În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și… [614621]

Licență

În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și… [614621]

Byadmin ianuarie 1, 2024

MODELE ECONOMICE DISCRETE

În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele
descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și Lim.
Rezultatele acestor modele au fost utilizate pentru a analiza și a elabora pol itici
macroeconomice. Sunt de remarcat două direcții teoretice importante în abordarea politicilor
macroeconomice. Prima direcție s -a desprins în perioada 1964 -1970 și a format teoria statică a
politicilor macroeconomice. În cadrul acestei teorii s -au stud iat interacțiunile dintre instrumente
și scopuri care se presupuneau a fi constante în timp. Cea de -a doua direcție s -a dezvoltat după
1970 și apare ca teoria dinamică a politicilor macroeconomice. Aici, interacțiunea dintre
obiectivele politice și modelul politic este abordată ca fiind variabilă în timp.
Trecerea de la modelel e statice la cele dinamice, a constituit un progres evident al teo riei
politicilor macroeconomice. S -a ridicat, însă, o serie de probleme în ce ea ce priveș te cadrul de
reprezentare a modelelor și obiectivelor dinamice. Varietatea de modele combinată cu tipurile
principale de obiective ridică problema alegerii celei mai bune combinaț ii de model ș i obiectiv
cu ajutorul cãreia se poate reprezenta sistemul economic real.
O altă problemă , dificil de rezolvat, este cea legată de introducerea, în problemele politice
dinamice, a unor funcț ii de performanță, transformarea lor în probleme de optimizare. Mult timp
problemele politice optimale au constituit punctul central în dezvoltarea teoriei p oliticilor
macroeconomice.
Teoria economică se concentrează, de obicei, pe relațiile de echilibru.
În cele ce urmează ne propunem să facem o introducere în utilizarea ecuațiilor
diferențiale în analiza economică.
Ecuația diferențială este o relație matemat ică dintre valoare unei variabile y în timpul t,
pe care o notăm y t și valoarea sa într -una sau mai multe perioade anterioare și pe care le notăm
yt-i, unde valoarea lui i reprezintă cât de departe mergem în urmă.
Dacă i=1 vom avea y t-1 și relația y t=f(y t-1) este cunoscută ca fiind ecuația diferențială de
ordinul întâi. (FODE).
Dacă lucrăm cu y t=f(y t-1, yt-2) vom avea o ecuație diferențială de ordinul al doilea
(SODE).

MODELE ECONOMIC E DINAMICE DISCRETE ÎN TIMP

În mod inerent, comportamentul economic este dinamic la nivel micro și macro –
economic. Lucrurile se schimbă în timp. Astfel, există o schimbare continuă a economiei și, de
aceea, o mare parte din analiza economică se ba zează pe timp discret cum ar fi: o lună, un
trimestru, un an, reflectând astfel , caracterul periodic de colectare a datelor și de luare a
deciziilor.
Având în vedere că economia este supusă unei serii continue de șocuri aleatoare poate să
dureze mult timp pentru ca aceasta să revină la poziția de echilibru. Este posibil ca fiecare
variabilă economică, fie că este vorba de o variabilă micro precum prețul sau o variabilă macro
precum PIB -ul, aceasta să prezinte o trecere mai rapidă prin punctele de echilibru.
Cu toate acestea, teoria economică se concentrază asupra relațiilor de echili bru. În
general, relațiile de echilibru sunt determinate de rezolvarea problemei de optimizare a
comportamentului economic.
Scopul lucrării de față este de a oferi o introducere în utilizarea modelelor bazate pe
ecuații diferențiale în analiza economică.
În general, se pornește de la ecuații diferențiale de ordinul întâi și se construiesc sisteme
de ecuații diferențiale care acoperă în timp modelele de ecuații diferențiale neliniare, procesele
haotice și modelele de optimizare în timp discret.

CAP. I. MODELE FODE

I.1.Noțiuni teoretice pentru FODE ( First -order difference equations – Ecuații
diferențiale de ordinul întâi )
Cel mai simplu tip de ecuație diferențială este o ecuație liniară, de ordinul întâi, a cărei
formă generală este:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.1)
Într-o astfel de ecuație, indicele este timpul "t" și nu trebuie văzut ca fiind timpul
calendaristic, ci mai degrabă ca fiind timpul scurs adică, timpul care a trecut de la procesul
dinamic pe care îl studiem. Așa cum este scris, atunci c ând te rmenul g este diferit de zero,
ecuația (I .1.1) se numește ecuație neomogenă, iar când g este egal cu zero, ecuația (I .1.1) se
numește ecuație omogenă. Mai mult decât atât , deoarece α este o constantă, e cuația ( I.1.1) este,
de asemenea, un exemplu de ecuație diferențială de ordinul întâi (FODE). Cele mai multe
aplicații econ omice ale FODE implică modele cu coeficienți constanți, deși aceasta nu este o
cerință.
Conform acestei ecuații, valoarea pe care variabila Y o ia în perioada t este egală cu o
constantă g plus un termen care depinde de valoarea p e care Y a luat -o în perioada t -1. În
aplicațiile economice, termenul g reprezintă toate acele variabile care afectează valoarea curentă
a lui Y, altele decât valoarea proprie a lui Y.
Un alt mod de a privi ecuația (I.1.1) este să o rescriem schimbând variabila, adică t=Y t-
Yt-1. Aceasta implică ceea ce este cunoscut ca o repara metrizare liniară a ecuației (I.1 .1), care se
reduce la redirecționarea termenilor din ecuația (I.1 .1), fără a schimba semnificația e i. În cazul
ecuației (I.1 .1), pur și simplu scădem Y t-1 din ambii membrii ai ecuației (I.1 .1) și, pentru o
interpretare mai ușoară , rearanjăm termenii și obținem :
∆𝑌𝑡= 𝛼−1 𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.2 )
Ecuația (I.1.2) (care conține exact aceleași informații c a și ecuația (I.1 .1), dar este
prezentată diferit) ne indică faptul că suma cu care valo area Y variază de la perioada t -1 la
perioada t depinde de val oarea sa în perioada t -1, și d e valoarea lui g.
Pentru ca structura ecuați ei diferențiale să fie utilă în aplicațiile teoretice și econometrice,
trebuie să mergem mai departe și să observăm cum sunt legate valorile actuale și cele trecute ale
lui Y. Trebuie să extragem informații exacte despre natura acestei relații. Această informație este

denumită structură dinamică sau, câteodată, dinamica relației. Pentru a obține o idee despre cum
putem face acest lucru, considerăm o versiune mai simplă și mai omogenă a ecuației (I.1 .1):
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1 (I.1.3 )
Mai sus am spus că relația dintre Y t și Y t-1 trebuie să fi e o relație de cauzalitate reală, ceea
ce înseamnă că trebuie să existe o legătură continuă în timp între valorile actuale și cele trecute
ale lui Y. Având în vedere acest lucru, putem scrie, de asemenea, Y t-1 = αY t-2 și Y t-2 = αY t-3 și așa
mai departe . Deoarece fiecare dintre aceste expresii trebuie obținută, d in definiție, apoi succesiv,
prin substituție inversă obținem:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1=𝛼2𝑌𝑡−2=⋯=𝛼𝑡𝑌𝑡−𝑡=𝛼𝑡𝑌0 (I.1.4 )
unde Y t-t este evident Y 0, și despre care putem spune că e ste valoarea inițială a lui Y și pe
care o presupunem ca fiind constantă.
Deoarece ecuația (I.1.4) este obținută din secvența de ecuații care începe cu ecuaț ia
(I.1.3), ea nu conține nici o informație nouă, ci doar prezintă informațiile anterioare într -o formă
ușor diferită. Motivul pentru care această formă este utilă se datorează modului în care elementul
de timp, t, apare în ecuația (I.1 .4). În loc de o ecuație în Yt și Yt-1, avem o ecuație care ne arată
cum valoarea lui Yt depinde de valoarea lui t în s ine. O expresie ca aceasta, care ne dă valoarea
lui Y t în funcție de t, nu de Yt-1, este în general menționată ca fiind o funcție soluție pentru
FODE. Funcția soluție face lumină asupra rolului pe care îl are termenul α în evoluția lui Y t.
Dacă 0 <α <1: pr esupunem că α este o fracție constantă, pozitivă. Apoi, pe măsură ce
timpul trece și indicele de timp, t, devine o constantă mai mare, iar termenul αt devine constantă
mai mică, ajungând la zero când se apropie de infinit. Oricare ar fi valoarea inițială Y 0, atâta timp
cât Y 0 nu este egal cu zero, după ce a trecut suficient timp și t a devenit suficient de mare, ecuația
(I.1.4) ne spune că Y t converge la zero.
Dacă α> 1: presupunem că α este un număr constant, pozitiv mai mare decât 1. În acest
caz, odată c u trecerea timpului și t devine tot mai mare, și el devine tot mai mare și din ecuația
(I.1.4), indiferent cât de mică este valoarea noastră inițială Y 0 este, atâta timp cât nu este de fapt
egală cu zero, când t merge la infinit, în cele din urmă Y t merge la infinit.
Putem menționa un rezultat general: a tunci când comportamentul în timp al unei variabile
Y poate fi caracterizat printr -o ecuație diferențială omoge nă de ordinul întâi, cum ar fi e cuația
(I.1.3), putem, prin substituție, să găsim o expresie precum (I.1.4), în care este afișată valoarea
lui Y ca funcție a indicelui de timp, t.

Funcțiile soluție
Ecuațiile omogene
Pentru majoritatea exemplelor cu care ne confruntăm, o ecuație precum (I.1 .3) are ca
soluție o funcție cu forma generală:
𝑌𝑡=𝐴𝜆𝑡 (I.1.5.)
unde λ este rădăcina ecuației diferențiale și A este o constantă a cărei valoare urmează a
fi determinată din condițiile date în problemă. Din moment ce indicele de timp este arbitrar,
această expresie generală se va aplica în fiecare perioadă , astfel încât, de exemplu, 𝑌𝑡−1=𝐴𝜆𝑡−1.
Aceasta înseamnă că putem folosi funcția soluție (I.1.5) pentru a rescrie ecuația (I.1.3) astfel:
𝐴𝜆𝑡−𝛼𝐴𝜆𝑡−1=𝐴𝜆𝑡−1 𝜆−𝛼 =0 (I.1.6.)
care ne dă:
𝜆−𝛼 =0 (I.1.7.)
cunoscută ca fiind ecu ația caracteristică a FODE originală (I.1.3). Din ecuația (I.1.7)
vedem că λ = α și înlocuind lui în ecuația (I.1.5) obținem soluția FODE ca fiind:
𝑌𝑡=𝐴𝛼𝑡 (I.1.8.)
Pentru a verifica faptul că soluția (I.1 .8) este într-adevăr o soluție, reținem că, deoarece
forma ecuației care determină valoarea lui Y în fiecare perioadă de timp se presupune a fi
neschimbată în timp , putem scrie Y t-1 = Aαt-1 dând Y t = αY t-1, care este chiar FODE omogen de
la care am pornit, în ecuația (I.1 .3).
Apoi, este nevoie să rezolvăm pentru constanta nedeterminată A. În realitate, nu avem
suficiente informații în această problemă pentru a putea face acest lucru: trebuie să aducem ș i
alte informații. Informația suplimentară utilizată cel mai frecvent este ceea ce se numește
condiție inițială și , care , este pur și simp lu o afirmație că la momentul t =0, Y t preia valoarea
specifică, denumită Y0. Condiția iniția lă nu trebuie să se refere la t =0. Tot ceea ce avem nevoie
este, de fapt , să cunoaștem valoarea lui Y la o valoare specifi că a lui t, dar t =0 este valoarea cea
mai frecvent utilizată.
Presupunem deci că știm că la momentul t=0, Y preia valoarea specifică Y 0.
Deoarece ecuația (I.1.8) determină valoarea lui Y t pentru fiecare valoare a lui t, din cuația (I.1.8)
avem că Y 0=A, de oarece α0=1. Atunci când știm valoarea numerică specifică reprezentată de Y 0,
putem folosi aceasta pentru a determina Y t pentru t0. Punând Y 0 în ecuația (I.1.8) în locul lui A
obținem expresia completă pentru soluția ecuației diferențiale (I.1.3):

𝑌𝑡=𝑌0𝛼𝑡 (I.1.9)
care este, în mod fericit, exact aceeași cu soluția stabilită în ecuația (I.1.4), st abilită prin
substituție inversă .
În stabilirea faptului că o ecuație diferențială de forma Y t = αY t-1 are o soluție de forma
Yt = Aλt unde λ se dove dește a fi egală cu α și A egal cu Y 0, se pare că am reinventat roata,
deoarece am stabilit deja soluția Y t=Y 0αt ca o funcție ce ne dă valoarea lui Y în orice moment t.
Deși soluțiile unor ecuații mai complicate vor fi extensii ale formei de bază Y t=Aλt și stabilirea
faptului că pornind de la această formă dăm naștere la soluția pe care am găsit -o deja din
substituția directă ar trebui să ne dea încredere cu privire la aplicabilitatea acestei abordări în
cazuri mai complicate.
Ecuații neomeogene
În continua re vom coonsidera ecuația neomogenă:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.10)
unde g este inițial tratată ca o constantă, iar ulterior este generalizată la cazurile în care
acesta nu este constant. Rezolvarea acestei ecuații se face în două etape.
Primul lucru pe c are îl facem este să rezolvăm ceea ce se numește soluția specială pentru
ecuația (I.1.10). Apoi, vom găsi soluția părții omogene a ecuației (I.1.10), și apoi vom uni pur și
simplu cele două părți pentru a obține soluția generală a ecuației (I.1.10). În apl icațiile
economice, soluția specială este pur și simplu ceea ce noi numim echilibrul sistemului (ecuației)
(I.1.10).
În analiza dinamică, un echilibru al unei ecuații diferențiale este definit ca având
proprietatea că, dacă sistemul este de fapt în acel pu nct, nu există nicio tendință ca acesta să se
îndepărteze de el, indiferent de valoarea lui t. Dacă Y t este la valoarea sa de echilibru atunci va
rămâne la acea valoare. Reținem că acest lucru nu ne spune nimic despre ceea ce se întâmplă cu
valoarea lui Y dacă nu este egal cu valoarea de echilibru și, în special, nu ne spune nimic dacă Y
va avea tendința de a converge sau de a se abate de la valoarea sa de echilibru odată cu trecerea
timpului. Comportamentul valorii reale a lui Y în timp, când Y nu este ini țial la valoarea sa de
echilibru, depinde de stabilitatea echilibrului. Dacă valoarea reală a lui Y tinde să se
convertească la valoarea de echilibru pe măsură ce trece timpul, spunem că echilibrul este stabil,
iar dacă valoarea reală a lui Y tinde să se a bată de la valoarea de echilibru pe măsură ce timpul

trece, spunem că echilibrul este instabil. În discuția noastră despre comportamentul dinamic al
ecuațiilor omogene, zero a fost echilibrul tuturor cazurilor.
În general, forma matematică a soluției de ec hilibru sau a unei soluții particulare a unei
ecuații diferențiale va fi determinată de forma matematică a termenului 'g' din partea dreaptă a
ecuației (I.1.10). Atunci când g este o constantă, soluția particulară va fi, în general, și o
constantă. Atunci când g este în funcție de alte variabile exogene (adică ale căror valori sunt
determinate în afara sistemului pe care îl analizăm în prezent) soluția specială va fi, de asemenea,
în funcție de acele variabile. Vom vedea mai târziu un caz în care g este ea însăși o funcție de
timp, făcând soluția specială a ecuație (I.1.10) o funcție de timp.
Mai întâi să luăm în considerare cazul în care g este o constantă cunoscută. Am observat
mai sus că, în aplicațiile economice dinamice, atunci când vorbim despre o valo are de echilibru
înțelegem o valoare pe care sistemul va tinde să o păstreze , dacă ar trebui să fie atinsă. Dacă
sistemul rămâne la acea valoare odată cu trecerea t impului, este clar că Y nu se va schimba în
timp, ceea ce înseamnă că la echilibru, Y t=Y t-1=Y* pentru toate valorile lui t, unde prin Y* am
notat valoarea de echilibru a lui Y. Din ecuația (I.1.10) de mai sus deducem valoarea de echilibru
Y* astfel:
𝑌∗=𝑔
1−𝛼 (I.1.11)
care se dovedește a fi o constantă a cărei valoare depinde, dar nu este egală cu valoarea
lui g. Reținem că atunci când g este egal cu 0, Y* este de asemenea egal cu 0, ceea ce susține
afirmația noastră că în exemplele de ecuații omogene analizate mai sus, zero a fost valoarea de
echilibru a lui Y în fiecare caz.
Uneori se va întâmpla ca această metodă să nu fie valabilă deoarece (1 – α) = 0 sau α = 1.
În acest caz, procedura obișnuită este să încercăm ca forma funcției Y* să fie aceeași ca forma
lui g, dar înmulțită cu t. În acest caz, înseamnă că încercăm să o considrăm ca fi ind o constantă,
să spunem G, înmulțită cu t. Deoarece forma pe care o încercăm pentru soluția noastră
particulară, Gt, depinde de t, vom nota soluția particulară a lui Y ca fiind 𝑌𝑡∗. Apoi, din moment
ce încercăm ca soluție 𝑌𝑡∗=𝐺𝑡 (și deci 𝑌𝑡−1∗=𝐺(𝑡−1)), înlocuim această formă în ecuația
(I.1.10) și rearanjăm termenii astfel:
𝐺𝑡 1−𝛼 +𝛼𝐺=𝑔 (I.1.12)
Deoarece α = 1, acesta devine G = g, dând, soluția noastră sub forma:
𝑌𝑡∗=𝑔𝑡 (I.1.13)

În general, în secțiunile teoretice car e urmează, vom avea de -a face cu cazurile în care α
nu este egal cu 1, dar este de remarcat faptul că următorul pas după ce am constatat că prima
formă funcțională naturală care a fost încercată ca o posibilă soluție forma nu a reușit, în general,
să se încerce aceeași formă generală înmulțită cu t.
Revenind la cazul în care α nu este egal cu 1, am găsit soluția noastră particulară, sau
echilibrul, Y*=g/(1 – α). Reținem că am omis indicele de timp de la Y* pentru a sublinia că, în
acest caz, unde g este o c onstantă și α nu este egal cu 1, valoarea de echilibru a lui Y nu se
schimbă în timp. Următorul lucru pe care trebuie să -l facem este să găsim soluția pentru partea
omogenă a ecuației (I.1.10).
Partea omogenă a unei ecuații diferențiale precum (I.1.10) est e pur și simplu ecuația
diferențială omogenă care este obținută atunci când renunțăm la termenul 'g', și anume Y t=aY t-1.
Am rezolvat deja o formă identică cu aceasta, în discuția noastră despre ecuațiile de diferențe
omogene, astfel încât să putem scrie:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝜆𝑡=𝐴𝛼𝑡 (I.1.14)
unde am scris superscriptul "h" la Yt pentru a indica faptul că este soluția pentru o parte
omogenă a unei ecuații diferențiale neomogene. Reținem că nu am înlocu it A cu o valoare
specifică în ecuația (I.1 .14): atunci când rezolvăm o ecuație diferențială neomogenă, acesta este
ultimul pas în acest proces.
Înainte de a face acest pas, trebuie să combinăm soluția specială cu soluția din partea
omogenă pentru a ne da forma soluției generale a ecuației diferențiale:
𝑌𝑡=𝑌𝑡𝑕+𝑌𝑡∗ (I.1.15)
Reținem că am adăugat un indice "t" la termenul de echilibru, pentru a permite
posibilitatea ca valoarea de echilibru să depindă de timp. Evident, o valoare constantă de
echilibru este un caz special de timp dependent de timp. În cazul ecuației (I.1.10), combinând
soluțiile obținem:
𝑌𝑡=𝑌𝑡𝑕+𝑌∗=𝐴𝛼𝑡+ 𝑔
1−𝛼 (I.1.16)
Ca pas final, rezolvăm pentru constanta nedeterminată A, folosind din nou o condiție
inițială, care ne spune că la t=0, Y t este egal cu o valo are numerică exactă cunoscută Y 0.
Înlocuind t=0 în ecuația (I.1.16), notând că α 0=1 și rearanjând termenii obținem:
𝐴=𝑌0− 𝑔
1−𝛼 (I.1.17)

Obținem o perspectivă asupra a ceea ce înseamnă această expresie pentru A dacă
observăm că o putem scrie și c a A = Y 0 -Y*. Deoarece Y 0 este valoarea inițială reală a lui Y și
Y* este valoarea lui (constantă) de echilibru, acest lucru ne spune că A este doar abaterea inițială
a valorii reale față de valoarea de echilibru Y sau cantitatea de dezechilibru inițial. A cest lucru ne
spune și de ce trebuie să lăsăm rezolvarea lui A la sfărșitul procesului – nu putem găsi
dezechilibrul inițial până când nu avem atât expresia pentru echilibru, cât și valoarea inițială a lui
Y. Prin urmare, înlocuirea cu A în ecuația (I.1.16 ) ne dă soluția generală a ecuației noastre
diferențiale ca fiind:
𝑌𝑡= 𝑌0−𝑌∗ 𝛼𝑡+ 𝑔
1−𝛼 (I.1.18)
Diagramele de fază
Reprezentarea grafică liniară, FODE
Când am derivat condițiile de stabilitate pentru ecuațiile diferențiale liniare de ordinul
întâi, am ilustrat rezultatele noastre grafic într-un sistem ortogonal de axe în care pe axa verticală
am reprezentat valoarea lui Yt și pe axa orizontală timpul. Acest tip de diagramă este foarte util
în ceea ce privește trasarea traiectoriei pe care Y o va urma, în special pentru cazurile în care
avem valori numerice reale ale coeficienților și expresii explicite pentru funcții. Un alt
instrument grafic util, cel puțin în cazul FODE, este un dispozitiv cunoscut sub denumirea de
diagrama de fază, care descrie Y t față de Y t-1.
Considerăm ecuația liniară simplă FODE:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔, 0<𝛼<1 (I.1.19)
Echilibrul pentru această ecuație este Y*=g/(1 – α) și deoarece α este o fracție pozitivă,
echilibrul este stabil. Atunci, reprezentarea noast ră schematică ar trebui să arate Y convergând la
Y* pe măsură ce timpul trece.
Diagrama de fază pentru Ecuația (I.1 .19), reprezentată în figura I.1. (a), descrie pur și
simplu Y t în funcție de Y t-1, cu adăugarea unei linii suplimentare denumită linia de 450. Ecuația
(I.1.19 ) este reprezentată ca o linie dreaptă cu interceptul vertical g și panta α. În plus, am
desenat o linie de 450, definită ca o linie de -a lungul căreia Y t=Yt-1 sau, mai formal, locul
puncte lor în care Yt=Y t-1.

Figura I.1.1 Diagrama de fază pentru FODE

Ecuația (I.1.19) de mai sus definește relația dintre Yt și Yt -1 pentru toate valorile lui t.
Din punct de vedere al diagramei de fază, aceasta înseamnă că fiecare pereche observată (Yt, Yt –
1) trebuie să se găsească pe graficul ecuație i (I.1.19). Punctele de pe linia ce reprezintă ecuația
(I.1.19) sunt perechi (Y t,Yt-1) care, prin definiție, nu satisfac ecuația (I.1.19), ceea ce înseamnă că
sistemul nu poate fi la nici unul dintre ele. G raficul e cuației (I.1.19 ) îngustează pr actic mulți mea
puncte lor pe care le observăm din tre toate punctele de pe diagramă doar la cel e care satisfac
ecuația (I.1.19 ).
Linia de 450 este pe diagramă deoarece ne permite să găsim punctul de echilibru al
sistemului. Atâta timp cât termenul g din Ecuația (I.1.19 ) este o constantă, valoarea de echilibru
a lui Y va fi o constantă (din moment ce α = 1), ceea ce înseamnă că, odată ce am atins valoarea
de echilibru Y, Y t=Y t-1=Y* pentru toate valorile viitoare ale lui t. Aceasta înseamnă că, pentru
cazul în care echili brul este o constantă, valoarea de echilibru va fi undeva pe linia de 450.
Valoarea de echilibru a sistemului, fiind soluția particulară a ecuației (I.1.19), trebuie să
se situeze de -a lungul liniei ce reprezintă ecuația (I.1.19 ). Fiind o constantă, trebui e să se î ntindă
de-a lungul liniei de 450. Aceasta înseamnă că punctul de echilibru al sistemului (I.1.19) trebuie
să fie punct ul de intersecție di ntre linia care reprezintă grafic ecuația (I.1.19 ) și linia de 450. Cu
alte cuvinte, este soluția sistemul ui de două ecuații:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.20)

𝑌𝑡=𝑌𝑡−1 (I.1.21)
Rezolvarea acestor ecuații ne va conduce la Y*=g/(1 – α).

Diagrama de fază ne arată totuși mai mult decât valoarea de echilibru. De asemenea, ne
permite să complotăm abordarea sis temului față de echilibrul său (presupunând, desigur, că
echilibrul este stabil). Pentru a vedea acest lucru, să presupunem că valoarea noastră inițială
Y0=0. Atunci , în perioa da 1, t = 1 și t – 1 = 0, găsim Y1 din ecuația (I.1.19). A dică, obținem
Y1=g. Pe diagramă, aceasta ne permite să găsim prima noastră pereche (Y t, Yt-1), (Y 1, Y0)=(g, 0).
Acest punct este doar intersecția cu verticala a graficului e cuației ( I.1.19 ). Vom face referire la
acest grafic în termeni generali ca fiind graficul funcției Y t(Yt-1), deoarece ne arată valo area lui
Yt în funcție a valoarea lui Y t-1.
Pentru a determina următorul punct, reținem că, după ce a trecut o perioadă, Y 1, care a
fost Y t, aceasta a devenit Y t-1. Facem acest lucru pentru a sublinia faptul că indicele "t" se ref eră
la momentul prezent, oricare ar fi valoarea lui t, iar indicel e t -1 se referă cu o perioadă în urmă
față de t. Astfel, odată ce a mai trecut o perioadă, t = 2 și valoarea lui Y luată în perioada 1 este
acum valoarea lui Y t-1. Pentru a găsi valoarea lu i Y 2, trebuie să găsim punctul pe axa Y t-1, care
este egal cu valoarea Y 1, iar apoi, folosind pe Yt-1 putem citi valoarea lui Y2 ca fiind coordonata
verticală a punctului de pe graficul funcției Yt(Yt-1) care se află chiar deasupra Yt-1=Y 1.
Există un mod s implu pentru a face acest lucru. Ceea ce vrem să găsim este un punct pe
axa orizontală a cărui valoare este egală cu cea a unui punct pe care l -am găsit deja pe axa
verticală. Deoarece axa orizontală este axa Y t-1 și axa verticală este axa Y t, căutăm un pu nct unde
Yt-1 = Y t, când știm deja valoarea lui Y t.
Uneori, este mai ușor să vedem acest lucru dacă uităm, pentru moment, că t se referă la
timpul, care se mută întotdeauna de la t -1 la t și ne gând im pur și simplu la t și t – 1 ca fiind indici
care identi fică variabile. În acest caz, în care valoarea lui Y t merge la valoarea lui Y t-1 acestea nu
prezintă probleme concept uale. Sau pur și simplu reținem că, de când a trecut o perioadă, care a
fost Y t acum este Yt-1, deci valoarea sa trebuie să fie afișată mai degrabă pe axa orizontală decât
pe cea verticală. Indiferent de modul în care gândim acest proces, cu toate acestea, putem găsi Y 2
dat valorii lui Y 1 prin m utare de la valoarea lui Y 1 pe axa verticală în dreptul liniei de 450, și
apoi, folosind acel punct pentru a identifica noul Y t-1 , mergem vertical până la funcția Y t(Yt-1)
pentru a găsi pe Y2.
Pe diagrama de faze, pentru a reduce dezordinea, acest lucru este arătat de obicei ca și
cum sistemul ar fi riguros între funcția Y t(Yt-1) și linia de 450, dar d e fapt sistemul este
întotdeau na al funcției Yt(Yt-1) și trasarea liniei de 450 se face doar pentru a ne ajuta să găsim

următorul punct pe graficul funcției Yt(Yt-1). Cu alte cuvinte, nu ne mișcăm efectiv de -a lungul
pașilor arătați pe diagramă, dar trecem , între o perioadă și următoarea, între punctele în care
colțurile pașilor ating simbolul Y t(Yt-1).
Urmând această cale de -a lungul funcției Y t(Yt-1), putem vedea că sistemul converge la
punctul de intersecție dintre această funcție și linia de 450, punct pe care deja l -am identificat ca
fiind echilibrul sistemului. De asemenea, putem observa că, dacă în loc să luăm o valoare inițială
a lui Y egală cu 0, am ales o valoare inițială deasupra lui Y* și am urmat aceeași procedură
pentru a găsi următoarele punct e – reprezentarea orizontală a funcției Y t(Yt-1) peste linia de 450 –
că vom termina deplasarea în jos pe Y t(Yt-1) a funcției spre punctul de echilibru. Indiferent unde
ne-am ales valoarea inițială a lui Y, cu timpul vom trece la valoarea de echilibru. Ace st lucru este
în concordanță cu faptul că am identificat intersecția celor două linii pe diagramă ca punct de
echilibru stabil.
Diagrama de fază ilustrează, de asemenea, că nu putem depăși echilibrul – dacă am pornit
de la o valoare inițială a lui Y sub va loarea de echilibru și am încercat să trecem spre dreapta lui
Y*, procesul de trasare pe care tocmai l -am descris ne -ar muta înapoi la echilibru. Deoarece
acest lucru se va aplica oricarui pas pe care l -am luat la dreapta lui Y*, indiferent de cât de mic
este pasul, concluzionăm că nu putem trece de la punctele din stanga lui Y* la punc tele din
dreapta ale acelei valori. Aceasta înseamnă că nu putem depăși echilibrul și deoarece depășirea
este esența comportamentului ciclic, așa cum vom arăta când discut ăm despre ecuațiile
diferenț ilale de ordinul doi (SODE), înseamnă că FODE nu poate a fișa un comportament ciclic.
Un alt punct de discutat înainte de a trece la un alt caz este: diagrama sugerează că fiecare
etapă succesivă pe care o luăm de -a lungul funcției Yt(Yt-1) va fi mai mică decât pasul anterior, și
acest lucru este de fapt adevărat. În mod strict vorbind, convergem la Y*, dar nu ajungem
niciodată într -un timp finit, deoarece în expresia:
𝑌𝑡= 𝑌0−𝑌∗ 𝜆𝑡+𝑌∗ (I.1.22)

Pentru Y t =Y* vo m avea:
𝑌0−𝑌∗ 𝜆𝑡=0 (I.1.23)

Deoarece Y 0 și Y* sunt constante și egale între ele numai accidental , în general, (Y0-Y*)
nu sunt egale cu zero, astf el încât pentru ca ecuația (I.1.23 ) să fie îndeplinită, trebuie să existe
cazul ca:
𝜆𝑡=0 (I.1.24 )
care, cu λ o fracție pozitivă dar care nu egală cu zero, necesită t = ∞. Atât de strict
vorbind, este nevoie de o perioadă infinită de timp pentru ca noi să ajungem la echilibru, dar
putem ajunge atât de aproape în timp, încât în scopuri practice suntem în p unctul de echilibru.
Prin urmare, vom continua să ne referim la sistem ca atingând echilibrul atunci când, de fapt, el
este în mod arbitrar apropiat de el și încă se îndreaptă spre el, ci închide un gol care este
neobișnuit de mic, luând pași care sunt ei înșiși neobservabil de mici. Se iau în considerare
diagramele de fază pentru diferite valori ale α.
Exerciț ii:
Rezolvați ecuațiile:
1. 𝑑𝑦
𝑑𝑡+2𝑦=6, cu condiția inițială y(0)=10.
2. 𝑑𝑦
𝑑𝑡+4𝑦=6, cu condiția inițială y(0)=1 .
3. 𝑑𝑦
𝑑𝑡=2, cu condiția inițială y(0)=5 .
Soluții: 1. 𝑦 𝑡 = 10−3 𝑒−2𝑡+3
𝑦 𝑡 =7𝑒−2𝑡+3
2. 𝑦 𝑡 = 1−0 𝑒−4𝑡+0
𝑦 𝑡 =𝑒−4𝑡
3.𝑦 𝑡 =5+2𝑡

I.2.Modelul Keynesian

Se pare că cel mai simplu model care este reprezentat cu ajutorul lui FODE este
multiplicatorul Keynesian sau modelul Keynesian Cro ss. În timp ce acest model este cel mai des
folosit din punct de vedere static, procesul de adaptare de la vechi la nou asupra echilibrului
macroeconomic după un șoc este descris din punct de vedere dianmic.

Keynesismul este un a dintre cele mai prestigioa se și răspâ ndite teor ii și doctrine
economice din secolul al XX-lea, considerându -se că ideile profunde și provocările revoluț iei
keynesiste au inspirat o nouă generaț ie de teoreticieni.
Economia de bază din modelul Keynesian Cross este după cum urmează:
Y=C+I+G (I.2.1)
𝐶=𝐶0+𝑐𝑌,0<𝑐<1 (I.2.2)
Unde am notat cu Y –totalul veniturilor , I–investiția totală, G –cheltuielile guvernamentale
și C –consumul de agregate . În această versiune a modelului investițiile și cheltuielile
guvernamentale sunt a utonome.
În ecuația (I. 2.2) C 0 este consumul autonom și c este înclinația marginală a consumului.
Ecuația (I. 2.1) reprezintă condiția de echilibru Keynesian. Versiunea modelului descris
aici este în esență statică și, deci, nu depinde de timp. Starea de ech ilibru descrisă în ecuația
(I.2.1) ne arată că totalul veniturilor este egal cu valoarea cheltuielilor agregate care reprezintă
suma dintre consum, investiții și cheltuieli guvernamentale. Înlocuind ecuația (I.2 .2) în ecuația
(I.2.1) obținem:
𝑌=𝐶0+𝑐𝑌+𝐼+𝐺,0<𝑐<1 (I.2.3)
De unde vom avea:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐶0+𝐼+𝐺) (I.2.4)
Unde 1
1−𝑐 este multiplicatorul simplu Keynesian. Acest model ne arată că, schimbarea
unei componente autonome (de exemplu, cheltuielile guvernamentale, G) se traduce prin
schim barea în relația de echilibru ∆𝑌∗ cu magnitudinea de schimbare dependentă de mărimea
multiplicatorului:
∆𝑌∗=1
1−𝑐∆𝐺 (I.2.5 )
În timp ce modelul static implică faptul că venitul efectiv instantaneu sare la un nou nivel
de echilibru s-au introdus textele introductive ale economiei pentru a putea explica procesul de
ajustare. În prezentarea acestui proces din punct de vedere matematic este necesară introducerea
anumitor ajustări î n model ul dat .
Consumul rămas
Cea mai simplă abordare pentru introducerea unu i element dynamic î n modelul
Keynesian are un consum de adaptare a veniturilor cu un decalaj de timp deorece, în general,

consumatorii au nevoie de ceva timp pentru a -și adapta modelele de consum ca răspuns la
schimbările veniturilor. Adăugarea indicatoril or de timp corespunzători ne conduc la:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.2.6)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1 (I.2.7)
În cazul în care nu există modificări în timp în consumul autonom, nici I și nici G,
deoarece ei nu se schimbă cu timpul în acest model.
Înlocuind (I. 2.7) în (I. 2.6) și rearanjând termenii obținem
𝑌𝑡=𝑐𝑌𝑡−1+𝐼+𝐺+𝐶0 (I.2.8)
Care este clar o ecuație diferențială liniară de ordinul I cu suma elementelor autonome ( 𝐼+𝐺+
𝐶0) ca termenul ”g”. Reținem că termenul ”g” este constant, în sensul că valo rile elementelor
sale componente, în timp ce ar putea fi endogene pentru alte modele, sunt exogene pentru acest
model. Termenul constant de aici nu înseamnă că nu se schimbă nicioadată ci înseamnă mai
degrabă că modificările valorilor termenului sunt deter minate de factori strict externi acestui
model. Mai târziu vom complica modelul făcând investiții endogene.
Tratând g ca o constantă vom găsi soluția ecuației de echilibru prin stabilirea relației
𝑌𝑡=𝑌𝑡−1=𝑌∗ care dă echilibru, sau soluția pa rticulară ca fiind:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.9 )
Care este exact aceeași cu expresia pentru venitul de echilibru în modelul static.
Revenind acum la modelul dynamic partea omogenă a ecuației (I. 2.8) este 𝑌𝑡−𝑐𝑌𝑡−1=0
și presupunând că soluția p ărții omogene va fi de forma 𝑌𝑡=𝐴𝜆𝑡 vom obține:
𝐴𝜆𝑡−1 𝜆−𝑐 =0 (I.2.10 )
Ecuația caracteristică a lui (I.2.8 ) este (𝜆−𝑐)=0 cu rădăcina caracteristică 𝜆=𝑐.
Aceasta ne d ă, soluția ecuației omogene (I.2.8 ) ca fiind:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝑐𝑡 (I.2.11 )
Combinând cele două părți în soluția generală obți nem:
𝑌𝑡𝑕=𝐴𝑐𝑡+𝑌∗ (I.2.12 )
și învocând condițiile inițiale uzuale pentru Y 0 obținem A=Y 0-Y* care produce apoi forma
dinamică :
𝑌𝑡= 𝑌0−𝑌∗ 𝑐𝑡+ 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.13 )

Venitu l rămas
O abordare alternativă pentru a face modelul Keynesian dianmic ar fi să se facă în mod
explicit dinamizarea ajustării veniturilor. Mo delul Keynesian Cross este determinat de cerere,
oferta răspunzând la schimbările din cerere – un mod de a face modelul dynamic este să facem
aprovozionarea să răspundă cu un decalaj. În acest model, desigur, oferta agr egată este aceeași
cu cea a veni tului agregat, deci vom pune dinamica în comportamentul lui Y al identității
venitului național.
În această versiune a modelului vom înlocui expresia venitului național (I. 2.1) cu o
expresie pentru cererea agregată, D t:
𝐷𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.2.14)
Pentru a păstra modelul foarte simplu, trebuie să eliminăm elementul dinamic de consum,
ceea ce face astfel încât consumul curent să depindă de venituri le curente :
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡 (I.2.15 )
Dar vom introduce dinamica prin modificarea venitului la cerere:
𝑌𝑡−𝑌𝑡−1=𝛿 𝐷𝑡−𝑌𝑡−1 , 0<𝛿<1 (I.2.16 )
Unde  este viteza de ajustare în timp. Această ecuație ne ara tă că schimbarea în sursa de
venit în perioada t -1 și t este o fracție din excesul de cerere în perioada t față de veniturile din
perioada t -1. Am scris elementul dinamic (I.2.16) sub formă diferențială deoarece acest tip de
proces de ajustare este repreze ntat, de obicei, în acest mod.
Înlocuind D t în (I.2.16 ) și rearanjând termenii sub forma unei FODE obținem:
𝑌𝑡= 1−𝛿
1−𝛿𝑐 𝑌𝑡−1+ 𝛿
1−𝛿𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.17 )
Cu anumite artificii obținem că echilibrul sau soluția particulară a ecuației diferențiale de
ordinul I (I.2.17 ) este:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0) (I.2.18 )
Schimbarea dinamicii de ajustar e a unui model nu va schimba, în general, echilibrul său.
Rădăcina caracteristică a ecuației (I.2.17 ) va fi:
𝜆= 1−𝛿
1−𝛿𝑐 (I.2.19 )
Astfel încât, în timp ce echilibru va fi același în cele două modele, vitezele de reglare vor
fi diferite (se persupune că c are aceeași valoare î n ambele modele).

𝛿=(1−𝑐)/(1−𝑐2) (I.2.20 )
Consumul și venitul rămas
Există, desigur, și alte modalități de a face ca modelul Keynesian Cross să fie dinamic.
Putem introduce o tendință marginală în investiție și presupunem că investiția răspunde
veniturilor cu un decalaj al pe rioadei : 𝐼𝑡=𝐼0+𝜃𝑌𝑡−1. Alternativ, am putea combina cele două
modele pe care le -am examinat anterior astfel încât să avem:
𝐷𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.2.21 )
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1 (I.2.22 )
𝑌𝑡−𝑌𝑡−1=𝛿 𝐷𝑡−𝑌𝑡−1 , 0<𝛿<1 (I.2.23 )
În acest caz, făcând substituții adecvate, sistemul poate fi redus la:
𝑌𝑡= 1−𝛿 1−𝑐 𝑌𝑡−1+𝛿(𝐶0+𝐼+𝐺) (I.2.24 )
Care are ecuația caracteristică:
𝜆− 1−𝛿 1−𝑐 =0 (I.2.25 )
Astfel , rădăcina sistemului est e 𝜆=(1−𝛿 1−𝑐 ) și va fi pozitivă din moment ce
(1−𝑐) este înclinația marginală de salvare, care este presupusă în model a fi o fracție și  este
coeficientul de vite ză de ajustare a venitului, de a semenea, o fracție.
Echilibru pentru acest sistem este:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0)
Adăugând aceasta dinamicii nu se afe ctează localizarea echilibrului ci doar procesul prin
care sistemul ajunge la echilibru. Este de remarcat faptul că, în toate cazurile Keynesian Cross pe
care le -am avut în vedere , am ajuns la următoarea formă a ecuației diferen țiale:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝛾(𝐼+𝐺+𝐶0)
Unde  și  au luat diferite forme în diferite versiuni ale modelului. Acest lucru ridică o
problemă care s -a dovedit a fi importantă din punctul de vedere empiric al dinamicii economice:
faptul că timpul de comportament al unei serii economice, c um ar fi PIB -ul, poate fi reprezentat
ca o ecuație diferențială dar nu ne spune la care dintre posibilele modele dinamice alternative
pentru acea variabilă ne conduc. Aceasta este determinată de faptul că este necesară o analiză
economică mai atentă de fap t, analiza econometrică.
Principalele caracteristici ale modelului Keynesian sunt:
1.Modelul k eynesian constituie o teorie dinamică a fluxur ilor econommice, compatibilă

cu multe echilibre diferite, dar echilibrul ocupării depline nu constituie una dintre posibilități.
2.Modelul k eynesian include mai multe variabile decât modelul clasic ș i presupune , în
consecință, mai puț ine constante;
3.Modelul keynesian ia în considerare fluxurile monetare din economie, precum ș i rolul
lor activ;
4.Modelul economic constă în relaț ii de cauzalit ate dintre variabilele care se inf luențează
unele pe altele și care asigură realizarea unui echilibru global;
5.În acest model investiț iile sunt co nsiderate doar un factor de creș tere imediată a
venitului, dar nu și factor de creștere a potenț ialului produc tiv.
6.Modelul k eynesian pune u n accent particular pe importanț a cererii globale.
Circuitul keynesian se bazează pe două condiții esenț iale de echilibru:
1)Cererea global ă efectivă = Oferta globală (D = Y)
2)Mărimea economiilor = Volumul investiț iilor (S = I)
Valoarea produc ției oferite (Y) este egală cu venitul naț ional dist ribuit (Y = R), care trebuie
să fie schimbat integral î n cheltuieli (Y = D), pentru ca circui tul să fie î n echilibru.
Două fenomene pot afecta acest echilibru:
– ieșirile (pierd erile) de monedă în exteriorul circuitului, adică acele părți de venit global
creat de intreprinderi ș i care nu sunt recuperate de ele;
– injectiile, adică cererile de monedă care nu provin de la intreprinderi sub forma
remunerațiilor factorilor de producție și care intră în circuit.
Pentru a se stabili echilibrul dintre produsul global și cheltuiala globală, este necesar ca
pierderile să fie egale cu injecț iile.
Pierderile sunt constituite prin:
– economii (S) la consumatori;
– prin im porturi (M);
– prin prelevă rile statului (T).
Injecț iile sunt reprezentate prin:
– investi ții (I);
– exporturi (X);
– cheltuieli publice (G).

În țările avansate economic realitatea economică recentă s-a dovedit și se dovedeș te a fi
mult mai com plexă decâ t cea din deceniile anterioare. De aceea, modelele neoclasice ș i chiar
cele keynesiene si neokeynesiene au devenit insuficient de cuprinzătoare ș i de fundamentate
pentru a mai servi la analiza stă rilor de echilibru, respectiv de dez echilibru ale economiilor
contemporane. În aceste noi condiții, știința economică a fost pusă în fața situaț iei de a evalua
critic teoria lui Keynes despre relaț ia dezechilibru -echilibru.
Principalele aspecte negative ale teoriei keynesiene sunt:
A creat iluzia că prin adoptarea și aplicarea unor măsuri de ordin politic, monetar ș i
fiscal se poate rezolva orice problema economică și socială , iar aceasta este o iluzie periculoasă .
Toate țările foste socialiste suferă acum de pe urm a însușirii ace stei iluzii, așa cum înainte de
1929 toate ță rile occidentale au suferit de pe ur ma iluziei propagate de economiștii clasici ș i
neocla sici care credeau orbește î n legea cererii și a ofertei, în economia de piață liberă .
De altfe l, s-a dovedit că p olitica deficit ului bugetar prin care se finanțează investiț iile
noi este de asemenea , falsă. Aceasta în sensul că atunci când se schimbă dinamica sist emului
economic, se va schimba și multiplicatorul investițiilor. În plus, nu există suficien te argumente
practice pe baza cărora să se demonstre ze existenț a ace stui multiplicator. Adesea, creșterea
venitului național a fost mai puțin intensă decât î nainte de efectuarea investiț iei;
Pe termen lung, promovarea politicii monetare și fiscale, î n termenii t eoriei
keynesiene, a complicat ș i mai mult pr oblemele economice și sociale ale ță rilor. Aceasta ,
deoarece prin a ceste politici s -a dat curs creș terii datoriei publice, problemă cu care se confruntă
și astăzi aproape toate ță rile occidentale.
Se poate spune că, structurile ș i dinamicile eco nomiei cont emporane impun reexaminar ea
tuturor modelelor elaborate î n trecut, inclusiv a celui keynesian. In plus, este necesar să se
integreze î n modelele macroeconomice c ontemporane noile cuceriri ale științ ei economice.
Următorul exemplu numeric v-a lămur i mai bine ceea ce nu merge în teoria lui Keynes
(admitem că se poate folosi regresia ca instrument pentru a determina înclinația marginală spre
import și spre economisire):
–dacă pe cazul unei economii avem că înclinația marg inală spre economisire s = 0,2 5
(adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu doar 1.25%) și înclinația marginală
spre import de 0,45 (adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu 2.25%) avem că

multiplicatorul veniturilor prin cheltuieli guvernamentale ar fi: 1/(0,25 + 0,45) adică ar fi de 1.42
(o creștere a cheltuielilor guvernamentale cu 5% ar determina o creștere economic de 7,14%)
–dacă pe cazul unei economii avem că înclinația marg inală spre economisire s = 1,25
(adică dacă cresc veniturile cu 5% economisi rile cresc cu doar 6.25%) și înclinația marginală
spre import de 1,45 (adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu 7.25%) avem că
multiplicatorul veniturilor prin cheltuieli guvernamentale ar fi: 1/(1,25 + 1,45) adică ar fi de 0,37
(o creștere a cheltuielilor guvernamentale cu 5% ar determina o creștere economic de 1,85%)
Problema se complică enorm atunci când ambii multiplicatori sunt negativi. În economia
reală globalizată și deschisă pot fi ambii negativi adică dacă cresc veniturile consumul să sca dă și
să scadă și importurile dacă românii preferă să cumpere din afară bunuri și servicii plecând în
străinătate sau dacă preferă investițiile pe piața locală sau pe piața internațională.
Atunci nu vom avea creșt ere economică ci, dimpotrivă, avem scădere economic ă.
Abordarea keynesistă a lucrurilor a dus la:
1.Creșterea datoriilor publice la un nivel record;
2.Au crescut locurile de muncă în sectorul public în dauna sectorului privat (statul a
devenit net creator de locuri de muncă)
3.Dobânda monetară s -a prăbușit până la a topi orice urmă de a mai economisi ceva în
economia privată .
Teoria economică pe care se bazează cea mai mare parte a intervenționismului economic actual
pleacă de la ceea ce numim „multiplicatorii” lui Keynes.
Unde greșește Keynes în această „pseudo -teorie” bazată pe astfel de multiplicatori ?
În primul rând pentru că asumă relația liniară dintre consum și venituri și că înclinația
marg inală spre consum este una sub unitară (c < 1 adică 1 – c > 0 adică s > 0, dacă ar lua s<0 în
multiplicatorul ve nitului național 1/(s+m) nu mai poate spune nimic despre impactul cheltuielilor
guvernamentale asupra creșterii economice). Cu alte cuvinte, Keynes exclude posibilitatea de a
consuma mai mult decât veniturile pe care le ai (dacă cresc veniturile consumul n u poate crește
mai mult decât cresc veniturile): acest lucru e complet eronat pentru că există și consum pe
datorie adică Keynes exclude preferința de timp (să consum mai mult în prezent în dauna
consumului viitor, care pe o expansiune a creditului poate f i chiar destul de accelerată
această creștere a consumului față de dinamica veniturilor). Aceeași problemă există și pe

importuri unde asumă că înclinația marginală spre importuri este pozitivă (dacă veniturile cresc
neapărat trebuie să crească importurile ).
Keynes asumă că relația dintre consum și venituri generează înclinații marginale spre
economisire (s) și spre import (m) de semn pozitiv : în fapt toată teoria lui Keynes se bazează pe
aceste două regresii foarte simple între consum / import și venitur i care pot duce la un rezultat pe
m și pe s de valoare negativă: dacă m < 0 și s <0 obținem că o creștere a cheltuielilor
guvernamentale reduce produsul intern brut adică diminuează creșterea economică;
Keynes exclude complet din discuție investițiile care îl încurcă destul de tare în
interpretarea rezultatelor sale: dacă venitul crește pot să crească investițiile și nu importul sau
consumul din formula venitului național. Această falsă problemă a creșterii consumului cu orice
preț arată cât de puțin cuno sc economie cei care nu văd că și o scădere a consumului poate fi
benefică atâta timp cât ea se duce către investiții. În plus, e destul de dificil în economie să faci
distincția între consum și investiții (nimeni nu poate spune atunci când cumpăr 10 borca ne de
gem din magazin dacă le cumpăr pentru consumul imediat sau pentru consumul viitor, caz în
care acest aparent consum ar fi o investiție);
Toată „teoria” lui Keynes se învârte în jurul venitului național , un agregat problematic
pentru că nu ia în con siderare bunurile intermediare care intră în componența acestuia și nici
momentul în care ele au fost create (de exemplu în consumul unui autoturism înregistrat
de venitul național curent se află tablă și alte materii prime produse cu un an sau doi în urmă ).
Interdependențele dintre componentele venitului național (consum și investiții, import și
investiții, consum și import) anulează din concluziile „teoriei” lui Keynes.
Întotdeauna mai mulți bani pentru cheltuielile guvernamentale înseamnă mai puțini
pentru consumul privat și pentru investițiile private (ceea ce teoria lui Keynes nu reflectă). Mai
mult, eficiența investițiilor private (unde piața decide falimentul) este mult mai mare. Și
consumul privat generează investiții private. Deci o teorie care sp une că poți avea creștere
economică dacă crești cheltuielile guvernamentale nu ne spune că această creștere poate fi mai
mică și mai puțin durabilă decât o creștere prin mediul privat.
Toate aceste slăbiciuni arată cât de problematice sunt politicile publi ce care se grăbesc să
aloce bani în criză pentru „a salva economia” sau pentru a crea „locuri de muncă”. Ele nu fac
decât să adâncească această criză , să o prelungească mai mult decât e cazul, complicând
echilibrul natural al pieței libere . Aceste politici publice ridicate la rang de măsuri providențiale

pentru o națiune își găsesc permanent justificarea în astfel de teorii insuficient fundamentate și
superficial construite pe ipoteze discutabile. Rezultatul este o piață liberă într -un dezechilibru
mult mai mare decât cel la care ar fi ajuns prin acțiunile noastre de zi cu zi. Bani și resurse
cheltuite cu tot felul de institute și specialiști care plătiți din banul public mimează că pot
controla de la butoane piața liberă și pot determina echilibrul său .
Un model simplu de stabilizare Philips

Modelul Keynesian Cross este, desigur, asociat cu politica fiscal și o extensie evident a
modelului de bază Keynessian Cross implică adăugarea unei reguli de politică fiscal în model. În
cele ce urmează vom considera o versiune a unui model dezvoltat de Philips (1954) care
încorporează o regulă de politică proporțională.
Vom pleca de la ecuațiile (I. …) și (I. ..) de mai sus, dar vom modifica termenul G t:

Unde 𝐺𝑡𝑝 este component a politicii fiscal e proporționale a cheltuielilor guvernamentale și
𝐺0 este o cheltuială autonomă care se află în esență în afara controlului discrețional sau, cel
puțin, a cheltuielilor ce nu pot fi ajustate cu ușurință în scopul politicii fiscal. Motivul pentru care
acest model este oferit ca un model de politică proporțională constă în exprimarea în sine a lui
𝐺𝑡𝑝:

Unde 𝑌𝐹 este venitul total al ocupării forței de muncă și  este coeficientul valorii vitezei
de ajustare.
Ecuația de mai sus (I…) ne arată că sunt ajustat e cheltuielile discreționare ale guvernării
în această perioadă, în scopul de politică fiscal, proporționale cu decalajul dintre venitul
total ocupat și venitul real din ultima perioadă. Dacă economia se afla la sfârșitul
perioadei de ocupare a forței de muncă, cheltuielile discreționare vor fie gale cu zero, și
dacă economia se află într -o situație inflaționistă deficitară în ultima perioadă, cu
veniturile reale mai mari decât cheltuielile discreționare totale la nivel de angajare vor fi

negative , ceea c e într -un model mai detaliat ar însemna probabil o combinație de reduceri
de cheltuieli și de majorări de impozite.
Combinând aceste ecuații vom obține ecuația diferențială pentru acest model ca
fiind:

Partea omogenă a ecuației este ceea ce ne dă ecua ția caracteristică:
a cărui rădăcină este Aici  va avea probabil valoare
absolută mai mică decât 1, dar dacă  este prea mare în raport cu tendința marginală de consum,
c,  ar putea fi negativă, iar sistemul ar putea afișa alternanțe. Cu toate acestea , la valorile uzuale
ale lui c și  acest lucru este foarte puțin probabil. Este mult mai probabil că sistemul va
converge monoton către un echilibru.
Este de reținut scrierea părții omogene a soluției ca și comparând -o
pe aceasta cu soluția omogenă a u nui model fără a cosntrui o regulă explicită de politică
observăm că introducerea unei reguli explicite de politică a redus magnitudinea rădăcinii de la c
la (c-).
În acest caz, spre deosebire de altele, modul în care am introdus un nou element dinamic
a modificat localizarea echilibrului. În cazul de față echilibrul sistemului este:

Astfel încât introducerea termenului de venit agregat țintă, 𝑌𝐹, mărește valoarea
echilibrului relativ la valoarea pe care ar fi av ut -o fără a exista o regulă proporț ională a politicii
fiscale și dacă cheltuielile guvernamentale ar fi egale cu 𝐺0.
De asemenea, este de notat faptul că valoarea multiplicatorului keynesian este redusă în
acest model de la 1/(1 -c) la 1/(1 -c+) deci, o creștere exogenă a investiției ar e un impact mai mic
într-un model în care guvernul urmează o regulă de stabilizare proporțională decât într -un model
în care nu se respectă o astfel de regulă. Bineânțeles, aceasta înseamnă, de asemenea, că o
reducere exogenă a investiției va avea un efect mai scăzut asupra venitului de echilibru în
prezența unei reguli explicite de politică de stabilizare. De notat încă un punct referitor la acest

model: faptul că am introdus o țintă explicită de angajare completă în ceea ce privește
cheltuielile guvername ntale nu ne -a redus expresia pentru venitul de echilibru la Y*=YF care ar
apărea doar dacă aceasta se întâmplă doar dacă echilibrul
sistemului ar fi fost oricum la YF.
De asemenea, vom putea rescrie ecuația (I….) ca

Unde Y0 este valoarea echilibrulu i nonpolitic. Dat fiind faptul că termenii care se
înmulțesc Y0 și YF la în partea dreaptă sunt fracții care se compară cu 1, echilibrul în politica
modelului nostru este o medie ponderată a valorii pe care o va avea echilibrul dacă guvernul nu a
aplicat n icio p olitică fiscală stabilizatoare, Y0, și pe deplin în nivelul ocupării forței de muncă,
YF. Aceasta înseamnă că introducerea regulii de politică fiscală atrage un echilibru deasupra
nivelului său de acțiune, dar nu este suficient pentru a atrage totul până la ocuparea integrală a
forței de muncă.
Înainte de a părăsi aceste valori fundamentale ale politicii Philips să reținem că, în
versiunea pe care am discutat -o, valorile actuale ale lui G și C depind de veniturile din ultima
perioadă.
Să presupunem c ă modificăm funcția de consum, astfel încât consumul curent
depinde de venitul curent, scriind C t=C0+cY t, dar lăsăm regula politic ii fiscale neschimbată, în
funcție de venitul din ultima perioadă. Motivul ar fi acel a că, deși, consumatorii știu ce venituri
curente sunt a tunci când își fac cheltuielile guvernul are nevoie de ceva timp pentru a calcula
venitul național , astfel încât acestea pot fi cunoscute (de fapt, estimate, da r noi nu introducem
acest lucru complicații aici) după un decalaj.
Modelul nostru devine acum:

Care dă FODE sub forma:

Din care avem partea omogenă ca fiind:

Ecuația caracteristică pentru ecuația diferențială omogenă este:

De unde obținem rădăcina sistemului ca fiind și, la echilibru:

Care este aceeași cu expresia pe care am avut-o pentru venitul de echilibru din modelul
precedent, ecuația (I…). Rădăcina sistemului, însă, nu este diferită de rădăcina anterioară, ci este
negativă. Nu putem fi siguri că, la valori rezonabile ale lui  și c, echilibru va fi stabil.
Stabilitatea necesită (1-c) ceea ce ar trebui să fie verificat empiric.
Prin schimbarea structurii consumului întârziat vom schimba valoarea de echilibru a
sistemului și comportamentul dianmic de la monoton la cel alternativ. Explicația diferenței este
destul de sim plă în primul model Philips pe care l -am considerat , introducând funcția de politică
nu s-a adăugat nicio structură de timp nouă problemei cid oar câșiva termini. Elementele induse
sau endogene ale cheltuielilor aggregate actuale, indifferent de consumul p rivat sau de
cheltuielile de politică fiscal guvernamentală, taote depend de veniturile din ultima perioadă.
În cea de -a doua versiune a modelului există o schimbare dinamică, în timp ce, partea
indusă a cheltuielilor guvernamentale din această perioadă d epinde încă de veniturile din ultima
perioadă, partea indusă a cheltuielilor de consum din această perioadă depinde de venitul acestei
perioade. Rezultatul este că, chiar și în acest model simplu, dianmica devine mai complicată.
Intervenția noastră obișnui tă de a fi prudenți cu privire la valabilitatea modelelor economice cu
rădăcini negative se aplică totuși și, sincer, dianmica macroeconomică foarte interesantă este
asociată cu modele care generează ecuații diferențiale de ordin mai mare, deci, în acest m oment
ne vom întoarce de la macroeconomia elelmentară la microeconomia elementară și luăm în
considerare în model comportamentul prețurilor.
Modelul “ pânză de păianjen ”

După ce a avertizat în repetate rânduri că nu se pune prea multă încredere în modelele
care dau rădăcini negative se pare că este potrivit ca primul nostrum exemplu macroeconomic să
fie un model care, într -adevăr, ne dă rădăcini negative. Modelul pânză de păianjen este un model
simplu de cerere și ofertă, cu o întârziere a răspunsului dintr -o perioadă de timp, construită pe
partea de aprovizionare.
Pe partea cererii avem:

Unde 𝑄𝑡𝐷este cantitatea cerută în perioada t, 𝑃𝑡 este prețul în perioada t și 𝑌𝑡 este un factor
de schimbare a cererii, de obicei, venitul. Am scris fun cția cererii cu un semn negativ în fața lui
𝛼1, deci, 𝛼1 în sine este pozitiv.
Pe partea de aprovizionare avem:

Unde 𝑄𝑡𝑆 este cantitatea furnzată în perioada t, 𝑃𝑡−1 este prețul în perioada t -1, 𝑍𝑡 este un
factor de schimbare de aprovizionare, și 𝛽1 este pozitiv.
Aci, cantitatea livrată astăzi depinde de prețul de piață de ieri. În timp ce acest lucru se
aplică oricărui produs cu un decalaj semnificativ între începutul procesului de producție și
furnizarea efectivă a producție i pe piață, cele mai frecvente exemple sunt cele din agricultură, în
care, deciziile de plantare sunt luate pe baza prețului obținut pe piață în momentul în care trebuie
făcută plantarea, dar recolta și furnizarea efectivă a producției pe piață apare destu l de mult timp
mai târziu. De reținut este faptul că, am presupus că toatăcantitatea produsă este furnizată pe
piață, adică, nu există stocare și că nimic din producție nu este distrus dacă prețul pieței se
dovedește a fi foarte scăzut în momentul în care producția este adusă efectiv pe piață.
Completând modelul cu condiția standard de echilibru :
𝑄𝑡𝐷=𝑄𝑡𝑆
ceea ce înseamnă că, în fiecare perioadă, piața actuală a prețurilor pieței se ajustează clar. Faptul
că presupunem că piața se află în echil ibru în fiecare perioadă individuală nu înseamnă că
echilibrul modelului dinamic este garantat a fi stabil.
Ecuația (2.88) este o condiție de lichidare a pieței pe termen scurt, oferindu -ne ceea ce
este denumită uneori serie de prețuri de echili bru pe term en scurt. Echilibrul a ecuației
diferențiale care caracterizează sistemul ne oferă ceea ce numim prețul de echilibru de lung ă

durată și întrebarea cheie în ceea ce privește dinamica pieței modelu l este dacă prețurile de scurtă
durată converg în cele din ur mă la prețul de echilibru pe termen lung.
Înlocuind ecuațiile (2.86) și (2.87) în (2.88) obținem:

din care derivă o ecuație diferențială de ordinul întâi în preț:

Partea omogenă a ecuației (2.90) poate fi scrisă ca:

Dând ecuația caracteristică pentru (2.90):

Cu rădăcina caracteristică Deoarece atât α 1 cât și β 1 sunt pozitive, rădă cina
este negativă.
Echilibrul va fi stabil atâta timp cât – (β1 / α1), care este mai mic decât zero, este
mai mare de -1 (<1 în valoare absolută): o fracție negativă. Ast fel, pentru stabilitate, trebuie să
avem:

care este satisfăcut atunci când α 1> β 1 ceea ce spune că, pentru ca echilibrul să fie stabil,
curba cererii trebuie să fie mai abruptă decât curba de aprovizionare. Dacă presupunem că toate
variabilele din modelu l nostru sunt în formă de jurnal, stabilitatea necesită curba cererii
să fie mai elastică decât curba de alimentare.
Revenind la soluția particulară la ecuația (2.90), scriem ecuația diferențială ca:

Observăm că toți termenii din partea dreaptă sunt cons tanți, în sensul că valorile lor sunt
date exogene, nu sunt determinate în cadrul modelului. Acest lucru sugerează că prețul de
echilibru, P *, va fi de asemenea o constantă. Punând P t = P t-1 = P* și rezolvând, găsim:

P* va fi pozitiv. Este ușor de stabi lit expresia pentru P *. În Ecuația (2.95) este aceeași ca
prețul de echilibru de la un model static de cerere și furnizare.
Am stabilit, deci, că atâta timp cât α 1> β 1, prețul pe care modelul pânză de păianjen l -a
făcut în cele din urmă este la fel ca preț ul de echilibru static – și încă o dată , valoarea echilibrului
nu este afectată de introducere a unui element dinamic. Elementul dinamic adaugă cev a nou
modelului. Dincolo de posibilitatea ca echilibrul să fie instabil, și prețurile individuale ale pieței
nu converg niciodată pe valoa rea de echilibru pe termen lung este faptul că acesta este unul
dintre puținele modele economice în care rădăcin a ecuația caracteristică este negativă. După cum
am văzut mai devreme, o rădăcină negativă înseamnă că, chiar dacă e chilibrul este stabil, prețul
va fi alternativ deasupra și dedesubt de valoare a sa de echilibru de la perioadă la perioadă . Dacă
echilibrul pe termen lung este stabil, atunci când prețurile de echilibru de scurtă durată converg
în cele din urmă pe termen l ung la prețul de echilibru, prețul și cantitatea vor scădea și se vor
opri din sărituri .
Exemplele pe care le -am considerat aici sunt probabil cele ma i frecvent utilizate
exemple de FODE, în primul rând pentru că ele formează b aza pentru o serie de mai mul te
modele complicate. Întrucât acțiunea cu adevărat interesantă începe atunci când intrăm în analiza
modelelor teoretice care implică ecuații diferențiale de ordin mai înalt, acum ne vom îndrepta
atenția spre astfel de modele.
Exerciții:
1.Pe baza relațiil or:
𝑄𝑑𝑡=𝑄𝑠𝑡
𝑄𝑑𝑡=𝛼−𝛽𝑃𝑡, (𝛼,𝛽>0)
𝑄𝑠𝑡=−𝛾+𝛿𝑃𝑡−1, (𝛾,𝛿>0)
Găsiți Q în funcție de timp și condiția pentru convergență.
Răspuns: 𝑄𝑡=𝛼−𝛽 𝑃0−𝑃 −𝛿
𝛽 𝑡
−𝛽𝑃 .
2.Având în vedere cererea și oferta pe ntru modelul de păianjen după cum urmează, găsiți
prețul de echilibru intertemporal și stabiliți dacă echilibrul este stabil:
a)𝑄𝑑𝑡=18−3𝑃𝑡 𝑄𝑠𝑡=−3+4𝑃𝑡−1

b) 𝑄𝑑𝑡=19−6𝑃𝑡 𝑄𝑠𝑡=6𝑃𝑡−1−5
Răspuns:
a)𝑃 =3, oscilație exp lozivă
b) 𝑃 =2, oscilație uniformă
3.Modelul de pânză de păianjen, ca și alte modele de piață dianmice se bazează în
principal pe piața statică. Ce presupunere economică este agentul de dianmizare în acest
caz? Explicați!
Răspuns : decalajul din funcția d e alimentare.

CAP. al II-lea MODELE SODE

Modelul multiplicator -accelerator
Dacă modelul multiplicator Keyne sian Cross este unul dintre cele mai elementare dintre
toate modelele FODE din economie, extinderea acestuia la modelul multiplicator -accelerat or
este unul dintre cele mai de bază dintre toate modelele SODE (Second -Order Difference
Equation – Ecuații diferențiale de ordinul al doilea ). În acest model se adaugă la modelul mai
simplu o ecuație de investi ție și obținem:

Ecuația (II. ) spune că i nvestiția are două componente: prima, un element autonom care,
în modelul de multiplicare era întregul termen de investiție, iar a doua, un termen care depinde
cu un decalaj de variația cheltuielilor de consum. În acest model, răspunsul cheltuielilor de
investiții la cheltuielile de consum este, în general, explicat în sensul că toate cheltuielile pentru
investiții răspund așteptărilor profitului, că profiturile cresc odată cu creșterea consumului de
consum și că așteptările privind profiturile viitoare se formează miopic – este de așteptat ca
perioada următoare să fie de asemenea bună. Deviația din Ecuația (II. ), care spune că

cheltuielile de investiții depind astăzi de creșterea de ieri a cheltuielilor de consum, reflectă
decalajele di n conversia planuri lor de investiții în cheltuielile de investiții.
Pentru a obține o ecuație diferențială în Y din acest model, notăm că ecuația (II…) ne
arată faptul că, consumul în orice perioadă, t, t -1, t -2 etc., depinde de venitul din acea perioadă
conform unei fun cții de consum keynesiene. Aceasta ne permite să înlocuim C t-1 și C t-2 cu
expresii în Y t-1 și Y t-2, obținând astfel :

Apoi, înlocuind ecuațiile (3.56) și (3.54) în (3.53) și rearanjând termenii obținem ecuația
diferențială pentru model:

Deoarece partea dreaptă a Ecuației (II…) este compusă din constante și variabile care sunt
exogene pentru model, valoarea echilibrului venitului va fi ea însăși o constantă:

deci, dacă valoarea lui I 0 în acest model este a ceeași cu valoarea investiției din modelul
de multiplicare (și termenii C și G au, de asemenea, aceleași valori ca în modelul mai simplu),
valoarea venitului de echilibru în modelul multiplicator – modelul de accelerație va fi acee ași cu
valoarea venitului de echilibru din modelul de multiplicare.
Privind la dinamica sistemului putem scrie partea omogenă a ecuației (II….) ca fiind:

a cărui ecuație caracteristică este:

Rădăcinile acestei ecuații sunt:

La prima vedere, expresia (II…) nu este deloc informativă. Cu toate acestea, putem aplica
unele dintre rezultatele pe care le -am amintit mai devreme. Mai întâi, modelul semnelor
elementelor din ecuația (II…) este (+ – +) care, din regula de semne a lui Descartes, deducem că,
dacă rădăcinile noastre sunt reale, ambele sunt pozitive. Avem de fapt o abordare alternativă la
stabilirea acestui rezultat: deoarece produsul rădăcinilor, vc / (1 – c), este pozitiv, rădăcinile
trebuie să aibă același semn, fie ambele pozitive, fie ambele negative. De asemenea, suma
rădăcinilor, vc / (1 – vc), este pozitivă. Deoarece rădăcinile, dacă sunt reale, trebuie să aibă
același semn și suma lor trebuie să aibă o valoare pozitivă, ambele rădăcini trebuie să fie
pozitive.
Aplicând condițiile ( 3.31), (3.32), (3.33) aceastei probleme, vedem că ecuațiile ( 3.31) și
(3.33) sunt satisfăcute (presupunând că (1 – c) este o fracție pozitivă). Pentru a satisface condiția
(3.32) avem nevoie de:

Acest lucru stabilește în mod clar o limită strânsă asupra valorilor lui v care sunt
compatibile cu stabilitatea: dacă luăm valoarea manu ală comună a c = 0,8, atunci stabilitatea
impune ca v să fie mai mică decât 0,25.
În plus, pentru ca ti mpul să fie monoton , trebuie ca discriminantul sistemului să fie
pozitiv, ceea ce, la rândul său, impune condiția :

Pentru a înțelege ce implică acest l ucru, dacă setăm din nou c = 0.8, comportamentul monotonic
presupune ca v să fie mai mare decât 1.
În mod clar, ecuațiile ( 3.62) și ( 3.63) nu pot fi satisfăcute în același timp.
Dacă ecuația ( 3.62) este satisfăcută, astfel încât să avem un echilibru stabil , atunci prin ecuația
(3.63), calea timpului lui Y trebuie să fie ciclică. Prin urmare, această versiune specială a
modelului accelerator multiplicator impune comportament ciclic asupra economiei.
Spunem această versiune a modelului, deoarece există și alt e versiuni ale acestuia, este
modelul de bază. Am făcut ca investițiile să depindă de modificările de consum și am făcut ca
nivelul consumului curent să fie în funcție de venitul curent. O versiune alternativă ar pune și o
întârziere în funcția de consum, dar aceasta ar produce o ecuație diferențială de ordinul trei și nu

putem aborda încă exemple din acest tip de model. O altă versiune alternativă ar pune o perioadă
de întârziere în funcția de consum și va înlocui funcția de investiție pe care am utilizat -o cu:

În această versiune, investiția depinde direct de modificările înregistrate în venit, iar în
acest caz, chiar dacă folosim funcția de consum C t = C 0 + cY t-1, vom ajunge la SODE:

Încheiem analiza acestui sistem ca exercițiu, observând doar că , în acest exemplu , este
posibil să avem o cale de timp care să fie atât monotonă, cât și stabilă.
Model de politică de stabilizare Phillips
Pentru al doilea exemplu economic al unui model SODE, dezvoltăm din nou un model pe
care l -am considerat în capitolul an terior privind modelele de ordinul întâi. În acest capitol am
introdus modelul de stabilizare proporțională Phillips; aici adăugăm un element suplimentar
regulii de politică fiscală.
Modelul de bază este ca înainte:

Aici investiția este din nou exogenă ș i am adăugat un termen guvernamental suplimentar
𝐺𝑡𝑑, care depinde de schimbarea Y între perioadele t -2 și t – 1. Conform acestui termen, dacă
creșterea Y a fost pozitivă, avem o creștere a acelei modificări într -o reducere a cheltuielilor
guvernam entale. Acest termen al politicii, cunoscut sub numele de termen de politică derivată,
este conceput pentru a preveni creșterea economică prea rapidă și, într -un model macroeconomic
mai complet, lăsând presiunile inflaționiste să crească prea repede.
Înloc uirea Ecuațiilor (3.67) – (3.70) în (3.66) și rearanjând termenii obținem:

care se dovedește a avea aceeași expresie pentru Y * ca și în modelul mai simplu,
proporțional cu stabilizarea:

Ecuația (3.72) ne spune că, la fel ca în modelul mai simplu, intr oducerea elementului de
politică nu garantează în mod automat că echilibrul va fi la un loc de muncă deplină. De fapt,
spre deosebire de termenul γ, termenul δ nu intră nici măcar în expresia pentru echilibru. Aceasta
nu este o surpriză, deoarece termenul δ, coeficientul de stabilizare a derivatelor, se referă la
viteza cu care se mișcă sistemul, nu la locul unde se află.
Ecuația caracteristică pentru (3.71) este:

Cu rădăcinile:

Stabilitatea necesită:

Privind aceste condiții, prima este în mod clar sa tisfăcută de ipotezele obișnuite cu privire
la mărimea tendinței marginale de a consuma, iar a doua este satisfăcută deoarece δ este pozitiv.
A treia condiție, totuși, depinde de mărimile relative ale coeficienților, iar cel mai bun lucru pe
care îl putem face este să identificăm mărimile relative care să garanteze stabilitatea.
Privind la e cuația (3.74) vedem că discriminantul rădăcinilor este pozitiv, deci rădăcinile
sunt reale și nu vor exist a oscilații, dar uitându -ne la e cuația (3.73), vedem că modelul semn elor
este fie (+ – -), sau (+ + -); în ambele cazuri , există o schimbare și o continuare ceea ce înseamnă ,
prin regula lui Descartes, că avem o rădăcină pozitivă și una negativă. Prezența unei rădăcini
negative înseamnă că, în timp ce sistemul nu va a fișa oscilații, va avea un element de alternanță
cu acesta.
Există multe modele macro care pot fi reduse la ecuații diferențiale de ordin al doilea sau
mai mare și care au cel puțin potențialul de a genera comportamente ciclice. Poate că cea mai

largă clas ă a acestor modele este clasa modelelor de ajustare a stocurilor, începând cu Metzler
(1941). Vom reveni la modelele macro atunci când luăm în considerare sistemele de ordin
superior: pentru exemplul următor ne întoarcem la microeconomie.
Modelul pânză de păianjen cu intrare fermă
În acest exemplu, revenim din nou la un model pe care l -am văzut în capitolul anterior
privind sistemele de ordinul întâi: modelul pânză de păianjen. De această dată, adăugăm
modelului de bază o expresie pentru intrarea fermă. Ace st lucru ne obligă să facem o manipulare
destul de dezordonată a modelului, dar vom putea, în capitolul următor, să folosim acest
exemplu ca bază a unei comparații între două abordări pentru modelele care implică mai multe
ecuații diferențiale.
Ecuațiile m odelului pânză de păianjen sunt:

unde Q este cantitatea, P este prețul, Y este venitul consumatorului și N este numărul de
firme de pe piață.
Ecuația (3.81) afirmă că numărul firmelor de pe piață în perioada t este egal cu numărul
care exista u în perioad a t – 1 plus un termen de ajustare care depinde de diferența dintre nivelul
prețului în t – 1 și o valoare critică, PC. Atunci când prețul în t – 1 este peste valoarea critică, noile
firme intră și N t > N t-1, când prețul în t – 1 este sub valoarea critică, firmele existente părăsesc și
Nt <N t – 1 și când prețul în t – 1 este egal cu valoarea critică, nu a existat nici o tendință ca firmele
să intre sau să părăsească industria, astfel încât numărul firmelor a rămas neschimbat între cele
două perioade: N t = N t-1.
În cazul unei piețe perfect competitive, ne putem gândi la nivelul critic al prețurilor ca
fiind egal cu punctul minim pe curba medie a costurilor (comune) a firmelor. Termenul γ este un
coeficient de viteză de ajustare: cu cât este mai mare γ, cu at ât mai multe firme intră sau părăsesc
piața, ca răspuns la o abatere a prețului din ultima perioadă de la nivelul critic.
Înlocuind Ecuațiile (3.78) și (3.79) în (3.80) ne dă:

ca și în modelul simplu al pânzei de păianjen. Problema este că acum avem o ecuație și
pentru N, deci ecuațiile (3.81) și (3.82) formează un sistem de două FODE în două variabilele , N
și P. Din fericire se dovedește că există o modalitate de a forma din cele două ecuații o ecuație
diferențială unică.
Mai întâi, reținem că, deoarece pr esupunem că piața este întotdeauna în echilibru scurt,
ecuația (3.82) trebuie menținută . În acest caz, putem rearanja e cuația (3.82) astfel încât să
obține m o expresie pentru N t:

Scriind relația (3.83) pentru t -1, obținem o expresie pentru N t-1. Înlocuin d aceste expresii
în (3.81) și rearanjând termen ii obținem un SODE:

În partea dreaptă a Ecuației (3.84) avem termeni în Y t și Y t-1, dar aceasta nu înseamnă că
avem o ecuație diferențială în Y. Pentru a avea o ecuație diferențială în Y, ar trebui să avem o
ecuație care să reflecte mecanismul care leagă curentul de valorile anterioare ale lui Y. Prezența
lui Y t și Y t-1 reflectă ceea ce este cunoscut ca un efect de ajustare întârziat, lucru cu care ne vom
ocupa în alt capitol.
Pentru moment, am finisat probl ema presupunând că venitul consumatorului este
constant în timp, astfel încât Y t = Y t-1 = Y 0. În mod convenabil, când înlocuim acest lucru în
ecuația (3.84), termenii cu Y din partea dreapta dispar și vom rămâne cu:

Ecuația (3.85) este SODE în P. Deoarec e ecuația (3.85) am obținut -o înlocuind cererea –
oferta din condiția de egalitate direct în ecuația de intrare fermă, ea combină informațiile din
toate ecuațiile din sistem; prezența din termenul y indică acest lucru. Este un pic regretabil că am

pierdut di n vedere pe N, dar într -unul din capitolele următoare vom aborda această problemă.
Pentru moment, avem de der ivat un SODE în preț, pe care o putem analiza acum.
Din moment ce se presupune că PC este constant (nu se produce nici o schimbare
tehnologică, car e ar putea schimba curba medie a costurilor firmelor), presupunem că prețul de
echilibru, P*, este de asemenea constant. Făcând substituțiile obișnuite în ecuația (3.85),
constatăm că:
P*=Pc
care spune că prețul de echilibru pe termen lung al modelului est e prețul critic, prețul la
care numărul firmelor rămâne neschimbat în timp. Aceasta este, desigur, în concordanță cu
definiția echilibrului de piață pe termen lung din teoria microeconomică introductivă și ne
afirmă, de asemenea, că informațiile din ecuați a (3.81) nu au fost pierdute de sistem în timpul
calculelor noastre. Ea ne spune că dacă prețul curent nu este egal cu Pc, sistemul nu poate fi în
echilibru și având în vedere că Pc apare numai în ecuația de intrare fermă, aceasta are loc atunci
când prețu l curent nu este egal cu Pc, sau cele vechi nu mai sunt, schimbând curba ofertei și
modificând prețul de echilibru.
În ceea ce privește dinamica sistemului, ecuația caracteristică este:

Modelul de semn al ecuației (3.87) depinde de semnul lui (β1 – α1 – γα2) / β1 și este fie
(+, -, -) sau (+, +, -). În ambele cazuri avem o s chimbare de semn și o continuitate , deci avem o
rădăcină pozitivă și una negativă. Putem spune și acest lucru din faptul că – (α1 / β1), care este
produsul rădăcinilor, este negativ. D acă rădăcinile erau complexe, terme nul final din partea
dreaptă a e cuației (3.87) ar trebui să fie pozitiv, deci faptul că este negativ înseamnă că rădăcinile
sunt reale. În mod clar pentru ca acesta să fie negativ, rădăcinile trebuie să aibă semne opuse.
Faptul că una dintre rădăcini este negativă înseamnă că sistemul va afișa alternanțe – aceasta este
în mod evident o consecință a prezenței elementelor de păianjen. Adăugarea ecuației de intrare
fermă nu a schimbat acest lucru.
Verificând condițiile de sta bilitate, pentru stabilitate avem nevoie de :

Expresia (3.88) devine γα2 / β1> 0 care este în mod clar satisfăcută. Condiția (3.89) este
de asemenea satisfăcută din construcție. Aceasta ne lasă cu ecuația (3.90) care poate fi redusă la
β1> α1 + γα2 / 2 un de β1 este panta (valoarea absolută a) curbei cererii, α1 este panta curbei de
aprovizionare, γ este intrarea fermă la parametrul de viteză și α2 ne indică cât de mult se
schimbă curba de aprovizionare a pieței ca răspuns la intrarea noilor firme.
În model ul original al pânzei de păianjen, stabilitatea impunea să fie mai abruptă curba
cererii decât curba de aprovizionare. În cazul de față, acest lucru nu este suficient: curba cererii
trebuie să fie chiar mai abruptă (sau mai elastică la preț) pentru a compe nsa schimbarea curbei de
aprovizionare datorată intrării ferme.
În principiu, o creștere a lui P în perioada t – 1 are două efecte în perioada t: determină
întreprinderile existente să -și mărească producția cu o sumă determinată de panta curbei de
ofertă, termenul α1, și de asemenea, determină firmele să intre. Astfel, o creștere a lui P în t -1
are un efect dublu asupra aprovizionării în perioada t, ambele efecte având tendința de a crește
cantitatea de producție oferită spre vânzare pe piață. Prin urmare, avem condiții mai stricte
plasate pe panta curbei cererii.
Fără a determina efectiv rădăcinile ecuației (3.87) putem spune că rădăcinile sistemului
vor fi reale (deci nu vor exista oscilații în preț) și că sistemul va avea o rădăcină pozitivă și una
negat ivă (astfel încât vor exista alternanțe de preț) și că stabilitatea sistemului depinde de panta
curbei cererii față de cele două efecte care reflectă răspunsul ofertei în perioada t la schimbări în
preț în perioada t – 1.
În dezvoltarea modelului pânză de păianjen cu intrare fermă, a trebuit să facem anumite
artificii și să reducem câteva ecuații la una singură. Doar câteva modele de ordin superior pot fi
derivate î n acest mod, dar se dovedește că putem extrage o mulțime de informații din sistemele
de ecuaț ii fără să trebui ască să le reducem . Vom lua în considerare modele de acest tip în
următoarele capitol e.

Exerciț iu:
Se consideră ecuațiile:

și

Dar schimbați

La

Derivați o nouă ecuație diferențială în variabila p;

Cap. Al III -lea. ECUAȚII DIFE RENȚIALE NELINIARE

Introducere

Modelele discutate până acum au fost practic liniare, iar analiza a fost în termeni
ecuațiilor diferențiale liniare.
În practică, multe modele economice produc relații dinamice neliniare. Probabil, cel mai
des întâlnit dintre aceste modele sunt diferite modele de creștere economică, dar modelele de
consum de tipul celor la care ne -am referit până acum dau și relații neliniare, mai ales atunci
când funcția de utilitate nu este membră a unei clase de funcții destul de restri ctive.
În sensul larg , introducerea neliniarității nu schimbă esența unei ecuații diferențiale: o
privim în continuare ca o ecuație care descrie evoluția unei variabile în timp. Se întâ mplă să
scriem ceva de genul x t+1 = f(xt) în loc de ceva de genul x t+1 = a + bx t. Forma neliniară include
forma liniară ca un caz particular și permite dezvoltarea unei game mult mai largi de tipuri de

traiectorii. Cel mai bine putem v edea acest lucru considerând nelinaritatea funcției f (x) pentru
diagrama de fază a unui FODE .
Diagrame de fază
Considerăm cazul în care x t+1 = f(x t) cu f ’(x)> 0 și f’’(x) <0. Fie f (0) = 0. Reținem că, în
aceste ipoteze, în timp ce panta funcției f(x) funcția se aplatizează pe măsura creșterii lui x, ea nu
devine niciodată negativă.
Dacă reprezen tăm grafic această curbă într -un sistem ortogonal care are x t+1 pe axa
verticală și x t pe axa orizontală, obținem ceva care arată ca în Figura 6.1 (a ). Am reprezentat de
asemenea , și o dreaptă la 450 pe Figura 6.1 (a). Ca și în cazul diagramei de fază pent ru un FODE
liniar, intersecția celor două curbe marc hează un punct de echilibru, punct ul în care x t+1=xt.
Deoarece funcția f (x) și dreapta la 450 trec prin zero, x t+1=xt=0 este un echilibru al
sistemului. Dacă am avea de -a face cu un FODE liniar, acesta a r fi singurul echilibru al
sistemului.
În figura 6.1(a), totuși, există un al doilea punct în care curba f(x) taie dreapta de 450, la
valoarea lui x pe care am notat -o cu x* și deoarece acesta este un punct în care x t+1=xt, atunci el
este de asemenea , un p unct de echilibru. O ecuație diferențială neliniară poate avea, atunci,
echilibre multiple, câte unul pentru fiecare dată când funcția f (x) traversează linia de 45◦.

Figura 6.1 Diagrame de fază pentru ecuații diferențiale neliniare.
În figura 6.1 (a), așa cum am trasat -o, al doilea punct de echilibru, cel superior, are loc
într-un punct în care linia f(x) traversează dreapta de 450 deasupra, cu o pantă pozitivă și mai
mică decât 1. În schimb, la primul punct de echilibru, mai mic, cel de la origin e, curba f(x) are o
pantă pozitivă mai mare decât 1.
Din cele arătate anterior ș tim despre liniile FODE că atunci când echilibrul unei ecuații
liniare este asociat cu o pantă pozitivă, x se va apropia de ea sau se va aba te de la ea în mod
monoton. R ezultat ul care duce la cazul neliniar este ușor de observat . De asemenea, putem vedea
prin analogie cu cazul liniar , că atunci când panta funcției f (x) la echilibru este mai mică de cât 1,
echilibrul este stabil și când panta este mai mare decât 1, echilibrul este instabil. În ceea ce
privește figura 6.1 (a), aceasta înseamnă că echilibrul mai mic, la x = 0, este instabil și că cel
superior, mai mare, la x = x *, este stabil.

Translatând aceste observații în comportamentul lui x, putem observa că, dacă x 0,
valoarea inițială a lui x, este la oricare dintre echilibre, atunci valoarea lui x nu se va schimba în
timp. Dacă x 0 este fie mai sus, fie chiar sub 0, sistemul se va abate de la zero, iar dacă x 0 este
deasupra sau chiar sub x*, sistemul va converge la x*.
De fapt, așa cum am arătat în figura 6.1 (a), dacă valoarea inițială este oriunde pes te 0,
sistemul va converge la x * fie de sus, fie de jos, în timp ce , dacă valoarea inițială este oriunde
sub 0 (presupunând că valori le negative sunt admisibile, dar de multe ori nu este valabil în
aplicații economice), siste mul va fi diveregnt m ai jos de 0.
Strict vorbind, stabilitatea echilibrului la x* ar trebui să fie caracterizată ca stabilita te
locală, deoarece sistemul va converge la x * numai dacă se întâmplă ca valoarea ini țială să scadă
într-o zonă locală în jurul echilibrului – în acest caz se întâmplă ca în zona locală toate valorile să
fie strict mai mari decât zero. Dacă funcț ia f(x) a fost liniară, cu o pantă pozitivă și mai mică
decât 1 în cazul în care taie dreapta s ituată la 450 în x*, sistemul ar converge la x* indiferent de
locul în care s -a întâmplat să fie valoarea sa inițială. Î n acest caz, ne vom referi la x * ca fiind un
echilibru stabil la nivel global. În mod evident, ori de câte ori avem mai multe echilibre ,
stabilitatea va fi mai degrabă locală decât globală.
În figura 6.1 (b) am schimbat forma lui f(x) astfel încât, după tăierea dreptei de 450 în x*,
ca în figura 6.1 (a), se curbează apoi înapoi și se intersectează din nou la x**. Acum, x** este de
asemene a un echilibru și, din faptul că panta lui f(x) este mai mare decât 1 în acel moment,
putem vedea că este un echilibru instabil.
Dacă valoarea inițială a sistemului este deasupra acestui nou echilibru, atunci x se va
îndrepta spre infinit (presupunând, des igur, că nu există un alt echilibru mai sus decât acesta).
Echilibrul la x* este încă stabil local, dar acum vecinătatea în interiorul căreia valoarea inițială a
lui x trebuie să stea pentru ca sistemul de convergență la x* să fie diminuat: sistemul va
converge la x* dacă valoarea sa inițială se află în intervalul deschis dintre 0 și x ** (adică de
oriunde doar puțin peste 0 și până oriunde puțin mai jos de x **, dar fără a include niciuna dintre
aceste valori pentru punctul final – dacă începe de la 0 sau la x** atunci va rămâne acolo).
Convergența spre un echilibru precu m x* nu trebuie să fie monoton ă. În figur a 6.1(c) am
schimbat funcția f (x) astfel încât panta sa la x* (care este încă un punct de echilibru) este
negativă, dar mai mică decât 1 în valoare ab solută (adică o fracție negativă). În acest caz,
echilibrul este încă stabil, dar calea de -a lungul căreia sistemul converge spre el afișează

alternanțe. De fapt, după cum am arătat în figura 6. (c), dacă valoarea inițială a lui x este chiar
deasupra echili brului inferior, calea de timp a lui x va fi inițial monoton ă, cu alternanțe ce apar
doar când x se apropie x*.
Prin urmare, nonlinearitatea poate duce la amestecuri interesante de proprietăți ale seriilor
de timp în seturile de date. Ele pot deveni chiar mai interesante decât am crezut: să presupunem
că desenați o diagramă de fază cu două ech ilibre, unul la zero și unul la x*, ca în figura 6.1 (a),
dar curba f(x) trasată taie dreapta de 450 în x* cu o pantă care este negativă și mai mare decât 1,
în valoare absolută, astfel încâ t ambele echilibre sunt instabile. E ste posibil ca sistemul să afișeze
alternanțe apropiate de echilibrul superior?
Experimentarea cu traiectoriile obținute de o diagramă de genul a cesta sugerează că ceea
ce vom vedea este un comporta ment destul de haotic, dar vom discuta despre haos într -o
paragraf ulterior .
Aici, în discuția noastră , am evaluat stabilitatea unui punct de echilibru prin analizar ea
modului în care curba f(x) taie o diagramă de fază. Din moment ce privirea la o diagr amă nu este
niciodată suficient ă pentru a dovedi ceva, avem nevoie de ceva mult mai formal. Problema
evidentă privind testarea stabilității prin calcularea pantei curbei lui f(x) este aceea că, valoarea
pantei se modifică pe măsură ce ne mișcăm de -a lungul cu rbei, ceea ce înseamnă că orice
declarație pe care o facem despre pantă se aplică numai porțiunii curbei în apropierea punctului
la care se calculează panta.
Acest lucru a fost dedus din discuția noastră de spre diagrame . Acolo am vorbit despre
panta lui f( x) în apropi erea echilibrul ui inferior, arătând că echilibrul era instabil ș i am vorbit
despre panta lui f (x) în apropierea echilibrul ui superior arătând că echilibrul a fost stabil, dar nu
am atras concluzii directe asup ra stabilității din panta lui f (x) la punctele dintre cele două
echilibre. Dar, dat fiin d faptul că am trasat funcția f (x) ca fiind continuă și diferențiată (adică fără
colțuri), dacă panta ei este mai mare de cât 1 la echilibrul mai mic și mai mică de cât 1 la partea
superioară, trebuie să e xiste un punct între cele două echilibre care să fie egal cu 1, fapt care nu a
intrat în discuția noastră despre stabilitatea oricărui punct de echilibru.
Liniarizarea ecuațiilor diferențiale neliniare
Când studiem în mod formal stabilitatea echilibrului d erivat dintr -o ecuație diferențială
neliniară, cel mai bun lucru pe care îl putem face este să studiem stabilitatea într -o zonă relativ
mică în jurul echilibrului. Facem acest lucru liniarizând funcția neliniară la echilibru și testând

aproximarea liniară a pantei. În esență, aceasta este doar o formalizare a ceea ce am făcut atunci
când am analizat panta funcției f(x) pe diagrama de fază – am apreciat stabilitatea echilibrului
prin panta lui f(x) în vecinătatea echilibrului.
Liniarizăm f(x) prin găsirea u nei extinderi în prima serie a Taylor a acestei funcții, cu
echilibrul ca punct de expansiune. În termeni generali, o expansiune de serie Taylor de primul
ordin produce o aproximare liniară față de o funcție neliniară. Această aproximare este bună
numai pe ntru o gamă limitată în jurul a ceea ce este cunoscut ca punctul de expansiune, și cu cât
este mai mare gradul de curbură al funcției originale, cu atât va fi mai mic intervalul.
Aproximațiile nu trebuie să se oprească la o expansiune de ordinul întâi – putem lua
expansiunea la o comandă cât de mare dorim și cu cât este mai mare curbura funcției, cu atât este
mai mare ordinea de expansiune necesară pentru a o apropia mai mult . Cu toate acestea, acești
termeni de ordin mai mare introduc elemente nelin iare în expansiune și, din moment ce scopul
de a aproxima este eliminarea neliniarităților, ne oprim la cea de prim ul ordin sau la o
aproximare liniară.
Pentru a face o aproximație de serie Taylor de ordinul întâi a unei funcții generale f(x),
mai întâi selectăm valoarea lui x care determină punctul în jurul căruia vom construi o
aproximare liniară față de funcția neliniară. Pentru a fi constanți cu notația noastră, vom nota
această valoare a lui x cu x*, ceea ce înseamnă că valoarea funcției f(x) în punctul de
aproximație este f(x*). Apoi, putem scrie, aproximația funcției f(x) în orice punct arbitrar x
astfel:

De reținut că derivatul din partea dreaptă este, de asemenea, evaluat la x*. Aproape
că x este la x*, aproape că valoarea aproximării (expresia din parte a dreaptă a Ecuației (6.1)) este
mai apropiată de valoarea adevărată a funcției (expresia din partea stângă a Ecuației (6.1)).
FODE neliniare
Pentru a aplica acest lucru unei FODE neliniare, reamintim că x t+1 = f(x t) și că am folosit
notarea x* pentru a de semna un echilibru al sistemului. Aproximarea funcției în apropierea
echilibrului ne dă:

Apoi, reținem că, deoarece x* este un punct de echilibru (stabil sau instabil)
vom avea f(x*) = x* . Aceasta ne permite să scriem e cuația (6.2) ca:

Acum, definim o nouă variabilă xd care este definită ca fiind abaterea valorii curente a lui
x de la valoarea sa de echilibru. Astfel, 𝑥𝑡𝑑=𝑥𝑡−𝑥∗ și 𝑥𝑡+1𝑑=𝑥𝑡+1−𝑥∗ și vom putea rescrie
ecuația (6.3) astfel :
𝑥𝑡+1𝑑=𝑓𝑥(𝑥∗)𝑥𝑡𝑑
Pentru interpretarea Ecuației (6.4), reținem că prima derivată, f x(x*), este evaluată la un
singur punct (aici punctul de echilibru), ceea ce înseamnă că este o constantă. Având în vedere
aceasta, ecuația (6.4) devine o ecuație diferențială omogenă de ordinul întâi în xd, cu coeficienți
constanți, ceea ce înseamnă că este o ecuație liniară de diferențială omogenă de ordinul întâi.
Faptul că ecuația (6.4) este o ecuație diferențială omogenă înseamnă că echilibrul său este
la xd=0, dar din moment ce xd este abaterea originei , neschimbând x din echilibrul său, atunci
când xd = 0, trebuie să fie cazul când x=x*. Deci, dacă Ecuația (6.4) este stabilă în sensul că xd
converge pe echilibrul său, trebuie să fie și cazul în care x converge pe echilibrul său.
Echilibrul din ecuația (6.4) va fi stabil în aceleași condiții ca și echilibrul oricărei alte
ecuaț ii diferențiale liniare; când termenul pantă este mai mic decât 1 în valoare absolută. Trucul
este că panta trebuie evaluată la x*.
Putem extinde acest proces la cazul unui sistem de două FODE neliniare. Fie:

unde f (·) și g (·) sunt funcții neliniare. Punctul de echilibru ale cărui proprietăți de
stabilitate pe care încercăm să le stabilim (și din nou, poate fi una din mai multe echilibre) îl
notăm (x *, y *) ș i fie yd și xd reprezintă încă o dată variabile le definite ca deviații ale
variabilelor originale x și y din valorile lor de echilibru. Expresiile pentru aproximările de
ordinul întâi (adică liniar) față de ecuațiile (6.5) sunt:

Acum, deoarece f(y*, x*)= y* și g(y*, x*)=x*. Ecuația (6.6) poate fi scrisă sub formă de
deviație astfel:

Sistemul (6.7) conține două FODE liniare omogene pentru care matricea coeficienților
are elementele ca fiind primele derivate parțiale ale funcțiilor f și g, toate evaluate l a punctul de
echilibru. În vecinătatea din jurul echilibrului, putem lucra cu sistemul (6.7 ), în loc de sistemul
inițial neliniar, atâta timp cât extinderea dă o bună aproximare. În special, putem afla rădăcinile
sistemului (6.7) și putem evalua stabili tatea punctului de echilibru (x*, y *).
În mod evident, într -un sistem cu echilibre multiple, nu este suficient să evaluăm sistemul
(6.7) numai la unul din echilibre. Chiar dacă stabilim că punctul de echilibru în cauză este stabil,
rădăcinile ecuației (6.7) nu ne indică dacă este stabil la nivel local sau global și dacă este stabil
local, cât de mare sau mică este localitatea sa relevantă. Toate acestea înseamnă că o evaluare
amănunțită a unui sistem precum (6.5) necesită identificarea tuturor echilibrelor sa le și apoi
evaluarea proprietăților de stabilitate ale fiecărui echilibru. George și Oxley (1999) critică în
mod justificat cercetătorii care, în realitate, liniarizează în jurul echilibrului preferat și tratează
proprietățile de stabilitate locale ca și c um ar fi cele globale.
Totuși, chiar făcând toate acestea avem o imagine incompletă a dinamicii sistemului
reprezentat de ecuația (6.5). Am văzut deja că, cu un singur FODE neliniar, calea de timp a
variabilei pe care o reprezintă poate implica un amestec de traiectorii – monotone și alternante.
Mai mult, ca și în cazul sistemelor liniare, atunci când începem să ne ocupăm de cazuri cu mai
mult de o variabilă și cu mai multe rădăcini, putem intra foarte rapid într -o din amică interesantă.
Adăugarea neliniarit ăților mărește doar gama de tipuri de dinamică tranzitorie unde acestea s-ar
putea întâlni. Acest lucru nu ar conta prea mult dacă am fi fost siguri că sistemul nostru era
mereu aproape de echilibru, poate din cauza vitezei extrem de rapide de ajustare, da r dacă
credem că cele mai multe observații sunt mai degrabă dezechilibre decât puncte de echilibru, ele
pot deveni foarte importante în scopuri empirice.
Pentru a vedea cum funcționează liniarizarea într -un exemplu simplu de ordinul întâi, să
presupunem că ecuația diferențială neliniară este:

Această expresie pătratică se manifestă în expunerile privind neliniaritatea în economie,
deoarece este una dintre cele mai simple forme ale ecuației diferențiale neliniare și totuși, cu o

alegere adecvată a valorii pentru termenul scalar A, este capabilă să genereze căi de timp destul
de complexe.
Deoarece ecuația (6.8) este o ecuație de diferențială neliniară de ordinul întâi, putem
desena o diagramă de fază pentru aceasta, după cum se arată în Figura 6.2. Diagrama arată că
funcția f(x t-1) descrisă de ecuația (6.8) are interceptări orizontale la x t-1 = 0 și la x t-1 = 1 și că
funcția are o formă de U întors între interceptările orizontale , atingând un maxim la x t-1 = 1/2,
moment în care x t = A/4. Echilibrul pentru ace astă ecuație diferențială se găsește la punctele de
intersecție dintre funcția f (xt-1) și linia de 450: în cazul ecuației (6.8), echilibrele sunt la x = 0 și x
= 1 – 1 /A.
Din figura 6.2 este clar că echilibrul inferior este instabil, doar dacă cel superio r este
stabil sau nu depinde de valoarea lui A. Dacă A = 2 valoarea de echilibru a lui x coincide cu
valoarea la care f(x t-1) atinge valoarea maximă, a se vedea figura 6.2 (a).
Dacă A> 2, v aloarea x t-1 care maximizează f (xt -1) este la stânga valo rii de ec hilibru a lui
x, vezi f igura 6.2 (b). În timp ce dacă A <2, valoarea de echilibru a lui x, 1 -1 / A este mai mică
decât 1/2 și funcția f (xt -1) taie linia de 450 spre stânga maximului său, vezi f igura 6.2 (c ).
În figura 6.2 (c), la echilibru, panta lui f(x t-1) este pozitivă și mai mică decât 1 și, prin
urmare, echilibrul superior este stabil și abordarea acestuia este monotonă. În schimb, în figura
6.2 (b), panta funcției f(x t-1) este negativă la echilibrul superior, ceea ce înseamnă că abordarea
echilibrul ui va afișa alternanțe. Dacă alternanțele vor fi stabile sau nu, depinde de valoarea
exactă a pantei la echilibru.
Diferențiind ecuația (6.8) obținem expresia generală pentru pantă:

Figura 6.2
Evaluând acest lucru la echilibrul inferior, x = 0, obț inem ∂x t/∂x t-1=A și am presupus deja
că A>1. La echilibrul superior, deoarece x t=xt-1=(1 – 1 / A), expresia pentru panta lui f(x t-1)
devine:

care este pozitivă (sau negativă) deoarece A este mai mică decât (mai mare decât) 2.
Dacă ecuația (6.10) este neg ativă, echilibrul superior va fi încă stabil, atâta timp cât ecuația
(6.10) se află între -1 și 0. Aceasta necesită un A situat între 2 și 3. Dacă A este mai mare decât
3, echilibrul superior este instabil. Notăm, de altfel, că valoarea lui A nu afectează valoarea lui
xt-1, la care ecuația (6.9) este egală cu zero – maximul acestei funcții f(x t-1) va fi întotdeauna la x t-
1 = 1 / 2, deși valoarea lui xt în acel punct, A / 4, depinde doar de valoarea lui A. Deoarece
această funcție f(xt -1) va tăia întotdeauna axa orizontală la 0 și 1 și va atinge întotdeauna punctul
său de vârf la x t-1 = 1/2, rolul lui A este clar de a întinde (sau comprima) funcția pe verticală.
Dacă A este mai mare decât 3, suntem în situația interesantă de a avea două echilibre
adiacente in stabile. În mod normal, în analiza economică, presupunem că echilibrul va alterna,
stabil și apoi instabil, dar neliniaritatea ne cere să reconsiderăm această presupunere. Atunci
când un model are un echilibru instabil adiacent și valoarea inițială a lui x se află între ele, cel
mai bun lucru pe care putem să -l sperăm este că sistemul va fi stabil în Lyapunov – ceea ce
înseamnă că acesta rămâne într -o regiune bine definită, dar niciodată nu converge la un singur
punct. Deoarece, în acest caz, echilibrul sup erior este asociat cu o panta negativă a lui f(x t-1),
sistemul va afișa în mod clar alternări.
Pentru unele valori ale lui A se va stabili într -un model regulat, repetat, al alternanțelor în
jurul punctului de echilibru superior, în timp ce pentru alte val ori ale lui A sistemul nu se oprește
niciodată în sensul repetării uneia, posibil complicată , traiectorie după traiectorie . În acest ultim
caz, traiectoria este alternantă, dar aperiodică, iar în acest caz comportamentul sistemului este
denumit haotic. Vom reveni la chestiunea haosului mai jos. Înainte de a face acest lucru, totuși,
considerăm un model economic care implică o ecuație diferențială neliniară.

Un model neoclasic de bază de creștere
Exemplul economic pe care îl considerăm în continuare este m odelul de bază neoclasic
de creștere. Acest model conține ecuații diferențiale pentru două variabile, dar printr -un truc
comun cu modelele de creștere suntem capabili să -l reducem la un model cu o ecuație
diferențială de o variabilă.
Începem cu o funcție d e producție agregată:

unde Y este producția agregată, K este capitalul agregat și L este forța de muncă
agregată. Indicii de timp pentru fiecare variabilă indică faptul că nu există decalaje în procesul de
producție.
Reamintim că ne -am referit la acest c az în discuția noastră despre dinamica populației.
Tratăm populația ca o unitate unică, omogenă, cel puțin în ceea ce privește funcția de producție.
Putem scăpa de acest lucru, chiar dacă diferitele grupe de vârstă ale muncii au de fapt
productivități marg inale diferite, atâta timp cât distribuția pe vârste a populației noastre este
neschimbată în timp. Într – un model mai detaliat, vom intra în diferitele grupe de vârstă ale
muncii ca intrări separate în funcția de producție și adăugăm matricea dinamicii p opulației în
sistemul nostru.
Pentru simplitate, vom presupune că forța de muncă (care se presupune că este identică
cu populația, adică rata de participare a forței de muncă este de 100%) va crește la o rată
proporțională exogenă, în funcție de ecuația di ferențială:

Observăm că ecuația (6.12) poate fi rescrisă ca (L t-Lt-1)/Lt-1=η, deci referindu -ne la  ca
la o rată de creștere proporțională.
Capitalul crește ca rezultat al investiției nete, care este definită ca o investiție brută minus
o indemnizație p entru depreciere, iar investiția brută este egală cu economiile – acesta este un
model neoclasic, astfel încât toate economiile sunt investite în capitalul fizic productiv:

Aici δ este rata de depreciere și s este rata de economisire (exogenă). Rețineți că există un
interval de timp între momentul când se face economisirea și când apare capitalul. Această
ecuație ne arată că în această perioadă capitalul este egal cu partea nedeterminată rămasă din
ultima perioadă, plus orice economie/investiție realizată din venitul (output -ul) ultimei perioade,
care s -a transformat în noul echipament de capital din această perioadă.
În acest moment, introducem o presupunere care simplifică lucrurile. În mod specific,
presupunem că funcția de producție agregată, F(Kt, Lt) , afișează întoarceri constante la scară.
Lucrul bun despre o întoarcere constantă la funcția de producție la scară este că (se poate
demonstra că) putem scrie:

unde K t/Lt este raportul curent capital -forță de muncă și F(K t/Lt,1) este cantitatea de
produ cție pe care un lucrător unic ar putea să o producă dacă ar avea la dispoziție o sumă de
capital egală cu raportul agregat curent capital -muncă. În condiții de întoarcere constantă la
scară, producția agregată este doar nivelul de ieșire al unui singur luc rător, înmulțit cu forța de
muncă totală. De obicei, scriem ecuația (6.14) astfel:

unde k t este raportul cur ent capital -forță de muncă și f (kt) este doar o notație mai
convenabilă pentru F(K t/Lt,1), cantitatea de producție pe care o poate produce un sing ur lucrător.
Rearanjând e cuația (6.15) obținem :

care afirmă că dacă vom calcula curenții pe producție, luând producția totală și împărțind –
o la forța de muncă totală (adică calculând produsul mediu al forței de muncă), valoarea pe care
o obținem va fi id entică cu nivelul de producție pe care o are un singur lucrător în condițiile
descrise mai sus. De obicei, se notează această ieșire pe lucrător cu y t. Această proprietate de
scalabilitate a unei reduceri constante la funcția de producție de scară înseamnă că putem analiza
modelul în termeni pe cap de locuitor, ceea ce se dovedește a fi o modalitate de a rezolva
problema de a avea prea multe ecuații diferențiale.
Considerăm expresia noastră pentru capitalul agregat al perioadei curente, așa cum este
prezent at în ecuația (6.13). Împărțind ambii membrii ai ecuației (6.13) cu L t obținem:

Care, într -adevăr nu pare a fi extrem de utilă, deoarece, în timp ce în partea stângă este
raportul curent capital -forță de muncă, kt, indicele de timp din partea dreaptă nu se potrivește
perfect. Cu toate acestea, dacă înmulț im și împărțim toți termenii din partea dreaptă cu L t-1, ceea
ce înseamnă că înmulțim cu 1 și care, prin urmare, nu modifică expresia, vom avea:

Aici, termenul F(K t-1, Lt-1)/Lt-1 este în mod evident rez ultatul pe lucrător în perioada t -1,
iar termenul K t-1/Lt-1 este raportul capital -muncă în perioada t -1 . Termenul (L t-1/Lt) este ușor de
arătat, din ecuația (6.13) de mai sus, că este egal cu 1/(1 + η). Astfel, folosind notația pe care am
dezvoltat -o mai sus putem rescrie ecuația (6.18) astfel:

care, deoarece η și δ sunt exogene, este un FODE neliniar în k.
Deoarece nu am specificat o formă funcțională precisă pentru f(k t), suntem limitați la analiza
calitativă a diagramei de fază a ecuației (6.19), dar diagramele de fază pot fi foarte revelatoare. În acest
caz, constatăm fără a demonstra că funcția de producție pe cap de locuitor sf(k t) are toate proprietățile
obișnuite de productivitate marginală, deși arată producția pe lucrător în funcție de capitalu l pe lucrător.
Cel mai important este că produsul marginal al lui k este pozitiv și diminuat:

Folosind aceste ipoteze, putem trasa diagrama de fază pentru ecuația (6.19) cu k t pe verticală și
kt-1 pe orizontală, vezi figura 6.3. Linia curbată este funcț ia k t(kt-1).
Rețineți că acesta pornește din origine, pe argumentul (destul de standard) că atunci când k t-1
este egal cu zero, f(k t-1) este egal cu zero. Panta funcției k t(kt-1) se găsește prin diferențierea ecuației
(6.19) în funcție de k t-1:

Figure 6.3 Diagrama fazelor pentru un model neoclasic de creștere.
Făcând a doua derivată obținem:

Din ecuațiile (6.20) și (6.21), funcția k t(kt-1) este inițial înclinată în mod pozitiv cu o
înclinare descendentă și ajungând la zero unde, din ecuația (6.20):

este cu siguranță posibil ca produsul marginal al capitalului pe lucrător să devină negativ
– s-ar putea să existe atât de mult capital în jurul valorii pe care muncitorii să înceapă să -l
depășească – dar la nivel macro nu este probabil o posibilitate prea gravă. În diagrama fazelor
pentru această problemă, desenați funcția k t(kt-1) cu o pantă care, în timp ce se diminuează, este
întotdeauna pozitivă.
Din Ecuația (6.19), vedem că valoarea de echilibru a lui k, k*, pentru care nu putem găsi
o expresie fără a avea o expresie matematică precisă pentru f(k), trebuie să satisfacă condiția:

unde se poate demonstra că f (k) / k = F (K, L) / K, produsul mediu al capitalului.
În raport de echilibru, raportul capital -forță de muncă trebuie să fie astfel încât produs ul mediu al
capitalului să fie egal cu (η + δ) / s, unde δ reprezintă suma care trebuie retrasă de pe unitatea de
capital pentru a înlocui capitalul uzat și η reprezintă capitalul care trebuie alocat doar pentru a se
asigura că, în perioada curentă, fiecar e lucrător nou venit este echipat cu același capital ca cel
disponibil lucrătorilor existenți.
Una dintre formele funcționale cele mai simple și cele mai utilizate în mod obișnui t
pentru funcția de producție f (k) este:

Dacă înlocuim Ecuația (6.24) în mod elul nostru, găsim, pentru nivelul de echilibru al lui
k:

Înlocuind această expresie în ecuația (6.20), constatăm că panta funcției k t(kt-1) este într –
adevăr pozitivă și mai mică decât 1, astfel încât punctul de echilibru superior este stabil.
Evaluarea pantei la echilibrul inferior confirmă faptul că pentru k = 0 este un echilibru instabil.
Reținem că echilibrul pentru această problemă este exprimat în k, raportul capital -forță de
muncă. Populația noastră și forța de muncă nu se opresc în momentul în car e ajungem la
echilibru, nici stocul total de capital. Din moment ce populația crește odată cu timpul , netul
nostru (adică după scăderea unor capitaluri pentru înlocuirea stocului depreciat) trebuie să
crească la fel, altfel , k nu va rămâne constant . Astfel , în acest model, echilibrul este definit în
termeni de capital per lucrător și, prin urmare, în termeni de producție; și dacă definim consumul
pe cap de locuitor ca fiind (1-s)f(k), în termeni de consum pe cap de locuitor.
Valorile pe cap de locuitor rămâ n constante odată ce ajungem la echilibru. Variabilele
agregate continuă să crească, însă la o rată proporțională constantă, astfel încât mărimea acestora
față de cea a populației să rămână neschimbată. Deoarece populația continuă să crească, toate
celelal te variabile agregate cheie trebuie să crească la aceeași rată pentru ca valorile lor pe cap de
locuitor să rămână neschimbate. Acest tip de creștere, totuși, nu crește consumul pe cap de
locuitor și, prin urmare, nu ridică nivelul de trai. O țară subdezvo ltată care a ajuns la un echilibru
la o valoare mică, probabil la subzistență, k * ar putea apoi să crească foarte rapid în termeni
agregați, deoarece populația sa crește foarte rapid, în timp ce nivelul de trai al populației nu se
îmbunătățește deloc .
Haos în economie
Am menționat mai devreme în acest capitol cazul unei ecuații diferențiale neliniare cu
două echilibre, ambele fiind instabile. De exemplu, luăm în considerare o ecuație diferențială
neliniară de forma:

unde limita inferioară a lui A este nec esară pentru a se asigura că sistemul afișează
oscilații la nivelul echilibrului superior, iar limita superioară este pur și simplu o chestiune de
obicei exprimată utilizând acestă formă. Schema de faze arată ca cele din figura 6.2 unde funcț ia
xt(xt-1) este un U inversat , tăind axa orizontală la x t-1=0 și din nou , la x t-1=1. Privind punctele de
intersecție di ntre această funcție și linia de 450 vedem că are două echilibre, echilibrul mai mic la
zero și cel s uperior la o valoare pozitivă x *. De asemenea, a șa cum am observat mai devreme,
maximul e cuației (6.25) se găsește la xt-1=1/2, și atunci la acea valoare a lui xt-1, xt=A/4. Prin

restrângere, A nu trebuie să fie mai mare de cât 4, și vom păstr a ambele valori ale lui xt-1 și xt în
afara intervalului [0, 1 ].
Atunci când sistemul nostru generează acest tip de diagramă de fază, există praguri în
comportamentul acestuia, astfel încât micile modificări ale valorii lui A pot duce la schimbări
dramatice în tipul de traiectorie i pe care o urmează x. Pentru valori ale lui A între 2 și 3, avem
variații convergente directe, dar pe măsură ce A crește mai mult de 3, traiectoriile devin din ce în
ce mai complicate. Pentru unele valori ale lui A între 3 și 4, x t se stabilește în alternări periodice
– un ciclu limită, în c are se preia și aceeași serie de valori.
La A = 3.2, de exemplu, dacă este permis să funcționeze suficient de mult, sistemul se va
instala în ceea ce este cunoscut ca un ciclu de perioadă 2, sărind înainte și înapoi între
(aproximativ) 0,513045 și 0,799455 . În acest caz, avem versiunea alternativă a unui ciclu de
limită. Limitele de cicluri adecvate necesită ca sistemul să fie capabil să producă oscilații, ceea
ce înseamnă că trebuie să avem de -a face cu un sistem neliniar de ordin mai înalt înainte decât
apare. Totuși, versiunea alternantă ne dă esența ciclurilor limită.
Dacă începem sistemul chiar deasupra echilibrului inferior, el se va abate de la acel
echilibru, se ridică spre cel superior, dar pentru că echilibrul acesta este de asemenea instabil,
fără a ajunge la el niciodată în realitate. În schimb, se va soluționa modelul alternanțelor repetate
dintre cele două valori pe care le -am dat mai sus. În mod similar, dacă începem sistemul de la un
punct apropiat, dar nu egal cu cel al echilibrului superior , traiectoria lui va ieși în exterior ,
departe de echilibrul superior și din nou se va regăsi în alternanțe repetate între 0,513045 și
0,799455. Atunci, p e termen lung, ciclul în sine este un ul atractiv , stabil pentru sistem.
Pot exista, de asemenea, cicl uri limită instabile, care au aceleași proprietăți de bază ca și
echilibrele instabile. Dacă începem de la o valoare în ciclul de limită, vom rămâne pe aceeași
cale ciclică pentru totdeauna, nici convergentă, nici divergentă, dar dacă începem de o parte și de
alta a ei, ne vom abate de la ea. Aici, cazul interesant apare atunci când pornim de la o valoare
din interiorul traiectoriei ciclului limită. În acest caz, va exista, în general, un echilibru care este
un accent stabil spre care vom converge pe parcur sul timpului. În acest caz, ciclul limită
definește localitatea în interiorul căreia focalizarea este un echilibru local stabil.
Dacă mărim ușor pe A , până la 3.4, modelul se schimbă, alternând între 0.451963 și
0.842154, dar dacă luăm pe A până la 3.5, si stemul se stabilește într -un ciclu de 4 cicluri,
mergând de la 0.38282 la 0.826941 la 0.500884 până la 0.874997. Pentru A egal cu 3,84 revenim

la o perioadă de 3 cicluri, cu x (eventual) stabilindu -se între săriturile 0,149407, 0,4888004 și
0,959447.
Tranz iția dintre periodicitatea alternanțelor nu este netedă, totuși, și aici intră haosul în
imagine. Când fixăm A egal cu 3,58, sistemul alternează în jurul echilibrului superior (care în
acest caz este la x t=0,72067), dar nu se repetă niciodată și nu se regă sește niciodată într -un
model care se repetă mereu – devine aperiodic sau haotic.
Pentru economiști, haosul este de interes mai mare decât o curiozitate matematică. Cea
mai importantă este extrem de dificila deosebire a unei serii haotice de o serie aleato are. Cu
ochiul liber și cu cele mai multe teste stat istice standard pentru aleator , o serie haotică are
aceleași proprietăți ca o serie de numere aleatorii. De fapt, secvențele de numere produse de
generatoarele de numere aleatoare folosite în calculatoare și programe de calculator produc în
mod tipic, de fapt, serii haotice, nu serii aleatorii.
În timp ce seria haotică și aleatorie este practic indistinguizabilă, în special în probele
mici, acestea sunt, de fapt, fundamental diferite. O serie aleatoare nu poate fi prognozată exact.
Dacă știm funcția densității de probabilitate a variabilei aleatoare, putem asocia probabilități la
intervale de valori în care următoarea valoare observată ar putea să scadă, dar cu siguranță nu
putem anticipa următoarea valoare .
În schimb, dacă știm funcția care generează o serie haotică și dacă știm exact valoarea
curentă a seriei, putem prezice următoarea valoare din serie cu certitudine absolută.
Cerințele de informare pentru prezicerea unei serii haotice sunt enorme – trebui e să
cunoaștem valorile exacte ale parametrilor ecuației diferențiale care generează seria și trebuie să
știm exact care este valoarea sa actuală. Una dintre trăsăturile definitorii ale unei serii haotice
este sensibilitatea extremă față de valorile iniția le.
Să presupunem că luăm o funcție de haos, alegem o valoare inițială x și lăsăm funcția să
funcționeze. Vom încheia cu o serie lungă de numere, indicând valorile lui x pe care le ia în
fiecare perioadă. Să presupunem că apoi ne întoarcem și executăm acee ași funcție, cu exact
aceiași parametri, dar cu o valoare inițială foarte puțin diferită. Cele două serii vor putea fi
urmărite în mod rezonabil pentru o perioadă scurtă de timp, dar până la urmă, noua serie se va
deosebi în mod dramatic de cea veche. Dacă o ecuație diferențială prezintă comportament haotic,
schimbările mici ale valorii inițiale vor produce, pe termen lung, istorii dramatice diferite.

La început, deoarece comportamentul haotic poate fi practic indiscutabil față de
comportamentul aleator, nu a fost decât o curiozitate matematică. După un timp, însă, în alte
domenii au început să apară exemple de comportament e aparent haotic e, inclusiv în fizică și
medicină . Aceasta a determinat un număr de economiști să se întrebe dacă neregulile observate
în cele mai multe serii de timp economice și care se presupune că sunt produsul introducerii
șocurilor aleatoare în sistemele de ecuații diferențiale bine comportate ar putea fi, de fapt, un
comportament haotic. Day (1982, 1983 ) de exemplu, a arătat că model ele familiare dinamice
economice ar putea fi modificate pentru a produce comportamente haotice.
Unul dintre cazurile care s -au luat în considerare a fost modelul neoclasic de creștere
economică, cel pe care l -am descris mai sus. Day a presupus modificarea funcției de producție
(scrisă în termeni per lucrător) de la for ma standard Cobb -Douglas f(k) = Bkβ la:

unde noul termen este un efect de congestie, modificând funcția de producție Cobb –
Douglas pentru a admite un caz pe care l -am exclus din discuția noas tră anterioară – cazul în care
productivitatea marginală a lui k devine negativă. Notele lui Day , ne arată că, atâta timp cât γ
este mic, termenul de congestie nu ar avea efect prea mare până când k nu se apropie de m, dar
când k este aproape de m, congest ia poate avea un efect puternic asupra producției. Day a stabilit
că există valori ale parametrilor care , atunci când sunt introduși în e cuația (6.26), vor da tipare
haotice în k și, prin urmare, în producția pe capital.
Activitatea lui Day a determinat pe alții să caute modalități de convingere a modelelor
familiare pentru a produce comportamente haotice. Așa cum notează Frank și Stengos (1988), în
multe cazuri acest lucru nu se rezuma decât la luarea unui model care include o ecuație
diferențială și înloc uiește cea mai comună formă funcțională pentru această ecuație diferențială
cu o variantă din ecuația (6.25). În alte cazuri, totuși, cercetătorii au fost mai atenți la modul în
care au introdus dinamică haotică.
Day și Pavlov (2002) au luat unul dintre ce le mai vechi modele de ciclu de afaceri
keynesiene, un model de păianjen dezvoltat de Goodwin (1967), un model macroeconomic
keynesian, în care dinamica a intrat prin răspunsul întârziat al cheltuielilor investiționale la rata
dobânzii și a arătat cum, cu presupuneri rezonabile privind ecuația neliniară care conduce
investiția, interacțiunile dintre bunuri și piața monetară ar putea determina o serie de comportări
dinamice în venitul total.

Demonstrațiile lui Day, potrivit cărora modele economice simple ar putea arăta haosul,
nu au demonstrat desigur că seriile de timp neregulate observate în atât de multe serii economice
au fost de fapt haotice. La urma urmei, lucrul care a făcut haosul atât de interesant a fost datorat
comportamentul ui haotic atât de greu de deosebit de comportamentul aleatoriu, încât faptul că un
model ar putea fi modificat pentru a produce modele deterministe care părea u aleatori i nu a
dovedit că, seriile de timp economice au fost, de fapt, haotice.
Mai mult, în timp ce majoritatea litera turii teoretice s -a limitat la simple FODE, folosind
simple forme funcționale neliniare, ecuațiile care conduc variabilele economice reale nu se
limitează la formele ușor de manipulat. Acest lucru a ridicat probleme evidente pentru
investigațiile econometr ice ale haosului, deoarece aceasta însemna că nu există o singură ecuație
de haos bine definită care să poată fi testată empiric. În schimb, haosul a trebuit să fie căutat în
comportamentul seriilor de timp ale variabilelor economice.
Tehnicile econometric e utilizate depășesc cu mult scopul acestei lucrări.
Cunningham (1993) a făcut o lucrare interesantă de reunire a două subiecte fierbinți din
dinamica econometrică: dinamismul haosului și rădăcinii unitare, în scopul de a ridica îndoielile
cu privire la t ehnicile utilizate pentru a le testa pe fiecare.
În timp ce o parte din literatura econometrică s -a ocupat de testarea empirică a haosului
în ciclurile de afaceri, cea mai mare parte a acestuia s -a concentrat pe căutarea dovezilor de haos
pe piețele financ iare. În afara literaturii economice, autorii par să ia în seamă prezența haosului,
inspirată în parte de metafore despre sensibilitatea la condițiile inițiale – un fluture care își aruncă
aripile în China va produce o tornadă în Kansas. O bună parte a int eresului pentru haosul pieței
financiare în rândul noneconomiștilor se datorează, fără îndoială, termenului însuși – pur și
simplu se uită la comportamentul recente al piețelor financiare, ceea ce face evident pentru mulți
oameni că aceste piețe sunt haoti ce. Este mult mai ușor să înfășurați mintea în jurul unui termen
ca "haotic" decât în jurul "stochastic". Pentru majoritatea oamenilor, într -adevăr, haotic și
aleatoriu înseamnă în esență același lucru. Faptul că ei au semnificații matematice foarte diferi te
și spun povești foarte diferite despre ceea ce conduce piețele nu este, în general, înțeles.
Unii observatori ai piețelor financiare înțeleg, bineînțeles, subtilitățile și, într -adevăr,
pentru unii, diferența fundamentală dintre comportamentul haotic și aleatoriu este un subiect
atractiv și puternic. La urma urmei, dacă piețele financiare sunt mai degrabă haotice decât
aleatoare, acestea sunt, cel puțin în principiu, perfect previzibile. Frank și Stengos (1988) oferă

un exemplu simplu al unei serii de pr ețuri simulate, generate de o funcție cunoscută de haos, care
a trecut toate testele standard pentru piețe eficiente și a reținut că "puteți obține o mulțime de
bani într -o" piață eficientă "ca aceasta". Fără îndoială, pentru unele persoane, speranța de
previzibilitate și de bătaie a pieței reprezintă o mare parte din ademenirea haosului.
La un moment dat, haosul economic, în special cel aplicat piețelor financiare, părea un
program de cercetare extrem de promițător. În 1988, Frank și Stengos au susținut că , deși munca
empirică la acest punct nu a produs prea multe dovezi ale haosului, perspectiva a fost bună în
cazul piețelor pentru care au fost disponibile seturi mari de date de înaltă calitate. Au observat în
special piețele financiare și piețele de schim b valutar, dar au oferit mai puțină speranță pentru
descoperirea haosului în datele agregate ale seriilor de timp (chiar presupunând că a fost de fapt
prezent). Scriind doar câțiva ani mai târziu, Granger (1991) a concluzionat că nu există dovezi de
haos î n datele economice. O revizuire admirabilă a literaturii până în prezent sugerează că
concluzia Granger rămâne, deși există disidenți. George și Oxley (1999) care găsesc dovezi de
haos.
Acest lucru nu înseamnă că haosul a fost o cale oarbă ca program de ce rcetare
economică. Îmbunătățirea procedurilor de testare ar putea da dovadă de haos, deși trebuie să
recunoaștem că, dacă o variabilă economică care este condusă de o funcție de haos este, de
asemenea, supusă unor șocuri aleatorii, componenta haotică deter ministă a seriilor sale de timp
observate este probabil să fie umflat ă de elementul stochastic. Având în vedere sensibilitatea
funcțiilor haosului la condițiile inițiale, componenta stochastică ar trebui extrasă foarte bine
înainte de a putea trece la elem entul determinist.
Pe o notă mai pozitivă, programul de cercetare al haosului a atras atenția asupra
importanța neliniarităților în relațiile economice structurale. Liniaritatea în structura economică a
fost întotdeauna privită ca o aproximare de ordinul î ntâi la lumea reală, dar limitările acestei
aproximări au tendința de a fi trecute cu vederea. În literatura empirică despre haosul economic,
se concluzionează că ancheta lor nu a adus dovezi ale haosului, ci a adus dovezi de neliniaritate
structurală. Pe termen lung, focalizarea atenției asupra neliniarităților nonhaotice și asupra
abordării modelării acestora se poate dovedi a fi cea mai importantă contribuție a p rogramului de
cercetare în haos .

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și… [614621] (ID: 614621)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și… [614621]

Copyright Notice

53Conduita terapeutică [604103]

Guvernare electronica [601648]

Yolcu Detayları [626494]

COMPETENȚA DE COMUNICARE A ȘCOLARULUI MIC 2 C U P R I N S Pag. INTRODUCERE 5 CAPITOLUL II AASSPPEECCTTEE MMEETTOODDIICCEE PPRRIIVVIINNDD… [600608]

ASPECTE TEORETICE REFERITOARE LA CONCEPTUL [308505]

Capitolul 2 Cercetarea [613167]

Copyright Notice

Similar Posts