1. Teorema de punct fixal u iB a n a c h 2. Metoda Newton-Raphson Doru Paunescu 1. Spa¸ tii metrice 1.1 No¸ tiunea de spa¸ tiu metric FieXom u l ¸… [614175]

1. Teorema de punct fixal u iB a n a c h
2. Metoda Newton-Raphson
Doru Paunescu

1. Spa¸ tii metrice
1.1 No¸ tiunea de spa¸ tiu metric
FieXom u l ¸ time arbitrar ˘an e v i d ˘a.
Definitia 1 Se nume¸ ste metric ˘a sau distan¸ t˘ao r i c ef u n c ¸ tied:X×X→Rcare
îndepline¸ ste urm ˘atoarele condi¸ tii:
i)deste pozitiv de finit˘a:d(x,y)≥0(∀)x,y∈X¸si
d(x,y)=0⇔x=y;
ii)deste simetric ˘a:d(x,y)=d(y,x),∀x, y∈X;
iii)dverific˘a inegalitatea triunghiului:
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)(∀)x,y,z∈X.
Mul¸timea nevid ˘aXînzestrat ˘ac uom e t r i c ˘adse nume¸ ste spa¸ tiu metric ¸ si se noteaz ˘a
(X,d ).
Exemplul 1 Spa¸tii metrice remarcabile
Rp=©
x|x=¡
x1,x2,…,xp¢
,xi∈R,i=1,pă
(Rp,d2),d 2(x,y)=qPp
i=1(yi−xi)2(d2,metrica euclidian ˘a)
(Rp,d1),d 1(x,y)=pPp
i=1|yi−xi|
(Rp,d∞),d∞(x,y)=m a x©¯¯yi−xi¯¯|i=1,pă
(ME,ρ)undeρ(f,g)=s u p
x∈E|f(x)−g(x)|,este spa¸ tiu metric
ρ(f,g)=s u p
x∈E|f(x)−g(x)|≥0
ρ(f,g)=0⇒ sup
x∈E|f(x)−g(x)|=0⇒
⇒|f(x)−g(x)|=0 (∀)x∈E⇒f(x)=g(x)(∀)x∈E
⇒f=g
ρ(f,g)=s u p
x∈E|f(x)−g(x)|=s u p
x∈E|−(g(x)−f(x))|=
=s u p
x∈E|g(x)−f(x)|=ρ(g,f)
1

1. Spa¸ tii metrice
ρ(f,h)=s u p
x∈E|f(x)−g(x)|=s u p
x∈E|f(x)−h(x)+h(x)−g(x)|≤
≤sup
x∈E[|f(x)−h(x)+h(x)−g(x)|]≤
≤sup
x∈E|f(x)−h(x)|+s u p
x∈E|h(x)−g(x)|=ρ(f,h)+ρ(h,g)
C[a,b]={f:[a,b]→R,c o n t i n u e}¡
C[a,b],ρ¢
,ρ (f,g)=m a x {|g(x)−f(x)||x∈[a,b]}
Fie(X,d )un spa¸ tiu metric ¸ si(xn)n∈Nun ¸s i rd ee l e m e n t ed i n X.
Definitia 2 ¸Sirul (xn)n∈Neste convergent cu limita l∈Xdac˘a¸si numai dac ˘ae s t e
verificat˘a condi¸ tia
(∀)ε> 0,(∃)nε∈Na.î. (∀)n≥nε,d(xn,l)<ε.
¸si not ˘am în acest caz lim
n→∞xn=l.
Definitia 3 ¸Sirul (xn)n∈Nse nume¸ ste fundamental (sau ¸ sir Cauchy) dac ˘a¸si numai
dac˘a este veri ficat˘a condi¸ tia:
(∀)ε> 0,(∃)nε∈Na.î. (∀)n≥nε,(∀)p∈N,d (xn+p,xn)<ε .
Observatia 1 Orice ¸ sir convergent este fundamental.
Reciproca acestei a firma¸tii este fals ˘a: în spa¸ tiul metric (Q,d)al numerelor ra¸ tionale
înzestrat cu metrica d:Q×Q→R+,d(x,y)=|y−x|exist ˘a¸siruri fundamentale
care nu sunt convergente.
(xn)n∈Nxn=£√
2·10n¤
10n
xn+p−xn=
=1.414 213 562 _… _|{z}
n_… _|{z}
n+p−1.414 213 562 _… _|{z}
n=
=0.000 000 000 0 … 0|{z}
n_|{z}
n+1… _|{z}
n+p<10−n
xn+p−xn<10−n<ε⇒ (xn)n∈Neste ¸ sir fundamental√
2−xn<10−n<ε⇒ lim
n→∞xn=√
2/∈Q
Definitia 4 Spunem c ˘as p a ¸ tiul metric (X,d )este complet dac ˘a¸si numai dac ˘ao r i c e
¸sir fundamental din Xeste convergent:
2

1.2. Principiul contrac¸ tiei
(xn)n∈N¸sir fundamental ⇒(xn)n∈N¸sir convregent.
Exemplul 2 Spa¸tii metrice complete
(R,d)-c um e t r i c a d(x,y)=|y−x|
(Rp,d2)- cu metrica euclidian ˘ad2(x,y)=qPp
i=1(yi−xi)2
(ME,ρ)- cu metrica "supremum" ρ(f,g)=s u p {|g(x)−f(x)||x∈[a,b]}¡
C[a,b],ρ¢-cu metrica ρ(f,g)=m a x {|g(x)−f(x)||x∈[a,b]}
1.2 Principiul contrac¸ tiei
Definitia 5 Elementul a∈Xeste punct fixa lf u n c ¸ tieiϕ:X→Xdac˘a¸si numai
dac˘a veri fic˘ai d e n t i t a t e a ϕ(a)=a.
Definitia 6 Of u n c ¸ tieϕ:X→Xse nume¸ steα- contrac¸ tie dac ˘a¸si numai dac ˘a
exist˘aoc o n s t a n t ˘ar e a l ˘aα∈(0,1)a. î.
d(ϕ(x),ϕ(y))≤αd(x,y), (∀)x,y∈X.
Teorema 3 (Teorema de punct fix a lui Banach / principiul contrac¸ tiei)
Oriceα-c o n t r a c ¸ tieϕ:X→Xpe un spa¸ tiu metric complet (X,d )posed ˘au nu n i c
punct fix.
În plus, dac ˘ax0∈Xeste un element arbitrar, atunci ¸ sirul aproxima¸ tiilor succe-
sive:
(xn)n xn=ϕ(xn−1)(n∈N∗)
este convergent, limita sa fiinda, unicul punct fixa lc o n t r a c ¸ tiei.
Eroarea s ˘avâr¸sit˘a de aproximarea a'xnse majoreaz ˘ap r i n :
d(xn,a)≤αn
1−αd(x0,x1)(n∈N∗).
Demonstra¸ tie
Fiex0∈Xun punct arbitrar; de finim ¸ sirul (xn)în modul urm ˘ator:
x1=ϕ(x0),
x2=ϕ(x1)=ϕ(ϕ(x0)) = (ϕ◦ϕ)(x0)
…
xn=ϕ(xn−1)=(ϕ◦ϕ◦…◦ϕ)(x0)
…
3

1. Spa¸ tii metrice
Distan¸ ta dintre doi termeni consecutivi ai ¸ sirului este dominat ˘ad ed i s t a n ¸ ta dintre
termenii ini¸ tiali:
d(xm+1,xm)=d(ϕ(xm),ϕ(xm−1))≤αd(xm,xm−1)=
=αd(ϕ(xm−1),ϕ(xm−2))≤α2d(xm−1,xm−2)≤
…
≤αm−1d(x2,x1)=αm−1d(ϕ(x1),ϕ(x0))≤αmd(x1,x0)
Evaluarea distantan¸ tei dintre doi termeni arbitrari xn+p¸sixn(p∈N)se realizeaz ˘a
pri aplicarea repetat ˘aai n e g a l i t ˘a¸tii triunghiului:
d(xn+p,xn)≤d(xn+p,xn+p−1)+d(xn+p−1,xn)≤
≤d(xn+p,xn+p−1)+d(xn+p−1,xn+p−2)+d(xn+p−2,xn)≤
…
≤d(xn+p,xn+p−1)+d(xn+p−1,xn+p−2)+…+d(xn+1,xn)≤
≤αn+p−1d(x1,x0)+αn+p−2d(x1,x0)+…+αnd(x1,x0)=
=αn·1−αp
1−α·d(x1,x0)<αn
1−α·d(x1,x0).
Majorarea ob¸ tinut ˘a este remarcabil ˘a: distan¸ ta între doi termeni arbitrari ai ¸ sirului
depinde semni ficativ doar de dep ˘artarea lor fa¸ t˘ad et e r m e n i ii n i ¸ tiali (adic ˘ad en)n u
¸si de ecartul lor (adic ˘ad ep).
Parametrul αeste subunitar deci limn→∞αn=0. Oricare ar fiεpozitiv, inegali-
tatea
αn
1−α·d(x1,x0)<ε
este veri ficat˘ad eo r i c ei n d i c e nce dep ˘a¸se¸ste rangul nε:=h
1
lnαlnε(1−α)
d(x1,x0)i
+1:
αn
1−α·d(x1,x0)<ε⇔αn<ε(1−α)
d(x1,x0)⇔
⇔nlnα<ε(1−α)
d(x1,x0)lnα<0⇔n>1
lnαε(1−α)
d(x1,x0).
Conform major ˘arii ob¸ tinute la evaluarea distantan¸ teid(xn+p,xn)rezult ˘a
(∀)ε> 0(∃)nε:=∙1
lnαlnε(1−α)
d(x1,x0)¸
+1 a.î. (∀)n≥nε¸si(∀)p∈N
d(xn+p,xn)≤αn
1−α·d(x1,x0)<ε
prin urmare ¸ sirul (xn)este fundamental.
Înfinal, avem în vedere c ˘as p a ¸ tiul metric (X,d )este complet deci ¸ sirul fundamental
construit mai sus este ¸ si convergent.
4

1.3. Aproximarea solu¸ tiilor unei ecua¸ tii
Vom ar ˘a t aî nc e l ec eu r m e a z ˘ac˘a limita ¸ sirului (xn)este unicul punct fixa lα-
contrac¸ tieiϕ.
Not˘amξ=l i m
n→∞xn¸si calcul ˘am distan¸ ta dintre ξ¸si imaginea sa ϕ(ξ).
d(ϕ(ξ),ξ)≤d(ϕ(ξ),xn)+d(xn,ξ)=d(ϕ(ξ),ϕ(xn−1)) +d(xn,ξ)≤
≤αd(ξ,xn−1)+d(xn,ξ)(∀)n∈N
Conform de fini¸tiei luiξdistan¸ teled(xn,ξ)¸sid(xn−1,ξ)tind la zero:
(∀)ε> 0(∃)n1ε(∀)n≥n1d(xn,ξ)<ε
2,
(∀)ε> 0(∃)n2ε(∀)n≥n2d(xn−1,ξ)<ε
2α.
Pentru orice ε> 0¸si orice rang n≥max{n1ε,n2ε}avem
d(ϕ(ξ),ξ)≤α·ε
2α+ε
2=ε
decid(ϕ(ξ),ξ)=0 ceea ce atrage dup ˘as i n eϕ(ξ)=ξ.
Punctul fixξeste unic. Dac ˘a ar mai exista un punct η∈X, η6=ξ,cu proprietatea
η=ϕ(η)ar rezulta
d(ξ,η)=d(ϕ(ξ),ϕ(η))≤αd(ξ,η)
¸si mai departe
(1−α)d(ξ,η)≤0.
Dar produsul a dou ˘a numere strict pozitive nu poate finici negativ ¸ si nici zero, prin
urmare presupunerea conform c ˘areia ar mai exista un punct fixηeste fals ˘a.
Evaluarea erorii la aproximarea punctului fixξprin termenul xn:
d(xn+p,xn)≤αn
1−αd(x1,x0)
lim
p→∞d(xn+p,xn)≤ lim
p→∞αn
1−αd(x1,x0)
d(ξ,xn)≤αn
1−αd(x1,x0).¥
1.3 Aproximarea solu¸ tiilor unei ecua¸ tii
O aplica¸ tie remarcabil ˘a, în care teorema de punct fixî ¸si dovede¸ ste pe deplin utilitatea,
este reprezentat ˘a de rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor algebrice. Vom ilustra aceasta
rezolvând urm ˘atoarea problem ˘a.
S˘as ec a l c u l e z er ˘ad˘acina real ˘a subunitar ˘aae c u a ¸ tiei
x5−5x+1=0
cu o eroare ≤10−9utilizând principiul contrac¸ tiei.
5

1. Spa¸ tii metrice
Membrul stâng al ecua¸ tiei este func¸ tia polinomial ˘a
g:R→R,g(x)=x5−5x+1.
Separ ˘am r ˘ad˘acinile ecua¸ tieig(x)=0 cu ajutorul ¸ sirului lui Rolle:
Ecua¸ tia studiat ˘aa r et r e ir ˘ad˘acini reale:
x1∈(−∞,1),x 2∈(−1,1),x 3∈(1,∞).
Ne propunem s ˘a determin ˘amx2cu eroarea ≤10−9.R˘ad˘acina c ˘autat ˘as eg ˘ase¸ste de
fapt în intervalul¡
0,1
2¢
.
Rescriem ecua¸ tiax5−5x+1=0 în forma
x=1
5¡
x5+1¢
ceea ce sugereaz ˘ac˘ar˘ad˘acina c ˘autat ˘ae s t ep u n c t fixa la p l i c a ¸ tiei
ϕ:∙
0,1
2¸
→∙
0,1
2¸
,ϕ(x)=1
5¡
x5+1¢
.
Alegerea aplica¸ tiei este corect ˘a deoarece
ϕµ∙
0,1
2¸¶
⊂∙
0,1
2¸
cum rezult ˘ad i n1
5¡
x5+1¢
<1
5µ1
32+1¶
=33
160<1
2.
Spa¸tiul¡£
0,1
2¤
,d¢
unded(x,y)=|y−x|,este un spa¸ tiu metric complet.
Cercet ˘am calitatea de α-contrac¸ tie a func¸ tieiϕ.În orice subinterval [u,v]⊂£
0,1
2¤
,
func¸tiaϕîndepline¸ ste condi¸ tiile teoremei lui Lagrange, prin urmare exist ˘ac∈(u,v)
a¸sa încât
ϕ(v)−ϕ(u)=ϕ0(c)·(v−u).
Calcul ˘am maximul modulului derivatei lui ϕîn intervalul (mai larg)£
0,1
2¤
:
α=s u p
x∈[0,1
2]¯¯ϕ0(x)¯¯=s u p
x∈[0,1
2]¯¯x4¯¯=1
16.
Func¸ tiaϕeste1
16-contradic¸ tie:
d(ϕ(u),ϕ(v)) =|ϕ(v)−ϕ(u)|=¯¯ϕ0(c)·(v−u)¯¯=
=¯¯ϕ0(c)¯¯·|v−u|≤1
16|v−u|=1
16d(u,v).
6

1.3. Aproximarea solu¸ tiilor unei ecua¸ tii
Construim ¸ sirul (tn)care converge c ˘atre punctul fix al contrac¸ tiei:
t0=0
t1=ϕ(t0)=1
5
t2=ϕ(t1)=1
5µ1
55+1¶
…
tn=ϕ(tn−1)
…
Punctul fix al contrac¸ tiei este chiar r ˘ad˘acinax2c˘autat ˘a, prin urmare acasta poate
fiaproximat ˘a printr-un termen (de rang înalt) al ¸ sirului construit mai sus:
x2'tncu eroarea |x2−tn|<¡1
16¢n
1−1
16|t1−t0|.
În cazul nostru eroarea se cere mai mic ˘a decât 10−9:
¡1
16¢n
1−1
16|t1−t0|<10−9⇔µ1
16¶n16
151
5<10−9⇔
⇔1
16n−116
3·52<10−9⇔16·109
3·52<16n⇔213·57
3<24n⇔
⇔24n−13>5
3·125·125⇔
⇔24n−13
128·128>5
3·125
128·125
128⇔
⇔24n−27>5
3·125
128·125
128
Observ ˘am c ˘a5
3·125
128·125
128'1.66·0.97·0.97'1.58,prin urmare inegalitatea dorit ˘a
este îndeplinit ˘ad e â n d a t ˘ac e
24n−27>2.
Cel mai mic num ˘ar natural ce veri fic˘a acest ˘au l t i m ˘a inegalitate este n=8 deci,
conform teoremei lui Banach, eroarea s ˘avâr¸sit˘ap r i na p r o x i m a r e a
x2't8=ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(0))))))))
este mai mic ˘ad e c â t 10−9.
Efectuând calculele observ ˘am c ˘a nu trebuie s ˘a ajungem chiar la t8pentru a deter-
minax2cu "nou ˘a zecimale" exacte
t1=ϕ(0) =1
5=0.2
t2=ϕ(ϕ(0)) =3126
15 625=0.200 064
7

1. Spa¸ tii metrice
t3=ϕ(ϕ(ϕ(0))) =931 621 074 981 787 125 001
4656 612 873 077 392 578 125=0.200 064 102|{z }465 556 974 88
t4=ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(0)))) = 0 .200 064 102|{z }629 711 984 39
t5=ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(0))))) = 0 .200 064 102| {z }629 974 969 3 .
Propunem cititorului s ˘a determine cu "patru cifre exacte" (adic ˘a cu o eroare ε<
10−4)r˘ad˘acinilex1¸six3ale ecua¸ tiei propuse la începutul paragrafului.
8

2. Rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor
neliniare
Rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor neliniare (algebrice sau transcendente) presupune
construirea unor ¸ siruri convergente c ˘atre solu¸ tia c˘autat ˘a. Problema este rezolvat ˘a
deândat ˘ac eu r m ˘atoarele condi¸ tii sunt îndeplinite:
i) s-a dovedit convergen¸ ta ¸sirului ¸ si
ii) s-a precizat o formul ˘a pentru estimarea erorii s ˘avâr¸site prin aproximarea
solu¸tiei cu un termen al ¸ sirului.
Metoda este cu atât mai apreciat ˘a cu cât rangul termenului ce realizeaz ˘aoa p r o x –
imare "bun ˘a" este mai mic, cu alte cuvinte, termeni pu¸ tini dar precizie mare.
2.1 Metoda Newton-Raphson
Pentru rezolvarea ecua¸ tiei
f(x)=0
Newton propune ¸ sirul recurent de ordinul întâi
(xn)nxn+1=xn−f(xn)
f0(xn).
În anumite condi¸ tii asupra func¸ tieif:I⊂R→R¸si cu un punct ini¸ tialx0bine
ales, ¸ sirul (xn)este convergent iar limita sa reste chiar r ˘ad˘acina ecua¸ tieif(x)=0.
R˘ad˘acinarse aproximeaz ˘ap r i nt e r m e n u ld er a n g N(suficient de mare) r'xNiar
eroarea poate ficontrolat ˘a.
Observatia 2 Motivarea gra fic˘a a metodei lui Newton
Fiexnun punct pe axa real ˘a. Tangenta la gra ficul func¸ tieiy=f(x)în punctul
de coordonate (xn,f(xn))are ecua¸ tia
y−f(xn)=f0(xn)(x−xn)
¸si intersecteaz ˘aa x aOx
½y−f(xn)=f0(xn)(x−xn)
y=0
în punctul de abscis ˘a
x=xn−f(xn)
f0(xn).
9

2. Rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor neliniare
Definim
xn+1=xn−f(xn)
f0(xn)
¸si observ ˘am, cotemplând figura, c ˘axn+1se afl˘a mai aproape de r ˘ad˘acinardecâtxn.
¥
Observatia 3 Motivarea gra fic˘aa n a l i t i c ˘aam e t o d e il u iN e w t o n
Formula lui Taylor aplicat ˘af u n c ¸ tieifde clas ˘aC2pe o vecin ˘atate a punctului a
f(x)=f(a)+1
1!f0(a)(x−a)+R1(f;x,a,θ )
conduce la aproximarea
f(x)'f(a)+1
1!f0(a)(x−a).
Fiexno aproximare a r ˘ad˘aciniir:f(xn)'0;deoarece feste continu ˘a, are sens
s˘ac˘aut˘amhcu proprietatea f(xn+h)=0.
0=f(xn+h)'f(xn)+1
1!f0(xn)(xn+h−xn)
0'f(xn)+f0(xn)h.
Ob u n ˘aa p r o x i m a r ep e n t r u heste solu¸ tia ecua¸ tiei
0=f(xn)+f0(xn)h
10

2.1. Metoda Newton-Raphson
de unde, în ipoteza f0(xn)6=0deducem:
h=−f(xn)
f0(xn).
Suntem acum în m ˘asur˘as˘ad efinim noua aproximare a r ˘ad˘acinii c ˘autate prin
xn+1=xn+h.
Rezult ˘a de aici formula de recuren¸ ta
xn+1=xn−f(xn)
f0(xn).
Teorema 4 f:R→Rde dou ˘a ori derivabil ˘a(fde clas ˘aC1
Rcuf0derivabil ˘a)
1.(∃)r:f(r)=0 ¸sif0(r)6=0 ;
2.|f0(x)|>m> 0pe o vecin ˘atate a lui r;
3.f00este m ˘arginit ˘a:|f00(x)|<M pe o vecin ˘atate a lui r.
Dac˘am a r g i n i l e m¸siMverific˘a inegalitatea M< 2matunci ¸ sirul (xn)definit
recurent prin
xn+1=xn−f(xn)
f0(xn)
este convergent cu limita r.
Eroarea s ˘avâr¸sit˘a prin aproximarea r'xneste
|xn−r|<µM
2m¶2n−1
|x0−r|2n.
Demonstra¸ tie
Dinf∈C1¸sif0(r)6=0rezult ˘ai m e d i a tc ˘af0(x)6=0pe o vecin ˘atate a lui r.
Consider ˘am vecin ˘atatea (r−δ,r+δ)pe care sunt îndeplinite condi¸ tiile 2, 3 ¸ si
f0(x)6=0.
Consider ˘am punctul xn∈(r−δ,r+δ)(echivalent |xn−r|<δ)¸si ¸tinem seama
de ipoteza f(r)=0 în dezvoltarea Taylor:
0=f(r)=f(xn)+1
1!f0(xn)(r−xn)+1
2!f00(ξ)(r−xn)2=
=f(xn)+f0(xn)(r−xn)+1
2f00(ξ)(r−xn)2;
⇒f(xn)−f0(xn)(xn−r)+1
2f00(ξ)(xn−r)2=0
⇒f0(xn)(xn−r)−f(xn)=1
2f00(ξ)(xn−r)2
11

2. Rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor neliniare
xn+1−r=xn−f(xn)
f0(xn)−r=(xn−r)−f(xn)
f0(xn)=
=(xn−r)f0(xn)−f(xn)
f0(xn)=
=1
2f00(ξ)
f0(xn)(xn−r)2;
|xn+1−r|=1
2|f00(ξ)|
|f0(xn)||xn−r|2≤M
2m|xn−r|2;
|xn−r|≤M
2m|xn−1−r|2≤µM
2m¶1+2
|xn−2−r|22≤
≤µM
2m¶1+2+22
|xn−3−r|23≤…≤µM
2m¶1+2+ ···+2n−1
|x0−r|2n=
=µM
2m¶2n−1
|x0−r|2n.¥
Consecinta 5 Prin procedeul descris mai sus se dubleaz ˘an u m ˘arul de zecimale ex-
acte la fiecare itera¸ tie; spunem c ˘a¸sirul (xn)este convergent p ˘atratic.
Convergen¸ ta ¸sirului Newton poate fidovedit ˘a cu ajutorul teoremei de punct fixa
lui Banach.
Teorema 6 f:I⊂R→Rde clas ˘aC2
Icuf0
1.(∃)r:f(r)=0 ¸sif0(r)6=0 ;
2.feste m ˘arginit ˘a:|f(x)|<M pe o vecin ˘atate a lui r.
3.|f0(x)|>m 1>0pe o vecin ˘atate a lui r;
4.f00este m ˘arginit ˘a:|f00(x)|<M 2pe o vecin ˘atate a lui r.
Dac˘am a r g i n i l e M,m1¸siM2verific˘a inegalitatea M·M2<m2
1atunci ¸ sirul (xn)
defin i tr e c u r e n tp r i n
xn+1=xn−f(xn)
f0(xn)
este convergent cu limita r.
Eroarea s ˘avâr¸sit˘a prin aproximarea r'xneste
|xn−r|<µMM 2
m2
1¶nm2
1
m2
1−MM 2|x1−x0|.
Demonstra¸ tie
Func¸ tiaϕ:[u,v]→Rdefinit˘ap r i nϕ(x)=x−f(x)
f0(x)îndepline¸ ste condi¸ tiile din
teorema lui Lagrange pe orice interval [u,v]⊂Ideci exist ˘a cel pu¸ tin o constant ˘a
c∈(u,v)pentru care
ϕ(v)−ϕ(u)=ϕ0(c)(v−u)
12

2.1. Metoda Newton-Raphson
adic˘a
ϕ(v)−ϕ(u)=Ã
1−f0(c)2−f(c)f00(c)
f0(c)2!
(v−u)
ϕ(v)−ϕ(u)=f(c)f00(c)
f0(c)2(v−u).
Trecem la modul în ambii membrii ¸ si ¸tinem seama de condi¸ tiile 2, 3 ¸ si 4 ale ipotezei:
|ϕ(v)−ϕ(u)|≤MM 2
m2
1|v−u| (∀)u,v∈I.
Observ ˘am c ˘aα=MM 2
m2
1<1deciϕeste o contrac¸ tie. Rezult ˘a din teorema lui Banach
c˘a¸sirul (xn)este convergent iar limita sa este chiar unicul punct fixa la p l i c a ¸ tiei:r,
r˘ad˘acina func¸ tieif.
ϕ(r)=r−f(r)
f0(r)=r−0
f0(r)=r.¥
Exemplul 7 Calculul r ˘ad˘acinii cubice a lui 17.
Num ˘arul3√
17este unica solu¸ tie real ˘a a ecua¸ tiei
x3−17 = 0.
Consider ˘am func¸ tiaf:R→R,f(x)=x3−17¸si construim ¸ sirul lui Newton (xn)
xn+1=xn−f(xn)
f0(xn)⇔xn+1=xn−x3
n−17
3x2n⇔xn+1=2×3
n+1 7
3x2n.
Varianta 1
Punctul ini¸ tialx0trebuie s ˘afien e n u l¸ si situat într-un interval cât mai scurt ce
con¸tine r ˘ad˘acina. Observ ˘am c ˘af(0)f(3) =−17·10<0prin urmare pornim cu
x0=1∈(0,3)¸si ob¸ tinem
x1=2×3
0+1 7
3×2
0=19
3=6.333 3
x2=2×3
1+1 7
3×2
1=14 177
3249=4.363 5
x3=2×3
2+1 7
3×2
2=6281 834 329 699
1959 023 495 763=3.206 6
x4=2×3
3+1 7
3×2
3=2.688 8
x5=2×3
4+1 7
3×2
4=2.576 3
x6=2×3
5+1 7
3×2
5=2.571 3
13

2. Rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor neliniare
…
Pentru compara¸ tie s˘ao b s e r v ˘am c ˘a3√
17'2.571 3 adic˘a3√
17'x6.
Varianta 2
Num ˘arul 17este încadrat de dou ˘a cuburi perfecte: 23=8<17<27 = 33deci
3√
17∈(2,3).Pornim cu x0=2¸si ob¸ tinem
x1=2×3
0+1 7
3×2
0=33
3·4=11
4=2.75
x2=2×3
1+1 7
3×2
1=2¡11
4¢3+1 7
3¡11
4¢2=625
242=2.5826
x3=2×3
2+1 7
3×2
2=2¡625
242¢3+1 7
3¡625
242¢2=121 535 591
47 265 625=2.5713
…
Se observ ˘an u m ˘arul mai mic de itera¸ tii pentru aceea¸ si aproximare:3√
17'x3.
2.2 Rezolvarea numeric ˘a a sitemelor neliniare
Pentru rezolvarea numeric ˘aas i s t e m u l u i
½f1(x,y)=0
f2(x,y)=0
vom construi ¸ sirul de aproxima¸ tii al lui Newton pornind de la polinomul Taylor.
Reamintim
Formula de aproximare a lui Taylor de ordinul 1 pentru func¸ tii vectoriale
F:D⊂Rp→Rp,F=(f1,f2,…,fp),
x=(x1,x2,…,x p),x0=(x01,x02,…,x 0p)∈IntD
F(x)'F(x0)+JF(x0)(x−x0)
undeJF(notat ˘au n e o r i¸ si prinF0) este matricea lui Jacobi:
JF=⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣∂f
1
∂x1∂f1
∂x2···∂f1
∂xp
∂f2
∂x1∂f2
∂x2···∂f2
∂xp………
∂fp
∂x1∂fp
∂x2···∂fp
∂xp⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.
În cazul particular p=2,al func¸ tiilor cu dou ˘a variabile
F:D⊂R2→R2,F=(f1,f2),
14

2.2. Rezolvarea numeric ˘a a sitemelor neliniare
(x,y)∈D, (x0,y0)∈IntD
F(x,y)'F(x0,y0)+JF(x0,y0)∙x−x0
y−y0¸
ceea ce este echivalent cu
∙f1(x,y)
f2(x,y)¸
'∙f1(x0,y0)
f2(x0,y0)¸
+⎡
⎢⎣∂f1
∂x(x0,y0)∂f1
∂y(x0,y0)
∂f2
∂x(x0,y0)∂f2
∂y(x0,y0)⎤
⎥⎦∙x−x0
y−y0¸
sau
⎧
⎪⎨
⎪⎩f1(x,y)'f1(x0,y0)+∂f1
∂x(x0,y0)(x−x0)+∂f1
∂y(x0,y0)(y−y0)
f2(x,y)'f2(x0,y0)+∂f2
∂x(x0,y0)(x−x0)+∂f2
∂y(x0,y0)(y−y0).
¸Sirul lui Newton pentru func¸ tia vectorial ˘aF(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y))este
definit prin recuren¸ t˘a:
((xn,yn))n (xn+1,yn+1)=(xn,yn)−F0(xn,yn)−1F(xn,yn)
undeF0reprezint ˘aj a c o b i a n u lf u n c ¸ tiei vectoriale F=(f1,f2):
F0=⎛
⎜⎝∂f1
∂x∂f1
∂y
∂f2
∂x∂f2
∂y⎞
⎟⎠.
Pentru comoditate, adopt ˘am scrierea matricial ˘a
µxn+1
yn+1¶
=µxn
yn¶
−⎛
⎜⎝∂f1
∂x(xn,yn)∂f1
∂y(xn,yn)
∂f2
∂x(xn,yn)∂f2
∂y(xn,yn)⎞
⎟⎠−1µf1(xn,yn)
f2(xn,yn)¶
.
În anumite condi¸ tii (asupra c ˘arora nu insist ˘am aici) veri ficate de func¸ tiaF:R2→
R2,c uu np u n c ti n i ¸ tial (x0,y0)bine ales, ¸ sirul ((xn,yn))neste convergent iar limita
sa(r,q)este chiar r ˘ad˘acina sistemului F(x,y)=0.Din acest motiv, r ˘ad˘acina (r,q)
s ep o a t ea p r o x i m ap r i nt e r m e n u ld er a n g N
(r,q)'(xN,yN)
dac˘aNeste su ficient de mare.
Exemplul 8 Rezolvarea numeric ˘aas i s t e m u l u i
½x−y+1 = 0
x2+y2−4=0.
15

2. Rezolvarea numeric ˘aae c u a ¸ tiilor neliniare
-2 -1 1 2
-2-112
xy
f:R2→R2,f (x,y)=¡
x−y+1,×2+y2−4¢
f0(x,y)=Jf(x,y)=µ1−1
2x2y¶
detJf(x,y)=2(y−x)
Jt
f=µ12x
−12y¶
⇒J∗
f=µ2y 1
−2×1¶
J−1
f(x,y)=1
2(y+x)µ2y 1
−2×1¶
µxn+1
yn+1¶
=µxn
yn¶
−1
2(yn+xn)µ2yn 1
−2xn1¶µxn−yn+1
x2
n+y2
n−4¶
µxn+1
yn+1¶
=Ã1
2(xn+yn)¡
x2
n+y2
n−2yn+4¢
1
2(xn+yn)¡
x2
n+2xn+y2
n+4¢!
µx0
y0¶
=µ0
2¶
µ
x1
y1¶
=µ
1
2¶
µ
x2
y2¶
=µ5
611
6¶
=µ
0.833 33
1.833 3¶
µx3
y3¶
=µ79
96175
96¶
=µ0.822 92
1.822 9¶
16

2.2. Rezolvarea numeric ˘a a sitemelor neliniare
Pentru compara¸ tie iat ˘as o l u ¸ tia exact ˘a
½µ1
2√
7−1
2,1
2√
7+1
2¶
,µ
−1
2√
7−1
2,1
2−1
2√
7¶¾
{(0.822 88,1.822 9),(−1.822 9,−0.822 88) }
Generalizare
Rezolvarea numeric ˘a a sistemului cu pecua¸tii ¸sipnecunoscute
F(x)=0
undeF=(f1,f2,…,fp)iarx∈Rp.
¸Sirul lui Newton este un ¸ sir de vectori de finit recurent
(xn)n xn+1=xn−F0(xn)−1·F(xn)
sau, în scriere echivalent ˘a,
(xn)n xn+1=xn−J−1
F(xn)·F(xn).
În anumite condi¸ tii asupra func¸ tieiF:Rp→Rp,c uu np u n c ti n i ¸ tialx0bine ales,
¸sirul de vectori (xn)neste convergent iar limita sa reste chiar r ˘ad˘acina sistemului
F(x)=0.Din acest motiv, r ˘ad˘acina rse poate aproxima prin termenul de rang N
r'xN
dac˘aNeste su ficient de mare.
17