Aplicații ale numerelor complexe în geometrie Considerațiile și aplicațiile metodice ce fac obiectul acestei lucrări conțin noțiuni referitoare la… [614643]

CONSIDERAȚII METODICE
asupra unității de învățare
Aplicații ale numerelor complexe în geometrie

Considerațiile și aplicațiile metodice ce fac obiectul acestei lucrări conțin noțiuni referitoare la
curriculum -ul de matematică studiat în liceu, aspecte privind predarea noțiunii de număr complex, probleme
alese pentru cercurile de elevi, unele dintre el e fiind rezolvate prin mai multe metode. Competențele generale
și specifice urmărite , strategiile didactice și mijloacele folosite în predarea lecțiilor acestei unități de
învățare se regăsesc în proiectele didactice de la finalul lucrării.

prof. gr. I, Veronica Mihaela Huiban
Liceul Teoretic ”Mihai Eminescu” Bârlad

Argument

În dezvoltarea matematicilor moderne un rol decisiv l -au jucat cercetările matematicienilor din secolul
al XIX – lea și descoperirile lor în legătură cu interpretarea geometrică a numerelor complexe .
Create pentru a repara disfuncționalitățile algebrice ale mulțimii numerelor reale, numerele complexe s –
au dovedit deosebit de utile în algebră, geometrie, analiză matematică, mecanică, electrostatică și
elect rodinam ică, fizică și cartografie.
Avantajul metodei numerelor complexe îl constituie atacarea unor probleme grele pentru care metoda
sintetică s e dovedește a fi greu de văzut. Pe de altă parte , orice problemă descrisă în mulțimea vectorilor din
plan admite și o descriere în mulțimea numerelor complexe.
Considerațiile și aplicațiile metodice ce fac obiectul acestei lucrări conțin noțiuni referitoare la
curriculum -ul de matematică studiat în liceu, aspecte privind predarea noțiunii de număr complex, pro bleme
alese pentru cercurile de elevi, unele dintre ele fiind rezolvate prin mai multe metode.
O dată cu studierea aplicațiilor numerelor complexe în geometrie, elevii pasionați de matematică și nu
numai, pot descoperi în simplitatea aparentă a matematici i școlare subtilități și dificultăți nebănuite iar
metoda rezolvării problemelor de geometrie și trigonometrie cu ajutorul numerelor complexe poate fi cel mai
adesea facilă și uneori chiar spectaculoasă.
Pornind de la aceste aspecte , m-am oprit asupra teme i Aplicații ale numerelor complexe în geometrie .
Experiența didactică acumulată îmi permite să afirm că elevii de liceu pot fi determinați să utilizeze cu succes
metoda numerelor complexe , atât în demonstrarea problemelor de geometrie și trigonometrie , cât și în
demonstrarea unor inegalități algebrice.
Această temă suscită interes nu numai prin faptul că metoda numerelor complexe o dată înțeleasă de
către elev poate facilita rezolvarea unor probleme ci și prin faptul că își găsește aplicabilitatea în tehni că.
Spre exemplu , utilizarea numerelor complexe în circuite electrice de curent alternativ.
Trebuie precizat faptul că mulțimea numerelor complexe se studiază în clasa a X -a la specializările
matematică – informatică și științele naturii, celelalte tipuri de profile și specializări fiind văduvite de
experiența unică a geometriei stud iate prin elemente de algebră.

§ 1. Generalități despre procesul de predare – învățare

Conceptul de predare este înțeles ca fiind activitatea profesorului de organizare și conducere a ofertelor
de învățare care au drept scop facilitarea și stimularea învățării eficiente la elevi. Gândirea în avans a derulării
evenimentelor la clasă reprezintă o primă condiție pent ru ca predarea să se manifeste în condiții optime.
Vorbim așadar despre proiectarea ei. Proiectarea demersului didactic este activitatea desfășu rată de profesor ce
presupune: lectura pers onalizată a programei, planificarea calendaristică, proiectarea secv ențială ( a
unităților de învățare sau a lecțiilor).
Studiul matematicii în ciclul inferior al liceului urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea
capacității elev ilor de a reflecta asupra lumii și oferă individului cunoștințele necesare pentru a acționa asupra
acesteia. Astfel, planurile cadru pentru clasele a IX -a și a X -a de liceu sunt structurate pe trei componente:
trunchi comun (TC), curriculum diferențiat (CD) și curriculum la decizia școlii (CDȘ).
Actualul curriculum de matematică propune o rganizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor
de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competen țelor dobândite prin învățare. Programa
de Matematică este structurată pe un același ansamblu de șase competențe generale, indiferent de specializarea
urmată. Programa de matematică pentru curriculum diferențiat include și programa de trunchi comun,
diferențiindu -se de aceasta atât prin unele competențe spec ifice cât și prin noi conținuturi.
Conținutul Numere complexe se studiază în clasa a X -a doar la nivelul programelor M1 și M2. Conform
programei M1 acest conținut este utilizat drept cadru noțional pentru formarea de competențe în direcția
descrierii unor configurații geometrice. În același timp, elevul va avea posibilitatea de a stabili mai ușor o
legătură între algebră și geometrie. Finalitatea învățării s -a deplasat de la formarea unor algoritmi de calcul spre
analiza unor configurații geometrice utiliz ând numere complexe. În programa M2, prin intermediul numerelor
complexe elevul poate observa asemănări în definirea unor operații pe mulțimi de numere diferite.

Competențe specifice conținutului Numere complexe :
– observarea și descrierea unor configurații geometrice utilizând vectori sau numere complexe ;
– descrierea analitică, sintetică sau vectorială a relațiilor de coliniaritate, paralelism și
perpendicularitate;
– interpretarea deosebirilor și a asemănărilor dintre forma algebrică și cea trigonometrică de
exprimare a unui număr complex;
– utilizarea informațiilor oferite de o configurație geometrică pentru deducerea unor proprietăți
ale acesteia;
– alegerea formei de reprezentare a unor numere complexe pentru optimizarea efectuării unor
calcule;
– modelarea unor configurații cu ajutorul vectorilor sau al numerelor complexe;
– interpretarea perpendicularității în relație cu minimul distanței, simetria axială, paralelismul,
măsura unghiurilor sau calculul vectorial;
– determinarea unor analogii între propri etăți ale fig urilor plane și cele ale figurilor spațiale.

§ 2. Modalități de abordare a geometriei în învățământul liceal

Dificultățile principale ale problemelor de geometrie, constau în caracterul lor nonstandard. Fiecare
problemă de geometrie comportă un studiu specific în care sunt implicate, în afara cunoștințelor teoretice, o
anumită obișnuință de a rezolva probleme, o gândire logică bine conturată, precum și o anumită creativitate.
Problemele de geometrie plană pot fi împărțite în două clase: una formată din acele probleme în care se cere
să se verifice că o figură dată se bucură de anumite proprietăți (acestea sunt probleme de demonstrație );
cealaltă clasă cuprinde toate problemele care au ca obiect construirea unei figuri ce satisface niște condiții
date ( probleme de construcție ).
Principalele modalități de abordare a studiului geometriei în liceu sunt:
A. Abordarea vectorială a problemelor de geometrie plană și în spațiu.
B. Metoda numerelor complexe în geometrie. Rezolvări de probleme.
C. Rezolvarea unor probleme de geometrie prin metode analitice, metode algebrice și de
analiză matematică.
D. Folosirea calculatorului în cadrul lecțiilor de geometrie.
Competențe generale:
1. Alegerea metodei potrivite pentru rezolvarea unei probleme de geometrie.
2. Compararea diferitelor metode de abordare și de rezolvare a problemelor de geometrie.
3. Utilizarea calculatorului în rezolvarea problemelor de geometrie.
4. Stimularea motivației elevilor pentru studiul geometriei prin rezolvarea de problem e de geometrie
cu conținut practic -aplicativ.
Competențe specifice:
– Utilizarea vectorilor în rezolvarea problemelor de geometrie.
– Înțelegerea legăturii între numerele complexe și geometrie și aplicarea acestora în rezolvarea
problemelor.
– Aplicarea adecvată a diferitelor metode de rezolvare a problemelor de geometrie și evidențierea
avantajelor oferite de diverse metode de rezolvare .
– folosirea calculatorului în cadrul lecțiilor de tip AEL și a unor aplicații de tip GEOGEBRA, a
limbajelor de programare în rezolv area de probleme.

§ 3. Probleme pentru cercurile de elevi
Intrate de mulți ani în tradiția școlii românești, cercu rile de matematică pentru elevi se adresează
elevilor buni cu scopul aprofundării cunoștințelor matematice necesare fie la clasă, dar mai al es la concursuri,
uneori mult dincolo de limitele programelor. Aceste cercuri pot fi organizate la nivel de școală sau pe grupe
de școli în așa -numitele centre de excelență și cu un conținut care să depășească aspectele tehnice ale
matematicii, dar care nu sunt excluse. O parte dintre probleme propuse pot fi utile și elevilor ce se pregătesc
pentru examenul de bacalaureat sau admitere în învățământul superior.

Conținutul Aplicații ale numerelor complexe în geometrie pentru cercul de elevi cuprinde temele:
1. Relația lui Stewart și aplicații ale acesteia;
2. Probleme de coliniaritate și probleme de concurență;
3. Inegalități;
4. Teorema lui Lagrange și aplicații ale acesteia;
5. Probleme celebre.
Aprofundând studiul numerelor complexe, elevii vor ajunge la concluzia că sunt accesibile și eficiente.
Vor descoperi avantajul cunoașterii și folosirii lor în rezolvarea problemelor, ce constă în simplificarea
raționamentelor, evitarea construcțiilor auxi liare și rezolvare a mai rapidă.

În cele ce urmeaz ă vom considera reperul cartezian XOY și prin a, b, c vom desemna afixele punctelor
A, B, C,… .
Distanța dintre două puncte | |
Caracterizarea segmentului :
0,1t astfel încât
1z t a tb   ,
Caracterizarea semidreptei : astfel încât
1z t a tb   ,
Caracterizarea dreptei :
 M z AB astfel încât
1z t a tb  
Afixul unui punct care împarte un segment într-un raport dat
Dacă
 M z AB și
MA kMB
, { }atunci
1a kbzk
A, B, C coliniare
.
Măsura unui unghi pozitiv (orientat pozitiv) ( ̂)

Condiția de perpendicularitate :

Conciclicitate : A, B, C, D se găsesc pe același cerc

Triunghiuri asemenea :
1 2 3A A A
1 2 3B B B (având aceeași orientare )
2 1 2 1
3 1 3 1a a b b
a a b b .
Aria unui triunghi ABC este:
| ̅
̅
̅ |sau
̅ ̅ ̅
Ecuația unei drepte : ̅ ̅ ,
Distanța de la punctul
00Pz la dreapta
:0d z z     , este:
0
0,
2zz
d P d  



Rotația de centru A și unghi :

1. Relația lui Stewart și câ teva consecințe ale ei
1. (Relația lui Stewart ) Fie M un punct pe latura
BC a triunghiului ABC. Atunci este adevărată
relația:
2 2 2AM BC AB MC AC MB BC BM CM        .

A
B
C
M
Fig. 1

Soluție. Notănd afixele punctelor cu litere mici corespunzătoare relația de demonstrat este echivalentă
cu:
2 2 2m a c b b a c m c a m b c b m b c m              
2. (Relația medianei ) Dacă D este mijlocul segmentului BC, pentru orice punct A are loc:
 2 2 2 212 2 .4AD AB AC BC  

3. (Teorema lui Euler în patrulatere ) Dacă A, B, C, D sunt puncte arbitrare în plan și E, F sunt
mijoacele segmentelor [AC], [BD] atunci are loc:
2 2 2 2 2 2 24 AB BC CD DA AC BD EF     
.
Soluție.

Notâ nd afixele punctelor cu litere mici corespunzătoare relația de demonstrat este echivalentă cu:
2 2 2 2 2 2 24 b a c b d c a d c a d b f e            
demonstrația rezultând printr -un calcul direct.
4. (Teorema lungimii bisectoarei ) Dacă D, E sunt picioarele bisectoarelor interioară și exterioară
pentru vârful A în triunghiul ABC, atunci
2AD AB AC DB DC   
și
2AE EB EC AB AC    .
5. (I generalizare a teoremei lui Ptolemeu )În orice patrulater ABCD are loc:
2 2 2 2 2 22 cos AC BD AB CD AD BC AB BC CD DA A C           
.
Soluție. Fie a, b, c, d afixele punctelor A, B, C, D și A originea planului complex iar B un punct pe
semiaxa pozitivă Ox.

Folosim identitățile:
 a c b d a b d c a d c b       
și
 a c b d a b d c a d c b       
Obținem
2 2 2 2 2 2AC BD AB DC AD BC z z       , unde
 z a b d c a d c b     .
Este sufiecient să demonstrăm că:
 2 cos z z AB BC CD DA A C       .
Dar,
   cos sin , cos 2 sin 2 a b AB i d c DC B C i B C               
Și
  cos sin , cos sin a d DA A i A c b BC B i B                    .
Atunci,
  2 2 cos 5 2 cos z z REz AB BC CD DA A C AB BC CD DA A C                 .
Observație i)Dacă
 cos 1AC  atunci are loc inegalitatea lui Ptolemeu:
AC BD AB DC AD BC    
,
A
B
C
D
E
Fig. 3
F
A
B
C
D
x
y
Fig. 4

cu egalitate:
AC BD AB DC AD BC     dacă patrulaterul este inscriptibil cunoscută și sub
numele de prima teoremă a lui Ptolemeu .
ii) A doua teoremă a lui Ptolemeu : Dacă patrulaterul este inscriptibil, atunci:
AC AB AD BC CD
BD AD CD AB BC    
.

2. Probleme de coliniaritate și concurență
1. Fie un patrulater convex ABCD,
N AD ,
M BC ,
MB NA
Mc ND și P, Q, R mijloac ele
segmnetelor AB, MN și DC. Să se arate că P, Q, R sunt coliniare.
Soluție. Fie a,b,c,d, p,q,r afixele punctelor A,B,C,D,P,Q,R. (Fig.5 )

Fie
  MB NAkRMc ND , deci
1b kcmk ,
1a kdnk ,
2abp ,
2dcr ,

 2 2 1 2 1        a b k c d m n b kc a kdqkk

Există
, 1,2,3iki cu proprietatea:
1 2 3 0   k p k q k r și
1 2 3 0   k k k ,
11
1kk ,
21k ,
31kkk .
2. (Dreapta lui Euler ) Într -un triunghi ABC, ortocentrul H, centrul de greutate și centrul
cercului circumscris O, sunt coliniare.
Soluție.

Considerăm punctul O centrul originea reperului xOy și notăm cu litere mici coerspunzătoare
afixelor punctelor considerate. Fie O’simetricul punctului O față de BC. Atunci afixul punctului O’ este
'o b c
. Segmentul OH este diagonala paralelogramului de laturi OA și OO’
 că afixul punctului H
B
A
C
D
M
N
P
Q
R
Fig. 5
B
A
C
H
G
O
A’’
Fig. 6
A’
O’
D
S
A1

este
h a b c   . Din A’ mijlocul lui BC

'2bca . Fie D mijlocul lui AH atunci
2bcda , iar
afixul mijlocului S al segmentului DA’ este:
2abcs iar
3abcg .
Ecuația dreptei HS se scrie:
1
10
1zz
hh
ss

0 z a b c z a b c      .
Prin calcul direct reiese că G și O se află pe această dreaptă. Mai mult, obținem că
2 , 2 HO HS GO GS

2 HO GO
.
3. Fie ABC un triunghi. Mijoacele laturilor, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor
determinate de ortocentru și vârfuri sunt nouă puncte conciclice.
Soluție. Utilizăm notațiile din problema precedentă și cele analoage. Notăm cu E și F mijloacele
laturilor BH, respectiv CH. Am văzut că dacă S este mijlocul lui DA’ atunci:
2abcs . Analog,
segmentele EB’ și FC’ au mijlocul în punctul S, acesta fiind totodată și mijlocul lui OH. Deoarece avem:
' ' '2 2 2 2C AB
A S B S C Sz zz Rz z z z z z        
, rezultă că punctele
', ', ', , ,A B C D E F sunt șase
puncte situate pe cercul cu centrul în S și de rază
2R .
4. (Dreapta lui Simson) Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris
triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.

Observație: Dacă perpendiculara din M pe latura BC retaie cercul circumscris triunghiului în punctul
''A
, atunci dreapta
''AA este paralelă cu dreapta lui Simson a punctului M.
5.(Teorema lui Menelaus )Fie un triunghi ABC și o dreaptă care intersecteză laturile AB, BC, CA în
punctele M, N, P. Să se demonctreze că:
1MA NB PC
MB NC PA
.
Demonstrație Fie
1 2 3,,MA NB PCk k k
MB NC PA   . Alegem originea în A și afixele punctelor notate cu
litere mici corespunzătoare. Atunci, avem:
1
11kbmk
2
21b k cnk
31cbpk
B
A
C
M
C’
A’
B’
A’’
Fig. 7

Punctele M, N, P fiind coliniare, avem ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,

 p m n m   sau
1 2 1
3 1 2 1.1 1 1 1k b b k c k b c
k k k k       

Cum A, B, C nu sunt coliniare
 coeficienții lui b și c sunt nuli, adică
2
321011k
kk
;
12
1 1 201 1 1kk
k k k     .
Eliminând pe
 din ultimele două relații rezultă
1 2 3 1 k k k .
6. (Teorema lui Desargues )Fie triunghiurile ABC și A’B’C’. Dreptele AA’, BB’, CC’ se întâlnesc într-
un punct O. Laturile BC și B’C’, CA și C’A’, AB și A’B’ se întâlnesc în trei puncte M, N, P coliniare
(triunghiuri omologice ).

7. Diagonalalele AC și CE a hexagonului regulat ABCDEF sunt împărțite de punctele M și N,
respectiv astfel încât:
AM CNrAC CE . Determinați r știind că punctele B, M și N sunt coliniare. (a 23 – a
OIM)
Soluție. Considerăm planul complex cu ori ginea în centrul hexagonului astfel încât
23451, , , , ,    
sunt afixele vâr furilor B, C, D, E, F, A, unde
cos sin33i .
Cum
1 MC NE r
MA NC r atunci afixele punctelor M și N sunt
51 m r r   și
21 n r r  

Punctele B, M, N sunt coliniare dacă și numai dacă
. Avem,
A
B
C
M
N
P
x
y
Fig. 9
O
A
B
C
M
N
P
A1
B1
C1
Fig.10
B
A
C
D
E
F
O
M
N
Fig.11

 521 1 1 1 1m r r r r           
 1 3 1 3 1 31 2 12 2 2 2i i ir r r       
Și
 3 131 1 1 1 12in r r r r        
1 3 312 2 2rir     .
Deci

* 1 3 2 1 1
1 1 3 3 1ir m
n r i r     

 3 1 1 3 3 2 1 0 r r r    , adică
1
3r .
8. (Teorema lui Ceva )Fie ABC un triunghi ș punctele
M BC ,
N AC ,
P AB . Dacă dreptele AM,
BN, CP sunt concurente, atunci are loc:
1MB NC PA
MC NA PB
.

3. Inegalități
1. Fie în același plan două triunghiuri echilaterale ABC,
' ' 'A B C la fel orientate, atunci cu
laturile
'AA ,
'BB ,
'CC se poate forma un alt triunghi (eventual degenerat).
2. Se consideră un triunghi echilateral ABC și M un punct din plan. Atunci cu segmentele [MA],[
MB], [MC] se poate forma un nou triunghi (eventual degene rat). (D. Pompeiu)
Soluție. Prin calcul direct se verifică egalitatea:
0 m a b c m b c a m c a b        

 m a b c m b c a m c a b       
.
Trecând la modul aici avem:
 m a b c m b c a m c a b m b c a m c a b             
.
Din AB = BC = AC rezultă că
a b b c c a     și atunci inegalitatea de mai sus devine
m a m b m c    
MA MB MC  
. Egalitatea are loc atunci când M aparține cerculu i circumscris
triunghiului ABC. A nalog se arată că au loc
MB MA MC ,
MC MA MB ceea ce arată că [MA],[ MB],
[MC] determină un triunghi .
3.Dacă
ABC este un triunghi și
M punct din planul său, atunci se poate construi un triunghi cu
laturile de lungimi
a MA ,
b MB ,
c MC dacă și numai dacă punctul
M nu aparține cercului
circumscris
ABC
.
Această problemă poartă numele „ teorema lui Obrechkoff ” pe care am demonstrat -o într -un caz
particular (când ste triunghi echilateral) sub numele de „ teorema lui Pompeiu ”.
4. Fie P un punct arbitrar în planul tringhiului ABC. Atunci
PB PC PC PA PA PB        
(*),
unde
,,   sunt lungimilie laturilor BC, AC, AB.
Observații:
i) dacă P este centrul cercului circumscris
ABC atunci (*)

2R     

 2 4222 2 4ABCA RR R Rrs s R s  
      

2Rr
.
ii) dacă P este centrul de greutate al
ABC

9
4m m m m m m     
     cu egalitate dacă triunghiul
este echilateral.
5. Fie
12, ,…,n A A A un poligon înscris în cercul unitate de centru O și având centrul de greutate tot în
O. Să se arate că dacă M este un punct oarecare în plan avem:
1n
i
iA M n
 .

Soluție. Vom nota prin
iz respectiv z coordonatele complexe ale punctelor
iA respectiv M față de O
centrul reperului. Atunci
10n
i
iz
 și
 1, 1,2,…,iz i n iar
iinz z .
Dar
11nn
ii
iiz z nz z n z
    (*) Pentru
1z rezultă concluzia iar pentru
0z relația este
evidentă.Mai rămâne de demonstrat în cazul
01z . Au loc:
10n
i
iz
 și
1 1 1
ii z z z z z     .
Înlocuind pe z cu
1z în relația (*)

1 1 1 1
11nn
ii
iiz z z n z z z n   
     .
4. Fie ABC un triunghi ascuțit unghic și P un punct situat în interiorul triunghiului ABC.
Demonstrați că
PB PC PC PA PA PB         (**) dacă și numai dacă P este ortocentrul
triunghiului ABC. ( 1998 Olimpiada de matematică, China)
5. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC și
1, 2 3, R R R razele cercurilor circumscrise
triunhiurilor GBC, GCA, GAB. Atunci
1 2 3 3 R R R R   , unde R este raza cercului circumscris
ABC .
Soluție. În problema anterioară considerăm înlocuim P cu centrul de greutatea al
ABC . Atunci
GB GC GC GA GA GB        
.
Dar
  111443GBC ABCGB GC R A R A   ,
  221443GAB ABCGA GB R A R A   ,
  331443GAB ABCGA GB R A R A  
.
Atunci i negalitatea de mai sus devine
  1 2 3443ABC ABCA R R R RA  

1 2 3 3 R R R R   .
4. Teorema lui Lag range și aplicații ale acesteia
Considerăm punctele
11 ,…,nn A z A z în planul complex. Fie
1,…,n mm numere reale nenule astfel
încât
1… 0n mm   . Fie
1…n m m m   .
Punctul G de afix
 111…G n nz m z m zm   este numit baricentrul mulțimii
1,…,n AA în raport cu
masele
1,…,n mm . Dacă
1… 1n mm   , atunci G este centrul de greutate al mulțimii
1,…,n AA .
Pentru n = 3 și punctele necoliniare
1 2 3,,A A A , obținem coordonatele baricentrice absolute ale lui G în
raport cu triunghiul
1 2 3A A A :
11
zm
m ,
22
zm
m ,
33
zm
m .
Teorema lui Lagrange Fie punctele
1,…,n AA și numerele reale nenule
1,…,n mm astfel încât
1… 0n m m m   
. Dacă G este baricentrul mulțimii
1,…,n AA în raport cu masele
1,…,n mm , atunci
pentru orice punct M din plan are loc relația:
2 2 2
11nn
j j j j
jjm MA mMG m GA
 . (1)
cu egalitate M = G, baricentrul mulțimii
1,…,n AA în raport cu masele
1,…,n mm .
Corolar (Leibniz) Fie punctele
1,…,n AA și G centrul de greutate al mulțimii
1,…,n AA atunci pentru
orice pu nct M din plan are loc relația:
2 2 2
11nn
jj
jjMA nMG GA
 . (3)
Observație Relația (3) este echivalentă cu următoarea identitate:
1, ,…,n z z z
are loc
22 2
1 2 1 2
11… … 1nn
nn
jj
jjz z z z z zz z n z zn n n          .

Particularizări Vom utiliza formula (3) în determinarea câtorva distanțe în triunghi.
Fie triunghiul A BC și luăm în formula (3) n = 3 iar G, H, I , O notațiile uzuale.
Găsim că pentru orice punct M din planul triunghiului ABC următoarea formulă:
2 2 2 2 2 2 23 MA MB MC MG GA GB GC     
(4),
1)
 2 2 2 2 2 1
9OG R       . (5)
2)
 2 2 2 2 2 299 OH OG R         . (6)
3)
 2 2 2 2 2 2 2 133IA IB IC IG          .
4)
 2 2 215 169IG p r Rr   ) (7).

5. Probleme celebre

1. Pe laturile patrulaterului convex ABCD se construiesc în exteriorul triunghiurile echilaterale
ABM, BCN, CDP, DAQ. Să se arate că patrulaterele ABCD și MNPQ au același centru de greutate.
( Marius Burtea, G.M. –B nr, 6/1984, pag.224)

2. Fie un triunghi ABC și punctele A’, B’, C’ situate pe BC, AC respectiv AB astfel încât să
avem:
' ' '.'''  BA CB ACkA C B A C B Arătați că cele 2 triunghiuri au același centru de greutate. (problema lui
Pappus)
Soluție.

Alegem pe G, centrul de greutate al triunghiului ABC, ca origine; atunci fie a, b, c afixele punctelor A,
B, C. Rezultă deci că:
0  abc .
Fie x, y, z afixele punctelor A’, B’, C’. Din ipoteză rezultă că
1a bkxk
,
1b ckyk ,
1c akzk .
Centrul de greutate G’ al tr iunghiului A’B’C’ va avea afixul
11'33     z x y z a b c și prin
urmare, G’= O adică cele două triunghiuri au același centru de greutate.

3. Fie
1 2 3 4A A A A un patrulater inscriptibil. Se notează prin
1 2 3 4H ,H ,H ,H ortocentrle
triunghiurilor
234A A A ,
3 4 1A A A ,
4 1 2A A A , și respectiv
1 2 3A A A . Să se arate că patrulaterele
1 2 3 4A A A A și
1 2 3 4H H H H
sunt congruente.
A
B
C
A’
B’
C’
Fig. 15
G

4. Pe laturile BC, CA, AB ale triunghiului ABC se consideră punctele
'A ,
'B,
'C astfel încât:
' ' '
'''A B B C C AkA C B A C B
.
Pe laturile
' ', ' ', ' 'B C C A A B ale triunghiului
' ' 'A B C se consideră punctele
''A ,
''B ,
''C astfel încât:
'' ' '' ' '' '
'' ' '' ' '' 'A B B C C AkA C B A C B
.
Să se arate că triungh iurile ABC și
'' '' ''A B C sunt asemenea.
(C.Caragea, profesor –Constanța G.M. nr.2/1981 pag.76)
5. (Teorema lui Morley )
În triunghiul ABC dreptele AY, AZ, BZ, BX, CX, CY împart unghuirile A, B, C în trei părți egale. Să se
arate că triunghiul XYZ este echilateral.

6. (Teorema lui Steiner )
Prin vârful A al triunghiului ABC se duc două drepte simetrice în raport cu bisectoarea unghiului A
(ceviene izogonale) care întâlnewsc latura BC în M și N. Să se arate că:
2
2CM CN AC
BM BN AB
.

Fig.1 6

X
Y
Z
Fig.17

Soluție. Alegem originea planului complex în punctul A. Fie afixele punctelor B, C, M, N notate cu b,
c, m, n ,
22 mA iar
1CMkBM ,
2CNkBN . Observăm că MA se obține din BA printr -o rotație de
unghi
 și o omotetie de raport
1MApBA iar NA se obține din CA dintr -o rotație de unghi
 în sens invers
trigonometric și o omotetie de raport
2NApCA .

Atunci avem:
 1cos sin m p b i  ,
 2cos sin n p c i  ,
 1cos sin m p b i  ,
 2cos sin n p c i 

Rezultă
  cos2 sin 2 mb mb i   ,
  cos2 sin 2 nc nc i  . (1)
Dar
1
11c k bmk ,
2
21c k bnk (2). Înlocuind (2) în (1) obținem:
 11
11cos 2 sin 211c k b c k bb b ikk .
De unde urmează că
 
   1cos 2 sin 2
1 cos 2 sin 2cb cb ik
bb i

 și
   
 21 cos 2 sin 2
cos 2 sin 2cc i
k
cb cb i


 .
De underezultă
12cckk
bb , adică relația de demonstrat.
7. Considerăm triunghiul
1 2 3A A A și punctele
1 2 3,,M M M situate pe dreptele
2 3 1 3 1 2,,A A A A A A . Dacă
1 2 3,,M M M
împart segmentele
 2 3 1 3 1 2,, A A A A A A în rapoartele
1 2 3,,   , atunci

1 2 3
1 2 31 2 3
1 2 31
1 1 1M M M
A A AA
A 
    
.
Soluție. Afixele punctelor
1 2 3,,M M M sunt
2 1 3
1
11aam

,
3 2 1
2
21aam
 ,
1 3 2
3
31aam
 .
  1 2 31 2 2 3 3 11Im2M M MA m m m m m m   
 1 2 31 2 3
1 2 31
1 1 1A A AA 
  
  
.
Observație Din problema precedentă rezultă binecunoscuta teorema lui Menelaus: Punctele
1 2 3,,M M M
sunt coliniare dacă și numai dacă
1 2 3 1  adică:
2 3 3 1 12
1 3 2 1 3 21M A M A MA
M A M A M A  
.
10.Să se rezolve ecuația Fie punctele
1 2 10A ,A ,…,A egal depărtate, situate pe un cerc de rază R.
Demonstați că
1 4 1 2A A A A R.
A
M
B
C
N

Fig. 18

Soluție . Fără să restrângem generalitatea, putem presupune că R = 1 și centrul cercului este O, originea
reperului cartezian. Dacă
kz este afixul punctului
kA ,
 k 1,2,…,10 atunci

kk 1 k 1z cos isin55   
Relația de demonstrat devine,
33cos isin 1 cos isin 1 15 5 5 5        

332 2cos 2 2cos 1 2 sin sin 15 5 10 10           

62
3z 1 z 11iz iz  
6 4 2 3z z z 1 iz   
și
cum
5zi prin înmulțire cu
2z obținem
8 6 4 2 2 10z z z z 1 0 z 1 z 1 0        
, ceea ce este adevărat.

Probleme propuse
1. Să se arate că mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt coliniare.
( dreapta lui Gauss ).
2. Tangentele la cercul circum scris unui triunghi neisoscel în vârfurile lui taie laturile
opuse în puncte situate pe o aceeași dreaptă ( dreapta lui Lemoine )
3. Fie ABCD un patrulater circumscriptibil și fie A’, B’, C’, D’ punctele de tangență ale
cercului înscris cu laturile patrulater ului. Atunci dreptele AC, BD, A’C’ și B’D’ trec printr -un același
punct N. ( punctul lui Newtonl )
4. Fie ABCD un patrulater convex și fie
E AB CD ,
F BC AD . Cercurile
circumscrise triunghiurilor ABF, ADE, CFD și ECB trec printr -un același punct M. ( punctul lui
Miquel )
5. Într-un patrulater inscriptibil perpendicularele duse din mijloacele laturilor pe laturile
opuse sunt concurente. ( punctul de concurență se numește punctului lui Mathot ).
6. Mijloacele laturilor unui patrulater circumscriptibil și centrul cercului înscris sunt
situate pe o aceeași dreaptă numită dreapta. ( dreapta lui Newton )
7. Pe un cerc se consideră punctele A, B, C, M. Cercurile de diametre
MA ,
MB ,
MC
se întâlnesc două câte două în trei puncte coliniare. ( teorema lui Salmon )
8. Dacă A’, B’, C’ sunt punctele de contact ale cercurilor exînscrise cu laturile
triunghiului ABC, atunci dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente. ( punctului lui Nagel )
9. Într-un triunghi ABC dreptele care unesc vîrfurile triunghiului cu punctele de contact
ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente. ( punctul lui Gergonne ).
10. Se consideră tr iunghiul ABC cu toate unghiurile strict mai mici decât 1200 și pe laturile
triunghiului se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ABC 1, ACB 1, BCA 1. Cercurile
circumscrise acestor triunghiuri au un punct comun. ( teorema lui Toricelli )
11. Fie un triunghi oarecare și G centrul său de greutate. Demonstrați că
1 1 1,,AG BG CG
sunt lungimile laturilor unui triunghi.
12. Bisectoarele (AD), (BE), (CF) ale triunghiului ABC sunt concurente în punctul I. Să se
arate că dacă:
1max , ,3ID IE IF
AD BE CF  atunci triunghiul este echilateral.
13. Se dă triunghiul ABC pentru care tgA = 3 și tgB = 2. Să se arate că ortocentrul
triunghiului coincide cu mijlocul înălțimii [AA’].
14. Fie M un punct în planul triunghiului echilateral ABC. Să se ar ate că simetricele
dreptelor MA, MB, MC față de Bc, CA respectiv AB sunt concurente.
15. Fie
 rădăcina nereală de ordinul 3 a unității. Dacă
z
verifică relația
11z și
1 z
atunci și
1z .

§ 4. Proiecte didactice

Dacă proiecta rea anuală și semestrială presupune , în principal, î nsușirea unei te hnici de lucru,
proiectarea lecției este un act de cr eație al profesorului care dă mă sura intuiției, a imaginaț iei pedagogice, a
inventivității și a talentului să u pedagogic. Elaborarea unei lecții constituie un veritabil act de creaț ie
pedagogică , o construcție gândită, proiectată și organizată cu grijă î n toate aspectele ei esențiale și, uneori,
chiar în cele de amănunt. În afara unor calităț i de pers onalitate, profesorul trebuie să dovedească și o
profundă înț elegere a fe nomenelor specifice instruirii și educației, f undamentată pe o temeinică pregă tire
didactico -metodică.
Unitatea de învățare Aplicații ale numerelor complexe în geometrie am structurat -o pentru a fi parcursă
în 4 ore , 2 de predare Distanțe. Afixul punctului care împarte un segment într -un raport dat , respectiv
Unghiuri. Condiții pentru coliniaritate, paralelism, ortogonalitate și conciclicitate , una de fixare a
cunoștințelor și una de evaluare.
Mai jos sunt redate competențele generale și specifice aferen te celor două lecții de predare precum ;i
strategiile didactice utilizate .

Competențe generale :
– Exprimarea și redactarea corectă și coerentă în limbaj formal sau cotidian a rezolvării sau
strategiil or de rezolvare a unei probleme.
– Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de con textul în care au
fost definite.
– Folosirea corectă a term inologiei specifice matematicii.
Competențe specifice :
– Alegerea formei de reprezentare a unui număr real sau complex funcție de contexte în vederea
optimizării calculelor.
– Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea optimizării calculelor.
– Descrierea unor configurații geometrice analitic sau utilizând numere complexe
– Descrierea sintetică sau vectorială a relațiilor de paralelism și perpendicularitate.
– Utilizarea informațiilor oferite de o configurație ge ometrică pentru deducerea unor proprietăți ale
acesteia și calcul de distanțe .
– Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială și cu numere complexe a caracteristicilor matematice ale
unei configurații geometrice.
– Interpretarea perpendicularității în relație cu paralelismul și minimul distanței.
– Modelarea unor configurații geometrice analitic, sintetic sau vectorial și utilizând numere complexe
Strategia didactică: activ -participativă.
 Metode și procedee didactice : conversația euristică, exercițiul, demonstrația,
munca independentă.
 Material didactic utilizat : manuale de matematică, clasa a X a (T.C. și C.D. ),
Editura Fair Partners, autor Constantin Udriște, Editura Carminis, autor Marius Burtea,
Editura Mathpress, autor Mircea Ganga, proiect didactic.
 Tipuri de acti vități: frontal ă și individuală.
 Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a atenției,
verificarea cantitativă și calitativă a temei.

BIBLIOGRAFIE

1. Andreescu, T., Andrica, D. , Complex Numbers from A to … Z, Birkhauser Verlag,
Boston -Berlin -Basel, 2005
2. Borș, C., Borș, D., Numere complexe , Ed. Tehnică, 1962
3. Brânzei, D., Onofraș, E., Anița, S., Isvoranu, G., Bazele raționamentului geometric ,
Ed. Academiei, București, 1983
4. Burtea, M., Burtea, G., Matematică – manual pentru clasa a X – a, Ed. Carminis,
Pitești, 2005
5. Cârjan, F., Didactica Matematicii , Editura Corint, București, 2002
6. Chiței, Gh., A., Metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie , Ed. didactică
și pedagogică, București, 1969
7. Cocea, C., 200 de probleme din geometria triughiului echilateral , Ed. Gh. Asachi,
Iași, 1992
8. Dincă, M., Chiriță, M., Numere complexe în matematica de liceu, Ed. All, București,
1996.
9. Ganga, M., Matematică – manual pentru clasa a X – a, Ed. Mathpress, Ploiești, 200 1
10. Mihăileanu, N., Utilizarea numerelor complexe în geometrie , Ed. Tehnică,
București, 1968.
11. Neagu, Gh., Metode de rezolvare a problemelor de matematică școlară evidențiate
prin exemple , Ed. Plumb, Bacău, 1997
12. Nicula, V., Numere complexe , Ed. Scorpion 7, 1993
13. Pimsner, M., Popa, S., Probleme de geometrie elementară , Ed. didactică și
pedagogică, București, 1979
14. Polya, G., Cum rezolvăm o problemă , Ed. Științifică și enciclopedică, București, 1962
15. Udriște, C., Țevi, I., Necșuleu, I., Catană, V., Gușatu, M., Ber cu, L., Matematică –
manual pentru clasa a X – a, Ed. Fair Partners, București, 2004