, 2oCCUUPPRRIINNSS55____________________________________________________________________________________________________5 [615757]

, 2oCCUUPPRRIINNSS55____________________________________________________________________________________________________5
5
5
5
Introducere5_______________________________________ ______________ 545
5 5
Capitolul515
ConstrucŃia5hilbertiană5a5geometriei5______________ ___________________ 55
65
5 5
Capitolul525
Coliniaritate5în5plan5–5metode5și5aplicaŃii5remarca bile 5_____________________ 55
175
2.1.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâfolosindâpostulat ulâluiâEuclidâ__________________â 175
2.2.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâcuâajutorulâunghi uluiâalungitâ(unghiuriâadiacenteâ
suplementare)â_____________________________________ ______________________â5
215
2.3.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâutilizândârecipro caâteoremeiâunghiurilorâopuseâlaâ
vârfâ______________________________________________ _____________________â5
255
2.4.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâprinâidentificare aâuneiâdrepteâceâconŃineâpuncteleâ
respectiveâ________________________________________ ______________________â5
285
2.5.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâprinâredefinireaâ unuiâpunctâceâfigureazăâînâcondiŃiaâ
deâcoliniaritateâ__________________________________ ________________________â5
325
2.6.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâfolosindâreciproc aâteoremeiâluiâMenelaosâ_________ â355
2.7.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâfolosindârezultat ulâ„dacăâBâșiâCâsuntâdouăâpuncteâ
distincte,âsituateâdeâaceeașiâparteâaâdrepteiâADâși âdacăâ CAˆDBAˆD≡,âatunciâpuncteleâA,â
BâșiâCâsuntâcoliniare”_____________________________ ________________________â5
5
425
2.8.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâutilizândâidentit ateaâABâ+âBCâ=âAC,âundeâAB,âBCâșiâ
ACâsuntâsegmenteâdeâdreaptăâ_______________________ ________________________â5
435
2.9.ââ Demonstrareaâ coliniarităŃiiâ folosindâ rezultat ulâ „dintrAunâ punctâ exteriorâ uneiâ
drepteâseâpoateâduceâoâperpendicularăâșiânumaiâunaâ peâaceaâdreaptă”______________â5
455
2.10.ââ DemonstrareaâcoliniarităŃiiâfolosindâmetodaâ analiticăâ_____________________â 495
2.11.âââDemonstrareaâcoliniarităŃiiâfolosindânumere leâcomplexeâ____________________ â535
2.10. DemonstrareaâcoliniarităŃiiâfolosindâvectoriâ______ _______________________â 575
2.13.ââ AplicaŃiiâremarcabileâ______________________ _________________________ 5595
5 5
Capitolul535
ConcurenŃă5în5plan5–5metode5și5aplicaŃii5remarcabil e5___________________ 55
665
3.1.ââ DemonstrareaâconcurenŃeiâfolosindâunicitateaâ mijloculuiâunuiâsegmentâ________â 665
3.2.ââ DemonstrareaâconcurenŃeiâfolosindâproprietăŃi leâliniilorâimportanteâînâtriunghiâ_â 685
3.3.ââ DemonstrareaâconcurenŃeiâfolosindâreciprocaât eoremeiâluiâCevaâ_____________â 715
3.4.ââ DemonstrareaâconcurenŃeiâprinâcoliniaritateâ_ ____________________________â 755
3.5.ââ AplicaŃiiâremarcabileâ_______________________ ________________________â 765
5
5
55

, 3oCapitolul545
Coliniaritate5și5concurenŃă5în5spaŃiu5–5metode5și5a plicaŃii5________________ 55
805
4.1.ââ ColiniaritateâînâspaŃiuâ_____________________ __________________________ â805
ââââââââââââââââââââââââ4.1.1.ââMetodeâdeâdemonstra reâaâcoliniarităŃiiâpunctelorâînâspaŃiuâ______â 805
ââââââââââââââââââââââââ4.1.2.ââProblemeârezolvateâ _____________________________________â 815
4.2.ââ ConcurenŃăâînâspaŃiuâ________________________ _______________________â 865
ââââââââââââA.âââ Drepteâconcurenteâ________________ ____________________________â 865
âââââââââââââââââââââââ4.2.1.ââMetodeâdeâdemonstrar eâaâconcurenŃeiâînâspaŃiuâ_______________â 865
âââââââââââââââââââââââ4.2.2.ââProblemeârezolvateâ_ ____________________________________â 875
ââââââââââââB.âââ Planeâconcurenteâ_________________ ____________________________ â925
âââââââââââââââââââââââ4.2.3.ââMetodeâdeâdemonstrar eâaâconcurenŃeiâînâspaŃiuâ_______________ 5925
âââââââââââââââââââââââ4.2.4.ââProblemeârezolvateâ_ ____________________________________ 5925
5 5
Capitolul555
ConsideraŃii5metodice5_____________________________ ________________ 55
965
5.1.ââ Aspecteâpsihoâ–âpedagogiceâșiâmetodiceâprivin dâpredareaâgeometrieiâ_________â 965
5.2. ColiniaritateâșiâconcurenŃăâînâplanâșiâspaŃiuâ–âpro iectâdeâprogramăâșcolarăâ____â 985
5.3.âââââEvaluareaâșcolarăâ________________________ __________________________â 1075
5.4.ââ Probeâdeâevaluare,âanalizaârezultatelorâlaâte steâșiâinterpretareaâlorâ___________â 1105
5.5.âââââProiectâdidacticâ_________________________ ___________________________â 1205
5 5
Bibliografie5selectivă5____________________________ _________________ 51245
5
5
5
5
5
5
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

, 4oIINNTTRROODDUUCCEERREEoo________________________________________________________________________________________o
,
,
o
, Matematica,zilelor,noastre,este,un,edificiu,grandi os,și,pentru,ca,acest,edificiu,complex,
să, devină, “funcŃional”, pentru, generaŃiile, actuale, ș i, viitoare,, concomitent, cu, armonizarea, lui,
continuă,,se,impune,“recunoașterea”,lui,întrhun,mod ,cât,mai,eficient.,Această,“recunoaștere”,nu,
poate,începe,decât,cu,temelia,edificiului,și,trebui e,să,se,producă,“cât,mai,devreme”.,De,aceea,,
procesul, învăŃării, matematicii,, elaborarea, unor, met ode, care, să, permită, accesul, rapid, la,
“secretele”,matematicii,pot,fi,realizate,doar,prin, începerea,studiului,matematicii,“de,la,bazele”,
ei,actuale.,Dovada,faptului,că,este,eficient,ca,înv ăŃarea,matematicii,să,pornească,de,la,bazele,ei,,
prin, “axiomatizare”, o, constituie, și, faptul, că, și, în , alte, domenii, ale, învăŃământului,, metoda,
câștigă, teren., Nu, se, poate, aduce, acuza, unei, “abstra ctizări, excesive”, pentru, că, noŃiunile, și,
relaŃiile, cărora, sunt, supuse, acestea, întrho, concepŃ ie, axiomatică, are, un, pronunŃat, caracter,
intuitive,,și,deci,lesne,de,acceptat,,învăŃarea,dev enind,“raŃională”,,permiŃând,,totodată,,accesul,
benefic,al,intuiŃiei.,
,, Geometria, a, cunoscut, o, primă, abordare, axiomatică, în, celebrele, “Elemente”, ale, lui,
Euclid,, ridicată, la, nivel, de, metodă , de, Hilbert., Este,, deci,, natural, ca, studiul, geometr iei, să,
pornească, de, la, recunoașterea, unor, noŃiuni, fundamen tale, legate, printrhun, sistem, de, raporturi,
care,, împreună,, să, se, constituie, întrho, structură, a le, cărei, resurse, interne, să, producă, rezultate,
“concrete”, sub, acŃiunea, “gândirii, logice”., Sistemul , axiomatic, ca, atare, acceptat, devine, un,
instrument, minimal, cu, ajutorul, căruia, raŃionamentul , produce, o, multitudine, de, „fapte,
geometrice”, noi., Nu, este, de, dorit, acreditarea, unui, învăŃământ, matematic, preuniversitar,
“exclusive,axiomatic”,,dimpotrivă,,un,echilibru,din amic,între,metoda,axiomatică,și,abordarea,
prin,intuiŃie,oferă,eficienŃă,sporită,actului,de,în văŃare.,Între,aceste,două,coordonate,esenŃiale,,
procesul, învăŃării, matematicii, cunoaște, un, larg, eva ntai, de, metode, și, tehnici,, generale, și,
specifice,, în, posesia, căruia, se, poate, intra, numai, p rin, “exerciŃiu”., Fără, a, crede, în, “reŃete”,, în,
marea,diversitate,a,problemelor,de,geometrie,,o,anu mită,“tipizare”,este,fructuoasă.,,
,, Tema,“ PROBLEME5DE5COLINIARITATE5ȘI5CONCURENłĂ ”,a,fost,aleasă,pentru,a,
jalona, principalele, direcŃii, în, conturarea, unei, pro grame, pentru, opŃionalul, “Coliniaritate, și,
concurenŃă, în, plan, și, spaŃiu”., Consider, că, tema, est e, atractivă, și, utilă, pentru, elevi, deoarece,
stimulează,imaginaŃia,și,gândirea,elevilor,,îi,face ,să,simtă,sentimentul,frumuseŃii,matematice,,al,
armoniei,numerelor,și,formelor,,al,eleganŃei,geomet riei.,
,, În,conformitate,cu,scopul,propus,,am,structurat,l ucrarea,în,5,capitole.,,

, 5o,, În, capitolul, 1,, “ ConstrucŃia5hilbertiană5a5geometriei ”,, se, prezintă, succint, axiomatica,
geometriei,și,sunt,indicate,,în,câteva,exemple,,cum ,anumite,fapte,geometrice,“evidente”,sunt,,
totuși,,“demonstrabile”,în,acest,ansamblu,axiomatic .,,
,, Capitolul, 2,, “ Coliniaritate5în5plan5–5metode5și5aplicaŃii5remarca bile ”, este, destinat,
identificării,unor,tipuri,de,metode,de,rezolvare,a, problemelor,de,coliniaritate,în,plan,,precum,și,
a,unor,probleme,mai,speciale.,Fiecare,metodă,este,u rmată,de,probleme,,iar,ultimul,subcapitol,
prezintă,câteva,aplicaŃii,remarcabile,privind,colin iaritatea,în,plan.,
,, Cu,aceeași,structură,cu,acest,capitol,este,capito lul,3,,“ ConcurenŃă5în5plan5–5metode5și5
aplicaŃii5remarcabile ”,,în,care,sunt,prezentate,câteva,metode,de,demonst rare,a,concurenŃei,în,
plan,, sunt, rezolvate,probleme,pentru, a, exemplifica, modul, de, aplicare, a, fiecărei, metode, și, în,
final,sunt,prezentate,aplicaŃiile,remarcabile,ale,c oncurenŃei,în,plan.,
,, Capitolul, 4,, “ Coliniaritate5și5 concurenŃă5 în5 spaŃiu5 –5 metode5și5 a plicaŃii ”,, prezintă,
metode, de, demonstrare, a, coliniarităŃii, punctelor, în , spaŃiu,, de, demonstrare, a, concurenŃei,
dreptelor, în, spaŃiu, dar, și, a, planelor,, fiecare, subc apitol, în, care, sunt, prezentate, metodele, de,
demonstrare,fiind,urmat,de,un,subcapitol,de,problem e,rezolvate.,
,, În, capitolul, 5,, “ ConsideraŃii5 metodice ”,, sunt, prezentate, câteva, aspe cte,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
psiho, –, pedagogice, și, metodice, privind, predarea, geo metriei., De, asemenea,, este, prezentat, un,
proiect,de,programă,școlară,pentru,opŃionalul,„Coli niaritate,și,concurenŃă,în,plan,și,spaŃiu”,și,
este,evidenŃiată,analogia,plan,–,spaŃiu,,ilustrată, prin,proprietăŃile,de,coliniaritate,și,concurenŃă,
în,triunghi,și,tetraedru.,,
,, În, această, lucrare, am, folosit, doar, anumite, metode , de, demonstrare, a, coliniarităŃii, și,
concurenŃei,,și,de,aceea,am,alcătuit,o,“ Bibliografie5selectivă ”5prin,consultarea,căreia,elevul,își,
poate,întregi,cunoașterea,geometriei.,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o o
o
o
o

, 6oCCAAPPIITTOOLLUULLoo11oo____________________________________________________________________________________________oo
CCOONNSSTTRRUUCCłłIIAAooHHIILLBBEERRTTIIAANNĂĂooAAooGGEEOOMMEETTRRIIEEIIoo
o o
o
o
, Geometria,, pornind, de, la, „Elementele”, lui, Euclid, a , evoluat, continuu,, un, moment,
important,fiind,construirea,teoriei,axiomatice,a,lu i,David,Hilbert,în,cartea,sa,„Grundlagen,der,
Geometrie”,(Berlin,,1899).,Matematicianul,David,Hil bert,a,reformulat,sistemul,axiomatic,al,lui,
Euclid,și,a,construit,sistemul,său,axiomatic,,semif ormalizat,(partea,logică,este,neformalizată,,
iar,partea,specifică,este,formalizată).,
Sistemul,axiomatic,al,lui,Hilbert,,care,caracterize ază,geometria,euclidiană,,are,la,bază,ca,
noŃiuni,primare:, punctele ,,pe,care,le,notăm,cu,A,,B,,C,,…;, drepte ,,notate,cu,a,,b,,c,,…;, planele ,
notate, cu, K,,,γβα ;, punctele, se, mai, numesc, și, elementeâale ,geometrieiâliniare ,, punctele, și,
dreptele, se, numesc, elementeâaleâgeometrieiâplane , și, punctele,, dreptele, și, planele, se, numesc,
elementeleâgeometrieiâînâspaŃiu .,
, Concepem, mai, departe, punctele,, dreptele, și, planele , în, anumite, relaŃii, reciproce, și,
numim,aceste,relaŃii,prin,cuvinte,ca:,"a,fi,situat" ,semnalată,prin,simbolul,de,apartenenŃă,„ ∈”,,
"a, fi, între", prin, succesiunea, de, liniuŃe, CBA−− ,, "a, fi, paralel", prin, „ ||”,, "congruent", prin,
semnul,„ ≡”;,descrierea,exactă,a,acestor,relaŃii,se,obŃine,pr in, axiomeleâgeometriei .,
, Axiomele, geometriei, se, împart, în, cinci, grupe,, fiec are, grupă, exprimă, anumite, fapte,
fundamentale:,
, I 1,h,I 8:,,,, opt,axiome,de,incidenŃă;,
, II 1,h,II 4:,, patru,axiome,de,ordonare;,
, III 1,h,III 5:,,, cinci,axiome,de,congruenŃă;,
, IV,:,, ,, axioma,paralelelor;,
, V 1,h,V 2:,, două,axiome,de,continuitate.,
De, exemplu,, axioma, V 1, este, echivalentă, cu, axioma, lui, Arhimede,, iar, axiom a, V 2, este,
principiul,de,continuitate,al,lui,Dedekind.,RaŃiona mentul,în,axiomatica,lui,Hilbert,se,desfășoară,
folosind, inferenŃele, clasice, ale, logicii., Axiomatiz area, logicii, și, încorporarea, sa, în, descrierea,
sistemului,conduc,la,obŃinerea,unui,sistem,formalis t.,
Formularea, dată, de, Hilbert, axiomelor, evită, complet, teoria, mulŃimilor,, aceasta,
prezentând,avantaj,de,natură,știinŃifică,,deoarece, analiza,sa,metateoretică,nu,este,influenŃată,de,
existenŃa, sau, neexistenŃa, unei, teorii, deductive, nec ontradictorii, pentru, mulŃimi., Cu, ajutorul,
acestor,20,de,axiome,,Hilbert,arată,că,este,posibil ,să,se,reconstruiască,edificiul,geometriei.,
,

, 7oI. Axiomeleodeo„incidenŃă”osauodeo„apartenenŃă”o
,, RelaŃia, primară, a, acestui, grup, de, axiome, este, inc idenŃa, sau, apartenenŃa., Notăm, că,
punctul, A,este,incident,dreptei, d,prin, dA∈;, α⊂d ,dacă,orice,punct,incident,ei,este,incident,și,
planului.,
,,I1,,, Fiind,date,două,puncte,există,cel,puŃin,o,dreapt ă,la,care,ele,să,aparŃină.,
,,I2,, Pentru,orice,două,puncte,distincte,există,cel,mul t,o,dreaptă,incidentă,lor.,
,,I3oo Fiecărei, drepte, îi, aparŃin, cel, puŃin, două, puncte., E xistă, trei, puncte, încât, nici, o,
dreaptă,nu,poate,fi,incidentă,tuturor,acestor,punct e.,
,,I4oo Fiind, date, trei, puncte, există, cel, puŃin, un, plan, inc ident, lor., Pentru, orice, plan,
există,măcar,un,punct,care,îi,aparŃine.,
,,I5oo Fiind, date, trei, puncte, care, nu, aparŃin, nici, unei, dr epte,, există, cel, mult, un, plan,
incident,lor.,
,,I6oo Dacă,două,puncte,distincte,ale,unei,drepte,aparŃin, unui,plan,,atunci,orice,punct,al,
dreptei,aparŃine,acelui,plan.,
,,I7oo Dacă,două,plane,au,un,punct,comun,care,le,aparŃine, simultan,,atunci,ele,mai,au,
cel,puŃin,încă,un,punct,cu,această,proprietate.,
,,I8oo Există,patru,puncte,încât,nici,un,plan,nu,este,inci dent,tuturor,acestor,puncte.,
,, Axiomele,I 1,,I 2,și,I 3,dau,axiomele,de,apartenenŃă,ale,geometriei,planulu i.,Ultima,parte,a,
axiomei, I 3, postulează, dimensiunea, planului,, așa, cum, axioma, I 3, arată, că, geometria, spaŃiului,
considerat,se,reduce,la,geometria,unui,plan.,
,,ConsecinŃeoaleogrupeioIodeoaxiomeo
,,TeoremaoI.1.ooo o
oo Pentru,orice,dreaptă,a,există,măcar,un,punct,A,nein cident,ei.,
,,TeoremaoI.2. ,
,, Pentru,orice,plan, α,există,măcar,un,punct, A,încât, α∉A .,
,,TeoremaoI.3.o
,, Oricare,ar,fi,punctele,distincte,A,și,B,există,o, singură,dreaptă, a,încât, aB,aA ∈∈ .,
,,TeoremaoI.4. ,
,, Oricare,ar,fi,punctele,A,,B,,C ânecoliniare,,există,un,singur,plan, α,incident,lor.,
,, Dacă, aB,aA ∈∈ ,,dreapta, a,o,vom,nota,cu, )AB( ,,iar,dacă, α∈α∈α∈ C, B, A ,atunci,
planul, α,îl,notăm, ) ABC( .,
,,TeoremaoI.5.oo
,, Două,drepte,distincte,au,cel,mult,un,punct,comun. ,

, 8o,,TeoremaoI.6. ,
,, Două,plane,distincte,care,au,un,punct,comun,,au,o ,dreaptă,și,numai,una,în,comun.,
,,TeoremaoI.7. ,
,, Două,plane,distincte,au,cel,mult,o,dreaptă,în,com un.,
oo TeoremaoI.8. ,
,, O, dreaptă, a, și, un, plan, α, pot, avea, următoarele, poziŃii, relative:, α⊂a ;, a, și, α, au, un,
singur,punct,comun;, a,și, α,nu,au,nici,un,punct,în,comun.,
,, Din, axiomele, de, incidenŃă, rezultă, afirmaŃii, impor tante,, pe, al, căror, conŃinut, unii, îl,
etichetează,ca,evident.,În,acest,sens,formulăm,două ,exemple.,,
,,TeoremaoI.9. ,
,, Date,fiind,o,dreaptă, a,și,un,punct,oarecare, A,care,nuhi,aparŃine,,există,un,singur,plan, α,
cu,proprietăŃile, α⊂a ,și, α∈A .,,
,,DemonstraŃie. ,
, Conform,I 3,,pe,dreapta,a,există,două,puncte,distincte,,
,, B,și,C.,Din,ipoteză,și,din,I 2,rezultă,că,punctele,A,,B,și,C,nu,sunt,coliniare.,,
,, Aplicând,axioma,I 4,,există,un,plan, α,care,conŃine,punctele,A,,B,și,C.,,
,, Conform,I 6,,planul, α,conŃine,dreapta,a,și,conform,I 5,,planul,este,unic.,
,,TeoremaoI.10. ,
,, Pentru,orice,plan,există,măcar,trei,puncte,necoli niare,care,îi,aparŃin.,
,,DemonstraŃie. ,
,, Fie, α,un,plan,oarecare.,,
,, Conform,I 4,,există,un,punct,A,în, α,,iar,conform,I 8,,există,un,punct,B,neincident,lui, α.,,
,, Conform,I 1, și,I 2,,există,o,unică,dreaptă,d,incidentă,punctelor,A,și ,B.,,
,, Aplicând,I 3,obŃinem,existenŃa,unui,punct,C,nesituat,pe,d.,,
,, Planele, α,și,(ABC),au,punctul,comun,A.,Din,I 7,rezultă,că,aceste,plane,au,încă,un,punct,
comun,D.,Astfel,,planul, α,conŃine,punctele,diferite,A,și,D.,,
,, D,nu,se,află,pe,dreapta,d,,în,caz,contrar,ar,rezu lta,conform,I 6,că,d,este,conŃinută,în, α,și,
atunci, α∈B ,,absurd.,,
,, Acum,,planul,(ABD),nu,conŃine,un,anumit,punct,E,( conform,I 8).,Planul,(ABE),,diferit,
de,planul,(ABD),,are,cu,planul, α,încă,un,punct,comun,F,,conform,I 7,,care,nu,este,situat,nici,pe,
dreapta,d,,nici,pe,dreapta,AD.,Punctele,A,,D,și,F,s unt,în,planul, α,și,nu,sunt,coliniare.,
,
,

, 9oII. Axiomeleodeoordonareo
,, În,formularea,axiomelor,de,ordine,intervine,o,rel aŃie,primară,care,atestă,că,un,punct,al,
unei,drepte,stă,în,raporturi,date,cu,alte,puncte,al e,aceleiași,drepte;,această,relaŃie,se,exprimă,
prin:, „a, fi, între”., FuncŃionalitatea, relaŃiei, „a, fi , între”, derivă, din, proprietăŃile, conferite, de,
axiomele,de,ordonare.,,,
,II 1ooDacă,punctul,B,este,între,punctele,A,și,C,,atunci,p unctele,A,,B,,C,sunt,coliniare,
distincte,și,punctul,B,este,și,între,punctele,C,și, A.,
,,II 2oPentru,orice,două,puncte,distincte,A,și,B,există,mă car,un,punct,C,coliniar,cu,A,și,
B,astfel,încât,punctul,B,este,între,punctele,A,și,C .,
,,II 3oDintre,trei,puncte,distincte,două,câte,două,cel,mul t,unul,este,între,celelalte,două.,
,,II 4o (AxiomaoluioPash)oo Pentru,orice,trei,puncte,necoliniare,A,,B,,C,și,ori ce,dreaptă,
a,din,planul,lor,,la,care,nu,aparŃine,nici,unul,din tre,puncte,,dacă,pe,a,există,un,punct,care,se,află,
între,două,dintre,punctele,A,,B,,C,,atunci,pe,a,exi stă,cel,puŃin,încă,un,punct,care,se,află,între,
alte,două,dintre,punctele,A,,B,,C.,
,, Pentru, situaŃia, în, care, B, este, între, A, și, C, folos im, notaŃia, CBA−− , sau, ACB∈ ,,
subînŃelegând,, evident,, AC, drept, submulŃimea, punctelor, dreptei, AC., Din, axiomă , rezoltă,
φ=AA ,și, CA AC= .,
,, Numim, segment ,o,pereche,neordonată,de,puncte, }B,A{ ,,notată,AB,sau,BA,,A,și,B,sunt,
numite, extremităŃile , segmentului,, iar, punctele, C, cu, proprietatea, BCA−− , sunt, puncteo
interioare ,segmentului.,Dacă, BA≠,,atunci,punctele,dreptei, )AB( ,care,nu,sunt,extremităŃi,și,
nici,puncte,interioare,segmentului,AB,se,numesc, puncteoexterioare ,segmentului,AB.,
,,DefiniŃie. ,
,, Numim, triunghi ,un,triplet,neordonat,de,puncte,necoliniare,A,,B,,C .,
,, Îl,vom,nota, ABC∆ .,Punctele, A,,B,,C,se,numesc,vârfurile,triunghiului ,iar,segmentele,
AB,,BC,,CA,se,numesc,laturile,triunghiului.,
,,ConsecinŃeoaleogrupeioIIodeoaxiomeo
,,TeoremaoII.1.oo o o
oo Orice,segment,AB,, BA≠,are,puncte,interioare.,
,,TeoremaoII.2.oo o o
oo Pentru,orice,trei,puncte,A,,B,,C,coliniare,și,disti ncte,două,câte,două,,unul,și,numai,unul,
se,află,între,celelalte,două.,
,
,

, 10 o,,TeoremaoII.3.oo o o
oo Fie,ABC,un,triunghi,și,a,o,dreaptă,din,planul,sau,n eincidentă,cu,nici,un,vârf.,Dacă,a,taie,
în,interior,una,dintre,laturile,triunghiului,,atunc i,ea,mai,taie,în,interior,una,și,numai,una,dintre,
celelalte,două,laturi.,
,, Cu, ajutorul, axiomelor, de, ordine, putem, stabili, exi stenŃa, unei, relaŃii, de, ordine, totală,
pentru,punctele,unei,drepte,oarecare.,
,,LemaoII.1. ,
,, Fie,A,,B,,C,,D,patru,puncte,coliniare.,Dacă, CDA−− ,și, CDB−− ,nu,au,loc,,atunci,
nici, BDA−− ,nu,are,loc.,
,,LemaoII.2. ,
,, Dacă,pentru,patru,puncte,coliniare,au,loc,relaŃii le, CDA−− ,și, CDB−− ,,atunci,nu,are,
loc,relaŃia, BDA−− .,
,,DefiniŃie. ,
,, Numim, semidreaptă ,deschisăodeo origineo O, și, careo conŃineopunctul , A,, mulŃimea,
punctelor,B,pentru,care,avem, ABO−− ,sau, BAO−− ,sau, BA=,și,se,notează, )A;O( .,
,,DefiniŃie. ,
,, MulŃimea, )A;O[}O{)A;O( =∪ , se, numește, semidreaptăo închisăo deo origineo O, și,
determinatăode ,A.,
,,TeoremaoII.4.o
,, Fie,a,o,dreaptă,și,O,un,punct,fixat,al,ei.,Există ,două,și,numai,două,semidrepte,deschise,
de,origine,O,pe,a.,
,,DefiniŃie. ,
,, Se,numește, segmentoorientato o,pereche,ordonată,de,puncte,din,spaŃiu.,
,, Dacă, (A,B), este, perechea, de, puncte, considerată,, s egmentul, orientat, definit, de, această,
pereche,se,notează, AB.,Punctul,A,se,numește, origineaosegmentuluioorientato AB,,iar,punctul,
B, extremitateaosegmentuluioorientato AB.,
,, Pentru, BA=,avem,segmentul,orientat,nul.,
,, Dreapta, determinată, de, segmentul, orientat, AB, se, numește, dreaptaosuportoaoluio AB,,
notată,cu,AB.,,
,, O,primă,calitate,importantă,a,dreptelor,în,spaŃiu ,este,direcŃia,lor.,
,,DefiniŃie. ,
,,Douăodrepte ,din,spaŃiu, auoaceeașiodirecŃie ,dacă,sunt,paralele,sau,coincid.,,
,

, 11 o,, Originea,și,extremitatea,segmentului,orientat,det ermină,în,mod,unic,dreapta,suport,,ceea,
ce,înseamnă,că,putem,atașa,direcŃia,dreptei,suport, segmentului,orientat.,
,,DefiniŃie. ,
,,Douăosegmenteoorientate , nenule, auoaceeașiodirecŃie , dacă, dreptele, lor, suport, sunt,
paralele,sau,coincid.,
,,TeoremaoII.5. ,
,, RelaŃia,de,a,avea,aceeași,direcŃie,pentru,drepte, este,o,relaŃie,de,echivalenŃă,pe,mulŃimea,
dreptelor,din,spaŃiu.,
,,TeoremaoII.6.o
,, RelaŃia, de, a, avea, aceeași, direcŃie, pentru, segment e, orientate, nenule, este, o, relaŃie, de,
echivalenŃă,pe,mulŃimea,segmentelor,orientate,nenul e,din,spaŃiu.,
,, O, clasă, de, echivalenŃă, pe, o, mulŃime, determină, o, î mpărŃire, a, elementelor, mulŃimii, în,
clase,de,echivalenŃă.,
,, Întrho,clasă,de,echivalenŃă,intră,toate,elementel e,echivalente,între,ele.,
,, În, cazul, nostru,, clasa, de, echivalenŃă, determinată , de, o, dreaptă, se, numește, direcŃiao
dreptei ,, iar, în, cazul, segmentelor, orientate, nenule,, direcŃ iile, sunt, clase, de, echivalenŃă, ale,
dreptelor,suport,și,se,numesc, direcŃiileosegmenteloroorientate .,
,, Segmentul, orientat, nenul, AB, determină, direcŃia, dreptei, suport, și, în, plus,, un, s ens, pe,
această,dreaptă,de,la,A,la,B.,
,,DefiniŃie. ,
,, Două, segmente, orientate, nenule, AB, și, 'B'A , având, aceeași, direcŃie,, au, același, sens,
dacă:,
a), , , A,, B, și, A’,, B’, sunt, coliniare,, sensurile, deter minate, pe,
dreapta,suport,comună,coincid.,
b), , , Dreptele, suport, sunt, paralele,, extremităŃile, c elor, două,
segmente,orientate,se,află,în,același,semiplan,dete rminat,în,
planul,celor,două,drepte,suport,de,dreapta,ce,,uneș te,originile,lor.,
,,TeoremaoII.7. ,
,, RelaŃia,de,a,avea,același,sens,pentru,segmentele, orientate,nenule,de,aceeași,direcŃie,este,
o,relaŃie,de,echivalenŃă.,
,,DefiniŃie. ,
,, Două, segmente, orientate, au, aceeașio mărime , ( modul ), dacă, segmentele, neorientate,
corespunzătoare,sunt,congruente.,

, 12 o,TeoremaoII.8.o
oo RelaŃia,de,a,avea,aceeași,mărime,pentru,segmente,or ientate,este,o,relaŃie,de,echivalenŃă.,
,,DefiniŃie.o
,, Două,segmente,orientate,nenule,sunt,echipolente,d acă,au,aceeași,direcŃie,,același,sens,și,
aceeași,mărime.,
,,TeoremaoII.9. ,
,, RelaŃia,de,echipolenŃă,pentru,segmente,orientate, este,o,relaŃie,de,echivalenŃă.,
,,DefiniŃie. ,
,, Clasele, de, echivalenŃă, ale, segmentelor, orientate, relativ, la, relaŃia, de, echipolenŃă, se,
numesc, vectori .,
,, Din,definiŃia,relaŃiei,de,echipolenŃă,se,obŃine,c ă,un,vector,liber,este,determinat,sau,de,
segmentele, orientate, nenule,, în, care, caz, se, numește , vector, liber, nul,, sau, este, caracterizat, de,
direcŃia,,sensul,și,mărimea,comune,tuturor,segmente lor,orientate,carehl,determină.,
,, Segmentul, orientat, AB, determină, vectorul, liber, notat, cu, AB., Orice, alt, segment,
echipolent,cu, AB,determină,același,vector,liber.,Prin,urmare,
⇔' B ' A ~AB 'B'A AB= .,
,,DefiniŃie. ,
,, Spunem,că, aA∈,precede ,punctul, aB∈,și,notăm,cu, BAp,dacă,segmentul,orientat,
nenul, AB,este,orientat,pozitiv.,
,, Vom,pune, BA≤,dacă, BA<,sau, BA=.,
,,TeoremaoII.10. ,
,, Dacă, CBA−− ,,atunci, ABCpp ,sau, CBApp ,și,reciproc. o
oo DefiniŃie.o
,, Fie, α,un,plan,și, α⊂a .,
,, În, mulŃimea, punctelor, M, ale, lui, α, care, nu, aparŃin, dreptei, a, introducem, relaŃia,
φ=∩ ⇔ a AB B~A .,Clasa,de,echivalenŃă,a,lui,A,se,numește, semiplanodeschisodeterminato
deoa ,și,care,are,ca,reprezentant,pe,A.,se,notează, )A;a( .,
,, Notăm,cu, a)A;a()A;a[ ∪ = ,semiplanuloînchisodeterminatodeoa ,în,planul, α.,
,,DefiniŃie. ,
,, Se,numește, unghi ,un,sistem,de,două,semidrepte, )A;O[ ,și, )B;O[ ,cu,aceeași,origine.,

, 13 o,, Dacă, , )A;O[ , =, )B;O[ , unghiul, se, numește, nul ;, dacă, semidreptele, sunt, distincte, dar,
aparŃin,aceleiași,drepte,atunci,unghiul,se,numește, alungit.o Unghiurile,care,nu,sunt,nici,nule,nici,
alungite,se,numesc, unghiurioproprii .o
,,DefiniŃie. ,
,, Numim, unghio orientat , sistemul, de, două, semidrepte, , )A;O[ , și, )B;O[ , cu, aceeași,
origine,,nu,neapărat,diferite,,considerate,în,aceas tă,ordine.,
,,o
III. AxiomeleodeocongruenŃăo
,, Prin, axiomele, de, congruenŃă, se, conferă, legitimita te, procesului, intuitiv, care, exprimă,
faptul,că,segmentele,trebuie,să,se,afle,în,anumite, raporturi,„de,mărime”;,în,esenŃă,,deci,,aceste,
axiome,generează,un,„sistem,unitar,de,măsurare”,a,s egmentelor.,
,, RelaŃia,primară,a,acestei,grupe,de,axiome,este,re laŃia,de,„congruenŃă”,pentru,segmente,
și,pentru,unghiuri.,
,, Hilbert,a,folosit,pentru,relaŃia,de,congruenŃă,si mbolul,„ ≡”.,
,,III 1ooPentru,orice,segment,nenul,AB,și,orice,semidreaptă, h,cu,originea,în,A’,,există,un,
punct, h'B∈,astfel,încât, 'B'A AB≡ .,
,,III 2ooDacă, CD AB≡ ,, CD'B'A≡ ,atunci, 'B'A AB≡ .,
,,III 3ooDacă, 'C'B'A,CBA −−−− ,, 'B'A AB≡ ,, 'C'B BC≡ ,atunci, 'C'A AC≡ .,
,,III 4ooFie,un,unghi, )k,h(∠/ ,întrhun,plan, γ,,o,dreaptă, γ⊂a ,și,o,semidreaptă, 'h,pe,a.,
există, în, planul, γ, o, singură, semidreaptă, 'k, de, aceeași, origine, cu, 'h, astfel, încât,
)'k,'h( )k,h( ∠/≡ ∠/ .,
,,III 5ooDacă,ABC,și, 'C'B'A ,sunt,două,triunghiuri,pentru,care, 'B'A AB≡ ,, 'C'A AC≡ ,,
' C ' Aˆ' B CAˆB≡ ,,atunci, ' C ' Bˆ' A CBˆA≡ .,
,,ConsecinŃeoaleogrupeioaoIIIo–oaodeoaxiome ,
,,TeoremaoIII.1. ,
,, Fie, ABC∆ ,și, 'C'B'A∆ ,cu,proprietatea,că,care, 'B'A AB≡ ,, 'C'A AC≡ ,, ' C ' Aˆ' B CAˆB≡ .,
Atunci, ' C ' Bˆ' A CBˆA≡ ,, ' B ' Cˆ' A BCˆA≡ .,
,,TeoremaoIII.2. ,
,, RelaŃia,„ ≡”,este,o,relaŃie,de,echivalenŃă,pe,mulŃimea,segment elor. o
,,TeoremaoIII.3. ,
,, Fie,AB,un,segment,și,h,o,semidreaptă,de,origine,A ’.,Există,un,singur,punct, h'B∈,astfel,
încât, 'B'A AB≡ .,

, 14 o,,TeoremaoIII.4. ,
,, Dacă, 'C'B'A,CBA −−−− ,, 'B'A AB≡ ,și, 'C'A AC≡ ,atunci, 'C'B BC≡ .,
,,DefiniŃie. ,
,, Două,triunghiuri,ABC, și, 'C'B'A ,se,numesc, congruente ,dacă,laturile,corespunzătoare,
sunt,congruente.,
,,TeoremaoIII.5. ,
,, RelaŃia,de,congruenŃă,a,triunghiurilor,este,o,rel aŃie,de,echivalenŃă.,
,,TeoremaoIII.6.o (cazuloL.U.L. ),
,, Dacă, ABC∆ , și, 'C'B'A∆ , au, proprietatea, 'B'A AB≡ ,, 'C'A AC≡ ,, 'Aˆ Aˆ≡, atunci, ele,
sunt,congruente.,
,,TeoremaoIII.7. ,( cazuloU.L.U. ),
,, Dacă, ABC∆ , și, 'C'B'A∆ , au, proprietatea, 'C'B BC≡ ,, 'BˆBˆ≡,, ' CˆCˆ≡, atunci, ele, sunt,
congruente.,
,,DefiniŃie. ,
,, Un,triunghi,ABC,cu,proprietatea,că, AC AB≡ ,se,numește, isoscel .,
,,TeoremaoIII.8.o
,, Dacă,în, ABC∆ ,avem, AC AB≡ ,,atunci, CˆBˆ≡.,
,,TeoremaoIII.9. ,( DiferenŃaounghiurilor ),
,, Fie, 'D'Aˆ'BDAˆB≡ ,, )CAˆB(IntD∈ , și, ) ' C ' Aˆ' B(Int' D∈ ., Dacă, ' C ' Aˆ' B CAˆB≡ , atunci,
' C ' Aˆ' D CAˆD≡ .,
,,TeoremaoIII.10.o (cazuloL.L.L. ),
,, Dacă, ABC∆ , și, 'C'B'A∆ , sunt, congruente,, atunci, unghiurile, corespunzătoare , sunt,
congruente.,
,,DefiniŃie. ,
,, Fiind, dat, unghiul, kOˆh , se, numește, suplement , al, său, un, unghi, kOˆ' h, unde, Oh'h ,
formează,o,dreaptă.,
,,DefiniŃie.o
,, Numim, unghiodrept ,un,unghi,congruent,cu,suplementul,său.,Laturile,un ui,unghi,drept,
se,numesc, perpendiculare .,
,,TeoremaoIII.11. ,
,, Toate,unghiurile,drepte,sunt,congruente.,
,

, 15 o,,TeoremaoIII.12. ,
,, Dacă,două,unghiuri,sunt,congruente,,atunci,suplem entele,lor,sunt,congruente.,
,,TeoremaoIII.13. ,
,, Printrhun,punct,exterior,unei,drepte,,în,planul,d eterminat,de,acel,punct,și,de,acea,dreaptă,
se,poate,duce,o,singură,perpendiculară,pe,dreapta,c onsiderată.,
,,TeoremaoIII.14. ,
,, Fiecare,segment,are,,un,mijloc,unic.,
,,TeoremaoIII.15. ,
,, Fiecare,unghi,are,o,bisectoare,unică.,
,,TeoremaoIII.16.o
,, Un,unghi,exterior,unui,triunghi,este,mai,mare,dec ât,fiecare,dintre,unghiurile,interioare,
neadiacente,lui.,
,
IV. Axiomeleodeocontinuitateo
,,IV 1o(AxiomaoluioArhimede)oo Oricare,ar,fi,segmentul,nenul,AB,și,segmentul,CD,,
există, ∗∈Nn , și, punctele, n 1 0 C…,,C,C , pe, semidreapta, [C;D), astfel, încât, C C0=,,
) 1n , 1 i ( AB CC, C C C 1ii 1i i 1i −= ≡ −− + + − ,și, 1nCD −= ,sau, n 1n CD C −−− .,
,, Această, axiomă, mai, poate, fi, formulată, și, astfel:, „date, fiind, segmentul, nenul, AB, și,
segmentul,CD,,există, ∗∈Nn ,astfel,încât, CD ABn>⋅ ”.,
,IV 2o(AxiomaoluioCantor)oo ,, Pentru,orice,șir,infinit,de,segmente, N∈nnn}BA{ ,ale,
unei,drepte,a,,cu,proprietatea,că, iiBA ,este,inclus,în,interiorul,segmentului, 1i1iB A −− ,pentru,
toŃi, n , 1 i= ,și,nu,există,un,segment,care,să,se,găsească,în,int eriorul,tuturor,segmentelor,din,șirul,
considerat,,există,pe,dreapta,a,un,punct,M,care,apa rŃine,interiorului,fiecărui,segment,din,șir.,
,,,ConsecinŃeoaleoaxiomelorodeocontinuitate ,
,,DefiniŃie. ,
,, Fie, o, dreaptă, orientată., Se, numește, sistemocartezianodeocoordonateopeoa , o, aplicaŃie,
R→a:f ,cu,proprietăŃile:,
a) numerele,0,și,1,sunt,în,Imf;,
b) f,este,monoton,crescătoare;,
c) două,segmente,orientate, AB,și, CD,ale,dreptei,a,sunt,congruente,și,la,fel,orientate,
dacă,și,numai,dacă:, )C(f)D(f)A(f)B(f − = − .,
,

, 16 o,,DefiniŃie.o
,, Se, numește, măsurăo ao segmentelor , o, aplicaŃie, }0{U S:m +→R , care, satisface,
condiŃiile:,
a) pentru,un,segment,nul,AA,avem,m(AA),=,0;,
b) există,un,segment,nenul,AB,pentru,care,m(AB),=,1;,
c) dacă, CD AB≡ ,atunci, )CD(m)AB(m = ,și,reciproc.,
d) dacă, CBA−− ,,atunci, )BC(m)AB(m)AC(m + = .,
,, Un,segment,nenul,AB,cu,m(AB),=,1,se,numește, unitateodeomăsură .,Numărul,m(CD),se,
numește, măsuraosegmentuluioCD ,sau, lungimeaoluio CD. oo
,
V. Axiomaoparaleleloro
oo DefiniŃie.o
oo Două,drepte,a,și,b,se,numesc, paralele ,dacă,ele,aparŃin,aceluiași,plan,și,nu,au,nici,un,
punct,comun,sau,coincid.,
,, Dacă,a,este,paralelă,cu,b,notăm, b||a ,și,cu, b||a/,negaŃia,sa.,
,,Teorema ,V.1. ,
,, Fie,planul,determinat,de,o,dreaptă,a,și, aA∉.,Există,o,paralelă,în,A,la,dreapta,a.,
,,TeoremaoV.2. ,
,, Dacă,două,drepte,dintrhun,plan,tăiate,de,o,secant ă,formează,cu,aceasta,unghiuri,alterne,
interne,congruente,,atunci,cele,două,drepte,sunt,pa ralele.,
,,V1o(Axiomaoparalelelor) ,, ,Printrhun, punct, A, exterior, unei, drepte, a, (în, pla nul,
determinat,de,A,și,a),există,cel,mult,o,paralelă,la ,dreapta,a.,
,,ConsecinŃeoaleogrupeioaoVo–oaodeoaxiome ,
,,TeoremaoV.3. ,
,, Fie, A, un, punct, oarecare, și, aA∉., Atunci, (în, planul, determinat, de, A, și, a), există, o,
singură,dreaptă,b,prin,punctul,A,paralelă,la,dreapt a,a.,
,,TeoremaoV.4. ,
,, Dacă, b||a , și, c, este, secantă, lor,, atunci, unghiurile, alterne, i nterne, determinate, sunt,
congruente.,
,,TeoremaoV.5.o ,
,, În,orice,triunghi,ABC,suma,unghiurilor, CˆBˆAˆ++ ,este,egală,cu,două,unghiuri,drepte.,
,,TeoremaoV.6. ,
,, Unghiul,exterior,unui,triunghi,este,egal,cu,suma, unghiurilor,interioare,neadiacente,lui.,

, 17 oCCAAPPIITTOOLLUULLoo22____________________________________________________________________________________________oo
CCOOLLIINNIIAARRIITTAATTEEooÎÎNNooPPLLAANNoo
,, ,
,
,
,, Problemele,a,căror,concluzie,solicită,demonstrare a,apartenenŃei,unor,puncte,la,o,aceeași,
dreaptă, se, numesc, problemeâ deâ coliniaritate ., Problemele, de, coliniaritate, reprezintă, un, tip,
deosebit,de,probleme,de,geometrie,,ele,fiind,proble me,de,demonstraŃie,prin,rezolvarea,cărora,se,
urmărește, stabilirea, sau, verificarea, unei, relaŃii,, găsirea, unor,proprietăŃi, noi, ale, figurilor, date,,
justificarea,unei,afirmaŃii,formulate.,Ele,reprezin tă,,în,general,,adevăruri,ușor,de,intuit,,dar,a,
căror, demonstraŃie, riguroasă, necesită, raŃionamente, precise, și, o, gamă, variată, de, tehnici,
specifice,, solicită, din, partea, rezolvitorului, multă , inventivitate,, cultură, matematică, și,
perspicacitate., Având, în, vedere, existenŃa, unui, numă r, mare, de, propoziŃii, matematice, foarte,
elegante, ce, concluzionează,proprietăŃi, de, coliniari tate, (puncte, aparŃinând, aceleiași, drepte),, în,
continuare,,sunt,prezentate,unele,dintre,cele,mai,u tilizate,metode,de,rezolvare,a,acestui,tip,de,
probleme,, atât, în, gimnaziu,, cât, și, în, liceu., Metode le, expuse, sunt, însoŃite, de, exemple,
(probleme),, pentru, ca, elevul, să, le, poată, folosi, făr ă, a, întâmpina, dificultăŃi, mari, în, rezolvarea,
problemelor,,oricât,de,complexe,ar,fi,acestea.,
,
2.1.oo DEMONSTRAREAoCOLINIARITĂłIIoFOLOSINDoPOSTULAT ULoLUIo
EUCLIDo
,,Dacăâ drepteleâ ABâ șiâ BCâ suntâ paraleleâ cuâ oâ dreaptăâ d ,â atunci,â înâ bazaâ
postulatuluiâluiâEuclid,âpuncteleâA,âBâșiâCâsuntâco liniare.â
ooProblemao1.o
,, Fie, B’, și, C’, mijloacele, laturilor, AC,, respectiv, A B,, ale, unui, triunghi, ABC., Să, se,
demonstreze,că,mijloacele,înălŃimii,,bisectoarei,și ,medianei,corespunzătoare,vârfului,A,se,află,
pe,dreapta,B’C’.,
,,Rezolvare.o
o

, 18 ooo Fie, M,, N,, P, mijloacele, înălŃimii,, bisectoarei, și,, r espectiv,, medianei, corespunzătoare,
vârfului,A,.,B’C’,fiind,linie, mijlocie,în,triunghiu l,ABC,,rezultă,că, BC||'C'B ., Din,triunghiul,
ABD,,rezultă,,ca,mai,sus,, BD||'M'B ,și,cum, BCD∈ ,rezultă,că,M,aparŃine,dreptei,B’C’. o
,, În,triunghiul,ABE,,B’N,este,linie,mijlocie,și,,fo losind,același,raŃionament,,rezultă,că,N,
aparŃine,dreptei,B’C’.,La,fel,,se,arată,că,P,aparŃi ne,dreptei,B’C’.,
,, Prin,urmare,,punctele,B’,,P,,N,,M,,C’,sunt,colini are.,
,
,,Problemao2.o
oo Fie, ABCD, un, trapez, oarecare,, AB, fiind, baza, mare, și, CD, baza, mică., Dacă, M, este,
simetricul,punctului,A,faŃă,de,mijlocul,P,al,laturi i,BC,,iar,N,este,simetricul,punctului,B,faŃă,de,
mijlocul,R,al,laturii,AD,,să,se,arate,că,punctele,N ,,D,,C,,M,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,,,,,,,,,,,,,,,,, ,
, Din, construcŃie,, pentru, că, AR, =, RD, și, NR, =, RB,, rez ultă, că, patrulaterul, ABDN, este,
paralelogram,,și,deci, AB||DN .,
,, Cum,,din,ipoteză,, AB||DC ,urmează,că,punctele,N,,D,,C,sunt,coliniare.,
,, Analog,, se, arată, că, și, punctele, D,, C,, M, sunt, coli niare., Prin, urmare,, punctele, M, și, N,
aparŃin,dreptei,CD,și,deci,,punctele,N,,D,,C,,M,sun t,coliniare.,
,
,,Problemao3.o
,, Fie,triunghiul,oarecare,ABC,și,fie,punctul,D,pe,l atura,BC,astfel,încât,BC,=,3,DC.,Dacă,
E,este,mijlocul,medianei,CC’,,să,se,arate,că,puncte le,A,,D,și,E,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,, Notăm,cu,F,mijlocul,lui,BD.,atunci,,în,triunghiul ,ABD,avem,că,C’F,este,linie,mijlocie,și,
deci,
AD||F'C .,,
A,,
B,,
C,,
D,
,
,R ,,
P,,
M,,
N,

, 19 o,
,, Analog,,în,triunghiul,CFC’,avem,DE,linie,mijlocie ,,de,unde,urmează,că, F'C||DE .,,
,, Din, F'C||DE ,și, F'C||DA ,rezultă,că,punctele,A,,E,,D,sunt,coliniare.,
,, ,
,,Problemao4.o
oo Pe,laturile,AB,și,AC,ale,triunghiului,ABC,se,iau,,r espectiv,,punctele,D,și,E,,așa,încât,
kECAE
DBAD== .,Se,prelungesc,segmentele,BE,și,CD,,respectiv,,cu, BEk'EE ⋅= ,și, CDk'DD ⋅= .,
Să,se,arate,că,punctele,D’,,A,,E’,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,
,, Cum,,prin,ipoteză,,,
'ECAE
DBAD= ,
rezultă,,
BC||DE .,,
A,
,
B,,
C,,
,
D,,
,
F,,
,,C’,
,
E,
B, C,A,D’ , E’ ,
D, E,

, 20 o,, Din, 'BE'EEkDBAD== ,urmează,că, 'AE||DE .,
,, Din, BC||DE ,și, 'AE||DE ,rezultă,că, BC||'AE .,
,, Analog,,se,arată,că, BC||'AD ,,,apoi,din, BC||'AE ,și, BC||'AD ,rezultă,că,punctele,D’,,A,,
E’,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao5.o
oo În,trapezul,isoscel,ABCD,( AD||BC ),,circumscris,unui,cerc,,fie,E,,F,,G,,H,punctele,d e,
contact, ale, cercului, cu, laturile, AB,, BC,, CD, și, resp ectiv,, DA,, iar, O, punctul, de, intersecŃie, al,
diagonalelor.,Să,se,arate,că,punctele,E,,O,,G,sunt, coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, , ,
,, Cum,,
EB,=,BF,și,EA,=,AH,,
ca,tangente,duse,dintrhun,punct,exterior,la,un,cerc ,,rezultă,că,,
ADBC
AHBF
EAEB== .,
,, Triunghiurile,AOD,și,BOC,sunt,asemenea,și,deci,,a vem,că,
ODBO
ADBC= .,
,, Din, ADBC
EAEB= ,și, ODBO
ADBC= ,rezultă,că,
ODBO
EAEB= ,
și,prin,urmare,
AD||EO .,
,, Analog,,se,arată,că, AD||OG ,și,atunci,rezultă,că,punctele,E,,O,,G,sunt,colinia re.,,,A,
,,B, C,D,,
H,
,
,F,,
,O,,
E, ,G,

, 21 o2.2.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo CUo AJUTORULo UNGHI ULUIo
ALUNGITo(UNGHIURIoADIACENTEoSUPLEMENTARE)o
,,DacăâAâșiâCâsuntâsituateâdeâoâparteâșiâaltaâaâdrept eiâBDâșiâ
o180)CBˆD(m)DBˆA(m = + ,â
atunci,âpuncteleâA,âBâșiâCâsuntâcoliniare.â
,
,
,,Problemao6.o
,, Fie,triunghiul,ABC,( o90Aˆ= ),,înălŃimea,AD,,iar,E,și,F,simetricele,punctului,D ,faŃă,de,
catetele,AB,și,,respectiv,,AC.,Să,se,arate,că,punct ele,E,,A,și,F,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,, ,
,, E,fiind,simetricul,punctului,D,faŃă,de,cateta,AB, ,rezultă,că,,
DAˆBBAˆE≡ ,,
iar,F,fiind,simetricul,lui,D,faŃă,de,AC,,urmează,că ,,
DAˆCCAˆF≡ .,,,,A,,,,F,
,,,E,
D, ,,,,,B, C,A, B, C,D,

, 22 o,, Dar,
o90DAˆCDAˆB = + ,
și,atunci,avem,
o180DAˆCDAˆBDAˆCCAˆF = + + + .,
,, Prin,urmare,,punctele,E,,A,și,F,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao7. ,
,, Să, se, arate, că, întrhun, trapez, oarecare, mijloacele , laturilor, paralele, și, intersecŃia,
diagonalelor,sunt,trei,puncte,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,
,, Fie,E,punctul,de,intersecŃie,al,diagonalelor,,iar ,F,și,G,mijloacele,bazelor,trapezului.,,
,, Din,,
FGˆBGFˆD≡ ,și, EBˆGEDˆF≡ ,,
rezultă,,
BEˆGDEˆF≡ .,
,, Analog,,,
DEˆACEˆF≡ ,
iar,,
BEˆCAEˆD≡ ,,
ca,opuse,la,vârf.,Din,acestea,,rezultă,că,,
o180GEˆADEˆAFEˆD = + + ,,
și,deci,punctele,F,,E,,G,sunt,coliniare.,
,, ,
,A, B,C, ,,D,
,E ,,
F,
G,

, 23 o,,Problemao8.o
,, Fie,ABCD,un,paralelogram.,Se,prelungește,latura,A B,cu,un,segment,BE,=,AD,iar,latura,
AD,cu,un,segment,DF,=,AB.,Să,se,arate,că,punctele,E ,,C,,F,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,
,, Pentru,a,demonstra,că,punctele,E,,C,,F,sunt,colin iare,trebuie,să,arătăm,că,
o180FCˆBECˆB =+ .,
,, Cum,triunghiurile,BCE,și,DCF,sunt,isoscele,,iar, CDˆACBˆA≡ ,rezultă:,
o180CDˆA21DCˆBCBˆA21FCˆBECˆB =⋅+ +⋅=+ .,
,
,,Problemao9. ,
,, Să,se,demonstreze,că,simetricele,a,trei,puncte,co liniare,faŃă,de,o,dreaptă,sunt,trei,puncte,
coliniare.,
,,Rezolvare.o
,, Fie,A’,,B’,,C’,simetricele,punctelor,coliniare,A, ,B,,C,faŃă,de,dreapta,d.,
,
,, Unind,separat,B’,cu,A’,și,B’,cu,C’.,Avem:,
'BBˆAB'Bˆ'A≡ ,
și,
' BBˆCB ' Bˆ' C≡ .,A, B, E,C, D,,
F,
d,A,
B,
C, C’ ,B’ ,,A’,

, 24 o,, Prin,urmare,,
o180' BBˆC' BBˆAB ' Bˆ' C B ' Bˆ' A =+ = + ,,
de,unde,rezultă,că,punctele,A’,,B’,,C’,sunt,colinia re.,
,
,,Problemao10. ,
,, Un,cerc,de,centru,O,este,tangent,în,T,la,dreapta, d.,Se,duce,o,paralelă,la,OT,,care,se,
intersectează,cu,dreapta,d,în,C,și,cu,cercul,în,A,ș i,B,(B,este,între,A,și,C).,Pe,prelungirea,lui,AC,
se, ia, punctul, F,, astfel, încât, CF, =, CA., Se, notează, c u, M, punctul, diametral, opus, lui, B., Să, se,
demonstreze,că,punctele,M,,T,,F,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, Triunghiurile,ATF,și,MOT,sunt,isoscele,,iar,,
BMˆTTAˆC≡ ,,
având,aceeași,măsură.,De,asemenea,,,
ATˆOFAˆT≡ ,,
ca,alterne,interne.,
,, Atunci,
, 180ATˆMFAˆT2 180ATˆMFTˆA
oo
=+⋅−= +
,
și,deci,punctele,M,,T,și,F,sunt,coliniare.,
,
,,,d ,
T,,F ,
,,,
,,C,,, ,
,,B,
A,O,,,,M,

, 25 o2.3.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo UTILIZÂNDo RECIPRO CAo
TEOREMEIoUNGHIURILORoOPUSEoLAoVÂRF ,
,,DacăâpunctulâBâesteâsituatâpeâdreaptaâDE,âiarâAâșiâ Câsuntâdeâoâparteâșiâdeâaltaâ
aâdrepteiâDEâșiâ CBEDBˆA≡,âatunciâpuncteleâA,âBâșiâCâsuntâcoliniare. ,
,, ,
,,Problemao11. ,
,, Fie,ABCD,un,paralelogram.,Pe,laturile,BA,,respect iv,DA,,se,iau,punctele,E,și,F,,astfel,
încât,BE,=,AD,și,DF,=,AB.,Să,se,arate,că,punctele,C ,,E,și,F,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Din, triunghiurile, isoscele, DCF, și, AFE, rezultă, că,2Dˆ 180DFˆC−=o
, și, respectiv,
2Dˆ 180AFˆE−=o
,,de,unde,avem, AFˆEDFˆC≡ ,,ceea,ce,conduce,la,coliniaritatea,punctelor,C,,E,
și,F.,
,, ,
,,Problemao12. ,
,, IntersecŃia, diagonalelor, AC, și, BD, ale, rombului, AB CD, este, punctul, O,, iar, mijlocul,
segmentului, AB, este, M., Să, se, decidă, dacă, M,, O, și, mi jlocul, segmentului, CD, sunt, puncte,
coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Fie, P, mijlocul, lui, CD., Triunghiurile, BOM, și, DOP, s unt, congruente,, de, unde, rezultă,
POˆD MOˆB≡ ,,și,deci,,punctele,M,,O,și,P,sunt,coliniare.,A,B, ,,C,
D,
E,F,

, 26 o,,Problemao13.o
,, În,patrulaterul,ABCD,,se,consideră,M,și,N,mijloac ele,laturilor,opuse,AB,și,CD.,Prin,M,
se,duc,MP,paralelă,la,BC,și,MQ,paralelă,la,AD,,iar, prin,vârfurile,C,și,D,câte,o,paralelă,la,AB.,
Se,formează,astfel,,paralelogramele,BCPM,și,ADQM.,S ă,se,arate,că,vârfurile,P,și,Q,ale,acestor,
paralelograme,sunt,coliniare,cu,punctul,N.,
,,Rezolvare.o
,
,, Din,



≡≡≡
ND CNQDˆNPCˆNDQ CP
,rezultă,congruenŃa,triunghiurilor,CNP,și,DNQ,,și,c um,P,și,Q,sunt,
situate,de,o,parte,și,de,alta,a,dreptei,CD,rezultă, că,punctele,P,,N,și,Q,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao14.o
,, Fie, cercurile, de, centre, O, și, O’,, tangente, exterio r, în, A., O, dreaptă, dusă, prin, A, mai,
intersectează,cercul,de, centru,O,în,B, și,pe,cel,de, centru,O’,în,C.,Fie,D,un,punct,aparŃinând,
cercului,de,centru,O,și,F,un,punct,aparŃinând,cercu lui,de,centru,O’,,astfel,încât, CF||BD .,Să,se,
arate,că,punctele,A,,D,și,F,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Ducem,tangenta,comună,interioară,TAT’.,C,
,,,, ,A , D,,,B ,
,M ,,N ,,,,P ,
T,
C,,,F,
,,A,O’ , O,B,
,,D ,T’ ,Q,

, 27 o,, Trebuie,să,arătăm,că,
TAˆF'TAˆD≡ .,
,, Avem,,
FCˆADBˆA, DBˆA' TAˆD
≡≡
,
și,
TAˆFFCˆA≡ .,
,, Deci:,
TAˆF'TAˆD≡ ,,,
de,unde,rezultă,coliniaritatea,punctelor,D,,A,și,F. ,
,
,,Problemao15.o
,, Se, consideră, triunghiul, ABC, înscris, în, cercul, de, centru, O., Fie, AD, un, diametru,, F,
proiecŃia,lui,C,pe,AD,,AE,înălŃimea,din,A,și,H,proi ecŃia,lui,E,pe,AB.,Să,se,demonstreze,că,
punctele,H,,E,și,F,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, Deoarece,
o90CFˆACEˆA = ≡ ,
rezultă,că,patrulaterul,AEFC,este,inscriptibil,,de, unde,urmează,că,
DAˆCFEˆC≡ ,
iar,
)CDˆA(m 90)DAˆC(m −=o.,
,A,
B,C,
D,,O ,
F,,,E ,H,

, 28 o,,, Avem:,
)CBˆA(m 90)HEˆB(m −=o.,
,, Deoarece,,
CDˆACBˆA≡ ,
rezultă,că,,
HEˆBFEˆC≡ ,,
și,cum,H,și,F,sunt,situate,de,o,parte,și,de,alta,a, dreptei,BC,,rezultă,că,punctele,H,,E,și,F,sunt,
coliniare.,
,
,
2.4.oo DEMONSTRAREAoCOLINIARITĂłIIoPRINoIDENTIFICARE AoUNEIo
DREPTEoCEoCONłINEoPUNCTELEoRESPECTIVEo
,,PentruâaâarătaâcăâpuncteleâA,âBâșiâCâsuntâcoliniare âseâidentificăâoâdreaptăâ
căreiaâeleâîiâaparŃin. 5
,, ,
,,Problemao16.o
,, Fie,un,triunghi,ABC,și,D,,E,,F,,G,proiecŃiile,lui ,A,pe,bisectoarele,interioare,și,exterioare,
ale,unghiurilor, CBˆA ,și, BCˆA .,,
,, Să,se,arate,că,punctele,D,,E,,F,și,G,sunt,colinia re.,
oo Rezolvare. ,
,
,, Fie,D,și,E,proiecŃiile,lui,A,pe,bisectoarele,din, B.,Patrulaterul,ADBE,este,dreptunghi,și,
atunci,DE,trece,prin,mijlocul,C’,al,lui,AB.,Cum,,A,
B, C,D,E,B’ , ,C’,
F,G,

, 29 oCBˆEEBˆABEˆ' C ≡ ≡ ,,
,rezultă,că,,
BC||E'C .,
,, Deoarece,paralela,prin, C’, la, BC, este, linie, mijloc ie, în, triunghiul, ABC,, rezultă, că, C’E,
trece,și,prin,B’,,mijlocul,laturii,AC.,Prin,urmare, ,punctele,D,și,E,se,află,pe,dreapta,C’B’.,,
,, Analog,,se,arată,că,punctele,F,și,G,se,află,pe,dr eapta,B’C’.,
,, Astfel,,am,identificat,dreapta,B’C’,pe,care,sunt, situate,punctele,D,,E,,F,și,G.,
,, ,
,,Problemao17.o
,, Fir, triunghiul, oarecare, ABC., Bisectoarele, interio ară, și, exterioară, ale, unghiului, B,
intersectează,bisectoarele,interioară,și,exterioară ,ale,unghiului,C,în,D,,respectiv,E.,Să,se,arate,
că,A,,D,și,E,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,, Notăm,cu,F,intersecŃia,dintre,bisectoarea,interio ară,a,lui,C,cu,bisectoarea,exterioară,a,
unghiului, B,, respectiv, cu, G,, intersecŃia, dintre, bis ectoarea, interioară, a, lui, B, cu, bisectoarea,
exterioară,a,unghiului,C.,,
,A,
B, ,,C,,D ,
E,,
,,F,
,
,,G,

, 30 o,, Astfel,,sha,format,triunghiul,EGF,în,care,GB,este ,înălŃime,și,FC,este,înălŃime.,,
,, De,aici,rezultă,că,EA,este,cea,deha,treia,înălŃim e,a,triunghiului,EFG,și,deci,,punctele,A,,
D,și,E,sunt,coliniare.,
,
oo Problemao18.o
oo Fie, trapezul, ABCD, ( BC||AD )., Bisectoarele, interioare, din, A, și, B, se, taie, în, E, , iar,
bisectoarele, interioare, din, C, și, D, se, taie, în, F., Fi e, G, mijlocul, diagonalei, AC., Să, se, arate, că,,
punctele,E,,F,și,G,sunt,coliniare.,
,oo Rezolvare.o
,
,, Triunghiul, AEB, este, dreptunghic, în, E., Dacă, M, este , mijlocul, laturii, AB,, atunci,
DA||ME , deoarece, EAˆDEAˆMAEˆM ≡ ≡ ., Prin, urmare,, paralela, prin, M, la, AD,, adică, linia,
mijlocie,a,trapezului,conŃine,punctul,E.,Analog,,pe ntru,G.,Deci,,punctele,E,,F,și,G,se,află,pe,
linia,mijlocie,a,trapezului.,
ooo o o
o Problemao19.o
oo Fie, trapezul, ABCD, ( BC||AD ), și, fie, M,, N, mijloacele, bazelor, AD, și, BC,, iar, P, și , O,
punctele,de,intersecŃie,ale,laturilor,neparalele,,r espectiv,ale,diagonalelor.,Să,se,demonstreze,că,
punctele,M,,O,,N,și,P,sunt,coliniare.,,
oo Rezolvare.o
,, Fie,E,și,F,punctele,de,intersecŃie,cu,laturile,AB ,,respectiv,CD,ale,paralelei,la,baze,dusă,
prin,O.,
,

, 31 o,, Din,triunghiurile,asemenea,AEO,și,ABC,,respectiv, DFO,și,DCB,,rezultă:,
ACAO
BCEO= ,, BDOD
BCOF= .,
,, Însă,,BDOD
ACAO= ,și,atunci,avem,că:,
BCOF
BCEO= ,,
de,unde,rezultă,,
OF EO= ,,
adică,O,este,mijlocul,segmentului,EF.,,
,, Prin, urmare,, punctele, M,, O,, N, și, P, sunt, coliniare ,, fiind, situate, pe, mediana, din, P, a,
triunghiului,APD.,
,
oo Problemao20. ,
,, Să,se,arate,că,proiecŃiile,ortocentrului,unui,tri unghi,ABC,pe,bisectoarele,,interioară,și,
exterioară,,ale,unghiului,A,și,mijlocul,laturii,BC, sunt,coliniare.,,
oo Rezolvare. ,
,, Fie, B 1,, C 1,, A 1, picioarele, perpendicularelor, duse, din, B,, C, și, resp ectiv, A,, iar, H,
ortocentrul.,
,
,, Notăm, cu, A’, mijlocul, laturii, BC,, cu, P, și, Q,proiec Ńiile, lui, H,pe,bisectoarea, interioară,
respectiv,pe,bisectoarea,exterioară,(care,pleacă,di n,A).,
,, Patrulaterul,AB 1HC 1,este,inscriptibil,în,cercul,(C 1),de,diametru,AH.,
,, Cum,,
o90)HQˆA(m)HPˆA(m = = ,

, 32 orezultă,că, )C(Q, P 1∈ .,
,, Cum,patrulaterul,APHQ,este,dreptunghi,,înscris,în ,cercul,de,diametru,AH,,rezultă,că,și,
diagonala,PQ,este,diametru,în,cercul,(C 1).,Punctul,P,este,mijlocul,arcului,B 1HC 1,,pentru,că,[AP,
este,bisectoare;,atunci,diametrul,PQ,este,mediatoar ea,coardei,B 1C1.,Patrulaterul,BCB 1C1,,fiind,
inscriptibil,în,cercul,(C 2),de,diametru,BC,,iar,B 1C1,fiind,coardă,comună,a,celor,două,cercuri,
(C 1), și, (C 2),, urmează, că, mediatoarea, sa, PQ, va, conŃine,punctul, A’,, care, este, centrul, cercului,
(C 2).,Prin,urmare,,proiecŃiile,ortocentrului,pe,bisect oarele,,interioară,și,exterioară,,ale,unghiului,
A, și, mijlocul, A’, al, laturii, BC, se, află, pe, dreapta, c are, unește, centrele, cercurilor, (C 1), și, (C 2),,
circumscrise,patrulaterelor,AB 1HC 1,,respectiv,BCB 1C1.,
,
2.5.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo PRINo REDEFINIREAo UNUIo
PUNCToCEoFIGUREAZĂoÎNoCONDIłIAoDEoCOLINIARITATEo
,,Coliniaritateaâ aâ treiâ (sauâ maiâ multe)â puncteâ seâ poa teâ demonstraâ șiâ prinâ
redefinireaâacelorâpuncteâcareâintrăâînâcerinŃaâdeâ coliniaritate. ,
,,Problemao21. ,
,, Fie,O,centrul,cercului,circumscris,triunghiului,A BC,,A”,punctul,diametral,opus,lui,A,,
A’,mijlocul,lui,BC,și,H,ortocentrul,triunghiului,AB C.,Să,se,arate,că,H,,A’,,A”,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
o
,, Triunghiul, ACA”, este, înscris, întrhun, semicerc, și, deci, ACC"A⊥ ., Cum, AC BH⊥ ,
urmează,că, BH||C"A .,Analog,,se,arată,că, CH||B"A ,și,prin,urmare,,patrulaterul,BHCA”,este,
paralelogram., Putem,, deci,, redefini, punctul, A”, prin , condiŃia, ca, patrulaterul, BHCA”, să, fie,
paralelogram, și, concluzia, este, imediată,, deoarece, d iagonalele, unui, paralelogram, se,
înjumătăŃesc,,adică,A’,fiind,mijlocul,lui,BC,,rezul tă,că,aparŃine,dreptei,HA”.,A,
,,,,,B ,O,,,,H ,
,,A” ,A’ ,
,,C ,

, 33 o,,Problemao22. ,
,, Un,patrulater,inscriptibil,are,diagonalele,perpen diculare.,Să,se,arate,că,,perpendiculara,
dusă,din,punctul,de,intersecŃie,al,diagonalelor,pe, una,din,laturi,,trece,prin,mijlocul,laturii,opuse.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Fie, patrulaterul, inscriptibil, ABCD,, cu, BD AC⊥ , și, fie, O, punctul, de, intersecŃie, al,
diagonalelor., Fie,, apoi, BC PF⊥ , și, E, mijlocul, laturii, AD., Prelungim, FP, și, fie, E’,p unctul, de,
intersecŃie,al,dreptelor,FP,și,AD.,
,, Avem, FPˆCCBˆDCAˆD ≡ ≡ ., Însă, ' EPˆAFPˆC≡ ,, ca, opuse, la, vârf, și, deci, ' EPˆACAˆD≡ ,,
adică,triunghiul,E’AP,este,isoscel.,Rezultă,că, A'EP'E≡ .,Analog,,se,arată,că,triunghiul,E’PD,
este,isoscel,,și,atunci, D'EP'E≡ .,Din, A'EP'E≡ ,și, D'EP'E≡ ,rezultă,că, D'EA'E≡ ,și,deci,E’,
este, mijlocul, segmentului, AD,, de, unde, E'E≡., Așadar,, dreapta, FP, trece,prin, mijlocul, laturii,
AD,,altfel,spus,,punctele,F,,P,și,E,sunt,concurente .,
,
,,Problemao23. ,
,, Fie,ABCDEF,un,hexagon,convex,,înscris,întrhun,cer c,,și,fie,M,punctul,de,intersecŃie,al,
diagonalelor, AD, și, BE., Punctele, C,, F, și, M, sunt, coli niare, dacă, și, numai, dacă,
FA DEBC EF CD AB ⋅⋅=⋅⋅ .,
,,Rezolvare.o
oA,D,,B ,
P,
,O ,C,
,E ,F,
,,,E’ ,

, 34 o,, Din,asemănarea,triunghiurilor,AMB,și,EMD,,respect iv,AME,și,BMD,rezultă:,
DEAB
MEAM= ,,respectiv, BDAE
MDME= ,,
care,,prin,înmulŃire,membru,cu,membru,conduc,la:,
BDAE
DEAB
MDAM⋅= .,
,, Notând,cu,N,punctul,de,intersecŃie,al,diagonalelo r,AD,și,CF,,analog,,obŃinem:,
CDAF
DFAC
NDAN⋅= .,
,, Coliniaritatea,punctelor,C,,F,și,M,revine,la, N M≡,și,deci,
BDAE
DEAB⋅CDAF
DFAC⋅= ,,
adică,,
DEFA BD AC DFAE CD AB ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ .,
,, Din, Teorema, lui, Ptolemeu,, aplicată, în, patrulatere le, inscriptibile, ADEF, și, ABCD,,
obŃinem,,respectiv:,
DEFA EF AD DF AB ⋅+⋅=⋅ ,
și,,respectiv:,
ADBC CDAB BD AC ⋅+⋅=⋅ ,,
care,înlocuite,în,egalitatea,
DEFA BD AC DFAE CD AB ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,,
după,reducerea,termenilor,asemenea,și,simplificarea ,factorului,AD,conduc,la,,
FA DEBC EF CD AB ⋅⋅=⋅⋅ ,,
adică,tocmai,identitatea,din,enunŃ.,
,
oo Problemao24. ,
,, În,triunghiul,ABC,se, consideră,punctele,M,,N,și,P ,pe,laturile,BC,, CA,,respectiv,AB,,
astfel,încât, PBPA
NANC
MCMB== .,Se,notează,cu,D,mijlocul,laturii,BC,,iar,prin,Q,s imetricul,lui,A,
faŃă,de,mijlocul,segmentului,MN.,Să,se,demonstreze, că,punctele,P,,D,,Q,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,, Construim,prin,N,o,paralelă,la,BC,,care,intersect ează,latura,AB,în,S.,Atunci:,
MCBM
NACN
SASB== ,
și,deci,

, 35 oAC||SM .,
,
,, Din,,
PBPA
MCBM
SASB== ,
rezultă,că,
PA SB= ,și, BP SA= .,
, Patrulaterul, MSNC, este, paralelogram, și, deci, SC, tre ce, prin, mijlocul, segmentului, AQ,,
deci,patrulaterul,ASQC,este,paralelogram.,
,, Cum,,
CQ AS= ,și, BP SA= ,
rezultă,că,BQCP,este,paralelogram.,
,, Astfel,, am, redefinit, D, ca, fiind, mijlocul, diagonal ei, PQ, a, paralelogramului, BQCP,, de,
unde,rezultă,că,punctele,P,,D,și,Q,sunt,coliniare.,
,
2.6.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo FOLOSINDo RECIPROC Ao
TEOREMEIoLUIoMENELAOSo
ââTeorema5lui5Menelaos: ââFieâABCâunâtriunghiâșiâfieâpuncteleâM,âNâșiâPâpeâ
drepteleâBC,âCAâșiâAB,âfărăâcaâvreunulâdintreâeleâs ăâcoincidăâcuâvreunâvârfâalâ
triunghiului.âDacăâpuncteleâM,âNâșiâPâsuntâcoliniar eâatunciâareâlocârelaŃia:â
1PBPA
NANC
MCMB=⋅⋅ .âA,
,,,B, C, M,N,P,
,D ,
Q,

, 36 ooo Rezolvare.o
,, Proiectăm, vârfurile, triunghiului, ABC, pe, dreapta, d eterminată, de, cele, trei, puncte,
coliniare,M,,N,și,P.,Se,obŃin,astfel,trei,puncte,A’ ,,B’,și,C’.,,
,
,, Este,ușor,de,observat,că:,
' PBB~' PAA,' NAA~' NCC,' MCC~' MBB ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ .,
,, Din,triunghiurile,asemenea,formate,rezultă:,
'BB'AA
PBPA,'AA'CC
NANC,'CC'BB
MCMB= = = .,
,, ÎnmulŃind,aceste,trei,egalităŃi,obŃinem:,
1PBPA
NANC
MCMB=⋅⋅ .,
,
ââReciproca5teoremei5lui5Menelaos: ââ FieâtriunghiulâABCâșiâfieâpuncteleâM,âNâ
șiâPâ(presupunemâcăâdouăâdintreâpuncteleâM,âNâșiâPâ suntâsituateâpeâdouăâlaturiâaleâ
triunghiului,âiarâalâtreileaâpunctâesteâsituatâpeâp relungireaâceleiâdeAaâtreiaâlaturiâsauâ
căâtoateâpuncteleâsuntâpeâprelungirileâlaturilorâtr iunghiului).âDacăâareâlocâegalitatea:â
1PBPA
NANC
MCMB=⋅⋅ âatunciâpuncteleâM,âNâșiâPâsuntâcoliniare. 5
,,Rezolvare.o
,, Presupunem,că,M,este,pe,prelungirea,laturii,BC.,D reapta,MN,intersectează,latura,AB,în,
C”.,,
,
,, Aplicăm,teorema,lui,Menelaos,pentru,punctele,coli niare,M,,N,și,R.,Rezultă:,

, 37 o1RBRA
NANC
MCMB=⋅⋅ ,,
dar,cum, 1PBPA
NANC
MCMB=⋅⋅ ,,rezultă,R,=,P,,adică,,punctele,M,,N,și,P,sunt,col iniare.,
ââ Cumâ reciprocaâ teoremeiâ luiâ Menelaosâ constituieâ un aâ dintreâ principaleleâ
metodeâdeâdemonstrareâaâcoliniarităŃiiâunorâtriplet eâdeâpuncte,âînâcontinuareâsuntâ
prezentateâaplicaŃiiâceâpunâînâevidenŃăâeleganŃaâpe âcareâoâimplicăâfolosireaâacesteiâ
teoremeâînârezolvareaâproblemelorâdeâcoliniaritate. â
,, ,
oo Problemao25. ,
,, O, dreaptă, taie, laturile, BC,, AC, și, AB, ale, unui, tri unghi, ABC,, în, punctele, A’,, B’, și,
respectiv,C’.,Se,iau,simetricele,M,,N,și,P,ale,fiec ăruia,din,aceste,puncte,faŃă,de,mijlocul,laturii,
pe,care,este,situat.,Să,se,arate,că,punctele,M,,N,ș i,P,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
o
,, Deoarece,A’,,B’,și,C’,sunt,coliniare,,avem:,
1B'CA' C
A'BC ' B
CA'BA'=⋅⋅ .,
,, Din,ipoteză,,deoarece,A 1,este,mijlocul,laturii,BC,,rezultă:,
MBMC
CA'BA'= .,
,, Analog,,B 1,și,C 1,sunt,mijloacele,laturilor,AC,și,AB,,avem,că:,
.PAPB
B'CA' C,NCNA
A' BC ' B
==
,
,, Prin,urmare,,utilizând,prima,parte,a,ipotezei,ave m:,,

, 38 o1NCNA
PAPB
MBMC=⋅⋅ .,
,, Conform,reciprocei,teoremei,lui,Menelaos,rezultă, că,punctele,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao26.o
oo Se, dă, triunghiul, oarecare, ABC, și, fie, punctul, D,, apa rŃinând, laturii, BC, astfel, încât,
DC3 BC ⋅= ., Notând, cu, E, mijlocul, medianei, CC’,, să, se, arate, că , punctele, A,, D, și, E, sunt,
coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, Deoarece,
11221
'ECEC
DCDB
AB'AC=⋅⋅=⋅⋅ ,
atunci,conform,reciprocei,teoremei,lui,Menelaos,rez ultă,că,punctele,A,,E,și,D,sunt,coliniare.,
,, ,
,,Problemao27. ,
,, Fie,un,triunghi,oarecare,ABC,și,B’,,C’,două,punct e,arbitrare,considerate,pe,laturile,CA,
și,AB,,iar,A 1,mijlocul,laturii,BC.,Paralela,dusă,prin,A,la,BC,in tersectează,dreapta,B’C’,în,M;,
A1C’, și, A 1B’, intersectează, pe, CA,, respectiv, AB,, în, punctele, N , și, P., să, se, demonstreze, că,
punctele,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
oA,
,B , C, D,,E ,C’ ,

, 39 o,, Fie,D,și,E,punctele,unde,paralela,prin,A,taie,dre ptele,A 1B’,,respectiv,A 1C’.,Utilizând,
teorema,lui,Menelaos,pentru,triunghiul,A 1DE,tăiat,de,transversalele,MB’C’,,NAB’,și,respectiv ,
PAC’,,obŃinem:,
1D' BA' B
A' CE ' C
MEMD 1
1= ⋅⋅ ,,
1AEAD
D' BA' B
NANE 1
1=⋅⋅ ,
și,
1A' CE ' C
AEAD
PDPA
11= ⋅⋅ ,
care,înmulŃite,membru,cu,membru,dau:,
1
AEAD
D' BA' B
A' CE ' C
PDPA
NANE
MEMD
22
22
1
2
12
1
1=⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ .,
,, Din,asemănarea,triunghiurilor,AC’E,și,C’BA 1,,AB’D,și,A 1B’C,rezultă,
,ADCA
D'BA' B,BAAE
A' CE ' C
1 11 1
==
,
care,ridicate,la,pătrat,și,înmulŃite,ne,dau:,
1
AEAD
D' BA' B
A' CE ' C
22
22
1
2
12
=⋅ ⋅ ,,
de,unde,rezultă,că:,
1PDPA
NANE
MEMD 1
1=⋅⋅ ,,
și,conform,reciprocei,teoremei,lui,Menelaos,,puncte le,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao28. ,
,, Să,se,demonstreze,că,picioarele,bisectoarelor,ext erioare,ale,unui,triunghi,sunt,trei,puncte,
coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,, Notăm,laturile,triunghiului,ABC:,
BC,=,a,,AC,=,b,,AB,=,c,

, 40 oși,fie,A 1,,B 1,,C 1,picioarele,bisectoarelor,exterioare,,respectiv,pe, prelungirile,laturilor,AB,,AC,și,
AB.,Utilizând,teorema,bisectoarei,avem,că:,
.ab
BCAC,ca
ABCB,bc
CABA
111111
===
,
,, ÎnmulŃind,aceste,trei,relaŃii,,membru,cu,membru,, obŃinem:,
1BCAC
ABCB
CABA
11
11
11=⋅⋅ ,
și,deci,punctele,A 1,,B 1,,C 1, sunt,coliniare.,
,
,,Problemao29. ,
,, Pe,diagonala,AC,a,pătratului,ABCD,se,iau,punctele ,E,și,F,astfel,încât,AE,=,CF,=,AB,(F,
este,pe,prelungirea,segmentului,AC).,Dreapta,BE,int ersectează,CD,,respectiv,AD,,în,punctele,
M,și,N,,iar,CN,și,DF,se,intersectează,în,P.,Să,se,a rate,că,punctele,M,,A,și,P,sunt,coliniare.,
,Rezolvare.o
o
,, În,triunghiul,ACN,,pentru,transversala,FDP,,aplic ăm,teorema,lui,Menelaos,și,obŃinem:,
1DADN
PNPC
FCFA=⋅⋅ .,
,, Însă,,cum,AE,=,AB,și,BC,=,CF,,deducem,că:,
) '3022( FBˆCCBˆEo= ≡ ,,N,F,
,,D,
,,A, ,,,B,C,M,
E,,,,P,

, 41 ode,unde,deducem,că,[BC,este,bisectoarea,unghiului, FBˆE ,,iar,[AB,este,bisectoarea,exterioară,a,
aceluiași,unghi,,și,avem,că:,
CECF
AEAF= ,
și,astfel,avem:,
1DADN
PNPC
ECEA=⋅⋅ ,
și,prin,urmare,rezultă,că,punctele,A,,M,și,P,sunt,c oliniare.,
,
,,Problemao30.o
,, Fie, un, triunghi, oarecare, ABC,, în, care, se, duc, înăl Ńimile, AA 1,, BB 1,, CC 1, și, medianele,
AA’,, BB’,,CC’.,Să,se, demonstreze, că,punctele,{M},=, BC ∩B1C’,,{N},=,CA ∩C1A’,,{P},=,
AB ∩A1B’,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,, Aplicăm,teorema,lui,Menelaos,pentru,triunghiul,AB C,și,transversalele,MC’B 1,,NA’C 1,,
respectiv,PB’A 1,,și,obŃinem:,
, 1BACA
C ' BA' B
PAPB, 1ACBC
B ' AC ' A
NCNA, 1CBAB
A' CB ' C
MBMC
111111
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅
,
care,prin,înmulŃire,membru,cu,membru,ne,dă:,
1BACA
ACBC
CBAB
PCPA
NCNA
MBMC
11
11
11=



⋅⋅ ⋅⋅⋅ .,
,, Pentru, a, arăta, că, 1BACA
ACBC
CBAB
11
11
11=⋅⋅ , se, aplică, teorema, lui, Menelaos, triunghiurilor,
AA 1C, și, AA 1B,, tăiate, de, transversalele, BHC,, respectiv, CHC 1,, unde, H, este, ortocentrul,
triunghiului, ABC, și, înmulŃim, între, ele, relaŃiile, ob Ńinute., Cum, 1PCPA
NCNA
MBMC=⋅⋅ , rezultă, că,
punctele,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,

, 42 o2.7.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo FOLOSINDo REZULTAT ULo
„DACĂoBoȘIoCoSUNToDOUĂoPUNCTEoDISTINCTE,oSITUATEoDE oACEEAȘIo
PARTEoAoDREPTEIoADoȘIoDACĂo CADBAD ˆ ˆ≡,oATUNCIoPUNCTELEoA,oBoȘIo
CoSUNToCOLINIARE”o
,,Aceastăâmetodăâeste,âînâgeneral,âcomplementarăâcuâm etodaâ2.2.,âdeseoriâfiindâ
necesarăâfolosireaâalternativăâaâlorâînâraportâcuâa numiteâpoziŃiiâparticulare.â
,
,,Problemao31. ,
,, Dacă,A,,B,și,C,sunt,puncte,coliniare,distincte,,i ar,A’,,B’,,C’,sunt,simetricele,lor,faŃă,de,
un,punct,O,,atunci,punctele,A’,,B’,,C’,sunt,colinia re.,
,,Rezolvare.o
,
,, Deoarece,punctele,A,,B,și,C,sunt,coliniare,rezult ă,că,
CAˆOBAˆO≡ .,
,, Din, 'A'OB OBA ∆≡ ∆ , rezultă, că, ' B ' AˆOBAˆO≡ ,, iar, din, 'A'OC OCA ∆≡ ∆ , rezultă, că,
' C ' AˆOCAˆO≡ .,
,, Astfel,,am,obŃinut:,



≡≡≡
' C ' AˆOCAˆO' B ' AˆOBAˆOCAˆOBAˆO
,
care,conduc,la,
' C ' AˆO' B ' AˆO≡ ,,
relaŃie,din,care,rezultă,că,punctele,A’,,B’,,C’,sun t,coliniare.,
,

, 43 o,,Problemao32. ,
,, Fie,E,interior,pătratului,ABCD,și,F,exterior,,ast fel,încât,triunghiurile,ABE,și,BCF,să,fie,
echilaterale.,Să,se,arate,că,punctele,D,,E,și,F,sun t,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, În,triunghiul,isoscel,DCF,(DC,=,CF),avem:,
.15)DFˆC(m) FDˆC(m150) FCˆD(m
oo
= ==
,
,, Cum,o15) FDˆC(m) EDˆC(m = = ,rezultă,că,punctele,D,,E,și,F,sunt,coliniare.,
,, ,
2.8.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo UTILIZÂNDo IDENTIT ATEAo
ABo+oBCo=oAC,oUNDEoAB,oBCoȘIoACoSUNToSEGMENTEoDEoDR EAPTĂo
,,Cuâ toatăâ căâ aparentâ esteâ ceaâ maiâ simplăâ metodăâ deâ d emonstrareâ aâ
coliniarităŃiiâpunctelorâA,âBâșiâC,âeaâesteâfolosit ăâfoarteârarâînâproblemeâconcrete.â
,
,,Problemao33.o
,, Dacă,A,,B,și,C,sunt,puncte,coliniare,distincte,,i ar,A’,,B’,și,C’,sunt,simetricele,lor,faŃă,de,
un,puncte,O,,atunci,punctele,A’,,B’,și,C’,sunt,coli niare.,
,,Rezolvare.o
,,,A , B,,,C,,,D,,,,E,
F,

, 44 o,, Din,A,,B,și,C,coliniare,și,pentru,că,B,aparŃine,s egmentului,AC,rezultă,că,
AB,+,BC,=,AC.,
,, Din, 'OB'A AOB ∆≡ ∆ ,rezultă,că,AB,=,A’B’.,
,, Din, 'OC'B BOC ∆≡ ∆ ,rezultă,că,BC,=,B’C’.,
,, Din, 'OC'A AOC ∆≡ ∆ ,rezultă,că,AC,=,A’C’.,
,, Înlocuind,aceste,ultime,trei,relaŃii,în,precedent a,rezultă,că:,
A’B’,+,B’C’,=,A’C’,,
adică,,punctele,A’,,B’,și,C’,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao34. ,
,, Fie,ABCD,un,patrulater,convex,și,un,punct,E,de,ac ea,parte,a,lui,AB,de,care,nu,este,C,,
astfel,încât,triunghiurile,ABE,și,ADC,sunt,asemenea .,Să,se,demonstreze,că,punctele,C,,B,și,E,
sunt,coliniare,dacă,și,numai,dacă,are,loc,egalitate a, BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅ .,
,,Rezolvare. ,
,
,, Din,asemănarea,triunghiurilor,ABE,și,ADC,rezultă, că,
ADAB
ACEA= ,
de,unde,,A ,,,,D, ,,C,
B,
,E ,

, 45 oADAC
ABEA= .,
,, În,plus,,,
EAˆBCAˆD≡ ,
și, BAˆC ,este,unghi,comun,,rezultă,că,
BAˆDEAˆC≡ ,,
adică, BAD~ EAC ∆ ∆ .,
,, Din, ADC~ ABE ∆ ∆ ,rezultă:,
ADCD ABBE⋅= .,
,, Din, BAD~ EAC ∆ ∆ ,rezultă,că:,
ADBD ACCE⋅= .,
,, Punctele,C,,B,și,E,sunt,coliniare,dacă,și,numai,d acă,,
CB,+,BE,=,CE.,
adică,,dacă,și,numai,dacă:,
ADBD AC
ADCD ABCB⋅=⋅+ ,,
adică,,dacă,și,numai,dacă:,
BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅ .,
,
2.9.oo DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo FOLOSINDo REZULTAT ULo
„DINTRuUNo PUNCTo EXTERIORo UNEIo DREPTEo SEo POATEo DUCEo Oo
PERPENDICULARĂoȘIoNUMAIoUNAoPEoACEAoDREAPTĂ”o
,,FieâdâoâdreaptăâșiâfieâpuncteleâA,âBâșiâC.âPentruâa âdemonstraâcăâpuncteleâA,âBâ
șiâ Câ suntâ coliniareâ trebuieâ săâ arătămâ căâ drepteleâ A Bâ șiâ ACâ suntâ amândouăâ
perpendiculareâpeâdreaptaâd. ,
,
,,Problemao35.o
,, În, triunghiul, ABC,, bisectoarea, interioară, BB’, est e, paralelă, cu, tangenta, la, cercul,
circumscris,triunghiului,ABC,,dusă,în,punctul,T,dia metral,opus,lui,A.,Să,se,demonstreze,că,B’,,
aparŃinând, laturii, AC,, centrul, O, al, cercului, circum scris, triunghiului, ABC, și, mijlocul, M, al,
laturii,BC,sunt,coliniare.,

, 46 o,,Rezolvare.o
,
,, Notăm,cu,P,punctul,în,care,tangenta,în,T,la,cerc, intersectează,dreapta,AC.,Avem,că:,
)CBˆA(m)CAˆT (m 90) TPˆC(m = −=o.,
,, Acum:,
)B ' BˆA(m) TPˆC(m = ,
și,deci:,
)CBˆA(m)B ' BˆA(m = .,
,, Cum, )CBˆA(m21)CBˆ' B(m = , rezultă, că, )CBˆA(m21)BCˆ' B(m = ,, deci,, triunghiul, BB’C,
este,isoscel,și,în,continuare,, BC M'B⊥ .,Cum, BC OM⊥ ,rezultă,că,punctele,B’,,O,și,M,sunt,
coliniare.,
,
,,Problemao36. ,
,, Cercurile,(C),de,centru,O,și,(C’),de,centru,O’,su nt,secante,în,A,și,B,și,au,centrele,de,
aceeași,parte,a,dreptei,AB.,Să,se,arate,că,dacă,A 1,și,A 2,sunt,puncte,diametral,opuse,lui,A,în,©,,
respectiv,(C’),,atunci,B,,A 1,și,A 2, sunt,puncte,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,, Cum,,
,

, 47 o,, Cum,,
o90)ABˆA(m)ABˆA(m 2 1 = = ,
rezultă,că, ABBA1⊥ ,și,respectiv,, ABBA2⊥ .,
,, Prin,urmare,,punctele,B,,A 1,și,A 2, sunt,puncte,coliniare.,
,, ,
,,Problemao37. ,
,, Întrhun,trapez,isoscel,,mijloacele,bazelor,și,pun ctul,de,intersecŃie,al,diagonalelor,sunt,
coliniare.,
,,Rezolvare.o
oo Fie, M, și, P, mijloacele, bazelor, CD,, respectiv, AB, și, O , punctul, de, intersecŃie, al,
diagonalelor,AC,și,BD.,,
,
,, Din,triunghiurile,isoscele,DOC,și,AOB,rezultă,că, CD OM⊥ ,și, AB OP⊥ .,
,, Din, CD OM⊥ ,, AB OP⊥ ,și, AB||CD ,rezultă,că,punctele,M,,O,și,P,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao38.o
,, Pe, segmentul, AB, se, consideră, punctul, arbitrar, M., Cercurile, circumscrise, pătratelor,
AMCD, și, BMEF,, de, laturi, AM, și, MB,, pătrate, construit e, de, aceeași, parte, a, dreptei, AB,, se,
intersectează,în,M,și,N.,Să,se,arate,că,A,,E,și,N,s unt,coliniare.,De,asemenea,,B,,C,și,N,sunt,
coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, ,

, 48 o,, Deoarece,
ooo90 45 45) BNˆM(m)MNˆA(m) BNˆA(m =+= + = ,
rezultă,că,,
NB AN⊥ .,
,, Cum,,
o90)BNˆE (m = ,
rezultă,că,,
NB EN⊥ .,
,, Prin,urmare,,punctele,A,E,și,N,sunt,coliniare.,
,, Analog,se,arată,că,B,,N,și,C,sunt,coliniare.,
,
oo Problemao39.o
,, Fie,triunghiul,ABC,,înscris,în,cercul,de,centru,O ,,cu,unghiurile,B,și,C,de,măsură, o60 ,,
respectiv, o45 .,Să,se,demonstreze,că,mijlocul,M,al,laturii,AC,,c entrul,O,al,cercului,și,proiecŃia,
D,a,lui,A,pe,latura,BC,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, Deoarece,AM,=,MC,rezultă,că, AC OM⊥ .,Notăm,cu,D’,intersecŃia,dreptelor,OM,și,BC.,
Atunci,,triunghiul,D’MC,este,dreptunghic,isoscel,pe ntru,că, o45)Cˆ(m= .,Rezultă,că,
D’M,=,MC,=,MA,,
de, unde, urmează, că, triunghiul, AD’C, este, dreptunghic , și, deci, BC'AD⊥ ., Cum,,prin, ipoteză,,
BC AD⊥ ,,rezultă,că, D'D≡.,Prin,urmare,,M,,O,și,D,sunt,puncte,coliniare.,
,
,
,

, 49 o2.11. DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo FOLOSINDo METODAo
ANALITICĂo
Dacă, M(x 1,y 1),, N(x 2,y 2), și, P(x 3,y 3), sunt, trei, puncte, date, prin, coordonatele, lor,, atun ci,
condiŃia,ca,M,,N,și,P,să,fie,coliniare,este,ca,ecua Ńia,dreptei,determinată,de,două,dintre,ele,să,fie,
verificată,de,coordonatele,celui,de,al,treilea.,Dec i,,
CondiŃiaânecesarăâșiâsuficientăâcaâM,âNâșiâPâsăâfie âcoliniareâeste:â
0
1 y x1 y x1 y x
3 32 21 1
=.â
,
Problemao40.o(TeoremaoluioGausso–oNewton)o
Se,dă,patrulaterul,complet,,laturile,căruia,au,ecua Ńiile:,
2x,–,y,–,2,=,0,,3x,–,y,–,3,=,0,,6x,+,y,+,2,=,0,și,x ,+,3y,–,11,=,0.,
,, Să, se, demonstreze, că, mijloacele, diagonalelor, aces tui, patrulater, sunt, trei, puncte,
coliniare.,
Rezolvare.o
Aflăm, coordonatele, vârfurilor, patrulaterului,, inter sectând, două, câte, două, ecuaŃiile,
laturilor:,
A(1,0),,B(0,,–,2),,C(–,1,4),,D(2,3),,E 


720,717,,F 

−38,91.,
Dacă,M,este,mijlocul,laturii,AC,,atunci,M(0,2).,
Dacă,N,este,mijlocul,laturii,BD,,atunci,N 


21, 1.,
Dacă,P,este,mijlocul,laturii,EF,,atunci,P 


212,6380.,
Pentru,punctele,M,,N,și,P,astfel,determinate,calcul ăm,determinantul:,
0212680
63160
212
1 21/ 2 63/801 2 / 1 11 2 0
=−−+= ,,
deci,,punctele,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,
,
,

, 50 oProblemao41.o(DreaptaoluioEuler)o
,, Fie,ABC,un,triunghi,oarecare.,Să,se,demonstreze,c ă,ortocentrul,,H,,centru,de,greutate,,G,
și,centrul,cercului,circumscris,triunghiului,,O,,su nt,trei,puncte,coliniare.,
,,Rezolvare. ,, ,
,, Considerăm,drept,sistem,de,axe,latura,BA,și,înălŃ imea,CD,,deci,originea,sistemului,este,
D,și,fie,A(a,0),,B(b,0),și,C(0,c).,
,
,, EcuaŃia,dreptei,CD,este,x,=,0,,iar,ecuaŃia,drepte i,AB,este,y,=,0.,
,, EcuaŃia,dreptei,AC,este, cy
aax=−−,,deci,cx,+,ay,–,ac,=,0.,
,, Dacă,notăm,cu,m,panta,dreptei,AC,,atunci,,deoarec e, AC'BB⊥ ,rezultă,că,panta,lui,BB’,
este, m1−.,Dar,,panta,lui,AC,este, ac
acm −=−= ,,deci,panta,lui,BB’,este, ca,,de,unde,rezultă,că,
ecuaŃia,lui,BB’,este, ) b x (cay −= ,,adică, 0 bayc ax =−− .,
,, Coordonatele,lui,H,se,obŃin,intersectând,CD,cu,BB ’,,de,unde,obŃinem, 

−cba, 0H .,
,, Coordonatele,lui,G,sunt, 

+
3c,3baG .,
,, Punctul,O,este,intersecŃia,dintre,mediatoarea,lat urii,AB,și,mediatoarea,laturii,AC.,,
,, Mediatoarea,laturii,AB,are,ecuaŃia, 2bax+= .,
,, Mijlocul, lui, AC, are, coordonatele, 


2c,2a,, deci, mediatoarea, lui, AC, are, ecuaŃia,


−=−2axca
2cy .,
,, Intersectând,ecuaŃiile,celor,două,mediatoare,obŃi nem, 


 + +
c 2ab c,2baO2
.,,,C(0,c),
B(b,0), A(a,0),,,B’,
,,,,H,
,,O,,,,G ,

, 51 o,, Calculăm,determinantul,,înlocuind,coordonatele,pu nctelor,H,,G,și,O:,
03ba
cab
2ba
3c
2ba
cab
c 2ab c
3ba
3c
1c 2ab c
2ba13c
3ba1cab0
2
2=+⋅++⋅−+⋅++⋅++=
+ ++−
,,
deci,,punctele,H,,G,și,O,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao42.o
,, Se,dă,triunghiul,ABC.,O,paralelă,la,latura,BC,înt âlnește,pe,AB,în,D,și,pe,AC,în,E.,se,
duc, DG, și, EF, perpendicularele, pe, BC., Să, se, demonstr eze, că, mijlocul, laturii, BC,, mijlocul,
înălŃimii,dusă,din,A,și,centrul,dreptunghiului,DEFG ,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Luăm,ca,axe,de,coordonate,latura,BC,și,înălŃimea, dusă,din,A,pe,BC,,deci,A(0,a),,B(b,0),
și,C(c,0).,,
,, EcuaŃia,dreptei,AO,este,x,=,0.,
,, EcuaŃia,dreptei,BC,este,y,=,0.,
,, Fie,P,mijlocul,lui,AO.,Atunci,, 


2a, 0P .,
,, Fie,M,mijlocul,lui,BC.,Atunci,, 

+0 ,2cbM .,
,, Deoarece,DE,||,BC,rezultă,că,ecuaŃia,dreptei,DE,e ste, α=x .,
,, EcuaŃia,dreptei,AB,este, ) b x (bay −−= .,
,, Dar,, AB DE}D{ ∩= ,,deci, 

αα−,a) a ( bD .,
,, Analog,, 

αα−,a) a ( cE .,,,A(0,a) ,
B(b,0), C(c,0), ,,,,,G,,,,,,O ,,,,,,D, ,,,,,E,
,,,F , ,M ,,,,,N ,P,
,,,,,, ,

, 52 o,, Cum,F,este,proiecŃia,lui,E,pe,AC,rezultă,că, 

 α+α−
2,a 2) c b)( a (F .,
,, Din,,
02 2cb
a 2) c b)( a (
2a
2a
2cb
12 a 2) c b)( a (12a01 02cb
=α⋅+−+α−⋅−⋅+=
α +α−+
,
rezultă,că,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao43.o
oo Se,dau,două,cercuri,tangente,interior,în,O.,Diametr ul,prin,O,le,mai,taie,în,A,și,B.,Din,
mijlocul,P,al,segmentului,AB,se,duce,perpendiculara ,pe,OAB,și,din,același,punct,,de,aceeași,
parte,a,diametrului,,se,duce,tangenta,la,cercul,int erior.,Fie,D,punctul,de,contact,al,tangentei,și,
M,punctul,de,intersecŃie,al,perpendicularei,cu,cerc ul,exterior.,Să,se,demonstreze,că,O,,M,și,D,
sunt,coliniare.,
oo Rezolvare.o
o
,, Considerăm, sistemul, de, coordonate, cu, originea, în, O,, diametrul, ca, axă, orizontală, și,
tangenta,în,O,ca,axă,verticală.,Atunci,O(0,0),,O 1(r 1,0),,A(2r 1,0),,O 2(r 2,0),,B(2r 2,0),,P(r 1,+,r 2,0),,
iar,cercurile,au,ecuaŃiile:,
,, ,, C 1:, 2
12 2
1 r y )rx ( =+− ,,C2:, 2
22 2
2 r y )rx ( =+− .,
,, M, reprezintă, intersecŃia, dreptei, PM,, de, ecuaŃie, x rr 2 1=+ , și, C 2,, deci,
− +2
12
2 2 1 r r,rrM .,,,,,,O,,,,y,
,A, P, ,,B,,
D,,,M,
O, ,O,1, 2,

, 53 o,, Considerând, sistemul,

=+−−−=
2
12 2
12 1
r y )rx ()rrx (my
, și, punând, condiŃia, să, aibă, soluŃie, unică,
obŃinem, 


− +2
12
2
212 1
21r rrr),rr (rrD .,
,, Deoarece,,
0 r rrr)rr ( r rrr)rr (
1 r rrr)rr (rr1 r r rr1 0 0
2
12
2
212 12
12
2
212 1
2
12
2
212 1
212
12
2 2 1 =− +−− +=
− +− +,
rezultă,că,O,,D,și,M,sunt,coliniare.,
,
2.12. DEMONSTRAREAo COLINIARITĂłIIo FOLOSINDo NUMERELEo
COMPLEXEo
PropoziŃiao1.o
Dacă,M 1,și,M 2,sunt,puncte,cu,afixele,z 1,și,z 2,,atunci,mijlocul,M,al,segmentului,M 1M2,
are,afixul, 2zz 2 1+.,
PropoziŃiao2.o
Dacă,M 1,,M 2,,M 3,,M 4,sunt,de,afixe,z 1,,z 2,,z 3,,z 4,,atunci,M 1,,M 2,,M 3,,M 4,sunt,vârfurile,
unui,paralelogram,dacă,z 1,+,z 3,=,z 2,+,z 4.,
PropoziŃiao3.o
Dacă,M 1,și,M 2,sunt,puncte,cu,afixele,z 1,și,z 2,≠,0,,iar, 1 2 z zα= ,,atunci,[OM 1,și,[OM 2,
coincid,dacă, 0>α ,și,sunt,opuse,dacă, 0<α .,
PropoziŃiao4.o
Dacă, M,, N, și, P, sunt, puncte, de, afixe, z 1,, z 2,, z 3,, atunci, P, ∈MN, dacă, și, numai, dacă,
R∈−−
1 21 3
z zz z.,
âCondiŃiaâdeâcoliniaritateaâaâpunctelorâM,âNâșiâPâd eâafixeâz 1,âz 2,âz 3âeste:â
0
1 z z1 z z1 z z
3 32 21 1
=.â

, 54 oProblemao44. ,
Întrhun, triunghi, ABC,, centrul, de, greutate,, G,, ortoc entrul,, H, și, centrul, cercului,
circumscris,triunghiului,,O,,sunt,puncte,coliniare. ,
Rezolvare.o
,
Fie,a,,b,și,c,afixele,punctelor,A,,B,și,C.,
Considerăm,sistemul,de,coordonate,cu,originea,în,O. ,
G,va,avea,afixul, 3cba++.,
Fie, Q, simetricul, lui, O, faŃă, de, BC., Atunci,, AO, =, OB, =, BQ, =, CQ,, deci, COBQ, este,
paralelogram,,de,unde,rezultă,că,OQ,și,BC,au,acelaș i,mijloc,,care,conduce,la,faptul,că,afixul,Q,
este,b,+,c.,
Pe,de,altă,parte,,AHQO,este,paralelogram,,deci,HO,ș i,AQ,au,același,mijloc,,deci,afixul,
lui,H,este,a,+,b,+,c,,de,unde,rezultă,că, GHO∈ ,dacă,,
R∈++−++++−
3cbacba3cba0
,,
care, revine, la, faptul, că, O,, G, și, H, sunt, coliniare, d acă, R∈−21,, ceea, ce, este, adevărat,, deci,
punctele,O,,G,și,H,sunt,coliniare.,
,
Problemao45. ,
Picioarele, perpendicularelor, duse, dintrhun, punct, M, ce, se, află, pe, cercul, circumscris,
triunghiului,ABC,,pe,laturile,acestuia,,sunt,colini are.,
,A, B,O,,,
,,G, ,,
,,H,,,,C,
,Q,

, 55 oRezolvare. ,
Luăm,ca,origine,centrul,cercului,circumscris,triung hiului,ABC,,iar,a,,b,și,c,sunt,afixele,
punctelor,A,,B,și,C.,
,
Folosind, faptul, că, piciorul, perpendicularei, din, M(z 0), pe, dreapta, 0az z =+α+α , are,
afixul, α−α−α
2az z,,avem,că,piciorul,A 1,al,perpendicularei,din,M(m),pe,dreapta,BC,de,ecuaŃ ie,
cbzbcz +=+ ,are,afixul,a 1,astfel,încât, mbcmcb a 21 −++= .,
Analog,, b 1,, c 1,, afixele, punctelor, B 1,, C 1,, picioarele, perpendicularelor, din, M, pe, CA,,
respectiv,AB,sunt,date,de, mcamac b21 −++= ,și, mabmba c 21 −++= .,
ObŃinem:,

−−=−−−=−
)mb1)(ac ()ca ( 2)mc1)(ab ()ba ( 2
1 11 1,
de,unde,rezultă,,
cm1bm1
:caba
caba
1 11 1
−−
−−=−−.,
,, CondiŃia,ca,A 1,,B 1,,C 1,să,fie,coliniare,,deci, R∈−−
1 11 1
caba,este,ca,punctele,de,afixe,a,,b,,c,
și, m1,să,fie,conciclice.,,
,, Deci,,punctele,de,afixe,m,și, m1,sunt,înscrise,în,raport,cu,centrul,O,de,ecuaŃie, 1zz=.,
,, Rezultă,că,A 1,,B 1,,C 1,sunt,coliniare,dacă,și,numai,dacă,M,se,află,pe,cer cul,circumscris,
triunghiului,ABC.,

, 56 o,,Problemao46. ,
,, Fie,ABC,un,triunghi,și,punctele,M,,N,și,P,pe,drep tele,BC,,CA,și,AB,,dar,fără,ca,vreunul,
din,aceste,puncte,să,coincidă,cu,vreun,vârf.,Puncte le,M,,N, și,P,sunt, coliniare,dacă,și,numai,
dacă, 1PBPA
NANC
MCMB=⋅⋅ .,
,,Rezolvare. ,
,, Fie, γ=β= α=PBPA,NANC,MCMB,,a,,b,și,c,afixele,punctelor,A,,B,și,,respectiv,,C .,
,, Atunci,,afixele,punctelor,M,,N,și,P,,notate,prin, m,,n,și,p,sunt,date,de,formulele,
γ−γ−=β−β−=α−α−=1cap ,1a cn ,1c bm .,
,, Scriind,aria,triunghiului,MNP,în,funcŃie,de,afixe le,vârfurilor,avem:,
.
1c c1b b1a a
0 11 01 0
)1)(1)( 1 ( 4i1 ca ca1 a c a c1c b c b
)1)(1)( 1 ( 4i1 p p1 n n1 m m
4iAMNP
⋅
γ−β−α−
γ−β−α−=γ− γ− γ−β− β− β−α− α− α−
γ−β−α−=−=
,
,, Deoarece,,
0
1c c1b b1a a
AABC ≠ = ,
iar,



≠γ≠β≠α
111
,
rezultă,că,M,,N,și,P,sunt,coliniare,dacă,și,numai,d acă, 0 AMNP=,,echivalent,cu, 1=αβγ .,
,
,
,

, 57 o2.13. DEMONSTRAREAoCOLINIARITĂłIIoFOLOSINDoVECTORIo
DacăâpuncteleâA,âBâșiâCâsuntâcoliniare,âatunciâvect oriiâ ABâșiâ ACâvorâfiâ
coliniari,âdeciâexistăâunâânumărârealârâastfelâîncâ tâ ABâ=âr AC,ârâvaâreprezentaâ
raportulâînâcareâpunctulâAâîmparteâsegmentulâBC.â
OâcondiŃieânecesarăâșiâsuficientăâcaâpuncteleâA,âBâ șiâCâsăâfieâcoliniareâesteâsăâ
existeâtreiânumereâq,ârâșiâs,ânuâtoateânule,âdarâav ândâsumaâ0,âastfelâîncâtâsăâfieâ
verificatăârelaŃia:â
0 OCs OBr OAq =⋅+⋅+⋅ .â
,
Problemao47.o(TeoremaoluioMenelaos)o
,, CondiŃia,necesară,și,suficientă,ca,trei,puncte,P’ ,,Q’,și,R’,,situate,pe,laturile,unui,triunghi,
PQR, să, fie, coliniare, este, ca, rapoartele,
Q ' RP ' Rr,
P ' QR ' Qq,
R ' PQ ' Pp = = = , să, verifice, condiŃia,
1 pqr=.,
Rezolvare.o
,
Vom,presupune,că,punctele,P’,,Q’,și,R’,sunt,definit e,de,P,,Q,și,R.,Numerele,p,,q,și,r,nu,
depind,de,alegerea,punctului,O.,Să,alegem,O,=,P’.,D in,ipoteză,avem:,,
ORp OQ ⋅= ,, q1OPq OR'OQ−⋅−= ,, r1ORrp OP
r1OQr OP'OR−⋅−=−⋅−= .,
,, Punctele, O, =, P’,, Q’, și, R’, sunt, coliniare, dacă, exi stă, un, număr, real, k, astfel, încât,
'ORk'OQ= .,Rezultă,condiŃia, )ORrp OP)(q1 ( k )OPq OR)(r1 ( ⋅− −=⋅− − .,
,, Punctele,O,,R,și,P,nu,pot,fi,coliniare.,Ultima,eg alitate,conduce,la,relaŃiile,,
)q1(kq)r1( −=−− ,și, )q1(krp r1 −−=− .,
,, Eliminând,k,obŃinem, 1 pqr=,și,deci,teorema,este,demonstrată.,,P, ,
Q, , R,,,O,=,P’, ,,Q’,,R’ ,

, 58 oProblemao48.o
,, În,patrulaterul,ABCD,fie, CDP,ABS ∈ ∈ ,astfel,încât, k
PCPD
SBSA== .,
,, Să,se,demonstreze,că,mijloacele,segmentelor,BC,,S P,și,AD,sunt,coliniare.,
Rezolvare.o
,
,, Din,ipoteză,avem:,
)PC SB( k PD SA,PCk PD,SBk SA + =+ = = .,
,, Dacă,M,,N,și,Q,sunt,mijloacele,segmentelor,PS,,AD ,,respectiv,BC,,avem:,
MN2 PD SA =+ ,și, MQ2 PC SB =+ ,,
iar,relaŃia, )PC SB( k PD SA + =+ ,devine,
MQk MN= ,,
adică,,punctele,M,,N,și,Q,sunt,coliniare.,
,
Problemao49.o
,, Se,prelungesc,laturile,AB,și,AD,ale,unui,paralelo gram,ABCD,cu,segmentele,BM,=,AD,
și,DN,=,AB.,Să,se,demonstreze,că,punctele,M,,C,și,N ,sunt,coliniare.,
Rezolvare.o
,

, 59 o,, Notăm, kABAD=.,Atunci, ABk BM= ,și, ADk1DN= .,
,, În,triunghiurile,CBM,și,CDN,vectorii, CM,și, CN,se,exprimă,prin,relaŃiile:,
BM CB CM += ,și, DN CD CN += .,
,, Substituind,valorile,vectorilor, BM,și, DN,obŃinem,
AD ABk ABk CB CM − = += ,
și,
CMk1)AD ABk (k1ADk1AB ADk1BA ADk1CD CN −=− −= +−= += += ,,
deci,, CMk1CN−= ,,adică,, CM,și, CN,sunt,coliniari,,echivalent,cu,M,,C,și,N,puncte,col iniare.,
,
2.13.ooAPLICAłIIoREMARCABILEo
oo DREAPTAooLUIooSIMSONuWALLACEo
oo ProiecŃiile,ortogonale,ale,unui,punct,pe,cercul,cir cumscris,triunghiului,ABC,pe,laturile,
acestuia,sunt,coliniare.,
oo Rezolvare. ,
Fie,D,proiecŃia,lui,M,pe,BC,,E,proiecŃia,lui,M,pe,A C,și,F,proiecŃia,lui,M,pe,AB.,Vom,
uni,separat,E,cu,F,și,E,cu,D.,,
,
Patrulaterele,AEMF,,MEDC,,FBDM,sunt,inscriptibile., ,Avem:,,
AEˆFAMˆF MAˆF 90CMˆDCEˆD = = −= =o.,
,, Deci,,
CEˆDAEˆF≡ ,(opuse,la,vârf),,
și,deci,D,,E,și,F,sunt,coliniare.,

, 60 ooo DREAPTAoLUIoEULER ,
oo În,orice,triunghi,ortocentrul,(H),,centrul,de,greut ate,(G),și,centrul,cercului,circumscris,
triunghiului, (O), sunt, coliniare., Dreapta, determinat ă, de, aceste, puncte, se, numește, dreapta5lui5
Euler .,
oo Rezolvare. ,
1),, Dacă,triunghiul,ABC,este,isoscel,sau,dreptunghi c,,atunci,cele,trei,puncte,se,găsesc,pe,o,
mediană.,
2),, Fie,triunghiul,ABC,ascuŃitunghic.,În,cazul,în,c are,ABC,este,obtuzunghic,,consideraŃiile,
de,mai,jos,rămân,valabile.,
,
,, ∆HAB ∼∆OA’B’,(au,laturile,paralele).,
,, Din,teorema,fundamentală,a,asemănării,,avem:,
21
AOHA
21
BAAB
BOHB
'OAHA=′⇒=′′=′= ,
,, Dar,și, ∆OGA’ ∼∆HGA,,conform,cazului,al,doilea,de,asemănare,,de,und e,rezultă,,
HGˆAG ' AˆO≡ .,
,, Va,rezulta,că,punctele,O,G,și,H,sunt,coliniare.,
,
ooo DREAPTAoORTICĂo
oo Fie,triunghiul,ABC,și,fie:,,
A’=,Pr BC A,,,B’=,Pr AC B,și,C’=,Pr AB C.,
,, Fie,,
BC, ∩,B’C’={M},,AB, ∩,A’B’={N},și,AC, ∩,A’C’={P}.,
,, Atunci, punctele, M,, N, și, P, sunt, coliniare., Dreapta , determinată, de, aceste, puncte, se,
numește, dreapta5ortică .,

, 61 ooo Rezolvare.o
o
o
o
,, Se,aplică,teorema,lui,Menelaos,în,următoarele,caz uri:,
,, , ∆ABC,și,A’,,C’,,P,–,coliniare,,
,, , ∆ABC,și,B’,,C’,,M,–,coliniare,,
,, , ∆ABC,și,A’,,B’,,N,–,coliniare,
și,se,obŃin,relaŃiile:,
).3 ( 1ABBC
CAAB
NBNA),2 ( 1BCCA
ABBC
MCMB),1 ( 1ACCB
BAAC
PCPA
=′′⋅′′⋅=′′⋅′′⋅=′′⋅′′⋅
,
,, Se,aplică,apoi,în,triunghiul,ABC,,teorema,lui,Cev a,,unde:,AA’, ∩,BB’, ∩,CC’={H},și,
avem,relaŃia:,
) 4 ( 1BCCA
ABBC
CABA=′′⋅′′⋅′′.,
,, Prin,înmulŃirea,relaŃiilor,(1),,(2),,(3),și,(4),s e,va,obŃine:,
1MCMB
NBNA
PAPC=⋅⋅ ,
ceea,ce,înseamnă,că,punctele,M,,N,și,P,sunt,colinia re.,
,
,

, 62 oo TEOREMAoLUIoDESARGUESo
, Dacă, două, triunghiuri, au, vârfurile, două, câte, două, pe, trei, drepte, concurente,, atunci,
laturile,lor,se,intersectează,două,câte,două,în,tre i,puncte,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,, Fie,,
}.M{ EF BC},P{ DE AB},N{ DF AC
=∩=∩=∩
,
,
,
,, În,triunghiul,OEF,tăiat,de,transversala,M,–,B,–,C ,,avem:,
OCOB
BECF
MEMF1MEMF
BOBE
CFCO⋅= ⇒=⋅⋅ .,
,, Analog,,
AOCO
CFAD
NFND⋅= ,și, BOAO
ADBE
PDPE⋅= ,,
de,unde,,
1PDPE
NFND
MEMF=⋅⋅ ,,
adică,,conform,teoremei,lui,Menelaos,pentru,triungh iul,DEF,,punctele,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,
,

, 63 oo TEOREMAoLUIoCARNOTo
,, Dacă,un,cerc,taie,laturile,unui,triunghi,în,punct ele,D,,M,,E,,N,,F,,P,atunci,,
1PBPA
FBFA
NANC
EAEC
MCMB
DCDB=⋅⋅⋅⋅⋅ .,
,Rezolvare.o
,
,, Cum,
CNCE CD CM)C(,AE AN APAF)A(,BFBP BM BD) B(
⋅=⋅=ρ⋅=⋅=ρ⋅=⋅=ρ
,
și,
1) B()A(
)A()C(
)C()B(=ρρ⋅ρρ⋅ρρ,
rezultă,că:,
1PBPA
FBFA
NANC
EAEC
MCMB
DCDB=⋅⋅⋅⋅⋅ .,
,
,,TEOREMAoLUIoPASCALo
,, Laturile,opuse,ale,unui,hexagon,înscris,întrhun,c erc,se,intersectează,în,puncte,coliniare.,
,,Rezolvare.o
, Fie,,
}.S { AB ME},R{ AC PD},Q{ BC FN
=∩=∩=∩
,

, 64 o
,
,, În,triunghiul,ABC,tăiat,de,transversala,N,,F,și,Q ,avem:, 1FBFA
NANC
QCQB=⋅⋅ .,
, În,triunghiul,ABC,tăiat,de,transversala,D,,P,și,R, avem:, 1DCDB
PBPA
RARC=⋅⋅ .,
, În,triunghiul,ABC,tăiat,de,transversala,M,,E,și,S, avem:, 1MBMC
ECEA
SASB=⋅⋅ .,
,, Deci,,
1MBMC
ECEA
SASB
DCDB
PBPA
RARC
FBFA
NANC
QCQB=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ,,
însă,,conform,teoremei,lui,Carnot,
1PBPA
FBFA
NANC
ECEA
MBMC
DCDB=⋅⋅⋅⋅⋅ ,
și,deci,,
1SASB
RARC
QCQB=⋅⋅ ,,
adică,,punctele,Q,,R,și,S,sunt,coliniare.,

, 65 o,,DREAPTAoLUIoGAUSSo
o Mijloacele,diagonalelor,unui,patrulater,complet,sun t,coliniare.,
,Rezolvare.o
,
, Se,consideră,triunghiul,având,ca,vârfuri,mijloacel e,M,,N,și,P,ale,laturilor,BC,,CA,și,AB,
ale, triunghiului, ABC., Notând, cu, M’,, N’, și, P’, mijloa cele, diagonalelor, AA’,, BB’, și, CC’, se,
observă,că,paralela,dusă,prin,punctul,M’,la,dreapta ,BC,conŃine,punctele,N,și,P,(M’N,||,A’C,și,
M’P,||,A’B).,Analog,, PM'N∈ ,și, MN'P∈ .,
, Aplicând,teorema,lui, Menelaos,în,triunghiul, ABC,,p entru,punctele,coliniare,A’,,B’, și,
C’,,rezultă,,
1B'CA' C
A'BC ' B
C'AB ' A=⋅⋅ ,
și,astfel,,
1
2B ' C2A' C
2A' B2C ' B
2C ' A2B ' A
=⋅⋅ ,
adică,,
1M'PN' P
P'NM' N
N'MP 'M=⋅⋅ .,
,, Deoarece, ]PM['N∈ ,, ]MN['P∈ ,și, ]PN[ PN['M −∈ ,rezultă,că,se,poate,folosi,reciproca,
teoremei,lui,Menelaos,pentru,triunghiul,MNP,și,punc tele,M’,,N’,și,P’,,obŃinânduhse,astfel,că,
punctele,M’,,N’,și,P’,sunt,coliniare,,dreapta,M’N’, numinduhse,dreapta,lui,Gauss.,
,
,
,

, 66 oCCAAPPIITTOOLLUULLoo33oo____________________________________________________________________________________________oo
CCOONNCCUURREENNłłĂĂooÎÎNNooPPLLAANNoo
,, ,
,
,
,, Problemele,privind,concurenŃa,unor,drepte,,la,fel ,ca,problemele,de,coliniaritate,a,unor,
puncte,, prezintă, adevăruri, care, sunt,, în, general,, a devăruri, ușor, de, intuit,, însă, a, căror,
demonstraŃie,riguroasă,cere,raŃionamente,precise,și ,o,gamă,variată,de,tehnici,specifice.,În,acest,
gen,de,probleme,avem,de,stabilit,,pe,baza,unor,jude căŃi,logice,că,,dacă,două,drepte,a,și,b,au,un,
punct,comun,X,,atunci,Y,și,Z,fiind,puncte,aparŃinân d,unei,drepte,c,,pentru,a,arăta,că,dreptele,,,
a,,b,și,c,sunt,concurente,trebuie,demonstrată,colin iaritatea,punctelor,X,,Y,și,Z.,
,
,
,
,, Astfel,de,drepte,le,întâlnim,în,triunghiuri,ca,me diane,,mediatoare,,înălŃimi,,bisectoare,,
de,asemenea,,în,paralelograme,sau,trapeze,ca,diagon ale,,precum,și,în,probleme,„combinate”.,
Rezolvarea,lor,se,bazează,,în,prima,fază,,pe,găsire a,punctului,de,intersecŃie,,X,,a,două,drepte,a,
și, b,, apoi, în, raport, cu, datele, problemei,, se, va, dem onstra, că,, o, a, treia, dreaptă,, c,, trece, prin,
același,punct.,Punctul,respectiv,,găsit,,va,fi,punc tul,de,concurenŃă,al,dreptei,date.,
,, În,continuare,,sunt,prezentate,unele,metode,,mai, des,utilizate,,atât,în,gimnaziu,,cât,și,în,
liceu,,prioritar,la,rezolvarea,acestui,tip,de,probl eme,de,geometrie,plană.,
,
3.1.oo DEMONSTRAREAo CONCURENłEIo FOLOSINDo UNICITATEAo
MIJLOCULUIoUNUIoSEGMENTo
,,Peâdreaptaâd 1âseâidentificăâpuncteleâAâșiâB,âiarâpeâdreaptaâd 2âseâidentificăâ
puncteleâCâșiâD,âastfelâîncâtâsegmenteleâABâșiâCDâs ăâaibăâacelașiâmijloc.ââ
âââ Deâ reŃinutâ că,â aceastăâ metodăâ funcŃioneazăâ șiâ în â situaŃiaâ înâ careâ trebuieâ
demonstratăâconcurenŃaâmaiâmultorâdrepte.â
o

, 67 ooProblemao1. o
,, Fie, rombul, ABCD,, AC, fiind, diagonala, mare, a, rombul ui, și, A 1,, A 2,, C 1,, C 2, proiecŃiile,
punctelor,A,și,C,pe,laturile,opuse.,Să,se,demonstre ze,că,dreptele,A 1C1,,A 2C2,,AC,și,BD,sunt,
concurente.,
,Rezolvare.o
,
,, Cum, CC|| AA, CA||CA 1 1 1 11 , și, o90)Aˆ(m 1= , rezultă, că, patrulaterul, AA 1CC 1, este,
dreptunghi.,Diagonala,A 1C1,trece,prin,mijlocul,O,al,lui,AC.,Analog,,se,arată, că,și,A 2C2,trece,
prin,mijlocul,lui,AC.,
,
,,Problemao2. ,
,, Fie, triunghiul, ABC,, înscris, în, cercul, de, centru, O ,, și, D, punctul, diametral, opus, lui, A.,
Paralelele, prin, D, la, AB, și, AC, intersectează, cercul, circumscris, triunghiului, în, punctele, E, și,,
respectiv,,F,,iar,laturile,AC,și,AB,în,M,,respectiv ,N.,Să,se,arate,că,dreptele,AD,,CF,,BE,și,MN,
sunt,concurente.,
,,Rezolvare. ,
,

, 68 o,, Cum,patrulaterele,ABDE,și,ACDF,sunt,dreptunghiuri ,,rezultă,că,BE,și,CF,sunt,diametre,
în,cerc.,Patrulaterul,AMDN,este,paralelogram,,de,un de,rezultă,că,MN,trece,prin,mijlocul,lui,
AD,,adică,prin,O.,,
,, Prin,urmare,,dreptele,AD,,CF,,BE,și,MN,sunt,concu rente.,
,
,,Problemao3. ,
,, Fie,paralelogramul,ABCD,și,fie,E,și,F,puncte,pe,d iagonala,BD,astfel,încât,BE,=,EF,=,
FD.,Se,notează,cu,G,,G,,L,și,M,punctele,de,intersec Ńie,ale,perechilor,de,drepte,BC,și,AE,,CD,și,
AF,, AB, și, CE,, respectiv, AD, și, CF., Să, se, demonstreze , că, dreptele, AC,, EF, și, LH, sunt,
concurente.,
,,Rezolvare.o
o
,
,
,, Din, congruenŃa, triunghiurilor, ADE, și, BCF, rezultă, AE, =, CF,, iar, din, congruenŃa,
triunghiurilor,ADF,și,BCE,rezultă,AF,=,EC.,
,, Din,AE,=,CF,și,AF,=,EC,rezultă,că,patrulaterul,AE CF,este,paralelogram,și,,deci,,EF,
trece,prin,mijlocul,O,al,diagonalei,AC.,
,, Cum, EC||AF ,rezultă,că,patrulaterul,AHCL,este,paralelogram,și, ,prin,urmare,,diagonala,
LH,trece,prin,mijlocul,O,al,diagonalei,AC.,
,, Așadar,,dreptele,AC,,EF,și,LH,sunt,concurente.,
,
3.2.oo DEMONSTRAREAo CONCURENłEIo FOLOSINDo PROPRIETĂłI LEo
LINIILORoIMPORTANTEoÎNoTRIUNGHIo
,,Înâuneleâproblemeâdeâgeometrieâplană,âdemonstrareaâ concurenŃeiâunorâdrepteâ
seâreduceâlaâaâgăsiâunâtriunghiâînâcareâaceleâdrept eâsuntâînălŃimi,âsauâmediane,âsauâ
mediatoareâsauâbisectoare.â
o
o

, 69 ooProblemao4.o
,, În, planul, unui, triunghi, oarecare, ABC,, având, lungi mile, laturilor, a,, b,, respectiv, c,, se,
construiesc,în,exteriorul,triunghiului,,triunghiuri le,BCD,,ACE,și,ABF,astfel,încât,,
AE,=,FA,=,a,,BD,=,FB,=,b,și,DC,=,CE,=,c.,
,, Să,se,demonstreze,că,perpendicularele,duse,din,D, ,E,și,F,respectiv,pe,BC,,AC,și,AB,
sunt,concurente,întrhun,punct,H.,
,,Rezolvare.o
,
o,, Cum,patrulaterele,FBCA,și,ABCE,sunt,paralelograme ,,rezultă,că,punctele,F,,A,și,E,sunt,
coliniare.,,
,, Analog,,punctele,F,,B,și,E,,respectiv,D,,C,și,E,s unt,coliniare.,,
,, Prin,urmare,,FDE,este,un,triunghi,în,care,FE,este ,paralelă,cu,BC,,FD,paralelă,cu,AC,și,
DE,paralelă,cu,AB.,
,, Perpendicularele,duse,din,D,,E,și,F,respectiv,pe, BC,,AC,și,AB,sunt,perpendiculare,și,pe,
FE,,FD,și,DE.,Prin,urmare,,ele,sunt,înălŃimile,triu nghiului,FDE,,care,,este,știut,,sunt,concurente,
în,H.,
,,,
oo Problemao5.o
,, Pe, catetele, AC, și, AB, ale, unui, triunghi, dreptunghi c, ABC, ( o90)CAˆB(m = ),, se,
construiesc, în, exterior,, pătratele, ACDE, și, ABFG., Să , se, arate, că, dreptele, BD, și, CF, se,
intersectează,pe,înălŃimea,AH,a,triunghiului,ABC.,
,,Rezolvare.o

, 70 o
,
,
,, Notăm,cu,I,intersecŃia,dreptelor,ED,și,FG.,Din,co ngruenŃa,triunghiurilor,GAI,și,ABC,
rezultă,că, HAˆCCBˆAIAˆG ≡ ≡ ,,adică,punctul,I,este,situat,pe,înălŃimea,AH.,Triu nghiurile,ABI,
și,BFC,sunt,congruente,,de,unde,rezultă,că, CF BI⊥ .,De,asemenea,, CI BD⊥ .,Prin,urmare,,CF,,
IH,și,BD,sunt,înălŃimile,triunghiului,BIC.,
,
oProblemao6.o
,, Fie,I,punctul,de,intersecŃie,al,diagonalelor,trap ezului,ABCD,,E,și,F,mijloacele,bazelor,
AB,și,CD,ale,trapezului,,iar,G,și,H,mijloacele,diag onalelor,AC,și,BD.,Se,iau,punctele,I’,și,I”,,
simetricele,punctului,I,în,raport,cu,G,,respectiv,H .,Să,se,arate,că,dreptele,EF,,HI’,și,GI”,sunt,
concurente,,iar,2GK,=,K”I,,unde,K,este,punctul,de,i ntersecŃie,al,dreptelor,GI”,și,HI’.,
,,Rezolvare.o
o
,
,
,, Cum,I’,este,simetricul, lui,I,faŃă,de,G,,iar,I”,es te,simetricul,lui,I,faŃă, de,H,,rezultă,că,
'GI IG= ,și, "HI HI= .,Prin,urmare,,GI”,și,HI’,sunt,mediane,în,triunghiu l,I,I’,I”.,IK,este,a,treia,
mediană,a,triunghiului,I,I’,I”,și,,deci,,EF,,HI’,și ,GI”,sunt,concurente,,iar,2GK,=,KI”.,
,

, 71 o3.3.oo DEMONSTRAREAo CONCURENłEIo FOLOSINDo RECIPROCAo
TEOREMEIoLUIoCEVAo
ooTeorema5lui5Ceva:5 â FieâABCâunâtriunghiâșiâfieâpuncteleâA’,âB’âșiâC’âp eâ
laturileâBC,âCAâșiâAB.âDacăâdrepteleâAA’,âBB’âșiâCC ’âsuntâconcurente,âatunci:â
1B'CA' C
A'BC ' B
C'AB ' A=⋅⋅ .â
,,Rezolvare.o
,, Fie,P,punctul,de,intersecŃie,a,dreptelor,AA’,,BB’ ,și,CC’.,,
,
,, Aplicăm,teorema,lui,Menelaos,pentru,triunghiul,AA ’B,și,punctele,coliniare,C,–,P,–,C’.,
Rezultă:,
1BC'AC'
PA'PA
'CACB=⋅⋅ .,
,, Teorema, lui, Menelaos, aplicată, în, triunghiul, AA’C, și, punctele, coliniare, B, –, P, –, B’,
conduce,la:,
1'PAPA
A'BC ' B
BC'BA=⋅⋅ .,
,, ÎnmulŃind,aceste,două,relaŃii,se,obŃine:,
1B'CA' C
A'BC ' B
C'AB ' A=⋅⋅ .,
â
55 Reciproca5teoremei5lui5Ceva: ââ FieâA’,âB’,âC’âtreiâpuncteâsituateâpeâlaturileâ
BC,âACâșiâABâaleâtriunghiuluiâABC.âDacăâ 1B'CA' C
A'BC ' B
C'AB ' A=⋅⋅ ,âatunciâdrepteleâAA’,â
BB’âșiâCC’âsuntâconcurente.â
55Rezolvare. ,
,, Fie,P,punctul,de,intersecŃie,dintre,BB’,și,CC’,și ,fie,A”,intersecŃia,lui,PA,cu,BC.,

, 72 o
,
,, Teorema,lui,Ceva,pentru,triunghiul,ABC,și,dreptel e,concurente,AA”,,BB’,și,CC’:,
1B'CA' C
A'BC ' B
C"AB"A=⋅⋅ ,,
relaŃie,care,împreună,cu,cea,din,enunŃ,conduce,la:,
C'AB ' A
C"AB"A= .,
,, Deoarece,A’,și,A”,sunt,puncte,interioare,segmentu lui,BC,,obŃinem,că, 'A"A= .â
,, ObservaŃie., Reciproca, teoremei, lui, Ceva, este, adev ărată, și, în, cazul, în, care, unul, dintre,
punctele,A’,,B’,,C’,se,găsește,pe,o,latură,a,triung hiului,,de,exemplu,A’,aparŃine,laturii,BC,,iar,
celelalte,două,puncte,B’,(aparŃine,dreptei,AC),și,C ’,(aparŃine,dreptei,AB),verifică,condiŃia,că,
BB’,nu,este,paralelă,cu,CC’.,
ââ Reciprocaâ teoremeiâ luiâ Cevaâ furnizeazăâ oâ metodăâ r elativâ unitarăâ pentruâ
stabilireaâconcurenŃeiâaâtreiâdrepte.â
o
oProblemao7.o
,, Se,dă,trapezul,ABCD,,cu,AB,baza,mică,,și,cercul,d e,centru,O,tangent,laturilor,BC,,AD,
și,AB,,respectiv,în,punctele,E,,F,și,H.,Dacă,I,este ,punctul,de,intersecŃie,al,laturilor,AD,și,BC,,
să,se,demonstreze,că,dreptele,AE,,BF,și,IH,sunt,con curente.,
,,Rezolvare. ,,
,

, 73 o,, Din,ipoteză,rezultă,că,,
HA,=,FA,,EB,=,HB,,EI,=,FI.,
,, ÎnmulŃind,între,ele,aceste,egalităŃi,obŃinem:,
FI HBFA EIEB HA ⋅⋅=⋅⋅ .,
,, ÎmpărŃind,această,egalitate,prin,membrul,drept,ob Ńinem,
1EIFI
EIEB
HBHA=⋅⋅ ,,
și,deci,,dreptele,AE,,BF,și,IH,sunt,concurente.,
,
oProblemao8.o
,, În, triunghiul, ABC, se, duc, înălŃimile, AA’,, BB’, și, C C’., Fie, E,, D, și, F, mijloacele,
înălŃimilor, AA’,, BB’, și, CC’, și, M,, N, și, P, mijloacele , laturilor, BC,, CA,, respectiv, AB., Să, se,
demonstreze,că,dreptele,MD,,NE,și,PF,sunt,concurent e.,
,,Rezolvare. ,,
,, Unind, mijloacele, laturilor, BC,, CA, și, AB, se, obŃine , triunghiul, MNP., ÎnălŃimile, MM’,,
NN’,și,PP’,ale,triunghiului,MNP,,fiind,mediatoarele ,triunghiului,ABC,,sunt,concurente,întrhun,
punct,O,și,verifică,relaŃia:,
1P'NM' N
M'PN' P
N'MP 'M=⋅⋅ .,
,, Cum,,
EP M'N,FMP'N,DPN'M = = = ,
și,
'PM ND,FN'MP,'PN ME = = = ,
rezultă,că,
1FNFM
EMEP
DPDN=⋅⋅ ,,
și,deci,,dreptele,MD,,NE,și,PF,sunt,concurente.,
,, ,
oProblemao9.o
,, Se,dă,triunghiul,dreptunghic,ABC.,Pe,cateta,AC,se ,ridică,în,C,,perpendiculara,CC’,cu,
CC’,=,AC,,iar,pe,cateta,AB,se,ridică,în,B,,perpendi culara,BB’,cu,BB’,=,AB.,Să,se,arate,că,
dreptele,BC’,și,CB’,se,întâlnesc,pe,înălŃimea,AA’.,
,
,

, 74 o,,Rezolvare. ,,
,
,, Notăm,cu,D,și,E,punctele,de,intersecŃie,ale,drept elor,AB,și,B’C,,respectiv,AC,și,BC’.,
,, Din,triunghiul,dreptunghic,ABC,avem,relaŃiile:,
'BABC AB2⋅= ,și, ' CABC AC2⋅= ,,
de,unde,
'CA'BA
ACAB
22
= .,
,, Din,triunghiurile,asemenea,BAE,și,ECC’,rezultă,
ABAC
AB'CC
EAEC== ,,
pentru,că, AC'CC= .,
,, Din,asemănarea,triunghiurilor,DBB’,și,ADC,rezultă ,
ABAC
'BBAC
BDDA== ,,
pentru,că, AB'BB= .,
,, ÎnmulŃind,membru,cu,membru,relaŃiile,
22
ACAB
'CA'BA= ,,
ABAC
EAEC= ,,
ABAC
BDDA= ,
rezultă:,
1DBDA
EAEC
C'AB ' A=⋅⋅ ,,
și,prin,urmare,,dreptele,BC’,,CB’,și,AA’,sunt,concu rente.,

, 75 o3.4.oo DEMONSTRAREAoCONCURENłEIoPRINoCOLINIARITATEo
,,Întreâproblemeleâdeâcoliniaritateâșiâproblemeleâdeâ concurenŃăâexistăâoâstrânsăâ
legătură;âoâproblemăâdeâconcurenŃă,âașaâcumâsAaâară tatâșiâlaâînceputulâacestuiâ
capitol,â poateâ fiâ transformatăâ întrAoâ problemăâ deâ c oliniaritateâ dupăâ următoareaâ
schemă:âpentruâaâdovediâcăâdrepteleâa,âbâșiâcâsuntâ concurenteâvomâconsideraâpunctulâ
Xâcomunâdreptelorâaâșiâb,âșiâluămâpuncteleâYâșiâZâp eâdreaptaâc.âÎnâacesteâfel,âproblemaâ
revineâlaâaâarătaâcoliniaritateaâpunctelorâX,âYâșiâ Z.â
o
oProblemao10.o
,, Fie,ABCD,un,paralelogram,și,M,un,punct,pe,latura, CD.,Paralela,prin,C,la,diagonala,BD,
intersectează,pe,AB,în,E,și,pe,AM,în,N.,Să,se,demon streze,că,dreptele,AC,,ME,și,NB,sunt,
concurente.,
,,Rezolvare.o
o
oo Notăm,cu,O,punctul,de,intersecŃie,al,diagonalelor,A C,și,ME,ale,trapezului,AMCE.,Se,
știe,că,punctele,N,,O,și,B,sunt,coliniare,,prin,urm are,,dreapta,NB,trece,prin,O,,de,unde,rezultă,
că,dreptele,AC,,ME,și,BN,sunt,concurente. oo o
o
oProblemao11.o
,, Fie, ABCD, și, AB’C’D’, două, pătrate,, având, laturile, de, aceeași, lungime., Să, se,
demonstreze,că,dreptele,BB’,,CC’,și,DD’,sunt,concur ente.,
,Rezolvare.o
,

, 76 o,, Fie,P,punctul,de,intersecŃie,al,dreptelor,BB’,și, CC’.,,
,, Se,constată,că,,
'DDˆA'BBˆA≡ ,,
și,atunci,,patrulaterul,PBCD,este,inscriptibil.,,
,, Avem:,
)DPˆC(m)DBˆC(m 45) BDˆC(m) BPˆC(m = == =o.,
,, Analog,, o45) ' DPˆ' C(m = ,, deci, ' DPˆ' C DPˆC≡ ,, de, unde, rezultă, că, D,, P, și, D’, sunt,
coliniare.,,
,, Deci,,dreapta,DD’,trece,prin,P,,care,este,punctul ,de,intersecŃie,al,dreptelor,BB’,și,CC’.,
,, Astfel,,BB’,,CC’,și,DD’,sunt,concurente.,
,
,
3.5.oo APLICAłIIoREMARCABILEo
,
oo PUNCTULoLUIoNAGELo
oo Dacă, A’,, B’, și, C’, sunt, punctele, de, contact, ale, cerc urilor, exînscrise, cu, laturile,
triunghiului, ABC, (A’ ∈(BC),, B’ ∈(AC), ,, C’ ∈(AB)), atunci, dreptele, AA’,, BB’, și, CC’, sunt,
concurente,întrhun,punct,,numit,punctul,lui,Nagel.,
oo Rezolvare. ,
,

, 77 o,, Fie, a,, b,, c, lungimile, laturilor, triunghiului, (BC, =, a,, AC, =, b,, AB, =, c), și, fie, p,
semiperimetrul,triunghiului.,Notăm,x,=,BA’,,y,=,A’C ,și,avem:,,
x,+,y,=,a,și,x,+,c,=,y,+,b,,
de,unde,rezultă,
2x,+,c,=,a,+,b,,
adică,,
x,=,p,–,c,și,y,=,p,–,b.,,
,, Prin,urmare,obŃinem:,
cpbp
C ' AB ' A
−−= .,
,, Procedând,în,mod,analog,se,obŃin,relaŃiile:,,
cpap
A' BC ' B
−−= ,
și,
apbp
B ' CA' C
−−= .,
,, ÎnmulŃind,aceste,trei,relaŃii,obŃinem,,
1B'CA' C
A'BC ' B
C'AB ' A=⋅⋅ ,
și,conform,reciprocei,teoremei,lui,Ceva,rezultă,că, dreptele,AA’,,BB’,și,CC’,sunt,concurente.,
,
o PUNCTULoLUIoGERGONNE ,
oo Întrhun,triunghi,ABC,dreptele,care,unesc,vârfurile, triunghiului,cu,punctele,de,contact,ale,
cercului,înscris,cu,laturile,opuse,sunt,concurente, întrhun,punct,(numit,punctul,lui,Gergonne).,,
oo Rezolvare.o
,, Notăm,punctele,de,contact,cu,D,,E,și,F,,unde,D ∈BC,,E ∈AC,și,F ∈AB.,,
,

, 78 o,, Vom,folosi,reciproca,teoremei,lui,Ceva,pentru,a,a răta,că,are,loc,relaŃia:,
1FBAF
EACE
DCBD=⋅⋅ ,,,,,,(*).,
,, Dar,BD, ≡,BF,,CE, ≡,CD,și,AE, ≡,AF,(tangentele,duse,dintrhun,punct,exterior,la,un, cerc,
sunt, congruente)., Deci, relaŃia, (*), , este, evidentă,, ceea, ce, înseamnă, că, AD,, BE, și, CF, sunt,
concurente,întrhun,punct.,,
o
oo PUNCTULoLUIoNEWTONo
oo Fie,ABCD,un,patrulater,circumscriptibil,și,fie,A’,, B’,,C’,și,D’,punctele,de,tangenŃă,ale,
cercului, înscris, cu, laturile, patrulaterului., Atunci , dreptele, AC,, BD,, A’C’, și, B’D’, trec, prin,
același,punct,N,,numit,punctul,lui,Newton.,,
oo Rezolvare.o
oo Notăm,cu, {N},=,AC, ∩,B’D’,,a,=,m( N' DˆA ),și,b,=,m( ' DNˆA ).,,
,
,, Se,observă,că,,
m( N' DˆA ),+,m( C ' BˆN ),=, o180 .,
,, ,Aplicăm,teorema,sinusurilor,în,triunghiurile,NAD ’,și,NB’C,și,obŃinem:,,
asinAN
bsin'AD= ,ș i, asinNC
bsinC ' B= .,
,, Din,aceste,două,egalităŃi,vom,avea,că,
C'B'AD
NCAN= ,,,,,, (1),
,, Fie, {N’ },=,AC, ∩,A’C’.,Procedăm,ca,în,cazul,anterior,și,obŃinem:,,, ,,,,,,,, ,,,, ,,
,, , ,,,,,, C'C'AA
C'N'AN= ,, ,,,(2),
, Deoarece,AA’, ≡,AD’,,CC’, ≡,CB’,,din,(1),și,(2),rezultă,că,N,=,N’,,adică,AC,tr ece,prin,
intersecŃia,segmentelor,A’C’,și,B’D’.,Analog,se,dem onstrează,că,N, ∈,BD.,,

, 79 o,,PUNCTULoLUIoMIQUELo
,, Fie, ABCD, un, patrulater, convex, și, fie, AD BC}F{,CD AB}E{ ∩= ∩= ., Cercurile,
circumscrise,triunghiurilor,ABF,,ADE,,CFD,și,ECB,tr ec,prin,același,punct,M,,numit,punctul,
lui,Miquel.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Fie,M,cel,dehal,doilea,punct,de,intersecŃie,al,ce rcurilor,circumscrise,triunghiurilor,BCE,
și,DCF.,
, Deoarece, ABˆCEMˆC≡ ,și, ADˆCFMˆC≡ ,rezultă,că,,
.180) EDˆA(m)DEˆA(m)DAˆE (m) FMˆC(m)CMˆB(m) FAˆB(m) FMˆB(m) FAˆB(m
o= + + =+ + = +
,
,, Rezultă, că, patrulaterul, ADME, este, inscriptibil., P rin, urmare,, punctul, M, aparŃine,
cercurilor,circumscrise,triunghiurilor,ABF,,ADE,,CB E,și,CDF.,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

, 80 oCCAAPPIITTOOLLUULLoo44oo____________________________________________________________________________________________oo
CCOOLLIINNIIAARRIITTAATTEEooȘȘIIooCCOONNCCUURREENNłłĂĂooÎÎNNooSSPPAAłłIIUUoo
,
,
,
4.1.oo COLINIARITATEoÎNoSPAłIUo
,, Problemele,de,demonstrare,a,coliniarităŃii,a,trei ,sau,mai,multor,puncte,în,spaŃiu,pot,fi,
abordate,prin,metode,specifice,geometriei,spaŃiului ,și,prin,metode,ale,geometriei,planului.,
,
4.1.1.ooMETODEoDEoDEMONSTRAREoAoCOLINIARITĂłIIoPUNC TELORoÎNoSPAłIUo
,,MetodaoI. ,, ,
,, Această, metodă,derivă, din,faptul,că,dacă,două,pla ne,au,un,punct,comun,,atunci,toate,
punctelor,lor,comune,sunt,coliniare.,Așadar,,
ââDacăâpuncteleâdistincteâA,âB,âC,â…âseâgăsescâsimult anâînâplaneleâdistincteâαâșiâ
β,âatunciâeleâsuntâcoliniare. ,
,,MetodaoII.o
,, Această,metodă,derivă,din,teorema:,
ââProiecŃiaâ ortogonalăâ aâ uneiâ drepteâ peâ unâ planâ (peâ c areâ eaâ nuâ esteâ
perpendiculară)âesteâoâdreaptă.ââ
ââ Deci, ââ
ââ Dacăâtreiâpuncteâsuntâcoliniare,âatunciâproiecŃii leâlorâpeâunâplanâsuntâcoliniareâ
șiâreciproc.â
,,MetodaoIII. ,
,,Treiâpuncteâsuntâcoliniareâdacăâdrepteleâdeterminat eâdeâcâteâdouăâdintreâeleâ
suntâparaleleâcuâoâaceeașiâdreaptă.â
,,MetodaoIV.o
,,Dacăâtăiemâoâpiramidăâprinâdouăâplaneâparalele,âcar eâtaieâmuchiile,âatunciâ
puncteleâ„analoge”âaleâcelorâdouăâsecŃiuniâșiâvârfu lâpiramideiâsuntâcoliniare.â
,,MetodaoV.o
,,ColiniaritateaâpunctelorâA 1,âA 2,â…,âA nâseâpoateâdemonstraâarătând,âmaiâîntâi,â
căâeleâsuntâcoplanareâșiâapoi,âutilizândâmetodeâale âgeometrieiâplanului.â
,,ObservaŃie. ,, Pentru, a, arăta, că, patru, sau, mai, multe, puncte, sunt , coliniare,, se, arată,
coliniaritatea,oricăror,trei,puncte,dintre,ele,,de, unde,rezultă,coliniaritatea,tuturor,punctelor.,

, 81 o4.1.2.ooPROBLEMEoREZOLVATEo
ooo Problemao1.o
,, Fie,A,,B,,C,trei,puncte,necoliniare,și,O,un,punct ,nesituat,în,planul,(ABC).,Se,consideră,
punctele,A’,,B’,,C’,pe,dreptele,OA,,OB,,OC,diferite ,de,O,,A,,B,,C,și,fie,A 1,,B 1,,C 1,intersecŃiile,
dreptelor,BC,și,B’C’,,AC,și,A’C’,,respectiv,AB,și,A ’B’.,Să,se,demonstreze,că,punctele,A 1,,B 1,
și,C 1,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Planele,(ABC),și,(A’B’C’),sunt,distincte.,Deoarec e,punctul,A 1,este,incident,dreptei,BC,,
el, este, situat, în, planul, (ABC), și, fiind, incident, și , dreptei, B’C’,, el, este, situat, și, în, planul,
(A’B’C’).,Așadar,, ) ' C ' B ' A () ABC( A1 ∩ ∈ .,
,, Analog,, ) ' C ' B ' A () ABC( B1 ∩ ∈ ,și, ) ' C ' B ' A () ABC( C1 ∩ ∈ .,
,, Aplicând,raŃionamentul,exprimat,în,metoda,I,,rezu ltă,că,A 1,,B 1,și,C 1,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao2. ,
,, Fie,ABCA’B’C’,o,prismă,triunghiulară,de,muchii,la terale,AA’,,BB’,,CC’,și,punctele,A 1,,
B1,și,C 1,pe,muchiile,AA’,,BB’,,CC’,astfel,încât,segmentele, AA 1,,BB 1,,CC 1,au,lungimi,diferite.,
Să,se,demonstreze,că,perechile,de,drepte,(AB,,A 1B1),,(BC,,B 1C1),și,(CA,,C 1A1),sunt,concurente,
și,punctele,de,intersecŃie,sunt,coliniare.,
oo Rezolvare.o
,, AB,și,A 1B1,sunt,drepte,coplanare.,Deoarece,AA 1,și,BB 1,nu,sunt,congruente,rezultă,că,
AB,și,A 1B1,nu,sunt,paralele,,deci,se,intersectează,întrhun,pu nct,A 2.,Fie,B 2,și,C 2,analogele,lui,
A2., Punctele, A 2,, B 2, și, C 2, se, găsesc, simultan, în, planele, distincte, (ABC), și, ( A’B’C’),, deci,,
conform,metodei,I,,ele,sunt,coliniare.,

, 82 o,,Problemao3. ,
,, Fie,piramida,patrulateră,SABCD,cu,vârful,S,,O,int ersecŃia,diagonalelor,AC,și,BD,,M,un,
punct,oarecare,situat,pe,segmentul,SO.,Se,consideră ,punctele,A’,pe,SA,,B’,pe,SB,,C’,pe,SC,și,
D’, pe, SD, astfel, încât, dreptele, A’C’, și, B’D’, trec, pr in, M., Să, se, demonstreze, că, perechile, de,
drepte, (AB,, A’B’),, (BC,, B’C’),, (CD,, C’D’),, (AD,, A’D ’),, (AC,, A’C’), și, (BD,, B’D’), se,
intersectează,în,șase,puncte,coliniare.,
,,Rezolvare.o
,, Dreptele, A’C’, și, B’D’, determină, un, plan, α, care, co nŃine, punctele, de, intersecŃie, a,
perechilor, de, drepte, (AC,, A’C’), și, (BD,, B’D’),, nota te, cu, E, și, F., Dreapta, EF, este, muchia,
planelor,α,și,(ABCD).,
,, Fie,G,punctul,de,intersecŃie,a,dreptelor,BC,și,B’ C’.,Atunci,G,se,află,simultan,în,planele,
α,și,(ABCD),,și,prin,urmare,,el,este,situat,pe,drea pta,EF.,,
,, La,fel,se,justifică,apartenenŃa,celorlalte,puncte ,de,intersecŃie,la,dreapta,EF.,
,
,,Problemao4. ,
,, Fie, cubul, ABCDA’B’C’D’,, în, care, E, și, F, sunt, mijlo acele, muchiilor, AA’, și, DD’., Pe,
semidreaptele, [B’A’,, [FE, și, [CB, se, consideră, puncte le, M,, N, și,, respectiv,, P, astfel, încât,
PC21PB,NF31NE, 'MB21'MA = = = ., Să, se, demonstreze, că, punctele, M,, N, și, P, sunt,
coliniare.,
,,Rezolvare.o
o
oo Fie,P’,pe,semidreapta,[C’B’,astfel,încât, 'PC21' B ' P= .,Atunci,PP’,este,paralelă,cu,BB’.,
Planul,(MPP’),este,perpendicular,pe,planul,(ABCD),ș i,intersectează,planul,(ADD’A’),după,o,
dreaptă,paralelă,cu,P’P,,deci,cu,muchiile,laterale, ale,cubului.,Notând,cu,M’,,și,pentru,moment,,
Q,,intersecŃiile,acestui,plan,cu,dreptele,A’D’,și,r espectiv,,EF,,rezultă, PB||EQ ,și, P'P||Q'M ,,

, 83 odeci,dreptele,EQ,și,M’Q,sunt,în,planul,(MP’P).,Cu,a ceasta,se,obŃine,imediat, PB21EQ= ,și,deci,
QF31QE= .,Rezultă,că,Q,coincide,cu,N,și,concluzia,se,impune .,
,
,,Problemao5. ,
,, Baza,unui,paralelipiped,oblic,este,un,romb,ABCD,ș i,muchia,laterală,AA’,formează,cu,
muchiile, adiacente, unghiuri, congruente., Fie, M, proie cŃia, lui, A’, pe, planul, bazei., Să, se,
demonstreze,că,punctele,A,,C,și,M,sunt,coliniare.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Triunghiurile,A’AB,și,A’AD,sunt,congruente.,Rezul tă,că,A’B,=,A’D,și,triunghiul,A’BD,
este,isoscel.,
,, Mediana,A’O,este,și,înălŃime.,
,, Din, ) ABCD( M'A⊥ ,și, BD O'A⊥ ,rezultă, BD MO⊥ .,Dar,și,AO,este,perpendiculară,
pe,BD.,
,, Cum,în,O,nu,pot,fi,duse,două,perpendiculare,pe,dr eapta,BD,,rezultă,că,MO,și,AO,sunt,
incluse,amândouă,în,AC,și,deci,punctele,A,,M,și,C,s unt,coliniare.,
,
,,Problemao6. ,
,, Fie, dreptele, d 1, și, d 2, și,punctul, O., Planul, (O,d 1), se, intersectează, cu, d 2, în, O 2, și, planul,,,,,
(O,,d 2),se,intersectează,cu,d 1,în,O 1.,Să,se,demonstreze,că,O,,O 1,și,O 2,sunt,coliniare.,
,

, 84 o,,Rezolvare.o
,, Punctul, O 2,, fiind, situat, pe, dreapta, d 2,, este, conŃinut, în, planul, (O,, d 2)., Totodată,, fiind,
intersecŃia,dintre,dreapta,d 2,și,planul,(O,,d 1),este,conŃinut,în,planul,(O,,d 1).,Analog,,O 1,fiind,
situat,pe,dreapta,d 1,,este,conŃinut,în,planul,(O,,d 1),și,fiind,intersecŃia,dintre,dreapta,d 1,și,planul,
(O,, d 2), este, conŃinut, în, planul, (O,, d 2)., Deci,, punctele, O 1, și, O 2, sunt, situate, pe, dreapta, de,
intersecŃie, a, planelor, (O,, d 1), și, (O,, d 2),, care, trece, prin, punctul, O,, ceea, ce, conduce, la,
coliniaritatea,punctelor,O,,O 1,și,O 2.,
,
,,Problemao7.o
, Din,punctul,V,pornesc,trei,semidrepte,a,,b,și,c,ne coplanare,toate,trei.,Pe,semidreapta,a,
luăm, punctele, A, și, A’,, pe, semidreapta, b, luăm, puncte le, B, și, B’,, iar, pe, semidreapta, c, luăm,
punctele,C,și,C’,astfel,încât,laturile,unghiurilor, ABC,și,A’B’C’,să,nu,fie,,respectiv,,paralele.,Să,
se,demonstreze,că,dreptele,AB,și,A’B’,,BC,și,B’C’,, CA,și,C’A’,se,intersectează,în,trei,puncte,
coliniare.,
,,Rezolvare.o
,
,, Punctele,A,,B,și,C,determină,un,plan, α.,Punctele,A’,,B’,și,C’,determină,un,alt,plan,, β.,
Planele, α,și, β,sunt,concurente,,deoarece,,în,planul,determinat,de ,a,și,b,,prelungind,segmentele,
neparalele, AB, și, A’B’, obŃinem, un, punct, de, intersecŃ ie, M., Cum, AB M∈ , rezultă, că, α∈M .,
Dar,, 'B'A M∈ ,deci, β∈M ,,de,unde,urmează,că,planele, α,și, β,,având,un,punct,comun,M,,au,
o,dreaptă,comună,pe,care,o,notăm,cu,d.,Evident,, d M∈.,

, 85 o,, Repetăm,raŃionamentul,pentru,dreptele,b,și,c,,res pectiv,a,și,c,și,vom,obŃine,punctele,de,
intersecŃie:,P,a,lui,BC,cu,B’C’,,respectiv,N,a,lui, AC,cu,A’C’,cu, dP∈,și, dN∈.,
,, În,concluzie,,punctele,M,,N,și,P,sunt,coliniare.,
,
,,Problemao8.o
oo Un,tetraedru,ABCD,are,AC,=,AD,=,BC,=,BD.,Dacă,M,și, N,sunt,mijloacele,muchiilor,
AB,și,CD,,să,se,demonstreze:,
a),, CD AB,CD MN,AB MN ⊥ ⊥ ⊥ ;,
b),, Dacă,A’,,B’,,C’,și,D’,sunt,picioarele,perpendic ularelor,duse,din,vârfurile,A,,B,,C,și,D,
pe,feŃele,opuse,ale,tetraedrului,,punctele,B,,A’,,N ,sunt,coliniare,,la,fel,A,,B’,,N’;,D,,C’,,M;,C,,
D’,,M.,
c),, ,AA’,,BB’,,MN,și,CC’,,DD’,,MN,sunt,câte,trei,dr epte,concurente.,
oo Rezolvare.o
o
a) Deoarece,AN,este,mediană,în,triunghiul,isoscel,ACD, , CD AN⊥ .,,
,, Analog,, CD BN⊥ .,
,, Rezultă,că, ) ABN( CD⊥ ,de,unde,avem:,,
MN CD⊥ ,, AB CD⊥ .,
,, Analog,, MN AB⊥ .,
b) Ducem, BN AE⊥ ,și,cum, CD AN⊥ ,și, CD BN⊥ ,rezultă,că, ) BCD( AE⊥ .,Rezultă,
că, E'A≡,,adică,,B,,A’,și,N,sunt,coliniare.,Analog,,pentru, celelalte,puncte.,
c) Din,cerinŃa,a),avem,că,,
AB MN⊥ ;,
,, Din,cerinŃa,b),avem,că,,
BN'AA⊥ ,și, AN'BB⊥ ,,
adică,dreptele,AA’,,BB’,și,MN,sunt,concurente,,ca,î nălŃimi,în,triunghiul,ABN.,Analog,,pentru,,
CC’,,DD’,și,MN.,

, 86 ooo Problemao9.o
oo ArătaŃi, că, dacă, trei, sau, mai, multe, sfere, trec, print rhun, același, cerc,, atunci, centrele, lor,
sunt,coliniare.,
oo Rezolvare.o
,, Este,cunoscut,că,proiecŃia,centrului,unei,sfere,p e,planul,unui,cerc,pe,care,îl,conŃine,este,
centrul,acestui,cerc.,Prin,urmare,,dacă,O 1,,O 2,,…,,O n,sunt,centrele,sferelor,S 1,,S 2,,…,,S n,care,
conŃin,cercul,C(O,r),atunci,punctele,O 1,,O 2,,…,,O n,se,găsesc,pe,perpendiculara,în,O,pe,planul,
cercului,C(O,r).,
,
4.2.oo CONCURENłĂoÎNoSPAłIUo
A.ooo DREPTEoCONCURENTEo
,, Problemele,privind,concurenŃa,dreptelor,pot,fi,sepa rate,în:,
a),, probleme,privind,concurenŃa,a,două,drepte;,
b),, probleme,privind,concurenŃa,a,trei,sau,mai,mult or,drepte.,
,, ,
4.2.1.ooMETODEoDEoDEMONSTRAREoAoCONCURENłEIoÎNoSPAł IUo
,, Rezolvarea, problemelor, privind, concurenŃa, a, două, drepte, în, spaŃiu, cuprinde, tehnici,
foarte,variate,,toate,acestea,,cuprinse,,prin,ideea ,comună,,în,
,,MetodaoI. ,
,,Dacăâ drepteleâ aâ șiâ bâ suntâ coplanareâ șiâ nuâ suntâ para lele,â atunciâ eleâ suntâ
concurente.â
,, În, ceea, ce, privește, demonstrarea, coplanarităŃii, a , două, drepte,, cel, mai, adesea, se,
utilizează,tehnica:,se,identifică,câte,două,puncte, distincte,pe,fiecare,dreaptă,despre,care,se,arată,
că,sunt,coplanare,,și,,atunci,,evident,,dreptele,su nt,coplanare.,
,, Pentru, rezolvarea, problemelor, de, tipul, a),, cât, și , de, tipul, b), dispunem, de, următoarea,
metodă,cu,caracter,general.,
,,MetodaoII. ,
,,Fiindâdateâdrepteleâd 1,âd 2,â…,âd kâîntrAoâ„configuraŃie”âFâdeâpuncteâdinâspaŃiu,â
seâidentificăâînâconfiguraŃiaâFâunâpunctâspecialâcă ruiaâîiâsuntâincidenteâtoateâdrepteleâ
d1,âd 2,â…,âd k.â
,,MetodaoIII.o
,,Dacăâtreiâplaneâα,âβ,âγâauâoricareâdouăâcâteâdouăâc âteâunâpunctâcomun,âatunciâ
muchiileâaâdouăâdintreâeleâsuntâconcurenteâsauâpara leleâîntreâele.â

, 87 o,,MetodaoIV. ,
ââ Dacăâ treiâ drepteâ a,â bâ șiâ câ nuâ toateâ înâ acelașiâ pl an,â suntâ oricareâ douăâ
concurente,âatunciâdrepteleâa,âbâșiâcâauâunâpunctâc omun.â
,,MetodaoV.o
ââ Constatândâcăâtreiâdrepte,ârezultateâdintrAoâcons trucŃieâînâspaŃiu,âsuntâînâfaptâ
coplanare,â atunciâ concurenŃaâ lorâ poateâ fiâ demonstra tăâ prinâ mijloaceâ geometriceâ
plane.â
,
4.2.2.ooPROBLEMEoREZOLVATEo
,,Problemao10.o
oo Se,consideră,tetraedrul,ABCD,în,care, ADBC BD AC CD AB ⋅=⋅=⋅ .,Să,se,demonstreze,
că,segmentele,care,unesc,vârfurile,tetraedrului,cu, centrele,cercurilor,înscrise,în,feŃele,puse,sunt,
concurente.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Fie,I a,centrul,cercului,înscris,în,faŃa,BCD,și,BB 1,,DD 1,,CC 1,bisectoarele,interioare,ale,
triunghiului,BCD.,Atunci,are,loc:,
ACAB
DCBD
CDBD
11== ,
din,care,deducem,că,AD 1,este,bisectoare,în,triunghiul,ABC.,
,, De,aici,rezultă,că,centru,I d,al,cercului,înscris,în,triunghiul,ABC,se,află,pe,A D 1.,evident,,
atunci,AI a,și,DI d,sunt,concurente.,Astfel,,am,demonstrat,că,oricare, dintre,dreptele,AI a,,BI b,,CI c,
și,DI d,sunt,concurente,,și,nu,toate,coplanare.,Aplicând,m etoda,IV,rezultă,că,cele,patru,drepte,
sunt,concurente.,
,

, 88 o,,Problemao11. ,
,, Fie,A,,B,și,C,puncte,diferite,întrhun,plan, α.,Prin,punctele,A,,B,și,C,se,duc,trei,drepte,
paralele,,nesituate,în,planul, α,,pe,care,se,consideră,punctele,A’,,B’,și,,respecti v,,C’.,Dreptele,
AB’, și, A’B, se, intersectează, în, C 1,, dreptele, AC’, și, A’C, se, intersectează, în, B 1., Să, se,
demonstreze,că,dreptele,BC,,B’C’,și,B 1C1,sunt,concurente.,
,,Rezolvare. ,
,
,, Deoarece, BB’, și, CC’, sunt, paralele, rezultă, că, B,, B ’,, C, și, C’, sunt, coplanare., Planele,
(BA’C),,(B’AC’),și,(BB’CC’),au,un,punct,comun,,M.,D eoarece,două,câte,două,dintre,aceste,
plane,au,muchiile,B 1C1,,BC,,B’C’,,rezultă,,aplicând,rezultatul,din,metoda ,III,,că,aceste,drepte,
sunt,concurente.,
,
oo Problemao12.o
oo În, planul, paralelogramului, ABCD, se, ridică, perpendic ularele, în, A, și, B, pe, care, se,
consideră,de,aceeași,parte,a,planului,paralelogramu lui,punctele,A 1,și,,respectiv,,B 1,,astfel,încât,
AA 1, =, BB 1., Fie, )CD(Q),BA(P 11 ∈ ∈ , astfel, încât, )CD() PA(1≡ ., Să, se, demonstreze, că,
dreptele,A 1C,,B 1D,și,PQ,sunt,concurente.,

, 89 ooo Rezolvare.o
,
,, Segmentele,A 1B1,și,CD,fiind,paralele,și,congruente,cu,segmentul,AB ,,sunt,paralele,și,
congruente,între,ele.,Rezultă,că,punctele,A 1,,B 1,,C,și,D,sunt,vârfurile,unui,paralelogram,,și,de,
aici,se,impune,concluzia,,deoarece,din, )CD() PA(1≡ ,rezultă,că,PQ,este,paralelă,cu,B 1C,și,cu,
A1D,și,mijlocul,ei,coincide,cu,punctul,de,intersecŃie ,al,diagonalelor.,
,
o Problemao13.o
oo Fie,ABCD,un,tetraedru,,M,,N,,P,,Q,,R,și,S,mijloacel e,muchiilor,AB,,CD,,AC,,BD,,AD,
și,BC.,Să,se,demonstreze,că,bimedianele,tetraedrulu i,(MN,,PQ,și,RS),sunt,concurente,,punctul,
comun,fiind,mijlocul,fiecăruia.,
oo Rezolvare.o
o
oo Deoarece, MS, este, linie, mijlocie, în, triunghiul, ABC,, iar, RN, este, linie, mijlocie, în,
triunghiul, ACD,, deducem, că, segmentele, MS, și, RN, sunt ,paralele, și, congruente., Deci, MSNR,
este, paralelogram, și, atunci, diagonala, MN, trece, prin , mijlocul, diagonalei, SR., Analog,,
patrulaterul,PSQR,este,paralelogram,și,deci,PQ,trec e,prin,mijlocul,G,al,diagonalei,SR.,Astfel,,
segmentele,MN,,PQ,și,SR,sunt,concurente,,punctul,co mun,fiind,mijlocul,fiecăruia,dintre,ele.,
,
,

, 90 oo Problemao14.o
,, Diagonalele,unui,paralelipiped,ABCDA’B’C’D’,sunt, concurente,în,mijlocul,lor,O.,
oo Rezolvare.o
,
,, Deoarece, AB, ||, CD, și, CD, ||, C’D’, rezultă, AB, ||, C’D ’,, deci,, dreptele, AB, și, C’D’,
determină, planul, ABC’D’,, care, intersectează, feŃele, laterale, AA’D’D, și, BB’C’C, după,
segmentele,AD’,și,BC’.,
,, Deoarece,AB,=,CD,=,C’D’,și,AB, ||,C’D’,,rezultă,că ,ABC’D’,este,paralelogram,,deci,
diagonalele, sale, se, intersectează, în, mijlocul, lor,, O., Deci,, diagonala, BD’, a, paralelipipedului,
conŃine,punctul,O,și,BO,=,OD’.,
,, Muchiile,laterale,AA’,și,CC’,sunt,paralele,și,con gruente,,deci,patrulaterul,AA’C’C,este,
paralelogram.,Prin,urmare,,diagonala,CA’,a,paraleli pipedului,intersectează,pe,AC’,în,mijlocul,
ei,,O,,deci,,CO,=,OA’.,
,, La, fel,, din, paralelogramul, BB’D’D, rezultă, că, diag onala, DB’, conŃine, mijlocul, O, al,
diagonalei,BD’,și,că,DO,=,OB’.,
,
o Problemao15.o
,, Fie,VABC,o,piramidă,triunghiulară,oarecare,și,VM, ,VN,și,VP,înălŃimile,feŃelor,laterale.,
În, planul, bazei, se, ridică, în, punctele, M,, N, și, P, per pendicularele, pe, laturile, bazei., Să, se,
demonstreze,că,aceste,perpendiculare,sunt,concurent e.,
oo Rezolvare.o
,

, 91 o,, Fie,O,piciorul,înălŃimii,piramidei,VABC,și, BC OM⊥ .,
,, Conform,teoremei,celor,trei,perpendiculare,, BC VM⊥ ,,deci,VM,este,tocmai,înălŃimea,
triunghiului,VBC.,
,, Analog,,VN,și,VP.,
,, Cele,trei,perpendiculare,trec,prin,O,,deci,ele,su nt,concurente.,
,
o Problemao16.o
,, Să,se,demonstreze,că,întrho,prismă,triunghiulară, ABCA’B’C’,,dreptele,care,unesc,câte,
un,vârf,al,unei,baze,cu,mijlocul,laturii,opuse,a,ce leilalte,baze,sunt,concurente.,
oo Rezolvare.o
,
,, Fie,D,mijlocul,laturii,BC,,E,mijlocul,laturii,AC, și,F,mijlocul,laturii,AB.,Fie,O,punctul,
de,intersecŃie,dintre,A’D,și,C’F.,,
,, Cum,A’C’,||,AC,||,DF,,rezultă,că,triunghiurile,OD F,și,OA’C’,sunt,asemenea,,deci,
21
'C'AFD
'OAOD= = .,
,, Fie,O’,punctul,de,intersecŃie,al,lui,A’D,cu,B’E.,
,, În,mod,analog,se,găsește,că,
21
'A'OD' O=,
și,deci,
'A'OD' O
'OAOD= ,,
de,unde,rezultă,că,O,și,O’,coincid,,adică,,dreptele ,A’D,,B’E,și,C’F,sunt,concurente.,
,
,

, 92 oB.ooo PLANEoCONCURENTEo
, Planele, …,,,γβα ,le,numim,concurente,dacă,sunt,distincte,și,au,o,dr eaptă,comună.,Două,
plane,care,au,un,punct,comun,au,o,dreaptă,comună;,f aptul,că,trei,plane,au,o,dreaptă,comună,
este,o,proprietate,„accidentală”,,în,general,vorbin d,,trei,plane,au,un,singur,punct,comun.,
o
4.2.3.ooMETODEoDEoDEMONSTRAREoAoCONCURENłEIoÎNoSPAł IUo
, Teorema,care,afirmă,dă,două,plane,care,au,un,punct ,comun,și,sunt,paralele,cu,o,dreaptă,
a,,se,intersectează,după,o,dreaptă,paralelă,cu,drea pta,a,ne,oferă,o,primă,metodă,de,a,proba,că,
trei,plane,sunt,concurente.,
,,MetodaoI.oo ,
ââ Dacăâplaneleâ …,,,γβαâauâunâpunctâcomunâșiâsuntâparaleleâcuâdreaptaâd,âa tunciâ
eleâsuntâconcurente.â
,,MetodaoII. ,
,,Dacăâplaneleâ γβα,,âauâunâpunctâcomunâșiâintersecteazăâunâplanâ δâdupăâtreiâ
drepteâconcurente,âatunciâplaneleâ γβα,,âauâoâdreaptăâcomună.â
,,MetodaoIII. ,
ââ Dacăâplaneleâ γβα,,âauâunâpunctâcomunâșiâsuntâperpendiculareâpeâunâpla nâ δ,â
atunciâceleâtreiâplaneâauâoâdreaptăâcomună.â
,
4.2.4.ooPROBLEMEoREZOLVATEo
o Problemao17.o
,, Să, se, demonstreze, că, planele, duse, prin, muchiile, u nui, unghi, triedru, și, sunt,
perpendiculare,pe,feŃele,opuse,au,o,dreaptă,comună. ,
oo Rezolvare.o
,, Fie,(OA,,(OB,,(OC,muchiile,triedrului.,
,, Planele, α, și, β, duse, prin, (OB,, respectiv, (OC, și, sunt, perpendicular e, pe, feŃele, opuse,
acestor,muchii,intersectează,aceste,feŃe,după,semid reptele,()x,și,(Oy.,Să,considerăm,un,punct,
oarecare,M,pe,muchia,(OA,și,să,notăm,cu,P,și,N,punc tele,de,intersecŃie,ale,perpendicularelor,
din,M,pe,(Ox,,respectiv(Oy,cu,(OB,,respectiv,cu,(OC .,
,, Atunci, MP, este, perpendiculară, pe, α,, iar, MN, este, perpendiculară, pe, β,, deoarece, α,
perpendicular,pe,planul,(AOC),,iar, β,este,perpendicular,pe,planul,(AOB).,

, 93 o,, Dacă, OH, este, intersecŃia, planelor, α, și, β, cu, ) MNP(H∈ ,, avem, că, MP, este,
perpendiculară,pe,NH, și, MN, este,perpendiculară,pe, H P,, deci, H, este, ortocentrul, triunghiului,
MNP.,
,
,, Deducem,că,MH,este,perpendiculară,pe,NP.,Deoarece ,MP,este,perpendiculară,pe,planul,
α,și,MP,este,conŃinută,în,planul,(MNP),,rezultă,că,p lanele,(MNP),și, α,sunt,perpendiculare.,
Analog,se,arată,că,planele,(MNP),și, β,sunt,perpendiculare.,
,, Atunci,, planul, (MNP), este, perpendicular, pe, muchia , planelor, α, și, β,, care, este, OH.,
Rezultă,că,OH,este,perpendiculară,pe,NP,și,cum,NP,e ste,perpendiculară,pe,MH,,deducem,că,
NP, este, perpendiculară, pe, planul, (OMH), și,, în, conse cinŃă,, planele, (ONP), și, (OMH), sunt,
perpendiculare,,ceea,ce,impune,concluzia.,,
,
o Problemao18.o
,, Să,se,demonstreze,că,planele,mediatoare,ale,muchi ilor,unui,tetraedru,sunt,concurente.,
oo Rezolvare.o
oo Fie,P VA ,planul,mediator,al,muchiei,VA,,adică,planul,perpen dicular,pe,VA,în,mijlocul,
său., La, fel, notăm, și, celelalte, plane, mediatoare:, P AB ,, P BC ,, P AC ,, P VC ., Planele, P VA, și, P AB , sunt,
concurente,,fiind,perpendiculare,pe,două,drepte,con curente.,
,, Fie,d,,dreapta,comună,celor,două,plane,mediatoare .,,
,, Rezultă,că, VAd⊥ ,și, ABd⊥ ,,deci, )AB(d⊥ .,,
,, Pentru, că, BC, nu, este, paralelă, cu, (VAB),, planul, P BC , nu, este, perpendicular, pe, planul,
(VAB).,Deci,,se,va,intersecta,cu,dreapta,d,întrhun, punct,O.,

, 94 o
,
,, Deoarece, BC AB VA PO,PO,PO ∈ ∈ ∈ ,avem,OV,=,OA,,OA,=,OB,,OB,=,OC,,de,unde,
OV,=,OB,,OA,=,OC,și,OC,=,OV,,și,deci,planele,P VB ,,P AC ,și,P VC ,trec,prin,punctul,O.,
,
o Problemao19.o
,, Să,se,demonstreze,că,planele,bisectoare,ale,diedr elor,unui,tetraedru,sunt,concurente.,
oo Rezolvare.o
,
,, Fie,I,punctul,de,intersecŃie,al,planelor,bisectoa re,ale,diedrelor,de,muchii,BC,,CA,și,AB,
în,tetraedrul,ABCD.,Deoarece,punctul,I,este,situat, în,planul,bisector,al,diedrului,de,muchie,BC,,
el,este,egal,depărtat,de,feŃele,ABC,și,BCD.,Din,ace eași,cauză,,I,este,egal,depărtat,de,toate,cele,
patru, feŃe, ale, tetraedrului., Fiind, egal, depărtat,de , feŃele, ABD, și, ACD,,punctul, I, se, va, afla, în,
planul, bisector, al, diedrului, de, muchie, AD,, precum, ș i, în, planele, bisectoare, ale, diedrelor, de,
muchii,BD,și,CD.,

, 95 o,o Problemao20.o
,, Să,se,demonstreze,că,întrhun,tetraedru,,planele,m ediane,sunt,concurente.,
oo Rezolvare.o
,
,, Fie,B’,mijlocul,segmentului,CD,și,G,,centrul,de,g reutate,al,tetraedrului.,Planul,median,
(ABB’),trece,prin,G,,deoarece,conŃine,mediana,AG 1,,G 1,fiind,centrul,de,greutate,al,feŃei,BCD.,
Analog,se,demonstrează,că,toate,planele,mediane,tre c,prin,G.,
,
o Problemao21.o
,, Fie, ABC, un, triunghi, și, AA’,, BB’,, CC’, bisectoarele , unghiurilor, lui,, iar, O, un, punct,
arbitrar,nesituat,în,planul,ABC.,Să,se,demonstreze, că,planele,(OAA’),,(OBB’),și,(OCC’),au,o,
dreaptă,comună.,
oo Rezolvare.o
,
,, Bisectoarele,AA’,,BB’,,CC’,sunt,concurente,în,I., Deoarece, )' OAA('AAI ⊂∈ ,rezultă,că,
)' OAA( OI⊂ .,Analog,, )' OBB( OI⊂ ,și, )' OCC( OI⊂ ,,deci,planele,(OAA’),,(OBB’),și,(OCC’),
au,ca,dreaptă,comună,pe,OI.,

, 96 oCCAAPPIITTOOLLUULLoo55oo____________________________________________________________________________________________oo
CCOONNSSIIDDEERRAAłłIIIIooMMEETTOODDIICCEEoo
,
,
,
5.1. ,ASPECTEo PSIHOo –o PEDAGOGICEo ȘIo METODICEo PRIVINDo
PREDAREAoGEOMETRIEI ,
,, Formarea, conceptelor, geometrice,, spre, deosebire, d e, altele,, ridică, probleme, de, ordin,
psihologic,, pedagogic,, deosebite., Procesul, prin, car e, se, ajunge, la, conceptele, geometriei,
abstracte,,ca,entităŃi,mentale,,este,un,proces,comp lex,și,îndelungat.,El,începe,odată,cu,primele,
percepŃii,și,imagini,și,abia,spre,vârsta,de,11,–,12 ,ani,se,conturează,entităŃile,mentale,desprinse,
de,suportul,material,,senzorial,,care,leha,generat. ,Atunci,când,elevii,au,trecut,de,la,cercetarea,
directă, a, corpurilor, materiale, la, redarea, prin, dese n, a, imaginii, generale, pe, care, șiha, formatho,
despre,ele,,shau,realizat,primii,pași,spre,abstract izare,și,generalizare.,
,, În,însușirea,de,cunoștinŃe,se,urmărește,ca,toate, cunoștinŃele,dobândite,să,devină,pentru,
elevi,instrumente,proprii,,nu,numai,să,fie,reŃinute ,pur,și,simplu.,De,aceea,,scopul,instructiv,se,
împletește,strâns,cu,cel,educativ,și,cu,activitatea ,concretă,,practică.,
,, Aspectele, psihologice, ale, formării, conceptelor, ge ometrice, sunt, deosebit, de, complexe.,
Așa,se,explică,faptul,că,acestui,scop,ihau,fost,con sacrate,volume,întregi,și,că,pentru,ilustrarea,
dezvoltării, inteligenŃei, copilului,, în, mod, frecvent , în, cursul, unor, experimente,, psihologii, au,
apelat,la,activităŃi,cu,conŃinut,geometric.,
,, Prin,predarea,geometriei,în,gimnaziu,se,urmărește ,ca,elevii,săhși,însușească,cunoștinŃe,
de, geometrie, –, cele, din, programă, –, și, în, același, ti mp, să, contribuie, la, dezvoltarea, psihică, a,
elevilor.,
,, În,mod,deosebit,,geometria,este,chemată,să,dezvol te,gândirea,elevilor,,mai,ales,gândirea,
vie,,activă,și,complexă,,gândirea,dialectică,,capac itatea,de,a,analiza,și,generaliza,,de,a,extrage,
esenŃialul,, de, a, schematiza, realitatea, păstrând, num ai, aspectele, matematice,, deprinderea, de, a,
căuta.,
,, O,teză,unanim,acceptată,în,psihologie,este,aceea, că,evoluŃia,mentală,a,copilului,are,un,
caracter, stadial, relevat, de, faptul, că, ea, se, realize ază, pe, „paliere”., Întrho, etapă, de, câŃiva, ani,,
activitatea,mentală,a,copilului,prezintă,anumite,pa rticularităŃi,și,o,anumită,organizare.,Cel,care,
a, fundamentat, știinŃific, această, teză, a, fost, Jean, P iaget., Meritul, lui, este, acela, că, indică,
perioadele,de,vârstă,corespunzătoare,fiecărui,stadi u,și,caracteristicile,de,bază,ale,fiecărei,etape.,,
Sintetizând,principalele,aspecte,ale,dezvoltării,st adiale,a,inteligenŃei,și,gândirii,copilului,,ca,și,
relaŃia,dintre,structurile,matematice,și,structuril e,operatorii,ale,gândirii,,Jean,Piaget,conchide:,

, 97 o,, „Înârealitate,âdacăâstudiulâmatematiciiâseâbazeazăâp eâstructuriâcareâdeâaltfelâcorespundâ
structurilorâinteligenŃei,âînseamnăâcăâtocmaiâpeâoâ organizareâprogresivăâaâacestorâstructuriâ
operatoriiâtrebuieâbazatăâdidacticaâmatematicii.âOr i,âpsihologic,âoperaŃiileâderivăâdinâacŃiuniâ
concreteâcare,âinteriorizânduAse,âseâcoordoneazăâîn âstructuri. ”,
,, De,asemenea,,el,nu,stabilește,limite,rigide,pentr u,acestea,,demonstrează,că,nu,poate,fi,
atins,un,stadiu,fără,a,se,fi,realizat,toate,achiziŃ iile,celui,precedent,,că,trecerea,de,la,o,etapă,la,
alta, nu, înseamnă, eliminarea, tuturor, elementelor, cel ei, precedente,, că, saltul, poate, fi, realizat,
numai, printrho, valorificare, cu, mijloace, noi,, a, tutu ror, celor, câștigate, în, stadiul, anterior., În,
fiecare, etapă, se, însumează, elementele, care, pregătes c, saltul, în, etapa, următoare,, crește,
capacitatea, copilului, de, ahși, reconsidera, mijloacel e, anterioare,, astfel, încât, săhși, asigure, o,
adaptare,mai,ușoară,la,varietatea,condiŃiilor.,,
, Stadiul,la,care,copilul,are,capacitatea,de,a,dobân di,conceptele,geometrice,,de,a,efectua,
operaŃii,logico,–,deductive,cu,acestea,,începe,la,v ârsta,de,11,–,12,ani.,El,are,acum,capacitatea,
de, a, raŃiona, pornind, de, la, ipoteze,, deci, de, a, aplic a, operaŃii, logice, asupra, unor, propoziŃii., În,
această, etapă, a, gândirii, formale, copilul, poate, efec tua, operaŃii, asupra, unor, propoziŃii, admise,
ipotetic,drept,adevărate,,fără,a,fi,cercetat,veridi citatea,lor,printrho,operaŃie,concretă.,
,, Un, obiectiv, important, al, predării, geometriei, este , acela, de, ahi, deprinde, pe, elevi, să,
demonstreze,,adică,să,fundamenteze,logic,,deductiv, ,unele,propoziŃii,pornind,de,la,altele,despre,
care, știu, că, sunt, adevărate., La, această, deprindere, nu, se, poate, ajunge, dintrho, dată,, ci, treptat,,
printrhun,proces,educativ,astfel,încât,elevii,să,de vină,conștienŃi,de,necesitatea,demonstraŃiei,,de,
procedeele, logice, pe, care, le, folosesc., Este, necesar , să, zdruncinăm, elevului, încrederea, în,
evidenŃa,intuitivă,a,unor,desene,și,săhi,formăm,dor inŃa,de,a,justifica,logic,anumite,proprietăŃi,
precum,și,capacitatea,de,a,efectua,operaŃii,logice, din,care,se,constituie,demonstraŃia.,
,, La,geometria,în,spaŃiu,,pe,lângă,faptul,că,se,apr ofundează,unele,elemente,de,geometrie,
a, planului,, se, urmărește, ca, elevii, să, poată, situa, î n, spaŃiu, elementele, fundamentale, (punctul,,
dreapta,, planul),, să, stăpânească, riguros, poziŃiile, relative, ale, acestora,, să, poată, utiliza,
cunoștinŃele,privind,aceste,poziŃii,relative,în,stu diul,unor,corpuri,geometrice.,
,, Pentru, a, rezolva, o, problemă, sau, a, demonstra, o, teo remă, referitoare,, de, exemplu, la,
concurenŃa, liniilor, importante, în, triunghi,, ne, imag inăm, și, desenăm, un, triunghi., Triunghiul,
desenat,este,,pe,de,o,parte,,oarecare,,căci,el,repr ezintă,o,întreagă,clasă,de,triunghiuri,având,o,
anumită, proprietate,, iar, pe, de, altă, parte, el, a, deve nit, un, triunghi, particular,, determinat,, cu,
dimensiuni, date,, după, care, construim, liniile, import ante, cerute, de, problemă., EsenŃial, este, ca,
elevii,să,înŃeleagă,că,demonstraŃia,efectuată,,util izând,această,figură,,este,adevărată,,oricare,ar,
fi,triunghiul,cu,proprietatea,dată.,,

, 98 oÎn, tratarea, subiectului, de, concurenŃă, și, coliniarit ate, în, gimnaziu, nu, avem, o, metodă,
unitară,pentru,a,demonstra,spre,exemplu,că,trei,dre pte,sunt,concurente.,Astfel,,metoda,folosită,
la,mediatoare,și,la,bisectoare,este,aceeași,,ea,con stând,în,a,arăta,că,punctul,de,intersecŃie,a,două,
din,drepte,se,găsește,și,pe,a,treia,dreaptă.,Pentru ,concurenŃa,înălŃimilor,se,folosește,altă,metodă,,
aceea, de, a, reduce,problema, la, altă,problemă, cunoscu tă., Pentru, mediane,, metoda, este, alta,, și,
anume, de, a, arăta, că, două, drepte, taie, pe, a, treia, în, același, punct., Lipsa, unei, metode, unitare,
pentru,problemele,de,același,gen,face,ca,studiul,ge ometriei,să,ceară,o,concentrare,mai,mare,,un,
spirit,de,observare,mai,pronunŃat,și,o,destul,de,la rgă,variaŃie,a,raŃionamentelor.,
,
5.2.ooooCOLINIARITATEoȘIoCONCURENłĂoÎNoPLANoȘIoSPAł IUouoPROIECTo
DEoPROGRAMĂoȘCOLARĂo
, Acest,opŃional,de,matematică,vine,în,ajutorul,elev ilor,de,clasa,a,VII,–,a,și,a,VIII,–,a,,
fiinduhle, util, acelora, care, au, început, să, sesizeze, frumuseŃea, problemelor, de, matematică, și,
eleganŃa, înlănŃuirii, raŃionamentelor, logice., În, tem ele, propuse, se, împletește, organic, gândirea,
concretă, cu, cea, abstractă,, deci, cu, un, rol, primordia l, în, formarea, și, dezvoltarea, capacităŃii,
deductive.,În,intenŃia,de,a,accentua,caracterul,fol ositor,al,acestui,opŃional,,am,inclus,atât,unele,
probleme,mai,dificile,,care,solicită,mai,mult,capac itatea,de,a,raŃiona,a,elevului,,sau,au,darul,de,
a,fixa,mai,bine,în,memorie,unele,formule,care,,nere petate,cu,o,suficientă,frecvenŃă,,se,pot,uita,,
precum, și, probleme, de, circulaŃie, mai, largă., Problem ele, și, exerciŃiile, propuse,, care,, în, mare,
parte,,prezintă,acest,fel,de,particularităŃi,legate ,,în,primul,rând,,de,metoda,de,rezolvare,și,în,al,
doilea,rând,,de,rezultatele,–,fie,spectaculoase,,fi e,neașteptate,,invită,elevii,să,pătrundă,în,tainele ,
lor,,sunt,incursiuni,care,duc,în,mod,cert,la,progre s.,,
,, Prin, acest, opŃional, vreau, să, stimulez, imaginaŃia, și, gândirea, elevilor,, săhi, fac, să, simtă,
sentimentul,frumuseŃii,matematice,,al,armoniei,nume relor,și,formelor,,al,eleganŃei,geometriei.,
Am, fost, preocupată, de, a, expune, mijloace, care, duc, la , invenŃie, și, la, descoperiri,, atrăgânduhle,
elevilor, atenŃia, că, un, grăunte, de, descoperire, se, af lă, ascuns, în, soluŃia, oricărei,probleme., Prin,
conŃinuturile, orelor, vin, în, sprijinul, celor, interes aŃi, spre, a, le, ușura, înŃelegerea, logică, a,
propoziŃiilor, și, raŃionamentelor, matematice,, ilustr ânduhle, prin, exemple, cât, mai, viabile, care,
urmăresc,cultivarea,simŃului,pentru,rigoare,și,le,c reează,în,același,timp,emoŃii,când,reușesc,să,
descopere,frumuseŃea,unui,raŃionament,,a,unei,teore me, sau,probleme,,frumuseŃe,care,dă,acel,
sentiment, unic, că, până, la, el, nimeni, nu, a, pătruns, în , labirintul, acestei, știinŃe,, din, care, el, iese,
victorios.,Și,,în,plus,,apare,certitudinea,că,tânăr ul,care,poate,conduce,asemenea,raŃionamente,
subtile,,este,apt,să,abordeze,capitolele,cele,mai,s pinoase,din,orice,domeniu,al,știinŃei.,

, 99 oCURRICULUM5OPłIONAL ,
ARIA5CURRICULARĂ:5MATEMATICĂ5ȘI5ȘTIINłE5ALE5NATURII ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
5
5
COLINIARITATE5ȘI5CONCURENłĂ oÎN5PLAN5ȘI5SPAłIU o
h,Clasele,a,VIIha,și,a,VIIIha,h,,
Proiect5de5programă5școlară5

,
,

â

, 100 oPeâparcursulâcelorâdoiâani,âseâvorâaveaâînâvedereâu rmătoareleâobiectiveâcadru:â
,, ,
OBIECTIVE5CADRU ,,
1. Formareaâgândiriiâconcrete,âclareâprinâraŃionamentâ abstractâșiâimagineâconcretă ,
2. DezvoltareaâcapacităŃiiâdeâinvestigareâînârezolvare aâproblemelor ,șiâformareaâabilităŃilorâ
grafice ,
3. Utilizareaâ enunŃurilorâ teoreticeâ șiâ formareaâ deprin deriiâ deâ aâ leâ selectaâ înâ situaŃiiâ
concrete ,
4. SporireaâinteresuluiâșiâmotivaŃieiâpentruâstudiulâg eometriei ,
,
1.55 Formarea5gândirii5concrete,5clare5prin5raŃionam ent5abstract5și5imagine5concretă5
5
OBIECTIVE5DE5REFERINłĂ5 MODALITĂłI5DE5PREDAREMÎNVĂłA RE5
Eleviiâvorâfiâcapabili: ,,
/xrhombus săâ îșiâ formezeâ structuriâ
intelectualeâlogice ,,Eleviiâtrebuie: ,,
/xrhombus săâparcurgăâunâdrumâlogicâînâdemonstrareaâ
unuiâenunŃâmatematic ,
/xrhombus deducŃiiâlogiceâfolosindâimaginile ,
/xrhombus săâ realizezeâ conexiuniâ întreâ noŃiunileâ
studiateâlaâoâdisciplinăâșiâlaâalteâdiscipline. ,,
/xrhombus săAșiâ formezeâ capacitateaâ deâ aâ
investigaâ valoareaâ deâ adevărâ aâ
unuiâenunŃâmatematic ,,/xrhombus eleviiâvorâfiâcapabiliâsăâinvestighezeâposibileâ
consecinŃeâaleâenunŃuluiâmatematic ,,
/xrhombus săâ decidăâ șiâ săâ investighezeâ valoareaâ deâ
adevărâaâreciprocelorâunorâteoreme ,,
/xrhombus săâinvestighezeâproblemeâdeâconcurentaâșiâ
coliniaritate ,,
/xrhombus săâ identificeâ șiâ săâ diferenŃiezeâ
etapeleâ unuiâ raŃionamentâ
matematic ,,/xrhombus săâgândeascăâprogresivâfolosindâoâselecŃieâ
clarăâdeânoŃiuniâteoretice ,,
/xrhombus săâ identificeâ procedeulâ matematicâ deâ
abordareâșiâsăâgăseascăâmodalitateaâoptimăâ
deârezolvareâaâuneiâprobleme ,,
/xrhombus săâ discuteâ corectitudineaâ unuiâ
demersâmatematicâșiâsăâanalizezeâ
situaŃiileâivite ,,/xrhombus săâgăseascăâalternativeâînârezolvareaâunorâ
problemeâșiâsăâelaborezeâreferateâînâurmaâ
rezultatelorâobŃinute ,
/xrhombus săâanalizezeâsoluŃiileâposibileâînârezolvareaâ
deâproblemeâdeâconstrucŃiiâgeometrice ,,

, 101 o2.5555555Dezvoltarea5capacităŃii5de5investigare5în5 rezolvarea5problemelor5și5formarea5abilităŃilor5
grafice5
5
5
OBIECTIVE5DE5REFERINłĂ ,5
MODALITĂłI5DE5PREDAREM
ÎNVĂłARE â
Elevulâvaâfiâcapabilâsă: ,,
/xrhombus formulezeâconsecinŃeâposibileâcareâ
decurgâdintrAunâsetâdeâipotezeâdate ,,Eleviiâtrebuie:ââ
/xrhombus săâ deducăâ alteâ demonstraŃiiâ aleâ
teoremeiâluiâPitagoraââ
/xrhombus săâdemonstrezeâconcurentaâliniilorâ
importanteâînâtriunghiâprinâmetodeâ
variateââ
/xrhombus săâconstruiascăâgeneralizăriâșiâsăâ
investighezeâvaloareaâdeâadevărâaâ
unorâenunŃuriâgăsiteââ
/xrhombus săâ selectezeâ informaŃiileâ deâ careâ
dispuneâ înâ rezolvareaâ unorâ
probleme ,,/xrhombus săâapliceâselectivâteoremeleâclasiceâ
studiateââ
/xrhombus săâ apliceâ noŃiunileâ teoreticeâ înâ
rezolvareaâ unorâ problemeâ deâ
construcŃie,â deâ coliniaritate,â deâ
concurenŃăâ
/xrhombus săâconstruiascăâproblemeâplecândâ
deâlaâunâmodel ,,/xrhombus săâgăseascăârelaŃiiâîntreâelementeleâ
unuiâ triunghiâ șiâ săâ analizezeâ
valoareaâlorâdeâadevărâ
/xrhombus âsăAșiâ formulezeâ problemeâ deâ
construcŃiiâ șiâ săâ investighezeâ
modalitateaâdeârealizareâaâlorâ
/xrhombus săâ efectuezeâ diferiteâ construcŃiiâ
geometriceâaleâtriunghiurilor ,,/xrhombus săâ efectuezeâ diferiteâ construcŃiiâ
geometriceâ bazânduAseâ peâ
modalităŃileâ deâ construcŃiiâ aleâ
triunghiurilorâ
5
5

, 102 o3.55 Utilizarea5 enunŃurilor5 teoretice5 și5 formarea5 de prinderii5 de5 a5 le5 selecta5 în5 situaŃii5
concrete ,
5
OBIECTIVE5DE5REFERINłĂ ,5
MODALITĂłI5DE5PREDAREMÎNVĂłARE â
Elevulâvaâfiâcapabilâsă: ,,
/xrhombus săâ utilizezeâ proprietăŃileâ metriceâ
aleâtriunghiului ,,Elevulâtrebuie:â
/xrhombus săâcunoascăâteoremeleâclasiceâprezentateâșiâ
săâleâapliceâselectivâînâproblemeââ
/xrhombus săâ calculezeâ ariaâ unorâ figuriâ geometriceâ
folosindâariaâunuiâtriunghiâ
/xrhombus săâ utilizezeâ proporŃionalitateaâ
segmentelor ,/xrhombus săâ demonstrezeâ proporŃionalitateaâ
segmentelorâpeâbazaâteoremelorâdateâșiâsăâ
leâ utilizezeâ înâ aflareaâ unorâ lungimiâ deâ
segmenteââ
/xrhombus săâ demonstrezeâ concurenŃaâ unorâ
drepteâșiâcoliniaritateaâunorâpuncteâ
întrAoâanumităâconfiguraŃie ,,/xrhombus săâutilizezeâînâaplicaŃiiâconcurenŃaâliniilorâ
importanteâînâtriunghiââ
/xrhombus săâdemonstrezeâcoliniaritateaâunorâpuncteâ
peâbazaâteoremelorâstudiateâ
,
4.55 Sporirea5interesului5și5motivaŃiei5pentru5studi ul5geometriei5
5
OBIECTIVE5DE5REFERINłĂ ,5
MODALITĂłI5DE5PREDAREMÎNVĂłARE ,
Elevulâvaâfiâcapabilâsă: ,,
/xrhombus manifesteâinteresâpentruâ
descoperirileâmatematicienilorâdinâ
antichitateâșiâmaiâtârziu ,Eleviiâtrebuie: ,
/xrhombus âsăâcunoascăâutilizărileâpracticeâfolositeâînâ
antichitateâceâauâstatâlaâbazaâdescoperirilorâ
unorâenunŃuriâmatematice ,,
/xrhombus săâcunoascăâutilitateaâgeometrieiâsinteticeâ
darâșiâlimiteleâei ,,
/xrhombus săâ cunoascăâ aplicaŃiileâ înâ practicăâ aâ
problemelorâdeâcoliniaritateâșiâconcurenŃă ,
/xrhombus săâ manifesteâ perseverenŃăâ șiâ
gândireâcreativă ,/xrhombus săâ descopereâ metodeâ deâ rezolvareâ aâ
problemelorâdeâcoliniaritateâșiâconcurenŃă ,,
5
,
,

, 103 oCONłINUTURI5
,
1. NoŃiuni5introductive ,,
1.1.â Începuturileâgeometrieiâplane ,,
1.2.â EvoluŃiaâgeometriei ,,
1.3.â Mariâmatematicieniâcareâauâcontribuitâlaâdesco perireaâunorâteoremeâimportante ,,
,
2. Probleme5de5construcŃii5geometrice ,,
ââ 2.1.ââ ConstrucŃiiâcuâriglaâșiâcompasul ,,
,,2.2.ââ Problemeâcelebreâdinâantichitate;âconstrucŃii âcareânuâseâpotârealizaânumaiâcuâ
riglaâșiâcompasul:âduplicareaâcubului,âtrisecŃiaâun ghiului,âcuadraturaâcercului. ,
,,2.3.â Triunghiuriâcelebre:âtriunghiulâdeâaur,âtriung hiulâortic,âtriunghiulâluiâNapoleon .,
,
3. Teoreme5și5probleme5clasice5în5geometria5plană5și5î n5spaŃiu5 ,
3.1.â Teoremaâbisectoareiâinterioareâșiâexterioare ,,
3.2.â Teoremaâtransversalei ,,
3.3.â TeoremaâluiâMenelaus ,,
3.4.ââ TeoremaâluiâPascal ,,
3.5.â TeoremaâluiâCarnot ,,
3.6.ââ TeoremaâluiâGauss ,,
3.7.ââ TeoremaâluiâSimson ,,
3.8.ââ DreaptaâluiâEuler ,,
3.9.ââ EchivalenŃaâdintreâcoliniaritateaâunorâpuncte âșiâconcurenŃaâunorâdrepteâ
3.10.â TeoremaâluiâDesarguesâînâplanâșiâînâspaŃiu ,,
3.11.â TeoremaâluiâCeva ,,
3.12.â TeoremaâluiâGergonne,âTeoremaâluiâNagel ,, TeoremaâluiâMiquel ,,
,
4. Coliniaritate5și5concurenŃă5–5metode5de5rezolvare ,,
4.1. Problemeâdeâcoliniaritate ,
4.2. ProblemeâdeâconcurenŃă ,
,
5. Analogia5plan5–5spaŃiu5ilustrată5prin5proprietăŃile 5de5coliniaritate5și5concurenŃă5în5
triunghi5și5tetraedru ,

, 104 o,, Deoarece, temele, 2, și, 3, ale, opŃionalului, sunt, abor date, în, partea, știinŃifică, a, prezentei,
lucrări,, consider, că, este, interesant, de, remarcat, o, serie, de, extinderi, ale, proprietăŃilor, de,
coliniaritate, și, concurenŃă, de, la, triunghi, la, tetra edru,, tema, care, face, obiectul, ultimei, părŃi, a,
opŃionalului,propus.,
, În, manualele, de, gimnaziu, au, fost, utilizate,, deha, l ungul, timpului,, două, modalităŃi, de,
introducere,a,poliedrelor:,una,este,cea,în,care,stu diul,poliedrelor,debutează,cu,prisma,,iar,cea,
deha,doua,este,cea,în,care,studiul,debutează,cu,tet raedrul.,,
,, Prima, modalitate, are, avantajul, didactic, că, elevii , înŃeleg, ușor, că, volumul,
paralelipipedului,dreptunghic,,ale,cărui,dimensiuni ,sunt,exprimate,prin,numere,reale,este,egal,
cu,produsul,dintre,aria,bazei,și,înălŃime.,Desigur, ,apar,unele,dificultăŃi,atunci,când,cel,puŃin,o,
dimensiune,este,exprimată,printrhun,număr,iraŃional .,,
,, Cea, deha, doua, modalitate, are, avantajul, că, teoria, volumelor, nu, mai, face, apel, la,
demonstraŃii, care, implică, numărul, iraŃional,, pe, de, o, parte,, iar, pe, de, altă, parte,, volumele,
celorlalte,corpuri,geometrice,pot,fi,calculate,porn ind,de,la,definirea,volumului,tetraedrului,și,
folosirea,teoremei:,„Orice,poliedru,se,poate,descom pune,în,tetraedre”.,
,, Prin,folosirea,celei,de,a,doua,modalităŃi,în,acti vitatea,desfășurată,cu,elevii,am,observat,
că, definirea, tetraedrului, prin, analogie, cu, triunghi ul, din, plan, este, accesibilă, elevilor,, ei, mai,
având,unele,reprezentări,despre,mulŃimi,de,puncte,d in,spaŃiu.,
,, Alegerea,acestei,teme,dă,prilejul,de,a,stabili,le gături,între,situaŃii,spaŃiale,și,configuraŃii,
plane,în,dublu,sens:,,
/head2right desface,problema,de,geometrie,în,spaŃiu,în,probleme ,de,geometrie,plană,,,
/head2right leagă,între,ele,probleme,și,situaŃii,din,plan,pentr u,a,obŃine,situaŃii,exacte,în,
spaŃiu.,
,, În, cadrul, temei, „Analogia, plan, –, spaŃiu, ilustrată , prin, proprietăŃile, de, coliniaritate, și,
concurenŃă,în,triunghi,și,tetraedru”,vor,fi,prezent ate,în,paralel,teoreme,,proprietăŃi,,probleme,
analoge, referitoare, la, triunghi, și, tetraedru., Se, vo r, prezenta, câteva, soluŃii, ale, unor, probleme,
care,,deși,simple,,au,menirea,de,a,remarca,analogii ,între,triunghi,și,tetraedru,nu,numai,privind,
rezultatele,,ci,și,verigile,raŃionamentului,folosit ,în,demonstrarea,acestora.,,
,, Extensia,unor,propoziŃii,referitoare,la,triunghi, nu,corespunde,întotdeauna,unui,tetraedru,
oarecare,,ci,unor,categorii,speciale,de,tetraedre,c are,se,întâlnesc,în,conŃinutul,unor,probleme,,
dar,cărora,nu,li,se,atribuie,denumirile,prezentate, în,lucrarea,de,faŃă.,
Evident,, nu, vor, fi, epuizate, toate, analogiile, dintre , triunghi, și, tetraedru,, problema,
rămânând,deschisă,pentru,oricine,își,propune,să,abo rdeze,o,astfel,de,temă,cu,elevii,,fie,la,orele,
de,clasă,,dar,mai,ales,la,orele,destinate,cercului, de,matematică.,

, 105 oPlan5 SpaŃiu5
ÎnălŃimile,, medianele,, mediatoarele,,
bisectoarele, unui, triunghi, oarecare, sunt,
concurente.,ÎnălŃimile,, medianele,, mediatoarele,,
bisectoarele, unui, tetraedru, oarecare, sunt,
concurente.,
ObservaŃie., , , ÎnălŃimile, unui, tetraedru, sunt,
concurente,dacă,acesta,este,ortocentric.,
Oricărui, triunghi, i, se, poate, circumscrie, un,
cerc,(centrul,cercului,aflânduhse,la,intersecŃia,
mediatoarelor).,Oricărui,tetraedru,i,se,poate,circumscrie,o,sferă,
(centrul, sferei, aflânduhse, la, intersecŃia,
mediatoarelor).,
În, orice, triunghi, se, poate, înscrie, un, cerc,
(centrul, cercului, aflânduhse, la, intersecŃia,
bisectoarelor).,În, orice, tetraedru, se, poate, înscrie, o, sferă,
(centrul, sferei, aflânduhse, la, intersecŃia,
trisectoarelor).,
Întrhun,triunghi,oarecare,,ortocentrul,,centrul,
de, greutate, și, centrul, cercului, circumscris,
sunt,coliniare,(dreapta,lui,Euler).,Întrhun,tetraedru,ortocentric,,ortocentrul,,centrul ,
de, greutate, și, centrul, sferei, circumscrise, sunt,
coliniare.,
ObservaŃie.,,,,
a) Dreapta, lui, Euler, pentru, tetraedrul,
oarecare, este, de, fapt, dreapta, care,
conŃine, anticentrul,, centrul, de, greutate,
și, centrul, sferei, circumscrise,
tetraedrului.,
b) Dacă, întrh un, triunghi,, centrul, de,
greutate,G,î mparte,segmentul,ce,unește,
ortocentrul, H, cu, centrul, cercului,

, 106 ocircumscris, O, în, raportul, 1, :, 3,,,,,,,,,
(HO, =, 3, GO),, întrhun, tetraedru,
ortocentric,, centrul, de, greutate, G,
împarte,segmentul,HO,în,raportul,1,:,2,
(HO,=,2,GO).,
Dreptele, care, trec, prin, punctele, de, contact,
ale, cercului, înscris, întrhun, triunghi, și,
vârfurile, opuse, sunt, concurente, (punctul, lui,
Gergonne),Întrhun, tetraedrul, Crelle,, dreptele, determinate,
de, punctele, de, contact, ale, sferei, hexatangente,
cu,muchiile,opuse,sunt,concurente.,
Medianele, unui, triung hi, sunt, concurente,,
întrhun, punct, care, împarte, pe, fiecare, din,
acestea,în,raportul,2,:,1,(pornind,de,la,vârf).,Cele, patru, mediane, ale, unui, tetraedru, sunt,
concurente, întrhun, punct, care, împarte, fiecare,
din,acestea,în,raportul,3,:,1,(pornind,de,la,vârf). ,
Teorema,lui,Menelaos,și,reciproca,sa,pentru,
triunghi.,Teorema, lui, Menelaos, și, reciproca, sa, pentru,
tetraedru.,
,, ,
,, ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

, 107 o5.3.oo EVALUAREAoȘCOLARĂo
,, A, evalua, rezultatele, școlare, înseamnă, a, determina, măsura, în, care, obiectivele,
programului, de, instruire, au, fost, atinse, precum, și, e ficienŃa, metodelor, de, predare, –, învăŃare,
folosite.,Evaluarea,nu,trebuie,înŃeleasă,numai, ca,u n, control,al, cunoștinŃelor,sau,ca, mijloc,de,
măsurare,obiectivă,,ci,și,ca,o,cale,de,autoformare, a,profesorului,,și,de,perfecŃionare,a,acestuia.,
, Evaluarea,este,o,componentă,esenŃială,a,procesului ,de,învăŃământ,,având,rol:,
/head2right de, a, constata, dacă, o, activitate, instructivă, sha, des fășurat, în, condiŃii, optime,, o,
cunoștinŃă,a,fost,incorporată,,o,deprindere,a,fost, achiziŃionată;,
/head2right de, diagnosticare, a, cauzelor, care, au, condus, la, o, sla bă, pregătire, și, la, o, eficienŃă,
scăzută,a,acŃiunilor,educative;,
/head2right pedagogică,,în,perspectiva,elevului,(stimulativă,,d e,întărire,a,rezultatelor,,formarea,
de,abilităŃi,de,conștientizare,a,posibilităŃilor,,d e,orientare,școlară,și,profesională),și,în,
perspectiva,profesorului,(pentru,a,ști,ce,a,făcut,ș i,ce,are,de,realizat,în,continuare);,
/head2right de,decizie,privind,desfășurarea,în,viitor,a,activit ăŃii,instructiv,–,educative,în,scopul,
ameliorării,ei;,
/head2right de, informare, a,părinŃilor,, elevilor, și, a, societăŃii , cu,privire, la, rezultatele, și, evoluŃia,
pregătirii,elevilor,în,școală,pentru,integrarea,lor ,socio,–,profesională.,
,, FuncŃiile, evaluării, apar,, se, actualizează, diferen Ńiat, și, se, pot, regăsi,, mai, mult, sau, mai,
puŃin,,în,toate,situaŃiile,de,evaluare.,
, Diversitatea, situaŃiilor, didactice,, multitudinea, d e, obiective, presupune, conceperea, și,
aplicarea,unor,strategii,de,evaluare,diferite,care, pot,fi,clasificate,astfel:,
o după,cantitatea,de,informaŃii,sau,experienŃa,încorp orată,de,elevi:,
/square4 evaluare,parŃială;,
/square4 evaluare,globală.,
o după,axa,temporală,la,care,se,raportează,verificare a:,
/square4 evaluare,iniŃială;,
/square4 evaluare,continuă;,
/square4 evaluare,finală.,,
, Pentru,ca,notarea,să,fie,cât,mai,corectă,,probele, de,evaluare,trebuie,să,se,caracterizeze,
prin,validitate,(se,referă,la,achiziŃiile,cunoștinŃ elor,de,matematică,și,nu,la,alte,comportamente,
desfășurate, de, elev, la, ora, de, matematică), și, fideli tate, (proba, repetată, conduce, la, o, apreciere,
identică,la,același,evaluator,în,momente,diferite,s au,la,evaluatori,diferiŃi,în,același,timp).,
,
,

, 108 ooo Evaluareaoprinotesteodocimologiceo–oalternativăoș iomodalitateodeoeficientizareoao
examinăriiotradiŃionaleo
,, Testul, docimologic, este, o, probă, complexă, cu, ajuto rul, căreia, se, evaluează, cu, mare,
precizie,performanŃele,școlare,în,raport,cu,obiecti vele,și,conŃinutul.,
,, Aceste, instrumente, conŃin, itemi, care, permit, deter minarea, gradului, de, însușire, a,
cunoștinŃelor, de, către, elevi, sau, a, nivelului, de, dez voltare, a, unor, capacităŃi, și, se, aplică, în,
condiŃiile, obișnuite, ale, clasei., Un, bun, test, docimo logic, nu, urmărește, numai, verificarea,
informaŃiei,acumulate,de,elevi,,ci,și,capacitatea,a cestora,de,a,folosi,cunoștinŃele,asimilate,deja,
în,situaŃii,variate.,
,, Elaborarea,unui,test,docimologic,presupune,parcur gerea,următoarelor,etape:,
♦ precizarea,obiectivelor,,realizarea,concordanŃei,di ntre,acestea,și,conŃinut;,
♦ documentarea,știinŃifică;,
♦ formularea, unor, ipoteze, (conceperea, sau, selectarea, problemelor, reprezentative,
pentru,întreaga,materie,asupra,căreia,se,face,verif icarea);,
♦ experimentarea,testului;,
♦ analiza,statistică,și,ameliorarea,testului;,
♦ aplicarea,efectivă,a,testului.,
,, Tipuri,de,teste:,
∇ test, de, învăŃare, (pune, accent, pe, aflarea, performanŃ ei, elevului,, stabilind, starea, de,
reușită,sau,de,eșec);,
∇ test,de,discriminare,(clasifică,subiecŃii,prin,rapo rtarea,rezultatelor,unele,la,altele);,
∇ teste,de,redare,a,informaŃiei;,
∇ test,de,prelucrare,creatoare,a,informaŃiei;,
∇ test,de,viteză,(rapiditate);,
∇ test,de,randament,(număr,de,răspunsuri,corecte).,
,, Tipuri,de,itemi:,
 cu,răspunsuri,deschise,(stimulează,creativitatea,,j udecata,și,spiritul,critic);,
 cu,răspunsuri,închise:,
/square4 de,tip,alegere,multiplă,(prin,care,se,oferă,mai,mul te,soluŃii,,din,care,numai,una,
este,corectă);,
/square4 de,tip,adevărat,–,fals;,
/square4 “pereche”,(elevii,sunt,puși,să,găsească,noŃiuni,sau ,idei,corelate,cu,cele,prezentate,
în,întrebări,,să,potrivească,sau,să,asocieze,noŃiun i,sau,idei).,

, 109 o,, Evaluarea,presupune,o,anumită,metodologie,,în,sta bilirea,căreia,trebuie,date,răspunsuri,
la,următoarele,întrebări:,
/checkbld Cui,folosește,evaluarea?,
h elevilor,,profesorilor,,părinŃilor,,factorilor,de,d ecizie.,
/checkbld Pe,cine,evaluăm?,
h toŃi,elevii,,un,anumit,grup,,elevi,luaŃi,individual .,
/checkbld Când,evaluăm?,
h de,câteva,ori,pe,an,,la,date,fixe,,încontinuu.,
/checkbld Cu,ce,instrumente,evaluăm?,
h teste, scrise, /, orale, /, practice,, observaŃia, directă , în, clasă,, teme,
pentru,acasă,,referate,/,proiecte,,portofolii,,tehn ici,de,autoevaluare.,
(I.,Neacșu,,A.,Stoica,–,“Ghid,general,de,evaluare,ș i,examinare”),
, Evaluarea,este,o,componentă,esenŃială,a,activităŃi i,didactice,care,determină,promovarea,
elevilor,dintrho,etapă,de,învăŃământ,în,alta.,Cerin Ńa,obiectivă,de,a,conferi,activităŃii,de,educaŃie,
și, instrucŃie, o, eficienŃă, sporită,, generată, de, exig enŃele, vieŃii, contemporane,, face, necesară,
intensificarea,eforturilor,pentru,a,asigura,procesu lui,de,învăŃământ,un,caracter,cât,mai,raŃional,
și,riguros,prin:,
o determinarea,cât,mai,precisă,a,obiectivelor,instrui rii;,
o organizarea, conŃinuturilor, în, concordanŃă, cu, logica , didactică,, cu, strategiile, de,
predare,–,învăŃare,și,în,raport,cu,obiectivele,viza te,și,conŃinuturile,definite;,
o perfecŃionarea,acŃiunilor,de,evaluare,și,a,procesel or,desfășurate.,
,, Evaluarea, la, matematică, urmărește, să, măsoare, și, s ă, aprecieze, progresele, elevilor, din,
punctul, de, vedere, al, cunoștinŃelor,, priceperilor, și , deprinderilor, matematice,, ca, rezultat, al,
procesului,de,instruire,,precum,și,aspectele,educat ive,ale,activităŃii,școlare,matematice.,
,, Evaluarea, performanŃelor, elevilor, se, realizează, î n, funcŃie, de, obiectivele, operaŃionale,
propuse,și,permite:,
• să, se, determine, momentul, în, care, elevul, șiha, însuși t, un, obiectiv, și, este, gata, să,
treacă,la,următorul;,
• să, se, identifice, și, să, se, găsească, motivul, eșecului , în, învăŃare, și, modul, de,
ajutorare,a,elevului,,în,scopul,recuperării,cunoști nŃelor,și,a,capacităŃilor,ce,nu,au,
fost,pe,deplin,asimilate;,
• să, se, stabilească, obiectivele, la, care, cei, mai, mulŃi , dintre, elevi, nu, au, obŃinut,
performanŃe,satisfăcătoare,,în,scopul,revizuirii,ma teriei.,
,

, 110 o5.4.oo PROBEoDEoEVALUARE,oANALIZAoREZULTATELORoLAoTE STEoȘIo
INTERPRETAREAoLORo
o
Test5de5evaluare5iniŃială5
ClasaoaoVIuao
Anuloșcolaro2006o–o2007o
o
oo ObiectiveooperaŃionale:o
oO 1:o ,, Să,cunoască,proprietăŃile,triunghiului,isoscel,
oO 2:ooSă,cunoască,proprietăŃile,punctelor,de,pe,mediatoar ea,unui,segment,
,O3:ooSă,cunoască,suma,unghiurilor,unui,triunghi,
o
oo Subiectuloevaluării:o
1. Fie,segmentul,[AB],și,punctele,C,și,D,,distincte,,c e,nu,aparŃin,dreptei,AB.,Știind,
că, CB CA≡ ,, DBA DAB≡ , să, se, demonstreze, apartenenŃa, punctelor, D, și, C, la, mediatoarea,
segmentului,AB.,
,
2. Pe,laturile,consecutive, AB,și,BC,ale,pătratului,ABC D,,se,construiesc,în,exterior,
triunghiurile,echilaterale,AEB,și,BFC,,primul,inter ior,și,al,doilea,exterior,pătratului.,Atunci:,
a),, ?) EAˆD(m =,
b),, ?)AEˆD(m =;,
c),, ?) FBˆE (m =;,
d),, ?)BEˆF (m =., ,
,
3. Fie, triunghiul, ABC, și, B’, piciorul, perpendicularei, d usă, din, B, pe, bisectoarea,
unghiului,BAC.,Dacă,A’,și,B’,sunt,mijloacele,segmen telor,AB,,respectiv,BC,,să,se,arate,că:,
a),, AC||'C'A ;,
b),, A'C'C'B= ;,
c),, punctele,A’,,B’,și,C’,sunt,coliniare.,
,
Punctaj:o

, 111 ooo Subiectulo1o=o30opuncteo
h desen,=,10,puncte,
h demonstraŃia,=,20,puncte,
o Subiectulo2o=o30opuncteo
oo o uo desen,=,10,puncte,
,, , a),,, 5,puncte,
,, , b),,, 5,puncte,
,, , c),,, 5,puncte,
,, , d),, 5,puncte,
o Subiectulo3o=o30opuncteo
oo o uo desen,=,10,puncte,
,, , a),, 5,puncte,
,, , b),, 5,puncte,
,, , c),, 10,puncte,
o Oficiuo=o10opuncteo
,Total:o ,, 90,puncte,+,10,puncte,din,oficiu,=,100,puncte,
,,Nota ,:,10,
,,Timpodeolucru ,=,50,min.,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

, 112 oTestoiniŃialo
EvaluareoclasaoaoVIuao
Anuloșcolaro2006o–o2007o
,
Nr.,crt. ,IniŃialele,elevilor, I 1, I 2, I 3, Nota,
1, A.A.V., 10, 15, 15, 5,
2, B.G.A., 15, 10, 25, 6,
3, B.M., 15, 25, 10, 6,
4, C.I., 10, 15, 15, 5,
5, D.A.C., 20, 15, 25, 7,
6, F.C.M., 15, 25, 20, 7,
7, G.C.G., 15, 20, 15, 6,
8, I.I., 15, 20, 15, 6,
9, I.I.V., 15, 25, 20, 7,
10, L.M., 15, 25, 20, 7,
11, L.A., 5, 15, 10, 4,
12, M.I., 30, 30, 30, 10,
13, M.L., 10, 15, 15, 5,
14, M.V.S., 15, 20, 15, 6,
15, O.A., 15, 25, 20, 7,
16, R.R., 30, 10, 20, 7,
17, S.A.M., 15, 20, 15, 6,
18, S.A., 25, 20, 25, 8,
19, S.C., 10, 10, 10, 4,
20, S.C., 10, 20, 20, 6,
21, S.O., 15, 25, 20, 7,
22, S.R., 15, 15, 20, 6,
PROCENToREALIZATo 340,
51,51% ,420,
63,63% ,400,
60,60% ,Media ,
6,27,
Procent,mediu:,58,58%,
o
PunctajorealizatolaotestuloiniŃialo
NotaoobŃinutăo 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
Numărodeoelevi o 2, 3, 8, 7, 1, 0, 1,
Calificativo nesatisfăcător ,satisfăcător ,bine, foarte,bine ,
Procenteo 9,09%, 50%, 36,36% ,4,54%,
,

, 113 oNotao 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
Procente o9,09% ,13,63% ,36,36% ,31,81% ,4,54% ,0% ,4,54% ,
,
,
,
o
o
NoteoobŃinuteolaotestuloiniŃialodeoevaluareo
o
o
o
o
o
o
o

, 114 oHistogramaocalificativeloroobŃinuteolaotestuloiniŃi alodeoevaluareo
o
,
,, După,înregistrarea,datelor,în,Test,iniŃial,clasa, a,VIha,,am,constatat,următoarele:,
/xrhombus 51,51%, dintre, elevi, au, demonstrat, apartenenŃa, punct elor, C, și, D, la, mediatoarea,
segmentului,AB;,
/xrhombus 63,63%,dintre,elevi,au,calculat,măsurile,unghiurilo r,DAE,,DEA,,EBF,și,FEB;,
/xrhombus doar,un,elev,a,rezolvat,corect,problema,a,treia,,de și,un,număr,mare,de,elevi,(60,60%),au,
observat,că,A’C’,este,linie,mijlocie,în,triunghiul, ABC,,deci,A’C’,||,AC,cât,și,faptul,că,
triunghiul,AB’C’,este,isoscel.,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,

, 115 oTestodeoevaluareofinalăo
ClasaoaoVIuao
Anuloșcolaro2006o–o2007o
o
oo ObiectiveooperaŃionale:o
O1:o ,, Aplicarea, proprietăŃilor, triunghiului, isoscel, în, rezolvarea, problemelor, de,
coliniaritate,
O2:ooAplicarea, proprietăŃilor, punctelor, de, pe, mediatoare a, unui, segment, în, rezolvarea,
problemelor,de,coliniaritate oo
O3:ooAplicarea,proprietăŃilor,referitoarea,la,drepte,par alele,tăiate,de,o,secantă,
o
oo Subiectuloevaluării:o
1. Fie,punctele,A,,B,și,C,astfel,încât,AB,=,4,5,cm,,BC ,=,10,cm,și,AC,=,5,5,cm.,
DemonstraŃi,că,punctele,A,,B,și,C,sunt,coliniare.,
,
2. Fie, segmentul, [AB], și, punctele, C,, D, și, E, distincte, , ce, nu, aparŃin, dreptei, AB.,
Știind, că, CB CA≡ ,, DBA DAB≡ , și, E, aparŃine, mediatoarei, segmentului, AB,, să, se,
demonstreze,coliniaritatea,punctelor,C,,D,și,E.,
,
3. Pe,laturile,consecutive,AB,și,BC,ale,pătratului,ABC D,,se,construiesc,în,exterior,
triunghiurile, echilaterale, AEB, și, BFC,, primul, inter ior, și, al, doilea, exterior, pătratului., Să, se,
demonstreze,că,punctele,D,,E,și,F,sunt,coliniare.,
,
4. Fie,triunghiul,ABC,și, B’,piciorul,perpendicularei,d usă,din,B,de,pe,bisectoarea,
unghiului, BAC., Dacă, A’, și, C’, sunt, mijloacele, segmen telor, AB, respectiv, BC,, să, se, arate, că,
punctele,A’,,B’,și,C’,sunt,coliniare.,
,
o
o
o
o
o

, 116 oPunctaj:o
oo Subiectulo1o=o20opuncteo
h desen,=,10,puncte,
h demonstraŃia,=,20,puncte,
o Subiectulo2o=o20opuncteo
h desen,=,10,puncte,
h demonstraŃia,=,20,puncte,
o Subiectulo3o=o20opuncteo
h desen,=,10,puncte,
h demonstraŃia,=,20,puncte,
o Subiectulo4o=o20opuncteo
h desen,=,10,puncte,
h demonstraŃia,=,20,puncte,
o
o Oficiuo=o20opuncteo
,Total:o ,, 80,puncte,+,20,puncte,din,oficiu,=,100,puncte,
,,Nota ,:,10,
,,Timpodeolucru ,=,50,min.,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

, 117 oTestofinalo
EvaluareoclasaoaoVIuao
Anuloșcolaro2006o–o2007o
,
Nr.,crt. ,IniŃialele,elevilor, I 1, I 2, I 3, I 4, Nota,
1, A.A.V., 10, 10, 10, 10, 6,
2, B.G.A., 10, 0, 20, 10, 6,
3, B.M., 10, 10, 20, 10, 7,
4, C.I., 0, 20, 20, 0, 6,
5, D.A.C., 10, 20, 20, 20, 9,
6, F.C.M., 20, 10, 10, 10, 7,
7, G.C.G., 20, 10, 0, 0, 5,
8, I.I., 20, 10, 10, 0, 6,
9, I.I.V., 20, 20, 10, 10, 8,
10, L.M., 10, 10, 20, 10, 7,
11, L.A., 20, 0, 0, 10, 5,
12, M.I., 20, 20, 20, 20, 10,
13, M.L., 10, 10, 20, 20, 8,
14, M.V.S., 10, 20, 10, 20, 8,
15, O.A., 10, 10, 10, 20, 7,
16, R.R., 20, 10, 10, 10, 7,
17, S.A.M., 10, 10, 10, 10, 6,
18, S.A., 10, 10, 20, 10, 7,
19, S.C., 10, 10, 0, 20, 6,
20, S.C., 10, 10, 20, 20, 8,
21, S.O., 20, 20, 20, 0, 8,
22, S.R., 20, 0, 20, 20, 6,
PROCENToREALIZATo 300,
68,18% ,260,
59,09% ,300,
68,18% ,260,
59,09% ,
,Media ,
6,95,
Procent,mediu:,63,63%,
o
Punctajorealizatolaotestulofinalo
NotaoobŃinutăo 4, 5, 6, 7 ,8,9, 10,
Numărodeoelevi o 0, 2, 7, 6 ,5,1, 1,
Calificativo nesatisfăcător ,satisfăcător ,bine ,foarte,bine ,
Procenteo 0%, 40,90%, 50% ,9,09%,
,

, 118 oNotao 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
Procente o0%,9,09% ,31,81% ,27,27% ,22,72% ,4,54% ,4,54% ,
,
,
o
o
o
NoteoobŃinuteolaotestulofinalodeoevaluareo
o
o
o
o
o
o

, 119 oHistogramaocalificativeloroobŃinuteolaotestulofinal odeoevaluareo
o
,, După,înregistrarea,datelor,în,Test,final,clasa,a, VIha,,am,constatat,următoarele:,
/xrhombus 68,18%,dintre,elevi,au,rezolvat,prima,problemă;,
/xrhombus 59,09%,dintre,elevi,au,rezolvat,problema,a,doua;,
/xrhombus 68,18%,dintre,elevi,au,rezolvat,problema,a,treia;,
/xrhombus 59,59%,dintre,elevi,au,rezolvat,corect,problema,a,p atra.,
Una,din,metodele,ameliorative,a,fost,lucrul,suplime ntar,cu,elevii,care,întâmpină,greutăŃi,
și,care,după,un,număr,de,ore,suplimentare,pot,obŃin e,niște,rezultate,mai,bune.,
,, În,aceste,activităŃi,au,fost,solicitaŃi,toŃi,elev ii,clasei.,,
,, Reprezentarea, comparativă, a, rezultatelor, obŃinute, l a, cele, două, teste, evidenŃiază,
progresul,elevilor.,Progresul,la,învăŃătură,este,mu lt,vizibil,,predominând,calificativele,„bine”,,
faŃă,de,testul,iniŃial,unde,predominant,era,calific ativul,„suficient”.,
,
,

, 120 o5.5.oo PROIECToDIDACTICo
PROIECToDIDACTICo
o
ooo Clasa: ,a,VI,–,a,,
,,Disciplina:o Matematică,
,,UnitateaodeoînvăŃare :,ConcurenŃa,mediatoarelor,și,concurenŃa,bisectoare lor,întrhun,triunghi,
,,TipulolecŃiei :,de,dobândire,de,cunoștinŃe,
,ObiectiveooperaŃionale: ,,
A. Cognitive ,
La,sfârșitul,lecŃiei,,elevii,vor,deveni,capabili:,
OC 1,–,să,–,și,însușească,noŃiunea,de,concurenŃă;,
OC 2,–,să,construiască,mediatoarele,laturilor,și,bisect oarele,unghiurilor,unui,triunghi;,
OC 3,–,să,știe,proprietăŃile,mediatoarei,și,bisectoarei ;,
OC 4,–,să,recunoască,mediatoarea,și,bisectoarea,întrhun ,triunghi;,
OC 5,–,să,aplice,proprietăŃile,mediatoarei,și,bisectoar ei,în,rezolvarea,problemelor;,
OC 6,–,să,aplice,concurenŃa,mediatoarelor,și,bisectoare lor,în,probleme.,
B. Motriceo
OM 1,–,săhși,dirijeze,efortul,oculomotor,către,centrul, de,interes,sugerat,de,învăŃător;,
OM 2,–,săhși,reprime,mișcările,inutile,în,oră.,
C. Afectiveo
Elevii,
,, , OA 1,–,vor,manifesta,interes,faŃă,de,oferta,didactică;,
,, , OA 2,–,se,vor,mobiliza,pentru,realizarea,fiecărei,sarci ni,date.,
,,Resurseometodologice:o
a. metodeoșioprocedee: ,o
,, R 1, –,conversaŃia,
,, R 2, –,redescoperirea,prin,conversaŃie;,
,, R 3, –,explicaŃia;,
,, R 4, –,exerciŃiul;,
,, R 5, –,munca,independentă. o
b. formeodeoorganizare:o frontală,,individuală,,pe,grupe; o
c. mijloaceodidactice: ,retroproiector,,fișe. o
o
o
o

, 121 oSCENARIULoDIDACTIC ,
OB., ACTIVITĂłI,ALE,LECłIEI,PENTRU,ÎNDEPLINIREA,FUNC łIILOR,
EVENIMENTELOR,INSTRUCłIONALE,o
OM 1,
,
,
,
,
,
OC 1,
OC 2,
,
,
,
,
,
,
,
,
OC 1,
OC 2,
OC 4,
OC 5,
OM 2,
OA 1,
,
,
,
,
,
,
,
,
,1. CAPTAREAo ATENłIEI,o TREZIREAo INTERESULUIo
PENTRUo LECłIEo ȘIo ANUNłAREAo OBIECTIVEL ORoooooooo
(2ooMIN.)o
Profesorul, anunŃă, că, vor, relua, studiul, „Liniilor, im portante, în, triunghi”,,
dar,pentru,concurenŃa,lor.,
,
2. REACTUALIZAREAoCUNOȘTINłELORo(3oMIN.)o
Se,repetă:,
h Teorema,dreptelor,paralele,tăiate,de,o,secantă,
h DefiniŃia,dreptelor,concurente,
h DefiniŃia,punctelor,coliniare,
h Suma,măsurilor,unghiurilor,unui,triunghi,
h DefiniŃia,bisectoarei,interioare,și,exterioare,unui ,triunghi,
h DefiniŃia,mediatoarei,unui,segment,
h ConstrucŃia,bisectoarei,și,mediatoarei,
,
3. DIRIJAREAo ÎNVĂłĂRIIo ȘIo OBłINEREAo
PERFORMANłEIooooooooooo(24oMIN.)o
Profesorul, cere, elevilor, să, deseneze, pe, caiete, trei , triunghiuri, diferite, în,
care,să,construiască,mediatoarele,și,idem,pentru,bi sectoare.,
Profesorul,îndrumă,activitatea,elevilor,și,face,cor ecturile,necesare.,
,R1o
o
o
o
o
o
o
o
R1o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
R1o
R2o
R3o
R5o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

, 122 o,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
OC 5,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,Pe,baza,celor,observate,se,enunŃă,teoremele:,
Teorema,1.,Întrhun,triunghi,,mediatoarele,sunt,conc urente.,
Teorema,2.,Întrhun,triunghi,,bisectoarele,interioar e,sunt,concurente.,
DemonstraŃieoTeoremao1,ofig.o(a).o
Notăm, cu, M, și, N, mijloacele, laturilor, BC, și, AB, și, cu , O, punctul, de,
intersecŃie,a,celor,două,mediatoare.,
Observăm,că,aceste,două,mediatoare,sunt,concurente, ,căci,altfel,,dacă,ar,
fi,paralele,,punctele,A,,B,și,C,ar,fi,coliniare,,ce ea,ce,este,imposibil,pentru,
că,ele,sunt,vârfurile,triunghiului,ABC.,
Știm,că, OB OC≡ ,și, OA OB≡ ,,de,unde,rezultă, OC OA≡ ,,deci,,punctul,
O, aparŃine, mediatoarei, laturii, AC,, deci, mediatoarel e, unui, triunghi, sunt,
concurente.,
DemonstraŃieoTeoremao2,ofig.o(b).o
Notăm, cu, AA 1, bisectoarea, unghiului, CAˆB ,, BB 1, bisectoarea, unghiului,
CBˆA ,și,cu,I,punctul,lor,de,intersecŃie.,
Cele, două, bisectoare, sunt, concurente,, pentru, că,, da că, ar, fi, paralele,, ar,
însemna,că,unghiurile, 1AAˆB ,și, 1BBˆA ,ar,fi,unghiuri,interne,și,de,aceeași,
parte,a,secantei,AB,și,suma,măsurilor,lor,ar,fi, o180 ,,imposibil.,
Punctele, bisectoarei, sunt, egal, depărtate, de, laturil e, unghiului,, deci,
IN IM,IP IM ≡ ≡ ., Din, tranzitivitatea, relaŃiei, de, congruenŃă, rezult ă,
IP IM≡ ,,adică,,I,aparŃine,bisectoarei,unghiului, BCˆA .,
,
4. INTENSIFICAREAo RETEN łEIo ȘIo ASIGURAREAooo
FEEDuBACKuULUIo(10oMIN.)o
AplicaŃie. ,,,În,triunghiul,ABC,avem,
}O{ BE AD,ABF,CAE,BCD,AC AB =∩ ∈ ∈ ∈ ≡ ,,
cm3 BD,cm6 AB,EC AE,AB CF, DAˆCDAˆB = = ≡ ⊥ ≡ .,
a) CercetaŃi,dacă,dreptele,AD,și,BE,sunt,perpendicular e,pe,dreptele,
BC,și,respective,CA,și,dacă,CF,este,axă,de,simetrie ,a,triunghiului,
ABC., Triunghiul, ABC, are, cel, mult, sau, cel, puŃin, o, ax ă, de,
simetrie?,
b) Dreptele, AD,, BE, și, CF, sunt, identice, cu, mediatoarele , sau, cu,
bisectoarele,triunghiului,ABC?,o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
SeorepetăodefiniŃiao
șio concurenŃao
mediatoareloro șio
bisectoareloro
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

, 123 oOC 4,
OC 5,
OC 6,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
OC 5,
OC 6,
,5. ASIGURAREAo TRANSFERULUIo ȘIo EVALUAREAo
PERFORMANłEIo(10oMIN.)o
Elevii,vor,primi,câte,o,fișă,cu,următorul,conŃinut: ,
h Care,drepte,întrhun,triunghi,sunt,concurente,și,ce, sunt?,
,
h Fie,triunghiul,ABC,și,cele,două,unghiuri,exterioare ,ale,
triunghiului, care, au, ca, latură, BC,, respectiv, CB., Să , se,
demonstreze, că, bisectoarele, acestor, unghiuri, exteri oare,
și,bisectoarele,unghiului, CAˆB ,sunt,concurente.,
În, timp, ce, profesorul, corectează, fișele,, se, proiect ează, rezolvarea,
problemei,pe,care,elevii,o,trec,pe,caiete.,
,
6. TEMAoPENTRUoACASĂo(1oMIN.)o
Să,se,demonstreze,concurenŃa,mediatoarelor,în,cazul ,figurilor,(b),și,(c),și,
concurenŃa,bisectoarelor,în,cazul,figurilor,(b’),și ,(c’).,Lucruopeofișeo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Folosireao
retroproiectoruluio
o
o
R1o
,
,, ,
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

, 124 oBBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIEEooSSEELLEECCTTIIVVĂĂoo________________________________________________________________,,
,
,
,
[1] A.oALBUoș.a. ,,,
oo o GeometrieâpentruâperfecŃionareaâprofesorilor ,,,
,, , , E.D.P.,,București,,1983.,
,
[2] I.oALEXANDROV ,,,
oo o ProblemeâdeâconstrucŃiiâgeometrice ,,,
,, , , Ed.,Tehnică,,București,,1951.,
,
[3] H.oBANEA ,,,
oo o Metodicaâpredăriiâmatematicii ,,,
,, , , Ed.,Paralela,45,,1998.,
,
[4] V.oBLĂNUłĂ ,,,,
oo o Cursâdeâgeometrie ,,,, ,
Institutul,Pedagogic,Bacău,,1971.,
,
[5] M.oȘT.oBOTEZ ,,,
oo o Problemeâdeâgeometrie ,,,
,, , , Ed.,Tehnică,,București,,1976.,
,
[6] D.oBRÂNZEI ,,,
oo o PlanulâșiâspaŃiulâeuclidian ,,,
,, , , Ed.,Academiei,,București,,1986.,
,
[7] D.oBRÂNZEI,oR.oBRÂNZEI ,,,
oo o Metodicaâpredăriiâmatematicii ,,,
ââ â â Ed.,Paralela,45,,2000.,
,
[8] D.oBRÂNZEIoșiocolaboratorii ,,,
BazeleâraŃionamentuluiâgeometric ,,,
ââ Ed.,Academiei,,București,,1983.,

, 125 o[9] F.oCÂRJAN ,,,
Didacticaâmatematicii ,,,
ââ Ed.,Corint,,București,,2002.,
,
[10] I.oCERGHIT ,,,
MetodeâdeâînvăŃământ ,,,
ââ Ed.,Polirom,,2006.,
,
[11] GH.oA.oCHIłEI ,,,
Metodeâpentruârezolvareaâproblemelorâdeâgeometrie ,,,
E.D.P.,,București,,1969.,
,
[12] R.oCOURANT ,,,
oo o Ceâesteâmatematica? ,,,
,, , , Ed.,ȘtiinŃifică,,București,,1969.,
,
[13] I.oDĂNCILĂ ,,,
DicŃionarâdeânoŃiuniâșiâmetodeâmatematice .,
,
[14] I.oC.oDRĂGHICESCU ,,,
Problemeâdeâgeometrie ,,,
ââ Ed.,Tehnică,,București,1987.,
,
[15] GH.oDUMITRIU,oCułAoDUMITRIU ,,,
oo o Psihopedagogie ,,, ,
E.D.P.,,București,,2003.,
,
[16] E.oM.oEDWIN ,,,
oo o Geometrie ,,,
,, , , E.D.P.,,București,1983.,
,
[17] E.oM.oEDWIN ,,,
Geometrieâelementarăâdinâpunctâdeâvedereâsuperior ,,,
E.D.P.,,București,,1980.,

, 126 o[18] EUCLID ,,,
Elemente ,,
,, [format,electronic,realizat,de,D.,E.,Joyce,,Clark ,University,,1996,,,,
,, http ://, aleph0.clarku.edu ,].,
,
[19] J.oHADAMARD ,,,
oo o LecŃiiâdeâgeometrieâelementară.âGeometrieâplană ,,,
ââ â â Ed.,Tehnică,,București,,1962.,
,
[20] A.oHAIMOVICI ,,,
oo o Elementeâdeâgeometriaâplanului ,,,
,, , , E.D.P.,,București,,1968.,
,
[21] A.oHAIMOVICI ,,,
oo o ElementeâdeâgeometriaâspaŃiului ,,,
ââ â â E.D.P.,,București,,1970.,
,
[22] T.oLALESCU ,,,
oo o Geometriaâtriunghiului ,,,
,, , , Ed.,Apollo,,Craiova,,1993.,
,
[23] N.oN.oMIHĂILEANU ,,,
oo o LecŃiiâcomplementareâdeâgeometrie ,,,
ââ â â E.D.P.,,București,,1976.,
,
[24] A.oMYLLER ,,,
oo o Geometrieâanalitică ,,,
E.D.P.,,București,,1972.,
,
[25] R.oMIRON ,,,
oo o Geometrieâelementară ,,,
ââ â â E.D.P.,,1968.,
,
,

, 127 o[26] E.oE.oMOISE ,,,
o o GeometrieâelementarăâdintrAunâpunctâdeâvedereâsuper ior ,,,
ââ â â E.D.P.,,București,,1980.,
,
[27] I.oNEACȘU,oA.oSTOICA ,o
ââ â âGhidâgeneralâdeâevaluareâșiâexaminare .o
,
[28] T.oLALESCU ,,,
oo o Geometriaâtriunghiului ,,,
ââ â â Ed.,Tineretului,,București,,1958.,
,
[29] L.oNICOLESCU,oV.oBOSKOFF ,,,
oo o Problemeâpracticeâdeâgeometrie ,,,
ââ â â Ed.,Tehnică,,București,,1990.,
,
[30] J.oPIAGET ,,,
oo o Psihologieâșiâpedagogie ,,,
,, , , E.D.P.,,București,,1971.,
,
[31] G.oPOLYA ,,,
oo o Cumârezolvămâoâproblemă? ,,,
,, , , Ed.,ȘtiinŃifică,,București,,1965.,
,
[32] G.oPOLYA ,,,
oo o Descoperireaâînâmatematică ,,,,
,, , , Ed.,ȘtiinŃifică,,București,,1971.,
,
[33] V.oPOPA ,,,
oo o Carteâpentruâtineriiâprofesoriâdeâmatematicăâ(șiânu ânumaiâ…) ,,,
ââ â â Ed.,Egal,,Bacău,,2004.,
,
[34] O.oPOPESCU ,,,
oo o Metodicaâpredăriiâgeometrieiâînâgimnaziu ,,,
,, , , E.D.P.,,1983.,
,

, 128 o[35] D.oPOPOIU ,,,
oo o Matematicaâ–âcomplementeâdeâgeometrieâînâplan ,,,
ââ â â Ed.,Corint,,2001.,
,
[36] E.oRUSU ,â,
oo o Metodicaâpredăriiâmatematicii ,,,
E.D.P.,,1983.,
,
[37] M.oSINGER ,,,
oo o ÎnvăŃareaâgeometrieiâprinâexerciŃiiâ–âclasaâaâVII ,,,
,, , , Ed.,Sigma,,1996.,
,
[38] M.oSINGER ,,,
o o ÎnvăŃareaâmatematicii ,,,
Ed.,Sigma,,1996.,
,
[39] L. ,łIBREA ,,
Geometriaâtetraedrului ,,
ââ Universitatea,București,,Facultatea,de,Matematică,, 1996.,
,
[40] G.ołIłEICA ,,,
oo o Problemeâdeâgeometrie ,,,
ââ â â Ed.,Tehnică,,București,,1981.,
,
[41] N.oC.oUDRIȘTE ,,,
oo o ProblemeâdeâmatematicăâșiâobservaŃiiâmetodologice ,,,
ââ â â Ed.,Facla,,Timișoara,,1980.,
,
[42] I.oVAISMAN ,,,
oo o Fundamenteleâmatematicii ,,,
ââ â â E.D.P.,,București,,1968.,
,
[43] I.oVÂRTOPEANUoI.,oA.oLEONTE ,,,
oo o GeometrieâînâspaŃiu ,,,
ââ â â Ed.,Sibila,,1994.,

, 129 o[44] Gh.oVRÂNCEANU ,,,
oo o Geometrieâelementarăâdinâpunctâdeâvedereâsuperior ,,,
ââ â â Ed.,Tehnică,,București,,1967.,
,
[45] *** ,oCaieteâ metodicoâ –â știinŃificeâ deâ matematică ,, Universitatea, din, Timișoara,,
Facultatea,de,ȘtiinŃe,ale,naturii,,nr.,1,și,3,,1983 .,
,
[46] *** ,, Gazetaâmatematică. ,
,
[47] *** ,, GeometrieâpentruâperfecŃionareaâprofesorilor ,,E.D.P.,,București,,1983.,
,
[48] *** ,, Micăâenciclopedieâmatematică ,,Ed.,Tehnică,,1980.,
,
[49] *** ,, Revistaâdeâpedagogie. ,
,