Cele mai cunoscute noțiuni din cunoștințele umane sunt Materia, mișcarea, spațiul și timpul . MMaatteerriiaa este categoria filozofică care… [613543]
Dorel STOICA
MECANICĂ.
TEORIE ȘI APLICAȚII
Loc casetă tehnică
Mecanică. Teorie și aplicații
3
I. INTRODUCERE
1.1. Generalități
Cele mai cunoscute noțiuni din cunoștințele umane sunt Materia,
mișcarea, spațiul și timpul .
MMaatteerriiaa este categoria filozofică care desemnează realitatea obiectivă
existentă în afară, independent de conștiința umană, dar care este
reflectată de aceasta și este percepută de om prin simțurile sale.
Substanța este p rima modalitate de existență a materiei sesizată de
cunoașterea umană , aspectul ei cantitativ fiind masa . Substanța este
formată din ansambluri stabile relativ, denumite corpuri, și este constituită
din particule (electroni, protoni, neutroni) .
Câmpul fizic (gravitațional, electromagnetic) este și el o formă de
existență a mater iei, conceput ca un mediu material continuu , iar aspectul
cantitativ este reprezentat de intensitatea câmpului .
MMiișșccaarreeaa, alt mod de existență a materiei , înglobează toate
schimbările, transformările și procesele care au loc în univers. Ea este
concepută în spațiu și timp care sunt forme fundamentale, universale și
obiective de existență a materiei.
SSppaațțiiuull este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor și
a distanțelor dintre ele.
TTiimmppuull reprezintă imaginea generalizată a intervalelor dintre
evenimente și a duratei fenomenelor.
1.2. Mecanica. Scurt istoric
Mecanica – știința care studiază mișcarea sau echilibrul corpurilor sub
acțiunea forțelor exercitate asupra lor – apare în epoca creării primelor
mijloace de producție, odată cu acumularea și generalizarea experienței În
primul rând a apărut Static a – care se referă la echilibrul for țelor, la starea
de nemi șcare a corpurilor –, iar dezvoltarea ei s-a datorat încă din
antichitate apariției construcțiilor.
Arhitas din Tare nt (430 – 365 î.H) , filozof din școala lui Platon , este cel
care s-a ocupat de primele probleme teoretice ale mecanicii; lui îi sunt
atribuite atât descoperirea scripetelui , cât și a șurubului.
Dorel STOICA
4
Aristotel (384 – 322 î.H) a făcut multe observații juste asupr a Staticii,
mai ales asupra echilibrului . A fost preocupat deopotrivă de problema
relativității mișcării și de problema căderii verticale a corpurilor grele . Deși
pe aceasta din urmă a tratat -o metafizic, a elaborat totuși o teorie conform
căreia „ corpul t inde spre locul său din natură” .
Arhimede (287 – 212 î.H), mare geometru și mecanician grec, este cel
care a întemeiat de fapt Statica. A fost cel care, în lucrările sale, a putut
conceptualiza aproape toate problemele mecanice ale său. Astfel, „ Despre
pârghii” , „Cartea reazemelor” și „Despre echilibrul suprafețelor” el lansează
teoria pârghiilor, rezolvă echilibrul sistemului format din două greutăți
suspendate pe o bară care se poate roti în jurul unui punct, elaborează
regulile compunerii și descompuner ii forțelor paralele, dă definiția centrului
de greutate, stabilește unele legi de bază ale hidrostaticii și face referiri la
ceea ce mult mai târziu va fi numit momentul forțelor.
În timpul Renașterii, odată cu înflorirea artelor și a celorlalte științe,
Mecanica ia un avânt considerabil, făcându -se saltul de la Statică la
Dinamică – cea care studiază micirea și mai ales forțele .
Leonardo da Vinci (1452 – 1518) este cel care a lansat multe idei
originale și îndrăznețe , care au trasat căile de dezvoltare în viitor ale
Mecanicii . Acest mare învățat efectuează primele cercetări experimentale
referitoare la căderea liberă a unui corp greu, tot el introduce noțiunea de
„moment ” (sub denumirea de „momento” ) sau cea de pârghie potențială.
Leonardo da Vinci a intuit principiul deplasărilor virtuale, legile echilibrului,
egalitatea acțiunii cu reacțiunea, tot el fiind cel care a studiat ciocnirile și a
stabilit unele reguli privitoare la frecare.
N. Copernic (1473 – 1543) este ce l care a revoluționat concepția de
până atunci despre univers, lansând și demonstrând principiile despre
sistemului heliocentric .
În aceeași perioadă Johan Kepler (1571 – 1630) își publică lucrările
despre mișcarea planetelor în jurul Soarelui – cunoscute până în prezent
sub denumirea de „ celebrele trei legi ale lui Kepler ”.
Galileo Galilei (1564 – 1642) este cel care domină întreaga epocă a
Renașterii prin lucrările lui. Adversar declarat al scolasticii și a învățăturii
geocentriste, el a căutat și a desc operit multe legi ale Mecanicii clasice.
Acest mare învățat a formulat principalele noțiuni ale Cinematicii (viteza și
accelerația=, stabilind cu ajutorul lor formula căderii corpurilor; tot el a
introdus noțiunea de Forță ca agent mecanic, emițând ideea r elativității
mișcării. În ceea ce privește Dinamica , el este cel care formulează legea
inerției – care este aproape identică cu cea studiată astăzi – precum și:
teoria mișcării unui corp greu pe un plan înclinat; legea mișcării corpului
Mecanică. Teorie și aplicații
5
lansat etc. Este ce l care a lansat „ regula de aur” a Mecanicii despre
mașinile mecanice, observând și demonstrând că, cât se câștigă din forță,
se pierde în viteză.
Cr. Huygens (1629 – 1695) a intuit și a reușit să formuleze – sub o
formă incipientă –, primele noțiuni referitoare la accelerați a centrifugă ,
accelerația centripetă și la momentul de inerție. Este cel care a studiat
mișcările oscilatorii, centrul de oscilație al pendulului fizic, ciocnirea
corpurilor elastice.
Isaac Newton (1643 – 1727) în celebra sa lucrar e „Principiile
matematice ale filozofiei naturale” a formulat cele trei principii
fundamentale ale Mecanicii clasice pe baza cărora se pot studia mișcările
tuturor corpurilor – chiar și a corpurilor cerești. Newton descoperă legea
atracției universale, a a profundat studiul forțelor, a studiat și descoperit
legile fundamentale ale opticii, a pus bazele calculului infinitezimal
(diferențial și integral).
V. Varignon (1654 – 1722) este cunoscut prin metodele sale geometrice
aplicate în mecanică, prin definire a completă a noțiunii de moment și prin
teorema momentelor.
L. Euler (1707 – 1783) a dezvoltat dinamica punctului material utilizând
calculele analitice și diferențiale. El este creatorul Mecanicii corpului solid,
studiind primul, metoda mișcării corpului solid, în special a solidului cu un
punct fix, cu ajutorul celor trei unghiuri cunoscute sub numele de unghiurile lui
Euler. El este fondatorul Hidrodinamicii și al Teoriei stabilității barelor elastice .
M. L. Lomonosov (1711 – 1765) formulează principiul conservării energiei,
studiază problema interacțiunii între corpuri, propagarea căldurii etc.
P. Maupertuis (1698 – 1759) emite „ Principiul minimei acțiuni” (1744),
cu aplicații în legile reflexiei și refracției luminii și în teoria ciocnirilor.
Demonstraț ia matematică a acestui principiu a fost dată însă de Euler, iar
generalizarea a fost făcută într -o primă formă de Lagrange și în formă
completă de Jukovski.
C. A. Coulomb (1736 – 1806) a elaborat legile experimentale ale frecării
de alunecare și rostogoli re; după ce a analizat torsiunea firelor , a formulat
legile torsiunii.
Spre mijlocul secolului al XVIII -lea încep să fie formulate și principiile
variaționale ale Mecanicii.
J. d’Alembert (1717 – 1783) publică „Traité de Dynamique” , carte în
care formuleaz ă celebra sa metodă cinetostatică – cu aplicabilitate la
rezolvarea problemelor de dinamică.
J. L. Lagrange (1736 – 1813) , în lucrarea sa „Mecanica analitică” , a
extins partea teoretică a Mecanicii, punând bazele Mecanicii analitic e pe
baza principiului deplasărilor virtuale . A încercat să demonstreze analitic –
pe cât era posibil în acea perioadă – Principiul deplasărilor virtuale și
Dorel STOICA
6
Principiul d’Alembert , cu ajutorul căruia a rezolvat problema oscilațiilor mici
ale unui sistem de c orpuri.
M. V. Ostrogradski (1801 – 1861) a analizat legăturile dependente de
timp, introducând noțiunea de legături exprimate analitic prin inegalități ,
după care a aplicat pentru acest tip de legături, principiul deplasărilor
virtuale. Tot el este cel car e a dat o nouă formă ecuației generale a
Dinamicii ; în urma integrării acestei ecuații în raport cu timpul , s-a ajuns la
cea mai generală a Principiului Hamilton -Ostrogradski .
W. R. Hamilton (1805 – 1865) aplică calculul variațional în Mecanică și
formule ază principiul care -i poartă numele.
Din nevoia de a explica numeroase fenomene care în Mecanica clasică
apăreau ca inexplicabile, în secolul al XX -lea se reexaminează multe dintre
tezele și principiile Mecanicii newtoniene. Ca o consecință apar: Mecanica
relativistă, Mecanica cuantică, Mecanica ondulatorie, Mecanica statistică .
Numele savanților A. Einstein, Max Plank, L. de Broglie, Fok, Vasilov etc.
sunt legate de aceste mecanici noi.
Albert Einstein (1879 – 1955) a arătat că se poate construi o teorie
fizică, perfect consecventă , pornind de la rezultatul experienței lui
Michelson (constanta vitezei de propagare a luminii în vid, indiferent de
sistemul de referință) și considerându -l principiu – ceea ce presupunea
renuan țarea la noțiunile de spațiu absol ut și timp absolut , aflate la baza
mecanicii newtoniene . În cadrul Teoriei Relativității , lansate de Einstein,
distanțele și duratele erau relative, depinzând de sistemul de referință în
care erau măsurate. Totul se petrece ca și cum s -ar desfășura într -o
varietate cu patru dimensiuni, trei dimensiuni fiind spațiale și una
temporală, cunoscută sub numele de universul lui Minkowski , matematician
lituanian care a dat această interpretare geometrică, teoriei relativității.
Unul dintre rezultatele teoriei relat ivității îl reprezintă legea de variație a
masei în funcție de viteză.
20
)c/v(1mm
(1.1)
unde: m0 este masa de repaus, v este viteza și c reprezintă viteza de
propagare a luminii în vid.
Teoria relativității a generat multe discuții filozofice, putându -se
concluziona că, dacă masa este o măsură a materiei – așa cum postulase
Newton –, conform te oriei lui Einstein materia se pu tea forma sau distruge
în funcție de creșterea sau descre șterea vitezei corpurilor .
În consecință, definiția lui Newton a necesitat o corectură, și anume că
masa este doar o măsură a inerției corpului, nu a cantității de materie. S -a
Mecanică. Teorie și aplicații
7
putut observa însă că, chiar dacă ecuațiile mecanicii relativiste diferă de
ecuațiile mecanicii newtoniene totuși se apropie de acestea atunci când se
neglijează vitezele relative ale corpurilor în raport cu viteza de propagare a
luminii în vid.
În țara noastră, trebuie să menționăm pentru activitatea lor, în
domeniul Mecanicii teoretice, pe Spiru Haret (1851 – 1912), Andrei
Ioachimescu (1868 – 1913) și Dimitrie Pompei (1873 – 1954) , iar în cel al
Mecanicii aplicate pe Anghel Saligny (1854 – 1925), Ion Ionescu (1870 –
1946), G. E. Filipescu (1885 – 1937), valoroși ingineri care au executat
importante lucrări inginerești și au lăsat studii de seamă în domeniul
mecanicii teoretice și aplicate.
1.3. Cu ce se ocupă mecanica
Atunci când m ișcarea mecanică se raportează la un sistem de
referință fix poartă denumirea de mișcare absolută , iar atunci când se
raportează la un sistem de referință mobil poartă denumirea de mișcare
relativă . Având în vedere că în univers nu există corpuri (repere) fixe, se
prezumă că mișcarea mecanică este relativă.
Repausul este definit ca fiind starea unui corp sau a unor sisteme de
corpuri a căror poziții, față de un sistem de referință , rămân neschimbate.
Se consideră că repausul este un caz particular al mișcării , având, ca și
mișcarea, un caracter relativ.
Găsirea unor sisteme de referință s -a dovedit foarte dificilă. De
exemplu: sistemul geocentric propus de Ptolemeu considera că Pământul
este fix; sistemul heliocentric propus de Copernic propunea Soarele ca
element fix. Ceva mai târziu a fost adoptat un nou sistem de referință –
acceptat și în prezent – conform căruia sistemul de referință absolut și -ar
avea originea în centrul de masă al galaxiei d in care face parte Soarele, Mișcarea mecanică se definită ca fiind modificare a
poziției unui corp sau a unei părți a acestuia în raport cu un
alt corp considerat reper sau sistem de referință . Mecanica este ramura fizicii care studiază una din
cele mai simple f orme de mișcare a materiei, cunoscută sub
numele de mișcare mecanică.
Dorel STOICA
8
având axele orientate către stele extrem de îndepărtate; în raport cu care
legile mecanicii se verifică experimental.
Newton a fost cel care, în lucrarea sa „ Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica” (publicată în 1686) a definitivat primul model al
mecanicii, cunoscut astăzi ca fiind mecanica clasică sau mecanica
newtoniană , cea care studiază mișcarea corpurilor materiale macroscopice
cu viteze mici în comparație cu viteza luminii.
Se consideră că spațiul, timpul și masa sunt noțiunile fundamentale
ale mecanicii clasice ; ele sunt considerate și analizate complet independent ,
iar proprietățile lor sunt absolute.
SSppaațțiiuull este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor,
ținând seama de a poziții le lor reciproce și de distanțele dintre ele.
Mecanica clasică consideră că spațiul este tridimensional , infinit, continuu ,
omogen (diferite porțiuni ale sale nu se deosebesc între ele) și izotrop
(proprietățile după diferitele direcții care pleacă din același punct nu se
deose besc între ele ).
TTiimmppuull este o dimensiune a materiei, o formă obiectivă de existență.
Noțiunea de timp în mecanica clasică reflectă în mod obiectiv, cuantificabil,
timpul real existent. În accepțiunea mecanicii clasice , timpul este nelimitat ,
continuu , omogen și ireversibil (se scurge într -un singur sens).
MMaassaa este considerată o mărime fizică scalară , strict pozitivă, care
înglobează două proprietăți importante ale materiei, existentă sub formă de
substanță: inerția și câmpul atracției universale (sau câmpul gravitațional).
IInneerrțțiiaa este proprietatea materiei de a -și conserva starea de mișcare
mecanică pe care o are la un moment dat.
CCââmmppuull aattrraaccțțiieeii uunniivveerrssaallee se formează între două corpuri materiale
și se manifestă prin forța gravitației universale ca re.
1.4. Sisteme și unități de măsură
Datorită faptului că între mărimile fizice există o serie de relații, există
posibilitatea de a fi alese doar mărimile fundamentale – care se vor
exprima prin unități de măsură fundamentale –, urmând ca în funcție de
acestea să fie exprimate și mărimile derivate – care vor fi exprimate prin
unități de măsură derivate ..
În România se utilizează :
Sistemul internațional de unități de măsură [SI] care are 7 unități
fundamentale :
Mecanică. Teorie și aplicații
9
metrul (m), pentru lungime ;
kilogramul (kg), pentru masă ;
secunda (s), pentru timp ;
amperul (A), pentru intensitatea curentului electric ;
kelvinul (K), pentru temperatura termodinamică ;
candela (cd), pentru intensitatea luminoasă ;
molul (mol), pentru cantitatea de substanță.
Unitățile de măsură fu ndamentale utilizate în mecanică sunt: metrul,
kilogramul și secunda .
Metrul este lungimea egală cu 1 650 763, 73 lungimi de undă în vid ale
radiației care corespunde tranziției atomului de kripton 86 între nivelele sale
2p10 și d 5.
Kilogramul este masa pr ototipului internațional de platină iradiată
adoptat în anul 1889 de Conferința Generală de Măsuri și Greutăți și păstrat
la Sèvre în Fran ța.
Principalele unități de măsură derivate , utilizate în mecanică sunt:
Pentru forță: Newtonul (N), reprezentând forța care imprimă
unei mase de 1 kg, o accelerație de 1 m/s2.;
Pentru lucru mecanic: Joule-ul (J), reprezentând lucrul mecanic
efectuat de o forță de 1 N care se deplasează cu 1 m pe propriul
său suport ;
Pentru putere: Wattul (W), reprezentând lucrul mecanic de 1 J
efectuat într -o secundă ;
Pentru presiune: Pascalul (Pa), reprezentând presiunea
exercitată de 1 N pe 1 m2.
Având în vedere că m ărimile fundamentale utilizate în mecanică sunt
lungimea (L), masa (M) și timpul (T), mărimile derivate se deduc din
acestea folosind ecuația de dimensiuni :
TML D][ (1.2)
unde , , sunt numere pozitive, negative, întregi, fracționare sau nule .
Principalele mărimi utilizate în mecanică sunt date în Tabelul 1. 1
Dorel STOICA
10
Tabel 1. 1
Mărimea Sim-
bolul Ecuația de
definiție Dimensiuni
în SI Unitatea de
măsură
în SI
Lungimea l – L m
Masa m – M kg
Timpul t – T s
Aria A A = l2 L2 m2
Volumul V V = l3 L3 m3
Unghiul plan = l/R – -(rad)
Perioada T T = 2/ T s
Frecvența f f = 1/T T-1 Hz
Viteza v rv LT-1 m/s
Accelerația a ra LT-2 m/s2
Viteza unghiulară T-1 s-1
Accelerația
unghiulară T-2 s-2
Masa specifică = m/V L-3M kg/m3
Greutatea specifică = G/V L-2MT-2 N/m3
Momentul de inerție J 2
iilm J L2M kgm2
Forța F amF LMT-2 N
Momentul forței M Fxr M L2MT-2 Nm
Impulsul H vm H LMT-1 kgm/s
Momentul cinetic K HxrK L2MT-1 kgm2/s
Energia cinetică E E = mv2/2 L2MT-2 J
Lucrul mecanic L rdF L L2MT-2 J
Puterea P P = dL/dt L2MT-3 W
Percuția P dtF P LMT-2 Ns
Presiunea p F/A L-1MT-2 Pa
Mecanică. Teorie și aplicații
11
II. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL .
OPERAȚII CU VECTORI
2.1. Noțiuni de calcul vectorial
Mărimile fizice pot fi :
mărimi scalare (scalari ), complet determinate prin valoarea lor
numerică, urmată de unitatea de măsură.
Exemple : distanta între două punc te, intervalul de timp,
temperatura, energia, etc.
mărimi vectoriale (vectori ), sunt complet determinate prin
valoarea lor numerică , prin direcția și sensul lor. Spre deosebire
de scalari, vectorii sunt mărimi orientate (dirijate).
Un vector reprezentat printr -un segment de dreaptă orientat se
numește vector liber .
Exemple : deplasarea și viteza unui corp în mișcare de translație.
Atunci când se impune și precizarea punctului de aplicație , vectorul
va purta denumirea de vector aplicat sau legat.
Exemplu : forța care acționează asupra unui punct material.
Dacă se consideră necesar ă și precizarea suportului, atunci vectorul
va purta denumirea de vector alunecător sau glisant .
Exemplu : forța care acționează asupra unui rigid.
Vectorii liberi
Vectorii liberi se notează fie printr -o literă având deasupra ei o bară,
fie prin două litere având fiecare dintre ele câte o bară deasupra. În cel de
al doilea caz, prima literă va arăta originea vectorului, iar a doua literă
extremitatea sa.
Exemplu : a, F , BA.
În concluzie, vectorul este de fapt un segment orientat caracterizat
prin patru elemente (fig. 2.1):
Dorel STOICA
12
origine sau punct de aplica ție A;
direcție sau dreaptă suport ,;
sens;
modul v (mărime, intensitate, urmă).
Fig. 2. 1. Elementele unui vector
Versorul este vectorul de modul unitar și este dat de relația 2.1:
vv
vvu (2.1)
Componentele pe axele Ox, Oy și Oz ale versorului sunt definite
conform relației 2.2 astfel:
upriOx ; uprjOy ; uprkOz . (2.2)
Un vector oarecare poate fi scris în funcție de compone ntele pe axe
ale versorului său , astfel:
kvjvivvz y x (2.3)
unde:
vpr vOx x ; vpr vOy y ; vpr vOz z (2.4)
2.2. Operații cu vectori
1. Adunarea a doi vectori
Se presupune există doi vectori , a și b, care au același punct de
origine O. Suma (rezultanta ) celor doi vectori este vectorul c, care va fi
definit ca valoare numerică, direcție și sens de diagonala OC a
paralelogramului format din cei doi vectori a și b ca laturi (fig.2.2.a).
Mecanică. Teorie și aplicații
13
bac (2.5)
Se constată că modulul vectorului c este:
cos22 2ab ba c (2.6)
Fig. 2. 2. Regula paralelogramului
Expresia analitică. Dacă considerăm că vectorii a și b definesc planul
Oxy, atunci și vectorul rezultant c va fi situat în același plan . Dacă se face
proiecția celor trei vectori în sistemul de axe men ționat, se constatpăââă că
(fig.2.2.b):
jciccjbibbjaiaay x y x y x ; ; (2.7)
Conform relației ( 2.5) putem scrie:
) () ( jbibjaiajcicy x y x y x (2.8)
Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant c:
y y y x x x ba cbac ; (2.9)
Vectorul rezultant va fi:
2 2 2 2) () (y y x x y x b a b a c c c (2.10)
Direcția este dată de unghiul format între suportul vectorului rezultant
și axa Ox:
x xy y
xy
b ab a
cctg (2.11)
Dacă se extinde Regula paralelogramului pentru compunerea unui
număr oarecare de vectori concurenți 1V, 2V,….nV, va rezulta o
Dorel STOICA
14
construcție grafică denumită regula poligonului vectorilor , cu laturi
reprezentând vectorii din sistem.
O latură Vi a poligonului se obține prin construirea unui vector
echipolent cu vectorul iV având ca origine, extremitatea vectorului 1iV și
ca extremitate, originea vectorului 1iV.
Rezultanta sistemului de vectori este suma vectorială a vectorilor iV,
n
ii n V V VVV
12 1 … (2.12)
Construcția grafică va fi segmentul de dreaptă care unește originea
vector ului 1V, cu extremitatea vector ului nV (fig. 2.2a).
În cazul particular de compunere a doi vectori concurenți, r egula
poligonului, are denumirea de Regula triunghiului (fig.2.2b).
Expresia analitică . Datorită faptului că suporturile vectorilor sunt
orientate în spațiu, componentele pe axe ale vectorilor vor fi exprimate
într-un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz. (fig.2.2c). Notând proiecțiile
pe axe ale vectorului iV cu Vix, Viy, Viz și ale vectorului rezultant V, cu Vx, Vy,
Vz, conform relației ( 2.12) se va putea scrie :
n
iiz iy ix z y x kVjViV kVjViV
1) ( (2.13)
Fig. 2. 3 Adunarea vectorilor
Analog, se procedează și cu valorile componentelor pe axe ale
vectorului rezultant:
Mecanică. Teorie și aplicații
15
n
iix x V V
1,
n
iiy y V V
1,
n
iiz z V V
1 (2.14)
Rezultă m ărimea vectorului rezultant , care este:
2 2 2
z y x V V V V (2.15)
Direcția este exprimată prin cosinusurile directoare:
VVxcos , VVycos ,
VVzcos . (2.16)
2. Produsul scalar a doi vectori
Se presupune că avem doi vectori a și b. Produsul acestora este,
conform definiției, un scalar obținut din multiplicarea modulelor celor doi
vectori cu cosinusul unghiului dintre ei:
cosbaba (2.17)
Dacă vectorul a este definit prin componentele kajaiaaz y x
și vectorul beste definit prin componentele kbjbibbz y x , produsul
scalar dintre cei doi vectori va fi dat (2.17):
zz yy xx babababa (2.18)
Se observă că:
1 kkjjii ; 0 ikkjji
Din definiție rezultă următoarele o proprietăți ale produsului scalar :
este comutativ ;
ba ab abab cos ) cos( (2.19)
pentru doi vectori a și b diferiți de zero condiția de
orgonalitate este:
0ba (2.20)
cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecția unui vector
a pe o axa . Fiind dată o ax ă () orientată de versorul u și
un vector a, proiecția acestui vector și versorul axei (fig. 2.4):
Dorel STOICA
16
Fig. 2. 4.
Reprezentarea produsului vectorial
ua aapr cos (2.21)
este distributiv față de adunare
cbcacba (2.22)
3. Produsul vectorial a doi vectori liberi
Se presupune că avem doi vectori a și b. Produsul vectorial este,
conform definiției, un vector cnormal pe planul definit de cei doi vectori ,
presupuși aplicați în același punct O, având ca valoare numerică aria
paralelogramului construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel
încât vectorii a,b,c să formeze în această ordine un triedru drept (fig.
2.5).
Fig. 2. 5.
Reprezentarea
produsului vectorial
bac ; sin bac (2.23)
Produsul vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat de
cei doi vectori (fig.2.6).
Fig. 2. 6. Interpretarea
geometrică a produsului
vectorial a doi vectori
Mecanică. Teorie și aplicații
17
1 1sin2 2
2 sintr
par trA a h a b
A A a b
a b
(2.24)
unde:
Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;
Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori
Conform definiției, proprietățile produsul ui vectorial sunt:
Anticomutativ itatea, adică:
ab ba (2.25)
vectori sunt coliniari dacă a și bsunt diferiți de zero , iar
produsul lor vectorial este egal cu zero :
0a ; 0b și 0ba (condiția de coliniaritate) (2.26)
Distributivitatea față de adunare :
cbcacba (2.27)
Dacă vectorul a este definit prin componentele kajaiaaz y x
și vectorul beste definit prin componentele kbjbibbz y x rezultă că
produsul vectorial dintre vectorii a și b va fi (2.28.):
z y xz y x
b b ba aakj i
bac (2.28)
din dezvoltarea acestuia rezultă componentele pe cele trei axe ale
vectorului c:
xy yx zzx xz yyz zy x
baba cbaba cbaba c
(2.29)
Se observă că:
0 kkjjii ; kji
Dorel STOICA
18
4. Produsul mixt a trei vectori
Se presupune că avem trei vector, a, b și c. Produsul mixt va fi
mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector și produsul
vectorial al celorlalți doi.
acbbaccbacbacbaw ,, ,, (2.30)
Analizând d in punct de vedere geometric produsul mixt , se constată
că reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori
(fig.2.7)
Fig. 2. 7. Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori
VH A av vavacbawpar cos cos (2.31)
unde V reprezintă volumul paralelipipedului.
Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relația 2.32 .
z y xz y xz y x
c ccb bba aa
cba (2.32)
5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi
Se consideră trei vectori liberi a, b și c. Produsul vectorial este
reprezentat de vectorul d egal cu produsul vectorial dintre vectorul a și
produsul vectorial cb. Vom scrie:
cbad (2.33)
Din definiția de mai sus se deduce faptul că dublul produs vectorial
este un vector situat în planul vectorilor b și c, existând relația:
Mecanică. Teorie și aplicații
19
cbabca cba (2.34)
Fiind dați trei vectori a, b și c subzistă identitatea:
0 bacacbcba . (2.35)
6. Descompunerea unui vector după trei direcții
Notând cu , și unghiurile pe care un vector Vle face cu
axele xO, yO și zO (fig.2.8) ale unui triedru ortogonal xyzO, proiecțiile
sale sunt:
cosV X ; cosVY ; cosVZ . (2.36)
Prin urmare, vectorul Vse poate scrie s ub forma:
kZjYiX V (2.37)
în care i, j și k sunt versorii axelor xO, yO și zO.
Fig. 2. 8. Descompunerea unui
vector după trei direcții octogonale În baza teoremei proiecțiilor
potrivit căreia proiecția pe o axă a
rezultantei R a unui sistem de
vectori liberi este egală cu suma
proiecțiilor, rezultă pentru proiecțiile
rezultantei pe axele xO, yO și zO
expresiile:
iX X ; iY Y ; iZ Z (2.38)
unde iX, iY, iZ sunt proiecțiile pe aceste axe ale unui vector iV.
Modulul rezultantei va fi 2 2 2Z Y X R , iar direcția și sensul
ei vor fi date prin cosinusurile directoare:
2 2 2cos
Z Y XX
,
2 2 2cos
Z Y XY
,
2 2 2cos
Z Y XZ
.
Dorel STOICA
20
III. STATICA PUNCTULUI. PUNCTUL MATERIAL
SUPUS LA LEGĂTURI
3.1. Statica punctului
3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la
legături
Se spune despre un punct material că este liber atunci când el poate
ocupa orice poziție în spațiu, nefiind stânjenit de nici o obligație
geometrică ; pozițiile ocupate de punctul material sunt determinate n umai
de forțele care acționează asup ra lui. În general, poziția punctului se
definește prin trei parametrii scalari, independenți între ei, spre exemplu
coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare , punctul material
liber are trei grade de libertate.
Dacă un punct material este obligat geometric să ocupe numai
anumite poziții în spațiu , se spune că este supus la legături. De exemplu ,
punctul material poate fi obligat să rămână pe o suprafață, pe o cu rbă sau
într-un punct fix în spațiu.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafa ță are două grade
de libertate, deoarece , așa cum este cunoscut din geometria diferențială,
sunt necesari doi parametri pentru a -i defini poziția: coordonatele sale
curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur
grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într -un punct fix
din spațiu nu are nici un grad de libertate.
3.1.2. Echilibrul punctului material liber
Pentru ca un punct material liber aflat în repaus (sau în mișcare
rectilinie uniformă) să -și păstreze această stare mecanică atunci când un
sistem de forțe concurente acționează asupra lui, adică să rămână în
echilibru, este necesară și suficientă condiția ca rezultanta R dintre forțele
concurente să fie nulă.
Condiția de mai sus se deduce din aplicarea principiilor inerției și
acțiunii forței ; condiția de echilibru se scrie sub forma ecuației vectoriale:
0R (3.1)
Mecanică. Teorie și aplicații
21
Sub formă scalară, ecuațiile de echilibru se scriu:
în spațiu:
0ixF ; 0iyF ; 0izF (3.2)
în plan:
0ixF ; 0iyF (3.3)
Din punct de vedere grafic , condiția de echilibru este satisfăcută
doar dacă poligonul forțelor se închide . Problemele de echilibru ale
punctului material tratează două variante, și anume:
a) fie se dau forțele care acționează asupra unui punct și se cere
poziția acestuia;
b) fie se dă po ziția punctului și se cer forțele care îl acționează.
3.2. Punctul material supus la legături
3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material
Dacă s e consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafață
(S) asupra căruia acționează forțele exterioare a căror rezultantă este R
(fig.3.5) , atunci se observă că în acest punct nu se mai poate aplica aceeași
ecuație de echilibru ( 0R ) ca în cazul punctul ui material liber .
Aceasta este o consecință a
existenței legăturilor, care exercită asupra
punctului respectiv anumite constrângeri
mecanice reprezentate prin forța de
legătură (reacțiunea). Pentru rezolvarea
problemei punctului material supus la
legături este necesar a fi folosită axioma
legăturilor .
Conform acestei axiome , orice
legătură poate fi suprimată și înlocuită cu
elemente mecanice (forțe, momente)
corespunzătoare. Ca urmare corpul
considerat este liber și , în consecință ,
echilibrul său se studiază cu ecuațiile stabilite pentru corpul liber.
Fig. 3. 1. Punct material aflat
în echilibru
Dorel STOICA
22
Pentru punctul material legătura va fi înlocuită cu reacțiune R.
Condiția necesară și suficientă ca un punct material supus la legături să fie
în echilibru este ca rezultanta forțelor direct aplicate și a forței de legătură
să fie nulă, adică:
0RR (3.4)
Sau proiectat pe axe:
0x xR R ; 0x yR R ; 0z zR R . (3.5)
Analizând relația (3.4), se constată că rezultanta Ra forțelor direct
aplicate și rezultanta R a forțelor de legătură trebuie să fie egale și de
semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafață,
rezemarea pe o curbă (în spațiu și în plan) și prinderea cu fire, care poate fi
considerată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sf eră a cărei rază
este tocmai lungimea firului respectiv.
Legăturile punctului pot fi :
legături cu frecare (aspre) , atunci când suprafața sau curba de
reazem aparține unor corpuri reale și care se opun mișcării
punctului material, apărând astfel forțe de frecare ;
legături fără frecare (lucii, ideale) , atunci când se presupune că
suprafața sau curba sunt corpuri ideale, perfect lucioase ,
neexistând deci forțe de frecare .
În realitate astfel de legături nu există dar, dar atunci când forța de
frecare este mică și neglijabilă (suprafețe lucii), forțele de frecare pot fi
aproximate la zero.
3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără
frecare
În legături ideale, fără frecare, 0T . Așa cum am specificat și mai
sus, a ceste tipuri de legături nu există în realitate, dar sunt întâlnibile
suprafețe la care forța de frecare poate fi neglijată într -o primă
aproximație. În cazul acestor legături NR, cu alte cuvinte reacțiunea
este normală. Dacă se analizează o suprafață , reacțiunea are direcția
normalei la suprafață, iar dacă se analizează o curbă, reacțiunea va avea o
direcție oarecare în planul normal la curbă.
Condiția de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi :
Mecanică. Teorie și aplicații
23
0NR (3.6)
Proiectată pe axe , ea va arăta astfel :
0x xN R ; 0y yN R ; 0z zN R . (3.7)
Considerând că în punctul curent parametri directori ai normalei la o
suprafață sunt dați de :
0 ,,zyxf (3.8)
Și sunt zf
yf
xf
,, , atunci ecuațiile (3.6) și (3.7) se pot scrie:
0
kzfjyfixfR
0 ;0 ;0 zfRyfRxfRz y x (3.9)
Analog, în cazul unui punct material M re zemat pe o curbă (C) (fig.
3.6) acționează forțele R și R care, în cazul echilibrului , sunt egale și
opuse. Rezultanta R a forțelor direct aplicate se descompune în
componenta tangențială TR dirijată după tangenta la curbă în M și în
componenta normală NR dirijată după dreapta ce rezultă din intersecția
planului ( ), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M
la curbă și forța R. Reacțiunea R se descompune după aceleași direcții în
reacțiunea normală N și în forța de frecare T.
Fig. 3. 2. Punct material
Dorel STOICA
24
Ca și în cazul punctului material
rezemat pe o suprafață, forța normală
NR caută să se îndepărteze punctul M de curbă și este anihilată de
reacțiunea normală N. Deci, pentru echilibrul aceste două forțe NR și N,
trebuie fie egale și de sens opus.
În cazul unor legături fără frecare, forța de frecare T nu poate să
apară și în consecință pentru echilibru în acest caz, este necesar ca 0TR
.
În cazul legăturii cu frecare forțele TR și T trebuie să fie egale și de
semn contrar. Pentru ca un punct material sub acțiunea unui sistem de
forțe să rămână în echilibru pe o curbă fără frecare , este necesar ca:
rezultanta forțelor exterioare R să fie cuprinsă în planul normal
la curbă în punctul respectiv;
reacțiunea este o forță Nsituată în același plan normal.
Ecuația de echilibru se scrie:
0NR (3.10)
Dacă ecuațiile curbei sunt :
0 ,,1zyxf ; 0 ,,2zyxf (3.11)
atunci se poate considera că planul normal la curbă este determinat
de normalele celor două suprafețe date prin ecuațiile (3.11), luate fiecare
separat. În acest caz ecuația (3.10) devine :
02 2 2
21 1 1
1
kzfjyfixfkzfjyfixfR
Dacă se proiectează pe cele trei axe, se obține sistemul:
000
2
21
12
21
12
21
1
zf
zfRyf
yfRxf
xfR
zyx
(3.12)
În cazul în care curba este dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx , )(tyy , )(tzz (3.13) rezemat pe o curbă
Mecanică. Teorie și aplicații
25
atunci c ondiția de echilibru se exprimă prin relația de ortogonalitate
dintre rezultanta forțelor exterioare R (cuprinsă în planul normal) și
tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt dtdx, dtdy, dtdz, adică:
0dtdzRdtdyRdtdxRz y x (3.14)
Acestea sunt relațiile cu ajutorul cărora poate fi determinată poziția
de echilibru.
Problemele c are pot să apară în studiul echilibrului punctului
material supus la legături fără frecare sunt centralizat e în tabelul 3.1 .
Se observă că problemele sunt static determinate.
Felul
legăturii Necunoscute Ecuații de
echilibru Referitoare la
poziție Referitoare la
reacțiune
Rezemare
pe o
suprafață 2 (coordonatele
u, v) 1 (scalarul reacțiunii) 3 ecuații
000
zyx
FFF
Rezemare
pe o curbă
în spațiu 1 (coordonata
curbilinie s) 2 (scalarul și direcția
reacțiunii sau 2
componete ale
reacțiunii în planul
normal 3 ecuații
000
zyx
FFF
Rezemare
pe o curbă
în plan 1 (coordonata
curbilinie s) 1 (scalarul reacțiunii) 2 ecuații
00
yx
FF
Punct fix Niciuna 3 (proiecțiile reacțiunii
pe trei direcții în spațiu 3 ecuații
000
zyx
FFF
Dorel STOICA
26
3.2.3. Echilibrul punctului materia l supus la legături cu
frecare
Legile frecării uscate
Spre deosebire de legăturile ideale, unde componenta tangențială T
și reacțiunea R erau neglijate, î n cazul curbelor și suprafețelor aspre
acestea nu pot fi neglijate.
S-a constatat din practică, că modulul componentei tangențiale T
(care poartă numele de forță de frecare de alunecare ) este limitat.
În fig. 3.7. a este realizată o exper iență, r edusă la forma cea mai
simplă: un corp asimilabil cu un punct material de greutate G este așezat
pe un plan orizontal și acționat cu o forță orizontală F, care poate varia
continuu. Se constată că până la o anumită valoare maxF a forței
orizontale , corpul nu se pune în mișcare.
Fig. 3. 3. Punct material supus la legături
Se dovedește astfel că reacțiunea R formează un unghi față de
normală , așadar poate fi descompusă în două componente : reacțiunea
normală N și forța T, cea din urmă purtând numele de forță de frecare
de alunecare (fig. 3.7,b). Forța de frecare de alunecare acționează în planul
tangent cu suprafața de reazem , opunându -se tendinței de mișcare. În
figura 3.7,c este prezentat caz ul la limită , și anume atunci când forțele F
și T iau valori limită și unghiul capătă la rândul lui valoarea limită ,
Mecanică. Teorie și aplicații
27
numit unghi de frecare . Forța de frecare poate varia între valorile zero și
cea limită maxT.
Din figura 3.7 rezultă :
tgN T
și la limită
tgN Tmax
și cum formula se poate simplifica :
tgN T (3.15)
Cele mai celebre experien țele făcute asupra forțelor de frecare de
alunecare sunt cele ale lui Coulomb, de unde au rezultat de altfel legile
frecării uscate , și anume:
1. valoarea forței maxime de frecare nu depinde de mărimea
suprafeței în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienței,
suprafața dintre corp și planul orizontal) iar dacă se produce mi șcarea,
forța de frecare nu depinde nici de viteza relativă;
2. valoarea forței maxime de frecare depinde de natura corpurilor și
a suprafețelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);
3. valoarea forței maxime de frecare este proporțională cu modul
N al reacțiunii normale.
Conform legilor de mai sus , forța de frecare de alunecare este:
N Tmax (3.16)
sau:
N T (3.17)
unde este coeficientul de frecare de alunecare (mărime
adimensională c are depinde de natura și starea suprafețelor în contact ).
Comparând relațiile (3.15) și (3.17) se observă că:
tg (3.18)
În opinia lui Coulomb , forțele de frecare își au originea în existența
la suprafața corpurilor a unor asperități care , în cazul a două corpuri în
contact , se întrepătrund.
Atunci când unul di ntre corpuri se pune în mișcare aceste asperități
sunt strivite, iar forța de frecare de alunecare este cea care se opune
acestor striviri.
Dorel STOICA
28
Extinzând domeniul experiențelor făcute de Coulomb , se constată că
coeficientul de frecare la alunecare variază invers proporțional în funcție de
viteză: el scade atunci când viteza crește. Valoarea coeficientului de frecare
pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderență 0) este mai mare (fig.
3.8) decât pentru cele în mișcare ( coeficientul de frecare dinamic ).
De asemenea, dacă Nia valori
mari, mărimea forței de frecare de
alunecare T nu mai variază liniar cu
mărimea reacțiunii N.
Dacă se reduc înălțimile
asperităților, conform teoriei l ui Coulomb ,
forța de frecare de alunecare va scădea .
În realitate însă, forța de frecare de
alunecare creștere la un moment dat ,
influențată fiind de alte fenomene, ca de
exemplu fi forțele de adeziune
intermoleculare (care în acest caz devin
importante ).
Analizând din nou experiența prezentată în fig. 3.7, se poate deduce
aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.
Considerând punctul rezemat pe o suprafață și schimbând direcția
forței F în planul tangen t, reacțiunea R, respectiv rezultanta R, vor
descrie în acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul
considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafață și unghiul la vârf
2 (fig. 3.9).
Punctul material se află în echilibru atunci când reacțiunea Reste în
interiorul sau la limită pe mantaua conului. În cazul punctului material
rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafață), generatoarele
extreme vor descri e conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig.
3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv și
unghiul la vârf
22 .
Punctul material se află în echilibru când reacțiunea R se găsește
în afara conurilor complementare de frecare sau la limită pe mantaua
acestora.
Fig. 3. 4. Variația
coeficientului
de frecare la alunecare µ
Mecanică. Teorie și aplicații
29
Fig. 3. 5. Con de frecare
Fig. 3. 6. Punct material rezemat pe o curbă
În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material rareori
soluția este unică . În consecință, la fel ca în cazul echilibrului fără frecare ,
problemele de echilibru cu frecare se exprimă printr -o inegalitate.
În cazul punctului pe o suprafață, st udiul analitic se face prin exprimarea
unghiul dintre rezultanta R și vectorul 1n, coliniar cu versorul normalei n în
punctul considerat. Suprafața este dată prin ecuația 0),,(zyxf . Astfel :
11cos
nRnR (3.19)
unde vectorul 1n este:
kzfjyfixfn1 1 . (3.20)
Pentru simplificare , alege m 11 .
Pentru echilibru este necesar ca , adică
cos cos (3.21)
Dar
.
11
11cos
2 2
tg (3.22)
Deci rezultă condiția de echilibru:
Dorel STOICA
30
2
11
11
nRnR
respectiv
2 2 2 2
2 2 211
zf
yf
xfR R RzfRyfRxfR
z y xz y x
(3.23)
Dacă punctul se află pe o curbă , pentru a stabili o expresie analitică,
se presupune o curba dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx, )(tyy, )(tzz (3.24)
Un vector 1u dirijat după tangentă are expresia:
kdtdzjdtdyidtdxu 1
(3.25)
Unghiul dintre rezultanta R și vectorul 1u este dat de:
11cos
uRuR . (3.26)
Pentru echilibru s -a văzut că este necesar ca 2, adică
2cos cos (3.27)
sau sin cos .
Dar
.
1 1sin
2 2
tgtg
(3.28)
Deci condiția de echilibru este:
Mecanică. Teorie și aplicații
31
2
11
1
uRuR
respectiv
2 2 2 2
2 2 21
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
z y xz y x
(3.29)
Dorel STOICA
32
IV. Statica rigidului. Centre de greutate
4.1. Statica rigidului
4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forței ce
acționează un rigid
Dacă atunci când asupra unui corp acționează un sistem de forțe
finite și distanța dintre două puncte oarecare ale corpului respectiv rămâne
aceeași, atunci corpul se numește rigid.
De fapt, condiția mai sus menționată nu este realizabilă, pentru că
toate corpurile sunt deformabile; dar, în cazul în care corpurile sunt din
metal, lemn, piatră etc., având în vedere că acestea sunt puțin deformabile,
deformațiile pot fi neglijate și, astfel se poate vorbi despre noțiunea de
solid rigid sau rigid.
Fig. 4. 1. Tip de vector alunecător
Se consideră un rigid acționat în punctul A, de forța (fig.4.1a). În
punctul B, situat pe suportul forței , se introduc două forțe egale și de
sens contrar, și , ceea ce nu schimbă efectul forței , aplicată în
punctul A (fig.4.1b). Forța din A și forța din B își anulează
efectul, astfel că asupra rigidului acționează numai forța aplicată în
punctul B (fig.4.1c). Rezultă că o forță poate fi deplasată pe propriul
suport, fără ca efectul ei asu pra rigidului să se modifice. Rezultă că vectorul
forță care acționează asupra rigidului are proprietatea de vector alunecător .
F
F
F F F
F F
F
F
Mecanică. Teorie și aplicații
33
În continuare vor fi prezentate elemente de calcul algebric cu vectori
alunecător, calcul care diferă față de cel cu vectori lib eri. Aceste calcule se
aplică atât forțelor care acționează asupra unui solid rigid, cât și a altor
mărimi asupra cărora se poate aplica metoda vectorilor alunecători. În
acest tip de calcule se folosește noțiunea de moment al vectorului nu
numai doar față de un punct, ci și față de o axă.
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu un punct
Momentul unei forțe în raport cu un punct redă capacitatea cu care
forța poate roti corpul asupra căruia acționează , în jurul unei axe care trece
prin punctul respectiv și care este perpendiculară pe planul determinat de
suportul forței și acel punctul (fig.4.2).
Prin definiție, momentul unei forțe F
în raport cu un punct O este produsul
vectorial dintre vectorul de poziție r, al
punctului de aplicație A, al forței și forța F.
Fr F MO)( (4.1)
Luând în calcul proprietățile
produsului vectorial, rezultă că momentul
)(F MO este un vector aplicat în punctul
O și care este perpendicular pe planul
definit de vectorii r și F. Sensul acestui
plan este dat de „regula șurubului drept”
(sensul de înaintare al șurubului așezat în
punctul O pe suportul momentului OM,
acționat de o cheie cu forța F având ca braț, vectorul de poziție r).
Modulul acestui vector este dat fie de relația:
), sin( )( Fr Fr F MO ] (4.2)
fie ținând seama de brațul forței, adică de distanța „b” dintre punctul O și
suportul forței F:
FbbF F MO )( (4.3)
Fig. 4. 2. Momentul forței
în raport cu un punct
Dorel STOICA
34
Proprietăți :
1. Momentul unei forțe în raport cu un punct este nul atunci când:
a) 0F ;
b) 0r ;
c) vectorii r și Fsunt coliniari.
Dacă se exceptează cazul a) (în care 0F ), se poate concluziona
că, în celelalte două cazuri, momentul forței în raport cu un punct este nul
atunci când prin respectivul punct trece suportul forței.
2. Momentul unei forțe în raport cu un punct rămâne neschimbat
atunci când forța se deplasează pe propriul său suport.
Considerând forța F în două poziții, A și B (fig.4.3a) și notând cu r,
respectiv r, vectorii de poziție ai punctelor A și B, momentul în raport cu
punctul O al forței F în cele două situații devine:
FrF ABr Fr F MFr F M
B OA O
) ( )()(
(4.4)
Datorită faptului că 0F AB , iar vectorii AB și F sunt coliniari.
Fig. 4. 3. Momentul forței în raport cu un punct
Momentul unei forțe în raport cu un punct este un vector legat , motiv
pentru care se modifică la schimbarea polului. Fie O și O’, punctele în
raport cu care se calculează momentul forței F (fig.4.3b).
Mecanică. Teorie și aplicații
35
FOOFMFOOFrFrOOFrFMFrFM
O OO
)( ) ( )()(
(4.5)
Deoarece se considere că punctul O este originea sistemului de axe,
poziția tuturor celorlalte puncte se raportează la acest pol , deci rezultă că
vectorul OO OO . Relația (4.5) exprimă legea de variație a
momentului la schimbare polului .
Expresia analitică . Expresiile analitice ale vectorului de poziție rși
ale forței F sunt:
kFjFiFFkzjyixrz y x ; (4.6)
De unde rezultă că expresia analitică a momentului forței F în raport
cu punctul O este:
z y xO
F F Fz y xkj i
Fr F M )( (4.7)
Proiecțiile momentului OM pe axele sistemului triortogonal Oxyz
(momentul forței F în raport cu axele: Ox, Oy, Oz ) sunt:
x y zz x yy z x
yF xF MxF zF MzF yF M
(4.8)
Aceleași rezultate se obțin și în cazul în care se consideră produsul
vectorial Fr sub formă matriceală, ca un produs între matricea
antisimetrică rˆ asociată vectorului r și matricea coloană a vectorului F:
x yz xy z
zyx
zyx
yF xFxF zFzF yF
FFF
xyx zyz
MMM
000
(4.9)
sau sub formă restrânsă:
Fr Mˆ . (4.10)
Dorel STOICA
36
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu o axă
Prin definiție, m omentul unei forțe F în raport cu o axă este
proiecția pe această axă a momentului forței Fcalculat în raport cu un
punct oarecare O de pe axă.
Fig. 4. 4. Momentul forței în raport cu o axă
În desenul de mai sus (fig. 4.4a) s -a consieerat forța F aplicată în A,
iar axa caracterizată prin versorul u, și s-a ales punctul O1 pe axă .
Se poate scrie că:
Fr F MO1 1,
iar și proiecția pe axa este fie :
Fru F Mu FMO 1 1, (4.11)
fie
1 1 cos F M FMO .
Pentru că M se este un produs mixt, rezultă că este un scalar, iar
alegerea punctului pe axă față de care se calculează momentul, este
arbitrară.
Pentru a demonstra asta se calculează M, față de un alt punct O2:
Mecanică. Teorie și aplicații
37
2 2 1 1
2 1 1 1M F u r F u O O r F
u O O F u r F u r F
(4.12)
deoarece, 012FOOu , vectorii u și 12OO fiind coliniari.
Din relația (4.11) , unde M este un produs mixt, se poate observa
că momentul unei forțe în raport cu o axă este coplanar , adică concurent,
paralel sau confundat.
Una dintre proprietățile momentului forței în raport cu o axă este
aceea că valoarea sa rămâne neschimbată dacă forța se deplasează în
lungul suportului ei. În continuare, se observă cu ușurință dă, dacă
momentul )(F MO rămâne nemodificat , și proiecția sa M va fi
neschimbată.
Alta proprietate, dedusă din definiție, este aceea că momentul unei
forțe în raport cu axa este egal cu scalarul momentului proiecției 'F a
forței F pe un plan ( P) perpendicular pe axa , calculat în raport cu
punctul O unde axa înțeapă planul ( P).
Se consideră că:
F OAu FM (4.13)
Se descompune forța F în componentele 1F și 2F după normala
AA1 (paralelă cu ) și după o direcție paralelă cu proiecția 'F (fig.4.4 b).
;2 1F F F ;1'F F AA OA OA1 1 (4.14)
Înlocuind relația (4.14) în (4.13) rezultă:
.' ' '
1 1 12 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1
FM FMu F OAu F OAuFAAu FAAu F OAu F OAuF F AA OAu F OAu FM
o o
(4.15)
Se observă că:
02 1 1 1 2 1 FAAu FAAu F OAu , fiind vectori coplanari.
Pentru simplificare a raționamentului, în aplicații se trasează planul
normal pe axă exact din punctul de aplicație al forței.
Dorel STOICA
38
4.1.3. Cupluri de forțe
Cuplul de forțe este cel mai simplu sistem de forțe care acționează
asupra unui rigid, și este considerat a fi un sistem de două forțe egale și de
sens contrar , care acționează pe două suporturi paralele asupra aceluiași
rigid (fig.4.5).
Un cuplu aplicat unui rigid caută să -l rotească în jurul unei axe
perpendiculare pe planul definit de suporturile celor două forțe.
Fig. 4. 5. Cuplu de forțe
Proprietăți:
Pe orice axă, p roiecția cuplului de forțe este nulă. Se deduce că
rezultanta cuplului de forțe este nulă. Considerând o axă de
versor u, se poate scrie:
0)( F uFu (4.16)
Momentul cuplului este reprezentat de e fectul cup lului de forțe
aplicat asupra unui rigid , și este conform relației:
F AB F rr Fr F r MA B B A ) ( )( (4.17)
Momentul cuplului de forțe este un vector cu sensul dat de regula
produsului vectorial și fiind perpendicular pe planul forțelor care -l
compun. Mărimea momentului cuplului de forțe este produsul
dintre forță și brațul cuplului, conform relației:
Fb FAB FAB M ), sin( (4.18)
Momentul cuplului de forțe este în același timp un vector liber,
deoarece rămâne neschimbat oricare ar fi punctul față de care se
Mecanică. Teorie și aplicații
39
stabilește expresia sa. De exemplu, față de un alt punct O’, relația
momentului devine:
MF ABF rr Fr F r MA B B A ) ( )( (4.19)
4.1.4. Vector ul alunecător
S-a specificat anterior că vectorul liber se definește prin a trei mărimi
scalare , cum ar fi proiecțiile pe cele trei axe de coordonate carteziene.
În cazul vectorului alunecător F, mai trebuie să fie cunoscută și
dreapta sport () pe care acesta se deplasează. În cazul în care cele trei
proiecții pe axe ale vectorului F, sunt cunoscute, sunt cunoscuți și
parametrii directori ai dreptei suport.
Pentru ca un vect or alunecător să fie determinat, sunt necesare – de
obicei – șase mărimi scalare, și anume:
proiecțiile vectorului F pe cele trei axe [Fx, Fy, Fz];
proiecțiile momentului F MO [Mx, My, Mz] pe cele trei axe ale
al vectorului F față de originea O a sistemului de axe.
Între cele 6 mărimi scalare [Fx, Fy, Fz, M x, My, M z ] există o relație
identic satisfăcută, care se deduce ținându -se seama că vectorii F și
F MO sunt perpendiculari și, în consecință, produsul lor scalar este nul.
Se poate deci scrie relația:
0z z y y x x MF MF MF (4.20)
Relația de mai sus poate fi verificată și direct, prin înlocuirea lui Mx ,
My , Mz cu expresia (4.8), obținându -se astfel :
0x y z z x y y z x yF xFF xF zFF zF yFF
4.1.5. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon)
Fie un sistem de forțe concurente care acționează asupra unui rigid în
punctul A, al cărui vector de poziție în raport cu punctul O este r OA
(fig. 4.6).
Dorel STOICA
40
Fig. 4. 6. Sistem de forțe concurente în punctul A
Rezultanta sistemului de forțe este:
nF FFR ……2 1 (4.21)
Momentul cuplului de forțe în raport cu punctul O se află înmulțind
vectorial relația (4.21) cu r:
nFr FrFrRr ……2 1 (4.22)
altfel spus :
)( …..)( )( )(2 1 n O O O O F M F M F M R M (4.23)
Relația (4.23) reprezintă teorema momentelor sau teorema
Varignon , și poate fi definită astfel: Pentru un sistem de forțe care se
reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu un punct este
egal cu suma vectorială a momentelor forțelor componente, calculate în
raport cu același punct.
Pentru a se afla momentul acelorași forțe în ra port cu o axă , de
versor u care trece prin O, se înmulțește scalar relația (4.22) cu u:
) ( ……) () ( ) (2 1 nFru Fru Fru Rru
(4.24)
sau:
)( …..)( )( )(2 1 nF M F M F M R M (4.25)
Pentru un sistem de forțe care se reduc la o rezultantă unică,
momentul rezultantei în raport cu o axă este egal cu suma algebrică a
momentelor forțelor componente, calculate în raport cu aceea și axă.
Mecanică. Teorie și aplicații
41
4.1.6. Sisteme de forțe echivalente și operații eleme ntare
de echivalență
Deoarece în paragrafele următoare se vor studia sisteme de forță
care acționează asupra rigidului, este necesar a se afla efectul mecanic al
acestor forțe, care acționează în diferite puncte ale corpului rigid. Din acest
motiv se vor î nlocui aceste sistemele de forțe cu unele mai simple, astfel
încât efectul mecanic să fie același indiferent în orice punct este produs.
Două sisteme de forțe care acționează asupra unui rigid și produc în
orice punct același efect mecanic se numesc sistem e echivalente .
Pentru realizarea unor sisteme mai simple de forțe echivalente se
aplică forțelor mai multe operații, astfel încât sistemul de forțe dat să
rămână echivalent cu el însuși . Aceste operații poartă numele de operații
elementare de echivalență .
Este necesar a se ține seama de:
1. forța care acționează asupra rigidului poate fi deplasată pe propriul
suport;
2. În sistemul de forțe se pot suprima sau introduce două forțe egale
și direct opuse;
3. Mai multe forțe concurente pot fi înlocuite fie prin rezultan ta lor ,
fie o forță poate fi înlocuită prin componentele sale.
4.1.7. Reducerea unei forțe aplicată într -un punct al unui
rigid
Fie un rigid acționat de o forță F
în punctul A și cu r vector de poziție în
raport cu un punct O este (fig. 4.7).
Reducerea acestei forțe într-un
punct oarecare O,implică determinarea
efectul ui mecanic exercitat în O, de forța
F, aplicată în A.
Având în vedere operațiile
elementare de echivalență prezentate
mai sus , se consider forțele Fși F în
O. Se observă că f orțele, F din A și
F din O formează un cuplu, al cărui
moment este:
Fig. 4. 7. Tosor de reducere
Dorel STOICA
42
Fr MO (4.26)
Forța F și cuplul de forțe reprezentat prin momentul OM se
numesc elemente de reducere în O ale forței date . Ansamblul celor două
elemente mecanice alcătuiesc torsorul de reducere în O al forței F aplicată
în A, și se notează:
Fr MF
OO (4.27)
Dacă se schimbă punctul de reducere în O’, torsorul își va modifica
doar momentul a cărei variație la schimbarea polului este dată de relația
(4.5).
F OO M MF
O OO (4.28)
4.1.8. Reducerea unui sistem de forțe aplicate rigidului.
Torsorul de reducere. Variația torsorului cu
punctul de reducere. Invarianți
Fie un rigid acționat în punctele A1, A2,……, A n, de forțele 1F, 2F,…..,
nF, (fig. 4.8,a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O, este definit de
vectorul de poziție ir. Pentru a afla efectul mecanic produs în O de
acțiunea simultană a forțelor din sistem , este necesar să se reducă, pe
rând, toate forțele sistemului . Se va obține astfel , în O, două sisteme de
vectori concurenți:
sistemul de forțe 1F, 2F,….., nF, cu rezultanta
i n F F F FR …..2 1 (4.29)
sistemul de cupluri 1M, 2M,….., nM, cu moment ul rezultant:
i i i n O Fr M M M M M …..2 1 (4.30)
Forța rezultantă R și momentul rezultant OM reprezintă împreună
un sistem de forțe echivalent cu sistemul dat, și poartă denumirea de
torsorul de reducere în punctul O .
Mecanică. Teorie și aplicații
43
i i Oi
OFr MF R (4.31)
Procedând identic pentru ul alt punct O’, și efectuând reducerea
sistemului de forțe inițial, se obține torsorul de reducere:
i i i n Oi n
OFr M M M M MF F F FR
……….
2 12 1
(4.32)
Așadar, momentului față de punctul O devine :
ROO M F OOFrFr FOO FrOO Fr M
O i i ii i i i i i i O ) (
(4.33)
Torsorul în punctul O’ exprimat în funcție de elementele torsorului în
punctul O este:
R OO M MF R
O Oi
O (4.34)
Fig. 4. 8. Variația torsorului cu punctul de reducere
Se observă că rezultanta rămâne aceiași în raport cu puncte diferite
de reducere, altfel spus forța rezultantă este un invariant al sistemului de
reducere într -un punct al unui sistem de forțe .
Dorel STOICA
44
De asemenea , se deduce și că momentul rezultant se modifică cu
schimbarea punctului de reducere.
Dacă se efectuează produsul scalar OMR , care poartă numele și
de trinom invariant , și dacă se ține seama de faptul că produsul mixt
0) ( ROOR pentru că este un produs mixt de vectori coplanari, se
va obține:
O O O MR ROO MR MR ) ( (4.35)
Din relația (4.35) se observă că trinomul invariant OMR este al
doilea invariant al operației de reducere.
Forma analitică a trinomului invariant OMR este:
z z y y x x O MR MR MR MR (4.36)
Proiecția momentului rezultant OM pe direcția rezultantei R este:
2 2 2
z y xz z y y x x
O R O RR R RMR MR MR
RRM u M M
(4.37)
Proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei RM este
raportul a două mărimi invariante (OMR și R), așadar va fi tot o
mărime invariantă a operației de reducere (fig. 4.8,b). Astfel :
cos cosO O R M M M (4.38)
Conform relațiilor (4.35) și (4.37), trinomul invariant și proiecția
momentului rezultant pe direcția rezultantei nu sunt două mărimi invariante
independente. La reducerea într -un punct a unui sistem de forțe există doi
invarianți, R și OMR .
Vectorul RM, coliniar cu rezultanta R se va scrie:
RR
RMRu M MO
R R R (4.39)
4.1.9. Torsorul minimal. Axa centrală
Mecanică. Teorie și aplicații
45
Atunci când reducerea sistemului de forțe se face în diferite puncte
ale rigidului, se constată că torsorul de reducere este diferit dom cauza
modificării momentului rezultant.
Se descompune momentul rezultant OM, în două componente: RM,
în funcție direcția rezultan tei R și NM, urmând direcția situată într -un
plan normal la direcția rezultantei (intersecția dintre planul normal la
rezultanta R și planul definit de vectorii R și OM):
N R O M M M (4.40)
Datorită faptului că componenta RM este invariantă, rezultă deci că
modificările momentului OM se datorează componentei NM, care , în funcție
de punctul de reducere , poate avea orice valoare și orice poziție în planul
normal pe rezultanta R. Înseamnă că proiecția momentului rezultant pe
direcția rezultantei este valoarea minimă pe care o poate lua momentul atunci
când se face reducerea sistemului de forțe în diferite puncte .
minM MR (4.41)
Torsorul format din rezultanta R și momentul minim, minM se
numește torsor minim .
RR
RMRMF R
Oi
minmin (4.42)
În cazul torsorului minim, rezultanta R și momentul minim minM
sunt vectori coliniari. Locul geometric al punctelor în care torsorul are
valoare minimă, se numește axă centrală.
Fie un punct curent P(x, y, z), de pe a xa centrală (fig.4.9), momentul în
acest punct, conform legii de variație a momentului la schimbarea polului este :
k yR xR Mj xR zR Mi zR yR MR R Rz y xkj i
kMjMiMR OP M M
x y z z x y y z xz y xz y x O P
) ( ) ( ) ( (4.43)
Dorel STOICA
46
Fig. 4. 9. Momentul unui punct la schimbarea polului
Condiția de coliniaritate a vectorilor PM și R este:
R MP
sau:
) ( kRjRiR kMjMiMz y x Pz Py Px (4.44)
Rezultă:
zPz
yPy
xPx
RM
RM
RM (4.45)
Înlocuind valorile din relația (4.43) în (4.45) se obține ecuația axei
centrale , care este de fapt ecuația unei drepte în spațiu:
zx y z
yz x y
xy z x
RyR xR M
RxR zR M
RzR yR M ) ( ) ( ) (
(4.46)
Mecanică. Teorie și aplicații
47
4.1.10. Cazurile de reducere ale unui sistem de forțe
oarecare
Sisteme echivalente
Conform proprietăților de reducere ale unui sistem de forțe aplicat
unui rigid , pot fi deduse cele patru cazuri posibile de reducere ale
sistemului, la cel mai simplu sistem echivalent :
Cazul 1: 0R ; 0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
nul, atunci sistemul dat este egal cu un sistem de forțe în
echilibru . În acest caz, rigidul asupra căruia acționează acest tip
de sistem de forțe este în echilibru.
Cazul 2: 0R ; 0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
format din momentul rezultant OM, atunci respectivul s istemul
de forțe este echivalent cu un cuplu de forțe care acționează
într-un plan perpendicular pe OM.
Cazul 3: 0R ; 0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
format din forța rezultantă R, atunci sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică R, aplicată în O.
Cazul 4: 0R; 0 MO. În cazul în care cele două elemente
ale torsorului sunt diferite de zero, atunci avem:
Subcazul 4a: 0OMR , în care c ei doi vectori sunt
ortogonali. În acest subcaz, s istemul de forțe este echivalent
cu o forță unică R, având ca suport axa centrală , în vreme ce
momentul minim minM are valoarea nulă.
Subcazul 4b: 0OMR , în care între cei doi vectori se
formează un unghi 2/ . În acest subcaz, sistemul de
forțe este echivalent cu un torsor minim pe axa centrală, adică
are o forță R și un moment minim minM . Acest tip de sistem
imprimă corpului o mișcare elicoidală în jurul axei centrale.
Dorel STOICA
48
4.2. Reducerea sistemelor particulare de forțe
4.2.1. Reducerea sistemelor de forțe concurente
Un sistem de forțe concurente este acel sistem care acționează
asupra unui rigid, cu condiția ca suporturile lor sunt concurente într -un
punct.
Fie un sistem de for țe iF, aplicate unui rigid în punctele Ai, (i = 1, 2,
…, n) , cu suporturi concurente în punctul O (fig. 4.10).
Datorită faptului că f orțele iF sunt vectori alunecători , pot fi
deplasate pe suporturile lor până când punctele Ai coincid cu punctul O.
În acest caz, t orsorul în punctul O pentru acest sistem de forțe este:
0Oi
OMF R (4.47)
Fig. 4. 10. Sistem de forțe concurente
Se construiește rezultanta R, care reprezintă t orsorul minim , iar axa
centrală va deveni suportul al rezultantei.
Pot fi aplicate în acest caz două cazuri de reducere , și anume :
Cazul 1 : 0R ; 0OM , caz în care s istemul de forțe este
echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2: 0R ; 0OM , caz în care s istemul de forțe este
echivalent cu o forță unică R, aplicată în O.
Mecanică. Teorie și aplicații
49
4.2.2. Reducerea sistemelor de forțe coplanare
Forțele ale căror suporturi sunt situate în același plan [ P] poartă
denumirea de forțe coplanare . Dacă se reduce sistemul de forțe în punctul
O, aflat pe planul [P], se va obține torsorul sistemului pentru punctul O.
Acesta es te format din forța rezultantă R și momentul rezultant OM,
perpendicular pe planul forțelor (momentul rezultant OM, reprezintă suma
vectorială a momentelor forțelor din sistem, calculate în raport cu punctul O
și care sunt prin definiție, perpendiculare pe planul forțelor).
Trinomul invariant este 0OMR .
În cazul sistemelor de forțe coplanare se pot aplica cazurile de
reducere de mai jos:
Cazul 1: 0R ; 0OM , caz în care avem de -a face cu un
sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2: 0R ; 0OM , caz în care s istemul de forțe dat este
echivalent cu un cuplu de forțe de moment OM care acționează
perpendicular pe planul forțelor.
Cazul 3: 0R ; 0OM , caz în care s istemul de forțe este
echivalent cu o forță u nică R, aplicată pe axa centrală care
trece prin O.
Cazul 4: 0R ; 0OM ; 0OMR , caz în care s istemul de
forțe este echivalent cu o forță unică R, aplicată pe axa
centrală.
Dacă se studiază din punct de
vedere analitic sistemul de forțe coplanar
(fig.4.11) , se consideră ca plan al forțelor
planul Oxy, de ecuație, z = 0 . Forțele iF
și vectorii de poziție ir, ai punctelor de
aplicație Ai, ale forțelor au expresiile:
jyixrjFiF Fi i i iy ix i ; (4.48)
Fig. 4. 11. Sistem de forțe
coplanar
Dorel STOICA
50
kMkMkFy Fx
F Fy xkj i
Fr MjRiRjF iF F R
O z ixi iyi
iy ixi i i i Oy x iy ix i
O) (
00 (4.49)
Dacă se aplică cazul 4 de reducere , și anume 0R ; 0OM ;
0OMR , axa centrală se obține din ecuația generală a acesteia (4.45),
termenii ecuați ei fiind dați de relația (4.49), adică:
0) ( 0 0 x y O
y xyR xR M
R R (4.50)
sau:
x y O yR xR M (4.51)
4.2.3. Reducerea sistemelor de forțe paralele
Dacă suporturile sistemului de forțe iF, (i = 1, 2, …,n) unt paralele
cu o direcție comună de versor u, atunci se consideră că acestea
formează un sistem de forțe paralele (fig.4.12).
În acest caz, O forță iF din acest sistem poate fi definite în funcție
de versorul u, astfel:
uF Fi i (4.52)
unde Fi este o mărime algebrică, fie pozitivă , fie negativă, în funcție
de orientarea forței versorului u (în același sens sau în sens contrar ).
În acest caz, r ezultanta sistemului este:
uF uF F Ri i i ) ( (4.53)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrică a scalarilor forțelor.
Momentul rezultant în punctul O este:
urF uFr Fr Mii i i i i O ) ()( (4.54)
Datorită coliniarității a doi termeni din produsul mixt , trinomul
invariant are expresia:
0 ) () ( u rF uF MRii i O (4.55)
Mecanică. Teorie și aplicații
51
Fig. 4. 12. Sistem de forțe paralele
Pentru un sistem de forțe paralele, c azurile de reducere sunt:
Cazul 1: 0R ; 0OM , în care s istemul de forțe este
echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2: 0R ; 0OM , în care sistemul dat este echivalent
cu un cuplu de forțe de moment OM perpendicular pe direcția forțelor.
Cazul 3: 0R ;. 0OM , în care s istemul de forțe este
echivalent cu o forță unică R, aplicată în O.
Cazul 4: 0R ; 0OM ; 0OMR , în care s istemul de
forțe este echivalent cu o forță unică R, aplicată pe axa centrală.
Axa centrală este reprezentată de locul geometric al punctelor în
care momentul este nul, datorită faptului că 0OMR .
Axa centrală poate fi aflată cu ajutorul relației (4.43) , care exprimă
momentul într -un punct curent P situat pe axă , în care r OP este
vectorul de poziție al acestui punct.
0 R OP M MO P (4.56)
Dorel STOICA
52
Înlocuind pe R și OM cu expresiile date de relațiile (4.53) și (4.54),
obținem:
0 ) ( ) ( uF rurFi ii (4.57)
Dacă în al doilea produs vectorial se schimbă poziția factorului scalar,
atunci :
0 ) ( ) ( urF urFi ii
0 ) ( urF rFi ii (4.58)
În cazul în care p rodusul vectorial este nul, cei doi vectori sunt coliniar i.
u rF rFi ii ' (4.59)
Vectorul de poziție al punctului curent P, de pe axa centrală este:
uF FrFr
i iii
'
(4.60)
Dacă notăm
iF', rezultă:
uFrFr
iii
(4.61)
Relația (4.61) este ecuația vectorială a axei centrale , reprezentată în
fig. 4.12, și care este o dreaptă paralelă cu direcția comună a sistemului de
forțe dată de versorul u care trece printr -un punct fix C. Acest punct
poartă denumirea de centrul forțelor paralele .
Vectorul de poziție al centrului forțelor paralele este:
iii
CFrFr (4.52)
Coordonatele centrului forțelor paralele C sunt:
iii
C
iii
C
iii
CFzFzFyFyFxFx ; ; (4.63)
Mecanică. Teorie și aplicații
53
Proprietățile centrului forțelor paralele
1. În cazul în care toate forțele componente sunt rotite în același
sens și cu același unghi, atunci i axa centrală se va roti în același sens și cu
același unghi . Datorită faptului că vectorul Cr nu depinde de versorul
direcției comune , rezultă că axa va trece întotdeauna prin punctul C.
2. În cazul în care toate forțele sunt multiplicate sau împărțite cu
același raport k, poziția centrului forțelor paralele nu se schimbă.
Înlocuind forțele iF cu iFk obținem: C
iii
iii
C rFkrFk
kFrkFr
'
3. Datorită faptului că Centrul forțelor paralele este o caracteristică
esențială a sistemului de forțe, acesta nu depinde de sistemul de referință .
Fie noua origine a sistemului, O’ și OrOO' . Vectorii de poziție ai
punctelor de aplicație ale forțelor în raport cu noua origine pot fi scriși sub
forma:i O i r r'r . În acest caz, v ectorul de poziție al centrului forțelor
paralele raportat la noul sistem va deveni :
C O
iii
ii O
ii Oi
iii
C rrFrF
FFr
FrrF
FrFr
) ( ''
Cu alte cuvinte, chiar dacă vectorul de poziție al centrului forțelor
paralele s -a modificat la fel ca pentru oricare punct Ai. poziția centrului C
față de punctele Ai nu rămâne neschimbată .
4. Vectorii forță sunt vectori legați . Din cauză că centrul forțelor
paralele are o existență i ntrinsecă, rezultă că poziția acestuia este în funcție
de poziția punctelor de aplicație și scal ării forțelor. În cazul în care se
consideră că forțele sunt vectori alunecători , atunci punctul C nu mai are
semnificație.
4.2.4. Reducerea forțelor paralele distribuite
Forțele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptă AB, situat
pe axa Ax, de lungime l, sunt distribuite după o lege de variație, p = p(x)
(fig.4.13). Se urmărește determinarea rezultantei, R și poziția centrului
forțelor paralele, xC.
Notăm prin p(x), forța pe unitatea de lungime la distanța x, de
capătul A, măsurată în N/m. Mărimea rezultantei R se obține prin
integrarea pe lungimea x, a forței elementare, dR, creată de forța
distribuită p(x) considerată constantă pe elementul infinitezimal dx.
Dorel STOICA
54
l
AB dxxp dR R
0)( (4.64)
Expresia poziției centrului forțelor
paralele distribuite pe C se definește prin
abscisa, xC, adică:
ll
ABAB
C
dxxpxdxxp
dRxdRx
00
)()(
(4.65)
Suportul rezultantei R trece prin centrul C de greutate al suprafeței,
mărimea acesteia fiind de fapt aria câmpului de distribuție al forței .
Ținând cont de legea variație i forțelor distribuite , se pot lua în
considerare cazurile de mai jos :
a. Forță distribuită uniform , caz în care f orța este constant
distribuită pe lungimea barei (fig. 4.14), iar legea de variație este:
p(x) = p = ct . (4.66)
pl px pdx Rll
00 (4.67)
22
002
00 l
xx
pdxpxdx
xll
ll
C
(4.68)
Sarcină uniform distribuită înseamnă că este echivalentă cu sarcină
concentrată R = pl aplicată la mijlocul porțiunii încărcate.
b. Forță distribuită triunghiular . În acest caz, v aloarea maximă
a forței distribuite este p (fig.4.15) , iar lege a de variație pe
lungimea barei este :
lxp)x(p (4.69)
Fig. 4. 13. Forțe paralele
Fig. 4. 14. Forță uniform
distribuită
Mecanică. Teorie și aplicații
55
2 202
0pl
lpxdxlxp Rl
l
(4.70)
32
23
0203
00 l
xx
dxlxpxdxlxp
xll
ll
C
(4.71)
Sarcina distribuită triunghiular este echivalentă cu forță de mărime
2plR , aplicată la distanța l xC32 , de capătul A.
c. Forță distribuită parabolic . În acest caz, v aloarea maximă a
forței distribuite este p (fig. 4.16), iar legea de variație pe
lungimea barei este:
22
)(lxp xp (4.72)
3 3023
022pl
lpxdx
lxp Rl
l
(4.73)
43
34
0304
022022
l
xx
dxlxpxdx
lxp
xll
ll
C
(4.74)
Sarcina distribuită parabolic este echivalentă cu sarcina concentrată
de mărime, 3plR , aplicată la o distanță l xC43 , de capătul A.
Fig. 4. 15. Forță
distribuită triunghiular
Fig. 4. 16. Forță distribuită
parabolic
Dorel STOICA
56
4.5. Centre de greutate (centre de masă)
Se știe că toate corpurile de pe suprafața Pământului sunt supuse
forței de atracție a acestuia, adică asupra unui corp de masă m se exercit ă
o forță, proporțională cu masa corpului, numită greutate.
gm G (4.75)
unde g, este accelerația pământului, formată de rezultanta dintre
accelerația gravitațională ( adică a forței gravitațional e) și accelerația de
transport ( rezultanta mișcării de rotație a Pământului).
Este cunoscut faptul că v aloarea accelerației terestre g variază în
funcție de latitudine și altitudine, dar din cauză că aceste variații sunt mici,
s-a convenit să fie neglijate. În consecin ță, în calcule se consideră că
valoarea medie g = 9,81 m/s2.
De asemenea, datorită faptului că raportul dintre dimensiunea
corpurilor folosite în general și dimensiunea pământului este foarte mic, s -a
convenit să se considere că greutățile forțelor, a căror vector este îndreptat
după verticala locului, sunt paralele. S -a ajuns astfel ca această problemă
să reprezinte de fapt un caz particular de forțe paralele, prezentat mai jos.
4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte
materiale
Fie un sistem de puncte materiale A i de mase m i și vectori de poziție
ir, (i = 1, 2, …,n), în raport cu originea O a sistemului de axe.
Greutatea sistemului este:
Mg mggm G Gi i i . (4.76)
Greutatea va fi aplicată în centrul forțelor paralele de greutate, iG
(fig. 4.26), adică în centrul de greutate al sistemului.
Mecanică. Teorie și aplicații
57
Fig. 4. 17.
Vectorul de poziție al centrului de greutate C, conform relației (4.52)
este:
iii
CGrGr (4.77)
Dacă se înlocuiește relația (4.76) în (4.77) , se obține :
iii
iii
iii
Cmrm
gmrgm
GrGr (4.78)
Aceasta este demonstrația faptul ui că centrul de greutate C este un
element geometric, care depinde de modul de distribuire a maselor din
punctele A i, justificându -se deci denumirea de centrul de masă.
Proiecțiile pe axe ale vectorului Cr sunt coordonatele centrului de
masă:
iii
C
iii
C
iii
Cmzmzmymymxmx ; ; (4.79)
Expresiile iixm, iiym, iizmse numesc momente statice ale
sistemului față de planele Oyz, Oxzși Oxy, iar expresia iirm
reprezintă momentul static al sistemului față de punctul O.
Cu ajutorul acestor mărimi se poate caracteriza felul în care este
distribuită masa unui sistem de puncte materiale.
Din relațiile (4.78) și (4.79) rezultă că:
C ii rMrm ; C ii Mxxm ; C ii Myym ; C ii Mzzm (4.80)
Dorel STOICA
58
Aceasta este teorema momentului static , adică momentul static al
unui sistem de puncte materiale în raport cu un punct este egal cu masa
sistemului înmulțită cu vectorul de poziție al centrului de greutate în raport
cu acel punct . Altfel spus, momentul static al unui sistem de puncte
materiale în raport cu un plan de referință este egal cu masa sistemului
înmulțită cu distanța de la centrul său de greutate la acel plan.
4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor
S-a convenit ca î n mecanică să se admită că toate corpurile rigide
sunt dintr -un material nedeformabil, adică fiecare punct al corpului,
considerat la scară macroscopică, are masă, distanțele dintre aceste puncte
rămânând aceleași oricare ar fi efortul care acționează asupra corpului.
Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obținute în cazul sistemelor
de n puncte materiale, se consideră corpul divizat în v olume elementare
iV, care au masa im. Vectorul de poziție al centrului de greutate,
conform relației (4.78) este:
ii i
Cmmrr (4.81)
Trecând la limită, când 0im și n , atunci sumele din
relația (4.81) devin integrale definite pe domeniul ocupat de corp. Acest
domeniu se notează cu (D) în cazul general, iar în cazul barelor, plăcilor și
al blocurilor, respectiv cu ( l ), (S) și (V). Astfel se obțin:
DDi
cdmdmr
r ;
DDi
dmdmx
;
DDi
dmdmy
;
DDi
dmdmz
(4.82)
În relația (4.83) ir, ix, iy, iz sunt vectori de poziție, adică sunt
coordonate ale centrului de greutate al elementului de masă dm considerat.
Expresiile )(Ddmx , )(Dydm, )(Ddmz reprezintă momentele
statice ale corpurile în raport cu planele axelor Oyz, Oxz, Oxy, iar )(Ddmr
reprezintă momentul static în raport cu punctul O.
Din relațiile (4.82) se deduce teorema momentului static în cazul
corpurilor , și anume:
c D rM dmr)(; M dmxD)(; M dmyD)(;)(D M dmz (4.83)
Mecanică. Teorie și aplicații
59
Relația (4.83) se poate enunța identic ca în caz ul sistemelor de
puncte materiale.
În vederea studiul ui centrului de greutate al corpului , este necesar ă
introducerea noțiunii de densitate medie (altfel spus masă volumică medie),
definită confor m relației :
ii
medVm
(4.84)
Trecând la limită, când 0iV se obține densitatea (masa
volumică) :
dVdm (4.84)
În mecanică, corpurile se împart în bare (linii materiale), plăci
(suprafețe materiale) și blocuri (volume materiale) .
Ele se definesc conform tabelului de mai jos:
Corp Densitate Densitate medie
Bare dsdm
l sm
medl
Plăci dAdm
A dAdm
medA
Blocuri
Vm
med
Dacă corpurile sunt omogene și izotrope , se consideră că densitatea
este constantă, altfel spus const .
Dacă corpurilor sunt neomogene, atunci densitatea variază:
),,( zyx (4.85)
Analizând relațiile (4.82) până la (4.85) se obține:
pentru bare omogene
dsdsrrc, (4.86)
The image cannot be displayed.
Your computer may not have
enough memory to open the
image, or the image may have
been corrupted. Restart your
computer, and then open the file
again. If the red x still appears,
you may have to delete the
image and then insert it again.
Dorel STOICA
60
respectiv :
dsdsx ,
dsdsy ,
dsdsz ; (4.87)
pentru plăci omogene:
ss
cdAdAr
r , (4.88)
respectiv:
ss
dAdAx ,
ss
dAdAy ,
ss
dAdAz ; (4.89)
pentru b locuri omogene
VV
cdVdVrr , (4.90)
respectiv:
VV
dVdVx ,
VV
dVdVy ,
VV
dVdVz ; (4.91)
Se deduce din relațiile (4.86) până la (4.91) faptul că, pentru
corpurile omogene, centrul de greutate are un caracter geometric , în vreme
ce pentru corpurile neomogene, se poate scrie:
DD
cdVzyxdVrzyxr,,,,
(4.92)
respectiv:
DD
dVzyxdVxzyx
,,,,
,
DD
dVzyxydVzyx
,,,,
,
DD
dVzyxdVzzyx
,,,,
(4.93)
Principalele proprietăți ale centrului de greutate sunt:
ca și în cazul centrul ui forțelor paralele , poziția centrului de
greutate nu depinde de sistemul de axe ales, reprezentând deci
un punct intrinsec al sistemului.
Mecanică. Teorie și aplicații
61
în cazul în care corpul admite un plan de simetrie (geometric și
masic) , centrul de greutate se află în acest plan.
4.5.3. Teoremele Pappus – Guldin
Teorema 1. Aria suprafeței generată prin rotirea completă a arcului
de curbă în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează , este
egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă și lungimea cercului
descris de centrul de greutate al curbei.
Elementul de arc MM’ = dl generează prin rotație, o supraf ață conică
având generatoarea dl și raza medie y (fig.4.27, a).
ydl dA2 (4.94)
Prin integrare rezultă aria:
ly ydl ydl AC l l 2 2 2)( )( (4.95)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
ly ydlC l)( (4.96)
Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeței în
jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează , este egal cu
produsul dintre aria suprafeței respective și lungimea cercului descris de
centrul de greutate al suprafeței.
Volumul elementar dV care rezultă prin rotirea completă a elementului
de suprafață dA poate fi considerat ca diferența volumelor a doi cilindri
elementari de înălțime dx și raze ( y+dy), respectiv y (fig.4.27, b) .
dA ydxdy dxy dxdyy dV 2 2 ) (2 2 (4.97)
În relația (4.97), t ermenul 0 )(2dxdy are în produs un infinit
mic, de ordin superior.
Volumul total este:
Ay ydA ydA dV VC A A A 2 2 2)( )( )( (4.98)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
Ay ydAC A)( (4.99)
Dorel STOICA
62
Fig. 4. 18. Teoremele Pappus – Guldin
4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale
1. Arc de cerc
Fie arcul de rază R definit la centrul
cercului de unghiul 2 α, (fig.4.28).
sincos
R
RdRd R
dlxdl
,
. =, cos=
Rd dlRx
Distanța pe bisectoare de la centrul cercului la centrul de masă este:
sinROC
(4.100)
Fig. 4. 19.
Mecanică. Teorie și aplicații
63
2. Sector de cerc
Fie sectorul de cerc de rază R,
delimitat la centru de unghiul 2 α,
(fig.4.29)
2
0
0cos
cos
2 cos
3R
RxdA r rd dr
dA rd dr
r dr d
R
rdr d
unde: drrd dA ; dA – element de arie.
Distanța , pe direcția bisectoarei, de la centrul cercului până la centrul
de masă se află în funcție de jumătate din unghiul la centru:
cos
32ROC . (4.101)
3. Con
Fie un con circular drept, omogen, de
înălțimea h (fig. 4.30). La o distanță
considerată z de vârf se construiește un
element de volum definit de 2 secțiuni paralele
cu baza la distanța dz între ele , și care poate fi
aproximat cu un cilindru de rază r. Centrul de
masă se află pe axa Oz, care este și axă de
simetrie. Se ține cont de proporționalitatea
hz
Rr= de unde zhRr= și deci 2
22
= zhRdV .
Cota a centrului maselor este:
dzrdzrz
dvzdy
22
. (4.102)
Centrul maselor unui con se află pe axa lui de simetrie la o distanță
de h43 de vârf și 4h de bază.
Fig. 4. 20
Fig. 4. 21.
Dorel STOICA
64
4. Semisfera
Fie un element de volum între două
secțiuni paralele cu baza la distanța dz și
înălțime z, (fig. 4.31). Acesta poate fi
aproximat cu un cilindru de volum
dzr dV2= , unde r se exprimă în
funcție de R , 2 2 2z R r .
Centrul de masă s e află pe axa de
simetrie (axa Oz).
83
02 202 2
R
dzz Rdzr Rz
dvzdv
RR
. (4.103)
Rezultă 83=R de bază.
Fig. 4. 22
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Cele mai cunoscute noțiuni din cunoștințele umane sunt Materia, mișcarea, spațiul și timpul . MMaatteerriiaa este categoria filozofică care… [613543] (ID: 613543)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.