Ecuatiile diferentiale sunt un subiect de analiza matematica foarte important, avand [615502]

UNIVERSITATEA „AUREL VLAICU” DIN ARAD
FACULTATEA DE ȘTIINȚE EXACTE
DOMENIUL: INFORMATICĂ (ANUL III)

ECUATII DIFERENTIALE SI D ERIVATE
PARTIA LE

REFER AT

Coordonator: Student: [anonimizat]. univ. dr. Moț Ghiocel Coiciu Alexandru

Ecuatii diferentiale simple

Ecuatiile diferentiale sunt un subiect de analiza matematica foarte important, avand
aplicatii in cadrul matematicii precum si in alte domenii ale stiintelor (fizica, chimie, biologie,
etc.)

DEFINITIE: Se numeste ecuatie di ferentiala o relatie intre o variabila independenta
x, functia cautata y = y(x) si derivatele sale y’ , y’’ ,…,y , de forma F (x,y’,y’’,…,y ) = 0.
Daca functia cautata y = y (x) este o functie de o singura variabila x, ecuatia diferentiala se
numeste ordinara.

Exemple de modelare prin ecuatii diferentiale a unor fenomene din domeniul stiintific,
economic, social.

1. f’ + kf = 0 ( ecuatia dezintegrarii substantelor radioactive; f(t) reprezinta cantitatea
de substanta radioactivala momentul t, iar k > 0 e ste un coefficient de proportionalitate
al dezintegrarii substantei respective; f’(t) reprezinta viteza de dezintegrare
radioactiva).

2. = 9,8 ( ecuatia caderii unui corp in apropierea suprafetei Pamantului).

3. mf’’(t) = F (legea a doua a lui Newton; daca miscarea se face pe o axa, atunci notand
f(t) pozitia punctului material (de masa m) la momentul t, viteza de deplasare la
momentul t este f’(t) si acceleratia este f’’(t); F reprezinta forta care actioneaza asupra
punctului, ea depinzand in fiecare mome nt t de pozitia f(t) a punctului si de viteza f’(t)
a acestuia).

4. 2Ө” = -9,8 • sinӨ ( ecuatia pendulului matematic; Ө depinde de timpul t si este
unghiul format defirul inextensibil cu verticala )

.
5. = 0.01 • P – (0.0001) P ( ecuatia corespunde unui model demografic; P fiind
functie de timp si reprezinta numarul d e indivizi la momentul t).

6. Lq”(t) + Rq’(t) + q (t) (descrie evolutia unui circuit electric supus unei tensiuni E(t),
circuit care contine o rezistenta R, o inductanta L, un condensator de capacitate C,
toate legate in serie; q (t) reprezinta sarcina e lectrica a condensatorului la momentul t;
q’(t) = I (t) este intensitatea curentului in circuit la momentul t).

Termenul de ecuatie sugereaza adesea deea de solutie. In ciuda varietatii metodelor de
rezolvare a ecuatiilor diferentiale, exista numeroase e cuatii care nu pot fi rezolvate complet.
Este necesara deci o clasificare a ecuatiilor diferentiale, pentru a vedea, functie de tip, ce
metoda poate fi utilizata pentru rezolvarea ei.

DEFINITE: Se numeste ordinul ecuatiiei diferentiale , cel mai mare dint re ordinele
derivatei care figureaza in ecuatie.

1. Solutiile ecuatiilor diferentiale

Am intalnit notiunea de solutie relativ la ecuatii algebrice, trigonometrice, vectoriale,
matriceale. P rin analogie, ar trebui ca solutie pentru o ecuatie diferentiala sa fie o functie
(avand un numar de derivate) pentru care ecuatia sa fie verificata.Numai ca situatia nu este
intotdeauna simpla cum se poate vedea in cazul ecuatiei de ordinal I .

DEFINITIE: Se numeste solutie a unei ecuatii diferentiale de ordin n pe un interval
(a ,b) o functie y = φ (x) definite pe acest interval cu derivatele sale pana la ordinal n si
pentru care substituind y = φ (x) in ecuatia diferentiala, aceasta devine o identitate in raport
cu x din (a ,b).

A determina toate functiile care sunt sulutii ale unei ecuatii di ferentiale inseamna a
rezolva aceasta ecuatie diferentiala.

Se numeste solutie particulara a unei ecuatii diferentiale , o solutie obtinuta plecand de la
solutia generala φ (x , c) pentru o valoare oarecare determinate a constantei arbitrare c.
A gasi o solutie particulara, deci o functie y = y(x) care satisface o ecuatie diferentiala si in
acelasi timp una sau mai multe conditii suplimentare se spune ca se rezolva o ecuatie
diferentiala cu conditii initiale sau ca se rezolva o problema Cauchy.

2. Ecua tii diferentiale de ordinal I

DEFINITIE: Forma generala a unei ecuatii diferentiale de ordinal I este
F ( x , y, y’) = 0
unde y = y( x ) este functie derivabila definita pe (a , b).

3. Ecuatii diferentiale cu variabile separabile

Formal o ecuatie difer entiala cu variabile separabile este de tipul y’ = f(x) g(x) ,
unde f,g sunt functii continue.
Vom neglija o abordare teoretica a acestei probleme, dar diferitele dificultati le vom ilustra
prin probleme.

Pentru a rezolva aceasta ecuatie trebuie inmul titi sau impartiti ambii membrii ai
ecuatiei printr -o expresie astfel incat sa se obtina un membru depinzand numai de x, iar
celalalt membru sa depinda de y ( se spune ca am separate variabilele in cei doi membri) si
apoi se integreaza ambii membrii.

Impar tirea ambilor membrii ai ecoatie print -o expresie continand necunoscutele x si y poate
conduce la pierderea de solutii care anuleaza aceasta expresie.

Primul pas al rezolvarii acestei ecuatii este de a separa variabilele in ecuatia data rescind -o .
Al doilea pas este de integrare a fiecarui membru (acest lucru este posibil teoretic daca de
exemplu f,g sunt continue pe un interval ( a , b ) si daca g nu se anuleaza pe acel interval).

Derivate parțialeDerivate parțiale
Cititi mai intai cursul si tabelul derivatelor!!Cititi mai intai cursul si tabelul derivatelor!!
Putem deriva o functie in doua Putem deriva o functie in doua variabile, f(x,y), e in raport cu x, variabile, f(x,y), e in raport cu x, e in raport cu e in raport cu y y. .
Aceste derivate poarta numele deAceste derivate poarta numele de derivate partialederivate partiale    si se noteaza:si se noteaza:' '( ( , , ) ) x  x f  f x x y y
 (sau (sau
( ( , , ) ) f    f   x  x y y
 x  x∂ ∂
∂ ∂
), respectiv), respectiv' '( ( , , ) ) y  y f  f x x y y
 (sau (sau( ( , , ) ) f    f   x  x y y
 y  y∂ ∂
∂ ∂
). ). V Vom om orefera orefera notatia notatia' '
 x  x f    f  
 in loc de in loc de f    f  
 x  x∂ ∂
∂ ∂
, ,
deoarece o consideram mai usoară.deoarece o consideram mai usoară.
bservatia !. Pentru simplitate, notam adesea derivat ele partiale cu bservatia !. Pentru simplitate, notam adesea derivat ele partiale cu' '
 x  x f    f  
, respectiv, respectiv
' '
 y  y f    f  
    (adica (adica subintele"em ca subintele"em ca sunt functii ca sunt functii care depind re depind de de x de de x si y, da si y, dar nu mai r nu mai scriem scriem
' '( ( , , ) ) x  x f  f x x y y
) )
bservatia #. $a nivel de liceu, bservatia #. $a nivel de liceu, putem nota derivata unei functii putem nota derivata unei functii'( '( ) )    df  df   f  f x x
dx dx= =
 (adica (adica
derivata luiderivata lui f fin raport cu x). in raport cu x). %n concluzie, la derivare folosim %n concluzie, la derivare folosim d d pentru o variabila, iar pentru o variabila, iar
∂ ∂
pentru derivarea partiala, atunci cand avempentru derivarea partiala, atunci cand avem mai multe variabilemai multe variabile . .
bservatia &. 'erivata de oridinul al bservatia &. 'erivata de oridinul al doilea este doilea este( ( ) )' '' ' ' ' ' ' f  f f   f  = =
 (derivata derivatei). (derivata derivatei).
Pentru derivatele de ordin superior folosim notatiil e Pentru derivatele de ordin superior folosim notatiil e' ', , ' '' ', , ' '' '' ', , , , . .. .. . IV  IV V  V  f  f f f f f f f f   f  
 ( cifre ( cifre
romane), dar incepand cu ordinul  romane), dar incepand cu ordinul  se prefera notat ia se prefera notatia( ( ) )n n f    f  
 pentru derivata de pentru derivata de
ordinul n.ordinul n.

bservatia &. Pentru derivatele partiale notambservatia &. Pentru derivatele partiale notam( ( ) )
k k n n k  k n n
 x  x y y f    f       − −
(sau(saun n
k k n n k  k  f    f  
 x  x y y    − −∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
) derivata de) derivata de
ordinul n a lui f, mai ordinul n a lui f, mai intai de * ori in intai de * ori in raport cu x, apoi de raport cu x, apoi de n+* ori in raport n+* ori in raport cu y cu y. 'e. 'e
exempluexemplu4 4(5) (5)
 x  x y y f    f  
(sau(sau5 5
4 4 f    f  
 x  x y y∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ) inseamna derivatata de ordinul  ) inseamna derivatata de ordinul  a lui f, mai intai de a lui f, mai intai de  ori  ori
in raport cu x, in raport cu x, apoi o data in raport apoi o data in raport cu y cu y. .
Principiul fundamental de calcul este acela că pent ru a calcula Principiul fundamental de calcul este acela că pent ru a calcula' '
 x  x f    f  
   
consideăam y=constant, iar pentru a calculaconsideăam y=constant, iar pentru a calcula' '
 y  y f    f  
 considerăm x=constant. considerăm x=constant.
Exemplu.Exemplu.( ( ) ) ( ( ) )' ' ' '2 2 4 4 4 4 2 2 4 4 4 43 3 3 3 3 3 2 2 6 6
 x  x x x x  x y y y y x x y y x x xy xy− − = = − − = = − × − × = = − −
   (am scos constantele in fata)(am scos constantele in fata)
-ai simplu, putem observa ca s+a derivat doar partea cu x a expresiei. -ai simplu, putem observa ca s+a derivat doar partea cu x a expresiei.
( ( ) ) '  '2 2 4 4 2 2 3 33 3 12 12
 y  y x  x y y x x y y− − = − = −
   (in acest caz am derivat doar partea cu y)(in acest caz am derivat doar partea cu y)
alculam alculam acum acum derivatele derivatele partiale partiale pana pana la la ordinul ordinul al al treilea treilea ale ale functiei functiei . .
4 4 3 3 2 2 2 2( ( , , ) ) 3 3 5 5 1 1  f  f x x y y x x xy xy x x y y y y = − = − + + − − + +
'erivarea se va face 'erivarea se va face termen cu termen, in termen cu termen, in maniera descrisa anterior. maniera descrisa anterior.
( ( ) ) ( ( ) )     ( ( ) )     ( ( ) ) ( ( ) )     ( ( ) )' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4 4 3 3 2 2 2 2 4 4 3 3 2 2 2 23 3 5 5 1 1 3 3 5 5 1 1 x  x     x x x x  x  x x x x x x x f  f x x xy xy x x y y y y x x xy xy x x y y y y= = − − + + − − + + = = − − + + − − + + = =
   3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 21 12 2 1 15 5 0 0 0 0 1 12 2 1 15 5  x  x y y x x y y x x y y x x y y= = − − + + − − + + = = − − + +
bservatia . Am bservatia . Am derivat doar partea derivat doar partea cu x din cu x din ecare termen. / ecare termen. / ermenii care nu ermenii care nu
contin x, sunt constanti, deci se contin x, sunt constanti, deci se anuleaza. anuleaza.

( ( ) ) '  '' ' 4 4 3 3 2 2 2 2 3 3 3 33 3 5 5 1 1 0 0 1 10 0 2 2 0 0 1 10 0 2 2 y  y y  y f  f x x xy xy x x y y y y x x x x y y y y x x x x y y y y = = − − + + − − + + = = − − + + − + − + = = − − + + − −
Am derivat dAm derivat doar partea cu oar partea cu y din ecare termen. y din ecare termen. / / ermenii care nu contin y, ermenii care nu contin y, sunt sunt
constanti, deci se anuleaza.constanti, deci se anuleaza.
bservatia . Am vazut ca bservatia . Am vazut ca notatia completa pentru notatia completa pentru' '
 y  y f    f   este este' '
( ( , , ) ) y  y f  f x x y y. 'aca dorim sa. 'aca dorim sa
calculam derivata intr+un anumit punct, inlocuim x si y cu calculam derivata intr+un anumit punct, inlocuim x si y cu coordonatele acelui punct: coordonatele acelui punct:
' ' 3 3( ( 1 1, 2 , 2) ) ( ( 1 1) 1 ) 10 0( ( 1 1) ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 20 0 4 4 2 23 3 y  y f    f    −   − = = − − − + − + − − × × − − × = × = − − − = − = − −
(am inlouit x0+! si y0# in (am inlouit x0+! si y0# in expresia lui expresia lui
' '
 y  y f    f  
) )
( ( ) ) ( ( ) ) 2 2' ' ' '' '' ' ' ' 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 12 2 1 15 5 3 36 6 0 0 3 30 0 3 36 3 6 30 0 x  x  x  x     x x x x f  f f f x x y y x x y y x x xy xy x x xy xy= = = = − − + + = − = − + + = + = +
( ( ) ) ( ( ) ) 2 2' ' ' '' '' ' ' ' 3 3 3 3 3 31 10 0 2 2 0 0 1 10 0 2 2 1 10 0 2 2 y  y  y  y     y y y y f  f f f x x x x y y y y x x x x= = = = − − + + − − = = − − + + − − = = − −
( ( ) ) ( ( ) )' ' ' '' '' ' ' ' 3 3 2 2 2 2 2 2 2 21 12 2 1 15 5 0 0 1 1 3 30 0 1 1 3 30 0 xy  xy x x y  y y y f  f f f x x y y x x y y x x y y x x y y= = = = − − + + = = − − + + = = − − + +
( ( ) ) ( ( ) )' ' ' '' '' ' ' ' 3 3 2 2 2 21 10 0 2 2 1 1 3 30 0 0 1 0 1 3 30 0 yx  yx y y x  x x x f  f f f x x x x y y y y x x y y x x y y= = = = − − + + − − = = − − + + − − = = − − + +
bservatia 1. onstam cabservatia 1. onstam ca' '' ' ' '' '
 xy  xy yx yx f  f f   f  = =
, ceea ce se intampla, de fapt pentru orice functie, ceea ce se intampla, de fapt pentru orice functie
elementara (criteriul lui 2c34arz). 2punem ca elementara (criteriul lui 2c34arz). 2punem ca derivat ele derivatele  partiale comută partiale comută , adica nu, adica nu
conteaza ordinea in care derivam.conteaza ordinea in care derivam.
( ( ) )     ( ( ) ) 3 3 2 2' '     ' '' '' '' ' ' '' ' 2 2 2 2 2 23 36 6 3 30 0 7 72 2 3 30 0 x  x x x     x x  x  x f  f f f x x xy xy x x y y= = = = + + = = + +
( ( ) )     ( ( ) ) 3 3 2 2' ' ' '' '' '' ' ' '' ' 3 31 10 0 2 2 0 0 0 0 0 0 y  y y y     y y  y  y f  f f f x x= = = = − = − = − − = =
( ( ) )     ( ( ) ) 2 2 2 2' '     ' '' '' '' ' ' '' ' 2 2 2 23 36 6 3 30 0 0 0 6 60 0 6 60 0 x  x y y x x     y y  y  y f  f f f x x xy xy xy xy xy xy= = = = + + = = + + = =

bservatia 5.'atorita comutativitatii derivatelor pa rtiale, calculul anterior se putea bservatia 5.'atorita comutativitatii derivatelor pa rtiale, calculul anterior se putea
face si sub formaface si sub forma( ( ) ) '  ''' ''
 xy  xy x  x f    f  
. .
( ( ) )     ( ( ) ) 2 2 2 2' ' ' '' '' '' ' ' '' ' 3 3 2 2 2 21 10 0 2 2 3 30 0 0 0 3 30 0 xy  xy y y     x x  x  x f  f f f x x x x x x= = = = − − = = − − = =
bservatia 6. Alte notatii:bservatia 6. Alte notatii:
' ' ' ', , x  x y y f  f f   f   f  f f   f  
 x  x y y∂ ∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
' '' ' ' '' ' ' '' ' ' '' '
2 2 2 2, , , , , , xy  xy yx yx  x  x y y f  f f f f f f   f   f  f f f f f f   f  
 x  x y y x x y y y y x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = = = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
3 3 3 3 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
' '' '' ' ' '' '' ' ' '' '' ' ' '' '' '
3 3 3 3 2 2, , , , , ,
 x  x y y x x y y xy xy f  f f f f f f   f   f  f f f f f f   f  
 x  x y y x x y y x x y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
bservatia 7. bservatia 7. 8 8unctia unctia4 4 3 3 2 2 2 2( ( , , ) ) 3 3 5 5 1 1  f  f x x y y x x xy xy x x y y y y = − = − + + − − + +
 este un polinom in doua este un polinom in doua
variabile si, exact ca in cazul polinoamelor din lic eu (in variabila x), variabile si, exact ca in cazul polinoamelor din lic eu (in variabila x), atunci cand atunci cand
ordinul de derivare depaseste "radul ordinul de derivare depaseste "radul , derivatatele sunt 9 (de , derivatatele sunt 9 (de exemplu, am vazut ca exemplu, am vazut ca
3 3''' '''0 0 y  y f    f      = =
) )
Reulile de derivareReulile de derivare  se sunt cele cunoscute, dar precizam in raport cu c ine se  se sunt cele cunoscute, dar precizam in raport cu c ine se
face derivarea:face derivarea:
!) !)( ( ) ) '  ' ' ' ' '
 x  x x x  x  x f  f g g f f g  g + + = = + +
 (respectiv (respectiv( ( ) ) '  ' ' ' ' ') ) y  y y y  y  y f  f g g f f g  g + + = = + +
#) #)( ( ) ) '  ' ' ' ' '
 x  x x x  x  x f  f g g f f g  g − − = = − −
(respectiv(respectiv( ( ) ) '  ' ' ' ' ') ) y  y y y  y  y f  f g g f f g  g − − = = − −
&) &)( ( ) ) '  '' '
 x  x  x  xc cf f c c f     f     = = × ×
 (respectiv (respectiv( ( ) ) '  ' ' '
 y  y  y  yc cf f c c f     f     = = × ×
), unde c este o constantă), unde c este o constantă
) )( ( ) ) '  ' ' ' ' '
 x  x x x  x  x f  f g g f f g g f f g  g × × = × = × + + × ×
 (respectiv in y) (respectiv in y)

) )' '' ' ' '
2 2 x  x x x
 x  x f  f g g f f g  g   f    f  
 g  g g  g           × × − − × ×= =   ÷ ÷     
(respectiv in y)(respectiv in y)
1) 1) 'er'erivaivare rea funct a functiil iilor comp or compuse: use:[ [ ] ]' '' '( ( ) ) ' '( ( ) ) x  x  x  x f  f u u f f u u u u = = × ×
 (respectiv in y) (respectiv in y)
xemplu:xemplu: ( ( ) )s si in n ' c ' co os s ' 'u u u u u u
= = × ×  (derivarea facandu+se in raport cu  (derivarea facandu+se in raport cu ce variabilă ce variabilă
dorim)dorim)
xemplu. 2a derivam functiaxemplu. 2a derivam functia2 2 2 2( ( , , ) )    x x y y f  f x x y y e e    + += =
. 8olosim re"ula. 8olosim re"ula( ( ) )  '  ' ' 'u u u ue e e e u u= = × ×
. .
( ( ) )     ( ( ) )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' '' ' 2 2 2 22 2 2 2 x  x y y x x y y x x y y x x y y
 x  x x  x  x  x f  f e e e e x x y y e e x x xe xe+ + + + + + + += = = = × × + + = = × × = =
Pentru calculul luiPentru calculul lui' '
 y  y f    f  
, observam, observam ca functiaca functia    f(x,y)f(x,y)  este este simetricasimetrica , adica are, adica are
proprietatea caproprietatea ca( ( , , ) ) ( ( , , ) ) f  f x x y y f f y y x x = =, deci derivata se poate obtine sc3imband x si, deci derivata se poate obtine sc3imband x si
y intre ele. -ai exact, in e"alitateay intre ele. -ai exact, in e"alitatea2 2 2 2' '2 2    x x y y
 x  x f  f xe xe    + += =
 sc3imbam x  sc3imbam x cu y cu y intre ele intre ele in in
ambii membri si obtinem:ambii membri si obtinem:
2 2 2 2' '2 2    y y x x
 y  y f  f ye ye    + += =
( ( ) )     ( ( ) )     ( ( ) )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2' ' ' '' ' '' ''2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x  x y y x x y y x x y y x x y y x x y y
 x  x  x  x x  x x x f  f xe xe x x e e x x e e e e x x xe xe+ + + + + + + + + += = = = × × + + × × = = + + × ×
   ( ( ) )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 4 4 2 2 4 4 x  x y y x x y y x x y ye e x x e e x x e e+ + + + + += = + + = = + +
 (am derivat ca produs) (am derivat ca produs)( ( ) )    2 2 2 2
2 2'' '' 2 22 2 4 4    x x y y
 y  y f  f y y e e    + += = + +
 (a (am intersc3imbat m intersc3imbat x cu x cu y) y)
( ( ) )    ( ( ) ( ) ( ) )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ''' '' ' '2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x  x y y x x y y x x y y x x y y
 xy  xy x x y  y  y  y y y f  f f f xe xe x x e e x x ye ye xye xye+ + + + + + + += = = = = = = = × × = =
 (in  (in raport craport cu y, u y, x x
este constant, deci am scos este constant, deci am scos constanta #x in fata) constanta #x in fata)
2 2 2 2' '' ' ' '' '4 4    x x y y
 yx  yx xy xy f  f xye xye f   f  + += = = =
(acest fapt rezulta in doua moduri: atat d(acest fapt rezulta in doua moduri: atat din simetria in simetria
functiei, cat si din criteriul lui 2c34arz)functiei, cat si din criteriul lui 2c34arz)
;ltimul exemplu:;ltimul exemplu:

( ( ) )    ( ( ) )     ( ( ) )     ( ( ) )
( ( ) )( ( ) )     ( ( ) )
( ( ) )' ' ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '     2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 x  x     x x
 x  x xy  xy x x y y xy xy x x y y     y y x y x y x xy y x x  xy  xy
 x  x y y  x  x y y x x y y+ − + − × × + +     + + − − × ×      = = = = = =   ÷ ÷+ +          + + + +
   ( ( ) ) ( ( ) )2 2 3 3 2 2 2 2 3 3
2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2  x  x y y y y x x y y x x y y y y
 x  x y y x x y y+ + − − − − + += = = =
+ + + +
 (am derivat ca raport) (am derivat ca raport)
 /  / eme (facultative):eme (facultative):
alculati derivatele pana la ordinul al doilea ale functiilor f(x,y) in ecare alculati derivatele pana la ordinul al doilea ale functiilor f(x,y) in ecare
caz:caz:2 2 3 3 2 2 3 32 2 3 3 2 2 2 2  x  x xy xy x x y y y y x x y y− − + + − − + + − − + +
, ,2 2 2 2 xy  xy
 x  x y y+ +
, ,2 2 2 2s si in n( ( ) )  x  x y y+ +
, , y  y x  x