ÎNVĂȚĂMÂNTULUIPRIMARȘIPREȘCOLAR LUCRAREDELICENȚĂ Coordonatorștiințific: Lect.univ.dr.BălăDumitru Absolvent: TalianuI.Sorin DROBETA-TURNU-SEVERIN… [614017]

1UNIVERSITATEADINCRAIOVA
FACULTATEADELITERE
SPECIALIZAREA:PEDAGOGIA
ÎNVĂȚĂMÂNTULUIPRIMARȘIPREȘCOLAR
LUCRAREDELICENȚĂ
Coordonatorștiințific:
Lect.univ.dr.BălăDumitru
Absolvent: [anonimizat].Sorin
DROBETA-TURNU-SEVERIN
-2019-

2UNIVERSITATEADINCRAIOVA
FACULTATEADELITERE
SPECIALIZAREA:PEDAGOGIAÎNVĂȚĂMÂNTULUIPRIMARȘIPREȘCOLAR
LUCRAREDELICENȚĂ
METODEDEREZOLVAREAPROBLEMELORDE
MATEMATICĂÎNCICLULPRIMAR
Coordonatorștiințific:
Lect.univ.dr.BălăDumitru
Absolvent: [anonimizat].Sorin
DROBETA-TURNU-SEVERIN
-2019-
CUPRINS

3INTRODUCERE……………………………………………………………………………..5
CapitolulI.Caracteristicipsihopedagogicealeșcolaruluimic,cuimplicațiiînînvățarea
matematicii……………………………………………………………………………………9
I.1.Bazapsihopedagogicăaformăriinoțiunilormatematice……………………………..9
I.2Formarealimbajuluimatematic………………………………………………………..11
CapitolulIINoțiuniteoreticeșimetodologicecuprivirelarezolvareaproblemelor
aritmetice…………………………………………………………………………………………………………………16
II.1Noțiunideproblemă,rezolvareaproblemelortipice…………………………………16
II.2.Etapelerezolvăriiuneiprobleme……………………………………………………..19
II.3Enumerareametodelorderezolvareaproblemelormatematicepentruclasele
I-IV……………………………………………………………………………………………21
CapitolulIIIStrategiididacticeutilizateînvedereaînsușiriimetodelorderezolvarea
problemelortipicelaclaseleI-IV………………………………………………………..…24
III.3.1Strategiididacticeutilizareaînrezolvareaproblemelormatematice.
Generalități………………………………………………………………………………….24
III.3.2.Metodederezolvareaproblemelormatematiceprinmodalitateînsușitelaclasaa
III-așiaIV-a………………………………………………………………………………27
III.3.2.1.Metodederezolvareaproblemelorcuoperațiirelativevidente……………..27
III.3.2.2.Metodederezolvareaproblemelordenumerație…………………………….30
III.3.2.3.Metodederezolvareaproblemelorprinmodalitateafigurativă
(grafică)………………………………………………………………………………………32
III.3.2.4.Metodederezolvareaproblemelorfolosindreguladetreisimplășidetrei
compusă(metodareaduceriilaunitate)…………………………………………………..34
III.3.2.5.Metodederezolvareaproblemelorprinaducerealaacelașitermende
comparație…………………………………………………………………………………..36
III.3.2.6.Metodederezolvareaproblemelorprineliminareașiînlocuirea
termenilor……………………………………………………………………………………37
III.3.2.7.Metodederezolvareaproblemelorprinipotezafalseipresupuneri………….39
III.3.2.8.Metodederezolvareaproblemelorpecaleamersuluiinvers…………………40
III.3.2.9.Metodederezolvareaproblemelordemișcare(dinamice)……………………43
III.3.2.10.Metodederezolvareaproblemelorîncaresecombinămaimulte
modalități……………………………………………………………………………………45
III.3.2.11.Metodederezolvareaproblemelorprinîmpărțireaunuinumărînpărți
proporționale………………………………………………………………………………47
III.3.2.12Metodederezolvareaproblemelorcarepresupundozareaprocentualăa
Amestecurilorșialiajelor………………………………………………………………………………………49

4III.3.2.13.Metodederezolvareaproblemelorcarepresupunutilizarea
ecuațiilor…………………………………………………………………………………..52
III.3.2.14.Problemelecucaracterrecreativ(dedivertisment)………………..………54
CapitolulIVStudiuexperimentalprivindutilizareametodelorderezolvarea
problemelordearitmeticălaclaseleI-IV………………………………………………..55
4.1.Designulcercetării…………………………………………………………………….55
4.2.Analizașiinterpretarearezultatelor………………………………………………..58
CONCLUZII…………………………………………………………….………………..59
BIBLIOGRAFIESELECTIVĂ………………………………………………………….62

5INTRODUCERE
Importanțașiactualitateatemei
Tentațiaîmbunătățiriirepertoruluifenomenologic,alrepertoriuluimetodologicși
terminologicpermiteodefinireineditășinecesarăarticulatăîntredomeniulștiințificșicel
aplicativ,specificnaturiiprezenteilucrări.
Perspectivaacesteielaborări,esteunadeidentificareafactorilordesusținereareușitei
didacticeîndomeniulmatematicii,coroboratăcuproiecțiaștiințifică,ceapsihologicășiceaa
evoluțieipersonalitățiielevilor.
Învirtuteaacestuidemerssuntsesizabileatâteforturiledepersonalizarecâtșieforturilede
generalizareareflecțiilorexercitateasupraexperiențelorceținfiedereușita,fiedenereușita
profesionalăaînvățătorilorpotrivitcalificăriiacestora.
Experiențaprofesionalăcepoatefisesizatădincolodecomplementaritateacompetențelor
asigurateprincurriculum,vizândopțiunilecarețindesensibilitateaautorilorînpredarea
metodelordezbătute,țintotodatășiderezonanțaprovocărilordidacticemoderneînspeciala
paradigmeitriangularecareînacordculogicadomeniuluii-șipropuneobiectiveprioritare
asupracăroravominsistapeparcursulprezenteilucrări
Necesitateadeaînvățamatematică,încădelanivelulclaselorprimaresesitueazăprin
analogieînacelașiplancuînvățarealimbiimaternedupăprincipiifonetice,ortograficeși
ortoepice,precumșicuasimilareaaltordisciplinecareînmodsimilardispundeoanumită
ordinelogicăoanumităsistematizaredidacticămaidificildeexploratdecătreeleviînmod
individual.
Aplicareapedagogieigeneraleladisciplinelematematicesefundamenteazăpeconstituirea
uneipsihopedagogiispecificedomeniuluimatematiccareesteproiectatăspecialîncâtsă-i
tratezepeelevidepepozițiiegalitariste,respectândtripleta:,,copil/elev-matematică-
realitate”
Prezentalucrareî-șipropunesăprezinteîntr-unmodoperaționalsinteticprocesulde
predare-învățarerespectivevaluareadisciplineimatematiceînciclulprimarcontribuind
într-oanumitămăsurălaexperiențadejaacumulatăîndomeniu,de-alunguldeceniilorde
predareaaritmeticiicuvaloarepracticăadăugatălaplanulgândiriiproductivecarese
intenționeazăafilegitimatăîntr-unproiectpragmaticdestinatsăpermităconjuncturadintre
curriculumșimetodologie.

6Dorințadeaînvingedistanțelederaționamentdintrelogicaștiințeicaformăgeneralăși
logicadisciplineideînvățământconstituieopreocuparepregnantăceapropieînvățareade
predare,astfelcămodelederaționamentșideraționarepentrufundamenteleepistemologice
aledomeniului,,Didacticamatematicii”,contureazăodepășireprogresivăaconduitelor
empirice,impunândofensivaacțiuniidiscreteaimplicituluipsihologicșipedagogiccevor
cauzacreștereaeficiențeișieficacitățiiproceselordepredare,învățareșievaluarea
conținutuluimatematiciilaciclulprimar.
Prezentalucrareutilizeazăcasuportinformaționalmetodologicșiaplicativtreiizvoare
principale:
Pefondulcreșteriieficiențeiabordărilorcurriculare,pragmaticeamodelelor
rezolutive(derezolvare)detipmatematic,specificclaselorI-IVsepuneaccentul
pepotențareapsihologieiînvățăriiîntr-omanierămaiexplicităsesizabilăprin
coroborareacognitivuluicunoașteriicumotivaționaluldeunderezultăunmesaj
destinatsensibilizăriireceptăriiraționaleînpracticadomeniuluimatematic.
Strategiiledidacticenecesareînțelegeriiraționaleșicognitiveutilizeazădrept
articulăriflexibileoseriedemetode,tehnici,procedeeșivariantedeorganizare,
caresuntdeschiseoptimizăriiproceselordeînvățareprofundăprinîntărirea
caracteruluilogicalnucleului,,predare-învățare”cerecurgelaconversia
strategiilordepredarecuconversastrategiilordeînvățaredeundeșiopțiunea
justificatădeclaritateșidepreciziealimbajuluimatematicfolosit.
Ometodăineditădeabordareanouluicurriculumdematematicăfacenecesară
centralitateaconstituiriiuneiideideconstruireprogresivăauneiminimeculturi
matematiceînmăsurăsăgenerezedeschidereaîntra-șiinterdisciplinarecarepune
accentpelaturadenotativădeschisăcontextualizăriiprintransferspecificspre
respectulaplicativitățiicreative.
Importanțaorganizaționalăafuncțiilorpedagogice
Curriculumnaționalînceeacepriveștepredareamatematiciiînciclulprimarpresupuneca
modeloperaționaldeanalizăteoreticășipractică,multitudineadeconținuturișidestandarde
regăsibilecaunghiddepropedeuticăpentrucadreledidacticestagiare(debutante),câtși
pentrucadreledidacticecesusținexamenuldedefinitivat,respectivdegradulIIșidegradulI,
într-omanierăușoradaptatăcreativprelucratăprinevaluareaexempleloraleseutilizateîn
procesulformăriiînvățătorilorșiinstitutorilor.

7Moduldegândireînabordareainteligentăastrategiilorcepresupunproceselederezolvare
pebazaunormodeletipologicedeinstruireformativăcesistematizeazăproceselede
rezolvareprint-oprocesualitatementală,organizațională,cuspecificmatematic,areca
beneficiarifieelevii,fiestudențiipedagogi,fiecadreledidacticeînactivitatecarevorfi
servițiîncăutărilelorșivorfistimulațisăpromovezevaloareamatematicii,respectiva
aritmeticiicalimbajșiinstrumentutilînviațacotidianăpermițândînțelegereaunitățiidintre
logicpsihologicșipedagogic,înprocesuleducativcuspecificinformativșiformativ.
Elementelecomponentealeprezenteilucrăriinsistăasupraadevăruluimatematicceeste
constituitdinrelații,raționamente,operații,rezultate,produseșiproprietăți,corectarea
naturiierorilor,acesteaînglobându-seîncorpusulaplicațiilorschemeloroperațional-
transformativeînprocesuldedemonstrareșiderezolvaregradualășidedepășirea
dificultățilorcucareseconfruntăelevulînprocesulsuperior,mental,dedemonstrarece
constituierepertoriulaspectelortipologice,altesteloralseturilordiverse,deexemplede
problemeșiexerciții,fierezolvatefiepropuseafirezolvate,avândmenireasăîncurajeze
efortulcognitiv,individual,precumșidisponibilitateamotivaționalășiaplicareavolitivăa
capacitățilorcreative
Necesitateaconstituiriilanivelulcicluluiprimaraunuimodelanticipativaunoripoteze
caresăvalidezeraționalcorespondențadintrerealitateșivalorilematematiceabstracte,se
realizeazăastfelîncâtsăinstituieșicontrolezeunsentimentalnormaluluiconduitelorelev
profesorcaresăpermităînanumitelimitefacilitareaprocesuluideînvățareșievaluare.
Semnificațiamajorădintreelevșimentorulsău
Educatorul,învățătorul,laclaseleI-IV,seplaseazăpepozițiadespecialistabilitat,săofere
unsetlargderăspunsurilaîntrebărilepecareeleviișilepunlaaceastăvârstă,astfelîncâtsă
deaovaloarepedagogicădomeniuldisciplinelormatematiceprinrăspunsurileesențiale,
furnizatecumarfi:1.Pentrucefacem,ceeacefacem?,2.Pentrucinefacem,ceeacefacem?,
3.Încemod(cum)facem,ceeacefacem?,4.Cucefacem(mijloacele),ceeacefacem?,5.Cu
cinefacem(elevii),facemceeacefacem?,6.Când,(încemoment)facemceeacefacem?,
7.Unde(înceloc),facemceeaceface?,8.Pentrucâttimp(durata),facemceeacefacem?,9.În
contextdeaplicabilitateserealizeazăactulpredării?,10.Cuceratădetransfer(feedback),se
realizeazăactulpredării?,11.Ceintenționămsăpromovăm?,12.Careesteunitatealogică
dintreobiectivuluicentrăriipeelevșicentrareapeobiectuldestudiu(metodelematematice)?.
Toatăaceastăprocesualitatedidactică,induceopozițieclară,centratădinpunctdevedere
pedagogic,pecalitateadedisciplinăexactăamatematicii,situatălaunnivelprimordialîn

8ariilecurricularealeînvățământuluinațional,constituitdinînlănțuirealogicăaexercițiilor
continue,astandardelorclare,binestructurateperelațiigeneratedenoicombinațiicreative.
Organizareamaterialuluidepredareînvățareadisciplineimatematice,
presupune,,Proiectullucruluibine-făcut”careestereflectatdemetodologiaderezolvare:
ENUNȚ-JUDECATĂ-ACȚIUNE(EXERCIȚIU/REZOLVARE)-
VALIDARE(CONFIRMARE)(VERIFICARE/EVALUARE).
Multitudineadefaptematematiceșideobservații,cefacpermisivăexploatareadidacticăa
metodelorderezolvareaexercițiilorșiproblemelordearitmetică,înciclulprimar,deschide
caleaunordezbaterioneste,cuprivirelatraiectoriadidacticășipedagogicăacadruluididactic,
careintenționeazăsădevinăpede-oparteuninițiatoralprocesuluidepregătirematematicăa
elevilor,câtșipedealtăparte,aunuicoordonatormutual,menitsărezolveunadintre
paradigmelepedagogieicontemporane,ceseaplicăcupredilecțieșimatematicii,careconstă
înideea,căpredareaconținutuluideînvățământ,esteceamaidemocraticădintreprofesii,
concomitentaceastainsuflăelevuluiaspirațiadeasedepășipesine,tendințapermanentăde
a-șiîntreceprofesorul,fenomenbenefic,carenuînpuținecazuriserealizeazăcuadevărat.
Urmândîndemnulînaintașilorpedagogiînmetodicapredăriimatematicegenerale,
progresămînmetodicașididacticapredăriiaacestedisciplinefolosind-sedinplinștiința
experiențacercetărileoperelematematiceprecumșiîndemnulstăruitordeacontinuamunca.
Elaborareaacestelucrăriserealizeazăcuscopuldeastârniinteresulprogresuluinecontenit
peaceastăcaleprincareputemoferiunmodestajutordecaresuntemcapabilideacest
moment.
Formasinteticăsubcares-aelaborataceastălucrareseregăseșteîndeziderateleproiectelor
didactice,caresitueazănivelulînvățământuluidinclaseleI-IV,laocotăsuperioarăde
organizare,explicităasarcinilordeînvățarecorelatecuratașispecificuldezvoltăriiși
evoluțieipsihismuluispecificelevilor,cuvârstacuprinsăînintervalul6/7-10/11ani.
Exempluînvățătoruluiprinorganizareaprinputereadejudecatăprincapacitateacoercitiv,
coordonatoareșieuristiccombinativăsolicităstăpânireașipracticarea,metodelormatematice,
nunumaicaunfenomenindividualcâtșicaunulcompetiționalpsihosocial(cooperativ).
CAPITOLULI.Caracteristicipsihopedagogicealeșcolaruluimic,cu
implicațiiînînvățareamatematicii.

9I.1.Bazapsihopedagogicăaformăriinoțiunilormatematice
Studiuldisciplineimatematiceînșcoalaprimarăarecaobiectivsăasigurepentrutoțielevii
atâtînvățarea,câtșiformarea,conceptelordebază,anoțiunilormatematiceprimare.
Înacestscopsevizeazăatâtparcurgereacicluluiaritmetic,anoțiunilorintuitivede
geometrie,aasimilăriiunitățilordemăsurăpentrudiverselemărimi,câtșiaprocesuluicorect
demăsurareconformcusistemulU.Iimplementatlaniveleuropean.
Pentrurealizareaobiectivuluideasimilareșideconsolidareacunoștințelormatematiceși
înprincipalametodelorderezolvare,aexercițiilorșiproblemelordearitmeticăspecifice
claselorI-IV,avemmodalități-cadrualepredăriimatematiciiurmătoareleprecizări:
-Pentruformareașidezvoltareacapacitățilordeformareșicomunicare,prinutilizarea
limbajuluimatematic,aconținutuluicurriculumului,sevacunoașteșiutiliza
conceptelespecificematematice;
-Pentrudezvoltareacapacitățilordedezvoltareșiinvestigare,euristic-combinatorieîn
rezolvareaproblemelorsevavizaformareamotivațieișimențineainteresuluipentru
studiulșiaplicareaîncontextecâtmaivariateaconținuturilormatematicespecifice
cicluluiprimar.
Labazaconstituiriiactualeiprogramedematematicăastatconcepțiacareînansamblulsău,
vizeazăurmătoareleaspecte:
-Necesitateaobiectivădeatrecedelaaplicareaunoralgoritmi,(itemi,pași)pentru
folosireaunorstrategiioptimeșiinediteînrezolvareadeproblemecaresăcompleteze
metodeleclasiceaplicate;
-Necesitateadeatrecedelamemorizareamecanicăapașilorderezolvarelaexplorare-
investigareineditășideanticipareștiințificăarezultatelor;
-Necesitateadeatrecedelaoaritmeticăpur-teoretică,abstractălaovarietateuzualăde
contexteproblematicecaresăconfigurezesferapredilectăadisciplinearitmeticeîn
sensulsăupragmatic;
-Necesitateacareimpunetrecereadelasubiectivitateșidelarigiditatea(fixitatea)
modeluluidenotarelatransformareaînsușiriiactuluideevaluareîntr-unmijloc
autenticdeautoaprecierecalitativășidestimulareacapacitățilorelevului;
-Necesitateainsistăriipeobiectiveledereferință,deundesevorextrageexemple,de
activități,deînvățarespecificecontinuitățiiprocesuluideînvățământ,delaclasele
anterioare,cătreclasaaIV-a,caresăconturezeconținuturiledebazăaleînvățării.

10Dinacesteaspecteseextragemotivațiaprocesuluidepredare-învățarealmatematicii
conformcăroraserealizeazămetodicaacutuluipedagogicînspiritullogiciiștiințelor
moderne,pecaresefundamenteazăcultivareaunorrepertoriimotivaționalefavorabile
învățăriidisciplineimatematice.
Specificulprezenteilucrăriseconcentreazăasupraobiectivelordereferințălanivelul
claseiaIII-a,momentîncaresepuneaccentulpeînsușirearegulilordebazăînrezolvarea
deexercițiișiproblemevariateprimmetodaaritmetică,alteledecâtceleimplicărezolvarea
deecuațiicarenufacpartedinmetodeleutilizatelaclaseleIII-IV.
Înplanulmental,etapadeînsușireametodelorderezolvareprinexercițiidearitmetică,a
unorproblemespecificecicluluiprimarimplicăînglobareaunoroperațiunicaresă
răspundălaîntrebăridegenul:,,m-amgânditlaunnumăradunatcu3șiamobținut9?
Careestenumărullacarem-amgândit?Răspunsulpresupuneefectuareauneiscăderi
metodăprimarălacareeleviitrebuiesăsegândeascăînmodempiric.
Înplanulsimbolicavemdeafacecudescriereauneisecvențederaționamentde
tipul:3+?=9;Aceastaimplicăînplansimbolicurmătoriipașisauitemi:
-Codificareaacesteiîntrebăridetipul3+?=9pentruaflareanumăruluinecunoscutseva
faceprin:a)încercare,b)înlocuire,c)verificare;
-Sevorrecunoaștesituațiilecompleteprecumșinecesitateautilizăriiexpresiilorcare
presupunefectuareacelorpatruoperațiuniprimare(adunare,scădere,înmulțire,
împărțire),aunorsimbolurimatematicecaresemnificăacesteoperațiiprimare(pentru
adunare-cucâtmaimult;pentruscădere-cucâtmaipuțin;pentruînmulțire-deatâteaori
maimult;pentruîmpărțire-deatâteaorimaipuțin),caresăpermităobținereaunor
rezultatecâte,,x”sunt,,n”obiecte,câte,,p”pefiecarerând;câte,,x”sedistribuieîn
modegal,,n”obiectela,,p”persoaneetc;
-Sevizeazăcreareadeproblemeutilizândtehnicivariatecusprijinconcretînutilizarea
unorobiecteporninddelanumereledatefărăsprijin;
-Sevorcreaproblemepornindu-sedelaexercițiiledearitmeticășiinversadică
transformareaproblemelorînexerciții;
-Sevorcreaproblemedecătreeleviidinclasăpentrucolegiilor,aceastaporninddela
expresiisimbolicecumarfi:ezolveെolv)etc,sevoranalizapărțile
componentealeacesteiprobleme,sevorschimbacomponenteleuneianumite
problemefărăcatipuldeproblemăsăseschimbe,sevortransformaproblemelede
adunareînproblemescădereșiinversproblemedescădereînproblemedeadunare;

11-Sevorschimbadateledinenunțuluneiprobleme,respectivalvalorilornumerice,cu
păstrareatematicii,ulteriorsevortransformaproblemele,darsevorpăstranumerele
neschimbate;
-Sevoranalizacuvintelecaresugereazăoperațiiaritmeticeincluzivaceleexpresii
derutanteulteriorsevastimulacreștereatreptatăavitezeideoperarecunumereprin
creareaunorsituațiicompetitiveîntreeleviiclaseitestateprinprobecaresunt
administrateîntr-unintervaldetimpinițialprecizat;
-Sevorinterpretadatelecolectateșiprelucrateprincompararealorcunumerele
implicateînrezolvareadeproblemeurmărindu-segăsireaunorasemănărișideosebiri
șiextragereaunorinformațiiparticularesemnificative;
-Sevorcreaproblemepringenerareaunorexemplecaresăilustrezeevenimentesigure
posibilesauimposibile;
-Sevoridentificașiaplicaanumiteregulișischemespecificemetodelormatematice
pentrurezolvareaunorproblemeșiexercițiidearitmeticăcaresăpresupunăefectuarea
succesivăacelorpatruoperațiuni(adunarea,scădere,înmulțireșiîmpărțire);
-Sevorutilizametodelederezolvarecarenecesităobținereaunordescompuneride
numereprinutilizareadeobiecteșidereprezentăridegrupurivariatesimbolizateprin
completareaunorșiruridesimbolurisaudenumereordonate,înfuncțiedeoanumită
regulășiobținereasaucreareaunorșirurinumericepebazaunorregulidate,necesare
pentrughicireareguliidecorespondență,întreelementeleuneimulțimișielementele
uneialteimulțimi.
I.2.Formarealimbajuluimatematicnecesarrezolvăriiproblemelor
aritmetice
Pentruadezvoltacapacitateadecomunicareaelevilorladisciplinamatematicăutilizând
limbajulsimbolic,specificclaselorI-IV,sevizeazăcaobiectivedereferințăurmătoarele:
Înutilizareasimbolurilormatematiceînefectuareacalculelorpentrurezolvarea
problemelorestenecesarsăseexprimeclarșiconcisdateledinenunțulproblemei;
Exercițiiledetranspunereaunorenunțurisimpledinlimbajulmatematic,simbolic,
abstractînlimbajulliterarcotidiandelargăînțelegereprecumșioperațiainversă,
decodificareaenunțuluiuneiproblemeînsimbolurimatematicecaresăpermită
efectuareadecalcule;

12Pentruasedezvoltainteresulșimotivația,înstudiulșiaplicareamatematiciiîn
contextevariatesefaceapelîndezvoltareainițiativeielevilorînacăutașia
propune,modalitățidiverseșidiferitedeabordarearezolvăriiuneiprobleme;
Efectuareaîncadrulunuigrupdelucruaunoractivitățipracticederezolvarede
probleme,caresăfacăapelladezvoltareaunuicomportamentadecvat,de
cooperareînrelațiiledintreelevi,învederearezolvăriiuneiproblemecomune;
Implicațiileaplicăriimetodelorderezolvareaunorproblemecarenecesitămaimultde
douăoperații,facenecesarăînprocesulderaționament(rezolutiv),deaflareaunuinumăr
necunoscutîncadruluneirelațiilogicetetipul:loeܾe쳸oundeeșosunt
numerenecunoscuteînintervalulെܾsauînintervalulെsauെ,detipul
ll൏൏undeesteunmultiplualluilocalizatîn
intervalulെ(aflatprinîncercări,prinutilizareadeobiectesauutilizareadedesenesau
folosindmodelulbalanței).
PentruasimilareașiutilizareaconceptelorspecificematematicelanivelulclaseiaIV-a
esteimperativnecesar,caelevul,săfiecapabilsăîndeplineascăcerințeleprevăzuteîn
următoareleobiectivedereferință:
Elevulvacunoașteșivautilizasemnificațiapozițieiîncareseaflăcifrele,în
cadrulformăriiunuinumărnatural,carepoateajungeinclusivpânălaordinul
miliardelor;
Elevultrebuiesăfiecapabil:a)săscrie,b)săcitească,c)săcompare,d)să
ordoneze,multitudineanumerelornaturaledelaz;
Elevultrebuiesăutilizezepentruexprimareamatematicăprinfracții(porțiuni),
subdiviziunialeîntreguluialeuneimulțimi;
Elevultrebuiesăînțeleagăsemnificațiaefectuăriioperațiiloraritmeticeșia
utilizăriialgoritmilordecalcul,pentruefectuareaoperațiunilorprimare(adunarea,
scădere,înmulțireșiîmpărțire)încarerezultăunrestalnumerelornaturale;
Elevultrebuiesăînțeleagăsemnificațiaadunăriișiscăderii,diverselornumere
fracționateșisăefectuezecuacesteaadunărișiscăderi,respectivînmulțirisau
împărțiri;
Elevultrebuiesăaibăcapacitateanecesarăestimăriiordinuluidemărimeal
rezultatuluiunuiexercițiusauauneiproblemecarenecesităsprerezolvare,
efectuareauneisingureoperațiicerecurgelarotunjireanumerelorcareintervinîn
procesuldecalcul,fiindatentînscopuldepistăriigreșelilor;

13Elevultrebuiesărecunoască,săidentificesisădescriesubraportnumeric
proprietățilesimplecarerezultădincomparareaunorformeplaneșiforme
spațialeînglobateînconstituireaunorfigurigeometricecomplexe;
Elevultrebuiesăcunoascășisăutilizezevaloricunitățiledemăsurăstandard
pentrulungime,capacitate,masă,suprafață,timp,unitățimonetare,volumeșisă
poateacestemărimiprintransformărisuccesivepebazaunoroperațiiaritmetice,
anteriorînvățatecaresăexprimelegăturiledintreunitățiledemăsura
(subdiviziuni),dincadrulaceleașimărimi;
Pentrudezvoltareacapacitățilordeinvestigareșirezolvaredeprobleme,aelevilorde
clasaaIII-așia-IV-asedesprindenecesitateaîndepliniriicalitativeaurmătoarelorobiective
dereferință:
Înfazaincipientădeasimilareamodalitățilorderezolvarealproblemelor,elevii
trebuiesăfiecapabilisădescompunănumerelenaturalemaimicidecât1000,să
explorezecuușurințăcantitățicedepășescvaloareanumericăpeste1000,să
utilizezeoricaredintreoperațiunileutilizateanteriorșisăfiecapabilisăobțină
combinațiialeacestoroperațiuni;
Eleviitrebuiesăfiecapabilisăapreciezevaloareadeadevărauneiafirmațiișisă
recunoascăsensulimplicații,,dacăatunci”pentruailustraexemplesimple
dint-uneventualraționamentcotidian;
Eleviitrebuiesăfiecapabili,sădescopere,sărecunoascășisăutilizeze
corespondențelenumericesimple,precumșisuccesiuneadeobiectesaude
numerecareseasociazădupăregulidate;
Eleviitrebuiesăfoloseascăsimboluricaresăexprimeșisăpunăînevidență
numerelenecunoscuteînrezolvareadeprobleme;
Eleviitrebuiesăfiecapabili,sărezolveșisăcompunăproblemecutextprincare
săcolecteze,săsortezeșisăclasificeodiversitatededatepebazaunorcriterii
simple,pecaresăfiecapabilisălereprezinteprintabele,caresăofereo
interpretareelementarăaacestordate;
Modalitățideactivitățipedagogicenecesareînvățăriiitemilor(pașilor),derezolvarea
problemelorșiaexercițiilordearitmeticăînclaseleaIII-așiaIV-aprinexplorarea
sistematicăaurmătoarelorposibilități:

14Efectuarededescompunerianumerelornaturalepebazaefectuăriioperațiunilor
primare(adunarea,scădere,înmulțireșiîmpărțire),cușifărăajutorulconcretal
învățătorului;
Eleviitrebuiesăfiecapabilisisăcreezeschemenecesaredescompunerii
echivalentealeunuinumărprinutilizareaunormodalitățidecalcul(raționament)
mental;
Eleviitrebuiesăfiecapabilisăidentificeșisăapliceregulișischeme,strict
necesarepentruefectuareaoperațiunilorprimare(adunarea,scădere,înmulțireși
împărțire),într-oordinecorectă(succesiune)înrezolvareauneianumiteprobleme
matematice;
Eleviitrebuiesăutilizezedateșinoțiunispecificepentruverificareavaliditățiia
unorafirmațiigeneraleaplicatelacazuriparticulareșisăfiecapabili,să
exemplificeșisăexprimerelațiilecauzaledintreafirmațiișicazuri;
Eleviitrebuiesăfiecapabili,sărecunoascășisăutilizezeoperatoriilogici,cumar
fi:,,și”,,,sau”,,,nu”,,,cemult”,,,celpuțin”,,,așacum”,,,înașafel”,încâtsă
poatăformulaanumitepredicțiicauzalecaresuntbazatepeexperiență;
Eleviitrebuiesăpoatădeduceanumiteconsecințe(previzibile),cedecurgdintr-
unsetdeipotezeceaparînurmaefectuăriiunuiexperiment(utilizareaunei
terminologii)carepresupuneexemplesimple:,,Dacăștiucă:567=392atunci
știucă468=567+56=…?”;
Eleviitrebuiesăfiecapabilisăcompletezeșiruridesimbolurisaudenumere
ordonate,conformunoranumiteregulicaresălepermităcreareadeșiruripebaza
exercițiilordeadunareșideînmulțirecuaceleașinumere;
Eleviitrebuiesăfiecapabilisăghiceascăreguladeraționamentpentru
corespondențădetipul2-5,3-6,4-7șisădepistezereguladecompunerea
numerelor;
Eleviitrebuiesăfiecapabilisărezolveexercițiivariate,solicitateînrezolvarea
uneiproblemesauexercițiucarepresupuneaflareunuinumărnecunoscutnotatîn
diferitemoduri,deexemplu:lͳܾ(reguladecompoziție);
Eleviitrebuiesărecunoascăsituațiileconcreteprecumșiexpresiilecarepresupun
efectuareaunoroperațiiprimare,precumșiaunorecuațiișiinecuațiiîncarese
utilizeazămetodaîncercăriișiaerorii(aproximareaempirică),precumșioperația
inversă,metodafigurativă,metodabalanțeicarepermiteaflareaa,,n”șia
câte,,p”obiectepefiecarerând,modalitateadedistribuireînmodegala,,n”
obiectea,,p”persoane;

15Eleviitrebuiesătranspunăînlimbajmatematicprinînlocuireaîntr-osituație
problematicăaunornumerenecunoscuteprinsimbolurimatematicecaresăle
permităanalizareaproblemeimenționateprinidentificareadatelorșia
necunoscutelor,precumșiprinidentificareaitinerariului(itemilorderaționament)
necesariiafistrăbătuțipentruaseajungelaidentificareașirezolvareapebaza
uneiformuledecalculalacestuitipdeproblemă;
Eleviitrebuiesădevinăcapabilisăconceapăproblemeporninddelaformularea
generalăaunorenunțurianterioare,caresăpermităelaborareaunorenunțuricu
textalproblemelor,pebazaunorscheme,modele,reguliimpuse;
Eleviitrebuiesăpoatăcreaproblemeutilizândtehnicivariatecusprijinconcretpe
efectuareaunoroperațiunicuobiecte,porninddelanumeredatefărăsprijinul
învățătorului;
Eleviitrebuiesăpoatăcreaproblemeporninddelaexpresiisimbolice,abstracte:
deexempluezolveെolvnecesareanalizăriipărțilorcomponenteale
problemeișisăpermităschimbareacomponenteloracesteiafărăcatipulde
problemăsăseschimbe;
Eleviitrebuiesăschimbenumereledateîntr-oproblemăpăstrândefectuarea
operațiunilorșiatematiciiproblemeișiimplicitanumerelorutilizarecarevor
rămâneneschimbate;
Eleviitrebuiesăfiesăfiestimulațisăcreascăprogresiv,vitezadeoperarecu
numereprinpropunereauneicompetiții,întregrupurisauîntreclasecevizează
rezolvareaunortestedeprobe,dateîntr-unintervaldetimpprecizatinițialsub
presiuneacronometrului;

16CAPITOLULII.Noțiuniteoreticeșimetodologicecuprivirela
rezolvareaproblemeloraritmetice
II.1.Noțiuneadeproblemă,rezolvareaproblemelortipice
Prin,,problemadearitmetică”,seînțelegeacelgendeprovocareintelectuală,adresată
capacitățiideraționamentalelevilordinclaseleaIII-așiaIV-a,caresolicităsaupunela
încercareîncelmaiînaltgradcapacitățileintelectuale,aptitudinale,abilitățiledeductiveși
inductive,deanalizășisinteză,deexperimentșiraționamentcauzal,carelesolicităacestora
inteligența,înmodintensivcuaccentpecalitateșicorectitudine,motivpentrucareseacordă
omaximăimportanțăîncadrulprogrameicicluluiprimarpentrudezvoltareatehnicilor,
priceperilor,deprinderilorpecareaceștialedobândescîndomeniulrezolvăriișicompunerii
problemelordematematică,fiindu-lenecesareulteriorlaabsolvireacicluluiprimarși
integrarealorînciclulgimnazial.
Avândînvederedezvoltareaacestorabilitățisepuneaccentulpeurmătoareleprincipii
pragmatice:săformezeînmentalulelevilorautomatismesautehniciderezolvareale
problemelordearitmeticăîncareaceștiasăaplice,omultitudinedemetodeșimodalități,de
itemiderezolvareaunorproblemesauexercițiipebazastructurăriiuneischemesintetice
analiticeși/sauasociative.
ÎnclaseleaIII-așiaIV-asevapuneaccentulperezolvareaunuinumărconsiderabilde
problemeșiexercițiidearitmetică,fiedinmanualeledeclasă,fiedinculegerisaudinalte
publicațiicucaractermatematic,înconformitatecunoulcurriculumnaționalceesteadresat
cuprecădereelevilordinciclulprimar.
Înurmaeforturilordepuseînprocesuleducativlaclasășinunumailacareparticipăatât
învățătorulcâtșielevii,sevizeazădezvoltareacapacitățiișcolarilor,deadescoperi,dea
ilustradeaextragedinmultitudineașidinvarietateacăilorderezolvareauneiprobleme,
soluțiaceamairiguroasășiceamairafinatăadicămetodaoptimă.
Esteimportantcașcolariisăfiecapabili,înurmaunuiexercițiususținutdeînvățareșide
aplicareriguroasă,săproiectezemintalșisăsusținăstructurideraționamentextrasedin
lecțiiledematematică,sortatepetipurișistrategiididactice.
Eleviitrebuiesă-șidezvolteaceleabilitățideraționamentmental,princaresădescoperecu
ușurințătipuldeitinerariuderaționament,metodaderezolvarecăreiaisesubordoneazăo
problemă(topologia)șisăaplicecucorectitudine,exactitaterigoarecaleaderezolvarecarese
impune.

17Înurmaînsușirilormetodelorșitehnicilorspecificepentrurezolvareaproblemelorși
exercițiilordearitmeticăsevaconstataodezvoltareprogresivăacapacitățilorintelectuale,ale
gândirii,alecreativitățiișiacapacitățiicombinatoricedeanalizăsintezășireprezentare
necesareînprocesulderezolvareșicompuneredeprobleme.
Caoîncununareaeforturilordepuse,înmodintensivdecătreelevișicadreledidacticela
oreledematematică,sevaînregistraoperfecționareadeprinderilordecalculoralșiînscris,
caresăimplice,nudoardezvoltareaautomatismelortipicmatematice,darșiacapacității
combinatorice,compilative,euristiceîncompunereatipurilordeprobleme.
Cadruldidactic,respectivînvățătoruldelaclaseleI-IVvaparcurgeuntraseucaresă-i
permită,săfiecapabil,săînțeleagăurmătoarele:
-Careesteesențastructura,mecanismulcalculuimatematicexprimatsubaspectul
pedagogicsăperceapăraționamentulspecificmetodelorderezolvareaproblemelorsub
formaunormetode,proceduripropedeuticiladisciplinamatematică;
-Săcunoascăfuncțiile,pecarelepresupuneraționamentuldidacticmatematictranspus
însistemulactivitățilordepredareșideînvățare;
-Sădobândeascăobunăstăpânireamecanismuluidetransformareaenunțurilor
problemelormatematice,înjocdidacticpebazacăreiasădezvolteșisăexemplifice
exercițiișiproblemespecificeaceluiașitipdemetodăderezolvare;
-Săfiecapabilsădelimitezeînaplicareamaterialuluididacticladisciplinamatematicăa
principaleloraspectepsihopedagogiceșimetodice,caresă-ipermităorganizarea,
desfășurareaprocesuluididacticmatematic;
-Săfiecapabilisăinterpretezedinpunctdevederepedagogic,diverselemetodelogice-
matematicederezolvareaproblemelorșiexercițiiloraritmeticeutilizareînciclul
primar;
-Săfiecapabilisăexersezediversitateademetodeșidemodelederezolvare,de
proiectaredeelaborare,deverificareșideevaluareaunortipologiideprobleme
matematiceconformdiverselorconținuturi(teme,lecții,obiective,referințe),
matematice.
-Săfiecapabilisăexprimeîntr-oreprezentareclasică,diverseleconținuturimatematice
caresăpermităexplicareaprinmetodaconversațieianoțiunilormatematicerespective,
caresăfieînsușitedecătreeleviidevârstămicășisăimprimelecțiilordematematică
uncaractermaiatrăgătorinducândstareadebunădispozițiemenităsăcontribuiela
atingereaobiectivelorlecției;

18Învățătoruldelaclaseleprimareprecizeazăconsolideazășiverificătemeinicia
cunoștințelorelevilorcontribuindprinimplementareaînmentalulacestora,aunormetodede
raționament,aunorautomatismedecalculcaresăleîmbunătățeascăniveluldecunoștințesă
contribuieladiversificareașiconsolidarealaantrenareașilapunereaînvaloareaa
capacitățiloreuristiceșicombinatoriceîncreareadeprobleme.
EleviidinciclulprimarînspecialceidinclasaaIII-așiaIV-aî-șivordiversifica
procesuldeintegrareînviațașcolară,urmărindcaonecesitatedeterminantăconsolidarea
cerințelorpresupusedeinstruireașidedezvoltareaintelectuală,careaucanucleude
propedeutică,asimilareametodelorderezolvareaexercițiilorșiaproblemelordearitmetică
impusedecurriculumșcolar.
Programulzilnicdeactivitatealeleviloraxatperezolvareadeproblemeșiexercițiide
matematică,nufacedecâtsărăspundăuneinecesitățilăuntricedestăpânirealeaparatului
matematic,atâtpecareludică,câtșilogicămatematicănevoie,caresevamenținepe
parcursulîntregiidezvoltării,ulterioarelagimnaziu,liceușifacultate.
Învățământulprimarpuneaccentulpeînsușireamaterialuluididacticladisciplina
matematicăpebazalecțiilorșiactivitățilorcucaractermatematic,desfășurateîndecursul
procesuluididactic,lamatematicăurmărindurmătoareleprincipii:
Realizareaunuiscoppropuscasarcinădidacticăpentruasimilareadinpunctde
vedereintelectualalconținutuluimatematic;
Utilizareaelementelorderaționamentmatematicînvederearealizăriiobiectivelor
impusederezolvareadiferitelortipurideproblemedematematică;
Utilizareadecătreeleviacelorelementedecalculșideraționamentînsușiteîn
vederearealizăriiobiectivelordidacticepropuse;
Utilizareaunuiconținutmatematicallecțiilorcaresăfieatractivșiperceputca
fiindaccesibilpentrunivelulcomprehensiv(deînțelegere,aprofundare)specific
vârsteicopiilorclaseirespective;
Utilizareadecătreînvățătoraregulilorderezolvareaproblemelorcunoscuteși
apreciatedecătretoțielevii,combinatecualtemetodecaresăpresupunăunnivel
cevamairidicatdeînțelegereșiaprofundare,caracteristicelevilordotați,nativ,
pentrurezolvareaexercițiilorșiproblemelorcugradridicatrezolutiv;
Scopuldidacticalasimilăriiaprofundăriișiconsolidăriiabilitățilordecalculmatematic,
cevizeazăaplicareametodelorspecificearitmetice,derezolvareaproblemelorșiexercițiilor
dematematicăînciclulprimar,trebuiesăfieadaptatcorespunzător,particularitățilordevârstă
fragedă,alecopiilor,elevilor,căroraseadreseazăconținutulmatematic.

19Înfuncțiedescopulșidesarcinadidacticăimplicatădecaracterulactivității,intelectuale
deraționamentînrezolvareaproblemelordematematică,putemclasificaconținutul
capitolelorînsușite,încadrulprocesuluideînvățământ,înfuncțiedetipologiametodelorde
rezolvareaproblemelormatematice,prinrecurgerealaomultitudinedemetodederezolvare:
-Metodematematicepentruaprofundareaînsușiriispecificeacunoștințelorunuicapitol
saugrupdelecții;
-Metodedidacticenecesareasimilăriimecanismelorderaționamentadaptate
specificuluivârstelorcicluluiprimar,pentrurezolvareatuturortipurilordeproblemede
aritmetică,prevăzutedecurriculumulșcolarladisciplinamatematică;
-Familiarizareaelevilorclaselorprimarecuanumiteconceptemodernedematematică
utilizateînclaselesuperioare(mulțime,relațiebinară,tranzitivitateetc.),precumși
pentruconsolidareareprezentărilordestinatepregătiriiconceptuluidenumărnaturalși
deoperațiicunumărnaturale,utilizateînrezolvareaproblemelorlogicematematice,în
caresuntnecesare:a)construireamulțimilor;b)diferențiereaproblemelorcare
efectueazăoperațiicunumere;c)rezolvareaproblemelorcarepresupuntransformarea
numerică;d)rezolvareaproblemelorceutilizeazămulțimiechivalente.
Necesitateadezvoltăriicapacitățiipotențialederaționament,înrezolvareaproblemelor
matematicelaciclulprimarpresupuneaportulformativ,alcapacitățiideanaliză,pebaza
comparației,pecareuncopilopercepedespreobiecteledinenunțuluneiprobleme,lacarese
adaugăefectuareadeexercițiișiprobleme,caresăconducăladezvoltareacapacitățiide
sintezăoperativăcarepresupuneefectuareaprealabilăaanalizeioperațiilornumerice.
Înfazaimediaturmătoaresepuneaccentulpedezvoltareacapacitățiielevilor,dea
efectuaoperații,extrasedinprocesuldeabstractizareșigeneralizare,limitatelauntimpinițial
fixatcoroboratecudezvoltareaperspicacitățiidecalcul,caresăfacilitezeoperareaunor
sarcinipentruacărorrezolvaresuntnecesarecunoștințetemeiniceșiogândirelogică,corectă
menităsăstabileascăcorespondențadintreunnumărdeobiecteșicifrareprezentativă,
corespunzătoare.
Înorganizareașidesfășurareaprocesuluididacticderezolvaredeproblemematematice,
specificecicluluiprimar,estenecesarăobunăproiectareorganizareșidesfășurareaetapelor,
prevăzutedeînvățătorcafiindnecesare,pentruasigurareauneideplineconcordanțeîntre
obiectiveșimijloace,astfelsefacesimțitănecesitateaparcurgeriiprincipalelorproceduri.
Pregătireaelementelornecesareînsușiridecătreelevaprincipalelorfaze,itemi(pași),
necesaripentrurezolvareaenunțuluiaobiectivelorpresupusedeacestaînrezolvarea
problemelorimpuneorganizareauneiprocedurideelaborareauneischițedeproiect.

20II.2.Etapelerezolvăriiuneiprobleme
Metodologiarezolvăriiproblemeloraritmetice,specificecicluluiprimar,presupune
parcurgereaunoretapeclarprecizate:a)cunoaștereaenunțuluiproblemei;b)înțelegerea
enunțuluiproblemei;c)analizareaprolemeișiîntocmireauneischițelogicederezolvare;
d)activitățifacultativesaucomplementarecarepresupun:(1)verificarearezultatului(2)
scriereasubformădeexercițiu(3)găsireauneialtecăi(variante)saumetodederezolvare;(4)
generalizareametodeiderezolvareaproblemei(5)compunereaenunțuluiuneiproblemenoi
porninddelaoschemăasemănătoare.
Înfuncțiedeparcurgereaetapelorrezolvăriiproblemelordematematicăsevoraprofunda
următoriipași:(itemi)
I.Cunoaștereaenunțuluiproblemei:presupunecarezolvitorulsăsefamiliarizezecu
dateleproblemeisărealizezeconexiunimentale(deraționament)întredateleproblemeisă
aflecareestecerințaproblemeișisădescopereelementulnecunoscutcareestevizatde
rezolvareaproblemei.Rezolvitoruldeproblemevacitiproblemașivaapelalacunoștințele
învățătorului,alecolegilorsauvaenunțaliberopiniasacuprivirelamodulderezolvareal
problemei.Atuncicândestenecesarsevarepetaenunțulproblemeideatâteaoriîncâtsăse
asigureînsușireaacestuialanivelulcognitivșideraționamentaltuturorelevilorclasei.Întreg
enunțulproblemeivaficititexpresivcuscopuldeascoateînevidențăanumitedateesențiale
precumșialstabilirilegăturidintreacesteașiraportareaacesteischemederaționamentla
modalitateaderezolvarepresupusădeîntrebareaproblemei,pentrufacilitareaînțelegerii,se
vorscriepetablășipecaiet,decătretoțieleviidateleproblemei.
II.Înțelegereaenunțuluiproblemei:presupunemăsuraîncareelevul/elevii,cunosc
termeniiîncaresepuneproblemafaptcevafiînmăsurăsămăreascăcapacitateaacestorade
aformulaipotezeșideaconstruiraționamenteconformmetodeiderezolvareaproblemei.
Învățătorulvaavearoluldeosebitdeimportantdeacoordonaraționamentulelevilorsăi
pentrudelimitareadatelorproblemeiadepistăriirelațiilordintredateleexistenteînproblemă
șiînformulareaîntrebărilorcheiecevorconducelarezolvareaproblemelor.Învățătorulva
urmăriprindiscuțiacueleviisăisă-ideterminepeaceștiasădesprindăfoarteclarcelemai
importanteelementecarerezultădincontextulproblemeișisăfacădeosebireacorectădintre
ipotezaproblemeișiconcluziaproblemeiprocedândlacitireașirecitireatextuluiaenunțului
problemeicuscopuldeilustraprinimaginisugestiveșidacăestecazulacțiuniconcrete
formareauneischițeplan(schițalogică)menităsăfacilitezerezolvareaproblemei.

21III.Analizaproblemeișiîntocmireaschiței-planderezolvare(schițalogică):această
etapăpresupuneeliminareatuturorelementelornesemnificativedinpunctuldevedereal
cerințelormatematiceșisăsefacăsaltulcalitativsautrecerealaelaborareaplanuluilogicde
rezolvareadicăsăseelaboreze,săseconstruiascăitinerariuldeitemisaudrumuldelegătura
dintredateleenunțuluiproblemeișinecunoscutacaresecererezolvată.Înurmaacesteischițe
planeleviivortranspuneenunțulproblemeiînrelațiimatematice,numericecaresăpermită
exercițiuldeanalizăcomparativăadatelorasemnificațiidatelor,arelațiilordintredateșial
descoperiripragmatice,ametodeieuristicedesoluționareproblemei.
IV.Analizașioperațiilorcorespunzătoarenecesaresuccesiuniiitemilordinplanulde
rezolvare(schițaplan):Înaceastăetapădupăceseefectueazădinschițaplan,dupămodelul
derezolvarealesdecătreeleviprinparcurgereapașilor,eleviivorconștientizasemnificația
rezultatelorfiecăruicalculînscopulrealizăriiconexiunilorsuccesivenecesare,pentrua
ajungelarezultatulfinal,aceastăetapăformeazădeprinderilederezolvarealeelevilorși
prezintăomaresemnificațieînformareapriceperilorcarevorfiverificaredesoluția
problemeipermițândrealizareaautocontrolului(feedback),asuprafeluluiîncares-aefectuat
succesiuneaoperațiunilorșicorectitudineaacestoraînraționamentulmatematic,respectiva
demersuluilogicderezolvare.
V.Rezolvareaproblemelortipprinmetodelematematice:celemaimulteproblemede
aritmeticăspecificecicluluiprimar,presupun(urmărescunanumitalgoritmspecifictipului,al
familiideprobleme,dincareacesteafacparte,aceastăclasificare(taxonomie),permite
rezolvarealanivelteoretic,prinaplicareaunormetodespecificestabilitedetipuldeproblemă
carenepermitesăintrămînposesiaalgoritmuluiderezolvare.Departedeasecreaunșablon
universalînutilizareauneimetodeanume,înaceastăetapărămâneevidentdestabilitfaptulcă
nutoateproblemeledematematicăsunttipice,adicănusepotrezolvaînexclusivitateprin
oferireaunei,,rețete”derezolvarecaresăadmităunalgoritmunic,caresăleeliminepecele
atipicelăsându-lesăacționezeabialafinal.
II.3.Enumerareametodelorderezolvareaproblemelormatematice
pentruclaseleI-IV
Celemaimultedintreproblemeledematematicăurmărescunanumitalgoritmspecificcare
săpermitărezolvareafamilieisauatipuluideproblemedincarefacparte,astfelîncâto
problemăpoateficonsideratădinpunctdevedereteoreticcafiindrezolvatăînmomentulis-a
stabilittipulșidejaneaflămînposesiaalgoritmuluiderezolvare.

22,,Rețetele”saumetodelederezolvareaacestorprobleme,admitunanumittipdealgoritm
carefaceposibilăîncadrareaproblemelorcafiindtipice.
Problemecareserezolvăprinmetodafigurativăsaugrafică:Acesteproblemesunt
aceleaîncarenecunoscutelesaumărimilepotfinumărateunacâteunașisepot
stabilicorelațiisaucorespondențeîntremărimicarevorfireprezentateprin
simbolurimatematice.Existăproblemecaresuntpropuseșisuntpretabilela
rezolvareaprinmetodagrafică,darlafeldebinesepotrezolvașiprinmetoda
falseiipoteze.Elepermitaflareaadouămărimicândsecunoscutsumașidiferența
lor.
Problemecarepermitaflareaadouămărimicândsecunoscsumașidiferențalor.
Eleviivorpornideladiferențaadouănumereșipentruastabilisumavorfipușiîn
situațiasăafleceledouănumere,fienumerele,,a”și,,b”sepresupunecăe쳸ode
undesevastabililezoܾe),leെo݂݂݁țedeundeaflăm:
elെoeܾeloz;olെ
ܾÎngeneralelz
ܾșolെ
ܾpentrue쳸o.
Problemecarepresupunaflareaadouămărimidacăsecunoaștesumalorși
raportullor:Înțelegemprinraportuladouănumereîntr-oastfeldeproblemăcăeste
câtullor,pentrusituațiageneralăîncareeleseîmpartexact.Câtulnearatădecâte
orinumărulmaimareîlcuprindepecelmic.Exemplu:Avemnumărulcelmicol
lșinumărulcelmareellܾܾ,atunciraportulnumerelore
ol
deunderezultăol
zelo(diferența)celordouănumereși
R(raportul)numerelornepermiterelațiile:elo,eെol݂݂ܾ݁ol

െoെെloെolelozeܾelo
Problemecareserezolvăprinmetodafalseiipoteze(metodapresupunerii):Sunt
problemecareimplicănecunoscuteacelemărimiproporționalecaresepotrezolva
prinmetodafalseiipoteze,adicăprintr-opresupunerearbitrarăasupramărimiipe
careocăutămplecânddelaopresupunerefalsă,aceeacămărimilesunt
proporționale,iarrezultateleobținutepebazaacesteipropuneri,,setranslatează”în
plussauînminus,adicăreprezintăocontradicțiecudateleproblemei.Presupunea
falsăesteevidentăînsănepermiterefacereaproblemeiastfelîncâtsăajungemprin
compararearezultatelorfalsecucelerealeșisăaflămdecâteoriamgreșit,cândam
făcutpresupunerea,ceeaceconducelacorectareapresupuneriiprinmărireasau
micșorareaacestuinumărde,,n”ori.Acesteproblemeseclasificăînprobleme

23pentruacărorrezolvareestesuficientăosingurăipoteză,sauproblemepentru
rezolvareacărorasuntnecesaredouăsaumaimuteipotezesuccesive.
Problemecarepresupunmetodamersuluiinverssaumetodaretrogradăsunt
problemedegen,,restdinrest”careauunenunțcareleevidențiazădenumireași
presupuncarezolvarecaetapelesăînceapăcuultimaetapăaenunțuluicătre
începutulsău(mersulracului).
Problemecarepresupuncalculareaamestecurilorșiaprocentelordealiaj:sunt
deosebitdeutilepentrucalculareadinpunctdevederetehnologicalcantitățiide
materialenecesarerealizăriiunuiprodus,fiindutiledinpunctdevedereal
aplicabilitățiilorînviațapractică.
Problemecarepresupunmetodareduceriilaunitate:presupunareducecompararea
amaimultormărimidateînproblemăcucompararealorcuunadintrelorluatăca
unitate.
Problemecarepresupuncalculareamișcăriiobiectelor,înacelașisens,însensuri
contrare,saucombinate.
Problemecarepresupunrezolvareaatipicăsaunonstandard:nusesupune
exigențelorsauregulilorspecificevreunuicriteriudeclasificareșinupermite
aplicareauneimetodestandard,impunândgândireașiimaginațiapusela
contribuțieprinmijloacecreatoarecazîncaresoluțiaaduceomaresatisfacție.
Problemecareimpunaplicareametodelorsinteticășianalitică:grupeazăîn
succesiunelogicărelațiiledintredateșipermitgândiriișicreativitățiirezolvitorului
aplicareauneimetodecaresăcoincidăcuîntrebareaproblemei.
Problemecarepresupunmetodealgebricederezolvare,aulabazătehnicaspecifică
calculuialgebric,careimpunealcătuireadindateșivalorinumericeaunorsisteme
deecuații,cenecesitămetodeclasicederezolvareaecuațiiloralgebrice.
Metodelearitmeticegeneraleșiparticularecumarfimetodadirectă,metoda
figurativă,metodareduceriilaunitate,metodaaduceriilaacelașitermende
comparație,metodaipotezelor,metodamersului,metodarezolvăriiprinetapesau
algoritmi,acestemetodenuimplicăcriteriiprecisepentrualegereacelormai
eficienteșiadecvatemetodearitmeticecaresăfieutilizateînsensrezolutiv,deseori
seîntâmplădificultățipentrufinalizareacusuccesametodeiderezolvare.
Pentruagăsiometodăeficientăderezolvareauneiproblemeestenecesarsăse
calculezeanumitemăriminumitenecunoscuteșiodatăcegăsimsoluțialaacestea,
stabilimcăexistăcorelațiiîntredateșinecunoscute,ceexprimăînmodobișnuit

24corespondențeîntredateșinecunoscute,reprezentatedevaloricaresenumesc
soluțiileproblemei.
Rezolvareauneiproblemepresupunecercetareaminuțioasăacondițiilorde
existență,alesoluțiilorprinstudiereacondiției,,Sineqvanon”carearatăca
problemaesterezolvabilă.
Soluțiileobținuteșiverificate,trebuiesăsefacăînconformitatecuenunțul
problemeiprinverificareașiinterpretarealorșinuprinecuații.
CAPITOLULIII–Strategiididacticeutilizateînvedereaînsușirii
metodelorderezolvareaproblemelortipicelaclaseleI-IV
III.3.1.Strategiididacticeutilizateînutilizareaproblemelormatematice.
Generalități
Programașcolarărezolvareadeproblemecareesteevidențiatădefaptulcăunuldintre
cele4obiective,cadrualeprogrameiestecentratpestrategiileceopereazăcuacesttipde
activitate.Strategiilepresupunparcurgereacâtormaimultetipurideproblemecaresunt
menitesă-icreezeelevuluisituațiinoideînvățare,lacareacestasărăspundăcâtmaiadecvat.
Acestdemersdeexplorareșiinvestigarepentruarezolvaoproblemăînseamnădefapta
găsiocaledeieșiredintr-odificultate,înseamnăagăsiocaledeaocoliunobstacolșide
atingeunobiectivcarenuestedirectaccesibil.
Obiectivulînsenslargesteacelaalrezolvăriideprobleme,carepresupuneînmod
practicocunoaștereconcretădecătreînvățătoriacomportamentuluișiabagajuluide
cunoștințeaelevilorcarerezolvăproblemele.
Activitateașcolarăderezolvaredeproblemeimplicăvaloareaformativăcareajutăla
sporireacapacitățiialelevilor,aceastadevinesuperioarăcombinând-seșicualtedemersuri
matematicecareimplicăsituațiinoiîncaresuntpușielevii,pentruadescoperieiînșiși
modalitățilederezolvareșisoluția,implicitsăformulezeipoteze,pecareapoisăleverifice,
operațieîncaresăfacăasociațiedeideișidecorelațiiinedite.
AbordareatipurilordeproblemespecificeîntâlnitelaclaseleI-IVesteutilăîn
prezentareademersurilor,pecarelefacecadruldidacticînaintederezolvareapropriu-zisă,
aceastaconstăeventualîncercetarepentruaseregăsidemersurianalogice,pași,algoritmi,
tipurideantrenament,pecareînvățătorullefoloseșteînrezolvareaproblemelorînciclul
primar.

25Problemedematematicăpresupunsoluționareaunorsituațiiinediteprinmetodecarese
obținînesențăprinprocesedegândireșidecalcul,adicătranspunereadatelorproblemeiîn
relațiicantitativecareînfuncțiedevalorilenumericedatesegăsescîntr-oanumită
dependențăunelefațădealtele,corelatecualtevalorinumericecarefiindnecunoscute
necesitădeterminarealor.
Rezolvareaconștientăauneiproblemepresupuneomaremobilizareaproceselor
psihice,volitive,cognitiveșimotivațional-afective.
Proceselecognitivesolicitășiantreneazăgândireaprinefectuareaoperațiilorlogicede
analiză,sinteză,comparație,abstractizareșigeneralizare.
Activitateaderezolvaredeproblemeimplicădinparteaelevilorpriceperișideprinderi,
deanalizăasituațieidatedeenunț,deintuițieșidescoperireacăiiprincareseobține
necunoscutacerutăînproblemă.
Rezolvareaproblemelorcontribuielacultivareașidezvoltareacapacitățilorcreatoareale
gândiriilasporireaflexibilitățiiei,ladezvoltareaprogresivăacapacitățilorimaginative,la
dezvoltareaîncrederiiînforțeleproprii,laclarificarea,aprofundareașifixareacunoștințelor
învățatelamatematică,laformareașiconsolidareadeprinderiloreficientedemuncă
intelectualălacultivareașieducareacalitățilormoral-volitive.
Compunereadeproblemeconstituieoaltăetapă,ceimplicăstrategiididacticecuscop
deatingereaobiectivelorprezentateînrezolvareaproblemelorșicontribuielaîmbogățirea,
diversificareaorizontuluideculturăgeneralăalelevilor.
Conținutulenunțurilorproblemelorpresupuneutilizareaunorcunoștințestudiate
concomitentșilaaltedisciplinedeînvățământșiregăsiteînviațadetoatezilele.
Dinpunctdevederealanalizeicriteriile,clasificatoaretaxonomiceaproblemelorde
matematică,acesteasegrupeazădinpunctdevederestrategicdupăanumitecriteriispecifice
cicluluiprimar:a)dupăsferadeaplicabilitateșidupăfinalitatealorproblemeledearitmetică
pornescdelacriteriulteoreticșiauaplicațiipracticeextrasedinnoțiunileînvățate;b)
problemedemișcaresuntclasificaredupăconținutullorînproblemedegeometrieșide
aflareadensitățiidevolumalecorpurilor;c)problemesepotclasificadupănumărulde
operații,pecarelepresupunprinmetodaderezolvare,astfelavemproblemecareserezolvă
printr-osingurăoperațiearitmeticăîntâlnitedeobiceiînclasaIșiînproblemecevamai
complexe,carepresupunșirurideraționamenteșideoperațiiderezolvareșicareincludîntr-
odependențălogică,succesivărezolvareamaimultorproblemesimple;d)problemecare

26presupunînrezolvarealormetodaanaliticăsausintetică,combinatecuproblemeletipicesau
particularecareserezolvăprintr-ometodăspecifică,metodacomparațieisauafalseiipoteze;
existășiproblemecarepresupunmetodareduceriilaunitateșimetodagrafică;e)categorii
deproblemenonstandardcumultiplevalențeformative:problemerecreative,rebusistice,de
perspicacitate,deingeniozitate,etc.
Strategiiledidacticederezolvarealproblemelorimplicăparcurgereamaimultoretape,
încadrulfiecăreietapeavândlocunprocesdereorganizareadatelorșidereorientarea
rezolvitorului,pedrumulșiîndirecțiasoluționăriiproblemei,cumarfi:
Etapadecunoaștereaesențialuluiproblemei,încareelevulvalualacunoștință
dateleesențialeprecumșirelațiilestabiliteîntreeleconformenunțuluișiseva
raliacerințelorproblemei;
Învățătorulvainsistacaeleviicareauogândiremailentă,săpriceapătoate
acesteaspecte,deoarececunoaștereadatelorproblemeisefaceprincitirealorde
latablă,câtșiprincitireadepecaiete,atuncicândeleviirezolvăsinguri
problemele;
Esteesențialpentruconstruirearaționamentuluiderezolvareauneiprobleme,să
seînțeleagăconținutulacesteia,dinenunțulcareconțineunminimnecesarde
informații,termeniideorientarealideilor,alanalizeișialsintezei,aledatelor
precumșialegeneralizărilorcaresefac,săurmezeanumițiitemi,treptatpe
măsurăceseînainteazăcătresoluționare;
Învățătorultrebuiesăconducăeleviipecaleaconversației,prindiscuțiiși
interogații,indicânddirecțiacorectăcătresoluționareaproblemei,ceeace
presupuneorientareaînformulareaipotezelor;
Eleviitrebuiesărecepționezeînmodcorectinformațiileconținuteînenunțprin
citireaatentăatextuluiproblemei,prinilustrareacuimaginisauobiecteacolo
undeestecazulsauchiarprinacțiuni,insistândsănuseomităaceștipașipână
cândnusuntreținuteelementelematematiceimportante,înțelegereacorectăa
datelorproblemei,arelațiilorstabiliteîntredate,aleesențeiîntrebărilordin
enunțulproblemei.
Metodologiaderezolvareaproblemelorimplicăomultitudinedemetode,care
presupunîntocmireaunuiplanlogicprinanalizareaatentăaproblemei,
discernământulcepresupuneeliminareaelementelor,carenuprezintăo
semnificațiematematică,elaborarearaționamentelorînbazaunorschemelogice,

27adicăadrumuluidelegăturădintredateleproblemeișinecunoscută,ceeaceface
necesarătranspunereaenunțuluiproblemei,înrelațiimatematiceconexateprin
itemicaresăconducălasoluțiacașicumaceastaarfidejadescoperite;
III.3.2.Metodederezolvareaproblemelormatematiceprinmodalitățile
însușitelaclaseleI-IV
III.3.2.1Metodederezolvareaproblemelorcuoperațiirelativevidente
A.PROBLEMESIMPLE;B.PROBLEMECOMPUSE;
A.Problemesimple
Primeleproblemesimplesuntaceleapecareuncopilșilepunezilniclașcoală,în
familie,întimpuljocului.
Pentrua-ifacepecopiisăvadăutilitatearezolvăriideproblemeestenecesarcaeisă
înțeleagăfaptulcăînviațadetoatezilelesuntsituațiicândtrebuiegăsitunrăspunsla
diferiteîntrebări.
Înprimaetapăarezolvăriiproblemelor,activitateaelevilorestepurintuitivă,prima
dificultateîntâlnităfiindtranspunereaacțiunilorînrelațiimatematice.
Tipurideproblemesimplesunt:
a)Problemesimplebazatepeadunare:
-deaflareasumeiadoitermeni
-deaflareaunuinumărmaimarecuunnumărdeunitățidecâtunnumărdat
-problemedegenul,,cuatâtmaimult”.
b)Problemesimplebazatepescădere:
-deaflarearestului
-deaflareaunuinumărcaresăaibăunnumărdeunitățimaipuținedecâtunnumărdat
-problemedegenul,,cuatâtmaipuțin”.
c)Problemesimplebazatepeînmulțire:
-derepetaredeunnumărdeoriunnumărdat
-deaflareaprodusului
-deaflareaunuinumărcaresăfiedeunnumărdeorimaimaredecâtunnumărdat.

28d)Problemesimplebazatepeîmpărțire:
-deîmpărțireaunuinumărdatînpărțiegale
-deîmpărțireprincuprindereaunuinumărînaltul
-deaflareaunuinumărcaresăfiedeunnumărdeorimaimicdecâtunnumărdat
-deaflareauneipărțidintr-unîntreg
-deaflarearaportuluidintredouănumere.
Exemple:
1.Vladapusîntr-uncoș3ouă.Mariusamaipusșiel7ouă.Câteouăsuntîncoș?
ܾܾăzܾălܾă
2.Ciprianare7baloane.DingreșealăCălinîisparge2.CâtebaloanemaiareCiprian?
oee݂݁െܾoee݂݁loee݂݁
3.Nicolaeare7porci,iarȘtefaniade4orimaimulți.CâțiporciareȘtefania?
lܾ
4.Anaare48lei.Costelde4orimaipuțin.CâțileiareCostel?
݂݂lܾ݂
B.Problemecompuse
Rezolvareaacestorproblemenuînseamnănumairezolvareasuccesivăaunorprobleme
simple.Dificultateaconstăînlegăturadintreverigișiconstruirearaționamentului.
Exemple:
1.Dan,VirgilșiIoncolecționeazăscoicipecarelepunîntr-unvasdesticlă.Danapus
17scoiciînvasuldesticlă,iarVirgil12scoici.Ionaaduscu5scoicimaimultdecâtDanși
Virgilîmpreună.
Câtescoiciauadusîmpreunăceitreicopii?
a)CâtescoiciareIon:zlܾlܾscoici
b)Câtescoiciauceitreicopii?
scoicizܾscoicizܾscoicilᑨscoici
2.Launmagazindeconfecțiiaufostaduse900costumebărbați,costumedefemeicu
300maipuține,iarcostumepentrucopiide8orimaipuținedecâtceledefemei.

29Câtecostumeausositlamagazin?
a)Câtecostumedefemeiaufostaduse?
ͳcostumeെܾcostumelᑨcostumefemei)
b)Câtecostumepentrucopiiaufostaduse?
ᑨcostumecostumelcostumecopii)
c)Câtecostumeaufostaduse?
ͳcostumezܾcostumezcostumelܾcostume
A.Metodasinteticășimetodaanalitică
Rezolvareaproblemelorsimpleșicompuseserezolvăaplicândsaunumetodasintetică
sauceaanalitică.
Ilustrămîncontinuareunexempluundevomaplicaperândfiecaremetodă.
Exemplu:
Unțăranarecoltatlasfârșitulverii1278kgderoșiidintr-ogrădinășicu356kgmaipuțin
adouagradină.Opartedinroșiilevindecu80leikgobținând32000lei.Otreimedin
roșiirămaseîiîmpartelaceitreifiiaisăi.
Câtekilogramederoșiiaprimitfiecaredinfiiisăi?
Metodasintetică:
a)Câtekgs-aurecoltatdinadouagrădina?
ܾെܾᑨlͳܾܾkg)
b)Câtekgs-aurecoltatdinceledouăgrădini?
ܾzͳܾܾlܾܾkg)
c)Câtekgderoșiiavândutțăranul?
ܾܾlkg)
d)Câtekgderoșiiaurămas?
ܾܾെlkg)
e)Câtekgderoșiirevincelortreifii?
ܾlᑨkg)

30f)Câtekgderoșiirevinfiecăruiadintrefiisăi?
ᑨܾlܾkg
Metodaanalitică
Vompornidelaîntrebareaproblemeirealizândurmătorulcomentariu:
Putemaflacecantitatederoșiirevinefiecăruiadintrefiiisăi?Nu.Dece?Pentrucă
nuștimcantitateacares-aîmpărțit.Daraceastăcantitateoputemafladintr-odată?Nu.De
ce?Pentrucăștimcantitateaderoșiirămasă.
Aceastăoputemafladintr-odată?Nu.Dece?Pentrucănuștimcantitateacares-a
vândutșicares-arecoltat.
Darcantitateacares-arecoltatoputemafladintr-odată?Nu.Dece?Pentrucănu
știmcâts-arecoltatînadouagrădină.Darpeaceastaoputemafla?Da.Dece?Pentrucă
știmcâts-arecoltatînprimagrădină(1278kg),iarcăînadouas-aurecoltatcu356kgmai
puțin.
Dinacestmomentexaminareaanaliticăs-aîncheiat.Deaiciproblemasepoate
rezolvasintetic;dinacestmotivexaminareasenumeșteanalitico-sintetică.
Observații:Esteutilcaexaminareaanaliticăsăfieînsoțitădeurmătoareaschemă:
?Cantitateaprimitădefiecaredinfiiisăi
?Cantitateaprimitădefiiisăi
?Cantitateaderoșiirămasă
Cantitateatotală? ?Cantitateavândută
Cantitateadinadouagrădină? ܾܾ
ܾെܾᑨ
III.3.2.2Metodederezolvareaproblemelordenumerații
Pentruacesttipdeproblemenuexistăometodăstandardderezolvare.Aceastase
rezolvăîngeneralținândcontde:
-proprietățilenumerelorînsistemulzecimaldenumerație
-proprietățileoperațiilorcunumere

31-observareaunorparticularitățiadatelorșirezultatelor.
Exempledeprobleme:
ProblemaI
Săsedetermineunnumărdetreicifre,știindcăprodusulluicu7seterminăcu164.
Rezolvare
Problemarevinelaagăsicifreleeoastfelîncât:
eolᑨ
Deaicideducemcăvl݂
Observămcăsinguracifrăcareînmulțităcu7dăunnumărcareseterminăîn4,este
ܾlܾ.
Avemacumeoܾlᑨ
Reconstituindînmulțireaozseterminăînadicăoseterminăîn5deciol

Problemadevineacumeܾlᑨ.
Deaicirezultăcăezܾseterminăîn1(3estenumărulpecarel-amținutînminte
delarezultatulanteriorl)ܾDecieseterminăînel
Numărulcerutestedeci:452.
ProblemaII
Săsegăseascătreicifredistincteastfelîncâtsumanumerelordetreicifrecaresepot
formacuacestenumere(înfiecarenumărintrăosingurădatăocifră)este1110.
Rezolvare
Problemasemaiscrie:Săsegăseascăcifreleeoastfelîncât:
eozoezeozoezeozoel
Deci:ܾezozl݂
Dar݂nupoatefimaimaredecât1căcidinadunareazeciloravemܾezozl
dar݂z݂ldeci݂l.
Cumܾezol)lezolldareosuntdistinctecifrelesunt:ܾܾ
ProblemaIII

32Primacifrăaunuinumăreste1.Dacămutămaceastăcifrălasfârșitobținemunnumăr
detreiorimaimare;careestenumărul?
Rezolvare
Deciproblemaestedeadeterminacifreleee݁astfelîncât:
ee݁ ܾlee݁
Deciproprietățileînmulțiriicu3rezultăe݁l.
Deci:
ee݁െ ܾlee݁െ ܾe݁െzܾseterminăîne݁െl
Deci:
ee݁െܾ ܾlee݁െܾ ܾe݁െܾzseterminăîn5
e݁െܾlܾe݁െܾzܾseterminăîne݁െܾlܾ
ܾe݁െseterminăînܾe݁െlܾe݁െzseterminăîne݁െlel
Număruleste:142857.
III.3.2.3Metodederezolvareaproblemelorprinmodalitatea
figurativă(grafică)
Metodafigurativă
Aceastămetodăconstăînreprezentareaprindesenamărimilornecunoscuteșifixarea
îndesenarelațiilordintreeleșimărimiledateînproblemă.
Eaajutălaformareaschemeiproblemei,latinereaînatențieatuturorcondițiilor
problemeișilaconcentrareaasupralor.
Înrezolvareauneiproblemecarefaceapellaaceastămetodănesprijinimpe
raționament,folosindînțelesulconcretaloperațiilor.Sepunetotușiîntrebarea,încefel
trebuiefăcutăfigura?
Aceastadepindeșidenivelulrezolvitorului.
Figuraschematicăaproblemeitrebuiesăînsemneoschematizareaenunțuluipentrua
păstraînatențierelațiilematematiceșinutoateaspecteleconcretecaîntr-ofotografie.
Metodagraficăinrezolvareaproblemelor:
Doifrațiaueconomisitîmpreună200lei.Câțileiaeconomisitfiecare,dacăunula
economisitcu16leimaimultdecâtaltul?
ModulIderezolvare:

33Vomreprezentaceledouămărimicareintervinînproblemă,adicăleieconomisițide
fiecarefrate,prindouăsegmentededreaptă,ținândcontdefaptulcăunuldintreeia
economisitcu16leimaimult.
sumaeconomisitădeunfrate
16sumaeconomisitădealdoileafrate.
Diferențademărimedintreceledouăsegmentereprezintăexactdiferențadintresumele
celordoicopii.
16
Seobservăcăsegmentuldedreaptăcarereprezintăsumelecelordoifrațilaunloceste
formatdinceledouăsegmenteegaleșiîncăunsegment,carereprezintăpecei16leiînplus
fațădesumaeconomisitădecelălaltfrate.
Atuncipentruadeterminanumărulcarereprezintăunuldintresegmenteleegale
procedămastfel:
ܾെᑨܾlͳܾ
carereprezintăsumaeconomisitădeunfrate.
Valoareasumeieconomisitedecelălaltfratevafi:
ͳܾzᑨllei
Verificare
ͳܾzlܾlei
ModulIIderezolvare:
Vomreprezentaprintr-unsegmentdedreaptăsumastrânsădefratelecareaeconomisit
maimult.
Reprezentămprinaltsegmentdedreaptăsumaeconomisitădecelălaltfrate:
sumaeconomisitădeunfrate;
16sumaeconomisitădealdoileafrate;
1.Aflămsumaeconomisitădeceidoifrațiîmpreună,presupunândcășifratelecu
sumămaimicăeconomisităaraveacâtcelălaltșiatunci:
ܾzᑨlܾᑨlei

342.Aflămsumaeconomisitădefratelecearesumămaimare:
ܾᑨܾllei
3.Aflămsumaeconomisitădecelălaltfrate,carearesumămaimică:
ܾᑨെsauെᑨadică92lei
Verificare:zͳܾlܾlei
Observație:
Estebinesăîncercămrezolvareaacestuigendeproblemeprinambelemoduride
rezolvare,înscopulformăriiunordeprinderidelucrușiraționamentmatematic.
Sepotfolosipentrureprezentareagraficăamărimilorînlocdesegmentededreaptă,
dreptunghiuri.
Problemă:
Într-opăduricesunt2478destejarișifagi.Numărulfagilorestede5orimaimaredecât
alstejarilor.
Câțifagișistejarisuntînpădurice?
Rezolvare:
Dacăreprezentămnumărulstejarilorprin-unsegment,atuncinumărulfagilortrebuie
reprezentatprint-unsegmentde5orimaimare;
Deciîntotal,numărulstejarilorșialfagilorestereprezentatprindouăsegmente,care
însumează6părțiegale,opartereprezentândchiarnumărulstejarilor,iar5părțiegale
numărulfagilor.
numărulstejarilor;
numărulfagilor;
Vomaflavaloareauneipărțiegale,adicăîncazulnostru,numărulstejarilor,astfel:
ܾᑨlܾ
Apoivomaflanumărulfagilor:
ܾlܾᑨ
sau
ܾെܾᑨlܾ
Verificare:ܾzܾᑨlܾ

35III.3.2.4.Metodederezolvareaproblemelorfolosindreguladetrei
simplășitreicompusă(metodareaduceriilaunitate)
Prinaceastămetodă,cașiprinmetodamersuluiinvers,serezolvăuneleprobleme,în
caredateledepinduneledealtelesuccesiv.Serecurgeînacestsens,laașezarea
datelorîntr-oschemă,caresăușurezeprocesuldegândireînexaminareașirezolvarea
problemei.
Problemelederegulădetreisimplășidetreicompusă,serezolvă,deobicei,prin
procedeulporțilorșiprinprocedeulreduceriilaunitate.
Prinreguladetreisimplă,serezolvăaceleproblemeîncaresedaumărimidirectsau
inversproporționaleșișiîncaresecunoscudouănumereeșieܾcareexprimă
valorioarecarenecorespunzătoarealemărimiitrebuiesăsegăseascăaldoilea
număr,careexprimăvaloarearespectivăamărimii
Exempludeproblemăcareserezolvăcureguladetreisimplă:
Problemă
5kgdezaharcostă25lei.Câtekgdezahar,sepotcumpăracu35lei?
Așezarearezolvării:
kgzahărܾlei
vkgzahărܾlei
vlܾ
ܾl
ܾl
Deci,cu35leisepotcumpăra7kgdezahăr.(Amnotatcu,,x”cantitateadezahăr
căutată).
Problemelecareserezolvăprinreguladetreicompusă,exprimădependențadirectsau
inversproporționalăauneimărimifațădealtedouăsaumaimultemărimi.Eleauîngeneral,
uncaracterpractic-aplicativ,întrucâtilustreazăprinelementematematiceoseriedesituații
reale,întâlniteînviațadetoatezilelesauîndiferiteaspectealeprocesuluideproducție.
Exempludeproblemăcareserezolvăcureguladetreicompusă:
Problemă
12șoferilucrândcâte8orepeziterminăocursăîn6zile.Încâtezilepottermina
aceeașicursă16șofericarevorlucra9orepezi?
1.Presupunemcă16șoferilucreazășiei8h/zi:
ܾșoferi
ᑨzile

36ᑨșoferi
vzile
Setaieceestecomun8hșirămânemcuvlܾᑨ
ᑨl(pentrucăsuntinvers
proporționale)
2.Dar,cei16șoferimuncesc9h/zi:
ᑨșoferi
zile
ᑨșoferiͳ
ezile
Setaieceesteîncomun(16șoferi)șirămânemcuel
ͳzile
Deci16șoferi…..9h/zi……4zile
III.3.2.5.Metodederezolvareaproblemelorprinaducerealaacelași
termendecomparație
Problemelecareserezolvăfolosindaceastămetodă,secaracterizeazăprinfaptulcăse
daudouămărimi,caresuntcomparateînacelașimodcâtșilegăturacareexistăîntreele.
Deaceea,aceastămetodăsemainumeșteșiaducerealaacelașitermendecomparație.
Aceastămetodăesteasemănătoarecumetodareduceriilaunitate,larezolvareaunuisistem
dedouăecuațiicudouănecunoscute.
Celedouămărimicaretrebuiecomparatesuntcaracterizateprincâtedouăvalorifiecare.
Metodaconstăînafacecaunadinceledouămărimisăaibăaceeașivaloareșiînacestfel
problemadevinemaisimplă,cuosingurănecunoscută.
Așezareadatelorîntr-oastfeldeproblemăsefacecurespectarearelațiilorstabiliteîntre
mărimișiastfelîncâtcomparațiadintrevalorileaceleiașimărimisăfiepusăînevidentăîn
moddirect,așezândvaloriledeacelașifelunelesubaltele.
Vomexemplificaaceastămetodăprinrezolvareaproblemeipânăseajungelaorelație
cuosingurănecunoscută.
ܾpânzășstofăcostăܾlei
ᑨpânzășstofăcostăܾܾlei
Câtcostă1mdepânzășicâtcostă1mdestofă?.
Seobservăcădacăadouaoarăamluatcantitățide2orimaimaridepânzășistofă,
implicitprețulvacreșteșieldeacelașinumărdeori,având:
ܾpânzășistofăcostăᑨlei.
Înaceastăsituațieavemaceeașicantitatedepânză,adică12mșideci14m-5mstofă
costă4600-2800lei,adică9mcostă1800lei.
Acumestefoartesimplusădeterminămcâtcostă1mdestofă:

37leiͳlܾlei
Sepoatecontinuarezolvareaproblemeiînmodulurmător:calculămcâtcostă7m,
ܾleilleișideciᑨpânzăvorcostaܾܾ݂െ݂lͳ݂,de
undededucemcă1mcostăͳleiᑨllei
R:150lei;200lei.
Observație:
Maisimplificatputemreprezentadateleproblemeiastfel:
ܾpânzăstofăܾlei
ᑨpânzăstofăܾܾleiܾ
Dacămărimcantitățiledepânzășistofădedouăori,luateadouaoară,dateleproblemei
vorapareastfel:
ܾpânzăstofăܾlei
ܾpânzăstofăᑨlei
ͳ쳸ăᑨ݂
stofăvacostaͳlܾlei
Putemcalculașiinvers,adicăîntâiprețulunuimetrudepânzășiapoialunuimetrude
stofă.
Indiferentdeprocedeulfolositajungemlaacelașirezultat.
Verificare:ܾpânzăleizstofăܾleilܾlei
Problemădeeliminareauneinecunoscuteprinînlocuireaei(pebazarelațiilordin
problemă)înfuncțiedecealaltămărimenecunoscută.
Unkgdemereși14pungidebiscuițicostă304lei.Unkgdemereestede5orimai
scumpdecâtopungădebiscuiți.
Câtcostă1kgdemereșiopungădebiscuiți?Rezolvare:
Înenunțulproblemeisespunecă1kgdemerevaloreazăde5orimaimultdecâto
pungădebiscuiți.Deci,înlocde1kgdemeresepotcumpăra5pungidebiscuiți
zlͳ)cu304lei.
Opungădebiscuițicostă:
ܾͳlᑨlei
Unkgdemerecostă:
ᑨllei R:80lei;16lei.
III.3.2.6.Metodederezolvareaproblemelorprineliminareași
înlocuireatermenilor

38Problemecareseîncadreazăînacesttipserezolvăînlocuindomărimeprinalta,pe
bazarelațiilorcantitativedintreele.
Acesteprobleme,ceserezolvăprinînlocuire,leputemcategorisiastfel:
I–problemeacărorformulareutilizeazăexpresiilecomparativemaimaresaumaimic,
maimultsaumaipuțin,maiscumpsaumaiieftin,cuoanumitămărime,cantitatesau
valoare,expresiideadunaresauscădere.
II–problemecărorformulareutilizeazăexpresiilemaimaresaumaimic,maimultsau
maipuțin,maiscumpsaumaiieftin,,,deunnumărdeori”,expresiicăroralecorespund,
operațiiledeînmulțiresauîmpărțire.
Fiecaregendeprobleme,poateconținedouă,treisauchiarmaimultemărimi.
Vomexemplificaaceastămetodă,prinrezolvareaurmătoarelorprobleme:
I.a)Pentruiarnă,mamacumpără80kgdeardeiși40kgdeceapă,plătindîntotal480
lei.
Câtcostăunkilogramdeceapășiunkilogramdeardei,dacăseștiecă1kgdeceapă
estecu3leimaiscumpdecât1kgdeardei
Rezolvare:
Ardei(kg)Ceapă(kg)Lei
80 40 480
b)Înlocuindardeiiprinceapă,înseamnăcătrebuiesăadăugămlavaloareatotalăcâte3
leipentrufiecarekilogramdeardei,întotal240lei.Atunci,avem:
Ardei(kg)Ceapă(kg)Lei
െ zlܾzܾlܾ
െ 1 ܾܾlᑨ
1 െ ᑨെܾlܾ
Dacăseînlocuieșteceapaprinardei,înseamnădinsumatotalătrebuiesăscădemde
atâteaoricâte3lei,câtekilogramedeceapăs-auînlocuitprinardei,întotal ܾ
lܾ݂Atunci,avem:
Ardei(kg)Ceapă(kg)Lei
zlܾ െ െܾlܾᑨ
1 െ ܾᑨܾlܾ
െ 1 ܾzܾlᑨ
Deci,1kgdeardeicostă3leiși1kgdeceapă6lei.

39II.Problemă
Pentru28mdestofăși42mdebumbac,s-auplătitîntotal15120lei.Știindcămetrul
destofăestede3orimaiscumpdecâtmetruldebumbac,aflațicâtcostă1mdinfiecare
material.
a)Rezolvare:
Dacămetruldestofăestede3orimaiscumpdecâtmetruldebumbac,înseamnăcăînloc
de1mdestofă,sepotluaînlimiteleaceleiașisumede3mdebumbac,iarînlocde28mde
stofăsepotluaܾܾlmbumbac.
Stofă(m)Bumbac(m)Lei
28 42 15120
ܾzlܾെ 15120
1െ ܾܾܾlܾᑨ
െ ܾᑨܾlܾR:360lei/m;120lei/m
III.3.2.7.Metodederezolvareaproblemeiprinipotezafalseipresupuneri
Problemeacărorrezolvaresebazeazăpemetodapresupunerilorsauipotezelor,afalsei
ipoteze,sepotclasificaîndouăcategorii,înfuncțiedenumărulipotezelorcaresunt
necesarepentruorientarearaționamentuluișideterminarearezultatelor.
Astfel,avem:
a)problemedinprimacategorie,dincarefacparteproblemepentrurezolvareacărora
estesuficientăosingurăipoteză;
b)problemedinadouacategorie,dincarefacparteproblemelepentrurezolvarea
cărorasuntnecesaredouăsaumaimulteipotezesuccesive.
Aceastămetodăconstăînafaceoipotezăoarecare(deșideobiceisepleacădela
ipoteza,,toatelaunfel”).,nuînideeadea,,nimeri”răspunsul,cipentruavedea
nepotrivireacuenunțulșicemodificăritrebuiesăfacemasupraei.Deci,metodasenumește
afalseiipoteze,pentrucăsebazeazăpepresupunereacăipotezanuarficonformă
adevărului.
Dacăamaplicaoseriedeîncercărisuccesive,pânălagăsireasoluției,arfiorezolvare
empirică.Comuncuoastfelderezolvareestenumaifaptulcăfacemîncercareaarbitrarăce
ocontinuămprint-unraționament.

40Săexemplificămșiaceastămetodăprinproblema:
18caietede48filesirespectiv200file,auîmpreună2080file.Câtecaietedefiecare
fel?
Rezolvare:
Încercămoipotezăoarecareșianumecătoatecaietelesuntcu48file,atunciobținem:
caietefilelᑨfile
Diferențade1216file,aparedinfaptulcăprintrecaieteleluateînconsideraresuntși
unelecu200file,adicăcu152filemaimult.
Atunci,numărulcaietelor,careau200defile,seobțineastfel:
ܾᑨܾlșidecinumărulcaietelorcu48filevafi:
െl
R:8caietecu200file
10caietecu48file
Observație:
Sepoatepornișidelaipotezacătoatecaieteleau200file.
Problemărezolvată
Într-ocușcăseaflăiepuridecasășicurcani;întotalsunt100picioareși36capete.Câți
curcanișicâțiiepurisuntîncușcă?
Rezolvare:
Presupunemcăarfinumaicurcani.Înacestcazarfi:
ܾᑨܾlܾpicioare.
Diferențade:
െܾlܾpicioare,
rezultădinfaptulcăîncușcăexistășiiepuri.
Uniepurearecu2picioaremaimultdecâtuncurcan.
Aflămnumăruliepurilorîmpărținddiferențade28picioarela2:
ܾܾliepuri.
Suntdeci14iepuriși:
ܾᑨെlܾܾcurcani.
III.3.2.8.Metodederezolvareaproblemelorpecaleamersuluiinvers
Prinaceastămetodăserezolvăuneleproblemeîncaredateledepinduneledealtele
succesiv.
Eaconstăînfaptulcăenunțuluneiproblemetrebuieurmăritdelasfârșitspreînceput.
Analizândoperațiilefăcuteînproblemășicelepecarelefacemnoiînrezolvareaproblemei,
constatămcăînfiecareetapăfacemoperațiainversăceleifăcuteînproblemă.

41Deci,nunumaimersulesteinvers,cișioperațiilepecarelefacempentrurezolvaresunt
inversecelordinproblemă.Probasefacefăcândasupranumăruluigăsitoperațiileindicate
înproblemă.
Sărezolvămprinmetodamersuluiinversproblema:
Amalesunnumăr,l-amînmulțitcu5,larezultatamadunat42,sumaobținutăam
împărțit-ola7,iardincâtamscăzut11,obținând200.
Cenumăramales?.
Rezolvare:
Careesteultimaoperațiefăcută?Citimdinenunț:,,dincâtamscăzut11,obținând
200”.
Deci,număruldincare,dacăscădem11obținem200,este:
ܾzlܾ
Problemadatădevine:,,Amalesunnumăr,l-amînmulțitcu5,larezultatamadunat42,
sumaobținutăamîmpărțit-ola7șiamobținut211”.
Cenumărîmpărțitla7dă211?Acestaeste:
ܾlșiatunciproblemaapareastfel:
,,Amalesunnumăr,l-amînmulțitcu5,larezultatamadunat42șiamobținut1477.Ce
număradunatcu42nedă1477?”
െܾlܾ
Problemadevine:numărulînmulțitcu5nedă1435.Deci,numărulcăutateste:
ܾlܾ
R:287
Problemă
Anaareoanumităsumădebani.Înprimaziacheltuit
ܾdinea,adouazi
ܾdirest,a
treziazi
ܾdinrest,iarapatrazi
ܾdinsumarămasă.Dupăacestecheltuieliîimairămân24
lei.Ceaavutlaînceput?
Rezolvare:
Figurămprint-unsegmentsumatotală:
Scoatemdinelsumacheltuităînprimazi,adică
ܾ,împărțindu-lîn2părțiegaleși
luândoasemeneaparte.

42Izi:
Figurămșiprimulrest

Dacăîmpărțimîn3părțiegaleșiluămopartefigurămsumacheltuităaII-azi.
aII–azi
Noulrestvafi:ܾ
Împărțimnoulrestlaܾîn2părțiegaleșifigurămsumacheltuităaIII-azi:
ܾ
aIII-azi
Noulrestvafi:
ܾ
Împărțimnourestîn3părțiegaleșireprezentămsumacheltuităaIV-azi:
aIV-azi: ܾ
Noulrestvafi: ,carereprezintă24lei.
Pegraficulurmătoraplicămraționamentul:
െെെെെെെെെെെെെെെെെെെെെെെെ ܾᑨlei
Iziെെെെെെെെെെെ lei
െെെെെെെെെെെെ lei

aII-aziെെെെ ܾᑨlei

43െെെെെെെെ ܾlei
ܾ
aIII-azi െെെെ ܾᑨlei
െെെെെെ ܾᑨlei
ܾ
aIV-azi െܾlei
െെ
ܾlei
Ceobservămpegrafic?Că24leireprezintăde2orimaimultdecâtsumacheltuităîna
IV-azis-acheltuitܾܾlܾlei.
Amfăcutunpas;cunoscândcâtacheltuitaIV-aziputemaflaܾ:
ܾܾlܾᑨlei
ܾreprezintăaceeașisumăcuceacheltuităînaIV-azi,deciaIII-aziAnaacheltuit
36lei;ܾreprezintăsumadublăfațădeceacheltuităaIII-azi,deci:
ܾᑨܾlܾlei
AII-azis-acheltuitjumătatedinܾ:
ܾܾlܾᑨlei
reprezintăosumăde3orimaimaredecâtceacheltuităaII-azi,deci:
ܾᑨܾllei
ÎnprimaziAnaacheltuit108lei.
Sumatotalăestede2orimaimaredecâtceacheltuităînI-azi:
ܾlܾᑨlei
III.3.2.9.Metodederezolvareaproblemelordemișcare(dinamice)
Problemeledemișcaresuntaceleaîncareseaflăunadinmărimilespațiu(distanța),
vitezasautimpul,cândsecunoscdouădintreelesaudiferiterelațiiîntreacestea.
Spațiul(s)estelungimeadrumuluiparcursdemobil(tren,autoturism,ometc.)
exprimatînunitățidelungime(metri,multipliisausubmultipliilui).
Viteza(v)estenumăruldeunitățidelungimeparcursedeunmobilîntr-ounitatede
timp(exemplum/s,km/h).
Timpul(t)estenumăruldeunitățidetimp(secunde,minute,ore,zile)încarese
parcurgeunspațiu.
Îngeneral,înproblemeledemișcaresevavorbidespremișcareauniformăaunuimobil,
adicăînintervaleledetimpegalemobilulparcurgedistante(spații)legateprinexpresia

44lܾ쳸
iardinaceastadeducemunfactor:
ܾl
쳸ș쳸l
ܾ
Larezolvareaproblemelordemișcaresepotfolosiatâtmetodearitmeticegenerale,cât
șicelealgebrice.
Problemeledemișcaresepotclasificaînmaimultegrupe:
a)problemececonducdirectlaproblemesimpledeaflareaspațiului,vitezeisau
timpului.
b)problemedecompunereavitezelor;
c)problemecombinate.
ProblemaI
DoisalvamariparcurgdistanțadelaAlaB.PrimulsalvamarasositînBcu2oremai
târziudecâtaldoilea.
Vitezaprimuluisalvamarestede4km/h,iaraceluide-aldoileade6km/h
SăsedeterminedistanțadelaAlaB.
Rezolvare:
Înfiecareorăprimulsalvamarrămâneînurmaceluide-aldoileacu2km.Pânăceal
doileasalvamaraajunsîndouăore,adicălkmܾhlkm
Aceastărămânereînurmăs-arealizatîntr-untimp:
쳸lܾ
l
Deci,aldoileasalvamaramersodistanțălᑨ
lܾlAB.
ProblemaII
Unpietoncareparcurge5kmpeoră,pleacădinorașulAspreorașulB.Înacelași
timp,omașinăpleacădinBspreA,cuvitezade22km/h.
Întreorașeesteodistanțăde81km.
a)Dupăcâttimpseîntâlneștepietonulcumașina?
b)LacedistanțădeorașulBseîntâlnesc?
Rezolvare:
81km
A B
5km/h 22km/h
Înfiecareoră,distanțadintrepietonșimașinăsemicșoreazăcu:

45kmzܾܾkmlܾkm
Distanțatotală81km,vafistrăbătutăîntimpulܾlܾ݂aceastafiindși
timpuldupăcareseîntâlnesc.
Seîntâlnescladistanțade:
ܾܾkmܾlᑨᑨkmdeorașulB.
ProblemaIII
Unbiciclistaparcursdistanța,dusșiîntors,întredouălocalități,în9ore;laduscu
vitezade4km/h,iarlaîntorscuvitezade5km/h.
Săseafledistanțadintreceledouălocalități
Rezolvare:
Presupunemcădistanțadintreceledouălocalitățiestede60km.Timpulladusvafi:
쳸lᑨkm
lh.
Timpullaîntorsvafi:쳸ܾlᑨkmkm
hlܾh
쳸lܾzlܾ
Dar,înrealitate,timpulestemaimicdecâtceldinfalsaipotezădeܾhͳhlܾori
Dacătimpulrealestede3orimaimic,atuncișidrumulrealvafide3orimaimic
(spațiulșitimpulsuntmărimidirectproporționale,încazulvitezeiconstante).
Deci,drumulrealdintreceledouălocalitățiestedeᑨkmܾlܾkm.
III.3.2.10.Metodederezolvareaproblemelorîncaresecombinămai
multemultemodalități
Acestgendeproblemeserezolvăprinîmbinareaadouăsaumaimultemetodeînvățate
anterior.
Alegereametodeisauîmbinareametodelornuesteunstereotip;estenecesarăinițiativa,
gândireacreatoare.
Caleacaretrebuieurmatăestedescoperităpringândireaproprie.
Existădouăgenurideastfeldeprobleme:
-Combinateartificial,pentruacererezolvitoruluisădescompunăproblemadatăîntr-o
succesiunedeprobleme;
-Problemeundeestevorbadeoîmbinaredefondametodelor.
ProblemaI
Andreiacumpăratcurcanișiiepuri;erau55decapeteși152depicioareșiaplătit11
160lei.Altădatăacumpărattotcurcanișiiepuri,54decapete,iarnumărulcurcanilorera
cu26maimaredecâtaliepurilor;aplătit10560lei.
Câtacostatuncurcanșicâtuniepure?

46Rezolvare:
Aflămmaiîntâicâțicurcanișiiepuriacumpăratprimadată,cuajutorulmetodeifalsei
ipoteze.
Presupunemcăarfifostnumaicurcani.Atunciamaveaܾlpicioare
Diferențaܾെlܾprovinedinfaptulcăsunt55capetedeiepuricareaucudouă
picioaremaimult.
Deci:ܾܾlܾiepurișideci:െܾlܾcurcani.
Aflămnumărulcurcanilorșiiepurilorcumpărațiadouaoară,cuajutorulmetodei
grafice.
numărdeiepuriെെെ
26
numărdecurcaniെെെെെെ
26
െെെെെെെെ

Decinumăruldeiepuriesteെܾᑨܾldeciavemzܾᑨlcurcani
Acumînultimaetapăprinaducerealaacelașitermendecomparație,aflămprețulunui
curcanșialunuiiepure.
ܾcurcaniܾiepuriᑨlei
curcaniiepuriᑨlei
Deci:
ᑨcurcaniܾiepruiܾܾܾܾlei
ܾcurcaniܾiepuriܾᑨlei
Deci:ܾെᑨlܾgăinicostăܾᑨെܾܾܾܾlͳܾᑨlei
Deciuncurcancostăͳܾᑨ
ܾllei.
Atunciuniepurecostăᑨെܾܾlܾlei.
ProblemaII
Ungrindădebetoncântărește24kg,unadealuminiu26kg,unadepolistiren30kg;
200grinzidiferiteincareceledealuminiusuntdedouăorimaimultedecâtceledebeton
cântăresc5132kg.Câtegrinzisuntdinfiecare?
Rezolvare:
Rezolvămproblemaprinîmbinareametodeifigurativeșiafalseiipoteze.Decifigurăm
căsuntdedouăorimaimultegrinzialuminiu:

47Dacăarfinumaigrinzidepolistirenacesteaarcântări:
ܾܾlᑨkg
Diferențadeᑨെܾܾlᑨkgprovinedinfaptulcăgrinziledepolistirensunt
maigrele.
Dacăscoatem3grinzidepolistirenșipunem2dealuminiușiunadebetongreutateascade
cuܾܾെܾܾᑨെܾlkg
Putemfaceatâteaînlocuiridecâteori14secuprindeîn868adică:
ᑨlᑨܾ
Decisunt62degrupe,adică62degrinzidebeton,124dealuminiușirestulde14sunt
depolistiren.
III.3.2.11Metodederezolvareaproblemelorprinîmpărțireaunui
numărînpărțiproporționale
A.ÎNPĂRȚIDIRECTPROPOȚIONALECUNUMERELEDATE
B.ÎNPĂRȚIINVERSPROPOȚIONALECUNUMERELEDATE
Bazeteoretice
Definiția1.Douămărimicaredepindunadealtasenumescdirectproporționale:
a)Dacăunacreșteșicealaltăcrește.
b)Dacăunacreștedenori(݁)șicealaltăcreștedenori.
TeoremaI.Raportuladouăvalorialeuneiadinmărimiesteegalăcuraportulvalorilor
corespunzătoarealeceleilaltemărimi:
v
vܾl
ܾ
Definiția2.Douămărimicaredepindunadealtasenumescinversproporționale:
a)Dacăunacreșteșicealaltădescrește.
b)Dacăunacreștedenori݁)cealaltădescreștedenori.
TeoremaII.Fiinddatedouămărimiinversproporționaleraportuladouăvaloriale
uneiadinmărimiesteegalcuinversulraportuluidintrevalorilecorespunzătoareale
celeilaltemărimi;
v
vܾlܾ

Definiție.Maimulterapoartecareauaceeașivaloareformeazăunșirderapoarteegale.
Deexemplu,dacă:
e
oleܾ
oܾle݁
o݁le
oleܾ
oܾlle݁
o݁
Proprietățilefundamentaleaunuișirderapoarte
e
oleܾ
oܾle݁
o݁lezeܾzze݁
ozoܾzzo݁lezeܾzze݁
ozoܾzzo

48undeܾܾ݁
Definiție:Numereleeeܾe݁suntinversproporționalecuooܾo݁;dacăsunt
directproporționalecuinverselenumerelordateadică:
e

oleܾ

oܾlle݁

o݁sau
eoleܾoܾlle݁o݁
Problema1
Săseîmpartănumărulînpărțidirectproporționalecunumereleooܾo݁
Rezolvare:
Fieeeܾe݁celennumerecăutateîncarevremsă-lîmpărțimpeastfelîncâtele
săfieproporționale,respectivcunumereleooܾo݁
Scriem:
e
oleܾ
oܾlle݁
o݁lezeܾzze݁
ozoܾzzo݁l
ozoܾzzo݁
elo
ozoܾzzo݁
eܾloܾ
ozoܾzzo݁
e݁lo݁
ozoܾzzo݁
Problema2
Săseîmpartă3591în5părțidirectproporționalecunumerele
ܾܾͳșiܾ
Rezolvare:
Maiîntâitransformămzecimaleleperiodiceînfracțiilecarele-augenerat:
ܾlܾെܾ
ͳlܾ
ͳl

l
ͳl
ͳ
ܾͳlܾͳെܾ
ͳlܾᑨ
ͳlܾ

ܾlܾ
ͳͳl

Fieeeܾeܾeecelecincipărțiîncaretrebuiesăîmpărțimnumărul3591,astfel
încâtelesăfieproporționalecunumerele:

ͳܾ


Deci:
e
leܾ

leܾ

ͳle
ܾ
le


Înmulțimșiruldeegalitățicu990(c.m.m.m.c.alnumitorilor)

49e
ͳͳleܾ
ܾleܾ
le
ܾͳᑨle
ܾlܾͳ
ܾͳl
elͳͳeܾlܾelelܾͳᑨelܾ
Problema3
Treinumeresuntproporționalecunumereleܾܾ
Săseaflenumereleștiindcă
primulestemaimicdecâtceldealtreileacu56.
Rezolvare:
Fievnumerelecăutate.
Faptulcăsuntproporționalecuܾܾ
sescrie:
v
ܾl
ܾ
l
sauv
ܾ
l
ܾ
l

sauv
ܾl
ܾl
ͳl
deci:vlܾlܾlͳ
Cumprimulestemaimicdecâtaltreileacu56atunci:
െvlᑨdeciͳെܾlᑨܾlᑨlܾ
Deci:vlܾllͳ
III.3.2.12.Metodederezolvareaproblemelorcarepresupundozarea
procentualăaamestecurilorșialiajelor
Ocategoriespecialăînsuitaproblemelortipiceoconstituieproblemeledeamestecși
aliaje,caresuntdeosebitdeutilemaialesdinpunctdevederealaplicabilitățiilorpractice.
Avemdouătipurideproblemecualiaje:
1)ProblemedeamestecșialiajedecategoriaI
2)ProblemedeamestecșialiajedecategoriaaII-a.
A.ProblemedeamestecșialiajedecategoriaI
Sedau:
a)cantitățileceseamestecă:ܾ݁
b)calitățilelor:ܾ݁
Secere:
c)calitateaamestecului.
Încercămacumsălămurimceînseamnăcalitatealor.
Calitățilediverselorobiecte,lucruri,mărfuri…,ceseamestecăseexprimăprinlei,grade
detemperatură,gradedetărie,valoridenoteșcolare,etc.,precumșiprintitlul,încazul
aliajelor.

50Printitlulunuialiaj,notaculiteraT,seînțelegeraportuldintremasametaluluiprețios(m)
șimasaîntreguluialiaj(M).Deci:l

Problema1
Aufostamestecate300gapăîncălzitălatemperaturadeܾîmpreunăcu200gde
apălatemperaturadeܾͳși125gapălatemperaturade.Săsedetermine
temperaturaamestecului.
Rezolvare:
Calitateaapeiestedatădetemperaturaîngrade.
Deci:
lܾvܾzܾvܾͳzܾ
ܾzܾzܾlzz
ᑨܾlܾ
ᑨܾlܾͳܾᑨ
lܾͳᑨܾ
Problema2
Unatelierdebijuterieatopitargintdetreicalități.3kgcutitlul0,700,2kgcutitlul
0,300;4kgcutitlul0,850și1kgcutitlul0,650.Careestetitlulnouluialiaj?
Rezolvare:
lܾzܾzzᑨ
ܾzܾzzl
lܾzᑨzܾzᑨ
l
l
B.ProblemedeamestecșialiajedecategoriaaII-a
Sedau:
a)calitățileceseamestecă
b)calitateaamestecului;
c)cantitateatotalădeamestec;
Secer:
d)cantitățileceseamestecă.
Acesteproblemăserezolvăprindouămetode:
a)tratându-lecaproblemedepresupunerecumetodafalseiipoteze;
b)cuajutorulteoremei2careesteprezentatămaijos:
Teorema2.Raportulcantitățilorceseamestecăesteegalcuraportulinversalabaterilor
fațădemedie.

ܾlെܾ
െ
ܾെcantitățileceseamestecă;

51ܾെcalitățilelor;
–calitateaamestecului.
Problema1
S-auamestecat15kgdefăinăindustrialădedouăcalitățile:de56leikgșide38leikg.
Câtăfăinădefiecarecalitateaaintratînamestecștiindcăîntregulamestecacostat750lei?
Rezolvare:
I.Rezolvămproblemacumetodapresupunerii:
PresupunemcătoatăfăinaestecalitateaI,adicăcu56leikg.
1)Aflămcâtcostăpebazăacesteipresupunerifaină:
ᑨllei)
2)Aflămcucâtamobținutmaimultpebazapresupunerii:
െlͳlei)
3)CucâțileiamsocotitmaimultpentrufiecarekgdefăinădecalitateaaII-a?
ᑨെܾllei)
4)CâtekgdecalitateaaII-aaufost?
ͳlkg)
5)CâtekgdecalitateIaufost?
െlkg)
II.RezolvămprinmetodaaII-a.
Costulunuikilogramdefăinăaamesteculuiestellei).
FieെcantitateadefăinădecalitateaI
ܾെcantitateadefăinăcalitateaaIIെa

ܾlെܾ
ᑨെ
ܾlܾ
ᑨlܾ


ܾlܾ
lzܾ
ܾl
ܾl
Deci:lܾlșܾll
Problema2
Îndouăvasesunt20ldeapă.Înprimulvasesteapălatemperaturadeܾ,iarînal
doilealatemperaturadeᑨCâțilitrisuntînfiecarevasdacădupăamestec,apaare
temperaturadeܾ
Rezolvare:
െnumăruldelitrideapădinprimulvas;
ܾെnumăruldelitrideapădinvasulaldoilea.
Deci:

52
ܾlᑨെܾ
ܾെܾ
ܾlܾ
l
ܾ

lܾ
ܾlzܾ
lܾ
l
ܾ
Deci:
l
ܾlܾ
ܾl)
ܾlܾv
ܾl
ܾl(l)
III.3.2.13Metodederezolvareaproblemelorcarepresupunutilizarea
ecuațiilor
Rezolvareaproblemelorcuajutorulecuațiilorestedemulteorimaiușoarădecâtceape
calearaționamentuluiaritmetic.
Deaceeaeleviiînțelegutilitateaefortuluifăcutpentruînsușireacalculuialgebric.În
acelașitimpsecreeazăposibilitateageneralizăriiproblemelor,exprimându-seastfelprintr-o
formulărezultatultuturorproblemelordeacelașifel.
Toateproblemelecaresepotrezolvaaritmeticserezolvășialgebric,darsuntprobleme
acărorrezolvarenueposibilăpecalearaționamentuluiaritmetic.
Rezolvareaalgebricăestemaisimplă,maiunitarășifolosindmetodagenerală,faceca
easăfiepreferată.
Rezolvareaecuațiilorsauasistemelordeecuațiisefaceprint-ometodăbine
determinată,carenepunelaîncercaregândirea,uitânddecondițiileconcretealeproblemei.
Pentruarezolvaoproblemăalgebricsenoteazămărimilenecunoscuteculitere(de
obiceix,y,z).
Dupăces-aufixatastfelnumerelesescriurelațiiledintremărimicuajutorul
simbolurilormatematice,ajungândastfellaoecuațiesaulaunsistemdeecuațiicarese
rezolvăușor.Urmeazăapoiinterpretarearezultatului(cândrezultatulestenegativ)sau
aflarealimitelorîntrecarepotvariavaloriledatelor(cândconținedateexprimateînlitere,în
așafelîncâtproblemasăfieposibilă)șiexaminareatuturorcazurilor.
Dupăces-arezolvatoproblemă,estebinesăsefacăverificareaei.
Pentruexemplificareaacesteimetode,vomrezolvaurmătoareleprobleme:
Problema1
Dintr-ogrădinăs-austrâns550kglegumeșianume:de3orimaimulteroșiidecât
morcoviși50kgmaimultăvarzădecâtmorcovi.Câts-astrânsdinfiecarefeldelegume?
Soluție:

53Sestabileștesăseiacanecunoscutăcantitateademorcovi.(fiindcantitateaceamai
micăînraportcueasepoatestabiliușorcelelaltecantitățidelegume).
Decinotămcuvcantitateamorcovi,ܾvkgderoșii,vzkgdevarză.
Numărultotaldekgdelegumeeste550,deci:
ܾvzvzvzl
vll=vl
Deciaufost100kgmorcovi,
ܾlܾkgroșii,
zlkgvarză.
Verificare:
zܾzlkg
Problema2
Unciobanarede5orimaimultecapredecâtvaci.Dacăvinde5capreșicumpără3
vaci,atuncinumărulcaprelordevinede3orimaimaredecâtalvacilor.Câtecapreșicâte
vaciaavutciobanul.
Rezolvare:
Notămcucnumărulcaprelorșicuvnumărulvacilor
Astfelformămecuația:
lܾde5orimaimultecapredecâtvaci
Darșiecuațiaെlܾܾz)ܾ
Cumamformatceledouăecuațiirezolvămecuația
െlܾܾzܾܾെlܾܾzͳlܾܾzͳzlܾܾl
Astfelcuprimarelațiaobținem:
ܾlܾܾzܾെܾܾlܾܾlܾlܾܾl
Așadaramobținutcănumărulvaciloreste7
Acumsăaflămnumărulcaprelor.
ܾlܾllܾ,decinumărulcaprelorestede35.
Problema3
Într-ocurtesunt26depăsări.Numărulgăinilorestecu6maimaredecâtnumărul
cocoșilor.Câtegăinisicâțicocoșisuntînaceacurte?
Rezolvare:
Notămcuxnumărulgăinilor
Notămcuynumărulcocoșilor
Formămecuațiile
vzlܾᑨ(întotalnumărulgăinilorșicocoșilorestede26)

54vlzᑨ(numărulgăinilorestecu6maimaredecâtnumărulcocoșilor)
Astfelamobținutdouăecuațiicudouănecunoscute
Dacăînlocuimpeyînprimaecuațieobținem:
vzlܾᑨzᑨzlܾᑨܾlܾᑨെᑨܾlܾlܾܾl
Decinumărulcocoșiloreste10
Acumsăaflămnumărulgăinilor:
vlzᑨlzᑨlᑨ(Decinumărulgăiniloreste16)
III.3.2.14.Problemecucaracterrecreativ(dedivertisment)
1.Iapașimăgarul
Oiapășiunmăgarpășeaualături,avândfiecareînspatecâteopovară.Iapasevăita
degreutateapoveriisale.
,,Decetevaieți?”,aîntrebat-omăgarul.Dacăașluadelatineunsac,povarameaar
devenidedouăorimaigreadecâtata.Iardacă,tuailuaunsacdepespinareamea,povarata
ardeveniegalăcuamea.
Spuneți,câțisaciduceaiapașicâțiduceamăgarul?
2.Bibilicișivaci
Unciobanpăștealaunlocniștebibilicișiniștevaci.
Cinevaîlîntreabă:
-Câtebibilicișicâtevaciai?
-Ghiceșteșidumneata,am30decapeteși96depicioare.
Câtebibilicișicâtevaciaveaciobanul?

55CAPITOLULIV.Studiuexperimentalprivindutilizareadenoistrategii
didacticeînmetodelederezolvareaproblemeloraritmetice
4.1Designulcercetării
Constatândpersistențaproblemeideinvestigatcareanecesitatstudiulcuprivirela
rezolvareadeprobleme,teoriilordespretipuriledeproblemedelaciclulprimar,darșide
metodeleutilizatepentrurezolvarealor.
Ipoteza:dacăsevorselectașisevorintegraadecvatmetodeledidacticeînlecțiilede
matematică,ținându-secontdetipuldeproblemă,atuncisevorrealizasarcinile
educaționale(formative,informative),înrezolvareaproblemelor.
Obiectivulgeneralalcercetării
Identificareatipurilordemetode;
Obiectivespecifice
Înregistrarea,comparareașiinterpretarearezultatelorobținutelaprobele
inițialeșisumative,urmărindevidențiereaprogresuluirealizatdepreșcolari.
Propunereareconfigurăriicadruluigeneraldeformare/dezvoltareprin,în
acordcunoilecerințealesocietățiișicutrebuințeleelevuluiînacordcunoilecerințeale
societății.
Loculdesfășurării:înșcoală
Durata:peparcursulanuluișcolar2018-2019.
Cametodedebazaamfolosit:observația-fișadeobservație,ghiduldeinterviu,
experimentulnaturalșimetodaanalizeidatelor.
Înetapaconstatativăs-aadministratlaînceputulanuluișcolar,laclasaaIIIa,untest
inițial,pentruamăsuraniveluldepregătirealelevilorînmomentulînceperiiexperimentului.
Cercetareaafostunadetipcantitativ-calitativă.
Cercetareadetipcantitativs-adesfășuratpeunlotdesubiecțiformatdin21
deelevidinclasaaIIIa,provenițidinmediulurban
Niveluldepregătirealcolectivuluiafostomogendinpunctdevedereal
posibilitățilorintelectualeșialmediuluisocialdincareprovinelevii.
Înrealizareaexperimentuluiamurmărittreietape:

56etapaconstatativă,încareamutilizatexerciții–pentrucunoaștereastadiuluide
dezvoltareaelevilor
etapaformativă,încareamutilizatdiferitemetodederezolvare
etapadeverificareîncareeleviiaufostsupușiacelorașiprobe,darcuo
dificultatecrescută.
Înetapaconstatativăs-aadministratlaînceputulanuluișcolar,laclasaaIIIa,un
testinițial,pentruamăsuraniveluldepregătirealelevilorînmomentulînceperii
experimentului.
Rezultateobținute:
FOARTEBINE:9elevi(42,87%)
BINE:6elevi(28,57%)
SUFICIENT:3elevi(14,28%)
INSUFICIENT:3elevi(14,28%)
Figura1Rezultateleprotestului
Pebazarezultatelordelatestulinițials-auorganizatulterior,înetapaexperimentală,
activitățidiferențiatecuelevii,astfelîncâtsăsevinăînajutorultuturor.
Probelevariateșifrecventeaupermiscunoaștereamaibineaelevilorșiaplicarea
metodeloractiveînlecții.
Pentrucafiecareelevsă-șiînsușeascămetodașisăducălacreștereaniveluluide
performante,s-austabiliturmătoarelemăsuri:
 introducereaunorstrategiiactiveparticipative;
 precizareaclarăaobiectivelor,sarcinilor;

57 antrenareaelevilorînrezolvareadeprobleme,variatecastructurășigrad
dedificultate.
Rezultateobținute
FOARTEBINE:10elevi(47,63%)
BINE:8elevi(38,09%)
SUFICIENT:3elevi(14,28%)
INSUFICIENT:0elevi(0%)
Figura2Rezultateleposttestului
Analizacalitativășicantitativăperiodicăarezultateloreleviloraudoveditcreșterea
niveluluideînsușireacunoștințelorșidezvoltareintelectualăalor(Figura2).Lafinalul
experimentului,s-aavutînvederecompararearezultatelorobținutedeelevi,caurmarea
aplicăriiprogramuluiexperimental.
Comparândacestedouărezultate,sevedeclarcălasfârșitulexperimentuluis-au
obținutrezultatesuperioarefatădeetapaconstatativă

584.2Analizașiinterpretarearezultatelor
Dupăprezentareașiinterpretarearezultatelor,suntemînmăsurăsăapreciemcăipoteza
delucrușiscopulstudiuluiîntreprinsseconfirmă.
Înurmaexperimentuluicares-aorganizat,s-audesprinsmaimulteconcluzii:
instaurareaînclasăaunuiclimatmodelîncareeleviiîșipunîntrebăriuniialtora
șiînvățătorului,încareproblemeleseexamineazădinpunctdevederecriticșiseadmit
alternative;
prezentareacuclaritatearezultatelorpecaretrebuiesăleatingăelevii,alegerea
celormaiadecvatematerialedidacticeșimetodepentrurealizareaobiectivelorcognitiveși
afectivealelecției.
Învățătorultrebuiesămăsoareînfinalschimbareapecareadeterminat-olaelevi
înceeacepriveștecunoștințele,deprinderileșiatitudineaacestorafatădeactulînvățării;
folosireacurentăadiferitelortipurideexercițiișiproblemecaresăcreeze
cadruloptimalînvățăriiprinstimulareacreativității.Eleviitrebuiesăfieîncurajați,să
simtășisăexaminezepropriilevaloriîntr-omanierăintrospectivășicorelatăcuexigențele
societățiiactuale;
oferireaunuiplandeacțiunepozitivîncareeleviitrebuiesăaibăîncredereîn
puterealordeinfluentaasupraproblemelorpecarelestudiază.Nutrebuieocoliteexemplele
negative,daraccentultrebuiepuspedepistareacauzelorșiidentificareasoluțiilorde
îndreptareadisfuncționalitățilorîntâlnite;
realismulșirăbdareaîncareînvățătorulnutrebuiesăseașteptecănuva
întâmpinadiferitedificultățiînîncercareaderezolvareșicompunereamaimultortipuride
exercițiișiprobleme(delanelămuririleelevilorpânălalipsamaterialelordidactice
necesare).
Înurmaaplicăriiexperimentuluiformativamtrasconcluziacăatuncicândse
urmăreștecuintensitateșipasiunesăserealizezerezultatebuneînactivitatealagrupăse
reușește.Amobservatcaintroducereaunormetodeatractiveducelacreștereacalității
procesuluideînvățământlanivelprimar.Experimentulademonstratviabilitateaeficienței
metodeloractiveînrezolvareaproblemelor.
Ținândcontdetotceeaces-aprezentatpânăacum,derezultatelecares-auobținut,
sepoatedesprindeideeacăexperimentulși-aatinsscopul,obiectivelestabilitelaînceputul
cercetăriiaufostatinse,iaripotezadelucrușianumeintegrareașiutilizareametodelor

59tradiționale,darșiceleactiveparticipativepreponderentîntoatetipurilederezolvarede
probleme
CONCLUZII
Ritmulalertaldezvoltăriișialcompetițieiîntoatedomeniiledeactivitateneimpunesă
gândimrepedeșibine,iarafirmațiacăestenevoiedematematicăesteinsuficientă.
Sepoatesusținecănusepoatetrăifărămatematică.
Matematicas-anăscutdinnevoilepracticealeomului,iarapois-acristalizatcaștiință
deschisășiaînregistratunprogrescontinuu.Matematicaserveștenevoilorconcreteale
omenirii.
Îndomeniulmatematiciiînvățareacreeazăperseverență,tenacitate,voință,
răbdare,puteredesinteză,spiritdeinventivitateșiintuiție.Toateacesteanuseobținușor.
Caatare,încădinclaselemici,seimpunestimulareaintelectului,agândiriilogice,
ajudecățiimatematicelaeleviastfelîncâtmatematicasădevinăodisciplinăplăcută,
atractivă,convergentăspredezvoltarearaționamentului,creativitățiișimunciiindependente.
Conformprincipiuluicăatitudineapozitivăfațădematematicăesteocondiție
esențialăînreușitașcolară,cadruldidacticdinînvățământulprimarareomare
responsabilitate.Înprimeleclasesenaștelacopilatractivitatea,dragosteasaurepulsia
pentrumatematică.
Dacăelevulsimtecăpătrundeînmiezulnoțiunilormatematice,dacăgândirealui
estestimulatăsistematic,făcândunefortgradat,elsimtecălaființaluiseadaugăceva.
Dacăeltrăieștebucuriafiecăruisuccesmaresaumic,atuncisecultivăinteresulșidragostea
pentrustudiulmatematicii.Înțelegereaconceptelormatematicecontribuieastfella
construireauneiatitudinipozitivefațădeaceastădisciplină.
Încădinperioadapreșcolarăactivitățilesuntdeterminatesăpromovezeșisă
stimulezedezvoltareaatitudinilorpozitivefațădetoatedomeniile,implicitdematematică.
Aicijoculșijucăriaseîmbinăarmonioscuacțiuneamatematică,cuparticipareaactivăși
conștientă,caretrezeșteșimențineactivinteresulpentruactivitățilematematice,
contribuindastfellaobunăpregătireacopiilorpentruînvățareadetipșcolar.
Fiecarecopilintrăînșcoalăcuanumiteexperiențematematice,dovedindocuriozitate
naturalăfațădematematicășiestecapabilsăexplorezerealitateadinpunctdevedere

60matematic(Suntmaiînaltdecât…?,Câtcostă…?,Câtmaiestepânăla…?,Cândse
termină…?).Dascăliitrebuiesăprofitedeacestecuriozitățișisăajutecopiiisădeasens
informațiilormatematice,darșideavalorificaexperiențelecopiilordinsferamatematicii
precumșideastabililegăturidintreconceptelematematiceșirealitateapecareeiocunosc.
Înpredareamatematiciisedistingtreitendințeprincipaledeterminatede
preponderențaunorasaualtoradinfactoriiprocesuluideînvățare.
Astfel,învățământulverbalacordăoimportantăprimordialăcuvintelor,simbolurilorși
semanifestăprinînvățareamecanicăsaupeînvățareadetipformalbazatăpeaplicarea
mecanicăaregulilor.
Învățământulintuitivalmatematiciiareînvederecunoaștereaprimelorcalcule
aritmeticeșigeometriceprincontactuldirectcuobiectelesaucuimaginileacestora,fărăa
faceapellaraționamentulmatematic.
Rolulintuițieilacopiiestedenecontestat,dardacăeinuvorstabilișilegăturilogice
riscăsăseopreascălaunanumitstadiualdezvoltăriimintale.
Învățământulprinacțiuneacordăunrolmaidinamicintuiției,punândaccentpe
acțiuneacopiluluiasupraobiectelorînsăși.Manipulareaobiectelorconducemairapid,mai
eficientlaformareapercepțiiloraccelerândastfelformareastructuriloroperatoriiale
gândirii.Etapamanipulăriiobiectelorsecontinuăcuceaamanipulăriiimaginiloracestorași
înfinecuelaborareaunorschemegraficeurmatedesimboluri.
Prinmanipulareadiferitelorobiecte(figurigeometrice,bețișoare,materialenaturale,
obiectefolositedeelevînviațadezicuzi,colecțiideobiectealeelevilor,diferitemateriale
confecționatedecopii,instrumentedemăsurăprecumceas,metru,cântar,etc.)elevul
exploreazăcuușurințăconceptematematice.Cadruldidacticareroluldeastabili
materialelenecesarepentruînțelegereaunuiconținut,rolullor,cantitateanecesarășide
asemeneatrebuiesă-șiiamăsuridesiguranțăcăeleviis-aufamiliarizatcueleșiauînțeles
cumtrebuiesălefolosească.
Oînvățareeficientăamatematiciipresupuneșiocorelarecucelelaltedisciplinede
studiu.Interacțiuneașicomplementaritateadiferiteloractivitățideînvățarepermitrealizarea
unorabordăriinterșitransdisciplinareaconținuturilorșiutilizareaunorstrategiididactice
activ-participativepentruvalorificareamaximăapotențialuluicopiilor.
Tratareainterdisciplinarăvafiosarcinămajorăaînvățământuluiînperspectivalegării
derealitate,deoareceunconținutșcolarelaborat,proiectatșiutilizatîntr-oactivitate

61interdisciplinarăcorespundemultmaibinesituațiilorrealeprezentate,dirijându-ipeelevila
oînțelegerecâtmaibunășiunitară.
Prinabordareatransdisciplinarăvaloareapedagogicăalecțiilorcreste,deoarece
eleviiîșipotvalorizaexperiențacotidiană,situându-lînmijloculacțiunii,rezervându-iun
rolactivșiprincipal,putândsătranspunăînpractică,săcreeze,săsemanifesteîndomeniile
încareacestaarecapacitățievidente,asigurândoînvățareactivă,oferindu-ișansa
planificăriipropriiloractivități,asigurându-leordineîngândireademaitârziu.Prinaceste
activitățisepoateobservadacăcopiiiprezintăsaunudiferiteaptitudini.Acesteactivități
lasămaimultălibertatedeexprimareșideacțiuneatâtpentruelevcâtșipentrucadrul
didactic.
Învățătorultrebuiesăorganizezeactivitățivariatepentrutoțielevii,înfuncțiede
ritmulpropriușideniveluldedezvoltarealfiecăruia,sărealizezeînclasăunmediu
stimulativșidiversificatîncâtsăofereelevuluiomotivațiesusținutășifavorabilăîn
învățareamatematicii,iarcunoștințeledobânditesăfieeficientfolositeșiaplicateînviața
dezicuzi.
Unadintremetodelemodernefolositecumaresuccesînactivitățilematematiceestecea
autilizăriisofturiloreducaționale.Exercițiiledinacestesoft-turistprezentateîntr-oformă
graficăatractivăavândelementedeanimațieșisunet.Astfelanimațiasporeștecapacitatea
fiecăruicopildeavizualizaînmodcorespunzătorconceptulînsușit.Imaginilepermit
restructurarea,aceastafiindmaiușorprocesatădesistemulvizualșiperceptivalcopiilor,
sporindcapacitateaacestoradeaînțelegefenomenemaidificile.Majoritateaexercițiilor
încorporeazăsegmentedenarațiunicarepermitcopiilorsă-șiînsușeascăstrategiidelucru
adecvate.
Toateacesteexercițiiconținelementedejoccaresuntpentrueleviprovocatoare,
stârnesccuriozitatea,menținatențiatimpîndelungatșiledezvoltăfantezia,oferindu-leîn
acelașitimpomotivațieintrinsecă,deosebitdeimportantăpentruîmbunătățirea
performanțeișcolare.Elevilorleplacemaimultsăînvețeprinintermediulsofturilor
educaționale,decâtprinmetodetradiționale,acesteacontribuindladezvoltareaunor
atitudinipozitivefațădeînvățare.
Concluzionândcelearătatemaisus,putemsăspunemcăatitudineapozitivăfață
dematematicăsepoatecultivașisepoaterealizacuușurință,prinactivitățicușipentruelev,
darestenevoiesăseelimineprejudecățile,teamadeafolosișirealizanoimetodedelucru,
lipsadeîndrăznealășiimaginație,rutina.

62Matematicaîșidovedeșteimportantadeosebităparticipândcumijloaceproprii
ladezvoltareapersonalității,nunumaisubaspectintelectual,cișisubaspectesteticșimoral.
BIBLIOGRAFIESELECTIVĂ
1.ConstantinPătrășconiu-MirceaChivu;-,,MetodicaPredăriiactivităților
matematicelagrădinițășiamatematiciilaCLSI-IV”;-Editura,,Radical”Drobeta-
TurnuSeverin,2000;
2.DumitruAna;DumitruLogel;MariaLuizaAna;ElenaStroiescuLogel;,,Metodica
predăriimatematiciipentruînvățământulprimaraplicatădupănouaprogramă”-
Editura,,Carminis”-Pitești2007;
3.MihaiRoșu-,,ElementedeMatematicăpentruprofesoriidinînvățământul
primar,,Bibliotecapentrucadreledidactice”–Editura.Aramis2016,București
4.ConstantinPetrovici-,,Didacticaactivitățilormatematiceîngrădiniță”–Editura
ColegiumPolirom2014București;
5.ȘtefaniaAntonovici-,,Matematicapredatăîngrădiniță-Ghidpentru
educatoare”-Edituradidacticăpublishinghouse”-2016,București;
6.IoanNeacșu;MonalisaGăleteanu;PetrePredoi–Ghidpractic-Didacticapredării
matematiciiînînvățământulprimar”-EdituraAius-2001,Craiova;
7.ConstantinPătrășcoiu,MirceaChivu-,,Metodicapredăriiactivitățilormatematice
lagrădinițășiamatematiciilaclaseleI-IV-Sinteze„Editura,,Radical”-2000,Drobeta-
TurnuSeverin
8.V.Cherata;J.Voicila,L.Mândruleanu-,,Culegereadespremetodelederezolvarea
problemedearitmeticălaclaseleI-IV;-EdituraSibila1992,Craiova;
9.MariaCiupagea-,1724deexercițiișideproblemeextrasedingazetamatematică
șidestinaterezolvăriipt.ciclulprimar(I-IV).Apăruteîntreanii-1979-2009,cu
indicațiișirezolvăricompletepentruuzulelevilorI-IV;Editura,,Steff”–2017Drobeta
TurnuSeverin.
10.TălpănescuNarcisa-,,MatematicapentruclasaaIV-a;Editura,,Steff”2016
DrobetaTurnuSeverin;
11.AdinaLiviaChirilă-,,Matematica-Culegeredeexercițiișiproblemedistractive
pentruclaseleaIII-așiaIV-a,,colecțiadidactică”–EdituraDacia1999Cluj-Napoca;
12.LilianaCătrună-GheorgheMandizuCătrună,,Culegereadeexercițiișiprobleme
dematematicăpentruclaseleI-IV(în4numere)EdituraaIV-arevizuită;
Editura,,Coresi”București2005-2008(unnumărpean),,Colecțialucrătorilordidactice”;

6313.GheorgheTurcitu-MirelaMihaescu-AnițaDulman,,Manualedematematică
(pentruclaseleI-IV);pentruuzulelevilorEditura,,Radical”–1996;1997;1998;1999;
avizatedeConsiliulnaționalpentruaprobareamanualelor;
14.MariaAchimescu;LuminițaPreda;MariaDrăghiceanu;SițaȘtefania;,,Exercițiiși
problemedematematicăpentruclaseleaIII-așiaIV-a;EdituraDidacticăNova”2003
Craiova
15.RodicaBirău–,,Sădescifrămtainelematematice”ManualAuxiliarpentru
clasaaIV-a;Editura2003,,Cargo”
16.MihaelaNeagu;ConstantinPetrovici-,,Aritmetica–Exerciții;JocurișiProbleme
pentruclasaaIV-a;EdituraPolirom;1997-Iași;
17.MariaChera;IoanChera-,,Culegeredeexercițiișiproblemedematematică
pentruclaseleI-IV;Editura,,Corint”1996București
18.EduardDăncilă-IoanDăncilă-,,Bunlamatematică–Culegeredeprobleme
pentruclasele1-2(numărul1)și3-4(numărul2);EdituraAllEducațional;1995-1996
București;
19.EduardDăncilă-IoanDăncilă,,Culegeredeexercițiișiproblemedematematică
pentruclaseleI-IV”,EdituraF.FPress1999-București.
20.LupuC.,,,Didacticamatematiciipentruînvățământulpreșcolarșiprimar”,
EdituraCaba,2006–București;
21.DumitriuGh.,C.Dumitriu,,Psihologiaprocesuluideînvățământ”,E.D.P.,1997-
București;
22.CerghitI.,,,Metodedeînvățământ,E.D.P.,R.A”,-1997București
http://probleme-rezolvate.blogspot.com/search?updated-min=2013-01-
01T00:00:00+02:00&updated-max=2014-01-01T00:00:00+02:00&max-results=3
http://probleme-rezolvate.blogspot.com/2013/05/metode-de-rezolvare-problemelor-de.html
https://stackoverflow.com/questions/54986183/docx-wt-text-elements-crossing-multiple-wr-
run-elements
http://probleme-rezolvate.blogspot.com/2013/05/metode-de-rezolvare-problemelor-de.html
https://livrosdeamor.com.br/documents/matematica-pentru-grupele-de-performanta-clasa-
a-v-a-5bd04683c9e26
https://dokumen.site/download/lucrare-de-matematica-a5b39efaf6581c