Restaurarea s ,i reconstruct ,ia imaginilor digitale ˆın [612080]

Capitolul 1
Restaurarea s ,i reconstruct ,ia imaginilor digitale ˆın
tomografiile computerizate
1.1 Tomografia computerizat ˘a
Termenul ”tomografie computerizat ˘a” sau CT se refer ˘a la o procedur ˘aˆın imagistica com-
puterizat ˘a cu raze X ˆın care un fascicul ˆıngust de raze X este trimis c ˘atre o parte a corpului
pacientului, rotindu-se ˆın jurul acesteia, produc ˆand semnale care sunt procesate de computer
pentru a genera imagini transversale – sau ”felii” – ale corpului. Aceste ”felii” sunt numite imag-
ini tomografice s ,i cont ,in informat ,ii mai detaliate dec ˆat razele X convent ,ionale. Odat ˘a ce un
num˘ar de ”felii” succesive sunt colectate de computer, ele pot fi ”as ,ezate” digital pentru a forma
o imagine tridimensional ˘a a zonei scanate a pacientului, astfel ˆıncˆat identificarea s ,i localizarea
posibilelor tumori sau anomalii s ˘a fie mai us ,oar˘a.[10, 9]
O problem ˘a de baz ˘aˆın imagistica ce utilizeaz ˘a raze X este obt ,inerea unei imagini bidimen-
sionale (2D) dintr-un obiect tridimensional (3D), aceasta ˆınsemn ˆand c ˘a structurile se pot supra-
pune ˆın imaginea final ˘a, chiar dac ˘a ele sunt complet separate ˆın obiectul init ,ial. Acest lucru
este deosebit de dificil ˆın diagnosticarea pacientului, ˆın special acolo unde exist ˘a multe structuri
anatomice care pot interfera cu ceea ce medicul ˆıncearc ˘a s˘a detecteze. Aceast ˘a problem ˘a a fost
rezolvat ˘a prin introducerea unei tehnici numite tomografie computerizat ˘a care profit ˘a de tubul
radiologic mobil s ,i detectorul de-a lungul corpului pacientului, gener ˆand c ˆate o imagine pentru
fiecare pozit ,ie a acestuia. Dup ˘a achizit ,ionarea s ,iˆımbinarea tuturor datelor se obt ,ine modelul
tridimensional al corpului examinat, urm ˆand o diagnosticare corect ˘a a medicului specialist.[18]
Spre deosebire de razele X convent ,ionale, care utilizeaz ˘a un tub cu raze X fixe, un scanner CT
utilizeaz ˘a o surs ˘a de raze X mobil ˘a, care se rotes ,te in jurul deschiderii circulare a unei structuri
ˆın form ˘a de gogoas ,˘a.ˆIn timpul unei scan ˘ari CT, pacientul se afl ˘a pe un pat care se mis ,c˘a lent prin
1

acea deschidere circular ˘a,ˆın timp ce tubul cu raze X se rotes ,teˆın jurul pacientului, trimit ,ˆand
fascicule ˆınguste de raze X prin corp. ˆIn locul filmului, scannerele CT utilizeaz ˘a detectoare
speciale cu raze X digitale, care sunt situate direct pe partea opus ˘a sursei de raze X. Pe m ˘asur˘a
ce razele X ”p ˘ar˘asesc” pacientul, acestea sunt preluate de detectori s ,i transmise la un computer.
De fiecare dat ˘a cˆand sursa de raze X completeaz ˘a o rotat ,ie, computerul CT utilizeaz ˘a tehnici
matematice sofisticate pentru a construi un strat din imaginea 2D a zonei scanate a pacientului.
Grosimea t ,esutului reprezentat ˘aˆın fiecare ”felie” din imagine, poate varia ˆın funct ,ie de mas ,ina
CT utilizat ˘a, dar de obicei variaz ˘a de la 1 la 10 milimetri. C ˆand o f ˆas,ie ajunge s ˘a fie complet ˘a,
imaginea rezultat ˘a este stocat ˘a, iar patul mobil este deplasat spre pozit ,ia init ,ial˘a. Procesul de
scanare cu raze X este apoi repetat pentru a produce o alt ˘a ”felie” din imagine. Acest proces
continu ˘a pˆan˘a cˆand se colecteaz ˘a num ˘arul dorit de ”felii”.
”Feliile” colectate pot fi afis ,ate individual sau ˆımpreun ˘a de computer pentru a genera o imag-
ine 3D a pacientului care prezint ˘a scheletul, organele s ,i t,esuturile, precum s ,i orice anomalii pe
care medicul ˆıncearc ˘a s˘a le identifice. Aceast ˘a metod ˘a are numeroase avantaje, inclusiv capaci-
tatea de a roti imaginea 3D ˆın spat ,iu sau de a vizualiza succesiv sect ,iuni, f ˘acˆand mai us ,oar˘a iden-
tificarea locului exact ˆın care poate fi localizat ˘a o problem ˘a.ˆIn ceea ce prives ,te aspectul matem-
atic al unei scan ˘ari CT, s-au dezvoltat diverse tehnici, at ˆat de restaurare c ˆat s ,i de reconstruct ,ie
digital ˘a a imaginilor 2D rezultate, tocmai pentru a putea fi din ce ˆın ce mai us ,or de identificat
orice anomalie sau problem ˘a a pacient ,ilor.[10, 18]
1.2 Restaurarea imaginilor digitale
Din anul 1972, an ˆın care a fost introdus ˘a tomografia computerizat ˘a (CT), utilizarea sa a
ˆınlocuit ˆın mare parte numeroase metode imagistice care au fost inadecvate ˆın reprezentarea
anatomiei, patologiei s ,i a controalelor de diagnostic mai agresive. Evolut ,ia evident ˘a a utiliz ˘arii
scan˘arilor CT a fost ˆın cea mai mare parte cauzat ˘a de cres ,teri tehnice rapide ˆın domeniile medi-
cale. Scan ˘arile CT creeaz ˘a imagini cu sect ,iune complet ˘a a corpului uman ˆın scopul analizei s ,i di-
agnostic ˘arii. Este cunoscut faptul c ˘a imaginile unei tomografii computerizate (CT) sunt corupte
de multe degrad ˘ari, incluz ˆand neclaritatea, contrastul sc ˘azut sau zgomotul datorat limit ˘arilor
diferite ale lumii reale. Astfel, este necesar ˘a filtrarea acestor imagini ˆınainte de a ˆıncepe pro-
cesul de diagnosticare. ˆImbun ˘at˘at,irea s ,i restaurarea imaginilor sunt considerate subiecte vitale
ˆın domeniul prelucr ˘arii imaginilor medicale, deoarece tehnicile de restaurare sunt folosite pen-
tru a aduce o imagine CT la o calitate mult mai bun ˘a,ˆın timp ce tehnicile de ˆımbun ˘at˘at,ire sunt
folosite pentru a ˆımbun ˘at˘at,i contrastul slab al unei imagini CT. De obicei, contrastul sc ˘azut
2

sau degradarea este inevitabil ˘aˆın imaginile CT datorit ˘a efectelor volumului part ,ial, zgomotului
imaginii s ,i erorilor ˆıntˆalnite ˆın dispozitive. Recent, cererea de prelucrare s ,i analiz ˘a a imag-
inilor medicale prin intermediul calculatoarelor a devenit inevitabil ˘a cu num ˘arul tot mai mare
de sisteme medicale diferite. Prin urmare, diferite metode de procesare a imaginilor medicale
contribuie semnificativ la diagnosticarea corect ˘a a diferitelor tipuri de boli.[13, 3, 14]
O scanare CT obt ,ine o cantitate mare de informat ,ii despre corpul uman pentru a produce
imaginile transversale aferente care prezint ˘a informat ,iile medicale valoroase. Cu toate acestea,
datorit ˘a degrad ˘arilor, imaginile obt ,inute sunt considerate versiuni degradate ale celei originale.
Din p ˘acate, astfel de imagini CT au o calitate slab ˘a. De obicei, degrad ˘arile, cum ar fi neclaritatea,
zgomotul s ,i contrastul sc ˘azut, apar datorit ˘a mai multor motive, cum ar fi utilizarea incorect ˘a a
unor algoritmi de ˆımbun ˘at˘at,ire sau de restaurare a imaginii sau o doz ˘a mult prea mic ˘a de radiat ,ie
trimis ˘a c˘atre pacient. De asemenea, imaginile medicale obt ,inute prin intermediul senzorilor pot
avea o posibilitate ridicat ˘a de a fi degradate prin neclaritate s ,i zgomot. Existent ,a zgomotului
nu numai c ˘a are ca rezultat imagini neclare, dar, de asemenea, reduce vizibilitatea detaliilor
cu contrast sc ˘azut ˆın imaginile CT. As ,a cum am ment ,ionat mai sus, scan ˘arile CT sunt utile ˆın
producerea de imagini de ˆınalt˘a rezolut ,ie care sunt utile ˆın diagnosticarea multor boli, ˆın special
ˆın stadiile primare, care contribuie la reducerea num ˘arului de mort ,i printre pacient ,i. Cu toate
acestea, imaginile CT pentru anumite zone ale corpului, cum ar fi ficatul, au un contrast sc ˘azut,
ceea ce duce ˆın cele din urm ˘a la un diagnostic imprecis. Anumit ,i agent ,i de contrast pot fi inserat ,i
pentru a ˆımbun ˘at˘at,i contrastul imaginilor CT, dar sunt uneori nocive sau chiar mortale pentru
anumit ,i pacient ,i datorit ˘a aparit ,iei s ,ocului anafilactic. ˆIn cele din urm ˘a, este necesar s ˘a discut ˘am
cˆateva dintre metodele disponibile care gestioneaz ˘a aceste degrad ˘ari pentru a oferi o mai bun ˘a
ˆınt,elegere a acestui subiect.[2, 5, 14]
La fel ca ˆınˆımbun ˘at˘at,irea imaginii, obiectivul final al tehnicilor de restaurare este ˆımbun ˘at˘a-
t,irea imaginii ˆın sens predefinit. Des ,i exist ˘a zone de suprapunere, ˆımbun ˘at˘at,irea imaginii este ˆın
mare parte un proces subiectiv, ˆın timp ce restabilirea imaginii este pentru cea mai mare parte, un
proces obiectiv. Restaurarea ˆıncearc ˘a s˘a reconstruiasc ˘a sau s ˘a recupereze o imagine care a fost
degradat ˘a prin folosirea unei cunoas ,teri a priori a fenomenului de degradare. Astfel, tehnicile
de restaurare sunt orientate spre modelarea, degradarea s ,i aplicarea procesului invers pentru a
recupera imaginea original ˘a.
Aceast ˘a abordare implic ˘a, de obicei, formularea unui criteriu care s ˘a estimeze optim rezul-
tatul dorit. Prin contrast, tehnicile de amplificare sunt ˆın esent ,˘a proceduri euristice menite s ˘a ma-
nipuleze o imagine pentru a profita de aspectele psihofizice ale sistemului vizual uman. De ex-
emplu, ˆıntinderea contrastului este considerat ˘a o tehnic ˘a deˆımbun ˘at˘at,ire deoarece se bazeaz ˘aˆın
3

primul r ˆand pe aspectele pl ˘acute pe care le-ar putea prezenta, ˆın timp ce ˆındep ˘artarea neclarit ˘at,ii
imaginii prin aplicarea unor funct ,ii este considerat ˘a o tehnic ˘a de restaurare. Se va considera
problema restaur ˘arii numai din punctul de vedere al unei imagini digitale degradate.[11]
Unele tehnici de restaurare sunt cel mai bine formulate ˆın domeniul spat ,ial,ˆın timp ce altele
sunt mai potrivite pentru domeniul frecvent ,ei. De exemplu, procesarea spat ,ial˘a este aplica-
bil˘a atunci c ˆand degradarea t ,ine de ad ˘augare de zgomot. Pe de alt ˘a parte, degrad ˘ari, cum ar fi
neclaritatea imaginii sunt dificil de abordat ˆın domeniul spat ,ial folosind m ˘as,ti.ˆIn acest caz, ˆın
domeniul frecvent ,ei, filtrele bazate pe diferite criterii de optimalitate reprezint ˘a abord ˘arile gen-
erale. Aceste filtre, de asemenea, iau ˆın considerare prezent ,a zgomotului. Un asemenea filtru
care rezolv ˘a o anumit ˘a aplicat ,ieˆın domeniul de frecvent ,˘a, de multe ori, este folosit ca baz ˘a pen-
tru generarea unui filtru digital, care va fi mai potrivit pentru o operat ,iune de rutin ˘a, folosind o
implementare hardware sau software.[11]
1.2.1 Relat ¸ia de convolut ¸ie
Urm˘atoarele rezultate au fost prelucrate ˆın urma studiului procesului de restaurare/degradare
prezentat ˆınDigital Image Processing deR. C. Gonzalez s ¸iR. E. Woods . [11]
Propozit ¸ie 1.2.1 Spunem c ˘a procesul de degradare este modelat de o funct ,ie de degradare care,
ˆımpreun ˘a cu ad ˘augarea de zgomot opereaz ˘a pe o imagine, pe care o not ˘am cu f(x; y), pentru
a produce degradarea imaginii, notat ˘a cu g(x; y). Fiind dat ˘a funct ,iag(x; y), s,i cunosc ˆand
degradarea funct ,iei, notat ˘a cu H, s,i ad˘augarea de zgomot, notat ˘a cu (x; y), prin restaurare
dorim s ˘a obt ,inem o estimare, ^f(x; y), a imaginii originale. Estimarea trebuie s ˘a fie c ˆat mai
aproape posibil de imaginea original ˘a s,i,ˆın general, cu c ˆat se cunosc mai multe despre Hs,i
cu at ˆat^f(x; y)va fi mai aproape de f(x; y).
Acest proces este cel mai bine caracterizat prin relat ¸ia de convolut ¸ie:
g(x; y) =h(x; y)f(x; y) +(x; y); (1.1)
s ¸i se poate traduce ˆın schema:
ˆIn ceea ce prives ¸te relat ¸ia input-output ˆınainte de procesul restaur ˘arii, ea este:
g(x; y) =H[f(x; y)] +(x; y): (1.2)
Pentru a putea ajunge la relat ¸ia de convolut ¸ie, (1.1), relat ¸ie des folosit ˘aˆın domeniul restaur ˘arii
imaginilor, vom avea nevoie s ˘a demonstr ˘am pentru ˆınceput c ˘aH(degradarea imaginii originale,
4

Funct ¸ia de
f(x; y)! degradare H!g(x;y)! Filtrare! ^f(x; y)
"zgomot (x; y)
 DEGRADARE RESTAURARE
Fig. 1.1. Procesul restaur ˘arii imaginilor digitale[12, adaptarea autorului dup ˘a pg. 334]
f) este o degradare liniar ˘a s ¸i invariant ˘a de pozit ¸ie (adic ˘a are propriet ˘at ¸ile de liniaritate, aditivi-
tate, omogenitate, invariant de pozit ¸ie ).
Demonstrat ¸ie:
Pentru ˆınceput, vom considera c ˘a imaginea nu are zgomot ad ˘augat, adic ˘a= 0, ceea ce face
ca relat ¸ia de la care am pornit, (1.2) s ˘a devin ˘a:
g(x; y) =H[f(x; y)]: (1.3)
ˆIn ceea ce ˆıl prives ¸te pe H, putem considera ca este operator de degradare liniar dac ˘a:
H[af1(x; y) +bf2(x; y)] =aH[f1(x; y)] +bH[f2(x; y)]; (1.4)
unde at ˆata, cˆat s ¸ibsunt scalari din R, iarf1s ¸if2sunt dou ˘a imagini oarecare.
Astfel, dac ˘aa=b= 1, relat ¸ia (1.4) va deveni:
H[f1(x; y) +f2(x; y)] =H[f1(x; y)] +H[f2(x; y)]: (1.5)
Din relat ¸ia (1.5), rezult ˘a c˘aHcont ¸ine s ¸i proprietatea de aditivitate.
Dac˘a,f2(x; y) = 0 , atunci
H[af1(x; y)] =aH[f1(x; y)]; (1.6)
din care rezult ˘a c˘aHare s ¸i proprietatea de omogenitate.
Ceea ce ne-a mai r ˘amas de demonstrat este ca Hs˘a fie s ¸i invariant de pozit ¸ie. Spunem c ˘a un
operator care are relat ¸ia de intrare-ies ¸ire g(x; y) =H[f(x; y)], este invariant de pozit ¸ie dac ˘a:
H[f(x; y)] =g(x; y); (1.7)
5

pentru8fimagine s ¸i8,scalari din R. Aceast ˘a definit ¸ie indic ˘a faptul c ˘a orice punct al imag-
inii depinde doar de valoarea sa, nu s ¸i de pozit ¸ia lui.
Am demonstrat c ˘aHeste un operator de degradare liniar s ¸i invariant de pozit ¸ie.
Pentru a ajunge la relat ¸ia de convolut ¸ie care descrie modul de restaurare al imaginii, f, ne
vom lega de relat ¸ia care descrie impulsul s ¸i care spune c ˘a putem s ˘aˆıl scriem pe f(x; y)ˆın modul
urm˘ator:
f(x; y) =∫1
1∫1
1f(; )(x; y) dd: (1.8)
ˆInlocuim pe f(x; y)ˆın relat ¸ia (1.3) s ¸i va rezulta:
g(x; y) =H[∫1
1∫1
1f(; )(x; y) dd]
: (1.9)
Deoarece Heste un operator liniar (am demonstrat), putem extinde proprietatea de aditivitate a
acestuia la relat ¸ia (1.9):
g(x; y) =∫1
1∫1
1H[f(; )(x; y)] dd: (1.10)
Cum f(; )este independent ˘a dexs ¸iy, profit ˆand s ¸i de proprietatea de omogenitate a opera-
torului H, obt ¸inem din relat ¸ia (1.10):
g(x; y) =∫1
1∫1
1f(; )H[(x; y)] dd: (1.11)
ˆIn relat ¸ia (1.11), not ˘am
h(x; ; y;  ) =H[(x; y)];
unde h(x; ; y;  )reprezint ˘a impulsul aplic ˘arii operatorului de degradare H.
ˆIn optic ˘a, impulsul devine un punct de lumin ˘a, iar h(x; ; y;  )se refer ˘a de cele mai multe ori
la acea funct ¸ie de ” ˆımpr ˘as ¸tiere” a punctelor (PSF – point spread function ). Acest nume provine
din faptul c ˘a toate sistemele optice ˆıncet ¸os ¸eaz ˘a punctele de lumin ˘a la un anumit nivel, cantitatea
deˆıncet ¸os ¸are fiind dat ˘a de calitatea acelor componente optice.
ˆInlocuind ˆın relat ¸ia (1.11) cu notat ¸ia, obt ¸inem
g(x; y) =∫1
1∫1
1f(; )h(x; ; y;  ) dd: (1.12)
Relat ¸ia (1.12) se mai numes ¸te s ¸i integrala Fredholm de spet ¸a ˆıntˆai, aceast ˘a expresie fiind
una dintre cele mai importante ˆın teoria sistemelor liniare. ˆIn ceea ce prives ¸te operatorul de
6

degradare, H, aceast ˘a expresie spune c ˘a dac ˘a rezultatul aplic ˘arii operatorului este cunoscut,
atunci rezultatul aplic ˘arii acestuia oric ˘aruif(; )poate fi calculat.
Pentru c ˘a am demonstrat c ˘aHeste un operator de degradare invariant de pozit ¸ie, ˆınseamn ˘a
c˘a s ¸i egalitatea
H[(x; y)] =h(x; y) (1.13)
este valabil ˘a, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a relat ¸ia (1.12) devine
g(x; y) =∫1
1∫1
1f(; )h(x; y) dd: (1.14)
Se observ ˘a c˘a relat ¸ia (1.14) reprezint ˘aconvolut ¸ia extins ˘a pe 2D s ¸i ne spune faptul c ˘a dac ˘a
s ¸tim rezultatul aplic ˘arii impulsului unui sistem liniar, h, putem afla rezultatul aplic ˘arii acestuia,
g, indiferent de f.
Dac˘a lu˘amˆın considerare s ¸i prezent ¸a zgomotului, , atunci vom obt ¸ine relat ¸ia
g(x; y) =∫1
1∫1
1f(; )h(x; y) dd+(x; y): (1.15)
Ceea ce putem spune despre zgomot, este c ˘a valorile pe care acesta le are sunt total aleatorii, ˆıns˘a
independente de pozit ¸ie. De asemenea, ˆın urma observat ¸iei cu privire la relat ¸ia (1.14), putem s ˘a
rescriem aceast ˘a relat ¸ie astfel
g(x; y) =h(x; y)f(x; y) +(x; y); (1.16)
ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a am ajuns la ceea ce ne-am propus, adic ˘a relat ¸ia (1.1).
Dac˘a vrem sa exprim ˘am aceast ˘a convolut ¸ie s ¸i ˆın domeniul frecvent ¸ei, atunci vom avea
G(u; v) =H(u; v)F(u; v) +N(u; v): (1.17)
Ambele expresii, (1.16) s ¸i (1.17), sunt valabile. 
Ca sumar al discut ,iei precedente, putem spune c ˘a un sistem de degradare invariant de pozit ,ie
s,i liniar, cu zgomot existent, poate fi modelat ˆın domeniul spat ,ial ca o convolut ,ie a funct ,iei (imag-
inii) de degradare (PSF), urmat ˘a de ad ˘augarea de zgomot. Bazat pe teorema convolut ,iei, acelas ,i
proces poate fi exprimat ˆın domeniul frecvent ,˘a ca produsul dintre transform ˘arile de imagine s ,i
de degradare, urmat ˘a de ad ˘augarea de transformare de zgomot.
Multe tipuri de degrad ˘ari pot fi aproximate de procesele liniare s ,i invariante de pozit ,ie. Avan-
tajul acestei abord ˘ari este reprezentat de posibilit ˘at,ile extinse ale teoriei sistemelor liniare care
7

devin disponibile pentru solut ,ia de restaurare a imaginilor. ˆIntruc ˆat degrad ˘arile sunt modelate ca
fiind rezultate ale unei convolut ,ii, iar restaurarea ˆıncearc ˘a s˘a g˘aseasc ˘a filtre care sa aplice acest
proces ˆın sens invers, termenul de deconvolut ,ie a imaginii este utilizat ˆın mod frecvent pentru
a semnifica restaurarea liniar ˘a a imaginii. ˆIn mod similar, filtrele utilizate ˆın acest proces sunt
numite filtre de deconvolut ,ie.
1.2.2 Filtre liniare
Principala diferent ,˘a dintre filtre s ,i operat ,iile punctuale este aceea c ˘a filtrele folosesc ˆın general
mai mult de un pixel dintr-o imagine, pentru a calcula fiecare valoare nou ˘a a pixelilor. Dac ˘a
vorbim din perspectiva modului de netezire a imaginii, imaginile au o form ˘a ascut ,it˘a, mai ales
ˆın locurile ˆın care intensitatea local ˘a cres ,te sau scade brusc (adic ˘a acolo unde diferent ,a dintre
pixelii vecini este mare). Pe de alt ˘a parte, se percepe o imagine neclar ˘a sau ˆıncet ,os,at˘a unde
funct ,ia de intensitate local ˘a este neted ˘a.
O prim ˘a solut ¸ie ˆın ceea ce prives ,te netezirea unei imagini ar putea fi ˆınlocuirea fiec ˘arui pixel
cu media pixelilor vecini. Pentru a determina noua valoare a pixelului curent ˆın imaginea neted ˘a,
~f(u; v), folosim pixelul corespunz ˘ator din imaginea original ˘a,f(u; v)not=p0,ˆın aceeas ,i pozit ,ie
plus cei opt pixeli vecini pe care ˆıi not ˘am cu p1; p2; : : : ; p 8, pentru a calcula media aritmetic ˘a a
acestora care este
~f(u; v) =p0+p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8
9(1.18)
sau lu ˘a mˆın considerare coordonatele pixelului
~f(u; v) =1
91∑
j=11∑
i=1f(u+i; v+j): (1.19)
Aceast ˘a simpl ˘a mediere local ˘a prezint ˘a deja toate elementele importante ale unui filtru tipic.
ˆIn particular, exist ˘a o as ,a-zis ˘a filtrare liniar ˘a, care reprezint ˘a o clas ˘a foarte important ˘a de filtre.
Ele difer ˘a de operat ,iile punctuale, ˆın principal prin utilizarea nu a unui singur pixel surs ˘a, ci a
unui set de astfel de pixeli pentru calculul fiec ˘arui pixel rezultat. Coordonatele acestori pixeli
sunt fixat ,i fat ,˘a de pozit ,ia actual ˘a din imaginea f, adic ˘af(u; v)s,i formeaz ˘a de obicei o regiune
ˆınvecinat ˘a.[16]
Dimensiunea regiunii de care filtrul se foloses ,te este un parametru important al filtr ˘arii,
deoarece specific ˘a cˆat,i pixeli originali contribuie la fiecare valoare rezultat ˘a s,i astfel se deter-
min˘a extinderea spat ,ial˘a (suportul) filtrului. De exemplu, filtrul de netezire din relat ,ia (1.19)
foloses ,te o vecin ˘atate 33care funct ,ioneaz ˘a pe coordonatele curente, f(u; v). Filtrele similare
8

care lucreaz ˘a pe vecin ˘at˘at,i mai mari, cum ar fi 55,77sau chiar 2121pixeli, ar avea ˆın
mod evident efecte mai puternice de uniformizare. Forma vecin ˘at˘at,ii pe care se face filtrarea nu
trebuie s ˘a fie neap ˘arat p ˘atratic ˘a. De fapt, este de preferat, ca vecin ˘atatea s ˘a fie circular ˘a pentru a
se obt ,ine un efect de estompare izotrop ˘a (adic ˘a un efect care s ˘a act ,ioneze la fel pe toate direct ,iile
imaginii).
ˆIn cele ce urmeaz ˘a, vom discuta despre filtrele liniare, modul de aplicare al acestora, dar
s,i important ,a lor, toate acestea datorate studiului proces ˘arii de imagini din cadrul cursului de
Grafic ˘a pe Calculator aldomnului prof.univ.dr.Vladimir BALAN .
Filtrele liniare combin ˘a valorile pixelilor ˆın vecin ˘atate ˆıntr-un mod liniar. Procesul de me-
diere pe care l-am prezentat mai sus (1.18) este un exemplu special, ˆın care tot ,i cei nou ˘a pixeli din
vecin ˘atatea 33sunt ad ˘augat ,i cu aceeas ,i valoare(1
9)
. Prin acelas ,i mecanism, o mult ,ime de
astfel de filtre, cu propriet ˘at,i diferite pot fi definite prin simpla modificare a distribut ,iei valorilor
fiec˘arui pixel din vecin ˘atate.
Pentru orice filtru liniar, dimensiunea s ,i forma regiunii care formeaz ˘a vecin ˘atatea, precum s ,i
valorile pixelilor, sunt specificate prin ”matricea filtrului” sau ”masca filtrului”, pe care o vom
nota ca fiind m. Dimensiunea matricei meste egal ˘a cu dimensiunea regiunii filtrului s ,i fiecare
element, m(i; j), specific ˘a valoarea pixelului corespunz ˘atorˆın sumare.
Spre exemplu, dac ˘a lu˘amfiltrele integrale , o categorie a filtrelor liniare, m ˘as ¸tile ma acestora
sunt:
1.Pentru filtrul median uniform
mu=0
BBB@1
91
91
9
1
91
91
9
1
91
91
91
CCCA=1
90
BBB@1 1 1
1 1 1
1 1 11
CCCA2M1;11;1(R):
2.Pentru filtrul Gaussian
mG=0
BBB@1
162
161
16
2
164
162
16
1
162
161
161
CCCA=1
160
BBB@1 2 1
2 4 2
1 2 11
CCCA2M1;11;1(R):
Aceste tipuri de filtre se mai numesc s ¸i filtre ”trece-jos” sau filtre de netezire, ˆıntruc ˆat con-
serv˘a frecvent ¸ele joase s ¸i sunt folosite ˆın special pentru eliminarea zgomotelor punctuale (cele
de tip salt and pepper ).
Pentru a se observa diferent ¸a dintre o imagine original ˘a degradat ˘a s ¸i filtrarea integral ˘a a
acesteia, am utilizat funct ¸ia imfilter dinMATLAB R2016a pe urm ˘atoarea imagine, aplic ˆand pe
fiecare strat de culoare a acesteia, m ˘as ¸tile corespunz ˘atoare fiec ˘arui filtru ˆın parte:
9

Fig. 1.2. Imagine cu zgomot de tip salt and pepper filtrat ˘a cu filtrele integrale
O alt ˘a categorie foarte important ˘a a filtrelor liniare, este reprezentat ˘a de filtrele diferent ¸iale
s ¸ifiltrele integro-diferent ¸iale care sunt necesare, mai ales, atunci c ˆand vorbim de frontiere, con-
tururi s ¸i de identificarea acestora. Aceste filtre pun ˆın evident ¸ ˘a de regul ˘a, frontiere, dar s ¸i arce
s ¸i puncte izolate, iar m ˘as ¸tile asociate au valori +s ¸icare de cele mai multe ori sunt calibrate
(∑coeficient ¸i = 0) .
Mai jos voi aminti s ¸i m ˘as ¸tile acestor filtre, pentru ca ulterior s ˘a le aplic, astfel ˆıncˆat s˘a
evident ¸iez diferent ¸ele unei imagini ˆınainte s ¸i dup ˘a filtrarea acesteia:
1.Filtrul diferent ¸ial Roberts are masca:
mR=0
BBB@0 0 0
01 1
0 0 01
CCCA2M1;11;1(R):
2.Filtrul integro-diferent ¸ial Prewitt are masca:
mP=1
30
BBB@1 0 1
1 0 1
1 0 11
CCCA2M1;11;1(R):
3.Filtrul integro-diferent ¸ial Sobel are masca:
mS=1
40
BBB@1 0 1
2 0 2
1 0 11
CCCA2M1;11;1(R):
10

Frontierele identificate cu ajutorul acestor m ˘as ¸ti sunt doar cele verticale, exist ˆand opt ¸iunea
rotirii succesive a acestora la 45◦, astfel ˆıncˆat s˘a fie identificate s ¸i celelalte frontiere.
Astfel, cu m ˘as ¸tile de mai sus, g ˘asim urm ˘atoarele diferent ¸e:
Fig. 1.3. Imagine cu zgomot de tip salt and pepper , monocrom ˘a, filtrat ˘a cu filtrele diferent ¸iale
s ¸i filtrele integro-diferent ¸iale
Se observ ˘a din figura (Fig. 1.3) c ˘a filtrele diferent ¸iale s ¸i integro-diferent ¸iale nu reus ¸esc s ˘a
elimine s ¸i zgomotele de tip salt and pepper as ¸a cum fac cele integrale, ci doar s ˘a pun ˘aˆın evident ¸ ˘a
frontierele g ˘asite.
ˆIn principiu, dup ˘a cele discutate mai sus, putem spune c ˘a orice masc ˘amfolosit ˘aˆın procesul
de filtrare, este la fel ca s ,i imaginea pe care se aplic ˘a, adic ˘a, o funct ,ie discret ˘a, bidimensional ˘a
(2D) s ,i real ˘a,m:ZZ!R.
11

Filtrele, ˆın general, au propriul lor sistem de coordonate, iar originea acestuia este, de cele
mai multe ori, situat ˘aˆın centru, astfel ˆıncˆat coordonatele filtrului s ˘a fie pozitive s ,i negative.
Funct ,ia de filtrare este de m ˘arime infinit ˘a s,i este considerat ˘a zero ˆın afara regiunii definite de
matricea m.[16]
De obicei, rezultatul obt ,inutˆın urma unei filtr ˘ari liniare, depinde de coeficient ,ii m˘as,tii. Apli-
carea filtrului pe o imagine, reprezint ˘a un proces simplu, iar urm ˘atoarele etape sunt parcurse
pentru fiecare pozit ,ie a imaginii, f(u; v):
1. Masca, m, este pozit ,iont˘a peste imaginea original ˘a,f, astfel ˆıncˆat originea ei, m(0;0), s˘a
coincid ˘a cu pozit ,ia curent ˘a a imaginii, f(u; v).
2. Coeficient ,ii m˘as,tii,m(i; j), seˆınmult ,esc cu elementele imaginii fcorespunz ˘ator, adic ˘a
f(u+i; v+j), iar rezultatele se adun ˘a.
3. Suma final ˘a rezultat ˘a este stocat ˘a la pozit ,ia curent ˘aˆın noua imagine ~f(u; v).
Pixelii din noua imagine ~fsunt calculat ,i dup ˘a relat ,ia:
~f(u; v) =∑
(i;j)2Rmf(u+i; v+j)
m(i; j); (1.20)
unde Rmreprezint ˘a dimensiunea regiunii imaginii originale, pe care se aplic ˘a masca m. Dac ˘a
vorbim despre o dimensiune clasic ˘a,33, atunci putem rescrie relat ¸ia (1.20) astfel:
~f(u; v) =i=1∑
i=1j=1∑
j=1f(u+i; v+j)
m(i; j): (1.21)
Calcularea direct ˘a pe un pixel nu poate fi posibil ˘aˆıntr-un proces de filtrare, deoarece fiecare
pixel original contribuie la aflarea mai multor pixeli rezultat ,i s,i, prin urmare, nu poate fi mod-
ificat ˆınainte de finalizarea tuturor operat ,iunilor. De aceea, avem nevoie de spat ,iu de stocare
suplimentar pentru imaginea rezultat ˘a. Aceasta poate fi copiat ˘a ulterior la imaginea surs ˘a (dac ˘a
se dores ,te)[16]. Astfel, procesul filtr ˘arii poate fi implementat ˆın dou ˘a moduri diferite:
⋄Rezultatul filtr ˘arii este init ,ial stocat ˆıntr-o imagine nou ˘a, al c ˘arei cont ,inut este copiat ˆınapoi
la imaginea original ˘a.
⋄Imaginea original ˘a este copiat ˘a mai ˆıntˆaiˆıntr-o imagine intermediar ˘a care serves ,te drept
surs˘a pentru procesul filtr ˘arii, rezultatele fiind stocate direct ˆın imaginea original ˘a.
ˆIntruc ˆatˆın ambele cazuri este necesar ˘a aceeas ,i cantitate de stocare, niciuna dintre ele nu
ofer˘a un avantaj special.
12

1.2.3 Convolut ¸ia filtrelor liniare
Important ,a real ˘a a filtrelor liniare devine vizibil ˘a numai atunci c ˆand ne concentr ˘am s ,i pe
anumite detalii teoretice care stau la baza lor. P ˆan˘aˆın acest moment, am ment ,ionat de termenul
de ”convolut ,ie” doar la ˆınceputul acestui capitol, acolo unde am ar ˘atat cum ajungem la relat ,ia
de baz ˘a a acestui proces, ˆıns˘a doar ˆın domeniul continuu (cel ideal). Pentru a sublinia adev ˘arata
important ,˘a a procesului de convolut ,ie, s ,i rolul pe care acesta ˆıl joac ˘aˆın restaurarea imaginilor,
voi aborda ˆın cele ce urmeaz ˘a procesul de convolut ,ieˆın domeniul discret.[16, 1, 4]
Odat ˘a cu aparit ,ia proces ˘arii de imagini digitale, au ap ˘arut s ,i not ,iunile de filtrare, de restau-
rare, oamenii de specialitate c ˘autˆand mereu s ˘a aduc ˘a imaginile la o stare mult mai bun ˘a,ˆıns˘a
procesul filtr ˘arii, as ,a cum l-am descris anterior, exista ˆınc˘a de dinainte, fiind un proces matematic
”ˆımprumutat”. Acest proces matematic se numes ,teconvolut ,ie liniar ˘a, s,i const ˘aˆın combinarea
a dou ˘a funct ,ii de aceleas ,i dimensiuni, indiferent c ˘a vorbim de domeniul continuu (care este cel
ideal), sau de domeniul discret (cel real).
Fie funct ,iile discrete fs ¸im. Operat ,ia de convolut ,ie pe acestea este descris ˘a astfel:
~f(u; v) =1∑
i=11∑
j=1f(ui; vj)
m(i; j); (1.22)
s ¸i se noteaz ˘a
~f=fm; (1.23)
unde ”” reprezint ˘a operatorul de convolut ¸ie. Se observ ˘a c˘a relat ¸ia de convolut ¸ie (1.22) se
aseam ˘an˘a cu relat ¸ia care arat ˘a cum se aplic ˘a filtrul liniar, adic ˘a cu relat ¸ia (1.20).
Ca s˘a o aducem la aceeas ¸i form ˘a, trebuie mai ˆıntˆai identificate cele dou ˘a probleme, prima
fiind faptul c ˘a variabilele is ¸ijdin relat ¸ia (1.22) se ˆıntind pe o plaj ˘a infinit ˘a de valori, pe c ˆandˆın
relat ¸ia (1.20) sunt restr ˆanse doar la dimensiunea vecin ˘at˘at ¸ii pixelului curent, iar a doua const ˆand
ˆın coordonatele negative pe care le reg ˘asim ˆın relat ¸ia (1.22), anume f(ui; vj).
ˆIn ceea ce prives ¸te prima problem ˘a, deoarece coeficient ¸ii din afara m ˘as ¸tii, m, sunt zero,
ˆınseamn ˘a c˘a,ˆın sum ˘a, aces ¸tia sunt tot zero, deci putem s ˘a nu ˆıi lu˘amˆın considerare, astfel ˆıncˆat
suma noastr ˘a s˘a fie doar pentru acele variabile is ¸ijdin regiunea determinat ˘a de funct ¸ia discret ˘a,
m.
13

ˆIn cazul celei de a doua probleme, modific ˘am relat ¸ia (1.22) astfel:
~f=∑
(i;j)2Rmf(ui; vj)
m(i; j)
=∑
(i;j)2Rmf(u+i; v+j)
m(i;j)
=∑
(i;j)2Rmf(u+i; v+j)
m′(i; j) (1.24)
Rezultatul obt ¸inut ˆın relat ¸ia (1.24) este acelas ¸i cu cel din relat ¸ia (1.20), iar masca m′reprezint ˘a
rotat ¸ia la 180◦a m˘as ¸tiim.
Convolut ,ia liniar ˘a este important ˘a pentru propriet ˘at,ile sale matematice simple, precum s ,i
pentru multitudinea de aplicat ,iiˆın care este ˆıntˆalnit˘a. Aceasta reprezint ˘a un model potrivit pentru
multe tipuri de fenomene naturale, inclusiv sisteme mecanice, acustice s ,i optice. ˆIn particular,
exist ˘a leg ˘aturi semnificative cu transformarea Fourier ˆın domeniul frecvent ,elor, care sunt extrem
de valoroase pentru ˆınt,elegerea fenomenelor complexe, cum ar fi es ,antionarea.[17]
Mai departe, vom analiza c ˆateva propriet ˘at,i importante ale convolut ,iei liniare ˆın spat ,iul imag-
inii.
⋄Comutativitatea este proprietatea care spune c ˘a rezultatul convolut ¸iei este acelas ¸i, indifer-
ent de ordinea celor dou ˘a funct ¸ii discrete, fs ¸im, iar matematic ea se poate scrie
fm=mf (1.25)
⋄Liniaritatea este proprietatea de care ne-am legat atunci c ˆand am discutat despre proce-
sul de convolut ¸ie, ea fiind o proprietate extrem de important ˘a. Dac ˘a o imagine, f, este
multiplicat ˘a de un scalar, k2R, rezultatul convolut ¸iei imaginii, f, cu masca, m, este
multiplicat de acelas ¸i scalar, k, iar relat ¸ia matematic ˘a este:
(k
f)m=f(k
m) =k
(fm) (1.26)
Dac˘a am avea dou ˘a imagini, f1s ¸if2, pe care le-am aduna pixel cu pixel, iar apoi rezultat-
ului i-am aplica convolut ¸ia cu masca, m, ceea ce obt ¸inem este acelas ¸i lucru cu rezultatul
convolut ¸iei dintre masca msi fiecare imagine ˆın parte, adic ˘a
(f1+f2)m= (f1m) + (f2m): (1.27)
ˆIn timp ce liniaritatea reprezint ˘a o proprietate important ˘aˆın teorie, ˆın practic ˘a, filtrele
liniare sunt doar part ¸ial liniare, din cauza erorilor ap ˘arute sau din cauza limit ˘arii la un
anumit nivel a valorilor rezultate.
14

⋄Asociativitatea este acea proprietate a convolut ¸iei care spune c ˘a ordinea operat ¸iilor filtrului
nu conteaza. Matematic, putem scrie acest lucru astfel:
A(BC) = ( AB)C (1.28)
Ceea ce este de remarcat la aceast ˘a proprietate, este faptul c ˘a dac ˘a vrem s ˘a filtram o imag-
ine, cu mai multe filtre aplicate succesiv, indiferent de ordinea aplic ˘arii acestora, rezultatul
va fi acelas ¸i.
1.2.4 Filtr ˘ari liniare, utiliz ˆand efectul transform ˘arii Fourier,F, asupra
procesului de convolut ¸ie
ˆIn loc de a reprezenta imaginea ca fiind o matrice de valori ale pixelilor, putem s ˘a o reprezent ˘am
ca sum ˘a a mai multor unde sinusoidale de diferite frecvent ,e, amplitudini s ,i direct ,ii. Aceasta se re-
fer˘a la domeniul de frecvent ,˘a sau la reprezentarea Fourier , iar parametrii care determin ˘a undele
sinusoidale sunt denumit ,icoeficient ,i Fourier [4]. Motivele pentru care abord ˘am acest subiect
sunt:
Modul ˆın care funct ,ioneaz ˘a filtrele liniare ˆın domeniul frecvent ,elor.
Anumite filtre liniare pot fi calculate mai eficient ˆın domeniul frecvent ,elor, utiliz ˆandtrans-
formarea rapid ˘a Fourier (Fast Fourier Transform ).
Noi filtre pot fi identificate.
Datorit ˘a cursului de Grafic ˘a pe Calculator s ¸i a celor studiate ˆın cadrul acestuia, vom prezenta
important ,a transform ˘arii Fourier s ,i leg˘atura acesteia cu filtrele liniare.
ˆIn relat ¸ia (1.24), care reprezint ˘a procesul matematic de convolut ¸ie, am aflat c ˘a masca m′
este de fapt rotat ¸ia m ˘as ¸tiimla180◦(pentru c ˘am(i;j) =m′(i; j)). Cu alte cuvinte, putem
spune c ˘am′este masca asociat ˘a convolut ¸iei, dar s ¸i simetrica m ˘as ¸tiimfat ¸˘a de centrul O(0;0).
Matematic, acest lucru ˆınseamn ˘am′=sim O(m).
Consider ˘am c ˘a ”⊙” reprezint ˘a operat ¸ia de produs punctual dintre matricele de acelas ¸i ordin,
Fs ¸iM, care se scrie:
F⊙M= (Fij
Mij)(i;j)2RM: (1.29)
Transformata Fourier transform ˘a convolut ¸ia ˆın produs punctual prin relat ¸ia
F(fm) =F(f)⊙F (m) fm=F1(F(f)⊙F (m)) (1.30)
15

fF! F
m##⊙M
fmF! F (fm)fF! F
m##⊙M
fmF1
F⊙M
Fig. 1.4. Diagramele comutative[15]
s ¸i astfel au loc urm ˘atoarele diagrame comutative :
Dup˘a cele amintite mai sus, putem spune ca s ¸i concluzie faptul c ˘a procesul de filtrare a
imaginii fcu masca m′(m′=sim O(m))se face cu o viteza mult mai mare dec ˆat dac ˘a am face
direct convolut ¸ia, deoarece transformata Fourier, F, s ¸i inversa acesteia, F1, au vitez ˘a mult mai
mare de execut ¸ie, iar produsul punctual efectuat cu ajutorul operatorului ⊙nu consum ˘a timp.
Astfel, putem s ˘aˆıncheiem acest subcapitol prin a spune c ˘aˆın procesele de filtrare liniar ˘a ce
necesit ˘a utilizarea de m ˘as ¸ti peste imagini de dimensiuni foarte mari, relat ¸ia dintre convolut ¸ie s ¸i
transformarea Fourier, este semnificativ ˘a atunci c ˆand vorbim de economisirea timpului.
1.3 Algoritmi de reconstruct ¸ie
ˆIn sect ,iunile anterioare ale acestui capitol, ne-am ocupat cu tehnicile de restaurare a imag-
inilor CT degradate. ˆIn aceast ˘a sect ,iune, vom examina problema de a reconstrui o imagine
dintr-o serie de proiect ,ii. M ˘a voi axa, ˆın special, pe imaginile rezultate ˆın urma tomografiei
computerizate (CT) cu raze X. Aceasta metod ˘a de tomografie computerizat ˘a este cea mai veche
s,iˆınc˘a cea mai utilizat ˘a la scar ˘a larg ˘a s,i,ˆın prezent, este una dintre principalele aplicat ,ii de
prelucrare a imaginii digitale ˆın medicin ˘a.
ˆInainte de a dezvolta principiile matematice care stau la baza computer-ului tomograf, voi
prezenta un experiment interesant ˆıntˆalnit ˆınComputed tomography. Principles, design, ar-
tifacts, and recent advances a lui J. Hsieh [6], pentru a demonstra cum funct ,ioneaz ˘a acesta.
Presupunem c ˘aˆıncerc ˘am s˘a ghicim structura intern ˘a a unui obiect semitransparent. Obiectul
este format din cinci sfere care se afl ˘aˆın interiorul unui cilindru, as ,a cum este ˆın (1.5(a)). Nu ni
se permite s ˘a vedem obiectul de sus ˆın jos, ˆıns˘a putem s ˘aˆıl examin ˘am doar dintr-o parte. Dac ˘a
examin ˘am obiectul numai la unghiul prezentat ˆın (1.5(a)), dou ˘a dintre sfere sunt part ,ial blocate
(deoarece sunt semi-transparente) de sfera din fat ,˘a s,i vedem doar o singur ˘a sfer ˘a suprapus ˘a.
Des ,i se as ,teapt ˘a ca opacitatea sferei suprapuse s ˘a fie mai mare dec ˆat a celorlalte sfere, nu putem
deduce din opacitate num ˘arul de sfere care se suprapun, pentru c ˘a nu cunoas ,tem opacitatea
fiec˘arei sfere. Dac ˘a ne baz ˘am doar pe unghiul din (1.5(a)), din care s ˘a privim spre obiect, s-ar
16

putea concluziona, ˆın mod eronat, c ˘a cilindrul cont ,ine doar trei sfere. Dac ˘a rotim obiectul s ,iˆıl
observ ˘am dintr-un unghi diferit, as ,a cum se arat ˘aˆın (1.5(b)), sferele care au fost blocate devin
vizibile. Dac ˘a examin ˘am obiectul din mai multe unghiuri, ajungem la concluzia c ˘a cilindrul
cont ,ine cinci obiecte mai mici, ˆıns˘a concluzion ˘am s ,i c˘a aceste obiecte sunt ˆıntr-adev ˘ar sfere,
deoarece dimensiunea s ,i intensitatea nu se schimb ˘a cu unghiul de vizualizare. Acest experiment
demonstreaz ˘a c˘a, examin ˆand un obiect semiopac din mai multe unghiuri, putem estima structura
intern ˘a a obiectului.
Dac˘aˆınlocuim sursa de lumin ˘a cu o surs ˘a de raze X, ochii nos ,tri cu un detector de raze X
s,i creierul nostru cu un computer, vom crea un sistem CT. ˆIn cele dou ˘a figuri este reprezentat ˘a
capacitatea observatorului de a examina obiectul din mai multe unghiuri de vizualizare s ,i propri-
etatea de semi-opacitate a obiectului. Dac ˘a obiectul scanat este complet opac, atunci estimarea
structurii interne nu poate fi posibil ˘a, indiferent de num ˘arul de unghiuri la care observatorul
poate examina obiectul. Din fericire, majoritatea materialelor sub examinare CT (t ,esut moale,
os s ,i agent de contrast) sunt semi-transparente la raze X.
Fig. 1.5. Conceptul general al CT. (a) Vizualizarea asupra obiectului dintr-un singur unghi. (b)
Vizualizarea dup ˘a ce obiectul este rotit la un unghi diferit dec ˆat cel init ¸ial.[6, pg.56]
Reconstruct ,ia imaginilor CT reprezint ˘a un subiect ce are o abordare matematic ˘a interesant ˘a
s,i complicat ˘a. Formularea sa matematic ˘a provine din 1917, c ˆandJ. Radon a dezvoltat pentru
prima dat ˘a o solut ,ie pentru reconstruct ,ia unei funct ,ii de la integralele sale liniare. ˆIntre anii
1970-1980, odat ˘a cu dezvoltarea scannerelor CT viabile din punct de vedere clinic, activit ˘at,ile
de cercetare din acest domeniu au avut o cres ,tere extraordinar ˘a. De-a lungul timpului, au fost
dezvoltate numeroase tehnici care fac diverse compromisuri ˆıntre complexitatea computat ,ional ˘a,
rezolut ,ia spat ,ial˘a, rezolut ,ia temporal ˘a, zgomotul, protocoalele clinice s ,i flexibilitatea.[6]
ˆIn urm ˘atoarele sect ¸iuni voi descrie algoritmi de reconstruct ¸ie a imaginilor digitale ˆın dome-
niul CT, algoritmi de care, mai t ˆarziu, ma voi folosi pentru a pune acest subiect ˆın practic ˘a.
17

1.3.1 Algoritmul de preproiect ¸ie filtrat
Fie o funct ,ie bidimensional ˘a (2D), f(x; y)(Fig. 1.6), arbitrar ˘a, care poate fi interpretat ˘a, de
exemplu, ca o distribut ,ie a unui anumit parametru, f(x; y; z )pe o sect ,iune spat ,ial˘a unde z=z0.
Pentru a o simplifica, valoarea funct ,iei este presupus ˘a ca fiind diferit ˘a de zero numai ˆın interiorul
conturului indicat ˆın (Fig. 1.6). De asemenea, sunt introduse coordonate auxiliare, s,ir, care
sunt ˆınclinate ˆın raport cu xs ¸iyla unghiul 0. O dreapt ˘aR, paralel ˘a cu axa r, este aleas ˘a la
=0. Aceast ˘a linie va fi numit ˘araz˘a, iar integrala funct ,ieifde-a lungul acestei raze este
p0(0) =∫
Rf(x; y)dr; (1.31)
s ¸i este denumit ˘aintegrala razei la(0; 0). Aceast ˘a integral ˘a caracterizeaz ˘a distribut ,ia parametru-
lui m ˘asurat pe raz ˘a printr-o singur ˘a valoare global ˘a.[8]
Fig. 1.6. Reprezentarea proiect ¸iilor unei imagini s ¸i integralele razei.[8, pg.367][7]
Alegerea lui 0este arbitrar ˘a, astfel, integrala razei poate fi calculat ˘a, pentru orice , deci
integrala (1.31) se poate calcula pentru o funct ¸ie ˆın
p0() =∫
Rf(x; y)dr (1.32)
s,i poate fi reprezentat grafic ˆın partea superioar ˘a a figurii (Fig.1.6). Aceast ˘a funct ,ie unidimen-
sional ˘a (1D) se numes ,teproiect ,ia lui f(x; y)sub unghiul 0s,i cum unghiul a fost de asemenea
ales arbitrar, proiect ,iilep()sub diferite unghiuri sunt posibile. Ansamblul proiect ,iilor, ˆın
formularea continu ˘a, devine o funct ,ie bidimensional ˘a (2D) ˆın coordonatele (; ):
p() =p(; ) =∫
R;f(x; y)dr; 2(1;1); 2(0;2); (1.33)
s ¸i poart ˘a numele de transformarea Radon (RT) a luif(x; y).[8]
18

ˆIn 1917, Radon a demonstrat c ˘a aceast ˘a transformare este inversabil ˘a, deci cont ,inutul informat ,iei
din funct ,ia de transformare, p(; ), este acelas ,i caˆın imaginea original ˘a,f.[8, 7] RT poate fi ex-
primat ˘a prin c ˆateva formule alternative, iar urm ˘atoarea form ˘a exprim ˘a relat ,ia unidimensional ˘a,
(1.33), ˆın dou ˘a dimensiuni, determin ˆandu-se modul de integrare liniar ˘a prin impulsul (unidi-
mensional) Dirac , fiind diferit de zero atunci c ˆand argumentul s ˘au este zero:
p(; ) =∫1
1∫1
1f(x; y)(xcos+ysin)dxdy: (1.34)
Dac˘a ne folosim de faptul c ˘aR;este o dreapt ˘a doar atunci c ˆand=const , s ¸i utiliz ˆand
rotat ¸ia de unghi din coordonatele (x; y)ˆın coordonatele (; r), astfel
0
@x
y1
A=0
@cossin
sin cos1
A0
@
r1
A; (1.35)
ajungem ca expresia proiect ¸iilor s ˘a fie
p(; ) =∫
R;f(x; y)dr=∫1
1f(cosrsin; sin+rcos)dr: (1.36)
Astfel, formula transform ˘arii inverse a lui Radon este:
f(x; y) =∫
0∫1
1@p(; )
@1
(xcos+ysin)dd: (1.37)
Cu ajutorul formulei (1.37) vom dezvolta aceast ˘a sect ¸iune cu privire la algoritmul de preproiect ¸ie
filtrat, tot ˆın acest context subliniind important ¸a operatorului de preproiect ¸ie care convertes ¸te
funct ¸ia p(; )ˆın imaginea
b(x; y) =∫
0p((x; y;  ); )d=∫
0p(xcos+ysin; )d: (1.38)
19

1.3.2 Reconstruct ¸ia Fourier
1.3.2.1 Teorema ”straturilor” a lui Fourier
1.3.3 Algoritmi algebrici de reconstruct ¸ie
20

Bibliografie
[1]Simplefilters. http://luthuli.cs.uiuc.edu/ ~daf/courses/cs5432009/week\
%203/simplefilters.pdf . [Online; accesat la data de 03-Ianuarie-2019, ora 14:06].
[2]A. Ciurte, S. Nedevschi. Texture analysis within contrast enhanced abdominal ct images.
5th International Conference on Intelligent Computer Communication and Processing ,
pages 73–78, Cluj-Napoca, Romania 2009.
[3]C. Khare, K. Nagwanshi. Implementation and analysis of image restoration techniques. Int
J Comput Tr Technol , 1(2):1–6, 2011.
[4]D.J. Fleet, A.D. Jepson. Linear Filters, Sampling, & Fourier Analysis. ftp://ftp.cs.
utoronto.ca/pub/jepson/teaching/vision/2503/linearFilters.pdf . [Online;
accesat la data de 03-Ianuarie-2019, ora 14:06].
[5]E. Enjilela, E. Hussein. Refining a region-of-interest within an available ct image. Appl
Radiat Isotopes , 75:77–84, 2013.
[6]J. Hsieh. Computed tomography. Principles, design, artifacts, and recent advances . SPIE
PRESS, 2009.
[7]J. Jan. Digital Signal Filtering, Analysis and Restoration . IEE, 2000.
[8]J. Jan. Medical Image Processing, Reconstruction and Restoration. Concepts and Methods .
Taylor & Francis, 2006.
[9]MedLife. TOMOGRAFIE COMPUTERIZAT ˘A. https://www.medlife.ro/
imagistica/tomografie-computerizata . [Online; accesat la data de 29-Decembrie-
2018, ora 18:09].
[10] National Institute of Biomedical Imaging and Bioengineering. Computed Tomogra-
phy (CT). https://www.nibib.nih.gov/science-education/science-topics/
computed-tomography-ct . [Online; accesat la data de 28-Decembrie-2018, ora 22:16].
21

[11] R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital Image Processing . Prentice Hall, 2002.
[12] R.C. Gonzalez, R.E. Woods. Digital Image Processing . Pearson International Edition,
2016.
[13] S. AL-Ameen, Z. Al-Ameen, G. Sulong. Latest Methods of Image Enhance-
ment and Restoration for Computed Tomography: A Concise Review. https:
//www.researchgate.net/publication/274315071_Latest_Methods_of_Image_
Enhancement_and_Restoration_for_Computed_Tomography_A_Concise_Review .
[Online; accesat la data de 28-Decembrie-2018, ora 21:49].
[14] S. Dakua, J. Abi-Nahed. Patient oriented graph-based image segmentation. Biomed Signal
Proces 2013 , 8(3):325–332, 2011.
[15] V.Balan. Grafic ˘a pe calculator. http://www.mathem.pub.ro/div/_IP_/IP-Cursuri/
Curs-12.pdf . [Online; accesat la data de 04-Ianuarie-2019, ora 15:39].
[16] W.Burger, M.J.Burge. Principles of Digital Image Processing . Springer, 2009.
[17] W.Burger, M.J.Burge. Principles of Digital Image Processing,Core Algorithms . Springer,
2009.
[18] WebMD. What Is a CT Scan? https://www.webmd.com/cancer/
what-is-a-ct-scan#1 . [Online; accesat la data de 28-Decembrie-2018, ora 22:00].
22