Specializarea: Matematic a [612489]

Universitatea ,,Alexandru Ioan Cuza" din Ia si
Facultatea de Matematic a
Specializarea: Matematic a
GRUPURI MATRICEALE S ,I
ALGEBRE ASOCIATE
LUCRARE DE LICENT  A
Coordonator  stiint ic:
Conf. Univ. Dr. CR ^AS,MAREANU Mircea
Absolvent: [anonimizat] si, 2019

Cuprins
Introducere 2
1 Not iuni introductive 3
2 Grupuri liniare generale 8
3 Grupuri ortogonale 11
3.1 Re
exii ^ n Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Algebra Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Centrul unui grup 18
4.1 Morsmul :S3!SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Centrul unui grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Grupuri c^ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Bibliograe 24
1

Introducere
Lucrarea are ca obiectiv principal not iunea de grup, aplicat a la nivelul grupuri-
lor de matrice.
Primul capitol cont ine o prezentare a principalelor not iuni prezentate pe par-
cursul lucr arii (grup, inel, corp, algebr a), precum  si unele exemple elocvente pentru
acestea. Capitolul cont ine  si denit ii pentru not iunile de morsm  si izomorsm.
Spre nalul acestui capitol sunt introduse denit ii pentru spat iul vectorial  si pentru
algebra format a de Mn(K) cu operat ia (intern a) de ^ nmult ire.
^In capitolul al II-lea sunt puse ^ n lumin a denit ii  si rezultate referitoare la faptul
c a pe un domeniu K, spat iul vectorial Mn(K) indic a algebra matricelor de dimen-
siunennpesteK. Capitolul cont ine  si informat ii despre grupul liniar GL(n;k).
Capitolul al III-lea este o prezentare succint a ale propriet at ilor produsului sca-
lar, dar  si a not iunilor de grup ortogonal, grup unitar  si grup simplectic.
Principalele surse bibliograce ale lucr arii au fost volumele: Cr^ a sm areanu M.,
Modele matematice ^ n zica modern a , Ed. Cermi, Ia si, 2005; Cr^ a sm areanu M., Gru-
pul ortogonal , https:==www=math.uaic.ro =mcrasm=depozit=PerfectDesen.pdf  si
Climenhoga V.,Katok A., From groups to geometry and back , Ed. American Mathe-
matical Society, 2017.
Consider c a, pentru mine, lucrarea de fat  a a reprezentat un prilej bun de recapi-
tulare  si aprofundare a not iunilor din cei doi ani de facultate, un motiv de studiu al
unor lucruri noi  si o ocazie de dezvoltare a ideilor  si deprinderilor folosite ^ n studiul
not iunilor de algebr a  si geometrie, ^ n sens mai larg.
2

Capitolul 1
Not iuni introductive
FieA;B dou a mult imi nevide.
Denit ia 1.1. Produsul cartezian al mult imii Acu mult imea Beste o nou a mult ime,
notat aAB, care cont ine totalitatea perechilor ordonate ( a;b) cua2A sib2B.
Pe scurt:
AB=f(a;b)ja2A;b2Bg:
Denit ia 1.2. Prin operat ia binar a denit a pe o mult ime Avom ^ nt elege aplicat ia
:AA!Acare asociaz a ec arui element ( a1;a2)2AAun alt element din A,
notat(a1;a2).
Exemplul 1.3. FieN=f0;1;2:::gmult imea numerelor naturale. Adunarea  si
^ nmult irea sunt operat ii binare pe N: adunarea asociaz a perechii de numere naturale
(a;b) num arul natural a+biar ^ nmult irea atribuie num arul a
b.
Denit ia 1.4. FieM6=?o mult ime pe care denim operat ia binar a :MM!
M. Cuplul (M;) formeaz a un monoid dac a au loc:
M1: (xy)z=x(yz);8x;y;z2M(asociativitate),
M2:9e2Mastfel ^ nc^ at xe=ex=x;8x2M(element neutru).
Exemplul 1.5. (N;+) este monoid cu elementul neutru 0.
Denit ia 1.6. Un cuplu (G;) format din mult imea nevid a G si operat ia binar a
:GG!G; (a;b) =abse nume ste grup dac a sunt satisf acute urm atoarele
axiome:
G1:8a;b;c2G;((a;b);c) =(a;(b;c)),(ab)c=a(bc) (asociativitate, )
G2:9e2Gastfel ^ nc^ at (a;e) =(e;a) =a,ae=ea=a;8a2G(element neutru),
G3:8a2G;9a02Gastfel ^ nc^ at (a;a1) =(a1;a) =e,aa1=a1a=e
(element simetrizabil).
3

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 1
Propozit ia 1.7. Un grupGare un unic element neutru  si ecare element al s au
are exact un invers.
Demonstrat ie. Presupunem c a exist a ^ n Gdou a elemente neutre: e;f2G. Atunci
fe=e sife=f. Atuncie=f.
Presupunem c a b;c2Gsunt inversele elementului a. Atunci:b=eb= (ca)b=
c(ab) =ce=c.
Exemple.Cuplul ( Z;+) este grup aditiv cu 0 elementul neutru  si ainversul
ec arui element a.
Cuplul ( Z;
) nu este grup (grup multiplicativ) deoarece exist a elemente care
nu au simetric: 3 nu are invers.
Mult imea numerelor rat ionale, Q=a
bja;b2Z;b6= 0
, este grup aditiv.
Mult imea Qnf0geste grup multiplicativ.
Mult imea numerelor reale pozitive, R+=fx2Rjx >0g, este grup multipli-
cativ.
FieRn=f(x1;:::;x n)jxi2R;8i21;n;n2Ng si " + " : RnRn!Rnastfel
^ nc^ at (x1;:::;x n) + (y1;:::;y n) = (x1+y1;:::;x n+yn). Cuplul ( Rn;+) este grup
cu elementul neutru 0 = (0 ;:::;0)  si inversul (x1;:::;xn).
FieE=fa;b;cgo mult ime cu trei elemente distincte. Fie G3mult imea
funct iilor bijective de la ElaE. Exist ai;f1:E!Eelementul neutru,
respectiv inversul lui f. Consider am operat ia de compunere a funct iilor, " " :
G3G3!G3, care este asociativ a. Atunci ( G3;) este grup, numit grupul
permut arilor cu trei elemente sau grupul simetric de grad 3.
Denit ia 1.8. Fie (G1;
)  si (G2;) dou a grupuri. O funct ie :G1!G2se nume ste
morsm dac a8a;b2G1are loc(a
b) =(a)(b).
Propozit ia 1.9. Un morsm :G1!G2transform a elementul neutru al grupului
G1^ n elementul neutru al grupului G2 si elementele inverse din G1^ n elemente
inverse din G2.
Demonstrat ie. Fiee;e0elementele neutre ale grupurilor G1, respectiv G2. Atunci
(e) =(e
e) =(e)(e), iar(e) are invers, e el h2G2. Decie0=h(e) =
h(e)(e) =e0(e) =(e):
Pentrua2G1, avem(a)(a1) =(a
a1) =(e) =e0, ceea ce arat a c a
(a1) = ((a))1.
4

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 1
Denit ia 1.10. Un morsm pentru care are loc (G1) =G2este un morsm
surjectiv .
Denit ia 1.11. Un morsm este injectiv dac a(a) =(b))a=b. (Dou a
elemente diferite nu au acea si imagine.)
Denit ia 1.12. Un morsm care este injectiv  si surjectiv se nume ste morsm bi-
jectiv .
Denit ia 1.13. Fie (G1;), (G2;) dou a grupuri  si f:G1!G2o aplicat ie bijec-
tiv a. Dac a f(xy) =f(x)f(y) spunem c a feste un izomorsm de grupuri .^In
acest caz vom spune c a G1 siG2sunt izomorfe  si not am:G1'G2:
Denit ia 1.14. FieR6=?pe care denim operat iile: "+" ;"
" :RR!Restfel
^ nc^ at (x;y)7!x+y si (x;y)7!x
y. Tripletul ( R;+;
) se nume ste ineldac a au loc:
I1: (R;+) este grup abelian cu elementul neutru 0,
I2: (R;
) este monoid cu elementul neutru 1 6= 0,
I3:8
<
:x
(y+z) =x
y+x
z;
(x+y)
z=x
z+y
z;;8x;y;z2R(distributivitatea ^ nmult irii).
Denit ia 1.15. Dac a (R;
) este monoid comutativ atunci spunem c a ( R;+;
) este
inel comutativ .
Denit ia 1.16. Dac a8x;y2R;x6= 0;y6= 0 are loc x
y6= 0 spunem c a Reste un
inel f ar a divizori ai lui zero .
Denit ia 1.17. Un inel comutativ cu cel put in dou a elemente  si f ar a divizori ai lui
zero se nume ste domeniu de integritate .
Denit ia 1.18. Un triplet ( K;+;
) se nume ste corp dac a sunt ^ ndeplinite condit iile:
K1: (K;+) este grup abelian cu elementul neutru 0,
K2: (Knf0g;
) este grup abelian cu elementul neutru 1 6= 0,
K3:x
(y+z) =x
y+x
z;8x;y;z2K(distributivitatea ^ nmult irii).
Exemple.(Q;+;
);(R;+;
);(C;+;
) sunt corpuri, corpul numerelor rat ionale,
reale, respectiv complexe.
(Z;+;
) nu este corp deoarece pentru orice element 8x2Znf1gnu exist a
invers ^ n Z.
Observat ia 1.19. Un corp nu are divizori ai lui zero.
5

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 1
Denit ia 1.20. Fie (K;+;
) un corp comutativ  si mult imile M=f1;2;:::;mg,
N=f1;2;:::;ng;m;n2N. Se nume ste matrice de tipul (m;n) pesteKorice
aplicat ieA:MN!K.
Not^ andA(i;j) =aij;i2M;j2N;matriceaApoate  reprezentat a sub forma
tabloului:
A=0
BBBB@a11a12


a1n
a21


a2n
………
am1am2


amn1
CCCCA;av^ andmlinii  sincoloane .
Denit ia 1.21. Pe mult imea matricelor ( m;n) cu elemente din K, notat aM(m;n;K )
sauMmn(K) denim operat ia de adunare: ( A+B)(i;j) =A(i;j) +B(i;j);8A;B2
Mmn(K);8(i;j)2MN.
Observat ia 1.22. Cuplul (Mmn(K);+) este grup abelian cu matricea nul a ca ele-
ment neutru.
Denit ia 1.23. FieA= (aij)mn2Mmn(K);B= (bij)np2Mnp(K) dou a ma-
trice. Matricea C= (cij)mp2Mmp(K), undecij=nP
k=1aikbkj;1im;1jp
se nume ste produsul matricelor A siB.
Observat ia 1.24. Dac am=nvom nota cu M(n;K) =Mn(K) mult imea tuturor
matricelor p atratice de ordinul ncu elemente din K. Mult imea Mn(K) ^ mpreun a cu
adunarea  si^ nmult irea matricelor formeaz a un inel unitar: ( Mn(K);+;
) cu matricea
unitateInelementul neutru la ^ nmult ire.
Denit ia 1.25. Fien2N siKnmult imeanuplelor cu elemente din K. Fie
x= (x1;:::;x n);y= (y1;:::;y n)2Kn;c2K. Denim pe KnKn;respectivKn
operat iile de adunare  si ^ nmult ire cu scalari:
x+y= (x1+y1;:::;x 2+y2)  sicx= (cx1;:::;cx n):
Tripletul format din Kn^ mpreun a cu cele dou a operat ii denite mai sus formeaz a o
structur a de Kspat iu vectorial .
Denit ia 1.26. O funct ie:Kn!Knse nume ste transformare liniar a dac a
invariaz a combinat iile liniare. Cu alte cuvinte, dac a c;d2K six;y2Knare loc:
(cx+dy) =c(x) +d(y):
6

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 1
Propozit ia 1.27. Compunerea a dou a transform ari liniare este o transformare li-
niar a.
Demonstrat ie. Fie; :Kn!Kndou a transform ari liniare. Are loc relat ia:
( )(cx+dy) = (c(x) +d(y)) =c(  (x)) +d(  (y))
Dac a este dat a matricea M2Mn(K);M= (mij);mij2Kdenim o transfor-
mare liniar a
(M)(x1;:::;x n) = (x1;:::;x n)(mij) unde ^ nmult irea cu matricea se face la dreapta.
Se obt ine o matrice de dimensiune 1 n. Liniaritatea rezult a imediat:
(M)(cx+dy) = (cx+dy)(mij) =c(x1;:::;x n)(mij) +d(y1;:::;y n)(mij):
Folosind linii de vectori ( x1;:::;x n), prin ^ nmult irea la st^ anga cu un scalar
c(x1;:::;x n) = (cx1;:::;cx n)
vom obt ine un spat iu vectorial, pe care ^ l vom nota cu Hn.
Spunem c a Mn(K) este un spat iu vectorial dac a:
i.A= (aij)  siB= (bij), atunciA+B= (aij+bij).
ii.A= (aij)  sic2K, atuncicA= (caij):
Observat ia 1.28. Mn(K) nu este doar un spat iu vectorial. El are  si proprietatea
de distributivitate a ^ nmult irii fat  a de adunare (^ n ambele p art i):
A(B+C) =AB+BC;
(B+C)A=BA+CA:
Denit ia 1.29. Un spat iu vectorial ^ mpreun a cu ^ nmult irea, care este operat ie
intern a  si este distributiv a fat  a de adunare, se nume ste algebr a .
Vom folosi notat ia Gpentru o algebr a.
7

Capitolul 2
Grupuri liniare generale
Denit ia 2.1. FieGo algebr a unitar a  si x2G. Spunem c a xeste inversabil dac a
exist ay2Gastfel ^ nc^ at xy= 1 =yx, adic a admite un invers fat  a de ^ nmult ire.
Propozit ia 2.2. FieGo algebr a cu ^ nmult irea asociativ a  si UGmult imea
elementelor inversabile din G. Atunci (U;
)formeaz a un grup.
Demonstrat ie. Operat ia este asociativ a, are elementul neutru 1  si orice element are
invers.
Observat ia 2.3. Grupul elementelor inversabile din algebra Mn(R) este notat cu
GL(n;R), din algebra Mn(C) este notat cu GL(n;C), iar dinMn(H) este notat cu
GL(n;H). Toate acestea se numesc grupuri liniare generale .
Propozit ia 2.4. A2Mn(K)este un element inversabil dac a  si numai dac a repre-
zint a un izomorsm al spat iului Kn.
Denit ia 2.5. Dac aGeste grup  si Heste o submult ime a sa, atunci Heste subgrup
al luiGdac a operat ia lui Ginduce peHo structur a de grup.
Propozit ia 2.6. FieGun grup  siHGo submult ime a sa. Heste subgrup al lui
Gdac a:
i.x;y2H)xy2H;
ii. elementul neutru apart ine mult imii H;
iii. dac ax2Hatunci  six12H.
Demonstrat ie. Pentru a demonstra c a Heste subgrup al lui Gvom ar ata c a operat ia
luiGinduce  si pe Ho operat ie algebric a. Ar at am, deci, c a 8x;y2H)xy2H si
c a operat ia indus a este asociativ a (lucru deja  stiut din faptul c a este operat ie indus a
8

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 2
peG)  si c a are element neutru (care coincide cu elementul neutru al lui G).
^Intr-adev ar, dac a e0este elementul neutru pe mult imea H, are loc loc relat ia: xe0=
x;8x2G:Consider^ and aceast a relat ie ^ n G si ^ nmult ind cu x1se obt inee0=e,
undeeeste elementul neutru al lui G.
Orice element x2Hare invers ^ n H, iar acesta coincide cu inversul lui xdinG.
Observat ia 2.7. i.GL(1;R) =Rnf0g;
ii.GL(1;C) =Cnf0g;
iii.GL(1;H) =Hnf0g;
iv.GL(2;R) este mult imea tuturor elementelor inversabile din spat iul vectorial
M2(R) de dimensiune 4. Deci, GL(2;R) =(
a b
c d!
ja;b;c;d2R;adbc6= 0)
:
Cu alte cuvinte, punctele din spat iul R4de dimensiune 4 nu apart in mult imii
dac aad=bc.
Pentru R siCavem denit i determinantul matricelor din Mn(R)  siMn(C)  si
folosind not iuni de algebr a liniar a avem:
GL(n;R) =fA2Mn(R)jdetA6= 0g;
GL(n;C) =fA2Mn(C)jdetA6= 0g:
Denit ia 2.8. Fie matricea

!
2M2(H). Prin determinantul matricei

!
vom ^ nt elege:
det

!
= 

=
:
A sadar, det
i j
i j!
=k(k) = 2k6= 0, dar aceast a matrice nu este inversabil a
c aci (i;j)

i j
i j!
= (0;0)  si, deci
i j
i j!
nu este injectiv a. Vom deni un
determinant cu valori complexe cu proprietatea dorit a: A2Mn(H) are invers a
dac a  si numai dac a acest determinant este diferit de 0.
Propozit ia 2.9. Fie:G!Hun morsm de grupuri. Atunci (G)este un
subgrup al lui H.
Demonstrat ie. (id) =idastfel ^ nc^ at (G) cont ine elementul neutru al lui H. Dac a
x;y2(G), atunci exist a a;b2Gastfel ^ nc^ at (a) =x si(b) =y. Avem
9

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 2
xy: (a)(b) = (ab))xy2(G), ind imaginea elementului ab2G.^In nal,
presupunem c a x2(G). Atuncix=(a)  si, de asemenea, x1=(a1)2(G):
Deci(G) este un subgrup al lui H.
Dac a:G!Heste un morsm injectiv, atunci este un izomorsm al lui
Gcu un subgrup (G) al luiH. Deci putem considera c a Geste un subgrup al
luiH. Construim un morsm injectiv :GL(n;H)!GL(2n;C)  si , apoi, pentru
A2GL(n;H) atribuim determinantului lui Adeterminantul lui (A).^Incepem cu
:H!M2(C) denit prin:
(x+iy+zj+kw) =
z+iyziw
ziw xiy!
:
Lema 2.10. Avem:
i. (+) = () + ()
ii. (
) = ()
()
iii. este injectiv.
Lema 2.11. Avem (A
B) = (A)
(B).
10

Capitolul 3
Grupuri ortogonale
Denit ia 3.1. Fiexun element din R(CsauH). Elementul notat cu x2R(C
sauH) se nume ste conjugatul num aruluix.
Observat ia 3.2. Pentru=x+iy2C,=xiy2Ciar pentruq=x+iy+
jz+kw2H,q=xiyjzkw2H:
Observat ia 3.3. Propriet at i imediate: =,(+) =+. Se poate demonstra
c a=. Ultima proprietate, aplicat a pe RsauCeste echivalent a cu 
=,
deoarece ^ n RsauC^ nmult irea este comutativ a.
Denit ia 3.4. FieK2fR;C;Hg. Denim produsul scalar al vectorilor x;y2Kn,
prin
<x;y> =x1y1+x2y2+:::+xnyn:
Propozit ia 3.5. Produsul scalar are urm atoarele propriet at i:
i.<x;y +z >=<x;y> +<x;z > ;
ii.<x+y;z > =<x;z > +<y;z > ;
iii.a<x;y> =<ax;y>  si<x;ay> =<x;y>a;
iv.<x;y> =<y;x> ;
v.<x;x>> 0 si<x;x> = 0,x= (0;0;:::;0):
vi. Dac ae1;e2;:::;e neste baza canonic a a lui Kn, atunci
<ei;ej>=ij=8
<
:1;pentrui=j
0;pentrui6=j:
11

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 3
vii. Produsul scalar este nedegenerat; cu alte cuvinte, dac a <x;y> = 0;8yatunci
x= (0;:::;0)iar dac a<x;y> = 0;8xatunciy= (0;:::;0)
Demonstrat ie. i.<x;y +z >=x1y1+z1+::::+xnyn+zn=x1(y1+z1) +:::+
xn(yn+zn) =x1y1+x1z1+:::+xnyn+xnzn.
ii.<x+y;z > = (x1+y1)(z1)+:::+(xn+yn)(zn) =x1z1+y1z1+:::+xnzn+ynzn=
<x;z > +<y;z >
iii.a<x;y> =a(x1y1+:::+xnyn) =ax1y1+:::+axnyn=<ax;y> ;
<x;y>a= (x1y1+:::+xnyn)a=x1y1a+:::+xnyna=<x;ay> ;
iv.<x;y> =(x1y1+:::+xnyn) =x1y1+:::+xnyn=<y;x> ;
v.<x;x> =<x;x> = (x2
1+:::+x2
n)2R+
<x;x> = 0,×2
1+:::+x2
n= 0,×1=x2=:::=xn= 0,x= 0;
vi.<(0;0;:::;1;0;:::;0); (0;0;:::;1;0;:::;0)>=
8
<
:0 + 0 +:::+ 0;pentrui6=j
0 + 0 +:::+ 1;pentrui=j=8
<
:0;pentrui6=j
1;pentrui=j:
vii.< x;y > = 0;8y)x1y1+:::+xnyn= 0,×1=x2=:::=xn= 0,x=
(0;0;:::;0):
Denit ia 3.6. Norma vectorului x2Knestejxj=p<x;x> .
Dac aA2Mn(K), numim conjugata lui A, notat aA, matricea obt inut a prin
^ nlocuirea ec arui element aijcuaij. Consider amtAtranspusa conjugatei matricei
A. PentruHntrebuie s a efectu am operat ia la dreapta, at^ ata timp c^ at denim
^ nmult irea dintre un scalar  si un vector la st^ anga. Vom face acela si lucru  si pentru
Rn siCn.
Propozit ia 3.7. Pentru orice x;y2Kn siA2Mn(K)avem:
<xA;y> =<x;ytA>:
Demonstrat ie. FieA= (aij).
xA= (x1a11+:::+xnan1;:::;x 1a1n+:::+xnann);
ytA= (y1a11+:::+ynan1;:::;y 1an1+:::+ynann);
12

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 3
<xa;y> = (x1a11+:::+xnan1)y1+:::+ (x1a1n+:::+xnann)yn;
<x;ytA>=x1(a11y1+:::+a1nyn) +:::+xn(an1y1+:::+xn(an1y1+:::+annyn):
Se observ a c a cele dou a produse cont in aceea si termeni.
Denit ia 3.8. FieK=fR;C;Hg:Denim
o(n;K) =fA2Mn(K)j<xA;yA> =<x;y>;8x;y2Kng:
Propozit ia 3.9. o(n;K)este grup.
Demonstrat ie. Dac aA;B2o(n;K), atunci< xAB;yAB > =< xA;yA > =<
x;y > , deciAB2o(n;K). Dac aA2o(n;K) avem< e iA;e jA >=< e i;ej>=
ijeiA, exact prima linia idinA, iar<eiA;e jA>este exact elementul ij^ n produsul
AtA.
AstfelAtA=I. Dar, de asemenea,tAA=Ideoarecet(tAA) =t(AtA) =AtA=I.
^In acest fel,tA=A1. Inversa la st^ anga este egal a cu inversa la dreapta ^ n cazul
matricelor. A sadar, < xA1;yA1>=< xA1A;yA1A >=< x;y >; ceea ce ne
arat a c aA2o(n;K):
Denit ia 3.10. PentruK=R,o(n;K) se noteaz a cu O(n)  si se nume ste grupul
ortogonal .
Denit ia 3.11. PentruK=C,o(n;K) se noteaz a cu U(n)  si se nume ste grupul
unitar .
Denit ia 3.12. PentruK=H,o(n;K) se noteaz a cu Sp(n)  si se nume ste grupul
simplectic .
Propozit ia 3.13. FieA2Mn(K). Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
i.A2o(n;K);
ii.<eiA;e jA>=ijA;
iii.Atransform a baze ortonormate ^ n baze ortonormate;
iv. liniile matricei Aformeaz a baze ortonormate;
v. coloanele matricei Aformeaz a baze ortonormate;
vi.tA=A1.
Propozit ia 3.14. FieA2Mn(K). AtunciA2o(n)dac a  si numai dac a invariaz a
modulul (distant a).
13

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 3
Demonstrat ie. Ainvariaz a distant a dac a  si numai dac a < xA;xA > =< x;x >
pentru orice x2Rn. Implicat ia direct a este evident a.
Reciproc, avem:
<(x+y)A;(x+y)A>=<x+y;x+y>=<x;x> +<x;y> +<y;x> +<y;y> =
<xA;xA> +<xA;yA> +<yA;xA> +<yA;yA>:
Rezult a
<x;x> +<y;x> =<xA;yA> +<yA;xA>:
Deoarece<;> este simetric ^ n R, obt inem< xA;yA > =< x;y > , cu alte cuvinte
A2o(n):
Propozit ia 3.15. Propozit ia anterioar a este adev arat a  si pentru C siH.
Propozit ia 3.16. Dac aK=fR;Cg siA2o(n;K), atunci detA
detA= 1.
Demonstrat ie. AtA=I, deci detA
detA= detI= 1 deoarece dettA= detA=
detA. Astfel, dac a A2o(n), atunci det A2f 1;1g.
Denit ia 3.17. DenimSO(n) =fA2o(n)jdetA= 1gnumit grupul ortogonal
special (sau grupul rotat iilor). Similar SU(n) =fA2U(n)gjdetA= 1geste grupul
unitar special .
Exemplul 3.18. Un exemplu de element din O(2)SO(2) este
1 0
01!
:Aceast a
transform a e1= (1;0) ^ ne1 sie2= (0;1) ^ ne2. Este exact re
exia primelor axe  si
are determinantul egal cu 1.
Fieuun vector unitar ^ n Rn siu?=fx2Rn=<x;u> = 0gcomplementul s au
ortogonal. Proiect ia vectorului vpeu?estevru, under2Reste ales astfel ^ nc^ at
vrueste ^ nu?. Deci 0 =<vru;u> =<v;u>r<u;u>;<u;u> = 1 dinu
unitar  si deci r=<u;v> .
3.1 Re
exii ^ n Rn
Denit ia 3.19. Re
exia luiv^ nu?este(v) =v2ru=v2<v;u>u .
Alegem o baz a o baz a ortonormat a fu1;:::;u ng^ nRncuu1=u. Apoi, folosind
14

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 3
aceast a baz a, re
exia este dat a de matricea:
0
BBBB@1O
1
…
O 11
CCCCA:
FieAo transformare liniar a din Rnobt inut a transform^ and e1;::en^ nu1;:::;u n:Din
propozit ia anterioar a, Aeste ortogonal a, deoarece bazele fe1;:::;e ng;fu1;:::;u ng
sunt ortogonale. Relativ la baza standard, e1;:::;e n,este dat de:
A0
BBBB@1O
1
…
O 11
CCCCAA1=A0
BBBB@1O
1
…
O 11
CCCCA
tA:
Observ am c a aceast a matrice este o re
exie a complementului ortogonal al vectorului
e1A:
^InR2, e vectorul u, dat prinu= (cos;sin). Atunci (sin;cos) este vector
dinu?.
^Intr-adev ar, <(cos;sin);(sin;cos)>=cossin+ sincos= 0.
MatriceaA, transform^ and e1^ nu sie2^ n (sin;cos) trebuie s a se satisfac a
(1;0)
a11a12
a21a22!
= (cos;sin)  si (0;1)
a11a12
a21a21!
= (sin;cos):
De aici,A=
cossin
sincos!
:
Matricea dat a de re
exie ^ n u?este:
=
cossin
sincos!
1 0
0 1!
cossin
sincos!
=
cos 2sin 2
sin 2cos 2!
:
MatriceaAeste u sor de v azut ca ind o rotat ie ^ n R2de unghi.
3.2 Algebra Lie
Observat ia 3.20. Mult imileso(n) =fA2Mn(R)jtA=Ag; su(n) =fA2
Mn(R)jtA=Ag; sp(n) nu sunt ^ nchise ^ n mult imea matricelor.
15

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 3
De exemplu, dac a =
0x
x0!
, atunci2=
x20
0x2!
, care nu este antisi-
metric a.
Propozit ia 3.21. PentruK=fR;C;Hg siA;B2Mn(K), denim [A;B] =
ABBA: Atunciso(n);su(n); sisp(n)sunt ^ nchise ^ n raport cu operat ia [;].
Demonstrat ie. Trebuie s a ar at am c a:
(ABBA) +t(ABBA) = 0:
Avem c a
(ABBA) +t(ABBA) =ABBA+tBtAtAtB=
AB+ (AtBAtB)AB+ (BtA+BtA) +tBtAtAtB= 0
Denit ia 3.22. Spat iile vectoriale so(n);su(n); sisp(n) devin algebre peste Rcu
aceast a operat ie. Acest produs are propriet at ile:
i. [A;B] =[B;A]
ii.[A;B +C] = [A;B] + [A;C];
[A+B;C] = [A;C] + [B;C];
iii. pentrur2R;r[A;B] = [rA;B ] = [A;rB ];
iv. [A;[B;C]] + [B;[A;C]] + [C;[A;B]] = 0 (identitatea lui Jacobi).
Denit ia 3.23. Un spat iu vectorial real ^ mpreun a cu un produs care satisface pro-
priet at ilei:;ii:;iii:;iv: de mai sus se nume ste algebr a Lie .
Exemplul 3.24. Pentru dimensiunea 1, spat iul vectorial este chiar R si dac ax;y2
R, atunci avem [ x;y] =x[1;y] =xy[1;1] = 0. ^In acest caz este vorba despre produsul
obi snuit din R.
Consider am R2cu bazae1;e2. Trebuie s a avem [ e1;e1] = 0;[e2;e2] = 0;[e1;e2] =
[e2;e1]. Fie [e1;e2] =ae1+be2:
Atunci, de exemplu, [ e1;[e1;e2]] + [e1;[e2;e1]] + [e2;[e1;e1]] = 0, deci b(ae1+be2) +
[e1;(ae1be2)] = 0, care este adev arat a f ar a a pune condit ii pentru a sib.
Observat ia 3.25. Pentrua= 0 =bse obt ine o algebr a Lie banal a. Pentru orice
alt caz avem algebre Lie nebanale.
16

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 3
Exemplul 3.26. Un exemplu de algebr a Lie nebanal a de dimensiune 3 este:
so(3) =8
><
>:0
B@0a b
a0c
bc a1
CAja;b;c2R9
>=
>;
cu bazai;j;k; [i;j] =k;[k;i] = 0:
17

Capitolul 4
Centrul unui grup
4.1 Morsmul :S3!SO(3)
Denit ia 4.1. Sfera unitate din R4(=H) reprezint a mult imea tuturor cuaternioni-
lorde modul 1,  si se noteaz a cu Sp(1).
Observat ia 4.2. Avem c a dim SO(3) =3
2
2= 3. Aceast a dimansiune nu diferent iaz a
S3deSO(3).
^In acest paragraf vom studia un "aproape izomorsm ^ ntre S3 siSO(3).
Propozit ia 4.3. Dac aq2S3, atunci "translat ia la st^ anga" dat a de Lq(q0) =qq0
este o transformare ortogonal a de la R4laR4.
Demonstrat ie. Ca spat ii vectoriale peste R,H siR4sunt acelea si. Deci Lqeste sigur
o transformare liniar a peste R4; pentrua;b2R si;2H, avem:
Lq(a+b) =q(a+b) =aq+bq=aLq() +bLq():
Pentru a demonstra c a Lqeste ortogonal a este sucient s a demonstr am perpendicu-
laritatea (folosind <;> ^ nR4) ceolr patru vectori bazici 1 ;i;j;k:
De exemplu, e q=a+ib+ic+kd si calcul am:
<L q(i);Lq(j)>=ad+bcbcda= 0:
Pentru celelalte perechi de vectori bazici calculul este similar.
Denit ia 4.4. Pentruq2S3 si2H, denim(q)() =qq:Cu alte cuvinte,
facem o translat ie la st^ anga cu q si o translat ie cu qla dreapta. Conform propozit iei
4.3, aceasta este o transformare ortogonal a de la R4laR4, adic a(q)2o(4):
18

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 4
Deoarece cuaternionii reali comut a, dac a xeste cuaternion real, atunci
(q)(x) =qxq=xqq=x:
Not am  si c a (q) este inversul lui (q) ^ n grupul o(4) deoarece:
(q)(q)=q(qq)q=x:
 si similar pentru p(q)p(q):Aceste observat ii implic a faptul c a (q) ducei;j;k ^ n
i;j;k .^In acest fel, (q) poate  considerat un element din o(3).
Observat ia 4.5. Are loc:(q)2SO(3).
Propozit ia 4.6. :S3!SO(3)este un morsm surjectiv  si
Ker() =f1;1g2S3.
Demonstrat ie. Dac aq1;q22S3 si2Span<i;j;k> (undeSpan este^ nf a sur atoarea
liniar a) atunci:
(q1q2)() =q1q2q1q2=q1(q2q2)q2=(q1)(q2):
Decieste morsm. Evident, (1)  si(1) sunt elemente neutre ^ n SO(3), deci
1  si1 apart in lui Ker():Reciproc, presupunem c a (q) este elementul nutru cu
q=a+ib+jc+kd:Atunci, din (k)(i) =i, rezult a c a
(a+ib+jc+kd)(i)(aibjckd) =i.
De aici,a2+b2c2d2= 1:Dara+ib+jc+kd= 1, decic= 0 =d. Din
(q)(j) =jobt inemb= 0. Atunci a2= 1, decia2f 1;1g.
^In nal, trebuie s a ar at am c a este surjectiv. Aceasta va  chiar u sor de ^ ndat a
ce vom folosi anumite elemente de topologie. Aici vom ar ata doar cum putem g asi
2S3astfel ^ nc^ at (q) s a e element al lui SO(3) care p astraz a k si transform a i
^ nj sij^ ni.
Fieq=a+ib+jc+kd. Vrem ca ( a+ib+jc+kd)(k)(aibjckd) sau
(a+ib+jc+kd)(kajb+ic+kd) =k; adic aadbc+bcad= 0 (evident),
ac+bd+ac+bd= 2(ac+bd) = 0;ad+ca+dcab= 2(cdab) = 0:a2+d2b2=
c2= 1:
Dara2+b2+c2+d2= 1, deci 2( b2+c2) = 0 saub= 0 =c. Deci singura condit ie
pentruqastfel ^ nc^ at p(q)(k) estep=a+dk(cua2+d2= 1).
^In continuare vrem ca (q)i=j; (a+kd)(i)(akd) =j;(a+kd)(ia+jd) =j;a2d2=
0;a=d;ad+ad= 1. Dac aa=d;2a2= 1  si nu putem avea a=d.
^In nal, cerem ca (q)j=i. Deci, (a+ka)j(aka) =i; (a+ka)(jaia) =
i;2a2= 1;a2a2= 0:Deciq=1p
2+k1p
2sauq=1p
2k1p
2. Ambele cazuri
ne dau elementul dorit din SO(3).
Not am c a aceasta nu dovede ste c a c a S3 siSO(3) sunt izomorfe. nu este izomor-
sm, dar are comportarea unui izomorsm.
19

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 4
4.2 Centrul unui grup
CentrulCal unui grup este denit ca C=fx2G=xy =yx;8y2Gg si se arat a
u sor c a este un subgrup normal  si abelian al lui G. Vom ar at a c a S3 siSO(3) nu
sunt izomorfe ar at^ and c a centrele lor nu sunt izomorfe.
Propozit ia 4.7. Centrul lui S3estef1;1giar centrul lui SO(3)estefIg.
Demonstrat ie. ^Intruc^ at cuaternionii reali comut a, este clar c a f1;1gCentrS3:
Reciproc, presupunem c a q=a+ib+ic+kd2S3. Atunciqi=iqne d a c a
aibck+dj=aib+ckdj si de aicic= 0 =d;qj =jqne d a (a+ib)j=j(a+ib),
ceea ce implic a b= 0. Deciq=a sia2= 1. Deci centrul lui S3estef1;1g
Presupunem c a A2SO(3) apart ine CentruSO (3). Deoarece Acomut a cu toate ele-
mentele din SO(3), atunci comut a cu toate elementele lui T=0
B@cossin0
sincos0
0 0 11
CA;
pentru c aTSO(3).
Consider am baza standard e1= (1;0;0);e2= (0;1;0);e3= (0;0;1) din R3.
Observat ia 4.8. Ap astreaz ae3sau ^ l trimite ^ ne3.
AlegemB2Tcare transform a e1^ ne2,e2^ ne1 si p astreaz a e3. ApoiAe3=
ae1+be2+ce3 siBAe 3=ae1be2+ce3, ^ n timp ce ABe 3=Ae3; asta implic a
a= 0 =b si deoarece Ainvariaz a modulul, trebuie s a avem c= 1 sauc=1.^In
aceste felAinduce o transformare ortogonal a ^ n planul e1e2.^In acest caz ea este o
rotat ie, deoarece:
Lema 4.9. Orice element din o(2)care comut a cu toate rotat iile, este ea ^ ns a si o
rotat ie.
Demonstrat ie. Fie:R2!R2ce indic a un asemenea element din o(2). Pentru
orice rotat ie t=
cossin
sincos!
, trebuie s a avem t=t:Fie=

!
:
Avem:
coscos=cos+
sin;sin+cos=cos+sin;
adev arate pentru orice .
Deci
= si=. Astfel,=

 !
 si det=2+2:Deoarece
acest determinant nu poate  egal cu 1  si apart ine mult imii f1;1g, lema este
demonstrat a.
20

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 4
Aceasta demonstreaz a c a c= 1 (deoarece A2SO(3))  si deducem c a A2T.
Acum putem termina demonstrat ia.
A=0
B@cossin0
sincos0
0 0 11
CA siR=0
B@0 0 1
0 1 0
1 0 01
CA2SO(3):
DeoareceAtrebuie s a conute cu R, avem:
AR=0
B@0 sincos
0 cossin
1 0 01
CA=0
B@0 0 1
sincos0
cossin01
CA=RA:
Astfel, cos= 1  si sin= 0, deciA=I si propozit ia 4.7 este demonstrat a.
4.3 Grupuri c^ at
Dac aHeste un subgrup al lui G, denim relat ia^ nG, prinxydac axy12H.
Aceast a relat ie este re
exiv a ( xx;deoarecexx1=e2H), este simetric a
(xy)yx;deoarecexy12H)(xy1)12H)yx12H)  si este tranzitiv a
(xy^yz)xz, deoarecexy12H siyz12H)(xy1)(yz1) =xz12
H):^In acest fel, se ^ mparte G^ n clase de echivalent  a.
FieC(x)clasa de echivalent  a a luix. AtunciC(x) =Hx=fhxjh2Hg:De
asemenea,Hx=Hy,hy12H,y2H(x),x2C(y):
Aceste clase de echivalent  a sunt numite mult imi factor la dreapta ale luiH.
Exemplul 4.10. FieG=S3(=Sp(1))  siH=f1;1g. AtunciHq=fq;qg=
H(q);deci orice clas a de echivalent  a cont ine exact dou a puncte din S3.
Exemplul 4.11. FieG=U(3);eH=fIj2C;jj= 1g. AtunciHeste
subgrup al lui G si mult imile factor la dreapta sunt circulare. ^In acest fel, U(3)
poate  ^ mp art it a ^ n cercuri care reunite umplu U(3):
Denit ia 4.12. Similar se denesc  si mult imile factor la st^ anga :xH=fxhjh2Hg.
Denit ia 4.13. Unsubgrup este normal dac a are loc relat ia: xHx =H;8x2G:
Observat ia 4.14. Un subgrup Hal luiGeste normal ^ n Gdac a  si numai dac a
xH=Hx;8x2G, adic a dac a mult imile factor la dreapta coincid cu mult imile
factor la st^ anga.
21

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 4
Vom notaG=H mult imea elementelor care sunt mult imi factor la dreapta ale lui
H^ nG.
Propozit ia 4.15. Dac aHeste un subgrup normal al lui G, atunci operat ia pe G=H
denit a prin (Hx)(Hy) =H(xy)induce peG=H o structur a de grup.
Demonstrat ie. Avem nevoie ca Hs a e subgrup normal ^ n Gpentru a ar ata c a
operat ia pe G=H este bine denit a. Presupunem c a Hx=Hz siHy=Hw. Tre-
buie s a demonstr am c a Hxy =Hzw .
Decixy(zw)1=xyw1z1 siyw1=h12H. De asemenea, z1=x1h2:
Astfel,xy(zw)1=xh1x1h2 si, deoarece H este normal, xh1x1=h32H si
de aicixy(zw)1 =h3h22H si avem dovada c a operat ia este bine denit a.
H=He2G=H este elementul neutru  si Hx1este inversul lui Hx(asociativi-
tatea este mo stenit a din: G:Hx(HxHy ) = (HxHy )Hz, deoarecex(yz) = (xy)z.
Exemplul 4.16. G=Sp(1)  siH=f1;1g.Heste centrul lui G si astfel este un
subgrup normal. ^In acest fel G=H este grup. S tim c a acest grup este SO(3).
Ofunct ie natural a este::G!G=H dat a prin(x) =Hx. Se arat a c a este
un morsm surjectiv cu nucleul H.
Denit ia 4.17. FieGun grup  six;y2G. Atunci elementul xyx1y1se nume ste
comutator pentrux siy(deoarece (xyx1y1)(xy) =xy).
Observat ia 4.18. Produsul a doi comutatori nu este neap arat comutator, dar vom
consider a mult imea [ G;G] =ftoate produsele nite de comutatori g.
Propozit ia 4.19. [G;G]este un subgrup normal al lui G siG
[G;G]este un grup
abelian.
Demonstrat ie. ^Inchiderea  si elementul neutru sunt evidente  si ^ mpreun a cu
(xyx1y1)(yxy1x1) =ene arat a c a [ G;G] este subrup.
Fiez2G sixyx1y12[G;G].
Atunciz(xyx1y1)z1=zxy(z1(xy)1(xy)z)x1((yz)1(yz)y1z1=
[z(xy)z1(xy)1][x(yz)x1(yz)1][yzy1z1]2[G;G]:
Este u sor de extins la porduse de comutatori, deci [ G;G] este un subgrup normal.
^In nal, [G;G]x[G;G]y= [G;G]xy= [G;G]yx= [G;G]x[G;G]ydeoarece
xy(yx)1=xyx1y12[G;G]:
^In majoritatea cazurilor, vom g asi c a dac a Geste un grup de matrice  si Ceste centrul
s au, atunci G=C ar avea un centru banal. Dar aceasta nu este mereu adev arat a.
22

Grupuri matriceale  si algebre asociate Capitolul 4
Propozit ia 4.20. Pentrux2G, denim (x) :G!Gprin (x)(y) =xyx1y1:
AtunciG=C are un centru nebanal dac a exist a x2GnCastfel ^ nc^ at (x)GG.
Demonstrat ie. x =2C)Cx6=C, deciCxnu este elementul neutru ^ n G=H . Dar
pentru orice y2G, avemxyx1y12G si deci
CxCy =Cxy =Cyx =CyCx  siCx2CentruG=C:
Reciproc,Cx6=CcuCx^ nCnetruG=C implic a
CxCy =Cxy =Cyx =CyCx  sixyx1y12G;8y2G:
Corolarul 4.21. Dac aGeste conex  si Ceste discret (^ n particular, dac a Ceste
nit), atunci G=C nu are centru.
23

Bibliograe
[1] Cr^ a sm areanu M., Modele matematice ^ n zica modern a , Ed. Cermi, Ia si, 2005.
[2] Cr^ a sm areanu M., Grupul ortogonal , https:==www=math.uaic.ro =
mcrasm=depozit=PerfectDesen.pdf.
[3] Climenhoga V.,Katok A., From groups to geometry and back , Ed. American
Mathematical Society, 2017
[4] Onishichick A.L., Vinberg E.B., Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of
Lie Groups and Lie Algebras , Ed. Springer, 1991.
24