LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I Coordonator științific Lect. univ. dr. DIAMANDESCU AUREL Candidat Învățător Dobre… [612424]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICI APLICATE

LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I

Coordonator științific
Lect. univ. dr. DIAMANDESCU AUREL

Candidat: [anonimizat] “Decebal”
Dobrețu, jud. Olt

Seria 2015 – 2017

2 UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA

DEPARTAMENTUL DE MATEMATICI APLICATE

FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMǍR NATURAL
ÎN CICLUL PRIMAR

Coordonator știin țific
Lect. univ. dr. DIAMANDESCU AUREL

Candidat: [anonimizat] “Decebal”
Dobrețu, jud. Olt

2015 -2017

3
CUPRINS
INTRODUCERE ………………………………… ……………………………………………………. ……….. pag. 5
1. Importanța și actualitatea temei …………………………………………………………………………pag. 5
2. Motivarea alegerii temei ………………… ………………………………………….. …………………….pag. 7
A. FUNDAMENTARE TEORETICӐ
CAPITOLUL I – NUMӐRUL NATURAL ÎN CICLUL PRIMAR …….. ……………………pag. 8
1.1. Introducerea noțiunii de număr natural și a operațiilor cu numere naturale …………..pag. 8
1.2. Introducerea noțiunii de număr natural în ciclul primar ………………. ……………………..pag.17
1.3. Introducerea operațiilor cu numere naturale în ciclul primar ……….. …………………….p ag. 18
CAPITOLUL II – ASPECTE METODICE PRIVIND FORMAREA (INTRODUCEREA)
CONCEPTULUI DE NUMӐR NATURAL ÎN CICLUL PRIMAR ………………………….pag.33
2.1. Aspecte metodice privind introducerea conceptului de număr natural în
ciclul primar ………… ……………………………………………………………………… ……………………..pag.33
2.2. Aspecte psiho -pedagogice privind introducerea conceptului de număr natural în ciclul
primar ………………………………………. ………………………………………………… ……………………..pag.40
B. DEMERSUL METODICO – EXPERIMENTAL
CAPITOLUL III – IPOTEZA, SCOP, OBIECTIVE ALE CERCET ӐRII…………………. pag.43
3.1. Ipoteza / Ipotezele cercetării ………. …………………………………………… ……………………..pag.43
3.2. Scopul cercetării ……………………………………………………………………………………………pa g.44
3.3. Obiectivele cercetării ……….. ……………………………………………………. ……………………..pag.44
CAPITOLUL IV – ORGANIZAREA CERCET ӐRII………………………. ……………………..pag.52
4.1. Eșantionul de subiecți ………………………………. ……………………………. ……………………..pag.52
4.2. Eșantionul de conținut ……………………………………………………………. ……………………..pag.52
4.3. Locul și durata cercetării ………………………. ……………………………….. ……………………..pag.53
4.4. Etapele cercetării …………………………………………………………………… ……………………..pag.53
4.5. Metodologia cercetării …………………… ………………………………………………………………pag.5 4
CAPITOLUL V – PREZENTAREA REZULTATELOR
(PE ETAPE, ALE CERCET ӐRII)………………………………………………………………… ……..pag.55
5.1. Rezultatele din etapa constatativă …………………………………………….. ……………………..pag.55
5.2. Etapa experimental ameliorativӑ…………………………………………………………………. ….pag.63
5.2.1. Exemple de activitӑț i didactice formative derulate ………………….. ……………………..pag.74
5.2.1.1. Activitatea nr. 1 (prezentare, descriere) ……………………………….. ……………………..pag.74
5.2.1.2. Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere) ……………………………….. ……………………..pag.76
5.2.1.3. Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere) ……………………………………………………….pag. 79

4 5.2.1.4. Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere)…………… ………………….. ……………………..pag.80
5.2.2. Exemple de activitӑț i extradidactice cu caracter formativ -educativ derulate ……….pag.82
5.3. Rezultatele din posttest …………………………………………………………… …………………….pag. 82
CAPITOLUL VI –COMPARAREA ȘI INTERPRETAREA STATISTICӐ A DATELOR
OBȚ INUTE ………………………………………………………………………………… …………………….pag. 91
6.1. Compararea rezultatelor din pretest cu cele din posttest …………………………………….pag. 9 1
6.1.1. Eș antion experimental versus de control, în pretest …………………. …………………….pag. 91
6.1.2. Eș antion experimental versus de control, în posttest ………………… …………………….pag. 92
6.1.3. Eș antion ex perimental în pretest, versus eș antion experimental în posttest ………..pag. 93
6.1.4. Eș antion control în pretest, vers us eș antion control în posttest….. …………………….pa g. 93
6.2. Concluzii desprinse în urma int erpret ӑrilor și comparaț iilor……….. …………………….pag. 93
CONCLUZII FINALE …………………………………………………………………. …………………….pag. 94
Concluzii …………………………………………………………………………………….. …………………….pag. 94
Propuneri metodice ………………………………………………………………………. …………………….pag. 9 5
BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………………………. …………………… pag. 96
ANEXE ……………………………………………………………………………………… ………………. …….pag. 98

5
INTRODUCERE

1. Importanța și actualitatea temei

Dezvoltarea științei și tehnicii ȋntr -un ritm rapid a impus o continuǎ perf ecționare a
ȋnvǎțǎmȃntului, un rol important ȋn acest sens revenind matematicii.
În clasele I -IV, ȋnvǎțarea matematicii urmǎrește ca toți elevii sǎ -și formeze
componentele de bazǎ privind numerația, operațiile cu numere, elemente de geometrie,
mǎsurarea mǎrimilor fundamentale.
Învǎtǎmȃntul actual este centrat pe elev, acesta fiind subiectul procesului educativ,
rolul dascǎlului fiind acela de a -l face pe elev sǎ devinǎ interestat de cunoaștere și de a -și
ȋnsusi competențele necesare fiecǎrei etape a dezvoltǎrii sale. Elevii trebuie permanent
ȋncurajati sǎ -și exprime punctul de vedere, sǎ -și argumenteze ideile, sǎ accepte ideile
colegilor, sǎ coopereze cu aceștia ȋn rezolvarea diferitelor sarcini de lucru. Cadrul didactic
coordoneazǎ ȋ nvǎțarea, ajutând elevii sǎ descopere și sǎ ȋnteleagǎ noile conținuturi, fiind
partenerul lor ȋn procesul didactic.
Prezentarea conținutului matematic cât mai clar, atrǎgǎtor, variat și la nivelul
posibilitǎților de ȋntelegere al micilor elevi , stimuleazǎ interesul pentru aceastǎ disciplinǎ,
plǎcerea de a cǎuta și satisfacția de a descoperi lucruri noi, dar și de a obține rezultatele
așteptate.
Informațiile cu care va opera școlarul mic le va prelua cu predilecție, din
mediul speci fic vârstei, de multe ori preferențial, mai ales la clasele I sau a II -a, tocmai pentru
a utiliza propria experientǎ. Altele vor fi cunoscute pe ȋntreaga perioadǎ a școlarizării
din manual, culegeri, exerciții și probleme, teste grilǎ, fișe s.a.
Matematica cerutǎ de actualitate impune un ȋnvǎțǎmânt ȋn care materia sǎ fie predatǎ
printr -o concepție nouǎ, problema nefiind a transmite o stiințǎ gata fǎcutǎ, ci de a face pe elev
sǎ dobȃndeascǎ un mod de gândire.
Învǎțǎtorul dirijează elevul ȋn a analiza, selecta, relaționa situații concrete, ȋn a sintetiza
pentru a obține soluția cerutǎ, stimuleazǎ spiritul de independențǎ.
Pentru progresul general al ȋnvǎțǎmȃntului matematic, condițional este efortul creativ
al celui care predǎ, al celui care ȋnvațǎ spre a se informa, credința cǎ ȋn fiecare clipǎ se poate
găsi o soluție mai bunǎ, mai potrivitǎ.
În clasele I -IV se formeazǎ noțiunile matematice elementare, de bazǎ , cu care copilul
va opera pe tot parcursul vieții și pe care se clǎdește ȋntregul sistem al ȋnvǎtǎmantului
matematic.

6 Pentru a putea desfășura activități didactice privind introducerea noțiunii de număr
natural, învățătorul trebuie să cunoască câteva noțiuni referitoare la modelul matematic al
conce ptului de număr natural.
Mulți copii ȋntȃmpinǎ greutǎți la ȋnsușirea matematicii, fiindcǎ nu -și ȋnsușesc la timp
instrumentele de lucru cu care se opereazǎ. Un copil care nu și -a format depriderile
elementare de calcul, care nu a ȋnvățat la ti mp sǎ calculeze corect, nu poate urmări firul
raționamentului ȋn rezolvarea oricǎrui exercițiu sau oricǎrei probleme, fiind preocupat de
ceea ce știe cǎ nu poate el. Aici, ȋn primele clase, se naște dragostea, atractivitatea sau
repulsia pentru studiul ma tematicii. Dacǎ elevul simte cǎ pătrunde ȋn miezul noțiunilor
matematice, dacǎ gândirea lui este stimulatǎ ȋn mod sistematic și simte cǎ trǎiește bucuria
fiecǎrui succes, toate aceste trǎiri cultivǎ interesul și dragostea pentru studiul acestei
frumoase di scipline.
În clasele primare, matematica este cea care le formează elevilor cunoștințele
temeinice ȋn legaturǎ cu noțiunile elementare de matematicǎ, le formeazǎ deprinderi de a
aplică aceste cunoștințe și contribuie la dezvoltarea judecǎții și gândirii logice, a memoriei și
atenției, la formarea deprinderilor de ordine și punctualitate la fortificarea voinței.
CURRICULUMUM NAȚIONAL a fost elaborat pentru a sintetiza ansamblul de
așteptări exprimate de școală față de un tânăr capabil să răspundă cerințelor unor realități
exprimate.
Aceste exigențe s -ar putea rezuma în:
-Capacități superioare de gândire critică și divergentă, în măsură să -i ajute pe elevi să
utilizeze cunoștințele și competențele dobândite în diferi te situații problemă;
-Motivația și disponibilitatea de a răspunde în mod adecvat la schimbare, ca premisă a
oricărei dezvoltări personale;
-Capacități de inserție socială, activă, alături de un set de aptitudini și de valori
personaliz ate, care vor permite elevilor participarea la viață unei societăți deschise și
democratice.
Cunoscând bine proiectarea didacticǎ, integrarea resurselor ȋn activitatea la clasǎ și
evaluarea rezultatelor și a progreselor elevilor prin raportarea la obiectivele propuse,
ȋnvǎtǎtorul este un investigator ce studiazǎ cu atenție fenomenele, ȋși perfectioneazǎ continuu
propria activitate, contribuind la ridicarea călitǎții ȋnvǎțǎmȃntului.

7 2. Motiva rea alegerii temei
Tema aleasǎ este strâns legatǎ de practica pedagogicǎ, fiind, din acest punct de vedere
una de certǎ actualitate.
Strǎduința mea s -a centrat pe cunoașterea ȋn profunzime a nevoilor și trebuințelor
elevilor, a stăp ânirii unui limbaj de metode și procedee pentru atingerea celor mai sensibile
puncte ale gândirii și sentimentelor copiilor.
Studierea literaturii de specialitate, dar și experiența personalǎ, pot ȋmbunǎtǎți tema
aleasǎ, atât prin predare -ȋnvǎț are cât și prin evaluare.
Actualitatea și utilitatea temei reiese și din faptul cǎ antreneazǎ ȋntregul colectiv de
elevi, previne și diminueazǎ situațiile de eșec ȋn activitatea școlarǎ, datoritǎ faptului cǎ elevii
ȋnvațǎ cu plǎcere, devin mai interesați de activitate, vor arǎta mai multǎ siguranțǎ și tenacitate
ȋn rǎspunsuri.
Inclus ȋn activitatea instructiv -educativǎ, elementul de joc, imprimǎ acesteia un
caracter viu, atrӑgǎtor, de veselie, divertisment, destindere.
Analiza motiv elor ȋnvǎțǎrii este importantǎ atât din perspectiva facilitǎții efectelor pozitive
cât și din perspectiva cauzelor eșecului șc olar, a prevenirii acestuia și a adoptǎrii unor mǎ suri
de optimizare.
Prezentarea conținutului matematic cât mai clar , atrǎgǎtor, variat și la nivelul
posibilitǎților de ȋntelegere al micilor elevi stimuleazǎ interesul pentru aceastǎ disciplinǎ și
satisfacția de a descoperi lucruri noi, dar și de a obține rezultate mult așteptate, calificative
bune și foarte bune. Învǎțǎ torul va putea cunoaște mult mai bine elevii cu care lucreazǎ și ȋi
va putea ȋndruma acolo unde aceștia vor avea nevoie astfel ȋncât relația ȋnvǎțǎtor -elev va fi
una deosebită. Pentru ca distanța de recepție sǎ fie cât mai scurtǎ ȋnvǎțǎtorul va folosi nu
numai mijloace materiale adecvate vârstei și nivelului de ȋnțelegere al elevilor, dar și metoda
de comunicare prin folosirea limbajului universal matematic specific școlarului mic.
Mǎiestria cu care fiecare ȋnvǎțǎtor va participa la ȋmbinarea str ategiilor didactice ȋn
multitudinea formelor de activitate matematicǎ și de organizare a elevilor, modalitǎțile de
evaluare a cunoștințelor nu numai la nivelul memoriei dar și la nivelul gândirii tematice
contribuie la o bunǎ pregǎtire a elevilor ȋn formar ea corectǎ a conceptelor matematice.
Prin experiența personală, atât cea de la clasă, cât și cea de la cercurile pedagogice,
activitățile de perfecționare, din cursurile facultății, cât și din bibliografia studiată, dorim să
aducem o îmbunătăți re a modului prin care elevii își însușesc, începând cu clasa pregătitoare,
noțiunea de număr natural și operațiile cu numere naturale.

8 A. FUNDAMENTARE TEORETICӐ
CAPITOLUL I – NUMӐRUL NATURAL ÎN CICLUL PRIMAR
1.1. Introducerea noțiunii de număr natural și a operațiilor cu numere naturale
Conceptul de număr natural este determinant atât în cunoașterea științifică, în
învățământul de orice nivel, cât și în viața de zi cu zi, în raporturile dintre oameni, ca membri
ai societății din care fac part e.
Acest concept este neapărat legat de cel de mulțime, care, la rândul sӑu este
fundamental, încât stă chiar la baza noțiunii de număr natural.
Numărul natural a fost introdus în matematică din timpuri îndepărtate, reprezentând
noțiun ea de bazӑ cu care elevii operează, încă din primele zile ale integrării lor în sistemul
educațional. Introducerea acestei noțiuni se bazează pe conceptul de mulțimi echivalente.
Operații cu mulțimi
a) Reuniunea a dou ӑ mulțimi A si B este mul țimea tuturor elementelor care aparțin cel
puțin uneia din mulțimile A sau B. Se noteaz ӑ A  B și se citește “ A reunit cu B”.
Așadar, A  B = {x x  A sau x  B}. Dac ӑ A = {1, 2, 3} și B = {3, 4}, atunci
A  B ={1, 2, 3, 4}
Obse rvație: La reuniunea a douӑ mulțimi se iau toate elementele comune și necomune
celor douӑ mulțimi o singura datӑ.
b) Intersecția a douӑ mulțimi A și B este mulțimea elementelor care aparțin și lui A și lui
B. Se noteazӑ A  B și se citește “ A intersectat cu B” .
Așadar , A  B = {x x  A și x  B}
Exemplu: A  B ={3}
Dacӑ douӑ mulțimi A și B nu au elemente comune (deci dac ӑ A  B = ), aceste
mulțimi se numesc disjuncte .
c) Diferența mulțimilor A și B (notatӑ c u A \ B sau A – B) este mulțimea elementelor care
aparțin mulțimii A și nu aparțin mulțimii B. Deci A \ B = {x  A și x  B}
Exemplu: A \ B ={1, 2}
d) Produsul cartezian al mulțimilor A și B este mulțimea ale c ӑrei elemente sunt toate
perechile ordonate ( a, b) ȋn care a  A și b  B și se noteaz ӑ A x B
Deci : A x B = {(a, b)  a  A și b  B}.
Exemplu: A x B = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
În general, în matematică, există două puncte de vedere privind introduc erea noțiunii de
număr natural: unul bazat pe mulțimi echivalente, iar celălalt pe noțiunea succesor
(axiomatica lui Peano).

9 Introducerea noțiunii de număr natural prin metoda mulțimilor echivalente const ă în
următoarele:
Relația de echi valență grupează mulțimile în clase de echivalență, fiecare clasă
cuprinzând mulțimile care au același numӑr de elemente. Două mulțimi care pot fi puse în
corespondență biunivocă se numesc mulțimi echivalente. Așadar, o clasӑ de echivalență este
caracteriz ată printr -o proprietate comună tuturor mulțimilor care îi aparțin, anume
proprietatea de a conține același număr de elemente. Clasa de echivalențӑ a unei mulțimi se
numește puterea sau cardinalul mulțimii respective. Cardinalul unei mulțimi finite se
desemneazӑ printr -un numӑr natural ce reprezintӑ numӑrul elementelor mulțimii respective.
Prezentӑm pe larg câteva aspecte ale introducerii conceptului de număr natural.
Fie A și B două mulțimi. Se va spune că cele două mulțimi sunt echipo tente dacă există
o bijecție ƒ a mulțimii A pe mulțimea B. Acest fapt se scrie astfel: “A ~ B” și se citește:
mulțimea A este echipotentă cu mulțimea B. De exemplu, mulțimile A = {a ₁, a₂, a₃} și B =
{b₁, b₂, b₃} sunt echipotente – lucru ce rezultă din figu ra alăturată.

A Fig. I.1 B
Relația de echipotenț ă “~” se bucură de următoarele proprietăți:
1. Relația de echipotenț ă “~” este r eflexivă, adică A ~ A.
2. Est e simetrică, adică, dacă A ~ B , atunci B ~ A.
3. Este tranziti vă, adică, dacă A ~ B și B ~ C , atunci A ~ C
Aceste proprietăți se verifică imediat:
1. A ~ A, oricare ar fi mulți mea A , pentru că funcția ƒ : A  A, ƒ(x) = x , este o bijecție.
2. A ~ B , atunci B ~ A, căci dacă există o bijecție ƒ : A  B, atunci există funcția inversă
ƒ−1 : B  A, care este tot o bijecție.
3. A ~ B și B ~ C , atunci A ~ C, deoarece dacă e xistă funcțiile bijective ƒ : A  B și
g : B  C, atunci funcția compusă g ° ƒ : A  C este tot o bijecție. a₁
a₂
a₃
b₁
b₂
b₃

10 Relația de echipotență fiind reflexivă, simetrică și tranzitivă, este o relație de
echivalență.
Înseamnă că mulțimile sun t împărțite de relația de echipotență “~” în clase de
echivalență (disjuncte), numite clase de echipotență.
Definiție: Se numesc cardinale, clasele de echipotență determinate de relația “~”.
([8])
Clasa de echipotență căreia îi ap arține mulțimea A se numește cardinalul mulțimii A
și se notează cu card A.
După cum se observă, definiția noțiunii de număr cardinal este foarte abstractă deci
ea nu poate fi introdusă astfel copiilor. Problema care se pune este cum trebuie introdus acest
concept la micii școlari. Se impune ca institutorul să înțeleagă foarte bine semnificația
noțiunii de aspect cardinal care stă la baza noțiunii de număr natural. ([7])
Se consideră o mulțime M și fie mulțimea părților ei, P(M). O asemenea mulțime este
formată din mulțimea vidӑ, din mulțimi cu câte un element, din mulțimi cu câte două
elemente s.a.m.d. Ne interesează natura elementelor acestor mulțimi.
În această mulțime P(M) există submulțimi vide, submulțimi cu câ te 1 element cu
câte 2 elemente, cu câte 3 elemente etc.
Pe această mulțime se definește relația de echipotență “~”, astfel: mulțimea care are
un triunghi este echipotentă cu mulțimea care are o steluțӑ sau cu mulțimea formată dintr -un
dreptun ghi s.a.m.d. Deci, relația de echipotență strânge toate mulțimile care au această
proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într -o clasӑ de echipotență.
Această clasӑ este numită numărul cardinal unu și se notează cu simbolul 1.
La fel, toate submulțimile cu câte două elemente sunt echipotente între ele și formează o nouă
clasӑ, care este numită numărul cardinal doi și se notează cu simbolul 2. Se observă că
această clasӑ nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte.
Procedând în același mod, relația de echipotență adună într -o nouă clasӑ toate
submulțimile cu câte trei elemente, obținând astfel clasa numită numărul cardinal trei, care se
notează cu simbolul 3.
Așa se procedează până la numărul 10 .
Trebuie să facem în așa fel încât elevul să înțeleagă că numărul, oricare ar fi el, este
proprietatea comună a tuturor mulțimilor formate din același număr de elemente.
Numărul natural este cardinalul unei mulțimi finite. Deci cardi nalele pe care le -am
construit pe această cale în exemplul dat sunt numere naturale.
Mulțimea numerelor naturale o notăm cu N și este formată din elementele 0,1,2,…. Se
notează N = {0, 1, 2, 3, 4, …..}

11 Întrucât clasa tuturor mulțimilor echivalente cu o mulțime A se numește cardinalul
mulțimii A, notat card.A, rezultă că numărul natural este cardinalul mulțimilor finite de
aceeași putere. Pentru mulțimile finite identificăm clasa mulțimilor de n elemente, deci
cardinalul finit n, cu număr ul natural n.
O clasӑ de mulțimi infinite echivalente se numește cardinal transfinit. În concluzie,
noțiunea de cardinal generează noțiunea de nu măr natural pe care o conține ca pe un caz
particular, cazul mulțimilor finite de aceeași pu tere.
Definiție: Un număr natural este o clasӑ echivalentă de mulțimi finite de aceeași
putere.
Modul în care se definește numărul natural este un proces de abstractizare care constă în
formarea clasei de echivalenț ă alcătuită din mulțimile finite de aceeași putere, cum sunt patru
triunghiuri, patru pătrate, patru cercuri, patru inimioare, etc.
De aceea se spune că o mulțime finită are un număr de elemente egal cu un număr dat,
dacă această mulțime finită este un reprezen tant al numărului natural considerat. D e
asemenea, se spune că două mulțimi finite, între care se poate stabili o corespondență
biunivocă, au același număr de elemente.
Deci orice mulțime finită dintr -un num ăr natural, adică dintr -o clasӑ de echivalenț ă
de mulț imi finite de aceeași putere, poat e fi luată ca reprezentant al numărului natural
considerat.
Mulțimea vidӑ va determina clas a căreia i se spune zero și se notează cu simbolul 0.
Se construiesc progr esiv toate clasele de echipotenț ă, deci toate numerele cardinale.
Ce trebuie înțeles așadar, prin numărul cardinal 5? Se înțelege clasa tuturor mulțimilor
cu cinci elemente indiferent de natură elementelor lor (din cinci caiete, cinci creioane, cinci
nuci, cinci copii etc.). S e reține numai proprietatea comună de a avea cinci elemente. Trebuie,
așadar, că elevul să înțeleagă faptul că numărul 5, de pildă, este proprietatea comună a tuturor
mulțimilor formate cu cinci elemente etc.
Așadar, numărul natural este cardinalul unei mulțimi finite.

Operații cu numere naturale

Adunarea numerelor naturale
Este operația internă prin care se asociază la numerele naturale a și b un num ăr natural
notat cu a + b, care se numește suma numerelor natural e a și b. Numerele a și b se numesc
termenii adunării.
Legea de asociere, de obținere a sumei a + b, este dată cu ajutorul regulii de operație,
folosind mulțimi. Dacă A și B sunt două mulțimi disjuncte cu a elemente și, respectiv, cu b

12 elemente, atunci numărul elementelor mulțimii ce se obține prin reuniunea celor două
mulțimi este a + b ( suma numerelor naturale a și b).
Legea de compoziție internă indicată prin semnul „+” se numește adunare

Exemplu :
a + b = c

termen + termen = suma

2 + 3 = 5

Fig.I.2
Exemplu: 2 + 3 = 5

Proprietățile adunării
Asociativitatea
Adunarea numerelor naturale este asociativă, adică (a + b) + c = a + ( b + c), a, b, c N
Exemplu: ( 3 +5 ) + 1= 3 + (5 + 1)
Comutativitatea
Adunarea numerelor naturale este comutativă, adică , a + b = b + a, a, b N
Exemplu: 3 + 5 = 5 + 3
Elementul neutru
Numărul natural 0 este element neutru pentru adunare, adică a +0 = 0 + a, a N
Exemplu: 3 + 0 = 0 +3 = 3

Scăderea numerelor naturale
Reprezintă operația prin care cunoscând suma a două numere na turale și unul dintre
termeni se află cel de -al doilea termen. Așadar, a scădea dintr -un număr natural a, numit
descăzut, un număr natural b, numit scăzător, cu a ≥ b, înseamnă a găsi un alt număr natural
c, numit rest sau diferența, care adunat cu scăzăto rul să dea descăzutul.

13 8 2 6 Cu alte cuvinte:

a – b = c  a = b + c

descӑzut – scӑzӑtor = diferența descӑzutul = scӑzӑtorul + restul (diferența)
Exemplu: 8 – 2 = 6  8 = 2 + 6
Scӑderea numerelor naturale se poate introduce cu ajutorul mulțimilor astfel: se ia o mulțime
A cu a elemente și o submulțime a sa B cu b elemente. Mulțimea diferență dintre A și B sau
complementara lui B fațӑ de A are a – b elemente.

– =

Fig.I.3
Scăderea numerelor naturale nu este nici asociativă, nici comutativă.

Înmulțirea numerelor naturale
A ȋnmulț i b cu a ȋnseamnӑ a aduna n umӑrul natural a cu el ȋnsuși de b ori.
Deci: a + a + a +…….+ a = b  a
Dacă a, b  N
, atunci a  b = c  N
Exemplu: 2  3 = 3 + 3 = 6
Numerele care se ȋnmulțesc se numesc factori, iar rezultatul ȋnmulțirii produs.

2  3 = 6

factor  factor = produs
Înmulț irea numerelor naturale este o operație totdeauna posibilӑ ȋn N. Regula de
operație este datӑ de adunarea repetatӑ a aceluia și numӑ r natural.
Înmulțirea poate fi introdus ӑ și folosind produsul cartezian. În acest caz, ȋnmulț irea
numerelor a și b se introduce astfel: se iau douӑ mulț imi A și B, cu a, respectiv b elemente, se
formeazӑ mulț imea A  B, iar numӑrul elementelor acestei mulț imi este tocmai a x b.

14 Proprietățile î nmulțirii
Asociativitatea
Înmulțirea este asociativă, adică a  b  c = a  (b  c),  a, b, c  N
Exemplu: 2  3 1= 2  (3 1)
Comutativitatea
Înmulțirea este comutativă, adică a  b = b  a ,  a, b,  N
Exemplu: 2  3 = 3  2
Elementul neutru
Num ărul natural 1 este element neutru pentru înmulțire, adică a  1 = 1 a,  a  N
.
Exemplu: 2  1 = 1  2 = 2
Distributivitatea față de adunare și scădere
Înmulțirea este distributivă fa ță de adunare și scădere, adică
a  ( b+ c) = a  b + a  c ,  a, b, c  N
și a  ( b – c) = ab – ac ,  a, b, c  N
, cu b ≥ c.
Exemplu: 2  (3 + 1) = 2  3 +2  1
2  (3 – 1) = 2  3 – 2  1
Distributivitatea stă la baza metodei de scoatere a factorului comun:
a  b + a  c = a  ( b + c) sau a  b – a  c = a  (b – c)
Exemplu: 2  3 + 2  1 = 2  (3 + 1)
2  3 – 2  1 = 2  (3 – 1)

Împărțirea numerelor naturale
Împărțirea numerelor naturale se introduce ca operația de deter minare a unui număr
natural atunci când se cunosc produsul a două numere naturale și unul dintre factorii
produsului, acest factor fiind diferit de zero.
În general, prin împărțirea numărului natural a la numărul natural b se înțelege găsirea
unui număr natural c astfel încât a = b  c .
8 : 2 = 4

Deȋmpӑrțit : ȋmpӑrțitor = cȃt
Numărul natural b trebuie să fie diferit de zero, iar rezultatul împă rțirii se numește cât. Pentru
ca împărți rea în N să fie posibilă, trebuie ca deîmpărțitul să fie divizibil cu împărțitorul. Dacă
deîmpărțitul nu este divizibil cu împărțitorul se spune că împărțirea nu se face exact, că restul
ei nu este zero și o numim împărțire cu rest, pe care o definim astfe l:
Oricare ar fi numerele naturale a și b, cu b ≠ 0, existӑ douӑ numere naturale c și r,

15 cu r < b, astfel ca a = b  c + r (teorema ȋmpӑrțirii cu rest).
Comparând cele două cazuri, se constată că primul caz constituie un caz particul ar al
celui de -al doilea (al împărțirii cu rest), și anume atunci când restul este nul. În ambele
situații, regula de operare a împărțirii este dată cu ajutorul înmulțirii.
De exemplu: 72 : 9 = 8 pentru cӑ 8  9= 72
75 : 9 = 8 (rest 3) pentru cӑ 8  9 + 3 = 75
Teorema împărțirii cu rest: Pentru orice numere naturale a și b, b ≠ 0, există două
numere naturale unice q și r, astfel încât:
a = b  q + r ; r < b
Exemplu: 9 = 2  4 + 1 ; 1 < 2
q se numește câtul împărțirii, iar r restul împărțirii. De asemenea, a se numește deîmpărțit, iar
b împărțitor.
Relația a = b  q + r constituie proba împărțirii cu rest.
Dacă
se spune că a se împarte exact la b.
Exemplu: 8 : 2 = 4; r = 0

Relația de ordine totalӑ
Spunem cǎ a este cel mult egal cu b și scriem a ≤ b, dacǎ existǎ un numǎr natural c
astfel ȋncât sǎ avem b = a + c.
Proprietǎți:
a) a ≤ a, deoarece a = a + 0 (reflexivitatea);
b) a ≤ b și b ≤ c, atunci a ≤ c (tranziti vitatea);
c) a ≤ b și b ≤ a, atunci a = b (antisimetria);
Într-adevǎr, deoarece b = a + c și a = b + d →a + b = a + b + c + d → 0 = c + d.
Numerele c și d fiind naturale, rezultǎ c = d = 0. Deci, a = b
Deci relația ≤ este una de ordine pe N. Ea este de ord ine totalǎ, deoarece, oricare pereche
(a, b) de numere naturale, avem a ≤ b sau b ≤ a.
Prin relația de succesiune se introduce o relație între două elemente vecine , notată cu
semnul „ ” și anume succesorul lui n este mai mare cu 1 decât n.
Propr ietǎți ale relației de ordine totalǎ fațǎ de adunare și ȋnmulțire:
a) dacǎ a + c ≤ b + c, atunci a ≤ b și reciproc;
b) dacǎ a ≤ b și c ≤ d, avem a + c ≤ b + d;
c) dacǎ a ≤ b și c ≤ d avem a x c ≤ b x d;
d) dacǎ a ≤ b atunci a x c ≤ b x c și reciproc, când c este diferit de 0.
Prezentӑ m, pe scurt, metoda lui Peano de introducere a numerelor naturale:

16 Giuseppe Peano (1858 -1932) a ar ӑtat (ȋn anul 1891) c ӑ toate propriet ӑțile numerelor
naturale rezult ӑ din urm ӑtoarele cinci axiome care -i poart ӑ numele . ([1])
Aceste cinci axiome sunt:
1) Zero este un num ӑr natural (0 ϵN).
2) Orice num ӑr natural are un succesor ( x ϵ N xʹ= x+1 ϵ N)
3) Orice num ӑr natural are un predecesor cu excepția lui 0
4) Douӑ numere naturale care au același succesor sunt egale:
xʹ = yʹ x = y, unde xʹ = x + 1, yʹ = y + 1
5) Mulțimea numerelor naturale este cea mai micӑ mulțime cu proprietӑțile:
► ȋl conține pe zero;
► odatӑ cu orice numӑr „n”, conține și succesorul lui „ n ”, „ nʹ ”.
Din aceste axiome deducem urmӑtoarele:
– cel dintâi număr natural este zero, întrucât nu are predecesor;
– numărul zero are un succesor pe care ȋl notӑ m 1;
Axioma 2) a lui Peano spune că orice număr natural dat are un succesor. Această
înseamnă că în șirul numerelor naturale nu există un număr despre care să spunem că este
ultimul. Înseamnă că acest șir este infinit.
Axioma 3) spune că 0 nu este succesorul niciunui număr natural. Cum oricare alt
număr are un predecesor, înseamnă că 0 este primul număr al acestui șir.
Mulțimea numerelor naturale este mulțimea total ordonată, existând una dintre relațiile
următoare pentru oricare două numere naturale m și n :
– n este mai mare decât m (n > m );
– m este egal cu n (m = n );
– m este mai mare decât n (m > n ).
Concluzionăm de aici principiul de formare al numerelor naturale:
Orice n umăr natural se formează prin adăugarea unei unități la predecesorul lui, ceea ce
permite așezarea numerelor naturale în ordinea mărimii lor în sens crescător, dacă fiecare
număr se obține din predecesorul sӑ u plus o unitate, sau descrescător, dacă fiecar e număr se
obține din predecesorul sӑ u minus o unitate.

17 1.2. Introducerea noțiunii de număr natural în ciclul primar
Numǎrul natural reprezintǎ noțiunea de bazǎ cu care opereazǎ copiii ȋncǎ de la intrarea
lor ȋn școalǎ, aceasta introducȃndu -se prin conceptul de mulțimi echivalente.
Noțiunea fundamentalǎ cu care opereazǎ elevii, ȋncǎ din primele zile ale școlaritǎții, o
constituie noțiunea de numǎr natural. Introducerea acesteia se bazeazǎ pe conceptul de
mulțimi echivalente . ([12])
La conceptul de „număr” elevul ajunge așadar progresiv, după o perioadă pregătitoare,
perioadă în care este inițiat în activități de compunere și punere în corespondență a
mulțimilor pentru a depista ideea de mulțimi echivalente sau mulțim i cu tot atâtea elemente,
de constituire de mulțimi după criterii date, de numărare a elementelor unei mulțimi, de
transpunere prin simboluri a elementelor unei mulțimi.
Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, elevii vor deve ni conștienți
de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a două mulțimi.
Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea
elevilor cu noțiunea de relație echivalentă a mulțimilor, de clasa de echivalentă a mulțimilor,
de clasa de echivalentă, de funcție bijectivă, folosindu -se expresiile de “tot atât”, “mai
puțin”.
“Activitățile de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se pot
desfasuura în două direcții principale:
– stabilirea echivalenței a două mulțimi de obiecte prin realizarea corespondenței
element cu element;
– construirea unei mulțimi echivalente cu o mulțime dată.” ([1])
Pentru a înlesni înțelegerea conceptului de număr na tural, învățătorul trebuie să aleagă
cu atenție mijloacele materiale și de comunicare pe care le va utiliza la clasă. Spre exemplu,
se va folosi expresia “corespondență element cu element” în loc de “funcție bijectivă”, iar
“mulțimi echivalente” se pot în locui cu “mulțimi cu tot atâtea obiecte”
Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea
cu o linie, a unui element din prima mulțime cu un element din cea de a doua mulțime sau
prin alăturarea la fiecare elem ent din prima mulțime a unui element din cea de a doua
mulțime.
Douǎ mulțimi care pot fi puse ȋn corespondentǎ biunivocǎ se numesc mulțimi
echivalente. Relația de echivalentǎ grupeazǎ mulțimile ȋn clase de echivalentǎ, fiecare clasǎ
cuprinzând m ulțimile care au același numǎr de elemente, indiferent de natura lor. Așadar, o
clasǎ de echivalențǎ este caracterizatǎ printr -o proprietate comunǎ tuturor mulțimilor ce -i
aparțin, anume proprietatea de a conține același numǎr de elemente. Aceastǎ propriet ate se
numește puterea clasei de echivalentǎ și este reprezentatǎ printr -un numǎr numit numǎr

18 natural. Deci, numǎrul natural este simbolul care caracterizeazǎ, cu un grad ȋnalt de
generalitate, mulțimile finite echivalente.

1.3 Introducerea operațiilor cu numere naturale ȋn ciclul primar

Procesul formării conceptului de număr natural se bazează pe noțiunea de mulțime și
introducerea operațiilor cu numere naturale care are la bază operațiile de mulțimi de obiecte.
Acestea constituie baza intuitiv -concretă pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu
numere naturale, cât și pentru sesizarea principiilor de bază după care se efectuează calculul
și a proprietăților operațiilor.
Introducerea operațiilor cu numere naturale nu se face izolat, ci cu ajutorul legăturii
dintre operații și cunoștințele însușite anterior, ca o extindere, ca o aprofundare a acestora.
Astfel, scăderea se introduce ca o operație de aflarea unui termen al unei adunări atunci cȃnd
se cunoaște suma și unul din termenii adunării, înmulțirea ca o adunare repetată, împărțirea ca
o scădere repetată sau ca o operație de aflare a unui factor a unei înmulțiri când se cunosc
produsul și unul din factorii înmulțirii etc.

 Adunarea n umerelor naturale
În scopul formării noțiunii de adunare se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte
concrete (etapa perceptivă), după care se trece la efectuarea de operații cu reprezentări ce au
tendința de a generaliza (etapa reprezentări lor), pentru ca, în final, să se poată face
saltul la conceptul matematic de adunare (etapa abstractă).
Introducerea operației de adunare se face folosind reuniunea a două mulțimi disjuncte.
În etapa concretă, elevii formează, de exe mplu, o mulțime de buburuze negre cu 3
elemente și o mulțime de buburuze roșii cu 4 elemente. Reunindu -se cele două mulțimi de
buburuze se formează o mulțime care are 7 buburuze: negre și roșii. Se repetă apoi acțiunea
folosind alte obiecte (de exemplu, ba loane, steluțe, flori, creioane s.a.), până ce elevii
conștientizează că reunind o mulțime formată din 3 obiecte cu o altă mulțime formată din 4
obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obține o mulțime formată din 7 obiecte. În această
etapă, acțiunea elev ului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două
componente.

Scăderea numerelor naturale
 Scăderea se introduce folosind operația de diferență dintre o mulțime și o
submulțime a sa (complementară unei submulțimi).

19 4 3 7 În prima etapă concretă, dintr -o mulțime de obiecte ce au o proprietate comună se
elimină o submulțime de obiecte și se precizează câte obiecte rămân în mulțime. Acțiunea
mentală a elevului vizează număratul sau descompunerea unui număr în două com ponente,
dată fiind una dintre acestea.
Etapa a doua, semiabstractӑ, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice,
cum ar fi:

– =

În această etapă se introduce semnul grafic “−“ explicându -se ce reprezintă și se
precizează că acesta se scrie doar între numere.
În etapa a treia, abstractă, în care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia
specifică (descăzut, scăzător, rest/diferență) și se evidențiază proprietățile scăderii numerelor
naturale (operația este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în
cazul egalității, restul este zero), și se compară cu proprietă țile adunării (scăderea nu este
comutativă) și subliniind faptul că, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare
dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferența) este mai mic
decât descăzutul.
Legătura dintre adunare și scădere trebuie subliniată prin realizarea probei fiecăreia
dintre cele două operații: la adunare, se scade din sumă unul din termeni și trebuie să se
obțină cel de -al doilea termen, iar la scădere, se adună diferența cu scăzătorul și tr ebuie să se
obțină descăzutul.
În concluzie scăderea numerelor naturale este operația prin care cunoscând suma a
două numere naturale și unul din termeni se află cel de -al doilea termen. Deci, a scădea dintr –
un număr a, numit descăzut, un alt nu măr b, numit scăzător, cu a  b, înseamnă a găsi un alt
număr natural c, numit rest sau diferența, care adunat cu scăzătorul să dea descăzutul.
Simbolic, se scrie: a – b. Rezultatul este numărul c astfel încît c+b=a
Avem deci a – b = x, dacǎ b + x = a. Avem deci a – b = x, dacǎ b + x = a. În mulțimea
numerelor naturale operația de scǎdere este posibilǎ numai dacǎ a ≥ b.
Proprietǎți și reguli de calcul:
a)  a, b ϵ N, avem a + b – b = a;

20 Exemplu: 8 + 1 – 1 = 8
b) Pentru a scǎdea un nu mǎr dintr -o sumǎ este suficient sǎ -l scǎdem dintr -un termen al
sumei:
a + b +c + d – m = a + b + (c – m) + d, c > m;
Exemplu: 4 + 5 + 9 + 3 – 6 = 4 + 5 + ( 9 – 6) + 3
c) Dacǎ mǎrim și descǎzutul și scǎzǎtorul cu același numǎr, d iferența nu se schimbǎ:
(a + c) – (b + c) = a – b;
Exemplu: (4 + 5) – (3 + 5) = 4 – 3
d) Dacǎ micșorǎm și descǎzutul și scǎzǎtorul cu același numǎr, diferența nu se
schimbǎ:
(a – c) – (b – c) = a – b;
Exemplu: (8 – 3) – (6 – 3) = 8 – 6
e) Dacǎ scǎzǎtorul crește sau scade cu un numǎr, atunci și diferența scade sau crește
cu același numǎr:
a – (b + c) = (a – b) – c; a(bc)= (a – b) + c;
Exemplu: 9 – (4+ 2) = (9 – 4) – 2
Exemplu: 9 – (4- 2) = (9 – 4) + 2
f) Dacǎ descǎzutul crește sau scade cu un numǎr, atunci și diferența crește sau scade cu
același numǎr:
(a + c) – b = (a – b) + c;
Exemplu: (9 + 2) – 4 = (9 – 4) + 2
(a – c) – b = (a – b) – c.
Exemple: (9 – 2) – 4 = (9 – 4) – 2

 Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 -20
Teoria referitoare la predarea -învățarea celor două operații în concentrul 0 -10 rămâne
valabilă, în esență, și în noul concentru numeric, lărgindu -se prin abordarea unor probleme
metodice specifice acestui concentru.
În predarea adunării numerelor naturale mai mici decât 20 se pot distinge următ oarele
cazuri:
adunarea numărului 10 cu un număr de unități (mai mic decât 10);
Acest caz nu ridică probleme metodice deosebite, dat fiind și faptul că se corelează cu
problematica formării numerelor naturale mai mari decât 10 (zecea și un număr de unități),
abordată anterior, la numerație.
Exemplu: 10 + 3 = 13

21 adunarea unui număr format dintr -o zece și din unități cu un număr format din
unități (fără trecere peste 10);
În acest caz, este necesar ca elevii se aibă deprinderile de a adu na corect și rapid numere mai
mici decât 10 și de a descompune numărul mai mare decât 10 într -o zece și unități, precum și
priceperea de a acționa numai cu unitățile celor două numere, iar la final, să revină la primul
caz.
Din punct de vedere metodic este necesară o acțiune directă, demonstrativă, apoi, de
oricâte ori este necesar, individuală, cu obiectele, acțiuni ce se vor reflecta în pașii
algoritmului:
-descompunerea primului număr în 10 și unități;
-adunarea unităților celor două numere ( cu suma mai mică sau egală cu 10);
-compunerea rezultatului din 10 și suma unităților.
Exemplu: 13 + 3 = (10 + 3) + 3 = 10 + (3 + 3) = 10 + 6 = 16
adunarea a două numere mai mici decât 10 și a căror suma este mai mare decât 10
(cu trecere pes te 10);
Pentru înțelegerea acestui caz, elevii trebuie să aibă capacitatea de a forma zecea, ca
suma a două numere, dintre care unul este dat (găsirea complementului unui număr dat în
raport cu 10), priceperea de a descompune convenabil un num ăr mai mic decât 10 și
deprinderea de a efectua adunarea zecii cu un număr de unități.
Pașii algoritmului sunt:
-căutarea unui număr care, adunat cu primul termen conduce la suma 10;
-descompunerea convenabilă a celui de -al doilea termen (una dintre componente fiind
numărul găsit anterior);
-adunarea zecii cu cealaltă componentă a celui de -al doilea termen.
Exemplu: 7 + 8 = (5 + 2) + 8 = 5 + (2 + 8) = 5 + 10 = 15
În predarea scăderii numerelor naturale mai mici decât 20, se pot dis tinge
următoarele cazuri:
descăzutul este cuprins între 10 și 20, iar scăzătorul este mai mic decât unitățile
descăzutului;
Predarea acestui caz nu ridică probleme metodice deosebite, dacă elevii observă că este
suficientă scăderea unităților, zecea rămânând neatinsă.
Exemplu: 18 – 5 = 13
descăzutul este cuprins între 10 și 20, iar scăzătorul este 10;
Nici acest caz nu prezintă dificultăți metodice, dacă elevii observă că este suficientă
scăderea zecii, unitățile rămânând neschimba te.
Exemplu: 19 – 10 = 9

22 atât descăzutul, cât și scăzătorul sunt cuprinse între 10 și 20;
Acest caz reprezintă o combinație a celorlalte două și rezolvarea sa este reductibilă la
descompunerea celor două numere (în câte o zece și unități), scă derea unităților de același
fel(zece -zece și unități -unități) și adiționarea rezultatelor.
Exemplu: 16 – 12 = (10 + 6) – (10 + 2) = (10 – 10) + (6 – 2) = 0 + 4 = 4
descăzutul este 20 iar scăzătorul este mai mic decât 10;
În acest caz este nece sară dezlipirea unei zeci și transformarea ei în 10 unități, urmată de
scăderea din acestea a unitățile scăzătorului.
Exemplu: 20 – 3 = (10 + 10) – 3 = 10 + (10 – 3) = 10 + 7 = 17
descăzutul este 20 iar scăzătorul este cuprins între 10 și 20;
Acest caz este o generalizare a celui anterior, fiind necesară în plus scăderea zecilor.
Exemplu: 20 – 14 = (10 + 10) – (10 + 4) = (10 – 10) + (10 – 4) = 0 + 6 = 6
descăzutul este cuprins între 10 și 20, iar scăzătorul, mai mic decât 10, este mai
mare decât unitățile descăzutului;
Acest caz este cel mai dificil pentru elevi și poate fi rezolvat prin mai multe procedee.
Un prim procedeu cuprinde:
-scăderea pe rând a unităților scăzătorului din descăzut – cu sprijin în obiecte;
Un al doilea proc edeu revine la:
-descompunerea descăzutului într -o zece și unități;
-descompunerea scăzătorului astfel încât una dintre componente să fie egală cu unitățile
descăzutului;
-scăderea acestei componente a scăzătorului din unitățile descăzutului;
-scăderea din zecea descăzutului a celeilalte componente a scăzătorului.
Exemplu: 12 – 5 = (10 + 2) – 5 = 10 + (2 – 2) – 3 = 10 + 0 – 3 = 7
Un al treilea procedeu cuprinde:
-descompunerea descăzutului într -o zece și unități;
-scăderea din zecea descăzutului a unitățilo r scăzătorului;
-adunarea acestui rest cu unitățile descăzutului.
Exemplu: 12 – 5 = (10 + 2) – 5 = (10 – 5) + 2 = 5 + 2 = 7
Prezentarea acestor procedee trebuie realizată cu material didactic, analizând fiecare
pas și apoi sintetizând procedeu l pe toți pașii în ansamblu.
Elevilor trebuie sӑ li se explice toate procedeele, pentru ca aceștia sӑ aleagӑ și sӑ foloseascӑ
procedeul care li se pare mai ușor de aplicat.
 Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 -100
Predarea operațiilor de adunare și scădere în concentrul 0 -100, trebuie să urmărească
însușirea de către elevi a următoarelor idei:

23 -calculul în acest concentru se realizează în același mod ca și în concentrul 0 -20;
-orice număr mai mare decât 10 se descompune în zeci și unități;
-zecea este o nouă unitate de calcul;
-operațiile se realizează cu unitățile de același fel (unități, zeci), asamblând apoi rezultatele
parțiale;
-10 unități se restrâng într -o zece, iar o zece se poate transforma în 10 unități (echivalent ă
dintre 10 unități și o zece);
-calculul este mai ușor de efectuat în scris (scrierea pe verticală, cu unități sub unități și
zeci sub zeci).
În predarea adunării numerelor naturale mai mici decât 100, se disting următoarele
cazuri:
adunarea a două numere formate numai din zeci;
În acest caz, institutorul trebuie să sublinieze că zecile sunt și ele unități de calcul, așadar
se va opera cu ele ca și cu unitățile.
Exemplu: 20 + 30 = 50
adunarea unui număr format numai din zeci cu un număr mai mic decât 10;
Nici acest caz nu ridică probleme metodice deosebite, deoarece are legătură cu problematica
formării numerelor.
Exemplu: 20 + 3 = 23
adunarea unui număr format numai din zeci cu un număr format din zeci și
unități;
În acest caz, algoritmul operației presupune:
-descompunerea celui de al doilea număr în zeci și unități;
-adunarea zecilor celor două numere;
-adunarea la această sumă a unităților celui de -al doilea număr.
Exemplu: 30 + 47 = 30 + (40 + 7) = (30 + 40) + 7 = 70 + 7 = 77
adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr mai mic decât 10, fără
trecere peste ordin;
Se distinge de cazul anterior prin aceea că se adună unitățile celor două numere, adunând
apoi și zeci le primului număr.
Exemplu: 43 + 5 = (40 + 3) + 5= 40 + (3 + 5) = 40 + 8 = 48
adunarea a două numere formate fiecare din zeci și unități, fără trecere peste
ordin;
În acest caz pașii algoritmului sunt:
-descompunerea fiecărui număr în zeci ș i unități;
-adunarea zecilor celor două numere, respectiv a unităților;

24 -adunarea celor două sume parțiale.
Exemplu: 35 + 42 = (30 + 5) + (40 + 2) = (30 + 40) + (5 + 2) = 70 + 7 = 77
adunarea a două numere formate fiecare din zeci și unităț i, având suma unităților
10;
În acest caz suma unităților se restrânge într -o zece, care se va aduna cu suma zecilor celor
două numere.
Exemplu: 54 + 16 = (50 + 4) + (10 + 6) = (50 + 10) + (4 + 6) = 60 + 10 = 70
adunarea unui număr format d in zeci și unități cu un număr mai mic decât 10, cu
trecere peste ordin;
În acest caz din suma unităților se separă o zece, care se va aduna cu zecile primului număr și
unitățile rămase se vor aduna la suma zecilor.
Exemplu: 32 + 8 = (30 + 2) + 8 = 30 + (2 + 8) = 30 + 10 = 40
adunarea a două numere formate fiecare din zeci și unități, cu trecere peste
ordin;
În acest caz din suma unităților celor două numere (mai mare decât 10) se separă o zece, care
se va aduna sumei zecilor celor două num ere, iar unitățile rămase se vor aduna la zecile
obținute.
Exemplu: 67 + 26 = (60 + 7) + (20 + 6) = (60 + 20) + 7 + 6 = 80 + (7+3)+3 = 8 0 + 10 + 3 =
90 + 3 = 93
Metodologia predării scăderii este asemănătoare cu cea a adunării prezentată mai su s.
 Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mari decât 100
Acest caz nu ridică probleme metodice deosebite, în situația în care elevii stăpânesc
algoritmii celor două operații, pe care i -au învățat în concentre numerice mai mici. Singura
diferențӑ est e dată de ordinul de mărime al numerelor, dar acest lucru nu modifică structura
algoritmilor. Bineînțeles, pe lângă zecea cu care s -a lucrat în concentrele anterioare, apar și
alte unități de calcul, cum sunt: sută, mia, etc., dar ele reprezintă generaliză ri ale cunoștințelor
și priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri, constatând că operarea cu
numere naturale de orice mărime se face la fel ca și cu numerele naturale mai mici decât 100.
Abordarea cazurilor noi se va face gradat fără să se insiste prea mult pe denumirile acestora,
care sunt neimportante pentru elevi.
O eroare metodică din partea institutorului este nedozarea eficientă a sarcinilor
calculatorii.
În situația în care nu sunt intercalate și sarc ini de alt tip, probabilitatea ca elevii să
greșească este mai mare și această se datorează: monotoniei, oboselii, micșorării motivației
pentru efectuarea calculelor.

25  Înmulțirea numerelor naturale.
Conform noii Programe școlare aprobată pr in Ordinul Ministerului Educației
Naționale ([18]), operațiile de înmulțire și împărțire se introduc în clasa a II -a, după ce elevii
au dobândit cunoștințe și au format priceperi și deprinderi de calcul privitoare la operațiile de
adunare și scădere a nume relor naturale.
Operația de înmulțire se introduce ținând seama de definiția înmulțirii ca adunarea
repetată a aceluiași termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulțirii se pot utiliza
două procedee:
-Efectuarea adunării repetate a numărului respectiv și exprimarea acestei adunări prin
înmulțire:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 52 = 10
-Efectuarea înmulțirii prin grupare :
2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 5 × 2 = 10.
Primul procedeu se între buințează mai ales pentru stabilirea tablei înmulțirii, iar al doilea se
bazează pe primul, cu deosebire pe înmulțirile numerelor 1 -10 cu numere până la 5.
Ordinea exercițiilor de înmulțire respectă ordinea prevăzută în tabla înmulțirii, astfel
că se învață întâi înmulțirea numărului 2, apoi a numărului 3 etc
Trecerea de la adunarea repetată la înmulțire se face în două moduri.
I. Prin stabilirea rezultatului fiecărei adunări repetate a numărului dat și exprimarea acestei
operații su b formă de adunare, apoi sub formă de înmulțire, urmată de scrierea în cele două
feluri a acesteia;
Exemple: Cât fac trei creioane luate de 4 ori. Cum ați socotit ? (3 + 3 + 3 + 3 = 12).
Cum putem spune altfel? (3 luat de 4 ori fac 12). Cum scriem? (3 + 3 + 3 + 3 = 12 sau
4×3=12 ).
În felul acesta elevii se deprind să identifice operația de adunare repetată a aceluiași termen
cu operația de înmulțire, să substituie o operație prin altă, ceea ce de altfel se și urmărește.
II. Prin stabilirea tuturor operaț iilor de adunare repetată a aceluiași termen programate pentru
lecția respectivă și apoi scrierea acestora sub formă de înmulțiri. Adică, dacă este vorba
despre înmulțirea numărului 3, se stabilesc și se scriu toate adunările numărului 3 până la 18:
3
3 + 3 = 6
3 + 3 + 3 = 9
3 + 3 + 3 + 3 = 12
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
apoi se transformă pe rând aceste adunări în înmulțiri, scriindu -se în dreptul fiecărei adunări

26 înmulțirea corespunzătoare, astfel:
1 × 3= 3
2 × 3= 6
3 × 3= 9
4 × 3 = 12
5 × 3 = 15
6 × 3 = 18
Dintre aceste două procedee se consideră că primul este mai indicat pentru motivul că
elevii sunt puși în situația să participe în mod conștient la scrierea fiecărei adunări sub formă
de înmulțire, câtă vreme du pă al doilea procedeu, chiar dacă elevii participă conștient la
scrierea primelor două adunări sub formă de înmulțiri, celelalte transformări le vor face
mecanic pe baza observației că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.
De altfel, între ce le două procedee nu se poate stabili o ierarhizare absolută, ele urmând a fi
utilizate după preferințele propunătorului și ținând seama de condițiile în care lucrează.
Semnul înmulțirii se introduce cu prilejul scrierii primei operații de înmulți re, ca o
prescurtare a cuvintelor luat de … ori . În operațiile următoare, se va arăta că semnul “×” mai
ține locul cuvintelor înmulțit sau ori.
Pentru memorarea tablei înmulțirii se utilizează procedeele specifice pentru memorarea
tablei adunării și scăderii.
În cadrul numerelor până la 100, tabla înmulțirii se completează cu toate înmulțirile
numerelor de o singură cifră, devenind apoi elementul de bază în toate calculele care
utilizează operațiile de gradul al II -lea.
Înmulți rea numerelor naturale în concentrul 0 -100 prezintă următoarele caracteristici:
 elevii sesizează rolul pe care îl îndeplinește primul factor ca număr ce se repetă și rolul pe
care îl îndeplinește cel de al doilea factor ca număr ce arată de câte ori se repetă primul
factor;
 se scoate în evidență și se aplică proprietatea comutativității înmulțirii;
 pe baza comutativității produsului se alcătuiește tabla înmulțirii cu înmulțitorul constant,
care va constitui elementul principal în introducerea împă rțirii prin cuprindere;
 pentru a realiza înmulțirea, elevii vor putea utiliza mai multe procedee raționale cum ar fi:
adunarea repetată, gruparea, comutativitatea, rotunjirea;
Ordinea în care se predau cunoștințele despre înmulțirea numerelor naturale este cea
prevăzută de tabla înmulțirii, iar după epuizarea acesteia se trece la tratarea cazurilor speciale.
În cadrul unei lecții de înmulțire a unui număr se parcurg următoarele etape:
– repetarea tablei înmulțirii cu numărul precedent, sau&nbsp;cu numere precedente;
– numărarea ascendentă cu acel număr de unități și scrierea rezultatelor numărării;

27 – adăugarea repetată a acelui număr, o dată, de două ori, de trei ori etc., cu scrierea pe
tablă și pe caiete a operației;
– scrierea adunăr ii repetate sub formă de înmulțire;
– stabilirea completă a tablei înmulțirii cu acel număr;
– memorarea tablei stabilite, întrebuintand forme de activitate și procedee cât mai
variate;
– rezolvarea de exerciții și probleme aplicative în legătură cu înmulț irile învățate.
Procedee utilizate în rezolvarea exercițiilor de înmulțire a numerelor naturale:
a) procedeul adunării repetate;
Exemplu : 5  4 = 20 pentru că 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
b) procedeul utilizării grupărilor;
Exemplu: 3  6 = 18 pentru că 3  2 = 6, 3  4 = 12 și 6 + 12 = 18
c) procedeul comutativității;
Exemplu: 4  5 = 20, pentru că 5  4 = 20
d) procedeul rotunjirii;
Exemplu: 9  3 = 27, pentru că 10  3 = 30, 1 3 = 3 și 30 – 3 = 27
Conform Programei școlare aprobată de M inisterul Educației Naționale prin Ordinul
([20]), este introdusă în clasa a III-a înmulțirea și împărțirea numerelor naturale în concentrul
0 – 10000, apoi în clasa a IV -a înmulțirea și împărțirea numerelor naturale în concentrul 0 –
1000000.
În clasa a III -a, în cadrul numerelor de trei cifre se studiază operația de înmulțire în
ansamblu, cu toate particularitățile ei și cu toate cazurile pe care le prezintă.
Pentru ca elevii să -și poată însuși în condiții corespunzătoare operaț ia de înmulțire, să
pătrundă sensul ei, să -și formeze deprinderi temeinice de calcul corect și rapid, este necesar
să stăpânească toate cunoștințele premergătoare înmulțirii numerelor de trei cifre, cum ar fi:
– tabla înmulți rii numerelor de o singură cifr ӑ;
– numerația orală și scrisă a numerelor de mai multe cifre, cu deosebire formarea
numerelor, compunerea și descompunerea lor în unități componente;
– efectul numărului zero în cazul înmulțirii;
– noțiunile teoretice elementare cu privire la denumirile f actorilor și a rezultatului înmulțirii.
Programa școlară prevede pentru clasa a III -a, în cadrul numerelor până la 1000,
numai cazurile simple de înmulțire orală, și anume, înmulțirea zecilor și a sutelo r cu un
număr de o singură cifrӑ , precum și înmulțirea cu 10, 100 și 1000. Regula înmulțirii cu 10 a
unui număr de două cifre constituie primul procedeu rațional de înmulțire rapidă prevăzut
pentru clasele primare. Pe acest procedeu se vor baza apoi celelalte procedee, și anume,

28 înmulțirea cu 100 și 1000, sau cu orice număr format din cifra 1 urmată de zerouri, sau cu
orice număr format dintr -o cifră oarecare urmată de zerouri.
Pentru stabilirea unei concluzii care să constituie regula înmulțirii unui număr cu 10,
se studiază mai multe exemple din această categorie, efectuându -se înmulțirea în mod
obișnuit, spre exemplu: 38  10
30  10 = 300
8  10 = 80, 300 + 80 = 380, deci 38  10 = 380
Pe baza metodei comparației, se constată că produsul se deosebește de deînmulțit prin
faptul că are un zero la urmă, ceea ce înseamnă că fiecare unitate a deînmulțitului a devenit
de zece ori mai mare.
Prin efectuarea de mai multe înmulțiri, în care înmulțitorul este un astfel de număr,
învățătorul va trebui să tragă împreună cu elevii concluzia că astfel de înmulțiri sunt cazuri
particulare ale procedeului general de înmulțire.
La înmulțirea cu 100, se constată că primele două produse parțiale sunt zero și deci
adunarea lor l a produsul parțial obținut prin înmulțirea numărului cu 1 ele nu influențează
rezultatul. Așadar, pentru a înmulți un număr cu 100, se adaugă la sfârșitul numărului care se
înmulțește două zerouri (reprezentând cifrele unitatilor, respectiv, ale zecilor), iar cifrele
inițiale reprezintă numărul unităților de ordin superior cu doi față de ordinele care le
reprezentau inițial.
Asemănător se fac înmulțirile cu orice număr în care prima cifră semnificativă este 1,
iar toate celelalte cifre sunt zero .
În cazul înmulțirii din mai multe cifre, exercițiile din această categorie se grupează,
după gradul de dificultate, astfel:
a)Înmulțirea numerelor naturale până la 10, cu un număr format din zeci .
Aceste înmulțiri se bazează pe descompunerea numerelor în produse de factori și pe
proprietatea de asiciativitate a înmulțirii.
Exemplu: 3  20 = 3  (2  10) = (3  2)  10 = 6  10 = 60
b) Înmulțirea numerelor formate dintr -o cifră cu numere formate din zeci și unități
Calculul oral se bazează at ât pe descompunerea numărului format din două cifre în zeci și
unități, cât și pe aplicarea proprietății de distributivitate a înmulțirii față de adunare.
Exemplu: 3  21 = 3  (20 + 1) = 3  20 + 3  1 = 60 + 3 = 63
21 + 21 x
21 3
21 
 63
63

29 Deducerea regulii de calcul în scris se bazează pe faptul că înmulțirea este o adunare
repetată și pe posibilitatea de înlocuire a adunării repetate prin înmulțire.
Exemplu: 4  5 = 20 pentru cӑ 5+ 5+ 5+ 5= 20
b) procedeul utilizӑrii grupӑrilor;
Exemplu: 3  6 = 18 pe ntru cӑ 3  2 = 6, 3  4 = 12 și 6 + 12 = 18

c) procedeul comutativitӑții;
Exemplu: 3  8 = 24, pentru cӑ 8  3 = 24
d) procedeul rotunjirii;
Exemplu: 9  3 = 27, pentru cӑ 10  3 = 30, 1  3 = 3 și 30 – 3 = 27

c) Înmulțirea numerelor formate din tr-o cifrӑ cu numere formate din sute
Calculul oral se bazeazӑ pe descompunerea numӑrului ȋntr -un produs de factori și pe
aplicarea proprietӑții de asociativitate a ȋnmulțirii.
Exemplu: 3  200 = 3 (2  100) = (3  2)  100 = 6  100 = 600
Calcul ul ȋn scris se bazeazӑ pe efectuarea ȋnmulțirii ca adunare repetatӑ.
Exemplu: 2  400 = 400 + 400 = 800 400 + sau 400 x
400 2
 
800 800
d) Înmulțirea numerelor mai mici decât 10 cu un număr format din sute, zeci și unități
La această categorie de înmulțire trebuie folosită proprietatea că înmulțirea este
distributivă față de o adunare formată din trei termeni.
Exemplu: 3  231 = 3  (200 + 30 + 1) = 3  200 + 3  30 + 3  1 = 600 + 90 + 3 = 693
Pentru calculul scris, deducerea regulii se face asemănător ca la înmulțirea numerelor formate
dintr -o singură cifră cu un număr format din zeci și unități folosind procedeul general.
Exemplu: 231 x
3

693
Spre deosebire de clasa a III -a , în clasa a IV -a se efectuează înmulțiri cu numere
formate din două, trei sau mai multe cifre. Printre elementele de tehnică a acesto r înmulțiri se
numără și acelea de așezare a factorilor, în special a celor care se termină în zerouri. Aceste
zerouri nu se înmulțesc, dar se adaugă la produsul total. Fiecare unitate a numărului cu care
înmulțim se înmulțește succesiv cu toate unitățile de orice ordin ale numărului pe care îl
înmulțim. Din înmulțirea fiecărei unități de ordin se obține un produs parțial. Scrierea
produselor parțiale este esențială, ea începând de la dreapta la stânga și cu ordinul care se
înmulțește, înmulțirea începe cu cifra unităților numărului cu care înmulțim. Prin adunarea
produselor parțiale se obține produsul celor două numere pe care le înmulțim.

30 Exemplu: 6215 x
543

18645
24860
31075

3374745
În predarea unui anumit caz de înmulțire, primul exercițiu se rezolvă de către
învățător, cu explicații și justificări complete și clare, făcând astfel demonstrarea procedeului.
Explicațiile și justificările sun t repetate de elevi și tot ei rezolvă în continuare exercițiile
următoare.
 Împӑrțirea numerelor naturale se introduce ca operația de aflare a unui numӑr
natural atunci cȃnd se cunosc produsul a douӑ numere naturale și unul din factorii produsului ,
acest factor fiind diferit de zero.
A ȋmpǎrți douǎ numere a si b, primul numit deȋmpǎrțit, al doilea numit ȋmpǎrțitor,
ȋnseamnǎ a gasi un numǎr natural c numit „cȃt”, care ȋnmulțit cu ȋmpǎrțitorul sǎ rezulte
deȋmpǎrțitul.
Împǎrțirea lui a la b se scrie a : b sau a / b.
a : b = c → c  b = a
a / b = c → c  b = a
Împǎrțirea este operația inversǎ ȋnmulțirii. Împǎrțirea la 0 nu este posibilǎ.
Aceastǎ operație poate fi vǎzutǎ ca o scǎdere repetatǎ.
12 : 3 = 4 pentru ca 12 -3 -3 -3 -3 = 0
Cu ajutorul mulțimilor, ea se pune ȋn evidențǎ astfel: fiind datǎ o mulțime A cu
elemente, formǎm submulțimi disjuncte, fiecare avȃnd același numǎr de elemente.
Se pun ȋn evidențǎ douǎ pro cedee de ȋmpǎrțire:
►ȋmpǎrțirea prin cuprindere este procedeul prin care, cunoscȃnd numǎrul de elemente al
submulțimii B, trebuie sǎ aflǎm numǎrul de submulțimi;
Exemplu: Clasa a II -a:
Ioana are 6 mere pe care le împarte câte două fraților e i. Câți frați vor primi câte două
mere?
6 – 2 – 2 – 2 = 0
R: 3 frați primesc cȃte 2 mere
De fiecare dată, Ioana dă câte două mere.
Acțiunea se repetă de trei ori pentru că… Ioana nu mai are cui să dea mere!
Scăderea repetată se trans crie ca o împărțire ai cărei termeni au semnificația rezultată
din acțiune:
6 : 2 = 3 (frați)

31 ►ȋmpǎrțirea ȋn pǎrti egale este procedeul prin care, cunoscȃnd numǎrul de elemente al
mulțimii A ști num ǎrul de submulțimi B, trebuie sǎ aflǎm numǎrul de elemente dintr -o
submulțime.
Exemplu: Clasa a II -a:
Ioana are 6 mere pe care le împarte în mod egal celor doi frați. Câte mere primește
fiecare frate?
6 – (1 + 1) – (1 + 1 ) –(1 + 1) = 0
R: 3 mere primește fiecare dintre frați
Fiecare frate primește, de fiecare dată, câte un măr „unul ție, unul mie”.
Acțiunea se repetă de trei ori pentru că … se termină merel e!
Scăderea repetată se transcrie că o împărțire ai cărei termeni au semnificația dobândită
prin acțiune:
6 : 2 = 3 (mere)
Împӑrțirea cu rest :
După ce a fost însușită împărțirea cu rest 0, anterior prezentată, în clasa a III -a este
abordată situația în care restul împărțirii este diferit de zero.
Întrucât elevii iau cunoștință pentru prima dată de cazul împărțirii incomplete, adică a
împărțirii cu rest, iar experiență arată că însușirea acestor noțiuni întâmpină serioase
dificultăți, din cauză că necesită un înalt grad de pătrundere a sensului împărțirii, este
neces ar să se acorde suficientă atenț ie acestei împărțiri, cu atât mai mult cu cât în continuare
împărțirea cu rest este mai frecventă decât cea e xactă, și odată ce noțiunile sunt formate și
fixate, se vor putea întrebuința cu succes în rezolvarea cazurilor de împărțire cu resturi
succesive.
Din aceste motive se recomandă procedee metodice cât mai aproape de nivelul de
înțelegere al ele vilor, cât mai atractive și concludente.
Primele exerciții de împărțire cu rest trebuie să se bazaze pe problemele -acțiune, pe
acțiuni ce se petrec în fața elevilor sau le sunt familiare prin experiență lor de viață. Aceste
prime exerciții de efectuare a împărțirilor cu rest trebuie să se bazeze pe probleme cu date
intuitiv – concrete. Se extind aceste constatări la alte cazuri cu date concrete, apoi la altele cu
date semi – concrete și abstracte.
La împărțirea cu rest elevii trebu ie să înțeleagă că dacă se dau două numere naturale
D și I, cu I  0, existӑ douӑ numere naturale C și R, cu R  I, astfel ȋncȃt D = C  I + R. De
fapt aceasta conduce la proba ȋmpӑrtirii cu rest, modalitate de a arӑta cӑ ȋmpӑrțirea s -a fӑcut
corect.
Pentru ca elevii să înțeleagă și să aprofundeze acest lucru este necesar ca învățătorul
să propună și să efectueze cu elevii cât mai multe împărțiri de genul: 15 : 6; 26 : 7; 38 : 9 etc.

32 Exemplu: 15 : 6 =
Se efectuează scăderea repetată a număru lui 6 din 15 pentru a află de câte ori se cuprinde 6
în 15: 15 – 6 = 9, 9 – 6 = 3. Scăderea lui 6 din 3 nu este posibilă deoarece descăzutul este
acum mai mic decât scăzătorul. S -a efectuat de două ori scăderea lui 6 din 15, deci 6 se
cuprinde în 15 de d ouă ori și rămâne rest 3.
15 : 6 = 2, rest 3
12
=3
Pentru înțelegerea și însușirea algoritmului de împărțire a numerelor de două cifre la
un număr de o cifră, se pot parcurge mai multe etape.
Exemplu :
• 60 : 2 = (6 zeci) : 2 = 3 zeci = 30;
• 64 : 2 = (6 zeci + 4 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 + (4 unități) : 2 = 3 zeci 2 unități = 30 + 2 = 32;
• 67 : 2 = (6 zeci + 7 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 + (7 unități) : 2 = 30 + 3 rest 1 = 33 rest 1;
• 76 : 2 = (7 zeci + 6 unități) : 2 = (6 zeci + 1 zece + 6 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 + 16 : 2 = 30 +
8 = 38;
• 77: 2 = (7 zeci + 7 unități) : 2 = (6zeci + 1 zece + 7 unități) : 2 = (6 zeci) : 2 +17 : 2 = 30 + 8
rest 1 = 38 rest 1.
Calculul în scris, pen tru aceste cazuri, nu creează dificultăți deosebite elevilor:
64 : 2 = 32 67 : 2 = 33 rest 1
76 : 2 = 38 77 : 2 = 38 rest 1
Analizându -se împărțirile scrise pe cele două coloane, se poate stabili cu ușurință că
fiecare împărțire din prima coloană s -a făcut exact, deci toate acestea sunt împărțiri exacte și
fiecare din a doua coloană s -a făcut cu rest, deci, toate sunt împărțiri cu rest.
Împărțirea unui număr de 3 cifre la un număr de o cifră se realizează asemănător,
după cum numărul unităților de un anumit ordin ale deîmpărțitului se împarte, cu rest 0 sau
diferit de 0, la împărțitor.
Cazurile de împărțire la 10, 100 sau 1000 a numerelor a căror scriere se termină cu cel
puțin 1, 2 sau 3 zerouri sunt ușor reți nute de elevi, pentru că, din punct de vedere al tehnicii
de calcul, sunt reductibile la eliminarea a 1, 2 sau 3 zerouri finale din scrierea deîmpărțitului.
Această tehnică se bazează pe raționamente de tipul următor:
80 : 10 = (8 zeci): ( 1zece) = 8
800 : 10 = (80 zeci): (1 zece) = 80
8000 : 10 = (800 zeci) : (1 zece) = 800
800 : 100 = ( 8 sute) : (1sută) = 8 ș.a.m.d.

33 CAPITOLUL II – ASPECTE METODICE PRIVIND FORMAREA
(INTRODUCEREA) CONCEPTULUI DE NUMӐR NATURAL ÎN CICLUL PRIMAR
2. 1. Aspecte metodice privind introducerea conceptului de numǎr natural ȋn ciclul
primar
Marele pedagog și gânditor al veacului al XVII -lea, J. A. Comenius , considera
didactica drept „arta universală de a învăța pe toți toate”, iar pentru a i lustra importanța
deosebită pe care o acorda acestei discipline a denumit -o cu atributul de “magna ”. ([2])

Specificul procesului de predare -ȋnvӑțare a numerelor 0 -10
Primele zece numere constituie primul contact al copiilor cu matematic a, este perioada
când aceștia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor și a cifrelor pentru
scrierea lor.
Scrierea numărului, introducerea simbolului sau a semnului grafic al numărului,
reprezintă o etapă superioară a procesului de abstractizare. Copilul dobândește astfel o
noțiune care are un grad mai mare de generalizare și devine astfel capabil să cunoască mai
profund relațiile dintre obiectele și fenomenele lumii înconjurătoare.
Procesul construcției șirului numerelor d e la 0 la 10 se face progresiv și se
fundamentează pe:
a) înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr
de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);
b) înțelegerea locului fiecărui număr în șiru l numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal
al numărului);
c) înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și
a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);
d) cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;
e) citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.
Coroborând ideea caracterului stadial ai dezvoltării intelectuale ( după Jean Piaget ) cu
modalitățile principale de reprezentare a realității în învățare – acțional, icon ic și simbolic
(după Jerome Bruner) putem, încă din clasa pregătitoare, pe baza teoriei mulțimilor, a
compunerii și descompunerii numerelor, să trecem într -un mod rațional și eficient de la
gândirea reproductivă la cea probabilistică, de la formele operato rii mentale concrete la cele
abstracte, chiar dacă la această vârstă simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective.
Exemplu: Predarea – învățarea numărului natural 4, compunerea și descompunerea
acestuia.

34 Învățătorul își începe activitatea didactică pornind de la numărul natural însușit
anterior, respectiv numărul natural 3. Prin acțiuni la tablă magnetică arată că dacă o bilă
(cerc sau jeton) vine spre trei bile se fac patru bile. O dată cu învățătorul operează și elevii
prin a cțiuni cu bețișoare. Se va continua cu toate posibilitățile de compunere a numărului 4.
Pe tabla magnetică și pe banca fiecărui copil apare ca în modelul alăturat (figura I.4). În
acest fel, acțiunea directă se proiectează în conștiința copiilor sub formă schemei de
reprezentare a acțiunii de compunere a numărului patru (dacă o bilă vine spre trei bile se fac
patru bile, dacă două bile vin spre două bile se fac patru bile etc.)
Se continuă după același model (figura I.5) operația inversă, de des compunere (dacă
iau o bilă de la patru bile rămân trei bile, dacă iau două bile de la patru bile rămân două bile
etc.).

● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ●
Fig.I.4 Fig.I.5
Trecerea de la reprezentarea prin acțiune la reprezentarea iconică se poate face prin
solicitarea elevilor ca în continuare să deseneze pe caiete ceea ce au făcut cu bețișoarele pe
bancă. Lucrul este posibil (având în vedere exercițiile similare anterioare pentru numerele 2
și 3) și poate fi consider at drept test de cunoaștere a posibilităților intelectuale ale copiilor,
criteriile de evaluare constituindu -le timpul de realizare și corectitudinea realizării sarcinilor
lucrării.
Asigurându -se că toți elevii au realizat saltul calitativ de la reprezentare în acțiune la
reprezentarea iconică, învățătorul trece la învățarea scrierii cifrei patru, după care va cere
elevilor să repete verbal toate posibilitățile de compunere și descompunere a numărului 4,
simultan cu reprezentarea grafică sub formă diagramelor. Se apreciază că în desfășurarea
lecției acesta este momentul optim de construcție a schimbărilor mentale cu care va opera
ulterior în combinațiile posibile de adunare și de scădere a numerelor naturale. Acestea sunt
de fapt operații de adunar e și de scădere a cardinalelor unor mulțimi disjuncte reunite sau a
diferenței dintre mulțimi, din care una este inclusă în cealaltă. Apar în acest mod, simultan,
și diagramele în ordinea lor naturală (figura I.6, a și b) atât pentru compunerea numărului 4 ,
cât și, o dată cu reproducerea verbală, pentru descompunerea numărului patru.

35 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0
4 0 3 1 2 2 1 3 0 4
4 4 4 4 4

a

4 4 4 4 4

b
Fig.I.6

În caietele elevilor, ȋn dreptul desenelor, apar relații sim bolice de felul celor din figura
I.7

4 4
1 3 = 4 0 4 4 0
2 2 = 4 sau 1 3 3 1
3 1 = 4 2 2 2 2
4 0 = 4 3 1 1 3
4 0 0 4

sau

36
0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

4 4 4 4 4

4 4 4 4 4

0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

Fig. I.7

Toate acestea pregătesc în mod operațional adunarea și scăderea în concentrul 0 -10.
În formarea conceptului de număr natural acțiunea va precede intuiția, modelul didactic
presupunând parcurgerea următoarelor etape:
– activități și acțiuni cu mulțimi de obiecte;
– acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor;
– traducerea simbolică a acțiunilor.
Raportul dintre aceste etape se schimbă în mod treptat pe parcursul evoluției de la
intuitiv la logic, de la concret la abstract. La început se va acorda mai mult timp activităților
cu mulțimi de obiecte, după care, treptat, se vor utiliza, cu precădere, corespondențele
realizate gra fic pe tablă sau pe fișele întocmite de învățător.

Specificul predării -învățării numerelor până la 20
Predarea -învățarea numerelor naturale până la 20 formate din zeci și unități se face
prin procedee similare cu cele utilizat e în concentrul 0 – 10, folosindu – se aceleași materiale
didactice: trusa cu riglete, trusa cu figuri geometrice, tablă magnetică, jetoane etc.
Trecerea de la numărul 10 (clasa mulțimilor cu 10 elemente) la numărul 11 (clasa
mulțimilor formate di n 10 elemente și încă un element) se poate face în mod analog cu
trecerea de la numărul 4 la numărul 5. Procedura metodică este următoarea:
a) se formează o mulțime de zece elemente;
b) se formează o mulțime cu un element;
c) se reunes c cele două mulțimi și se obține o mulțime formată din zece elemente și încă
un element (fig. I.8);
d) se explică elevilor că despre o astfel de mulțime spunem că are unsprezece elemente și
că semnul grafic sau simbolul numărului unsprezece este “11 ”.

37 1 10 11
10 10 + 3 13
3

Fig. I.8

În mod asemănător se procedează și în continuare, considerând o mulțime cu 10
elemente și o mulțime cu două elemente, care se reunesc și se obține o mulțime de 12
elemente. Clasa mulțimilor cu douăsprezece elemente este numărul natural doisprezece, care
se scrie “12”.
Se pro cedează în mod asemănă tor la introducerea tuturor numerelor mai mici decât 20
și mai mari decât 10, dându -se denumirile corespunzătoare. Ele apar scrise sub for mă:
10 + 3 = 13 10 + 5 = 15 10 + 7 = 17 10 + 9 = 19
10 + 4 = 14 10 + 6 = 16 10 + 8 = 18 10 +10 = 20
Pentru consolidarea cunoștințelor și formarea deprinderilor de sc riere a unui număr
natural mai mic decât 20, format ca o suma dintre zece și un număr mai mic decât 10, se pot
face o serie de exerciții, de genul:
 să se formeze dintr -o mulțime de 13 elemente o submulțime cu 10 elemente și o altă
cu trei eleme nte și să se scrie numărul corespunzător acestei mulțimi ca o suma:

sӑ se formeze dintr -o rigletӑ cu 10 unitӑți și o rigletӑ cu trei unitӑți -o rigleta cu 13
unitati:

38 10 3

10
5
25

Prin scrierea numerelor formate din zeci și unități elevii iau contact cu ideea de bază a
sistemuli zecimal de scriere și notație a numerelor.
Specificul predării – învățării numerelor până la 100
În această etapă sunt urmărite u rmătoarele aspecte de bază,specifice ei:
– înțelegerea zecii ca unitate de numerație, bază a sistemului utilizat;
– lărgirea noțiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea și citirea numerelor formate din
zeci, introducerea noțiunii de sut ă;
– formarea, citirea, scrierea și compararea numerelor naturale formate din zeci și unități;
– relația de ordine realizată prin compararea și ordonarea numerelor învățate;
– conștientizarea semnificației cifrelor după locul pe care îl ocupă în scrierea numerelor.
Modalitatea de introducere a numerelor naturale mai mari decât 10 este similară cu
cea din concentrul anterior învățat.
Dacă vom reuni o mulțime formată din 20 de elemente cu o mulțime formată din 5
elem ente se obține o mulțime care are 25 de elemente.

10

Activitățile de reuniune a mulțimilor formate dintr -un număr de submulțimi de câte 10
elemente cu o mulțime formată dintr -un numă r de elemente mai mic decât 10, ne conduc în
mod progresiv la construcția mulțimii numerelor naturale mai mici decât 100.
Deci vom avea:
20 + 2 = 22 30 + 4 = 34 50 + 5 = 55 70 + 1 = 71 90 + 5 = 95
20 + 8 = 28 40 + 6 = 46 60 + 7 = 67 80 + 2 = 82 90 + 10= 100

39 Pentru a ilustra formarea succesivă a șirului numerelor naturale se poate folosi un
material didactic bogat și variat (numărătoare cu bile, abac, trusă de riglete, cuburi, tablă
magnetică), material confecționat de învățător sau procurat de elevi.
Învățătorul va pune accent pe pronunția și scrierea corectă a numerelor.

Predarea -învățarea numerelor de trei sau mai multe cifre
Predarea -învățarea numerelor de mai multe cifre se face în clasa a III -a conform
sistemului concentric de repartiție a materiei, după ce elevii și -au însușit numerația orală și
scrisă până la o mie, precum și operațiile aritmetice în cadrul acestui co ncentru.
În această etapă se folosește analogia cu procedeele din concentrul anterior învățat. Se
formează ideea că 10 unități de un anumit fel formează o unitate nouă, mai mare. Elevii
adaugă la unitățile de numerație cunoscute: unitatea simpl ă, zecea, unități noi: sută, mia,
s,a,m,d,, fixându -și ideea că zece sute formează o mie, s.a.m.d.
Predarea oricărui număr natural mai mare decât o sută se realizează după algoritmul
cunoscut de la formarea numerelor naturale mai mari decât 10: o sută și încă o unitate
formează 101, s.a.m.d.
Problema metodică nouă ce apare în acest concentru este legată de formarea, citirea și
scrierea numerelor ce conțin pe 0 (zero), care semnifică absența unităților de un anumit ordin.
Tot acum se introduc noțiunile de ordin (ce reprezintă numărul de ordine în scrierea
numărului: unitățile vor fi numite unități de ordinul întâi, zecile – unități de ordinul doi, sutele –
unități de ordinul trei, unitățile de mii – unități de ordinul patru, zeci de mii – unități de ordinul
cinci, sute de mii – unități de ordinul șase) și clasa ( o structura nouă formată dintr -un grup de
trei ordine consecutive: ordinele întâi, doi și trei formează clasa unităților, ordinele patru,
cinci și șase – clasa miilor, ordinele șapte, opt și nouă – clasa milioanelor, s.a.m.d., sugerând
astfel că procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfârșit, deci că există numere naturale
oricât de mari).
În scrierea numerelor naturale din acest concentru evidențierea claselor se realizează
prin plasarea unui spațiu liber între ele.
Se vor forma deprinderi corecte și conștiente de citire și scriere a numerelor naturale
de mai multe cifre, în special a celor în care lipsesc una sau mai multe unități de un anu mit
ordin.
Se vor realiza corelații interdisciplinare, se va matematiza realitatea înconjurătoare
obținând numeroase posibilități de exersare a numerelor, se va utiliza frecvent jocul didactic
matematic.

40 2. 2. Aspecte psiho -pedagogi ce privind introducerea conceptului de numǎr natural ȋn
ciclul primar
„ Rolul matematicii în ciclul primar este de a iniția copilul în procesul de
matematizare și această sarcina se realizează prin formarea unor concepte de baza, având că
ipote za de lucru specificul formării reprezentărilor matematice pe niveluri de vârstă.“ ([6])
Acest proces, de matematizare, trebuie construit că o multitudine de activități ce conțin
intuire, observare, concretizare, abstractizare, fiecare având relevanță la n ivel cognitiv.
Ilustrul pedagog român Ioan Cerghit definea ȋn ([2]) predarea ca pe un „ansamblu
complex de acțiuni și comportamente didactice specifice, destinate producerii învățării”.
Elementele definitorii ale predării sunt:
– planificarea, proiectarea, producerea schimbărilor;
– identificarea finalităților;
– determinarea conținuturilor care să producă schimbarea comportamentală așteptată;
– dirijarea schimbărilor dorite prin strategii specifice;
– aprecierea calității schimbărilor interven ite în comportamentul elevilor.
Predarea este o activitate predominantă a profesorului, este o variabilă cauzală de care
depinde în mare măsură nivelul de pregătire a elevilor.
1. Particularitǎțile psihointelectuale ale elevului de 8 -11 ani
Psihologia copilului studiază creșterea mintală, dezvoltarea conduitelor (adică a
comportamentelor, inclusiv conștiința ) până la acea fază de trecere pe care o constituie
adolescența și care marchează inserția individului în societatea adultă. Pentru a înțel ege
creșterea mintală, nu este suficient să ne întoarcem numai până la nașterea copilului,
deoarece există o embiologie a reflexelor.
Dacă din primii ani ai școlarității, noțiunile școlarului mic au un caracter concret și
empiric, trăsăturile esențiale și neesențiale nefiind încă suficient diferențiate, nu se pot
organiza încă în sisteme naționale. În jurul vârstei de zece ani se atinge stadiul gândirii
noționale. Sub efectul dezvoltării psihice și al influențelor educative, gândirea tinde să se
organizeze în jurul câtorva noțiuni fundamentale, care unifică datele concrete: noțiunea de
timp, de spațiu, de număr, de cauză, de mișcare, etc.
Capacitatea de cunoaștere sporește și datorită memoriei, ale căror posibilități cresc
rapid. Începând cu vârsta de nouă ani, școlarul poate învăța orice; învață pe dinafară, din
joacă, așa cum învață să meargă, să vorbească. Se controlează de pe acum diferite tipuri de
memorie: vizuală, auditivă, kinestezică. Tot la această vârstă se manifestă primele aptitudini
cu caracter general, ce potentează succesul la toate obiectele de învățământ. Treptat, acestea
se diferențiază în funcție de specificul activității în care se exersează cu predilecție elevul.

41 Progresele cunoașterii sunt legate la școlar de dorința generală de a învăț a. În cursul acestei
etape, elevul bun se bucură de un anumit prestigiu printre școlari.
Concomitent se produc și alte schimbări, se formează atitudinea față de muncă, ce se
relevă prin capacitatea de a duce la bun sfârșit o sarcină începută și de a obține un rezultat.
Școlarului îi place acțiunea. Activitatea desfășurată este foarte variată, apar interesele
practice, cum sunt cele pentru tehnică, lucrări manuale, etc. Precizia și îndemânarea
gesturilor ce se constituie pun în evidență dorința de a obține u n rezultat: școlarul dorește să
aibă succes.
Specific vârstei școlare mici este creșterea considerabilă a volumului memoriei. În
fondul memoriei pătrunde un mare volum de informații. Comparativ cu clasa I, în clasa a
IV-a se memorează de două -trei ori mai multe cuvinte.
Fără a subestima importanța mediului familial, care rămâne considerabilă, rolul
activității școlare este hotărâtor la acestă vârstă. Școala contribuie atât la formarea și
educarea inteligenței, cât și a caracterului. Totuși, acțiunea celor doi factori – familie și
școală – se cere să fie mereu coordonată, solidară.
Activitatea care declanșează dezvoltarea psihică este procesul de învățământ.
Organizarea și metodica acestuia va ține seamǎ de caracteristicile fizice, psihice și sociale
ale de venirii umane. Între aceste caracteristici, învățarea prin acțiune constituie elementul
principal. Necesitatea extinderii numărului de exerciții individuale, diferențiate în activitatea
de asimilare a conținutului programei școlare, derivă din caracteristi ca potrivit căreia
școlarul mic învață acționând.
„Activitǎțile de ȋnvǎțare se construiesc prin corelarea obiectivelor de referințǎ la
conținuturi și presupun orientarea cǎtre un anumit scop, redat prin tema activitǎții. În
proiectul unitǎții d e ȋnvǎțare, ȋnvǎțǎtorul va alǎtura fiecǎrei activitǎți de ȋnvǎțare acele
resurse pe care le considerǎ necesare. În momentul propunerii lor spre rezolvare,
activitǎțile de ȋnvǎțare vor fi transpuse ȋntr -o anumitǎ formǎ de comunicare inteligibilǎ
nivelului d e vârstǎ .” ([5])

2. Învǎțarea la elevul de 8 – 11 ani
Învățarea, în înțelesul cel mai larg al cuvântului, constituie procesul dobândirii
comportamentului adecvat, deci nu e vorba numai de formarea priceperilor și însușirilo r
unor cunoștințe, ci se cuprinde și formarea motivației, atitudinilor, sentimentelor, ca și a
voinței.
Clasele a II -a – a IV-a deschid în fața copilului un nou câmp de situații de învățare. Se
produce un proces de îmbogățire și diversificare a învățării, sub impactul unor discipline de
învățământ mai numeroase decât cele din clasa întâi și cu un indice de distinctivitate sporit.

42 Dacă, în clasa întâi copiii au trecut de la parte la întreg, învățând să opereze, pur și
simplu, cu sunete și lite re, cu propoziții, cuvinte și texte, fără preocuparea unei explicitări cu
conștientizări desfășurate, în clasa a doua este încurajată tendința de a reveni asupra lor cu
explicații și aplicații menite să impună în mod special atenției elevului anumite carac teristici
ale fenomenelor de limbă, printr -un demers de abstractizare și conștientizare analitică,
mergând de la întreg la parte.
Pentru procesul instructiv -educativ, problema care se pune, este aceea a criteriilor de
determinare a complexității psihologi ce reale a unei sarcini, a potențialului ei stimulativ
pentru dezvoltare, a relevanței ei pentru ceea ce pot elevii, de așa manieră încât, cu fiecare
nouă acumulare pe care o fac, să devină independenți, cu autonomie și creativitate.
Încă din clasa a III -a, se poate organiza convegența contribuției a două sau mai multe
discipline de învățământ (de exemplu a matematicii, geografiei) la formarea suportului unora
și acelorași capacități, de exemplu a structurilor cognitive implicate în achiziționarea
cunoștinț elor spre spațiu.
Învățarea se distanțază tot mai mult pe punctul unic de plecare, caracteristic pentru
clasa întâi, pentru a evidenția, mai ales, deosebirile dintre conținuturi.
Unul din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a treia îl constituie
familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor. Ea le furnizeză „algebra” numirii,
scrierii și citirii numărului, dezvăluindu -le ȋn principal constituirea numărului și al
sistemului numeric. Operațiile matematice fundamentale, însușite în clasa a doua, sunt acum
solicitate să lucreze în noi condiții, cele ale compartimentării ordinale ale numărului.
Etapa terminală a ciclului primar, clasa a patra ocupă o poziție importantă în evoluția
proceselor educaționale și, implicit, în devenirea personalității școlarului. Transmiterea
conținuturilor în învățare, continuă să formeze obiectul activițății de predare -învățare de
către cadrul didactic unic, învățătorul, care contează ca lider al proceselor instrucțional –
educaționale de -a lungul întreg ului ciclu primar.

43 B. DEMERSUL METODICO – EXPERIMENTAL
CAPITOLUL III – IPOTEZA, SCOP, OBIECTIVE ALE CERCETӐRII
3.1. Ipoteza de lucru
Procesul formǎrii conceptului de numǎr natural se bazeazǎ pe noțiunea de mulțime și
introducerea operați ilor cu numere naturale și are la bazǎ operațiile cu mulțimi de obiecte.
Acestea constituie baza pentru întelegerea de cǎtre elevi a operațiilor cu numere naturale, cât
și pentru sesizarea principiilor de bazǎ dupǎ care se efectueazǎ calculul și proprietǎț ile
operațiilor.
Având în vedere complexitatea problematicii predӑrii -ȋnvǎțǎrii -evaluǎrii conceptului
de numǎr natural și operațiilor aritmetice, emit următoarea ipoteză :
„ Consider că gradul cel mai mare de obiectivitate în evaluare a nivelului de pregătire
a elevilor este obținut prin cumularea rezultatelor înregistrate la tipuri diferite de probe ,
rezultate obținute în urma aplicării sistematic la orele de matematică atât a metodelor
tradiționale, cât și a metodelor moderne ”.
Ipoteze particulare:
Ipoteza particularǎ 1: Utilizȃnd mai frecvent diferite tipuri de probe (atât tradiționale
cât și moderne), bazate pe c onceptul de numӑr natural, ȋnvӑț ӑtorul obține un grad mai ridicat
de obiectivitate ȋn evaluarea rezultatelor școlare a le elevilor;
Ipoteza particularǎ 2 : Folosirea metodelor moderne la orele de matematică
favorizează obținerea performanțelor școlare în comparație cu metodele tradiționale;
Ipoteza particularǎ 3 : Conștientizarea importanței utilizǎrii unei game cât mai largi a
metodelor și a tehnicilor folosite centrate pe conceptul de numӑr natural, a virtuților
acestora și utilitǎții lor, asigurǎ un nivel mai ridicat al performanțelor elevilor.

În toate sistemele de învățământ se acordă o mare atenție următoarelor caracteristici:
 obiectivitate;
 transparență;
 comparabilitate în evaluarea rezultatelor școlare.
Pornind de la premisele de mai sus îmi propun să fac o comparație între evaluarea
rezultatelor înregistrate în urma administrări i probelor scrise pe un lot de contro l și pe un lot
experimental pentru a observa dacă există diferențe semnificative.

44 3. 2. Scopul cercetӑrii
Scopul lucrării este acela de familiarizare cu cele mai importante probleme legate de
formarea conceptului de numӑr natural, aplicarea metodologiei predării -învățării -evaluării
principalelor conținuturi ale matematicii școlarului mic și folosirea creatoare a cunoștințelor
expuse în activitatea de pr oiectare, organizare și desfășurare a unei lecții de matematică.
Principiul care a stat la baza structurării lucrării constă în prezentarea problemelor
metodice care se pot conecta la conținuturile esențiale ale matematicii școlare din clasele
ciclului primar.
3. 3. Obiectivele cercetǎrii
Obiectivul general al acestui studiu l -a constituit determinarea percepției, atitudinii și
opiniilor elevilor din ciclul primar referitor la folos irea diverselor metode de predare și
evaluare tradiționale utilizȃnd conceptul de numӑr natural. Am pornit de la urmǎtoarele
ipoteze:
-folosirea unor metode diverse de predare și evaluare a performanțelor școlare ale
elevilor determinǎ crește rea motivației acestora pentru ȋnvǎțare, sporirea calitǎții și eficienței
procesului instructiv -educativ din scoalǎ și un confort psihologic ridicat al elevilor vizați;
-pe mǎsurǎ ce ȋnvǎțǎtorul utilizeazǎ mai frecvent metode moderne diferite ,
mǎsurarea și aprecierea performanțelor școlare ale elevilor este realizatǎ mai adecvat;
-utilizarea diverselor metode moderne, pe lȃngӑ cele tradiționale, determinǎ creșterea
eficacitǎții evaluǎrii educaționale și sporirea confortului psihologic al el evilor.
În cadrul cercetǎrii am urmǎrit realizarea urmǎtoarelor obiective :
► identificarea lacunelor și a noțiunilor ce sunt ȋnsușite cu dificultate de cӑtre elevi;
► utilizarea unor metode și mijloace cȃt mai variate pentru a motiva și stimul a procesul
instructiv -educativ;
►ȋnregistrarea, monitorizarea și compararea rezultatelor obținute de elevii claselor
experimentale și de control la testele inițiale, formative și finale;
► integrarea optimǎ a proceselor evaluative în activitǎțile matematic e prin folosirea
metodelor specifice;
► folosirea metodelor și descriptorilor drept criterii unice de mǎsurare obiectivǎ a
rezultatelor școlare la matematicǎ;
► desprinderea unor concluzii.

Ca obiective specifice am avut ȋn vedere urmǎtoarele:
– demonstrarea locului și rolului conceptului de numǎr natural și al operațiilor
cu numere naturale ȋn ciclul primar;

45 – evidențierea valențelor diverselor metode de evaluare tradiționale, a virtuților
și limitelor acestora ȋn formarea conceptului de n umӑr natural;
– mǎsurarea și aprecierea efectelor utilizǎrii metodelor si tehnicilor folosite
asupra performanțelor școlare ale elevilor din ciclul primar;

A. Metode și instrumente de evaluare tradiționale folosite ȋn ciclul primar
În țara noastră se înregistrează preocupări importante în ceea ce privește problematica
evaluării rezultatelor școlare ale elevilor, sub diverse laturi și la diferite niveluri.
Credem că aceste preocupări vor fi stimulate de schimbările promovate de reforma
învățământului românesc, îndeosebi în domeniul învățământului primar și nu numai. Pe de
alta parte, este chiar de dorit să se întâmple așa, întrucât înlocuirea notelor cu calificative în
învățământul primar precum și alte modificări s -au făcut fără o experimentare prealabilă, cum
ar fi fost necesar, fapt ce ar putea conduce la ceea ce unii pedagogi numesc "efecte perverse".
([10])
1. Probele orale
Evaluarea orală se realizează mai ales prin întrebări – răspunsuri și prin îndeplinirea
unor sarcini de lucru, oral sau în scris (de obicei la tablă), sub directa supraveghere a
profesorului. Este folosită cu precădere ca verificare curentă și parțială, pe parcursul
programului de instruire, ca și în cadrul examenelor. Examinare a orală constă, în toate
cazurile, în probe la care răspunsurile sunt date oral. Se impune respectarea unor cerințe
pentru a înlătura unele din limitele chestionării orale:
– întrebările să fie centrate pe obiectivele operaționale vizând con ținutul esențial;
– să fie precis determinate, obligându -l pe elev să reproducă exact ideile
profesorului;
– întrebarea să fie adresată întregii clase, apoi să fie numit un elev să răspundă și să
nu fie întrerupt decât dacă nu este în subiect sau face greșeli grave;
– întrebările să fie corect formulate și la obiect, să aibă o înlănțuire logică, să vizeze
cunoștințele esențiale, nivelul de înțelegere și capacitatea elevului de a opera cu ele pe plan
mintal și pr actic -aplicativ;
-întrebările sǎ solicite gândirea independentǎ, inteligența și creativitatea elevului.

2. Probele scrise
Ca și examinările orale, probele scrise sunt mijloace de evaluare utilizate la toate
nivelurile de școl aritate și la marea majoritate a disciplinelor de învățământ.

46 Probele scrise îndeplinesc funcții de diagnostic, de feed -back (pentru elev și cadru
didactic), corectivă și de autoevaluare (în relația elevului cu sine). ([11])
Rolul principa l al acestor probe este de a face posibilă, periodic, o evaluare obiectivă
și operativă pe baza unui cuantum de cunoștințe relevant și cu scopul de a regla și perfecționa
procesul instructiv -educativ.
Probele scrise au un dublu rol: de evalua re a randamentului elevilor la diversele
discipline de studiu și de dezvoltare a capacității de exprimare în scris a elevilor.
Metoda apelează la anumite suporturi scrise, concretizate în extemporale (lucrări
scrise neanunțate), lucrări de co ntrol (anunțate), fișe de muncă independentă în diferite etape
ale lecției, teme pentru acasă, teste de cunoștințe (docimologice).
Munca independentă, bine organizatǎ, poate constitui prilejul de a forma elevilor
deprinderi de muncă intelectua lă. ([13])
Testul este o probă complexă cu ajutorul căreia se verifică și se evaluează nivelul
asimilării cunoștințelor și al capacităților de a opera cu ele, prin raportarea răspunsurilor la o
scară etalon, elaborată în prealabil. ([9])
Reprezintӑ o probă standardizată, care asigură o obiectivitate mai mare în procesul de
evaluare. Principalele calități ale unui test sunt: validitatea, fidelitatea, reprezentativitatea,
obiectivitatea, aplicabilitatea.
Testul este i nstrumentul metodologic utilizat în investigația experimentală, fiind un
criteriu standardizat sau un criteriu științific de evaluare. ([3])
Demersul metodic al unui test are în vedere ([13])
► Proiectarea testului;
► Aplicarea testului;
► Evaluarea răspunsurilor;
► Analiza rezultatelor testului;
► Valorificarea rezultatelor testului.
Un instrument de evaluare scrisă conține un număr de itemi (sarcini).
Itemul reprezintă cea mai mică componentă identifica bilă a unui instrument de
evaluare și care cuprinde o sarcină de rezolvat în concordanță cu un obiectiv operațional.
([13])
Între obiectivele de evaluare și itemi există o legătură foarte strânsă. De aceea,
trebuie formulat obiectivul pe care îl teste ază itemul, înainte de construirea itemului. Teoria și
practica evaluării evidențiază mai multe criterii pe baza cărora pot fi clasificați itemii. Unul
dintre criteriile cel mai des utilizate este acela al gradului de obiectivitate oferit în corectare.
În funcție de acest criteriu, itemii pot fi clasificați în trei mari categorii:
•itemi obiectivi;

47 •itemi semiobiectivi;
•itemi subiectivi.
•Itemii obiectivi (cu răspuns închis) testează un număr mare de elemente de conținut
într-un interval r elativ scurt, asigurând un grad de obiectivitate ridicat în măsurarea
rezultatelor școlare.
Din categoria itemilor obiectivi fac parte:
1. itemii cu alegere duală;
2. itemii de tip pereche;
3. itemii cu alegere multiplă.
1. Itemii cu alegere duală pun elevul în situația de a selecta răspunsul corect din
doar două variante posibile: adevărat / fals, da / nu, corect / incorect, acord / dezacord,
varianta 1 / varianta 2 etc. Itemii de tip d a / nu, adevărat / fals sunt cel mai frecvent folosiți.
Un dezavantaj al acestui tip de item este acela că nu implică cunoașterea de către
elev a alternativei adevărate. Eliminarea acestui dezavantaj se poate face prin solicitarea
elevului de a modifica varianta falsă sau prin argumentarea variantei alese.
2. Itemii de tip pereche pun elevul în situația de a determina corespondența corectă
între cuvinte, propoziții, fraze, valori numerice, semnificații, litere, simboluri, informa ții etc.
Elementele între care trebuie stabilită corespondența sunt distribuite în două coloane:
– prima coloană conține elementele ce constituie, de fapt, enunțul itemului și care
sunt denumite premise;
– a doua coloană conține elementele care reprezin tă răspunsurile.
Instrucțiunile care preced cele două coloane se referă la criteriul sau criteriile în baza cărora
trebuie realizată asocierea între premise și răspunsuri.
3. Itemii cu alegere multiplă se mai numesc și itemi cu răspuns selectat deoare ce
elevul nu generează un răspuns, ci alege unul dintre răspunsurile alternative listate în item.
Itemul cu alegere multiplă este alcătuit dintr -o premisă și o listă de variante reprezentând
soluțiile itemului. Lista de variante conține răspunsul corect, u nul singur, pe care elevul
trebuie să îl identifice, și un număr oarecare de alte variante de răspuns, incorecte sau
plauzibile, numite distractori.
•Itemii semiobiectivi sunt acea categorie de itemi care solicită elevului construirea
parția lă sau totală a unui răspuns la sarcina definită în enunțul itemului.
Utilizarea acestui tip de itemi poate încuraja elevul în aprofundarea noțiunilor
învățate, creșterea vitezei de operare cu acestea, a clarității, conciziei și acurat eței
exprimării.
Itemii semiobiectivi au un grad mai mic de obiectivitate, dar elevul este pus în
situația de a -și construi răspunsul și nu de a -l alege.

48 Din categoria itemilor semio biectivi fac parte: ([13])
a) itemii cu răspuns scur t;
b) itemii de completare;
c) întrebările structurate.
a) Itemii cu răspuns scurt exprimă cerința ca elevii să formuleze răspunsul sub
forma unei propoziții, fraze, uneori doar cuvânt, număr, simbol. Ei sunt folosiți pentru:
cunoașterea terminologiei, a unor fapte specifice, pentru aplicarea unor cunoștințe.
b) Itemii de completare sunt asemănători cu cei cu răspuns scurt, dar se diferențiază
de aceștia prin faptul că elevul trebuie să completeze o afirmație incompletă. În acest caz, se
recomandă ca numărul și spațiile punctate să sugereze elemente corespunzătoare privind
răspunsurile care se așteaptă de la elevi și spațiile libere să nu fie dispuse la începutul
afirmațiilor.
c) Întrebările structurate sunt alcătuite din mai multe subîntrebări de tip obiectiv,
semiobiectiv sau minieseu legate între ele printr -un element comun (tema). Ele umplu
practic golul între instrumentele cu răspuns deschis și cele cu răspuns închis. Prezentarea
unei întrebări structura te include: un element stimul (texte, date, diagrame, grafice etc.);
subîntrebările; anumite date suplimentare; alte subîntrebări. Întrebările trebuie să aibă un
grad de dificultate crescător, fiecare subîntrebare fiind independentă de celelalte.
•Itemii subiectivi (cu răspuns deschis) sunt relativ ușor de construit, principala
problemă constituind -o modul de elaborare a schemei de notare a acestora, cu atât mai mult
cu cât această categorie de itemi vizează demonstrarea de către elevi în răs puns a
originalității și creativității lor, a capacității de personalizare a cunoștințelor.
Din această categorie de itemi fac parte:
-itemii de tip rezolvare de probleme;
-itemii de tip eseu.
Rezolvarea de probleme sau de situ ații problematice, individuală sau în grup,
constituie o modalitate prin care profesorul poate crea situații de învățare ce dezvoltă
creativitatea, gândirea divergentă, imaginația, capacitatea de transfer, de generalizare sau / și
de concretizare a informa țiilor și procedurilor.
Itemul de tip eseu pune elevul în situația de a construi un răspuns liber în
conformitate cu un set dat de cerințe; cu cât cerințele sunt mai precis formulate și mai
explicit ilustrate în schema de notare, cu atât creș te fidelitatea evaluării și notării (gradul de
obiectivitate în raport cu mai mulți evaluatori și / sau cu mai multe evaluări succesive).

49 3. Probele practice
Probele practice constau „în confecționarea unor obiecte sau aparat e, executarea unor
experiențe sau lucrări experimentale, a lucrărilor în atelier sau pe lotul școlar, efectuarea unor
observații microscopice, întocmirea unor desene, schițe, grafice etc.” ([9])
Probele practice sunt utilizate în vederea evalu ării capacității elevilor de a aplica
anumite cunoștințe teoretice precum și a nivelului de stăpânire a priceperilor și deprinderilor
de ordin practic. Cu toate că activitățile practice oferă posibilitatea elevului de a -și dezvolta
competențele generale câ t și pe cele specifice, aplicative evaluarea elevilor prin probe
practice atât în situații de examinare curentă, cât și în situații de examen, este foarte puțin
pusă în valoare. Pentru realizarea cu succes a unei activități practice, este normal ca încă de la
începutul anului școlar elevii să fie avizați asupra:
* Tematicii lucrărilor practice;
* Modul în care ele vor fi evaluate( baremele de notare ):
* Condițiile care le sunt oferite pentru a realiza aceste activități.

B. Metode de predare – învățare în obținerea performanțelor școlare la disciplina
matematică
Metodele de învățământ sunt un element de bază al strategiilor didactice, în strânsă
legătură cu mijloacele de învățământ și cu modalităț ile de grupare a elevilor. De aceea,
opțiunea pentru o anumită strategie didactică condiționează utilizarea unor metode de
învățământ specifice.
Metodele de învățământ se împart în:
• Metode clasice (tradiționale)
• Metode moderne
Din categoria metodelor tradiționale fac parte exercițiul, conversația, problematizarea,
algoritmizarea, explica ția, povestirea.
Exercițiul reprezintă o metodă fundamentală ce presupune efectuarea conștientă,
repetată a unor operații și acțiuni î n vederea realizării unor multiple scopuri.
Conversația reprezintӑ metoda bazatӑ pe dialogul ȋntrebare – rӑspuns, cu scopul
realizӑrii unor sarcini și situații de ȋnvӑțare.
Problematizarea constă în crearea unor situații problematice teoretice sau practice a
căror rezolvare să fie rezultatul activității de cercetare a elevului.
Algoritmizarea se bazează pe folosirea algoritmilor, adică recurgerea la o succesiune
strictă de operații, prin parcurgerea cărora se rezolva o serie largă de probleme
asemănătoare.

50 Explicația presupune dezvăluirea pe baza unor argumente deductive, a unor
conținuturi logice. Acestea sunt structurate într -o serie de fapte și evenimente care sunt
orientate cotre formularea unor concluzii.
Povestirea constă în nararea unor fapte, evenimente, într -o formă expresivă, menită să
declansese stări afective la elevi. Se folosește cu prioritate la clasele primare. Descrierea
urmărește evidențierea părților componente sau caracteristice unui obiect sau fenomen, de
cele mai multe ori în prezența obiectului descris.
Din categoria metodelor moderne fac parte: cvintetul, explozia stelară, brainstorming –
ul, ciorchinele,mozaicul etc.
Cvintetul este o metodă de reflecție rapid ă și eficientă prin care se rezumă și se
sintetizează informațiile și cunoștințele despre o problemă.
Explozia stelară – scopul urmărit este de a obține cât mai multe întrebări, și astfel, cât
mai multe conexiuni între concepte. Organizată în g rup, facilitează participarea întregului
colectiv, stimulează crearea de întrebări la întrebări.
Brainstorming -ul, în traducere directă „furtună în creier”, sau „asalt de idei”, este o
metodă utilizată pentru a -i ajuta pe copii să emită cât mai repede, cât mai multe idei, fără a
se lua inițial în considerație valoarea acestor idei.. Reprezintă un mod simplu și eficient de a
genera idei noi. Este o metodă de stimulare a creativității în cadrul activității în grup. Se
poate practică oral și se fol osește pentru a găsi cât mai multe soluții pentru o pr oblemă .
Ciorchinele reprezintă o metodă de predare -învățare care -i încurajează pe elevi să
gândească liber și deschis. Prin această metodă se stimulează evidențierea conexiunilor între
ideile unei teme luate în discuție. De asemenea, ciorchinele este și o tehnică de căutare a
cailor de acces spre propriile cunoștințe, evidențiind modul propriu de a înțelege o anumită
temă, un anumit conținut. Ajută cadrul didactic să înțeleagă manieră în care fiecare elev
înțelege noțiunile și îi oferă posibilitatea de a interveni diferențiat.
Mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea
achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup.
Prin această cercetare, mi -am propus să demonstrez faptul că, prin intermediul
metodelor și tehnicilor folosite, elevii claselor primare (în special elevii clasei a IV -a) își vor
îmbunătăți și dezvoltă în mod real gândirea matematică, datorită faptulu i că elevul devine un
element activ, fiind pus în față unor sarcini corespunzătoare posibilităților sale intelectuale.
Elevul se antrenează voit în realizarea lor și participa efectiv la propria sa formare.
Referitor la utilizarea metodelor în cadrul pedagogiei constructiviste, Elena Joița
susține urmǎtoarele: „metodele pot fi optimizate prin apelul la corelații intra – și
interdisciplinare, în lǎrgirea câmpului informațional, efectuarea de analogii, gǎsirea de relații

51 și explicații generale, s ugerarea de noi abordǎri, formulǎri de ipoteze, reconstrucția
schemelor mentale, afirmarea creativitǎții”. ([4])
Indiferent de tehnica de predare sau evaluare folositǎ și de instrumentele aplicate,
rezultatele evaluǎrii trebuie sǎ punǎ ȋn evi dențǎ progresul fiecǎrui copil. Un standard fix
permite evaluarea elevului ȋn raport cu un anumit nivel de performanțǎ, nu prin compararea
lui cu un alt copil. ([6])

52 CAPITOLUL IV – ORGANIZAREA CERCETӐRII
4.1. Eșantionul de subiecți
În acest capitol, voi prezenta demersul aplicativ, realizat la clasa a IV -a, ȋn vederea
eficientizӑrii procesului de formare a conceptului de numӑr natural, prin utilizarea unor
metode și procedee, atȃt tradiționale, cȃ t și moderne, ȋn cadrul orelor de matematicӑ.
Pentru verificarea ipotezei de lucru și atingerea obectivelor finale mi -am fixat atenția
asupra unui eșantion format din elevii a două grupe / loturi de câte 9 elevi (două clase) pe un
an școlar (clasa a IV -a) – lotul experimental și lotul de control .
Din lotul de control fac parte 9 elevi, dintre ca re 2 fete (C.R. și M.A.) și 7 bӑ ieți (B.C.,
D.D., D.G., G.A., I.A., M.N. si T.D.) , iar din lotul experimental alți 9 elevi, dintre care 4
fete (C.A., D.C.,G.A si G .D) și 5 bǎieți (C.A., C.I.,C.B, G.I. si R.V..) .
Elevii din lotul de control sunt elevii clasei colegei ȋnvǎțǎtoa re, iar cei din lotul
experimental sunt elevii clasei cu care lucrez.
Structura eșantionului de elevi
Clasa Sexul Vârsta în ani Total elev i
Bǎrb. Fem. 10 11
a IV-a A – de control 7 2 7 2 9
a IV-a B- experimental 5 4 6 3 9
TOTAL 12 6 13 5 18

Nivelul de pregӑtire al celor douӑ grupuri la care am aplicat experimentul este
omogen din punct de vedere al posibilitӑților intelectuale, elevi i provenind din familii care le
oferӑ condiții necesare desfӑșurӑrii actului ȋnvӑțӑrii.
4.2. Eșantionul de conținut
Conținuturile ȋnvӑțӑrii ȋn perioada desfӑșurӑrii intervenției experimentale:
 Numere natur ale mai mici sau egale cu 1 000 000;
 Operații cu numere naturale;
 Înmulțirea și ȋmpӑrțirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000;
 Fracții;
 Elemente intuitive de geometrie;
 Mӑsurare și mӑsuri

53 Pentru a cunoaște nivelul de cunoștinte dobȃ ndit de fiecare elev am realizat un test de
evaluare inițialǎ, urmȃnd ca, dupǎ analiza acestuia sǎ propun un program de remediere cu
elevii la care se constatǎ dificultǎți ȋn rezolvarea sarcinilor date.
În urma aplicӑrii programului de remedi ere, elevii trebuie sǎ -și ȋnsușeascӑ
urmӑtoarele: sǎ scrie, sǎ citeascǎ, sǎ compare numerele naturale 0 -1000, sǎ efec tueze operații
de adunare și scӑ dere cu aceste numere, utilizȃnd noțiunile adecvate (termeni, sumǎ,
diferențǎ), sǎ aplice calculul oral și ȋn scris pentru efectuarea operațiilor de adunare și
scǎdere (fǎrǎ și cu trecere peste ordin ), sǎ efectueze operații de ȋnmulțire și ȋmpǎrțire pȃnǎ la
100 prin adunare repetatǎ, respectiv scǎdere repetatǎ, sǎ cunoascǎ noțiunile specifice
ȋnmulțirii (facto ri, produs, de atȃtea ori mai mare), sǎ rezolve probleme care presupun o
singurǎ operație din cele ȋnvǎțate.

4.3. Locul și durata cercetӑrii

Prezenta cercet are s-a desfӑșurat la Școala Gimnazialӑ „Decebal ” Dobrețu, județul
Olt, ȋn anul școlar 2015/ 2016

4.4. Etapele cercetӑrii
În consens cu re marca l ui D. Ausubel : „ Dacӑ aș vrea sӑ reduc toatӑ psihologia la un
singur prin cipiu, eu spun: ceea ce conteazӑ cel mai mult ȋn ȋnvӑțare sunt cunoștințele pe care
le posedӑ elevul la plecare. Asigurați -vӑ de ceea ce știe și instruți -l ȋn consecințӑ ”, cercetarea
a cuprins trei etape:
a) Etapa inițialӑ care a avut un caracter constatativ;
b) Etapa intervenției ameliorative cu valoare formativӑ ȋn stimularea proceselor
psihice și a personalitӑții elevilor;
c) Etapa evaluӑrii a avut un carac ter comparativ cu privire la rezultatele obținute ȋn
urma demersului experimental formativ.

Etapele cercetării

ETAPA CONSTATATIVA ETAPA AMELIORATIVA ETAPA FINALA
17 -30 SEPTEMBRIE2015 OCTOMBRIE 2015 – MAI 2016 1-10 IUNIE 2016

54 4.5. Metodologia cercetӑrii

În general, lucrările de specialitate arată că metoda este calea, planul de activitate,
suita de operații mintale și concrete care duc la un rezultat cognitiv în legătură cu fenomenele
abordate.
„A cunoaște elevul înseamnă a -ți da seama de interesele, înclinațiile și aptitudinile
sale, de bagajul cunoștințelor, de nivelul proceselor intelectuale, afective și volițio nale, al
noțiunilor și aptitudinilor sale, precum și de valoarea sa caracterial – temperamentală ” ([14])
Laboratorul cercetării pedagogice este, prin definiție, școală, activitatea obișnuită la
catedră, unde se întâlnesc atât situații comune, repetitive, cât și situații inedite, pentru care
dascălul nu dispune de soluții gata făcute.
La locul de muncă, fiecare dintre noi trebuie să fie un cercetător și un experimentator
pasionat, căutând mereu metode și procedee noi, mai eficient e și mai adecvate activității
didactice. Utilizarea metodelor de cercetare presupune respectarea următoarelor cerințe
generale:
• studierea fenomenului să se realizeze în realitatea lui;
• metodele de cercetare să fie adaptate la particularitățile de vârst ă și individuale;
• în cercetarea fenomenului trebuie utilizate și corelate mai multe metode;
• să se asigure tuturor metodelor de cercetare un caracter formativ;
•concluziile să fie obiective.
Metodele pe care le -am folosit în cercetarea me a au fost variate. Ele m -au ajutat să
cunosc disponibilitatea elevilor, să -mi îmbogățesc experiența pedagogică, să contribui la
îmbogățirea experienței de învățare a elevilor și a valențelor formative ale pedagogiei
didactice.
Metodele de cer cetare duc la rezultate valabile dacă cuprind obiectul de cercetare în
toată complexitatea lui, în mobilitatea lui, în condiționările lui.

55 CAPITOLUL V – PREZENTAREA REZULTATELOR
(PE ETAPE, ALE CERCETǍRII)
5.1. Rezultatele din etapa constatativӑ
Etapa constatativă, de depistare a potențialului intelectual al elevilor de clasa a IV –
a, s-a desfășurat în primele două săptămâni ale anului școlar. Această etapă s -a încheiat cu
aplicarea unui test de ev aluare inițialӑ. Testul a fost conceput pentru capitolul „ Operații cu
numere naturale ȋn concentrul 0 -10 000” ȋn funcție de programa școlarӑ de la clasa a III -a și
a obiectivelor operaționale vizate ȋn lecție.
Avȃnd un caracter constatativ, testul de evaluare inițialӑ reflectӑ volumul și
calitatea cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor de calcul aritmetic al elevilor, constituind
un punct de pornire ȋn demersul formativ.
Testul a fost aplicat ambelor eșantioane.

Ṣcoala: ……………………………………..
Numele și prenumele elevului: ………………………….
Data: …………………………

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

Anul școlar: 2015/2016

DISCIPLINA: MATEMATICǍ
CLASA a IV -a

٭ Timpul efectiv de lucru este de 50 minute

PARTEA I

1.Alin a scris trei numere cu litere. Tu scrie -le cu cifre:
٭ trei sute șaptezeci și nouǎ □□□□□□
٭ zece mii douǎzeci și trei □□□□□□□
٭ douǎ sute șase mii cinci sute tr eizeci □□□□□□□

2. Descompune numărul în sute, zeci si unități, completând casetele date :

56 758 = □□□ + □□ + □
3. Compară numerele, scriind semnul matematic potrivit în casetă:
525 □ 725 392 □ 104 333 □ 333
4. Rezolvă exercițiile și unește rezultatul cu denumirea operației pe care ai efectuat -o:
a)456 + 131 = ………………. produs
b) 863 – 249 = ………………. sumă
c) 19 x 6 = ……………… cât
d) 32 : 4 = ……………… diferență
PARTEA a II -a
5. Calculeazǎ:

6. Aflați termenul necunoscut :
a + 235 = 469 a x 8 = 72 a : 6 = 54
……………………………… ………………………………… …………………………….
…………………………….. ………………………………… …………………………….
……………………………… …… …………………………… …………………………….
……………………………… ……………………………….. …………………………….

7. Citește cu atenție și rezolvǎ problema: 6 5 0 : 1 0 + 2 1 x 3 + (1 2 6 : 3 + 2 5) x 2 =

57 Dintr -o școalǎ cu 324 de elevi, un sfert din ei pleacǎ în tabǎrǎ.
Câți elevi rǎmân la școalǎ?

Rezolvare:

8. Eduard are de recapitulat u nitățile de măsură învățate; el trebuie să completeze tabelul de
mai jos pe fiecare rând cu câte o unitate de măsură, un multiplu al ei, un submultiplu al ei și
un instrument de măsură corespunzător. Completează -l și tu!
Unitate de măsurat Un multiplu al e i Un submultiplu al
ei Un instrument de
măsură
corespunzător
O unitate de măsurat
lungimile -…………………
O unitate de măsurat
masa corpurilor –
…………………………..
O unitate de măsurat
timpul –
………………………

9. Prin desen, descompune figura alǎturatǎ într -un dreptunghi, într -un pǎtrat și douǎ
triunghiuri.

58 TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
Anul școlar 2015 -2016
Disciplina: Matematicǎ
Clasa a IV -a
BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE
PARTEA I
Descriptori de perfor manțǎ:

ITEMUL CALIFICATIVE
FOARTE BINE BINE SUFICIENT INSUFICIENT
1. – Răspuns corect
și complet: scrie
corect, cu cifre,
toate cele trei
numere date. – Răspuns
parțial
corect: scrie
corect, cu cifre,
două dintre
numerele date. – Răspuns parțial
corect: scrie
corect, cu cifre,
un singur
număr. – Răspuns incorect:
nu scrie niciun
număr/ le greșește
pe toate.
2. – Răspuns corect și
complet: scrie
corect toți cei trei
termeni. – Răspuns
parțial
corect: scrie
corect doi
termeni. – Răspuns parțial
corect: scrie
corect un singur
termen. – Răspuns incorect:
nu scrie niciun
termen/ îi greșește
pe toți.
3. – Răspuns corect și
complet: scrie corect
toate cele trei
semne matematice. – Răspuns
parțial
corect: scrie
corect două
semne
matematic e. – Răspuns parțial
corect: scrie
corect un singur
semn
matematic. – Răspuns incorect:
nu scrie niciun
semn matematic/ le
greșește pe toate.
4. – Răspuns corect și
complet: rezolvă
corect toate cele
patru exercițiI date
și uneste corect
toate rezulta tele cu
denumirea operațiilor
efectuate. – Răspuns
parțial
corect: rezolvă
corect toate cele
patru exerciții
date și uneste
corect trei –
două rezultate
cu denumirea
operațiilor
efectuate/
rezolvă corect
trei două
exerciții date și
uneste corect
toate
rezultatele cu
denumirea
operațiilor
efectuate. – Răspuns parțial
corect: rezolvă
corect trei -două
exerciții date și
uneste corect trei
–două rezultate
cu denumirea
operațiilor
efectuate/
rezolvă corect un
singur exercițiu
dat și unește
corect toate
rezultatel e cu
denumirea
operațiilor
efectuate. – Răspuns incorect:
rezolvă corect un
singur exercițiu dat
și unește corect cel
mult două rezultate
cu denumirea
operațiilor
efectuate.

59 PARTEA a II -a
Descriptori de performanțǎ:

ITEMUL CALIFICATIVE
FOART E BINE BINE SUFICIENT INSUFICIENT
5. – Răspuns corect și
complet: rezolvă
corect exercițiul, cu
toate cele 7 calcule
efectuate corect și
obține rezultatul
262 – Răspuns
parțial corect:
efectuează
corect 5 -6
calcule – Răspuns
parțial
corect:
efectuează
corect 3 -4
calcule Răspuns incorect:
efectuează 1 -2
calcule/ nu
efectuează niciun
calcul/ greșește
toate calculele.
6. – Răspuns corect și
complet: află toate
cele trei numere
necunoscute (234;
9; 9) – Răspuns
parțial corect:
află două
numere
necunoscute. – Răspuns
parțial
corect: află un
număr
necunoscut – Răspuns
incorect: nu
găseste niciun
număr necunoscut/
nu efectuează
niciun calcul.
7. – Răspuns corect
și complet: rezolvă
problema cu toate
calculele corecte. – Răspuns
parțial corect :
rezolvă
problema , dar
greșește un
calcul – Răspuns
parțial
corect: rezolvă
problema ,
dar greșește
calculele – Răspuns
incorect:
nu rezolvă
problema și
greșește calculele/
nu efectuează
niciun calcul
8. Răspuns corect
și complet:
completează cele
12 casete ale
tabelului. – Răspuns
parțial
complet:
completează 8 –
11 casete ale
tabelului. – Răspuns
parțial
complet:
completează 4 -7
casete ale
tabelului. – Răspuns
incorect:
completează 1 -3
casete ale
tabelului/
greșește toate
răspunsurile/ nu
completeaz ă nicio
casetă a tabelului
9 – Răspuns corect
și complet:
descompune
corect figura,
respectând cele
trei cerințe. – Răspuns
parțial
complet:
descompune
corect figura,
respectând cele
două cerințe. – Răspuns
parțial
complet:
descompune
corect figura,
respectând o
singură cerință – Răspuns
incorect:
descompune
figura fără a
respecta cerințele/
nu descompune
figura.

EVALUARE FINALĂ
ITEMI CALIFICATIVUL
FINAL
Rezolvă 7 -9 itemi cu FB, restul itemilor cu B/ orice altă combinație
apropiată ac esteia, stabilită de învățător, după analiza holistică a
testului si vădind etosul clasei FOARTE BINE
Rezolvă 1 -6 itemi cu FB, 1 -3 itemi cu B, restul cu S/ orice altă
combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător, după analiza
holistică a testului și vădind etosul clasei. BINE
Rezolvă 1 -2 itemi cu FB, 1 -3 itemi cu B, restul cu S/ orice altă SUFICIENT

60 combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător, după analiza
holistică a testului și vădind etosul clasei.
Rezolvă 1 item cu FB, 1-2 itemi cu B, 1 -2 itemi cu S, restul cu I/
orice altă combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător,
după analiza holistică a testului și vădind etosul clasei. INSUFICIENT

Rezultatele au fost urmӑ toarele:
CENTRALIZATOR TESTE INIȚIALE MATEMA TICǍ

Clasa: a IV -a
Nr. elevi: 9
Lotul experimental
ITEMI Scrierea
numere –
lor cu
litere Descompunerea
numerelor
ȋn sute, zeci și
unitǎți Compararea
numerelor Unirea
rezultatului cu
exercițiul
corespunzǎtor Ordinea
efectuǎrii
operațiilor Aflarea
termenul ui
necunoscut Probleme
cu douǎ
operații Unitǎți
de
masurǎ Figuri
geome –
trice Califica –
tivul
final
FB 3 4 4 3 1 2 1 1 1 1(C..A.)

B
2
1
2
3
2
3
3
3
1 4(.G.D.,
G.A,
D.C.,
C.B)

S 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3(C.I.,
G.I,
C.A.I.)
I 2 2 1 1 4 2 3 1 3 1(R.V)

CALIFICATIVE- LOT EXPERIMENTAL
11%
45%33%11%
FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
INSUFICIENT

61 Puncte tari:
-elevii știu sǎ scrie, sǎ compare și sǎ descompunǎ numerele naturale;
-recunosc terminologia sumǎ, diferențǎ , produs și cât;
-aflǎ termenul necunoscut ;
-rezolvǎ probleme cu douǎ operații;
-descompun corect figura geometricǎ;

Puncte slabe :
-unii elevi întâmpinǎ greutǎți la realizarea corespondenței între exercițiu și
rezultat;
– nu toți elevii respectǎ planul de rezolvare al unei probleme;
-o parte dintre elevi nu și -au însușit corect multiplii și submultiplii unitǎților de
mǎsurǎ;

Mǎsuri propuse :
-fiecare lucrare va fi discutatǎ și se vor face observații;
-se va insista în orele de recapitulare asupra noțiunilor ce pun probleme;
-se vor efectua exerciții diferențiat.
-se va ȋntocm i un plan de remediere a dificult ӑților de ȋnv ӑțare (ANEXE)

62
CENTRALIZATOR TESTE INIȚIALE MATEMATICǍ

Clasa: a IV -a
Nr. elevi: 9
Lotul control

CALIFICATIVE- LOT CONTROL
22%
45%11%22%
FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT
INSUFICIENT

ITEMI Scrierea
numere –
lor cu
litere Descompunerea
numerelor
ȋn sute, zeci și
unitǎți Compararea
numerelor Unirea
rezultatului cu
exercițiul
corespunzǎtor Ordinea
efectuǎrii
operațiilor Aflarea
termenului
necunoscut Probleme
cu douǎ
operații Unitǎți
de
masurǎ Figuri
geome –
trice Califica –
tivul
final
FB 3 4 4 3 2 3 2 2 2 2(C..R,
D.D.)

B
2
1
2
3
2
3
3
3
1 4(.M.A.,
B.C.,
M.N.,
I.A.)
S 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1(T.D)
I 2 2 1 1 3 1 2 1 3 2(G.A.,
D.G

63
Comparȃnd rezultatele celor douӑ eșantioane la tes tul inițial, situația se prezint ӑ astfel:
Clasa Nr. elevi Foarte bine Bine Suficien t Insuficient
a IV-a- lot control 9 2 4 1 2
a IV-a- lot experimental 9 1 4 3 1

00.511.522.533.54
FB B S ILOT CONTROL
LOT EXPERIMENTAL

Din analiza comparativă a rezultatelor obținute la cele două eșantioane la testul inițial
s-a constatat că rezultatele pe clase sunt apropiate.
5.2. Etapa experimental – ameliorativă
Etapa experimental -ameliorat ivă s -a desfășurat în perioada 1 octombrie 2015 – 31 mai
2016. Primul pas în reorganizarea instruirii l -a constituit aplicarea unor metode active –
participative (problematizarea, învățarea prin descoperire, exercițiul, jocul didactic, diagrama
Wenn, metoda c iorchinelui, cubul, etc), folosirea unor exerciții joc și jocuri cu un grad mai
mare de complexitate, precum și efectuarea de exerciții și probleme ce vizează numerația,
care să asigure înțelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute și posibilitate a rezolvării cu
ușurință a acestora.
La eșantionul experimental s -au utilizat atât metode clasice, cât și metode moderne
pentru atingerea obiectivelor propuse, iar la eșantionul de control lecțiile de matematică s -au
desfășurat folosindu -se cu p recădere metodele tradiționale.
În această etapă am aplicat ambelor clase două teste formative.

64
Testul I
Numele …………………. Data ……………
An școlar 2015 -2016
MATEMATICĂ
Evaluare formativӑ

1.Asociază fiecare număr scris cu cifre în coloan a A cu același număr, scris cu litere, din
coloana B. Fii atent, în coloana B este un număr în plus.
A B
treizeci și șase de mii șapte sute pa truzeci 360 740
trei sute cincizeci de mii nouă 36 740
două sute optzeci și patru de mii șapte sute cinci 284 705
350 009
2. Găsește pentru fiecare cerință din coloana A numărul corespunzător din coloana B. Fii
atent, în coloana B este un număr în plus.
A B
Cel ma i mare nr. natural scris cu cinci cifre diferite 98 675
Cel mai m ic nr. natural par scris cu cinci cifre diferite 98 765
Cel mai mare nr. natural impar scris cu cinci cifre diferite 99 998
care are cifra sutelor mai mică decât cifra zecilor 98 764
3.Unește cu o săgeată fiecare număr din coloana A cu numărul aproximat, cel mai
apropiat, din coloana B. Fii atent, în coloana B este un număr în plus.
Aproximare la zeci
A B
42 356 43 280
43 276 43 270
43 777 42 350
42 360 Aproximare la sute
A B
456 749 456 000
37 109 37 100
456 120 456 700
456 100 Aproximare la zeci de mii
A B
456 749 450 000
37 109 30 000
454 749 460 000
450 000

4. Se dau numerele:
a =134 572 + 403 648 c = 59 x 4 e = 248 : 2
b = 428 050 – 283 764 d = 324 x 16 f = 868 : 7
Află prin calcul valoarea numerelor a, b, c, d, e și f. Stabilește valoarea de adevăr a relațiilor:

65
a > b c < e b > d e = f
5. Scrieți cu cifre romane:
18 – ________ 140 – _____________ 2 016 – __________

6. Aflați:

12 309 + a = 31 415 508 611 – a = 39 423
a = ………………………..….. a = ………………………………
a = …………………….…….. a = ………………………………

6 x a = 738 a : 4 = 49 rest 3
a= ……………………………… a= ………………………………
a= ……………………………… a= ………………………………

7. Cu cât e ste mai mare suma numerelor 47 381 și 2 748 decât diferența lor?

8.Intr -o livadă sunt 140 meri, de 3 ori mai mulți peri, iar pruni cu 143 mai puțini decât
peri. Câte rânduri are livada, dacă sunt câte 9 pomi pe fiecare rând? ( Scrieți rezolvarea ș i
printr -un exercițiu. )

CLASA a IV -a
DISCIPLINA:MATEMATICĂ
OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

O1 – să scrie și să citească numere naturale până la 1 000 000;
O2 –să determine numere care î ndeplinesc condiții date;
O3 – să să aproximeze cu erori convenabile num erele date;
O4 – să rezolve operații de adunare, scădere, înmulțire și împărțire;
O5 – să stabilească valoarea de adevăr a unor relații între numere;
O6 – să calculeze numărul necunoscut dintr -o operație;
O7 – să rezolve exerciții în care sunt folosite noț iuni matematice;
O8– să rezolve corect și complet o problemă cu mai mult de două operații, scriind rezolvarea
și într -un exercițiu;

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

FOARTE BINE
BINE
SUFICIENT

66 I1 Face corect trei asocieri Face corect două asocieri Face c orect o asociere
I2 Realizează corect
corespondențele Realizează corect două
corespondențe Realizează corect o
corespondență
I3 Găsește aproximarea
numerelor Găsește aproximarea a șase
nr. Găsește aproximarea a trei
numere
I4 Rezolvă corect, stabileșt e
valoarea de adevăr Află valoarea a patru numere,
stabilește corect valoarea de
adevăr pt. două relații Află valoarea a două
numere.
I5 Scrie cu cifre romane toate
numerele date Scrie cu cifre romane 2
numere Scrie cu cifre romane un
număr
I6 Calculează corect toate
numerele necunoscute Calculează corect 3 numere
necunoscute Calculează corect 2 numere
necunoscute
I7 Rezolvă corect cerința Rezolvă două operații Rezolvă o operație
I8 Rezolvă problema corect și
complet, cu plan de rezolvare,
scriind rezol varea într -un
exercițiu cu mai multe
operații. Rezolvă parțial problema,
întocmind planul de rezolvare
și exercițiul problemei, dar cu
erori de calcul. Rezolvă parțial problema,
cu erori de calcul, fără a
scrie exercițiul corect al
problemei.

67 TABELUL NR.1 Tabel analitic cu rezultatele obținute ȋn urma aplicӑrii primului test pe
eșantionul experimental

TABELUL NR. 2 Tabel analitic cu rezultatele primului test de ameliorare pe eșantionul
experimental
Calificative obținute Numӑrul elevilor Procentaj
Foarte bine 2 22%
Bine 4 45%
Suficient 2 22%
Insuficient 1 11%

Nr.
crt Subiect I 1 I2
I3
I4 I5 I6
I7 I8 Califica tivul
final
1. C.A.I. FB S S B S B B S B
2. C.B FB B B B B B B S B
3. C.I B S S S S S S S S
4. C.A FB FB FB FB FB FB FB FB FB
5. D.C. FB B B FB B B B S B
6. G.A. FB FB B B B FB B B B
7. G.D. FB FB FB FB FB FB FB FB FB
8. G.I B S S B S S S S S
9. R.V S I S S I I I I I

68 TABELUL NR. 3 Tabel analitic cu rezultatele obținute ȋn urma aplicӑrii testului I pe
eșantionul de control

TABELUL NR.4 Tabel analitic cu rezultatele primului test de ameliorare pe eșantionul de
control
Calificative obținute Numӑrul elevilor Procentaj
Foarte bine 2 22%
Bine 4 45%
Suficient 2 22%
Insuficient 1 11%

Nr.
crt Subiect I 1 I2
I3
I4 I5 I6
I7 I8 Califica tivul
final
1. B.C. FB S S B B B B B B
2. C.R. FB FB FB FB FB FB FB FB FB
3. D.D. FB FB FB B FB FB FB B FB
4. D.G S S I S I I I I I
5. G.A. S S S S I S S I S
6. I.A. FB FB B B B B B B B
7. M.A. FB B B FB B FB B B B
8. M.N. B B B B S B B S B
9. T.D. S S S S I S S I S

69 Testul II

Numele …………………. Data………………….
Probă de evaluare
Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000 000

1. Calculați :
a) 57 168 + 64 380 + 197 676 + 463 943 + 76 089 +
8 935 186 076 9 824 536 057 329 971

b) 30 060 – 800 607 – 100 000 – 607 513 – 906 050 –
7 483 78 728 56 809 98 486 43 748
2. Aflați:
a) suma nu merelor: 23 458 și 5 847
b) diferența numerelor: 95 070 și 4 256
c) numărul cu 2 239 mai mare decât 62 738
d) numărul cu 24 245 mai mic decât 50 506
e) Cu cât este mai mare suma numerelor 542 614 și 441 302 decât diferența lor?

3. Calculați și faceți proba:
528 346 + 312 107 =
630 800 – 475 421 =
4. Calculați, respectând ordinea operațiilor :
802 724 – (514 214 – 85 875) =
83 130 – (504 212 – 325 243 + 97 887) =
5. Aflați termenul necunoscut:
a + 43 750 = 429 002 36 599 + b = 49 530
736 420 – c = 536 071 d – 25 438 = 794 362
6. La o florărie s -au adus 5 000 trandafiri. Într -o săptămână s -au vândut 1 905 trandafiri,
iar în următoarea săptămână cu 495 trandafiri mai mult.
Câți trandafiri au ma i rămas?
7. Suma a trei numere este 19 875. Suma primelor două numere este 16 296, iar suma
ultimelor două numere este 15 860.
Care sunt cele trei numere ?

70 Obiective operaționale:
Elevul va fi capabil :
O1 să rezolve exerciții de adunare, sc ădere;
O2 să rezolve exerciții folosind corect terminologia;
O3 să rezolve adunări și scăderi și să verifice prin probă;
O4 să determine corect numerele care satisfac condițiile date și să afle
termenul necunoscut;
O5 să efectueze exerciții res pectând ordinea efectuării operațiilor;
O6 să rezolve probleme care presupun două sau mai mult de două operații din
cele învățate;
Descriptori de performanță:

Itemi Foarte bine Bine
Suficient

I1 – rezolvă corect toate
exercițiile de adunare și
scădere – rezolvă corect toate
exercițiile de adunare și
scădere – rezolvă corect toate
exercițiile de adunare și
scădere

I2 – rezolvă exercițiile în care
utilizează terminologia
operațiilor – rezolvă cel puțin 4 exerciții
în care utilizează
terminologia operațiilor de
adunare și scădere – rezolvă parțial cel puțin 2
exerciții în care utilizează
terminologia operațiilor de
adunare și scădere
I3 – rezolvă adunări și scăderi și
verifică rezultatul prin proba – rezolvă adunări și scăderi și
verifică rezultatul prin probă
parțial – rezolvă adunări și scăderi și
verifică rezultatul făcând
proba cu ajutor
I4 – află termenul necunoscut – află termenul necunoscut în
minimum 3 cazuri – află termenul necunoscut în
minimum 2 cazuri
I5 – rezolvă toate exercițiile
respectând ordinea operațiilor – rezolvă exercițiile
respectând ordinea
operațiilor, cu mici erori – rezolvă parțial exercițiile
respectând ordinea operațiilor
I6 – rezolvă corect problema
care presupune trei operații
din cele învățate – rezolvă problema cu mici
erori de calcul rezolvă parțial problema
I7 – rezolvă corect problema cu
sumă din sumă – găsește două dintre numere – găsește unul dintre numere

71 TABELUL NR.5 Tabel analitic cu rezultatele obținute ȋn urma aplicӑrii testului II pe
eșantionul experimental

TABELUL NR.6 Tabel analitic cu rezultatele testului II de amelior are pe eșantionul
experimental
Calificative obținute Numӑrul elevilor Procentaj
Foarte bine 2 22%
Bine 4 45%
Suficient 3 33%
Insuficient – –

Nr.
crt Subiect I 1 I2
I3
I4 I5 I6
I7 Califica tivul
final
1. C.A.I. S B B S B B S B
2. C.B B B FB B B S S B
3. C.I S B B S S S S S
4. C.A FB FB FB FB FB FB FB FB
5. D.C. B B FB B B B S B
6. G.A. FB B FB B FB B B B
7. G.D. B FB FB FB FB FB FB FB
8. G.I S S B S S S I S
9. R.V S S S S S S S S

72 TABELUL NR.7 Tabel analitic cu rezultatele obținute ȋn urma aplicӑrii testului II pe
eșantionul de control

TABELUL NR.8 Tabel analitic cu rezultatele testului II de ameliorare pe eșantionul de
control

Nr.
crt Subiect I 1 I2
I3
I4 I5 I6
I7 Calific ativul
final
1. B.C. B B S B B B S B
2. C.R. FB FB FB B FB FB B FB
3. D.D. FB FB FB B FB FB FB FB
4. D.G S S I S I I I I
5. G.A. S S S S S S S S
6. I.A. FB B B B B B B B
7. M.A. FB FB FB FB FB B B FB
8. M.N. B B B B B B S B
9. T.D. S S S S S S I S
Calificative obținute Numӑrul elevilor Procentaj
Foarte bine 3 34%
Bine 3 33%
Suficient 2 22%
Insuficient 1 11%

73 Comparȃnd rezultatele celor douӑ eșanti oane la testele formative, situația se prezintӑ astfel:
Clasa Nr. elevi Foarte bine Bine Suficien t Insuficient
a IV-a- lot control 9 2 3 2 1
a IV-a- lot experimental 9 2 4 3 –

00.511.522.533.54
FB B S ILOT CONTROL
LOT EXPERIMENTAL

Din analiza comparativă a rezultatelor obținute la cele două eșantioane la testul
inițial s -a constatat că rezultatele pe clase sunt apropiate.
Tabel rezultate test I
00.511.522.533.54
FB B S ILOT DE
CONTROL
LOT
EXPERIMENTAL

74 Tabel rezultate test II
00.511.522.533.54
FB B S ILOT DE
CONTROL
LOT
EXPERIMENTAL

Observând rezultatele celor două eșantioane după testele de ameliorare, se constată
că rezultele obținute de eșantionul experimental sunt situate deasupra celor obținute de
eșantionul de control. Aceste constatări îm i întăresc convingerea că măsurile aplic ate în etapa
ameliorativӑ au fost eficiente, iar continuarea activității pe această direcție va avea rezultate
îmbucurătoare.
5. 2.1. Exemple de activități didactice formative derulate
Pe durata cercetării, în demersul didactic, s -au desfășurat diverse activități didactice
formative la care elevii au participat cu plăcere, și -au dobândit cunoștințele esențiale, și -au
format un stil de muncă intelectual, lecția devenind o modalitate de organizare a activităț ii
didactice.
5.2.1.1. Activitatea nr. 1 (prezentare, descriere)
SECRETUL PIRAMIDEI
SCOPUL: Verificarea și consolidarea deprinderilor de calcul oral și scris, dezvoltarea
capacității de orientare și dezvoltare a per severenței’
SARCINA DIDACTICĂ: Să efectueze calcule și operații matematice cu numere în limitele
0-1000000.
MATERIAL DIDACTIC: Două planșe cu dimensiunile 70/50 cm. Pe fiecare se va desena
câte o piramidă, care pe una din fete va avea desenate câteva trase e, iar din loc în loc se vor
scrie exerciții diferite sau identice cu cele din figură. În triunghuiurile din vârful fiecărei
piramide se va scrie rezultatul final al tuturor exercițiilor, după care se vor acoperi cu o hârtie
ce se va putea dezlipi ușor.

75 REGULA JOCULUI: Învățătorul explică elevilor că vor trebui să urmărească cu toată atenția
pe colegul care lucrează la tablă pentru a nu se omite vreun exercițiu, că trebuie să se
orienteze corect în labirint și că este de ajuns că unul dintre membrii grupei să greșească,
pentru ca secretul să nu poată fi aflat.
DESFĂȘURAREA JOCULUI: La comanda conducătorului de joc, primii concurenți din
ambele grupe vin la tablă și pornind de la intrare vor rezolva primul exercițiu întâlnit.
Rezultatul va fi scris în stânga pentru grupa A și în dreapta pentru grupa B, după care elevii
trec la loc. Al doilea jucător(din ambele grupe) preia rezultatul obținut de colegul sau,
continuă traseul și în funcție de semnele aflate înaintea cifrelor ce urmează, va op era în
continuare, scriind și el rezultatul pe tablă. Se procedează identic până se ajunge în vârful
piramidei. În cazul în care un elev greșește, următorul, dacă observă greșeala, are dreptul să
refacă exerciț iul, după care va continua cu exercițiul care îi revine de drept.
ÎNCHEIEREA JOCULUI: Se va aștepta până ce ambele grupe au aflat rezultatul final și se
descoperă vârful piramidei. Va câștiga grupa al cărei rezultat este identic cu cel înscris

76 5.2.1.2. Activitatea nr. 2 (prezentare ,descriere)
JOC:,,DESPRE MINE "

VARIANTA I
Provoacă -l pe colegul tău de bancă să rezolve exercițiile pe care i le propui pentru a afla
cât mai multe despre tine !!
Fiecare casetă va conține un exerciți u cu una din cele patru operații învățate care va avea
ca rezultat un număr ce va dezvălui informații despre tine !
Desenează -ți chipul în centrul fișei și nu uita să te semnezi !”

VARIANTA II
Fiecare elev va completa casetele cu exerciții impl icând cele 4 operații învățate fără a -și
desena chipul și a -și scrie numele .
Fișele se amestecă și se împart din nou elevilor cerându -li-se să rezolve exercițiile și să
încerce să recunoască colegul a cărui fișă a primit -o . Dacă a ghicit despre cine este vorba
este invitat să -i facă portretul .

77

78

Acesta sunt eu ! VÂRSTA MEA MĂRIMEA LA PANTOF LUNA ÎN CARE M –
AM NĂSCUT
DATA NAȘTERII NUMĂRUL
MEMBRILOR DIN
FAMILIE

FAMILIA MEA
NUMĂRUL LITERELOR
DIN MUMELE MEU NUMĂRUL
ANIMALELOR PE
CARE LE AM NUMĂRUL
COLEGILOR DIN
CLASA MEA

79 Activitatea nr. 3 (prezentare,descriere)
NOR UL
(JOC DIDACTIC)
Scopul
Consolidarea deprinderilor de calcu l aritmetic in concentrul 0 -1 000 000
Dezvoltarea rapidității gândirii

Material didactic
planșă cu nori;
bilețele în formă de norișor pe care sunt scrise exerciții de citire,de scriere, de comparare a
numerelor naturale, exercitii cu ordinea efectuarii op eratiilor

Sarcina didactică
elevii trebuie să rezolve rapid și corect exercițiile

Desfășurarea jocului
Clasa este împățită în doua grupe.Fiecare copil trebuie să rezolve un exercițiu de pe
un biletel -nor.
Pentru fiecare exercițiu rezolvat co rect, echipa primește drept recompensă câte o
picătură de apă.
Va câștiga echipa din al cărei nor curg cele mai multe picături.
Jocul poate fi folosit încă de la clasa pregătitoare… ca suport pentru circuitul apei în natură,
pentru unități de mă sură-l(litrul), ordinea efectuarii operațiilor.
Fiecare este liber să scrie pe bilețelul -nor orice tip de exercițiu.
Pentru munca depusă elevii primesc câte un ecuson -picătură .

80
Activitatea nr. 4(descriere, prezentare)
Set fișe (ANEXE)
Fișӑ de lucru

Aproximarea numerelor naturale 0 – 1000

Aproximarea prin lipsӑ pȃn ӑ la zeci a unui numӑr natural este cel mai mare numӑr
format numa i din zeci, mai mic decȃt num ӑrul dat;
Aproximarea prin adaos pȃn ӑ la zeci a unui num ӑr natural este cel mai mic num ӑr
natural, format numai din zeci, mai mare decȃt num ӑrul dat;
Exemplu: 534 se aproximeaz ӑ prin lips ӑ la 530
534 aproximeaz ӑ prin adaos la 540
Aproximarea prin lips ӑ pȃnӑ la sute (mii) a unui num ӑr natural este cel mai mare num ӑr
format numai din sute (mii), mai mic decȃt num ӑrul dat;
Exemplu: 534 se aproximeaz ӑ prin lips ӑ pȃnӑ la sute prin 500
3364 se aproximeaz ӑ prin lips ӑ pȃnӑ la mii prin 3000
Aproximarea prin adaos pȃnӑ la sute (mii) a unui numӑr natural este cel mai mic numӑr
format numai din sute (mii), mai mare decȃt numӑrul dat;
Exemplu: 534 se aproximeazӑ prin adaos pȃn ӑ la sute prin 600
3364 se aproximeazӑ prin adaos pȃn ӑ la mii prin 4000
Rotunjirea pȃnӑ la zeci (sute sau mii) a unui numӑr natural este aproximarea cea mai
apropiatӑ de numӑrul dat( daca sunt egal depӑrtate de numӑrul dat se alege aprox imarea prin
adaos).
Exemplu: 534 se rotunjeste la 530 sau 500
579 se rotunjeste la 580 sau 600
555 se rotunjeste la 560 sau 600

81 Exerciții
1. Aproximează numerele prin lips ӑ și prin adaos dupӑ modelul dat:
a) 351 aproximat la zeci: 350 (prin lips ӑ) sau 360 (prin adaos)
731 ………….. 852 …………. 607 …………. 467 ………….. 907 …………..
b) 351 aproximat la sute: 300 (prin lips ӑ) și 400 (prin adaos)
731 ………….. 852 …………. 607 …………. 467 ………….. 907 …………..

2. Completează tabelele:
Numărul Rotunjit la
zeci Rotunjirea
la sute Numărul Rotunjit la
zeci Rotunjirea
la sute
56 60 100 564
72 721
85 853
91 912
32 0 328
547 550 500 54
752 45
321 21
682 382
932 132
901 301
772 702
407 457
235 285
129 528
180 267
367 306
490 592
503 579

3. Completează:
a) Nume rele care se pot rotunji la 90 sunt: ___, ____, ____, _____, _____, _____ ,
_____, ____, ______,
b) Numerele care se pot rotunji la 70 sunt: ___, ____, ____, _____, _____, _____ ,
_____, ____, ______,
c) Numerele care se pot rotunji la 50 sunt: ___, ____ , ____, _____, _____, _____ ,
_____, ____, ______,

82 5.2.2. Exe mple de activități extradidactice cu caracter formativ -educativ derulate
Activitățile extradidactice, prin structura și conținut specific, sunt firesc
complementar e activității de învățare realizate la orӑ. Acest gen de activități au o deosebită
influență formativă asupra copiilor, deoarece aceștia se confruntă adesea cu situații noi, prin
acțiuni directe în care sunt puși în situația de a utiliza în diferite contex te, cunoștințele sau
abilitățile dobândite anterior.
Creșterea nivelului de pregătire a elevilor s -a realizat și prin pregătirea pentru
Evaluările Naționale, la care din cei 9 elevi de la clasa a IV -a, 5 au avut rezultate foarte bune .
Activitățile extradidactice au ca rol formarea comportamentelor sănătoase,
constituind sursă de interacțiune dintre elevi, contribuind la dezvoltarea capacității de dialog
și cooperare și la cultivarea respectului față d e sine și față de ceilalți.
Dintre activitățile extradidactice derulate la nivelul școlii amintim:
• cercuri școlare;
• concursuri școlare (Cangurul, Fii inteligent);
• pregătirea pentru Evaluările Naționale;
• programul de remediere;
• proie cte legate de protecția mediului(Eco Școala)
• excursii .

5.3. Rezultatele din posttest
Etapa finală, desfășurată în perioada 1 -10 iunie 2016, a constat într -o retestare a
potențialului intele ctual al elevilor din ambele clase în scopul comparării rezultatelor cu cele
de la testarea inițială.
În lecțiile premergătoare testului final s -a acordat o atenție deosebită eliminării
lacunelor existente în pregătirea elevilor prin:
• utiliza rea metodelor activ -participative;
• crearea suportului afectiv și emoțional necesar participării active la lecții;
• aplicarea unui curriculum diferențiat;;
• stimulări și aprecieri pozitive în caz de reușită;
• repetarea cu elevii a noțiunilor matematice pe care le rețin mai greu, folosindu -se mai des în
exerciții și probleme la clasă și acasă în condiții școlare obișnuite.
La testul de evaluare finală mi -am propus să urmăresc obiective asemănătoare testului
inițial, însă cuprinzând sarcini de mai mare dificultate.

83 Nume ș i prenume:…………………………..
Clasa:……………………….
MATEMATICĂ
Test de evaluare finală
Clasa a IV -a
1.Scrieți numerele date cu litere:
a) 836 ………………………………………………………………………………………………………. ……………….
b) 4 563……………………………………. …………………………………………………………………………………
c) 20 082…………………………………………………………………………………………………….. ………………
d) 149 800…….. ……………………………………………………………………………………………………………

2. Se dau numerele : 2 546; 6 789; 894; 564 205 ; 32 870.
Completați enunțurile :
a) cel mai mare număr este …………..
b) cel mai mic număr este ……………….
c) ……………….este număr impar.
d) …………………este scris cu cifre con secutive

3. Încercuiește varianta corectă:
a) numerele care se adună se numesc:
factori termeni produs
b) numărul din care se scade se numește:
scăzător diferență descăzut
c) rezultatul împărțirii se numește:
sumă produs cât
d) rezultatul înmulțiri i se numește:
produs cât diferență

84 4. Efectuează operațiile și completează tabelul:
a 326 23 432 a 743 13 086
b 642 8 697 b 221 1 199
a + b a – b
a 39 432 a 84 553
b 8 46 b 2 7
a x b a : b

5. Calculează corespunzător expresiei :

a) de 4 ori mai mic decât 8
b) cu 4 mai mult decât 8
c) de 4 ori mai mare decât 8
d) cu 4 mai puțin decât 8

6. Află numărul necunoscut.
7x a = 63 a: 6 = 8 a -375 =200 400+ a=900

7. Calculați respectând ordinea operațiilor:
[ ( 8: 2+ 50:10) x 3] – 7 + ( 8×6 -40) =

8. Scrie în dreptul fiecărui enunț “A” dacă enunțul este adevărat sau “F” dacă enunțul
este fals.
a) – lungimea se măsoară în metri
b)- masa corpurilor se măsoară în litri
c) – capacitatea se măsoară în litr i
d) – timpul se măsoară în minute

9. Observă desenele :
a) scrie pe spațiile punctate numărul de figuri geometrice întâlnite :

a) ……….. dreptunghiuri
b) ……….. triunghiuri
c) …………pătrate

85

b) scrie x în caseta corespunzătoare desenului în care este reprezentată fracția
41 dintr -un
întreg :

10. Într -o livadă sunt 342 de pruni. Caiși sunt de 3 ori mai puțini decât pruni. Vișini
sunt cu 34 mai puțini decât caiși. Câți pomi sunt în total în acea livadă?
Rezolvare
………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………….. …………………….
………………………………………………………………………………………………………………….. ……………….
…………………………………………………………………………………………………. ………………………………..

86 Evaluare finală

Matrice de specificație :
Conținuturi / Obiective Cunoaștere Înțelegere Aplicare
1. Numerele naturale; x x x
2. Operații cu numere naturale; x x x
3. Probleme care se rezolvă prin operații
cunoscute x x
4. Unități de măsură x x
5. Elemente intuitive de geometrie x x x
6. Fracții x x x

Obiective :
*să scrie numerele cu litere ;
* să găsească numerele natur ale care respectă cerința dată ;
* să recunoască și să opereze cu terminologia specifică operațiilor aritmetice ;
* să utilizeze algoritmul de calcul pentru operațiile aritmetice ;
* să determine numărul necunoscut, aplicând corespunzător algoritmul de ca lcul în situațiile
cerute;
* să aplice ordinea efectuării operațiilor de același ordin precum și semnificația parantezelor;
* să recunoască unitățile de măsură standard pentru lungime, capacitate, masă, timp ;
* să identifice numărul de figuri geometrice și reprezentarea fracției dintr -un întreg ;
* să întocmească și să scrie planul de rezolvare a problemei aplicând operațiile
corespunzătoare judecății;

87 Descriptori de performanță :

Nr.
item Foarte bine Bine Suficient
1. Scrie corect ,cu litere,
numerele date Scrie corect trei dintre
numerele date Scrie corect unu
/două dintre
numerele date
2. Completează toate enunțurile
cu numere conform cerinței
date Completează trei enunțuri Completează unu/
două enunțuri
3. Recunoaște toate variantele
corect e Recunoaște trei variante
corecte Recunoaște una/
două variante corecte
4. Efectuează toate operațiile ,
utilizând corect algoritmul de
calcul Efectuează corect șase/
șapte operații Efectuează corect
patru/ cinci operații
5. Utilizează corect semni ficația
relațiilor date, scrie operațiile
conform acestora și efectuează
corect calculele Utilizează corect
semnificația relațiilor date,
scrie operațiile
corespunzătoare, dar
calculează cu mici erori Confundă unele
relații și rezolvă
corect o singură
operație
6. Găsește valoarea lui „ a ” în
toate situațiile Găsește valoarea lui „ a ”
în trei situații Găsește valoarea lui
„ a ” în una/ două
situații
7. Calculează corect respectând
ordinea efectuării operațiilor
și a parantezelor Calculează respectând
ordinea efectuării
operațiilor și parantezelor
cu 2/3 greșeli de calcul -calculează
respectând ordinea
efectuării operațiilor
cu 4-5 greșeli de
calcul
8. Stabilește valoarea de adevăr a
enunțurilor referitoare la
unități de măsură Stabilește valoarea de
devăr pentru trei enunțuri Stabilește valoarea
de devăr pentru două
enunțuri
9. Găsește numărul de figuri
geometrice și desenul
corespunzător fracției din
întreg Găsește o parte din figuri
(5-6 ) și desenul
corespunzător fracției din
întreg Găsește o par te din
figuri (5 -6 )
10. Întocmește și scrie corect
planul de rezolvare a
problemei calculând corect Rezolvă problema dar
întocmește planul de
rezolvare parțial Scrie și rezolvă
corect doar 1 -2
operații și scrie doar
o idee din planul de

88 rezolvare

ITEMI CALIFICATIVUL FINAL
Rezolvă integral și corect 10 itemi. FOARTE BINE
Rezolvă integral și corect 8 itemi;parțial 1 item/ incorect
1 item sau orice altă combinație apropiată acesteia
BINE
Rezolvă integral și corect 4/5 itemi; parț ial 2/3 itemi/
incorect 2/3 itemi sau orice altă combinație apropiată
acesteia
SUFICIENT
Rezolvă integral și corect 2/3 itemi; incorect 7/8 itemi INSUFICIENT

89 TABELUL NR. 9 Tabel analitic cu rezultatele obținute ȋn urma aplicӑrii testului final pe
eșantionul experimental

TABELUL NR.10 Tabel analitic cu rezult atele testului final pe eșantionul experimental

Nr.
crt Subiec
t I1 I 2 I3
I4
I5 I6 I7
I8 I9 I10 Califica
tiv
final
1. C.A.I. B B S B S B S B B B B
2. C.B FB FB B B B B B B S B B
3. C.I B B S B S S S S S S S
4. C.A FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB
5. D.C. FB FB FB B FB FB B FB B FB FB
6. G.A. FB FB FB FB FB B FB FB FB B FB
7. G.D. FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB
8. G.I FB B B S B B B S S B B
9. R.V S S B S S S S S I S S
Calificative obținute Numӑrul elevilor Procentaj
Foarte bine 4 45%
Bine 3 33%
Suficient 2 22%
Insuficient – –

90 TABELUL NR.11 Tabel analitic cu rezultatele obținute ȋn urma aplicӑrii testului final pe
eșantionul de control

TABELUL NR.12 Tabel analitic cu rezultatele testului final pe eșantionul de control
Calificative obținute Numӑrul elevilor Procentaj
Foarte bine 2 22%
Bine 4 45%
Suficient 3 33%
Insuficient – –

Nr.
crt Subiect I1 I 2 I3
I4
I5 I6 I7
I8 I9 I10
Califica
tiv
final
1. B.C. B B B B B S B B S S B
2. C.R. FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB FB
3. D.D. FB FB FB B FB FB FB FB B B FB
4. D.G S S S S S S I S I S S
5. G.A. B S S S S I S S S S S
6. I.A. B FB FB B B B B B B S B
7. M.A. FB FB B B FB B FB B B B B
8. M.N. B B B B B S B B S B B
9. T.D. S B S S S S S S S S S

91 CAPITOLUL VI
COMPARAREA ȘI INTERPRETAREA STATISTICǍ A DATELOR OBȚINUTE
6.1. Compararea rezultatelor din p retest cu cele din posttest
Indicatorii statistici privind rezultatele înregistrate la cele dou ă loturi cercetate se
prezintă în următoarea formă :

6.1.1. Eșantion experimental versus de control, ȋn pretest

Clasa Nr. elevi Foarte bine Bine Suficient Insuficient
Lotul experimental 9 1 4 3 1
Lotul de control 9 2 4 1 2

00.511.522.533.54
FB B S ILOT CONTROL
LOT EXPERIMENTAL

Calificative obținute de cӑtre lotul experimental versus lotul de control ȋn pretest
00.511.522.533.54
L. E. L.CFB
B
S
I

92 6.1.2 E șantion experimental versus de cont rol, in posttest

Clasa Nr. elevi Foarte bine Bine Suficient Insuficient
Lotul experimental 9 4 3 2 –
Lotul de control 9 2 4 3 –

00.511.522.533.54
FB B S ILOT CONTROL
LOT EXPERIMENTAL

Calificative obținute de cӑtre lotul experimental versus lot ul de control ȋn posttest
00.511.522.533.54
Lot
experimentalLot de controlFB
B
S
I

93 6.1.3 Eșantion experimental ȋn pretest, versus eșantion experimental ȋn posttest

00.511.522.533.54
FB B S IEsantion
experimental
in posttest

6.1.4 Eșantion control ȋn pretest, vers us esantion control ȋn posttest

00.511.522.533.54
FB B S IEsantion de
control in
posttest

6.2. Concluzii desprinse în urma interpretărilor și comparațiilor
Analizând rezultatele, observăm că la clasa experimentală calificativele sunt mult mai
bune în etapa finală decât în etapa inițială, în urma folosirii matematicii aplicate și a
metodelor activ -participative utilizate, chiar dacă cerințele testului au fost cu un grad mai
mare de dificultate.
Niciun elev nu a mai obținut calificativul “Insu ficient” iar calificativul suficient a
scăzut. Calificativul BINE și FOARTE BINE domină la majoritatea itemilor.
La clasa de control rezultatele din etapa finală sunt asemănătoare cu cele din etapa
finală, observându -se un ușor progres, aceste rezultate se datoreaz ӑ gradului de complexitate
puțin mai ridicat a itemilor din testul final. Dispare calificativul insuficient.
Prin folosirea diferitelor strategii și mijloace de învățământ, i -am ajutat pe elevi să -și
insuseasca volumul de cun oștințe necesar potrivit particularităților de vârstă și individuale,
învățătura la clasa a devenit tot mai necesară, iar prin evaluări permanente am ameliorat
rămânerea în urmă la învățătură.

00.511.522.533.54
FB B S IEsantion
experimental
in pretest
00.511.522.533.54
FB B S IEsantion de
control in
pretest

94 CONCLUZII FINALE
CONCLUZII
Evaluarea a asigu rat o modalitate distinctă de analiză cantitativă și calitativă a
rezultatelor învățării pe parcursul întregii etape experimentale.
Ipoteza cercetării a fost confirmată, avându -se în vedere analiza finală a rezultatelor
din posttest comparat iv cu cele din pretest, elevii utilizând o multitudine de tehnici și metode
de rezolvare a unor sarcini de lucru centrate pe conceptul de număr natural, obținând rezultate
net superioare.
Prin testele aplicate am cău tat să ilustrez importa nța utilizării metodelor moderne
pe lângă cele tradiționale, lecțiile organizate au asigurat participarea activă a elevilor la
dobândirea cunoștințelor, la formarea unui stil de muncă intelectual, lecția devenind o
modalitate de organizare a activității de învățare.
Rezultatele școlare ale elevilor au un grad mai ridicat de obiectivitate,
performanțele școlare crescând atunci când, pe lângă metodele tradiționale de predare –
învățare -evaluare, se folosesc și metodele moderne.
Folosind periodic la clasă metodele moderne, am constatat că acestea au o eficientă
sporită prin faptul că antrenează elevul în procesul de predare – învățare, transformându -l în
participant activ al propriei sale formări, învățătorului revenindu -i sarcina de coordonator,
îndrumător al activității. Metodele și tehnicile utilizate, centrate pe conceptul de număr
natural, au trezit interesul copiilor și dorința exprimată de a mai primi astfel de sarcini de
lucru.
Combinând metodele clasice cu cele m oderne, adoptând cele mai eficiente strategii
didactice, am transmis elevilor dragostea pentru matematică, capacitatea de a -și forma
deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, de a -și dezvoltă gândirea, logica,
imaginația, dar mai ales să -și înle snească înțelegerea conceptului de număr natural în
învățământul primar.
Principiul participării conștiente și active a elevilor în actul didactic exprimă esența
procesului învățării și deține cel mai important rol în realizarea eficienței de mersului
educațional.
Toate aceste achiziții ale elevilor sunt premise minime pentru orice act de creație,
baza a unor viitoare creații și a comportamentului creativ.
Consider cǎ scopul propus a fost confirmat și cǎ predarea -învǎt area-evaluarea
conceptului de numǎr natural și operațiilor aritmetice cu numere naturale se datoreazǎ în
mare parte atât capacitǎților intelectuale ale elevilor cât și însușirii corecte a metodelor
diverse de predare a acestor cunoștințe.

95 PROPUNERI METODICE
Prin procesul de predare -ȋnvǎtare -evaluare ne pronunțăm asupra stării unui fapt,
proces la un anumit moment, din perspectiva informațiilor pe care le culegem cu ajutorul
unui instrum ent care ne permite să măsurăm în raport cu o anumită normă la care ne
raportăm.
Evaluarea trebuie să fie coerentă cu noile stiluri și metode de predare – învățare și să
fie gândită că un instrument pentru îmbunătățirea activității , nu ca o ,,p robă’’ a ceea ce știu
sau nu știu elevii la un moment dat. Organizarea unei activități interesante, în care elevii se
simt bine în timpul învățării nu este un scop în sine. Trebuie să înregistrăm mereu progresele
pe care le fac elevii în procesul de învăța re. De aceea evaluarea este menită să ne sprijine
pentru a îmbunătăți învățarea, nu să probeze că elevii au învățat ceva anume că și informație
în procesul de învățare.
În ceea ce privește evaluarea, cadrele didactice pot folosi pe lângă testel e scrise sau
examinarea orală și alte probe de evaluare, care pun accentul pe interactivitatea dintre elev și
învățător. Cadrele didactice trebuie să aibă în vedere utilizarea acestora și pentru faptul că
presupun muncă în grup, unde fiecare elev acționeaz ă că membru al grupului. Deci ei trebuie
să evalueze și activitatea grupului ca un tot, dar și felul în care fiecare elev lucrează în grupul
respectiv. Se poate apela și la autoevaluare, elevii fiind încurajați să reflecteze asupra propriei
activități și s ă învețe să -și aprecieze învățarea.
Performanțele școlare ale elevilor cresc pe mǎsurǎ ce aceștia constatǎ cǎ le sunt
apreciate: efortul depus, abilitǎțile și experiență personalǎ, participarea și implicarea î n
rezolvarea sarcinilor de învǎț are. Valorizarea acestor călitǎți îi determinǎ pe elevi sǎ gǎseascǎ
un rǎspuns mai adecvat și mai semnificativ la întrebarea de ce trebuie sǎ învețe. De
asemenea, elevii înțeleg mai uș or și mai bine beneficiile învǎț ǎrii durabile și cum trebuie sǎ
procedeze p entru a progresa în procesul dezvoltǎrii propriei personalitǎți. Învǎț area devine,
astfel, mai plǎcutǎ, elevii se simt mai confortabil, iar școala devine mai atractivǎ pentru ei.
Propun utilizarea frecventă a jocului didactic matematic, a meto delor alternative de
predare -învățare -evaluare, a unor strategii menite să le ofere elevilor un mod cât mai plăcut
de însușire a cunoștințelor ce se doresc a fi însușite.
Lucrarea de fațǎ face simțitǎ importanța, utilitatea și frumusețea matem aticii,
trezindu -le elevilor sentimentul că, pentru a înțelege, a rezolva anumite probleme, nu trebuie
să ai un talent special sau o pregătire care să depășească nivelul claselor elementare.

96 BIBLIOGRAFIE
[1] Alexandru Gheorghe, Metodica predӑrii matematicii ȋn ciclul primar , Editura SITECH,
Craiova, (2011) ;
[2] Cerghit, I., Metode de învǎțǎmânt, Editura Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, (1997);
[3] Holban, Ion, Testele de cunoștințe , E.D.P. , București, (1995);
[4] Joița, E., Instruirea constructivistǎ – o alternativǎ, Editura Aramis, Bucuresti, (2006);
[5] Mariana Gheorghe, Dorinel Bogeanu, Caietul ȋnvǎțǎtorului, Editura Hoffman, Caracal,
(2010);
[6] Mihaela Neagu, Mioara Mocanu, Metodica pr edǎrii matematicii ȋn ciclul primar , Editura
Polirom, Iași, (2007);
[7] Monica Ana Paraschiva Purcaru Metodica activitatilor matematice si a aritmeticii pentru
institutori/profesori din invatamantul primar si prescolar, Editura Universitatii “Transilvani a”
Brasov, 2008;
[8] Neacșu, I., Dascǎlu, Gh., Roșu, H., Roman, M., Tǎgȋrțǎ, V., Zafiu, Gh., Metodica predǎrii
matematicii la clasele I -IV, Editura Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, (1988);
[9] Nicola, Ioan, Pedagogie , Editura Didactica si Pedagogica, RA, Bucuresti, (1994);
[10] Păun, Emil, Școala – abordare sociopedagogică , Editura Polirom, Iași, (1999);
[11] Radu, I.T., Teorie și practică în evaluarea eficienței învățământului , Editura Didactică și
Pedagogică, București, (1981);
[12] Roșu, M., Didact ica matematicii ȋn ȋnvǎțǎm ântul primar, București, (2006);
[13] Stanciu, M., Introducere în pedagogie , Ed. „Ion Ionescu de la Brad”, Iași, (2003);
[14] Șuteu, Titus, „Cunoașterea și autocunoașterea elevilor”‚ Editura Politicӑ, București 1978

Documente ofi ciale
[15] Evaluarea în învățământul primar – descriptori de performanță, SNEE, București, 1998;
[16] Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică – învățământ primar și
gimnazial, (2001), Ministerul Educației și Cercetării, C.N.C.;
[17] L egea învățământului nr. 1/2011, publicată în Monitorul Oficial ala României, nr. 18
din 10 ianuarie 2011;
[18] Ordinul Ministerului Educației Naționale nr. 4779 din 13.10.2014
[19] Programa școlară pentru clasa a IV –a, Aria curriculară ”Matematică și Ș tiințe ale
naturii”, (2005), București, Ministerul Educației și Cercetării, Consiliul Național pentru
Curriculum
[20] Programa școlara aprobată de Ministerul Educației Naționale prin Ordinul nr. 5003 din
02.12.2014

97 Resurse web
• http: //www.edu.ro;
• http: //www.didactic.ro;
• http: // www.curriculum2008.edu.ro;
• http: //www.curriculum2009.edu.ro;
• http: // www.curriculum2010.edu.ro .

98 ANEXE
Școala Gimnazială “Decebal” Dobreț u
An șc olar : 2015/2016

PROGRAM DE REMEDIERE A DIFICULTӐȚ ILOR
DE CALCUL MATEMATIC

OBIECTIVE
1. Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice activităților matematice.
2. Dezvoltarea capacităților de explorare,investigare și rezolvare de probleme.
3. Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic.
4. Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematici i în contexte
variate.

REZULTATE AȘTEPTATE
La sfârșitul programului de remediere, elevii trebuie să știe:
-să scrie, să citească, să compare numerele naturale 0 -1000;
-să efectueze operații de adunare și scădere cu aceste numere, utilizând noțiunile adecv ate
(termeni, suma, diferență);
-să aplice calculul oral și în scris pentru efectuarea operațiilor de adunare și scădere ( fără și
cu trecere peste ordin );
-să efectueze operații de înmulțire până la 100 prin adunare repetată sau utilizând tablă
înmulțir ii;
-să cunoască noțiunile specifice înmulțirii (factori, produs, de atâtea ori mai mare);
-să efectueze operații de împărțire până la 100 prin scădere repetată sau ca probă a înmulțirii;
-să recunoască forme plane și forme spațiale în mediul înconjurător;
-să măsoare și să compare lungimile, capacitatea sau masă, folosind unități de măsură
nestandard, precum și unități de măsură standard;
-să rezolve probleme care presupun o singură operație din cele învățate;
-să exprime oral sau în scris în cuvinte propr ii etapele rezolvării unor probleme;
-să compună oral exerciții și probleme utilizând tehnici de calcul învățate;
-să manifeste curiozități pentru rezultatele obținute la unele exerciții și probleme.

99
RESURSE UMANE
1. Elevii cu dificultăți de calcul mat ematic conform listei alăturate.
2. Învățătoare: Bădănoiu Daniela Elena
3. Părinții elevilor cu dificultăți de învățare

RESURSE MATERIALE: manuale, planșe, fișe individuale, scheme, unități de măsură
(standard și nestandard), rigle, tablă, cretă colorată, calculator.

TERMEN: octombrie 2015 – iunie 2016

INDICATORI DE PERFORMANȚǍ
La sfârșitul programului de remediere a dificultăților de calcul matematic elevii trebuie:
-să scrie și să citească numere naturale de la 0 la 1000;
-să compare și să ordoneze n umerele naturale 0 -1000;
-să efectueze operații de adunare și scădere cu și fără trecere peste ordin;
-să utilizeze corect calculul oral și scris;
-să folosească terminologia adecvată operațiilor de adunare și scădere
(termeni,suma,diferența, cu atât mai m ult/mai puțin);
-să efectueze operații de înmulțire până la 50,utilizând tabla înmulțirii sau prin adunare
repetată;
-să efectueze operații de împărțire a numerelor mai mici decât 50,prin scădere repetată sau
corelând înmulțirea;
-să identifice triunghiul, pătratul, dreptunghiul, cercul dintr -o lista de figuri geometrice;
-să efectueze măsurări cu unități de măsură standard și nestandard pentru lungime, capacitate,
masă, timp;
-să compare prin suprapunere sau alăturare dimensiunile a două obiecte;
-să recuno ască orele fixe pe ceas, săptămânile, lunile, valoarea monedelor și a bancnotelor;
-să rezolve probleme care presupun 1 -2 operații din cele învățate;
-să compună și să rezolve exerciții simple după un anumit model;
-să răspundă la întrebarea problemei după lămuriri suplimentare;
-să formuleze probleme noi prin același mod de rezolvare.

100 INSTRUMENTE DE EVALUARE

1. EVALUAREA ORALĂ
-exerciții orale de numerație(crescător,descrescător);
-exerciții de calcul mintal;
-exerciții de recunoaștere a unor termeni ;
-expunerea orală a etapelor de rezolvare a unei probleme;
-măsurări concrete cu unități de măsură standard și nestandard;
-recunoașterea unor forme plane și spațiale din mediul înconjurător.

2. EVALUAREA SCRISĂ
-exerciții de scriere,comparare,ordonare a unor numere date;
-exerciții de aflare a unui număr necunoscut ;
-rezolvarea individuală a unor exerciții date(adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri);
-rezolvarea în scris a unor probleme;
-alcătuirea de probleme cu ajutorul unor scheme date.

3. ACTIVI TĂȚI PRACTICE
-desene folosind noțiunile de geometrie însușite;
-lucrări confecționate de elevi(cubul, ceasul);
-expoziții cu lucrările realizate;
-activități -jocuri de tipul “La librărie”,”La piață”,”La magazin” pentru cunoașterea corectă a
unităților de măsură și importantă acestora pentru viață oamenilor.

CALENDARUL PROIECTULUI

1. LANSAREA PROIECTULUI: noiembrie 2015
2. ACTIVITĂȚi ÎN PROIECT: noiembrie 2015 -iunie 2016
3.TESTE DE EVALUARE: iunie 2016
Coordonator de proiect:
ÎNVĂTĂTOARE: Bădănoiu Danie la Elena

101 Fișӑ de ȋnvӑțare
1. Calculează:
8 9 x 5 6 x 7 4 x 3 6 x 6 8 x 7 7 x 1 4 2 x
2 0 3 0 4 0 5 0 4 6 5 7 9 8

965: 3= 965: 9= 418: 6=

2. Află produsul dintre succesorul și 3. Diferența numerelor 127 și
predecesorul numărului 48. 58 mărește -o de 60 de ori.

4. Un magazin cu jucării a vândut 25 de căsuțe pentru p ăpuși, 34 de roboți și 18 ursuleți de
pluș. O căsuță pentru păpuși costă 56 de lei, un robot costă 47 de lei și un ursuleț costă 30 de
lei.
Află câți lei s -au încasat în acea zi.

5.Pentru copiatorul unei școli s -au cumpărat 15 topuri de hârtie a câte 300 de coli fiecare.
Știind că se f olosesc zilnic câte 245 de coli, află câte coli rămân nefolosite după 14 zile.

6. Comparǎ rezultatele operațiilor:
457 125+ 325 125 ____ 985 658 – 265 546
856 421 – 451 321 _____ 236 562+ 412 562
652 325+ 302 256 _____ 754 566 – 546 231

102
7. Calculează, apoi c ompletează:

8. Află suma a două numere, știind că unul dintre ele este dublul numărului 158, iar celălalt
este de 14 ori mai mare decât diferența numerelor 526 și 348.

9. Suma a trei numere este 856 456.Suma primelor douǎ numere este
564 123 și suma ultime lor douǎ numere este 325 562. Aflați cele trei numere.

10.Suma a trei numere pare consecutive este 690. Care sunt numerele?

106
215
162
208 x 30
x 4 x 45
: 2 x 27
x 34 : 4 x 3

103
Fișă de lucru
Calculează, apoi colorează după cod !
45 : 3

6×7 884: 2 43×9:3

50:2 5×5
84:2

549:3

21×2
345:5

15-cafeniu; 42 -galben ; 25-roșu; 69 -verde închis; 129 -albastru deschis; 173 –
maro închis;
183-verde deschis; 293 -albastru închis; 442 -maro deschis. 879 : 3
54:9×7

104
Fișӑ de lucru

Rețetă :
1.Adaugă sos de roșii pe toată pizza ;
2.Pune ardei pe 4/8 din pizza ;
3.Pune ciuperci pe 1/8 din pizza ;
4.Adaugă măsline pe 2/8 din pizza ;
5.Pune salam pe 1/ 8 pizza ;
Dacă urmezi pașii de mai sus vei obține o pizza perfectă !
Eu sunt bucătarul

____________________
Află cât
costă o felie
dacă prețul
pizzei este de
16 lei !

___________

PROIECT DIDACTIC

Data: 28.01.2016
Școala Gimnazială „Decebal” Dobrețu
Clasa: a IV-a
Înv. Bӑdӑnoiu Daniela Elena
Aria curriculară : Matematică și Științe ale naturii
Disciplina : Matematicӑ
Tipul de curriculum: Extins
Unitatea de învățare : Ordinea efectuării operațiilor
Subiectu l lecției : Ordinea efectuării operațiilor în exerciții cu paranteze rotunde și pătrate
Tipul lecției : Recapitulare și sistematizare
Obiective de referință :
1.5- să efectueze operații de adunare, și scădere a numerelor naturale cu utilizare a
algoritmilor de calcul și a proprietăților operațiilor;
2.6- să rezolve, să compună probleme și să utilizeze semnificația operațiilor aritmetice în
rezolvarea unor situații problemă;
Obiective operaționale:
O1- să efec tueze exerciții cu cele patru operații;
O2- să știe și să aplice ordinea efectuării operațiilor în exerciții cu paranteze;
O3- să afle un număr necunoscut dintr -o expresie matematică;
O4- să sintetizeze rezol varea unei probleme într -o expresie numerică.
Strategii didactice:
Resurse procedurale:
exercițiul, explicația, algoritmizarea, problematizarea, munca independentă, jocul didactic,
conversația
Resurse materiale:
Fișe, planșă, flipchart.
Forme de organizare:
activitate frontală, individuală și pe grup

Bibliografie:
– Curriculum Național „ Programe școlare pentru învățământul primar”,
– Exerciții și probleme de matematică – Teodora Danielescu, clasa a IV -a
– Didactica matematicii în învățământul primar – Ioan Neacșu,

Monalisa
Găleț eanu, Petre Predoi, Veronica Dumitrescu
– Evaluare clasa a IV -a- Marinela Chi riac,Camelia Stoica, Doina Crisț escu,
Mădălina Tămeși, Editura TIPARG.

Etapele lecției

Ob
.
Op
.

Conținutul informațional și demersul didactic

Strategie didactică

Evaluare Resurse

Activitatea învățătorului
Activitatea
elevului
Timp
Procedurale
Materiale
Forme de
organizare
I. Momentul
organizatoric Asigură condițiile optime pentru buna
desfășurare a lecției: aerisirea sălii de
clasă, pregătirea materialului didactic
și stabilirea liniștii Se pregătesc
pentru începerea
orei de
matematică

1’
Conversația
Frontal Observare/
verificare
II. Captarea și
orientarea
atenției O1

O2 Prezintă planșa didactică –
aritmogriful (Anexa 1)
– recunoașterea și utilizarea corectă a
sintagmelor care presupun efectuarea
celor 4 operații învățate
– Descoperă
verticala de la R
la E, răspunzând
la întrebările
aritmogrifului.
– Obțin cuvântul
“RECAPITU –
LARE“

5’
jocul didactic

chestionarul
frontal

planșă
didactică –
aritmogrif
Frontal
Aprecieri
verbale

III. Anunțarea
subiectului și a
obiectivelor

Ce cuvânt s -a obținut pe verticala d e
la R la E?
Enunță și scrie titlul pe tablă
“Ordinea efectuării operațiilor.
Recapitulare”
Se imparte clasa in trei grupe,care
vor realiza , pe rand, sarcinile de
lucru de lucru.
Atrage atenția asupra participării
active și cu interes la rezolvarea de
exerciții și probleme cu operațiile
învățate și să colaboreze cu membrii
grupei din care face parte.

Ascultă și
recepționează
mesajul

1’

Conversația

Frontal

IV. Realizarea
sensului
(dirijar ea
activității de
recapitu lare și
sitematizare a
cunoștințelor)

O1
1. Exerciții de calcul oral
Frontal ( ANEXA 2)
*Dintr -un coșuleț, câte un copil de la
fiecare grupă va extrage câte un
bilețel și -l va rezolva oral. Dacă va
rezolva corect , echipa va fi
recompensată cu o față zâmbitoare. Elevii indică
valoarea de
adevăr a
enunțurilor
matemati ce
ascultate.

3’

Aprecieri

O2

Adevărat sau fals?
*Într -un șir de operații de același
ordin, fără paranteze, efectuăm
operațiile în ordinea dată.
*Într -un șir de operații scrise fără
paranteze, se efectuează întâi
operațiile de ordinul II și apoi pe cele
de ordinul I.
*Parantezele pot fi doar rotunde ( )
și pătrate [ ]
*Într -un exercițiu cu paranteze de
toate felurile începem cu efectuarea
operațiilor din parantezele mici.
*Cele trei feluri de paranteze sunt:
(…) ; […] ; {…} .
*Acoladele se tansformă în paranteze
rotunde (când acestea nu mai există).
* Dacă avem un exercițiu care
conține numai operații de ordinul II
(înmulțiri și împărțiri), le efectuăm în
ordinea în care sunt scrise.
*Acoladele care închid cel puțin o
paranteză mare se transformă în
paranteze pătrate ( când acestea nu
mai există ) .

Elevii indică
valoarea de
adevăr a
enunțurilor
matematice
ascultate ridicând
jetonul verde

Exercițiul

Conversația

Frontal

verbale

* Înmulțirea și împărțirea sunt
operații de ordinul al II -lea
*Aduna rea și scăderea sunt operații
de ordinul I

2Calculați ,respectând ordinea
efectuării operațiilor:
a) (826+174) : (75+25) =
b) 314 – 2 x [( 16+5) – (83-79)]=
c)205: [( 46 -3×7) x2: 10]=

3. Aflați numărul necunoscut :
a) (808 – a) x 2 = 418
b) (777 – a) – 258 =220
c) ( a :2) x 7=434

4.Activitate independentă
Fiecare grupă are de rezolvat o fișă:
GRUPA NR.1 (Anexa 3 )
GRUPA NR.2 (Anexa 4)
GRUPA NR.3 (Anexa 5) pentru adevărat și
roșu pentru fals

Rezolvă
exercițiile la
tablă și pe caiete

Află numărul
necunoscut

5’

Chestionarul

Conversația

Jetoane

Frontal
Individual

Observa -rea
sistemati -că

O1

PENTRU DEPARTAJAREA
ECHIPEI CASTIGATOARE
Mă gândesc la un număr.
Îl înmulțesc cu 100, îi adaug 999 și
obțin cel mai mare număr de patru
cifre. Care este numărul la care m –
am gândit?

Coordonează activitatea de evaluare
a produselor .

Dau răspunsul

Rezolvă fișele.
.

10’

3’

2’

Exercițiul

Fișe

Pe grupe

Aprecieri
verbale

Autoeva –
luare

VI.Evaluare
Tema pentru
acasă Fac aprecieri asupra modului în care
au lucrat elevii individual și pe grupe.
Dau tema pentru acasă.
(Anexa 6) Aprecieri
verbale
Califica -tive
V .
REFLECTIA

O2

O3

O3
O2
O4

15’
Problemati –
zarea

Exercițiul

Problematizar e
a

Anexa 1 ARITMOGRAF

a
1. N U M E R E
2. T E R M E N I
3. C A T
4. A D U N A R E
5. P R O D U S
6. I M P A R T I R E
7. D I F E R E N T A
8. S U M A
9. I N M U L T I R E
10 F A C T O R I
11 P R O B L E M A
12 S C A D E R E
b

12345 și 54321 sunt….
Numerele care se adună se numesc …..
Rezultatul împărțirii
Totalul sau suma este rezultatul operației de ………….
Rezultatul înmulțirii
Operația folos ită când întâlnim expresia „de atâtea ori mai puțin”
Rezultatul scăderii
Rezultatul adunării
Adunarea repetată de termeni egali se numește ……
Numerele care se înmulțesc
Are date, întrebări și răspuns
Restul este rezultatul operației de ……

Anexa 2
1. Exerciții de calcul oral
Frontal
*Dintr -un cosulet ,cate un copil de la fiecare grupa va extrage cate un biletel s -il va rezolva oral.Daca va rezolva cor ect ,echipa va fi
recompensata cu o fata zambitoare.
Adevărat sau fals?
*Într -un șir de operații de același ordin, fără paranteze, efectuăm operațiile în ordinea dată.
*Într -un șir de operații scrise fără paranteze, se efectuează întâi operațiile de ordin ul II și apoi pe cele de ordinul I.
*Parantezele pot fi doar rotunde ( ) și pătrate [ ]
*Într -un exercițiu cu paranteze de toate felurile începem cu efectuarea operațiilor din parantezele mici.
*Cele trei feluri de paranteze sunt: (…) ; […] ; {…} .
*Acoladele se tansformă în paranteze rotunde (când acestea nu mai există).
* Dacă avem un exercițiu care conține numai operații de ordinul II (înmulțiri și împărțiri), le efectuăm în ordinea în care sunt scrise.
*Acoladele care închid cel puțin o paranteză mare se transformă în paranteze pătrate ( când acestea nu mai există ) .
* Înmulțirea și împărțirea sunt operații de ordinul al II -lea
*Adunarea și scăderea sunt operații de ordinul I

2Calculați ,respectând ordinea efectuării operațiilor:
3. Aflați numărul necunoscut
a) (826+174) : (75+25) = a) (808 – a) x 2 = 418
b) 314 – 2 x [( 16+5) – (83-79)]= b) (777 – a) – 258 =220
c)205: [( 46 -3×7) x2: 10]= c) ( a :2) x 7=434

ANEXA 3

GRUPA NR.1
1 .Calculați :

30 + 4 x [36 : 9 + 3x (20+8×42 : 2 )]=
2. Corina are 36 de mărgele, Ana de 4 ori mai puține decât Corina, iar Ileana de 9 ori mai puține decât Corina. Din toate
mărgelele, fetițele au făcut brățări pe care au așezat câte 7 mărgele.
Câte brățări au făcut ?

ANEXA 4
GRUPA NR.2
1.Cal culați :
2+2 x[2+ 3 x(2+202:2) – 306 :3 )]=

2.La un atelier de croitorie s -au cumpărat 4 cutii a câte 50 nasturi albi și 3 cutii a câte 25 de nasturi roșii. S-au cusut câte 7 nasuri la 35
de bluze.
Câți nasturi au rămas ?

Anexa 5
GRUPA NR. 4
1.Cal culați :
82448 – [ 236 x 7 + (116 + 380) : 8] =

2. La biblioteca scolii s -au citit în luna septembrie 123 cărți, iar în luna octombrie numărul cărților citite a fost de 3 ori mai mare. În
luna noiembrie s -au citit tot atâtea cărți cât în primele 2 luni împreună. Care este numărul cărților citite în aeste 3 luni?

Anexa 6
TEMA PENTRU ACASӐ
1. Calculează:

[ ( 20 x 20 – 20 ) : 2 – 190 x 765 : 5] x 0 =
A. 26 B. 25 C. 178 D. 0

2. Produsul dintre cel mai mare număr natural scris cu 3 cifre și cel mai mic număr natural scris cu o cifră și diferit de zero :

A. 999 B. 1992 C. 1665 D. 855

3. La un concurs participă 72 de fotbaliști și 42 de handbaliști. Fotbaliștii sunt grupați câte 9 în echipă, iar handaliștii cât e 6 în echipă.
Câte echipe participoă la concurs?

A. 8 B.7 C.15 D.114

4. 9 caiete de același fel costă 81 lei. 6 caiete vor costa:

A. 9 lei B. 90 lei C. 54 lei D. 15 lei