Costic¼aBANDRABUR TacheDUMINIC¼A ii Cuprins Cuvântînainte ix Prefa¸t¼a xi Introducere xiii 1ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR 1… [614945]
FIABILITATEA,
MENTENABILITATEA¸SI
DISPONIBILITATEASISTEMELOR
TEHNICE
GabrielBURLACU NicolaeD¼ANE¸T
Costic¼aBANDRABUR TacheDUMINIC¼A
ii
Cuprins
Cuvântînainte ix
Prefa¸t¼a xi
Introducere xiii
1ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR 1
1.1Evenimente.Opera¸tiicuevenimente…………….1
1.2Probabilitate.Câmpdeprobabilitate…………….5
1.3Probabilitatecondi¸tionat¼a………………….8
1.4Variabilealeatoare……………………..12
1.5Func¸tiadereparti¸tie…………………….13
1.6Densitateadereparti¸tie……………………15
1.7Opera¸tiicuvariabilealeatoare………………..17
1.8Valorimedii.Dispersie.Momente………………20
1.9Legiclasicededistribu¸tie…………………..28
2TEORIAFIABILIT¼A¸TII 39
2.1De…ni¸tia…abilit¼a¸tii……………………..39
2.2Caracteristicinumericeale…abilit¼a¸tii…………….43
2.3Func¸tiariscdedefectare…………………..49
2.4Fiabilitatecondi¸tionat¼a……………………51
2.5Legidereparti¸tieafunc¸tieide…abilitate…………..53
2.5.1Legeaexponen¸tial¼a………………….53
2.5.2Legeanormal¼a…………………….56
2.5.3Legealognormal¼a…………………..61
2.5.4LegeaGamma…………………….64
2.5.5LegeaWeibull…………………….67
2.6Fiabilitateasistemelor……………………76
2.6.1Fiabilitateasistemelorcumontajînserie……….77
2.6.2Fiabilitateasistemelorcumontajînparalel………81
2.6.3Fiabilitateasistemelorcumontajcombinat
serie-paralel……………………..86
iii
iv CUPRINS
2.6.4Redundan¸taparalel¼a…………………88
2.6.5Fiabilitateasistemelorkdinn…………….91
2.6.6Aplicareaformuleiprobabilit¼a¸tiitotalelacalculul
…abilit¼a¸tiisistemelor…………………94
2.6.7Folosireatabeluluidecontrolpentrucalculul
…abilit¼a¸tiisistemelor…………………96
2.6.8Determinarealimitelor…abilit¼a¸tiisistemelor
complexe……………………….100
2.7Note¸sicomentarii………………………105
3MENTENABILITATEA 107
3.1De…ni¸tie.Expresiamatematic¼a……………….107
3.2Mentenabilitatea¸simentenan¸tasistemelor………….112
3.3Organizareamentenan¸tei…………………..119
3.3.1Rolulmentenan¸tei………………….119
3.3.2Strategiamentenan¸tei………………..120
3.3.3Factoriicarein‡uen¸teaz¼amentenan¸ta
sistemelortehnice…………………..125
3.4Plani…careamentenan¸tei…………………..128
3.4.1Formedeplani…care…………………128
3.4.2Informa¸tiinecesarepentruplani…care…………130
3.4.3Periodicitateaoptim¼aamentenan¸teipreventive……131
3.4.4Elaborareaplanurilordementenan¸t¼a…………132
3.4.5Întocmirea,lansarea,urm¼arirea¸siraportarea
planurilordementenan¸t¼a……………….133
3.5Resursapieselor……………………….135
3.5.1Uzura………………………..135
3.5.2Starealimit¼aapieselor¸sisubansamblurilor………140
3.5.3Resursatehnic¼aapieselor¸siinstala¸tiilortehnologice….142
3.5.4Starealimit¼aainstala¸tiilortehnologice………..143
3.6Asigurarealogistic¼aamentenan¸tei………………144
3.6.1Determinareanecesaruluidemateriale………..144
3.6.2Determinareanecesaruluidepiesedeschimb……..145
3.6.3Optimizareastocurilordepiesedeschimb………149
3.7Organizareasistemelordementenan¸t¼a……………150
3.7.1Organizareasistemelordementenan¸t¼apreventiv
plani…cat………………………150
3.7.2Organizareasistemelordementenan¸t¼acomplex¼a……154
3.8Diagnozast¼ariitehniceainstala¸tiilor…………….160
3.9Organizareaactivit¼a¸tiiderepara¸tii……………..163
3.10Mentenan¸taproductiv¼atotal¼a………………..165
CUPRINS v
4DISPONIBILITATEA 171
4.1Concept,de…ni¸tii,termeni………………….171
4.2Modelulexponen¸tialaldisponibilit¼a¸tii……………175
4.3Disponibilitateasistemelor………………….180
4.4C¼aidecre¸stereadisponibilit¼a¸tii……………….182
AFunc¸tiaGamma 183
BCodulluiHammurabi 185
vi CUPRINS
Lista…gurilor
1Reprezentareageneral¼aaunuisistemtehnic…………xiii
1.1Gra…culuneifunc¸tiidereparti¸tiediscontinu¼aîntr-unpunctx0..15
1.2Gra…culuneifunc¸tiidereparti¸tiecontinu¼apeR……….15
1.3Interpretareageometric¼aafunc¸tieidereparti¸tieF(x)=P(X<x)16
1.4Interpretareageometric¼aaprobabit¼a¸tiiP(a<X<b)…….17
1.5Unelecaracteristicinumericealeuneivariabilealeatoare…..24
1.6Gra…culdensit¼a¸tiidistribu¸tieiexponen¸tialedeparametru¸=0;531
1.7Gra…culfunc¸tieidereparti¸tieadistribu¸tieiexponen¸tialepentru
¸=0;5…………………………..32
1.8Densitateadereparti¸tieadistribu¸tieiWeibullpentru¸=2;®=332
1.9Func¸tiadereparti¸tieadistribu¸tieiWeibullpentru¸=2,®=3..33
1.10Gra…culdensit¼a¸tiireparti¸tieinormaleN(m;¾)………..34
1.11Gra…culdensit¼a¸tiireparti¸tieinormalestandardN(0;1)……35
1.12Gra…culfunc¸tieierorilorerf(x)¸sicelalfunc¸tieicomplementare
erfc(x):……………………………37
2.1Gra…culuneifunc¸tiide…abilitate………………42
2.2Func¸tiaempiric¼ariscdedefectare(„cad¼adebaie”)……..53
2.3Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiinormale
pentrum=3¸si¾1=1;¾2=0;5………………57
2.4Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiinor-
malepentrum=3¸si¾1=1;¾2=0;5……………57
2.5Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiilognor-
malepentrum=1¸si¾1=0;2;¾2=1;¾3=2………..63
2.6Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiilog-
normalepentrum=1¸si¾1=0;2;¾2=1;¾3=2………63
2.7Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiiGamma
pentru¸=3¸sip1=2;p2=1;p3=0;5……………65
2.8Func¸tiadereparti¸tie¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiiGamma
pentru¸=3¸sip1=2;p2=1;p3=0;5……………66
2.9Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiiWeibull
pentruµ=1¸sidiferitevalorialelui¯…………….69
vii
viii LISTAFIGURILOR
2.10Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiiWeibull
pentruµ=1¸sidiferitevalorialelui¯…………….70
2.11Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiiWeibull
pentru¯=2¸sidiferitevalorialeparametruluiµ……….71
2.12Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiiWeibull
pentru¯=2¸sidiferitevalorialeparametruluiµ……….72
2.13DensitateadeprobabilitateWeibullîncazul¯=0;5¸siµ=104..73
2.14Func¸tiade…abilitateadistribu¸tieiWeibullîncazul¯=0;5¸si
µ=104……………………………74
2.15Func¸tiahazarddedefectareadistribu¸tieiWeibullîncazul¯=0;5
¸siµ=104………………………….74
2.16Diagramade…abilitateaunuisistemcuncomponentemontateîn
serie…………………………….77
2.17Diagramade…abilitateaunuisistemcuncomponentemontateîn
paralel……………………………82
2.18Diagramade…abilitateaunuisistemcumontajcombinatserie-
paralel……………………………87
2.19Diagramade…abilitateaunuisistem„înpunte”……….95
2.20Diagramade…abilitateasistemului„înpunte”încazulîncare
elementulCfunc¸tioneaz¼a…………………..95
2.21Diagramade…abilitateasistemului„înpunte”încazulîncare
elementulCnufunc¸tioneaz¼a…………………96
2.22Diagramade…abilitateaunuisistemcomplexcucincielemente.100
2.23Sistemformatprinconectareaînserieaelementelormul¸timilor
traseu¸siapoiaacestoraînparalel………………102
2.24Sistemformatprinconectareaînparalelaelementelormul¸timilor
t¼aietur¼a¸siapoiaacestoraînserie………………104
3.1Curbauzurii…………………………136
3.2Reprezentareagra…c¼aarela¸tiei…abilitate-mentenan¸t¼a…….168
4.1Functiaderepartitieadisponibilit¼a¸tiiunuisingurechipamentcare
trebuies¼afunc¸tionezecontinuu(0-stareadefunc¸tionare,1-starea
denefunc¸tionare(reparare))…………………172
4.2Reprezentareagra…c¼aadisponibilit¼a¸tiipunctuale,medii¸siperma-
nente…………………………….173
4.3DiagramaMarkovauneicomponenetecuratadedefectare¸¸si
ratadereparare¹………………………175
4.4Varia¸tiadisponibilit¼a¸tiipunctualeînfunc¸tiedevaloarearaportului
i
¸+¹;i=1;2;:::……………………..179
4.5Reprezentareagra…c¼aadisponibilit¼a¸tilorpunctuale,mediipe[0,t]
¸sipermanentedinexemplul4.2.1………………180
Cuvântînainte
OSCURT¼AISTORIEAFIABILIT¼A¸TII
Na¸sterea…abilit¼a¸tiicadisciplin¼atehnic¼aafostmarcat¼adedou¼aevenimente:
unulmilitar,altul¸stiin¸ti…c.În1949,RobertMcNamarra,peatuncisecretarde
statpentruap¼ararealStatelorUnite,aordonatunexerci¸tiudealarm¼ageneral¼a,
înscopulveri…c¼ariist¼ariitehniceaechipamentelormilitare.Rezultatulafost
îngrijor¼ator:aproape80%dintehnicadelupt¼adeînalt¼aperforman¸t¼aera,pe
moment,inutilizabil¼a.Explica¸tiaerac¼aso…sticareasistemelorcomplexe,bazate
petehnologiaelectronic¼a,implicanesiguran¸taîncapacitatealordefunc¸tionare
laparametriia¸stepta¸ti.Pre¸tulpl¼atitpentruînaltaperforman¸t¼aeraimprevi-
zibilitatea.Înacela¸sian,ClaudeShannon,fondatorulteorieiinforma¸tiei,publica
învestitarevist¼aBellSystemsTechnicalJournalarticolulCircuite…abiledin
releemaipu¸tin…abile.Sistemeledeautomatizarenufoloseauînc¼atranzistoarele,
cuatâtmaipu¸tincircuiteleintegrate,cireleele,pentrurealizareafunc¸tiilor
logice.Acesteaeraucomponenteelectromecanice,careseblocauadeseori.Shan-
nonpropuneaoconcep¸tienou¼aacircuitelor,redundan¸ta,conformc¼areia,prin
utilizareamaimultorcomponentedecâtcelestrictnecesareîndepliniriifunc¸tiei,
seob¸tineausistemeinsensibileladefect¼arileunoradintreelementelelor.Astfel,
creativitatea¸stiin¸ti…c¼a¸siacurate¸teamilitar¼aauimpusunnoutermen:…abili-
tatea.
Înanii1950afunc¸tionatgrupulAGREE(AdvisoryGroupfortheReliabi-
lityofElectronicComponent),avânddreptobiectivs¼am¼asoare¸sis¼aamelioreze
…abilitateacomponentelorelectronice.Grupul,reunindtehnologi¸sistatisticieni,
s-astabilitînor¼a¸selulRoma,dinstatulNewYork,undeaelaborat,pelâng¼a
impresionanterapoarteanualedecercetare,manualulMilitaryHandbook217,
devenituninstrumentindispensabilpentruproiectareasistemelorelectronice.În
acela¸sitimp,sedezvoltaocercetareteoretic¼a,inspirat¼adefaimosularticolallui
Shannon.Paradigmadominant¼aatimpuluierateoriauniversal¼a¸siabstract¼a,
a¸sacumafosteailustrat¼acustr¼aluciredeciberneticaluiNorbertWiener.Ca
urmare,…abilitateasedezvolta,înplanteoretic,ca¸stiin¸t¼ageneral¼aasistemelor,
urm¼arinds¼acontroleze,pebazaunormodelematematiceso…sticate,proceselede
degradarealeacestora.
Anii1960auaduscusinemariproiecte,încare…abilitateaeracrucial¼a.Expe-
di¸tiiledecercetarespa¸tial¼a,construc¸tiacentralelornucleare¸siacalculatoarelorde
ix
x CUVÂNTÎNAINTE
mareperforman¸t¼a,încon…gura¸tiaimpun¼atoare¸sigreoaiedemainframe,impus¼a
deIBM,îmbog¼a¸teauconceptulde…abilitate,ad¼augându-iaspectenoicasecuri-
tatea(security),siguran¸ta(safety),disponibilitatea(availability)¸sidependabi-
litatea(dependability).Cercet¼arilede…abilitateeraumenites¼aîmbun¼at¼a¸teasc¼a
graduldeprevizibilitatealsistemelorcomplexe,decaredepindeaudinceînce
maimultproceseletehnice,economice¸sisociale.Pericoluluneiloviturinucleare,
încondi¸tiiler¼azboiuluirece,impuneaosolu¸tiedesalvgardareainforma¸tiei,în
cazulcândunulsaumaimultecentredecalcular…fostdistruse.A¸sas-an¼ascut
proiectulARPAdeintegrareacalculatoarelorîntr-ore¸teaprincareinforma¸tia
s¼acircule,f¼ar¼aa…afectat¼adec¼aderileunoradintrenoduri.Proiectul…nalizat
lasfâr¸situlanilor1970,aajunss¼a…eaplicatîntr-uncontextradicalschimbat.
Miniaturizareacomponentelorelectronice,concomitentcucre¸sterea…abilit¼a¸tii
lor,apermisrealizareacalculatoarelorpersonale,mici,‡exibile,darcompara-
bilecaperforman¸tecuimpozantelemainframesdeodinioar¼a.Nusemaipunea
problemaleg¼ariiînre¸teaaunormaricentredecalcul,darconceptulaputut…
aplicat,cuschimb¼ariminore,lasistemeledistribuite.Re¸telelelocale(LAN)¸si
celeextinse(WAN)auduslaconstituirea”re¸teleituturorre¸telelor”,careeste,
acum,Internet-ul.
Însocietateabazat¼apeinforma¸tie¸sicunoa¸stere,edi…cat¼apeinfrastructura
Internet-ului,…abilitateaatrebuitreinventat¼a.Proceseletehnologicesedovedesc
maipu¸tincriticeast¼azi,decâtproceselecareguverneaz¼ara¸tionamentuluman.
Erorileumanestaulabazacomport¼ariiimprevizibileaproduselorsoftware¸si
produccatastrofe,princonducereaimperfect¼aasistemelorcomplexe.Paradigma
cultural¼as-aschimbat,larândulei.Teoriaatotcuprinz¼atoare,general¼a¸siab-
stract¼a,acedatloculdemersurilorlocale,diverse,uneoricontradictorii,neinte-
grateîntr-unsistemuniversal¸sicoerent.Globalismul,departedeaaducecusine
uniformitatea,apromovatmulticulturalismul.Postmodernismulscepticaîn-
locuitambi¸tiamodernist¼adetransformarealumiiînconformitatecuunproiect
unitar.
Înacestcontext,carteadefa¸t¼aestem¼arturiauneinostalgiic¼atreolumea
tehnicii,cares¼apoat¼a…gestionat¼aprintr-oabordaresolid¼a,bazat¼apemodele
matematice¸sipedeciziira¸tionale.Eaarat¼acumcunoa¸stereapoatedeveni,în
sine,f¼ar¼avreointerfa¸t¼atehnologic¼a,surs¼adeproductivitate¸sidepro…t.Cla-
ritatea,logica¸siexhaustivitatealucr¼ariisuntreconfortante,deoareceofer¼aciti-
toruluiora¸tiunepentruaac¸tiona¸siunsprijinpentruaseîmb¼arb¼ata.
Prof.univ.dr.ing.AdrianMihalache
Prefa¸t¼a
Scopulacesteic¼ar¸tiestedeapuneladispozi¸tiacititoruluiinteresatolucrare
cucaracterintroductivînteoria…abilit¼a¸tii,mentenabilit¼a¸tii¸sidisponibilit¼a¸tii
sistemelortehnice.
Fiabilitateaestem¼arimeacarecaracterizeaz¼asiguran¸tadefunc¸tionareaunui
sistemtehnicînconformitatecunormeleprescrise.Mentenabilitateareprezint¼a
capacitateasistemuluidea…men¸tinutsaurestabilitînstareadea-¸siîndeplini
func¸tiaspeci…cat¼aprinactivit¼a¸tideîntre¸tinere¸sirepara¸tii.Prinmentenan¸t¼ase
în¸telegeansamblulac¸tiunilortehnice¸siorganizatoriceasociatecaresuntefectuate
înscopulmen¸tineriisaurestabiliriiunuisistemtehnicînstareadea-¸siîndeplini
func¸tiilespeci…cate.Disponibilitateaestecapacitateaunuisistemtehnic,privit¼a
subaspectelecombinatede…abilitate,mentenabilitate¸siorganizareaac¸tiunilor
dementenan¸t¼a,dea-¸siîndeplinifunc¸tiaspeci…cat¼alaunmomentdatsauîntr-un
intervaldetimpdat.
Deoarece…abilitatea,mentenabilitatea¸sidisponibilitateasuntstudiateast¼azi
folosindmetodeprobabilistice,încapitolulI„Elementedeteoriaprobabilit¼a¸tilor”
suntprezentate,pescurt,no¸tiunilefundamentaledeprobabilitate¸sivariabil¼a
aleatoare,no¸tiuniabsolutnecesarepentruîn¸telegereatehnicilorprobabilistice
folositeîncapitoleleurm¼atoare.Prezentareaestesuccint¼a,cucaractermaimult
teoretic,avândcascopointroducererapid¼aaacelorno¸tiunideteoriaprobabi-
lit¼a¸tilorac¼arorcunoa¸stereesteabsolutindispensabil¼atuturorcelorcarefolosesc
metodeprobabilisticeînmodelareaunorfenomenereale.Cititorulfamiliarizat
cuacesteno¸tiunipoateomiteparcurgereaacestuicapitolsauopoatefacepentru
a-¸sireamintiuneleno¸tiuni¸siasefamiliarizacuterminologia¸sinota¸tiilefolosite
înaceast¼acarte.
CapitolulII,„Teoria…abilit¼a¸tii”,începecuoprezentareaîndetaliuacon-
ceptuluide…abilitatedinpunctdevederematematic.Suntstudiateapoiacele
caracteristicinumericeale…abilit¼a¸tiifolositefrecventînpractic¼a:timpulmediu
pân¼alaprimadefectare,timpulmediandedefectare,dispersiadefect¼arilor,tim-
puldegaran¸tieetc.Oaten¸tiesporit¼aesteacordat¼aacelorlegidereparti¸tiecare
suntutilizatefrecventînteoria…abilit¼a¸tii:legeaexponen¸tial¼a,legeanormal¼a,
legealognormal¼a,legeaWeibull.
Osec¸tiunespecial¼a¸sidestuldeextins¼a,„Fiabilitateasistemelor”,estecon-
xi
xii PREFA¸T¼A
sacrat¼ateoriei…abilit¼a¸tiidinpunctdevederesistemic.Pelâng¼aanalizasistemelor
cumontajînserie,înparalel,cumontajcombinatserie-paralelsaukdinn,sunt
prezentatemetodededeterminarea…abilit¼a¸tiibazatepeformulaprobabilit¼a¸tii
totalesaupefolosirea„tabeluluidecontrol”.
Expunereadinacestcapitolîmbin¼aprezentareateoretic¼aano¸tiunilor¸side-
terminareaformulelorcunumeroaseexempleconcretedecalcula…abilit¼a¸tii.
CapitolulIII,„Mentenabilitatea”,areunpronun¸tatcaractertehnic¸siaplica-
tiv.Înprimasec¸tiuneestedat¼ade…ni¸tiamatematic¼aamentenabilit¼a¸tii¸sistudiat¼a
încazurileîncaretimpuldedefectareurmeaz¼adistribu¸tiaexponen¸tial¼asaulog-
normal¼a.Încontinuaresuntprezentateactivit¼a¸tiledeorganizare¸sideplani…care
amentenan¸tei,estestudiat¼aresursapieselor¸siasigurarealogistic¼aamentenan¸tei.
Organizareasistemelordementenan¸t¼a¸siaactivit¼a¸tiiderepara¸tii,diagnozast¼arii
tehniceainstala¸tiilor,precum¸siaspecteletehnico-economicealementenan¸tei
constituiesubiectulcelorlaltesec¸tiuni.Capitolulseîncheiecuprezentareacon-
ceptuluiactualdementenan¸t¼aproductiv¼atotal¼a.
ÎncapitolulIV,„Disponibilitatea”,dup¼acesede…ne¸steceseîn¸telegedinpunct
devedereintuitivprindisponibilitateaunuisistemtehnic,seintroducno¸tiunile
dedisponibilitatepunctual¼a,disponibilitatemedie,disponibilitatepermanent¼a
¸sicoe…cientdedisponibilitate.Acesteno¸tiunisuntdeterminatepentrumodelul
exponen¸tialaldisponibilit¼a¸tii¸siutilizatepentruacalculadisponibilitateaunor
sistemecumontajînseriesauînparalel.
Printematicaabordat¼a¸siprinmoduldetratare,lucrareaseadreseaz¼aînprin-
cipalinginerilor,studen¸tilordelafacult¼a¸tiletehnice,conduc¼atorilorproceselor
tehnologice,înprincipaltuturorcelorcarelucreaz¼aînsectoareledeconcep¸tie,
execu¸tie¸sicontrolalsistemelortehnice.Autoriiî¸siexprim¼asperan¸tac¼alucrarea
vareprezentauninstrumentutilînorientareaeforturilorcadrelortehnicedin
industrie¸sidineconomiepentrurezolvareaimportantelorsarcinicurentedepro-
duc¸tie¸siaaceloradeperspectiv¼aprivindridicareaniveluluitehnic¸sicalitatival
produselor,asigurareacompetitivit¼a¸tiiacestora.
Contribu¸tiaautorilorlaelaborarealucr¼ariiafosturm¼atoarea:
CapitolulI-Elementedeteoriaprobabilit¼a¸tilor:N.D¼ane¸t.
CapitolulII-Teoria…abilit¼a¸tii:N.D¼ane¸t,G.Burlacu.
CapitolulIII-Mentenabilitatea:G.Burlacu,C.Bandrabur,T.Duminic¼a.
CapitolulIV-Disponibilitatea:G.Burlacu,N.D¼ane¸t.
Tehnoredactarea…nal¼aînLaTeX¸sirealizarea…gurilor(folosindMathcadsau
MSWord)aufostf¼acutedeNicolaeD¼ane¸t.Întehnoredactareaufostfolosite
urm¼atoareleconven¸tii:simbolul¤marcheaz¼asfâr¸situlunuiexemplu,observa¸tie,
demonstra¸tieetc.;simboluldeatribuire:=atrageaten¸tiac¼aaceanota¸tieeste
f¼acut¼aînacellocpentruprimadat¼aîntext.Prescurtareai.e.,careprovinedela
expresiadinlimbalatin¼aidest,înseamn¼a„adic¼a”.
Autorii
Introducere
Conceptuldesistem
Prinsistemtehnic,saupescurtprinsistem,vomîn¸telegeunansamblude
unulsaumaimulteobiecte(componente)montateînserie,înparalelsaumixt
carefunc¸tioneaz¼aîmpreun¼aînscopulrealiz¼ariiînmodindependentauneiasau
maimultorfunc¸tiuni.Altfelspus,unsistempoate…conceputcao„cutieneagr¼a”
cuunasaumaimulteintr¼ari¸sicorespunz¼atorcuunasaumaimulteie¸siri,a¸sa
cumsepoatevedeaîn…gura1.
Fig.1:Reprezentareageneral¼aaunuisistemtehnic
Oricesistemtehnictrebuies¼aîndeplineasc¼aocerin¸t¼aobligatorie¸sianume
s¼afunc¸tionezeastfelîncâts¼arealizezetoatefunc¸tiunilepentrucareafostcreat,
p¼astrândparametriidecalitateînlimitedate,iarfrecven¸tarepara¸tiilors¼a…e
dea¸sam¼arimeîncâts¼anureduc¼ae…cien¸taeconomic¼aaexploat¼ariisistemului
respectiv.Oprivireacomplex¼aasupracalit¼a¸tiisistemuluiconducelanecesitatea
uneiabord¼aridinperspectivainginerieiprocesuluideproiectare(constructiv¼a,
tehnologic¼a,studiulmaterialelor,rezisten¸tamaterialelor),defabrica¸tie(execu¸tie
¸sicontrol),deexploatare.Darînaintedeorice,calitateasistemuluidepinde
decalitateaprocesuluidefabrica¸tieprincareacestaafostcreat.Dup¼aunii
autoriin‡uen¸tadiferi¸tilorfactoriasupracalit¼a¸tiiunuiprodus(sistemtehnic)ar
…:calitateasolu¸tieiconstructive28-32%,alegereamaterialelor8-12%,tehnologia
defabrica¸tiefolosit¼a56-64%.
xiii
xiv INTRODUCERE
Conceptulde…abilitate
ConformDic¸tionaruluiExplicativalLimbiiRomâne,…abilitateaestem¼arimea
carecaracterizeaz¼asiguran¸taînfunc¸tionareaunuisistemtehnicînconformitate
cunormeleprescrise.ConformSTAS8174/1-1977…abilitateaesteînsu¸sireaunui
dispozitivdea-¸siîndeplinifunc¸tiaspeci…c¼a,încondi¸tiidatede-alungulunei
duratedate.
Termenulde„…abilitate”aap¼arutînanul1950¸siestepreluatdinlimba
francez¼a,încare„…abilité”înseamn¼aprobabilitateadefunc¸tionaref¼ar¼adefectare
aunuidispozitiv,încondi¸tiispeci…ce¸siîntr-operioad¼adetimpdeterminat¼a.Ter-
menul„dispozitiv”folositaicidesemneaz¼aoriceelementcomponent,blocansam-
blu,echipament,subsistemsausistem,cepoate…consideratdesinest¼at¼ator
¸sicarepoate…încercatindividual.Echivalentuldenumirii„…abilitate”înalte
limbieste:înenglez¼a,„reliability”delaverbul„torely”,atebizui,aterezema
deceva;îngerman¼a,„Zuverlässichkeit”,seriozitate,cinste;înrus¼a,„nadejnosti”
derivatdincuvântul„n¼adejde”,încredere,speran¸t¼a.
Societateaasim¸titnevoiadeareglementaproblema…abilit¼a¸tiiînc¼adincele
maivechitimpuri.Ceamaivechelegisla¸tiecunoscut¼aesteaceeaîndomeniul
siguran¸teiconstruc¸tiilor.Senume¸ste„CodulluiHammurabi”¸sidateaz¼adela
1759î.e.n.(veziAppendixB).Problemadebaz¼a,cares-apuschiardinperioada
deînceputa¸stiin¸teiconstruc¸tiilor,afostaceeadecunoa¸sterealegilorcareleag¼a
solicit¼arile,respectivfor¸tele,dedeforma¸tiilecorpurilor.Înaldoilearând,s-apus
problemacunoa¸steriifor¸telor¸siasolicit¼arilorceac¸tioneaz¼aasupraconstruc¸tiilor
¸simodulîncaresemanifest¼aaceast¼aac¸tiune.Deasemenea,seeviden¸tiaz¼ac¼a
tendin¸tadebaz¼aesteeconomiaînconstruc¸tii,adic¼afolosireacâtmaibun¼aa
propriet¼a¸tilormaterialelordeconstruc¸tii,cugaran¸tia,îns¼a,arezisten¸tei,respectiv
asiguran¸teiconstruc¸tieiatâtînansambluleicât¸siîn…ecaredinelementelecare
ocompun.Progresele¸stiin¸tei¸sitehniciiauimpusrenun¸tarealavechilemetode
deasigurareasiguran¸teiconstruc¸tiilor:proiectare,încercare,reproiectare,iar
încercare¸sia¸samaidepartepân¼alaob¸tinerearezultatuluidorit.Folosindu-
semetodeprobabilistice¸sistatisticeaap¼arutteoria…abilit¼a¸tiiconstruc¸tiilorpe
bazac¼arorasefacprognozeasuprasiguran¸teiuneiconstruc¸tii.
Întimpurilemoderne,lafelca¸sisiguran¸taconstruc¸tiilor,…abilitateasis-
temelortehnicenuafostl¼asat¼apeseamahazardului,deoareceoîntrerupere
accidental¼aaproduc¸tieipoateaveaefecteeconomicecatastrofale.Studiul…a-
bilit¼a¸tiisistemelortehnices-aconstituitcaodisciplin¼aaparte,denumit¼a„teoria
…abilit¼a¸tii”,a‡at¼alagrani¸tadintreingineriasistemelortehnice¸siteoriaproba-
bilit¼a¸tilororistatisticamatematic¼a.
Teoria…abilit¼a¸tiiaredreptobiectiv:
¡creareaunuisistemdeachizi¸tiidedate¸sideprelucrareaacestorape
bazastatisticiimatematice;
¡studiuldefec¸tiunilor,alcauzelor,alfrecven¸teiacestora¸siametodelorde
combatere;
¡elaborareademetodedecalcul¸sideprognoz¼aa…abilit¼a¸tiipebazadatelor
xv
achizi¸tionate¸siprelucrate.
Fiabilitatenuînseamn¼anumaicalitate
Fiabilitateaesteunuldintreparametriiprincipaliaicalit¼a¸tiiunuiprodus.
Acestparametruprezint¼aparticularitateac¼anusepoatedeterminadecâtpebaza
analizeiîntimpacomport¼ariisistemelortehnicea‡ateînexploatare.Fiabilitatea
poate…privit¼acaoextindereîntimpacalit¼a¸tiiunuiprodus.Calitateaprodusului
sedetermin¼aimediatdup¼aproducereaacestuia¸sipoate…testat¼aînmomentul
vânz¼arii.Spredeosebiredecalitate,…abilitateatrebuieprivit¼acaoveri…care
întimpacalit¼a¸tiiprodusuluia‡atînexploatare.Controluldecalitateveri…c¼a
concordan¸tadintreperforman¸teleprodusului¸sispeci…ca¸tiiletehnicealeacestuia
dinpunctuldevederealintereselorfabricantului(optimizareacheltuielilorde
produc¸tie,livrarealatimpaacestoraetc.),pecând…abilitateaareînvedere
interesegenerale:graduldeutilitateaprodusului,optimizareacheltuielilortotale
(proiectare+fabrica¸tie+exploatare).
Fiabilitatea-unconceptprobabilistic
Conceptuldebaz¼aalteoriei…abilit¼a¸tiiîlconstituiedefec¸tiunea.Momentul
apari¸tieiuneidefec¸tiunisautimpuldefunc¸tionarepân¼alaapari¸tiauneidefec¸ti-
uni(sauîntredou¼adefec¸tiunisuccesive)suntvariabilealeatoarecareiauvalorice
depinddeunnum¼arfoartemaredefactoriîntâmpl¼atori.Seareînvederedeose-
birilecarepotap¼areaînprocesuldeproduc¸tie(calitateadiferit¼aamaterialelor
careintr¼aîncomponen¸taprodusului,performan¸telediferitealema¸sinilorunelte
¸siacelorlalteutilaje,cali…careapersonaluluicareutilizeaz¼aacestema¸sinietc.)
¸sidiversitateacondi¸tiilordeexploatareasistemelortehnice(condi¸tiiledemediu,
cali…careapersonaluluideexploatare,organizareaserviciilortehniceetc.)
Deobicei,elementeledefecteserepar¼asauseînlocuiescpentruarestabili
capacit¼a¸tiledelucrualesistemuluirespectiv.Momentulrestabilirii¸siduratade
timpcâtseexecut¼arepara¸tiasuntdeasemeneavariabilealeatoare.Valorilelor
nupot…prev¼azutedinainte,cisuntdeterminatedenaturadefec¸tiunilorap¼arute
îndiverselocuri,laintervaledetimpdiferite¸sidindiversecauze.
Caracterulaleatoriualfactorilorcarein‡uen¸teaz¼afunc¸tionarea,defectarea
¸sireparareasistemelortehniceconducelanecesitateaabord¼ariiprobabilisticea
…abilit¼a¸tii.
Calitativ,…abilitateareprezint¼acapacitateaunuisistemdeafunc¸tionaf¼ar¼a
defec¸tiuniîndecursulunuianumitintervaldetimp,încondi¸tiidate.
Cantitativ,…abilitateaunuisistemreprezint¼aprobabilitateacaacestas¼a-¸si
îndeplineasc¼afunc¸tiilecuanumiteperforman¸te¸sif¼ar¼adefec¸tiuniîntr-uninterval
detimp¸siîncondi¸tiideexploataredate.
Bazele…abilit¼a¸tiiprodusuluisepunînperioadadeproiectarecândisesta-
bile¸stestructura¸sisefacedimensionareaacestuia.Fiabilitateaseasigur¼aînpro-
cesuldefabrica¸tieprinalegereacorect¼aaprocedeelortehnologice¸siautilajelor,
prinrespectarearegimurilor¸sicondi¸tiilordefabrica¸tieprescrise,prinefectuarea
unuicontrolrigurosalcalit¼a¸tiimateriilorprime¸simaterialelorfolosite.Fiabili-
xvi INTRODUCERE
tateasemen¸tineprinutilizareaunormetodeadecvatedeconservare,ambalare,
transport¸sipunereînfunc¸tiune,prinexploatare¸siservicecorectorganizate¸si
efectuatedeunpersonalcucali…carecorespunz¼atoare.
Încaietuldesarcinialuneiinstala¸tiitehnologiceseprecizeaz¼acontrolul
rigurosalcalit¼a¸tiimaterialelor,respectareaprescrip¸tiilordemontaj,probe¸si
punereaînfunc¸tiune.Instruc¸tiuniledeexploatareprecizeaz¼aconducereacorect¼a
aprocesuluitehnologic¸siincludeperiodicitatea¸sicon¸tinutulopera¸tiilordeîn-
tre¸tinere,veri…care,plani…carearepara¸tiilorcurente¸sicapitale.Ideeadebaz¼a
esteprevenireaavariilor¸siaaccidentelorprininterven¸tiicarenua¸steapt¼ac¼aderea
unuisubansamblusauaunuiorgandema¸sin¼a,înacestcazurm¼arileputând…
gravepentruîntregsistemultehnic(instala¸tietehnologic¼a,ma¸sini¸siutilaje).
Categoriile…abilit¼a¸tiisistemelor
Înliteraturadespecialitateexist¼aoclasi…carea…abilit¼a¸tiisistemelorîn
func¸tiedeetapacicluluidevia¸t¼aalunuisistem:
-…abilitateaprecalculat¼a-este…abilitateaevaluat¼aporninddelafazade
concep¸tie(proiectare)asistemului,deladateleasupracomponentelorsale¸si
asupracondi¸tiilordeutilizarealeacestuia.
-…abilitateatehnic¼a-reprezint¼a…abilitateadeterminat¼aînurmaîncerc¼arilor,
încondi¸tiidefabric¼a,asuprafunc¸tion¼ariisistemuluiînconformitatecuregimurile
deexploatareprev¼azuteînnormesauîndocumenta¸tiitehnice.
-…abilitateaopera¸tional¼a(deexploatare)-reprezint¼a…abilitateadeterminat¼a
încondi¸tiirealedeexploatare,prinluareaînconsiderareaac¸tiuniicomplexea
factorilorinterni¸siexterni,caredepindderegimurilerealedelucrualesistemului,
decondi¸tiiletehnice¸siderepara¸tiileefectuateasupraacestuia.
Apreciereaaproximativ¼aaniveluluide…abilitateasistemelorproiectatese
poateob¸tineutilizândmetodeledecalculbazatepedatelestatisticeprivind…a-
bilitateaelementelorcomponente.Importan¸taacestuicalculconst¼aînaceeac¼ael
permiteprognoza…abilit¼a¸tiisistemuluiînaintedefabricarealui,ceeaceducela
alegereavarianteioptimeasolu¸tieitehnice,caresatisfacecelmaibinecerin¸tele
de…abilitateimpuse.Sepoatea…rmac¼a,exceptânddoaropur¼aîntâmplare,
unprodussauunsistemarputeaaveao…abilitatemaimaredecâtaceeape
careproiectantuls¼aui-aimplementat-oini¸tial.Nutrebuie,îns¼a,uitatfaptulc¼a
cerin¸telede…abilitatecucâtsuntmairidicate,cuatâtvorimpunecheltuielimai
mari.
Ladeterminareaniveluluide…abilitateprescristrebuies¼ase¸tin¼aseamade
posibilit¼a¸tileproduc¸tiei,deconsidera¸tiiledeordineconomic,dein‡uen¸ta…abi-
lit¼a¸tiiasuprae…cien¸teisistemului.Înleg¼atur¼acudeterminarea…abilit¼a¸tiieste
necesars¼asesubliniezec¼aexploatareacuprindetoatefazeledeexisten¸t¼aaleunui
sistemdinmomentullivr¼ariiluidec¼atrefurnizor:transport,depozitare,punere
înfunc¸tiune,utilizare(exploatarecurent¼a),între¸tinere¸sirepara¸tii.
xvii
Concepteledementenan¸t¼a¸simentenabilitate
Mentenan¸tareprezint¼atotalitateam¼asurilororganizatorice¸sitehnicenece-
sarepentrup¼astrarea…abilit¼a¸tii¸siasigurareadisponibilit¼a¸tiisistemuluitehnic
a‡atînexploataresaup¼astrare(controlpro…lactic,repara¸tiicurente,controlal
func¸tion¼arii¸sialdefec¸tiunilor,lucr¼arinecesarepentruprevenireadefec¸tiunilor¸si
pentruremediereaacestora).
Asigurarea…abilit¼a¸tiiunuisistemtehnic(dispozitiv,aparat,instala¸tieetc.)
sefaceprintr-unansambluldeopera¸tiunicepermitmen¸tinereasaurestabilirea
sistemuluiîntr-ostaredat¼asaudea-irestituicaracteristiciledefunc¸tionarespeci-
…ce¸siestede…nit¼aprintermenuldementenan¸t¼a(veziSTAS8174/2-1977).Cu
altecuvinte,mentenan¸taesteactivitateadepus¼aînvederearestabiliriicapacit¼a¸tii
debun¼afunc¸tionareaunuisistemdup¼aces-aprodusodefec¸tiuneaacestuia.
Mentenabilitateareprezint¼acapacitateaunuisistemdea…men¸tinutsauresta-
bilitînstareadea-siîndeplinifunc¸tiaspeci…cat¼a,atuncicândîntre¸tinerea¸si
repara¸tiileseefectueaz¼aconformnormelorprescrise.
Ca¸si…abilitateamentenabilitateaprezint¼adou¼aaspecte:
a)calitativreprezint¼acapacitateasistemuluidea…între¸tinut¸sireparatîntr-o
anumit¼aperioad¼adetimpîncondi¸tiidate;
b)cantitativesteprobabilitatearepuneriiînfunc¸tiuneasistemuluiatunci
cândapareodefec¸tiune.
Conceptuldedisponibilitate
Disponibilitateaesteaceaînsu¸sireaunuisistemtehnicdea-¸siîndeplinifunc¸tia
speci…cat¼asubaspectelecombinatede…abilitate,mentenabilitate¸sideorgani-
zareaactivit¼a¸tiidementenan¸t¼alaunmomentdetimptsauîntr-uninterval
detimp¢t(veziSTAS8174/3-1977).Disponibilitateamaipoate…interpretat¼a
caprocentuldetimpîncareunsistemtehnicfunc¸tioneaz¼aîntr-unintervalde
timpdat,saucaprocentuldecomponentedincadrulsistemuluicareopereaz¼aîn
acelintervaldetimp.Lafelca¸si…abilitatea¸simentenabilitatea,dinpunctde
vederecantitativdisponibilitateaesteoprobabilitateceeacefacecateoriaprob-
abilit¼a¸tilor¸sistatisticamatematic¼as¼apoat¼a…utilizatepentrustudiulacestei
caracteristiciasistemelortehnice.
xviii INTRODUCERE
Capitolul1
ELEMENTEDETEORIA
PROBABILIT¼A¸TILOR
Scopulacestuicapitolestedefaceprezentareaunorelementedeteoriapro-
babilit¼a¸tilornecesarepentruparcurgereacelorlaltecapitole.Cititorulfamiliarizat
cuno¸tiuniledebaz¼adinteoriaprobabilit¼a¸tilorpoatetrecedirectlaparcurgerea
capitolului2.
1.1Evenimente.Opera¸tiicuevenimente
Evenimente
Înteoriaprobabilit¼a¸tilorselucreaz¼acuevenimentelegatedeoanumeex-
perien¸t¼a.Dinpunctdevederematematicde…nireaexperien¸teitrebuief¼acut¼aîn
modabstract,printr-oformulareîncares¼anu…epusîneviden¸t¼amecanismulpar-
ticulardeproducereaexperien¸teisaudeob¸tinerearezultatelorei.Oasemenea
de…ni¸tieabstract¼aaexperien¸teiesteurm¼atoarea:aefectuaoexperien¸t¼aînseamn¼a
aalege,printr-unprocedeususceptibildea…repetat,unelementdintr-omul¸time
dat¼a.Mul¸timeatuturorcazurilorposibilecaresepotproduceîncadrulunei
experien¸teva…notat¼acu:
Fiecarerepetareaexperien¸teisenume¸steprob¼a.Oriceprob¼aatragedup¼asine
realizareasaunerealizareaoric¼aruievenimentlegatdeexperien¸taconsiderat¼a.
Fiec¼aruievenimentîicorespundeomul¸timedecazuricarerealizeaz¼aevenimentul
respectiv,numitecazurifavorabileproduceriievenimentului.Mul¸timeacazurilor
favorabileproduceriiunuievenimentesteosubmul¸timeamul¸timii.
Pentruîn¸telegereaconceptelorteorieiprobabilit¼a¸tilor,înprimeleaplica¸tii¸si
exempli…c¼ari,sefolose¸stemodelularunc¼ariiunuizarsaumodelulurnelorcubile.
Acestemodelesuntfolositepentruasimpli…caexprimarea¸siau¸suraîn¸telegerea
conceptelor.Odat¼afamiliariza¸ticuconceptele¸sitehnicilefolositeînteoriapro-
babilit¼a¸tilorsepoaterenun¸talamodeleleurnelorcubile¸siformulaproblemaîn
cazulreal.Deexemplu,înloculuneiurnecarecon¸tinebilealbe¸sibilenegre
1
2 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
putemaveaunlotdepieseîncareexist¼apiesebune¸sipiesedefecte.Marea
„art¼a”înrezolvareaproblemelorconcretedeteoriaprobabilit¼a¸tilorconst¼aînob-
servareaatent¼aacondi¸tiilordate¸siîncadrareaproblemeiîntr-oschem¼aclasic¼a
deprobabilitate,deregul¼a,formulat¼aînlimbajulurnelorcubile.
Exemplul1.1.1S¼aconsider¼amexperien¸taarunc¼ariiunuizarpeosuprafa¸t¼a
plan¼a.Mul¸timeatuturorcazurilorposibileînaceast¼aexperien¸t¼aeste
=f1;2;3;4;5;6g:Înleg¼atur¼acuexperien¸tadat¼aconsider¼amurm¼atoareleeveni-
mente:
A:apari¸tiauneife¸tecuunnum¼arpardepuncte;
B:apari¸tiauneife¸tecuunnum¼arimpardepuncte;
C:apari¸tiauneiadintrefe¸tele1sau2;
D:apari¸tiauneiadintrefe¸tele2sau3;
E:apari¸tiauneiadintrefe¸tele1sau3;
F:apari¸tiaunuinum¼ar>4;
G:apari¸tiaunuinum¼ar·4;
H:apari¸tiafe¸tei4;
I:apari¸tiafe¸tei5;
J:apari¸tiafe¸tei6.
EvenimentuluiAîicorespundesubmul¸timeaf2;4;6gamul¸timii¸sireciproc.
Deaceeanuvomfacedistinc¸tieîntreeveniment¸simul¸timeacazurilorfavorabile.
Folosindaceast¼aconven¸tievomnotaA=f2;4;6g:Înmodanalog,celelalteeveni-
mentesepotscriesubforma:B=f1;3;5g,C=f1;2g,D=f2;3g,E=f1;3g,
F=f5;6g;G=f1;2;3;4g,H=f4g,I=f5g,J=f6g:¤
Evenimentelecareauunsingurcazfavorabilsenumescevenimenteelementare.
Înexempluldemaisus,H=f4gesteunevenimentelementar.Îngeneral,dac¼a
!2;evenimentulf!gesteunevenimentelementar.Prinabuzdelimbajvom
numievenimenteelementareelementele!alemul¸timii:
Evenimentulsigur.Evenimentulimposibil
Printreevenimentelelegatedeoexperien¸t¼aconsider¼amîntotdeaunaeveni-
mentulsigur¸sievenimentulimposibil.Evenimentulsiguresteacelacaresepro-
ducecucertitudinelaoriceefectuareaexperien¸tei.Evenimentulsigurva…notat
cu:Deexemplu,laaruncareaunuizarpeosuprafa¸t¼aplan¼a„apari¸tiauneia
dintrefe¸tele1;2;3;4;5;6”esteevenimentulsigur.
Evenimentulimposibilnuseproducelanicioefectuareaexperien¸tei.Deoarece
acestevenimentnuareniciuncazfavorabilva…notatcu;;simbolulmul¸timii
vide.Deexemplu,laaruncareaunuizar„apari¸tiafe¸teicunum¼arul7”esteun
evenimentimposibil.
1.1.EVENIMENTE.OPERA¸TIICUEVENIMENTE 3
Evenimentimplicatdeunalteveniment
Sespunec¼aevenimentulAimplic¼aevenimentulB¸sisenoteaz¼aA½B;dac¼a
realizarealuiAatragedup¼asinerealizarealuiB.Aceastaînseamn¼ac¼aorice
cazcareproducerealizareaevenimentuluiAproduce¸sirealizareaevenimentului
B;adic¼amul¸timeacazurilorfavorabileluiAesteinclus¼aînmul¸timeacazurilor
favorabileluiB.Evident,A½A¸siA½:Seaccept¼ac¼aevenimentulimposibil
implic¼aoriceeveniment,adic¼a;½:
Înexemplulconsideratanterior,evenimenteleC;D;E¸siHimplic¼aevenimen-
tulG:
Opera¸tiicuevenimente
FieA¸siBdou¼aevenimentelegatedeoexperien¸t¼a.Porninddelaaceste
evenimentesepotde…ninoievenimente.
Evenimentul„AsauB”,notatA[B;esteevenimentulac¼areirealizare
înseamn¼arealizareaacelpu¸tinunuiadintreceledou¼aevenimente.
Evenimentul„A¸siB”,notatA\B,esteevenimentulac¼areirealizareînseamn¼a
realizareasimultan¼aaambelorevenimenteA¸siB:
Evenimentul„nonA”,evenimentulcontrarevenimentuluiA;notatA;este
evenimentulac¼areirealizareconst¼aînnerealizareaevenimentuluiA:Mul¸timea
cazurilorfavorabileluiAesteformat¼adintoatecazurilenefavorabileluiA:
Evenimentecompatibile.Evenimenteincompatibile
Dou¼asaumaimulteevenimentesenumescincompatibiledac¼anusepotrealiza
simultanlanicioefectuareaexperien¸tei.Încazcontrarelesenumesccompatibile.
Dac¼aA1;A2;:::;Ansuntevenimenteincompatibile,atunciA1\A2\:::\An=;;
iarîncazulîncaresuntcompatibileA1\A2\:::\An6=;:
Înexemplul1.1.1,evenimenteleA¸siBsuntincompatibiledeoareceelenu
sepotproducesimultan.EvenimenteleC¸siDsuntcompatibiledeoareceele
sepotrealizasimultan,dac¼adreptrezultatalarunc¼ariizaruluiaparefa¸ta2.
EvenimenteleC;D;Esuntincompatibile(întotalitatealor)deoarecenusepot
realizasimultantoatetrei,darsuntcompatibiledou¼acâtedou¼apentruc¼aC\D=
f2g;C\E=f1g;D\E=f3g:EvenimenteleC;F;Hsuntincompatibiledou¼a
câtedou¼a.
ÎntreevenimentulA¸sievenimentulcontrarAaulocrela¸tiile:A[A=;
A\A=;:Deaceeasespunec¼aA¸siArealizeaz¼aodescompunere,sauoparti¸tie,
aevenimentuluisigur:Pentrucazulgeneralsed¼aurm¼atoareade…ni¸tie.
De…ni¸tie.Sespunec¼aevenimenteleA1;A2;:::;Anrealizeaz¼aodescom-
punereaevenimentuluiAdac¼a:
1)A1[A2[:::[An=A;
2)A1;A2;:::;Ansuntincompatibiledou¼acâtedou¼a,i.e.,Ai\Aj=;;pentru
i;j=1;2;:::;n;i6=j:
4 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Dac¼aevenimenteleA1;A2;:::;Anrealizeaz¼aodescompunereaevenimentului
sigur,adic¼aA=înde…ni¸tiademaisus,atuncisespunec¼afA1;A2;:::;Ang
constituieunsistemcompletdeevenimente.
Dualitateadelimbaj
Dinceleprezentatemaisusrezult¼ac¼aoriceevenimentlegatdeoexperien¸t¼a
cuunnum¼ar…nitdecazuriposibilepoate…interpretatcaosubmul¸timeaunei
mul¸timi,mul¸timeatuturorcazurilorposibilealeexperien¸tei.Dinaceast¼acon-
ven¸tierezult¼aurm¼atoareadualitatedelimbaj,întrelimbajulevenimentelorfolosit
înteoriaprobabilit¼a¸tilor¸silimbajuldinteoriamul¸timilor.
Limbajulevenimentelor Limbajulmul¸timilor
Eveniment Submul¸timealui
Evenimentulsigur Mul¸timea(total¼a)
Evenimentulimposibil Mul¸timeavid¼a;
Aimplic¼aB A½B
AsauB A[B
A¸siB A\B
EvenimentulcontrarluiAA
Evenimentelementar f!gsau!;cu!2
Câmpdeevenimente
Fieomul¸timenevid¼a,numit¼a,deregul¼a,mul¸timeaevenimentelorele-
mentare.Not¼amcuKofamilie(nevid¼a)desubmul¸timialelui:Deregul¼a,
Knuestemul¸timeatuturorsubmul¸timilorlui:ElementeleluiKvor…numite
evenimente¸sivor…notatecuA;B;C;:::.
De…ni¸tie.Mul¸timeaKsenume¸stecâmpdeevenimentedac¼asatisfacecondi¸ti-
ile:
1)Dac¼aA2K;atunciA2K:
2)Dac¼aA;B2K,atunciA[B2K:
OricecâmpdeevenimenteKsatisface¸siurm¼atoarelepropriet¼a¸ti:
3)2K;;2K,i.e.,evenimentulsigur¸sievenimentulimposibilapar¸tin
câmpuluiK.
4)Dac¼aA;B2K;atunciA\B2K:
Într-adev¼ar,dac¼aAesteunevenimentdinK(unastfeldeevenimentexist¼a
deoarecemul¸timeaKestenevid¼a),atunciA2K(conform1)¸sideci=A[A2
K(conform2).Înconsecin¸t¼a,folosinddinnou1),avem;=2K:
Dac¼aA;B2K,atunciA;B2K(conform1)¸siapoiA[B2K(conform2).
Folosinddinnou1)ob¸tinemA\B=(A[B)2K:
Încontinuarevomnotauncâmpdeevenimenteprinperecheaf;Kg;punând
îneviden¸t¼aatâtmul¸timeatotal¼acât¸simul¸timeadeevenimenteK:
1.2.PROBABILITATE.CÂMPDEPROBABILITATE 5
1.2Probabilitate.Câmpdeprobabilitate
Frecven¸t¼a
FieAunevenimentlegatdeoanumit¼aexperien¸t¼a.Dac¼aîntr-oserieden
probe,evenimentulAs-arealizatdenAori¸sinus-arealizatden¡nAori,atunci
numimfrecven¸tarelativ¼aaevenimentuluiAînseriadeprobeconsiderat¼a
num¼arul
fn(A):=nA
n:
Propozi¸tia1.2.1Frecven¸tarelativ¼aareurm¼atoarelepropriet¼a¸ti:
1)0·fn(A)·1:
2)fn()=1:
3)fn(A[B)=fn(A)+fn(B);dac¼aevenimenteleA¸siBsuntincompatibile.
4)fn(A¡B1)=fn(A)¡fn(B);dac¼aevenimentulB½A:
5)fn(A¡B)=fn(A)¡fn(A\B):
6)fn(A[B)=fn(A)+fn(B)¡fn(A\B):
7)fn(A)=1¡fn(A):
Demonstra¸tie.Primeledou¼apropriet¼a¸tisuntevidente.Pentruajusti…cacea
deatreiaproprietateseobserv¼ac¼adac¼aseefectueaz¼aexperien¸tadenori¸si
evenimentulAserealizeaz¼adenAori,iarevenimentulBserealizeaz¼adenBori,
atuncievenimentulA[BsevarealizadenA+nBori(deoareceA¸siBnusepot
realizasimultanniciodat¼a).Folosindde…ni¸tiafrecven¸teiavem
fn(A[B)=nA+nB
n=nA
n+nB
n=fn(A)+fn(B):
S¼ademonstr¼amacumproprietatea6):Dac¼aevenimenteleA¸siBsuntcom-
patibile,atuncinum¼aruldeprobecarerealizeaz¼aevenimentulA[Beste
nA[B=nA+nB¡nA\B:
Aceast¼aegalitatearelocdeoarecenum¼aruldeprobecarerealizeaz¼aevenimentul
A\B,nA\B,aparededou¼aoriînsumanA+nB:odat¼aprintrecelecare
realizeaz¼apeA¸siodat¼aprintrecelecarerealizeaz¼apeB:Conformde…ni¸tiei
frecven¸tei,ob¸tinem
fn(A[B)=nA[B
n=nA+nB¡nA\B
n=fn(A)+fn(B)¡fn(A\B):
Lafelsepotdemonstra¸sicelelaltepropriet¼a¸tialefrecven¸teirelative.¤
1PrinA¡Bseîn¸telegeA\B:
6 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Multeexperien¸teprezint¼afenomenulderegularitatestatistic¼a.Aceasta
înseamn¼ac¼adac¼an¸simsuntnumeremari¸siAesteunevenimentlegatdeo
astfeldeexperien¸t¼a,atuncifrecven¸telefn(A)¸sifm(A)nudifer¼apreamultîntre
ele¸siaceast¼adiferen¸t¼aestecuatâtmaimic¼acucâtceledou¼anumeren¸sim
suntmaimari.Cualtecuvinte,frecven¸teleoscileaz¼aînjuruluneianumitevalori,
numit¼aprobabilitateaevenimentuluiA;notat¼aP(A);¸siapropiereadeaceast¼a
valoareestecuatâtmaimarecucâtnestemaimare.Înlimbajmatematic
aceastaînsemn¼aexisten¸talimiteilimn!1fn(A)=P(A).Dac¼aamputeacunoa¸ste
valoareaacesteilimiteamaveaprobabilitateaevenimentuluiA:Cumoexperien¸t¼a
nusepoaterepetadecâtdeunnum¼ar…nitdeori,lu¼amcavaloareaproximativ¼aa
probabilit¼a¸tiiP(A)ovaloareafrecven¸teifn(A);pentruunncâtmaimareposibil.
De…ni¸tiaaxiomatic¼aaprobabilit¼a¸tii
De…ni¸tie.Fief;Kguncâmpdeevenimente.Senume¸steprobabilitate
pecâmpuldeevenimenteK,ofunc¸tieP:K¡!R;careasociaz¼a…ec¼aruieveni-
mentAalcâmpuluiKnum¼arulP(A);numitprobabilitatealuiA;astfelîncât
urm¼atoarelecondi¸tiisuntsatisf¼acute:
1)0·P(A)·1;pentruoriceevenimentA2K;i.e.,probabilitateaoric¼arui
evenimentesteunnum¼arpozitivsubunitar.
2)P()=1;i.e.,probabilitateaevenimentuluisiguresteegal¼acuunu.
3)Dac¼aA¸siBsuntdou¼aevenimenteincompatibile,i.e.,A\B=;;atunci
P(A[B)=P(A)+P(B): (1.1)
Uncâmpdeevenimentef;Kgpecares-ade…nitofunc¸tiedeprobabilitate
Psenume¸stecâmpdeprobabilitate¸sisenoteaz¼acuf;K;Pg:
Propriet¼a¸tialeprobabilit¼a¸tii
Dincondi¸tiile1),2)¸si3)demaisusrezult¼a¸siurm¼atoarelepropriet¼a¸tipecare
lesatisfacefunc¸tiadeprobabilitate.
4)Condi¸tia3)seextindeimediatlaunnum¼aroarecaredeevenimentein-
compatibiledou¼acâtedou¼a.Maiprecis,dac¼aA1;A2;:::;Ansuntevenimente
incompatibiledou¼acâtedou¼a,adic¼aAi\Aj=;;pentruoricei;j=1;2;:::;n;
i6=j;atunci
P(A1[A2[:::[An)=P(A1)+P(A2)+¢¢¢+P(An):(1.2)
5)Probabilitateaevenimentuluicontrarsecalculeaz¼apebazaformulei
P(A)=1¡P(A): (1.3)
Într-adev¼ar,deoareceA[A=¸siA;Asuntevenimenteincompatibile,
folosindcondi¸tiile2)¸si3)seob¸tine1=P()=P(A[A)=P(A)+P(A);
deunderezult¼aP(A)=1¡P(A):
1.2.PROBABILITATE.CÂMPDEPROBABILITATE 7
PentruA=seob¸tine
P(;)=0:
Prinurmare,probabilitateaevenimentuluiimposibilesteegal¼acuzero.
6)Dac¼aA½B;atunciarelocegalitatea
P(B¡A)=P(B)¡P(A): (1.4)
Înconsecin¸t¼a,dac¼aA½BatunciP(A)·P(B);adic¼aprobabilitateaesteo
func¸tiecresc¼atoareînraportcurela¸tiadeincluziune(implicare)aevenimentelor.
Reamintimmaiîntâic¼aprinB¡Aseîn¸telegeevenimentulB\A:Însitua¸tia
încareA½BarelocegalitateaB=A[(B¡A);iarevenimenteleA¸siB¡A
suntincompatibile.Folosindcondi¸tia3)seob¸tineP(B)=P(A)+P(B¡A);de
underezult¼aP(B)¡P(A)=P(B¡A)¸0:
7)Dac¼aA¸siBsuntdou¼aevenimenteoarecare,atunci
P(B¡A)=P(B)¡P(A\B): (1.5)
Într-adev¼ar,deoareceBsepoatescriesubformaB=(B\A)[(B\A);folosind
condi¸tia3),seob¸tineP(B)=P(B\A)+P(B¡A):
8)Dac¼aA¸siBsuntdou¼aevenimenteoarecarealecâmpuluideevenimente
K,atunci
P(A[B)=P(A)+P(B)¡P(A\B): (1.6)
PentrudemonstrareaacesteiformulesescrieevenimentulA[Bsubforma
A[B=A[(B¡A)¸siseaplic¼aformulele(1.1)¸si(1.5).Seob¸tine
P(A[B)=P(A)+P(B¡A)=P(A)+P(B)¡P(A\B):
Formula(1.6)sepoateextindepentrucalcululprobabilit¼a¸tiireuniuniiatrei
saumaimulteevenimente.Deexemplu,probabilitateareuniuniiatreieveni-
menteoarecareA;B;Csecalculeaz¼apebazaformulei
P(A[B[C)=P(A)+P(B)+P(C)¡P(A\B)¡P(A\C)¡P(B\C):
(1.7)
9)PentruoricarenevenimenteA1;A2;:::;Anesteadev¼arat¼ainegalitatea
P(A1[A2[:::[An)·P(A1)+P(A2)+¢¢¢+P(An):(1.8)
Demonstra¸tiasefaceprininduc¸tiedup¼an:Pentrun=2;saun=3,ine-
galitatearezult¼adinformulele(1.6)sau(1.7).Presupuneminegalitatea(1.8)
adev¼arat¼apentrun¸siodemonstr¼ampentrun+1:Pentruacestasescriereuni-
uneaSn+1
i=1Aisubforma(Sn
i=1Ai)\An+1¸siseaplic¼aapoiformula(1.6)¸siipoteza
deinduc¸tie:
P¡Sn+1
i=1Ai¢
=P(Sn
i=1Ai)+P(An+1)¡P((Sn
i=1Ai)\An+1)·
·nP
i=1P(Ai)+P(An+1)=n+1P
i=1P(Ai):
8 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
1.3Probabilitatecondi¸tionat¼a
Evenimenteindependente¸sievenimentedependente
Dinpunctdevedereintuitiv,dou¼aevenimenteA¸siBsenumescindepen-
dentedac¼arealizareasaunerealizareaunuiadintreelenuin‡uen¸teaz¼arealizarea
saunerealizareaceluilalt.Dinpunctdevederematematic,pentruevenimentele
independenteseintroduceurm¼atoareade…ni¸tie.
De…ni¸tie.Fief;K;Pguncâmpdeprobabilitate.Dou¼aevenimenteA¸siB;
apar¸tinândcâmpuluideevenimenteK,senumescevenimenteindependente,
dac¼a
P(A\B)=P(A)¢P(B):
EvenimenteleA¸siBsenumescdependentedac¼a
P(A\B)6=P(A)¢P(B):
Folosindpropriet¼a¸tileprobabilit¼a¸tiisepoatedemonstrac¼adac¼aA¸siBsunt
evenimenteindependente,atuncilafelsuntperechile:A¸siB;A¸siB;A¸siB
([11],pag.29).
Dac¼aA;B;Csunttreievenimentealeunuicâmpdeprobabilitateastfelîncât
A¸siBsuntindependente,B¸siCsuntindependente,îngeneralnurezult¼ac¼aA¸si
Csuntindependente.(Unexemplusimplusepoatevedeaîn[5],pag.78.)¸Tinând
contdeaceast¼aobserva¸tie,pentruunnum¼ar…nitdeevenimenteA1;A2;:::;An,
n¸3;seintroducde…ni¸tiile.
De…ni¸tie.EvenimenteleA1;A2;:::;Ansenumescindependentedou¼a
câtedou¼adac¼a
P(Ai\Aj)=P(Ai)P(Aj);i6=j:
De…ni¸tie.EvenimenteleA1;A2;:::;Ansenumescindependentedac¼apen-
truoricesubmul¸timedeindicifi1;i2;:::;ing;1·i1<i2<¢¢¢<in·n,auloc
egalit¼a¸tile
P(Ai1\Ai2\¢¢¢\Ain)=P(Ai1)P(Ai2)¢¢¢P(Ain):
Demulteorievenimenteleindependentesuntnumite¸sievenimenteindepen-
denteîntotalitatealorpentruaseaccentuadiferen¸tadintreno¸tiuneadeeveni-
menteindependente¸sino¸tiuneadeevenimenteindependentedou¼acâtedou¼a.
Deexemplu,treievenimenteA;B;Csuntindependente(întotalitatealor)
dac¼a¸sinumaidac¼aaulocegalit¼a¸tile:
P(A\B)=P(A)P(B);
P(B\C)=P(B)P(C);
P(A\C)=P(A)P(C);
P(A\B\C)=P(A)P(B)P(C):
1.3.PROBABILITATECONDI¸TIONAT¼A 9
Evident,dac¼atreievenimenteA;B;Csuntindependente(întotalitatealor),
atuncielesuntindependentedou¼acâtedou¼a.A…rma¸tiareciproc¼aestefals¼a.Un
contraexemplusimpluesteprezentatîn[5],pag.79.
Probabilitateacondi¸tionat¼a
De…ni¸tie.FieBunevenimentoarecarealcâmpuluideprobabilitatef;K;Pg
cuprobabilitateaP(B)>0:PentruoriceevenimentAalcâmpuluideevenimente
K,probabilitateaevenimentuluiAcondi¸tionat¼adeB;adic¼aprobabilitatea
deaseproduceevenimentulAdac¼as-arealizatevenimentulB;este,prinde…ni¸tie,
num¼aruldatdeformula
P(AjB):=P(A\B)
P(B): (1.9)
Dac¼aP(A)>0;atuncisepoateconsidera¸siprobabilitateaevenimentuluiB
condi¸tionat¼adeA;adic¼a
P(BjA)=P(B\A)
P(A):
Dinrela¸tiileanterioarerezult¼aegalit¼a¸tile
P(A\B)=P(A)¢P(BjA)=P(B)¢P(AjB):(1.10)
Formula(1.10)pot…interpretat¼acaoregul¼adecalculpentruprobabilitatea
intersec¸tieiadou¼aevenimenteA¸siB¸sisenume¸stereguladeînmul¸tirea
probabilit¼a¸tilor.
Formula(1.10)poate…generalizat¼apentruunnum¼ardenevenimente
A1;A2;:::;Anob¸tinându-seurm¼atoarearegul¼ageneral¼adeînmul¸tireaproba-
bilit¼a¸tilor:
P(A1\A2\¢¢¢\An)=P(A1)¢P(A2jA1)¢P(A3jA1\A2)¢(1.11)
¢¢¢¢P(AnjA1\A2\¢¢¢\An¡1):
Pentruademonstraaceast¼aformul¼asescriuprobabilit¼a¸tiledinmembruldrept
conformde…ni¸tiei(1.9)¸sisesimpli…c¼afactoriiegalicareapar.
Formulaprobabilit¼a¸tiitotale
FiefA1;A2;:::;Angunsistemcompletdeevenimente.Reamintimc¼aaceasta
înseamn¼ac¼aevenimenteleA1;A2;:::;Ansatisfaccondi¸tiile:
1)A1[A2[¢¢¢[An=:
2)A1;A2;:::;Ansuntincompatibiledou¼acâtedou¼a,deciAi\Aj=;;pentru
oricei6=j:
10 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Înacestcaz,probabilitateaunuievenimentoarecareBalcâmpuluideeveni-
menteKsepoatecalculacuceeacesenume¸steformulaprobabilit¼a¸tiitotale:
P(B)=P(A1)¢P(BjA1)+P(A2)¢P(BjA2)+¢¢¢+P(An)¢P(BjAn):
(1.12)
Într-adev¼ar,oriceevenimentB2Ksepoatescriesubforma
B=B\=B\(A1[A2[¢¢¢[An)=(B\A1)[(B\A2)[¢¢¢[(B\An):
DeoareceevenimenteleB\A1;B\A2;:::;B\Ansuntincompatibiledou¼acâte
dou¼a,folosindformulele(1.2)¸si(1.10),seob¸tine
P(B)=P((B\A1)[(B\A2)[¢¢¢[(B\An))=
=P(B\A1)+P(B\A2)+¢¢¢+(B\An)=
=P(A1)¢P(BjA1)+P(A2)¢P(BjA2)+¢¢¢+P(An)¢P(BjAn):
FormulaluiBayes
Dac¼a¸tinemcontdede…ni¸tiaprobabilit¼a¸tiicondi¸tionate
P(AijB)=P(Ai\B)
P(B)
¸siapoidereguladeînmul¸tireaprobabilit¼a¸tilorP(Ai\B)=P(Ai)¢P(BjAi);
pentrucalcululprobabilit¼a¸tiicondi¸tionateP(AijB)rezult¼aformula
P(AijB)=P(Ai)P(BjAi)
P(A1)¢P(BjA1)+P(A2)¢P(BjA2)+¢¢¢+P(An)P(BjAn);
(1.13)
numit¼aformulaluiBayes.
Pentruaseîn¸telegeutilitateaformuleiprobabilit¼a¸tiitotale¸siaformuleilui
Bayesprezent¼amurm¼atorulexemplu.
Exemplul1.3.1Treifabrici,notateF1;F2;F3,trimitsprevânzareîntr-un
magazinacela¸siprodusîncantit¼a¸tipropor¸tionalecunumerele3;2;5:Procentele
produselorcudefecteprimitedela…ecarefabric¼asunt1%;2;5%;2%:Ocantitate
deproduseînvaloarede180:000:000leivândut¼ademagazinesterestituit¼a…ind
necorespunz¼atoarecalitativ¸sisumarespectiv¼atrebuierecuperat¼adelafabricile
produc¼atoare.Cesum¼atrebuieimputat¼a…ec¼areifabrici,dac¼anuse¸stiedela
carefabric¼as-auprimitproduseledefecte?
1.3.PROBABILITATECONDI¸TIONAT¼A 11
Solu¸tie.Sumacareva…imputat¼a…ec¼areifabricitrebuies¼a…epropor¸tional¼a
cuprobabilitateacaproduseles¼aprovin¼adelafabricarespectiv¼a.Not¼amcu
Aievenimentulca„produsuls¼aprovin¼adelafabricaFi”,i=1;2;3;¸sicuB
evenimentulca„produsuls¼a…edefect”.Evident,fA1;A2;A3gconstituieun
sistemcompletdeevenimente,ceeaceînseamn¼ac¼aunprodusvândutdemagazin
provinedelauna¸sinumaiunadintreceletreifabrici.Conformdatelorpecare
leavem,putemcalculaurm¼atoareleprobabilit¼a¸ti:
P(A1)=3
10;P(A2)=2
10;P(A3)=5
10;
P(BjA1)=1
100;P(BjA2)=2;5
100;P(BjA3)=2
100:
Probabilitateavânz¼ariiunuiprodusdefect,adic¼aprobabilitateaevenimentului
B;secalculeaz¼acuajutorulformuleiprobabilit¼a¸tiitotale.
P(B)=P(A1)¢P(BjA1)+P(A2)¢P(BjA2)+P(A3)¢P(BjA3)=
=3
10¢1
100+2
10¢2;5
100+5
10¢2
100=18
1000:
Probabilitateacaprodusulvânduts¼aprovin¼adelafabricaF1¸stiindc¼apro-
dusulestedefect,adic¼aP(A1jB),secalculeaz¼acuformulaluiBayes:
P(A1jB)=P(A1)¢P(BjA1)
P(B)=3
10¢1
100
18
1000=3
18:
Analog,avem
P(A2jB)=P(A2)¢P(BjA2)
P(B)=2
10¢2;5
100
18
1000=5
18;
P(A3jB)=P(A3)¢P(BjA3)
P(B)=5
10¢2
100
18
1000=10
18:
Sumeleimputate…ec¼areifabrici,propor¸tionalecuprobabilit¼a¸tilecaprodusul
s¼aprovin¼adelafabricarespectiv¼a¸stiindc¼aprodusulestedefect,sunt:
3
18¢180:000:000=30:000:000lei,
5
18¢180:000:000=50:000:000lei,
10
18¢180:000:000=100:000:000lei.¤
12 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
1.4Variabilealeatoare
Senume¸stevariabil¼aaleatoareofunc¸tieX:¡!Rcareasociaz¼a…ec¼arui
element(evenimentelementar)alspa¸tiuluideselec¸tie!2unnum¼arrealX(!).
Înfunc¸tiedetipuldevaloripecareleiauvariabilelealeatoareacesteaseîmpart
învariabilealeatoarediscrete,cânddomeniulvaloriloresteomul¸time…nit¼a
saunum¼arabil¼adenumerereale,¸sivariabilealeatoaredetipcontinuu,când
domeniulvaloriloresteuninterval(a;b)alaxeirealeR;undeeventuala=¡1
sau/¸sib=+1:Uncazparticulardevariabil¼aaleatoarediscret¼aestevariabila
aleatoaresimpl¼acareiaunnum¼ar…nitdevalori.
Variabilealeatoaresimple
FieXovariabil¼aaleatoaresimpl¼a¸si…ex1;x2;:::;xnvalorileeiposibile.
Pentru…ecarei(i=1;2;:::;n)de…nimevenimentulAica…indmul¸timeatuturor
evenimentelorelementare!2c¼aroraprinaplica¸tiaXliseasociaz¼anum¼arul
realxi;adic¼a,
Ai:=f!2jX(!)=xig:
EvenimentulAiva…notatsimbolicfX=xig;iarprobabilitateaacestuieveni-
mentva…notat¼asimpluP(X=xi)înlocdeP(fX=xig):Pentrusimplitatea
scrieriivomfolosidecelemaimulteorinota¸tia
pi:=P(X=xi):
SistemuldeevenimentefA1;A2;:::;Angesteunsistemcompletdeeveni-
mente,i.e.,A1[A2[:::[An=;cuAi\Aj=;;i6=j:Înconsecin¸t¼a,
p1+p2+¢¢¢+pn=1:
Într-adev¼ar,folosindcondi¸tia2)dinde…ni¸tiaprobabilit¼a¸tii¸siformula(1.2),se
ob¸tine
1=P()=P(A1[A2[:::[An)
=P(A1)+P(A2)+:::+P(An)=p1+p2+¢¢¢+pn:
Mul¸timeaperechilorordonate(xi;pi);i=1;2;:::;n;senume¸stereparti¸tia
variabileialeatoaresimpleX:Înmodobi¸snuit,reparti¸tiauneivariabilealeatoare
simplesescriesubformaunuitabel
X:0
@x1x2:::xn
p1p2:::pn1
A
încarep1+p2+¢¢¢+pn=1:
1.5.FUNC¸TIADEREPARTI¸TIE 13
ÎncazulîncarevariabilaaleatoareXareomul¸timenum¼arabil¼adevalori
atuncireparti¸tiasasescriesubformademaijos,unde1P
n=1pn=1:
X:0
@x1x2:::xn:::
p1p2:::pn:::1
A
Variabilealeatoaredetipcontinuu
Senume¸stevariabil¼aaleatoaredetipcontinuupecâmpuldeprobabilitate
f;K;Pgoricefunc¸tieX:¡!Rcuproprietateac¼a,pentruoriceintervalIal
axeireale,mul¸timile
f!2jX(!)2Ig
suntevenimentealcâmpuluiK.
IntervaleleIaleaxeirealesuntdeformaI=(a;b);I=(a;b];I=[a;b);
I=[a;b];I=(¡1;b);I=(¡1;b];I=(a;1);I=[a;1);I=(¡1;1):Prin
urmare,toatemul¸timileenumeratemaijossuntevenimentealecâmpuluiK.
fa<X<bg:=f!2ja<X(!)<bg;
fa<X·bg:=f!2ja<X(!)·bg;
fa·X<bg:=f!2ja·X(!)<bg;
fa·X·bg:=f!2ja·X(!)·bg;
fX<bg:=f!2jX(!)<bg;
fa<Xg:=f!2ja<X(!)g:
Sepoatevorbiatuncideprobabilitateaevenimentuluicavariabilaaleatoare
Xs¼aiavaloriînintervalul(a;b);adic¼aP(fa<X<bg);probabilitatecare
va…notat¼asimpluP(a<X<b):Nota¸tiisimilaresevorfolosi¸sipentrucelelalte
tipurideintervaleconsideratemaisus.
Înpractic¼a,pentrudeterminareaacestorprobabilit¼a¸tisefolose¸stefunc¸tiade
reparti¸tieasociat¼a…ec¼areivariabilealeatoare,func¸tiecareva…studiat¼aînsec¸ti-
uneaurm¼atoare.
1.5Func¸tiadereparti¸tie
FieX:¡!Rovariabil¼aaleatoaredetipcontinuu.Pentru…ecarenum¼ar
realxseconsider¼aevenimentulfX<xg(nota¸tiesimpli…cat¼apentrumul¸timea
f!2jX(!)<xg),care,conformcelordiscutateînsec¸tiunea1.4,apar¸tine
câmpuluideevenimenteK:
14 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Senoteaz¼acuF(x)probabilitateaevenimentuluifX<xg;„Xiavalori
maimicidecâtx”;adic¼a
F(x):=P(X<x): (1.14)
Func¸tiaF:R¡![0;1];de…nit¼aprinformulademaisus,senume¸stefunc¸tia
dereparti¸tiesaufunc¸tiadedistribu¸tieavariabileialeatoareX:
Propriet¼a¸tilefunc¸tieidereparti¸tie
Func¸tiadereparti¸tieF:R¡![0;1]de…nit¼aprinformula(1.14)areurm¼a-
toarelepropriet¼a¸ti:
1)0·F(x)·1;8x2R;i.e.,func¸tiadereparti¸tiearevaloripozitivesub-
unitare.
2)F(x)esteofunc¸tienedescresc¼atoarepeR:x1<x2)F(x1)·F(x2):
3)F(¡1):=limx!¡1F(x)=0¸siF(+1):=limx!1F(x)=1:
4)F(x)esteofunc¸tiecontinu¼alastânga,ceeaceînseamn¼ac¼aînoricepunct
x02RarelocegalitateaF(x0¡0):=limx!x0
x<x0F(x)=F(x0):
Dac¼ax0esteunpunctdediscontinuitatealfunc¸tieidereparti¸tie,atuncise
poatedemonstra(vezi,deexemplu,[11],pag.78)c¼a
P(X=x0)=F(x0+0)¡F(x0);
undeF(x0+0):=limx!x0
x>x0F(x)desemneaz¼alimitaladreaptaafunc¸tieiF(x)înx0
.Deaicirezult¼ac¼adac¼ax0esteunpunctdecontinuitatepentruF(x),atunci
P(X=x0)=0:
În…gura1.1sepoatevedeaimagineauneifunc¸tiidereparti¸tiecareareun
singurpunctdediscontinuitatex0:
Cuajutorulfunc¸tieidereparti¸tieauneivariabilealeatoareXsepotcalcula
probabilit¼a¸tileunorevenimentelegatedeaceast¼avariabil¼afolosindformulele:
P(a·X<b)=F(b)¡F(a);a;b2R;a<b:
P(X¸x)=1¡F(x); x2R:
P(a·X·b)=F(b+0)¡F(a);a;b2R;a·b:
Variabilelealeatoarecaresefolosescînmodobi¸snuitînpractic¼aaufunc¸tia
dereparti¸tiecontinu¼apeR:(Încelemaimultecazurifunc¸tiadereparti¸tieeste
1.6.DENSITATEADEREPARTI¸TIE 15
1
x0
Fig.1.1:Gra…culuneifunc¸tiidereparti¸tiediscontinu¼aîntr-unpunctx0
1
Fig.1.2:Gra…culuneifunc¸tiidereparti¸tiecontinu¼apeR
chiarderivabil¼apeR:)Gra…culuneiastfeldefunc¸tiidereparti¸tieesteprezentat
în…gura1.2.
Pentruovariabil¼aaleatoaredetipcontinuuX;carearefunc¸tiadereparti¸tie
F(x)continu¼apeR;suntadev¼arateformulele:
P(x1·X·x2)=F(x2)¡F(x1);
P(x1<X<x2)=F(x2)¡F(x1);
P(x1<X·x2)=F(x2)¡F(x1); (1.15)
P(x1·X<x2)=F(x2)¡F(x1);
P(X=x0)=0:
1.6Densitateadereparti¸tie
Sespunec¼avariabilaaleatoareXareodensitatedereparti¸tie(saude
probabilitate)dac¼aexist¼aofunc¸tief:R¡![0;1)astfelîncât
F(x)=xZ
¡1f(t)dt; (1.16)
16 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
undeF(x)estefunc¸tiadereparti¸tieavariabileialeatoareX:Înacestcaz,f(t)se
nume¸stedensitateadereparti¸tiesaudensitateadeprobabilitateavari-
abileialeatoareX:
Oconsecin¸t¼aimportant¼aaexisten¸teidensit¼a¸tiidereparti¸tiepentruovariabil¼a
aleatoareXestefaptulc¼afunc¸tiasadereparti¸tie,F(x);esteofunc¸tiecontinu¼a
peR:Prinurmare,calcululunorprobabilit¼a¸tilegatedeoastfeldevariabil¼a
aleatoaresefacepebazaformulelor(1.15).
Dac¼avariabilaaleatoareXaredensitateadereparti¸tief(t);atuncivaloarea
func¸tieidereparti¸tieînpunctulx;F(x)=P(X<x);reprezint¼aariaha¸surat¼a
din…gura1.3.(Gra…cultrasatestegra…culdensit¼a¸tiidereparti¸tief(t).)
x
Fig.1.3:Interpretareageometric¼aafunc¸tieidereparti¸tieF(x)=P(X<x)
Dac¼aînformuladede…ni¸tieadensit¼a¸tiidereparti¸tiesefacex!1¸sise¸tine
seamac¼aF(+1)=1,atunciseob¸tine
+1Z
¡1f(t)dt=1:
Estebines¼aseremarcatc¼aofunc¸tiecontinu¼af:R¡!Resteodensitate
dereparti¸tieauneivariabilealeatoareX;dac¼a:
1)f(x)¸0;pentruoricex2R:
2)R+1
¡1f(t)dt=1:
Pentruovariabil¼aaleatoareXcarearedensitateadereparti¸tief(t),proba-
bilitateacaXs¼aiavaloriînintervalul(a;b);undea;b2R;a<b;sauînorice
altintervaldeforma[a;b];[a;b);(a;b],estedat¼adeformula
P(a<X<b)=bZ
af(t)dt:
1.7.OPERA¸TIICUVARIABILEALEATOARE 17
Într-adev¼ar,dac¼a¸tinemseamadeformulele(1.15)¸siderela¸tiadede…ni¸tiea
func¸tieidereparti¸tie(1.14),ob¸tinem
P(a<X<b)=F(b)¡F(a)=Zb
¡1f(x)dx¡Za
¡1f(x)dx=bZ
af(x)dx:
Formular¼amâneadev¼arat¼a¸sidac¼aa=¡1sau/¸sib=+1:
Figura1.4,încarecurbatrasat¼aestegra…culdensit¼a¸tiidereparti¸tief(t);
arat¼ac¼aprobabilitateacavariabilaaleatoareXs¼aiavaloriînintervalul(a;b);
P(a<X<b);esteegal¼acuariaha¸surat¼a.
a b
Fig.1.4:Interpretareageometric¼aaprobabit¼a¸tiiP(a<X<b)
1.7Opera¸tiicuvariabilealeatoare
Adunareavariabileloraleatoare
FieX¸siYdou¼avariabilealeatoarecareaulegiledereparti¸tiedatede
tablourile
X:0
@x1x2:::xm
p1p2:::pm1
A;Y:0
@y1y2:::yn
q1q2:::qn1
A;
undepi=P(X=xi),qj=P(Y=yj)¸siPm
i=1pi=1;Pn
j=1qj=1:
VomnumisumavariabileloraleatoareX¸siYvariabilaaleatoarenotat¼aX+Y
careiavalorilexi+yjdac¼aXiavaloareaxi¸siYiavaloareayj;i=1;2;:::;m;
j=1;2;:::;n:Not¼amcupijprobabilitatearealiz¼ariisimultaneaevenimentelor
fX=xig;fY=yjg;adic¼a,
pij=P(X=xi;Y=yj)=P(fX=xig\fY=yjg):
18 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Cuacestenota¸tiilegeadereparti¸tieavariabileialeatoareX+Ysescriesub
forma
X+Y:0
@x1+y1x1+y2:::xi+yj:::xm+yn
p11p12:::pij:::pmn1
A:
Propozi¸tia1.7.1Probabilit¼a¸tilepijdinde…ni¸tiasumeiadou¼avariabilealeatoare
auurm¼atoarelepropriet¼a¸ti
mP
i=1pij=qj;nP
j=1pij=pi;mP
i=1nP
j=1pij=1:
Demonstra¸tie.Demonstra¸tiasebazeaz¼apefaptulc¼aevenimentelefX=xig,
i=1;2;:::;m;respectivfY=yjg;j=1;2;:::;n;formeaz¼aunsistemcomplet
deevenimente.Aceastaînseamn¼ac¼areuniunealoresteegal¼acuevenimentul
sigur¸sisuntdisjunctedou¼acâtedou¼a.Atunci
mX
i=1pij=mX
i=1P(X=xi;Y=yj)=P([m
i=1(fX=xig\fY=yjg))=
=P(([m
i=1fX=xig)\fY=yjg)=P(\fY=yjg)=
=P(Y=yj)=qj:
Analogsearat¼ac¼anP
j=1pij=pi:În…nal,avem
mX
i=1nX
j=1pij=nX
j=1ÃmX
i=1pij!
=nX
j=1qj=1:¤
De…ni¸tiasumeiadou¼avariabilealeatoaresepoateextindelaunnum¼ar…nit
devariabileînmodevident:datemaimultevariabilealeatoareX;Y;:::;V;suma
lorestevariabilaaleatoarenotat¼aX+Y+¢¢¢+Vcareiavalorilexi+yj+¢¢¢+vk
dac¼aX;Y;:::;Viaurespectivvalorilexi;yj;:::;vk:
Deexemplu,dac¼apelâng¼avariabilelealeatoareX¸siYdemaisusmaiavem
ovariabil¼aaleatoareZ;carearelegeadereparti¸tiedat¼amaijos,
Z:0
@z1z2:::zs
r1r2:::rs1
A;
atuncisumalorestevariabilaaleatoareX+Y+Zcareareurm¼atoarealegede
reparti¸tie
X+Y+X:0
@x1+y1+z1x1+y1+z2¢¢¢xm+yn+zs
p111 p112¢¢¢ pmns1
A;
undepijk=P(fX=xig\fY=yjg\fZ=zkg):
1.7.OPERA¸TIICUVARIABILEALEATOARE 19
Produsulvariabileloraleatoare
Datedou¼avariabilealeatoareX¸siY,vomnumiprodusullorvariabilanotat¼a
XY,careiavaloareaxiyjatuncicândXiavaloareaxi¸siYiavaloareayj:
ProdusulXYarereparti¸tia
XY:0
@x1y1x1y2¢¢¢xiyj¢¢¢xmyn
p11p12¢¢¢pij¢¢¢pmn1
A;
undepij=P(fX=xig\fY=yjg):
Dou¼avariabilealeatoareX¸siYsenumescindependentedac¼aevenimentele
fX=xig¸sifY=yjgsuntindependentepentrutoatevalorileindicilori¸sij:În
acestcazaulocegalit¼a¸tile
pij=piqj;
deoarece
pij=P(fX=xig\fY=yjg)=P(X=xi)¢P(Y=yj)=pi¢qj:
Lafelcaîncazulsumeisede…ne¸steprodusulmaimultorvariabilealeatoare
X;Y;:::;Vca…indvariabilanotat¼aXY¢¢¢Vcareiavaloareaxiyj¢¢¢vkdac¼a
X;Y;:::;Viaurespectivvalorilexi;yj;¢¢¢;vk:VariabilelealeatoareX;Y;:::;V
senumescindependentedac¼aevenimentelefX=xig;fY=yjg;:::;fV=vkg
suntindependenteîntotalitatealor.
Deexemplu,produsulcelortreivariabilealeatoareX;Y;Zconsideratemai
susestevariabilaaleatoareXYZcarearereparti¸tiadat¼aîntabeluldemaijos
XYX:0
@x1y1z1x1y1z2¢¢¢xiyjzk¢¢¢xmynzs
p111p112¢¢¢pijk¢¢¢pmns1
A:
Dac¼aX;Y;Zsuntindependenteatuncipijk=piqjrk:
Ridicarealaputereauneivariabilealeatoare
Dat¼aovariabil¼aaleatoareX;vomnumiputereakavariabileiX¸sivom
notaXkvariabilaaleatoarecareiavaloareaxk
iatuncicândXiavaloareaxi:
Reparti¸tiavariabileiXkeste
Xk:0
@xk
1xk
2¢¢¢xk
n
p1p2¢¢¢pn1
A:
20 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Produsul¸sisumadintreoconstant¼a¸siovariabil¼aaleatoare
Dac¼aXesteovariabil¼aaleatoare¸sicoconstant¼areal¼a,vomnotacucX
variabilaaleatoarecareiavaloareacxi,atuncicândXiavaloareaxi;¸sicuc+X
variabilaaleatoarecareiavaloareac+xicândXiavaloareaxi:Distribu¸tiile
acestorvariabilealeatoaresunt
cX:0
@cx1cx2¢¢¢cxn
p1p2¢¢¢pn1
A;c+X:0
@c+x1c+x2¢¢¢c+xn
p1p2¢¢¢pn1
A:
1.8Valorimedii.Dispersie.Momente
De…ni¸tie.FieXovariabil¼aaleatoaresimpl¼aac¼areireparti¸tieestedat¼ade
tabeluldemaijos
X:0
@x1x2:::xn
p1p2:::pn1
A:
Senume¸stevaloaremedieavariabileialeatoareXnum¼arul
M(X):=p1x1+p2x2+¢¢¢+pnxn=nP
i=1pixi:
FieX¸siYdou¼avariabilealeatoarecareaulegiledereparti¸tiedatede
tablourile
X:0
@x1x2:::xm
p1p2:::pm1
A;Y:0
@y1y2:::yn
q1q2:::qn1
A;
undepi:=P(X=xi);iarqj:=P(Y=yj):
Propozi¸tia1.8.1Valoareamedieareurm¼atoarelepropriet¼a¸ti:
(M1)M(X+Y)=M(X)+M(Y);adic¼avaloareamedieasumeiadou¼a
variabilealeatoareesteegal¼acusumavalorilormedii.
(M2)Dac¼acesteoconstant¼areal¼a,atunci
i)M(c)=c:
ii)M(cX)=cM(X):
iii)M(c+X)=c+M(X):
(M3)Dac¼aX¸siYsuntvariabilealeatoareindependente,atunci
M(X¢Y)=M(X)¢M(Y);
adic¼avaloareamedieaprodusuluiadou¼avariabilealeatoareindependenteeste
egal¼acuprodusulvalorilormedii.
1.8.VALORIMEDII.DISPERSIE.MOMENTE 21
Demonstra¸tie.(M1)Legeadereparti¸tieavariabileialeatoareX+Yeste
X+Y:0
@x1+y1x1+y2:::xi+yj:::xm+yn
p11p12:::pij:::pmn1
A;
undepij=P(fX=xig\fY=yjg):Conformde…ni¸tieivaloriimedii¸sirela¸tiilor
datedepropozi¸tia1.7.1,avem
M(X+Y)=mP
i=1nP
j=1pij(xi+yj)=mP
i=1nP
j=1pijxi+mP
i=1nP
j=1pijyj
=mP
i=1xiÃnP
j=1pij!
+nP
j=1yjµmP
i=1pij¶
=mP
i=1xipi+nP
j=1yjqj
=M(X)+M(Y):
(M2)i)Legeadereparti¸tieauneivariabilealeatoarecareiaosingur¼avaloare
esteµc
1¶
:Prinurmare,valoareasamedieesteegal¼acu1¢c=c:
ii)Legeadereparti¸tieavariabileialeatoarecXeste
cX:0
@cx1cx2¢¢¢cxn
p1p2¢¢¢pn1
A:
Pentruvaloareamedieob¸tinem
M(cX)=nP
i=1picxi=cnP
i=1pixi=cM(X):
iii)Rezult¼adinceledemaisus:M(c+X)=M(c)+M(X)=c+M(X):
(M3)DeoarecevariabilelealeatoareX¸siYsuntindependente,legeaderepar-
ti¸tieavariabileialeatoareprodusestedat¼adetabelul
XY:0
@x1y1x1y2¢¢¢xiyj¢¢¢xmyn
p1q1p1q2¢¢¢piqj¢¢¢pnqm1
A:
Atunciavem
M(XY)=mP
i=1nP
j=1piqjxiyj=µmP
i=1pixi¶ÃnP
j=1qjyj!
=M(X)M(Y):¤
Propriet¼a¸tile(M1)¸si(M3)r¼amânadev¼arate¸sipentruunnum¼ar…nitoare-
caredevariabilealeatoare,dup¼acumsearat¼aînpropozi¸tiaurm¼atoareac¼arei
demonstra¸tieoomitem.
22 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Propozi¸tia1.8.2Dac¼aX1;X2;:::;Xnsuntnvariabilealeatoareoarecare,
atuncivaloareamedieasumeicelornvariabilealeatoareesteegal¼asumaval-
orilormedii
M(X1+X2+¢¢¢+Xn)=M(X1)+M(X2)+¢¢¢+M(Xn):
Dac¼aX1;X2;:::;Xnsuntnvariabilealeatoareindependente,atuncivaloarea
medieaprodusuluicelornvariabilealeatoareesteegal¼acuprodusulvalorilor
medii
M(X1X2¢¢¢Xn)=M(X1)¢M(X2)¢¢¢¢¢M(Xn):
De…ni¸tie.Dac¼avariabilaaleatoareXiaomul¸timenum¼arabil¼adevalori
x1;x2;:::;xn;:::cuprobabilit¼a¸tilep1;p2;:::;pn;:::atuncivaloareamediese
de…ne¸steprinformula
M(X):=1P
i=1pixi;
cucondi¸tiacaseriadinmembruldrepts¼a…eabsolutconvergent¼a,ceeaceînsemn¼a
c¼aP1
i=1jpixij<1:Încazcontrar,sespunec¼aXnuarevaloaremedie.(Condi¸tia
deabsolutconvergen¸t¼aimpus¼aserieiestenecesar¼apentrucavaloareasumeiserieiP1
i=1pixis¼anudepind¼adeordineaîncaresuntînregistratevalorilevariabileiX):
De…ni¸tie.Dac¼aXesteovariabil¼aaleatoaredetipcontinuucarearedensi-
tateadereparti¸tief(x);atuncinum¼arul
M(X):=+1Z
¡1xf(x)dx
senume¸stevaloareamedieavariabileialeatoareX;dac¼aintegraladinmembrul
dreptesteconvergent¼a.
Toatepropriet¼a¸tilepuseîneviden¸t¼apentruvariabilelealeatoarediscretecuun
num¼ar…nitdevalorisuntadev¼arate¸sidac¼avariabilelesuntdiscretecuomul¸time
num¼arabil¼adevalorisausuntdetipcontinuu,cucondi¸tiacavalorilemediis¼a
existe.
Valoareamediefacepartecategoriacaracteristicilornumericealevariabilelor
aleatoarenumitecaracteristicidepozi¸tie.Cunoa¸stereaacestorcaracteristici
nefurnizeaz¼ainforma¸tiiasupravalorilorvariabileialeatoarepedreaptareal¼a.
Valoareamedieesteunfeldevaloarecentral¼aavariabileialeatoare,adic¼aacea
valoareînjurulc¼areiacadcelelaltevaloriposibile,astfelîncâtmediaabaterilor
delaaceast¼avaloares¼a…enul¼a(abaterilecarecadlastângavaloriimediise
consider¼acusemnul+;iarcelecarecadladreaptacusemnul¡):
1.8.VALORIMEDII.DISPERSIE.MOMENTE 23
Altecaracteristicidepozi¸tiealevariabileloraleatoaremaidesutilizatesunt
modul¸simediana.
Dac¼aXesteovariabil¼aaleatoarediscret¼a,prinmodulluiXseîn¸telege
valoareaceamaiprobabil¼aaluiX:Dac¼aXestevariabil¼aaleatoaredetipcontinuu
carearedensitateadereparti¸tief(x),modulluiXesteabscisapunctuluide
maximalfunc¸tieif(x):Vomnotaacestpunctcuxmod:Deci
f(xmod)=maxx2Rf(x): (1.17)
Dac¼afunc¸tiaf(x)areunsingurpunctdemaximvariabilaaleatoareXsenume¸ste
unimodal¼a.Încazcontrar,senume¸steplurimodal¼a.
MedianavariabileialeatoareX;notat¼amed(X);sauxmedatuncicândvari-
abilaaleatoareestesubîn¸teleas¼a,estevaloareacareareproprietateac¼a
P(X<xmed)=P(X>xmed): (1.18)
Dac¼aXaredensitateadereparti¸tief(x);atuncixmedestevaloareapentrucare
arelocegalitatea
Zxmed
¡1f(x)dx=1
2:
Dac¼aF(x)estefunc¸tiadereparti¸tiealuiX;rela¸tiademaisussescriesubforma
F(xmed)=1
2: (1.19)
Geometric,xmedesteacelnum¼arrealcareareproprietateac¼adreaptax=xmed
împarteariacuprins¼aîntregra…culfunc¸tieif(x)¸siaxaOxîndou¼ap¼ar¸tiegale.
În…gura1.5suntilustrategra…cacestecaracteristicinumericealeuneivari-
abilealeatoareXac¼areidensitatedereparti¸tief(x)estenul¼apentrux<0;tip
devariabil¼aaleatoarecareapareînteoria…abilit¼a¸tii.
Ovariabil¼aaleatoareestemaibinecaracterizat¼adac¼apelâng¼avaloareamedie
m=M(X)secunoa¸ste¸sigraduldeîmpr¼a¸stiereavalorilorvariabileiînjurul
valoriimedii.Pentrum¼asurareaacestuigraddeîmpr¼a¸stiereoprim¼aideear…s¼a
consider¼amvariabilaaleatoareY=X¡m:DeoareceYiavaloriatâtpozitivecât
¸sinegative,dup¼acumvalorileluiXcadladreaptasaulastângaluim;valoarea
mediealuiYestenul¼a.Într-adev¼ar,M(Y)=M(X¡m)=M(X)¡m=
m¡m=0:PutemcorectaacestneajunsluândînloculluiYvariabilaaleatoare
Z=jX¡mj:Aceastaarevaloareamediepozitiv¼a.Deexemplu,încazuldiscret
esteegal¼acuM(Z)=P
ipijxi¡mj>0:Valoareamedieamodululuiabaterii
jX¡mjpoate…luat¼acaom¼asur¼aagraduluideîmpr¼a¸stierealvalorilorluiX,
dar,dincauzamodulului,estegreudefolositîncalcule.Deaceeaseînlocuie¸ste
cuoalt¼aconstant¼aasociat¼avariabileialeatoare¸sianumedispersia.
24 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Fig.1.5:Unelecaracteristicinumericealeuneivariabilealeatoare
De…ni¸tie.Senume¸stedispersieavariabileialeatoareX¸sisenoteaz¼acu
D2(X);sau¾2atuncicândvariabilaestesubîn¸teleas¼a,num¼arul
¾2=D2(X):=M[(X¡m)2];
undem=M(X):Pentrusimpli…careanota¸tieivomscrieM(X¡m)2înlocde
M[(X¡m)2]:
De…ni¸tiadat¼amaisusestevalabil¼apentruoricetipdevariabil¼aaleatoare,cu
condi¸tiacavariabilaaleatoare(X¡m)2s¼aaib¼avaloaremedie.Dac¼aXesteo
variabil¼aaleatoarediscret¼acareiaomul¸timein…nit¼adevalorix1;x2;:::;xn;:::
cuprobabilit¼a¸tilep1;p2;:::;pn;:::;atuncidispersiaestedat¼adeformula
D2(X)=1P
i=1pi(xi¡m)2;
cucondi¸tiacaaceast¼aseries¼a…econvergent¼a.Dac¼aXiaomul¸time…nit¼ade
valori,atunciaceast¼acondi¸tiedispare¸sidispersiaexist¼aîntotdeauna.
Dac¼aXesteovariabil¼aaleatoaredetipcontinuucudensitateadereparti¸tie
f(x);atunciformuladispersieieste
D2(X)=+1Z
¡1(x¡m)2f(x)dx; (1.20)
cucondi¸tiacaaceast¼aintegral¼as¼a…econvergent¼a.
Propozi¸tiacareurmeaz¼apuneîneviden¸t¼apropriet¼a¸tiledispersiei.Acestea
suntadev¼aratepentruoricetipdevariabil¼aaleatoare.Demonstra¸tiileacestor
propriet¼a¸tisebazeaz¼apepropriet¼a¸tilevaloriimedii.
1.8.VALORIMEDII.DISPERSIE.MOMENTE 25
Propozi¸tia1.8.3Dispersiaareurm¼atoarelepropriet¼a¸ti:
(D1)D2(X)¸0;pentruoricevariabil¼aaleatoareX:
D2(X)=0dac¼a¸sinumaidac¼aP(X=m)=1:
(D2)D2(X)=M(X2)¡[M(X)]2:Înconsecin¸t¼aM(X2)¸[M(X)]2:
(D3)D2(cX)=c2D2(X);pentruoriceconstant¼ac2R:
(D4)Dac¼avariabilelealeatoareX1;X2;:::;Xnsuntindependentedou¼acâte
dou¼a,atunci
D2(X1+X2+¢¢¢+Xn)=D2(X1)+D2(X2)+¢¢¢+D2(Xn):
Demonstra¸tie.Proprietatea(D1)esteevident¼aconformde…ni¸tieidispersiei.
Demonstr¼am(D2).
D2(X)=M(X¡m)2=M(X2¡2mX+m2)=M(X2)¡2mM(X)+m2=
=M(X2)¡2m2+m2=M(X2)¡m2=M(X2)¡[M(X)]2:
(D3)rezult¼adinpropriet¼a¸tilevaloriimedii¸siegalitateadela(D2):
D2(cX)=M(c2X2)¡[M(cX)]2=c2M(X2)¡c2[M(X)]2=c2D2(X):
Pentrudemonstrareapropriet¼a¸tii(D4)se¸tineseamac¼adac¼avariabilelealeatoare
X1;X2;:::;Xnsuntindependentedou¼acâtedou¼a,atunci
M(XiXj)=M(Xi)M(Xj);i6=j:
Folosindacesteegalit¼a¸ti,avem
D2(X1+X2+:::+Xn)=Mh
(Pn
i=1Xi)2i
¡[M(Pn
i=1Xi)]2
=MhPn
i=1X2
i+2P
i<jXiXji
¡[Pn
i=1M(Xi)]2
=Pn
i=1M(X2
i)+2P
i<jM(XiXj)¡
¡Pn
i=1[M(Xi)]2¡2P
i<jM(Xi)M(Xj)
=Pn
i=1¡
M(X2
i)¡[M(Xi)]2¢
=Pn
i=1D2(Xi):¤
Deobicei,graduldeîmpr¼a¸stiereavaloriloruneivariabilealeatoareXînjurul
valoriisalemediiseexprim¼anuprindispersiasa,D2(X);ciprinabatereamedie
p¼atratic¼acareestedat¼aderela¸tia
¾=D(X)=p
D2(X):
Aceastaareavantajulc¼aseexprim¼aînacelea¸siunit¼a¸tidem¼asur¼aca¸sivalorile
variabileiX:
26 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Propozi¸tia1.8.4(InegalitatealuiCebâ¸sev).Dac¼avariabilaaleatoareXare
valoareamediem¸sidispersia¾2;atunci
P(jX¡mj<")¸1¡¾2
"2:
Demonstra¸tie.Presupunemmaiîntâic¼aXesteovariabil¼aaleatoaredis-
cret¼acarearelegeadereparti¸tiedat¼adetabelulX:0
@x1x2¢¢¢xn¢¢¢
p1p2¢¢¢pn¢¢¢1
A:
Putempresupune,f¼ar¼aarestrângegeneralitatea,c¼avalorilex1;x2;:::;xn;:::
suntnotateastfelîncât
jx1¡mj·jx2¡mj·:::·jxs¡mj<"·jxs+1¡mj·jxs+2¡mj·:::
AtuncievenimentulfjX¡mj<"g=Ss
i=1fX=xig;deunderezult¼ac¼a
P(jX¡mj<")=sP
i=1P(X=xi)=sP
i=1pi=1¡1P
i=s+1pi:(1.21)
Pedealt¼aparte,aveminegalitatea
¾2=1P
i=1pijxi¡mj2¸1P
i=s+1pijxi¡mj2¸1P
i=s+1pi"2="2µ1P
i=s+1pi¶
;
deunderezult¼a
1P
i=s+1pi·¾2
"2: (1.22)
Dininegalit¼a¸tile(1.21)¸si(1.22)rezult¼ainegalitateadorit¼a
P(jX¡mj<")¸1¡¾2
"2:
Dac¼aXesteovariabil¼aaleatoaredetipcontinuucudensitateadereparti¸tie
f(x);atuncidemonstra¸tiadecurgeastfel
¾2=+1Z
¡1(x¡m)2f(x)dx¸Z
fx2Rj(x¡m)2¸"2g(x¡m)2f(x)dx¸
¸"2Z
fx2Rj(x¡m)2¸"2gf(x)dx¸"20
B@1¡Z
fx2Rj(x¡m)2<"2gf(x)dx1
CA=
="20
@1¡m+"Z
m¡"f(x)dx1
A="2[1¡P(m¡"<X<m+")]=
="2(1¡P(jX¡mj<"));
1.8.VALORIMEDII.DISPERSIE.MOMENTE 27
deunderezult¼ainegalitateadorit¼a.¤
De…ni¸tie.Dat¼aovariabil¼aaleatoareX,senume¸stemomentdeordinulk
alvariabileiX¸sisenoteaz¼acuMk(X)valoareamedieavariabileiXk:Deci
mk=Mk(X):=M(Xk):
Dac¼avariabilaXaredistribu¸tiaX:0
@x1x2¢¢¢xn¢¢¢
p1p2¢¢¢pn¢¢¢1
A;atuncimomen-
tuldeordinulkestedatdeformula
Mk(X)=1P
i=1pixk
i;
cucondi¸tiacaseriadinmembruldrepts¼a…econvergent¼a(ceeaceseîntâmpl¼a
dac¼aXiaunnum¼ar…nitdevalori).
Dac¼aXesteovariabil¼aaleatoaredetipcontinuucudensitateadereparti¸tie
f(x);atuncimomentuldeordinulkestede…nitprinformula
Mk(X)=+1Z
¡1xkf(x)dx;
cucondi¸tiacaintegraladinmembruldrepts¼a…econvergent¼a.
Senume¸stemomentcentratdeordinulkalvariabileialeatoareXnum¼arul
¹k=Mk(X¡m);
undemestevaloareamediealuiX:
Senume¸stemomentabsolutdeordinulkalvariabileialeatoareXnum¼arul
Mk(jXj):Momentulcentratabsolutalacesteivariabilealeatoareestenum¼arul
Mk(jX¡mj):
Conformde…ni¸tiilordemaisus,valoareamedieauneivariabilealeatoareeste
momentuldeordinulîntâialvariabilei,iardispersiaestemomentulcentratde
ordinulaldoilea.
28 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
1.9Legiclasicededistribu¸tie
Înaceast¼asec¸tiunevompuneîneviden¸t¼acâtevadintrelegileclasicededis-
tribu¸tie,numite¸silegidereparti¸tie,careaparfrecventînteoria…abilit¼a¸tii.Vom
începecuprezentareaunorlegidedistribu¸tiediscreteunidimensionale.
Distribu¸tiabinomial¼a
Sespunec¼avariabilaaleatoaresimpl¼aXaredistribu¸tiebinomial¼acu
parametriin¸sip(undenestenum¼arnatural,iar0<p<1)dac¼aiavalorile
0;1;:::;ncuprobabilit¼a¸tile
P(X=k)=Ck
npkqn¡k;k=0;1;:::;n; (1.23)
undeq=1¡p:
Reparti¸tiavariabileialeatoareXdistribuit¼abinomialcuparametriin¸sipse
scriesubforma
X:Ãk
Ck
npkqn¡k!
;k=0;1;:::n:
FolosindformulabinomuluiluiNewtonseobserv¼ac¼asumaprobabilit¼a¸tilor
careaparînliniaadouaesteegal¼acu1:Într-adev¼ar,
nP
k=0P(X=k)=nP
k=0Ck
npkqn¡k=(p+q)n=1:
Propozi¸tia1.9.1ValoareamedieM(X)¸sidispersiaD2(X)uneivariabile
aleatoareXcarearedistribu¸tiebinomial¼acuparametriin¸sipsuntdatedefor-
mulele
M(X)=np;D2(X)=npq;(q=1¡p):(1.24)
Demonstra¸tie.Pentruademonstraformuleledemaisus,seconsider¼aun
num¼arrealoarecaret¸sidezvoltareabinomial¼a
(pt+q)n=nP
k=0Ck
npkqn¡ktk:
Prinderivarearela¸tieidemaisusînraportcutseob¸tineegalitatea
n(pt+q)n¡1p=nP
k=0Ck
npkqn¡kktk¡1: (1.25)
deunde,pentrut=1;rezult¼anp=Pn
k=0kCk
npkqn¡k:Aceast¼aultim¼aegalitate
nuestealtcevadecâtnp=M(X):
1.9.LEGICLASICEDEDISTRIBU¸TIE 29
PentrucalcululdispersieivomfolosiformulaD2(X)=M(X2)¡[M(X)]2:În
acestscop,sedetermin¼amaiîntâivaloareamedieavariabileiX2care,conform
de…ni¸tiei,estedat¼aderela¸tiaM(X2)=Pn
k=0k2Ck
npkqn¡k:Pentrucalcularea
acesteisumeseînmul¸te¸steegalitatea(1.25)cut;
np(pt+q)n¡1t=nP
k=0Ck
npkqn¡kktk;
¸siapoisederiveaz¼aînraportcut:
np(n¡1)(pt+q)n¡2pt+np(pt+q)n¡1=nP
k=0Ck
npkqn¡kk2tk¡1:
Pentrut=1rezult¼aegalitatea
nP
k=0k2Ck
npkqn¡k=n(n¡1)p2+np;
carearat¼ac¼a
M(X2)=n2p2+npq;q=1¡p:
În…nal,seob¸tinevaloareadispersiei
D2(X)=M(X2)¡[M(X)]2=n2p2+npq¡(np)2=npq:¤
Distribu¸tiaPoisson
Sespunec¼avariabilaaleatoarediscret¼aXaredistribu¸tiePoissonde
parametru¸>0dac¼apoateluaoricevaloarek2Ncuprobabilitatea
P(X=k)=¸k
k!e¡¸;k=0;1;2;:::: (1.26)
Simbolic,reparti¸tiavariabileialeatoareXcudistribu¸tiePoissondeparametru
¸sescriesubforma
X:0
B@k
¸k
k!e¡¸1
CA;k=0;1;2;::::
Seobserv¼amaiîntâic¼asumaprobabilit¼a¸tiloresteegal¼acu1:Într-adev¼ar
1P
k=0P(X=k)=e¡¸1P
k=0¸k
k!=e¡¸e¸=1:
30 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Propozi¸tia1.9.2Valoareamedie¸sidispersiauneivariabilealeatoareXcareare
distribu¸tiePoissondeparametru¸suntdatedeformulele
M(X)=¸;D2(X)=¸: (1.27)
Demonstra¸tie.Într-adev¼ar,utilizândfaptulpentrudezvoltareaînseriealui
e¸putemfolosiunadintrescrierile
e¸=1P
k=0¸k
k!=1P
k=1¸k¡1
(k¡1)!=1P
k=2¸k¡2
(k¡2)!;
avem
M(X)=1P
k=0kP(X=k)=1P
k=1k¸k
k!e¡¸=¸e¡¸1P
k=1¸k¡1
(k¡1)!=¸e¡¸e¸=¸:
Pentruadeterminadispersiacalcul¼ammaiîntâiM(X2):
M(X2)=1P
k=0k2P(X=k)=1P
k=1k2¸k
k!e¡¸=
=¸e¡¸1P
k=1k¸k¡1
(k¡1)!=¸e¡¸·1P
k=1[(k¡1)+1]¸k¡1
(k¡1)!¸
=
=¸e¡¸·
¸1P
k=2¸k¡2
(k¡2)!+1P
k=1¸k¡1
(k¡1)!¸
=¸e¡¸¡
¸e¸+e¸¢
=¸2+¸:
Atunci
D2(X)=M(X2)¡[M(X)]2=¸2+¸¡¸2=¸:¤
Observa¸tia1.9.3Leg¼aturadintredistribu¸tiabinomial¼a¸sidistribu¸tia
Poisson.
Pentruastabilileg¼aturacareexist¼aîntredistribu¸tiabinomial¼a¸sidistribu¸tia
Poisson,seiaunnum¼arnaturalk,careodat¼aalesr¼amâne…xat,¸sipentru
oricen>kseconsider¼avariabilelealeatoareXnavânddistribu¸tiabinomi-
al¼acuparametriin¸sipnastfelcatoates¼aaib¼aaceea¸sivaloaremedie¸:Deci
M(Xn)=npn=¸;deunderezult¼apn=¸
n:Înacestecondi¸tiiavem
limn!1P(Xn=k)=limn!1Ck
npk
nqn¡k
n=
=limn!1n(n¡1)¢¢¢(n¡k+1)
k!µ¸
n¶kµ
1¡¸
n¶n¡k
=
=¸k
k!limn!1n(n¡1)¢¢¢(n¡k+1)
nklimn!1µ
1¡¸
n¶n¡k
=¸k
k!e¡¸:
1.9.LEGICLASICEDEDISTRIBU¸TIE 31
Egalitateadesusarat¼ac¼adac¼anestesu…cientdemare¸sipnsu…cientdemic,
atunciputemaproximadistribu¸tiabinomial¼adeparametrin¸sipncudistribu¸tia
Poissondeparametru¸=npn:Dinacestmotivdistribu¸tiaPoissonsemainu-
me¸ste¸silegeaevenimentelorrare.Pentrun¸30¸sinp<5distribu¸tiaPoissoncu
parametrul¸=npesteobun¼aaproximareadistribu¸tieibinomialecuparametrii
n¸sip:¤
Distribu¸tiaexponen¸tial¼a
Sespunec¼aovariabil¼aaleatoareXaredistribu¸tieexponen¸tial¼ade
parametrul¸>0;dac¼adensitateasadereparti¸tieestedat¼adeformula
f(t):=8
<
:0;pentrut·0;
¸exp(¡¸t);pentrut>0:
Func¸tiadereparti¸tieaacesteivariabilealeatoare,de…nit¼aprinformula
F(x)=Rx
¡1f(t)dt,areexpresia
F(x)=8
<
:0; pentrux·0;
Rx
0¸e¡¸tdt=1¡e¡¸x;pentrux>0:
În…gurile1.6¸si1.7suntreprezentategra…cdensitateadereparti¸tie,respectiv
func¸tiadereparti¸tie,auneivariabilealeatoaredistribuiteexponen¸tialcu¸=0;5:
6 4 2 0 2 4 60.20.40.6
Fig.1.6:Gra…culdensit¼a¸tiidistribu¸tieiexponen¸tialedeparametru¸=0;5
OvariabilaaleatoareXdedistribu¸tieexponen¸tial¼adeparametru¸are
valoareamedie
M(X)=Z1
¡1tf(t)dt=Z1
0t¸e¡¸tdt=1
¸;
¸sidispersia
D2(X)=Z1
¡1(t¡m)2f(t)dt=Z1
0(t¡1
¸)2¸e¡¸tdt=1
¸2:
32 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
6 4 2 0 2 4 61
Fig.1.7:Gra…culfunc¸tieidereparti¸tieadistribu¸tieiexponen¸tialepentru¸=0;5
Distribu¸tiaWeibull
Ovariabil¼aaleatoareXaredistribu¸tieWeibullcuparametrii¸>0¸si
®>0dac¼adensitateasadereparti¸tieestedat¼adeformala
f(t)=8
<
:0; pentrut·0;
¸®t®¡1exp(¡¸t®);pentrut>0:
Func¸tiadereparti¸tieauneivariabilealeatoaredistribuiteWeibulleste
F(t)=1¡exp(¡¸t®);t>0:
În…gurile1.8¸si1.9suntreprezentatedensitateadereparti¸tie,respectivfunc¸tia
dereparti¸tie,auneivariabilealeatoaredistribuiteWeibullcu¸=2¸si®=3:
3 2 1 0 1 2 312
Fig.1.8:Densitateadereparti¸tieadistribu¸tieiWeibullpentru¸=2;®=3
1.9.LEGICLASICEDEDISTRIBU¸TIE 33
Fig.1.9:Func¸tiadereparti¸tieadistribu¸tieiWeibullpentru¸=2,®=3
Valoareamedie¸sidispersiacorespunz¼atoaredistribu¸tieiWeibulldepara-
metri¸¸si®sunt
m=¸¡1
®¢¡µ1
®+1¶
;
¾2=¸¡2
®¢·
¡µ2
®+1¶
¡¡2µ1
®+1¶¸
;
unde¡(p):=R1
0xp¡1e¡xdx:(Pentrufunc¸tiaGamma¡(p)¸sipropriet¼a¸tilesale
veziAppendixulA.)
LegeaWeibullestemaigeneral¼adecâtlegeaexponen¸tial¼a.Depinzânddedoi
parametri,eapoatecuprindeunnum¼armaimaredecazuriconcretedecâtlegea
exponen¸tial¼a.Deastfel,aceastadinurm¼aesteuncazparticularallegiiWeibull
(cazul®=1).
Distribu¸tianormal¼a
Dac¼adensitateadereparti¸tieauneivariabilealeatoaredetipcontinuu
estedat¼adeformula
f(t;m;¾)=1
¾p
2¼exp"
¡(t¡m)2
2¾2#
;t2R;(1.28)
unde¾>0;sespunec¼aXaredistribu¸tianormal¼asauc¼aurmeaz¼alegeade
reparti¸tienormal¼adeparametrim¸si¾;notat¼apescurtN(m;¾):
Dup¼acumseobserv¼aîn…gura1.10,gra…culfunc¸tieif(t;m;¾)areformaunui
clopot(„clopotul”luiGauss),careestesimetricfa¸t¼adedreaptat=m¸siare
puncteledein‡exiunet1=m¡¾;t2=m+¾:
34 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
1
σ2π⋅⋅
1
σ2π⋅⋅exptm−( )2−
2σ2⋅
⋅m
t
Fig.1.10:Gra…culdensit¼a¸tiireparti¸tieinormaleN(m;¾)
Func¸tiadereparti¸tieauneivariabilealeatoareXcarearedensitateaderepar-
ti¸tienormal¼adeparametrim¸si¾este
F(x;m;¾)=xZ
¡1f(t;m;¾)dt=1
¾p
2¼xZ
¡1exp"
¡(t¡m)2
2¾2#
dt:(1.29)
Ovariabil¼aaleatoareXcareurmeaz¼adistribu¸tianormal¼aN(m;¾)are
valoareamedie¸sidispersiadatedeformuleledemaijos.(Pentrudemon-
stra¸tiesepoateconsulta,deexemplu[11],pag.123.)
M(X)=m;D2(X)=¾2:
Dac¼am=0¸si¾=1sespunec¼avariabilaaleatoareXarereparti¸tia
normal¼astandard(sauredus¼a),notat¼aN(0;1):Înacestcaz,densitateade
reparti¸tieestedat¼adeformula
f(t;0;1)=1p
2¼expµ
¡t2
2¶
;t2R:
Gra…culcurbeidensit¼a¸tiinormalestandard(vezi…gura1.11),numit¸si„clopo-
tul”luiGauss,areurm¼atoarelepropriet¼a¸ti:
a)Estesimetricfa¸t¼adeaxaOy.
b)Arevaloareamaxim¼a1p
2¼=0;39894;careseob¸tinepentrut=0:
c)Curbaesteconcav¼apeintervalul(¡1;1)¸siconvex¼aînafaraacestuia.
d)Ariacuprins¼aîntregra…culcurbei¸siaxaOxesteegal¼acu1:
1.9.LEGICLASICEDEDISTRIBU¸TIE 35
3 2 1 0 1 2 30.20.4x
Fig.1.11:Gra…culdensit¼a¸tiireparti¸tieinormalestandardN(0;1)
Func¸tiadereparti¸tiecorespunz¼atoarelegiinormalestandardN(0;1)areex-
presia
F(x;0;1)=xZ
¡1f(t;0;1)dt=1p
2¼xZ
¡1expµ
¡t2
2¶
dt:(1.30)
Aceast¼afunc¸tiesenoteaz¼a,deregul¼a,©(x):=F(x;0;1)¸sisenume¸stefunc¸tia
integral¼aaluiLaplace.Deci
©(x):=1p
2¼xZ
¡1expµ
¡t2
2¶
dt: (1.31)
Valoareafunc¸tiei©(x)esteegal¼acuariacuprins¼aîntregra…culfunc¸tieif(t;0;1);
axaOx¸sidreaptat=x;adic¼aariaha¸surat¼adin…gura1.11.
Oproprietateafunc¸tiei©(x)util¼aîncalculeesteurm¼atoarea
©(¡x)=1¡©(x);x2R: (1.32)
Func¸tialuiLaplace(1.31)esteutilizat¼anunumaipentrucazullegiinormale
standardN(0;1)ci¸siîncazulgeneralN(m;¾):Acestlucruesteposibildeoarece
dac¼aXesteovariabil¼aaleatoarecareurmeaz¼alegeanormal¼aN(m;¾),atunci
variabilaZ:=X¡m
¾urmeaz¼alegeanormal¼astandardN(0;1):Într-adev¼ar,
dac¼anot¼amcuFZ(x)func¸tiadereparti¸tieavariabileiZ;avem
FZ(x)=P(Z<x)=PµX¡m
¾<x¶
=P(X<m+¾x)=F(m+¾x;m;¾):
36 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Densitateadereparti¸tieavariabileiZestederivatafunc¸tieidereparti¸tieFZ(x):
Efectuândacestcalculseob¸tine
fZ(x)=F0
Z(x)=¾f(m+¾x;m;¾)=1p
2¼expµ¡x2
2¶
=f(x;0;1);
ceeacearat¼ac¼adensitateadereparti¸tieavariabileialeatoareZ;fZ(x);coincide
cudensitateadereparti¸tiealegiinormaleN(0;1):
Observa¸tiademaisusesteutil¼apentrucalcululprobabilit¼a¸tiicavariabilaX
distribuit¼aN(m;¾)s¼aiavaloriîntr-uninterval[a;b]folosindfunc¸tialuiLaplace.
Maiprecis,arelocrela¸tia
P(a·X·b)=©µb¡m
¾¶
¡©µa¡m
¾¶
:(1.33)
Pentrujusti…careaacesteia,seobserv¼amaiîntâic¼aîntrefunc¸tiadereparti¸tie
avariabileiXdistribuit¼aN(m;¾)¸sifunc¸tialuiLaplacearelocrela¸tia
F(x;m;¾)=©µx¡m
¾¶
: (1.34)
Într-adev¼ar,folosindprimaformul¼adinsetul(1.15)¸sirela¸tia(1.34)seob¸tine
P(a·X·b)=F(b;m;¾)¡F(a;m;¾)=©µb¡m
¾¶
¡©µa¡m
¾¶
:
Formula(1.33)arelarânduls¼auurm¼atoareaconsecin¸t¼ainteresant¼a
P(jX¡mj<»¾)=2©(»)¡1;»>0: (1.35)
Într-adev¼ar,folosindformulele(1.33)¸si(1.32)avem
P(jX¡mj<»¾)=P(m¡»¾<X<m+»¾)=
=©µm+»¾¡m
¾¶
¡©µm¡»¾¡m
¾¶
=
=©(»)¡©(¡»)=2©(»)¡1:
Dac¼aînformula(1.35)seia»=1;2;3atunciseob¸tine
P(jX¡mj<¾)=2©(1)¡1=0;6826; (1.36)
P(jX¡mj<2¾)=2©(2)¡1=0;9545;(1.37)
P(jX¡mj<3¾)=2©(3)¡1=0;9973:(1.38)
Egalit¼a¸tiledemaisusarat¼ac¼aovariabil¼aaleatoareXcudistribu¸tienormal¼a
N(m;¾)areurm¼atoarelepropriet¼a¸ti:
1.9.LEGICLASICEDEDISTRIBU¸TIE 37
1)68;26%dinvalorileluiXcadînintervalul(m¡¾;m+¾):
2)95;45%dinvalorileluiXcadînintervalul(m¡2¾;m+2¾):
3)99;73%,adic¼apracticaproapetoatevalorilevariabileiXcadînintervalul
(m¡3¾;m+3¾)centratînjurulvaloriimediim.Aceast¼aproprietatesenume¸ste
„regulacelor¸sasesigma”.
Pentrucalcululfunc¸tieiluiLaplacesefolose¸stedecelemaimulteorileg¼atura
careexist¼aîntreaceasta¸sifunc¸tiaerorilor.Aceastaestedat¼aderela¸tia
©(x)=1
2·
1+erfµxp
2¶¸
;x2R; (1.39)
undeerf(x)estefunc¸tiaerorilorde…nit¼aprinformula
erf(x):=2p¼xZ
0exp(¡t2)dt;x2R: (1.40)
Func¸tiaerf(x)esteofunc¸tieimpar¼a,i.e.,
erf(¡x)=¡erf(x);x2R;
deaceeaestesu…cients¼a…ecunoscutevalorilesalenumaipentrux>0:
Demulteoriînloculfunc¸tieierf(x)estemaiutil¼aîncalculefunc¸tiacomple-
mentar¼aaerorilordat¼aderela¸tia
erfc(x)=1¡erf(x);x2R:
Gra…culfunc¸tieierorilorerf(x)¸sicelalfunc¸tieicomplementareerfc(x)sunt
prezentateîn…gura1.12.
Fig.1.12:Gra…culfunc¸tieierorilorerf(x)¸sicelalfunc¸tieicomplementareerfc(x):
38 CAPITOLUL1.ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR
Calcululvalorilorfunc¸tieiintegralealuiLaplace©(x)sef¼acea,¸siînc¼auniio
maifac¸siast¼azi,cuajutorulunortabelefolosindrela¸tia(1.39).Acestametod¼a
estedep¼a¸sit¼aazideoareceexist¼aprogramedecalculcarepermitdeterminarea
valorilorfunc¸tiei©(x)înoricepunct.Înaceast¼acartevalorilefunc¸tie©(x)au
fostcalculatefolosindprogramulMathcad.
Capitolul2
TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Teoria…abilit¼a¸tiisauteoriasiguran¸teidefunc¸tionarearecascop
g¼asirealegilordeapari¸tieadefec¸tiunilorsistemelortehnice.Calitativ,…a-
bilitateaunuisistemtehnicestecapacitateasistemuluirespectivdeafunc¸tiona
f¼ar¼adefec¸tiuniîndecursulunuiintervaldetimpîncondi¸tiideterminatedeex-
ploatare.Momentulapari¸tieiuneidefec¸tiunisautimpuldefunc¸tionarepân¼ala
apari¸tiauneidefec¸tiunisuntvariabilealeatoare,careiauvaloridepinzânddeun
num¼arfoartemaredefactoriîntâmpl¼atori.Deaceea,estimareacantitativ¼aa
…abilit¼a¸tiiunuisistemtehnicsepoatefacenumaipebazateorieiprobabilit¼a¸tilor.
Fiabilitateaunuisistemesteprobabilitateacaacestas¼a-¸siîndeplineasc¼afunc¸tiile
cuanumiteperforman¸te¸sif¼ar¼adefec¸tiuniunanumitintervaldetimp,încondi¸tii
datedeexploatare.
Problemeledeteoria…abilit¼a¸tiiseîncadreaz¼aînproblemelecucaractereco-
nomic.Cunoa¸sterealegilordeîmb¼atrânireasistemelortehnice¸sideciagradului
lordeuzur¼aîntimpesteutil¼apentrualegereaunormomentecâtmaipotri-
vitepentruînlocuireaacestora,pentruaseob¸tineuncostalîntregiiopera¸tiide
înlocuirecâtmaimic.
2.1De…ni¸tia…abilit¼a¸tii
Înaceast¼asec¸tiunevomconsiderasistemeletehnicecap¼ar¸tiindivizibile¸si
vomstudia…abilitatealorindependentde…abilitateap¼ar¸tilorcomponente.
Seconsider¼acamomentini¸tialmomentulîncareunsistemestepusîn
staredefunc¸tionare.Senoteaz¼acuTtimpuldefunc¸tionarepân¼alaprima
defec¸tiuneasistemuluirespectiv.Printimpdefunc¸tionareseîn¸telegeperioada
defunc¸tionareefectiv¼a,eliminându-seperioadeledeîntreruperedeliberat¼a.Teste
ofunc¸tiedetimpT(t);t¸0;maiprecisovariabil¼aaleatoaredetipcontinuu.
De…ni¸tie.Senume¸ste…abilitate(saufunc¸tiedesiguran¸t¼a)aunuisistem
tehnic¸sisenoteaz¼acuR(t)probabilitateacasistemuls¼a…eînstarede
func¸tionarelamomentult(saus¼afunc¸tionezef¼ar¼as¼asedefectezeuntimp
39
40 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
mailungdecâtt).AcestevenimentsescriesimbolicfT¸tg:Deci
R(t):=P(T¸t);t¸0: (2.1)
(Amnotatfunc¸tiade…abilitatecuR(t)dup¼aterminologiadinlimbaenglez¼aîn
carecuvântul„…abilitate”este„reliability”.)
VomnotacuF(t)func¸tiadereparti¸tieaacesteivariabilealeatoare,deci
F(t):=P(T<t);t¸0: (2.2)
Func¸tiade…abilitateR(t)sefolose¸steatuncicândsedore¸stedeterminarea
…abilit¼a¸tiisistemului,adic¼aaprobabilit¼a¸tiicasistemuls¼afunc¸tionezelamomen-
tuldetimpt;iarfunc¸tiadereparti¸tieF(t)sefolose¸steatuncicândsedore¸ste
determinareaprobabilit¼a¸tiicasistemuls¼asedefectezeînintervaluldetimp(0;t):
Deaceeafunc¸tiadereparti¸tieF(t)semainume¸ste¸sifunc¸tiadedefectaresau
dene…abilitateasistemului.
Înceleceurmeaz¼avompresupunec¼afunc¸tiadereparti¸tieF(t)estederivabil¼a
înoricepunctt¸0¸sivomnotacuf(t)derivatasa,adic¼a
f(t):=F0(t);t¸0: (2.3)
f(t)estedensitateadeprobabilitatesaudereparti¸tieavariabileialeatoare
T.Func¸tiaf(t);desprecarevompresupunec¼aestecontinu¼apedomeniuleide
de…ni¸tie[0;1);areurm¼atoarelepropriet¼a¸ti
f(t)¸0;8t¸0¸siZ1
0f(t)dt=1:
Înacestecondi¸tii,formula(1.16),cared¼aleg¼aturadintrefunc¸tiadereparti¸tie¸si
densitateadereparti¸tie,devine
F(t)=tZ
0f(u)du: (2.4)
Observa¸tia2.1.1Înintegralademaisus,¸sipestetotînceleceurmeaz¼a,amales
s¼anot¼amvariabiladeintegrarecuoliter¼a(uîncazuldefa¸t¼a)diferit¼adelimita
deintegrarenotat¼acut.Aceastanuînseamn¼ac¼adensitateadeprobabilitate
fnuarmai…func¸tiedetimp,cic¼atimpulpoate…notatcuu(saucuorice
alt¼aliter¼a)atâttimpcâtestevariabil¼adeintegrare.Înunelelucr¼ariseprefer¼a
folosireanota¸tieiF(t)=tR
0f(t)dt;pentruap¼astraliteratpentruparametrul
timp¸sisubsemnuldeintegral¼a.Aceast¼anota¸tieareurm¼atoareledou¼amari
dezavantaje:1)înaceea¸siformul¼aliterataredou¼asemni…ca¸tiidiferite:odat¼a
estelimit¼adeintegrare,iaralt¼adat¼aestevariabil¼adeintegrare;2)nusepoate
2.1.DEFINI¸TIAFIABILIT¼A¸TII 41
utilizaînprogrameledecalcul.Acestaldoileaargumentafostdecisivpentrua
alegenota¸tiafolosit¼aînformula(2.4),deoarececalculelenumerice¸sisimbolicedin
exempleleprezentateîncontinuareaufostf¼acutefolosindprogramulMathcad.
¤
¸Tinândseamac¼aevenimentelefT¸tg¸sifT<tgsuntevenimentecontrare
unulaltuia,ob¸tinem
R(t)=P(T¸t)=1¡P(T<t)=1¡F(t):
Deci,întrefunc¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tieavariabileialeatoare
Texist¼aîntotdeaunarela¸tia
R(t)=1¡F(t): (2.5)
Cumpentrufunc¸tiaF(t)arelocegalitatea(2.4),rezult¼ac¼afunc¸tiade…abilitate
R(t)sepoatecalculacuformula
R(t)=1Z
tf(u)du; (2.6)
atuncicândsecunoa¸stedensitateadereparti¸tief(t)avariabileialeatoareT.
Dinrela¸tiile(2.5)¸si(2.3)rezult¼ac¼a
R0(t)=¡f(t); (2.7)
adic¼a,derivata…abilit¼a¸tiiesteegal¼acuopusadensit¼a¸tiideprobabilitateavari-
abileialeatoareT:
Observa¸tia2.1.2Conformde…ni¸tiei,func¸tiadereparti¸tieF(t)reprezint¼apro-
babilitateadedefectareasistemuluiînintervalul(0;t):Spredeosebiredeaceasta,
func¸tiade…abilitateaR(t)reprezint¼aprobabilitateacaînintervalul(0;t)s¼anu
seproduc¼adefectareasistemului,adic¼aprobabilitateadebun¼afunc¸tionareasis-
temuluiînacestintervaldetimp.
Trebuieremarcatfaptulc¼aatâtfunc¸tiadereparti¸tieF(t);cât¸sifunc¸tiade
…abilitateR(t);serefer¼alaevenimentecareseproducsaucarenuseproduc
înintervaluldetimp(0;t);adic¼aînintervaluldetimpscursdelapunereaîn
func¸tiuneasistemului(t=0)pân¼alamomentult¸sinulaevenimentecarese
producexactlamomentult;a¸sacumarputeal¼asaimpresianota¸tiafolosit¼aF(t);
respectivR(t):¤
Propriet¼a¸tilefunc¸tieide…abilitate
Dinpropriet¼a¸tilegeneralealefunc¸tiilordereparti¸tie(asevedeasec¸tiunea1.5)
¸sidincondi¸tiaimpus¼acafunc¸tiadereparti¸tieF(t)s¼a…ederivabil¼apentruorice
t¸0;rezult¼aurm¼atoarelepropriet¼a¸tialefunc¸tieide…abilitateR(t):
42 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
1.R(t)esteofunc¸tiecontinu¼adetimp,pentruoricet¸0:
2.R(0)=1:Aceastaînseamn¼ac¼alamomentulini¸tial,cândsistemulestepus
înfunc¸tie,acestafunc¸tioneaz¼aînmodsigur,deciprobabilitateaevenimentului
fT¸0gesteegal¼acuunu.
3.limt!1R(t)=0:Dac¼atimpuldefunc¸tionarecre¸stefoartemult,atunci…abili-
tateasistemuluitindec¼atrezero.Cualtecuvinte,probabilitateacaunsistems¼a
func¸tionezedup¼aoperioad¼ain…nit¼adetimpestezero.
În…gura2.1esteredatgra…cultipicaluneifunc¸tiide…abilitate
0 1 2 3 41
Rt()
t
Fig.2.1:Gra…culuneifunc¸tiide…abilitate
Probabilitateacaunsistems¼asedefectezeîntr-unintervaldetimp[a;b]se
poatecalculafolosindunadintreurm¼atoareleformule:
P(a·T·b)=F(b)¡F(a); (2.8)
P(a·T·b)=R(a)¡R(b); (2.9)
P(a·T·b)=Zb
af(t)dt: (2.10)
Pentruailustramoduldeutilizarealacestorformuleprezent¼amurm¼atorul
exemplu.
Exemplul2.1.3Unmotoraredensitateadereparti¸tieatimpuluidefunc¸tionare
f¼ar¼adefectare(m¼asuratînoredefunc¸tionare)dat¼aderela¸tia
f(t)=( a
(at+1)2;dac¼at¸0;
0;încazcontrar,
undea=0;00005:
a)Careeste…abilitateamotoruluipentruodurat¼adefunc¸tionarede500de
ore?
2.2.CARACTERISTICINUMERICEALEFIABILIT¼A¸TII 43
b)Prinduratadevia¸taamotoruluivomîn¸telegenum¼aruldeoredefunc¸tionare
plani…catepân¼alamomentultRcândarelocprimadefectarecorespunz¼atoare
unei…abilit¼a¸tiidateR;adic¼aR(tR)=R:Câtdemaretrebuies¼a…edurata
devia¸t¼aamotoruluidac¼asedore¸stecaacestas¼a…eînc¼aînfunc¸tielasfâr¸situl
perioadeiplani…catecuoprobabilitatede0;98?
c)Careesteprobabilitateadedefectareamotoruluiînintervalulcuprinsîntre
1¸si10ore?Darînintervalulcuprinsîntre100¸si110deore?
Solu¸tie.a)Folosindformula(2.6)pentrucalculul…abilit¼a¸tii,avem
R(t)=1Z
tf(u)du=1Z
ta
(au+1)2du=¡1
(au+1)¯¯¯¯1
t=1
at+1:
Atunci
R(500)=1
a¢500+1=1
1;025=0;976:
Aceastaînseamn¼ac¼aprobabilitateacamotoruls¼a…eînc¼aînfunc¸tielasfâr¸situl
celor500deoredefunc¸tionareestede0;976:
b)Pentruar¼aspundelaadouaîntrebaresedetermin¼atRastfelîncât
R(tR)=0;98:Acestarevinelarezolvareaecua¸tiei1
0;00005¢tR+1=0;98:Un
calculsimpluarat¼ac¼atR»=408ore.
c)Pentruacalculaprobabilit¼a¸tilededefectareamotoruluiînintervalulde
timp[1;10];respectiv[100;110];folosimformula(2.9).Avem
P(1·T·10)=R(1)¡R(10)=1
1;00005¡1
1;0005»=0;00045:
P(100·T·110)=R(100)¡R(110)=1
1;005¡1
1;0055»=0;00049:¤
2.2Caracteristicinumericeale…abilit¼a¸tii
Fiabilitateasistemelorpoate…pus¼aîneviden¸t¼a¸sicuajutorulcaracteristicilor
numericeata¸satevariabileialeatoareT;timpuldefunc¸tionarepân¼alaprima
defectare.Acestecaracteristicisunt:valoareamedie,dispersia,abatereamedie
p¼atratic¼a¸sicuantilatimpuluidefunc¸tionare.(Pentrude…ni¸tiilegeneraleale
acestorno¸tiuniasevedeasec¸tiunea1.8).
Valoareamedieatimpuluidefunc¸tionaref¼ar¼adefectare,deciavariabilei
aleatoareT;este,conformde…ni¸tiei,dat¼adeformula
M(T):=Z1
0tf(t)dt:
44 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Demulteori,pentrusimpli…careascrierii,atuncicândnuestepericolulniciunei
confuzii,valoareamedieM(T)senoteaz¼asimplucum:Înteoria…abilit¼a¸tiipentru
valoareamedieavariabileiTsefolose¸stenota¸tiaMTTF,prescurtaredelaMean
TimeToFailure.Încontinuarevomadoptaaceast¼anota¸tie.
MTTF:=Z1
0tf(t)dt: (2.11)
Mediatimpuluidefunc¸tionaref¼ar¼adefectare,adic¼avaloareamedieavariabilei
aleatoareT;sepoateexprimacuajutorulfunc¸tieide…abilitateprinegalitatea
MTTF=Z1
0R(t)dt: (2.12)
Într-adev¼ar,¸tinândseamac¼af(t)=¡R0(t)¸siintegrândprinp¼ar¸ti,avem
MTTF=Z1
0tf(t)dt=Z1
0t(¡R0(t))dt=¡tR(t)j1
0+Z1
0R(t)dt:
Pentruob¸tinereaegalit¼a¸tiidoritetrebuies¼amaidemonstr¼amc¼alimt!1tR(t)=0:
Pentrut¸0;folosindexpresia(2.6)pentrufunc¸tiaR(t);avem:
0·tR(t)=t1Z
tf(u)du·1Z
tuf(u)du!0;pentrut!1;
deunderezult¼alimt!1tR(t)=0¸siegalitatea(2.12)estecompletdemonstrat¼a.
Observa¸tia2.2.1Interpretareavaloriimediiînteoria…abilit¼a¸tii
InterpretareavaloriimediiM(T)avariabileialeatoareTînteoria…abilit¼a¸tii
sistemelortrebuief¼acut¼aînfunc¸tiedenaturasistemului([2]).Dac¼asistemuleste
f¼ar¼areînnoire,atunciM(T)reprezint¼amediatimpuluidefunc¸tionarepân¼ala
defectareaunic¼aasistemului.(Înnota¸tieanglo-saxon¼aMTTF-MeanTimeTo
Failure.)
Lasistemelecureînnoire,M(T)sepoatereferi…elaintervaluldetimpscurs
delapornirepân¼alaprimadefectare,…elaoricarealtintervalcareîncepeodat¼a
cupunereaînfunc¸tiuneasistemului¸siseîncheiecudefectarealui.Înacestcaz
valoareaM(T)trebuieactualizat¼ala…ecarenou¼apunereînfunc¸tiuneasistemu-
lui,aceastaînsemnândc¼a,dinpunctdevedereal…abilit¼a¸tii,sistemulestemereu
altuldup¼a…ecarereînnoire.Dac¼aseconsider¼ac¼adup¼aefectuareareînnoiriisis-
temulesteaduslaparametriiini¸tiali,atuncivaloareaindicatoruluiM(T)este
aceea¸si,înoricecicludefunc¸tionareasistemului.Aceast¼aobserva¸tiejusti…c¼a
faptuldecevaloareamedieM(T)poate…interpretat¼acamedieatimpuluiscurs
delaprimapunereînfunc¸tiuneasistemuluipân¼alaprimadefectare(MTTFF
2.2.CARACTERISTICINUMERICEALEFIABILIT¼A¸TII 45
-MeanTimeToFirstFailure),dar¸sicamedieatimpuluiîntredefect¼arisucce-
sive(MTBF-MeanTimeBetweenFailures).Dac¼aprinprocedeuldereînnoire
sistemulesteadusînsitua¸tiadefunc¸tionaredarstareasaestedistinct¼adestarea
ini¸tial¼a,atunciestenecesar¼aodistinc¸tieîntreMTTFF¸siMTBF.
Discu¸tiademaisusarat¼ac¼avaloareamedieatimpuluidefunc¸tionare,care
areode…ni¸tiematematic¼aprecis¼adat¼adeformula(2.11),poateaveainterpret¼ari
diferiteînfunc¸tiedecondi¸tiiledeexploatarealesistemului.Încazulsistemelor
cureînnoire,dac¼adup¼areînnoiresistemuleste„canou”,atunciM(T)poate
…interpretatcaMTTFFsaucaMTBF.Dac¼adup¼areînnoiresistemulsufer¼a
modi…c¼ariaiparametrilorini¸tiali,atuncivaloareindicatoruluiM(T);interpretat¼a
caMTTF,trebuiereactualizat¼adup¼a…ecarereînnoire.¤
Altecaracteristicinumericeale…abilit¼a¸tiisuntmediana¸simodulasoci-
atevariabileialeatoareT:Acestecaracteristiciaufostde…niteînsec¸tiunea1.8.
Reamintim,pescurt,semni…ca¸tialor.
MedianavariabileialeatoareTreprezint¼atimpulmediandedefectare.
Senoteaz¼acutmed¸siestede…nit¼adeegalitatea
R(tmed)=0;5:
Dreaptat=tmedîmparteariacuprins¼aîntregra…culfunc¸tiededistribu¸tie
f(t)¸siaxaOtîndou¼ap¼ar¸tiegale(vezi…gura1.5).Aceastaînseamn¼ac¼a50%
dintredefect¼ariseproducînaintedetmed,iarrestulde50%dup¼atmed.Încazul
încaregra…culfunc¸tieidedistribu¸tieprezint¼aoasimetriepronun¸tat¼afolosirea
medianeiestedepreferatfolosiriivaloriimedii.
ModulvariabileialeatoareTreprezint¼atimpuldedefectarecelmaiprobabil
dea…observat.Senoteaz¼acutmod¸siestede…nitprin
f(tmod)=max0·t<1f(t):
Probabilitateadedefectareaunuisistemîntr-unintervaldetimpcentratîn
jurulmodului,(tmod¡";tmod+");este,îngeneral,maimaredecâtprobabilitatea
dedefectareîntr-unintervaldetimpdeaceea¸silungime,darcentratînjurulaltei
valoriatimpului,(t0¡";t0+"):
Pentruîn¸telegereautilit¼a¸tiacestorcaracteristicinumericeale…abilit¼a¸tiid¼am
urm¼atorulexemplu.
Exemplul2.2.2([7])Unsistemaredensitateadereparti¸tieatimpuluidefunc¸ti-
onaref¼ar¼adefectareTdat¼adeformula
f(t)=½0;002¢e¡0;002t;dac¼at¸0;
0; încazcontrar,
undetimpultestem¼asuratînore.
46 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Func¸tiade…abilitateaacestuisistemeste
R(t)=Z1
t0;002¢e¡0;002udu=¡e¡0;002u¯¯1
t=e¡0;002t:
Folosindformula(2.12)putemcalculamediatimpuluidefunc¸tionarepân¼ala
primadefectare:
MTTF=Z1
0R(t)dt=Z1
0e¡0;002tdt=¡1
0;002e¡0;002t¯¯¯¯1
0=1
0;002=500ore.
Timpulmediandedefectaretmedsedetermin¼arezolvândecua¸tia
R(tmed)=e¡0;002tmed=0;5:
Prinlogaritmareob¸tinemtmed=¡ln(0;5)
0;002=346;57ore.
Celedou¼acaracteristicinumericedeterminatepân¼aacum,valoareamedie,
MTTF=500ore,¸sitimpulmediandedefectare,tmed»=347ore,nearat¼a
c¼atimpulmediupân¼alaprimadefectareestede500deore,darc¼a50%din
defect¼ariaulocînaintede347deore,iarcelelalte50%seproducdup¼a347de
oredefunc¸tionare.
Pentruadeterminamodultimpuluidefunc¸tionaref¼ar¼adefectare,adic¼aa
aceleivaloritmodpentrucarefunc¸tiaf(t)î¸siatingevaloareamaxim¼apeintervalul
[0;1);deriv¼amfunc¸tiaf(t)=0;002¢e¡0;002t¸sirezolv¼amecua¸tia
f0(t)=¡(0;002)2e¡0;002t=0:Aceast¼aecua¸tie,echivalent¼acue¡0;002t=0,nu
aresolu¸tiireale.Deoarecef0(t)<0pe[0;1);func¸tiaf(t)estestricdescresc¼a-
toarepeacestinterval.Prinurmare,f(t)arevaloareamaxim¼aînt=0:Deci
tmod=0:¤
Caracteristicilenumericeale…abilit¼a¸tistudiatepân¼aacumnusuntsu…ciente
pentruadaoimaginecomplet¼aa…abilit¼a¸tiisistemuluiconsiderat.Pelâng¼a
acesteatrebuiecunoscut¸sigraduldeîmpr¼a¸stierealvalorilorvariabileialeatoare
Tpusîneviden¸t¼adedispersialuiT:
DispersiavariabileialeatoareTeste,conformde…ni¸tiei(1.20),
D2(T):=Z1
0(t¡m)2f(t)dt; (2.13)
cucondi¸tiacaintegralas¼a…econvergent¼a,undem=M(T)estevaloareamedie
aluiT:Pentrucalcululdispersieisefolose¸ste,deregul¼a,formula
D2(T)=Z1
0t2f(t)dt¡m2: (2.14)
2.2.CARACTERISTICINUMERICEALEFIABILIT¼A¸TII 47
Deducereaacesteiasefaceprinurm¼atorulcalculsimplu:
D2(T)=Z1
0(t¡m)2f(t)dt=Z1
0(t2¡2tm+m2)f(t)dt=
=Z1
0t2f(t)dt¡2mZ1
0tf(t)dt
|{z}
m+m2Z1
0f(t)dt
|{z}
1=Z1
0t2f(t)dt¡m2:
Lafelcaîncazulvaloriimedii,searat¼ac¼adispersiasepoateexprimacu
ajutorul…abilit¼a¸tiiprinformula
D2(T)=2Z1
0tR(t)dt¡m2: (2.15)
Într-adev¼ar,¸tinândseamac¼af(t)=¡R0(t)¸siintegrândprinp¼ar¸ti,ob¸tinem
D2(T)=Z1
0t2f(t)dt¡m2=Z1
0t2(¡R0(t))dt¡m2=
=¡t2R(t)¯¯1
0+2Z1
0tR(T)dt¡m2:
Lafelcaîndemonstra¸tiaformulei(2.12),searat¼ac¼adac¼aintegralaR1
0t2f(t)dt
esteconvergent¼aatuncilimt!1t2R(t)=0;ceeaceîncheiedemonstra¸tiavalabilit¼a¸tii
formulei(2.15).
Înloculdispersieisefolose¸stedemulteoriabatereamediep¼atratic¼a
¾:=D(T)=p
D2(T);
deoarecesem¼asoar¼aînacelea¸siunit¼a¸tidem¼asur¼aca¸sivalorilevariabileiT:Dis-
persia,D2(T);¸siabatereamediep¼atratic¼a,D(T);indic¼agraduldeuniformitate
aperforman¸telorindividualealeunorsistemedeacela¸sitipdinpunctdevedere
al…abilit¼a¸tii.Dac¼aprocesultehnologicderealizareasistemelorestebinepusla
punct,valoriledispersiei,¸siimplicitaleabateriimediip¼atratice,suntmici.
Unaltindicatorde…abilitateestecuantilatimpuluidefunc¸tionare,notat¼a
t®¸side…nit¼acar¼ad¼acin¼aaecua¸tiei
F(t®)=®:
Valoareat®esteinterpretat¼aînteoria…abilit¼a¸tiicatimpdegaran¸tie,adic¼atimpul
încarepropor¸tiadeelementedefectedintr-oanumit¼acolectivitatenudep¼a¸se¸ste
valoareaprestabilit¼a®:
Înexemplulcareurmeaz¼avompuneîneviden¸t¼aimportan¸tacunoa¸steriidis-
persieiînstudiul…abilit¼a¸tii.
48 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Exemplul2.2.3([7])Consider¼amdou¼asistemecarerealizeaz¼aacelea¸sifunc¸tii,
unulavândfunc¸tiade…abilitatedinexemplul2.2.2,iarceldealdoileaarefunc¸tia
de…abilitateR2(t)dat¼adeformula
R2(t)=1000¡t
1000;0·t·1000:
Pentruceldealdoileasistemcalcul¼amtimpulmediupân¼alaprimadefectare,
MTTF2;¸sitimpulmediandedefectare,tmed;2:Avem
MTTF2=Z1
0R2(t)dt=Z1000
01000¡t
1000dt=Z1000
0(1¡0;001t)dt=
=¡t¡0;0005t2¢¯¯1000
0=1000¡5¢10¡4¢¡103¢2
=500;
iardinecua¸tiaR(tmed;2)=0;5rezult¼atmed;2=500:
De¸sialdoileasistemareacela¸sitimpmediupân¼alaprimadefectareca¸si
primul,500deore,…abilitatealuiestediferit¼a.Deexemplu,timpulmediande
defectareînprimulcazeratmed;1=346;57ore.ÎnacestpunctR1(t)arevaloarea
0;5;pecândR2(346;57)=1000¡346;57
1000=0;65343.Concluziacaresepoate
tragedeaiciestec¼avaloareaMTTFnupoatecaracterizasingur¼a…abilitatea
sistemului.
S¼acalcul¼amacumdispersiapentruceledou¼asisteme.Folosindformula(2.15)
¸siintegrândprinp¼ar¸ti,înprimulcaz,ob¸tinem
¾2
1=2Z1
0tR1(t)dt¡MMTF2
1=2Z1
0te¡0;002tdt¡5002=
=2µ¡t
0;0002e¡0;002t¯¯¯¯1
0+1
0;002Z1
0e¡0;002tdt¶
¡5002=
=2µ
0¡1
(0;002)2e¡0;002t¯¯¯¯1
0¶
¡5002=2¢106
4¡5002=250:000:
Pentruceldealdoileasistemavem:R2(t)=1000¡t
1000;f(t)=¡R0(t)=1
1000
¸siMTTF2=500:Calcululdispersieiîlfacemfolosindformula(2.14).Atunci
¾2
2=Z1
0t2f(t)dt¡MTTF2
2=Z1000
0t2
1000dt¡5002=
=t3
3000¯¯¯¯1000
0¡5002=106
3¡5002=333:333;33¡250:000=83:333;33:
Deoareceabatereamediep¼atratic¼aînprimulcazeste¾1=500ore,iarîn
aldoileacaz¾2»=289ore,de¸sisistemeleauacela¸siMTTF;estedepreferatal
doileasistemdeoarecearedispersiamaimic¼a.¤
2.3.FUNC¸TIARISCDEDEFECTARE 49
2.3Func¸tiariscdedefectare
Unrolimportantînteoria…abilit¼a¸tiiîlarefunc¸tiacarem¼asoar¼arisculin-
stantaneudedefectarealunuisistemsaualuneicomponenteaacestuia.Pentrua
de…niaceast¼afunc¸tieconsider¼amevenimentele:A:=ft·T·t+¢tg;„sistemul
sedefecteaz¼aînintervaluldetimp[t;t+¢t]";unde¢t>0;¸siB:=fT¸tg;„sis-
temulfunc¸tioneaz¼af¼ar¼as¼asedefectezepân¼alamomentult":Evident,Aimplic¼a
B;ceeacesenoteaz¼aA½B:(Aceastaînseamn¼ac¼adac¼a¸stimc¼aprimade-
fectareasistemuluiseîntâmpl¼aînintervalul[t;t+¢t];atuncievidentc¼aacesta
afunc¸tionatf¼ar¼adefectarepân¼alamomentult:)Înconsecin¸t¼a,A\B=A:
Probabilitateacondi¸tionat¼acasistemuls¼asedefectezeînintervalul[t;t+¢t];
¸stiindc¼aafunc¸tionatf¼ar¼adefectarepân¼alamomentult;este
P(t·T·t+¢tjT¸t)=P(AjB)=P(A\B)
P(B)=
=P(A)
P(B)=P(t·T·t+¢t)
P(T¸t)=R(t)¡R(t+¢t)
R(t):
Pentruaseob¸tineratadefect¼arilordinintervalul[t;t+¢t]raportat¼ala
unitateadetimp,seîmparteaceast¼aprobabilitatecondi¸tionat¼ala¢t;lungimea
intervaluluiconsiderat,¸sisenoteaz¼acu¸(t;¢t):Deci
¸(t;¢t):=R(t)¡R(t+¢t)
R(t)¢t: (2.16)
¸(t;¢t)senume¸steratadefect¼arilordinintervalul[t;t+¢t]:Decelemaimulte
oriseomiteprecizarealungimiiintervaluluidetimpscriindu-sesimplu¸(t)înloc
de¸(t;¢t):
De…ni¸tie.Func¸tiariscinstantaneudedefectaresauhazarddede-
fectare,notat¼acuh(t);sede…ne¸stecalimitarateidedefectaredinintervalul
[t;t+¢t];¸(t;¢t);cândlungimeaintervalului¢t!0:Deci
h(t):=lim¢t!0¸(t;¢t)=lim¢t!0R(t)¡R(t+¢t)
R(t)¢t=(2.17)
=¡1
R(t)lim¢t!0R(t+¢t)¡R(t)
¢t=¡R0(t)
R(t);
ceeaceneconducelaoprim¼aformul¼apentruh(t)¸sianume
h(t)=¡R0(t)
R(t): (2.18)
¸Tinândseamaderela¸tiadat¼adeformula(2.7),i.e.,R0(t)=¡f(t);ob¸tinemo
formul¼adebaz¼adinteoria…abilit¼a¸tii
h(t)=f(t)
R(t): (2.19)
50 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Integrândrela¸tia(2.18)peintervalul[0;t]seob¸tine
tZ
0R0(u)
R(u)du=¡tZ
0h(u)du
sau
lnR(t)¡lnR(0)=¡tZ
0h(u)du:
DeoareceR(0)=1;decilnR(0)=0;dinegalitateademaisusrezult¼a
R(t)=exp0
@¡tZ
0h(u)du1
A: (2.20)
Aceastaesteexpresiamatematic¼aceamaigeneral¼aa…abilit¼a¸tiipentrutoate
func¸tiilehazardposibile.Eaarat¼ac¼aofunc¸tiehazarddedefectaredetermin¼aîn
modunicofunc¸tiede…abilitate.
Observa¸tia2.3.1Utilizareafunc¸tiilor¸(t)¸sih(t)înteoria…abilit¼a¸tii
De¸si,dup¼acumsepoateobservadinrela¸tiile(2.16)¸si(2.17)ratadedefectare
asistemului¸(t),saumaiprecis¸(t;¢t);¸sifunc¸tiahazarddedefectaresaurata
instantaneededefectare,h(t),suntdiferitedinpunctdevederematematicele
seutilizeaz¼a,decelemaimulteori,cuaceea¸sisemni…ca¸tieînpractica…abilit¼a¸tii
inginere¸sti.Încontinuarevomfolosiaceast¼aconven¸tietacit¼adeanuinsista
mereuasupradiferen¸teidintreceledou¼afunc¸tii.Conven¸tiaî¸siarejusti…careaîn
faptulc¼apentruvalorimicialelui¢tputemconsiderah(t)»=¸(t):
Pentruaîn¸telegediferen¸tadintreceledou¼afunc¸tiid¼amurm¼atorulexemplu:o
persoan¼afaceoexcursiecuautomobilulparcurgând300kmînpatruore.Viteza
mediecucares-adeplasatestede75km/or¼a,de¸siînunelemomenteamersmai
repedeiarînaltelemaiîncet.Vitezaîn…ecaremomentaldeplas¼ariis-ar…putut
determinadac¼acinevanotavitezapecareoar¼atavitezometrulautomobiluluiîn
acelmoment.Cei75km/or¼asuntanalogulrateidedefectare,iarvitezaîn…ecare
momentaldeplas¼ariiesteanalog¼afunc¸tieihazarddedefectare.([18])¤
Exemplul2.3.2Unsistemtehnicarefunc¸tiahazarddedefectaredat¼adere-
la¸tia
h(t)=at2;
undea=10¡6;iartimpult¸0estem¼asuratînore.
Câtdemaretrebuies¼a…eduratadevia¸t¼aasistemului(i.e.,num¼aruldeorede
func¸tionareplani…cate),dac¼asedore¸stecaacestas¼a…eînc¼aînfunc¸tielasfâr¸situl
perioadeiplani…catecuoprobabilitatede0;97?
2.4.FIABILITATECONDI¸TIONAT¼A 51
Solu¸tie.Func¸tiade…abilitateasistemului,dat¼adeformula(2.20),este
R(t)=expµ
¡aZt
0u2du¶
=expÃ
¡au3
3¯¯¯¯t
0!
=expµ
¡t3
3¢106¶
:
Pentruadeterminanum¼aruldeoredefunc¸tionareplani…cateastfelcalasfâr¸si-
tulacesteiperioadeprobabilitateadefunc¸tionareasistemuluis¼a…e0;97tre-
buierezolvat¼aecua¸tiaR(t)=0;97:FolosindprogramulMathcadob¸tinemsolu¸tia
t0;98»=45ore.¤
2.4Fiabilitatecondi¸tionat¼a
Fiabilitateacondi¸tionat¼asefolose¸stepentruaprevedeacucâtsepoateîm-
bun¼at¼a¸ti…abilitateaunuisistemdac¼aseintroduceunintervaldetimp(0;t0)în
caresistemulestesupravegheatpentruofunc¸tionarecorect¼asaucaoperioad¼a
degaran¸tie(0;t0):
Prin…abilitatecondi¸tional¼ademomentult0aunuisistem,notat¼a
R(tjt0),seîn¸telegeprobabilitateacasistemuls¼afunc¸tionezeînintervalulde
timp[t0;t0+t);t>0;dac¼aafunc¸tionatf¼ar¼adefectarepân¼alamomentult0:
R(tjt0):=P(T¸t0+tjT¸t0)=R(t0+t)
R(t0)=expµ
¡t0+tR
0h(u)du¶
expµ
¡t0R
0h(u)du¶=
=exp0
@¡t0+tZ
0h(u)du+t0Z
0h(u)du1
A=exp0
@¡t0+tZ
t0h(u)du1
A:
Prinurmare,…abilitateacondi¸tionat¼ademomentult0estedat¼aderela¸tia
R(tjt0)=R(t0+t)
R(t0)(2.21)
sau,atuncicândsecunoa¸stefunc¸tiahazarddedefectareh(t);deformula
R(tjt0)=exp0
@¡t0+tZ
t0h(u)du1
A: (2.22)
Fiabilitateacondi¸tionat¼aaunuisistemcre¸stecafunc¸tiedet0dac¼a¸sinumai
dac¼afunc¸tiahazarddedefectareestedescresc¼atoare.
52 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Într-adev¼ar,derivataînraportcut0afunc¸tieiR(tjt0)estedat¼aderela¸tia
dR(tjt0)
dt0=exp0
@¡t0+tZ
t0h(u)du1
A¢d
dt00
@¡t0+tZ
t0h(u)du1
A=
=R(tjt0)¢(¡h(t0+t)+h(t0));
deundeseobserv¼ac¼aestestrictpozitiv¼adac¼a¸sinumaidac¼ah(t0)>h(t0+t):
Exemplul2.4.1Unsistemarefunc¸tiahazarddedefectaredat¼aderela¸tia
h(t)=1
100p
t;
undetimpult>0estem¼asuratînani.Deoareceh0(t)=¡1
200p
t3<0;pentru
t>0;func¸tiahazarddedefectareestedescresc¼atoarepe(0;1);ceeacearat¼ac¼a
…abilitateacondi¸tionat¼aR(tjt0)estecresc¼atoareînfunc¸tiedemomentult0.
Func¸tiade…abilitateasistemuluieste
R(t)=exp0
@¡tZ
0h(u)du1
A=exp0
@¡tZ
01
100pudu1
A=expµ¡1
50p
t¶
:
Pentruadeterminacareesteduratadevia¸t¼aasistemuluipentruo…abilitate
de0;95serezolv¼aecua¸tiaR(t)=0;95:FolosindprogramulMathcadseob¸tine
t»=6;58ani.
Dac¼aimpunemoperioad¼adeojum¼atatedeandetestare,ceeaceînseamn¼a
t0=0;5;atuncifunc¸tiade…abilitatecondi¸tionat¼ademomentult0este
R(tj0;5)=R(t+0;5)
R(0;5)=exp¡¡1
50pt+0;5¢
exp¡¡1
50p0;5¢=expµ1
50³p
0;5¡p
t+0;5´¶
:
Pentruadeterminacareesteduratadevia¸t¼aasistemuluiînacestcaz,p¼astrând
aceea¸si…abilitatede0;95;serezolv¼aecua¸tiaR(tj0;5)=0;95:Apelânddinnou
laMathcad,seob¸tinet»=10;20ani.Deci,dac¼asistemulafunc¸tionatf¼ar¼ade-
fectare0;5ani,atunciduratadeviat¼aprev¼azut¼apentruo…abilitatede0;95
cre¸stecuaproximativ3;62ani.¤
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 53
2.5Legidereparti¸tieafunc¸tieide…abilitate
2.5.1Legeaexponen¸tial¼a
Decelemaimulteori,gra…culfunc¸tieiempiriceriscdedefectare,ob¸tinut
prinprelucrareadatelorstatistice,estedeformadin…gura2.2.
Fig.2.2:Func¸tiaempiric¼ariscdedefectare(„cad¼adebaie”)
Dup¼acumseobserv¼aînacestgra…c,înexploatareaunuisistemtehnicexist¼a
treiperioadedistincte.
1.Perioadaderodajesteperioadapân¼alamomentuldetimpt1:Risculde
defectaredescre¸steodat¼acutimpul.Înmomentulpuneriiînstaredefunc¸tionare
asistemuluiînceps¼asemanifesteviciiledefabrica¸tieascunse.Risculdedefectare
estemaimicdup¼atrecereaunuitimpdeladareaînexploatare.
2.Perioadadefunc¸tionarenormal¼aesteperioadadintremomentelede
timpt1¸sit2.Dup¼atrecereaperioadeiderodaj,urmeaz¼aoperioad¼aîncareriscul
dedefectaresestabilizeaz¼a¸sipracticesteconstant,decinudepindedetimp.
3.Perioadadeîmb¼atrânireaechipamentuluiesteperiodadedup¼amomen-
tuldetimpt2.Subin‡uen¸taunorfactori…zici¸sichimicielementelesistemului
sedegradeaz¼aireversibil¸sirisculdedefectarecre¸steodat¼acutrecereatimpului.
Dac¼aseconsider¼acamomentini¸tialmomentult1încaresetermin¼aperioada
rodajului¸siîncepeperioadadefunc¸tionarenormal¼a,olung¼aperioad¼adetimp
risculdedefectareva…practicconstant.Demulteorinusep¼atrundepreaadânc
niciînceadeatreiaperioad¼a,echipamentul…indînlocuitînscopulprevenirii
avariilorsauauzuriimoraleînaintecaels¼adevin¼aincapabils¼amaifunc¸tioneze.
54 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Dac¼afunc¸tiariscdedefectareesteconstant¼a…indegal¼acu¸>0
h(t)=¸;t¸0;
atunci,înbazaexpresieigeneralea…abilit¼a¸tiidat¼adeformula(2.20),seob¸tine
R(t)=exp0
@¡tZ
0h(u)du1
A=exp0
@¡tZ
0¸du1
A=exp¡
¡¸ujt
0¢
=e¡¸t;t¸0:
Func¸tiadereparti¸tieadurateidefunc¸tionaref¼ar¼adefectareT,conformrela¸tiei
(2.5)estedat¼adeegalitateaF(t)=1¡R(t);ceeaceînseamn¼ac¼aprobabilitatea
dedefectarepân¼alamomentultareînacestcazexpresia
F(t)=1¡e¡¸t;t¸0:
Atunci,densitateadereparti¸tieavariabileialeatoareTeste
f(t)=¡dR(t)
dt=¸e¡¸t:
Egalitateademaisusarat¼ac¼avariabilaaleatoareTaredistribu¸tieexpo-
nen¸tial¼adeparametru¸(vezisubsec¸tiunea1.9).
Pentrucalculareatimpuluimediudefunc¸tionare,adic¼aavaloriimediia
variabileialeatoareT;folosimformula(2.12).Avem
MTTF=Z1
0R(t)dt=Z1
0e¡¸tdt=¡1
¸e¡¸t¯¯¯¯1
0=1
¸:
Deci
MTTF=1
¸; (2.23)
ceeaceînseamn¼ac¼adac¼avariabilaaleatoareTurmeaz¼alegeaexponen¸tial¼ade
parametru¸;atuncitimpulmediudefunc¸tionareesteegalcu1
¸:Înconsecin¸t¼a,
func¸tiariscdedefectareesteconstant¼a¸si
h(t)=1
MTTF:
Aceastaegalitatearat¼ac¼a,încazulîncarevariabilaaleatoareTurmeaz¼alegea
exponen¸tial¼a,func¸tiariscdedefectareesteconstant¼a¸siegal¼acuinversultimpului
mediudefunc¸tionare.Deacea,încazuldistribu¸tieiexponen¸tiale,func¸tiade
…abilitatesescrie¸sisubforma
R(t)=expµ¡t
MTTF¶
: (2.24)
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 55
Pentrut=MTTFseob¸tine
R(MTTF)=e¡MTTF=MTTF=e¡1=0;368:
Egalitateademaisusarat¼ac¼a,încazuldistribu¸tieiexponen¸tiale,probabilitatea
casistemuls¼anusedefectezepân¼alaatingereatimpuluimediudec¼adereestecu
pu¸tinmaimareca1
3:
Demulteorisunteminteresa¸tidevaloareaacesteifunc¸tiipentruuntimp
tmultmaimicdecâtvaloareatimpuluimediudefunc¸tionare,(nota¸tiet<<
MTTF);ceeacenepermites¼aconsider¼amc¼avaloarearaportuluit
MTTFeste
foartemic¼a.¸Tinândseamadedezvoltareaînserieafunc¸tieiexponen¸tiale
ex=1+x+x2
2!+¢¢¢+xn
n!+¢¢¢;pentruxsu…cientdemic,avemaproximarea
ex»=1+x:Folosindaceast¼aformul¼aîncazult<<MTTF;putemaproxima
func¸tiade…abilitatecurela¸tia
R(t)»=1¡t
MTTF: (2.25)
Aproapetoateformuleledinteoria…abilit¼a¸tiisistemelortehnicesesimpli…c¼a
dintr-odat¼aîncazullegiiexponen¸tiale.Cauzaprincipal¼aaacestuilucrucon-
st¼aînfaptulc¼alegeaexponen¸tial¼aa…abilit¼a¸tiiposed¼aurm¼atoareaproprietate
important¼a:probabilitateadefunc¸tionarepeunintervaldat(t0;t0+t)nude-
pindedetimpuldefunc¸tionareprecedentt0cinumaidelungimeaintervaluluit.
Într-adev¼ar,dac¼asistemulafunc¸tionatpân¼alamomentult0;probabilitateade
func¸tionarepeintervalul(t0;t0+t);adic¼aP(T¸t0+tjT¸t0);este…abilitatea
condi¸tionat¼ademomentult0;adic¼a,R(tjt0):Folosindformula(2.22)încare
¸tinemseamac¼ah(u)=¸;avem
R(tjt0)=exp0
@¡t0+tZ
t0¸du1
A=exp£
¡¸ujt0+t
t0¤
=exp(¡¸t)=R(t):
Cualtecuvinte,faptulc¼asistemulafunc¸tionatcorectînperioadadetestare(0;t0)
nuarenicioin‡uen¸taasupra…abilit¼a¸tiisistemului¸sinuvaîmbun¼at¼a¸ti…abili-
tateaînviitor.Fiabilitateadepindenumaidelungimeatimpuluidefunc¸tionare
observatt¸sinudevârstacurent¼at0:Pescurt,comportareasistemuluiîn
viitornudepindedetrecut.
Aceast¼aproprietateestecaracteristic¼alegiiexponen¸tiale.Sepoatedemonstra
¸sia…rma¸tiareciproc¼a:dac¼aR(tjt0)=R(t);i.e.,…abilitateanudepindedet0,
atuncivariabilaaleatoareTaredistribu¸tiaexponen¸tial¼a([11],pag.135-136).
PentrucalcululdispersieivariabileialeatoareTfolosimformula(2.15):
¾2=2Z1
0tR(t)dt¡m2=2Z1
0te¡¸tdt¡1
¸2:
56 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Uncalculsimplu,utilizânddedou¼aoriformuladeintegrareprinp¼ar¸ti,arat¼ac¼a
¾2=1
¸2:
Legeaexponen¸tial¼aestefoartefrecvent¼aînteoria…abilit¼a¸tiipentruc¼aesteo
legenatural¼adinpunctdevedere…zic,estesimpl¼a¸sicomoddefolosit.
2.5.2Legeanormal¼a
Unsistemtehnicestesupus,deregul¼a,ladou¼atipuridedefec¸tiuni:
a)Defec¸tiuninea¸steptatecucaracteraleatoriu.Acesttipdedefec¸tiunisunt
descrisesu…cientdebinedelegeaexponen¸tial¼a.
b)Defec¸tiuni„treptate”,datoratefenomenuluideîmb¼atrânireaelementului
respectiv.
Tipuldedefec¸tiuni„treptate”datoratefenomenelordeoboseal¼a¸siîmb¼atrânire
suntdescrisesu…cientdebinedelegeanormal¼a.
DensitateadeprobabilitatealegiinormaleN(m;¾)areexpresiadat¼adefor-
mula(1.28)
f(t;m;¾)=1
¾p
2¼exp"
¡1
2µt¡m
¾¶2#
;t2R:(2.26)
undeparametriim¸si¾2suntvaloareamedie,respectivdispersia.
Conformrela¸tiei(1.34),cared¼aleg¼aturaîntrefunc¸tiadereparti¸tieaunei
variabilealeatoarecareurmeaz¼alegeanormal¼aN(m;¾)¸sifunc¸tialuiLaplace,
avem
F(t)=©µt¡m
¾¶
;
unde
©(t)=1p
2¼tZ
¡1e¡u2
2du
estefunc¸tialuiLaplace(func¸tiadereparti¸tieauneivariabileialeatoarecare
urmeaz¼alegeanormal¼astandardN(0;1)).
Atunci,pentrucalcululfunc¸tieide…abilitateob¸tinemexpresia
R(t)=1¡F(t)=1¡©µt¡m
¾¶
: (2.27)
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 57
Func¸tiahazarddedefectare,caresedetermin¼apebazarela¸tiei(2.19),are
expresia
h(t)=f(t)
R(t)=f(t)
1¡©¡t¡m
¾¢:
În…gurile2.3¸si2.4suntilustrategra…cdensitateadeprobabilitate,f(t),
func¸tiadereparti¸tie,F(t),func¸tiade…abilitate,R(t);¸sifunc¸tiahazarddede-
fectare,h(t);încazullegiinormalecuparametriim=3¸si¾1=1;respectiv
¾2=0;5:
Fig.2.3:Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiinormale
pentrum=3¸si¾1=1;¾2=0;5
Fig.2.4:Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiinormale
pentrum=3¸si¾1=1;¾2=0;5
58 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Exemplul2.5.1Ungeneratordecurentelectricurmeaz¼alegeadedistribu¸tie
normal¼acuparametriim=400ore¸si¾=50ore.Determina¸ticareeste…a-
bilitateageneratoruluipentruodurat¼adevia¸t¼a(saupentruoperioad¼adetimp
înaintedementenan¸t¼a)de350deore¸sicareestevaloareafunc¸tieihazardde
defectarela300oredefunc¸tionare.
Solu¸tie.Pentrudeterminarea…abilit¼a¸tiifolosimformula(2.27).Conform
acesteiaavem
R(350)=1¡©µ350¡400
50¶
=1¡©(¡1)=1¡0;159=0;841:
Deci,dup¼a350deoredefunc¸tionareprobabilitateadefunc¸tionaref¼ar¼adefectare
ageneratoruluiestede0;841.
Pentrudeterminareafunc¸tieihazarddedefectarefolosimformulah(t)=f(t)
R(t):
Lafelcamaisus,calcul¼am…abilitatea
R(300)=1¡©µ300¡400
50¶
=1¡©(¡2)=1¡0;023=0;977:
Densitateadeprobabilitateestedat¼adeformula(2.26),careîncazuldefa¸t¼aeste
f(300)=1
50¢p
2¼exp"
¡1
2µ300¡400
50¶2#
=0;00108:
Atunci
h(300)=f(300)
R(300)=0;00108
0;977=0;0011defec¸tiunipeor¼a.¤
Func¸tiade…abilitatesepoatedetermina¸sicuajutorulformulei
R(t)=1p
2¼1Z
t¡m
¾expµ
¡x2
2¶
dx: (2.28)
Într-adev¼ar,¸tinândseamadeexpresiafunc¸tieidereparti¸tie
F(t)=1
¾p
2¼tZ
¡1exp"
¡1
2µt¡m
¾¶2#
du
¸sidefaptulc¼a
1
¾p
2¼1Z
¡1exp"
¡1
2µt¡m
¾¶2#
du=1;
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 59
efectuândschimbareadevariabil¼ax=u¡m
¾;ob¸tinem
R(t)=1¡F(t)=
=1
¾p
2¼1Z
texp"
¡1
2µu¡m
¾¶2#
du=1p
2¼1Z
t¡m
¾expµ
¡x2
2¶
dx:
Consider¼amacumunsistemîncarepotap¼areadefec¸tiuninea¸steptate,darîn
paralelexist¼aposibilitateaproduceriiunordefec¸tiunitreptatedatorit¼afenomenu-
luideîmb¼atrânireasistemuluirespectiv,dac¼apân¼alaproducereaacesteidefec¸ti-
uninus-aprodusunanea¸steptat¼a([6]).Unastfeldesistemsepoateconsideraca
…indalc¼atuitdindou¼ap¼ar¸ti,înunaputânds¼aapar¼anumaidefec¸tiuninea¸step-
tate,iarîncealalt¼anumaidefec¸tiunitreptate.Sistemulfunc¸tioneaz¼apân¼ala
producereaprimeidefec¸tiuni.Dac¼aR1(t)esteprobabilitateacalamomentult
s¼anu…ap¼arutodefec¸tiunenea¸steptat¼a,iarR2(t)esteprobabilitateacalaacest
moments¼anu…ap¼arutodefec¸tiunetreptat¼a,atunci,presupunândc¼adefec¸tiu-
nileaparindependentunadealta,ob¸tinemc¼afunc¸tiade…abilitateasistemului,
R(t);esteegal¼acu
R(t)=R1(t)¢R2(t)=e¡¸t¢1p
2¼1Z
t¡m
¾e¡x2
2dx:
Pentruob¸tinereaformuleidemaisusampresupusc¼adefec¸tiunilenea¸steptate
urmeaz¼alegeaexponen¸tial¼adeparametru¸>0,iarceletreptateurmeaz¼alegea
normal¼aN(m;¾):Atunci,înbazaformulei(2.12),timpulmediudevia¸t¼aalaces-
tuisistemeste
Tmed=1Z
0R(t)dt=1Z
00
BBBBB@e¡¸t¢1p
2¼1Z
t¡m
¾e¡x2
2dx1
CCCCCAdt:
60 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Pentrucalcululintegraleiefectu¼amschimbareadevariabil¼az=t¡m
¾:Ob¸tinem
Tmed=¾1Z
¡m
¾e¡¸¾z¡¸m¢0
B@1p
2¼1Z
ze¡x2
2dx1
CAdt=
=¾¢e¡¸m1Z
¡m
¾e¡¸¾z¢0
B@1p
2¼1Z
ze¡x2
2dx1
CAdt
¸siapoiintegr¼amprinp¼ar¸ti.Avem
Tmed=¾¢e¡¸m¢2
66664¡1
¸¾e¡¸¾z¢1p
2¼1Z
ze¡x2
2dx¯¯¯¯¯¯¯z=1
z=¡m
¾¡1
¸¾1Z
¡m
¾e¡¸¾z¡z2
2dz3
77775
=1
¸e¡¸m¡¸¾Ã
¡m
¾!
¢1p
2¼1Z
¡m
¾e¡x2
2dx¡e¡¸m
¸¢1p
2¼1Z
¡m
¾e¡¸¾z¡z2
2dz:
Desprevalorilemediialecelordou¼alegidereparti¸tie,exponen¸tial¼a¸sinormal¼a,m
¸sirespectiv1
¸;vompresupunec¼aauacela¸siordindem¼arime.Înplus,vompre-
supunec¼alaapari¸tiadefec¸tiunilortreptatedispersia¾estemultmaimic¼adecât
valoareamediem(scrieresimbolic¼a¾<<m);ceeacenepermites¼aconsider¼am
integraleledemaisusca…inddela¡1la+1:Atunciprimaintegral¼aesteegal¼a
cu1;iaradouasecalculeaz¼aastfel
1p
2¼1Z
¡1e¡¸¾z¡z2
2dz=1p
2¼1Z
¡1e¡(z+¸¾)2
2+(¸¾)2
2dz=
=e(¸¾)2
2¢1p
2¼1Z
¡1e¡(z+¸¾)2
2dz=e(¸¾)2
2:
În…nal,ob¸tinemformula
Tmed=1
¸0
B@1¡e¡¸m+¸2¾2
21
CA:
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 61
2.5.3Legealognormal¼a
Ovariabil¼aaleatoarecontinu¼a¸sipozitiv¼aTurmeaz¼alegealognormal¼a
dac¼alogaritmuls¼au,lnT;urmeaz¼alegeanormal¼acuvaloareamediem¸siabaterea
mediep¼atratic¼a¾:Densitateadeprobabilitateauneiastfeldevariabilealeatoare
estedat¼adefunc¸tia
f(t):=1p
2¼¾texp"
¡1
2µlnt¡m
¾¶2#
;t>0;(2.29)
undemesteparametruldescal¼aiar¾indic¼aformadistribu¸tiei.
Valoareamedieestedat¼adeformula
M(T)=expµ
m+¾2
2¶
; (2.30)
iardispersiaareexpresia
D2(T)=exp¡
2m+2¾2¢
¡exp(2m+¾2): (2.31)
Distribu¸tialognormal¼aesteutilizat¼aînanaliza…abilit¼a¸tiisemiconductorilor
¸siadurateilaoboseal¼a([18]).Deasemenea,distribu¸tialognormal¼aestefolosit¼a
înanalizamentenan¸teisistemelortehnice,dup¼acumsevavedeaîncapitolul
urm¼ator.
Func¸tiadereparti¸tiealegiilognormaleestedat¼adeformula
F(t):=1
¾p
2¼tZ
01
uexp"
¡1
2µlnu¡m
¾¶2#
du:
Efectuândschimbareadevariabil¼az=lnt¡m
¾ob¸tinemleg¼aturadintrefunc¸tia
dereparti¸tieadistribu¸tieilognormale¸sifunc¸tialuiLaplace©(x)de…nit¼aprin
formula(1.31).Maiprecis,avem
F(t)=1p
2¼lnt¡m
¾Z
¡1expµ¡z2
2¶
dz=©µlnt¡m
¾¶
:(2.32)
Atuncifunc¸tiade…abilitateîncazullegiilognormaleestedat¼aderela¸tia
R(t)=1¡F(t)=1¡©µlnt¡m
¾¶
; (2.33)
iarfunc¸tiahazarddedefectare,h(t);areexpresia
h(t)=f(t)
R(t)=1p
2¼exph
¡1
2¡lnt¡m
¾¢2i
¾t£
1¡©¡lnt¡m
¾¢¤: (2.34)
62 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Utilizândformula(2.32),seobserv¼ac¼aF(em)=©µlnem¡m
¾¶
=©(0)=
0:5;ceeacearat¼ac¼amedianavariabileialeatoareTcareurmeaz¼adistribu¸tia
lognormal¼aesteegal¼acuem:Deci
tmed=em:
Folosindaceast¼aegalitatedensitateadeprobabilitate,dat¼adeformula(2.29),
sepoatescriesubforma
f(t)=1p
2¼¾texp"
¡1
2µln(t=tmed)
¾¶2#
;t>0;(2.35)
iarexpresiafunc¸tieidereparti¸tie(2.32)devine
F(t)=©µ1
¾lnt
tmed¶
: (2.36)
Înmodsimilarsepottransforma¸sicelelalteexpresiialefunc¸tieide…abilitate,
hazarddedefectare,valoaremediesaudispersie.Men¸tion¼ammaijosnumaiforma
valoriimedii
M(T)=tmedexpµ¾2
2¶
: (2.37)
În…gurile2.5¸si2.6suntilustrategra…cdensitateadeprobabilitate,f(t),
func¸tiadereparti¸tie,F(t),func¸tiade…abilitate,R(t);¸sifunc¸tiahazarddede-
fectare,h(t);încazullegiilognormalecuparametriim=1¸si¾1=0;2;¾2=1¸si
¾3=2:
Exemplul2.5.2([18])S-aobservatc¼adefect¼arilecauzatedeobosealametalului
lao¸teav¼adetunseproducînconcordan¸t¼aculegeadedistribu¸tielognormal¼acu
m=7¸si¾=2.Determina¸ti…abilitatea¸teviidetunpentruomisiunede1000de
salve¸sivaloareafunc¸tieihazarddedefectarela800desalve.(Înacestexemplu,
variabilatestenum¼aruldesalve.)
Pentrucalculul…abilit¼a¸tiifolosimformula(2.33).Avem
R(1000)=1¡©µln1000¡7
2¶
=1¡©(¡0;046)=1¡0;482=0;518:
Înmodanalog,…abilitateala800desalveeste
R(800)=1¡©µln800¡7
2¶
=1¡©(¡0;158)=1¡0;437=0;563:
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 63
Fig.2.5:Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiilognormale
pentrum=1¸si¾1=0;2;¾2=1;¾3=2
Fig.2.6:Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiilognormale
pentrum=1¸si¾1=0;2;¾2=1;¾3=2
64 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Densitateadedistribu¸tiealegiilognormaledat¼adeformula(2.29),pentru
t=800;este
f(800)=1
2¢p
2¼¢800exp"
¡1
2µln800¡7
2¶2#
=0;00025:
Atuncifunc¸tiahazarddedefectarearevaloarea
h(800)=f(800)
R(800)=0;00025
0;563=0;00044
defect¼aripesalv¼a.¤
2.5.4LegeaGamma
LegeaGamma,saudistribu¸tiaGamma,estefolosit¼aînteoria…abilit¼a¸tiiîn
acelecazurileîncarepotexistadefec¸tiunipar¸tiale.Aceastaînseamn¼ac¼aînainte
dec¼adereasistemuluiaulocunnum¼ardec¼aderipar¸tiale,ceeaceseîntâmpl¼ala
sistemeleredundante.Distribu¸tiaGammasemaiutilizeaz¼apentrucazulceleide
adouadefect¼ari,atuncicânddefectareasistemuluiestedistribuit¼aexponen¸tial.
Densitateadedistribu¸tiealegiiGammaeste
f(t)=¸
¡(p)(¸t)p¡1e¡¸t;t>0; (2.38)
unde:
¡¸=m
¾2¸sip=¸m;
¡mestevaloareamedie;
¡¾abatereamediep¼atratic¼a;
¡iar¡(p)estefunc¸tiaGamma(Pentrude…ni¸tia¸sipropriet¼a¸tilefunc¸tiei
¡(p)sepoateconsultaAppendix-ulA).
Parametrul¸reprezint¼aratadefect¼arilorpentrudefectareacomplet¼a,iarp
estenum¼aruldefect¼arilorpar¸tialepân¼aladefectareacomplet¼asaunum¼aruleveni-
mentelorcaregenereaz¼adefectarea.
Dac¼ap¡1esteunîntregpozitiv,atunci¡(p)=(p¡1)!:Înacestcaz,func¸tia
f(t)areexpresia
f(t)=¸
(p¡1)!(¸t)p¡1e¡¸t: (2.39)
Aceast¼asitua¸tieseîntâlne¸stedestuldefrecventînaplica¸tii,maialesîncazurile
dedefect¼aripar¸tiale.Pentrup=1seob¸tinef(t)=e¡¸t,ceeacearat¼ac¼aînacest
cazdistribu¸tiaGammaestedistribu¸tiaexponen¸tial¼a.
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 65
Încazuldistribu¸tieiGamma,func¸tiiledereparti¸tie,…abilitate¸sihazardde
defectaresuntdatedeformuleledemaijos
F(t)=¸p
¡(p)Zt
0up¡1e¡¸udu; (2.40)
R(t)=¸p
¡(p)Z1
tup¡1e¡¸udu; (2.41)
h(t)=tp¡1e¡¸t
R1
tup¡1e¡¸udu: (2.42)
În…gurile2.7¸si2.8suntilustrategra…cdensitateadeprobabilitate,f(t),
func¸tiadereparti¸tie,F(t),func¸tiade…abilitate,R(t);¸sifunc¸tiahazarddede-
fectare,h(t);încazuldistribu¸tieiGammapentru¸=3¸sidiferitevalorialelui
p:p1=2;p2=1;p3=0;5:
Fig.2.7:Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiiGamma
pentru¸=3¸sip1=2;p2=1;p3=0;5
Dac¼apesteunnum¼arnatural,atuncifunc¸tiade…abilitatesepoatescriesub
forma
R(t)=µp¡1P
k=0(¸t)k
k!¶
e¡¸t;p=1;2;:::: (2.43)
Pentruademonstraaceast¼arela¸tie,not¼amcuRp(t)func¸tiade…abilitatedat¼a
66 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.8:Func¸tiadereparti¸tie¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiiGamma
pentru¸=3¸sip1=2;p2=1;p3=0;5
deformula(2.41)¸siefectu¼amointegrareprinp¼ar¸ti.
Rp(t)=¸p
(p¡1)!·
¡1
¸up¡1e¡¸u¯¯¯¯1
t+p¡1
¸Z1
tup¡2e¡¸udu¸
=
=(¸t)p¡1
(p¡1)!e¡¸t+¸p¡1
(p¡2)!Z1
tup¡2e¡¸udu=(¸t)p¡1
(p¡1)!e¡¸t+Rp¡1(t):
Seob¸tineastfelrela¸tiaderecuren¸t¼a
Rp(t)=(¸t)p¡1
(p¡1)!e¡¸t+Rp¡1(t):
Aplicândaceast¼arela¸tiesuccesiv,pentrup;p¡1;:::;2;¸sitinândîn…nalseama
c¼a
R1(t)=¸Z1
te¡¸udu=¸·
¡1
¸e¡¸u¯¯¯¯1
t¸
=e¡¸t;
seob¸tineformula(2.43).
Dac¼afolosindforma(2.43)pentrufunc¸tiade…abilitate,atunciob¸tinempentru
func¸tiahazarddedefectareexpresia
h(t)=f(t)
R(t)=¸
¡(p)(¸t)p¡1e¡¸t
µp¡1P
k=0(¸t)k
k!¶
e¡¸t=¸ptp¡1
(p¡1)!µp¡1P
k=0(¸t)k
k!¶;(2.44)
undep=1;2;::::
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 67
Exemplul2.5.3([18])Launsistemderacheteantiaerienes-aobservatc¼adis-
tribu¸tiae¸securilor(neatingerea¸tintelor)urmeaz¼alegeaGammacup=3¸si
¸=0;05e¸securipeor¼a.Determina¸ti…abilitateasistemuluipentruomisiune
de24deore¸sicareesteratadehazarddeneatingerea¸tintelorlasfâr¸situlcelor
24deore.
Solu¸tie.Deoarecep=3estenum¼arnatural,pentrudeterminarea…abilit¼a¸tii
vomfolosiformula(2.43).Încazuldefa¸t¼aaceastaareforma
R(t)=Ã
1+¸t
1!+(¸t)2
2!!
e¡¸t:
Cum¸t=0;05¢24=1;2¸sie¡¸t=e¡1;2=0;3;…abilitateasistemuluidup¼a24
deoreeste
R(24)=Ã
1+1;2+(1;2)2
2!
¢0;3=2;92¢0;3=0;876:
Pentruratadehazarddeneatingerea¸tintelorutiliz¼amrela¸tiah(t)=f(t)
R(t):
Calcul¼ammaiîntâivaloareadensit¼a¸tiideprobabilitate,f(t);pentrut=24;cu
ajutorulformulei(2.39).Avem
f(24)=0;05
2¢(1;2)2¢e¡1;2=0;025¢1;44¢0;3=0;011:
Atunci
h(24)=f(24)
R(24)=0;011
0;876=0;013e¸securipeor¼a.
¤
2.5.5LegeaWeibull
Unadintrecelemaiutilizatelegidedistribu¸tieînteoria…abilit¼a¸tiiestedis-
tribu¸tiaWeibull.Depinzânddedoi,sauchiartreiparametri,distribu¸tiaWeibull
poatemodelafenomeneac¼arorrat¼adedefectarepoate…cresc¼atoaresaude-
scresc¼atoare¸sipoateaveaformefoartediferite.Aceastafacecadistribu¸tia
Weibulls¼a…efoartedesfolosit¼aînpractic¼a.
Distribu¸tiaWeibullcudoiparametri
Distribu¸tiaWeibullcudoiparametri¯¸siµaredensitateadeprobabilitate
dat¼adeformula
f(t):=¯
µµt
µ¶¯¡1
exp"
¡µt
µ¶¯#
: (2.45)
68 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Vomstudiaîncontinuaremaiam¼anun¸titaceast¼adistribu¸tiedeoareceaceasta
esteceamaiutilizat¼aform¼aîntâlnit¼aînaplica¸tiilepractice.
Func¸tiadereparti¸tieadistribu¸tieiWeibull,conformde…ni¸tiei,este
F(t)=tZ
0f(u)du=tZ
0¯
µ³u
µ´¯¡1
exp·
¡³u
µ´¯¸
du:
Efectuândschimbareadevariabil¼az=³u
µ´¯
;decidz=¯
µ³u
µ´¯¡1
du;ob¸tinem
F(t)=Z(t
µ)¯
0e¡zdz=¡e¡z¯¯(t
µ)¯
0=¡e¡(t
µ)¯
+1:
Prinurmare,func¸tiadereparti¸tieadistribu¸tieiWeibullcudoiparametri¯¸siµ
este
F(t)=1¡exp"
¡µt
µ¶¯#
: (2.46)
CumR(t)=1¡F(t);seob¸tinepentrufunc¸tiade…abilitateexpresia
R(t)=exp"
¡µt
µ¶¯#
: (2.47)
Func¸tiahazarddedefectaresedetermin¼aimediatpebazarela¸tieih(t)=f(t)
R(t):
Deci
h(t)=¯
µµt
µ¶¯¡1
: (2.48)
Beta¯esteparametrulcared¼aformacurbei.In‡uen¸tasaasupraaspectului
curbelorcareaparîndistribu¸tiaWeibullsepoatevedeaîn…gurile2.9¸si2.10.
Suntreprezentateaicidensitateadeprobabilitate,f(t),func¸tiadereparti¸tie,
F(t),func¸tiade…abilitate,R(t);¸sifunc¸tiahazarddedefectare,h(t);pentruo
distribu¸tieWeibullcuµ=1¸sidiferitevalorialeparametrului¯:¯1=0;5;
¯2=1;¯3=2;¯4=3;5:
Înfunc¸tiedevaloareaparametrului¯;distribu¸tiaWeibullpoateluaforma
urm¼atoarelordistribu¸tii:
a)¯<1;distribu¸tiaGamma;
b)¯=1;distribu¸tiaexponen¸tial¼a;
c)¯=2;distribu¸tialognormal¼a;
d)¯=3;5;aproximativdistribu¸tianormal¼a.
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 69
Fig.2.9:Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiiWeibull
pentruµ=1¸sidiferitevalorialelui¯
Dup¼acumsepoateobservadin…gurile2.9¸si2.10,toategra…celefunc¸tiilor
R(t)¸siF(t)trecprintr-unacela¸sipunctindiferentdevaloareaparametrului¯:
Acestpunctcorespundeluit=µ;deoareceR(µ)=e¡1=0;368;respectiv
F(µ)=1¡R(µ)=0;632:Aceast¼aobserva¸tiearat¼ac¼aîncazuldistribu¸tieiWeibull
probabilitateadedefectarepân¼alamomentult=µestede0;632;indiferentde
valoareaparametrului¯cared¼aformacurbelor.
Parametrulthetaµin‡uen¸teaz¼aatâtvaloareamediecât¸sidispersiauneivari-
abilealeatoaredistribuiteWeibull.In‡uen¸tasaasupraaspectuluicurbelorcare
aparîndistribu¸tiaWeibullsepoatevedeaîn…gurile2.11¸si2.12.Suntreprezen-
tateaicidensitateadeprobabilitate,f(t),func¸tiadereparti¸tie,F(t),func¸tiade
…abilitate,R(t);¸sifunc¸tiahazarddedefectare,h(t);pentruodistribu¸tieWeibull
cu¯=2¸sidiferitevalorialeparametruluiµ:µ1=0;5;µ2=1;µ3=1;5;µ4=2:
Înprimulgra…cdin…gura2.11sepoatevedeain‡uen¸taparametruluiµasupra
dispersieidensit¼a¸tiideprobabilitatef(t):Primulgra…cdin…gura2.12arat¼ac¼a
dac¼aµcre¸steatunci¸si…abilitateaR(t),calculat¼aînacela¸simomentdetimpt,
cre¸ste.Func¸tiahazarddedefectareh(t)esteliniar¼aînacestcaz(pentru¯=2,
h(t)=¯
µ2t)¸si,dup¼acumsevedeîn…gura2.12,gra…culesteodreapt¼a.
70 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.10:Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiiWeibull
pentruµ=1¸sidiferitevalorialelui¯
ValoareamedieauneivariabilealeatoareTcareurmeaz¼adistribu¸tiaWeibull
cudoiparametrieste
MTTF=µ¡µ
1+1
¯¶
; (2.49)
iardispersiaestedat¼adeformula
¾2=µ2"
¡µ
1+2
¯¶
¡µ
¡µ
1+1
¯¶¶2#
; (2.50)
([7],pag.59,77)unde¡(p)estefunc¸tiaGamma(asevedeaAppendixulA).
Pentruo…abilitatedat¼aR;duratadevia¸t¼acorespunz¼atoareacestei…abil-
it¼a¸ti,notat¼atR;seob¸tineprindeterminarealuitdinecua¸tia
R(t)=exp"
¡µt
µ¶¯#
=R:
Valoareaob¸tinut¼aeste
tR=µ(¡lnR)1=¯: (2.51)
PentruR=0;5seob¸tinetimpulmediandedefectare,notattmed(ase
vedeasec¸tiunea1.8pentrude…ni¸tie),adic¼aaceavaloareatimpuluiîncareauloc
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 71
Fig.2.11:Densitateadeprobabilitate¸sifunc¸tiadereparti¸tiealelegiiWeibull
pentru¯=2¸sidiferitevalorialeparametruluiµ
50%dintredefect¼ari.Încazuldistribu¸tieWeibullseob¸tine
tmed=t0;5=µ(¡ln0;5)1=¯=µ(0;69315)1=¯:(2.52)
Pentruvalorimicialelui¯(deexemplu,pentru¯<3),cânddatelesuntputernic
asimetrice(dup¼acums-apututobservadinreprezent¼arilegra…cedemaisus,unde
s-adiscutatin‡uen¸taparametrului¯asupraformeicurbeidat¼adedensitatea
deprobabilitatef(t)),valoareatimpuluimediantmedesteom¼asur¼amultmai
reprezentativ¼apentrucaracterizarea…abilit¼a¸tiidecâtvaloareamedieMTTF:
Moduldistribu¸tieiWeibulltmod,adic¼aaceavaloareatimpuluipentrucare
densitateadeprobabilitateWeibullarevaloareamaxim¼a,
f(tmod)=maxt¸0f(t)
estedat¼adeformula
tmod=8
>><
>>:µµ
1¡1
¯¶1=¯
dac¼a¯>1;
0dac¼a0<¯·1:
(Pentrudeducereaacesteivalorisepoateconsulta[7],pag.78.)
72 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.12:Func¸tiade…abilitate¸sifunc¸tiahazarddedefectarealelegiiWeibull
pentru¯=2¸sidiferitevalorialeparametruluiµ
Încazuldistribu¸tieiWeibull,…abilitateacondi¸tionat¼ademomentult0;dat¼a
derela¸tia(2.21),areexpresia
R(tjt0)=exp"
¡µt+t0
µ¶¯#
exp"
¡µt0
µ¶¯#=exp"µt0
µ¶¯
¡µt+t0
µ¶¯#
:(2.53)
Dac¼aunsistemsupusuneiperioadedetestareasupravie¸tuitpân¼alamomen-
tult0;atunciduratadevia¸t¼acorespunz¼atoareunei…abilit¼a¸tipreconizatede
valoareR,notat¼atR;t0;seob¸tineprindeterminarealuitdinecua¸tia
R(tjt0)=exp"µt0
µ¶¯
¡µt+t0
µ¶¯#
=R:
Uncalculelementararat¼ac¼a
tR;t0=³
t¯
0¡µ¯lnR´1=¯
¡t0: (2.54)
Exemplul2.5.4Înacestexempluvomstudiaevolu¸tiaunuisistemtehnical
c¼aruiprocesdedefectareurmeaz¼alegeaWeibullcuparametrii¯=0;5¸siµ=104
ore.
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 73
Densitateadeprobabilitate,dat¼adeformula(2.45),areînacestcazexpresia
f(t)=1
200p
texp·
¡µp
t
100¶¸
¸sireprezentareagra…c¼adin…gura2.13
Fig.2.13:DensitateadeprobabilitateWeibullîncazul¯=0;5¸siµ=104
Func¸tiade…abilitateasistemuluitehniceste
R(t)=exp"
¡µt
µ¶1=2#
=expµ
¡p
t
100¶
:
Timpulmediupân¼alaprimadefectare,MTTF;sedetermin¼acuformula
(2.49):
MTTF=µ¡µ
1+1
¯¶
=104¢¡(3)=104¢2!=20:000ore.
Pentruc¼adistribu¸tiadateloresteputernicasimetric¼a,dup¼acumsepoate
vedeadinreprezentareagra…c¼aadensit¼a¸tiideprobabilitatef(t);omaibun¼a
informa¸tieestedat¼adetimpulmediandedefectare,adic¼adeacelmomentpân¼a
lacarevoravealoc50%dindefec¸tiuni.Utilizândformula(??)ob¸tinem
tmed=µ(0;69315)1=¯=104¢(0;69315)2»=4:804;6ore.
Reprezentareagra…c¼aafunc¸tieide…abilitate¸siacelordou¼avalori,MTTF
¸sitmed;estedat¼aîn…gura2.14.
Deremarcatc¼avia¸tacaracteristic¼aµestede10:000ore.Dup¼acums-aobser-
vatanterior,…abilitateaînacestmomentesteR(µ)=exp(¡1)»=0;368;indiferent
devaloarealui¯:Acestaînseamn¼ac¼a63;2%dindefec¸tiunisevorproducepân¼a
laacestmoment.
Pentrucalcululdispersieifolosimformula(2.50):
¾2=µ2"
¡µ
1+2
¯¶
¡µ
¡µ
1+1
¯¶¶2#
=(104)2¢£
¡(5)¡¡(3)2¤
=
=108¢£
4!¡(2!)2¤
=20¢108:
74 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.14:Func¸tiade…abilitateadistribu¸tieiWeibullîncazul¯=0;5¸siµ=104
Atunci,abatereamediep¼atratic¼aeste¾=p
20¢104=4;4721¢104=44:721ore.
Duratadevia¸t¼aasistemuluitehnicpentruo…abilitatede0;95sedetermin¼a
pebazaformulei(2.51):
t0;95=104¢(¡ln0;95)2=104¢(¡0;051)2=104¢0;00263=26;3ore.
Dac¼aseimpuneo…abilitatemultmaimare,deexemplude0;99;atunciseob¸tine
odurat¼adeviat¼aextremdemic¼a,¸sianume
t0;99=104¢(¡ln0;99)2=104¢(¡0;01)2=104¢10¡4=1or¼a.
Func¸tiahazarddedefectare,dat¼adeformula(2.48),areînacestcazexpresia
h(t)=1
200p
t¸sireprezentareagra…c¼adin…gura2.15.
Fig.2.15:Func¸tiahazarddedefectareadistribu¸tieiWeibullîncazul¯=0;5¸si
µ=104
Valorileacesteifunc¸tiilamomentelet=t0;99;t=t0;95;t=1000;t=tmed;
t=MTTF;calculateîndefec¸tiunipeor¼a,suntdatetabelulmaijos.
h(t0;99)=h(1)=0;005000h(tmed)=h(4:804)=0;000072
h(t0;95)=h(26;3)=0;000975h(MTTF)=h(20:000)=0;000035
h(100)=0;000500 h(40:000)=0;000025
2.5.LEGIDEREPARTI¸TIEAFUNC¸TIEIDEFIABILITATE 75
Dup¼acumsepoateobservadintabel¸sidinreprezentareagra…c¼aafunc¸tiei
h(t)(…gura2.15)defec¸tiunileînperioadatimpurie(„infantil¼a”)auorat¼ade
apari¸tiemultmaimaredecâtînperioadaulterioar¼a.Acestasugereaz¼ac¼asistemul
respectivestebines¼a…esupusuneiperioadedetestare,sauderodaj,înaintede
a…datînexploatare.
Dac¼asistemulafostsupusuneiperioadedetestaredet0=9ore,timpîn
carenus-adefectat,atunciduratadevia¸t¼apreconizat¼apentruaceea¸si…abilitate
R=0;95;determinat¼apebazaformulei(2.54),este
t0;95;9=³p
9¡p
104ln0;95´2
¡9=[3¡100¢(¡0;05129)]2¡9=
=(8;129)2¡9=66;081¡9=57;081:
Dup¼acumsepoateobserva,duratadevia¸t¼a,pentruaceea¸si…abilitatepre-
conizat¼ade0;95;sedubleaz¼a.¤
Distribu¸tiaWeibullcuunparametru
Pentru¯=c=constantseob¸tinedensitateadereparti¸tieWeibullcarede-
pindedeunsingurparametru,celdescal¼aµ:
f(t):=c
µµt
µ¶c¡1
exp·
¡µt
µ¶c¸
:
Aceast¼asitua¸tieapareatuncicândsepresupunec¼aparametruldeform¼a¯este
cunoscutaprioridintr-oexperient¼atrecut¼a,identic¼a,sausimilar¼a.
Distribu¸tiaWeibullcutreiparametri
Densitateadedistribu¸tieWeibullînformaceamaigeneral¼a,cutreiparametri
¯;µ;°,este
f(t):=¯
µµt¡°
µ¶¯¡1
exp"
¡µt¡°
µ¶¯#
;t¸°;
cu¯>0;µ>0;°2R;unde:
¡¯esteparametruldeform¼a;
¡µesteparametrudescal¼asauvia¸tacaracteristic¼a(duratadevia¸t¼apân¼ala
carevoravealoc63;2%dindefect¼ari);
¡°estedurataminim¼adevia¸t¼a(sauparametruldelocalizare).
Aceast¼aform¼aadistribu¸tieiWeibullseutilizeaz¼aatuncicândsepresupunec¼a
nuaulocdefect¼ariînaintedemomentult=°;deunde¸sidenumireaparametrului
dedurat¼aminim¼adevia¸t¼a.
76 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Func¸tiade…abilitateestedat¼adeformula
R(t)=exp"
¡µt¡°
µ¶¯#
;t¸°;
iarfunc¸tiahazarddedefectareareexpresia
h(t)=¯
µµt¡°
µ¶¯¡1
;t¸°:
Celelaltecaracteristicialeuneidistribu¸tiiWeibullcutreiparametri¯;µ;°sunt:
MTTF=°+µ¡µ
1+1
¯¶
;
tmed=°+µ(¡ln0;5)1=¯;
tR=°+µ(¡lnR)1=¯:
(tResteduratadevia¸t¼apreconizat¼apentruo…abilitateR).Dispersiaareaceia¸si
expresiecaîncazuldistribu¸tieicudoiparametri.Defapt,efectuândschimbarea
devariabil¼at0=t¡°întotdeaunasepoatetransformadistribu¸tiaWeibullcu
treiparametriînunacudoiparametri.
2.6Fiabilitateasistemelor
Pân¼aacumne-amocupatde…abilitateasistemelorgânditecaunsingur
element.Scopulacesteisec¸tiuniestedeastudia…abilitateasistemelorcomplexe,
caresuntformatedinmaimulteelementeac¼aror…abilitateestecunoscut¼a.Fia-
bilitateaunuiastfeldesistemvadepindede…abilitateaelementelorcomponente
¸sidemoduldeinterconectatealacestora:înserie,înparalel,saucombinat,serie-
paraleletc.
Sespunec¼aunsistemareunmontajînserieaelementelorconstitutivedac¼a
defectareaunuisingurelementalsistemuluiduceladefectareaîntreguluisistem.
Evident,pentrucaunsistemcumontajînseries¼afunc¸tionezelaunmomentde
timpttrebuiecatoateelementelesales¼afunc¸tionezelaacelmomentdetimp:
Sespunec¼aunsistemareunmontajînparalelaelementelorconstitutive
dac¼adefectareatuturorelementelorsistemuluiduceladefectareaîntreguluisis-
tem.Evident,pentrucaunsistemcumontajînparalels¼afunc¸tionezelaun
momentdetimpttrebuiecacelpu¸tinunelementalsistemuluis¼afunc¸tionezela
acelmomentdetimp:
Încontinuarevompresupunec¼aelementelesistemelorconsideratesuntinde-
pendenteunuldealtul.Aceastaînseamn¼ac¼adefectareasaunedefectareaunui
elementnuin‡uen¸teaz¼adefectareasaunedefectareacelorlalteelemente.
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 77
2.6.1Fiabilitateasistemelorcumontajînserie
Consider¼amunsistemformatdinnelementecomponenteac¼aror…abilitate
estecunoscut¼a.Presupunemc¼aelementelesistemuluisuntlegateînserie,ceea
ceînseamn¼ac¼adefectareasistemuluiarelocîncazuldefect¼ariiacelpu¸tinunuia
dintreelementeleconstitutive.Not¼amcuT1;T2;:::;Tntimpuldefunc¸tionare
f¼ar¼adefectarea…ec¼aruiadintrecelenelemente¸sicuTtimpuldefunc¸tionare
f¼ar¼adefectarecorespunz¼atorîntreguluisistem.Deoareceelementelesuntlegate
înserie
T=inffT1;T2;:::;Tng:
Fiabilitateacunoscut¼aa…ec¼aruielementesteRi(t)=P(Ti¸tg;i=1;2;:::;n:
Seceres¼asedetermine…abilitateasistemuluiRS(t)=P(T¸t):
Montajulunuisistemva…ilustratgra…ccuajutoruldiagrameide…a-
bilitate.Aceastaesteoschem¼agra…c¼aîncarecomponentelesistemuluisunt
reprezentateprindreptunghiuriiarleg¼aturiledintrecomponenteprinlinii.Dia-
gramade…abilitateaunuisistemcuncomponentemontateînserieesteprezen-
tat¼aîn…gura2.16.
Fig.2.16:Diagramade…abilitateaunuisistemcuncomponentemontateîn
serie
Conformpresupuneriif¼acuteelementelesedefecteaz¼aindependentunulde
altul.Acestaînseamn¼ac¼avariabilelealeatoareT1;T2;:::;Tnsuntindependente.
Înacestcaz,…abilitateasistemuluieste
RS(t)=P(T¸t)=P(T1¸t;T2¸t;:::;Tn¸t)=
=P(T1¸t)P(T2¸t)¢¢¢P(Tn¸t)=R1(t)R2(t)¢¢¢Rn(t):
Deci
RS(t)=Qn
i=1Ri(t); (2.55)
adic¼a…abilitateaunuisistemcunelementelegateînserie,caresedefecteaz¼a
independentunuldealtul,esteegal¼acuprodusul…abilit¼a¸tilorelementelorcare
compunsistemul.
78 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fiek;1·k·n;indiceleaceluielementdinsistemcareareceamaimic¼a
…abilitate.DeoareceRi(t)·1;rezult¼ac¼a
RS(t)=Qn
i=1Ri(t)·minfR1(t);R2(t);:::;Rn(t)g=Rk(t):
Prinurmare,…abilitateaunuisistemcumontajînserieestemaimic¼a(saucel
multegal¼a)decât…abilitateaceluimaipu¸tin…abilelementconstitutivalsistemu-
lui.
Logaritmândegalitatea(2.55),ob¸tinem
lnRS(t)=lnR1(t)+lnR2(t)+¢¢¢+lnRn(t);
deunde,prinderivare,rezult¼a
R0
S(t)
RS(t)=R0
1(t)
R1(t)+R0
2(t)
R2(t)+¢¢¢+R0
n(t)
Rn(t):
¸Tinândseamadeformula(2.18),carede…ne¸stefunc¸tiarisc(hazard)dedefectare,
ob¸tinemexpresiafunc¸tieiriscdedefectareasistemului
hS(t)=h1(t)+h2(t)+¢¢¢+hn(t): (2.56)
Aceast¼aformul¼aarat¼ac¼arisculdedefectarealunuisistemcumontajînserie
esteegalcusumariscurilordedefectareaelementelorînseriate.
Expresiafunc¸tieide…abilitateaunuisistemcumontajînserie,dac¼asecunosc
riscurilededefectarealeelementelorconstitutive,hi(t);i=1;2;:::;n;este
RS(t)=exp0
@¡tZ
0(h1(u)+h2(u)+¢¢¢+hn(u))du1
A:(2.57)
Dac¼aelementelecarecompunsistemulurmeaz¼alegeaexponen¸tial¼a,ceea
cerevinelafaptulc¼aintensitateadedefectarea…ec¼aruielementesteconstant¼a,
hi(t)=¸i;atunci¸siintensitateadedefectareasistemuluiesteconstant¼a…ind
dat¼adeformula
hS(t)=nP
i=1¸i;
iar…abilitateasistemuluiareexpresia
RS(t)=expµ
¡µnP
i=1¸i¶
t¶
: (2.58)
Deregul¼a,valorile…abilit¼a¸tiisuntapropiatedeunu,ceeaceînseamn¼ac¼a
exponentulfunc¸tieiexponen¸tialeesteapropiatdezero.Pentruvalorimiciale
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 79
luixestevalabil¼aaproximareae¡x»=1¡x:Atuncicândsedore¸steoevaluare
rapid¼a,darnufoarteprecis¼a,a…abilit¼a¸tiisistemuluisepoatefolosiformula
RS(t)»=1¡µnP
i=1¸i¶
t:
Dac¼anot¼amcuMTTFitimpulmediudefunc¸tionarealelementuluii;
i=1;2;:::;n;¸sicuMTTFStimpulmediudefunc¸tionarealsistemului,atunci,
¸tinândseamac¼atimpulmediudefunc¸tionareesteinverspropor¸tionalcuparame-
trul¸(vezirela¸tia(2.23)),rezult¼a
MTTFS=1Pn
i=11=MTTFi:
Exemplul2.6.1Unsistemcumontajînserieare3componenteidenticecareau
func¸tiadedefectareconstant¼a¸siegal¼acu¸:Elementelesepotdefectaindependent
unuldealtul.Câtdemaretrebuies¼a…etimpulmediudefunc¸tionareMTTF
al…ec¼aruielementpentrucaprobabilitateacasistemuls¼afunc¸tionezef¼ar¼as¼ase
defectezecelpu¸tin100deores¼a…eegal¼acu0;95?
Solu¸tie.Conformformulei(2.58)avemRS(100)=e¡100¢3¸;iardincerin¸te
problemeirezult¼aRS(100)=0;95:Ob¸tinemastfelecua¸tia0;95=e¡100¢3¸;care
aresolu¸tia¸=¡ln(0;95)
300=0;000171:Atuncitimpulmediudefunc¸tionareal
…ec¼areicomponenteesteMTTF=1
¸»=5849ore.
Rezultatulob¸tinutarat¼ac¼a…ecarecomponent¼aasistemuluitrebuies¼aaib¼aun
timpmediudefunc¸tionaredeaproximativ5850deorepentrucaprobabilitatea
casistemuls¼afunc¸tionezef¼ar¼adefectarecelpu¸tin100deores¼a…eegal¼acu0;95:
¤
Presupunemacumc¼a…ecareelementcarecompunesistemulurmeaz¼alegea
Weibullavândacela¸siparametrudeform¼a¯;darcuparametriidescal¼aµi
diferi¸ti.Aceastaînseamn¼ac¼afunc¸tiahazarddedefectarea…ec¼aruielemential
sistemuluiestedat¼adeexpresia
hi(t)=¯
µiµt
µi¶¯¡1
;i=1;2;:::;n:
Atunci,conformformulei(2.56),func¸tiahazarddedefectareasistemuluieste
hS(t)=nP
i=1¯
µiµt
µi¶¯¡1
=¯"nP
i=1µ1
µi¶¯#
t¯¡1:
Seobserv¼ac¼a,dac¼anot¼am
µS:="nP
i=1µ1
µi¶¯#¡1=¯
; (2.59)
80 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
atuncifunc¸tiahazarddedefectareasistemuluiareforma
hS(t)=¯
µSµt
µS¶¯¡1
:
Aceastaarat¼ac¼asistemulformatdinnelementeindependentelegateînserie,în
care…ecareelementurmeaz¼alegeaWeibulldeparametri¯¸siµi,arelarânduls¼au
odistribu¸tieWeibulldeacela¸siparametrudeform¼a¯¸sicuparametruldescar¼a
datdeformula(2.59).(Deremarcatc¼aaceast¼aproprietatedereproductibilitate
alegiiWeibulldelaelementelasistemulînserieesteadev¼arat¼anumaidac¼atoate
elementelesistemuluiauacela¸siparametrudeform¼a¯:)
Avândodistribu¸tieWeibulldeparametri¯¸siµS,…abilitateasistemuluise
determin¼acuformulacunoscut¼a
R(t)=exp"
¡µt
µS¶¯#
: (2.60)
Dac¼atoatecelencomponentealesistemuluisuntidentice,avândfunc¸tia
hazarddedefectareh(t)=¯
µµt
µ¶¯¡1
,atuncisistemulurmeaz¼aodistribu¸tie
Weibulldeparametri¯¸siµS=µ
n1=¯:Func¸tiahazarddedefectareasistemului
areunadinformeledemaijos
hS(t)=¯n
µ¯t¯¡1=¯
µSµt
µS¶¯¡1
;
iar…abilitateaestedat¼adeformula
R(t)=exp"
¡nµt
µ¶¯#
:
Exemplul2.6.2Unsistemelectricestecompusdintreielementeindependente
legateînserie.Urm¼ariteîntimps-aconstatatc¼adefect¼arileacestorelemente
urmeaz¼adistribu¸tiaWeibullcuacela¸siparametrudeform¼a¯=1;5:Parametrii
descal¼a(via¸tacaracteristic¼a)pentru…ecareelementsunt:µ1=44:000ore,
µ2=62:000ore¸siµ3=52:000ore.
Calcula¸tiurm¼atoarelecaracteristicialesistemului:a)MTTF;b)timpulme-
diandedefectare;c)…abilitateapentruomisiunede10:000ore.
Solu¸tie.Conformcelordiscutateanterior,defect¼arilesistemuluivorurma
distribu¸tiaWeibullcuacela¸siparametrudeform¼a¯=1;5¸sicuparametrulde
scar¼adatdeformula(2.59):
µS="µ1
44:000¶1;5
+µ1
62:000¶1;5
+µ1
52:000¶1;5#¡1=1;5
=24:709;5:
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 81
Atunci,MTTFdatdeformula(2.49),este
MTTF=µS¡µ
1+1
¯¶
=24:709;5¢¡µ
1+2
3¶
=22:306;4ore,
iartmed;timpulmediandedefectaredatderela¸tia(2.52),arevaloare
tmed=24:709;5¢(0;69315)1=1;5=19:353ore.
Func¸tiade…abilitateasistemului,dat¼aderela¸tia(2.60),areînacestcaz
expresia
R(t)=exp"
¡µt
24:709;5¶1;5#
:
Pentrut=10:000seob¸tine
R(10:000)=exp"
¡µ10:000
24:709;5¶1;5#
=0;773:¤
2.6.2Fiabilitateasistemelorcumontajînparalel
Consider¼amunsistemformatdinnelementeconstitutivecaresedefecteaz¼a
independentunuldealtul.Vompresupunededataaceastac¼aelementelesis-
temuluisuntlegateînparalel,ceeaceînseamn¼ac¼asistemulsedefecteaz¼anumai
dac¼asedefecteaz¼atoateelementelesale.Diagramade…abilitateaunuiastfelde
sistemestereprezentat¼aîn…gura2.17.
Cunota¸tiiledinsubsec¸tiuneaanterioar¼aputemscrie
T=supfT1;T2;:::;Tng:
Încazulmontajuluiînparalelestemaisimplus¼asedeterminemaiîntâirela¸tia
dintrefunc¸tiiledereparti¸tiealevariabileloraleatoareT1;:::;Tn;T¸siapois¼ase
treac¼alafunc¸tiilede…abilitate.Dac¼aFi(t)desemneaz¼afunc¸tiadereparti¸tiea
variabileialeatoareTi;atunciFi(t)=P(Ti<t)¸siFi(t)=1¡Ri(t):Orela¸tie
analog¼aarelocpentruF(t);func¸tiadereparti¸tieavariabileialeatoareT:
¸Tinândseamac¼avariabilelealeatoareT1;:::;Tnsuntindependente,avem
FS(t)=P(T<t)=P(T1<t;T2<t;:::;Tn<t)=
=P(T1<t)P(T2<t)¢¢¢P(Tn<t)=F1(t)F2(t)¢¢¢Fn(t):
Trecândla…abilitate,ob¸tinem
1¡RS(t)=(1¡R1(t))(1¡R2(t))¢¢¢(1¡Rn(t));
82 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.17:Diagramade…abilitateaunuisistemcuncomponentemontateîn
paralel
deunderezult¼aformula…abilit¼a¸tiiunuisistemcumontajînparalel
RS(t)=1¡Qn
i=1(1¡Ri(t)): (2.61)
Deoarece0·Ri(t)·1;rezult¼a0·1¡Ri(t)·1;ceeaceimplic¼a
Qn
i=1(1¡Ri(t))·1¡Ri(t):
Prinurmare,RS(t)=1¡nQ
i=1(1¡Ri(t))¸Ri(t);pentru…ecarei=1;2;:::;n:
Deci
RS(t)¸maxfR1(t);R2(2);:::;Rn(t)g:
Inegalitateademaisusarat¼ac¼a…abilitateaunuisistemcumontajînparaleleste
maimare(saucelmultegal¼a)decât…abilitateaceluimai…abilelementcompo-
nent.
Pentrusistemelecareaunelementelegateînparalel¸si…ecareelementare
func¸tiariscdedefectareconstant¼a¸siegal¼acu¸i;…abilitateasistemuluieste
dat¼adeformula
RS(t)=1¡Qn
i=1(1¡exp(¡¸it)); (2.62)
deunde,pentrucazulîncaretoatecomponentelesuntidentice,seob¸tinepentru
…abilitateasistemuluiexpresia
RS(t)=1¡(1¡exp(¡¸t))n: (2.63)
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 83
Dac¼avalorile…abilit¼a¸tiisistemelorcomponenteRi(t)=exp(¡¸it)suntfoarte
aproapedeunu,lucrucareseîntâmpl¼acândprodusul¸itestesu…cientdeaproape
dezero,atunci,¸tinândseamac¼apentruxsu…cientdemicarelocaproximarea
exp(¡x)»=1¡x;…abilitateasepoateaproximaastfelRi(t)»=1¡¸it:Încon-
secin¸t¼a,înacestcaz,pentru…abilitateasistemuluiseob¸tineaproximarea
RS(t)»=1¡tnQn
i=1¸i:
Timpulmediudefunc¸tionarealunuiastfeldesistemcuncomponenteidentice
careurmeaz¼alegeadereparti¸tieexponen¸tial¼adeparametru¸sedetermin¼ape
bazaformulei
MTTFS=1
¸(1+1
2+1
3+¢¢¢+1
n): (2.64)
Într-adev¼ar,
MTTFS=Z1
0RS(t)dt=Z1
0£
1¡(1¡e¡¸t)n¤
dt:
Efectu¼amschimbareadevariabil¼au=1¡e¡¸t;echivalent¼acut=¡1
¸ln(1¡u);
deundeob¸tinemdt=1
¸du
1¡u:Atunci
MTTFS=1
¸Z1
0(1¡un)du
1¡u=1
¸Z1
0(1+u+u2+¢¢¢+un¡1)du=
=1
¸µ
u+u2
2+u3
3+¢¢¢+un
n¶¯¯¯¯1
0=1
¸µ
1+1
2+1
3+¢¢¢+1
n¶
:
Exemplul2.6.3Pentruunsistemcarearedou¼acomponentemontateîn
paralel,…ecaredintreacesteaavândintensitateadedefectareconstant¼aegal¼a
cu¸1;respectiv¸2;…abilitateasistemuluiareexpresia
RS(t)=1¡(1¡e¡¸1t)(1¡e¡¸2t)=e¡¸1t+e¡¸2t¡e¡(¸1+¸2)t;
iarvaloareatimpuluimediudedefectareeste
MTTFS=Z1
0RS(t)dt=Z1
0e¡¸1tdt+Z1
0e¡¸2tdt¡Z1
0e¡(¸1+¸2)tdt=
=1
¸1+1
¸2¡1
¸1+¸2:
Dac¼aceledou¼aelementesuntidentice,deci¸1=¸2=¸,atunci…abilitatea
sistemuluisecalculeaz¼acuformula
RS(t)=2e¡¸t¡e¡2¸t; (2.65)
84 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
iartimpulmediudedefectareareexpresia
MTTFS=2
¸¡1
2¸=3
2¸:¤ (2.66)
Exemplul2.6.4Consider¼amunsistemcarearedou¼aelementeidenticelegate
înparalel,…ecareavândaceea¸sirat¼adedefectareconstant¼a¸:Caretrebuies¼a
…etimpulmediudedefectareal…ec¼areicomponentepentrucaprobabilitateaca
sistemuls¼afunc¸tionezef¼ar¼as¼asedefectezecelpu¸tin100deores¼a…eegal¼acu
0;95?
Solu¸tie.Conformcerin¸telorproblemeiRS(100)=0;95;iarînbazaformulei
(2.65)avemegalitatea2e¡100¸¡e¡200¸=0;95:Pentrudeterminareavalorii¸>0
careveri…c¼aecua¸tiaanterioar¼afolosimMathcad.Ob¸tinem¸=0;002531:Atunci
timpulmediudedefectarealunuielementconstitutivalsistemuluieste
MTTF1=MTTF2=1
¸=1
0;002531»=395ore.
Prinurmare,timpulmediudefunc¸tionarealsistemului,calculatpebazaformulei
(2.66),este
MTTFS=3
2¸=3
2¢0;002531»=593ore.¤
Exemplul2.6.5Încazulunuisistemcutreielementemontateînparalel,…ecare
dintreelementelecomponenteavândintensitatededefectareconstant¼aegal¼acu
¸i;i=1;2;3;…abilitatesistemuluiestedat¼adeformula
RS(t)=1¡(1¡e¡¸1t)(1¡e¡¸2t)(1¡e¡¸3t)=
=e¡¸1t+e¡¸2t+e¡¸3t¡e¡(¸1+¸2)t¡e¡(¸2+¸3)t¡e¡(¸3+¸1)t
+e¡(¸1+¸2+¸3)t;
iartimpulmediudedefectareareexpresia
MTTFS=1
¸1+1
¸2+1
¸3¡1
¸1+¸2¡1
¸2+¸3¡1
¸3+¸1+1
¸1+¸2+¸3:¤
Consider¼amacumunsistemformatdindou¼acomponenteidentice,carese
defecteaz¼aindependentunadealta,montateînparalel.Presupunemc¼adefec-
t¼arile…ec¼areicomponenteurmeaz¼alegeaWeibullcuparametrii¯¸siµ([7]).În
consecin¸t¼a,…abilitateacomponentelorestedat¼aderela¸tia(2.47),adic¼aR(t)=
e¡(t=µ)¯
:Atunci…abilitateasistemului,determinat¼apebazaformulei(2.61),este
RS(t)=1¡[1¡R(t)]2:
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 85
Introducândînaceast¼arela¸tieexpresia…abilit¼a¸tiiuneicomponente,ob¸tinempen-
tru…abilitateasistemuluiexpresia
RS(t)=2e¡(t=µ)¯
¡e¡2(t=µ)¯
: (2.67)
PentruacalculaMTTFSfolosimformula(2.12).Avem
MTTFS=Z1
0RS(t)dt=Z1
0h
2e¡(t=µ)¯
¡e¡2(t=µ)¯i
dt=
=2Z1
0e¡(t=µ)¯
dt¡Z1
0e¡2(t=µ)¯
dt:
Primaintegral¼anuestealtcevadecâtMTTFaluneicomponente,deci,conform
formulei(2.49),esteegal¼acuµ¡µ
1+1
¯¶
:Pentrucalcululceleideadouainte-
graleseobserv¼ac¼afunc¸tiadeintegratpoate…scris¼asubformaexp"
¡µt
µ=21=¯¶¯#
;
deciestefunc¸tiade…abilitateauneidistribu¸tiiWeibullcuparametri¯¸siµ=21=¯:
Utilizânddinnouformula(2.49),ob¸tinem
Z1
0e¡2(t=µ)¯
dt=µ
21=¯¡µ
1+1
¯¶
:
Înconsecin¸t¼a
MTTFS=µ¡µ
1+1
¯¶
(2¡2¡1=¯): (2.68)
Determinareafunc¸tieihazarddedefectareaacestuisistemsefacepebaza
formulei(2.18)
hS(t)=¡R0
S(t)
RS(t):
Dup¼auncalculelementardederivareseob¸tine
hS(t)=¯
µµt
µ¶¯¡1
2¡2e¡(t=µ)¯
2¡e¡(t=µ)¯:
Formulademaisusarat¼ac¼aunsistemcudou¼acomponenteWeibullmontateîn
paralelnuurmeaz¼alarânduls¼auodistribu¸tieWeibull.Dar,pentruvalorimariale
luit;exp£
¡(t=¯)¯¤
tindec¼atrezero,¸siînconsecin¸t¼afunc¸tiahazarddedefectare
asistemuluisepoateaproximacufunc¸tiacorespunz¼atoareuneicomponente,i.e.,
hS(t)»=¯
µµt
µ¶¯¡1
:
86 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Acestrezultatteoreticpoate…interpretatastfel:cucâtsistemulfunc¸tioneaz¼a
operioad¼amaiîndelungat¼adetimpcuatâtestemaimareprobabilitateacauna
dintrecomponentes¼asedefecteze¸siastfelsistemuls¼asereduc¼alaosingur¼a
component¼a.
Exemplul2.6.6Laosta¸tiedebenzin¼asuntmontatedou¼apompecarefunc¸tio-
neaz¼aînparalel¸sialec¼arordefec¸tiuniurmeaz¼adistribu¸tiaWeibullcuparametrii
¯=1;5¸siµ=10:000:Determina¸ti…abilitateaacestuisistemdepompepentru
operioad¼adefunc¸tionarede5:000ore¸sitimpulmediupân¼alaprimadefectare
(MTTFS)alacestuisistem.Compara¸tivalorileob¸tinutepentrusistemcucele
corespunz¼atoarealeuneisingurepompe.
Solu¸tie.Folosindformula(2.67),calcul¼am…abilitateasistemuluipentruo
misiunede5.000ore:
RS(5:000)=2exp"
¡µ5:000
10:000¶1=2#
¡exp"
¡2µ5:000
10:000¶1=2#
=0;743:
Determinareatimpuluimediupân¼alaprimadefectareasistemuluidepompe,
MTTFS;sefacecuajutorulformulei(2.68).Ob¸tinem
MTTFS=10:000¢¡(3)¢(2¡2¡2)=10:000¢2!¢7
4=35:000ore.
Acelea¸sicaracteristicinumerice,calculatedeaceast¼adat¼apentruosingur¼a
component¼a,auvalorile
R(5:000)=exp"
¡µ5:000
10:000¶1=2#
=0;493;
MTTF=10:000¢¡(3)=20:000ore.
Dup¼acumseobserv¼adinrezultateledemaisus,sistemulob¸tinutprinmontarea
adou¼apompeînparalelareperforman¸teaproapedublefa¸t¼adecazulîncarear
existaosingur¼apomp¼a.¤
2.6.3Fiabilitateasistemelorcumontajcombinat
serie-paralel
Însubsec¸tiunileanterioareamanalizatcumsecalculeaz¼a…abilitateasis-
temelorcareauelementelemontatenumaiînseriesaunumaiînparalel.În
practic¼aseîntâlnescîns¼asistemecumontajemultmaicomplicate.Înaceast¼a
subsec¸tiunevomstudiaacelesistemecarepot…divizateînsubsisteme,…ecare
subsistemavândmontajnumaiînseriesaunumaiînparalel,iarsubsistemelela
rândullorsuntmontateînseriesauînparalel.Vomnumiunastfeldesistem
sistemcumontajcombinatserie-paralel,sau,pescurt,sistemserie-paralel.
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 87
Pentruexempli…careamoduluiîncaresecalculeaz¼a…abilitateaunuisistem
cumontajcombinatserie-paralelconsider¼amurm¼atorulexemplu.
Exemplul2.6.7Fiesistemuldescrisîndiagramade…abilitatedin…gura2.18.
Fig.2.18:Diagramade…abilitateaunuisistemcumontajcombinatserie-paralel
Elesteformatdintreisubsisteme,notateI,II,III.SubsistemeleI¸siIIsunt
montateînparalel,iarIIIestemontatînseriecusubsistemulparalelI-II.Vom
notacuRI;RII;RIII…abilitateaacestorsubsisteme¸sicuRS…abilitateasistemu-
luitotal.RA;RB;RC;etc.desemneaz¼a…abilitateaelementelorcarecompun
subsistemeleconsiderate.
Folosindformulele(2.55)¸si(2.61)pentrucalculul…abilit¼a¸tiisistemelorcu
montajînserie,respectivînparalel,putemcalcula…abilitateaîntreguluisistem.
Determin¼ammaiîntâi…abilitateacelortreisubsisteme:
RI=RARB[1¡(1¡RC)(1¡RD)];
RII=RHRL[1¡(1¡RM)(1¡RN)];
RIII=RERFRG:
Putemcalculaapoi…abilitateaîntreguluisistem.
RS=[1¡(1¡RI)(1¡RII)]RIII:¤
88 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
2.6.4Redundan¸taparalel¼a
Decelemaimulteoriîncomponen¸taunuisistemexist¼aunnum¼ardeele-
mentesaudesubansamblurimontateînserie.Defectareaunuiastfeldeelement
estesu…cient¼apentruadeterminadefectareaîntreguluisistem.Pentruacre¸ste
…abilitateasistemului,elementelemontateînserieac¼aror…abilitateesteinsu…-
cient¼asuntdublatecuelementeidenticemontateînparalel.Aceast¼atehnic¼ade
montajsenume¸steredundan¸t¼aparalel¼a.
Redundan¸taunuisistemcumontajînseriesepoateob¸tineîndou¼amoduri:
1)Redundan¸t¼alanivelinferior:…ec¼areicomponenteasistemuluiise
adaug¼aunasaumaimultecomponenteidenticemontateînparalel.
2)Redundan¸t¼alanivelsuperior:întregulsistemestemontatînparalel
cuunulsaucumaimultesistemeidentice.
Pentruîn¸telegereaexact¼aafenomenuluiredundan¸tei¸siaefectelorsaled¼am
urm¼atorulexemplu([7]).
Exemplul2.6.8Consider¼amunsistemcompusdindou¼acomponentemontate
înserie,A¸siB;careauaceea¸si…abilitate0<R<1.
Dac¼aseefectueaz¼aredundan¸talanivelinferior,atunciseob¸tineunsistem
carearediagramaprezentat¼aîn…guraurm¼atoare
ac¼arei…abilitateaeste
Rinf=£
1¡(1¡R)2¤2
=£
1¡¡
1¡2R+R2¢¤2
=(2R¡R2)2:
Încazulefectu¼ariiredundan¸teilanivelsuperiorseob¸tineunsistemcareare
diagrama
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 89
iar…abilitateaestedat¼adeformula
Rsup=1¡(1¡R2)2=1¡(1¡2R2+R4)=2R2¡R4:
Pentruastabilicaredintreceledou¼ametodepoateconducelaomaibun¼a
…abilitateasistemului,compar¼amceledou¼a…abilit¼a¸tievaluânddiferen¸ta
Rinf¡Rsup=(2R¡R2)2¡(2R2¡R4)=2R2(1¡R)2>0:
Inegalitateademaisusnearat¼ac¼aefectuarearedundan¸teilanivelinferior
conducelao…abilitatemaimareasistemuluidecâtîncazulefectu¼ariiuneire-
dundan¸telanivelsuperior.Înanalizaf¼acut¼amaisuss-apresupusc¼adefectarea
celordou¼acomponentesefaceindependentunadealta¸siindependentdelocul
pecarecomponentaîlocup¼aînmontaj.
Larezultatuldemaisussepoateajunge¸sidinanalizadiagramelorsistemelor
redundante.Dup¼acumsepoateobserva,înamândou¼asitua¸tiile,atâtderedun-
dan¸t¼alanivelinferiorcât¸silanivelsuperior,sistemelesevordefectadac¼aambele
componenteAsauambelecomponenteBsevordefecta.Dar,încazulsistemului
curedundan¸t¼aefectuat¼alanivelsuperioracestasevadefecta¸siîncazulîncare
ocomponent¼aA¸siocomponent¼aB,a‡ateperamuridiferite,sevordefecta.
Deci,este…rescca…abilitateasistemuluicuredundan¸t¼alanivelsuperiors¼a…e
maimic¼adecâtaceluicuredundan¸t¼alanivelinferior.¤
Înaccep¸tiuneageneral¼a,prinredundan¸t¼aseîn¸telegeutilizareaîntr-unsis-
temtehnicamaimultorelementecomponentedecâtestenecesarpentruîn-
deplinireafunc¸tiiloracestuia,astfelîncâtsistemuls¼afunc¸tionezesatisf¼ac¼ator
chiarînprezen¸taunordefec¸tiuniaunoradintreelementelesistemului.No¸ti-
uneaderedundan¸t¼aafostfolosit¼apentruprimadat¼aîn1920dec¼atreHarry
Nyquist(1889-1976)pecândlucralacompaniaamerican¼aAT&T.Cuocaziaunor
cercet¼ariasuprasemnalelortelegra…ce,acestaaconstatatc¼aanumitesemnalenu
transmiteaunicioinforma¸tie¸sile-anumitsemnaleredundantesausemnaleîn
plusorisuper‡ue.Încontinuareprinredundan¸t¼avomîn¸telegeaceatehnic¼ade
îmbun¼at¼a¸tirea…abilit¼a¸tiicareconst¼aînadispuneînparaleldou¼asaumaimulte
elementecomponente,subansamblurisauechipamentecomplete.
Sedistingdou¼atipurideredundan¸t¼a:
90 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
a)Redundan¸taactiv¼a(detipdinamicsau„cald¼a”)estetermenuldattehni-
cilorcareimplic¼autilizareaînsistemamaimultormodulecuacelea¸sifunc¸tii,din
caredoaropartesuntoperante,celelalte…indîna¸steptarepentrua…comutate
înmomentulidenti…c¼ariiuneidefec¸tiuni.Sistemulpoatefunc¸tionacuambele
elementesaunumaicuunuldintreele.Figurademaijosreprezint¼aschemade
conexiuneînparaleladou¼aelemente.
Unmontajînparalelnuesteconvenabilpentrutoateelementelesistemului.
Func¸tionareaînparalelreprezint¼aofunc¸tionarecontinu¼a¸sisimultan¼aadou¼aele-
mente,astfelîncât…ecaredineles¼apoat¼aasigurasingurfunc¸tionareasistemului
atuncicândcel¼alaltelementsedefecteaz¼a.Nutoateelementeleunuisistempot
func¸tionaconformschemeidemaisus.Deregul¼a,dac¼aunuldintreelemente
sedefecteaz¼a,atuncicaracteristicileceluilaltelementseschimb¼a.Dac¼anecesi-
tateaunei…abilit¼a¸tiridicateimpuneutilizareauneitehnicideredundan¸t¼a,atunci
trebuies¼asefoloseasc¼aotehnic¼aderedundan¸t¼adetipul„derezerv¼a”,încare
func¸tioneaz¼aunulsingurdintreelementelecomponente¸siîncaredispunemde
unaldoileaelementidentic,caelementderezerv¼a,pentruînlocuireaprimuluiîn
cazdedefectare.Acesttipderedundan¸t¼aesteanalizatmaijos.
b)Redundan¸tapasiv¼a(detipstatic,decomutaresau„rece”)esteaceltip
deredundan¸t¼aîncareelementulderezerv¼aesteconectatdup¼aceelementulîn
func¸tiunes-adefectat.În…gurademaijoselementulAsea‡¼aînfunc¸tionare,iar
elementulBseconecteaz¼anumaiîncazulîncareAiesedinfunc¸tie.Seadmitec¼a
…abilitateacomutatoruluiestede100%:Cualtecuvinte,…abilitateasistemului
estedat¼anumaide…abilitateacelordou¼acomponenteA¸siB:
Redundan¸taridic¼aserioaseproblemetehnicedeconstruc¸tie,darmaiales…-
nanciare,ceeacefacecaaplicareasaînpractic¼as¼a…elimitat¼a.
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 91
2.6.5Fiabilitateasistemelorkdinn
Unsistemdetipulkdinnesteocolec¸tiedencomponente(sausubsisteme)
identicearanjateînparalelcarefunc¸tioneaz¼adac¼acelpu¸tinkelementecompo-
nentefunc¸tioneaz¼a.Evident,înde…ni¸tiademaisusk·n:Dac¼ak=1,unsistem
1dinnesteunsistemcumontajînparalel,iardac¼ak=n;unsistemndinn
esteunsistemcumontajînserie.Diagramade…abilitateaunuisistemkdinn
seam¼an¼acuaceeaaunuisistemparalel,darlâng¼aeasescrie„kdinn"sauk=n
pentruaseatrageaten¸tiac¼anuesteunsistemparalelobi¸snuit.
Pentrusimplitateaexpuneriivompresupunec¼atoateelementelefunc¸tioneaz¼a
simultan,suntidentice¸siindependente.Not¼amcuR…abilitateaunuielement
launmomentdetimpt¸sicuQde…abilitateaelementuluilaacela¸simomentde
timp.Atunci
R+Q=1:
Pentruunsistemcuncomponenteidenticemontateînparalelavem(R+Q)n=1:
FolosindformulabinomuluiluiNewtonob¸tinem
Rn+nRn¡1Q+n(n¡1)
2!Rn¡2Qn+n(n¡1)(n¡2)
3!Rn¡3Q3+¢¢¢+
+n(n¡1)
2!R2Qn¡2+nRQn¡1+Qn=1:
S¼aanaliz¼amacumsemni…ca¸tiatermenilordindezvoltareademaisus.
Rn=Probabilitateacatoatecelenelementes¼afunc¸tioneze:
nRn¡1Q=Probabilitateacaexactn¡1elementes¼afunc¸tioneze:
n(n¡1)
2!Rn¡2Qn=Probabilitateacaexactn¡2elementes¼afunc¸tioneze:
n(n¡1)(n¡2)
3!Rn¡3Q3=Probabilitateacaexactn¡3elementes¼afunc¸tioneze:
Deaicideducemcaresunt…abilit¼a¸tilepentrusistemeledetipulkdinnpecare
92 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
leprezent¼amîntabelulurm¼ator.
TipuldesistemFiabilitatea
n¡1dinnRn+nRn¡1Q
n¡2dinnRn+nRn¡1Q+n(n¡1)
2!Rn¡2Qn
n¡3dinnRn+nRn¡1Q+n(n¡1)
2!Rn¡2Qn+n(n¡1)(n¡2)
3!Rn¡3Q3
Îngeneral,…abilitateaunuisistemkdinnestedat¼adeformula
Pn¡k
i=0Ci
nRn¡iQi;
undeCi
ndesemneaz¼acombin¼ariledenelementeluatecâtei;adic¼aCi
n=n!
i!(n¡i)!:
Ultimultermenaldezvolt¼ariibinomiale(R+Q)n;¸sianumeQn;reprezint¼a
probabilitateacatoateelementelesistemuluis¼a…edefecte.Aceast¼aprobabilitate
maiestenumit¼a¸side…abilitateasistemuluiparalel¸siestenotat¼aQS=Qn:
Exemplul2.6.9Înacestexempluvomanalizacazulunuisistemcu4elemente
identicecarefunc¸tioneaz¼aînparalel.Înipotezele¸sicunota¸tiiledemaisus,avem
(R+Q)4=R4+4R3Q+6R2Q2+4RQ3+Q4=1;
deunderezult¼a
R3=Probabilitateacatoatecele4elementes¼afunc¸tioneze.
4R3Q=Probabilitateacaexact3elementes¼afunc¸tioneze:
6R2Q2=Probabilitateacaexact2elementes¼afunc¸tioneze:
4RQ3=Probabilitateacaexact1elements¼afunc¸tioneze:
Q4=Probabilitateacatoatecele4elementes¼asedefecteze.
Deregul¼a,sunteminteresa¸tide…abilitateaunorsistemekdinn:Încazulde
fa¸t¼aputemcalcula:
a)Fiabilitateasistemului3din4;adic¼aprobabilitateacacelpu¸tin3elemente
din4s¼afunc¸tioneze
R4+4R3Q=1¡¡6R2Q2+4RQ3+Q4¢:
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 93
b)Fiabilitateasistemului2din4;adic¼aprobabilitateacacelpu¸tin2elemente
din4s¼afunc¸tioneze
R4+4R3Q+6R2Q2=1¡¡
4RQ3+Q4¢
:
c)Fiabilitateasistemului1din4;adic¼aprobabilitateacacelpu¸tin1element
din4s¼afunc¸tioneze(sistemparalel)
R4+4R3Q+6R2Q2+4RQ3=1¡Q4:¤
Exemplul2.6.10Unsistemdeurm¼arireatra…culuiaerianarepatrumonitoare
identice.Fiabilitatea…ec¼aruimonitorlamomentuldetimptestede0;9:Care
este…abilitateasistemuluilamomentult;dac¼astandardeledefunc¸tionarecerca
celpu¸tin3monitoares¼a…eîntotdeaunaînfunc¸tiune?
Avemdecalculat…abilitateaunuisistem3din4:Conformformuleidinex-
emplulanteriorob¸tinem
RS=R4+4R3Q=(0;9)4+4¢(0;9)3¢(0:1)=
=0;6561+0;2916=0;9477:¤
Exemplul2.6.11Dac¼a…abilit¼a¸tileelementelornusuntegale,atuncicalculele
devinmaicomplicate.S¼apresupunemc¼aavemunsistemcutreielementemontate
înparalel.Fiabilit¼a¸tile…ec¼aruielementsuntR1;R2¸sirespectivR3:Nepropunem
s¼adetermin¼am…abilitateasistemuluiînunuldincazurile:
a)celpu¸tinunelementdinceletreitrebuies¼afunc¸tionezepentrufunc¸tionarea
sistemului;
b)celpu¸tindou¼aelementetrebuies¼afunc¸tionezepentruaasigurafunc¸tionarea
sistemului.
Pentruaceastasedezvolt¼aexpresia
(R1+Q1)(R2+Q2)(R3+Q3)=1:
Ob¸tinem
R1R2R3+(R1R2Q3+R1R3Q2+R2R3Q1)+
+(R1Q1Q2+R2Q1Q3+R3Q1Q2)+Q1Q2Q3=1:
Putemcalculaacum…abilit¼a¸tiledorite:
a)Fiabilitateasistemului1din3;adic¼aprobabilitateacasistemuls¼afunc¸tioneze
dac¼acelpu¸tinunelementfunc¸tioneaz¼aeste
R1R2R3+(R1R2Q3+R1R3Q2+R2R3Q1)+(R1Q1Q2+R2Q1Q3+R3Q1Q2)=
=1¡Q1Q2Q3:
94 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
b)Fiabilitateasistemului2din3;adic¼aprobabilitateacasistemuls¼afunc¸tio-
nezedac¼acelpu¸tindou¼aelementefunc¸tioneaz¼aeste
R1R2R3+(R1R2Q3+R1R3Q2+R2R3Q1)=
=1¡(R1Q1Q2+R2Q1Q3+R3Q1Q2)¡Q1Q2Q3:¤
2.6.6Aplicareaformuleiprobabilit¼a¸tiitotalelacalculul
…abilit¼a¸tiisistemelor
Nutoatesistemeleauunmontajcombinatserie-paralel.Înunelecazuride
sistemecumontajmaicomplicatsepoatecalcula…abilitateasistemuluifolosind
formulaprobabilit¼a¸tiitotale(1.12).Reamintimc¼adac¼aH1;H2;:::;Hnesteun
sistemcompletdeevenimente¸siGunevenimentcareseproduceodat¼acupro-
ducereaacelpu¸tinunuiadintreevenimenteleHi;atunciprobabilitateaproducerii
evenimentuluiGestedat¼adeformula
P(G)=nX
i=1P(Hi)P(GjHi):
Pentruaplicareaformuleiprobabilit¼a¸tiitotalelacalculul…abilit¼a¸tiisistemului
sealegeunelementjalsistemului¸siseconsider¼aevenimentulHj=fTj>tg;
adic¼a,„elementuljfunc¸tioneaz¼af¼ar¼adefec¸tiunipân¼alamomentuldetimpt":
Evenimentulcontrar,Hj;esteevenimentul„elementuljs-adefectatpân¼alamo-
mentuldetimpt":Hj¸siHjformeaz¼aunsistemcompletdeevenimente.Probabi-
litateaproduceriievenimentuluiHjnuestealtcevadecât…abilitateaelementului
j:Maiprecis,avemegalit¼a¸tile
P(Hj)=P(Tj>t)=Rj(t);P(Hj)=1¡P(Hj)=1¡Rj(t):
FieG=fT>tg;evenimentul„sistemulfunc¸tioneaz¼af¼ar¼adefectarepân¼ala
momentult":ProbabilitateaproduceriievenimentuluiGeste…abilitateasistemu-
luiconsiderat.Simbolic,putemscrie
P(G)=P(T>t)=RS(t):
Aplicândformulaprobabilit¼a¸tiitotalepentrusistemulcompletdeevenimente
fHj;Hjg;rezult¼ac¼a…abilitateasistemuluiestedat¼aderela¸tia
RS(t)=P(G)=P(Hj)P(GjHj)+P(Hj)P(GjHj):(2.69)
Exemplul2.6.12Pentruexempli…careaacesteimetodeconsider¼amunsistem
careareelementeleînl¼an¸tuiteconformdiagrameide…abilitatedin…gura2.19.
Vomspunec¼aunastfeldesistemarecomponenteleconectate„înpunte”¸siîl
vomnumisistem„înpunte”.Fiabilit¼a¸tileelementelorcomponenteA;B;:::vor
…notateRA;RB;::::
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 95
Fig.2.19:Diagramade…abilitateaunuisistem„înpunte”
Pentrucalculul…abilit¼a¸tiiacestuisistemvomaplicaformulaprobabilit¼a¸tii
totale(2.69)luândînconsiderarefunc¸tionareasaunefunc¸tionareaelementului
C.Not¼amcuHCevenimentulcareconst¼aînfunc¸tionareaelementuluiCla
momentult¸sicuHCevenimentulcontrar.
Dac¼aelementulCfunc¸tioneaz¼a,atuncisistemulfunc¸tioneaz¼acadou¼asub-
sistememontateînserie,notatecuI¸siII,…ecaresubsistem…indcumontajîn
paralel.Acestmoddefunc¸tionareestedescrisîndiagramadin…gura2.20.Dup¼a
Fig.2.20:Diagramade…abilitateasistemului„înpunte”încazulîncareele-
mentulCfunc¸tioneaz¼a
cumsevededinaceast¼a…gur¼a,dac¼aelementulCfunc¸tioneaz¼aatuncisistemul
vafunc¸tionadac¼afunc¸tioneaz¼aunuldintreelementeleAsauB¸siunuldintre
elementeleCsauD;adic¼adac¼afunc¸tioneaz¼asubsistemeleI¸siIIlegateînse-
rie.Atunciprobabilitateacasistemuls¼afunc¸tionezelamomentult;¸stiindc¼a
elementulCfunc¸tioneaz¼a,este
P(GjHC)=RI¢RII=[1¡(1¡RA)(1¡RB)]¢[1¡(1¡RD)(1¡RE)]:
Dac¼aelementulCnufunc¸tioneaz¼a,atuncisistemulfunc¸tioneaz¼acadou¼asub-
sistememontateînparalel,notateIII¸siIV,…ecaresubsistem…indcumontajîn
96 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.21:Diagramade…abilitateasistemului„înpunte”încazulîncareele-
mentulCnufunc¸tioneaz¼a
serie,dup¼acumseobserv¼adindiagrama…abilit¼a¸tiidin…gura2.21.Cândele-
mentulCnufunc¸tioneaz¼a,sistemulvafunc¸tionadac¼afunc¸tioneaz¼acelpu¸tinunul
dintresubsistemeleIIIsauIV.Atunciprobabilitateacasistemuls¼afunc¸tioneze
lamomentult;¸stiindc¼aelementulCnufunc¸tioneaz¼a,este
P(GjHC)=1¡(1¡RIII)(1¡RIV)=1¡(1¡RARD)¢(1¡RBRE):
Folosindformula(2.69)putemcalcula…abilitateasistemului„înpunte”.
RS(t)=P(HC)P(GjHC)+P(HC)P(GjHC)=
=RC[1¡(1¡RA)(1¡RB)]¢[1¡(1¡RD)(1¡RE)]+
+(1¡RC)[1¡(1¡RARD)¢(1¡RBRE)]:
Dac¼apresupunemc¼atoatecelecincielementecomponentealesistemuluisunt
identice¸siau…abilit¼a¸tileegalecu0;9;atunci,cuajutorulformuleidemaisus,
ob¸tinem…abilitateasistemuluiegal¼acu0;97848:¤
2.6.7Folosireatabeluluidecontrolpentrucalculul
…abilit¼a¸tiisistemelor
Calcularea…abilit¼a¸tiisistemelorcomplexesepoatefacecuajutorultabelelor
decontrolalevenimentelor.Acestprocedeudecalculesteextremdeclar¸sipre-
cisdararedezavantajulc¼apentrusistemelecuunnum¼armaredecomponente
volumuldecalculeestefoartemare.Pentruu¸surin¸tacalculelorvompresupune
c¼aelementelesistemuluifunc¸tioneaz¼aindependentunuldealtul.Cualtecu-
vinte,func¸tionareasaudefectareaunuielementdinsistemnuin‡uen¸teaz¼astarea
celorlalteelemente.
Printabeluldecontrol(truthtable)alevenimentelorseîn¸telegetabelultu-
turorcombina¸tiilorposibiledeevenimentecareneintereseaz¼aînleg¼atur¼acu
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 97
stareasistemului.Pentruîn¸telegereametodeivomexaminalaînceputcâteva
cazurisimple.
Exemplul2.6.13Pentruunsistemcareareosingur¼acomponent¼aA;tabelul
decontrolalevenimenteloreste
EvenimenteleStareasistemuluiProbabilitatea
AFunc¸tioneaz¼a P(A)
ANufunc¸tioneaz¼a 1¡P(A)
Încontinuarevomexaminasitua¸tiaunorsistemecareaudou¼acomponenteA
¸siB:Vomnotacuaceea¸siliteraAevenimentulcaelementulAs¼afunc¸tioneze¸sicu
Aevenimentulcontrar,elementulAnufunc¸tioneaz¼a.Similarpentrucomponenta
B:Pentrusimplitateascrieriivomnotaa=P(A)¸sib=P(B);iarînlocdeA\B
vomscrieAB:
Exemplul2.6.14Unsistemcudou¼acomponenteA¸siBmontateînserieare
tabeluldecontrolalevenimentelorfolositpentrucalculul…abilit¼a¸tiideformade
maijos:
EvenimenteleStareasistemuluiProbabilitatea
ABFunc¸tioneaz¼a ab
ABNufunc¸tioneaz¼a a(1¡b)
ABNufunc¸tioneaz¼a (1¡a)b
ABNufunc¸tioneaz¼a(1¡a)(1¡b)
Exemplul2.6.15Unsistemcudou¼acomponenteA¸siBmontateînparalel
aretabeluldecontrolalevenimentelorfolositpentrucalculul…abilit¼a¸tiideur-
m¼atoareaform¼a:
EvenimenteleStareasistemuluiProbabilitatea
ABFunc¸tioneaz¼a ab
ABFunc¸tioneaz¼a a(1¡b)
ABFunc¸tioneaz¼a (1¡a)b
ABNufunc¸tioneaz¼a(1¡a)(1¡b)
Dup¼acumseobserv¼adinexempleledemaisus,tabeluldecontrolalunui
sistemcu2elementeare22=4linii.Pentruunsistemcunelementenum¼arul
deliniieste2n:Folosireaacesteimetodeestedi…cil¼apentruvalorimarialeluin:
Deexemplu,pentrun=10tabeluldecontrolare1024delinii.
Metodatabeluluidecontrolalevenimentelorsedovede¸steutil¼aîncazulsis-
temelornumite„kdinn":Unsistemdetipulkdinnesteocolec¸tiedencom-
ponenteidenticearanjateînparalelcarefunc¸tioneaz¼adac¼acelpu¸tinkelemente
componentefunc¸tioneaz¼a.Evident,înde…ni¸tiademaisusk·n:Dac¼ak=1,
98 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
unsistem1dinnesteunsistemcumontajînparalel,iardac¼ak=n;unsistem
ndinnesteunsistemcumontajînserie.Diagramade…abilitateaunuisistem
kdinnseam¼an¼acuaceeaaunuisistemparalel,darlâng¼aeasescrie„kdinn"
sauk=npentruaseatrageaten¸tiac¼anuesteunsistemparalelobi¸snuit.
Pentruaexempli…cautilizareatabeluluidecontrolalevenimentelorpentru
calculul…abilit¼a¸tiiunuisistemdetipulkdinnconsider¼amcazulk=2¸sin=3:
Exemplul2.6.16Unsistemdetipul2din3aretreicomponenteidentice.Prob-
abilitateadefunc¸tionarea…ec¼aruielementestep:Tabeluldecontrolaleveni-
mentelorînacestcazeste
EvenimenteleStareasistemuluiProbabilitatea
AAAFunc¸tioneaz¼a p3
AAAFunc¸tioneaz¼a p2(1¡p)
AAAFunc¸tioneaz¼a p2(1¡p)
AAAFunc¸tioneaz¼a p2(1¡p)
AAANufunc¸tioneaz¼a p(1¡p)2
AAANufunc¸tioneaz¼a p(1¡p)2
AAANufunc¸tioneaz¼a p(1¡p)2
AAANufunc¸tioneaz¼a (1¡p)3
Probabilitateadefunc¸tionareaunuisistem2din3încaretoatecomponentele
suntidentice,deci…abilitateasistemului,estep3+3p2(1¡p):¤
Pentrusistemeledetipulkdinn;calculul…abilit¼a¸tiisepoatefacemaicomod
folosindmetodabinomuluiluiNewtoncareafostprezentat¼aînsubsec¸tiunea
2.6.5.
Metodatabeluluidecontrolalevenimentelor,de¸sinecesit¼aunvolummarede
calcule,sedovede¸steutil¼aîncazulsistemelorcuostructur¼acomplex¼a.Pentru
exempli…careconsider¼amurm¼atorulexemplu.
Exemplul2.6.17Unsistemcu5componenteidenticeareunmontaj„înpunte”
caîn…gura2.19.Presupunemc¼a…abilitatea…ec¼areicomponenteeste0;9.Care
este…abilitateasistemului?
Sistemulconsideratesteacela¸sicuceldinexemplul2.6.12,undeamfolosit
formulaprobabilit¼a¸tiitotalepentrucalcul…abilit¼a¸tii.Folosindmetodatabelului
decontrolalelementelorob¸tinemaltmoddecalculal…abilit¼a¸tiiacestuisistem
(vezitabelelecareurmeaz¼a).Deoareceevenimenteleluateînconsidera¸tiesunt
disjuncte,probabilitateadefunc¸tionareasistemuluiseob¸tineadunândprobabi-
lit¼a¸tilepentrucazulîncaresistemulfunc¸tioneaz¼a.
R=0;95+5¢0;94¢0;1+8¢0;93¢0;12+2¢0;92¢0;13=0;97848:
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 99
EvenimenteleStareasistemuluiProbabilitatea
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)5
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)4(0;1)
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)4(0;1)
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)4(0;1)
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)4(0;1)
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)4(0;1)
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)3(0;1)2
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)3(0;1)2
EvenimenteleStareasistemuluiProbabilitatea
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDEFunc¸tioneaz¼a (0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)2(0;1)3
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)1(0;1)4
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)1(0;1)4
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)1(0;1)4
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)1(0;1)4
ABCDENufunc¸tioneaz¼a(0;9)1(0;1)4
ABCDENufunc¸tioneaz¼a (0;1)5
100 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
2.6.8Determinarealimitelor…abilit¼a¸tiisistemelor
complexe
Sistemelecareseîntâlnescînpractic¼apot…multmaicomplexedecâtcele
cumontajserie-paralel.Unastfeldesistemestesistemulanalizatînexemplul
2.6.12.Demulteori,înloculefortuluideadeterminavaloareaexact¼aa…abi-
lit¼a¸tiisistemului,seprefer¼adeterminareaunorvaloriîntrecaresepoateîncadra
…abilitateasistemului.Pân¼aaajungelaexplicareaacesteimetodeavemnevoie
decâtevade…ni¸tii.
Vomnumimul¸timetraseuomul¸timedecomponentealesistemuluicare
realizeaz¼aoconectareîntreintrarea¸siie¸sireasistemului.Omul¸timeatraseuse
nume¸steminimal¼adac¼ascoatereaoric¼areicomponentedineaîianuleaz¼aaceast¼a
proprietate.Prinurmare,omul¸timetraseuminimal¼aesteomul¸timeminimal¼a
decomponentecaredac¼afunc¸tioneaz¼aasigur¼afunc¸tionareaîntreguluisistem.
Vomnumimul¸timet¼aietur¼aomul¸timedecomponentealesistemuluicaredac¼a
nufunc¸tioneaz¼aîntrerupeoriceconectareîntreintrarea¸siie¸sireasistemului.O
mul¸timet¼aietur¼asenume¸steminimal¼adac¼ascoatereaoric¼areicomponentedinea
îianuleaz¼aaceast¼aproprietate.Prinurmare,omul¸timet¼aietur¼aminimal¼aesteo
mul¸timeminimal¼adecomponentecaredac¼asedefecteaz¼aconduceladefectarea
întreguluisistem.
Pentruexempli…carevomconsideraunsistemînpuntecucincicomponente
ac¼areidiagram¼aestedat¼aîn…gura2.22.
Fig.2.22:Diagramade…abilitateaunuisistemcomplexcucincielemente
Înacestsistemavemurm¼atoarelemul¸timitraseuminimale:f1;2g;f4;5g;
f1;3;5g;f4;3;2g:Mul¸timilet¼aietur¼aminimalesunt:f1;4g;f2;5g;f1;3;5g;
f4;3;2g:Dup¼acumseobserv¼aomul¸timedecomponentealesistemuluipoate
…înacela¸sitimp¸simul¸timetraseuminimal¼a¸simul¸timet¼aietur¼aminimal¼a.
Deoarececalculul…abilit¼a¸tiiunuisistemcomplexpoate…foartelaborios,de
multeoriseprefer¼adeterminareaunorconstantem¸siMastfelîncât…abilitatea
sistemuluiRSs¼a…ecuprins¼aînintervalul[m;M]:Constantamsenume¸steun
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 101
minorantal…abilit¼a¸tiiRS;iarMpoart¼anumeledeunmajorantal…abilit¼a¸tii
RS:
Pentruunsistemcomplexdeterminareaunormarginilargiale…abilit¼a¸tiise
poatefaceastfel:
a)Secalculeaz¼a…abilitateasistemuluipresupunândc¼atoateelementelecon-
stitutivear…montateînserie.Seob¸tineastfelunminorantmpentruRS:
b)Secalculeaz¼a…abilitateasistemuluipresupunândc¼atoateelementelecon-
stitutivear…montateînparalel.Seob¸tineastfelunmajorantMpentruRS:
Exemplul2.6.18S¼apresupunemc¼aînsistemulac¼aruidiagram¼aesteprezen-
tat¼aîn…gura2.22toateelementeleconstitutivesuntidentice¸siauo…abilitate
egal¼acu0;9:Dac¼atoatecelecincicomponentear…montateînserieatunci…a-
bilitateasistemuluiar…de0;95=0;59049:Dac¼aîns¼acelecincicomponentear…
montateînparalel,atunci…abilitateasistemuluiar…1¡(1¡0;9)5=0;99999:Prin
urmare…abilitateasistemuluisatisfaceinegalitatea0;59049·RS·0;99999:¤
Dup¼acumsepoateobservadinexemplulanterior,intervaluldeterminatîntre
limitelec¼aruiaseîncadreaz¼a…abilitateasistemuluipoate…destuldelarg¸siesti-
mareaf¼acut¼anuneestedepreamarefolos.Pentruadeterminaunintervalmai
precissefolosescmul¸timiletraseuminimale¸simul¸timilet¼aietur¼aminimalecare
aufostde…nitemaisus.
Dac¼aunsistemcomplexarenmul¸timitraseuminimalenotateL1;L2;:::;Ln,
atunci…abilitateasistemuluiRS(t)estedat¼adeformula
RS(t)=P(L1[L2[:::[Ln); (2.70)
undeamnotattotcuLievenimentulcatoatecomponentelemul¸timiitraseuLi
s¼afunc¸tionezelamomentuldetimpt.
Laprimavedereformula(2.70)parebun¼apentrudeterminarea…abilit¼a¸tisis-
temuluideoareceesteu¸sors¼acalcul¼am…abilitatea…ec¼aruievenimentLi(ele-
mentelecarecompunmul¸timeaLisuntlegateînserie).Opriviremaiatent¼a
asupraevenimentelorLinearat¼ac¼aacesteanusuntîntotdeaunaincompati-
bile.Esteposibilcamul¸timileLi¸siLj,cui6=j;s¼aaib¼aelementecomune¸si
atunciLi\Lj6=;.Prinurmare,nuputemaplicaformula(1.2)pentrucalculul
probabilit¼a¸tiireuniuniiunorevenimenteincompatibilecasum¼aaprobabilit¼a¸tilor
evenimentelorcomponente.Înbazaformulei(1.8)avemîns¼ainegalitatea
RS(t)=P(L1[L2[:::[Ln)·P(L1)+P(L2)+¢¢¢+P(Ln);
carefurnizeaz¼aunmajorantpentru…abilitateasistemului.
S¼apresupunemacumc¼aunsistemcomplexarekmul¸timit¼aietur¼aminimale
notateC1;C2;:::;Ck:Unargumentsimilarcuceldemaisusneconducelacon-
cluziac¼aunminorantpentru…abilitateasistemuluiRS(t)estedatdeinegalitatea
RS(t)¸1¡(P(C1)+P(C2)+¢¢¢+P(Ck));
102 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
undeaceea¸siliter¼aCidesemneaz¼a¸sievenimentulcatoatecomponentelemul¸timii
det¼aietur¼aCis¼asedefectezeînaintedemomentuldetimpt:
Încontinuarevomdescrieometod¼auzual¼apentrudeterminareamarginilor
…abilit¼a¸tiiunuisistemcomplexfolosindmul¸timiletraseuminimale¸simul¸timi-
let¼aietur¼aminimale.Metodaconst¼aînaproducedou¼asistemeserie-paralel
folosindmul¸timileminimaletraseu¸sit¼aietur¼aastfelîncât…abilitateaunuiaeste
unmajorantpentru…abilitateasistemuluicomplex,iar…abilitateaceluilalteste
unminorant.Pentruîn¸telegereaacesteimetodeprezent¼amurm¼atorulexemplu.
Exemplul2.6.19Consider¼amsistemulcucomponentelemontateînpuntea
c¼areidiagram¼aestedat¼aîn…gura2.22.Presupunemc¼a…abilitatea…ec¼areicom-
ponenteestede0;9¸sivrems¼adetermin¼ammarginile…abilit¼a¸tiiacestuisistem
folosindmul¸timileminimaletraseu¸sit¼aietur¼a.
Pentruob¸tinereaunuimajorantsescriutoatemul¸timiletraseuminimale¸si
apoiserealizeaz¼aunsistemparalel-serieîncareelementele…ec¼areimul¸timitraseu
minimalesuntconectateînserie¸siapoitoatetraseeleminimalesuntmontateîn
paralel(vezi…gura2.23.)
Fig.2.23:Sistemformatprinconectareaînserieaelementelormul¸timilortraseu
¸siapoiaacestoraînparalel
Dup¼acumseobserv¼aesteposibilcadou¼asaumaimultetrasees¼aaib¼acompo-
nentecomune.Înconsecin¸t¼a,dac¼aocomponent¼acomun¼asedefecteaz¼a,eaatrage
dup¼asinedefectarea…ec¼areimul¸timitraseucareocon¸tine,ceeaceînseamn¼ac¼a
mul¸timiletraseunusuntindependente.Prinurmare,…abilitateaunuisistem
formatprinmontareaînparalelamul¸timilortraseuminimalevasupraestima
…abilitateasistemuluiatuncicândtraseelesuntpresupuseindependente.
Într-adev¼ar,s¼anot¼amcuA;B;C¸siDblocurileserieformatecuelementele
mul¸timilortraseuminimale.Pentrucasistemuls¼afunc¸tionezeestenevoieca
2.6.FIABILITATEASISTEMELOR 103
celpu¸tinunuldintreacesteblocuris¼afunc¸tioneze.Cualtecuvinte,pentrua
determina…abilitateaacestuisistemavemdecalculatprobabilitatea
P(A[B[C[D):
DeoareceevenimenteleA;B;C;Dsuntcompatibileestemaigreudeevaluat
aceast¼aprobabilitatedirect.Pentruu¸surin¸t¼asevautilizaformula(1.3)care
permitecalcululfolosindprobabilitateaevenimentuluicontrar¸si,înplus,vom
presupunetraseeleindependente.Avem
P(A[B[C[D)=1¡P(A[B[C[D)=1¡P(A\B\C\D)=
=1¡(1¡P(A))¢(1¡P(B))¢(1¡P(C))¢(1¡P(D)):
Folosindformula(2.55)pentrucalcul…abilit¼a¸tiisistemelorcumontajînserie
ob¸tinem
P(A)=0;92;P(B)=0;92;P(C)=0;93;P(D)=0;93:
Fiabilitateasistemuluiînpuntedatîn…gura2.22estemaimic¼adecâtasistemului
transformatconform…gurii2.23.Evaluând…abilitateaacestuidinurm¼asistem
pebazacelorob¸tinutemaisusseob¸tineinegalitatea
RS·1¡(1¡0;92)¢(1¡0;92)¢(1¡0;93)¢(1¡0;93)=0;99735:
Pentruob¸tinereaunuiminorantsescriutoatemul¸timilet¼aietur¼aminimale¸si
serealizeaz¼aunsistemserie-paralelîncareelementele…ec¼areimul¸timit¼aietur¼a
minimalesuntconectateînparalel¸sipoatetoatet¼aieturileminimaleînserie(vezi
…gura2.24).Dac¼adou¼asaumaimultemul¸timit¼aietur¼acon¸tinocomponent¼a
comun¼a,atuncimul¸timilet¼aietur¼anusuntindependente.Prinurmare,dac¼a
ocomponent¼acomun¼afunc¸tioneaz¼a,atuncioricemul¸timet¼aietur¼acarecon¸tine
aceacomponent¼avafunc¸tiona.Înconsecin¸t¼a,…abilitateasistemuluiformatprin
montareaînserieamul¸timilort¼aietur¼ava…maimic¼adecât…abilitateaaceluia¸si
sistemîncazulîncaresepresupunec¼amul¸timilet¼aietur¼asuntindependente.
S¼anot¼amcuA;B;C;Dsubsistemeleparalelecarecompunsistemulseriedin
…gura2.24.Înacestcaz,determinarea…abilit¼a¸tiiacestuisistemrevinelaacal-
culaprobabilitateaP(A\B\C\D),care,înipotezaindependen¸teimul¸timilor
t¼aietur¼a,devine
P(A\B\C\D)=P(A)¢P(B)¢P(C)¢P(D):
Folosindformula(2.61)pentrucalculul…abilit¼a¸tiiunuisistemcumontajînparalel
ob¸tinem
P(A)=1¡(1¡0;9)2;P(B)=1¡(1¡0;9)2;
P(C)=1¡(1¡0;9)3;P(D)=1¡(1¡0;9)3:
104 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Fig.2.24:Sistemformatprinconectareaînparalelaelementelormul¸timilor
t¼aietur¼a¸siapoiaacestoraînserie
Fiabilitateasistemuluiînpuntedatîn…gura2.22estemaimaredecâtasis-
temuluitransformatconform…gurii2.24.Evaluând…abilitateaacestuidinurm¼a
sistemconformcelordemaisusseob¸tineinegalitatea
RS¸£
1¡(1¡0;9)2¤£
1¡(1¡0;9)2¤£
1¡(1¡0;9)3¤£
1¡(1¡0;9)3¤
=
=0;97841:
Prinurmare,…abilitateasistemuluiini¸tialsatisfaceinegalitatea
0;97841·RS·0;99735:
Fiabilitateaexact¼aaacestuisistem,calculat¼aînexemplul2.6.17,este0;97848,
ceeacearat¼autilitateametodeidescrisemaisus.¤
Îngeneral,unminorantpentru…abilitateaunuisistemcomplexsedetermin¼a
cuformula
Rmin=kQ
i=1"
1¡Q
j2Si(1¡Rj)#
; (2.71)
undekestenum¼arulmul¸timilort¼aietur¼aminimal¼aiarSiestemul¸timeaindi-
ciloraacelorcomponentecarecompunmul¸timeat¼aietur¼aminimal¼aCi:Expresia
dinparantezeesteprobabilitateacacelpu¸tinunadintrecomponentelemul¸timii
t¼aietur¼aminimal¼aCis¼afunc¸tioneze.
Unmajorantal…abilit¼a¸tiiunuisistemcomplexsedetermin¼apebazaformulei
Rmax=1¡nQ
i=1"
1¡Q
j2S0
iRj#
; (2.72)
undenestenum¼arulmul¸timilortraseuminimaleiarS0
iestemul¸timeaindicilorale
acelorcomponentecompunmul¸timeatraseuminimal¼aLi:Expresiadinparanteze
2.7.NOTE¸SICOMENTARII 105
esteprobabilitateacamul¸timeatraseuminimal¼aLis¼anufunc¸tioneze.Pentru
demonstrareaformulelor(2.71),(2.72)sepoateconsulta[9],pag.14-16,sau
pentruodeducereintuitiv¼a[7],pag.96.
2.7Note¸sicomentarii
Cititorulinteresatdeocunoa¸steremaiprofund¼aateorieimatematicea…-
abilit¼a¸tii¸siaaplica¸tiloreiînproducereadeechipamentetehnice…abilepoate
consultaexcelentalucrarealuiC.E.Ebeling[7].Aicipoateg¼asir¼aspunsulla
multedinproblemeledeteoria…abilit¼a¸tiicarenuauputut…cuprinseînacest
capitol.
Oalt¼asurs¼afoartebun¼adedocumentarepentruteoria…abilit¼a¸tii,careîm-
bin¼aexcelentprezentareateoretic¼acuceaaplicativ¼a,estelucrarea[18]depeste
1000depagini.Eapoate…desc¼arcat¼agratuitdepeInternetdelaadresa
http://www.weibull.com/knowledge/milhdbk.htm,locundesemaia‡¼aalte50
delucr¼arisimilare.Dere¸tinutadresahttp://www.weibull.com,undesepotg¼asi
excelentec¼ar¸tielectronicepentrustudiereateoriei…abilit¼a¸tii¸simultelink-uri
c¼atrealtesite-uridepeInternetconsacrate…abilit¼a¸tii.
Cititorulinteresatdeaspectelematematiceale…abilit¼a¸tiisistemelorpoate
consultalucrarealuiDorinLix¼androiu[9].
Echipamentele¸siinstala¸tiiletehniceactualeauîncomponen¸talorp¼ar¸tielec-
troniceac¼arorfunc¸tionaresebazeaz¼apeprogramedecalcul.Deaceeastudierea
…abilit¼a¸tiiacestorcomponentetrebuies¼aaib¼aînvedere¸si…abilitateap¼ar¸tiide
soft.Acestnouaspectalteoriei…abilit¼a¸tiiesteprezentatdeIonV¼aduvaînlu-
crarearecent¼a[17].
106 CAPITOLUL2.TEORIAFIABILIT¼A¸TII
Capitolul3
MENTENABILITATEA
3.1De…ni¸tie.Expresiamatematic¼a
Mentenabilitateareprezint¼acapacitateaunuisistem,încondi¸tiidatedeuti-
lizare,dea…men¸tinutsaurestabilitînstareadea-¸siîndeplinifunc¸tiaspeci…cat¼a,
atuncicândîntre¸tinerea¸sirepara¸tiileseefectueaz¼aîncondi¸tiidate,cuprocedee
deremediereprecise.A¸sadar,mentenabilitateaesteaceaînsu¸sirecalitativ¼aa
unuisistem,privit¼adinpunctdevederealîntre¸tinerii¸sirepar¼arii.
Lafelca¸sino¸tiuneade…abilitate,mentenabilitateaprezint¼adou¼aaspecte,¸si
anume:
1)Aspectulcalitativ-reprezint¼acapacitateasistemuluideaputea…suprave-
gheat,între¸tinut¸sireparatîntr-oanumit¼aperioad¼adetimp¸siîncondi¸tiidate.
2)Aspectulcantitativ-reprezint¼acaracteristicaunuisistemexprimat¼aprin
probabilitatearepuneriisaleînstaredefunc¸tionareînlimitelespeci…cate¸siîn
condi¸tiiledate,atuncicândapareundefect.
Capacitateasistemelorsauelementelordea-¸sirestabilipropriet¼a¸tilecaurmare
aopera¸tieiderepararesenume¸stecapacitatederestabilire.
Readucereasistemuluiînstaredefunc¸tionareserealizeaz¼a…eprinînlocuirea
elementuluidefect,…ef¼ar¼aînlocuire¸sianumeprinregl¼ari,ajust¼ari,cur¼a¸t¼ari.
Caracteristiciledementenabilitateseexprim¼aprincincielementeprincipale:
1)no¸tiuneadeprobabilitate;
2)de…ni¸tiast¼ariidefunc¸tionare;
3)limiteleduratelordetimpspeci…cate;
4)condi¸tiileprecizate;
5)metodeleprescrise.
InconformitatecuprevederileSTAS8174/2–77,„Fiabilitate,mentenabilitate
¸sidisponibilitate.Terminologie”,prinmentenan¸t¼aseîn¸telegeansamblulac¸ti-
unilortehnice¸siorganizatoriceasociatecaresuntefectuateînscopulmen¸tinerii
saurestabiliriiunuidispozitivînstareadea-¸siîndeplinifunc¸tiilespeci…cate.
Mentenan¸tade…ne¸steactivitateadepus¼aînvederearestabiliriicapacit¼a¸tiidebun¼a
107
108 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
func¸tionareasistemuluidup¼aces-aprodusoc¼adere.Eapoate…de…nit¼a¸sica
activitatedemen¸tinereacaracteristicilorcalitativealeunuisistem,structurisau
produs.
Teoria…abilit¼a¸tiiarecascopconceperea(producerea)desistemetehnicea
c¼arordurat¼adefunc¸tionarepân¼alaprimadefectares¼a…ecâtmailung¼aposibil.
Înteoriamentenabilit¼a¸tiiaccentulsepunepeconcepereaunorsistemetehniceale
c¼arordefec¸tiunis¼apoat¼a…reparatecâtmairepedeposibil.Combina¸tiadintre
o…abilitatesuperioar¼a¸siomentenabilitatearidicat¼aconducelarealizareade
sistemetehnicecuolung¼aperioad¼adedisponibilitate.
Practicvorbind,mentenabilitateam¼asoar¼au¸surin¸ta¸sirapiditateacucare
unsistemsauunechipamenttehnicpoate…restabilitînparametriiini¸tialide
func¸tionaredup¼aceaavutlocodefectare.Esteofunc¸tiecaredepindedefoarte
mul¸tiparametri,dintrecareputemmen¸tiona:proiectareasistemului,cali…carea
personaluluideexploatare¸siîntre¸tinere,programareacorespunz¼atoareaproce-
durilordeveri…care¸sitestare,mediul…zicîncaresistemullucreaz¼a,etc.To¸ti
ace¸stiparametrisuntaleatori,deaceeateoriamentenabilit¼a¸tiisebazeaz¼ape
studiulunorvariabilealeatoarediscretesaucontinue.
Concepteledebaz¼adinteoriamentenabilit¼a¸tiisepotintroduceprinanalo-
giecuceledinteoria…abilit¼a¸tiifolosindurm¼atorul„dic¸tionar”detraducerea
termenilor:
t–timpulpân¼alaprimadefectaredinteoria…abilit¼a¸tiiseînlocuie¸stecu
timpulderestabilireafunc¸tiilorsistemului;
¸(t)–ratadefectelorseînlocuie¸stecuratarepara¸tiilor¹(t);
F(t)=1¡R(t)–probabilitateadedefectareasistemuluilamomentuldetimp
tseînlocuie¸stecuprobabilitateaderestabilirecomplet¼aafunc¸tiilorsistemuluila
momentult,func¸tienotat¼acuM(t):
FieTvariabilaaleatoarecontinu¼areprezentândtimpuldereparareaunui
sistemtehnic.
De…ni¸tie.Senume¸stefunc¸tiedementenabilitatesaufunc¸tiarepar¼arii
latimpaunuisistem,¸sisenoteaz¼acuM(t);probabilitateaderestabilirecom-
plet¼aafunc¸tiilorsistemuluilamomentult:Deci
M(t):=P(T<t): (3.1)
M(t)reprezint¼aprobabilitateacareparareasistemuluis¼a…eterminat¼aîninter-
valul(0;t).
Vompresupunec¼avariabilaaleatoareTarecadensitatedeprobabilitate
func¸tiacontinu¼ag(t)¸0;8t¸0cuR1
0g(t)dt=1:Atuncifunc¸tiademente-
nabilitatesepoatecalculacuformula
M(t)=Zt
0g(u)du: (3.2)
3.1.DEFINI¸TIE.EXPRESIAMATEMATIC¼A 109
Înconsecin¸t¼a,M(0)=0¸si
M0(t)=g(t);8t¸0: (3.3)
Func¸tiei¸(t)(riscdedefectaresauratadefect¼arilor)dinteoria…abilit¼a¸tii
îicorespundeînteoriamentenabilit¼a¸tiifunc¸tia¹(t);ratarepar¼arilor.Func¸tia
¹(t)reprezint¼avitezacucareoac¸tiunedereparareesteexecutat¼a¸siseexprim¼a
prinnum¼aruldeac¸tiunidereparareexecutatecusuccespeunitateadetimp(de
regul¼a,peor¼a).
Formulei
¸(t)=f(t)
R(t)
dinteoria…abilit¼a¸tiiîicorespundeînteoriamentenabilit¼a¸tiiformula
¹(t)=g(t)
1¡M(t): (3.4)
Integrândrela¸tia(3.4)peintervalul[0;t]¸si¸tinândseamade(3.3)avem
Zt
0¹(u)du=¡Zt
0¡M0(u)
1¡M(u)du=¡ln(1¡M(u))jt
0
=¡ln(1¡M(t))+ln(1¡M(0))=¡ln(1¡M(t));
deundeseob¸tineexpresiageneral¼aafunc¸tieidementenabilitateînraportde
ratarepar¼arilor
M(t)=1¡expµ
¡Zt
0¹(u)du¶
: (3.5)
Din(3.4)¸si(3.5)seob¸tinepentrudensitateadeprobabilitateg(t)rela¸tia
g(t)=¹(t)expµ
¡Zt
0¹(u)du¶
: (3.6)
ValoareamedieavariabileialeatoareT,notat¼aMTTR(dela„MeanTime
ToRepair”),reprezint¼atimpulmediuderestabilireafunc¸tiilorsistemului¸sise
poatedeterminacalculândunadinintegraleledemaijos.
MTTR:=Z1
0tg(t)dt=Z1
0(1¡M(t))dt: (3.7)
DispersiavariabileialeatoareTsedetermin¼apebazarela¸tiei
¾2=Z1
0(t¡MTTR)2g(t)dt: (3.8)
110 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Exemplul3.1.1Timpuldereparareadefec¸tiunilorap¼arutelaunsistemtehnic
aredensitateadeprobabilitatedat¼adefunc¸tia
g(t)=0;02¢t;0·t·10;
undetestem¼asuratînore.
Seobserv¼amaiîntâic¼ag(t)esteodensitatedeprobabilitate,deoarece
Z10
0g(t)dt=0;02Z10
0tdt=0;02t2
2¯¯¯¯10
0=0;01¢100=1:
Conformformulei(3.2)func¸tiadementenabilitateasistemuluitehniceste
M(t)=Zt
0g(u)du=0;02Zt
0udu=0;02u2
2¯¯¯¯t
0=0;01t2:
Probabilitateacasistemuls¼apoat¼a…reparatînmaipu¸tindedou¼aoreare
valoarea
M(2)=0;01¢22=0;04:
Timpulmediuderestabilireafunc¸tiilorsistemului,conformformulei(3.7),
este
MTTR=Z10
00;02t2dt=0;02t3
3¯¯¯¯10
0=0;021000
3=6;667ore.
¤
Cazulcândtimpuldereparareurmeaz¼adistribu¸tiaexponen¸tial¼a
Dac¼aratarepar¼arilor(num¼arulderepara¸tiipeunitateadetimp)estecon-
stant¼a,i.e.,¹(t)=¹,atunci,conformrela¸tiei(3.6),rezult¼a
g(t)=¹exp(¡¹t);
ceeacearat¼ac¼avariabilaaleatoareT,timpuldereparare,areodistribu¸tieexpo-
nen¸tial¼adeparametru¹:Înacestcazfunc¸tiadementenabilitateareexpresia
M(t)=1¡exp(¡¹t);
iartimpulmediudereparareesteconstant¸siegalcu1
¹;dup¼acumrezult¼adin
calcululdemaijos:
MTTR=Z1
0(1¡M(t))dt=Z1
0e¡¹tdt=¡1
¹e¡¹t¯¯1
0=1
¹:
Prinurmare,înacestcaz,func¸tiadementenabilitatesepoatescriesubforma
M(t)=1¡expµ
¡t
MTTR¶
: (3.9)
3.1.DEFINI¸TIE.EXPRESIAMATEMATIC¼A 111
Cazulcândtimpuldereparareurmeaz¼adistribu¸tialognormal¼a
Înactivitateadereparareasistemelortehnicesefolose¸stefrecventdistribu¸tia
lognormal¼aac¼areidensitatedeprobabilitateestedat¼adeformula
g(t)=1p
2¼¾texp"
¡1
2µln(t=tmed)
¾¶2#
;t>0:
Distribu¸tialognormal¼adepindededoiparametri:tmed;timpulmediande
reparare,¸si¾,parametrulcared¼aformacurbei(asevedeareprezent¼arilegra…ce
dinsec¸tiunea2.5.3).Probabilitateacaorepara¸ties¼a…eterminat¼apân¼alamo-
mentult;adic¼afunc¸tiadementenabilitateasistemului,seexprim¼a,deregul¼a,cu
ajutorulfunc¸tieiluiLaplace,dup¼acumrezult¼adinformula(2.36):
M(t)=P(T<t)=©µ1
¾lnt
tmed¶
: (3.10)
Timpulmediuderepara¸tieestevaloareamedieadistribu¸tieilognormale¸si
depindedetimpulmedianderepara¸tie,a¸sacumrezult¼adinrela¸tia(2.37):
MTTR=tmedexp(¾2
2): (3.11)
Exemplul3.1.2Standardelederepara¸tieaunuimotorac¼areidistribu¸tiede
repara¸tieurmeaz¼alegealognormal¼acu¾=0;5;prev¼adc¼areparareasauîn-
locuireapompeidealimentarecucombustibils¼a…ef¼acut¼aînmaipu¸tindeoor¼a
în95%dincazurilededefectare.Cevaloaretrebuies¼aaib¼atimpulmediude
repara¸tie,MTTR;pentruaseputearealizaaceast¼aprevedere?
ConformdatelorproblemeiM(1)=0;95;sau©µ1
0;5ln1
tmed¶
=0;95;unde
©(t)=1p
2¼tZ
¡1e¡u2
2du
estefunc¸tialuiLaplace.FolosindprogramulMathcadseobserv¼ac¼a©(1;645)=
0;95;ceeaceînseamn¼ac¼atmedsedetermin¼adinecua¸tia
1
0;5ln1
tmed=1;645:
Solu¸tiaacesteiecua¸tiieste
tmed=1
exp(1;645¢0;5)=0;439ore.
112 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Înconsecin¸t¼a,pentrutimpulmediuderepara¸tieseob¸tinevaloarea
MTTR=tmedexp(¾2
2)=0;439¢exp(0;52
2)=0;497ore.
Dac¼adistribu¸tiaderepara¸tiear…urmatlegeaexponen¸tial¼a¸siar…avutaceea¸si
valoaremediecamaisus,atunci,folosindformula(3.9),seob¸tine
M(1)=1¡exp(¡1
0;497)=0;87:
Aceastaînseamn¼ac¼aîncazulexponen¸tialrepara¸tiaarputea…executat¼aîn
maipu¸tindeoor¼acuoprobabilitatede0;87¸sinude0;95caîncazulîncare
repara¸tiileurmeaz¼alegealognormal¼a.Dinacestexemplurezult¼aimportan¸ta
major¼aadetermin¼ariicorecteadistribu¸tieiurmatedetimpulnecesarrepara¸tiilor.
¤
3.2Mentenabilitatea¸simentenan¸tasistemelor
Toatesistemelemeniteafunc¸tionaînmodcontinuusaudiscontinuutrebuie
s¼afac¼aobiectulmentenan¸tei.
Opera¸tiiledementenan¸t¼apot…clasi…cateîndou¼acategorii:
1)Mentenan¸tasistematic¼aesteprev¼azut¼aaseefectualaintervaleregulate.
Eaarecascopconservareasistemuluiîntr-ostarecompatibil¼acunivelurilede
performan¸t¼a,de…abilitate¸sieventualdesecuritateprev¼azutedelaconstruc¸tia
sa.
2)Mentenan¸taocazional¼aesteinterven¸tianecesaraseefectualadefectarea
saulaproastafunc¸tionareasistemuluiînserviciu.Scopuls¼auestedearepune
sistemulînstaredefunc¸tionareîncelmaiscurttimpposibilprinînlocuirea,
reparareasaureglareacomponenteisaucomponentelorcareaudeterminatîntre-
rupereafunc¸tion¼arii.
Mentenan¸tasistematic¼aesteobligatorie¸sicuprindeopera¸tiideîntre¸tinere,
decontrol¸sidereviziiminoresaumajoreîntimpulc¼arora:
a)seprocedeaz¼alaopera¸tiideîntre¸tinerenecesareuneifunc¸tion¼arinormale
(lubri…ere,cur¼a¸tare,reglare);
b)secontroleaz¼acomponenteleredundante,dac¼asistemulcon¸tineredun-
dan¸t¼a,¸siseînlocuiescsauserepar¼aceledefecte;
c)seînlocuiesccomponenteleapropiatedeperioadadeuzur¼apreliminat¼a.
Acestem¼asuriaucascopîmpiedicareacre¸steriinum¼aruluidedefec¸tiuniale
componentelorsausubsistemelorfa¸t¼adecelprev¼azutprinconstruc¸tie.Deaceea,
deregul¼a,acestuitipdementenan¸t¼aised¼anumeledementenan¸t¼apreventiv¼a.
Frecven¸tacucaretrebuief¼acuteopera¸tiiledetipa)pentruaîmpiedicamic¸so-
rareadisponibilit¼a¸tiisistemuluidepindedecaracteristicile…zico-mecaniceale
componentelor.
3.2.MENTENABILITATEA¸SIMENTENAN¸TASISTEMELOR 113
Înceeaceprive¸steopera¸tiiledetipc),eledepinddeduratadevia¸t¼aacompo-
nentelor¸sidenum¼arulacestoraînsistem.Prinurmare,frecven¸taopera¸tiilorde
mentenan¸t¼adetipc)vavariaînfunc¸tiedediverseletipuridecomponente(piese,
subansambluri),daresteposibildeasestabilidinaintepentru…ecaresistemun
programoptimaldementenan¸t¼apreventiv¼a.Deasemenea,sepoatedetermina
timpulnecesaracestoropera¸tiidementenan¸t¼a.
Frecven¸taopera¸tiilordementenan¸t¼adetipb)depindededefectareacom-
ponentelorîntr-unsistemredundant¸sidenivelulde…abilitatelacaresistemul
trebuies¼afunc¸tioneze.Seadmitec¼asepoate…xaunprogramdementenan¸t¼a.
Dac¼aseg¼asesccomponentedefecte,eletrebuieînlocuitesaureparatepentrua
redasistemuluinivelulde…abilitatepentrucareafostconceput.Timpiinecesari
acestoropera¸tiisepotevaluaînore¸sipot…stabili¸tidinaintecani¸stetimpicare
seadaug¼alatimpiiprev¼azu¸tipentruopera¸tiiledetipa)¸sidetipc).Vomavea
astfeluntimptotal…xTpprev¼azutpentruansambluldeopera¸tiidementenan¸t¼a
preventiv¼apentrutoat¼aduratadefunc¸tionaretasistemului.
Înceeaceprive¸stefrecven¸tamentenan¸teiocazionale(neprogramate),ea
estefunc¸tiedirect¼adedefec¸tiunilecomponentelorcareprovoac¼aoprireadinfunc¸ti-
onareasistemului¸si,prinurmare,vavariainverspropor¸tionalcuT0(MTBFa
sistemului).
Pentrunum¼arultotaldeoredefunc¸tionareasistemuluit;vor…înmedie
t=T0opririînfunc¸tionare¸si,prinurmare,sevorre‡ectaînmediet=T0opera¸tii
dementenan¸t¼aocazional¼a.Manoperanecesar¼apentruacesteopera¸tiivavaria
înfunc¸tiedecomponentelecarecauzeaz¼aopririledinfunc¸tionare.Num¼arulde
opera¸tiidementenan¸t¼acorectiv¼apoate…consideratcasumanumerelort=T01;
t=T02;:::;t=T0ndeopera¸tiidementenan¸t¼aefectuateladiferitecomponente,
avândpentruMTBFvalorile:T01;T02;:::;T0n.Astfel,num¼arulmediutotalde
opera¸tiidementenan¸t¼acorectiv¼apentrutoredefunc¸tionareasistemuluieste
datderela¸tia
t
T0=t
T01+t
T02+¢¢¢+t
T0n=nP
i=1t
T0i=tnP
i=1¸i:(3.12)
Dac¼aseconsider¼ac¼asuntnecesareT1oredelucrupentruareparaunsistem
ac¼aruidefectareafostcauzat¼adecomponenta1cuMTBFnotatT01;¸siT2ore
delucrupentrucomponentaadouaetc.,atuncinum¼arulmediutotaldeorede
lucrupentrumentenan¸tacorectiv¼acorespunz¼atoarecelortoredefunc¸tionarea
sistemului,notatH0;va…
H0=t
T01T1+t
T02T2+¢¢¢+t
T0nTn=nP
i=1t
T0iTi=tnP
i=1¸iTi:(3.13)
M¼arimileTi,carereprezint¼atimpiinecesaripentrureparareasistemuluiîn
…ecarecazparticular,depinddeamplasareacomponentelor¸sidecaracteristicile
deconcep¸tiealesistemului,¸tinândcontdeaccesibilitate¸sidemijloaceleprev¼azute
114 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
pentrudetectareacomponentelordefecte.TimpiiTipot…maridac¼asefolose¸ste
unpersonalnecali…cat,darsepotreduceprinadoptareaunormijloacemoderne
deavertizare(ladep¼a¸sireatemperaturii,aniveluluidezgomot,vibra¸tiietc.)În
acestcaz,Titrebuiemultiplicatprintr-uncoe…cientmaimareca1,caresepoate
de…nica…indinversulindiceluidee…cacitatesaudecompeten¸t¼aapersonalului.
Admi¸tândc¼am¼arimeaH0reprezint¼anum¼arulmediudeoredelucrunecesare
mentenan¸teicorectivefolosindunpersonalcali…cat,cuprinzând¸sitimpiinecesari
depist¼ariidefec¸tiunii¸sicontroluluidup¼arepara¸tie,sepoateconvertiacestnum¼ar
deoreîntr-untimptotalTc,timpulnecesaropera¸tiilordementenan¸t¼acorectiv¼a,
conformvolumuluidemanoper¼adisponibil.Dac¼aseadaug¼aacesttimpTcla
timpultotalTpdestinatmentenan¸teipreventiveasistemului,seob¸tineuntimp
totaldementenan¸t¼anecesarînmediepentruodurat¼atdefunc¸tionareasistemului
Tm=Tp+Tc (3.14)
TimpulTmreprezint¼aduratatotal¼adeimobilizarefunc¸tional¼aasistemu-
lui.Dac¼aseprevedeuntimpdeimobilizareTrpentrualtecauzedecâtcele
func¸tionale,cuprinzândperioadelederepausstabilitepentruceletoredefunc¸ti-
onare,precum¸sipecelelegatedeproblemeadministrative,atuncisepoatede…ni
coe…cientul(rata)deutilizareasistemului,notatCu,cuformula
Cu=t
Tp+Tc+Tr+t: (3.15)
Num¼ar¼atorulreprezint¼atimpulprev¼azutpentrufunc¸tionareasistemului,iarnu-
mitorulreprezint¼aduratatotal¼acalendaristic¼a.Seobi¸snuie¸stecapentruaceast¼a
durat¼atotal¼acalendaristic¼as¼asealeag¼aunansau,echivalent,num¼arulde8760
ore(365zilex24ore/zi).
Factorulimportantcaredetermin¼autilizareamaxim¼aasistemuluiestetimpul
totaldementenan¸t¼a,sautimpuldeimobilizarefunc¸tional¼a,Tm=Tp+Tc;pentru
toredeutilizareasistemului.Coe…cientul(rata)maximdeutilizareasistemului
estedeci
Cum=t
Tm+Tr+t(3.16)
pentruunsistemcarenecesit¼aînmedieodurat¼aTmdementenan¸t¼a,pentruo
durat¼atdefunc¸tionare.Pentrucre¸stereaacesteiratetrebuieredustimpulTm
înc¼adinstadiuldeproiectare.Aceastasepoatefaceînmaimultemoduri:
a)m¼arindtimpulmediuîntredefec¸tiunilesistemului,ceeaceimplic¼amic¸so-
rareanum¼aruluidedefec¸tiuni,sau
b)mic¸sorândtimpiiTiaferen¸tirepar¼ariicomponentelordefecte.
Acestem¼asurivoraveadrepturmareomic¸sorareanum¼aruluideoredelucru
H0¸sideci,atimpuluiTcnecesaropera¸tiilordementenan¸t¼acorectiv¼a.
Metodaceamaie…caceînstadiuldeproiectareestereducereatimpilorTi
aferen¸ticomponentelorlacareMTBF;T0i;estemaislab¼a.Aceastasepoate
3.2.MENTENABILITATEA¸SIMENTENAN¸TASISTEMELOR 115
face,pedeoparte,plasândcomponenteleîntr-unmodu¸soraccesibilînsistem
¸si,pedealt¼aparte,prev¼azânddispozitivede…xare¸sideblocarecares¼apermit¼a
înlocuirealorîntr-untimpminim.Bineîn¸teles,trebuie–înm¼asuraîncareeste
posibil–s¼aseob¸tin¼acomponentecumediededefectaremic¼asaus¼aseconceap¼a
pentrufunc¸tionareîncondi¸tiisubcelenominale,c¼aciîntreagareducerearatelor
dedefectareacomponentelorca¸siceaatimpilorTideînlocuirealor,vacontribui
lareducereatimpuluiglobalTcdementenan¸t¼acorectiv¼aasistemului.
Înceeaceprive¸stetimpuldementenan¸t¼apreventiv¼aTp,acestasepoatere-
duceutilizândcomponentecuautolubri…ere,etan¸s¼ariermetice,carenupermit
abateriîntimpuluzurii¸sicareauduratemediidevia¸t¼aridicate,precum¸sio
abateretipcâtmaimic¼aposibil.Componentelecarenecesit¼aîngrijiriregulate,
sauînlocuirifrecventecaurmareauneiuzurirapide,trebuies¼a…eu¸soraccesibile
¸sis¼aserealizezeorezerv¼adetimpcâtmaimarecucâtelenecesit¼amaimult¼a
mentenan¸t¼a.
Atuncicândseutilizeaz¼acomponentecuredundan¸t¼aparalel¼a,sumadefec¸tiu-
nilordetermin¼anum¼aruldeopera¸tiidementenan¸t¼acareestenecesar.
Încazuladou¼acomponentelegateînparalel,având…ecareaceea¸siintensitate
dedefectareegal¼acu¸,sistemulparalelvaaveaMTBF=3
2¸oredelucru(ase
vedeaexemplul2.6.3).Deci,vomaveaodefectareasistemuluiînlucru,înmedie,
odat¼ala3
2¸oredefunc¸tionare,dac¼anuseefectueaz¼aînlocuireaatuncicânduna
dinceledou¼acomponentesedefecteaz¼a,cualtecuvinte,dac¼aselas¼asistemuls¼a
func¸tionezepân¼acândambelecomponentesedefecteaz¼a.
Pedealt¼aparte,…ecarecomponent¼aareMTBF=1
¸¸sicudou¼aastfelde
componentelegateînparalel,va…înmedieodefec¸tiuneacomponenteide…ecare
dat¼acândsistemulvafunc¸tiona1
2¸ore.Înlocuindimediatelementeledefecte
vomaveaîntotdeaunadou¼acomponenteînfunc¸tiune.Cuoastfeldepolitic¼ade
înlocuireimediat¼aacomponentelorredundantedefecte,sepotconstruisisteme
redundantealc¼arorparametruMTBFs¼atind¼ac¼atrein…nit.
Acesteconsidera¸tiisuntesen¸tialeînmateriedetehnologiespa¸tial¼a,careim-
puneconcepereadesistemeabsolut…abile.Dac¼aseconcepeunsistemastfel
încâtcomponentabun¼as¼apoat¼afunc¸tionaîntimpulînlocuiriicomponenteide-
fecte(f¼ar¼acafunc¸tionareasistemuluis¼a…enecesaraseîntrerupecuaceast¼a
ocazie),atunci…abilitateasistemuluiînîntregimeesteindependent¼adetimpul
defunc¸tionaret.Presupunemc¼aestenecesarunscurtintervaldetimp¿pentru
înlocuireacomponenteidefecte.Dac¼acealalt¼acomponent¼afunc¸tioneaz¼aîntim-
pulacesteiopera¸tiideînlocuire,sistemulparalelnusepoatedefectadecâtdac¼a
componentar¼amas¼abun¼asevadefectaîntimpulacestuiscurtintervaldetimp¿.
Probabilitateacaaceastas¼aseproduc¼aeste1¡e¡¸¿¸siatuncicând¿tindela0,
adic¼asetindec¼atreoînlocuireteoreticinstantanee,seob¸tinelim¿!0(1¡e¡¸¿)=0,
ceeaceînseamn¼ac¼asistemulnusedefecteaz¼aniciodat¼a.
Bineîn¸telesc¼aînrealitatenusepoaterealiza¿=0,darsepotconcepesisteme
lacarefunc¸tionareas¼acontinueîntimpulcândarelocînlocuireacomponentei
116 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
defecte¸sisepoatefaceca¿s¼a…efoartemicutilizândmijloacededetectarefoarte
sigure.Fiabilitateaunuiastfeldesistemparalelcudou¼acomponenteesteatunci
probabilitateacaelementulr¼amasînfunc¸tiunes¼anusedefectezeîntimpul¿care
sescurgedeladefectareaceluilaltelementpân¼alaînlocuireasa,deci
R(¿)=e¡¸¿
Formulaarat¼ac¼a…abilitateasistemuluiesteindependent¼adetimpuls¼aude
func¸tionaret¸sinudepindedecâtdetimpuldeînlocuire¿,carepoate…foarte
scurt.
Dac¼asistemulredundantaretreicomponenteînparalel,îna¸safelîncâtfunc¸tio-
nareasistemuluis¼apoat¼acontinuacuosingur¼acomponent¼abun¼a,atunci…abi-
litateasistemuluiva…dat¼adeformula(2.65)
R(¿)=2e¡¸¿¡e¡2¸¿;
deundesevedec¼aaceastanudepindedetimpuldefunc¸tionarealsistemuluitci
numaidetimpuldeînlocuire¿:Înpractic¼aseconsider¼ac¼aunsistemesteabsolut
…abildac¼atimpuldeînlocuire¿estefoartescurt.
Utilizareasistemelorac¼aror…abilitatenudepindedetimpuldefunc¸tionarese
justi…c¼aatuncicândesteneap¼aratnecesar¼aofunc¸tionarecontinu¼a.Acestaeste
unmijlocderezolvareaproblemelorde…abilitatepentruechipamenteesen¸tiale
vehiculelorspa¸tiale,pentrucareofunc¸tionarecontinu¼a,f¼ar¼anicioîntrerupere,
esteabsolutnecesar¼a.
Unsistemac¼arui…abilitateesteindependent¼adetimpuldefunc¸tionarenece-
sit¼alucr¼aridementenan¸t¼aîncursulfunc¸tion¼arii.Problemaestedeaasigura
num¼arulnecesardepiese¸sidesubansamblurideschimbcares¼apermit¼aoin-
terven¸tierapid¼a.Num¼aruldeopera¸tiidementenan¸t¼alacareneputema¸stepta
încursulfunc¸tion¼ariidepindedetimpuldefunc¸tionare¸side…abilitateacompo-
nentelorutilizate.Presupunândc¼anusefaceînlocuireapreventiv¼aacomponen-
telor,iarsistemulselas¼as¼afunc¸tionezepân¼alaapari¸tiauneidefec¸tiuni,acesta
utilizându-selamaxim,chiar¸siînperioadadeîmb¼atrânire,…ecarecomponent¼a
vaaveaMTBFdatdeformula
MTBF=1Z
0V(t)dt:
undeV(t)estevia¸tacomponenteiexprimat¼aca…abilitatecumulativ¼a¸siestedat¼a
deexpresia
V(t)=exp0
@¡tZ
0¸v(u)du1
A;
3.2.MENTENABILITATEA¸SIMENTENAN¸TASISTEMELOR 117
unde¸v(t)esteintensitateadedefectaretotal¼aîncursulvie¸tiicomponentei,
luându-seînconsiderare¸sidefec¸tiunileaccidentaledinperioadaderodaj¸si
fenomenuldeuzur¼a.CunoscândvaloarealuiMTBFsepoatecalculanum¼arul
probabildeopera¸tiidementenan¸t¼apentru…ecarecomponent¼aîncursulunei
perioadedestuldemaredefunc¸tionareasistemului.¸Tinândcontdeprobabili-
tateadeapari¸tieaunuinum¼ardedefec¸tiunimaimaredecâtnum¼arulprobabil,
sepoatecalculanum¼aruloptimdepiesesaudesubansambluriderezerv¼acare
trebuieasigurat.
Dac¼amentenan¸taîntimpulfunc¸tionariiesteimposibils¼asefac¼asaudac¼a
nusepotprevedeadispozitivecapabiles¼adetectezedefectareauneicomponente,
estenecesars¼aseefectuezecontrolareaperiodic¼aacomponentelorsistemelorre-
dundanteparalele,îna¸safelîncâts¼a…msiguric¼aniciocomponent¼anueste
defect¼a¸sic¼asistemularemereuaceea¸si…abilitate.Seefectueaz¼aacestcontrol
imediatdup¼aduratadefunc¸tionaredetore¸siimediatdup¼anopera¸tii,adic¼a
dup¼aT=ntore.Presupunemc¼agrupadecomponenteparalelefacepartedintr-
unsistemfoarteimportantpentrucaresedore¸ste…abilitateaRS(t)pentrutore¸si
c¼a,într-unmodcompatibilcuaceast¼aexigen¸t¼a,secerecagrupadecomponente
paraleles¼aaib¼ao…abilitateRp(t)pentruacelea¸sitore.Se¸stie(veziformula
(2.61))c¼a…abilitateaunuigrupdecomponenteidenticelegateînparaleleste
Rp(t)=1¡[Fp(t)]n;
cucondi¸tiacatoatecomponenteles¼a…eînstarebun¼alaînceputulperioadeit
defunc¸tionare.Estedecinecesars¼asecontrolezegrupulparalelînaintea…ec¼arei
puneriînfunc¸tiune¸sis¼aseînlocuiasc¼acomponentelecarearputeas¼asedefecteze
încursulfunc¸tion¼arii.
Dac¼acontrolulsauînlocuireanuauloc,perioadaurm¼atoaretdefunc¸tionare
poateîncepecuunulsaumaimulteelementedefecte.Aceast¼asitua¸tiesepoate
prelungif¼ar¼aa…detectat¼apân¼aladefectareaultimuluielementdingrup.În
acesttimp,…ecaredefectareaunuielementreduce…abilitateagrupuluiparalel
¸si,prinurmare,asistemului.A¸sadar,dac¼asecereunuisistems¼aaib¼ao…abilitate
RS(t)pentru…ecareopera¸tie¸sidac¼acontrolulgrupuluiparalelalsistemuluinu
esteprev¼azut,decidup¼aT=ntore,adic¼adup¼anopera¸tiialesistemului,grupul
paraleltrebuieconsideratcuo…abilitateRp(T),dincarecauz¼anusepoaterealiza
…abilitateaRS(t)pentruoricefunc¸tionarededurat¼atore.Pedealt¼aparte,dac¼a
seexecut¼auncontroldup¼a…ecareopera¸tie,atunciseimpunerealizareaunuigrup
paralelavând…abilitateaRp(t).
Înceeaceprive¸stevaloareaprobabil¼aanum¼aruluideopera¸tiidemente-
nan¸t¼a,adic¼aanum¼aruluimediudecomponentecaretrebuieînlocuiteîntr-ungrup
paralel,de-alunguluneiperioadelungidetimp,deexemplu1000defunc¸tion¼ari
dedurat¼at…ecare,sepoatefacecalcululdezvoltândbinomul(r+f)nasociat
grupuluiparaleldencomponente,undereste…abilitateaiarfestede…abilitatea
sauprobabilitateadedefectareaunuielementîntimpulfunc¸tion¼arii.Aceast¼a
118 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
metod¼apermites¼asedeterminenum¼aruldecontroalepentrucarenuva…nevoie
deniciomentenan¸t¼a,pentruc¼aniciocomponent¼anuva…defect¼a,precum¸si
num¼arulmediudecontroalelacaresevorg¼asiuna,dou¼a,treietc.componentede-
fecte.F¼acândsumaacestornumere,sevaob¸tinenum¼arulmediudecomponente
deînlocuitîngrupulparalel.Aceastavapermite,deci,s¼aseprevad¼anum¼arulde
componentedeaduscastocdepiesedeschimb,luândînconsiderareprobabili-
tateac¼a,într-untimpdat,s-arputeaproduceunnum¼ardedefec¸tiunisuperior
valoriimediiprobabile.Sepoate,deasemenea,estimaimportan¸tamentenan¸tei
necesarede-alungulunuitimpdat.
Deexemplu,s¼aconsider¼amungrupparaleldetreicomponenteidentice,care
secontroleaz¼alaTorepentruasea‡adefec¸tiunilecomponentelor.Fier…abi-
litateauneicomponentepentruToredefunc¸tionare¸sifde…abilitateasa.Prin
dezvoltareabinomuluiasociatgrupuluiparalel,vomavea
(r+f)3=r3+3r2f+3rf2+f3:
De-alungulunuinum¼armaredecontroalen,vor…înmedieabsentedefec¸ti-
unilecomponentelorpentrur3ncontroale,sevag¼asiodefec¸tiunepentru3r2fn
controale,sevorg¼asi2defec¸tiunipentru3rf2ncontroale¸sidefectareatuturor
celor3componentepentruf3ncontroale.Num¼arulmediudecomponentecare
vortrebuiînlocuiteînncontroale,notatN;va…atunci
N=n¡
3r2f+2¢3rf2+3f3¢
=n¡
3r2f+6rf2+3f3¢
:
Dac¼aseutilizeaz¼ah1oredelucrupeansamblupentruopera¸tiiledemente-
nan¸t¼anecesareuneicomponentedefecte,num¼arultotaldeoredelucrunecesar
pentruînlocuirileîncursulancontroaleva…
htotal=N¢h1:
Dac¼aseintroduce¸sinum¼arulh2deoredelucrunecesareîncursulunuicon-
trolpentrudetectareaeventualelordefec¸tiunialecomponentelor,atuncipentrun
controalevor…necesarenh2orepentruacesteveri…c¼ari;astfelvaloareaprobabil¼a
global¼aanum¼aruluideoredelucrunecesarepeansamblupentruopera¸tiilede
mentenan¸t¼acuncontroalevaaveaexpresia
hglobal=N¢h1+n¢h2:
¸Tinândcontdemanoperacarerevineexecut¼ariiacestorlucr¼aridementenan¸t¼a,
num¼aruldeoredelucruhglobalpoate…exprimatprindurataC.Astfel,cun
controaleprev¼azutepetoat¼aperioadatdeoredefunc¸tionareasistemului,grupul
paralelareointensitatederepara¸tiimediedeC=tpentruoor¼adefunc¸tionarea
sistemului¸sicumt=nT,undetesteperioadaprev¼azut¼aîntredou¼acontroale,
intensitateaderepara¸tiiiaformaC=nT:
3.3.ORGANIZAREAMENTENAN¸TEI 119
Dac¼amaimulteopera¸tiidementenan¸t¼asuntefectuatesimultanlaunsistem
deoaceea¸siechip¼a¸sidac¼aeleîncepînacela¸sitimp,duratamentenan¸teinecesare
pentruarepuneînstaredefunc¸tionaresistemulestedeterminat¼adeopera¸tiade
mentenan¸t¼acuceamailung¼adurat¼a.Înacestcaz,opera¸tiiledementenan¸t¼acare
suntcelemaiscurtenuintervinîncalcululdurateiinterven¸tieisauatimpuluide
imobilizare.Cutoateacestea,num¼aruldeoredelucrunecesarepentru…ecare
opera¸tieindividual¼aesteimportant,c¼acielconstituieom¼asur¼aaefortuluitotal
dementenan¸t¼aacceptat(autorizat)¸sipermites¼aseprevad¼amanoperaoptim¼a,
precum¸sis¼asestabileasc¼aprogramuldementenan¸t¼acarerealizeaz¼aminimul
durateideimobilizare.
Pentruastabilirela¸tiaîntretimpuldementenan¸t¼a¸sitimpuldefunc¸tionare,
deci,întrementenan¸t¼a¸si…abilitate,trebuies¼asecunoasc¼atimpulmediude
imobilizarefunc¸tional¼aasistemului,carenuestealtuldecâtduratamediea
mentenan¸tei.
Cuformula(3.16)s-ade…nitfactoruldeutilizaremaximpecareîlpoateavea
sistemulCum=t
Tm+Tr+t.Acestfactorconstituieom¼asur¼aadisponibilit¼a¸tii
sistemului,c¼acield¼aprocentajuldetimpîncaresistemulva…disponibilpentru
utilizare.
S-av¼azutc¼apentruaputeas¼afunc¸tionezetoredintr-untimptotalde
Tm+tore,trebuieprecizateTmorepentrumentenan¸tapreventiv¼a¸siocazional¼a
asistemului.Dac¼aseiacadurat¼adefunc¸tionareasistemuluitimpuls¼aumediu
întredefec¸tiuniT0=MTBF,carepoate…multiplusausubmultiplualtimpului
tdinformulaluiCum,sepoateatuncideterminatimpulmediudementenan¸t¼a
T0
mnecesarpentrutoateceleT0oredefunc¸tionareasistemului.Presupunând
c¼apentruaevaluafactoruldeutilizarealsistemuluiseiapentruTm+tdurata
deunan,deci8:760ore(Tmreprezentândduratadeoreconsacrat¼amentenan¸tei
într-unan),timpulmediudementenan¸t¼aT0
mpentruT0oredefunc¸tionarea
sistemuluiva…
T0
m=TmT0
t=T0¢Tm
8:760¡Tm:
3.3Organizareamentenan¸tei
3.3.1Rolulmentenan¸tei
Deoarecedefunc¸tionareaînbunecondi¸tiiasistemelortehnice(instala¸tii,
utilajeetc.)depindeînceamaimarem¼asur¼arealizareaproduc¸tiei,activitateade
mentenan¸tacap¼at¼aoimportan¸taprioritar¼a.Asigurareacontinuit¼a¸tiifunc¸tion¼arii
utilajelorlacelmaiînaltniveldee…cien¸t¼a,cupierderiminimedeproduc¸tie,
curebuturicâtmaireduse¸sicucheltuielicâtmaimicipentruîntre¸tinere¸si
repara¸tii,nusemaipoaterealizaprinmetodetradi¸tionaledementenan¸t¼acares¼a
120 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
rezolvedepanarea¸sireparareasistemelortehnicenumailadefectareaaleatoarea
acestora.
Principaleleobiectivealeactivit¼a¸tiidementenan¸t¼aconstauînmen¸tinerea
instala¸tiilortehnologice¸siautilajelorînstaredefunc¸tionare,cuevitareaavari-
ilor¸siaopririloraccidentale,printr-opolitic¼adementenan¸t¼acares¼aoptimizeze
opera¸tiiledeîntre¸tinere¸sirepara¸tii,cuminimizareacheltuielilor¸siaconsumurilor
deresurse(piesedeschimb,materiale,energie¸simanoper¼a).
Pentrurealizareaacestorobiectiveestenecesar¼aorganizarea¸sidotarea
corespunz¼atoareacompartimentelordeîntre¸tinere¸sirepara¸tiidinsociet¼a¸tile
comercialecares¼alucrezepebazaunuiprogramdeîntre¸tinere¸sirepara¸tiielabo-
rat¸stiin¸ti…c,pebazauneib¼ancipropriidedatecares¼aasigurestabilireacauzelor
efectiveaopririloraccidentale¸siauzuriloranormale,aconsumurilorderesurse
(piesedeschimb,materiale,energie,manoper¼a),a…abilit¼a¸tii¸sicapabilit¼a¸tiiuti-
lajelor¸siae…cien¸teidiverseloropera¸tiidementenan¸t¼aexecutate.
Pentrucamentenan¸tas¼a-¸sipoat¼aîndepliniobiectivelemajoremen¸tionatemai
sus,estenecesar¼aoabordaresistemic¼aaactivit¼a¸tilor,lucr¼arilor¸siopera¸tiilorde
mentenan¸t¼a.Conceptulsistemicimpuneoorganizareoptim¼aamentenan¸teiîn
func¸tiede:
¡sistemuladoptat(centralizat,descentralizatsaumixt);
¡sarcinileechipelordelucru(deîntre¸tinere,derepara¸tiepreventiv¼aetc.);
¡caracteristicileproceselordelucru(continuu,discontinuu);
¡complexitatea¸sigraduldeuzur¼aacomponentelor;
¡moduldepreg¼atirealinterven¸tiilor(asigurareacupiesedeschimb,formarea
deechipecomplexe,elaborareaunuiprogramdelucru,organizareaergonomic¼aa
munciietc.).
3.3.2Strategiamentenan¸tei
Pem¼asuracre¸steriicomplexit¼a¸tiiinstala¸tiilortehnologicesuntnecesaremod-
i…c¼ariînstructurasistemuluidementenan¸t¼a,prinelaborareauneistrategiiproprii
carecuprinde:
¡stabilireasistemuluidementenan¸t¼aadoptat¸siaplanurilordeîntre¸tinere¸si
repara¸tii;
¡stabilirearesurselornecesare–piesedeschimb,materiale,energie,mano-
per¼a;
¡optimizareaplanurilordeinterven¸tiicuresurseledisponibile;
¡stabilireaunorbugetedecheltuielipentrumentenan¸t¼apesec¸tii¸siateliere
deproduc¸tie.
Pentruadoptareastrategieimentenan¸teiseauînvedere:instala¸tiiletehnolo-
gice,mijloacelederidicat¸sidetransportdindotareasociet¼a¸tii,volumuldelucr¼ari
cetrebuieexecutat,pro…luldeproduc¸tiealsociet¼a¸tiicomerciale¸siamplasarea
acesteia.
3.3.ORGANIZAREAMENTENAN¸TEI 121
Ceamaie…cient¼astrategiedementenan¸t¼aesteaceeacareasigur¼acelemai
reduseperioadedeimobilizareainstala¸tiilortehnologicepentrurestabiliri,cu
cheltuieliminime.
Înprincipiu,sepotadoptadou¼astrategiifundamentaledementenan¸t¼a:pre-
ventiv¼a¸sicorectiv¼a.Încontinuaresevaanalizacomparative…cien¸tatehnico-
economic¼aacelordou¼astrategiidementenan¸t¼a.
Costulspeci…calremedieriiuneidefec¸tiuniap¼arut¼aînainteauneiinterven¸tii
dementenan¸t¼aplani…cat¼a,raportatlaoradefunc¸tionareainstala¸tiei,notatc1;
va…
c1=Cr
TTZ
0¸(t)dt;
unde:
Cr–estecostulînlocuiriisaualrepar¼ariineplani…cateaunuiblocfunc¸tional
alinstala¸tieitehnologice(costulmentenan¸teicorective);
T–timpulplani…catîntredou¼ainterven¸tiidementenan¸t¼apreventiv¼a:
¸(t)–intensitateadedefectareabloculuifunc¸tionalrespectiv.
Costulspeci…calmentenan¸teipreventivepentruînlocuireasaurepararea
bloculuifunc¸tionalrespectiv,notatc2;va…
c2=Cp
T:
Atunci,costulspeci…ctotalalmentenan¸teipreventive,notatcp;este
cp=c1+c2=Cr
TTZ
0¸(t)dt+Cp
T: (3.17)
Considerândmentenan¸tacorectiv¼aexecutat¼alaintervalefoartemari,pentru
T!1sevaob¸tinecostulpeoradefunc¸tionarealacesteimentenan¸te,cost
notatcucr¸sidatderela¸tia
cr=limT!1Cr
TTZ
0¸(t)dt;
sau
cr=Cr
Tmed; (3.18)
undeTmedesteresursatehnic¼amedieabloculuifunc¸tionalrespectiv.
122 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Împ¼ar¸tindrela¸tia(3.17)la(3.18)seob¸tine
½=cp
cr=Tmed
T0
@TZ
0¸(t)dt+Cp
Cr1
A: (3.19)
Dinegalitatea(3.19)rezult¼ac¼apem¼asur¼acevaloarearaportuluicp
crcre¸ste,½se
apropiedeunitate.Astfel,înanumitecircumstan¸te,mentenan¸tacorectiv¼apoate
s¼a…emaiieftin¼adecâtmentenan¸tapreventiv¼a.(Alteoriesteinvers,deoareceo
defec¸tiunepoateducelaodistrugereînlan¸tasistemului.)Deexemplu,laun
mijlocdetransportestemaie…cient¼aomentenan¸t¼apreventiv¼apentrumotorul
termic¸siunacorectiv¼a(deînlocuirelaepuizarearesurseitehnice)pentrupneuri,
cureledetransmisieetc.Deaceea,dup¼acumsevademonstraîncontinuare,este
recomandabils¼asefac¼aomentenan¸t¼acomplex¼aainstala¸tieitehnologice.
Încazulmentenan¸teicomplexe,costulspeci…calacesteiacc;raportatlaora
defunc¸tionareainstala¸tiei,va…
cc=Ci
Tt+Cr
TtTtZ
0¸(t)dt+limTt!1C0
TtTtZ
0¸(t)dt;(3.20)
unde:
Ci–costulrevizieitehniceperiodice;
Cr–costulînlocuirii(repar¼arii)neplani…cateaunuiblocfunc¸tionaldup¼a
defectareaacestuia;
C0–costulînlocuiriineplani…cateabloculuifunc¸tionalrespectivînaintedea
sedefecta;
Tt–intervaluldetimpdintredou¼areviziitehnice.
Înrela¸tia(3.20)primultermenreprezint¼acostulspeci…calrevizieitehnice,al
doileatermenestecostulspeci…calrepar¼ariidefec¸tiunilorîntâmpl¼atoareap¼arute
întrerevizii,iarcelde-altreileatermenestecostulspeci…calrepar¼ariiuneide-
fec¸tiuniincipientedetectat¼aîntimpulrevizieitehnice.Expresia(3.20)semai
poatescriesubforma
cc=Ci
Tt+Cr
TtTtZ
0¸(t)dt+C0
Tmed: (3.21)
Împ¼ar¸tindrela¸tia(3.21)la(3.18)rezult¼a
½=cc
cr=Ci
CrTmed
Tt+C0
Cr+Tmed
TtTtZ
0¸(t)dt: (3.22)
3.3.ORGANIZAREAMENTENAN¸TEI 123
Întrucâtînoricecondi¸tiiCi<Cr;costuluneireviziitehnice…indîntotdeauna
maimicdecâtcostuluneirepara¸tii(îngeneralCi»=0;5¡1%dinvaloarea
instala¸tieitehnologice,întimpceCr»=2¡8%dinvaloareaacestuia),iarC0<Cr,
deoareceexecutareauneirepara¸tiiînaintededefectareacomplet¼aaunuibloc
func¸tionalcost¼a,deregul¼a,maipu¸tindecâtdac¼aseexecut¼adup¼adefectarea
acestuia,cânddefec¸tiuneaprincipal¼apoateantrena¸sialtedefec¸tiunisecundare,
rezult¼ac¼a½esteîntotdeaunasubunitar,avândînvederec¼aultimultermend¼ao
valoaremic¼a,cesepoateneglija.
Dinacesteconsiderenteserecomand¼aostrategiedementenan¸t¼acomplex¼a,
cuaccentpeexecutarearegulat¼a¸sicorect¼aareviziilortehnicecareconducelao
intensitatededefectaremairedus¼a,decilao…abilitateopera¸tional¼amairidicat¼a,
cucheltuielimaimici.
Înpracticacurent¼aseaplic¼amaimultesistemedementenan¸t¼a,celemaiim-
portante…indurm¼atoarele:
¡Sistemuldementenan¸t¼acorectiv¼a;
¡Sistemuldementenan¸t¼apreventiv–plani…cat;
¡Sistemuldementenan¸t¼acomplex¼a;
¡Sistemuldementenan¸t¼apaleativ¼a.
Sistemuldementenan¸t¼acorectiv¼a
Sede…ne¸steprintr-unansambludem¼asuriceseiaudeproduc¼atorii¸sibene-
…ciariideutilajecares¼aasigure:
¡îmbun¼at¼a¸tiriconstructiveprinreproiectareaunorpiese¸siblocurifunc¸ti-
onalecenucorespundexigen¸telorînfunc¸tionare(performan¸teînfunc¸tionare
inferioarecelorstabiliteprindocumenta¸tie,uzuriaccelerate,defec¸tiunidatorate
concep¸tieietc.);
¡îmbun¼at¼a¸tirifunc¸tionaleprinproiectarea¸sidotareacuaccesorii,echipa-
mentedeschimb,SDV-uri,AMC-urietc.;
¡stabilirea¸sieliminareacauzelorceduclao…abilitatenecorespunz¼atoare
aprodusuluiîntimpulprobeideanduran¸t¼aaprototipului¸sipeduratatermenului
degaran¸tiepentruproduseledeserie.
Sistemuldementenan¸t¼acorectiv¼acareseaplic¼apeîntreagaperioad¼ade
garan¸tieautilajelor¸simaialesînperioadadepunereînfunc¸tiune,cuprinde
probe¸siîncerc¼ari,reproiect¼aritehnice¸sitehnologice,precum¸simodi…c¼aricon-
structiveatâtlautilajeleexistente,cât¸sipentruurm¼atoarelecesevorfabrica.
Prinaplicareaacestuisistemseurm¼are¸ste:
¡reducereaduratelordestagnareînperioadadegaran¸tie¸sipostgaran¸tie;
¡eliminareadefec¸tiunilorsistematice;
¡eliminareauzurilorpremature;
¡reducereaconsumurilorderesursepentrumentenan¸t¼a(materiale,piese
deschimb,energie,manoper¼a);
¡reducereacheltuielilordeproduc¸tie.
124 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Sistemuldementenan¸t¼apreventiv-plani…cat
Sede…ne¸steprinsumam¼asurilorpreventiveluateînscopulreduceriiuzurii
utilajelor,men¸tineriiacestoraînstaredebun¼afunc¸tionare¸sievit¼ariiopririlor
produsedeaccidente.
Sistemulcuprindeurm¼atoareleopera¸tii:
¡cur¼a¸tarea¸siîngrijireautilajelor¸siinstala¸tiilor;
¡urm¼arireacomport¼ariizilniceînexploatare;
¡ungerea¸sischimbarealubri…an¸tilorladateleprev¼azuteînschemelede
ungere;
¡veri…careaperiodic¼aacomenzilor¸siaparatelordem¼asur¼a¸sicontrol;
¡reviziatehnic¼aperiodic¼aautilajelor¸siinstala¸tiilor;
¡controluldecalitatealproduc¸tieirealizatedeutilajele¸siinstala¸tiile
respective.
Aplicareaacestuisistempreventivimpuneînl¼aturareaoric¼areidefec¸tiuniime-
diatceafostconstatat¼a.Îngeneral,remediereadefec¸tiuniisefacef¼ar¼aaaduce
prejudiciiproduc¸tiei,adic¼aînpauzademas¼a,întreschimburi,înschimbulnepro-
gramatsaucualteocazii(preg¼atireareglajului,aSDV-urilorpentrualterepere
etc.).
Sistemuldementenan¸t¼acomplex¼a
Sede…ne¸steprintotalitateam¼asurilortehnico-organizatoriceluatedesoci-
etateacomercial¼aînvedereamen¸tineriicapacit¼a¸tiitehnologicedelucruautila-
jelor¸siinstala¸tiilor,cuconsumuriminimederesurse¸siîncondi¸tiidesiguran¸t¼a
înfunc¸tionare.
Sistemulcuprindeurm¼atoareleopera¸tii:
¡cur¼a¸tarea¸sisp¼alareautilajelor¸siinstala¸tiilor;
¡ungerea¸sischimbarealubri…an¸tilorladateleprev¼azuteînschemelede
ungere;
¡reviziatehnic¼alaintervaleregulate,cudiagnozainstrumental¼aast¼arii
tehniceautilajelor¸siinstala¸tiilor;
¡executareaderepara¸tiidup¼anecesitate,f¼ar¼aoplani…careprealabil¼a;
¡executareaderepara¸tiipebazaconstat¼arilorf¼acutelareviziiletehnice;
¡executareaderepara¸tiipreventivecuplani…carecontrolat¼a:repara¸tii
curentedegradul1(RC1)¸sidegradul2(RC2),precum¸siderepara¸tiicapitale
(RK).
Pentrucasistemulsa…ecâtmaie…cientestenecesar¼aofoartebun¼aasigu-
rarelogistic¼a(materialepentruîntre¸tinere¸sirepara¸tii,piesedeschimb,blocuri
func¸tionalederezerv¼aetc.),precum¸sioprogramarecorespunz¼atoarealucr¼arilor,
cuurm¼arireaexecut¼ariiacestora.
3.3.ORGANIZAREAMENTENAN¸TEI 125
Sistemuldementenan¸t¼adetippaleativ
Prinaplicareaacestuitipdesistemdementenan¸t¼aseurm¼are¸steameliorarea
temporar¼aast¼ariitehniceainstala¸tiilortehnologicedevârst¼aînaintat¼a,lacare
aplicareacelorlaltesistemedementenan¸t¼aar…preascump¼a.Încadrulaces-
tuisisteminterven¸tiileseexecut¼anumaicorectiv,laapari¸tiadefec¸tiunilor.De
regul¼a,nuseexecut¼arepara¸tiiimportante,întrucâtinstala¸tiiletehnice¸siutila-
jele…indvechi¸sicuungradridicatdeuzur¼a…zic¼a¸simoral¼a,nupot…adusela
performan¸teleini¸tialedecâtcucheltuielifoartemari.
Încazulacestorinstala¸tiitehnologiceseimpuneoanaliz¼atehnico-economic¼a
detaliat¼acares¼aeviden¸tiezeoportunitateauneimoderniz¼ari.Astfel,dac¼ava-
loareanecesar¼aînsumat¼apentrurepara¸tii¸simoderniz¼aridep¼a¸se¸stevaloareade
înlocuireainstala¸tieitehnologice,atunciesterecomandabils¼aseachizi¸tioneze
oinstala¸tietehnologic¼anou¼a¸sinumaiîncazuriextreme(imposibilitateaachi-
zi¸tion¼ariiîntimpulnecesarauneinoiinstala¸tii)s¼asemodernizeze.
Dac¼avaloareanecesar¼apentrurepara¸tii¸simodernizareesteacceptabil¼a¸si
asigur¼aîmbun¼at¼a¸tireaefectiv¼aaperforman¸telorfunc¸tionaleainstala¸tieitehno-
logicerespective,atunciseîntocme¸stedocumenta¸tiadeexecu¸tiepentrumoder-
nizarecarese…nan¸teaz¼aconformprevederilorlegale.
Îngeneral,uzuramoral¼aainstala¸tiilortehnologicedindotare,caurmarea
apari¸tieiunornoitipo-dimensiuni,cuperforman¸tetehnico-func¸tionalesuperioare,
impunemodernizareaacestorachiarînaintedeapari¸tiauzurii…zice.
3.3.3Factoriicarein‡uen¸teaz¼amentenan¸ta
sistemelortehnice
Sistemeletehnicetrebuies¼a…eadaptatedinconcep¸tiepentrufacilitatea
execu¸tieidiferiteloropera¸tiidementenan¸t¼apreventiv¼a¸sicorectiv¼a.
Factoriicarein‡uen¸teaz¼amentenan¸tasistemelortehnicesunt:accesibilitatea
pentrumentenan¸t¼a,u¸surin¸tademont¼arii,interschimbabilitateaansamblurilor¸si
subansamblurilor,standardizarea¸sitipizareaelementelorconstructive.
Accesibilitateapentrumentenan¸t¼a
Pentruasigurareaaccesibilit¼a¸tiilalocuriledeexecutareainterven¸tiilorde
mentenan¸t¼asefolose¸stecoe…cientuldeaccesibilitateCade…nitprinformula
Ca=Hb
Hb+Hs(3.23)
unde:
Hb–estevolumuldemanoper¼aconsumatpentrulucr¼ariledebaz¼apentru
demontarea¸simontareapieseisaubloculuifunc¸tional,înore-om;
126 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Hs-estevolumuldemanoper¼aconsumatpentrulucr¼arilesuplimentarede
demontare¸simontare,necesareexecut¼ariilucr¼arilordebaz¼a,înore-om.
Învolumuldemanoper¼apentrulucr¼ariledebaz¼aseinclude,înafara
opera¸tiilorefectivededemontare¸simontareapieselorsaublocurilorfunc¸tionale
careseînlocuiescsauserecondi¸tioneaz¼a¸siopera¸tiiledecontrol,reglaj,ungere¸si
alimentare.
Învolumuldemanoper¼apentrulucr¼arilesuplimentareseincludopera¸tiile
dedemontare¸simontareatuturorelementelorcareasigur¼aaccesullapiesasau
bloculfunc¸tionalceserepar¼a–capace,panourideizola¸tiiprotectoarepentru
zgomotsauc¼aldur¼a,precum¸sialtepiesesausubansambluriceîmpiedic¼aaccesul.
Coe…cientuldeaccesibilitatetrebuies¼a…emaimareca0;5.
Demontabilitatea
Acestfactorcaracterizeaz¼aposibilitateadeaînlocuiu¸sorbloculfunc¸tional,
subansamblulsaupiesauzat¼asaudefect¼a,cuunconsumminimdemanoper¼a¸si
cuunvolumminimdecheltuieli.
Demontareau¸soar¼aestedeterminat¼adesistemultehnicutilizatpentru…xarea
blocurilorfunc¸tionale¸siasubansamblurilor,aconexiunilorelectrice,decon-
struc¸tiaarticula¸tiilor,degreutatea¸sidimensiuniledegabaritaleelementelor
ceurmeaz¼aa…demontate.Blocurilefunc¸tionale,subansamblurilesaupieselela
careintensitateauzuriiesteridicat¼asauintensitateac¼aderilorestemare,trebuie
s¼apoat¼a…u¸sordemontate¸siînlocuiteînprocesuldeexploatare.
Pentruasigurareaaccesibilit¼a¸tii¸siademontabilit¼a¸tiiu¸soareestenecesars¼ase
iaoseriedem¼asuridinfazadeconcep¸tie¸siproiectareainstala¸tieitehnologice,
dintrecarecelemaiimportantesunt:
¡asigurareaunorspa¸tiiliberesu…cienteîntreblocurifunc¸tionalepentrua
permitedemontarea–montareau¸soar¼aaîntreguluiblocfunc¸tionalsauaunor
componentedefecte;
¡blocurilefunc¸tionale,îmbin¼ariledemontabile¸sielementeleînlocuibiletre-
buies¼a…eamplasatelaodistan¸t¼ademinim60cmdepere¸tiilaterali¸sidecapace
sauchepenguri;
¡guriledealimentarealerezervoarelortrebuies¼a…eamplasateladistan¸te
corespunz¼atoare,pentruapermiteaccesuldispozitivelordeumplere,precum¸si
evitareaposibilit¼a¸tiiscurgeriipealtesubansambluri;
¡îmbin¼arile…letate,lacaresecereoveri…careperiodic¼aastrângerilor,
trebuies¼aaib¼aobun¼aaccesibilitate¸sis¼apermit¼aintroducereaceleide-adoua
chei…xesau¸surubelni¸te;acoloundeesteposibil,seva…xa…epiuli¸ta,…e¸surubul
de¸sasiusaudesuportpentruaîmpiedicarotirealiber¼aaîmbin¼arii;
¡elementelecomponentecuresurs¼atehnic¼amic¼atrebuies¼asepoat¼ade-
montau¸sorîncondi¸tiideexploatare,f¼ar¼as¼a…enevoies¼asedemontezeunnum¼ar
maredealtepiesesausubansambluri;
3.3.ORGANIZAREAMENTENAN¸TEI 127
¡blocurilefunc¸tionale¸sipieselevoraveaogeometriespeci…c¼apentrua
evitaposibilitateaunuimontajgre¸sitînexploatare;
¡pentrublocurilefunc¸tionale¸sisubansamblurilecuomas¼anet¼ade20¡50
kg,caretrebuiedemontatepentrumentenan¸t¼a,sevaasiguraaccesuladoioameni
pentruridicare¸sia¸sezare;
¡…ltreledeulei¸sidecombustibilvor…amplasateînlocuriaccesibilecare
s¼apermit¼aexecutarealucr¼arilordedemontare–montaredec¼atremuncitoricu
ajutorulambelormâini;
¡capetele¸suruburilorvor…protejatecuunsoareconsistent¼aînaintede
vopsireasistemuluitehnic.
Interschimbabilitatea
Aceast¼acaracteristic¼ajoac¼aunrolfoarteimportantîncre¸stereae…cien¸tei
economiceamentenan¸tei¸sireducenum¼arulpieselorderezerv¼a.
Pentruasigurareainterschimbabilit¼a¸tiitrebuieluateoseriedem¼asurilacon-
cep¸tia¸sifabricareasistemelortehnice,dintrecarecelemaiimportantesunt:
¡pentruasigurareainterschimbabilit¼a¸tiielementelorcomponentesevor
prevedeadinconcep¸tiecompensatoritehnologicidetipulgarniturilor,¸saibelor,
alezajelorcudiametrum¼arit,g¼aurilorovale,prelungitoarelorreglabile,supor¸tilor
etc.cares¼apermit¼apreluareaabaterilorînlimiteadmisibile;
¡lamodernizareasistemelortehnice,organeleîmbun¼at¼a¸titetrebuies¼a-¸si
p¼astrezeparametriideinterschimbabilitatecuceiaiconstruc¸tieivechi;
¡pieseledeschimbnoisaurecondi¸tionatetrebuies¼aaib¼aformageometric¼a
¸sifunc¸tionalitateaidentic¼acuaelementelorpecareleschimb¼a.
Standardizarea¸sitipizarea
Permiterealizareainstala¸tiilortehnologicedinblocurifunc¸tionalegrupate
(construc¸tiemodular¼a),ceeaceaccelereaz¼a¸siieftine¸steprocesuldefabrica¸tie,
u¸surând¸sisimpli…cândproceseledementenan¸t¼acaresepotrealizaprinsimpla
schimbareablocurilorfunc¸tionalececon¸tinelementeuzatesaudefecte.
Execu¸tiaconstructiv¼aainstala¸tieitehnologicedinelementetipizatetrebuie
s¼aasigure¸siposibilitateadiagnozeirapideast¼ariitehnice,prinintroducereade
elementedeconectarerapid¼apentruaparateledem¼asur¼a(lainstala¸tiaelectric¼a,
hidraulic¼asaupneumatic¼a).
Tipizareaestedeosebitdeimportant¼a¸sipentruîmbun¼at¼a¸tireaactivit¼a¸tiilogis-
tice,u¸surându-seaprovizionareacupiesedeschimb.Deasemenea,printipizare
seasigur¼a¸silimitareatipurilordelubri…an¸tifolosi¸tipentruungereainstala¸tiilor
tehnologice.
Pentruevaluareagraduluidetipizaresepoatefolosicoe…cientuldetipizare
Ct
Ct=nX
i=1miGti
ntGi;
128 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
unde:
mi–num¼arulpieselortipizatedininstala¸tiatehnologic¼a;
Gti-greutateamedieapieseitipizatei;
nt–num¼arultotaldepiesedininstala¸tiatehnologic¼a;
Gi–greutateamedieauneipiese.
3.4Plani…careamentenan¸tei
Plani…carea(„cândsevaexecutalucrarea?”)reprezint¼aformascris¼aaproce-
suluiîncaretoateresurselenecesare(umane¸simateriale)¸siprogramareaopririi
instala¸tieisuntalocateuneilucr¼ari,pentruexecu¸tiaacesteialaodat¼a¸siuninter-
valdetimpbinestabilite.Plani…carealucr¼ariisefacedec¼atrecompartimentul
dementenan¸t¼aîmpreun¼acucompartimentuldeproduc¸tie.
Plani…careareprezint¼aa¸sadaractivitateacarearecascopstabilireacelei
maie…ciente¸sisiguremetodedeaexecutalucr¼ariledejapreg¼atite,cuin‡uen¸t¼a
minim¼aasupraactivit¼a¸tiideproduc¸tie.Printrealteleseplani…c¼abugetul(resursa
…nanciar¼a),resursauman¼a,timpulefectivalocatopera¸tieidementenan¸t¼a,utila-
jelenecesareinterven¸tiei,SDV-urile¸sioricarealtelecarepotin‡uen¸taactivitatea
dementenan¸t¼a.
Oplani…caree…cient¼atrebuies¼ar¼aspund¼aurm¼atoarelorcerin¸teimpuse:
¡s¼aintegrezeperioadeledementenan¸t¼apreventiv¼a;
¡s¼a…e‡exibil¼apentruaintegra¸silucr¼arileurgentedementenan¸t¼a;
¡s¼areduc¼alamaximtimpiia¸sa-zi¸simor¸ti¸sisupracosturile;
¡s¼a…ecâtmaisimpl¼acuputin¸t¼a¸siu¸sormodi…cabil¼a(deaducerelazi);
¡s¼asecoordonezecuplani…careaproduc¸tiei.
Concluzionând
Plani…care=Cerere
Resursedisponibile;
undeprin„resursedisponibile”seîn¸telege:oremanoper¼a,buget,num¼ardeuti-
laje,SDV-istic¼a,num¼arpiesedeschimb,num¼ardemuncitoriîndiferitecategorii
¸sispecializ¼arietc.
3.4.1Formedeplani…care
Înactivitateadementenan¸t¼aseutilizeaz¼atreiformedeplani…care,înfunc¸tie
dem¼arimeaperioadeidetimp¸sianume:petermenlung,mediu¸siscurt.
1)Plani…careapetermenlung(2-5ani)seutilizeaz¼a,deregul¼a,pentru
liniiletehnologicecomplexedinindustriachimic¼a,metalurgic¼a¸siamaterialelorde
construc¸tii.Incelelalteunit¼a¸tieconomiceaceast¼aplani…caresefolose¸stenumai
pentrurepara¸tiicapitale.
Acestsistemdeplani…careimpune:
3.4.PLANIFICAREAMENTENAN¸TEI 129
¡stabilireanaturiiinterven¸tiilor(reviziitehnice,repara¸tiicurente,repara¸tii
capitale);
¡estimareadurateilucr¼arilorpentru…ecaretipdeinterven¸tie;
¡plani…careaconcret¼aalucr¼arilorpean,trimestru,lun¼a;
¡stabilireanecesaruluidefor¸t¼ademunc¼a;
¡prevederealucr¼arilorceurmeaz¼aa…realizateprincolabor¼aricualte
unit¼a¸ti;
¡stabilirea¸siprevedereanecesaruluidemateriale¸sipiesedeschimb;
¡stabilirea¸siprevedereanecesaruluideutilaje,scule,dispozitive,veri…ca-
toare,precum¸sideaparatedem¼asur¼a¸sicontrol(SDV-uri,AMC-uri);
¡prevedereaeventualeidezvolt¼ariacompartimentuluidementenan¸t¼asau
contractedeservice;
¡introducereadenoimetodedeorganizare¸sieviden¸t¼aalucr¼arilorde
mentenan¸t¼a;
¡prevedereacheltuielilornecesarepentrumentenan¸t¼a.
2)Plani…careapetermenmediureprezint¼aplani…careaanual¼a,folosit¼a
înmodcurentdetoateunit¼a¸tile.Acestsistemdeplani…careimpune:
¡stabilireatuturorinterven¸tiilor(reviziitehnice,repara¸tiicurente,repara¸tii
capitale),amoderniz¼ariinecesare¸siplani…careaacestoratrimestrial¼a¸silunar¼a;
¡plani…careanecesaruluidefor¸t¼ademunc¼a,materiale¸sipiesedeschimb
¸siplani…careaaprovizion¼ariilor;
¡plani…carealucr¼arilorderepara¸tii¸simoderniz¼ariceurmeaz¼aaseexecuta
princolabor¼aricualteunit¼a¸ti;
¡dotareacompartimentelorpropriicuSDV-urile¸siACM-urilenecesare;
¡prevedereacheltuielilornecesarepentru…ecareinterven¸tiepebazaprin-
cipiuluioptimiz¼ariiactivit¼a¸tii;
¡organizareasistemuluideeviden¸t¼a.
3)Plani…careapetermenscurtreprezint¼aplani…careacurent¼acareim-
pune:
¡defalcarealucr¼arilordinplanulanualpeluni¸sipesec¸tii¸siprogramarea
acestoraîntimp¸sipeechipe;
¡determinareadurateilucr¼arilorpeinstala¸tiitehnologice,blocurifunc¸tio-
nale¸siopera¸tii;
¡aprovizionareacumateriale¸sipiesedeschimbalocurilordemunc¼a;
¡programareacontroluluiexecu¸tieilucr¼arilor¸sia¸tineriieviden¸telor.
Întocmireajudicioas¼aaacestorplani…c¼ariareofoartemareimportan¸t¼adeoarece
deacesteadepindeînmarem¼asur¼ae…cien¸taactivit¼a¸tiidementenan¸t¼a¸siîncon-
secin¸t¼adisponibilitateaopera¸tional¼aainstala¸tiilortehnologice.
Complexitateaproblemei–naturafoartediferit¼aainstala¸tiilortehnologice
dindotare,vârstalordiferit¼a,moduldiferitîncaresuntexploatate,bancade
datesumar¼adecaresedispuneîngeneral,privindintensitateadedefectare,
130 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
defec¸tiunileprincipale¸sicauzalor,experien¸tapersonaluluitehnicdincomparti-
mentuldementenan¸t¼aetc.–facedi…cil¼a¸silaborioas¼aelaborareaunorplani…c¼ari
corespunz¼atoare.
3.4.2Informa¸tiinecesarepentruplani…care
Pentruplani…caresefolosescînprimulrândinforma¸tiiledinactelenormative
învigoare(normeletehnicepentruîntre¸tineri¸sirepara¸tii)întocmitepegrupede
instala¸tiitehnologice.Acesteareglementeaz¼a:
¡duratanormat¼adeserviciuînani,oredefunc¸tionare,kmparcur¸si,num¼ar
deproduse,cicluridefunc¸tionareetc.,func¸tiedenaturainstala¸tieitehnologice;
¡ciclulderepara¸tii¸siintervalul,înoredefunc¸tionareefectiv¼asauînkm
parcur¸si,dintredou¼acategoriideinterven¸tii;
¡timpulnormatmaximdesta¸tionare,înrepara¸tiiînzilelelucr¼atoare;
¡consumuldemanoper¼a,înore-ompentruexecutarea…ec¼areiinterven¸tii;
¡costulînprocentedinvaloareadeînlocuireainstala¸tieipentru…ecare
interven¸tiesaupentruuneleinterven¸tii,înafar¼aderepara¸tiacapital¼a,costul
distinctalmanoperei¸sialmaterialelor.
Deasemenea,pentruplani…caresefolosesc¸siinforma¸tiiledinlivretulinstala¸ti-
ilortehnologice,deunderezult¼a:denumirea,principalelecaracteristicitehnice,
datapuneriiînfunc¸tiune,oreledefunc¸tionarerealizate,normelederepara¸tii,
piesele¸sisubansambluriledeschimb,repara¸tiileefectuate.
Înafaradeacesteinforma¸tiideordingeneral,trebuieavuteînvedere¸siur-
m¼atoareleinforma¸tiispeci…ceunit¼a¸tiirespective:
¡stareatehnic¼aefectiv¼aainstala¸tiilortehnologicereprezint¼aunfactor
foarteimportantcareîmpreun¼acugradullordecomplexitate(automatizare)
determin¼avolumul¸sinaturainterven¸tiilordementenan¸t¼a,precum¸simomentul
încareacesteatrebuieexecutate.
¡graduldeînc¼arcareainstala¸tiilortehnologice,respectivinforma¸tiilepri-
vindacorduldelucrualacestora(foccontinuu,cusauf¼ar¼apauzepentruîn-
tre¸tinere,cuposibilitateadeoprirepentruexecutareainterven¸tiilordemente-
nan¸t¼aetc.)trebuieneap¼aratluateînconsiderarelaelaborareaplani…c¼arii.
¡dotareacunoiinstala¸tiitehnologiceîncursulperioadeideplani…care,
respectivinforma¸tiileprivindmontarea¸sipunereaînfunc¸tiuneaacestora¸siciclul
lorderepara¸tii,trebuieavuteînvederepentruincludereaînplani…care.
¡scoatereadinserviciuaunorinstala¸tiitehnologiceîncursulperioadei
deplani…caretrebuiedeasemenealuat¼aînconsiderarepentrucadeladatele
respectives¼anusemaiplani…ceopera¸tiidementenan¸t¼a.
¡aprovizionareacumateriale¸sipiesedeschimb,sorto-tipo-dimensiuni,
furnizori,duratanecesar¼aetc.,precum¸siposibilit¼a¸tilepropriideexecu¸tieaunor
piesedeschimb,reprezint¼ainforma¸tiideosebitdeimportantepentruplani…carea
mentenan¸tei.
3.4.PLANIFICAREAMENTENAN¸TEI 131
¡poten¸tialulcompartimentuluidementenan¸t¼atrebuieavutînvederela
plani…carepentrua-lputeaacordacunoileatribu¸tiice-irevinînfunc¸tiedevolu-
mulactivit¼a¸tii.
3.4.3Periodicitateaoptim¼aamentenan¸teipreventive
Unadinproblemelecarepot…rezolvateînmod¸stiin¸ti…cprincunoa¸sterea
…abilit¼a¸tiiopera¸tionaleR(t)ainstala¸tiilortehnologice,const¼aîndeterminarea
periodicit¼a¸tiioptimeainterven¸tiilordementenan¸t¼apreventiv¼a,învedereaplan-
i…c¼ariilorcâtmaicorecte.
Adoptareauneistrategiidementenan¸t¼acomplex¼a,cuaccentpementenan¸ta
preventiv¼a,prezint¼aurm¼atoareleavantaje:
¡înlocuireasaureparareapreventiv¼a¸siplani…cat¼aauneipiesesausub-
ansamblu,ladatebinedeterminate,cost¼amultmaipu¸tindecâtînlocuireasau
repararea¸siaaltorelementecaurmareareac¸tiilorînlan¸tadefec¸tiunilor
secundare;
¡intensitateadedefectareauneiinstala¸tiitehnologiceasuprac¼areiase
aplic¼aomentenan¸t¼acomplex¼a,estemultmairedus¼acutotcortegiuldeefecte
economicefavorabile.
Sepotdistingetreicazuri,înfunc¸tiedecaracterulaleatorsauconstantal
intervalelordetimpîntreînlocuirisaurepara¸tii¸siprinluareaînconsideraresau
nuavârsteielementelorrespective.
Înprimulcazînlocuirilesefacatuncicândapardefec¸tiunilaelementelecom-
ponente.
Încazulaldoileaînlocuirile(repara¸tiile)seexecut¼aînmodobligatoriu,atunci
cândelementelerespectiveatingvârstaT.Fa¸t¼adeprimulcaz,diferen¸teledin
punctdevedereeconomicsunturm¼atoarele:
¡num¼arulelementelorschimbateestemairedus,deoarecedac¼aunelement
afostînlocuitdatorit¼auneidefec¸tiuni,elnurisc¼as¼a…edinnouînlocuitînmod
preventiv,deoarecesesupravegheaz¼acontinuu¸siatentvârstaelementelor;
¡vârstaelementelortrebuies¼a…ecunoscut¼a,ceeaceimplic¼aobun¼aevi-
den¸t¼aamomentelorcândaufostînlocuite¸siobun¼aorganizare;
¡schimb¼arilepreventivesuntmaicostisitoare.
Încazulaltreileaînlocuireaarelocpentruelementelecareauatinsvârsta
critic¼a,daraceastaseexecut¼aefectivlamomentealeatoare,numaiatuncicând
înlocuireasepoateexecutaînmodpractic¸sieconomic,chiardac¼avârstacritic¼a
afostmultdep¼a¸sit¼a.
Acestemomentealeatoaredeînlocuireaelementelorceauatins¸sidep¼a¸sit
vârstacritic¼asevoralegeastfel:
¡laimobilizareainstala¸tieitehnologicepentruorepara¸tieaccidental¼ase
vorînlocuitoatepiesele¸sisubansamblurileceaudep¼a¸sitvârstacritic¼a;
¡laoprireainstala¸tieitehnologicepentruexecutareauneireviziiplani…-
cate;
132 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
¡înperioadeleîncareinstala¸tiatehnologic¼anulucreaz¼a(înschimbulde
noapte,s¼arb¼atorietc.).
3.4.4Elaborareaplanurilordementenan¸t¼a
Laelaborareaplanurilordementenan¸t¼aunroldeterminantîlarerespectarea
ciclurilorderepara¸tiidinnormeletehnicedeîntre¸tinere¸sirepara¸tiialeinstala¸ti-
ilortehnologice.
Intervalullacareseexecut¼arepara¸tiiledereînnoire(repara¸tiilecapitale),
dup¼aepuizarearesurseitehniceauneiinstala¸tiitehnologice,senume¸steciclu
derepara¸tii.
Uncicluderepara¸tiiincludeunnum¼ardeterminatdereviziitehnice¸side
repara¸tiicurente,precum¸siorepara¸tiecapital¼a.Natura¸sisuccesiuneainter-
ven¸tiilorcuprinseîncadrulunuicicluderepara¸tii,de…nescstructuraacestuia.
Duratacicluluiderepara¸tii,exprimateînoredefunc¸tionaresaukmparcur¸si
întredou¼arepara¸tiicapitale,trebuies¼acorespund¼aînceamaimarem¼asur¼acu
resursatehnic¼aainstala¸tieitehnologice,…indastfelfunc¸tiedecaracteristicilecon-
structive¸sigraduldecomplexitatealacesteia,deregimuldelucru,decali…carea
personaluluideexploatare¸sidecalitateainterven¸tiilordementenan¸t¼aefectuate.
Unelementimportantalplani…c¼ariiactivit¼a¸tiidementenan¸t¼aîlconstituie
determinareatimpuluicâtdureaz¼aointerven¸tie.Prinnormeletehnicepentru
între¸tineri¸sirepara¸tiisuntstabiliteduratelemaximedeimobilizarepentru…ecare
interven¸tiedementenan¸t¼a.
Pentruoplani…caremairiguroas¼asepoatecalculatimpulefectivdesta¸tionare
ainstala¸tieitehnologiceînrepara¸tieTrcurela¸tia
Tr=Tm
N¢S¢n¢k(3.24)
încares-aufolositnota¸tiile:
Tr–duratadeexecu¸tiearepara¸tiei,înzile;
Tm–manopera(durata)total¼anecesar¼a(demontare,înlocuiridepiese,montare,
reglajeetc.),înore;
N–num¼aruldemuncitoricarelucreaz¼asimultanînechip¼a;
S–durataschimbuluidelucru,înore;
n–num¼aruldeschimburi;
k–coe…cientdeutilizareatimpului.
Exemplul3.4.1S¼asedeterminetimpuldesta¸tionarealunuiexcavatorpe¸senile
dac¼asuntcunoscutepentruorepara¸tiecurent¼aRC2urm¼atoareledate:
¡manoperatotal¼anecesar¼aTm=700ore;
¡num¼aruldemuncitoridinechip¼aN=7;
¡durataunuischimbdelucruS=8ore;
¡num¼aruldeschimburipezin=1;
3.4.PLANIFICAREAMENTENAN¸TEI 133
¡coe…cientuldeutilizareatimpuluik=0;7:
Folosindformula(3.24)avem
Tr=Tm
N¢S¢n¢k=700
7¢8¢1¢0;7=17;86zile.
Seadopt¼a18zile.
Înnormeletehnicedeîntre¸tinere¸sirepara¸tiiserecomand¼acatimpuldeimo-
bilizares¼a…edemaximum20dezilepentruacesttipdeinterven¸tie.Încazulîn
carenuseob¸tineuntimpdesta¸tionarecares¼aseîncadrezeînlimiteleadmise,
atunciseac¸tioneaz¼a,deregul¼a,asupraadoifactori:suplimentareanum¼aruluide
muncitorisaum¼arireacoe…cientuluideutilizare.¤
Laplani…carearepara¸tiilorestenecesars¼asestabileasc¼a¸sicostulinterven¸ti-
ilor,întrucât,conformlegisla¸tieiîndomeniu,valoareatuturorinterven¸tiilor,
executateîntr-unciclupentruoinstala¸tietehnologic¼a,nutrebuies¼adep¼a¸seasc¼a
sumavalorilorprev¼azuteînnormeletehnicederepara¸tiicaprocentedinvaloarea
deînlocuire.
Valoareanormat¼aacosturilorpentrurepara¸tiidintr-unciclusepoatecalcula
curela¸tia
Cn=V
100Pnici; (3.25)
încare:
Cn–valoareanormat¼aacosturilorpentrutoateinterven¸tiiledintr-unciclu;
V–valoareadeînlocuireainstala¸tieitehnologice,respectivcostulactualde
achizi¸tieauneiinstala¸tiitehnologicecuparametrisimilariceleiexistente;
ni–num¼arulinterven¸tiilordetipulrespectiv,pedurataunuiciclu;
ci–costulinterven¸tieirespective,înprocentedinvaloareadeînlocuire.
Intervalelelacareseexecut¼arepara¸tiilecurentesaurepara¸tiacapital¼apot
…m¼aritefa¸t¼adecelenormate,dac¼alareviziatehnic¼aanterioar¼aseconstat¼a
c¼astareatehnic¼aainstala¸tieitehnologiceîiasigur¼afunc¸tionareaîncontinuare,
celpu¸tinpeduratauneireviziitehnice,laparametrinominali¸siîncondi¸tiide
siguran¸t¼a.
3.4.5Întocmirea,lansarea,urm¼arirea¸siraportarea
planurilordementenan¸t¼a
Planulanualderepara¸tiiseîntocme¸stepebazanormelortehnicederepara¸tii
¸sialinforma¸tiilordinlivretulinstala¸tieitehnologiceprivindconcluziilereviziilor
tehnice¸sinum¼arulorelordefunc¸tionare.Planulanual,subform¼adepropuneri,
con¸tinetoateinstala¸tiiletehnologicecetrebuiereparateînanulurm¼ator,cupre-
cizareanormeidetimp¸siacostului…ec¼areiinterven¸tii.Acestplanseîntocme¸ste
lasfâr¸situlanuluipremerg¼ator,încadrulcompartimentuluidementenan¸t¼a.
134 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Odat¼acupropuneriledeplananualseîntocme¸ste¸sigra…culdesf¼a¸sur¼ariipe
lunia…ec¼areiinterven¸tii,defalcatpeinstala¸tii.
Planullunardereviziitehnice¸sirepara¸tiiseîntocme¸stepebazaplanului
anual,agra…culuidedesf¼a¸surarepeluni¸siaorelorefectivlucratede…ecareinsta-
la¸tietehnologic¼a.În…ecarelun¼a,cu10zileînaintedeînceperealuniiurm¼atoare,
compartimentuldementenan¸t¼aîntocme¸ste,pentru…ecareinstala¸tieplanuldere-
viziitehnice¸sirepara¸tii.Înacestplanseincludtoateinterven¸tiileplani…catece
sevorexecutaînlunarespectiv¼apentruinstala¸tiiletehnologicedindotare.Câte
unexemplaralplanuluisetransmitecompartimentuluidepreg¼atire,programare
¸siurm¼arireaproduc¸tiei,precum¸si…ec¼areisec¸tiideproduc¸tieinteresate.
Laderulareaplanuluilunar,înaintedeintroducereaînrepara¸tiea…ec¼areiin-
stala¸tiitehnologiceseîntocme¸stedec¼atrecompartimentuldementenan¸t¼a…¸sade
constatare¸siexecutaredelucr¼aricarecon¸tineinforma¸tiileprivindstareatehnic¼a
efectiv¼aainstala¸tiilortehnologice¸sisepreg¼atesccondi¸tiilecares¼aasigureexe-
cutareaîncondi¸tiioptimeainterven¸tieidementenan¸t¼a,înminimumdetimp¸si
cuconsumuricâtmairedusederesurse.Pebazadatelordin…¸s¼aseîntocme¸ste
devizulderepara¸tiicarecon¸tinetoatelucr¼arilecetrebuieexecutate¸sicostul
estimativalacestora.
Încazulcândoinstala¸tietehnologic¼aasuferitoavarieseveri…c¼astarea
tehnic¼aaacesteia¸siseîntocme¸steunactdeconstatareaaccident¼ariiîncare
setrectoatedefec¸tiunilesesizatesaudepistate,cauzelecelemaiprobabileale
acestora,vinov¼a¸tii¸sim¼asurileceseimpunpentrurepunereacâtmaiurgent¼aîn
func¸tiuneainstala¸tieitehnologicerespective.
Repara¸tiileaccidentalenutrebuies¼adereglezerealizareaprogramuluilunar
dementenan¸t¼a.
Planullunarselanseaz¼apeechipespecializatepentrumentenan¸t¼a.Echipele
începactivitateaprinaluaînprimireinstala¸tiiletehnologicepentrurepara¸tie,
încheindcuaceast¼aocazieunprocesverbaldepredare-primire.Încontinuare
echipadeconstatare,împreun¼acuechipadelucru,încheie…¸sadeconstatare¸si
executaredelucr¼ari,dup¼aaprobareac¼areiaselanseaz¼abonuriledemateriale¸si
depiesedeschimb.Încazulîncaresuntnecesarecolabor¼aricualteunit¼a¸ti,se
emitdispozi¸tiidelucrusaurespectivcomenzilecorespunz¼atoare.
Urm¼arirearealiz¼ariiplanuluiderepara¸tiisefacepebazaregistruluideevi-
den¸t¼aacomenzilordincadrulcompartimentuluidementenan¸t¼a.Urm¼arirease
realizeaz¼aprininformaredirect¼a,precum¸siprinpredarea…¸selordeconstatareîn
caresespeci…c¼aîncheierealucr¼arii.
Dac¼auneleinstala¸tiitehnologice,de¸sisuntprev¼azuteînplan,nusepredau
totu¸sipentrurepara¸tiedatorit¼ast¼ariitehnicebune,atestat¼alareviziatehnic¼a,
atunciseîncheieunprocesverbaldeamânarearepara¸tieidincaretrebuies¼a
rezultecauzaamân¼arii,perioadadeamânare¸sistareatehnic¼aefectiv¼aainstala¸tiei
tehnologicerespective.
3.5.RESURSAPIESELOR 135
3.5Resursapieselor
Înprocesuldefunc¸tionare¸sichiarînperioadadeinactivitateainstala¸tiilor
tehnologice,aulocfenomenecareducnunumailaînr¼aut¼a¸tireaindicilorfunc¸tion-
ali,cichiarlapierdereatotal¼asaupar¸tial¼aacapacit¼a¸tiifunc¸tionale.
Celemaifrecventecauzecareduclapierdereacapacit¼a¸tiifunc¸tionaleainsta-
la¸tiilortehnologicesunturm¼atoarele:
¡rupereapieselordatorit¼afenomenelordeoboseal¼a;
¡modi…careadimensional¼a,aformeigeometrice,aparalelismelor¸sia
coaxialit¼a¸tilor;
¡schimbarealan¸turilorcinematicedatorit¼auzuriistraturilorsuper…ciale
alepieselor;
¡deformareapieselor¸siîn¸tepenireaarticula¸tiilorînmi¸scaresausubac¸ti-
uneasarcinilordinamice;
¡ruperea¸sideteriorareapieselordatorit¼aagen¸tilorcorosivi¸siîmb¼atrânirii
materialelor;
¡dereglareadatorit¼asl¼abiriiîmbin¼arilorpieselor¸sisubansamblurilor;
¡neexecutarealatimp¸siînbunecondi¸tiiainterven¸tiilordementenan¸t¼a
preventiv¼a;
¡depozitarea¸siconservareanecorespunz¼atoareapieselor,subansamblurilor
¸siinstala¸tiilortehnologice.
Principalacauz¼acarecontribuieînceamaimarem¼asur¼alapierdereacapa-
cit¼a¸tiifunc¸tionaleainstala¸tiilortehnologiceesteuzurapieselorînmi¸scarerelativ¼a
defrecare.
3.5.1Uzura
M¼arirearezisten¸teilauzur¼aapieselor,deci¸siadurabilit¼a¸tiilor,estecondi¸tio-
nat¼aatâtdecalitateaungeriicât¸sidecontinuitateapeliculeideuleiînzonade
frecare.Lipsalubri…an¸tilor,chiarpentruscurt¼adurat¼a,m¼are¸steuzura,putând
ducechiarladeteriorareapieselor.
Pentruîmbun¼at¼a¸tireacalit¼a¸tiilubri…an¸tilorsefolosesc:
¡aditiviantiacizicareoprescformareaacizilord¼aun¼atori,îineutralizeaz¼a
¸siasigur¼acondi¸tiipentrufunc¸tionareanormal¼aapieselorlamarivaria¸tiide
temperatur¼a;
¡aditiviantioxidan¸ticarecreeaz¼aopelicul¼aprotectoarepesuprafa¸ta
pieselorîmpotrivaac¸tiuniioxidanteaacizilorceseformeaz¼aînlubri…an¸ti;
¡aditivipolifunc¸tionalicareaucalit¼a¸timultiple–detergen¸ti,anticonge-
lan¸ti,antioxidan¸tietc.
Supraînc¼arcareamotoarelor,pornirea¸sioprirealorfrecvent¼a,func¸tionarea
instala¸tiilortehnologicelatemperaturisc¼azutedar¸siînalte,func¸tionareanecore-
spunz¼atoarea…ltrelor,neschimbareauleiuluilatimp,prezen¸taînuleiaapei¸si
136 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
aparticulelorstr¼aineabraziveetc.constituieprincipalelecauzecareconducla
cre¸stereaintensit¼a¸tiiuzurii.
Uzurareprezint¼afenomenultribologiccuin‡uen¸t¼ahot¼arâtoareasuprast¼arii
limit¼a,adurabilit¼a¸tii¸sia…abilit¼a¸tiiinstala¸tiilortehnologice.
Procesuldeuzur¼apoate…prezentatsubformauneicurbecutreizonecare
corespundlatreiperioadedefunc¸tionare.
Fig.3.1:Curbauzurii
Înprimaperioad¼a,perioadaderodaj(tr),piesaseadapteaz¼alacondi¸tiilede
func¸tionareînsarcin¼a¸siseeviden¸tiaz¼aclardefectelevizibilesauascunse,sub
formadec¼aderilarodaj.Înaceast¼aperioad¼avitezadeuzur¼avscadetreptat.
Înperioadaadoua,perioadafunc¸tionarenormal¼a(tn)vitezauzuriiveste
practicconstant¼asaucre¸stefoarteîncet,iarintensitateac¼aderilor¸sestabilizeaz¼a
launanumitnivel.Aceast¼aperioad¼areprezint¼aceamaimarepartedinperioada
defunc¸tionareapieselor,sfâr¸situlacesteiamarcând¸sisfâr¸situlperioadeinormale
deexploatare.
Înperioadaatreia,perioadauzuriideavarie(ta),sauuzuracatastrofal¼a,se
producecre¸stereaaccelerat¼aauzuriiU,avitezeideuzur¼av,precum¸siocre¸stere
brusc¼aaintensit¼a¸tiidedefectare¸,ceeacearecaefectocre¸steresemni…cativ¼a
acosturilorpentrurepara¸tiicareimpunscoatereadinexploatareapiesei.
CunoscândcurbeleuzuriiabsoluteUprecum¸silimiteleadmisibiledeuzur¼a
alepieselor,sepoatedeterminam¼arimeaperioadeideuzur¼anormal¼atn,precum
¸siresursapieselor.
Intensitateauzuriloresteaccelerat¼adecoroziune¸sideprocesuldeîmb¼atrânire.
3.5.RESURSAPIESELOR 137
Unelepiesenu-¸sischimb¼aniciforma¸sinicidimensiunileînprocesuldepro-
duc¸tie,darî¸sipierdcapacitateafunc¸tional¼adatorit¼adiminu¼ariiunorcaracteristici
…zico-mecanice.Astfel,arcurile,bareledetorsiune,garnituriledeetan¸saredin
cauciucetc.î¸sipierdcapacitateafunc¸tional¼adatorit¼adiminu¼ariielasticit¼a¸tii.
Înfunc¸tiedefactoriicareproducuzura¸sidemoduldemanifestareamodi-
…c¼arilorstructurale¸sidimensionalealepieselor,principaleletipurideuzur¼asunt:
a)uzuradeaderen¸t¼asaudecontact:curgereplastic¼a,topirelocal¼a,gripaj,
microsuduri,rupereapun¸tilordemicrosudur¼aîntreasperit¼a¸ti;
b)uzuraabraziv¼a:asperit¼a¸tiduredinmasamaterialului,particuledure
deta¸sateînprocesuldeuzur¼a,particulestr¼aine,exterioare;
c)uzuradeimpact;
d)uzuradeoboseal¼a:pitting,…sur¼ari,exfoliere,cavita¸tie,coroziunede
fretaj;
e)uzuradecoroziune;
f)uzuradeavarie;
a)Uzuradeaderen¸t¼a,sauuzuradecontact,reprezint¼arezultatulfor¸telorde
frecareceaparîntredou¼acorpuriîndeplasarerelativ¼a,precum¸siapun¸tilor
desudur¼acesenascîntrepieseleconjugate.Înacestcazin‡uen¸taparticulelor
abrazive¸siafenomenelorelectrochimiceesteminim¼a.
Uzuradeaderen¸t¼apoate…provocat¼aatâtdefrecareadealunecare,cât¸side
frecareaderostogolire,…indcaracterizat¼adeuncontactintimîntresuprafe¸tele
înfrecare,producândointerac¸tiunemolecular¼a.
Uzuradeaderen¸t¼aestedeterminat¼apentrustabilireast¼ariilimit¼aalepieselor
componentealelag¼arelordealunecare,segmen¸tilor¸sicilindrilordelamotoare,
tijelorsupapelor¸siaghidajeloracestoraetc.Uzuradeaderen¸t¼aseintensi…c¼aîn
condi¸tiideungereinsu…cient¼a(pornirelarece,defec¸tiuniînsistemuldeungere,
lubri…an¸tinecorespunz¼atorietc.).
b)Uzuraabraziv¼areprezint¼arezultatulac¸tiuniiparticulelorabrazivepesupra-
fe¸telepieselorcucarevinîncontact¸sicaresemanifest¼aatâtsubform¼ademi-
croa¸schiericât¸sisubform¼adedeform¼ariplastice¸sideta¸s¼arideparticulemetalice.
Rezisten¸talauzuraabraziv¼aapieselorestefunc¸tiedepropriet¼a¸tile…zico-
mecanicealematerialelorpieselor,deabrazivitateaparticulelorstr¼aine¸side
spa¸tiulparcursîntimpulfrec¼arii.
Starealimit¼a¸sidurabilitateapieselorutilajelordeconstruc¸tii,aleutilajelor
agricole,aletractoarelor¸simijloacelordetransporttehnologicsuntdeterminate
înprincipaldeintensitateauzuriiabrazive.
Uzuraabraziv¼aestepropor¸tional¼acuspa¸tiuldefrecare,cupresiuneadecon-
tactdintresuprafe¸teleînfrecare,cuabrazivitateaparticulelorstr¼aine¸siesteinvers
propor¸tional¼acurezisten¸talauzur¼aamaterialelorfolosite,ne…indin‡uen¸tat¼ade
vitezadefrecare.
138 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Intensitateauzuriiabrazivesepoatedeterminacurela¸tia
iu=dU
ds=kp;
încare:
¡iu–intensitateauzurii,înmm;
¡dU–uzuraelementar¼a,înmm;
¡ds–spa¸tiulelementarparcursdepieseleînfrecare,înmm;
¡p–presiuneaspeci…c¼adintrematerialeleînfrecare,înN/m2;
¡k–coe…cientulcare¸tineseamadeabrazivitateaparticulelor,depropri-
et¼a¸tile…zico-mecanicealematerialelorpieselor¸sidecondi¸tiiledefrecare.
Pentrupieseleexecutatedino¸telurinealiate,netratatetermic,rela¸tiacared¼a
intensitateauzuriisepoatescriesubforma
iu=dU
ds=kp
HB;
încareHBesteduritateamaterialuluiînunit¼a¸tiBrinell.
Pentruo¸teluriletratatetermicînvedeream¼aririidurit¼a¸tii,intensitateauzurii
sedetermin¼acurela¸tia
iu=dU
ds=kp
HB¡¯(HB0¡HB);
încare:
¡HB0–duritateapieseiînaintedetratament,înunit¼a¸tiBrinell;
¡HB–duritateapieseidup¼atratamenttermic,înunit¼a¸tiBrinell;
¡¯–coe…cientcaredepindedecon¸tinutuldecarbonalotelului,0·¯·1.
c)Uzuradeimpactreprezint¼arezultatulimpulsuluicareseproducelacioc-
nireaadou¼acorpuriînprocesuldefunc¸tionareasupradimensiunilor,formei¸si
caracteristicilor…zico-mecanicealepieselor.
Uzuradeimpactestecaracteristic¼apinioanelorcutiilordeviteze,danturii
pinioanelordelaelectromotoareledepornirealeautovehiculelor¸sitractoarelor,
organeloractivealeconcasoarelor¸simorilorcuciocaneetc.
Vitezauzuriideimpactsepoatedeterminacurela¸tia
v=dU
dt=®kI;
încare:
¡dU
dt–vitezauzuriideimpact,înm=s;
¡®–coe…cientcecaracterizeaz¼aunghiulsubcareseproduceimpactul;
¡k–coe…cientfunc¸tiedecaracteristicile…zico-mecanicealematerialelor
ceseciocnesc;
3.5.RESURSAPIESELOR 139
¡I=m1v1§m2v2–impulsul,m1¸sim2…indmaselecorpurilorcese
ciocnesc,îng(grame),iarv1¸siv2vitezeleacestora,înm/s.
d)Uzuralaoboseal¼areprezint¼arezultatulac¸tiuniifor¸telordefrecarederos-
togolire,afor¸telordeimpact,aac¸tiuniiîndelungateasarciniloralternativela
caresuntsupusepieseleîntimpulfunc¸tion¼arii,precum¸siatensiunilorinterne
dinstraturilesuper…cialecareapardatorit¼aprelucr¼arilormecanicedinfabrica¸tie
sauînprocesuldefunc¸tionare.
Apari¸tiauzuriilaoboseal¼acaracterizeaz¼achiarstarealimit¼a,adic¼aduratade
serviciuapieselorrespective.
Uzuralaoboseal¼asemanifest¼aprinapari¸tiademicro…suri,exfolieri,modi…c¼ari
structurale,subform¼ade:pitting,exfoliere,fretare¸sicavita¸tie.
Pittingulestecaracteristicrulmen¸tilor,din¸tilordelaro¸tiledin¸tate,fusurilor
delacrucilecardaniceetc.
Exfoliereaseproducelapieseletratatetermicnecorespunz¼ator¸sisemanifest¼a
aleatorînfunc¸tionare,in‡uen¸tânddirect…abilitateapieselor.
Fretareareprezint¼aoîmbinareacoroziuniicuoboseala¸sisemanifest¼ala
rulmen¸ti,pene,buc¸seetc.carecap¼at¼ajocpefusuri,încarcasesaulal¼aca¸surile
încaresuntmontate,ducândlastarealimit¼aaarticula¸tieirespective.
Cavita¸tiareprezint¼aprincipalacauz¼aaatingeriist¼ariilimit¼aapieselordin
componen¸tapompelorhidraulice.
e)Uzuradecoroziunereprezint¼arezultatulreac¸tiilorchimicealeaciziloror-
ganicicareseg¼asescînlubri…an¸tisaucareseformeaz¼aîntimpularderiicom-
bustibililor,agazelorlatemperaturiînalte,aoxigenuluidinaer,asubstan¸telor
chimicepecareleprelucreaz¼a,aac¸tiunilorelectrochimiceetc.Uzuradecorozi-
unereprezint¼aelementulpreponderentînatingereast¼ariilimit¼aapieselordela
instala¸tiiletehnologicecarelucreaz¼aînindustriachimic¼a,înindustriaalimentar¼a,
înindustriamaterialelordeconstruc¸tiietc.
Electrocoroziuneaesterezultatuldesc¼arc¼arilorelectricecareseproducîntre
dou¼apieseînmomentulform¼ariisauîntreruperiiunuicontactelectric.Elec-
trocoroziuneaducelaapari¸tiast¼ariilimit¼alabujii,lacontacteelectrice,între-
rup¼atoaredecurent,distribuitoare¸sirelee,perii¸sicolectoaredelamotoare¸si
generatoareelectriceetc.
f)Uzuradeavariereprezint¼arezultatuldep¼a¸siriist¼ariilimit¼alapieseleinsta-
la¸tiilortehnologice.Cândjocuriledintrepiesedep¼a¸sesclimiteleadmise,uzurile
crescîncontinuarefoarterepede,ducândlauzuradeavarie¸silacre¸stereagradului
dedefectare.
Întrucâtreparareauneiinstala¸tiitehnologicescoas¼adinfunc¸tiunedatorit¼a
uzuriideavarieconducelacosturimultmairidicate,serecomand¼as¼anuse
dep¼a¸seasc¼astarealimit¼aapieselorcomponente.
Defectelesuntconsecin¸teleabaterilordelatehnologiiledefabrica¸tie¸side
repara¸tie,adep¼a¸siriist¼arilorlimit¼aalepieselor,anerespect¼ariiregulilordeex-
140 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
ploatare¸sideîntre¸tinereprescrisemanifestându-sesubform¼aderuperi,defor-
m¼ari,îndoiri,forfec¼ari,…surietc.
3.5.2Starealimit¼aapieselor¸sisubansamblurilor
Întimpulfunc¸tion¼arii,instala¸tiiletehnologiceî¸sipierddinpreciziedatorit¼a
uzurii…ziceapieselor¸sisubansamblurilorcomponente,caresepoateacce-leraîn
cazuluneifabrica¸tiinecorespunz¼atoaresauauneiexploat¼arinera¸tionale.Sc¼aderea
precizieiconducelarealizareauneiproduc¸tiidecalitateinferioar¼a,larebuturi¸si
lacre¸sterearisculuideavarie.
Apreciereacâtmaicorect¼aalimiteidefolosireapieselor,articula¸tiilor,sub-
ansamblurilor¸siinstala¸tiilortehnologicepermiteutilizareara¸tional¼aaacestora,
curespectareatuturorexigen¸telortehnice,tehnologice¸sieconomice.
Scoatereadinfunc¸tiunesauintroducereaînrepara¸tiiînaintedetermena
pieselor¸sisubansamblurilorducelacre¸stereaconsumuluidepiesedeschimb
¸silacre¸stereacheltuielilordeproduc¸tie.Pedealt¼aparte,folosireapieselor¸si
articula¸tiilorpestelimiteledefunc¸tionareducelasc¼adereacalit¼a¸tiiproduc¸tiei¸si
lacre¸stereaconsumuluideenergie,laeliminareaposibilit¼a¸tilorderecondi¸tionare,
laapari¸tiaavariilor¸siaccidentelor¸siîn…nallacre¸stereagraduluidedefectareal
instala¸tiilortehnologice.
Starealimit¼aestestabilit¼apebazadimensiunilor¸siajustajelorlimit¼a,precum
¸siaabaterilorlimit¼adelaformageometric¼aapieselor¸siarticula¸tiilor.Starea
limit¼aapieselor¸sisubansamblurilor,exprimat¼aînperioadadetimpdefunc¸tionare,
constituieelementuldebaz¼apentrustabilireanormelordeconsumdepiesede
schimb.
Criteriidestabilirealimitelorlauzur¼a
Înfunc¸tiedecondi¸tiiledelucru,decerin¸telefunc¸tionale,deposibilit¼a¸tilede
reparare,pentrustabilireast¼ariilimit¼asepotfolosiurm¼atoarelecriterii:tehnic,
tehnologic,reparabilit¼a¸tii¸sieconomic.
a)Criteriultehnicseaplic¼alastabilireast¼ariilimit¼aapieselor¸sisubansam-
blurilorac¼arorexploatarepesteperioadadetimpadmis¼aducelaapari¸tiauzurii
deavarie,lacre¸stereavitezeideuzur¼a¸silaapari¸tiab¼at¼ailoranormale,vibra¸tiilor
¸sizgomotelor.
Dac¼alu¼amînstudiucazuluneiarticula¸tii(arbore-alezaj,bol¸t-piston,bol¸t-
biel¼a)supus¼asolicit¼arilordinamice,pentruobun¼afunc¸tionareaacesteiavom
aveaovaloaremaxim¼aadmis¼aajoculuilimit¼a,jmax;dat¼aderela¸tia
jmax=u1max+u2max+ji;
unde:
¡jmaxestejocullimit¼aalarticula¸tiei,înmm;
3.5.RESURSAPIESELOR 141
¡ji–joculini¸tialalarticula¸tiei(ajustajului),înmm;
¡u1max–uzuralimit¼aaarborelui,înmm;
¡u2max–uzuralimit¼aaalezajului,înmm.
b)Criteriultehnologicseaplic¼a,îngeneral,celmaimultlastabilireast¼arii
limit¼aapieselor,subansamblurilor¸siinstala¸tiilortehnologice.Prinuzurapeste
oanumit¼alimit¼aaorganeloractivedelucrualeinstala¸tiilortehnologicenuse
mairealizeaz¼aperforman¸telecalitativenecesareproduc¸tiei.Astfel,deexemplu,
criteriultehnologicseaplic¼alapompele,motoarele¸sidistribuitoarelehidraulice
careprinsc¼adereadebitului¸siasarciniinumaiasigur¼aparametriidelucrunece-
sari,lainjectoarelemotoarelorDieselac¼arorduzeuzateduclasc¼adereaputerii
dezvoltate¸silacre¸stereaconsumuluidecombustibil,laanvelopelemijloacelor
detransport,undelimitadeuzur¼aestestabilit¼adegraduldeaderen¸t¼a¸side
siguran¸t¼aînfunc¸tionare,lama¸sinileunelteac¼aroruzur¼anumaiasigur¼aprecizia
deprelucrarenecesar¼aetc.Îngeneral,criteriultehnologicseaplic¼alapiesele¸si
subansamblurilecaredup¼aoanumit¼aperioad¼adefunc¸tionarenumairealizeaz¼a
indiciifunc¸tionali¸sicalitativiimpu¸sideprocesultehnologic,cutoatec¼aviteza
deuzur¼asemen¸tineconstant¼a.
c)Criteriulreparabilit¼a¸tiiseaplic¼alapieselelacareintensitateauzuriise
men¸tineaproximativconstant¼a,f¼ar¼as¼aapar¼auzuradeavarie,iarînr¼aut¼a¸tirea
indicilorcalitativiaiprocesuluitehnologicaraparefoartetârziu,cândpiesele
respectivenuarmaiputea…practicreparate.
Astfel,deexemplu,cânduzuraciocanelordelamorilesauconcasoarelecu
ciocanedinfabriciledecimentdep¼a¸se¸ste15mmînzonaactiv¼a,acesteanumai
pot…recondi¸tionate.Înschimb,dac¼auzuran-ardep¼a¸si12mmar…posibil¼a
recondi¸tionarealor,ceeacearasiguraodurat¼adeserviciupân¼alacasarede2-3
orimaimare.
Procesultehnologicdefabrica¸tiepoate,deasemenea,determinastarealimit¼a.
Astfel,starealimit¼aamaterialelordefric¸tiune,delafrâne¸sidelaambreiaje,
reprezint¼a30-40%dingrosimeamaterialuluiatuncicândsunt…xatecunituri¸si
cre¸stela70-80%dingrosime,cândsunt…xatecuadezivi.
Deasemenea,rotoarelepompelor,dac¼anusuntrecondi¸tionatelatimp,la
începutuluzuriidecavita¸tie,numaipot…reparatedincauzaformei¸sim¼arimii
uzurilor.
d)Criteriuleconomicseaplic¼aînfunc¸tiedevaloareaoptim¼aacheltuielilor
globale,respectivdeamortisment,exploatare,între¸tinere¸sirepara¸tii.
Cre¸stereaconsumuluideuleilamotoareletermice,cre¸stereaconsumuluide
energielainstala¸tiiletehnologiceac¸tionateelectric,cre¸stereapierderilortehno-
logice(rebuturietc.)conduclacre¸stereacheltuielilordeproduc¸tie.Acestcriteriu
completeaz¼a,îngeneral,celelaltecriterii.
142 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Uzurilimit¼amediiprev¼azuteîntehnologiilederepara¸tii
Întehnologiilederepara¸tiitrebuieprev¼azuteuzurilelimit¼amediipentruprin-
cipalelepiese¸sisubansamblurialeinstala¸tiilortehnologice,pebazac¼arorase
stabile¸steresursa(duratadeserviciu)aelementelorrespective.
Lastabilireauzurilorlimit¼amediiseauînvederecondi¸tiiledelucru,in‡uen¸ta
uzuriiasuprafunc¸tionalit¼a¸tiiinstala¸tieitehnologice,asupracalit¼a¸tiiproduc¸tiei
realizate,asuprasiguran¸teiînfunc¸tionare,asuprareparabilit¼a¸tii¸sie…cien¸tei.
Pentrustabilireauzurilorlimit¼aseauînvedereurm¼atoareleelementecon-
structive¸sifunc¸tionale:
¡clasadeprecizieapieselorconjugate;
¡rugozitateasuprafe¸telor;
¡tura¸tiapieselor;
¡joculmaximdemontaj;
¡caracterul¸sim¼arimeaajustajului;
¡grosimeastratuluitratattermic;
¡calitateamaterialuluipiesei;
¡duritateasuprafe¸telor;
¡condi¸tiiledefunc¸tionare.
3.5.3Resursatehnic¼aapieselor¸siinstala¸tiilortehnologice
Resursatehnic¼a,saumaipescurtresursa,reprezint¼acapacitateadefunc¸tio-
nareexprimat¼aînore,kmparcur¸sisauvolumdelucr¼arirealizat,auneipiese,
subansamblusauinstala¸tietehnologic¼a.
Lapieselenerecondi¸tionabile(segmen¸ti,rulmen¸ti,simeringurietc.)resursa
tehnic¼aesteegal¼acudurabilitatealor,deciestedeterminat¼adetimpuldefunc¸tio-
naresauvolumuldelucr¼ariexecutatpân¼alascoatereadinfunc¸tiune.
Lapieselerecondi¸tionabile(arbori,axe,blocuri,carcaseetc.)resursatehnic¼a
estedeterminat¼adeduratadefunc¸tionaresauvolumuldelucr¼arirealizatpân¼a
laprimarecondi¸tionaresauîntredou¼arecondi¸tion¼arisuccesive.Recondi¸tion¼arile
suntdeterminatedestarealimit¼aapieselor¸sinudeeventualeledefec¸tiunialeatorii
ap¼aruteînprocesuldefunc¸tionare.
Resursatehnic¼aainstala¸tiilortehnologiceestedeterminat¼adeduratade
func¸tionaresauvolumuldelucr¼aricesepotexecutapân¼alaprimarepara¸tie
degradmaxim(repara¸tiecapital¼a),interven¸tiececaracterizeaz¼astarealimit¼aa
instala¸tieitehnologicerespective.
Resursamediecaracterizeaz¼adurabilitatea¸siconstituiebaza¸stiin¸ti…c¼ade
stabilireaposibilit¼a¸tilordelucru¸siacheltuielilorpentrumentenan¸t¼apân¼ala
starealimit¼a.
Resursaprocentual¼aauneipiesesauauneiinstala¸tiitehnologice,notat¼acu
°,esteom¼arimecarede…ne¸steatingereauneiresurseminimepentruunanumit
procentdinpopula¸tiarespectiv¼a.Astfel,dac¼apentruunexcavatorseprevedes¼a
3.5.RESURSAPIESELOR 143
func¸tioneze5000deorepân¼alarepara¸tiacapital¼a,atunciestenecesarcacelpu¸tin
80%dintotalulexcavatoarelorurm¼aritestatistics¼arealizezeresursade5000de
ore.Dinpunctdevedere…zic,procentul°de…ne¸stepondereaelementelorsau
instala¸tiilortehnologicecaretrebuies¼arealizezeoanumit¼avaloareminim¼aa
resursei.
Alegereaprocentului°depindedeparticularit¼a¸tileproduselor¸sideconside-
rentetehnico-economice,celemaiimportante…indlegatedeconsecin¸teledefec¸ti-
unilor.
Valoarealui°trebuies¼a…e100%pentruinstala¸tiiletehnologicecareînpro-
cesuldefunc¸tionare,prindefectarealor,arpericlitavia¸taoamenilor¸side80-90%
pentrutoatecelelalteinstala¸tiitehnologice.
Valoarearesurseivariaz¼a¸sicuvârstainstala¸tieitehnologice.Astfel,pebaz¼a
dedatestatistices-aconstatatc¼aresurseledintrerepara¸tiicapitalereprezint¼a
70-90%dinresursapân¼alaprimarepara¸tiecapital¼a.
3.5.4Starealimit¼aainstala¸tiilortehnologice
Starealimit¼aauneiinstala¸tiitehnologicesecaracterizeaz¼aprinpierderea
resurseiacesteia¸sipoateapareînurm¼atoarelecazuri:
¡uzuranormal¼aainstala¸tieitehnologicecareimpuneexecutareauneirepara¸tii
dereînnoire(repara¸tiecapital¼asaurepara¸tiecurent¼adegradmaxim);
¡îndeplinireadurateitotaledeserviciu,stabilitepecriteriitehnico-economice.
Fiabilitateafunc¸tional¼aR(t)scadeînperioadadeînceput,maialesdatorit¼a
defec¸tiuniloraccidentalecaresepotremediarelativrepede,f¼ar¼ain‡uen¸teasupra
resurseiremanenteainstala¸tieitehnologice.
Dup¼aoanumit¼aperioad¼adefunc¸tionare,opartedinpieselecomponente
aleinstala¸tieitehnologiceajunglastarealimit¼a,impunândintroducereaacesteia
într-orepara¸tiedereînnoirepentrua-iputearefaceresursa,f¼ar¼aaputeaîns¼as-o
aduc¼alanivelulini¸tial,deoareceopartedinpieselecomponente,respectivcele
carenus-auschimbatsaurecondi¸tionatlarepara¸tie,¸si-auconsumatdejaoparte
dinresurs¼a.
Întimpulrepara¸tieiseînlocuiescsauserecondi¸tioneaz¼atoatepieselecareau
ajunslastarealimit¼adeuzur¼asaucaremaiauoresurs¼aremanent¼afoartemic¼a,
insu…cient¼apân¼alaonou¼arepara¸tieplani…cat¼a.
Înacestmod,cu…ecarerepara¸tie,nivelulgeneralal…abilit¼a¸tiifunc¸tionale
scade,astfelîncâtlaunmomentdatdevineneeconomic¼aexecutareauneinoi
repara¸tiiainstala¸tieitehnologice.
Sc¼adereatreptat¼aanivelului…abilit¼a¸tiifunc¸tionaleainstala¸tieitehnologice
senume¸ste„îmb¼atrânire”.
Cre¸stereavitezeidesc¼aderea…abilit¼a¸tiidup¼arepara¸tieseexplic¼aprinfaptul
c¼aopartedinpieseledebaz¼aaleinstala¸tieitehnologicecarenu¸si-aupierdut
totalresursapân¼alaprimarepara¸tie,sefolosescîncontinuare,lucrândîncuplaj
cupieselenoisaurecondi¸tionate.Datorit¼avaloriiuzuriipecareoauacestepiese,
144 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
nicipieselenoicareurmeaz¼as¼alucrezeîncuplajcuele,nuvoraveaunregim
favorabildefunc¸tionare,dincauzajocurilorini¸tialedemontajmultmaimari,
ceeaceconducelaaccelerareauzurii.
Cre¸stereavitezeideuzur¼aapieseloraredreptconsecin¸t¼adirect¼aocre¸stere
avitezeidesc¼aderea…abilit¼a¸tiifunc¸tionaleainstala¸tieitehnologice,odat¼acu
îmb¼atrânirea¸sireducerearesurselordintrerepara¸tii.Astfelresursadinaintea
primeirepara¸tiiva…maimaredecâtresursadinainteaceleide-adouarepara¸tii
¸si…ecareresurs¼aviitoareva…maimic¼adecâtceaprecedent¼a.
Pentruuneleechipamentetehnologice,cumsuntma¸sinileunelte,starea
limit¼a,respectivpierderearesurseisede…ne¸steprinpierdereaprecizieideprelu-
crare.Astfel,de¸sima¸sinaunealt¼anuestedefect¼adinpunctdevederefunc¸tional,
abateriledimensionale,forma¸sicalitateasuprafe¸telorgeneratenusemaiîn-
cadreaz¼aîncâmpuldetoleran¸t¼aadmis,resursa…indastfelde…nit¼ade…abilitatea
tehnologic¼a¸sinude…abilitateafunc¸tional¼acalacelelalteechipamentetehnolo-
gice.
3.6Asigurarealogistic¼aamentenan¸tei
3.6.1Determinareanecesaruluidemateriale
Realizarearepara¸tiilorînconformitatecuplanulelaboratpentruperioada
respectiv¼adetimp(an,trimestru,lun¼a)estecondi¸tionat¼a¸sideasigurareamate-
rialelornecesare,însortimentele¸siîncantit¼a¸tileadecvate.
Stabilireanecesaruluicorectdematerialereprezint¼aoopera¸tiedemareim-
portan¸t¼a,avândînvederesortimentulfoartevariat:o¸telurilaminate¸siforjate,
înalt¸sislabaliate,organedeasamblare,rulmen¸ti,electrozi,unsori,uleiurimin-
erale,echipamentelectrotehnic,vopsele,sculepentruprelucr¼ariprina¸schiereetc.
Dinaceast¼acauz¼aestenecesar¼aintroducereaunornormedeconsumpentruma-
terialelederepara¸tiicares¼aasigureoutilizarera¸tional¼a,permi¸tândoorganizare
judicioas¼aaaprovizion¼arii,transportului¸sidepozit¼ariiacestora.
Avândînvederemareavarietatedesorto-tipo-dimensiuniamaterialelornece-
sarepentrurepara¸tiiserecomand¼acaindicatorsinteticcostulacestora,care
reprezint¼a80%dinvaloarearepara¸tiei.
LastabilireanecesaruluitotalNtipentruunsortimentisefolose¸sterela¸tia
Nti=Ne+(Sc+Sr)¡(Sce+Sre) (3.26)
încare:
¡Ne–necesarulefectivstabilitconformdocumenta¸tiei,¸tinândcontde
pierderiletehnologicelaprelucrare;
¡Sc–stoculcurentnecesar;
¡Sr–stoculderezerv¼anecesar;
¡Sce–stoculcurentexistentînsec¸tie;
3.6.ASIGURAREALOGISTIC¼AAMENTENAN¸TEI 145
¡Sre–stoculderezerv¼aexistentînmagazie.
Necesaruldematerialedeaprovizionatsestabile¸ste,în…ecarean,încursul
trimestruluitrei,pentruanulurm¼ator.Stoculcurentnecesarsestabile¸steîn
func¸tiedeperioadadetimpîncare,conformreglement¼arilor¸siposibilit¼a¸tilor
contractualealesociet¼a¸tiicomerciale,sepoaterealizaaprovizionarea.
Stoculderezerv¼asestabile¸steînfunc¸tiededi…cult¼a¸tileprobabiledereaprovi-
zionareîntermenulnecesar.
3.6.2Determinareanecesaruluidepiesedeschimb
Necesaruldepiesedeschimbsedetermin¼aînfunc¸tiedevolumullucr¼arilor
derepara¸tii,deresursatehnic¼aapieselor¸sisubansamblurilor,deduratade
aprovizionaresaudeexecu¸tieînateliereleproprii,precum¸sidestocurileexis-
tenteînsocietateacomercial¼a.
Acestnecesarseîntocme¸stepebazacataloguluicupiesedeschimbelaboratde
produc¼atorpentru…ecareinstala¸tietehnologic¼aintrodus¼aînfabrica¸tiedeserie.
La…ecarerepara¸tie,dup¼ademontareainstala¸tieitehnologicesaunumaia
bloculuifunc¸tionaldefect,seexamineaz¼astareatehnic¼aapieselor¸sisubansam-
blurilor,stabilindu-sedefectele¸sigraduldeuzur¼aalacestora.
Toatepieseledeschimbintroduseînlistelecunecesarulpentru…ecarerepara¸tie
seclasi…c¼a¸sisemodi…c¼a,înfunc¸tiedemoduldeasigurare,astfel:
¡C–piesedeschimbceseconfec¸tioneaz¼aînuzin¼a;
¡R–piesedeschimbrecondi¸tionate;
¡N–piesedeschimbnoiceseachizi¸tioneaz¼adelaproduc¼atoruldeechipa-
mentesaudelaoîntreprinderespecializat¼aînrepara¸tii;
¡S–piesedeschimbexistenteînstocînmagaziasociet¼a¸tiicomerciale.
Înunitatetrebuies¼aexisteînpermanen¸t¼aunstocdepiesedeschimb,înspe-
cialpentrupieseleceseuzeaz¼arapidînexploatare,pentrupieseleceseconsum¼a
încantit¼a¸timari¸sipentrupieselecareseprocur¼agreu(pentruinstala¸tiiletehno-
logiceunicat,pentrupieselecesepotasiguranumaidelaproduc¼atorulinstala¸tiei
tehnologiceetc.).
Nivelulstoculuisepoatestabiliprindouametode:
a)Încadrulprimeimetode,nivelulstoculuisecalculeaz¼acuformula
N=n¢i¢Ts¢k
Rti(3.27)
încare:
¡i–num¼arulpieselordeacela¸sifeldincomponen¸tauneiinstala¸tiitehno-
logice;
¡n–num¼arulinstala¸tiilortehnologicedindotareasociet¼a¸tiicomerciale
carecon¸tinpiesedetipi;
¡Ts–perioadamediedefunc¸tionarepentrucareseconstituiestocul;
146 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
¡k–coe…cientdereduceream¼arimiistoculuiînfunc¸tiedevaloareapro-
dusuluin¢i;
¡Rti-resursatehnic¼atotal¼aapieselori,înore,kmparcur¸sietc.
CelmaidiscutatelementalformuleiesteperioadaTscareseiaînmediecore-
spunz¼atorpentru3-6lunidefunc¸tionare.Aceast¼aperioad¼asepoatedetermina
maiexactpebazadatelorstatisticeexistenteînunitate,prelucratepecalculator.
Exemplul3.6.1S¼asedeterminenum¼aruldemotoarehidraulicenecesareca
piesedeschimb,cunoscândc¼aacesteaechipeaz¼a20deinstala¸tiitehnologice,pe
…ecareinstala¸tie…indi=2motoaredeacela¸sitip.Perioadadetimppentrucare
seconstituiestoculesteTs=800ore,iarresursatehnic¼atotal¼aaacestoraeste
Rti=3:000ore.Pentruprodusuln¢i=20¢2=40avemcoe…cientuldereducere
am¼arimiistoculuik=0;6:
Folosindformula(3.27)ob¸tinem
N=n¢i¢Ts¢k
Rti=20¢2¢800¢0;6
3000=6;4:
Seopteaz¼apentruunnum¼arde6motoare.¤
b)Încadrulceleideadouametode,nivelulstoculuisepoatecalculacuaju-
torulteoriei…abilit¼a¸tii.
Dac¼aîncadrulsociet¼a¸tiicomercialeavemînserviciuunnum¼arN0deinstala¸tii
tehnologicedeacela¸sifellamomentult0,atunci,dup¼aoperioad¼adetimpt,dac¼a
nus-aînlocuitnicioinstala¸tietehnologic¼a,vormai…înfunc¸tiune
N(t)=N0R(t) (3.28)
instala¸tii,încareR(t)este…abilitateainstala¸tieitehnologicerespective.
Problemacaresepuneestedeadeterminaînmod¸stiin¸ti…cniveluldestoc
alpieselordeschimbcares¼aasigure,printr-omentenan¸t¼ae…cient¼a,func¸tionarea
instala¸tiilortehnologicerespectivepeîntreagadurat¼aaprocesuluideproduc¸tie.
Indiferentdepoliticadementenan¸t¼aadoptat¼a,asigurareapieselordeschimb
reprezint¼acheiadebolt¼aafunc¸tion¼ariicorespunz¼atoareainstala¸tiilortehnologice.
Caurmare,sefaceaprovizionareacuatâteapiesedeschimbastfelîncâtin-
stala¸tiiletehnologices¼aurmezeoanumit¼alegedefunc¸tionareînfunc¸tiedetimp,
numit¼afunc¸tiedeutilizare.
Încontinuarenevomocupanumaidecazulparticular,darfoarteimportant
înpractic¼a,încarefunc¸tiadeutilizareesteoconstant¼a,egal¼acunum¼arulde
instala¸tiitehnologiceN0,existenteînserviciulamomentult=t0.
Sepoatedemonstrac¼aratadeaprovizionarecarenepermites¼aconserv¼am
pentruaceast¼afunc¸tievaloareaN0lasfâr¸situluneianumiteperioadedetimp,
oscileaz¼aînjuruluneilimite¿numit¼aratadementenan¸t¼a,egal¼acu
¿=N0
Rt; (3.29)
3.6.ASIGURAREALOGISTIC¼AAMENTENAN¸TEI 147
undeRtesteresursatehnic¼a(via¸ta)total¼aainstala¸tiilortehnologicerespective.
Lalimit¼a,cândaceast¼arat¼aesteconstant¼a¸sicândaintervenitîncomponen¸ta
instala¸tieitehnologiceunamestecdecomponentedediferitevârste,regimuldelu-
crualinstala¸tieitehnologicerespectivesenume¸stepermanent.Distribu¸tiavârstei
instala¸tiilortehnologiceurmeaz¼acurbadesupravie¸tuireafunc¸tieide…abilitate
R(t).
Stoculdepiesedeschimbnecesarpentruexecutareamentenan¸teisedetermin¼a
de„punctuldecomand¼a”pentruîntreagaunitatecareareîndotareinstala¸tiile
tehnologice,avândînvederec¼aaprovizionareacupiesedeschimbserealizeaz¼a
…eladate…xe¸siîncantit¼a¸tivariabile,…eîncantit¼a¸ti…xe¸siladatevariabile.
Consumuldepiesedeschimbsedetermin¼aatâtpentrumentenan¸t¼apreven-
tiv¼a,cât¸sipentruceacorectiv¼a.Pentrumentenan¸tapreventiv¼a,careseexecut¼a
laintervaledetimpregulate,cuopera¸tiibinespeci…cate,estemaiu¸sordecalculat
stoculnecesardepiesedeschimb.
Pentrumentenan¸tacorectiv¼a,careareofrecven¸t¼aaleatoare,teoreticar…
necesarunnum¼arin…nitdepiesedeschimb,pentruaaveacertitudineadepan¼arii
oric¼areidefec¸tiuni.Dinra¸tiunieconomicetrebuielimitatnum¼aruldepiesede
schimb,admi¸tândunriscderupereastoculuiînperioadadetimpnecesar¼a
aprovizion¼arii.
Determinareaniveluluistoculuidepiesedeschimbdepindedeurm¼atorii
parametri:
¡…abilitateaR(t)aelementuluiceseaprovizioneaz¼acapies¼adeschimb
(pies¼a,subansamblu,blocfunc¸tional);
¡duratadetimpTnecesar¼apentruoreaprovizionarela„punctuldeco-
mand¼a”,dup¼aceafostatinsniveluldestocN;
¡probabilitateapderupereastocului,respectivprobabilitateadeaavea
maimultdeNdefec¸tiunilaelementulrespectivîntimpulT.
Dac¼apresupunemc¼a…abilitateapieselordeschimbesteegal¼acu1,vatrebui
s¼adetermin¼ampeNîntregastfelîncât
1X
i=N+1p(i;T)=p¡" (3.30)
unde:
¡p(i;T)–probabilitateadeaaveaidefec¸tiuniîntimpulT,careestedirect
legat¼ade…abilitateaR(t),printr-ofunc¸tiecomplex¼a;
¡"–valoarestrictpozitiv¼a,caretrebuiesa…ecâtmaimic¼aposibil.
Deoareceputemadmitepentruperioadadematuritateainstala¸tiilortehno-
logicec¼aintensitateadedefectare¸(t)arevaloareaconstant¼a¸;atunciprobabi-
litateap(i;T)va…dat¼adelegealuiPoisson
p(i;T)=(n¸T)i
i!e¡n¸T; (3.31)
148 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
unde:
¡¸–intensitateadedefectareapieseideschimbrespective;
¡n–num¼aruldepiesedeacela¸sifelexistentpetoateinstala¸tiiletehnologice
dinparculsociet¼a¸tiicomerciale.
AtuncivaloarealuiNsevaputeadeterminadirectcuajutoruluneitabelea
func¸tieiluiPoisson,pebazadatelor
q=1X
i=kAi
i!e¡A(3.32)
undes-anotat:A=n¸T¸siq=p¡":
Pentruovaloareadmis¼aaprobabilit¼a¸tiiderupereastoculuip,sepoate
determinadintabelelefunc¸tieiPoissonvaloarealuikcorespunz¼atoareceleimai
apropiatevalorialefunc¸tieiqdevaloareaadmis¼apentrup,respectivceamai
mic¼avaloarealui":Atuncivaloareastoculuidepiesedeschimbva…:
N=k¡1 (3.33)
Exemplul3.6.2S¼asecalculezestoculnecesardepiesedeschimbpentrucupla-
jeleelectromagneticealereductoruluimecanismuluideridicaredelamacaralele
portaldindepozitulcentralizatderoc¼adegipsdac¼ase¸stiec¼a:
-num¼aruldemacaraleportaln=10;
-intensitateadedefectare¸=4;548¢10¡4defec¸tiuni/h;
-duratadetimppentruaprovizionareT=90dezile,caresetransform¼aîn
ore:T=90zile£24h/zi=2160h;
-probabilitateaadmis¼aderupereastoculuip=0;05:
Atunci
A=n¸T=10¢4;548¢10¡4¢2160=9;82:
Pentruu¸surin¸tacalculelorseiaA=10:Dintabelelefunc¸tieiPoissonpentru
A=10¸sip=0;05seob¸tineq=0;067086;iark=5:Atunci,înbazaformulei
(3.33),stoculnecesardepiesedeschimbesteN=k¡1=5¡1=4:¤
Consumulpieselordeschimbdinstoctrebuiestabilitlunar,pebazadatelor
privindeliberarealordindepozit.
Pentrutoatepieseledeschimbdinstocsestabile¸stevaloareacaretrebuies¼a
seînscrieînvaloareanormat¼apentruunitatearespectiv¼a.
E…cien¸tautiliz¼ariipieselordeschimbestedat¼aderaportuldintrevaloarea
pieselorconsumateîntr-olun¼a¸sivaloareatuturorpieselorstocatelaînceputul
lunii.
Manipularea¸sidepozitareapieselordeschimbeste,îngeneral,di…cil¼adin
cauzamariilordiversit¼a¸ticaform¼a,dimensiuni,mas¼anet¼a.
3.6.ASIGURAREALOGISTIC¼AAMENTENAN¸TEI 149
Pentrudepozitarea¸sialegerealoru¸soar¼aserecomand¼amarcareaacestora
printr-uncodcarevacuprindedenumireapiesei,tipulinstala¸tieitehnologicedin
carefaceparte¸sinum¼aruldecodalîntreprinderiiproduc¼atoare.Celmaiindicat
procedeudemarcareestecoduldebare.Codi…careapieselordeschimbpermite
¸simecanizareaeviden¸teidepozitelorcuajutorulcalculatorului.
Dindepozit,pieseledeschimbsevorexpediasubformadesetcompletdes-
tinatuneirepara¸tiipec¼arucioaresaumesemobile.
3.6.3Optimizareastocurilordepiesedeschimb
Unadinproblemeledebaz¼aaactivit¼a¸tiidementenan¸t¼aconst¼aîndimensio-
nareaoptim¼aastoculuidepiesedeschimb.Pentruaceastaserecomand¼afolosirea
rela¸tiilorstabiliteînsec¸tiunea3.5„Resursapieselor”,caredaurezultatefoarte
bunecucondi¸tiacunoa¸steriivaloriicâtmaicorecteaintensit¼a¸tiidedefectare¸
aprincipalelorpiesedeschimb,pebazaunortestede…abilitateorganizateîn
cadrulunit¼a¸tii¸siaestim¼ariirealisteaperioadeidetimppentruaprovizionare.
Niveluloptimalstoculuidepiesedeschimbestecelcareminimizeaz¼acheltu-
ieliletotaleposibile
ct=cs+cp (3.34)
unde:
¡ctsuntcheltuieliletotale;
¡cs–cheltuielilepentruachizi¸tionarea,depozitarea¸siconservareastocului
depiesedeschimb;
¡cp–pierderiledeproduc¸tieposibiledatorit¼asta¸tionariiinstala¸tiilortehno-
logicedincauzalipseiînstocapieselornecesare.
Calcululstocurilorpentrutoatetipo-dimensiuniledepiesedeschimbcumetoda
recomandat¼a¸sioptimizareaniveluluitotalalacestorapeunitate,seefectueaz¼a
cuajutorulcalculatorului.
Pentruprogramareaasigur¼ariipieselordeschimb,pebazanecesaruluistabilit,
conformmetodologieiexpusemaisus¸siacapacit¼a¸tiideproduc¸tieaatelieru-
luipropriu,seîntocmesc,deasemenea,cuajutorulcalculatorului,propunerile
deplandeaprovizionareprincolaborare¸sideproduc¸tieproprie,pean¸sipe
trimestru.
Planuldepiesedeschimbcareseexecut¼aînatelierulpropriusedefalc¼apeluni
¸siselanseaz¼aînfabrica¸tieprincomand¼aintern¼a,lacareseanexeaz¼adocumenta¸tia
deexecu¸tie(desenele¸si…¸seletehnologice).
Pentruurm¼arireacomenzilor¸siarealiz¼arilorsecompleteaz¼aregistruldeevi-
den¸t¼aapieselordeschimb.
Pentrupieseledeschimbceseasigur¼adelaal¸tiproduc¼atori,seemitcomenzile
necesaredintimp¸siseurm¼are¸steprimireaacestoraprindocumenteledeexpedi¸tie.
150 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
3.7Organizareasistemelordementenan¸t¼a
3.7.1Organizareasistemelordementenan¸t¼apreventiv
plani…cat
Laprimavedereutilizareaunuisistempreventivestemaicostisitoare,dar
efecteleaplic¼ariisistemului,materializateprinreducereanum¼aruluideopririac-
cidentale¸siprelungireadurateidefunc¸tionare,respectivaresurseisistemelor
tehnice,facrentabil¼aaplicareaacestuia.
Prevedereadefec¸tiunilor,cuoanumit¼aprobabilitate,permitedimensionarea
maijudicioas¼aastoculuidepiesedeschimb,diminuându-seastfelimobiliz¼arile
defonduri¸sidespa¸tiidedepozitare.
Dac¼areprezent¼amgra…c,pebazadatelorstatistice,costurilepentrumente-
nan¸t¼aînfunc¸tiedefrecven¸tamentenan¸teipreventive,vomconstataocre¸stere
liniar¼aacosturilormentenan¸teipreventivec1odat¼acucre¸stereafrecven¸teide
execu¸tieaacesteia,compensat¼adesc¼adereacosturilorpentrumentenan¸t¼acorec-
tiv¼ac2pentruremediereaavariilor¸siexecu¸tiarepara¸tiiloraccidentale.
Sumacosturilorcelordou¼atipuridementenan¸t¼ac=c1+c2,vaprezentaun
minimcarede…ne¸stefrecven¸taoptim¼aamentenan¸teipreventive.
Reprezentândgra…ccosturileînregistratepentruînl¼aturareaavariilor¸sipentru
efectuarearepara¸tiiloraccidentale,precum¸sipierderiledeproduc¸tieînregistrate
datorit¼ascoateriidinfunc¸tiuneasistemelortehnice,seconstat¼ac¼aacesteasuntcu
atâtmaimicicucâtfrecven¸tareviziilortehnicedincadrulmentenan¸teipreventive
estemaimare.
Obiectivele¸siavantajelesistemuluidementenan¸t¼a
preventivplani…cat
Principaleleobiectivealesistemuluisunt:
¡evitareaîmb¼atrânirii¸siprelungireadurateideserviciuasistemelortehnice
prinveri…c¼ariperiodice,regl¼ari,reviziipar¸tiale¸sigenerale,moderniz¼ari¸siînlocuiri
depiesecândestenecesar;
¡men¸tinereaperforman¸telorsistemelortehnicelaniveluldatdeconstruc-
tor;
¡evitareascoateriiaccidentaledinlucruasistemelortehnice,prinîn-
locuireadintimpaelementeloruzate;
¡reducereacosturilordeproduc¸tieprinrepararea¸siînlocuireadepiesedin
timp;
¡evitareastocurilordepiesedeschimb¸simateriale.
Sistemulcomport¼alucr¼arispeci…ce,careprinrevizii¸siexamin¼aridepisteaz¼a
pieseledefecte¸siprocedeaz¼alaînlocuireasaurepararealor,înaintedeasedete-
rioracomplet¸siînmodnea¸steptat.
3.7.ORGANIZAREASISTEMELORDEMENTENAN¸T¼A 151
Seexecut¼aastfelînlocuireasistematic¼aapieselorac¼arorresurs¼as-adetermi-
natconformmetodelorprezentateînsec¸tiunea(3.5)„Resursapieselor”,evitându-
sefolosireaacestorapân¼alacompletaie¸siredinserviciu.
Sistemulconst¼a,înprincipiu,din:
¡punereaînfunc¸tiune¸sireglareasistemelortehnice;
¡elaborarea¸sia…¸sareainstruc¸tiunilordemanevrare-manipulare,între¸tinere
¸siexploatare;
¡stabilireaperioadelordereviziipar¸tiale;
¡stabilireaperioadelordereviziigenerale.
Pentruintroducereasistemuluiestenecesar¼acreareauneib¼ancideinforma¸tii
privind:
¡eviden¸tainstala¸tiilortehnologicedindotare;
¡timpuldelucru¸siregimuldeutilizare;
¡istoriculdefec¸tiunilorpegenuri¸sicauze;
¡frecven¸tadefec¸tiunilor;
¡cauzelecareaugeneratdefec¸tiunile;
¡interven¸tiile¸simodi…c¼arileexecutate.
Aplicareasistemuluipresupunediviziuneacorect¼aasarcinilorîntresectorul
deproduc¸tie¸sicompartimentuldeîntre¸tinere¸sirepara¸tii.
Personaluldinsectoruldeproduc¸tiepoate¸sitrebuies¼aexecute:
¡veri…careainstala¸tiilortehnologicelacarelucreaz¼a,privindprecizia,
siguran¸taînfunc¸tionare,p¼astrareareglajelor;
¡anumitereglajealeparametrilordeexecu¸tie;
¡cur¼a¸tareainstala¸tieilasfâr¸situlschimbului;
¡uneleungerialepunctelorprecizateprininstruc¸tiuni;
¡veri…careapresiuniiuleiului,apei,aerului,temperaturiideregim;
¡urm¼arireaniveluluidezgomotprodusdecomponentelea‡ateînmi¸scare;
¡urm¼arireatemperaturiicomponentelorcareseînc¼alzescîntimpulfunc¸ti-
on¼ariietc.
Instruc¸tiunilepentruopera¸tiiledeîntre¸tinerecareseexecut¼adepersonalulde
produc¸tie,trebuies¼a…eelaboratedecompartimentuldeîntre¸tinere¸sirepara¸tii.
Aplicareasistemuluipresupuneexisten¸taunuicompartimentdementenan¸t¼a
bineorganizat,cares¼apoat¼aremediaoperativdefec¸tiuniledescoperiteîntimpul
reviziilor¸siopririloraccidentale,cenupot…completînl¼aturate.Unexemplude
organizareaactivit¼a¸tiidementenan¸t¼aîntr-ofabric¼adecimentcucarier¼aproprie
dematerieprim¼aesteprezentatîn…guradelapagina169.
Num¼aruldepersonalcuprinsînaceast¼aactivitateva…îns¼amultmairedus,
întrucâtcentruldegreutateestepeactivitateapreventiv-plani…cat¼a.
Fiindunsistemmoderncaredepisteaz¼aprintr-unprogramdeveri…c¼ari,în
scopuripreventive,defec¸tiunilecepotapare¸sinominalizeaz¼ac¼aile¸simetodele
deeliminarealor,prezint¼aoseriedeavantajedeordintehnic,economic¸si
organizatoric.Astfel:
152 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
¡reducenum¼arulopririlorinstala¸tiilor,prinmic¸sorareafrecven¸teiapari¸tiei
defec¸tiuniloraleatoare;
¡reducecosturilederepara¸tii¸sipierderiledeproduc¸tiedatorit¼aavariilor;
¡stabile¸stecuomaimareprecizienecesaruldepiesedeschimb;
¡asigur¼aoproduc¸tiecontinu¼a¸sidebun¼acalitate;
¡conducelasc¼adereacostuluidefabrica¸tiealproduselor;
¡permiteoutilizareconstant¼aafor¸teidemunc¼a.
Opera¸tiispeci…ce
Însistemuldementenan¸t¼apreventivplani…catseexecut¼aurm¼atoareleopera¸tii
speci…ce:cur¼a¸tareainstala¸tiilor,lubri…erea,urm¼arireazilnic¼aacomport¼ariiîn
exploatare,veri…careaperiodic¼aamecanismelor,comenzilor¸siaaparatelorde
m¼asur¼a¸sicontrol,reviziepar¸tial¼a,reviziageneral¼a¸sicontroluldecalitateasupra
interven¸tiilordementenan¸t¼a¸siasupracalit¼a¸tiilucr¼arilorexecutate.
a)Cur¼a¸tareainstala¸tiilorasigur¼aprelungireadurateideserviciuasis-
temelortehnice,men¸tinereaperforman¸telorfunc¸tionale¸silimitareauzuriiaces-
tora,deoarecedatorit¼amediuluidelucru,alagen¸tilortermici¸sicorozivi,pe
organeleinstala¸tiilorsedepunimpurit¼a¸ticareleuzeaz¼a¸siîn…nal,lescotdin
func¸tiune.Opera¸tiadecur¼a¸tareainstala¸tiilorseîncredin¸teaz¼a,deregul¼a,celor
carelefolosesc,ace¸stia…inddirectinteresa¸tiînbunalorfunc¸tionare.
Pentruinstala¸tiilecuungradridicatdecomplexitate¸sideautomatizare,
opera¸tiadecur¼a¸taretrebuies¼a…eefectuat¼adeunpersonalcuopreg¼atirecore-
spunz¼atoare.
Ointerven¸tiedecur¼a¸tare¸si¸stergerecumijloaceneadecvatepoateproduce
daunemaimaridecâtagentulîmpotrivac¼aruiaseac¸tioneaz¼a.
b)Lubri…ereaconstituieunadinm¼asurileprincipalepentrureducereauzurii
instala¸tiilor.
Organizareara¸tional¼aalucr¼arilordelubri…ere,curecuperareauleiuriloruzate
¸siregenerarealor,constituiesarcinaprincipal¼aacompartimentuluidemente-
nan¸t¼adinîntreprindere(conformHGnr.662/12.07.2001privindgestionarea
uleiuriloruzate)
Învedereaasigur¼ariiuneilubri…ericorespunz¼atoareseelaboreaz¼adintimp
…¸sele¸sischemeledeungerepentrutoateinstala¸tiiledindotare¸siseinstruie¸ste
personalulpentrucunoa¸stereasistemelordeungere,folosireacorect¼aaschemelor
¸si…¸selordeungere,schimbarealatimpauleiurilor¸sicolectareauleiuriloruzate.
Personalulspecializatdotatcuîntreginventaruldedispozitivedeungerenece-
sarepentrutoateopera¸tiile,inclusivpentrucolectareauleiuriloruzate,serepar-
tizeaz¼apesectoare,atelieresau¸santiere,astfelîncâts¼aseasigureungereala
timpatuturorpieselor,subansamblurilor¸siinstala¸tiilortehniceculubri…an¸ti
corespunz¼atoridinpunctdevederecalitativ¸sicantitativ,înfunc¸tiedecaracte-
risticileconstructivealeinstala¸tiilor¸sidecondi¸tiileîncarelucreaz¼a.
3.7.ORGANIZAREASISTEMELORDEMENTENAN¸T¼A 153
c)Urm¼arireazilnic¼aacomport¼ariiînexploatarearedreptscopveri-
…careamoduluiîncareinstala¸tiilerealizeaz¼aopera¸tiiletehnologicedinpunctde
vederealproductivit¼a¸tii,alpreciziei¸sialcalit¼a¸tii.
Astfel,sepotsesiza¸siînl¼aturadintimpfenomenelenegative,chiarincipiente,
carearputeaducelascoatereadinfunc¸tiuneainstala¸tiei.Aceast¼aurm¼arire
trebuief¼acut¼aîntimpulcur¼a¸t¼arii¸sialungerii,lapunereaînfunc¸tiuneîn…ecare
zi,precum¸sipeparcursulschimbuluidelucru.
Urm¼arireaînfunc¸tionareseimpune¸simaiacutpentruinstala¸tiiledemare
complexitate,cuunnum¼arridicatdeparametricetrebuieurm¼ari¸ti¸sicorecta¸ti,
cumsuntceledinindustriachimic¼a,petrochimic¼a,amaterialelordeconstruc¸tii,
siderurgic¼a,metalurgic¼aetc.
Cuaceast¼aocazieseexecut¼averi…carea¸sistrângereaîmbin¼arilor,reglarea¸si
veri…careafunc¸tion¼ariimecanismelor,opera¸tiicareasigur¼abunafunc¸tionarea
instala¸tiilorpedurataschimbuluidelucru.
Pentrurefacereajocurilorini¸tialesauadmisedintrepieseleîmbin¼arilor,trebuie
executatereglajelenecesare.Prezen¸taunorjocurimariînarticula¸tii,rulmen¸ti,
angrenajeetc.ducelaapari¸tiab¼at¼ailor,auzuriilaoboseal¼asubformadepitting
¸siladistrugereaînaintedevremeapieselorrespective.
d)Veri…careaperiodic¼aamecanismelor,comenzilor¸siaaparatelor
dem¼asur¼a¸sicontrolseexecut¼as¼apt¼amânal¸siaredreptscopdepistareadin
timpaposibilit¼a¸tilordeavarie.Aceast¼aopera¸tieseexecut¼apebazauneidocu-
menta¸tiitehnicedeveri…care,cuaparatemetrologice,depersonalspecializatpe
opera¸tii.
Defec¸tiunileconstatateseremediaz¼a…eimediat,dac¼ain‡uen¸teaz¼acalitatea
produc¸tieisauconduclauzarearapid¼aasubansamblurilor,…ecuocaziareviziilor
plani…cate.
Prinaceast¼averi…caretrebuiedescoperitede…cien¸teleincipientecarepotduce
întimp,laavarie.Veri…careaconst¼aînaprivi(moduldefunc¸tionare,pierderi
deuleietc.),asim¸ti(supraînc¼alzirietc.),aasculta(rulmen¸tiisauangrenajele
carefunc¸tioneaz¼azgomotosetc.)¸siam¼asura(temperaturi,presiuni,vibra¸tii,
solicit¼arietc.)instala¸tiatehnologic¼asupus¼acontrolului.
Instruc¸tiuniledeveri…caretrebuieastfelelaborateîncâtcontroloriis¼apoat¼a
sesizaaspectelenegative¸sinupecelecorespunz¼atoare.
e)Reviziapar¸tial¼acomport¼aoexaminareafunc¸tion¼ariisubansamblurilor
debaz¼aalesistemelortehnice,urm¼arindu-se:stareadecur¼a¸tenie,modulcums-a
efectuatlubri…erea,zgomoteleanormaleînfunc¸tionare¸sistareadeuzur¼a.Cu
aceast¼aocazie,seefectueaz¼areglajelenecesare,seînlocuiescpieseleuzate¸sise
repar¼apieseledefecte.Reviziapar¸tial¼aseexecut¼adec¼atreunspecialistdincadrul
compartimentuldementenan¸t¼acaretrebuies¼acunoasc¼afoartebineinstala¸tiile
tehnologicerespective.
Frecven¸tareviziilorpar¸tialevariaz¼aîntre1¸si6luni,înfunc¸tiedetipul¸si
importan¸taînexploatareainstala¸tiilor.
154 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Remediereadefec¸tiunilorconstatatesefaceimediat,dac¼avolumuldelucr¼ari
nuestemare,saucândpermiteprocesuldeproduc¸tie.
Incadrulrevizieipar¸tialeseexecut¼adou¼acategoriideteste:
¡testesubsarcin¼acareseexecut¼apentruaseob¸tineinforma¸tiiasupra
func¸tion¼ariimecanismelor,st¼ariitehniceatransmisiei¸sirandamentultotal;
¡testedepreciziepentruaseveri…cacalitateaproduc¸tieirealizate.
f)Reviziageneral¼aaredreptscopveri…careatuturorsubansamblurilor¸si
apieselordemareuzur¼a.Cuaceast¼aocazieseefectueaz¼areglaje,seînlocuiesc
pieseleuzate,seschimb¼agarniturile¸siseveri…c¼aparametriidefunc¸tionareîn
vedereareaduceriiînlimiteleadmise.
Reviziageneral¼aareofrecven¸t¼adela¸saseluniladoiani¸siseexecut¼ade
muncitorispeciali¸stidincadrulcompartimentuluidementenan¸t¼a.
Pentrustabilireafrecven¸teioptimeseîntocme¸stediagramadefrecven¸t¼arevizii
generale–costuri.
g)Controluldecalitatevizeaz¼acalitateaproduc¸tieirealizatedeinstala¸ti-
iletehnologice¸siseexecut¼adup¼adareaînfolosireauneiinstala¸tiinoi¸sidup¼a
executarea…ec¼areireviziigenerale.Acestcontrolsepoateexecuta¸silacererea
sec¸tiei,cândinstala¸tiaaînceputs¼aseabat¼adelaparametriitehnico-func¸tionali
stabili¸tiprintehnologie.
Scopulcontroluluiestedeaconstatamen¸tinereareglajelor,abateriledela
calitateaproduc¸tieirealizate,precum¸sidescoperireaeventual¼aaunordefec¸tiuni
incipiente,înaintecaacesteas¼aafectezecalitateaproduc¸tiei.
Vor…supusecontroluluidecalitateînprimulrândinstala¸tiilecomplexe,cu
costorardefunc¸tionareridicat,carelucreaz¼aîncondi¸tiigreledetemperatur¼a,
presiune,umiditateetc.
3.7.2Organizareasistemelordementenan¸t¼acomplex¼a
Principaleleobiectivealeacestorsistemedementenan¸t¼aconstauîn:efectu-
areadereviziitehnice¸siderepara¸tiidecalitate,prinorganizareaanticipat¼aa
acestora,modernizareainstala¸tiilorcuocaziarepara¸tiilordereînnoireînvederea
cre¸steriiperforman¸telorprinperfec¸tion¼ariconstructive¸siautomatiz¼ari,reducerea
consumuluideresurse(materiale,energie,piesedeschimb,manoper¼a)pentru
mentenan¸t¼a¸sireducereacheltuielilordeproduc¸tieprinrealizareaunorlucr¼ari
decalitate,evitareastocurilorsupranormativedemateriale¸sipiesedeschimb¸si
reducereaopririloraccidentale.
Sistemedementenan¸t¼acomplex¼a
Principaleleopera¸tiispeci…cealeacestorsistemesunt:programarea,preg¼atirea,
realizarea¸siurm¼arireaplanuluiderevizii¸sirepara¸tii,defalcatpetrimestre¸si
luni;asigurareapieselordeschimb;organizareareviziilortehnice¸sialucr¼arilor
derepara¸tii;lubri…erea;organizareasistemuluideeviden¸t¼a¸sioperare.
3.7.ORGANIZAREASISTEMELORDEMENTENAN¸T¼A 155
Programareareviziilortehnice¸siarepara¸tiilorsefaceînfunc¸tiedeprevederile
normelortehnicederepara¸tiisaudestareatehnic¼aefectiv¼aainstala¸tiilor.Pe
bazaprogram¼arilorsepreg¼atescanticipatrepara¸tiile(lansarecomenzi,bonuride
materialeetc.)¸siseîntocmescgra…celepentruexecutareareviziilor,repara¸tiilor
¸silubri…erii.
Pentruinstala¸tiileceurmeaz¼as¼aintreînrepara¸tieseelaboreaz¼adocumenta¸tia
tehnic¼a¸siseîncheiecontractecudiver¸sifurnizoridemateriale¸sipiesedeschimb.
Principalelesistemedementenan¸t¼acomplex¼acunoscutesunturm¼atoarele:
¡executareadereviziitehnice¸sirepara¸tiidup¼anecesitate;
¡executareaderepara¸tiipebazaconstat¼arilorînurmareviziilortehnice;
¡repara¸tiipreventivecuplani…carerigid¼a;
¡repara¸tiipreventivecuplani…carecontrolat¼a.
a)Sistemuldereviziitehnice¸sirepara¸tiidup¼anecesitateseaplic¼a,în
general,încazuluzuriloravansate,cândf¼ar¼aoplani…careprealabil¼a,seexecut¼a
reviziitehnice,înmomenteleîncareinstala¸tiileprezint¼ade…cien¸teînfunc¸tionare
¸siserepar¼acândajungînstarealimit¼a,încarenumaipot…utilizate.
Avantajeleaplic¼ariiacestuisistemconstauîncosturimaimici¸siutilizarea
unuipersonalmaireduspentrumentenan¸t¼a.Dezavantajeleconstauîn:scoaterea
bruscadinfunc¸tionareainstala¸tieidincauzaavariei;pierderideproduc¸tie,con-
summaredepiesedeschimb;duratamaredeimobilizareînrepara¸tiidincauza
lipseiuneipreg¼atiriprealabileapieselordeschimb.
Avariilecarereprezint¼aodefectareapieselorcomponentealeinstala¸tiei,care
conduclaîntrerupereacapacit¼a¸tiideproduc¸tieaacesteia,impunnecesitateaunor
repara¸tiiaccidentale.
Combatereaavariilorcarereprezint¼aunadincelemaiimportanteprobleme
ale…ec¼areiunit¼a¸tisepoaterealizaprinurm¼atoarelem¼asuri:
¡supraveghereaatent¼aafunc¸tionariisistemelortehnicedec¼atrepersonalul
deservent,pebazaunuiinstructajf¼acutdepersonalulspecializatdincomparti-
mentuldementenan¸t¼a;
¡efectuareaunorrepara¸tiidecalitate;
¡cercetareacauzelorefectivecareauprodusavaria,pentruluaream¼a-
surilornecesaredeevitareînviitoracauzelorgeneratoarealeavariilor.
Fiecareavarieseconsemneaz¼aîntr-unprocesverbal,încaresespeci…c¼aînce
aconstatavaria,cauzeleprobabile,m¼asurilederemediere¸sinumelecelorvinova¸ti
deproducereaacesteia.
Principalelecauzecarepotprovocaavariisunturm¼atoarele:
¡comenzigre¸sitedinparteaoperatorului;
¡suprasolicitareainstala¸tiei;
¡repara¸tiinecorespunz¼atoare;
¡defec¸tiunidefabrica¸tie(material,dimensionare,execu¸tie).
Pentruprotec¸tiaîmpotrivasuprasolicit¼arilor,instala¸tiilemodernesuntdotate
cudispozitivespecialedesiguran¸t¼acarealarmeaz¼a¸si/saudecupleaz¼aautomat,
156 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
evitândastfelavariile.
b)Sistemulderepara¸tiipebazaconstat¼arilorînurmareviziilorse
practic¼adestuldedes,dard¼arezultatebunenumaiîncazulîncarereviziilese
execut¼aperiodic,latermeneleplani…cate¸siînmodriguros.
Cuocaziareviziilortehnicesestabile¸ste:
¡graduldeuzur¼aalpieselorinstala¸tiilor;
¡lucr¼arilederepara¸tiicetrebuieexecutate.
Sistemulprezint¼aavantajuloperativit¼a¸tii,dar¸sidezavantajullipseidepreve-
dere¸sipreg¼atireamaterialelor¸siapieselordeschimbpentrurealizarearepara¸ti-
ilor.
c)Sistemulderepara¸tiipreventivecuplani…carerigid¼aimpunescoa-
tereaobligatoriedinfunc¸tiuneainstala¸tiilor,latermenelestabilitepentrua…
reparate,indiferentdestarealortehnic¼aefectiv¼a,cuînlocuireaobligatoriea
pieselorlaintervaleprescrisepebazadetermin¼ariistatisticearesurseiacestora.
Dincauzacondi¸tiilordiferitedefunc¸tionareasistemelortehniceestefoarte
di…cil¼astabilireacorect¼aaresursei…ec¼areipiese.
Acestsistemseaplic¼anumaiîncazurileundeestee…cientdinpunctdevedere
tehnico-economic,deexempluîncazulliniilorautomatesauaindustrieiaeronau-
tice.
Avantajelesistemuluiconstauînposibilitateaasigur¼ariidintimpapieselor
deschimbnecesarecarepermitereducereatimpuluideimobilizareînrepara¸tie.
Dezavantajelesistemuluiconstauîntr-unconsummaimaredepiesedeschimb
(seschimb¼amultepiesecuresursaincompletepuizat¼a),demateriale¸sidemano-
per¼a.
d)Sistemulderepara¸tiipreventivecuplani…carecontrolat¼acombin¼a
repara¸tiilepebazaconstat¼arilordelareviziatehnic¼a,curepara¸tiilecuplani…care
rigid¼a.Sistemulsebazeaz¼apestabilireatermenelorpentruexecutareainterven¸ti-
ilorpebazaprevederilordinnormative,calasistemulcuplani…carerigid¼a,cu
deosebireac¼ainterven¸tiileseexecut¼aefectivnumaidac¼alareviziatehnic¼ase
constat¼ac¼auzurileauatinssaudep¼a¸sitst¼arilelimit¼astabilite.Fa¸t¼adeaceste
constat¼ariseadaug¼aplanulderepara¸tii.
Încadrulsistemuluiseexecut¼aurm¼atoareletipurideinterven¸tii:reviziitehnice
(RT),repara¸tiicurentedegradul1(RC1),repara¸tiicurentedegradul2(RC2)
¸sirepara¸tiicapitale(RK).
Reviziitehnice
Reviziatehnic¼aînsumeaz¼alucr¼arilenecesarepentrustabilireast¼ariitehnicea
utilajului,înscopulnominaliz¼ariiopera¸tiilorceurmeaz¼aaseexecutacuocazia
primeirepara¸tiiplani…cate.
Încadrulrevizieitehniceseexecut¼a¸silucr¼ariledereglare,strângere¸sirigidizare
aunorpiese¸sisubansambluri,schimbare…ltre¸siuleiurietc.,învedereaasigur¼arii
func¸tionariinormalepân¼alaprimarepara¸tie.
3.7.ORGANIZAREASISTEMELORDEMENTENAN¸T¼A 157
Avându-seînvederestareatehnic¼aefectiv¼aainstala¸tiei,încadrulreviziei
tehnicesestabile¸stedac¼aaceastatrebuies¼aintreînrepara¸tiedup¼arealizarea
num¼aruluideoredefunc¸tionareprev¼azutînnormeletehnicepentruinterven¸tia
respectiv¼asautermenuldefunc¸tionarepoate…prelungitcuunanumitnum¼arde
ore,deregul¼acuintervalulnormatpentruorevizietehnic¼a.
Semen¸tioneaz¼ac¼adup¼aexpirareatermenuluideprelungireseexecut¼arepara¸tia
prev¼azut¼aini¸tial¸sinuoalt¼arepara¸tiedeungradsuperior.
Launelesistemetehnice(utilajedeconstruc¸tii,mijloacedetransportetc.)
seexecut¼areviziidegradul1launintervalde300-400h¸sidegradul2laun
intervalde1200–1600h.
a)Reviziatehnic¼adegradul1(RT1)const¼aînveri…carea,reglarea,
strângerea¸siungereasubansamblurilorinstala¸tiilorînscopulmen¸tineriist¼ariilor
tehnicecorespunz¼atoare¸sipreveniriidefec¸tiunilorîntimpulexploat¼arii.Aceast¼a
revizieseexecut¼adec¼atreoechip¼ademuncitorispecialinstrui¸tipentruaceste
lucr¼ari,lacareparticip¼aînmodobligatoriu¸simuncitorulcareopereaz¼apeinsta-
la¸tiatehnologic¼arespectiv¼a.
Acestereviziiseexecut¼aconform…¸selortehnologicederevizie¸siincludurm¼a-
toareleopera¸tii,încazulunuiutilajdeconstruc¸tii,deexemplu:
1)lucr¼aridecontrol,strângeri¸sireglaje:
¡segole¸steapa¸siseschimb¼acartu¸sul…ltrantal…ltruluidecombustibil;
¡severi…c¼astareatehnic¼a¸siîntindereacurelelordetransmisie;
¡seschimb¼auleiuldincarterulmotorului;
¡seporne¸stemotorul,seascult¼aatentdac¼aseaudb¼at¼ai¸siseveri…c¼a
presiuneadeulei;
¡severi…c¼astrângerea¸suruburilorde…xare;
¡severi…c¼adensitateaelectrolituluibaterieideacumulatori(dac¼adensi-
tateaestede1;285oBbateriaestejum¼atateînc¼arcat¼a,iardac¼aestede1;120oB
bateriaestedesc¼arcat¼a;
¡severi…c¼anivelulelectrolituluiîn…ecareelementalbaterieicaretrebuie
s¼a…ecu10¡15mmdeasuprapl¼acilor¸siîncazdenecesitatesecompleteaz¼acu
ap¼adistilat¼a;
¡secontroleaz¼a¸siseregleaz¼aîntinderea¸senilelor,cuorigl¼ade1;5m
lungimea¸sezat¼aîntreroladesprijin¸sicoroanadin¸tat¼a,fa¸t¼adecares¼ageata
maxim¼aa¸senileitrebuies¼a…ede20mmînterenmoale¸side30mmînteren
tare;
¡severi…c¼apresiuneadinpneuri¸siîn¼al¸timeapro…luluipebandaderulare;
¡sepurjeaz¼acondensuldinrezervoruldeaercomprimat;
¡sedemonteaz¼a¸sisespal¼aelementul…ltrantalregulatoruluidepresiune;
¡severi…c¼anivelululeiuluidinrezervor¸sietan¸sareainstala¸tieihidraulice
(rezervor,r¼acitordeulei,conducte,distribuitoare,pompe,motoareetc.);
¡severi…c¼anivelululeiuluidincutiadeviteze¸sidinreductoare(dede-
plasare,derotireetc.)¸sisecompleteaz¼adac¼aestecazul.
158 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
2)lucr¼arideungere:
¡ungereaseexecut¼aconformschemeideungerea…ec¼areiinstala¸tii,în
careseprecizeaz¼a,pentru…ecarelocdeungere,cusemneconven¸tionaletipul
lubri…antului,iarcucifreperiodicitateaînore.
b)Reviziatehnicadegradul2(RT2)cuprinde,pelâng¼alucr¼arileexe-
cutatelareviziadegradul1,oseriedelucr¼arisuplimentare,ac¼arornecesitate
aparelaoperioad¼amaimaredetimp.Aceast¼arevizieseexecut¼adeunpersonal
specializatpebaza„Fi¸selortehnologicepentruRT2”.
uocaziarevizieitehnicedegradul2seexecut¼adiagnozast¼ariitehniceainsta-
la¸tiei,carestabile¸stestareatehnic¼a¸siresursaremanent¼aaacesteiaprinm¼asurarea
unorparametri,f¼ar¼ademontare.
c)Reviziatehnic¼asezonier¼aseexecut¼alainstala¸tiacarelucreaz¼aînaer
liber(utilajedeconstruc¸tii,utilajeagricole,mijloacedetransportetc.)dedou¼a
oripean,pentruaseputeatrecedelaexploatareadeiarn¼alaexploatareadevar¼a
¸siapoiinvers,delaexploatareadevar¼alaceadeiarn¼a.Reviziatehnic¼asezonier¼a
sesuprapunepesteunadinreviziiletehniceplani…cateaseexecutalaînceputul
sezonuluirespectiv¸si,cuaceast¼aocazie,pelâng¼alucr¼arilerevizieitehnicecurente
pestecaresesuprapune,sevorexecutaurm¼atoarelelucr¼arispeci…ce:
¡cur¼a¸tareageneral¼aainstala¸tiei;
¡sp¼alarearezervorului¸sia…ltrelordecombustibil;
¡sp¼alareasistemuluideungerealmotorului¸sial…ltrelordeulei,înlocuindu-
seelementele…ltrante;
¡sp¼alareacarteruluicutieideviteze;
¡înlocuireauleiurilor¸siaunsorilorcuuleiuri¸siunsorispeci…cesezonului
careurmeaz¼a.
Pentrupreg¼atireafunc¸tion¼ariipetimpfrigurossemaiexecut¼aurm¼atoarele:
izolareatermic¼aarezervorului,aconductelordeap¼a¸sicombustibil,abaterieide
acumulatori;…xareahuselortermoizolanteperadiatoare,veri…careainstala¸tiei
deînc¼alzireacabinei,dotareaculan¸turiantiderapanteamijloacelorpepneuri¸si
veri…careadot¼ariicu¸sterg¼atoare¸siînc¼alzitoaredeparbriz.
Reviziiletehniceseîncheiecuunprocesverbalcarevacon¸tine:dateledeiden-
ti…careainstala¸tiei,felulrevizieiexecutate,de…cien¸teleconstatate¸siremediate,
aprecieriprivindexploatarea¸siîntre¸tinerea,pieseledeschimbconsumate,pro-
puneriprivindnecesitateaexecut¼ariiuneireviziicurente,precizîndu-selucr¼arile
cetrebuieexecutate,materialele¸sipieseledeschimbnecesare,precum¸sidata
introduceriiînrepara¸tie.
Repara¸tiicurente
Repara¸tiacurent¼aesteointerven¸tiecareseexecut¼aperiodic–plani…catsau
lanecesitate–pentruînl¼aturareauzuriinormalesauaunordeterior¼arilocale,
prinrepararea,recondi¸tionareasauînlocuireaunorpiesecomponentesauchiara
unorsubansambluriuzate.
3.7.ORGANIZAREASISTEMELORDEMENTENAN¸T¼A 159
Principaleleopera¸tiicareseexecut¼aîncadruluneirepara¸tiicurentesunt:
¡demontareapar¸tial¼aapieselor¸sisubansamblurilorcuuzuraaccentuat¼a,
stabilitelareviziatehnic¼aanterioar¼a;
¡repararea,recondi¸tionarea,înlocuirea¸siajustareaunorpiese¸sisub-
ansambluri;
¡înl¼aturareaunorjocuricaredep¼a¸sesclimiteleadmise;
¡strângereatuturorîmbin¼arilor;
¡veri…careafunc¸tion¼ariituturorblocurilorfunc¸tionaledincomponenta
instala¸tiei;
¡veri…carea¸sireparareadispozitivelordeprotec¸tie¸sisecuritateamuncii;
¡recondi¸tionareaprotec¸tieianticoroziveprinrevopsireazonelorcupro-
tec¸tiadegradat¼a.
Înfunc¸tiedevolumullucr¼arilorceseexecut¼a,devaloareapieselor¸sisub-
ansamblurilorreparate,recondi¸tionatesauînlocuite,repara¸tiilecurenteseîmpart
înrepara¸tiicurentedegradul1(RC1)¸sirepara¸tiicurentedegradul2(RC2).
Repara¸tiilecurentedegradul1pot…plani…cate(dataexact¼aaexecut¼ariilor
reactualizându-sepebazapropunerilorf¼acutelareviziatehnic¼a)sauexecutate
lanecesitate,oridecâteoriinstala¸tiaestescoas¼adinfunc¸tiunedatorit¼aintr¼arii
unorpiesecomponenteînzonalimit¼adeuzur¼a.
Lareparareaunuiblocfunc¸tionaldefectcaresedemonteaz¼adepeinstala¸tie,
încadrulrepara¸tieicurentedegradul2,seexecut¼aurm¼atoarelelucr¼ari:
¡cur¼a¸tarea¸sisp¼alareaacestuia;
¡demontareaînpiesecomponente;
¡sp¼alarea¸sidegresareapieselor;
¡controlulpieselor¸siclasi…carealorînbune,recondi¸tionabile¸sinerepara-
bile;
¡recondi¸tionareapieselorreparabile¸sipreg¼atireapieselornoipentruîn-
locuireacelornereparabile;
¡asamblareabloculuifunc¸tional;
¡executarearodajului¸siveri…careafunc¸tionariipebanculdeprob¼a,urm¼a-
rindu-seatingereaparametrilortehnico-func¸tionalinominali;
¡remontareapeinstala¸tiatehnologic¼a.
Repara¸tiacurent¼aseîncheiecuunprocesverbalcarevacon¸tine:opera¸ti-
ileexecutatecuprecizareasubansamblurilorînlocuitesaureparate,rezultatul
probelorexecutatedup¼arepara¸tie,costulrepara¸tiei,termenuldegaran¸tie.
Repara¸tiacapital¼a
Repara¸tiacapital¼aaredreptscoprestabilireaparametrilortehnico-func¸tionali
aiinstala¸tiilordup¼aepuizarearesursei,învedereareînnoiriiacestorapentruale
asigurafunc¸tionareanormal¼aînurm¼atorulciclu.Repara¸tiacapital¼aesteceamai
complex¼ainterven¸tiedementenan¸t¼a,ac¼areidat¼adeexecu¸tieseplani…c¼adinanul
anterior¸siseactualizeaz¼alareviziiletehnice.
160 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Larepara¸tiacapital¼aseexecut¼aurm¼atoarelelucr¼ari:
¡recep¸tiainstala¸tieilaintrareaînrepara¸tie;
¡cur¼a¸tarea¸sisp¼alareainstala¸tiei;
¡demontareainstala¸tieiînsubansambluri;
¡demontareasubansamblurilorînpiese;
¡sp¼alarea¸sidegresareapieselor;
¡controlulst¼ariitehniceapieselor¸siclasi…carealorînbune,recondi¸tion-
abile¸sinereparabile;
¡recondi¸tionareapieselorreparabile¸sipreg¼atireapieselornoipentruîn-
locuireacelornereparabile;
¡montareasubansamblurilor;
¡executarearodajuluisubansamblurilorpebanculdeprob¼a,urm¼arindu-se
atingereaparametrilortehnico-func¸tionalinominali;
¡montareainstala¸tiei¸siexecutarearodajului;
¡protec¸tiaanticoroziv¼aprinvopsireainstala¸tiei;
¡veri…careafunc¸tionariiîngol¸siînsarcin¼a,urm¼arindu-seprinreglaje
realizareaparametrilortehnico-func¸tionalinominali;
¡întocmirea…¸seidem¼asur¼atoriaparametrilortehnico-func¸tionalirealiza¸ti
deinstala¸tiedup¼arepara¸tie¸sicomparareavaloriloracestoracuaceleadincartea
tehnic¼a.
Cuocaziarepara¸tieicapitalesepotexecutalucr¼aridemodernizarepentrua
aduceinstala¸tialanivelulperforman¸telortipuluisimilarcesefabric¼aînperioada
respectiv¼a.Lucr¼ariledemodernizareseexecut¼apebazauneidocumenta¸tiicare
înafaradesenelordeexecu¸tievacon¸tineunmemoriutehnic,devizullucr¼arilor
demodernizare¸siuncalculdee…cien¸t¼atehnico-economic¼aamoderniz¼arii.În
cazulîncarecostullucr¼arilordemodernizaredep¼a¸se¸stevalorileprescriseprin
normeletehnicederepara¸tii,atunciacestease…nan¸teaz¼adininvesti¸tii,conform
prevederilorlegaleînvigoare.
Pentruuneleinstala¸tiitehnologiceestemaie…cient¼aînlocuirearepara¸tiilor
capitalecurepara¸tiiprinschimbdesubansambluri,pebazastabiliriicâtmai
corectearesurseiacestoraprinmetodastatistic¼a.
3.8Diagnozast¼ariitehniceainstala¸tiilor
Labazadiagnozeistauparametriiconstructivi¸sifunc¸tionalicarecaracte-
rizeaz¼astareatehnic¼aapieseisauainstala¸tiei.Pebazaacestorparametrise
poatedeterminastareatehnic¼areal¼aainstala¸tieilaunmomentdat¸siresursa
remanent¼apân¼alarecondi¸tionarea,reparareasauînlocuireapieseirespective.
Diagnozast¼ariitehnicestudiaz¼a¸sistabile¸steparametriist¼ariilimit¼a,metodele
¸siaparatelecaresefolosescladeterminareast¼ariitehnicef¼ar¼ademontareaunei
instala¸tii,precum¸siresursaremanent¼alamomentulrespectiv.
3.8.DIAGNOZAST¼ARIITEHNICEAINSTALA¸TIILOR 161
Diagnozasepoateexecutapeelementesaupeîntreagainstala¸tie.Deaseme-
nea,diagnozaserecomand¼a¸sipentrustabilireacalit¼a¸tiirepara¸tieiinstala¸ti-
ilortehnologice,pentrudeterminareaconcordan¸teidintreparametriitehnico-
func¸tionalirealiza¸ti¸siceiprev¼azu¸tiîndocumenta¸tie.
Diagnozaîntimpulexploat¼ariipoatestabilisubansambluldefect,precum¸si
volumuldelucr¼arinecesarpentruremediereadefec¸tiunii.
Metode¸siaparatur¼adediagnoz¼a
Principalelemetodedediagnoz¼aainstala¸tiilortehnologicesunt:vizual¼a,acus-
tic¼a,vibratorie,func¸tional¼a¸sicombinat¼a.
a)Metodavizual¼aseaplic¼acubunerezultatelasesizareapierderilorla
instala¸tiiletermice,instala¸tiilehidraulice,instala¸tiiledealimentare,instala¸tiile
deungere¸sider¼acire.
Deasemenea,dup¼aculoareafumuluidee¸saparesepoateapreciastareatehnic¼a,
cât¸sieventualeledefec¸tiunialemotoarelorcuardereintern¼a,lasistemeledeali-
mentare¸sidedistribu¸tiealeacestora.
Totvizualseveri…c¼aintegritateasistemelortehnice,sl¼abireaasambl¼arilor
demontabile,ful¼arilesauneparalelismeleorganelorînmi¸scareetc.
b)Metodaacustic¼asebazeaz¼apeînregistrareasemnaleloracusticealecu-
plelorcinematice,îns¼aclasi…carea¸siseparareaacestorsemnale,înfunc¸tiede
frecven¸tazgomotului,caresecompar¼acuunspectrudefrecven¸t¼aluatcaetalon
pentru…ecarearticula¸tie,sefacefoartegreu¸siimplic¼aaparatur¼aspecial¼a.
c)Metodavibratorieareînvederefaptulc¼aenergiadeloviredinarticu-
la¸tiilemobile¸siamplitudineavibra¸tiilorsuntpropor¸tionalecum¼arimeajocului.
Stareatehnic¼aasistemelortehnicesepoatedeciapreciapebazavitezeimaxime
avibra¸tiilor,m¼asuratecaparametrusimptomatic.
d)Metodafunc¸tional¼aconst¼aînm¼asurareadirect¼aaparametrilorcare
caracterizeaz¼aindirectatâtfunc¸tionareainstala¸tiei,cât¸sistareatehnic¼aaor-
ganeloracesteia.
Astfel,stareatehnic¼aapompelorhidraulicesepoateapreciadup¼adebitul
pompeilatura¸tiaderegim,acurelelordetransmisiedup¼aalungire,aduzelor
dup¼acalitateapulveriz¼arii,ama¸siniloruneltedup¼apreciziaprelucr¼ariipieselor
etc.
e)Metodacombinat¼aconst¼aînaplicareacombinat¼aamaimultormetode
dediagnoz¼a.
Astfel,lamotoarelecuardereintern¼a,apreciereast¼ariitehnicesepoateface
dup¼acantitateadegazecetreceîncarter,dup¼aconsumuldeulei,dup¼apre-
siuneagazelordincarter,dup¼acantitateademetaldinulei,dup¼aputereadez-
voltat¼ade…ecarecilindru,dup¼agraduldecompresie,dup¼acalitateapulveriz¼arii
injectoarelor¸sidup¼aanalizagazelordeardere.
162 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Diagnozaunoruzuriavansatesaujocurianormalesepoateface¸siprinas-
cultareamotoruluicuardereintern¼acustetoscopul.
Lainstala¸tiahidraulic¼aseveri…c¼acutesterdebitul,presiunea¸sitemperatura
lapompe,distribuitoare¸silamotoarelehidraulicerotative¸sirectilinii(cilindri
defor¸t¼a).
Lamecanismuldefrânareseveri…c¼adecelera¸tiasauspa¸tiuldefrânare.
Latransmisiiseveri…c¼au¸surin¸tacupl¼arilor¸sidecupl¼arilor¸sieventualeleb¼at¼ai
sauzgomoteanormale.
Interesuldeosebitfa¸t¼adediagnozast¼ariitehniceasistemelortehniceseex-
plic¼aprinfaptulc¼a…ecaredemontare¸simontareaelementelorcomponenteîn
scopulveri…c¼ariist¼ariitehnicenecesit¼aunvolumimportantdemanoper¼a¸siun
timpîndelungatdescoateredinproduc¸tie,ceeacefaceneeconomicuncontrol
laintervalemicidetimp.Înplus,întimpuldemont¼arilorsemodi…c¼aajustajele
dintrepiese¸sisedistrugorganeledeetan¸sare,ceeacesere‡ect¼anegativasupra
intensit¼a¸tiiuzuriipieselorîncontinuare.
Pentruexecutareadiagnozeitehnicetrebuieasigurat¼aoorganizare¸siodotare
tehnic¼acorespunz¼atoare.Serecomand¼aorganizareadesec¸tiispecialedediagnoz¼a
cupersonalspecializat,dotatecuîntreagagam¼adeaparatedem¼asur¼a¸sicontrol
¸siculaboratoaremobilepentruinstala¸tiilecareauomarer¼aspândire(utilajede
construc¸tii,utilajeagricole,mijloacedetransportetc.)saucontractdeservice
cuounitatespecializat¼a.Pentruinstala¸tiilecarelucreaz¼aînliniitehnologice(in-
dustriachimic¼a,construc¸tiadema¸sini,industriamaterialelordeconstruc¸tieetc.)
serecomand¼aorganizareadelaboratoaredotatecustanduri,cuaparaturade
analiz¼a(uleiurietc.),cuizotopiradioactivi,culan¸turideaparatepentrum¼a-
surarea¸sianalizaîntimprealazgomotului¸sivibra¸tiiloretc.
Pentrucadiagnozast¼ariitehnices¼adearezultateoptimeestenecesarcaînc¼a
delaproiectareaccesullasistemeletehnices¼a…eadaptatpentrudiagnoz¼a,în
sensulprevederiiposibilit¼a¸tiidecuplarerapid¼aaaparaturiidem¼asura¸sicontrol,
f¼ar¼ademontare,iarlaexperimentareaprototipului¸siaserieizeros¼aseveri…ce
înmodobligatoriuparametriisimptomatici,f¼ar¼ademontaresaucudemont¼ari
minime¸sis¼asestabileasc¼avaloarealorlimit¼aadmisibil¼a.
Dincercet¼arileefectuates-aconstatatc¼amaimultde50%dinmotoarelecu
ardereintern¼aalesistemelortehniceintroduseînrepara¸tieauînrealitateuzuride
numai30¡60%dinvaloareauzuriilimit¼a,nefunc¸tionareanormal¼adatorându-se
defaptreglajelorneefectuatesaunecorespunz¼atorefectuate.
Prinintroducereadiagnozeitehnicef¼ar¼ademontare,cheltuielilepentrumente-
nan¸t¼asepotreducecu25¡30%,economiadeenergiepoateajungepân¼ala20%,
iarduratadefunc¸tionareîntrerepara¸tiipoatecre¸stecu25¡30%.
3.9.ORGANIZAREAACTIVIT¼A¸TIIDEREPARA¸TII 163
3.9Organizareaactivit¼a¸tiiderepara¸tii
Sistemelederepara¸tiipot…organizatesubtreiforme:cufor¸teproprii,prin
unit¼a¸tispecializatesaudetipcombinat.
a)Organizarearepara¸tiilorcufor¸tepropriisefolose¸steînceamaimare
parteaunit¼a¸tilor,deoareceprezint¼aoseriedeavantaje:
¡instala¸tiaestescoas¼auntimpmaiscurtdinproduc¸tie;
¡repara¸tiaseexecut¼arapid¸sidecalitate;
¡conducereaintern¼apoateexercitaunrolmobilizator;
¡sepoateorganizacupersonaloperatorînprocesuldeproduc¸tie.
Sistemulprezint¼atotu¸si¸sioseriededezavantaje:
¡cheltuielimaripentruorganizareaatelierelorproprii¸siaprovizionareacu
materiale¸sipiesedeschimb;
¡personalsuplimentarpentrurepara¸tii;
¡productivitatemairedus¼adincauzaimposibilit¼a¸tiiorganiz¼ariiîn‡uxa
repara¸tiilor.
Repara¸tiilecufor¸tepropriisepotorganizaînurm¼atoarelesisteme:centralizat,
descentralizatsaumixt.
Însistemulcentralizattoatelucr¼ariledeplani…care,preg¼atire¸sirealizarea
repara¸tiilorseexecut¼adec¼atrecompartimentuldementenan¸t¼a.Sistemuld¼a
rezultatebuneînsociet¼a¸tilecomercialedeproduc¸tiemici¸simijlocii.
Sistemulprezint¼aurm¼atoareleavantaje:
¡pieseledeschimbseproduc¸siseachizi¸tioneaz¼aîncondi¸tiieconomice;
¡muncitoriipot…specializa¸tipegrupedesistemetehnice;
¡for¸tademunc¼a¸sisuprafe¸teledeproduc¸tiesuntutilizatera¸tional.
Sistemulprezint¼a¸sidezavantaje:personaldeconduceresuplimentar¸sisepa-
rareaactivit¼a¸tiidementenan¸t¼adeproduc¸tiadebaz¼a.
Însistemuldescentralizatlucr¼ariledementenan¸t¼aseexecut¼alanivelulsec¸tiilor
deproduc¸tiecaresuntdotatecupersonal,ma¸sini¸siaparatedem¼asur¼a¸sicontrol.
Înacestsistem,compartimentuldementenan¸t¼aseocup¼adecoordonareaîntregii
activit¼a¸ti¸sicuexecutarearepara¸tiilorcapitalelainstala¸tiileimportante.
Sistemulseaplic¼aînmarileunit¼a¸tiindustriale¸sicombinate.
Avantajelesistemuluiconstauîn:reducereapersonaluluideconducere,
asigurareauneileg¼aturistrânseîntreproduc¸tie¸siactivitateadementenan¸t¼a¸si
înregistrareaunorcosturimaimicilanivelulsec¸tiilor.
Dezavantajelesistemuluiconstauîn:utilizareaunuipersonalmainumeros
pentrumentenan¸t¼acuungradmairedusdeutilizare,productivitatemaisc¼azut¼a
¸siimposibilitateaasigur¼ariiunuistocdepiesedeschimbpesec¸tii.
Însistemulmixtlucr¼ariledeîntre¸tinere,derevizii¸sirepara¸tiicurentesunt
executatedesec¸tiiledeproduc¸tie,iarrepara¸tiilecapitalesuntîncredin¸tatecom-
partimentuluidementenan¸t¼aalîntreprinderii.
164 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Sistemulcaut¼as¼aîmbineavantajelecelordou¼asistemedemaisus¸sis¼aînl¼ature
dezavantajelelor.
b)Organizarearepara¸tiilorprinunit¼a¸tispecializateestecaracteristic
unoranumitecategoriidesistemetehnice(mijloacedetransportauto,tractoare,
utilajeagricole,utilajedeconstruc¸tii),cât¸siunorsistemetehnicefolositeîn
întreprinderileindustriale(automatizare,mecanic¼a…n¼a,calculatoare).
Avantajeleacestuisistemconstauîn:
¡realizareapieselordeschimbîncondi¸tiieconomice;
¡organizareaîn‡uxalucr¼arilorderepara¸tii;
¡specializareapersonaluluipecategoriidelucr¼ari;
¡reducereadurateideexecu¸tie;
¡productivitateamunciiridicat¼a;
¡calitateasuperioar¼aalucr¼arilor;
¡costurimairedusedatorit¼amecaniz¼arii¸siautomatiz¼ariilucr¼arilor.
Sistemulprezint¼aîns¼a¸sidezavantaje:
¡instala¸tiilesuntscoasedinproduc¸tiepeoperioad¼amultmaimarede
timp;
¡încazulavariilorseintervinemaipu¸tinoperativ.
Pentruinstala¸tiileac¼arordemontare¸sitransportsuntgreuderealizat,în-
treprinderilespecializatepottrimiteechipepentruaexecutarepara¸tiilelasediul
întreprinderilorposesoare.
c)Organizarearepara¸tiilordetipcombinatîmbin¼aceledou¼asisteme
prezentatemaisus,executându-secufor¸tepropriireviziiletehnice,repara¸tiile
curente¸sirepara¸tiileaccidentale,urmândcarepara¸tiilecapitales¼aseexecuteîn
întreprinderilespecializate.
Acestsistemî¸sig¼ase¸steolarg¼aaplicareîncadrulunit¼a¸tilordetransportauto,
aunit¼a¸tiloragricole,aunit¼a¸tilordeconstruc¸tii,înindustriapetrolier¼a,înindus-
triaalimentar¼aetc.
Avantajeleacestuisistemconstauîn:
¡personalredusangajatpentrulucr¼aridementenan¸t¼a;
¡suprafe¸tereduse¸sispa¸tiiconstruitemiciafectatelucr¼arilordemente-
nan¸t¼a;
¡stocurimicidepiesedeschimb;
¡costurimaireduse.
Dezavantajelesistemuluiconstauin:
¡instala¸tiiletehnologicesuntscoasedinproduc¸tiepentrurepara¸tiecapital¼a
peoperioad¼arelativmaredetimp;
¡repara¸tiileaccidentaleseexecut¼amaigreudinlipsapieselordeschimb
¸siapersonaluluispecializat;
¡productivitatearedus¼aamuncitorilorpropriipentrumentenan¸t¼a.
3.10.MENTENAN¸TAPRODUCTIV¼ATOTAL¼A 165
3.10Mentenan¸taproductiv¼atotal¼a
Mentenan¸taproductiv¼atotal¼a,pescurtMPT,esteometod¼acearedrept
obiectivevaluareapermanent¼aaperforman¸teimijloacelordeproduc¸tie(insta-
la¸tiitehnologice,echipamente,utilaje,ma¸siniunelte)carepracticarevolu¸tionat
întreagaactivitatedementenan¸t¼aasociat¼asistemelortehnice.
Inevolu¸tiaconceptuluidementenan¸t¼aproductiv¼atotal¼asepotidenti…catrei
etape,¸sianume:
Etapaanilor‘50aisecoluluitrecut,cândafostintrodusconceptuldemente-
nan¸t¼apreventiv¼a,deorigineamerican¼a,careaveaînprincipalscopurisau…nalit¼a¸ti
economice.
Urmeaz¼aoadouaetap¼a,aanilor‘60,aceeaamentenan¸teiproductive,care
deasemeneaaredreptobiectivscopurieconomicegenerale,darseorienteaz¼a¸si
asuprain‡uen¸teimentenan¸teiîncosturileefectivedeproduc¸tie.
Atreiaetap¼a,aanilor‘70,estesupranumit¼amentenan¸taproductiv¼atotal¼a.
Întregulpersonalangajatînprocesuldeproduc¸tiecap¼at¼aresponsabilit¼a¸tiîn
privin¸taactivit¼a¸tiidementenan¸t¼a,…ecaremembrulaniveluls¼audecompeten¸t¼a,
activitateadementenan¸t¼anemai…indnumairesponsabilitateaspeciali¸stilor.
Celcarearputea…numitp¼arintelementenan¸teiproductivetotaleesteSei-
ichiNakajima,vicepre¸sedintealJIPM(JapanInstitutofPlantMaintenance),
organiza¸tieprofesionist¼acreat¼aînanul1969dec¼atreJMA(JapanManagement
Association).Acestaspuneadespreevolu¸tiaconceptului:
„Amînceputprinastudiametodaamerican¼adementenan¸t¼apreventiv¼aîn
anul1950;înanul1962amf¼acutprimavizit¼aînStateleUnite.Înaniiurm¼atori
amvizitatîntreprinderidinEuropa¸sidinStateleUniteînscopuldeapercepemai
binemanieradeutilizareamentenan¸teipreventive.Bazându-m¼apeobserva¸tiile
mele,amintrodusacestconceptînJaponiaînanul1971.”
InJaponia,dealtfel,sespune:„Trebuieacordat¼aofoartemareaten¸tiemicilor
lucruri,deoarececuacestemicilucrurisepotconstruilucrurilemari.”
Explica¸tiatermenilor
Mentenan¸t¼a,carelaînceputuriînsemnaîntre¸tinereasistemului,areacum
osemni…ca¸tienou¼a,multmaibogat¼ademen¸tinereînpermanen¸t¼aacondi¸tiilor
optimedeproduc¸tie.
Productiv¼a,carelaînceputaveasemni…ca¸tiadeproductivitate,areacumo
semni…ca¸tienou¼a,aceeaderandamentoptimînscopulrentabiliz¼ariimaximea
investi¸tiei¸sideamic¸soracosturilelegatedeproduc¸tie.
Total¼aindic¼afaptulc¼adiferitelecomponentealeresponsabilit¼a¸tiidepro-
duc¸tiesuntchemateca…ecares¼a-¸siaduc¼acontribu¸tialametodadementenan¸t¼a
adoptat¼a,altfelspus,activitateadeproduc¸tieaoperatorilors¼aseîmbine¸sicu
elementealeactivit¼a¸tiidementenan¸t¼a.
A¸sadar,MPTesteaceametod¼aprincaresereduclamaximumposibiltoate
pierderiledintimpulprocesuluideproduc¸tiecatimp,materii¸simateriale,
166 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
energie,manoper¼a¸sialtele,astfelîncâts¼asepoat¼acreauncadrucâtmai
dedicatactivit¼a¸tiiprincipaledeproduc¸tie.Deasemenea,MPTvineînajutorul
operatorilordeproces,însensulcunoa¸steriidec¼atreace¸stiamultmaibinea
performan¸telorma¸sinilor,echipamentelor,utilajelor,instala¸tiilorpecarelede-
servesc.Înacela¸sitimp,înlocdeasea¸stepta„serviciuldementenan¸t¼a”pentru
îndep¼artareadefec¸tiunilor,…ecareoperatorlaloculsaudemunc¼apoatepreveni
eventualelemicidefec¸tiuni,înaintecaacesteas¼asetransformeînproblemegrave,
poateanaliza¸sieliminasursadefec¸tiunilorîntimpreal.
SecretulMPTesteaceladeaacordamaxim¼aaten¸tiedetaliilor.
EtapeledeparcursîncazulMPT
Suntînnum¼arde12¸si,înordinelogic¼a,avem:
Etapa1.Deciziaconducerii
Introducerea¸sidezvoltareaMPTîncadruluneiîntreprinderipresupuneca
personaluloperators¼aaib¼acapacitateadea-¸sischimbaatitudineafa¸t¼adeac-
tivitateadeproduc¸tie,dea-¸simodi…caaceleobi¸snuin¸tenegativec¼ap¼atatede-a
lungultimpului.
Toateacesteasepottransformaînrealitatenumaiînm¼asuraîncareatât
conducereacât¸siîntregulpersonalleaccept¼a,înprimulrând,¸siapoilerealizeaz¼a.
Conducereatrebuies¼atrasezestrategiadeurmat,iarpersonalulîntotalitates¼a
…econvinsdecorectitudineastrategiei.
Etapaa2-a.ElaborareametodologieiMPT
Aceast¼aetap¼apresupunecunoa¸stereaîndetaliuaurm¼atoarelorelemente:
¡naturageneral¼aaMPT;
¡scopurile¸siobiectivele;
¡de…nireaunuiprogramdeMPT;
¡unlimbajcomunconducere-personal.
Etapaa3-a.Creareastructuriideimplementare
Aceastastructur¼aestenecesar¼apentruareduce¸socullamomentullans¼arii
MPT,creeaz¼aposibilit¼a¸tiledeimplementarealeprogramelor¸sipermitecoor-
donareaactivit¼a¸tilor.
Etapaa4-a.Diagnosticarea
Multitudineasitua¸tiilorexistenteînsectoarele¸silocuriledemunc¼anecesit¼ao
evaluareprealabil¼a,odiagnosticareînceeaceprive¸stevârsta¸sistareatehnic¼aa
utilajelor,nivelulrandamentuluiatinsdec¼atreacestea,practiciledementenan¸t¼a,
natura¸siamploareaamelior¼arilor.
Rezultatelecorecteob¸tinutepotpermiteob¸tinereaunuidiagnosticrealcu
obiectivedate,precise¸sicuundiagnosticdatdinstartsaupur¸sisimplubazat
peintui¸tie.
Etapaa5-a.Elaborareaprogramului
EstenecesaraseelaboraunprogramgeneraldeimplantareaMPTlanivelul
întreprinderii,precum¸sidefalcareaacestuiaînprogramelocaledeimplantarea
MPTlanivelullocurilordemunc¼a.
3.10.MENTENAN¸TAPRODUCTIV¼ATOTAL¼A 167
Etapaa6-a.Lansareaprogramului
Încadrulacesteietape,prevederiledinprogrameledeMPTtrebuiesctrans-
pusecu…delitateînpractic¼a.
Etapaa7-a.Ameliorarearandamentelor
Plecânddelacunoa¸stereapierderilor¸siopririlorobiectiveînregistratedeo
instala¸tietehnologic¼a,aceast¼aetap¼aaredreptdirec¸tieameliorarearandamentelor
¸sireducereadisfunc¸tionalit¼a¸tilor.
Laaceastaetap¼a,participareaoperatorilor¸sitehnicienilorimplica¸tiestenece-
sar¼a¸sisefaceprinorganizareadegrupemicidelucrucareanalizeaz¼adiferitele
metode¸siposibilit¼a¸tidereducereapierderilor.
Etapaa8-a.Dezvoltareamentenan¸teiindependente(autonome)
Înaceast¼aetap¼aseurm¼are¸stecas¼asecreezecondi¸tiilenecesarepentruca
personaluldeproduc¸ties¼a…ecapabildeaasiguraelînsu¸siopartedinmentenan¸ta
deîntre¸tinere.
Etapaa9-a.Dezvoltareamentenan¸teiprogramate
Esteaceafaz¼aîncareodat¼adep¼a¸siteposibilit¼a¸tilementenan¸telorindepen-
dente(autonome),adic¼adementenan¸taneprogramat¼a(curativ¼asaucorectiv¼a),
setrecelamentenan¸taprogramat¼a(preventiv¼a).
Etapaa10-a.Ameliorareatehnicit¼a¸tii
Operatorilorlisefavorizeaz¼aevolu¸tiaînsensulrealiz¼ariiuneiapropieridince
încemaimarifa¸t¼adeinstala¸tiapecareodeservesc.
Etapaa11-a.Îmbun¼at¼a¸tiriasupraconcep¸tieiinstala¸tiei
Princunoa¸stereafoartebun¼aacondi¸tiilordeexploatare,amentenan¸teiin-
stala¸tiilor,sepotîntrevedeaposibilemodi…c¼ariînconcep¸tiaacestora,însensul
amelior¼ariiparametrilorprocesuluideproduc¸tiesaua…abilit¼a¸tii.
Etapaa12-a.Lansareaunuinouprogram
Se…xeaz¼anoiobiectivedeatins,sevizeaz¼aaltesectoaredeproduc¸tie,se
utilizeaz¼acuno¸stin¸telec¼ap¼atateanteriorpentrualegeneraliza.
Pentruaasiguradisponibilitateaînoricemomentaunuisistemtehnictrebuie
ca…abilitatea¸simentenabilitateas¼afunc¸tionezeoptim.Diagramadin…gura3.2
arat¼a,pentrucazulinstala¸tiilortermice,cumtrebuieprivit¼arela¸tiadintre…abil-
itate¸simentenan¸t¼a(preventiv¼a,corectiv¼a,productiv¼atotal¼a)luândînconsid-
era¸tie¸sicelelalteaspecte:resursele…nanciare¸siumane,proiectarea,fabricarea
(execu¸tie¸sicontrol),ambalare,depozitare,transport,montaj¸sipunereînfunc¸ti-
une,exploatare,astfelîncâtinstala¸tias¼alucrezeînconcordan¸t¼adeplin¼acufunc¸tia
speci…cat¼a.
168 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Fig.3.2:Reprezentareagra…c¼aarela¸tiei…abilitate-mentenan¸t¼a
3.10.MENTENAN¸TAPRODUCTIV¼ATOTAL¼A 169
170 CAPITOLUL3.MENTENABILITATEA
Capitolul4
DISPONIBILITATEA
4.1Concept,de…ni¸tii,termeni
Înacestcapitolvomconsiderasistemetehnicecarepot…reparateastfelîncâtîn
urmaopera¸tieiderepararesistemulesteaduslaunstadiudefunc¸tionareidentic
cuaceladedinainteadefect¼arii.Pentruacesttipdesistemeocaracteristic¼a
important¼aaperforman¸tieisistemuluirespectivestedisponibilitatea.
PotrivitSTAS8174/3-77,„Fiabilitate,mentenabilitate¸sidisponibilitate.
Terminologie”,disponibilitateaeste„capacitateaunuidispozitiv–subaspectele
combinatede…abilitate,mentenabilitate¸sideorganizareaac¸tiunilordemente-
nan¸t¼a–dea-¸siîndeplinifunc¸tiaspeci…cat¼alaunmomentdatsauîntr-uninterval
detimpdat”.Aceast¼ade…ni¸tiepuneîneviden¸t¼ac¼adisponibilitateaunuisistem
tehnicdepindeatâtde…abilitateaacestuiacât¸sideorganizareaactivit¼a¸tiide
mentenan¸t¼a.
Disponibilitateaunuisistemtehnicpoate…de…nit¼aprinraportul
Disponibilitatea=Timpuldefunc¸tionare
Timpuldefunc¸tionare+Timpuldeîntrerupere:
Rela¸tiaanterioar¼aestefolositoarenumaidac¼aneintereseaz¼atrecutulaceluisis-
tem,încare,pentruoperioad¼adetimpdat¼a,timpuldefunc¸tionare¸sitimpulde
întreruperepotdaprocentultimpuluicâtsistemulafostdisponibil.Darinteresul
nostruesteaceladeaprezicedisponibilitateaunuisistemtehnic.Pentruaputea
faceaceast¼aopera¸tietrebuieavuteînvedere¸sianalizatesimultanatâtdistribu¸tia
dereparti¸tieadefectelorcât¸sidistribu¸tiadereparti¸tieaactivit¼a¸tiidereparare
aacestora.
Disponibilitateaunuisistemtehnicsauauneicomponenteaacestuia,lafel
ca¸si…abilitatea¸simentenabilitatea,estedefaptoprobabilitate.Deaceeatoate
legileteorieiprobabilit¼a¸tilorpot…aplicatedisponibilit¼a¸tiidac¼aaceastaestebine
cuanti…cat¼a.Cazulcelmaisimplupoate…ilustratprinurm¼atorulexemplu.Con-
sider¼amunsingurechipament(sauosingur¼acomponent¼aaunuisistemtehnic)
caretrebuies¼afunc¸tionezecontinuu.Dac¼aseface¸sisep¼astreaz¼aoînregistrare
171
172 CAPITOLUL4.DISPONIBILITATEA
aperioadelordetimpîncareechipamentulafunc¸tionatsauafostîntrerupt
învederearepar¼arii,atuncidisponibilitateasapoate…descris¼acaovariabil¼a
aleatoareac¼areifunc¸tiededistribu¸tieesteilustrat¼aîn…gura4.1.Cu0estemar-
cat¼astareadefunc¸tionare,iarcu1stareadenefunc¸tionare(întreruperenecesar¼a
repar¼arii).Disponibilitateaa¸steptat¼aaacestuiechipamentestevaloareamedie
Fig.4.1:Functiaderepartitieadisponibilit¼a¸tiiunuisingurechipamentcaretre-
buies¼afunc¸tionezecontinuu(0-stareadefunc¸tionare,1-stareadenefunc¸tionare
(reparare))
aacesteivariabilealeatoare.Dac¼aneintereseaz¼adisponibilitateapermanent¼aa
unuiîntregsistemtehnic,atuncitrebuies¼alu¼amînconsidera¸tiecomportareaîn
ansambluatuturorechipamentelorcare-lcompun.S¼anot¼amcunnum¼arultotal
deechipamentecomponente¸sicun0(t)num¼aruldeechipamentea‡ateînstarea
0,adic¼adisponibile,launmomentdetimpt:RaportulP0(t):=n0(t)=nm¼asoar¼a
propor¸tiadeechipamentedisponibilelamomentult¸siaceastatrebuieavut¼aîn
vederelastabilireadisponibilit¼a¸tiisistemului.
Disponibilitateapoate…de…nit¼aca…indînsu¸sireaunuisistemtehnicsaua
uneicomponenteasistemuluidea-¸siîndeplinifunc¸tiacerut¼asubaspectelecom-
binatede…abilitate,mentenabilitate¸sideorganizareaopera¸tiilordementenan¸t¼a
launmomentt;sauîntr-unintervaldetimp¢t.
Încontinuarevomde…niuneleno¸tiunifolositeînstudiuldisponibilit¼a¸tii.
Disponibilitateainstantaneesaupunctual¼a,A(t),esteprobabilitateaca
sistemuls¼a…edisponibilpentruutilizarelamomentuldetimptdup¼apunerea
saînfunc¸tiune.(Disponibilitateas-anotatcuA(t)dup¼aterminologiadinlimba
englez¼aîncarecuvântul„disponibilitate”este„availability”.)
Disponibilitateamediepeunintervaldetimp[t1;t2]saudisponibilitatea
uneimisiunidelat1lat2estede…nit¼aprinrela¸tia
Am(t2¡t1):=1
t2¡t1Zt2
t1A(t)dt: (4.1)
4.1.CONCEPT,DEFINI¸TII,TERMENI 173
Am(t2¡t1)reprezint¼amediadisponibilit¼a¸tiidincursuluneimisiuniîncaresis-
temulestedisponibilpentruutilizareînintervalul[t1;t2]:
Înparticular,disponibilitateamediepeintervalul[0;¿]este
Am(¿):=1
¿¿Z
0A(t)dt: (4.2)
Disponibilitateapermanent¼a,AS,esteprobabilitateacasistemuls¼a…e
disponibilpentruutilizarelaunmomentdetimptfoarteîndep¼artatdemomentul
puneriisalefunc¸tiune,adic¼apentrut!1:
AS:=limt!1A(t):
Celetreitipuridedisponibilit¼a¸tide…nitemaisussuntilustrateîn…gura4.2.
Fig.4.2:Reprezentareagra…c¼aadisponibilit¼a¸tiipunctuale,medii¸sipermanente
Înaintedeadaaltede…ni¸tiiutilizateînteoriadisponibilit¼a¸tiipreciz¼amcâteva
nota¸tii.
²MTBF(MeanTimeBetweenFailures)=timpulmediudebun¼afunc¸tionare
(mediaduratelordebun¼afunc¸tionare).
²MTTR(MeanTimeToRepair)=timpulmediupentrurepara¸tie(durata
uneirepara¸tii).
174 CAPITOLUL4.DISPONIBILITATEA
Coe…cientuldedisponibilitate(propor¸tiatimpuluiactiv)saudisponi-
bilitateaintrinsec¼acumestenumitacestcoe…cientîn([18])estede…nitprin
formula
KA:=MTBF
MTBF+MTTR: (4.3)
Coe…cientuldedisponibilitateareovaloareconstant¼a,independent¼adetimp.
Depindenumaidedistribu¸tiatimpuluidedefectare¸siatimpuluidereparare,de
aceeaesteprivitcaunparametrucaracteristic(intrinsec)alsistemuluitehnic.
Coe…cientuldeindisponibilitate(propor¸tiatimpuluiinactiv)estedat
prinformula
KIN:=1¡KA; (4.4)
sau
KIN=MTTR
MTBF+MTTR: (4.5)
Coe…cientuldeindisponibilitatearedeasemeneaovaloareconstant¼a,indepen-
dent¼adetimp,¸sireprezint¼apropor¸tiatimpuluiinactiv(deoprireasistemului).
Propor¸tiadisponibilit¼a¸tiisede…ne¸steprinraportul
KD:=MTTR
MTBF: (4.6)
Exemplul4.1.1Unsistemtehnicareurm¼atoarelecaracteristici:
a)Distribu¸tiatimpuluiîntredefect¼ariurmeaz¼alegealognormal¼a(2.35)cu
parametruldeform¼a¾=0;8¸siparametruldescar¼atmed=50oredefunc¸tionare.
b)Distribu¸tiatimpuluidereparareurmeaz¼alegeanormal¼aN(m;¾),unde
m=3ore¸si¾=1;5ore.
Conformrela¸tiei(2.37)timpulmediuîntredefect¼ari,MTBF,arevaloarea
MTBF=50¢expµ0;82
2¶
=68;856ore,
iarMTTR=m=3ore.
Înacestcaz,coe…cientuldedisponibilitatealsistemului(disponibilitatea
intrinsec¼a),careestedatdeformula(4.3),arevaloarea
KA=MTBF
MTBF+MTTR=68;856
68;856+3=0;958;
iarcoe…cientuldeindisponibilitate(4.4)este
KIN=1¡KA=1¡0;958=0;042:
Propor¸tiadisponibilit¼a¸tii,dat¼adeformula(4.6),areatuncivaloarea
KD=MTTR
MTBF=3
68;856=0;044:¤
4.2.MODELULEXPONEN¸TIALALDISPONIBILIT¼A¸TII 175
4.2Modelulexponen¸tialaldisponibilit¼a¸tii
Celmaisimplucazpentruastudiadisponibilitatea(punctual¼a,mediesau
permanent¼a)auneicomponentesauaunuisistemtehnicesteaceladeaconsidera
c¼aatâtintensitateadedefectare¸cât¸siintensitateadereparare¹suntconstante.
Acestaestecazulcarecorespundedistribu¸tieiexponen¸tiale.
Vomstudiaacestcaztratându-lcapeunprocesMarkov.Concepteledebaz¼a
caresefolosescînacesttipdeabordaresuntaceleade„stare”încaresea‡¼asis-
temul(deexemplu,stareadefunc¸tionare,notat¼aS0;¸sistareadenefunc¸tionare,
notat¼aS1)¸sidestarede„trecere”(delastareadefunc¸tionarelaaceeadene-
func¸tionaredatorit¼auneidefec¸tiunisaudelastareadenefunc¸tionarelaaceeade
func¸tionaredatorit¼auneirepara¸tii).Probabilit¼a¸tiledetreceredelastareaila
stareajsenoteaz¼acupij:Vompresupunec¼aprobabilit¼a¸tilepijdepindnumaide
st¼arilei¸sij;suntindependentedest¼arileanterioare,cuexcep¸tiaultimeist¼arii;
¸sisuntconstanteînraportcutimpul.
Pentruexempli…carevomanalizacazuldisponibilit¼a¸tiiuneisingurecompo-
nentecepoate…reparat¼a¸sicareareratadedefectare¸¸siratadereparare¹:
DiagramaMarkovaacestuicazesteprezentat¼aîn…gura4.3.S0desemneaz¼a
starea0încarecomponentafunc¸tioneaz¼a¸siestedisponibil¼apentruutilizare,iar
S1desemneaz¼astarea1încarecomponentaestedefect¼a¸sisupus¼arepar¼arii.
Fig.4.3:DiagramaMarkovauneicomponenetecuratadedefectare¸¸siratade
reparare¹
Not¼amcuPi(t)probabilitateacomponenteidea…înstareai=0;1:Evident
P0(t)=A(t);
i.e.,probabilitateacomponenteideafunc¸tionalamomentuldetimptesteegal¼a
cudisponibilitateaei.Înplus,
P0(t)+P1(t)=1: (4.7)
i.e.,lamomentuldetimptcomponentasaufunc¸tioneaz¼a¸siestedisponibil¼asau
estedefect¼a¸sisupus¼arepar¼arii.
176 CAPITOLUL4.DISPONIBILITATEA
Consider¼amunmomentdetimpt¸siocre¸stereasa¢t¸sicalcul¼amprobabili-
tateacomponenteicas¼afunc¸tioneze(s¼asea‡eînstareaS0)lamomentult+¢t:
Acestlucruseîntâmpl¼aîndou¼acazuri:1)lamomentultcomponentafunc¸tiona
¸siafunc¸tionatîncontinuareînintervalul[t;t+¢t];2)lamomentultcomponenta
eradefect¼a(sea‡aînstareaS1)darafostreparat¼aînintervalul[t;t+¢t]:Atunci
arelocrela¸tia
P0(t+¢t)=P0(t)¢(1¡¸¢t)+P1(t)¢¹¢t;
deunderezult¼ac¼a
P0(t+¢t)¡P0(t)
¢t=¡¸P0(t)+¹P1(t):
Pentru¢t!0seob¸tineecua¸tiadiferen¸tial¼a
dP0(t)
dt=¡¸P0(t)+¹P1(t): (4.8)
SubstituindP0(t)=1¡P0(t);rezult¼a
dP0(t)
dt=¡(¸+¹)P0(t)+¹:
Înmul¸timegalitateademaisuscue(¸+¹)t¸siintegr¼amambiimembri.Avem
Z
e(¸+¹)tdP0(t)
dtdt=¡(¸+¹)Z
e(¸+¹)tP0(t)dt+¹Z
e(¸+¹)tdt:
Calculândprimaintegral¼aprinp¼ar¸tiob¸tinem
e(¸+¹)tP0(t)¡(¸+¹)R
e(¸+¹)tP0(t)dt=
=¡(¸+¹)R
e(¸+¹)tP0(t)dt+¹
¸+¹e(¸+¹)t+C;
deunde,dup¼areducereatermenilorasemenea¸siîmp¼ar¸tirecue(¸+¹)t;rezult¼a
P0(t)=¹
¸+¹+Ce¡(¸+¹)t: (4.9)
PentrudeterminareaconstanteideintegrareC¸tinemseamac¼aP0(0)=1:Atunci
ob¸tinem
C=1¡¹
¸+¹=¸
¸+¹: (4.10)
4.2.MODELULEXPONEN¸TIALALDISPONIBILIT¼A¸TII 177
Înlocuindvaloareaacesteiconstanteînformula(4.9)rezult¼aforma…nal¼aasolu¸tiei
P0(t)=¹
¸+¹+¸
¸+¹e¡(¸+¹)t:
Deoarecestarea0estestareadefunc¸tionare,atunciA(t)=P0(t)estedisponi-
bilitateapunctual¼aacomponentei(probabilitateacomponenteideafunc¸tionala
momentuldetimpt):Prinurmare,disponibilitateapunctual¼aacomponentei
secalculeaz¼apebazaformulei
A(t)=¹
¸+¹+¸
¸+¹e¡(¸+¹)t: (4.11)
Disponibilitateamedieauneimisiunipeintervalul[t1;t2];calculat¼ape
bazaformulei(4.1)folosind(4.11),este
Am(t2¡t1)=1
t2¡t1Zt2
t1A(t)dt=
=1
t2¡t1t2Z
t1µ¹
¸+¹+¸
¸+¹e¡(¸+¹)t¶
dt=
=¹
¸+¹+¸
(¸+¹)2(t2¡t1)£
e¡(¸+¹)t1¡e¡(¸+¹)t2¤
:(4.12)
Înconsecin¸t¼a,disponibilitateamediepeunintervaldeforma[0;¿]areexpresia
Am(¿)=¹
¸+¹+¸
(¸+¹)2¿£1¡e¡(¸+¹)¿¤:(4.13)
Disponibilitateapermanent¼asaucoe…cientuldedisponibilitate
KA=lim¿!1Am(¿),calculatcuajutorulformulei(4.11),este
KA=limt!1A(t)=limt!1·¹
¸+¹+¸
¸+¹e¡(¸+¹)t¸
=¹
¸+¹:
Deci
KA=¹
¸+¹: (4.14)
CumMTBF=1
¸¸siMTTR=1
¹;rezult¼a
KA=MTBF
MTBF+MTTR: (4.15)
178 CAPITOLUL4.DISPONIBILITATEA
Deregul¼a,¹estemultmaimaredecât¸;¹>>¸;deci1>>¸
¹>0;ceeace
permitedezvoltareaînserie¸siaproximareademaijos.
KA=1
1+¸
¹=1¡¸
¹+µ¸
¹¶2
¡¢¢¢+(¡1)nµ¸
¹¶n
+¢¢¢=1¡¸
¹:
Comparândformulele(4.11)¸si(4.14)seob¸tineorela¸tieîntredisponibilitatea
punctual¼a¸sidisponibilitateapermanent¼a
A(t)=KA+¸
¸+¹e¡(¸+¹)t: (4.16)
Formula(4.16)arat¼ac¼adisponibilitateapunctual¼aestesumadintreocomponent¼a
constant¼a,careestedisponibilitateapermanent¼aKA;¸siocomponent¼acarevari-
az¼adescresc¼atorDemnderemarcatestefaptul,c¼apentrut>4
¸+¹componenta
variabil¼adevineneglijabil¼a.Într-adev¼ar,înacestcaz
¸
¸+¹e¡(¸+¹)t<¸
¸+¹e¡4<e¡4=0;01832;
ceeacearat¼ac¼a
A(t)»=KA;pentrut>4
¸+¹:
Cualtecuvinte,pentrut>4
¸+¹disponibilitateapunctual¼asepoateconsidera
constant¼a¸siegal¼acudisponibilitateapermanent¼a.Figura4.4arat¼acumvariaz¼a
disponibilitateapunctual¼aaunuiechipamentcarepoate…reparatînfunc¸tiede
raportuli
¸+¹;i=1;2;:::¸sicumtindeacestac¼atredisponibilitateaperma-
nent¼a.
Exemplul4.2.1Launsistemtehnics-aconstatatc¼aatâtdistribu¸tiadede-
fectarecât¸sidistribu¸tiadereparareurmeaz¼alegeaexponen¸tial¼acuparametrii
¸=1
300;respectiv¹=1
12:AtunciMTBF=1
¸=300ore¸si
MTTR=1
¹=12ore.Conformrela¸tiei(4.11),pentrudeterminareadisponi-
bilit¼a¸tiipunctualeob¸tinemexpresia
A(t)=25
26+1
26expµ¡13
150t¶
:
Folosindaceast¼aformul¼aputemdeterminadisponibilitateapunctual¼aladiferite
momentedetimp.Deexemplu,pentrut=6;8;10sau12oreseob¸tine
A(6)=0;984;A(8)=0;981;A(10)=0;978;A(12)=0;975:
4.2.MODELULEXPONEN¸TIALALDISPONIBILIT¼A¸TII 179
Fig.4.4:Varia¸tiadisponibilit¼a¸tiipunctualeînfunc¸tiedevaloarearaportului
i
¸+¹;i=1;2;:::
Disponibilitateamediepeintervalul[0;¿]estedat¼adeformula
Am(¿)=25
26+75
169¿expµ¡13
150¿¶
:
Pentru¿=12oreseob¸tine
Am(12)=0;985:
Coe…cientuldedisponibilitatedatdeformula(4.14)arevaloarea
KA=25
26=0;962:
În…gura4.5curbacontinu¼aestegra…culdisponibilit¼a¸tiipunctualeA(t),curba
punctat¼aestegra…culdisponibilit¼a¸tiimediipeintervalul[0;t];Am(t);iardreapta
punctat¼areprezint¼adisponibilitateapermanent¼aKA:¤
180 CAPITOLUL4.DISPONIBILITATEA
Fig.4.5:Reprezentareagra…c¼aadisponibilit¼a¸tilorpunctuale,mediipe[0,t]¸si
permanentedinexemplul4.2.1
4.3Disponibilitateasistemelor
Deoarecedisponibilitateaesteoprobabilitate,toatelegileteorieiprobabi-
lit¼a¸tilorpot…aplicatepentruacalculadisponibilitateaunuisistem,plecând
delacunoa¸stereadisponibilit¼a¸tilorp¼ar¸tilorcomponente.Metodadecalculeste
aceea¸sicuceafolosit¼aînsec¸tiunea2.6pentrudeterminarea…abilit¼a¸tiisistemelor
cumontajînseriesauînparalel.Prinurmare,pentruncomponenteindependente
legateînserie,…ecaredintreeleavânddisponibilitateaAi(t),i=1;2;:::;n;
disponibilitateasistemuluiestedat¼adeformula
AS(t)=nQ
i=1Ai(t); (4.17)
iardac¼acomponenteleindependentesuntlegateînparalel,atuncidisponibilitatea
este
AS(t)=1¡nQ
i=1(1¡Ai(t)): (4.18)
Înformuleledemaisusdisponibilitateauneicomponentepoate…disponi-
bilitateapunctual¼asaudisponibilitateamediepeunintervaldetimp.Pentru
con…gura¸tiicomplexealesistemeloranalizadisponibilit¼a¸tiipoate…f¼acut¼aprin
folosireadiagramelor-bloc,lafelcaîncazul…abilit¼a¸tii.
4.3.DISPONIBILITATEASISTEMELOR 181
Exemplul4.3.1Unsistemaredou¼acomponente,…ecaredineleavândrate
constantededefectare¸1=0;10;respectiv¸2=0;15c¼aderipeor¼a¸sirate
constantederepara¸tie¹1=0;20;respectiv¹2=0;25repara¸tiipeor¼a.Calcula¸ti
disponibilitateapunctual¼a¸sidisponibilitateamediepentruomisiunede8oreale
acestuisistemînurm¼atoarelecazuri:
a)componentelesistemuluisuntlegateînserie.
b)componentelesistemuluisuntlegateînparalel.
Solu¸tie.Înbazaformulei(4.11)calcul¼amdisponibilitateapunctual¼aa…ec¼arei
componente.
A1(t)=0;667+0;333exp(¡0;30t);A1(8)=0;697;
A2(t)=0;625+0;375exp(¡0;40t);A2(8)=0;640:
Atuncidisponibilitateapunctual¼aasistemuluicumontajînseriepentrut=8
oreeste
AS(8)=A1(8)¢A2(2)=0;697¢0;640=0;446:
Dac¼acomponentelesistemuluisuntmontateînparalel,disponibilitateapunc-
tual¼aasistemuluilaacela¸simomentdetimpt=8oreeste
AS(8)=1¡(1¡A1(8))¢(1¡A2(8))=0;891:
Pentrucalculareadisponibilit¼a¸tiimediipeintervalul[0;¿]folosimformula
(4.13).Înbazaacesteiaavem:
A1;m(t)=0;667+1;111
¿[1¡exp(¡0;30¿)]A1;m(8)=0;793;
A2;m(t)=0;625+0;9375
¿[1¡exp(¡0;40¿)]A2;m(8)=0;737:
Atuncidisponibilitateamedieasistemuluicumontajînseriepentruomisiune
de8orearevaloarea
AS;m(8)=A1;m(8)¢A2;m(2)=0;793¢0;737=0;585:
Dac¼acomponentelesistemuluisuntlegateînparalel,disponibilitateamedie
asistemuluipentruaceia¸simisiunede8oreeste
AS;m(8)=1¡(1¡A1;m(8))¢(1¡A2;m(8))=0;946:¤
182 CAPITOLUL4.DISPONIBILITATEA
4.4C¼aidecre¸stereadisponibilit¼a¸tii
Doifactoriin‡uen¸teaz¼aînmoddecisivdisponibilitateaunuisistemtehnic,
¸sianume:
a)factorulde…abilitate,sau,cualtecuvinte,timpuldefunc¸tionarenormal¼a
f¼ar¼adefec¸tiuniîncondi¸tiideterminatedeexploatareasistemului;
b)factoruldementenabilitate,sau,cualtecuvinte,timpuldeindisponibili-
tate,cândsistemulestereparatînvedereaîndepliniriifunc¸tiilorspeci…cate.
Pentruaasiguracucertitudinedisponibilitateasistemelorînoricemoment,
triada…abilitate-mentenabilitate-reînnoire,trebuies¼afunc¸tionezeînmodper-
fect,rezultândastfelchiarc¼ailedecre¸sterealedisponibilit¼a¸tii:
¡…abilitateaestenecesars¼aseapropiedeunmaxim,împreun¼acuun
sistemdealarmare(sonor,luminos),foartebinepuslapunct¸sicuosupraveghere
permanent¼a;
¡deoarecementenan¸tapreventiv¼aestecostisitoareiarprevedereadefec-
t¼arilor¸silocalizareaacestoraîntimpsuntextremdedi…cile,estenecesarase
puneaccentpementenan¸tacorectiv¼a;
¡reînnoireaprev¼azut¼a¸sicalculat¼aaelementelorcomponentesauasubsis-
temelor.
Experien¸taacumulat¼aîncazulliniilordeproduc¸tieacimentuluidovede¸ste
dinplinc¼adisponibilitateaestemaxim¼adac¼aseac¸tioneaz¼amajorasupracelor
treifactorimaisusenumera¸ti.
Cum,îngeneral,…abilitateaesteextremderidicat¼a,rezult¼ac¼apentruaavea
obunadisponibilitatetrebuieac¸tionatcucelemaibunetehnicidementenan¸t¼a
pedeoparte,iarpedealt¼aparte,prinmic¸sorareanum¼aruluideinterven¸tiide
mentenan¸t¼a.Acestdinurm¼adezideratpoate…atinsdac¼aseac¸tioneaz¼a:
a)asupraconcep¸tiei:…abilitate,reparabilitate,accesibilitate,testabilitate,
interschimbabilitate,func¸tionalitate;
b)asuprapoliticiidementenan¸t¼a:personalinstruit,înlocuiri,nivelalrepara¸tiei,
procedee¸sitehnici.
AppendixA
Func¸tiaGamma
Func¸tiaGammadeparametrup;sauintegralaluiEulerdespe¸taadoua,
estede…nit¼aprinformula
¡(p)=Z1
0xp¡1e¡xdx;p>0:
1.¡(p)esteointegral¼aimproprieconvergent¼apentru0<p<1¸sidivergent¼a
pentrup·0:
2.¡(p)esteuniformconvergent¼aînraportcuparametrulp,pentrupapar¸tinând
unuiintervalcompact[a;b]½(0;1):
3.¡(p)esteofunc¸tiecontinu¼adep;pentrup2(0;1):
4.¡(p)esteofunc¸tiederivabil¼aînraportcuparametrulp2(0;1)¸si
¡(k)(p)=Z1
0xp¡1(lnx)ke¡xdx;k=0;1;:::
5.Pentruoricep>0arelocegalitatea
¡(p+1)=p¡(p):
Înconsecin¸t¼a,calcululvalorii¡(a+n),pentru0<a·1¸sinnum¼arnatural
oarecare,sereducelacalcululvalorii¡(a)conformformulei
¡(a+n)=(a+n¡1)(a+n¡2)¢¢¢(a+1)a¡(a):
Pentrua=1;rezult¼a
¡(n+1)=n!
183
184 APPENDIXA.FUNC¸TIAGAMMA
6.Pentrup=1
2func¸tiaGammaarevaloare
¡µ1
2¶
=p
¼
7.Reprezentareagra…c¼aafunc¸tieiGammaeste
Func¸tiaGamma
Abscisapunctuluideminimestep0»=1;4616;iarvaloareaminim¼acarese
ob¸tineînacestpuncteste¡(p0)=0;8856:
Pentrudemonstra¸tiileacestorpropriet¼a¸tialefunc¸tieiGammaasevedea,de
exemplu,[1],pag.406-407¸si460-464.
AppendixB
CodulluiHammurabi
Societateaasim¸titnevoiadeareglementaproblema…abilit¼a¸tiiînc¼adincele
maivechitimpuri.Ceamaivechelegisla¸tiecunoscut¼aîndomeniulsiguran¸teicon-
struc¸tiiloreste„CodulluiHammurabi”(1759î.e.n.)încareseg¼asescurm¼atoarele
preciz¼ari:
„Dac¼aunconstructorconstruie¸steocas¼apentruunom¸sidac¼anufaceaceast¼a
construc¸tiesolid¼a¸sicasapecareaconstruit-osesurp¼a¸siprovoac¼amoartea
proprietaruluicasei–constructorulva…omorât.
Dac¼aprovoac¼amoarteacopiluluiproprietarului,va…omorâtuncopilalcon-
structorului.
Dac¼aprovoac¼amoarteaunuisclavalproprietaruluicasei,vatrebuis¼adea
proprietaruluiunsclavdeaceea¸sivaloare.
Dac¼adistrugeproprietatea,vatrebuis¼arestituieceeaceadistrus¸sipentru
c¼anuaf¼acutsolid¼acasapecareaconstruit-o¸siaceastas-asurpat,eltrebuies¼a
reconstruiasc¼acasacares-asurpatpeproprialuicheltuial¼a.
Dac¼aunconstructoracl¼aditocas¼apentrucineva¸siconstruc¸tianuacorespuns
cerin¸telor¸siunzidac¼azut,acelconstructorvatrebuis¼aînt¼areasc¼azidulpe
proprialuicheltuial¼a.”.
185
186 APPENDIXB.CODULLUIHAMMURABI
Bibliogra…e
[1]Budak,B.M.,Fomin,S.V.:MultipleIntergrals,FieldTheoryandSeries,An
AdvancedCourseinHigherMathematics,MirPublishers,Moscow,1973.
[2]C¼atuneanu,V.M.,Mihalache,A.:Bazeleteoreticeale…abilit¼a¸tii,Editura
Academiei,Bucure¸sti,1983.
[3]Ciucu,G.,Craiu,V.,¸Stef¼anescu,A.:Statistic¼amatematic¼a¸sicercet¼ari
opera¸tionale,EdituraDidactic¼a¸siPedagogic¼a,Bucure¸sti,1974.
[4]Dragu,D.,B¼adescu,Gh.,Sturzu,A.,PopescuI.,Toleran¸te¸sim¼asur¼atori
tehnice,Edituradidactic¼a¸sipedagogic¼a,Bucure¸sti,1980.
[5]Dr¼aghicescu,I.C.,Budianu,Gh.:Exerci¸tii¸siproblemedeteoriaprobabi-
lit¼a¸tilor,Casadeeditur¼a¸sipres¼a„¸SANSA”S.R.L.,Bucure¸sti,1995.
[6]Duminic¼a,T.,Iofcea,D.,¸Stef¼anescu,V.:Fiabilitateafondurilor…xe,O…-
ciuldeinformaredocumentar¼apentruaprovizionareatehnico-material¼a¸si
controlulgospod¼aririifondurilor…xe,Bucure¸sti,1988.
[7]Ebeling,C.E.:AnIntroductiontoReliabilityandMaintainabilityEngineer-
ing,TataMcGraw-HillPublishingCompanyLimited,NewDelhi,2000.
[8]Ioan,L.,Probabilit¼a¸ti¸sivariabilealeatoriiîntelecomunica¸tii,Editura
MatrixRom,Bucure¸sti,1998.
[9]Lix¼androiu,D.:Fiabilitateasistemelor.Modele¸sialgoritmi,EdituraDacia,
Cluj-Napoca,2001.
[10]Mihoc,Gh.;Micu,N.:Elementedeteoriaprobabilit¼a¸tilor¸sistatistic¼a,
EdituraDidactic¼a¸siPedagogic¼a,Bucure¸sti,1977.
[11]Mihoc,Gh.,Micu,N.:Teoriaprobabilit¼a¸tilor¸sistatistic¼amatematic¼a,
EdituraDidactic¼a¸siPedagogic¼a,Bucure¸sti,1980.
[12]STAS8174/1-1977,Fiabilitate.Terminologie.
[13]STAS8174/2-1977,Mentenabilitate.Terminologie.
187
188 BIBLIOGRAFIE
[14]STAS8174/3-1977,Disponibilitate.Terminologie.
[15]Târcolea,C.,Filipoiu,A.,Bonta¸s,S.:Tehniciactualedeteoria…abilit¼a¸tii,
Editura¸Stiin¸ti…c¼a¸siEnciclopedic¼a,Bucure¸sti,1989.
[16]Tiron,M.:Prelucrareastatistic¼a¸siinforma¸tional¼aadatelordem¼asurare,
Edituratehnic¼a,Bucure¸sti,1976.
[17]V¼aduva,I.:Fiabilitateaprogramelor,EdituraUniversit¼a¸tiidinBucure¸sti,
2003.
[18]***:MIL-HDBK-338B,(MilitaryHandbook,ElectronicReliabilityDesign
Handbook),DepartmentofDefense,USA,1998.
Index
Campdeevenimente,4
Campdeprobabilitate,6
Densitate
deprobabilitate,15
derepartitie,15
Disponibilitate
asistemelor,180
auneimisiuni,172
coe…cientde,174
instantanee,172
intrinseca,174
mediepeuninterval,172
modelulexponential,175
permanenta,173
punctuala,172
Distributia
binomiala,28
exponentiala,31
normala,33
Poisson,29
Weibull,32
Eveniment
contrar,3
imposibil,2
sigur,2
Evenimente
compatibile,3
dependente,8
incompatibile,3
independente,8
independente(intotalitate),8
independentedouacatedoua,8
Fiabilitateasistemelor,76cumontajinparalel,81
cumontajinserie,77
cumontajserie-paralel,86
kdinn,91
Formula
Bayes,10
probabilitatiitotale,9
Frecventarelativa,5
Functia
dedistributie,14
derepartitie,14
hazarddedefectare,49
riscinstantaneudedefectare,49
Mentenabilitate
functiade,108
Mentenanta
complexa,124
corectiva,123
detippaleativ,125
factoridein‡uenta
accesibilitate,125
demontabilitate,126
interschimbabilitate,127
standardizare,127
tipizare,127
formedeplani…care
informatiinecesare,130
petermenlung,128
petermenmediu,129
petermenscurt,129
ocazionala,113
preventiv-plani…cat,124
preventiva,131
productivatotala,165
sistemica,112
189
190 INDEX
MTBF,45
MTTF,44
MTTFF,44
Probabilitate,6
conditionata,9
Reparatii
capitale,159
curente,158
organizareaactivitatii,163
Reviziitehnice,156
Sistemcompletdeevenimente,4
Uzura,135
abraziva,137
deaderenta,137
deavarie,139
decontact,137
decoroziune,139
deimpact,138
laoboseala,139
Variabilealeatoare
caracteristici
dispersia,24
modul,23
momentuldeordinulk,27
valoareamedie,20,22
detipcontinuu,12
discrete,12
independente,19
simple,12
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Costic¼aBANDRABUR TacheDUMINIC¼A ii Cuprins Cuvântînainte ix Prefa¸t¼a xi Introducere xiii 1ELEMENTEDETEORIAPROBABILIT¼A¸TILOR 1… [614945] (ID: 614945)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.