Teoria propagării sau transmiterii căldurii se ocu pă cu cercetarea fenomenelor și măsurarea schimburilor de căldură ca re au loc în sistemele… [612615]

CAP 4. TRANSMITEREA CĂLDURII

Teoria propagării sau transmiterii căldurii se ocu pă cu cercetarea
fenomenelor și măsurarea schimburilor de căldură ca re au loc în sistemele
materiale, ale căror părŃi componente se află la te mperaturi diferite.
Deoarece schimburile de căldură participă în propo rŃie considerabilă la
toate procesele naturale sau industriale, studiul p ropagării căldurii ocupă un loc
important în realizarea funcŃionării corespunzătoar e a tuturor aparatelor
schimbătoare de căldură.
Spre deosebire de cel de2al doilea principiu al te rmodinamicii, care
studiază aspectele calitative ale transferului term ic de la corpurile cu temperatură
mai ridicată spre cele cu temperatură mai scăzută, studiul propagării căldurii,
examinând fenomenele termice care au loc în timp, u rmărește determinarea
relaŃiilor cantitative care intervin în desfășurare a procesului.
În procesele de transmiterea căldurii se urmărește, fie determinarea
energiei termice maxime care poate fi transmisă pri n unitatea de suprafaŃă, fie
obŃinerea randamentului optim de utilizare a unor s urse de căldură, sau
reducerea la minimum a trecerii unui flux termic pr intr2o anumită suprafaŃă. În
multe cazuri practice trebuie avute în vedere toate aceste considerente, în scopul
obŃinerii unei eficienŃe economice optime.
Propagarea căldurii se poate realiza în următoarel e trei moduri :
1) ConducŃia termică reprezintă transportul direct al căldurii în inter iorul
aceluiași corp material (lipsit de mișcări aparente ), în masa căruia există
diferenŃe de temperatură, sau între corpuri diferit e atunci când între acestea
există un contact intim și diferenŃe de temperatură . Acest mod de transmitere a
căldurii este caracteristic corpurilor solide, la l ichide și gaze intervenind numai
în stratul limită sau în straturi de grosime foarte mică.
2) ConvecŃia este o transmitere de căldură macroscopică; ea are loc
datorită unui fluid în mișcare, în care elementul c onducător (fluidul) vehiculează
din zona de temperatură mai mare, pentru a transpor ta energia termică în locuri
de temperatură mai scăzută. Transmiterea căldurii p rin convecŃie este
caracteristică fluidelor.
3) RadiaŃia reprezintă modul de transmitere a căldurii sub for mă de
energie radiantă, care intervine între două suprafe Ńe având temperaturi diferite,
distanŃate și separate între ele printr2un spaŃiu c are permite radiaŃia (eventual
vid).

Transformarea energiei calorice în energie radiant ă și invers, este un
fenomen intraatomic. Deoarece în fenomenele reale d e transmiterea căldurii pot
interveni, în proporŃii care variază de la caz la c az, toate cele trei moduri de
propagare, pentru descrierea procesului global se u tilizează termenul de
transmiterea căldurii, rezervându2se întrebuinŃarea termenilor de conducŃie,

convecŃie și radiaŃie pentru partea din proces care se desfășoară potrivit
mecanismului descris mai sus. Datorită dificultăŃii pe care o prezintă studiul
simultan al celor trei moduri de propagare a căldur ii, care au de altfel legi de
transmitere diferite, în cadrul procesului complex al transmiterii termice atenŃia
se concentrează asupra acelui mod de propagare care se manifestă în mod
pregnant. Fenomenele de transmitere termică sunt va riabile în timp, fiind prin
excelenŃă și fenomene ireversibile, deoarece difere nŃa de temperatură care
intervine nu poate fi niciodată infinit mică. În ca zul cel mai general, temperatura
este o funcŃie de coordonatele spaŃiale, precum și de timpul τ.
Considerând un spaŃiu, sau o porŃiune de spaŃiu ( fig. 4.1), la care în
fiecare punct parametrul de stare t (temperatura) a re la un moment dat τn,
valorile t 1, t 2,…t n, cu o repartizare oarecare, posibilă în spaŃiu, to talitatea valorilor
instantanee ale temperaturilor, în spaŃiul dat, se numește câmp de temperatură .
EcuaŃia de definiŃie a câmpului de temperatură, în coordonate carteziene,
cilindrice, sferice și vectorial, este de forma :
t = f(x,y,z,τ); t = f(r, ϕ⋅z,τ); t = f(r, ϕ,ψ,τ); )., rf( t τ = (4.1)
Într2un astfel de câmp, plecând
dintr2un punct oarecare în diferite
direcŃii ale spaŃiului, se întâlnesc în
general valori variabile pentru
temperatura t. Câmpul considerat este
continuu , atunci când la deplasări
elementare corespund tot variaŃii
elementare ale valorilor lui t. Dacă
însă variaŃia temperaturilor are valori
finite pentru deplasări infinitezimale,
chiar numai pentru o singură direcŃie,
câmpul de temperatură se numește
discontinuu . În corpul considerat se
pot determina suprafeŃe în cuprinsul
cărora temperatura este constantă, locul geometric al punctelor de temperatură
egală formând în spaŃiu o suprafaŃă curbă izotermă . În cazul cel mai general,
într2un câmp termic temperatura variază în timp, câ mpul de temperatură
numindu2se variabil sau nestaŃionar . Câmpul de temperatură este permanent sau
staŃionar , atunci când în interiorul său temperatura nu vari ază în timp, caz în
care timpul nu apare explicit în ecuaŃia de definiŃ ie a câmpului. EcuaŃia
câmpului de temperatură staŃionar tridimensional es te : t = f (x, y, z). În regim
staŃionar suprafeŃele izoterme rămân fixe în spaŃiu , dar variază în timp, în cazul
regimului variabil, luând poziŃii deformate sau nu. VariaŃiile de temperatură de2a
lungul unei suprafeŃe izoterme sunt nule, dar au va lori diferite de zero în oricare
altă direcŃie care intersectează izoterma (fig. 4.2 ).

Fig. 4.1 Câmp de temperatură

Din multitudinea direcŃiilor
posibile, o deosebită importanŃă prezintă
acea. direcŃie pentru care variaŃia de
temperatură unitară este maximă.
Această direcŃie este precizată de
normala n dusă la cele două suprafeŃe
izoterme, de temperaturi t și (t + ∆t). În
câmpul dat se poate determina, într2un
punct oarecare, un vector a cărui
direcŃie este direcŃia perpendicularei
celei mai scurte între izoterme, direcŃie
cu variaŃie maximă de temperatură și a
cărui valoare absolută este egală cu valoarea varia Ńiei de temperatură pe unitatea
de lungime a acestui drum. Acest vector, reprezentâ nd limita raportului dintre
variaŃia de temperatură ∆t și distanŃa dintre izoterme, considerată pe norma la ∆n,
se numește gradient de temperatură și se exprimă prin relaŃia :

=


∆∆=
→∆ mK
dndt
ntt grad
nlim
0 (4.1)
Sensul acestui vector este astfel ales, încât este pozitiv în direcŃia creșterii
de temperatură. Căderea de temperatură este valoarea negativă a gradientului de
temperatură (2grad t), iar totalitatea acestor vect ori formează câmpul căderilor de
temperatură.
Căldura transmisă în unitate de timp reprezintă o m ărime vectorială și se
numește flux termic .
Fluxul termic, în cazul regimului staŃionar și nest aŃionar, este :
τ∆∆=φQ și 

τ∆∆=


τ∆∆=φ
→τ∆sJ Q Q
0lim (4.3)
în care Q reprezintă căldura transmisă în
intervalul de timp ∆τ .
Din ultima relaŃie, pentru căldura
transmisă, rezultă expresia :
][ ,2
112 J d Q sau d dQ ∫τ⋅ φ = τ⋅ φ= (4.4)
Prin raportarea fluxului termic la
suprafaŃa pe care o străbate, se obŃine
densitatea fluxului termic , reprezentând
deci debitul de căldură propagat prin
unitatea de suprafaŃă normală pe direcŃia
lui, adică :




τ∆∆∆∆=∆φ∆=21
mW Q
A Aq . (4.5)

Fig. 4.2 DirecŃii de variaŃie a
temperaturii

Fig.4.3. Reprezentarea vectorului
densitatea fluxului termic.

Densitatea fluxului termic este un vector într2un p unct al câmpului de
temperatură (fig.4.3), care prin direcŃia sa indică direcŃia de propagare a căldurii,
iar prin valoarea lui absolută, intensitatea fluxul ui termic.

4.1. CONDUCłIA TERMICĂ

Transmiterea căldurii prin conducŃie se realizează prin transportul efectuat
de electroni, prin mișcările oscilatorii ale partic ulelor componente și prin emisia
și absorbŃia reciprocă a radiaŃiilor dintre particu lele elementare învecinate, în
cazul unei densităŃi suficient de mari a particulel or (cu excepŃia gazelor).
Intensitatea conducŃiei termice este maximă la meta le, la care sunt posibile toate
cele trei moduri de transport (electronic, fotonic și prin radiaŃia dintre particule)
și minimă la gazele neionizate în repaus mediu rela tiv, la care conducŃia căldurii
se realizează numai prin oscilaŃiile moleculelor.
Legea fundamentală a transmiterii căldurii prin co nducŃie, legea lui
Fourier, stabilită experimental în anul 1822, indic ă proporŃionalitatea directă a
densităŃii fluxului termic cu căderea de temperatur ă și se exprimă prin relaŃia :

λ−= λ − = −λ=2) ( q
mW
dndtt grad t grad ( 4.6)
Sensul vectorului q este invers celui al gradientul ui, adică este același cu
sensul căderii de temperatură (fig. 4.3), deoarece propagarea căldurii are loc în
direcŃia variaŃiei maxime de temperatură și în sens ul temperaturilor
descrescătoare (conform celui de2al doilea principi u al termodinamicii).
Factorul de proporŃionalitate λ, din legea lui Fourier, se numește
conductivitatea termică sau coeficient de conductibilitate termică și reprezintă
căldura care se transmite în unitate de timp, print r2o suprafaŃă unitară, pentru o
cădere de temperatură de un grad, pe unitatea de lu ngime l:


⋅ ∆τ∆= −=λkmW
ltQ
t gradlq
Determinant în fenomenele de transmiterea căldurii prin conducŃie,
coeficientul λ exprimă proprietatea intrinsecă a corpurilor refer itoare la
conducŃia termică, are valori deosebite pentru corp uri diferite, iar pentru un
același corp depinde de structura sa, densitate, um iditate și temperatură.
VariaŃia lui λ cu temperatura este cauzată de creșterea volumului corpului,
amplificarea mișcării particulelor elementare și de modificările structurii reŃelei
cristaline a corpului.
Pentru cele mai multe substanŃe, experimental s2a o bŃinut următoarea
dependenŃă de temperatură, a conductivităŃii termic e:


⋅±λ=λKmWbt) 1 (0 (4.8)

în care λ0 reprezintă valoarea conductivităŃii termice la 0°C , iar semnul minus se
referă la majoritatea metalelor, pentru care conduc tivitatea termică scade o dată
cu creșterea temperaturii.

4.2. ECUAłIA GENERALĂ A CONDUCłIEI TERMICE

Determinarea transferului de
căldură prin conducŃie este posibilă
prin aplicarea legii lui Fourier (4.6),
numai dacă se cunoaște expresia
câmpului de temperatură (4.1).
EcuaŃia diferenŃială a
conducŃiei termice, sau ecuaŃia lui
Fourier, determină câmpul de
temperatură din care, cunoscând
gradientul de temperatură și prin
urmare distribuŃia temperaturii în
corp, cu ajutorul legii lui Fourier (4.6)
se calculează densitatea fluxului
termic transmis.
Pentru a stabili, pe baza legii
conservării energiei, ecuaŃia
diferenŃială a conducŃiei, din mediul
prin care are loc transmiterea căldurii,
se separă un paralelipiped elementar având muchiile paralele cu axele de
coordonate (fig. 4.4). Se consideră că mediul studi at este format dintr2un
material omogen și izotrop, având parametrii fizici λ, c și ρ constanŃi.
În cazul transferului termic tridimensional, căldur a care pătrunde în
paralelipiped din direcŃia x, în timpul d τ, prin planul yz al suprafeŃei laterale din
stânga, de temperatură t, este conform legii lui Fo urier :
τ


∂∂λ−=τ


∂∂λ−=′ dxtdzdy dxtdA Qdx (4.9)
Căldura care părăsește paralelipipedul, tot în dire cŃia axei x, în același
interval de timp d τ, prin planul yz al suprafeŃei laterale din dreapta , de
temperatură 


∂∂+ dxxtt , este :
τ



∂∂+∂∂λ−=τ


∂∂+∂∂λ−=′ ′ ddx
xt
xtdzdy ddxxttxdzdy Qdx 22
(4.10)

Fig. 4.4. Paralelipiped elementar
din material omogen și izotrop.

Determinând în mod analog pentru celelalte două dir ecŃii, prin însumare se
obŃine căldura care pătrunde, respectiv care părăse ște paralelipipedul elementar,
în timpul d τ :
τ

∂∂+∂∂+∂∂λ−=′+′+′=′ dztdydxytdzdxxtdzdy Qd QdQdQdz y x (4.11)
τ






+ + +∂∂+∂∂+∂∂λ−=′ ′ +′ ′ +′ ′ =′ ′ ddztd
dytd
dxtddzdydxztdydxytdzdxxtdzdy Qd Qd Qd Qdz y x 22
22
22

(4.12)
Căldura înmagazinată de elementul paralelipipedic î n timpul d τ este, în
cazul temperaturii variabile în timp :
( ) ττ ∂∂ρ= dtdzdydxc dQp 1 . (4.13)
Dacă, în cazul general, se admite că volumul unitar al corpului considerat
dezvoltă în unitate de timp căldura q v, atunci expresia căldurii produsă de sursele
interioare din întregul volum al paralelipipedului este de forma :
( )τ = ddzdydxq dQv 2 . (4.14)
EcuaŃia bilanŃului termic pentru paralelipipedul el ementar este :
1 2 dQ Qd dQ Qd +′′ = +′ ,
din care, după înlocuirea relaŃiilor (4.11), (4.12) , (4.13) și (4.14), se obŃine
expresia generală a câmpului de temperatură sub for ma ecuaŃiei lui Fourier :
pv
p cq
zt
yt
xt
ct
ρ+



∂∂+∂∂+∂∂
ρλ=τ ∂∂
22
22
22
, (4.15)
cantitatea
pcρλ, exprimată în m 2/h, reprezintă difuzivitatea termică și se notează
cu a, iar termenul din paranteză este operatorul lui La place sau laplacianul ( ∆),
cu care forma generală a ecuaŃiei diferenŃiale (4.1 5) devine :
pv
cqtat
ρ+∆=τ ∂∂ (4.16)
Această expresie reprezintă o ecuaŃie diferenŃială parŃială în raport cu
timpul și cu coordonatele spaŃiale, ca variabile in dependente și cu temperatura,
ca variabilă dependentă, iar qv este o funcŃie dată a locului.
In regim staŃionar, 0=τ ∂∂t, cu care, ecuaŃia conducŃiei termice, (4.15) și
(4.16) devine :
0 ;022
22
22
=λ+∆ =λ+



∂∂+
∂∂+
∂∂v v qtq
zt
yt
xt (4.17)
iar în cazul inexistenŃei surselor termice interioa re, qv = 0 :
0 ;022
22
22
=∆ =∂∂+∂∂+∂∂tzt
yt
xt . (4.18)

4.3. CONDUCłIA TERMICĂ IN REGIM STAłIONAR

În regim termic staŃionar, valoarea temperaturii în tr2un punct al spaŃiului
fiind independentă de timp, determinarea câmpului d e temperaturi se efectuează
prin integrarea ecuaŃiei lui Fourier, în condiŃiile regimului permanent, 0=τ ∂∂t și
în lipsa surselor de căldură interioare, qv = 0 (relaŃia 4.18). Câmpul de
temperaturi fiind astfel stabilit, aplicarea legii lui Fourier (4.6) permite
precizarea densităŃii fluxului termic transmis prin conducŃie.

4.3.1 CONDUCłIA TERMICĂ PRIN CORPURI SOLIDE OM OGENE

Studiul transmiterii căldurii prin corpuri solide o mogene și izotrope
reclamă cunoașterea formei și mărimii corpurilor. D e aceea, analiza aspectelor
pe care le prezintă fenomenul de conducŃie termică prin corpurile solide,
omogene, se face diferenŃiat după forma și mărimea suprafeŃelor acestora.
4.3.1.1. ConducŃia termică printrhun perete plan, p aralel, infinit . Dacă
două din dimensiunile unui perete plan paralel sunt mari în raport cu a treia,
efectele marginale ale acestuia devin neglijabile î n procesul de conducŃie
termică, iar peretele poate fi considerat infinit.
Pe suprafeŃele laterale ale unui perete plan parale l, infinit și omogen (fig.
4.5), de grosime δ, având conductivitatea termică λ constantă, temperaturile
cunoscute t 1 > t 2 se menŃin constante.

Fig. 4.5. VariaŃia temperaturii în Fig. 4.6. VariaŃ ia temperaturii în secŃiunea
secŃiunea peretelui plan, paralel unui perete plan, în regim staŃionar și
din material omogen și izotrop. pentru λλ λλ variabil.

În lipsa efectelor marginale, suprafeŃele paralele cu feŃele peretelui sunt
izoterme și ca urmare variaŃia câmpului de temperat ură are loc numai pe direcŃia
normală la aceste suprafeŃe, considerată, în figura 4.5, direcŃia axei 0 – x .
Deoarece se presupune că regimul este staŃionar, te mperatura unei
suprafeŃe izoterme este constantă în timp și deci a ceeași căldură care atacă, în
unitate de timp, suprafaŃa izotermă unitară, trebui e să o părăsească, adică
valoarea densităŃii fluxului termic q se menŃine constantă.
In cazul acestui câmp de temperatură unidirecŃional (în direcŃia axei x),
legea lui Fourier (4.6), pentru un strat de grosime dx, are expresia :
dt dxq sauxtq λ−=∂∂λ−= , .
Pentru λ considerat constant, cu condiŃiile de contur exist ente și anume,
pentru x = 0, t = t 1 și la x = δ, t = t 2, prin integrare rezultă :
∫ ∫ λ−=δ 2
1 0t
tdt dxq , adică: ( ) ( )
−δλ= −δλ=2 2 1 1 2mWtt tt q . (4.19)
RelaŃia (4.19) arată că densitatea fluxului termic care se propagă printr2un
perete plan este direct proporŃional cu conductivit atea termică și cu diferenŃa de
temperatură de pe feŃele marginale ale peretelui și invers proporŃională cu
grosimea acestuia.
Conductivitatea termică λ se determină pentru temperatura medie,
22 1ttt+= .
Cunoscând valoarea densităŃii fluxului termic (4.19 ), fluxul de căldură se
obŃine cu ajutorul expresiei:
( ) [ ]W ttAAq2 1−δλ=⋅=φ (4.20)
Căldura care se transmite prin peretele plan în tim pul τ va fi :
( ) τ −δλ=τ =τ ⋅ φ= Att qA Q2 1 [J]. (4.21)
Temperatura t, la distanŃa x de la suprafaŃa latera lă a peretelui de
temperatură t 1, se obŃine prin integrarea primei relaŃii ( 4.19) :
( ) ∫ ∫−λ−= λ−=t
tx
ttxq dt dxq
11
0; ,
din care :
λ−=xqtt1 · (4.22)
Înlocuind în relaŃia (4.22), expresia (4.19) a dens ităŃii fluxului termic,
rezultă ecuaŃia curbei de temperatură sub forma :
xttttδ−−=2 1
1 , (4.23)
din care se observă că într2un perete plan omogen, în cazul conductivităŃii
termice, constante, temperatura prezintă o variaŃie liniară (fig. 4.5).

Inversul conductivităŃii termice a unui corp se num ește rezistivitate
termică .
Prin analogie cu rezistenŃa electrică, rezistenŃa termică este câtul prin fluxul
termic Φ al diferenŃei de temperatură, care întreŃine acest flux, în regim
staŃionar:
φ−=2 1ttR ,
sau, pentru peretele plan paralel:


λδ=WK
AR .
În toate relaŃiile deduse, temperaturile de pe supr afeŃele corpurilor s2au
presupus constante. Dacă această ipoteză nu este în deplinită, temperatura medie
a suprafeŃei se determină cu relaŃia :
∑
==n
i iii
mAAtt
1,
unde A 1, A 2,… A n sunt porŃiuni din suprafaŃa totală, care au temper aturile t 1,
t2,… t n.
O altă ipoteză, care a stat la baza relaŃiilor ante rioare, a fost considerarea
lui λ = const., faŃă de variaŃia temperaturii, în lungul grosimii peretelui. În
realitate, λ fiind dependent de temperatură, are valori variabi le. Adoptând pentru
λ0 o dependenŃă de temperatură de forma celei din rel aŃia (4.8), legea lui Fourier
pentru peretele plan paralel, devine :
( ) ( ) dtbt dxq saudxdtbt q ± λ−= ± λ−= 1 10 0 .
Cu condiŃiile de contur considerate la peretele pla n, după efectuarea integrărilor,
se obŃine :
( ) ( )2 1 2 10
21 ttttbq −
+ ±δλ−= (4.24)
Valoarea medie a conductivităŃii termice rezultă di n compararea relaŃiilor (4.19)
și (4.24) :
( )
+ ± λ=λ2 1 021 ttb
m .
Pentru λ variabil, variaŃia temperaturii în lungul grosimii δ a peretelui nu
se mai face liniar, ci după o curbă, reprezentată î n figura 4.6, a cărei ecuaŃie,
dedusă din relaŃia (4.24), este :
02
12 1 1
λ

± +±=qxtb bt µ . (4.25)
4.3.1.2. ConducŃia termică printrhun perete cilindr ic de lungime mare . Se
consideră un tub din material omogen și izotrop (fi g. 4.7), având secŃiunea
circulară constantă și lungimea l, suficient de mare pentru ca temperatura să
prezinte variaŃii numai în direcŃie radială. Conduc tivitatea termică a materialului

se presupune constantă, ca și temperatura suprafeŃe lor interioare și exterioare,
tl>t 2.
În interiorul peretelui tubului
se consideră un strat inelar de
grosime dr și rază r, limitat de
două suprafeŃe izoterme, deoarece
suprafeŃele izoterme sunt în acest
caz cilindrice, coaxiale cu tubul.
În regim staŃionar fluxul
termic fiind constant are, conform
legii lui Fourier, expresia :
drdtrdrdtA Aq πλ−= λ−=⋅=φ 2 , (4.26)
care reprezintă ecuaŃia diferenŃială
a căderii de temperatură, în funcŃie
de raza tubului.
Deoarece λ = const., φ =
const., prin separarea variabilelor
și prin integrare, condiŃiile de contur fiind, pent ru r = r 1, t = t 1 și r = r 2, t = t 2, se
obŃine variaŃia temperaturii peretelui cilindric de 2a lungul razei acestuia

12
2 1 ln2, 22
12
1rr
ltt sau dtlrdrr
rt
t∫ ∫πλφ=− πλ−= ⋅ φ , (4.27)
din care rezultă expresia fluxului termic :
( ) ( ) [ ]W tt
ddltt
rrl
2 1
122 1
12ln21ln2−
λπ= −πλ=φ . (4.28)
Fluxul termic transmis printr2un tub lung de un met ru :
( )
−
λπ=φ=φmWtt
dd ll 2 1
12ln21 (4.29)
Densitatea fluxului termic pentru suprafaŃa interio ară și exterioară a
tubului :
( ) ( )

 −λ=πφ=−λ=πφ=2
12
22 1
22
12
12 1
11
ln2;
ln2
mW
dddtt
ldq
dddtt
ldq (4.30)
RelaŃiile de dependenŃă dintre ultimele trei mărimi (4.29) și (4.30) sunt :
22 11 qd qdl π= π=φ (4.31)
Din relaŃiile (4.27) și (4.28) se obŃine ecuaŃia cu rbei de temperatură :
1
122 1
1
11 ln
lnln2 dd
ddtttdd
ltt−−=λπφ−= (4.32)

Fig. 4.7. VariaŃia temperaturii în secŃiu/
nea unui tub cilindric din material
omogen și izotrop .

Temperatura variază deci, în lungul grosimii perete lui cilindric, după o curbă
logaritmică (fig. 4.7).
Pentru simplificarea calculelor, expresia fluxului termic pe unitatea de
lungime (4.29), se înlocuiește cu o expresie, obŃin ută prin analogie cu relaŃia
(4.20), stabilită pentru pereŃi plani și anume :
( )
−ϕπ
δλ=φmWttdm
e 2 1 , (4.33)
în care d m = (d 1 + d 2)/2 reprezintă diametrul mediu, iar δ = (d 2 – d 1)/2 grosimea
peretelui cilindric. Valoarea coeficientului de cur bură ϕ rezultă din compararea
celor două expresii (4.29) și (4.33) :
( )


=



−+
=−+= =ϕ
12
12
1212
12
1 21 2
12ln
1 21
ln2ln2 ddfdd
dddd
dd
d dd d
dd dm
și poate fi determinată, în funcŃie de raportul dia metrelor, din figura 4.8.
Dacă grosimea peretelui este mică în raport cu diam etrul, respectiv
raportul diametrelor are valori mici (d 2/d 1 < 2), influenŃa curburii putând fi
neglijată, fluxul termic conductiv se poate calcula cu relaŃiile mai simple,
stabilite pentru peretele plan.

Fig. 4.8. Valoarea coeficienŃilor Fig. 4.9. VariaŃi a temperaturii în
de curbură ϕϕ ϕϕ , în funcŃie de secŃiunea unui peret e sferic din
raportul d 2/d 1. material omogen și izotrop.

4.3.1.3. ConducŃia termică printrhun perete sferic. Transmiterea
conductivă a căldurii printr2un perete sferic delim itat de razele r 1 și r 2 respectiv
diametrele d 1 și d 2 (figura 4.9), alcătuit dintr2un material omogen a cărui
conductivitate termică λ este constantă, este însoŃită de variaŃia temperat urii în
direcŃie radială; deoarece procesul de transmiterea căldurii se desfășoară în
regim staŃionar, temperaturile t 1 > t 2 se menŃin constante în timp.
Izotermele fiind suprafeŃele sferelor concentrice d e mărime variabilă,
rezultă că și densitatea fluxului termic conductiv prezintă variabilitate în direcŃia
radială în care se realizează transmiterea căldurii .
Pe baza legii lui Fourier, fluxul termic constant, transmis prin peretele
sferic:
drdtrλπ−=φ24 ,
conduce prin integrare, cu condiŃiile de contur : l a r = r 1, t = t 1 și pentru r = r 2, t =
t2, la stabilirea expresiei fluxului termic conductiv :
[ ]W
d dtt
rrtt



−πλ−=



−πλ−=φ
2 12 1
2 12 1
1 1
21 11
41 (4.34)
Valoarea temperaturii în interiorul peretelui pe o izotermă oarecare, de diametru
d :



−



−−−=


−λπφ−=d d
d dtttd dtt11
1 111
21
1
2 12 1
1
11 , (4.35)
arată aspectul hiperbolic al repartiŃiei de tempera tură în direcŃia radială a
grosimii peretelui sferic (fig. 4.9).

4.3.2. CONDUCłIA TERMICĂ PRIN CORPURI SOLIDE N EOMOGENE

Un corp poate fi considerat neomogen și studiat ca atare, numai dacă între
straturile de materiale omogene care îl compun, exi stă un contact intim. Numai
în această ipoteză transmiterea căldurii prin condu cŃie poate fi soluŃionată cu
ajutorul relaŃiilor prezentate în tabelul 4.1 pentr u corpuri plane, cilindrice și
sferice neomogene. PrezenŃa unor suprafeŃe rugoase sau cu denivelări,
introducând straturi intermediare de aer, ar micșor a mult valoarea conductivităŃii
termice a corpului neomogen, astfel încât relaŃiile de calcul își pierd
valabilitatea, în asemenea cazuri ele neputând fi a plicate.
Pentru evitarea calculelor prea laborioase, care nu totdeauna sunt
necesare, peretele neomogen se înlocuiește cu un pe rete fictiv, presupus
omogen, de aceeași grosime, cu ce1 format din n straturi de materiale diferite,
având conductivitatea termică echivalentă λe, cu respectarea condiŃiei ca în
ambele cazuri prin perete să se transmită același f lux termic conductiv. Tabelul

4.1 redă expresiile lui λe pentru corpurile neomogene întâlnite frecvent în
aplicaŃiile practice.

4.3.3. CONDUCłIA TERMICĂ PRIN LICHIDE ȘI MEDII GAZOASE

RelaŃiile stabilite pentru calculul conducŃiei term ice prin corpurile solide
se aplică lichidelor și gazelor numai când acestea se prezintă sub forma unor
straturi foarte subŃiri. În caz contrar, în procesu l de propagare a căldurii trebuie
să se Ńină seama de apariŃia fenomenului de convecŃ ie, iar la mediile gazoase
trebuie luată în considerare și transmiterea căldur ii prin radiaŃie.

4.4. CONVECłIA TERMICĂ

Transmiterea căldurii prin convecŃie reprezintă pro cesul de schimb termic
dintre un fluid și un corp solid, de temperaturi di ferite, când acestea sunt puse în
contact.
O parte a fluidului, care nu ia parte la curgere, a deră la pereŃi formând
stratul limită, prin care propagarea căldurii se fa ce prin conducŃie, în restul
fluidului transmiterea termică făcându2se prin conv ecŃie. Într2un astfel de proces,
acŃiunea comună a conducŃiei și convecŃiei termice alcătuiește transferul termic
de suprafaŃă sau cedarea termică .
În timp ce conducŃia este determinată perfect prin cunoașterea
gradientului de temperatură și a conductivităŃii te rmice, convecŃia este
influenŃată de mișcarea fluidului, adică de o serie de parametri ca : natura
fluidului și proprietăŃile sale, regimul de mișcare , laminar sau turbulent, starea
de agregare a fluidului, natura și forma suprafeŃel or de separaŃie etc.
La baza calculului propagării căldurii prin convecŃ ie stă legea lui Newton :
( )[]W t tAp f− α=φ (4.36)
în care tf reprezintă temperatura fluidului care scaldă perete le de temperatură tp,
iar α este un coeficient de proporŃionalitate numit coeficient de convecŃie
termică, de schimb superficial , sau de trecere a căldurii prin contact .
Din relaŃie rezultă că α reprezintă fluxul de căldură care se transmite pri n
unitatea de suprafaŃă, pentru o diferenŃă de temper atură, dintre perete și fluid, de
un grad.
Fluxul termic transmis prin conducŃie, în stratul l imită, se exprimă
conform legii lui Fourier :
dAdndtd λ−=φ
același flux de căldură, transmis prin convecŃie în restul fluidului (4.36), fiind :
( ) dAt dAtt dp f ⋅∆α= − α=φ

Tabelul 4.1
ConducŃia căldurii în regim staŃionar, prin corpuri solide neomogene

VariaŃia de temperatură Forma corpului alcătuit
din n straturi de
materiale omogene Fluxul de căldură transmis
prin corp φ[W] RelaŃia de calcul Reprezentaea schematică Conductivitatea
termica echivalentă

Perete plan, paralel
având suprafaŃa laterală
A
( )1 1
1+
=−
λδ∑nn
j jjttA
∑
=+λδ φ−=j
j jj
jAt t
11 1

∑∑
==
λδδ
n
j jjn
jj
11

Perete cilindric de
lungime
l

( )1 1
11ln12
+
=+−
λπ
∑nn
j jj
jtt
ddl
∑
=+
+λ πφ−=j
j jj
jjdd
lt t
11
1 1 ln1
2

∑
=++
λn
j jj
jn
dddd
1111
ln1ln

Perete sferic
( )1 1
1 11 1 12
+
= +−


−λ π
∑nn
j j j jtt
d d



−λ πφ− −=
+ =+
∑
1 11 1
1 11
2j jj
j jj
d dt t

∑
= ++


−λ−
n
j j j jn
d dd d
1 11 1
1 1 11 1

Din egalarea celor două expresii ale fluxului termi c se obŃine ecuaŃia
diferenŃială a schimbului termic :


⋅ ∂∆∂λ−=α
KmW
ntt
2 (4.37)
Coeficientul de convecŃie termică a este o funcŃie complexă de un număr
mare de variabile : α = f(w, t f, t p, λ, c, ρ, η, l 1, l 2, l 3, . . . ), η reprezentând
vâscozitatea dinamică a fluidului, iar l 1, l 2, l 3 2 dimensiunile suprafeŃei de
contact.
Complexitatea fenomenului de convecŃie termică, ilu strată prin numărul
mare de factori care influenŃează acest fenomen, fa ce dificilă determinarea și
urmărirea desfășurării sale pe cale analitică. Eval uarea coeficientului α se face
mai frecvent prin metode empirice, deductive. Simpl ă ca prezentare, legea lui
Newton (4.36) nu rezolvă dificultăŃile transmiterii termice convective, ci doar le
polarizează asupra alegerii lui α.
Pentru rezolvarea problemelor complexe pe care le r idică propagarea
căldurii prin convecŃie, este necesară încadrarea f enomenului urmărit, în una din
categoriile de grupare a proceselor termice convect ive (tab. 4.2), urmată de
precizarea ecuaŃiei de calcul a coeficientului de s chimb superficial α, pentru acel
grupaj.
Principalii factori care, exercitând o puternică in fluenŃă asupra schimbului
de căldură convectiv, trebuie urmăriŃi, analizaŃi ș i precizaŃi în studiul acestor
fenomene termice, sunt :
2 natura și proprietăŃile fizice ale fluidelor ;
2 cauza apariŃiei mișcării fluidelor și regimul de cu rgere al acestora ;
2 forma, dimensiunile și starea suprafeŃelor de separ aŃie.
În expresia (4.36) a legii lui Newton, tf reprezintă temperatura medie a
fluidului , deoarece temperatura acestuia variază atât în sec Ńiune, cât și în lungul
suprafeŃei de contact.
Stabilirea temperaturii pentru care se aleg valoril e parametrilor fizici ai
fluidului, numită temperatură determinantă , prezintă o deosebită importanŃă
datorită dependenŃei valorice a parametrilor fizici de temperatura fluidului.
Această dependenŃă trebuie luată în considerare în fiecare caz, în mod
corespunzător, deoarece nu toŃi parametrii depind d e temperatură în aceeași
măsură.
Pentru definirea valorii medii a parametrilor fizic i ϕ ai fluidului, Nusselt a
stabilit relaŃia :
.1∫ϕ−=ϕmf
pt
tp mfm dtt t
Diversitatea metodelor de alegere a temperaturii de terminante impune,
pentru o corectă interpretare a datelor experimenta le, indicarea temperaturii care
a fost aleasă ca determinantă.

Tabelul 4.2

4.4.1 TEORIA SIMILITUDINII APLICATĂ LA STUDIUL TRAN SMITERII
CĂLDURII

În studiul proceselor de transfer termic, metodele analitice au posibilităŃi
limitate, soluŃionarea analitică a ecuaŃiilor difer enŃiale, în condiŃii de unicitate
impuse, întâmpinând uneori mari dificultăŃi.
Pentru soluŃionarea practică se recurge în asemenea cazuri, la experimentarea pe
model, rezultatele astfel obŃinute fiind apoi recal culate pentru dimensiunile
fenomenului original. Dar generalizarea rezultatelo r experimentării pe model
este posibilă numai asupra fenomenelor asemenea cel ui studiat, fenomene care
îndeplinesc anumite condiŃii de similitudine (asemă nare).
Teoria similitudinii, stabilind criteriul de consta tare a asemănării
fenomenelor de convecŃie termică, permite obŃinerea unor relaŃii pentru
determinarea lui α, aplicabile tuturor cazurilor asemănătoare, și efe ctuarea
experimentelor pe modele, făcând ca pe de o parte, experimentul să devină
posibil, iar pe de altă parte, economic.
SoluŃia generală a unui proces fizic trebuie astfel constituită încât să fie
independentă de sistemul de unităŃi de măsură utili zat, condiŃie îndeplinită de
către o ecuaŃie ale cărei variabile sunt fără dimen siuni, variabile numite criterii
adimensionale invarianŃi sau numere caracteristice.
Obiectul teoriei similitudinii constă în stabilirea legăturii dintre criteriile
adimensionale, adică a relaŃiilor criteriale. Legil e criteriale au o valabilitate
mărginită în anumite limite, cauzate de luarea în c onsiderare, în studiul
fenomenului cercetat, numai a unor parametri care i nfluenŃează în mod hotărâtor
fenomenul.
Parametrii cei mai importanŃi care intră în compone nŃa criteriilor, în
studiul trecerii căldurii, sunt : conductivitatea t ermică, coeficientul de cedare
termică, difuzivitatea termică, viteza de mișcare a fluidului, căldura specifică
etc.
Similitudinea fizică este o generalizare a similitu dinii geometrice. Două
conducte tronconice a și b (fig. 4.10) sunt geometr ic asemenea, dacă :
kll
dd
dd=′′′=′′′=′′′
22
11
k fiind coeficientul de proporŃionalitate sau consta nta de asemănare.
Similar noŃiunii de asemănare geometrică se poate c oncepe asemănarea
curgerii a două fluide, asemănarea cinematică, real izată atunci când în sisteme
geometric asemenea, presiunile și vitezele unui flu id în curgere, luate în puncte
asemănătoare și la momente corespunzătoare, pentru corpuri asemenea, stau în
același raport :
τ η ρ =τ′τ′′=η′η′′=η′η′′=ρ′ρ′′=ρ′ρ′′=′′′=′′′=′′′=′′′k k k kww
wwkpp
pp
w p ; ; ; ;
22
11
22
11
22
11
22
11.

Asemănarea termică se realizează atunci când în sis teme geometric
asemenea, temperaturile considerate în puncte asemă nătoare și la intervale de
timp corespunzătoare, pentru corpuri asemenea, stau în același raport :
. ; ; ;
22
11
22
11
22
11etc k k k ktt
tt
t ρ λ τ =ρ′ρ′′=ρ′ρ′′=λ′λ′′=λ′λ′′=τ′τ′′=′′′=′′′
NoŃiunea de asemănare este aplicabilă numai fenomen elor fizice calitativ
identice (de aceeași natură) și reprezentate analit ic prin ecuaŃii identice (care
diferă numai prin valorile coeficienŃilor numerici) . Fenomenele fizice asemenea
trebuie să se desfășoare în sisteme geometric aseme nea.
Asemănarea a două fenomene fizice presupune asemăna rea tuturor
mărimilor ϕ, caracteristic acelor fenomene, adică :
ϕ′⋅ =ϕ′′ϕk
Fiecare mărime fizică are constanta ei de asemănare . Între constantele de
asemănare existând anumite relaŃii. Astfel, în cazu l curgerii a doi curenŃi de
fluid, asemenea între ei, din exprimarea vitezelor acestora și prin raportarea lor,
rezultă :
τ′′=′lw și τ′ ′τ′⋅′′′=′′′⋅τ′ ′′′=′ ′
ll
wwlw . (4.38)
Fenomenele fiind considerate asemenea :
τ=τ′τ′′=′′′=′′′k kllkww
l w ; ; . (4.39)
Introducând în relaŃiile (4.38) expresiile (4.39), se obŃine relaŃia care
unește constantele de asemănare :
1 , =⋅=τ
τ lw l
wkkksaukkk . (4.40)
Dacă în relaŃia (4.40) se introduc valorile constan telor de asemănare din
relaŃiile (4.39), rezultă :
., constlw
lw
lw=τ=′ ′τ′′′′=′τ′′ (4.41)

Fig. 4.10. Conducte tronconice asemenea.

relaŃia care exprimă legea de bază a desfășurării f enomenelor asemenea
considerate, evidenŃiind existenŃa unor criterii de asemănare sau invarianŃi,
mărimi adimensionale, având aceeași valoare pentru toate fenomenele asemenea
între ele.
Teoria similitudinii se bazează pe două principii ș i trei teoreme (legi),
principiile teoriei similitudinii fiind următoarele :
2 orice fenomen fizic poate fi exprimat printr2o re laŃie analitică
experimentală ;
2 invarianŃii, deduși din ecuaŃiile unui fenomen dat, pentru un element al
domeniului în care se desfășoară fenomenul, sunt va labili pentru întreg
acest domeniu.
Stabilirea relaŃiilor dintre constantele de asemăna re k ϕ și determinarea
expresiilor invarianŃilor (a criteriilor de asemăna re), formează obiectul primei
teoreme a teoriei similitudinii, enunŃată de N e w t o n : pentru fenomene
asemenea între ele, criteriile de similitudine au a ceeași valoare . Această
teoremă permite extinderea rezultatelor obŃinute as upra unui fenomen, în
interiorul procesului din care acesta face parte.
Posibilitatea de a reprezenta soluŃia integrală a e cuaŃiei diferenŃiale ca o
funcŃie de invarianŃi, este exprimată de cea de a d oua teoremă, enunŃată de
Federman (1911) și Buckingham (1914) și completată de M. K î r p i c e v :
soluŃia generală a unui sistem de ecuaŃii, corespun zând unui grup de fenomene
asemenea, poate fi exprimată cu ajutorul criteriilo r de similitudine respective.
SoluŃiile particulare se pot exprima cu ajutorul ac elorași criterii, a unor criterii
speciale și a unor rapoarte simple dintre mărimile care intră în alcătuirea
relaŃiilor respective și anumite valori particulare ale acestor mărimi.
Această lege permite înlocuirea dependenŃei dintre variabilele
caracteristice desfășurării fenomenului fizic, prin tr2o relaŃie între invarianŃi,
numită ecuaŃie de invarianŃi sau relaŃie criterială :
f(K 1, K 2, …, K n) = 0 (4.42)
EcuaŃia de invarianŃi este valabilă pentru toate fe nomenele asemenea,
deoarece pentru aceste fenomene invarianŃii având a ceeași valoare și relaŃiile
criteriale (4.42) sunt identice între ele.
Cea de a treia lege, enunŃată de M. K î r p i c e v și G u h m a n (1931),
precizează condiŃiile care sunt suficiente pentru c a două fenomene să fie
asemenea: sunt asemenea acele fenomene ale căror condiŃii de univocitate sunt
asemenea, iar invarianŃii au aceleași valori numeri ce.
În acest enunŃ, condiŃiile de univocitate sunt acel e condiŃii particulare sau
de contur, care limitează problema studiată, adică separă, din numărul infinit de
procese, pe cel examinat și îl determină univoc (ma tematic complet determinat).
EcuaŃiile criteriale se exprimă în general sub form a unor produse de puteri
ale diferitelor criterii :
∑
== ⋅ =n
im
i im
nm m
ii n K C K K KC K
12 11 …2 1 (4.43)

Criteriile de similitudine pentru anumite fenomene fizice, se obŃin scriind
ecuaŃia diferenŃială pentru fenomenul original, ale cărui mărimi fizice sunt
afectate de indicele prim ( ϕ'), iar apoi, luând în considerare constantele de
asemănare (k ϕ) ale fiecărei mărimi fizice, se exprimă ecuaŃia di ferenŃială a
fenomenului asemenea cu primul, adică a modelului ( ϕ'' = k ϕ·ϕ').
Pentru ca cele două ecuaŃii, scrise pentru fenomene asemenea, să fie egale,
se impune condiŃia egalităŃii dintre rapoartele coe ficienŃilor de asemănare care
intervin în relaŃii, rezultând astfel o relaŃie înt re coeficienŃii de asemănare ai
mărimilor fizice. Prin înlocuirea, în aceste relaŃi i, a coeficienŃilor de asemănare
ca rapoartele mărimilor fizice corespunzătoare (k ϕ=ϕ''/ ϕ'), se obŃine criteriul de
similitudine.
Din raportarea invariantului P éclet la invariantul Raynolds, rezultă
criteriul lui Prandtl, care depinde numai de natura fluidului, de parametrii săi
fizici:
.a wlalw
RePePrν ν=⋅⋅= = (4.44)
Invariantul Prandtl este utilizat mai ales în stra tul limită, a cărui grosime
este funcŃie de vâscozitate și în care transmiterea căldurii se face prin conducŃie.
La gaze invariantul Prandtl este independent de pr esiune și temperatură
depinzând de numărul de numărul atomilor în molecul ă, iar valorile lui sunt
redate în tabelul 4.3.

Tabelul 4.3
Valori ale intervalului Prandtl

Gaze
Monoatomice Biatomice Triatomice Celelalte gaze
Lichide
Pr
0,67 0,72 0,8 1 >1

În tabelul 4.4 sunt prezentate domeniile de defini Ńie și aplicaŃie ale
invarianŃilor.
Tabelul 4.4
Valori ale unor invarianŃi care intervin în studiul transmiterii căldurii

Criteriul de similitudine
Denumire Simbol Expresie
Domeniul de definiŃie și aplicaŃie

Reynolds
Re νwl Caracteristic curgerilor forŃate, prezintă importan Ńă și în
curgerile libere realizate cu viteze mari;
Re Cr stabilește graniŃa dintre mișcarea laminară și cea
turbulentă.

Grasshoff
Gr 23tlg
ν∆β łine seama de influenŃa mișcării libere provocată d e diferenŃa
de temperatură ∆t = (t p h t f), de aceea nu intervine în curgerea
forŃată;
β = 1/T reprezintă coeficientul de dilatare cubică a fluid ului.

Fourier
Fo 2laτ Caracteristic regimului termic variabil, intervine în procesele
de transfer de căldură nestaŃionare.

Biot
Bi λαl Valabil pentru toate fenomenele de transmiterea căl durii prin
conducŃie;
α este coeficientul de schimb termic superficial al corpului,
cu mediul în care se găsește.

Péclet
Pe
awl Invariant dependent de materialul prin care are loc propagarea
căldurii.

Nusselt
Nu λαl Caracteristic convecŃiei termice, apare în toate ec uaŃiile
criteriale ale acesteia;
λ reprezintă conductivitatea termică a fluidului în stratul
limită.

Prandtl
Pr
aν Dependent numai de parametrii fizici ai fluidului, intervine
mai ales în stratul limită.

Deoarece în studiul schimbului de căldură se urmăre ște determinarea
coeficientului α, care intră numai în componenŃa lui Nu , ecuaŃia de invarianŃi
(4.42) este de forma :
Nu = f(Fo, Re, Pe, Gr) sau Nu = f (Fo, Re, Pr, Gr) . (4.45)
Pentru o curgere staŃionară forŃată relaŃia (4.45) devine :
Nu = f( Pe ) = f( Re, Pr ), (4.46)
deoarece, curgerea fiind staŃionară criteriul Fo se reduce, iar pentru curgerea
forŃată, la care forŃele termice ascensionale sunt mult mai reduse decât mișcarea
produsă de forŃele exterioare, invariantul Gr se neglijează.
În cazul convecŃiei libere, la care stratul limită și forŃele termice
ascensionale au un rol important, se vor lua în con siderare invarianŃii Pr ,
respectiv Gr :
Nu = f( Gr · Pr ). (4.47)
Pentru gaze cu același număr de atomi în moleculă, la care Pr este identic
și constant, relaŃiile (4.46) și (4.47) devin : Nu = f( Re ) și Nu = f( Gr )
Procesul de trecere a căldurii depinzând de un numă r mare de variabile,
reclamă în general, utilizarea relaŃiilor dintre in varianŃi exprimate sub forma de
ecuaŃii exponenŃiale (4.43), de natură empirică :
Nu = c · Re n · Pr m, (4.48)
c, m și n fiind constante.
RelaŃia (4.48) este valabilă numai între limitele d e variaŃie ale
argumentului, verificate de experienŃă.

4.4.2. CONVECłIA LIBERĂ, FĂRĂ SCHIMBAREA STĂRII DE
AGREGARE

4.4.2.1. ConvecŃia liberă în spaŃii deschise . În convecŃia liberă, mișcarea
fluidului se datorește diferenŃei de densitate dint re particulele calde și cele mai
reci.
Dacă într2un spaŃiu în care se găsește un mediu oar ecare aflat în repaus
(aer) și având aceeași temperatură în întregul volu m, se introduce un corp mai
cald, are loc un proces de schimb termic, aerul înc ălzit se ridică, astfel având loc

o mișcare liberă ascendentă a fluidului. Dacă dimpo trivă, corpul introdus este
mai rece decât fluidul, acesta din urmă răcindu2se este animat de o mișcare
liberă, descendentă.
Fenomenele de convecŃie liberă
petrecându2se numai în imediata
apropiere a corpului solid, mai cald
sau mai rece decât fluidul, reprezintă
fenomene de strat limită.
Imaginea intuitivă a procesului
de convecŃie termică liberă este redată
în figura 4.11, care reprezintă
mișcarea liberă a aerului în jurul unei
Ńevi orizontale încălzite și în care se
evidenŃiază regimul de mișcare al
fluidului, laminar, tranzitoriu și
turbulent.
La plăcile orizontale calde
mișcarea fluidului se produce ca în
figura 4.12, a ; încălzirea și răcirea
plăcilor de dimensiuni mari, introduc
centre de temperatură maximă sau
minimă (fig. 4.12, b) care modifică lungimea caract eristică, iar în cazul
suprafeŃei încălzite orientată în jos, mișcarea flu idului are loc conform schemei
din figura 4.12, c.

Fig. 4.11. Mișcarea liberă a aerului
în jurul unei Ńevi calde orizontale

Fig. 4.12. Placă orizontală răcită prin convecŃie l iberă :
a / placă de dimensiuni reduse ; b / placă de lăŃim e mare ; c / placă având
suprafaŃa caldă orientată în jos.

Tabelul 4.5

EcuaŃii criteriale în convecŃia termică, fără schim barea stării de agregare

ConvecŃia liberă în spaŃii deschise este întâlnită la încălzirea apei în Ńevile
cazanelor, răcirea Ńevilor de abur etc.
EcuaŃiile criteriale care fac posibilă calcularea c oeficientului α,
determinate din cercetările efectuate în acest dome niu și sistematizarea
rezultatelor obŃinute experimental, sunt prezentate în tabelul 4.5, în care ecuaŃia
(4.49) este aplicabilă oricărui fluid și
pentru corpuri de orice formă.
Se precizează că relaŃiile (4.49…
…4.59) se găsesc în tabelul 4.5.
Dimensiunea geometrică deter2
minantă ( l) din relaŃia (4.49), pentru
Ńevi și sfere se ia egală cu diametrul
lor, pentru plăcile verticale, cu
înălŃimea acestora ( lv=h), iar pentru
cele orizontale ( 2l h, = h ), din care
cauză, pentru plăcile orizontale α se
consideră majorat cu 20% faŃă de cel
obŃinut pentru plăcile verticale. Dacă
suprafaŃa încălzită este îndreptată în
jos, α rezultat se micșorează cu 20%.

4.4.2.2. ConvecŃia liberă în
spaŃii limitate . Într2un spaŃiu limitat,
condiŃiile de schimb termic sunt strâns
dependente, atât de realizarea
curenŃilor, cât și de stagnările de
circulaŃie. Astfel, în spaŃiile verticale
de grosime mare, (fig. 4.13, a),
circulaŃia curenŃilor ascendenŃi și
descendenŃi se realizează fără o
conturbare reciprocă, în timp ce la o
grosime δ mică (fig. 4.13, b) apar zone
de circuite interioare. La deschideri
orizontale având suprafaŃa caldă în
partea superioară (fig. 4.13, c),
circulaŃia fluidului lipsește, pentru ca
în situaŃia inversă (fig. 4.13, d) să se
evidenŃieze prezenŃa curenŃilor de
formă alternativă.
Straturile izolante de aer
prezintă un interes deosebit în tehnică, în cadrul acestora trebuind să se Ńină
seama de schimbul termic global.

Fig. 4.13. Mișcarea libera a fluidului în
spaŃii limitate de plăci plane cu t 1>t2:
a,b – spaŃii verticale de grosime mare,
respectiv mică; c – deschideri orizon/
tale cu suprafaŃa superioară încălzită;
d – deschideri orizontale cu suprafaŃa
inferioară încălzită

Se poate defini un coeficient de schimb superficial , particular,
corespunzător diferenŃei de temperatură dintre supr afeŃele care limitează spaŃiul
de fluid :
( )2 1 p pc
et tA −φ=α ,
dacă fluxul termic convectiv se obŃine prin micșora rea fluxului termic total
măsurat cu cel transmis prin radiaŃie φr, în loc de a se utiliza expresiile,
( )f pc
1t tA1−φ=α sau ( )2p fc
2ttA −φ=α .
Dacă distanŃa δ dintre plăci, este suficient de mică, se poate con sidera
fluxul termic conductiv :
( )
δ− λ
=φλ2 1 p pt tA
Din raportarea fluxului real, la cel conductiv, rez ultă:
λγ⋅α=φφ=ε
λe c
invariant Nu particular, utilizat în ecuaŃiile criteriale (4.50 ) și (4.51) din tabelul
4.3, necesare determinării coeficienŃilor de convec Ńie naturală, în spaŃii de aer
limitate. Criteriul Gr din aceste ecuaŃii este determinat de distanŃa δ dintre plăci,
care de altfel, este și dimensiunea geometrică dete rminantă.

În cazul volumelor de aer limitate de cilindri conc entrici, orizontali (fig.
4.14), de diametre d 1 < d 2, încălziŃi de2a lungul suprafeŃei mai mici, circul aŃia
fluidului este ascendentă pe lângă cilindrul mai ca ld și descendentă pe suprafaŃa
interioară a cilindrului mai mare.
Presupunând că 1eα, coeficientul de schimb termic particular definit mai
înainte, este determinat de suprafaŃa cilindrului m ai mic :

Fig. 4.14. Mișcarea liberă a unui fluid în spaŃii l imitate de cilindrii coaxiali:
a – suprafaŃa caldă interioară; b – suprafaŃa caldă exterioară

( )2 11p p1c
et tA −φ=α ,
iar fluxul termic este datorat numai conducŃiei, ( )
12lg22 1
ddt tlp p− λπ
=φλ , invariantul
Nu particular, obŃinut prin raportarea celor două flu xuri termice este prezentat
sub forma ecuaŃiei criteriale în relaŃiile (4.52) d in tabelul 4.3.

4.5. PROPAGAREA CĂLDURII PRIN RADIAłIE

În timp ce fenomenele de conducŃie și convecŃie sun t dependente, în
principal, de diferenŃele de temperatură și foarte puŃin de nivelul temperaturilor,
schimbul de căldură prin radiaŃie crește considerab il odată cu acest nivel.
Dacă un corp este încălzit, o parte a energiei sale termice se transformă în
energie radiantă. Purtătorul de energie radiantă îl constituie oscilaŃiile
electromagnetice, radiaŃiile infraroșii sau caloric e fiind unde electromagnetice
emise de corpul radiator.
RadiaŃiile infraroșii sunt de aceeași natură cu cel elalte radiaŃii, diferind de
acestea prin proprietăŃile lor fizice, în funcŃie d e lungimea de undă (tab. 4.6).

Tabelul 4.6
ÎmpărŃirea spectrului electromagnetic după lungimea de undă

Nr
crt. Denumirea radiaŃiei Lungimea de undă λ
1. RadiaŃii cosmice <0,05 pm
2. RadiaŃii gama ( γ) 0,05 pm … 10 pm
3. RadiaŃii R öntgen (X) 10 pm … 20 nm
4. RadiaŃii ultraviolete 20 nm … 0,4 µm
5. Spectrul vizibil
0,4 µm – violet
0,8 µm – roșu 0,4 µm … 0,8 µm
6. RadiaŃii infraroșii 0,8 µm … 0,4 mm
7. RadiaŃii electrice >0,4 mm
1 µm = 10 – 6 m ; 1 nm = 10 – 9 m ; 1 pm = 10 – 12 m.

RadiaŃiile depind de tipul oscilaŃiilor care genere ază energia, respectiv de
locul în care acestea se realizează, astfel în timp ce radiaŃiile gama sunt generate
de oscilaŃiile intranucleare, care au loc la fisiun ea sau fuziunea nucleelor,

radiaŃiilor calorice sunt generate de oscilaŃiile e lectromagnetice și a particulelor
de atomi, ioni, molecule, după conformaŃia corpuril or.
Razele infraroșii nu sunt calde, ele sunt un transp ort de energie care
devine termică numai dacă este absorbită de un corp . De aceea denumirea de
raze calorice este improprie.
Toate corpurile a căror temperatură este mai mare d ecât zero absolut emit
raze infraroșii și aceasta cu atât mai mult, cu cât temperatura corpului emisiv
este mai mare, emisia fiind maximă la incandescenŃă . Astfel, din energia
electrică consumată de un bec cu incandescenŃă, al cărui filament de wolfram
este încălzit la aproape 3 000 °C, numai aproximati v 12 % este transformată în
energie luminoasă iar 88% în radiaŃii infraroșii.
O uriașă sursă de energie radiantă infraroșie o con stituie soarele, la care
aproape 70% din energia emisă este sub formă de rad iaŃii infraroșii. Din acestea,
pe pământ ajung mai ales radiaŃiile cu lungimi de u ndă până la câŃiva microni,
celelalte fiind, în mare parte, absorbite de atmosf eră.
Din punct de vedere termic interesează acele radiaŃ ii a căror energie se
transformă, prin absorbŃia de către corpuri, în ene rgie calorică, acestea fiind
radiaŃiile luminoase și cele infraroșii.
RelaŃia generală care exprimă dependenŃa dintre lun gimea de undă și
frecvenŃa radiaŃiilor, este :
ν⋅=⋅=λ1wTw ,
în care w este viteza de propagare a radiaŃiilor, denumită d upă L o u i s d e
B r o g 1 i e , viteză a undelor asociate (în vid, w0 = c = 3 · 10 5 km/s), ν 2
frecvenŃa, iar T 2 perioada oscilaŃiilor.
Transmiterea energiei radiante infraroșii, având ac eeași natură cu
radiaŃiile luminoase, se supune acelorași legi de p ropagare.
Energia radiantă ajungând pe un corp, o parte din e a pătrunde în corp
transformându2se în energie termică, iar restul se reflectă la suprafaŃa corpului.
Acea parte a energiei care se reflectă, ajungând pe alte corpuri, se reflectă sau
este absorbită de acestea. După un șir de absorbiri , energia radiantă se distribuie
total între corpuri, realizându2se astfel un schimb de căldură prin radiaŃie.
Un sistem se află în echilibru caloric atunci când toate corpurile care îl
constituie au aceeași temperatură; și în acest caz, corpurile sistemului radiază și
absorb, însă pentru fiecare din ele energia radiată este egală cu cea absorbită.
În cazul căderii unui fascicul de raze infraroșii a supra unui corp, debitul
sau fluxul energetic φe reprezintă energia radiantă raportată la unitatea de timp,
exprimat în W, iar densitatea fluxului energetic ϕc este fluxul energetic care
străbate suprafaŃa unitară a corpului, exprimat în W/m 2.
EmitanŃa energetică sau puterea emisivă Me se referă la o suprafaŃă
radiantă și reprezintă densitatea fluxului energeti c emis de corpul radiator pe
întreg domeniul lungimilor de undă, exprimat în W/m2.

În timp ce fluxul termic φ, schimbat de corpuri prin radiaŃie, se determină
din diferenŃa emisiei și absorbŃiei unui corp, dens itatea fluxului termic q
schimbat prin radiaŃie, se obŃine din diferenŃa put erii emisive și absorbante.
Creșterea puterii emisive raportată la variaŃia ele mentară a lungimii de
undă, corespunzătoare energiei radiate pe o anumită lungime de undă reprezintă
emitanŃa energetică monocromatică sau puterea emisivă monocromatică a unei
suprafeŃe radiante :


λ=λ 2mW
ddMeme (4.60)
Pentru diferite corpuri emitanŃa
energetică monocromatică, la aceeași
temperatură și lungime de undă, este
diferită, limita maximă pentru fiecare
lungime de undă fiind constituită de
puterea emisivă monocromatică a
corpului negru.
Considerând fluxul energetic φe
care cade asupra unui corp (fig. 4.15),
φer – fluxul energetic reflectat, φet –
transmis, adică pătruns prin corp și
fluxul energetic φea – absorbit de corp
și transformat în flux termic, conform
principiului conservării energiei se obŃine :
ea et er e φ+φ+φ=φ sau 1=λ+τ+ρ=φφ+φφ+φφ
eea
eet
eer, (4.61)
relaŃia dintre factorii energetici de reflexie ρ (reflectivitate), transmisie τ
(transmisivitate) și absorbŃie α (absorbtivitate sau putere absorbantă).
Clasificarea corpurilor după repartiŃia fluxului en ergetic este prezentată în
tabelul 4.7.

Tabelul 4.7
Clasificarea corpurilor după repartiŃia fluxului en ergetic

Denumirea corpurilor Valoarea factorilor
energetici Caracterstici
Atermane τ = 0 Perfect opace la trecerea
radiaŃilor
Negre τ = 0 ; ρ = 0 ; α = 1 Absorb toate radiaŃiile pe
toate lungimile de undă
Albe τ = 0 ; ρ = 1 ; α = 0 Reflecta toate radiaŃiile care
cad asupra lor
Diatermane
(Transparente) τ = 1 ; ρ = 0 ; α = 0 Permit traversarea tuturor
radiaŃilor incidente

Fig. 4.15. RepartiŃia fluxului energetic
care cade asupra unui corp.

Cenușii α = const. Absorb o anumită porŃiune
din radiaŃiile incidente pe
toate lungimile de undă
Selective
(colorate) αλ = 1 ; ρλ = 0 ; τλ = 0 Absorb complet pe anumite
lungimi de undă λ (gazele)

Pe lângă natura corpurilor, valorile factorilor ene rgetici ρ, τ și α, depind
de temperatura corpurilor și de lungimile de undă a le radiaŃiilor.
Corpul negru, caracterizat prin absorbŃie și emisie maximă, nu există în
natură dar poate fi realizat artificial prin practi carea unui orificiu în peretele unui
corp gol în interior (fig. 4.16). in acest fel se p oate considera că energia radiantă
care pătrunde în orificiu, după o succesiune de ref lexii, este absorbită integral în
interiorul corpului ( α = 1).
EmitanŃa energetică Me 1 a unui corp este complet determinată de natura și
temperatura corpului. Dacă Me 2 este puterea emisivă a altor corpuri, care pentru
corpul considerat pe care îl întâlnește, reprezintă emitanŃa energetică incidentă
(fig. 4.17), atunci fracŃiunea α1Me 2 este absorbită de corpul 1 se reprezintă
emitanŃa energetică absorbită , iar restul (1 2 α1)Me 2, reflectată de corpul 1,
formează emitanŃa energetică reflectată .
În acest caz, ceea ce măsoară este emitanŃa energetică ( puterea emisivă )
efectivă a corpului, rezultată din însumarea emitanŃei ener getice proprii, cu cea
reflectată :
( )2 1 11 Me Me Meef α−+ = (4.62)

4.5.1. LEGILE RADIAłIEI

Legile de propagarea radiaŃiei sunt cele stabilite în optica fizică pentru
radiaŃiile luminoase.

Fig. 4.16. Realizarea corpului Fig. 4.17. EmitanŃa energetică
negru într/o concavitate a unui corp

În vid radiaŃiile se propagă cu viteză maximă, care este o constantă
absolută ( c), iar într2un anumit mediu, viteza w a radiaŃiilor scade, raportul w/c =
n reprezentând indicele de refracŃie al mediului.
În medii izotrope radiaŃiile se propagă liniar, iar în cristale trebuie să se
Ńină seama de anizotropia lor.
Sinusul unghiului de incidenŃă este proporŃional cu sinusul unghiului de refracŃie
(legea lui Snelius), sin i/sin r = n 1/n 2, iar în cazul reflexiei, n 1 = n 2, deci i = r .
Legea lui Planck , determinată teoretic, exprimă legea de variaŃie a puterii
emisive monocromatice (intensitatea radiaŃiei) pent ru corpul negru, corp care
emite maximum de radiaŃii la orice temperatură, pen tru toate lungimile de undă.
Toate mărimile referitoare la corpul negru vor fi a fectate, în mod
simbolic, cu exponentul zero.
Această lege arată că emitanŃa energetică monocroma tică a corpului
negru, pentru o anumită lungime de undă, este inver s proporŃională cu lungimea
de undă la puterea a cincea :


−λ=
λ−
λ25
1 0
12 mW
eCm
TCe , (4.63 )
în care λ reprezintă lungimea de undă, exprimată în m; T 2 temperatura absolută,
iar C1 și C2 – constante, C1 = 3,74 ⋅ 10 216 W/m 2 ; C2 = 1,44 · 10 22 m.K.
Curbele izoterme (spectrale) care redau repartiŃia emitanŃei energetice
monocromatice după legea lui Planck, se pot urmări în figura 4.18, curbele
puterii emisive monocromatice fiind evident, curbe de probabilitate care
corespund suficient de exact cu rezultatele experim entale.
În figura 4.18, emitanŃa energetică (puterea emisiv ă) în intervalul de
lungime de undă d λ dat de relaŃia (4.60), se obŃine prin planimetrare a suprafeŃei
mărginită de izotermă, axa absciselor și ordonatele λ și ( λ+ d λ) :
λ =λd m dMe
Te T0 0
Puterea emisivă, pentru toate lungimile de undă est e :
∫∞
λλ =
00 0d m Me
Te T
Teoretic, integrarea trebuie să se Domeniul efectue ze de la zero la infinit.
Practic însă (fig. 4.19), se planimetrează numai su prafaŃa de sub curba spectrală,
de la 0,5 λmax ( λmax fiind lungimea de undă corespunzătoare puterii emi sive
maxim), la 4,5 λmax .
∫ ∫λ
λλ∞
λλ ≅λmax
max5 , 4
5 , 00
00d m d m
T T e e

O diagramă utilizată adesea în calculele de radiaŃi e este diagrama
logaritmică ln Me 0 = f(1n λ), întocmită pe baza relaŃiei ln (d Me 0)λ = ln ( m0
eλ dλ)
și reprezentată în figura 4.29.
Dreptele trasate întrerupt în figura
4.20 delimitează zone în care se pot aplica
cu suficientă exactitate, relaŃii
aproximative, în locul legii lui Planck
(4.63) și anume :
2 în domeniul Wien , în care valorile
produsului λT sunt mici ( λT ↔ 1), din
legea lui Planck (4.63), prin neglijarea
unităŃii, faŃă de TC
eλ2
, se obŃine ecuaŃia
valabilă în acest domeniu :
TC
e eCmλ−
λ ⋅
λ=2
51 0; (4.64)
2 pentru valori foarte mari, ( λT ≈ 1),
corespunzătoare domeniului RayleighhJeans din diagramă, este aplicabilă
relaŃia :
T
CCme4
21 0
λ=λ (4.65)
Legea lui ȘtefanhBoltzmann determină puterea emisivă a corpului negru la
temperatura T, prin integrarea relaŃiei (4.60), în care puterea emisivă
monocromatică se introduce sub forma precizată de l egea lui Planck :

Fig. 4.18. VariaŃia emitanŃei energetice Fig. 4 .19. RepartiŃia spectrală a
Monocromatice a corpului negru, pute rii emisive monocromatice
pentru diferite temperaturi, pentru o anumită temperatură.
după legea lui Planck

Fig. 4.20. Diagrama logaritmică
ln (m eλλ λλ dλλ λλ) = f(ln λλ λλ)

λ
−λ=λ =∫ ∫∞ ∞
λ−
λ d
eCd m Me
TC Te T
0 05
1 0 0
12.
Pentru efectuarea integrării se fac schimbările de variabile, uTC=λ2, deci
uTC2=λ și
TuduCd22−=λ , expresia puterii emisive devenind :
( )4
0
03
4
21 4
22
05
255
10
1 1T du
eu
CCT
TuduC
eCTuC Meu u T ⋅σ=
−= ⋅
−−= ∫ ∫∞ ∞

Ultima integrală fiind o constantă 



=
−∫∞
494, 6
103
du
eu
u, din relaŃie se obŃine
constanta lui ȘtefanhBoltzmann :

⋅ =
−=σ−∞
∫ 428
03
4
21
0 , 1068, 5
1 KmWdu
eu
CC
u
cu care ecuaŃia lui Ștefan2Boltzmann devine:
48 01068, 5 T MeT−⋅ = , sau 4
04
0
100 10068, 5 

=

=TCTMeT , (4.66)
în care C0 reprezintă coeficientul de radiaŃie al corpului ne gru.
Legea lui Ștefan2Boltzmann (4.66) exprimă proporŃio nalitatea emitanŃei
energetice a corpului negru cu puterea a patra a te mperaturii absolute la care se
găsește corpul.

4.6. SCHIMBUL TERMIC GLOBAL

În cele mai multe cazuri, în practică, propagarea c ăldurii este un fenomen
complex, în cadrul căruia conducŃia, convecŃia și r adiaŃia termică acŃionează
simultan, în anumite proporŃii, influenŃându2se rec iproc. De aceea, în studiul
acestor procese complexe se urmărește determinarea modului principal de
transmitere termică, fără a neglija însă efectele t ermice care apar ca fenomene
secundare.

4.6.1. SCHIMBUL DE CĂLDURĂ ÎNTRE UN PERETE ȘI MEDIU L FLUID
CU CARE ESTE ÎN CONTACT

Acest aspect al schimbului de căldură este rezultat ul acŃiunii combinate a
convecŃiei și radiaŃiei termice.
Dacă fenomenul principal este convecŃia termică, tr ecerea căldurii este
caracterizată printr2un coeficient de schimb superficial (de suprafaŃă):



⋅α+α=α
K mW
r c2,
αc și αr fiind coeficienŃii de convecŃie termică
(4.37), respectiv de radiaŃie termică.
Densitatea fluxului termic transmis de la
perete, la fluidul cu care este în contact :
( ) ( ) ( ) ( )
− ε+α= − α+α=2 0mWttaC tt qf p c f p r c
(4.67)
DistribuŃia temperaturii la un perete, în
mediul convectiv, este redată în figura 4.21.
Dacă peretele este în contact cu un lichid,
influenŃa radiaŃiei fiind foarte mică, în relaŃia
(4.67) αr poate fi neglijat.
În cazul fenomenului de radiaŃie dominant,
densitatea fluxului termic transmis se determină
cu relaŃia :
( )








−


ε+ε=24 4
0100 100 mW T T
C qf p
c . (4.68)
Coeficientul care Ńine seama de influenŃa convecŃie i termice este de forma:
( )
aCT T
Ctt
f pf pc
c⋅α=







−


− α
=ε
04 4
0100 100 (4.69)
Într2un proces complex de transfer termic de la un fluid cald, la altul mai
rece, printr2un perete de separaŃie, efectul termic este rezultatul transmiterii
căldurii de la fluidul cald, la perete, prin convec Ńie și radiaŃie, prin perete numai
prin conducŃie termică, iar de la perete, la fluidu l rece, prin convecŃie și radiaŃie.
Newton a stabilit relaŃia de bază pentru calculul f luxului termic, transmis
între fluide separate prin pereŃi :
( )[]WAt tKf f2 1− =φ , (4.70)
în care factorul de proporŃionalitate K, numit coeficient de transfer termic total ,
reprezintă fluxul termic transmis de la un fluid la altul printr2o, suprafaŃă de
separaŃie unitară, pentru o diferenŃă de temperatur ă de un grad.
Coeficientul de transfer termic total (global) este dependent de
conductivitatea termică a peretelui λ, de coeficientul de schimb superficial α și
de forma suprafeŃei peretelui despărŃitor.
Studiul schimbului global de căldură se efectuează, în cele ce urmează,
considerându2se regimul termic staŃionar, mediile l ipsite de surse termice
interioare și conductivitatea pereŃilor de separaŃi e, constantă.

Fig. 4.21. DistribuŃia
temperaturii la suprafaŃa
unui perete, în mediu
convectiv.

4.6.2. SCHIMBUL DE CĂLDURĂ ÎNTRE FLUIDE SEPARATE PR IN
PEREłI PLANI

Se consideră un perete plan, de grosime δ, care separă două fluide de
temperaturi 2 1 f ft t>. Temperaturile 1pt și 2ptale feŃelor peretelui neputând fi
măsurate exact, în calcule se utilizează temperatur ile medii ale fluidelor 2 1,f ftt
la o anumită distanŃă de perete, la care pot fi con siderate constante.
Presupunând că temperaturile variază numai în direc Ńia normală la
suprafaŃa peretelui, distribuŃia temperaturilor est e reprezentată în figura 4.22.
Densitatea fluxului termic transmis în regim staŃio nar fiind constantă, are
expresiile :
( )
( )
( ) ,;;
2 22 11 1
21
f pp pp f
t t qt t qt t q
− α=−δλ=− α=
(4.71)
în care α1 și α2 sunt coeficienŃii de schimb superficial pe cele do uă feŃe ale
peretelui.
DiferenŃa de temperatură dintre cele două fluide se obŃine din însumarea
diferenŃelor de temperatură, explicitate din relaŃi ile (4.71) :




α+λδ+α= −
2 11 1
2 1q t tf f ,
iar
( )( )2 1 2 1
2 11 11
f f f f t tK t t q − = −
α+λδ+α=
(4.72)
Din relaŃia (4.72) rezultă expresia
coeficientului de transfer termic total:


α+λδ+α=
KmWK2
2 11 11 (4.73)
Temperaturile feŃelor peretelui se
determină fie analitic, din relaŃiile (4.71)
cunoscând densitatea fluxului termic
transmis (4.72), fie grafic, prin aplicarea
condiŃiei la limită de speŃa a treia, care
precizează că la condiŃii exterioare fixe,
tangentele la curba t = t(x) în punctul de
suprafaŃă, trec prin punctele directoare
de coordonate:

Fig. 4.22. DistribuŃia temperaturii în
cazul schimbului termic între două
fluide separate printr/un perete plan/
paralel.

. , , ,2 12 1f f tt x tt x =αλ= =αλ= Reprezentând la o scară arbitrară, grosimea δ a
peretelui, iar la stânga și la dreapta ei, segmente le
1αλ, respectiv
2αλ și
corespunzător acestora, ordonatele 1ftși 2ftse determină punctele R 1 și R 2.
IntersecŃia segmentului obŃinut prin unirea punctel or R l și R 2, cu feŃele
extreme ale peretelui, reprezintă valoarea temperat urilor 1pt și 2pt.
Dacă peretele plan este alcătuit din n straturi omo gene, analog peretelui
omogen și Ńinând seama de conducŃia termică printr2 un perete neomogen (v. tab.
4.1), se obŃine :
( )( )2 1 2 1
2 1 11 11
f f f f n
i iit tK t t q − = −
α+λδ+α=
∑
= (4.74)
Curba variaŃiei de temperatură este reprezentată pe ntru acest caz în fig. 4.23.

4.6.3. SCHIMBUL DE CĂLDURĂ GLOBAL ÎNTRE FLUIDE
DESPĂRłITE PRIN PEREłI CILINDRICI

Peretele cilindric din material omogen, care separă două fluide de
temperaturi 2 1 f ft t>, are lungimea l, iar diametrul interior și exterior d 1, d 2 (fig.
4.24).

Fig. 4.23. VariaŃia temperaturii în schimbul de căl dură global, printr/ un perete
plan, paralel, neomogen.

Regimul termic fiind staŃionar,
diferenŃele de temperatură obŃinute din
exprimarea constanŃei fluxului termic pe
metrul liniar de conductă, au expresiile:

221211
1ln21;1
2 22 11 1
dt tddt tdt t
l
f pl
p pl
p f
α⋅πφ= −λ⋅πφ= −α⋅πφ= −
(4.75)
Fluxul de căldură transmis prin
metrul liniar de conductă se obŃine prin
însumarea diferenŃelor de temperatură din
relaŃia (4.75) :
( )( )
− π =
α+λ+α− π
=φmWt tK
d dd
dt t
f f lf f
l2 12 1
22 12
111ln21 1
(4.76)
în care Kl reprezintă coeficientul de transfer termic total (global) și este exprimat
în W/m.K.
Din expresia fluxului termic pe metrul liniar de co nductă :
( ) ( )2 1 2 1 1 1 f f f f l t tdK t tKA − π= − =φ , (4.77)
rezultă că acest coeficient liniar se referă la o
conductă de diametru d 1, unitar.
Din relaŃiile (4.76) și (4.77) se obŃine:
( )=
α+λ+α⋅ =− πφ=
22 12
111 11ln21 11 1
2 1
d dd
dd t tdK
f fl
lKd11= (4.78)
Pentru pereŃi tubulari, la care di / de >
0,5, în calculul schimbului termic global se
pot aplica relaŃiile (4.72) și (4.73) stabilite în
cazul pereŃilor plani despărŃitori, eroarea
rezultată fiind mai mică de 4% :

( )( )
2 11 12 1
2 1
α+λδ+α− π
= − π=φf fx
f fx lt td
t tdK (4.79)
în care 2i ed d−=δ reprezintă grosimea peretelui, iar dx – diametrul suprafeŃei
luate ca referinŃă. Ca suprafaŃă de referinŃă se co nsideră suprafaŃa tubului pe

Fig. 4.24. VariaŃia temperaturii
în transmiterea globală a căldurii
printr/un perete cilindric
omogen.

Fig. 4.25. VariaŃia temperaturii
în cazul schimbului termic
global, printr/un perete cilindric
neomogen.

partea căreia α are cea mai mică valoare, iar dacă α1 ≅ α2 suprafaŃa de referinŃă
se ia π·0,5 (d e+d i)·l . La cazanele de abur, suprafaŃa de referinŃă o con stituie
suprafaŃa spălată de gazele arse, α pe partea acestora fiind totdeauna mai mic
decât cel de pe partea apei.
Dacă peretele cilindric este compus din n straturi omogene (figura 4.25) :

( )( )2 12 1
1 2 11
111ln21 1f f l
nn
i ii
if f
l t t K
d dd
dt t
− ⋅ π ⋅ =
α+λ+α− π
=φ
+ =+∑
l
nn
i ii
iKd
d dd
ddK
1
1 2 11
1111
1ln21 11 1=
α+λ+α⋅ =
+ =+∑.

4.6.4. IZOLAłII TERMICE

Urmărindu2se reducerea schimbului de căldură dintre două medii,
izolaŃiile se realizează prin mărirea rezistenŃei t ermice totale.
Deoarece mărirea rezistenŃelor termice superficiale de forma 1/ αA,
comportă modificări de viteze pentru fluide și micș orări de suprafeŃe, primele
fiind dificil de stăpânit complet, iar suprafeŃele greu de micșorat, problema
majorării rezistenŃei termice totale se concentreaz ă asupra măririi rezistenŃelor
termice conductive, ϕλδ
A1. AcŃionarea asupra factorilor de forma ϕ și a
suprafeŃelor fiind ne esenŃială, se urmăresc celela lte două aspecte :
2 micșorarea conductivităŃii termice λ, printr2o alegere judicioasă a
materialului termoizolant ;
2 mărirea grosimii δ a izolaŃiei termice, adică alegerea grosimii optim e a
izolaŃiei termice, care constituie obiectul unor ca lcule tehnico2
economice.
Important de stabilit este amplasarea stratului izo lant ; dacă aceasta se face
în exterior, căderea de temperatură în izolaŃie fii nd mai mare, se evită
condensarea, a cărei apariŃie în condiŃii de iarnă ar conduce la distrugerea
materialului peretelui. Amplasarea izolaŃiei în int erior prezintă avantajul
realizării unei protejări împotriva agenŃilor din e xterior, materialele izolatoare
fiind mai puŃin rezistente decât cele de construcŃi i.
Pentru determinarea ordinei de așezare a mai multor straturi termoizolante,
se consideră o conductă al cărui perete are tempera tura tp și care urmează să fie
protejată termic prin două straturi izolatoare de g rosimi δ1, și δ2, având
conductivităŃile termice λ1 și λ2. Presupunând constante, atât temperatura te, în

Tabelul 4.8
Conductivitatea termică a unor materiale termoizola toare

Denumirea materialului Densitatea aparentă
ρρ ρρ [kg/m 3] Conductiviatea
termică λλ λλ [W/m.K.]
h Produse pe bază de asbest h
căldura specifică c = 0,8363 kJ/kg ⋅K
Plăci și foi de azbociment 1900 0,35
500 0,13 Plăci termoizolatoare de azbociment
300 0,09
h Vată minerală și de sticlă și produse din acestea h
căldura specifică c = 0,7526 kJ/kg ⋅K
Vată minerală 200 0,07
Vată de sticlă 100 0,06
Pâslă minerală 250 0,08
350 0,09 Plăci semirigide de vată minerală
250 0,08
Plăci rigide de vată minerală cal. I 100 0,04
400 0,07
300 0,06
Fibromin
250 0,05
h Umpluturi termoizolatoare h
căldura specifică c = 0,8363 kJ/kg ⋅K
1000 0,29 Zgură de cazan
700 0,22
900 0,26 Zgură granulată de furnal înalt, zgură
expandată 500 0,16
900 0,41
500 0,21
Argilă expandată, granulit
300 0,15
600 0,23 Piatră ponce
400 0,17
Perlit 250 0,09
Vermiculit 300 0,14
700 0,21 Diatomit
500 0,17
h Produse termoizolatoare fibroase de natură organi că h
căldura specifică c = 1,6726 kJ/kg ⋅K
Stufit :
2 presat manual
250
0,09
2 presat cu mașina 400 0,14
Plăci de paie 1200 0,05
h Polimeri și spume de polimeri h
căldura specifică c = 1,4635 kJ/kg ⋅K
Ampora 20 0,05
Polistiren celular 20 0,04
70 0,05 Spume de policlorură de vinil
30 0,05
Poliuretan celular 30 0,04

exterior, cât și coeficientul de schimb superficial α, fluxurile termice pe metrul
liniar de conductă, în cazul celor două posibilităŃ i de așezare în ordine a izolaŃiei,
sunt :

,1ln21ln21;1ln21ln21
3 23
1 12
23 23
2 12
1
11
απ+ ⋅πλ+ ⋅πλ−
=φαπ+ ⋅πλ+ ⋅πλ−
=φ
d dd
ddttd dd
ddtt
e p
le p
l
(4.80)
iar raportul acestora:

απ+ ⋅πλ+ ⋅πλαπ+ ⋅πλ+ ⋅πλ=φφ
3 23
1 12
23 23
2 12
1
1ln21ln211ln21ln21
21
d dd
ddd dd
dd
ll. (4.81)
Deoarece (1/ π·d 3·α) ↔ 1, acesta se neglijează și punînd condiŃia 1 2 l lφ<φ ,
rezultă :
2 1λ>λ (4.82)
Subordonată fiind condiŃiei de temperaturi, rezultă că pentru realizarea
unei izolări termice corespunzătoare, straturile iz olante trebuie dispuse în
ordinea conductivităŃilor lor termice, crescătoare.
Câteva materiale termoizolante sunt prezentate în t abelul 4.8, împreună cu
proprietăŃile lor.

4.6.5. STUDIUL SCHIMBULUI TERMIC PRIN METODA
ANALOGIILOR

Analogiile, ca metodă de studiu, se bazează pe apli carea legilor și
similitudinii la fenomene din domenii diferite ale fizicii. Clasa de analogie este
determinată de legi de conduită, asemănătoare ca fo rmă, dar diferite prin
parametrii pe care îi conŃin.
Utilizarea metodei analogice în transmiterea căldur ii, se traduce prin
alegerea, pentru experimentare, a unui fenomen dint r2un alt domeniu al fizicii,
fenomen ai cărui parametri pot fi măsuraŃi cu ușuri nŃă și precizie și apoi prin
aplicarea rezultatului la fenomenul termic analog.
Aparatura electrică de măsură prezentând o mare div ersitate și precizie, în
cazul transferului termic, cel mai frecvent sunt ap licate analogiile termoelectrice.
În tabelul 4.9 este prezentată analogia fizică și m atematică dintre unele
mărimi termice și electrice, indicii t și e precizând câmpul termic sau electric la
care se referă mărimea considerată.

Tabelul 4.9
Analogia dintre câmpul de temperatură și câmpul ele ctric
Câmp termic Câmp electric
1. Analogie fizică

Mărimea fizică
Simbol2expresie
u/m

Mărimea fizică
Simbol2expresie
u/m

Temperatura T K PotenŃialul electric E V
DiferenŃa de temperatură ∆T K Tensiunea electrică U = ∆E V
Gradientul de temperatură grad T K/m Intensitatea câmpului electric grad U V/m
Lungimea lt = δi, pentru peretele plan;
lt =r, pentru peretele cilindric lt m Lungimea conductorului le m
SuprafaŃa corpului At m2 SecŃiunea conductorului Ae m2
Timpul τt s sau h Timpul τe s sau h
Cantitatea de căldură Q J Sarcina electrică Qe A⋅s
Fluxul termic φ W Intensitatea electrică I A
Densitatea fluxului termic q W/m 2 Densitatea curentului electric J A/m 2
Conductivitatea termică λ W/m ⋅K Conductivitatea electrică ρe 1/ Ω⋅m
Rezistivitatea termică
λ=1
tr m⋅K/W Rezistivitatea electrică
eerρ=1 Ω⋅m
RezistenŃa termică
ttttt
t
AlAlrR
⋅ λ==⋅=
K/W RezistenŃa electrică
e eeeee
e
AlAlrR
⋅ρ==⋅=
Ω
Capacitatea calorică Ct J/K Capacitatea electrică Ce F
Coeficientul de cedare termică α W/m 2⋅K Conductivitatea electrică specifică
e eAR⋅1 1/ Ω⋅m2

2. Analogie matematică
Formula Formula
Denumire Expresie Denumire Expresie
Legea generală a lui Fourier q = 2λ grad T Legea lui Ohm generalizată j = 2 ρe ⋅ grad U
RezistenŃa termică a unui perete plan omogen
tt
tARδ⋅λ=1 RezistenŃa electrică a unui conductor liniar
ee
eeAlR ⋅ρ=1
Fluxul termic transmis prin perete plan omogen în regim staŃionar
tt
tTART
δ∆⋅⋅ λ=∆=φ Legea lui Ohm pentru un conductor liniar
eRUI=
RezistenŃa termică a unui perete neomogen ∑
==n
iti t R R
1 RezistenŃa electrică a conductorilor legaŃi în serie ∑
==n
iei e R R
1
Fluxul termic transmis prin perete neomogen în regim staŃionar
∑
=∆=φn
itiRT
1 Legea lui Kirchhoff pentru conductori legaŃi în serie
∑
==n
ieiRUI
1
Fluxul termic transmis în regim variabil ()
ttTCτ∆∆∆⋅ =φ Intensitatea electrică în cazul variaŃiei tensiunii în timp
eeUCIτ∆∆⋅ =
Legea lui Newton φ = α ⋅ At⋅ ∆T Legea lui Ohm
ee
e e RUUAARI =⋅⋅⋅=1