Hulumtimi Empirik I Pasigurise Se Parashikimit Me Simulimin Monte Carlo (1) [614951]

-1-
HULUMTIMI EMPIRIK
I PASIGURISË SË
PARASHIKIMIT ME
SIMULIMIN MONTE CARLO
03 (53) 2012Altin Tanku
Elona Dushku
Kliti Ceca*

-2-*Altin Tanku, Elona Dushku, Kliti Ceca, Departamenti i Kërkimeve, Banka e
Shqipërisë.
Pikëpamjet e shprehura në këtë material janë të autorëve dhe ato nuk pasqyrojnë
domosdoshmërisht pikëpamjet dhe politikën e Bankës së Shqipërisë.
Autorët i janë mirënjohës komenteve të vlefshme të bëra nga Hilda Shijaku dhe
Vasilika Kota (nga Banka e Shqipërisë), si dhe nga pjesëmarrësit në “Takimin e
5të Rajonal të Kërkimeve Ekonomike në Evropën Juglindore”, të organizuar nga
Banka e Shqipërisë, në nëntor 2011.

-3-PËRMbAjTjA
1. Hyrje 5

2. Një përqasje analitike për hulumtimin e pasigurisë së parashikimit 9
3. Simulimi deterministik dhe stokastik i modelit 13
4. Teknika e simulimit Monte Carlo 17
5. Eksperimenti me MEAM dhe rezultatet kryesore 21
6. Përfundime 30
Literaturë 32
Shtojca 34

-4-

-5-“Ndryshimi i vetëm midis parashikimeve të ekonomistëve dhe të
fallxhoreve është se ekonomistët janë më të aftë në shpjegimin e
arsyeve që i bënë të gabonin.”
(F. J. H. Don, 2001)
1. HyRjE
Në vitin 2006, banka e Shqipërisë vendosi të heqë dorë nga
regjimi i shënjestrimit monetar në favor të atij të shënjestrimit
të inflacionit. Në këto kushte, banka e Shqipërisë i përqendroi
përpjekjet e saj kërkimore dhe analitike në zhvillimin e modeleve
empirike për parashikimin e inflacionit dhe gjithashtu të një modeli makroekonomik, MEAM (modeli makroekonometrik për Shqipërinë). Ky model ka për qëllim analizimin e skenarëve dhe të goditjeve të ndryshme në ekonomi, duke mundësuar kështu parashikimin jo naiv të ecurisë së variablave kryesorë makroekonomikë, bazuar në
zhvillimet aktuale dhe të pritshme.
Kjo përvojë relativisht e shkurtër bën që modelimi të përfaqësojë
një veprimtari të re për bankën e Shqipërisë. Megjithatë, kjo nuk
e ka penguar procesin vendimmarrës që të mbështetet gjerësisht
dhe me sukses në rezultatet e disa modeleve që përdoren për
parashikimin apo për analizimin e goditjeve në ekonomi. Modelet iu ofrojnë vendimmarrësve informacione të rëndësishme sasiore, duke paraqitur njëkohësisht edhe një kuadër për diskutimin e zhvillimeve të pritshme në ekonominë shqiptare. Pavarësisht analizës së hollësishme që modelet ofrojnë për zhvillimet e
përgjithshme ekonomike, ato (veçanërisht MEAM) përfaqësojnë
struktura shumëdimensionale dhe shpesh gjenerojnë rezultate që priten me skepticizëm dhe hapin debat.
Në pjesën më të madhe të rasteve, skepticizmi vjen nga fakti
se vendimmarrësve u raportohen vetëm vlerësime (parashikime) pikësore ose deterministike të zhvillimeve të pritshme në të ardhmen, të raportuara nga modeli. Për këtë arsye, pasiguritë, që rrethojnë

-6-mekanizmin e transmetimit ekonomik në përgjithësi dhe vlerësimin
empirik në veçanti, bëjnë që rezultatet pikësore të përftuara të mos ofrojnë parashikimin më të mirë të mundshëm që korrespondon
me pritshmëritë e vendimmarrësve. Gjithashtu, pasiguria e këtyre
rezultateve rritet akoma më shumë, pasi ato paraqiten në formën e parashikimeve pikësore, dhe jo me pasigurinë që rrethon parashikimet për arsyet e mësipërme.
Si ndërtuesi i modelit, ashtu dhe vendimmarrësit janë të
vetëdijshëm për faktin se parashikimet ose skenarët pikësorë të raportuar janë të pasigurt. Modeli në vetvete është një përgjithësim sa më real dhe i ngurtë i realitetit, dhe si i tillë mbart pasiguri. Vlerësimet pikësore e fshehin këtë pasiguri, për aq kohë sa ato nuk paraqiten në formën e shpërndarjes probabilitare. Rrjedhimisht, pa
një vlerësim të kësaj pasigurie është e vështirë të kuptohet nëse një
parashikim alternativ është ose jo i ndryshëm nga ai deterministik, i shoqëruar me shpërndarje probabilitare. Një nga pyetjet më të shpeshta të bëra nga vendimmarrësit gjatë prezantimeve është: Sa besim keni në këto rezultate? Në kuadrin ekonometrik, kjo pyetje mund të riformulohej kështu: Cili është probabiliteti i pasigurive në
vlerësimin e parashikimit, ose më mirë, cila është shpërndarja e
vlerësimit stokastik?
Ky material ka për qëllim që t’i përgjigjet pjesërisht kësaj
pyetjeje specifike, si dhe të zvogëlojë këtë hendek informativ midis
vendimmarrësve dhe modeluesve, duke matur dhe ofruar një matje
të pasigurisë që rrethon rezultatet e analizës së parashikimeve dhe të goditjeve të prodhuara nga MEAM. Ky material synon të kontribuojë në:
• Aplikimin e simulimit stokastik dhe të teknikës Monte Carlo për të analizuar ndjeshmërinë e makromodelit, bazuar në mbetjet
rastësore.
• Identifikimin dhe kuantifikimin e burimeve të pasigurisë në
model dhe të kuptuarit qartë të burimeve dhe të masës së gabimit në parashikim.
• Vlerësimin nëse rezultatet e parashikimit janë sistematikisht të
nënvlerësuara apo të mbivlerësuara, duke u bazuar në formën
e shpërndarjes së parashikimit.

-7-Mjaft institucione të tjera kanë përdorur teknika të ngjashme për
të matur pasiguritë e modelit, pavarësisht burimeve të ndryshme të
pasigurive, duke përdorur metodën Monte Carlo. banka e Kanadasë
(Amano et al (2002)) dhe banka e Anglisë (Garratt et al, (2003))
janë vetëm dy prej tyre. Megjithatë, vlerësimi stokastik i pasigurisë
ka një histori të gjatë dhe të suksesshme dhe ai përfaqëson një metodë të mirëzhvilluar dhe të zbatuar nga mjaft autorë me peshë (Canova (1995) dhe Fair (2003)).
Pasiguria ka shumë burime dhe mund të shfaqet në katër forma
të ndryshme. bazuar në strukturën e modelit, natyrën dhe objektivin e ushtrimit, ne mund të identifikojmë disa burime të pasigurisë në parashikime. burimi i parë lidhet me pasigurinë e të dhënave që vjen nga informacioni statistikor. burimi i dytë ka të bëjë me pasigurinë
që lidhet me parashikimin e serive të të dhënave ekzogjene, sepse
materializimi i tyre në të ardhmen është i pasigurt në momentin e simulimit të modelit. burimi i tretë i pasigurisë përfshin pasigurinë në vlerësimin e parametrave të modelit. burimi i fundit lidhet me pasigurinë që shoqëron termat e gabimit, që mund të vijë si rezultat i ngjarjeve rastësore ose si rezultat i një mosspecifikimi të saktë të
modelit. Kjo ka bërë që krahas këtyre katër burimeve, Clements
dhe Hendry (1998), dhe Ericsson (2001) të përfshijnë dhe një burim
tjetër pasigurie, që rrjedh nga përzgjedhja e gabuar e modelit, e
variablave dhe e ekuacioneve të përfshira në modelin përfundimtar.
Megjithatë, është e rëndësishme të theksohet se analiza e
paraqitur në këtë material nuk bën një vlerësim të të gjitha burimeve të pasigurisë, por përqendrohet më së tepërmi në burimin e katërt të pasigurisë, në veçanti në analizimin e termit të gabimit, pra të ngjarjeve të tjera rastësore të pashpjeguara nga modeli.
Për më tepër, duke qenë se në interes të politikës monetare është
stabiliteti i çmimeve si dhe disa nga treguesit ekonomikë, si ecuria e prodhimit të brendshëm, normat e interesit, kursi i këmbimit etj., materiali fokusohet në hulumtimin dhe analizën e gabimit në parashikimin e tyre. Në këtë mënyrë marrim në shqyrtim efektet e
vendimmarrjes së politikës monetare ose të ngjarjeve të ardhshme,
duke konsideruar pasigurinë në variablat që paraqesin interes të veçantë për politikën monetare.

-8-Duke qenë se parashikimet dhe analizat e ndryshme të
përftuara nga këto modele janë pjesë përbërëse e zbatimit të
politikave ekonomike, vlerësimi i ecurisë së këtyre modeleve është
pjesë e një procesi mjaft të rëndësishëm. Vlerësimi i tij përmes
një përqasjeje të simulimit stokastik ofron informacion të plotë edhe mbi shpërndarjen probabilitare të termit të gabimit, për rrjedhojë edhe mbi shpërndarjen e parashikimit (parashikimeve) të përftuar nga modeli, me supozimin se forma funksionale është e mirëspecifikuar, supozimet për variablat ekzogjenë janë të sakta
dhe do të materializohen në të ardhmen, si dhe parametrat e
vlerësuar janë ata realë. Për më tepër, duke u bazuar në llojin dhe formën e shpërndarjes së parashikimeve stokastike, ne mund të vlerësojmë nëse parashikimet e bëra nga një model i caktuar janë ose jo të mbivlerësuara.
Ky material synon të vlerësojë në mënyrë të qartë ecurinë e
modelit MEAM duke përdorur teknikën Monte Carlo të simulimeve stokastike, duke u përqendruar vetëm në pasigurinë që rrjedh nga termi i gabimit në model, si dhe identifikimin e atyre variablave që sjellin pasiguri më të lartë në parashikimin e Pbb-së reale.
Materiali është organizuar si më poshtë: seksioni i dytë
përshkruan pasiguritë e modelit dhe diskuton analizën e gabimeve të pritshme të parashikimit, duke u bazuar në formula analitike. Seksioni i tretë paraqet simulimet deterministike dhe stokastike. Në
seksionin e katërt paraqitet teknika e simulimit Monte Carlo. Në
seksionin e pestë jepet një përshkrim i shkurtër i modelit MEAM dhe një përmbledhje e rezultateve empirike të simulimeve stokastike me goditje të shtuara në ekuacion. Së fundmi, seksioni i gjashtë paraqet përfundimet.

-9-2. NjË PËRqASjE ANALITIKE PËR HULUMTIMIN E
PASIGURISË SË PARASHIKIMIT
Pasiguria është një atribut i pandarë i çdo parashikimi, i cili është
rezultat i një numri të caktuar faktorësh, ku përfshihen njohuritë
tona ose preferencat në lidhje me modelin teorik më përfaqësues
të realitetit tonë ekonomik, dinamika e zhvillimit të ecurisë së
kaluar dhe të pritshme të variablave ekzogjenë, si dhe eksperienca e vlerësimeve empirike. Të gjithë elementët e përcaktuar më sipër bazohen në përvoja të ndryshme ekonomike, të përcaktuara në kohë dhe në hapësirë, në të cilat formohet procesi i njohjes dhe analizës individuale të çdo personi ose grupi personash. Në këtë
kontekst, ka pak të ngjarë që të gjithë vendimmarrësit të bazohen në
të njëjtin model dhe teori ekonomike, të kenë të njëjtat pritshmëri në lidhje me goditjet e ndryshme ekonomike dhe të bazojnë vlerësimin në të njëjtët variabla ekzogjenë dhe instrumente, etj. Për këtë arsye, duke u bazuar në përvojën dhe besimet e vendimmarrësve
(të cilat kanë shumë të ngjarë të ndryshojnë nga ato të ndërtuesit
të modelit), rezultati i modelit nuk do ta përshkruajë ekonominë domosdoshmërisht saktësisht në të njëjtën mënyrë siç parashikohet nga vendimmarrësi. Çdo ndryshim në perceptim për një ose më shumë prej elementëve të diskutuar më lart në procesin e gjenerimit të të dhënave (DGP) përbën një burim të mundshëm në rezultatet
e pritshme të vendimmarrësve dhe të modelistëve. Ato përbëjnë
burim të mundshëm pasigurie në rezultatet e të gjitha modeleve.
Çdo model është në vetvete një thjeshtim i pranueshëm i realitetit
ekonomik. Ai përfshin të gjithë bazën teorike si dhe informacionin
e vlefshëm në lidhje me të dhënat e marrëdhëniet ekonomike, në
momentin e ndërtimit të tij. Duke përdorur këto burime, ndërtuesi i modelit përpiqet ta specifikojë modelin në mënyrë të tillë që ky i fundit të sigurojë një përafrim sa më të mirë me procesin e gjenerimit të të dhënave (DGP), ose më saktë, me procesin e gjenerimit të të dhënave lokale (LDGP), siç përkufizohet nga Hendry (2011). Pavarësisht
përpjekjeve të panumërta të ndërtuesit të modelit, modeli përfundon
gjithmonë me një vektor gabimi, i cili për çdo periudhë kohe t mat
devijimin e të dhënave të gjeneruara nga modeli me vlerat reale të vrojtuara të variablit. Në përgjithësi, çdo model që përpiqet të imitojë realitetin mund të jepet në formën e mëposhtme të përgjithshme:

-10- (1)
ku yt është vektori i variablave endogjenë që do të donim të
vlerësonim ose të parashikonim, xt është vektori i variablave
ekzogjenë, θ është vektori i parametrave strukturorë të modelit, dhe
ut është vektori i goditjeve që godasin ekonominë ose gabimeve
rastësore. Në të gjitha ato raste kur sistemi ka një zgjidhje të vetme
të formës së mbyllur, ne mund ta parashikojmë vlerën e variablave
endogjenë duke përdorur funksionin g si vijon:
(2)
me mesataren dhe variancën e mëposhtme:
(3)

(4)
Problemi me modelimin ekonomik është se forma funksionale g
nuk është e njohur për ndërtuesin e modelit ose për vendimmarrësin,
për këtë arsye, nuk mund të sigurojmë një përafrues të formës së mbyllur të g . Megjithatë, duke marrë për një x
t të caktuar, një vektor
të caktuar të parametrave strukturorë θ dhe nën supozimin se mbetjet
për periudhën e marrë në shqyrtim janë zero, ut=0 për të gjitha
t, dhe me përzgjedhjen e një forme funksionale të përshtatshme,
modeluesi mund të vlerësojë dhe raportojë vlera të parashikuara të
variablave tanë endogjenë sipas formës së mëposhtme:

(5)
Shenja e kapuçit është vendosur për të treguar se tërësia e
parametrave strukturorë është vlerësuar në mënyrë të tillë që të
replikojë LDGP, qofshin ato të vlerësuara apo të kalibruara, duke prodhuar një vektor të variablave endogjenë për çdo t në periudhën
e vlerësimit.
e raportuar është në fakt vlerësimi deterministik i
vektorit tonë të variablave endogjenë për të gjitha t e marra në
analizë, duke u bazuar në supozimin se është një vlerësues i
qëndrueshëm (konsistent) i parametrave realë të modelit, variablave ekzogjenë x
* dhe formës funksionale g .

-11-Megjithatë, ne e dimë se variablat tanë endogjenë janë
stokastikë, gjë që vërehet në procesin e vlerësimit të modelit.
Pavarësisht faktit se sa i suksesshëm është ndërtuesi i modelit në
supozimet e mësipërme, modeli nuk do të arrijë kurrë që të imitojë
DGP-në e vërtetë, duke rezultuar kështu në një gabim vlerësimi et,
për çdo t , për shkak se të dhënat e gjeneruara nga modeli do të
devijojnë nga të dhënat e vrojtuara:
(6)
Ndërtuesi i modelit duhet të shikojë të gjitha mundësitë që ta
shndërrojë vektorin et të periudhës së zgjedhjes për t = 1, 2, 3… t,
të dalë nga procesi i vlerësimit të modelit në periudhën e zgjedhjes,
në vektorë rasti me komponentë normalë të pavarur me shpërndarje
N (0, δ), me dispersione të njohur dhe me matricë kovariacionale Γ.
Në fakt, këto shmangie nga DGP e vërtetë përfshijnë jo vetëm
goditjet rastësore në variablat tanë, por dhe çdo gabim të mundshëm
të bërë në vlerësimin (kalibrimin) e parametrave strukturorë, koeficientët e modelit, në supozimin lidhur me variablat ekzogjenë
ose me formën funksionale që përfshihen në model. Për këtë arsye,
çdo përpjekje modelimi që përfshin supozime, matje, vlerësime të përzgjedhjes së modelit dhe gjykimin e ekspertit, karakterizohet dhe nga pasiguria që shoqëron secilin prej këtyre hapave. Kjo pasiguri pasqyrohet në model, si burim pasigurie në rezultatet e përftuara
dhe shndërrohet në burimin e gabimeve të vrojtuara, përtej dhe
krahas goditjeve rastësore. Ajo përmban informacion të dobishëm për ndërtuesin e modelit dhe për vendimmarrësin, ku injorimi i saj mund të rezultojë potencialisht i rrezikshëm.
Në fakt, kjo ishte dhe kritika e parë dhe më e madhe që iu bë
modeleve ekonomike në fillim të viteve ’80. Disavantazhet kryesore qëndrojnë në faktin se këto modele përfaqësojnë një thjeshtësim të konsiderueshëm të realitetit dhe se ato karakterizohen nga specifikimi jo i saktë i variablave kryesorë dhe i lidhjeve ekonomike që ekzistojnë në model.
Nga kjo pikëpamje, është e rëndësishme që të njohim jo vetëm
vlerësimin deterministik të parashikimeve, por dhe pasigurinë që shoqëron (rrethon) këto vlerësime. Kështu shpërndarja probabilitare

-12-e gabimit është mjaft informative, duke qenë se gabimet përfshijnë
goditje të pashpjeguara të variablave që janë pjesë e DGP-së së vërtetë, por të cilat nuk përfshihen në model. Vrojtimi dhe
hulumtimi i shpërndarjes probabilitare të gabimit rreth vlerësimit
pikësor të zhvillimeve të ardhshme nuk ofrojnë vetëm një njohje më të mirë të rrezikut dhe të pasigurisë së parashikimit midis variablave të modelit (duke ofruar një matje të gabimit të parashikimit), por ato ofrojnë gjithashtu një shpërndarje referencë për krahasimin e cilësisë së parashikimit deterministik (duke dhënë informacion mbi
formën e shpërndarjes dhe natyrës jolineare të modelit).

-13-3. SIMULIMI DETERMINISTIK DHE STOKASTIK I
MODELIT
Parashikimet makroekonomike janë mjaft të rëndësishme
për të ndihmuar dhe për të orientuar në drejtim të analizës së
mëtejshme procesin e vendimmarrjes. Duke qenë se këto vendime
merren në një mjedis të karakterizuar nga pasiguria, njohja dhe
vlerësimi i tyre është mjaft thelbësor. Don (2001) përkufizon dy kritere për vlerësimin e parashikimit, përkatësisht atë statistikor dhe jostatistikor.
baza kryesore e vlerësimit të parashikimit bazuar në kriterin
statistikor është që gabimet e parashikimit të kenë mesatare zero dhe devijim standard minimal. Një kriter i tillë, kërkon fillimisht njohjen e formës së shpërndarjes së gabimeve, e cila është subjekt i një numri supozimesh të paprovuara, që veprojnë në një ekonomi të caktuar.
Ndërkohë kriteri jostatistikor, ndryshe nga kriteri statistikor,
kërkon që parashikimi të ketë koherencë logjike dhe ekonomike, si dhe të jetë njëkohësisht i qëndrueshëm në kohë. Koherenca logjike nënkupton që modeli ku bazohet parashikimi të mbështetet në identitete të pranuara ekonomike. Ndërsa, koherenca ekonomike
shkon përtej koherencës logjike, pasi parashikimi i marrë duhet jo
vetëm të jetë në përputhje me teorinë ekonomike, por njëkohësisht të replikojë ecurinë historike të të dhënave të vëzhguara në realitet.
Konsistenca ose qëndrueshmëria e procesit të parashikimit është
një kriter tjetër jostatistikor i përdorur për të vlerësuar ecurinë e gabimit. Ky kriter nënkupton se midis parashikimeve nuk duhet të ekzistojnë ndryshime të mëdha, në rastet kur informacioni i ri i shtuar nuk ndryshon shumë nga ai që ishte vendosur fillimisht. Ky kriter qëndron midis koherencës ekonomike nga njëra anë dhe parashikimit të suksesshëm nga ana tjetër, duke shpjeguar qartë
devijimin e parashikimit për të ruajtur konsistencën në vendimmarrje
(Britton et al, (1998)).
MEAM përdoret në procesin e vendimmarrjes për dhënien e
parashikimeve dhe për analizimin e goditjeve për më shumë se

-14-tre vjet. Kjo periudhë ka treguar se MEAM i ka kaluar testet për
kriteret jostatistikore dhe se ai përbën një instrument të besueshëm për kryerjen e analizave dhe të parashikimeve në procesin e
vendimmarrjes. Nga ana tjetër, kriteri statistikor i rezultateve ose
parashikimeve të marra nga modeli, ka qenë i pjesshëm. Ndërsa vlerësimi i kriterit statistikor të ekuacioneve individuale është bërë që në momentin e dizenjimit dhe vlerësimit të modelit në tërësi, bazuar kryesisht në rrënjën katrore të mesatares së gabimit (RMSE), përpjekje të padokumentuara më parë. Megjithatë deri më sot,
nuk është vlerësuar kriteri statistikor dhe kjo është përpjekja e parë
për ta testuar performancën e MEAM-it në tërësi, nga ndërveprimi i të gjithë variablave dhe ekuacioneve në model në mënyrë të njëkohshme.
Një mënyrë për ta realizuar këtë është shqyrtimi i performancës
së pasigurisë përmes simulimit stokastik dhe jo atij deterministik, ku rezultatet e simulimit stokastik mund të japin informacione lidhur me shpërndarjen e variablave të parashikuar nga modeli. Më poshtë jepet një përshkrim i qartë i simulimit stokastik:
Procedura e simulimit stokastik kërkon, para së gjithash,
gjenerimin e një vektori rastësor
të mbetjeve të rastit të pavarura
në seri; së dyti, futjen e këtyre mbetjeve të rastit në model në formën e goditjeve të rastit me qëllim gjenerimin e s periudhave
të mëvonshme të parashikimit të zgjedhur, ku s përkufizohet si në
paragrafin më lart dhe është ndryshe nga t =1, 2, 3, …T, duke supozuar njohje të saktë të variablave ekzogjenë x në të gjithë
periudhën e parashikimit s dhe parametra strukturorë, duke përdorur
dhe zgjidhur modelin ose sistemin që rezulton nga ekuacioni 2. Nëse do të kishim mundësinë që ta përsërisnim procesin një numër
të madh e të mjaftueshëm herësh, duke përdorur një numër të
fundëm, por të madh mbetjesh të rastit
nën supozimin se seritë janë
të pavarura dhe me shpërndarje të njëjtë, bazuar dhe në matricën variancë-kovariancë të modelit, ne do të mund të gjeneronim një
numër mjaftueshmërisht të madh vektorësh
. Për këtë arsye, nëse
do të mund të ofronim një shpërndarje të njohur parametrike për
mbetjet stokastike, nën supozimin se këto seri janë të pavarura dhe
kanë shpërndarje të njëjtë, si dhe me gabime të njohura të matricës
variancë-kovariancë të modelit, atëherë do të ishte e mundur që

-15-të realizonim një vlerësim stokastik të në formën e përgjithshme
të mëposhtme:
(7)
ku PDF (·) është funksioni i densitetit të shpërndarjes së ku
përfaqëson zgjedhje të pavarur nga shpërndarja e parapërcaktuar
e vektorit të gabimeve të parashikimit et. Diferenca midis vlerave
të vrojtuara të variablave tanë endogjenë për të gjithë periudhën
e parashikimit s dhe vlerave të simuluara që rezultojnë nga
parashikimi stokastik i dhënë nga përfaqëson popullimin e
rezultateve stokastike.
Për ta përmbledhur, ky vlerësim kalon nëpër katër faza.
Së pari, gjenerohet një vektor i numrave pseudo të rastit, duke
përdorur procedurën Monte Carlo nga një shpërndarje dhe matricë variancë-kovariancë të njohur të mëparshme.
Së dyti, vektorët
shtohen në MEAM dhe modeli zgjidhet në formën
e parashikimit për s periudha më përpara, me s = (T+1, T+2, …, T+S),
duke përdorur vlerat e njohura të variablave ekzogjenë.
Së treti , fazat 1 dhe 2 përsëriten në një numër të mjaftueshëm
herësh (1000 në rastin tonë), duke e goditur sistemin me një vektor të ndryshëm mbetjesh
në secilën herë dhe duke gjeneruar diferencat
për të gjithë variablat endogjenë që paraqesin interes.
Së katërti, diferencat e gjeneruara për secilin variabël endogjen
përdoren për të llogaritur momentet e shpërndarjes së tyre dhe për të analizuar rezultatet në raport me parashikimin deterministik përgjatë linjave të mëposhtme:
_ Lineariteti kundrejt jolinearitetit në parashikim. Për të testuar nëse një model është linear ose jo, llogarisim diferencën midis mesatares stokastike dhe deterministike, e njohur si koeficient i
anshmërisë. Një vlerë e lartë e këtij koeficienti tregon se modeli
mund të jetë jolinear. Në rastin e modeleve lineare, simulimet deterministike dhe stokastike të modelit ofrojnë parashikime

-16-të paanshme, ndërkohë që në rastin e modeleve jolineare,
një simulim deterministik jep një zgjidhje të mbivlerësuar ose nënvlerësuar të modelit në terma të mesatares së parashikimit
(brown dhe Mariano, (1989 a, 1989, b)).
_ qëndrueshmëria (ndjeshmëria) e modelit kundrejt mbetjeve
ose goditjeve rastësore. Analiza e devijimit standard të
parashikimit stokastik mund të na ndihmojë të analizojmë
gabimin e pritur dhe na jep informacione lidhur me shpërndarjen e parashikimit stokastik. Kështu, nëse analiza zbulon se devijimet e parashikimit stokastik janë relativisht të ndryshme nga mesatarja deterministike, atëherë kjo tregon se modeli është i paqëndrueshëm dhe i ndjeshëm ndaj goditjeve të jashtme.
_ Në përfundim, çështja e fundit që dëshirojmë të adresojmë
është forma e shpërndarjes së parashikimit stokastik, e cila na jep informacione të rëndësishme lidhur me karakteristikat
e gabimit të parashikimit. Kështu, në një model jolinear,
bianche, Calzolari dhe Corsi, (1979, 1981) nënvizojnë se shpërndarja normale e gabimeve mund të prodhojë një shpërndarje të anuar të parashikimit, e cila lidhet me një mesatare dhe mesore të ndryshme. Kjo mesatare e investigimit të shpërndarjes jep një ide se ku mund të ndodhet gabimi i
parashikimit stokastik dhe deterministik në terma të formës
së parashikimit, duke shfaqur mundësinë e mbivlerësimit ose nënvlerësimit në parashikimet deterministike.

-17-4. TEKNIKA E SIMULIMIT MONTE CARLO
Literatura ekonometrike propozon mjaft metoda analitike,
numerike dhe empirike për vlerësimin e kontributit të gabimeve në
parashikim, për disa ose për të gjitha burimet e pasigurisë (Bianchi
dhe Calzolari, (2010)). Një ndër mënyrat që po aplikohen gjithnjë
e më tepër janë “Metodat Monte Carlo të simulimit të variablave rastësorë”. Më poshtë jepet një përshkrim i përgjithshëm i këtyre metodave, duke u përqendruar në një shembull konkret, i cili do të përdoret në seksionin tjetër.
Nisur nga informacionet dhe njohuritë tona, kjo nuk është hera e
parë që teknika e simulimit Monte Carlo përdoret për të gjeneruar pasigurinë në punimet e bankës së Shqipërisë. Shijaku dhe Ceca (2009) e përdorin simulimin Monte Carlo për të matur pasigurinë, megjithatë, ata nuk bëjnë një diskutim të detajuar të kësaj teknike.
Për shkak të kësaj dhe nisur nga fakti se kjo është hera e parë
që teknikat Monte Carlo përdoren për vlerësimin e eficiencës së parashikimit të modelit makroekonomik MEAM të bankës së Shqipërisë, ne do të paraqesim një përshkrim të përgjithshëm të teknikës Monte Carlo.
Përdorimi i metodave Monte Carlo bazohet në simulimin e variablit
të rastit me shpërndarje të njëtrajtshme në intervalin ]0; 1[. Algoritmet bazë të gjenerimit të numrave nga kjo shpërndarje përmenden në literaturë (Lemieux, Ch, 2009.) dhe disa prej tyre, përfshihen edhe në programe (software) të ndryshme statistikore. Procedura
dhe teste statistikore krijohen gjithashtu për të treguar rëndësinë
statistikore të tërësisë së numrave të krijuar duke përdorur këto algoritme (Lemieux, Ch, 2009).
Më pas, përdorimi i këtyre metodave konsiston në modelimin e
një variabli rastësor përmes shpërndarjes së njëtrajtshme. Në këtë
mënyrë, krijohen “algoritmet e kalimit”. Teorikisht, është provuar
se çdo shpërndarje probabilitare mund të shprehet si funksion i shpërndarjes së njëtrajtshme. Nga ana tjetër, zgjidhja praktike e kësaj shprehjeje konsiston në krijimin e “algoritmeve të kalimit” të përmendura më lart.

-18-Duke qenë se ajo çfarë kemi përmendur deri tani zbatohet për
shpërndarjet parametrike, për ato joparametrike ekzistojnë metoda
të tjera (në disa raste të njohura dhe si “metoda speciale të modelimit
të variablave të rastit”). E fundit që vlen për t’u përmendur në këtë
kuadër është se modelimi i vektorëve të rastit është një përgjithësim normal i rastit skalar. Në vijim, paraqitet një shembull konkret i modelimit të një variabli të rastit dhe të një vektori të rastit me shpërndarje normale, të cilët përdoren në rastin tonë.
Në shumë raste, shpërndarja probabilitare e pasigurisë pranohet
të jetë shpërndarje normale (bazuar në Teoremën qendrore Limite). Le të supozojmë se na jepet një vektor i rastit Z , me
shpërndarje normale shumë përmasore Z
n ~ N(µ,Ω) , me vektor
mesatar µ dhe matricë k ovariancionale Ω, simetrike, pozitivisht
të përcaktuar dhe josingulare. Përmes aplikimit të matricës së
zbërthimit (dekompozimit) Cholesky, Ω mund të jepet nga matrica
katrore trekëndore më e ulët H , n-përmasore, në formën: Ω =HHT.
Për më shumë hollësi mbi llogaritjet e matricës H = { hi,j}, kur jepet
Ω = {ωi,j}, mund të përdoren barazimet e mëposhtme:
(8)
Matrica H mund të përdoret për të shprehur vektorin e rastit Z në
formën e mëposhtme:
Z= H • U + µ, (9)
ku U=(U1 …Un)T është një vektor i rastit n– përmasor, me
shpërndarje normale U ~ Nn (0, I), me densitet probabilitetesh:
(10)
bazuar në faktin se matrica kovariancionale vektorit të rastit
U është një matricë identike n – përmasore I , rezulton se të gjithë
përbërësit e vektorit U janë të pavarur dhe me shpërndarje
të njëjtë, të dhënë nga densiteti i shpërndarjes probabilitare:
.

-19-Ndërkohë, e kundërta është e lehtë për t’u provuar, që do të thotë
se nëse vektori i rastit U ka shpërndarje probabilitare U ~ Nn (0, I),
atëherë transformimi i tij linear ka shpërndarje normale. Llogaritjet
e parametrave mund të bëhen duke u bazuar në transformimet e
mësipërme. Në këtë mënyrë, transformimi (9) jep një vektor normal
me shpërndarje Z ~ N(µ, Ω), ku Ω = HHT.
Përmendim këtu se densiteti i shpërndarjes i vektorit të rastit
normal n-përmasor është:
(10-1)
Shprehja (8) dhe transformimi i mësipërm përbëjnë konceptin
themelor të “algoritmit të kalimit” për shpërndarjen normale shumëpërmasore.
Për simulimin e numrave të rastit me shpërndarje N (a, σ
2), mund
të përdoret transformimi i mëposhtëm box – Müller (10-2), i cili gjeneron numra pseudo të rastit N(a, σ
2). Për simulimin e vektorit
të rastit me shpërndarje normale, mund të përdoren transformimet (10-3), të cilat i vendosin këto pseudo-numra të gjeneruar me
shpërndarje normale në një vektor n -përmasor.
Transformimi box – Müller për shpërndarjen normale
N (a, σ
2): (10-2)
_ Simulohen dy numra të rastit nga variablat e pavarur të rastit
U1 dhe U2, me shpërndarje probabilitare U (0, 1).
_ Simulohen dy numra të rastit nga shpërndarja probabilitare N(a, σ
2), duke u bazuar në transformimet e mëposhtme:

Transformimi për shpërndarjen normale n -përmasore
Z ~ Nn (µ, Ω) : (10-3)
_ Simulohen n vlerat e pavarura të variablit të rastit N (0, 1), duke
u bazuar në transformimet (10-2). Krijohet në këtë mënyrë vektori U ~ N
n(0, I).X= σ ∙ ( -2lnU1)(1/2)cos(2πU2) + a
Y= σ ∙ (-2lnU1)(1/2)sin(2πU2) + a

-20-_ Llogarisim matricën H siç përmendet më lart.
_ Gjenerojmë vektorin Z duke u bazuar në barazimin: Z= H • U + µ.
Praktikisht, në rastin e aplikimit tonë, gjenerimi i pseudo-
numrave N (0, 1) është realizuar duke përdorur programin Eviews.
Më pas, transformimet e lartpërmendura përdoren për të përftuar
pseudo-numra me shpërndarje N(a, σ2) dhe vlera nga vektori me
shpërndarje normale.

-21-5. EKSPERIMENTI ME MEAM DHE REzULTATET
KRyESORE
Roli i MEAM-it në analizën dhe parashikimin e aktivitetit
ekonomik, si pjesë e rëndësishme për procesin e vendimmarrjes
e bën të nevojshme matjen e saktësisë së këtyre parashikimeve.
Eksperimenti i mëposhtëm është formuluar dhe zbatuar me qëllim
që t’u japë përgjigje çështjeve të përmendura më lart. Nisur nga fakti se gjatë dy viteve të fundit, modeli MEAM
1 është përdorur
për të parashikuar aktivitetin ekonomik në vend, duke përdorur eksperimentin e dhënë më poshtë, jemi përpjekur të shpjegojmë
çështjet e mësipërme lidhur me cilësinë e parashikimit.
MEAM është një model tremujor me një strukturë të plotë të
ekonomisë që përfshin sektorin real, sektorin fiskal, sektorin e
jashtëm, ekuacionet e çmimeve të huaja dhe të brendshme, si dhe
disa ekuacione mbi tregun e punës. Politika monetare modelohet
përmes një rregulli të thjeshtë Taylor, i cili reagon ndaj devijimit të inflacionit dhe hendekut të prodhimit. Modeli vlerësohet përmes përqasjes së kointegrimit, i cili bën dallimin midis zhvillimeve afatshkurtra dhe atyre afatgjata. Marrëdhëniet afatgjata
përcaktohen nga marrëdhëniet e kointegrimit, ndërsa dinamikat
afatshkurtra përfshijnë vlerat aktuale dhe të vonuara të variablave të përfshirë në marrëdhënien e kointegrimit, si edhe variabla të tjerë ekzogjenë. Ekuacionet e vetme vlerësohen në mënyrë individuale, ku marrëdhëniet afatgjata përcaktohen sipas metodës johansen. Përgjithësisht, parametrat e ekuacionit janë vlerësuar, por ka edhe
disa marrëdhënie afatgjata që janë kalibruar. Në total, MEAM ka
45 ekuacione, ku 11 janë ekuacione të vlerësuara dhe pjesa tjetër janë kryesisht identitete, ku përmendim sektorin publik (sektorin shtetëror), ofertën agregate, të ardhurat e disponueshme, borxhin publik dhe llogarinë kombëtare, etj.
qëllimi kryesor i eksperimentit tonë është vlerësimi i performancës
së modelit MEAM, me fokus të veçantë në parashikimin e Pbb-së dhe komponentëve të saj. Ne, gjithashtu, analizojmë linearitetin përkundrejt jolinearitetit në parashikim, se si modeli është i ndjeshëm
1 Për një përshkrim të detajuar të këtij modeli, referojuni materialit të përgatitur
nga Dushku, Kota dhe binaj, 2006 “Modeli Makroekonomik për Shqipërinë”, si
dhe materialit të përgatitur nga Kota & Dushku, 2007, “Modeli Makroekonomik i Shqipërisë: Studim Vijues”.

-22-ndaj goditjeve të jashtme, si dhe shqyrtojmë formën e shpërndarjes
së parashikimit stokastik. Në këtë model, Pbb-ja përcaktohet nga ana e kërkesës, kështu që zhvillimi i aktivitetit ekonomik është
funksion i konsumit total, investimeve totale (private dhe publike),
si dhe i eksporteve neto.
Duke përdorur teknikën Monte Carlo, ne gjeneruam rreth 1000
variabla të rastit, veçanërisht për Pbb-në, konsumin total real, investimet private reale, eksportet reale dhe importet reale. Kështu
në total, ne kemi një matricë të numrave të rastit me përmasa
5×1000. Duke qenë se nuk kemi një numër të mjaftueshëm projeksionesh (vetëm 8 tremujorë parashikime kryesisht për Pbb-në) për të analizuar karakteristikat e gabimit të parashikimit, ne kemi supozuar se këto terma gabimi kanë një shpërndarje normale
me mesatare zero dhe me devijim standard të barabartë me
devijimin standard të mbetjeve të tyre historike. Ky supozim bazohet në informacionin e dhënë në variablat e paracaktuar. Duhet të nënvizojmë se vlerësimi i lidhjeve ekonomike dhe zgjidhja e modelit është bërë për periudhën 1996-2006, ndërsa performanca e
modelit është vlerësuar jashtë kësaj periudhe. Kjo nënkupton që
pjesa tjetër e burimeve të mundshme të pasigurisë trajtohet si fikse, thënë ndryshe, ne supozojmë koeficientë realë ose fiks të vlerësimit, si dhe një strukturë të saktë të specifikimit të modelit. Pra, ne kemi një parashikim të kushtëzuar nga ecuria e variablave ekzogjenë të përfshirë në model, parametrat e ekuacioneve dhe në specifikimin e
saktë të modelit. Kjo do të thotë që gabimi i pritshëm i parashikimit,
vjen si rezultat i goditjeve ose “zhurmave” në termin e gabimit të secilit prej ekuacioneve (bianchi dhe Calzolari (1982)).
Rezultatet e eksperimentuara me anë të modelit MEAM janë të
paraqitura në tabelën 1, e cila përmban informacion lidhur me
anshmërinë në përqindje të rezultateve, e matur si diferencë midis
mesatares së parashikimit stokastik dhe mesatares së parashikimit deterministik, e shprehur në përqindje të këtij të fundit. Një diferencë e madhe midis mesatares së parashikimit stokastik dhe mesatares deterministike është tregues për një shkallë të lartë jolineariteti të modelit, duke dëshmuar kështu se parashikimi i marrë nga vlerësimi
stokastik është më i mirë sesa parashikimi deterministik.
Një rezultat tjetër që paraqitet në tabelë është koeficienti i
variacionit të parashikimit stokastik, i matur si devijim standard i

-23-parashikimit në përqindje ndaj mesatares së parashikimit stokastik.
Përmes kësaj statistike, ne mund të llogarisim devijimin e serive tona të parashikimit krahasuar me parashikimin mesatar. Sa më e madhe
të jetë shpërndarja e parashikimit stokastik përreth mesatares së tij,
aq më i ndjeshëm është modeli ynë kundrejt goditjeve të jashtme. Periudha e simulimit të modelit përfshin gjithsej 3 vite (ose 12 tremujorë). Rezultatet e lidhura me përqindjen e anshmërisë dhe me koeficientin e variacionit paraqiten për Pbb-në, konsumin, investimet private dhe totale, eksportet, importet, të gjitha në terma realë, si
dhe për IÇK-në dhe inflacionin. Çdo rezultat tregohet për periudhën
e parë, të mesme dhe të fundit, me qëllim që të evidentohet se si ndryshojnë këto statistika gjatë periudhave më të gjata të parashikimit.
Tabelë 1. Përmbledhje e rezultateve për simulimet stokastike me mbetje
rastësore të shtuara në ekuacionin e konsumit privat (1000 simulime).
Emri i variablit Anshmëria në përqindje1 Koeficienti i
variacionit2, %
I II III I II III
Pbb reale 0.0043 -0.0745 -0.1419 2.41 4.27 4.63
Konsumi total në terma realë0.0055 -0.0918 -0.1833 2.87 5.35 6.18
Investimet totale në terma reale-0.0001 -0.0235 -0.0854 0.26 1.94 3.05
Investimet private në terma realë -0.0001 0.0145 -0.0992 0.30 2.33 3.60
Eksportet në terma reale-0.00001 -0.00002 0.00002 0.23 0.28 0.27
Importet në terma realë0.0005 -0.0288 -0.0946 0.79 2.37 3.41
Norma e inflacionit 0.0048 0.0145 -0.0139 2.17 3.77 4.80
1 Anshmëria në përqindje = (mesatarja e parashikimit stokastik/parashikimi deterministik -1).
2 Koeficienti i variacionit = (devijimi standard i parashikimit stokastik/mesatarja e
parashikimit stokastik).
burimi: Llogaritje të autorëve.
Disa nga rezultatet e përftuara tregojnë se parashikimet (ose
projeksionet) e marra nga modeli MEAM janë përgjithësi lineare
bazuar në vlerat e ulëta të koeficientit të anshmërisë në përqindje, i
cili tregon se diferenca midis mesatares së parashikimit deterministik
dhe mesatares së parashikimit stokastik është mjaft e vogël. Nga
ana tjetër, kjo do të thotë se parashikimi deterministik i përftuar nga modeli MEAM është një parashikues i saktë i mesatares. Nëse ne analizojmë akumulimin e gabimit në kohë, do të vërejmë se

-24-ky gabim është më i madh në fund të periudhës sesa në fillim,
megjithatë ai mbetet i pakonsiderueshëm. Akumulimi i gabimit është kryesisht më i madh për treguesin e konsumit, Pbb-së dhe
investimeve private, duke u luhatur në intervalin [0.10-0.18].
Një statistikë tjetër e matur për 3 vitet e zgjedhjes është koeficienti
i variacionit për çdo variabël endogjen. Rezultatet e përftuara
tregojnë se gjatë periudhës së parë të parashikimit, për 5 nga 7 variablat e shqyrtuar, mbetjet rastësore ndikojnë tek ta me më
pak se 1%. Ndërkohë, konsumi dhe Pbb përjashtohen, për shkak
se ky koeficient arrin përkatësisht vlerat 3% dhe 2%. Duke marrë parasysh faktin se konsumi luan një rol të rëndësishëm në Pbb, pritet që një pjesë e këtyre pasigurive të ardhura nga ky variabël të transmetohen edhe tek ai. Ky rezultat tregon se më tepër vëmendje
duhet t’u kushtohet ekuacionit të konsumit dhe variablave të tij
përcaktues. Gjithashtu sa më e gjatë të jetë periudha e parashikimit, aq më e madhe është pasiguria që shoqëron këto parashikime.
Në rastin e variablit të inflacionit, ne nuk duhet ta keqinterpretojmë
koeficientin e madh të variacionit për katër periudhat e konsideruara, që variojnë nga 2.17 në 4.8 duke qenë se inflacioni shprehet në përqindje. Ai nënkupton se një koeficient variacioni që luhatet nga 2 në 5% interpretohet si një gabim në inflacion me përkatësisht 0.03 dhe 0.08 pikë përqindje nga niveli përkatës i normës së inflacionit.
Një statistikë tjetër e analizuar është forma dhe lloji i shpërndarjes
së parashikimit tonë, duke shqyrtuar asimetrinë
2 dhe sheshësinë3
e të dhënave të parashikimit, ku asimetria mat simetrinë e shpërndarjes, ndërsa sheshësia mat pikën kulmore ose më të ulët
në raport me shpërndarjen normale.
Grafiku më poshtë bën një përmbledhje të formës së shpërndarjes
së 1000 simulimeve për secilin nga variablat e përmendura më lart,
të detajuar për vitin e parë, të dytë dhe të tretë të parashikimit, për
të parë se si ky parashikim është i ndryshëm në kohë. Duke qenë se
reagimin e politikës monetare dhe impaktin e tyre në treguesit kryesorë makroekonomikë i shikojmë përgjatë një periudhe kohe dyvjeçare, atëherë edhe analiza jonë e shpërndarjes së parashikimeve do të
fokusohet vetëm në dy vitet e para të parashikimit.
2 Në anglisht: skewness.
3 Në anglisht: kurtosis.

-25-Grafik 1a. Shpërndarja e parashikimit të PB B-së
në kohë të ndryshme.
.00000.00001.00002.00003.00004.00005.00006
160,000 200,000 240,000 280,000 320,000
Y_ një vit përparaDendësia
Y_ dy vite përparaY_ tre vite përpara
Grafik 1b. Shpërndarja e parashikimit të konsumit real në
kohë të ndryshme.
C_ një vit përparaDendësia
C_ dy vite përparaC_ tre vite përpara.00000.00001.00002.00003.00004.00005
140,000 160,000 180,000 200,000 220,000 240,000 260,000
Grafik 1c. Shpërndarja e parashikimit të investimeve totale
reale në kohë të ndryshme.
I_ një vit përparaDendësia
I_ dy vite përparaI_ tre vite përpara.0000.0001.0002.0003.0004.0005.0006
55,000 60,000 65,000 70,000 75,000 80,000

-26-Grafik 1d. Shpërndarja e parashikimit të investimeve private
reale në kohë të ndryshme.
P_I_ një vit përparaDendësia
P_I_ dy vite përparaP_I_ tre vite përpara.00000.00002.00004.00006.00008.00010.00012.00014
30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000
Grafik 1e. Shpërndarja e parashikimit të importeve reale
në kohë të ndryshme
IM_ një vit përparaDendësia
IM_ dy vite përparaIM_ tre vite përpara.00000.00004.00008.00012.00016.00020
80,000 85,000 90,000 95,000 100,0001 05,000 110,0001 15,000
Grafik 1f . Shpërndarja e parashikimit të eksporteve reale
në kohë të ndryshme.
X_ një vit përparaDendësia
X_ dy vite përparaX_ tre vite përpara.00000.00001.00002.00003.00004.00005.00006.00007
30,000 40,000 50,000 60,000 70,000 80,000 90,000 100,000

-27-burimi: Llogaritje të autorëve.
Secilit prej variablave të mësipërm, u kemi përafruar shpërndarjen
normale të 1000 vlerave të parashikimeve përkatësisht për vitin e
parë, të dytë dhe të tretë të parashikimeve. bazuar në grafikët e
mësipërm, ajo çfarë vërejmë është që sa më e gjatë të jetë periudha
e parashikimit aq më e madhe është pasiguria që shoqëron këto parashikime. Një rezultat ky i konfirmuar edhe nga koeficienti i variacionit. Gjithashtu kemi testuar nëse këto shpërndarje kanë shpërndarje normale apo jo. Një përmbledhje e detajuar e testit të normalitet të Lillefors
4 (1967) gjendet në tabelën 35. Rezultatet e
këtij testi tregojnë se seritë e parashikimeve në lidhje me treguesit kryesorë kanë të gjithë shpërndarje normale, duke gëzuar në këtë
mënyrë të gjithë karakteristikat e kësaj forme shpërndarjeje.
Ndërkohë që tabela 2 përmban disa karakteristika të përgjithshme
mbi këto variabla, për vlerat e parashikuara të tyre në terma të
mesatares, mesores, maksimumit, minimumit, devijimit standard, asimetrisë, sheshësisë, për të gjithë periudhën e simulimit.
4 Hipoteza bazë e këtij testi është që seria ka shpërndarje normale, ndërsa hipoteza
alternative është që seria nuk ka shpërndarje normale.
5 Shih aneksin 1.Grafik 1g . Shpërndarja e parashikimit të inflacionit
në kohë të ndryshme.
INF_ një vit përparaDendësia
INF_ dy vite përparaINF_ tre vite përpar a.0.1.2.3.4.5.6.7.8
0.51 .0 1.52 .0 2.53 .0 3.54 .0 4.55 .0

-28-Tabelë 2. Statistika përshkruese*.
Emri i variablit Mes. Mesorja Maks. Min.Devijimi
StandardAsimetria Sheshësia
Pbb reale 205632 205558 254970 171190 10693.84 0.137034 3.24406
Konsumi total në
terma realë168400 168719 212456 128681 10417.21 -0.06826 3.22732
Investimet totale në terma realë 61174 61125 72487 54543 2338.247 0.323942 2.91077
Investimet private në terma realë48865 49695 65279 35150 4639.117 -0.28722 2.44040
Eksportet reale 55929 54282 81504 44037 9778.727 0.942931 3.37017
Importet reale 85790 86220 103307 70286 5478.868 0.024247 2.18572
Inflacioni 2.55 2.48 4.53 0.62 0.808551 0.202729 2.11792
* Të dhënat për Pbb-në reale, konsumin real, investimet private dhe investimet totale
reale, importet dhe eksportet reale janë të shprehura në milionë lekë. IÇK është një
indeks, ndërkohë që inflacioni është shprehur në përqindje dhe në terma tremujorë.
burimi: Llogaritje të autorëve .
bazuar në rezultatet në lidhje me mesataren dhe mesoren, vërejmë
se për të gjithë variablat ato janë të ndryshme, pra konfirmon faktin
që parashikimet e marra janë asimetrike. Ky rezultat konfirmohet gjithashtu edhe nga vlerat e asimetrisë për secilin nga variablat. Lidhur me gjetjet e mësipërme, është e qartë se seritë e Pbb-së reale, investimeve totale reale, eksporteve dhe të inflacionit anojnë
pozitivisht, ndërkohë që pjesa tjetër e variablave ka asimetri
negative. Kjo do të thotë që, deri në një pikë të caktuar, të dhënat karakterizohen nga asimetria dhe që mesatarja dhe mesorja ndryshojnë nga njëra-tjetra. Kështu në momentin kur konsiderojmë parashikimet e marra për Pbb-në reale, investimet totale reale,
eksportet, importet dhe inflacionin duhet të dimë që këto vlerësime
janë të mbivlerësuara, ndërsa parashikimet për konsumin dhe investimet private, tregojnë se ato janë të nënvlerësuara.
Përfundimi i përgjithshëm është se për pjesën më të madhe të
variablave të marrë në konsideratë, diferencat midis parashikimeve
stokastike dhe atyre deteministike nuk janë të konsiderueshme
dhe implikimi i vendimmarrjes lidhur me këto rezultate është se parashikimet deterministike që gjenerohen nga MEAM janë eficiente, të sakta dhe të dobishme për qëllimin e politikës monetare. Shpërndarja e parashikimeve për të gjithë variablat

-29-vlerësohet normale, por vlerat e ndryshme të mesatares dhe
mesores konfirmojnë që parashikimet e marra janë asimetrike. Për rrjedhojë, parashikimi deterministik nuk është parashikimi
më i mirë. Në dritën e këtyre gjetjeve, është e rëndësishme që
në procesin e vendimmarrjes së politikës monetare të përdoren parashikimet stokastike përkundrejt atyre deterministike.

-30-6. PËRfUNDIME
Parashikimet makroekonomike janë mjaft të rëndësishme për
procesin e vendimmarrjes dhe, si të tilla, duhet arritur një përqasje
sa më e mirë e tyre ndaj funksionit të shpërndarjes së humbjeve ose
maksimizimit të fitimeve të vendimmarrësve. Pavarësisht mënyrës
se si vlerësohen gabimet në një model, ato nuk janë shumë të pëlqyeshme nga vendimmarrësit, kjo pasi surprizat që vijnë si nga parashikimi i variablave ekzogjenë apo goditjet që vijnë nga tregjet financiare, janë të pashmangshme, duke bërë që vendimet të merren në një mjedis shumë të pasigurt. Duke u nisur nga ky
fakt, dalim në përfundimin se do të duhet të jetojmë me gabimet
e parashikimeve tona, por më e rëndësishmja është se ne duhet të kuptojmë burimin e pasigurisë në të gjithë procesin e vendimmarrjes (Don (2001)).
Në këtë material, analizuam pasigurinë e parashikimit që rrjedh
nga termat e gabimit të modelit MEAM përmes simulimeve stokastike të teknikës Monte Carlo, si dhe testuam të ashtuquajturat “lidhje të dobëta”. Rezultatet e vlerësuara treguan se koeficienti i asimetrisë në përqindje (i matur si diferenca midis mesatares stokastike dhe deterministike të parashikimit) mori vlera të ulëta, duke treguar se
parashikimi deterministik është një parashikues i mirë i mesatares
së variablave në përgjithësi dhe se modeli është linear.
Ndërsa, koeficienti i variacionit tregoi se pjesa më e madhe e
pasigurisë në parashikimin e vlerës së Pbb-së reale buronte nga
pasiguritë që e kanë prejardhjen nga ekuacioni i konsumit dhe i
investimeve private. Ky rezultat është në linjë me pritshmëritë, duke marrë në konsideratë faktin se këta dy përbërës kanë një peshë të konsiderueshme në totalin e Pbb-së. Gjithashtu, investigimi i faktorëve përcaktues të secilit prej variablave të mësipërm mbetet detyrë për t’u hulumtuar në të ardhmen.
Një rezultat tjetër i analizuar kishte të bënte me simetrinë e të
dhënave, duke shqyrtuar formën e shpërndarjes së parashikimeve stokastike. Rezultatet treguan se të gjitha parashikimet e kryera ndjekin një formë shpërndarjeje normale, por pjesa më e madhe
e tyre janë me asimetri pozitive nga e djathta, pra parashikimi i

-31-bërë është i mbivlerësuar. Gjithashtu, edhe shpërndarja e të
dhënave është asimetrike, e shoqëruar me vlera të ndryshme të mesatares dhe mesores, duke marrë dhe parashikime asimetrike.
bazuar në rezultatet e përftuara nga simulimet stokastike me anë
të modelit MEAM, një ndër konkluzionet më të rëndësishme është se parashikimet deterministike të këtij modeli janë parashikuese të mira të mesatares së variablit dhe se modeli nuk është subjekt i goditjeve të jashtme.
Kështu vlerësimet deterministike të përftuara nga ky model të
paktën për dy vitet e para janë parashikuese të mira të sjelljes së treguesve kryesorë makro. Megjithatë për të rritur besueshmërinë dhe efikasitetin e vendimeve të marra mbi projeksionet e MEAM-it, por edhe nga modele apo vlerësime të tjera, është më mirë që këto
parashikime të paraqiten me anë të shpërndarjes probabilitare.
Materiali shqyrtoi vetëm një nga burimet kryesore të pasigurisë.
Matja e ecurisë së modelit që buron nga pasiguri të tjera, kryesisht
pasiguria nga parametrat e vlerësuar, si dhe ato që vijnë si rezultat i sjelljes së variablave ekzogjenë, do të jenë subjekt i kërkimeve në
të ardhmen.

-32-LITERATURA
Adelman, I & Aldelma, F.L; “The dynamic properties of the Klein_
Goldberger Model”, Econometria, Vol. 27.4, October, 1959.
Amano, R, McOhail, K, Piora, H & Rennison, A; “Evaluating the
Quarterly Projection Model: A preliminary Investigation”, Bank of Canada, Working Paper 2002-20.
Bianchi, C & Calzolari, G: “Evaluating forecast uncertainty due to
errors in estimated coefficients; Empirical Comparason of Alternative Methods”, MPRA Paper, No.22559, May 2010.
Bianchi, C, Calzolari, G & Weihs, C: “Parametric and nonparamateric
Monte Carlo estimates of standard errors of forecasts in econometric models”, MPRA Paper, No. 24, February 2011.
Brown, B.W & Mariano. R.S; “Residual based procedures for Prediction
and Estimation in a Nonlinear Simultaneous System”, Econometria,
Vol.52, No.2, March 1984.
Canova, F; “Sensitivity analysis and model evaluation in simulated
dynamic general equilibrium economies”, International Economic Review, Vol.36, No.2, 1995.
Don, F.J.H; “Forecasting in macroeconomics: A practitioner’s view”,
De Economist 149, No.2, 2001
Dushku, E, Kota, dhe Binaj, G “Modeli Makroekonometrik i
Shqipërisë”, Material Diskutimi, Banka e Shqipërisë, 2006
Ericsson, N.R: “Forecast uncertainty in economic modelling”, Board
of Governors of the Federal Reserve System, No.697, February 2001.
Fair, R.C; “Bootstrapping Macro econometrics Models”, Studies in
Nonlinear Dynamics & Econometrics, Volume 7, Issue 4, 2003.
Hendry, D. F., 2011, Empirical Economic Model Discovery and Theory
of Evaluation, University of Oxford, No. 529, ISSN 1471-0498
Garratt, A, Lee, K, Pesaran, M.H & Shin, Y; “Forecast Uncertainties in
Macro econometric Modelling: An application to the UK Economy”, 2003

-33-Gentle, J.E., “Random Number Generation and Monte Carlo
Methods, 2nd ed., 2003, Springer”.
Kota, V & Dushku, E; “Modeli Makroekonometrik i Shqipërisë, Material
vijues”, Material Diskutimi, Banka e Shqipërisë, 2009
Lancer, D, & Kranendonk, H; “Investigating uncertainty in
macroeconomic forecasts by stochastic simulation”, CPC paper, 2008.
Lemieux, Ch; “Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Sampling, 2009,
Springer”
Rubinstein, R.Y. & Kroese, D.P. “Simulation and the Monte Carlo
method, 2nd ed., 2008, Wiley”.
Shijaku, H & Ceca, K; “A credit risk model for Albania”, Bank of
Greece, 2009

-34-SHTOjCA.
Vlera kritike e testit Lilliefors për α=0.05 është llogaritur si:
, ku dhe N=1000.
Tabelë 3. Testet për normalitetin e shpërndarjes së parashikimeve.
Emri i variablit Vlerat e testit për vitin e parë Vlerat e testit për vitin e dytë
Pbb-ja 0.020738*** 0.016955***
C_real 0.016705*** 0.014608***
I 0.017148*** 0.020920***
P_I 0.017148*** 0.020920***
IM 0.020434*** 0.020767***
X 0.021088*** 0.015335***
INf 0.020552*** 0.019982***
Shënim: *** i referohet rëndësisë statistikore me α=0.05.

-35-

-36-CIP Katalogimi në botim bK Tiranë
Altin Tanku, Elona Dushku, Kliti Ceca
Hulumtimi empirik i pasigurisë së parashikimit
me simulimin Monte Carlo- /
/ Tanku Altin, Dushku Elona, Ceca Kliti – Tiranë:
banka e Shqipërisë, 2012-36 f; 15.3 x 23 cm.
bibliogr.
ISbN: 978-99956-42-55-7.
Këtë publikim mund ta gjeni edhe në formë elektronike në adresën:
www.bankofalbania.org
Në qoftë se dëshironi të keni kopje të
shkruara të tij mund t’i kërkoni në adresën:
Banka e Shqipërisë
Sheshi ”Avni Rustemi”, Nr. 24, Tiranë, Shqipëri
Tel.: + 355 4 2419301/2/3; + 355 4 2419409/10/11
Faks: + 355 4 2419408
ose duke dërguar një e-mail në adresën:
public@bankofalbania.org
Tirazhi: 500 kopje