Algoritm de rezolvare a unui sistem de m ecuații [613267]

5
INTRODUCERE

Matricele și determinanții își au originile în secolul 2 î.e.n. cu toate că urmele lor se pot
vedea încă din secolul 4 î.e.n. Însă ele nu au existat decât spre sfârșitul secolului 17 când
ideea reapare și se dezvoltă . Începuturile matricelor și determinanților apar datorită studiului
sistemelor de ecuații liniare. Babilonienii au fost primii care au studiat probleme care
anticipează sistemele de ecuații liniare iar câteva dintre acestea sunt păstrate pană în ziua azi pe
tăblițe de lut.
De exemplu o plăcuță datând din anul 300 î.e.n. conține următoarea problemă:
„Două terenuri care au împreună 1800 𝑦𝑎𝑟𝑑ଶ sunt cultivate cu grâu. De pe primul teren s-au
recoltat ଶ
ଷ dintr-un bușel (aproximativ 36 l)/ 𝑦𝑎𝑟𝑑ଶ în timp ce de pe al doilea teren se recoltează ଵ
ଶ
buleș/𝑦𝑎𝑟𝑑ଶ. Dacă producția totală e de 1100 bușeli, care este mărimea fiecărui teren?”
De asemenea în manuscrisele chinezești dintre 200-100 î.e.n. s-au găsit informații despre
matrice. Un exemplu în acest sens este documentul “9 Capitole din Arta Matematicii” scris în
timpul dinastiei Han. Problema descoperită în acest document este la fel structurată ca și în
exemplul babilonian:
“Avem 3 tipuri de cereale, dintre care o grămadă din primul tip de cereale, două din al doilea și
una din al treilea tip și cântăresc împreună 39 măsuri. Două grămezi din primul tip, trei din al
doilea și o grămadă din al treilea au împreună 34 măsuri. Una din primul tip, două din al doilea
și trei din al treilea fac 26 măsuri. Câte măsuri din fiecare tip de cereale conține fiecare
grămadă?”
În continuare autorul a făcut ceva cu adevărat remarcabil. El a aranjat coeficienții sistemului
de 3 ecuații liniare cu 3 necunoscute într-un tablou:
1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 39

Remarcabil este faptul că autorul, cu 200 ani î.e.n. instruia cititorul că poate înmulți coloana
din mijloc cu 2 și apoi o scădeampe cea din dreapta de câte ori este posibil, apoi înmulțim prima
coloana cu 3 și o scădem pe ultima de câte ori e posibil. Obținem astfel:

0 0 3
4 5 2

6
8 1 1
39 24 39

Apoi prima coloană este înmulțită cu 5 și a doua se scade din prima de câte ori e posibi l,
obținând astfel:
0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 39
Această metodă cunoscută acum ca metoda de eliminare a lui Gauss, devine foarte
cunoscută abia în secolul al XIX-lea. Apoi, în “Ars Magna” (1545), Cardan dă o regulă pentru
rezolvarea unui sistem de două ecuații cu două necunoscute pe care a numit-o “regula de modo”.
Această regulă stă la baza regulii lui Cramer pentru rezolvarea unui sistem de 2 ecuații cu 2
necunoscute, ea nu a fost finalizată, nu s-a ajuns la definiția determinantului dar a fost un pas
important pentru obținerea acestei definiții.
Multe rezultate standard de teoria elementară a matricelor au apărut cu mult înainte ca
matricele să devină subiect de investigație. De exemplu, de Witt în “Elements of curves” a
publicat o parte a comentariilor din versiunea latină a geometriei lui Descartes (apărută in 1660)
care arată cum printr-o transformare a axelor putem reduce ecuația unei conice date la forma ei
canonică. Aceste raționamente făcute de Witt sunt echivalente de fapt cu reducerea unei matrice
simetrice la forma diagonală, dar de Witt nu a gândit niciodată în acești termeni.
Conceptul de determinant a apărut în Japonia și Europa în același timp. Seki
(matematician japonez care a trăit între 1642-1708) a fost totuși primul care a publicat în
1683 “Metode de rezolvare a problemelor disimulate” care conțin metode matriceale scrise în
tabele în același mod ca și metodele chinezești descrise mai înainte. Fără a avea un
corespondent pentru cuvântul “determinantului”, Seki a introdus determinanții și a dat metode
generale pentru calcularea lor bazate pe exemple. Seki a fost pregătit să găsească determinanți de
ordin 2,3,4,5 și i-a aplicat în rezolvarea ecuațiilor dar nu a sistemelor de ecuații liniare. Tot
în anul 1683, au apărut determinanții și în Europa și în același timp Leibniz (matematician german
care a trăit între 1646-1716) îi scria lui L’Hopital că sistemul de ecuații
൝10+11𝑥+12𝑦= 0
20+21𝑥+22𝑦= 0
30+31𝑥+32𝑦= 0
are soluție pentru că
10·21·32+11·22·30+20·31·12=10·22·31+11·20·32+12·21·30
care este condiția ca matricea coeficienților să aibă determinantul 0.

7
De remarcat este faptul că Leibniz nu a folosit coeficienți dar a folosit două caractere, adică
indici dubli pentru marcarea coeficienților, unul care să indice cărei ecuații îi aparține necunoscuta,
deci 21 indică ceea ce noi numim azi 𝑎ଶଵ. Leibniz era convins că o bună notație era cheia
progresului deci el a experimentat diverse notații pentru coeficienții sistemului. Manuscrisele sale
nepublicate conțin mai mult de 50 de metode diferite pentru scrierea coeficienților sistemului cu
care el a lucrat timp de 50 ani începând cu anul 1678. Numai două publicații (1700 sau 1710)
conțin rezultate legate de coeficienții unui sistem și el utilizează același notații care au fost
menționate în scrisoarea către L’Hopital. Leibniz a folosit cuvântul rezultantă pentru anumite
sume combinatoriale de termeni ai unui determinant. El a demonstrat diverse rezultate, incluzând
ceea ce este de fapt regula lui Cramer. El a știut că un determinant poate fi dezvoltat după
orice coloană, ceea ce azi se cheamă dezvoltarea lui Laplace. Pe lângă studierea coeficienților
sistemelor de ecuații care l-au condus la determinanți, Leibniz a studiat coeficienții sistemelor
de ecuații de gradul al II-lea (sau forme pătratice) care îl conduc la teoria matricelor.
În anul 1730 MacLaurin a scris un tratat de algebră care n-a fost publicat până în anul
1748, la doi ani după moartea sa. El conține primele rezultate publicate despre determinanții
proveniți din regula lui Cramer pentru sisteme de 2 ecuații cu 2 necunoscute, 3 ecuații cu 3
necunoscute și a indicat cum putem lucra pentru sisteme de 4 ecuații cu 4 necunoscute.
Cramer a indicat metoda generală pentru sistemele de n ecuații cu n necunoscute în articolul
“Introducere în analiza curbelor algebrice”. El și-a pus problema găsirii ecuației unei curbe plane
care trece printr-un număr de puncte dat. Regula apare în Appendix-ul acestui articol dar nu e
dovedit acest lucru. Tot Gabriel Cramer a formulat în 1750 regula
de rezolvare a sistemului linear
൝𝑎ଵ𝑥+𝑏ଵ𝑦+𝑐ଵ𝑧=𝑙ଵ
𝑎ଶ𝑥+𝑏ଶ𝑦+𝑐ଶ𝑧=𝑙ଶ
𝑎ଷ𝑥+𝑏ଷ𝑦+𝑐ଷ𝑧=𝑙ଷ
ca un cât de determinanți
𝑥=ୈ୶
ୈ , 𝑦=ୈ௬
ୈ și 𝑧=ୈ୸
஽ ,
D fiind determinantul coeficienților sistemului, 𝐷௫ determinantul obținut din D înlocuind coloana
coeficinților lui x prin termenii liberi. Tot Cramer a fost cel care a observat că un determinat este de
fapt o funcție lineară omogenă de elementele fiecărei linii și a fiecărei coloane.
Apoi au început să apară regulat lucrările despre determinanți. În anul 1764 Bezout
(matematician francez care a trăit între 1730-1783) a mai elaborat metode de calcul ale
determinaților asemănătoare cu ale lui Vandermonde. În 1771 Theophile Vandermonde a introdus
determinantul care îi poartă numele:

8
𝑉=อ1 1 1
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑐ଶอ=(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎)
În 1772 Laplace (matematician francez care a trăit între 1749-1827) a susținut că metodele
prezentate de Cramer și Bezout nu sunt de fapt practice și într-un referat unde el a studiat teoria
perturbărilor planetare a folosit determinanții. În acest referat el a introdus și ecuația seculară
ቮ 𝑎ଵଵ−𝑆 𝑎 ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ−𝑆…𝑎ଶ௡…
𝑎௡ଵ…
𝑎௡ଶ …
……
𝑎௡௠−𝑆ቮ= 0

despre care a arătat că are toate rădăcinile reale. Surprinzător este faptul că Laplace a folosit
cuvântul rezultant pentru ceea ce azi numim determinant . El a introdus noțiunea de determinant de
ordin general și a făcut observația că dacă schimbăm două linii între ele, determinantul își schimbă
semnul apoi ca o consecință, a arătat că dacă un determinant are două linii identice, atunci valoarea
sa este nulă. Tot el a enunțat următoarea teoremă:
“Un determinant de ordinal n este egal cu suma celor 𝐶௠௡ produse pe care le obținem
înmulțind minorii de ordin m extrași dintr-o matrice arbitrară formată cu m linii ale determinantului
prin complementele lor algebrice respective”.
Lagrange (matematician francez care a trăit între 1736-1813) a studiat complet determinanții
de ordinal al treilea și identități cu aceștia și a plublicat articolul în anul 1773. Acest articol de
mecanică conține pentru prima dată interpretarea volumului ca și determinant. Lagrange a arătat că
tetraedrul care are vârfurile în 𝑂(0,0,0),𝑀(𝑥,𝑦,𝑧),𝑀′(𝑥′,𝑦′,𝑧′) are volumul
ଵ
଺[𝑧(𝑥′𝑦′′−𝑦′𝑥′′)+𝑧′(𝑦𝑥′′−𝑥𝑦′′)+𝑧"(𝑥𝑦′−𝑦𝑥′)].
Tot el a introdus noțiunea de determinant reciproc al unui determinant de ordinul al treilea, format
prin înlocuirea fiecărui element cu complementul său și a arătat că un determinant reciproc este
pătratul determinantului dat.
Începând cu anul 1771 Leonhard Euler a studiat determinanții ortogonali, în legătură cu
problema deplasărilor. Se numește determinant ortogonal un determinant de forma:
อ𝑎ଵ𝑏ଵ𝑐ଵ
𝑎ଶ𝑏ଶ𝑐ଶ
𝑎ଷ𝑏ଷ𝑐ଷอ
Pentru care avem următoarele relații pătrate între elemente:
𝑎ଵଶ+𝑏ଵଶ+𝑐ଵଶ=𝑎ଶଶ+𝑏ଶଶ+𝑐ଶଶ=𝑎ଷଶ+𝑏ଷଶ+𝑐ଷଶ= 1,
𝑎ଵ𝑎ଶ+𝑏ଵ𝑏ଶ+𝑐ଵ𝑐ଶ=𝑎ଵ𝑎ଷ+𝑏ଵ𝑏ଷ+𝑐ଵ𝑐ଷ=𝑎ଶ𝑎ଷ+𝑏ଶ𝑏ଷ+𝑐ଶ𝑐ଷ= 0

9
Analog vom defini determinantul ortogonal de orice ordin. Euler a demonstrat pentru n=3 că
orice element al unui determinant ortogonal este egal cu complementul său, iar Joseph Lagrange a
arătat că determinantul ortogonal are valoarea ±1 .
Din problemele legate de teoria generală a conicelor și a cuadricelor a fost inițiată în secolul
al 18-lea și teoria formelor pătratice. În anul 1773 Joseph Lagrange a introdus forma binară
𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎ଵଵ𝑥ଶ+2𝑎ଵଵ𝑥𝑦+𝑎ଶଶ𝑦ଶ
și forma ternară
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑎ଵଵ𝑥ଶ+2𝑎ଵଶ𝑥𝑦+𝑎ଶଶ𝑦ଶ+2𝑎ଵଷ𝑥𝑧+2𝑎ଶଷ𝑦𝑧+𝑎ଷଷ𝑧ଶ.
El a arătat, pentru n=2, că dacă efectuăm o transformare liniară
𝑥=𝛼ଵଵ𝑥′+𝛼ଵଶ𝑦′
𝑦=𝛼ଶଵ𝑥′+𝛼ଶଶ𝑦′
atunci pentru noua formă
𝑓′(𝑥′,𝑦′)=𝑎ଵଵ′𝑥′మ+2𝑎ଵଶ′𝑥′𝑦′+𝑎ଶଶ′𝑦′మ
avem relația dintre discriminanții formelor și ai transformării
ቤ𝑎ଵଵ′𝑎ଵଶ′
𝑎ଶଵ′𝑎ଶଶ′ቤ=ቚ𝛼ଵଵ𝛼ଵଶ
𝛼ଶଵ𝛼ଶଶቚଶ
·ቚ𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶቚ.
Euler a observat că un determinant de ordinul 3 conține numai 3 parametri independenți, iar
unul de ordinul 4 conține 6 parametri și a exprimat sub formă rațională celelalte elemente în funcție
de acești parametri, în cazurile n=3,4 menționate. Tot el a emis următoarea regulă: “Considerăm un
determinant nenul B= ห𝑏௜௝ห de ordin n, ale cărui elemente de pe diagonala pricipală au valoarea 1
iar celelalte sunt strâmb simetrice 𝑏௜௝+𝑏௝௜= 0,𝑏௜௝= 1. Dacă 𝐵௜௝ este complementul algebric al
lui 𝑏௜௝, punem
𝑎௜௜=ଶ஻೔೔షభ
஻,𝑎௜௝=ଶ஻೔ೕ
஻,𝑖≠𝑗, atunci determinantul ห𝑎௜௝ห este ortogonal. “
Termenul “determinant” a fost introdus pentru prima oară de către Gauss (matematician
german care a trăit între 1777-1855) în “Discuții aritmetice” , în timp ce se studiau formele
pătratice. Dar acest concept nu este același cu determinantul pe care îl știm noi în ziua de azi. În
aceeași lucrare Gauss a aranjat coeficienții formelor pătratice într-un sistem de axe rectangulare.
El a descris înmulțirea matricelor și a descris și construcția inversei unei matrice. Metoda
eliminării a lui Gauss (a cărei idee a apărut prima oară în textul “9 Capitole din Arta
Matematicii” scris în anul 200 i.e.n., dar despre care Gauss nu știa nimic), a fost utilizată de
acesta în lucrarea sa care studia orbitele asteroidului Pallas. Utilizând observațiile asupra
asteroidului făcute între 1803 și 1809, Gauss a obținut un sistem de 6 ecuații liniare cu 6

10
necunoscute. Gauss a dat sistematic metode pentru rezolvarea acestor ecuații care precizează
eliminarea Gaussiană a coeficienților matricelor.
În anul 1812 Cauchy (matematician francez care a trăit intre 1789-1875) a utilizat
determinanții în sensul modern. La el găsim primele însemnări mai complete despre determinanți și
noi rezultate despre minori.

11
CAPITOLUL I – PARTEA ȘTIINȚIFICĂ

1.MATRICE
1.1.Noțiunea de matrice – proprietăți generale
Acest concept l-am întâlnit încă din ultimul an de gimnaziu, atunci când s-a pus problema
rezolvării unui sistem de două ecuații cu două necunoscute x, y, de forma ൜𝒂𝒙+𝒃𝒚=𝒄
𝒂ᇱ 𝒙+𝒃ᇱ 𝒚=𝒄ᇱ .
Acestui sistem i-am asociat un tablou pătratic, care conține coeficienții necunoscutelor (în prima
linie sunt coeficienții lui x, y din prima ecuație, iar în a doua linie figurează coefienții lui x, y din
ecuația a doua): ቀ𝑎 𝑏
𝑎ᇱ𝑏ᇱቁ.
Am numit acest tablou de matrice pătratică (sau matricea sistemului). Pe cele două coloane ale
matricei figurează coeficienții lui x (pe prima coloană a, 𝑎ᇱ) și respectiv coeficienții lui y (pe a doua
coloană b, 𝑏ᇱ).
Definiție: Se numește matrice cu m linii și n coloane (sau de tip m×n) un tablou cu m linii și n
coloane de forma:
൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௠ଵ𝑎௠ଶ…𝑎௠௡൲
ale cărui elemente 𝑎௜௝ sunt numere complexe.
Uneori această matrice se notează și A = (𝑎௜௝) unde i = 1,𝑚തതതതതത și j = 1,𝑛തതതതത . Pentru elementul 𝑎௜௝,
indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat.
Mulțimea matricilor de tip m×n cu elemente numere reale se notează prin 𝑀௠,௡(ℝ) . Aceleași
semnificații au și mulțimile 𝑀௠,௡(ℤ); 𝑀௠,௡(ℚ); 𝑀௠,௡(ℂ).
Cazuri particulare:
1. O matrice de tipul 1×n (deci cu o linie și n coloane) se numește matrice linie si are forma A
= (𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡).

12
2. O matrice de tipul m×1 (cu m linii si o coloana) se numește matrice coloană si are forma B
= ൮𝑎ଵଵ
𝑎ଶଵ
…
𝑎௠ଵ൲ .
3. O matrice de tip m×n se numește nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează
cu O = ൮0 0 … 0
0 0 … 0
… … … …
0 0 … 0൲.
4. Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numește
pătratică .

A = ൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௡ଵ𝑎௡ଶ…𝑎௡௡൲.
Sistemul de elemente (𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎௡௡) reprezintă diagonala principală a matricei A, iar
suma acestor elemente 𝑎ଵଵ + 𝑎ଵଶ + … + 𝑎௡௡ se numește urma matricei A notată cu
Tr(𝐴) = ∑𝑎௜௜௡
௜ୀଵ. Sistemul de elemente (𝑎ଵ௡𝑎ଶ௡ିଵ…𝑎௡ଵ) reprezintă diagonala secundară a
matricei A.
Mulțimea acestor matrice se notează 𝑀௡(ℂ). O matrice foarte importantă este
𝐼௡ = ൮1 0 … 0
0 1 … 0
… … … …
0 0 … 1൲ numită matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele
egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).
1.2.Operații cu matrice
1.2.1. Egalitatea a doua matrice
Definiție: Fie A =(𝑎௜௝), B(𝑏௜௝) ∈𝑀௠,௡(ℂ). Spunem ca matricele A, B sunt egale și scriem
A = B dacă 𝑎௜ ௝ = 𝑏௜ ௝, (∀) i = 1,𝑚തതതതതത, (∀) j = 1,𝑛തതതതത.
Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încat să avem egalitate de matrice:
൬𝑥+1𝑥+𝑦
0𝑥−2𝑦൰ = ቀ2 − 𝑥−1
0 9−2 𝑥ቁ.

13
Soluție: Matricele sunt egale dacă elementele corespunzatoare sunt egale, adică:
൞𝑥+1 = 2
𝑥+𝑦= −𝑥−1
0 = 0
𝑥−2𝑦= 9−2𝑥. Rezolvând acest sistem găsim soluția x = 1, y = −3.

1.2.2. Adunarea matricelor
Definiție: Fie A =(𝑎௜௝), B=(𝑏௜௝), C =(𝑐௜௝)∈𝑀௠,௡(ℂ). Matricea C se numește suma matricelor A,
B dacă 𝑐௜௝ = 𝑎௜௝ + 𝑏௜௝, (∀) i = 1,𝑚തതതതതത, (∀) j = 1,𝑛തതതതത.
Observații:
1. Doua matrice se pot aduna dacă sunt de același tip , adică dacă au același număr de linii și
același număr de coloane, deci A, B ∈𝑀௠,௡(ℂ).
2. Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă:

൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௠ଵ𝑎௠ଶ…𝑎௠௡൲ + ൮𝑏ଵଵ𝑏ଵଶ…𝑏ଵ௡
𝑏ଶଵ𝑏ଶଶ…𝑏ଶ௡
… … … …
𝑏௠ଵ𝑏௠ଶ…𝑏௠௡൲ =
൮𝑎ଵଵ+ 𝑏ଵଵ𝑎ଵଶ+ 𝑏ଵଶ…𝑎ଵ௡+ 𝑏ଵ௡
𝑎ଶଵ+ 𝑏ଶଵ𝑎ଶଶ+ 𝑏ଶଶ…𝑎ଶ௡+ 𝑏ଶ௡
… … … …
𝑎௠ଵ+ 𝑏௠ଵ𝑎௠ଶ+ 𝑏௠ଶ…𝑎௠௡+ 𝑏௠௡൲.
Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
1. A = ቀ1 −1 2
3 0 1ቁ, B = ቀ0 5 −3
10 1 5ቁ
2. A = ቀ1 1
−1 1ቁ, B = ቀ0 1
1 0ቁ.
Soluții:
1. A + B = ቀ1 −1 2
3 0 1ቁ + ቀ0 5 −3
10 1 5ቁ = ቀ1+0 −1+5 2−3
3+10 0+1 1+5ቁ = ቀ1 4 −1
13 1 6ቁ
2. A + B = ቀ1 1
−1 1ቁ + ቀ0 1
1 0ቁ = ቀ1+0 1+1
−1+1 1+0ቁ = ቀ1 2
0 1ቁ.

14
Proprietăți ale adunării matricelor:
𝑨𝟏 (Asociativtatea adunării). Adunarea matricelor este asociativa , adică:
(𝐴 +𝐵)+ C = A+ (𝐵+𝐶), (∀) A, B, C ∈𝑀௠,௡(ℂ).
𝑨𝟐 (𝐂𝐨𝐦𝐮𝐭𝐚𝐭𝐢𝐯𝐢𝐭𝐚𝐭𝐞𝐚 𝐚𝐝𝐮𝐧ă𝐫𝐢𝐢). Adunarea matricelor este comutativă , adică:
A + B = B + A, (∀) A, B ∈𝑀௠,௡(ℂ).
𝑨𝟑(Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element neutru , adică ∃
𝑂௠,௡ ∈𝑀௠,௡(ℂ) astfel încât:
A + 𝑂௠,௡ = A, (∀) A ∈𝑀௠,௡(ℂ).
𝑨𝟒(Elemente opuse). Orice matrice A ∈𝑀௠,௡(ℂ) are un opus, notat – A, astfel încât:
A + (− 𝐴) = 𝑂௠,௡.
1.2.3. Înmulțirea cu scalar a matricelor
Definiție: Fie ℷ ∈ C și A = (𝑎௜௝) ∈𝑀௠,௡(ℂ). Se numește produsul dintre scalarul ℷ ∈ C și
matricea A, matricea notate ℷA ∈𝑀௠,௡(ℂ) definită prin ℷA = (ℷ𝑎௜௝).
Observație: A înmulți o matrice cu un scalar revine la a înmulți toate elementele matricei cu acest
scalar.
Deci ℷA = ൮ℷ𝑎ଵଵℷ𝑎ଵଶ… ℷ𝑎ଵ௡
ℷ𝑎ଶଵℷ𝑎ଶଶ… ℷ𝑎ଶ௡
… … … …
ℷ𝑎௠ଵℷ𝑎௠ଶ… ℷ𝑎௠௡൲.
Exemplu: Fie A = ቌଵ
ଶ−3 5
0ଶ
ଷ1ቍ. Atunci 6A = ቀ3 −18 30
0 4 6ቁ.
Proprietăți ale înmulțirii matricelor cu scalari:
𝑺𝟏 ℷ(µ𝐴) = (ℷµ)A, (∀) ℷ, µ ∈ C, (∀) A ∈𝑀௠,௡(ℂ)
𝑺𝟐 ℷ(𝐴 +𝐵) = ℷA + ℷB, ℷ ∈ C, (∀) A, B ∈𝑀௠,௡(ℂ)
𝑺𝟑 (ℷ +µ)A = ℷA + µA, (∀) ℷ, µ ∈ C, (∀) A ∈𝑀௠,௡(ℂ)

15
𝑺𝟒 1 ⋅ A = A, 1 ∈ C, (∀) A ∈𝑀௠,௡(ℂ)
1.2.4. Înmulțirea matricelor
Definiție: Fie A =(𝑎௞௜)∈𝑀௠,௡(ℝ), B=(𝑏௜௝)∈𝑀௡,௣(ℝ). Produsul dintre matricele A și B (în
această ordine), notat AB este matricea C = (𝑐௞௝)∈𝑀௡,௣(ℝ) definită prin
𝑐௞௝ = ∑𝑎௞௜𝑏௜௝௡
௜ୀ଴ , (∀) k = 1,𝑚തതതതതത, (∀) j = 1,𝑛തതതതത.
Observații:
1. Produsul AB a două matrice se poate efectua doar dacă A ∈𝑀௠,௡(ℝ), B ∈𝑀௡,௣(ℝ), adică
numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B , când se obține o
matrice C = AB ∈𝑀௠,௣(ℝ).
2. Dacă matricele sunt pătratice A, B ∈𝑀௡(ℝ) atunci are sens întotdeauna atat AB cât și BA,
iar, în general, AB ≠ BA adică înmulțirea matricelor nu este comutativă.
Proprietăți ale înmulțirii matricelor:
𝑰𝟏(Asociativitatea înmulțirii). Înmulțirea matricelor este asociativă, adică:
(𝐴𝐵)C = A(𝐵𝐶), (∀)A ∈𝑀௠,௡(ℂ), (∀)B ∈𝑀௡,௣(ℂ), (∀)𝐶∈𝑀௣,௦(ℂ).
𝑰𝟐(Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea). Înmulțirea matricelor este
distributivă în raport cu adunarea, adică:
(𝐴 +𝐵)C = AC + BC, C (𝐴 +𝐵) = CA + CB, (∀)A, B, C matrice pentru care au sens
operațiile de adunare și înmulțire.
𝑰𝟑(Element neutru). Dacă 𝐼௡ ∈𝑀௡(ℂ) este matricea unitate, atunci:
𝐼௡A = A𝐼௡ = A, (∀)A ∈𝑀௡(ℂ).
Se spune că 𝐼௡ este element neutru în raport cu operația de înmulțire a matricelor.
1.2.5. Puterile unei matrice
Definiție: Fie A ∈𝑀௡(ℂ). Atunci Aଵ = A, Aଶ = A ⋅A, Aଷ = Aଶ ⋅A, …, A௡ = A௡ିଵ ⋅A, (∀) n ∈ ℕ∗.
(Convenim A଴= 𝐼ଶ).
Teorema lui Cayley-Hamilton. Orice matrice A ∈𝑀௡(ℂ) își verifică polinomul caracteristic det(A
– ℷI) = 0.

16
Pentru n = 2, A = ቀ𝑎 𝑏
𝑐 𝑑ቁ⇒ det A = ቚ𝑎 𝑏
𝑐 𝑑ቚ = ad – bc,
A – ℷI = ቀ𝑎 𝑏
𝑐 𝑑ቁ – ℷቀ1 0
0 1ቁ = ቀ𝑎− ℷ𝑏
𝑐 𝑑− ℷቁ.
det A – ℷI = 0 ⇔ ቚ𝑎− ℷ𝑏
𝑐 𝑑− ℷቚ = 0 ⇔ (𝑎 − ℷ)(𝑑 − ℷ) – bc = 0 ⇒ ad – (𝑎 + d)ℷ + ℷଶ – –
bc = 0 ⇒ ℷଶ- (𝑎 + d)ℷ + ad – bc = 0, polinom caracteristic.
Generalizat:
A𝒏 – (TrA) ⋅ A𝒏ି𝟏 + (detA)⋅ I𝒏 = 0.
1.2.6. Transpusa unei matrice
Definiție: Fie A ∈𝑀௡(ℂ)o matrice notată A = (𝑎௜௝) cu i = 1,𝑚തതതതതത și j = 1,𝑛തതതതത.
Atunci A௧ = ൫a୩୪୲൯cu k = 1,𝑛തതതതത și l = 1,𝑚തതതതതത, unde a୩୪୲ = a୪୩ pentru orice k = 1,𝑛തതതതത si l = 1,𝑚തതതതതത, se
numește transpusa matricei A.
Se observă că A௧ este o matrice tipul (𝑛,𝑚 ) și se obține din matricea A luând liniile drept
coloane, respectiv coloanele drept linii.
Caz particular: Dacă A este o matrice pătratică de ordinul n, atunci transpusa sa A௧ este de
asemenea o matrice pătratică de ordinul n. Dacă k = l, atunci a୩୩୲ = a୩୩ și deci diagonala
principală a matricei A௧ este aceași diagonală principală cu a matricei A.
Proprietăți:
1. Dacă A, B ∈𝑀௠,௡(ℂ), atunci (𝐴 +𝐵) ௧ = A௧ + B௧;
2. Dacă A ∈𝑀௠,௡(ℂ), B ∈𝑀௡,௣(ℂ), atunci (A ⋅𝐵)௧ = B௧ ⋅ A௧;
3. Dacă A ∈𝑀௠,௡(ℂ) si a ∈ ℂ, atunci (aA)௧ = a A௧.

17
1.3. Exerciții propuse

1.3.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de probleme

Exercițiul nr.1:
a) Fie matricea A∈𝑴ଶ(ℝ); A = ቀ1𝑎
0 1ቁ, a≠0. Să se calculeze Aଶ si Aଷși apoi să se determine
A୬, n∈ℕ* în funcție de n.
b) Să se afle x,y,u,v, numerele reale astfel încât ቀ1 1
0 1ቁቀ𝑥 𝑦
𝑢 𝑣ቁ=ቀ1 0
1 1ቁ
Exercițiul nr.2:
Fie 𝐴∈𝑀௡(ℂ) astfel încât 𝐴ଷ= 𝑂௡.
a) Arătați că 𝐴− 𝐼௡ și 𝐴+ 𝐼௡ sunt matrici inversabile.
b) Calculați (𝐴− 𝐼௡ )ିଵ + (𝐴+ 𝐼௡ )ିଵ.
Exercițiul nr.3:
Fie matricea A ∈ 𝑀ଷ(ℂ), A = ൭3 0 0
0 2 0
0 0 1൱.
a) Să se arate că A este inversabilă și calculați 𝐴ିଵ.
b) Să se găsească o matrice B ∈ 𝑀ଷ(ℂ), astfel încât A ∙ B = A + 𝐼ଷ.
c) Să se determine numărul matricelor X ∈ 𝑀ଷ(ℂ) care sunt soluții ale ecuației
𝑋ଶ଴ଵଷ = A.
Exercițiul nr.4:
Fie A ∈ 𝑀௡(ℂ) o matrice inversabilă. Să se arate că:
a) Dacă AB = AC, unde B,C ∈ 𝑀௡(ℂ), atunci B = C.
b) Dacă 𝐴ିଵB = B ∙ 𝐴ିଵ, unde B ∈ 𝑀௡(ℂ), atunci AB = BA.
c) Matricea 𝐴௧ este inversabilă și ൫𝐴௧൯ିଵ = (𝐴ିଵ).
Exercițiul nr.5:
Fie matricele: A = ൭1 0 0
1 −1 0
0 0 1൱, B = ൭1 1 0
0 −1 0
0 0 1൱, C = ൭1 0 0
0 1 0
0 0 1൱.
a) Calculați AB și BA.
b) Calculați determinantul și rangul lui A.

18
c) Verificați că 𝐴ଶ = 𝐵ଶ = 𝐼ଷ.
d) Să se arate că matricea A este inversabilă și să se determine inversa sa.
e) Să se calculeze determinantul matricei X = 𝐴+ 𝐴ଶ+⋯+ 𝐴ଶ଴଴ଵସ.
f) Să se arate că (𝐴𝐵)௡≠𝐼ଷ (∀)𝑛∈ ℕ∗.

1.3.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admitere facultăți

Exercițiul nr.1:
Se consideră matricele 𝐼ଶ = ቀ1 0
0 1ቁ și A(x) = ቀ𝑥+2𝑥
1 −2ቁ, unde x este un număr real.
a) Arătați că det( A(1))=−7.
b) Demonstrați că 𝑥𝐴(𝑦)−𝑦𝐴(𝑥) =(𝑥−𝑦)𝐴(0), pentru orice numere reale x și y.
c) Determinați nhumerele reale a, știind că ൫𝑎𝐴(−1)+𝐴(𝑎)൯𝐴(0) =(𝑎ଶ+7)𝐼ଶ.
Examenul de bacalaureat – 2018
Proba scrisă la MATEMATICA- Proba E.c), Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Exercițiul nr.2:
Fie G = {𝑧∈ С|𝑧ଷ= 1}, 𝜀∈ G \ {1} și matricele A = ൭1 1 1
1𝜀 𝜀ଶ
1𝜀ଶ𝜀൱; B = ൭𝜀ଶ𝜀1
𝜀 𝜀ଶ1
1 1 1൱.
a) Să se arate că A este inversabilă și să se calculeze 𝐴ିଵ.
b) Să se rezolve ecuațiile mariceale AX = B și Y A = B.
Admitere, Universitatea București, 2005
Exercițiul nr.3:
Să se cerceteze dacă matricea
a) A = ቀ1 0
0 −1ቁ; b) A = ൭0 0 1
0 1 0
1 0 0൱
este inversabilă și în caz afirmativ să se calculeze inversa sa.

Exercițiul nr.4:
Considerăm 𝐸௡ matricea pătratică de ordinul n ≤ 3, ale cărei elemente sunt toate egale cu 1. Să se
arate că:

19
a) 𝐸௡ଶ = 𝑛𝐸௡;
b) 𝐼௡ − 𝐸௡ este inversabilă și avem (𝐼௡ − 𝐸௡)ିଵ = 𝐼௡ − ଵ
௡ିଵ𝐸௡, unde 𝐼௡ este matricea
unitate de ordin n(n > 1).
Admitere, Universitatea Pitești, 1995
Exercițiul nr.5:
Fie A = ൭0 1 −1
1 1 2
3 1 0൱ și B =𝑓(𝐴), unde 𝑓(𝑋)=𝑋ଶ−3𝑋+2𝐼ଷ și 𝐼ଷ este matricea unitate de
ordinul 3. Atunci (alegeți răspunsul corect):
a) B = ൭0 −3 5
4 3 −5
−8 1 1൱; b) B = ൭−4 −3 2
4 −1 1
−8 2 0൱; c) B = 𝐼ଷ.
Admitere, Universitatea „Constantin Brâncoveanu”, Pitești, 2005
Exercițiul nr.6:
Fie matricele:
A = ൭2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2൱; B = ൭1 1 1
1 1 1
1 1 1൱; 𝑀௧ = ௧
ଷA + ଵ
ଷ௧మB, t ∈ 𝑅∗.
a) Să se calculeze 𝐴ଶ, 𝐵ଶ, AB și BA.
b) Să se arate că dacă t, t’ ∈ R, atunci 𝑀௧𝑀௧ᇱ = 𝑀௧௧ᇱ.
Admitere, Facultatea de Matematică, 2005

1.3.3. Exerciții date la concursuri și olimpiade școlare

Exercițiul nr.1:
Se consideră matricea A = ൭2 1 −1
6 3 −3
−4 −2 2൱. Determinați 𝑥∈ ℝ astfel încât 𝐴+𝐴ଶ+𝐴ଷ+⋯+
𝐴ଶ଴ଵ଼=𝑥𝐴.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Haimovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera teoretică, profilul real, specializarea stiințele naturii
Indicație: Se arată că 𝐴ଶ= 7𝐴 și apoi prin inducție matematică se demonstrează că 𝐴௡= 7௡ିଵ𝐴.

20
Finalizare: 𝑥=଻మబభఴିଵ
଺.

Exercițiul nr.2:
Se consideră matricea A = ൭1 1 1
1 1 1
1 1 1൱∈𝑀ଷ(ℝ).
a) Să se arate că 𝐴ଶ= 3𝐴.
b) Calculați 𝐴௡.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Haimovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera tehnologică, profilul tehnic, toate specializările
Indicație: Se arată prin inducție matematică relația 𝐴௡= 3௡ିଵ𝐴.

Exercițiul nr.3:
Fie 𝐴,𝐵∈𝑀ଶ(ℝ),𝐴≠𝐵.
Să se arate că dacă 𝐴ଶ=𝐵ଶ și 𝐴ଷ=𝐵ଷ, atunci 𝐴௡=𝐵௡, ∀ 𝑛∈𝑁,𝑛≥ 2.
Olimpiada națională de matematică
Etapa locala – Constanța 2018
Indicație: Notăm cu 𝑎=𝑇𝑟𝐴,𝑏=𝑇𝑟𝐵 și folosind relația lui Cayley se obține 𝐴ଶ=𝑎𝐴,𝐵ଶ=𝑏𝐵,
apoi 𝑎𝐴=𝑏𝐵,𝑎ଶ𝐴=𝑏ଶ𝐵⟹𝑏(𝑏−𝑎)𝐵=𝑂ଶ.
Finalizare: 𝐴௡=𝐵௡=𝑂ଶ.

Exercițiul nr.4:
Se consideră matricea A = ൭1 0 0
2𝑥4𝑥+1 3𝑥
0 0 1൱,𝑥∈ ℝ.
a) Demonstrați că 𝐴(𝑥)∙𝐴(𝑦)=𝐴(𝑥+𝑦+𝑥𝑦),∀𝑥,𝑦 ∈ ℝ.
b) Determinați m,n ∈𝑍 astfel încât 𝐴(𝑚)∙𝐴(𝑛)=𝐴(−1).
c) Există matricea 𝑋∈𝑀ଷ(ℝ) pentru care 𝑋 ∙ 𝑋௧=𝐴ቀ−ଵ
ଶቁ?

Olimpiada națională de matematică
Etapa locala – Constanța 2018
Indicație: Se obține relația det(𝑋∗𝑋௧)= (det(𝑋))ଶ≥ 0,𝑑𝑎𝑟detቀ𝐴(−ଵ
ଶ)ቁ= −1, contradicție.
Finalizare: Nu există matrice cu această propietate.

21

Exercițiul nr.5:
Determinați toate numerele naturale 𝑘≥ 1 și 𝑛≥ 2 cu propietatea ca există 𝐴,𝐵 ∈ 𝑀௡(𝑍) astfel
încât 𝐴ଷ=𝑂௡ și 𝐴௞𝐵+𝐵𝐴=𝐼௡ .
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2015
Indicație: Se arată că pentru 𝑘≥ 3 ș𝑖 𝑘= 2 se obțin contradicții cu 𝐴ଷ=𝑂௡. Deci k=1 și n este
natural par. Apoi pentru n=2, 𝐴=ቀ0 1
0 0ቁ și 𝐵=ቀ0 0
1 0ቁ, iar pentru n=2k, matricele bloc
diagonale A și B, de dimensiune 2k care au pe diagonala principală k matrice ቀ0 1
0 0ቁ și respectiv k
matrice ቀ0 0
1 0ቁ, iar restul coeficienților nuli.

Exercițiul nr.6:
Fie n un număr natural impar și matricele 𝐴,𝐵 ∈ 𝑀௡(𝐶), cu propietatea că (𝐴−𝐵)ଶ=𝑂௡.
Arătați că det(𝐴𝐵−𝐵𝐴)= 0.
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2019
Indicație: Se notează cu C=A-B și conform teoremei lui Sylvester se obține 2𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐶)−𝑛≤
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝑂௡)= 0,𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐶) ≤௡ିଵ
ଶ, n impar. După calcule 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝐵−𝐵𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐶𝐴−𝐴𝐶)≤
𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐶𝐴)+𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝐶)≤ 2𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐶)≤𝑛−1 <𝑛.

22
2.DETERMINANȚI
2.1. Determinanți de ordinul 2 și 3
Fie A = (𝑎௜௝) ∈𝑀௠,௡(ℂ) o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det (𝐴)
numit determinantul matricei A.
Definiție: Dacă A = (𝑎௜௝) ∈𝑀௡(ℂ) este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci
det(𝐴) = 𝑎ଵଵ.
Definiție: Determinantul matricei A = ቀ𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶቁ este numărul
det(𝐴) = 𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ – 𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ = ቚ𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶቚ
și se numește determinant de ordinul 2. Produsele 𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ, 𝑎ଶଵ𝑎ଶଶse numesc termenii dezvoltarii
determinantului de ordin 2.
Definiție: Determinantul matricei A = อ𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ𝑎ଵଷ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ𝑎ଶଷ
𝑎ଷଵ𝑎ଷଶ𝑎ଷଷอ este numărul
det(𝐴) = 𝑎ଵଵ𝑎ଶଶ𝑎ଷଷ + 𝑎ଵଷ𝑎ଶଵ𝑎ଷଶ + 𝑎ଵଶ𝑎ଶଷ𝑎ଷଵ – 𝑎ଵଷ𝑎ଶଶ𝑎ଷଵ – 𝑎ଵଶ𝑎ଶଵ𝑎ଷଷ – 𝑎ଵଵ𝑎ଶଷ𝑎ଷଶ
și se numește determinant de ordinul 3. Produsele care apar în formulă se numesc termenii
dezvoltării determinantului de ordin 3.
Pentru calculul determinantului de ordin 3 se utilizează trei tehnici simple:
i. Regula lui Sarrus: Fie determinantul de ordin 3, d = ห𝑎௜௝ห௜.௝ୀଵ,ଷതതതത . Pentru a calcula un astfel de
determinant se scriu sub determinant primele doua linii apoi se face produsul elementelor de pe
diagonală:
 Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus.
Avem trei astfel de produse: 𝑎ଵଵ𝑎ଶଶ𝑎ଷଷ, 𝑎ଵଷ𝑎ଶଵ𝑎ଷଶ, 𝑎ଵଶ𝑎ଶଷ𝑎ଷଵ;
 Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus.
Avem trei astfel de produse: 𝑎ଵଷ𝑎ଶଶ𝑎ଷଵ, 𝑎ଵଶ𝑎ଶଵ𝑎ଷଷ, 𝑎ଵଵ𝑎ଶଷ𝑎ଷଶ.
Suma celor șase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3.Acest procedeu de
calcul se numește “regula lui Sarrus”.

23
ii. Regula triunghiului: Am văzut că determinantul de ordin 3 are în dezvoltarea sa șașe termeni,
trei cu semnul plus și alți trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se găsește înmulțind elementele de pe diagonala principală, iar
ceilalți doi, înmulțind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură
paralelă cu diagonala principală. După aceeași regulă, referitoare la diagonala secundară, se
obțin termenii cu minus.
Observație: Cele două reguli amintite mai sus se aplică doar determinanților de ordin 3.
Exemplu: Să se calculeze prin una din cele două metode de mai sus determinantul:
d = อ−3 0 1
0 2 −1
3 1 0อ
Soluție: Regula triunghiului:
d = -3 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ (-1) – [3 ⋅ 2 ⋅ 1 + (-3) ⋅ 1 ⋅ (-1) + 0 ⋅ 0 ⋅ 0] =
= 0 + 0 + 0 – (6 + 3 + 0) = -9
i.i.i. Recurența (sau dezvoltarea după o linie, respectiv o coloană)
Determinantul de ordin 3 are 3! = 6 termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar
ceilalți cu semnul minus.
Are loc următoarea proprietate:
det(𝐴)=(−1)ଵାଵ𝑎ଵଵቚ𝑎ଶଶ𝑎ଶଷ
𝑎ଷଶ𝑎ଷଷቚ + (−1)ଵାଶ𝑎ଵଶቚ𝑎ଶଵ𝑎ଶଷ
𝑎ଷଵ𝑎ଷଷቚ + (−1)ଵାଷ𝑎ଵଷቚ𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ
𝑎ଷଵ𝑎ଷଶቚ (1)
= (−1)ଵାଵ𝑎ଵଵቚ𝑎ଶଶ𝑎ଶଷ
𝑎ଷଶ𝑎ଷଷቚ + (−1)ଶାଵ𝑎ଶଵቚ𝑎ଵଶ𝑎ଵଷ
𝑎ଷଶ𝑎ଷଷቚ + (−1)ଷାଵ𝑎ଷଵቚ𝑎ଵଶ𝑎ଵଷ
𝑎ଶଶ𝑎ଶଷቚ. (2)
Observații:
1. Egalitatea (1) se mai numește dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi,
iar egalitatea (2) se numește dezvoltarea determinantului după elementele colanei întâi.
2. Formulele (1) si (2) sunt relații de recurență, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă
cu ajutorul unor determinanți de ordin inferior (2).

24
2.2 Determinantul de ordin n ≥ 4
Vom defini în continuare determinantul de ordin n prin recurență cu ajutorul determinanților
de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări.
Fie A = (𝑎௜௝) ∈𝑀௡(C).
Definiție: Se numește minor asociat elementului 𝑎௜௝ determinantul matricei pătratice 𝐴௜௝ de ordin n
– 1 obținut prin suprimarea liniei i și colanei j din matricea A. Se notează acest minor prin det ൫𝐴௜௝൯
sau 𝐷௜௝.
Definiție: Se numește complement algebric al elementului 𝑎௜௝ numărul (−1)௜ା௝ det൫𝐴௜௝൯.
Exponentul lui (−1) este suma dintre numărul liniei i și coloanei j pe care se află 𝑎௜௝.
Definiție: Determinantul matricei A = (𝑎௜௝) de ordin n este suma produselor elementelor din prima
linie cu complemenții lor algebrici adică
det(𝐴) = 𝑎ଵଵ𝐷ଵଵ – 𝑎ଵଶ𝐷ଵଶ + 𝑎ଵଷ𝐷ଵଷ + … + (−1)௡ାଵ𝑎ଵ௡𝐷ଵ௡.
Observații:
1. Elementelor, liniilor și coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile și
coloanele determinantului
det(𝐴) = ተ𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௡ଵ𝑎௡ଶ…𝑎௡௡ተ
2. Formula din definiție spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după
elementele primei linii.
3. Definiția determinantului de mai sus este încă puțin eficientă (o vom ilustra ulterior pentru
n = 4). De aceea se impune sabilirea unor proprietăți ale determinaților care să fie comode
atât din punct de vedere al teoriei cât și din punct de vedere al calculului. Aceste proprietăți
vor fi prezentate în paragraful următor.
4. Continuând cu explicitarea determinanților de ordin n–1 din definiție (𝐷ଵଵ,𝐷ଵଶ,…,𝐷ଵ௡) se
obține pentru det (𝐴) o suma de produse de elemente din determinant, fiecare produs
continând elemente situate pe linii și coloane diferite.
5. Determinantul este o funcție det : 𝑀௡(C)→ C.

25
Exemplu: Să se calculeze determinantul de ordin 4, d = ተ1 0 −1 2
1 −2 0 0
0 1 1 −1
1 −1 0 0ተ.
Soluție: Aplicăm definiția dată mai sus pentru n = 4 și dezvoltăm determinantul după elementele
liniei întâi. Avem:
d = 1 ⋅ อ−2 0 0
1 1 −1
−1 0 0อ – 0 ⋅ อ1 0 0
0 1 −1
1 0 0อ + (−1) ⋅ อ1 −2 0
0 1 −1
1 −1 0อ – 2 ⋅ อ1 −2 0
0 1 1
1 −1 0อ =
= 0 – 0 – 1 + 2 = 1,
Unde determinanții de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanții de
ordin 3.
2.3. Proprietățile determinanților
Formula determinantului de ordin 2 este simplă, cea a determinantului de ordin 3 se complică
(vezi regula lui Sarrus) iar pentru un determinant de ordin n ≥ 4 apar calcule laborioase. Pentru un
determinant de ordin 4 avem 4! = 24 termeni în formula sa, pentru n = 5 avem 5! = 120 termeni de
calculat și tot așa. Din aceste motive, pentru simplificarea calculului determnanților s-au prezentat o
serie de proprietăți ale acestora.
Proprietatea 1: Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricii transpuse, adică
dacă A ∈𝑀௡(C), atunci det(𝐴)= det൫A௧൯.
Observație: Această proprietate ne arată că ori de câte ori avem o proprietate adevarată referitoare
la liniile unui determinant, aceeași proprietate este adevarată și pentru coloanele acestuia.
Proprietatea 2: Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci
determinantul matricei este nul.
Proprietatea 3: Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obținem o
matrice care are detrminantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
Proprietatea 4: Dacă o matrice are două linii (sau două coloane) identice, atunci deteriminantul
său este nul.

26
Proprietatea 5: Dacă toate elementele unei linii (sau a unei coloane) ale unei matrice sunt
înmulțite cu un număr ɑ,obținem o matrice al cărei determinant este egal cu ɑ înmulțit cu
determinantul matricei inițiale.
Proprietatea 6: Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporționale,
atunci determinantul este nul.
Proprietatea 7: Dacă linia i a unei matrice A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este
egal cu suma a doi determinanți corespunzători matricelor care au aceleași linii ca A, cu excepția
liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.
ተተ𝑎ଵଵ…𝑎ଵ௡
… … …
𝑎௜ଵ+ 𝑏௜ଵ…𝑎௜௡+𝑏௜௡
… … …
𝑎௡ଵ…𝑎௡௡ተተ=ተተ𝑎ଵଵ…𝑎ଵ௡
… … …
𝑎௜ଵ…𝑎௜௡
… … …
𝑎௡ଵ…𝑎௡௡ተተ+ተተ𝑎ଵଵ…𝑎ଵ௡
… … …
𝑏௜ଵ…𝑏௜௡
… … …
𝑎௡ଵ…𝑎௡௡ተተ.
Obsevație: O proprietate analoagă are loc și pentru coloane.
Proprietate 8: Dacă o linie (o coloană) a unei matrice pătratice este o combinație liniară de
celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricei este zero.
Proprietatea 9: Dacă la o linie (o coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (coloane)
înmulțite cu același număr, atunci această matrice are același determinant ca și matricea A.
Proprietatea 10: det(𝐼௡) = 1 (Determinantul matricei unitate este egal cu 1).
Proprietatea 11: det(ℷ𝐴)= ℷ𝒏 det(𝐴), A ∈𝑀௡(C).
Proprietatea 12: Dacă A = (𝑎௜௝) este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci
det(𝐴)= 𝑎ଵଵ𝑎ଶଶ…𝑎௡௡. (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe
diagonala principală).
Proprietatea 13: Dacă A, B ∈𝑀௡(C), atunci det (𝐴𝐵)= det(𝐴) ⋅ det(𝐵) (Determinantul produsului
a două matrici pătratice este egal cu produsul determinantilor acelor matrici).
Caz particular: det(𝐴௡) = ൫det(𝐴)൯௡, n ∈ ℕ∗.

27
2.4. Calculul inversei unei matrice
Definiție: Fie A ∈𝑀௡(C). Matricea A se numește inversabilă dacă există matricea B ∈𝑀௡(C) cu
proprietatea că A ⋅ B = B ⋅ A = 𝐼௡, 𝐼௡ fiind matricea unitate.
Matricea B din definiție se numește inversa matricii A și se notează B = 𝐴ିଵ. Deci
A ⋅ Aିଵ = Aିଵ ⋅ A = 𝐼௡.
Teoremă: Matricea A ∈𝑀௡(C) este inversabilă dacă și numai dacă det (𝐴)≠ 0. O astfel de
matrice se numește nesingulară.
Construcția lui Aିଵ presupune următorii pași:
Pasul 1: (Construcția transpusei)
Dacă A = ൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௡ଵ𝑎௡ଶ…𝑎௡௡൲, atunci construim transpusa lui A,
𝐴௧ = ൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎ଵ௡𝑎ଶ௡…𝑎௡௡൲.
Pasul 2: (Construcția adjunctei)
Matricea 𝐴∗ = ൮(−1)ଵାଵ𝐷ଵଵ(−1)ଵାଶ𝐷ଵଶ…(−1)ଵା௡𝐷ଵ௡
(−1)ଶାଵ𝐷ଶଵ(−1)ଶାଶ𝐷ଶଶ…(−1)ଶା௡𝐷ଶ௡
… … … …
(−1)௡ାଵ𝐷௡ଵ(−1)௡ାଶ𝐷௡ଶ…(−1)௡ା௡𝐷௡௡൲
obținută din 𝐴௧, înlocuind fiecare element cu complementul său algebric se numește adjuncta
matricei A.
Pasul 3: (Construcția inversei) Se ține cont de teorema precedenta și se gasește că:
A∗ ⋅ A = A ⋅A∗ = ൮𝑑0 0 … 0
0𝑑0 … 0
… … … … …
0 0 0 … 𝑑൲, iar de aici ቀଵ
ௗ A∗ቁA = Aቀଵ
ௗ A∗ቁ = 𝐼௡.
Ultimele egalitați arată că Aିଵ = ଵ
ୢୣ୲(஺) ⋅ A∗

28
2.5. Metode de calcul al determinanților
1.Metoda reducerii la forma triunghiulară – constă în transformarea detreminantului (folosind
proprietățile) într-unul subdiagonal (când toate elementele de pe deasupra diagonalei principale
sunt egale cu zero) sau supradiagonal (când toate elementele de sub diagonala principală sunt nule).
În acest caz, valoarea determinantului va fi egală cu produsul elementelor de pe diagonala
principală.
Exemplu: Calculați determinantul următor:
D = ተተ𝑎ଵ𝑥 𝑥 …𝑥
𝑥 𝑎ଶ𝑥…𝑥
𝑥 𝑥 𝑎 ଷ…𝑥
… … … … …
𝑥 𝑥 𝑥 …𝑎௡ተተ
Scăzând prima linie din toate celelalte obținem un nou determinant de forma:
D = ተተ𝑎ଵ𝑥 𝑥 …𝑥
𝑥−𝑎ଵ𝑎ଶ−𝑥0 … 0
𝑥−𝑎ଵ0𝑎ଷ−𝑥… 0
… … … … …
𝑥−𝑎ଵ0 0 … 𝑎௡−𝑥ተተ
Și după ce dăm factor comun pe 𝑎ଵ−𝑥 în prima coloană, pe 𝑎ଶ−𝑥 în a doua coloană și tot așa
până la 𝑎௡−𝑥 în ultima coloană, obținem valoarea determinantului:
D = (𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡−𝑥) ⋅ ተተ௔భ
௔భି௫௫
௔మି௫௫
௔యି௫…௫
௔೙ି௫
−1 1 0 … 0
−1 0 1 … 0
… … … … …
−1 0 0 … 1ተተ;
D = (𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡−𝑥) ⋅ ተተ1+௫
௔భି௫௫
௔మି௫௫
௔యି௫…௫
௔೙ି௫
−1 1 0 … 0
−1 0 1 … 0
… … … … …
−1 0 0 … 1ተተ
Și adunând primei coloane toate celelalte obținem un determinant supradiagonal, adică cu toate
elementele de sub diagonala principală egale cu zero:

29
D = ( 𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … ( 𝑎௡−𝑥) ⋅
⋅ተተ1+௫
௔భି௫+௫
௔మି௫+௫
௔యି௫+⋯+௫
௔೙ି௫௫
௔మି௫௫
௔యି௫…௫
௔೙ି௫
0 1 0 … 0
0 0 1 … 0
… … … … …
0 0 0 … 1ተተ
Iar valoarea acestuia va fi egală cu produsul elementelor diagonalei principale, adică:
D = x(𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡−𝑥) ⋅ (ଵ
௫ + ଵ
௔భି௫ + ଵ
௔మି௫ + ଵ
௔యି௫ + … + ଵ
௔೙ି௫)
2.Metoda transformării liniare – constă în privirea determinantului ca o funcție polinomială în
una sau mai multe necunoscute, egal ca valoare cu produsul factorilor primi ce rezultă din
descompunerea acesteia.
Exemplu: Calculați determinantul:
D = ተ0𝑥 𝑦 𝑧
𝑥0𝑧 𝑦
𝑦 𝑧0𝑥
𝑧 𝑦 𝑥 0ተ
Adunăm prima coloană cu celelalte coloane și obținem determinantul:
D = ተ𝑥+𝑦+𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥+𝑦+𝑧0𝑧 𝑦
𝑥+𝑦+𝑧 𝑧0𝑥
𝑥+𝑦+𝑧 𝑦 𝑥 0ተ = (𝑥+𝑦+𝑧) ተ1𝑥 𝑦 𝑧
1 0𝑧 𝑦
1𝑧0𝑥
1𝑦 𝑥0ተ
Adunăm primele două coloane, le scădem pe ultimele și obținem:
D = ተ𝑥−𝑦−𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥−𝑦−𝑧0𝑧 𝑦
𝑦+𝑧−𝑥 𝑧0𝑥
𝑧+𝑦−𝑥 𝑦 𝑥 0ተ = (𝑦+𝑧−𝑥) ተ−1𝑥 𝑦 𝑧
−1 0 𝑧 𝑦
1𝑧0𝑥
1𝑦 𝑥0ተ

Analog, adunăm prima și a treia coloană, apoi scădem a doua și a patra, obținem:
D = ተ𝑦−𝑥−𝑧 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥+𝑧−𝑦0𝑧 𝑦
𝑦−𝑧−𝑥 𝑧0𝑥
𝑧+𝑥−𝑦 𝑦 𝑥 0ተ = (𝑥−𝑦+𝑧) ተ−1𝑥 𝑦 𝑧
1 0𝑧 𝑦
−1𝑧0𝑥
1𝑦 𝑥0ተ

30
În final, adunăm prima și a patra coloană, apoi scădem a doua și a treia coloană:
D = ተ𝑧−𝑥−𝑦 𝑥 𝑦 𝑧
𝑥+𝑦−𝑧0𝑧 𝑦
𝑦+𝑥−𝑧 𝑧0𝑥
𝑧−𝑥−𝑦 𝑦 𝑥 0ተ = (𝑥+𝑦−𝑧) ተ−1𝑥 𝑦 𝑧
1 0𝑧 𝑦
1𝑧0𝑥
−1𝑦 𝑥0ተ

Deoarece x, y, z sunt diferite, ( 𝑥+𝑦+𝑧), (𝑦+𝑧−𝑥), (𝑥−𝑦+𝑧) si (𝑥+𝑦−𝑧) sunt prime între
ele două câte două și de aici rezultă că determinantul este divizibil prin produsul acestor factori
primi.
D = −1(𝑥+𝑦+𝑧) (𝑦+𝑧−𝑥) (𝑥−𝑦+𝑧) (𝑥+𝑦−𝑧)
3.Metoda recurenței – este cea mai bună alegere în cazul determinanților mai dificili. Ea se
bazează pe scrierea termenului general sub o altă formă, transformarea determinantului inițial într-
unul în care apar determinanți de ordin inferior și apoi folosirea inducției.
Exemplu: Calculați determinantul următor:
D = ተተ𝑎ଵ𝑥 𝑥 …𝑥
𝑥 𝑎ଶ𝑥…𝑥
𝑥 𝑥 𝑎 ଷ…𝑥
… … … … …
𝑥 𝑥 𝑥 …𝑎௡ተተ
Rescriem determinantul astfel: 𝐷௡ = ተተ𝑎ଵ𝑥 𝑥 … 𝑥
𝑥 𝑎ଶ𝑥… 𝑥
𝑥 𝑥 𝑎 ଷ… 𝑥
… … … … …
𝑥 𝑥 𝑥 …𝑥+(𝑎௡−𝑥)ተተ apoi îl
descompunem în suma de doi determinanți:
𝐷௡ = ተተ𝑎ଵ𝑥 𝑥 …𝑥
𝑥 𝑎ଶ𝑥…𝑥
… … … … …
𝑥 𝑥 …𝑎௡ିଵ𝑥
𝑥 𝑥 …𝑥 𝑥ተተ + ተተ𝑎ଵ𝑥…𝑥0
𝑥 𝑎ଶ…𝑥0
… … … … …
𝑥 𝑥 …𝑎௡ିଵ0
𝑥 𝑥 …𝑥 𝑎 ௡−𝑥ተተ
Dacă scădem ultima coloană a primului determinant din toate celelalte coloane și dezvoltăm al
doilea determinant după ultima coloană, obținem:
𝐷௡ = x(𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡ିଵ−𝑥) + (𝑎௡−𝑥) 𝐷௡ିଵ

31
(relația de recurența). Urmând acelasi algoritm, obținem:
𝐷௡ = x(𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡ିଵ−𝑥)
+ x(𝑎ଵ−𝑥) ( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡ିଶ−𝑥) (𝑎௡−𝑥) + 𝐷௡ିଶ(𝑎௡ିଵ−𝑥) (𝑎௡−𝑥),
Adică:
𝐷௡ = x(𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡ିଵ−𝑥)
+ x(𝑎ଵ−𝑥) ( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡ିଶ−𝑥) (𝑎௡−𝑥)
…+ 𝑥(𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡−𝑥) + (𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡−𝑥)
Și tot așa, folosind faptul că 𝐷ଵ = 𝑎ଵ = x + (𝑎ଵ−𝑥) vom obține rezultatul final:
𝐷௡ = x(𝑎ଵ−𝑥)( 𝑎ଶ−𝑥) … (𝑎௡−𝑥) ⋅ (ଵ
௫ + ଵ
௔భି௫ + ଵ
௔మି௫ + ଵ
௔యି௫ + … + ଵ
௔೙ି௫).
4.Metoda reprezentării determinantului ca o sumă de determinanți (de același tip)
Exemplu: Calculați determinantul următor:
𝐷௡ = ൮𝑎ଵ+𝑏ଵ𝑎ଵ+𝑏ଶ…𝑎ଵ+𝑏௡
𝑎ଶ+𝑏ଵ𝑎ଶ+𝑏ଶ…𝑎ଶ+𝑏௡
… … … …
𝑎௡+𝑏ଵ𝑎௡+𝑏ଶ…𝑎௡+𝑏௡൲
Fixând prima linie, putem descompune acest determinant în suma de doi determinanți, apoi
fiecare dintre aceștia în suma de câte doi determinanți și tot așa, obținând în final 2௡ determinanți în
momentul în care am ajuns în ultima linie a determinantului inițial.
Dacă în fiecare descompunere considerăm prima variabilă de tipul 𝑎௜ și cea de-a doua de tipul
𝑏௝, atunci liniile din determinanții obținuți prin descompunere vor fi de tipul 𝑎௜, 𝑎௜, …, 𝑎௜
(proporționale) sau de tipul 𝑏ଵ, 𝑏ଶ, …, 𝑏௡ (egale). Când n > 2 cel puțin două linii din prima
categorie vor fi egale în fiecare determinant, de unde obținem conform proprietăților
determinanților că 𝐷௡ = 0.
Atunci, 𝐷ଵ = 𝑎ଵ+𝑏ଵ, 𝐷ଶ = ቚ𝑎ଵ𝑎ଵ
𝑏ଵ𝑏ଶቚ + ฬ𝑏ଵ𝑏ଶ
𝑎ଶ𝑎ଶฬ = (𝑎ଵ−𝑎ଶ)( 𝑏ଶ−𝑏ଵ)

32
2.6. Clase de determinanți
1. Determinantul Vandermonde
Determinantul Vandermonde se notează cu V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) și este definit prin
V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = ተ1 1 … 1
𝑎ଵ𝑎ଶ…𝑎௡
… … … …
𝑎ଵ௡ିଵ𝑎ଶ௡ିଵ…𝑎௡௡ିଵተ , n ∈ ℕ și 𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ ∈ ℂ
Vom calcula valoarea lui prin două metode:
Metoda I : Efectuând – 𝑎ଵ𝐿௡ିଵ + 𝐿௡ –𝑎ଵ𝐿௡ିଵ + 𝐿௡ , … . . , – 𝑎ଵ𝐿௡ିଵ + 𝐿௡, obținem:
V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = ተተ1 1 1 … 1
0𝑎ଶ – 𝑎ଵ 𝑎ଷ – 𝑎ଵ…𝑎௡ –𝑎ଵ
0𝑎ଶ(𝑎ଶ –𝑎ଵ)𝑎ଷ(𝑎ଷ –𝑎ଵ) … 𝑎௡(𝑎௡ –𝑎ଵ)
… … … … …
0𝑎ଶ௡ିଶ(𝑎ଶ – 𝑎ଵ)𝑎ଷ௡ିଶ(𝑎ଷ –𝑎ଵ) …𝑎௡௡ିଶ(𝑛−𝑎ଵ)ተተ =
(𝑎ଶ –𝑎ଵ)(𝑎ଷ –𝑎ଵ) … (𝑎௡ –𝑎ଵ)V(𝑎ଶ, 𝑎ଷ ,… , 𝑎௡), relație ce reprezintă o relație de recurență.
Deci, V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = (𝑎ଶ –𝑎ଵ) (𝑎ଷ –𝑎ଵ) … (𝑎௡ –𝑎ଵ) V(𝑎ଶ, 𝑎ଷ ,… , 𝑎௡),
V(𝑎ଶ, 𝑎ଷ, … , 𝑎௡) = (𝑎ଷ –𝑎ଶ) (𝑎ସ –𝑎ଷ) … (𝑎௡ –𝑎ଶ) V(𝑎ଷ, 𝑎ସ ,… , 𝑎௡),
…………………………………………………………………………………………………
V(𝑎௡ିଶ, 𝑎௡ିଵ, … , 𝑎௡) = (𝑎௡ିଵ –𝑎௡ିଶ)(𝑎௡ –𝑎௡ିଶ)V(𝑎௡ିଵ,𝑎௡).
În final obținem:
V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = ∏(𝑎௝−𝑎௜) ଵஸ௜ழ௝ஸ௡
Metoda a II-a : Fie polinomul P(x) = V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ିଵ, 𝑥) de gradul n – 1. Observăm că P(𝑎ଵ) =
P(𝑎ଶ) = … = P(𝑎௡ିଵ) = 0 (am exclus cazul banal în care două dintre numerele 𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ିଵ sunt
egale). Deducem că polinomul P este de forma:
P(x) = a∏(𝑥−𝑎௞)௡ିଵ
௞ୀଵ
Dezvoltând după ultima linie, a fiind coeficientul lui 𝑥௡ିଵ deducem că
a = V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ିଵ ), deci

33
V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ିଵ, 𝑥) = V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ିଵ,)∏(𝑥−𝑎௞)௡ିଵ
௞ୀଵ
Pentru x = 𝑎௡, obținem:
V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ିଵ )∏(𝑎௡−𝑎௞௡ିଵ
௞ୀଵ )

Ținând seama de această relație de recurență și de egalitatea V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ) = (𝑎ଵ, 𝑎ଶ), obținem:
V(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = ∏( ଵஸ௜ழ௝ஸ௡𝑎௝−𝑎௜)
2. Determinantul polinomial
Fie 𝑃௜ ∈ ℂ[x] polinom de grad cel mult n – 1, i =1,𝑛തതതതത si fie 𝑥௝ ∈ ℂ, j = 1,𝑛തതതതത.
Determinantul det (𝑃௜(𝑥௝)) = ተ𝑃ଵ(𝑥ଵ)𝑃ଵ(𝑥ଶ) …𝑃ଵ(𝑥௡)
𝑃ଶ(𝑥ଵ)𝑃ଶ(𝑥ଶ) …𝑃ଶ(𝑥௡)
… … … …
𝑃௡(𝑥ଵ)𝑃௡(𝑥ଶ) …𝑃௡(𝑥௡)ተ se numește determinant polinomial.
Dacă 𝑃ଵ(𝑥) = 𝑎ଵଵ + 𝑎ଵଶ𝑥 + … + 𝑎ଵ௡𝑥௡ିଵ,
𝑃ଶ(𝑥) = 𝑎ଶଵ + 𝑎ଶଶ𝑥 + … + 𝑎ଶ௡𝑥௡ିଵ
………………………………………………..
𝑃௡(𝑥) = 𝑎௡ଵ + 𝑎௡ଶ𝑥 + … + 𝑎௡௡𝑥௡ିଵ și notăm P = (𝑃௜௞)௜,௞ୀଵ,௡തതതതത matricea coeficienților polinoamelor
𝑃௜ , i = 1,𝑛തതതതത observând egalitatea ( 𝑃௜(𝑥௝)) = (𝑃௜௞)(𝑥௝௞ିଵ), deducem că
𝑑𝑒𝑡 (𝑃௜൫𝑥௝൯)= 𝑑𝑒𝑡 𝑃∙ 𝑉(𝑥ଵ,𝑥ଶ,…,𝑥௡)
3. Determinantul circular
Fie 𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ ∈ ℂ. Se numește determinant circular al numerelor 𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡ și se
notează C(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) determinantul
C(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) =
⎝⎜⎛𝑎ଵ𝑎ଶ…𝑎௡
𝑎ଶ𝑎ଷ…𝑎ଵ
𝑎ଷ𝑎ସ…𝑎ଶ
… … … …
𝑎௡𝑎ଵ…𝑎௡ିଵ⎠⎟⎞
Pentru calculul lui considerăm ecuația binomă 𝑥௡ – 1 = 0, n≥ 2, ale cărei rădăcini sunt ɛଵ, ɛଶ, … ,
ɛ௡ numite radacini de ordinul n ale unității și construim un determinant Vandermonde de forma:

34
V(ɛଵ, ɛଶ, … , ɛ௡) = ተተ1 1 … 1
ɛଵɛଶ… ɛ ௡
ɛଵଶɛଶଶ… ɛ ௡ଶ
… … … …
ɛଵ௡ିଵɛଶ௡ିଵ… ɛ௡௡ିଵተተ
Înmulțim și obținem:
C(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) ∙ V(ɛଵ, ɛଶ, … , ɛ௡)
=ተተ𝑎ଵ+ 𝑎ଶɛଵ +⋯+𝑎௡ɛଵ௡ିଵ𝑎ଵ+𝑎ଶɛଶ+⋯+𝑎௡ɛଶ௡ିଵ…𝑎ଵ+𝑎ଶɛ௡+⋯+𝑎௡ɛ௡௡ିଵ
𝑎ଶ+𝑎ଷɛଵ+⋯+𝑎ଵɛଵ௡ିଵ𝑎ଶ+𝑎ଷɛଶ+⋯+𝑎ଵɛଶ௡ିଵ…𝑎ଶ+𝑎ଷɛ௡+⋯+𝑎ଵɛ௡௡ିଵ
… … … …
𝑎௡+𝑎ଵɛଵ+⋯+𝑎௡ିଵɛଵ௡ିଵ𝑎௡+𝑎ଵɛଶ+⋯+𝑎௡ିଵɛଶ௡ିଵ…𝑎௡+𝑎ଵɛ௡+⋯+𝑎௡ିଵɛ௡௡ିଵተተ
Considerăm polinomul f (x) = 𝑎ଵ + 𝑎ଶx + … + 𝑎௡𝑥௡ିଵ astfel că produsul anterior devine:
ተɛଵ௡𝑓(ɛଵ) ɛଶ௡𝑓(ɛଶ) … ɛ ௡௡𝑓(ɛ௡)
ɛଵ௡ିଵ𝑓(ɛଵ) ɛଶ௡ିଵ𝑓(ɛଶ) … ɛ ௡௡ିଵ𝑓(ɛ௡)
… … … …
ɛଵ𝑓(ɛଵ) ɛ ଶ𝑓(ɛଶ) … ɛ ௡𝑓(ɛ௡)ተ
=f (ɛଵ) ∙𝑓(ɛଶ)∙… ∙𝑓(ɛ௡)∙ ተɛଵ௡ɛଶ௡… ɛ ௡௡
ɛଵ௡ିଵɛଶ௡ିଵ… ɛ௡௡ିଵ
… … … …
ɛଵɛଶ… ɛ ௡ተ
Ultima linie se poate aduce pe prima linia prin n – 1 schimbări. Procedând la fel cu toate celelalte
linii obținem C(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) ∙ 𝑉(ɛଵ,ɛଶ,…,ɛ௡)= (−1)(௡ିଵ)ା(௡ିଶ)ା⋯ାଶାଵ∙ 𝑓(ɛଵ)∙𝑓(ɛଶ)∙… ∙
𝑓(ɛ௡)∙ 𝑉(ɛଵ,ɛଶ,… ,ɛ௡)= (−1)೙(೙శభ)
మ ∙𝑓(ɛଵ)∙𝑓(ɛଶ) ∙… ∙𝑓(ɛ௡) ∙ 𝑉(ɛଵ,ɛଶ,…,ɛ௡), de unde prin
simplificare cu V(ɛଵ, ɛଶ, … , ɛ௡) obținem: C(𝑎ଵ, 𝑎ଶ, … , 𝑎௡) = (−1)೙(೙శభ)
మ ∙𝑓(ɛଵ)∙𝑓(ɛଶ) ∙…∙
𝑓(ɛ௡), unde f (ɛ) = 𝑎ଵ+𝑎ଶɛ+⋯+𝑎௡ɛ௡ିଵ iar ɛ este o rădăcina a ecuației 𝑥௡ – 1 = 0, n ≥ 2.
4. Determinantul Cauchy
Fie 𝑎௜,𝑏௝ ∈ ℂ,𝑖,𝑗= 1,𝑛തതതതത. Se numește determinant Cauchy al numerelor 𝑎௜,𝑏௝, determinantul de
forma:
𝐷(௔೔,௕ೕ) = ተተଵ
௔భା௕భଵ
௔భା௕మ…ଵ
௔భା௕భ
ଵ
௔మା௕భଵ
௔మା௕మ…ଵ
௔మା௕೙… … … …
ଵ
௔೙ା௕భଵ
௔೙ା௕మ…ଵ
௔೙ା௕೙ተተ

35
Pentru calculul său scădem ultima linie din celelalte linii, dăm factor comun pe linii și coloane, apoi
scădem ultima coloană din celelalte coloane și dăm din nou factor comun. Se obține astfel relația de
recurență:
𝐷௡=஽೙షభ
௔೙ା௕೙ ∙ ∏(௔೙ି௔ೖ)(௕೙ି௕ೖ)
(௔೙ା௔ೖ)(௕೙ା௕ೖ)௡ିଵ
௞ୀଵ
de unde
𝐷(௔೔,௕ೕ) = ௏(௔భ,௔మ,…,௔೙)௏(௕భ,௕మ,…,௕೙)
∏(௔೔೙
೔,ೕసభା௕ೕ)
5. Funcții polinomiale de tip determinant
Voi prezenta o metodă de stabilire a unor proprietăți ale determinanților cu ajutorul unor funcții
polinominale de tipul 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝑥𝐵), unde A, B ∈ 𝑀௡ (ℂ).
Teoremă: Fie A, B ∈ 𝑀௡ (ℂ). Atunci 𝑓 (𝑥) =𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝑥𝐵) este un polinom de grad ≤𝑛 iar
termenul liber este egal cu 𝑑𝑒𝑡 𝐴 și coeficientul lui 𝑥௡ este egal cu 𝑑𝑒𝑡 𝐵.
Demonstrație: Din dezvoltarea lui 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝑥𝐵) cu definiția determinantului, rezultă că f este un
polinom de grad ≤𝑛 iar termenul liber este egal cu 𝑓(0) =𝑑𝑒𝑡 𝐴. Coeficientul lui 𝑥௡ este
determinat de:
lim௡→ஶ௙ (௫)
௫೙ = lim௡→ஶଵ
௫೙𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝑥𝐵) = lim௡→ஶdet (ଵ
௫𝐴+𝐵) =𝑑𝑒𝑡𝐵
6. Derivarea unui determinant
Teoremă: Fie 𝑓௜௝ : ℝ → ℝ, funcții derivabile pe ℝ, i, j ∈{1,2,…,𝑛} iar f : ℝ → ℝ,
f (x) = ተ𝑓ଵଵ(𝑥)𝑓ଵଶ(𝑥) …𝑓ଵ௡(𝑥)
𝑓ଶଵ(𝑥)𝑓ଶଶ(𝑥) …𝑓ଶ௡(𝑥)
… … … …
𝑓௡ଵ(𝑥)𝑓௡ଶ(𝑥) …𝑓௡௡(𝑥)ተ
Arătați că f este derivabilă pe ℝ și:
f’(x) = ∑ተተ𝑓ଵଵ(𝑥)𝑓ଵଶ(𝑥) …𝑓ଵ௡(𝑥)
… … … …
𝑓௝ଵ′(𝑥)𝑓௝ଶ′(𝑥) …𝑓௝ଶ′(𝑥)
… … … …
𝑓௡ଵ(𝑥)𝑓௡ଶ(𝑥) …𝑓௡௡(𝑥)ተተ ௡
௝ୀଵ

36
Demonstrație : Faptul că funcția f este derivabilă pe ℝ rezultă din aceea că dacă funcțiile 𝑔ଵ, 𝑔ଶ, … ,
𝑔௡ sunt derivabile pe ℝ, atunci funcția 𝑔ଵ∙ 𝑔ଶ ∙ … ∙ 𝑔௡ este derivabilă pe ℝ și
(𝑔ଵ∙ 𝑔ଶ ∙ … ∙ 𝑔௡)` = ∑𝑔ଵ∙ 𝑔ଶ ∙… ∙ 𝑔`௝ ∙ … ∙𝑔௡௡
௝ୀଵ
Apoi scriem relația
f (x) = ∑ɛ(𝜎)∙ 𝑓ଵఙ(ଵ)(𝑥)∙ 𝑓ଶఙ(ଶ)(𝑥)∙… ∙𝑓`௝ఙ(௝)(𝑥)∙… ∙ 𝑓௡ఙ(௡)(𝑥) ఙ∈ௌ೙
care prin derivare se transformă în relația pe care o aveam de demonstrat:
f ` (x) = ∑ ∑ ɛ(𝜎) ∙𝑓ଵఙ(𝑥)∙ 𝑓ଶఙ(ଶ)(𝑥)∙… ∙ 𝑓 `௝ఙ(௝)(𝑥)∙… ∙𝑓௡ఙ(௡)(𝑥) ఙ∈ௌ೙௡
௝ୀଵ

2.7. Exerciții propuse

2.7.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de probleme

Exercițiul nr.1:
Să se rezolve ecuația : ቮ𝑥 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑥 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑥 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 𝑥ቮ= 0.
Exercițiul nr.2:
Dacă 𝑥ଵ, 𝑥ଶ, 𝑥ଷ sunt rădăcinile ecuației 𝑥ଷ- 2𝑥ଶ+ 2x + 17 = 0 să se calculeze valoarea
determinantului d = อxଵxଶxଷ
xଶxଷxଵ
xଷxଵxଶอ.
Exercițiul nr.3:
Calculați determinanții:
a) ∆ଵ= ተcos𝐴cos𝐵cos𝐶
ଵ
ୡ୭ୱ஺ଵ
ୡ୭ୱ஻ଵ
ୡ୭ୱ஼
ଵ
ୱ୧୬஺ଵ
ୱ୧୬஻ଵ
ୱ୧୬஼ተ, unde A, B, C sunt unghiurile unui triunchi ABC;
b) ∆ଶ= ቮ𝐶଺ଷ𝐴ସଷ𝑃ଷ
𝐶ହଷ𝐴ସଶ𝑃ଶ
𝐶ସଷ𝐴ସଵ𝑃ସቮ.

37
Exercițiul nr.4:
Să se calculeze determinanții:
a) อ 1 0 0
2 −3 0
−5 4 7อ ; b) อ𝑎0 0
0𝑏0
0 0𝑐อ

Exercițiul nr.5:
Fie ω ∈ ℂ o rădăcină a ecuației 𝑥ଶ+𝑥+1 = 0. Să se calculeze determinantul matricei
A = ൭1𝜔 𝜔ଶ
𝜔ଶ𝜔1
1𝜔ଶ𝜔൱.

Exercițiul nr.6:
Se dă ecuația: 𝑥ଷ+ 2𝑥ଶ+3𝑥+4 = 0, cu rădăcinile 𝑥ଵ ,𝑥ଶ ,𝑥ଷ. Calculați Δ = อ𝑥ଵ𝑥ଶ𝑥ଷ
𝑥ଶ𝑥ଷ𝑥ଵ
𝑥ଷ𝑥ଵ𝑥ଶอ.
Exercițiul nr.7:
Rezolvați ecuația อ𝑒ଶ௫𝑒ି௔𝑒ି௫
𝑒ି௔𝑒ଶ௫𝑒ି௫
𝑒ି௫𝑒ି௫𝑒ଶ௔อ = 0, unde 𝑎∈ ℝ.

2.7.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admitere facultăți

Exercițiul nr.1:
Se consider matricele A = ቀ1 −5
2 6ቁ, 𝐵 = ቀ6 5
−2 1ቁ și 𝐼ଶ = ቀ1 0
0 1ቁ.
a) Arătați că det A=16.
b) Determinați numărul real a pentru care 𝐴∙𝐵=𝑎𝐼ଶ.
c) Demonstrați că det (𝑥𝐴+ଵ
௫𝐵) ≥ 49, pentru orice număr real nenul x.
Examenul de bacalaureat – 2018
Proba scrisă la MATEMATICA- Proba E.c), Varianta 2
Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale

38
Exercițiul nr.2:
Să se rezolve ecuația อ2𝑥0
𝑥−1𝑥
2 −5 4อ = 0.
a) 𝑥ଵ = 0, 𝑥ଶ = 3; b) 𝑥ଵ = −ହ
ଶ; c) 𝑥ଵ = 3; d) 𝑥ଵ = 0, 𝑥ଶ = 4; e) 𝑥ଵ = 0;
Admitere, Universitatea “Politehnica” din București, 2005

Exercițiul nr.3:
Se considera matricele A = ൭0 1 0
0 0 1
1 0 0൱ și B = 𝐴ଶ଺଺ହ + 𝐴ହ଴ଷ − 𝐴଻ହ଴. Dacă Δ = det B, atunci
a) Δ = 3; b) Δ = 0; c) Δ = 4; d) Δ = 2; e) Δ = 1.
Admitere, A.S.E. București, 2005
Exercițiul nr.4:
Se consideră 𝑓(x) = อ𝑠𝑖𝑛ଶ𝑥−𝑐𝑜𝑠ଶ𝑥sin2𝑥
𝑐𝑜𝑠ଶ𝑥−𝑠𝑖𝑛ଶ𝑥cos2𝑥
1+sin2𝑥1 1อ. Aduceți 𝑓(x) la forma cea mai simpla.
a) 𝑓(x) = 𝑠𝑖𝑛ଶ𝑥; b) 𝑓(x) = − 2sin 2x; c) 𝑓(x) = 𝑐𝑜𝑠ଷ2𝑥; d) 𝑓(x) = 𝑐𝑜𝑠ଶ𝑥;
e) 𝑓(x) = −𝑐𝑜𝑠ଷ2𝑥.
Admitere, Universitatea “Politehnica” din Timișoara, 2005

2.7.3. Exerciții date la concursuri și olimpiade școlare

Exercițiul nr.1:
Să se demonstreze că อ1−𝑎−𝑏 𝑐 𝑐
𝑎1−𝑎−𝑏 𝑎
𝑏 𝑏 1−𝑎−𝑐อ≥ 0,∀ 𝑎,𝑏,𝑐 ∈𝑅.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Haimovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera teoretică, profilul real, specializarea stiințele naturii
Indicație: Prin operații cu linii și coloane se obține ∆= (1− 𝑎−𝑏−𝑐)ଶ≥ 0,∀ 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ ℝ.

39
Exercițiul nr.2:
Fie n ∈ ℕ, n≥3 și aଵ, aଶ, …, a୬ିଵ, a୬ termini consecutivi ai unei progresii geometrice.
Să se calculeze
ተተ𝑎ଵ𝑎ଶ𝑎ଷ…𝑎௡ିଵ𝑎௡
𝑎ଶ𝑎ଷ𝑎ସ…𝑎௡𝑎ଵ
𝑎ଷ𝑎ସ𝑎ହ…𝑎ଵ𝑎ଶ
… … … … … …
𝑎௡ିଵ𝑎௡𝑎ଵ…𝑎௡ିଷ𝑎௡ିଶ
𝑎௡𝑎ଵ𝑎ଶ…𝑎௡ିଶ𝑎௡ିଵተተ
.
G.M. prof. Aurel Ene
(Festivalului Internațional de Matematică și Informatică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a XI-a)
Indicație: După n-1 schimbări de linii, prima linie va ajunge ultima, iar determinantul obținut este
produsul elementelor diagonalei secundare înmulțite cu semnul permutării
ቀ1 2 3
𝑛 𝑛−1𝑛−2 …𝑛
… 1ቁ.
Se obține, în final ∆=𝑎ଵ௡∗(−1)௡ିଵ∗(−1)஼೙భ∗(1−𝑞௡)௡ିଵ=𝑎ଵ௡∗(−1)೙మశ೙షమ
మ∗(2−𝑞௡)௡ିଵ.

Exercițiul nr.3:
a) Fie 𝛼 ∈ 𝑅ା si A ∈ 𝑀ଶ(ℝ) astfel încât det (𝛼𝐼ଶ+𝐴ଶ) = 0. Demonstrați că
det(𝐴) = 𝛼.
b) Arătați că există 𝛼 ∈ 𝑅_∗ și A ∈ 𝑀ଶ(ℝ) astfel încât det (𝛼𝐼ଶ+𝐴ଶ) = 0 și
det(𝐴) ≠ 𝛼.
prof. Dan Popescu, Suceava
(Festivalului Internațional de Matematică si Informatică PIATRA NEAMȚ
Concurs de matematică – proba individuală(clasa a XI-a))
Indicație: Se alege 𝐴=ቀ𝑎 𝑏
𝑐 𝑑ቁ,𝑢=𝑎+𝑑=𝑇𝑟𝐴,𝑣=𝑎𝑑−𝑏𝑐=𝑑𝑒𝑡𝐴.
După calcule det(𝛼𝐼ଶ+𝐴ଶ)=𝑢ଶ𝑣+𝑢𝑎(𝛼−𝑣)+𝑢𝑑(𝛼−𝑣)+(𝛼−𝑣)ଶ=𝑢ଶ𝛼+(𝛼−𝑣)ଶ,
sumă care este nulă numai dacă 𝛼−𝑣= 0,𝑎𝑑𝑖𝑐ădet(𝐴)=𝛼.

40
Exercițiul nr.4:
Fie 𝐴∈𝑀ଶ(𝐶) astfel încât det(𝐴ଶ+𝐴+𝐼ଶ)= det(𝐴ଶ−𝐴+𝐼ଶ)= 3.
Demonstrați că 𝐴ଶ(𝐴ଶ+𝐼ଶ)= 2𝐼ଶ.
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2016

Indicație: Se alege 𝐴=ቀ𝑥 𝑦
𝑧 𝑡ቁ, 𝛼=𝑇𝑟𝐴,𝛽= det (𝐴). Se obține 𝐴ଶ+𝐴+𝐼ଶ=(1+𝛼)𝐴+(1−
𝛽)𝐼ଶ. În final din ecuațiile (𝛼+1)(𝛼+𝛽)+(1−𝛽)ଶ= 3 și (𝛼−1)(𝛼−𝛽)+(1−𝛽)ଶ= 3
deducem că 𝛼= 0,𝛽= 2 𝑠𝑎𝑢 𝛽= −1.

Exercițiul nr.5:
Fie 𝑛∈𝑁,𝑛≥ 2 ș𝑖 𝐴,𝐵 ∈ 𝑀௡(ℝ). Arătați că există un număr complex z, cu |𝑧|= 1 , având
propietatea că 𝑅𝑒(det(𝐴+𝑧𝐵)) ≥ det (𝐴)+det (𝐵), unde Re(w) reprezintă partea reală a
numărului w.
Olimpiada națională de matematică
Etapa județeană, 2019
Indicație: Se notează cu 𝑓(𝑧)= det(𝐴+𝑧𝐵). Apoi, din propietățile determinațolor de obține
𝑓(𝑧)= det(𝐴)+𝑎ଵ∗𝑧+⋯+𝑎௡ିଵ∗𝑧௡ିଵ+det(𝐵)∗𝑧௡.
După calcule, 𝑅𝑒(det(𝐴+ℰ௞బ∗𝐵))≥ଵ
௡∗∑𝑅𝑒ቀ𝑓(ℰ௞)ቁ௡ିଵ
௞ୀ଴ = det(𝐴)+det (𝐵).

41
2.8. Aplicații ale determinaților în geometria plană

Ecuația dreptei sub formă de determinant
Ecuația dreptei determinată de punctele 𝐴ଵ(𝑥ଵ,𝑦ଵ), 𝐴ଶ(𝑥ଶ,𝑦ଶ) se poate scrie sub formă de
determinant de ordinul 2 sau 3 astfel : ቚ𝑥−𝑥ଵ𝑦−𝑦ଵ
𝑥−𝑥ଶ𝑦−𝑦ଵቚ= 0 sau อ𝑥 𝑦1
𝑥ଵ𝑦ଵ1
𝑥ଶ𝑦ଵ1อ= 0 .
Aplicație : Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A(−1,3),B(0,2)
a) folosind determinantul de ordinul 2;
b) folosind determinantul de ordinul 3.
Soluție :
a) Din ቚ𝑥−𝑥ଵ𝑦−𝑦ଵ
𝑥−𝑥ଶ𝑦−𝑦ଵቚ= 0 ⇒ฬ𝑥+1𝑦−3
𝑥−0𝑦−2ฬ= 0 ⇒(𝑥+1)(𝑦−2)−(𝑦−3)𝑥= 0,
ceea ce ne duce la forma finala a ecuației : 𝑥+𝑦−2 = 0.
b) Din อ𝑥 𝑦1
𝑥ଵ𝑦ଵ1
𝑥ଶ𝑦ଵ1อ= 0 ⇒อ𝑥 𝑦1
−1 3 1
0 2 1อ= 0 ⇒ 3𝑥−2−2𝑥+𝑦= 0 ⇒𝑥+𝑦−2 = 0.

Condiția de coliniaritate a trei puncte
Relația de coliniaritate a celor trei puncte 𝐴ଵ(𝑥ଵ,𝑦ଵ), 𝐴ଶ(𝑥ଶ,𝑦ଶ), 𝐴ଷ(𝑥ଷ,𝑦ଷ) se poate scrie sub
formă de determinant de ordinul 2 sau 3, astfel : ቚ𝑥ଷ−𝑥ଵ𝑦ଷ−𝑦ଵ
𝑥ଶ−𝑥ଵ𝑦ଶ−𝑦ଵቚ= 0 sau อ𝑥ଵ𝑦ଵ1
𝑥ଶ𝑦ଶ1
𝑥ଷ𝑦ଷ1อ= 0 .
Aplicație : Să se arate că punctele A(−2;−1),B(4;8),C(6;11) sunt coliniare.
Soluție : Scriem ecuația dreptei (𝐴𝐵) sub formă de determinant : อ𝑥 𝑦 1
−2 −1 1
4 8 1อ= 0. Condiția ca
punctul C să fie coliniar cu punctele 𝐴,𝐵 este echivalentă cu condiția ca punctul C să aparțină
dreptei (𝐴𝐵). Acest lucru se întamplă dacă înlocuind coordonatele lui 𝐶,𝑥=𝑥௖ și 𝑦=𝑦஼, ecuația
dreptei (𝐴𝐵) se verifică, adică อ6 11 1
−2 −1 1
4 8 1อ= 0.

42
Aria unui triunghi
Fie 𝐴ଵ(𝑥ଵ,𝑦ଵ), 𝐴ଶ(𝑥ଶ,𝑦ଶ), 𝐴ଷ(𝑥ଷ,𝑦ଷ) vârfurile unui triunghi. Atunci :
𝑆஺భ஺మ஺య=ଵ
ଶ∙|∆|, unde ∆= อ𝑥ଵ𝑦ଵ1
𝑥ଶ𝑦ଶ1
𝑥ଷ𝑦ଷ1อ
Poziția relativă a unei drepte față de o parabolă
Studiul funcției afine 𝑔(𝑥)=𝑚𝑥+𝑛 a condus la faptul că graficul acesteia este o dreaptă. Studiul
funcției 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐,𝑎≠ 0 a condus la faptul că graficul acesteia este o parabolă.
Soluțiile unui sistem de două ecuații de forma ൜𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑦
𝑚𝑥+𝑛=𝑦 cu 𝑎≠ 0 reprezintă din punct de
vedere geometric coordonatele punctelor de intersecție dintre dreaptă și parabolă :
 Dacă dreapta intersectează parabola în două puncte distincte sistemul are două soluții
distincte și dreapta este secantă parabolei.
 Dacă dreapta intersectează parabola într-un singur punct, sistemul are soluție unică și
dreapta este tangentă parabolei.
 Dacă dreapta nu intersectează parabola, sistemul de ecuații nu are soluții și dreapta este
exterioară parabolei.
Poziția relativă a două parabole
Prin rezolvarea sistemului de ecuații : ൜𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑦
𝑚𝑥ଶ+𝑛𝑥+𝑝=𝑦 cu 𝑎,𝑚≠ 0 se obțin punctele de
intersecție dintre cele două parabole :
 Dacă 𝑎=𝑚,𝑏=𝑛,𝑐=𝑝, sistemul are o infinitate de soluții, iar cele două parabole coincid
 Dacă 𝑎=𝑚,𝑏=𝑛,𝑐≠𝑝, sistemul este incompatibil, cele două parabole nu se
intersectează și au aceeași axa de simetrie.
 Dacă 𝑎=𝑚,𝑏≠𝑛,𝑐≠𝑝, sistemul are o singură soluție, cele două parabole se
intersectează într-un singur punct ale cărui coordonate sunt soluțiile sistemului.
 Dacă 𝑎≠𝑚, ecuația 𝑎𝑥ଶ+𝑏𝑥+𝑐=𝑚𝑥ଶ+𝑛𝑥+𝑝 poate avea:
 1)∆> 0. Sistemul are două soluții iar parabolele se intersectează în două puncte ale
căror coordonate sunt soluțiile sistemului.
 2)∆= 0. Sistemul are o singură soluție iar parabolele sunt tangente, coordonatele
punctului de tangență fiind soluțiile sistemului.

43
 3)∆< 0. Sistemului este incompatibil, iar parabolele nu se intersectează.

2.9. Exerciții propuse

2.9.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de probleme

Exercițiul nr.1:
În reperul cartezian xOy se consideră punctele A (2,1), B(1,2) si C୬(n,−n), n ∈ ℤ.
a) Să se scrie ecuația dreptei CସCଶ.
b) Să se arate că oricare ar fi n ∈ ℤ, nenul, punctele O, C୬, C୬ାଵ sunt coliniare.
c) Să se calculeze aria triunghiului ABCଷ.
Exercițiul nr.2:
Se consideră matricea 𝑀(𝑥)=൭1 1 1
2 3 1
𝑥2𝑥−1 1൱, unde x este număr real.
a) Calculați det൫𝑀(0)൯.
b) Demonstrați că 2𝑀(𝑥)−𝑀(−𝑥)=𝑀(3𝑥), pentru orice numpr real x.
c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 𝑂(0,0),𝐴(𝑛,2𝑛−1) ș𝑖 𝐵(𝑛ଶ,2𝑛ଶ−1), unde
n este număr natural, 𝑛≥ 2. Demonstrați că aria triunghiului OAB este număr natural.
Examenul de bacalaureat – 2016
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Simulare cls XII
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii
Exercițiul nr.3:
În reperul cartezian xOy se consideră punctele O(0,0), A(0,2), B(3,5) și C(6,8).
a) Determinați ecuația dreptei AC.
b) Verificați dacă punctele A, B și C sunt coliniare.
c) Demonstrați că aria triunghiului AOB este egală cu aria triunghiului BOC.
Examenul de bacalaureat – 2014
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Simulare cls XI
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii

44
Exercițiul nr.4:
Pentru n număr natural se consideră matricea 𝐴=൭0 0 1
2𝑛+1𝑛1
2𝑛ଶ+1𝑛ଶ1൱ .
a) Calculați suma elementelor matricei A.
b) Determinați numerele naturale n pentru care matricea A are determinantul diferit de zero.
c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 𝑂(0,0) ș𝑖 𝐴௡(2𝑛+1,𝑛),𝑛∈ ℕ,𝑛≥ 2.
Determinați valorile numărului natural n, 𝑛≥ 2 pentru care aria triunghiului 𝑂𝐴௡𝐴௡మ este
egală cu 𝑛ଶ−3 .
Examenul de bacalaureat – 2013
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Model
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii

2.9.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admitere facultăți

Exercițiul nr.1:
Dreapta care trece prin punctele 𝐴(1,2) și 𝐵(2,5) are ecuația:
a) x – 3y = 1; b) 2x – y = 0; c) x – 2y = 0;
d) 3x – y = 1; e) x + 3y = 1; f) 3x + y = 1.
Admitere, Universitatea “Politehnica” din București, 2005
Exercițiul nr.2:
Se consideră punctele 𝐴(1,1), 𝐵(2,3) și 𝐶(5,−1).
a) Scrieți ecuația dreptei AB.
b) Aflați aria triunghiului ABC.
Admitere, Universitatea “Agora”, Oradea, 2005

Exercițiul nr.3:
Se consideră determinantul 𝐷(𝑎,𝑏)=อ1 1 1
𝑎 𝑎ଶ1
𝑏 𝑏ଶ1อ, unde a și b sunt numere reale.
a) Arătați că 𝐷(𝑎,𝑏)= 2.

45
b) Verificați dacă 𝐷(𝑎,𝑏)=(𝑎−1)(𝑏−1)(𝑏−𝑎), pentru orice numere reale a și b.
c) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 𝑃௡(𝑛,𝑛ଶ), unde n este un număr natural
nenul. Determinați numărul natural n , n≥ 3, pentru care aria triunghiului 𝑃ଵ𝑃ଶ𝑃௡ este egală
cu 1.
Examenul de bacalaureat – 2013
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică

Exercițiul nr.4:
Se notează cu 𝐷(𝑎,𝑏,𝑐) determinantul matricei 𝐴(𝑎,𝑏,𝑐)=൭1 1 1
2𝑎2𝑏2𝑐
3𝑎ଶ3𝑏ଶ3𝑐ଶ൱∈ 𝑀ଷ(ℝ).
a) Calculați 𝐷(0,1,−1).
b) Determinați numerele reale x pentru care matricea 𝐴(𝑎,𝑏,𝑐) are rangul egal cu 2.
c) Arătați că dacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi și 𝐷(𝑎,𝑏,𝑐)= 0, atunci
triunghiul este isoscel .
Examenul de bacalaureat – 2012
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică

Exercițiul nr.5:
Se consideră punctele 𝐴௡(2௡,3௡), unde 𝑛∈ ℕ.
a) Scrieți ecuația dreptei 𝐴଴𝐴ଵ.
b) Demonstrați că punctele 𝐴ଵ,𝐴ଶ,ș𝑖 𝐴ଷ nu sunt coliniare.
c) Determinați numărul natural n pentru care aria triunghiului 𝐴௡𝐴௡ାଵ𝐴௡ାଶ este egală cu 216 .
Examenul de bacalaureat – 2011
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta103
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științele naturii

Exercițiul nr.6:
Se consideră matricea 𝐴(𝑥)=൭𝑥 𝑥+1 1
2𝑥1
3 0 1൱, unde x este număr real.
d) Arătați că det൫𝐴(0)൯= 1.

46
e) Determinați numărul real x, pentru care 𝐴(𝑥)+𝐴(𝑥+2)= 2𝐴(2).
f) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 𝑀(𝑛,𝑛+1),𝑁(2,𝑛) ș𝑖 𝑃(3,0). Determinați
numărul natural n, știind că punctele M, N și P sunt coliniare .
Examenul de bacalaureat – 2017
Proba scrisă la MATEMATICA – Proba E.c), Varianta 4
Filiera teoretică, profilul real, științele naturii

2.9.3. Exerciții date la concursuri și olimpiade școlare

Exercițiul nr.1:
a) Să se rezolve în R inecuația อ𝑥1 2
2𝑥1
1 2𝑥อ≥ 0.
b) Să se arate că există o singură dreaptă care trece prin punctul B(7, -2) și pentru care distanța
de la punctul A(4, -6) la această dreaptă să fie egală cu 5.
Concursul național de matematică aplicată ”Adolf Haimovici”
Etapa locala – Constanța 2018
Filiera tehnologică, profilul tehnic, toate specializările
Indicație: Se scrie ecuația dreptei, se calculeaza distanța cerută și apoi se obține panta dreptei
𝑚= −ଷ
ସ ceea ce face unică dreapta respectivă.

47
3. SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Forma generală a unui sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute este:
൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଵ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡= 𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଵ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡= 𝑏ଶ
………………………………………………
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଵ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡= 𝑏௠ (1)
Numerele 𝑎௜௝ ∈ ℝ, i = 1,𝑚തതതതതത, j = 1,𝑛തതതതത se numesc coeficienții necunoscutelor iar 𝑥ଵ, …, 𝑥௡ ∈ ℝ sunt
necunoscutele sistemelor. Numerele 𝑏ଵ, …, 𝑏௠ ∈ ℝ se numesc termeni liberi . Dacă toți termenii
liberi sunt nuli, atunci sistemul de ecuații liniare se numește sistem liniar omogen .
Sistemul de ecuații (1) poate fi scris mai condensat astfel: ∑𝑎௜௝𝑥௝= 𝑏௝௡
௝ୀଵ , i = 1,𝑚തതതതതത.
Acestuia i se asociază urmatoarele matrice:
A = ൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௠ଵ𝑎௠ଶ…𝑎௠௡൲ (matricea coeficienților sau matricea sistemului)
X =൮𝑥ଵ
𝑥ଶ
…
𝑥௡൲ (matricea necunoscutelor) , B = ൮𝑏ଵ
𝑏ଶ
…
𝑏௠൲ (matricea termenilor liberi)
𝐴̅ = ൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡𝑏ଶ
… … … … …
𝑎௠ଵ𝑎௠ଶ…𝑎௠௡𝑏௠൲ (matricea termenilor liberi)
Cu ajutorul acestor matrice putem scrie forma matriceală a sistemului de ecuații liniare:
A ∙ X = B
Un sistem de numere ( 𝛼ଵ,𝛼ଶ,… ,𝛼௡), 𝛼௜ ∈ ℝ, i = 1,𝑛തതതതത se numește soluție a sistemului de ecuații (1)
dacă înlocuind necunoscutele 𝑥ଵ, 𝑥ଶ, … , 𝑥௡ cu aceste numere, toate ecuațiile sistemului sunt
verificate, ceea ce se scrie sub forma:
෍𝑎௜௝ 𝛼௝= 𝑏௝, 𝑖= 1,𝑚തതതതതത௡
௝ୀଵ

48
Din punct de vedere al existenței soluției și al numărului de soluții, un sistem de ecuații liniare poate
fi:
1. Sistem incompatibil , când nu are nici o soluție

Exemplu : Fie sistemul de ecuații liniare ൜2𝑥ଵ−𝑥ଶ= 5
2𝑥ଵ−𝑥ଶ= 1 . Dacă ar exista perechea ( 𝛼ଵ,𝛼ଶ) care să
verifice cele două ecuații, atunci ar trebui ca 5 = 1, ceea ce este fals. Așadar, sistemul este
incompatibil.
2. Sistem compatibil, care are cel puțin o soluție.
a) Un sistem compatibil cu o singură soluție se numește sistem compatibil determinat.
Exemplu: Sistemul de ecuații ൜𝑥ଵ+2𝑥ଶ= 5
𝑥ଵ+𝑥ଶ= 3 are soluție unică 𝑥ଵ= 1 si 𝑥ଶ = 2.
b) Un sistem compatibil cu mai multe soluții se numește sistem compatibil nedeterminat.
Exemplu: Sistemul de ecuații ൜2𝑥ଵ+2𝑥ଶ= 3
4𝑥ଵ+2𝑥ଶ= 6 are o infinitate de soluții de forma ( 𝛼,3−2 𝛼),
𝛼∈ ℝ.
Observație: Orice sistem liniar omogen este compatibil. Se observă că o soluție a acestuia este
(0,0,… 0) numită și soluție banală.
Problema esențială care se pune în legătură cu un sistem de ecuații liniare este dacă acesta este
compatibil sau incompatibil, iar în caz de compatibilitate, care este numărul soluțiilor și cum se
determină mulțimea acestora.
3.1.Sisteme de ecuații liniare de tip Cramer
Fie (S) un sistem de n ecuații cu n necunoscute, n ≤ 4.
൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଵ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡=𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଵ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡=𝑏ଶ
………………………………………………
𝑎௡ଵ𝑥ଵ+𝑎௡ଶ𝑥ଵ+⋯+𝑎௡௡𝑥௡=𝑏௡
Folosind următoarele sisteme de notații:

49
A = ൮𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௡
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௡
… … … …
𝑎௡ଵ𝑎௡ଶ…𝑎௡௠൲ ∈ 𝑀௡ ×௡ (ℝ),
X =൮𝑥ଵ
𝑥ଶ
…
𝑥௡൲∈𝑀௡ ×ଵ (ℝ) și B = ൮𝑏ଵ
𝑏ଶ
…
𝑏௠൲∈𝑀ଵ ×௡ (ℝ),
sistemul se scrie sub formă matriceală A∙𝑋=𝐵.
Definiție: Un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute cu proprietatea că matricea sistemului
are determinantul nenul se numește sistem de tip Cramer .
Dacă sistemul ( S) este de tip Cramer ( d = det(A) ≠ 0), atunci matricea A a sistemului este matrice
inversabilă în 𝑀௡(ℝ) și matricea X a necunoscutelor este X = 𝐴ିଵ∙𝐵.
Pornind de la această exprimare a matricei X a necunoscutelor, vom deduce o regulă de determinare
element cu element a soluției ( 𝑥ଵ,…, 𝑥௡) a sistemului.
Formula de dezvoltare după linie
Teoremă: În determinantul de ordinul n, d = ห𝑎௜௝หଵஸ௜ஸ௡
ଵஸ௝ஸ௡, pentru orice i = 1,𝑛തതതതത are loc egalitatea d =
𝑎௜ଵ𝛿௜ଵ+𝑎௜ଶ𝛿௜ଶ+𝑎௜ଷ𝛿௜ଷ+⋯+𝑎௜௡𝛿௜௡, numită dezvoltarea determinantului d după linia i .
Teorema lui Cramer: Un sistem de tip Cramer este compatibil determinat, iar soluția lui este dată
de formulele:
𝑥ଵ=𝑑ଵ
det (𝐴),𝑥2 =𝑑ଶ
det(𝐴),…,𝑥௞=𝑑௞
det(𝐴), (1)
unde 𝑑௞ este determinantul obținut din determinantul matricei A a sistemului înlocuind coloana k
(coloana coeficienților necunoscutei 𝑥௞) cu coloana formată din termenii liberi, k = 1,𝑛തതതതത.
Demonstrație:
Fie (S) un sistem de n ecuații cu n necunoscute, n≤ 4, de tip Cramer, cu scrierea matriceală

50
A ∙𝑋=𝐵. Deoarece A este matrice inversabilă avem relația X = 𝐴ିଵ∙𝐵. Cu notațiile adoptate
pentru matricele X si B și știind că 𝐴ିଵ=ଵ
ୢୣ୲ (஺)൮𝛿ଵଵ𝛿ଶଵ…𝛿௡ଵ
𝛿ଵଶ𝛿ଶଶ…𝛿௡ଶ
… … … …
𝛿ଵ௡𝛿ଶ௡…𝛿௡௠൲,
cu 𝛿௜௝= (−1)௜ା௝𝑑௜௝ numit complement algebraic al elementului 𝑎௜௝ din matricea A, avem:
൮𝑥ଵ
𝑥ଶ
…
𝑥௡൲=1
det(𝐴)𝑑൮𝛿ଵଵ𝛿ଶଵ…𝛿௡ଵ
𝛿ଶଵ𝛿ଶଶ…𝛿௡ଶ
… … … …
𝛿ଵ௡𝛿ଶ௡…𝛿௡௡൲∙൮𝑏ଵ
𝑏ଶ
…
𝑏௡൲,
ceea ce duce la relația:
൮𝑥ଵ
𝑥ଶ
…
𝑥௡൲=1
det(𝐴)൮𝑏ଵ𝛿ଵଵ𝑏ଶ𝛿ଶଵ…𝑏௡𝛿௡ଵ
𝑏ଵ𝛿ଵଶ𝑏ଶ𝛿ଶଶ…𝑏௡𝛿௡ଶ
… … … …
𝑏ଵ𝛿ଵ௡𝑏ଶ𝛿ଶ௡…𝑏௡𝛿௡௡൲.
Aplicând egalitatea a două matrice se obțin formulele după care se calculează fiecare necunoscută
𝑥ଵ,…,𝑥௡:
𝑥ଵ=1
det(𝐴)(𝑏ଵ𝛿ଵଵ+𝑏ଶ𝛿ଶଵ+⋯+𝑏௡𝛿௡ଵ)=𝑑ଵ
det (𝐴)
𝑥ଶ=1
det(𝐴)(𝑏ଵ𝛿ଵଶ+𝑏ଶ𝛿ଶଶ+⋯+𝑏௡𝛿௡ଶ)=𝑑ଶ
det (𝐴)
……………………………………………………………………………….
𝑥௡=1
det(𝐴)(𝑏ଵ𝛿ଵ௡+𝑏ଶ𝛿ଶ௡+⋯+𝑏௡𝛿௡௡)=𝑑௡
det(𝐴),
unde 𝑑௞ este determinantul obținut din determinantul matricei A a sistemului înlocuind coloana k
(coloana coeficienților necunoscutei 𝑥௞) cu coloana formată din termenii liberi, k = 1,𝑛തതതതത.
Observație: Formulele (1) se numesc formulele lui Cramer. Pentru n = 2 si n=3 aceste formule au
fost obținute atunci când s-a definit determinantul de ordin 2, respectiv 3.
Exercițiu rezolvat: Să se rezolve sistemul de ecuații liniare folosind regula lui Cramer:

51
൞2𝑥ଵ−𝑥ଶ+𝑥ଷ−𝑥ସ= 0
3𝑥ଵ+2𝑥ଶ−𝑥ସ= 2
2𝑥ଵ−2𝑥ଶ−𝑥ଷ= 3
𝑥ଵ+𝑥ଶ+𝑥ଷ+3𝑥ସ= 3
Soluție: Matricea sistemului în care A = ൮2 −1 1 −1
3 2 0 −1
2 −2 −1 0
1 1 1 3൲ și 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = −65 ≠ 0.
Rezultă că sistemul este de tip Cramer și are soluție unică dată de formulele lui Cramer:
𝑥ଵ=ௗభ
ୢୣ୲ (஺) ,𝑥ଶ=ௗమ
ୢୣ୲ (஺) ,𝑥ଷ=ௗయ
ୢୣ୲ (஺) ,𝑥ସ=ௗర
ୢୣ୲ (஺) .
Dar 𝑑ଵ= ተ0 −1 1 −1
2 2 0 −1
3 −2 −1 0
3 1 1 3ተ= −65,𝑑ଶ= ተ2 0 1 −1
3 2 0 −1
2 3 −1 0
1 3 1 3ተ= 0,
𝑑ଷ= ተ2 −1 0 −1
3 2 2 −1
2 −2 3 0
1 1 3 3ተ= 65 și 𝑑ସ= ተ2 −1 1 0
3 2 0 2
2 −2 −1 3
1 1 1 3ተ= −65.
Așadar, soluția sistemului de ecuații este sistemul de numere (1,0, −1,1).
3.2.Studiul compatibilităților sistemelor de ecuații liniare și rezolvarea acestora
Am stabilit anterior ce este un sistem de ecuații liniare de tip Cramer și care este metoda de
rezolvare a acestuia. În continuare vom considera un sistem oarecare de m ecuații liniare cu n
necunoscute , 𝑛 ≤ 4. Compatibilitatea unui astfel de sistem este dată de următorul rezultat:
Teorema Kronecker-Capelli : Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă
𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴̅, unde A este matricea sistemului iar 𝐴̅, este matricea extinsă.
Demonstrație : Să presupunem mai întâi că sistemul este compatibil. Fie ( 𝛼ଵ, 𝛼ଶ, … , 𝛼௡) o soluție a
sa. Deci avem relațiile ∑𝑎௜௝ 𝛼௝=𝑏௝,𝑖= 1,𝑚തതതതതത.௡
௝ୀଵ
Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟, se observă că 𝑟 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴̅. Pentru a demonstra că avem egalitatea rangurilor
este suficient să arătăm că orice minor 𝑑̅௥ାଵ, de ordin 𝑟+1 al matricei 𝐴̅ este nul.
Daca 𝑑̅௥ାଵ, nu conține coloana termenilor liberi, atunci el este minor al matricei A și prin urmare
este nul, deoarece 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟. Dacă 𝑑̅௥ାଵ, conține coloana termenilor liberi, atunci el este de
forma:

52
ተ𝑎௜భೕభ𝑎௜భೕమ…𝑎௜ೝೕమ𝑎௜భ
𝑎௜మೕభ𝑎௜మೕమ…𝑎௜మೕ𝑎௜మ
… … … … …
𝑎௜ೝశభೕభ𝑎௜ೝశభೕమ…𝑎௜భೕೝ𝑎௜ೝశభተ.
Din relațiile de mai sus se obține ∑𝑎௜ೖೕ 𝛼௝= 𝑏௜ೖ௡
௝ୀଵ , 𝑘= 1,𝑟+1തതതതതതതതതത. Înlocuind pe 𝑏௜ೖ, cu 𝑘=
1,𝑟+1തതതതതതതതതത în 𝑑̅௥ାଵ se observă că 𝑑̅௥ାଵ se poate scrie ca o sumă de n minori de forma:
ተ𝑎௜భೕభ𝑎௜భೕమ…𝑎௜భೕ𝑎௜భ𝛼௝
𝑎௜మೕభ𝑎௜మೕమ…𝑎௜మೕ𝑎௜మ𝛼௝
… … … … …
𝑎௜ೝశభೕభ𝑎௜ೝశభೕమ…𝑎௜ೝశభೕೝ𝑎௜ೝశభ𝛼௝ተ= ተ𝑎௜భೕభ𝑎௜భೕమ…𝑎௜భೕ𝑎௜భೕ
𝑎௜మೕభ𝑎௜మೕమ…𝑎௜మೕೝ𝑎௜మೕ
… … … … …
𝑎௜ೝశభೕభ𝑎௜ೝశభೕమ…𝑎௜ೝశభೕೝ𝑎௜ೝశభೕተ ∙𝛼௝
Din acești minori de ordin 𝑟+1 ai lui A sunt toți nuli, deoarece 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟, deci suma lor este
zero, adică 𝑑̅௥ାଵ= 0.
Reciproc , fie 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴̅=𝑟. Există deci un minor de rang r, nenul, al matricei A astfel
încât toți minorii de rang 𝑟+1 sunt nuli. Putem presupune că acesta este la intersecția primelor r
linii si primelor r coloane ale matricei A, adică ተ𝑎ଵଵ𝑎ଵଶ…𝑎ଵ௥
𝑎ଶଵ𝑎ଶଶ…𝑎ଶ௥
… … … …
𝑎௥ଵ𝑎௥ଶ…𝑎௥௥ተ ≠ 0.
Deoarece 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟, rezultă că orice minor de ordin 𝑟+1 care se obțin din acesta prin bordarea
sa cu elementele corespunzătoare ale coloanei termenilor liberi și cele ale uneia dintre liniile ramase
este nul. Procedând ca la calculul rangului unei matrice, rezultă că există 𝛼ଵ, 𝛼, …, 𝛼௥ astfel încât
coloana termenilor liberi ai matricei 𝐴̅ să fie combinație liniară de coloanele matricei
corespunzătoare minorului ales, cu coeficienții 𝛼ଵ, 𝛼, …, 𝛼௥ . Deci au loc relațiile ∑𝑎௜௞ 𝛼௞=௡
௞ୀଵ
𝑏௜,𝑖= 1,𝑚തതതതതത. Acestea arată că 𝛼ଵ, 𝛼, …, 𝛼௥,0,…,0 este o soluție a sistemului, adică sistemul este
compatibil.
Observație: Considerăm 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴 = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴̅=𝑟. Minorul de ordin r care dă rangul matricei A se
numește minor principal sau determinant principal și se va nota cu 𝑑௣. Necunoscutele sistemului de
ecuații liniare ai căror coeficienți formează minorul principal se numesc necunoscute principale iar
celelalte necunoscute se numesc necunoscute secundare . Ecuațiile sistemului care corespund liniilor
minorului principal se numesc ecuații principale iar celelalte ecuații se numesc ecuații secundare .
Orice minor al matricei 𝐴̅ care se obține din determinantul principal prin bordarea (completarea) cu
o linie formată din coeficienții necunoscutelor principale dintr-o ecuație secundară și cu o coloană
formată din termenii liberi ai ecuațiilor principale și termenul liber al ecuației secundare alese, se

53
numește minor caracteristic. Minorii caracteristici se vor nota 𝑑௖భ,𝑑௖మ… iar numărul acestora este
egal cu numărul ecuațiilor secundare ale sistemului. Toți minorii de ordinul 𝑟+1 ai matricei 𝐴̅ sunt
nuli, deci și toți minorii caracterstici sunt nuli.
Astfel, teorema Kronecker-Capelli poate fi enunțată sub urmatoarea formă echivalentă:
Teorema lui Rouche : Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți minorii
caracteristici sunt nuli.
Exercițiu rezolvat : Să se studieze compatibilitatea sistemului de ecuații :
൝2𝑥−3𝑦+𝑧= −1
𝑥+2𝑦+5𝑧= 4
3𝑥−𝑦+6𝑧= 3
Matricea sistemului de ecuații, respectiv matricea extinsă a acestuia sunt:
𝐴= ൭2 −1 1
1 2 5
3 −1 6൱ ∈ 𝑀ଷ(ℝ),𝐴̅= ൭2 −3 1 −1
1 2 5 4
3 −1 6 3൱ ∈ 𝑀ଷ,ସ(ℝ)
Avem det(𝐴)= อ2 −3 1
1 2 5
3 −1 6อ= 0 și minorul ቚ2 −3
1 2ቚ= 7 ≠ 0. Rezultă că 𝑟𝑎𝑛𝑔𝐴= 2 și
𝑑௣=ቚ2 −3
1 2ቚ. Astfel, matricea 𝐴̅ are un singur minor caracteristic notat
𝑑௖భ=อ2 −3 −1
1 2 4
3 −1 3อ= 0
Conform teoremei lui Rouche rezultă că sistemul este compatibil.
3.3. Metoda lui Gauss
Fie (S) sistemul de m ecuații liniare cu n necunoscute, 𝑛≤ 4:
൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଵ+𝑎ଵଷ𝑥ଷ+𝑎ଵସ𝑥ସ= 𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଵ+𝑎ଶଷ𝑥ଷ+𝑎ଶସ𝑥ସ= 𝑏ଶ
………………………………………………
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଵ+𝑎௠ଷ𝑥ଷ+𝑎௠ସ𝑥ସ= 𝑏௠

54
Definiții:
 Sistemul ( S) este echivalent cu un sistem ( 𝑆ଵ) și se scrie 𝑆~𝑆ଵ dacă au aceeași mulțime de
soluții.
 Se numește transformare elementară de tipul 1 a sistemului ( S) orice permutare a două ecuații
ale sistemului.
 Se numește transformare elementară de tipul 2 a sistemului ( S) o operație prin care se adună o
ecuație cu o altă ecuație înmulțită eventual cu un număr nenul.
Metoda lui Gauss sau metoda eliminării succesive este metoda prin care un sistem ( S) este
transformat într-un sistem echivalent ( S’) de formă triunghiulară sau trapezoidală prin transformări
elementare succesive de tipul 1 sau 2. Un astfel de sistem are forma:
⎩⎪⎨⎪⎧𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+𝑎ଵଶ𝑥ଷ+𝑎ଵସ𝑥ସ=𝑐ଵ
𝑎ଶଶ𝑥ଶ+𝑎ଶଷ𝑥ଷ+𝑎ଶସ𝑥ସ=𝑐ଶ
𝑎ଷଷ𝑥ଷ+𝑎ଷସ𝑥ସ=𝑐ଷ
𝑎ସସ𝑥ସ=𝑐ସ
……………………………………………………
0 = 𝑐௠
Sistemul ( S’) se rezolvă începând cu ultima ecuație. Pot apărea urmatoarele situații:
 Dacă în sistemul ( S’) apar ecuații de forma 0 =𝑐௞, cu 𝑐௞≠ 0, atunci sistemele ( S) si (S’)
sunt incompatibile.
 Dacă în sistemul ( S’) nu apar ecuații contradictorii, atunci sistemul este compatibil.
 Dacă apar necunoscute secundare, ele se notează parametric, se trec în al doilea membru și
se continuă cu rezolvarea sistemului triunghiular format.
Exercițiu rezolvat :
Să se rezolve prin metoda lui Gauss următorul sistem de ecuații liniare:
൞2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡= −1
3𝑥−𝑧+𝑡= −3
2𝑥−𝑦−3𝑡= 3
2𝑥+2𝑦−2𝑧+5𝑡= −6
Soluție: Eliminăm necunoscuta x din ultimele trei ecuații. Pentru aceasta, vom înmulți prima
ecuație cu −ଷ
ଶ și o adunăm la a doua ecuație, apoi înmulțim prima ecuație cu −1 și o adunăm pe
rând la a treia, respectiv a patra ecuație (transformări de tipul 2). Se obține sistemul echivalent

55
⎩⎨⎧2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡= 1
3𝑦−5𝑧+5𝑡= −9
−𝑧−2𝑡= 1
3𝑦−3𝑧+6𝑡= −7. După o transformare de tipul 1, permutând ecuația a treia cu cea de-a patra,
se obține sistemul echivalent
⎩⎨⎧2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡= 1
3𝑦−5𝑧+5𝑡= −9
3𝑦−3𝑧+6𝑡= −7
−𝑧−2𝑡= 1. Eliminăm necunoscuta y din a treia ecuație,
având ca ecuație de referință ecuația a doua ți obținem sistemul echivalent ൞2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡= 1
3𝑦−5𝑧+5𝑡= −9
−2𝑧−𝑡= −2
−𝑧−2𝑡= 1.
Eliminăm ecuația z din a patra ecuație, având ca ecuație de referință a treia ecuație, prin înmulțirea
celei de-a patra ecuații cu −2 și adunarea cu a treia ecuație. Obținem astfel un sistem scris în formă
triunghiulară astfel:
൞2𝑥−𝑦+𝑧−𝑡= 1
3𝑦−5𝑧+5𝑡= −9
−2𝑧−𝑡= −2
−3 𝑡= 4. Pornind de la ultima ecuație către prima se va obține ca și soluție a
sistemului inițial, sistemul de numere ቀ0;2;ହ
ଶ;−ସ
ଷቁ iar sistemul este compatibil determinat.
Concluzie: Algoritmul de stabilire a compatibilității unui sistem de ecuații liniare
1) Se calculează 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴 ≤ min(𝑚,𝑛)
2) Se compară 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑟 cu m
a) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑚, atunci sistemul ( S) este compatibil
b) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑚, atunci se calculează minorii caracteristici (numărul lor egal cu
m−𝑟).
Dacă există cel puțin un minor caracteristic nenul, atunci sistemul ( S) este
incompatibil. Daca toți minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul ( S) este
compatibil. Ecuațiile care au coeficienți în determinantul principal (determinant ce a
dat rangul matricei) se numesc ecuații principale iar celelalte se numesc ecuații
secundare .
3) Stabilim dacă ( S) este compatibil determinat sau compatibil nedeterminat prin compararea
rangului matricei cu n.
a) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴=𝑛, atunci sistemul ( S) este compatibil determinat și se rezolvă cu
formulele lui Cramer
b) Dacă 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴<𝑛, atunci sistemul ( S) este compatibil nedeterminat.

56
Necunoscutele care au coeficienți în determinantul principal se numesc necunoscute
principale , iar celelalte se numesc necunoscute secundare , iar soluția sistemului inițial este soluția
sistemului format de ecuațiile principale în care necunoscutele secundare notate 𝛼,𝛽,𝛾… se trec în
partea dreaptă a ecuațiilor.
3.4. Aplicații ale sistemelor de ecuații liniare

1. În fizică
Prima teoremă a lui Kirchoff : Suma algebrică a intensităților curenților din laturile legate într-un
nod al rețelei este nulă, ∑𝑙௞= 0, unde 𝑙௞ este intensitatea curentului din latura k, considerată cu
semnul plus dacă sensul curentului este orientat dinspre nod, și cu semnul minus dacă sensul
curentului este orientat spre nod.
A doua teoremă a lui Kirchoff :Suma algebrică a tensiunilor electromotoare (imprimate) dintr-un
ochi al unei rețele este egală cu suma căderilor de tensiune din laturile ochiului ∑𝐸௞=∑𝑅௞𝑙௞;
căderea de tensiune într-o latură este considerată pozitivă dacă sensul de parcurgere al acestei laturi
coincide cu cel ales pentru curentul respectiv – aceeași regulă este valabilă și pentru tensiunea
electromotoare.
Aplicația 1 : Să se calculeze curenții din laturile rețelei electrice din figura de mai jos dacă se
cunosc: 𝐸ଵ= 40𝑉, 𝐸ଶ= 20𝑉, 𝑅ଵ= 2𝛺, 𝑅ଶ= 2𝛺, 𝑅ଷ= 1𝛺, 𝑅ସ= 8𝛺, 𝑅ହ= 4𝛺, 𝑅଺= 6𝛺.

57
Soluție: Se observă că rețeaua are patru noduri ( un nod este punctul de întâlnire a cel putin trei
laturi iar o latură este porțiunea de circuit cuprinsă între două noduri) notate cu 𝐴,𝐵,𝐶 𝑠𝑖 𝐷, șase
laturi și trei ochiuri notate 𝐼,𝐼𝐼 𝑠𝑖 𝐼𝐼𝐼.
Pentru curenții din cele șase laturi și parcurgerea ochiurilor se aleg sensurile indicate în figură.
Aplicând prima teoremă a lui Kirchoff în nodurile 𝐴,𝐵,𝐶 și cea de-a doua teoremă în ochiurile
𝐼,𝐼𝐼 și 𝐼𝐼𝐼 se obține sistemul de ecuații liniare între necunoscutele 𝐼ଵ,𝐼ଶ,𝐼ଷ,𝐼ସ,𝐼ହ,𝐼଺ :
⎩⎪⎨⎪⎧𝐼ସ+𝐼଺=𝐼ଵ
𝐼ଶ+𝐼଺=𝐼ହ
𝐼ସ+𝐼ହ=𝐼ଷ
𝐼ଵ𝑅ଵ+𝐼ସ𝑅ସ+𝐼ଷ𝑅ଷ=𝐸ଵ
𝐼ଶ𝑅ଶ+𝐼ହ𝑅ହ+𝐼ଷ𝑅ଷ=𝐸ଶ
𝐼଺𝑅଺+𝐼ହ𝑅ହ+𝐼ସ𝑅ସ= 0
iar după ce înlocuim valorile pentru 𝑅ଵ,𝑅ଶ,𝑅ଷ,𝑅ସ,𝑅ହ,𝑅଺ rezultă sistemul liniar :
⎩⎪⎨⎪⎧𝐼ସ+𝐼଺−𝐼ଵ= 0
𝐼ଶ+𝐼଺−𝐼ହ= 0
𝐼ସ+𝐼ହ−𝐼ଷ= 0
2𝐼ଵ+8𝐼ସ+𝐼ଷ= 40
2𝐼ଶ+4𝐼ହ+𝐼ଷ= 20
6𝐼଺+4𝐼ହ+8𝐼ସ= 0
cu soluția : 𝑙ଵ= 5𝐴,𝑙ଶ= 1𝐴,𝑙ଷ= 6𝐴,𝑙ସ=𝑙ହ= 3𝐴,𝑙଺= 2𝐴.

58
Aplicația 2 : Să se calculeze curenții din laturile rețelei electrice din figura de mai jos.

Soluție: Se observă că rețeaua are două noduri notate cu 𝐴,𝐵 și două ochiuri. Atât pentru curenții
din laturi cât și pentru parcurgerea ochiurilor se aleg sensurile indicate în figură. Aplicând prima
teoremă a lui Kirchoff în nodurile 𝐴,𝐵 și cea de-a doua teoremă în cele două ochiuri se obține
sistemul de ecuații liniare în necunoscutele 𝐼ଵ,𝐼ଶ,𝐼ଷ :
൝𝐼ଵ+𝐼ଷ= 𝐼ଶ
15−2𝐼 ଵ−4𝐼ଶ−5𝐼ଵ= 0
20−4𝐼 ଶ−2𝐼ଷ= 0
sistem echivalent cu :
൝𝐼ଵ−𝐼ଶ+𝐼ଷ= 0
7𝐼ଵ−4𝐼ଶ= 15
4𝐼ଶ−2𝐼ଷ= 20
ceea ce se poate scrie sub formă matriceală :
൭1 −1 1
7 4 0
0 4 2อ0
15
20൱ ⇔ ൭1 0 0
0 1 0
0 0 1อ0,2
3,4
3,2൱
întrucât nu avem variabile libere, obținem soluțiile sistemului : 𝐼ଵ= 0,2𝐴,𝐼 ଶ= 3,4𝐴 si 𝐼ଷ= 3,2𝐴.

59
2. În Chimie
Analize chimice de amestecuri multicomponente
Dacă se pune problema analizei prin spectrofotometrie IR a unui amestec de mai mulți componenți,
cunoscându-se dinainte spectrul de absorbție individual al acestora, se poate realiza această
determinare utilizând legea Lambert-Beer. În conformitate cu legea amintită, în cazul în care
componentele nu interacționează unele cu altele, se poate admite aditivitatea absorbanțelor adică:
absorbanța unei substanțe aflate în amestec cu alta este aceeași cu cea pe care ar avea-o substanța
dacă ar fi singură în celulă. Datorită numărului mare de linii, metoda este aplicabilă și în domeniul
IR, în special pentru amestecuri de gaze.
Aplicația 1 : Să considerăm un amestec de trei compuși, fiecare având o concentrație finită
simbolizată 𝐶஺,𝐶஻,𝐶஼. Pentru determinarea prin analiză a substanțelor 𝐴,𝐵 și 𝐶 se alege o câte o
bandă caracteristică, diferită, pentru fiecare, cu maximele 𝜆ଵ,𝜆ଶ și 𝜆ଷ. Chiar dacă maximele sunt
diferite la fiecare din cele trei lungimi de undă, se constată că toate cele trei substanțe absorb lumina
dar într-o măsura foarte diferită. Să notăm cu 𝐴ଵ,𝐴ଶ și 𝐴ଷ absorbanțele măsurate pentru cele trei
lungimi de undă 𝜆ଵ,𝜆ଶ si 𝜆ଷ. Evident, în virtutea celor amintite anterior, fiecare din cele trei
absorbanțe măsurate reprezintă contribuția tuturor celor trei substanțe. Pentru fiecare din cele trei
substanțe ( 𝐴,𝐵 și 𝐶), la fiecare din cele trei lungimi de undă ( 𝜆ଵ,𝜆ଶ și 𝜆ଷ) cunoscându-se
coeficienții molari de extincție 𝜀(Substanță, Lungime de undă) se pot scrie, în cazul unei celule cu
lungimea b constantă, pe baza existenței aditivității absorbanțelor următoarele ecuații :
𝜀(A,𝜆௜)∙𝐶஺+ 𝜀(B,𝜆௜)∙𝐶஻+𝜀(C,𝜆௜)∙𝐶஼=𝐴௜/b, unde i=1, 2, 3.
Se obține un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute 𝐶஺,𝐶஻,𝐶஼ (adică chiar concentrațiile).
Soluția se află analitic :

൭𝐶஺
𝐶஻
𝐶஼൱=ቌ𝜀(A,𝜆ଵ)𝜀(B,𝜆ଵ)𝜀(C,𝜆ଵ)
𝜀(A,𝜆ଶ)𝜀(B,𝜆ଶ)𝜀(C,𝜆ଶ)
𝜀(A,𝜆ଷ)𝜀(B,𝜆ଷ)𝜀(C,𝜆ଷ)ቍିଵ
∙൭𝐴ଵ
𝐴ଶ
𝐴ଷ൱
Practic pot interveni mai mult de trei lungimi de undă. Sistemul, deși are în acest caz mai multe
ecuații decât necunoscute, se poate rezolva și conduce la rezultate mai precise. În cazul anterior,

60
notând matricea coeficienților [ 𝜀], matricea absorbanțelor [A] și matricea concentrațiilor
(necunoscutelor) [C], se poate scrie soluția sistemului precedent mai simplu astfel :
[C]= [𝜀]ିଵ∙[A]
Aplicația 2: Reacții chimice – Arderea propanului
Să se echilibreze următoarea reacție chimică 𝐶ଷ𝐻଼+𝑂ଶ→𝐶𝑂ଶ+𝐻ଶ𝑂.
Soluție: Ecuația chimică nu ne oferă suficiente informații despre această reacție. Pentru că nu se
poate ca o molecula de 𝐶ଷ𝐻଼ să reacționeze exact ca o moleculă de 𝑂ଶ și să rezulte o moleculă de
𝐶𝑂ଶ și una de 𝐻ଶ𝑂. În realitate, toate aceste substanțe vor participa la reacție în anumite proporții
exacte pe care noi le vom calcula în continuare, bazându-se pe această ecuație chimică.
Dacă luăm 𝑥ଵ molecule de propan care să reacționeze cu 𝑥ଶ molecule de oxigen, vor rezulta 𝑥ଷ
molecule de dioxid de carbon și 𝑥ସ molecule de apă. Noi vom determina valorile acestor
necunoscute cu ajutorul unui sistem de ecuații. De asemenea, trebuie să ținem cont de faptul că
aceste necunoscute considerate trebuie să fie numere întregi pozitive, deoarece nu putem lua decât o
astfel de cantitate dintr-o moleculă de substanță.
Legea conservării materiei ne spune că numărul atomilor fiecărui element din stânga ecuației
trebuie să fie egal cu numărul acestora din partea dreaptă a ecuației (numărul atomilor dintr-o
substanță rămâne același după o reacție chimică). Așa că vom obține următoarele ecuații pentru
fiecare substanță în parte :
3𝑥ଵ=𝑥ଷ pentru atomii de carbon ;
8𝑥ଵ= 2𝑥ସ pentru atomii de hidrogen ;
2𝑥ଶ= 2𝑥ଷ+𝑥ସ pentru atomii de oxigen.

Scrie sub forma unui sistem : ൝3𝑥ଵ−𝑥ଷ= 0
3𝑥ଵ−2𝑥ସ= 0
2𝑥ଶ−2𝑥ଷ−𝑥ସ= 0, un sistem omogen ce conține cel puțin o soluție
banală (𝑥ଵ=𝑥ଶ=𝑥ଷ=𝑥ସ= 0), dar care însa nu ne mulțumește. Vom alcătui matricea sistemului :

61
൭3 0 −1 0
8 0 0 −2
0 2 2 −1อ0
0
0൱⇔
⎝⎜⎜⎛1 0 0 −1
4
0 1 0 −5
4
0 0 1 −3
4ተተ0
0
0
⎠⎟⎟⎞

Considerând 𝑥ସ variabila liberă, vom obține în funcție de aceasta soluțiile:
𝑥ଵ=ଵ
ସ𝑥ସ; 𝑥ଶ= −ହ
ସ𝑥ସ; 𝑥ଷ= −ଷ
ସ𝑥ସ.
Dacă îi dăm valori lui 𝑥ସ vom obține seturi de valori pentru 𝑥ଵ,𝑥ଶ,𝑥ଷ, cu condiția să fie numere
întregi pozitive, deci în același timp și 𝑥ସ trebuie să fie multiplu de 4.
Cea mai mică valoare a soluțiilor va fi 𝑥ସ= 4; 𝑥ଵ= 1,𝑥ଶ= 5; 𝑥ଷ= 3 și astfel putem scrie ecuația
inițială sub formă completă :
𝐶ଷ𝐻଼+5𝑂ଶ→ 3𝐶𝑂ଶ+4𝐻ଶ𝑂.
3. În Științele Economice
În prezent și în viitor este clar pentru oricine că o simplă observație a unui fenomen economic, fără
un studiu matematic și statistic aprofundat, nu mai este satisfăcătoare și nu poate fi acceptată fără
urmări. Folosirea metodelor matematice în practica economică constituie o preocupare cu efecte
benefice în rezolvarea problemelor economice actuale.
Persoana interesată de studiul fenomenelor economice trebuie să aibă o pregătire interdisciplinară.
Studierea globală a aspectelor calitative și cantitative ale unui fenomen economic necesită un
anumit volum de noțiuni, concepte și metode matematice care considerate ca un ansamblu dau un
așa numit model matematic atașat fenomenului studiat.
Un alt motiv care pledează pentru utilizarea matematicii în studiul proceselor economice este
dorința omului de a atinge un anumit optim.

Aplicația 1: Optimizarea producției unei întreprinderi
Să considerăm o întreprindere care își desfășoară activitatea de producție în următoarele condiții :
i) În intreprindere se desfășoară activități A୧,i = 1,nതതതതത ;
ii) Există m factori disponibili F୨,j = 1,mതതതതത ;
iii) Se cunosc coeficienții tehnici de utilizare a celor m factori în cele n activități.
Soluție : Vom încerca să obținem descrierea matematică a activității de producție.

62
Pentru realizarea modelării acestui program de producție vom nota cu 𝑥௜ nivelul activității 𝐴௝, cu 𝑏௜
volumul (cantitatea) disponibil in factorul 𝐹௝ și cu 𝑎௜௝ factorul de proporționalitate al consumului 𝐹௝
pentru cantitatea 𝐴௝.
Acum putem scrie restricțiile:
൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡≤𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡≤𝑏ଶ
…
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡≤𝑏௠
Restricțiile de mai sus reprezintă condițiile în care întreprinderea poate să îți desfășoare activitatea.
Ele se pot scrie și sub formă matriceală :
𝐴=൫𝑎௜௝൯ – matricea coeficienților tehnici,
𝑥= (𝑥ଵ௧,𝑥ଶ,…,𝑥௡) – vectorul coloană al nivelului producției,
𝐶ଵ,𝐶ଶ,…,𝐶௡ – vectorii coloană din matricea ,
𝐴,𝐶଴ – vectorul coloană al volumelor disponibile.
Acum, condițiile de mai sus se pot scrie sub forma :
𝐶ଵ𝑥ଵ+𝐶ଶ𝑥ଶ+⋯+𝐶௡𝑥௡≤𝐶଴ ,
sau
𝐴𝑥≤𝐶଴
Până aici am urmărit descrierea tehnologică a producției, dar orice proces de producție urmărește și
o motivație economică, de exemplu să se realizeze o eficiență maximă. Practic, finalul acestui
proces este optimizarea unei anumite funcții, care de fapt realizeaza optimizarea funcționării unui
proces economic.
Aplicația 2: Problema dietei (nutriției)
Una dintre problemele celebre de gospodărire este problema alimentării cât mai ieftine și realizarea
unor cerințe de alimentație conform cu un scop propus.
O alimentație se consideră bună dacă se oferă anumite substanțe în cantități minimale precizate.
Evident că aceste substanțe se găsesc în diferite alimente cu prețuri cunoscute. Se cere să se
stabilească o dietă (rație) care să fie corespunzatoare și totodata cât mai ieftină. Substanțele care
intră într-o dietă se numesc substanțe nutritive sau principii nutritive.
Soluție: Vom obține în continuare modelul matematico-economic pentru problema dietei.

63
Fie 𝑆ଵ,𝑆ଶ,…,𝑆௠ substanțele nutritive care trebuie să intre în compunerea dietei în cantități
minimale 𝑏ଵ,𝑏ଶ,…,𝑏௠ si 𝐴ଵ,𝐴ଶ,…,𝐴௡ alimentele de care dispunem cu prețul corespunzător pe
unitate 𝑐ଵ,𝑐ଶ,…,𝑐௡.
Notăm cu 𝑎௜௝ numărul de unități din substanța 𝑆௜,𝑖= 1,𝑚തതതതതത care se gasesc într-o unitate din alimentul
𝐴௝, cu 𝑗= 1,𝑛തതതതത . Se cere să se afle 𝑥ଵ,𝑥ଶ,…,𝑥௡ numărul de unități din alimentele 𝐴ଵ,𝐴ଶ,…,𝐴௡ astfel
incât să se obțină o rație acceptabilă la un preț cât mai mic.
Datele problemei se prezintă de obicei într-un tabel de forma :

Alimente
Substanța 𝑨𝟏 𝑨𝟐 … 𝑨𝒋 … 𝑨𝒏 Minim necesar din S
𝑺𝟏 𝑎ଵଵ 𝑎ଵଶ … 𝑎ଵ௝ … 𝑎ଵ௡ 𝑏ଵ
… … … … … … … …
𝑺𝒊 𝑎௜ଵ 𝑎௜ଶ … 𝑎௜௝ … 𝑎௜௡ 𝑏௜
… … … … … … … …
𝑺𝒎 𝑎௠ଵ 𝑎௠ଶ … 𝑎௠௝ … 𝑎௠௡ 𝑏௠
Preț alimente 𝑐ଵ 𝑐ଶ … 𝑐௝ … 𝑐௡
Unități de
consum 𝑥ଵ 𝑥ଶ … 𝑥௝ … 𝑥௡
Cantitatea din substanța 𝑆௜ care se realizează este 𝑎௜ଵ𝑥ଵ+𝑎௜ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௜௡𝑥௡ care din cerința
problemei trebuie să fie ≥𝑏௜,𝑖= 1,𝑚തതതതതത. Ajungem astfel la restricțiile :
൞𝑎ଵଵ𝑥ଵ+𝑎ଵଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଵ௡𝑥௡≤𝑏ଵ
𝑎ଶଵ𝑥ଵ+𝑎ଶଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎ଶ௡𝑥௡≤𝑏ଶ
…
𝑎௠ଵ𝑥ଵ+𝑎௠ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑎௠௡𝑥௡≤𝑏௠
Natura datelor cu care lucrăm impun condiții de nenegativitate așa că :
𝑥ଵ≥ 0,𝑥ଶ≥ 0,…,𝑥௠≥ 0
Funcția obiectiv care exprimă costul unei rații este dată de :
𝑓=𝑐ଵ𝑥ଵ+𝑐ଶ𝑥ଶ+⋯+𝑐௡𝑥௡.
Problema dietei cere să determinăm 𝑥ଵ,𝑥ଶ,…,𝑥௡ astfel încât 𝑓 să fie minimă. O astfel de dietă se
numește optimă. Orice dietă care satisface aceste restricții se numește admisibilă.

64
Modelul dietei poate fi folosit și în alte situații, ca de exemplu în problema furajării raționale (în
zootehnie), chestiunea amestecului optim (în amestecuri de benzină sau uleiuri auto, în realizarea
unor sortimente de băuturi sau înghețată ș.a.).

Aplicația 3 : O fabrică de mobilă produce trei tipuri de mese, A, B si C. Fiecare masă trece prin trei
etape : prelucrare, asamblare și finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru sculptură este de 200
ore, pentru prelucrare este 195 ore și pentru finisare este 165 ore. Pentru fiecare masă A sunt
necesare 6 ore de prelucrare, 5 ore la asamblare și 4 ore la finisare, pentru masa B 3 ore de
prelucrare, 4 ore la asamblare și 3 ore la finisare, iar pentru masa C 1 ora pentru prelucrare, 1 ora la
asamblare și 2 ore la finisare. Determinați numărul de mese de fiecare tip care pot fi produse
utilizând la maxim capacitatea fabricii.
Soluție: Notăm cu x – numărul de mese tip A, y – numărul de mese tip B și cu z – numărul de mese
tip C.
Cele 200 de ore destinate sculptării sunt descrise de ecuația 6𝑥+3𝑦+𝑧= 200.
Cele 175 de ore destinate asamblării sunt descrise de ecuația 5𝑥+4𝑦+𝑧= 195.
Cele 135 de ore destinate finisării sunt descrise de ecuația 4𝑥+3𝑦+2𝑧= 165.
Deci sistemul ce trebuie rezolvat este :
൝6𝑥+3𝑦+𝑧= 200
5𝑥+4𝑦+𝑧= 195
4𝑥+3𝑦+2𝑧= 165
𝐴̅=൭6 3 1 200
5 4 1 195
4 3 2 165൱,𝑑𝑒𝑡𝐴=อ6 3 1
5 4 1
4 3 2อ= 48+12+15−16−30−24 = 5 = ∆
∆𝑥=อ200 3 1
195 4 1
165 3 2อ= 1600+495+585−660−600−1170 = 250 si
𝑥=∆௫
௫=ଶହ଴
ହ= 50 (scaune tip A)
∆𝑦=อ6 200 1
6 195 1
4 165 2อ= 2340+800+825−780−1170−2000 = 15 si
𝑦=∆௬
௬=ଵହ
ହ= 3 (scaune tip B)

65
∆𝑧 =อ6 3 200
5 4 195
4 3 165อ= 3960+2340+3000−3200−3510−2475 = 115 si
𝑧 =∆௭
௭=ଵଵହ
ହ= 23 (scaune tip C)
4. În studierea traficului rutier
Urmărind intensitatea traficului rutier într-o intersecție, pe o anumită perioadă de timp, se pot
impune condiții asupra variabilelor implicate, oferind condiții asupra unei semaforizări
corespunzătoare a acesteia. La nivelul unui oraș rețeaua străzilor studiată cu ajutorul sistemelor de
ecuații liniare oferă o imagine completă asupra intensității traficului în anumite zone.
Aplicația 1 : Să se calculeze intensitatea traficului rutier în zona din imagine, știind că în punctul A
traficul măsoară 85 mașini/oră, în punctul B intră 120 mașini/oră, în punctul C circulă 70
mașini/oră, iar în punctul D, 45 mașini/oră.

Soluție: Legea I a lui Kirchoff se poate aplica și în genul acesta de probleme. O putem adapta atât
pentru fiecare intersecție (« Numărul total al mașinilor ce intră în intersecție este egal cu numărul
total al mașinilor care ies din ea »), cât și pentru tabloul general (« Numărul total al mașinilor ce
intră într-o zonă de trafic este egal cu numărul total al mașinilor care ies din ea »).

66

Considerând cele patru intersecții 𝐴,𝐵,𝐶,𝐷 respectiv întreaga zonă din imagine, precum și ținând
cont de notațiile din a doua figură, putem scrie ecuațiile ce reies din aplicarea acestei legi astfel :
Pentru intersecția A vom scrie ecuația : 85 = 𝑥 ଵ+𝑥ଶ
Pentru intersecția B vom scrie ecuația : 𝑥ଵ+𝑥ଷ+45 = 120
Pentru intersecția C vom scrie ecuația : 𝑥ସ+𝑥ଶ= 70+𝑥 ଷ
Pentru intersecția D vom scrie ecuația : 70 = 45+𝑥 ହ
Pentru întreaga zonă vom scrie ecuația : 85+𝑥 ସ= 120+𝑥 ହ

Obținem astfel sistemul :
⎩⎪⎨⎪⎧85 = 𝑥 ଵ+𝑥ଶ
𝑥ଵ+𝑥ଷ+45 = 120
𝑥ସ+𝑥ଶ= 70+𝑥 ଷ
70 = 45+𝑥 ହ
85+𝑥 ସ= 120+𝑥 ହ⇔
⎩⎪⎨⎪⎧𝑥ଵ+𝑥ଶ= 85
𝑥ଵ+𝑥ଷ= 75
𝑥ଶ−𝑥ଷ+𝑥ସ= 70
𝑥ହ= 20
𝑥ସ−𝑥ହ= 35
Apoi scriem matricea
⎝⎜⎛0 0 0 1 −1
1 1 0 0 0
1 0 1 0 0
0 1 −1 1 0
0 0 0 0 1ተተ35
85
75
70
25⎠⎟⎞⇔
⎝⎜⎛1 0 1 0 0
0 1 −1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0ተተ75
10
60
25
0⎠⎟⎞
Și astfel obținem soluțiile :
⎩⎪⎨⎪⎧𝑥ଵ= 75−𝑥 ଷ
𝑥ଶ= 10+𝑥 ଷ
𝑥ଷ= 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟ă
𝑥ସ= 60
𝑥ହ= 25

67
Observăm că datele nu sunt suficiente pentru determinarea tuturor soluțiilor. Pentru determinarea
lui 𝑥ଷ avem nevoie de studierea traficului pe un segment suplimentar de stradă și doar după
determinarea acestuia se pot afla exact și 𝑥ଵ, 𝑥ଶ.
Aplicația 2: În figura de mai jos este identificat traficul dintr-o zonă a unui oraș.Săgețile indică
direcția de deplasare a mașinilor. Numerele indicate pe figură reprezintă numărul de mașini care
intră sau ies din intersecție. La fiecare din cele patru intersecții se află semafoare care dirijează
circulația. Pentru a evita blocajele, toate mașinile care intră într-o intersecție trebuie să o părăsească.
a) Să se determine 𝑥ଵ, 𝑥ଶ, 𝑥ଷ, 𝑥ସ
b) Pentru 𝑥ସ =300, determinați 𝑥ଵ, 𝑥ଶ, 𝑥ଷ.

Soluție:
a) Deoarece toate mașinile care intră într-o intersecție trebuie să o și părăsească, pentru fiecare
intersecție obținem următoarele ecuații:
b-dul A ∩ b-dul C: 300+1200= 𝑥ଵ + 𝑥ସ
b-dul A ∩ b-dul D: 𝑥ଵ + 𝑥ଶ =500+800
b-dul B ∩ b-dul C: 𝑥ଷ + 𝑥ସ =1300+700
b-dul B ∩ b-dul D: 1400+400= 𝑥ଶ + 𝑥ଷ

68
Sistemul pe care îl avem de rezolvat este: ൞𝑥ଵ + 𝑥ସ= 1500
𝑥ଵ + 𝑥ଶ= 1300
𝑥ଷ + 𝑥ସ= 2000
𝑥ଶ + 𝑥ଷ= 1800 , un sistem de patru ecuații liniare și
patru necunoscute. Matricea sistemului și matricea extinsă a sistemului sunt:
A = ൮1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0൲ si 𝐴̅ = ൮1 0 0 1 1500
1 1 0 0 1300
0 0 1 1 2000
0 1 1 0 1800൲
Cum Δ = ተ1 0 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
0 1 1 0ተ = ተ1 0 0 0
1 1 0 −1
0 0 1 1
0 1 1 0ተ =0, rang(𝐴)=3.
Fie determinantul principal Δ௣= อ1 0 0
1 1 0
0 0 1อ=1, deoarece determinantul caracteristic
Δ௖= ተ1 0 0 1500
1 1 0 1300
0 0 1 2000
0 1 1 1800ተ = ተ1 0 0 1500
1 1 0 −200
0 0 1 2000
0 1 1 1800ተ =0, însemna că sistemul este compatibil simplu
nedeterminat cu necunoscuta secundară 𝑥ସ. (Teorema lui Rouche)
Luând sistemul format din ecuații principale avem ൝𝑥ଵ= 1500− 𝛼
𝑥ଵ + 𝑥ଶ= 1300
𝑥ଷ= 2000− 𝛼, unde 𝑥ସ=𝛼, 𝛼 ∈ ℝ
Soluția sistemului este: S= {(1500−𝛼,𝛼−200,2000− 𝛼),𝛼 ∈ ℝ}.
c) Pentru 𝑥ସ=300, obținem soluția sistemului S= {(1200,100,1700,300 )}.

3.5. Exerciții propuse

3.5.1. Exerciții din manualele școlare și culegeri de probleme
Exercițiul nr.1:
Să se stabilească dacă următoarele sisteme sunt compatibile iar în caz afirmativ, să se rezolve:
i. ൜𝑥+𝑦+𝑧= 2
𝑥+2𝑦+3𝑧= 3

69
ii. ൜3𝑥−𝑦+2𝑧= 3
6𝑥−2𝑦−𝑧= 11
iii. ൜2𝑥−𝑦+𝑧= 3
4𝑥−2𝑦+2𝑧= 6
Exercițiul nr.2:
i. Să se discute după valorile parametrului real α, sistemul ൝𝑎𝑥+𝑦+𝑧= 1
𝑥+𝑎𝑦+𝑧= 2−𝛼
𝑎𝑥+𝑦+𝑎𝑧= 3𝛼+1
ii. Să se rezolve și să se discute după valorile parametrului real ℷ, următorul sistem de ecuații
liniare: ቐx+2y+ (ℷ−3)z = 5
−x+(ℷ−5)y+2z = −1
2x+y+z = ℷ
Exercițiul nr.3:
Să se rezolve prin metoda lui Gauss următoarele sisteme de ecuații liniare:
i. ൞𝑥+𝑦+𝑧= 2
2𝑥−𝑦−2𝑧= −2
𝑥+4𝑦+5𝑧= 8
2𝑥+5𝑦+6𝑧= 10
ii. ൞2𝑥−3𝑦+𝑧= −1
𝑥+2𝑦−3𝑧= 0
𝑥−12𝑦+11𝑧= −1
4𝑥−15𝑦+9𝑧= 0
Exercițiul nr.4:
a) Găsiți matricea X ∈𝐌ଶ(R)astfel încât X ቀ1 2
0 1ቁ+ቀ−2 1
3 −3ቁ=ቀ1 2
3 1ቁ
b) Să se determine m ∈ R astfel încât sistemul următor să fie compatibil și apoi
rezolvați-l: ൝x+y = 1
x−2y = −1
3x+y = m
Exercițiul nr.5:
Folosind metoda Gauss, să se discute și să se rezolve sistemele:

70
a) ൝𝑎𝑥ଵ+𝑥ଶ= 3
𝑥ଵ+3𝑥ଶ=𝑎
3𝑥ଵ+𝑎𝑥ଶ= 1; b)
⎩⎪⎨⎪⎧𝑥ଵ−𝑥ଶ= 2
2𝑥ଵ+𝑥ଷ= 5
𝑥ଵ−𝑥ଶ+𝑥ଷ=𝑎
𝑎𝑥ଵ+𝑥ଶ−𝑥ଷ= 2𝑎
𝑥ଵ−𝑏𝑥ଶ+𝑥ଷ= 1−𝑏, în care a și b sunt parametri
reali.
Exercițiul nr.6:
Să se rezolve sistemul ቐ𝑚(𝑥ଶ−𝑦𝑧)+𝑦ଶ−𝑧𝑥= 0
−2(𝑥ଶ−𝑦𝑧)+𝑚(𝑦ଶ−𝑧𝑥)+𝑧ଶ−𝑥𝑦= 0
−(𝑥ଶ−𝑦𝑧)+3(𝑧ଶ−𝑥𝑦)= 0, m ∈ R.
Exercițiul nr.7:
Rezolvați în ℤଵ଴ sistemul ቐ4෠𝑥+5෠𝑦+9෠𝑧= 7෠
𝑥+5෠𝑦+9෠𝑧= 2෠
3෠𝑥+4෠𝑦+2෠𝑧= 1෠
Exercițiul nr.8:
Discutați natura sistemului ൞𝑚𝑥+𝑚𝑦+𝑧+𝑡= 0
𝑥+𝑚𝑦+𝑚𝑧+𝑡= 0
𝑥+𝑦+𝑚𝑧+𝑚𝑡= 0
𝑚𝑥+𝑦+𝑧+𝑚𝑡= 0 în funcție de m ∈ ℝ și determinați mulțimea
soluțiilor sistemului.

Exercițiul nr.9:
Fie sistemul ൝3𝑥+2𝑦−𝑧= 0
𝑎𝑥+7𝑦+2𝑧= 0
(2𝑎−3)𝑥+12𝑦+5𝑧= 0, a ∈ ℝ.

a) Arătați că sistemul are soluții nenule pentru orice a ∈ ℝ.
b) Determinați valorile lui a pentru care soluțiile sistemului sunt numere în progresie
geometrică.

71
3.5.2. Exerciții date la examenul de Bacalaureat și admitere facultăți
Exercițiul nr.1:
Se consideră matricea 𝑀(𝑚) = ൭2𝑚1 1
1 2𝑚1
1 1 2 𝑚൱ și sistemul de ecuații ൝2𝑚𝑥+𝑦+𝑧= −1
𝑥+2𝑚𝑦+𝑧= 0
𝑥+𝑦+2𝑚𝑧= 1unde
m este număr real.
a) Arătați că det(M(0))=2.
b) Determinați numerele reale m , știind că det(M(m))=0.
c) Pentru 𝑚= −1, demonstrați că, dacă (a,b,c) este o soluție a sistemului, cel mult unul dintre
numerele a, b și c este întreg.

Examenul de bacalaureat 2018, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 2
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Exercițiul nr.2:
Se consideră sistemul: ൝2x+y+3z = 0
x+2y+3z = 0
x+y+mz = 0, m ∈ ℝ.
a) Calculați determinantul matricei sistemului.
b) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unica.
c) În cazul m = 2, determinați soluția (x଴, y଴, z଴) a sistemului pentru care x଴>0 și
x଴ଶ +y଴ଶ+ z଴ଶ= 3.
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 5
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Exercițiul nr.3:
Se consideră matricea A(𝑚)= ൭𝑚1 −1
1𝑚−1
−1 1 𝑚൱ și sistemul ൝𝑚𝑥+𝑦−𝑧= 1
𝑥+𝑚𝑦−𝑧= 1
−𝑥+𝑦+𝑚𝑧= 1, unde m este un
număr real.
a) Calculați det൫𝐴(2)൯.

72
b) Arătați că det ൫𝐴(𝑚)൯ = 𝑚ଷ – m.
c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care det ൫𝐴(𝑚)൯ = 0.
d) Verificați dacă, pentru m = 3, tripletul ቀଵ
ଷ,ଵ
ଷ,ଵ
ଷቁ este soluție a sistemului (𝑆).
e) Pentru m = 2, rezolvați sistemul (𝑆).
f) Pentru m = 0, aratați că sistemul (𝑆) nu are soluții.
Examenul de bacalaureat 2012, Proba E.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 5
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Exercitiul nr.4:
Fie sistemul ൝x−2y−8z = −65
3x+y−3z = 22
x+y+z = 28, unde x, y, z ∈ ℝ și matricea asociată sistemului
A = ൭1 −2 −8
3 1 −3
1 1 1൱.
a) Aratați că rangul matricei A este egal cu 2.
b) Rezolvați sistemul în ℝ × ℝ × ℝ.
c) Determinați numărul soluțiilor sistemului din mulțimea ℕ × ℕ × ℕ
Examenul de bacalaureat – 2010, ProbaE.c)
Proba scrisă la MATEMATICA, Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Exercițiul nr.5:
Pentru m ∈ ℝ se consideră matricea A = ൭1 −1 −1
1 3 −1
m 0 2൱ și sistemul de ecuații ൝𝑥−𝑦−𝑧= −2
𝑥+3𝑦−𝑧= −2
𝑚𝑥+2𝑧= 4,
unde x, y, z ∈ ℝ.
a) Calculați determinantul matricei A.
b) Determinați m ∈ ℝ pentru care matricea A este inversabilă.
c) Rezolvați sistemul pentru m = −1.
Examenul de bacalaureat – 2010
Proba scrisă la MATEMATICA- Proba E.c), Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii

73
Filiera tehnologică, profilul servicii, toate calificările profesionale
Exercițiul nr.6:
Fie sistemul ൝𝑚𝑥+𝑦+𝑧= 0
𝑥+3𝑦+2𝑧= 0
−𝑥−𝑦+4𝑧= 0 m ∈ ℝ.
a) Să se determine m ∈ ℝ pentru care matricea sistemului are determinantul
nenul.
b) Să se determine m ∈ ℝ astfel încât sistemul să admita cel puțin două soluții.
c) Să se determine m ∈ ℝ pentru care dreptele 𝑑ଵ:𝑚𝑥+𝑦+1 = 0,
𝑑ଶ:𝑥+3𝑦+2 = 0, 𝑑ଷ: −𝑥−𝑦+4 = 0 sunt concurente.
(Bacalaureat 2009)
Exercițiul nr.7:
Fie sistemul ቐ−𝑥+𝑎𝑦+(2𝑎+4)𝑧= 1
(𝑎+2)𝑥+𝑎𝑦+(𝑎+1)𝑧= 1
(𝑎+1)𝑥+(2𝑎+1)𝑦+3𝑧= 2 , a ∈ ℝ.
a) Arătați că determinantul matricei sistemului este 3𝑎ଶ+9𝑎ଶ−3𝑎−9.
b) Determinați valorile lui a pentru care sistemul este compatibil determinat.
c) Pentru a = −2 rezolvați sistemul.
Exercițiul nr.8:
Se dă matricea M = ൭1 1 1
𝑚2 3
𝑚ଶ2ଶ3ଶ൱, unde m este un parametru real.
a) Rezolvați ecuația det (𝑀) = 0.
b) Se consideră sistemul de ecuații liniare ቐ𝑥+𝑦+𝑧= 0
𝑚𝑥+2𝑦+3𝑧= 0
𝑚ଶ𝑥+2ଶ𝑦+3ଶ𝑧= 0.
(i) Determinați m pentru care sistemul are numai soluția banală.
(ii) Rezolvați sistemul pentru m = 2, m = 3.
(Bacalaureat 1992)

74
Exercițiul nr.9:
Se dă sistemul ൝𝑥+2𝑦+𝑧= 1
2𝑥+𝑚𝑦+𝑧= 2
𝑥−3𝑦+2𝑧= 3 , unde m este un parametru real.
a) Determinați m pentru ca sistemul să aibă soluție unică.
b) Pentru m = 10 rezolvați sistemul.
(Bacalaureat 1990)
Exercițiul nr.10:
Pentru ce m ∈ ℝ sistemul ൝4𝑥+𝑚𝑦= 0
𝑦−𝑧= 0
2𝑥+𝑦+𝑧= 0 are soluție diferită de cea banală?
(Bacalaureat 1987)
Exercițiul nr.11:
Soluția sistemului ൝𝑥+𝑦+2𝑧= 2
𝑥−𝑦+3𝑧= 5
2𝑥+𝑦+𝑧= 2 este:
a) (1,1,−1); b) (−1,1,1); c) (1,−1,1); d) (0,0,1); e) nu există.
Admitere, Universitatea “Transilvania” din Brașov, 2005
Exercițiul nr.12:
Dacă sistemul ൝𝑥+2𝑦+𝑧= 1
𝑥−𝑦+2𝑧= 1
𝑚𝑥−𝑦+7𝑧=𝑛. admite o soluție de forma (1,𝑦,𝑧), atunci:
a) 2m = n; b) m = 4n; c) 4m = n; d) m = n; e) m = n + 3.
Admitere, Universitatea Tehnică Cluj-Napoca, 2005

75
CAPITOLUL II – PARTEA METODICĂ

1. CARACTERISTICI ALE PROCESULUI DE PREDARE-ÎNVĂȚARE ÎN
DIDACTICA MODERNĂ

1.1. Strategia didactică: caracterizare, tipologie
Strategia didactică este unul din „instrumentele definitorii” ale activității didactice. De
aceea cunoașterea modului de elaborare, desfășurare și evaluare a strategiei didactice este o
condiție necesară pentru eficiența oricărei activități didactice. I. Cerghit definește strategia de
instruire ” ca un mod de abordare a predării și învățării, de combinare și organizare optimă a
metodelor și mijloacelor avute la dispoziție, precum și a formelor de grupare a elevilor, în
vederea atingerii obiectivelor urmărite ”.
Conceptul de strategie didactică se bucură de mai multe accepțiuni care subliniază
complexitate acestuia și importanța înțelegerii lui pentru practica didactică.
Analizând definițiile propuse conceptului de strategie didactică I.Cerghit identifică
următoarele accepțiuni:
 Strategia – un mod de gândire și acțiune;
 Strategia – structură procedurală;
 Strategia – tactică (reacție la reacțiile elevilor, cu niște soluționări practice,
metodice, prompte și punctuale ivite pe parcurs);
 Strategia – înlănțuire de decizii;
 Strategia – rezultat al contopirii strategiei de predare și strategiei de învățare.
Problema strategiei didactice este o problemă de competență didactică, ce presupune
cunoștințe de specialitate dar și psiho-pedagogice care fundamentează alegerea unei strategii
potrivite în funcție de anumiți factori: disciplina predată, caracteristicile clasei de elevi, forma
de organizare, materialele didactice avute la dispoziție etc.
Pentru a putea elabora o strategie cât mai adecvată specificului elevilor și a disciplinei pe
care o predă, profesorul trebuie să cunoască elementele constitutive ale strategiei didactice.
Acestea sunt (după Panțuru):
 obiectivele/finalitățile strategiei de instruire;
 subiectul și obiectul strategiei de instruire (cadrul didactic și elevul, fiecare cu rolurile
și responsabilitățile sale; dacă profesorul este managerul strategiei de instruire, cel

76
care o proiectează, realizează și evaluează, elevii sunt principalii beneficiari ai acesteia.
Colaborarea dinte profesor și elevi se concretizează în rezultatele obținute/competențele
formate);
 tipurile de activități și conținuturile strategiei de instruire (aceste componente sunt
decisive pentru formarea competențelor);
 timpul alocat strategiei de instruire (timpul este una dintre resursele care condiționează
calitatea instruirii);
 metodele de instruire (sunt cele care reprezintă instrumentele de lucru ale profesorului cu
elevii și care trebuie alese cu grijă pentru a obține ceea ce ne propunem);
 mijloace de instruire (utilizarea unor mijloace de instruire noi pot stimula interesul
pentru învățare);
 formele de organizare a instruirii (frontal, pe grupe sau individual);
 interacțiunile și relațiile instrucționale (aceste relații care apar între elevi sau între elevi
și profesor definesc atmosfera psihologică a clasei, decisivă pentru învățare. Să nu uităm
faptul că specialiștii în științele educației subliniază rolul stimulativ al emoțiilor în
învățare! Important este și stilul profesorului, care imprimă o anumită coloratură afectivă
climatului învățării);
 deciziile instrucționale.
Fiecare dintre aceste componente are un rol hotărâtor în determinarea strategiei, cu atât
mai mult cu cât între aceste componente se stabilesc strânse legături. Astfel, obiectivele
strategiei de instruire care se deduc din competențele prezentate în programă, vor preciza
tipurile de activități și competențele pe care dorim să le formăm. Aceste conținuturi și
activități însă nu se aleg prin ele însele, „rupte” de celelalte componente. În funcție de timpul
avut la dispoziție (una sau două ore), de mijloace și materialele didactice avute la dispoziție, nu
în ultimul rând în funcție de potențialul și nevoile de formare ale elevilor și experiența
profesorului, putem adapta conținutul și tipurile de activități pentru a obține eficiența maximă
posibilă.
L. Vlăsceanu propune șase parametri de construcție a strategiei:
1. organizarea elevilor;
2. organizarea conținutului;
3. modul de prezentare-asimilare a cunoștințelor;
4. frecvența, continuitatea intervențiilor profesorului;
5. modul de programare a exercițiilor aplicative;
6. natura probelor de evaluare.

77
Pentru a evidenția mai bine aspectele specifice vom analiza tipurile de strategii descrise în
literatura pedagogică. Astfel, unul din criteriile folosite în clasificarea strategiilor este
reprezentat de logica gândirii, rezultând următoarele tipuri de strategii:
 strategii inductive
 strategii deductive
 strategii analogice
 strategii transductive
 strategii mixte.
La elevii din clasele mai mari pot fi utilizate strategiile deductive, ce reprezintă un demers
descendent al gândirii de la principii, teorii, la fapte/cazuri concrete.
Un alt criteriu folosit în clasificarea strategiilor didactice ține de gradul de
dirijare/nondirijare al învățării:
 strategii algoritmice (imitative, explicativ-reproductive, explicativ-intuitive, algoritmice,
programate);
 strategii nealgoritmice (explicativ-investigative, conversativ-euristice, descoperirea
independentă, problematizante, observarea investigativă, inductiv-experimentale,
creative);
 strategii mixte.
În acord cu un învățământ formativ, centrat pe competențe, se impune utilizarea
strategiilor nealgoritmice sau activ-participative. Această strategie este indicată deoarece are
efecte formative evidente nu numai în plan cognitiv (deoarece îi antrenează pe elevi într-un
efort de căutare, de selectare, analiză și comparație a informațiilor) dar și în plan social (dezvoltă
spiritul de colaborare, de comunicare eficientă cu colegii) și chiar personal (elevii lucrând
împreună cu colegii își pot conștientiza propriile resurse, posibilități și limite; pot fi resurse de
învățare pentru alți colegi sau pot învăța de la alții).
Frecvent folosite, sunt strategiile mixte, mult mai ușor de adaptat specificului temei de
studiat, al mijloacelor didactice avute la dispoziție și la specificul elevilor. Acestea combină,
într-un mod fericit, explicațiile profesorului cu activitatea independentă a elevilor, dirijarea
profesorului cu momente de creativitate ale elevilor. În acest caz,competența profesorului
de a organiza și fructifica efectele formative ale situației de învățare este decisivă.
Bineînțeles că nu există o „rețetă” a unei strategii eficiente în sine. Profesorul, prin
experiența și competența sa, este cel care stabilește modul cel mai adecvat de desfășurare al
activității, ținând cont de o serie de „factori critici”ce stau la baza elaborării strategiei de instruire
(după Panțuru):

78
 tipurile de obiective vizate;
 nivelul de școlaritate: primar, gimnazial, particularitățile grupului de elevi;
 tipurile de elevi din colectivele respective, sub aspectul: natura motivației școlare,
capacități intelectuale, stil cognitiv, factori de personalitate;
 natura disciplinei de învățământ/ structura sa logico-teoretică;
 timpul avut la dispoziție;
 echipamente și materiale necesare;
 particularitățile cadrului didactic.
Adoptarea unei anumite strategii didactice este o problemă de responsabilitate și
competență, cu atât mai mult cu cât, în contextul reformei învățământului, trebuie să avem în
vedere formarea unor competențe , a atitudinilor și valorilor față de școală, viață, muncă.

1.2. Metode didactice
Prin metodă didactică (în limba greacă odos – cale și metha – spre) se înțelege o acțiune
proiectată conform unui program care anticipează o suită de operații ce trebuie îndeplinite în
vederea atingerii unui rezultat bine determinat.
Pentru o predare/învățare activ-participativă, profesorul trebuie să-și aleagă o varietate de
metode. Desigur, profesorul trebuie să cunoască funcțiile și importanța metodelor; să știe că
metodele se clasifică după criteriul organizării muncii, în baza surselor de informații,
conform tipului de activitate de învățare, că eficiența lecției depinde și de legătura dintre
obiectivul propus și metoda aleasă. Este foarte important ca metoda aleasă să ducă la motivația
interioară și să promoveze relații democratice.

A. Metode didactice în care predomină acțiunea de comunicare:
a) orală expozitivă
Expunerea
Povestirea Explicația Prelegerea

79
b) oral interogativă

c) scrisă

B. Metode didactice în care predomină acțiunea de cercetare a realității :
a) în mod direct

b) în mod indirect

C. Metode didactice în care predomină acțiunea practică, operațională
a) Reală

b) Simulată

Conversația
Conversația
euristică Dezbaterea
(discuția) Problematizarea
Lectura explicativă Activitatea cu manualul
Observația Experimentul (demonstrativ,
imaginar sau de laborator)
Demonstrația Modelarea
Exercițiul Lucrările practice și
cele de laborator Studiul de caz Algoritmizarea
Jocul didactic Jocul de roluri
(dramatizarea)

80
D. Metode didactice în care predomină acțiunea de programare specială a
instruirii:

Conversația euristică (socratică) (după Bontaș) este o formă de conversație bazată
pe învățarea conștientă, folosind dialogul ca proces de descoperire, de creație, de naștere a
cunoștințelor.
Dezbaterea (discuția) valorifică procedeul întrebărilor orientate spre un schimb organizat
de informații semnificative pentru soluționarea unor probleme, dezvoltarea unor capacități de
stăpânire a materiei.
Brainstorming-ul (asaltul de idei) elaborează în cadrul unui anumit grup, în mod spontan
și în flux continuu, anumite idei, modele, soluții noi, originale, necesare rezolvării unor probleme
sau teme.
Etapele brainstorming-ului:
a) anunțarea temei;
b) elaborarea soluțiilor;
c) încheierea ședinței de asalt;
d) evaluarea datelor și stabilirea concluziilor.
Regulile brainstorming-ului:
1. Aprecierile critice sunt interzise.
2. Imaginația este absolut liberă. Fiecare poate spune prima idee venită în minte.
3. Se cere mai multă cantitate decât calitate .
4. Se încurajează ideile cele mai neobișnuite.
Sinectica este o modalitate de creație în cadrul grupului, ca urmare a unor combinații și
analogii eterogene, uneori chiar fără o legătură evidentă între datele problemei de
rezolvat. Sinectica se aseamănă în anumite privințe cu brainstorming-ul în ceea ce privește
desfășurarea ședinței de creație, interpretarea și stabilirea concluziilor, dar se permite
evaluarea critică în timpul elaborării ideilor, soluțiilor, fără a limita inițiativa în creație.
Problematizarea urmărește realizarea obiectivelor propuse prin lansarea și rezolvarea unor
situații – problemă. Elementele obligatorii ale situațiilor-problemă sunt: experiența trecută (datele
cunoscute) și noutatea (datele necunoscute). Tensiunea dintre aceste două elemente imprimă
gândirii elevului un sens explorator. Instruirea
programată Instruirea asistată pe
calculator

81
Etapele problematizării:
1. Momentul inițial (crearea tipului de problematizare).
2.A) Momentul tensional (evidențierea contradicției dintre cunoscut și necunoscut).
Se cunosc trei tipuri de contradicții care pot conduce la crearea situațiilor de problemă:
– contradicții dintre cunoștințele științifice și cele obținute din viața de toate zilele ;
– contradicții dintre cunoștințele noi și cele obținute anterior.
– contradicțiile realității obiective.
2.B) Elaborarea variantelor de soluționare a contradicțiilor.
3. Momentul rezolutiv (alegerea soluției optime).
Modelarea reprezintă modalitatea de studiu al unor obiecte, fenomene, procese,
etc. prin intermediul unor copii materiale și ideale ale acestora, denumite modele, capabile să
reproducă caracteristicile esențiale ale realității studiate sau să ofere informații despre
aceasta.
Algoritmizarea este modalitatea de a studia un fenomen, obiect sau proces prin
intermediul unor prescripții, denumite algoritmi.
Studiul de caz (metoda cazului) este modalitatea de a analiza o situație care există sau
poate să apară într-o acțiune, într-un fenomen sau sistem, denumită caz, în vederea studierii
lui, asigurând luarea unei decizii optime în domeniul respectiv.
Jocul didactic – este metoda prin care informațiile, cunoștințele, deprinderile se
însușesc prin simulare într-un joc. În acest caz, jocul este folosit ca pretext pentru a face
învățarea mai antrenantă, mai plăcută și este utilizat mai mult în sfera învățământului
preșcolar și primar, mai puțin în învățământul liceal. Jocul didactic interdisciplinar este o
activitate în care se îmbină sarcini didactice din domenii de cunoaștere diverse, într-o
structură unitară, axată pe învățare.
Instruirea programată organizează acțiunea didactică, aplicând principiile ciberneticii
la nivelul activității de predare-învățare-evaluare.
Instruirea asistată pe calculator valorifică principiile de modelare și de analiză
cibernetică ale activității de instruire, în contextul noilor tehnologii informaționale. în
ultima vreme, pe piață au apărut unele resurse didactice programate, care pot fi folosite la
diferite etape ale lecțiilor .

82
Selectarea metodelor didactice în funcție de obiective
(după I.Cerghit)

Eficiența lecției va depinde nu numai de modul de interacțiune complexă a
componentelor ei, ci și de felul cum este integrată ea în procesul de învățământ, ca sistem de
funcționalitate, pentru că în lecție se obiectivează elementele acestuia (obiective, resurse,
conținut, strategii și evaluarea rezultatelor).
În esență, fiecare lecție trebuie orientată spre atingerea unor anumite finalități (scop și
obiective concrete), realizată printr-un anumit conținut, pus în valoare de profesor și elevi,
folosind strategii optime (combinații de metode, tehnici, mijloace de învățământ).

Metode și tehnici interactive de grup
În condițiile în care azi societatea se confruntă cu o explozie de informații din orice
domeniu de activitate, sistemul educațional are un rol extrem de dificil: acela de a forma
personalități care să știe să aleagă corect informația și să extragă esențialul din general. Obiective
de conținut Tipuri de acțiuni/verbe
realizate de elev
Metode didactice adecvate
Învățarea
conceptelor  a defini,
 a distinge,
 a asimila,
 a recunoaște.  lectura,
 o bservația,
 expunerea,
 instruirea programată.
Învățarea
regulilor  a sintetiza,
 a deduce,
 a formula,
 a modifica,
 a demonstra,
 a defini,
 a clasifica.  convorbirea euristică,
dezbaterea,
 studiul de caz,
 exercițiul.
Formarea
de
deprinderi  a exersa,
 a executa,
 a efectua,
 a rezolva,
 a construi.  exercițiul,
 experimentul de
laborator, exerciții
aplicative,
 elaborarea de proiecte,
 lucrări practice.

83
Școala de astăzi trebuie să știe cum să motiveze pe elev să învețe și cum să
faciliteze procesul învățării, organizând și dezvoltând strategii de lucru interactive, punând
accentul pe utilitatea cunoștințelor și pe necesitatea însușirii lor pentru a se descurca în viață.
Rolul profesorului de astăzi este nu de a îndopa elevii cu diverse cunoștințe, ci de a le arăta ce
au de făcut cu acestea.
Astăzi școala promovează învățarea prin cooperare ca formă superioară de interacțiune
psihosocială, bazată pe sprijin reciproc, pe toleranță, pe efort susținut din partea tuturor,
îndreptat către același scop. Motivația este rezultatul acțiunii conjugate a tuturor membrilor ce
urmăresc un destin comun. Atenția este îndreptată asupra procesului de elaborare împreună, prin
colaborare, a demersurilor de realizare a sarcinii. Evaluarea urmărește acordarea ajutorului
imediat, având mai mult o funcție corectivă, ameliorativă, ducând la reducerea stresului. Ea se
realizează prin raportarea la progresul individului și are în vedere atât participarea fiecărui
membru la procesul elaborării în comun cât și rezultatele echipei.
Activitățile propuse elevilor în scopul sporirii gradului de implicare activă și
creativă în școală, trebuie să asigure: stimularea gândirii productive, a gândirii critice, a gândirii
divergente și laterale, libertatea de exprimare a cunoștințelor, a gândurilor, a faptelor. În
acest sens apar ca adecvate activitățile care cer spontaneitate și contribuie la dezvoltarea
independenței în gândire și acțiune. Utilizarea talentelor și a capacităților specifice fiecărui
individ în parte, incitarea interesului către nou și oferirea satisfacției găsirii soluției după
depunerea unui efort de căutare, dezvoltarea capacității de organizare prin întocmirea de
portofolii asupra activității proprii, sunt coordonate majore ale învățării prin cooperare.
Aceste metode interactive de grup se pot clasifica după funcția lor didactică în:
I. Metode de predare-învățare interactivă
 metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar);
 metoda Jigsaw (Mozaicul);
 metoda învățării pe grupe mici – STAD (Student Teams Achievement Division);
 metoda turnirurilor între echipe – TGT (Teams/Games/Tournaments);
 metoda schimbării perechii (Share-Pair Circles);
 metoda piramidei (a bulgărelui de zăpadă).

Prin metoda predării/învățării reciproce elevii sunt puși în situația de a fi ei înșiși profesori
și de a explica colegilor rezolvarea unei probleme. Astfel copiii sunt împărțiți pe grupe de câte
patru, în care fiecare are un rol bine definit: unul este rezumător (cel care face un scurt rezumat

84
al textului citit), unul este întrebătorul grupului(cel care pune întrebări clarificatoare), altul
este clarificatorul (el trebuie să aibă o viziune de ansamblu și să încerce să răspundă
întrebărilor grupului), iar cel de-al patrulea copil este prezicătorul (cel care își va imagina,
în colaborare însă cu ceilalți care va fi cursul evenimentelor). Elevii aceleiași grupe vor
colabora în înțelegerea problemelor și rezolvarea sarcinilor de lucru, urmând ca frontal să se
concluzioneze soluțiile. Grupele pot avea probleme diferite pe aceeași temă, sau pot avea
probleme diferite. Ei pot lucra pe fișe diferite, urmând ca în completarea lor să existe o strânsă
colaborare, sau pot lucra pe o singură fișă, pe care fiecare să aibă o sarcină precisă. Avantajele
acestei metode de lucru sunt indiscutabile: stimulează și motivează, ajută elevii în învățarea
metodelor și tehnicilor de lucru, tehnici de muncă intelectuală pe care le poate folosi apoi și în
mod independent, dezvoltă capacitatea de exprimare, atenția, gândirea cu operațiile ei și
capacitatea de ascultare activă, stimulează capacitatea de concentrare asupra textului problemei.
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic) sau “metoda grupurilor
interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (teamlearning). Fiecare elev are
o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea
transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi. Metoda presupune o pregătire temeinică a
materialului dat spre studiu elevilor. Educatorul propune o temă de studiu pe care o împarte în
patru sub-teme. Pentru fiecare temă în parte educatorul trebuie să dea un titlul, sau pentru
fiecare să pună o întrebare. Fiecare membru al grupei va primi ca obiect de studiu materiale
necesare fiecărei sub-teme, pentru care va alcătui și o schemă. La sfârșit elevii își comunică ce au
învățat despre sub-tema respectivă. Aranjarea în clasă a grupurilor trebuie însă să fie cât mai
aerisită, astfel încât grupurile să nu se deranjeze între ele. Obiectul de studiu poate constitui și
o temă pentru acasă, urmând ca în momentul constituirii mozaicului fiecare “expert” să-și
aducă propria contribuție.
Metoda piramidei sau metoda bulgărelui de zăpadă are la bază împletirea activității
individuale cu cea desfășurată în mod cooperativ, în cadrul grupurilor. Ea constă în încorporarea
activității fiecărui membru al colectivului într-un demers colectiv mai amplu, menit să ducă
la soluționarea unei sarcini sau a unei probleme date. Această metodă are mai multe faze: faza
introductivă – profesorul enunță problema, faza lucrului individual – fiecare elev lucrează
individual timp de 5 minute la soluționarea problemei, faza lucrului în perechi – elevii se consultă
cu colegul de bancă, sunt notate toate soluțiile apărute, faza reuniunii în grupuri mai mari –
elevii de consultă asupra soluțiilor în grupuri alcătuite dintr-un număr egal de perechi, faza
raportării soluțiilor în colectiv și faza decizională. Ca și celelalte metode care se bazează pe
lucrul în perechi și în colectiv, metoda piramidei are avantajele stimulării învățării prin

85
cooperare, al sporirii încrederii în forțele proprii prin testarea ideilor emise individual, mai întâi
în grupuri mici și apoi în colectiv. Dezavantajele înregistrate sunt de ordin evaluativ, deoarece se
poate stabili mai greu care și cât de însemnată a fost contribuția fiecărui participant.
II. Metodele de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare
 harta cognitivă sau harta conceptuală (Cognitive map, Conceptual map);
 fishbone maps (scheletul de pește);
 pânza de păianjăn (Spider map–Webs);
 tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);
 metoda R.A.I.

III. Cele mai cunoscute și mai folosite metode sunt cele de rezolvare de
problem prin stimularea creativității
 brainstorming;
 starbursting (Explozia stelară);
 metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edward de Bono);
 patru colțuri (Four corners);
Brainstorming-ul este o metodă interactivă de dezvoltare de idei noi ce rezultă din
discuțiile purtate între mai mulți participanți, în cadrul căreia fiecare vine cu o mulțime de
sugestii. Rezultatul acestor discuții se soldează cu alegerea celei mai bune soluții de
rezolvare a situației dezbătute. Calea de obținere a acestor soluții este aceea a stimulării
creativității în cadrul grupului, într-o atmosferă lipsită de critică, fără inhibiții, rezultat al
amânării momentului evaluării. Specific acestei metode este și faptul că ea cuprinde două
momente: unul de producere a ideilor și apoi momentul evaluării acestora.
Starbursting (eng.“star”=stea și ”burst”=a exploda), este o metodă nouă de dezvoltare a
creativității, similară brainstormingului. Scopul metodei este de a obține cât mai multe întrebări și
astfel cât mai multe conexiuni între concepte. Este o modalitate de stimulare a creativității
individuale și de grup. Organizată în grup, starbursting facilitează participarea întregului colectiv,
stimulează crearea de întrebări la întrebări, așa cum brainstormingul dezvoltă construcția de idei
pe idei. Modul de procedare este simplu. Se scrie problema a cărei soluție trebuie “descoperită”
pe o foaie, apoi se înșiră cât mai multe întrebări care au legătură cu ea. Un bun punct de plecare îl
constituie cele de tipul „Ce?, Când?, Cum?, De ce?” – unele întrebări ducând la altele din ce în
ce mai complexe care necesită o concentrare tot mai mare.

86
Este foarte important să educăm imaginația copiilor pentru că a fi un om imaginativ
înseamnă să te poți adapta în situații diverse. O metodă didactică de educare a imaginației
copilului este “metoda pălăriilor gânditoare”. Aceasta este o tehnică interactivă, de
stimulare a creativității participanților care se bazează pe interpretarea de roluri în funcție de
pălăria aleasă. Sunt 6 pălării gânditoare , fiecare având câte o culoare: alb, roșu, galben, verde,
albastru și negru. Membrii grupului își aleg pălăriile și vor interpreta astfel rolul precis, așa cum
consideră mai bine. Rolurile se pot inversa, participanții sunt liberi să spună ce gândesc, dar
să fie în acord cu rolul pe care îl joacă. Culoarea pălăriei este cea care definește rolul: pălăria
albă este neutră, participanții sunt învățați să gândească obiectiv, pălăria roșie dă frâu liber
sentimentelor, oferă o perspectivă emoțională asupra evenimentelor. Pălăria neagră este
perspective gândirii negativiste, pesimiste, pălăria galbenă este simbolul gândirii pozitive și
constructive, al optimismului. Cel ce stă sub pălăria verde trebuie să fie creativ. Gândirea laterală
este specifică acestui tip de pălărie. Cere un efort de creație. Pălăria albastră este dirijorul
orchestrei și cere ajutorul celorlalte pălării. Gânditorul pălăriei albastre definește problema,
conduce întrebările, recorelează informațiile pe parcursul activității, formulează ideile principale
și concluziile la sfârșit. Monitorizează jocul și are în vedere respectarea regulilor. Acest nou tip
de metodă de predare – învațare este un joc în sine. Copiii se împart în șase grupe – pentru șase
pălării. Ei pot juca și câte șase într-o singură grupă. Împărțirea elevilor depinde de materialul
studiat. Pentru succesul acestei metode este important însă ca materialul didactic să fie bogat, iar
cele șase pălării să fie frumos colorate, să-i atragă pe elevi. Marele avantaj al acestei metode
este acela că dezvoltă competențele inteligenței lingvistice, inteligenței logice și inteligenței
interpersonale.

IV. Metode de cercetare în grup
 tema / proiectul de cercetare in grup;
 experimentul pe echipe;
 portofoliul de grup.
Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre
mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate
evidente. Acest tip de interactivitate determină “identificarea subiectului cu situația de
învățare în care acesta este antrenat”, ceea ce duce la transformarea elevului în stăpânul propriei
formări. Interactivitatea presupune atât cooperarea, cât și competiția, ambele implicând un
anumit grad de interacțiune.

87
CUBUL – Se anunță tema pusă în discuție apoi se împarte clasa în 6 grupuri. Se prezintă
elevilor un cub din carton cu fețele divers colorate. Pe fețele acestuia sunt notate cuvintele:
descrie, compară, asociază, analizează, aplică și argumentează. Se atribuie rolurile membrilor
fiecărui grup:
 “cititorul”- rostogolește cubul și anunță grupului cerința înscrisă pe fața de deasupra;
 ”ascultătorul activ” repetă sarcina, o reformulează pentru a fi înțeleasă de fiecare
membru, adresează întrebări profesorului;
 ”interogatorul” solicită idei, legate de modul de rezolvare a sarcinii, de la membrii
grupului;
 ”rezumătorul” va fi “raportorul” grupului, va trage concluziile, le va nota și le va
comunica întregii clase.
Elevii vor lucra pe grupe (unii la tablă, alții pe caiete, alții pe foi) apoi „raportorul” grupului va
prezenta întregii clase modul în care grupul său a rezolvat cerința. În final, se aduc lămuriri,
completări de către profesorul “consultant”/”participant”/ “observator”.
Avantaje: permite diferențierea sarcinilor de învățare, stimulează gândirea logică și sporește
eficiența învățării (elevii învață unii de la alții).
TURUL GALERIEI – Elevilor li se comunică sarcina de lucru apoi se formează grupurile.
Timp de câteva minute elevii lucrează în grup, pe o foaie de format mare (afiș) apoi prezintă în
fața clasei afișul, explicând semnificația celor scrise pe el și răspund întrebărilor puse de colegi. Se
expun afișele pe pereți, acolo unde dorește fiecare echipă iar lângă fiecare afiș se lipește câte o
foaie goală. Se cere grupurilor să facă un tur, cu oprire înfața fiecărui afiș și să noteze pe foaia
alba anexată, comentariile, sugestiile, întrebările lor. Fiecare grup va citi comentariile făcute de
celelalte grupe și va răspunde la întrebările scrise de acestea pe foile albe.
Avantaje: elevii oferă/primesc feed-back referitor la munca lor, au șansa de a compara produsul
muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod organizat si productiv.
Acestea sunt numai câteva dintre metodele interactive de lucru în echipă. Fiecare dintre ele
înregistrează avantaje și dezavantaje, important fiind însă momentul ales pentru desfășurarea lor.
Profesorul este acela care are puterea decizională și capacitatea de a alege ceea ce știe că se poate
desfășura în propriul colectiv de elevi. În teoria și practica didactică contemporană, problematica
instruirii interactive cunoaște abordări științifice noi, complexe, interdisciplinare,
susținute de argumente ce susțin participarea activă și reflexivă a elevilor în procesele
învățării și evaluării.

88

1.3. Mijloace de învățământ folosite în procesul de predare – învățare

Alături de metodologia didactică, mijloacele de învățământ reprezintă o
subdiviziune a tehnologiei instruirii și autoinstruirii – un proces complex, care vizează toate
etapele procesului de învățământ, urmărind legăturile stabilite între acestea: proiectare,
realizare, (auto)evaluare, (auto)reglare.
Sintagma „mijloace de învățământ” se referă la ansamblul materialelor naturale – obiecte
din realitatea înconjurătoare, în forma lor naturală: minerale, plante, animale, aparate, instalații,
etc. sau realizate intenționat: modele, planșe, hărți, manuale, cărți, fișe de lucru, chestionare,
teste, portofolii, jocuri didactice, care sprijină atingerea obiectivelor activității instructiv –
educative. De asemenea, sintagma „mijloace de învățământ” include ansamblul cerințelor
pedagogice de selectare și integrarea lor în strategiile didactice, în viziune sistemică și de
valorificare eficientă în procesul instructiv – educativ.
Valențele psiho-pedagogice ale mijloacelor de învățământ se referă la faptul că ele
 asigură caracterul intuitiv, concret – senzorial și sugestiv al activității de învățare;
 asigură transmiterea și însușirea de informații bogate, bine selectate și prelucrate din
punct de vedere didactic.
Mijloacele de învățământ dobândesc valoare de instrumente pedagogice – se interpun între
logica științei și logica elevului, înlesnesc și optimizează comunicarea profesor – elev,
interacțiunile care se stabilesc în clasă.
Dezvoltarea ansamblului mijloacelor de învățământ, valorificarea lor eficientă în
activitățile didactice și soluționarea unor probleme practice ale instrucției și educației, au
demonstrat și demonstrează că activitatea didactică nu se restrânge la transmiterea verbală a
cunoștințelor și că limbajul verbal nu constituie unicul instrument de predare al cunoștințelor. În
funcție de caracteristicile situației de instruire, se utilizează mijloacele de învățământ ale căror
funcții și virtuți le fac eficiente în contextul educațional respectiv.
Cele mai importante funcții pedagogice sunt:
 Funcția stimulativă – dezvoltarea motivației interne a elevilor pentru studiu, în
trezirea curiozității și a dorinței de cunoaștere;
 Funcția formativă – este asigurată de contribuția lor la exersarea și dezvoltarea
gândirii și a operațiilor acestora: analiza, sinteza, comparația, abstractizarea,
generalizarea, etc;

89
 Funcția informativă – este datorată faptului că mijloacele de învățământ oferă, în
mod direct, un volum de informații despre diferite obiecte, fenomene, procese,
evenimente;
 Funcția ilustrativă și demonstrativă – este exercitată atunci când mijloacele de
învățământ sunt valorificate ca material demonstrativ, ca substitute ale
realității, însoțind explicațiile profesorului;
 Funcția de investigare experimentală și de formare a priceperilor și
deprinderilor intelectuale și practice – este asigurată în contextele
educaționale cu caracter experimental, în care elevii își formează și exersează
priceperi și deprinderi intelectuale și practice;
 Funcția ergonomică – este funcția de raționalizare a eforturilor profesorilor și
elevilor în timpul activităților de predare – învățare, respectiv de reducere a
ponderii acțiunilor repetitive, rutiniere, de eficientizare a acțiunii de organizare și
ghidare a activităților elevilor;
 Funcția substitutivă – este asigurată de facilitățile pe care le oferă unele mijloace
de învățământ care permit realizarea învățământului la distanță (de exemplu
televiziunea, computerele, rețele de calculatoare, Internet);
 Funcția de evaluare – este datorată faptului că unele mijloace de învățământ pot
servi la verificarea și evaluarea nivelului de cunoștințe, priceperi, deprinderi,
competențe ale elevilor;
 Funcția estetică – este asigurată în contextele educaționale în care elevii
receptează, înțeleg și evaluează frumosul, respectiv valori cultural – artistice,
morale, sociale;
 Funcția de orientare a intereselor elevilor – este realizată în secvențele în care
mijloacele de învățământ le oferă acestora informații în legătură cu anumite
profesiuni și status-uri, imagini, comentarii.
Pornind de la particularitățile de vârstă și individuale ale elevilor și de la caracteristicile
situației de instruire, profesorul proiectează și organizează secvențe de instruire care să
contribuie într-o măsură cât mai mare și cât mai eficient la formarea și informarea elevilor,
recurgând la mijloace de învățământ pe care le consideră cele mai adecvate și mai eficiente.
După C. Cucoș, mijloacele de învățământ sunt împărțite în două mari categorii:
a)Mijloace de învățământ ce cuprind mesaj didactic
– Obiecte substitutive, funcționale și acționale: machete, mulaje, modele.

90
– Suporturi figurative și grafice: hărți, planșe, albume fotografice, panouri.
– Mijloace simbolico-raționale: tabele cu formule, scheme structurale sau
funcționale.
– Mijloace tehnice audio-vizuale: diapozitive, filme, materiale audio-video.
b)Mijloace de învățământ care facilitează transmiterea mesajelor didactice
– Instrumente, aparate și instalații de laborator
– Instrumente muzicale și aparate sportive
– Computere și orice dispozitiv media
– Jocuri, simulatoare didactice.
Mijloacele de învățământ se dovedesc a fi utile, în măsura în care sunt integrate organic
în contextul lecțiilor și li se imprimă o finalitate pedagogică. Eficiența utilizării mijloacelor de
învățământ ține de inspirația și experiența didactică a profesorului, în a alege și a–și sprijini
discursul pe un suport tehnic.

2. ELEMENTE DE DEONTOLOGIE A EVALUĂRII ÎN
CONTEXTUL CREȘTERII CALITĂȚII ACTULUI EDUCAȚIONAL

Lumea se află într-o continuă schimbare. Pentru a putea transmite informații
corecte și reale trebuie să fim foarte bine informați și să avem o serie de abilități. În opinia celor
mai mulți, noi nu producem nimic. Însă toți au trecut mai mult sau mai puțin prin școală…este
greu pentru ei să recunoască meritul cadrelor didactice fără de care ei nu ar putea scrie, citi sau
chiar vorbi.
Calitățile pe care trebuie să le aibă un educator sunt din ce în ce mai multe iar
standardele pe care ar trebui să ni le impunem fiecare sunt dintre cele mai înalte.
Personal,consider că cel mai bun criteriu de evaluare a unui cadru didactic îl constituie, pe lângă
rezultatele elevilor săi, și recunoștința pe care aceștia i-o poartă. Ce răsplată poate fi mai mare ca
aceea când un fost elev îți mulțumește pentru ceea ce l-ai învățat ?
Formarea cadrului didactic începe pe băncile școlii și nu se termină niciodată. Pentru a
putea desfășura o muncă de calitate trebuie să fii la curent cu toate schimbările, cu toate
noutățile. De aceea în această meserie înveți tu pentru a-i învăța pe alții. Formarea continuă a
devenit o necesitate. Este nevoie de această formare continuă pentru a putea face față afluxului
de informații, pentru a ne adapta strategiile la mijloacele
noi pe care le avem la dispoziție, dar, mai ales, la elevul din ziua de azi.

91
În opiniile multora, performanțele elevilor sunt legate de dăruirea și calitatea corpului
profesoral, de dotarea materială a școlii. Elevii evoluează într-un mediu care le determină
succesele și eșecurile. Eficiența lor la învățătură, chiar motivația, depind de mediul social
organizat de adulți.
Statutul social al profesorului în societatea contemporană pare să fie statutul clasei
mijlocie. Meseria de profesor nu se găsește între cele mai solicitate, dar nici între cele evitate.
Profesiunea intelectuală, respectată, nu distribuie deținătorului putere, influență sau venituri
superioare dar conferă prestigiu și satisfacții, vocația fiind considerată u nul dintre motivele de
bază în alegerea acestei profesiuni. Principala calitate a profesorului este vocația pedagogică
și eu cred că cele mai multe discuții care s-au purtat asupra trăsăturilor de personalitate ale
profesorilor au fost despre aptitudinea pedagogică.
Tactul pedagogic sau lipsa de tact apar numai pe fundalul interacțiunii profesor – elev.
În opinia profesorilor, tactul pedagogic presupune: calm, echilibru, aprecierea corectă și
obiectivă a elevilor, conștiinciozitate, perseverență, spirit de răspundere în activitatea
pedagogică.
Profesorul nu este dor un transmițător de informații, care se rezumă la a da
indicații elevilor, ce și cum să învețe, ci și un antrenor care, prin întrebări analitice, stimulând
gândirea elevilor, creează premise pentru ca aceștia, prin găsirea independentă a răspunsurilor, să
ajungă la o mai bună înțelegere a problemei; trezirea interesului elevilor, stimularea motivației
acestora. A organiza învățarea, înseamnă a găsi metodele cele mai adecvate, a construi secvențe
instructive bazate pe logica obiectivă a disciplinei, a trezi interesele elevilor și a stimula
performanțele.
Evaluarea efectuată de către profesor asupra rezultatelor elevilor constituie o activitate
deosebit de complexă care exercită un impact profund la nivelul beneficiarilor atât din punct
de vedere pedagogic, cât și din perspectiva psihologică și socio -morală. Evaluarea rezultatelor
școlare furnizează datele necesare în vederea adoptării celor mai bune decizii educaționale,
apreciază măsura în care rezultatele învățării sunt în concordanță cu obiectivele educaționale
propuse, vizează totalitatea proceselor și a produselor care măsoară natura și nivelul
performanțelor atinse de elevi.
Profesorul de matematică are in vedere faptul că obiectivele operaționale susțin și
determină structura și felul rezultatelor care, la rândul lor, converg spre diferite tipuri de achiziții
obținute, exprimate prin cunoștințe achiziționate, capacitate de aplicare a acestora în actul de
formare de priceperi și deprinderi, trăsături de personalitate, conduite si capacități intelectuale,
redate în raționamente, argumente și interpretări ale faptelor din natură și societate.

92
Între evaluare și activitatea de predare învățare se poate identifica o relație complexă, care
explică și orientează procesul educațional, reclamând ca:
– procesele evaluative să susțină și să stimuleze activitatea de predare –
învățare, indiferent de obiectivele evaluării;
– reglarea activității de predare-învățare pe baza rezultatelor școlare să se
realizeze continuu și permanent;
– cunoașterea rezultatelor și explicarea acestora, predicția rezultatelor probabile
în secvențele următoare au rolul de a regla procesul didactic prin acțiunile evaluative.
Rezultă de aici, că acțiunile evaluative sunt prezente în toate activitățile didactice,
independent de complexitatea și dimensiunile ei. Acțiunile evaluative nu se suprapun
actului didactic, dar se află într-un raport de interacțiune funcțională (I.T.Radu, 2005).
Profesorul de matematică proiectează activitatea de evaluare concomitent cu proiectarea
demersului de predare – învățare și în deplină concordanță cu acestea. Finalul fiecărei unități de
învățare presupune evaluarea sumativă.
În proiectarea probelor de evaluare apar următoarele întrebări:
 Care sunt obiectivele de referință, competențele și
conținuturile pe care trebuie să le rezolve elevii?
 Care sunt performanțele minime, medii și superioare pe care
le pot realiza elevii?
 Pentru ce tip de evaluare optez? Cu ce instrumente voi realiza
evaluarea?
 Cum voi folosi datele oferite de instrumentele de evaluare
administrate pentru a eliminablocajele ivite în formarea
elevilor și pentru a asigura progresul școlar?
Stabilirea criteriilor de apreciere reprezintă o problemă specifică evaluării și se pune
problema trecerii de la prioritatea acordată criteriului subiectiv (profesorul este suveran în
acordarea notei, adică fiecare profesor apreciază în funcție de ceea ce se consideră că trebuie să
știe elevii) la criterii obiective , cât mai detașate de evaluator. În acest context s-a introdus
distincția între aprecierea raportată la normă și la criteriu. Astfel, raportarea la nivelul general al
clasei (evaluarea criterială) se corelează cu o biectivele operaționale propuse, care evidențiază
distincția dintre normă și criteriu. De regulă, rezultatele școlare constatate pun în evidență
valoarea efectelor activității de învățare. De aceea după efectuarea măsurării rezultatelor se
impune formularea răspunsurilor la următoarele întrebări :
 rezultatele obținute sunt satisfăcătoare ?

93
 rezultatele sunt în concordanță cu așteptările ?
 rezultatele marchează un progres în pregătirea elevului ?
 rezultatele pot fi ameliorate ?
Răspunsurile la aceste întrebări se dau în urma interpretării rezultatelor care se axează pe
diferite criterii valorice, condiția este ca aprecierea rezultatelor să fie realizarea unei evaluări
obiective. Urmează luarea unor decizii și măsuri de ameliorare a activității de predare – învățare,
cu respectarea calității evaluării.
Un bun profesor trebuie sa fie capabil de o mare varietate de stiluri didactice, să-și regleze
stilul prin adaptare, în funcție de situațiile ivite, asigurând flexibilitate și eficiență .
Profesorul de matematică este creativ în conceperea și conducerea lecțiilor numai dacă
are o consistentă pregătire pedagogică, metodică și de specialitate, precum și o deschidere
suficient de largă pentru a proiecta corect actul didactic.
Atingerea unui randament superior în activitatea didactică nu este posibilă fără
cunoașterea și aplicarea corectă a strategiilor didactice. Strategiile euristice și algoritmice sunt
consolidate de strategiile evaluativ-stimulative.
In condițiile unui stil didactic elevat, riguros și performant, o condiție esențială este
raportarea evaluării la componentele actului didactic. În felul acesta, instrumentele de
evaluare, metodele și tehnicile adecvate trebuie să fie cât mai flexibile, să asigure validitatea și
fidelitatea, pentru ca măsurarea rezultatelor învățării să fie reală, obiectivă și
exactă.
Profesorul de matematică trebuie să se distingă prin:
 competența profesională;
 integritate;
 obiectivitate;
 confidențialitate.
Profesorul de matematică trebuie să fie în permanență preocupat de succesul școlar, care
reprezintă o stare de concordanță a capacității de învățare a elevului și a exigențelor școlare, de
aceea este necesară punerea de acord a solicitărilor profesorului de geografie cu capacitățile de
învățare ale elevilor și de adaptare a acestora la activitatea școlară, trebuie să se axeze pe
alternanța dintre metodele tradiționale de evaluare și cele complementare.
Personalitatea profesorului evaluator se bazează pe două dimensiuni importante care pot
fi puse în legătură cu etica procesului evaluativ:

94
• dimensiunea profesionalismului său, care poate fi analizat sub aspectul cunoștințelor și
abilităților pe care el le are în domeniul specialității precum și, în domeniul teoriilor și
practicilor evaluative;
• dimensiunea atitudinii pe care el o adoptă în decursul procesului evaluativ (aspect
care se află într-o relație directă cu caracterul și cu setul de valori morale la care el aderă, cu
atașamentul său la valorile acceptate din punct de vedere social).
Evaluarea rezultatelor școlare ale elevilor trebuie să fie cât mai obiectivă, evaluările
perfect obiective reprezintă o aspirație perpetuă a evaluatorilor.

2.1. TIPOLOGIA ITEMILOR – definiție și caracterizare generală
Instrumentul de evaluare se compune din itemi care solicită tehnici de declanșare/
prezentare/ redactare a răspunsurilor. Cele trei concepte sunt intim asociate. Deși vizează realități
diferite ale procesului evaluativ, se află într-o strânsă interdependență. Între itemii de evaluare,
tehnicile de evaluare și instrumentele de evaluare este o legătură indisolubilă.
Itemul poate fi definit ca o unitate de măsurare care include un stimul și o formă
prescriptivă de răspuns, fiind formulat cu intenția de a suscita un răspuns de la cel
examinat, pe baza căruia se pot face interferențe cu privire la nivelul achizițiilor acestuia într-o
direcție sau alta. El poate fi prezentat singular sau în strânsă relație cu alți itemi de același tip
(sau tipologii diferite), poate presupune alegerea sau elaborarea răspunsului într- un timp strict
determinat sau fără limită de timp.
Itemii trebuie să respecte aceleași exigențe de proiectare, administrare și scorare
indiferent de natura testului în care sunt incluși (teste elaborat e de profesor, teste
standardizate, teste formative, sumative etc).
Literatura de specialitate oferă mai multe clasificări ale itemilor. Criteriul
asigurării obiectivității în notarea sau aprecierea elevilor este, fără îndoială, cel mai important.
După acest criteriu identificăm:
– itemi obiectivi
– itemi semiobiectivi
– itemi subiectivi
Voi prezenta în continuare cele trei categorii de itemi cu avantaje și dezavantaje.
ITEMII OBIECTIVI presupun întotdeauna alegerea răspunsului corect dintr-o
listă anterior elaborată și pusă la dispoziția celui examinat. Acești itemi se mai numesc
itemi cu răspuns dat sau itemi închiși deoarece elevul nu este nevoit sa elaboreze răspunsul ci
să îl aleagă din mai multe variante posibile. Astfel, răspunsul este identic pentru toți

95
candidații iar evaluatorii corectează în același mod. Clasificarea acestui tip de item se face în
funcție de natura stimulului sau în funcție de natura răspunsurilor solicitate:
a. Itemi cu răspuns dual – solicită alegerea uneia din cele două posibilități de
răspuns: adevărat/fals, corect/greșit, potrivit/nepotrivit.
Acest tip de item este alcătuit dintr-o instrucțiune pentru cel examinat, unul sau mai
multe enunțuri conținând sarcina de rezolvat, însoțite de variantele de răspuns DA/NU, A/F
etc. Uneori există și alternativa ca examinatul să plaseze, nu să bifeze aprecierile de acest tip,
în relație cu itemii corespunzători.
AVANTAJE
– obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
– evaluarea unui număr mare de conținuturi într-un timp relativ scurt, dat fiind faptul că
răspunsurile sunt deja formulate iar examinatul indică doar valoarea de adevăr a
acestora;
– precizia și simplitatea sarcinilor de rezolvat crește fidelitatea și obiectivitatea
acestui tip de itemi;
– punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect;
– favorizează evaluarea unor comportamente asociate unor nivele taxonomice diferite
(cunoaștere, înțelegere, aplicare);
– favorizează un feed-back rapid;
– proiectarea este relativ simplă;
– rezultatele sunt ușor de cuantificat.
DEZAVANTAJE:
– validitate relativ mică datorată simplității itemilor de acest tip;
– încurajează o învățare bazată pe recunoaștere (unele răspunsuri corecte pot fi
ghicite prin eliminare sau chiar ghicite);
– defavorizează elevul care a rezolvat corect o parte din problemă și întâmpină dificultăți
în rezolvarea acesteia pe parcurs;
– nu permite verificarea raționamentului, a modului de exprimare și chiar de redactare a
soluției;
– nu pot fi folosiți în evaluarea unor rezultate de învățare complexe.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– evitarea adevărurilor banale în redactarea testului;
– evitarea formulărilor lungi, greoaie, chiar inexacte ce induc elevul în eroare;

96
– evitarea includerii în același enunț a două idei care nu se află în relație directă și pot
dezorienta elevul;
– evitarea enunțurilor negative, mai ales cele care includ o dublă negație;
– trebuie să existe un echilibru între numărul enunțurilor adevărate și cele false pentru a
nu determina elevul să greșească prin generalizarea unei reguli pe care poate considera
că a deprins-o din rezolvarea itemilor anteriori.
b. Itemi cu alegere multiplă – solicită alegerea unui răspuns dintr-o listă de
alternative. Pot servi atât la măsurarea unor comportamente specifice nivelurilor
taxonomice superioare, cât și a comportamentelor asociate cu analiza și evaluarea. Acest tip de
itemi sunt utilizați în cazul probelor de evaluare, permițând măsurarea rezultatelor învățării:
cunoașterea terminologiei, a definițiilor, a principiilor, metodelor sau procedeelor.
Un item cu alegere multiplă este format din două elemente:
– tulpina (problema) – formulată printr-o întrebare directă sau un enunț
incomplet;
– o serie de răspunsuri propuse, din care una este corectă (sau cea mai bună) iar
celelalte au rolul de distractori (variante incorecte), constituind obstacole ce trebuie
depășite de examinați în alegerea răspunsului corect. Distractorii trebuie să fie
stimulativi, nu derutanți.
Dacă discutăm despre natura răspunsului solicitat, acest tip de itemi pot fi proiectați în
două variante:
– itemii cu răspuns corect – presupun alegerea răspunsului corect care
completează un enunț, dintr-o listă de alternative pusă la dispoziția elevului. (Se
aseamănă cu itemii semiobiectivi tip răspuns scurt, de completare, însă în acest caz
elevul alege răspunsul, nu îl elaborează).
– itemii cu răspunsul cel mai bun sunt preferați pentru analiză și evaluare, mai multe
dintre răspunsurile pe care elevul trebuie să le analizeze sunt acceptabile, dar în
măsură diferită, elevul trebuind să indice cea mai potrivită variantă.
AVANTAJE:
– pot acoperi conținuturi diverse la un nivel de profunzime satisfăcător;
– proiectarea, administrarea și scorarea este relativ simplă;
– asigură o obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
– au eficiență crescută, având în vedere volumul mare de conținuturi ce poate fi evaluat
într-o singură sesiune de evaluare;
– punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect.

97
DEZAVANTAJE:
– nu permit evaluarea capacităților creative ale elevilor, a capacității de sint eză;
– itemii care solicită precizarea celui mai bun răspuns sunt dificil de proiectat –
distractorii trebuie să fie suficienți de contrastanți în raport cu răspunsul corect iar
alternativele să fie în același timp, omogene;
– scorarea itemilor de mai sus poate genera dezacorduri între evaluatori în cazul în care
există mai mult de o variantă de răspuns corectă;
– uneori răspunsurile corecte pot fi ghicite sau găsite prin eliminare.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– răspunsurile să fie formulate corect gramatical și să aibă , pe cât posibil, aceeași
lungime;
– „tulpina” itemului trebuie să fie formulată clar, logic și complet, evitându-se
impreciziile și ambiguitățile, să evite formulările negative ce pot pune în încurcătură
elevul;
– distractorii să aibă legătură cu problema ilustrată în enunț, trebuie să constituie
răspunsuri plauzibileastfel încât să stimuleze elevul în analiza fiecărui posibil răspuns;
– evitarea folosirii expresiilor de tipul „toate cele de mai sus” sau „niciuna”;
– dacă un test include mai mulți itemi cu alegere multiplă, poziția răspunsului corect
trebuie să varieze pentru a descuraja specularea locului alternativei ce trebuie bifată.
c. Itemi de împerechere sau de asociere – presupun stabilirea unei corespondențe între
două liste de afirmații sau concepte, date, informații plasate de obicei în două coloane diferite (în
prima – stimulii sau premisele iar în cea de-a doua – răspunsurile).
AVANTAJE:
– obiectivitate ridicată în evaluarea rezultatelor;
– ușor de proiectat și de administrat;
– punctajul se acordă sau nu, în funcție de marcarea răspunsului corect;
– pot viza nivele taxonomice inferioare dar și superioare;
– itemii de tip pereche sunt cei mai complecși dintre itemii obiectivi, fiind practic
construiți dintr-o serie de itemi cu alegere multiplă. Posibilitatea ca elevul să ghicească
răspunsul corect este redusă prin elaborarea listei de răspunsuri în așa fel încât să
conțină și distractori.
DEZAVANTAJE:
– nu permit evaluarea capacităților creative ale elevului, a capacității de organizare
a informației;

98
– proiectarea poate fi dificilă în cazul în care se vizează respectarea omogenității
premiselor și alternativelor de răspuns;
– în majoritatea situațiilor acești itemi sunt utilizați pentru a aprecia acuratețea asimilării
informațiilor de tip factual, deși se pretează și în evaluarea comportamentelor asociate
înțelegerii, aplicării și chiar analizei.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– premisele și alternativele de răspuns trebuie să acopere un spectru omogen astfel
încât elevul să nu poată asocia elementele din cele două liste prin excluderea
răspunsurilor atipice, fără legătură logică cu celelalte;
– răspunsurile trebuie prezentate într-o anumită ordine: fie cronologic, fie alfabetic
astfel încât să se evite dezorientarea elevului;
– numărul premiselor trebuie să fie mai mic decât numărul răspunsurilor propuse pentru
a se evita relaționarea elementelor prin excludere;
– toate premisele și răspunsurile să fie plasate pe o singură pagină pentru a nu
genera confuzii sau omisiuni.
ITEMII SEMIOBIECTIVI solicită elevului operarea cu noțiuni matematice într- un
ritm mai alert decât fusese obișnuit, claritate în exprimare, demonstrarea înțelegerii noțiunilor
învățate.
a. Itemi cu răspunsuri scurte și itemi de completare sunt două categorii de itemi
similari; proiectarea, administrarea și notarea răspunsurilor se supun acelorași exigențe. În cazul
primei categorii, răspunsul se solicită printr-o întrebare directă sau printr-un enunț direct, în timp
ce itemii de completare constau în completarea unui cuvânt sau a unei sintagme într-un text
lacunar.
Aceste tipuri de itemi permit evaluarea de rezultate diverse ale activității de
învățare dar la nivele taxonomice inferioare: cunoașterea terminologiilor, a regulilor,
metode și procedee de acțiune, interpretarea unor date simple, capacitatea de a utiliza simboluri
matematice, capacitatea de rezolva probleme simple de matematică.
AVANTAJE:
– acoperă o arie largă de conținut;
– se construiesc relativ ușor;
– permit o notare obiectivă;
– permit evaluarea unui număr mare de concepte, deprinderi, priceperi.
DEZAVANTAJE:
– nu permit testarea unor nivele cognitive superioare: analiză, sinteză, rezolvare

99
de probleme;
– fiecare zonă de conținut necesită un număr mare de itemi;
– răspunsul foarte scurt limitează dezvoltarea unor abilități complexe.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– este recomandat să nu se utilizeze un text din manual pentru a nu se încuraja
memorarea mecanică;
– este indicat ca unitățile de măsură să fie precizate atât în formularea întrebării cât și
în spațiul lacunar (asta va sugera evaluatorului că un răspuns greșit din partea elevului
nu este cauzat de o eroare de citire sau înțelegere a întrebării);
– este indicat ca spațiul liber furnizat să sugereze dacă răspunsul va conține un cuvânt
sau mai multe, propoziții sau fraze (în ultimele situații spațiile libere vor avea aceeași
lungime pentru a nu oferi elevului indicii privind răspunsul).
b. Itemii structurați constituie de fapt un set de întrebări care au în comun un element
sau se referă la același concept, fenomen. Un astfel de item este alcătuit dintr-un material-stimul
(reprezentat printr-un desen, text, tabel etc) și o suită de subîntrebări conectate prin
conținut cu materialul-stimul. Practic, subîntrebările ghidează răspunsurile elevului și îi oferă un
cadru în care își realizează demersul.
AVANTAJE:
– permit aprofundarea unei teme din diferite perspective;
– stimulează creativitatea elevului;
– evaluează comportamente corespunzătoare unor nivele taxonomice
înalte:aplicare și uneori chiar analiză;
– permit abordarea întrebărilor structurate de către un număr mare de elevi, măcar
în prima parte, deoarece itemii sunt organizați în funcție de gradul lor de dificultate;
– asigură atractivitatea evaluării prin utilizarea unor materiale-stimul de tipul graficelor,
diagramelor etc;
– permit transformarea unor itemi de tip eseu într-o serie de itemi obiectivi și
semiobiectivi iar asta determină o creștere a fidelității evaluării.
DEZAVANTAJE:
– elaborarea schemelor de corectare și notare este mai dificilă;
– în unele situații răspunsurile la întrebări sunt conectate între ele și asta trebuie să se
evidențieze clar în schema de notare.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:

100
– se recomandă ca subîntrebările să fie independente astfel încât să nu
condiționeze răspunsurile la un item de răspunsurile itemilor anteriori;
– itemii trebuie să fie strict conectați la materialul-stimul pentru a nu orienta
eronat elevul către speculații inutile;
– subîntrebările trebui proiectate gradat din punct de vedere al nivelului de
dificultate, din cel puțin două motive: pentru a asigura evaluarea unor capacități
cu nivele crescânde de complexitate dar și pentru a încuraja abordarea subiectului
de către elev;
– fiecare subîntrebare testează unul sau mai multe obiective.
ITEMII SUBIECTIVI solicită răspunsuri deschise care în funcție de volumul
răspunsului așteptat pot avea caracter restrictiv sau extins. Acest tip de itemi permite
evaluarea unor obiective complexe ale învățării care evidențiază originalitatea, creativitatea și
carcaterul personal al răspunsului. Ei reprezintă forma tradițională de evaluare în țara noastră,
sunt ușor de construit, solicită răspunsuri deschise și evaluează procese cognitive de nivel înalt.
Se pot delimita două categorii de itemi subiectivi: itemi de tip rezolvare de
probleme și itemi de tip eseu (structurat sau nestructurat).
Natura acestor itemi imprimă o notă subiectivă asupra calculării punctajului chiar dacă
se elaborează un barem de corectare foarte riguros.
a.Itemi de tip rezolvare de probleme presupun prezentarea unor situații- problemă,
nefamiliare care nu dispun de o soluție predeterminată, precum și antrenarea acestuia pentru
identificarea unor soluții prin parcurgerea unor etape: identificarea problemei, culegerea și
selectarea datelor relevante, formularea și validarea uno r ipoteze, identificarea metodei de
rezolvare, propunerea unei soluții, evaluarea soluției și formularea concluziei asupra rezolvării
realizate.
Situațiile-problemă pot fi:
– închise, când elevului îi sunt puse la dispoziție toate datele necesare rezolvării, scopul
este precizat clar iar succesiunea cerințelor sugerează și etapele de rezolvare;
– deschise, când elevul dispune doar de datele cele mai importante, procesul de
rezolvare este doar sugerat iar demersul propriu-zis trebuie ales de către cel examinat.
Elaborarea și rezolvarea problemelor necesită mai mult timp și uneori implică și existența
unor resurse materiale. Capacitatea de a rezolva probleme se dezvoltă prin exercițiu de-a
lungul unei perioade lungi de timp. De aceea, când se folosește rezolvarea de probleme ca metodă
de evaluare, trebuie să se înceapă cu cerințe simple.
AVANTAJE:

101
– permite formularea unei gândiri productive;
– stimulează gândirea creativă a elevilor și încurajează transferul de proceduri și metode
de rezolvare a problemelor în interiorul aceluiași domeniu sau domenii diferite;
– încurajează elevul să analizeze comparativ mai multe metode, căi de rezolvare a unei
probleme, să ia decizii cu privire la alegerea celei mai potrivite;
– permite utilizarea unor materiale diverse, unele dintre ele favorizând contactul cu
elemente ale vieții cotidiene;
– favorizează activitățile de lucru în echipă (dacă sunt proiectați în acest sens) și
dezvoltarea abilităților autoevaluative;
– oferă posibilitatea analizei erorilor.
DEZAVANTAJE:
– timpul de administrare și de corectare este mai îndelungat decât în cazul
itemilor obiectivi și subiectivi;
– elaborarea schemei de corectare și notare este dificilă, lăsând uneori loc
interpretărilor subiective ale evaluatorului;
– notarea fiecărui elev trebuie făcută nuanțat, în funcție de ajutorul acordat de profesor
sau colegi, notându-se de asemenea și contribuția fiecărui elev în cadrul grupului.
EXIGENȚE DE PROIECTARE:
– activitatea se poate desfășura individual sau în grup, în funcție de natura și conținutul
problemei;
– situația-problemă trebuie să fie adecvată nivelului de vârsta și de pregătire al
elevilor;
– sarcinile de evaluat trebuiesc conectate la obiectivul de evaluare vizat și
conținuturile disciplinei;
– schema de notare și corectare trebuie elaborată cu deosebită atenție, pentru a
minimiza efectele subiectivității evaluatorului.
b.Itemi de tip eseu presupun elaborarea de către elev a unor răspunsuri complexe, având
suficientă libertate în explicare, argumentare etc. Așa cum ne putem da seama și din denumirea
lui, acest tip de item nu se pretează disciplinelor exacte, fiind un instrument de evaluare cu
precădere în domeniile „umaniste”, așa că nu vom insista asupra lui.

3. PROIECTAREA DIDACTICĂ

102
Proiectarea oricărei activități umane este o caracteristică a acțiunii eficiente, a
responsabilității și a competenței celui care realizează acțiunea. Activitatea didactică, care are
drept scop formarea ființei umane nu poate să facă abstracție de proiectarea acestor activități.
Proiectarea didactică reprezintă procesul deliberativ, de fixare mentală a pașilor ce vor fi
parcurși în realizarea instruirii și educației.
Pedagogii americani R.M. Gagne și L.J. Briggs folosesc pentru proiectarea didactică
sintagma „design instrucțional”, în sensul de act de anticipare și de prefigurare a unui demers
educațional, astfel încât să fie admisibil și traductibil în practică.

3.1. Tipuri de proiectare didactică
L.Vlăsceanu distinge două tipuri de proiectări având drept criteriu perioada de timp:
proiectarea globală și proiectarea eșalonată.
Proiectarea globală are ca referință o perioadă mai mare de instruire – ciclu sau an de
studii – și operează cu obiective, conținuturi și criterii de evaluare mai largi, ce au în vedere
activitățile din instituțiile școlare. Concretizarea acestui tip de proiectare se realizează îndeosebi
prin dimensionarea planurilor de învățământ și a programelor.
Proiectarea eșalonată se materializează prin elaborarea programelor de instruire
specifice unei discipline și apoi unei lecții, aplicabile la o anumită clasă de elevi.
Așadar putem observa faptul că, proiectarea globală creează cadrul, limitele și
posibilitățile proiectării eșalonate. Cadrul didactic realizează o proiectare eșalonată, raportându-
se la trei planuri temporale: anul școlar, semestrul școlar, ora școlară. El realizează o proiectare
anuală și semestrială a disciplinei pe care o predă, apoi o proiectare a unităților de învățare.
Documentul orientativ pentru elaborarea acestor pla nificări este programa școlară a disciplinei
respective.
Modelul curricular al proiectării pedagogice presupune următoarele caracteristici:
– este centrat pe obiective și propune acțiuni didactice specifice procesului complex de
predare-învățare-evaluare;
– punctul de plecare îl constituie obiectivele stabilite pentru elev în spiritul unui învățământ
formativ, bazat pe valorificarea potențialului de autoinstruire – autoeducație a fiecărui
elev/student;
– între toate elementele activității didactice (obiective-conținut-metodologie- evaluare) se
stabilesc raporturi de interdependență, determinate de rolul central al obiectivelor
pedagogice;

103
– asigură echilibru dintre pregătirea de specialitate a formatorilor (concepută interdisciplinar,
cu o disciplină „principală” și cel puțin una „secundară”) și pregătirea psihipedagogică.
(Cucoș,pp.313-314).

3.2. Etapele proiectării didactice
I. Jinga și I. Negreț propun un algoritm al proiectării didactice sub forma
răspunsurilor la patru întrebări:
I. Ce voi face? Precizarea în mod clar a obiectivelor
educaționale
II. Cu ce voi face?
Stabilirea resurselor educaționale
III. Cum voi face? Stabilirea strategiei educaționale potrivite
pentru realizarea obiectivelor
IV. Cum voi ști dacă am realizat ceea
ce trebuia? Stabilirea unui sistem de evaluare a eficienței
activității pe care o vom realiza.

Etapa precizării obiectivelor – este cea mai importantă etapă deoarece identificarea și
stabilirea clară a obiectivelor este garanția succesului în educație, toate celelalte componente ale
procesului de învățământ: conținutul, strategiile de predare-învățare și evaluare raportându-se la
obiectivele stabilite. Realizarea acestei etape este nu numai dificilă, dar și de mare
responsabilitate pentru educator deoarece el va trebui să delimiteze, să formuleze conduite și
achiziții educative pe care să le redea în termeni de comportamente concrete,
identificabile și comensurabile.
Etapa a doua – analiza resurselor – cuprinde operațiile de identificare a
conținutului învățământului, a resurselor psihologice și a celor materiale care determină buna
desfășurare a procesului de învățământ.
Etapa a treia – elaborarea strategiei didactice – este etapa în care creativitatea și
experiența didactică a educatorului pot fi valorificate la maximum. Această etapă mai este
cunoscută și ca „ etapa celor 3 M ” – adică: Metode – Mijloace – Materiale . Combinația celor
trei variabile (3M) în proiectarea didactică trebuie astfel realizată încât fiecare variabilă să
potențeze valoarea celeilalte, ajungându-se în final la creșterea eficienței procesului didactic.

104
Etapa a patra – evaluarea – vizează stabilirea tehnicilor de evaluare a rezultatelor
învățării în concordanță cu obiectivele operaționale formulate în etapa întâia. Prin evaluare se va
stabili raportul obiective/rezultate cât și eficiența activității didactice în raport cu resursele.
Conform noului curriculum, planificarea/proiectarea calendaristică/semestrială este un
document administrativ, care asociază într-un mod personalizat elemente ale programei cu
alocarea de timp considerată optimă de către cadrul didactic, pe parcursul unui an școlar.
Proiectarea pedagogică a unei unități de învățare detaliază proiectarea semestrială și
presupune următoarele activități:
 precizarea obiectivelor specifice unității de învățare respective, pornind de la
obiectivele de referință formulate în proiectarea semestrială;
 analiza conținutului capitolului/ unității de învățare;
 delimitarea activităților/ lecțiilor care asigură realizarea obiectivelor specifice
corelate cu conținuturile unității de învățare;
 formularea obiectivelor operaționale (concrete) corespunzător fiecărui obiectiv
specific;
 precizarea resurselor necesare realizării obiectivelor operaționale;
 metodologia de evaluare a realizării obiectivelor operaționale.
De menționat că, în concepția actuală, prin unitate de învățare se înțelege
„O structură didactică deschisă și flexibilă, care are următoarele caracteristici:
 determină formarea la elevi a unui comportament specific, generat prin
integrarea unor obiective de referință sau competențe specifice;
 este unitară din punct de vedere tematic;
 se desfășoară în mod sistematic și continuu pe o perioadă de timp;
 se finalizează prin evaluare.”

105
3.3.Proiectarea unității de învățare
Unitatea de învățare :
SISTEME DE ECUAȚII LINIARE
Disciplina : Matematică
Clasa: a XI-a A
An școlar : 2019-2020
Profesor: Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela

Competențe specifice :
C1: Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceală a unui proces
C2: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice
C3: Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme
C4: Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi specifici
C5: Identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora
C6: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii și
metode adecvate

Sugestii metodologice :
M1: Folosirea unor idei și reguli matematice în abordarea unor probleme practice sau
pentru structurarea unor situații diverse
M2: Utilizarea unor formule standard în rezolvarea de probleme
M3: Analiza secvențelor logice în etapele de rezolvare
M4: Citirea corectă și conștientă a enunțului unei probleme M5:
Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite M6:
Inițierea sau realizarea creativă a unor investigații
M7: Folosirea unor reprezentări variate pentru anticiparea unor rezultate
M8: Precizarea modului de alcătuire a unei succesiuni de date și verificarea pe cazuri
particulare a regulilor descoperite
M9: Imaginarea și folosirea unor reprezentări variate pentru depășirea unor dificultăți

106

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE „SISTEME DE ECUAȚII LINIARE”

Nr.
crt.
Etape ale
proiectării Detalieri ale
etapelor Compet.
specifice
Conținuturi

Activități de învățare

Resurse

Evaluare

1.
Actualizarea

Identificarea setului
de cunoștințe
Se identifică achizițiile
anterioare necesare în
înțelegerea și
prelucrarea noului
conținut

C2

C6
Matrice inversabile
din 𝑀௡(ℂ),𝑛≤ 4.
Ecuații matriceale
Rangul unei
matrice
Exerciții recapitulative de determinare a
inversei unei matrice pătratice(dacă
există), de rezolvare a unor ecuații
matriceale și de determinare a rangului
unei matrice date, cu sau fără parametri.
Activitate frontală și pe
grupe, utilizănd fișe de
lucru, problematizare,
manualul, metoda
exercițiului.

Evaluare orală
inițială
Observarea
sistematică a
elevilor

2.
Învățarea
pregătitoare , prin
situații-problemă
desprinse din
cotidian.
Problematizarea,
învățarea prin
descoperire pe baza
unor exemple
relevante.
Se oferă pretextul-
problemă relevant.

Se valorifică adaptând
experiența la situații-
problemă prezentate, în
vederea pregătirii noului
conținut.

C1

C6
Sisteme de
ecuații liniare.

Noțiuni generale

Alternarea prezentării conținuturilor cu
moduri variate de antrenare a gândirii.
Exprimarea prin simboluri specifice a
relațiilor matematice dintr-o problemă.
Analiza secvențelor logice în etapele de
rezolvare a unei probleme.
Exprimarea rezultatelor rezolvării unei
probleme în limbaj matematic.

Activitate frontală și pe
grupe.

Expunerea sistematică,
conversația euristică.

Metoda descoperii.

Problematizarea.

Evaluare orală

Evaluare
frontală

107
Nr.
crt.
Etape ale
proiectării Detalieri ale
etapelor Compet.
specifice
Conținuturi

Activități de învățare

Resurse

Evaluare

3.
Suportul noțional

Esențializarea și
sistematizarea
noțiunilor ce decurg
din prelucrarea
exemplelor și
situațiilor problemă

Se sistematizează
rezultatele teoretice ce
decurg din situațiile
problemă prezentate.

Se exersează conținutul
noțional pe exemple
semnificative.

C3

C4

C5

C6
Sisteme de ecuații
liniare de tip Cramer

Studiul
compatibilității
sistemelor de ecuații
liniare și rezolvarea
acestora

Punerea elevului în situa ția ca el să formuleze
sarcini de lucru adecvate
Obținerea de soluții sau interpretări variate
pentru aceeași unitate informațională
Formularea de sarcini rezolvabile prin
activitatea de grup
Sugerarea unui algoritm al învățării, prin
ordonarea sarcinilor
Analiza capacității metodelor de a se adapta
la situații concrete
Utilizarea rezultatelor și a metodelor pentru
crearea de strategii de lucru

Expunerea

Evaluare orală și
prin teme de
muncă
independentă în
clasă, tema
pentru acasă

Evaluare
continuă prin
observarea
sistematică a
elevilor

4.
Modelarea

Determinarea unor
aplicații relevante

Se dezvoltă unele
rezultate teoretice,
identificând strategii de
rezolvare a unor
probleme

C2, C3

C4, C5

C6
Rezolvarea
sistemelor de ecuații
liniare cu parametrii

Discuții

Obținerea de soluții sau interpretări variate
pentru aceeași unitate informațională
Formularea de sarcini rezolvabile prin
activitatea de grup
Sugerarea unui algoritm al învățării, prin
ordonarea sarcinilor

Expunerea
Conversația euristică
Exercițiul
Problematizarea

Evaluare orală,
individuală

Nr.
crt.
Etape ale
proiectării Detalieri ale
etapelor Compet.
specifice
Conținuturi

Activități de învățare

Resurse

Evaluare

5.
Exersarea
direcțională
Sistematizarea ce
conduce la strategii
de rezolvare
Se exersează rezultate
teoretice, identificând
strategii de rezolvare

C3, C4

C5, C6
Rezolvarea de
probleme

Analiza secvențelor logice în etapele de
rezolvare a unor probleme

Manual
Culegere
Fișe de lucru
Lucrul în echipe

Evaluare
scrisă

6.
Aprofundare,
generalizare
Transferarea
cunoștințelor
dobândite cu
contexte variate.
Se optimizază soluții
C2, C3

C4, C5

C6
Probleme cu
caracter aplicativ

Utilizarea rezultatelor și a metodelor
pentru crearea de strategii de lucru
Transferul și extrapolarea soluțiilor unor
probleme pentru rezolvarea acestora

Manual
Culegere
Fișe de lucru
Lucrul în echipe
Tema pentru acasă

Evaluare orală,
frontală și
individuală

109
DETALIERI DE CONȚINUT ALE ETAPELOR:

1.Actualizarea
Competențe specifice vizate: C2, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr. 1

2.Învățare pregătitoare prin situații-problemă
Competențe specifice vizate: C1, C6
Sugestii metodologice: M1, M3, M4, M5, M6, M7
Sugestii de detaliere a conținuturilor:

Să considerăm următoarea problemă-suport:
“Într-un bazin apa curge prin trei robinete identice. Dacă primul robinet se
deschide timp de 6 ore, al doilea 4 ore și al treilea 3 ore, în bazin se adună 390 dal apă. Dacă
primul robinet se deschide 5 ore, al doilea 2 ore și al treilea 3 ore, atunci în bazin vor fi 305
dal apă. Dacă primul robinet este deschis 3 ore, al doilea 7 ore și al treilea 3 ore, atunci în
bazin vor fi 405 dal apă.
Câți dal de apă curg într-o oră prin fiecare robinet? ”
Vom organiza datele problemei în următorul tabel de tip matriceal:

Robinetul I
(nr. ore) Robinetul II
(nr. ore) Robinetul III
(nr. ore) Cantitatea de apă
(dal)
6 4 3 390
5 2 3 305
3 7 3 405

Vom nota cu x, y, z debitul robinetelor I, II și III. Datele referitoare la numărul de ore de funcționare
a celor trei robinetele consemnăm într-o matrice de ordinul 3, notată cu A, cele referitoare la
cantitatea totală de apă le consemnăm într-o matrice coloană B , iar datele care identifică
necunoscutele problemei le scriem într-o matrice coloană X. Astfel se obțin matricele:
𝐴=൭6 4 3
5 2 3
3 7 3൱,𝐵=൭390
305
405൱,𝑋=ቆ𝑥
𝑦
𝑧ቇ

110
Corelarea celor trei categorii de date consemnate în matricele A, B, X de mai sus cu elemente din
mulțimea R o vom face exprimând cantitatea totală de apă ca fiind suma cantităților de apă furnizate
de fiecare robinet în parte în timpul funcționării. În felul aceste se obține următorul model
matematic al problemei:
൝6𝑥+4𝑦+3𝑧= 390
5𝑥+2𝑦+3𝑧= 305
3𝑥+7𝑦+3𝑧= 405
Acest model este un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute x, y, z cu exponentul 1, numit
sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.
Determinarea valorilor celor trei necunoscute se face pe baza unor considerente
legate de matrice și determinanți (detalii CAP.I).

3.Suportul noțional
Competențe specifice vizate: C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M8, M9
Sugestii de detaliere a conținuturilor (detalii CAP.I).

4.Modelarea
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M6, M8
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr. 1

5.Exersarea direcționată
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M2, M3, M6, M8
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă sistemele de ecuații din fișa de lucru nr.2 și 3

6.Aprofundare, generalizare
Competențe specifice vizate: C2, C3, C4, C5, C6
Sugestii metodologice: M1, M3, M6, M7, M9
Sugestii de detaliere a conținuturilor: se rezolvă exercițiile din fișa de lucru nr.4 și 5.

111
3.4.Proiecte de tehnologie didactică

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Numele și prenumele cadrului didactic : Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela
Unitatea Școlară: Liceul Teoretic „Carmen Sylva” Eforie
Data: aprilie 2020
Disciplina : Matematică
Clasa: a XI-a A
Unitatea de învățare:
Titlul lecției : Sisteme de ecuații liniare
Tipul lecției : Lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Durata: 50 minute

Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării corecte a
sistemelor de ecuații liniare precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea sistemelor cu
parametrii în situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură generală în matematică,
utilizarea lor în studiul altor capitole precum și promovarea examenului de bacalaureat și a
examenelor de admitere în învățământul superior.

Competențe specifice:
C1: Aplicarea algoritmilor de calcul în situații practice.
C2: Rezolvarea unor ecuații și sisteme utilizând algoritmi specifici.
C3: Stabilirea unor condiții de existență și/sau compatibilitate a unor sisteme și
identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora.
C4: Optimizarea rezolvării unor probleme sau situații-problemă prin alegerea unor strategii
și metode adecvate.

Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve sisteme de ecuații liniare alegând metoda adecvată.
2. Să stabilească ce condiții se impun pentru determinarea unor parametrii în funcție de
contextul problemei.
3. Să rezolve sisteme de ecuații liniare cu parametri, făcând discuție asupra naturii
sistemului după valorile acestora și aflând soluțiile atunci când acestea există.

112
Strategii didactice:

Metode și procedee de învățare:
– De transmitere: conversația, explicația;
– De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară;
– De expunere indirectă: demonstrația;
– De acțiune reală : exercițiul.

Mijloace (resurse): culegere, manual, fișe de lucru.

Stilul de învățare:
– Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiilor în formă tipărită
(aplicarea comunicării de tip non-verbal);
– Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explicarea informațiilor
(comunicare verbală);
– Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținute.

Documentare bibliografică:
1. Marius Burtea, G. Burtea – Manual de matematică pentru clasa a XI-a, Ed.
Carminis, București, 2007;
2. M. Ganga – Matematică, manual pentru clasa a XI-a, Ed.Mathpress, București,
2006;
3. G. Constantinescu, C. Zîrnă – Pas cu pas prin matematică, Ed. Crizon, Constanța, 2009.

113

Scenariul didactic:

1. Captarea atenției (2’)
Profesorul asigură condițiile ergonomice, verifică materialul didactic și prezența elevilor, le
captează atenția prin prezentarea fișei de lucru și a obiectivelor urmărite pe parcurs.

2. Reactualizarea cunoștințelor asimilate anterior (7’)
Se realizează o clasificare a sistemelor din punct de vedere al existenței soluției și al numărului
de soluții cu ajutorul elevilor, folosind metoda ciorchinelui , astfel:
– Se scrie în mijlocul tablei titlul temei ce urmează a fi recapitulată, „ Sisteme de
ecuații liniare ”;
– Elevii vor fi solicitați să își noteze toate tipurile de sisteme cunoscute în jurul temei din centru,
trasând linii de legătură între acestea și tema inițială;
– Pe măsură ce își amintesc tipurile de sisteme și le notează, elevii vor trasa linii între
toate cuvintele (ideile) ce par a fi conectate.

Se reamintește algoritmul de stabilire a compatibilității unui sistem (folosind proprietatea de
compatibilitate a lui Rouche), precum și modul de determinare a mulțimii soluțiilor sistemului
folosind metoda ciorchinelui astfel:
– Se scrie în mijlocul tablei tema: „Algoritm de rezolvare a unui sistem de m ecuații
cu n necunoscute, n≤ 4”;
– Elevii vor fi solicitați să își noteze toate noțiunile pe care le au în minte în legătură
cu acest algoritm, stabilind corespondența între acestea și tema centrală prin
trasarea unor linii;
– În timp ce își amintesc alte etape, elevii le notează și vor trasa linii între toate ideile
ce par a fi conectate;

114
– Activitatea se oprește în momentul în care se epuizează toate ideile.

3. Anunțarea competențelor (1’)

4. Prezentarea fișei de lucru și rezolvarea exercițiilor conținute de aceasta (22’)

5. Asigurarea transferului – obținerea de performanțe (15’)
Se discută și se rezolvă exercițiile mai grele de pe fișa de lucru apoi se notează răspunsurile
primite.
6. Asigurarea feed-back-ului (3’)
Se dă tema pentru acasă (exercițiile rămase nerezolvate de pe fișa de lucru precum și

115
Fișa nr. 1

1. Fie sistemul de ecuație ൝2x+y+3z = 1
𝑚𝑥+𝑦−2𝑧= 1
(2𝑚−1)𝑛+2𝑦+𝑧= 0
a) Pentru n=1 arătați ca tripletul (-1; 0,1) este soluție a sistemului.
b) Determinați m ∈𝑅 pentru care sistemul este compatibil determinat.
c) Rezolvați sistemul pentru m =2.
d) Rezolvați sistemul pentru m =3.

2. Se consideră sistemul de ecuații matriceale: ൜𝑥+5𝑦= 6
2𝑥+𝑦=𝑚
a) Determinați m ∈R, știind că sistemul admite soluția: x = – 4, y = 2;
b) Pentru m = 3, să se rezolve sistemul.

3. Scrieți matricea asociată sistemului, matricea termenilor liberi și matricea termenilor
necunoscuți si apoi scrieți sub formă matriceală sistemul:


02 4221 2
3 212 1321
xxxxxxxx
.Nu se cere
rezolvarea sistemlui.

4. Dacă ( x, y, z) este soluția sistemului:


7227320 3
zyxzyxzyx
, atunci: x+y+z este:
a)0; b)1; c)-1; d)2; e) – 2. (Incercuiți unicul răspuns corect dupa ce rezolvați sistemul
prin ce metoda doriți și efectuați suma soluțiilor).

5. Se consideră sistemul:


0 2202 2022
mzyxzmyxzymx
.

a) Să se determine m R, astfel încât sistemul să admită numai soluția banală ( 0,0,0).

b) Pentru m = – 4, rezolvați sistemul.

116
Fișa nr. 2

1. Scrieți sub formă matriceală sistemul:


0 413242
213 23 21
xxxxxxx
.
2. Scrieți sistemul de ecuații liniare asociat matricei extinse:




 
014123023 0111230

3. Se consideră sistemul:


000
mzyxzmyxzymx
.

a) Să se determine m R, astfel încât sistemul să admită numai soluția banală.

b) Pentru m = – 2, rezolvați sistemul.

4. Dacă ( x, y, z) este soluția sistemului:


7227320 3
zyxzyxzyx
, atunci: x+y+z este:
a)0; b)1; c)-1; d)2; e) – 2.

5. a) Să se determine , , , astfel încât sistemul:



4 3 2 14 3 2 143 2 1
106533 91 432
xxxxxxxxxxxx
să fie
compatibil, iar matricea sistemului să aibă rangul 2.

b) Cu: , ,  determinați, la punctul a), rezolvați sistemul obținut.

117
Fișa nr. 3

1. Se consideră sistemul


aazyxzayxzyax
11
,.Ra
a)Pentru ce valori ale lui ,Ra sistemul are solutie unică ?
b) Să se rezolve sistemul in cazul 2a.
c)Aratati ca daca ,1,2\Ra sistemul are solutii intregi.

2. Se consideră sistemul


bazyxzyxzyx
71 212
, unde a și b sunt parametri reali.
a) Să se determine Ra pentru care determinantul sistemului este egal cu zero.
b) Să se determine valorile parametrilor Rba, pentru care sistemul este incompatibil.
c) Să se arate există o infinitate de valori ale numerelor a și b pentru care sistemul admite o soluție (x ,y ,z ),
cu x, y, z în progresie aritmetică.
3. Fie A matricea coeficienților sistemului


020 30 2
zyxmzyxzyx
, unde Rm
a) Să se calculeze det A .
b) Să se determine Rmastfel încât sistemul să admită soluții nenule.
c) Să se arate că, dacă m =0 , atunci expresia
2
02
02
02
02
02
0
xyzxyz

este constantă, pentru orice soluție nenulă (x 0,y0,z0) a sistemului.

4. Se consideră sistemul de ecuații liniare


422332
zynxmzyxzyx

a) Să se determine m și n pentru care sistemul admite soluția ( 2, 2, 1)
b) Pentru 2nsa se rezolve sistemul .
c) Să se determine m și n pentru care sistemul este compatibil nedeterminat.

118
Fișă nr. 4

1. Să se rezolve sistemele de ecuații liniare
a). 2 3 9
5 2 2 5
3 2x y z
x y z
x y z   
   
    b). 3 2 8
2 3 1
5 9 4 22x y z
x y z
x y z  
  
   c). 2 4 2
2 5 9 7
3 5 4x y z
x y z
x y z  
    
    

2. Să se rezolve sistemele liniare omogene :
a). 2 3 3 0
3 4 5 0
5 2 0x y z
x y z
x y z  
  
   b). 4 2 0
11 4 0
2 0x y z
x y z
x y z  
  
   c). 5 10 5 0
2 4 2 0
2 0x y z
x y z
x y z  
  
  

3. Să se rezolve sistemele de ecuații liniare:
a). 2 2
2 1
2 3x y z
x y z
x y z  
  
   b). 2
2 2 2
2 2 2
3 2x y z t
y z t
x y t
x y z   
     
   c). 2 3 6
3 2 4
5 4 8x y z
x y z
x y z  
  
   

4. Să se rezolve și să se discute după valorile parametrului real  sistemele:
a). 1
2
3 1x y z
x y z
x y z
 
   
   
    b). 2 ( 3) 5
( 5) 2 1
2x y z
x y z
x y z

   
     
   c). ( 1) 0
( 1) 0
0x y z
x y z
x y z

   
   
  

5. Se dă sistemul 2 1
2 4 4
4 2x y z
x y z
mx y z   
   
    unde m este real
a) să se determine m real pentru care soluția sistemului este (1;2;-2).
b) să se rezolve ecuația 21 1 2
2 1 4 7 ,
1 4m m
m   unde este real.
c) pentru m=4 să se rezolve sistemul .

119
6. Se consideră sistemul


0211
zyxzyxmzyx

a) Să se determine parametrul real m astfel încât sistemul să fie compatibil determinat.
b) Pentru }1{\Rm să se rezolve sistemul

7. Se consideră sistemul de ecuații:


3)1(3452 )1()1(2
zmyxmmzymxmzmyx
.
a) Pentru ce valori ale parametrului real m sistemul este compatibil determinat?
b) Să se rezolve sistemul pentru : i) m= 1; ii) m= – 1.

8. Să se rezolve și să se discute după valorile parametrului real  sistemele:
a)
22
2 1
2 2x y z
x y z
x y z 
   
  
   b) 8
2 2 6
2 4x y z
x y z
x y z
  
  
  
9. Fie sistemul : 2 1
2
2 4x y z
x y z
x y z
  
  
   , R .
a) Să se determine solutia (  x ,y , z   ) sistemului de ecuații.
b) Să se determine mulțimea / ( ) 1} A R y   

120
Fișa nr. 5
Probleme aplicate ce pot fi rezolvate
cu ajutorul sistemelor de ecuații liniare

1. O fabrică de mobilă produce două tipuri de mese A și B. Fiecare masă trece prin două etape:
asamblare și finisare. Capacitatea maximă a fabricii pentru asamblare este de 195 ore și pentru
finisare de 165 ore. Pentru fiecare masă A sunt necesare 4 ore la asamblare și 3 ore la finisare, iar
pentru masa B o oră la asamblare și 2 ore la finisare. Determinați numărul de mesede fiecare tip
care pot fi produse utilizând la maxim capacitatea fabricii.

2. Un teatru cu o capacitate de 300 de locuri a vândut la un spectacol toate biletele. Un bilet pentru
copii costă 2 €, pentru studenți 3 €, iar pentru adulți 4 €. Se știe că numărul adulților a fost jumătate
din numărul copiilor și studenților, iar la acea reprezentație s-au încasat 900 € . Determinați
numărul de spectatori din fiecare categorie.

3. Pentru efectuarea căreiva lucrări, doi muncitori au primit 255 lei. Primul muncitor a lucrat 10
zile, iar al doilea 9 zile. Ce sumă de bani a primit fiecare muncitor dacă se știe că primul a primit
pentru 5 zile de muncă cu 15 lei mai mult decît al doilea pentru 3 zile de muncă?

4. Dacă lungimea unui teren de formă dreptunghiulară se va mari cu 4 m, iar lățimea se va micșora
cu 2 m, atunci aria lui se va mari cu 8 m2. Dacă insă lungimea se va micșora cu 3 m, iar lățimea se
va mari cu 1 m, atunci aria terenului se va micșora cu 23 m2 . Aflați dimensiunile terenului

5. Un muzeu înregistrează o încasare de 5580 lei pentru o zi obișnuită, în urma vizitării muzeului de
către 140 de adulți și 55 de copii. După o reducere de preț – cu 25 % pentru un adult și 50 % pentru
un copil , muzeul a încasat 4520 lei în rezultatul vizionării a 180 de adulți și a 20 copii. Care a fost
prețul inițial al biletului?
exerciții asemănătoare din manual).

121
PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Numele și prenumele cadrului didactic: Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela
Unitatea Școlară: Liceul Teoretic „Carmen Sylva” Eforie
Data: aprilie 2020
Disciplina: Matematică
Clasa: a VIII-a B
Unitatea de învățare:
Titlul lecției: Rezolvarea prin metoda reducerii a sistemelor de ecuații de forma:
൜𝑎ଵ𝑥+𝑏ଵ𝑦+𝑐ଵ= 0
𝑎ଶ𝑥+𝑏ଶ𝑦+𝑐ଶ= 0, unde coeficienții 𝑎ଵ,𝑏ଵ,𝑐ଵ,𝑎ଶ,𝑏ଶ,𝑐ଶ ∈𝑅.
Tipul lecției: Mixtă
Durata: 50 minute

Obiectivul fundamental: Formarea deprinderilor și priceperilor în vederea rezolvării corecte a
sistemelor de ecuații precum și a abilităților ce se impun la rezolvarea sistemelor cu parametrii în
situații impuse, asigurând astfel nivelul de cultură generală în matematică, utilizarea lor în studiul
altor capitole precum și promovarea examenului de evaluare națională.

Competențe specifice:
C1: Recunoașterea și descrierea elementelor unui sistem de două ecuații cu două necunoscute;
C2: Aplicarea procedeelor de rezolvare a sistemelor de ecuații;
C3: Exprimarea, în limbaj matematic a rezolvării sistemelor ;
C4: Determinarea soluției unui sistem și efectuarea verificării .

Obiective operaționale: La sfârșitul activității elevii vor fi capabili:
1. Să rezolve sisteme de două ecuații liniare prin metoda reducerii sau substituției.
2. Să rezolve aplicații cu ajutorul sistemelor de ecuații studiate (determinarea coordonatelor
punctului de intersecție a graficelor a două funcții; identificarea unei perechi de numere care
verifică o ecuație sau un sistem a cărui soluție este dată; determinarea unei funcții de forma
f:R→R, f(x)= ax+b, al cărei grafic conține două puncte date).
3. Să identifice unii termeni matematici folosind procedee specifice gramaticii.
4. Să determine sisteme echivalente cu sistemul dat;
5. Să identifice probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de ecuații liniare.

122
Strategii didactice:

Metode și procedee de învățare:
– De transmitere: conversația, explicația;
– De expunere directă: observația organizată; examinarea documentară; exercițiul,
jocul didactic.
– De expunere indirectă: demonstrația; mozaic – învățarea prin cooperare, învățarea
prin descoperire.
– De acțiune reală : exercițiul.

Mijloace (resurse): culegere de exerciții, manual, fișa de lucru.

Stilul de învățare:
– Stilul vizual – va fi favorizat de vizualizarea informațiilor în formă tipărită
(aplicarea comunicării de tip non-verbal);
– Stilul auditiv – va fi favorizat de ascultarea, redarea și explicarea informațiilor
(comunicare verbală);
– Stilul practic – va fi favorizat de aplicarea informațiilor obținute.

Documentare bibliografică:
1. Manual pentru clasa a VIII-a, Ed. Sigma;
2. Anton Negrilă, Maria Negrilă – Matematică , clasa a VIII, Ed. Paralela 45
3. Mircea Fianu, Marius Perianu – Matematică pentru clasa a VIII-a,
Ed. Clubul Matematicienilor;
4. Gabriela Constantinescu – Pas cu pas prin matematică, clasa a VIII-a, Ed. Crizon;

123
Scenariul didactic:

1. Captarea atenției (2’)
Profesorul asigură condițiile ergonomice, verifică materialul didactic și prezența elevilor, le
captează atenția prin prezentarea fișei de lucru și a obiectivelor urmărite pe parcurs.

2. Reactualizarea cunoștințelor asimilate anterior (7’)
Cu ajutorul elevilor, se reamintește metoda substituției pentru rezolvarea unui sistem de două ecuații
liniare cu două necunoscute învățată într-o oră anterioară.

3. Prezentarea noului conținut (8’)
Se scrie în mijlocul tablei titlul temei ce urmează a fi prezentată, „ Rezolvarea sistemelor
prin metoda reducerii”;
Elevii vor fi solicitați să își noteze în caiete noul conținut. Lecția decurge cu participarea activă a
elevilor la oră. Se prezintă noua metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații.

4. Prezentarea fișelor de lucru și rezolvarea exercițiilor conținute de acestea (10’)
Se împart elevilor fișele de lucru și se oferă indicații pentru rezolvarea acestora.

5. Asigurarea transferului – obținerea de performanțe (20’)
Se discută și se rezolvă exercițiile mai grele de pe fișele de lucru apoi se notează răspunsurile
primite.

6. Asigurarea feed-back-ului (3’)
Se dă tema pentru acasă (exercițiile rămase nerezolvate de pe fișele de lucru precum și
exerciții asemănătoare din culegeri).

124

FIȘA DE LUCRU I

I. Rezolvați următoarele sistemele prin metoda substituției:

1. ൜𝑥= 2𝑦
2𝑥+3𝑦= 4 ;

2. ൜𝑥−2𝑦= 3
𝑦=𝑥+1 ;

3. ൜𝑦= 3𝑥
2𝑥+𝑦= 3 .

II. Rezolvați următoarele sistemele prin metoda reducerii:

1. ൜𝑥+𝑦+2 = 0
𝑥−𝑦−4 = 0 ;

2. ൜3𝑥+𝑦= 7
2𝑥−𝑦= 8 ;

3. ൜−2𝑥+𝑦= 5
𝑥−𝑦= −4 .

125
FIȘA DE LUCRU II

I. Rezolvați următoarele sisteme de ecuații:

1. ൜8𝑥−3𝑦= 2
2𝑥−5𝑦+1 = 0 , (𝑥,𝑦) ∈ ℝ𝑋ℝ;

2. ൜(𝑥−2)ଶ+(𝑦+4)ଶ=(𝑥+2)(𝑥−2)+𝑦ଶ
3𝑥+2𝑦= 50 , (𝑥,𝑦) ∈ ℝ𝑋ℝ;

3. ቐଷ
ଶ௫ିଷ௬ାଵ+଺
ଶ௫ାଷ௬ାଵ= 1
଺
ଶ௫ିଷ௬ାଵ−ଶସ
ଶ௫ାଷ௬ାଵ= −1 , (𝑥,𝑦)∈ ℝ𝑋ℝ.

II.
1. Aflați funcția 𝑓:ℝ → ℝ,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 știind că punctele 𝐴(√3;4) și
𝐵(−√3;−2) aparțin graficului funcției.

2. Determinați numerele raționale a și b știind că este adevărată egalitatea:
2𝑎√3+5𝑏−1 = 3√3𝑏−2𝑎+7.

126

3.5. Teste de evaluare

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Profesor : Cojocaru-Apostolachi Anca-Mihaela
Unitatea de învățământ: Liceul Teoretic „Carmen Sylva“ Eforie
Data : aprilie 2020
Clasa: a XI-a A
Disciplina: matematică/algebră
Unitatea de învățare: Sisteme de ecuații liniare
Titlul lecției: „Test de evaluare sumativă: Sisteme de ecuații liniare”
Tipul lecției: Lecție de verificare și apreciere a rezultatelor școlare
Durata: 50 de minute

Competențe de evaluat asociate testului “Sisteme de ecuații liniare”:
C1. Să stabilească dacă o matrice din Mn(C), n=2,3 este inversabilă;
C2. Să determine inversa unei matrice inversabile din Mn(C), n=2,3, utilizând definiția,
transformări
elementare de linii sau matricea adjunctă;
C3. Să scrie un sistem de ecuații liniare sub formă matriceală;
C4. Să scrie sistemul de ecuații liniare asociat unei matrice extinse;
C5. Să rezolve problema compatibilității unui sistem liniar de cel mult trei necunoscute;
C6. Să rezolve un sistem de ecuații liniare de cel mult trei necunoscute printr-una dintre metodele
învățate: metoda matriceală, metoda lui Cramer sau metoda lui Gauss.

STRATEGIE DIDACTICĂ:
 Metode de învățare/instruire: conversația, problematizarea, algoritmizarea, rezolvarea de
exerciții și probleme;
 Forme de organizare a clasei: individuală;

127
 Forme de evaluare: evaluare prin probă scrisă – test docimologic;
 Resurse materiale: test de evaluare sumativă;
 Resurse procedurale: rezolvarea de probleme/ situații problemă;
 Resurse psihologice: Capacitatea de învățare de care dispun elevii clasei. Elevii posedă
cunoștințe legate de stabilirea existenței inversei unei matrice și în caz afirmativ de calculul inversei
unei matrice din M n(C), n=2, 3. De asemenea am insistat mult pe rezolvarea problemei
compatibilității unui sistem liniar de cel mult trei necunoscute. Elevilor le-au fost prezentate diferite
metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (metoda matriceală, metoda lui Cramer, metoda
lui Gauss) și au fost rezolvate o serie de sisteme prin aceste metode. Deoarece la momentul predării
lecțiilor legate de sisteme liniare, elevilor li s-a descris câmpul de aplicabilitate al acestora, consider
că elevii ar trebui să fie motivați și să prezinte interes în rezolvarea itemilor din test;
 Tipuri de itemi folosiți :
1.Itemi obiectivi – cu alegere duală ;
– de împerechere ;
– cu alegere multiplă .
2. Itemi semiobiectivi – de completare.
3. Itemi subiectivi – rezolvare de probleme
 Surse bibliografice:
– Mircea Ganga – Matematică – Manual pentru clasa a XI-a ( TC+CD), Editura Mathpress,
2006;
– Valentin Nicula, Petre Simion – Matematică, Exerciții și probleme propuse și rezolvate, Ed.
Niculescu, 2015;
– G. Constantinescu, C. Zîrnă – Pas cu pas prin matematică, Ed. Crizon, Constanța, 2009.

128
SCENARIUL DIDACTIC :
1. Momentul organizatoric.
Pregătirea colectivului pentru activitate. Captarea și păstrarea atenției (2 min)
Profesorul se asigură de condițiile optime pentru desfășurarea lecției: curățenie, lumină, ținută,
ordine, disciplină. Verifică prezența elevilor și pregătește materialele necesare pentru lecție. Este
preocupat de pregătirea psihologică a elevilor pentru lecție, de trezirea interesului elevilor pentru
activitatea ce urmează a o desfășura;
Elevii raportează absenții și pregătesc toate materialele necesare desfășurării în bune condiții a
lecției (caiete de teme, de casă, manual, culegere etc.).
Activitatea comună desfășurată de către profesor și elevi se realizează printr-o conversație frontală.
2. Sensibilizarea, trezirea interesului pentru lecție (3 min)
Profesorul informează elevii asupra competențelor de evaluat urmărite și împarte elevilor testele de
evaluare sumativă individuale .
Precizarea tematicii și a conținutului ce urmează a fi verificat a fost adus la cunoștința elevilor
anterior desfășurării acestei lecții.
Elevii pregătesc foaia de test și primesc de la profesor testul cu itemii ce trebuie rezolvați.
3. Verificarea conținuturilor însușite legate de sisteme de ecuații liniare (tema,
cunoștințe dobândite de elev) (45 min )
Profesorul verifică prin sondaj, calitativ și cantitativ, tema pentru acasă și corectează unele greșeli și
confuzii făcute de elevi în caiete. În tot acest timp supraveghează elevii care dau test și dacă este
cazul intervine cu lămuriri vizavi de modul de rezolvare al testului.
Elevii prezintă caietele de teme profesorului și lucrează independent itemii din test.
4. Aprecierea rezultatelor – în ora următoare;
Profesorul corectează testul în afara orelor de curs, face o analiză și o interpretare a acestuia, ia
cunoștință de nivelul de pregătire al elevilor și realizează pe baza baremului o notare obiectivă iar la
următoarea întâlnire cu elevii le prezintă acestora rezultatele, făcând o analiză a lucrărilor, soldată
cu aprecieri generale:
– sunt evidențiate greșeli tipice sau cu o frecvență mai mare;
– se fac unele precizări și se dau explicații suplimentare pentru înlăturarea lacunelor și
corectarea greșelilor;
– sunt prezentate unele lucrări reprezentative (foarte bune sau foarte slabe).

129
TEST – Sisteme de ecuații liniare
Notă: Toate subiectele sunt obligatorii.
Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.

1. Citește cu atenție afirmațiile de mai jos. În cazul în care apreciezi că afirmația este
adevărată, încercuiește litera A. În caz contrar încercuiește litera F și înlocuiește, în
spațiul liber, cuvintele subliniate cu altele care fac afirmația adevărată.

A F a. Sistemul liniar omogen are întotdeauna doar soluția banală. (
)
A F b. Sistemul compatibil nedeterminat este sistemul care nu are nici o soluție.
(_______)
A F c. O matrice 32,n,MAn C este inversabilă dacă și numai dacă
0detA. (_______)
A F d. Un sistem liniar cu numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute și
0detA se numește sistem Cramer. ( )
A F e. Sistemul incompatibil este sistemul care are mai mult de o soluție.
(________)
2. Înscrie în spațiul din fața fiecărui număr din coloana A, litera din coloana B care
cores-punde tipului de sistem menționat în coloana A.
A B
1.


76y4x43y2x
D. sistem compatibil determinat cu două
ecuații și două necunoscute
2.


86y4x43y2x
E. sistem liniar omogen de două ecuații și două
necunoscute
3.


22yx43y2x
P. sistem incompatibil

130
4.


02yx03y2x
Q. sistem compatibil nedeterminat
5.


02zx0zy1yx
R. sistem liniar de trei ecuații și două
necunoscute
S. sistem compatibil determinat de trei ecuații
și trei necunoscute
3. Se consideră sistemul:


1z4ymx4zyx23z3y2x
,Rm.
I) Valoarea parametrului real m astfel încât următorul sistem să aibă soluție
unică este:
a) 3\mR b) 10m c) 3m d) 3\m R
II) Valoarea parametrului real m pentru care tripletul 1,3,0 este soluție a
sistemului:
a)
Rm b) 1m c) 0m d) Rm
4. Scrie sub formă matriceală sistemul:


0yx41z3y4z2yx
.
5. Scrie sistemul de ecuații liniare asociat următoarei matrice extinse: 


 

52
1234
.
6. Completează elementele lipsă din matricea extinsă în urma transformărilor indicate:
   


















010231 231
41246
1293 122
211LL3L51
LL2L31
.
7. Să se scrie sistemul de ecuații liniare pentru matricea extinsă de la subiectul 6 și
utilizând rezultatele obținute să se determine soluția sistemului.

131
8. Să se rezolve următorul sistem utilizând metoda matriceală sau regula lui Cramer:


3y4x5y3x2
.

Barem de corectare si notare :

1.a) F, cel puțin ; 1.b) F, incompatibil ;
1.c) F, 0detA ; 1.d) A ;
1.e) F, compatibil nedeterminat
2 p  5 =10 p

2. (1,P); (2,Q); (3,D); (4,E); (5,S); 2 p  5 =10 p
3. I. Condiția ca sistemul să aibă soluție unică: 0detA
15m5
41m112321



3\m015m5 R răspuns a)

5p

II. răspuns d)
5p
4. Forma matriceală a unui sistem liniar:
BXA, unde A este matricea sistemu-
lui, X este matricea coloană a necunos-
cutelor și B este matricea coloană a
termenilor liberi;















014
zyx
014310211

2p

4p

132
5.


5yx22y3x4 6p
6.  211 LL2L31
41246
1293






 231
2L51
231






050
12LL3231




010




02
1001

3p

3p

3p

3p
7. sistemul


4yx26y9x3
soluția sistemului:


0y2x
3p

3p
8. Metoda matriceală:
Scrierea sistemului sub forma BXA










 35
yx
4132
Calculul lui detA=11
detA 0A inversabilă
Calculul lui





112
111113
114
A1 prin orice
metodă

3p
2p
2p

6p

133
Soluția sistemului este BAX1
1y,1x

sau Metoda lui Cramer:

Calculul lui 0114132Adet 
Observarea faptului că 0 și avem un
sistem Cramer
Calculul lui 114335
x 
Calculul lui 113152
y 
Soluția sistemului dată de formulele lui
Cramer: 1 xx , 1 yy
 .

2p

2p

3p

3p

3p

4p
Oficiu 10p
Total 100p

134

ANALIZA REZULTATELOR ADMINISTRĂRII
INSTRUMENTULUI DE EVALUARE

Administrarea testelor scrise reprezintă o etapă vitală în desfășurarea fiecărei
evaluări. Instrumentul de evaluare aplicat de mine este un test de progres școlar,
concretizat într-un test de cunoaștere și înțelegerea conceptelor, a terminologiei și a
procedurilor de calcul specifice matematicii, precum și de dezvoltare a capacităților de a
comunica utilizând limbajul matematic.
Fiind un test elaborat de profesor si nu unul standardizat, am încercat în
proiectarea lui:
1. Să asamblez itemii, respectând matricea de specificație, prin atingerea în mod
gradat si echilibrat a tuturor nivelelor taxonomice;
2. Să elaborez itemii prin corelare cu obiectivele de evaluare, obiectivele de
referință alese și obiectivul cadru corespunzător;
3. Să construiesc un barem de corectare si notare explicit, care să permită o notare
obiectivă a testului.
Timpul de lucru efectiv pentru test este de 50 de minute iar punctajul maxim
acordat este de 90 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu.
Instrumentul care conferă validitate testului este matricea de specificații. Aceasta
realizează corespondența dintre competențele de evaluat (corespunzătoare nivelurilor
taxonomice) și unitățile de învățare/conceptele-cheie/conținuturile/temele specifice
programei școlare de matematică pentru clasa căreia i se adresează testul. Competențele de
evaluat se stabilesc prin derivare din competențele generale și/sau din competențele
specifice ale programei școlare.
Matricea de specificații este un instrument care certifică faptul că testul măsoară
competențele de evaluat propuse si că testul are validitate de conținut:
a) liniile matricei precizează conținuturile abordate;
b) coloanele matricei conțin competențele de evaluat corespunzătoare
nivelurilor cognitive.
Profesorul care creează testul de evaluare stabilește ponderea fiecărui conținut ce
urmează a fi evaluat, în funcție de competențele de evaluat specificate în matrice.

135

Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare sumativă
este următoarea:
Competențe

Conținuturi C1
C2 C3
C4 C5 C6 TOTAL
Studiul
compatibilității
sistemelor 1-10p
3-10p 20p
Forma matriceală
Inversa unei
matrice 4-6p
5-6p 12p
Propietăți ale
sistemelor 2-10p
6-12p 22p
Rezolvarea
sistemelor prin
metode învățate 7-6p
8-30p 36p
TOTAL 22p 12p 20p 36p 90p

Colectivul de elevi este eterogen, 5 elevi participând la concursuri școlare cu
rezultate bune, restul lucrând după programa școlară, tema pentru acasă propusa la
școală.
Distribuția pe tranșe de note (număr elevi prezenți: 28 din 28):
Note
cuprinse < 4,99 5 – 5,99 6 – 6,99 7 – 7,99 8 – 8,99 9 – 9,99 10
6 3
5 3 3 5 6 2
Media clasei: 6,86

Promovabilitate:
7
8,57%

136

Diferențele sesizate între notele la lucrări și mediile notelor din timpul
semestrului se datorează faptului că:
 ajutați de profesor, se descurcă mai bine în oral decât în scris;
 sunt muncitori, execută cu plăcere toate sarcinile pe care le primesc prin
diversele forme de evaluare propuse de profesor: fișe de lucru, portofolii
individuale și de grup;
 rezultatele obținute în timpul semestrului reflectă într-un procent mai mare
atitudinea acestor elevi fața de procesul de învățare pe când rezultatele
obținute la test reflectă, evident, mai mult cunoștințele și strategiile
dobândite în aceasta perioadă de timp.
Recomandări de optimizare a procesului de evaluare:
 corectarea testului la clasă;
 recapitularea sintezei teoretice;
 rezolvarea subiectelor propuse în fișa de lucru;
 rezolvarea mai multor probleme practice;
 antrenarea și implicarea mai mult a elevilor cu rezultate scăzute;
 nivelul clasei fiind mai ridicat, problemele mai dificile ar trebui rezolvate
în număr mai mare la ora de pregătire suplimentară; ar trebuie să se țină
cont de nivelul cerințelor de la examenul de bacalaureat;
 subiectele cu răspuns deschis să aibă o pondere mai mare la următorul test
și dacă este posibil acesta să dureze mai mult.

137

CONCLUZII

Lucrarea prezentată a avut ca punct de plecare dorința ameliorării procesului
instructiv-educativ și a rezultatelor acestuia, materializate în performanțele elevilor.
Constatând scăderea alarmantă a motivației pentru învățare și în deosebi a interesului față de
disciplina matematică, am dorit să concep o serie de strategii care să îi atragă pe elevi către
studiu, ca mai apoi să le formeze un ansamblu de capacități, abilități și deprinderi esențiale în
vederea susținerii Examenului Național de Bacalaureat, dar și a celui de Evaluare Națională
la sfârșitul clasei a VIII-a.
Considerând că acest capitol Sisteme de ecuații liniare are un statut aparte în
programa școlară de matematică am decis să organizez demersul experimental pe acest
segment de conținut.
Tema aceasta a fost adesea inclusă în subiectele date la proba scrisă a Examenului de
Bacalaureat, cu precădere la specializarea matematică-informatică , fapt care indică
importanța studierii ei. De asemenea, probleme care se rezolvă cu ajutorul sistemelor de două
ecuații cu două necunoscute, se regăsesc foarte des în variantele date la Examenul de
Evaluare Națională. Prin urmare, am considerat oportună abordarea acestui subiect în cadrul
unei cercetării experimentale, cu scopul de a identifica strategiile didactice eficiente în
direcția ameliorării rezultatelor elevilor.
Conținutul lucrării este structurat ca un suport de curs pentru unitatea Sisteme de
ecuații liniare din programa de matematică de clasa a XI-a, structurat în două părți. Partea
științifică este alcătuită din trei subcapitole: matrice, determinați și sisteme care formeaza
teoria necesară promovării cu brio a examenului de bacalaureat, fiecare dintre ele fiind urmat
de câte un set de probleme cu diferite grade de dificultate, precum și probleme date la
examenul de bacalaureat și la admitere în universități.
Partea a doua, cea metodică, are la bază transpunerea informațiilor științifice
prezentate în context didactic. Mi-am propus să verific în ce măsură adoptarea strategiilor
didactice moderne determină activizarea elevilor, creșterea motivației pentru învățare și
ameliorarea performanțelor școlare. Am constatat că elevii s-au simțit atrași de forma pe care
o lua activitatea de predare-învățare. De asemenea, atractivă li s-a părut și munca în echipă.
Chiar și elevii care de multe ori manifestă un interes scăzut față de educație, lucrând în

138
perechi sau în grupuri omogene ori eterogene, s-au mobilizat și au contribuit la soluționarea
sarcinilor alocate.
În proiectele de tehnologie didactică sunt prezentate diferite metode de abordare a
lecțiilor atât la nivel gimnazial, cât și la cel liceal. S-a observant că adoptarea strategiilor
didactice care favorizează cogniția constituie modalitatea eficentă de obținere a succesului
școlar. Cu toate acestea, este necesară conștientizarea limitelor pe care le presupune recursul
la strategiile moderne de predare-învățare. Dezavantajul principal, are în vedere factorul timp.
Dacă proiectarea lor este de durată, aplicarea la clasă a strategiilor cognitive implică un
consum de timp la fel de semnificativ. În condițiile supraîncărcării programei școlare, acest
aspect constituie un dezavantaj demn de luat în considerare. De aceea, sunt de părere că este
ideală găsirea unui echilibru între modern și tradițional în ceea ce privește activitatea de
predare. Totodată, utilizarea în exces a unor strategii, chiar și a celor cognitive, poate deveni
la un moment dat monotonă. Desigur, există varianta adoptării unor metode, tehnici și
mijloace de învățământ cât mai variate, în scopul evitării saturației. Dar mai există și
posibilitatea alternării strategiilor moderne cu cele tradiționale.
Din punct de vedere al evaluării, s-a prezentat un test de evaluare sumativă care
conține difetite tipuri de itemi, concepuți în așa fel încât fiecare elev participant-activ la orele
de curs să poată obține reultate semnificative. Privind strict din perspectiva eficienței
strategiilor cognitive în procesul de evaluare s-a observant o creștere a rezultatelor obținute
de elevi, dar și a motivației pentru învățare. De aceea putem afirma că acestea au un grad
ridicat de eficiență.

139
BIBLIOGRAFIE

I. ȘTIINȚIFICĂ
1. Ganga M. – Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, Ed. Mathpress, 2006
2. Jantschi L., Nașcu H.I. – Chimie analitică și instrumentală, Academic Pres &
Academic Direct, 2009
3. Mihăileanu N. – Istoria matematicii, Ed. științifică și enciclopedică, București,
1981
4. Năstăsescu C. , Niță C. – Matematică, Manual pentru clasa a XI-a, M1, Ed.
Didactică și pedagogică, 2004
5. Popescu O., Raischi C. – Matematici aplicate în economie, Ed. Didactică și
pedagogică, București, 1993
6. Postolache M. – Matematică, Manual pentru clasa a XI-a , M2, Ed. Fair
Partners, 2006
7. Simion P. , Nicula V. – Matematică, Exerciții și teste de evaluare pentru
bacalaureat, Ed. Niculescu, 2017
8. www.subiecte.edu.ro
9. www.mateinfo.ro
10. www.didactic.ro

II. METODICĂ
1. Cerghit I. – Metode de învățare, Ed. Didactică și pedagogică, București, 1997
2. Cucoș C. – Pedagogie, Ed. Polirom, Iași, 1996
3. Panțuru S. – Elemente de teoria și metodologia instruirii, Ed. Univ.
Transilvania, Brașov, 2002
4. SNEE – Ghidul examinatorului, Ed. Aramis, București, 2001
5. Suport curs DeCeE