1. Aritmetica inelului de polinoame k[X];unde keste un corp comutativ. 2. Polinoame ireductibile cu coeficient ¸i complec¸ si ¸ si cu coeficient ¸i… [615290]

POLINOAME IREDUCTIBILE SI
DESCOMPUNEREA POLINOAMELOR IN
FACTORI IREDUCTIBILI¤
Cuprins
1. Aritmetica inelului de polinoame k[X];unde keste un corp comutativ.
2. Polinoame ireductibile cu coeficient ¸i complec¸ si ¸ si cu coeficient ¸i reali.
3. Polinoame ireductibile cu coeficient ¸i rat ¸ionali.
4. Polinoame ireductibile cu coeficient ¸i ˆ ın corpul Zp:
1 Aritmetica inelului de polinoame k[X];unde k
este un corp comutativ
Fiekun corp comutativ ¸ si k[X] inelul polinoamelor ˆ ıntr-o nedeterminat˘ a cu
coeficient ¸iˆ ın corpul k: k[X] este domeniu de integritate. Polinoamele inversabile
ale acestui inel sunt exact polinoamele constante nenule.
Definit ¸ie 1.1. Fief; g2k[X]:Atunci gdivide f¸ si scriem gjfdac˘ a exist˘ a
h2k[X]astfel ˆ ıncˆ at f=gh:In acest caz gse nume¸ ste divizor al lui f;iarf
se nume¸ ste multiplu al lui g:
Reamintim enunt ¸ul Teoremei ˆ ımp˘ art ¸irii cu rest ˆ ın inelul k[X] :
Teorema 1.2. Dac˘ a f; g2k[X]¸ sig6= 0;atunci exist˘ a ¸ si sunt unice dou˘ a
polinoame q; r2k[X]astfel ˆ ıncˆ at
f=gq+r
¸ sir= 0saudegr <degg:
Din aceast˘ a teorem˘ a deducem u¸ sor urm˘ atoarea
¤Aceast˘ a lect ¸ie a fost prezentat˘ a student ¸ilor de la grupa de masterat ˆ ın Didactic˘ a matem-
atic˘ a. Scopul ei este s˘ a prezinte ˆ ıntr-o manier˘ a unitar˘ a aritmetica inelului de polinoame ˆ ıntr-o
nedeterminat˘ a cu coeficient ¸i ˆ ıntr-un corp comutativ k. Rezultatele generale sunt folosite ˆ ın
cazurile concrete: k=/x51;/x52;/x43¸ sik=/x5ap;unde peste un num˘ ar prim. Facem ment ¸iunea c˘ a
nu am dat unele demonstrat ¸ii u¸ sor de f˘ acut ¸ si, ˆ ın unele cazuri, am prezentat doar schit ¸e de
demonstrat ¸ie, l˘ asˆ and ˆ ın seama cursant ¸ilor efortul de a completa detaliile.
1

Propozit ¸ie 1.3. Fief; g2k[X]cug6= 0:Atunci gjfdac˘ a ¸ si numai dac˘ a
restul ˆ ımp˘ art ¸irii lui flageste zero. In particular, dac˘ a a2k;atunci (X¡a)jf
dac˘ a ¸ si numai dac˘ a f(a) = 0 ;decia2keste r˘ ad˘ acin˘ a a lui f:
Propozit ¸ie 1.4. Relat ¸ia de divizibilitate pe k[X]este reflexiv˘ a ¸ si tranzitiv˘ a. In
plus, dac˘ a fjg1¸ sifjg2;atunci, pentru orice a1; a22k; fj(a1g1+a2g2):
Definit ¸ie 1.5. Polinoamele f; g2k[X]se numesc asociate ˆ ın divizibilitate
dac˘ a fjg¸ sigjf:In acest caz not˘ am f»g:Relat ¸ia »se nume¸ ste relat ¸ie de
asociere ˆ ın divizibilitate.
Propozit ¸ie 1.6. Relat ¸ia de asociere ˆ ın divizibilitate este relat ¸ie de echivalent ¸˘ a
pek[X];adic˘ a este reflexiv˘ a, simetric˘ a ¸ si tranzitiv˘ a.
Propozit ¸ie 1.7. Fief; g2k[X]:Urm˘ atoarele afirmat ¸ii sunt echivalente:
(i)f»g;
(ii)exist˘ a u2k¤astfel ˆ ıncˆ at f=ug;
(iii) Idealele generate de f¸ sigˆ ınk[X]sunt egale.
Exemplu 1.8. Fief=X3+ 2X2+ 3X¡12Z5[X]:Asociat ¸ii lui fˆ ın diviz-
ibilitate sunt f;2f;3f;4f:
Definit ¸ie 1.9. Un polinom nenul ¸ si neinversabil f2k[X]se nume¸ ste ire-
ductibil ˆ ın k[X]dac˘ a are proprietatea c˘ a pentru orice g; h2k[X];dac˘ a f=gh;
atunci f»g;decih2k¤sauf»h;decig2k¤:Cu alte cuvinte, feste
ireductibil dac˘ a nu se poate scrie ca un produs de dou˘ a polinoame g; h2k[X]
cudegg;degh <degf:In caz contrar, fse nume¸ ste reductibil ˆ ın k[X]:
Observat ¸ie 1.10. Dac˘ a k½Ksunt corpuri, un polinom f2k[X]½K[X]
poate sa fie ireductibil ˆ ın k[X]¸ si reductibil ˆ ın K[X]:
De exemplu, polinomul f=X2¡2 este ireductibil ˆ ın Q[X] ¸ si reductibil ˆ ın
R[X]:S˘ a remarc˘ am deci c˘ a proprietatea unui polinom de a fi ireductibil
depinde de corpul ˆ ın care se g˘ asesc coeficient ¸ii s˘ ai.
Urm˘ atoarea propozit ¸ie ne d˘ a cˆ ateva condit ¸ii de ireductibilitate simple dar foarte
eficiente ˆ ın probleme.
Propozit ¸ie 1.11. (1)Orice polinom f2k[X]de gradul 1este ireductibil ˆ ın
k[X]:
(2)Dac˘ a f2k[X]are gradul 2sau3atunci feste ireductibil ˆ ın k[X]dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a fnu are r˘ ad˘ acini ˆ ın k:
Observat ¸ie 1.12. Condit ¸ia ca gradul lui fs˘ a fie 2sau3ˆ ın(2)este esent ¸ial˘ a
pentru caracterizarea ireductibilit˘ at ¸ii lui fˆ ın funct ¸ie de existent ¸a unei r˘ ad˘ acini
ˆ ınk:Este clar c˘ a dac˘ a f2k[X]are o r˘ ad˘ acin˘ a ˆ ın katunci el este reductibil
ˆ ınk[X];dar, ˆ ın general, dac˘ a fnu are r˘ ad˘ acini ˆ ın k¸ sidegf¸4;nu rezult˘ a
neap˘ arat c˘ a feste ireductibil. De exemplu, polinomul f=X4+X2+ 12Q[X]
nu are r˘ ad˘ acini rat ¸ionale, dar este reductibil ˆ ın Q[X]deoarece
f= (X2+X+ 1)( X2¡X+ 1):
2

In continuare vom studia propriet˘ at ¸ile aritmetice ale inelului k[X]:Vom face
acest studiu aplicˆ and pe cazul inelului k[X] rezultatele de la inele principale.
Primul inel principal cu care se ˆ ıntˆ alnesc elevii este inelul ˆ ıntregilor. Deci arit-
metica inelului k[X] se poate studia prin analogie cu cea a inelului Z:
Teorema 1.13. Inelul k[X]este principal, adic˘ a orice ideal al s˘ au este princi-
pal.
Demonstrat ¸ie. E suficient s˘ a demonstr˘ am c˘ a orice ideal nenul al lui k[X] este
principal, deci este generat de un polinom. Fie Iun ideal nenul ¸ si fun polinom
nenul de grad minim din I:Atunci Ieste generat de f.
Propozit ¸ie 1.14. Un ideal Ial lui k[X]este maximal, adic˘ a are proprietatea
c˘ a nu exist˘ a ideale proprii ale lui k[X]care s˘ a cont ¸in˘ a strict idealul I;dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a generatorul s˘ au este polinom ireductibil ˆ ın k[X].
Demonstrat ¸ie. FieI= (f) un ideal maximal al lui k[X]:Fiegun divizor al lui
fneasociat cu el. Rezult˘ a c˘ a idealul ( g) cont ¸ine strict idealul ( f):Cum ( f) este
maximal obt ¸inem ( g) =k[X], deci geste inversabil ˆ ın inelul k[X]:In concluzie,
deducem c˘ a feste ireductibil. Reciproc, fie fireductibil ˆ ın k[X] ¸ siJ= (g) un
ideal care cont ¸ine strict pe I:Rezult˘ a c˘ a geste un divizor al lui fneasociat cu
f. Cum feste ireductibil, geste inversabil, deci J=k[X]:
Definit ¸ie 1.15. Fief; g2k[X]:Un polinom d2k[X]este un cel mai mare
divizor comun al polinoamelor f; gdac˘ a satisface urm˘ atorele condit ¸ii:
(i)deste divizor comun al polinoamelor f; g;
(ii)Dac˘ a d0este un alt divizor comun al polinoamelor f; g;atunci d0jd:
Definit ¸ie 1.16. Fief; g2k[X]:Un polinom m2k[X]este un cel mai mic
multiplu comun al polinoamelor f; gdac˘ a satisface urm˘ atorele condit ¸ii:
(i)meste multiplu comun al polinoamelor f; g;
(ii)Dac˘ a m0este un alt multiplu comun al polinoamelor f; g;atunci mjm0:
Propozit ¸ie 1.17. Fief; g2k[X]:Atunci f; gau un cel mai mare divizor
comun. In plus dac˘ a polinoamele d; d0au propriet˘ at ¸ile celui mai mare divizor
comun, atunci d; d0sunt asociate ˆ ın divizibilitate.
Demonstrat ¸ie. Dac˘ a d2k[X] este generatorul idealului ( f) + (g);atunci deste
un cel mai mare divizor comun al celor dou˘ a polinoame. Dac˘ a d; d02k[X]
satisfac condit ¸iile ( i);(ii) din Definit ¸ia 1.15 rezult˘ a imediat djd0¸ sid0jd;deci
d¸ sid0sunt asociate ˆ ın divizibilitate.
Observat ¸ie 1.18. In general, fiind dat un polinom nenul f2k[X];ˆ ın clasa sa
de echivalent ¸˘ a relativ la asocierea ˆ ın divizibilitate exist˘ a un unic polinom unitar.
3

Am ar˘ atat ˆ ın propozit ¸ia de mai sus c˘ a dac˘ a d; d0au propriet˘ at ¸ile din Definit ¸ia
1.15 pentru cel mai mare divizor comun al polinoamelor f; g;atunci d»d0;deci
(d) = (d0):Convenim s˘ a not˘ am ( f; g) =d;dac˘ a deste cel mai mare divizor co-
mun al polinoamelor f; gcare este polinom unitar. Dac˘ a ( f; g) = 1 polinoamele
f; gse numesc relativ prime .
Corolar 1.19. Daca f; g2k[X]¸ sid= (f; g);atunci exist˘ a dou˘ a polinoame
u; v2k[X]astfel ˆ ıncˆ at fu+gv=d:
Demonstrat ¸ie. Existent ¸a polinoamelor u; vrezult˘ a din egalitatea
(f) + (g) = (d):
Propozit ¸ie 1.20. Fief; g2k[X]:Atunci f; gau un cel mai mic multiplu
comun. In plus dac˘ a polinoamele m; m0au propriet˘ at ¸ile celui mai mic multiplu
comun, atunci m; m0sunt asociate ˆ ın divizibilitate.
Demonstrat ¸ie. Un cel mai mic multiplu comun pentru cele dou˘ a polinoame este
generator al idealului ( f)\(g):Dac˘ a m; m02k[X] satisfac condit ¸iile ( i);(ii)
din Definit ¸ia 1.16 rezult˘ a imediat mjm0¸ sim0jm;decim¸ sim0sunt asociate
ˆ ın divizibilitate.
Observat ¸ie 1.21. Vom nota cu [f; g]cel mai mic multiplu comun al poli-
noamelor f; gcare este polinom unitar.
Propozit ¸ie 1.22. Fief2k[X]¸ siq2k[X]un polinom ireductibil. Atunci qjf
sau(f; q) = 1 :
Demonstrat ¸ie. Fied= (f; q):Atunci djq;decid= 1 sau d=qdeoarece este
ireductibil. In acest ultim caz rezult˘ a qjf:
Propozit ¸ie 1.23. Dac˘ a q2k[X]este ireductibil ¸ si qjfg, unde f; gsunt
polinoame din k[X], atunci qjfsauqjg. (Cu alte cuvinte, orice polinom
ireductibil este element prim ˆ ın inelul k[X].)
Demonstrat ¸ie. S˘ a presupunem c˘ a feste nedivizibil prin q:Conform propozit ¸iei
anterioare, rezult˘ a c˘ a ( f; q) = 1 :Atunci, cu Corolarul 1.19, exist˘ a polinoamele
u; v2k[X] astfel ˆ ıncˆ at
1 =uf+vq:
Deci
g=ufg+vqg:
Darqjfg;deci, din egalitatea de mai sus, qjg:
Este clar c˘ a proprietatea de mai sus se poate generaliza la un num˘ ar abitrar
finit de factori.
Teorema urm˘ atoare este scopul principal al acestui paragraf.
4

Teorema 1.24. Orice polinom nenul ¸ si neinversabil din inelul k[X]se poate
scrie ca un produs finit de factori ireductibili. Descompunerea este unic˘ a pˆ an˘ a
la ordinea factorilor ˆ ın produs ¸ si pˆ an˘ a la o asociere ˆ ın divizibilitate, adic˘ a dac˘ a
f=p1p2: : : p s=q1q2: : : q t;
unde pi¸ siqjsunt polinoame ireductibile pentru orice 1·i·s¸ si1·j·t;
atunci s=t¸ si exist˘ a o permutare ¾de grad sastfel ˆ ıncˆ at pi»q¾(i)pentru orice
1·i·s:
Demonstrat ¸ie. Vom demonstra mai ˆ ıntˆ ai existent ¸a descompunerii. Dac˘ a feste
ireductibil, atunci produsul se reduce la un singur factor. Acum s˘ a consider˘ am
freductibil. Atunci fse scrie f=ghunde g; h2k[X] ¸ si deg g;degh <degf:
Dac˘ a gsauhsunt reductibile le putem descompune ˆ ın continuare. Procesul
de descompunere se opre¸ ste dup˘ a un num˘ ar finit de pa¸ si, deoarece pentru orice
descompunere a lui fˆ ın produs de factori, suma gradelor factorilor este n=
degf;deci num˘ arul factorilor din descompunere poate fi cel mult n:
Pentru unicitatea descompunerii proced˘ am prin induct ¸ie dup˘ a s:Dac˘ a s= 1;
atunci feste ireductibil, deci t= 1 ¸ si q1=p1:Fies >1 ¸ si presupunem afirmat ¸ia
adev˘ arat˘ a pentru s¡1 factori ˆ ın descompunere. Fie
f=p1p2: : : p s=q1q2: : : q t;
unde pi¸ siqjsunt polinoame ireductibile pentru orice 1 ·i·s¸ si 1·j·t:
Polinomul p1este ireductibil ¸ si p1jq1q2: : : q t;deci exist˘ a 1 ·j·tastfel ˆ ıncˆ at
p1jqj:Cum ¸ si polinomul qjeste ireductibil, rezult˘ a p1»qj;deci exist˘ a uj2k¤
astfel ˆ ıncˆ at p1=ujqj:Simplificˆ and cele dou˘ a descompuneri ale lui fprin p1
obt ¸inem egalitatea
p2: : : p s=ujq1q2: : : q j¡1qj+1: : : q t:
Pentru aceast˘ a egalitate aplic˘ am ipoteza de induct ¸ie.
Fief=p1p2: : : p so descompunere a polinomului fˆ ın factori ireductibili. Dac˘ a
scoatem ˆ ın factor coeficient ¸ii dominant ¸i ai polinoamelor piobt ¸inem o descom-
punere a lui fde tipul f=anp1p2: : : p s;unde polinoamele pisunt ireductibile
¸ si unitare ¸ si aneste coeficientul dominant al polinomului f:Grupˆ and factorii
egali ˆ ın descompunerea de mai sus rezult˘ a descompunerea lui f:
f=anp®1
1p®2
2: : : p®t
t;
unde pisunt polinoame ireductibile unitare distincte, iar ®isunt numere ˆ ıntregi
strict pozitive. Aceast˘ a descompunere este unic˘ a pˆ an˘ a la ordinea factorilor ˆ ın
produs.
Dac˘ a un factor ireductibil papare ˆ ın descompunerea polinomului fla puterea
®¸2;atunci pse nume¸ ste factor multiplu al lui fdemultiplicitate ®:Dac˘ a p
apare ˆ ın descompunerea lui fla puterea ˆ ıntˆ ai, el se nume¸ ste factor simplu sau
deordin de multiplicitate 1:
5

Propozit ¸ie 1.25. Fief; g2k[X]polinoame cu degf;degg¸1:Cel mai mare
divizor comun al polinoamelor f; geste egal cu produsul factorilor care apar
simultan ˆ ın cele dou˘ a descompuneri ridicat ¸i la putere egal˘ a cu minimul multi-
plicit˘ at ¸ilor la care apar ˆ ın descompunerile polinoamelor f; g:
Demonstrat ¸ie. Fied= (f; g):Este clar c˘ a polinomul construit ca ˆ ın enunt ¸ este
divizor comun al polinoamelor f; g; deci ¸ si al lui d:Dac˘ a polinomul din enunt ¸
¸ sidar fi diferite, atunci dar trebui s˘ a cont ¸in˘ a un factor ireductibil care nu
este comun celor dou˘ a polinoame, ceea ce este imposibil, sau unul din factorii
luidar avea un exponent superior celui cu care apare ˆ ıntr-una din cele dou˘ a
descompuneri, ceea ce este, de asemenea, imposibil.
Acest procedeu de calcul al celui mai mare divizor comun este similar celui
din inelul ˆ ıntregilor Z:Dar ˆ ınZnumerele prime pozitive mai mici decˆ at un
num˘ ar natural dat formeaz˘ a o mult ¸ime finit˘ a. Deci descompunerea ˆ ın factori
ireductibili a unui num˘ ar natural, prin urmare ¸ si a unui num˘ ar ˆ ıntreg, se poate
obt ¸ine dup˘ a un num˘ ar finit de ˆ ıncerc˘ ari. Un procedeu similar acestuia nu exist˘ a
ˆ ın inelul k[X] cˆ and keste corp infinit ¸ si, ˆ ın general, nu se poate da o metod˘ a de
descompunere ˆ ın factori ireductibili. In plus, a decide dac˘ a un polinom f2k[X]
este ireductibil pentru un corp arbitrar keste, ea ˆ ıns˘ a¸ si, o problem˘ a dificil˘ a.
2 Polinoame ireductibile cu coeficient ¸i complec¸ si
¸ si cu coeficient ¸i reali
In cazul ˆ ın care k=C¸ sik=Rputem caracteriza polinoamele ireductibile din
k[X] cu ajutorul urm˘ atoarei teoreme.
Teorema 2.1. (Teorema fundamental˘ a a algebrei) Orice polinom f2
C[X]cudegf¸1se poate descompune ˆ ın factori liniari ˆ ın C[X]:
Consecint ¸a 2.2. Singurele polinoame ireductibile din C[X]sunt cele de gradul
ˆ ıntˆ ai.
Polinoamele cu coeficient ¸i reali au urm˘ atoarea proprietate important˘ a: dac˘ a
®2C¡Reste r˘ ad˘ acin˘ a a polinomului f2R[X];atunci ¯ ®este r˘ ad˘ acin˘ a a lui f
cu acela¸ si ordin de multiplicitate ca ¸ si ®:
Consecint ¸a 2.3. Polinoamele ireductibile din k[X]sunt cele de gradul ˆ ıntˆ ai ¸ si
cele de gradul doi cu discriminantul strict negativ.
Demonstrat ¸ie. Fief2R[X];degf¸2; fireductibil. fare cel put ¸in o r˘ ad˘ acin˘ a
®2C¡R:Cum feste cu coeficient ¸i reali rezult˘ a c˘ a fare ¸ si r˘ ad˘ acina ¯ ®;decifse
divideˆ ınC[X] cug= (X¡®)(X¡¯®)2R[X]:Este clar c˘ a prinˆ ımp˘ art ¸irea lui fla
gse obt ¸ine cˆ atul un polinim cu coeficient ¸i reali. Cum feste ireductibil, deducem
c˘ af=ag; a2R:Evident ca discriminantul lui geste strict negativ.
6

2.1 Fract ¸ii rat ¸ionale
Definit ¸ie 2.4. Corpul de fract ¸ii, k(X);al domeniului de integritate k[X]se
nume¸ ste corpul fract ¸iilor rat ¸ionale ˆ ın nedeterminata Xcu coeficient ¸i ˆ ın k:Deci
o fract ¸ie rat ¸ional˘ a este cˆ atul a dou˘ a polinoame f; g2k[X]; g6= 0:
Dou˘ a fract ¸ii rat ¸ionalef
g¸ sif0
g0sunt egale dac˘ a fg0=f0g:Operat ¸iile cu fract ¸ii
rat ¸ionale se fac exact ca operat ¸iile cu numere rat ¸ionale.
Definit ¸ie 2.5. O fract ¸ie rat ¸ional˘ af
gse nume¸ ste ireductibil˘ a dac˘ a num˘ ar˘ atorul
¸ si numitorul sunt polinoame prime ˆ ıntre ele.
Este evident c˘ a orice fract ¸ie rat ¸ional˘ a se poate simplific˘ a pˆ an˘ a cˆ and devine egal˘ a
cu o fract ¸ie ireductibil˘ a.
Definit ¸ie 2.6. O fract ¸ie rat ¸ional˘ a ireductibil˘ a se nume¸ ste regulat˘ a dac˘ a gradul
num˘ ar˘ atorului este strict mai mic decˆ at gradul numitorului.
Dac˘ a accept˘ am c˘ a ¸ si 0 este fract ¸ie regulat˘ a rezult˘ a c˘ a orice fract ¸ie rat ¸ional˘ a se
poate aduce la forma unei sume dintre un polinom ¸ si o fract ¸ie regulat˘ a. Intr-
adev˘ ar, fief
go fract ¸ie rat ¸ional˘ a. Exist˘ a polinoamele q; r2k[X] astfel ˆ ıncˆ at
f=gq+r¸ sir= 0 sau deg r <degg:Rezult˘ a
f
g=q+r
g
¸ sir
geste fract ¸ie rat ¸ional˘ a regulat˘ a.
Definit ¸ie 2.7. O fract ¸ie regulat˘ af
gse nume¸ ste simpl˘ a dac˘ a geste o putere p®
a unui polinom ireductibil, iar feste de grad strict mai mic decˆ at gradul lui p:
Scopul principal al acestui paragraf este s˘ a demonstr˘ am urm˘ atoarea
Teorema 2.8. Orice fract ¸ie rat ¸ional˘ a regulat˘ a se descompune ˆ ıntr-o sum˘ a finit˘ a
de fract ¸ii rat ¸ionale simple.
Demonstrat ¸ie. Consider˘ am maiˆ ıntˆ ai o fract ¸ie rat ¸ional˘ a regulat˘ af
ghcu polinoame-
leg; hprime ˆ ıntre ele. Atunci exist˘ a ¯ u;¯v2k[x] astfel ˆ ıncˆ at
¯ug+ ¯vh= 1:
Inmult ¸ind aceast˘ a egalitate cu frezult˘ a
f=g(¯uf) +h(¯vf):
Fieurestul ˆ ımp˘ art ¸irii lui ¯ uflah:Atunci obt ¸inem egalitatea
ug+vh=f;
ˆ ın care deg u < degh:Cum polinomul fare deg f < deggh;rezult˘ a c˘ a ¸ si
polinomul vhare gradul strict mai mic decˆ at gradul lui gh;deci deg v <degg:
Atuncif
gh=u
h+v
g
7

¸ si deg u <degh;degv <degg;deci fract ¸iileu
h¸ siv
gsunt fract ¸ii rat ¸ionale reg-
ulate. Dac˘ a cel put ¸in unul din numitorii h; gse pot descompune ˆ ın produs de
dou˘ a polinoame prime ˆ ıntre ele, atunci putem realiza o nou˘ a descompunere ˆ ın
sum˘ a de fract ¸ii regulate. Continuˆ and acest procedeu se poate obt ¸ine descompu-
nerea unei fract ¸ii regulatef
gcu numitorul g=p®1
1p®2
2: : : p®l
l;unde p1; p2; : : : ; p l
sunt factori ireductibili distinct ¸i ¸ si ®1; ®2; : : : ; ® l>0;astfel:
f
g=u1
p®1
1+u2
p®2
2+: : :+ul
p®l
l:
Acum s˘ a consider˘ am cazul unei fract ¸ii regulate de formau
p®;unde peste polinom
ireductibil ¸ si ® > 0:Aplicˆ and succesiv teorema ˆ ımp˘ art ¸irii cu rest, obt ¸inem
egalit˘ at ¸ile:
u=p®¡1q1+u1
u1=p®¡2q2+u2
…
u®¡2=pq®¡1+u®¡1;
unde deg u <degp®;degu1< p®¡1; : : : ; degu®¡1<degp:Din egalit˘ at ¸ile de
mai sus rezult˘ a deg qi<degp;pentru orice i¸ si
u
p®=u®¡1
p®+q®¡1
p®¡1+: : :+q2
p2+q1
p;
deci am obt ¸inut descompunerea luiu
p®ca sum˘ a de fract ¸ii simple.
Obt ¸inem drept consecint ¸˘ a la aceast˘ a teorem˘ a un rezultat prezentat f˘ ar˘ a demon-
strat ¸ie ˆ ın manualul de Analiz˘ a matematic˘ a pentru clasa a XII-a, pe baza c˘ aruia
se calculeaz˘ a primitivele funct ¸iilor rat ¸ionale.
Corolar 2.9. Orice fract ¸ie rat ¸ional˘ a regulat˘ a cu coeficient ¸i reali se poate descom-
pune ˆ ıntr-o sum˘ a de fract ¸ii rat ¸ionale de forma
1
(X¡a)n;AX+B
(X2+bX+c)m;
unde m; n sunt numere naturale nenule, a; b; c; A; B 2R¸ sib2¡4ac < 0:
Observat ¸ie 2.10. Se poate demonstra c˘ a scrierea unei fract ¸ii rat ¸ionale regulate
ˆ ın sum˘ a de fract ¸ii rat ¸ionale simple este unic˘ a.
3 Polinoame ireductibile cu coeficient ¸i rat ¸ionali
Problema ireductibilit˘ at ¸ii polinoamelor ˆ ın Q[X] este mult diferit˘ a de cea din
ineleleR[X] sauC[X]:Vom demonstra c˘ a ˆ ın inelul Q[X] exist˘ a polinoame ire-
ductibile de orice grad. Vom deduce aceast˘ a afirmat ¸ie din condit ¸ia suficient˘ a de
ireductibilitate ˆ ın Q[X] pe care o d˘ a urm˘ atoarea
8

Teorema 3.1. (Criteriul lui Eisenstein de ireductibilitate)1Fie
f=a0+a1X+a2X2+: : :+anXn; n¸1; an6= 0;
un polinom cu coeficient ¸i ˆ ıntregi ¸ si pun num˘ ar natural prim cu propriet˘ at ¸ile:
(i)p6 jan;
(ii)pja0; pja1; : : : ; p jan¡1;
(iii) p26 ja0:
Atunci feste ireductibil ˆ ın Q[X]:
Demonstrat ¸ie. S˘ a presupunem c˘ a exist˘ a g; h2Q[X] cu deg g;degh < n; astfel
ˆ ıncˆ at f=gh:Se deduce u¸ sor c˘ a putem presupune c˘ a fadmite o asemenea scriere
cu polinoamele g; hcu coeficient ¸i ˆ ıntregi. Fie g=b0+b1X+b2X2+: : :+bmXm
¸ sih=c0+c1X+c2X2+: : :+crXr;cubm6= 0; cr6= 0 ¸ si m+r=n:Identificˆ and
coeficient ¸ii lui fcu coeficient ¸ii polinomului ghobt ¸inem egalit˘ at ¸ile:
a0=b0c0
a1=b0c1+b1c0
…
an¡1=bm¡1cr+bmcr¡1
an=bmcr:
Cum pja0¸ sip26 ja0;rezult˘ a c˘ a exact unul din numerele b0; c0este divizibil cu
p:S˘ a alegem, de exemplu, pjb0¸ sip6 jc0:Cum pja1=b0c1+b1c0;rezult˘ a pjb1:
Folosind urm˘ atoarea egalitate din ¸ sirul de mai sus ¸ si faptul c˘ a pja2rezult˘ a pjb2;
etc. In final deducem c˘ a pdivide tot ¸i coeficient ¸ii lui g;ceea ce implic˘ a pjan;
contradict ¸ie cu ipoteza. Prin urmare feste ireductibil ˆ ın Q[X]:
Corolar 3.2. In inelulQ[X]exist˘ a polinoame ireductibile de orice grad.
Demonstrat ¸ie. Fiepun num˘ ar natural prim. Polinomul Xn+peste ireductibil
ˆ ınQ[X] pentru orice n¸1;conform criteriului lui Eisenstein.
Probleme 3.3. 1. Fie pun num˘ ar natural prim. Polinomul
f=Xp¡1+Xp¡2+: : :+X+ 1
este ireductibil ˆ ın Q[X]:
2. Fie pun num˘ ar natural prim. Pentru orice num˘ ar natural n¸1;polinomul
f=Xpn+p¡1
este ireductibil ˆ ın Q[X]:
Rezolvare. In ambele cazuri se demonstreaz˘ a c˘ a polinomul f(X+ 1) este ire-
ductibil folosind Criteriul lui Eisenstein. ¤
1Pentru alte criterii de ireductibilitate ˆ ın /x51[X] recomand˘ am [2] ¸ si [4].
9

4 Polinoame ireductibile ˆ ın Zp[X]
Maiˆ ıntˆ ai reamintim cˆ ateva propriet˘ at ¸i ale corpurilor finite. O teorem˘ a clasic˘ a de
algebr˘ a (Teorema lui Wedderburn) stabile¸ ste c˘ a orice corp finit este comutativ.
Fiekun corp finit. Caracteristica sa este un num˘ ar prim p. De aceea el
cont ¸ine un subcorp izomorf cu Zp:Deci keste spat ¸iu vectorial peste Zp;evident
de dimensiune finit˘ a. Fie dim Zpk=n:Atunci k'Zn
p(izomorfism de spat ¸ii
vectoriale), deci karepnelemente. Prin urmare orice corp finit are num˘ arul de
elemente egal cu o putere natural˘ a a unui num˘ ar prim.
Este clar c˘ a inelul k[X] are caracteristica egal˘ a cu caracteristica lui k:Dac˘ a
chark =patunci, ˆ ın inelul k[X] se verific˘ a urm˘ atoarea egalitate:
(f+g)pn=fpn+gpn:
Teorema 4.1. Fiekun corp comutativ nu neap˘ arat finit ¸ si f2k[X]un polinom
de grad ¸1:Atunci exist˘ a o extindere La luikˆ ın care fare cel put ¸in o r˘ ad˘ acin˘ a.
Demonstrat ¸ie. Este clar c˘ a e suficient s˘ a demonstr˘ am teorema pentru poli-
noamele ireductibile din k[X]:Fiefireductibil. Atunci ( f) este ideal maximal
ˆ ınk[X];deci inelul factor L=k[X]
(f)este corp. Corpul kse scufund˘ a ˆ ın acest
corp prin compunerea morfismelor
k ,!k[X]!L=k[X]
(f);
a7!ˆa= clasa lui aˆ ınL:
Deci Leste o extindere a lui k:In acest corp clasa lui Xeste r˘ ad˘ acin˘ a a lui
f:
Corolar 4.2. Dac˘ a f2k[X]este un polinom de grad ¸1;atunci exist˘ a o
extindere a lui kˆ ın care fare toate r˘ ad˘ acinile.
Demonstrat ¸ie. Induct ¸ie dup˘ a n= deg f:Afirmat ¸ia este adev˘ arat˘ a pentru polinoa-
mele de gradul 1 :Fiefun polinom de grad n >1:Conform teoremei anterioare
exist˘ a L1o extindere a lui kˆ ın care fare o r˘ ad˘ acin˘ a ®:InL1[X] are loc egal-
itatea f= (X¡®)gpentru un polinom g2L1[X] de grad n¡1:Conform
ipotezei de induct ¸ie exist˘ a Lo extindere a lui L1;deci ¸ si a lui k;ˆ ın care gare
toate r˘ ad˘ acinile. Evident c˘ a fare toate r˘ ad˘ acinile ˆ ın L:
Teorema 4.3. Pentru orice num˘ ar natural prim p¸ si orice num˘ ar natural n¸1;
exist˘ a un corp Fcupnelemente.
Demonstrat ¸ie. Fieg=Xpn¡X2Zp[X]:Cum Dg=¡1;rezult˘ a c˘ a gnu
are r˘ ad˘ acini multiple. Fie extinderea La luiZpˆ ın care fare toate r˘ ad˘ acinile.
Mult ¸imea r˘ ad˘ acinilor lui gˆ ınLeste subcorp al lui Lcare are pnelemente.
Teorema 4.4. (Teorema elementului primitiv) Dac˘ a Feste un corp cu
q=pnelemente, F¶Zp¸ siF¤=F¡ f0g;atunci grupul multiplicativ F¤
este ciclic, deci exist˘ a ®2F¤astfel ˆ ıncˆ at F=Zp[®]:(®se nume¸ ste element
primitiv al lui F.)
10

Demonstrat ¸ie. F¤areq¡1 elemente. Demonstr˘ am c˘ a ˆ ın grupul F¤exist˘ a un
element de ordin q¡1, deci F¤este ciclic. Fie m= max ford a ja2F¤g:
Fie®2F¤cuord ® =m:Pentru orice a2F¤; ord a jm(conform [1], 2.3.15).
Deci am= 1;pentru orice a2F¤:Rezult˘ a c˘ a polinomul Xm¡12Zp[X] are
ca r˘ ad˘ acini toate elementele lui F¤;ceea ce implic˘ a q¡1·m:Cum aq¡1= 1;
pentru orice a2F¤;deducem c˘ a mj(q¡1);ˆ ın particular m·q¡1:In concluzie,
®are ordinul q¡1:
Corolar 4.5. Pentru orice n¸1;exist˘ a cel put ¸in un polinom ireductibil de
grad nˆ ınZp[X]:
Demonstrat ¸ie. FieFun corp cu pnelemente, F¶Zp:Atunci elementul primitiv
al lui Fare polinomul minimal peste Zpde grad n:Cum acesta este ireductibil,
rezult˘ a afirmat ¸ia din enunt ¸.
Teorema 4.6. Fiefun polinom unitar ¸ si ireductibil de grad ddinZp[X]:
(i)Dac˘ a djn;atunci fjXpn¡X;
(ii)Dac˘ a fjXpn¡X;atunci djn:
Demonstrat ¸ie. (i) Fie ®o r˘ ad˘ acin˘ a a lui fˆ ıntr-o extindere a lui Zp:Atunci
K=Zp[®] este corp finit cu pdelemente, deci K¤arepd¡1 elemente. Rezult˘ a
c˘ a®pd=®:Deoarece djnobt ¸inem ®pn=®;prin urmare ®este r˘ ad˘ acin˘ a a
luiXpn¡X:Rezult˘ a c˘ a ( f; Xpn¡X)6= 1;¸ si cum feste ireductibil, deducem
fjXpn¡X:
(ii) Fie F¶Zpcorpul cu pnelemente. Fare ca elemente toate r˘ ad˘ acinile
polinomului Xpn¡X:Cum fjXpn¡X;rezult˘ a c˘ a exist˘ a ¯2Fastfel ˆ ıncˆ at
f(¯) = 0 :Urmeaz˘ a c˘ a Zp[¯] este o extindere de grad da luiZpcont ¸inut˘ a ˆ ın F;
decidjn:
Corolar 4.7. Polinomul Xpn¡Xeste egal cu produsul tuturor polinoamelor
unitare ¸ si ireductibile din Zp[X]al c˘ aror grad este divizor al lui n:
Demonstrat ¸ie. Xpn¡Xare numai r˘ ad˘ acini simple, deci ˆ ın descompunerea sa
ˆ ın factori ireductibili apar numai factori la puterea 1 :
4.1 Num˘ arul polinoamelor unitare ireductibile din inelul
Zp[X]
Fiepun num˘ ar prim ¸ si n2N¤:Not˘ am ½(n; p) num˘ arul polinoamelor ireductibile
de grad ndin inelul Zp[X]:Am ar˘ atat c˘ a pentru orice n¸1 exist˘ a polinoame
ireductibile de grad nˆ ınZp[X];deci½(n; p)¸1 ¸ si c˘ a Xpn¡Xeste egal cu
produsul tuturor polinoamelor unitare ¸ si ireductibile din Zp[X] al c˘ aror grad
ested, divizor al lui n:Rezult˘ a formula:
pn=X
djnd½(d; p):
11

Folosind aceast˘ a egalitate ¸ si formula de inversiune a lui M¨ obius vom determina
num˘ arul ½(n; p):
Definit ¸ie 4.8. Funct ¸ia ¹:N¤!C;
¹(n) =(1;dac˘ a n= 1
(¡1)r;dac˘ a n=p1p2: : : p r; pinumere prime distincte
0;dac˘ a nnu e liber de p˘ atrate
se nume¸ ste funct ¸ia lui M¨ obius.
Lema 4.9. Dac˘ a n > 1atunciP
djn¹(d) = 0 ;unde dparcurge tot ¸i divizorii
pozitivi ai lui n:
Demonstrat ¸ie. Fien=p®1
1p®2
2: : : p®rr;descompunerea ˆ ın factori primi distinct ¸i
a num˘ arului n:Cum ¹(d)6= 0 pentru dliber de p˘ atrate sau d= 1;rezult˘ a
X
djn¹(d) =¹(1) +rX
i=1¹(pi) +X
i<j¹(pipj) +: : :+¹(p1p2: : : p r) =
= 1¡µr
1¶
+µr
2¶
¡: : :+ (¡1)rµr
r¶
= 0:
Teorema 4.10. (Formula de inversiune a lui M¨ obius) Pentru
f; F:N¤!C
funct ¸ii cu proprietatea
F(n) =X
djnf(d);
au loc egalit˘ at ¸ile:
f(n) =X
djn¹(n
d)F(d) =X
djn¹(d)F(n
d):
Demonstrat ¸ie. E suficient s˘ a demonstr˘ am doar prima egalitate deoarece a doua
rezult˘ a din faptul c˘ a atunci cˆ and dparcurge tot ¸i divizorii pozitivi ai lui n;n
d
parcurge aceea¸ si mult ¸ime. Prima egalitate rezult˘ a din urm˘ atorul ¸ sir de egalit˘ at ¸i:
X
djn¹(d)F(n
d) =X
djn¹(d)X
d0jn
df(d0) =X
djnX
d0jn
d¹(d)f(d0) =
=X
d0jnX
djn
d0¹(d)f(d0) =X
d0jn(X
djn
d0¹(d))f(d0) =f(n):
Ultima egalitate rezult˘ a din faptul c˘ a sumaP
djn
d0¹(d) este 1 pentru n=d0¸ si
0 ˆ ın celelalte cazuri, conform lemei precedente.
12

Corolar 4.11. Pentru orice n¸1¸ si orice num˘ ar natural prim p;
½(n; p) =1
nX
djn¹(n
d)pd=1
nX
djn¹(d)pn
d:
Demonstrat ¸ie. Se aplic˘ a formula de inversiune pentru
f(n) =n½(n; p) ¸ siF(n) =pn:
Exemple 4.12. 1. Num˘ arul polinoamelor ireductibile de grad 8ˆ ınZ2[X]este
½(8;2) =1
8X
dj8¹(8
d)2d=1
8(¹(1)28+¹(2)24) =1
8(28¡24) = 30 :
2. Num˘ arul polinoamelor ireductibile de grad 2ˆ ınZp[X]este:
¹(2; p) =1
2X
dj2¹(2
d)pd=1
2(p2¡p):
De exemplu, ˆ ın Z2[X]exist˘ a un polinom ireductibil de grad 2;ˆ ınZ3[X]exist˘ a
3polinoame ireductibile de grad 2, iar ˆ ınZ5[X]exist˘ a 10polinoame ireductibile
de grad 2:
Bibliografie
[1]T. Albu, I. D. Ion, Itinerar elementar ˆ ın algebra elementar˘ a, Editura All,
1997.
[2]C. N˘ ast˘ asescu, C. Nit ¸˘ a, C. Vraciu, Bazele algebrei, Editura Academiei,
1986.
[3]A. Kurosh, Cours d’alg` ebre sup´ erieure, MIR, Moscou, 1973.
[4]D. Fadeev, I. Sominski, Recueil d’exercices d’alg` ebre sup´ erieure, MIR,
Moscou, 1977.
13