Pages From 4 Reformulat [613544]

11
II. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL .
OPERAȚII CU VECTORI
Mărimile fizice pot fi :
 mărimi scalare (scalari ), complet determinate prin valoarea lor
numerică, urmată de unitatea de măsură.
Exemple : distanta între două punc te, intervalul de timp,
temperatura, energia, etc.
 mărimi vectoriale (vectori ), sunt complet determinate prin
valoarea lor numerică , prin direcția și sensul lor. Spre deosebire
de scalari, vectorii sunt mărimi orientate (dirijate).
Un vector reprezentat printr -un segment de dreaptă orientat se
numește vector liber .
Exemple : deplasarea și viteza unui corp în mișcare de trans lație.
Atunci când se impune și precizarea punctului de aplicație , vectorul
va purta denumirea de vector aplicat sau legat.
Exemplu : forța care acționează asupra unui punct material.
Dacă se consideră necesar ă și precizarea suportului, atunci vectorul
va purta denumirea de vector alunecător sau glisant .
Exemplu : forța care acționează asupra unui rigid.


Vectorii liberi se notează fie printr-o literă având deasupra ei o bară ,
fie prin două litere având fiecare dintre ele câte o bară deasupra. În cel de
al doilea caz, prima literă va arăta originea vectorului, iar a doua literă
extremitatea sa.
Exemplu :
a,
F ,
BA .
În concluzie, vectorul este de fapt un segment orientat caracterizat
prin patru elemente (fig. 2.1) :

12

 origine sau punct de aplicație A;
 direcție sau dreaptă suport ,;
 sens;
 modul v (mărime, intensitate, urmă) .

Versorul este vectorul de modul unitar și este dat de relația 2.1:
vv
vvu
(2.1)
Componentele pe axele
Ox ,
Oy și
Oz ale versorului sunt definite
conform relației 2.2 astfel:
upriOx
;
uprjOy ;
uprkOz . (2.2)
Un vector oarecare poate fi scris în funcție de compone ntele pe axe
ale versorului său , astfel:
kvjvivvz y x
(2.3)
unde:
vprvOx x
;
vprvOy y ;
vprvOz z (2.4)
1. Adunarea a doi vectori
Se presupune există doi vectori ,
a și
b, care au același punct de
origine O. Suma (rezultanta ) celor doi vectori este vectorul
c , care va fi
definit ca valoare numerică, direcție și sens de diagonala OC a
paralelogramului format din cei doi vectori
a și
b ca laturi (fig.2.2.a).

13

bac (2.5)
Se constată că modulul vectorului
c este:
cos22 2ab ba c 
(2.6)

Expresia analitică. Dacă considerăm că vectorii
a și
b definesc planul
Oxy, atunci și vectorul rezultant
c va fi situat în același plan . Dacă se face
proiecția celor trei vectori în sistemul de axe menționat , se constatpăââă că
(fig.2.2.b):
jciccjbibbjaiaay x y x y x  ; ;
(2.7)
Conform relației ( 2.5) putem scrie:
) () ( jbibjaiajcicy x y x y x 
(2.8)
Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant
c :
y y y x x x bacbac  ;
(2.9)
Vectorul rezultant va fi:
2 2 2 2) () (y y x x y x ba ba cc c 
(2.10)
Direcția este dată de unghiul  format între suportul vectorului rezultant
și axa Ox:
x xy y
xy
baba
cctg
(2.11)
Dacă se extinde Regula paralelogramului pentru compunerea unui
număr oarecare de vectori concurenți
1V ,
2V ,….
nV , va rezulta o

14
construcție grafică denumită regula poligonului vectorilor , cu laturi
reprezentând vectorii din sistem.
O latură Vi a poligonului se obține prin construirea unui vector
echipolent cu vectorul
iV având ca origine, extremitatea vectorului
1iV și
ca extremitate, originea vectorului
1iV .
Rezultanta sistemului de vectori este suma vectorială a vectorilor
iV ,

n
ii n V V VVV
12 1 …
(2.12)
Construcția grafică va fi segmentul de dreaptă care unește originea
vector ului
1V, cu extremitatea vector ului
nV (fig. 2.2a).
În cazul particular de compunere a doi vectori concurenți, regula
poligonului, are denumirea de Regula triunghiului (fig.2.2b).

Expresia analitică . Datorită faptului că supor turile vectorilor sunt
orienta te în spațiu, componentele pe axe ale vectorilor vor fi exprimate
într-un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz. (fig.2.2c). Notând proiecțiile
pe axe ale vectorului
iV cu Vix, Viy, Viz și ale vectorului rezultant
V , cu Vx, Vy,
Vz, conform relației ( 2.12) se va putea scrie :

n
iiz iy ix z y x kVjViV kVjViV
1) (
(2.13)

Analog, se procedează și cu valorile componentelor pe axe ale
vectorului rezultant:

15


n
iix x V V
1,

n
iiy y V V
1 ,

n
iiz z V V
1 (2.14)
Rezultă mărimea vectorului rezultant , care este:
2 2 2
z y x VVV V 
(2.15)
Direcția este exprim ată prin cosinusurile directoare:
VVxcos
,
VVycos ,
VVzcos . (2.16)

2. Produsul scalar a doi vectori
Se presupune că avem doi vectori
a și
b. Produsul acestora este ,
conform definiției , un scalar obținut din multiplicarea modulelor celor doi
vectori cu cosinusul unghiului dintre ei :
cosbaba
(2.17)
Dacă vectorul
a este definit prin componentele
kajaiaaz y x
și vectorul
b este definit prin componentele
kbjbibbz y x , produsul
scalar dintre cei doi vectori va fi dat (2.17):
zz yy xx babababa 
(2.18)
Se observă că:
1 kkjjii
;
0 ikkjji
Din definiție rezultă următoarele o proprietăți ale produsului scalar :
 este comutativ ;
ba ab abab    cos ) cos(
(2.19)
 pentru doi vectori
a și
b diferiți de zero condiția de
orgonalitate este:
0ba
(2.20)
 cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecția unui vector
a
pe o axa . Fiind dată o ax ă () orientată de versorul
u și
un vector
a , proiecția acestui vector și versorul axei (fig. 2.4):

16

ua aapr cos
(2.21)
 este distributiv față de adunare
 cbcacba 
(2.22)

3. Produsul vectorial a doi vectori liberi
Se presupune că avem doi vectori
a și
b. Produsul vectorial este,
conform definiției, un vector
c normal pe planul definit de cei doi vectori ,
presupuși aplicați în același punct O, având ca valoare numerică aria
paralelogramului construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel
încât vectorii
a ,
b,
c să formeze în această ordine un triedru drept (fig.
2.5).

bac
;
sin bac (2.23)
Produsul vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat de
cei doi vectori (fig.2.6).

17

11sin22
2 sintr
par trA a h a b
A A a b
ab
     
     
 (2.24)
unde:
Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;
Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori

Conform definiției , proprietățile produsul ui vectorial sunt:
 Anticomutativ itatea, adică:
abba
(2.25)
 vectori sunt coliniari dacă
a și
bsunt diferiți de zero , iar
produsul lor vectorial este egal cu zero :
0a
;
0b și
0ba (condiția de coliniaritate) (2.26)
 Distributivitatea față de adunare :
 cbcacba 
(2.27)
Dacă vectorul
a este definit prin componentele
kajaiaaz y x
și vectorul
b este definit prin componentele
kbjbibbz y x rezultă că
produsul vectorial dintre vectorii
a și
b va fi (2.28.):
z y xz y x
bbbaaakji
bac
(2.28)
din dezvoltarea acestuia rezultă componentele pe cele trei axe ale
vectorului
c :


xy yx zzx xz yyz zy x
babacbabacbabac
(2.29)
Se observă că:
0 kkjjii
;
kji

18
4. Produsul mixt a trei vectori
Se presup une că avem trei vector,
a ,
b și
c. Produsul mi xt va fi
mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector și produsul
vectorial al celorlalți doi.
acbbaccbacbacbaw  ,, ,,
(2.30)
Analizând din punct de vedere geometric produsul mixt , se constată
că reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori
(fig.2.7)

  VH A av vavacbawpar   cos cos
(2.31)
unde V reprezintă volumul paralelipipedului.

Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relația 2.32 .

z y xz y xz y x
cccbbbaaa
cba
(2.32)
5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi
Se consideră trei vectori liberi
a ,
b și
c. Produsul vectorial este
reprezentat de vectorul
d egal cu produsul vectorial dintre vectorul
a și
produsul vectorial
cb . Vom scrie:
cbad
(2.33)
Din definiți a de mai sus s e deduce faptul că dublul produs vectorial
este un vector situat în planul vectorilor
b și
c, existând relația:

19

cbabcacba  (2.34)
Fiind dați trei vectori
a ,
b și
c subzistă identitatea:
0 bacacbcba
. (2.35)

6. Descompunerea unui vector după trei direcții
Notând cu
 ,
 și
 unghiurile pe care un vector
V le face cu
axele
xO ,
yO și
zO (fig.2.8) ale unui triedru ortogonal
xyzO , proiecțiile
sale sunt:
cosVX
;
cosVY ;
cosVZ . (2.36)
Prin urmare, vectorul
Vse poate scrie s ub forma:
kZjYiXV 
(2.37)
în care
i ,
j și
k sunt versorii axelor
xO ,
yO și
zO .

În baza teoremei proiecțiilor
potrivit căreia proiecția pe o axă a
rezultantei
R a unui sistem de
vectori liberi este egală cu suma
proiecțiilor, rezultă pentru proiecțiile
rezultantei pe axele
xO ,
yO și
zO
expresiile:

iX X
;
iY Y ;
iZ Z (2.38)
unde
iX ,
iY,
iZ sunt proiecțiile pe aceste axe ale unui vector
iV .
Modulul rezultantei va fi
2 2 2ZYX R  , iar direcția și sensul
ei vor fi date prin cosinusurile directoare:
2 2 2cos
ZYXX

,
2 2 2cos
ZYXY
 ,
2 2 2cos
ZYXZ
 .

20
III. STATICA PUNCTULUI . PUNCTUL MATERIAL
SUPUS LA LEGĂTURI
Se spune despre un punct material că este liber atunci când el poate
ocupa orice poziție în spațiu, nefiind stânjenit de nici o obligație
geometrică ; pozițiile ocupate de punctul material sunt determinate numai
de forțele care acționează asup ra lui. În general, poziția punctului se
definește prin trei parametrii scalari, independenți între ei, spre exemp lu
coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare , punctul material
liber are trei grade de libertate.
Dacă un punct material este obligat geometric să ocupe numai
anumite poziții în spațiu , se spune că este supus la legături. De exemplu ,
punct ul material poate fi obligat să rămână pe o suprafață, pe o curbă sau
într-un punct fix în spațiu.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafață are două grade
de libertate, deoarece , așa cum este cunoscut din geometria diferențială,
sunt necesari doi parametri pentru a -i defini poziția: coordonatele sale
curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur
grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într -un punct fix
din spațiu nu are nici un grad de libertate.

Pentru ca un punct material liber aflat în repaus (sau în mișcare
rectilinie uniformă) să -și păstreze această stare mecanică atunci când un
sistem de forțe concurente acționează asupra lui, adică să rămână în
echilibru, este necesară și sufic ientă condiția ca rezultanta
R dintre forțele
concurente să fie nulă.
Condiția de mai sus se deduce din aplicarea principiilor inerției și
acțiunii forței ; condiția de echilibru se scrie sub forma ecuației vectoriale:
0R
(3.1)

21
Sub formă scalară, ecuațiile de echilibru se scriu:
 în spațiu:
0ixF
;
0iyF ;
0izF (3.2)
 în plan:
0ixF
;
0iyF (3.3)
Din punct de vedere grafic , condiția de echilibru este satisfăcută
doar dacă poligonul forțelor se închide . Problemele de echilibru ale
punctului material tratează două variante, și anume:
a) fie se dau forțele care acționează asupra unui punct și se cere
poziția acestuia;
b) fie se dă poziția punctului și se cer forțele care îl acționează.

Problema 3.1. : Punctul material M este
acționat de forțele:
PF1 ,

23
2PF ,
P F F 24 3
, coplanare ( fig. 3.1 ).
Cunoscându -se unghiurile:
601 și
 454 3
, se cere să se determine
rezultanta acestor forțe (modul și direcția).

Rezolvare
Se cunoaște că:
4 3 2 1 F F FFR 
Considerând sistemul de referință din figură, proiecțiile rezultatei
sunt:
4
1 1 3 3 4 4
11 2 2cos cos cos 2 22 2 2 2x ix
iPR F F F F P P P   
          

2223
22222223sin sin sin 24 4 3 3 1 14
1
P P P P PF F F F F R
iiy y



22
Modulul rezultatei ( fig. 3.1.a ) este:
3322 2 PRR Ry x

iar unghiul φ este:
  8024 arctgRRarctg
xy

Problema 3.1.2.
Se consideră un punct material M solicitat de trei forțe:
P F21 ,
22P F
,
P F 23 , ca în figura 3.2 . Să se determine o forță
4F astfel
încât rezultanta forțelor să fie nulă.

Rezolvare
Se consideră forța cerută
4F de forma:
jFiF Fy x 4 4 4

unde
xF4 ,
yF4 reprezintă proiecțiile pe
axele Mx și My ale forței cerute.
Proiecțiile forțelor
1F ,
2F,
3F sunt:
iP F21
,
jPiPj Pi P F  45sin2 45cos22

jPiPj Pi P F 3 60sin2 60cos23 

Punând condiția ca rezultata celor patru forțe să fie nulă:
13 00
44
4 3 2 14
11
 P FFFFFFF R
yx
i
,
Deci,
j PF 134
și
134PF

23
Problema 3.1.3.
Punctul material M este acționat de sistemul de forțe concurente din
fig. 3.3 cu modulele forțelor
P F F 24 1 ,
P F542 ,
293P F ,
1325P F
. Poziția în spațiu a forțelor este precizată cu ajutorul unui
paralelipiped de muchii
a MA 2 ,
a MB 3 ,
a MC 4 .
Să se determine rezultata
R (modul și
direcție).
Rezolvare
Se cunosc modulele forțelor
1F ,
2F,
3F
,
4F ,
5F și direcțiile lor
MA ,
MH ,
ME
,
MB ,
MD . Se scriu vectorii forțelor
folosind versorii
1u ,
2u,
3u,
4u,
5u.
iP
aiaP
MAMAP uFF  2
222 2
21 1 1

kPiP
a akaiaP
MHMHP uF F 
 8 4
4 24 254 54
2 22 2 2
kPjPiP
a a akajaiaP
MEMEPuFF 
 4 3 2
4 3 24 3 229 29
2 2 23 3 3
,
jP
ajaP
MBMBP uF F  2
332 2
24 4 4
,
jPiP
a ajaiaP
MDMDP uFF 
 6 4
3 23 2132 132
2 25 5 5

Rezultanta este:

5 4 3 2 15
11 FFFFFF R
i

kP jPiP R  12 11 12
,
409PR .
Direcția rezultantei este dată de cosinusurile directoare:
40912cos 
RRx
;
40911cos
RRy ;
40912cos
RRz

24
Problema 3.1.4.
Un punct material M de greutate
neglijabilă, este atras în plan vertical de
punctele
0,0A ;
0,aB și




23,2aaC .
Forțele de atracție sunt proporționale cu
distanțele de la M la A, B și C, cu coeficienții de
proporționalitate k1, k2, k3. Se cere să se afle
poziția de echilibru a lui M față de sistemul de
referință dat.

Rezolvare
Se notează forțele de atracție
AF ,
BF,
CF , corespunzătoare
punctelor A, B, C și se consideră punctul
yxM, cu x, y necunoscute.
Condiția de echilibru este:
0 03
1
C B A
ii FFF F

Rezultă:
jyixk MAkFA 1 1
,

jyixak MBkFB 2 2








 jyaixak MCk FC23
23 3

Coordonatele punctului M aflat în echilibru sunt:

3 2 13 2
22
kkkkkax
și
2 1 33
23
kkkaky

25

Dacă se consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafață
(S) asupra căruia acționează forțele exterioare a căror rezultantă este
R
(fig.3.5) , atunci se observă că în acest punct nu se mai poate aplica aceeași
ecuație de echilibru (
0R ) ca în cazul punctul ui material liber .
Aceasta este o consecin ță a
existenței legăturilor, care exercită asupra
punctului respectiv anumite constrângeri
mecanice reprezentate prin forța de
legătură (reacțiunea). Pentru rezolvarea
problemei punctului material supus la
legături este necesar a fi folosită axioma
legăturilor .
Conform ac estei axiome , orice
legătură poate fi suprimată și înlocuită cu
elemente mecanice (forțe, momente)
corespunzătoare. Ca urmare corpul
considerat este liber și , în consecință ,
echilibrul său se studiază cu ecuațiile sta bilite pentru corpul liber.
Pentru punctul material legătura va fi înlocu ită cu reacțiune
R .
Condiția necesară și suficientă ca un punct material supus la legături să fie
în echilibru este ca rezultanta forțelor direct aplicate și a forței de legătură
să fie nulă, adică:
0RR
(3.4)
Sau proiectat pe axe:
0x xRR
;
0x yRR ;
0z zRR . (3.5)
Analizând relația (3.4), se consta tă că rezultanta
R a forțelor direct
aplicate și rezultanta
R a forțelor de legătură trebuie să fie egale și de
semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafață,
rezemarea pe o curbă (în spațiu și în plan) și prinderea cu fire, care poate fi
conside rată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sferă a cărei rază
este tocmai lungimea firului respectiv.
Legăturile punctului pot fi :

26
 legături cu frecare (aspre) , atunci când suprafața sau curb a de
reazem aparține unor corpuri reale și care se opun mișcării
punctului material , apărând astfel forțe de frecare ;
 legături fără frecare (lucii, ideale) , atunci când se presupune că
suprafața sau cur ba sunt corpuri ideale, perfect lucioase ,
neexistând deci forțe de frecare .
În realitate astfel de legături nu există dar, dar atunci când forța de
frecare este mică și neglijabilă (suprafețe lucii) , forțele de frecare pot fi
aproximate la zer o.

În legături ideale, fără frecare,
0T . Așa cum am specificat și mai
sus, aceste tipuri de legături nu există în realitate , dar sunt întâlnibile
suprafețe la care forța de frecare poate fi neglijată într -o primă
aproximație. În cazul acestor legături
NR , cu alte cuvinte reacțiunea
este normală. Dacă se analizează o suprafață , reacțiunea are direcția
normalei la suprafață, iar dacă se analizează o curbă, reacțiunea va avea o
direcție oarecare în planul normal la curbă.
Condiția de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi :
0NR
(3.6)
Proiectată pe axe , ea va arăta astfel :
0x xNR
;
0y yNR ;
0z zNR . (3.7)
Considerând că în punctul curent parametri directori ai normalei la o
suprafață sunt dați de :
0 ,,zyxf
(3.8)
Și sunt
zf
yf
xf


,, , atunci ecuațiile (3.6) și (3.7) se pot scrie:
0



 kzfjyfixfR

0 ;0 ;0 zfRyfRxfRz y x   
(3.9)

27
Analog, în cazul unui punct material M re zemat pe o curbă (C) (fig.
3.6) acționează forțele
R și
R care, în cazul echilibrului , sunt egale și
opuse. Rezultanta
R a forțelor direct aplicate se descompune în
componenta tangențială
TR dirijată după tangenta la curbă în M și în
componenta normală
NR dirijată după dreapta  ce rezultă din intersecția
planului ( ), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M
la curbă și forța
R . Reacțiunea
R se descompune după aceleași dir ecții în
reacțiunea normală
N și în forța de frecare
T .
Ca și în cazul punctului material
rezemat pe o suprafață, forța normală
NR
caută să se îndepărteze punctul M de
curbă și este anihilată de reacțiunea
normală
N . Deci, pentru echilibrul
aceste două forțe
NR și
N , trebuie fie
egale și de sens opus.
În cazul unor legături fără frecare,
forța de frecare
T nu poate să apară și
în consecință pentru echilibru în acest
caz, este necesar ca
0TR .
În cazul legăturii cu frecare forțele
TR
și
T trebuie să fie egale și de semn
contrar. Pentru ca un punct material sub acțiunea unui sistem de forțe să
rămână în echilibru pe o curbă fără frecare , este necesar ca:
 rezultanta forțelor exterioare
R să fie cuprin să în planul normal
la curbă în punctul respectiv;
 reacțiunea este o forță
N situată în același plan normal.
Ecuația de echilibru se scrie:
0NR
(3.10)
Dacă ecuațiile curbei sunt :
0 ,,1zyxf
;
0 ,,2zyxf (3.11)
atunci se poate considera că planul normal la curbă este determinat
de normalele celor două suprafețe date prin ecuațiile (3.11), luate fiecare
separat. În acest caz ecuația (3.10) devine :

28

02 2 2
21 1 1
1 







 kzfjyfixfkzfjyfixfR  
Dacă se proiec tează pe cele trei axe, se obține sistemul:




000
2
21
12
21
12
21
1
zf
zfRyf
yfRxf
xfR
zyx

(3.12)
În cazul în care curba este dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx
,
)(tyy ,
)(tzz (3.13)
atunci condiția de echilibru se exprimă prin relația de ortogonalitate
dintre rezultanta forțelor exterioare
R (cuprinsă în planul normal) și
tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt
dtdx ,
dtdy,
dtdz, adică:
0dtdzRdtdyRdtdxRz y x
(3.14)
Acestea sunt relațiile cu ajutorul cărora poate fi determinată poziția
de echilibru.
Problemele c are pot să apară în studiul echilibrului punctului
material supus la legături fără frecare sunt centralizat e în tabelul 3.1 .
Se observă că problemele sunt static determinate.

Felul
legăturii Necunoscute Ecuații de
echilibru Referitoare la
poziție Referitoare la
reacțiune
Rezemare
pe o
suprafață 2 (coordonatele
u, v) 1 (scalarul reacțiunii) 3 ecuații





000
zyx
FFF

29
Felul
legăturii Necunoscute Ecuații de
echilibru Referitoare la
poziție Referitoare la
reacțiune
Rezemare
pe o curbă
în spațiu 1 (coordonata
curbilinie s) 2 (scalarul și direcția
reacțiunii sau 2
componete ale
reacțiunii în planul
normal 3 ecuații





000
zyx
FFF

Rezemare
pe o curbă
în plan 1 (coordonata
curbilinie s) 1 (scalarul reacțiunii) 2 ecuații



00
yx
FF

Punct fix Niciuna 3 (proiecțiile reacțiunii
pe trei direcții în spațiu 3 ecuații





000
zyx
FFF

Spre deosebire de legăturile ideale, unde componenta tangențială T
și reacțiunea
R erau neglijate, î n cazul curbelor și suprafețelor aspre
acestea nu pot fi neglijate.
S-a constatat din practică, că modulul componentei tangențiale T
(care poartă numele de forță de frecare de alunecare ) este limitat.
În fig. 3.7. a este realizată o experiență, r edusă la forma cea mai
simplă: un corp asimilabil cu un punct material de greutate
G este așezat
pe un plan orizontal și acționat cu o forță orizontală
F , care poate varia
continuu. Se constată că până la o anumită valoare
maxF a forței
orizontale , corpul nu se pune în mișcare.

30

Se dovedește astfel că reacțiunea
R formează un unghi  față de
normală , așadar poate fi descompusă în două componente : reacțiunea
normală
N și forța
T , cea din urmă purtând numele de forță de frecare
de alunecare (fig. 3.7,b). Forța de frecare de alunecare acționează în planul
tangent cu suprafața de reazem , opunându -se tendinței de mișcare. În
figura 3.7,c este prezentat caz ul la limită, și anume atunci când forțele
F
și
T iau valori limită și unghiul  capătă la rândul lui valoarea limită
 ,
numit unghi de frecare . Forța de frecare poate varia între valorile zero și
cea limită
maxT .
Din figura 3.7 rezultă :
tgNT

și la limită
tgN Tmax

și cum
 formula se poate simplifica :
tgNT
(3.15)
Cele mai celebre experiențele făcute asupra forțelor de frecare de
alunecare sunt cele ale lui Coulomb, de unde au rezultat de altfel legile
frecării uscate , și anume:
1. valoarea forței maxime de frecare nu depinde de mărimea
suprafeței în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienței,
suprafața dintre corp și planul orizontal) iar dacă se produce mișcarea,
forța de frecare nu depinde nici de viteza relativă;

31
2. valoarea forței maxime de frecare depinde de natura corpurilor și
a supraf ețelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);
3. valoarea forței maxime de frecare este proporțională cu modul
N
al reacțiunii normale.
Conform legilor de mai sus , forța de frecare de alunecare este:
N Tmax
(3.16)
sau:
N T
(3.17)
unde  este coeficientul de frecare de alunecare (mărime
adimensională c are depinde de natura și starea suprafețelor în contact ).
Comparând relațiile (3.15) și (3.17) se observă că:
tg
(3.18)
În opinia lui Coulomb , forțele de frecare își au originea în existența
la suprafața corpurilor a unor asperități care , în cazul a două corpuri în
contact , se întrepătrund.
Atunci când unul di ntre corpuri se pune în mișcare aceste asperități
sunt strivite, iar forța de frecare de alunecare este cea care se opune
acestor striviri.
Extinzând domeniul experiențelor făcute de Coulomb , se constată că
coeficientul de frecare la alunecare  variază invers proporțional în funcție de
viteză: el scade atunci când viteza crește. Valoarea coeficientului de frecare
pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderență 0) este mai mare (fig.
3.8) decât pentru cele în mișcare ( coeficientul de frecar e dinamic ).
De asemenea, dacă
N ia valori
mari, mărimea forței de frecare de
alunecare
T nu mai variază liniar cu
mărimea reacțiunii
N .
Dacă se reduc înălțimile
asperităților, conform teoriei lui Coulomb ,
forța de frecare de alunecare va scădea .
În realitate însă, forța de frecare de
alunecare creștere la un moment dat ,
influențată fiind de alte fenomene, ca de
exemplu fi forțele de adeziune
intermoleculare (care în acest caz devin
importante ).

32
Analizând din nou experiența prezentată în fig. 3.7, se poate deduce
aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.
Considerând punctul rezemat pe o suprafață și schimbând direcția
forței
F în planul tangent, reacțiunea
R , respectiv rezultanta
R , vor
descrie în acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul
considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafață și unghiul la vârf
2 (fig. 3.9).
Punctul material se află în echilibru atunci când reacțiunea
R este în
interiorul sau la limită pe mantaua conului . În cazul punctului material
rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafață), generatoarele
extreme vor descrie conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig.
3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv și
unghiul la vârf

22 .
Punctul material se află în echilibru când reacțiunea
R se găsește
în afara conurilor complementare de frecare sau la limită pe mantaua
acestora.

În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material rareori
soluția este unică . În consecință, la fel ca în cazul echilibrului fără frecare ,
problemele de echilibru cu frecare se exprimă printr -o inegalitate.
În cazul punctului pe o suprafață, st udiul analitic se face prin exprimarea
unghiul dintre rezultanta
R și vectorul
1n , coliniar cu versorul normalei
n în
punctul considerat. Suprafața este dată prin ecuația
0),,(zyxf . Astfel :

33

11cosnRnR (3.19)
unde vectorul
1n este:




 kzfjyfixfn1 1
. (3.20)
Pentru simplificare , alegem
11 .
Pentru echilibru este necesar ca
 , adică
cos cos
(3.21)
Dar
.
11
11cos
2 2


tg
(3.22)

Deci rezultă condiția de echilibru:
211
11
nRnR

respectiv
2 2 2 2
2 2 211








zf
yf
xfR R RzfRyfRxfR
z y xz y x
(3.23)
Dacă punctul se află pe o curbă , pentru a stabili o expresie analitică,
se presupune o curba dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx
,
)(tyy ,
)(tzz (3.24)
Un vector
1u dirijat după tangentă are expresia:
kdtdzjdtdyidtdxu 1
(3.25)
Unghiul dintre rezultanta
R și vectorul
1u este dat de:

34

11cosuRuR. (3.26)
Pentru echilibru s -a văzut că este necesar ca
2 , adică
2cos cos
(3.27)
sau
sin cos .
Dar
.
1 1sin
2 2



tgtg
(3.28)
Deci condiția de echilibru este:
211
1
uRuR

respectiv
2 2 2 2
2 2 2 1


dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
z y xz y x
(3.29)
Problema 3.3.1.
Un punct material de greutate
G poate aluneca fără frecare pe un
cerc. Asupra punctului acționează forța orizontală
F (figura 3.11 ). Să se
determine poziția de echilibru a punctului și reacțiunea cercului.
Rezolvare
Se eliberează punctul material de legătura sa cu cercul și se
introduce reacțiunea normală
N . Se proiectează ecuația vectorială de
echilibru.
0 NGF

35
Pe axele de coordonate se obțin:

 0 sin 00 cos 0


G N FNF F
yx

de unde rezultă:


G NF N
sincos
Calculând raportul dintre cele două relații
de mai sus, se obține:
FGtg
;
2 2F G N
Discuție:
 când
F ;
0tg ;
0 ;
 când
0F ;
tg ;
2 ;
 când
GF ;
1tg ;
4 ;
Problema 3.3.2
O roată de rază R și greutate
G , se află în fața unui prag de
înălțime h (figura 3.12 ). Să se determine înclinarea dată de unghiul α,
pentru ca roata să treacă peste prag.
Rezolvare
Se eliberează roata de legături, forțele
care acționează asupra sa fiind: greutatea
G ,
reacțiunile
AN și
BN . În momentul în care
roata începe să se rostogolească peste prag,
reacțiunea
BN este nulă. Se proiectează ecuația
vectorială de echilibru.

0G NA
pe axele de coordonate:

 0 cos sin 00 sin cos 0


G N FG N F
A yA x

RhRsin
Se elimină
AN între aceste două ecuații și se obține:
2 2tg tg ctg tg

36
Problema 3.3.3
Un punct M de greutate
G , care se
reazemă cu frecare de coeficient μ pe o
suprafață cilindrică, este prins prin intermediul
unui fir ce se reazemă fără frecare, un corp de
greutate
P (figura 3.13 ). Poziția de echilibru a
punctului este dată de unghiul α.
Se cere să se determine valoarea lui P
pentru echilibru.

Rezolvare:
Se izolează punctul M și se scriu relațiile
de echilibru ( figura 3.13.a ):

 0 cos 00 sin 0


QN FQPT F
yx

N T

Determinând pe T și N din cele două ecuații și înlocuind în condiția
de frecare, rezultă:

  cos sinQP
Luând în considerare ambele tendințe de modificare a echilibrului,
se obține:
   cos sin cos sin QP Q

Problema 3.3.4.
Pe un cadru circular de rază R, dispus
într-un plan vertical se află un inel M de
greutate
G . De inel, prin intermediul a două
fire, sunt prinse greutățile P și Q.
Firele trec peste doi scripeți situați în
centrul cercului, respectiv pe cerc ( figura 3.14 ).
Să se determine unghiul θ pe care îl fac
firele de legăt ură între ele pentru poziția de
echilibru a inelului.

37
Rezolvare
Se eliberează inelul de legături ( fig.
3.14.a ), si notează cu
N reacțiunea normală,
iar cu
1S și
2S tensiunile din fire:

PS1
QS2
Se scrie ecuația vectorială de echilibru:

0 2 1 NSSG
Se proiectează această ecuație în
sistemul de axe ales (tangenta și normala la
cerc);


 02cos sin 00 2sin cos 0
22 1


G S FN G SS F
yx
Ținând cont că
QS2 și
2sin212cos , din a doua ecuație se
determină unghiul θ. Se obține astfel o ecuație de gradul al II -lea:

0 sin sin22 G Q G

GG Q Q
48sin2 2 ;
Deoarece
0 sin 90  (în cadranul II).
În acest caz, soluția este:

GG Q Q
48sin2 2

GQG Q
48arcsin2

Problema 3.3.5.
Un corp M de greutate
G se reazemă cu frecare pe un plan ABCD
înclinat față de planul orizontal cu unghiul α, fiind prins cu un fir de punctul
A al planului ( fig. 3.15 ). Asupra corpului acționează și forța Q, conținută
într-un plan paralel cu planul înclinat, forță ce este orientată după linia de
cea mai mare pantă a planului.
Să se determine valoarea minimă a forței Q pentru echilibru, dacă
coeficientul de frecare dintre planul înclinat și corp este μ, iar unghiul pe
care firul AM îl face cu latura AB a planului este β.

38
Rezolvare
Se eliberează punctul M de legături (fig.3.15 a si fig.3.15.b) si se
introduc următoarele notații:
N
– reacțiunea planului înclinat,
S
– tensiunea din fir,
maxT
– valoarea maximă a forței de frecare

Se proiectează ecuația vectorială de echilibru:
0 maxmin T QSNG
pe axele de coordonate, se obține:


 0 cos 00 sin sin cos 00 cos sin 0
maxmax min


GN FG S T FS T Q F
zyx

N Tmax

Din ecuațiile de mai sus se
determină valorile reacțiunii normale N, a
tensiunii de fir S și a forței Qmin.




sin cossincos sincos
max minmax
T S QT GSGN

Ținând cont de valoarea reacțiunii
normale și de condiția de frecare, rezultă:
  

sin cos cos cos sinsincos cos sin
min G ctg G G QG GS

39
Problema 3.3.6
O sferă de greutate
G este suspendată printr -un fir de un punct
situat pe linia de intersecție a doi pereți verticali, care formează un unghi
de 90°, fiind rezemată pe aceștia ( figura 3. 16 ). Să se determine tensiunea
în fir și reacțiunile celor doi pereți, dacă firul face cu verticala unghiul α.

Rezolvare
Se eliberează sfera de legături și
se notează cu
1N și
2N reacțiunile celor
doi pereți, iar cu
S tensiunea din fir.
De asemenea, se notează cu
sin1SS
proiecția tensiunii în planul
xOy (figura 3. 16.a ).
Se scrie ecuația vectorială de
echilibru:
0 2 1 SNNG

și se proiectează această ecuație pe cele trei axe de coordonate:



 0 cos 00 45sin 00 45cos 0
21


G S FSN FSN F
zyx




0 cos0 45sin sin0 45cos sin
21
G SSNSN
Din primele două ecuații se
determină valorile reacțiunilor normale N1 și N2.

 sin22
2 1 S NN ,
iar din cea de a treia ecuație, valoarea tensiunii din fir S:
cosGS

În final, se obține:
 Gtg N N22
2 1

40
Problema 3.3.7
Pe un plan înclinat cu unghiul α
față de orizontală, este rezemată o sferă
M de greutate P. Bila este legată prin
intermediul a două fire AM și BM, care fac
unghiul β cu planul vertical și unghiul γ
între ele ( figura 3.17 ). Să se determine
reacțiunea planului înclinat și tensiunile în
cele două fire.

Rezolvare
Se eliberează sfera de legături și
se notează cu
N reacțiunea planului înclinat,
1S și
2S tensiunile din fire.
Acestea se pot observa mai bine în proiecțiile din figura 3.18. În
acest caz, ecuația vectorială de echilibru a sferei se va scrie:

0 2 1 NSSP

Se proiectează ecuația vectorială pe cele trei axe:


 
 0 sin 90cos 00 90sin cos2cos2cos 002sin2sin 0
2 11 2
 

P N FN P S S FS S F
zyx
De asemenea, rezultanta tensiunilor se poate scrie:

2cos21S R
Din ecuațiile de proiecție se obține:

41



sinsin2 1
PNSS
Tensiunile din fire vor fi:




  cossinsincos
2cos21
2 1PP SS





 tgP sincos
2cos2

Problema 3.3.8
Un inel M de greutate G, alunecă
fără frecare pe un cerc de rază r, fiind
respins de extremitatea A a diametrului
orizontal și atras de extremitatea B a
diametrului vertical, cu forțe
proporționale cu distanțele respective.
Să se determine poziția de
echilibru a punctului pe cerc și reacțiunea
cercului ( figura 3.19 ).
Rezolvare
Ecuația vectorială de echilibru este :

0 NGFF B A
Se obțin ecuațiile de echilibru proiectate pe axele sistemului de
referință:

0 cos24cos2cos    G F FB A (a)

0 sin24sin2sin  G F FNB A (b)
unde:

2sin2kr FA ,
24sin2kr FB (c)
Din relațiile (a) și (c) se deduce:

1krGtg (d)

42
Din relațiile (b) și (c) se deduce:

  cos sin kr krGN (e)
Din relația (d) se obține:

22 2sin
rk krGkrG
 ,
22 2cos
rk krGkr

Reacțiunea normală N este:
2 2 2' rk krG N 

Problema 3.3.9
Inelul M de greutate G,
alunecă cu frecare pe o bară situată
într-un plan înclinat cu unghiul α, care
face cu dreapta de intersecție a
planelor înclinat și orizontal unghiul β
(figura 3.20 ). De inelul M este legat cu
un fir care trece prin capătul A al
barei, printr -un inel fără frecare. La capătul firului este o greutate Q. Se
cere reacțiunea normală N și valoarea coeficientului de frecare μ între inelul
M și bara AB, pentru echilibru.

Rezolvare
Se consideră planul înclinat care
conține bara AB și se notează forțele
care apar pe axele sistemului x1My1
(fig.3.20.a ). Rezultă:
0 sin sin ;0  GFQ Ff xi
(a)
0 cos sin ;02  GN Fyi
(b)
N T
(c)
Se realizează o secțiune verticală
prin cele două planuri și inelul M și,
alegând sistemul de referință x2My2 (fig.
3.20.b ), se scriu ecuațiile proiecțiilor de
forțe pe sistemul ales:
0 sin sin sin;0  G T Q Fxi
(d)
0 cos ;01  GN Fyi
(e)

43
unde:
2
22
1N N N
(f)

Din (b), (e) și (f) rezultă:
2 2 2cos sin cosGN

Din (a) și (c) rezultă:

2 2 2cos sin cos sin sin G GQ


2 2 2cos sin cossin sin
GGQ
 Q G GQ
G
 sin sin;sin sin max
cos sin cos1
2 2 2

Problema 3.3.10
Pe semielipsa de ecuație
1422
22
ay
ax
0y aflată într -un plan
vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului
acționează o forță orizontală F (figura 3.21 ). Să se determine valoarea
forței F și reacțiunea normală N pentru
echilibr u în cazul în care
3ay .
Rezolvare
Se scrie relația vectorială:
0 VFG

unde:
jG G
;
iFF ;
n N
se cunoaște că:
jyyxfixyxfn, ,
;
 14.22
22
ay
axyxf .
Rezultă:

 jayiaxN2 22
2 .
Înlocuind în relația vectorială, se obține:

44





0202
22
ayGaxF
Pentru
3ay din ecuația elipsei, rezultă:
234ax . Înlocuind în
relația anterioară, se obține:

yaG22
 .
Rezultă:

i G F 2 ;
ji Gjyix
yGN  3 22 2
Problema 3.4.1
O sferă de greutate
P se sprijină în
punctele A și B pe două plane fixe, înclinate
cu unghiurile α și β față de orizontală. Să se
determine reacțiunile în punctele A și B
(figura 3.22 ).

Răspuns :
sinsinP NA ;
sinsinP NB
Problema 3.4.2
O bilă de greutate
P se reazemă pe un
plan înclinat față de orizontală cu unghiul α.
Bila este legată de punctul A printr -un fir
inextensibil care face cu verticala unghiul β
(figura 3.23 ).
Să se determine tensiunea în fir și
reacțiunea planului înclinat.

Răspuns :
sinsinPS
  cossinsincosPPN

45

Problema 3.4.3
Inelul M, de greutate neglijabilă,
alunecă fără frecare pe semielipsa
1322
22
ay
ax

0y , aflată într -un plan
vertical. De inelul M sunt prinse două fire
care trec fără frecare prin inelele A și B (AB
aparține semiaxei orizontale a elipsei) și au la capete greutățile P și Q
cunoscute ( figura 3.24 ). Să se determine reacțiunea N a semielipsei asupra
inelului în momentul în care
ax .

Răspuns :
j iQ Pjayiax Q PN 


 


  61414
52323 1414
5236

Problema 3.4.4
Printr -un inel M de greutate
neglijabilă, care se reazemă cu frecare de
coeficient μ pe un cerc de rază r, sunt prinse
două fire ce trec fără frecare prin două inele
fixe A și B (figura 3.25 ). La capetele firelor
sunt legate două corpuri cu greutățile G1
respectiv G2.
Să se determine raportul
21
GG , astfel
încât punctul M să rămână în repaus în
poziția dată de unghiul θ, considerat
cunoscut.

Răspuns:
Condiția finală de echilibru este:
2sin2cos24sin24cos
2sin2cos24sin24cos
21


GG

46
Problema 3.4.5
Pe semielipsa de ecuație
1422
22
ay
ax
0y aflată într -un plan
vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului
acționează o forță orizontală F (figura 3.26 ). Să se determine valoarea
forței F și reacțiunea normală N pentru echilibru în cazul în care
3ay .
Răspuns :
i G F 2
.
ji Gjyix
yGN  3 22 2

48
În continuare vor fi prezentate elemente de calcul algebric cu vectori
alunecător, calcul care diferă față de cel cu vectori li beri. Aceste calcule se
aplică atât forțelor care acționează asupra unui solid rigid, cât și a altor
mărimi asupra cărora se poate aplica metoda vectorilor alunecători. În
acest tip de calcule se folosește noțiunea de moment al vectorului nu
numai doar faț ă de un punct, ci și față de o axă.

Momentul unei forțe în raport cu un punct redă capacitatea cu care
forța poate roti corpul asupra căruia acționează , în jurul unei axe care trece
prin punctul respectiv și care este perpendiculară pe planul determinat de
suportul forței și acel punctul (fig.4.2).
Prin definiție, momentul unei forțe
F
în raport cu un punct O este produsul
vectorial dintre vectorul de poziție
r , al
punctului de aplicație A, al forței și forța
F.
Fr FMO)(
(4.1)
Luând în calcul proprietățile
produsului vectorial, rezultă că momentul
)(FMO
este un vector aplicat în punctul
O și care este perpendicular pe planul
definit de vectorii
r și
F . Sensul acestui
plan este dat de „regula șurubului drept”
(sensul de înaintare al șurubului așezat în
punctul O pe suportul momentului
OM ,
acționat de o cheie cu forța
F având ca braț, vectorul de poziție
r ).
Modulul acestui vector este dat fie de relația:
), sin( )( Fr Fr FMO
] (4.2)
fie ținând seama de brațul forței, adică de distanța „b” dintre punctul O și
suportul forței
F :
FbbF FMO )(
(4.3)

49
Proprietăți :
1. Momentul unei forțe în raport cu un punct este nul atunci când:
a)
0F ;
b)
0r ;
c) vectorii
r și
Fsunt coliniari.
Dacă se exceptează cazul a) (în care
0F ), se poate concluziona
că, în celelalte două cazuri, momentul forței în raport cu un punct este nul
atunci când prin respectivul punct trece suportul forței.
2. Momentul unei forțe în raport cu un punct rămâne neschimbat
atunci când forța se deplasează pe prop riul său suport.
Considerând forța
F în două poziții, A și B (fig.4.3a) și notând cu
r ,
respectiv
r , vectorii de poziție ai punctelor A și B, momentul în raport cu
punctul O al forței
F în cele două situații devine:
FrF ABr Fr FMFr FM
B OA O

) ( )()(
(4.4)
Datorită faptului că
0F AB , iar vectorii
AB și
F sunt coliniari.

Momentul unei forțe în raport cu un punct este un vector legat , motiv
pentru care se modifică la schimbarea polului. Fie O și O’, punctele în
raport cu care se calculează momentul forței
F (fig.4.3b).

50

FOOFMFOOFrFrOO Fr F MFr FM
O OO

 )( ) ( )()( (4.5)
Deoarece se considere că punctul O este originea sistemului de axe,
poziția tuturor celorlalte puncte se raportează la acest pol , deci rezultă că
vectorul
OO OO  . Relația (4.5) exprimă legea de variație a
momentului la schimbare polului .
Expresia analitică . Expresiile analitice ale vectorului de poziție
r și
ale forței
F sunt:
kFjFiFFkzjyixrz y x ;
(4.6)
De unde rezultă că expresia analitică a momentului forței
F în raport
cu punctul O este:
z y xO
FFFzyxkj i
Fr FM )(
(4.7)
Proiecțiile momentului
OM pe axele sistemului triortogonal Oxyz
(momentul forței
F în raport cu axele: Ox, Oy, Oz ) sunt:


x y zz x yy z x
yF xF MxF zF MzF yF M
(4.8)
Aceleași rezultate se obțin și în cazul în care se consideră produsul
vectorial
Fr sub formă matriceală, ca un produs între matricea
antisimetrică
rˆ asociată vectorului
r și matricea coloană a vectorului
F :




















x yz xy z
zyx
zyx
yF xFxF zFzF yF
FFF
xyx zyz
MMM
000
(4.9)
sau sub formă restrânsă:
Fr Mˆ
. (4.10)

51

Prin definiție, m omentul unei forțe
F în raport cu o axă este
proiecția pe această axă a momentului forței
F calculat în raport cu un
punct oarecare O de pe axă.

În desenul de mai sus (fig. 4.4a) s -a consieerat forța
F aplicată în A,
iar axa  caracterizată prin versorul
u , și s-a ales punctul O1 pe axă .
Se poate scrie că:
 FrFMO1 1
,
iar și proiecția pe axa  este fie :
FruFMuFMO  1 1
, (4.11)
fie
1 1 cos F M FMO
.
Pentru că
M se este un produs mixt, rezultă că este un scalar, iar
alegerea punctului pe axă față de care se calculează momentul, este
arbitrară.
Pentru a demonstra asta se calculează
M , față de un alt punct O2:

52


2 2 1 1
2 1 1 1M F u r F u O O r F
u O O F u r F u r F      
      (4.12)
deoarece,
012FOOu , vectorii
u și
12OO fiind coliniari.
Din relația (4.11) , unde
M este un produs mixt, se poate observa
că momentul unei forțe în raport cu o axă este coplanar , adică concurent,
paralel sau confundat.
Una dintre proprietățile momentului forței în raport cu o axă este
aceea că valoarea sa rămâne neschimbată dacă forța se deplasează în
lungul suportului ei. În continuare, se observă cu ușurință dă, dacă
momentul
)(FMO rămâne nemodificat , și proiecția sa
M va fi
neschimbată.
Alta proprietate, dedusă din definiție, este aceea că momentul unei
forțe în raport cu axa  este egal cu scalarul momentului proiecției
'F a
forței
F pe un plan ( P) perpendicular pe axa , calculat în raport cu
punctul O unde axa  înțeapă planul ( P).
Se consideră că:
F OAuFM 
(4.13)
Se descompune forța
F în componentele
1F și
2F după normala
AA1 (paralelă cu ) și după o direcție paralelă cu proiecția
'F (fig.4.4 b).
;2 1FFF

;1'F F
AA OA OA1 1 (4.14)
Înlocuind relația (4.14) în (4.13) rezultă:
  

.' ' '
1 1 12 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1
FM FMu F OAu F OAuFAAu FAAu F OAu F OAuFFAA OAu F OAu FM
o o
(4.15)
Se observă că:
02 1 1 1 2 1  FAAu FAAu F OAu
, fiind vectori coplanari.
Pentru simplificare a raționamentului, în aplicații se trasează planul
normal pe axă exact din punctul de aplicație al forței.

53

Cuplul de forțe este cel mai simplu sistem de forțe care acționează
asupra unui rigid, și este considerat a fi un sistem de două forțe egale și de
sens contrar , care acționează pe două suporturi paralele asupra aceluiași
rigid (fig.4.5).
Un cuplu aplicat u nui rigid caută să -l rotească în jurul unei axe
perpendiculare pe planul definit de suporturile celor două forțe.

Proprietăți:
 Pe orice axă, p roiecția cuplului de forțe este nulă. Se deduce că
rezultanta cuplului de forțe este nulă. Considerând o axă de
versor
u , se poate scrie:
0)( F uFu
(4.16)
 Momentul cuplului este reprezentat de e fectul cuplului de forțe
aplicat asupra unui rigid, și este conform relației:
F ABFrr FrF rMA B B A  ) ( )(
(4.17)
 Momentul cuplului de forțe este un vector cu sensul dat de regula
produsului vectorial și fiind perpendicular pe planul forțelor care -l
compun. Mărimea momentului cuplului de forțe este produsu l
dintre forță și brațul cuplului, conform relației:
Fb FAB FAB M   ), sin(
(4.18)

54
 Momentul cuplului de forțe este în același timp un vector liber,
deoarece rămâne neschimbat oricare ar fi punctul față de care se
stabilește expresia sa. De exemplu, față de un alt punct O’, relația
momentului devine:
MF ABFrr FrF r MA B B A  ) ( )(
(4.19)

S-a specificat anterior că vectorul liber se definește prin a trei mărimi
scalare , cum ar fi proiecțiile pe cele trei axe de coordonate carteziene.
În cazul vectorului alunecător
F , mai trebuie să fie cunoscută și
dreapta sport () pe care acesta se deplasează. În cazul în care cele trei
proiecții pe axe ale vectorului
F , sunt cunoscute, sunt cunoscuți și
parametrii directori ai dreptei suport.
Pentru ca un vector alunecător să fie determinat, sunt necesare – de
obicei – șase mărimi scalare, și anume:
 proiecțiile vectorului
F pe cele trei axe [Fx, Fy, Fz];
 proiecțiile momentului
FMO [Mx, My, Mz] pe cele trei axe ale
al vectorului
F față de originea O a sistemului de axe.
Între cele 6 mărimi scalare [Fx, Fy, Fz, M x, My, M z ] există o relație
identic satisfăcută, care se deduce ținându -se seama că vectorii
F și
FMO
sunt perpendiculari și, în consecință, produsul lor scalar este nul.
Se poate deci scrie relația:
0z z y y x x MF MF MF
(4.20)
Relația de mai sus poate fi verificată și direct, prin înlocuirea lui Mx ,
My , Mz cu expresia (4.8), obținându -se astfel :

0x y z z x y y z x yF xFF xF zFF zF yFF

Fie un sistem de forțe concurente care acționează asupra unui rigid în
punctul A, al cărui vector de poziție în raport cu punctul O este
r OA
(fig. 4.6).

55

Rezultanta sistemului de forțe este:
nF FFR  ……2 1
(4.21)
Momentul cuplului de forțe în raport cu punctul O se află înmulțind
vectorial relația (4.21) cu
r:
nFr FrFrRr  ……2 1
(4.22)
altfel spus :
)( …..)( )( )(2 1 n O O O O FM FM FM RM 
(4.23)
Relația (4.23) reprezintă teorema momentelor sau teorema
Varignon , și poate fi definită astfel: Pentru un sistem de forțe care se
reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu un punct este
egal cu suma vectorială a momentelor forțelor componente, calculate în
raport cu același punct.
Pentru a se afla momentul acelorași forțe în raport cu o axă , de
versor
u care trece prin O, se înmulțește scalar relația (4.22) cu
u :
) ( ……) () ( ) (2 1 nFru FruFruRru 

(4.24)
sau:
)( …..)( )( )(2 1 nFM FM FM RM    
(4.25)

Pentru un sistem de forțe care se reduc la o rezultantă unică,
momentul rezultantei în raport cu o axă este egal cu suma algebrică a
momentelor forțelor componente, calculate în raport cu aceeași axă.

56

Deoarece în paragrafele următoare se vor studia sisteme de forță
care acționează asupra rigidului, este necesar a se afla efectul mecanic al
acestor forțe, care acționează în diferite puncte ale corpului rigid. Din acest
motiv se vor î nlocui aceste sistemele de forțe cu unele mai simple, astfel
încât efectul mecanic să fie același indiferent în orice punct este produs.
Două sisteme de forțe care acționează asupra unui rigid și produc în
orice punct același efect mecanic se numesc sistem e echivalente .
Pentru realizarea unor sisteme mai simple de forțe echivalente se
aplică forțelor mai multe operații, astfel încât sistemul de forțe dat să
rămână echivalent cu el însuși . Aceste operații poartă numele de operații
elementare de echivalență .
Este necesar a se ține seama de:
1. forța care acționează asupra rigidului poate fi deplasată pe propriul
suport;
2. În sistemul de forțe se pot suprima sau introduce două forțe egale
și direct opuse;
3. Mai multe forțe concurente pot fi înlocuite fie prin rezultan ta lor ,
fie o forță poate fi înlocuită prin componentele sale.

Fie un rigid acționat de o forță
F
în punctul A și cu
r vector de poziție în
raport cu un punct O este (fig. 4.7).
Reducerea acestei forțe într-un
punct oarecare O,implică determinarea
efectul ui mecanic exercitat în O, de forța
F
, aplicată în A.
Având în vedere operațiile
elementare de echivalență prezentate
mai sus , se consider forțele
F și
F în
O. Se observă că f orțele,
F din A și
F
din O formează un cuplu, al cărui
moment este:

57

Fr MO
(4.26)
Forța
F și cuplul de forțe reprezentat prin momentul
OM se
numesc elemente de reducere în O ale forței date . Ansamblul celor două
elemente mecanice alcătuiesc torsorul de reducere în O al forței
F aplicată
în A, și se notează:

 Fr MF
OO
(4.27)
Dacă se schimbă punctul de reducere în O’, torsorul își va modifica
doar momentul a cărei variație la schimbarea polului este dată de relația
(4.5).

FOO M MF
O OO
(4.28)

Fie un rigid acționat în punctele A1, A2,……, A n, de forțele
1F ,
2F,…..,
nF
, (fig. 4.8,a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O, este definit de
vectorul de poziție
ir . Pentru a afla efectul mecanic produs în O de
acțiunea simultană a forțelor din sistem , este necesar să se reducă, pe
rând, toate forțele sistemului . Se va obține astfel , în O, două sisteme de
vectori concurenți:
 sistemul de forțe
1F ,
2F,…..,
nF , cu rezultanta
i n F F FFR …..2 1
(4.29)
 sistemul de cupluri
1M ,
2M ,…..,
nM , cu moment ul rezultant:
i i i n O Fr M M M M M …..2 1
(4.30)

58
Forța rezultantă
R și momentul rezultant
OM reprezintă împreună
un sistem de forțe echivalent cu sistemul dat, și poartă denumirea de
torsorul de reducere în punctul O .



i i Oi
OFr MF R
(4.31)
Procedând identic pentru ul alt punct O’, și efectuând reducerea
sistemului de forțe inițial, se obține torsorul de reducere:
 



i i i n Oi n
OFr M M M M MF F FFR
……….
2 12 1
(4.32)
Așadar, momentului față de punctul
O devine :
    

ROO MF OOFrFr FOO FrOO Fr M
O i i ii i i i i i i O ) (
(4.33)
Torsorul în punctul O’ exprimat în funcție de elementele torsorului în
punctul O este:



ROO M MF R
O Oi
O
(4.34)

59
Se observă că rezultanta rămâne aceiași în raport cu puncte diferite
de reducere, altfel spus forța rezultantă este un invariant al sistemului de
reducere într -un punct al unui sistem de forțe .
De asemenea , se deduce și că momentul rezultant se modifică cu
schimbarea punctului de reducere.
Dacă se efectuează produsul scalar
OMR , care poartă numele și
de trinom invariant , și dacă se ține seama de faptul că produsul mixt
0) ( ROOR
pentru că este un produs mixt de vectori coplanari, se
va obține:
O O O MR ROO MR MR  ) (
(4.35)
Din relația (4.35) se observă că trinomul invariant
OMR este al
doilea invariant al operației de reducere.
Forma analitică a trinomului invariant
OMR este:
z z y y x x O MR MR MR MR 
(4.36)
Proiecția momentului rezultant
OM pe direcția rezultantei
R este:
2 2 2
z y xz z y y x x
O R O RR R RMR MR MR
RRM uM M

(4.37)
Proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei
RM este
raportul a două mărimi invariante (
OMR și
R ), așadar va fi tot o
mărime invariantă a operației de reducere (fig. 4.8,b). Astfel :
  cos cosO O R M M M 
(4.38)
Conform relațiilor (4.35) și (4.37), trinomul invariant și proiecția
momentului rezultant pe direcția rezultantei nu sunt două mărimi invariante
independente. La reducerea într -un punct a unui sistem de forțe există doi
invarianți,
R și
OMR .
Vectorul
RM , coliniar cu rezultanta
R se va scrie:
RR
RMRu M MO
R R R
(4.39)

60

Atunci când reducerea sistemului de forțe se face în diferite puncte
ale rigidului, se constată că torsorul de reducere este diferit dom cauza
modificării momentului rezultant.
Se descompune momentul rezultant
OM , în două componente:
RM ,
în funcție direcția rezultantei
R și
NM , urmând direcția situată într -un
plan normal la direcția rezultantei (intersecția dintre planul normal la
rezultanta
R și planul definit de vectorii
R și
OM ):
N R O M M M
(4.40)
Datorită faptului că componenta
RM este invariantă, rezultă deci că
modificările momentului
OM se datorează componentei
NM , care, în funcție
de punctul de reducere , poate avea orice valoare și orice poziție în planul
normal pe rezultanta
R . Înseamnă că proiecția momentului rezultant pe
direcția rezultantei este valoarea minimă pe care o poate lua momentul atunci
când se face reducerea sistemului de forțe în diferite puncte .
minM MR
(4.41)
Torsorul format din rezultanta
R și momentul minim,
minM se
numește torsor minim .


RR
RMRMF R
Oi
minmin
(4.42)
În cazul torsorului minim, rezultanta
R și momentul minim
minM
sunt vectori coliniari. Locul geometric al punctelor în care torsorul are
valoare minimă, se numește axă centrală.
Fie un punct curent P(x, y, z), de pe axa centrală (fig.4.9), momentul în
acest punct, conform legii de variație a momentului la schimbarea polului este :
   k yR xR Mj xR zR Mi zR yR MR R Rz y xkj i
kMjMiMR OP M M
x y z z x y y z xz y xz y x O P
) ( ) ( ) (  
(4.43)

61

Condiția de coliniaritate a vectorilor
PM și
R este:
R MP

sau:
) ( kRjRiR kMjMiMz y x Pz Py Px  
(4.44)
Rezultă:
zPz
yPy
xPx
RM
RM
RM
(4.45)
Înlocuind valorile din relația (4.43) în (4.45) se obține ecuația axei
centrale , care este de fapt ecuația unei drepte în spațiu:

zx y z
yz x y
xy z x
RyR xR M
RxR zR M
RzR yR M ) ( ) ( ) ( 
(4.46)

62

Sisteme echivalente
Conform proprietăților de reducere ale unui sistem de forțe aplicat
unui rigid , pot fi deduse cele patru cazuri posibile de reducere ale
sistemului, la cel mai simplu sistem echivalent :
 Cazul 1:
0R ;
0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
nul, atunci sistemul dat este egal cu un sistem de forțe în
echilibru . În acest caz, rigidul asupra căruia acționează acest tip
de sistem de forțe este în echilibru.
 Cazul 2:
0R ;
0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
format din momentul rezultant
OM , atunci respectivul s istemul
de forțe este echivalent cu un cuplu de forțe care acționează
într-un plan perpendicular pe
OM .
 Cazul 3:
0R ;
0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
format din forța rezultantă
R , atunci sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată în O.
 Cazul 4:
0R ;
0 MO . În cazul în care cele două elemente
ale torsorului sunt diferite de zero, atunci avem:
 Subcazul 4a:
0OMR , în care c ei doi vectori sunt
ortogonali. În acest subcaz, s istemul de forțe este echivalent
cu o forță unică
R , având ca suport axa centrală , în vreme ce
momentul minim
minM are valoarea nulă.
 Subcazul 4b:
0OMR , în care între cei doi vectori se
formează un unghi
2/ . În acest subcaz, sistemul de
forțe este echivalent cu un torsor minim pe axa centrală, adică
are o forță
R și un moment minim
minM . Acest tip de sistem
imprimă corpului o mișcare elicoidală în jurul axei centrale.

63

Un sistem de forțe concure nte este acel sistem care acționează
asupra unui rigid, c u condiția ca suporturile lor sunt concurente într -un
punct.
Fie un sistem de forțe
iF , aplicate unui rigid în punctele Ai, (i = 1, 2,
…, n) , cu suporturi concurente în punctul O (fig. 4.10).
Datorită faptului că forțele
iF sunt vectori alunecători , pot fi
deplas ate pe sup orturile lor până când p unctele Ai coincid cu punctul O.
În acest caz, torsorul în punctul O pentru acest sistem de forțe este:


0Oi
OMF R
(4.47)

Se construiește rezultanta
R , care reprezintă torsorul minim , iar axa
centrală va deveni suportul  al rezultantei.
Pot fi aplicate în acest caz două cazuri de reducere , și anume :
 Cazul 1 :
0R ;
0OM , caz în care sistemul de forțe este
echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
 Cazul 2:
0R ;
0OM , caz în care sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată în O.

64

Forțele ale căror suporturi sunt situate în același plan [ P] poartă
denumirea de forțe coplanare . Dacă se reduce sistemul de forțe în punctul
O, aflat pe pla nul [P], se va obține torsorul sistemului pentru punctul O.
Acesta este format din forța rezultantă
R și momentul rezultant
OM ,
perpendicular pe planul forțelor (momentul re zultant
OM , reprezintă suma
vectorială a momentelor forțelor din sistem, calculate în raport cu punctul O
și care sunt prin definiție, perpendiculare pe planul forțelor).
Trinomul invariant este
0OMR .
În cazul sistemelor de forțe coplanare se pot aplica cazurile de
reducere de mai jos:
 Cazul 1:
0R ;
0OM , caz în care avem de-a face cu un
sistem de forțe în echilibru.
 Cazul 2:
0R ;
0OM , caz în care sistemul de forțe dat este
echivalent cu un cuplu de forțe de moment
OM care acționează
perpendicular pe planul forțelor.
 Cazul 3:
0R ;
0OM , caz în care sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată pe axa centrală care
trece prin O.
 Cazul 4:
0R ;
0OM ;
0OMR , caz în care sistemul de
forțe este echivalent cu o forță unică
R , aplicată pe axa
centrală.
Dacă se studiază din punct de
vedere analitic sistemul de forțe coplanar
(fig.4.11) , se consideră ca plan al forțelor
planul Oxy, de ecuație, z = 0 . Forțele
iF
și vectorii de poziție
ir , ai punctelor de
aplicație Ai, ale forțelor au expresiile:

jyixrjFiFFi i i iy ix i  ;
(4.48)

65




 
  
kMkMkFy Fx
F Fy xkj i
Fr MjRiRjF iF F R
O z ixi iyi
iy ixi i i i Oy x iy ix i
O) (
00 (4.49)
Dacă se aplică cazul 4 de reducere , și anume
0R ;
0OM ;
0OMR
, axa centrală se obține din ecuația generală a acesteia (4.45),
termenii ecuați ei fiind dați de relația (4.49) , adică:
0) ( 0 0 x y O
y xyR xR M
R R
(4.50)
sau:
x y O yR xR M
(4.51)

Dacă suporturile sistemului de forțe
iF , (i = 1, 2, …,n) unt paralele
cu o direcție comună de versor
u, atunci se consideră că acestea
formează un sistem de forțe paralele (fig.4.12).
În aces t caz, O forță
iF din acest sistem poate fi definite în funcție
de versor ul
u, astfel:
uFFi i
(4.52)
unde Fi este o mărime algebrică, fie pozitivă , fie negativă, în funcție
de orientarea forței versorului
u (în același sens sau în sens contrar ).
În acest caz, rezultanta sistemului este:
uF uF F Ri i i ) ( 
(4.53)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrică a scalarilor forțelor.
Momentul rezultant în punctul O este:
   urF uFr Fr Mii i i i i O ) ()(
(4.54)
Datorită coliniarității a doi termeni din produsul mixt , trinomul
invariant are expresia:
0 ) () (    urF uF MRii i O
(4.55)

66

Pentru un sistem de forțe paralele , cazurile de reducere sunt:
 Cazul 1:
0R ;
0OM , în care sistemul de forțe este
echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
 Cazul 2:
0R ;
0OM , în care sistemul dat este echivalent
cu un cuplu de forțe de moment
OM perpendicular pe direcția forțelor.
 Cazul 3 :
0R ;.
0OM , în care sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată în O.
 Cazul 4:
0R ;
0OM ;
0OMR , în care sistemul de
forțe este echivalent cu o forță unică
R , aplicată pe axa centrală.
Axa centrală este reprezentată de locul geometric al punctelor în
care momentul este nul, datorită fap tului că
0OMR .
Axa centrală poate fi aflată cu ajutorul relației (4.43) , care exprimă
momentul într -un punct curent P situat pe axă , în care
r OP este
vectorul de poziție al acestu i punct .
0 R OP M MO P
(4.56)

67
Înlocuind pe
R și
OM cu expresiile date de relațiile (4.53) și (4.54),
obținem:
  0 ) ( ) ( uF rurFi ii
(4.57)
Dacă în al doilea produs vectorial se schimbă poziția factorului scalar,
atunci :
  0 ) ( ) ( urF urFi ii

0 ) (  urF rFi ii
(4.58)
În cazul în care produsul vectorial este nul, cei doi vectori sunt coliniar i.
u rF rFi ii '
(4.59)
Vectorul de poziție al punctului curent P, de pe axa centrală este:
uF FrFr
i iii
'
(4.60)
Dacă not ăm

iF' , rezultă:
uFrFr
iii

(4.61)
Relația (4.61) este ecuația vectorială a axei centrale , reprezentată în
fig. 4.12, și care este o dreaptă paralelă cu direcția comună a sistemului de
forțe dată de versorul
u care trece printr -un punc t fix C. Acest punct
poartă denumirea de centrul forțelor paralele .
Vectorul de poziție al centrului forțelor paralele este:

iii
CFrFr
(4.52)
Coordonatele centrului forțelor paralele C sunt:


  
iii
C
iii
C
iii
CFzFzFyFyFxFx ; ;
(4.63)

68
Proprietățile centrului forțelor paralele
1. În cazul în care toate forțele componente sunt rotite în același
sens și cu același unghi, atunci i axa centrală se va roti în același sens și cu
același unghi . Datorită faptului că vectorul
Cr nu depinde de versorul
direcției comune , rezultă că axa va trece întotdeauna prin punctul C.
2. În cazul în care toate forțele sunt multiplicate sau împărțite cu
același r aport k, poziția centrului forțelor paralele nu se schimbă .
Înlocuind forțele
iF cu
iFk obținem:
C
iii
iii
C rFkrFk
kFrkFr 

'
3. Datorită faptului că Centrul forțelor paralele este o caracterist ică
esențială a sistemului de forțe, acesta nu depinde de sistemul de referință .
Fie noua origine a sistemului, O’ și
OrOO' . Vectorii de poziție ai
punctelor de aplicație ale forțelor în raport cu noua origine pot fi scriși sub
forma:
i O i rr'r . În acest caz, vectorul de poziție al centrului forțelor
paralele raportat la noul sistem va deveni :
C O
iii
ii O
ii Oi
iii
C rrFrF
FFr
FrrF
FrFr 



 ) ( ''

Cu alte cuvinte, chiar dacă vectorul de poziție al centrului forțelor
paralele s -a modificat la fel ca pentru oricare punct Ai. poziția ce ntrului C
față de punctele Ai nu rămâne neschimbată .
4. Vectorii forță sunt vectori legați . Din cauză că centrul forțelor
paralele are o existență intrinsecă, rezultă că poziția acestuia este în funcție
de poziția punctelor de aplicație și scal ării forțelor. În cazul în care se
consideră că forțele sunt vectori alunecători , atunci punctul C nu mai are
semnificație.

Forțele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptă AB, situat
pe axa Ax, de lungime l, sunt distribuite după o le ge de variație, p = p(x)
(fig.4.13). Se urmărește determinarea rezultantei,
R și poziția centrului
forțelor paralele, xC.
Notăm prin p(x), forța pe unitatea de lungime la distanța x, de
capătul A, măsurată în N/m. Mărimea rezultantei
R se obține prin
integrarea pe lungimea x, a forței elementare, dR, creată de forța
distribuită p(x) considerată constantă pe elementul infinitezimal dx.

69

l
AB dxxp dR R
0)( (4.64)
Expresia poziției centrului forțelor
paralele distribuite pe C se define ște prin
abscisa, xC, adică:

ll
ABAB
C
dxxpxdxxp
dRxdRx
00
)()(
(4.65)
Suportul rezulta ntei R trece prin centrul C de g reutate al suprafeței,
mărimea acesteia fiind de fapt aria câmpului de distribuție al forței .
Ținând cont de legea variație i forțelor distribuite , se pot lua în
considerare cazurile de mai jos :
a. Forță distribuită uniform , caz în care forța este constant
distribui tă pe lungimea barei (fig. 4.14), iar legea de variație este:
p(x) = p = ct . (4.66)

pl px pdx Rll
00
(4.67)
22
002
00 l
xx
pdxpxdx
xll
ll
C 

(4.68)

Sarcină uniform distribuită înseamnă că este echivalentă cu sarcină
concentrată R = pl aplicată la mijlocul porțiunii încărcate.
b. Forță distribuită triunghiular . În acest caz, valoarea maximă
a forței distribuite este p (fig.4.15) , iar lege a de variație pe
lungimea barei este:
lxp)x(p
(4.69)

70

2 202
0pl
lpxdxlxp Rll
 (4.70)
32
23
0203
00 l
xx
dxlxpxdxlxp
xll
ll
C  

(4.71)

Sarcin a distribuită triunghiular este echivalentă cu forță de mărime
2plR
, aplicată la distanța
l xC32 , de capătul A.

c. Forță distribuită parabolic . În acest caz, valoarea maximă a
forței distribuite este p (fig. 4.16), iar legea de varia ție pe
lungimea barei este:
22
)(lxpxp
(4.72)
3 3023
022pl
lpxdxlxp Rll
 
(4.73)

43
34
0304
022022
l
xx
dxlxpxdxlxp
xll
ll
C  

(4.74)

Sarcin a distribuită parabolic este echivalentă cu sarcin a concentrată
de mărime,
3plR , aplicată la o distanță
l xC43 , de capătul A.

71

Problema 4.3.1
Se consideră un cub rigid de
muchie a, asupra căruia acționează
forțele
1F ,
2F,
3F și
4F de module
P F F3 1
,
24 2 P F F ca în
figura 4.17 . Să se reducă sistemul de
forțe în O și să se reprezinte torsorul.
Să se determine momentul minim și să
se arate cu ce este echivalent sistemul de forțe; să se scrie ecuațiile ariei
centrale; să se calculeze torsorul într -un punct oarecare al axei central e.
Rezolvare
Proiecțiile pe axe ale forțelor și momentelor în raport cu axele de
coordonate sunt date într -un tabel de forma:
Fix Fiy Fiz Mox Moy Moz
F1 0 0 P 0 0 0
F2 -P 0 P 0 -aP 0
F3 0 0 P Pa -Pa 0
F4 P 0 P Pa 0 -Pa
 Oi ijMF;
0 0 4P 2Pa -2Pa -Pa
kP
OEOEFF PF 1 1 1

kPiPakaiaP
AEAEF F 222 2

 kaia kzzjyyixx AEA E A E A E 

 22 2 2a zz yy xx AEA E A E A E 

72

kP
BGBGF F P F 3 3 3
kPiPakaiaP
CGCGF F P F 22 24 4 4

 0
000001 1 1 1 0  
Pkji
F OOFr FM

 jaP
P Pakj i
F OEFr FM 

00 02 2 2 2 0

 jPaiaP
Paaakji
F OGFr FM  
003 3 3 3 0

 kPaiPa
P Pakji
F OC Fr FM  
00 04 4 4 4 0




k M j M iM MkF j F iF R
iz iyixiz iyix
00


kPajPaiPa MkP R
2 24
00



00
00MR

În acest caz putem vorbi de echivalență pe axa centrală. Pe axa
centrală vom avea:
0 0MR

0 420 aP MR

73
torsorul minimal pe axa centrală:





RR
RMRMR
0
minmin

kPaPkPPa
RRM M 44
minmin
Torsorul minimal este format din
R care este un invariant al
sistemului și
minM .



kPa MkP R
minmin4
Ecuațiile axei centrale:

zx y z
yz x y
xy z x
RyR xR M
RxR zR M
RzR yR M 0 0 0 ,
unde M0x, M oy, M oz sunt proiecțiile momentelor pe axe,
xR ,
yR,
zR
reprezintă proiecțiile rezultantei pe axe și x, y, z sunt coordonatele unui
punct mobil care descriu axa centrală.
PPa Px Pa zPy Pa
4 04 2
00 4 2 

2ax ;
2ay
Problema 4.3.2
Se consideră un cub rigid de
muchie a, asupra căruia acționează un
sistem de forțe, pentru care se cunosc
modulul forțelor
P F 21 ;
32P F ;
2
1Pa M
. (figura 4. 18).

74
Se cere să se determine torsorul de reducere în punctul O, să se
arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală și să se determine
ecuațiile axei centrale.

Rezolvare
Proiecțiile pe axe ale forțelor și momentelor în raport cu axele de
coordonate, sunt reprezentate într -un tabel de forma:
Fix Fiy Fiz M0x Moy Moz
F1 2P 0 0 0 2Pa -2Pa
F2 -P -P P Pa -Pa 0
M1 0 0 0 Pa 0 -Pa

P -P P 2Pa Pa -3Pa
iPaiaP
GDGDFF 2 2 11 

kzzjy yixx GDG D G D G D 

2 2 2
G D G D G D zz y y xx GD 

 iakaajaaioa GD 

a a GD 2

kPjPiPakajaiaP
BFBFF F 33 22

kajaia BF 

 32 2 2a a a a BF 

 kPajPa
Paakji
F OG Fr FM 2 2
00 20 1 1 1 1 0  

 jPaiPa
PP Pakj i
F OF Fr FM 
 0 0 2 2 2 2 0

75

kPaiPa
a akaiaPa
AFAFM M 
 
2 21 1 2


kPajPaiPa MkPjPiPR
3 200

Torsorul este format dintr -o rezultantă și un moment.
Dacă
0 0MR , rezultă că pe axa centrală vom avea numai
rezultantă (avem forță unică).
Dacă
0 0MR , rezultă că pe axa centrală vom avea torsorul
minimal, și anume:





RR
RMRMR
0
minmin

aP aPaPaP MR2 2 2 20 2 3 2 
cum
0 0MR , rezultă că pe axa centrală avem torsor minimal.
Torsorul minimal este format din
R și
minM :

kPajPaiPa
PkPjPiPPa
RR
RMRM32
32
32
3 32 0
min 

Ecuațiile axei centrale:

zx y z
yz x y
xy z x
RyR xR M
RxR zR M
RzR yR M 0 0 0 ,
unde M0x, M oy, M oz sunt proiecțiile momentelor pe axe,
xR ,
yR,
zR
reprezintă proiecțiile rezultantei pe axe și x, y, z sunt coordonatele unui
punct mobil care descriu axa centrală.

PPyPx Pa
PPxPz Pa
PPzPy Pa  3 2

xPzPaPzPyPaP2 2 2 2 2 22 

xzazya 2



0 2 50 2 3
xzy axzya

76
Problema 4.3.3
Se dă un cub rigid de muchie l,
acționat de sistemul de forțe paralele
din figura 4.19 . Modulele forțelor sunt:
P F F 2 1
;
P F F F 2 5 4 3 
Se cere să se determine: a)
torsorul de reducere în O; b) suportul
rezultantei; c) considerând sistemul de
forțe ca vectori legați cu originile în
punctele indicate pe figură, să se
determine centrul forțelor paralele.

Rezolvare
a) Componentele torsorului de
reducere în O sunt date de tabelul
următor:
Zi Mix Miy
F1 -P 0 Pl
F2 -P -Pl 0
F3 2P 2Pl -Pl
F4 2P Pl -Pl
F5 2P 0 -Pl

4P 2Pl -2Pl
Torsosrul în O are componentele:


jPliPl MkP R
2 24
00

b) Suportul rezultantei se poate obține cu formula generală a axei
centrale sau cu teorema lui Varignon. Expresia ei este:
PPx Pl Py Pl
40
04 2
04 2

De aici, ecuațiile axei centrale se pot pune sub forma:
21x ;
21y .
c) Centrul forțelor paralele are următoarele coordonate, date de
expresiile:

2l
FxF
iii ;
2l
FyF
iii ;
43l
FzF
iii

77
Problema 4.3.4
Se consideră un paralelipiped
(figura 4.20) avand dimensiunile
a OA 5
;
a OB 3 ;
a OC 4 asupra
căruia acționează forțele
1F ,
2F,
3F și
4F
de module
P FF 102 1 ;
P F 2103
si 2 doua cupluri de forte
de module
Pa M1 ;
Pa M 21 .
Să se reducă sistemul de forțe
în O și E. Să se determine momentul
minim și să se arate cu ce este
echivalent sistemul de forțe; să se
scrie ecuațiile ariei centrale.

Rezolvare:
i iMF;
Fix Fiy Fiz Mx Mz Mz
F1 10P 0 0 0 0 0
F2 0 6P -8P -24Pa 0 0
F3 -10P -6P 8P 24Pa -40Pa 0
M1 – – – 0 0 -Pa
M2 – – – -2Pa 0 0

0 0 0 -2Pa -40Pa -Pa
iPOAOAF F 1011

kPjP
a akajaPCBCBF F 8 6
16 94 310
2 22 2 


 kPjPiP
a a akajaiaPDCDCF F 8 6 10
16 9 254 3 5210
2 2 23 3 


 0
00 1000 511 0  
Pakj i
FOA FM

78

 iPa
P Pak ji
F OB FM 24
8 600 3022 0 

 jPa iPa
P P Pak j i
F OC FM 40 24
8 6 104 0 033 0 




kPajPa iPa MR
40 20
00




 
kPajPa iPa aaakj i
kPajPa iPa R OE M MR
EE40 2
0 0 04 3 5 40 20
0

Cazul de reducere:
 0 0MR
sistemul este echivalent cu un cuplu de forte.
Axa centrală nu are sens fizic, deoarece rezultanta sistemului de forțe
este nulă.

Problema 4.3.5
Se consideră o pisma triunghiulara, avânt dimensiunile laturilor:
OA=2a; OB=3a; OC=4a, asupra căruia acționează un sistem de forțe,
pentru care se cunosc modulul forțelor
P F 51
;
292P F ;
P F3 ;
Pa M 6
. (figura 4.21) .
Se cere să se determine torsorul
de reducere în punctul O si punctul A ,
să se arate cu ce este echivalent
sistemul dat pe axa centrală și să se
determine ecuațiile axei centrale.

79
Rezolvare

kPjP
zz yy xxkzzjyyixxFBCBCF uF F
B C B C B CB C B C B C4 3
2 2 21 1111 


kPjPiPDADAF uF F 4 3 22222 
iPCECEFuF F 3333

 iPa
P Pak j i
F OC FM 12
4 3 04 0 011 0 


 kPajPa
P P Pa ak j i
F OD FM 6 8
4 3 24 3 022 0 


 jPa
Pa akji
F OE FM 4
0040 233 0  

i tMF;
Fix Fiy Fiz Mx Mz Mz
F1 0 -3P 4P 12Pa 0 0
F2 2P -3P -4P 0 8Pa -6Pa
F3 P 0 0 0 4Pa 0
M – – – 0 0 6Pa

3P -6P 0 12Pa 12Pa 0


jPa iPa MjPiP R
12 126 3
00
;
aP MRT
kPa jPa iPa ROA M MjPiP R
AA20
066
12 12 26 3



80

aP MRTkPa
P Pakj i
R OA A266 12
0 6 30 0 2 


Cazul de reducere: torsor minimal.

aP MRTjPiP jPiPPaPRRMRM
2min22
20
min
6625226 34566


 


jPaiPa MjPiP R
25226 3
minmin


zx y Oz
yz x Oy
xy z Ox
RyR xR M
RxR zR M
RzR yR M

03 6
24
36 2 yx za z a






2 10 02 1
;1516
3 12 4 120 2
y xy xy x
a zz a azyx

81

Problema 4.4.1
Pe un cub rigid de muchie a,
(figura 4.22) , acționează un sistem de
forțe, ale căror module sunt:
26 5 4 3 2 1 PFFFFFF 
. Se
cere sa se determine:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul
de forțe și cupluri;
c) Ecuațiile axei centrale;

Problema 4.4.2
Piramida din figura 4.23 , are
baza un pătrat de latură a și înălțimea
de 3a, iar mărimile forțelor sunt:
P F F F F  3 4 2 1
;
10 6 5 P F F
. Se cer: cât este
σ0, echivalența și ecuația axei centrale.

Problema 4.4.3
Se consideră sistemul de forțe
aplicate paralelipipedului rigid din figura
4.24, unde:
a OC OA ;
a OO 21 ,
iar forțele sunt:
2 1P F ;
6 2P F ;
2 1Pl M
. Se cer:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de
forțe și cupluri;
c) Ecuațiile axei centrale;
d) Torsorul de reducere în punctele
A1, B1, C1, O1.

82

Problema 4.4.4
Se dă sistemul de forțe aplicate paralelipipedului rigid din figura 4.25,
unde:
a OA ;
a OC 3 ;
a OO 31 ,
iar forțele sunt:
P F 21 ;
2 32 P F
;
20 143 P F ;
Pa M 61
.
Se cer:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul
de forțe și cupluri;
c) Ecuațiile axei centrale;
d) Torsorul de reducere în punctul A și C.

4.5. Centre de greutate (centre de masă)
Se știe că toate corpurile de pe suprafața Pământului sunt supuse
forței de atracție a acestuia , adică asupra unui corp de masă m se exercit ă
o forță, proporțională cu masa corpului, numită greutate.
gmG
(4.75)
unde
g , este accelerația pământului, formată de rezultanta dintre
accelerația gravitațională (adică a forței gravitațional e) și accelerația de
transport ( rezultanta mișcării de rotație a Pământului).
Este cunoscut faptul că valoarea accelerației terestre
g variază în
funcție de latitudine și altitudine , dar din cauză că aceste variații sunt mici,
s-a convenit să fie neglijate. În consecință , în calcule se consideră că
valoarea medie g = 9,81 m/s2.
De asemenea, datorită faptului că raportul dintre dimensiunea
corpuril or folosite în general și dimensiunea pământului este foarte mic, s-a
convenit să se considere că greutățile forțelor, a căror vector este în dreptat
după verticala locului, sunt paralele. S-a ajuns astfel ca această problemă
să reprezinte de fapt un caz particular de forțe paralele, prezentat mai jos.

83

Fie un sist em de puncte materiale A i de mase m i și vectori de poziție
ir
, (i = 1, 2, …,n), în raport cu originea O a sistemului de axe.
Greutatea sistemului este:
 Mg mggm G Gi i i .
(4.76)
Greutatea va fi aplicată în centrul forțelor paralele de gr eutate,
iG
(fig. 4.26), adică în centrul de greutate a l sistemului.

Vectorul de poziție al centrului de greutate C, conform relației (4.52)
este:

iii
CGrGr
(4.77)
Dacă se înlocuiește relația (4.76) în (4.77) , se obține :



iii
iii
iii
Cmrm
gmrgm
GrGr
(4.78)
Aceasta este demonstrația faptul ui că centrul de greutate C este un
element geometric, care depinde de modul de distribuire a masel or din
punctele A i, justificându -se deci denumirea de centrul de masă.
Proiecțiile pe axe ale vectorului
Cr sunt coordonatele centrului de
masă:

84



  
iii
C
iii
C
iii
Cmzmzmymymxmx ; ; (4.79)
Expresiile
iixm ,
iiym ,
iizm se numesc momente statice ale
sistemului față de planele
Oyz ,
Oxz și
Oxy , iar expresia
iirm
reprezintă momentul static al sistemului față de punctul O.
Cu ajutorul acestor mărimi se poate caracteriza felul în care este
distribuită masa unui sistem de puncte materiale.
Din relațiile (4.78) și (4.79) rezultă că:
C ii rMrm
;
C ii Mxxm ;
C ii Myym ;
C ii Mzzm (4.80)
Aceasta este teorema momentului static , adică momentul static al
unui sistem de puncte materiale în raport cu un punct este egal cu masa
sistemului înmulțită cu vectorul de poziție al centrului de greutate în raport
cu acel punct . Altfel spus, momentul sta tic al unui sistem de puncte
materiale în raport cu un plan de referință este egal cu masa sistemului
înmulțită cu distanța de la centrul său de greutate la acel plan.

S-a convenit ca în mecanică să se admită că toate corpurile rigide
sunt dintr-un material nedeformabil , adică fiecare punct al corpului,
considerat la scară macrosco pică, are masă , distanțele dintre aceste puncte
rămânând aceleași oricare ar fi efortul care acționează asupra corpului.
Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obținute în caz ul sistemelor
de n puncte materiale, se consideră corpul divizat în volume elementare
iV
, care au masa
im . Vectorul de poziție al centrului de greutate,
conform relației (4.78) este:


ii i
Cmmrr
(4.81)
Trecând la limită, când
0im și
n , atunci sumele din
relația (4.81) devin integrale definite pe domeniul ocupat de corp. Acest
domeniu se notează cu (D) în cazul general, iar în cazul barelor, plăcilor și
al blocurilor, respectiv cu ( l ), (S) și (V). Astfel se obțin:


DDi
cdmdmrr
;


DDi
dmdmx ;


DDi
dmdmy ;


DDi
dmdmz (4.82)

85
În relația (4.83)
ir ,
ix,
iy,
iz sunt vector i de poziție, adică sunt
coordonate ale centrului de greutate al elementului de masă dm considerat.
Expresiile
)(Ddmx ,
)(Dydm ,
)(Ddmz reprezintă momentele
statice ale corpurile în raport cu planele axelor Oyz, Oxz, Oxy, iar
)(Ddmr
reprezintă momentul static în raport cu punctul O.
Din relațiile (4.82) se deduce teorema momentului static în cazul
corpurilor , și anume:
c D rM dmr)(
;
M dmxD)( ;
M dmyD)( ;
)(D M dmz (4.83)
Relația (4.83) se poate enunța identic ca în caz ul sistemelor de
puncte materiale.
În vederea studiul ui centrului de greutate al corpului , este necesar ă
introducerea noțiunii de densit ate medie (altfel spus masă volumică medie),
definită conform relației :
ii
medVm

(4.84)
Trecând la limită, când
0iV se obține densitatea (masa
volumică) :
dVdm
(4.84)
În mecanică, corpurile se împart în bare (linii materi ale), plăci
(suprafețe materiale) și blocuri (volume materiale) .
Ele se definesc conform tabelului de mai jos:

Corp Densitate Densitate medie
Bare
dsdm
l
sm
medl
Plăci
dAdm
A
dAdm
medA
Blocuri
dVdm
Vm
med

86
Dacă corpurile sunt omogene și izotrope , se consideră că densitatea
este constantă, altfel spus
const .
Dacă corpurilor sunt neomogene, atunci densitatea variază:
),,( zyx
(4.85)
Analizând relațiile (4.82) până la (4.85) se obține :
 pentru bare omogene



dsdsrrc
, (4.86)
respectiv :



dsdsx
,



dsdsy ,



dsdsz ; (4.87)
 pentru plăci omogene:


ss
cdAdArr
, (4.88)
respectiv:


ss
dAdAx
,


ss
dAdAy ,


ss
dAdAz ; (4.89)
 pentru b locuri omogene


VV
cdVdVrr
, (4.90)
respectiv:


VV
dVdVx
,


VV
dVdVy ,


VV
dVdVz ; (4.91)
Se deduce din relațiile (4.86) până la (4.91) faptul că, pentru
corpurile omogene, centrul de greutate are un caracter geometric , în vreme
ce pentru corpurile neomogene, se poate scrie:


DD
cdVzyxdVrzyxr,,,,

(4.92)

87
respectiv:


DD
dVzyxdVxzyx
,,,,

,


DD
dVzyxydVzyx
,,,,
 ,


DD
dVzyxdVzzyx
,,,,
 (4.93)
Principalele proprietăți ale centrului de greutate sunt:
 ca și în cazul centrul ui forțelor paralele , poziția centrului de
greutate nu depinde de sistemul de axe ales , reprezentând deci
un punct intrinsec al sistemului.
 în cazul în care corpul admite un plan de simetrie (geometric și
masic) , centrul de greutate se află în acest plan.

Teorema 1. Aria suprafeței generată prin rotirea completă a arcului
de curbă în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează , este
egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă și lungimea cercului
descris de centrul de greutate al curbei.
Elementul de arc MM’ = dl generează prin rotație, o suprafață conică
având generatoarea dl și raza medie y (fig.4.27, a).
ydl dA2
(4.94)
Prin integrare rezultă aria:
ly ydl ydl AC l l   2 2 2)( )(    
(4.95)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
ly ydlC l)(
(4.96)
Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeței în
jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează , este egal cu
produsul dintre aria suprafeței respective și lungimea cercului descris de
centrul de greutate al suprafeței.
Volumul elementar dV care rezultă prin rotirea completă a elementului
de suprafață dA poate fi considerat ca diferența volumelor a doi cilindri
elementari de înălțime dx și raze ( y+dy), respectiv y (fig.4.27, b) .
dA ydxdy dxy dxdyy dV    2 2 ) (2 2
(4.97)
În relația (4.97), termenul
0 )(2dxdy are în produs un infinit
mic, de ordin superior.

88
Volumul total este:
Ay ydA ydA dV VC A A A   2 2 2)( )( )(     
(4.98)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
Ay ydAC A)(
(4.99)

4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale

1. Arc de cerc
Fie arcul de rază R definit la centrul
cercului de unghiul 2 α, (fig.4.28).





 sincos
R
RdRd R
dlxdl







,
. =, cos=

RddlRx

Distanța pe bisectoare de la centrul cercului la centrul de masă este:
sinROC
(4.100)

89
2. Sector de cerc
Fie sectorul de cerc de rază R,
delimitat la centru de unghiul 2 α,
(fig.4.29)
2
0
0cos
cos
2 cos
3R
RxdA r rd dr
dA rd dr
r dr d
R
rdr d












  

 
 



unde:
drrddA ; dA – element de arie.
Distanța , pe direcția bisectoarei, de la centrul cercului până la centrul
de masă se află în funcție de jumătate din unghiul la centru:
cos
32ROC
. (4.101)
3. Con
Fie un con circular drept, omogen, de
înălțimea h (fig. 4.30). La o distanță
considerată z de vârf se con struiește un
element de volum definit de 2 secțiuni paralele
cu baza la distanța dz între ele , și care poate fi
aproximat cu un cilindru de rază r. Centrul de
masă se află pe axa Oz, care este și axă de
simetrie. Se ți ne cont de proporționalitatea
hz
Rr=
de unde
zhRr= și deci
2
22
= zhRdV .
Cota
 a centrului maselor este:


dzrdzrz
dvzdy
22


. (4.102)
Centrul maselor unui con se află pe axa lui de simetrie la o distanță
de
h43 de vârf și
4h de bază.

90
4. Semisfera
Fie un element de volum între două
secțiuni paralele cu baza la distanța dz și
înălțime z, (fig. 4.31). Acesta poate fi
aproximat cu un cilindru de volum
dzr dV2=
, unde r se exprimă în
funcție de R ,
2 2 2z Rr .
Centrul de masă s e află pe axa de
simetrie (axa Oz).


83
02 202 2
R
dzz Rdzr Rz
dvzdv
RR







. (4.103)
Rezultă
83=R de bază.
4.7. Probleme rezolvate

Problema 4. 7.1
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.5.1
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.32 în domenii
simplu conexe.

91
Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.32.a) se calculează
poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

 llROC2
22sinsin
1 
.
Corp li xi yi lixi liyi

l 0
l2 0 2l2
C D
4l 3l 0 12l2 0
E

D 2l 5l l 10l2
5l2


( )+6l – – 22l2 7l2

Se calculează centrul maselor cu formulele:

622l
lxl
iii
,

67l
lyl
iii .

Problema 4. 7.2
Să se determine poziția centrului
maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.33.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare
omogene din figura 4.33 în domenii
simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu
formul ele:

iii
lxl
,

iii
lyl .

B

92
Corp li xi yi lixi liyi
A

B
10l
2l
23l
2102l
210 32l
4l
3l 0 12l2 0

3l 5l
23l
215l
292l


10 7l _ _



210272l
103922
l

102 1410 54
 l
lxl
iii
,
102 14)10 3(3
 l
lyl
iii .

Problema 4. 7.3
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.34
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.34 în domenii
simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

iii
lxl
,

iii
lyl .

B C
D
C

93
Pentru domeniul simplu conex AC (vezi fig.4.34.a) se calculează
poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

 22
422
44sinsin
1aa aRBC 
.
Corp li xi yi lixi liyi
A
C
2a
a2

aa2
2a
22
2aa
B
C
a
2a a
22a
2a
C

D a a
2a
2a
22a
D

E
2a
23a

2a
22 32a
222a


)2+2+2(a
– –
23522
a

( )+2+522a




224235a
lxl
iii
,


224) 2 5(a
lyl
iii
.

94
Problema 4. 7.4
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.35
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.35 în domenii
simplu conexe.

Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.35.a) se calculează
poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

 22
422
44sinsin
1aa aROC 
.
Corp li xi yi lixi liyi
B

A

2l

2l

2l

222l

222l

2l
l2

l2 -l2 l2
B C

95
C D

l
2l

l
22l

l2
D

E
l
l
2l

l2
22l



22 2l

–
–
2 122
l

2 522
l

Se calculează centrul maselor cu formulele:



2242 1l
lxl
iii
,



2242 5l
lyl
iii .

Problema 4. 7.5
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.36
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.36 în domenii
simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex CD (vezi fig.4.36.a) se calculează
poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

 26
4223
44sin3sin
1aa aROC  
.

96

Corp li xi yi zi lixi liyi lizi

3a
1,5a
4a
0
25,4a

212a

0
C B

4a
3a
2a
0
212a

28a

0

a5,1

a6
0
a6
a8

0
2a9

D

5a
0
2a
1,5a
0
210a

25,7a



5,112a – – –
25,24a
230a 16,5a2

Se calculează centrul maselor cu formulele:
5,1 125,24
 a
lxl
iii
,
5,1 1230
 a
lyl
iii ,
5,1 125,16
 a
lzl
iii
.

A C B

97

Problema 4. 7.6
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.37 .

Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.37 în domenii
simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex OC (vezi fig.4.37.a) se calculează
poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

 llROC2
22sinsin
1 
.
Corp li xi yi zi lixi liyi lizi
A

B
l
l
0
2l

l2
0
22l

l
2l
0 0
22l
0 0

l 0 l
l2
0
2l
22l
C D

2l
0
3l
0
0
6l2
0

98



( )+4l

–
–
–
232l

62l

252l

Se calculează centrul maselor cu formulele:
) 4(23
 l
lxl
iii
,


46 l
lyl
iii ,
) 4(25
 l
lzl
iii
.

Problema 4. 7.7
Pentru placa omogenă din figura 4.38 se cere să se determine poziția
centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe
desen.

Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.38 în domenii
simplu conexe.

99
Nr. Corp Ai xi yi Aixi Aiyi
1.

22l
3l
3l
63l
63l
2.
2l

2l
2l
23l
23l

3.
22l

0
34l
0
323l


322l

_
_
3l

0
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.38.a) se calculează poziția
centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.


34
22sin
32 sin
32
3llROC   
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

32l
AxA
iii
c
,
0
iii
cAyA .

Problema 4. 7.8
Pentru placa omogenă din figura 4.39 se cere să se determine poziția
centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe
desen.

100
Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.39 în domenii
simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:

iii
cAxA
,

iii
cAyA .

Pentru domeniul simplu conex 2 (vezi fig.4.39.a) se calculează poziția
centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.


324=
422
32=
44sin
32=sin
32=1ll lROC
.
Nr. Corp Ai xi yi Aixi Aiyi
1.
9l2
l23
l23
3
227l
3
227l
2.

42l
34l
34l
33l
33l
3.
3l2
311l l 11l3 3l3



)12+4(2l
–
–
61493l
61013l

) 48(3298
 l
AxA
iii
c
,
) 48(3202
 l
AyA
iii
c .

101
Problema 4. 7.9
Pentru placa omogenă din figura 4.40 se cere să se determine poziția
centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe
desen.

Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.41 în domenii
simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.41.a) se calculează poziția
centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.

 24=
44sin3
32=sin
32=3llROC
.

102
Nr. Corp Ai xi yi zi Aixi Aiyi Aizi
1.
6l2 l 0
l23
36l 0
39l

2.

292l
0
l
l
293l
0
293l

3.

492l
l4
l4
0
9l3
9l3
0



)49+221(2l _ _ _
2393l
9l3
21273l
Se calculează centrul maselor cu formulele:
9 4278
 l
AxA
iii
c
,
9 4236
 l
AyA
iii
c ,
9 4254
 l
AzA
iii
c
.

Problema 4. 7.10
Pentru corpul omogen din figura 4.42 se
cere să se determine poziția centrului
maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor
sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte corpul omogen din figura
4.42 în domenii simplu conexe.
Corpul are axă de simetrie Oz,
coordonatele pe Ox și pe Oy ale centrului
maselor sunt nule.
32
33 2R hRVcon
.
Pentru con centrul de masă se găsește
la
43 din înălțime.

103

R R R z25
2121 ,
3 22R hR Vcilindru  ,
323RVsemisfera .
Pentru semisferă centrul de masă se găsește la
83 din rază.
R z83
3
.
Nr. Corp Vi zi Vizi

1.

323R
R25
354R

2.

32R R
42R

3.

323R
R83
44R



3103R _
12414R
Se calculează centrul maselor cu formula:
4041R
VzV
iii
c  .
Problema 4. 7.11
Pentru corpul omogen din figura
4.43 se cere să se determine poziția
centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și
poziția axelor sunt indicate pe desen.

Rezolvare:
Se împarte corpul omogen din
figura 4.43 în domenii simplu conexe.
Corpul are axă de simetrie Oz,
coordonatele pe Ox și pe Oy ale centrului
maselor sunt nule.
33 2
33
3RR hRVcon 
.

104
Pentru con centrul de masă se găsește la
43 din înălțime.
43
41
1Rh z 
,
3 24R hR Vcilindru  .

Nr. Corp Vi zi Vizi

1.

3R
R43
434R

2.

34R

2R
48R



35R

_
4294R
Se calculează centrul maselor cu formula:
2029R
VzV
iii
c  .
Problema 4. 7.12
Se dă placa omogenă din figura
4.44. Dimensiunile plăcilor și poziția
axelor fiind indicate pe desen. Se cere să
se calculeze distanța l astfel încât centrul
maselor să se găsească pe axa Oy.
Rezolvare:
Se împarte placa omogenă din
figura 4.44 în domenii simplu conexe.

Nr. Corp Ai xi Aixi

1.

4a2
-a
-4a3
2.

al
3l
32al



laa4
_



22
43ala

105
Se calculează:
laa l
AxA
iii
c3 12122 2

.
Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca
c să fie
zero.
03 12122 2

laa l
.
Rezultă:
0 122 2a l
,
.32= ,32=, 12=2 12a la la l
Se consideră ca soluție acceptată valoarea pozitivă a lui l.

Problema 4. 7.13
Să se determine volumul suprafeței obținută prin rotirea plăcilor
omogene din figura 4.45 în jurul axei Ox.
Rezolvare:
Se împarte placa omogenă din figura 4.45 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.45.a) se calculează poziția
centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.


324
44sin
32 sin
32
1llROC   
.

106

Nr. Corp Ai yi Aiyi

1.

l2
2l
23l

2.

22l
3l
63l

3.

412l
34ll
3 43 3ll



23
42l _
423l

Se calculează volumul suprafeței obținută prin rotirea plăcii omogene
cu formula:
 42 2 23  l yA Vii
.
4.8. Probleme propuse
Problema 4. 8.1
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din
figura 4.46

107
Rezolvare:
Se calculează centrul maselor cu formulele:


22325,17l
lxl
iii
,


223)12(2l
lyl
iii .

Problema 4. 8.2
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare
omogene din figura 4.47

Rezolvare:


2 1489
 a
lxl
iii
,
2 149
 a
lyl
iii
,
2 143
 a
lzl
iii
.

Problema 4. 8.3
Pentru placa omogenă din figura 4.48 se cere să se determine poziția
centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe
desen.
Rezolvare:

12 188 15

a
AxA
iii

6 910

a
AyA
iii
c

108
Problema 4. 8.4
Pentru placa omogenă din figura 4.49 se cere să se determine poziția
centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe
desen.

Rezolvare:

Se calculează centrul
maselor cu formulele:

148l
AxA
iii
c
,

) 14(33 32
 l
AyA
iii
c
,

) 14(33 222
 l
AzA
iii
c
.

Problema 4. 8.5
Se dă placa omogenă din figura 4.50. Dimensiunile plăcilor și poziția
axelor fiind indicate pe desen. Se cere să se calculeze distanța l astfel încât
centrul maselor să se găsească pe axa Oy.
Rezolvare:
Se calculează centrul
maselor cu formulele

l RR l
AxA
iii
c4 32 322 2



)4 (32 32
l RRlR
AyA
iii
c


Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca
c să fie
zero.

04 32 322 2

l RR l
 .

109
Rezultă:

.32,32,32,0 2-3
2 122 2
R lR lR lR l


Se consideră ca soluție acceptată valoarea pozitivă a lui l.

Problema 4. 8.6
Să se determine aria suprafeței obținută prin rotirea barelor omogene
din figura 4.51 în jurul axei Ox.

Rezolvare:
5 8 2 22  r yl Aii 
.

Problema 4. 8.7
Să se determine volumul suprafeței obținută prin rotirea plăcilor
omogene din figura 4.52 în jurul axei Oy.

Rezolvare:

   3202 23l xA Vii
.