În leg ¼atur¼a cu o problem ¼a din Gazeta Matematic ¼a [611874]
În leg ¼atur¼a cu o problem ¼a din Gazeta Matematic ¼a
R¼azvan DRÎNCEANU1¸ si C¼at¼alin CRISTEA2
În num ¼arul 10/2016 (seria B) alGazetei Matematice a fost propus ¼a problema E:15085 al
c¼arei enun¸ t îl prezent ¼am mai jos:
În tetraedrul ABCD se noteaz ¼aM; N; P; Q; R; S mijloacele muchiilor AB; CD; BC; AD; BD ,
respectiv AC. Demonstra¸ ti:
a)2 (MN +PQ+RS)< AB +AD +AC+BC+BD +CD.
b)MN; PQ ¸ siRSsunt lungimile laturilor unui triunghi.
Prima cerin¸ t ¼a se poate ob¸ tine astfel:
MN < MS +SN =BC
2+AD
2)2MN < BC +AD.
Analog
2PQ < AC +BD¸ si2RS < AB +CD,
iar prin sumare g ¼asim:
2 (MN +PQ+RS)< AB +AD +AC+BC+BD +CD.
În ceea ce prive¸ ste punctul b), venim cu un contraexemplu: Vom lua AB = 14 ,AC = 6,
AD = 13 ,BC = 17 ,CD = 16 ¸ siBD = 5.
Folosind formula pentru calculul lungimilor medianelor unui triunghi se deduce o formul ¼a
pentru calculul lungimilor bimedianelor unui tetraedru:
RS =p
AB2+AD2+BC2+CD2 AC2 BD2
2
=p
142+ 132+ 172+ 162 62 52
2=p
849
2.
În mod similar se ob¸ tin:
PQ =p
142+ 62+ 52+ 162 172 132
2=p
55
2
¸ si
MN =p
62+ 132+ 172+ 52 142 162
2=p
67
2:
1Profesor, Colegiul Na¸ tional Pedagogic "¸ Stefan Velovan", Craiova
2Profesor, Colegiul Na¸ tional Pedagogic "¸ Stefan Velovan", Craiova
Avem
MN +PQ =p
55
2+p
67
2<8
2+9
2=17
2<29
2<p
849
2=RS,
ceea ce arat ¼a c¼aMN,PQ¸ siRSnu pot
laturile unui triunghi.
Dar, exist ¼a un astfel de tetraedru? R ¼aspunsul este oferit de urm ¼atoarea teorem ¼a.
Teorem ¼a.Not¼amT= (x; y; z; x;y;z), unde x; y; z; x;y;z > 0.Teste format ¼a cu lungimile
muchiilor unui tetraedru dac ¼a ¸ si numai dac ¼a sunt îndeplinite simultan condi¸ tiile:
i) "Exist ¼a fe¸ tele": Fiecare triplet (x; y; z ),(x;y; z),(x; y;z)¸ si(x;y;z)este format cu laturile
unui triunghi (veri
c ¼a inegalitatea triunghiului)
ii) "Tetraedrul are volum", adic ¼a exist ¼aV=p4
12p
2, unde4= det0
BBBB@0 1 1 1 1
1 0 x2y2z2
1x20z2y2
1y2z20x2
1z2y2x201
CCCCA,
deci4este strict pozitiv.
Pentru exemplul nostru, T= (13 ;14;6;17;16;5). Se poate observa c ¼a este îndeplinit ¼a
condi¸ tia i) a teoremei precedente ¸ si, de asemenea, condi¸ tia ii), deoarece
4= det0
BBBB@0 1 1 1 1
1 0 13214262
1 1320 52162
1 142520 172
1 6216217201
CCCCA= 1075 518 >0.
Ne punem întrebarea dac ¼a cerin¸ ta din enun¸ t ar
trebuit s ¼a
e: MN; PQ ¸ siRSnusunt
lungimile laturilor unui triunghi. ¸ Si aici exist ¼a contraexemplu, dac ¼a tetraedrul este regulat,
atunci bimedianele sunt congruente, deci putem forma cu ele un triunghi echilateral.
Bibliogra
e:
[1]Gazeta Matematic ¼a – seria B, nr. 10/2016.
[2]Dan Brînzei, Sebastian Ani¸ ta, Constantin Cocea, Planul ¸ si spa¸ tiul euclidian, Editura
Academiei RSR, Bucure¸ sti, 1986.
[3]https://www.ems-ph.org/journals/journals.php
[4]http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: În leg ¼atur¼a cu o problem ¼a din Gazeta Matematic ¼a [611874] (ID: 611874)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.