
simetric nesinusoidal ” (figura 3.27)

Figura 3.27. InterfaŃa grafică pentru determinarea pierderilor în regim simetric nesinusoidal

121 3.4.3. Denominalizarea transformatoarelor

Sunt diferite moduri de abordare pentru considerare a pierderilor adiŃionale la alegerea
unui transformator. Primul, propus de producătorii de transformatoare împreună cu Underwriters
Laboratories din SUA, este de a calcula un factor de creștere a pierderilor datorate curenŃilor
turbionari și să se indice un transformator proiect at pentru a le acoperi; acesta este cunoscut ca
"factorul K ” [***, 1988], și se determină cu relaŃia (3.66).
∑=
=⋅ =max
22 2hh
hhih K . (3.66)
în care:
ih – este raportul dintre valoarea curentului armonic de rang h și valoarea efectivă a
curentului de sarcină total.

Multe aparate de măsurare a calităŃii energiei elec trice determină direct factorul K al
curentului de sarcină. Odată ce factorul de sarcină K este cunoscut, este simplu să se specifice
transformatorul cu un K nominal mai mare din șirul standard 4, 9, 13, 20, 3 0, 40, 50.
De precizat faptul că o sarcină pur lineară – cea c are determină curenŃi sinusoidali – va
avea factorul K egal cu 1. Un factor K mai mare indică pierderi datorate curenŃilor turbio nari de K
ori mai mare decât la frecvenŃa fundamentală. Trans formatoarele cu un K normat sunt proiectate
ca să aibă, la frecvenŃă fundamentală, pierderi dat orate curenŃilor turbionari foarte mici.
Curba de reducere în putere a transformatoarelor se prezintă în figura 3.28 [Frank, 1994].
Aceasta se determină în funcŃie de Factorul K, pres upunând temperatura de 40 o C.

Figura 3.28. Denominalizarea transformatorului în f uncŃie de Factorul K

Cea de a doua metodă, utilizată în Europa, este de a estima în ce măsură un transformator
standard trebuie denominalizat astfel încât pierder ile totale la o sarcină nesinusoidală să nu

122 depășească pierderile proiectate pentru fundamental ă; acesta este cunoscut ca " factorul K E” [***,
2008:3].

2 / 1
22
12
1max
11









⋅ ⋅



⋅++= ∑
=h
hh q
ef rr
EIIhII
eeKe. (3.67)

în care :
re 2 este raportul dintre pierderile datorate curenŃilor turbionari la frecvenŃa fundamentală
și pierderile rezistive, ambele calculate la aceeaș i temperatură;
h – rangul armonicii;
efI – valoarea efectivă a curentului electric incluzând toate armonicele;
Ih – valoarea efectivă a curentului de armonică h;
I1 – valoarea efectivă a curentului fundamental;
qe – un exponent constant care depinde de tipul înfășu rării și frecvenŃă. Valori tipice sunt
1,7 pentru transformatorul cu secŃiunea conductoare lor rotundă sau dreptunghiulară a
ambelor înfășurări și 1,5 pentru înfășurările de jo asă tensiune cu bandă.

În figura 3.29 se reprezintă denominalizarea transf ormatoarelor în funcŃie de tipul
înfășurărilor (secŃiunea rotundă sau dreptunghiular ă sau înfășurare de joasă tensiune cu bandă ) și
în funcŃie de raportul dintre pierderile datorate c urenŃilor turbionari la frecvenŃa fundamentală și
pierderile rezistive, ambele calculate la aceeași t emperatură.

Figura 3.29. Denominalizarea transformatoarelor

O altă metodă pentru a determina denominalizarea t ransformatoarelor derivă din expresia
pierderilor în înfășurări, de dispersie și prin cur enŃi turbionari în miez pentru cazul în care
regimul de funcŃionare este unul poluat armonic, co nform [Yildrim, 2000].
Se definește factorul de pierderi al curenŃilor tu rbionari în înfășurări:

123
∑∑
∑∑
==
==
−



⋅



=⋅
=
12122
1212 2
h Nhh Nh
hhhh
CT HL
IIhII
IhI
F . (3.68)
Pentru pierderile de dispersie se definește, de as emenea, factorul de pierderi după cum
urmează:

∑∑
∑∑
==
==
−



⋅



=⋅
=
1212
1212
h Nhh Nh
hhhh
Scap HL
IIhII
IhI
F . (3.69)
Pentru un curent nesinusoidal, pierderile de mers în sarcină se exprimă astfel:

()() () () [ ]pu P F pu P F puI puPR Scap Scap HL R CT CT HL sc − − − − ∆⋅ + ∆⋅ +⋅ = ∆ 12 (3.70)

În aceste condiŃii, curentul maxim admisibil al sa rcinii, pentru a determina reducerea în
putere a transformatorului, este [***, 2008:2]:

( )()
( ) ( ) pu P F pu P FpuPpuI
R Scap Scap HL R CT CT HLsc
− − − − ∆⋅ + ∆⋅ +∆=1. (3.71)

Cunoscând valoarea maximă a curentului în transform ator se poate determina
denominalizarea acestuia cu relaŃia (3.72).

()S puI S ⋅ =max [VA]. (3.72)

3.5. Pierderi de putere în regim nesimetric nesinu soidal

În condiŃii de funcŃionare în regim echilibrat și s inusoidal, curenŃii în cele 3 faze sunt
egali și defazaŃi între ei cu 120 de grade. În aces t caz suma fluxurilor magnetice (fiind defazate cu
120 de grade) este zero. Astfel, nu este nevoie de o cale suplimentară pentru fluxul rezultant.
Sarcinile dezechilibrate alimentate de transformato arele electrice trifazate pot provoca
apariŃia unui flux de secvenŃă zero de valori însem nate în cazul conexiunilor cu neutru accesibil.
Armonicile de ordin multiplu de 3, care se regăsesc în fiecare fază cu caracteristicile lor specifice
secvenŃei zero, de asemenea pot cauza apariŃia flux ului de secvenŃă zero. ExcepŃie făcând cazul în
care o cale de întoarcere pentru acest flux magneti c este prevăzută, fluxul de secvenŃă zero se va
închide prin aer sau alte elemente ale transformato rului (cuva) provocând pierderi suplimentare
prin curenŃi turbionari și încălzirea transformator ului.
ExistenŃa fluxului de secvenŃă zero, fie în interio rul sau în afara miezului, depinde atât de
configuraŃia miezului cât și de conexiunile înfășur ărilor. Miezurile transformatoarelor trifazate,
de cele mai multe ori, nu asigură o cale de circula Ńie a fluxului de secvenŃă zero. Astfel, în cazul
în care fluxul de secvenŃă zero are o valoare însem nată, acesta va fi nevoit să circule în afara

124 miezului. Furnizarea unei căi de întoarcere a fluxu lui de secvenŃă zero este posibilă prin
adăugarea unei coloane suplimentare, dar în acest c az vor exista pierderi suplimentare în miez.
Dacă apare un dezechilibru în cazul tensiunilor, fl uxul rezidual, fiind suma fluxului pe
cele trei faze, nu va fi zero și trebuie să se înto arcă pe o cale anume afară din miezul
transformatorului. Asta înseamnă că fluxul rezidual din capătul de sus al bobinei trebuie să treacă
prin aer iar în partea de jos prin cuvă. Calea prin aer și cuvă, având o permeabilitate mică, va
avea o reluctanŃă magnetică mare.
Metoda componentelor simetrice este asociată în principiu frecvenŃei fundamentale a
sistemului electroenergetic. Poate fi făcută însă o legătură a frecvenŃelor armonice cu cele trei
secvenŃe după cum urmează:
• frecvenŃa fundamentală echilibrată este de secvenŃă pozitivă;
• armonicile de ordinul 3h (3, 9, 15, …) sunt nedefazate în timp, circulând ca niște mărimi
de secvenŃă zero (circulă doar dacă sistemul este l egat la pământ sau există al patrulea
conductor); ele circulă de asemenea întrîo conexiun e triunghi, similar secvenŃei zero;
• armonicile de ordinul 6h21 (5, 11, 17…) formează sisteme trifazate de secvenŃ ă negativă
faŃă de cea a fundamentalei;
• armonicile de ordinul 6h+1 (7, 13, …) sunt similare setului de mărimi de se cvenŃă
pozitivă.
În cazul sistemelor trifazate în conexiune stea, fu ndamentala și armonicile de ordinul
6h±1 pot circula chiar în lipsa conductorului neutru sa u a legării la pământ, spre deosebire de
armonicile de ordinul 3h .
Astfel, în cazul în care transformatorul funcŃionea ză întrîun regim dezechilibrat și poluat
armonic, sistemul de curenŃi descompus în serie Fou rier conduce la obŃinerea unui sistem
nesimetric de curenŃi de frecvenŃă fundamentală, ca re se poate descompune în trei sisteme
simetrice. Celelalte armonici care, fiecare în part e poate constitui un sistem nesimetric, se pot de
asemenea descompune în trei sisteme simetrice care se regăsesc pe fiecare fază. În baza teoremei
lui StokvisîFortescue, se poate determina setul de componente simetrice pentru fiecare armonică,
după cum urmează:
( )
( )
( ) .31,31,31
022
Ch Bh Ah hCh Bh Ah hCh Bh Ah h
I I I IIa Ia I IIa Ia I I
++ =⋅+⋅+ =⋅+⋅+ =
−+
(3.73)

unde:
Ik – curenŃii pe cele trei faze, k = A, B, C.

În regimul real de funcŃionare, pierderile totale î n transformatoarele electrice trifazate se
determină prin intermediul relaŃiei (3.74):
nn Scap nnCT nnsc nn nnT P P P P P− − − − − ∆+ ∆+ ∆+ ∆= ∆, , , , 0 , [W]. (3.74)

125 Pierderile în miezul transformatorului se compun din pierderile prin histerezis și
pierderile prin curenŃi turbionari în miez și depin d de tensiunea de la bornele transformatorului.
VariaŃia acestora în cazul unui regim nesimetric și nesinusoidal se exprimă astfel:



 ++⋅∆= ∆− 22 2 2
, 0
NefC efB efA
Fe nnUU U UP P [W]. (3.75)
unde: efC efB efA U U U , , î reprezintă valorile efective ale tensiunilor de f ază, incluzând armonicile.
Valorile tensiunilor efective se pot exprima în fun cŃie de valoarea tensiunii la frecvenŃa
fundamentală și reziduul deformant, după cum urmeaz ă:
hA A efA U U U +=1 [V],
hB B efB U U U +=1 [V], (3.76)
hC C efC U U U +=1 [V].

Astfel, înlocuind relaŃiile (3.76) în relaŃia (3.7 5), pierderilor de mers în gol se vor
determina în funcŃie de factorii de distorsiune arm onică pentru fiecare fază și valoarea tensiunii la
frecvenŃa fundamentală.
( ) ( ) ( )







⋅ ++


⋅ ++


⋅ +⋅∆= ∆−2
1 22
1 22
1 2
, 0 1 1 1
NC
UC
NB
UB
NA
UA Fe nnUUTHDUUTHDUUTHD P P [W]. (3.77)

Dacă se definesc factorii de tensiune pentru fieca re fază în parte, atunci pierderile de mers
în gol se exprimă după cum urmează:
( )( )( ) [ ]2 2 2 2 2 2
, 0 1 1 1CA UC UB UB UA UA Fe nn THD THD THD P P α α α ⋅ ++⋅ ++⋅ +⋅∆= ∆− [W]. (3.78)

unde:
NA
UAUU1=α ,
NB
UBUU1=α ,
NC
UCUU1=α . (3.79)

Creșterea pierderilor de mers în gol în regim nesi metric și nesinusoidal faŃă de regimul
simetric sinusoidal se poate exprima cu ajutorul ec uaŃiei (3.80).

FeFe nn
nnPPP P
∆∆− ∆=−
−∆, 0
, 0ε [%]. (3.80)

Pierderile de scurtcircuit apar datorită trecerii curentului electric prin în fășurările
transformatorului. În regim nesimetric și poluat ar monic, pierderile în înfășurări se pot exprima
prin intermediul relaŃiei (3.81).
( )22
2 2 2
,
NN
efC efB efA Cu nnscSUI I I P P ⋅++⋅∆= ∆− [W]. (3.81)

CurenŃii pe cele trei faze se pot scrie în funcŃie de curentul pe fundamentală și reziduul
deformant, conform ecuaŃiei (1.62). În aceste condi Ńii pierderile de scurtcircuit se pot exprima în
funcŃie de valorile curenŃilor la frecvenŃa fundame ntală și factorii de distorsiune armonică pe
fiecare fază, astfel:

126 ( ) ( ) ( )



 ⋅++⋅++⋅+⋅∆= ∆− 22
, 12
2
, 22
, 12
2
, 22
, 12
2
, , 1 1 1
NC N
CI
NB N
BI
NA N
AI Cu nnscSI UTHDSI UTHDSI UTHD P P [W]. (3.82)

Dacă se notează cu k N kn I U S, 1 , 1 ⋅= , k=A,B,C și raportul N knS S/, 1 reprezintă încărcarea în
putere aparentă a transformatorului pe faza k ( ks,α) la frecvenŃa fundamentală, pierderile de mers
în sarcină de exprimă după cu relaŃia (3.83):
( )( )( ) [ ]2
,2
,2
,2
,2
,2
, , 1 1 1Cs CI Bs BI As AI Cu nnsc THD THD THD P P α α α ⋅ ++⋅ ++⋅ +⋅∆= ∆− [W]. (3.83)

Pierderile prin curenŃi turbionari în conductoarele transformatorului electric, atunc i când
regimul de funcŃionare este nesimetric și nesinusoi dal, se pot exprima cu relaŃia:





⋅


+⋅


+⋅


∆= ∆ ∑ ∑ ∑
= = =− −
1 122
,
122
, 22
,
,
h h NCh
h NBh
NAh
R CT nnCT hIIhIIhIIP P [W]. (3.84)

Factorul armonic de pierderi al curenŃilor turbion ari în înfășurări, pentru fiecare fază, se
poate defini conform relaŃiei (3.68), astfel:

∑∑
∑∑
==
==
−



⋅



=⋅
=
12
,122
,
12
,12 2
,
,
h Nxhh Nxh
hxhhxh
xCT HL
IIhII
Ih I
F unde x=A,B,C. (3.85)

Pierderile prin dispersie , în acest caz se exprimă cu următoarea relaŃie:





⋅
+⋅
+⋅
⋅ ∆= ∆ ∑ ∑ ∑=
==
==
=− −max max max
1 12
,
12
,2
,
,hh
hhh
h NChhh
h NBh
NAh
R scap nn Scap hIIhIIhIIP P [W]. (3.86)

În ceea ce privește factorul armonic de pierderi pr in dispersie, acesta se poate defini
pentru fiecare fază, pornind de la ecuaŃia (3.69):

∑∑
∑∑
==
==
−



⋅



=⋅
=
12
,12
,
12
,12
,
,
h Nxhh Nxh
hxhhxh
x Scap HL
IIhII
Ih I
F unde x=A,B,C. (3.87)

Pentru un curent nesinusoidal diferit pe cele trei faze, pierderile de mers în sarcină se
exprimă astfel:
()() () () [ ]pu P F pu P F puI pu PR Scap x Scap HL R CT xCT HL x xsc − − − − ∆⋅ + ∆⋅ +⋅ = ∆, ,2
, 1 . (3.88)

Astfel, curentul maxim admisibil al sarcinii, pent ru a determina reducerea în putere a
transformatorului, este [***, 2008:2]:

127 ( )()
( ) ( ) pu P F pu P Fpu PpuI
R Scap x Scap HL R CT xCT HLxsc
x
− − − − ∆⋅ + ∆⋅ +∆=
, ,,
1. (3.89)

În funcŃie de ecuaŃia de mai sus se poate determina valoarea maximă a curentului prin
transformator și de asemenea denominalizarea acestu ia. Se va alege pentru reducerea totală în
putere a transformatorului faza cea mai încărcată ș i cea mai afectată de regimul deformant.
()x x x S puI S ⋅ =max, [kVA]. (3.90)

InterfaŃa grafică a aplicaŃiei pentru determinarea pierderilor în transformator în regim
nesimetric și nesinusoidal se prezintă în figura 3. 30. Cunoscând spectrul armonic al tensiunilor și
al curenŃilor se pot determina variaŃia pierderilor în regimul real de funcŃionare al reŃelelor
electrice.

Figura 3.30 InterfaŃa grafică pentru determinarea p ierderilor în regim nesimetric nesinusoidal

128
3.6. Concluzii

Transformatorul electric este un element al reŃelei electrice care realizează transformarea
statică a parametrilor principali ai energiei elect rice de curent alternativ păstrând același nivel de
frecvenŃă. Se utilizează în sisteme de transport și distribuŃie a energiei electrice.
Metodele de măsurare și de calcul, cerute de standa rde, determină cu exactitate pierderile
unui transformator și eficienŃa energetică în cazul în care acesta alimentează consumatori liniari.
Din păcate, sistemele moderne de distribuŃie alimen tează un procent din ce în ce mai
ridicat de sarcini nelineare. Ca rezultat, cresc pi erderile de putere în transformatoare, iar
randamentul acestora se reduce.
Pierderile suplimentare de putere în regimul real d e funcŃionare, faŃă de regimul de
referinŃă, implică o reducere a disponibilităŃii de putere și de energie a echipamentelor alimentate
prin aceste căi de curent (transformatoare).
În cazul funcŃionării în regim nesimetric a transfo rmatoarelor trifazate, apar pierderi
suplimentare atât datorită nesimetriei tensiunilor cât și datorită nesimetriei curenŃilor. Aceste
pierderi suplimentare se exprimă în funcŃie de coef icienŃii de nesimetrie (atât negativă cât și
zero), de tipul conexiunii înfășurărilor și de tipu l reŃelei electrice alimentate.
Când transformatoarele funcŃionează întrîun regim p oluat armonic, atât pierderile de mers
în gol cât și pierderile de mers în sarcină sunt in fluenŃate de gradul de poluare armonică a reŃelei
electrice.
Pierderile prin histerezis cresc proporŃional cu fr ecvenŃa. În timpul magnetizării
alternative a materialului magnetic, la fiecare per ioadă de variaŃie în timp a intensităŃii câmpului
magnetic, se parcurge un ciclu complet de histerezi s, acest fenomen fiind însoŃit de pierderi
datorate modificării domeniilor magnetice și care s unt proporŃionale cu aria ciclului de histerezis.
O posibilitate de reducere a pierderilor prin histe rezis este utilizarea de materiale magnetice cu
ciclu cât mai îngust. Pierderile prin histerezis su nt de obicei responsabile pentru mai mult de
jumătate din totalul pierderi de mers în gol (50% l a 70%).
Pierderile prin curenŃi turbionari sunt cauzate de variaŃia câmpurilor magnetice, inducând
curenŃi turbionari în tole și sunt direct proporŃio nale cu pătratul frecvenŃei și pătratul grosimii
tolei. Aceste pierderi pot fi reduse prin construir ea miezului din tole subŃiri laminate, izolate într e
ele. Pierderile datorită curenŃilor turbionari repr ezintă aproximativ 30%î50% din totalul
pierderilor de mers în gol.
Pierderile RI 2 sunt datorate trecerii curentului electric prin re zistenŃa înfășurărilor.
Pierderile active sunt proporŃionale cu pătratul va lorii efective a curentului electric, care include
componentele armonice. În curent alternativ, când t ransformatorul funcŃionează în regim poluat
armonic, apare o majorare a rezistenŃei (datorită e fectului pelicular și de vecinătate) în funcŃie de
influenŃa frecvenŃei. Acest factor de majorare a re zistenŃei transformatorului se poate determina
cu diferite relaŃii în funcŃie de tipul conductorul ui din care este formată înfășurarea (rotund sau
dreptunghiular) și conexiunea înfășurării.
Pierderile prin curenŃi turbionari în înfășurări su nt greu de calculat. Totuși, producătorii
de transformatoare pot furniza informaŃii cum ar fi pierderile datorate curenŃilor turbionari în
înfășurări și în funcŃie de acestea se poate determ ina creșterea acestor tipuri de pierderi în cazul î n
care transformatoarele funcŃionează întrîun mediu p oluat armonic. Acestea variază cu pătratul
curentului multiplicat cu pătratul frecvenŃei (rang ul armonicii).

129 Pierderile de dispersie se produc datorită fluxului de scăpări (de dispersie) care induce
pierderi în miez, cleme, cuvă și alte părŃi constru ctive. Pierderile de dispersie pot ridica
temperatura părŃilor constructive ale transformatoa relor. Pierderile de dispersie sunt greu de
calculat și este general acceptat că vor varia cu p ătratul curentului multiplicat cu frecvenŃa
(rangul armonicii).
Curentul de secvenŃă zero, în cazul în care variaŃi a cu frecvenŃa a rezistenŃei înfășurărilor
se neglijează, se va forma adunând armonicile de ra ng 3h precum si toate componentele de
secvenŃă zero pentru fiecare armonică ( 1 6±=k h ). Astfel, curentul de secvenŃă zero se compune
din suma tuturor curenŃilor de secvenŃă zero. Acest a va circula prin părŃile componente ale
transformatorului crescând temperatura de funcŃiona re a acestuia și producând pierderi
suplimentare.
Una din măsurile de reducere a pierderilor este fol osirea transformatoarelor cu miez din
metal amorf. Materialele amorfe au o rezistivitate electrică mare și un domeniu magnetic mic sau
inexistent. Tipurile mai vechi de transformatoare a jungeau la saturaŃie la un flux mai mic,
aproximativ 75% din densitatea de flux convenŃional ă care rezultă în transformatoarele mari.
Utilizând transformatoare care au miezul format din metal amorf, pierderile de mers în
gol se vor reduce faŃă de transformatoarele care au în compoziŃie tola din material clasic
(0.06W/kg). În ceea ce privește temperatura de func Ńionare, se observă o temperatură mult mai
mică în cazul transformatorului cu miez din metal a morf faŃă de cazul unui transformator
standard cu miezul din oŃel cu orientare a particul elor.
În concluzie, funcŃionarea transformatoarele întrîu n regim dezechilibrat și poluat armonic
duce la apariŃia pierderi suplimentare; transformat oarele trebuie denominalizate astfel încât
pierderile totale la o sarcină nesinusoidală să nu depășească pierderile proiectate pentru frecvenŃa
fundamentală.

130

131 4. InfluenŃa bateriilor de condensatoare asupra pie rderilor de putere
în reŃelele electrice

Condensatoarele sunt dispozitive simple (două armă turi și un dielectric) care stochează
energie. În sistemele electrice de curent alternati v, condensatoarele nu stochează energie pentru
un timp îndelungat î doar jumătate de ciclu. Pentru fiecare jumătate de ciclu, un condensator se
încarcă și apoi descarcă energia înmagazinată iarăș i în sistem. Condensatoarele produc putere
doar atunci când sarcinile reactive au nevoie. Cond ensatoarele și sarcinile reactive schimbă
putere reactivă în ambele sensuri. În acest fel, si stemul electric nu trebuie să transporte puterea
reactivă (și implicit un curent mai mare) de la gen erator prin transformatoare și linii electrice
până la consumator. Utilizând baterii de condensato are, puterea reactivă se poate produce local
permiŃând liniilor electrice să transporte doar put ere activă.
Folosirea condensatoarele asigură beneficii import ante sistemului de distribuŃie a energiei
electrice în ceea ce privește performanŃa acestuia [Goeckeler, 1999]. Cele mai importante ar fi:
• ÎmbunătăŃirea factorului de putere
• Reducerea pierderilor în liniile electrice î prin a nularea puterii reactive necesară
motoarelor și altor sarcini cu factor de putere scă zut, condensatoarele reduc curentul pe
linie. Reducând curentul se vor reduce pierderile r ezistive pe linia de alimentare
• Creșterea capacităŃii de transport – reducând curen tul de linie va crește capacitatea de
transport, astfel, același circuit va putea aliment a sarcini suplimentare.
• Reducerea căderile de tensiune – puterea reactivă v ehiculată prin liniile electrice produce
căderi de tensiune suplimentare, independente de ce le produse de puterea activă. Prin
utilizarea condensatoarele se anulează o parte a că derii de tensiune.

Condensatoarele, dacă sunt utilizate și controlate corect, pot îmbunătăŃi semnificativ
performanŃa reŃelelor de distribuŃie. Dacă acestea nu sunt exploatate corect, puterea reactivă
produsă de bateria de condensatoare poate duce la p ierderi suplimentare și supratensiuni [Gonen,
1986].
Bateriile de condensatoare sunt formate din conden satoare legate în serie sau paralel.
Bateriile de condensatoare instalate corect se amor tizează, din punct de vedere financiar, foarte
repede. Utilizând baterii de condensatoare se va ec onomisi o sumă importantă de bani datorită
reducerii pierderilor. În unele cazuri, se va reduc e încărcarea elementelor de reŃea, astfel putând fi
disponibilă o capacitate suplimentară în ceea ce p rivește alimentarea consumatorilor.
Tensiunea de alimentare poate fi joasă sau medie. Din punct de vedere al frecvenŃei,
condensatoarele pot fi de frecvenŃă industrială (50 Hz) și de medie frecvenŃă (100î10000 Hz).
Condensatoarele se montează în serie sau paralel, î n funcŃie de tensiunea nominală a
reŃelei formând baterii de condensatoare cu puteri de la zeci de kVAr la zeci de MVAr și tensiuni
între 0.4 și 6.3 kV. Conexiunea în triunghi se întâ lnește în special la JT, iar cea în stea la MT.

4.1. Factorul de putere

Folosirea bateriilor de condensatoare în reŃelele de distribuŃie a energie electrice a fost
acceptată ca fiind un pas necesar în proiectarea ac estora. O importantă aplicabilitate a bateriilor
de condensatoare ar fi îmbunătăŃirea factorului de putere. Un factor de putere scăzut are
următoarele dezavantaje [Chindriș, 2009]:
• Reducerea randamentului sistemului de distribuŃie;

132 • Reducerea capacităŃii de transport, transformare și distribuŃie a energiei electrice;
• Căderi de tensiune mărite;
• Creșterea pierderilor de putere în reŃea.

Multe companii de distribuŃie premiază consumatorii care își îmbunătăŃesc factorul de
putere și îi penalizează pe cei ce au un factor red us de putere. Există mai multe abordări în ceea
ce privește corecŃia factorului de putere [Balaures cu, 1981]:
• Compensatoare sincrone;
• Baterii de condensatoare;
• Compensatoare statice de putere reactivă.

Utilizarea bateriilor de condensatoare este cea mai întâlnită datorită costurilor mici de
instalare și puterii mari de care dispun.
Factorul de putere este raportul dintre puterea activă P pe fundamentală (W) și puterea
aparentă S pe fundamentală (VA). Puterea reactivă Q necesară receptoarelor inductive se
calculează ca fiind vectorul diferenŃă dintre puter ea activă și aparentă. Factorul de putere este
cosinusul unghiului dintre aceste două puteri. Aces ta reflectă cât de eficient utilizează un
consumator energia electrică comparând puterea acti vă necesară extrasă din puterea aparentă.
RelaŃia dintre S, P și Q este dată de triunghiul puterilor din figura 4.1.

Figura 4.1. Diagrama puterilor

2 2Q P S += [VA]. (4.1)

Factorul de putere determinat măsoară unghiul dint re componentele fundamentale ale
tensiunii și curentului de fază:
SP/ cos= =ϕ λ . (4.2)

Factorul de putere variază de la zero la unu. Valo are zero reprezintă faptul că toată
puterea aparentă este putere reactivă, iar la valor are unu toată puterea aparentă este putere activă.
Motoarele care funcŃionează cu o încărcare apropia tă de 100% vor avea factor de putere
ridicat (0,90î0,95), dar același motor la o funcŃio nare cu sarcină redusă va avea un factor de
putere scăzut.
Puterea reactivă absorbită de echipamentele electr ice cum ar fi transformatoarele,
motoarele electrice și convertoarele statice duce l a creșterea curentului în generatoare, linii de
transport, transformatoare și cabluri. Companiile d e electricitate trebuie să furnizeze toată cererea
de putere aparentă.
Sarcinile inductive cu un factor de putere redus s olicită generatoarelor și sistemului de
distribuŃie să furnizeze curentul reactiv necesar, astfel crescând pierderile și numărul golurilor de
tensiune [Fernandez, 2005]. Dacă o baterie de conde nsatoare este conectată, componenta reactivă

133 a curentului bateriei IC poate anula componenta reactivă a curentului neces ară sarcinii inductive
IL. Dacă puterea bateriei este suficient de mare ( IC= I L), aceasta va furniza întreaga putere
reactivă și astfel nu va exista nici o circulaŃie a curentului reactiv în reŃea, după cum se vede în
figura 4.2.

Figura 4.2 Compensarea totală a puterii reactive

4.2. Circuite echivalente și pierderi în condensat oare

ImpedanŃa unui condensator cu pierderi prin conducŃ ie și pierderi dielectrice poate fi
reprezentată de două circuite echivalente î figura 4.3a (conectare paralel a capacităŃii C și
conductanŃei Gp) și figura 4.3b (conectare serie a capacităŃii C și a rezistenŃei Rs).

a) b)
Figura 4.3 Schemele echivalente ale condensatorului a) Paralel b) Serie

Cele două circuite echivalente se pot combina pentr u a se obŃine un singur circuit (figura
4.4), unde Ls=ESL = inductanŃa echivalentă serie, Rs=ESR = rezistenŃa echivalentă serie,
Rp=EPR =1/G p rezistenŃa echivalentă paralel.

Figura 4.4. Schema echivalentă detaliată

Factorul de pierderi δtg sau factorul de disipare DF= δtan 2 dependent de frecvenŃă î
este definit astfel:
• Conexiune paralel:
CGp
ωδ= tan . (4.3)

• Conexiune serie:

134 CRsωδ= tan . (4.4)

Cele mai multe baterii de condensatoare au următoa rele două tipuri de pierderi:
• Pierderi prin conducŃie cauzate de trecerea curentu lui prin dielectric;
• Pierderi dielectrice datorită mișcării sau rotaŃiei atomilor sau moleculelor dielectricului în
câmp magnetic alternativ.

Pierderile rezistive sunt modelate prin rezistenŃa Rs din schema electrică echivalentă a
condensatorului. RezistenŃa echivalentă serie gener ează pierderile ohmice în condensator.

2IR Ps Crez ⋅=∆ [W]. (4.5)

Pierderile active de putere în dielectric se determină în funcŃie de capacitatea
condensatorului, frecvenŃa fundamentală, tensiunea la bornele condensatorului și tangenta
unghiului de pierderi pentru frecvenŃa fundamentală .

2
0 1 U tgCf PCdiel ⋅⋅⋅⋅=∆ δ π [W]. (4.6)

unde: CdielP∆ î pierderi în dielectricul condensatorului, [W];
1f î frecvenŃa fundamentală, [Hz];
C î capacitatea condensatorului;
0δtg î tangenta unghiului de pierderi pentru frecvenŃa fundamentală.

ReactanŃa capacitivă echivalentă între fază și nul la frecvenŃa fundamentală pentru o
baterie de condensatoare se poate determina cu rela Ńia (4.7):

cf
CQUX2
= [Ω]. (4.7)

Pentru baterii trifazate se folosește tensiunea de linie și puterea reactivă trifazată. Pentru
unităŃile monofazate se folosește tensiunea nominal ă a condensatorului și puterea reactivă
Bateriile de condensatoare, care se găsesc fie la consumator fie în reŃelele de distribuŃie,
modifică semnificativ impedanŃa sistemului datorită armonicilor. Condensatoarele nu produc
armonici însă acestea pot amplifica armonicile exis tente în reŃea [Grebe, 1996]. Cât timp
componenta inductivă a reactanŃei variază cu frecve nŃa, reactanŃa capacitivă descrește
proporŃional cu frecvenŃa.
CfXC⋅⋅⋅=π21 [Ω]. (4.12)

4.3. Efectele utilizării bateriilor de condensatoa re în reŃelele electrice

Folosirea bateriilor de condensatoare asigură o ser ie de avantaje în ceea ce privește
performanŃa sistemului de distribuŃie a energiei el ectrice.

135
4.3.1. Reducerea pierderilor în reŃeaua electrică

Unul din principalele avantaje ale utilizării cond ensatoarelor este reducerea pierderilor în
linia electrică . Pierderile apar datorită trecerii curentului prin conductoarele liniilor electrice. O
parte din acest curent este curentul necesar consum atorilor (putere activă) în timp ce o altă parte
corespunde necesarului de putere reactivă. Puterea reactivă este necesară pentru magnetizarea
motoarelor și a altor sarcini inductive. Folosind c ondensatoare pentru furnizarea puterii reactive
la sarcină, curentul care circulă prin linia electr ică va avea valoare mai mică.
Pierderile în liniile electrice sunt proporŃionale cu pătratul curentului care circulă prin
acestea și se vor reduce o dată cu reducerea circul aŃiei de putere reactivă prin liniile electrice.
Reducerea pierderilor de putere se poate determina cu relaŃia (4.13) în funcŃie de factorul iniŃial
de putere iλ și factorul dorit la compensare cλ.







−⋅=∆2
1 100
ci
PLλλε [%]. (4.13)

VariaŃia reducerii pierderilor de putere în linia electrică se reprezintă grafic în figura 4.5.

Figura 4.5. VariaŃia reducerii pierderilor de puter e la modificarea factorului de putere

Trebuie menŃionat că relaŃia (4.13) este valabilă pentru un singur condensator întrîo reŃea
radială. Totuși, poate fi o aproximare corectă dacă bateriile de condensatoare sunt uniform
distribuite în reŃeaua electrică astfel încât pe fi ecare ramură de reŃea să se obŃină același procent
în ceea ce privește reducerea pierderilor pe reŃea.
De remarcat este faptul că relaŃia (4.13) exprimă reducerea pierderilor de putere în liniile
electrice în amonte de bateria de condensatoare. Nu există nicio reducere de pierderi în liniile și
transformatoarele existente între bateria de conden satoare și sarcină.

136 În ceea ce privește amplasarea bateriilor de condensatoare , Grainer și Lee au propus în
[Grainger, 1981] o metodă simplă pentru amplasarea acestora întrîun circuit cu orice profil de
sarcină, nu neapărat un profil de sarcină uniform d istribuită. În această metodă, se utilizează
profilul puterii reactive a circuitului.
Totuși, amplasarea și puterea condensatorului nu tr ebuie să fie exactă. O reducere
importantă a pierderilor se poate obŃine chiar dacă bateria de condensatoare nu este amplasată în
punctul optim. În figura 4.6 se prezintă reducerea pierderilor de putere în linia electrică pentru o
baterie de putere fixă întrîun sistem cu sarcină un iformă. Atâta timp cât puterea și locaŃia bateriei
de condensatoare este cât mai apropiată de sarcină, reducerea pierderile pe reŃeaua electrică va fi
aproximativ aceeași ca și în cazul când bateria ar fi plasată în punctul optim [Shyh, 2000].

Figura 4.6. Reducerea pierderilor pentru o baterie de condensatoare
de putere fixă întrîun sistem cu sarcină uniformă

4.3.2. Creșterea capacităŃii de transport în putere activă

Pe lângă reducerea pierderilor, cu ajutorul condens atoarelor se poate mări capacitatea de
transport a energiei electrice. ÎmbunătăŃind factor ul de putere, crește puterea activă ce poate fi
furnizată de reŃeaua electrică. Folosind baterii de condensatoare pentru furnizarea puterii reactive,
valoarea curentului în liniile electrice va fi redu să.
Valoarea procentuală a reducerii curentului electri c datorită folosirii bateriilor de
condensatoare se poate aproxima cu expresia (4.14):




−⋅=∆
ci
ILλλε 1 100 [%]. (4.14)
unde:
IL∆ε î este valoarea reducerii curentului, în [%].

137 Reducerea curentului apare la linia electrică din amonte de bateria de condensatoare.
VariaŃia reducerii curentului care circulă prin lin ia electrică după compensarea puterii reactive
necesare consumatorului se reprezintă grafic în fig ura 4.7.

Figura 4.7. VariaŃia reducerii curentului în linia electrică la modificarea factorului de putere

În figura 4.8 se poate observa că folosirea condens atoarelor duce la o creștere
semnificativă a cantităŃii de putere activă ce poat e fi transportată o dată cu reducerea circulaŃiei
de putere reactivă, mai ales în cazul în care facto rul de putere original este redus.

Figura 4.8. Creșterea capacităŃii de transport cu u n factor de putere îmbunătăŃit [Thomas, 2005]

138
Astfel, bateriile de condensatoare pot fi folosite pentru reducerea supraîncărcării reŃelelor
electrice și permit adăugarea unor consumatori supl imentari.

4.3.3. Compensarea căderilor de tensiune

Pe lângă scăderea capacităŃii de încărcare a reŃele i, transportul puterii reactive produce
căderi de tensiune suplimentare faŃă de cele produs e de puterea activă. Condensatoarele sunt
dispozitive cu impedanŃă constantă. Dacă condensato arele se alimentează la tensiuni diferite de
cea nominală, atunci acestea produc putere reactivă proporŃională cu pătratul tensiunii, în per
unit.
2
pu N c UQ Q ⋅= . (4.15)

unde: puUî tensiunea în per unit din tensiunea nominală a co ndensatorului.

Condensatoarele furnizează o creștere a tensiunii Uε.

210lL c
UXQU⋅⋅=ε [%]. (4.16)

unde: LX î impedanŃa de secvenŃă pozitivă a sistemului de l a sursă la condensator, [ Ω];
lU î tensiunea de linie a sistemului, [V];
cQ î puterea debitată de bateriei de condensatoare tr ifazată, [VAr].

În timp ce această ecuaŃie este satisfăcătoare pen tru cele mai multe aplicaŃii, ea nu este
perfect riguroasă deoarece curentul capacitiv se mo difică proporŃional cu tensiunea.

4.4. Puterea debitată de bateria de condensatoare ș i influenŃa asupra pierderilor de
putere în regim simetric sinusoidal

FuncŃionarea cu un factor de putere scăzut are drep t consecinŃă creșterea pierderilor de
putere activă în linii și transformatoare. În cadru l instalaŃiilor electrice ale consumatorului,
bateriile de condensatoare pot fi amplasate după cu m urmează –figura 4.9:
• Individual, direct la bornele receptoarelor de JT ș i MT;
• Pe grupe de receptoare, la JT, la tablourile de dis tribuŃie (principale sau secundare);
• Centralizat, la JT, la tablourile generale din post urile de transformare sau la tablourile ce
deservesc grupe importante de receptoare inductive.

În contextul în care o reŃea electrică trifazată a limentează sarcini electrice simetrice și
echilibrate, având un factor de putere mai mic decâ t cel neutral, se pot utiliza baterii de
condensatoare pentru compensarea puterii reactive c are circulă prin reŃeaua electrică la nivelul
unui grup de receptoare. Puterea reactivă necesară obŃinerii factorului de putere neutral
n n ϕ λ cos= se poate determina cu relaŃia (4.17).

139 ( )n C n i ech c tgP tg tg P Q ϕ ϕϕ ⋅∆− −⋅= [VAr]. (4.17)
unde:
Pech – puterea activă absorbită a consumatorului echili brat necompensat;
CP∆ î pierderile de putere activă în sursa de compensa re.

Figura 4.9. PosibilităŃi de amplasare ale bateriei de condensatoare

În practică, pierderile active în sursa de putere reactivă sunt neglijabile astfel că relaŃia
(4.17) devine:
( )n i ech c tg tg P Q ϕϕ−⋅= [VAr]. (4.18)

Cunoscând tensiunea la bornele bateriei de condens atoare și puterea bateriei se poate
determina reactanŃa capacitivă a bateriei astfel:

( )
cCQU UX2∆−= [Ω]. (4.19)

În acest caz, pierderea de tensiune (aproximativ e gală cu componenta longitudinală a
căderii de tensiune) pentru o linie încărcată cu o sarcină inductivă, se determină cu relaŃia:

QUXPURIX IR UL L
i L i L ⋅+⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅=∆ ϕ ϕ sin cos [V]. (4.20)

Puterea bateriei de condensatoare se poate determi na în funcŃie de puterea activă a sarcinii
și în funcŃie de factorul
cQk cu relaŃia următoare:

140

cQ ech c k P Q ⋅= [VAr]. (4.21)

Valoarea factorului
cQk se poate determina din graficul din figura 4.10 în funcŃie de
factorul iniŃial de putere și factorul de putere la care se dorește a se face compensarea.

Figura 4.10 Determinarea factorului
cQk

Pierderile în liniile electrice, în regim simetric sinusoidal, sunt proporŃionale cu pătratul
curentului care circulă prin acestea și se vor redu ce o dată cu reducerea circulaŃie de putere
reactivă prin liniile electrice.

22
22
22 13
iL L
L L P
URS
URIR Pλ⋅⋅=⋅=⋅⋅=∆ [W]. (4.22)

4.5. InfluenŃa bateriilor de condensatoare asupra pierderilor de putere în reŃele
electrice în regim nesimetric sinusoidal

4.5.1. Conectarea bateriei în sisteme electrice cu conductor de nul

În cazul în care apar dezechilibre în ceea ce priv ește sarcinile alimentate de o reŃea
electrică cu patru conductoare, puterile (active și reactive) vor fi diferite pe cele trei faze. În
ipoteza în care puterile active pe fazele B și C va riază crescător și descrescător cu 20% faŃă de
puterea pe faza A, factorul de putere trifazat iniŃ ial, pentru cazul echilibrat, este stabilit la
valoarea de 0.5, iar variaŃia acestuia odată cu var iaŃia puterilor active se reprezintă grafic în figu ra
4.11.

141

Figura 4.11 . VariaŃia factorului de putere trifazat înainte de compensare

CurenŃii corespunzători celor trei faze vor fi dif eriŃi C B A I I I ≠≠ ; aceștia se determină
astfel [Pop, 2011]:

iA AA
fcAUPIϕcos⋅= ,
iB BB
fcBUPIϕcos⋅= ,
iC CC
fcCUPIϕcos⋅= [A]. (4.23)

Aplicând teorema componentelor simetrice (conform relaŃiilor (1.16), (1.17) (1.18)), se
vor determina coeficienŃii de nesimetrie negativă ( relaŃia (1.12) ) respectiv zero (relaŃia (1.14)) ai
curenŃilor, înainte ca bateria de condensatoare să fie conectată în reŃea. VariaŃia acestora, atunci
când puterile active pe fazele B și C variază cresc ător și descrescător cu 20% din puterea pe faza
A, se reprezintă grafic în figura 4.12:

Figura 4.12 VariaŃia coeficienŃilor de nesimetrie î nainte de compensare: a. −
Ik; b. 0
Ik

142
Valorile curenŃilor fiind diferite pe cele trei fa ze, înainte de compensare, căderile de
tensiune pe cele vor fi diferite și se vor determin a astfel:




⋅+⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅=∆⋅+⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅=∆⋅+⋅= ⋅⋅+ ⋅⋅=∆
C
CL
C
CL
natC C L natC C L CB
BL
B
BL
natB B L natB B L BA
AL
A
AL
natA A L natA A L A
QUXPURIX IR UQUXPURIX IR UQUXPURIX IR U
ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ
sin cossin cossin cos
[V]. (4.24)

Conectând bateria de condensatoare, dimensionată p entru cazul echilibrat, puterile
reactive furnizate de aceasta vor fi diferite pe ce le trei faze (tensiunea la bornele bateriei va fi m ai
mică datorită creșterii căderii de tensiune) și se vor determina după cum urmează :
( )
( )
( )



∆−=∆−=∆−=
CC C
cCCB B
cBCA A
cA
XU UQXU UQXU UQ
222
[VAr]. (4.25)

În aceste condiŃii, pe faza cea mai încărcată va fi debitată cea mai redusă putere reactivă,
iar îmbunătăŃirea factorului de putere va fi cea ma i redusă [Pop, 2011].
compC compB compA ϕ ϕ ϕ cos cos cos ≠ ≠ . (4.26)

VariaŃia factorului de putere trifazat după conect area bateriei de condensatoare, pentru
ipoteza luată în discuŃie, se reprezintă grafic în figura 4.13.

Figura 4.13. VariaŃia factorului de putere trifazat după compensare

143
CurenŃii din reŃeaua electrică, după conectarea ba teriei de condensatoare, se vor determina
conform relaŃiei (4.28) în funcŃie de factorii de p utere compensaŃi pe cele trei faze.

compA AA
dcAUPIϕcos⋅= ,
compB BB
dcBUPIϕcos⋅= ,
compC CC
dcCUPIϕcos⋅= [A]. (4.27)

Aplicând și în acest caz metoda componentelor sime trice, se vor determina curenŃii de
secvenŃă și implicit factorii de nesimetrie. VariaŃ ia factorilor de nesimetrie negativă respectiv
zero, pentru ipoteza studiată, se prezintă în figur a 4.14.

a. b.
Figura 4.14. VariaŃia coeficienŃilor de nesimetrie după compensare : a. −
Ik; b. 0
Ik

În cazul unei reŃele electrice de joasă tensiune, d atorită dezechilibrului suplimentar
provocat de bateria de condensatoare, prin conducto rul de nul va circula un curent electric care va
provoca pierderi suplimentare.
Reducerea pierderilor în linia electrică de alimen tare, atunci când puterea pe fazele B și C
variază descrescător și crescător cu 20 % faŃă de p utere pe faza A, se determină cu ecuaŃia (4.28)
și se reprezintă grafic în figura 4.15.

100⋅∆∆−∆=∆
fcLdc Lfc
LPP PPε [%]. (4.28)
unde:
LfcP∆ î pierderi de putere în linia electrică înainte de compensare;
LdcP∆ î pierderi de putere în linia electrică după compe nsare.

144 .

Figura 4.15. Reducerea pierderilor de putere în lin ia de alimentare

Pierderile în linia electrică înainte și după comp ensare se determină cu relaŃia (4.29) sau
(4.30):

( )2 2 2 2
N N xC xB xA L Lx IR I I I R P ⋅+++⋅=∆ [W], (4.29)
sau

()()() ( ) ()20202 29 3x N x x x L lx I R I I I R P ⋅⋅+ + +⋅⋅=∆− + [W]. (4.30)

unde : xC xB xA III ,, î curenŃii pe cele trei faze înainte și după com pensare, ()dcfc x ,∈ , în [A];
NI î curentul prin conductorul de nul, în [A];
0,,x x x III−+ î curenŃii de secvenŃă pozitivă, negativă și zero înainte, respectiv după
compensare ()dcfc x ,∈ , în [A].

4.5.2. Conectarea bateriei în sisteme electrice fă ră conductor de nul

Se consideră un receptor trifazat dezechilibrat în conexiune stea, alimentat fără conductor
neutru (Figura 4.16), unde sîau făcut următoarele n otaŃii:
12U,23U,31U î tensiunile de linie ale sistemului energetic;
1I,2I,3I î curenŃii de linie;
'
12U,'
23U,'
31U î tensiunile de linie în punctul de racord;
lZ î impedanŃa sistemului de alim entare;
1Z,2Z,3Z î impedanŃele de linie ale sarcinii dezechi librate.

145

Figura 4.16. Alimentarea unui consumator dezechilib rat

ImpedanŃa sistemului până la bara 1, conform [Comș a, 1973] este o funcŃie dependentă de
puterea de scurtcircuit în acel punct, scS, caracteristicile sale fiind:
• ReactanŃa:

sclSUX21 , 1⋅= []Ω. (4.31)

• RezistenŃa
l l X R ⋅≅1 , 0 []Ω. (4.32)

ImpedanŃa sistemului devine:

()sc l l l Sf Xj R Z =⋅+= . (4.33)

Cunoscând deplasarea neutrului:

3 2 13 3 2 2 1 1
0
L L LL L L
NY Y YYE YE YEU++⋅+⋅+⋅= [V]. (4.34)

unde: 1LY,2LY,3LY î admitanŃele de linie (conŃin atât sarcina cât și admitanŃa sistemului de
alimentare);
1E,2E,3E î tensiunile de fază ale sistemului de alimentar e.

Tensiunile de fază la receptorului se determină cu relaŃiile din (4.35):
0'
1 1 NU U U −= [V],
0'
2 2 NU U U −= [V], (4.35)
0'
3 3 NU U U −= [V].

unde: '
1U,'
2U,'
3U î tensiunile de fază la bornele receptorului în ip oteza în care acesta este
echilibrat.

Pentru cazul în care puterile active pe fazele B ș i C variază crescător și descrescător cu
20% faŃă de puterea pe faza A, impedanŃele echivale nte ale receptorului dezechilibrat vor varia în
funcŃie de variaŃia puterilor active. Factorul de p utere trifazat iniŃial, pentru cazul echilibrat, es te

146 stabilit la valoarea de 0.5, iar variaŃia acestuia odată cu variaŃia puterilor active se reprezintă
grafic în figura 4.17.

Figura 4.17. VariaŃia factorului de putere înainte de compensare

În aceste condiŃii, curenŃii de linie devin:

11 1
1
fcZU EI−= ,
22 2
2
fcZU EI−= ,
33 3
3
fcZUEI−= . (4.36)

Aplicând teoria componentelor simetrice (conform r elaŃiilor (1.16), (1.17) și (1.18)) se vor
determina componentele de secvenŃă ale curenŃilor u rmând a se determina coeficientul de
nesimetrie negativă a curenŃilor. VariaŃia factorul ui de nesimetrie, atunci când puterile active
variază conform ipotezei luate în discuŃie, se repr ezintă grafic în figura 4.18.

Figura 4.18. VariaŃia −
Ik pentru cazul necompensat

147
La bara 1 se conectează bateria de condensatoare, proiectată pentru cazul echilibrat,
pentru compensarea puterii reactive. Datorită depla sării neutrului, tensiunile la bornele bateriei de
condensatoare vor fi dezechilibrate; de asemenea, p uterile reactive debitate de baterie pe fiecare
fază vor fi diferite, ducând la agravarea nesimetri ei faŃă de situaŃia când bateria era deconectată.
VariaŃia factorului de putere după conectarea bate rie de condensatoare se reprezintă grafic
în figura 4.19., unde se poate observa că acesta de screște o dată cu creșterea nesimetriei
curenŃilor.

Figura 4.19. VariaŃia factorului de putere după com pensare

CurenŃii de linie, în acest caz, se vor determina cu ajutorul relaŃiei (4.37). ImpedanŃele
echivalente se vor calcula în funcŃie de impedanŃa receptorului, a condensatorului și a liniei de
alimentare.
. , ,
33 3
3
22 2
2
11 1
1
dc dc dc ZU EIZU EIZU EI−=−=−= (4.37)

Aplicând teoria componentelor simetrice, se vor de termina componentele de secvenŃă și
implicit factorul de nesimetrie negativă a curenŃil or. VariaŃia acestuia, atunci când receptorul
trifazat este dezechilibrat și în sistem este conec tată bateria de condensatoare, se reprezintă grafic
în figura 4.20.
Reducerea pierderilor în linia electrică de alimen tare, se determină cu ecuaŃia (4.28) cu
observaŃia că pierderile înainte și după compensare se determină cu relaŃiile (4.38) sau (4.39).

( )2 2 2
xC xB xA L Lx I I I R P ++⋅=∆ [W], (4.38)
sau
()() ( )2 23− ++⋅⋅=∆x x L lx I I R P [W]. (4.39)

148 unde : xC xB xA III ,, î curenŃii pe cele trei faze înainte, respectiv după compensare ()dcfc x ,∈ ;
−+
x xII, î curenŃii de secvenŃă pozitivă și negativă înain te și după compensare ()dcfc x ,∈ .

Figura 4.20. VariaŃia −
Ik pentru cazul compensat

Astfel, reducerea pierderilor de putere în linia d e alimentare se prezintă în figura 4.21.

Figura 4.21. Reducerea pierderilor de putere în lin ia de alimentare

În concluzie, se observă creșterea factorului de n esimetrie negativă al curentului în cazul
în care bateria de condensatoare se conectează la o bară unde tensiunile sunt nesimetrice. De

149 asemenea, puterea reactivă debitată de bateria de c ondensatoare este mai mică pe faza cea mai
încărcată provocând dezechilibre suplimentare în re Ńeaua electrică, ducând la creșterea pierderilor
în amonte de locul amplasării bateriei de condensat oare.

4.6. Condensatoare într:un mediu poluat armonic

Bateriile de condensatoare, utilizate pentru compen sarea puterii reactive pe frecvenŃa
fundamentală, sunt esenŃiale pentru funcŃionarea ec onomică a reŃelei care include sarcini rezistivî
inductive. În realitate, aceste sarcini au fost omn iprezente încă de la începutul sistemelor
energetice. Sarcinile neliniare nou apărute sunt de asemenea omniprezente, astfel că au rezultat
două noi riscuri:
• supraîncărcarea în curent a bateriilor de condensat oare;
• rezonanŃa paralel a condensatoarelor cu bobinele af late în vecinătatea (electrică) lor.
Bateriile de condensatoare pentru compensarea facto rului de putere sunt indispensabile și
este simplu să se proiecteze sau să se dezvolte pen tru a face faŃă noilor condiŃii. Odată cu apariŃia
sarcinilor neliniare și propagarea armonicilor, pos ibilitatea apariŃiei rezonanŃei serie sau paralel
între sistem și condensator la diferite frecvenŃe a rmonice a devenit o problemă importantă pentru
specialiștii din domeniu.
Începând cu anul 1990 sarcinile neliniare au apărut întrîun număr din ce în ce mai mare.
Acest lucru a dus la intensificarea perturbaŃiilor armonice ducând la reducerea calităŃii energiei
electrice. Mai mult, unele echipamente neliniare fu ncŃionează cu un factor de putere redus având
ca rezultat pierderi suplimentare pe linii, astfel forŃând unităŃile de producere a energiei electrice
să genereze putere aparentă suplimentară.
Utilizarea incorectă a bateriilor de condensatoare în reŃeaua modernă de distribuŃie poate
avea un impact negativ atât pentru consumator (sarc ini sensibile liniare sau neliniare) cât și
pentru compania de distribuŃie, incluzând aici urmă toarele:
• Amplificarea și propagarea armonicilor rezultate în echipamente provocând
supraîncălziri, ducând la avarierea bateriilor de c ondensatoare;
• RezonanŃa armonică de tip paralel (între bateriile de condensatoare și inductivitatea
sistemului) apropiată de frecvenŃele armonice ale s urselor;
• CondiŃii de dezechilibru a sistemului provocând o funcŃionare defectuoasă;
• Probleme suplimentare în ceea ce privește calitatea energiei electrice.

Puterea reactivă a condensatoarelor ce funcŃioneaz ă în regim sinusoidal se calculează în
funcŃie de frecvenŃa fundamentală, de tensiunea de fază și de conexiunea bateriei de
condensatoare după cum urmează:
• Pentru conexiune Y
23n Y c U C Q ⋅⋅⋅= ω [VAr], (4.40)

• Pentru conexiunea ∆
23n c U C Q ⋅⋅⋅=∆ω [VAr]. (4.41)

La aceeași putere reactivă Q, capacitatea condensat oarelor montate în triunghi ∆C este de
trei ori mai mică decât capacitatea condensatoarelo r montate în stea YC:

150 3YCC=∆ . (4.42)

Curentul absorbit de condensatorul trifazat, indep endent de conexiune se calculează cu
relaŃia (4.43).

lc
lcUQI
⋅=
3 [A]. (4.43)

4.6.1. Pierderi în condensatoare în regim nesinusoi dal

În cazul în care curentul care circulă prin conden sator este nesinusoidal, pierderile
rezistive ale condensatorului se determină cu relaŃ ia (4.44):

∑∞
=⋅ =∆
12
hh s Crez IR P [W]. (4.44)

Principalul efect al tensiunii nesinusoidale asupra condensatoarelor îl constituie majorarea
pierderilor de putere în dielectric. Pierderile sup limentare se pot determina astfel:

∑∞
=∆ ⋅⋅⋅= ∆
12
,
hh h h Cdiel U tg C P δω [W]. (4.45)

Aceasta relaŃie se poate scrie:
∑∞
=∆ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ∆
12
1 ,2
hh h Cdiel U tgh Cf P δ π [W]. (4.46)

Valoarea pierderilor în dielectricul condensatoare lor este dependentă de conexiunea
bateriei de condensatoare: Y sau ∆.
Pentru conexiunea Y a bateriei de condensatoare, p ierderile în dielectric totale rezultă prin
amplificarea cu trei a relaŃiei (4.46).



⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅= ∆ ∑∞
=12
, 23
hh h Y Cdiel U tgh Cf P δ π [W] (4.47)

VariaŃia unghiului de pierderi hδpentru armonica de ordin h se determină în funcŃie de
unghiul de pierdere pentru frecvenŃa fundamentală, rezistenŃa echivalentă Rs și capacitatea
condensatorului, după cum urmează:

C R tg tgs h ⋅⋅+= ω δδ0 (4.48)

Reprezentarea grafică a unghiului de pierderi pentr u un condensator cu capacitatea de 1000
pF , rezistenŃa Ω =018. 0sR și 6
0 106 . 5−⋅=δtg se prezintă în figura 4.22.

151

Figura 4.22. VariaŃia htgδ cu frecvenŃa

Pierderile suplimentare în dielectric, care conduc la încălzirea suplimentară a bateriei de
condensatoare sau chiar la defectarea acesteia, se pot exprima, în funcŃie de schema de conexiuni,
după cum urmează:

• Pentru conexiunea Y:
∑∞
=⋅


⋅ +




−⋅


= ∆
22
1 12
1
,
hh
nh
nY n
nnY Y Cdiel tgUUh Q tg tgUUQ P δ δδ [W], (4.49)

• Pentru conexiunea ∆:

( )∑∞
=±±
∆ ∆ ∆ ⋅


± +




−⋅


= ∆
2162
16
1 12
1
, 1 6
hh
nh
n n
nn Cdiel tgUUh Q tg tgUUQ P δ δδ [W]. (4.50)

Pierderile totale în condensator se vor determina c a fiind suma dintre pierderile rezistive și
pierderile în dielectric (dependente de conexiunea bateriei de condensatoare). Acestea se exprimă
cu relaŃia (4.51):
Cdiel Crez Ctotal P P P ∆+∆= ∆ [W]. (4.51)

Dacă raportăm valoarea pierderilor totale la valoar ea pierderilor calculate în cazul unui
regim de referinŃă ( CP∆), se obŃine creșterea relativă a pierderile de put ere, dată de relaŃia (4.52):
1001 100 ⋅


−∆∆=⋅∆∆− ∆=∆
Ctotal
CC Ctotal
PPP
PP Pε [%]. (4.52)

152 4.6.2. InfluenŃa bateriilor de condensatoare asupra pierderilor de putere în reŃele
electrice în regim nesinusoidal simetric

Reducerea factorului de putere în reŃelele electric e este determinată de puterile reactive și
deformante consumate de diferitele receptoare și ch iar de unele elemente ale reŃelelor.
În ecuaŃiile (4.1) și (4.2) se presupune că recept oarele au o tensiune liniară și un curent
liniar, iar distorsiunile armonice nu sunt semnific ative. Tensiunile armonice și distorsiunile
curentului vor modifica expresia puterii aparente t otale și a factorului total de putere [Simpson,
2005]. Se consideră o tensiune u(t) și curentul i(t) exprimate cu relaŃiile (4.53) și (4.54):

( ) ( ) ∑∞
=+⋅⋅⋅⋅ +=
11 0 sin 2
hu
h h t h U Utu ϕω , (4.53)
( ) ( ) ∑∞
=+⋅⋅⋅⋅ +=
11 0 sin 2
hi
h h t h I It i ϕω . (4.54)

Puterea activă și reactivă sunt se calculează cu ( 4.55) respectiv (4.56):

( ) ∑∞
=− ⋅ +⋅=
10 0 cos
hi
hu
h h h total IU IU P ϕϕ [W], (4.55)
( ) ∑∞
=− ⋅ =
1sin
hi
hu
h h h total IU Q ϕϕ [VAr], (4.56)
iar puterea aparentă:


⋅

= ∑∑∞
=∞
= 02
02
hh
hh total U I S [VA]. (4.57)

Puterea deformantă D rezultă din produsele dintre armonicile de ordine diferite ale
tensiunii și ale curentului, care deformează curbel e tensiunii și curentului în raport cu forma
sinusoidală; aceasta se calculează cu relaŃia (4.58 ):

2 2 2
total total total Q P S D −− = , (4.58)
sau

( ) ( ) ∑ − ⋅⋅⋅⋅⋅−⋅+⋅ =n m m n n m m n n m IUI U I UI U D ϕϕcos 22 2 2 2. (4.59)

Se observă că în regim deformant factorul de puter e nu este egal cu 1 chiar dacă Q=0
(figura 4.23).
Conform (4.58), factorul total de putere este mai m ic decât factorul de putere pe
fundamentală în prezenŃa distorsiunilor armonice. A cestea transformă o parte din energia reactivă
în energie pe frecvenŃe mai mari, care nu mai este utilă și provoacă pierderi suplimentare și
supraîncălziri. Astfel distorsiunile armonice reduc factorul de putere. În prezenŃa armonicilor,
factorul total de putere este definit prin relaŃia:

153
totaltotal
DSP=Θ=cosλ . (4.60)

unde P și S sunt definite cu relaŃiile (4.55) și (4.57). Cum c ondensatoarele furnizează putere
reactivă pe frecvenŃa fundamentală, acestea nu pot corecta factorul de putere în prezenŃa
armonicilor. Se observă diminuarea factorului de p utere în regim deformant faŃă de regimul
sinusoidal în funcŃie de cuantumul puterii deforman te.

Figura 4.23. Tetraedrul puterilor

În aceste condiŃii reducerea pierderilor de putere în linia electrică în amonte de locul
amplasării bateriei de condensatoare se va determin a după cum urmează:







−⋅=∆2
1 ,1 100
Di
PLλλε [%]. (4.61)

unde: 1 ,iλ î factorul de putere iniŃial la frecvenŃa fundamen tală (în funcŃie de acest factor sîa ales
bateria de condensatoare astfel încât factorul de p utere după compensare să fie neutral);
Dλ î factorul total de putere, calculat cu relaŃia ( 4.60).

O valoare a puterii și o amplasare necorespunzătoa re poate reduce factorul de putere,
generând rezonanŃe armonice care vor crește conŃinu tul armonic al tensiunilor și curenŃilor.

4.6.3. RezonanŃa în sisteme electroenergetice

În general, sursele de energie electrică care alime ntează circuitele electrice furnizează
acestora atât putere activă, necesară diverselor ut ilizări, cât și putere reactivă, corespunzătoare
variaŃiei energiei înmagazinate în câmpurile electr ice și magnetice ale reŃelei

154 Astfel, prezenŃa simultană a elementelor cu caracte r inductiv și capacitiv în SEE, face
posibilă amplificarea distorsiunilor armonice. Capa citatea bateriei de condensatoare și inductanŃa
echivalentă a sistemului formează circuite rezonant e având una sau mai multe frecvenŃe proprii
[Xu, 2002]. Dacă una din aceste frecvenŃe coincide cu frecvenŃa unei armonici existente în
sistemul energetic, apar fenomene de amplificare a armonicii respective. Fenomenul de rezonanŃă
este de două feluri: paralel sau serie.

4.6.3.1. RezonanŃa paralel

Toate circuitele conŃin atât baterii de condensato are cât și sarcini inductive și funcŃionează
la una sau mai multe frecvenŃe. Când una din aceste frecvenŃe este aceeași cu o frecvenŃă produsă
în reŃeaua electrică, poate apărea fenomenul de rez onanŃă, astfel că tensiunea și curentul la
frecvenŃa respectivă vor avea valori foarte mari. A ceasta este principala sursă care stă la baza
majorităŃii problemelor datorate distorsiunii armon ice în reŃelele electrice.
Din perspectiva surselor armonice, condensatoarele apar în paralel cu inductivitatea
echivalentă a sistemului (inductivităŃile sursei și a transformatorului) la frecvenŃe armonice după
cum se vede în figura 4.24.

a. b.
Figura 4.24 RezonanŃa paralel: a. Schema de princip iu simplificată;
b. Schema electrică echivalentă

RezonanŃa paralel apare atunci când reactanŃa capac itivă și reactanŃa reŃelei de distribuŃie
se anulează una pe alta. FrecvenŃa la care apare ac est fenomen se numește frecvenŃă de rezonanŃă
paralel. Se poate exprima astfel:

CL LR
CLf
eq eqst
eqp⋅⋅⋅≈
⋅−⋅⋅⋅=1
21
41
21
22
π π. (4.62)
unde:
Rst – rezistenŃa totală a sursei și a transformatorulu i;
eqL î inductivitatea totală a sursei și a transformato rului;

La frecvenŃa de rezonanŃă, impedanŃa combinaŃiei î n paralel a inductivităŃii echivalente și
a capacităŃii văzute din partea sursei de curenŃi a rmonici va crește foarte mult, după cum se vede:

( )( )
C cal Le calC Le Le C
Le CLe C
p X q X qRX
RX
RR XX
R X XR XXZ ⋅=⋅==≈+=+++=2 2
. (4.63)

unde:
R XR X qC Le cal / /= = și LeX R<< . (4.64)

155 Trebuie luat în considerare că reactanŃele din ecu aŃiile de mai sus sunt calculate la
frecvenŃa de rezonantă.
calq este cunoscut ca fiind factorul de calitate al unu i circuit rezonant care determină
forma răspunsului în frecvenŃă. calq variază în funcŃie de locul în reŃeaua electrică. Valoarea
acestui factor poate fi mai mică de 5 la bara de di stribuŃie sau mai mare de 30 în secundarul unui
transformator coborâtor de putere mare [Dugan, 2002 ]. Din ecuaŃia (4.63) se poate observa că în
cazul rezonanŃei paralel, un curent armonic de valo are mică poate crea o cădere de tensiune mare
pe impedanŃa aparentă.
Factorul de amplificare, definit ca raportul, la f recvenŃa de rezonanŃă, dintre impedanŃa
sistemului cu și fără bateria de condensatoare se p oate determina cu relaŃia (4.65):
PSQksc c
a⋅= . (4.65)

unde: Pî puterea activă a sarcinii liniare.

Din ecuaŃia de mai sus se poate observa că valoare a curentului care va trece prin bateria
de condensatoare și reŃeaua electrică va crește de ak ori. Acest fenomen duce la defectarea
baterie de condensatoare și la pierderi suplimentar e în transformator.
Creșterea tensiunii și a curentului este determina tă de puterea bateriei de condensatoare.
În figura 4.25 se prezintă efectul variaŃiei puteri i bateriei cu impedanŃa transformatorului văzută
de la sursa de poluare armonică și comparată cu sit uaŃia când nu există baterie de condensatoare
[Chindriș, 2003].

Figura 4.25. ImpedanŃa armonică: 1î reactanŃa siste mului în absenŃa
bateriei de condensatoare; T bcS Q/: 2î10%; 3î 30 %; 4î50%.

Determinarea impedanŃei armonice reprezintă un sco p primordial al studiilor de poluare
armonică a sistemelor electroenergetice. ImpedanŃa armonică a unei reŃele este componenta de
secvenŃă pozitivă a reŃelei electrice de alimentare în funcŃie de frecvenŃă, văzută în punctul
comun de cuplare [Buta, 2000:1]. Cunoscând impedanŃ a echivalentă armonică a sistemului,
valoarea efectivă a armonicilor de tensiune la bara de joasă tensiune a transformatorului se
calculează cu:

h ech h I Z U ⋅ = . (4.66)

156
unde : echZ î modulul impedanŃei echivalente a sistemului pe a rmonica considerată.

Valorile efective ale curenŃilor armonici absorbiŃ i de bateria de condensatoare se
calculează cu relaŃia (4.67):
h ch UC h I ⋅⋅⋅=0ω . (4.67)

De cele mai multe ori valorile lui L și C nu sunt cunoscute, astfel că se preferă să se
folosească alte forme ale relaŃiilor de determinare ale frecvenŃei de rezonanŃă [Robert, 1996].
Astfel, frecvenŃa de rezonanŃă se determină pe baza impedanŃelor și a puterilor nominale la
frecvenŃa nominală, după cum urmează:

( )% var][100] [
var][] [
sc cx
cSC
SCC
ru kQkVAS
MQMVAS
XXh××≈ = = . (4.68)
unde:
rh î rangul armonicii la care apare rezonanŃa armonic ă;
CX î reactanŃa condensatorului;
SCX î reactanŃa de scurtcircuit a sistemului;
SCS î puterea aparentă de scurtcircuit a sistemului;
cQ î puterea nominală a bateriei de condensatoare;
scu î tensiunea de scurtcircuit a transformatorului.

În cazul în care impedanŃa transformatorului este dominantă, rangul armonicii frecvenŃei
de rezonanŃă armonice pentru transformatoarele MT/J T întâlnite în practică se prezintă în figurile
de mai jos. Puterea bateriei de condensatoare varia ză între 50 și 1000 kVAr.

• Pentru transformatoare în ulei:

a. b.

157

c.
Figura 4.26. Rangul armonicii frecvenŃei de rezonan Ńă pentru transformatoare
cu ulei : a. 6/0.4 kV; b. 10/0.4 kV; c. 20/0.4 kV

• Pentru transformatoare uscate

a. b.
Figura 4.27. Rangul armonicii frecvenŃei de rezonan Ńă
pentru transformatoare uscate: a. 10/0.4 kV; b. 20/ 0.4 kV

Rangul armonicii frecvenŃei de rezonanŃă, atunci câ nd reactanŃa liniei electrice nu se
neglijează, se prezintă în figura 4.29 pentru difer ite puteri ale bateriei de condensatoare (100î
1000 kVAr). Lungimea liniei electrice variază între 0.1 și 5 km. Transformatorul (6/0,4 kV) are
puterea de 1600 kVA iar reactanŃa liniei electrice este de 0.304 km/Ω .

158

Figura 4.28. Schema electrică echivalentă

Figura 4.29. Rangul armonicii frecvenŃei de rezonan Ńă
în funcŃie de lungimea liniei electrice

4.6.3.2. RezonanŃa serie

Fenomenele de rezonanŃă serie se manifestă în siste me caracterizate prin existenŃa
tensiunilor de alimentare nesinusoidale. Deși apare relativ frecvent în reŃelele industriale,
rezonanŃa serie este mai puŃin analizată de special iști; aceasta se datorează probabil faptului că
amplificarea distorsiunii armonice este mai puŃin s everă, iar efectele negative se manifestă local,
adică la nivelul echipamentelor implicate [Chindriș , 2003], [Wright, 1996].
În figura 4.30 se prezintă situaŃia unui consumator industrial (fără sarcini neliniare)
racordat la un sistem de alimentare a cărui tensiun e nu este pur sinusoidală.

a. b.
Figura 4.30. RezonanŃa serie în sistemele electroen ergetice:
a. schema de principiu monofilară; b. schema electr ică echivalentă

În schema electrică echivalentă apar (sîa neglijat reactanŃa sistemului):
• RezistenŃa echivalentă a sarcinilor pur rezistive

159 PURLs2
= , (4.69)

• Inductivitatea echivalentă a transformatorului de r acord la sistem

Tsc t
tSu U XL⋅⋅==ωω2
, (4.70)

• Capacitatea echivalentă a bateriei de condensatoare pentru compensarea centralizată a
factorului de putere
21
UQ
XCc
c⋅=⋅=ω ω, (4.71)

• Inductivitatea echivalentă a motoarelor electrice

Mm
mS mU XL⋅⋅≈=ω ω2
. (4.72)

În relaŃiile de mai sus sîau utilizat notaŃiile:
î P – puterea activă totală a sarcinilor rezistive;
î ST – puterea nominală a transformatorului;
î usc – tensiunea de scurtcircuit a transformatorului;
î Qc – puterea bateriei de condensatoare;
î SM – puterea totală a motoarelor electrice;
î U – tensiunea de linie în primar;
î m – 4…7 (coeficient dependent de tipul motoarelor electrice existente).

Dacă se neglijează rezistenŃa RLs, impedanŃa armonică echivalentă a consumatorului e ste:

hXXhX XXh Z
c
Mc M
t h
−⋅⋅+⋅= . (4.73)

FuncŃia ()hf Zh= prezintă două extreme. Pentru

Mc
pXXh= . (4.74)

apare o rezonanŃă de tip paralel între LM și C, iar Zn devine foarte mare. Dacă însă:

( )




⋅−⋅ ≈⋅−⋅=
M scT
cM
M tM t c
sSuSmQS
XXX X Xh . (4.75)

160 atunci impedanŃa armonică pe frecvenŃa respectivă d evine neglijabilă, fenomen caracteristic unei
rezonanŃe serie. Aceasta presupune că dacă tensiune a sistemului conŃine armonici de rang shh≈,
prin transformator va circula un curent armonic de valoare ridicată, curent care se divide între
bateria de condensatoare și motoarele electrice.
Rezultă deci că în condiŃiile apariŃiei rezonanŃei serie, armonici de valoare redusă
existente în tensiunea de alimentare pot determina curenŃi de valoare ridicată atât în
transformatoarele de racord cât și în bateriile de condensatoare sau alte sarcini inductive existente
la consumatorii industriali. Ca urmare, apar supraî ncălziri ale elementelor implicate și reducerea
duratei lor de funcŃionare; ca efecte secundare au fost semnalate perturbarea funcŃionării corecte a
echipamentelor electronice de comandă și control, a sistemelor de telecomunicaŃii și a
perifericelor sistemelor de calcul.

4.6.4. Valori limită ale distorsiunilor armonice

Sarcinile neliniare sunt utilizate pe o scară din ce în ce mai largă în sistemele de
distribuŃie a energie electrice. Aceste sarcini au caracteristici neliniare și vor produce armonici ce
pot duce la distorsiuni ale undelor, probleme de re zonanŃă și amplificarea tensiunilor și curenŃilor
armonici la nivelul bateriei de condensatoare. Astf el, pentru instalarea bateriilor de condensatoare
ar trebui realizată o analiză din punct de vedere a l calităŃii energiei electrice. Câteva tehnici au
fost propuse în acest sens. Cea mai mare parte a sp ecialiștilor propun deconectarea bateriei de
condensatoare atunci când curenŃii armonici au valo ri mari. Alte tehnici implică folosirea
filtrelor. Aceste abordări folosesc factorul de dis torsiune armonic al tensiunii și curentului pentru
a măsura nivelul de poluare armonică; de aceea sunt necesare câteva limitări în ceea ce privește
tensiunea, curentul și puterea reactivă.
Puterea reactivă a bateriei de condensatoare este dată de capacitatea bateriei C, valoarea
tensiunii la borne U și frecvenŃa f. Dacă tensiunea la borne este diferită de cea nomi nală, adică
condensatorul introduce armonici de curent și tensi une, atunci câteva limitări pentru tensiune,
curent și putere reactivă trebuie satisfăcute, după cum se propune și în standarde.

• Valori limită pentru tensiuni distorsionate armonic

Se presupune existenŃa unor tensiuni armonice la b ornele bateriei de condensatoare. În
relaŃiile de mai jos h reprezintă ordinul armonicii pentru tensiune, cure nt și putere reactivă.
Atunci:
∑∞
=+=
22 2
12
hh ef U U U , (4.76)
sau
∑∞
=+ =
22 2
1
hh ef U U U . (4.77)

Normalizând la tensiunea nominală :

161 15. 1 10. 1222 2
1
sau
UU U
UU
Nhh
Nef≤+
=∑∞
=. (4.78)

Valoarea de 1.15 pentru tensiune este acceptată dac ă perioada de funcŃionare a sarcinii neliniare
este limitată la 6 ore pe zi din 24 de ore și la o temperatură maximă de 35 grade C [Dugan, 2002].

Dacă NC NU U U ==1 și bazânduîse pe limita inferioară se obŃine:
( ) ∑∞
==− =



22
22
21. 0 1 1 . 1
h efh
UU, (4.79)
sau
∑∞
==
2458. 0
h efh
UU. (4.80)
ce este independent de ordinul armonicii h.

• Valori limită pentru curenŃi distorsionaŃi armonic

Se presupune existenŃa curenŃilor armonici la termi nalele bateriei de condensatoare.Pentru
componentele nesinusoidale ale curentului se obŃine :

()( )( )… 3 22
3 12
2 12
1 12+ + + = CU CU CU Ief ω ω ω , (4.81)
sau
( )… 9 42
32
22
12 2
12+++ = U U UC Iefω . (4.82)

Tensiunea la frecvenŃa fundamentală se obŃine cu a jutorul relaŃiei (4.83).
…2
32
22 2
1 −−−= U U U Uef . (4.83)

Înlocuind (4.83) în (4.82) se obŃine:
( ) 

− + = ∑∞
=22 2 2 2 2
121
hh ef ef U h UC Iω , (4.84)
sau
( )








− + = ∑∞
=22
2 2 2 2
121 1
h efh
ef efUUh UC Iω . (4.85)

Cum N N N UC I ⋅⋅=ω ( N N f⋅⋅=π ω 2 ) atunci:

( ) 8 . 1 5 . 1 1 1
22
2 1sau
UUhUU
ff
II
h efh
Nef
N Nef≤



− + ⋅= ∑∞
=. (4.86)

162
Valoarea de 1.8 a raportului curentului armonic la curentul nominal este permisă doar
dacă bateria de condensatoare permite acest lucru [ Dugan, 2002].
Pentru Nf f=1 și N efU U= , bazânduîse pe limita inferioară din ecuaŃia de ma i sus, se
obŃine:
( ) ( )∑∞
=



− =−
22
2 21 1 5 . 1
h efh
UUh , (4.87)
sau
∑∞
= −=



22125. 1
h efh
h UU. (4.88)

• Valori limită pentru puterea reactivă

În prezenŃa tensiunilor și curenŃilor armonici, pu terea reactivă conŃine armonici:
( )[ ]
( )
( ) . 1,… 2,… 3 2 ……, 3 2…,
22 2
12
32
22
12
32
22
32
22
12
3 12
2 12
1 13 2 1


− + =+++ =+++−−− =+ + + =+++=
∑∞
=hh efefefef
U h UCU U UCU U U U UCCU CU CUQ Q Q Q
ωωωω ω ω
(4.89)

Cum 2
N N N UC Q ⋅⋅=ω se obŃine:
( ) 45. 1 35. 1 1 1
22
22
1sau
UUh
UU
ff
QQ
h efh
Nef
N Nef≤



− + ⋅= ∑∞
=. (4.90)

Valoarea de 1.45 pentru putere reactivă este accept ată dacă perioada de funcŃionare a sarcinii
neliniare este limitată la 6 ore pe zi din 24 de or e și la o temperatură maximă de 35 grade C
[Dugan, 2002].
Pentru Nf f=1 și N efU U= , bazânduîse pe limita inferioară din ecuaŃia de ma i sus, se
obŃine:
∑∞
= −=



2 135. 0
h efh
h UU (4.91)

Armonicile de ordin trei pot apărea în sistemele t rifazate având valori însemnate și pot fi
armonici dominante în sisteme monofazate.

163 Reprezentând grafic ecuaŃiile (4.80, 4.88 și 4.91) prezentate anterior, regiunea unde un
condensator poate funcŃiona în condiŃii de siguranŃ ă, pentru o singură armonică în același timp,
este prezentată în figura 4.31.

Figura 4.31 Domeniul de siguranŃă pentru condensato are întrîun
mediu poluat armonic (valabil pentru o singură armo nică în același timp )

4.7. Concluzii

Folosirea bateriilor de condensatoare în reŃelele de distribuŃie a energie electrice a fost
acceptată ca fiind un pas necesar încă din etapa de proiectare a acestora. .
Utilizarea bateriilor de condensatoare în reŃelele electrice prezintă o serie de avantaje cum
ar fi reducerea pierderilor în liniile electrice, c reșterea capacităŃilor de transport în linii,
compensarea căderilor de tensiune precum și evitare a investiŃiilor suplimentare în unităŃi de
producere a energiei electrice.
Condensatoarele, dacă sunt utilizate și controlate corect, pot îmbunătăŃi semnificativ
performanŃa reŃelelor de distribuŃie. Dacă acestea nu sunt exploatate corect, puterea reactivă
produsă de bateria de condensatoare poate duce la p ierderi suplimentare și supratensiuni.
Amplasarea bateriei de condensatoare nu trebuie să fie exact în punctul optim în ceea ce
privește reducerea pierderilor. Atâta timp cât pute rea și locaŃia bateriei de condensatoare este cât
mai apropiată de sarcină, reducerea pierderile pe r eŃeaua electrică va fi aproximativ aceeași ca și
în cazul când bateria ar fi plasată în punctul opti m.
Nesimetria tensiunilor determină reducerea puterii reactive furnizată de bateriile de
condensatoare. Puterea debitată de baterie pe fieca re fază depinde de pătratul tensiunii aplicate. În
aceste condiŃii, bateria de condensatoare racordată la o reŃea cu tensiune nesimetrică va contribui
la amplificarea nesimetriei deoarece pe faza cea ma i încărcată va fi debitată cea mai mică putere
reactivă. Astfel, reducerea pierderilor în liniile electrice va fi mai mică odată cu creșterea
gradului de nesimetrie al reŃelei.
În reŃelele electrice poluate armonic, bateriile d e condensatoare sunt supuse unor solicitări
suplimentare cum ar fi: supraîncălziri datorate pie rderilor dielectrice, supraîncărcări de durată ca
urmare a amplificării nivelului de tensiune și pot produce fenomene de rezonanŃă.

164 Pierderile în condensatoarele electrice se determi nă în funcŃie de capacitatea
condensatorului, tensiune, tangenta unghiului de pi erderi și frecvenŃă. În cazul regimului armonic
acestea vor crește provocând suprasolicitarea și c hiar defectarea bateriei de condensatoare.
Utilizarea bateriilor de condensatoare în instalaŃ iile de joasă tensiune ale consumatorilor
industriali poate determina apariŃia unor fenomene de rezonanŃă paralel între bateria de
condensatoare de capacitate C și impedanŃa sistemul ui văzută din punctul de recordare.
În condiŃiile apariŃiei rezonanŃei serie, armonici de valoare redusă existente în tensiunea
de alimentare pot determina curenŃi de valoare ridi cată atât în transformatoarele de racord cât și
în bateriile de condensatoare sau alte sarcini indu ctive existente la consumatorii industriali. Ca
urmare, apar supraîncălziri ale elementelor implica te și reducerea duratei lor de funcŃionare; ca
efect secundar a fost semnalată perturbarea funcŃio nării corecte a echipamentelor electronice de
comandă și control, a sistemelor de telecomunicaŃii și a perifericelor sistemelor de calcul

165 5. Concluzii generale și contribuŃii personale

InfluenŃa energiei asupra societăŃii umane este vas tă și variată, de ea depinzând bunăstarea
omenirii. Progresul social și îmbunătăŃirea condiŃi ilor de viaŃă au fost condiŃionate de creșterea
consumului de energie. În ultimele decenii, impleme ntarea conceptului de dezvoltare durabilă
presupune obŃinerea acestor deziderate prin reducer ea consumului energetic în scopul diminuării
impactului negativ asupra mediului ambiant și preze rvării șanselor de dezvoltare a urmașilor
noștri.
Sistemele electroenergetice sunt supuse astăzi unor provocări ca urmare a progreselor
tehnologice. Creșterea numărului de consumatori dez echilibraŃi și neliniari precum și utilizarea
echipamentelor electronice au determinat reducerea calităŃii energiei în reŃele electrice.
MenŃinerea în permanenŃă a nivelului admis al calit ăŃii energiei electrice întrîun nod energetic
necesită o adaptare continuă a reŃelelor de aliment are la sarcinile electrice racordate.
ReŃelele de distribuŃie alimentează în prezent un n umăr crescând de consumatori neliniari
și dezechilibraŃi. Consumatorii casnici și industri ali care conŃin componente și tehnologii
electronice moderne, respectiv sursele moderne de i luminat artificial care își bazează
funcŃionarea pe o descărcare electrică în arc repre zintă principalele surse deformante.
Receptoarele dezechilibrate, fie că este vorba desp re echipamente monofazate, bifazate sau
trifazate, apar de asemenea întrîun număr crescând în structura reŃelelor moderne.
Analiza fenomenelor în reŃeaua electrică necesită c unoașterea formei reale a curbei
curentului electric. Nesimetria curenŃilor are ca p rincipal efect producerea de pierderi
suplimentare în reŃelele electrice, cu consecinŃe n egative în ceea ce privește randamentul
transferului de energie.
Se poate afirma că în reŃelele de distribuŃie actua le există două tipuri principale de
perturbaŃii electromagnetice și anume armonicile de curent injectate de receptoarele neliniare,
respectiv nesimetria sistemului de curenŃi produsă de receptoarele dezechilibrate.
Regimul nesimetric și nesinusoidal este regimul rea l de funcŃionare existent în sistemul
electroenergetic naŃional. Acesta se caracterizează prin forme de undă nesinusoidale atât pentru
tensiuni cât și pentru curenŃi, precum și nesimetri i ale tensiunilor și curenŃilor.
Efectele noncalităŃii energiei electrice pot conduc e la consecinŃe defavorabile asupra
funcŃionării echipamentelor reŃelei și a sistemului electroenergetic, una dintre consecinŃe fiind
creșterea pierderilor de putere astfel reducânduîse eficienŃa energetică a sistemului.
Luarea în considerare a existenŃei armonicilor și n esimetriilor de curent și tensiune este
importantă datorită creșterii pierderilor de putere și energie și apariŃiei curentului în conductorul
de nul.
Lucrarea are ca și scop studiul impactului regimulu i deformant și nesimetric asupra
pierderilor de putere în elementele componente ale sistemului electroenergetice (linii electrice,
transformatoare și baterii de condensatoare). Aceas tă preocupare este pe deplin justificată și de
certă actualitate, din următoarele considerente:
• Echipamentele care fac obiectul studiului sunt esen Ńiale din punct de vedere al siguranŃei
în funcŃionare a sistemului electroenergetic și al disponibilităŃii energiei electrice la
consumatori;
• Regimul deformant și nesimetric afectează în mod de osebit aceste echipamente,
provocând o funcŃionare necorespunzătoare sau chiar defectarea lor;
• Regimul deformant determină pierderi suplimentare î n conductoarele de fază datorită
efectului pelicular, care începe să aibă importanŃă o dată cu creșterea rangului armonicii;

166 • Regimul deformant și nesimetric provoacă supraîncăr carea conductorului de nul
provocând pierderi suplimentare în reŃeaua electri că;
• Transformatorul electric de putere și bateriile de condensatoare pot afecta, în anumite
condiŃii, la rândul lor performanŃele de calitate ale energiei electrice li vrată
consumatorilor liniari și echilibraŃi;
• Noncalitatea energiei electrice afectează performanŃ ele economice ale echipamentelor
electrice și ale ansamblului sistemului electroener getic.
Prezenta lucrare începe printrîo introducere în pro blematica perturbaŃiilor
electromagnetice care influenŃează pierderile: nesi metriile și distorisunile armonice. Sunt trecute
în revistă definiŃiile, clasificarea, efectele pert urbaŃiilor precum și metodele de analiză existente.
Pentru analiza distorsiunilor armonice este prezent ată transformata Fourier în forma clasică. În
ceea ce privește analiza nesimetriilor se utilizeaz ă metoda componentelor simetrice.
Determinarea modelelor de analiză a liniilor electr ice (în funcŃie de nivelul de tensiune și
tipul acestora) este necesară în vederea calculului exact al pierderilor de putere. VariaŃia
pierderilor este prezentată în funcŃie de indicator ii ce caracterizează regimul nesimetric și
nesinusoidal. De remarcat că, în regim real, curent ul prin conductorul de nul poate avea o valoare
importantă, ducând la pierderi suplimentare sau chi ar deteriorarea liniei electrice. Pierderile
suplimentare de putere în regimul real de funcŃiona re, faŃă de regimul de referinŃă, implică o
reducere a disponibilităŃii de putere și de energie a echipamentelor alimentate prin linii electrice.
Metodele de măsurare și de calcul, cerute de standa rde, determină cu exactitate pierderile
unui transformator în cazul în care acesta alimente ază consumatori liniari și echilibraŃi. Din
păcate, sisteme de distribuŃie moderne, alimentează un procent din ce în ce mai ridicat de sarcini
neliniare și nesimetrice. În cazul funcŃionării în regim nesimetric a transformatoarelor trifazate,
apar pierderi suplimentare atât datorită nesimetrie i tensiunilor cât și datorită nesimetriei
curenŃilor. CurenŃii de secvenŃă zero depind de con exiunea înfășurării și provoacă un flux de
secvenŃă zero care va conduce la creșterea pierderi lor. Când transformatoarele funcŃionează întrî
un regim nesinusoidal, atât pierderile de mers în g ol cât și pierderile de mers în sarcină sunt
influenŃate de gradul de poluare armonică al reŃele i electrice. Pierderile prin curenŃi turbionari
ridică cele mai mari probleme în prezenŃa armonicil or, deoarece cresc aproximativ cu pătratul
frecvenŃei.
Nesimetria tensiunilor determină reducerea puterii r eactive furnizată de bateriile de
condensatoare. Puterea debitată de baterie pe fieca re fază depinde de pătratul tensiunii aplicate. În
aceste condiŃii, bateria de condensatoare racordată la o reŃea de tensiune nesimetrică va contribui
la amplificarea nesimetriei deoarece pe faza cea ma i încărcată va fi debitată cea mai mică putere
reactivă. Atunci când bateriile de condensatoare su nt amplasate în reŃele poluate armonic,
pierderile acestora vor crește odată cu amplificare a nivelului de poluare. De asemenea vor apărea
fenomene de rezonanŃă având ca efect amplificarea a rmonicilor existente în sistem.
Principalele contribuŃii ale autorului sunt:
• Determinarea parametrilor liniilor electrice și tra nsformatoarelor electrice cu luarea în
considerare a variaŃiei acestora în funcŃie de cons trucŃia și regimul de funcŃionare a reŃelei;
• Utilizarea logicii fuzzy în determinarea variaŃiei rezistenŃei electrice a LEA torsadată;
• Propunerea unor modele ale liniilor electrice de jo asă tensiune și medie tensiune în vederea
determinării cât mai exactă a pierderilor de putere ;
• Elaborarea unor metode de determinare a pierderilor de putere în liniile electrice care
funcŃionează în regim nesimetric, nesinusoidal și n esimetric nesinusoidal;

167 • Elaborarea unor metode de calcul a pierderilor de p utere activă în transformatoarele
electrice atunci când acestea funcŃionează în regim nesimetric și sunt integrate în sisteme
electrice fără conductor de nul, respectiv cu condu ctor de nul;
• Analiza comparativă a variaŃiei pierderilor de mers în gol în funcŃie de frecvenŃă pentru
miezuri din oŃel, respectiv metal amorf;
• Determinarea pierderilor în transformator în regim deformant cu luarea în considerare a
influenŃei tipurilor constructive ale miezului și î nfășurărilor;
• Determinarea costului ciclului de viaŃă a transform atoarelor cu luarea în considerare a
creșterii pierderilor datorită noncalităŃii energie i electrice;
• Dezvoltarea unor algoritmi de analiză și calcul a p ierderilor suplimentare în linii și
transformatoare electrice în mediul MathCAD;
• EvidenŃierea efectelor utilizării bateriilor de con densatoare prin prezentarea unor
nomograme pentru determinarea rapidă a reducerii pi erderilor în LE, reducerii curentului în
LE și puterii debitate de bateria de condensatoare;
• InfluenŃa conectării bateriei de condensatoare într îo reŃea electrică dezechilibrată asupra
nesimetriei (creșterea coeficienŃilor de nesimetrie negativă și zero în cazul reŃelelor cu 4
conductoare, respectiv creșterea coeficientului de nesimetrie negativă în cazul reŃelelor cu 3
conductoare);
• InfluenŃa conectării bateriei de condensatoare într îo reŃea electrică dezechilibrată asupra
reducerii pierderilor de putere în amonte de locul amplasării bateriei;
• Determinarea pierderilor în bateriile de condensato are în regim poluat armonic și variaŃia
acestora cu frecvenŃa;
• Stabilirea domeniului de siguranŃă în funcŃionare a bateriilor de condensatoare cu privire la
influenŃa distorsiunilor armonice asupra acestora;
• EvidenŃierea creșterii pierderilor relative de pute re în funcŃie de indicatorii de calitate ai
regimului nesimetric și deformant;
• Implementarea unor programe software în Visual C Sh arp pentru determinarea influenŃei
reducerii calităŃii energiei electrice asupra pierd erilor de putere în linii și transformatoare.

În urma celor prezentate, propun următoarele direcŃ ii de continuare a cercetării:
• Determinarea pierderilor în linii electrice de înal tă tensiune și variaŃia acestora în funcŃie de
reducerea calităŃii energiei electrice;
• Realizarea unui studiu detaliat privind influenŃa d iferiŃilor consumatori existenŃi asupra
creșterii pierderilor în reŃelele electrice;
• Realizarea unui studiu economic în ceea ce privește înlocuirea conductorului de nul (unde
este posibil) cu un conductor de secŃiune cel puŃin egală cu secŃiunea celui de fază.

Rezultatele obŃinute pe parcursul activităŃii de ce rcetare pentru elaborarea tezei au fost
prezentate la conferinŃe naŃionale și internaŃional e, în peste 20 de articole dintre care amintesc:
• G.V., Pop, M., Chindris, C.O., Gecan, Opportunities to Reduce Consumption of Electricity
in Lighting Systems , in proceedings of The 5th International Conferenc e ILUMINAT 2009,
20 February 2009, Cluj–Napoca, Romania, pp.10î1 – 10 î6, ISBN 978î973î713î232î1.
• G.V., Pop, M., Chindriș, R., Bindiu, Determination of power losses in transformers
working in unbalanced and harmonic polluted network s, in proceedings of Conference of

168 Energy Engineering – Clean and Available Energy CIE 2009 , 4î5 June 2009, Oradea,
Romania, pp.113î118, ISSN 1224î1261.
• G.V., Pop, M., Chindris, C.O., Gecan Economical implications regarding the operation of
power transformers in harmonic polluted power syste ms, in proceedings of The 4th edition
of the Interdisciplinary in Engineering Internation al Conference INTERîENG 2009, 12î13
November 2009, Târgu Mures, pp.21î26, ISSN 1843î780X.
• G.V., Pop, M., Chindriș, R., Bindiu, Calculation of power losses in unbalanced and
harmonic polluted electric networks , Annals of the University of Craiova, Electrical
Engineering series, No. 33, 2009; ISSN 1842î4805.
• G.V. Pop, M. Chindriș, C.O. Gecan and R. Bindiu, Power losses evaluation method in
transformers operated in harmonic polluted systems , in proceedings of The 3th edition of
the International Conference on Modern Power System s MPS2010, Acta Electrotehnica,
18î21 May 2010, ClujîNapoca, pp.305î310, ISSN 1841î3 323.
• G.V., Pop, M., Chindriș, R., Bindiu, C.O., Gecan, D ., Gheorghe, R., Vasiliu, Reducing
losses in electrical distribution systems using amo rphous transformers , The 16 th Conference
of Energy Engineering CIE2010, 27î29 May, Oradea, B aile Felix.
• G.V. Pop, C.O., Gecan, R. Bindiu, Efectele dezechilibrului tensiunii de alimentare as upra
funcŃionării motoarelor asincrone trifazate , în Volumul de Lucrări al Simpozionului
InternaŃional de EficienŃă Energetică, EdiŃia a VII îa, 7 î 9 Octombrie 2010, CClluujjîîNNaappooccaa,,
pp.127î132, ISBN 978î973î133î822î4.
• G. V. Pop, M. Chindriș, C.O. Gecan and R. Bindiu Capacitor Infleuence on Power Line
Losses under Balance and Unbalance Conditions The 4th edition of the International
Conference on Modern Power Systems MPS2011, Acta El ectrotehnica, 17î20 May 2011,
ClujîNapoca.

169 Bibliografie

[***, 1978] *** IEEE C57.105î1978, IEEE Guide for Application of Transformer
Connections in Three2Phase Distribution Systems , 1978.
[***, 1988] *** ANSI C57.110, IEEE Recommended Practice for Establishing
Transformer Capability When Supplying Non2sinusoida l Load Currents
1988.
[***,1990] *** IEC 50(161), International Electrotechnical Vocabulary (IEV),
Chapter 161: Electromagnetic compatibility, 1990 .
[***, 1994] *** IEC 287î1î1, Electric cables 2 Calculation of the current rating 2 Part
1: Current rating equations (100 % load factor) and calculation of losses 2
Section 1: General, 1994.
[***,1997] *** IEC 60076î8î1997, Power transformers. Application guide , 1997.
[***, 2001:1] *** SR EN 61000î3î2+A12, Compatibilitate electromagnetică(CEM).
Partea 3: Limite. SecŃiunea 2: Limite pentru emisii le de curent armonic
(curent absorbit de aparat < 16 A pe fază), 2001.
[***, 2001:2] *** SR EN 60076î1+A11:2001, Transformatoare de putere. Metode de
încercare , 2001.
[***, 2002:1] *** IEC 61000î2î2 Electromagnetic compatibility (EMC), Part 2:
Environment. Section 2: Compatibility levels for lo w2frequency conducted
disturbances and signaling în public low2voltage po wer supply systems,
2002.
[***, 2002:2] *** IEEE C57.123™î2002, Guide for Transformer Loss Measurement ,
2002, ISBN: 0î7381î3309î4.
[***, 2004] *** SR EN 50160/2004 Caracteristicile te nsiunii furnizate de reŃelele
publice de distribuŃie.
[***, 2005:1] *** Ghid de aplicare – Calitatea Energiei Electrice, Ar monici – Cauze și
efecte, SIER, Jan Desmet, Hogeschool WestîVlaanderen & Gregory
Delaere, Labo Lemcko, Noiembrie 2005.
[***, 2005:2] *** Ghid de aplicare – Calitatea Energiei Electrice, Ar monici –
Selectarea și dimensionarea transformatoarelor, Jan Desmet, Hogeschool
WestîVlaanderen & Gregory Delaere, Labo Lemcko, Noie mbrie 2005.
[***, 2008:1] *** PE 143/2008. Normativ privind limitarea regimului nesimetric și
deformant în reŃele electrice, 2008 .
[***, 2008:2] *** IEEE C57.110î2008, IEEE Recommended Practice for Establishing
Liquid2Filled and Dry2Type Power and Distribution Tra nsformer
Capability When Supplying Nonsinusoidal Load Curren ts , Institute of
Electrical and Electronics Engineers 15îAugî2008, I SBN:
9780738154152.

170 [***, 2008:3] *** Selecting Energy Efficient Distribution Transformers , A Guide for
Achieving Least2Costs Solutions, Project No. EIE/05/056/SI2.419632,
FIRST Published June 2008.
[***, 2009:1] *** TYIR Conductoare de aluminiu și oŃel aluminiu i zolate cu PVC,
răsucite în fascicul 2Catalog de produse , IPROEB BistriŃa, www.iproeb.ro,
2010.
[***, 2009:2] *** Catalog de produse, CABLEL ICME ECAB, București,
www.cablel.ro, 2009.
[***, 2010] *** Worlds leading producer of amorphous metal ribbon ,
www.metglas.com, 2010.
[Albert, 1997] Albert H., Mihailescu A., Pierderi de putere si energie în reŃelele
electrice: determinare : măsuri de reducere , Editura Tehnică București,
1997
[Anders, 1998] Anders G. J., Rating of Electric Power Cables: Ampacity Computati ons for
Transmission, Distribution, and Industrial Applicati ons , IEEE Press,
McGrawîHill, New York, 1998.
[Arie, 1994] Arie A., Neguș E., Golovanov N., Poluarea cu armonici a sistemelor
electroenergetice funcŃionând în regim permanent si metric , Editura
Academiei Române, 1994.
[Balaurescu, 1981] Balaurescu D., Eremia M., ImbunătăŃirea factorului de putere , Editura
Tehnică, 1981.
[Baggini, 2003] Baggini A., Cable sizing with reference to harmonic currents , 1 st
International LPQI Conference, Bologna, February 20 î21, 2003.
[Barnes, 1966] Barnes C., Power Cables: Their Design and Installation, 2nd ed ., Editura
Chapman and Hall, Ltd., Londra, 1966.
[Bârlădeanu, 1997] Bârlădeanu E., ReŃele electrice industriale , Iași, 1997.
[Biro, 1970] Biro K., Viorel A, Crișan A., Masini electrice. Vol. 1: Transformatorul ,
Editura Institutului Politehnic, ClujîNapoca, 1970.
[Biro, 2009] Biro K., Popa D., Proiectarea transformatoarelor trifazate de putere ,
Editura UT press, ClujîNapoca, 2009, ISBN 978î973î66 2î482î7.
[Blackburn, 2007] Blackburn T. R., Distribution Transformers: Proposal to Increase MEPS
Levels , Technical Report, October 2007.
[Blume, 1951] Blume, L. F., et all, V.M., Transformer Engineering , Editura Wiley, New
York, 1951.
[Brechtken, 2006] Brechtken D., Peiffers S., Effects of Harmonics and Compact Design to the
Rating of Low Voltage Transformers, Power Engineering Society General
Meeting, 2006. IEEE Volume , Issue , 0î0 0 Page(s): 6 pp. î Digital Object
Identifier 10.1109/PES.2006.1709215.

171 [Buta, 2000:1]
Buta A., Milea L., Pană A., ImpedanŃa armonică a reŃelelor sistemelor
electroenergetice, Editura Tehnică, București, 2000
[Buta, 2000:2] Buta A., Pană A., Simetrizarea sarcinii reŃelelor electrice de distri buŃie ,
Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2000.
[Chindriș, 1999] Chindriș M., Sudria i Andreu A., Poluarea armonică a reŃelelor electrice
industriale, Editura Mediamira, ClujîNapoca, 1999.
[Chindriș, 2003] Chindriș M., ș.a. Reducerea poluării armonice a reŃelelor electrice
industriale , Editura Mediamira, ClujîNapoca, 2003.
[Chindriș, 2004] Chindriș M., Cziker A, Utilizarea logicii fuzzy în energetică , Casa CărŃii
de ȘtiinŃă, ClujîNapoca, 2004.
[Chindriș, 2007] Chindriș M., Cziker A., Miron A., Study cases regarding power losses in
power systems with poor power quality, 6th International Conference on
Electromechanical and power systems, 4 – 6 octombri e, 2007, Chișinău.
[Chindriș, 2009] Chindriș M., ș. a., Managementul Energiei Electrice – AplicaŃii , Editura
Casa CărŃii de ȘtiinŃă, ClujîNapoca, 2009, ISBN 978î9 73î133î492î9.
[Clapp, 1997] Clapp, A.L., National Electrical Safety Code Handbook , The Institute of
Electrical and Electronics Engineers, Inc., 1997.
[Comșa, 1973] Comșa D. Utilizări ale energieie electrice , Editura Didactică și
Pedagogică, București, 1973.
[Cziker, 2003] Cziker A., Chindriș M, Compensarea regimului permanent dezechilibrat
la consumator, Editura Mediamira, ClujîNapoca, 2003, ISBN 973î9357î
36î9 .
[Cziker, 2006] Cziker A., Cziker C.A., Exploatarea staŃiilor electrice și a posturilor de
transformare , Editura Casa CărŃii de ȘtiinŃă, ClujîNapoca, 2006, ISBN
973î686î909î1.
[Cziker, 2008] Cziker A., Chindriș M., Miron A., Pierderi de putere în sistemele de
distribuŃie moderne de JT , Forumul Regional al Energiei – FOREN 2008,
Neptun, 15î19 iunie 2008.
[Cziker, 2010] Cziker A., Cziker C.A., Exploatarea liniilor electrice aeriene , Editura
Casa CărŃii de ȘtiinŃă, ClujîNapoca, 2010, ISBN 978î9 73î133î696î1.
[Darie, 2003] Darie S., Vădan I., Producerea, transportul și distribuŃia energiei ele ctrice
– InstalaŃii pentru transportul și distribuŃia ener giei electrice , U.T. Press,
ClujîNapoca, 2003.
[DeCristofaro,1998] DeCristofaro N., Amorphous Metals in Electric2Power Distribution
Applications , Materials Research Society MRS Bulletin, Volume 2 3,
Number 5 (1998 ) , P. 50 – 56.
[Dekker, 1998] Dekker M., Electrical Power Cable Engineering , Editura CRC Press,
1998, ISBN / ASIN: 0824799763.

172 [Desmet, 2001] Desmet J., et all ., Analysis of the neural conductor current in a th ree phase
supplied network with non linear single phase load , IEMDC 2001.
[Desmet, 2005] Desmet J., WestîVlaanderen H., Delae re G., Lemcko L., Selection and
Rating of Transformers, November 2005 (Rev March 2009).
[Driesen, 2008] Driesen J., Van Craenenbroeck T., B rouwers B. Practical Method to
Determine Additional Load Losses due to Harmonic Curr ents in
Transformers with Wire and Foil Winding , 2008
[Dugan, 2002] Dugan R., Mark F. McGranaghan, Electrical Power Systems Quality ,
Editura CRC Press, 2002, ISBN / ASIN: 007138622X.
[Felea, 2002] Felea I,. Dale E., Efecte ale regimului deformant și nesimetric , Editura
UniversităŃii din Oradea, ISBN 973î613î101î7, Oradea , 2002.
[Fernandez, 2005] Fernandez, A.; et. all, Helpful hints to select a powerfactor correction
solution for low2 and medium2power single2phase pow er supplies , IEEE
Transactions on Industrial Electronics, vol. 52, is sue 1, pp. 46î55, Feb.
2005.
[Frank, 1994] Frank J. M., Origin, Development and Design of K2Factor Transform ers ,
in Conference Record, 1994 IEEE Industry Applicatio ns Society Annual
Meeting, Denver, October 1994, pp. 2273–2274.
[Frau, 2007] Frau J., Gutierrez J., Energy efficient distribution transformers in Spain :
New trends , CIRED 19th International Conference on Electricit y
Distribution Vienna, 21î24 May 2007.
[Gheorghe, 2001] Gheorghe Șt., ș.a. Monitorizarea calităŃii energiei electrice , Editura
Macarie, Târgoviște, 2001.
[Glover, 1994] Glover J. D., Sarma, M., Digby, G., Power System Analysis and Design
with Personal Computer Applications , 2nd ed., PWS Publishing Company,
1994.
[Goeckeler, 1999] Goeckeler, C., Progressive Capacitor Automation Yields Economic an d
Practical Benefits at KCPL , Utility Automation, October 1999.
[Golovanov, 2001] Golovanov C., ș.a., Probleme moderne de măsurare în electroenergetică ,
Editura Tehnică, București, 2001, ISBN 973î31î2065î0 .
[Gonen, 1986] Gonen T., Electric Power Distribution System Engineering. Sect ion:
Application of Capacitors Distribution Systems , McGrawîHill Inc, 1986
pp: 385î398
[Grainger, 1981] Grainger, J. J., Lee, S. H., Optimum Size and Location of Shunt Capacitors
for Reduction of Losses on Distribution Feeders , IEEE Transactions on
Power Apparatus and Systems, vol. PASî100, no. 3, p p. 1005–18, March
1981.
[Grebe, 1996] Grebe, T.E.; Application of distribution system capacitor banks and their
impact on power quality , IEEE Transactions on Industry Applications, vol.
32, issue 3, pp. 714î719, MayîJune 1996.

173 [Grigsby, 2000] Grigsby L., The Electric Power Engineering Handbook , Editura CRC
Press, 2000, ISBN: 0849385784.
[Harlow, 2004] Harlow J., Electric Power Transformer Engineer , Editura CRC Press LLC,
2004, ISBN 0î8493î1704î5.
[Hasegawa, 2007] Hasegawa R., Energy Efficiency of Amorphous Metal Based Transfor mers,
Metglas, May 2007.
[Iacobescu, 1979] Iacobescu Gh., Iordănescu I., Tud ose M., ReŃele si sisteme electrice ,
Editura Didactică și Pedagogică București, 1979.
[Iordache, 1997] Iordache M., Conecini I., Calitatea energiei electrice , Editura Tehnică,
București, 1997, ISBN 973î31î1026î6.
[Maier, 2007] Maier V., Pavel S., Ingineria CalităŃii și protecŃia mediului , Editura U.T.
Press, ClujîNapoca, 2007, ISBN 978î973î662î238î0.
[Miron, 2009] Miron A., Chindriș M., Transmiterea perturbatiilor electromagnetice
conduse in sistemele electroenergetice , Editura Casa CărŃii de ȘtiinŃă,
ClujîNapoca, 2009, ISBN 978î973î133î478î3.
[Pop, 2009:1] Pop G.V ., Chindriș M., Bindiu R., Calculation of power losses in
unbalanced and harmonic polluted electric networks , in proceedings of 7 th
International Conference on Electromechanical and P ower System,
Sielemn 2009, 8î9 Octombrie 2009, Iași, ISSN 978î606î520î618î2.
[Pop, 2009:2] Pop G.V ., Chindriș M., Bindiu R., Determination of power losses in
transformers working in unbalanced and harmonic pol luted networks, in
proceedings of Conference of Energy Engineering – C lean and Available
Energy CIE 2009 , 4î5 June 2009, Oradea, pp.113î118, ISSN 1224î1261.
[Pop, 2009:3] Pop G.V ., Chindriș M., Bindiu R., Economical implications regarding the
operation of power transformers in harmonic pollute d power systems, in
proceedings of The 4th edition of the Interdiscipli nary in Engineering
International Conference INTERîENG 2009, 12î13 Novembe r 2009,
Târgu Mures, Romania, pp.21î26, ISSN 1843î780X.
[Pop, 2010:1] Pop G.V. , Gecan C.O, Bindiu R., Efectele dezechilibrului tensiunii de
alimentare asupra funcŃionării motoarelor asincrone trifazate , în Volumul
de Lucrări al Simpozionului InternaŃional de Eficie nŃă Energetică, EdiŃia a
VIIîa, 7 î 9 Octombrie 2010, CClluujjîîNNaappooccaa,,,, pp.127î132, ISBN 978î973î
133î822î4.
[Pop, 2010:2] Pop G.V ., ș.a., Reducing losses in electrical distribution systems using
amorphous transformers , The 16 th Conference of Energy Engineering
CIE2010, 27î29 May, Oradea.
[Pop, 2010:3] Pop G.V ., Chindriș M., Gecan C.O., R Bindiu., Power losses evaluation
method in transformers operated in harmonic pollute d systems , in
proceedings of The 3th edition of the International Conference on Modern
Power Systems MPS2010, Acta Electrotehnica, 18î21 M ay 2010, Clujî
Napoca, Romania, pp.305î310, ISSN 1841î3323.

174 [Pop, 2011] Pop G.V. , Chindriș M., Gecan C.O., Bindiu R., Capacitor Infleuence on
Power Line Losses under Balance and Unbalance Condi tions The 4th
edition of the International Conference on Modern P ower Systems
MPS2011, Acta Electrotehnica, 17î20 May 2011, Clujî Napoca.
[Postolache, 2002] Postolache P., Scutariu M., Toad er C., Neutral Conductor Loading Effect
of Low Voltge Network Nonsinusoidal Regime , UPB Scientific Bull.,
Series C, nr. 4, 2002.
[Reinert, 2001] Reinert J., Brockmeyer A., De Donck er R., Calculation of losses in ferro2
and ferrimagnetic materials based on the modified S teinmetz equation ,
IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 37 , no. 4, pp. 1055–
1061, 2001.
[Robert, 1996] Robert T., Deflandre T., Guide for network harmonic impedance
evaluation , ELECTRA, No 167, Août, 1996, pp 96î131.
[Roshen, 2007] Roshen W., A practical, accurate and very general core loss mo del for
nonsinusoidal waveforms , IEEE Transactions on Power Electronics, vol.
22, no. 1, pp. 30–40, 2007.
[Santoso, 2002] Santoso S., Beaty W., Dugan R. C., Electrical Power Systems Quality ,
Editura CRC Press, 2002, ISBN / ASIN: 007138622X
[Short, 2005] Short T., Electric Power Distribution Equipment and Systems , Editura
CRC Press, 2005, ISBN / ASIN: 0849395763.
[Shyh, 2000] Shyh, J. H., An Immune2Based Optimization Method to Capacitor
Placement in a Radial Distribution System , IEEE Transactions on Power
Delivery, vol. 15, no. 2, pp. 744–9, April 2000.
[Simion, 2000] Simion A., Mașini electrice. Volumul I – Transformatoare. Editura
“Gheorghe Asachi”, Iași, 2000.
[Simpson, 2005] Simpson, R.H.; Misapplication of power capacitors in distribution systems
with nonlinear loads2 three case histories , IEEE Transactions on Industry
Applications, vol. 41, no. 1, pp. 134î143, Jan.îFeb . 2005.
[Sippola, 2003] Sippola M., Developments for the high frequency power transforme r
design and implementation , Helsinki University of Technology, 2003,
ISBN 951î22î6536î2.
[Toader, 2002] Toader C., Postolache P., Napoli R., Chicco G., Lungu I., Scutariu M.,
Energy losses in two windings transformers under no nsymmetrical
loading , CMEîForen, N, 9î13 iunie, 2002, Neptun.
[Thomas, 2005] Thomas A., Electric Power Distribution Equipment and Systems , Editura
CRC Press, 2005, ISBN / ASIN: 0849395763.
[ługulea, 1987] ługulea A,. Golovanov C., Efecte energetice ale regimurilor nesimetrice
și deformante ale sistemelor electroenergetice. Pos ibilităŃi de măsurare ,
ENERG, vol III, București, Editura Tehnică, 1987.

175 [Xu, 2002] Xu W., Ahmed E.E., et. all, Measurement of network harmonic
impedances: practical implementation issues and the ir solutions , IEEE
Transaction on Power Delivery, vol 13, No 1, 2002, p p 210î216.
[Wang, 2006] Wang J. , Lascu R., Zero Sequence Circuit of Three2legged Core Type
Transform ers, 2006.
[Wright, 1996] Wright, M.A., et al., A study of harmonic series2resonance in industrial
plants with linear loads , ICHQP, Las Vegas, 1996, pag. 307î313.
[Yildrim, 2000] Yildrim D., Fuchs E., Transformer derating and comparison with
harmonic loss factor aproach, IEEE Trans. PD. Vol. 15, No.1, January
2000.