Lect. Univ. Dr. CAMELIA FRIGIOIU [614501]

1
UNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS ” DIN GALAȚI

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT

COORDONATOR:
Lect. Univ. Dr. CAMELIA FRIGIOIU

CANDIDAT: [anonimizat] 2015 – 2017

2
UNIVERSITATEA „DUNĂREA DE JOS ” DIN GALAȚI

“STRATEGII DIDACTICE INTERACTIVE ÎN
PREDAREA – ÎNVĂȚAREA NOȚIUNII DE GRUP”

COORDONATOR:
Lect. Univ. Dr. CAMELIA FRIGIOIU

CANDIDAT: [anonimizat] 2015 – 2017

3
CUPRINS
pagina
INTRODUCERE…………………………………………………………………………………………………… ……5
CAPITOLUL I. GRUPURI
I.1 Lege de compoziție internă. Parte stabilă ………………………………………………….. ..7
I.2 Proprietăți ale legilor de compoziție …………………………………………………………… .8
I.3 Monoizi……………… ……………………………………………………………………. ………………12
I.4 Grupuri. Grupuri numerice……… …………………………. ……………………………. …….14
I.5 Reguli de calcul într -un grup…………………… ………………………… …………… ……….15
I.6 Grupuri de matrice……………………………………… …………………………………………..17
I.7 Morfisme și izomorfisme de grupuri………….. …………………… ……….. ………………18
I.8 Subgrupuri……………………………………………………………………. …………………………24
CAP ITOLUL II. GRUPURI FINITE
II.1 Grupuri fi nite. Tabla operației …………………………. …………… ………………… ……….31
II.2 Grupuri de permutări……………………….. …………………………. ………………………….32
II.3 Grupul claselor de resturi modulo n, ………………………… …………………. ………33
II.4 Ordinul unui element într -un grup. Grupuri ciclice………….. ……………………….35
II.5 Teorema lui Lagrange. Teorema lui Euler. Teorema l ui Fermat…….. ………….36
CAPITOLUL II I. CONSIDERAȚII METODICE
III.1 Strategii didactice interactive………………………………………… …………………………38
III.2 St ructura de grup în programele școlare………………………………………………….. 49
III.3 Evaluarea – reflectare a principiului asigurării conexiunii inverse în
învățământ……………………………………………………………………………………………………. …………. 51
CAPITOLUL IV. CERCETARE PEDAGOGICĂ
IV.1 Obiectivele cercetării și ipoteza de luc ru
IV.1.1 Scopul cercetării…………………….. ……………………………………… ……………………….62
IV.1.2 Prezentarea problemei cercetate……………………………… ……………………………….62
IV.1.3 Obiectivele ce rcetării………………………………………………………. ……………………….63
IV.1.4 Ipoteza cercetării……………………………………………………………………………….. ……63

4
IV.2 Metodologia cercetării
IV.2.1 Perioada și etapele cercetării…………………………………………………………………… .64
IV.2.2 Participanți. Caracteristici……………………………………………………………………… .64
IV.2.3 Metode și tehnici de cercetare utilizate…………………………………………………….. 66
IV.2.4 Proceduri de lucru în etapa ameliorativ – formativă…… …………………………… .66
IV.3 Prezentarea, analiza și interpretarea datelor cercetării
IV.3.1 Rezu ltate obținute la evaluarea inițială……………………….. ……………………………85
IV.3.2 Rezultate obținute la evaluarea formativă……………………. …………………………..91
IV.3.3 Rezultate obținut e la evaluarea finală……………………………… ……………………….98
IV.3.4 Interpretarea rezultatelor în acord cu cadrul t eoretic și ipoteza de lucru….104
CONCLUZII………………………………………………… …………………….. ……………………….. ……….106
BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………. …………………….107

5
INTRODUCERE
Matematica are o reputație de disciplină aridă, abstractă, greu de asimilat, cu
aplicabilitate restrînsă. De multe ori, cei care o studiază – de voie sau de nevoie – (își) pun
întrebări de genul „la ce folosesc toate aceste definiții, notații, axiome, teoreme, … ?”. Dintre
ramurile matematicii, algebra excelează în această direcție, în special algebra „abstractă” (sau
„axiomatică”, sau încă „modernă”), care se ocupă de structur ile algebrice.
De unde provine această reputație? Convingerea noastră este că ea se formează din
experiența contactelor cu algebra din cursul gimnaziului și liceului. Adesea, însuși profesorul
de matematică nu este foarte convins de utilitatea studiului anumitor noțiuni și, în consecință,
transmite elevilor doar o imagine formală și seacă, din care motivațiile, exemplele și aplicațiile
sînt neglijate sau absente cu totul (uneori este „de vină” volumul mare de cunoștințe ce trebuie
predat). Doar o cunoaștere aprofundată a conceptelor, care nu are cum să fie cantonată la
nivelul unui manual de liceu, poate duce la conceperea unor lecții atractive, în care noțiunile
nu sînt introduse în mod artificial, ci sînt însoțite permanent de exemple și aplicații, lecții în
care să aplicăm metodele interactive.
Pe baza experienței practice pe care am acumulat -o în munca cu elevii și a studiului
literaturii de specialitate, în această lucrare mi -am propus să demonstrez că utilizarea
metodelor activ -participative accelerează însușirea noilor cunoștințe, formarea p riceperilor și
deprinderilor. Se contribuie astfel la dezvoltarea tuturor proceselor psihice și se stimulează
interesul pentru învățare al elevilor din ciclul liceal.
Lucrarea de față este structurată pe 4 capitole:
_Capitolul I Grupuri prezintă legea de compoziție internă cu proprietățile ei, structurile de
monoid și de grup, morfisme și izomorfisme de grupuri, subgrupuri;
_Capitolul II Grupuri finite prezintă grupurile finite cu tabla op erației, grupuri de permutări,
grupul claselor de resturi modulo n, ordinul unui element într -un grup, teoreme.
_Capitolul III Considerații metodice prezintă strategiile metodice interactive, strucura de grup
în programele școlare ș i despre evaluarea la matematică;
_Capitolul IV Cercetare pedagogică în care mi – am propus s tudierea posibilităț ilor de

6
implementare a metodelor interactive in lecțiile de matematică, clasa a XII -a, prin curriculum
si a șanselor elevilor de a -și dezvolta spiritul critic.
În urma analizei obiective a rezultatelor obținute în etapa evaluării consider că s -a
confirmat ipot eza demer sului investigativ – utilizarea metodelor activ -participative îmbinate cu
cele tradiționale în activ itatea instructiv -educativă conduce la stimularea interesului pentru
învățare a elevilor, îi implică activ în propria lor formare asigurându -se astfel o creștere a
rezultatelor școlare și implicit realizarea succesului școlar.

7
CAPITOLUL I
GRUPURI

I.1 Lege de compoziție internă. Parte stabilă
Lege de compoziție internă
Operațiile cu numere, vectori și matrice se caracterizează prin faptul că unei perechi ordonate
de elemente i se atașează în mod unic al treilea element. Aceată idee conduce la
Definiția 1 . “Fiind dată o mulțime nevidă M, se numește operație algebrică internă sau lege
de compoziție internă, definită pe M, orice funcție
: M M M, ( x, y) (x, y). “
(N. Radu și colab. : Algebră pentru perfecționarea profesorilor, E.D.P. București, 1983. )
Așadar la orice pereche (cuplu) (x, y) M M, această operație face să corespundă în mod
unic elementul (x, y) din aceeași mulțime M. Uneori în loc de (x, y) se desemnează
operația binară pe M printr -un simbol special: *, °, , , , , , , , ….
Urmând această cale vom numi x y (sau xy ) produsul și x + y suma elementelor x, y M .
În primul caz vom spune că legea este dată multiplicative, iar în al doilea aditiv.
În general, pe o mulțime M se pot defini mai multe operații diferite. Când dorim să punem în
evidență una dintre ele vom utilize parantezele (M, ) și vom spune că operația conferă
mulțimii M o structură algebrică.
Exemple cunoscute de legi de compoziție.
1. Adunarea și înmulțirea în mulțimea a numerelor naturale, în mulțimea a numerelor
întregi, în mulțimea a numerelor raționale, în mulțimea a numerelor reale și în
mulțimea a numer elor complexe.

8
2. Compunerea pe (M) (mulțimea funcțiilor definite pe M cu valori în M ) este aplicația
: (M) (M) (M), (f, g) f g.
3. Reuniunea pe (M) (mulțimea părților lui M , reprezintă toate submulțimile lui M)
este definită prin : (M) (M) (M), ( A, B) A B.
4. Intersecția pe (M) este definită prin : (M) (M) (M), ( A, B) A B.
5. Fie n 1 un număr natural. Pe mulțimea = , , , …, a claselor de resturi
modulo n, definim următoarele operații algebrice:
( , ) = a b ( numită înmulțire) și ( , ) = a +b ( numită adunare).
6. Adunarea și înmulțirea pe ( ) (mulțimea matricelor pătratice de ordin n cu
elemente numere complexe ).
Parte stabilă
Dacă (M, ) este o structură algebrică, iar H este o submulțim e nevidă a lui M, atunnci pentru
x, y H elementu l x y poate să fie în mulțimea H sau să fie în afara ei.
Definiția 2. Dacă pentru orice x, y H, compusul x y aparține tot lui H, atunci spunem că H
este parte stabilă a lui M în raport cu operația .
Deci H este parte stabilă a lui M în raport cu x, y H x y H.

I.2 Proprietăți ale legilor de compoziție
P1. Asociativitatea.
Fie M o mulțime. O lege de compoziție : M M M, ( x, y) x y se numește
asociativă dacă ( x y) z = x (y z), x, y, z M.
Dacă H este parte stabilă a lui M în raport cu legea și dacă legea este asociativă pe M ,
atunci rămâne asociativă și pe H.
Observații:

9
1. În scrierea multiplicativă, condiția de asociativitate se scrie (xy)z = x(yz), x,y, z M
iar în scrierea aditivă : ( x + y) + z = x + (y + z ), x, y, z M.
2. O lege nu este asociativă dacă există x, y, z M pentru care ( x y) z x (y z).
3. Dacă , , … , M și pe M legea este asociativă , atunci prin compunere a
elementelor date ( în această ordine ) înțelegem … element din M
obținut prin recurență. Pentru n = 1 el este . Dacă am obținut elementul …
, atunci … = ( … ) .
Exemple:
1. Operațiile de adunare și înmulțire pe fiecare dintre mulțimile .
2. Adunarea și înmulțirea matricelor pe ( ).
3. Operația de compunere a funcțiilor pe (M).
4. Reuniunea și intersecția pe (M).
Contraexemple:
1. Scăderea pe (exemplu 3 – (5 – 9) (3 – 5 ) – 9).
2. Împărțirea numerelor reale strict positive ( exemplu ( 8 : 4 ) : 2 8 : (4 : 2 )).
3. Ridicarea la putere pe ( de exemplu .
4. Diferența de mulțimi pe ( ( exemplu ( – (0 ; )) – (- ; 0) – ((0 ; ) –
(- ; 0)).
P2. Comutativitatea.
Fie M o mulțime.O lege de compoziție : M M M, ( x, y) x y se numește
comutativă dacă x y = y x, x, y M.
Dacă H este parte stabilă a lui M în raport cu legea și dacă legea este comutativă pe M ,
atunci rămâne comutativă și pe H.
Exemple:
1. Operațiile de adunare și înmulțire pe fiecare dintre mulțimile .
2. Reuniunea și intersecția pe (M).

10
3. Adunarea și înmulțirea funcțiilor pe (M).
4. Adunarea matricelor pe ( ).
5. Adunarea și înmulțirea pe .
Contraexemple:
1. Scăderea pe (exemplu 3 – 5 5 – 3 ).
2. Operația de compunere a funcțiilor pe (M).
3. Înmulțirea matricelor pe ( ).
P3. Element neutru.
Spunem că elementul este elementul neutru pentru operația : M M M, ( x, y)
x y, dacă , x M.
Teoremă. Dacă o lege de compoziție admite element neutru, atunci acesta este unic.
Demonstrație. Vom arăta că dacă ar exista două elemente neutre pentru legea
atunci acestea coincide. Avem x M (1)
x M (2).
În (1) punem și rezultă , (3) iar în (2) facem și obținem
= = , (4). Din (3) și (4) rezultă = .
Observație. Dacă H este parte stabilă a lui M în raport cu legea și dacă este
elementul neutru pentru legea , atunci dacă H, acesta este elemental neutru al legii pe
mulțimea H.
Exemple de legi cu element neutru:
1. Adunarea pe are ca element n eutru numărul zero, când avem x + 0 = 0 + x
= x, x.
2. Înmulțirea are ca element neutru numărul 1, când avem x
, x.

11
3. Compunerea pe (M) admite ca element neutru funcția identică de la M la M,

4. Adunarea matricelor ( ) are ca element neutru matricea nulă (cu toate elementele
egale cu zero) notată simplu .
5. Matricea unitate ( ) reprezintă elemental neutru pentru operația de înmulțire a
matricelor din ( ).
6. Pe mulțimea (M) a părților unei mulțimi M elemental neutru față de reuniune este
mulțimea vidă , iar elemental neutru față de intersecție este mulțimea totală M.
P4. Element e simetrizabile .
Fie M o mulțime nevidă, operația : M M M, ( x, y) x y cu element neutru și
x M. Spunem că elementul x este simetrizabil față de operația dată, dacă există un element
astfel încât
Dacă există cu această proprietate, spunem că este simetricul lui x în raport cu legea
Când legea este notată multiplicativ , vom spune element inversabil în loc de element
simetrizabil și element invers în loc de simetric; inversul lui x se va nota cu sau
.
Dacă legea de compoziție este notată aditiv ,vom spune opusul lui x în loc de simetricul lui x;
opusul lui x se va nota –x.
Teoremă. Fie M o mulțime nevidă, operația : M M M, ( x, y) x y asociativă și cu
element neutru . Dacă are un element simetric, atunci acesta este unic.
Demonstrație. Fie două elemente simetrice pentru x. Avem , (1) și
(2).
Atunci și teorema este demonstrată.
Exemple de legi cu elemente simetrice:
1. Elementul neutru este element simetrizabil, simetricul său fiind el însuși.
2. Față de adunarea numerelor naturale, singurul element simetrizabil este 0 (zero).

12
3. Față de adunarea pe (elementul neutru este 0), orice element este
simetrizabil (orice element x are un opus -x) deoarece x + ( – x) = ( -x) + x = 0.
4. Față de înmulțirea pe (elementul neutru este 1),singurele elemente inversabile sunt
1 (având sime tricul 1) și -1 (având simetricul -1).
5. Față de înmulțirea pe ( ) (elemental neutru este ) elementele simetrizabile sunt
matricele A cu det(A) ≠ 0, simetricul matricei A fiind matricea inversă , când

6. Față de compunerea pe (M) (elemental neutru este elementele simetrizabile sunt
funcțiile bijective, deoarece o aplicație f este inversabilă dacă și numai dacă este
bifectivă când

I.3 Monoizi
Definiție. Cuplul (M , ), unde M ≠ și este o lege de compoziție pe M, se numește monoid
dacă :
1) Legea este asociativă.
2) Legea are element neutru.
Dacă, în plus, legea este comutativă, atunci cuplul (M , ) se numește monoid comutativ.
Exemple:
1. Mulțimea numerelor naturale cu operația de adunare (respectiv de înmulțire) este
monoid comutativ cu elementul neutru 0 (respectiv 1).
2. Mulțimea numerelor întregi cu operația de adunare (respectiv de înmulțire) este
monoid comutativ cu elementul neutru 0 (respectiv 1).
Submulțimea lui formată din numerele întregi impare (notată 2 +1) cu operația de
înmulțire este un submonoid al lui ( , ).
3. Fie X≠ . Atunci ( , ( sunt monoizi comutativi cu element neutru
și respectiv X.
4. Mulțimea matricelor din ordin n cu elemente din , ( , n 2, împreună cu
operația de înmulțire este un monoid, necomutativ.

13
Elementul neutru este matricea unitate .
5. Dacă ( M, ) este monoid multiplicative și x M, fixat, atunci = {e = x0, x1, x2, … ,
xn, …. } cu înmulțirea este submonoid al lui M, numit submonoidul cilic general de x
.
Elementele x M simestristrizabile în raport cu legea le numim elemente
simestrizabile ale monoidului , Notăm mulțimea aceasta cu U(M).
Deci U( M ) = {x x M, x simestrizabil} . Evident U( M ) , deoarece elementul neutru
e M aparține lui U( M ).
Exemple:
1. Pentru monoidul ( , +), avem U( , iar pentru ( avem U( ) = {1} .
2. Pentru ( , avem U( = , iar pentru ( avem U( = { } .
3. Pentru ( avem U( ) = .
Teoremă . Fie monoid și Atunci :
1)
2)
Demonstrație.
1) Avem

.
Dacă atunci se face discuția în cazurile:

Să luăm spre exemplu cazul n,m < 0. Atunci exist ă Atunci există pentru
care Avem :

Analog se trateaz ă și celelalte cazuri.
2)
daca
Asemănător cu 1) se tratează celelalte cazuri pentru
( Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed .
Mathpress, 2004

14

I.4 Grupuri. Grupuri numerice
În jurul anului 1830, E. Galaois (1811 -1832) a extins lucrările lui Lagrange privind
soluțiile ecuațtiilor algebrice și a introdus noțiunea de grup. La acel timp, matematicienii se
ocupau deja de grupuri de transformă ri. În anul 1870, L. Kronecker a introdus grupul printr -un
set de axiome. Aceste idei au fost generalizate, la actualul concept de grup abstract, în prima
decadă a secolului al XX -lea.
Definiție. Cuplul (G , ), unde G ≠ și este o lege de compoziție pe G, se numește grup
dacă :
G1 ) Legea este asociativă , adică
G2 ) Legea are element neutru, adică astfel încât să avem

G3 ) Orice element din G este simestrizabil în raport cu , adică pentru fiecare ,
există astfel încât

Dacă în plus, legea verifică și axioma
G4 ) Legea este comutativă , adică atunci cuplul se
numește grup comutativ (abelian).
Din definiție se deduce că un grup este un monoid în care orice element este
simetrizabil, altfel spus U(G) = G.
Exemple :
1) Grupurile numerice ( pentru care verificarea propriet ăților este imediată) sunt :
Toate aceste
grupuri numerice sunt comutative.
Să demonstrăm că este un grup abelian. Pentru acestea, fie ,
. Rezultă și respectiv
, adică . Deci,
înmulțirea este lege de compoziție pe . Apoi, avem :

15
a)
b)
c) Identificând, obținem sistemul
cu soluția

d) (evident) .
2) Grupul rădăcinlor de ordinul n ale unității ,
Să dovedim că este un grup comutativ față de înmulțire :
a)
b) Înmulțirea este asociată pe , fiind comutativă în C.
c) este elementul unitate.
d)
este simetricul lui
e) Înmulțirea este comutativă pe , fiind comutativă în C.

Cazuri particulare :

Contraexemple :
1) nu este un grup deoarece nu are toate elementele simetrizabile.
2) nu este grup deoarece .

I.5 Reguli de calcul într -un grup

Teoremă. (Reguli de simplificare) Fie un grup și arbitrare. Au loc
echivalențele :
1) ( simplificare la stânga ) , .
2) ( simplificare la dreapta ) , .
Demonstrație : presupunem că pentru orice din . Fie simetricul lui
iar elementul neutru din , atunci :

16

Analog pentru simplificarea la dreapta .
Teoremă. Fie un grup și Fie simetricul lui . Ecuația are soluția
unică Ecuația are soluția unică
Demonstra ție: Dacă și sunt soluții din ale ecuației atunci atunci
deci și folosind regula de simplificare la stânga, avem
. Așadar, ecuația are cel puțin o soluție în . Fie , unde este simetricul lui
. Avem de unde rezult ă că este o
suluție (din a ecuației , soluția este unică conform primei părți a demonstrației.
Analog se arată că ecuația admite soluție unică
Teoremă. Fie (M, ) un monoid. Mulțimea U(M) a elementelor inversabile ale monoidului M
este un grup în raport cu operația monoidului numit grupul elementelor inversabile (grupul
unităților) din monoidul M.
Demonstra ție: Dacă x,y U(M) atunci x y U(M) deoarece inversul elementului x y este
, deci este operație algebrică pe mulțime a U(M). Ea este o operație
asociativă pe mulțimea U(M) întrucât este asociativă pe M. Elementul neutru M fiind
inversabil înseamnă că U(M) și astfel este element neutru și pentru operația indusă pe
U(M). Orice element x U(M) are un invers M dar și M este inversabil, deci
U(M). Remarcăm că dacă M este abelian, atunci grupul U(M) este comutativ.
Pentru monoizii ( , ( , ( , ( , ( , grupurile elementelor inversabile sunt
respectiv ( (
Teoremă. Dacă în grupul avem , , atunci grupul este abelian.
Demonstra ție: Fie x,y , arbitrare. Să probăm că xy = yx. Din x,y rezultă xy și
deci , , . Scriem egalitatea succesiv astfel (xy)(xy) =
x(yx)y = x(xy)y yx = xy (după simplificare la stânga cu x și la dreapta cu y).

17
I.6 Grupuri de matrice
Fie , K una dintre mulțimile și mulțimea matricelor pătratice de
ordin cu elemente din K .
Înmulțirea matricelor din este asociativă, cu elementul netru matricea unitate .
Rezultă că :

este un grup în raport cu înmulțirea. Acest grup se notează cu și se numește grupul
general linear de ordinul n peste K .

În cazul în care K este , avem

Vom arâta că pentru K = avem

Dacă , avem , de unde și cum
, obținem adică . Reciproc, dacă și
deducem că este inversabilă în și avem

,
unde este complementul algebric al elementului din matricea Cum
, rezultă și cum avem și , deducem că .
Definiție: O submul țime nevidă care este un grup în raport cu înmulțirea
matricelor se numește grup de matrice.
Deducem că mulțimea este un grup de matrice dacă și numai dacă :

18
a)
b)
c)
Într-adevăr, dacă avem a), b) și c), rezulă că înmulțtirea este lege de compoziție pe ,
este asociativă fiind asociativă în general, are elementul neutru este ireversibilă.
În baza aceste definiții,

sunt automat grupuri de matrice și, de asemenea,

este gr up de matrice.

I.7 Morfisme și izomorfisme de grupuri
Definiție : Fie și două grupuri. O funcție se numesc morfism ( sau
omomorfism ) de grupuri dacă are loc condiția
Mulțimea morfismelor de la la se notează cum .
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
Observa ții. 1) Un morfism de grupuri de la un grup la el însuși se numește endomorfism al
acelui grup. Pentru grupul mulțimea tuturor endomorfismelor se notează cu .
2) Un morfism de grupuri se numește morfism injectiv ( sau monomorfism ) dacă
aplicația este injectivă.
Un morfism de grupuri se numește morfism surjectiv ( sau epimorfism ) dacă
aplicația este surjectivă.
3) Orice grup fiind față de aceeași lege și semigrup (monoid), din definiție rezultă că orice
morfism de grupuri este și morfism de semigrupuri (respectiv monoizi).
Exemple cunoscute de morfisme de grupuri

19
1) Funcția fixat este endomorfism al
grupului deoarece:

2) Funcția fixat este morfism de grupuri pentru
că:
.

3) Funcția este morfism de grupuri
deoarece:
.

4) Funcția
este morfism
de grupuri pentru că :

5) Funcția , fixat este morfism de grupuri deoarece:

6) Funcția f: (
este (ca mai sus) morfism de grupuri.

7) Funcția

, este morfism de grupuri
pentru că:

8) Func tia grup comutativ, este endomorfism al grupului
deoarece:

20

9) Funcția este morfism de grupuri pentru c ă:

10) Funcția , unde este elemental netru al lui , se nume ște
morfismul constant, fiindcă :

Vom utiliza din nou nota ția multiplicativă pentru grupurile care apar, dacă nu se face o altă
precizare.
Teoremă . Compunerea a două morfisme de grupuri este tot un morfism de grupuri .
Demonstrație. Fie morfisme de grupuri.
Atunci g este de asemenea un morfism pentru c ă

(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
Teorem ă. Fie un morfism de grupuri , dac ă sunt elementele neutre din
grupurile G și respectiv G ’, atunci :
1) ;
2) ;
3) .
Demonstrație .
1) Avem Prin simplificare cu rezultă .
2) Avem: e’=f(e)= . Înmulțim aici la stânga cu și avem

21
3) Dacă se verifică 1).
Dacă

Dacă , atuci putem și deci

(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)

Definiție . Fie un morfism de grupuri.
Submulțimea lui definite prin se numește nulcleul
morfismului
Submulțimea lui definite prin se numește imaginea morfismului
Observa ție. pentru că
Exemple. 1) Morfismului constant

2) Morfismul
3) Morfismul fiind semn pentru permut ări are (grupul
altern) și .
4) Morfismul

5) Morfismul
6) Morfismul
.

22
Teorem ă. Fie un morfism de grupuri.
Atunci:
1) este un subgrup al grupului G;
2) este injectiv (monomorfism)
3) subgrup al lui subgrup al lui G’(imaginea unui subgrup printr -un
morfism este un subgrup); în particular este un subgrup al lui .
Demonstra ție.1) Trebuie dovedit că Din
Ori avem
2) Presupunem că este injectiv și probăm că
Fie Cum este injective rezult ă . Deci
rezultă egalitatea .
Reciproc, fie și să arătăm că este injectiv.
Fie deci
De aici adică sau
(înmulțind la dreapta cu y) . Așadat din , ceea ce arată că este
injectiv.
3) Trebuie probat că pentru Din se deduce că
există pentru care . Atunci
deoarece din

În final deduce că este subgrup al lui G’.
Dacă , rezultă este subgrup al lui G’.
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)

23
Definiție. Fie două grupuri. O aplicație se numește izomorfism de
grupuri dacă:
1) este morfism de grupuri;
2) este bijecție.
Dacă între două grupuri există cel puțin un izomorfism spunem că grupurile sunt
izomorfe și scriem
Observați i. 1) Un izomorfism de grupuri este un izoforfism de monoizi.
2) Un izomorfism de grupuri se numește automorfism al lui G. A ltfel spus, un
endomorfism al lui G. Mulțimea tuturor automorfismelor lui G se notează cu Aut(G). Arătați
că este grup, unde “o” este opera ția de compunere a funcțiilor.
3) Dacă este izomorfism de grupuri, atunci și are ac eeași calitate.
Exemple cunoscute de izomorfisme de grupuri
1) Aplicația identică , este izomorfism de grupuri, deci este un
automorfism al lui G.
2) Aplicația este izomorfism de grupuri, deoarece am văzut la
morfisme de grupuri că această aplicație este morfism și în plus este bijectiv.
3) Morfismul grup cilic infinit, este izomorfism,
deoarece aceast ă aplicație esti bijectivă. Așadar orice grup cilic izomorf cu grupul aditiv al
numerelor întregi
4) Aplicațiile sunt automorfisme ale lui ( și sunt
singurele!)
5) Aplicația

(este bine d efinită
adică dacă
este izomorfism de grupuri. Cum

24
De asemenea este surjectiv( Elementele lui sunt puteri întregi ale lui ) și cele două
mulțimi și au același număr de elemente rezultă este bijectivă. Deci este
izomorfism.
În cazul a două grupuri finite, de același ordin, izomorfismul între ele poate fi dedus utilizând
tablele operațiilor. Dacă cele două table sunt la fel organizate, adică un element dintr -un grup
și imaginea sa în celălalt grup prin izomorfism să ocupe în cele două table aceleași poziții.
Dacă sunt două grupuri izomorfe, atunci
este izomorfism dac ă și numai dacă pentru orice
imaginea prin a elementului de la intersecția liniei cu u coloana lui din tabla
operației lui G coincide cu elementul de la intersecția liniei lui cu coloana lui
din tabla operației lui ’.

I.8 Subgrupuri
Definiție . Fie G un gru p. O submulțime nevidă H a lui G se numește subgrup al grupului G
dacă legea de compoziție din G induce pe H o lege de compoziție cu cu care H este grup .
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
Exemple .
1) este subgrup al grupului

25
2) este subgrup al grupului
3) este subgrup al grupului
Următoarea afirmație vine să precizeze în ce condiții o submulțime H a unui grup G este un
subgrup.
Teoremă . O submulțime H a unui grup (multiplicativ) G este subgrup al grupului G dacă și
numai dacă sunt îndeplinite condițiile :
1)
2)
Demonstra ție. Presupunem c ă H este un subgrup al lui G. Atunci din definiție rezultă că
legea de compoziție din G induce o lege de compozișie pe H, adică se verifică 1). Legea
indusă posedă element netru astfel încât oricare ar fi . În
particular, și din unicitatea lui rezultă . Prinurmare H conține
elementrul neutru din G. Cum H este un subgrup, orice element este inversabil în H și
inversul lui x în H coincide cu inversul lui x în G, deoarece inversul este unic, adică
și 2) are loc. Reciproc, presupunem verificare condițiile 1) și 2). Din 1) rezultă că
legea lui G induce o lege pe H care este asociativă, deoarece legea din G este asociativă. Din
2) se deduce că pentru fiecare și deci Cu acesta H
împreună cu legea indusă este grup. Adică subgrup al lui G.
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
Observații. 1) Dacă legea în G este notată aditiv, atunci condițiile 1) și 2) se scriu sub forma:
a)
b)
2) Să reținem că un subgrup H al grupului G este o submulțime a sa, care odată cu două
elemente conține și produsul lor (1)), iar odată cu un element îi conține și inversul (2)).
Teoremă . O submulțime nevidă H a unui grup G este un subgrup al lui G, dacă și numai dacă
este îndeplinită condiția :

26

Demonstra ție. Fie H un subgrup al lui G. Atunci, condiția este îndeplinită conform teoremei
precedente, deoarece din și deci
Reciproc, dacă adică se verifică 2) din teorema
precendentă.

Dacă și deci adică are loc și 1) din teorema
precedent.
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
Observație. Dacă G este aditivi, atunci condiția din teoremă se scrie

Exemple. 1) Fie G un grup și elementul neutru. Submulțimile G și {e} ale lui G sunt
subgrupuri, numite subgrupuri improprii .
Orice subgrup H a lui G, diferit de G și {e} se numește subgrup propriu .
2) Grupul este subgrup al lui .
3) Fie submulțime a grupului . Atunci este subgrup
al lui , deoarece rezultă
1) și
2)
4) Submulțimea este un subgrup al lui deoarece
pentru că

Următoarea teoremă dă informații despre comportarea subgrupurilor unui grup față de operația
de intersecție a mulțimilor. Mai precis are loc :

27
Teorema. Fie o familie de subgrupuri ale lui G. Atunci intersec ția este un subgrup
a lui G.
Demonstrație. Cum elementul neutru al grupului aparține fiecărui subgrup , se deduce
că , adică
Dacă , atunci Cum este subgrup rezultă că , și
deci , ceea ce arată că este un subgrup al lui G.
Următoarea propoziție preizează că o submulțime finită a unui grup G devine subgrup cu
operația indusă de pe G. Mai precis are loc
Teorema. Fie un grup și H o submulțime finită a lui G. Următoarele afirmații sunt
echivalent e:
1) H este subgrup al lui G;
2) H este parte stabil ă față de operația din G.
Demonstrație . Vom demonstra dubla implicație 1) 2) este adevărată
deoarece din H subgrup al lui G avem că
ă.
.Presupunem c ă H este parte stabilă față de operația din G, adică
Fie Mai avem de verificat a doua condi ție că H fie subgrup
adică Fie element arbitrar fixat. Atunci elementele (conform cu
2)) .
Mai mult ele sunt distincte două câte două. Într -adevăr, dacă prin absurd ,
atunci simplificând la stânga (în G) rezultă fals deoarece elementele din H sunt
distincte două câte două așadat H conține elemente din (1). Cum H are exact n element
rezultă că elementele din (1) sunt chiar eventual în altă ordine. Deci există
pentru care . De aici simplificând prin x ( În G) se obține . În fine
există pentru care iar de aici
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)

28
Exemplu . Subgrupurile finite ale grupului sunt grupurile de r ădăcini ale unității
Arătați că singurele părți finite ale lui , stabile față de înmulțire sunt (Se
analizează două cazuri dacă H nu îl conține pe zero sau îl conține pe zero. În
primul caz se ia și se calculează , care sunt chiar
în altă ordine Din( Dacă pentru
se aplic[ ce -am făcut la pasul precedent. În final părțile stabile finite sunt : {0},

Pentru reguli de calcul într-un grup se adaugă
Teorema. Fie un grup și H un subgrup al lui G, H G. Dacă atunci

Demonstrație. Fie . Presupunem, prin absurd că . Din rezultă că
Cum rezultă că fals. Analog se probeaz ă că .
Exemplu. este un subgroup al lui Dacă luăm și
atunci (conform teoremei) poate fi at ât în cât și după cum arată exemplele
de mai jos :

și
Exemeple remarcabile de subgrupuri
1.Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi
Teoremă. Fie H o submulțime nevidă al lui . Atunci H este subgrup al lui , dacă și numai
dacă există astfel încât H=n .
Demonstrație. Dacă atunci H este subgroup al lui .
Reciproc, dac ă H este subgrup al lui să probăm existența lui pentru care
Analizăm două cazuri :

29
a) Dacă atunci evident când
b) Dacă atunci există în elemente nenule.
Fie Cum H este un subgrup, atunci și Dar sunt
nenule. Deci cel puțin unul este număr natural nenul. Fie n cel mai mic număr natural
nenul aparținând lui H. Arătăm că atunco Atunci sau

deoarece Așadar (1).
Fie acum .Conform teoremei împărțirii cu rest pe , există astfel încât
și deci În fine pentru am găsit
Din (1) și (2) rezultă
2. Subgrup generat de {x} se noteaz ă < x > și are elemente puterile
și este numit subgrupul ciclic generat de z. Așadat

Definiție. Grupul G se numește ciclic dacă este generat de un element al său. Acest
element se numește generator al grupului.
Observații. 1) Dacă G este un grup aditiv și , atunci :

2) Orice grup ciclic este abelian pentru c ă orice două puteri întregi ale unui elemnt
comută. Reciproca este falsă (vezi grupul lui Klein, care este abelian dar nu este ciclic).
Exemple. 1) Elementele (ca grup aditiv) . Atunci

ceea ce arat ă că grupul aditiv al numerelor întregi este un grup
ciclic generat de elementul -1 sau 1. Observăm că acest grup este infinit.
2) Grupul al rădăcinilor de ordinul n ale unității este

30

Elementul

are proprietatea c ă ceea
ce arată că , adică este grup ciclic finit de ordin n, general de

3) Dacă luăm grupul atunci este un subgrup
ciclic de ordin 4, generat de unitatea imaginară.
4) Grupul claselor de resturi modulo n cu adunarea este ciclic deoarece
. Mai mult este un grup ciclic finit de ordin n.
5) Grupul este ciclic generat de ( , ).

31

CAPITOLUL I I
GRUPURI FINITE
II.1 Grupuri finite. Tabla operației
Definiție. Fie o mulțime finită. Dacă este un grup în raport cu operația dată, atunci vom
spune că este grup finit.
Un grup finit format din elementele poate fi descris cu ajutorul tablei lui
Cayley. Aceasta este o tabelă pătrată în care la intersecția i cu coloana j seaflă elementul .
Pentru un grup finit ( , proprietățile de grup determină structura tablei legii sale de
compoziție și rec iproc. Structura tablei se detaliază astfel:
 Dacă plasăm pe primul loc, atăt pe linie cât și pe coloană, elementul neutru, atunci atât
linia 1 cât și coloana 1 din tabla operației reproduc exact linia de bordare și coloana de
bordare;
 Elementul neutru e trebuie să ocupe locuri simetrice față de diagonala principală,
deoarece ;
 Deoarece într -un grup sunt valabile regulile de simplificare, adică avem
și , pentru orice elemente x și y diferite de elementul
neutru e , la intersecția liniei lui x cu coloana lui y nu pot apărea nici x, nici y; pe
fiecare linie și pe fiecare coloană a tablei apar toate elementele grupului.
Exemple:
1) Grupul , al rădăcinilor de ordinul n ale unității, este un grup finit
de ordin n deoarece },
+
, .
2) Grupul lui Klein
Fie planul în care avem reperul cartezian xOy. Considerăm următoarele
transformări geometrice ale planului:
aplicația identică a planului,

32
= simetricul lui M în raport cu Ox,
, este simetria în raport cu axa Ox,
= simetricul lui M în raport cu O y,
, este simetria în raport cu axa O y,
= simetricul lui M în raport cu O,
, este simetria în raport cu O.
Notăm prin și considerăm operația de compunere a funcțiilor pe
. Atunci cuplul ( , este grup a belian numit grupul lui Klein.

II.2 Grupuri de permutări
Fie M o mulțime finită de n elemente, M = {1, 2, …, n}. Am văzut că (M) = {
împreună cu operația de compunere a funcțiilor este un monoid. Considerăm o submulțime a
lui (M), formată din aplicații bijective. Un element din în numim permutare de
ordinul n. Elementele lui le desemnăm prin litere mici ale alfabetulu i grec .
În loc de vom folosi notația . Sub o formă dezvoltată și sugestivă permutarea
o reprezentăm prin simbolul
1 2 …
(1) (2) … ( )n
n   
 , sunt
simbolurile 1, 2 …., n, eventual în altă ordine. Pe mulțimea a permutărilor de grad n vom
defini orerația de compunere (sau produs) a permutărilor.
Teoremă. Cuplul ( este un grup finit de ordin n! numit grupul simetric de ordinul n.
Demonstrație. Verificăm axiomele grupului.
Este clar că dacă atunci , adică legea de compunere a permutărilor este o
lege de compoziție pe . Tre buie observat as tfel că se pot compune permutări de același
grad. G1 ) Asociativitatea compunerii pe rezultă din faptul că această lege este
asociativă pe mulțimea funcțiilor (M).
G2 ) Elementul neutru este aplicația identică a mulțimii M, pe care o notăm cu e și are forma
e =
1 2 …
1 2 …n
n
 .

33
G3 ) Orice element are un invers (simetric) notat ( este aplicația inversă a
lui ) pentru care
Așadar ( , , este grup necomutativ.
Să determinăm ordinul grupului. Fie un element oarecare din grup. Prin elementul 1
este dus în care poate fi oricare din elementele 1, 2 …., n. Deci poziția se poate
completa în n moduri. Elementul se poate completa în ( n – 1) moduri cu cele n – 1
elemente rămase după completarea lui . În fine ultima poziție se poate completa într -un
singur mod cu ultimul element rămas după completarea pozițiilor .
Așadar numărul de astfel de permutări este egal cu și acesta este
ordinul grupului .
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
II.3 Grupul claselor de resturi modulo n,
Fie mulțimea numerelor întregi și un număr fixat. Pe mulțimea definim
următoarea relație: pentru x,y spunem că x este congruent cu y modulo n dacă și numai
dacă x – y se divide prin n. Această relație se notează prin
este echivalent cu x, y dau același rest la împărțirea prin n.
Relația de congruență pe are următoarele proprietăți:
1) este reflexivă, adică , ( , deoarece x – x ;
2) este simetrică, adică dacă , ceea ce este imediat
deoarece dacă , atunci y – x = – ( x – y) ;
3) este tranzitivă, adică dacă și , atunci ,
ceea ce se verifică foarte ușor deoarece din și rezultă x – z = ( x – y
) + (y – z ) .
Dacă , atunci din teorema împărțirii cu rest pe , astfel încât
x = nk + r , relație pe care o mai scriem sub forma x – r = nk, arată că x – r , adică
și deci , unde . Prin urmare relația de congruență

34
modulo n pe determină mulțimea cât } numită mulțimea claselor de
resturi modulo n.

Pe mulțimea a claselor de resturi modulo n definim două operații:
= , numită adunarea claselor (suma claselor este clasa
sumei). Clasa se obține adunând a cu b și luând apoi clasa restului de la împărțirea lui a
+ b prin n.
și
= numită produsul claselor (produsul claselor este clasa
produsului ). Clasa se obține înmulțind a cu b și luând apoi clasa restului de la împărțirea
lui a b prin n.
Teoremă. a) ( este grup abelian, numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n.
b) ( este monoid comutativ în care grupul elementelor inversabile este
.
Demonstrație . a) G1) Asociativitatea adunării. Avem :
(am ținut seama în a
tria egalitate de asociativitatea adunării pe
G2) Elementul neutru. Clasa este elementul neutru în raport cu adunarea deoarece

G3) Elementr opuse. Orice clasă are ca element simetric (opus) clasa notată
, deoarece
G4) Comutativitatea adunării. Adunarea claselor es te comutativă deoarece avem
: (am folosit în a doua egalitate comutativitatea adunării pe
). Cu acestea am arătat că ( este grup abelian.
b) Asemănător se verifică asociativitatea, comutativitatea înmulțirii claselor. Clasa
este elementul neutru.
Să gîsim elementele inversabile din acest monoid. Mai precis arătăm că avem:
Pentru n = 1 avem , când și echivalența are lo c.

35
Fie acum .
Demonstrăm implicația Presupunem și demonstrăm .
Din astfel încât
Fie acum d = . Deci d , adică
d Așadar .
Demonstrăm acum că dacă , atunci . Se știe că dacă , atunci
există astfel încât sau , adică
sau în final , arată că avem .
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
II.4 Ordinul unui element într -un grup. Grupuri ciclice
Definiție. Fie o mulțime finită, ( un grup și x . Cel mai mic număr natural nenul
cu proprietatea se numește ordinul elementului x în grupul G. Dacă pentru
orice , , atunci se spune că ordinul elentului x este .
Dacă este ordinul elementului x, atunci notăm acest lucru prin ord(x) = .
În orice grup ordinul unui element este egal cu ordinul inversului acestui element (
).
Exemple:
1) În grupul ( {1, – 1, i, – i}, ) elementul – 1 are ordinul 2 deoarece . Așadar
ord(- 1 ) = 2. Analog ord(i) = ord( – i ) = 4.
2) În grupul avem ord( ) = 4 pentru că = , ord( ) = 4 ( = ), ord( ) = 2
( = ).
3) În grupul lui Klein cum rezultă ord ( ) = ord (
) = ord ( ) = 2.
Am văzut că pentru orice elemnt subgrupul cicl ic generat de x este
.

36
Teorem ă. Fie ( un grup și un element de ordin n. Atunci
și ord ( = n.
Demonstrație . Egalitatea de mulțimi o vom demonstra prin dubla incluziune. Este clar că
, ( 1) .
Fie acum , . Din teorema împărțirii cu rest pe există astfel încât
k = nq + r , .
Deci .
Așadar , (2). Din ( 1 ) și ( 2 ) rezultă egalitatea. Este clar că
elementele sunt distincte, căci altfel ar da și
, în contradicție cu ord ( x ) = n.
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)
Exemple: 1) Subgrupul {1, – 1, i, – i} al lui . Pentru și deci
, } = {1, – 1, i, – i}. Pentru și deci
, } = {1, – 1, i, – i}. Pentru și deci }
= {1, – 1}.
2) În grupul , avem: ) = 4 și deci = { , } = { ;
) = 2 când = { .
3) Grupul lui Klein . Pentru , ord ( ) = 2 și avem = { i,
}. Pentru , ord ( ) = 2 și avem = { i, }. Pentru , ord ( ) = 2 și
avem = { i, }.
4) Pentru grupul și ,
1 2 3
3 1 2
 cu , avem }.
II.5 Teorema lui Lagrange. Teorema lui Euler. Teorema lui Fermat
Teorema lui Lagrange . Ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al
ordinului grupului.
Corolar . Într-un grup finit, ordinul oricărui element este finit și este un divizor al ordinului
grupului.

37
Demonstrație . Fie ( un grup finit de ordin n și . Ordinul elementului x nu poate
fi infinit, deoarece subgrupul ciclic generat de el ar avea ordinul infinit, absurd pentru că
este subgrup al unui grup finit. Deci . Atunci s -a văzut că are ordinul tot
k, iar din teorema lui Lagran ge k divide pe n.
Corolar . Fie ( un grup finit de ordin n . Atunci , .
Demonstrație . Fie cu divizor al lui n. Deci n = kp, când

Corolar . Orice grup de ordin un număr prim este ciclic .
Demonstrație. Fie ( cu număr prim. Cum se poate alege
, . Subgrupul ciclic generat de are . Din
teorema lui Lagrange k îl divide pe p. Cum peste prim rezultă k = p. Așadar , ceea ce
arată că este ciclic.
Teorema lui Euler . Fie , Atunci
unde este indicatorul lui Euler.
Demonstrație . Fie grupul multiplicativ al elementelor inversabile din monoidul
( . Am văzut că ordinul acestui grup este ( = numărul de numere mai mici decât
n, prime cu n ). Din rezultă . Atunci s -a văzut că orice elemnt dintr –
un grup finit la puterea ordinul grupului coincide cu elementul unitate al grupului. În cazul
nostru
Teorema lui Fermat . Fie un număr prim și , a nedivizibil cu p.
Atunci
Demonstrație . Faptul că a nu este divizibil prin p înseamnă . Dacă p e ste prim
atunci și suntem în condițiile teoremei lui Euler. Deci .
(Mircea Ganga, ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed . Mathpress,
2004)

38
CAPITOLUL I II
CONSIDERAȚII METODICE
III.1 Strategii didactice interactive
,,Termenul de strategie a apărut inițial în teoria și practica militară unde se întâlnea și
sub denumirea de plan strategic; din punct de vedere tehnic noțiunea se asociază proceselor
care prezintă un anumit grad de nedetermine re, situațiilor de natură competitivă sau
conflictuală în cadrul cărora apar factori ce se opun realizării scopurilor intenționate,[…],
ulterior termrnul a căpătat o semnificație mai largă ce nu implică în mod necesar
,,oponentul”, ci producerea eficient ă a obiectului. “ (Florin Cîrjan : ,,Didactica matematicii”,
Ed. Corint,București, 2007). Conceptul de „strategie didactică” nu este nou în știința
pedagogică. El este prezent în lucrările de specialitate sub denumirea de „strategie didactică”,
referindu -se la linia de orientare pe termen lung privind organizarea educației, rezolvării unei
probleme didactice concrete, ea semnifică un anumit mod de a concepe organizarea învățării,
un anumit fel de a pune elevul în contact cu materialul nou studiat, de a conduce
comportamentul de învățare ale acestuia în condiții de maximă eficiență.
Strategia didactică este o înlănțuire de situații de învățare delimitate și stabilite în
funcție de obiectivele operaționale ale lecției, înlănțuire care însumează metode ș i mijloace de
învățământ, procedee de lucru, metode și instrumente de învățare, ordonate în funcție de
obiective concrete. Esența strategiei didactice este aceea de ordonare a datelor și
disponibilităților metodice în funcție de scopul urmărit. Ea nu se co nfundă nici cu metodele,
nici cu tipurile de învățare, în demersul didactic toate acestea i se subordonează.
Strategia arată „ce face învățătorul” și „ce face elevul” ea pune în evidență capacitatea
cadrului didactic de a acționa eficient și de a face și pe alții să acționeze în virtutea aceluiași
țel, de a adopta structuri de acțiune cutezătoare, realiste și eficiente în același timp. Strategia
didactică presupune muncă de concepte și creativitate. Ea conferă lecției dinamism și
mobilitate, acți onând în funcție de situațiile concrete care se ivesc. Lasă loc spontaneității,
intervenției creative pe loc și cu efect imediat, din partea celui care ține lecția. Strategia se
caracterizează prin suplețe și dinamism prin caracterul ei reglabil în funcție de situațiile
concrete care se ivesc, prin posibilitatea ca acțiunea să fie modificată din mers.

39
Deoarece strategia didactică se referă în special la lecție, iată câteva considerente
referitoare la lecția de matematică, așa cum este privită și acceptată î n condițiile generate de
expansiunea noii tehnologii didactice. Lecția actuală (modernă) trebuie să fie un exercițiu
spiritual intens, o activitate în folosul tuturor componentelor clasei, acțiune în care orice
demers are la bază activitatea elevilor sub î ndrumarea strictă și competentă a învățătorului.
Dirijarea învățării, intervenția directă sau indirectă a învățătorului rămâne o problemă
principală a conducerii procesului de învățare, care constă în antrenarea elevilor în activități
teoretice și practice care să -i solicite la diferite niveluri cognitive și de responsabilitate,
realizarea unei acțiuni constante cu elevii, organizând de așa manieră activitatea încât aceasta
să conducă într -o formă optimală la atingerea rezultatelor așteptate.
Lecția modernă trebuie să se sprijine pe o tehnologie didactică care să permită
adaptarea fină a procesului educațional la caracteristic ile și nevoile fiecărui elev prin utilizarea
metodelor interactive de grup. Utilizând metodele interactive de grup, prin integrarea
adecvată în lecțiile de matematică, acestea determină creșterea eficienței învățării noțiunilor
matematice și, prin aceasta, creșterea randamentului școlar al elevilor. Acest lucru este bun și
pentru alte discipline, elevii adoptând acest stil modern de pr edare – învățare, învățând ușor
care sunt metodele interactive și etapele pe care trebuie să le urmeze pentru o eficiență mare a
lor.
Aplicarea metodelor și tehnicilor interactive, centrate pe activități de grup, asigură
elevilor formarea unei gândiri fle xibile, dezvoltarea creativității, a imaginației, îmbunătățirea
comunicării între colegi. Activitatea pe grupuri are o mare importanță, având rezultate imediat
vizibile în relaționarea între elevi și profesor, dar și între colegi. Metodele utilizate stimul ează
participarea activă și deplină a elevilor în procesul instructiv -educativ.
„Învățarea în grup exersează capacitatea de decizie și de inițiativă, dă o notă mai
personală muncii, dar și o complementaritate mai mare aptitudinilor și talentelor, ceea ce
asigură o participare mai vie, mai activă, susținută de foarte multe elemente de emulație, de
stimulare reciprocă, de cooperare fructuoasă.” (Ioan Cerghit : ,,Metode de învățământ”, E. D.
P. București, 1997).
În ultimile decenii cercetătorii s -au ocupat de amenajarea grupului ca mediu de
învățare, evidențiind eficiența ridicată a grupurilor de elevi ce îndeplinesc o sarcină de învățare

40
comună. Clasa școlară este un grup social specific ce mediază, în timp, schi mbări cognitive
fundamentale la nivelul fiecărui membru. Climatul clasei are un foarte mare impact asupra
percepțiilor pe care le au elevii și cadrele didactice, reflectă motivele pentru care ei lucrează
(sau nu lucrează) împreună, și capacitatea de a disc uta împreună ți de a -și analiza critic ideile
și reflectă caracteristicile clasei ca și comunitate de învățare.
Instruirea în grupuri mici constituie o alternativă din ce în ce mai uzitată, deoarece
instruirea frontală, simpla logistică de a conduce 20 -25 sau mai mulți elevi, limitează opțiunile
instrucționale. Aproape din necesitate cadrul didactic devine punctul central.Prin împărțirea
clasei în grupuri mici responsabilitatea fiecărui elev față de grup crește foarte mult. În loc să
reprezinte a 26 -a parte dintr -o clasă de 26 de elevi, elevul reprezintă un sfert dintr -un grup de
4. Cel mai frecvent, activitățile în grupuri mici sunt inițiate pentru ca elevii: să discute anumite
teme sau evenimente, să se angajeze în activități de luare a deciziilor, să real izeze instruire în
cadrul grupului mic, să cerceteze/investigheze anumite probleme sau întrebări . Cadrul didactic
trebuie să decidă în legătură cu: metodele pe cate le va folosi, organizarea clasei, compoziția
grupelor, dezvoltarea expectațiilor grupului, coordonarea și evaluarea muncii în grup.
Învățarea interactivă, centrată pe grupuri de elevi, nu își atinge scopul principal decât
dacă metodele învățării active sunt folosite foarte bine în activitatea didactică. La matematică,
se pot folosi majoritatea m etodelor interactive, în mai multe momente ale activității didactice.
Este foarte bine ca profesorul să își planifice în detaliu activitatea didactică, așa încât
să fie foarte bine știute etapele pe care trebuie să le parcurgă la fiecare metodă. Este la fe l de
bine ca la activitățile didactice să se aplice metode interactive, dar nu mai mult de două în
fiecare activitate. Este bine ca metodele să fie folosite prin rotație, astfel încât să nu intervină
monotonia și plictiseala în rândul elevilor. Aceștia tre buie să fie tot timpul activizați,
folosindu -se metode interactive, care să îmbine predarea -învățarea -evaluarea cu caracterul
ludic, astfel încât obiectivele propuse să fie atinse.
Dintre metodele moderne specifice învățării active care pot fi aplicate cu succes și la
orele de matematică fac parte: problematizarea, în vățarea prin descoperire , brainstormingul,
metoda mozaicului, metoda cubului, tu rul galeriei, ciorchinele, al goritmizarea,modelarea
matematică , etc.

41
Problematizarea este una din metodele activ -participative care antrenează elevul în
învățare prin punere și rezolvare de probleme. Acceasta este situația în care profesorul nu
comunică elevului o sumă de cunoștințe prin metode expozitive, ci îl pune în situația de a
rezolva probleme. Rolul profesorului este ace la de a crea dezacorduri între un nivel de
cunoaștere al elevului și cel pe care și l -a propus să -l atingă, asfel încțt sesizarea contradicției
șă stârnească la elevi o motivație intrinsecă de a dobândi noi cunoștin țe și nu numai pe acelea
necesare în rezolvarea d probleme.
În lucrarea Învățământul problematizat în școala contemporană, W. Oken propune
patru etape pentru predarea problematizată:
(1) organizarea situațiilor problematice ;
(2) formularea problemelor ;
(3) acordarea ajutorului indispensabil elevilor în rezolvarea problemelor și verificarea
soluțiilor;
(4) coordonarea procesului de sistematizare și fixare a cunoștințelor.
Sarcina elevului este de a descoperi elementele sau legăturile care lipsesc și de a
îmbina elementele date, astfel încât să formeze noi asociații față de cazul în care îi sunt date
elementele componente și legăturile dintre ele.
Problematizarea presupune crearea codițiilor pentru o gândire euristică și constă în:
 sesizarea și formularea problemelor;
 rezolvarea și verificarea soluțiilor, adică momentele principale ale învățării prin
problematizare, prin rezolvarea problemelor.
O altă formă de măsurare a eficienței în învățarea problematizată este și evaluarea
cunoștințelor, nu doar imediat după l ecție, cât mai ales după trecerea unei perioade mai lungi
de timp. Nu în ultimul rând se poate vorbi de eficiența metodei dacă ea conduce la formarea
unor deprinderi de tehnică și raționament, precum și a unor capacități intelectuale.
(Metodica predării ma tematicii în liceu, Ed. Fair Partners, București,2011).

42
Exemplu:
Etapa 1:Profesorul propune următoarea problemă: Pe se dă următoarea lege de compoziție:
x . Să se calculeze
Etapa 2: Elevii emit i poteze pentru a detemina rezultatul.
Etapa 3: Profesorul le sugerează să găsească un element astfel încât
. Elevii determină pe .
Etapa 4: Elevii formulează răspunsul pentru problema propusă: .
Învățarea prin descope rire este metoda de învățare care îi cere elevului să descopere regula
de ordin superior , fără un ajutor special. Metoda de învățare prin descoperire pune elevul în
următoarea situație: bazându -se pe însușiri anterioare și pe actualizarea regulilor ce intră în
combinație, descoperă regula de ordin superior, pe care o aplică apoi la o clasă de probleme
tip.
Pentru profesorul de matematică este important de reținut faptul că indiferent de tipul
problemei, în rezolvarea ei, strategiile euristice s e împletesc cu acelea algoritmice, prin care
primele sunt probate, triate, ajungându -se treptat la o strategie tot mai clar conturată . Așadar,
de fiecare dată când se analizează strategiile de rezolvare a problemelor, ele nu sunt nici pur
standardizate, ni ci pur euristice, doar uneori pot fi preponderent fie euristice, fie algoritmice,
în funcție de natura situației problematice, sau între limitele extreme ale algoritmicului și
euristicului se impune o gamă largă de forme intermediare.
Exemplu: Profesorul p ropune următoarea problemă: Pe se dă următoarea lege de
compoziție: x . Să se găsească o formulă pentru
.
Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și
inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de -o
parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor
spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Se expune u n concept, o idee
sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece
prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile.

43
O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri
și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele:
_ deschiderea sesiunii de brainstorming în care se prezintă scopul acesteia și se
discută tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate;
_perioada de acomodare durează 5 -10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului
în atmosfera brainstormingului, unde participanții sunt stimulați să discute idei generale pentru
a put ea trece la un nivel superior;
_partea creativă a brainstormingului are o d urată de 25 -30 de minute.
Este recomandabil ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să
amintească timpul care a trecut și cât timp a mai rămas. Î n acest interval de timp, participanții
trebuie să fie stimulați să -și spună părerile fără ocolișuri. L a sfârșitul părții creative
coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost notate și puse în discuție și
verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este momentul în care se vor elimina
sugestiile prea î ndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a
sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate
în considerare pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția t impului și punctele
care au reușit să fie atinse. Pentru a stabili un acord obiectiv, cei care au participat la
brainstorming își vor spune părerea și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de
brainstorming trebuie să stabilească singuri car e au fost ideile care s -au pliat cel mai bine pe
conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații
pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o
îngreunare a procesului în sine. Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea
calității prin cantitate și își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică.
Sunt recomandate 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite
de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.

44
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Este important de reținut că obiectivul fundamental al metodei brainstorming constă în
exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, acceptați toate
ideile, chiar trăzn ite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor,
indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina progresul în
învățare al elevilor este necesar să îi antrenați în schimbul d e idei.
Metoda mozaicul ui. Mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și
predarea ach izițiilor dobândite de către fi ecare membru al grupului unui alt grup. Ca toate
celelalte metode de învățare prin cooperare și aceasta presupune următoarele avantaje:
_stimulare a încrederii în sine a elevilor;
_dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului;
_dezvoltarea gând irii logice, critice și independente;
_ dezvoltarea răspu nderii individuale și de grup;
_ optimizarea î nvățării prin predarea achizițiilor altcuiva.
Mozaicul presupune următoarele etape:
1. Împărțirea clasei în grupuri ete rogene de 4 elevi, fi ecare dintre aceștia primind câte o fișă
de învățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unei unități de cunoaștere.
2. Prezentarea succintă a subiectului tratat.
3. Explicarea sarcinii care constă în înțelegerea întregii unități de cunoaștere.
4. Regruparea elevilor, în funcție de numărul fișei primite, în grupuri de experți: toți elevii
care au numărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 vor forma alt grup ș.a.m.d.
5. Învățarea prin cooperare a secțiunii care a revenit grupului din unitatea de cunoaștere
desemnată pentru oră: elevii citesc, discută, încearcă să înțele agă cât mai bine, hotărăsc modul
în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor originar. Strategiile de predare și
materialele folosite rămân la latitudinea grupului de exper ți. Este foarte important ca fi ecare
membru al grupului de experți să înțeleagă că el este responsabil de predarea secțiunii
respective celorlalți membri ai grupului inițial.
6. Revenirea în grupul inițial și predarea secțiunii pregătite celorlalț i membri. Dacă sunt
neclarități, se adresează întrebări expertului. Dacă neclaritățile persistă se pot adresa întrebări

45
și celorlalți membri din grupul expert pentru secțiunea respectivă. Dacă persistă dubiile, atunci
problema trebuie cercetată în continua re.
7. Trecerea în revistă a unității de cunoaștere prin prezentare orală cu toată clasa/ cu toți
participanții.
Exemplu. Aplicarea metodei mozaicului la predarea lecție i Proprietățile legilor de compoziție
la clasa a XII -a.
Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective,
permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
1. Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, com pară, analizează,
asociază, aplică, argumentează.
2. Anunțarea temei, a subiectului pus în discuție.
3. Împărțirea clasei în 6 grupe, fi ecare dintre ele examinând tema din perspectiva cerinței de
pe una dintre fețele cubului:
a. Descrie culorile, formele, mărimile etc.
b. Compară ce este asemănător? Ce este diferit?
c. Analizează spune din ce este făcut, din ce se compune.
d. Asociază la ce te îndeamnă să te gândești?
e. Aplică ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
f. Argumentează pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în sprijinul afirmației
tale.
4. Redactarea fi nală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
5. Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.
Atribuirea perspectivei de lucru pentru fi ecare grup în cadrul CUBULUI se poate face
aleator (după împărțirea pe grupe – 6 – se rostogolește cubul și fi ecare grupă reține perspectiva
care cade cu fața în sus) sau după preferințele elevilor dintr -un grup; ch iar profesorul poate
atribui fiecărui grup câte o perspectivă. Modul de atribuire a perspectivei rămâne la alegerea și
decizia profesorului, în funcție de timpul pe care îl are la dispoziție, de cât de bine cuno aște
colectivul de elevi, de dinamica clasei de elevi etc.

46
Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de
grupuri de elevi.
1. În grupuri de trei sau patru, elevii lucrează mai întâi la o problemă care se poate materializa
într-un produs (o diagramă, de exemplu), pe cât posibil pretându -se la abordări variate.
2. Produsele sunt expuse pe pereții clasei, ca într -o galerie de ar tă.
3. La semnalul profesorului, grupurile se rotesc prin clasă, pentru a examina și a discuta fi
ecare produs. Elevii își iau notițe și pot face comentarii pe hârtiile expuse.
4. După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin com parație cu
celelalte și citesc comentariile făcute pe produsul lor.
Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară care stimulează găsirea conexiunilor
dintre idei și care presupune următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt sau o temă (care urmează a fi cercetată) în mijlocul tablei sau a foii de
hârtie;
2. Se notează toate ideile, sintagmele sau cunoștințele care vă vin în minte în legătură cu tema
respectivă în jurul acestuia, trăgându -se linii între acestea și cuvântul inițial;
3. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, se trag linii între toate ideile care par a fi conectate;
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s -a atins limita de timp
acordată.
Etapele pot fi precedate de brainstorming în grupuri mici sau în perechi. În acest fel, se
îmbogățesc și se sintetizează cunoștințele. Rezultatele grupurilor se comunică profesorului
care le not ează la tablă într -un ciorchine fără a le comenta sau judeca. În etapa fi nală a lecției,
ciorchinele poate fi reorganizat utilizându -se anumite concepte supraordonate g ăsite de elevi
sau de profesor.
Algoritmizarea . Învățarea matematicii printr -o strategie algoritmică presupune o înlănțuire
secvențială de etape parcurse sistematic într -o ordine prestabilită și care conduce în mod sigur
la rezolvarea unei probleme. De fapt, strategia algoritmică este a doua utilizare sub care este
întâlnită și folosită noți unea de algoritm. Prima este aceea de procedeu, regulă aplicată unei
clase de probleme și caracterizată de rezolubilitate (în sensul că aplicată corect conduce în

47
mod cert la rezolvarea problemei), finitudine (după un număr finit de pași se ajunge la rezultat)
și generalitate (este aplicabilă oricărei probleme din clasa respectivă).
De fa pt, o strategie de rezolvare a unei probleme este u n ansamblu de reguli de selectare și
combinare a propozițiilor extrase din volumul de cunoștințe. Tot strategia stabilește prioritatea
folosirii cunoștințelor și în egală măsură modificarea, sau operarea în alt mod a lor. Altfel
spus, strategia algoritmică indică seriile de pași necesare rezolvării problemei.
Prezentarea algoritmului de către profesor echivalează cu interiorizarea lui într -o anumită
manieră, astfel încât elevul să -l poată exterioriza ori de câte ori se găsește în condițiile care cer
acest comportament.
Metoda algoritmului este inclusă în strategiile prescrise – bazate pe prescripții, norme, pe
dirijarea strictă a învățării clasice. Algoritmul prefigurează o dirijare detaliată pas cu pas a
procedeului de învățare.
(Metodica predării matematicii în liceu, Ed. Fair Partners, București,2011).
Amintim câteva exemple de algoritmi:
 calcularea celui mai mic multiplu comun a două numere;
 calcularea celui mai mare divizor comun a două numere;
 împărțirea a două numere reale;
 împărțirea a două polinoame cu coeficienți într -un inel comutativ;
 reprezentarea grafică a unei funcții reale.
Modelarea matematică .
Notiunea de model este strâns legata de matematică .
G. Moisil menț iona „…pe lânga matematica metrica (clasică ) s-a elaborat matematica
structurală logică. Matematica modernă este o știință dominată de categoria structurii" .
Matematica are azi la bază algebra (științ a discontinuului) si topologia (științ a continuului),
aceast a ca un raspuns la caracterul con tinuu si discontinuu al realităț ii.
Conceptul de modelare matematică are cel puț in două sensuri. Pe de parte, modelarea
matematică poate fi privită ca fiind o metodă de rezolvare a unor probleme din diverse
domenii de activitate umană, metodă ce ne permite să înțelegem mecanismul ce guvernează

48
aplicațiile matematicii.
Rezolvarea unei probleme, prin această metodă, se face print -un proces, numit proces de
modelare matematică , care are următoarele etape:
Etapa 1. Atașarea unei probleme matematice corespunzătoare, cât mai adecvată, cât
mai bogată în informa ții, dar cât mai simplă și optimală, problemă ce poartă numele de
modelul matematic al problemei de studiat. Cu alte cuvinte, aceasta este etapa construirii
modelului matematic corespunzătoare problemei de rezolvat.
Etapa 2. Rezolvarea probleme i model matematic cu mijloace matematice.
Etapa 3. Interpretarea rezultatului matematic din punctul de vedere al problemei de
rezolvat.
Pe elevi și studenți, pe lângă partea teoretică, trebuie să -i învățăm să construiască gradat și
modele ale unor fenomene reale. Elevul de liceu poate aplica algebra, geometria,
trigonometria și analiza matematică în cadru l activităților practice și poate face fără dificultate
prelucrări de date statistice, descriind situații concrete. Nu este suficient, de exemplu, ca
absolventul clasei a XI -a să știe să reprezinte grafic diverse funcții date. El trebuie să aibă
curajul și priceperea de a vedea funcții în lumea înconjurătoare și de a le studia în mod creator.
(Metodica predării matematicii în liceu, Ed. Fair Partners, București,2011).
Rolul soci al al modelelor matematice este î nsa extrem de mare, chiar imposibil de
evaluat. Ac tivitatea de conducere economică este de neconceput fără modele matematice; ele
sunt utilizate in studiul operelor litera re, in previziuni privind evoluț ia vremi i, zborurile
cosmice. Desigur că modelele matematice sunt folosite și î n activităț ile mil itare pentru
ridicarea capacității de luptă, întă rirea ordinii si disc iplinei militare, executarea acțiunilor de
luptă .
Rezultatele obț inute in toate aceste dom enii incurajează uneori până la entuziasm
folosirea modelelor . Din fericire, entuziasmul fără acoperire este inv ariabil contracarat de
experiența practică. Așa cum am văzut, există lucruri care nu se pot face , care nu se pot face in
principiu, sau nu se pot fac e cu resurse date. Matematica iși descoperă și jalonează ea însăș i
propriile limite. In inte riorul acestor limite, credem că entuziasmul nu trebuie cenzurat.
Modelarea ma tematica a dat si va mai da incă multe rezultate de mare utilitate.

49
III.2 Structura de grup în programele școlare
Modificările structurale ce au loc în toate domeniile societ ății românesti se reflectă si
asupra sistemului de învățământ. Pe această linie, liceul trebuie să participe la dezvoltarea
intelectuală si integrarea socială a tinerilor, contribuind, pe de o parte, la formar ea unei culturi
comune pentru to ți elevii si determinând, pe de altă parte, trasee individuale de înv ățare.
Studiul matematicii în ciclul superior al liceului urmăreste, ca finalit ăți, formarea si
dezvoltarea capacit ății elevilor de a reflecta asupra lumii , oferindu -le cunostin țele necesare
pentru a ac ționa în mod specific asupra acesteia, în func ție de propriile nevoi si dorin țe, de a
formula si a rezolva probleme pe baza rela ționării cunostințelor din diferite domenii,
înzestrându -i cu un set de competen țe, valori si atitudini menite să asigure premisele pentru o
integrare profesională optimă, prin trasee individuale de înv ățare si formare.
Deși noțiunea de lege de compoziț ie apare explicit abia în clasa a XII -a, elevul lucrează
cu acestea încă de la începutul studiului matematicii, odată cu operaț iile de adunare sau
înmulțire a numerelor naturale, în clasele primare, apoi a numerelor întregi, raționale sau reale
în gimnaziu sau a numerelor complexe, la liceu, cu operațiile cu mulțimi din clasa a V -a sau
cu operația de compunere a funcțiilor, în clasa a IX -a. Noțiunea de „lege de compoziție” cu
care iau contact elevii în clasa a XII -a permite interpretarea lucrurilor învățate în anii anteriori
dintr -un punct de vedere mai abstract, generalizând noți unea de „operație” cu care s -au
familiarizat elevii (introducând și o notație universală, de regulă „*”). De asemenea, în clasa a
V-a se definesc proprietăți acceptate intuitiv î n clasele primare: comutativitatea,
asociativitatea, existența elementului ne utru la adunare sau înmulțire. Toate aceste cunoștințe
pregătesc trecerea spre studiul structurilor algebrice în liceu.
În matematica de liceu, prin structură algebrică se înțelege dubletul (sau tripletul)
format dintr -o mulțime nevidă și o l ege (sau două legi) de compozi ție, definite pe această
mulțime, care verifică un set de proprietăți numite axiomele structurii respective. Studiul
structurilor algebrice în liceu nu se realizează întâmplător în ultima clasă de liceu, deoarece
gradul de abstractizare al acestor noțiuni este ridicat și înțelegerea lor presupune un bagaj
consistent de noțiuni și cunoștințe anterioare, iar sarcina profesorului de a -i face pe elevi să
pătrundă esența problematicii structurilor algebrice nu este deloc una ușoară.

50
Din experiența personală am remarcat faptul că înțelegerea noțiunilor referitoare la
structuri algebrice cuprinse în programa școlară a clasei a XII -a (lege de compoziție, parte
stabilă, monoizi, grupuri, subgrupuri, morfisme și izomorfisme de grupuri, inele, corpuri,
morfisme și izomorfisme de inele și corpuri) este bine facilitată de exemplificarea
permanentă cu operațiile deja învățate (adunare, scădere, înmulțire) care sunt privite acum
dintr -o altă perspectivă, aceea a l egilor de compoziț ie (iar proprietățile acestor operații,
cunoscute încă din ciclul primar, sunt privite într -un cadru mai larg) și de raportarea
mulțimilor numerice studiate până acum.
Tematica structurii de grup are următoarele conținuturi pentru clasele cu:
M5 (2 ore pe săptămînă) :
_Legi de compozi ție, parte stabilă, propriet ăți.
_Grup . Exemple: mul țimile Z, Q, R.
M2 (3 ore pe săptămână):
_ Lege de compozi ție internă, tabla opera ției.
_Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, Zn.
_Morfism si izomorfism de grupuri.
M1 (4 ore pe săptămână):
_Lege de compozi ție internă (opera ție algebrică), tabla opera ției, parte stabilă.
_Grup, exemple:grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, Zn.
_Morfism, izomorfism de grupuri.
_Subgrup.
_Grup finit, tabla opera ției, ordinul unui element.
La specialitatea M 1 se urmărește formarea următoarelor competențe specifice prin parcurgerea
acestui capitol:
1. Identificarea propriet ăților opera țiilor cu care este înzestrată o mul țime.
2. Eviden țierea asemănărilor si a deosebirilor dintre propriet ățile unor opera ții definite pe
mulțimi diferite si dintre c alculul polinomial si cel cu numere .
3. Determinarea si verificarea propriet ăților structurilor algebrice, inclusiv verificarea faptului
că o funcție dată este morfism sau izomorfism .
4. Utilizarea propriet ăților opera țiilor în calcule specifice unei struc turi algebrice .
5. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică .

51
6. Transferarea, între structuri izomorfe, a datelor ini țiale si a rezultatelor, pe baza
proprietăților opera țiilor.

III.3 Evaluarea – reflectare a principiului asigurării conexiunii inverse în învățământ
Evaluarea școlară constă în:
 măsurarea rezultatelor școlare ( înregistrarea datelor: numărul răspunsurilor corecte,
greșelile, erc.);
 aprecierea rezultatelor școlare (emiterea unor judecăți de v aloare);
 adoptarea măsurilor ameliorative.
În orice evaluare deosebim:
 obiectivele ( adică ceea ce dorim să măsurăm);
 problemele sau instrumentele de măsurat;
 elementul măsură ( în liceu, nota școlară).
În analiza evaluării școlare, pornim de la următoarea premisă: rostul evaluării nu este
atât notarea elevului, în sensul catalogării lui pe un anumit nivel al performanței școlare, ci
măsurarea progresului în învățare și determinarea (generarea) acestui progres. În aceste
condiții, notarea ar tr ebui să măsoare nu atât cantitatea de informații de care dispune elevul
la un moment dat ci mai ales, ceea ce poate el să facă utilizându -și competențele dobândite
prin învățare.
Pentru a -și atinge scopul, evaluarea ar trebui să se realizeze print r-o gamă cât mai
largă de metode, care pot evidenția gradul de formare/ dezvoltare a competențelor dezirabile.
Profesorul poate evalua progresele înregistrate de elevi și calitatea activităților didactice
desfășurate de el cu elevii printr -o varietate de f orme și metode de evaluare: teme în clasă,
teme pentru acasă, probe orale, probe practice, probe scrise, observarea sistematică a
fiecărui elev în timpul rezolvării sarcinii, autoevaluarea produselor activității etc.
Evaluarea rezultatelor învățăr ii ar trebui să ofere elevilor repere la care aceștia,
împreună cu părinții și cadrele didactice, să poată raporta nivelul de performanță atins în
învățare indiferent de specificul unității școlare sau de manualul alternativ folosit. În acest

52
sens, instrum entele de evaluare trebuie să reflecte obiectivele programelor școlare și să
derive din standardele curriculare de performanță prevăzute pentru finalul învățământului
obligatoriu.
Standardele curriculare de performanță reprezintă, pentru toți elev ii, un sistem de
referință comun și echivalent vizând sfârșitul unei trepte de școlaritate în condițiile
introducererii unei oferte educaționale diversificate.
Standadele curriculare de performanță sunt criterii de evaluare a calității procesului de
învățare. Ele reprezintă enunțuri sintetice, în măsură să indice gradul în care sunt atinse
obiectivele curriculare de către elevi. În termeni concreți, standardele constituie specificări de
performanță vizând cunoștintele, competențele și comportament ele stabilite prin curriculum.
Standardele curriculare de performanță au un caracter normativ; ele constituie repere
utile tuturor agenților implicați în procesul educațional. Astfel, pe baza standardelor:
 elevii știu care sunt așteptările explic ite în ceea ce privește învățarea – în termeni de
competențe și atitudini – precum și criteriile de evaluare a performanțelor la sfârșitul
unei trepte de școlaritate;
 profesorii își pot regla demersul didactic în funcție de limitele stabilite prin standa rde
;
 Părinții iau cunoștință de așteptările pe care le are școala față de elevi ;
 proiectanții de curriculum au un sistem de referință coerent și unitar cu privire la
performanțele dezirabile la elevi ;
 evaluatorii au la dispoziție repere de la care să p ornească elaborarea nivelurilor de
performanță, a descriptorilor și a itemilor de evaluare.
(Singer Mihaela, Voica Cristian – Recuperarea rămânerii în urmă la matematică,
Educația 2000+, București, 2005 )
Există două tipuri fundamentale de evaluare:
 evaluarea formativă ( continuă – curentă, periodică),
 evaluare sumativă ( finală, cumulativă ).
Evaluarea formativă însoțește, în permanență, procesul de învățământ, contribuind la
optimizarea lui. Ea presupune verificarea sistematică a elevilor pe parcursul
procesului didactic, de obicei la sfârșitul unei secvențe de învățare. Avantajele
principale ale evaluării formative sunt:

53
 asigurarea feedbackului atât pentru elev cât ți pentru profesor;
 posibilita tea modificării stilului de învățare al elevului, dacă rezultatele nu sunt
mulțumitoare;
 identificarea la timp a apariției unor lacune în procesul de învățare.
Dezavantajul major al evaluării formative este gradul de subiectivitate al evaluatorului.
Evaluarea sumativă se realizează la sfârșitul unei etape de învățare, ca apreciere
finală a activității desfășurate într -un semestru, an școlar sau ciclu de învățământ. Acest
tip de evaluare are efecte reduse asupra ameliorării actului didactic, are implic ații
psihologice negative datorită apariției stresului, dar constituie un punct de plecare pentru
proiectările viitoare, permițând luarea unor măsuri privind dezvoltarea ulterioară a
procesului de învățământ.
(Metodica predării matematicii în liceu, Ed. Fa ir Partners, București,2011 )
Metode tradiționale de evaluare
Metodele tradiționale de evaluare se împart în trei categorii: probele orale, probele
scrise și probele practice.
Evaluarea orală este metoda cea mai des utilizată în procesul de învățământ. Ca
formă
particulară a conversației, evaluarea orală poate avea valoare predictivă (inițială), formativă și
sumativă. În forma sa formativă, evaluarea orală permite realizarea unui control al
cunoștințelor și abilităților elevilor după fiecare lecție, iar în formă sumativă, evaluarea orală
are avantajul de a permite parcurgerea rapidă a unităților de conținut dezbătute în cadrul
procesului instructiv -educativ.
Avantaje:
_ oferă posibilita tea realizării unui dialog direct profesor -elev;
_ se realizează ușor și consumă puțin timp;
_ nu presupune din partea profesorului o pregătire anterioară evaluării .
Dezavantaje:
_este o modalitate subiectivă;
_ presupune arbitrariul în evaluare (e levul este penalizat sau recompensat în funcție de nivelul
de dificultate al problemei primite spre rezolvare și starea sa de moment) ;
_ limitează evaluarea la aspecte conjuncturale.

54
Evaluarea scrisă ( extemporal, lucrare de control, teză, test, referat) oferă o serie de
avantaje consistente la un singur dezavantaj: asigurarea feedbackului cu întârziere. Datorită
avantajelor ( economia de timp, acoperirea unitară ca volum și profunzime, obiectivitate mai
mare, ritmul propriu fiecărui elev, d iminuarea stresului), evaluarea scrisă este necesară
profesorilor în activitatea de evaluare.
În clasa a XII -a, activitatea de evaluare a elevului vizează în egală măsură progresul
școlar și pregătirea pent ru bacalaureat . Pentru aceasta, este ne cesar ca profesorul să aibă în
vedere:
• Proiectarea unor teste de tipul celor propuse la bacalaureat.
• Proiectarea unor teste conținând variate tipuri de itemi.
• Pregătirea cognitivă și afectivă a elevilor pentru susținerea unui examen.
• Aplicarea sistematică pe parcursul anului școlar a tipurilor de teste menționate anterior.
• Analiza sistematică a rezultatelor obținute.
• Folosirea unor teste de autoevaluare ca o modalitate de conștientizare a elevului asupra
progreselor sale școlare.
Evaluarea prin probe practice este folosită nu pentru a verifica nivelul de cunoștințe
deținute de elevi, ci pentru a verifica aplicarea acestor cunoștințe în activități practice
concrete. Cele mai cunoscute probe practice utilizate în școală sunt: exercițiu l, lucrările
practice, simulările și experimentele.
Metode alternative de evaluare
Metodele alternative de evaluare au ca scop personalizarea activității de evaluare
educațională în funcție de personalitatea fiecărui elev. Aceste metode alternative de evaluare
pun în prim plan aspectul creativității, gândirii critice, manifestări individuale – proprii
fiecărui elev , rezultatul final vizat fiind formarea, la nivelul individului, de aptitudini,
competrețe, priceperi și deprinderi necesare i ntegrării sociale a acestuia.
Metodele alternative de evaluare sunt: investigația,
Investigația. Ca demers didactic, investigația:
_ se centrează pe o întrebare/ problemă ;
_ începe cu ceea ce elevii știu deja;
_continuă cu relaționarea re zultatelor parți ale cu cunoștințele din domeniu;

55
_se finalizează cu abordarea de noi probleme .
La matematică, investigația presupune atât rezolvarea de probleme cât și creare a de probleme.
Ca metodă de evaluare, investigația oferă informații despre capacitatea elevului de:
• a identifica și a defini o problemă;
• a construi un plan simplu de abordare a problemei;
• a colecta și a înregistra informația necesar ă;
• a organiza informația și a căuta elemente invariante;
• a continua demersurile de investigare căutând noi informații;
• a discuta, a analiza, a explica rezultatele obținute.
La clasa a XII -a, în cadrul unei ore de curs, se formează grupe de elevi în vederea rezolvării
unor probleme în care intervin tablele unor legi de compoziție definite pe mulțimi finite.
1. Folosind tabla:
x1 x2 x3 x4
x1
x2
x3
x4
Să se determine numărul legilor de compoziție comutative care se pot defini pe o mulțime
(cu 4 elemente).
Indicație: Căsuțele hașurate se completează automat în baza comutativității.
2. Fie mulțimea . Definiți o lege de compoziție pe M, prin tabla ei, astfel
încât această lege să aibă pe e element neutru, iar a și b să fie amândouă simetrice ale
lui a. Este legea asociativă? Justificați!
Indicație: În raport cu o lege de compoziție asociativă ți cu e lement neutru , orice element care
are un simetric este simetrizabil.
3. Completați tabla:
a b c d
a
b b c
c
d

56

astfel încât să fie grup (multiplicativ). Câte soluții are problema?
Indicație: Pentru un grup finit , proprietățile de grup impun anumite restricții asupra
structurii tablei legii de compoziție.
Referatul este o lucrare elaborată de unul sau mai mulți elevi pe o temă dată și cu ajutorul
unei bibliografii prestabilite.
Referatul prezintă av antajul implicării elevului în consultarea bibliografiei pentru înțelegerea
și aprofundarea unor noțiuni noi sau insuficient abordate la clasă.
Autoevaluarea la matematică permite dezvoltarea capacității de a reflecta critic asupra
propriului mod de g ândire și de rezolvare a problemelor și stimulează capacitatea de a gândi
independent. Autoevaluarea oferă profesorului informații despre maturitatea de gândire a
elevului, despre atitudinea elevului privind învățarea matematicii, despre corelarea dintre
opinia elevului față de propriile achiziții și o raportare obiectivă, despre raportul dintre
așteptările elevului și cele ale profesorului, dintre criteriile de evaluare ale elevului și cele ale
profesorului.
Autoevaluarea se poate desfășura prin autoaprecierea modului de rezolvare a unei probe pe
baza unei grile date, sau poate fi făcută cu ajutorul unor chestionare simple referitoare la o
activitate independentă sau în grup.
Proiectul . Utilizarea p roiectului în evaluare presupune parcurgerea mai multor etape și
alocarea unei perioade mai mari de timp pentru realizare. Proiectul prezintă avantajul
antrenării elevilor în activități complexe, ce presupun identificare și colectare de date, precum
și prelucrarea și organizarea acestora într -un mod original.
Proiectul începe în clasă, prin conturarea obiectivelor, formularea sarcinii de lucru și (dacă
este cazul) precizarea echipei care îl realizează. În afara orelor de curs, dar sub îndrumarea
profesorului, elevii stabilesc metodologiile de lucru, își definesc (dacă este cazul) statutul și
rolul în cadrul grupului și fixează termene pentru diferite etape ale proiectului. După
colectarea datelor și organizarea materialului, proiectul se încheie în cla să, prin prezentarea
rezultatelor obținute.
Exemplu: redactarea unei gazete de perete. În cadrul orelor de matematică (opțional) li se
propune elevilor redactarea unor materiale pentru o gazetă de prrete care va cuprinde:
_probleme interesante de matematic ă rezolvate;

57
_probleme propuse compuse de elevi, împreună cu modul în care au fost compuse;
_rubrica “ Știați că…”, care conține curiozități din lumea matematicii;
_rubrica” Mari matematicieni ai lumii”, care prezintă o biografie pe scurt a unui matematician
celebru;
_o problemă celebră cu o rezolvare neobișnuită;
_anecdote și amintiri despre marii matematicieni.
Portofoliul se constituie într -un dosar al activității e levului; portofoliul oferă o imagine
asupra progresului în achiziția de cunoștințe și capacități a elevului, asupra nivelului lui de
înțelegere a matematicii, asupra atitudinilor lui față de matematică, toate acestea înregistrate
într-o anumită unitate de timp, stabilită de profesor (câteva săptămâni, un semestru, un an
școlar, o treaptă de învățământ).
Un portofoliu include rezultatele a diferite activități desfășurate de elev de -a lungul etapei
stabilite pentru acest tip de evaluare. Astfel de rezul tate incluse în portofoliu pot fi:
• descrierea scrisă a unor investigații;
• descrierea sau analiza unor situații –problemă;
• răspunsuri la anumite probleme –întrebări date ca temă într -un interval de timp mai lung;
• rezultatele unei activități desfăș urate cu ajutorul calculatorului electronic;
• lucrări elaborate de elev individual sau în grup (rapoarte, investigații, proiecte, rezultatele
unor probe de evaluare curentă și/sau sumativă) pe care profesorul sau, în unele cazuri, elevul,
le consideră se mnificative pentru a face parte din portofoliu, cu precizarea motivelor care au
determinat alegerea lor în componența acestuia;
• un scurt raport, făcut din perspectivă proprie, asupra a ceea ce a învățat în perioada evaluată;
• scurtă prezentare făcută d e către elev asupra impresiilor, părerilor, atitudinilor proprii față de
matematică.
Portofoliul poate cuprinde: selecții din temele pentru acasă, redactări ale unor rezolvări,
notițe de clasă, comentarii ale unor probleme, enunțuri de probleme propuse de elev pornind
de la o temă dată, lucrări de control, referate, calendarul sau proiectul unor activități
independente .
Evaluarea portofoliului de acest tip va avea în vedere: progresul înregistrat în înșelegerea
matematicii, motivația învăță rii, perseverența, curiozitatea, flexibilitatea, valoarea
raționamentului matematic adoptat la conținuturi și situații, abilitatea de a folosi instrumentele

58
matematice și de a rezolva situațiile problemă, înțelegerea relației dintre matematică și alte
discipline de studiu.

Tipuri de itemi.
Un item este o întrebare adresată elevului sau un element din structura unui test. Din punct
de vedere al obiectivității în notare, itemii se clasifică în: itemi obiectivi, itemi semiobiectivi și
itemi subiecti vi ( cu răspun s deschis).
Itemii obiectivi testează un număr mare de elemente de conținut într -un interval de timp
relativ scurt, asigurând un grad de obiectivitate ridicat în măsurarea rezultatelor școlare. Ei pot
fi : cu alegere duală, cu alegere mu ltiplă sau de tip pereche.
Itemii cu alegere duală pun elevul în situatia de a selecta răspunsul corect din doar două
variante posibile: adevărat/fals, da/nu, corect/incorect, acord/dezacord. Itemii de tip da/nu si
adevărat/fals sunt cel mai frecvent folositi.
Pentru proiectarea corectă a acestui tip de itemi este necesară respectarea următoarelor
cerinț e:
_ formularea clară si precisă a enunț ului;
_dacă se solicită aprecierea cu "adevărat" sau "fals", atunci se vor evit a enunțurile foarte
generale;
_selectarea unor enunț uri relevante pentru domeniul de cunoaștere sau categoria de
competenț e testată (un eori, efortul de a realiza enunțuri care să fie f ară echivoc adevărate sau
false duce la elaborarea de itemi nesemnificat ivi din punct de vedere educaț ional sau banali
din punct de vedere științ ific);
_se va evita utilizarea enunțurilor negative ș i, în special, folosirea dublei negaț ii, care induce
un grad înalt de ambiguitate si împiedică înțelegerea enunț ului itemului de către elev;
_se vor evita enunț urile lungi si complexe, prin eliminarea elementelor redundante, inutile în
raport cu ideea principală a enunțului si cerinț a itemului; nu se va folosi un limbaj prea
academic, o terminologie foarte specializată sau o constr ucție lingvistică stufoasă si greoaie;
_se va evita introducerea a două idei într -un singur enunț, cu excepția cazurilor în care se
dorește evidențierea relaț iei cauză -efect; în această situație, cea mai bună soluț ie este aceea de
a utiliza doar propoziț ii adevărate si de a cere elevilor să deci dă adevărul sau falsitatea relației
dintre acestea;

59
_enunțurile adevărate si cele false vor fi aproximativ egale ca lungime;
_numărul enunțurilor adevărate si cel al enunț urilor false vor fi aproximativ egale, dar nu
exact egale, deoarece acesta poate constitui un indiciu după care elevul încearcă să ghicească
răspunsul corect.
Itemii cu alegere multiplă reprezintă acei itemi care solicită elevului să răspundă la
întrebări selectând varianta corectă dintre variantele existente.
Itemii cu alegere multiplă prezintă numeroase avantaje întrucât:
_pot măsura tipur i variate de rezultate ale învăț ării, de la simple cunostințe, până la capacități
mai complexe implicate în înțelegere si aplicare a cunoștințelor în contexte noi;
_ într-o formulare corectă, elimină ambiguitatea si riscul interpretărilor subiective ale elevului,
respe ctiv, profesorului evaluator;
_au un grad înalt de fidelitate si reduc considerabil riscul " ghicirii" răspunsului corect;
_în varianta "alege cea mai bună alternativă" oferă posibilitatea de a evalua rezultate ale
învățării în contexte euristice.
Itemii de tip pereche solicită elevului să determine corespondența corectă dintre două
coloane de elemente: o coloană de premise ce cupr inde enunțurile itemului și o coloană de
răspunsuri la aceste enunțuri.
Itemii de tip pereche permit abordarea unui volum consistent de informatii întrun interval de
timp relativ redus, precum si rapiditatea corectării si evaluării. Ei nu sunt recomandati atunci
când profesorul doreste evaluarea unor rezultate ale învătării cu caracter complex si creativ.
Itemii semiobiectivi sunt acea categorie de itemi care so licită elevului construirea parț ială
sau totală a unui răsp uns la sarcina definită în enunț ul itemului.În general, itemii semiobiectivi
se caracterizează prin aceea că:
_pot testa a gamă largă de capacităț i intelectuale si rezultate ale învățării;
_plasează elevul într -o situație cognitivă cu un grad de com plexitate mai ridicat decât reuș esc
să o facă itemii obiectivi;
_permit utilizarea unor materiale auxiliare.
Utilizarea acestui tip de itemi poate înc uraja elevul în aprofundarea noțiunilor învățate,
creșterea vitezei d e operare cu acestea, a clarității, conciziei si acurateț ei exprimării.
Itemii semiobiectivi cuprind: ite mi cu răspuns scurt, itemi de co mpletare și întrebări
structurate.

60
Itemii cu răspuns scurt reprezintă acei itemi care solicită elevului să ofere un răspuns
scurt la o întrebare adresată de profesor, răspuns care tre buie să fie, de obicei, un număr sau un
simbol.
Dezavantaje: din cauza particularităț ilor lor, itemii cu răspuns scurt nu sunt recomandați
pentru evaluarea capacităț ilor intelectuale superioare , rezolvarea de probleme, analiza, sinteza,
formularea d e argumente, formularea de soluții posibile si exprimarea opț iunii personale.
Itemii de completare reprezintă acei itemi ce solicită elevului să completeze o anumită
afirmație pentru ca aceasta să capete sens și valoare de adevăr. Acești itemi nu t rebuie să
reproducă texte existente în manualele școlare pentru a nu încuraja memorarea mecanică a
cunoștințelor.
Alte cerințe de proiectare: spațiile libere nu trebuie să sugereze dacă răspunsul va conține un
cuvânt sau mai multe; unitățile de măsură vor fi precizate atât în întrebare cât și după spațiul
liber.
Întrebările structurate sunt itemi care conț in mai multe sarcini d e lucru, punând elevul în
situația de a construi răsp unsurile si de a alege modalităț ile de formulare a acestora. Ele
realizează trecerea de la itemii obiectivi si semiobiectivi – cu toate constrângerile lor – către
itemii liberi. O întrebare structurată este formată di ntr-un număr variabil de secvenț e
subîntrebări care pot avea forma unor itemi obiectivi, semiobiectivi sau a unui eseu scurt – a
căror coerenț ă si succesiune derivă dintr -un element comun .
Itemii s ubiectivi sau cu răspuns deschis presupun:
_rezolvarea de probleme;
_eseu structurat sau liber ( mai puțin la matematică).
Cu toate că acești itemi par relativ ușor de construit, exigențele formulării corecte a cerinței ș i
a baremului de corectare si notare sunt foarte stricte; ele trebuie să prevină acea subiectivitate
a profesorului care conduce la evalua rea neprofesională, arbitrară, și la punerea elev ului în
situația de a fi nedreptăț it.
Rezolvarea de probleme este o activitate curentă a procesului de instruire ce are ca scop
dezvoltarea creativității, gândirii divergente, imaginației, capacității de a generaliza, reformula
o problemă, etc..
Pentru proiectarea corectă a itemilor tip rezolvare de probleme este necesară respectarea unor
cerinț e:

61
_ problema sau situaț ia problemă trebuie să fie adecvată nivelului de vârstă si de pregătire a
elevilor;
_ corelarea conținutului problemei si modalităț ilor de rezolvare cu organizarea activității
didactice
_rezolvare individuală sau în grup;
_problema ș i activitatea d e rezolvare să fie în concordanță cu conț inuturile disciplinei s i cu
obiectivele curriculare;
_evaluarea activității ș i a rezultatelo r să fie relevantă pentru elev și să producă informaț ii utile
pentru evaluator; aceasta presupune asocierea itemului cu o sche mă clară de notare, care să
conțină criterii ex plicite deduse din obiective;
_utilizarea în cadrul activităț ii a unor materiale supo rt care să sprijine procesul de soluț ionare a
problemei .

62
CAPITOLUL IV
CERCETARE PEDAGOGICĂ
IV.1 Obiectivele cercetării și ipoteza de lucru
IV.1.1 .Scopul cercetării
Studierea posibilităț ilor de implementare a metodelor interactive in lecțiile de
matematică, clasa a XII -a, prin curriculum si a șanselor elevilor de a -și dezvolta spiritul critic.
IV.1.2. Preze ntarea problemei cercetate
Cercetă rile psihopedagogice arată ca a avea un „spirit critic / gandire critică” înseamnă
procesul prin care elevul iși stimulează și își dezvoltă operații ale gândirii de nivel superior ș i,
colateral cu aceste a, memoria activș, inteligenț ele multiple si creativitatea într-un mod
constructivist.
Pedagogia contemporană evidențiază din ce in ce mai mult rolul tehnicil or
moderne de instruire centrată pe elevi, pe nevoile sale, in relație cu finalități le actului
educaî ional. Activizarea nu este o achiziție de dată recentă în didactică, dar abordările sunt tot
mai fundamentate ăi capătă caracter interdiscipli nar, cercetarile pedagogice urmărind
implicații de natură psihologică, sociologică , etc.. Cercetă rile pedagogice privind activizarea
se extind semnificativ la nivelul tut uror disciplinelor de învățamânt, urmă rind aspecte din ce in
ce mai diverse, mai nuanț ate si mai rafinate.
Utilizarea metodelo r interactive in predarea -învățarea -evaluarea cunoș tințelor de
matematică la clasa a XII -a oferă un context a decvat de prezentare a experiențelor de învățare,
în care elevii:
_asimilează cunoștințele de matematică prin implicare activă, manifestâ nd placerea de a se
implica si de a cerceta;
_operează c u un material bogat, î ntr-un cadru transdisciplinar, ce favorizează viziunea globală
si transferul de cunoștinț e in contexte diverse;
_iși dezvoltă mecanismele cognitive superioare:

63
 gândirea – prin angajarea operațiilor acesteia care ajută la surprinderea
esențialului;
 memoria – prin învățare activă, bazată pe restructurări permanente în sistemul
de cunoștințe, prin raportarea noilor noț iuni la cele anterioare, asig urându -se
astfel retenția pe termen î ndelungat ;
 imaginația – prin încurajarea exprimă rii libe re, prin valorizarea spontaneității și
originalității răspunsurilor.

IV.1.3. Obiectivele cercetării
1. utilizarea unor tehnici și metode de determinare obiectivă a nivelului de pregătire a
elevilor;
2. determinarea nivelului general de pregătire la disci plina Matematică , a elevilor
implicați în cercetare;
3. înregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor
experimentale și de control la testul inițial, formativ și cel final;
4. implementarea unor metode și tehnici interactive în scopul dezvoltării creativității
elevilor și studiul eficienței lor;
5. stimularea creativității elevilor printr -o strategie didactică permisivă;
6. sintetizarea rezultatelor cercetării, elaborarea concluziilor.
IV.1.4. Ipoteza cercetării
Utilizarea metodelor interactive de grup, precum problematizarea, învățarea prin
descoperire , brainstormingul, metoda mozaicului, metoda cubului, turul galeriei,
ciorchinele, algoritmizarea,modelarea matematică și altele în studiul matematicii la clasa a
XII-a, determină creșterea performanțelor elevilor la această disciplină (asimilează cunoștințe
temeinice, iși formează si consolidează deprinderile tipice pentru însușirea noțiunilor
matematicii) și dezvoltarea mecanismelor cognitive superioare: gândire, memorie, imaginație.

64
IV.2 Metodologia cercetării
IV.2.1. Perioada și etapele cercetării
Tipul cercetării: aplicativ -ameliorativă
Perioada de cercetare: anul școlar 2015 -2016
Locul de desfășurare: Liceul “Simion Mehedinți” Vidra, județul Vrancea
Disciplina de învățământ: Matematică

Cercetarea a cuprins trei etape:
1. Etapa inițială care a avut un caracter constatativ. S -a desfășurat în perioada
21 septembrie 2015 – 30 octombrie 2016 și a constat în studierea documentelor școlare și
aplicarea testului inițial de evaluare . Prelucrarea și analizarea rezultatelor au dat posibilitatea
formulării concluziilor cu privire la capacitatea fiecărui elev de a poseda un volum de
cunoștințe la începutul clasei a X II-a.
2. Etapa intervenției ameliorative cu valoare formativă î n stimularea proceselor
psihice și a personalității elevilor s -a desfăș urat în perioada noiembrie 2015 – aprilie 2016 , a
cuprins folosirea unor strategii moderne, metode de lucru diferențiat, aplicarea testului de
evaluare formativă.
3. Etapa evaluării ce a a vut un caracter comparativ, a inclus perioada mai – iunie
2016 și a presupus aplicarea testului de evaluare finală pentru a constata rezultatele obținute în
urma demersului experimental formativ .

IV.2.2. Participanți. Caracteristici
Cadrul în c are s -a desfășurat cercetarea este Liceul “Simion Mehedinți” Vidra, județul
Vrancea .
Eșantionul d e elevi este reprezentat de clase le a XII-a B profil economic și a XII -a D
profil turism și alimentație, la care discipli na matematică este predată de doi profesori.
Clasa a X II-a B, clasa experimentală, este formată (la începutul anului școlar) din 23
de elevi, având vârste cuprinse între 17 și 19 ani.
Din punctul de vedere al provenienței socio -profesionale, marea majoritate provin din
familii de muncitori, cu sau fără studii medii, șomeri, casnice, liber profesioniști.

65
Colectivul este omogen ca mediu de proveniență , toți cei 23 elevi provin din mediu
rural.
Clasa martor, a X II-a D, a fost aleasă în urma comparației cu clasa a X II-a B și pe baza
îndeplinirii următoarelor criterii : un nivel apropiat al cunoștințelor și apartenența la același
profil tehnologic servicii. Din componența colectivului clasei constituit în luna septembri e
2015 au făcut parte 21 elevi, toți din mediu rural. La sfârșitul anului s-a constatat că un elev nu
a frecventat cursurile școlii. Elevii clasei a X II-a D provin din familii cu studii medii.
Pentru o mai bună cunoaștere a colectivelor de elevi s -au avut în vedere dimensiunea
socială și dimensiunea psihologică. Relațiile elevului cu grupul social căruia îi aparține (clasa
de elevi) au o importanță deosebită asupra evoluției personalității sale, cât și asupra
randamentului învățării. Dintre caracteristicile claselor de elevi s -au urmărit unele aspect e
referitoare la: scopuri, roluri, norme, coeziunea de grup. Întrucât scopurile sunt de două tipuri:
de tip prescriptiv și individuale, se impune, ca o formă de echilibrare a structurii
organizatorice a claselor, armonizarea și integrarea reciprocă a celor două tipuri de finalități.
În ceea ce privește rolurile (ansamblul de sarcini care trebuie realizate de membrii
grupului) clasele sunt bine organizate (șeful clasei, responsabilul cu curățenia, cu disciplina
fiind stabiliți prin consens de către întreaga clasă).
Regulile de conduită sunt cunoscute și acceptate de toți membrii grupului educațional.
Dar, pe lângă cele de tip constitutiv sunt prezente (ca, de altfel, în mai toate clasele) și o serie
de norme implicite (norme ascunse construite în cadrul gru pului). Una dintre ele este aceea de
a ascunde venitul real al familiei sau adevărata ocupație a părinților pentru a nu fi etichetați în
funcție de aceasta. Etichetarea poate să afecteze atitudinea elevilor față de procesul de instruire
și chiar performanț ele lor școlare. Uneori, aversiunea elevilor nu este față de ideea de normă,
ci față de stilul de aplicare al acesteia (ridicarea vocii pentru a impune o idee, impunerea
forțată a unei idei fără a o argumenta).
Existența coeziunii grupului (gradul de unit ate și integrare a colectivului școlar) are
efecte puternice asupra membrilor .
Elevii se subestimează, au un nivel ridicat de anxietate și un foarte scăzut sentiment de
responsabilitate față de ceilalți. Ca substrat integrator al cunoașterii elevilor fac torul central
este capacitatea de muncă a elevilor în clasă.

66
IV.2.3 . Metode și tehnici de cercetare utilizate
Metoda de investigare este un instrument, dar și un rezultat al cercetării. Pentru
aceasta am folosit în cercetarea prezentă atât modele relativ obiective care să observe, să
înregistreze și să măsoare reacțiile subiecților la diverși stimuli externi, precum și un sistem
complementar de metode care să permită investigarea fenomenului sub aspectul
manifestărilor generale (în cadrul co lectivului de școlari) și sub aspectul specific (în cazuri
individuale) .
Cea mai utilizată sistematizare a metodelor de cercetare psihopedagogică le grupează în:
1. Metode de acumulare a datelor:
 Observația sistematică;
 Conversația;
 Testul;
 Chestionarul.
2. Meto de matematico – statice:
 Tabele analitice;
 Tabele sintetice;
 Histograme;
 Media aritmetică
(Dumitriu, Constanța ( 2002), Metodologia cercetării psihopedagogice – curs, Universitatea
Bacău)
Metoda experimentală are ca principală caracteristică provocarea intenționată a manifestării
fenomenului. Datele au fost obținute atât prin simpla observare provocată cât și pe cea bazată
pe raționament experimental. Forma principală de desfășurare a fost cea naturală, în cadrul
clasei de elevi. Înregistrarea datelor a presupus utilizarea unor fișe în care sunt transcrise
seriile statistice. Pentru prezentarea datelor înregistrate am utilizat diagrame care aduc un plus
de claritate asupra evoluției fenomenului.
Am avut în vedere, pe tot parcursul experimentului, verific area corespondenței dintre
ipotezele cercetării (I), obiectivele cercetării (O) și experiementele desfășurate (E), exprimată
sintetic în figura următoare:

67
E

I O
Munca independentă cu caracter de investigare, descoperirea, elaborarea de noi
cunoștințe, crearea unor situații problematice au constituit câteva puncte de reper în
desfășurarea instruirii dirijate la clasa experimentală.
Una din meto dele folosite în toate etapele cercetării, însoțind celelalte procedee, a fost
observația sistematică . Am consemnat pe o fișă de observație datele referitoare la datele
personale ale elevilor, prezența la cursuri, motivația lor, fără ca aceștia să știe.
La începutul anulu i școlar 2015 –2016, în luna septembrie, eșantionul format din
elevii celor două clase a X II-a a fost cercetat pe baza studierii documentelor școlare
înregistrându -se valori reprezentative privitoare la variabilele implicate înaintea
experimentării. Avantajul observației constă în aceea că permite observatorului să surprindă
diferite aspecte în desfășurarea naturală a fenomenelor. Ca metodă de cercetare se deosebește
de observarea spontană prin aceea că presupune elaborarea prealabilă a unui plan de
observație cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, a cadrului în care se desfășoară
experimentul și a eventualelor instrumente ce vor putea fi folosite pentru înregistrarea celor
observate.
Încă de la început mi -am propus anumiți indi catori observabili pe care i -am urmărit în
comportamentul elevilor. Datele au fost consemnate în fișele de observații fără a atrage atenția
elevilor. Observația s -a desfășurat în contexte tot mai variate, iar datele au fost corelate cu cele
obținute prin u tilizarea altor metode.
Exemplu: Elevii X si Y au o evoluție normală privind dezvoltarea fizică și psihică. Ei
întâmpină dificultăți în rezolvarea temelor pentru acasă, atunci când acestea consta u în
elaborarea unor rezolvări de probleme ce presupuneau cu noștințe din anii anteriori sau o
documentare amănunțită. De asemenea, formularea ideilor este nesigură, ambii înr egistrează
greșeli de calcul . M-am gândit la un program de intervenție personalizat, prin care le ceream

68
să citească cu mai multă atenție enunțurile exercițiilor și problemelor , să înțeleagă exact la ce
anume se referă cerința și să -și pună la punct regulile de calcul. . Am reuș it să-i determin să
redacteze niște rezolvări corecte la exerciții cu grad de dificultate ușor. Astfel, i -am
determinat să nu abandoneze cu ușurință temele, considerându -le dificile.
Conversația este un dialog desfășurat între cercetător și subiecții supuși investigației
în vederea obținerii unor date în legătură cu fenomenele urmărite. Ea se desfășoară pe baza
unui plan și a unor întrebări dinainte elaborate. Conversația furnizează informații pentru
înțelegerea motivelor interne ale conduitei, a trăirilor afective, a intereselor, conflictelor,
prejudecăților, valorilor, aspirațiilor. Ea dezvăluie demersul gândirii subiecț ilor, atitudinea față
de ceilalți, influența familiei și a mediului social imediat.
În clasa a X II-a B mai mult de jumătate dintre elevi sunt navetiști, familia nu le poate
oferi un calculator sau alte tehnologii moderne la care visează adolescenții. Din această cauză
sunt mai puțin optimiști, unii se simt marginalizați, fapt ce se reflectă în atitudinea lor pasivă
la ore. Aceste informații m -au determinat să îi stimulez prin oferirea de sarcini potrivite
nivelului lor de cunoștințe și recompensarea prin n ote. Stimulările corective au determinat
reacții pozitive chiar la elevii cu potențial scăzut și cu ritm lent de învățare. Cu cât elevul este
mai motivat, cu atât crește și nivelul performanței.
O altă metodă a constituit -o testul docimologic . Pentru eli minarea subiectivismului am
conceput teste pe bază de itemi, care permit o evaluare obiectivă atât a informațiilor acumulate
de elevi, cât și a deprinderilor de bază a trăsăturilor de personalitate, a capacităților
intelectuale – produsul cel mai important al activității școlare.
În luna septembrie 2015 în primele ore, am administrat testul inițial ale cărui obiective
au fost subsumate obiectivelor de referință standardelor curriculare de performanță din
curriculum național. Testul inițial de evaluare, cotat de nivel mediu, a fost structurat pe itemi
obiectivi, semiobiectivi și subiectivi . Mai întâi am alcătuit matricea de specificații care include
competențele urmărite, conținuturile vizate, și tipurile de itemi. Baremul de corectare și de
notare a urm ărit defalcarea punctajului în funcție de tipurile de greșeli pe care le -ar putea
comite elevii.

69
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare inițială pentru
clasa a XII -a M 2 este următoarea:
Competențe
de evaluat
Conținuturi
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Total
Matrice: operații cu matrice,
matrice inversabile I.1.c
(2p) I.1.b
(2p) I.1.a
(2p) I.1.d
(2p) II.1.a
(10p) II.1.b
(10p)
28 p
Determinanți I.1.a
(2p) I.2
(10p) 12 p
Limite de funcții II.2.c.
(6p) II.2.b
(6p)

12 p
Continuitate

II.2.a.
(4p) II.2.a
(6p)

10 p
Derivabilitate II.2.c
(4p) I.3
(10p) I.4
(10p) II.2.b
(4p) 28 p
Total 4 p 8 p 16 p 18 p 30 p 14 p 90 p

COMPETENȚELE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI DE EVALUARE
INIȚIALĂ
PENTRU CLASA a XII – a M2

C1. Identificarea unor funcții utilizând proprietăți ale acestora: monotonie, continuitate,
derivabilitate, puncte de extrem.
C2. Prelucrarea unor date de tip cantitativ si/ sau calitativ cuprinse în enunțuri matematice
referitoare la operații cu matrice sau la studiul derivabilității funcțiilor.

70
C3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului matricial, respectiv calculului diferențial în
rezolvarea de probleme.
C4. Exprimarea cu ajutorul noțiunilor de limită, continuitate, derivabilitate, monot onie, a unor
proprietăți cantitative si/ sau calitative ale unei funcții.
C5. Studierea unor situații -problemă din punct de vedere cantitativ si/ sau calitativ utilizând
proprietățile algebrice si de ordine ale mulțimii numerelor reale.
C6. Optimizarea rez olvării unor probleme sau situații -problemă prin alegerea unor strategii si
metode adecvate.

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
Clasa a XII -a M 2 tehnologic

 Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II -a se
acordă 90 de puncte.Din oficiu se acordă 10 puncte.
 Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.

PARTEA I La exercițiul 1 stabiliți valoarea de adevăr corespunzătoare fiecărei
propoziții matematice. La exercițiile 2, 3, 4 scrieți lite ra corespunzătoare răspunsului
corect. (40 de puncte)

2p
2p
2p
2p
2p 1.Pentru fiecare dintre propozițiile matematice următoare scrieți (A) dacă aceasta
este adevărată și (F) dacă este falsă :
a) , oricare ar fi .
b) AB = BA, oricare ar fi .
c) (AB)C = A(BC), oricare ar fi .
d) A tA = tA A = I 2, oricare ar fi .
e) ă .

71

10p

10p

10p
2. Se consideră matricea

. Numărul
este egal cu :
a. – 2 b. 2 c. 0 d. 4

3. Se consideră funcția . Derivata
este egală cu :
a.

b.

c.

d.

4. Se consideră funcția

. Derivata
este egală cu :
a.
b. .

c. .
d.

PARTEA a II – a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (50 puncte)

10p
10p

10p
10p

10p 1. Se consideră matricele
și
.
a) Arătați că .
b) Determinați inversa matricei A.

2. Se consideră funcția

.

a) Verificați dacă funcția f este continuă în .
b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției f.
c) Arătați că
1,13
 , oricare ar fi .

72
BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

PARTEA I (40 puncte)

 Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă
punctjul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
 Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1. 2. 3. 4.
a. b. c. d. e.
Rezultate A F A F A c. d. b.
Punctaj 2p 2p 2p 2p 2p 10p 10p 10p

PARTEA a II -a (50 puncte)

 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intemediare pentru
rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1.a)

6p

4p
b)

. 6p

4p

73
2.a)

f este continuă în 6p

4p
b)

f este descrescătoare pe intervalul ( – , 0) și crescătoare pe intervalul (0, + )
6p

4p
c)

Din tabelul de variație al funcției :
1,13
 , oricare ar fi .
6p

4p
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului
obținut la 10.

IV.2.4. Proceduri de lucru în etapa ameliorativ -formativă
Experimentul formativ presupune introducerea variabilei independente , respectiv a
modifică rii preconizate, a noii modalităț i de lucru si controlarea situației in manieră analitică,
riguroasă, precisă .
Variabila independentă a constat in utilizarea in lecțiile de predare -învăț are a
conceptelor matematice, a metodelor interactive .
Implementarea metodelor intera ctive am realizat -o prin :

74
Familiarizarea elevilor cu metodele interactive pentru stimularea spiritului cri tic
Încă de la inceput am că utat, am selectat si am adaptat modalităț i si variante de folosire a
metodelor interactive, in f uncție de specificul vârstei elevilor, asigurâ ndu-le un caracter ludic,
activizant si interact .
Uneori familiarizarea elevilor cu aceste metode s -a realizat prin jocuri de rol desfășurate
in fața clasei, unde o grupă de voluntari din care fă cea parte si cad rul didactic, demonstra în
fața celorlalți modalităț i eficiente de utilizare a acestor metode. Grupele de voluntari e rau
aleatoriu alese și s -a recurs la această procedură până în momentul în care toți elevii – atât cei
din fața clasei, cât si cei din bă nci – au ințeles corect ce este de fă cut.
Am observat că utilizarea judicioasă a acestor metode, in mod sis tematic, pot determina
elevii să le învețe fără ca aceștia să fie familiarizați de la î nceput cu denumirile lor. De
asemenea, am mai observat că activitățile din cadrul orelor, deș i pentru cei din afara clasei
pareau „gălăgioase” si pline de freamăt, pentru noi, cei i mplicați în ele, nu era așa, întrucât
orele deveneau pline de animaț ie si de entuziasmul elevilor de a se implica activ si interactiv
în procesul instructiv -educativ. Totul se desfășura în limitele bunului simț, fără a se produce
îndepartarea de la sarcină , ceea ce la inceput la unii se întâ mpla destul de des, dar prin
atragerea atenț iei elevii au învăț at repede ce trebuie si ce nu trebuie să facă. Mai mult, curâ nd,
clasa de elevi era cu totul alta de cand am inceput să le împart responsabilități pe grupe, pentru
că mai aveam ajutoare care monitorizau acti vitatea de grup „liderul”, care avea
responsabilitatea de a raporta ș i de a raspund e de tot ce se petrecea in grupă . În scurt timp, mi –
am dat seama că efortu l meu de a produce o schimbare î n abordarea conț inuturilor a meritat
deoarece comparativ cu perioada când ne -am desfășurat activitățile după alternativa
metodologică tradițională (caracterizată prin liniște în clasă si prin faptul că de multe ori se
auzea numai vocea cadrului didactic) am constat at o atmosfera de lucru benefică, plină de voie
bună si marcat ă de dorinț a de afirmare a fieca ruia. De atunci, mi -am propus să le redau
posibilitatea de a se exprima așa cum știe fiecare, ajutându -i să progreseze în ritmul lor si să
transform clasa î ntr-un microsistem social, caracterizat prin sarcini si responsabilități pe
măsura fiecarui membru.

75
Asigurarea transparenței instrumentelor de muncă intelectual ă
Din momentul în care am constatat ca elevii înțeleg uș or sar cinile de lucru date si le
leagă de form ele de execuție/organizare, am trecut la învăț area denumirii acestor metode,
precizându -le de fiecare dată elevilor ce metodă vom utiliza pentru realizarea unui scop sau a
unor obiective. Elevii au învăț at destul de repede d enumirile, pentru că ele au fost asimil ate in
mod natural, nestresant și î n ritm propriu. La un moment dat, el evii solicitau singuri o anumită
metodă, care să îi ajute în valorificarea experiențelor lor de învăț are.
Pentru o mai bună transparență a tot cee a ce s -a desfășurat în soluț ionarea unei sarcini,
le-am atras atenția, de fiecare dată, în evaluarea ei, asupra pașilor care au fost parcurș i pentru
realizarea ac esteia, indiferent de etapa lecției în care a fost soluționată. Astfel am sprijinit
elevii să înțeleagă că pentru orice metodă interactivă se respectă următorii paș i:
_ se comunică sarcina de muncă intelectuală orală/scrisă ;
_se stabileș te forma de organizare (individuală/în pereche/pe grupe/cu mișcare/f ără miș care)
metoda si procedeul de realizare;
_se anunță timpul de gandire reflexivă si de colaborare, cooperare;
_evaluarea si autoevaluarea.
Înțelegerea relațiilor dintre sarcină, execuție ș i rezultat s -a putut monitoriza, obișnuindu -i
pe elevi să o explice si să o argumenteze atunci câ nd se realiza evaluarea frontală a sarcinii.
Fiecare grupă a fost pusă în situaț ia de a prezenta sarcina de lucru, metoda prin care au
soluț ionat -o, modul de organizare si rezultatele obț inute.
Evaluarea formativă. Testul formativ l -am aplicat ambelor clas e la începutul lunii
martie 2016 și a constat într -o verificare a cunoștințelor dobândite în intervalul noiembrie –
martie.

Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul formativ pentru clasa a XII -a
M2 este următoarea:

76
Competențe
de evaluat
Conținuturi
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Total
Lege de compoziție internă;
Tabla operației II.1
(10p)
10p
Proprietățile legilor de compoziție II.2.b
(10p) I.1
(10p) I.3
(10p) II.2.c
(10p) 40p
Grup;exemple.
Grupuri numerice .Grupuri de
matrice; grupuri de permutări; II.2.a
(10p)
I.2
(10p) II.3
(10p)

30p
Morfisme și izomorfisme de
grupuri I.4
(10p)
10p
Total 20p 20p 10p 10p 10p 20p 90 p

COMPETENȚELE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI FORMATIV
PENTRU CLASA a XII – a M 2

C1. Recunoasterea structurilor algebrice, a mulțimilor de numere, de polinoame si de matrice.
C2. Identificarea unei structuri algebrice, prin verificarea proprietăților acesteia.
C3. Determinarea si verificarea proprietăților unei structuri.
C4. Verificarea faptului că o f uncție dată este morfism sau izomorfism.
C5. Explicarea modului în care sunt utilizate, în calcule specifice, proprietățile operațiilor unei
structuri algebrice.
C6. Utilizarea structurilor algebrice în rezolvarea de probleme practice.

77
TEST DE EVALUARE FO RMATIVĂ
Clasa a XII -a M 2 tehnologic
 Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II -a se
acordă 90 de puncte.Din oficiu se acordă 10 puncte.
 Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
PARTEA I Scrieți litera corespunzătoare răspunsului corect. (40 de puncte)
10p

10p

10p

10p 1. Pe considerăm legea de compoziție Care dintre
următoarele afirmații este adevărată ?
a. Legea este asociativă și comutativă.
b. Legea este asociativă dar nu este comutativă.
c. Legea nu este asociativă dar este comutativă.
d. Legea nu este nici este asociativă și nici comutativă.

2. Fie mulțimea . Mulțimea este egală cu :
a. b. c. d.

3. Pe mulțimea
se definește legea de compoziție Care
dintre următoarele afirmații este adevărată ?
a. Legea are element neutru e = – 1.
b. Legea are element neutru e = 2.
c. Legea are element neutru e = 0.
d. Legea nu are element neutru .
4. Pe se consideră legile de compoziție : și
. și sunt grupuri comutative. Fie funcția .
Valoarea lui astfel încât funcția să fie izomorfism de la grupul la grupul
este :
a. a = 1 b. a = – 1 c. a = 2 d. a = – 2

78

PARTEA a II – a La următoarele proble me se cer rezolvări complete. (50
puncte)
10p

10p
10p
10p

10p 3. Să se arate că legea de compoziție pe mulțimea dată de tabla
următoare formează grup abelian.
e a b
e e a b
a a b e
b b e a

4. Pe se consideră legea de compoziție .
d) Să se arate că .
e) Să se arate că legea este asociativă.
f) Să se determine elementul neutru al legii .

5. Se consideră mulțimea
. Să se arate că pentr u
orice .

79
BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE

PARTEA I (40 puncte)

 Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă
punctjul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
 Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1. 2. 3. 4.
Rezultate a. c. c. b.
Punctaj 10p 10p 10p 10p

PARTEA a II -a (50 puncte)

 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intemediare pentru
rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1. Verificarea axiomelor grupului:
_asociativitatea;
_elementul neutru;
_elemente simetrizabile;
_comutativitate.
2,5p
2,5p
2,5p
2,5p
2.a)
= , pentru orice numere reale
și
4p
6p

80
b) , pentru orice
numere reale și .
, pentru orice
numere reale și .
Din , rezultă că legea este asociativă, pentru orice
numere reale și .
4p

4p

2p
c) î
Din
Rezultă este elementul neutru. 2p
6p
2p
3.

Dacă atunci
. 6p

2p
2p
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului
obținut la 10.

Evaluarea sumativă a avut rolul de a stabili, la un interval de timp mai mare, soliditatea
si trainicia achizițiilor elevilor dobândite î n perioada experimentului formativ. În această etapă
m-a interesat să demonstrez că între rezultatele obținute există o relaț ie liniară, de
proporționalitate si să confirm ipoteza cercetarii.

81
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare finală pentru clasa
a XII -a M 2 este urmă toarea:
Competențe
de evaluat
Conținuturi
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Total
Forma algebrică a unui polinom,
operații cu polinoame I.1.
(10p) I.3
(10p)
20 p
Teorema împărțirii cu rest,
împărțirea polinoamelor II.1.a
(5p) I.2
(10p) 15 p
Împărțirea cu x – a , schema lui
Horner, divizibilitate, teorema lui
Bezout II.1.b
(5p) I.4
(10p)
15 p
Rădăcini ale polinoamelor;
relațiile lui Viete II.2.a
(10p) II.2.b
(10p) II.3.a.
(10p) II.3.b
(5p) II.1.c
(5p)
40 p
Total 20 p 15 p 20 p 15 p 15 p 5 p 90 p

COMPETENȚELE DE EVALUAT ASOCIATE TESTULUI DE EVALUARE
FINALĂ
PENTRU CLASA a XII – a M 2
1. Recunoașterea mulțimilor de polinoame.
2. Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice.
3. Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date.
4. Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial.
5. Utilizarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica
numerelor.
6. Prelucrarea unor date de tip cantitativ/calitativ cuprinse in enunțuri referitoare la relațiile lui
Viete .

82
TEST DE EVALUARE FINALĂ
Clasa a XII -a M 2 tehnologic

 Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și din Partea a II -a se
acordă 90 de puncte.Din oficiu se acordă 10 puncte.
 Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
PARTEA I Completați spațiile libere cu răspunsul corespunzător. (40
puncte)
10p
10p

10p
10p 1. Fie polinomul polinomul . Valoarea este……….
2. Fie polinoamele . Restul împărțirii
polinomului la polinomul este……………………………………….. ……………………….
3. Ecuația de gradul al II -lea care are rădăcinile este…………………..
4. Polinomul se divide prin pentru ……

PARTEA a II – a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (50 puncte)

5p

5p
5p

10p

10p

6. Fie polinomul .
a) Să se determine astfel încât restul împărțirii polinomului la
polinomul să fie egal cu 9.
b) Pentru , să se descompună în factori ireductibili polinomul dat.
c) Pentru , să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor lui .

7. Fie polinomul .
a) Să se determine astfel încât să fie rădăcină a lui și să se
determine și celelalte rădăcini ale polinomului .
b) Determinați mulțimea v alorilor lui pentru care , unde
sunt rădăcinile polinomului .

83

10p

5p 8. Se dă ecuația care are rădăcinile .
a) Să se calculeze

,

.
b) Să se calculeze valoarea expresiei

.

BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE
PARTEA I (40 puncte)
 Se punctează doar rezultatul, astfel: p entru fiecare răspuns se acordă
punctjul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
 Nu se acordă punctaje intermediare.
Nr. item 1. 2. 3. 4.
Rezultate – 8 – 1 6
Punctaj 10p 10p 10p 10p

PARTEA a II -a (50 puncte)
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă
punctajul maxim corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de pun ct, dar se pot acorda punctaje intemediare pentru
rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1.a)

3p
1p
1p
b) =

este ireductibil în ( 1p
3p
1p

84
c)
=
1 2p
2p
1p
2.a)
= 0

2p
1p
2p
3p
2p
b) =

=

. 4p
2p

2p
2p
3.a) =
=

= .

3p
2p
2p

2p

1p
b)

2p

2p

1p
 Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului
obținut la 10.

85
IV.3 Prezentarea, analiza și interpretarea datelor cercetării
Demersur ile pe care le presupune această etapă se referă la:
_analiza, prelucrarea si interpretarea cantitativă a datelor și rezultatelor obținute;
_analiza, prelucr area si interpretarea calitativă a datelor si rezultatelor obț inute;
_analiza, interpretarea si valorificarea din perspectiva psihopedagogică si metodi că a datelor ș i
rezultatelor colectate;
După folosirea metodelor interactive pentru dezvoltarea spiritului critic în cadrul orelor
de matematică, rezultatele elevilor mai slabi au crescut simț itor, iar la elevii buni si foarte buni
a scăzut timpul efectiv de lucru în care ș i-au executat sar cinile. Acest lucru demonstrează că
metodele interactive contribuie la dezvoltarea atenț iei, a vitezei de lucru si la o mai bună
înțelegere si operare cu conceptele matematice.
În concluzie, pot spune ca în cadrul muncii mele de cercetare, rezultatele obținute
confirmă ipoteza cercetarii:implementarea prin curriculum a metodel or interactive conduce la
apariț ia si dezvoltarea spiritului critic al elevilor.

IV.3.1. Rezultate obținute la evaluarea inițială
Tabel cu rezultat ele obținute de clasa experimentală la testul inițial:
Elev Punctaj t otal
Nota
1. 68 7
2. 61 6
3. 84 8
4. 90 9
5. 66 7
6. 47 5
7. 74 7
8. 76 8

86
9. 77 8
10. 32 3
11. 58 6
12. 83 8
13. 76 8
14. 63 6
15. 76 8
16. 48 5
17. 70 7
18. 80 8
19. 52 5
20. 70 7
21. 41 4
22. 54 5
23. 57 6
Rezultate înregistrate în urma rotunjirii punctajului spre nota cea mai apropiată:
 Note:
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de elevi
care au
obținut nota
1
1
4
4
5
7
1
0

 Procente:
Nota 3 4 5 6 7 8 9 10
Procentul
obținut 4,35
% 4,35
% 17,39
% 17,39
% 21,74
% 30,43
% 4,35
% –
Se observă că 8,70% au obținut note de 3 și 4, 52,17 % dintre elevi au obținut note de 7 și
8, iar un procent mare de 34,78% au primit note de 5 și de 6. Nu s -a obținut nicio notă de 10,
doar 1 dintre ei, adică 4 ,35% are nota 9. Faptul că niciun elev nu are punctajul maxim îl explic

87
prin faptul că elevii au la cune în cunoștințele di n anii anteriori . Acest lucru mă determină să
acord mai multă atenție elevilor cu note de 8 și de 9 pentru a atinge un prag superior, dar și
celor cu note de 5 și sub 5, pentru a progresa. Media testului ini țial este 6,53.

0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 3 NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA
10 TEST INIȚIAL. CLASA EXPERIMENTALĂ
Nr. elevi
NOTA 3
4% NOTA 4
4%
NOTA 5
18%
NOTA 6
17%
NOTA 7
22% NOTA 8
31% NOTA 9
4% NOTA10
0% TEST INIȚIAL. CLASA EXPERIMENTALĂ

88

Tabel cu rezultatele obținute de clasa martor la testul inițial:
Elev Punctaj total
Nota
1 80 8
2. 41 4
3. 88 9
4. 66 7
5. 47 5
6. 72 7
7. 76 8
8. 77 8
9. 58 6
10. 83 8
11. 70 7
12. 63 6
13. 70 7
14. 48 5
15. 56 6
16. 48 5
17. 71 7
18. 83 8
19. 68 7
20. 52 5
Rezultate înregistrate în urma rotunjirii punctajului spre nota cea mai apropiată:
 Note:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de elevi care
au obținut nota 1 4 3 6 5 1 0

89

 Procente:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Procentul
obținut 5% 20% 15% 30% 25% 5% –
Se observă că 55 % dintre elevi au obținut note de 7 și 8, iar un procent mare de 35 %
au obținut note de 5 și de 6, iar un elev a obținut nota 4. Nu s -a obținut nicio notă de 10, do ar
un elev a obținut nota 9.
Media no telor este 6,58 .

0 1 2 3 4 5 6
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10 TEST INIȚIAL. CLASA MARTOR
Nr. elevi

90

Comparativ, rezultatele obținute de cele două clase (experimentală și martor), graficul
arată astfel după testul inițial:

5%
20%
15%
30% 25% 5% 0% TEST INIȚIAL CLASA MARTOR
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10
0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 3 NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10 Histograma comparativă. Test inițial
CLASA EXPERIMENTALA CLASA MARTOR

91

Constatări și concluzii
Din analiza comparativă a procentelor distribuite fiecărei note în parte, am constatat
faptul că la ambele clase peste 50% dintre elevi au obținut note de 7 și 8, în timp ce sub
40% dintre elevi au primit note de 5 și 6, ceea ce indică un nivel apropiat al cun oștințelor
acumulate în anii școlari anterio ri. Media clasei martor a fost 6,58, iar media clasei
experimentale a fost 6,53 .
IV.3.2. Rezultate obținute la evaluarea formativă

Testul de evaluare formativă l -am aplicat aceluiași eș antion la începutul lunii martie
2016 și a constat într -o verificare a cunoștințelor dobândite în intervalul noiembrie -martie. Am
alcătuit matricea de specificații în vederea corelării competențelor cu conținuturile și a
formulării itemilor.
Prezint cu a jutorul metodelor statistico – matematice rezult atele obținute de elevii ce
alcătuiesc eșantionul experimentului didactic: a XII -a B 23 elevi, a XII -a D 20 elevi.
Tabel cu rezultatele obținute de clasa experimentală la testul formativ : NOTA 3 NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA
10
Clasa martor 0 1 4 3 6 5 1 0
Clasa experimentala 1 1 4 4 5 7 1 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Axis Title Histograma comparativă

92
Elev Punctaj t otal
Nota
1. 74 7
2. 68 7
3. 89 9
4. 95 10
5. 70 7
6. 53 5
7. 78 8
8. 81 8
9. 82 8
10. 40 4
11. 63 6
12. 87 9
13. 82 8
14. 68 7
15. 83 8
16. 54 5
17. 75 8
18. 86 9
19. 57 6
20. 76 8
21. 46 5
22. 59 6
23. 60 6

Rezultate înregistrate în urma rotunjirii punctajului spre nota cea mai apropiată:
 Note:

93
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de elevi
care au
obținut nota
1
3
4
4
7
3
1

 Procente:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Procentul
obținut 4,35
% 13,04
% 17,39
% 17,39
% 30,44
% 13,04
% 4,35
%

Se observă că a crescut numărul elevilor care au obținut nota 8 (30,44%), și a scăzut
numărul elevilor cu nota 5. Doi elevi au progresat de la nota 8 la 9, însă niciunul nu a întrunit
punctajul maxim însă a obținut 95 puncte. Mi -am propus continuarea strategiilor incluse în
planul ameliorativ.
Rezultatele testului de e valuare formativă au evidențiat o îmbunătățire a nivelului de
cunoștințe comparativ cu rezultatele testului inițial: doar un elev a primit nota 4, 7 elevi au
nota 8 și 3 nota 9.
Media testului este 7,06.

0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10 Evaluare formativă. Clasa experimentală
Nr. Elevi

94

Tabel cu rezultatele obținute d e clasa martor la testul formativ :
Elev Punctaj t otal
Nota
1 81 8
2. 40 4
3. 84 8
4. 65 7
5. 48 5
6. 76 8
7. 75 8
8. 78 8
9. 57 6
10. 82 8
11. 70 7
12. 62 6
13. 68 7
4%
13%
18%
17% 31% 13% 4% TEST FORMATIV CLASA EXPERIMENTALĂ
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10

95
14. 47 5
15. 54 5
16. 49 5
17. 70 7
18. 81 8
19. 67 7
20. 51 5

Rezultate înregistrate în urma rotunjirii punctajului spre nota cea mai apropiată:
 Note:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de elevi care
au obținut nota 1 5 2 5 7 0 0

 Procente:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Procentul
obținut 5% 25% 10% 25% 35% – –

Se observă că 60 % dintre elevi au obținut note de 7 și 8, restul având note de 5 și 6, iar
un elev a obținut nota 4. Nu s -au obținut note de 9 sau de 10. Comparând rezultatele cu cele
anterioare de la testul inițial rezultă un ușor regres – media notelor pe clasă fiind 6,52.

96

Comparativ, rez ultatele obț inute de cele două clase (experimentală ș i martor), arată astfel după
evaluarea formativă :
0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10 Evaluare formativă. Clasa martor
clasa martor
5%
25%
10%
25% 35% TEST FORMATIV CLASA MARTOR
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8

97

0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10 Histograma comparativă. Evaluare formativă
Clasa experimentală Clasa martor
NTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA
10
Clasa experimentală 1 3 4 4 7 3 1
Clasa martor 1 5 2 5 7 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Axis Title Rezultate comparative la evaluarea formativă

98
IV.3.3. Rezultate obținute la evaluarea finală
Tabel cu rezultatele obținute de clasa experimentală la testul f inal:
Elev Punctaj total
Nota
1. 79 8
2. 68 7
3. 95 10
4. 100 10
5. 72 7
6. 57 6
7. 81 8
8. 82 8
9. 87 9
10. 47 5
11. 70 7
12. 90 9
13. 82 8
14. 70 7
15. 83 8
16. 61 6
17. 76 8
18. 86 9
19. 66 7
20. 76 8
21. 48 5
22. 68 7
23. 60 6

99
Rezultate înregistrate în urma rotunjirii punctajului spre nota cea mai apropiată:
 Note:
Nota 5 6 7 8 9 10
Nr. de elevi care
au obținut nota 2 3 6 7 3 2

 Procente:
Nota 5 6 7 8 9 10
Procentul
obținut 8,70
% 13,04
% 26,09
% 30,43
% 13,04
% 8,70
%

Din procentele distribuite fiecărei note în parte, am constatat faptul că 56,52 % dintre
elevi au obținut note de 7 și 8, 21,74 % au note de 9 și 10, în timp ce 21,74 % dintre elevi au
primit note de 5 și 6.
Rezultatele testului de evaluare formativă au evidențiat o îmbunătățire a nivelului de
cunoștințe comparativ cu procentel e înregistrate la evaluarea formativă.
Media testului este 7, 40.

0 1 2 3 4 5 6 7
Nota 5 Nota 6 Nota 7 Nota 8 Nota 9 Nota 10 Evaluare finală. Clasa experimentală
Nr. Elevi

100

Tabel cu rezultatele obținute d e clasa martor la testul final :
Elev Punctaj t otal
Nota
1 82 8
2. 42 4
3. 88 9
4. 67 7
5. 50 5
6. 76 8
7. 80 8
8. 81 8
9. 62 6
10. 80 8
11. 69 7
12. 61 6
13. 70 7
9%
13%
26% 30% 13% 9% TEST FINAL CLASA EXPERIMENTALĂ
NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10

101
14. 50 5
15. 58 6
16. 51 5
17. 68 7
18. 80 8
19. 68 7
20. 51 5

Rezultate înregistrate în urma rotunjirii punctajului spre nota cea mai apropiată:
 Note:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Nr. de elevi care
au obținut nota 1 4 3 5 6 1 0

 Procente:
Nota 4 5 6 7 8 9 10
Procentul
obținut 5% 20% 15% 25% 30% 5% –

Se observă că 60 % dintre elevi au obținut note de 7, 8 și 9, restul având note de 5 și 6,
iar un elev a obținut nota 4. Nu s -au obținut note de 10. Comparând rezultatele cu cele
anterioare de la testul inițial rezultă un ușor progres – media notelor pe clasă fiind 6,67.

102

Comparativ, rez ultatele obț inute de cele două clase (experimentală ș i martor), arată astfel după
evaluarea finală :
0 1 2 3 4 5 6
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10 Evaluare finală. Clasa martor
Nr. Elevi
5%
20%
15%
25% 30% 5% TEST FINAL CLASA MARTOR
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9

103

0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA
10 Histograma comparativă. Evaluare finală
Clasa experimentala
Clasa martor
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA 10
Clasa experimentala 0 2 3 6 7 3 2
Clasa martor 1 4 3 5 6 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Axis Title

104
IV.3.4. Interpretarea rezultatelor în acord cu cadrul teoretic
și cu ipoteza de lucru

Din analiza rezultatelor cercetării consider că se poate concluziona că această activitate
aplicativ -experimentală își confirmă utilitatea, dat fiind faptul că s -a înregistrat un progres a l
clasei experimentale.
Compararea rezultatelor elevilor obținute la evaluarea inițială cu cele de la evaluarea
formativă (continuă) și, bineînțeles, cu cele de la evaluarea finală înregistrează evolu ția
elevilor de la clasa experimentală unde s -au aplicat metodele interactive.

0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA
3 NOTA
4 NOTA
5 NOTA
6 NOTA
7 NOTA
8 NOTA
9 NOTA
10
Evaluare initială 1 1 4 4 5 7 1 0
Evaluare formativă 0 1 3 4 4 7 3 1
Evaluare finală 0 0 2 3 6 7 3 2 Clasa experimentală

105

0 1 2 3 4 5 6 7
NOTA 4 NOTA 5 NOTA 6 NOTA 7 NOTA 8 NOTA 9 NOTA
10
Evaluare initiala 1 4 3 6 5 1 0
Evaluare formativa 1 5 2 5 7 0 0
Evaluare finala 1 4 3 5 6 1 0 Clasa martor

106
CONCLUZII
Matematica este astăzi prezentă în toate activitățiile societății omenești și tinde să
ocupe un loc de prestigi u , pe măsură ce se face apel la ea pentru a se rezolv a probleme din
alte domenii decât ale sale proprii.
Pentru a face față noilor cerințe ale societății, aflate într -o continuă dinamică, școala
este cea dintâi chemată să realizeze schimbarea. În acest se ns, dorind să optimizez pro cesul
didactic, am implementat în lecțiile de matematică, alternativa metodologică interactivă pentru
stimularea spiritului critic, pornind de la premiza că, în educație, “critica” se referă la
intensificarea sentimentul ui de participare a celui care învață, într -o formă activă, eficientă, la
construirea propriei cunoaș teri.
Implementâ nd metodele interactive pentru stimularea spiritului critic in mod sistematic,
judicios aplicate, am constatat că au contribuit la:
_formarea unui ansamblu de instrumente de muncă intelectuală pentru fiecare elev în parte ș i
la dezvoltarea deprind erilor de utilizare a acestora în situaîii de învăț are diverse oferite prin
curriculum;
_asigurarea unei colaborări și cooperări interactive ș i transformarea clasei intr -un microsistem
social democratic;
_asigurarea independenței în învățare și a învăță rii eficiente prin procesele cogniti ve si
metacognitive, prin evaluări si autoevaluări, prin transpunerea conținuturilor înv ățării în
situaț ii noi și relaționarea lor inter – și transdisciplinar, prin analiz e critice asupra propriei
invăță ri;
_formarea unui repertoriu bogat de operaț ii ale g ândirii, într -o manieră atractivă, cu ajutorul
cărora elevii iși dezvoltă deprinderi de învățare eficientă , logică, bazată pe argumente, judecăț i
de valoare, opinii personale;
_implicarea activă și interactivă a elevilor în învăț are cu ajutorul metodelor interactive
stimulează și influențează predarea reciprocă , dezvoltarea si manifestarea spiritului critic, de
care pot beneficia p e tot parcursul vieții și iș i pot dezvol ta creativitatea, memoria activă de
lungă durată, inteligențele multiple.

107
BIBLIOGRAFIE
1. Alecu, S., “Metodologia cercetării educaționale”, Ed. Fundației Univ. „Dunărea de
Jos” Galați, 2005.
2. Barna A., Antohe, G., „Cercetarea pedagogică” în „Curs de Pedagogie. Teoria
instruirii și evaluării.” Editura Istru, Galați, 2003.
3. Brânzei, D., Brânzei, R., Metodica predării matematicii, Ed. Paralela 45, 2000.
4. C.Năstăsescu, C. Niță, ,C. Vraicu : Bazele algebrei, vol I, Ed. Aca demiei, București,
1986.
5. C.Năstăsescu, C. Niță, C. Vraicu : Aritmetică și Algebră, Ed. Didactică și Pedgogică,
R. A., București, 1993.
6. C.Năstăsescu, G. Andrei, M. Țena, I. Otărășanu : Probleme de strucuri algebrice, Ed.
Academiei, București, 1988.
7. Colecția “Gazeta Matematică” Seriile pentru elevi și profesori, 1980 – 2014.
8. Cristea, S., „Dicționar de termeni pedagogici”, București: EDP, 2004.
9. Cucos, C., (coord.) „Psihopedagogie pentru examenele de definitivare si grade
didactice”, Ed. Polirom, Iasi 1998.
10. Curriculum național pentru învățământul obligatoriu; Cadru de referință M.E.N.
11. Curriculum național. Planuri -cadru de învățământ pentru învățământul preuniver
sitar,MEN, CNC, Editura Corint, București, 1999 Anastasiei, M., Metodica predării
matematicii,Univers itatea "Al. I. Cuza", Iași, 1983.
12. Dumitriu, Constanța ( 2002), Metodologia cercetării psihopedagogice – curs,
Universitatea Bacău
13. Florin Cîrjan : ,,Didactica matematicii”, Ed. Corint,București, 2007.
14. G.Pic, I. Purdea, : Tratat de algebră, vol. I și II, Ed. Academiei, București, 1977, 1982.
15. Ghidurile metodice pentru programele școlare MEC; Consiliul Național pentru
Curriculum.
16. Ioan Cerghit : ,,Metode de învățământ”, E. D. P. București, 1997
17. Ion D. Ion, N. Radu : Algebră, E.D.P. București, 1981.
18. Ion D. Ion, Radu, C. Niță, C.Năstăsescu : Complemente de algebr ă, Ed. Științifică și
Enciclopedică, București, 1984.

108
19. Ion D. Ion, Radu, C. Niță, N. Radu , D. Popescu : Probleme de algebră, Ed. Didactică
și Pedgogică, București, 1981.
20. Manuale alternative pentru liceu.
21. Metodica predării matematicii în liceu, Ed. Fair Partners, București,2011.
22. Mircea Ganga: ,,Matematică manual pentru clasa a XII -a profilul M 1 vol. II”, Ed .
Mathpress, 2004.
23. N. Radu și colab. : Algebră pentru perfecționarea profesorilor, E.D.P. București, 1983.
24. Nicola, I., „Tratat de pedagogie școlară”, Ed. Aramis, București, 2000.
25. Programele analitice și metodicile de specialitate.
26. Sarivan Ligia, coord. – Predarea interactivă centrată pe elev , Educația 2000+,
București, 2005
27. Singer Mihaela, Voica Cristian – Recuperarea rămânerii în urmă la matematică,
Educația 2000+, București, 2005