Programuldestudii:AdministrareaAfacerilor [614009]

UniversitateadinCraiova
FacultateadeEconomieșiAdministrareaAfacerilor
Programuldestudii:AdministrareaAfacerilor
LUCRAREDELICENȚĂ
Conducătorștiințific,
Lect.univ.dr.DumitruBălă
Absolvent: [anonimizat],2020

2UniversitateadinCraiova
FacultateadeEconomieșiAdministrareaAfacerilor
Programuldestudii:AdministrareaAfacerilor
METODEDESTUDIUASTABILITĂȚIIECONOMICE
Conducătorștiințific,
Lect.univ.dr.DumitruBălă
Absolvent: [anonimizat],2020

3CUPRINS
Introducere………………………………………………………………………………………………………………….4
CAPITOLUL1.NOȚIUNITEORETICEPRIVINDSTABILITATEA…………………………….5
1.1.Aspectematematiceprivindstudiulstabilitățiiunorsistemedinamice………………………….5
CAPITOLUL2.METODEDESTUDIUASTABILITĂȚIIECONOMICE…………………….15
2.1.Dezechilibruleconomicșiinstabilitateamacroeconomică………………………………………15
2.2.MetodafuncțieiLiapunovînstudiulstabilitățiisistemelordinamicecuaplicațiiîn
economie…………………………………………………………………………………………………………………..18
2.3.Balanțadeplățișibalanțacomercială……………………………………………………………………..27
2.4.Echilibruleconomicșiposibilitățideprezentarealeacestuia…………………………………….30
CONCLUZII……………………………………………………………………………………………………………..32
Bibliografie…………………………………..……………………………………………………..33

4INTRODUCERE
Lucrarareaestestructuratăpedouăcapitole.Primulcapitolprezintănoțiuni
matematiceprivindstabilitatea.Sedefineșteceesteoecuațiediferențială,unsistemdeecuații
diferențialesiapoicândosoluțieestestabilăsauasimptoticstabilăi.Aldoileacapitolprezintă
metodedestudiuastabilitățiieconomice.
Echilibruldefineștesituațiaîncarediferiteforțeeconomicesecompenseazășise
neutralizează.Acesteforțecaretindspredirecțiiopusesuntperfectbalansateșinuexistănici
otendințădeasemodifica.Realizareaechilibruluieconomicpresupuneinteracțiuneacererii
șioferteiagregate.Punctuldeintersecțiealcelordouăcurbedeterminăsimultannivelul
generalalprețurilorșiPNB.Laacestniveldeechilibru,cerereașiofertatotalăsuntegale.
Teoriileeconomiceformuleazămecanismespecificedeajustareșifuncționareaeconomiei,
precumșimăsuridepoliticăeconomicăadecvate.Stareadeechilibruasistemuluieconomic
caracterizeazăsituațiaîncarecantitățiledemărfurișiserviciipecarecumpărătoriidorescsă
lecumperesuntegalecuceleoferitedeproducători.Mecanismulderealizareaechilibrului
economicarelabazănivelulprețurilor,acesteamodificându-seodatăcuvariațiilecereriiși
ofertei.
Însubcapitolul"MetodafuncțieiLiapunovînstudiulstabilitățiisistemelordinamice
cuaplicațiiîneconomie"pentrustudiulstabilitățiisefolosescmetodematematicesubtilecum
arficonstrucțiafuncțieifolosindintegraleprime,lagrangienișihamiltonieni.
Evoluțiaeconomică,atâtlanivelmicroeconomiccâtșilanivelmacroeconomiceste
fluctuantă,adicăînuneleperioadeeaînregistreazăcreșteri,iaraltelestagnărisauchiar
reduceri.Dinaceastăcauzăsepoatetrageconcluziacăactivitateaeconomicăpedomeniide
activitateșiînîntreagaeconomie,nuareoevoluțieuniformă,fiindfluctuantă.Înviațareală
existămaimultetipuridefluctuații:sezoniere,accidentale(întimplatoare)șiciclice.
Ansambluldecombinațiialerateidobânziicuvenitul,caresuntcompatibilecu
echilibrulbalanțeideplăți,sereprezintăgraficprintr-odreaptăcrescătoare.Înacestecondiții,
echilibrulglobalserealizeazăatuncicândpiațabunurilorșiserviciilor,piațamonetarășipiața
schimburilorvalutaresuntechilibrate.Mecanismeledeajustareutilizatesuntdiferiteîn
funcțiederegimulratelordeschimb(fixesauflotante).Modelulanalizatconstituieun
instrumentdeanalizăaefectelorpoliticilorconjuncturale.
Temaacesteilucrărimis-apărutotemădeactualitate,cuelementedematematicăși
carepoatecreasubiectedereflecție

5CAPITOLUL1.
1.1.NOȚIUNITEORETICEPRIVINDSTABILITATEA
Așacumesteprecizatîn(Stanciu,2003)asupraobiectelor,fenomenelorșuiproceselor
dinnaturășisocietateacționeazăînpermanențăfaptecontradictorii,caretindsămențină
stareaderepaussaudemișcareaacestora,denumităechilibru.Exponentuldemarcăal
echilibruluirealizatprinintervențiastatuluiesteJohnMaynardKeynes,care,porninddela
celepatruvariabileindependente:consumuldebunurișiservicii,investițiile,economiileși
venitul,construieșteoteorieșiunmodelalechilibruluiglobal,ajungândlaechilibrul
macroeconomicdatdeegalitateadintrecerereaglobalășiofertaglobală,totulreducându-sela
investiții=economii,ecuațiecarereprezintăchintesențaîntregiisaleteoriieconomice.Pentrua
studiasistemeledinamicedescriseprinecuațiidiferențiale,avândînvederecomplexitatea
matematicăatemei,suntnecesareprecizareaunornoțiuniteoreticeprivindteoriaecuațiilor
diferențiale.Acesteasuntpreluatedin(Bălă,2015),cartecaredefaptestecursulde"
Matematiciaplicateîneconomie".Câtevadinacestenoțiunile-amîntâlnitșilacursulpredat
laclasăiarînaceastălucrareleprezintlaunnivelsuperior.
Definiția1.1.Senumeșteecuațiediferențialăordinarădeordinulunuoecuațiede
forma:
0),,(xxtF (1.1)
undetesteargumentulfuncțieinecunoscutex=x(t)și )(tdtdxx estederivatasa.
FesteofuncțierealădefinităpeunanumitdomeniualspațiuluiR3.
Definiția1.2.Senumeștesoluțieaecuației 0),,(xxtF  peintervalulI=(a,b)al
axeireale,ofuncțiex:I→RcontinuudiferențiabilăpeIșicareverificăecuația 0),,(xxtF 
peI,adică 0))(),(,( txtxtF tI.
Observații:
1)Înanumitesituații,carepotfiprecizatecuajutorulteoremeifuncțiilorimplicite,ecuația
0),,(xxtF  sepoatescriesubforma:
),(xtfx (1.2)
undef:→R,fiindomulțimedeschisădinR2.Forma(4.2) ),(xtfx senumește
formănormală.
2)Dinpunctdevederegeometric,osoluțieaecuației 0),,(xxtF  esteocurbăînplanulxot,
avândînfiecarepunctalsăutangentăcarevariazăcontinuucupunctul.Oasemeneacurbăse
numeștecurbăintegralăaecuației 0),,(xxtF  .
Definiția1.3.Mulțimeasoluțiilorecuațiilor 0),,(xxtF  senumeștesoluțiegenerală.
Definiția1.4.PrinproblemaCauchyasociatăecuației 0),,(xxtF  seînțelegedeterminarea
uneisoluțiix=x(t)aecuației 0),,(xxtF  caresăverificecondițiainițială
x(to)=xo(1.3)

6undetoI,xoRsuntdateșisenumescvaloriinițiale.
Definiția1.5.Prinsoluțieasistemuluidiferențialdeordinulunudeforma
) ,…, ,(1n ii xxtfx (1.4)i=1,2,…,n;undetI;f1,…,fnsuntfuncțiidatepeo
mulțimedeschisăaspațiuluiRn+1,seînțelegeunsistemdefuncții )( ),…, (1txtxn continuu
diferențiabilepeintervalulIRșicareverificăecuațiile ) ,…, ,(1n ii xxtfx peacest
intervaladică
))( ),…, (,( )(1txtxtftxn i i  tI;ni,1 (1.5)
o
ioixtx)( ni,1
undetoIșinixo
i ,1; esteunelementfixatalspațiuluiRn.
Definiția1.6.Numimproblema ))( ),…, (,( )(1txtxtftxn i i o
ioixtx)( tI;ni,1
problemăCauchyasociatăsistemuluidiferențial ))( ),…, (,( )(1txtxtftxn i i  .
Definiția1.7.Senumeșteecuațieordinarădeordinnoecuațiedeforma
0) ,…, ,,()(nxxxtF  (1.6)
undeFesteofuncțiedată.
Observație:
Presupunândcăesteposibilărezolvareaînraportcuderivatadeordinulnsepoatereduce
ecuația(1.6)laforma
) ,…,,()1( )( n nxxxtfx  (1.7)numităformanormală.
Definiția1.8.Prinsoluțieaecuației(1.7)peintervalulIRseînțelegeofuncțiexdeclasă
CnpeI(adicăcontinuudiferențiabilăpânălaordinulninclusiv)careverificăecuația(1.7)în
oricepuncttI.
Definiția1.9.PrinproblemăCauchyasociatăecuației(1.7)seînțelegedeterminareaunei
soluțiix=x(t)aecuației(1.7)careverificăcondițiile:
o
nono
oo
oo xtxxtxxtx1)1(
1 )( ,…, )(, )(    undetoI,o
noo
oxxx1 1,… ,suntfixate.
Definiția1.10.Ofuncțiefesteanaliticădacăînvecinătateaoricăruipunctaldomeniuluide
definițiefadmiteodezvoltaretayloriană.
Teoremadeexistențășiunicitatepentruecuațiidiferențialedeordinulunu.
FieproblemaCauchy
(*)


ooxtxxtfx
)(),( 
undefesteofuncțierealădefinităîndomeniul
  , ; ),(2bxxattRxto o 
Presupunemverificateurmătoarelecondiții:
i)funcțiafestecontinuăpe
ii)funcțiafestelipschitzianăcafuncțiedexpemulțimea,adicăexistăoconstantăpozitivă
Lastfelîncât
  y)(t,x),(t, ),( ),(
.yxLytfxtf
Atunciexistăosoluțieunicăx=x(t)aproblemeiCauchy(*)definităpeintervalul

70ttunde Mba, inf ;   ),( ; ),( sup xtxtfM .
Teoremadeexistențășiunicitatepentrusistemediferențialedeordinul1.
Considerămsistemuldiferențial
(*) nixxtfxn ii ,1 ) ,…, ,(1   cucondițiileinițiale
(**) nixtxoi ,1 )(0
1 undefuncțiilefisuntdefinitepeunparalelipipeddeforma
 nibxxattii o ,1 , 0 dinspațiuln+1dimensionalRn+1.
Presupunemîndepliniteurmătoarelecondiții:
j)funcțiilefi,ni,1 suntcontinuepe.
jj)funcțiilefisuntlipschitzieneînx=(x1,…,xn)peadicăexistăL>0astfelîncât
    in 1 ; max ) ,…, ,( ) ,…, ,(1 1 njyxLyytfxxtfjj n in i Atunci există o soluție
unică nitxii ,1 )( asistemului(*)cucondițiainițială(**),definităpeintervalul
I={t;|t-to|}; Mba, inf
undeM=max{|fi(t,x1,…,xn)|;(t,x1,,…,xn)}
Teoremadeexistențășiunicitatepentruecuațiidiferențialedeordinsuperior.
Săconsiderămecuațiadiferențialădeordinn
(o) ) ,…, ,,()1( )( n nxxxtgx  cucondițiileinițiale
(oo)0
1)1( 0
1 )( ,…, )(, )(  non
oo
oo xtxxtxxtx  unde ) ,…, ,,(0
10
10
0 n oxxxt estefixatînRn+1,iar
funcțiagverificăurmătoareledouăcondiții:
e)gesteofuncțiecontinuăpemulțimea
 nibxxattRxxtii on
n ,1 ; , ; ) ,… ,(0
11
1   ee)ExistăL>0astfelîncât
 niyxLyytgxxtgii n n    1 ; max ) ,…, ,( ) ,…, ,(1 1 pentrutoți(t,x1,…,xn)și(t,
y1,…,yn)în.
Presupunemverificatecondițiile(e)și(ee).AtunciproblemaCauchy(o)+(oo)admitesoluția
unicăx=x(t)definităpeintervalul[to-,to+]unde Mba, inf și
   ) ,…, ,(; ,…, ), ,…, ,( sup1 1 1 n n n xxtxxxxtgM
Fiesistemuldiferențialautonom(1o) )(xfx ) ,…, (1nxxx undef:DRnesteo
funcțiedeclasăC'peomulțimedeschisăDaspațiuluiRn.
Definiția1.11.FuncțiascalarăU(x)=U(x1,…,xn)declasăC'într-osubmulțimedeschisă
DoDsenumeșteintegralăprimăasistemului(1o)dacănuesteidenticconstantășiU((t))
constantpentruoricetraiectoriey=(t)asistemului(1o)carerămâneînDo(constanta
depindedetraiectorie).
Teorema1.1.FuncțiaUdeclasăC'înDoesteintegralăprimăasistemului(1o)dacășinumai
dacăesteverificatăegalitatea:
(gradU(x),f(x))=0xDo
Definiția1.12.VectorulaRnsenumeștepunctcriticalsistemului(1o)dacăf(a)=0.

8Definiția1.13.U1,U2,…,UkdeclasăC'senumescindependenteîntr-ovecinătateaunui
punctaRndacămatriceaiacobiană



xjaUi)(i=1,…k;j=1,…n
arerangulk(kn).
Teorema1.2.Într-ovecinătateaunuipunctaRncarenuestecriticpentrusistemul(1o),
existăexactn-1integraleprimeindependente.
Fiesistemuldiferențialautonom
),(xtfx (1.8)
undef:Rn+1Rnestecontinuă,diferențiabilăînraportcuxRnșiavând
derivataxf′continuăpemulțimeadeschisă.
Definiția1.14.FuncțiaT(t,x):R esteointegralăprimăasistemului(1.8)peo
submulțime0 ,dacăTestedeclasăC'peo,nuesteidenticconstantășiT(t,(t))
constant,pentruoricetraiectoriey=(t)asistemului(1.8)cugraficulîno.
Teorema1.3.FuncțiaTdeclasăC'esteintegralăprimăasistemului(1.8)x=f(t,x)dacăși
numaidacăarelocegalitatea:

n
ii
ixtfxtxTxttT
10),(),( ),( ;(t,x) o(1.9)
Observație:
in
iiin
iifxT
tT
tx
xT
tT
dtdT  
  1 1
unde ) ,… ,( x este 1 i n iixxtftx
Teorema1.4.Învecinătateaunuipunct(to,a) sistemul(1.8)x=f(t,x)admiteexactn
integraleprimeindependenteT1,…Tn.OricarealtăintegralăprimăT(t,x)sereprezintăsub
forma
T(t,x)=F(T1(t,x),…,Tn(t,x))(1.10.) undeFesteofuncțiediferențiabilăîntr-o
vecinătateapunctului(V1(to,a),…,Vn(to,a)).
Observație:
Cunoaștereaakintegraleprimeindependente(k<n)permitereducereaordinului(numărului
defuncțiinecunoscutealesistemului(1.8)x=f(t,x))cukunități.
Înparticular,cunoaștereaanintegraleprimeindependenteechivaleazăcurezolvarea
sistemului.
Considerămsistemuldiferențial
),(xtfx (1.11)
undef: Rnesteofuncțieverificândurmătoarelecondiții:
i)festecontinuăîn(t,x)
ii)festelocallipschtzianăînxpemulțimea axRRxtn;x ),(
Dinteoremeledeexistență,unicitateșiprelungibilitaterezultăcă,pentruoricepunct
(to,xo),sistemul(1.11)cucondițiainițialăx(to)=xoadmiteosoluțieunicăx=x(t,to,xo),
definităpeunintervalmaximal[to,T).

9Fiex=(t)osoluțieasistemului(1.11)definităpesemiaxa[to,+].
Definiția1.15.Soluțiasenumeștestabilădacăpentruorice>0,există(,to)>0,
astfelîncâtx(t,to,xo)estedefinităpe[to,+]șiarelocinegalitatea
 )( ),,( txttxoo t[to,+](1.12)
pentrutoatepuncteleaxoverificândcondiția ),( )(o oo ttx 
Definiția1.16.Soluțiasenumeșteasimptoticstabilădacăestestabilășidacăexistă(to)
>0,astfelîncât 0)( ) ,( lim, 
txttxoot (1.13)
deîndatăce )( )(o oo ttx 
Definiția1.17.Soluțiasenumeșteuniformstabilădacăpentruorice 0 ,există )(
(sepoatealegeindependentdeto),astfelîncâtx(t,to,xo)estedefinităpe[to,+]șiareloc
inegalitatea  )( ),,( txttxoo t[to,+)pentrutoatepuncteleaxo verificând
condiția )( )(ootx .
Definiția1.18.Soluțiasenumeșteuniformasimptoticstabilădacăesteuniformstabilăși
există 00 ,independentde toastfelîncâtoootx  )( implică
0)( ) ,( lim, 
txttxoot uniformînraportcuto.
Observație:
Printr-ooperațiesimplăfăcândsubstituțiay=x- (1.14),studiulstabilitățiiuneisoluțiix
=(t)asistemului ),(xtfx sepoatereducelastudiulstabilitățiisoluțieinule,x=0(soluția
banală).Pentruaceastavompresupune,înplus,fațădecondiția(i),căfuncțiafsatisfaceși
condițiaf(t,o)=00tt (1.15)faptcarerevinedealtfellaapretindecăx=0săfie
soluțiepentrusistemul(1.15).
Definiția1.15.pentru=0devine:
Definiția1.19.Soluțiabanală(=0)senumeștestabilădacăpentruorice>0,există(,
to)>0astfelîncâtx(t,to,xo)estedefinităpe[to,+)șiarelocinegalitatea ),,(ooxttx
t[to,+)pentrutoatepuncteleaxo verificândcondiția ),(o otx
Definiția1.20.Soluțiabanală(=0)asistemului(1)senumeșteasimptoticstabilădacăeste
stabilășidacăexistă 0)(0t astfelîncât 0) ,( lim,
ootxttx pentrutoțixoverificând
condiția )(o otx .
Observație:
Stabilitateaesteoproprietateasoluțieișinuasistemului.
Concluzii
Avemunproceseconomicdescrisdeoecuațiediferențialăsauunsistemdeecuații
diferențiale.Deregulăacestaesteneliniarșinuputemgăsisoluțiaexactă.Nepropunemsă-i
studiemstabilitatea.Estediscutabildacăunsistemdeecuațiidiferențialemodeleazăsuficient
debineunproceseconomic.Înaceastălucraredelicențăanalizămdoarsistemedinamicecare
auunnumecunoscutînliteraturadespecialitateșideciavemcertitudineacămodelează
corespunzătorprocesuleconomic.

10Încapitoluldoiallucrăriidelicențăanalizămpatrusistemedinamicecaremodelează
fiecarecâteunproceseconomic.Toatesuntsistemedinamicecuîntârziere.Pentrufiecareîn
partestudiemstabilitateacuotehnicăspecialapentrusistemecuîntârziereșitragemniște
concluziiprivindmărimileeconomicecareapar.
Toateacestedefinițiile-ampreluatdin(Bălă,2007),(Bălă.2008),(Bălă,2015,8),
(Bălă.2015,9).Acesteasuntdefinițiimatematiceșiteoremecelebre(cunoscute)carede
faptprecizeazădesprecevorbim.Originalitateaconstăînaselectanoțiuniledecareavem
nevoiepentruafiriguroșidinpunctdevederematematicșisăștimexactdesprecevorbim.
Exemplul1.1.Sepoateîntâmplacaunacelașisistemsăaibăsimultansoluțiistabileși
instabile.
() 0 sinxx t0(ecuațiapendulului)
Ecuația()admitedouăsoluțiistaționarecuvaloripeintervalul[o,)șianume
1(t)=0și2(t)=.
Dinpunctdevederefizic,elecorespundcelordouăpozițiideechilibru(stabilși
instabil)alependulului.
Searatăcă1estesoluțiastabilă,iar2instabilă.
Definiția1.21a.Dacăoricesoluțieasistemului ),(xtfx (1.16)estedefinităpe
),[oR șiconvergelazeropentrut atuncisistemul(2.1)senumeșteglobal
asimptoticstabil.
Definiția1.21b.Fiesistemuldiferențialdeforma:
0 t; ),( xtFAxx (1.17)
undeAesteomatriceconstantăiarnnRRxRF  : esteofuncțiecontinuăpecilindrul
 rRRxtnx , x ),(
locallipschitzianăînxșiF(t,0)0.
Unastfeldesistemsenumeștesistemliniarperturbat,iarFsenumeșteperturbație.
TeoremaLiapunov-Poincaré.PresupunemcăAestematricehurwitzianășiFverifică
condiția
xLxtF),(  ),(xt (1.18)
undeconstantaLestesuficientdemică.
Atuncisoluțiabanalăasistemului(1.17)esteasimptoticstabilă.
TeoremaluiPoincaré.FieAmatricehurwitzianășiFverificăcondiția
xxtF),(  ),(xt (1.19)
unde 0)(lim
0
rr
r
Atuncisoluțiabanalăasistemului(1.17)esteasimptoticstabilă.
AplicațieateoremeiluiPoincaréînstudiulstabilitățiisoluțiilorsistemelordiferențialeprin
metodanumită„aprimeiaproximații”.
Considerămsistemulautonom
n1,2 i ) ,… (2 1  n i
iixxFdtdx(1.20)
sausubformamatricială )(xfx (1.21)

11Presupunândcăf(o)=0șimatricea
0 …
…….. ………. ………….. ….
)0(2 2 1
22
22
1222
22
1221
21
11
0











n
nnnnnn
xx xxx
xF
xF
xFxF
xF
xFxF
xF
xF
xff(1.22)
estematriceHurwitz.
Dacăipotezeledemaisussuntîndepliniteatuncisoluțianulăasistemuluiautonom
(1.21)esteasimptoticstabilă.
Deci,conformmetodeistudiulstabilitățiisereducelastudiulsemnuluirădăcinilor
ecuațieicaracteristice:det[A-I]=0careareforma:
0 …11
1 
m mm m
o aa aa   m=2n (1.23)
Pentrucamișcareaneperturbatăsăfieasimptoticstabilăestenecesarșisuficientca
toaterădăcinilerealealeecuației(1.23)săfienegativeșiceleimaginaresăfiecuparteareală
negativă.
Sistemul nixxxtFdtdx
n ii2,…,2,1 ) ,…, ,,(2 2 1   (1.24)
poatefiscrissubformaxtAx )( (1.25)undeA(t)esteomatricepătraticănxncu
elementecontinuupe[0,+).
SăconsiderămcazulparticularcândmatriceaA(t)devineomatriceAcuelemente
constante.
Definiția1.21.OmatriceAesteomatriceHurwitzdacăpolinomulsăucaracteristicaretoate
rădăcinilecupărțirealenegative.
PentrusistemulxAx (1.26)dămîncontinuarefărădemonstrațieurmătoarele
criteriidestabilitate:
a)(FieA(t)=Aomatriceconstantă)Soluțiilesistemului(1.26)suntasimptoticstabiledacă
șinumaidacămatriceaAesteomatriceHurwitz.Dacăcelpuținunadinrădăcinile
polinomuluicaracteristicalmatriceiAarepartearealăpozitivă,soluțianulăasistemuluieste
instabilă.
b)DacăAesteomatriceHurwitz,atuncisistemul(1.26)(cucoeficiențiconstanți)esteglobal
asimptoticexponențialstabil.
Definiția1.22.Soluția 0x asistemului )(xfx senumeșteglobalasimptoticexponențial
stabildacăexistă 0 ,0M ,independențidexoastfelîncât
0 0 0),;( xMxttxt
e 1.27)oricarearfitoundeprin|.|seînțelegenormamatricei
soluțiilorsistemuluideecuațiidiferențiale.
Definiția1.23.DatăfiindomatriceA dedimensiunenxnșide
elemente njniaij  1; 1}; { ,vomdefininormasașiovomnotacu||A||numărul

n
jijiaA
1max .
Definiția1.24.FuncțiarealăV,definităpe
 axRRxtn; ),(
senumeștepozitivdefinitădacăexistăofuncțiemonotonnedescrescătoareșicontinuă
 RRw: astfelîncâtw(0)=0;w(r)>0pentrur0șiV(t,x)w(x) ),(xt .

12Definiția1.25.VomspunecăVestenegativdefinitădacă-Vestepozitivdefinită.
Definiția1.26.FuncțiaRV: senumeștefuncțieLiapunovasociatăsistemului
),(xtfx (sistemneautonom)dacăîndeplineșteurmătoarelecondiții:
j)Vestecontinuăîmpreunăcuderivatelesaledeprimulordin(întșix)pedomeniul.
jj)VestepozitivdefinitepeșiV(t,o)=o 0t
jjj) 0)),(),,( (),(  xtfxtVgradxttV
x ),(xt
Amnotatcu(,)produsulscalardinspațiulRnșiprinVgradx,gradientulfuncțieiVcafuncție
dex,adicăvectorul( ) ,…,
1 nxV
xV

.
TeoremadestabilitatealuiLiapunovpentrusistemeneautonome.Seconsiderăsistemul
diferențial ),(xtfx unde:f Rnesteofuncțieverificândurmătoarelecondiții:
i)festecontinuăîn(t,x)
ii)festelocallipschitzianăînxpemulțimea axRRxtn ; x ),(
DacăexistăofuncțieLiapunovV(t,x)pentruacestsistem,atuncisoluțiabanalăestestabilă.
Presupunemînpluscăfuncția
)),(),,( (),( ),( xtfxtVgradxttVxtwx estenegativdefinităpeșiarelocinegalitatea
),( ),(xxtV  ),(xt undeesteofuncțiecontinuășipozitivă,careseanuleazăîn
origine.Atuncisoluțiabanalăasistemului ),(xtfx esteasimptoticstabilă.
Teorema1.5.Dacă=R+xRnșifuncțiawdincondiția )( ),(xwxtV  ),(xt are
proprietatea
rlimw(r)=+ 0)(;0)(; 🙁   rwowRRw pentrur0;
wmonotondescrescătoare),atunciînipotezeleteoremeidestabilitatealuiLiapunovpentru
sistemeneautonome,soluțiabanalăasistemului ),(xtfx esteglobalasimptoticstabilă.
Definiția1.27.FuncțiaV:DRsenumeștefuncțiaLiapunovpeDasociatăsistemului
diferențialautonom )(xfx dacăîndeplineșteurmătoarelecondiții:
e)VC'(D)șiV(o)=0
ee)V(x)>0; 0x
eee)(gradV(x),f(x))0xD
Maiprecizămcă     axRxDn, ;nRDf: ;flocallipschitziană;(,)este
produsulscalardinRn.
gradxVestevectorul





nxV
xV,…,
1
TeoremadestabilitatealuiLiapunovpentrusistemeautonome.Dacăexistăofuncție
Liapunovasociatăsistemuluidiferențialautonom )(xfx atuncisoluțiabanalăasistemului
)(xfx estestabilă.
Dacăînplusesteverificatăcondiția(gradV(x),f(x))<0 0x atuncisoluțianulăeste
asimptoticstabilă.
Dacă 
)( limxV
xatuncisoluțiabanalăesteglobalasimptoticstabilă.

13Definiția1.28.FieURomulțimedeschisă(sauunintervalarbitrar)șif1:U Ro
funcțieindefinitderivabilăîntr-unpunctaU.
Seria …)(! ) (…)(! 2) ()(! 1)()(
1 12
1 1  afnaxafaxafaxafnn
senumeșteseria
Taylorcucentrulînaasociatăfuncțieif1.Vomspunecăf1estedezvoltabilăînseriaTaylor
cucentrulîna,dacă 0arr astfelîncâtseria

0)(
1 )(!) (
nnn
afnaxesteconvergentăși
aresumaegalăcuf1(x),Ux ;|x-a|<r
Teorema1.6.Fief2:D1R2R;(xo,yo)=PoD1.
Presupunemcăf2admitederivateparțialepânălaordinuln+1inclusivcontinue
într-ovecinătateVP0.Înacestecondițiiarelocurmătoareaformulă:
) , ()!1(1),(!1…),(!21),(!11),( ),(
0 0 210 0 2 0 0 220 0 2 0 0 2 2
kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfyxf
nn

















 

încareamnotath=x-x0,k=y-y0,0< 1 .
Fiesistemuldiferențialautonom
)(xfx ,(1.28)
x=(x1,…,xn)undef:DRnesteofuncțiedeclasă ] )0,…0(0[ D C peomulțime
deschisăDaspațiuluiRn.PrindezvoltareaTaylorafuncțiilorfiînjurulpunctului0=(0,…,0)
cuproprietateacăfi(0)seobține:

n
jn ijij i xxxax
11 ) ,…, (  (1.29)
Sistemulprimeiaproximațiiestesistemulliniar,deforma
n
jjij ixax
1 (1.30)
acăruistabilitateseanalizeazăușor.Legăturadintrestabilitateasoluțiilormodelului(2.15)numită
"stabilitateînprimăaproximație"șistabilitateamodeluluineliniar(1.29)estedatădeteoremelecare
urmează.
Teorema1.7.Stabilitateaasimptoticăasistemuluiprimeiaproximațiiimplicăstabilitatea
asimptoticăamodeluluineliniardelacareaprovenit.
Teorema1.8.Instabilitateasistemuluiprimeiaproximațiiimplicăinstabilitateasistemului
neliniardelacareaprovenit.
Observație:
Dacăsistemulprimeiaproximațiiareostabilitatemarginală,nusepoateafirmanimicdespre
stabilitateasauinstabilitateasistemuluineliniar.
Definiția1.29.Dacăpolinomulcaracteristicare,pelângărădăcinisituateînsemiplanul
complexstângșirădăcinisituatepeaxaimaginarăsistemulsenumeștemarginalstabil
(semistabil).
TeoriastabilitățiiarecapunctdeplecaretezadedoctoratamatematicianuluirusA.M.
Liapunovelaboratăînanul1882șiintitulată„Problemageneralăastabilitățiimișcării”.Așa
seexplicăvastabibliografiecarepoateficonsultatăînprezent.Înacestsubcapitoldorimsă

14arătămcumpotficonstruitefuncțiiLiapunov.Nuexistăpânăacumometodăgeneralăde
construcțieaacestorfuncțiiLiapunov.Vomarătaîncontinuarecumpotficonstruitefuncții
Liapunovfolosinddouămetode.Prinxvomnotaderivataluix(t)înfuncțiedet.
Studiulstabilitățiiunorsistemedinamicefolosindprimametodădedeterminareafuncției
Liapunovsefoloseștelastudiulsistemelorneliniarecândmetodaprimeiaproximațiinu
răspundeproblemeipuse.Metodaconstăînaefectuaurmătoriipași:
a)seliniarizeazăsistemul
b)segăseșteointegralăprimăpentrusistemulliniarizat.FieaceastaF(x1,x2,…,xn)=C
c)seiacafuncțieLiapunovpentrusistemulliniarizat
V(x1,…,xn)=F(x1,…,xn)–F(0,…,0)
d)severificădacăV(x1,…xn)estefuncțieLiapunovșipentrusistemulneliniar
e)seaplicăteoremadestabilitatealuiLiapunovpentrusistemeautonome
Proceseleeconomicesuntdescrisecuajutorulsistemelordeecuațiidiferențialeșiam
consideratcăaceastădescriereestecorectăîntrucâteaaparefecventînliteraturade
specialitateiarmodeleleaunumecunoscute.Studiulstabilitățiiunorsistemedeecuații
diferențialeconstituieopreocupareconducătoruluiștiințificînultimiicinsprezeceani.Defapt
elementeledeoriginalitateconstauîndouămetodedeconstruireafuncțieiLeapunov.
CalculămlagrangianulL,hamiltonianulHșidensitateadeenergiefdeoareceacestefuncții
potfifolositepentruconstruireafuncțieiLeapunov.
NuexistăometodăgeneralădedeterminareafuncțieiLeapunovșidinacestmotiv
putemspunecălucrareaareșielementedeoriginalitate.Dacăgăsimofuncțiecare
îndeplineșteanumitecondiții,careînliteraturadespecialitatesenumeștefuncțieLeapunovși
carederegulăsenoteazăcuV,aplicămteoremeledestabilitatepentrusistemediferențiale
autonome.CafuncțieLeapunovsepoateluauneoridensitateadeenergieșihamiltonianul.De
asemeneacafuncțieLeapunovsepoateluaointegralăprimăsaupătratulacesteia.Există
diversemetodedegăsireaintegralelorprime,unadinelefiindaceeaîncarefolosim
lagrangianulsistemului.
Pentrustudiulsistemuloranalizateînmodspecialînaceastălucraredelicențăse
utilizeazăetapeledeanalizăalesistemelordeecuațiidiferențialecuargumentîntârziatși
anume:
1)analizapărțiiliniareasistemului;
2)analizarădăcinilorecuațieicaracteristiceșistudiulbifurcațieiHopf,
3)studiulsubspațiilorpropriigeneralizateasociatesistemuluiînpunctuldebifurcațieHopf,
4)studiulvarietățiicentraleînpunctuldebifurcațieșiacicluluilimită;
5)studiulorbitelorsistemuluifolosindprogramerealizatecusoftulMaple9.
Sistemedeecuațiidiferențialecuargumentîntârziatanalizateconformetapelorprecizateșicu
ajutorulsoftuluiMaple9segăsescîn(Mircea,2003).
Toateacestedefinițiile-ampreluatdin(Bălă,2007),(Bălă.2008),(Bălă,2015,8),
(Bălă.2015,9).Acesteasuntdefinițiimatematiceșiteoremecelebre(cunoscute)carede
faptprecizeazădesprecevorbim.Originalitateaconstăînaselectanoțiuniledecareavem
nevoiepentruafiriguroșidinpunctdevederematematicșisăștimexactdesprecevorbim.
Deasemeneauneledinnoțiunisuntrezultateștiințificealeconducătoruluiștiințificpecare
acestale-apublicatșipecareeule-amvăzutpentruprimadatăcândamstudiatpentru
realizarealucrăriidelicențî.

152.METODEDESTUDIUASTABILITĂȚIIECONOMICE
2.1.Dezechilibruleconomicșiinstabilitateamacroeconomică
Lajumătateaanilor’60,doieconomiștiamericani,R.ClowerșiA.Leinjonhufvud,au
inauguratonouăabordareateorieikeynesiste.Eiauîncercatsădemonstrezeexistențaunui
prețdedezechilibru,deasemeneastabil,cașiprețuldeechilibrugeneral.Suntfolositeși
anumiteideikeynesiste,înspecialcelereferitoarelamonedășiajustareaprincantitate.
Economiadezechilibruluistudiazăpiețelepecareprevaleazăprețuririgideși
integreazăteoriakeynesianăcuuncazparticularașacumesteprecizatîn(Ciucur,1999).
LucrărilerecentealeluiE.Malinvaudsereferălateoriaocupăriișipoliticaeconomică
deluptăîmpotrivașomajului.Eleconstituieocontribuțiemajorălateoriaechilibrelor
nonwalrasienecuprețurifixe,numităimpropriu„teoriadezechilibrului”.Aceastăteorie
încearcăsăelaborezeoexplicațieendogenăarigiditățiiprețurilor,abandonândlegealuiSay.
Serenunțălaprincipiulinformăriiperfecte,laechilibrulautomatalneoclasicilor,pentrua
construioanalizămairealistă.Abordareadezechilibreloraratăcăprețurilerealenuasigură
realizareaechilibrului.Pentruteoriadezechilibrelor,subocupareaesteprovocatăde
imposibilitateadeaatingeunsalariucaresăechilibrezeofertașicerereademuncălanivelul
ocupăriidepline.
Modelulkeynesianestecunoscutcaunsistemdeechilibru,înafarădesituațiaîncare
piațamunciiestecaracterizatăprinrigiditateasalariuluicareîmpiedicăstabilireaocupării
depline.DupăDonPatinkin,analizakeynesistănuasigurărezolvareaechilibruluișiocalifică
dreptoteorieadezechilibruluiocupăriimaidegrabădecâtteoriaechilibruluisubocupării.
Deșiinflațiaesteundezechilibru,acăruiorigineestedenaturăbănească,cauzeleei
suntmultiple(economice,sociale,politice)șideaceeaanalizamecanismeloreiprezintăo
mareimportanțăpentruînțelegereaefectelorșistabilireamăsurilordepoliticăeconomică
corespunzătoareașacumesteprecizatîn(Stanciu,2009).
Inflațiacontemporanăestedeterminatăatâtdefenomeneșiprocesecerereconducla
creștereacantitățiidemonedăpestenevoilerealealesocietății,cumpărătorarfi:creșterea
excesivăacreditelor,salariilor,costurilor,acoperireadeficitelorbugetareșialebalanțeide
plățiexterneetc.,câtșifenomeneșiprocesececonduclascădereaproducțieidebunuriși
servicii,destinatepieței.Caurmare,apareunexcedentdemonedăfărăacoperireînbunuriși
serviciicareimpuneocreșteregeneralizatăaprețurilor,pentruarefaceechilibrulîntrecererea
șiofertarealădebunurișiserviciidepepiață.
Creștereageneralizatăaprețurilorșilipsadeîncredereînbanievidențiază
dezechilibrulîntrecirculațiabanilordepreciațișicirculațiamărfurilor.Depreciereabanilor
reflectăfaptulcăvolumulbunurilorșiserviciilorcaresecumpărăîntr-oeconomiescadesau
creștemailent,într-oanumităperioadă,comparativcumasamonetarășinivelulprețurilor.
Certestecălabazainflațieistădezechilibruldurabilîntreansamblulcereriișialoferteide
bunurieconomice,concretizatînpresiuneacererii,darșicreștereacosturilor,oferta
necorespunzătoare,impactulpsihologic,impactulexternetc.Caurmare,sepotdiferențiamai
multetipurideinflațieașacumesteprecizatîn(Stanciu,2009).:
Inflațiaprincerereesteevidentă,atuncicândasistămlaopresiuneacereriiasupra
oferteidebunuri.Semanifestăprintr-odisproporțieîntremărimeacereriisolvabile,care
creșteprinsatisfacerearevendicărilorsalariale,princrediteexcesivepentruinvestițiiși
cheltuielilestatuluipentruacoperireadeficitelorbugetareșiabalanțelordeplățiexterneși
capacitateaeconomieideasatisfacesimultanacestecereri.Concret,totalulveniturilor

16disponibilepentrucumpărareabunurilordeconsumșiaserviciilorcreștemairepededecât
volumulproducției,decioparteacereriirămânenesatisfăcută.
Acestdezechilibrusepoatedepășiprincreștereavolumuluiproducției,darcarenusepoate
realizaimediatsauprincreștereaprețurilorcerereseproducerapid.
Inflațiaprincosturiesterezultatulcreșteriicontinueaprețurilorfactorilordeproducție,
arestricțiilorceaparînaprovizionareacuuniifactorideproducțieșiacreșteriisalariilormai
rapiddecâtproductivitateamuncii.Producătoriimărescprețurilepentrua-șirecupera
cheltuieliledeproducțiemaimari.
Inflațiastructuralăsauprinofertăapareatuncicândagențiieconomicinurăspundprin
ofertadeproduselaschimbărilerapidedindomeniulcererii.Prinurmare,prețulproduselor
noicrește.
Trebuiesubliniatcăînviațarealănusemanifestădistincttipuriledeinflație,elese
interferează,seintercondiționeazășiadeseasepotențeazăreciproc.
Deaceea,esteimportantsăfiecunoscutecauzeleînansamblullor,pentruaînțelege
efecteleșiaelaboramăsurieficientedecombatere.
Trebuie,deasemenea,avutăînvedereșiinfluențafactoruluiextern,aimportuluide
inflație,maialescândseimportăfactorideproducțiecarevorreprezentacheltuielimaimari
pentruproducători.Deobicei,aceștiamărescprețulbunurilorproduseșiînacestmodse
propagăinflația.Amplificarearelațiilorcomercialeesteocaleșidesporireainflației,prin
importuleidinaltețări.
Dacăținemseamadeevoluțiainflației,deintensitateașidedurataei,putemdelimita
treiformeprincipaledeinflațieașacumesteprecizatîn(Ciucur,1999).:
Inflațiatârâtoaresaulatentă,caracterizatăprintr-ocreșteredeprețuride3-4%anual,
cererepoateficonsideratăoinflațiemoderată,deoareceacționeazășioseriedefactoricare
frâneazăprocesulinflaționist.
Inflațiadeschisăsaudeclarată,caracterizatăprintr-ocreșteredepânăla10%anual,
carepoatefi,cașiinflațiatârâtoare,motivatoarepentrucreștereaoferteiUniieconomiști
considerăcălaunasemeneanivel,inflațiasepoateutilizacainstrumentpentrucreareade
locuridemuncășiutilizarearaționalăaforțeidemuncă.
Inflațiagalopantăsauhiperinflația,caracterizatăprincreșterideprețuricudouăcifre,
chiardacăestecrescătoarepeoduratămaimareșiinsuficientcontrolată,constituieunfactor
dedezorganizreaeconomiei.Eaarenumeroaseefectenegativeatâtasupraconsumatorilorcât
șiaproducătorilor,deoarecedescurajeazăinvestițiile,încurajeazăspeculașiredistribuie
veniturileînfavoareaproducătorilorputernicișiîndefavoareaconsumatorilorcuveniturifixe.
Dacăinflațiacontrolatăareșiefectepozitive,prinimpulsionareaactivitățiieconomice,
inflațianecontrolatăarenumeroaseefectenegativeasupraunoragențieconomicișigrupuri
socialeșielereprezintăcosturileinflațieiașacumesteprecizatîn(Ciucur,1999)..
Efectelenegativesuntreceptateînmoddiferitșiîngraddiferențiatdecătre
participanțiilaviațaeconomică.Ceimaiafectațisuntconsumatoriiobligațisăcumperela
prețurimaimaribunuriledeconsumsaufactoriideproducție,îndeosebiconsumatoriicu
veniturimicișifixeacărorputeredecumpăraresereduce,darșicreditorii(maiales
depunătoriiînconturibancare)cerereacordăcreditecuoratăadobânziicarenuacoperărata
inflației.
Desigur,procesulinflaționistavantajeazăpeuniiagențieconomicicerere-șivând
produselelaprețurimajorate,pedebitoriicareaureușitsăîmprumutelaoratăadobânzii
cererenuacoperăratainflațieisaupeceicare-șiconvertescdisponibilitățilebăneștiîn
monedeleunorțăriîncareinflațiaareoratămaimică.
Corelațiiledirecteîntreinflațieșiactivitateaeconomicăsepotexprimaprin:
-creștereneinflaționistă,caracterizatăprininflațiemoderatăînsoțitădeoratădecreștere
economicămaimare(reală);

17-creștereeconomicăinflaționistă,caracterizatăprintr-oratămaimareainflațieidecâta
creșteriieconomice;
-stagfație,caracterizatăprininflațiemareșilipsăacreșteriieconomice(creșterezero);
-slumpflație,caracterizatăprinratamareainflațieișiscădereaeconomică.
Consecințeleinflațieiatâtlanivelmicro,câtșilanivelmacro,suntmultiple,ele
afecteazădirectsauindirectîntreagasocietate,iareliminareașiînlăturareacelornegative
presupuneadoptareaunuipachetdemăsuricaresăținăseamădenumeroasecondiționări.
Preocupărileteorieișipracticiideagăsicelemaibunesoluțiidecontracararea
efectelornegativealeinflațieis-auconcretizatîndouătipuridemăsuricarevizeazăașacum
esteprecizatîn(Ciucur,1999):
a.reducereașicontrolulinflației;
b.protecțiaagențiloreconomici.
a.Măsurilecererepotcontribuiladiminuareașicontrolulinflațieiurmăresc,pedeo
parte,diminuareacererii,iarpedealtăpartesporireaoferteipentruaseasiguraechilibrul
economic.
-diminuareacereriipebazareduceriimaseimonetareserealizeazăprin:
-reducereacheltuielilorpublice;
-creșterearateidobânziilacrediteleacordatedebănci;
-„înghețarea”salariilorșiaprețurilor(menținerealaacelașinivel);
-limitareacreditelordeconsumșiinvestiții;
-echilibrareabugetuluidestatșiabalanțeideplățiexterne;
-creșterearezervelorobligatoriialebăncilorpentruadiminuanumerarul;
-reducereacereriișidescurajareaconsumuluiproduselordeficitare;
-încurajareacereriipentruînlocuitoriibunurilordeficitare.
Mărireaoferteipebazaspoririibunurilorșiserviciilorsepoatefaceprin:
-încurajareaproducțieișiînnoireastructuriiacesteiapentruadaptarealacerințelepieței;
-controlulprețurilor;
-corelareasalariilorcuproductivitateamuncii.
b.Măsuriledeprotecțieaagențiloreconomicișiapopulațieiseconcretizeazăîn:
indexareaveniturilor,maialesasalariilorșiprețurilor,periodic,pentruacoperireaparțialăa
creșteriiprețurilorșiscăderiiputeriidecumpărare;
-Creșterearateidobânziiplătitedecătrebăncipentrudepuneriîncont;
-Subvenționareaprețurilorlauneleprodusepentruadiminuacreșterealorsaualestabiliza;
-acordareaunorcompensații.
Experiențapracticăaevidențiatșirolulreduceriicheltuielilorguvernamentale,mai
alescândmărimeamaseimonetareestecauzăainflației,caurmareacreșteriisalariilorșia
altorveniturialepopulației,independentdeproductivitateamuncii.Desigur,acestemăsuri
suntnepopulare,darneaplicarealornufacedecâtsăamplificespiralainflaționistă.
Importantestecamăsurilesăfieapreciateprinansamblulefectelorlorasuprainflației,
atâtpetermenscurt,câtșipetermenlung.

182.2.MetodafuncțieiLiapunovînstudiulstabilitățiisistemelordinamicecu
aplicațiiîneconomie
Înaceastsubcapitolsuntanalizatepatrumodeledinamicealeunorproceseeconomice.
Proceseleeconomicesuntdescrisecuajutorulsistemelordeecuațiidiferențialeșiam
consideratcăaceastădescriereestecorectăîntrucâteaaparefecventînliteraturade
specialitateiarmodeleleaunumecunoscute.Defaptelementeledeoriginalitateconstauîn
douămetodedeconstruireafuncțieiLeapunov.CalculămlagrangianulL,hamiltonianulHși
densitateadeenergiefdeoareceacestefuncțiipotfifolositepentruconstruireafuncției
Leapunovașacumesteprecizatîn(Bălă,2007)..
NuexistăometodăgeneralădedeterminareafuncțieiLeapunov.Dacăgăsimo
funcțiecareîndeplineșteanumitecondiții,careînliteraturadespecialitatesenumeștefuncție
LeapunovșicarederegulăsenoteazăcuV,aplicămteoremeledestabilitatepentrusisteme
diferențialeautonome.CafuncțieLeapunovsepoateluauneoridensitateadeenergieși
hamiltonianul.DeasemeneacafuncțieLeapunovsepoateluaointegralăprimăsaupătratul
acesteia.Existădiversemetodedegăsireaintegralelorprime,unadinelefiindaceeaîncare
folosimlagrangianulsistemuluiașacumesteprecizatîn(Bălă,2009).
Exemplul2.1.(Bălă,2010).ModelulKaldor-Kaleckidescrievaraiațiavenitului
naționalșiastoculuidecapitalcuajutorulfuncțieideinvestițieIșiafuncțieideeconomisire
"Istoria"venituluipeperioada0, estedescrisădeargumentuldeîntârziereșifuncția~.
AdmitemipotezaluiKeynesconformcăreiafuncțiadeeconomisireSesteproporționalăcu
venitulYadică pYKZS),( .Deasemeneafuncțiadeinvestițiesepresupuneliniarăîn
diferențadintrenivelulnormalalstoculuidecapitaluqpșicapitalulKșifuncțieneliniarăde
diferențadintrevenitulcurentYșinivelulnormalalvenitului.
ModelulKaldor-Kaleckicuargumentîntârziatestedescrisdesistemuldiferențial:




) 1( )) (( )( ()() 1( ))(( )( )()(
qrpuutYftqKrdttdKqrspuutYsftrsKtspYdttdY
(2.1)
șicondițiileinițiale:
  RKKK Y0 0, )0(;0, );(~)( 
Mărimileeconomiceceaparînsistemuldiferențial(2.1)sunt:
Y(t)-venitul(național),K(t)-stoculdecapital,-argumentuldeîntârziere,s-parametrulde
ajustarecaremăsoarăreacțiasistemuluifațădediferențadintreinvestițieșieconomisire,p-
coeficientulmarginalaleconomisiriiînraportcuvenitul,u-nivelulnormalalvenitului,q-
coeficientuldedeprecierealcapitalului.Acestemarimitrebuiesăîndeplineascăcondițiile:
s,0 >0, )1,0( ),1,0(qp (2.2)

19DeasemeneaRRf: esteofuncțiederivabilăcu proprietățile:
0)0(,0)0(,0)0(  fff iarresteuncoeficientstrictpozitiv.Variabileledestareale
modeluluisuntY(t)șiK(t)șisuntpresupusefuncțiiderivabileșipozitive.
Pentrustudiulsistemului(2.1)seutilizeazăetapeledeanalizăalesistemelordeecuații
diferențialecuargumentîntârziatșianume:
1)analizapărțiiliniareasistemului;
2)analizarădăcinilorecuațieicaracteristiceșistudiulbifurcațieiHopf,
3)studiulsubspațiilorpropriigeneralizateasociatesistemuluiînpunctuldebifurcație
Hopf,
4)studiulvarietățiicentraleînpunctuldebifurcațieșiacicluluilimită;
5)studiulorbitelorsistemuluifolosindprogramerealizatecusoftulMaple9.
Sistemedeecuațiidiferențialecuargumentîntârziatanalizateconformetapelorprecizateșicu
ajutorulsoftuluiMaple9segăsescîn[3].CaracterizareabifurcațieiHopfșidecișia
stabilitățiipentrumodelulKaldor-Kaleckisefacefolosindteoriaformelornormale.Efectuând
translația uqpkKuyY  , șiluândpentruparametriiceaparvalorilep=0,3;r=1;q=0,2;
s=0,8;u=3;k=4,5în[3]pentrucincifuncțiideinvestițiidateconcretșipentruanumitevalori
aleparametrilorceaparlaformelenormalesuntprezentategraficelevenitului,capitaluluiși
investițieiînraportcutimpul.
Exemplul2.2.(Bălă,2009).FietKcapitalullamomentultșitLvolumulforțeide
muncă(numărdepersoaneangajate).Înacestcazfirmaarecifradeafaceritydatădefuncția
deproducție ),(tt tLKFy .Evoluțiacapitaluluiestefuncțiedepoliticadedezvoltarea
firmeiprincotapartedevenituridestinatăpentruinvestiții,(1-t)t,undetesteprofitul
netrealizatțnanult.Profitulpoatefialocatînîntregimedezvoltăriisaunumaiparțialși
anumepartearămasădupăacoperireadividentelorcătreacționariifirmei,
într-ocotăi.Deducemcătt estemasadividentelorșitt) 1 estevolumulrămas
pentruinvestiții.Ținândcontdedepreciereacapitaluluicucoeficientulșideveniturile
obținutedinlichidareaactiveloramortizatelacostuldereveniretseobținemodelul
matematicaldezvoltăriiuneifirme.Ecuațiadebazăaevoluțieicapitaluluieste:
ttttt KdttdK) 1( ) 1()(  (2.3)
Fietritmuldecreșterealcapitaluluiexprimatînprocente.Deoarecettty rezultă:
ttttttt K LKFdttdK) 1( ),() 1()(    (2.4)
Presupunemcăvariațiaforțeidemuncăeste:
0 2 1)( lKdttdL(2.5)
iarfirmaestecaracterizatădeofuncțiedeproducțiedeformaCobb-Douglas

20LAKyt (2.6)
Considerămsituațiaparticulară 1 ,2 .Notândcorespunzător,particularizândanumite
constanteșicuschimbareadevariabilă2 1,xLxK modeluldeevoluțieacapitaluluiunei
firmeestedescrisdesistemuldeecuațiidiferențiale(2.3).




12 121 22
11
axxdtdxbxxcxdtdx
(2.7)
)( ),(2 2 1 1 txxtxx  
Mărimileeconomiceceaparsunt:
1x-capitalulfirmeiși2x-volumulforțeidemuncă.
Rezolvândsistemul:


010
2 11 22
1
axxbxxcx(2.8)
obținemmulțimeapunctelordeechilibrupecareonotămcu.Așadarestemulțimea
soluțiilorsistemului(2.8).Studiemstabilitateasistemului(2.7)pe2R .
LuămcafuncțieLeapunov
),(2 1xxV2
2 12
1 22
1 )1 (21) (21 axxbxxcx (2.9)
VerificămcondițiilecetrebuieîndeplinitedefuncțiaVpentrucasistemulsăfiestabil.
V≥0
(gradV,F)
aaxxbxcxbxxcx2
2 1 212
1 22
1 )1 () 2() (   (2.10)
Dacă 0 ,0) 2(21 abxcx sistemulestestabil.Decisistemulestestabildacăprodusuldintre
capitalulfirmeișivolumulforțeidemuncăestemaimicsauegalcucb
2.
Exemplul2.3.(Bălă,2010).ModeluldedinamicăurbanădetipLorenzestedescris
desistemuldeecuațiidiferențiale(2.11).



  
32 2113314 23 121213 2211
) () (
xdxxddtdxxxcxcxccdtdxxaxaadtdx
(2.11)

21Mărimileeconomiceceaparsunt:1x-producțiasistemuluiurban,2x-numărulde
rezidenți,3x-pământulînchiriatșiiiidca ,, suntparametripozitivi.
) () (
2121 3131 231 2312 31 312 3
aaccccaadccdaadaacc


023131 dccaa (2.12)
Pentrucasistemulsăfiestabiltrebuiecapartearealăarădăcinilorecuațieicaracteristicesăfie
negativă.
Exemplul2.4.(Bălă,2009).ModelulsimpludetipRamseyestedescrisdeecuația
diferentială(2.13).
UUpdtdq
dtdq
dtdz
dtzd
 ) (22
(2.13)
Mărimileeconomiceceaparsunt:U-utilitateaconsumului,c-consumul,z-raportulcapital-
muncă,dtdz-rataacumulăriidecapital,p-ratafixatăadiscontului,p≥0.Folosimurmătoarele
notații:
dtdzzqc )( (2.14)
UdtdUU  ,>0 (2.15)
U
dtUdU  ,22
<0 (2.16)
Pentrustudiuînlocuimecuațiadiferențială(2.13)cusistemuldeecuațiidiferențiale
(2.17).




UUpdtdq
dtdqxdtdxxdtdx
) (1221
(2.17)
Sistemuluineliniar(2.17)îiasociemsistemulliniar(2.18).Pentruaceastadeterminămo
integralăprimă.Pentrusistemulneliniar(2.17)găsimfuncțiaLeapunovVdatăderelația
(2.19).

22



dtdqxdtdxxdtdx
1221
(2.18)
tconsxx
dtdq xx
dtdq
dtdtan2 20]2 2[2
22
12
22
1 și
esteointegralăprimă.
LuămcafuncțieLeapunov
2 2),(2
22
1
2 1xx
dtdqxxV  (2.19)
VerificămcondițiilecetrebuieîndeplinitedefuncțiaVpentrucasistemulsăfiestabil.Dacă
dtdq<0atunciV≥0.
 ]) ( [ ), (1
22
1 UUpdtdq
dtdqxxVxxVfgradVUUpdtdqx) (2 (2.20)
DacăesteîndeplinităcondițiaUUpdtdqx) (2 ≤0sistemulestestabil.
dtdq<0,U>0,U<0,p≥0,deci2x≤0.
Pentrucasistemulsăfiestabiltrebuiecarataacumulăriidecapitalsăfieofuncțiedetimp
crescătoare.
ÎncontinuarefolosinddiagramestatisticeanalizămcursulvalutarBNRexprimatînlei
pentruprincipalelevalute.Amfolositnotațiile:
EUR-euro
USD-dolarSUA
CHF-franculelvețian
GBP-lirasterlină
Dacăavemreprezentareagraficăauneifuncțiiputemsăspunemtotuldespreacea
funcție.Spunemcăofuncțieestestabilădacăgraficulsăuesteasemănătorcualfuncțieisin,
careoscileazăînte-1și+1.
Spunemcăofuncțieseteasimptoticstabilădacăreprezentareasagraficăconțineo
asimptotăoblicăsauorizontală.

23
Fig.2.1Evoluțiacursuluieuro-leuînsemestrulIalanului2020
Dinfigura2.1rezultăcăevoluțiacursuluieuro-leuinsemestrulIalanului2020nu
estestabilă.

24
Fig.2.2Evoluțiacursuluidolar-leuînsemestrulIalanului2020
Dinfigura2.2rezultăcăevoluțiacursuluidolar-leuinsemestrulIalanului2020este
stabilă.

25
Fig.2.3Evoluțiacursuluifrancelvețian-leuînsemestrulIalanului2020
Dinfigura2.3rezultăcăevoluțiacursuluifrancelvețian-leuinsemestrulIalanului
2020nuestestabilă.

26
Fig.2.4Evoluțiacursuluilirăsterlină-leuînsemestrulIalanului2020
Dinfigura2.4rezultăcăevoluțiacursuluilirăsterlină-leuinsemestrulIalanului2020
nuestestabilă.

272.3.Balanțadeplățișibalanțacomercială
Analizafluxuriloreconomiceexternealeuneițăriserealizeazăcuajutorulbalanțeide
plățiexterne.Eareprezintăundocumentstatistico-economiccareînregistreazăansamblul
fluxurilordeactivereale,financiareșimonetare,întrerezidențișinerezidențipeoanumită
perioadădetimp.
Balanțadeplățicuprindemaimultecategoriideoperațiunigeneratoaredeîncasăriși
plăți:
1-Cumpărareașivânzareademărfuri,importulșiexportul(balanțacomercială);
2-Schimbuldeservicii(balanțainvizibilelor);
3-Venituridininvestițiișitransferuri.
Totalitateaacestorcomponentereprezintăbalanțaconturilor(plăților)curente.
Balanțacomercialăreflectăvolumultranzacțiilorimport-export.Diferențadintre
importurișiexporturireprezintăsoldulcomercial.Balanțacomercialăesteechilibratăatunci
cândvaloareaexportuluiesteegalăcuceaaimportului.Dacăexportuldevanseazăimportul,
balanțacomercialăesteexcedentară(soldulcomercialestepozitiv).Însituațiainversă,se
înregistreazădeficitulcomercial(soldulcomercialenegativ).
Înbalanțaserviciilorseincludserviciilelegatedecomerțulexterior(transporturi,
asigurări),turismulinternațional,serviciilelegatedeschimburiledetehnologie,veniturile
transferatedelucrătoriidinstrăinătate,venituriledincapitalsubformădedobânziși
dividende.
Balanțaplățilorcurentecuprindeoperațiunilelegatedirectsauindirectdeschimbul
internaționaldebunurișservicii.Echilibrulacesteibalanțeevidențiazăfaptulcățara
respectivăîșipoateplătiimporturiledebunurișiserviciicuresurselevalutareprocuratedin
export.Undeficitaltranzacțiilorcurenteimplicădecidatorieexternă,apărutădinnecesitatea
caoparteaimporturilorsăfieacoperităprinîmprumuturiîndevize.Dimpotrivă,excedentul
balanțeideplățicurentepoateficonservatîndevize,plasatînexteriorsaupoatefiutilizat
pentrurambursareadatorieiexterneașacumesteprecizatîn(Bălă,2010).
Pelângăbalanțaplățilorcurente,balanțadeplățicuprindeșibalanțamișcărilorde
capital(contuldecapital)carereflectăfluxuriledecapitalsubformădeinvestițiidirecte,
cumpăraredetitluridevaloare,creditareinternaționalășialtele.
Celedouăconturidebazăalebalanțeideplăți(contulcurentșicontuldecapital)sunt
corelatecuprincipaleletipurideconvertibilitatevalutară.Astfel,convertibilitateadecont
curentvizeazănumaioperațiunilespecificebalanțeiplățilorcurente.Oformăsuperioarăo
constituieconvertibilitateaprivindcontuldecapital,careacoperă,practic,toateoperațiunile
implicatedeplățileinternaționale.
Soldulbalanțeiplățilorcurenteareosemnificațiedeosebităpentrueconomiauneițări.
Dacăacestsoldestenegativ,economiaconsumășiinvesteștemaimultdecâtproduce.Pentru
aacopericonsumulșiinvestițiilesuplimentare,estenecesarapelullacrediteexterne.Oțară
careînregistreazăunexcedentalplățilorcurenteconsumășiinvesteștemaipuțindecât
produce,ceeacererefaceposibilăeconomisireanațională,carepoatefiutilizatăsubdiferite
forme.
Balanțadeplățiînansamblulsăuestepermanentechilibrată.Regulageneralăîn
construireabalanțeideplățiesteaceeacăvaloareauneioperațiuniînscrisăcusemnulplus
semnificăodiminuaredeactive,indiferentdacăacesteasuntreale,financiaresaumonetare.
Înmodcorespunzător,ovaloareînscrisăcusemnulminussemnificăocreșteredeactiv.
Astfel,exportulcorespundecuodiminuaredeactivereale,fiindcontabilizatcusemnulplus.
Importurilesuntcontabilizatecusemnulminus.
Soldulbalanțeideplăți,alăturidenivelulrezervelorvalutareoficiale,inlluențează
evoluțiacursuluideschimbvalutar.Astfel,exportatoriisolicităbăncilormonedanaționalăîn

28schimbuldevizelorachiziționateîncontrapartidamărfurilorexportate.Deasemenea,
beneficiariidecrediteexternesolicitătransformareadevizelorînmonedănațională.Prin
urmare,operațiunileînscrisecusemnulplusînbalanțadeplățiacționeazăfavorabilasupra
monedeinaționale.Invers,importuriledemărfuriconstituieofertădemonedănaționalăși
cererededevizeșipoateacționaînsensuldeprecieriimonedeinaționale.
Așadarexistăorelațiedirectăîntresoldul(pozitivsaunegativ)albalanțeideplățial
uneițărișicursuldeschimbalmonedeisale.Încazdedeficit,țararespectivăimportămai
multebunurișiserviciidecâtexportăși/sauprimeștemaimultecreditedecâtacordă.Aceste
situațiiaucarezultatscădereacursuluideschimb.Unefectopus,creștereacursuluideschimb,
arelocatuncicândseînregistreazăunexcedentalbalanțeideplăți.
Evoluțiaeconomică,atâtlanivelmicroeconomiccâtșilanivelmacroeconomiceste
fluctuantă,adicăînuneleperioadeeaînregistreazăcreșteri,iaraltelestagnărisauchiar
reduceri.Dinaceastăcauzăsepoatetrageconcluziacăactivitateaeconomicăpedomeniide
activitateșiînîntreagaeconomie,nuareoevoluțieuniformă,fiindfluctuantă.Înviațareală
existămaimultetipuridefluctuații:sezoniere,accidentale(întimplatoare)șicicliceașacum
esteprecizatîn(Bălă,2010).
a.Fluctuațiilesezoniere-suntacelefluctuțtiialeactivitățiieconomicedatorate
influențeiunorfactorinaturali(climaterici)sausociali(obiceiuri,tradiții,sărbătorireligioase
saulaice)șicaresederuleazăderegulăpeparcursulunuiancalendaristic.Principaleleramuri
aleeconomieisupusefluctuațiiloreconomicesezonieresunt:agricultura,construcțiiași
turismul.
b.Fluctuațiileîntâmplătoare-sauaccidentalesuntdeterminatedefactoriialeatorisau
evenimenteneaștaptate,neobișnuite,cumarfi:
-conjuncturieconomicenefavorabile;
-evenimentesocialeșipoliticecareafecteazăactivitateafirmei;
-fenomenenaturaleneprevăzute(cutremure,inundațiietc.);
-acțiunișipreferințeneașteptatealeunoragențieconomici;
-oanumităstaredespiritapopulațieietc.
c.Fluctuațiiciclice-suntdeterminatedefactoriinterni,defactoriceținde
funcționareaactivitățiieconomice,deinterdependențeledintrepărțilesalecomponente.
Fluctuațiileciclicesuntfluctuațiiagregate,reproducându-secuoanumităregularitate,deșinu
sereproduclaaceleașidimensiuni.
Ciclicitatea-esteformademișcare,deexistențăaeconomieiîncarefazelede
creșterealterneazăcucelederegresareșidepresiune.
Cicluleconomic-reprezintăperioadadetimp,delaînceputuluneicrizeeconomice
pânalaînceputulalteicrizeeconomice.Esteperioadadetimpcareseparădouăcrize
economice.Adicăreprezintăofluctuațieaniveluluiactivitățiieconomiceagregate,măsurat
deregulaprinPNBcăreiaîicorespundeunmodeldesuccesiuneaetapelordeexpansiune
(lărgire,creștere)șiderecensiune(restrângere)aactivitățiieconomice.
Literaturaeconomicadelimiteazăcicluleconomicînpatrufaze:
1.Fazadecrizăeconomică-încarearelocstagnareasauunregres,respectivo
contracțieputernicăaactivitățiieconomice.
2.Fazadedepresiune-secaracterizeazăprinstagnareaproducțieisauocreștere
neînsemnatăaacesteia,continuândsăsemanifestefenomenenegative,cumarfi:creșterea
șomajului,salariimici,eficiențascăzutăetc.
Înaceastăfazăsepetreccâtevalucruribunepentrueconomie,însensulcă,pefondul
scăderiidobânziibancareșialprețurilorînscădere,arelocoînnoireacapitaluluifix,
cerându-seastfelpremizeleurmatoareifaze,respectivînviorareaeconomică.
3.Fazadeinviorare(crestereeconomicasauboomeconomic)-întreprinzătorii
investescmasivpenrua-șirevigoraproducția,caurmareareduceriiprețurilorlaprincipalii

29factorideproducție,creștecerereademateriiprime,materiale,capitalfixșicerereadebunuri
șiservicii,cuefectepozitiveasupradezvoltăriieconomice.
4.Fazadeavântsauexpansiuneeconomică-estefazadecreștereeconomicămaximă,
caracterizatăprintr-ocreșteregeneralizatăavânzărilorșiprețurilor,abundențadecrediteși
creștereaveniturilor,fazăîncarearelocoputernicadezvoltareeconomico-socialăațării.
Dupăfazadeexpansiune,ciclulserepetă,urmânddinnoufazadecrizăeconomică.
Nuexistă2ciclurisaudouăfazeasemănătoare,acesteareluându-selanoidimensiuni,
diferențiindu-sedatorităconjuncturiiîncareseproduc,timpuluișimediuluisocial,politicîn
caresedesfășoară.
Suntcunoscuteurmatoareletipurideciclurimacroeconomice:
a.Ciclurigenerale:
1.Decinale(Juglar)-pânăla10ani
2.CicluridetipKondratiev~50deani
3.Ciclurimici,conjunctuale(Kitchin)-3-4ani(seintercaleazăîncicluridecinale)
b.Ciclurispecifice:
1.Ciclulconstrucțiilor
2.Ciclulagricol(animalsauvegetal)
Cicluldecinal(Juglar)estenumitșiciclulmediu(ciclulafacerilor).Încadrulacestui
cicluseremarcămaiîntâifazadeexpansiuneîncareafacerilesuntprospere.Cerereade
bunurideconsumestedinamică,cuperspectivadeconsolidare.Pefondalulanticipărilorca
sporireacereriideconsumseprelungește,arelocunprocesinvestiționalsusținutpentru
modernizareacapacitățilordeproducțieexistenteșicreareaaltornoi.Cerereaagregatăîn
creștereestestimulatăartificialșiprincreșterealentă,dardeduratăaprețurilor:maiîntâia
celorcuridicata,iarapoișiacelorcuamănuntul.Aparemomentuldecrizăcareducela
recensiune.Semanifestămaialesîndomeniuindustrial.Juglaraconstatatcă,înacest
domeniuciclurileautreifazedenumitedeelavânt,criză,faliment.Asubliniatrolulcreditului
înformareacrizei;
Ciclullung(Kondratievsausecular)cuoduratăde50-60deani.Printrecauzelecare
genereazăformareaacestorciclurielainvocatacțiuneaunorfactoriexogeni,precum:durata
unuimodtehnicdeproducție,maridescopeririștiințifice,descoperireaunornoisursede
energie,războaiele,revoluțiileetc.;dupăaceastaelintrăînconflictcuposibilitățileoferitede
naturășialteresurseeconomicepebazacăroraafostedificat,aparsemnedeepuizarea
capacitățilorsaledeafirmarearaționalitățiieconomiceaeficiențeieconomice,începe
perioadadetranzițiespreonouatehnologiedeproducțieaptsăridiceeficiențaeconomică.
Corespunzatoracesteilogici,înevoluțiaoricareieconomiimature,sedistingdouamarifaze
deevoluție:unaascendentășialtadescendentă,fiecarecuoduratăde20-30ani.Faza
ascendentăsecaracterizeazăprinpreponderențaanilordeprosperitateeconomicășiritmuri
relativînaltedecreștereavenituluinațional,investițiilor,desfacerilor,inclusivridicarea
niveluluidetrai.Înfazadescendentăarelocincetinirearitmurilordecreștereaproducției,
investițiilor,iargraduldeocupareseinrăutățeșteetc.Aniiderecensiuneeconomicăsuntmai
numeroși,iarpersistențaunorfenomenenegativeîneconomie(inflatie,somajetc.)se
accentuiază.
Înprezentcapătătotmailargărecunuoșteretezadupăcarecauzaprincipalăaciclului
secularoformeazăevoluțiaciclicăacercetăriiștiințificeșiinovăriitehnologice,înlegatură
organicăcuciclulschimbărilorstructuraledineconomie.

302.4.Echilibruleconomicșiposibilitățideprezentarealeacestuia
Echilibruldefineștesituațiaîncarediferiteforțeeconomicesecompenseazășise
neutralizează.Acesteforțecaretindspredirecțiiopusesuntperfectbalansateșinuexistănici
otendințădeasemodifica.Realizareaechilibruluieconomicpresupuneinteracțiuneacererii
șioferteiagregate.Punctuldeintersecțiealcelordouăcurbedeterminăsimultannivelul
generalalprețurilorșiPNB.Laacestniveldeechilibru,cerereașiofertatotalăsuntegale.
Teoriileeconomiceformuleazămecanismespecificedeajustareșifuncționareaeconomiei,
precumșimăsuridepoliticăeconomicăadecvate.Stareadeechilibruasistemuluieconomic
caracterizeazăsituațiaîncarecantitățiledemărfurișiserviciipecarecumpărătoriidorescsă
lecumperesuntegalecuceleoferitedeproducători.Mecanismulderealizareaechilibrului
economicarelabzănivelulprețurilor,acesteamodificându-seodatăcuvariațiilecereriiși
oferteiașacumesteprecizatîn(Bălă,2010).
Echilibruleconomicconstituieostaredereferințăaeconomieiasupracăreia
acționeazăforțeopuse:economisireașiinvestițiile,cerereașiofertadeforțădemuncă,
importulșiexportulș.a.Prinurmare,asigurareapremiselorpentruatingereaechilibrului
economicnecesitărespectareaunorcorelațiișiproporțiimaterialeșivalorice,precumșia
condițiilornecesarerealizăriidiverselorsaleforme:echilibrulbugetar,echilibrulbalanței
comercialeșideplăți,echilibrulvalutarș.a.Echilibruleconomicpoatefiprivitcastatic,într-
unanumitmomentdetimpșidinamic,de-alunguluneiperioade.Echilibruldinamicsepoate
analizapetermenscurtsaupetermenlung,situațieîncaresepotmanifestașidezechilibre
temporare.Înfuncțiedeniveluldeagregareacaresereferă,,echilibruleconomicpoatefi:
microeconomic,realizatlanivelulagențiloreconomici;mezoeconomic,caracteristic
ramurilorșisectoareloreconomice,macroeconomic,alecăruicerințevizeazăansamblul
economieinaționale.
Echilibruleconomicsepoaterealizaînfuncțiedediferiteniveluridegeneralitate.
Atuncicândsereferălaunconsumatorsauproducătorindividual,sedeterminăunechilibru
individual.Spredeosebiredeacesta,echilibrulparțialserealizeazălaniveluluneisingure
piețe.Înfine,echilibrulgeneralcaracterizeazăansamblulpiețelor.Despecificatfaptulcă,în
cadrulsistemuluieconomic,întrediferitecategoriidepiețeexistăostrânsăinterdependență.
Seareînvederecorelațiadintreproducțieșiconsum,precumșifaptulcăserealizează
cheltuielidinparteaconsumatorilorpentrutoatebunurile,iarcerereapentrufiecarebun
depindedeansamblulprețurilor.Satisfacereacerințelorechilibruluimacroeconomictrebuiesă
aibăînvedereșicriteriideordinstructural,înprimulrândnecesitatearealizăriiechilibruluila
nivelulramurilor.Astfel,înafaraechilibruluiexanteîntreofertașicerereaglobală,seimpune
realizareaechilibruluilanivelulfiecăreiramurișifiecăruiprodus.Caurmareainfluențeiunor
numeroșifactorisistemuleconomicseaflămaimultînafaraechilibrului,starecaredefinește
dezechilibruleconomic.Realizareaoperațiuniloreconomicepresupunefuncționarea
corespunzătoareaeconomieinaționaleșiîntr-unmodechilibrat.Însă,echilibruldintre
cerereașiofertaglobală,dintreposibilitățileșinevoiledefinanțareș.a.nusuntdecâtechilibre
contabilecarenutrebuieconfundatecuechilibreleeconomice.Echilibrelecontabile
caracterizeazămărimilerealizate(expost),decirezultateleoperațiunilorefectivrealizateîn
cursuluneiperioade.Dinacestpunctdevedereoperațiunilesuntîntotdeaunaechilibrate,
deoareceînregistrarealorarelocînurmarealizăriilorefectiveîneconomie;operațiunile
realizatesuntprindefinițiecompatibileîntreele.Echilibruleconomicdesemnează
compatibilitateaproiectelor(deciziilor)agențiloreconomiciînaintecaoperațiunilesăfie
realizate.Dacărezultatulfuncționăriicorecteaeconomieipermiterealizareaplanurilorde
producție,consum,investițiiș.a.,atuncieconomiaesteînechilibru.Întimpcerereechilibrul
contabilesteonecesitate,realizareaechilibruluieconomicnuesteniciodatăgarantatăapriori.

31Cutoateacestea,echilibrulcontabilșidezechilibruleconomicsuntcompatibile.Astfel,chiar
dacăexistăundezechilibruexanteîntrecerereașiofertaglobală,echilibrulcontabil(expost)
vafiîntotdeaunarealizat.
Îngândireaeconomicăaclasicilorseacordădeopotrivăimportanțăfactorilorde
producțieșicelordeconsum.Dincategoriateoriilorclasicesedesprindeteoriaechilibrului
producției.Ebazacantitățilorprodusedindiversemărfuri,atehnicilorutilizateșiratei
salariuluirealsepoatedeterminaniveluldeutilizare,consumultotaalsalariațilorșimărimea
surplusului.
Ideeacentralăaabordăriineoclasiceșiliberaleoconstituieperfectaflexibilitatea
prețurilor.Încondițiileuneipiețeafactorilordeproducțieperfectconcurențiale,esteutilizată
întreagacapacitatedemuncășicapitaluldisponibil,nuexistăcapacitățideproducție
neutilizate,iarPNBefectivesteegalcucelpotențial.Întreagaproducțieestetransformatăîn
venitcare,larândulsău,esteutilizatpentruconsumșieconomisire.Eventualeledezechilibre
exanteîntrestructuracereriișioferteisunteliminateprinfluctuațiileprețurilorrelativeale
diferitelorbunurișiservicii.Singureleintervențiiacceptatesuntcelecaregarantează
funcționareaconcurențialăapiețelor.ModelulechilibruluieconomicelaboratdeJ.M.Keynes
sedistingedinpunctdevederealmoduluispecificderealizareaprocesuluideajustare
economică,precumșialsoluțiilorpropusepentruasigurareauneidezvoltăriechilibrate.
Pentruteoriakeynesistă,analizaareuncaractermacroeconomic,esteefectuatăîntermenide
fluxiarcadrulpreferatalacesteiaîlreprezintăeconomianațională.Înaceastăconcepție,
prețurilenusuntperfectflexibile,petermenscurtacesteacaracterizându-seprinrigiditate.
Prinurmare,sistemuldeprețurinupoateasigurarestabilirearapidăaechilibruluipetoate
piețele,așacumpărătorpretindeteoriaechilibruluigeneral.Înacestecondiții,ajustărileîn
economienusepotefectuaprinpreț(salarii,prețulbunurilor,ratadobânzii),ciprin
intermediulcantităților(producție,ocupare,șomaj).Așadar,pentruJ.M.Keynes,libera
negociereaprețurilornugaranteazăechilibrulautomatpetoatepiețele.Dimpotrivă,pe
termenscurt,prețurileșisalariilesuntcelmaiadesearigideșiseadapteazămaipuținrapid
decâtcantitățileschimbate.Petermenscurtșimediu,producătoriipreferăsăadapteze
cantitățiledebunurișidemuncădecâtsămodificeprețurileșisalariile.Înacestecondiții,
agențiieconomicisepotconfruntacusituațiidedezechilibrupeperioadedetimpmaimari.
Legeacereriișioferteinupoatefuncționaperfectdecâtdacăpepiețeserealizeazăunanumit
numărdecondiții.Joculliberalpiețeinudeterminărevenireaautomatălaechilibru,darpoate
ducelaosituațiedesubocuparedurabilă.
Înscopulsusțineriiactivitățiieconomiceșialasigurăriiocupăriidepline,Keynes
propuneintervențiastatuluiînscopulsusțineriicereriidebunurideechipamentșibunuride
producție.ProblemaesențialăpentruKeynesoconstituiedeterminareacereriiefectivecare
condiționeazăvolumulproducțieișigraduldeocupare.Înconcepțiasa,investițiaconstituie
actuleconomicfundamentalcaredeterminăocreștereavenituluiglobal.Elatribuieunrol
secundarrateidobânziiînrepartizareavenituluipentruconsumșiinvestițieșipuneaccentul
pelegăturadintrevariabilelevenituluigospodăriilorșicelealeconsumuluilor.Consumul,
economisirea,investițiileșivenitulreprezintăvariabilelemajorealeanalizeimacroeconomice
careilustreazămoduldedeterminareaniveluluiglobalalechilibrului.
Dinpunctdevedereteoretic,echilibrullanivelmacroeconomicreflectăaceastarea
economieiîncare,toatepiețelesuntsimultanînechilibru,fărăexistențaexcesuluidecerere
saudeofertăașacumesteprecizatîn(Bălă,2010).
.

32CONCLUZII
Lucrareaestestructuratăpedouăcapitoleșiprezintămetodematematiceutilizateîn
studiulfenomeneloreconomice.Înlucraresuntpreluatedinliteraturadespecialitate
pricipalelemetodedestudiualunorfenomeneeconomice.Însubcapitolul2.2.sestudiază
fenomeneleeconomicecuajutorulsistemelordeecuațiidiferențiale.Modelelealesesunt
preluatedinliteraturadespecialitate,pentruaaveasiguranțacădescriucorespunzător
fenomeneleeconomice.Înliteraturadespecialitatesuntstudiateuneleaspectealeacestor
modele,înaceastălucrarestudiindu-sestabilitateacuajutorulmetodeifuncțieiLeapunov.
Teoriastabilitățiiesteparteateorieicalitativeaecuațiilordiferențiale.Defapt,în
realitatefenomeneleeconomicesuntcomplicate.Deseorielenusepotrezolva,adicănuse
poateobținesoluțiaexactășiatunciseîncearcăaltemetode.Teoriastabilitățiinedăcâteva
proprietățialesoluțieiexactefărăarezolvaecuațiadiferențialăsausistemuldeecuații
diferențiale.
Existămaimultetipuridestabilitateșianume:stabilitateLeapunov,stabilitate
Lagrange,stabilitatePopov,stabilitatePoisson,stabilitatestructurală.Înaceastălucrare
studiemstabilitateaLeapunovsauașacumestecunoscutăînliteraturadespecialitate
stabilitateaînperturbații.Defaptdacăuniidintreparametriisistemuluivariazăpuținne
intereseazădacăsoluțiafinalărămâneapropiatădeceaîncareparametriisuntceiinițiali.
DefaptstudiemstabilitateaLeapunovfolosindmetodafuncțieiLeapunov.Existădouă
seturideteoremecareseaplicăînaceastălucrareșianume:treiteoremedestudiupentru
sistemeautonomeșitreiteoremepentrusistemeneautonome.
Dacăavemofuncțiecareîndeplineștecondițiiledinteoremeputemsăspunemdacă
sistemulestestabil,asimptoticstabilsaudacăesteinstabil.Nuexistăometodăgeneralădea
găsifuncțiiLeapunov.Aiciestedificultateaproblemei.Înaceastălucrareluămcafuncție
Leapunovointegralăprimăsaupătratulacesteia.Așadarînsubcapitolul2.2.prezentămdoar
câtevadinnoțiunileteoreticenecesarepentruasudiastabilitateaLeapunovacelorpatru
sistemedinamicecuaplicațiiîneconomie.
Înfinalgăsimcaresuntcondițiilecetrebuiescîndeplinitepentrufiecaresistem
analizat.Deprecizatestefaptulcătoatemărimileceaparînsistemuldeecuațiidiferențiale
suntmărimieconomice.
Lucrareaestedeactualitateînsensulcăeconomiamondialăesteîncrizăsauaieșitde
puțintimpdincrizăiarproblemeledeechilibru,dezechilibrușistabilitatesuntacumstudiate
șiteoreticșipractic

33BIBLIOGRAFIE
1.Bălă,D. –Matematiciaplicateîneconomie,Editura
Universitaria,Craiova,2007.
2.Bălă,D. –Bazelestatisticii,Teorieșiaplicații,Editura
Universitaria,Craiova,2008.
3.Bălă,D. –Elementedematematicășistatistică,Teorieși
aplicațiiîneconomie,EdituraUniversitaria,Craiova,
2009.
4.Bălă,D. –Matematiciaplicateîneconomie,Manualuniversitar
pentruînvățământulladistanță,EdituraUniversitaria,
Craiova,2009.
5.Bălă,D. –Bazelestatisticii,Manualuniversitarpentru
învățământulladistanță,EdituraUniversitaria,
Craiova,2009.
6.Bălă,D. –Metodecantitativeînstudiulpieței,EdituraSTEF,
Dr.Tr.Severin,2010.
7.Bălă,D. –Informaticăeconomică,Laborator,EdituraSTEF,
Dr.Tr.Severin,2010.
8.Bălă,D. –Matematiciaplicateîneconomie,Manualuniversitar
pentruînvățământulladistanță,EdituraUniversitaria,
Craiova,2009.
9.Bălă,D. –Bazelestatisticii,Manualuniversitarpentru
învățământulladistanță,EdituraUniversitaria,
Craiova,2009.
10.Bălă,D. –Metodecantitative,EdituraUniversitaria,Craiova,
2015.
11.Bălă,D.,MaziluM., –Metodecantitative.Aplicații,EdituraSitech,Craiova,
MarinescuR.,FloreaA. 2015.
12.Ciucur,D. –Economie,Manualuniversitar,EdituraEconomică,
București,1999.
13.MirceaG.,NeamțuM.,-Sistemedinamicedineconomie,mecanică,biologieOprișD.
OprișD descriseprinecuațiidiferențialecuargumentîntârziat,
EdituraMirton,Timișoara,2003.

3414.MirceaG.,NeamțuM.,-BifurcațiaHopf.Pentrusistemedinamicecuargument,
OprișD. Întârziat,EdituraMirton,Timișoara,2004.
15.RichardG.Lipsey, -Economiepozitivă,EdituraEconomică,București,
K.AlecChrystal 1999.
16.Simion,D. –Eficiențainvestițiilor,EdituraUniversitaria,Craiova,
2002.
17.Simion,D. –Analizăeconomico-financiară,EdituraUniversitaria,
Craiova,2006.
18.Simion,D. –Investiții,EdituraSitech,Craiova,2011.
19.SterpuM.,RocșoreanuC. -Modelareașisimulareaproceseloreconomice,Editura
Universitaria,Craiova,2007.
20.Stanciu,M. –Microeconomie,EdituraSitech,Craiova,2009.
21.StanciuM. -Studiimicroșimacroeconomice,Editura
Universitaria,Craiova,2003.
22.Vasilescu,N. –Statistică,Volumul3,StatisticaFirmei,Editura
Reprograf,Craiova,2000.