Modele matematice exprimate prin ecuat i diferentiale de ordin I [615425]

Capitolul 1
1

Capitolul 2
Modele matematice exprimate prin ecuat i diferentiale de ordin I
2.1 Dezintegrarea radioactiv a
Dezintegrarea radioaciv a este un poces zic de natur a chimic a prin care nucleul unui
atom instabil se descompune ^ intr-un atom diferit de cel initial . Descompunerea cantitat 
de substanta chimic a radioactiv a se realizeaz a ^ intr-un interval de timp dat,cu o anumit a
vitez a de dezintegrare . Conform studiilor efectuate s-a demonstrat ca num arul nucleelor
radioactive din orice substant  a radioactiva descre ste continuu pe masur a ce unele nuclee
se dezintegreaz a .Viteza cu care descre ste acest num ar variaz a, iar aceast a variat ie este
direct prportionala cu cantitatea de substanta radioactiv a .
Consider am o substant a radioactiv a pe care o not am cu x(t)  si care reprezint a cantitatea
de substant a init ial a ,nedezintegrat a la momentul de timp t.Viteza de dezintegrare a
acestei substant e o notat am cu x'(t) ,ea este proport ional a cu x(t), adic a
x0(t) =x(t);
undeeste o constanta de proport ionalitate care depinde de substant a radioactiv a i i
se nume ste constant a de dezintegrare sau constanta radioactivitat ii.Semnul minus apare
deoarece funct ia x'(t) descre ste i  deci, derivata x'(t) are semn negativ . Prin urmare funt ia
x de variabil a t , satisface ecuat ia diferent ial a  si omogen a:
x0=x
reprezint a ecuat ia dezintegr arii .Aceasta este o ecuact ie cu variabile separabile av^ and
solutiile de forma :
x(t) =etC;
2

unde C este o constant a arbitrar a.
Dac a cunoa stem x0cantitatea de subsant  a la un moment t0, atunci putem a
a foarte
u sor constanta C, adic a x0=et0C, de unde reiese c a C=et0x0:, astfel obt inem relat a
x(t) =e(tt0)x0
care reprezinta legea exponent ial a a dezintegrarii . Aceast a lege stabile ste cantitatatea
de substant a radioactiv a ramas a dup a timpul t. Matematic observ am ca aceast a functie
reprezint a solut ia unic a a problemei lui Cauchy , cu condit ia init ial a x(t0) =x0.
Constanta de dezintegrare pentru o anumit a substant a radioactiv a poate  determinat a
in cazul ^ n care se m asoar a cantitatea x1de substant a nedezintegrat a la un moment t1,
diferit det0. Prin urmare ,din ecuat ia x1=e(t1t0)x0, prin logaritmare se obt tine
lnx1=(t1t0) lnx0echivalent cu lnx1
x0=(t1t0) de unde obt inem
=1
t1t0lnx1
x0:
Putem vorbi despre un timp T necesar reducerii la jumatate a cantit at ii de subsatnt a
radioactiv a .Determinarea acestui timp T presupune s a ^ nlocuim in ecuat ia dezintegr arii
timpul t cu t=t0+T six(t0+T) =x0
2, adic a jum atate din cantitatea init ial a de substant  a.
Efectu^ aand aceste ^ nlocuiri obt inemx0
2=eTx0, dac ax06= 0 ,rezult a1
2=eTadic a
eT= 2 de unde prin logaritmare se obt ine timpul de de ^ njum at at ire
T=ln 2
k:
Aplicat ii ale radioactivitat ii
Datarea cu carbon Teoria dat arii cu carbon-14 ( C14) are la baz a faptul c a car-
bonul radioizotopic – 14 este produs ^ n atmosfer a prin ac ^tiunea radiat iei cosmice asupra
azotului-14. Raportul dintre cantitatea de C-14 i C-12 stabil ^ n atmosfer a este constant, O
consecint  a acestui fapt este c a toate organismele vii au o cantitate de izotopi proport ional a
cu cea din atmosfer a . C^ and un organism viu moare, absorbt ia de C-14, prin respirat ie,
m^ ancare sau fotosintez a, ^ nceteaz a. Compar^ and cantitatea de C-14, ^ ntr-o fosil a cu canti-
tatea izotopic a, constant a g asit a ^ n atmosfer a, se obt ine o estimare rezonabil a a v^ arstei .
Aceasta metoda se bazeaz a pe cunoa sterea timpului de ^ njum at at ire al Carbonului-14.
Valoarea acceptat a a timpului de ^ njum at at ire a carbonului-14 este de aproximativ 5730
ani.
3

Exemplul 2.1.1. Se constat a c a un os fosilizat cont ine 0 ;1% din cantitatea init ial a de
C-14. determin a v^ arsta fosilei.
Rezolvare:
Notam cu S(t) cantitatea de substant a fosilizat a
Scriem ecuat ia dezintegrarii:
S(T) =S0ekt
unde k constanta de dezintegrare .
Din faptul c a cunoa stem timpul de ^ njumat at ire calcul am constanta k , avem1
2S0=
S(5730) ,adic a1
2S0e5730kaplic^ and calculele necesare obt inem :
k=ln1
2
5730=0:00012097
Folosiind informatii din enunt ul problemei S(t) = 0:0001S0 si relat ia nou obt inut a S(t) =
S0e0:00012097tobt inem relat ia : 0 :0001S0=S0e0:00012097tde unde obt inem valoarea tim-
pului t.
t=ln 1000
0:0001209757100ani:
Exemplul 2.1.2. Viteza de cre stere a unei tumori sferice este proport ional a cu volumul
ei. S a se scrie  si s a se rezolve ecuat ia diferent ial a care modeleaz a cre sterea tumorii. Pre-
supun^ and c a perioada de dublare a volumului tumorii este de 100 de zile, s a se determine
raza tumorii ca funct ie de timp  si momentul ^ n care tumora ^  si dubleaz raza. ([1], pag.
123)
Rezolvare:
Fie v(t) volumul tumorii la momentu t (m asurat in zile).
Aplic^ and legea dezintegrarii radioactive obt inem :
v0(t) =av(t)
unde a este un factor de proportionalitate ce depinde de agresivitatea selulelor maligne .
Legea de cre stere este :
v(t) =eatv0
undev0este volumul init ial al tumorii la momentul t0
Dac a tumoara ^  si dubleaz a volumul dup a 100 de zile ,avem 2 v(0) =e100av0, de unde
rezult a c a 2 = e100a, logaritm^ and obt inem 100 a= ln 2 , adic a a=ln 2
100echivalent cu :
a=ln2102
4

Dac a not am cu r(t) raza tumorii la momentul t  si  stiind c a volumul unei sfere este:
4r3
3;
avem
4r3(t)
3=eat4r3(0)
3;
^ npart iind cu4
3 si ^ nlocuind pe a=ln2102rezult a
r3(t) =eln2102tr3
0;
logaritm^ and se obt ine legea de cre stere a razei tumorii:
r(t) = 2102t
3r0
Dac a raza se dubleaz a, atunci 2 r0= 2102t
3r0, de unde obt inem t=300.
Exemplul 2.1.3. Un reactor de reproducere converte ste uraniul-238 reactiv stabil ^ n
izotopul plutoniu-239. Dup a 15 ani se stabilete c a0 ;043% din cantitatea init ial a A0de
plutoniu sa dezintegrat. G asit i timpul de ^ njum at at ire al acestui izotop dac a rata de
dezintegrare este proport ional a cu cantitatea r amas a.
Rezolvare:
Fie A (t) cantitatea de plutoniu r amas a la momentul t.
Aplic am ecuat ia dezintegrarii radioactive de unde rezult a:
A0=kA
unde k este constanta de dezintegrare a uraniului-238.
Legea de dezintegrare este:
A(t) =A0ekt
Dac a 0:043% din cantitatea A0s-a dezintegrat , atunci a r amas 99 :957% din cantitatea A0
Calcul am constanta k folosindu-ne de faptul ca  sim relt ia : A(15) = 0:99957A0, adi a
A0e15k= 0:99957A0de unde ne rezult a valoarea constantei k :
k=1
15ln 0:99957
Deci
A(t) =A0e1
15ln 0:99957t:
5

Valoarea substant ei corespunz atoare timpului de ^ njum at at ire A(t) =1
2A0,astfel
1
2A0=A0e1
15ln 0:99957t
adic a1
2=e1
15ln 0:99957tde unde rezult a
t=ln2
0:0000286724180 ani
2.2 Transferul termic
Legea lui Newton este legea dup a care se realizeaz a transferul termic .Ea este tabilit a
experimental  si arm a faptul c a rata schimb arii de temperatura este direct proport ional a
cu diferent a dintre temperatura corpului si temperatura mediului . Consider am un corp
cu o temperatura uniform a T0pe care ^ l introducem la momentul t0^ ntr-un mediu cu
temperatur a constant a Tc.^In cazul ^ n care Tc< T 0corpul se r ace ste , iar dac a Tc>
T0corpul se ^ nc alze ste .Ment ionez c a modicarea temperaturii ^ n interiorul corpului se
consider a realizat a instantaneu  si uniform ,adic a nu exist a diferent e de la un punct la
altul al corpului . ^In acest caz ,matematic ,legea lui Newton se scrie sub forma ecuat iei
diferent iale liniare
T0=k(TTc)
unde k este o constant a de proportionalitate , pozitiv a , numit a coecient de transfer
termic .Acest coecient depide de propriet at iile termice ale corpului  si ale mediului .
Observ am ca ceasta ecuat ie este o ecuat ie liniara neomogen a , alatur^ and condit ia init ial a
T(t0) =T0obt inem problema Cauchy care conduce la determinarea legii exponent iale
dup a care corpul ^  si modic a temperatura.
T(t) =Tc+ (T0Tc)ek(tt0)
Din ecuat ia diferent iala observ am c a Tc=T0este o solut ie de echilibru ,iar ^ n cazul in care
t!1;T(t)!Tc, adic a temperatura corpului tinde sa egaleze temperatura mediului .
Rezolvarea ecuat iei legii lui Newton
Fie problema lui Cauchy :
(
T0=k(TTc)
T(0) =T0
6

unde :
T(t)!temperatura corpului la momentul t;
T0!temperatura corpului la momentul init ial t0= 0, T(0) = T0;
Tc!temperatura mediului exterior;
T0(t)!viteza de modicare a temperaturii
Rezolvare:
Ecuat iaT0=k(TTc) este o ecuat ie liniar omogen a dar observ aam c a not^ and termenul
din dreapta cu o variabila U, U= (TTc) obtinem o ecuat ie cu variabile separabile
T0=kU
Aceasta este o ecuat ie de dezintegrare si are solut ia general a :
U=ektC:
Prin urmare
TTc=ektC,T(t) =Tc+ekt
Impun^ and condit ia init ial a T(0) =T0calcul am constanta C
C= (T0Tc)ekt;
 si obt inem solut ia problemei Cauchy :
T(t) =Tc+ (T0Tc)ekt
Problema determinrii coecientului de transfer termic k
Determinarea coecientului k presupune determinarea temperaturii T1la un moment de
timpt16=t0
FieT1cantitatea de c aldur a la un moment de timp t1.
Conform legii de transfer termic scriem relat ia
T1(t) =Tc+ (T0Tc)ek(t1t0)
de unde
ek(t1t0)=T1Tc
T1Tc
7

aplicand funt ia logaritm natural obt inem coecientul de transfer termic :
k=1
t1t0lnT1Tc
T0Tc
Aplicat ii ale legii lui Newton a transferului termic
Exemplul 2.2.1. Corpul unei victime a fost descoperit la ora t1 si avea temperatura T1.
La momentul t2(t2>t1) temperatura victimei ,masurat a ^ n acela si loc, este T2.Cunosc^ and
c a temperatura exterioar a a fost constant a , egal a cu Tc, precum si temperatura T0a
corpului uman viu , s a se determine ora t0la care a avut loc crima .
Rezolvare:
Fie T(t) temperatura corpului victimei la momentul t .Avem T(t0) =T0.
Aplic am legea lui Newton a transferului termic :
T0=a(TcT):
Rezolv^ and g asim legea dup a care corpul victimei ^  si schimb a temperatura:
T(t) =Tc+ea(tt0)(T0Tc):
F ac^ and succesiv t=t1;t=t2, obt inem sistemul cu necunscutele a  si t0:
(
T1=Tc+ea(t1t0)(T0Tc)
T2=Tc+ea(t2t0)(T0Tc)
Aplic^ and funct ia de logaritmare rezult a
(
lnT1Tc
T0Tc=a(t1t0)
lnT2Tc
T0Tc=a(t2t0)
Elimin am a ^ mp art iind membru cu membru  si deducem ecuat ia pentru a
area lui t0:
t1t0
t2t0=lnjT1TcjlnjT0Tcj
lnjT2TcjlnjT0Tcj
De aici g asim expresia pentru ora crimei :
t0=t1lnjT2T1jt2lnjT1Tcj+ (t2t1) lnjT0Tcj
lnjT2TcjlnjT1Tcj
8

Exemplul 2.2.2. O bar metalic a mic a, a c arei temperatur a init ial a a fost de 20C,este
aruncat ^ ntr-un vas mare cu ap a clocotit a. ^In c^ at timp bara va ajunge la 90C, dac a se  stie
c a temperatura cre ste cu 2C^ ntr-o secund a? C^ at timp este necesar ca bara s a ajung a la
temperatura de 98C?
Rezolvare(Proprie):
S tiind c a apa erbe la 100Cla presiune atmosferic a normal a presupun ca temperatura
vasului ^ n care este introdus corpul este Tv= 100C
Conform faptului ca temperatura corpului creste cu 2C^ ntr-o secund^ a pot stabili c a
T(1) = 22CAplic^ and formula de determinare a coecientului termic
k=1
t1t0lnT1Tv
T0Tv
obt inem coecientul termic :
k=1
01ln22100
20100=ln78
80= 0:025
Folosiind legea lui Newton
T(t) =Tv+ (T0Tv)ekt
^Inlocuind datele cunoscute calcul a timpul in care bara va ajunge la T= 90C
90 = 100 + (80)e0:025t,10 = 80e0:025t,1 = 8e0:025t
aplic^ and nct ia de logaritmare obt inem
t=ln 8
0:02581s
Bara ajunge la temperatura de 98C^ n :
t85s
9

2.3 Circuite electrice
Aplic^ and a doua lege a lui Kirchho pentru circuite electrice serie care cont in numai
un rezistor  si un inductor putem obt ine ecuat ia diferent ial a liniar a pentru a
area valorii
curentului electric i(t).
Legea a doua a lui Kirchho arm a c a suma c aderii de tensiune de pe inductor ( L(di
dt))  si
c aderea de tensiune pe rezistor ( iR) este egal a cu tensiunea( E(t)) furnizat a de circuitul
electric . Astfel obt inem ecuat ia
Ldi
dt+Ri=E(t) (2.3.1)
unde L  si R sunt constante cunoscute ca inductant a  si, respectiv, rezistent a circuitului,
i(t) este curentul electric , r aspunsul sistemului.
C aderea de tensiune pe un condensator cu capacitate C este dat a deq(t)
Cunde q(t) repre-
zint a sarcina electric a pe condensator. Pentru un circuit electric av^ and ^  loc de inductor,
condensator relat ia init ial a se rescrie
Ri+1
Cq=E(t)
Curentul electric i  si sarcina electric a q sunt legate prin relat ia i=dq
dt, deci ecuat ia init ial a
devine :
Rdq
dt+1
Cq=E(t)
Observat ia 2.3.1. Solut ia generala a ecuat iei 2.3 este :
i(t) =e(R=L)t
LZ
e(R=L)tE(t)dt+e(R=L)tC (2.3.2)
C^ and E(t)=E(0)ecuat ia 2.3.1 devine
i(t) =E0
R+e(R=L)t(2.3.3)
^In cazul ^ n care t!1 observ am c a al doilea termen al ecuat iei 2.3.1 tinde spre 0 ,
astfel de termeni sunt numiti termeni tranzitori iar ceilalt i termeni rama si sunt denumit i
termeni stationari .
Exemplul 2.3.2. O baterie de 12 volt i este conectat a la un circuit electric ^ n serie, ^ n
care inductant a este1
2henry iar rezistent a este de 10 ohmi. Determinai curentul electric
dac a curentul electric init ial este zero.
10

Rezolvare:
Scriem legea a doua a lui Kirchho aplicat a acestei probleme :
1
2di
dt+ 10i= 12
Aceast a ecuat ie este o ecuat ie liniar omogen a.Aplic^ aand calcule asupra ei ajunge la forma:
di
dt=20(i6
5)
Observam ca notand termenul din dreapta cu u , u=i6
5obt inem o ecuat ie cu variabile
separabile
di
dt=20u
,av^ and solut ia
u=e20tC
In nal solutt ia acestei ecuat iei lui Kirchho este:
i=6
5+e20tC
Impun^ aand condit ia dat a i(0) = 0 obt inem C=6
5 si solut ia problemei
i=6
56
5e20t
Exemplul 2.3.3.
Pentru un circuit electric format din ochiuri de ret ea se pot scrie mai multe ecuat ii
diferent iale care au loc simultan. Dup a cum arat a Figura curentul i1in nodulB1se
^ mparte ^ n curent ii i2 sii3. Conform legii ^ nt^ ai a lui Kirchho putem scrie relat ia:
i1(t) =i2(t) +i3(t) (2.3.4)
Acestui circuit se poate aplica legea a doua a lui Kirchho pe ecare ochi de retea. ^Insum^ and
toate caderile de tensiune din ochiul de ret tea format din nodurile A1B1B2A2A1obt inem
ecuat ia
E(t) =i1R1+L1di2
dt+i2R2 (2.3.5)
Similar pentru ochiul de ret ea A1B1C1C2B2A2A1se obt ine ecuat ia
E(t) =i1R1+L2di3
dt(2.3.6)
11

^Inlocuind ^ n ecuat iile 2.3  si 2.3 i1cu relat ia 2.3.4 obt inem dou a ecuat ii liniare de ordinul
^ nt^ ai pentru curent ii i2 sii3
E(t) =R1i3+ (R1+R2)i2+L1di2
dt(2.3.7)
E(t) =R1i3+R1i2+L1di3
dt(2.3.8)
Exemplul 2.3.4.
Exemplul 2.3.5.
2.4 Viteza de evadare
2.5 Problema para sutistului
Pentru mi scarea de mare viez a prin aer , un para sutist ^ nainte s a ^  si deschid a para suta,
rezistent  a a aerului este apropiata ca valoare de o putere a vitezei instantanee v(t).^In
aceast a sect iune ne propunem s a determin am ecuat ia diferent ial a pentru viteza v(t) a unui
corp cu masa m dac a rezistent a aerului este proport ional a cu p atratul vitezei instantanee.
Modelul matematic al mi sc arilor este o consecint  a a teoremei impulsului.
Teorema 2.5.1. Variaia impulsului este egal a cu fort a rezultant a ce act ioneaz a asupra
punctului material.
Observ am c a fort ele ce act ioneaz a asupra corpului sunt greutatea !G si fort a de frecare
cu aerul !Fa. Greutatea are expresia
!G=m !g;
unde !Geste vectorul accelerat iei gravitat ionale, de m arime g= 10m=s 2. Fort a de frecare
cu aerul !Faare expresia
Fa=kv2;
unde v este viteza , iar k este o constant a pozitiv numit a coecient de frecare.
Alegem un reper cu originea ^ n pozit ia init ial a a corpului  si cu sensul pozitiv ^ n jos.
T  in^ and cont de teorema impulsului  si de alegerea reperului putem scrie relat a
F=mgkv2;
12

unde conform legi lui Newton F=ma=mdv
dt
Deci, viteza poate  exprimat a prin ecuat ia diferent ial a :
mdv
dt=mgkv2(2.5.1)
Ecuaia diferent ial a poate  tratat a ca o ecuat ie cu variabile separabile sau ca o ecuat ie
de tip Riccati. O forma echivalent a a ecuat iei 2.5 este:
dv
dt=k
m(v2g)
de unde obt inem solut ia :
v(t) =q
g+ek
mt
.
2.6 Modele de dinamica a populat iei
2.6.1 Modelul lui Malthus
Se consider a o populat ie care se dezvolt a singur a sau nu interact ioneaz a cu alte popu-
lactii cunosc^ and num arul indivizilor din populat ie la momentul init ial t0se cere determi-
narea determinarea num arului de indivizi la un moment t.
Fiex0(t) num arul indivizilor la momentul t0 six(t) num arul indivizilor la momentul
t, unde x este o funct ie continu a  si derivabil a.Presupun^ and c a populat ia se dezvolt a dupa
legea " viteza de cre stere a populat iei la momentul t este direct proport ional a cu num arul
de indivizi la momentul t " observam c a determinarea funct iilor care satisfac condit iile:
(
x0=ax
x(t0) =x0
2.6.2 Modelul lui Verhulst
2.6.3 Modelul lui Gompertz
13