Societatea de Științe Matematice din România [614640]

Societatea de Științe Matematice din România
Sesiunea de vară de comunicări metodico -științifice a S.S.M.R.

Funcții periodice
Considerații metodice prin rezolvări de probleme
specifice.

Profesor Buzgău Dorin
Colegiul Național „Vasile Goldiș”, Arad.

În loc de introducere.

Lucrarea conține un buchet de aplicații și probleme cu rol de a exemplifica și
ilustra metodic unele din noțiunile mai frecvent întâlnite, conținând la final și câteva
probleme celebre sau preluate din Gazeta Matematică.

Întâi o scurtă introducere în temă.

1. Mulțimi periodice de numere reale

Pentru început introducem noțiunea de mulțime periodică , componentă
intrisecă a definiției unei funcții periodice.
Definiție: Fie DR. Spunem că D este periodică dacă există T R* astfel încât
pentru orice x D să avem x+T, x -TD
Dacă D este o submulțime oarecare nevidă a lui R, notăm cu
𝒯𝐷={𝑇𝑅|() 𝑥𝐷,𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡ă 𝑥+𝑇,𝑥−𝑇𝐷}
Evident 0 𝒯𝐷, deci 𝒯𝐷 este o mulțime nevidă pentru orice DR.
Se observă că D este o mulțime periodică dacă și numai dacă TD≠{0} și în
acest caz orice element T 𝒯𝐷 se va numi perioadă a lui D. În particular, T=0 𝒯𝐷 se
va numi perioada banală a lui D. Prin urmare, D este periodică dacă și numai dacă
admite cel puțin o perioadă nebanală. Dacă mulțimea D admite o cea mai mică
perioadă strict pozitivă atunci spunem că aceasta este perioada principală a lui D,
pe care o vom nota cu 𝑇𝐷, iar despre D vom spune că admite perioadă principală.
Evident, dacă există o peioadă principală a unei mulțimi, aceasta este unică și este
strict pozitivă.
Propoziție: Dacă D R atunci 𝒯𝑫 este grup aditiv, pe care îl vom numi
grupul perioadelor mulțimii D.
Demonstrație :
1. Fie T 1, T 2𝒯𝐷 Pentru orice x D, avem x+T1,x−T1D⇒ (x+T1)+
T2D și (x−T1)−T2D⇒x+(T1+T2)D și x−(T1+T2)D, deci (T1+
T2)𝒯𝐷, (∀) T1,T2𝒯𝐷.

2. Fie T𝒯𝐷 oarecare. Pentru orice x D avem ca x+T si x -T apartin la D, deci
-T𝒯𝐷.
2. Funcții periodice

În cele ce urmează vom prezenta tehnici unitare de studiu al periodicității și
de determinare a grupului perioadelor pentru sume de functii, produse
trigonometrice, etc.
Definiție -proprietăți generale
Fie 𝒇:𝑫→𝑹,𝑫𝐑, spunem că f este periodică dacă există T R* astfel
încât:
1. () xD=>x+T, x -TD
2. () xD=> f(x+T)= f(x)
Condiția 1) din definiție este echivalentă cu faptul ca D este o mulțime
periodică. În cele ce urmează vom nota cu 𝒯𝑓 mulțimea tuturor perioadelor lui f
(inclusiv perioada banală T=0). La fel ca în cazul mulțimilor periodice, remarcam
că functia f este periodică dacă și numai dacă ea admite cel puțin o perioadă
nebanală, ceea ce este echivalent cu 𝒯𝑓≠{0}. În consecință, functia f nu este
periodic ă decat in situatia cand 𝒯𝑓={0}.
Dacă funcția f admite o cea mai mică peioadă strict pozitivă atunci spunem că
aceasta este perioada principală a lui f si o vom nota cu T f, iar despre functia f vom
spune că admite perioadă principală . Evident, dacă există peri oada principală a unei
funcții, ea este unică și strict pozitivă.
Precizare interesantă: Dacă 𝑓:D→R,DR, atunci 𝒯𝑓este grup, iar din condiția 1)
se deduce ușor ca 𝒯𝑓𝒯𝐷, relație care scoate în evidență o legătură între grupul
perioadelor unei funcții și grupul domeniului său D de definiție.
2.1 Propoziție : Fie 𝒇:𝑫→𝑹,𝑫𝐑,𝐚𝑹∗,𝒃𝑹 și 𝒈:𝑫→𝑹, unde 𝒈(𝒙)=
𝒂𝒇(𝒙)+𝒃. Atunci f este periodică dacă și numai dacă g este periodică și avem
𝒯𝑓=𝒯𝑔
2.2 Propoziție : Fie 𝒉:𝑫𝟏→𝑫𝟐,𝒉(𝒙)=𝒂𝒙+𝒃,𝒂,𝒃𝑹,𝒂≠𝟎,𝒇:𝑫𝟐→𝑹 și
𝒈:𝑫𝟏→𝑹, unde 𝒈(𝒙)=𝒇(𝒂𝒙+𝒃). Atunci f este periodică, dacă și numai dacă
g este periodică și avem

𝒯𝑔=1
𝑎𝒯𝑓

2.3 Propoziție : Fie 𝒇:𝑫𝟏→𝑫𝟐,𝒈:𝑫𝟐→𝑹,𝑫𝟏,𝑫𝟐R.
1. Dacă f este periodică atunci și 𝒈∘𝒇 este periodică și avem
𝒯𝑓𝒯𝒈∘𝒇.
2. Dacă g este bijectivă atunci 𝒯𝒈∘𝒇=𝒯𝒇

2.4 Propoziție : Fie 𝒇,𝒈:𝑫→𝑹,𝑫R. Dacă T este o perioadă a lui f și g atunci T
este perioadă pentru af+bg , a,bR, fg și în general dacă funcțiile 𝒇𝒊:𝑫→𝑹,𝒊=
𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅ admit pe T ca perioadă, T este o perioadă a oricărei funcții f: 𝑫→𝑹,
obținută prin diverse operații cu funcțiile 𝒇𝒊, 𝒊=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅.

Următoarea teoremă are numeroase aplicații în studiul periodicității unor
sume trigonometrice în care apar funcțiile sinus (impară), respectiv cosinus (pară).

2.1 Teoremă Fie 𝒇,𝒈:𝑹→𝑹 două funcții astfel încât f este impară iar g este
pară. Atunci
𝒯𝒇+𝒈=𝒯𝒇𝒯𝒈
Demonstrație :
Incluziunea 𝒯𝒇+𝒈=𝒯𝒇𝒯𝒈 este evidentă.
Fie T𝒯𝒇+𝒈 oarecare. Avem ( f+g)(x+T)=( f+g)(x), ( )xR=>
f(x+T)+ g(x+T)= f(x)+ g(x), ()xR (1). Analog f(x-T)+g(x-T)= f(x)+ g(x) ( –
T𝒯𝒇+𝒈) (2). Înlocuind în (2) pe x cu –x și ținând cont de faptul că f este impară și
g este pară, avem: -f(x+T)+ g(x+T)= f(x)+ g(x), () xR (3).
Din (1) și (3) se obține ușor că f(x+T)= f(x) ( ) xR și g(x+T)=g(x) ( )xR, deci
T𝒯𝒇 și T𝒯𝒈 => T𝒯𝒇𝒯𝒈=>𝒯𝒇+𝒈𝒯𝒇𝒯𝒈 deci 𝒯𝒇+𝒈=𝒯𝒇𝒯𝒈

Observație Dacă f este pară, g este impară și f+g este periodică atunci f și g sunt
periodice si există T R* perioadă pentru f și g.

1. Aplicații și completări metodice

a. Mulțimi periodice
Aplicațiile ce urmează sunt menite să exemplifice noțiunile teoretice enunțate
mai sus , iar acolo unde este necesar voi completa în redactarea rezolvărilor noțiunile
teoretice folosite .

1. Mulțimea D adminte perioada principală T D=2. Decideți care dintre următoarele
numere pot fi perioade ale lui D?
a) T=1; b) T=3; c) T=4; d) T=5
2; e) T=√2
Rezolvare: Avem 𝒯𝐷=𝑇𝐷∙𝑍𝒯𝐷=2Z. Singura dintre soluții care verifică acestă
condiție este T=4.

2. Să se demonstreze că mulțimea 𝐷=(2𝑍+𝑏1)∪(√2𝑍+𝑏2)∪(5𝑍+𝑏3) nu
este periodică, unde 𝑏1,𝑏2,𝑏3𝑅 sunt date.
Rezolvare: evident √2
2𝑄 nu este periodică conform teoremei ( Fie 𝒂𝒊∊𝑹∗ și 𝒃𝒊∊𝑹,𝒊=
𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅ și
𝑫=⋃(𝒂𝒊𝒁+𝒃𝒊)𝒏
𝒊=𝟏
1) D este periodică dacă și numai dacă 𝒂𝒊
𝒂𝒋∊𝑸, oricare ar fi 𝒊,𝒋=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅. 2) Dacă D este periodică atunci
D admite perioadă principală. )

3. Să se arate că nu există 𝑏1,𝑏2,𝑏3𝑅 astfel încât să avem: 𝑍=(2𝑍+𝑏1)∪
(4𝑍+𝑏2)∪(5𝑍+𝑏3)
Rezolvare: Folosim Teorema
( Dacă 𝒂𝒊,𝒃𝒊𝑵∗, astfel încât
∑𝟏
𝒂𝒊<1,𝒏
𝒊=𝟏
𝒊≠𝒌
atunci nu poate avea loc egalitatea
𝒁=⋃(𝒂𝒊𝒁+𝒃𝒊)𝒏
𝒊=𝟏 )
pentru 𝑎1=2, 𝑎2=4, 𝑎3=5 avem 1
𝑎1+1
𝑎2+1
𝑎3=19
20<1, deci egalitatea cerută nu
poate avea loc.

4. Fie 𝐷=(2𝑍+𝑏1)∪(4𝑍+𝑏2)∪(5𝑍+𝑏3). Să se arate că D admite pe rioadă
principală care este un număr natural divizibil cu 5.
Rezolvare: Folosim teorema
(Fie
𝑫=⋃(𝒂𝒊𝒁+𝒃𝒊)𝒏
𝒊=𝟏
𝒂𝒊∊𝑵∗ și 𝒃𝒊∊𝑹 și T perioada sa principală. Dacă există 𝒌∊{𝟏,𝟐,…,𝒏} astfel încât (𝒂𝒌,𝒂𝒊)=𝟏 oricare
ar fi 𝒊≠𝒌 și
∑𝟏
𝒂𝒊<1,𝐚𝐭𝐮𝐧𝐜𝐢 𝑻∊𝒁 ș𝐢 𝒂𝒌|𝑻𝒏
𝒊=𝟏
𝒊≠𝒌),
unde k=3, 𝑎1=2, 𝑎2=4, 𝑎3=5. Evident (𝑎1,𝑎3)=(2,5)=1, (𝑎2,𝑎3)=
(4,5)=1 TZ și 𝑎3|𝑇 5|𝑇

5. Fie 𝐷=(2𝑍+𝑏1)∪(3𝑍+𝑏2)∪(5𝑍+𝑏3)∪(7𝑍+𝑏4). Să se demonstreze că
D este periodică cu perioadă principală T D=210.
Rezolvare: Folosim teorema
(Fie
𝑫=⋃(𝒂𝒊𝒁+𝒃𝒊)𝒏
𝒊=𝟏
𝒂𝒊∊𝑵∗ și 𝒃𝒊∊𝑹 și T perioada sa principală. Dacă
(𝒂𝒊,𝒂𝒋 )=𝟏,𝒊,𝒋=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅,𝒊≠𝒋,𝐚𝐭𝐮𝐧𝐜𝐢 𝐓=𝒂𝟏𝒂𝟐…𝒂𝒏.)
Astfel (2,3,5,7)=1. Conform teoremei avem T D=2∙3∙5∙7=210.

b. Funcții periodice

6. Să se studieze periodicitatea funcției: 𝑓:𝑅→𝑅 reale:
a) 𝑓(𝑥)=cos(𝑥+𝜋
7)+cos(2𝑥+𝜋
6)+cos(3𝑥+𝜋
5)+cos(4𝑥+𝜋
4)+cos(5𝑥+
𝜋
3).
Rezolvare: Conform teoremei
(Dacă 𝒃𝒊𝑹∗ (∀) 𝒊,𝒋=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅ și sunt distincte două câte două atunci pentru orice 𝒊{𝟏,𝟐,𝟑}, avem:
1. 𝑭𝒊 este periodică dacă și numai dacă 𝒃𝒊
𝒃𝒋∊𝑸, (∀) 𝒊,𝒋=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅.
2. În cazul în cazul în care 𝑭𝒊 este periodică 𝑻𝑭𝒊 =𝑻𝒇𝒊 ,𝒊=𝟏,𝟑̅̅̅̅̅̅, unde 𝒇𝒊 este scrierea sub formă redusă
a lui 𝑭𝒊, 𝒊=𝟏,𝟑̅̅̅̅̅̅.
Mai exact, în condițiile de mai sus
𝑻𝑭𝒊 =𝒄.𝒎.𝒎.𝒎.𝒄.(𝟐𝝅
𝒃𝟏,𝟐𝝅
𝒃𝟐,…,𝟐𝝅
𝒃𝒏);

adică 𝑻𝑭𝒊 este cel mai mic multiplu comun al perioadelor principale ale termenilor săi.)
coeficienții lui x sunt numere naturale, deci rapoartele lor sunt raționale, prin urmare
funcția este periodică și avem: 𝑇𝑓=2𝜋
(1,2,3,4,5)=2𝜋.

7. Să se studieze periodicitatea funcției: 𝑓:𝐷→𝑅,𝑓(𝑥)=𝑥+𝑡𝑔𝑥+𝑡𝑔√2𝑥
Rezolvare: Cum 𝑏1
𝑏2=1
√2𝑄, rezul tă că D (domeniul maxim de definiție) nu este o
mulțime periodică, rezultă f nu este o funcție periodică.

8. Să se studieze periodicitatea funcției: 𝑓:𝐷→𝑅,𝑓(𝑥)=𝑥+𝑡𝑔𝑥,𝐷=𝑅−
{𝜋
2+𝑘𝜋|𝑘𝑍}.
Rezolvare: D este o mulțime periodică și 𝑇𝐷=𝜋𝑍. Fie un T𝑇𝐷 oarecare.
𝑓(𝑥+𝑘𝜋)=𝑥+𝑘𝜋+𝑡𝑔(𝑥+𝑘𝜋)=𝑥+𝑡𝑔𝑥+𝑘𝜋=𝑓(𝑥)+𝑘𝜋≠𝑓(𝑥), oricare
ar fi k număr întreg nenul, rezultă f nu este periodică.

9. Să se studieze periodicitatea funcției: 𝑓:𝐷→𝑅,𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑡𝑔𝑥,𝐷=𝑅−
{𝜋
2+𝑘𝜋|𝑘𝑍}.
Rezolvare: D este o mulțime periodică și 𝑇𝐷=𝜋𝑍. Analog obținem că 𝑓(𝑥+𝑘𝜋)=
𝑓(𝑥), oricare ar fi x D. Mai mult, pentru k=1 obținem T=π, perioadă a lui f. Așadar
f este periodică cu perioadă principală T=π.

10. Să se determine perioada principală a funcției 𝑓:𝐷→𝑅,𝑓(𝑥)=𝑡𝑔(𝑥
2+𝜋
3)+
2𝑡𝑔(𝑥
3+𝜋
4)+3𝑡𝑔(𝑥
4+𝜋
5).
Rezolvare: folosim teorema
(Fie 𝒇:𝑫→𝑹 funcția considerată anterior. Dacă 𝝅
𝒃𝒊=𝜶𝜷𝒊,(∀) 𝒊=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅, unde 𝜶∊𝑹∗,𝜷𝒊∊𝑵∗ astfel încât
(𝜷𝒊,𝜷𝒋)=𝟏 (∀)𝒊,𝒋=𝟏,𝒏̅̅̅̅̅̅,𝒊≠𝒋 atunci f este periodică și
𝑻𝒇=|∝|𝜷𝟏𝜷𝟐… 𝜷𝒏.)
Astfel avem 𝑏1=1
2, 𝑏2=1
3, 𝑏3=1
4 și α=π, 𝛽1=2, 𝛽2=3, 𝛽3=4. (𝛽1,𝛽2)=
(𝛽2,𝛽3)=1 și 1
𝛽2+1
𝛽3=1
2+1
4<1, conform teoremei rezultă că există P 𝑁∗ astfel
încât 𝑇𝑓=𝑃∙|𝛼|∙𝛽2 rezultă 𝑇𝑓=3𝜋𝑃. Înlocuind efectiv în expresia lui f se
constată că 3π, 6π și 9π nu sunt perioade ale lui f. Verifică pentru 12π deci 𝑇𝑓=12π.

11. O posibilă eroare! Aplicația următoare dorește să atragă atenția asupra unei
posibile erori întîlnite în rezolvarea unor exerciții.

Fie funcțiile 𝑓,𝑔:𝑅→𝑅, 𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥, 𝑔(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥 . Să se
determine perioada principală funcției ℎ:𝑅→𝑅, ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥).
Răspuns greșit : Observând că f și g sunt funcții peridice de perioadă T f și T g, pentru
care raportul perioadelor este un număr rațional, atunci f+g este periodică și are
perioada principală c.m.m.m.c. (T f, T g)=2π.
Răspuns corect : Se deduce imediat că T f=2𝜋
(1,2)=2𝜋 și T g=2π. Avem (𝑓+𝑔)(𝑥)=
𝑠𝑖𝑛2𝑥, cu perioada principală T f+g=π pentr u orice x R, în plus 𝑇𝑓
𝑇𝑔=1𝑄, iar
c.m.m.m.c. (T f, T g)=2π≠ π.
12…Să se studieze periodicitatea funcțiilor 𝑓,𝑔:𝑅→𝑅, unde 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥 și
𝑔(𝑥)=𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥 .
Rezolvare : Din x+sinx=0 rezultă |𝑥|=|𝑠𝑖𝑛𝑥|≤1 |𝑥|≤1
𝑓−1(𝑥)[−1,1]𝑓−1({0})[−1,1] 𝑓−1({0}) este o mulțime nevidă și mărginită,
deci nu este periodică, de unde rezultă că f nu este periodică. În mod similar, se
obține că nici funcția g(x) nu este periodică.

13. Exemplu de funcție periodică fără perioadă principală: 𝑓:𝑅→𝑅 𝑓(𝑥)=
{1,𝑥𝑄
0,𝑥𝑅−𝑄
Funcția definită mai sus este periodică. Mai mult, mulțimea T f a perioadelor
sale este Q, deci funcția f nu are perioadă principală.

Rezolvare : Pentru T Q avem: 1) x+T Q  𝑓(𝑥+𝑇)=1=𝑓(𝑥)
2) xR-Q  𝑓(𝑥+𝑇)=0=𝑓(𝑥)
 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), pentru orice x R.
Pentru T R-Q. Dacă x=2 -T atunci x R-Q, deci f(x)=0. Pe de altă parte
x+T=2, deci f(x+T)=1.

14. Despre o funcție 𝑓:[0,∞)→𝑅 vom spune că este periodică dacă există 𝑇>0
astfel încât 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥) pentru orice x≥0.

Arătați că funcția lu i Riemann
𝑅(𝑥)={1
𝑞,𝑑𝑎𝑐ă 𝑥=𝑝
𝑞,𝑝,𝑞𝑁∗,(𝑝,𝑞)=1
0, î𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑡
nu este periodică.
Rezolvare : Presupunem că TR-Q este o perioadă strict pozitivă a funcției R. Fie p
un umăr natural strict mai mare decât T. Atunci
𝑙=𝑅(𝑝)=𝑅((𝑝−𝑇)+𝑇)=𝑅(𝑝−𝑇)=0,
care este o contradicție.
Fie 𝑇=𝑝
𝑞 cu (𝑝,𝑞)=1, un număr rațional care nu este natural, despre care
presupunem că este perioadă a funcției R. Atunci 1=𝑅(1)=𝑅(1+𝑝
𝑞)=
𝑅(𝑝+𝑞
𝑞)=1
𝑞, adi că q=1, care este o contradicție. Aici am folosit faptul că p+q și q
sunt prime între ele. Fie T=kN*. Avem 0= R(0)=R(k+0)=R(k)=1. Contradicția la
care am ajuns arată că funcția R nu este periodică.

15. Dacă funcția periodică 𝑓:𝑅→𝑅 este continuă și neconstantă, rezultă că funcția
𝑔:𝑅→𝑅,𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥2) nu este periodică.
Rezolvare : Fie 𝑇>0 o perioadă a funcției f. Presupunem prin absurd că g este
periodică. Cum g este continuă, rezultă g este uniform continuă.
Fie 𝑎,𝑏[0,T]. Avem:
lim
𝑛→∞(√𝑎+𝑛𝑇−√𝑏+𝑛𝑇)=0𝑔 𝑢𝑛𝑖𝑓. 𝑐𝑜𝑛𝑡.⇒
𝑔 𝑢𝑛𝑖𝑓. 𝑐𝑜𝑛𝑡.⇒ lim
𝑛→∞(𝑔(√𝑎+𝑛𝑇)−𝑔(√𝑏+𝑛𝑇))=0

Obținem:
0=lim
𝑛→∞(𝑓(𝑎+𝑛𝑇)−𝑓(𝑏+𝑛𝑇))=𝑓(𝑎)−𝑓(𝑏),
adică 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏), ceea ce implică f este constant, fals.

16. Fie funcția 𝑓:𝑅→𝑅 periodică, continuă și neconstantă. Atunci, funcția 𝑔:𝑅→
𝑅,𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥2) nu este periodică.

Rezolvare : Presupunem prin absurd că g este periodică. Deoarece g este continuă
rezultă că g este uniform continuă. Fie 𝑇>0 o perioadă a lui f. Cum f este periodică
și continuă, rezultă că funcția f este uniform continuă.
Fie a,bR. Rezultă
lim
𝑛→∞(√𝑎+𝑛𝑇−√𝑏+𝑛𝑇)=0 
lim
𝑛→∞(𝑓(√𝑎+𝑛𝑇)−𝑓(√𝑏+𝑛𝑇))=0 și
lim
𝑛→∞(𝑔(√𝑎+𝑛𝑇)−𝑔(√𝑏+𝑛𝑇))=0
Folosind relația din enunț: 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥2) obținem:
lim
𝑛→∞(𝑓(𝑎+𝑛𝑇)−𝑓(𝑏+𝑛𝑇))=0,
adică 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏), ceea ce implică f este constant, contradicție.

17. Dacă funcția 𝑓:𝑅→𝑅 este mărginită și există 𝑇>0 astfel încât 𝑓(𝑥+𝑇)−
𝑓(𝑥)=𝑐, pentru orice x număr real, atunci f este periodică de perioadă 𝑇 (c=0).
Rezolvare : Conform
(Dacă funcția 𝒇:𝑹→𝑹 are proprietatea că există 𝑻≠𝟎 astfel încât 𝒇(𝒙+𝑻)−𝒇(𝒙)=𝒄, pentru orice
xR, aunci există o funcție 𝒈:𝑹→𝑹 periodică, cu perioada T, astfel încât 𝒇(𝒙)=𝒈(𝒙)+𝒂𝒙, pentru
orice xR, unde 𝒂=𝒄
𝑻.)
avem 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)+𝑎𝑥 pentru orice x număr real, unde g este periodică de perioadă
T. Obținem
𝑓(𝑛𝑇)=𝑔(𝑛𝑇)+𝑎𝑛𝑇=𝑔(0)+𝑎𝑛𝑇.
Cum f este mărginită avem că șirul {𝑔(0)+𝑛𝑎𝑇}𝑛≥1 este mărginit, deci aT=0 , adică
a=0, f=g. Rezultă că f este periodică de perioadă T.

18. Dacă 𝑓,𝑔:𝑅→𝑅 sunt funcții periodice cu perioadele 𝑇1>0, respectiv 𝑇2>0,
și 𝑇1
𝑇2Q, atunci f+g este periodică.
Rezolvare: 𝑇1
𝑇2=𝑚
𝑛,𝑚,𝑛𝑁∗ rezultă 𝑚𝑇2=𝑛𝑇1=𝑇. Adică T este o perioadă
comună a funcțiilor f și g, de unde rezultă .
(𝑓+𝑔)(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+𝑇)+𝑔(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)
Pentru orice x real, deci f+g este periodică.

19. Fie funcția 𝑓:𝑅→𝑅 care verifică relația 𝑓(𝑥)=1
1−𝑓(𝑥−2) pentru orice xR.
Să se arate că funcția este periodică.
Rezolvare : Atribuim lui x valori. Astfel, pentru valoare a x+2 se va obține:
𝑓(𝑥+2)=1
1−𝑓(𝑥)
Reptând procedeul avem:
𝑓(𝑥+4)=1
1−𝑓(𝑥+2)=1
1−1
1−𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)−1
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥+6)=𝑓(𝑥+2)−1
𝑓(𝑥+2)=⋯=𝑓(𝑥)
Funcția are perioada T=6.
20. Să se arate că dacă 𝑓:𝑅→𝑅 este o funcție derivabilă și periodică, atunci
derivata f’ este periodică, invers, nu.
Rezolvare : Conform ipotezei, există 𝑇>0 astfel încât 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇), deci
𝑓′(𝑥+𝑇)=𝑓′(𝑥) pentru orice xR. Reciproca nu este adevărată, iată un
contraexemplu: 𝑓(𝑥)=2𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥 nu este periodică, dar 𝑓′(𝑥)=2+𝑐𝑜𝑠𝑥 este
periodică.

Bibliografie

1. „Funcții periodice” Marin Toloși, Alexandru Nechita, Editura
„Paralela45” 2001
2. Colecția „Gazeta Matematică”
3. Revista Matematică din Timișoara
4. „Capitole speciale de matematică pentru performanță în liceu” -Mihail
Megan, Silviu Birăuaș, Sorin Noachi, Mihail Neamțu -Editura
Mirton+Timișoara 2007
5. „Explorare, investigare și descoperire în matematică” -V.Berinde, ed.
Efemeride, Baia Mare, 2001
6. „1000 de probleme și exerciții fundamentale” -Ana Niță, Tatiana
Stănășilă, Editura All 1997.
7. „Probleme selectate din reviste celebre” -T.Tămâian, Ed. Cub Press, Baia
Mare, 2002
8. „Culegere de probleme de matematică” -Alfred Ekstein, Viorel Tudoran,
Editura Gutenberg, arad, 2005
9. „Probleme de trigonometrie” F.Turtoiu, Editura tehnică, Bucureși, 1986