A SEMNALELOR RA DAR, BAZATE PE REPREZENT ĂRI TIMP-FRECVEN ȚĂ TEZA DE DOCTORAT Coordonator știintific: Prof. dr. ing. NAFORNI ȚĂ IOAN Doctorand: ing…. [611799]
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" TIMI ȘOARA
FACULTATEA DE ELECTRONIC Ă ȘI TELECOMUNICA ȚII
METODE MODERNE DE PROCESARE
A SEMNALELOR RA DAR, BAZATE PE
REPREZENT ĂRI TIMP-FRECVEN ȚĂ
TEZA DE DOCTORAT
Coordonator știintific:
Prof. dr. ing. NAFORNI ȚĂ IOAN
Doctorand: [anonimizat]. CRIȘAN VIOREL DORIN
1
I.INTRODUCERE
Condi țiile reale din mediile de prop agare a semnalului RADAR
determin ă la intrarea receptoare lor din sistemele de loca ție existen ța unor
semnale cu efect perturbator ( semnale ecou de la alte ținte care nu prezint ă
interes, reflexii de la obiecte fixe sau forma țiuni meteo pe fundalul c ărora se
pierde semnalul util, bruiaj activ sa u pasiv de diferite tipuri, zgomotul
gaussian al traseului de recep ție din sistemul de loca ție). Prezen ța
perturba țiilor aleatoare, cât și fluctuația semnalului ecou imprim ă un caracter
statistic algoritmilor de prelucrare a semnalului, impunând metodele teoriei
probabilita ților și a statisticii matematice pe ntru sinteza structurilor de
procesare.
Principalele func țiuni care vizeaza etap a de prelucrare primar ă a
semnalului într-un sistem RADAR se re fera la : identificarea componentelor
utile ale semnalului (com ponentele purtatoare ale informatiilor de interes),
separarea acestora de co mponentele perturbatoare și apoi m ăsurarea
parametrilor purt ători de informa ție.
În scopul ob ținerii unor informa ții cât mai concludente, exacte și
detaliate asupra ob iectelor din spa țiul explorat, procesarea semnalelor de tip
RADAR presupune mai întâi o reprezentare cât mai exact ă, dacă e posibil
chiar în "detaliu" a semnalului ecou în a c ărui parametri se regasesc
informațiile utile ce caracterizeaz ă structura zonei de supraveghere RADAR.
În general neajunsurile reprezent ărilor Fourier su nt legate de
imposibilitatea de a descrie propriet ățile spectrale ale semnalului simultan cu
proprietățile temporale, îngreunându-se analiza semnalelor nesta ționare și
2selecția semnalului util din fondul zgomotelor.
Pentru eliminarea acestui ne ajuns se pot utiliza alte spa ții de
reprezentare a semnalului, care con țin aceiași cantitate de informa ție ca și
reprezent ările clasice, dar parametrii utili se reg ăsesc sub o form ă mai
accesibilă sistemului de prelucrare și măsurare ale acestora. Astfel modelul de
reprezentare al semnalului devine determ inant pentru alegerea strategiilor de
prelucrare, impunând al goritmul de procesare și structura sistemului.
De asemenea se poate utiliza o reprezentare mixta a semnalului ecou,
într-o serie de semnale elementare, care s ă ocupe fiecare un domeniu bine
determinat în planul timp-frecven ță.Aceasta presupune reprezentarea
semnalului ca o superpozi ție de undi șoare elementare, care posed ă fiecare o
frecvență definită ( localizare într-o fereastr ă de frecven ță ) și o localizare
temporal ă bine definit ă (fereastr ă temporal ă) . Î n a c e s t m o d s e o b ține un
spectru "instantaneu", care ofer ă informa ții spectrale asociate unei por țiuni
temporale cunoscute a semnalului. Dac ă, în plus, se utilizeaz ă “undișoare”
scalate temporal ( Transf ormata Wavelet ) se ob ține o rezolu ție variabil ă a
informației spectrale, care scade odat ă cu creșterea frecven ței, iar rezolu ția
temporal ă creste odat ă cu frecven ța.
Aceste reprezentari permit aleg erea unor algoritmi de prelucrare în
concordan ță cu scopul urm ărit, determinând marirea preciziei și a calității
informațiilor extrase în urma proces ării semnalului RADAR.
În etapa de prelucrare primar ă a semnalului într-un sistem RADAR, un
element foarte important îl reprezint ă identificarea componentelor utile ale
semnalului ecou, precum și separarea acestora de componentele
perturbatoare. Practic nu se poate ob ține o separare total ă, dar se urm ărește
îmbunătățirea semnificativ ă a raportului semnal util/ zgomot. Cu cât acest
raport este mai mare cu atât se asigur ă o calitate mai bun ă a proces ării
ulterioare a semnalului și o precizie mare la m ăsurarea parametrilor purt ători
3de informa ție. În acest sens, în scopul ob ținerii unor informa ții cât mai
concludente și exacte asupra obiectelor din spa țiul explorat, procesarea
semnalelor de tip RADA R presupune mai întâi o reprezentare detaliat ă, pe
mai multe nivele de rezolu ție timp-frecven ță a semnalului ecou, în a c ărui
parametri se reg ăsesc informa țiile utile ce caracterizeaz ă structura zonei de
supraveghere RADAR. Apoi se va face o analiz ă prin diferite metode a
acestor reprezent ări, se separ ă componentele utile de cele perturbatoare sau
se eviden țiază componentele ce con țin informa țiile relevante, de interes la
momentul respectiv și se reface semnalul într-o form ă accesibil ă
subsistemelor care urmeaz ă să-l prelucreze sau s ă extragă informația.
În sistemele RADAR clasice, realizate pân ă în prezent se utilizeaz ă
frecvent reprezentarea temporal ă pentru ob ținerea parametr ilor de localizare
în distan ță, antene directive pentru localizarea în azimut și unghi de în ălțare
și Transformata Fourier Rapid ă (SFT) pentru selec ția în vitez ă (respectiv
frecvență Doppler). Dar exist ă situații în care dup ă aplicarea acestor tehnici,
chiar implementate pe si steme tehnologice foarte avansate, calitatea
informațiilor RADAR ob ținute nu este satisf ăcătoare, deoarece nu se
realizeaz ă staționarizarea semnalelor recep ționate și nu se ofer ă
posibilitatea de a descrie propriet ățile spectrale ale semnalului, si multan cu
proprietățile temporale.
De aceea este util ă înlocuirea reprezent ărilor clasice, cu reprezent ări
timp-frecven ță multirezolu ție, care con țin aceea și cantitate de informa ție ca și
reprezent ările clasice dar parametri utili se reg ăsesc sub o form ă mai
accesibil ă sistemului de prelucrare, analiz ă și măsurare a acestora . Aceste
reprezent ări permit alegerea unor algorit mi de prelucrare în concordan ță cu
scopul urm ărit, determinând m ărirea preciziei și a calității informa țiilor extrase
în urma proces ării semnalului RADAR, deschizând în acela și timp orizonturile
unor noi metode de analiz ă și prelucrare a semnalelor, precum și de sintez ă a
unor semnale de sondaj și structuri de sisteme performante.
4
II.BAZELE TEORETICE ALE REPREZENT ĂRII ȘI ANALIZEI
SEMNALELOR RADAR
1. METODE DE REPREZENTARE A SEMNALELOR RADAR
1.1 Modelul matematic al semnalului radar spa țio-temporal
de band ă largă.
Semnalul RADAR reflectat de c ătre punctul mobil P(R, β,ε) , la intrarea
în antenă (pe apertur ă) în punctul de coordona te (x,y) va avea urm ătoarea
formă :
{} )( Re)( tY tyia=
[]))(~) (~)( t tXA tXAtYia τ τ −⋅=−⋅= (2.1)
X(t) – semnal de sondaj
) ( ~ϕ−⋅=jeAA -variabil ă aleatoare care arat ă distribuția amplitudinii
și fazei semnalului ecou ;
A -distributie Rayleigh ; ϕ – distribu ție uniform ă în intervalul [ 0 ; 2 π ] ;
τ(t) – timpul de întarziere al semnalului ecou , variabil în cazul punctelor
de reflexie mobile ;
5
ctyxRt),,(2)(=τ (2.2)
R(x,y,t) – distan ța de la punctul P la punctul A(x , y) de pe apertura
antenei ( vezi fig. 1) .
c – viteza de propagare a undelor .
)]( cos[ )]( cos[ )()]( cos[ )]( cos[ )( ),,(
000
t y t xtVtRt y t xtRtyxR
r ε βε β
⋅− ⋅−⋅−== ⋅− ⋅−=
t t ⋅Ω−=βββ0 )(
t t ⋅Ω−=εεε0 )(
βΩ – viteza unghiular ă în plan orizontal
εΩ- viteza unghiular ă în plan vertical xy
P(R,β,ε)
R(x,y,t) ),,(0 t Rεβ
A(x,y)y0
x0
z 0β ε
fig. 1
6 Se obține :
) sin( ) sin(cos cos )( ),,(
0 00 0 00
t yt xy xtVtRtyxRr
ε βεβ
ε β Ω−⋅Ω−−−−−=
(2.3)
Prelucrând ecua țiile (2.2) si (2.3) se ob ține :
]2)([2)(ttRctττ −= (2.4)
) sin sin ( cos cos ),,(0 0 0 0 0 ε β εβε β Ω⋅+Ω⋅+⋅−⋅−⋅−= y xVt y xRtyxRr
αεβ ⋅−−−= t y xRtyxR0 0 0 cos cos ),,( (2.5)
0 0 sin sin ε β αε β Ω⋅+ Ω⋅+= y x Vr
Înlocuind (2.5) în (2.4) se ob ține:
ατε βτ⋅−−− −=⋅ ]2)([ cos cos2)(
0 0 0tt y x Rtc
) cos cos (2)(0 0 0 αεβατ ⋅−−−⋅−= t y xRct (2.6)
tcy xRct ⋅−−−−⋅−=ααεβατ2) cos cos (2)(0 0 0
tct ⋅−⋅−=ααττ2)(0 (2 .7)
) (~)2(~)(0 0 τααταα−⋅−+⋅=−−+⋅= tccXActXAtYia (2.8)
Se noteaz ă :
0 00 0
sin sinsin sin),(ε βε β
αα
ε βε β
Ω⋅− Ω⋅−−Ω⋅+ Ω⋅++=−+=y x Vcy x Vc
ccyxs
rr ( 2.9 )
7 ),(yxs – parametrul ce caracterizeaz ă mobilitatea, atât in vitez ă radială,
cât și în viteză unghiular ă a punctului P,precum și direcția acestuia
relativ ă la punctul de recep ție.
) (~)(0τ−⋅⋅= tsXAtYia (2.10)
Deci semnalul reflectat de punctul mobil P este recep ționat de punctul
A(x,y) de pe apertura antenei ca o replic ă retardat ă cu 0τ și scalată cu s, a
semnalului de sondaj .
Fie D(x,y) func ția de distribu ție complex ă a câmpului pe apertura
antenei .Rezult ă :
) ),([~),( )( ),( )(0 0 τ−⋅ ⋅⋅=⋅= tyxsXAyxDtYyxDtYia (2.11)
(S-a considerat c ă e m i s i a s e f a c e d e a c e e a și antenă cu apertura iluminat ă
uniform) .
Antena transform ă semnalul spa țio – temporal într-un semnal temporal :
∫∫=
Sr dxdytyxY tY ),,( )(0 (2.12)
S -suprafa ța aperturii antenei .
În cazul re țelelor plane de antene se ob ține :
∑∑−
=−
==1
01
0, 0 ), ( )(nin
jijij r
tyxY tY (2.13)
În cazul modelului de band ă îngustă semnalul reflectat este:
)()]( [
)]( [~)]( [~)(
t j tj jt t j j
e e t tA Aee t tA Ae t Yia
ωτ ω ϕτω ϕ
ττ
−−
⋅⋅−⋅ == ⋅−⋅ =
8) sin(2) sin(2cos2cos2 2)(2)] sin( ) sin(cos cos )([2),,(2)(
0 00 0 00 0 00 0 00
tcytcxcy
cxtcVtRct yt xy xtVtRc ctyxRt
rr
ε βε β ε βεβ τ
ε βε β
Ω−⋅Ω−− − −− = Ω−⋅Ω−−−−−⋅= =
]}) ( [2 {
00) (~)(tdtdu
vdtduv uvuv t jtj jy
yx
x yy xx dee tA AetYia⋅+−+ −−−⋅−⋅=πωωτω ϕτ
(2.14)
) (2) () (2
00) (~)(dtdu
vdtduv jt j uvuv j j j
iay
yx
xd yy xxe e e e tA AetY+ −+ + −⋅−⋅=πωω πωτ ϕτ
( 2.15)
În rela țiile (2.14) și (2.15) s-au folosit urmatoarele nota ții:
cVr
d2=ω -frecven ța Doppler;
y xvv, – coordonate normate ( frecven țe spațiale );
y xuu, – cosinu șii directori ai direc ției de sosire a undei.
În rela ția (2.15) se observa form a modelului clasic al semnalului
ecou de band ă îngustă, care este o replic ă retardat ă cu τo și deplasat ă
în frecven ță cu :
) (2dtduvdtduvy
yx
x d tot + −=πωω (2.16)
dω – componenta Doppler radial ă;
) (2dtduvdtduvy
yx
x+π –componenta Doppler datorat ă vitezelor unghiulare;
și defazat ă în funcție de direc ția undei si pozi ția punctului pe apertura
9 antenei cu:
) cos2cos2(2) (2),,,( ),,,(0 0ελβλπ πεβy xuvuv yx vuvuyy xx yy xx + =+= Ψ= Ψ ( 2.17 )
Dup ă cum se observ ă în cazul semnalului de band ă largă nu se poate
face o separare în faz ă și frecven ță a parametrilor de direc ție și mobilitate,
aceștia fiind con ținuți în parametrul de scalare s (rela ția 2.9 ),complicându-
se astfel mult algoritmul de prelucrare spa țio –temporal ă.
1.2 Reprezentarea și analiza Fourier a semnalelor RADAR
Acest tip de reprezentare ofer ă o relație biunivoc ă între domeniul timp
și domeniul frecven ță, stând la baza proiect ării filtrelor analogice sau
numerice din sistemele de loca ție clasice.
Pentru semnalul y(t) transf ormata sa Fourier se define ște cu rela ția :
∫−=
Rtjdtety Yωω )( )(
Transformata invers ă, care permite refacerea univoc ă a semnalului
temporal este:
∫=
Rtjde Y ty ωωπω)(21)(
Se cunoa ște că sistemele de recep ție clasice, optime din punct de
vedere al criteriului maximiz ării raportului semnal /z gomot (pentru zgomot alb
gaussian) calculeaz ă integrala de corela ție între semnalul recep ționat y(t) și
replicile retardate și deplasate Doppler ale semnalului emis.
∫−− ∗− =
Rt j
d yx dt e txty Rd ) (
, ) ()( ),(τωτ ωτ
(2.18 )
10Ieșirea receptorului corela țional admite un maxim absolut, ob ținut
numai în cazul în care semnalul ecou coincide cu replica asteptat ă,
realizându-se astfel selec ția după τ si ωd (respectiv distan ță și viteză radială )
∫ ∫=−= − −=−− ∗−
Rx
Rtj tjEdt tx dt etx etx Rd d) ( ) ( ) (2 )( )(
max τ τ ττω τω
Dac ă în relația (2.18 ) se consider ă y(t)=x(t) se ob ține func ția de
incertitudine a semnalului de sondaj x(t) ,care joac ă un rol important în
analiza și prelucrarea semnalelor radar de band ă ingustă, determinând
capacitatea poten țială de separare în distan ță și viteză, specific ă semnalului
de sondaj x(t).
∫−− ∗− = =
Rt j
d xx dFIBI
x dt e txtx R Td )(
, ) ()( ),( ),(τωτ ωτ ωτ (2.19 )
Prelucrând rela ția (2.18) se ob ține :
∫ ∫ ∫−=−−= +=∗ −∗
R Rtj
Rtj
d yx dtthtydtetxtydt etxty Rd d)()( )()( )()( ),()( )(
, τ τ τωτω ω
)()( )(t jdetxthω−=∗
)()( ),(, thty Rd yx •=ωτ (2.20)
) ( )( )()( ),(, d d yx X Y H Y R ωωωωωωω −⋅=⋅=∗ (2.21)
Deci ieșirea receptorului optim coincide cu r ăspunsul unui filtru având
caracteristica :
) ( )(d X H ωωω −=∗
Aceast ă reprezentare simplific ă mult structura receptorului optim,
acesta realizându-se cu un banc de filtre ( fig. 2 )
11
O altă metodă de analiz ă Fourier, întalnit ă la radarele clasice,o
reprezint ă aplicarea TFD la filtrele de faz ă utilizate în scopul selec ției în vitez ă
(frecvență Doppler ) a țintelor.
Aceste metode de reprezentare utilizeaz ă modelul de band ă îngustă al
semnalului (rela ția 2.15 ), nefiind aplicabile î n c a z u l s e m n a l e l o r d e b a n d ă
foarte larg ă. Se va ar ăta ulterior c ă acestui model de semnal ( rela ția 2.10 ) i
se potrivesc mult mai bine te hnicile de reprezentare Wavelet și analiza timp-
frecvență.
1.3 Metode de reprezentare timp-frecven ță
Analiza spectral ă a func țiilor prin utilzarea seriilor sau integralelor
Fourier a devenit in ultimul ti mp o reprezentare neconcludent ă pentru ) (1d Xωω−∗
Determinare
maxim și
măsurare τ y(t) (τ 0 , ωd 0)
(D0 , v0 )) (2d Xωω−∗
) (dn Xωω−∗.
.
.
fig.2
12cerințele de performan ță impuse sistemelor radar moderne.Dup ă cum s-a
subliniat și în capitolele anterioare,reprezentarea semnalelor într-un singur
plan nu este suficient ă pentru a surprinde anumite propriet ăți ce
caracterizeaz ă semnalele nesta ționare și regimurile tranzitorii,influentându-se
astfel negativ calitatea procesarii.R eprezentarea unui semnal ca o func ție
exclusiv temporal ă ofera informa ții puține despre spectru , iar reprezent ările
Fourier mascheaz ă forma temporal ă și durata unor elemente ale
semnalului,care pot fi determin ante în analiza acestuia.
O reprezentare adecvat ă va combina avantajele celor dou ă descrieri :
temporal ă și spectral ă, obținându-se reprezentarea timp-frecven ță (Time
Frequency Representations), care asociaz ă unui semnal unidimensional (de
obicei dup ă variabila timp sau spa țiu ) o func ție bidimensional ă ,având ca și
variabile timpul și frecven ța . Se pot utiliza mai mu lte tipuri de reprezent ări
timp- frecven ță (t-ω) ,o clas ă particular ă a acestora fiind reprezent ările ce
urmăresc descompunerea liniar ă a semnalului dup ă o mulțime de func ții
(care formeaz ă o bază într-un subspa țiu de semnale).Descrierea și analiza
semnalului se va face astfel pe baza coeficien ților de descompunere și a
elementelor bazei.
O alta clas ă de reprezent ări timp-frecven ță o constituie
transformatele liniare continue, care asociaz ă semnalului x(t) o func ție
continuă bidimensional ă.
> >=< =<∗ ∗),(),( ),(),( ),( ωτ τ τ htx s htx s Tx
Aceste reprezent ări descriu o evolu ție spectral ă funcție de timp,
arătând în ce interval de timp sunt do minante anumite componente spectrale.
Dar elementele bazei de descompunere sau func țiile familiei h( τ ,s )
sunt de obicei func ții nenule pe un compact (sau ch iar pe un interval infinit),
având de asemenea și un spectru mai larg (d iferit de armonica pura
13întâlnită în descompunerile Fourier ). Astfel caracterizarea semnalului se face
cu o anumit ă imprecizie, atât în timp, cât și în frecven ță, imprecizie
determinat ă de intervalele ∆t x ∆ω p e c a r e f u n c țiile bazei, respectiv
transformatele lor Fourier sunt esen țial definite. Aceasta ne demonstreaz ă în
plus că informația conținută într-o reprezentare oarecare este constant ă, fiind
diferită doar forma ei de prezentare,imprecizia total ă respectând o inegalitate
de tip Heisenberg.
O aplicație bine cunoscut ă a reprezent ărilor t-ω o constituie portativul
muzical. Astfel semnalul temporal co respunzator unei linii melodice con ține
întreaga informa ție ce caracterizeaz ă melodia și este suficient ă aplicarea lui la
un sistem amplificator–difuzor pentru transformarea lui în muzic ă. Dar
această formă a semnalului este total neconcludent ă pentru membrii unei
orchestre care ar încerca s ă-l transformre în melodi e sonora fiind necesar ă
reprezentarea lui pe portativ, unde fiecare not ă muzicală (caracterizat ă de o
armonică sau un set de armonici) este bine pozi ționată în timp. De
asemenea, dac ă transformata Fourier al semn alului muzical s-ar aplica
sistemului amplificator-difuzor s-ar ob ține un rezultat total diferit de efectul
dorit, dar aceasta are o larg ă aplicabilitate în proiectarea filtrelor de procesare
a semnalului audio și a sistemelor de transmisie a acestuia.
În concluzie se poate observa c ă orice semnal se poate reprezenta în
planul t-ω în mai multe moduri , alegerea reprezent ării fiind în func ție de
scopul urmarit și de sistemul care va extrage, prelucra și utiliza informa ția
conținută în semnal.
14 1.3.1 Ferestre și atomi timp-frecven ță .
Se nume ște fereastr ă temporal ă o functie f(t) ∈ L²(R), pentru care
t f(t) ∈ L²(R).
Se poate defini centrul ferestrei C f si raza ferestrei R f.
∫=
Rf dttft
fC2
2)(1
(2.3.1)
∫⋅− =
Rf f dttf Ct
fR2 2
2)( ) (1 (2.3.2)
Lungimea util ă a ferestrei va fi 2R f, și aceasta define ște intervalul
pentru care func ția f(t) este esen țial definit ă :
I= [C f – R f ; Cf + R f ]
Dacă f(t) este par ă sau impar ă atunci C f =0 și se spune c ă fereastra este
centrată :
I= [– R f ; +Rf ]
Daca f(t) este o fereastr ă temporal ă și în plus ω F(ω)∈L²(R),
atunci cuplul (f, F) formeaz ă o fereastr ă timp –frecven ță.
W f =[C f – R f ; Cf + R f ] X [C F – R F ; CF + R F ] (2.3.3)
Aria ferestrei este :
F f f RR WS ⋅=4)( (2.3.4)
Atomii timp-frecven ță sunt func ții obținute prin ac țiunea unui grup de
transform ări elementare (transla ție, scalare) asupra unei func ții de baz ă
(atomul generator),care posed ă proprieta ți bune de localizare în planul timp-
frecvență și sunt prin defini ție purtători ai unei unita ți de informa ție, fiind
elementul etalon de comparare în anali za unui semnal. Se poate demonstra
că operațiile elementare de transla ție și scalare conserv ă rezoluția t-ω a
semnalului asupra c ăruia acționează, deci și atomii t- ω rezultați vor avea
15proprieta ți bune de localizare în aces t plan. În general se utilizeaz ă o
fereastră t-ω ca și atom generator,aceasta având proprieta ți bune de
localizare (rela ția 2.3.3).
Exemplu :-fereastra gaussian ă centrată
22
2
21)(σ
σπσt
e tg−
= (2.3.5)
Conform rela țiilor (2.3.1 ) si (2.3.2) se determin ă 0=gC si 2Rgσ=
)(2)(/12/22ωσπωσσω
σ g e G = =−
( 2. 3.6)
0=GC si σ21=GR ⇒
2 4)( =⋅=Gg g RR WS (2.3.7)
Deci aria oricarei ferestre gaussiene este independent ă de σ si egală cu
2 ( fig. 3).
Atomii timp-frecven ță obținuți din fereastra gaussian ă )(tgσ se
exprimă prin familia de func ții : )(tgσ
2/σ− 2/σt
fig. 3
16222
2) (
21) ( ),,(στ
σ σσπττst
estgtsg−−
=−= (2.3.8)
1.3.2 Proprieta țile atomilor timp-frecven ță. Baze de descompunere
a semnalelor .
Se pune problema constituirii baze lor de descompunere cu ajutorul
atomilor timp-frecven ță. Pentru ob ținerea unei eficien țe marite în analiza
semnalelor, atomii t – ω trebuie s ă aibă în primul rând proprieta ți bune de
localizare timp-frecven ță. Se consider ă că o funcție g(t) are o localizare
bună în planul timp-frecven ță dacă produsul R g RG este suficient de mic.
(Limita inferioar ă a produsului este dat ă de inegalitatea Heisenberg)
Se recomand ă ca atomul generator s ă aparțină c l a s e i d e f u n c ții tip
fereastră timp-frecventa sau clasei de func ții Schwartz.
Fie g i,k (t) ∈L2 (R) un atom t – ω, în jurul punctului (i, k) ∈Z2. Dacă :
mkni mn
Rki dtt gtg, , , , )( )( δδ=∗∫ și (∀) x(t) ∈L2 (R) acesta se poate
scrie:
∑∑
∈∈⋅ =
ZiZ kkitgki tx )( ),( )(,α (2.3.9)
dtt gtx kiki
R)(*)( ),(,⋅=∫α (2.3.10)
Un coeficient al descompunerii α(i,k) poate fi interpretat ca o
masură a energiei de interac țiune dintre semnalul analizat și atomul
gi ,k (t), sau altfel spus acesta arat ă gradul de “asem ănare” dintre cele
două semnale x(t) si g i ,k (t), determinat prin intermediul produsului scalar
pe L2(R).
17 Dac ă )( )(0,0t gtxki= ⇒ 0, 0, ),(kk ii ki δδα ⋅=
Energia semnalului x(t) se exprim ă cu relația :
∫∑∑
∈∈= =
R ZiZ kx ki dttx E2 2),( )( α (2.3.11)
Astfel o descompunere liniar ă, după o bază ortonormat ă ne arat ă și
distribuția energetic ă în planul t – ω a semnalului analizat.
Un exemplu de atom t – ω îl constituie familia de func ții armonice
“ferestruite” rectangular:
=+−∈−]21,21[_
__0 ,) (2
)(k kt pentru e
restin kiktij
tπ
ϕ
Deși funcția:
==+−∈ ]21,21[_ _1
__0 0,0)( )(t pentru
restin t tϕϕ
nu îndepline ște condițiile unei ferestre t – ω ( ωϕ(ω)∉L2(R)), atomii
generați pot fi utiliza ți ca o baz ă ortonormat ă de descompunere:
∑∑
∈∈⋅ =
ZiZ kkit ki tx )( ),( )(~
,ϕα (2.3.12)
Se arat ă că 0 )(~)(2=−Ltxtx ⇒
)(~)( txtx= a.p.t.
Dacă se consider ă o familie de atomi: g s,τ(t), unde (s, τ)∈R2, aceasta
formează o bază continuă în spațiul L2 (R), dacă:
18) ( ),()(*)(, , tt dsdsJt gtgG
RXRs s′−= ⋅′⋅∫∫δτττ τ
(rela ția de închidere a bazei)
JG(s,τ)– reprezint ă iacobianul transform ării care ac ționează asupra
atomului generator .
Pentru un semnal oarecare x(t) se define ște :
dtt gtx sTs
Rx )(*)( ),(,τ τ ⋅=∫ (2.3.13)
Relația (2.3.13) reprezint ă o transformare continu ă, care este foarte
redundant ă, rezultând suprapuneri de supo rturi ale elementelor bazei. De
aceea se impune o discretizare a reprezent ărilor continue prin e șantionarea
timp-frecven ță acestor func ții, rezultând o analiz ă multirezolu ție a semnalelor.
1.3.3 Principiul incertitudinii în analiza timp-frecven ță.
Acest principiu arat ă că în analiza timp-frecven ță a unui semnal nu
poate să se obțină o precizie oricât de bun ă ,atât în domeniul timp ,cât și în
domeniul frecven ță. Precizia ob ținută poartă denumirea de rezolu ție
(temporal ă sau în frecven ță). Principiul se poate interpreta și justifica prin
prisma afirma ției făcute anterior, c ă orice reprezentare con ține aceia și
cantitate de informa ție modificându-se doar forma ei de prezentare.
Principiul ne arat ă că oricare ar fi [g(t),G( ω) ] o fereastr ă timp-
frecvență, aria acesteia verific ă relația :
G g g RR WS ⋅≥4)( (2.3.14)
Egalitatea are loc dac ă și numai dac ă fereastra este gaussian ă.
Pentru demonstrarea teoremei se poat e aplica inegalitatea Cauchy-Schwarz:
19 (∀) u,v∈E –spatiu vectorial normat cu ||u||=<u,u> , se respect ă
inegalitatea:
| <u,v>|² = || u||²||v||² (2.3.15)
Egalitatea se indepline ște dacă și numai dac ă u,v liniar dependen ți,
adică u=λ ⋅v λ∈R
Pentru dou ă funcții f,g ∈L² ,se define ște produsul scalar:
< f, g > = dttgtf
R)()(⋅∫
u = t ⋅g(t)∈ L²
v= g ‘(t) ∈ L² ( aceasta rezult ă din defini ția ferestrei
timp- frecven ță; ω⋅G(ω)∈ L² )
2
21)()( , g dttgtgt ggt
R⋅−=′⋅⋅=′⋅∫
∫⋅=⋅=⋅
RgRg dttgt gt2 2 2 2 2)(
2 2 2 2 2 2
21
21)( ,g
RRg G g dttg gg g ⋅=⋅⋅=′⋅=′=′′=′∫ωπ π
⇒ 2 4=⋅G gRR S (W g ) = 2
Dac ă f(t) este o func ție gaussian ă rezultă evident :
2
2 214)( =⋅
⋅⋅=σ
σgWS
Reciproc , dac ă S (W g ) =2 ⇒ t ⋅g(t) = λ g‘(t) , λ∈ R ⇒
dtdggt⋅=⋅λ ⇒ t² /2 = – λ ln (g) ⇒ g(t) = C ⋅ exp(- t² / 2 λ)
Rezultatul ac estei teoreme, care reprezint ă o relație de tip Heisenberg
ne arată că nu se poate ob ține o rezolu ție oricât de bun ă ,atât în timp , cât și
în frecven ță. Astfel, dac ă se îmbunat ățește rezolu ția în domeniul frecven ței,
20implicit se va m ări fereastra temporal ă și rezoluția în timp scade . ( fig. 4 )
fig. 4
∆ t = 2 R
g ∆ω = 2R G
Principiul incertitudinii stabile ște că dacă o func ție g este esen țial
definită pe intervalul [C g-∆t/2 ; C g+∆t/2], atunci transformata sa Fourier G va
fi esențial definit ă pe un interval mai larg decât [C G–1/∆t ; C G+1/∆t ] și deci:
S(W g) ≥ ∆t⋅(2/∆t)= 2
Rela ția se verific ă simplu și în cazul impulsului rectangular de VF, de și
acesta nu îndepline ște condițiile unei ferestre t- ω :
g(t ) = 1 [0; ∆ t]
∆ω ω
CG +R G
CG –RG ∆ t t S (Wg)
Cg – Rg Cg + Rg
ω g(t)
t
G(ω)
∆ t -2π/∆t 2π/∆t
fig. 5
21
Mărimea S(W g )= ∆t⋅∆ω se mai nume ște și baza semnalului g(t). În
funcție de mărimile R g și R G se pot defini durata efectiva a semnalului T g și
respectiv banda efectiv ă a semnalului B g :
2g
gRT= 2G
gRB= (2.3.16)
Cu aceste notatii se obtine :
S(W g )= 8T g⋅Bg = 2 ⇒ T g ⋅Bg= 1/4 (2.3 .17)
În etapele proces ării semnalului RADAR aceste m ărimi au o
semnifica ție majoră pentru interpretarea capacit ății potențiale de separare în
distanță, respectiv vitez ă, precum și a preciziei de m ăsurare a acestor
parametri.Astel se pot exprima parametrii “poten țiali” de calitate ai
receptorului RADAR în func ție de aceste m ărimi, care caracterizeaz ă semnalul
de sondaj g(t):
-capacitatea poten țială de separare în distan ță:
δD =(c/2)⋅∆t =c⋅Rg (2.3.18)
-capacitatea poten țială de separare în vitez ă radială :
δv =(λ/2)⋅∆ω= λ⋅RG (2.3.19)
-precizia potential ă de măsurare a distan ței (timpului de întârziere) și
vitezei radiale (devia ției de frecven ță) este invers propor țională cu
coeficientul :
k =2q² ⋅Tg ⋅Bg = q² ⋅Rg⋅RG =(q²/4)⋅S(W g ) (2.3.20)
(q reprezint ă raportul semnal / zgomot )
Din relațiile (2.3.18) și (2.3.19) se ob ține :
δD⋅δv= c⋅Rg⋅λ⋅Rg ⇒ δD⋅δv = c⋅λ/4 (2.3.21)
Utilizarea unor semnale cu baza mare și prelucrarea corespunz ătoare a
acestoa permite extragerea unor informa ții RADAR superioare, atât
22calitativ,cât și cantitativ. Alegerea tipu lui de semnal de sondaj și a formei de
reprezentare a semnaluluiecou se face în func ți e d e s c o p u l u r m ărit,
observându-se din rela țiile prezentate anterior imposibilitatea maximiz ării
simultane a acestor parametri.
Inegalitatea Heisenberg pune în eviden ță imposibilitatea localiz ării
simultane (în acela și spațiu de reprezentare ), cu o precizie arbitrar de bun ă,
atât în domeniul timp ,cât și în domeniul frecven ță. În mod similar se poate
arăta că este imposibil ca un semnal s ă-și concentreze toat ă energia pe
suporturi compacte în cele dou ă domenii.
1.3.4 Transformata Fourier cu fereastr ă glisantă (T.F.F.G. ,T.F.S.)
S-a arătat că analiza Fourier clasic ă a unui semnal nu permite ob ținerea de
informații localizate în timp, pe baza imag inii semnalului în domeniul de
reprezentare transformat. TFFG(T.F .S) va asigura analizei Fourier și o
anumită localizare temporal ă prin “ferestruirea “ semn alului supus analizei cu
ajutorul unei func ții (fereastra temporal ă), centrate în jurul momentului de
interes .
Ideia natural ă de realizare a unei descompuneri a func ției f(t), în planul
ω-t, const ă în utilizarea unei ferestre temporale w(t) , care s ă localizeze în
timp informa ția dată de transformata Fourier. Fe reastra w(t) va fi translatat ă
în timp, ob ținându-se replici retard ate ale acesteia w(t- τ) și un spectru
instantaneu al semnalului analizat.
Transformata Fourier cu fereastr ă glisantă a semnalului f(t) ∈ L² (R) , se
definește ca fiind func ția de dou ă variabile T
f (ω, τ) :R² → R, dată de relația:
T f (ω,τ) =∫− ∗−⋅
Rtjdte twtfωτ) ( )( (2.3.22 )
23 cu w(t) –fereastr ă temporal ă
Exemple :
a) Fereastra rectangular ă 🙁 fig. 6 )
w(t)= 1 [-T; T]
W(ω) =2T⋅sinc (ωT)
Acest tip de fereastr ă asigură o bună localizare temporal ă, dar o slab ă
localizare în frecven ță (funcția sinc prezint ă lobi laterali mari )
∫∫+
−− − ∗⋅= −⋅=
RT
Ttj tj
f dtetf dte twtf Tτ
τω ωτ τω )( ) ( )( ),(
La limită, pentru T → ∞ , se obține:
)( )( )( ),( lim limω τωωτ
τωFdtetf dtetf TtjT
Ttj
Tf
T=⋅=⋅ = ∫ ∫∞
∞−−+
−−
∞→ ∞→
)( )( limωδω=
∞→W
T
Se observ ă și din acest exemplu c ă o localizare ideal ă în domeniul
frecvenței (o fereastra W( ω) de tip distribu ție Dirac ), determin ă pierderea
totală a informa ției temporale, ob ținându-se la limit ă cazul transformatei
Fourier clasice. W(ω) w(t)
t ω
fig. 6
24Se arată că ω⋅W(ω)∉L², deci impulsul rect angular nu îndepline ște condițiile
unei ferestre t- ω.
b) Fereastra triunghiular ă (BARTLET) (fig. 7)
w(ω) =T sinc² ( ωT/2)
fig. 7
Se arată că ω⋅w(ω)∈L²(R), deci îndepline ște condițiile unei ferestre t- ω,
dar are o slab ă rezoluție în frecven ță.
∫∫+
−− − ∗ −−⋅ = −⋅=
RT
Ttj tj
f dteTttf dte twtf Tτ
τω ω ττ τω ) 1()( ) ( )( ),(
La fel, ca și în cazul ferestrei rectangulare la limit ă se obține:
)( )( )( ),( lim limω τωωτ
τωFdtetf dtetf TtjT
Ttj
Tf
T=⋅=⋅ = ∫ ∫∞
∞−−+
−−
∞→ ∞→
Dac ă semnalul de analizat este de energie finit ă, atunci ferestrelor w(t)
nu trebuie s ă li se impun ă condiții de admisibilitate, fiind suficient ca ele s ă fie
din L(R) sau L²(R). Dar se recomand ă ca funcțiile w să fie ferestre t- ω și să
fie normate ||w||=1. -T Tω t w(t) W(ω) w(t)= 1- | t | / t pentru t ∈[-T ; T ]
0 în rest
25
1.3.5 Transformata Gabor.
Se nume ște transformata Gabor a semnalul ui f(t) , TFFG(T.F.S.) care
utilizează fereastra gaussian ă cu σ =1.
dte e tf Gtjt
Rfωτ
πτω−−−⋅⋅=∫2) (2
21)( ),( (2.3.2 3)
dt e tf Gtjt
Rf]2) ([2
21)( ),(ωτ
πτω+−−⋅⋅=∫ (2.3.24)
Deci tran sformata Gabor este un caz particular al TFFG ,pentru care
2
12
21)( )(t
e tgtw−=
π (vezi fig.8)
W( ω)= exp(-ω²/2)
S(W g)= 4 R g⋅RG = 2
Utilizarea acestui tip de fereastr ă conferă avantajul optimiz ării din punct w(t) W(ω)
ω t
fig.8
26de vedere al principiului in certitudinii, având aria minim ă.
Dacă se discretizeaz ă frecvența ω =n⋅ωo și retardarea τ= m⋅τo
se poate obtine T.G.D. (transformat a Gabor discreta ,in timp continuu)
dt e e tf mnGtjnmt
Rf02
0
2) (
21)( ),(ωτ
π−−−⋅⋅=∫ (2.3.25)
τo= 1 și ωo=π
dt e e tf mnGtjnmt
Rfπ
π−−−⋅⋅=∫2) (2
21)( ),( (2.3.26)
∫∗⋅=
Rmn f dtt tf mnG )( )( ),(,ψ
(2.3.27)
tjnmt
mn e e tπ
πψ−−−∗⋅=2) (
,2
21)( (2.3.28)
Re prezentând grafic func țiile definite de rela ția (2.3.28), pentru
diferite valori ale cuplului (m,n) se ob ține:
Re{ψ*4,-2(t)} Re{ψ*2,2(t)} ψ*m,n(t)
t
fig.9
27
Din figura 9 se observ ă că atât aria, cât și profilul ferestrei este
constant, undi șoarele elementare (de descompunere ) având aceia și anvelop ă
gaussian ă.Ele se ob țin prin modula ții cu diferite purt ătoare (nωo) și translații
în timp a ferestrei gaussi ene de parametri constan ți.(σ =1)
1.3.6. Interpretarea T.F.F.G. (T.F.S)
Conform rela ției de definire a T.F.F.G. rezult ă :
∫∫∫
−∗ −−− ∗ −− ∗
⋅+⋅== −⋅⋅== −⋅=
Rtj jRtj jRtj
f
dt etw tf edt etwtf edt etwtf T
)()(0
0 00 00
)() () ()() ()( ),(
ω τωτω τωω
τττ τω
Se noteaz ă: tjet w tv0)( )(ω− ∗−−= ⇒
)( ),(0
0 τ τωτωfv e Tj
f •⋅=−
Deci T f (ωo, τ) reprezint ă răspunsul unui filtru, cu func ția pondere
h(t)= exp(-j ωoτ)⋅v(t), când la intrare se aplic ă f(t).
T
f (ωo, τ) reprezint ă răspunsul unui filtru trece band ă, având caracteristica
de amplitudine identic ă cu spectrul func ției fereastr ă, translatat la H(j ω)=
exp(-jωoτ)w(ω-ωo) f(t) Tf (ωo,τ)
28ωo.Exemplificând pentru cazul gaussian și undișoarele prezentate în fig.9 se
obțin următoarele caracteristici de filtraj:(fig10)
Se poate afirma c ă Tf (ω,τo) ne arat ă spectrul unei por țiuni din semnalul
f(t), localizat în fereastra temporal ă [τo-Rw;τo+Rw].Evident rezolu ția de
determinare a spectrului este cu atât mai bun ă cu cât fereastra este mai
îngustă în domeniul frecven ță, implicând o fereastr ă cât mai larg ă în
domeniul timp .Imprecizia de de terminare a spectrului este dat ă de 2R w. Dacă
se micșorează Rw, rezultă o creștere a lui R w și implicit o localizare mai slab ă
în timp.(fig.11).
Pentru R w → 0, adică W(ω) =2π⋅δ(ω), rezultă w(t)=1 și Rw → ∞,
T f (ω,τ)=F(ω), obținându-se reprezentarea Fourier a semnalului.
Pentru R w → 0 ,adică w(t)= δ(t), rezult ă W(ω)=1 si R w → ∞,
∫⋅= −⋅=− −
Rj tj
f f edte t tf T )( ) ()( ),( τ τδ τωωτ ω
0 2ωo 4 ωo| H(jω) |
| ψ2,2| | ψ4,-2 |
ω
fig. 10
29 obtinandu-se astfel o repreze ntare temporala a semnalului.
∫⋅= −⋅=− −
Rj tj
f f edte t tf T )( ) ()( ),( τ τδ τωωτ ω
Din punct de vedere al proces ării semnalului RADAR, TFS se poate
interpreta ca o func ție de incertit udine de band ă îngustă. Dacă se scrie
funcția de ambiguitate, modelul de band ă îngustă, pentru semnalul ecou y(t)
și semnalul de sondaj x(t) se ob ține :
),( ) ()( ),( ),() (
, , d
RTFS
yt j
d yx d yx Tdt e txty Rdωτ τ ωτ ωτρτω∫= −⋅= =−− ∗
(2.3.29 )
Deci func ția de ambiguitate(in certitudine) de band ă îngustă se poate
reprezenta ca o TFS (TFFG) a semnalului ecou y(t), utilizând ca și fereastr ă
semnalul de sondaj x(t). De altfel, rece ptorul optim, din punct de vedere al
maximizării raportului semnal/zgomot calculez ă corelația între semnalul ecou
și replicile retardate și deplasate Doppler ale semnal ului de sondaj (fig.2). f(t) f (ω) ≈ |Tf (ω, τ0)|
2⋅Rw
2⋅RW τo -Rw τo τo +Rw t ω
fig. 11
30Astfel ie șirea receptorului RADAR coincide cu o TFS, a c ărei precizie de
localizare temporal ă Rx determin ă precizia de m ăsurare a distan ței, iar
precizia de localizare în frecven ță R X d e t e r m i n ă precizia de m ăsurare a
vitezei.
Analizând atomii timp-frecven ță specifici unei reprezent ări de tip TFS
se obțin domeniile din planul t- ω prezentate în fig. 12
Un coeficient T
f(ωi,τi) descrie func ția f(t) într-o fereastr ă
dreptunghiular ă de arie constant ă 2Rw⋅Rw și de profil constant. Aceasta nu
permite ob ținerea simultan ă a unor rezolu ții bune, atât în timp, cât și în
frecvență și a unei rezolu ții variabile.În func ție de caracteristicile locale ale
semnalului analizat se va face un compromis rezolu ție t / rezolu ție ω.
τ1-Rw τ1 τ1+Rw τ2-Rw τ2 τ2+Rw ω
ω2+R W
ω2
ω2-Rw
ω1+Rw
ω1
ω1-Rw 2Rw
2Rw
τ
fig.12
31
În fig. 13 sunt prezentate trei cazu ri de semnale arbitrare, întâlnite în
practică ( impuls RADAR de VF , not ă produsă de un instrument muzical și o
imagine plan ă).Se observ ă că în toate cele trei cazuri se disting zone de
regim tranzitoriu (1) și zone de regim sta ționar (2), în func ție de
caracteristicile locale ale semnalului.Astfel por țiunile sta ționare ale semnalelor
se vor studia cu o fereastr ă îngustă în frecven ță și largă în timp.Por țiunile
tranzitorii sunt limitate în timp, dar spectrul lo r este foarte larg, utilizându-se
în consecin ță o fereastr ă îngustă în timp și largă în frecven ță.Altfel spus la
joasa frecven ță procesele au o durat ă mare în timp și un spectru îngust iar la
înaltă frecvență procesele sunt scurte ca durat ă, dar au o band ă largă, cu
salturi mari de frecven ță.Deci atomii t- ω se vor alege în func ție de tipul
semnalului analizat (sta ționar sau tranzitoriu) și de frecven ța medie a lor .
(fig.14)
f1(t) f2(t)
y
x 1 2 2
1
t 1 2
t
fig.13
32
În cazul TFS profilul ferestrei t- ω este acela și indiferent de frecven ța
centrală a atomului (fig.12), obtinându-se o rezolu ție constant ă.Pentru a se
obține o rezolu ție variabil ă (fig.14 ) este necesar ă alegerea unor ferestre cu
profil diferit și schimbarea func ției fereastr ă w(t) pentru fiecare domeniu de
frecvență.Eliminarea acestui dezavantaj se face prin aplicarea transformatei
Wavelet , care spre deosebire de TFS î și genereaz ă atomii prin transla ții și
dilatări ale unei func ții de bază, rezultând rezolu ții diferite.
1.3.7 Transformata WAVELET.
Se nume ște “undișoară mamă” o funcție ψ:R→R care define ște o
fereastră t-ω și îndepline ște condiția de admisibilitate:
∫∞<Ψ
Rdωωω2)(
( 2.3.30 )
Deoarece ψ(t) define ște o fereastr ă t-ω ⇒ ψ∈L(R)∩L²(R) și
ψ∈L(R)∩L²(R).Din condi ția de admisibilitate ⇒ ψ(0) =∫R ψ(t)dt=0.
Deci “undi șoarele mam ă” trebuie s ă fie funcții continue, m ărginite și
nule la infinit și cu media nul ă. t1
2 ω
t ω
I.F.
M.F.
J.F.
fig.14
33 Se nume ște transformat ă WAVELET (continu ă) a unei func ții f∈L²(R),
asociată undișoarei ψ(t), funcția W f :R*XR → C, dată de relația :
∫∗⋅===
Rs s f dtt tf f sW )( )( , ),(, , τ τ ψ ψτ
( 2.3.31 )
ψs,τ – reprezinta o familie de undi șoare (atomi), generat ădin
undișoara mam ă prin transla ții cu τ și dilatații (scalări ) cu s.
−⋅=st
stsτψ ψτ1)(, ( 2.3.32 )
s-parametru de scal ă, invers propor țional cu frecven ța s=ωo/ω
τ- prametru temporal, semnificând transla ția temporal ă
Exemple:
1. Armonica atenuat ă gaussian.
)4cos(
21)(22
t e tt
π
πψ−
⋅=
) 4cos(
21)(22
2) (
,ste
stst
sτπ
πψτ
τ−⋅=−−
2)4(2
)(πω
ω−−=Ψ e
2)4 (21)(1)(πω
ω ω−−⋅=Ψ⋅=Ψs
s e
ss
s
34
Din fig.15 se observ ă propriet ățile de filtraj ale TWC. Dac ă se compar ă
acestea cu cele ob ținute pentru TFS (fig.10) se observ ă că în acest caz
fereastra t- ω
are profil variabil, asigurându-se astfel o band ă de filtrare
adecvată frecvenței de lucru.
2.Pălăria mexican ă.(derivata de ordinul 2 a func ției gaussiene).
2 22
) 1()(t
et t−⋅−=ψ 22
2
22
0, ) 1()(st
s estt−
⋅−=ψ ψs(ω) s>1
s=1 |s|<1 |s|=1 ψs,0(t)
s<1 ψs,0(t) ψs,0(t)
|s|>1
t tt
ω
-ωo/s1 -ωo -ωo/s2 ωo/s2 ωo ωo/s1
fig.15
35 2)(1)( ωψ ω s
ss ⋅=Ψ
Acest tip de “undi șoară” asigură o localizare bun ă, atât temporala, cât
și în frecven ță (fig 16)
3.Undi șoare Haar.
4sin )(2 2ωωωω
c ejj
⋅⋅=Ψ−
ψ(t) Ψ (ω)
t ω
-ωo ωo
fig.16
ψ(t) = 1 pentru t ∈[0;1/2]
-1 pentru t ∈[1/2;1]
0 în rest
ψs,0(t)= |s|-1/2 pentru t ∈[0;s/2]
-|s|-1/2 pentru t∈[s/2;s]
0 în rest
36
1.3.8 Interpretarea T.W.C.
Se consider ă ψ(t) o undi șoară centrată (Cψ=0).
∫⋅ =
Rdtt t R2 2
22)(1ψ
ψψ
∫Ψ⋅
Ψ==Ψ
Rd C ωωω ω2
2 0 )(1
∫Ψ⋅−
Ψ=
Rd R ωωωωψ2 2
0 22)( ) (1
În general ψ(ω) este o caracteristic ă de tip trece-band ă, având
frecvența central ă ωo și lărgimea de band ă 2RΨ. Se poate spune atunci c ă prin
coeficientul Wavelet W f(s,τ) se obține o informa ție asupra spectrului lui f
în fereastra t- ω :
[τ-sRψ ;τ+sRψ ] x [ s-1(ωo- RΨ) ; s-1(ωo+RΨ) ] (2.3.33) ψ(t) Ψ(ω)|
t ω
fig.17
37a cărei frecven ță centrală este ωo/s și a cărei arie este
S(W ψ)=2sR ψ ⋅2s-1⋅RΨ=4 Rψ RΨ=constant .
Deci aria ferestrei este constant ă, iar profilul ei variabil.Se demonstreaz ă
simplu urm ătoarele rela ții:
R ψs,τ =sRψ C Ψ=ωO CΨs,τ= ωO/s R Ψs,τ=s-1RΨ
În compara ție cu fereastra t- ω a TFS, în cazul TWC profilul ferestrei
este variabil în func ție de frecven ță .
Din punct de vedere al filtrajului TWC se poate interpreta astfel:
dtt ft dtsttf
ssW
Rs
Rf ∫ ∫−⋅−=
−⋅ =∗) ()( )(1),( τ ψτψ τ
=st
stsψ ψ1)(
W f(s,τ)=f•ψs(-t)
W f(s,τ) reprezint ă răspunsul unui filtru trece-band ă, a carui func ție
pondere este h(t)= ψs(-t), când la intrare se aplic ă f(t).
H s(jω)=|s|-1/2 ψ(sω)
Deci caracteristi ca de filtraj a unui atom are deplasat ă frecven ța
centrală la ωo(s) =ωo/s și are banda de trecere variabil ă în func ție de
frecvență. FTB
h(t)= ψs(-t) f(t) Wf(s,τ)
38 sB
sRBs02==ψ
0B B⋅=ωω
1.3.9 Transformarea Wavelet discret ă.
Daca în locul varia ției continue a parametrilor s si τ ai func ției
ψs,τ(t) se alege o varia ție discret ă, definită de :
s=s om și τ=τo n⋅s=τo n⋅som m,n∈Z
(τo,so reprezint ă dimensiunile pasului de discretizare pentru transla ția și
respectiv dilatarea variabilei t ) , se ob ține transformata Wavelet discret ă
(TWD) sau seria Wavelet în timp continuu.
dtt tf nmW
Rnm f )( )( ),(,∫∗⋅=ψ (2.3.34)
()0 02
0
00 0 2
0 ,)( τ ψτψ ψ nts ssns tstmm
mmm
nm − =
−=−∗−∗−∗
(2.3.35)
Transformarea asociaz ă unei func ții din L2(R) o funcție de dou ă variabile
discrete W f ∈l2(Z2).
În unel e cazuri se alege s o=2 si τo=1 și se obține:
() nt tmm
nm − =−∗−∗2 2)(2
, ψ ψ
() ∫ ∫−⋅ = ⋅=−∗−∗
Rmm
Rnm f dtnt tf dtt tf nmW 2 )( 2 )( )( ),(2
, ψ ψ (2.3.36)
Reprezentând grafic, în planul t- ω, punctele de discretizare a celor doi
parametrii se ob ține situația din fig . 18
39
Dup ă cum se observ ă din fig.18 pasul de transla ție depinde
proporțional cu pasul de discretizare a scalei (invers propor țional cu pasul de
discretizare a frecven ței). Scara de reprezentare a frecven țelor este diadic ă,
iar a retard ării temporale este liniar ă.Punctele re țelei reprezint ă perechile
mxn pentru care se calculeaz ă coeficien ții W
f(m,n).Num ărul punctelor de
calcul cre ște în serie geometric ă de rație 2, odat ă cu creșterea frecven ței.De
asemenea se poate observa c ă prin acest mod de definire, re țeaua de
eșantionare este în bun ă concordan ță cu structura ferestrelor t- ω,
asigurându-se o rezolu ție bună în frecven ță la coeficien ți de scal ă mari și o
rezoluție mai slab ă la coeficien ți de scală mici. Astfel se elimin ă redundan țele
TWC. Func ția ψ(t) se poate alege astfel încât șirul de func ții (ψ
m,n) m,n∈Z să
formeze o baz ă ortonormat ă în spațiul L2(R). Se ob țin astfel bazele de
“undișoare” diadice ortogonale. ω=1/s=2-m
τ=n2m
fig.18• • •
• •
40 Dac ă se dore ște o rezolu ție mai fin ă în frecven ță, se poate utiliza
tehnica numit ă “voicing”, pentru a se ob ține J voci/octav ă.În acest caz se
alege s=2m+j /2 și fiecare octav ă de pe axa scalei este divizat ă în J valori
adiționale j =0,1,…J-1. Se spune c ă tripletul (m,j,n) define ște vocea j din
diada m, în juru l momentului n.
Func țiile de baz ă devin în acest caz :
) 2( 2)() (
2/
,, nt tJjmJjm
njm − ⋅=+−∗+−∗ψ ψ m,n ∈Z j=0,1,2,…,J-1
dtt tf njmW
Rnjm f )( )( ),,(,,∫∗⋅=ψ (2.3.37)
În acest fel marcajul coeficien ților reprezentat în fig.18 se completeaz ă
cu încă J puncte de calcul pe fiecare diad ă.
Exprimarea lui f(t) se face ca o serie de “undi șoare”, având coeficien ții
Wf, relație care se mai nume ște și transformata wavelet discret ă inversă:
∑∞
−∞=⋅ =
nmnm f t nmW tf
,,)( ),( )( ψ (2.3.38)
∑∑∞
−∞=−
=⋅ =
nmnjm fJ
jt njmW tf
,,,1
0)( ),,( )( ψ (2.3.39)
Exemplu: (Pălăria mexican ă)
2 2
42
) 1(
32)(tet th−−⋅
⋅=
π
2) 2(
2 2
4,2
]) 2(1[2
32)(nt
mm
nmm
e nt th−−− −−
⋅−−⋅
⋅=
π
41 dtthtf nmW
Rnm f )( )( ),(,∫∗⋅=
∑∞
−∞=⋅ =
nmnm f thnmW tf
,,)( ),( )(
h00 t ()
t30 20 10 0 10 20 300.500.51
h11 t ()
t30 20 10 0 10 20 300.500.51
h22 t ()
t30 20 10 0 10 20 300.500.5
t h-1,2(t)
hm,n(t)
h0,0(t)
h1,-1(t)
fig.19
42
1.3.10 Serii Wavelet în timp discret
Se define ște pornind de la TWD prin discretizarea timpului: t=kT 0
∑
∈∗=
Zknm f kT kTf nmW )( )( ),(0 , 0ψ
∑
∈∗=
Zknm f k kf nmW )( )( ),(,ψ (2.3.40)
Transformata invers ă se scrie:
∑∑
∈∈⋅ =
ZmZ nnm f k nmW kf )( ),( )(,ψ (2.3.41)
1.3.11 Propriet ățile transformatei Wavelet
1.Simetria.
Aceast ă proprietate permite inters chimbabilitatea lui f(t) și g(t), când
ambele func ții sunt admisibile.
dtstgtf
ss W
Rgf ∫
−⋅⋅=∗ττ )(1),(/
dtstftg
ss W
Rfg ∫
−⋅⋅=∗ττ )(1),(/
−= ∗∗ssW s Wfg gfττ ,1),(/ / (2.3.42)
2.Forma corela țională a TW.
Dac ă se noteaz ă gs(t) =|s|-1/2g(t/s) , atunci TW este identic ă cu
corelația funcțiilor f(t) și gs(t).
43∫∫
−⋅⋅=−⋅=∗∗ ∗
RRs sstgtf
sdt tgtf tgtfττ )(1) ( )( )( )(
),( )( )(/τs Wtgtfgf s=∗ (2.3.43)
3. Formula de inversare și conservarea energiei:
Fie f,g ∈L2(R), g(t) admisibil ă și s≠0, atunci :
τττ dsd
ss
stg sWKtf
RRf
g2
),(1)(−
⋅
−⋅ =∫∫ (2.3.44)
∞< =∫ωωωdGK
Rg2)(
Energia semnalul ui f(t) se poate exprima cu rela ția:
ττ
dsd
ssW
KE
RRf
gf∫∫⋅=22),( 1
(2.3 .45)
4.Prod usul scalar al func țiilor, exprimat prin TW.
∫∫−
∗∗⋅ ⋅=
RRg f gf
gdsdss W s WKff ττ τ2
/2 /1 2 1 ),( ),(1, (2.3.46)
ττ τ dsdsf g gfKffs
RRs
g2
2 , , 1 2 1 , ,1,−⋅⋅ ⋅=∫∫
Dacă f1 =f2=f se obține:
∫∫−⋅==
RRf
gf dsds sWKEff τ τ22),(1,
445.TW încruci șată.
1 12
11 1
/ 1,1 / / , ) (1),( ττττ τ sdsss ssW s WKs W
RRhg hf
hgf−∫∫
−⋅ ⋅= ∗
Aceast ă formulă exprimă TW ca o rela ție între transformatele func țiilor
f și g, relativ la aceia și “undișoară mamă” h.
1.4. Reprezentarea și analiza multirezolu ție a semnalelor RADAR.
1.4.1 Conceptul de analiz ă multirezolu ție.
Analiza semnalelor nesta ționare
ar necesita o rezolu ție temporal ă bună,
simultan cu o rezolu ție bună în frecven ță.Dar, dup ă cum s-a ar ătat în (2.3.3)
(principiul incertitudinii în analiza t- ω) obținerea unei rezolu ții simultane,
oricât de bun ă nu este posibil ă.Soluția optim ă, în acest caz este o
reprezentare timp-frecven ță de rezolu ție variabil ă.
Se nume ște analiză multirezolu ție a spațiului Hilbert L2(R) o aproximare
a acestuia realizat ă printr-o familie de subspa ții închise V m⊂L2(R), m∈Z, astfel
încât:
i) …V 2⊂ V1⊂ V0⊂ V-1⊂ V-2⊂ …
ii) ∩Vm={0} ; ∪Vm= L2(R)
m∈Z m ∈Z
iii) (∀) fm(x)∈ Vm ⇔ fm(2x) ∈ Vm-1
iv) ( ∃) 0 funcție g(x) ∈ V0 , astfel încât {g(x-k) } k∈z formează
o baz ă în V 0
45 Dac ă se alege m=2j, j∈Z și se consider ă ϕ0,k(x)=g(x-k), ( ∀) k∈Z, atunci
ϕj,k(x)=2-j/2 ϕ(2-jx-k) j,k∈Z formeaz ă o bază ortonormat ă pe subspa țiul V 2j.
Se demonstreaz ă simplu c ă dacă {g(x-k) } k∈z formează o
bază în V 0, rezultă că ϕj,k(x)=2-j/2 ϕ(2-jx-k)=2-j/2 g(2-jx-k) formeaz ă o bază
ortonormat ă în V 2j :
1) ϕ(x-k) ∈V0 ⇒ϕ(2x-k) ∈ V-1 ⇒ … ⇒ ϕ(2-jx-k) ∈ V2j (∀) j,k∈Z
2) < ϕj,k(x) ; ϕj,l(x)>= ∫R ϕj,k(x)⋅ϕ*j,l(x)dx =∫R ϕ(x-k)⋅ϕ*(x-l)dx=
= < ϕ(x-k) ; ϕ(x-l)>=δl,k
În aceste condi ții se poate defini un set de operatori A 2j : L2(R)→ V2j,
care permit aproximarea func ției f(x)∈L2(R) în subspa țiul V 2j (descompunerea
funcției pe baza ortonormat ă din V 2j ).Se spune c ă f(x) este aproximat ă cu
rezoluția 2j .
(∀) f(x)∈ L2(R) ⇒
{} )( )( ),( )(, , 2x u uf fAxfkj
Zkkjj ϕϕ⋅ =≈∑
∈ (2.4.1)
{} ∫∗⋅= =
Rkj kj kj duu uf u uf f )( )( )( ),(, , , ϕ ϕ α (2.4.2)
{}∫−⋅⋅=−∗ −
Rj j
kj duku uf f ) 2()( 22/
, ϕ α
Aproximarea A 2j {f} reprezint ă proiecția ortogonal ă a semnalului
f(x) ∈ L2(R) pe subspa țiul V 2j și αj,k{f} reprezint ă coeficien ții aproxim ării lui
f(x) cu rezolu ția 2j. După cum se observ ă din relația (2.4.2) coeficien ții αj,k{f}
se identific ă cu transformata Wavelet discret ă a semnalului f(x), relativ la
“undișoara mam ă” ϕ (x).
46 {} ),( ),(, kj TkjWfTWD
f f kj = =α (2.4.2)
{} {}∑ ∑
∈∈⋅ =⋅ =
ZkZ KkjTWD
f kj kj x kj T x f fA j )( ),( )(, , , 2ϕ ϕα (2.4.3)
Dacă funcția ϕ(x) îndepline ște în plus și condiția de admisibilitate,
atunci familia ϕj,k(x) formeaz ă o bază “diadică“ de undi șoare ortonormate.
Semnal ul f(x) se poate scrie:
{}∑∑ ∑
∈∈ ∈⋅ = =
ZjZKkjTWD
f
Zjx kj T xfA xf j )( ),( )( )(, 2ϕ (2.4.4)
Aproxim ările succesive A 2j{f(x)} corespund unei aproxima ții din ce în
ce mai fine a func ției f(x). La limit ă, pentru j →−∞ funcția ϕ j(x) tinde spre o
distribuție Dirac și funcția f(x) se identific ă cu aproxima ția A2j{f(x)} .
{} )( )( lim
2xfxfAj
j=
−∞→ (2.4.5)
Diferen ța de informa ție dintre dou ă aproxima ții de rezolu ții succesive
2j+1 și 2j poartă denumirea de semnal detaliu.Se poate calcula și analiza
diferența dintre aproxim ările A 2j{f} și aproximarea mai grosier ă A2j+1{f}.
{} {}∑
∈⋅ =
Zkkj kj x f fA j )(, , 2ϕα
{} {}∑
∈+ +⋅ = +
Zkkj kj x f f A j )(,1 ,1 21 ϕα
=−
+22)(,2/1
,1xxkj kj ϕ ϕ (2.4.6)
{} ∫ ∫∗ ∗ −
+ ⋅⋅=
⋅ =
Rkj
Rkj kj duu uf duuuf f )( )2( 22)( 2, ,2/1
,1 ϕ ϕ α (2.4.7)
∑
∈− ⋅=
Znn nuhu) ( 22ϕ ϕ dunuuh
Rn ) (2 21−⋅
=∗∫ϕϕ (2.4.8)
47
Semnalul detaliu se exprim ă cu relația :
{}{}{}
{} {}[]∑
∈+ +⋅ −⋅ == −= +
Zkkj kj kj kj x f x ff AfA fD j j j
)( )(,1 ,1 , ,2 2 21
ϕαϕα (2.4.9)
Prelucrând rela ția (2.4.9), cu ajutorul rela țiilor (2.4.6); (2.4.7); (2.4.8)
se exprim ă D2j{f} ca o descompunere într-o baz ă ortogonal ă Wavelet, definit ă
în L2(R) astfel:
{} {}∑
∈⋅ =
Zkkj kj x f d f D j )(, , 2ψ (2.4.10)
∑
∈−−⋅−⋅=
Znnnnx h x ) 2( )1( 2)(1ϕ ψ (2.4.11)
{} dxx xf f f d
Rkj kj kj )( )( ,, , , ∫∗⋅= = ψ ψ (2.4.12)
Func ția ϕ(x), care caracterizeaz ă aproxim ările A 2j{f} se mai nume ște și
“funcție scală “ sau “undi șoară tată “, iar func ția ψ(x) definit ă conform rela ției
(2.4.10) caracterizeaz ă semnalul detaliu și poartă denumirea de “undi șoară
mamă”. D 2j{f} rerezint ă de fapt proiec ția ortogonal ă a lui f(x) pe subspa țiul
W2j= V 2jΘV2j+1(complementarul lui V 2j+1 în V 2j) , î n c a r e ψj,k(x) formeaz ă o
bază ortogonal ă.
1.4.2 Exemple de analiz ă multirezolu ție.
1. Fie V O spațiul funcțiilor de tip trece-jos, de band ă limitată la (-π;π)
VO⊂L2(R). Func ția ϕ(x) =sinc( πx), genereaz ă prin transla ții o baz ă
ortonormat ă a subspa țiului V O. (fig.19)
48
ϕ(x-k)= sinc[ π(x-k)] , k∈Z
Se observ ă că ϕ(x),φ(ω)∈L2(R), dar nu este admisibil ă(φ(0)≠0),
condițe care nu îpiedic ă utilizarea ei ca o baz ă de descompunere în analiza
multirezolu ție.
Dac ă V-m este spa țiul funcțiilor de band ă limitată la (-2mπ ; 2mπ),
familia de func ții {2m/2ϕ(2mx-k), k∈Z} formeaz ă o bază ortonormat ă în
subspațiul respectiv. La fel familia de func ții {2-m/2ϕ(2-mx-k), k∈Z} formeaz ă
o bază ortonormat ă în subspa țiul V m ( al func țiilor de band ă limitată la
(-2-mπ ; 2-mπ)).
Fie W 0 ⊂L2(R) spațiul funcțiilor tip “trece band ă “ în domeniul de
frecvență (-2π ,-π) ∪(π ,2π) ⇒ W 0= V -1 ΘV0 V-1= V 0⊕ W0 , adică W0
este complementarul ortogonal al lui V o în V -1 ( V-1 este echivalent cu V 0 plus
un detaliu adi țional corespunz ător lui W 0).În general se poate sc rie:
… ⊂ V2⊂ V1⊂ V0⊂ V-1⊂ V-2⊂ …
V-m = W -m+1 ⊕ V-m+1= W -m+1 ⊕W-m+2⊕V-m+2= W -m+1⊕ W-m+2⊕… =⊕∑∞
=1jW-m+j
∑∞
+−=+− −⊕=
1mjjm m W V
Această relație ne arat ă că subspațiul V -m, al func țiilor de band ă ϕ(x) φ(ω)
ω
x-1 1 -π π
fig.19
49limitată la (-2mπ ; 2mπ) se poate descompune într-o sum ă infinită de
subspatii, care la limit ă conduce la subspa țiul func țiilor de band ă
(-2mπ ;0 ) ∪(0; 2mπ). (fig.20)
Pentru o func ție oarecare f(t) ∈L
2(R), se determin ă coeficien ții αj,k{f}:
{} ∫ ∫− ⋅ =−⋅ =− − −∗ −
Rj j
Rj j
kj dtkt c tf dtkt tf f )] 2([sin)( 2 ) 2( )( 22/ 2/
, π ϕ α
Se ob ține astfel proiec ția ortogonal ă a lui f(t) pe subspa țiul V j, care
reprezint ă de fapt oaproxima ție prin func ții sinc de rezolu ție 2j, a funcției f(t).
La limit ă, pentru j →-∞ funcția sinc tinde spre o distribu ție Dirac,
confirmandu-se rela ția (2.4.5) . ω
ω -2π – π -π/2 0 π/2 π 2 π ( ( ( ) ) ) V0
V1
V-1
( ( ( ) ) )
-2π – π -π/2 π/2 π 2 π
W1
W0
fig.20
50 {} {} {}()[]kt c f t f fAj
Zkkjj
kj
Zkkjj − ⋅ = =−
∈−
∈∑ ∑ 2 sin 2)(,2/
, , 2π α ϕα
Semnalul detaliu se exprim ă cu relația (2.4.10):
{} {} )(, , 2t f d f Dkj
Zkkjj ψ⋅ =∑
∈
Conform fig. 20, semnalul detaliu este caracterizat de subspa țiul
funcțiilor tip “trece-band ă” W j+1=VjΘ Vj+1, în care familia de func ții :
ψj,k(t)=2-j sinc[π(2-(j+1)t-k)] cos [3 π(2-(j+1)t-k)]
formează o bază ortonormat ă. (fig.21)
Se observ ă că ψ
j,k(t)∈L2(R) și în plus : ψj,k(0)=0, deci ψ(t) admisibil ă.
Semnalul detaliu se descompune în serie Wavelet, având ca baz ă de
undisoare, baza diadic ă ortogonal ă :
ψj,k(t)=2-j sinc[π(2-(j+1)t-k)] cos [3 π(2-(j+1)t-k)]
2. Fie V
2j ⊂L2(R) spațiul funcțiilor constante pe por țiuni si ϕ :[0;1]→R
ψ0,0(t) ψ-1,0(t)
t t
fig.21
51
ϕ(t) ∈V0 și {ϕ0,k(t)= ϕ(t-k)} k∈Z formeaz ă o bază ortonormat ă în V 0.
ϕj,k(t)= 2-j/2⋅ϕ(2-jt-k) formeaz ă o bază ortonormat ă în V 2j (fig.22)
Proiec ția funcției f(t) pe subspa țiul V
2j se obține calculând coeficien ții:
{} ∫ ∫⋅+
⋅− −∗ −⋅=−⋅ =j
jk
k Rj j j
kj dttf dtkt tf f2)1(
22/ 2/
, )( 2 ) 2()( 2 ϕ α
{} {}∑
∈⋅ =
Zkkj kj t f fA j )(, , 2ϕα
La limită, pentru j →-∞ funcția ϕ(t) tinde spre o distribu ție Dirac,
confirmându-se rela ția (2.4.5) .
Semnalul detaliu este, conform rela ției (2.4.9):
{} {} {}
{} {}[]∑
∈+ +⋅−⋅ ==−= +
Zkkj kj kj kj t f t ff AfAfD j j j
)( )(,1 ,1 , ,2 2 21
ϕαϕα 1 pentru t ∈[0;1]
0 in rest ϕ(t)=
ϕ0,0(t) ϕ1,0(t)
0 1 0 2 1
21
t t
fig.22
52 [ ])( )( 2)(12, 2,2/1
,1 t t tkj kj kj +−
+ +⋅= ϕϕ ϕ
αj+1,k{f}=2-1/2⋅[αj,2k{f}+ αj,2k+1{f}]
D 2j{f}= 2-1 ⋅∑
∈Zk{[ αj,2k{f}- αj,2k+1{f}]⋅[ϕj,2k(t) – ϕj,2k+1(t)] }
dj,k{f}=2-1/2[αj,2k{f} – αj,2k+1{f}]
ψj,k(t)=2-1/2[ϕj,2k(t) – ϕj,2k+1(t)] (fig.23)
Semnalul detaliu se exprim ă ca o sum ă de undișoare Haar.
1.5 Func ția de incertitudine (ambiguitate) și corelația de band ă
larg ă.
Dup ă cum s-a afirmat și în 2.2 prelucrarea optim ă a semnalului
RADAR, în sensul maximiz ării raportului semnal /z gomot, pentru semnale
ecou perturbate aditiv cu zgom ot alb gaussian, se realizeaz ă prin calculul
integralei de corela ție a semnalului recep ționat cu replicile ipotetice ale
semnalului de sondaj. Conform rela ției (2.10) modelul matematic al
semnalului recep ționat este:
y(t)=A ⋅x(st-τ
0) ψ-1,0(t) ψ0,0(t)
t t 0 1 0 2
fig.23
53 Dac ă se consider ă s1=1/s și τ0=τs, se ob ține forma standard a
semnalului recep ționat:
y(t)=s-1/2x[(t-τ)/s]=x s,τ(t) (3.1.1)
Func ția de corela ție a semnalului x(t) cu y(t) este:
dtstxty
sdttxty txty sR
RRs s xy
−⋅ =⋅= =∗ ∗∫∫τττ τ )(1)( )( )( ),( ),(, , ,
(3.1.2)
Dup ă cum se observ ă din rela ția (3.1.2), calculul corela țional coincide
cu TWC a semnalului recep ționat y(t), folosi nd ca “undisoar ă mamă”
semnalul de sondaj x(t).
R y,x(s, τ)=W y/x) (s, τ) =T yTWC (s,τ) (3.1.3)
Replicile ipotetice, care se ob țin prin scal ări și întârzieri ale semnalului
de sondaj, servesc ca și tipare de compara ție corela țională cu semnalul
recepți o n a t . C â n d c e l e d o u ă semnale se “potrivesc” cel mai bine rezult ă o
corelație maxim ă. Semnalul prezumtiv care conduce la ob ținerea corela ției
maxime furnizeaz ă o estimare a parametrilor s și τ. Schema receptorului
corelațional de band ă largă este prezentat ă în fig.24
… …
∫dt
∫dt
∫dt | |2
| |2
| |2
Selecta-
rea
valorii
maxime ⊗
⊗
⊗ y(t) x*s2,τ2(t) x*s1,τ1(t)
x*sn,τn(t) Estimare
τ, s
fig.24
54
Dup ă selectarea valorii maxime, detect area unui obiect este realizat ă
atunci când |R y,x(s,τ)|2=|W y/x(s,τ)|2≥R0 . Estimarea parametrilor (s, τ)
corespunde determin ării vitezei radiale v r și distanței R a țintei.
Func ția de autoambiguitate (incertitudi ne) a semnalului de sondaj x(t)
se exprim ă cu relația:
∫−⋅ = =∗
RxxFIBL
x dt stxtxs s s T ) ()( ),( ),(, τ τρτ (3.1.4)
= = τ τ τ ,1),1( ),(/ ,sTsR s TTWC
xx xxFIBL
x (3.1.5)
În concluzie se poate afirma c ă implementarea receptorului
corelațional de band ă largă, procesarea cu filtre adaptate și generarea
funcțiilor de ambiguitate(incertitudine) se reduc la calculul și analiza TW a
semnalului ecou. Alegerea semnal ului de sondaj x(t), cu o func ție de
incertitudine optim ă constituie o parte important ă î n t e o r i a p r o i e c t ării
radarelor.
2. FILTRUL OPTIM ADAPTAT CU SEMNALUL DE SONDAJ DE
BAND Ă LARGĂ.
Schema de procesare prezentat ă în fig.24 este de tip multicanal, atât
în coeficient de scal ă s, cât și în timp de întârziere τ. Se pune problema
implement ării unui filtru, care s ă realizeze calculul func ției de corela ție (TW),
eliminându-se astfel structura multicanal dup ă τ.
Dup ă cum s-a ar ătat în (2.3.8) (interpretarea din punct de vedere al
filtrajului al TW)
55 T yTWC (s,τ)=W y(s,τ)=y•xs(-τ)
x s(t)=|s|-1/2 x(t/s)
y •xs(-τ)=R x,y(s,τ)
Func ția pondere a filtrului va fi : h
s(t)=x s(-t)= |s|-1/2⋅x(-t/s), iar
caracteristica de frecven ță: H s(jω)=|s|1/2x*(s jω). La iesirea filtrului se ob ține
funcția de corela ție sau TWC a semnalului recep ționat y(t), utilizând ca
“undisoar ă mamă” semnalul de sondaj. Func ția pondere a filtrului este
“imaginea în oglind ă” a replicii scalate cu s a semn alului de sondaj x(t). Dac ă
intrarea filtrului y(t) corespunde replicii a șteptate, în absen ța bruiajului, se
obține:
∫ ∫= =
−⋅=
Rx
Ryx Edttx dtstxssR )(1),(2 2
,ττ
În cazul ideal se ob ține la ie șirea filtrului, la momentul τ, semnalul
maxim E X. Receptorul corela țional cu filtre adaptate, prezentat în fig.25
simplifică mult schema corelatorului din fig.24
h s(jω)=
|s|1/2 x*(s jω) Rx,y(s,τ)= Wy(s,τ) y(t)
Hs1(jω)
Hs2(jω)
Hsn(jω) | |2
| |2
| |2
Selecta-
rea
valorii
maxime Estimare
(s,τ) y(t)
fig.24
56 Dup ă cum se observ ă sistemul este multicanal doar dup ă coeficientul
de scală sn , iar calculul TW se face prin filtrare.
3. CONVOLU ȚIA SEMNALELOR RADAR DE BAND Ă LARGĂ.
Dacă există mai multe obiecte apro piate, care reflect ă semnalul de
sondaj sau când un singur obiect ar e mai multe puncte reflectorizante,
semnalul recep ționat de un punct al antenei se poate exprima ca o integrare
după funcția de densitate a reflectivit ății:
∫∫−⋅⋅ =
Ds W dsdstx sS ty τ ττ2
,)( ),( )( (3.3.1)
∫∫−−⋅⋅
−⋅ =
DW dsds sstx sS ty τττ2 2/1),( )(
Func ția de densitate a reflectivita ții SW(s,τ) descrie modul cum obiectele
(sau punctele reflectorizante ale aceluia și obiect ) sunt disribuite în s și τ .
D -reprezint ă domeniul de interes a lui s și τ.
În cazul particular al obiectelor singulare, func ția de densitate a
reflectivit ății este o distribu ție Dirac:
SW(s,τ)=δ(s-s 1)⋅δ(τ-τ1)
y(t)= |s 1|-1/2 x[(t-τ1)/s1]
În caz genera l se pune problema determin ării distribu ției S W(s,τ), pentru
a obține o hart ă a distribu ției obiectelor (punctelor reflectorizante ) în spa țiu.
Daca D=R2 și semnalul de sondaj îndepline ște condițiile de admisibilitate,
atunci rela ția (3.3.1) are forma unei TW inverse :
57 ∫∫−
⋅−⋅ =
RxRW dsd
ss
stx sS ty τττ2
),( )(
(3.3.2)
și SW(s,τ) se determin ă ca TW direct ă:
dtstxty
sdttxty sS
RRs W∫∫
−⋅ =⋅=∗ ∗ τττ )(1)( )( ),(, (3.3.3)
),( ),( ),( ),(/ / , τ τ τ τ s T s W sR sSTWC
xy xy xy W = = = (3.3.4)
Deci func ția de densitate a reflectivit ății se regase șt e î n T W a
semnalului ecou și la ieșirea receptorului corela țional de band ă largă. Dar în
cazurile practice, datorit ă limitarilor tehnice ale radarelor D ≠R2 și relația
(3.3.3) nu se poate aplic a direct. În acest caz:
dtddssssstxstx sSdtddss sstx sSstx
sdtstxty
ssR
RDWDW
RRxy
1 12
12/1
1
11
1 11 12
12/1
11
1 1,
),(),(1)(1),(
ττττττττττ
−− ∗−− ∗∗
⋅
−⋅
−⋅ == ⋅
−⋅ ⋅
−⋅==
−⋅⋅=
∫∫∫∫∫∫∫
Prelucrând ultima rela ție și ținând cont de func ția de incertitudine a
semnalului de sondaj se ob ține:
()[ ] ),( , ),( ),(1 12
1 1 1 1 1 1 , τ τ ττ τ τ s T S ddssss s T sS sRFIBL
x W
DFIBL
x W xy ••= ⋅− ⋅ =−∫∫
(3.3.5)
Relația (3.3.5) reprezint ă o convolu ție de dou ă variabile, a func ției de
58densitate a reflectivit ății cu func ția de incertitudine a semnalului de sondaj.
Deci ieșirea receptorului corela țional “modifc ă “ S W cu funcția de incertitudine
a semnalului transmis. În cazul ideal, în care =),(τs TFIBL
x ρxx(s,τ)=δ(s-1)δ(τ),
ieșirea receptorului corela țional coincide cu S W. În cazurile practice, în care
funcția de incertitudine a semnalului t r a n s m i s n u e s t e o d i s t r i b u ție Dirac,
pentru ob ținerea S W se va face o deconvolu ție a relației (3.3.5).
Având în vedere redundan țele TWC, parametrii integralei (3.3.1) se
pot discretiza, simplificându-se astfel mult calculele.
∆⋅∆⋅−⋅
∆⋅∆⋅⋅∆⋅∆⋅ =−
∑∑smntx
smsmnsmS ty
mnWττ2) () , ( )( (3.3.6)
∆s ,∆τ -rezoluțiile de discretizare a coficien tului de scalare, respectiv
timpului de întârziere
Rezultatele ob ținute ale func ției de densitate a reflectivit ății, pentru un
semnal ecou tip CHIRP sunt prezentate în ANEXA 11.
59
III.TEHNICI DE PROCESARE A SEMNALUL ELOR RADAR BAZATE PE
REPREZENT ĂRILE TIMP-FRECVEN ȚĂ
3.1. GENERALIT ĂȚI
O primă etapă în procesarea primar ă a semnalului RADAR o constituie
prezentarea acestuia într-o form ă adecvat ă scopului urm ărit, (form ă
determinat ă de parametrii esen țiali ai semnalului recep ționat, care sunt
purtători ai informa ției relevante) și cât mai accesibil ă sistemului de
procesare. Aceast ă etapă premerg ătoare proces ării propriu – zise, mai poart ă
denumirea și de preprocesare. Urmeaz ă apoi etapa urm ătoare a prelucr ării,
în care pe baza unui algor itm, ales în concordan ță cu scopul urm ărit și cu
forma de reprezentare a se mnalului din etapa anterioar ă se realizeaz ă
îmbunătățirea raportului Semnal util/ Zgo mot (atenuarea pe cât posibil a
componentelor perturbatoare și accentuarea celor purt ătoare de informa ție).
De asemenea, tot în aceast ă etapă trebuie s ă se fac ă reconstituirea
semnalului cu parametrii purt ători de informa ție, într-o form ă adecvat ă
sistemului care va efectua etapa urm ătoare a proces ării, denumit ă și
postprocesare.
60
fig. 25.
În fig.25. este prezenta t un model de prelucrare primar ă a semnalului
RADAR. În etapa de prepr ocesare se va face o reprezentare timp-frecven ță
convenabil ă a semnalului, reprezentare ce va determina în mare m ăsură
alegerea algoritmului de pr elucrare. Ca model de repr ezentare, se pot utiliza,
în funcție de aplica ție mai multe reprezent ări timp-frecven ță : reprezentarea
de tipul Transformare Fourier Scurt ă (TFFG), reprezentarea timp-frecven ță
de tipul „func ție de incert itudine” de band ă îngustă, reprezentarea de tip
Wigner – Ville, reprezentarea timp-frecven ță de tipul Wavelet și reprezentarea
de tipul „func ție de incertitudine de BL”. Dup ă cum s-a ar ătat în [ 4 ], primele
3 tipuri de reprezent ări se preteaz ă în cazul semnalelor de sondaj simple de
bandă îngustă, iar urm ătoarele 2 tipuri rezolv ă problema semnalelor
nestaționare, de band ă foarte larg ă cu spectru împr ăștiat. Extragere
informațieReprezentare t- ω
( Preprocesare)
Algoritm
Prelucrare
Reconstituire semnal
(Postprocesare) Achiziție Semnal
recepționat
y(t)
61
3.2. Aplica ții ale reprezent ării de tip TFS (TFFG) și a funcției de
incertitudine de B.L.
S-au arătat în [ 9 ] Și în[ 14 ] diferite tehnici de implementare a TFFG
(TFS).
Se pot ob ține și alte metode de implementare a TFFG (TFS) :
[ ] ∫∫•=−⋅⋅=⋅−⋅=∗− ∗
RRtj tj TFS
y tvtudt tw ety dt e twty T )()( ) ( )( ) ( )( ),(0 0
0 τ τ τωω ω, unde
tjetytu0)()(ω−⋅=
)( )( twtv−=
Se obține astfel schema sistemului analogic, care transform ă semnalul
()yt în reprezentarea sa ω−t de tipul TFFG, printr-o modulare cu tje0ω− și
printr-o filtrare trece jos cu un filt ru având caracteristica :
() ( ){} twF jH −=⋅ω
O altă exprimare alternativ ă a TFS este
()( ) ( )( )t j j
oTFS
yo oetwty e T⋅⋅ ⋅⋅−⋅−∗ =ω τωτω, ,
cu implementarea prezentat ă în fig.27.
FTJ Modulare
⊗{})( ) ( tvF jH=⋅ω TyTFS
o(, )ωτ
ejto−⋅ ⋅ωy(t)
fig. 26.
FTB
()TyTFS
oωτ, ()yt (){t joetwF⋅⋅+⋅−ωModulare
ejo−⋅ ⋅ωτ
fig. 27. ⊗
62 Din punct de vedere al proces ării semnalului RADAR, receptorul optim
care maximizeaz ă raportul S/ Zgomot trebuie s ă determine corela ția între
semnalul ecou y(t) și replicile reterdate și deplasate Doppler ale semnalului
de sondaj x(t).
Ieșirea receptorului corela țional este :
() ( ) () ()τω τ ωτω, ,dSFT
ytj
Rd yx Tdt e txty Rd=⋅⋅−⋅=⋅− ∗∫ , reprezentând de
fapt TFS a semnalului ecou, utilizând ca fereastr ă semnalul de sondaj ()tx.
Considerând semnalul recep ționat () )( )(1
1 tn e txtyt jd+⋅−=⋅⋅−ωτ ,
forma clasic ă a semnalului de B.Î. brui at cu zgomotul n(t) se ob ține :
() ()[] () =⋅−⋅+⋅−=⋅⋅− ∗ ⋅⋅−∫dt e txtn e tx Rt j
Rt j
d d yxd d ω ωτ τ ωτωτ )( ,,,1
1 1 1
() ( )()=⋅−⋅+ ⋅−−= ∫ ∫⋅⋅− ∗ −⋅ ∗dt e txtn dt e tx tx
Rt j t j
Rd d d ω ωωτ ττ ) ()(1
1
),( ) ()( ) ()( τω τ τω ω
dSFT
nRt j
Rt jTdt e txtx dt e txtnd+⋅∆−⋅=⋅−⋅= ∫ ∫⋅∆⋅ ∗ ⋅⋅− ∗ (4.3)
ωω→∆ ττ→∆ , se ob ține :
),( ) ()( ),( τω τ ωτω
dSFT
ntj
Ryx Tdte txtx R +⋅−⋅=⋅− ∗∫ (4.4)
Dup ă cum se observ ă în relația (4.4), r ăspunsul filtrului corela țional se
poate descompune în doi termeni :
Primul termen, în care se reg ăsesc parametrii purt ători de informa ție și
care define ște o altă reprezentare t- ω, denumit ă în literatura de specialitate
„funcție de incertiudine”
dte txtx T
Rtj FI
x∫− ∗⋅−⋅=ωτ ωτ ) ()( ),( (4.5)
),( ),( ωτ ωτTFS
xFI
x T T=
Se poate deci afirma c ă reprezentarea t- ω de tipul func ție de
incertitudine este de fapt un caz particular al reprezent ării de tip TFS, în care
fereastra temporal ă este puternic dependent ă de semnalul analizat, fiind
chiar identic ă cu acesta.
63Există și alte exprim ări alternative ale func ției de incertitudine, putându-
se alege forma adecvat ă de reprezentare, func ție de specificul aplica ției în
care va fi utilizat ă. Funcțiile de incertitudine de BI si BL, pentru diferite
semnale RADAR sunt prezentate în ANEXA 1.
Astfel, dac ă se face schimbarea de variabil ă tt→+ ⇒τ
2
dte tx tx e Ttj
Rj FI
xωτω τ τωτ− ∗ −⋅
−⋅
+⋅=∫2 2),(2
dte tx tx e Ttj
Rj FI
xωτω τ τωτ− ∗ −⋅
−⋅
+⋅=∫2 2),(2 (4.6)
De asemenea func ția de incertitudine mai poate fi reprezentat ă ca o
transformat ă FOURIER :
−⋅
+⋅=∗ −
2 2),(2τ τωττωtx txF e Tj FI
x (4.7)
() =
−∗∗
+⋅⋅=−
2 2 21,2τ τ
πωττωtxF txF e Tj FI
x
(){} (){}=
⋅∗⋅⋅⋅=∗ − −txF etxF e ej j j2 2 2
21 τω τω τω
π
() ()=
−⋅∗⋅⋅=∗ −−
ω ωπτω τωτω
X e X ee j jj
2 22
2
()()()=−⋅ ⋅⋅⋅=∗ ⋅−−−
∫du uX euX ee u j
Rjuj
ωπτω ττω
2 22
2
()()()=−⋅⋅−⋅⋅=− ∗ −−
∫duu X eu X ee u j
Rjuj
ωπτω ττω
2 22
2
()( ) dueu Xuxju
Rτωπ− ∗⋅−⋅−⋅=∫21
ω−=uV ⇒ () () ( )()= ⋅−⋅⋅+=∫−− ∗dV e VXVX T
RVuj FI
Xτωπωτ21,
() ( )()dV e VXVXVj
Rτωωπ⋅− ∗⋅−⋅⋅=∫21
(4.8)
64Vu→+ω
2 ⇒
() du e uX uX Tuj
RFI
xτωω ω
πτω⋅
−∗⋅
−⋅
+⋅=∫2
2 2 21,
() due uX uXeTju
Rj
FI
xττωω ω
πτω ⋅
−⋅
+⋅=∫∗−
2 2 2,2
(4.9)
Făcând abstrac ție de termenul de faz ă 2τωje−
, cele dou ă reprezent ări
alternative ale func ției de incertitudine se pot scrie :
() dte tX tX Ttj
RFI
xωτ ττω− ∗⋅
−⋅
+=∫2 2,
() due uX uX Tju
RFI
xτω ω
πτω ⋅
−⋅
+ =∗∫2 2 21,
Cel de-al doilea termen din rela ția (4.4) reprezint ă de fapt TFS a
semnalului perturbator, utilizând ca fereastr ă semnalul de sondaj ()tx.
() ( )( ) dte txtn u Ttj
RSFT
nωτ τ− ∗⋅−⋅=∫,
Evident, un element esen țial al proces ării primare a semnalului RADAR
îl va constitui atenuarea pe cât posib il a acestui termen perturbator, care se
regăsește la ieșirea filtrului corela țional împreun ă cu semnalul util, de tip
funcție de incertitudine. Dar, în cele mai multe cazuri întâlnite în radioloca ție
semnalul perturbator este un semnal aleator nesta ționar și reprezentarea de
tip TFS este inadecvat ă (așa cum s-a ar ătat în [ 14 ] pag.26), preferându-se
în acest caz alte tipuri de reprezent ări t-ω. Totuși în cazul utiliz ării semnalelor
de sondaj de B.I. și în care semnalul perturbator n(t) poate fi asimilat cu un
zgomot gaussian, cvasista ționar se pot utiliza cu succes reprezent ările de tip
SFT și funcția de incertitudine de B.I.
După cum s-a men ționat, în scopul îmbun ătățirii raportului S/ Zgomot se
65pune problema atenu ării, pe cât posibil a perturba țiilor. Se pot utiliza diverse
metode de îmbun ătățire a raportului S/ Zgom ot, una din ele fiind chiar
prelucrarea corela țională, prezentat ă anterior, care di n punct de vedere
spectral corespunde filtr ării optime adaptate. Astfel ie șirea filtrului optim
adaptat cu semnalul de sondaj de B.I. coincide cu ie șirea receptorului
corelațional de B.I. și reprezint ă o TFS a semnalului recep ționat y(t), utilizând
ca fereastr ă semnalul de sondaj x(t).
Se poate astfel explica și din punct de vedere spectral semnifica ția
fizică a reprezent ării t-ω de tip func ție de incertitudine .
Spectrul semnalului recep ționat Y(ω)este :
() ( ) ()ωωω ωωτN X e Ydj+−⋅=−
11 (4.10)
()Nω→spectrul semnalul ui perturbator
Filtrul optim adaptat cu semnalul de so ndaj are caracteristica de frecven ță
)( )( ω ωω ∗ −⋅⋅= X eK Hitj
a (4.11)
ti→întârzierea filtrului cauzal.
La momentul t i=0, momentul maximiz ării raportului S/ Zgomot la ie șirea
sistemului se ob ține :
)]( )( )( ) ( [)( )( )( ) ( )( )( )(
11
11
ωωωωωωω ωωω ωωω
ωτωτ
∗ ∗ −∗ ∗ −
⋅+⋅− ⋅==⋅⋅+⋅− ⋅=⋅=
X N X X eKX NK X X eK H Y Y
djdj
a e
Răspunsul filtrului la semnalul recep ționat este :
() () ( )()() () []∫∫⋅⋅ ∗ −⋅ ∗⋅⋅+ ⋅⋅−⋅=
RRtj tj
d e de X N d e X XKty ωωωω ωωωπω τω1
12 (4.12)
Al doilea termen al rela ției (4.12) reprezint ă zgomotul de la intrarea
receptorului RADAR, trec ut prin filtrul optim adapta t, iar primul termen, care
reprezint ă componenta util ă de la ie șirea filtrului se poate scrie, f ăcând
schimbările de variabil ă :
66 ττ
ωω
ωω=−
=−
=
t
ud
d1
1
12
2
() due uX uXeKyuj
Rj
e⋅⋅ ∗⋅⋅
⋅
+⋅
−⋅⋅=∫τωτω ω
πωτ2 2 2,2
1
Pentru ωτjeK−= se obține :
() () due uX uXeT yuj
Rj
FI
X eττωω ω
πωτωτ⋅⋅ ∗⋅⋅−
⋅
+⋅
−⋅= = ∫2 2 2, ,2
1 (4.13)
Deci partea util ă a răspunsului filtrului adaptat cu semnalul emis x(t),
coincide cu reprezentarea t- ω de tipul func ție de incertitudine de band ă
îngustă a semnalului emis : () TXFIτω,, demonstrându-se astfel semnifica ția
fizică a reprezent ării de tipul func ție de incertitudine .
După filtrarea adaptat ă, care s-a ar ătat că este identic ă cu recep ția
corelațională a semnalului se po ate trece la determinarea și măsurarea
parametrilor utili ai semnalului recep ționat, care în ca zul nostru sunt τ1 și ωd1 .
Se pot utiliza dou ă metode pentru dete rminarea acestor parametri, care ne
indică distanța la punctul reflectorizant τ112=D
C , respectiv viteza radial ă a
punctului reflectorizant ωωdVr
C102=⋅ . Metoda clasic ă utilizeaz ă sistemul
prezentat în [ 14 ], care este de fapt un ansamblu ma triceal de receptoare
corelaționale. Astfel la momentul ττ=1 se va ob ține un maxim absolut la
ieșirea receptorului corela țional pentru care ωωdd=1 :
() ====1 1;
max d Yxy xy R R ωωττ ()()()() =⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅− ∗ ∗∫∫dt e txtn dttxtxt j
RRd1
1ωτ
()() ( ) ( )1 1 12,1
dTFS
n Xt j
R RT Edt e txtn dttxdωτ τω+= ⋅−⋅+ =⋅⋅− ∗∫∫
Aceleași condiții, scrise pentru func ția de incertitudine de B.I. sunt :
67τ=0;ω=0 și se obține :
() ( ) ()XRFI
x Edttxtx T =⋅⋅=∗∫0,0
Dacă ω≠0 , adică ωωdd≠1 – replica generat ă, nu este perfect acordat ă
în frecven ță Dopller cu semnalul recep ționat se ob țin :
( ) () () () (){}xtj
R Rj FI
x E txFdt etx dt etxtx T ≤ =⋅=⋅⋅=⋅⋅− ⋅⋅−∗∫ ∫22,0ω τωω
Dacă ω=0 și τ≠0 se obține funcția de autocorela ție a semnalului x(t):
() ( )( )∫⋅−⋅=∗
RFI
x dt txtx T τ τ0, , relație care justific ă denumirea filtrului
corelațional.
Rezultate identice se ob țin și în cazul utiliz ării unui banc de filtre
adaptate, fig.28.
()Xd∗−ωω1
()Xd∗−ωω2
()Xdn∗−ωω
Înlocuind în rela ția (4.12) t=τ1 și () X∗ω cu () Xd∗−⇒ωω1
() () () ( ) ()[]
() ( ) []
() ( )∫∫∫∫∫
⋅⋅ ∗⋅⋅ ∗⋅⋅ ∗ ∗
⋅−⋅⋅+⋅== ⋅−⋅+ ⋅== ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅=
Rj
d xRRj
dRRj
d d d e
d e X NKEKd e X N d XKd e X N d X XKy
ω ωωωπω ωωωωωπω ωωωωωωωωπτ
τωτωτω
111
1121 1 1 1
2)(22
Aceleași condiții scrise pentru func ția de incertitudine sunt ω=0 și
Determina-
re
maxim și
măsurare
τ ()τωid i, Referință
τ00=
y(t)
fig. 28
68τ=0 ⇒
∫=⋅⋅⋅=
RxFI
x E duuxux T )()(21)0,0(*
π
Dacă τ=0 și ω≠0 (filtrul este dezacordat) se ob ține
() () dV VxVX du ux ux T
R RFI
x ωπω ω
πω +⋅⋅=
+⋅
−⋅= ∫ ∫* *)(21
2 2 21,0 , care reprezint ă
funcția de autocorela ție spectral ă a semnalului ()tx. Dacă ω=0 și τ≠0 se
obține:
() () () () {}2 1 2 *)(21
210, ω ω ωπ πττω τxF de x dueuxux T
Rj
Ruj FI
x− ⋅⋅ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫ ∫, care
reprezint ă răspunsul filtrului la un moment oarecare t=τ, făcând abstrac ție
de termenul perturbator.
O altă metodă de determinare a parametrilor τω11,d presupune stabilirea
legăturii dintre func țiile de incertitudine ale semnalelor emise ()tx și
recepționat yt().
Reprezentarea timp-frecven ță de tipul func ție de incertitudine a
semnalului recep ționat este :
() ( )() dt e tyty Ttj
RFI
y⋅⋅−∫⋅−⋅=ωτ ωτ*, (4.14)
() ( ) () [] ()()() [ ]=⋅−+ ⋅−−⋅+⋅−=⋅⋅− −⋅+ ⋅⋅−∫dt e tn e txtn e tx Ttj
Rt j t j FI
yd d ω τω ωτ ττ τ ωτ*
1*
11 1,
()() ∫ ∫+⋅⋅−−⋅+⋅⋅−−⋅−=⋅−−⋅ ⋅⋅−⋅⋅−
Rtj t j tj j
Rdt e e txtn dt e e tx txd d ω τω ωτωττ ττ τ) (
1*
1*
11 1) ()(
∫∫=⋅−⋅+⋅−⋅⋅−+⋅− ⋅⋅− ⋅⋅−
RRtj tj t jdte tntn dt e tn e txd ω ω ωτ τ τ ) ()( ) ( ) (* *
11
() ( )()()()()()∫∫+ ⋅⋅++⋅+ ⋅⋅−⋅=++⋅−+⋅ +⋅−⋅⋅−
RRtj t j tj jdt e e tntx dt e e txtxd d ττω τω τωτωττ τ1 1 1 1 1
1* *
() ( )()()=⋅−⋅+⋅⋅−+⋅ ⋅+⋅− +⋅− +⋅−∫∫dte tntn dt e tn etxtj
RRtj t jd ω τω τωτ ττ*
1* ) ()(1 1 1
()()( )()()∫+ ⋅++⋅⋅ + ⋅ =⋅−− −⋅+⋅− ⋅+⋅⋅− ⋅
Rt j j FI
Xjdt e tntx e T ed d d 1 11 1 1 1
1*)( ,ωω ωτωωτ τωτωττ ωττ
()()()()=⋅−⋅+ ⋅−+⋅⋅ + ∫ ∫⋅− ⋅+− ⋅+⋅−
Rtj t j
Rjdte tntn dt e tntx ed d ω ωω τωτωτ ττ*
1*)( )(1 1 11
()() ()()[]()∫+ ⋅+−⋅⋅+ ⋅ =⋅−− ⋅⋅− ⋅+⋅−
Rt j j FI
xjdt e txtn e T ed d d 1 1 1 1
1*,ωω τω τωτωττ τω
69 () ( )()()()() ∫∫=⋅−⋅+ ⋅−+⋅+⋅⋅− ++−
RRtj t jdt e tntn dt e txtnd ω τωωτ ττ*
1*1
),( ) , () , ( ),(
1 1) (1 1) (
11 1 1
τωττωωττωω τω
τωωτω ωττω
FI
n dTFS
njdTFS
nj FI
xj
T T eT e T e
dd d
+−+⋅ +++−⋅+ ⋅ =
⋅+−⋅− +⋅−
Se ob ține :
)] , () , ( [ ),( ),( ),(
1 11 1) (1 1 1
ττωωττωω τωτω τω
τωτω ωττω
−+⋅+++−⋅+ + ⋅ =
⋅−⋅− +⋅−
dTFS
njdTFS
nj FI
nFI
xj FI
y
T eT e T T e Td d
(4.15)
Analizând rela ția (4.15) se observ ă că reprezentarea t- ω de tip func ție
de incertitudine a semnalului ecou depinde de reprezen tarea de tip func ție de
incertitudine a semnalului de sondaj, care este cunoscut ă. De asemenea mai
depinde de înc ă trei termeni, care nu s unt altceva decât reprezent ări t−ω ale
semnalului perturbator, astfel : () TnFIωτ,- funcție de incertitudine a semnalului
perturbator : ()TnTFSωτ,- transformare Fourier scurt ă a semnalului perturbator,
utilizând ca fereastr ă semnalul de sondaj.
Considerând p entru început c ă semnalul perturb ator este nul se ob ține :
()()()~,, Te TyFI j
XFI dωτ ωτωτω τ=⋅−⋅ +⋅11 (4.16), unde cu ~TyFI s-a notat forma ideal ă a
funcției de incertitudine a semnalului ecou (în absen ța perturba ției).
Funcția de incertitudine ideal ă a semnalului ecou moduleaz ă în fază
funcția de incertitudine a semnalului tr ansmis cu parametri care trebuie
determina ți (, )τω11 d. Dacă notăm cu :
(){} (){} ϕω ω ω20 00 ( ) arg , arg ,== TTXFI
XFI
(){} () { }
ωωϕωϕττωωϕω ω ωϕτω
)( )()( 0, arg 0,~arg)(
20 10
11 10 201
−=⇒⋅−= ⋅ = =⋅⋅− FI
Xj FI
y T e T
(4.17)
(){} ϕτ τ02 0 () a r g ,= TXFI
(){}ττϕτϕωτωϕτ τϕ)( )(,0~arg)(02 01
1 1 01 02−=⇒⋅−= =d dFI
yT (4.18)
Se observ ă că formulele de calcul pentru τ1 , respectiv ωd1 se obțin
pentru orice valoare a lui ω≠0, respectiv τ≠0.
70Înlocuind în rela țiile de defini ție se obține :
() ( ){ }(){}() () ( ) { }= ⋅−⋅ = =⋅ = ∫ ∫⋅−
R Rtjdtt txjt tx txF dt etx ω ω ωϕωsin cos arg arg arg2 2 2 2
10
() ()()
()∫∫∫∫
⋅⋅
−=
⋅⋅− ⋅ =
RR
RRdtt txdtt tx
arctg dtt txj dtt tx
ωω
ω ω
cossin
sin cos arg
222
2 (4.19)
() ( ){} (){}()
()ϕωω
ωω
20222
2=⋅ = = −⋅
⋅−∫∫
∫arg argsin
cosyt e Fyt a r c t gyt t d t
yt t d tjt
RR
R (4.20)
() () ( ){ }()τ τ τϕXXRR dt txtx arg arg*
01 =−⋅ =∫
() () ( ){} ϕτ τ τ02=⋅ − =∫arg arg ( )*yt y t d t R
Ryy
() RXXτ→ funcția de autocorela ție a semnalului de sondaj.
{}
(){}ϕττ
τ01()Im ( )
Re=arctgR
RXX
XX (4.21)
()(){}
(){}ϕττ
τ02=arctgR
RYY
YYIm
Re (4.22)
Sistemul care va utiliza aceast ă metodă pentru extragerea parametrilor
va fi mai complex decât sistemul prezentat la prima metod ă, dar are avantajul
că oferă o precizie mai bun ă de calcul a acestor parametri. Se constat ă că
impreciziile de ca lcul, respectiv m ăsurare a reprezent ărilor t-ω de tip func ție
de incertitudine, s unt cauza impreciziilor de determinare a m ărimilor τ1 și ωd1,
care justific ă astfel denumirea acestor reprezent ări de tipul func ție de
incertitudine.
Se observ ă că în calculul celor dou ă mărimi intervin dou ă funcții, ce
caracterizeaz ă semnalul de sondaj și semnalul ecou : densit ățile spectrale de
energie a celor dou ă semnale și funcțiile de autocorela ție ale acestora. Dac ă
se calculeaz ă :
(){} ( ){ }()() [ ] ∫∫ ∫=⋅⋅−⋅ =−⋅ =⋅⋅−
Rj
R RXX d edt txtx dt txtxF RF τ τ τ ττω * *)(
() ( ) ()() ( ) ∫∫ ∫ ∫= ⋅−⋅= ⋅−⋅=⋅⋅− ⋅⋅−
RR R Rj jdtd e tx tx dtd e txtx τ τ τ ττω τω * *
71 () ( )()( )() () ( ) ∫∫ ∫∫= ⋅⋅⋅= ⋅⋅=⋅⋅− ⋅⋅− −⋅−
RR Rj tj
Rtjdtd e x etx dtd e x tx α α α ααω ω αω *
() () () () ∫⇒= ⋅⋅=⋅⋅−
RtjX dt X etx2 *ω ωω
() (){} () ⇒= = ⋅ ⋅=−⋅ ⋅∫ RF X X e dXXj
Rτωπωωωτ 1 22 1
2
() () ( ) =⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ ∫1
222
πωω τ ωω τXj X
R Rcos sin
⇓
()()
()ϕτωω τ ω
ωω τ ω012
2=⋅
⋅∫
∫arctgXd
XdR
Rsin
cos (4.23)
()()
()ϕτωω τ ω
ωω τ ω022
2=⋅
⋅∫
∫arctgYd
YdR
Rsin
cos (4.24)
Înlocuind rela țiile (4.19), (4.20) și (4.23), (4.24) în (4.17), respectiv (4.18)
se obține :
⋅⋅
−
⋅⋅
⋅=
∫∫
∫∫
RR
RR
dtt txdtt tx
arctg
dtt tydtt ty
arctg
ωω
ωω
ωτ
cos)(sin)(
cos)(sin)(1
22
22
1 (4.25)
()
()()
()
⋅⋅
−
⋅⋅
⋅=
∫∫
∫∫
RR
RR
d
d Yd Y
arctg
d Xd X
arctg
ωωτωωωτω
ωωτωωωτω
τω
cossin
cossin1
22
22
1
Se poate verifica principi ul incertitudinii a lui Heisenberg, în cazul celor
2 relații. Astfel dac ă energia semnalului ()tx este concentrat ă temporal în jurul
valorii t00=, adic ă ()(),2t txδ= atunci yt t() ( )2
0=−δτ și
[]0 0 11ττωωτ =⋅ = arctgtgmasurat , iar ()Xω2−este nem ărginită și ωd1 nu este
determinat ă.
Dac ă ) ( )( )( )(02 2
d Y X ωωδωωδω −= ⇒= și ()0 0 11
d d masuratd arctgtg ωτωτω =⋅ = , iar
în plan temporal semnalul este nem ărginit și τ1 nedeterminat.
72 Pentru un semnal având energia concentrat ă într-o fereastr ă temporal ă
Rτ se obține :
τωω
ωω
ωττ
ττττ
ττττ
ττ122
221 00
0022
22≈⋅⋅
⋅−⋅
⋅
=
+−
+−−
−∫
∫∫
∫arctgtd t
td tarctgtd t
td tRR
RRRR
RRsin
cossin
cos//
//
=−
⋅− +
+
⋅− −
−
=⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅ ⋅122
2201222
2200
0000
0ωτω τ ω
τω τ ωωττωω
τω ωττ
τττ
τarctgRR
RRarctgR
Rcos cos
sin sinsin sin
cos sin =
()[]=⋅ =1
00ωτω τ arctg tg (4.25)
ττ10masurat≈
Dac ă semnalul are energia concentrat ă într-un domeniu
spectral ωR(fig.29b), se ob ține relația aproximativ ă de calcul (4.26):
− ≈
∫∫
∫∫
+−
+−+−
+−
+
++
+
2/
2/2/
2/
2/
2/2/
2/
10 0
0 00 0
0 0
0
00
0
) cos() sin(
) cos() sin(1
ω
ωω
ω
ω
ωω
ω
ωω
ωωωω
ωω
ω
ωω
ω
ωωτωωτ
ωωτωωτ
τωR
RR
R
R
RR
R
dd
dd
d
dd
arctg
dd
arctg
[ ]τωωτωω
τωτω
τω) cos() sin(
) cos() sin( 1
0 00 0
00
1
dd
d arctg arctg−−− = =0dω (4.26)
Deci 0 1 d masuratdω ω≈
Pentru semnale de sondaj definite pe suport m ărginit în domeniul X(ω) x(t)
ω0 t
-Rτ/2 R τ/2 0ω-Rω/2 0ω+Rω/2
fig.29a fig.29b
73temporal ,determinarea lui 1τ nu depinde de lungimea ferestrei temporale R τ
si de variabila ω a funcției de incertitudine, dar având în vedere c ă acest
semnal va avea suport nem ărginit în domeniul frecven ță, determinarea lui 1dω
va fi aproximativ ă, lungimea ferestrei R ω aproximându-se cu intervalul de
frecvență în care semnalul are concentrat ă cea mai mare par te a energiei. La
fel pentru semnale de sondaj definite pe suport m ărginit în domeniul spectral,
determinarea lui 1dω nu depinde de lungimea ferestrei spectrale R ω și de
variabila τ a func ției de incertitudine, dar determinarea lui 1τ este
aproximativ ă, având în vedere c ă în plan temporal semnalul va avea suport
nemărginit.
Pentru exemplificare se va considera impulsu l rectangular ideal :
Evident 1τmasurat =0τ ,iar spectrul semnalului va fi:
)2(sin )(τ
τωωRc R X=
)2(sin )(0
τ τωω
ω R c R Yd−
= (fig.29c)
ω
1 pentru t [ ]2/;2/τ τR R−∈
0 în rest x(t)=
2)(ωX2)(ωY
ωR ωR
ω ω
0dω
fig.29c
74
ωωτωωωωτωω
τω
ττ
dRcdRc
arctg
RdRd
d
) cos() (2sin) sin() (2sin1
0202
1
∫∫
−
−
=
ωωωωτ ωωωωωωτ ωω
τω
ω
ωω
ω
ω
ωτω
ωτ
dRdR
arctg
R
R
ddR
R
dd
d
d
dd
d
∫∫
+
−+
−
−
−−
−
≈
2/
2/2
002/
2/2
00
1
0
020
02
) () cos() (2sin) () sin() (2sin
1
Se ob ține:
[] [ ]
[] []02/
2/22/
2/2
1) cos( ) ( cos ) ( cos) cos( ) ( cos ) ( cos
1
dR
RR
R
d
dR RdR R
arctg ω
ωωωττω τωωωωττω τω
τω
ω
ωω
ω
τ ττ τ
=−− ++−− ++
=
∫∫
−−
Acelea și rezultate se ob țin și în cazul ferestrei rectangulare din
domeniul frecven ță. Deci, în cazul ferestrei rectangulare ideale, într-un
domeniu (timp sau frecven ță) formula teoretic ă de calcul din domeniul dual
(frecvență, respectiv timp) se poa te înlocui cu o formul ă simplificat ă, în care
integrările se fac pe un domeniu fini t, rezultatele fiind identice ca și în cazul
folosirii formulei teoretice. Totu și, ultimele rezultate ob ținute rămân la nivel de
exemplu teoretic, datorit ă imposibilit ății generării în practic ă a ferestrelor
rectangulare ideale, în oricare din cele dou ă domenii. Mai interesante pentru
cazurile practice, r ămân rela țiile aproximative (4.2 5), respectiv (4.26).
3.3 Metode de implementare a algoritmilor de procesare baza ți pe
reprezent ări TFS și FIBI
După cum s-a afirmat în 2.2 se pot utiliza dou ă variante de procesare, în
75funcție de metoda aleas ă pentru determinar ea parametrilor ut ili. Dar ambele
metode prezentate an terior fac abstrac ție de componentele perturbatoare ale
semnalului ecou, realizând îmbun ătățirea raportului semnal /zgomot doar prin
metoda recep ției corela ționale(filtrare adaptiv ă). În unele situa ții aceast ă
filtrare este necesar ă dar nu este si suficient ă pentru a ob ține nivelul de
performan ță dorit. Astfel analizând rela țiile (4.4) și (4.12) se observ ă
prezența componentelor perturbatoa re, care se prezint ă sub forma unei TFS
a semnalului perturbator de la intrarea receptorului, utiliz ând ca fereastr ă
semnalul de sondaj. Pe baza rela ției (4.4) se poate completa receptorul
corelațional prezentat în figura 26, prin calculul și memorarea TFS a
semnalului perturbator si apoi compensarea acesteia. Rezult ă schema de
procesare prezentat ă în fig. 30.
.
.
Această schem ă completeaz ă matricea corela țională clasică cu
compensatoare la nivelul componentel or Transformate i Fourier Scurte a n(t+∆t) Intarziere
∆t y(t) ()tdje1
1-txωτ−⋅
()tdje2
2-txωτ−⋅
()tdjneωτ−⋅n-tx
()tjwde1
1-tx−⋅τ ) (2,2τωdTFS
yT) (1,1τωdTFS
nT
) (2,2τωdTFS
nT
) (,n dnTFS
nTτω) (2,2τωdFI
xT
) (,nndFI
xTτω-
–
-⊕
⊕
⊕∫dt
∫dt
∫dt
∫dt
∫dt
∫dt⊗⊗⊗⊗⊗⊗
Determinaremaxim si
comparare
0,0τωd) (1,1τωdTFS
yT
) (1,1τωdFI
xT
fig. 30 ) (,n dnTFS
yTτω
76semnalului ecou si a perturba ției. Evident problema cea mai delicat ă care
intervine în acest caz este de a ob ține informa țiile despre perturba ție cât mai
apropiate de momentul atinge rii valorii maxime la ie șirea filtrului corela țional.
Pentru a se ob ține informa ții despre perturba ție este necesar ă o perioad ă “de
ascultare”, în care radarul va recep ționa și analiza componentele
perturbatoare a c ăror spectru se situeaz ă în banda receptorului, f ără a emite
semnal de sondaj. Semnalul astfel ob ținut conține în totalitate componente
perturbatoare de tipul bruiaj ului activ, avansate cu t∆ față de semnalul ecou
y(t). (figura 31)
Rezultatele obtinute prin aceasta metoda de procesare sunt prezentate in
ANEXA 10
Perioada de observare T se împarte astfel în dou ă intervale: de la 0 la
t∆ se desfăsoară etapele algoritmului de ascultare bruiaj activ, e șantionare și
memorare a acestuia, precum si procesarea propriu – zis ă a informa țiilor
achiziționate și memorate în perioada T-1. În aceast ă etapă a algoritmului
de procesare se poate opta și pentru regimul de compensare cu bruiaj
“în devans” fa ță de semnalul ecou. Se pune totu și problema influen ței
perioadei de desincronizare t∆ “în avans” sau ”în devans” a perturba ției față
de semnalul ecou. Dac ă perturba ția este un semnal aleator cvasista ționar,
atunci varia țiile componentelor TFS în intervalul t∆ sunt nesemnificative și se
poate aplica cu rezultate bune algoritmul prezentat. Dar având în vedere c ă
Ascultare
Procesare
T-1 Receptie si
memorare
y(t)
și calcul
TFS
perturbatie
Emisie T 0
fig.31
77intervalul t∆ și semnalul determinist x(t) sunt cunoscute cu precizie se poate
calcula TFS a perturba ției desincronizate cu rela ția:
∫ ∫−−∆+=−− =∗ ∗
RdRd dTFS
n dttj txttn dttj txtn T ) exp()() ( ) exp()()( ),(1 1 ωτ ωτ τω
Se noteaz ă t+ t∆=t1 și se obține :
[ ] ∫∆ −+∆− =∗
Rd d dTFS
n dttj tj t txtn T ) exp() exp() ( )( ),(1 1 1 1 ωωτ τω
Rela ția (4.27) arat ă avantajul compens ării la nivelul componentelor TFS
a semnalului ecou si respectiv perturba ției, rezultat care nu s-ar fi ob ținut în
cazul compens ării simple în timp sau în frecven ță si care în unele situa ții în
care bruiajul este un semnal nesta ționar nu ar fi dat rezultate. Sistemul
implementat pe baza rela ției (4.27) este prezentat în fig.32.
⊕
–
fig.32
Pornind de la rela ția (4.12) se poate im plementa algoritmul de
procesare și în domeniul frecven ță. Răspunsul filtrului adaptat, acordat pe
diω, la momentul iτ va fi :
[ ] ∫∫− + − − =∗ ∗
RRi di di di i di e d j X N d X Xky ωωτ ωωωωωωωωπτω ) exp() ()( ) () (2),(
) ,( ) exp(),(1 t Tt j TdTFS
n d dTFS
n ∆− ∆−= τω ω τω (4.27)
Calcul
TFS
Calcul
TFS x(t)y(t)
n(t+ t∆)),(di iTFS
yTωτ
), (1 di iTFS
n t T ωτ∆−),(di iTFS
nTωτ),(di iFI
xTωτ
⊗t jdie∆−ω
78 ∫− +=∗
Ri di x i di e d j X NkkE y ωωτωωωπτω ) exp() ()(2),(
∫∆−=−∆+=
RNtj tj t tn N )() exp() exp() ( )(1 ωω ω ω
)() exp()( ωω ω Ntj N ∆−=
Conform rela ției (4.28) sistemul preze ntat în fig.32 se completeaz ă cu
compensatorul spectral, care va determina TFS a densit ății spectrale a
zgomotului, utilizând ca fereastr ă funcția de densitate spectral ă a semnalului
de sondaj.(fig.33)
fig.33
Partiționarea perioadei de observare este identic ă cu situa ția din
algoritmul prezentat în fig.6, doar c ă în aceast ă schemă mai intervine în plus
calculul func ției de densitate spectral ă a perturba ției. De asemenea, trebuie
menționat că în toate situa țiile prezentate anterior s-a accentuat pe
compensarea bruiajului activ, considerându-se c ă bruiajul pasiv se elimin ă
prin metoda filtr ării Doppler.
Metoda a-II-a, bazat ă pe legătura dintre func țiile de incertitudine a
celor două semnale, respectiv semnalul de sondaj și semnalul recep ționat se
implementeaz ă printr-un algoritm de proc esare mai complicat. Astfel [] ∫∆− − +=∗
Ri di x i di e dt j X NkkE y ω τω ωωωπτω ) ( exp) ( )(12), (
) ,(2),(1 i diTFS
N x i di e t TkkE y τωπτω −∆ += (4.28)
kX ) (diωω−∗
Esantionare
memorare Calcul
TFRCalcul
TFS⊕y(t)
n1(t)=n(t+ ∆t) ),(i di eyτω
)(1ωN) ,(21 i diTFS
N t Tkτωπ−∆
)(ωX
79prelucrând rela țiile (4.15), (4.17) și (4.18) se ob ține :
), ( ), ( )0,( )0,() exp()0,(1 1 0 1 1 0 0 0 10 0 τωω τωω ω ωτω ωdTFS
n dTFS
nFI
nFI
xFI
y T T T T j T + +− + + −=
[ ]) , ( ) , ( ) exp(),0( ),0() exp(),0(0 1 0 1 01 0 0 01 0 ττω ττω τω τ ττω τ −−++− −+ + −=dTFS
n dTFS
n dFI
nFI
x dFI
y T T j T T j T
Considerând 1 0 dωω= și 1 0ττ= ⇒
),2( ),0( )0,( )0,() exp()0,(0 0 0 0 0 10 0 τω τ ω ωτω ωTFS
nTFS
nFI
nFI
xFI
y T T T T j T + + + −= (4.29)
[ ])0,( )2,( ) exp(),0( ),0() exp(),0(0 0 0 00 0 0 01 0 ωτω τω τ ττω τTFS
nTFS
nFI
nFI
x dFI
y T T j T T j T +− −+ + −= (4.30)
Pe baza rela țiilor (4.29) si (4.30) se ob ține algoritmul de procesare
prezentat în figura 34, und e s-au utilizat urm ătoarele nota ții:
)2, ( ) exp(10 0 00 τωτω − −=TFS
nT j T
)0,( ) exp(20 00ωτωTFS
nT j T−=
),0( 30τTFS
nT T=
),2( 40 0τωTFS
nT T=
80
După cum se observ ă algoritmul prezentat este destul de complex și
prezintă deocamdat ă interes doar din punct de vedere teoretic,
implementarea lui necesitând sisteme cu viteze de prelucrare si capacit ăți de
memorare foarte mari.
O schem ă simplificat ă de procesare se ob ține pe baza rela țiilor (4.25),
dar trebuie precizat c ă aceasta nu realizeaz ă compensarea suplimentar ă a
bruiajului activ. Considerând
1 0k=ω și 2 0k=τ se obține schema prezentat ă în
figura 35. Semnalul x(t) fiind cunoscut, valorile
)(1 10kϕ și )(2 01kϕ pot fi calculate și Esantionare
Memorare
Esantionare
Memorare MemorareTCalcul
FI
y
MemorareTCalcul
FI
n
MemorareTCalcul
TFS
n ),0(0τFI
yTExtragere
)0,(0ωFI
yTExtragere
),0(0τFI
nTExtragere
)0,(0ωFI
nTExtragere
TFS
nTExtragere⊕
⊕
⊕⊕
⊕
⊕1dCalcul
ω
1τCalcul),0(~
0τFI
yT
)0,(~
0ωFI
yT
T1
T2
T3
T4)0,(0ωFI
xT),0(0τFI
xT
x(t) y(t)
) ( ttn∆+-
–
fig.34
81memorate, la fel și funcțiile: ) cos(), sin(), cos(), sin(2 2 1 1 ωω k k tk tk , calculându-se
efectiv în fiecare perioad ă de observare doar valorile )(1 0,2kϕ și )(2 02kϕ .
fig.35
În concluzie, se poate afirma c ă reprezent ările timp-frecven ță de tipul
TFS si FIBI ofer ă o gamă largă de metode de procesare și analiză a
semnalului RADAR de band ă îngustă, conferind o îmbun ătățire semnificativ ă
a calității proces ării și a raportului semnal/zgomot al semnalului ecou. Dar
aparatul matematic specific acestor reprezent ări este destul de complex și
implementarea algoritmilor presupune sis teme de procesare cu viteze mari și
capacități de memorare foarte mari, nece sitând astfel o simplificare a
algoritmilor. În continuare se va prezenta o aplica ție bazată pe TFS discret ă,
care simplific ă algoritmul de procesare, impl ementarea acestuia fiind mai
ușor de realizat.
2
Calcul
TFR )(1 20kCalcul
ϕ
)(2 02kCalcul
ϕ⊕
⊕11
k
21
k2)(ty
2)(ωYy(t) ) sin(1tk ) cos(1tk
) sin(2ωk) cos(2ωk)(1 10kϕ
)(2 01kϕ1τ
1dω-
–
823.4 Transformarea Fourier Scurt ă Discret ă. Aplicații în procesarea
semnalului RADAR
S-a arătat în []14, capitolul 2.3.6 c ăci localizarea în domeniul timp a
reprezent ării TFS depinde de durata fer estrei temporale w(t), τR și că
localizarea în domeniul frecven ță depinde de l ărgimea de band ă a ferestrei
spectrale ωR. Se poate afirma deci c ă semnalul ecou poate fi descris prin
intermediul reprezent ării sale timp-frecven ță de tipul TFS, la momentul t, în
jurul pulsa ției ω, în celula de rezolu ție descris ă de produsul cartezian:
+−
+−2;2 2;2ω ω τ τωωR RXRtRt
Acoperirea planului ω−t cu celule de rezolu ție, în cazul TFS, este
prezentat ă în fig.36.
Fig.36
Se observ ă că nu are sens s ă se obțină mai multe e șantioane în
aceeași celulă de rezolu ție. O densitate optim ă de eșantionare poate fi
obținută dacă se preleveaz ă câte un e șantion din reprezentarea
ω−t, cu ω
t
1t2tt2ω
1ωωτR
ωR
83coordonatele în centrul fiec ărei celule de rezolu ție. Evident c ă ar putea fi
achiziționate mai multe e șantioane într-o celul ă de rezolu ție, dacă aplicația o
impune. Dac ă se aleg pa șii de eșantionare la valorile limit ă τRt=0 și
ωω R=0 ,se obține:
∫− − =∗
RTFSD
y dtt jm nttwty mnt T ) exp() ()( ) ,(0 0 0 0 ω ω (4.29)
Se demonstreaz ă că transformarea este inversabil ă și că operatorul
invers este m ărginit dac ă sunt îndeplinite condi țiile: πω 200≤t , adică πωτ 2≤RR ,
iar din principiul incertitudinii se ob ține 2≥ωτRR . Deci pentru []π ω 2;200∈t ,
semnalul ecou se poa te scrie ca o superpozi ție de atomi ω−t:
∑∑
∈∈=
ZmZnnmTFSD
y tw mnt T ty )( ) ,( )(, 0 0ω (4.30)
) exp() ()(0 0 , tjm nttwtwnm ω −=
Rela ția (4.30) se poat e interpreta din dou ă puncte de vedere: unul se
referă la faptul c ă semnalul ecou poate fi reconstituit pe baza e șantioanelor
reprezent ării sale t- ω de tip TFS, prelevate corespunz ător unei densit ăți
minime, iar cel de-al doile a punct de ve dere se refer ă la faptul c ă semnalul
ecou, de energie finit ă, care în general este un semnal nesta ționar poate fi
descompus cu ajutorul mul țimii de func ții : {}ZnZm nmtw∈∈, ,)( ,care ocup ă poziții
bine definite în planul t- ω.
Rela ția (4.30) descrie o posibilitate simpl ă de analiz ă și prelucrare t- ω a
semnalului ecou y(t). Pentru aceasta trebuie s ă se identifice valorile
semnificative ale coeficien ților ),(nm TTFSD
y , determinându-se astfel zonele din
planul t- ω în care semnalul y(t) are comp onente utile semnif icative. Altfel
spus trebuie determin ate celulele de rezolu ție în care semnalul perturbator
84n(t) are compon ente maxime, s ă se atenueze acei coeficien ți conform
intensității perturba ției si apoi s ă se refac ă semnalul )(~ty, care va con ține
doar componente utile semnificative.
O fereastr ă temporal ă adecvat ă analizei semnalul ui RADAR de band ă
îngustă, în impuls ar fi fereastra rectangular ă :
Pe baza acesteia se poate construi mul țimea {}ZnZm nmtw∈∈, ,)(
care este o baz ă ortonormat ă a spațiului )(2RL (fig.37)
Dacă
πω 20= , 10=t, atunci sunt îndeplinite condi țiile: πω 200=t și
{}Znm nmt w∈, ,)( este o baz ă ortonormat ă a lui )(2RL ,dar din p ăcate fereastra t w(t)= 1 pentru
−∈21;21t
0 în rest
=)(,t wnm
+−∈ −21;21) exp(0 n nt pentru t jmω
0 in rest
)(,t wnm
0,0w1,2w2,4w
fig.37
85rectangular ă nu are o localizare suficient de bun ă în frecven ță. (∞→ωR și
ωω R≠0 ). În fapt teorema Ba lian –Low ne confirm ă faptul că nu exist ă nici o
fereastră temporal ă, care să aibă o localizare bun ă în timp si în frecven ță și
care să genereze o mul țime {}Znm nmt w∈, ,)( , bază ortonormat ă a lui )(2RL .
Altfel spus, pot genera baze a lui )(2RL numai func țiile w(t) care au
produsulωτRR infinit. Totu și acest rezultat teoret ic nu ne împiedic ă să folosim
fereastra rectangular ă, dar pentru reconstruc ția semnalului y(t) va fi necesar ă
eșantionarea redundant ă ( πω 200<t ).
Rela ția (4.29) se scrie:
∫+
−− =21
21 0) exp()( ),(n
nTFSD
y dtt jm ty nm T ω
Dac ă semnalul y(t) este e șantionat cu perioada eT,situație impus ă de
procesarea numeric ă se obține:
∑
+−∈− =
21;
210) exp()( ),(
n n kTe eTFSD
y
eT jmk kTy nm T ω
∑∑
∈∈=
ZmZ ne nmTFSD
y e kT wnm T kTy )( ),( )(,
∑ ∑
+−∈∈=
21;
210 ),( ) exp( )(
e e kT kTnTFSD
y
Zme e nm T T jmk kTy ω
Considerând cazul limit ă πω 20= și 21
2==τRTe se obține:
[][] [] 12( exp 12( exp ) exp()2( ),(1 1
12;12+−++−−=− =+ −
+−∈∑ n jm yy n jm y jmkky nm Tn n n
n nkTFSD
y π π π
pentru m=2m1
pentru m=2m1+1=),(nm TTFSD
y
86În acest caz rela țiile de calcul a TFSD sunt foarte simple, schema de
procesare reducându-se la un sistem de e șantionare-memorare și la două
sumatoare algebrice a e șantioanelor.(fig.38)
Esantio
nare⊕
⊕y(t) ny
1−ny
1+ny)2,(1mnT
)1 2,(1+mnT – –
y(t)
t
)(tye
t
)2,(1mnT
t
)1 2,(1+mnT
t
Fig.38
87Cazul particular prezentat în fi g.38 este binecunoscut în radioloca ția
clasică ca fiind acumularea necoerent ă a eșantioanelor, realiz ându-se astfel
în primul caz o integrare a semnalului ecou, iar în al doilea caz o diferen țiere
numerică a acestuia. Cazul este pr ezentat în lucrarea de fa ță doar pentru a
se arăta generalitatea metodei și se va analiza în continuare cazul proces ării
Doppler în frecven ță intermediar ă.
dttj ty n Trn
nTFSD
y ) exp()( )1,(0)
21(
)
21(ωτ
τ− =∫+
− ,unde:
r0ω – reprezint ă frecven ța intermediar ă la recep ție, modificat ă față de
frecvența intermediar ă la emisie cu frecven ța Doppler;
d d r iωωωωω ∆+=+=0 0 0 , Zi∈
dω∆-pasul de discretizare necesar la selec ția în vitez ă Doppler;
τ- durata impulsului de sondaj;
dtt ji tj ty in Tdn
nTFSD
y ) exp() exp()( ),1,(0)21(
)21(ω ωτ
τ∆− − =∫+
−
Relația (4.30) devine în acest caz :
) exp() exp()( ),1,(0
)21(;)21(e d e e
n n kTTFSD
y kT ji kTj kTy in T
eω ω
ττ∆− − =∑
+−∈
) exp() exp()( ),1,(0
)21(;)21(e d e e
TnTn kTFSD
y kT ji kTj kTy in T
e eω ω
ττ∆− − =∑
+−∈
Pentru
02
ωπ=eT se obține:
)2 exp()2 exp()( ),1,(
0 0)21(;)21(0 0k ji kjfky in Td
f nf n kTFSD
y πωωπ
ττ∆− − =∑
+−∈
88)2 exp( ),1,(
0)21(;)21(0 0πωω
ττk ji y in Td
k
f nf n kTFSD
y∆− =∑
+−∈
)2 exp( ),1,(
0
2)12(;2)12(0 0πωω
ττk ji y in Td
k
fnfn kTFSD
y∆− =∑
+−∈ (4.31)
Având în vedere c ă cvd∆=∆ 2
0ωω,unde
v∆-rezoluția în vitez ă radială;
c – viteza de propagare a undei exploratoare;
)4 exp( ),1,(
2)12(;2)12(0 0π
ττkcvji y in Tk
fnfn kTFSD
y∆− =∑
+−∈
Sistemul care implementeaz ă relația (4.31) este prezentat în fig.39
cvikje∆⋅⋅⋅−π 4
),(00inCA/N MEM1
y(k) ⊗
Comparator
numeric
cu
prag
Schema de
comanda si
sincronizarey(t) y(k) ),1,(in TTFSD
y
Adrese
memoriiAdrese
memoriiR/W R
0f 0fτRef Σ
AcumulatorMEM 2
R
Fig.39
89 Opera țiile aritmetice necesare pentru calculul TFSD, comenzile de
înscriere – citire și adresare a memoriilor, precum și compararea coeficien ților
TFSD se poate realiza cu un procesor digital de semnal (DSP).
Pentru a se d etermina performan țele necesare sistemului de procesare
se va analiza cazul u nui radar metric cu sµτ10= , MHz f100= , km D 300max= . În
aceste condi ții se obține:
[])4 exp( ),1,(
)12(50);12(50πkcvji y in Tk
n n kTFSD
y∆− =∑
+−∈
Num ărul de e șantioane care trebuie memorate pe o perioad ă de
observare este 4
0max1022⋅= = fcDNe . Numărul de coeficien ți care se calculeaz ă
pentru i fixat este i coeficientNNe
ci −== 200100. Pentru o rezolu ție în vitez ă
sm v / 30=∆ , la o vitez ă radială maximă sm v / 900max= ,se obține numărul de
coeficien ți care trebuie calcula ți la n fixat: 602max=∆=vvNcn .
Numărul total al coeficien ților este: 12000=⋅=cn ci t NN N , iar num ărul total al
operațiilor necesare a se e fectua într-o perioad ă de observare este
2400000 200=⋅=t op N N . La o perioad ă de observare de ms10 este necesar ă o
viteză de lucru a sistemului de procesare de unda operatii sec/ 10247⋅ .
Se observ ă că deși memoriile au capacit ăți relativ mici, viteza de lucru
impusă sistemului de procesare este destul de mare, dar realizabil ă pentru
sistemele actuale. Se poate folosi, dup ă caz, cuplarea în paralel a
procesoarelor.
90 3.5 Metode de procesare a semnalului RADAR bazate pe
reprezent ările de tipul TW si a func ției de incertitudine de band ă
largă (FIBL)
Dacă semnalul ecou este nesta ționar (situa ția cel mai adesea întâlnit ă
în practic ă) și acesta este descris printr-o succesiune de semnale de durat ă
limitată, dintre care unele sunt de durat ă mare și cu vitez ă de varia ție redusă
(grupări de ținte fixe de dimensiuni mari, reflexii de la dipoli ,forma țiuni
noroase sau zone ioni zate), unele de durat ă medie (semnal util reflectat de
către țintele în mi șcare) iar altele sunt scurte si cu varia ție rapidă, ar fi
necesar ca acest semnal s ă fie prelucrat cu aj utorul unei reprezent ări timp-
frecvență care să foloseasc ă o fereastr ă de profil variabil (fig.40)
Pornind de la aceste considere nte, reprezentarea bidimensional ă
adecvată semnalului ecou nesta ționar ar fi reprez entarea timp-frecven ță de
tip transformare Wavelet (TW).
()[]∫− =
RTWC
y dt tstys s T τψ τ )( ),(
y(t) –semnalul ecou;
)(tψ -“undișoara mam ă” în raport cu care se face reprezentarea
Aceasta mai poate fi denumit ă și o reprezentare de ti pul timp-factor de tI.F
M.F
J.F
t1 t2 t3
fig.40
91scară. Dacă se consider ă că parametrul s este un raport de frecven țe
0 0ωω==ffs , unde 0f reprezint ă frecvența central ă a filtrului FTB cu r ăspunsul
la impuls )(tψ, atunci reprezentarea timp-factor de scar ă devine o
reprezentare timp – frecven ță adaptivă a semnalului ecou relativ la undi șoara
)(tψ.
()∫
− =
RTWC
y dt t ty T τωωψωωτω
0 0)( ),(
La fel ca și în cazul TFS exist ă și alte exprim ări alternative și metode de
implementare:
)()()()(),( t tyt ty sTs sTWC
y ψ ψτ ∗=−∗=
)( )( st s ts −=ψ ψ
Deci pentru fiecar e valoare pozitiv ă a lui s, TWC a semn alului y(t) este
răspunsul unui sistem liniar și invariant în timp, cu r ăspunsul la impuls )(tsψ ,
când la intrare se aplic ă semnalul y(t).(fig.41).
fig.41
Aceast ă exprimare st ă la baza implement ării filtrului op tim adaptat cu
semnalul ecou de band ă largă. După cum s-a ar ătat în [14], modelul
matematic al semnalului recep ționat, în absen ța bruiajului este o replic ă )(tsψy(t) ),(τsTTWC
y
92retardată și scalată a semnalului de sondaj.
()[]τ−⋅= tsxs ty)(
Ieșirea receptorului corela țional este în acest caz :
()[]dt tsxtys s R
Rxy∫− =∗τ τ )( ),(, (4.32)
După cum se observ ă din relația (4.32), calculul corela țional coincide cu TWC
a semnalului recep ționat y(t), folosind ca undisoar ă semnalul de sondaj x(t).
),( ),(/ , τ τ s T s RTWC
xy xy= (4.33)
Prelucrarea semnalului ecou pe baza acestui principiu presupune
obținerea replicilor retardate și scalate ale semnalului ecou )(,txsτ, care se
vor folosi apoi ca și “tipare” de compara ție corela țională cu semnalul ecou
y(t). Când cele dou ă semnale se “potrivesc” cel mai bine, rezult ă un maxim al
funcției de corela ție. Semnalul prezumti v care conduce la ob ținerea corela ției
maxime furnizeaz ă o estimare a parametrilor s și τ . Schema receptorului
corelațional de B.L. este prezentat ă în fig.42
⊗
⊗
⊗∫dt
∫dt
∫dt2
2
2
Selecta-
rea
valorii
maxime
. . . y(t) )(1,1t xs∗
τ
)(2,2t xs∗
τ
)(,t xnsn∗
τsEstimare
,τ
fig.42
93
După selectarea valorii maxime , detectarea unui obiect în zona de
supraveghere radar este realizat ă pentru 0 / / ),( ),( R sT sRiiTWC
xy iixy ≥ =τ τ .
Estimarea parametrilor ),(i isτ corespunde determin ării vitezei radiale riv și
distanței iD a țintei. Reprezentarea tip TW a unui semnal RADAR tip CHIRP
este prezentat ă în ANEXA 3.
Prin utilizarea modelului de impl ementare a TWC prez entat în fig.41, se
simplifică mult structura receptorului corela țional de B.L., ob ținându-se un
banc de filtre adaptate, dup ă coeficientul de scal ă ns.(fig.43)
fig.43
Considerând acum semnalul ecou ca fiind bruiat aditiv cu perturba ția
n(t) se ob ține:
()[] )( )(1 1 1 tn tsxs ty +−⋅= τ
()[] ()[] dt tsxtn
stsxss ss R
Rxy ∫−
+− =∗τ τ ττ )(1( ),,,(
11 1 1 11 ,
()[] ()[] ()[]dttsxtns dttsx tsxss ss R
R Rxy ∫ ∫− +−− =∗ ∗τ ττ ττ )( ),,,(1 1 1 11 , )(1txs
)(2txs
)(txsn
Selecta-rea
valorii
maximey(t) sEstimare
,τ
. . .
94
Făcând schimbarea de variabil ă 1
1τα+=st se obține:
),( )(/
11
11 , τατταα s Tsd
ssxxss RTWC
xnRxy +
−+ =∫∗
),( ) ( )(/ 1
1 1, τ τ s Tdt stssxtxssRTWC
xnRxy +
∆− =∫∗
Folosind nota țiile:
1sss=′ si ) (1 1τττ−=′s se obține:
()[] ) ,( )( ),(
111 / ,sss Tdttsxtxs sRTWC
xn
Rxyττ τ τ + +− =∫∗
Prin analogie cu func ția de incertitudine de B.Î., primul termen al ultimei
relații se define ște ca fiind func ția de incertitudine de band ă largă (FIBL). Se
obține astfel rela ția:
) ,( ),( ),(
111 / ,sss T s T sRTWC
xnFIBL
x xyττ τ τ + + = (4.34)
()[]∫− =∗
RFIBL
x dt tsxtxs s T τ τ )( ),(
Funcția de incertitudine de band ă largă, descrisă de relația (35) admite
un maxim absolut pentru )0,1(),(=τs .
∫= =
RxFIBL
x Edttx T2)( )0,1(
În aceste condi ții răspunsul filtrului corela țional adaptat la replica
corespunz ătoare va fi:
),( )0,1(11 / , τs TE RTWC
xn x xy +=
Se pot ob ține și exprimări alternative ale FIBL, alegerea concret ă a
acesteia fiind determinat ă de specificul aplica ției în care se utilizeaz ă : (4.35)
95∫
− +=∗
RFIBL
x dt tsx txs s T2)2( ),(τ ττ
Notând τ+′=tst1 se obține:
∫∗+ =
RFIBL
x dttxstx
ss T )() (1),( τ τ
Notând τ+′=tst1 se ob ține:
∫−+ =∗
RFIBL
x dtstxstx
ss T )2()2(1),(τ ττ
Funcția de incertitudine de BL se poate exprima și cu ajutorul func ției
spectrale a semnalului de sondaj:
[ ]()[] dt tsx dtj X s s T
R RFIBL
x τ ωωωπτ − =∗∫∫) exp()(21),(
∫∗=
RFIBL
x djsX X
ss T ωωτωω
πτ ) exp()()(
21),( (4.39)
∫∗=
RFIBL
x d js XsXss T ωωτωωπτ ) exp()()(2),( (4.40)
Dup ă cum s-a afirmat și în capitolul 3.2 problema esen țială care trebuie
rezolvată în cadrul proces ării primare a semnalului radar este atenuarea pe
cât posibil a termenului perturbator din rela ția (4.34), care se reg ăsește la
ieșirea filtrului corela țional de BL, împreun ă cu semnalul util de tip func ție de
incertitudine. Spre deosebire îns ă de situa ția prezentat ă în (3.2) termenul
perturbator este prezent sub forma unei reprezent ări de tip TWC, care este
adecvată semnalelor nesta ționare. De asemenea și funcția de incertitudine
de BL este sub forma unei TWC, ar ătându-se în lucrarea []2 importan ța
acesteia în modelarea semnalului ecou cu spectru împr ăștiat (de band ă (4.36)
(4.37)
(4.38)
96foarte larg ă) și a semnalelor ecou care provin de la ținte cu vitez ă foarte
mare, comparabil ă cu viteza de propagare a undei exploratoare a mediului.
Pentru implementarea schemei de rejec ție a perturba ției se consider ă
la intrarea corelatorului i, semnalul: )()( )( tntytyu+= , unde )(tyu reprezint ă
semnalul util. La ie șirea corelatorului se ob ține:
()[] ()[] dt tsxtns dt tsxtys dttxty sR
Ri i iRi i u iRisi iixy ∫ ∫ ∫− +− = =∗ ∗ ∗τ τ ττ )( )( )()( ),(, ,
),( ),( ),(/ / , iiTWC
xn iiTWC
xy iixy s T s T sR
uτ τ τ + = (4.41)
Pentru o separare temporal ă a perturba ției de semnalul util se va folosi
o perioad ă de “tăcere”, înaintea emisiei semn alului de so ndaj, perioad ă în
care se recep ționează numai perturba ția ) ( ttn∆+ și se calculeaz ă:
()[] ()[] ),( )( ) (/ iiTWC
xnRi i iRi i i n sTdttsxtns dt ttsxttns T τ τ τ =− =−∆+∆+= ∫ ∫∗ ∗
Astfel canalul i al receptorului corela țional din fig. 17 se va completa cu
o celulă de compensare (fig. 44)
Se observ ă că prelevarea perturba ției pentru calculul termenului
compensator se face în avans fa ță de momentul recep ției și proces ării ⊗
⊗∫dt
∫dt⊕y(t)
) ( ttn∆+)(,txisi∗
τ
)(,t xtisi∗
∆−τ),(i iTWC
ys Tτ
),(i iTWC
ns Tτ),(iiTWC
yus Tτ
–
fig.44
97semnalului ecou, aceasta f iind de fapt modalitatea fizic ă de separare a
perturbației. Evident în cazul uno r bruiaje puternic nesta ționare coeficientul
compensator nT poate să difere într-o oarecare m ăsură de coeficientul real al
perturbației ),(i iTWC
ns Tτ. Dar oricum se poate presupune c ă el va prezenta o
stabilitate mai bun ă decât coeficien ții de natur ă pur temporal ă sau pur
spectrală, iar compensarea în spa țiul reprezent ării de tip TW va da rezultate
mai bune decât compen sarea în alte spa ții de reprezentare. În plus, prin
calculul TWC se rezolv ă si problema filtr ării adaptive a semnalului ecou.
Cum perturba ția n(t) este un se mnal aleator, atunci și
()[] dt tsxtns s T
Ri i i iiTWC
xn ∫− =∗τ τ )( ),(/ va fi o variabil ă aleatoare cu media :
{} { ()[] }{()[]}dt tsxtnEs dt tsxtns E TE
Ri i iRi i i n ∫ ∫− =− =∗ ∗τ τ )( )(
Dar ()[]i itsxτ−∗ este un semnal determinist și pentru orice valoare 0t se
poate scrie :
{()[] }( )[]i i i i tsx tsxE τ τ −=−∗ ∗
0 0
Se ob ține astfel:
{} {}()[]{} ),( ),( )()( )( iitn iiTWC
tnERi i i n sT s TdttsxtnEs TE ττ τ = =− =∫∗
(4.42)
{}{ ()[] ()()[]}=−⋅⋅− = ∫ ∫∗ ∗` )(` ` 2dt tsxtn dt tsxtnsE TE
Ri iRi i i n τ τ
() () ()[] ()[] { }= −⋅−⋅⋅ ⋅=∫∫∗ ∗ `
2 ` ` dtdt tsx tsxtntn Esi iRi i i τ τ
()[] ()[]()(){}
()[] ()[] ()` *` *
', „ `
22
dtdtttr tsx tsx sdtdttntnE tsx tsx s
nn i iRi i ii iRi i i
⋅−⋅− ⋅== ⋅⋅−⋅−⋅⋅=
∫∫∫∫∗
τ ττ τ
r nn(t,t’) – reprezint ă autocorela ția perturba ției nestaționare
Dispersia variabilei aleatoare T n va fi:
98()() ( ) [] ()[]()
()[] ()[] ()() ()( ) () [] ()[] ()[]` * ` *` * 2 2 2
2 22
` ' ', ' `', `
dtdt tsx tsxtntnttr s dtdttntn tsx tsx sdtdtttr tsx tsx s TE TE
i iRi i nn i i iRi i inn i iRi i i n n Tn
⋅−⋅− ⋅− ⋅=⋅⋅−⋅−⋅−− ⋅−⋅−⋅=−=
∫∫ ∫∫∫∫
τ τ τ ττ τ σ
unde s-a notat ()()[]tnEtn=
Este interesant de calc ulat integrala dubl ă a dispersiei dup ă variabilele
si, τi. Se obține:
() ( ) ()() [ ]()[]()[] ' ` ' ', ,22 2* 2dtdtdds tsx tsx tntnttr dds si i i iRRi i nn i i iiRTn⋅⋅−⋅− ⋅⋅− =∫∫ ∫∫ ∫∫ττ τ ττσ
Dac ă se aproximeaz ă xsi,τi(t) cu func ții ortogonale, se ob ține:
() ( ) ()() [ ]() ()( )() [ ]() ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫=−⋅⋅− =−⋅⋅− =2 2 2 ' ' ' ', ' ' ' ', ,2
RR nnRnn i i iiRT dtdttt tntnttr dtdttt tntnttr dds s
nττσ
()( ) () [] () ( ) ( )[]()() ()()dttn dttn dttn tn dttnttr dtdttt tntnttr
R R R Rnn R nn222 2
R2
2 ', ' ' ' ', ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫− =
− =− =−⋅⋅− =
()n n i i iiRT PP dds s
n−= ∫∫ττσ ,22 (4.43)
Rela ția (4.43) prezint ă în membrul drept o constant ă ce semnific ă
diferența dintre puterea medie a perturba ției și puterea mediei perturba ției.
Deci 2
nTσ reprezint ă o deferen ță de distribu ții de puteri în raport cu s i, τi.
Concluzionând , se poate observa c ă prin acest procedeu de procesare
se rezolv ă într-o oarecare m ăsură problema nesta ționarității, utilizându-se în
calcule variabila aleatoare T n, care are media și dispersia constante, (date de
relațiile (4.42) respectiv (4.43)).
Compensarea se poate face la fel și în cazul bancului de filtre adaptate.
Astfel caracteristica de frecven ță a filtrului i va fi:
()(){} (){ } ()∫⋅− ⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅= =
Rtj
i itj
i is s dtetsx s dtetsxsFtxF Xi iω ωω
()α=⋅− tsi
isddtα−=
99() () ()( )
⋅=
⋅⋅=⋅⋅−=∗∗
∗⋅−
∗⋅+
∫ ∫
i iRstj
iRstj
issX
sdt etx
sdt etx
sXi i
iωωω ω1 1 1
() ()[] () () ()tntYtn tsxs tYu+=+−⋅= τ
() () () ωωω N Y Yu+=
La ieșirea filtrului se va ob ține:
() () () ()
⋅⋅+
⋅⋅=
⋅⋅=∗ ∗ ∗
i i i iu
i iesX
sNsX
sYsX
sY Yωωωωωωω1 1 1 (4.44)
() ( ){}( )()
⋅⋅Τ+=⋅=∗ − −
i iu e esX
sNtY Y Ftyωωω1 1
()() ()ωωω
πωωωdesX
sN
sX
sNFty
Rtj
i i i ip ∫⋅ ∗ ∗ −⋅
⋅⋅=
⋅⋅=211
() () ()()= ⋅
⋅ ⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅= ∫∫ ∫∫−⋅ ∗ ⋅ ∗ ⋅−τωωτπωωττπτω ω ωτdd esX
sn desX
sd e n tY
Rtj
i iRtj
i ij
Rp 21
21 1
21
()()τωωτ
πτωdd esX n
sRtj
iR
i∫∫−⋅ ∗⋅
⋅⋅=
21
αω=
is αω ds di⋅= ⇒
() () ()()= ⋅⋅⋅=∫∫−⋅⋅ ∗τω ωτπτωdd e X nstY
Rt sj
Ri
pi 2
() ()()()[] =⋅⋅− ⋅⋅=−⋅⋅ ∗∫τ τ ωττωds t s e X ni it sj
Ri
() ()[]=⋅−⋅⋅=∗∫ττ τ dt sXs ni iR
() () [ ]τ τ τ dtt sXst ni iR⋅−∆+⋅⋅∆+=∗∫ (4.45)
Pe baza rela țiilor (44) și (45), bancul de filt re din fig. 43 se poate
completa, ob ținându-se sistemul pr ezentat în figura 45.
100
Sistemele prezentate pot s ă îmbunătățească semnificativ raportul
semnal util/perturba ție prin utilizarea simultan ă a două procedee: filtrare
adaptivă, respectiv compensarea compon entelor perturbatoare în spa țiul de
reprezentare timp – frecven ță de tipul TW. Totu și, în cazul unor semnale
perturbatoare puternic nesta ționare, de acea și formă ca replica a șteptată a
semnalului ecou sistemul de compensare poate introduce erori prin însumarea unor componente perturbative preluate în perioada de „ascultare”
și care nu mai exist ă în perioada de procesare. Aceste erori se manifest ă fie
prin anularea unui semn al util, în cazul în care acesta exist ă, fie prin apari ția
unui „ecou” fals de valoare negativ ă în cazul în care nu exist ă semnal util.
Ultima situa ție se poate rezolva din punct de vedere tehnic considerându-se
semnalul util cu valoarea pozitiv ă, componentele negative ale compens ării
eronate eliminându-se automat. Prima situa ție se poate și ea rezolva printr-
un procedeu al radioloca ției clasice și anume detec ția cumulativ ă pe mai
multe perioade de observare, având în vedere c ă semnalul perturbator este
singular.
Se demonstreaz ă astfel c ă tehnica de procesare prezentat ă este
complementar ă tehnicilor radioloca ției clasice.
yn(t)
()tX
is
()tX
is
()tX
is()tX
isy(t)
n(t+∆t)
y(t) yn(t)
n(t+∆t)
()tt X
is−∆+∗τ- –
Fig. 45
1013.6. Determinarea parametrilor semnalului ecou pe baza
procedeelor comparative a func țiilor de incertitudine de BL.
După efectuarea detec ției semnalului util se pune problema determin ării
cât mai exacte a parametrilor purt ători de informa ție ai acestuia: s i, respectiv
τi. În paragraful 3.4. simultan cu detec ția se realizeaz ă și selecția, respectiv
determinarea parametrilor:
csi
o⋅=2τ și
ii
ivcvcs−+=
O altă metodă de determinare a acestor parametri ar fi posibil ă prin
compararea func țiilor de incertitudine a se mnalului ecou, respectiv a
semnalului transmis și calculul efectiv al acestora printr-o rela ție matematic ă:
Astfel reprezent ările tip func ție de incertitudine de band ă largă a celor
două semnale vor fi:
() ()()[]dt tsxtxs s T
RFIBL
x τ τ −⋅⋅=∗∫,
() ()()[]dt tsxtxs s T
RFIBL
y τ τ −⋅⋅=∗∫,
Considerând ()[]i i i tsxs ty τ−⋅=)( se obține:
() ()[] ( ) [ ]=−−⋅⋅−⋅⋅=∗∫dt tssxs tsxs s s Ti i i i iRiFIBL
y ττ τ τ ) ( ,
()[] [ ]dt s sstssx tsxssi i i i i iRi ττ τ ⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=∗∫
i
isttτ+='
() ()[ ]dt s ss sstsxtxs s Ti i i i iRFIBL
y τττ τ ⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅=∗∫,
()
()()[]
()[] dt stxtxdt stxtx
TT
iRiR
FIBL
xFIBL
y
00
00
,1,1
ττ
ττ
⋅−⋅⋅−⋅
=∗∗
∫∫
Având în vedere c ă funcția de autocorela ție a semnalului de sondaj
este:
102() () dt txtx R
Rxx ) (τ τ −⋅=∗∫, ultima rela ție devine:
() ( )()
),1(,1
00
0 0ττττFIBL
xFIBL
Y
xx i xxTTR sR ⋅=
()()
()
⋅ ⋅=−
00
01
0 ,1,1 1
ττττFIBL
XFIBL
y
xx xx iTTRR s (4.46)
Dar ),1( )(0 0 τ τFIBL
x xx T R= , astfel rela ția (46) devine:
{} ),1(1
01
0ττFIBL
y xx i TR s−⋅= () 00≠∀τ (4.47)
Relația (4.47) ofer ă o formul ă de calcul a parametrului de scal ă si pe
baza func ției de incertitudine a semnalului ecou y(t) și a inversei func ției de
autocorela ție a semnalului de sondaj x(t), 1−
xxR.
Dacă se calculeaz ă:
[]
()[]
)0()1 (
)()1 ( )(
)0,()0,(0 1 1
00 1 1 0
00
xxxx
RR
FIBL
xFIBL
y
Fss F
dttsxtxdt ss tsxtx
s Ts T −⋅=
⋅⋅−⋅+⋅
=∗∗
∫∫ τ τ
,unde s-a notat cu
Fxx(τ), funcția:
() () ( ) dt tsxtx F
Rxx τ τ +⋅⋅=∗∫ 0
Se obține:
()()
)0,()0,()0( 1
00
0 1s Ts TF ss FFIBL
xFIBL
y
xx i xx =−⋅τ
()()
⋅⋅−=−
)0,()0,( 0
11
00 1
01s Ts T FFssFIBL
xFIBL
y xx
xx
iτ (4.48)
() 0 ,10≠≠∀is s
Dar () () ()dttsxtx F
Rxx∫⋅⋅=∗
0 0 și
103() ()()dttsxtx s s T
RFIBL
x ∫⋅⋅⋅=∗
0 0 00, , astfel rela ția (4.48) devine:
()
⋅ ⋅−=−)0,(1
11
0
01
0s T
sFssFIBL
y xx
iiδ (49)
() 0 ,10≠≠∀is s
Pe baza rela țiilor (4.47) și (4.49) și având în vedere c ă funcțiile 1−
xxF și
1−
xxR sunt cunoscute, putând fi memorate, se poate im plementa un sistem de
calcul a acestor parametri (fig. 46).
În algoritmul de ca lcul prezentat nu se ține seama de ac țiunea
perturbației asupra semnalului recep ționat y(t), deoarece se consider ă că în
această etapă a proces ării perturba ția n(t) este deja eliminat ă prin alte
metode, iar semnalul y(t) ref ăcut. Scopul acestei e tape a algoritmului de
procesare este doar de a îmbun ătăți precizia de determinare a parametrilor Eșanti-
onare Calcul
),(τs TFIBL
y)(1
01
0TRxx−⋅τ
Memorie
)()(
11
TFTR
xxxx
−−
()
′
⋅−−
00 1
011
sTFssxx
i()0 0 ,1τFIBL
yT T=
()0,0 0 s T TFIBL
y=′
τis )(1tFxx−)(1tFxx−s
y(t)
Fig.46
104(si, τi), care în cazul existen ței unor sisteme de calcul performante poate fi
superioar ă celei obținute în cazul rela ției cu filtre corela ționale sau adaptive.
3.7. Discretizarea TW și a FIBL. Aplica ții în procesarea semnalului
RADAR.
Din punct de vedere apli cativ problema discretiz ării acestor reprezent ări
t-s este foarte important ă deoarece prelucrarea se mnalului prin algoritmii
prezenta ți se preteaz ă aproape în totalitate la procesarea digital ă. Chiar și în
cazul selec ției cu filtre , r ăspunsul acestora reprezint ă o mulțime discret ă de
coeficien ți Wavelet, în raport cu factorul de scar ă: ()τ,iTWC
ys T .
Se pune astfel problema, ca și în cazul discretiz ării TFS a unei densit ăți
minime de e șantionare, iar în cazul bancului de filtre adaptate a unui ecart
maxim acceptabil i is s s −=∆+1 max . Densitatea maxim ă de eșantionare se
obține dacă coordonatele punctelor de e șantionare coincid cu coordonatele
centrelor celulelor de rezolu ție, care sunt date de propriet ățile funcției
generatoare Ψ(t), de propriet ățile transformatei Fourier a acesteia ()ω^
Ψ și de
valoarea factorului de scar ă s. Astfel notând cu 2R Ψ lărgimea de band ă a
acesteia se poate afirma c ă în cazul acestei reprezent ări celula de rezolu ție
este dată de produsul cartezian:
[]Ψ ΨΨ Ψ⋅+⋅⋅−⋅
+−ˆ 0 ˆ 0 ; ; Rs sRs sXsR
sRω ω ττ
Se arat ă în [ 9 ] că aria acestor celule de rezolu ție este constant ă și
independent ă de s , i a r l eg e a c a re descrie reparti ția coordonatelor centrelor
celulelor de rezolu ție în planul t – s este:
1050 0 1 0 sa sa sm
m m ⋅=⋅=−
00τ τ ⋅⋅=−m
n an Znm∈,
1 10
− −==
mm
mm
ssaωω
– reprezint ă raportul factorilor de scar ă a două celule
învecinate sau a frecven țelor centrale a dou ă celule de rezolu ție învecinate.
În aceste condi ții:
( ) []0 0 0 0 0 0 ,)( τ⋅⋅−⋅Ψ⋅⋅=Ψ−m m m
nm antsa sa t
Se consider ă s0= 1 și se obține:
[]0 02
0 ,)( τ⋅−⋅Ψ⋅=Ψ nta atmm
nm Znm∈,
[]0 02
0 ,)( τ⋅−⋅Ψ⋅=Ψ−−nt a atmm
nm Znm∈,
Astfel semnalul ecou se poate reprezenta ca o transformat ă Wavelet
discretă, denumit ă și serie Wavelet în timp continuu.
() [] dt nta aty dtt ty nm Tmm
RnmRTWD
y 0 02
0 , )( )( )( , τ ψ ⋅−⋅Ψ⋅⋅= ⋅=∗ ∗∫ ∫
() [] dt nta ty anm Tm
Rm
TWD
y 0 02
0 )( , τ⋅−⋅Ψ⋅ =∗∫ (4.50)
Răspunsul filtrului corela țional de BL va fi:
[] dt ntaXty anmR sRm
Rm
xy n m xy 0 02
0 )( ),( ),( τ τ ⋅−⋅⋅ = =∗∫
iar funcția de incertitudine de band ă largă discretă:
[] dt ntaxtx anm T s Tm
Rm
FIBLD
x n mFIBLD
x 0 02
0 )( ),( ),( τ τ ⋅−⋅⋅ = =∗∫
Se constat ă că eșantionarea este neuniform ă. De aceea în unele
situații se pune problema posibilit ății reconstruc ției funcției ()τ,s TTWC
y pe baza
106eșantioanelor ()nm TTWC
y , sau reconstruc ției semnalului ini țial y(t) din
eșantioanele reprezent ării sale.
În situația utilizării filtrelor corela ționale sau a bancul ui de filtre adaptate
problema este oarecum simplificat ă, deoarece nu se mai pune problema
reconstruc ției semnalului ini țial și nici a func ției TWC
yT , informa ția utilă
regăsindu-se în coeficien ții ()nm TTWC
y , iar opera țiile algoritmului de procesare
se efectueaz ă în spa țiul acestei reprezent ări. Astfel condi țiile impuse
semnalului de sondaj, care în acest caz joac ă rolul de func ție generatoare
Ψ(t)=x(t), nu vor fi foarte restrictiv e, ele referindu-se doar la existen ța
transformatei directe ()nm TTWC
y , și la obținerea unor rezolu ții impuse.
Pentru o rezolu ție în distan ță impusă ∆D0 și în viteză ∆V0 se obține:
cD2=τ CD0
02∆⋅=∆τ
VCV
VcVcs−+=−+=21
()22
VCC
Vs
−=∆∆
()0 0 2 02 2VCV
VCCs
i∆⋅≈∆⋅
−=∆
Rezoluția se poate exprima și în funcție de s i:
11
+−⋅=ssCV ()212
+=
sC
dsdV ⇒
() ()
0 02
02
02
21
21VCVCsVCssi i∆⋅≈∆⋅+=∆⋅+=∆
Impunând condi țiile:
107
−=−=−=∆⋅=⋅⋅−⋅⋅+=−=∆
+
+− − −
+
)1 ()1(
0 0 01
0 1 00 0 0 0 0 1 0
aa a a s ssa an a n
m m m
m mm m m
n n ττ τ τττ
() ()
∆⋅+=∆⋅+=∆∆⋅=∆
02
0
02
00
0
21
212
VCaVCssCD
m
mτ
Se ob ține:
()
∆⋅+≤−∆⋅≤⋅−
02
0
0 00
0
21)1 (2
VCaaaCDa
m
mmτ
⇔
()
∆≤
+−⋅∆⋅≤
CV
aaaa CD
mmm
2 1)1 (1 2
0
2
00 000
0τ
(4.52)
Într-o prim ă aproximare se va considera:
0 02VCs∆⋅≈∆ ⇒
∆⋅≤−⋅∆⋅≤
0 0 000
0
2)1 (1 2
VCaaa CD
mmτ
(4.53)
Fie M = max {m} ⇒ valoarea maxim ă pentru care se calculeaz ă factorul de
scară ⇒
108
0 0 000
0
2)1 (1 2
VCaaa CD
MM
∆⋅≤−⋅∆⋅=τ
0 0 02)1 ( VCaaM∆⋅≤−
)1 (2
00
0−∆≤aCVaM )1 (2lg lg
00
0−∆≤⋅aCVa M
000
lg)1 (2lg
aaCV
M−∆
≤ )1 (2log
00
0−∆≤aCVMa
Dar valoarea maxim ă a lui m este impus ă de valoarea maxim ă a
factorului de scar ă:
maxmax
maxVCVCs−+=
max 0s an= max 0lg lg s a M=⋅
max
0max
0loglglgsasMa==
Verificând ultima rela ție se obține:
)1 (2log log
00
max0 0−∆≤aCVsa a
)1 (2
00
max−∆≤aCVs
max0
02)1 (sCVa⋅∆≤−
max0
021sCVa⋅∆+≤ ) () ( 21
maxmax 0
0VCCVCVa+−∆+≤
În final se ob țin următoarele rezultate
109
∆=+−∆=+
−+=+−∆+≤
0maxmaxmax 0
0maxmaxmaxmax 0
0
) () ( 21 log) () ( 21
0
DDNVCCVCDVCVCMVCCVCVa
a
τ (4.54)
Alegând ) () ( 21
maxmax 0
0VCVC
CVa+−⋅∆+= se verific ă ultima condi ție din
sistemul (4.52), în care s-a folosit valoarea exact ă ()
02
0
021VCasm
∆⋅+=∆ .
Având în vedere c ă:
() 41
12
00≤
+mm
aa
Zm∈∀)( se obține:
()() ()) () (
21411
1 maxmax 0
0 0 2
00
VCVC
CVa a
aa
mm
+−⋅∆=−⋅≤−⋅
+
CV
VCVC
CV
2) () (
20
maxmax 0 ∆≤+−⋅∆ ⇔ 1) () (
maxmax≤+−
VCVC
și astfel condi ția este verificat ă.
Mai trebuie impuse condi țiile asupra semnalului de sondaj, care trebuie
privit ca o fereastr ă timp – frecven ță de dimensiunile c ăreia depinde rezolu ția
impusă. Rezolu ția temporal ă, dată de către durata semnalului de sondaj va
respecta condi ția:
1100 2τ≤⋅xR 20τ≤xR
maxmax 0
VCVC
CDRx+−⋅∆≤
iar rezolu ția în frecven ță, dată de banda semnalului de sondaj trebuie
să respecte condi ția:
() ()0 0
00
0 00
0 0 0 ˆ 1 1 2 ωω ωω ⋅−=⋅−=⋅∆=′⋅∆≤⋅ aaaass s Rmm
mx
maxmax
00
0
maxmax 0
00
ˆ22
21
VCVC
CV
VCVC
CV aRx+−⋅⋅∆=⋅+−⋅∆=−≤ ω ω ω
La limită se poate alege:
CDRx0∆= și
00
1
00
00
ˆλωωV
CV
CVRx∆=⋅∆=⋅∆=−
λ0 – lungimea de und ă a semnalului de sondaj
S-au obținut astfel condi țiile pe care trebuie s ă le satisfac ă semnalul de
sondaj pentru a ob ține nivelul de rezolu ție dorit:
CDRx0∆≈
00
ˆλVRx∆≈ (4.55)
În cazul în care semnalul de sondaj este impus se pot ob ține
capacitățile poten țiale de rezolu ție (separa ție) în distan ță, respectiv vitez ă:
22
0
ˆ 0 00
ef
xef
x
BR VTCRC D
⋅=⋅=∆⋅=⋅=∆
λλ (4.56)
Tef – durata efectiv ă a semnalului de sondaj
111Bef – banda efectiv ă a semnalului de sondaj
Relațiile (4.56) sunt cunoscute și în cazul modelului clasic al semnalului
de band ă îngustă, dar nu trebuie ignorat ă, cel puțin din punct de vedere
teoretic aproxima ția făcută în relația (4.55), care a fost f ăcută tocmai în
scopul de a ar ăta generalitatea modelului de BL.
1
maxmax≈+−=VCVCK
Ignorând aceast ă aproxima ție relația (4.56) devine:
KRVKRCD
xx
ˆ 0
00
⋅=∆⋅=∆
λ (4.57)
dar având în vedere faptul c ă în general viteza und ei exploratoare este
mult mai mare decât viteza obiectelor din spa țiu explorat se poate aplica cu
bune rezultate rela ția (4.56).
Aplicând principiul incertitudinii în analiza timp – frecven ță se obține:
221
0
0 00 ˆ 0 0 0
λλ λ
⋅≥∆⋅∆⋅⋅≥⋅⋅⋅=∆⋅∆
CV DC RR C V Dx x
(4.58)
relație care exprim ă principiul incertitudinii în m ăsurarea parametrilor în
radioloca ție.
Se poate folosi și o metod ă mai simpl ă pentru determinarea variabilelor
sm și δm. Astfel, în rela ția:
() ()[]n m m nm ts s t τ−Ψ⋅=Ψ, se consider ă
112mm
mVCVCs+−= și CDn
n⋅=2τ
0Vm Vm∆⋅= 0Dn Dn∆⋅= și se obține:
),( ),( ),( nmR DVR sRxy n m xy n m xy = =τ
dtCDntVmCVmCxtyVmCVmCnmR
Rxy ∫
∆⋅⋅−⋅∆⋅+∆⋅−⋅⋅∆⋅+∆⋅−=∗ 0
00
00 2)( ),(
Evident și în acest caz semnal ul x(t) trebuie s ă respecte condi țiile
impuse anterior:
CDRx0∆≤
00
ˆλVRx∆≤
Pentru exemplificare se consider ă următorii parametrii de rezolu ție
impuși:
sm V / 100=∆ m D 100=∆
sm V / 1000max= km D 300max=
Se obține:
()
()000000067,121
maxmax 0
0 =+−∆⋅+=VCCVCVa
1001 log
maxmax
0=+
−+=VCVCMa
sVCVC
CDµ τ 67,02
maxmax 0
0 =+−⋅∆⋅=
000.3
0max=∆=DDN
000006700,1000000201,1000000133,1000000067,11
0 1003
0 32
0 21
0 10
0 0
==−−−−−−−−−−−−−========
Ma sasasasas
113
Semnalul de sondaj va trebui s ă îndeplineasc ă condițiile:
s R Tx ef µτ 67,0 20=≤=
0 00
ˆ20 22λλ=∆⋅≤=VR Bx ef
Pentru λ0=10 cm B ef = 0,2 kHz
Condițiile nu pot fi îns ă îndeplinite simultan datorit ă principiului
incertitudinii.
Astfel
mVCD61 8
00
0 105,110210 103
2⋅=⋅⋅⋅=∆⋅⋅≥∆−λ
Deci pentru a se ob ține rezolu țiile impuse ini țial trebuie s ă se
foloseasc ă 2 tipuri de semnale de s ondaj: unul cu durata impus ă, iar altul cu
banda efectiv ă impusă.
De asemenea se observ ă că variația lui s este foarte mic ă, pentru
viteza de deplasare obi șnuită fiind variabil ă la zecimala a 8 – a. Este
necesară efectuarea cu precizie foarte mare a calculelor și cuantizarea
semnalului e șantionat pe 32 de bi ți.
Relațiile de calcul, în cazul discretiz ării temporale devin:
() []0 0 02
0 0 ),( τ ψ ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=∗∑ nTKa aTKy nm Tmm
KTWD
Y
()[]0 0 0 02
0 ),( τ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=∗∑ nTKaxTKy anmRm
Km
xy (4.59)
()[]0 0 0 02
0 ),( τ ψ ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=∗∑ nTKa TKx anm Tm
Km
FIBLD
x
obținându-se seriile WAVELET în timp discret. Însumarea dup ă K se va
face pe intervalul în care func țiile Ψ∗(m,n,k), respectiv x∗(m,n,k) au valori
nenule.
114Implementarea sistemului digital, care efectueaz ă calculul corela țional
de BL este prez entat în fig. 46.
n
Semnalul y(K
⋅T0), după eșantionare se înregistreaz ă în memoria
MEM2, pe o perioad ă de observare Tr. Se mnalul de sondaj x∗(m,n,k) ale
cărui valori sunt cunoscute se p ăstrează în memoria MEM2, în care sunt
înregistrate doar valorile nenul e ale acestuia. Astfel presupunând c ă x∗(m,n,k)
este nenul pentru ∆Kmax = 10 eșantionare, capacitatea memo riei MEM1 va fi:
CMEM1 = 10 x M x N = 3.000.000 cu vinte = 3Mcuvinte = 12 Mocte ți
CMEM2 = 10 N = 30 cuvinte = 120 Kocte ți
Calculul coeficien ților R xy(m,n) se reduce la 10 produse y(K ⋅T0)⋅x∗(m,n,k)
și la însumarea acestor ter meni. Apoi se realizeaz ă compararea cu R xyp, o
valoare de prag și dacă Rxy(m,n) ≥ Rxyp, atunci cuplul (m,n) ≡ (V m, D m) va
reprezenta parametrii țintei, din matricea coeficien ților reținându-se doar
valorile care îndeplinesc condi ția specificat ă.
Eșantionare
Cuantizare
MEM2
y(k⋅T0)
Calcul
Rxy(m,n)
Comparator
Rxyp
Schemă
comandă
adrese
MEM1
[ ]0 0 0 τ⋅−⋅⋅∗nTKaxm 01
Tfe= y(t) y(k*T 0)
32
A2 Rxyp
A1 m
n
32
fig. 46
1153.8. Reprezent ări multirezolu ție a semnalului RADAR.
În paragraful 3.6. s-a considerat c ă nu mai este necesar ă refacerea
semnalului ecou, informa ția extrăgându-se direct din coeficien ții TW. Dac ă se
pune îns ă problema unei tehnici de procesare bazate pe dou ă etape, una de
analiză a semnalului și alta de sintez ă al acestuia, atunci este necesar ă
refacerea pe cât posi bil a semnalului ini țial sub forma primei reprezent ări (de
obicei reprezentare temporal ă). În aceste condi ții, pe baza coeficien ților din
spațiul reprezent ării intermediare, eventual modifica ți în scopul ob ținerii unei
filtrări adecvate trebuie s ă se refac ă semnalul sub forma reprezent ării
originale, care va fi apoi fo losit pentru extragerea informa țiilor utile.
Condițiile impuse “undi șoarei mam ă”
[]0 02
0 ,)( τ ψ ψ ⋅−⋅⋅= nta atmm
nm
vor fi evident mai restrictive decât în cazul precedent, deoarece se va
pune problema reconstituirii semnalului y(t) din e șantioanele reprezent ării
sale de tip wavelet, dar trebuie specificat c ă în acest caz nu trebuie s ă se
foloseasc ă numai semnalul x(t) ca “undi șoară mamă”, putându-se folosi alte
undișoare în func ție de scopul analizei care urmeaz ă să se facă semnalului
y(t).
Pentru a fi posibil ă refacerea semnalului y( t) este necesar ca mul țimea
{ψm,n(t)}, m,n ∈Z să aibă o structur ă de cadru sau s ă reprezinte o baz ă
ortonormat ă în spațiul L2(R).
Se arată în [ 9 ] condițiile pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă funcția
ψ(t), pentru ca mul țimea {ψm,n(t)} m,n ∈Z să aibă o structur ă de cadru:
116()
()Badw AaBadw Aa
⋅⋅≤ ≤⋅⋅⋅⋅≤ ≤⋅⋅
∫∫
∞
∞−∞
πτ
ωωψ
πτπτ
ωωψ
πτ
2ln ˆ
2ln2ln ˆ
2ln
0 02
0 00 0
02
0 0
(4.60)
care reprezint ă condiții de admisibilitate pentru ψ(t), în raport cu (a 0, τ0).
Dar nu orice alegere a tripletului ( ψ, a0, τ0) conduce la un cadru de func ții
Wavelet, chiar dac ă funcția ψ(t) este admisibil ă. Problema se complic ă și mai
mult deoarece p entru reconstruc ția semnalului y(t) pe baza unui cadru este
necesară determinarea marginilor cadrului, precum și a cadrului dual {nm,ψ(t)}
m,n ∈Z. De aceea este mai convenabil ă utilizarea bazelor ortonormate, care
oferă o metod ă de analiz ă cel mai pu țin redundant ă a unui semnal ecou din
sistemele RADAR.
Există mai multe metode de construc ție a undi șoarelor mam ă
generatoare de baze ortonormate pe L2(R) (A. Haar, Yves Meyer, P.G.
Lemarie′) dar cea mai complet ă este metoda analizei multirezolu ție, care
permite construirea sistematic ă de func ții generatoare de baze ortonormate
ale spațiului L2(R).
Această tehnică de procesare a semnal ului RADAR se bazeaz ă în
principal pe o reprezentare multiscar ă a semnalului ecou, care permite
observarea și analiza acestuia la nivelul de rezolu ție dorit:
{}∑
∈=
ZmmtyA ty )( )(
() ()()t nm T yA
ZmnmTWD
y m∑
∈⋅ =, ,ϕ
ϕ (4.61)
() nt tmm
nm −⋅⋅= 2 2)(2
, ϕ ϕ
()()t nm T yD
ZmnmTWD
y m∑
∈⋅ =, , )( ψ
ψ
117Am+1(y) = A m(y) + D m(y), unde:
Am(y) – aproximarea de rezolu ție 2m a semnalului y(t)
Dm(y) – semnalul detaliu sau diferen ța între dou ă aproxima ții de rezolu ții
succesive.
ϕ(t) – func ție de scar ă (“undișoară tată”)
ψ(t) – “undi șoară mamă”.
În lucrarea [9] s-au exemplificat câte va cazuri de analiz ă multirezolu ție,
respectiv analiza multirezolu ție de tip Haar și analiza multirezolu ție de tip
Palley – Wiener. Pe baza acestor reprezent ări se pot implementa algoritmi
adecvați de analiz ă și sinteză a semnalelor RADAR sau se pot utiliza și alte
baze de undi șoare ortonormate în func ție de aplica ție.
În cazul semnalelor de s ondaj în impuls se preteaz ă reprezentarea
multirezolu ție de tip Haar. Func ția de baz ă va fi:
[]
∈
=
restîntpt
tH
0;0.1
)(0
0ττϕ
iar proiec ția
() () ( ) ∑
∈⋅−⋅⋅⋅ =
Znm
HmTWD
y m nt nm T yA
H022 2, τ ϕ
ϕ (4.62)
va reprezenta aproxima ția de rezolu ție 2m a semnalului y(t) prin
impulsuri de durat ă m20τ. Completarea informa ției la un nivel superior de
rezoluție se face prin detaliul semnalului ecou:
118
() () ( ) ∑
∈⋅−⋅Ψ⋅⋅ =
Znm
HmTWD
y m nt nm T yD
H022 2, τ
ψ (4.63)
Determinarea func ției ΨH(t) se poate face pe baza r ăspunsului în
frecvență a filtrelor în cuadratur ă CQF m 0(ω) și m 1(ω), prin metoda prezentat ă
în [ 9 ].
() ( ){}2sin ˆ0 20τωϕωϕτω ⋅⋅= =−c e t Fj
H
()()
()
2cos2
2sin2cos2sin22sin22sin
ˆˆ
0 2200
00 0
20 20 22
0
0000
τωτωτω
τωτωτωτωτω
ωϕωϕω
τωτωτωτω
⋅⋅==⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅==
⋅⋅⋅⋅
==
−−−−
jjjj
HH
eec ec e
m
Se verific ă condițiile:
()
⇒=⋅⋅==
−02cos )(10
0 22
00
0τπππτje mm
1 20+=pτ Np∈
()()()()()=+⋅+⋅ ⋅=+⋅=+⋅+
− ∗ −
21 2cos )(212
0 1pe e m e mpjj j πωπω ωπω
ω ω
() ()[]() ()
()()
()()
21 2sin21 2sin )1(21 221 2 cos
12
212
2 212 12
2
ωωπ ω
ωωπ ωω
⋅+⋅⋅−==⋅+⋅⋅⋅−−==
⋅++⋅+⋅ ⋅=
⋅−⋅−+++−
pejpejp p e e
pjpj
pp pj
j
Se verific ă:
119()
1)(00
00
==
πmm
()
()() ()()
()
()
()
()41 241 2 sin41 241 2 sin41 2sin41 2sin 2ˆ
2ˆ
2
22
212
4 212
21
ωωωωω ωωϕωω
ωωωω
⋅+⋅+
⋅⋅−==⋅+⋅+
⋅⋅−==⋅+⋅ ⋅⋅+⋅ ⋅−==
⋅
=Ψ
⋅−⋅−⋅+− ⋅−+
pp
ejpp
ejpepejm
jjpjpjH
Pentru p = 0 se ob ține: τ0 = 1
[]
∈=înresttpttH01;0.1)(ϕ
()
()21
2 2sin21
2 2cos
2 2
2 2
12 2
2 2
0
−=−⋅⋅−=⋅⋅−=+=+⋅=⋅=
⋅−−
− −⋅−−
− −
ωω ω
ω ωωω ω
ω ω
ωωωω
jj j
j jjj j
j j
e
je eej ej me e ee e m
()4sin4
44sin
ˆ222
2ω
ω ωω
ωω
ω
⋅⋅=⋅⋅−=Ψ−
−
jeejj
j
H
Făcând transformarea invers ă se determin ă forma temporal ă a
„undișoarei mam ă”:
()
⋅⋅⋅=Ψ⋅−
−
4sin422
1 ω
ωω
jeFti
H
Se determin ă în prealabil:
120()
() ()1212 21244sin 4
2 122
4 4
2 1 2 2 1
−+
−⋅−=
+−==
−
⋅⋅=
⋅⋅
⋅−−−−
⋅−−⋅−−
t t t e e Fje e
e F e F
jji i
wj i
δ δδω
ωωω ω
ω
Se obține:
() () ()
() () ,12121212
−+
−⋅−==
−+
−−=Ψ∫
tu tu tudt t t t t
RH δ δδ
unde:
[]
+∞∈
= restîntpt
tu0;0.1
)(
Pentru p ≠ 0 se obține:
()()
() ()
()
() 1 221 2241 2441 241 2 sin
ˆ
2 )1(412
412
22
412
412
22
2
+⋅⋅⋅− +−==+⋅⋅− +⋅−==+⋅⋅⋅−
−
⋅=+⋅⋅⋅+
⋅=Ψ
⋅−⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅+⋅
⋅−⋅+⋅−⋅+⋅
⋅− ⋅−
p je e ep je eepje e
epjp
e
jpj pjpjpi
ipipj
j j
Hp
ωωω ωω
ω
ω
ω ωω ωωω ω
ω ω
()()()[]
1 2212 1
+
−⋅−++−
=Ψptu ptuptu
t
pH
121[]
∈+∈+
=
Nprestînp tptp
t
pH 01 2;0.1 21
)(ϕ
După cum se observ ă în fig. 47, bazele ortonormate de tip Haar
generalizate (p ≠ 0) sunt variante dilatate ale bazei Haar clasice (p = 0),
obținându-se o rezolu ție temporal ă mai slab ă, în schimb se îmbun ătățește
rezoluția în frecven ță, odată cu creșterea lui p. Totu și se poate spune c ă, deși
localizarea în timp a func ției ψHp(t) este bun ă, localizarea în frecven ță este
slabă.
Dacă se dore ște o localizare mai bun ă în frecven ță se poate folosi
analiza Palley – Wi ener, care folose ște o reprezentare dual ă față de
reprezentarea Haar.
ϕHp(t)
t
0 2p+1
ψHp(t)
t
-p 0 1 p p+1
fig. 47
122
[]
−∈
=restînkpt
pw0; .
)(ˆ0 0ωωω
ωϕ
() ()tckdwektjwt
wp 00sin20
0ωπω
πϕω
ω⋅= ⋅=∫−
Pentru
0ωπ=k se obține:
ϕwp(t) = sin c ( ω0t)
()
()
−∈
= =
restînpt
m
pwpw
02;2.1
ˆ2ˆ
)(0 0
0ωωω
ωϕωϕω
)(ˆωϕWP
ω k
-ω0 0 ω0
)(tWPϕ
1
t
0ωπ−
0ωπ
fig. 48
123() ( )
+−−−∈
=+⋅=−
∗ −
restînpt e
m e mj
j
02;2.0 0
0 1ωπωπω
πω ωω
ω
Se verific ă:
1)0(0= m
0)(0=πm ⇒ πω 20∠
1)0(1= m
0)(1=πm
Ținând seama de periodicitatea cu 2 π a funcțiilor m 0(ω) și m 1(ω) se
obțin următoarele reprezent ări ale acestora (fig. 49).
fig.49b
()
=Ψ2ˆ
2ˆ
1ωϕωωwp wp m m0(ω)
ω
-2π – ω 0/2 -2π – ω 0/2 ω 0/2 2 π 2π +ω 0/2
fig. 49 a
m1(ω)
ω
-π- ω 0/2 -π -π+ ω 0/2 π- ω 0/2 π π+ ω 0/2 3 π 3π + ω 0/2
fig. 49 b
124
()[] [ ]
−∪−−∈ ⋅=Ψ⋅−
restînpentru ej
wp
02; 2 2 ;2ˆ0 0 0 0
02ωωππωωωωπ
ωω
Trebuie îndeplinit ă condiția:
2π-ω0 < 2 ω0 ⇒ ω0 > 2π/3
() ()
()
()
()
−− ⋅
−−
−⋅⋅⋅==
−⋅⋅−−
− ⋅
−⋅==
− +
−⋅⋅−−⋅
−⋅==
− + − ⋅
−⋅⋅==
+ ⋅==⋅⋅⋅+⋅⋅ ⋅=Ψ
−⋅−⋅
−⋅⋅
−⋅⋅−
−⋅−⋅−
−⋅⋅ −
−
−⋅⋅⋅−
−⋅− −
−
∫ ∫∫ ∫
212 sin2121sin2212 sin212sin
211212sin212 sin
211211
212121
21)(
0
000 0
00 0
0212
212
212
212
02
221
2
221
022
2
022
2
0
0 0 00
00
00
00
0
t c t ct t
tt t
te e e e
tjd e d edwe ewde ewt
t j t j t j t jt j t jtjjtjj
wp
πωωπωπω ω
ωω πω
ωωω ωωπ
πωπ
π
ωπ ω ω πωω
ωω πω
ωωωωω
ωπωωπω
ω
m1(ω/2)
ω
-2π- ω 0 -2π -2 ω 0 -π+ ω0 2π- ω0 2 ω0 2π 2π+ ω 0
fig. 49 c
125
∈ππω 2;32
0
Pentru ω0 = π se obține:
() ( ) tc twp ⋅=π ϕ sin
() =
− −
−⋅
−=212sin21sin
211t t
ttwp π π
πϕ
−⋅−⋅
− ==
− −
− =
21cos2121sin212sin221sin
t tct c tc
π ππ π
() ( ) πτ πτ τ 2 sin2 sin21c cwp ⋅− =
+Ψ
S-a obținut și în acest caz o reprez entare wp generalizat ă:
()[]
−∈
=Ψ
restînpentru
wp
0;ˆ0 0
0ωωωωπ
ω
()[] [ ]
−∪−−∈ ⋅
=Ψ⋅−
restînpentru ej
wp
02; 2 2 ;2ˆ0 0 0 0
02ωωππωωωωπ
ωω
() ( ) t c twp ⋅ =0 sinω ϕ
()
−− ⋅
−−
−⋅⋅⋅=Ψ212 sin21212 sin2)(0
00 t c t c twp πωωπω
∈ππω 2;32
0
Dacă se dorește o rezolu ție bună în frecven ță se va alege o valoare cât
mai mică a lui ω0 ( επω+=32
0 ), iar dac ă se dore ște o rezolu ție temporal ă mai
bună se alege o valoare cât mai mare a lui ω0 ( επω−=20 ). Totuși rezoluția
temporal ă a funcțiilor ϕwp(t), ψwp(t) este mai slab ă, utilizarea acestui tip de
126analiză recomandându-se în cazul semnalelor RADAR de durat ă relativ mare
și bandă limitată.
Un alt tip de analiz ă multirezolu ție care se poate utiliza și la analiza
semnalelor RADAR ar fi analiza Bartlet (func ție scară de tip fereastr ă
triunghiular ă).
()[]
−∈ −
=
restînpentruttt
tB0; / 10 0ττ
ϕ
()
⋅⋅=2sin ˆ0 2
0ωττωϕ cB
()
()()
2cos
2sin42cos2sin4
2sinsin
ˆ2ˆ) (0 2
0 20 2 0 2
0 202
0ωτ
ωτωτωτ
ωτωτ
ωϕωϕω⋅=⋅⋅⋅⋅
=
⋅⋅= =
ccm
BB
1)0(0= m
0)(0=πm ⇒ 2cos0 2ωτ⋅ = 0
2)1 2(20 π ωτ⋅+=⋅p p ∈ N
1 20+=pτ p ∈ N
()()=++⋅=+⋅=− ∗ −
21 2cos ) ( )(2
0 1πωπω ωω ω pe m e mj j
()
21 2sin2 ωω ⋅+⋅=− pej
()()()=⋅+⋅⋅+⋅=⋅=Ψ−
41 2sin41 2sin )2(ˆ)2( ˆ2 2 2
1ω ω ωϕωωωpcpe mj
B B
()()
()()=⋅+⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅+=⋅− −
41 2sin1 216 16
41 2sin1 24
22
242ω
ω ωωω ω
p
pe p
pej j
()() ()
+
+ − + ⋅
+=+ +−+− +−
6 4
1 2212
212
12 12
22 ω ωω ωω
ωpjpipj pjj
e e e e
pe
127()()()
⋅++ − + ⋅
+=Ψ−+−
+−
+
2 1 232
212
26 4
1 21)(ˆω
ω ωω ω
ωωiip pipj pj
B e e e e e
p
Se obține:
()()
−++−−−−−−+++⋅+=Ψ )21(6) (41 4)232()212(1 21)( tr rtr ptr ptr ptrpBω
Pentru p = 0 se ob ține:
() )21(6)(41 4)23()21()( −+−−−−++=Ψ tr tr tr tr trtB , unde cu r(t) s-a notat
funcția de tip ramp ă cu pantă unitară:
()[]
∞∈
=restînpentrutt
tr0;0
ϕB(t)
t
1 -1
ψB(t)
3/2 1 t
-11/2
-1/2
fig. 501/2
128
După cum se observ ă și în acest caz avem o bun ă localizare în
domeniul timp, în schim b localizarea în frecven ță este mai slab ă. (fig. 50)
Și în acest caz se poate folosi analiza dual ă:
()[]
[]
∈ −−∈ +
=
restînpentru kpentru k
BD
0;0 ) (0; ) (
ˆ0 00 0
ωω ωωωω ωω
ωϕ
2sin2)(0 2 0 tcktBD⋅⋅⋅=ω
πωϕ pentru
02
ωπ=k se ob ține:
()[]
[]
∈ −−∈ +
=
restînpentrupentru
BD
0;0 ) (20; ) (2
ˆ0 0
00 0
0
ωω ωωωπωω ωωωπ
ωϕ
2sin)(0 2 tc tBD⋅=ωϕ
()
()[]
∈−−
−∈++
= =
restînpentrupentru
m BDBD
0;020;22
ˆ2ˆ)(0
000
00
0 ωωωωωωωωωωωω
ωϕωϕω
Se verific ă:
1)0(0= m
0)(0=πm ⇒ πω∠20 πω 20∠
()
−−∈−−−−⋅
−−−∈++++⋅
=+⋅=−−
∗ −
restînpentru epentru e
m e mjj
j
02;2 2;22 2
)(0
000
00
0 1 πωπωρωωπωωπωπωωπωπωω
πω ωωω
ω
129
[]
[]
−−∈−−−−⋅⋅−−−∈++++⋅⋅
=−−
restînpentru epentru e
mjj
0;22 22 222; 22 222
)2(0
00 20
00 2
1 πωπωρωωπωωπωπωωπωπωω
ωωω
)2(ˆ)2( )(ˆ1ωψωωψBD BD m⋅=
[)
[]
∈ −−∈ +
=
restînpentrupentru
BD
02;0 )2(20;2 )2(2
2ˆ0 0
00 0
0
ωωωωωπωω ωω
ωπ
ωϕ
Impunând condi ția 2ω0 > 2π – ω0 ⇒
32
0πω〉și ținând cont de peri odicitatea cu 2 π a funcției m 1(ω) se obține:
[]
[]
−∈
−++++⋅⋅−−−∈
+−−−−⋅⋅
=Ψ−−
restînw pentru epentru e
jj
BD02; 22 22 42; 22 2 22 4
)(ˆ
0 0 0
00 2
00 0
00 2
0
ωωπωωωπωπωω
ωππωπω ωω
πωωπωω
ωπ
ωωω
Pentru ω0 = π se obține:
130()()[]
() ()[]
∈+−+⋅⋅−−∈++⋅⋅
=Ψ−−
restînpentru epentru e
jj
BD02;4232;222
)(ˆ 22
ππωπωωππωππωωπωπω
ωωω
În acest caz se ob ține o localizare bun ă în frecven ță, în schimb avem o
slabă localizare în timp.
Prezentarea celor dou ă tipuri de analize multirezolu ție duale, respectiv
Haar – PW și Bartlet – BD sugereaz ă o procesare pe dou ă canale a
semnalului RADAR recep ționat. Pe canalul de distan ță, unde este necesar ă o
localizare bun ă în timp se va fa ce o reprezentare și o analiz ă Haar (sau
Bartlet), iar pe canalul de vitez ă, fiind necesar ă o bună localizare în frecven ță
se va folosi o reprezentar e PW (sau BD). (fig. 51)
ΨH(t) ϕH(t)
y(n)
y ( t ) D i, V i
y(n)
Ψpw(t) ϕpw(t)
În acest caz, pe lâng ă îmbunătățirea preciziei de m ăsurare a
parametrilor D i, Vi se poate ob ține și o îmbun ătățire substan țială a raportului Eșantionare
Memorare Reprezentare
Haar
Reprezentare
PW (BD)Analiză
și
DecizieAnaliză
și
Decizie
Măsurare
Di ,Vi
fig. 51
131semnal util/zgomot prin procesarea realizat ă în blocul de analiz ă și decizie în
cadrul căruia se poate implementa algoritmu l prezentat în capitolul 2.4., de
compensare la nivel de coeficien ți Wavelet sau algoritmul prezentat în
lucrarea [ 14 ], bazat pe re țele neuronale.
Dacă se utilizeaz ă semnale , de tipul celo r prezentate în lucrarea [ 2 ]
atunci se pune problema g ăsirii unor func ții de scar ă de aceea și formă cu
semnalul de sondaj. Se va c ăuta o func ție de forma:
()
∈ ⋅⋅=
restînkt pentrutkk
tA
__0;0 _ _ sin2 )(π
ϕ
() ()()
+−=⋅⋅⋅=−−∫kj
k ti
A ekkdtetkkωπ π
ω
ωωϕ 12sin2ˆ2 22
0
()
kjkj
ee
kkmπωπω
ωωω
⋅−⋅−
++⋅−−=
11
42
2 22 2
0
Se verific ă: m 0(0) = 1
m 0(π) = 0
Pentru k = π se obține:
() =+−⋅−=
+−⋅−=⋅−→ ⋅− →ωπωπωπωω
πω
ππj
kj ek
ekm1lim32
1lim322 2
22 2
2 0
034
322 2lim32
2 2≠=⋅⋅=⋅−−⋅−=−→ j j ejjπππ ω
πωπω
Pentru k = 2 π se obține:
() 0)1(83 1lim) 1(43
2 22
0 ≠−=−+⋅−−=⋅−
→ jj e
jmjπ
ωπππω
πω
132Pentru 0 122
=+⋅−
kjeπ
⇒ 122
−=⋅−
kjeπ
()ππ1 222
+=pk () 1 22
+=pkπ p ∈Ν∗, p ≠ 0
+∈+⋅+=
restînp t pentrupt
p tA
021;01 22sin1 2 )(π π
ϕ p∈Ν∗
()()
+
⋅+−=
+−
21
2 2 22
1
1 2 42ˆpj
A e
pω
ω ππωϕ
()()
() ωω
ω πω πω
⋅+−⋅+−
++⋅
⋅+−⋅+−=
)
21()12(
2 2 22 2 2
0
11
1 24 41 2 4
pjpj
ee
ppm
() ( )()()
() () ωω
ω ω
πω ππω ππω ω
⋅+−⋅+−
− ∗ −
+−⋅
+⋅+−+⋅+−⋅=+⋅=
)
21()12(
2 2 22 2 2
0 1
11
1 24 41 2 4
pjpj
j j
ee
ppe m e m
Pentru p = 1 se ob ține:
∈
⋅⋅
=
restînt pentrut
tA
023;032sin3 )(ππ
ϕ
+−=⋅−ω
ωππωϕ23
2 22
19 42)(ˆj
A e
()
ωωωω
πωππωπ
ωππ ωϕωω
4323
2
22
2
2 43
2 22
11
236 42494
1
4942
2ˆ
2ˆ
jj
j j
A
ejee e m
⋅−−⋅
+−
+−
⋅⋅
+
−=
⋅
=Ψ−
− −
Dacă se utilizeaz ă impulsurile de form ă gaussian ă atunci forma func ției
de scară va fi:
()22
2
21σ
σπϕt
G e t−
⋅
⋅=
()22 2
ˆσω
ϕ⋅−=etG
133()()
()23
02 2
ˆ2ˆσω
ωϕωϕω⋅−= = e m
GG
() 100= m
() 023
02 2
≠=⋅−σπ
π e m . Pentru σ suficient de mare se poate aproxima
m0 (π) ≈ 0
()()
23
12 2σπω
ωω⋅+−−⋅= e e mj
()()
23 3
222 2 2
ˆ⋅++−−⋅=Ψππωωσω
ω e ej
G
()22 2 2
2 23
83
21σπσω
σπωttj
G e e e−⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅=Ψ
()22
2 23
σπωt
tj
G e eA−⋅⋅⋅=Ψ
(){} t eA t Rt
G e πσ
23cos22
2⋅⋅=Ψ−
t t ϕG(t)
ψG(t)
0 0
fig. 52
134 3.9 Aplica ție RADAR a reprezent ărilor multirezolu ție.
Această tehnică de procesare se bazeaz ă în principal pe o
reprezentare multiscar ă a semnalului ecou ,care permite observarea acestuia
la nivelul de rezolu ție dorit. Rela țiile de descompunere sunt:
∑∑ ∑
∈∈ ∈=⋅ =
ZjZkZ jkj kj tyA t y ty j )}({ )( }{ )(2 , ,ϕα ∫⋅= =
RkjTW
y kj dtt ty kj Ty )(*)( ),( }{, , ϕ α
∑
∈⋅ =
Zkkj kj t y yA j )( }{ }{, , 2ϕα
) 2(2)(2
, kt tjj
kj −⋅=ϕ ϕ ∑
∈⋅ =
Zkkj kj t y d y D j )( }{ }{, , 2ψ
) 2(2)(2
, kt tjj
kj −⋅=ψ ψ
∫⋅>= =<
Rkj kj kj dtt ty y yd )(*)( , }{, , , ψ ψ
Pentru calculul coeficien ților αj,k ,d j,k se poate utiliza algoritmul
piramidal, specific analizei multirezolu ție.
La r efacerea semnalului se ignor ă detaliile care nu con țin informa ții
utile. Astfel, pentr u atenuarea perturba țiilor provocate de forma țiuni noroase
sau perdele de dipoli, caracterizat de impulsuri cu dur ata mare se elimin ă
detaliile grosiere, informa ția utilă regăsindu-se în detaliile mai fine. Pentru
atenuarea bruiajului de zgomot cu impu lsuri foarte scurte se procedeaz ă
invers : se elimin ă detaliile fine, care con țin preponderent bruiaj și se ține cont
de detaliile mai grosiere (care au durata comparabil ă cu impulsul de sondaj).
De asemenea, în func ție de particularit ățile cunoscute ale semnalului util și de
proprietățile probabilistice ale bruiajului se pot implementa algoritmi de
recunoaștere ale detaliilor semnific ative specifice celor dou ă tipuri de
semnale și refacerea corespunz ătoare a semnalului rezultant, m ărindu-se
raportul semnal/zgomot. Rezultatele proces ării prin aceast ă metoda sunt
prezentate în ANEXA 2 si ANEXA 4.
135 Un al goritm de procesare bazat pe aceast ă reprezentare poate fi:
1.Achizi ționarea și eșantionarea semnalului ec ou y(t), rezultând {y k}k∈z
2.Calculul coeficien ților αj,k{y} și dj,k{y}
3.Recunoa șterea coeficien ților purtători de informa ție semnificativ ă și
atenuarea coeficien ților purtători de bruiaj. Aceast ă etapă a algoritmului este
cea mai important ă, determinând calitatea semnalului ref ăcut și gradul de
îmbunătațire a raportului semnal/z gomot.Transformarea aplicat ă coeficien ților
αj,k{y} si d j,k{y} se alege în func ție de scopul dorit și implic ă de fapt o
filtrare a semnalului ini țial.
În condi țiile ecoului RADAR, care este un semnal cu parametri aleatori
iar bruiajul poate avea legi pro babilistice necuno scute se preteaz ă
implementarea unei re țele neuronale pentr u efectuarea transform ărilor
adecvate asupra coeficientilor αj,k ( d j,k). În prima etap ă (de proiectare a
sistemului ) se va aplica metoda de înv ățare supervizat ă a rețelei, la diferite
condiții de mediu și bruiaj simulat. În etapa urm ătoare (de exploatare a
sistemului) se va aplica metoda de înv ățare nesupervizat ă, în care sistemul
va recunoa ște o anumit ă clasă a condi țiilor de lucru și se va adapta
corespunz ător.
4.Generarea bazelor de “undi șoare” ϕ și ψ.
5.Refacerea semnalului, cu utilizarea coeficien ților transforma ți kj,~α și
kjd,~.
Sistemul care implementeaz ă algoritmul descris es te prezentat în fig.53
136
fig.53
În fig.54 sunt prezentate re zultatele experimentale ob ținute în urma
procesării semnalului RADAR de la o sta ție de gam ă metrică P 18. S-a utilizat
baza de descompunere Haar, care se preteaz ă în acest caz.
0 200 400 600 800 1000 1200-100 -50 0 50
0 200 400 600 800 1000 1200-200 -100 0 100 200
Fig.54a Semnal RADAR cu trei ținte mobile și o țintă fixă obținut pe canalul
de amplitudine la radarul P 18 și bruiat aditiv cu zgomot cu distribu ție normal ă
Esantionare
Calculul
coficientilor
αj,k ,dj,k
Algoritm
procesare
Refacere
semnal
Generare
functii de descompunerey(t) y k
kj,αkjd, kjd,~
kj,~α
ϕj,k(t) ϕj,k(t)
ψj,k(t) ψj,k(t))(~ty
137
0 100 200 300 400 500 600-200 -100 0 100 200
0 100 200 300 400 500 600-200 -100 0 100 200
Fig.54 b Reprezentarea multirezolu ție a semnalului bruiat.
( }{2yA j, }{2y D j ,j=1, baza de re prezentare Haar )
0 50 100 150 200 250 300-200 -100 0 100 200
0 50 100 150 200 250 300-200 -100 0 100 200
Fig.54c Reprezentarea multirezolu ție a semnalului bruiat.
( }{2yA j, }{2y D j ,j=2, baza de reprezentare Haar )
138
0 20 40 60 80 100 120 140-200 -100 0 100 200
0 20 40 60 80 100 120 140-200 -100 0 100 200
Fig.54d Reprezen tarea multirezolu ție a semnalului bruiat.
( }{2yA j, }{2y D j ,j=3, baza de reprezentare Haar )
0 200 400 600 800 1000 1200 -100 -50 0 50
0 50 100 150 200 250 300 -200 -100 0 100 200
Fig.54e Semnalul original si cel reconstituit la nivel de rezolu ție j=2
139
0 50 100 150 200 250 300-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
Fig.54f Semnalul ecou, dup ă detecția de prag (la sfâr șitul
procesarii primare)
3.10 Procesarea semnalelor nearmonice de band ă foarte larg ă.
Semnalele nearmonice sunt forme de und ă a căror formă analitică
nu poate fi reprezentat ă sub forma unor func ții sinusoidale continue.
x(t) = A(t)sin [ ω0t+ϕ(t)]
Uzual, pentru modelarea acestor tipuri de semnale se utilizeaz ă funcții cu
derivata discontinu ă. Pentru exemplificare se pot aminti: secven țe de
impulsuri rectangulare foarte scurte, impulsuri pozitive și negative provenite
dintr-o func ție sinusoidala (durata impulsului trebuie sa fie comparabil ă cu
perioada de repeti ție a func ției sinusoidale), secven țe de impulsuri gaussiene
scurte. (fig. 55)
140
Cara cteristca principal ă a acestor semnale o reprezint ă banda foarte
largă. Radarele care vor utiliza aceste tipuri de semnale, ca semnale de
sondaj vor avea largimea de band ă a receptoarelor de 50-100 de ori mai
mare decat radare le clasice, m ărindu-se astfel volumul de informa ție extras
din semnalul util.
Forma analitic ă a unui astfel de semn al se poate exprima:
∑−
=− =1
00 0 ) ( )(N
kk kTtxa tx
Spectr ul acestui semnal va fi : x(t)
x(t) x(t)
t
t t
fig. 55
sin (ω0t) pentru t ∈[0;T 0/2]
0 în rest x0(t)=
141 ∑−
=−⋅⋅ =1
000)( )(N
kkTj
kea jX jXωω ω
4/ 0
2 2
00
00
4cos2)(TjeTjXωω
ωωωω−⋅⋅−=
L ărgimea de band ă a spectrului acestui semnal este comparabil ă cu
frecvența purtătoare a sinusoidei ω0, spectrul fiind “împr ăștiat” într-o l ărgime
de band ă relativă comparabil ă c u 1 . S e a s i g u r ă astfel o bun ă protecție la
zgomot și o rată mare a compresiei semnalului în urma filtr ării adaptate.
()1 22/2/1
00−=−= NTT NCf
Pr ocesarea acestor semnale se poate face în dou ă moduri: filtrarea
optimă cu filtre adaptate sau calculul numeric al corela ției de band ă largă.
În primul caz func ția pondere a filtrului va fi:
h(t)=x(t i-t) h(n)= x(t i-nT0)=a N-1-n
ti=(N-1)T 0 -durata secven ței
Structura filtrului este prezentat ă în fig.56
…
T0 T0 T0
aN-1 aN-2an-3 a0
∑ … x(t) 1 2 N-1
xe(t)
fig. 56
142
La ie șirea filtrului se va ob ține :
∑ ∑ ∑−
=∗
+−−−
=∗−
=∗⋅=+−−⋅=−⋅=1
011
01
0) 1 ( )( ) ( )( )(N
kkn N kN
kN
ke aa kn Nxkx knhkx nx
xN
kN
kk k k e P a aa Nx ==⋅=−∑∑−
=−
=∗1
01
02)1 (
Valoarea maxim ă a ieșirii filtrului se ob ține la momentul t 0=(N-1)T 0 și
este egal ă cu puterea semnalului.
Semnalul ecou, conform modelului prezentat în (II.1.1) este:
∑−
=−−⋅⋅=1
00 0 ) (1)(N
kk kT stxa
sty τ
Filtrul va avea o structur ă multicanal, în func ție de coeficientul de
scalare al replicii a șteptate.(fig.57)
Prelucrarea acestui tip de semnale furnizez ă un exemplu tipic în care
utilizarea modelului clasic (de band ă îngustă ) a semnalului ecou și sinteza
filtrelor pe baza transformatei Fo urier duce la rezultate nesatisf ăcătoare. F 2
T0/s2
F n
T0/sn F 1
T0/s1
Selectarea
valorii
maxime y(t)
Estimare ( τ ,s)
fig.57
143 Rezultatele ob ținute prin aceast ă metodă de procesare a unui semnal
RADAR cu spectru împrastiat sunt prezentate în ANEXA 15.
3.11 Sistem RADAR multifunc țional cu agilitate de frecvent ă bazat
pe principiul analizei timp-faz ă-frecven ță al semnalului.
Cerintele de baza care se impun unui radiolocator modern sunt:
-Sa prezinte o foarte buna imunitate la ac țiunile de razboi electronic ale
adversarului. Aceasta se trad uce prin realizarea protec ției la bruiajul de toate
tipurile și prin asigurarea unei vulnerabilita ți reduse la rachetele
antiradioloca ție (ARM).
-Sa poata fi integrat într-un sistem automat de conducere și dirijare a
armamentului si tehnicii din dotare.
-Sa aiba o fiabilitate ridicat ă și să fie dotat cu un subsistem de control
automat al func ționării. Aceasta permite o func ționare aproape continu ă a
radarului, deci un coeficient de utilizare foarte mare.
-Sa fie multifunc țional, adic ă să asigure atat func țiile de descoperire și
localizare tridimensional ă, cat si urmarire automat ă a țintelor aeriene.
Realizarea simultan ă a acestor cerinte și criterii de performan ță este
asigurată doar prin utilizarea unor elemente de proiectare și procesare a
semnalului specifice tehnicilor RADAR mo derne: sistem de antene sub forma
de retea fazat ă modular ă, sistem de emisie coerent, cu agilitate de frecven ță
într-o band ă largă și cu modificarea aleatoare a frecven ței de repeti ție, sistem
de recep ție care sa asigure reprezentarea și analiza timp frecven ță a
semnalului ecou, recunoasterea și extragerea semnalului util de pe fundalul
144zgomotelor prin metode corela ționale de band ă largă.
Tinand cont de cerin țele impuse sistemul va fi astfel conceput încat s ă
asigure posibilitatea lucrului în trei regimuri diferite:
a. Regim de observare circular ă.
b. Regim de scanare tip rast ru a unei zone din spatiu.
c. Regim de insotire automat ă în coordonate unghiulare.
Functionarea în cele trei regimuri diferite este posibil ă prin utilizarea
unui sistem de anten ă sub form ă de retea fazat ă, cu comanda electronica a
formei si pozi ției în spatiu a caracteristicii de directivitate. Astfel pozi ția
fasciculului și legea de scanare a spa țiului se controleaz ă electronic prin
comenzi de la procesorul de comanda al sistemului.
a. Regimul de observare circular ă este asigurat prin formarea
unui fascicul de directivitate tip telemetru și rotirea mecanic ă în azimut a
sistemului de anten ă.
b. Regimul de scanare tip rastru a unei zone din spa țiu
Se realizeaz ă astfel: se fixeaz ă s i s t e m u l d e a n t e n e p e o p o z i ție
oarecare din spa țiu, după care sistemul realizeaz ă scanarea electronica de tip
rastru în jurul pozi ției respective.
c. Regimul de insotire automat ă în coordonate unghiulare
Se realizeaza prin metoda analizei de faz ă a semnalului recep ționat.
Sistemul de anten ă formeaz ă la recep ție, electronic, patru fascicule
identice situate la distan ța d intre elementele fizice al e antenei, atat în plan
orizontal, cat și în plan vertical. Semnalul recep ționat de la o țintă aflată la
unghiurile ∆β în plan orizontal si ∆ε în plan vertical fa ță de axa electric ă a
antenei va fi recep ționat cu faze diferite de c ătre cele patru fascicule. Func ție
de aceste defazaje, sistem ul de procesare determin ă (∆β, ∆ε) si elaboreaz ă
comenzi pentru deplasarea fasciculelor în sensul mic șorarii acestor unghiuri.
145Astfel axa electrica a antenei va inso ți automat în coordo nate unghiulare
ținta.
d. Aplicarea metodelor de analiza timp-faz ă-frecven ță în
procesarea semnalului aferent acestui tip de radar. Sistemul lucreaz ă cu agilitate de frecven ță, asigurandu-se o bun ă
protecție la bruiajul ochit și posibilit ăți de procesare prin metode moderne.
Obiectul prezentei lucrari nu va fa ce referire la prelucrarea spa țială,
respectiv analiza în faz ă a semnalului, acestea f iind prezentate detaliat în
[13], referindu-se cu preponderen ță la procesarea și analiza timp-frcven ță,
respectiv extragerea semnalului util pe fundalul bruiajului și localizarea
distanță –mobilitate, a țintelor din spa țiul explorat.
Se va utiliza un semnal de patru secven țe cu agilitate de frecvent ă și
spectru împr ăștiat ( fig.58) de tipul :
)) (2cos() ( )(03
0tfif tktpa txk
kT k ⋅∆⋅+⋅⋅∆⋅−⋅=∑
=π
)(tpT -impulsul rectangular de durat ă T
{} 2,1,0,1−∈ki {}1,1−∈ka
1.999952
1.999981xt()
1.024103.1 t0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100202
Fig. 58
146
Funcția de incertitudine de band ă largă a semnalului este prezentat ă în
fig.59
TFIBLx0
2004006000204060801004002000200400
fig.59
Pentru o secven ță în cod Barker de tipul :
))30 (2cos()600())20 (2cos()400( ))10 (2cos()200( ) 2cos()( )(
00 0 0
t f tpt f tpt f tptf tptx
⋅+⋅⋅−++⋅+⋅⋅−−⋅+⋅⋅−+⋅⋅⋅=
ππ π π
funcția de autocotela ție de BL este prezentat ă î n f i g . 6 0 a s i i e șirea
receptorului corelational de band ă largă, pentru un ecou de acest tip bruiat
aditiv cu zgomot de distribu ție uniform ă in fig. 60b.
251.507681
226.462562Ryx tau()
900 100 tau200 0 200 400 600 800 10004002000200400
fig. 60a
147 392.076856
320.005754Rec2 t1 tau0 ()
1.2 103. 0 t10 200 400 600 800 1000 12004002000200400
fig. 60b
Funcția de incertitudine de BL a ac estui semnal si rezultatele ob ținute
prin tehnicile de procesare descrise în lucrare sunt prezentate în ANEXA 6,
ANEXA 7 si ANEXA 8.
3.12 Aplica ții ale re țelelor neuronale în procesarea adaptiv ă a
semnalului RADAR.
Rețelele neuronale artificiale (RNA ) sunt un instrument de analiz ă,
inspirat din structura paralel ă a creierului uman. Ele simuleaz ă un model de
prelucrare paralel, puternic interconec tat, compus din celule de procesare
relativ simple.
In aplica țiile de prelucrare digital ă a semnalelor, RNA sunt
implementate ca sisteme software sau hardware și sunt alc ătuite dintr-un
numar mare de elemente de procesate simple ( EP, neuroni), conectate în
conformitate cu o anumit ă topologie și avand capacitatea de a- și modifica
cantitativ conexiunile, precum și parametrii proprii de prelucrare.
Fiecare element de pr elucrare are o singur ă conexiune de ie șire, iar
procesarea ce se desfasoara la nivelul lui poate avea orice form ă matematic ă,
148cu restric ția să fie în totalitate local ă, adică să depindă numai de semnalele
de intrare și de valorile stocate în memoria sa local ă. Stocarea acestor valori
se face dup ă un proces de "învătare experimental ă" , pe baza unor combina ții
de vectori intrare-ie șire predefini ți.
Caracteristicile cele mai importante ale RNA sunt :
-Capacitatea de înv ățare: Astfel RNA nu trebuie s ă necesite
programe puternice ci sunt mai degrab ă rezultatul unor
antrenamente asupra unui set de date. Pentru un set de intr ări-
ieșiri, în urma procesului de antrenament rețeaua se
autoorganizeaz ă pe baza algoritmului de antrenament. Cu cat
acest algoritm se adapteaz ă mai bine aplica ției cu atat capacitatea
de a învăța a rețelei este mai bun ă.
-Capacitatea de gene ralizare : Se refer ă la capacitatea re țelei de a
da răspunsuri corecte (în condi țiile unui algoritm de antrenare
corespunz ător) și pentru intr ări diferite fa ță de cele cu care a fost
antrenată.
-Capacitatea de sintez ă: RNA pot "lua decizii " sau "trage concluzii "
cand sunt confruntate cu in formatii complexe, uneori par țiale sau
cu zgomote irelevante și atunci trebuie s ă incadreze cazul într-o
clasă din cele cunoscute , facandu-se astfel o învățare
nesupervizat ă. Deci se poate spune ca re țeaua a învățat să
producă ce n-a mai v ăzut înainte. Astfel o re țea poate fi antrenat ă
cu o secvent ă de versiuni bruiate ale unui ecou RADAR bruiat
artificial cu zgomote aleatoare, iar dupa aplicarea altei versiuni
bruiate real, re țeaua trebuie s ă aibă la ieșire informatia corect ă.
Datorită complexitatii semnalului RADAR și a informa ției cuprins ă în
acesta, precum și a variet ății perturba țiilor din mediul de propagare,
lucrarea propune utilizarea RNA ca instrumente de procesare a
semnalelor RADAR, constand în clase de algoritmi cu aplicabilitate
doar în rezolvarea problemelor în care metodele reprezent ărilor si
analizei timp frecven ță, prezentate anterior, nu dau rezultate. Dupa
cum s-a aratat în paragraful 3.9, în condițiile ecoului RADAR, care
este un semnal cu parametri aleat ori iar bruiajul poate avea legi
probabilistice necunoscute se preteaz ă implementarea unei re țele
neuronale pentru efectuarea transform ărilor adecvate asupra
coeficien ților αj,k ( d j,k). În prima etap ă (de proiectare a sistemului ) se
va aplica metoda de înv ățare supervizat ă a rețelei, la diferite condi ții
de mediu și bruiaj simulat. În etapa urm ătoare (de exploatare a
sistemului) se va aplica metoda de înv ățare nesupervizat ă, în care
sistemul va recunoa ște o anumit ă clasă a condițiilor de lucru și se va
adapta corespunz ător.
Nu este obiectul acestei lucr ări studiul detaliat al re țelelor
neuronale, ci doar c ăutarea celor mai adecvate solu ții pentru
adaptarea re țelelor cunoscute ( re țele feedforward cu algoritmi de
învățare backpropagation) la specificul proces ării semnalului radar.
Un prim exemplu ar putea fi o celul ă simplă de procesare, cu un
singur nivel, în care elementele de intrare s ă fie coeficien ții
reprezent ării multirezolu ție de nivel (fig 61) : kn2=
149
150
W1
•
1a ∑ Fka1
kd1W1’
W2
∑ Fkd2ka2
W2’
•
2a
…
Wn
∑ Fk
ndk
na
Wn’
•
na
fig. 61
Fiind o problema de decizie cu ipotez ă nulă, este natural ca func ția de
activare sa fie o func ție treaptă, dar neexistand o teorie care s ă determine cu
siguranță care func ție de activare este mai potrivit ă pentru o aplica ție,
raspunsul la o astfel de întrebare se g ăseste doar experimental.
1 pentru |x| > X prag
F(x)=
0 in rest
Cunostintele re țelei, sunt înglobate în ponderile sale ( W i ) , (W i’) ,
ponderi care se ajusteaz ă în faza de antrenare. De reusita acestei etape
depind în mare masur ă performantele re țelei, care dupa aceast ă etapă este
de fapt un simplu algoritm de ponderare și decizie cu prag al coeficien ților
aplicați la intrare. De asemenea valoarea X prag poate fi și ea optimizat ă
experimental, pentru a se adapta anumitor aplica ții.
Rezultatele experimentale ob ținute prin aceast ă metodă, în cazul unui
impuls radar (la ie șirea receptorului radarului P18), bruiat cu zgomot real din
mediul de propagare este prezentat in fig. 62.
fig. 62
S-a prezentat comparativ și rezultatul ob ținut prin analiza multirezolu ție
și eliminarea treptat ă a detaliilor care con țin preponderent bruiaj. Se observ ă
ca în acest caz apar diferen țe doar în forma impulsului ob ținut, care nu este
foarte important ă în cazul deciziei de existent ă sau inexistent ă a țintei. Dar
trebuie recunoscut ă simplitatea cazului și faptul c ă rețeaua a fost antrenat ă
doar cu ecou static, ținta având aceia și poziționare temporal ă. Pentru
eliminarea acestui neajuns va trebui complicat ă rețeaua, intrând oarecum în
contradic ție cu afirma ția că RNA necesit ă algoritmi relativi simpli, care nu se
modifică de la o situație la alta. Se poate implementa o re țea format ă din p
celule identice cu re țeaua prezentata în fig. 61, în care fiecare celul ă va fi
151
antrenată cu ecou retardat cu τ⋅p , ajungându-se astfel la un algoritm
identic ca form ă cu cel prezentat in figura 42, doar c ă principiul de procesare
al celulelor este diferit.
De asemenea se poate implementa o schema mai complex ă, cu dou ă
nivele, m ărindu-se gradul de interconectare al celulelor și implicit
generalitatea algoritmului. (fig. 63)
. . . 1,1W
'
1,1W
nW,1
'
,1nW. . . *
1,1W
*
,1nW∑F 1
0 ka1
k
nakd1
k
nd
1,pW
'
1,pWka1
k
ndk
nakd1. . .
'
,npWnpW,F’
F’
F’∑
∑
∑
∑F’*
1,pW
*
,npW∑
0 1
F
fig. 63
Rezultatele experimentale ob ținute în urma proces ării prin algoritmi tip
rețea neuronal ă sunt prezentate in ANEXA 9.
152
IV. CONCLUZII
Metodele prezentate ofer ă două posibilit ăți de prelucrare primar ă a
semnalului RADAR. O prim ă posibilitate este prezentarea semnalului ecou sub
forma reprezent ării t – ω de tip func ție de incertitudine, compensarea
perturba țiilor și extragerea informa țiilor în acest spa țiu de reprezentare. În
funcție de aplica ție se poate utiliza modelul de band ă largă FIBL sau modelul
clasic de band ă îngustă.
S-au arătat în capitolul 2 avantajele compens ării în acest spa țiu de
reprezentare.
O altă posibilitate de procesare ar fi reprezentarea semnalului ecou sub
forma TFSD sau TWD (respectiv reprezentare multirezolu ție), realizarea unei
filtrări corespunz ătoare în aceste spa ții de reprezentare în scopul elimin ării
perturba țiilor, apoi refacerea semnalului în spa țiul original, din care se vor
extrage apoi parametrii utili prin metodele cunoscute în radioloca ția clasică.
Din punct de vedre al vitezei de lucru prima metod ă este mult mai
avantajoas ă, dar a doua metod ă permite o reprezentare mai detaliat ă a
semnalului ecou și o filtrare mai precis ă.
Pentru fiecare metod ă s-au descris 1 – 2 sisteme digitale care
implementeaz ă algoritmul specific metodei și s-au calculat parametrii de
viteză și capacitate a memoriilor utilizate, rezultatele încadrându-se în
posibilitățile tehnologiilor actuale. De asemenea s-au punctat și limitele de
utilizare a acestor metode.
În capitolul 2.7. s-a ar ătat modul de generare a principalelor func ții de
scară și “undișoare mam ă” care prezint ă interes în prelucrarea diferitelor
tipuri de semnale radar, prin metoda reprezent ării și analizei multirezolu ție.
153
Trebuie remarcat c ă metodele prezentate nu epuizeaz ă aplicabilitatea în
RADAR a reprezent ărilor timp – frecven ță. În radarele de înalt ă rezoluție, care
reproduc imaginea țintei prin puncte de str ălucire este util ă reprezentarea
timp – frecven ță în procesul de generare al fiec ărui cadru de imagine. De
asemenea TW bidimensional ă se poate aplica în etapa proces ării secundare a
imaginii RADAR.
Algoritmul prezentat utilizează ca “undi șoare” de descompunere baza
Haar. Dar în func ție de scopul urm ărit și de caracteristicile semnalului de
sondaj se poate utiliza o gam ă largă de “undi șoare” de descompunere. Dac ă
semnalul de sondaj îndepline ște condițiile corespunz ătoare func țiilor de scal ă
(undișoare “tat ă” ), atunci se poate alege o baz ă ortogonal ă de undi șoare,
care se identific ă cu replicile retardate și scalate ale semnalului de sondaj:
ϕj,k(t)= 2-j/2x(2-jt-k)
{} ∫∗⋅= = =
RkjTWD
xy xy kj dttxty kj Tkj Wy )( )( ),( ),(, / / ,α
În acest caz αj,k se identific ă cu ieșirea receptorului corela țional de
bandă largă sau cu func ția de incertitudine a semnalului, care demonstreaz ă
în plus c ă această tehnică este optim ă din punct de vedere al maximiz ării
raportului semnal/zgomot.
În ANEXA 11 si ANEXA 12 sunt prezentate comparativ rezultatele
obținute prin procesarea clasic ă, respectiv algoritmii TWD, a unor semnale de
bandă largă. Se observ ă diferența netă a calității rezultatelor ob ținute, în
favoarea algoritmilor TWD.
154
BIBLIOGRAFIE:
[1]. I. Naforni ță, ș.a. : “Semnale circuite și sisteme “ ,Facultatea
de Electronic ă si Telecomunica ții Timișoara, 1995.
[2] I. Naforni ță, A. Isar : „Reprezent ări timp – frecven ță”,
Editura Pilitehnic ă Timișoara, 1998.
[3] Lora G. Weiss : “Wavelets and Wideband Corelation
Processing”, IEEE Signal Processing Magazine,Ianuarie 1994
[4] A. Cohen : “Ondelettes et traitement numerique du signal”
Masson , 1992
[5] Harry L. Van Trees : “ Radar -Sonar Signal Processing and
Gaussian Signals in Noise” , New York ,1971
[6] Gh. Iubu ș.a. : “ Analiza și procesarea semnalelor radar de
înalt ă rezoluție”, Academia Tehnic ă Militară, 1994
[7] Gh. Iubu .: „Particularit ățile filtrelor numerice adaptate cu
semnalul de sondaj”, a XXVII –a sesiune de comunic ări
științifice Academia Tehnic ă Militară, București 1997.
[8] J. Froment : “ Traitement d’ images et applications de la
transformee en ondelettes” ,Teza de doctorat,1990
[9] J. Froment : “Introduction a la theorie des ondelettes.”
curs,Timisoara ,Iunie 1995
[10] S. Cheregi, C. Coman :„Aplicațiile transformatei Wavelet”, a
XXVII –a sesiune de comunic ări științifice Academia Tehnic ă
Militar ă, București 1997.
[11] V. Crișan : “ Using non-harmonical signals with very large
155
bandwidth in radiolocation” Communications’96, Bucure ști
1996
[12] V.Crișan : “Prelucrarea spa țio-temporal ă a semnalelor radar,
utilizând func ția de incertitudine și convolu ția de band ă largă.”
A XXVII -a sesiune de comunic ări știintifice. Bucure ști 1997.
[13] V. Crișan : „Sistem RADAR multifunc țional bazat pe
principiul analizei de faz ă al semnalului”, a XXVI –a sesiune de
comunic ări științifice Academia Tehnic ă Militară, București1995.
[14] V. Crișan, M. Farca ș: „Aplica ții ale reprezent ărilor timp –
frecven ță în procesarea și analiza semnalelor RADAR”, a
XXVIII –a sesiune de comunic ări științifice Academia Tehnic ă
Militar ă, București 1999.
[15] V. Crișan:„Metode moderne de prelucrare a semnalelor de
tip radar”, referat nr. 1 din cadrul preg ătirii pentru doctorat.
Universitatea Politehnic ă Timișoara, 1998.
[16] V. Crișan: „Tehnici de procesare a semnalelor radar
bazate pe reprezent ările timp-frecven ță.”, referat nr. 2 din
cadrul preg ătirii pentru doctorat. Universitatea Politehnic ă
Timi șoara, 1999.
[17] V. Crișan: „Tehnici de procesare a semnalelor radar
bazate pe reprezent ările timp-frecven ță.” , Revista Agen ției de
Cercetare Pentru Tehnici și Tehnologii Militare nr. 3-4/2000.
[18] V.Crișan : “Metode moderne de procesare a semnalului
RADAR, bazate pe reprezentari timp-frecventa.
A XXIX–a sesiune de comunic ări științifice Academia Tehnic ă
Militar ă, București 2001.
[19 ] I.Daubechies :”The Wavelet Transform: A Method for
156
Time- Frequency Localization. In advances in Spectrum Analysis
and Array Processing.” Prentice-Hall, New Jersey 1991.
[20 ] A. Dumitras: “Proiectarea re țelelor neuronale
artificiale”.Bucuresti 1997
[21 ] G. Toderean, s.a .”Rețele neuronale artificiale”
Cluj-Napoca 1995
[22 ] M.Ghinea, V.Fireteanu , “MATLAB, calcul numeric, grafica,
aplica ții”. Teora 1997
[23 ] S.Demeter , “Analiza si sinteza semnalelor de radioloca ție”.
Academia Tehnica Militara. 1992
[24 ] D. Scheianu , “Compendiu de teoria semnalelor in loca ție”.
Bucuresti 1998.
157
CUPRINS
I.INTRODUCERE ……………………………………………………………………………..pag.1
II.BAZELE TEORETICE ALE REPREZENT ĂRII ȘI ANALIZEI
SEMNALELOR RADAR …………………………………………………………..pag.4
1.METODE DE REPREZENTARE A SEMNALELOR RADAR
1.1 Modelul matematic al semnalului radar spa țio-temporal
de band ă largă……………………………………………………………pag.4
1.2 Reprezentarea și analiza Fourier a semnalelor RADAR………pag.9
1.3 Metode de reprezentare timp-frecven ță…………………………..pag.12
1.3.1 Ferestre și atomi timp-frecven ță ………………………………pag.14
1.3.2 Proprieta țile atomilor timp-frecven ță.
Baze de descompunere a semnalelor ……………………….pag.16
1.3.3 Principiul incertitudinii în analiza timp-frecven ță………..pag.18
1.3.4 Transformata Fourier cu fereastr ă glisantă
(T.F.F.G. ,T.F.S.)………………………………………………………pag.22
1.3.5 Transformata Ga bor…………………………………………………pag.25
1.3.6. Interpre tarea T.F.F.G. (T.F.S)…………………………………..pag.27
1.3.7 T ransformata WAVE LET…………………………………………….p ag.32
1.3.8 In terpretarea T. W.C………………………………………………….pag.36
1.3.9 Transformarea Wavelet discret ă…………………………………pag.38
1.3.10 Serii Wavelet în timp discre t…………………………………….pag.41
1.3.11 Propriet ățile transformatei Wavelet…………………………..pag.42
1.4 Reprezentarea și analiza multirezolu ție a semnalelor RADAR.
1.4.1 Conceptul de analiz ă multirezolu ție…………………………….pag.43
1.4.2 Exemple de analiz ă multirezolu ție……………………………….pag.47
1.5 Func ția de incertitudine (ambiguitate) și corelația de band ă
larg ă……………………………………………………………………………….pag.52
2. FILTRUL OPTIM ADAPTAT CU SEMNALUL DE SONDAJ DE
BAND Ă LARGĂ……………………………………………………………………pag.54
3. CONVOLU ȚIA SEMNALELOR RADAR DE BAND Ă LARGĂ……………pag.56
158
III.TEHNICI DE PROCESARE A SEMNALULEL OR RADAR BAZATE PE
REPREZENT ĂRILE TIMP-FRECVEN ȚĂ……………………………………..pag.58
3.1 Generalit ăți…………………………………………………………………….pag .58
3.2 Aplica ții ale reprezent ării de tip TFS (TFFG) și a funcției
de in certitudine de B.L. ……………………………………………………pag.61
3.3 Metode de implementare a algoritmilor de procesare
baza ți pe reprezent ări TFS și FIBI ……………………………………pag.74
3.4 Transformarea Fourier Scurt ă Discret ă. Aplicații în procesarea
semnalului RA DAR…………………………………………………………….p ag.81
3.5 Metode de procesare a semnalului RADAR bazate pe
reprezent ările de tipul TW și a funcției de incertitudine de band ă
larg ă(FIBL)………………………………………………………………………..p ag.90
3.6 Determinarea parametrilor semnalului ecou pe baza
procedeelor comparative a func țiilor de incertitudine de BL……..pag.101
3.7 Discretizarea TW și a FIBL. Aplica ții în procesarea
se mnalului RA DAR………………………………………………………………p ag.104
3.8 Reprezent ări multirezolu ție a semnalului RADAR ……………………pag.115
3.9 Aplica ție RADAR a reprezent ărilor multirezolu ție……………………pag.134
3.10 Procesarea semnalelor nearmonice de band ă foarte larg ă……..pag.140
3.11 Sistem RADAR multifunctional cu agilitate de frecventa bazat
pe principiul ana lizei timp-faza-frecventa al semnalului……….. pag.143
3.12 Aplicatii ale retelelor neuronale în procesarea adaptiv ă
a semnalului RADAR……………………………………………………… pag.148
IV.CONCLUZII………………………………………………………………………..pag.153
159
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: A SEMNALELOR RA DAR, BAZATE PE REPREZENT ĂRI TIMP-FRECVEN ȚĂ TEZA DE DOCTORAT Coordonator știintific: Prof. dr. ing. NAFORNI ȚĂ IOAN Doctorand: ing…. [611799] (ID: 611799)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.