În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și… [614619]

MODELE ECONOMICE DISCRETE

În lucrarea de față sunt prezentate modele matematice economice precum modelele
descri se de Theil și Boot , Klein, Hendry, Ferguson și Crawford și Lim.
Rezultatele acestor modele au fost utilizate pentru a analiza și a elabora pol itici
macroeconomice. Sunt de remarcat două direcții teoretice importante în abordarea politicilor
macroeconomice. Prima direcție s -a desprins în perioada 1964 -1970 și a format teoria statică a
politicilor macroeconomice. În cadrul acestei teorii s -au stud iat interacțiunile dintre instrumente
și scopuri care se presupuneau a fi constante în timp. Cea de -a doua direcție s -a dezvoltat după
1970 și apare ca teoria dinamică a politicilor macroeconomice. Aici, interacțiunea dintre
obiectivele politice și modelul politic este abordată ca fiind variabilă în timp.
Trecerea de la modelel e statice la cele dinamice, a constituit un progres evident al teo riei
politicilor macroeconomice. S -a ridicat, însă, o serie de probleme în ce ea ce priveș te cadrul de
reprezentare a modelelor și obiectivelor dinamice. Varietatea de modele combinată cu tipurile
principale de obiective ridică problema alegerii celei mai bune combinaț ii de model ș i obiectiv
cu ajutorul cãreia se poate reprezenta sistemul economic real.
O altă problemă , dificil de rezolvat, este cea legată de introducerea, în problemele politice
dinamice, a unor funcț ii de performanță, transformarea lor în probleme de optimizare. Mult timp
problemele politice optimale au constituit punctul central în dezvoltarea teoriei p oliticilor
macroeconomice.
Teoria economică se concentrează, de obicei, pe relațiile de echilibru.
În cele ce urmează ne propunem să facem o introducere în utilizarea ecuațiilor
diferențiale în analiza economică.
Ecuația diferențială este o relație matemat ică dintre valoare unei variabile y în timpul t,
pe care o notăm y t și valoarea sa într -una sau mai multe perioade anterioare și pe care le notăm
yt-i, unde valoarea lui i reprezintă cât de departe mergem în urmă.
Dacă i=1 vom avea y t-1 și relația y t=f(y t-1) este cunoscută ca fiind ecuația diferențială de
ordinul întâi. (FODE).
Dacă lucrăm cu y t=f(y t-1, yt-2) vom avea o ecuație diferențială de ordinul al doilea
(SODE).

MODELE ECONOMIC E DINAMICE DISCRETE ÎN TIMP

În mod inerent, comportamentul economic este dinamic la nivel micro și macro –
economic. Lucrurile se schimbă în timp. Astfel, există o schimbare continuă a economiei și, de
aceea, o mare parte din analiza economică se ba zează pe timp discret cum ar fi: o lună, un
trimestru, un an, reflectând astfel , caracterul periodic de colectare a datelor și de luare a
deciziilor.
Având în vedere că economia este supusă unei serii continue de șocuri aleatoare poate să
dureze mult timp pentru ca aceasta să revină la poziția de echilibru. Este posibil ca fiecare
variabilă economică, fie că este vorba de o variabilă micro precum prețul sau o variabilă macro
precum PIB -ul, aceasta să prezinte o trecere mai rapidă prin punctele de echilibru.
Cu toate acestea, teoria economică se concentrază asupra relațiilor de echili bru. În
general, relațiile de echilibru sunt determinate de rezolvarea problemei de optimizare a
comportamentului economic.
Scopul lucrării de față este de a oferi o introducere în utilizarea modelelor bazate pe
ecuații diferențiale în analiza economică.
În general, se pornește de la ecuații diferențiale de ordinul întâi și se construiesc sisteme
de ecuații diferențiale care acoperă în timp modelele de ecuații diferențiale neliniare, procesele
haotice și modelele de optimizare în timp discret.

CAP. I. MODELE FODE

I.1.Noțiuni teoretice pentru FODE ( First -order difference equations – Ecuații
diferențiale de ordinul întâi )
Cel mai simplu tip de ecuație diferențială este o ecuație liniară, de ordinul întâi, a cărei
formă generală este:
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.1)
Într-o astfel d e ecuație, indicele este timpul "t" și nu trebuie văzut ca fiind timpul
calendaristic, ci mai degrabă ca fiind timpul scurs adică, timpul care a trecut de la procesul
dinamic pe care îl studiem. Așa cum este scris, atunci când te rmenul g este diferit de zero,
ecuația (I .1) se numește ecuație neomogenă, iar când g este egal cu zero, ecuația (I .1.1) se
numește ecuație omogenă. Mai mult decât atât , deoarece α este o constantă, e cuația ( I.1.1) este,
de asemenea, un exemplu de ecuație diferențială de ordinul întâi (FODE). Cele mai multe
aplicații econ omice ale FODE implică modele cu coeficienți constanți, deși aceasta nu este o
cerință.
Conform acestei ecuații, va loarea pe care variabila Y o ia în perioada t este egală cu o
constantă g plus un termen care dep inde de valoarea pe care Y a luat-o în perioada t – 1. În
aplicațiile economice, termenul g reprezintă toate acele variabile c are afectează valoarea curentă
a lui Y, altele decât valoarea proprie a lui Y .
Un alt mo d de a privi la ec uația (I. 1.1) este să o rescriem schimbând variabila, adică t =
Yt-Yt-1. Aceasta implică ceea ce este cunoscut ca o repara metrizare liniară a ecuației (I.1 .1), care
se reduce la redirecționarea termenilor din ecuația (I.1 .1), fără a schimba semnificația ei. În cazul
ecuației (I.1 .1), pur și simplu scădem Y t-1 din ambii membrii ai ecuației (I.1 .1) și, pentru o
interpretare mai ușoară rearanjăm termenii și obținem :
∆𝑌𝑡= 𝛼−1 𝑌𝑡−1+𝑔 (I.1.2 )
Ecuația ( I.1.2) (care conține e xact aceleași informații ca și e cuația (I. 1.1), dar este
prezentată diferit) ne indică faptul că suma cu care valoarea Y variază de la perioada t -1 la
perioada t depinde de val oarea sa în perioada t – 1, și d e valoarea lui g.
Pentru c a structura ecuați ei diferențiale să fie utilă în aplicațiile teoretice și econometrice,
trebuie să mergem mai departe și să observăm cum sunt legate valorile actuale și cele trecute ale
lui Y. Trebuie să ex tragem informații exacte despre natura acestei relații. Această informație este

denumită structură dinamică sau, câteodată, dinamica relației. Pentru a obține o idee despre cum
putem face acest lucru, considerăm o versiune mai simplă și mai omogenă a ecuației (I.1 .1):
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1 (I.1.3 )
Mai sus am spus că relația dintre Y t și Y t-1 trebuie să fie o relație de cauzalitate reală, ceea
ce înseamnă că trebuie să existe o legătură continuă în timp între valorile actuale și cele trecute
ale lui Y . Având în vedere acest lucru, putem scrie, de asemenea, Y t-1 = αY t-2 și Y t-2 = αY t-3 și așa
mai departe . Deoarece fiecare dintre aceste expresii trebuie obținută, d in definiție, apoi succesiv,
prin substituție înapoiată obținem :
𝑌𝑡=𝛼𝑌𝑡−1=𝛼2𝑌𝑡−2=⋯=𝛼𝑡𝑌𝑡−𝑡=𝛼𝑡𝑌0 (I.1.4 )
unde Y t-t este evident Y 0, și despre care putem spune că este valoarea inițială a lui Y și pe
care o presupunem c a fiind constantă .
Deoarece ecuația ( I.1.4) este obținută din secv ența de ecuații care începe cu e cuația
(I.1.3), ea nu co nține nici o informație nouă, ci doar prezintă informațiile anterioare într -o formă
ușor diferită. Motivul pentru care această formă este utilă se datoreaz ă modului în care elementul
de timp, t, apare în ecuația (I.1 .4). În loc de o ecuație în Yt și Yt-1, avem o ecuație care ne arată
cum valoarea lui Yt depinde de valoarea lui t în sine. O expresie ca aceasta, care ne dă valoarea
lui Y t în funcție de t, nu de Yt-1, este în general menționată ca fiind o funcție soluție i pentru
FODE. Funcția soluție face lumină asupra rolului pe care îl are termenul α în evoluția lui Y t.
Dacă 0 <α <1: presupunem că α este o fracție constantă, pozitivă. Apoi , pe măsură ce
timpul trece și indicele de timp, t, devine o constant ă mai mare, iar termenul αt devine constant ă
mai mic ă, ajungând la zero când se apropie de in finit. Oricare ar fi valoarea inițială Y 0, atâta timp
cât Y 0 nu este egal cu zero, după ce a trecut sufi cient timp și t a devenit suficient de mare, ecuația
(I.1.4) ne spune că Y t converge la zero .
Dacă α> 1: presupunem că α este un număr constant, pozitiv mai mare de cât 1. În acest
caz, odată cu trecerea timpului și t devine tot mai mare, și el devine tot mai mare și din e cuația
(I.1.4), indiferent cât de mică este valoarea noastră inițială Y 0 este, atâta timp cât nu este de fapt
egală cu zero, când t merge la infinit, în cele din urmă Yt merge la infinit .
Putem menționa un rezultat general: a tunci când comportamentul în timp al unei variabile
Y poate fi caracterizat printr -o ecuație difere nțială omoge nă de ordinul întâi, cum ar fi e cuația
(I.1.3), putem, prin substituție, să găsim o expresie precum (I.1.4), în care este afișată valoarea
lui Y ca funcție a indicelui de timp, t .

I.2.Modelul Keynesian

Se pare că cel mai simplu model care este reprezentat cu ajutorul lui FODE este
multiplicatorul Keynesian sau modelul Keynesian Cross. În timp ce acest model este cel mai des
folosit din punct de vedere static, procesul de adaptare de la vechi la nou asupra echilibrului
macroeconomic după un șoc este descris din punct de vedere dianmic.
Keynesismul este un a dintre cele mai prestigioase și răspâ ndite teor ii și doctrine
economice din secolul al XX-lea, considerându -se că ideile profunde și provocările revoluț iei
keynesiste au inspirat o nouă generaț ie de teoreticieni.
Economia de bază din modelul Keynesian Cross este după cum urmează:
Y=C+I+G (I.2.1)
𝐶=𝐶0+𝑐𝑌,0<𝑐<1 (I.2.2)
Unde am notat cu Y – totalul veniturilor , I – investiția totală, G – cheltuielile
guvernamentale și C – consumul de agregate . În această versiune a modelului investițiile și
cheltuielile guvernamentale sunt autonome.
În ecuația (I.2) C 0 este consumul autonom și c este înclinația marginală a consumului.
Ecuația (I.1) reprezintă condiția de echilibru Keynesian. Versiunea modelului descris aici
este în esență statică și, deci, nu depinde de timp. Starea de echilibru de scrisă în ecuația (I.1) ne
arată că totalul veniturilor este egal cu valoarea cheltuielilor agregate care reprezintă suma dintre
consum, investiții și cheltuieli guvernamentale. Înlocuind ecuația (I.2) în ecuația (I.1) obținem:
𝑌=𝐶0+𝑐𝑌+𝐼+𝐺,0<𝑐<1 (I.3)
De unde vom avea:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐶0+𝐼+𝐺) (I.4)
Unde 1
1−𝑐 este multiplicatorul simplu Keynesian. Acest model ne arată că, schimbarea
unei componente autonome (de exemplu, cheltuielile guvernamentale, G) se traduce prin
schimbarea în relația de echilibru ∆𝑌∗ cu magnitudinea de schimbare dependentă de mărimea
multiplicatorului:
∆𝑌∗=1
1−𝑐∆𝐺
În timp ce modelul static implică faptul că venitul efectiv instantaneu sare la un nou nivel
de echilibru s-au introdus textele introduc tive ale economiei pentru a putea explica procesul de

ajustare. În prezentarea acestui proces din punct de vedere matematic este necesară introducerea
anumitor ajustări î n model ul dat .
Consumul rămas
Cea mai simplă abordare pentru introducerea unui element dynamic î n modelul
Keynesian are un consum de adaptare a veniturilor cu un decalaj de timp deorece, în general,
consumatorii au nevoie de ceva timp pentru a -și adapta modelele de consum ca răspuns la
schimbările veniturilor. Adăugarea indicatorilor de tim p corespunzători ne conduc la:
𝑌𝑡=𝐶𝑡+𝐼+𝐺 (I.5)
𝐶𝑡=𝐶0+𝑐𝑌𝑡−1 (I.6)
În cazul în care nu există modificări în timp în consumul autonom, nici I și nici G,
deoarece ei nu se schimbă cu timpul în acest model.
Înlocuind (I.6) în (I.5) și rearanjând termenii obținem
𝑌𝑡=𝑐𝑌𝑡−1+𝐼+𝐺+𝐶0 (I.7)
Care este clar o ecuație diferențială liniară de ordinul I cu suma elementelor autonome ( 𝐼+𝐺+
𝐶0) ca termenul ”g”. Reținem că termenul ”g” este constant, în sensul că valorile elem entelor
sale componente, în timp ce ar putea fi endogene pentru alte modele, sunt exogene pentru acest
model. Termenul constant de aici nu înseamnă că nu se schimbă nicioadată ci înseamnă mai
degrabă că modificările valorilor termenului sunt determinate de factori strict externi acestui
model. Mai târziu vom complica modelul făcând investiții endogene.
Tratând g ca o constantă vom găsi soluția ecuației de echilibru prin stabilirea relației
𝑌𝑡=𝑌𝑡−1=𝑌∗ care dă echilibru, sau soluția particulară ca fiind:
𝑌∗= 1
1−𝑐 (𝐼+𝐺+𝐶0)
Care este exact aceeași cu expresia pentru venitul de echilibru în modelul static.
Revenind acum la modelul dynamic partea omogenă a ecuației (I.7) este 𝑌𝑡−𝑐𝑌𝑡−1=0
și presupunând că soluția părții omo gene va fi de forma 𝑌𝑡=𝐴𝜆𝑡 vom obține:

Ecuația caracteristică a lui (I.7) este (𝜆−𝑐)=0 cu rădăcina caracteristică 𝜆=𝑐. Aceasta ne dă,
soluția ecuației omogene (I.7) ca fiind:

Combinând cele două părți în soluția generală obținem:

și învocând condițiile inițiale uzuale pentru Y 0 obținem A=Y 0-Y* care produce apoi forma
dinamică

Venitu l rămas
O abordare alternativă pentru a face modelul Keynesian dianmic ar fi să se facă în mod
explicit dinamizarea ajustării veniturilor. Modelul Keynesian Cross este determinat de cerere,
oferta răspunzând la schimbările din cerere – un mod de a face modelul dynamic este să facem
aprovozionarea să răspundă cu un decalaj. În acest model, desigur, oferta agr egată este aceeași
cu cea a veni tului agregat, deci vom pune dinamica în comportamentul lui Y al identității
venitului național.
În această versiune a modelului vom înlocui expresia venitului național (I.1) cu o
expresie pentru cererea agregată, D t:

Pentru a păstra modelul foarte simplu, trebuie s ă eliminăm elementul dinamic de consum,
ceea ce face astfel încât consumul curent să depindă de venituri le curente :

Dar vom introduce dinamica prin modificarea venitului la cerere:

Unde  este viteza de ajustare în timp. Această ecuație ne arată că sch imbarea în sursa de
venit în perioada t -1 și t este o fracție din excesul de cerere în perioada t față de veniturile din
perioada t -1. Am scris elementul dinamic (I. …) sub formă diferențială deoarece acest tip de
proces de ajustare este reprezentat, de obicei, în acest mod.
Înlocuind Dt în (I. …) și rearanjând termenii sub forma unei FODE obținem:

Cu anumite artificii obținem că echilibrul sau soluția particulară a ecuației diferențiale de
ordinul I este:

Schimbarea dinamicii de ajustare a unui model nu va schimba, în general, echilibrul său.
Rădăcina caracteristică a ecuației (I….) va fi:

Astfel încât, în timp ce echilibru va fi același în cele două modele, vitezele de reglare vor
fi diferite (se persupune că c are aceeași valoare în ambele modele).

Consumul și venitul rămas
Există, desigur, și alte modalități de a face ca modelul Keynesian Cross să fie dinamic.
Putem introduce o tendință marginală în investiție și presupunem că investiția răspunde
veniturilor cu un decalaj al perioadei : . Alternativ, am putea combina cele
două modele pe care le -am examinat anterior astfel încât să avem:

În acest caz, făcând substituții adecvate, sistemul poate fi redus la:

Care are ecuația caracteristică:

Astfel că, rădăcina sistemului este care v a fi pozitivă din moment ce (1-
c) este înclinația marginală de salvare, care este presupusă în model a fi o fracție și  este
coeficientul de vite ză de ajustare a venitului, de a semenea, o fracție.
Echilibru apentru acest sistem este:

Adăugând aceasta d inamicii nu se afesctează localizarea echilibrului ci doar procesul prin
care sistemul ajunge la echilibru. Este de remarcat faptul că, în toate cazurile Keynesian Cross pe
care le -am avut în vedere , am ajuns la următoarea formă a ecuației diferențiale:

Unde  și  au luat diferite forme în diferite versiuni ale modelului. Acest lucru ridică o
problemă care s -a dovedit a fi importantă din punctul de vedere empiric al dinamicii economice:
faptul că timpul de comportament al unei serii economice, cum ar fi PIB-ul, poate fi reprezentat
ca o ecuație diferențială dar nu ne spune la care dintre posibilele modele dinamice alternative
pentru acea variabilă ne conduc. Aceasta este determinată de faptul că este necesară o analiză
economică mai atentă de fapt, analiz a econometrică.
Principalele caracteristici ale modelului Keynesian sunt:
1.Ace sta constituie o teorie dinamică a fluxurilor economice, compatibilă cu o pluralitate de
echilibre diferite, echilibrul ocupării depline neconstituind decât una dintre posibili tăți;
2.El include mai multe variabile decât modelul clasic ș i presupune , în consecință, mai puț ine
constante;
3.Modelul ia î n considerare fluxurile monetare din economie, precum ș i rolul lor activ;
4.Modelul economic constă în relaț ii de cauzalitate dintre variabilele care se inf luențează unele
pe altele și care asigură realizarea unui echilibru global;
5.În acest model investiț iile sunt co nsiderate doar un factor de creș tere imediată a venitului, nu
ca și factor de creștere a potenț ialului productiv.
6.Mo delul keynesian pune u n accent particular pe importanț a cererii globale.
Circuitul keynesian se bazează pe două condiții esenț iale de echilibru:
1)Cererea global ă efectivă = Oferta globală (D = Y)
2)Mărimea economiilor = Volumul investiț iilor (S = I)
Valoa rea produc ției oferite (Y) este egală cu venitul naț ional dist ribuit (Y = R), care trebuie să
fie convertit integral î n cheltuieli (Y = D), pentru ca circui tul să fie î n echilibru.
Două fenomene pot afecta acest echilibru:
– ieșirile (pierderile) de monedă în exteriorul circuitului, adică acele părți de venit global

creat de intreprinderi ș i care nu sunt recuperate de ele;
– injectiile, adică cererile de monedă care nu provin de la intreprinderi sub forma
remunerațiilor factorilor de producție și care intra î n circuit.
Pentru a se stabili echilibrul dintre produsul global și cheltuiala globală, este necesar ca
pierderile să fie egale cu injecț iile.
Pierderile sunt constituite prin:
– economii (S) la consumatori;
– prin importuri ( M);
– prin prelevă rile statului (T).
Injecț iile sunt reprezentate prin:
– investi ții (I);
– exporturi (X);
– cheltuieli publice (G).
Realitatea economică recentă, din ță rile avansate economic, s -a dovedit și se dovedeș te
mult ma i com plexă decâ t cea din deceniile anterioare. De aceea, modelele neoclasice ș i chiar
cele keynesiene si neokeynesiene au devenit insuficient de cuprinzătoare ș i de fundamentate
pentru a mai servi la analiza stă rilor de echilibru, respectiv de dezechilibru ale economiilor
contemporane. În aceste noi condiții, știința economică a fost pusă în fața situaț iei de a evalua
critic teoria lui Keynes despre relaț ia dezechilibru -echilibru.
Principalele aspecte negative ale teoriei keynesiene sunt:
-A creat o iluzie periculoasă, și anume iluzia că prin adoptarea și aplicarea unor măsuri de ordin
politic, monetar ș i fiscal se poate rezolva orice problema economică și socială. Toate țările foste
socialiste suferă acum de pe urma însușirii acestei iluzii, după cum înaint e de 1929 toate ță rile
occidentale au suferit de pe ur ma iluziei propagate de economiștii clasici ș i neocla sici care
credeau orbește î n legea cererii și a ofertei, în economia de piață liberă .
-Politica deficit ului bugetar prin care se finanțează investiț iile noi, s -a dovedit a fi, de asemenea
falsă. Aceasta în sensul că atunci când se schimbă dinamica sist emului economic, se va schimba
și multiplicatorul investițiilor. În plus, nu există suficien te argumente practice pe baza cărora să
se demonstreze existe nța ace stui multiplicator. Adesea, creșterea venitului național a fost mai
puțin intensă decât î nainte de efectuarea investiț iei;

-Pe termen lung, promovarea politicii monetare și fiscale, î n termenii t eoriei keynesiene, a
complicat ș i mai mult problemele economice și sociale ale ță rilor. Aceasta , deoarece prin a ceste
politici s -a dat curs creș terii datoriei publice, problemă cu care se confruntă și astăzi aproape
toate ță rile occidentale.
Se poate spune că, structurile ș i dinamicile eco nomiei contemporane fac necesară
reexaminar ea tuturor modelelor elaborate î n trecut, inclusiv a celui keynesian. In plus, este
necesar să se integreze î n modelele macroeconomice c ontemporane noile cuceriri ale științ ei
economice.
Următorul exemplu numeric v-a lămur i mai bine ceea ce nu merge în teoria lui Keynes
(admițând că am putea folosi regresia ca instrument pentru a determina înclinația marginală spre
import și spre economisire):
– dacă pe cazul unei economii avem că înclinația marg inală spre economisire s = 0,25
(adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu doar 1.25%) și înclinația marginală
spre import de 0,45 (adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu 2.25%) avem că
multiplicatorul veniturilor prin cheltuieli guvernamentale ar fi: 1/(0,25 + 0,45) adică ar fi de 1.42
(o creștere a cheltuielilor guvernamentale cu 5% ar determina o creștere economic de 7,14%)
– dacă pe cazul unei economii avem că înclinația marg inală spre economisire s = 1,25
(adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cres c cu doar 6.25%) și înclinația marginală
spre import de 1,45 (adică dacă cresc veniturile cu 5% economisirile cresc cu 7.25%) avem că
multiplicatorul veniturilor prin cheltuieli guvernamentale ar fi: 1/(1,25 + 1,45) adică ar fi de 0,37
(o creștere a cheltu ielilor guvernamentale cu 5% ar determina o creștere economic de 1,85%)
Problema se complică enorm când ambii multiplicatori sunt negativi. În economia reală
globalizată și deschisă pot fi ambii negativi adică dacă cresc veniturile consumul să scadă și să
scadă și importurile dacă românii preferă să cumpere din afară bunuri și servicii plecând în
străinătate sau dacă preferă investițiile pe piața locală sau pe piața internațională.
Atunci nu ai creștere economică ci, dimpotrivă, ai scădere economică.
Aborda rea keynesistă a lucrurilor a dus la:
1.Creșterea datoriilor publice la un nivel record;
2.Au crescut locurile de muncă în sectorul public în dauna sectorului privat (statul a devenit net
creator de locuri de muncă)

3.Dobânda monetară s -a prăbușit până la a topi orice urmă de a mai economisi ceva în economia
privată
Teoria economică pe care se bazează cea mai mare parte a intervenționismului economic
actual pleacă de la ceea ce numim „multiplicatorii” lui Keynes.
Unde greșește Keynes în această „pseudo -teorie” bazată pe astfel de multiplicatori ?
1.În primul rând pentru că asumă relația liniară dintre consum și venituri și că înclinația
marg inală spre consum este una sub unitară (c < 1 adică 1 – c > 0 adică s > 0, dacă ar lua s<0 în
multiplicatorul venitului n ațional 1/(s+m) nu mai poate spune nimic despre impactul cheltuielilor
guvernamentale asupra creșterii economice). Cu alte cuvinte, Keynes exclude posibilitatea de a
consuma mai mult decât veniturile pe care le ai (dacă cresc veniturile consumul nu poate c rește
mai mult decât cresc veniturile): acest lucru e complet eronat pentru că există și consum pe
datorie adică Keynes exclude preferința de timp (să consum mai mult în prezent în dauna
consumului viitor, care pe o expansiune a creditului poate fi chiar d estul de accelerată
această creștere a consumului față de dinamica veniturilor). Aceeași problemă există și pe
importuri unde asumă că înclinația marginală spre importuri este pozitivă (dacă veniturile cresc
neapărat trebuie să crească importurile).
2.Keyn es asumă că relația dintre consum și venituri generează înclinații marginale spre
economisire (s) și spre import (m) de semn pozitiv : în fapt toată teoria lui Keynes se bazează pe
aceste două regresii foarte simple între consum / import și venituri care po t duce la un rezultat pe
m și pe s de valoare negativă: dacă m < 0 și s <0 obținem că o creștere a cheltuielilor
guvernamentale reduce produsul intern brut adică diminuează creșterea economică;
3.Keynes exclude complet din discuție investițiile care îl înc urcă destul de tare în interpretarea
rezultatelor sale: dacă venitul crește pot să crească investițiile și nu importul sau consumul din
formula venitului național. Această falsă problemă a creșterii consumului cu orice preț arată cât
de puțin cunosc econom ie cei care nu văd că și o scădere a consumului poate fi benefică atâta
timp cât ea se duce către investiții. În plus, e destul de dificil în economie să faci distincția între
consum și investiții (nimeni nu poate spune atunci când cumpăr 10 borcane de gem din magazin
dacă le cumpăr pentru consumul imediat sau pentru consumul viitor, caz în care acest aparent
consum ar fi o investiție);
4.Toată „teoria” lui Keynes se învârte în jurul venitului național , un agregat problematic pentru
că nu ia în considerare bunurile intermediare care intră în componența acestuia și nici momentul

în care ele au fost create (de exemplu în consumul unui autoturism înregistrat de venitul
național curent se află tablă și alte materii prime produse cu un an sau doi în urmă).
Interd ependențele dintre componentele venitului național (consum și investiții, import și
investiții, consum și import) anulează din concluziile „teoriei” lui Keynes.
5.Întotdeauna mai mulți bani pentru cheltuielile guvernamentale înseamnă mai puțini pentru
consumul privat și pentru investițiile private (ceea ce teoria lui Keynes nu reflectă). Mai mult,
eficiența investițiilor private (unde piața decide falimentul) este mult mai mare. Și consumul
privat generează investiții private. Deci o teorie care spune că po ți avea creștere economică dacă
crești cheltuielile guvernamentale nu ne spune că această creștere poate fi mai mică și mai puțin
durabilă decât o creștere prin mediul privat.
Toate aceste slăbiciuni arată cât de problematice sunt politicile publice care s e grăbesc să
aloce bani în criză pentru „a salva economia” sau pentru a crea „locuri de muncă”. Ele nu fac
decât să adâncească această criză , să o prelungească mai mult decât e cazul, complicând
echilibrul natural al pieței libere . Aceste politici publice ridicate la rang de măsuri providențiale
pentru o națiune își găsesc permanent justificarea în astfel de teorii insuficient fundamentate și
superficial construite pe ipoteze discutabile. Rezultatul este o piață liberă într -un dezechilibru
mult mai mare dec ât cel la care ar fi ajuns prin acțiunile noastre de zi cu zi. Bani și resurse
cheltuite cu tot felul de institute și specialiști care plătiți din banul public mimează că pot
controla de la butoane piața liberă și pot determina echilibrul său .
Un model sim plu de stabilizare Philips

Modelul Keynesian Cross este, desigur, asociat cu politica fiscal și o extensie evident a
modelului de bază Keynessian Cross implică adăugarea unei reguli de politică fiscal în model. În
cele ce urmează vom considera o versiune a unui model dezvoltat de Philips (1954) care
încorporează o regulă de politică proporțională.
Vom pleca de la ecuațiile (I. …) și (I. ..) de mai sus, dar vom modifica termenul G t:

Unde 𝐺𝑡𝑝 este component a politicii fiscal e proporționale a cheltu ielilor guvernamentale și
𝐺0 este o cheltuială autonomă care se află în esență în afara controlului discrețional sau, cel
puțin, a cheltuielilor ce nu pot fi ajustate cu ușurință în scopul politicii fiscal. Motivul pentru care
acest model este oferit c a un model de politică proporțională constă în exprimarea în sine a lui
𝐺𝑡𝑝:

Unde 𝑌𝐹 este venitul total al ocupării forței de muncă și  este coeficientul valorii vitezei
de ajustare.
Ecuația de mai sus (I…) ne arată că sunt ajustate cheltui elile discreționare ale guvernării
în această perioadă, în scopul de politică fiscal, proporționale cu decalajul dintre venitul
total ocupat și venitul real din ultima perioadă. Dacă economia se afla la sfârșitul
perioadei de ocupare a forței de muncă, c heltuielile discreționare vor fie gale cu zero, și
dacă economia se află într -o situație inflaționistă deficitară în ultima perioadă, cu
veniturile reale mai mari decât cheltuielile discreționare totale la nivel de angajare vor fi
negative , ceea ce într -un model mai detaliat ar însemna probabil o combinație de reduceri
de cheltuieli și de majorări de impozite.
Combinând aceste ecuații vom obține ecuația diferențială pentru acest model ca
fiind:

Partea omogenă a ecuației este ceea ce ne dă ecuația carac teristică:
a cărui rădăcină este Aici  va avea probabil valoare
absolută mai mică decât 1, dar dacă  este prea mare în raport cu tendința marginală de consum,
c,  ar putea fi negativă, iar sistemul ar putea afișa alternanțe. Cu toate acestea, la valo rile uzuale
ale lui c și  acest lucru este foarte puțin probabil. Este mult mai probabil că sistemul va
converge monoton către un echilibru.
Este de reținut scrierea părții omogene a soluției ca și comparând -o
pe aceasta cu soluția omogenă a unui model fără a cosntrui o regulă explicită de politică

observăm că introducerea unei reguli explicite de politică a redus magnitudinea rădăcinii de la c
la (c-).
În acest caz, spre deosebire de altele, modul în care am introdus un nou element dinamic
a modificat localizarea echilibrului. În cazul de față echilibrul sistemului este:

Astfel încât introducerea termenului de venit agregat țintă, 𝑌𝐹, mărește valoarea
echilibrului relativ la valoarea pe care ar fi av ut -o fără a exista o regulă proporțională a politicii
fiscale și dacă cheltuielile guvernamentale ar fi egale cu 𝐺0.
De asemenea, este de notat faptul că valoarea multiplicatorului keynesian este redusă în
acest model de la 1/(1 -c) la 1/(1 -c+) deci, o creștere exogenă a investiției are un impa ct mai mic
într-un model în care guvernul urmează o regulă de stabilizare proporțională decât într -un model
în care nu se respectă o astfel de regulă. Bineânțeles, aceasta înseamnă, de asemenea, că o
reducere exogenă a investiției va avea un efect mai scăz ut asupra venitului de echilibru în
prezența unei reguli explicite de politică de stabilizare. De notat încă un punct referitor la acest
model: faptul că am intro dus o țintă explicită de angajare completă în ceea ce privește
cheltuielile guvernamentale nu ne -a redus expresia pentru venitul de echilibru la Y*=YF care ar
apărea doar dacă aceasta se întâmplă doar dacă echilibrul
sistemului ar fi fost oricum la YF.
De asemenea, vom putea rescrie ecuația (I….) ca

Unde Y0 este valoarea echilibrului nonpolitic. Dat fiind faptul că termenii care se
înmulțesc Y0 și YF la în partea dreaptă sunt fracții care se compară cu 1, echilibrul în politica
modelului nostru este o medie ponderată a valorii pe care o va avea echilibrul dacă guvernul nu a
aplicat nicio p olitică fiscală stabilizatoare, Y0, și pe deplin în nivelul ocupării forței de muncă,
YF. Aceasta înseamnă că introducerea regulii de politică fiscală atrage un echi libru deasupra

nivelului său de acțiune, dar nu este suficient pentru a atrage totul până la ocuparea integrală a
forței de muncă.
Înainte de a părăsi aceste valori fundamentale ale politicii Philips să reținem că, în
versiunea pe care am discutat -o, valor ile actuale ale lui G și C depind de veniturile din ultima
perioadă.
Să presupunem că modificăm funcția de consum, astfel încât consumul curent
depinde de venitul curent, scriind C t=C0+cY t, dar lăsăm regula politic ii fiscale neschimbată, în
funcție de ven itul din ultima perioadă. Motivul ar fi acel a că, deși, consumatorii știu ce venituri
curente sunt a tunci când își fac cheltuielile guvernul are nevoie de ceva timp pentru a calcula
venitul național , astfel încât acestea pot fi cunoscute (de fapt, estimate , dar noi nu introducem
acest lucru complicații aici) după un decalaj.
Modelul nostru devine acum:

Care dă FODE sub forma:

Din care avem partea omogenă ca fiind:

Ecuația caracteristică pentru ecuația diferențială omogenă este:

De unde obținem rădăc ina sistemului ca fiind și, la echilibru:

Care este aceeași cu expresia pe care am avut -o pentru venitul de echilibru din modelul
precedent, ecuația (I…). Rădăcina sistemului, însă, nu este diferită de rădăcina anterioară, ci este
negativă. Nu putem fi siguri că, la valori rezonabile ale lui  și c, echilibru va fi stabil.
Stabilitatea necesită (1-c) ceea ce ar trebui să fie verificat empiric.

Prin schimbarea structurii consumului întârziat vom schimba valoarea de echilibru a
sistemului și comportamen tul dianmic de la monoton la cel alternativ. Explicația diferenței este
destul de simplă în primul model Philips pe care l -am considerat , introducând funcția de politică
nu s-a adăugat nicio structură de timp nouă problemei cid oar câșiva termini. Elemente le induse
sau endogene ale cheltuielilor aggregate actuale, indifferent de consumul privat sau de
cheltuielile de politică fiscal guvernamentală, taote depend de veniturile din ultima perioadă.
În cea de -a doua versiune a modelului există o schimbare dina mică, în timp ce, partea
indusă a cheltuielilor guvernamentale din această perioadă depinde încă de veniturile din ultima
perioadă, partea indusă a cheltuielilor de consum din această perioadă depinde de venitul acestei
perioade. Rezultatul este că, chiar și în acest model simplu, dianmica devine mai complicată.
Intervenția noastră obișnuită de a fi prudenți cu privire la valabilitatea modelelor economice cu
rădăcini negative se aplică totuși și, sincer, dianmica macroeconomică foarte interesantă este
asoci ată cu modele care generează ecuații diferențiale de ordin mai mare, deci, în acest moment
ne vom întoarce de la macroeconomia elelmentară la microeconomia elementară și luăm în
considerare în model comportamentul prețurilor.
Modelul “ pânză de păianjen ”
După ce a avertizat în repetate rânduri că nu se pune prea multă încredere în modelele
care dau rădăcini negative se pare că este potrivit ca primul nostrum exemplu macroeconomic să
fie un model care, într -adevăr, ne dă rădăcini negative. Modelul pânză de p ăianjen este un model
simplu de cerere și ofertă, cu o întârziere a răspunsului dintr -o perioadă de timp, construită pe
partea de aprovizionare.
Pe partea cererii avem:

Unde 𝑄𝑡𝐷este cantitatea cerută în perioada t, 𝑃𝑡 este prețul în perioada t și 𝑌𝑡 este un factor
de schimbare a cererii, de obicei, venitul. Am scris funcția cererii cu un semn negativ în fața lui
𝛼1, deci, 𝛼1 în sine este pozitiv.
Pe partea de aprovizionare avem:

Unde 𝑄𝑡𝑆 este cantitatea furnzată în perio ada t, 𝑃𝑡−1 este prețul în perioada t -1, 𝑍𝑡 este un
factor de schimbare de aprovizionare, și 𝛽1 este pozitiv.

Aci, cantitatea livrată astăzi depinde de prețul de piață de ieri. În timp ce acest lucru se
aplică oricărui produs cu un decalaj se mnificativ între începutul procesului de producție și
furnizarea efectivă a producției pe piață, cele mai frecvente exemple sunt cele din agricultură, în
care, deciziile de plantare sunt luate pe baza prețului obținut pe piață în momentul în care trebuie
făcută plantarea, dar recolta și furnizarea efectivă a producției pe piață apare destul de mult timp
mai târziu. De reținut este faptul că, am presupus că toatăcantitatea produsă este furnizată pe
piață, adică, nu există stocare și că nimic din producție nu este distrus dacă prețul pieței se
dovedește a fi foarte scăzut în momentul în care producția este adusă efectiv pe piață.
Completând modelul cu condiția standard de echilibru :
𝑄𝑡𝐷=𝑄𝑡𝑆
ceea ce înseamnă că, în fiecare perioadă, piața actuală a prețurilor pieței se ajustează clar. Faptul
că presupunem că piața se află în echilibru în fiecare perioadă individuală nu înseamnă că
echilibrul modelului dinamic este garantat a fi stabil.
Ecuația (2.88) este o condiție de lichidare a pieței pe termen scurt, oferindu -ne ceea ce
este denumită uneori serie de prețuri de echili bru pe termen scurt. Echilibrul a ecuației
diferențiale care caracterizează sistemul ne oferă ceea ce numim prețul de echilibru de lung ă
durată și întrebarea cheie în ceea ce priveșt e dinamica pieței modelu l este dacă prețurile de scurtă
durată converg în cele din urmă la prețul de echilibru pe termen lung.
Înlocuind ecuațiile (2.86) și (2.87) în (2.88) obținem:

din care derivă o ecuație diferențială de ordinul întâi în preț:

Partea omogenă a ecuației (2.90) poate fi scrisă ca:

Dând ecuația caracteristică pentru (2.90):

Cu rădăcina caracteristică Deoarece atât α 1 cât și β 1 sunt pozitive, rădă cina
este negativă.
Echilibrul va fi stabil atâta timp cât – (β1 / α1), care este mai mic decât zero, este
mai mare de -1 (<1 în valoare absolută): o fracție negativă. Astfel, pentru stabilitate, trebuie să
avem:

care este satisfăcut atunci când α 1> β 1 ceea ce spune că, pentru ca echilibrul să fie stabil,
curba cererii trebuie să fie mai abruptă decât curba de aprovizionare. Dacă presupunem că toate
variabilele din modelul nostru sunt în formă de jurnal, stabilitatea necesită curba cererii
să fie mai elastică decât curba de alimentare.
Revenind la soluția particulară la ecuația (2.90), scr iem ecuația diferențială ca:

Observăm că toți termenii din partea dreaptă sunt constanți, în sensul că valorile lor sunt
date exogene, nu sunt determinate în cadrul modelului. Acest lucru sugerează că prețul de
echilibru, P *, va fi de asemenea o constan tă. Punând P t = P t-1 = P* și rezolvând, găsim:

P* va fi pozitiv. Este ușor de stabil it expresia pentru P *. În Ecuația (2.95) este aceeași ca
prețul de echilibru de la un model static de cerere și furnizare.
Am stabilit, deci, că atâta timp cât α 1> β 1, prețul pe care modelul pânză de păianjen l -a
făcut în cele din urmă este la fel ca prețul de echilibru static – și încă o dată , valoarea echilibrului
nu este afectată de introducere a unui element dinamic. Elementul dinamic adaugă cev a nou
modelului. Dincolo de posibilitatea ca echilibrul să fie instabil, și prețurile individuale ale pieței
nu converg niciodată pe valoa rea de echilibru pe termen lung este faptul că acesta este unul
dintre puținele modele economice în care rădăcin a ecuația caracteristică este n egativă. După cum
am văzut mai devreme, o rădăcină negativă înseamnă că, chiar dacă echilibrul este stabil, prețul
va fi alternativ deasupra și dedesubt de valoare a sa de echilibru de la perioadă la perioadă . Dacă
echilibrul pe termen lung este stabil, atunci când prețurile de echilibru de scurtă durată converg

în cele din urmă pe termen lung la prețul de echilibru, prețul și cantitatea vor scădea și se vor
opri din sărituri .
Exemplele pe care le -am considerat aici sunt probabil cele ma i frecvent utilizate
exemple de FODE, în primul rând pentru că ele formează b aza pentru o serie de mai multe
modele complicate. Întrucât acțiunea cu adevărat interesantă începe atunci când intrăm în analiza
modelelor teoretice care implică ecuații diferențiale de ordin mai îna lt, acum ne vom îndrepta
atenția spre astfel de modele.
Exerciții:
1.Pe baza relațiilor:
𝑄𝑑𝑡=𝑄𝑠𝑡
𝑄𝑑𝑡=𝛼−𝛽𝑃𝑡, (𝛼,𝛽>0)
𝑄𝑠𝑡=−𝛾+𝛿𝑃𝑡−1, (𝛾,𝛿>0)
Găsiți Q în funcție de timp și condiția pentru convergență.
Răspuns: 𝑄𝑡=𝛼−𝛽 𝑃0−𝑃 −𝛿
𝛽 𝑡
−𝛽𝑃 .
2.Având în vedere cererea și oferta pentru modelul de păianjen după cum urmează, găsiți
prețul de echilibru intertemporal și stabiliți dacă echilibrul este stabil:
a)𝑄𝑑𝑡=18−3𝑃𝑡 𝑄𝑠𝑡=−3+4𝑃𝑡−1
b) 𝑄𝑑𝑡=19−6𝑃𝑡 𝑄𝑠𝑡=6𝑃𝑡−1−5
Răspuns:
a)𝑃 =3, oscilație explozivă
b) 𝑃 =2, oscilație uniformă
3.Modelul de pânză de păianjen, ca și alte modele de piață dianmice se bazează în
principal pe piața statică. Ce presupunere economică este agentul de dianmizare în acest
caz? Explicați!
Răspuns : decalajul din funcția de alimentare.

CAP. al II-lea MODELE SODE

Modelul multiplicator -accelerator
Dacă modelul multiplicator Keyne sian Cross este unul dintre cele mai elementare dintre
toate modelele FODE din economie, extinderea acestuia la modelul multiplicator -accelerator
este unul dintre cele mai de bază dintre toate modelele SODE (Second -Order Difference
Equation – Ecuații diferențiale de ordinul al doilea ). În acest model se adaugă la modelul mai
simplu o ecuație de investi ție și obținem:

Ecuația (II. ) spune că investiția are două componente: prima, un element autonom care,
în modelul de multiplicare era întregul termen de investiție, iar a doua, un termen care depinde
cu un decal aj de variația cheltuielilor de consum. În acest model, răspunsul cheltuielilor de
investiții la cheltuielile de consum este, în general, explicat în sensul că toate cheltuielile pentru
investiții răspund așteptărilor profitului, că profiturile cresc odată cu creșterea consumului de
consum și că așteptările privind profiturile viitoare se formează miopic – este de așteptat ca
perioada următoare să fie de asemenea bună. Deviația din Ecuația (II. ), care spune că
cheltuielile de investiții depind astăzi de c reșterea de ieri a cheltuielilor de consum, reflectă
decalajele di n conversia planurilor de investiții în cheltuielile de investiții.
Pentru a obține o ecuație diferențială în Y din acest model, notăm că ecuația (II…) ne
arată faptul că, consumul în oric e perioadă, t, t -1, t -2 etc., depinde de venitul din acea perioadă
conform unei funcții de consum keynesiene. Aceasta ne permite să înlocuim C t-1 și C t-2 cu
expresii în Y t-1 și Y t-2, obținând astfel :

Apoi, înlocuind ecuațiile (3.56) și (3.54) în (3.53) și rearanjând termenii obținem ecuația
diferențială pentru model:

Deoarece partea dreaptă a Ecuației (II…) este compusă din constante și variabile care sunt
exogene pentru model, valoarea echilibrului venitului va fi ea însăși o constantă:

deci, dac ă valoarea lui I 0 în acest model este a ceeași cu valoarea investiției din modelul
de multiplicare (și termenii C și G au, de asemenea, aceleași valori ca în modelul mai simplu),
valoarea venitului de echilibru în modelul multiplicator – modelul de acceleraț ie va fi acee ași cu
valoarea venitului de echilibru din modelul de multiplicare.
Privind la dinamica sistemului putem scrie partea omogenă a ecuației (II….) ca fiind:

a cărui ecuație caracteristică este:

Rădăcinile acestei ecuații sunt:

La prima ve dere, expresia (II…) nu este deloc informativă. Cu toate acestea, putem aplica
unele dintre rezultatele pe care le -am amintit mai devreme. Mai întâi, modelul semnelor
elementelor din ecuația (II…) este (+ – +) care, din regula de semne a lui Descartes, deducem că,
dacă rădăcinile noastre sunt reale, ambele sunt pozitive. Avem de fapt o abordare alternativă la
stabilirea acestui rezultat: deoarece produsul rădăcinilor, vc / (1 – c), este pozitiv, rădăcinile
trebuie să aibă același semn, fie ambele poziti ve, fie ambele negative. De asemenea, suma
rădăcinilor, vc / (1 – vc), este pozitivă. Deoarece rădăcinile, dacă sunt reale, trebuie să aibă
același semn și suma lor trebuie să aibă o valoare pozitivă, ambele rădăcini trebuie să fie
pozitive.
Aplicând condi țiile ( 3.31), (3.32), (3.33) aceastei probleme, vedem că ecuațiile ( 3.31) și
(3.33) sunt satisfăcute (presupunând că (1 – c) este o fracție pozitivă). Pentru a satisface condiția
(3.32) avem nevoie de:

Acest lucru stabilește în mod clar o limită strânsă asupra valorilor lui v care sunt
compatibile cu stabilitatea: dacă luăm valoarea manuală comună a c = 0,8, atunci stabilitatea
impune ca v să fie mai mică decât 0,25.
În plus, pentru ca ti mpul să fie monoton , trebuie ca discriminantul sistemului să fie
pozitiv, ceea ce, la rândul său, impune condiția :

Pentru a înțelege ce implică acest lucru, dacă setăm din nou c = 0.8, comportamentul monotonic
presupune ca v să fie mai mare decât 1.
În mod clar, ecuațiile ( 3.62) și ( 3.63) nu pot fi satisfăcute în același timp.
Dacă ecuația ( 3.62) este satisfăcută, astfel încât să avem un echilibru stabil, atunci prin ecuația
(3.63), calea timpului lui Y trebuie să fie ciclică. Prin urmare, această versiune specială a
modelului accelerator multiplicator impune comportament ciclic asupra economiei.
Spunem această versiune a modelului, deoarece există și alte versiuni ale acestuia, este
modelul de bază. Am făcut ca investițiile să depindă de modificările de consum și am făcut ca
nivelul consumului curent să fie în funcție de venitul curent. O versiune alternativă ar pune și o
întârziere în funcția de consum, dar aceasta ar produce o ecuație diferențială de ordinul trei și nu
putem aborda încă exemple din acest tip de model. O altă versiune alternativă ar pune o perioadă
de înt ârziere în funcția de consum și va înlocui funcția de investiție pe care am utilizat -o cu:

În această versiune, investiția depinde direct de modificările înregistrate în venit, iar în
acest caz, chiar dacă folosim funcția de consum C t = C 0 + cY t-1, vom a junge la SODE:

Încheiem analiza acestui sistem ca exercițiu, observând doar că , în acest exemplu , este
posibil să avem o cale de timp care să fie atât monotonă, cât și stabilă.
Model de politică de stabilizare Phillips
Pentru al doilea exemplu economic a l unui model SODE, dezvoltăm din nou un model pe
care l -am considerat în capitolul anterior privind modelele de ordinul întâi. În acest capitol am
introdus modelul de stabilizare proporțională Phillips; aici adăugăm un element suplimentar
regulii de politi că fiscală.

Modelul de bază este ca înainte:

Aici investiția este din nou exogenă și am adăugat un termen guvernamental suplimentar
𝐺𝑡𝑑, care depinde de schimbarea Y între perioadele t -2 și t – 1. Conform acestui termen, dacă
creșterea Y a fost p ozitivă, avem o creștere a acelei modificări într -o reducere a cheltuielilor
guvernamentale. Acest termen al politicii, cunoscut sub numele de termen de politică derivată,
este conceput pentru a preveni creșterea economică prea rapidă și, într -un model mac roeconomic
mai complet, lăsând presiunile inflaționiste să crească prea repede.
Înlocuirea Ecuațiilor (3.67) – (3.70) în (3.66) și rearanjând termenii obținem:

care se dovedește a avea aceeași expresie pentru Y * ca și în modelul mai simplu,
proporțional cu stabilizarea:

Ecuația (3.72) ne spune că, la fel ca în modelul mai simplu, introducerea elementului de
politică nu garantează în mod automat că echilibrul va fi la un loc de muncă deplină. De fapt,
spre deosebire de termenul γ, termenul δ nu intră ni ci măcar în expresia pentru echilibru. Aceasta
nu este o surpriză, deoarece termenul δ, coeficientul de stabilizare a derivatelor, se referă la
viteza cu care se mișcă sistemul, nu la locul unde se află.
Ecuația caracteristică pentru (3.71) este:

Cu rădă cinile:

Stabilitatea necesită:

Privind aceste condiții, prima este în mod clar satisfăcută de ipotezele obișnuite cu privire
la mărimea tendinței marginale de a consuma, iar a doua este satisfăcută deoarece δ este pozitiv.
A treia condiție, totuși, dep inde de mărimile relative ale coeficienților, iar cel mai bun lucru pe
care îl putem face este să identificăm mărimile relative care să garanteze stabilitatea.
Privind la e cuația (3.74) vedem că discriminantul rădăcinilor este pozitiv, deci rădăcinile
sunt reale și nu vor exist a oscilații, dar uitându -ne la e cuația (3.73), vedem că modelul semn elor
este fie (+ – -), sau (+ + -); în ambele cazuri , există o schimbare și o continuare ceea ce înseamnă ,
prin regula lui Descartes, că avem o rădăcină pozitivă și u na negativă. Prezența unei rădăcini
negative înseamnă că, în timp ce sistemul nu va afișa oscilații, va avea un element de alternanță
cu acesta.
Există multe modele macro care pot fi reduse la ecuații diferențiale de ordin al doilea sau
mai mare și care au cel puțin potențialul de a genera comportamente ciclice. Poate că cea mai
largă clasă a acestor modele este clasa modelelor de ajustare a stocurilor, începând cu Metzler
(1941). Vom reveni la modelele macro atunci când luăm în considerare sistemele de ord in
superior: pentru exemplul următor ne întoarcem la microeconomie.
Modelul pânză de păianjen cu intrare fermă
În acest exemplu, revenim din nou la un model pe care l -am văzut în capitolul anterior
privind sistemele de ordinul întâi: modelul pânză de păian jen. De această dată, adăugăm
modelului de bază o expresie pentru intrarea fermă. Acest lucru ne obligă să facem o manipulare
destul de dezordonată a modelului, dar vom putea, în capitolul următor, să folosim acest
exemplu ca bază a unei comparații între d ouă abordări pentru modelele care implică mai multe
ecuații diferențiale.
Ecuațiile modelului pânză de păianjen sunt:

unde Q este cantitatea, P este prețul, Y este venitul consumatorului și N este numărul de
firme de pe piață.
Ecuația (3.81) afirmă că nu mărul firmelor de pe piață în perioada t este egal cu numărul
care exista u în perioada t – 1 plus un termen de ajustare care depinde de diferența dintre nivelul
prețului în t – 1 și o valoare critică, PC. Atunci când prețul în t – 1 este peste valoarea cri tică, noile
firme intră și N t > N t-1, când prețul în t – 1 este sub valoarea critică, firmele existente părăsesc și
Nt <N t – 1 și când prețul în t – 1 este egal cu valoarea critică, nu a existat nici o tendință ca firmele
să intre sau să părăsească industri a, astfel încât numărul firmelor a rămas neschimbat între cele
două perioade: N t = N t-1.
În cazul unei piețe perfect competitive, ne putem gândi la nivelul critic al prețurilor ca
fiind egal cu punctul minim pe curba medie a costurilor (comune) a firmelor. Termenul γ este un
coeficient de viteză de ajustare: cu cât este mai mare γ, cu at ât mai multe firme intră sau părăsesc
piața, ca răspuns la o abatere a prețului din ultima perioadă de la nivelul critic.
Înlocuind Ecuațiile (3.78) și (3.79) în (3.80) ne d ă:

ca și în modelul simplu al pânzei de păianjen. Problema este că acum avem o ecuație și
pentru N, deci ecuațiile (3.81) și (3.82) formează un sistem de două FODE în două variabilele , N
și P. Din fericire se dovedește că există o modalitate de a forma d in cele două ecuații o ecuație
diferențială unică.
Mai întâi, reținem că, deoarece presupunem că piața este întotdeauna în echilibru scurt,
ecuația (3.82) trebuie menținută . În acest caz, putem rearanja e cuația (3.82) astfel încât să
obține m o expresie pen tru N t:

Scriind relația (3.83) pentru t -1, obținem o expresie pentru N t-1. Înlocuind aceste expresii
în (3.81) și rearanjând termen ii obținem un SODE:

În partea dreaptă a Ecuației (3.84) avem termeni în Y t și Y t-1, dar aceasta nu înseamnă că
avem o ecu ație diferențială în Y. Pentru a avea o ecuație diferențială în Y, ar trebui să avem o
ecuație care să reflecte mecanismul care leagă curentul de valorile anterioare ale lui Y. Prezența
lui Y t și Y t-1 reflectă ceea ce este cunoscut ca un efect de ajustare întârziat, lucru cu care ne vom
ocupa în alt capitol.
Pentru moment, am finisat problema presupunând că venitul consumatorului este
constant în timp, astfel încât Y t = Y t-1 = Y 0. În mod convenabil, când înlocuim acest lucru în
ecuația (3.84), termenii cu Y din partea dreapta dispar și vom rămâne cu:

Ecuația (3.85) este SODE în P. Deoarece ecuația (3.85) am obținut -o înlocuind cererea –
oferta din condiția de egalitate direct în ecuația de intrare fermă, ea combină informațiile din
toate ecuațiile din sistem ; prezența din termenul y indică acest lucru. Este un pic regretabil că am
pierdut din vedere pe N, dar într -unul din capitolele următoare vom aborda această problemă.
Pentru moment, avem de der ivat un SODE în preț, pe care o putem analiza acum.
Din moment ce se presupune că PC este constant (nu se produce nici o schimbare
tehnologică, care ar putea schimba curba medie a costurilor firmelor), presupunem că prețul de
echilibru, P*, este de asemenea constant. Făcând substituțiile obișnuite în ecuația (3.85),
constatăm că:
P*=Pc
care spune că prețul de echilibru pe termen lung al modelului este prețul critic, prețul la
care numărul firmelor rămâne neschimbat în timp. Aceasta este, desigur, în concordanță cu
definiția echilibrului de piață pe termen lung din teo ria microeconomică introductivă și ne
afirmă, de asemenea, că informațiile din ecuația (3.81) nu au fost pierdute de sistem în timpul
calculelor noastre. Ea ne spune că dacă prețul curent nu este egal cu Pc, sistemul nu poate fi în
echilibru și având în ve dere că Pc apare numai în ecuația de intrare fermă, aceasta are loc atunci

când prețul curent nu este egal cu Pc, sau cele vechi nu mai sunt, schimbând curba ofertei și
modificând prețul de echilibru.
În ceea ce privește dinamica sistemului, ecuația caract eristică este:

Modelul de semn al ecuației (3.87) depinde de semnul lui (β1 – α1 – γα2) / β1 și este fie
(+, -, -) sau (+, +, -). În ambele cazuri avem o s chimbare de semn și o continuitate , deci avem o
rădăcină pozitivă și una negativă. Putem spune și a cest lucru din faptul că – (α1 / β1), care este
produsul rădăcinilor, este negativ. Dacă rădăcinile erau complexe, terme nul final din partea
dreaptă a e cuației (3.87) ar trebui să fie pozitiv, deci faptul că este negativ înseamnă că rădăcinile
sunt reale. În mod clar pentru ca acesta să fie negativ, rădăcinile trebuie să aibă semne opuse.
Faptul că una dintre rădăcini este negativă înseamnă că sistemul va afișa alternanțe – aceasta este
în mod evident o consecință a prezenței elementelor de păianjen. Adăuga rea ecuației de intrare
fermă nu a schimbat acest lucru.
Verificând condițiile de stabilitate, pentru stabilitate avem nevoie de :

Expresia (3.88) devine γα2 / β1> 0 care este în mod clar satisfăcută. Condiția (3.89) este
de asemenea satisfăcută din const rucție. Aceasta ne lasă cu ecuația (3.90) care poate fi redusă la
β1> α1 + γα2 / 2 unde β1 este panta (valoarea absolută a) curbei cererii, α1 este panta curbei de
aprovizionare, γ este intrarea fermă la parametrul de viteză și α2 ne indică cât de mult se
schimbă curba de aprovizionare a pieței ca răspuns la intrarea noilor firme.
În modelul original al pânzei de păianjen, stabilitatea impunea să fie mai abruptă curba
cererii decât curba de aprovizionare. În cazul de față, acest lucru nu este suficient: cur ba cererii
trebuie să fie chiar mai abruptă (sau mai elastică la preț) pentru a compensa schimbarea curbei de
aprovizionare datorată intrării ferme.

În principiu, o creștere a lui P în perioada t – 1 are două efecte în perioada t: determină
întreprinderile existente să -și mărească producția cu o sumă determinată de panta curbei de
ofertă, termenul α1, și de asemenea, determină firmele să intre. Astfel, o creștere a lui P în t -1
are un efect dublu asupra aprovizionării în perioada t, ambele efecte având ten dința de a crește
cantitatea de producție oferită spre vânzare pe piață. Prin urmare, avem condiții mai stricte
plasate pe panta curbei cererii.
Fără a determina efectiv rădăcinile ecuației (3.87) putem spune că rădăcinile sistemului
vor fi reale (deci nu vor exista oscilații în preț) și că sistemul va avea o rădăcină pozitivă și una
negativă (astfel încât vor exista alternanțe de preț) și că stabilitatea sistemului depinde de panta
curbei cererii față de cele două efecte care reflectă răspunsul ofertei în perioada t la schimbări în
preț în perioada t – 1.
În dezvoltarea modelului pânză de păianjen cu intrare fermă, a trebuit să facem anumite
artificii și să reducem câteva ecuații la una singură. Doar câteva modele de ordin superior pot fi
derivate î n acest mod, dar se dovedește că putem extrage o mulțime de informații din sistemele
de ecuații fără să trebui ască să le reducem . Vom lua în considerare modele de acest tip în
următoarele capitol e.
Exerciț iu:
Se consideră ecuațiile:

și

Dar schimbați

La

Derivați o nouă ecuație diferențială în variabila p;