Str. Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, 600115 [611457]
1c ROMÂNIA
MINISTERUL EDUCAȚIEI NA ȚIONALE
UNIVERSITATEA Vasile Alecsandri din
BACĂU
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
Str. Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, 600115
Tel. +40-234-542411, tel./ fax +40 -234-571012
www.ub.ro ; e-mail:[anonimizat]
STRATEGII EURISTICE DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ ÎN
ÎNVĂȚĂMÂNTUL PRIMAR
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC,
Conf. dr. Lupu Costică
Absolvent: [anonimizat]
2CUPRINS
ARGUMENT
CAPITOLUL I :CARACTERISTICI PSIHOPEDAGOGICE ALE COPIILOR DE
VÂRSTĂ ȘCOLARĂ MICĂ, CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII
I.1. Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică: semnificația psihologică a
contactului cu matematica
I.2. Strategii didactice în general, tradi ționale și moderne
I.3. Elemen te de curriculum
CAPITOLUL II :TIPURI DE PROBLEME ÎN CICLUL PRIMAR
II.1.Mulțimi
II. 2. Rela ții
II. 3. Func ții
II. 4. Numere naturale
II. 5. Opera ții cu numere naturale
II.6.Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
II.7.Strategii euristice de rezolvare a problemelor în învă țământul primar
II.7.1. Teorii ale învățării și proiectarea unor strategii euristice de instruire
II.7.2. Elemente de organizare cognitivă utilizate în strategiile euristice de instruire proiectate
II.8.Probleme rezolvate prin metode euristice
CAPITOLUL III :ASPECTE DIN EXPERIENȚA PERSONALĂ. VALORIFICAREA
EXPERIMENTALĂ
III.1.Precizarea obiectivelor și formularea ipotezei
III.2. Metodologia cercetării
III.2.1. Metode și tehnici de cercetare psihopedagogică
III.2.2. Eșantionul
III.3. Etapele realizării experimentului
III.4. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor la testarea ini țială
III.5. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor la testarea formativ -ameliorativă
III.6. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor la testarea finală
III.7. Analiza comparativă, prelucrarea și interpretarea datelor
CONCLUZII
BIBLIOGRAFIE
ANEXE
3ARGUMENT
Actualitatea temei
Astăzi se afirmă cu tot mai multă convingere că, fundamentul culturii moderne îl constituie
matematica, că indiferent de domeniul în care activează omul modern, trebuie să posede o bună
pregătire matematică pentru a soluționa multiplele și variatele probleme ale vieții.
Matemati ca nu este o simplă tehnică de folosit într -un singur domeniu limitat, ci unul din
modurile fundamentale ale gândirii umane. Existența umană, viața, presupun activitatea gândirii
care este stimulată și ajutată în mare măsură de matematică.
Înțelegerea imp lică posibilitatea de a pune conștient, în evidență legăturile, articulațiile,
posibilitatea de a explica rolul fiecărui element în cadrul ansamblului, posibilitatea de a justifica
această organizare. Esența înțelegerii constă în integrarea cunoștințelor n oi în sistemul elaborat
anterior. Înțelegerea este implicată mai ales în procesul de rezolvare a problemelor.
Noțiunea de problemă, ca moment inițial al activității de gândire, este una din noțiunile
fundamentale ce străbate aproape întreaga psihologie a g ândirii. Acolo unde nu există o problemă
sau o întrebare, o sarcină sau o dificultate, unde nimic nu trebuie căutat și rezolvat, acolo lipsește
finalitatea gândirii.
De regulă, în cadrul problemei se evidențiază condițiile , adică ansamblul obiectelor
exist ente, reglementate prin anumite relații și cerințe care indică ce anume trebuie căutat în
condițiile date. Necunoscuta vizată prin cerințele problemei nu apare evident și nemijlocit în
sistemul de condiții, dar se presupune că, sub forma camuflată implicit ăea este conținută în acest
sistem, putând fi descoperită prin analiza sistemului respectiv de obiecte și punerea în noi relații a
elementelor sale. Condițiile pedagogice care trebuie să le îndeplinească problema sunt: să aibă
sens și să fie adresată în c el mai oportun moment din punct de vedere al elevului; să țină seama de
cunoștințele însușite anterior de elev; să trezească interesul, să fie clar enunțată; să solicite efort
din partea elevului.
Bibliografia studiată în ce privește Strategiile euristice de rezolvare a problemelor de
matematică în învățământul primar , accentul deosebit al rezolvării euristice precizat în Curriculum
Național și programele pentru învățământul primar demonstrează actualitatea temei alese.
Importan ța temei
R. Gagne arată că rezolvarea de probleme poate fi privită ca un proces prin care elevul
descoperă problema ca o combinație de reguli învățate anterior și o poate aplica pentru a ajunge la
o soluție referitoare la o nouă situație problematică.
În lucrarea de față doresc să m ă refer la cele mai importante probleme de metodologie a
lecțiilor consacrate rezolvării euristice a problemelor simple și compuse cât și a celor tipice la
clasele I-IV, în vederea dezvoltării gândirii elevilor.
Tema devine importantă în contextul învățământului actual atât prin fundamentarea teoretică
dar și prin aplicarea practică în ce privește folosirea strategiilor euristice de rezolvare a problemelor
de matematică în învățământul primar, accentul deosebit al rezolvării euristice precizat în
Curriculum Național și programele pentru învățământul primar demonstrează actualitatea temei
alese.
4Având un rol important în eficientizarea activităților de orice tip, folosirea strategiilor
euristice de rezolvare a problemelor de matematică în în vățământul primar, accentul deosebit al
rezolvării euristice precizat în Curriculum Național și programele pentru învățământul primar
demonstrează actualitatea temei alese. Învățământul este un domeniu central și de maximă
importanță socială, arie în care activitatea de rezolvare de probleme se manifestă cu precădere și
al cărei demers este profund justificat.
Motivarea alegerii temei
Am ales ca temă de cercetare Strategii euristice de rezolvare a problemelor de matematică
având convingerea că studierea m ai amplă a problematicii rezolvării problemelor va contribui la
creșterea eficienței muncii și măiestriei profesionale. Tema aleasă are menirea de a aborda, pe
baza documentării teoretice și experienței practice la catedră, diferite modalități de rezolvar e a
obiectivelor pe care le urmărește predarea matematicii în general și în mod special dezvoltarea
gândirii elevilor pe baza rezolvării și compunerii de probleme. Din experiența la catedră am
constatat că numai ceea ce se dobândește prin mult efort propri u este temeinic. Ca urmare a acestei
constatări am căutat să folosesc în activitatea desfășurată acele metode și procedee care să -i
activeze pe elevi, să -i facă să persevereze în munca desfășurată, dându -le încredere în forțele
proprii prin încurajări și a precieri deosebite la adresa muncii desfășurate.
Rezolvarea euristică a problemelor de matematică contribuie la clasificarea, aprofundarea
și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu, dar și cere elevilor eforturi de gândire
care să fie înd reptate spre un anumit scop, care necesită orânduirea judecăților într -o anumită
ordine, fapt ce datermină formarea unei gândiri logice, coerente. Este necesar ca problemele
propuse spre rezolvare să fie ordonate după gradul lor de dificultate, să aibă enu nțarea clară,
conform experienței de viață a elevului, nivelului său intelectual și mai ales gradului său de
pregătire.
Tema aleasă Strategii euristice de rezolvare a problemelor de matematică a fost supusă
cercetării pe parcursul unui an școlar, la clasa a III-aCde la Școala Gimnazială ,,Mihai Drăgan
Bacău, perioadă în care am aplicat probe care au cuprins compunere și rezolvare euristică de
probleme.
Modernizarea învățământului rom ânesc, centrarea acestuia pe calitate, inclusiv a evaluării, a
dat naștere unor controverse în rândul practicienilor mai ales, care se împart în tabere pro și contra
reformă. În cele mai multe cazuri, această discriminare este făcută în funcție de vârstă, de
convingerile fiecăruia și de percepția pe care o au asupra noului.
Toate aceste lucruri m -au convins că activizarea elevilor este o componentă importantă a
procesului didactic și că merită să fie investigată în profunzime, pentru a -și putea re aliza scopurile
cu care este investită și a fi proiectată, aplicată și valorificată corespunzător.
Scopul și obiectivele temei / cercetării
Alegerea acestei teme are ca scop îmbinarea instruirii cu alte metode și mijloace curente și
forme de organ izare, care să constituie o modalitate eficientă de însușire și consolidare a
cunoștințelor. P rin intermediul motivațiilor care sunt subordonate scopului activității de predare –
învățare-evaluare, învățătorul dinamizează acțiunea didactică, într -o perspecti vă pronunțat
5formativă. Învățătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne,
cunoscând particularitățile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le
atingă prin predare -învățare, să acționeze pen tru a-și valorifica pe deplin personalitatea, el însuși
devenind un subiect creator în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor
didactice.
Ipoteza de lucru
Pornind de la aceste considerente, lucrarea dorește să demonstreze că utilizarea strategiilor
euristice de rezolvare a problemelor în lecțiile de matematică, reprezintă o cerință fundamentală,
cu multiple valențe formative în dezvoltarea operațiilor gândirii, cale care duce la creșterea
randamentului școlar.
Dacă în actul predării-învățării sunt folosite cu eficiență strategii euristice de rezolvare
a problemelor de matematică, cu multiple valențe formative în dezvoltarea operațiilor gândirii,
atunci acestea vor duce la creșterea randamentului școlar iar rezultatele el evilor vor fi mult
îmbunătățite.
Scopul și obiectivele lucrării
Prin prezenta lucrare, doresc să evidențiez importanța pe care am acordat -o educării atenției
elevilor în vederea optimizării procesului instructiv -educativ în cadrul orelor de matematică.
Dacă se reușește captarea și menținerea atenți ei elevilor pe parcursul oricărei activități
didactice, atunci cadrul didactic are certitudinea că a reușit să stârnească interesul elevilor lucru
care contribuie implicit la motivarea școlarilor pentru învățătură.
Pentru demonstrarea ipotezei de luc ru, mi-am propus următoarele obiective:
∎descoperirea acelui stimul complex care are capacitatea de a educa atenția elevilor în cadrul
orelor de matematică;
∎ găsirea strategiilor didactice optime contribuie la obținerea unui randament superior în
rezolvarea problemelor de aritmetică și nu numai;
∎realizarea unei cercetări psihopedagogice care să asigure validarea ipotezei propuse.
Aspecte ale cercetării
În inițierea cercetării, am pornit de la convingerea că utilizarea unor metod e eficiente în
cadrul lecțiilor de matematică, metode care trebuie să le capteze și să le mențină atenția elevilor,
duce la obținerea unui randament superior al învățării.
În vederea urmăririi obiectivelor și verificării ipotezei formulate, am cu prins în cercetare un
număr de 24elevi –12băieți și12fete de la Școala Gimnazială ,,Mihai Drăgan ”Bacău. Cercetarea
s-a desfășurat în anul școlar 2016 -2017, în perioada 15.09. 2016 –10.06.2017.
Pentru demonstrarea ipotezei de lucru mi -am propus declanșarea unei cercetări
psihopedagogice pentru care am folosit o serie de metode precum: observarea, experimentul,
metoda analizei produselor activității, testarea cunoștințelor.
Se știe că experimentul este cea mai importantă metodă de cercetare, deoarece furnizează
date precise și obiective. Acesta va fi încadrat în categoria experimentului natural, psihopedagogic,
formativ.
6Variabila independentă este utilizarea met odei grafice în rezolvarea problemelor de
matematică. Variabila dependentă este randamentul învățării reflectat în rezultatele obținute la
testele de evaluare sumative aplicate la lotul experimental, respectiv, cel de control.
Experimentul psihop edagogic furnizează date de ordin cantitativ și calitativ, cu grad sporit
de precizie, deoarece ele vor fi prelucrate și interpretate cu ajutorul metodelor și tehnicilor
statistico-matematice.
Structura lucrării
Coroborând aspecte din experiența proprie cu cele din literatura de specialitate, am desprins
în lucrarea de față, câteva aspecte care mi -au reținut atenția prin tangențele pe care le au cu
subiectul temei de cercetare. Astfel, prima parte cuprinde fundamentarea teoretică a problemei,
urmată de part ea a doua, practică, în care sunt prezentate testele susținute, interpretarea datelor
obținute și concluziile extrase. Lucrarea este structurată în patru capitole cu subcapitolele
adiacente.
Capitolul I ,Caracteristici psihopedagogice ale copiilor de vârst ă școlară mică, cu
implicații în învățarea matematicii debutează cu o prezentare curriculară a programei, o tratare
teoretică de ansamblu a particularităților fizice și psihice ale școlarului mic, cu implicațiile sale în
învățarea matematicii și continuă c u expunerea teoriei și fundamentării didactice a formării
noțiunilor matematice și a limbajului matematic.
Capitolul II ,Tipuri de probleme în ciclul primar aritmetice fundamentează științific conceptele
și noțiunile matematice prevăzute în programa școlar ă: elemente de logică, mulțimi, relații, funcții,
număr natural, dezbate strategii euristice de rezolvare aproblemelor, într -o manieră modernă, prin
prisma metodelor active și a tratării diferențiate a elevilor, în lecțiile de matematică.
O parte însemnată a acestui capitol este dedicată noțiunii de problemă și a metodelor de
rezolvare a acestora, unde după prezentarea fiecărei metode se găsesc și probleme rezolvate model.
Am insistat pe utilizarea schemelor în procesul rezolvării problemelor, cons iderând că acest
procedeu modern de analiză și interpretare a datelor contribuie din plin la formarea capacității
gândirii și, implicit, la activizarea acestora asigurând în cel mai înalt grad legătura cu celelalte
discipline.
Capitolul III, Aspecte din e xperiența personală. Valorificarea experimentală insistă
pe integrarea strategiilor euristice de rezolvare a problemelor, de activizare a elevilor în actul
didactic matematic, fapt demonstrat în urma analizei și interpretării unei cercetări de tip
ameliorativ-experimentală.
Prin intermediul acestor probe s -au realizat evaluări inițiale, formative și finale, rezultatele
fiind înregistrate în tabele analitice, sintetice și transpuse grafic în poligoane de frecvență,
histograme, diagrame areolare, comparative , datele fiind interpretate și constituind bază pentru
ameliorarea procesului instructiv –educativ.
În urma analizei comparative al fiecărui tip de evaluare am analizat noi strategii de
ameliorare a obiectivelor mai puțin realizate. Concluziile finale și bibliografia consultată vin să
întregească această lucrare.
7CAPITOLUL I :
CARACTERISTICI P SIHOPEDAGOGICE ALE COPIILOR DE VÂRSTĂ ȘCOLARĂ
MICĂ, CU IMPLICAȚII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII
I1. Particularități psihologice ale copilului de vârstă școlară mică: semnificația psihologică a
contactului cu matematica
Caracterizarea psihopedagogică a elevului constituie o cerință izvorâtă din necesitatea
pătrunderii în esența individualității sale, în vederea sprijinirii dezvoltării personalității în
conformitate cu propriile capacități și cerințele societății. O astfel de caracterizare prezintă o
importanță de osebită pentru cadrul didactic angajat în formarea acestuia. Nu întâmplător, Edouard
Clapare de arăta că pentru cine știe să deschidă ochii, particularitățile psihologice ale vârstei
școlare mici sunt rampa de lansare în activitatea didactică .
Noi, slujitorii școlii, trebuie să cunoaștem, să vedem copilul așa cum este el , pentru ca
dându-ne seama de posibilitățile sale, să -l ajutăm să -și dezvolte calitățile și să -și corecteze
defectele.
Profilul psihologic indică modalitățile de concepere a acțiunilor educative, de alegere a
strategiilor prin care se realizează activitatea de cunoaștere în care este angajat elevul. Începutul
vieții școlare este în același timp începutul unei activități de învățare, care îi cere copilului o mare
rezistență fiz ică, dar și un efort intelectual considerabil.
În dezvoltarea fizică se constată o fortificare generală a organismului. Coloana vertebrală se
întărește mai mult, crește cantitatea de calciu din compoziția chimică a oaselor, crește volumul
mușchilor și impl icit a forței musculare. Mișcarea, sportul, activitatea fizică în general, joacă un
rol deosebit de important la această vârstă. Destul de labil la început în ceea ce privește operările
cu obiectele solicitate de sarcinile școlare, elevul devine treptat î ndemânatic, învățând să -și
organizeze mișcările.
Disponibilitățile fizice se integrează treptat dinamicii solicitărilor psihice. Procesele de
creștere și de maturizare continuă la nivelul sistemului nervos, ceea ce constituie o bună premisă
pentru dezvol tarea legăturilor funcționale implicate în citire și scriere, ca dimensiuni ale însușirii
limbii și ale cultivării limbajului. Deși maturizarea organelor de simț se termină relativ timpuriu
în dezvoltarea ontogenetică, dezvoltarea senzațiilor este un proce s în continuă desfășurare. Se
constată o lărgire a câmpului vizual și o creștere a preciziei în diferențierea nuanțelor cromatice.
Senzațiile copilului se subordonează unui noului tip de activitate –învățarea. Cum acestea se
desfășoară sub forma unor acți uni distincte –de citit, de scris, de aritmetică, de desen –senzațiile
școlarului mic se vor modela tocmai în funcție de solicitările specifice acestor acțiuni.
Pe parcursul micii școlarități, percepția câștigă noi dimensiuni. Dacă sincretismul (percepți a
întregului) este o caracteristică ce se menține pe parcursul întregii preșcolarități, fenomenul începe
să se diminueze la școlarul mic. Aceasta se datorează atât creșterii acuității perceptive față de
componentele obiectului perceput, cât și schemelor lo gice interpretative care intervin în analiza
spațiului și timpului perceput. se produc generalizări ale direcției spațiale (stânga, dreapta, înainte,
înapoi), se încheagă simțul topografic, crește precizia diferențierii și denumirii formelor
8geometrice (dr eptunghi, pătrat, cerc etc.), se dezvoltă capacitatea de a distinge formele cu volum
de cele plane, iar percepția timpului înregistrează o nouă etapă de dezvoltare.
Reprezentările sunt puțin sistematizate. Sub acțiunea învățării, ele suportă modificări
esențiale atât în ceea ce privește conținutul, cât și modul de a se produce și de a funcționa. Datorită
activității organizatoare a cuvântului, reprezentările micului școlar devin precise, mai sistematice,
mai coerente. Aceste caracteristici –claritatea, coerența, generalitatea, mobilitatea –pe care le
dobândesc reprezentările în cursul micii școlarități -fac posibil ca elevul să le poată stăpâni și dirija
cursul.
Gândirea copilului de vârstă școlară mică este concret intuitivă, lipsită de suplețe,
mobil itate, este mai rigidă, fiind orientată spre rezolvarea unor sarcini mai concrete în activitatea
sa. Treptat, se dezvoltă și gândirea abstractă, operațiile concrete bine structurate sunt interiorizate,
devenind progresiv operații logice, abstracte. Elevii sunt antrenați să facă analize și sinteze,
comparații, abstractizări și generalizări. Ei devin capabili să explice să argumenteze, să
dovedească adevărul judecăților sale. „Formată în procesul învățării cognitive, al operării cu
noțiuni și propoziții, al r ezolvării diferitelor categorii de probleme din ce în ce mai complexe și
abstracte, gândirea elevilor devine o premisă centrală și modalitate esențială a învățării școlare
inteligente, a cunoașterii științifice.”
Dacă în învățământul tradițional forma de o rganizare frontală se organiza în mod aproape
exclusiv, în școlile active ea devine doar o frântură din oră, elevii lucrând singuri sau pe grupe sub
supravegherea și cu ajutorul cadrului didactic. Se creează la elevi o atitudine activă, orientată spre
găsirea și soluționarea problemelor, stimulând gândirea și creativitatea. Elevul va fi dirijat să
învețe prin descoperire, să participe intens la descoperirea adevărurilor științifice, expunerea
învățătorului fiind folosită mai ales în scop de sistematizare și sinteză. Modul nou, activ, de
organizare a învățământului, se dovedește superior, dar solicită mult timp.
Învățătorul trebuie să utilizeze cu măiestrie totalitatea mijloacelor intuitive, acționale și
verbale de care dispune pentru a sprijini și a accelera formarea proceselor gândirii școlarului.
Un salt impresionant se realizează și în dezvoltarea limbajului, cu ajutorul căruia elevii își
formează imagini și noțiuni, își dezvoltă capacitatea de abstractizare și generalizare, memoria de
lungă durată, își d efinesc motivele și scopurile activității de lungă durată, își orientează atenția, își
canalizează efortul voluntar și imaginația, își exteriorizează personalitatea.
Un rezultat al sarcinilor de învățare dirijată și controlată este productivitatea memoriei . Se
constată o creștere considerabilă a volumului memoriei, precum și trăinicia și rapiditatea acestuia.
Însă școlarul mic nu -și dă seama ce anume trebuie memorat și reținut dintr -un material (termeni,
definiție, reguli), sau ce trebuie făcut pentru o mem orare rapidă, trainică, eficientă. De aceea
sarcina învățătorului, în acest sens, este de a -i înarma pe elevi cu procedee raționale și eficiente de
memorare.
În timpul micii școlarități, este tot mai mult solicitată imaginația . Este foarte mult solicitată
imaginația reproductivă , copilul fiind pus în situația de a reconstitui imaginea unor realități pe
care nu le -a cunoscut niciodată (figuri geometrice în spațiu, personaje, evenimente), în strânsă
legătură cu imaginația creatoare , stimulată de joc și fabula ție, de compunere, de activități
9practice, muzicale. Astfel, imaginația se află în plin proces atât sub raportul conținutului , cât și al
formei. Devine mai critică, se apropie tot mai mult de realitate.
Prezența atenției asigură bună receptare a mesajului transmis, înțelegerea mai profundă a
materialului predat, o memorie mai puternică și mai fidelă, exercitarea mai bună a deprinderilor și
abilităților. Una dintre condițiile esențiale în vederea menținerii atenției concentrate a elevilor este
organizarea le cțiilor de matematică în așa fel încât să fie permanent ocupați în cadrul lecțiilor. În
cadrul oricărei activități de învățare, pentru captarea atenției, se solicită alternanța acestora cu
activitatea în plan mintal se asigură un tempo optim al lecției.
Una din trăsăturile specifice ale micii școlarități constituie impregnarea tot mai puternică a
conduitei copilului cu o notă de intenționalitate, de planificare. Multe dintre conduitele lui încep
să se deru leze sub semnul lui trebuie,este necesar ,nutrebuie.
Voința,ca mod de răspuns la aceste comenzi, iradiază larg în cuprinsul personalității
copilului și în activitatea de învățare. După eforturi voluntare susținute din partea elevului apare
reușita, succesul.
Una dintre aptitudinile care are condiț ii de a se manifesta de timpuriu în cadrul procesului
instructiv -educativ este aptitudinea matematică . Elevii dotați cu o astfel de aptitudine se
diferențiază de ceilalți mai puțin dotați sub aspecte ca: perceperea informației matematice și
înțelegerea rel ațiilor dintre ele, generalizarea materialului matematic, capacitatea de efectuare a
operațiilor inverse, găsirea unor multitudini de soluții pentru o problemă dată, înțelegerea și
utilizarea limbajului matematic.
În funcție de nivelul clasei, de obiective le concrete stabilite și de conținutul temelor
programate, cultivarea interesului și formarea gustului matematic pot fi realizate prin metode și
mijloace cum sunt: accentuarea caracterului practic -aplicativ al matematicii și, concomitent,
conștientizarea a cestui aspect (rezolvarea de probleme, măsurarea lungimilor, greutăților sau
suprafețelor, operații cu numere concrete –bani, distanțe parcurse etc.), sensibilizarea elevilor față
de frumusețea și eleganța făpturilor matematice, atracția pentru problemati c, folosirea unor
metode pedagogice adecvate pentru încurajare și laudă.
Esen țial este –scrie K. Loul –cămatematica să devină pentru copil un instrument cu care
explorează lumea și nu un joc de reguli abstracte .
Asupra afectivității școlarului mic își pun amprenta atât sarcinile de învățare, cât și relațiile
interpersonale din cadrul activității școlare. Se dezvoltă astfel emoțiile și sentimentele intelectuale,
precum și cele morale și estetice. Apare curiozitatea intelectuală, se dezvoltă sentimentul
răspunderii, delicatețea, noblețea și dăruirea afectivă, sentimentul încrederii.
Motivația constă dintr -un ansamblu de mobiluri care susțin energetic, orientează și
direcționează desfășurarea activității de învățare. Inițial, motivația copilului pentru șco ală se
constituie ca o sinteză de factori externi (observarea și imitarea modelelor exterioare) și interni
(dorința de a deveni școlar). Dorința de explorare, de informare, de documentare este în plin
progres. Educatorul trebuie să -i fructifice această des chidere spre trebuința de a cunoaște, pentru
a-i cultiva atașamentul față de învățătură în general, față de matematică în special.
10Statutul de școlar acționează acum și asupra personalității . Aceasta devine din ce în ce mai
aptă de independență și autodete rminare. Ca rezultat al instalării unor noi trăsături de caracter, pe
care le reclamă viața și relațiile sociale, personalitatea școlarului înclină tot mai mult spre atitudini
mai mature și spre manifestări mai controlate. Formarea atitudinii pozitive față de învățătură și a
aptitudinilor pentru activitatea de învățare face ca personalitatea școlarului mic să fie mai
„competentă” decât aceea a preșcolarului.
Ca personalitate, copiii se disting printr -o diversitate temperamentală. Există copii vioi,
expansivi, nestăpâniți, comunicativi și copii retrași, lenți, tăcuți. Atitudinea educatorului față de
aceste însușiri tipologice și temperamentale trebuie să fie maleabilă, diferențiată, în funcție de
natura elevilor, temperându -i pe unii, stimulându -i pealții.
Considerând copilul ca un adult în devenire , cunoașterea fenomenelor evoluției sale fizice și
psihice va da posibilitatea învățătorului să aleagă strategiile optime stimulării și modelării
personalității acestuia.
Cunoașterea psihopedagogică a școl arului mic este o activitate complexă, ținând seama de
personalitatea fiecărui individ care este în formare. Învățătorului îi e necesară o cunoaștere a
elevului egală cu cea a unui sculptor față de materialul din care va modela, cu atât mai mult cu
cât materialul superb pe care -l reprezintă psihicul copilului este un material nespus de dificil .
Prin urmare noi împreună cu părinții se cuvine să fim albinele lucrătoare care cercetează și
făuresc cu migală și har fagurele care este trupul, dar și mierea care este sufletul.
I.1.1 Baza psihopedagogică a contactului școlarului mic cu noțiunile matematice
Fiecare disciplină care se studiază în școală are menirea de a construi șireconstrui logic și
progresiv, în structurile mentale ale elevului, un sistem de cuno ștințe care să se apropie de logica
științei respective.
Matematica înseamnă gândire, gândirea organizată. Ea contribuie la dezvoltarea gândirii
logice a copilului prin activitățile sale care solicită investigații și originalitate. Matematica este
știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate. Însușirea de către elevi a
sistemului de noțiuni și cunoștințe pe care le cuprinde matematica reclamă o gândire științifică,
inductivă și deductivă, capabilă să preia rolul conducător în desfășura rea proceselor de
abstractizare și generalizare. Lucrând în primă fază cu obiecte concrete, mintea elevilor este
orientată spre înțelegerea noțiunilor.
Așa cum arăta J. Piaget, ne găsim în stadiul operațiilor concrete. Copilul gândește mai mult
operând cu mulțimile concrete, în ciuda faptului că principiile logice cer o detașare progresivă de
baza concretă (se neagă intuiția ), iar operațiile cer o interiorizare, o funcționare în plan mental.
Contactul cu unele noțiuni matematice are o contribuție esențială la statornicirea planului simbolic,
abstract, în evoluția mentală a școlarului din clasa I, cu condiția însă ca prin programul de instruire
să nu fie întreținută învățarea mecanică, nerațională, izolată de dezvoltare.
Școlarii mici sunt antrenați în re zolvarea unor sarcini caracterizate prin anumite variante
de relaționare a cunoscutului cu necunoscutul, care, ca structuri matematice, au o schemă logic
asemănătoare. Elevii sunt familiarizați cu mișcarea în ordine crescătoare și descrescătoare a șirului
natural de numere, dar și cu tehnica primelor două operații matematice fundamentale –adunarea
11și scăderea –în limitele concentrului 0 –10 și apoi în limitele altor concentre, îmbogățindu -și
considerabil nomenclatorul noțional. Astfel, află ca unele nume re se numesc termeni, sumă,
descăzut, scăzător, diferență , fac cunoștință cu termeni de asociativitate șitranzitivitate . Constată
și se conving practic că: pentru a soluționa ? + b = c/b +? = c trebuie să scadă, pentru a soluționa
?-b = c trebuie să adune, pentru a soluționa a -? = c trebuie să scadă. Este un gen de operativitate
care cultivă flexibilitatea gândirii, conc ură la automatizarea și creșterea vitezei de lucru și care, în
anumite condiții, ar putea să stimuleze înțelegerea, judecata, raționamentul matematicii. Este
vorba de o strategie care -l pune pe elev în situația de a conștientiza de fiecare dată semnificați a
distinctă a necunoscutei și de a ajunge la ea prin mecanismul mediator al raționamentului, care își
asociază ca tehnica operațională, când adunarea, când scăderea. Această strategie are avantajul de
a pregăti terenul achiziționării de către școlarul mic a capacității de a rezolva probleme, învățându –
l să diferențieze între semantica lui ceea ce se dă și a luiceea ce se cere , din a căror comparare
vor extrage informația necesară structurării a ceea ce se cheamă plan de rezolvare al unei
probleme.
Unul d intre riscurile introducerii defectuoase a școlarului din clasa I în cunoștințele
matematice este acela a -l separării în timp și în spațiu a exercițiului practic de cunoștința teoretică
generalizatoare (regula, principiul de rezolvare).
Practicând o învăț are a matematicii în regimuri disparate, elevul ajunge doar când se ocupă
cu reluarea, repetarea și exersarea părții tehnice, a exercițiilor la veritabile automatisme, iar când
memorează structurile verbale (propozițiile) purtătoare ale regulilor adunării și scăderii, ca
evenimente diferite, necorelate cu primele, lunecă spre o învățare intelectualist -reproductivă.
Acțiunea practică neînțeleasă și neexplorată cognitiv și structurile verbo -cognitive, nereproduse
acțional, conduc la același efect: învățare me canică.
Școlarul se izbește și de o altă dificultate cum ar fi persistența unor orientări fixate eronat.
Fixarea aperceptivă a lui minusca fiindplus și invers, conștientizarea neadecvată a pozițiilor
operațiilor matematice, insuficienta cultivare a sens ului matematic al operației de scădere –
descăzutul (d) și scăzătorul (s) și a relației dintre ele, în sensul că întotdeauna d s și că nu se
poate scădea un număr mai mare dintr -un număr mai mic.
La matematică, dar și la celelalte discipline, prestații le școlarului mic sunt puternic
dependente de model, datorită capacității lui reduse de a -și autodirija disponibilitățile și procesele
psihice. De aici vine importanța deosebită pe care trebuie să o acordăm principiului pedagogic de
a ne raporta la posibil itățile matematice ale micului școlar nu doar ca la niște rezultate finite, ci ca
la niște procese susceptibile a fi optimizate pe însuși parcursul lor, pentru a le sprijini să se
convertească în rezultatele dorite. Pentru aceasta este necesar ca în struct ura comportamentului
didactic să predomine sugestiile, explicațiile, lămuririle, sprijinul, îndrumarea, încurajarea,
incitarea, consilierea individuală în raport cu munca independentă de acasă și sarcinile de control
formal.
I.2. Strategii didactice în gen eral, tradi ționale și moderne
Strategiile didactice dețin o poziție privilegiată în ansamblul factorilor responsabili pentru
succesul școlar al elevilor. Ele pun în evidență capacitatea cadrului didactic de a alege și combina
12într-o anumită ordine metode, procedee și mijloace de instruire, forme de grupare a elevilor, de a
selecta și structura conținutul științific în funcție de obiectivele propuse, de a opta pentru o anume
experiență de învățare ce urmează a fi trăită de elevi.
Strategiile didactice sunt sisteme de metode, procedee, mijloace și forme de organizare a
activității educaționale, integrate în viziune sistemică, în structuri operaționale unitare și coerente,
care vizează construirea experiențelor de învățare, formarea de abilități, capacități și competențe
și raționalizarea procesului instructiv –educativ.
Niciun mijloc, oricât de perfecționat ar fi el, și nicio metodă, oricât de modernă ar fi ea,
nu au o forță activatoare iminentă, în sine, ele pot însă impune și determina o participare activă
din partea celui care învață. în viziunea lui Stanciu, M., Reforma conținuturilor învățământului,
Editura Polirom, Iași, 1999, p. 556.
Strategia didactică reprezintă un mod de abordare și rezolvare a unei sarcini de învățare,
rezolvare care presupune a legerea anumitor metode și mijloace, combinarea și organizarea
acestora în scopul atingerii unor rezultate maxime. Elaborarea unei strategii didactice eficiente este
în funcție de concepția pedagogică a epocii și cea personală a educatorului. O concepție m odernă
este centrată pe utilizarea unor metode active, participative însoțite de materiale didactice și
mijloace care vin în sprijinul acestui activism.
În plan didactic, strategia face parte din metodologia, arta educatorului de a conduce,
rezolva situaț ii de instruire. El folosește în sistem elementele procesului de predare –învățare –
evaluare, pentru realizarea obiectivelor într -o anume manieră, opțiune procedurală, mod
combinativ, stil de coordonare, model de rezolvare tipică și optimală. Este așadar un fapt de
management instituțional. Caracterizată, în esență, ca modalitate de combinare, o manieră de
abordare a predării –învățării, de organizare a demersurilor pentru realizarea obiectivelor, strategia
oferă criterii pentru construirea acțiunilor, situațiilor de instruire prin:
-alegerea orientării spre un anumit tip, formă, modalitate de predare și învățare, de
conducere a acestora;
-alegerea ansamblului optim de metode, mijloace, forme de organizare, care vehiculează
conținuturile învățării; indicarea condițiilor, resurselor minime necesare în atingerea unui
obiectiv sau a unui grup;
-conceperea, proiectarea pe secvențe a predării –învățării –evaluării sau printr -o anume
înlănțuire, ordonare a acestora; găsirea soluției adecvate de definire, alegere, corelare a
situațiilor rezultate din raportarea la obiective, anterior precizate;
-realizarea de combinații variate ale acestor elemente ale procesului instruirii, atât la nivel
global (macroproiectare), cât și la nivelul unei situații concrete de predare, învățare
(microproiectare), pe un obiectiv operațional;
-indicarea unui anumit mod de introducere a elevului în situația creată, de îndrumare a lui
în rezolvarea sarcinii, până la finalizarea, evaluarea ei;
-raportarea acestei combinații la alte con diții determinate -nivel inițial de pregătire al
elevilor, timp acordat, moment de începere, loc între celelalte situații, condiții materiale;
13-formularea unei variante, soluții cu caracter de decizie, după prelucrarea informațiilor
acumulate asupra componen telor necesare situației, privind tipul, organizarea, desfășurarea
acesteia;
-posibilitatea de detalierea componentelor sale în acțiuni, operații delimitate (procedee),
care să sporească gradul de precizie, de control, de prevenire a abaterilor, de eficient izare;
posibilitatea profesorului de a dirija evoluția situației, de a sesiza factorii perturbatori și de
a interveni, a găsi soluții de adaptare sau de alegere a altei modalități ad -hoc;
-a antrena elevii după particularitățile lor, a -și afirma creativitat ea, stilul de predare, de
conducere a acțiunii;
-indicarea modului adecvat de punere a elevului în contact cu obiectivele urmărite, cu
conținutul, cu sarcinile concrete, cu condițiile de realizare, cu criteriile de evaluare, cu tipul
de învățare și valorifi care a experienței anterioare;
-formularea chiar de ipoteze de cercetare a optimizării instruirii, prin introducerea,
experimentarea de noi combinații metodologice, organizatorice;
-delimitarea gradului, formei, extinderii dirijării elevilor în antrenarea, r ezolvarea,
generalizarea rezultatelor, în implicarea lor în situațiile specifice de învățare;
-sprijinirea profesorului în găsirea răspunsurilor la problemele ce și le pune în acțiunea de
proiectare didactică, de definire și combinare a situațiilor de instr uire-evaluare solicitate;
-unificarea criteriilor, adaptarea lor în stabilirea strategiei de rezolvare a situației: concepția
profesorului, obiectivele, conținutul informațional, tipul de experiență e elevilor,
normativitatea respectată, resursele didactico -materiale, timpul dat.
Așadar, rezultă că strategia nu poate fi limitată numai la metode, ci se impune nevoia de
cuprindere și a mijloacelor de învățământ ca auxiliare ale metodelor, dar și forme de organizare a
activității elevilor (frontală, independent ă sau pe grupuri omogene sau eterogene) și a activității
generale (în clasă, în afara clasei, în afara școlii).
Literatura de specialitate inventariază tipurivariatede strategii didactice. În rezolvarea
problemelor acestea sunt:
a)după activitatea dominant ă în procesul instruirii :
-de învățare :-algoritmică :-prin imitare de modele date;
-prin repetare, exersare, memorare;
-prin receptare, reproducere;
-prin cunoaștere concret –intuitivă;
-prin algoritmizare, pas cu pas;
-euristică:-prinobservare nemijlocită;
-prin rezolvare de probleme deschise;
-prin experimentare;
-prin dezbateri, dialoguri euristice;
-prin cercetări în grup;
-prin simulare, modelare, aplicații;
-prin tehnici de creativitate ș.a.
14-mixtă : -prin comb inarea celorlalte moduri.
b) după modul de dirijare al învățării :
-de dirijare, pas cu pas;
-de semidirijare;
-de nonintervenție parțială.
c) după tipul de raționament abordat:
-de predare -învățare inductivă;
-de predare -învățare deductivă;
-de predare-învățare transductiv ;
-de învățare prin analogie;
-de combinare a raționamentelor.
Orice strategie este concomitent tehnică și artă educațională, alegerea și folosirea oricărui
tip de strategie depinzând în mod hotărâtor de pregătirea și personalitatea cadrului didactic, într -o
activitate didactică acesta putând utiliza o combinație de strategii, de situații corespunzătoare
pentru a crește eficiența acțiunilor și calitatea rezultatelor.
În lucrarea Metodica predării matematicii , Costică Lupu și Dumitru Săvulescu ne
îndeamnă la elaborarea strategiei, să selectăm mijloacele de instruire de care avem nevoie, să
combinăm metodele, materialele și mijloacele astfel încât să amplificăm eficacitatea lor didactică.
I.3. Elemente de curriculum
I.3.1. Scopulstudieriimatematiciiînînvățământulprimar
Studiulmatematiciiînșcoalaprimarăîșipropunesăasigurepentrutoțieleviiformarea
competențelordebazăvizând:calculularitmetic,noțiuniintroductivedegeometrie,măsurare
șimăsuri(MinisterulEducației,CercetăriișiTineretului,ConsiliulNaționalpentru
Curriculum,2003,p.2).Acestecompetențevorpermiteelevului:
stăpânireașifolosireacorectăîncontextevariateîncotidianaterminologieișia
conceptelormatematice;
construireașirezolvareaexercițiilorșiproblemelor;
folosireadeidei,regulișimetodematematiceînabordareaunorproblemepractice
sausituațiicotidiene,intuireaavantajelorpecareleoferămatematicaînabordarea,
clasificareașirezolvareaunorastfeldeproblemesausituații;
formareaobișnuințeidea-șiimaginașifolosireprezentărivariatepentrudepășirea
unordificultățisaucapunctdeplecarepentruintuirea,ilustrarea,clasificareasau
justificareaunoridei,algoritmi,căiderezolvareetc.;
explorareaproblematiciioperațiilorcunumere,consolidareadeprinderilorde
calcularitmetic,aprofundareaînțelegeriiconceptuluidenumăr,parcurgândetapele:
1.operareacunumereporninddelareprezentări(concrete,grafice);
2.calculmintal;
3.calculînscrisfolosind:formeechivalentealenumerelor,descompuneri
variate,proprietățileoperațiilor,legăturiledintreoperații,ordineaoperațiilor,
15algoritmiuzuali;
4.tehnicidecalculrapid;
5.estimareașiaproximareaordinelordemărimesauarezultatealorunorcalcule,
urmatedeverificări.
abordareacuîncredereasubiectelormatematice,descriereaoralăsauînscrisși susținerea
cuargumente(intuitive)apropriilordemersuriși arezultateloracestora;
construireadegeneralizărișiparticularizărisimplealeunorideisauprocedee.
Studiulmatematiciiînînvățământulprimararecascopsăcontribuielaformareași
dezvoltareacapacitățiielevilordeareflectaasupralumii,deaformulașirezolvaproblemepe
bazarelaționăriicunoștințelordindiferitedomenii,precum șilaînzestrareacuunsetde
competențe,valorișiatitudinimenitesăasigureoculturăgeneralăoptimă(Săvulescu,D.,
2006,p.8).
Încadrulstudieriimatematiciivorfidezvoltatecapacitățiledeexplorare
investigare,interesulșimotivațiapentrustudiulșiaplicareamatematiciiîncontextevariate.
Învățareamatematiciiînșcoalăurmăreșteconștientizareanaturiimatematicii,pedeo
parte,ca oactivitatederezolvareaproblemelor,bazatăpeunsistemdecapacități,cunoștințe,
procedee,iarpedealtăparte,cadisciplinădinamică,strânslegatădeviațacotidiană,de
roluleiînștiințelenaturii,întehnologiișiînștiințelesociale(Lupu,C.,2006,p.26).
PredareamatematiciilaclaseleI-IVareînvederetreiplanuri:instructiv,educativși
practic,avânddreptobiectivfundamentaldezvoltareaintelectualăaelevilor,însușirea
instrumentelordecalculșiderezolvareaproblemelor.Eleviiîșiînsușescnoțiunielementare
cucareopereazăpetotparcursulvieții.Oricenouăachizițiematematicăarelabazăachizițiile
precedente,trecereadelaunstadiuinferiorlaaltulsuperiorfăcându-seprintr-oreconstrucțiea
sistemuluinoționalșioperativ.
I.3.2. Structura programei școlare la matematică în învățământul primar
Trecereasistematicădelaînvățământulinstructivlaceldemodelareacapacităților
intelectuluiaimpuselaborareaprezentuluicurriculumdematematicăpentruînvățământul
primarcaocontinuareacurricumuluipentruînvățământulpreșcolarșicaobazăa
învățământuluigimnazial.
ProiectareaCurriculumuluidematematicăs-arealizatconformurmătoarelorprincipii:
asigurareacontinuitățiilanivelulclaselorșiciclurilor;
actualitateainformațiilorpredateșiadaptarealorlaniveluldevârstăalelevilor;
diferențiereașiindividualizareapredării-învățării;
centrarepeaspectulformativ;
corelațiatransdisciplinară–interdisciplinară(eșalonareaoptimăaconținuturilor
matematicecorelatecudisciplinelerealepeariicurriculare,asigurându-secoerența
peverticalășiorizontală);
delimitareaunuinivelobligatoriudepregătirematematicăatuturorelevilorși
16profilareaposibilitățilordeavansareînînvățareșideobțineredenoiperformanțe.
Acestcurriculumaredreptobiectivcreareacondițiilorfavorabilefiecăruielevde
asimilamaterialulîntr-unritmindividual,dea-șitransferacunoștințeleacumulatedintr-ozonă
destudiuînalta.
Astfel,accenteleindusedefinalitățileînvământuluiprimarvizeazăurmătoarele:
Schimbăriînabordareaconținuturilor:trecereadelaoaritmeticăteoreticăla o
varietatedecontexteproblematicecaregenereazăaritmetică,încareactivitateapentru
rezolvaredeproblemeprintatonări,încercări,implicareactivăînsituațiipracticeși
căutareadesoluțiidincolodecadrulstrictalcelorînvățate,capătăoimportanțădeosebită.
Schimbăriînceeaceseașteaptădelaelev:aplicareamecanicăaunoralgoritmise
vaînlocuicuelaborareașifolosireadestrategiiînrezolvaredeprobleme.
Schimbărilanivelultipurilordeînvățaresolicitate:transferareaaccentuluidela
activitățidememorareșirepetarelaactivitățideexplorare–investigare;stimularea
atitudiniidecooperare.
Schimbărialeperspectiveiacțiuniidepredare:schimbarearoluluiînvățătorului
delatransmițătordeinformațiilaceldeorganizatordeactivitățivariatedeînvățare
pentrutoțicopiii,înfuncțiedenivelulșiritmulpropriudedezvoltarealfiecăruia.
Schimbăriînevaluare:trecereadelasubiectivismulșirigiditateanoteila
transformareaevaluăriiîntr-unmijlocdeautoapreciereșistimulareacopilului.
Astfel,memorareamecanicăderegulișidefiniții,reproducereașiexersarearepetitivă
aacestora,problemele/exercițiilecusoluțiisaurăspunsuriunice,activitateafrontală,evaluarea
cuscopulcatalogăriielevului,îșipierddinimportanță.
Rămâne,deci,demaximăactualitateîndemnuldeacummaibine2000deani,făcutde
Plutarh:Capulcopiluluinuesteunvaspecaresă-lumpli,ci ofăcliepecares-oaprinzi,astfel
încât,maitârziu săluminezeculuminăproprie.
Înacelașitimp,devinmultmaiprețuite:
activitateaderezolvaredeproblemeprinîncercări;
implicareaactivăînsituațiipracticeșicăutareadesoluțiidinexperiențadeviață
aelevilor;
creareadesituațiideînvățare diferiteprinutilizareauneivarietățideobiecte,
analizapașilorderezolvareauneiprobleme,formulareadeîntrebări,argumentarea
deciziilorluateînrezolvare;
asumareadecătreînvățătoraroluluideafacilitaînvățareașidea-istimulipecopii
sălucrezeînechipă;
scopulevaluăriiconstăînsurprindereaprogresuluicompetențelor
matematiceindividualealeelevului.
Programașcolarăpentrumatematică(ciclulprimar)descrieofertaeducaționalăa
disciplineipeanidestudiu,pentrufiecareciclu.Fiecaredintreprogrameîșipropunesă
transformetoateacesteideimenținateanteriorînrealitățialepracticiișcolareprinintermediul
componentelorsale:obiectivecadru,obiectivedereferință,activitățideînvățare,conținuturi
17șistandardedeperformanță.
Notadeprezentaredescrieparcursuldisciplineimatematică,argumenteazăstructura
didacticăadoptatășisintetizeazăoseriederecomandăriprivindmoduldeaplicare
consideratesemnificativedecătreautoriiprogramei.Înnoteledeprezentarealefiecăreiadintre
programesuntprezentateexplicitdominantelecurricumuluiladisciplinamatamatică.Pentru
învățământulprimar,acestedominanteeducaționalederivădinobiectivelearieicurriculare
MatematicășiȘtiințealenaturii:
-construireauneivarietățidecontexteproblematice,înmăsurăsăgenerezedeschideri
cătredomeniulmatematicii;
-folosireaunorstrategiidiferiteînrezolvareaproblemelor;
-organizareaunoractivitățideînvățarepentruelevi,îngrupșiindividual,înfuncție
denivelulșideritmulpropriudedezvoltarealfiecăruia;
-construireaunorsecvențedeînvățarecaresăpermităactivitățideexplorare/investigare
lanivelulnoțiunilordebazăstudiate.
Competen țelesuntcuungradridicatdegeneralitateșicomplexitatecesereferăla
formareaunorcapacitățișiatitudinispecificedisciplinei.Acesteasunt:
1.cunoaștereașiutilizareaconceptelorspecificematematicii;
2.dezvoltareacapacitățilordeexplorare/investigareșirezolvaredeprobleme;
3.formareașidezvoltareacapacitățiideacomunicautilizândlimbajulmatematic;
4.dezvoltareainteresuluișiamotivațieipentrustudiulșiaplicareamatematiciiîncontext
diferite.
Competen țeleexprimăfaptulcăscopulpredării–învățăriimatematiciiînșcoalaprimară
nusemailimiteazălaînsușireanoțiunilorspecificeșilacunoaștereaprocedurilordecalcul,ci
urmăreștestimulareacapacitățiielevuluideaexploranoțiunișiconceptnecunoscute,dea
experimenta,dea-șidezvoltaposibilitățiledecomunicare.Seurmăreșteformareaunoratitudini
șicalitățipersonaleînraportcuacestdomeniudestudiu.
Fiecăruicompeten țeîisuntasociatemaimultecompeten țe specifice .Acesteadescriu
capacitățișideprindericarezultateașteptatealeînvățăriișiprogresiaînachizițiaacestor
capacitățișicunoștințematematicedelaunandestudiulaaltul.
Lecturasistemuluicompeten țelor specifice lamatematicădinciclulprimaroferă
imagineadezvoltăriiprogresiveadeprinderilorșicapacitățilorprevăzuteprincurriculumpentru
fiecareandestudiu,oferăohartăaevoluțieicapacitățilordobânditedeelevpeparcursulanilor
destudiu,creeazăpremiselepentrucentrareaactuluididacticpeaspecteleformativealeînvățării.
Exempleledeactivitățideînvățarepropunmodalitățideorganizareaactivitățiiînclasă
recomandatepentrurealizareaobiectivelorpropuse.Programadematematicăoferăexemple
deastfeldeactivitățipentrufiecareobiectivdereferință.Acesteexempleurmărescsăvalorifice
experiențaconcretăaelevului(ceadeviațășiceadobândităprinînvățare)șipermitadoptarea
unorstrategiididacticeadecvatescopuluiurmăritîncontextevariatedeînvățare.
Conținuturilesuntmijloaceprincareseurmăreșteatingereaobiectivelorcerute
princurriculum.Ladisciplinamatematică,conținuturilesuntorganizatetematicșiauo
18dezvoltareînspirală,concepteleevoluândșiîmbogățindu-sedelaunanlaaltul.
Standardelecurricularedeperformanțăoferăcriteriigeneraledeevaluare,din
perspective programei,lafinalulșcoliiprimare.Reprezintăunsistemdereferințăcomun
șiechivalentlasfârșituluneitreptedeșcolaritatepentruevidențiereaprogresuluirealizatde
elevidela otreaptădeșcolaritatelaalta.Acestestandardeconstituieelementuldebazăpentru
elaborareadescriptorilordeperformanțăși acriteriilordenotare.
I.3.3.Strategia didactica si dimensiunea formativa a predarii -învatarii matematicii.
Orientarea proiectării didacticii pe eviden țierea strategiilor de predare -învațare este
binevenită mai ales în contextul actual al modificărilor de ordin cantitativ și calitativ din
programele școlare prevăzute de Noul Curriculum Na ționalla toate nivelur ile de școlaritate.
Acesta pune accent pe formarea modurilor de a gândi, pe elaborarea strategiilor proprii de învatare
și rezolvare de probleme, pe dezvoltarea capacităților intelectuale la elevi . De aceea cadrului
didactic trebuie să -i fie foarte clar c e strategie optimă de predare trebuie să adopte pentru a sprijini
elevul în realizarea obiectivelor și pentru a căpăta în timp deprinderi intelectuale superioare
organizate ( strategii cognitive ).
Esențial în instruirea elevului este crearea situațiilor de învățare direcționate de un
obiectiv, în cadrul carora elevul î și elaborează strategiile de abordare a problemelor.
Termenul de strategie a apărut ini țial în teoria și practică, unde se întâlnea sub denumirea
de plan strategic; din punct de vedere tehnic noțiunea se asociază proceselor care prezintă un
anumit grad de nedeterminare, situa țiilor de natură competitivă sau conflictuală în cadrul cărora
apar factori ce se opun realizării scopurilor inten ționate. Ulterior termenul a căpătat o semnificație
mai la rgă ce nu implcă în mod necesar opnentul , ci producerea eficientă a obiectului.
După Neac șu Ioan, noțiunea vizează un sistem de operatii cu o finalitate bine determinată
însotit de specificarea condi țiilor de desfășurare și acțiune. Ea reprezintă în esen ță o acțiune
decompozabilă într -o suită de decizii -operații, fiecare decizie asigurând trecerea la secvența
următoare pe baza verificări informa țiilor dobândite în etapa anterioară . În altă accep țiune
semantică, în sens general, strategia se poate defini c a un ansamblu de procese și operații sau
procedeeși metode orientate spre producerea unuia sau mai multor obiecte determinate. Acțiunile
implcate trebuie să satisfacă anumite condi ții de coerență internă, compatibilitate și
complementaritate a efectelor.
La nivelul macro (pedagogia sistemelor) ac ționează strategia pedagogică formată din
ansamblul deciziilor privind desfă șurarea cercetării pedagogice, a politicii învățamântului și a
procesului de învă țamânt. Strategia procesului de învățamânt vizează opera ția de proiectare
învățare prin parcurgerea căreia elevul asimilează conținutul ideatic sistematizat în obiectele de
studiu, își formează sistemul de abilități prevăzute de programele școlare.
Diver și specialiști români s -au ocupat de acest concept de strategie educa țională,
aducând contribu ții la definirea sa. Astfel la Cerghit Ioan alegerea strategiei didactice se face sub
triplul înțeles al cuvântului.
19ca adaptare a unui mod de abordare a învă țării (prin problematizare, conversație euristică,
algoritmizare etc.)
ca opțiune pentru un anumit mod de combinare a metodelor, procedeelor, mijloacelor de
învățământ, formelor de organizare a elevilor;
ca mod de programare (selectare, ordonare și ierarhizare) într -o succesiune optimă a
fazelor și etapelo r (evenimentelor) proprii procesului de desfă șurare a lecției, cu
specificația timpului și respectarea unor principii didactice .
Cerghit corelează strategia cu definirea experien ței optime de învățare și demonstrează
implicațiile ei asupra structurii lecți ei.
Ținând seama de capacitatea strategiei de a structura și a modela o situație de învățare,
aceasta se constituie într -o formă specifică și superioară a normativită ții pedagogice.
Din punct de vedere normativ, strategia este mai puternică decât o simplă regulă a unei
secvențe de învățare, deci implică un sistem de reguli, pe de altă parte se diferențiază de rigiditatea
unor reguli, algoritm prin flexibilitatea proprie internă.
Acțiunile de predare -învățare în cadrul dis ciplinei matematice la clasele C.P. -IV au
determinări concrete, în sensul că se desfă șoară într -un câmp pedagogic definit de o multitudine
de variabile a căror interdependen ță este logică. Nu se poate vorbi de metode universale, eficiente
sau ineficiente, bune sau rele. Fiecare situa ție depredare-învățare acceptă una sau mai multe
variante metodice.
Învățătorul, cunoscând varietatea metodelor disponibile în câmpul didacticii moderne,
cunoscând particularită țile elevilor cu care lucrează, valențele conținutului pe care trebuie să le
atingăprin predare -învatare, trebuie să ac ționeze pentru a -și valorifica pe deplin personalitatea, el
însuși devenind un autentic subiect în materie de articulare a strategiilor, metodelor și procedeelor
didactice.
Conținutul matematicii școlare și obiectivele p redării ei centrează tehnologia didactică pe
metodă, componentă cu rol predominant în triadă: metodă, mijloace, tehnici.
Prin metoda se întelege acea cale urmată de învă țător împreună cu elevul, în procesul de
învățământ, în scopul însușirii informației d e catre elev și a formării priceperilor și deprinderilor ,
precizându -se ca metodă este în principiu proiectata și controlată de învțător.
20CAPITOLUL II
TIPURI DE PROBLEME ÎN CICLUL PRIMAR
II.1. Mulțimi. Operații cu mulțimi.
Noțiunea de mulțime
Noțiunea de mulțime și de element a unei mulțimi fac parte din categoria acelor noțiuni
matematice care nu pot fi definite, numite și noțiuni primare .
Noțiunea de mulțime poate fi înțeleasă ca fiind analogă noțiunii de colecție sau de grupare.
În mod practic, pentru a forma o mulțime trebuie să ni se dea un anumit criteriu după care să
putem determina obiectele care formează mulțimea.
Obiectele care formează o anumită mulțime se numesc elementele mulțimii.
Mulțimea se notează de obicei cu litere mari, iar elementele prin litere mici, cifre sau alte
semne. Dacă A este o mulțime și a un element al său vom scrie a ∈A(aaparț ine mulțimii A),
iar dacă a nu este în mulțime scriem a
A (a nu aparține mulțimii A). Elementele unei mulțimi
sunt distincte și bine determinate.
Există doua moduri de definire a unei mulțimi:
a.sintetic(numind individual elementele sale). În a cest caz mulțimea se specifică
scriind între acolade sau în interiorul unei linii curbe închise elementele sale {1, 2, 3};
b.analitic ( specificând o proprietate pe care o au elementele sale și nu o au alte
elemente). Mulțimile definite în acest mod se vor nota prin A = { x / P(x), adică mulțimea acelor
obiecte x, pentru care are loc P(x) .
Mulțimea fără nici un element se numește mulțimea vidă și se notează cu
.
Mulțimi egale
Spunem că mulțimea A este egală cu mulțimea B dacă cele două mulțimi au a celeași
elemente deci, dacă orice element al mulțimii A aparține și mulțimii B și reciproc. Scriem A=B.
Relația de incluziune
Se spune că o mulțime A este inclusă în mulțimea B dacă orice element al mulțimii A este
și element al mulțimii B. Se notează A
B sau B
A.
Când A
B se mai spune că A este o submulțime a lui B.
Relația de incluziune are proprietățile:
1)A
A (este reflexivă);
2)A
B și B
A
A=B (antisimetrică);
3)A
B și B
C
A
C (tranzitivă).
Proprietatea 2) este utilizată adesea în a demonstra că două mulțimi sunt egale.
Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi se numește mulțimea părților acestei mulțimi
și se notează cu P(A ) ={x /x
A}.Observăm că mulțimea vidă
și mulțimea A sunt incluse în
părțile mulțimii A.
21Operații cu mulțimi.
Reuniunea mulțimilor
Se numește reuniune a două mulțimi A și B mulțimea tuturor elementelor care aparțin cel
puțin uneia dintre mulțimile A sau B.
Notăm reuniunea mulțimilor A și B prin A
B și citim ,,A reunit cu B’’.
Deci A
B = {x / x
A sau x
B}.
Exemplu: A = {a; b}, B = {a; c; e}
În diagramă A
B este mulțimea
cu contur îngroșat.
A
B
A
B = {a, b, c, e}
Proprietățile reuniunii.
1)A
A
B, B
A
B, A
= A;
2)A
A = A (idempotența);
3)A
B = B
A (comutativitate);
4)A
(B
C) = (A
B)
C (asociativitatea).
Intersecția mulțimilor
Se numește intersecția a două mulțimi A și B mulțimea constituită din elementele comune
lui A și lui B. Intersecția mulțimilor A și B se notează A
B și se citește A intersectat cu B, A
B = {x / x
A și x
B}.
Exemplu: A = { -4, 0, 2}, B = { -1, 0, 3}, A
B = {0}
Mulțimile A și B se numesc disjuncte dacă A
B =
adică dacă nu au nici un element
comun.
Proprietățile intersecției.
1)A
A = A (idempotența);
2)A
B
A și A
B
B;
3)A
B = B
A (comutativitatea);
4)A
(B
C) = (A
B)
C (asociativitatea);
5)A
=
;
6)Dacă A
B atunci A
B = A.
Complementara mulțimilor
Fie mulțimile A
M. Numim complementara a lui A în raport cu mulțimea notată C MA
formată din elementele care se găsesc în M și nu se găsesc în A.
CMA = {x / x
Mși x
A}
a
b
a
c
e
221)CMM =
;
2)CM
= M;
3)CMA
B = CMA
CMB (Legile lui De Morgan);
4)CMA
B = CMA
CMB;
Exemple: A = { -2,-1, 0, 1,}; M = { -3,-2,-2, 0, 1, 2} C MA ={-3, 2}.
Diferența mulțimilor
Diferența dintre mulțimile A și B este mulțimea elementelor lui A care nu aparțin lui B. Se
notează A \B sau A –B. Deci A \B = { x / x
A și x
B}.
Fie E o mulțime și A o submulțime a lui E. Submulțimea lui E formată din acele elemente
ce nu aparțin lui A se numește complementara lui A în raport cu E. Această mulțime se notează cu
CEA = E –A sau C EA = { x
E / x
A}.
Exemplu: A = {a, b, c}; B = {a, x, b, y}
A\B = {c}
B\A = {x, y}
Mulțimea A
B = (A\B)
(B\A) se numește diferență simetrică a mulțimilor A și B. În
exemplul de mai sus: A
B = {c}
{x, y} = {c, x, y}.
Proprietățile diferenței.
1.Dacă A
B atunci A \B =
;
2.Dacă A
B atunci A \B = CBA;
3.Diferența mulțimilor nu este asociativă;
4.Dacă A
C =
atunci (A \B)\C = A\(B\C);
5.CEE =
și CE
= E.M
<
PA
CMA
A
B\A
B
A\B
23Produs cartezian.
Se numește produs cartezian mulțimea ale cărei elemente sunt toate perechile ordonate (a,
b) în care a
A și b
B și se notează A x B
Deci A x B = {(a, b) / a
A și b
B}
În afara proprietăților enumerate anterior putem aminti și alte proprietăți ce leagă două sau
mai multe operații și anume:
1.A
(B
C) = (A
B)
(A
C) (distributivitatea reuniunii față de inte rsecție);
2.A
(B
C) = (A
B)
(A
C) (distributivitatea intersecției față de reuniune);
3.A\(B
C) = (A –B)–C;
4.A\(B
C) = (A –B)
(A–C);
5.(A
B)\C = (A –C)
(B–C);
6.(A
B)–C = A
(B–C) = (A –C)
B;
7.A x (B
C) = (A x B)
(A x C);
8.A x (B
C) = (A x B)
(A x C);
9.A x (B –C) = (A x B) –(A x C);
10.C(A
B) = C EA
CEB;
11.C(A
B) = C EA
CEB.
Ultimele două egalități mai sunt cunoscute ca formulele lui Morgan.
II.2. Relații. Proprietăți. Clasificare.
Relații între două sau mai multe mulțimi.
Semnificația matematică a cuvântului relație se poate pune în legătură cu semnificația care
se dă cuvintelor ,,raport, legătură, corespondență, asociere˝ în limbajul curent să ne gândim, de
exemplu, la relațiile de rud enie, într-o mulțime I de persoane, relația ,,văr al lui˝ asociază fiecărei
persoane din I pe verii săi, cu condiția ca să fie cuprinși în I.
Fiind dată o mulțime B de bărbați, o mulțime F de femei și rela ția ,,soția lui˝. Există persoane
din B c ărora le sunt asociate câte o persoană din F, dar nu pot să evite persoane din B cărora nu le
este asociată nici o persoană din F, sau pentru că sunt necăsătorite, sau pentru că soțiile lor nu fac
parte din F. Nu este necesar ca B și F să fie mulțimile tut uror bărbaților și tuturor femeilor, și în
practică ne putem referi la situații în care B și F sunt mulțimi mai restrânse. Tot într -o mulțime de
persoane se pot considera relații ca ,,este mai în vârstă decât˝, ,,a fost coleg de școală cu˝, ,,are
aceeași p ărinți ˝, ,,are ca fiu pe˝, ,,este căsătorit cu˝, ,,a petrecut vacanța cu˝, ,,este tot atât de înalt
ca˝ etc. Într -o mulțime de state avem relația ,, se învecinează cu ˝, o alta ar putea fi aceea care s -ar
putea numi ,, relație diplomatică ˝.
Într-o mulțime de obiecte avem relații ca: ,, este mai greu decât˝, ,,este mai scump decât”.
Și în matematică se folosește termenul ,,relație˝ aceasta se folosește, de exemplu, pentru a
ilustra egalitățile și inegalitățile între numere ( adică relaț iile = și
).
24Mai există, cu toate că se folosesc mai puțin, relații care leagă mai mult de două mulțimi,
astfel fraza ,, xeste portarul, yeste mijlocaș, Z este atacant al aceleiași echipe de fotbal˝, sau fie A
o mulțime de drumuri naționale, B o mulțime de râuri, C o mulțime de orașe, relația ,,drumul a
este traversat de râul oîn orașulc˝, sau fie A’, o mulțime de diplomați, iar A 2și A3fie mulțimea
statelor, un exemplu de mulțime ternară data de ,, aeste ambasadorul lui a2îna3˝, sau fie A ,B,C
mulțimea punctelor unei axe. Se definește o relație ternară prin fraza ,,C este cuprinsă între A și
B˝.
Să ne limităm acum la relații între două mulțimi, în orice caz, avem de -a face cu mulțimi
care eventual coincid și cu perechi ordonate deelemente ale lor (desigur, unul din prima și altul
din a doua mulțime). Există unele perechi pentru care relația este verificată, care se vor numi
,,asociate prin relație˝ și alte perechi pentru care aceasta nu se întâmplă.
Dată fiind relația este capitala lui între mulțimea orașelor Europei și mulțimea statelor
europene, perechea (Roma, Italia) este asociată prin relație, în timp ce perechea (București,
Danemarca) nu este asociată prin relație.
În mulțimea numerelor naturale, este bi ne cunoscută relația este divizibil prin în care sunt
asociate perechi ca (6, 2), (9, 3), (12, 4).
Ideea de relație este, prin urmare, fundamentală nu numai în matematică, ea este în mod
direct unul din principalele moduri în care gândirea noastr ă ordonează conceptele. A da o relație
între două mulțimi înseamnă a le lega între ele, în sensul că unui element oarecare al uneia dintre
ele îi sunt asociate unul sau mai multe elemente sau nici un element din cealaltă mulțime.
Voi încerca să da u o definiție termenului relație recurgând la conceptul de mulțime; fiind
date două mulțimi A, B care pot să coincidă (A=B), să luăm câte un element din fiecare dintre
acestea (a
A,b
B), perechea (a, b) va putea fi formată din elementele, asociate pr in relația sau
nu. Prin urmare în produsul A x B vor exista perechi de un tip și perechi de celălalt tip.
Prin urmare putem adapta:
Definiția 1. (Se numește relație binară sau simplu, relația sau încă corespondență) între două
mulțimi A, B distincte sau care coincid o submulțime R a produsului A x B.
Elementele asociate prin relație sunt atunci acele elemente, a, b pentru care(a, b)
R.Dacă A
= B, după cum s -a văzut în exemplele precedente, perechea (a ,b) este o pereche ordonată de
elementele lui A, se vorbește, în acest caz de relație în A. În acest caz se poate da și o altă definiție.
Definiția 2 . O relație binară între A și B este un triplet ordonat R= (A, B, R) unde R este o
submulțime a lui A x B se mai numește și graficullui R.
Pentru simplitate, nu vom face distincție între relație și grafic (adică, în esență, revenim la
definiția 1 , cu toate acestea, în continuare se va putea citi având în vedere una sau alta din definiții.
Cuvântul binară arată că relația leagă perechi de elemente.
Dacă simbolul relației este R, vom scrie bRa, pentru a arăta ca a și b sunt asociate prin relația
R (se mai poate scrie a Rb). Aceste scrieri cuprind în sine o întreagă frază, de exemplu dacă R este
relațiaestefratele lui ,bRa se citește beste fratele lui a .
25Atunci când mulțimile A și B conțin un număr finit de elemente există un mod foarte simplu
de a reprezenta o relație R între A și B, făcând corespondența între elementele celor două mulțimi
desenat e prin diagrame, iar relația prin săgeți.
Putem spune că am trasat graficul lui R. Relația dată se mai putea scrie ca o submulțime
a produsului cartezian {(a 1,b1); (a1, b2); (a1, b3); (a2, b2); (a2, b4)} sau ( a 1Rb1; a1Rb2; a1Rb3;
a1Rb4).
După cum s -a spus, atunci când se vorbește despre o relație R trebuie să avem în vedere,
chiar dacă nu precizăm aceasta în mod explicit, mulțimile legatede R. În felul acesta vor fi
considerate distincte relația R în mulțimea numerelor pare și în mul țimea numerelor naturale.
În cazurile mai simple, putem să dăm și alte reprezentări grafice a relațiilor: (aRm, nRm,
cRn, cRb, mRb).
II. Fie A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 4}; și relația
{(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 4); (3, 5); (4, 5)}
III. A
R, B
R și relația y
2x, {(x,y) / x
A,y
B,y
x}a1
a2
a3b1
b2
b3
a
b
cm
n
12345
y
0y =2x
xxy
0b4
26IV. {(x,y) /x
A,y
B,y=
}.
Exemplu I se numește grafiar celelalte exemple se numesc grafice.
Faptul că se vorbește despre relații binare sugerează și considerarea de relații ternare, sau –
mai general –n-are (se citește enare). Putem da:
Definiția 1 . Se numește relație n -ară între n mulțimi A 1, A2,…Andistincte sau care coincid
parțial sau total, o submulțime a produsului A 1x A2x … x A n.
Ca și mai sus elementele unui n -uplu ordonat (a 1, a2,…, an) (a i
Aipentru orice valoare a
lui i de la 1 la n) se vor numi asociate prin R atunci când (a 1, a2,…, an)
R.
În mod analog celor spuse în cazul relațiilor binare se poate formula și următoarea:
Definiția 2 . Se numește relație n -ară între (A 1, A2,…An) un (n+1) cuplu ordonat (A 1, A2,…
An, x) unde x
A1x A2 x … x An.
Proprietățile relațiilor.
Ne vom ocupa de relațiile binare într -o mulțime.
Definiția 1. Spunem că o relație R într -o mulțime A este reflexivă atunci când, pentru orice
a
A, avem aRa, oricare ar fi a
A.
Exemple : În orice mulțime de numere na turale, relația = este reflexivă, iar relația
este
antireflexivă. Într -o mulțime de numere relațiile
sunt reflexive în timp ce
sunt relații
antireflexivă.
În mulțimea numerelor naturale, relația este divizor al lui este reflexivă. Oricare ar fi relația
este reflexivă în timp ce
este relație antireflexivă.
Evident, există relații care nu sunt nici reflexive, nici antirefl exive, de exemplu propoziția
,,ab este un număr par’’ în mulțimea Z a numerelor întregi.
Definiția 2 . Spunem că o relație în A este simetrică atunci când pentru fiecare bRa avem
aRb, în simboluri scriem: (
)a, (
)b, bRa⇔aRb.
În schimb, o rela ție se numește antisimetrică atunci când dacă avem în acela și timp aRb și
bRa, avem a = b. În simboluri aRb
bRa
a = b.
Exemple : În orice mulțime, relațiile =,
, sunt simetrice. Fiind dată o mulțime 1, relația
este antisimetrică în mulțimea părților P(1), în timp ce relația
nu este simetrică. Într -o mulțime
de numere, re lațiile
sunt antisimetrice, în schimb
nu sunt simetrice. De asemenea, fie
mulțimea punctelor unui plan și fie n un punct fix al său. Relația Beste simetricul lui A în raport
cu M este simetrică
27Definiția 3. O relație într -o mulțime B se spune că este tranzitivă atunci când luate trei
elemente a, b, castfel încât bRa, cRb avem cRa. Simbolic scriem: (
)a, (
)b, (
)c, bRa
cRb
cRa.
Exemple : Relația = este tranzitivă (dacă b =a, c=b avem c =a), relația
nu este tranzitivă
(dacă b
a, c
b, putem avea fie c =a, fie c
a). În mulțimea P(1) relațiile
,
sunt tranzitive.
Se spune că o relație este trihotomie dacă fiind luate două elemente așibale mulțimii, este
valabilă una și numai una singură din tre următoarele afirmații: a =b, aRb, bRa.
Relațiile
și
sunt trihotomii într -o mulțime de numere.
Relația
nu are această proprietate într -o mulțime nevidă, într -adevăr nu avem niciodată a
a, dar b
aînseamnă și a
b.
Clasificarea rela țiilor
1. Relații de echivalență.
Există anumite tipuri de rela ții caracterizate de proprietăți particulare, care se găsesc în mod
frecvent în matematică și în alte domenii.
Unele dintre acestea sunt constituite de rela țiile de echivalență.
Definiția 1. Se nume șterelație de echivalență orice rela ție reflexivă, simetrică și
tranzitivă. Fiind dată o rela ție echivalentă, două elemente asociate prin aceasta se numesc
echivalente. Denumirea de echivalen țăeste inspirată de egalitatea obi șnuită șide echivalen ța din
geometrie. Tot astfel de rela ții de echivalență următoarele relații: în mulțimea cuvintelor unui
vocabular a fi exprimate cu acela și număr de litere , într-o mulțime de persoane, a fi născu ți în
acela și an, în mulțimea numerelor naturale ,a fi amândouă pare sau impare .
În aceste exemple, elementele unei mul țimi cu relație de echivalență se împart în
compartimente înfamilii.
Definiția 2 . Fiind dată o mul țime I, o clasă K, de submulțimi nevide ale lui I, astfel ca:
a)Submulțimile lui K s unt disjuncte două câte două;
b)Reuniunea submul țimilor lui K este I.
Atunci, fiind dată o parti ție a lui I, orice element a lui I aparține unei singure (sau la
unași numai una) dintre submulțimile lui K.
Dacă un element al lui I ar apar ține la două submulțimi acestea nu ar fi disjuncte și dacă nu
ar aparține nici unei mulțimi, reuniunea submulțimilor lui K nu ar fi I. Dacă avem, în același timp
aRbși bRa, avem și a=b. În simboluri aRb
bRa
a = b.
Exemple: Mulțimea numerelor pare și cea a numerelor impare formează o partiție a
mulțimii numerelor naturale, speciile de animale constituie o partiție a mulțimii animalelor.
Să arătăm acum acela și lucru dacă stabilim într -o mulțime o relație de echivalenț ă sau o
partiție.
Definiția 3. Fiind dată o rela ție de echivalență R în I și x
I, se nume ște clasa de
echivalență Cx mulțimea elementelor y din I astfel ca yRx (adică Cx ={y/ yRx}).
Teorema 3.2. Fiind dată o rela ție de echivalență în I, clasele de echivalență constituie o
parte a lui I. Invers, fiind dată o rela ție de echivalență R pe I. Fie x și y două elemente neechivalente
28ale lui I, să arătăm cele două clase Cx și Cy nu au elemente comune. Î ntr-adevăr, dacă ar exista
un z cu z
Cy , am avea zRx, zRy prin urmare și Cy (din motive de simetrie).
Datorită tranzitivită ții din yRz și zRx ar rezulta yRx, contrar ipotezei. În afară de acestea
orice element x apar ține clasei Cx, prin urmare clasele de echivalen ță satisfac definiția partiției.
Invers, fie dată o parti ție I, trebuie să arătăm că relația definită de yRx atunci când x și y
aparțin aceleiași submulțimi este o relație de echivalență. Într -adevăr:
1.Evident xRx (reflexivitate);
2.Dacă yRx, x și y aparțin aceleiași submulțimi prin urmare și xRy (simetrie);
3.Dacă yRx și zRy, x, y, z aparțin aceleiași submulțimi , deci avem și zRx
(tranzitivitate).
Să considerăm un exemplu important. Fie două mul țimi A și B, în mulțimea produs A x B
să considerăm următoarea rela ție (x’, y)R(x, y) atunci când x = x’ (cu alte cuvinte două perechi
sunt asociate prin R când au acela și prim element).
Se constată u șor că relația astfel definită este o relație de echivalență. Ea conduce la apariția
lui A x B î n submulțimile Pr1(x) = {x} x B, adică în submulțimile formate cu perechile (x, y) unde
x este fix, iar y este un element variabil în B (se mai spune că ,,y descrie’’ B).
Definiția 4 . Fiind dată o rela ție de echivalență R, în I mulțimea claselor de echiv alență
(deci mulțimea ale căror elemente sunt, fiecare în parte, clase de echivalență) se numește mulțime
cât a lui I în raport cu R și se scrie I / R.
2. Relații de ordine.
Faptul fundamental care stă ascuns în cuvintele ordonare, ordine este posibi litatea de a
compara două elemente, precizând care vine primul și care vine după. De obicei, în limbajul curent
(care după cum vom vedea, se referă la rela ții particulare de ordine, ca aceea referitoare la numere
întregi, la punctele unei axe orientate etc .) se are în vedere o posibilitate de comparare a tuturor
elementelor mul țimii în cauză dar chiar în exemple destul de familiare lipsește o asemenea
posibilitate de comparare.
Un alt fapt care trebuie observat este următorul: în anumite cazuri, elementel e sunt dispuse
astfel încât sa poate vorbi de elementele consecutive (aceasta se întâmplă pentru ordonarea
obișnuită a numerelor naturale), în timp ce în alte cazuri între două elemente sunt întotdeauna
altele (de exemplu acesta este cazul punctelor unei a xe), în orice caz este vorba de probleme care
nu privesc mul țimea în sine ci ordinea cu care o dotăm. Vom vedea că aceeași mulțime poate fi
dotată cu ordonări foarte diferite
Definiția 1. Se nume ște relație de ordine sau ordonare o relație, indi cată de obicei, printr –
unul din simbolurile
care se bucură de proprietă țile: reflexivitate, tranzitivitate,
antisimetrie, astfel încât:
O1pentru orice a, a
a;
O2dacă b
a, c
b, atunci c
a;
O3dacă b
a, a
b, atunci a = b.
Dacă b
a cu b
a, se spune că în ordonare b precede pe a sau că a urmează după b.
29O mulțime dotată cu o relație de ordine se numește mulțime ordonată. Se vorbește și de
ordine par țială, atunci când nu s -a precizat că, fiind date două elemente oarecare a, b, avem a
b
sau b
a.
Un eventual element al lui I, care precede pe toate celelalte, se nume ște minim, un eventual
element care urmează după toate celelalte se nume ște maxim. Evident, un minim și un maxim pot
să existe sau să nu existe. Un element care nu este precedat de nici un element se nume ște minimal,
în mod analog, se definesc eventualele elemente maximale.
În mulțimea N a numerelor naturale se consideră relația este divizibil prin adică nRm (dacă
n estedivizibil prin m). Aceasta este o rela ție de ordine. Totuși, în mulțimea N există perechi, care
nu se pot compara (de exemplu considerând numerele 4 și 5, 4 nu este divizibil cu 5, iar 5 nu este
divizibil cu 4).
Definiția 2. O ordonare în care două elemente care pot fi întotdeauna comparate se nume ște
totală. În al ți termeni, o relație de ordine totală trebuie să satisfacă următoarele proprietăți:
OT1a
a pentru orice a (reflexivitate);
OT2dacă b
a, c
b, atunci c
a (tranzitivitat e);
OT3fiind date două elemente distincte a, b, trebuie să avem a
b sau b
a dar nu ambele.
Într-o mulțime de numere reale, relația
este o rela ție de ordine totală.
Definiția 3. Se nume ște relație de ordine în sens strict și se notează cu
sau
o relație
care este antireflexivă și tranzitivă astfel încât:
OS1nu avem niciodată a
a;
OS2dacă b
ași c
b, atunci avem c
a.
Definiția 4. O relațietrihotomică și tranzitivă se numește relație de ordine totală în sens
strict.
OTS1fiind date două elemente a, b, este întotdeauna adevărată una și numai una din
următoarele expresii: a = b, a
b, b
a;
OTS2dacă b
a , c
b, atunci c
a.
Iată câteva feluri de ordonări:
-Incluziunea ,,
’’ pentru rela ții de ordine;
-Relația ,,
’’ între numere pentru rela ția de ordine totală;
-Incluziunea în sens strict ,,
’’ pentru ordine strictă;
-Relația ,,
’’ între numere, pentru rela ția de ordine totală în sens strict.
II.3. Func ții. Funcții bijective. Inversa unei funcții
Definirea aplica ției
După cum am mai spus, orice rela ție între A și B se poate gândi ca o lege astfel încât la
fiecare element din A să se asocieze unul sau mai multe elemente din B, sau chiar nici un element.
Deosebit de importante sunt însă acele rela ții care asociază fiecărui element din A un
elementși numai unul singur din B, clasificarea la un campionat de fotbal este o relație între
mulțimea echipelor unei anumite grupeși mulțimea numerelor naturale, care asociază un singur
30număr fiecă rei echipe, tabela statistică care prezintă elevii unei clase în ordinea mediilor la sfâr șitul
unui an.
În felul acesta s -a găsit util să se dea o denumire specială pentru asemenea rela ții.
Dacă R este o rela ție binară de la mulțimea A la mulțimea B, atunci mulțimile: Dom(R) =
{ x
A / există y
B cu xRy} și Codom (R) = {y
B / există x
A cu xRy}. Se numește
domeniul saucodomeniul relației binare R.
O relație binară A ⊂A×B se zice:
I. relație funcțională de la A la B, dacă pentru orice x
Dom (f) există un unic y
Codom (f) cu xfy:
II. funcție (sau aplicație) definită pe A cu valori în B (și notăm f: A
B) dacă f este o
relație funcțională de la A la B cu Dom (f) = A.
Cu alte cuvinte f este o func ție definită pe A cu valori în B dacă și numai dacă pentru orice
x
X, există o unică pereche (x, y)
f.
Aici X este un simbol căruia i se pot substitui pe rând elementele A și y unul căr uia i se pot
substitui elementele lui B, se spune că acestea sunt variabile (în A și respectiv în B), iar pentru a
arăta că x și y sunt asociate în relație funcțională se scrie y = f(x).
Mulți vorbesc despre funcție, mai curând decât aplicație. În tr-un anumit sens, cele două
concepte sunt echivalente, diferen țele constau, în parte, într -o terminologie diferită. Există însă un
punct în care diferen ța se observă mai bine, în timp ce, atunci când se vorbește despre o aplicație
a lui A în B, se în țeleg e totdeauna că, orice element a lui A îi corespunde un element al lui B, când
este vorba de termenul de funcție, se referă la expresia funcție definită în A și cu valori în B, după
mulți aceasta se înțelege în sensul că fiecărui element din A i se poate as ocia un singur element
din B sau chiar nici unul, aceasta pentru a se apropia mai bine, din anumite puncte de vedere, de
matematică clasică.
De exemplu, să considerăm ecua ția în x și y (x, y numere raționale), y =
, aceasta
define ște oaplicație a mulțimii care se obține luând din Q numerele -1,și 1, domeniul nu poate să
fie Q deoarece pentru x = ±1 nu există nici un y care să satisfacă ecua ția. Totuși, în limbajul
obișnuit se vorbește de funcție definită în Q, sau funcție variabilă raț ională.
Fiind dată o aplica ție f a lui A sau a unei submulțimi a lui A în B, dacă x este variabilă în
A iar y în B, se spune că y este func ție de x.
Dacă f : A
B atunci unicul element y
B cu xfy se notează cu y = f(x) se nume ște
imaginea lui x prin f, sau valoarea func ției f pentru elementul x.
Fie f : A
x
yși g : x
y. Dacă f(a) = g(a) pentru orice a
A atunci f se zice restric ție
a lui g la mul țimea A, iar g se zice că este o prelungire a lui f la mulțimea x.
Mulțimea tuturor funcțiilor f : A
B se notează F(A, B).
Funcția f : A
B definită prin f (x) = x pentru orice x
A, se nume ște funcția identitate (sau
identică) pe a și se notează cu
.
Dacă f : A
B, atunci mul țimea:
= {(x, y)
A x B / y = f(x)} se nume ște graficul
funcției f.
31Dacă B
R (adică f : A
R) atunci f se zice func ție reală (definită pe mulțimea A), iar
A
R (adică f : A
R
R) atunci f se zice func ție variabilă reală. Dacă f : A
R
B
R
atunci f se zice func ție reală de variabilă reală.
Moduri de definire a func ției.
a)Funcții definite sintetic . O funcție f : A
B, poate fi definită precizând pentru fiecare
element din A ce element i se asociază din mul țimea B.
Exemplu : fie A = {a, b, c, d} și B = {1, 2, 3, 4, 5}. Definim f : A
B astfel: f(a) = 1;
f(b) = 3; f(c) = 3; f(d) = 5.
Legea de asociere a acestei func ții poate fi reprezentată tot sintetic și printr -o diagramă sau tabel.
x a b c d
f(x) 1 3 3 5
b) Funcții definite analitic .
O funcție f : A
B poate fi definită specificând o proprietate (regula) ce leagă un element
oarecare x din A de elementul f(x) din B.
Exemplu : fie A = {1, 2, 3,} și B = {3, 4, 5} și fie f : A
B dată de rela ția f(x) = x + 2
face ca f(1) = 3; f(2) = 4; f(3) = 5.
Analog f : Z
N, f(x) =
sau f : R –{1}
R, f(x) =
.
Ținând cont că o funcție f se descrie prin cele trei elemente: domeniul de definiție,
codomeniul și legea de corespondență, putem preciza că două funcții f : A
Bși g : C
D sunt
egale dacă și numai dacă A = C, B = D și f(x) = g(x), ( )x
A.
Exemplu .f: {0, 1, 2, 3}
{1, 2, 8, 13}, f(x) =
g :{0, 1, 2, 3}
{1, 2, 8, 13}, g(x) =
Avem f(0) = g(0), f(1) = g(1), f(2) = g(2), f(3) = g(3) deci f = g.
Fie f : D
R undeD este un domeniu al func ției de forma( -a, a). Spunem că f este pară
dacă f(-x) = f(x), iar f este impară dacă f( -x) = f(x).
Exemplu . Funcția f : (-2, 2)
R, f(x) =
este pară, iar func ția y(x) =
este impară.
Observație.Graficul unei func ții pare este simetric față de axa Oy, iar al unei funcții
impare este simetric fa ța de origine.
Funcții monotone
Fie f : D
R o funcție reală de variabilă reală ( D
R). Funcția f se numește:1a
2 b
5 d43 c
32a)Monoton crescătoare pe D dacă:
,
D cu
f(
f(
);
b)Strict crescătoare pe D dacă:
,
D cu
f(
)
f(
);
c)Monoton descrescătoare pe D dacă:
,
D cu
f(
)
f(
);
d)Strict descrescătoare pe D dacă:
,
D cu
f(
)
f(
);
e)Monotonă pe D dacă f este monoton crescătoare sau monoton descrescătoare;
f)Strict monotonă pe D dacă f este strict crescătoare sau strict descrescătoare.
Exemplu : f : R
R, f(x) =-3x+2. Să se studieze monotonia.
Rezolvare . Fie
,
R cu
0, f(
=-3
+2, f(
-3
+2, f(
)–f(
) =-3
+2+3
–2 =-3(
)
0, f(
)
f(
)
f(x) strict descrescătoare.
Funcții bijective. Inversa unei funcții.
O funcție f : A
B se spune că este:
a)Injectivă dacă pentru orice
A cu
avem f(
)
f(
) (sau dacă pentru f(
) = f(
) avem
=
;
b)Surjectivă dacă pentru orice y
B, există x
A, astfel încât y = f(x);
c)Bijectivă dacă este inject ivăși surjectivă.
Fie f : A
Bși g : B
C două func ții. Se definește gof : A
C numită frac ția
compusă a lui g cu f, func ție care are ca domeniu de A și codomeniu pe C și (gof)x = g(f(x)).
Proprietatea 1 . O funcție este bijectivă dacă și numai dacă este inversabilă.
Demonstra ție. Presupunem că f : E
F este bijectivă. Fie submul țimea g a lui F x E
formată din elementele (f(x), x), x
E. Dacă y = F din surjectivitatea lui f rezultă că există x
E
, astfel încât f(x) = y. Prin urmare mul țimea g a perechilor de forma (f(x), x), x
E este adevărat
că pentru orice x
E, există y = F, astfel încât (x, y)
f. Datorită injectivită ții lui f rezultă că g
este ,,bine definită’’ adică dacă (x, y), (x’, y’)
f atunci y = y’. Într -adevăr dacă (
, y), (
, y)
g atunci f(
) = y = f(x) și deci
=
. Așadar se obține o funcție g : F
E.Dacă x
E, din
(f(x), x)
g rezultă g(f(x)) = x, deci gof =
.
Dacă y
F, atunci y = f(x), x
Eși (y, x)
g, adică g(y) = x. Prin urmare f(g(x)) = f(x) =
y, deci fog =
.
Reciproc presupunem că func țiile f : E
Fși g : F
E satisfac rela țiile gof =
și fog =
.f AB
gof g
C
33Dacă y
F, fie x = g(f(x)) = y și deci f este surjectivă. Fie acum f(
) = f(
) pentru
,
E. Atunci
= g(f(
)) = = g(f(
)) =
și deci f este injectivă.
Funcția f satisface gof =
și fog =
este unică. Într -adevăr, dacă g’ : F
E satisface
aceleași condiții g’of =
și fog’ =
, atunci g’ =
og’ = (gof)g’ = g(fog’) = go
= g. Funcția
g se notează de obicei cu
și se numește inversa funcției (bijective) f. Este clar că , de asemenea
este bijectivă și (
= f.
Proprietatea 2 . Compunerea a două func ții bijective este o funcție bijectivă.
Demonstra ție. Dăm o demonstra ție în care se aplică criteriul de bijectivitate. Fie aceasta f :
E
Fși g : F
G două func ții bijective și inversele lor
: F
Eși
: G
F precum și
compunerea
o
: G
E. Atunci (gof)o(
o
) = (
o
)o
= go(fo
)o
=
go
=
. (
o
)o(gof) =
o(
o(gof)) =
o(
og)of =
.
Deci
o
este inversa func ției gof, adică
=
o
.
Așadar, compunerea a două funcții bijective este o funcție bijectivă.
II.4. Număr cardinal. Număr natural.
Mulțimi echipotente. Număr cardinal.
Definiție.Mulțimile A și B sunt echipotente dacă există o funcție bijectivă definită pe A cu
valori în B. Se scrie A
Bși se citește ,,A este echipotentă cu B’’. Se constată că această relație
de echipoten ță are următoarele proprietăți:
a)Relația de echipotență est e reflexivă. Mul țimea A este echipotentă cu ea însăși,
deoarece avem func ția identică f : A
A care este bijectivă
a
A, f(a) = a, adică A
A;
b)Relația de echipotență este simetrică. Dacă f : A
B este bijectivă atunci există
aplicația inversă
: B
A. Deci A
B implică B
A;
c)Relația de echipotență este tranzitivă. Dacă f : A
Bși g : B
C sunt aplica ții
bijective, atunci aplica ția gof : A
C este bijectivă. Rezultă că A
Bși B
C implică
A
C. Arătând aceste proprietă ți relația de echipotență este o relație de echivalență și
împarte mul țimea în clase de echivalență.
O clasă de echivalen ță definită de relația de echipotență se denumește printr -un simbol care
se nume ște număr cardinal sau puterea fiecărei mul țimi în clasa resp ectivă.
Dacă mul țimile A și B sunt echipotente ele au aceeași putere și li se asociază același număr
cardinal.
Notăm cardinalul mul țimii A cu
sau cardA. Toate mul țimile vide au cardinalul 0 (zero).
Mulțimile cu un element au cardinalul 1 (unu), iar cele două elemente formează clasa cu cardinalul
2 (doi) ș.a.m.d.
Număr natural.
34Cardinalul este finit dacă a
a+1. Dacă cardinalul nu este finit, este infinit sau transfinit.
Mulțimea simbolurilor care reprezintă cardinalul finit se numește mulțimea numerelor naturale și
se notează cu N, N = {0, 1, 2, 3, …, n,…}
Se demonstrează că dacă numărul natural a este finit atunci a+1 este finit.
O altă reprezentare a numerelor naturale a fost dată de Peano (1858 –1932). În principiu
metoda construirii mul țimii numerelor naturale se bazează pe modelul metodei logice. Conform
acestei defini ții axiomatice a lui Peano, referitor la numerele naturale, se porne ște de la faptul că
se fixează un element 0 (numit număr natural zero) dintr -o mulțime N și o funcție s : N
N
(numită func ția succesor) astfel încât verifică relația următoarelor axiome (ale lui Peano ):
P1)s(a)
0,a
N(0 nu este succesorul unui număr natural);
P2) s este o func ție injectivă (numerele naturale diferite au succesori diferiți);
P3) (Primul principiu de induc ție) Dacă M este o parte a lui N care conține pe 0 și odată cu
oriceaconține și pe s(a), atunci M = N (căci M con ține pe 0, 1 = s(0), 2 = s(1) ș.a.m.d.).
II.5. Opera ții cu numere naturale. Proprietăți.
Adunarea numerelor naturale.
Numerele care se adună se numesc termeni iar rezultatul sumă. Proprietă țile operației de
reuniune a mul țimilor (asociativitate, comutativitate, element neutru) se transferă operației de
adunare a cardinalilor și de aici adunării numerelor natural e.
Proprietă țile adunării.
a)Adunarea a două numere naturale este tot un număr natural (se spune că în N, adunarea
este parte stabilă, deci
a, b
N
(a + b)
N;
b)Adunarea este comutativă:
a, b
N avem a + b = b + a (deci într -o sumă de mai mul ți
termeni putem schimba oricum ordinea termenilor);
c)Adunarea este asociativă, adică într -o sumă de cel pu țin 3 termeni putem înlocui doi
termeni prin suma lor, deci: (îi putem asocia convenabil)
a, b, c
N
(a +b) + c =
a + (b + c) = a +(b + c);
d)0 este elem ent neutru la adunare căci
a
N avem a + 0 = a + a = a.
Așadar, adunarea numerelor naturale conferă mulțimii o structură de monoid comutativ.
Scăderea numerelor naturale.
1.
a, b
N avem a + b –b = a;
2.Pentru a scădea un număr dintr -o sumă, este suficient să -l scădem dintr -un termen al
sumei (dacă este posibil);
3.Dacă mărim și descăzutul și scăzătorul cu același număr, diferența nu se schimbă: (a +
c)–(b + c) = a –b;
4.Dacă mic șorăm descăzutul și scăzătorul cu același număr, diferența nu se schimb ă: (a
-c)–(b-c) = a –b;
5.Dacă scăzătorul cre ște (sau scade) cu un număr atunci diferența crește (sau scade) cu
acela și număr: a -(b + c) = a -b-c, a-(b-c) = a-b + c
356.Dacă scăzutul cre ște (sau scade) cu un număr atunci și diferența creș te (sau scade) cu
acela și număr: (a + c) –b = (a –b) + c; (a -c)–b = (a –b)-c
Proba scăderii se face adunând restul cu scăzătorul și trebuie să obținem descăzutul sau
scăzând din descăzut restul să ne dea scăzătorul.
Înmulțireanumerelor naturale.
A înmulți două numere a și b primul numit deînmulțit, al doilea înmulțitor, înseamnă a afla
suma ,,b’’ termeni egali cu,,a’’
a
b = a + a + … + a
Tot prin defini ție a
1 = a și a
0 = 0
Numerele care se înmu lțesc se numesc factori, iar rezultatul înmulțirii se numește produs.
Proprietă țile înmulțirii.
1.Înmulțirea este comutativă (adică a
b = b
a,
a, b
N)
2.Înmulțirea este asociativă a
(b
c) = (a
b)
c,
a, b, c
N
3.Înmulțirea este distributivă față de adunare: a
(b + c) = a
b + a
c,
a, b, c
N
4.Numărul 1 este element neutru la înmul țire a
1 =1
a,a
N
Aceste proprietă ți conferă mulțimii numerelor naturale o structură de monoid față de
înmulțire.
Reguli de calcul .
1.Într-un produs de mai mul ți factori putem schimba ordinea factorilor, fără ca produsul
să se schimbe.
2.Într-un produs de mai mul ți factori putem înlocui doi sau mai mulți factori prin produsul
lor
3.Produsul aceluia și factor se n umește putere a
a
a
…
a =
, n factori
4.Înmulțirea este distributivă față de scădere a
(b-c) = a
b–a
c,
a, b, c
N (b
c)
5.Dacă un factor al produsului se înmul țește de m ori, produsul însuși s e măre ște tot de
atâtea ori.
Aceste proprietă ți ale produsului au mare aplicabilitate. Exemplificăm acestea prin câteva
modele:
a)Gândim factorii ca produse și îi asociem convenabil
28
75 = 4
7
25
3 = (4
25)
(7
3) = 100
21 = 2100
b)Gândim înmul țitorul ca sumă:
72
26 = 72
(25 +1) = 18
4
25 + 72 = 1800 + 72 = 1872
c)Gândim înmul țitorul ca diferență:
13
29 = 13
(30–1) = 390-13 = 377
d)Aplicăm formula: (a + b)
(a–b)b. termeni
3652
48 = (50-2) (50 +2) = 2500 –4 = 2496
Împărțireanumerelor naturale.
A împărți două numere date așib, primul numit deîmpăr țit, al doilea împărțitor să ne dea
deîmpărțitul.
Împărțirea lui a la b se scrie a : b sau a/b.
Împărțirea se poate interpreta și astfel : cunoscând produsul a doua numere (a) și unul din
factori (b) să se afle celălalt factor (x), (a = b
x), de aceea se spune că împăr țirea este operația
inversă a înmul țirii.
În mulțimea numerelor naturale împărțirea nu este întotdeauna posibilă câtul este unic.
Împărțirea la 0 nu este nici odată posibilă (b
0).
Împărțirea poate fi văzută ca și o scădere repetată. Cu ajutorul mulțimilor împărțirea se
pune în eviden ță astfel: fiind dată o mulțime cu A cu elemente, formăm submulțimi disjuncte,
fiecare având acela și număr de elemente. Se pun în evidență două procedee de împărțire.
a)Împărțirea prin cuprindere este procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al
mulțimii a și numărul de elemente al fiecărei submulțimi b, trebuie să aflăm numărul
de submul țimi.
b)Împărțirea în părți egale est e procedeul prin care, cunoscând numărul de elemente al
mulțimii A și numărul de submulțimi b, trebuie să aflăm numărul de elemente dintr -o
submulțime.
Un rezultat important reprezintă teorema împăr țirii cu rest. Oricare ar fi numerele naturale
ași b (b
0), există două numere naturale q și r, numite respectiv cât și rest, astfel încât: a = b
q
+ r, r
b (D = 1
Q + r). Numerele q și r determinate de aceste condiții sunt unice când restul
este 0 spunem că avem o împăr țire exactă.
Proprietă ți ale împărțirii. Reguli de calcul cu înmulțiri și împărțiri.
1.(a : b)
= a
2.a
b
c : m = a
(b : m)
c
3.Dacă înmul țim deîmpărțitul și împărățitorul cu același număr, câtul nu se schimbă: a
c / b
c = a /b
4.Dacă împăr țim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr, câtul nu se schimbă
(a/c) : (b/c) = a/b
5. Pentru a împăr ți un număr la un produs împărțim pe rând fiecare factor al
produsului.
6.Pentru a împăr ți un produs la alt produs se efectuează mai întâ i simplificările.
7Pentru a împăr ți o sumă sau o diferență la un număr putem împărți fiecare termen la
acela și număr: (a +b –c) / m = a(m + b)m = c/m.. Referitor la împăr țirea cu rest putem
aminti următoarele reguli:
a)Dacă înmul țim deîmpărțitul și împărțito rul cu acela și număr, câtul împărțirii
rămâne acela și dar restul se înmulțește și el cu același număr.
37b)Dacă împăr țim și deîmpărțitul și împărțitorul cu același număr câtul nu se schimbă,
dar restul se împarte și el la acel număr.
În realizarea obiectivel or urmărite pentru formarea mul țimilor echipotente și de definire a
numărului natural putem folosi jocuri cum ar fi: Tot atâtea, Forma ți perechi, Jocul pieselor, Jocul
drumurilor, Jocul străzilor încruci șate, Formați tot atâtea, Învățăm să socotim, Rezolvă m
probleme.
II.6.Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică
Metode algebrice
► care se rezolvă prin ecuații ;
► care se rezolvă prin aplicație la operații cu mulțimi ;
► probleme cu aplicații în numerație ;
► care se rezolvă prin aplicații la sisteme de ecuații ;
► cu aplicații în geometrie .
Metode aritmetice
A. Metode aritmetice generale
►Metoda analitică;
► Metoda sintetică;
B. Metode specifice sau particulare
► Metoda fi gurativ –grafică;
► Metoda comparației ;
► Metoda ipotezelor ;
► Metoda mersului invers ;
► Probleme de mișcare ;
► Probleme de medii, amestec, concentrații, echilibru caloric, aliaj;
► Probleme în care se combină mai mu lte metode;
► Probleme nonstandard ( recreative,rebusistice, de perspicacitate, probleme joc).
II.6.1. Metode algebrice
Metodele algebrice utilizează în rezolvarea problemelor calculul algebric, adică ecuații,
sisteme de ecuații. De aceea, pentru a rezolva o problemă se parcurg următoarele etape :
a)stabilirea necunoscutelor probleme, a relațiilor dintre acestea si márimilor necunoscute;
b)fixarea unui număr minim de necunoscute, cu ajutorul cărora se pot exprima și celelalte;
c)rezolvarea ecuaț iei sau a sistemului de ecuații;
d)interpretarea soluției și verificarea ei in problemă .
Rezolvarea algebrică a unei probleme oferă posibilități noi de formulare a relațiilor dintre
valori. De aceea, în situațiile în care rezolvarea prin metode ar itmetice întâmpină dificultăți este
indicat să se utilizeze întâi metode algebrice , aceasta punând la îndemâna rezolvitorului
instrumentul matematic adecvat pentru aplicarea metodelor aritmetice –evitând astfel unele
eforturi inutile . Procedee de natură algebrică se întâlnesc în problemele care se pot rezolva prin
metoda mersului invers, probleme de amestec și aliaj, de concentrație, probleme de aflare a două
numere cunoscând suma și diferența lor, probleme care se rezolvă prin metoda comparației .
38II.6.1.a. Probleme care se rezolvă prin ecuații
Problemă: Să se afle vârstele surorilor Anda , Alina și vârsta mamei lor știind că vârsta
actuală a Andei este dublul vârstei Alinei , peste un an vârsta Andei va fi o treime din vârsta pe
care o va avea mama , iar peste patru ani vârsta Alinei va fi un sfert din vârsta pe care o va avea
mama .
Soluția I : consideram necunoscută principala vârsta actuală a Alinei , pe care o notăm cu x
și obținem ecuația: 6x + 6 = 4x +16 => 2x = 10 => x = 5 => V Alinei= 5 ani , V Andei= 10 ani , V mamei
= 32 ani .
Aceasta ecuație rezultă ușor dacă reprezentăm grafic datele problemei :
VAlinei
VAndei
Vmamei
Soluția a II -a: Considerăm necunoscută principală vârstă actuală a Andei și notând -o cu x,
vom obține ecuația : 3 (x+1) –1 + 4 = 4 ( x/2 + 4 ) => x=10 => V Andei= 10ani , V Alinei= 5 ani ,
Vmamei= 32 ani
Soluția aritmetică -( metoda grafică )
Din reprezentarea graf ică a datelor problemei , analizănd soluția finala , constatăm că 6
vârste actuale a Alinei și încă 6 ani valorează câ t 4 vârste actuale ale ei plus 4 x 4 = 16 ani . (Am
exprimat faptul că peste 4 ani va fi de 4 ori vârsta Alinei ) .
Deci doua vârste actu ale ale Alinei valorează 16 –6 = 10 ani . Adică vârsta actuală a Alinei este
de 5 ani , a Andei de 10 ani și a mamei de 32 ani .
II.6.1.b Probleme care se rezolvă prin aplicație la operații cu mulțimi
Problemă:
Într-un liceu 103 elevi studiază engleza și franceza , 23 engleza și rusa , iar 14 franceza și
rusa. Numărul elevilor care studiază engleza este 1232 , numărul elevilor care studiază franceza
este 179 , iar al celor care studiază numai rusa este 14 . Știind că numărul total al elevilor înscriși
la cele trei limbi este 2092 , să se afle câți elevi înscriși studiază franceza și rusa .
Rezolvare : Reprezentăm cele trei mulțimi intersectate . Introducem în intersecție câte două
numerele : 103 , 23 și 14
23 =
III.A.3 Probleme cu aplicații în numerație
III.A.3Probleme cu aplicații în numerație ;
III.1.1.c. Probleme cu aplicații la numerație
Problemă: Pentru extinderea unei plantații de pomi fructiferi s -au cumpărat puieți de meri
și pruni, plătindu -se pentru un puiet de măr 500 lei, iar pentru un puiet de prun 300 .
1232–23 = 1209
1209–103 = 1106
879–103 = 776
776–14 = 762
1106 + 762 + 14 + 14 + 103 + 23 = 2022
2092–2022 = 701106 103 762
23 14
14
39Știind că puiții au costat 12600 lei și că au fost cumpărați mai mulți meri decât pruni, să se
calculeze numărul maxim de puieți care se vor planta .
Rezolvare : Notăm cu x numărul puieților de meri și cu y numărul puieților de pruni . Avem
500x + 300y = 12600 sau y = = = 42−2x+
Deoarece y, 42, 2x sunt numere întregi, trebuie ca ϵZ .
Deci x trebuie să fie multiplu de 3. În plus y ϵNxϵ3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 14 și yϵ37,
32, 27, 22, 17, 12, 7, 2
Deoarece s -au cumpărat mai mulți meri decât pruni , avem x ϵ18, 21, 14 și yϵ12, 7, 2,
dar x+yϵ30, 28, 26 .
Deci numărul maxim de puie ți este de 18 meri și 12 pruni.
II.6.1.d. Probleme care se rezolvă prin aplicații la sistem e de ecuații;
Problemă: Două substanțe au densitățile 0,96 și 0,75 . Ce cantitate trebuie luată din fiecare
substanță pentru a se obține un amestec de 42 de kg cu densitatea 0,84?
Rezolvare : Notăm cu x și y cantitățile fiecărei substanțe.
Obținem sistemul : x + y = 42 , cu soluțiile: x = 18 și y = 24.
84∙42 = 96x + 75
Deci prima cantitate de substanță este de 18 kg, iar a II -a cantitate de 24 kg.
II.6.2. Metode aritmetice
Acest e metode se clasifică în două categorii: -metode fundamentale; -metode specifice sau
particulare.
II.6.2.1. Metodele aritmetice generale -se bazează cu metoda analitică și metoda sintetică.
II.6.2.1.a. Metoda analitică.
A exprima o problemă prin metoda analitică înseamnă a privi mai întâi problema în
ansamblu, apoi pornind de la întrebarea problemei, o descompunem în probleme simple și a
orândui aceste probleme într -o succesiune logică astfel încât rezolvarea lor să contribuie în mod
converge nt la formularea răspunsului pe care îl reclamă întrebarea problemei date.
Problemă: La un magazin s -au adus 10 lădițe cu mere a câte 30 kg fiecare și 12 lădițe cu
prune a câte 25 kg fiecare. Câte kg cântăresc în total lădițele cu mere și prune?
Schema:
Ce ar trebui să cunosc pentru a afla cantitatea
totală?
Ce ar trebui să cunosc pentru a afla
cantitatea de mere?Ce ar trebui să cunosc pentru a afla
cantitatea de prune?
30kg 12 lădițe 25 kg
40Planul de rezolvare:
1.Care este cantitatea de mere?
10×30 = 300 (kg)
2.Care este cantitatea de prune ?
12×25 = 300 (kg)
3.Care este cantitatea totală ?
300 + 300 = 600 (kg)
II.6.2.1.b. Metoda sintetică.
A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra
datelor problemei, a presupune gruparea datelor problemei după relațiile dintre ele, astfel încât să
se formuleze cu aceste date toate problemele simple posi bile și a așeza aceste probleme într -o
succesiune logică astfel alcătuită încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare
coincide cu întrebarea problemei date.
Problemă: Mama a cumpărat 3 kg de mere și 4 kg de portocale. Cât au cost at cumpărăturile
dacă știm că 1 kg de mere costă 2 lei și 1 kg de portocale 4 lei.
Schema:
Planulde rezolvare:
1.Cât au costat merele? 3 ×2 = 6 ( lei)
2.Cât au costat portocalele? 4 ×4 = 16 (lei)
3.Cât au costat cumpărăturile? 6 + 16 = 22 (lei)
Verificare și punere în exercițiu: 3 ×2+4×4 = 6 + 16 = 22
II.6.2.2. Metode aritmetice specifice sau particulare
Sunt numeroase și diferă de la o categorie la alta de probleme, adaptându -se specificului
acestora.
II.6.2.2.a. Metoda figurativ -grafică
Această metodă constă în reprezentarea pe desen a mărimilor necunoscute și fixarea în desen
a relațiilor dintre ele și a mărimilor necunoscute.10 lădițe
3kg de mere 2lei 4 kg portocale 4 lei
Cât au costat merele?
Cât au costat portocalele?
Cât au costat cumpărăturile?
41Problemă: Ionel are un număr de nuci , fratele său , Marius, are cu 6 nuci mai multe, iar
Gigel are cu 13 nuci mai multe decât Marius . Câte nuci are fiecare copil, dacă știm că în total toți
cei trei copii au 70 de nuci.
I.
M 6 70
G 6 13
1)70–(6 + 6 + 13) = 70 –25 (triplul de nu ci ale lui Ionel)
2)45 : 3 = 15 ( nuci are Ionel)
3)15 + 6 = 21 (nuci are Marius)
4)21 + 13 = 34 ( nuci are Gigel)
Verificare: 1) 21 –1 5 = 6
2) 34 –21 = 15
3) 15 + 21 + 34 = 70
II.6.2.2.b. Metoda comparației
Prin această metodă se rezolvă probleme în care apar 2 sau mai multe mărimi variabile, care
iau diferite valori. Dând valori convenabile, adunând sau scăzând relațiile obținute, eliminăm pe
rând variabilele, mai puțin una din ele pe care o aflăm , apoi le aflăm și pe celelalte.
II.6.2.2.b.1.Eliminarea unei necunoscute prin scădere
Problemă: 16 saci cu făină și 15 saci cu cartofi cântăresc 2030 kg, iar 22 saci cu făină și 15
saci cu cartofi cântăresc 2510 kg. Cât cântărește un sac cu făin ă și cât cântărește un sac cu cartofi?
Rezolvare: Scriem datele problemei astfel:
22s.f……………………….15s.c……………………………..2510kg
16s.f……………………….15s.c……………………………..2030kg
6s.f…………………………………………………………………480kg
Am scăzut valorile de sus din valorile de jos:
22–6 = 6s.f.; 15s.c. -15s.c. = 0; 2510kg –2030kg = 480kg
1s.f …………………………………… 480 : 6 = 80kg
16s.f. …………………………………… 80 ∙16 = 1280kg
15s.c. ………………………………….. 2030 –1280 = 750kg
1s.c. …………………………………… 750 : 15 = 50kg
Problema 2 :Dacă 10 creioane și 15 caiete costă 65 lei , iar 7 creioane și 8 caiete costă 38 de lei
să se afle costul unui caiet și al unui creion.
Rezolvare:
7/10 creioane și 15 caiete ………………………..65lei
10/7 creioane și 8 caiete ………………………….38lei
Eliminăm creioanele:
70 creioane și 105 caiete …………………………..7 × 65 lei
70 creioane și 80 caiete ……………………………38 ×10 lei
42Problema se reduce la același tip:
105–80 = 25 caiete
455–380 = 75 lei
75 lei : 25 = 3 lei (un caiet)
1 creion = 2 lei
Verificare: 2×10 + 15×3=65 lei
II.6.2.2.b.2. Metoda eliminării prin înlocuire
Problemele de eliminare prin înlocui re se pot clasifica în două categorii:
-probleme a căror formulare utilizează expresii comparative mai mare sau mai mic, mai mult
sau mai puțin, mai scump sau mai ieftin cu o anumită mărime, cantitate sau valoare, expresii cărora
le corespund operații de adunare sau scădere;
-probleme a căror formulare utilizează expresii comparative mai mare sau mai mic, mai mult
sau mai puțin, mai scump sau mai ieftin de un număr de ori, expresii cărora le corespund operații
de înmulțire sau împărțire.
Problemă: Suma dintre dublul unui număr și triplul altui număr este 33. Primul număr este
de 4 ori mai mare decât al doilea. Să se afle cele două numere.
Rezolvare:
a–primul număr
b–al doilea număr
dublul primului număr: 2a = 8b
2a + 3b = 33
8b + 3b = 33
11b = 33
b= 33 : 11 = 3
a = 4b
a = 4 × 3 = 12 Răspuns: a = 12 ; b = 3
Verificare:
2 × 12 + 3 × 3 = 24 + 9 = 33
Problema se poate rezolva și prin metoda gr afică.
a b b b b
b
a = 4b
2a = 8b
2a + 3b = 33
11b = 33
b = 33 : 11 = 3
a = 4 × 3 = 12
II.6.2.2 .c. Metoda ipotezelor
Mai este numită și metoda falsei ipoteze. Plecând de la întrebarea problemei asupra mărimii
necunoscute, facem o presupunere arbitrară; apoi refacem enunțul problemei pe baza presupunerii
43făcute și ajungem la un rezultat care nu concordă cu realitatea ( este mai mare sau mai mic) .
Comparând acest rezultat cu cel real deducem cum și cu cât trebuie să -l corectăm.
II.6.2.2.c.1. Probleme pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză
Exemple de probleme :
Problema 1. În blocul nostru sunt 20 de apartamente cu 2 și 3 c amere. În total sunt 46 de
camere. Câte apartamente au 2 camere și câte apartamente au 3 camere?
Rezolvare:
Facem ipoteza că : cele 20 de apartamente au toate câte 2 camere.
20 × 2 = 40 camere
45–5 = 5 camere ( aparțin apartamenteor cu 3 camere )
Răspuns: 15 apartamente cu 2 camere
5 apartamente cu 3 camere
Verificare:
15×2 + 5 ×3 = 30 + 15 = 45 camere
Problema 2. O carte costă 6 lei și un caiet 2 lei. Un elev cumpără 10 cărți și caiete, cheltuind 32
lei. Câte cărți și caiete a cumpărat?
Rezolvare:
Ipoteza: elevul a cumpărat numai cărți, în total 10.
6 × 10 = 60
60–32 = 28 lei
6–2 = 4 lei
28 : 4 = 7 caiete
10–7 = 3 cărți
Răspuns: 3 cărți și 7 caiete
Verificare: n3 × 6 + 7 × 2 = 18 + 14 = 32 lei
II.6.2..2.c.2. Probleme pentru rezolvarea cărora sunt necesare mai multe ipoteze
La această categorie este necesar să se dea mărimilor cerute valori arbitrare.
Problemă: Peste 2 ani vârsta mamei va fi de 3 ori mai mare decât a fiului. Acum 2 ani vârsta fiului
era de 5 ori mai mare decât a surorii sale. Peste 8 ani vârsta ma mei va fi de 4 ori mai mare decât
vârsta fiicei. Care este vârsta fiecăruia?
Rezolvare:
Prima ipoteză: Presupunem că vârsta fiicei acum 2 ani era de 1 an.
Pornind de la această ipoteză vom face următorul tabel:
PERSOANA VÂRSTA
În urmă cu 2 ani Peste 2 ani Peste 8 ani
Fiica 1an 5 ani 11 ani
Fiul 5 ani 9 ani 15 ani
Mama 23 ani 27 ani 33 ani
44Observăm că presupunând vârsta fiicei de un an peste 8 ani ea va avea vârsta de 11 ani, iar
mama 33 ani. Însă din datele problemei mama ar trebui să aibă 11 × 4 = 44 ani. Deci, apare o
diferență de 11 ani.
44–33 = 11 ani
Întrucât nu s -a ajuns la rezultatul corect folosim o altă ipoteză:
Mărim vârsta fiicei cu un an, adică presupunem că acum 2 ani ea avea 2 ani.
Tabelul apare astfel:
PERSOANA VÂRSTA
În urmă cu 2 ani Peste 2 ani Peste 8 ani
Fiica 2an 6 ani 12 ani
Fiul 10 ani 14 ani 20 ani
Mama 38 ani 42 ani 48 ani
48 : 12 = 4
Vârsta fiecăruia în prezent:
48–8 = 40 ani (mama)
20–8 = 12 ani (fiul)
12–8 = 4 ani (fiica)
Răspuns: -40 ani mama; -12 ani fiul; -4 ani fiica
Verificare: 12 × 4 = 48 ani
Pentru rezolvarea acestei probleme au fost necesare doar 2 ipoteze.
II.6.2.2.d. Metoda mersului invers
Prin această metodă se rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul necunoscut
apare, în faza de început a șirului de calcule ce rezultă din enunțul problemei, dar rezolvarea începe
de la sfârșit.
Problema 1. Avem două cutii cu c reioane. Punem din prima cutie în a II -a atât cât conținea
a II-a. Apoi punem din cutia a II -a în prima atât cât conține prima. În final, punem din prima cutie,
în a II-a atât cât conține a II -a și astfel fiecare cutie conține câte 48 creioane. Câte creioa ne au fost
inițial în fiecare cutie? \
Rezolvare: Plecând de la situația finală, putem face următoarea schemă a operațiilor:
Prima cutie A II -a cutie
Final 48 48
După operația a II –a 72 24
Inițial 6 6 30
Problema 2: Fructele dintr -un coș se împart în patru părți astfel: în prima p arte jumătate din
cantitate și încă kg , în partea a II -a jumătate din cantitatea rămasă și încă kg, înpartea a III -a
jumătate din cantitatea rămasă și încă kg. În coș mai rămân 5 kg de fructe. Să se determine
cantitatea inițială de fructe, precum și cantitățile de fructe din cele 3 grămezi.
Rezolvare: Folosind metoda mersului invers și metoda grafică.
total
451/2kg
I
1/2kg
II
5kg
5kg +kg = kg reprezintă jumătate din restul II R =∙2 = 11kg
11kg + =kg reprezintă jumătate din restul I R =∙2 = 23kg
23kg +kg = kg reprezintă jumătate din total R =∙2 = 47 kg.
Atunci partea I = 47/2 + ½ = 24kg, partea a II -a = (47 –24)/2 + ½ = 12kg, partea a III -a =
(23–12)/2 + ½ = 6kg, partea a IV -a = 5kg.
II.6.2.2.e. Prob leme de mișcare
În general, în problemele de mișcare se va vorbi despre miscarea uniformă a u nui mobil. În
acest caz se folosesc formulele:
Pentru rezolvarea problemelor de mișcare se pot folosi metodele aritmetice: figurativă, a
comparației, a falsei ipoteze, a mersului invers, cât și cele algebrice, d e cele mai multe ori aceste
metode interferându -se.
Putem clasifica problemele de mișcare în mai multe grupe :
-probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spațiului, vitezei și
timpului;
-probleme de întâlnire a mobilelor, când deplasarea se face în sensuri opuse;
-probleme de întâlnire a mobilelor când deplasarea se face în același sens;
-probleme de compunere a vitezelor;
-probleme combinate
II.6.2.2.e.1. Probleme simple, de aplicare a celor trei formule
Problemă: Doi tu riști parcurg distanța de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai
târziu decât al II -lea. Viteza primului turist este de 4km/h, iar a celui de -al II-lea de 6 km/h. Să
se determine distanța de la A la B.
Rezolvare :
Soluția I (aritmetică ):
v1= 4km/h, v 2= 6km/hv2–v1= 2km/h
Deci primul a rămas în urmăcu spațiul S = 4km/h ∙2h = 8km.
8 : 2 = 4 ore, adică al doilea turist a mers 4h și a parcurs 4 ∙6 = 24km AB = 24km
Soluția II (algebrică):
t1=(timpul necesar parcurgerii spațiului AB de primul turist).
t2=(timpul necesar parcurgerii spațiului AB de al II -lea turist)S = v
tv
t =
46−= 2s = 24
II.6.2.2.e.2. Probleme de întâlnire ( mobilele se deplasează în sens contrar)
Problemă: Din orașul A pleacă la ora 11 dimineața un biciclist spre alt oraș B. El parcurge
16km/h. După 3 ore a plecat un al II -lea biciclist din orașul B spre orașul A cu viteza de
12km/h.Când ți unde se vor întâlni ei, dacă distanța dintre A ți B este de 328km?
Rezolvare:
328km
48km/h 280km
A 16km/h C 12km/h B
16∙3 = 48km t = = == 10 ore
328–48 = 280km 10 + 3 = 13
11 + 13 = 24h (ora la care se întâlnesc)
16∙13 = 208km
II.6.2.2.e.3. Probleme de întâlnire a mobilelor (când deplasarea se face în același sens)
Problemă. Un biciclist având viteza de 24 km/h pleacă din orașulA. După 3 ore pleacă, tot
din A, în aceeași direcție un motociclist având viteza de 42km/h. În cât timp îl va ajunge
motociclistul pe biciclist? La ce distanță de oraș?
A B
v1 t=
v2
Soluția I (aritmetică)
În 3 ore biciclistul parcurge 24 ∙3 = 72km. Motociclistul parcurge în fiecare oră în plus 42 –
24 = 18km. Cei 72km vor fi recuperați în 72 : 18 = 4 ore, timp după care biciclistul va fi ajuns.
Distanța de întâlnire este 4 ∙42 = 168km.
Soluția a II -a (aritmetică)
Fie B punctul în care motociclistul îl ajunge pe biciclist. În timp ce motociclistul face drumul
AB, biciclistul face drumul CB. Aceste drumuri sunt proporționale cu vitezele, deci:
=;=;=;=CB =∙= 95kmAB = 72 + 96 = 168km. 96 : 24 =
4 (după 4 ore se -ntâlnesc).
Soluția a III -a (algebrică)
Notăm cu t numărul de ore scurse până la întâlnire și atunci avem relația:
42t–24t = 24∙3;
18t = 72; t = 4h.
II.6.2.2.f. Probleme de medii , amestec , concentrații , echilibru caloric , aliaj
47În unele situații, pentru anumite fenomene, din punct de vedere matematic, se pot înlătura
particularitățile individuale, utilizând noțiunea de medie. Apar următoarele noțiuni specifice:
-termeniimediei;
-frecvența –respectarea anumitor termeni;
-ponderi –numerele care arată frecvența.
1. Media aritmetică simplă
An=…………..An=
Problemă: Un tractorist a arat în 6 zile respectiv 8 ha, 7,8 ha , 7,6 ha, 8,6 ha, 8,4 ha și 8 ,2
ha. Care este media zilnică?
a =,,,,,=8,1 ha/zi
2. Media aritmetică ponderată
p =………..
…, unde k 1,k2,………k nsunt ponderi.
Problemă. Într-o secție a unei fabrici 5 muncitori sunt retribuiți cu câte 1280 lei/zi, 8
muncitori cu câte 1515 lei/zi, 4 muncitori cu câte 1820 lei/zi și un muncitor cu 2280 lei/zi. Să se
afle retribuția medie a muncitorilor din acea secție.
p=∙ ∙ ∙ ∙== 1560 lei
3.Media armonică
-media armonică simplă este m = sau m = ;
-pentru n termeni avem: m =
⋯;
-media armonică pond erată este: m =⋯
⋯, unde k 1, k2,…, knsunt ponderile
respective.
Problemă. La o fermă agricolă producția de grâu la hectar într -un an s-a prezentat astfel:
de pe 60%din suprafață s -a realizat o dep ășire de 20 %, de pe 32 %din suprafața depășirea a fost
de 28%, iar de pe restul suprafeței producția a fost cu 4 %mai mică . Se cere procentul mediu de
creștere a producției.
Soluție: Din enunț rezultă procentele de realizare a producției: 120 %de pe 60%din suprafață,
128%de pe 32%, 96%de pe 8%di suprafață.
Deci:= =∙=120 și depășirea a fost de 120 %
4. Media geometrică sau proporționată
Din=b2= ac –se spune că b este media geometrică a numerelor a și c.Deci g 2=
√∙,…, gn=∙∙….∙
Majoritatea problemelor de amestec, aliaj și echilibru caloric se rezolvă foarte ușor folosind
noțiunea de medie.
a)Probleme de amestec din categoria I, în care se dau cantitățile și calitățile
48produselor care se amestecă, cerându -se calitatea amestecului.
Problemă. Se amestecă 240 kg de făină de 380 lei cu 150kg făină de 390 lei/kg și 630 kg
făină de 410/kg. Se cere prețul unitar al amestecului. (Se aplică media ponderată)
a = =∙ ∙ ∙= 400 lei
b)Probleme de amestec din categoria a II -a, în care se dau caracteristicile amestecului și
prețurile unitare ale produselor ce intră în amestec, cerându -se cantitățile acestor produse.
Problemă: Dacă din mălai de 300 lei/kg și 240/kg s -ar face un emestec de 900 kg care să
se vândă cu 260 lei/kg, cât s -ar lua din fiecare fel?
260=∙ ∙; k1+k2= 900k2= 900 –k1
260 =∙ ( )…
c)Probleme de aliaj
Aliajul reprezintăun amestec de metale prin topire. Titlul unui aliaj este mărimea care
caracterizează calitatea unui aliaj și se definește prin raportul dintre masa unui anumit metal prețios
și masa întregului aliaj.
t =; m= t∙; M =0≤t≤1
Problemă: Cât au trebuie adăugat unui aliaj cu titlul T 1= 0,580 și masa de 15 g pentru a se
obține un aliaj de 18 carate?
Observație: Aliajul de 18 carate are titlul 18/24 = 3 / 4 = 0,750.
Rezolvare: Aliajul, fiind un amestec metalic, se poate rezolva prin media aritmetică
ponderată, calitatea amestecului fiind titlul. Titlul aurului pur fiind 1, rezultă că:
0,750 =,∙∙x = 10,2g
II.6.2.2.g. Probleme în care s e combină mai multe metode
Acest gen de probleme se rezolvă prin îmbinarea a două sau mai multe metode învățate
anterior. Alegerea metodelor sau îmbinarea metodelor nu este un stereotip; este necesară inițiativa,
gândirea creatoare. Calea care tr ebuie urmată este descoperită prin gândire proprie.
Există două tipuri de astfel de probleme:
-combinate artificial, pentru cere rezolvitorului să descompună problema dată într -o
succesiune de probleme;
-probleme unde ste vorba de o îmbinare de fond a metodelor.
Problema 1 . George a cumpărat găini și iepuri; erau 55 de capete și 152 picioare și a plătit 11160
lei. Altă dată a cumpărat tot găini și iepuri, 54 de capete, iar numărul lor era cu 26 mai mare decât
al iepurilor; a plătit 10560 lei. Cât a costat o găină și cât a c ostat un iepure?
Rezolvare: Aflăm mai întâi câte găini și câți iepuri a cumpărat prima dată, cu ajutorul falsei
ipoteze.
Presupunem că ar fi fost mai multe găini. Atunci am avea 55 ∙2 = 110 picioare.
Diferența 155 –110 = 42 provine din faptul că sunt 55 de capete de iepuri care au cu două picioare
mai mult.
Deci: 42 : 2 = 21 iepuri și deci : 55 –21 = 34 găini
49Aflăm numărul găinilor și iepurilor cumpărați a II -a oară, cu ajutorul metodei grafice.
numărul iepuri :
26
26
54capete
Deci numărul de iepuri este (54 –26) :2 = 14 deci avem 14 + 26 = 40 găini.
Acum, în ultima etapă prin reducerea la același termen de comparație, aflăm prețul unei găini și
a unui iepure:
34 găini……………………. ..42 iepuri ……………….. 11160 lei
40 găini ……………………. 14 iepuri ………………… 10560 lei
Deci:
68 găini ……………………. 42 iepuri ………………… 22320 lei
120 găini ………………….. 42 iepuri …………………. 31680 lei
Deci: 120 –68 = 52 găini costă 31680 –22320 = 9360 lei
Deci o găină costă = 180 lei
Atunci un iepure costă (11160 –34∙180) : 21 = 240 lei
Răspuns I : 180 lei
Răspuns II : 240 lei
Problema 2. O grindă de brad cântărește 24 kg, una de fag 26 kg, una de stejar 30 kg, 200
de grinzi diferite în care cele de fag sunt de 2 ori mai multe decât cele de brad cântăresc 5132 kg.
Câte grinzi sunt de fiecare?
Rezolvare: Rezolvăm problema prin îmbinarea metodei figurative și a falsei ipoteze. Deci
figurăm că sunt mai multe grinzi de fag:
FF FF
B B
S S
Dacă ar fi numai grinzi de stejar acestea ar cântări:
200∙30 = 6000 kg
Diferența de 6000 –5132 = 8 kg , provine din faptul că grinzile de stejar sunt mai grele.
Dacă sc oatem 3 grinzi de stejar și punem 2 de fag și 1 de brad greutatea scade cu 3 ∙30–2∙26
–24 = 14 kg. Putem face atâtea înlocuiri de câte ori 14 se cuprinde în 868 adică :
868 : 14 = 62
Deci sunt 62 de grupe, adică 62 grinzi de brad, de fag 124 și restul de 14 de stejar.
Răspuns: 62 ( grinzi de brad)
124 (grinzi de fag)
14 (grinzi de stejar)
II.6.2.2.h. Probleme nonstandard
50Această categorie de probleme include probleme în fața cărora, după citirea enunțului,
rezolvitorul, chiar și cel cu experiență, nu reușește să le introducă în ,,canoanele” unei metode de
rezolvare bine știute.
În această situație, gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvitorul devenind, în situația
în care reușește rezolvarea un creator.
Diferitele ipoteze care apar în legătură cu problema pusă nu țâșnesc la întâmplare în toate
direcțiile, ci ele iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștințelor obținute anterior. Cu cât
aceste cunoștințe sunt mai vaste, mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ipotezelor care se
nasc să ducă mai repede la găsirea soluției.
A ști să rezol vi o problemă presupune a avea capacitățile necesare analizei oricărei situații
care a dus la aceasta. Aceste capacități se referă la înțelegerea datelor și a ordinii acestora, la
înțelegerea condiției problemei, a posibilității de elaborare a șirului de j udecăți pentru a construi
raționamentul de rezolvare a problemei. În situația rezolvării unei probleme noi, activitatea de
rezolvare poate fi în întregime un act de creație.
Apariția ideii conducătoare constituie momentul de încheiere a fazei de tensiune a căutării,
un moment de destindere care marchează momentul descoperirii.
Exemple de probleme nonstandard:
Problema 1. Trei drumeți se ospătează . Primul are 3 pâini, al II -lea o pâine, iar al III -lea
niciuna. Drept plată, ult imul îi dă celorlalți 5 lei și pleacă. Cum trebuie să -și împartă această sumă
primii doi drumeți știind că au consumat toți în mod egal.
Rezolvare: Împărțind fiecare pâine în câte trei părți egale au obținut 5 ∙3 = 15 părți. Deci
fiecare drumeț a consumat câte 5 treimi de pâine. Primul drumeț a avut trei pâini, deci 3 ∙3 = 9
treimi de pâine, din care a consumat 5 treimi și au mai rămas 4 treimi.Un calcul simplu ne duce la
concluzia că cel de -al doilea drumeț a dat celui de -al treilea doar o treim e de pâine. Deci cel de -al
treilea drumeț a consumat 4 treimi de pâine de la primul drumeț, care va trebui să primească 4 lei
și o treime de pâine de la al doilea, care va trebui să primească numai un leu.
Problema 2. Doi amici beau nectar de fru cte din pahare care au aceeași înălțime și același
diametru la partea superioară, însă unul din pahare are formă cilindrică, iar celălalt conică. De câte
ori trebuie să bea mai mult cel cu paharul conic pentru a onsuma o cantitate egală de nectar?
Rezolvare:
Vcil=∙h , Vcon=∙
Raportul lor este 3. Deci dacă unul bea conținutul unui pahar de formă cilindrică, celălalt trebuie
să bea conținutul a 3 pahare conice (se consideră că paharele se umplu complet)
Problema 3. Cum putem scoate o minge dintr -o țeavă care are diametrul interior cu puțin
mai mare decât diametrul exterior al mingii?
Rezolvare: Turnând apă în țeavă, mingea, fiind mai ușoară, se ridică și ajunge la suprafață.
II.7. Strategii euristice de rezolvare a problemelor în învă țământul primar
51Strategiile didactice dețin o poziție privilegiată în ansamblul factorilor responsabili pentru
succesul școlar al elevilor. Ele pun în evidență capacitatea cadrului didactic de a alege și combina
într-o anumită ordine metode, procedee și mijloace de instruire, forme de grupare a elevilor, de a
selecta și structura conținutul științific în funcție de obiectivele propuse, de a opta pentru o anume
experiență de învățare ce urmează a fi trăi tă de elevi.
Strategiile didactice sunt sisteme de metode, procedee, mijloace și forme de organizare a
activității educaționale, integrate în viziune sistemică, în structuri operaționale unitare și coerente,
care vizează construirea experiențelor de învăța re, formarea de abilități, capacități și competențe
și raționalizarea procesului instructiv –educativ.
Nici un mijloc, oricât de perfecționat ar fi el, și nicio metodă, oricât de modernă ar fi ea,
nu au o forță activatoare iminentă, în sine, ele pot însă impune și determina o participare activă
din partea celui care învață. -Stanciu, M., Reforma conținuturilor învățământului, Editura
Polirom, Iași, 1999, p. 556.
Strategia didactică reprezintă un sistem complex și coerent de mijloace, metode, materiale
șialte resurse educaționale care vizează atingerea unor obiective .DEX (1998), EDP. București
După Manolescu Marin, strategia didactică reprezintă organizarea proiectivă a unei
înlănțuiri de situații educaționale prin parcurgerea cărora elevul își însuș ește cunoștințe noi, își
formează priceperi, deprinderi competențe, sau este evaluat, ajutat să își autoevalueze
competențele.
Strategia didactică presupune un mod de abordare a învățării și predării care poate fi: analitic ori
sintetic, intuitiv sau deduc tiv, creativ sau algoritmic, teoretic sau practic –aplicativ, frontal sau
individual, clasic sau modern, interdisciplinar ori monodisciplinar.
Strategia poate fi înțeleasă, la nivelul unității de învățare, ca o modalitate de concepere și
organizare a unor activități de învățare. Opțiunea pentru o anumită strategie înseamnă alegerea
unei căi generale de urmat, prin raportare la obiectivele operaționale vizate, la resursele materiale
și umane concrete și prin stabilirea metodelor, procedeelor, mijloacelor d idactice aferente,
considerate a determina e ficiența lecției.
În funcție de strategia aleasă, îndrumătorul caută și asociază acele operații (analiza,
comparația, asocierea, analogia, interpretarea, generalizarea, abstractizarea, etc.) pentru a ajunge
la achizițiile dorite (cunoștințe, priceperi, deprinderi, comportamente, atitudini). În acest sens,
activitatea fizică și mentală a elevilor este descompusă într -o suită de secvențe în vederea
organizării fiecărui moment al lecției. În felul acesta, strategia oferă soluții de ordin structural
procesual, dar și metodic, determinând o anumită ordine de combinare a diferitelor metode,
procedee, mijloace și forme de grupare a elevilor .
Termenul euristic provine din limba greacă: heuriskein -a afla, a descoperi.
Strategiile didactice euristice reprezintă strategii mentale de exploatare pentru
descoperirea informației, stimulează operațiile gândirii, judecățile și raționamentele elevilor,
conduc la învățare activă conștientă. În vățământul tradițional, centrat pe cardul didactic și pe
material de învățat, este înlocuit cu învățământul modern, centrat pe elev. Pentru îndeplinirea
acestui deziterat este necesar ca profesorul să apeleze la strategii euristice de predare -învățare.
52Aceasta presupune nu doar o simplă metodă de tip euristic -cum de-a lungul secolelor a fost
considerată conversația euristică, cunoscută de la Socrate care o vedea sub forma unui dialog prin
întrebări meșteșugite, prin contraziceri, prin polemică, prin des coperirea adevărului. Astăzi,
strategia euristică implică o serie bogată de metode. Această strategie reprezintă rezultatul
intercondiționării celor două componente:
strategia de predare (elaborată de profesor): capacitatea cadrului didactic de a alege ș i
îmbina într -o anumită ordine metode, procedee și mijloace de instruire, forme de grupare a elevilor,
de a selecta și structura conținutul științific în funcție de obiectivele propuse, de a opta pentru o
anume experiență de învățare ce urmează a fi tră ită de elevi;
strategia de învățare (elaborată de elev) -care poate fi:
strategii de participare
strategii de codificare
strategii de stocare și reconstituire
strategii de elaborare a ipotezelor
strategii legate de rezolvarea de probleme
Strategia de predare creează condiții pentru formarea strategiilor de învățare ale elevilor,
iar modalitățile de învățare determină optimizarea strategiilor de predare. Schematic, avem în
vedere crearea acelei situații de învățare în care elevul învață (dirijat), își formează (semidirijat)
sau își elaborează (în mod independent) strategii de învățare a noului material, strategii rezolutive,
chiar strategii de autodirijare și control a propriei gândiri. Un element esențial în elaborarea
strategiei de predare este aleger ea metodelor și procedeelor euristice. Prin metodă euristică se
înțelege o cale specifică de rezolvare a unei probleme cu caracter general; ea poate include în
structura ei mai multe procedee, acestea fiind detalii ale metodei, cu sferă de aplicabilitate m ai
restrânsă. Procedeele euristice pot fi definite ca mecanisme ale gândirii care sugerează și
stimulează generarea de conjencturi eficiente în cursul rezolvării, sau permit scurtarea căii de
rezolvare a problemei. Dintre metodele euristice cele mai frecv ent utilizate sunt:
-Metoda analogiei
-Generalizarea și particularizarea
-Analiza prin sinteză
-Alegerea, căutarea unei probleme înrudite
-Rezolvarea unei probleme auxiliare
-Revenirea la definiții, utilizarea proprietăților, reformularea problemei
-Raționamentul demonstrativ (deductiv, inductiv, analogic)
Acestea sunt doar câteva dintre multiplele metode, procedee, tehnici, la care cadrul didactic poate
face apel în realizarea strategiilor didactice euristice.
Strategia didactică reprezintă un mod de abordare ș i rezolvare a unei sarcini de învățare,
rezolvare care presupune alegerea anumitor metode și mijloace, combinarea și organizarea
acestora în scopul atingerii unor rezultate maxime. Elaborarea unei strategii didactice eficiente este
în funcție de concepția pedagogică a epocii și cea personală a educatorului. O concepție modernă
53este centrată pe utilizarea unor metode active, participative însoțite de materiale didactice și
mijloace care vin în sprijinul acestui activism.
În plan didactic, strategia face par te din metodologia, arta educatorului de a conduce,
rezolva situații de instruire. El folosește în sistem elementele procesului de predare –învățare –
evaluare, pentru realizarea obiectivelor într -o anume manieră, opțiune procedurală, mod
combinativ, stil de coordonare, model de rezolvare tipică și optimală. Este așadar un fapt de
management instituțional. Caracterizată, în esență, ca modalitate de combinare, o manieră de
abordare a predării –învățării, de organizare a demersurilor pentru realizarea obie ctivelor, strategia
oferă criterii pentru construirea acțiunilor, situațiilor de instruire prin:
-alegerea orientării spre un anumit tip, formă, modalitate de predare și învățare, de
conducere a acestora;
-alegerea ansamblului optim de metode, mijloace, form e de organizare, care vehiculează
conținuturile învățării; indicarea condițiilor, resurselor minime necesare în atingerea unui
obiectiv sau a unui grup;
-conceperea, proiectarea pe secvențe a predării –învățării –evaluării sau printr -o anume
înlănțuire, o rdonare a acestora; găsirea soluției adecvate de definire, alegere, corelare a
situațiilor rezultate din raportarea la obiective, anterior precizate;
-realizarea de combinații variate ale acestor elemente ale procesului instruirii, atât la nivel
global (mac roproiectare), cât și la nivelul unei situații concrete de predare, învățare
(microproiectare), pe un obiectiv operațional;
-indicarea unui anumit mod de introducere a elevului în situația creată, de îndrumare a lui
în rezolvarea sarcinii, până la finalizar ea, evaluarea ei;
-raportarea acestei combinații la alte condiții determinate -nivel inițial de pregătire al
elevilor, timp acordat, moment de începere, loc între celelalte situații, condiții materiale;
-formularea unei variante, soluții cu caracter de decizi e, după prelucrarea informațiilor
acumulate asupra componentelor necesare situației, privind tipul, organizarea, desfășurarea
acesteia;
-posibilitatea de detalierea componentelor sale în acțiuni, operații delimitate (procedee),
care să sporească gradul de p recizie, de control, de prevenire a abaterilor, de eficientizare;
posibilitatea profesorului de a dirija evoluția situației, de a sesiza factorii perturbatori și de
a interveni, a găsi soluții de adaptare sau de alegere a altei modalități ad -hoc;
-a antrena elevii după particularitățile lor, a -și afirma creativitatea, stilul de predare, de
conducere a acțiunii;
-indicarea modului adecvat de punere a elevului în contact cu obiectivele urmărite, cu
conținutul, cu sarcinile concrete, cu condițiile de realizare, cu criteriile de evaluare, cu tipul
de învățare și valorificare a experienței anterioare;
-formularea chiar de ipoteze de cercetare a optimizării instruirii, prin introducerea,
experimentarea de noi combinații metodologice, organizatorice;
-delimitarea gradu lui, formei, extinderii dirijării elevilor în antrenarea, rezolvarea,
generalizarea rezultatelor, în implicarea lor în situațiile specifice de învățare;
54-sprijinirea profesorului în găsirea răspunsurilor la problemele ce și le pune în acțiunea de
proiectare didactică, de definire și combinare a situațiilor de instruire -evaluare solicitate;
-unificarea criteriilor, adaptarea lor în stabilirea strategiei de rezolvare a situației: concepția
profesorului, obiectivele, conținutul informațional, tipul de experiență e elevilor,
normativitatea respectată, resursele didactico -materiale, timpul dat.
Așadar, rezultă că strategia nu poate fi limitată numai la metode, ci se impune nevoia de
cuprindere și a mijloacelor de învățământ ca auxiliare ale metodelor, dar și forme de organizare a
activității elevilor (frontală, independentă sau pe grupuri omogene sau eterogene) și a activității
generale (în clasă, în afara clasei, în afara școlii).
Literatura de specialitate inventariază tipurivariatede strategii didactice. În rez olvarea
problemelor acestea sunt:
după activitatea dominantă în procesul instruirii :
-de învățare :
-algoritmică :-prin imitare de modele date; -prin repetare, exersare, memorare; -prin receptare,
reproducere; -prin cunoaștere concret –intuitivă; -prin algoritmizare, pas cu pas;
-euristică:-prin observare nemijlocită; -prin rezolvare de probleme deschise; -prin
experimentare; -prin dezbateri, dialoguri euristice; -prin cercetări în grup; -prin simulare,
modelare, aplicații; -prin tehni ci de creativitate ș.a.
-mixtă : -prin combinarea celorlalte moduri.
b) după modul de dirijare al învățării :
-de dirijare, pas cu pas; -de semidirijare; -de nonintervenție parțială.
c) după tipul de raționament abordat:
-de predare -învățare inductivă; -de predare -învățare deductivă; -de predare -învățare transductiv
;-de învățare prin analogie; -de combinare a raționamentelor.
Orice strategie este concomitent tehnică și artă educațională, alegerea și folosirea oricărui tip de
strategie depinzând în mod hotărâtor de pregătirea și personalitatea cadrului didactic, într -o
activitate didactică acesta putând utiliza o combinație de strategii, de situații corespunzătoare
pentru a crește eficiența acțiunilor și calitatea rezultatelor.
În lucrarea Metodica predării matematicii , Costică Lupu și Dumitru Săvulescu ne
îndeamnă la elaborarea strategiei, să selectăm mijloacele de instruire de care avem nevoie, să
combinăm metodele, materialele și mijloacele astfel încât să amplificăm eficacita tea lor didactică.
II.7.1. Teorii ale învățării și proiectarea unor strategii euristice de instruire
Instruirea de tip formativ este fundamentată pe teoriile cognitive ale lui Bruner -promotorul
învățării prin descoperire ,Gagné,-cuteoriacumulativ -ierarhică și Ausubel, teoria organizatorilor
cognitivi,cu adaptări la planurile și programele noastre de învățământ matematic. Totodată,
această instruire ia în seamă și principiile teoriilor psihogenezei operațiilor intelectuale și
gestataltist e,cu atât mai mult cu cât vorbim de învățarea matematicii în general. Și spunem aceasta
întrucât strategiile de instruire elabo rate pentru învățarea matematicii sunt ușor transferabile și în
cadrul instruirii la alte discipline matematice. Schema simplif icată (fig. 1.) scoate în evidență atât
55diverse variante în abordarea unei probleme cât și faptul că, reușita actului rezolutiv se sprijină pe
acțiunea conjugată a principiilor teoriilor menționate.
Fig. 1. Variantele constructivă, gestaltistă și cogniti vă în rezolvarea problemelor.
După I. Radu, teoriile actuale ale învățării devin reductibile la două mari modele generale:
modelul neoasociaționist și modelul cognitiv (fig.2.). Deși „teoriile neoasociaționiste par a fi mai
relevante pentru strategiile înv ățării riguros dirijate (cadranul III), iar teoriile cognitive au o mai
mare incidență cu strategiile învățării prin descoperire (cadranul I), teoriile Ausubel și Gagné fac
excepție de la regulă (D. Potolea 1989, p. 154).
Fig.2. Teoriile învățării și relevanța lor pentru strategiile didactice
Din Fig.2. se observă că instruirea prezentată este localizată deasupra axei orizontale, unde
sunt reprezentate teoriile învățării ale lui Ausubel, Bruner, Piaget, în ale căror principii își găsește
fundamentarea psihopedagogică. Anumiți termeni și idei atât din teoriile amintite cât și din teoria
lui Gagné, în proiectarea instruirii (design -ul ei), în desfășurarea propriu -zisă a instruirii cu
implicații în învățare și în explicarea finalităților acesteia au fost preluate și adaptate.
56Instruirea euristică se definește prin strategiile de tip euristic elaborate, sunt grupate pe trei
dimensiuni:
-strategii de formare a capacităților de a conceptelor și a proprietăților acestora;
-strategii de dezvoltare a capacitățil or de-aplicare a regulilor (proprietăți geometric definiții)
în rezolvarea de probleme;
-strategii de dezvoltare a capacităților rezolutive și formare de strategii rezolutive de către
elevi.
După caracterul dominant al performanței precizate pentru fiecare strategie, acelea strategii pot
fi regrupate, sporind astfel organizarea internă a acestui grupaj de strategii (fig.3.).
Fig.3. Gruparea celor 13 strategii propuse, după tipuri de lecții
b) În proiectarea acestor strategii vom pleca de la modelul propus de Briggs și Gagné cât și al
strategiei focalizate pe obiectiv, indicând cele trei elemente caracteristice: performanța -condițiile
interne-condițiile externe (ale învățării). Performanța așteptată de la elevi anticipează un
comportament terminal obser vabil și măsurabil, alcătuit din comportamente intermediare
(capacități), (I. Neac șu, 1990, p.42) (punct de vedere cognitiv). Aceste performanțe sunt stabilite
conform cu obiectivele instruirii la matematică.
Tipurile de performanțe descriu capacități de c unoaștere și înțelegere, aplicare, analiză și
sinteză, evaluare, transfer, comportament creator pe care și le formează (dezvoltă) elevii înșiși (în
concepția teoriilor cognitive), și au fost regrupate pe șase categorii de performanțe (Fig. 4):
-formarea cap acităților de cunoaștere a conceptelor definite sau ob ținute din construcții;
-formarea capacităților de a determina în situa ții date, noi elemente, relații pe baza
conceptelor și a regulilor învățate;
-dezvoltarea capacităților de aplicare a regulilor în pr obleme;
-formarea (dezvoltarea) capacităților rezolutive prin utilizarea organizatorilor cog nitivi:
proprietate cu rol central, problema auxiliară;
-formarea (dezvoltarea) capacităților rezolutive prin rezolvarea de probleme înrudite;
-formarea (dezvoltarea ) capacităților de reconstrucție redescoperire a noi situații, reguli etc.
În accepțiunea teoriei lui Gagné, fiecărui tip de învățare îi corespund anumite condiții le
învățării date de starea inițială a capacității interne -condițiile interne ale învățării și condițiile
externe ale învățării necesare producerii învățării. În instruirea pe care o propunem atribuim același
57sens și rol condițiilor interne: elevii sunt sprijiniți să -și actualizeze acele cunoștințe necesare
învățării altora, de nivel supraordonat celor dintâi.
Exemplu:
-pentru învățarea unei reguli se reactualizează conceptele componente;
-pentru rezolvarea unei probleme se reactualizează regulile relevante necesare modelele (se
observă ideea învățării ierarhice -Gagné, dar și concepte in teoria lui Ausubel relativ la
învățarea propozițiilor).
În legătură cu condițiile interne ale învățăr ii există modalitatea de reactualizare a unor
cunoștințe, prin așa numitul exercițiu de operaționalizare a regulilor ,util atât în reactualizarea
cunoștințelor anterioare cât și în învățarea noilor cunoștințe. Această noutate reprezintă un punct
forte al s trategiilor noastre și se bazează pe ideea „exercițiului operațional" al lui Aebli. O
problemă trebuie să fie considerată ca un mijloc de a acționa, ipotezele ei trebuie justificate prin
contraexemple (care îmbogățesc la toate nivelele imaginația și fac să se aprecieze capacitatea de
acțiune a teoremei) (A. Revuz, 1970, p. 62). Tot prin condițiile interne se asigură și contiguitatea
regulilor aferente învățării noului material (Gagné).
Învățarea conceptelor, a regulilor este asigurată de instruirea de tip formativ prin
combinarea principiilor teoriilor cognitive: fie prin prelucrarea informației deja existente în
structura cognitivă a elevului, fie prin ac țiunea elevului cu ideile lui mentale pentru a -și construi
operațiile necesare învățării unui nou concept, întâlnită la tot pasul în învățare:
-demonstrarea conceptelor ;
-descoperirea noilor reguli (c 3);
-construirea de situații de aplicare a unei noi reguli (c 5) sau,
-determinarea în situații geometrice date a noi elemente pe baza unei reguli (c 4).
Construirea operațiilor cerute de realizarea performanțelor este sprijinită prin condiții
externe de propunerea unor sarcini didactice care să stimuleze totodată activitatea individuală și
independentă, să contribuie la crearea unei dispoziții de învățare conștientă.
Un alt punct forte al strategiilor îl constituie selectarea și structurarea materialului de învățat ,
respectând anumite legități psihologice privind organizarea și structurar ealogică,cât mai
omogenă pentru asimilarea optimă a acestuia, pentru formarea unor principii de autoinstruire.
Totodată, prin instruirea euristică sunt asigurate condițiile de asociativitate a materialului
de învățat (nearbitrar și substanțial) cerute d e o învățare conștientă (Ausubel). Exemple pentru cele
afirmate asupra materialului de învățat se întâlnesc în cap. 10. Existența ideilor relevante în
structura cognitivă a elevului, asociativitatea materialului de învățat și o dis poziție de învățare
conștientă sunt condiții necesare pentru producerea acesteia (Ausubel).
58Fig. 5. Reprezentarea schematică a condițiilor necesare semnificației logice, semnificației
potențiale și învățării conștiente.
În fig.5. am reprodus schema din (5, p.80) care cuprinde aceste condiții. Tot după (5) căile
prin care cel ce învață își încorporează în structura cognitivă cunoștințele sunt învățarea conștientă
(C) sau învățarea mecanică (M) (1), iar căile prin care cuno ștințele sunt făcute accesibile
intelectului celui ce înva ță sunt, prin descoperire (D) sau prin receptare (R)(2).
Din combina țiile (1) și (2) rezultă patru tipuri fundamentale de învățare redate prin diagrama din
fig. 6.
Instruirea euristică promovează tipul învățare
conștientă prin descoperire ,foarte rar tipurile (CR) și (MD) și
exclude cu totul tipul (MR) tipic învățării tradiționale axate pe
metode de tip expozitiv și demonstrative.
Fig. 6. Tipuri fundamentale de învă țare
O parte a condițiilor externe ale strategiilor euristice este constituită din așa numiții
organizatori cognitivi (problemă auxiliară, proprietate cu rol central în rezolvare, problemă
înrudită etc.) și îndrumări de orientare a gândirii .Acestea, împreună cu exerciți ile de
operaționalizare a regulilor, le vom numi cu un cuvânt, elemente de organizare cognitivă în
învățare.
Organizatorii cognitivi sunt o adaptare a organizatorilor cognitivi și anticipativi de progres
din teoria lui Ausubel, utilizați acolo în învățare a verbală. În teoria lui Ausubel ei au rol de idei –
ancoră care fac legătura între ideile relevante din structura cognitivă (cu privire la materialul de
învățat) și noul material de învățat, reprezentând un eșafodaj ideatic.
În cazul rezolvării problemelor, organizatorii cognitivi pot ajuta elevul, funcție și de
pregătire cognitivă și alte elemente, îndrumări de orientare a gândirii, exercițiile de
operaționalizare a regulilor, să -și extragă ideile relevante din structura cognitivă cu privire la
rezolvarea d e probleme, prin a căror combinare, prelucrare, să ducă la a ideii de rezolvare.
1\2D R
C CD CR
M MD MR
59Modelul de acțiune al acestor organizatori cognitivi în rezolvarea problemelor, în învățare,
ă diferite principii ale teoriilor învățării cu care instruirea noastră are strâns e legături. Mai precis,
acești organizatori cognitivi:
-contribuie la organizarea cognitivă a învățării (teorialui Ausubel);
-sprijină acțiunile mintale în direcția construirii operațiilor necesare rezolvării de probleme,
învățării cu material (Aebli);
-contribuie la educarea gândirii intuitive, de a cărei importanță vorbește teoria lui Bruner;
-în unele situații au rol în ierarhizarea învățării (Gagné);
-stimulează procesul de invenție și descoperire, care sunt în atenția teoriilor cognitive.
Exemple de o rganizatori cognitivi găsim în modelele de instruire a 1, p1-p5.
Îndrumările de orientare a gândiri sunt instrucțiuni cu rol de semidirijare a rezolvării problemelor,
a învățării în general. Cele cu caracter euristic apelează diverse procedee euristice pe baza cărora
au elaborate. Majoritatea îndrumărilor de orientare a gândirii au caracter euristic, celelalte având
caracter semialgoritmic și fiind legate de anumite structuri rezolutive.
Datorită efectelor lor asupra învățării ele își găsesc motivarea în d iferite principii ale
învățării de care am amintit mai sus:
-asigură un dialog constructiv între elev și profesor prin dezvoltarea intelectuală se i pe o
interacțiune sistematică și contingență între îndrumător și cel care învață.
-așa cum demonstrează și Ae bli, orice întrebare conduce elevul spre acțiune; deci
îndrumările de orientare a gândirii sunt o bază pentru acțiunile mintale ale elevului, în
cursul cărora se elaborează operații etc.;
-anumite seturi de îndrumări de orientare a gândirii -reprezintă ade vărate strategii cognitive
care ghidează volumul de cunoștințe în cursul rezolvării problemelor (Ausubel);
-cu timpul, aceste îndrumări de orientare a gândirii ajung autoinstrucțiuni -idee susținută
și de teoriile cognitive -deprinderi intelectuale super ior organizate, de autodirijare și
control al gândirii etc.
Toate elementele de organizare cognitivă, pe care le prezentăm în acest capitol, concură la
respectarea și asigurarea procesualității învățării (Gagné) definită de fazele: -receptare -înțelegere
-stocare-reactualizare -aplicare; toate în aceeași unitate de timp, o lecție.
Nu putem încheia aceste considerații fără a aminti un fapt foarte important:
elementele de organizare cognitivă nu împiedică în nici un fel manifestarea cap acității de intuire a
structurii fundamentale a soluției problemei (teoria gestaltistă);
ele intră în acțiune atunci când această capacitate trebuie sprijinită, educând -o în același timp, dar
orice intuiție se bazează pe procesarea informațiilor achizițio nate în timp.
Pentru Descartes și Leibniz deja, intuiția este înainte de toate o intuiție intelectuală
apercepția raportului logic de la principii la consecințe. Kant nu admite altă intuiție decât intuiția
sensibilă respingând hotărât ipoteza unei intuiț ii intelectuale care este pentru el, viciul metafizicilor
anterioare (carteziană în cazul celor doi menționați).
Exemple:
60În rezolvarea unei probleme, în strategia a r, unii elevi pot descoperi prin proprie intuiție
soluția sau rezolvarea .
Alți elevi pot ajunge la această performanță având drept sprijin minim un set de îndrumări
de orientare a gândirii dat prin condiții externe, care totodată are și rostul de a dezvolta capacitatea
de intuiție a acestora și de a reduce efectele interferenței, inhibiție i, anxietății etc.
În rezolvarea unei probleme, strategia a 2, de asemenea prin intuiție unii elevi pot descoperi
rapid, lanțul de implicații care conduce la demonstrarea relației .Pentru alți elevi se propune un
set de îndrumări de orientare a gândir ii prin aplicarea cărora elevii își pot construi ei înșiși arbori
de căutare euristică a soluției, i -am numit arbori rezolutivi. La prima vedere acesta amintește de
ierarhii tip Gagné. Dar la o analiză mai atentă, se observă că trecerea de la un nivel la altul al
ierarhiei respective presupune utilizarea unor subrutine (seturi de scheme operatorii) pe fondul
unor restructurări și transformări a ideilor aflate în structura cognitivă a rezolvitorului.
În rezolvarea problemelor, unii elevi au posibilitatea s ă intuiască direct structura soluției
(ceea ce e mai greu) sau să recurgă la o analiză prin dihotonie -trihotonie a cazurilor posibile.
Această strategie a fost elaborată tocmai pornind de la un procedeu euristic, principiul ter țiului
exclus care se află l a baza analizei problemei.
Ierarhizarea finalită ților instruirii la matematică pornind de la obiectivele cadru și de
referință și a competențelor generale și specifice ale predării matematicii în școală. La o analiză
mai atentă apar nuanțări la nivelul teo riilor învățării.
Astfel, reprezentanții învățării nedirijate accentuează procesul,nu produsul, antrenarea
elevilor prin procedee care fac posibilă însușirea unor sisteme deschise de cunoștințe și nu
asimilarea unui corp finit de date. Mai menționăm și pu nctul de vedere al lui Bruner (adept al
învățării semidirijate) care se declară în formarea unei predări reduse și principiile generale ale
materiei de învățare, însoțite de o intensă activitate a elevilor de rezolvare de probleme cu un
minimum de dirijar e de către profesor în predarea regulilor, prin reducerea fluxului informațional
prin problematizare.
Pentru Gagné obiectivele predării și învățării sunt capacitățile, performanțele, deci
produsele conduitei de învățare, susceptibile de a fi definite în termeni operaționali, mai exact spus
prin operațiile pe care le implică fiecare.
Aceleași puncte de vedere le avem și noi în privința obiectivelor, a finalităților instruirii,
apreciind la fel de mult procesulîntocmai ca produsul. Aceasta deoarece, procesul de formare a
unei structuri operatorii, cognitive se bazează pe realizarea produselor observabile și măsurabile,
descrise de indicatori observaționali, (care reflectă și formarea capacităților intelectuale) prin
operațiile care le implică.
Analiza produ selor activității de învățare, a înlănțuirii lor, a combinării lor, ajută să ne dăm
seama de procesul formării unei strategii rezolutive de către elevi.
În capitolul următor sunt date exemple privind modalitățile prin care pe baza elementelor
strategiilor noastre, organizarea metodelor de rezolvare, organizatorii cognitivi, îndrumări de
orientare a gândirii, organizatori cognitivi ,ș.a. elevii au fost determinați și ajutați să -și formeze ei
înșiși scheme operatorii de aplicare a în ce privește raportul strategie rezolutivă /indicatori
61observaționali putem spune că schema cognitivă a strategiei rezolutive este definită de strategiile
(date prin îndrumările de orientare a gândirii și S 11, S12, S13, S14) care ghidează elevul în efectuarea
operațiilor precizate de indicatorii observa ționali.
Caracterul euristic al îndrumărilor de orientare a gândirii și faptul că S 11–S14sunt strategii
ale elevilor dovedesc că este vorba despre o autoghidare în rezolvarea problemelor. Aceasta vine
în concordanță cu orientare a instruirii spre autoinstruire, elevul fiind artizanul propriei construcții,
subiectul este sursă de acțiuni, iar obiectul este locul asupra căruia ele se exersează (obiectul –
conținuturile universului simbolic: reprezentări pur mentale, semne sau simbo luri care le
desemnează).
Încheiem acest paragraf cu câteva considerații privind raportul strategie/tactică .
În general, putem spune că strategia se naște o dată cu tactica. Nu putem utiliza un concept dacă
nu stăpânim strategii de cunoaștere a lui și re ciproc; nu are nici un sens o strategie de cunoaștere
a unui concept fără cunoașterea conceptului însuși. Analog în cazul strategiilor de aplicare a unei
reguli etc.
Sunt situații când strategia se construiește înaintea tacticii, rămânând în seama celei di n
urmă verificarea eficienței și corectitudinii strategiei (mai ales în cazul rezolvării problemelor).
Plecând de la clasificarea dată de Zorgo, propunem un punct de vedere personal privind raportul
strategie/tactică:
Cazurile când tactica precede strategi a se întâlnesc în activitatea spontană a elevului:
activitatea profesorului suscită în general la elev o activitate care este reflexia activității
profesorului, în ciuda condițiilor de transmitere, elevul construiește. Totuși această stimulare a
activități i elevului nu este sistematică, există rateuri interpretate la modul general, ca o lipsă de
atenție sau lentoare a înțelegerii de către elev. Altfel spus, dirijarea excesivă (sau lipsa totală de
sprijin) împiedică pe acesta la elaborarea pașilor unei strat egii, verificabili prin tactică (operații).
În timp, unele operații se efectuează automat fără a mai face distincție între strategie și
tactică. Aceasta se întâmplă mai ales la nivelul de învățare a conceptelor ,aschemelor cognitive
și la unele scheme ope ratorii. Se observă clar cum raportul strategie-tactică(strategie -indicatorii
observaționali) poate fi pus foarte bine în legătură cu raportul procese-produse,ale finalității de
instruire. E drept că însăși strategia elaborată este chiar un produs al instruirii.
II.7.2 . Elemente de organizare cognitivă utilizate în strategiile euristice de instruire
proiectate
Pentru a învăța un nou concept, o regulă, pentru a rezolva o problemă, elevul trebuie să fie
capabil:
-să-și extragă din structura cognitivă regulile aferente noului material de învățat, rezolvării
problemelor, selectând ideile relevante în acest scop;
-să-și reactualizeze în mod operațional aceste cunoștințe;
-să acționeze mental, prin anumite proceduri cu cunoștințele respective construindu -și
operațiile necesare realizării actului învățării.
62În acest scop, instruirea propusă de noi îi asigură condiții pentru o organizare a cunoștințelor,
a procedurilor necesare învățării, cu un cuvânt o o rg ani za r e c og niti v ă pentru realizarea
sarcinilor propuse. Această organizare cognitivă este asigurată de: organizatorii cognitivi, exerciții
de operaționalizare a unei reguli și îndrumări de orientare a gândirii, despre care ne vom referi mai
pe larg în continuare.
a)O componentă esențială a strategiil or noastre o constituie selectarea și organizarea conținutului
științific pe baza unor elemente, cu rol de organizatori cognitivi (Ausubel) sau concepte de
organizare pentru facilitarea învățării; termenul de organizator descrie ansambluri de idei mai
comp lexe, pregătite în mod deliberat, care sunt prezentate elevului înaintea sistemului de
cunoștințe (semnificative) de însușit, în scopul asigurării accesibilității ideilor -ancoră relevante.
Prin idee-ancoră se înțelege „idee relevantă, fixată în structura c ognitivă, de care se leagă alte idei
noi și în relație cu care sensurile acestora sunt înmagazinate în cursul învățării și al reținerii
conștiente în memorie”(Ausubel,1981,pg. 707).
Tabelul 7.2. Tipuri de organizatori cognitivi și strategii de învățareModel
strategieTipuri de organizatori cognitivi în
rezolvarea problemelorModificări în strategiile de învățare și de rezolvare
a problemelor ale elevilor pe baza acestor
organizatori cognitivi
a1modelul figurativ simbolic al unei
proprietăți formule (sau ale mai
multor proprietăți utile în
rezolvarea problemelor)elevii îșiformează structuri cognitive șioperatorii
de recunoaștere a acestor reguli de aplicare a lor ,
P1proprietatea cu rol central (P);
în rezolvarea problemei (p)elevii își formează o strategie (rezolutivă) de
căutare a idei de rezolvare, pe baza modelului
figurativ al (P) și a celui logico -simbolic (relația
metrică etc.)
P2 problemă (e)auxiliară (e) elevii își elaborează o strategie de aplicare a
proprietății indicată de p. aux. elevii î șiformează
o structură operatorie în legătură cu p. aux., utilă
apoi în r.p. (p)
P3probleme înrudite cu (p);
—cu același grad de dificultateelevii realizează transferul de strategie rezolutivă de
la o problemă rezolvată la una înrudită (p)
P4probleme înrudite cu (p);
—gradate ca dificultateprin rezolvarea problemelor în ordinea dificultății
lor, elevul extrage, formulează o nouă regulă (P),
după care acționează ca în cazurile cunoscute ale
modelelor p 1, p2,p3.
P5 model simbolic acționai (sub
forma unei scheme, formule) de
sintetizare a unor proprietăți etc.elevul construiește enunțuri, formulează probleme
și le soluționează pe baza strategiilor cunoscute Â,
63Condiție esențială pentru învățarea conștientă a unui material, este ca în structura cognitivă
a celui ce învață „să existe idei relevante cu privire la materia de învățat", înțelegem rostul principal
al acestor organizatori. La Ausubel ei sunt utilizați mai ales în învățarea verbală; noi am preluat și
extrapolai termenul și l a rezolvarea problemelor. Principalele conținuturi cu rol de organizare
cognitivă în rezolvarea problemelor utilizate în strategiile propuse sunt redate în tabelul 7.2, unde
sunt indicate sintetic rolul organizatorilor cognitivi în modificarea strategiilor de învățare și
rezolvarea problemelor la elevi.
Cercetările au arătat că organizatorii cognitivi sunt mult mai eficienți în formarea
(elaborarea) de către elevi a strategiilor rezolutive, în raport cu îndrumările de orientare a gândirii;
tot așa cum îndru mările de orientare a gândirii au rol principal în formarea structurilor operatorii,
de cunoaștere și aplicare, la elevi. Având în vedere ce spune și L. Wittgenstein [50], că „problemele
sunt rezolvate nu prin furnizarea de noi informații, ci prin aranjare a a ceea ce știam de mult", prin
organizatorii cognitivi propuși venim cel mult cu acele informații necesare rezolvării problemelor
(și pe care elevii nu le stăpânesc) și (sau) ajutăm la organizarea cognitivă a ideilor relevante aflate
în situația concretă etc. Așa cum lecțiile grupate prezintă interes pentru păstrarea unității problemei
studiate, tot așa și gruparea problemelor pe proprietatea cu rol central, sau rezolvarea de probleme
înrudite cu una mai dificilă contribuie la formarea de structuri operat orii în legătură cu proprietatea
respectivă sau de tip rezolutiv.
Termenul de model figurativ l-am utilizat în mai multe ipostaze:
-model figurativ â unui concept sau concept figural ;
-model figurativ al unei proprietăți (de care am amintit în tabelul anterior;
-model simbolic al unei formule relații algebrice mode figurativ al unei probleme -prin care
înțelegem figura problemei ce cuprinde doar datele din ipoteză, iar condițiile dintre ele se
intuiesc pe figură.
În afara acestora, cel cu valoare forma tivă ridicată este modelul figurativ al unei strategii
rezolutive -întâlnit foarte de¡ în analiza din capitolul 10. Este vorba de schematizarea strategiei
rezolutive a unei probleme (p), prin modelul figurativ al acesteia, care în plus mai conține și unel e
construcții ajutătoare -suficiente, pentru a dezvălui ideea revelatoare a soluției; de aceea mai
spunem că „figura indică soluția” -acest tip de model este schematizarea actului rezolutiv a
elevului, ca act de construcție mintală .
Este cunoscută valoa rea formativă a învățării cu ajutorul modelelor. Modelul are o valoare
euristică, studiul pe model dezvoltă spiritul de observație sau reactualizează experiența anterioară
în vederea propunerii de noi soluții. În procesul de învățare modelul este folositor sub două aspecte:
învățarea pe baza modelului construit de alții și învățarea prin construire de modele.
Primul caz este întâlnit în strategii de tip a 1, și p3, unde elevul caută în configurația
problemei p 2să regăsească analogul modelului unei proprietă ți (P), sau al unei probleme înrudită
p1. Dacă în strategia tip a 1, recunoașterea modelului figurativ al proprietății (P) conducea la găsirea
ideii de rezolvare, prin reducerea spațiului problematic la structura fundamentală a problemei, în
strategia tip ( p1), cunoașterea proprietății (P) cu rol central în rezolvarea problemei (p) nu este
suficientă, în scopul amintit anterior în cazul strategiei a 1.
64Dar recunoașterea modelului ei figurativ poate ajuta la restructurarea spațiului pro blematic
al problemei ( p), la un altul, în care e plauzibil că elevul va reuși să depisteze ideea de rezolvare a
problemei (p). Proprietatea (P) cu rol cen tral în rezolvarea problemei (p), este o organizare
cognitivă care grupează în jurul ei probleme a căror rezolvare se bazea ză pe (P).
Problema auxiliară conține în enunțul ei o regulă utilă în rezolvarea problemelor propuse,
regulă ce poate juca și rol de proprietate centrala în rezolvarea problemelor; alteori este o
proprietate ajutătoare care altfel ar trebui redescoperită d e elev, ceea ce ar mări și mai mult gradul
de dificultate al problemei propuse și conduc la descompunerea problemei date în altele cu spațiile
problematice restrânse ,ce pot fi rezolvate în prealabil, mai ușor. Recombinarea acestora ie poate
conduce la găs irea structurii fundamentale a problemei inițiale și deci la rezolvarea ei. Sintagma
probleme înrudite , se referă la două (sau mai multe probleme) care presupun existența unor blocuri
operatorii similare. În plus, nu este exclusă și (sau) o similaritate între spațiile problematice ale
problemelor respective. Problemele sunt analoage și rezolvarea lor constă în a descoperi în
fiecare structura fundamentală a problemei sursă . Un alt orga nizator cognitiv util în
rezolvarea problemelor p) îl constituie un setde probleme p1 , p2 înrudite cu (p) dar gradate ca
dificultate , ceea ce permite abordarea lor succesivă, aplicând în rezolvarea uneia, rezultatul celei
anterior rezolvate (sau regăsind în modelul figurativ al (p 2) modelul figurativ al (p 1) rezolvată
anter ior) până ajungem la rezolvarea problemelor (p). Spațiul problematic se poate modifica
progresiv de la o problemă la alta, iar blocul de operatori se restructurează până la o strategie finală
de rezolvare, aplicabilă în problema țintă.
Modelul simbolic acț ional conține simboluri care prin substituire cu concepte figurale
(drepte, puncte, plane) și relații, pot fi redescoperite și (sau) elaborate diferite proprietăți. Din
modelul general xRy șiyRz=>xRz pot fi elaborate șase modele pe baza cărora elevii pot
reconstrui toate proprietățile de paralelism și perpendicularitate în spațiu, învățate anterior și pot
descoperi altele adevărate sau proprietăți false ce reclamă construirea de contraexemple pentru
eliminarea lor. Acesta este un bun exercițiu pentru reca pitularea materiei.
Modelul simbolic poate juca un rol important în facilitarea transferului secven țial
(folosirea învă țării anterioare într -un moment ulterior din aceea și serie) și a celui vertical,mai ales
(aplicarea unui principiu, strategii rezolutive însușite pe o anume treaptă a taxonomiei, la învățarea
(rezolvarea de probleme) pe o treaptă taxonomică superioară .
Organizatorii cognitivi îi folosim cu rol de orientare în spațiul problemei, de contiguitate a
regulilor cerute de acesta, precum și în a sprijini pe elev în extragerea ideilor relevante din
structura cognitivă a sa, necesare rezolvării problemelor. In altă formă, după Aebli [2], „anticiparea
schematică a soluției conținută în orice problemă tinde să evoce în același timp actele necesare în
rezolvarea ei”. Această grupare a problemelor este realizată fie după spațiul problematic , fie al
blocului de operatori utilizați în rezolvare, adică după strategia de rezolvare, sau combinații ale
acestora. Strategiile bazate pe aceste structurări ale conținutului determină la elevi formarea de
strategii rezolutive și facilitează transferul de la problemele sursă p 1, p2(din situația de învățare)
la problema țintă p (propusă spre rezolvare).
65Ceanume se transferă ? Când atât spațiul problemei cât și blocul de operatori utilizați
pentru rezolvare sunt analoage în cazul problemei -țintă și al problemei -sursă, se realizează un
transfer al procedurii de rezolvare.
Câteva tipuri de situații de gradare a transferului: în cazul celor izomorfe(a) transferul este
cel mai facil, în cazul (b), unde problemele sunt analoage ,rezolvarea constă într -un transfer de
proceduri, iar în cazu l (c) transferul e și mai dificil. Tot din perspectiva psihologiei cognitive,
realizarea transferului, în care se regăsesc la nivel de procesare a informației idei de fond folosite
în elaborarea strategiilor noastre.
La baza acestor fenomene de transfer st au procese psihice de reprezentare prototipică a
categoriilor care își pun amprenta asupra rezolvării de probleme și a raționamentului. Având
adesea valoare euristică deosebită și fiind mai ușor de evocat din memorie decât conceptul,
prototipul ghidează pr ocesul rezolutiv, dar îl și poate bloca, dacă nu este creată corespunzător
situația de învățare. Strategiile propuse permit evitarea acestui neajuns; exemplu: în cazul situației
de învățare doi elevi pot găsit altă strategie de rezolvare decât cea pe care urmăream a o forma cu
ceilalți. Modelele de instruire bazate pe acești organizatori cognitivi, preîntâmpină manifestarea
fenomenelor de rigidizare a gândirii (fixitate funcțională etc.). Problemele din grupajele respective
(p3, p4etc.) sunt astfel selecta te încât datorită gradului de euristic ridicat solicită elevii la acțiuni
mintale susținute, Care împiedică formarea unor scheme de aplicare mecanică a unei proprietăți
(strategiile tip a,, p 15p3, p4, p2), cum se întâmplă în cazul montajelor de învățare. În același timp
modelele de instruire oferă posibilități de formare și dezvoltare a capacității de transfer nespecific
(Bruner) mai dificil de realizat de obicei (transfer de procedee euristice , strategii, alte proceduri).
Strategiile de instruire propuse facilitează și transferul specific (Bruner) sau pozitiv (Gagné) de
capacități intelectuale, scheme cognitive și operatorii nou formate.
Prin propunerea de sarcini înrudite, se contribuie la dezvoltarea încrederii în sine -sprijinul
cel mai prețios pe car e i-1 putem da este de a -1 convinge să se sprijine pe sine -și totodată se oferă
ocazii suficiente pentru trăirea bucuriei redescoperirii (descoperirii) unui rezultat, dezvoltând
atracția pentru problematic și întărind, motivația învățării matematicii. Mo dalitățile de prezentare
a problemelor propuse spre rezolvare în cadrul strategiilor de instruire tip p 3, p4, p5etc., sub forma
unor unități didactice de tip continuu , însoțite de specificarea performanțelor așteptate, a formei
de realizare (individual, î n grup etc.), a modelului de evaluare, au ca efect stimularea și menținerea
unei stări de curiozitate . Tot pentru dezvoltarea și menținerea motivației am utilizat și tehnica
acțiunilor întrerupte sau neterminate (efectul Zeigamik, conform căreia o acțiune întreruptă la
timpul potrivit poate menține pe o perioadă lungă de timp starea tensională favorabilă dorinței de
a o continua). După 12' -15' de la propunerea probei, urma etapa factorului experimental bazată
pe strategiile mai sus amintite, prin utilizar ea obiectivelor cognitive, etapă care ducea la creșterea
motivației de a rezolva problema propusă inițial.
Într-o ierarhie a învățării tip Gagné, rezolvarea problemelor urmează strategiile C 2, C4și
C5care la bază au o idee constructivă, și anume, ideea exercițiului operațional ,descris de Aebli:
„actul intelectual să fie regândit sub o formă nouă de aplicare a operațiilor, care are rostul de a
66sparge cadrele rigide ale formării unei,deprinderi mecanice, să purifice operația, să o facă mobilă",
(2, p. 119) .
b)Un punct forte al strategiilor noastre îl reprezintă și acest exercițiu operațional sau
operaționalizarea unei reguli sau reactualizarea în mod operațional a conceptelor și regulilor
necesare rezolvării problemelor prin care se asigură condițiile inte rne ale învățării. După cum este
știut regulile aflate în structura cognitivă nu se combină sub forma lanțurilor; verbale, ci sub formă
de operații, de cunoștințe în acțiune , operaționalizate (sub forma structurilor mentale operatorii)
se găsesc răspunsuri la întrebări de tipul: cum fac să arăt ….?, cum procedez să dovedesc că …….
? ș.a.m.d.
Etapele acestui exercițiu operațional, răspund la întrebările:
-ce ne spune definiția conceptului …… regula ……… ?
-la ce ne este utilă regula ? Unde am mai întâlnit -o?
-cum o utilizăm în aplicații ?
Pentru (1) elevii sunt solicitați să reformuleze regulile în cuvinte proprii; pentru (2) elevii
propun exemple cunoscute sau create de ei, iar pentru (3) se reactualizează strategia de cunoaștere
a unui concept, de aplica re a unei reguli, pe un caz concret. Elevii își reactualizează prin exerciții
de operaționalizare a regulilor nu doar regulile ca lanțuri verbale ci caracterul operatoriu al
regulilor respective. Elevii trebuie să -și reactualizeze nu numai enunțul unei reg uli, relații, ci au
învățat să construiască situații diverse de aplicare a acestor reguli, să împartă capacități de
înțelegere, transpunere, interpretare, extrapolare a regulii respective.
Dacă elevul nu cunoaște semnificația regulii, a formulei, a teore mei, enunțarea acestora
constituie simple clișee verbale. Lipsa de înțelegere atrage după sine stereotipia reacției: Operațiile
-datorită reversibilității lor -sunt acțiuni mintale mobile, care formează sisteme de ansamblu
(grupări) cu un câmp de aplicar e mult mai întins decât acela al deprinderilor; pentru formarea lor
nu este suficientă simpla transmitere verbală a cunoștințelor (Aebli, 1973, p. 160). Acest exercițiu
răspunde astfel obiectivului S 1dintr-o ierarhie a învățării la matematică:
S-auîntâlnit foarte multe cazuri, când înainte de faza experimentală, elevii nu reușeau să extragă,
din structura cognitivă a lor, ideile relevante ! (deși le învățaseră anterior !) -aceasta se realiza
ulterior introducerii factorului experimental, prin exerc ițiul de opera ționalizare;
Reactualizarea operațională a modelelor figurative ale proprietăților necesare rezolvării
problemelor (ex: model a 1), facilita redescoperirea lor în configurația problemei;
Operaționalizarea proprietății cu rol central în rezo lvare, și a altor proprietăți sau
reactualizarea operațională a unor strategii învățate anterior experimentului, contribuie foarte mult
la elaborarea strategiilor rezolutive și la rezolvarea problemei după cum a reieșit și din părerile
scrise ale elevilor din timpul cercetării, acest mod de reactualizare a regulilor aferente învățării
unui nou material oferă posibilitatea combinării operațiilor definite de aceste reguli, ceea ce ajută
la construirea operațiilor necesare învățării noului material.
Putem con sidera (gândi) acest exercițiu de opera ționalizare a unei reguli ca un joc, în timpul
căruia elevul desfășoară combinații de operații pe fondul unei orientări de ansamblu a
67caracteristicilor apărute în desfășurarea jocului, care pot determina utilizarea ul terioară a regulilor
conceptelor ca instrumente în rezolvarea problemei.
Bruner dovedește experimental rolul manevrării preliminare ale materialului (elemente de
unelte) pentru rezolvarea ulterioară â problemelor intelectuale. Același lucru se petrece și a tunci
când manevrăm idei, conținuturi mentale.
Exerciții de operaționalizare a regulilor se pot realiza și prin intermediul unor ierarhii
gen „Gagné":
ierarhii sub forma arborilor rezolutivi (strategia a 2);
ierarhii bazate pe principiul dihotoniei -trihotoniei (strategia a 3);
Acest exercițiu de opera ționalizare a regulilor asigură reparcurgerea drumului de la
acțiune la regulă, contrar formelor de dogmatism întâlnit în instruirea tradițională în care regula
precede acțiunea , acestea (regulile) beneficiind de autoritatea profesorului; … profesorul transmite
cunoștința (pentru că o știe) și copilul trebuie să o dobândească pentru că este un ignorant. Aceste
mentalități circumscriu efectului numite -heterostructurare ,căreia instruirea noastră îl opune pe
cel deautostructurare .
c)Dirijarea învățării se bazează pe prescripții neanalogice și mai precis euristice. Majoritatea
îndrumărilor ca strategii semialgoritmice în situațiile de învățare a unui nou concept, a unei noi
reguli, a unei strategii de cunoaște re sau aplicare a regulii în situații similare celor învățate. Aceste
seturi de îndrumări verbale (sau scrise), care au, fie un caracter euristic, fie semialgoritmic sau
deprinderi intelectuale superior organizate pe care le numim pe scurt îndrumări de ori entare a
gândirii.
Îndrumările de orientare a gândirii cu caracter semialgoritmic sunt însușite de elevi ca
strategii rezolutive simple și intră în structura cognitivă a lor, îndrumările de organizare a gândirii
cu caracter euristic au rolul de a ajuta ele vul în descoperirea ideii de rezolvare și ele devin cu
timpul autoinstrucțiuni, îmbogățind repertoriul de strategii cognitive al elevului. Trebuie precizat
că îndrumările de organizare a gândirii, fără sprijinul unor structuri cognitive sau operatorii bine
consolidate rămân simple vorbe goale.
Ținând seama și de tipologia întrebărilor, putem spune că, în general, îndrumările de
organizare a gândirii de tip semialgoritmic sunt convergente , iar cele de tip euristic sunt
divergente, sau deevaluare, nu este ex clus nici cazul întrebărilor convergente printre îndrumări
de organizare a gândirii de tip euristic (să aplicăm proprietatea de aditivitate ! ; ce n -am utilizat
din ipoteză ?).
Mai amintim că îndrumările de organizare a gândirii de tip euristic alături de organizatorii
cognitivi de care am vorbit mai sus conduce la efectuarea unor operații descrise de unele procedee
euristice aflate sau nu în structura cognitivă a lor:
-să descompună o problemă în părți mai simple, analizându -le separat și apoi să le
recombine;
-să revină la definițiile conceptelor, la anumite reguli;
68-să recurgă la anumite tipuri de raționament (scheme de inferență logică) am întâlnit
situații, când lipsa schemelor de inferență logică, a pus elevii (de profil real) în dificultate
foartemare;
-să analizeze cazuri particulare ale unei situații geometrice pentru a se ridica apoi la cazul
general;
-să valorifice roluleuristical figurii (ce ne spune figura ?), al modelelor figurative ale unor
concepte, reguli;
-să îmbine la tot pasul analiza prin sinteză, în rezolvarea problemelor etc.
Oricum, noi nu mizăm pe „învățarea verbală a unor reguli euristice" și nici pe „aplicarea
unui regulament de gândit", care ar avea efecte contrare scopului propus. Așa cum afirmă și
Fischbein, apelul lucid la re guli euristice este benefic în cel puțin două situații: etapa pregătitoare,
de explorare rațională a spațiului problematic și în momentele de derută, de dezvoltare din cursul
efortului de rezolvare. Ion Radu vorbește de metacogniție : ceea ce diferențiază p restația elevului
capabil (inteligent) în raport cu aceea a elevului mediocru -este abilitatea de a aplica strategii
metacognitive avansate de către cel dintâi.
Anumite tipuri de diferențe individuale pot afecta procesul rezolvării de probleme
(volumul d e reguli, ușurința actualizării regulilor adecvate, capacitatea de a distinge noțiunile,
fluența ipotezelor/capacitatea de a situa exemplele particulare într -o categorie generală etc., ceea
ce reclamă elaborarea unor mijloace (fișe de activitate diferenția tă) adecvate, de învățare, precum
și adaptarea în mod diferențiat a predării la diferitele stadii de maturitate cognitivă existente în
clasa sa, în aceste ultime cazuri, se recurge la strategii algoritmice, care să pună întrebări pentru a
crea procese real e de gândire, este una din problemele cheie ale predării -învățării matematicii.
(E. Rusu 1968, p.28).
Printre îndrumările de organizare a gândirii de tip deprinderi intelectuale superior
organizate ,utilizate în instruire, enumerăm: Să înțelegem ipoteza ! Să analizăm concluzia! Să
efectuăm un desen ! Să introducem notații corespunzătoare ! (lista de întrebări). Astfel de
îndrumări pot însoți subiectele la examene, aceleași pentru toți candidații, având rol de sfaturi cu
caracter metodic:
-chestiunile nefiind independente este posibil ca rezolvarea lui p să vă fie utilă în rezolvarea
lui q care o succede;
-dacă n-ați reușit să rezolvați p, care este necesar în rezolvarea lui q, considerați p adevărat
și căutați să rezolvați q;
-înainte de a vă lansa în calcule, inventariați cunoștințele și priceperile (schemele cognitive
și cele operatorii) legate de fiecare chestiune la care se face apel și gândiți -vă să găsiți
mijloacele de a demonstra pe calea cea mai scurtă;
-nu uitați să justificați răspunsurile voa stre, dar justificarea să fie clară și concisă (nu
confundați vorbăria cu redactarea);
-prezentați lucrarea îngrijit, încadrați anumite rezultate, subliniați pe altele, respectați
notațiile din text, nu abuzați de ștersături etc.;
-vegheați la dozarea optimă a timpului etc.
69Este posibilă o corelație între modul de adresare aîndrumărilor de orientare a gândirii și stilul
de învățare .Stilul de învățare personal reprezintă o parte a super legăturii personale pentru
învățare accelerată. Super legătura este o co mbinație între stilul optim de învățat și emisfera
cerebrală, folosită în procesarea și stocarea de informații. Stilul de învățat este modul în care se
receptează informațiile. Pentru a recepta informații din lumea exterioară, ne bizuim pe toate
simțurile noastre; totuși, în timp, unii indivizi își dezvoltă unul dintre simțuri într -o măsură mai
mare, ajungând la o preferință pentru un anume stil de învățat. Dacă dorim să învățăm ceva rapid,
materialul trebuie să fie prezentat pe calea optimă către creier —stilul de învățat personal: vizual,
auditiv, tactil, kinestezic. În majoritatea experimentelor, îndrumările de organizare a gândirii erau
adresate verbal, alteori această modalitate se combina cu scrierea lor pe tablă sau pe fișe gândirii
scrisesauverbal e cu stilul de învățat vizual respectiv auditiv.Probabil, eficien ța îndrumărilor de
orientare a gândirii ar crește dacă s -ar ține seama și de tipul motivației (slab, puternic -motivat) și
depersonalitate al elevului (problemă deschisă).
Un factor imp ortant în rezolvarea de probleme pare a fi tipul (stilul) cognitiv .După
Ausubel, stilul cognitiv circumscrie diferențele individuale, consecvente și durabile d organizarea
și funcționarea cognitivă. După Allport (3, p. 272) și Hayes (489, p. 133) stilul c ognitiv se referă
la diferite modalități, stiluri de gândire: rigid (incapabil să -și schimbe cursul ideilor) -flexibil,
concret (care urmează îndeaproape realitatea strictă) -abstract (Cei cu gândire abstractă, care pot
fi detașați, flexibili); impulsiv (ritm rapid de lucru, marc de posibile greșeli, ia decizii pripite la
lecții și riscă mai mult) -reflexiv (reflectă asupra justeței mai multor soluții ipotetice înainte de a
acționa, ritm mai lent dar dublat de exactitate independent (face diferențieri fine, reușește să
disocieze elemente importante din fundal care -i înconjoară) -dependent (sunt copleșiți de context,
nu pot izola detaliile semnificați din câmpul perceptiv).
Combinând cele patru dimensiuni se obțin 16 tipuri și stiluri cognitive, însă e discutabilă
compatibilitatea unora dintre ele. S -au făcut încercări să se modifice stilul cognitiv al elevului, dar
aceste încercări au eșuat. Profesorul, deci trebuie să presupună că elevii săi au stiluri diferite pentru
rezolvarea de probleme și trebuie să predea astfel încât să permită fiecărui copil să învețe, folosind
stilul său specific. Deși în cercetarea pe care am întreprins -o nu am luat în seamă particularități a
stilului cognitiv al elevilor antrenați, rezultatele bune și foarte bune sunt și ele o dovada faptului
că instruirea de tip euristic astfel proiectată a creat condiții de manifestare și antrena nestingherită
în rezolvarea problemelor, în învățare, a stilului cognitiv al elevilor.
S-a constatat că stilul cognitiv reflexiv-independent seasociază cu reușite școla mai
frecvente. Caracterul euristic al strategiilor noastre creează condiții c încurajare a acestui stil
reflexiv-independent -flexibil și abstract ,problema rămână deschisă. Putem avea de -a face și cu
stil cognitiv divergent (o formă a sa, gândirea laterală) -convergent ,cu influențe deosebite în
activitatea rezolutivă. Dup unii autori cei cu gândire convergentă sunt mai buni la materiile
științifice, iar cei cu gândii divergentă sunt mai înclinați spre materiile umaniste. Strate giile de
instruire elaborate c noi, așa cum vom arăta cu alte ocazii au creat condiții de stimulare a tipurilor
de gândire dominantă divergentă sau convergentă.
70Să ne referim pe scurt la relațiile între aceste elemente de organizare cognitivă metodele de
predare-învățare utilizate în cadrul strategiilor noastre. Organizatorii cognitivi -sprijină învățarea
prin descoperire (o problemă înrudită, auxiliară, o proprietate cu rol central în rezolvare poate
înlesni elevului drumul la „poteca de acces" spre g ăsirea ideii de rezolvare).
Învățarea prin descoperire a fost utilizată și în descoperirea proprietăților unui con cept prin metode
explicativ investigative ,a unei noi strategii de aplicare a unei reguli.
Situații de problematizare în care se confruntau anterior etapei factorului experimental cu
o problemă, care pentru majoritatea dintre ei reprezenta o situație problematică, din moment ce,
timp de 15' nu reușeau să concretizeze nici o idee în direcția rezolvării acesteia, organizarea
cognitivă din etapa experimentală îi ajuta să descompună problema în altele mai simple, pe care le
reformulau, le rezolvau și combinând rezultatele parțiale descopereau structura fundamentală a
problemei și rezolvarea problemei.
Conversația euristică se realizam special prin seturile de îndrumări de orientare gândirii
transmise frontal (scrise pe tablă sau verbal) sau individual prin intermediul unor fișe etc. Aceste
metode de tip euristic caracterizează spectrul metodelor de predare -învățare utilizate în strategiile
noastre , având, rolul dominant. Alături de acestea, exercițiul ocupă un loc important în exersarea
unor scheme cognitive și operatorii, în reactualizarea operațională, ca metodă bazată pe acțiune
operațională (iar la clasele mici) și practică.
O metodă de explor are a spațiului -problematic, utilizată în instruirea noastră, este
modelarea , bazată pe modelele figurative ale proprietăților geometrice ale organizatorilor
cognitivi. Amintim și de conversația din cadrul analizelor post experimentale sau a celor de
proto col pe baza gândirii cu voce tare. Instruirea oferă suficiente situații de cultivare a reflecției
personale ,modalitate de construire de operații etc. Aceste metode de predare -învățare au
reprezentat unul din factorii principali în obținerea raportului sub unitar dintre timpul alocat
învățării, exersării și timpul ce revine explicațiilor, demonstrațiilor din partea profesorului spre
deosebire de metodele tradiționale care duceau la situa ția când raportul dintre timpul alocat
învățării, exersării, acțiunii de către elev -At(E) și timpul ce revine explicațiilor, demonstrațiilor
din partea profesorului At(P)este supraunitar .
f)Făcând o privire retrospectivă observăm că prin instruirea noastră, elevul este ajutat să
descopere proprietăți ale conceptelor, să elaboreze noi proprietăți, să rezolve probleme, altfel spus
să prelucreze informații, îmbinând astfel principiile construct ive și cognitive ale învățării.
Putem rezuma caracterul euristic al strategiilor de instruire ela borate de noi prin
următoarele:
reactualizarea de tip operațional a regulilor și strategiilor învățate;
dirijare minimă -o semidirijare bazată pe îndrumări de orientare a gândirii , cu caracter
dominant euristic;
utilizarea organizatorilor cognitivi care permit o mai mare mobilitate a gândirii elevilor,
în căutarea euristică a ideii de rezolvare;
alternarea activităților bazate pe muncă în grup, cu cele pe grupe și individuale, facilitând
comunicarea ideilor, analizarea soluțiilor și interpretarea rezultatelor;
71structurarea conținutului ,pe tot parcursul instruirii;
utilizarea cu precădere a metodelor de înv ățământ, de tip euristic;
• utilizarea metodelor și procedeelor euristice în rezolvarea problemelor de către elevi
Toate acestea au loc, fără a se înăbuși toate manifestările logicii infantile, fără a impune
elevului o conduită adultă, deci a lua în seama spontaneitatea, fantezia, intuiția copilului, în
rezolvarea problemelor. Așa cum afirmă și E. Landau „frânarea învățării creative favorizează
exclusiv acumularea de informații; învățarea să fie un proces care, pe baza imaginației activ
aplicate a experienț ei și a cunoștințelor acumulate, să conducă la ipoteze noi" („Psihologia
creativității" (trad.) -EDP, București, 1979).
g)Caracterul euristic al instruirii noastre este dat și de stilul didactic adoptat, stil definit, după
(21), prin deciziile luate atât de profesor cât și de elevi. Cum decizia este expresia, reflectarea
adoptării unei strategii, pe baza căreia se elaborează programul tactic, stilul nostru didactic
dominant îl regăsim în tipologia dată în (21), ca o combinație a tipurilor (din categoria celor care
aparțin capacității de producere (de noi cunoștințe, idei etc.) sau capacitatea de a îndrăzni, a
cuteza, a risca etc.).
Stilul centrat pe descoperire dirijată (semidirijată);
Stilul centrat pe descoperirea convergentă (menit să conducă la descoperirea soluției unei
probleme, la formularea unei concluzii prin raționament și gândire critică ;
Stilul centrat pe activitate divergentă ,ce conduce gândirea pe traiectorii necunoscute,
neobișnuite, spre soluții inedite, spre creativitate.
Am spus mai înainte, stilul didactic dominant întrucât nu se exclude și alternarea în unele
situații de învățare cu stilurile de tip B și E (din categoria celor care aparțin capacității de
reproducere și de imitare a cunoștințelor și tehnicilor de acțiune).
(B):Stilul practic (bazat pe o explicație precisa, apoi pe o execuție autonomă a subiectului.
(E):Stilul de incluziune (de includere a elevului în îndeplinirea unor sarcini de niveluri diferite, el
fiind acela care decide la ce nivel se poate implica) remarc at mai ales în experimentele unde au
participat și elevii cu nivel cognitiv sub mediu.
Elementele de organizare cognitivă prezentate, le regăsim pe toate specificate, direct sau
indirect, în schemele cognitive strategiilor rezolutive elaborate de elevi, di n timpul cercetării
desfășurate. Prin intermediul exercițiului de opera ționalizare a regulilor aflate în structura
cognitivă (și a celor nou învățate în timpul experimentelor), a organizatorilor cognitivi și sub
influența îndrumărilor de orientare a gândir ii, elevii își formează, elaborează strategii de
cunoaștere și aplicare a conceptelor și regulilor în probleme. Este evidențiat distinct și rolul
îndrumărilor de orientare a gândirii ce indică de fapt ierarhia rezolutivă a problemei, care include
subrutine ce înglobează în ele experie
II.4 Probleme rezolvate prin metode euristice
Metoda comparației
Ca operație a gândirii logice, comparația intervine în multe momente și situații ale
activității matematice, dar cu deosebire în problemele în care două mărimi necunoscute sunt egale
între ele prin două relații liniare bine precizate, valorile unitare fiind aceleași.
72Metoda constă în a face ca cele două mărimi să aibă aceeași valoare și în acest felproblema devine
mai simplă, cu o singură necunoscută. Într -o ast fel de problemă, așezarea datelor se face prin
respectarea relațiilor stabilite între mărimi și astfel încât comparația dintre valorile aceleeași
mărimi să fie pusă în evidență în mod direct, așezând valorile de același fel unele sub altele.
Procedeele de rezolvare a unor probleme duc la eliminarea uneia dintre mărimi prin
reducere, adică prin adunare sau scădere. Dacă valorile aceleeași mărimi sunt legate prin enunțul
problemei, reducerea este imediată prin scăderea relației respective. Dacă din enunțul pr oblemei
nu rezultă valori egale, atunci apare necesitatea aducerii la același termen de comparație. Prin
această metodă se rezolvă probleme de egalizare la o relație cu o singură necunoscută.
Când au un același termen de comparație:
Exemplu:
Miruna a cumpă rat luni 2 kg de zahăr și 3 kg făină, plătind 115 lei. Marți acumpărat 2 kg
zahăr și 7 kg făină, plătind 215 lei.
Cât costă un kg de zahăr și un kg de faină?
Rezolvare:
2kg Z 3kg F 115 lei
2 kg Z . 7kg F215 lei
? kg Z ? kg F
Am scăzut valorile de sus din cele de jos:
2-2=0kgZ ;7-3 =4k gF;215-115 = 100 lei
1 kg F………………. 100 : 4 = 25 lei
3 kg F ……………………………………. 25 x 3 = 75 lei
2 kg Z …………… …115 lei-75 lei = 40 lei
1kg Z……………………….. 40 lei : 2 = 20 lei
Răspuns: 1 kg F = 25 lei; l kg Z = 20 lei
Verificare:
2 x 20 + 3 x 25 = 2 x 20 + 7 x 25 =
= 40 + 75 = = 40 + 175 =
= 115 = 215
De aducere la același termen de comparației
Exemplu:
Mama a cumpărat 5 kg cartofi și 2 kg ridichi și a plătit 35 lei, a doua zi a cumpărat 15 kg cartofi
și 5 kg ridichi și a plătit 95 lei.
Cât a costat 1 kg de cartofi și cât a costat 1 kg de ridichi?
Rezolvare :
5 kg C2 kg R………… 35 lei
15kg C… 5 kg R……………. 95 lei
1 kg C ? 1 kg R ?
73Deoarece nicio mărime nu are aceeași cantitate, problema este dificilă, în acest caz vom interveni
cu o problemă simplă pentru a -i ajuta pe elevi să descopere singuri rezolvarea. (Presupunem că în
prima zi ar fi cumpărat de 3 ori mai mult, atunci triplăm suma).
15 kg C 6kgR………. 105 lei
15kgC5kgR.. … 95lei
1 kg R …………….. 10 lei
2 kg R ……………. 10 x 2 = 20 lei
5 kg C + 20 lei = 35 lei
5 kg C = 35 lei –20 lei
5 kg C = 15 lei
1 kg C = 15 lei : 5
1 kg C = 3 lei
Răspuns: 1 kg C = 3 lei; 1 kg R = 10 lei
Verificare :
15 lei + 20 lei = 35 lei 15 x 3 lei + 5 x 10 lei = 45 lei + 50 lei = 95 lei
Probleme de eliminare prin înlocuire
Aceste probleme sunt de două categorii după cum termenii comparației sugerează diferențe
(cu … mai mult, cu … mai puțin) sau raportul ( de … mai mult, de … mai puțin).
Exemplu:
3 kg cartofi și 5 kg ridichi costă 59 iei.
Cât costă 1 kg cartofi și cât costă 1 kg ridichi, știind că un kg ridichi costă cu 7 lei mai mult decât
un kg de cartofi?
a)
cartofi (kg) ………………………. ridichi (kg) ………………………… valoarea (lei)
3 ……………………………. 5 ……………………………. 59
3 + 5 = 8 ……………….. -……………………….. ….. 59 –( 5 x 7) =
59–35 = 24
1 ……………………………………………………………………… 24 : 8 = 3 (lei)
……………………………….. 1 ………………………………. 3 + 7 = 10 (lei)
b)cartofi (kg) ………………………. ridichi (kg) ………………………… valoarea (lei)
3 ……………………………. 5 ………………… …………. 59
5 + 3 = 8 ……………….. -……………………………. 59 + ( 3 x 7) =
59 + 21 = 80
1 ……………………………. 80 : 8 = 10 (lei)
1 ……………………………………………………………… 10 –7 = 3 (lei)
Exemplu:
4 kg cartofi și 6 kg morcovi costă 48 lei.
Cât costă un kg cartofi și un kg morcovi, știind că 1 kg cartofi costă de 2 ori mai puțin decât un
kg morcovi?
74a) cartofi (kg) …………………….. morcovi (kg) ……………………. valoarea (lei)
4 ……………. ……….. 6 ……………………. 48
4 + 2 x 6 = 16 ……………. – ……………………. 48
1 kg …………………………………………………………….. ……… 48 : 16 = 3 (lei)
1 kg …………………………… 3 x 2 = 6 (lei)
b) cartofi (kg) …………………….. morcovi (kg) ……………………. valoarea (lei)
4……………………… 6 ……………………. 48
-……………………….. 6 + 4 : 2 = 8 48
1 kg ………………………………………… ………………………….. 48 : 8 = 6 (lei)
1 kg ……………………………………………………………………. 6 : 2 = 3 (lei)
Metoda falsei ipoteze
Orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporționale, poate fi rezol vată prin metoda
falsei ipoteze. De regulă, se pleacă de la întrebarea problemei, făcând asupra mărimii ce o căutăm
o presupunere arbitrară, dar nu în contradicție cu datele din enunț. Se reface problema pe baza
presupunerii făcute și se ajunge la un rezu ltat care nu concordă cu cel din problemă. Este fie mai
mare, fie mai mic decât acesta. Se compară rezultatul pe baza presupunerii cu cel real; din
nepotrivirile obținute se trage concluzia corectă de rezolvare a problemei.
Exemplu:
Cu 1300 lei se pot cumpăra 30 bilete de tren de 30 lei și 50 lei.
Câte bilete sunt de fiecare ?
Rezolvare :
a) presupunem că toate biletele costă 50 lei. Atunci toate cele 30
bilete ar costa:
30×50= 1500(lei)
b) comparând cu prețul real se obține o dife rență :
1500-1300 = 200 ( lei)
c) această diferență din faptul că biletele de 30 lei le -am cumpărat
mai scumpe cu :
50-30 = 20 (lei)
d) la câte astfel de bilete am adăugat 20 lei din suma, care a apărut
în plus, de 200 lei ?
200: 20 = 10 (bilete)
30–10 = 20 (bilete)
Răspuns: 10 bilete de câte 30 lei; 20 bilete de câte 50 lei
Exemplu:
Într-o curte sunt găini, rațe și oi. Știind că în total sunt 100 de capete și 280 de picioare, iar
numărul rațelor este o treime din numărul găinilor, să se afle câte păsări de fiecare sunt în acea
curte.
Această problemă se rezolvă prin metoda falsei ipoteze combinată cu metoda grafică.
75Rezolvare:
a) presupunem că toate capetele au câte 2 picioare : 100 x 2 = 200 (picioare)
b) comparând numărul de picioare cu cel din problemă se obține o diferență : 280 -200 = 80
(picioare)
c) această diferență provine din faptul că în curte sunt și animale cu patru picioare, deci cele
80 de picioare le împărțim câte 2 la fiecare cap pentru a afla câte oi sunt: 80 : 2 = 40 (oi )
d) aflăm câte păsări sunt: 100 –40 = 60 (păsări).
Din acest punct, problema se rezolvă prin metoda grafică:
r
g
e)adunăm părțile : 1 + 3 = 4 părți
f)aflăm câte rațe sunt: 60 : 4= 15 (rațe)
g)aflăm câte găini sunt: 15 x 3 = 45 (găini)
Răspuns: 15 rațe, 40 oi
Este metoda prin care rezolvarea unei probleme are loc pe baza unei ipoteze sau a mai multora,
confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. Întrucât i poteza
care se face nu corespunde decât întâmplător cu rezultatul problemei, metoda se mai numește a
falsei ipoteze. Problemele a căror rezolvare se bazează pe această metodă, se pot clasifica în două
categorii:
-probleme de categoria I, pentru rezolvarea c ărora este suficientă o singură ipoteză;
-probleme de categoria a II -a pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe
ipoteze succesive.
Exemplu:
Sectorul zootehnic al unei ferme cuprinde vaci, oi, găini și gâște, în total 3 444 capete și 11 520
picioare. Știind că numărul oilor este de 5 ori mai mare decât al vacilor, iar al gâștelor de 3 ori
mai mic decât al găinilor, să se afle separat câte vaci, oi, găini și gâște are ferma.
Rezolvare:
Ținând seama că vacile și oile au câte 4 picioare, iar găi nile și gâștele câte două, se va afla întâi
câte animale au 4 picioare și câte au 2 picioare, și apoi câte dintre cele cu 4 picioare sunt vaci sau
oi și câte dintre cele cu două picioare sunt găini sau gâște. În acest scop se presupune că toate
animalele s unt cu câte 4 picioare.
3 444 x 4 = 13 776 (picioare); 13 776 –11 520 = 2 256, 2 256 : 2 = 1 128 (păsări);
1 128 : 4 = 282 (gâște); 282 x 3 = 846 (găini); 3 444 –1 128 = 2 316 (animale: vaci și oi);
2 136 :6 = 386 (vaci); 386 x5 = 1930 (oi)
Exemplu:
Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se așează câte 4 pe bancă, rămân 18
persoane în picioare, iar dacă spectatorii se așează câte 5 pe bancă, rămân 4 bănci libere.
Câte bănci sunt în sală și câți spectator i ?
76Rezolvare :
Ipoteza I : Se presupune că ar fi 30 bănci.
30 x 4 = 120 (spectatori); 30-4= 26 (bănci ocupate);
120 + 18 = 138 (spectatori); 26 x 5 = 130 (spectatori);
138-130 = 8 (diferența dintre spectatori).
Ipoteza a -II-a: Se presupune că ar fi 31 de bănci.
31 x 4 = 124 (spectatori); 31-4= 27 (bănci ocupate);
124 + 18 = 142 (spectatori); 27 x 5 = 135 (spectatori);
142-135 = 7 (diferența dintre spectatori).
Dacă numărul băncilor s -a mărit cu 1, diferența s -a micșorat cu o unitate, de unde rezultă
că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 pentru ca diferența de spectatori să se acumuleze .
Deci: 38 x 4 = 152 (spectatori); 38-4 = 34 (bănci ocupate);
152 + 18 = 170 (spectatori); 34 x 5 = 170 (spectatori).
Metoda mersu lui invers
Se folosește în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul șirului
de relații dat în enunț. Analizând operațiile date în enunț și cele efectuate în rezolvarea problemei,
se poate constata că în fiecare etapă se efectuează o perația inversă celei din enunț. Deci, nu numai
„mersul” este invers, ci și operațiile efectuate pentru rezolvare sunt inverse decât cele din
problemă. Exercițiile de tipul celor degajate din enunțul problemei sunt de fapt ecuații de gradul I
cu o necunosc ută, dar care se rezolvă prin raționament aritmetic cu ajutorul relațiilor ce există între
rezultatele operațiilor și termenii cu care se operează. Rezolvarea unei asemenea probleme
se poate combina și cu metoda figurativă.
Exemplu:
Un prod ucător vinde pepeni la 3 cumpărători. Primul îi vinde o jumătate din cantitate, celui de –
al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de -al treilea o cincime din noul rest.
Câți pepeni a avut producătorul, dacă i -au mai rămas 16 pepeni?
Rezolvare :
1din T (total)
2
R1
1din R1
3
R2
1din R2
5
Se observă că reprezintă 4/5 din restul al doilea. Câți pepeni reprezintă restul al doilea?
16 :4 x 5= 20 (pepeni)
77Tot 20 reprezintă 2/3 din primul rest. Câți pepeni constituie primul
rest?20:2 x 3= 30 (pepeni)
30 reprezintă 1/2 din totalul inițial. Câți pepeni erau în total ? 30 x 2 = 60 (pepeni).
A rezolva un exercițiu sau o problemă prin mersul invers înseamnă a reface calculele în
sens invers celor indicate de text, până se ajunge la un element de bază pe care s-a construit
exercițiul sau problema. Se numește metoda mersului invers deoarece operațiile se reconstituie în
sens invers acțiunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecare operații corespunzându -i
inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin un
element necunoscut, cât și în rezolvarea problemelor care se încadrează în timpul respectiv.
Exemplu:
Se consideră un număr notat cu „a”, la care se adaugă 7, rezultatul se înmulțește cu 6, din
produs ul obținut se scade 10, rezultatul se împarte la 4, apoi se adună 5, obținându -se 25.
Cât este „a”?
[(a + 7) x 6 –10] : 4 + 5 = 25
Rezolvare:
[(a + 7) x 6 –10] : 4 = 25 –5; [(a + 7) x 6 –10] : 4 = 20; (a + 7) x 6 –10 = 20 x 4;
(a + 7) x 6 –10 = 80;(a + 7) x 6 = 80 + 10; (a + 7) x 6 = 90; a + 7 = 90 : 6; a + 7 = 15; a = 15 –7;
a = 8.
Probleme de mișcare
Problemele de mișcare sunt acelea în care se află una dintre mărimile: spațiul (distanța),
viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau dif erite relații între acestea. Spațiul (s) este
lungimea drumului parcurs de un mobil ( tren, autoturism, om) exprimat în unități de lungime (
metru, multiplii sau submultiplii lui). Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un
mobil într -o unitate de timp, exprimată în unități de lungime pe unități de timp ( m/s, km/h).
Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge spațiul.
În general, în problemele de mișcare se vorbește despre mișcarea uniformă a unui mobil, adică, în
intervale de timp egale mobilul parcurge distanțe egale. În acest caz, cele trei mărimi s,v,t, sunt
legate prin relația : s = v x t; v = s/t; t = s/v
La rezol varea problemelor de mișcare se pot folosi atât metodele aritmetice generale și speciale,
cât și cele algebrice.
Exemplu:
Doi turiști parcurg distanțe de la A la B. Primul turist a sosit în B cu 2 ore mai târziu decât al
doilea.Viteza primului turist este de 4 km /h, iar a celui de -al doilea de 6 km/h.
Să se determine distanța de la A la B.
Rezolvare:
I ( aritmetică): v1= 4 km /h, v 2= 6 km h; v 2–v1= 2 km/h .
Deci primul a rămas în urmă cu spațiul: s = 4 km/ h x 2 h = 8 km
8 : 2 = 4 ore, adică al doilea turist a mers 4 h și a parcurs, 4 x 6 = 24 km, AB = 24km.
II. ( algebrică ): t1= s/4 (timpul necesar parcurgerii spațiul AB de primul turist)
t2= s/6 (timpul necesar parcurgerii spațiului AB de al doilea turist)
78s/4–s/6 = 2; 3s –2s = 24, s = 24, AB = 24 km
Tot în cadrul problemelor de mișcare sunt înscrise și probleme de întâlnire:
mobilele se deplasează în sens contrar;
mobilele se deplasează în același sens;
mobilele se deplasează în sens contrar
D
A B
v1 v2
Formula după care calculăm timpul de întâlnire într -o problemă de mișcare în sensuri
contrare este: t = s/ v 1+ v2
Exemplu:
Din orașul A pleacă la ora 11 dimineață un biciclist, spre B. El merge cu o viteză de 16 km/h.
După 3 ore a plecat u n al doilea biciclist din oraș B spre orașul A cu viteza de 2 km/h.
Când și unde se vor întâlni ei, dacă distanța de la A la B este de 328 km?
Rezolvare :
Recunoaștem din enunț, o problemă de mișcare în sensuri contrare, care se deosebește foarte mult
deproblemele „standard”, comentate anterior. Cunoaștem vitezele celor două mobile și trebuie să
stabilim la ce distanță se aflau unul de altul în momentul când începem să considerăm mișcarea,
unuia către celălalt.
Facem următorul desen :
328 km
48 km 280 km
A B
v1= 16 hm/h v 2= 16 km/h
Etalon de rezolvare:
Până în momentul plecării din B celui de -al II-lea biciclist, primul parcurge:
16 x 3=48(km)(AC).
El se află ia distanța de 328 -48 = 280 ( km ) față de biciclistul al II -lea (CB), în momentul plecării
acestuia din B.
Din acest moment, problema s -a redus la o problemă tipică de mișcare în sensuri contrare. În
fiecare oră, distanța dintre cei doi se micșorează cu: 16 km + 12 km = 28 km
Pentru ca ei să se întâlnească trebuie să treacă atâtea ore de câte ori se cuprind
28 km în 280 km, adică, 280 km : 28 km/h = 10 ore.
Deci, cei doi bicicliști se întâlnesc după 10 ore de la plecarea celui din B sau la
10 + 3 = 13 ( ore ) după plecarea celui din A .
Ei se vor întâlni la ora : 11 + 13 = 24 (h), la distanța de: 16 x 13 = 208 km de orașul A .
b) mobilele se deplasează în același sens
79Aceste probleme pot fi redate schematic ca în figura de mai jos:
A B
v2
v1
Formula după care calculăm timpul de întâlnire într -o problemă de mișcare în același sens este: t
= s/ v 1-v2
Exemplu:
Un biciclist, având viteza de 24 km/h, pleacă din orașul A. După 3 ore pleacă tot din orașul A, în
aceeași direcție, un motociclist, având viteza de 42 km /h.
În cât timp îl va ajunge motociclistul pe biciclist ?
Rezolvare
A B
Vb= 24 km/h
Vm= 42 hm/h
În 3 ore biciclistul parcurge o distanță de: 24 x 3 = 72 ( km)
Motociclistul parcurge în fiecare oră, în plus: 42 -24 = 18 ( km)
Cei 72 de km vor fi recuperați în: 72 : 18 = 4 ( h), timp după care biciclistul va fi ajuns
Distanța de întâlnire va fi: 42 x 4 = 168 (km).
Probleme cu mărimi proporționale
În probleme cu mărimi proporționale intervin două feluri de mărimi:
1. Mărimi direct propoționale -două mărimi depind una de alta în așa fel încât dacă o mărime se
mărește sau se micșorează de un număr de ori cealaltă se mărește sau se micșorează de același
număr de ori.
Exemple:
-cantitatea de marfă și valoarea ei în unități monetare;
-timpul de lucru și retribuția;
-spațiul și timpul în mișcare uniformă;
-debitul și cantitatea de lichid acumulat într -un timp determinat.
2. Mărimi invers proporționale -două mărimi depind una de alta în așa fel încât dacă prima
mărime se mărește de un număr de ori, valoarea corespunzătoare din mărimea a doua se micșorează
de același număr de ori și invers.
Exemple:
-numărul muncitorilor și timpul de lucru pentru volum de muncă dat;
-viteza și timpul în mișcare uniformă pentru un spațiu dat;
-dimensiunile unu i dreptunghi de arie data.
80Exemplu:
Trei muncitori cu aceeași calificare lucrează respective 5 piese, 8 piese și 7 piese de
același fel, pentru care primesc 7600 lei. Ce sumă primește fiecare?
În clasele I -IV apar probleme de genul celor de împărțire în părți direct proporționale cu
numere date. Elevii vor înțelege cu ușurință că, dacă muncitorii care intră în componența unei echipe
de lucru aduc o contribuție diferită în realizarea unui produ s,este firesc ca contribuția lor să fie
diferită. Pentru stabilirea sumei ce se cuvine fiecărui muncitor, proporțional cu numărul de piese
lucrate, este necesar să se cunoască cât se primește pentru o singură piesă lucrată.
De aici rezultă că metoda prin care se stabilește suma corespunzătoare pentru o singură
piesă, pentru o singură unitate se numește reducere la unitate. Rezolvarea problemei comportă două
etape distincte:
aflarea sumei corespunzătoare pentru o singură piesă (reducere la unitate);
aflarea numerelor corespunzătoare pentru 5 piese, respective 8 și 7 piese.
Planul rezolvării:
Aflăm numărul total de piese. 5 + 8 + 7 = 20 (piese)
Aflăm suma corespunzătoare unei singure piese. 7600 : 20 = 380 (lei)
Aflăm suma corespunzătoare pentru 5 piese.380 x 5 = 1 900 (lei)
Aflăm suma corespunzătoare pentru 8 piese. 380 x 8 = 3 040 (lei)
Aflăm suma corespunzătoare pentru 7 piese. 380 x 7 = 2 660 (lei)
Acest procedeu poate fi formulat astfel:
-pentru a împărți un număr în părți proporționale cu anumite numere date se
împarte acel număr la sumele numerelor date, iar catul se înmulțește cu fiecare din aceste nume
În categoria problemelor în care intervin mărimi proporționale o categorie o constituie
problemele care se rezolvă prin regula de trei s implă. Metoda de baza o constitue reducerea la
unitate, regula de trei simplă costituie doar o formulă anumită de așezare a datelor.
În problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă intervin două mărimi direct sau invers
proporționale, fiecare mări me cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscuta.
În această categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul cărora se găsește cea de -a patra
valoare, fapt care justifică numerele regula de trei.
Considerând mărimile x și y cu p erechile de valori x 1, x2, respectiv y 1,y2.
Dacă mărimile x, ysunt direct proporționale putem scrie: x1/x2= y1/y2saux1/y1= x2/y2
Proporții în care termenul necunoscut reprezintă cel de -al patrulea proporțional și se poate
afla ca atare: y2=x2∙ y1sauy2=y1∙ x2
x1 x1
Dacă mărimile sunt invers proporționale , putem scrie:
x1/x2= y2/y1saux1/y2= x1/y1
Dacă y 2este cunoscut , y2=x1∙ y1sauy2=y1∙ x2
x1 x2
81Din cele de mai sus rezultă că pentru rezolvarea problemelor prin regula de trei simplă este
suficient să se așeze datele conform acestei reguli, iar în rezolvare și calcul să se utilizeze metoda
proporțiilor (aflarea celui de -al patrulea proporțional).
Dar metoda care se utilizează înrezolvarea problemelor prin regula de trei simplă este
metoda reducerii la unitate, deoarece ea urmărește un raționament mai apropiat de înțelegerea
concretă a elevilor.
Metoda proporțiilor cere însă cunoștințe matematice pe care elevii le parcurg abia la
gimnaziu (ea merge pentru elevii care participa la cercul de matematică).
Exemplu:
O cantitate de 250 kg de cartofi a fost ambalată în 10 lăzi.
Dar 375 kg cartofi în câte lăzi se vor ambala?
250 kg ……………………………………………. . 10 lăzi
375 kg ………………………………………… x lăzi
Mărimile fiind direct proporționale și aplicând reducerea la unitate:
250kg …………………………………… … 10 lăzi
1 kg………………………………………. 10/250 lăzi
375 kg………………………………………… 10 . 375:250 = 3750 = 15 lăzi
Dacă 9 zile …………………………………. 8 muncitori
1 zi…………………… ……8 x 9 muncitori
4 zile ………………….. 8 x 9:4 = 18 muncitori
Din cei 18 muncitori, 8 erau angajați și lucrau deja, astfel că mai trebuie angajați 18-8 = 10Probleme
nonstandard
O categorie aparte de probleme, care nu se supune exigențelor vreunui criteriu de
clasificare discutat până acum și care permite aplicarea unei metode învățate, este cunoscută sub
numele de probleme nonstandard. Această categorie include probleme în fața cărora, după citirea
enunțului, rezolvitorul, chiar și cel cu experiență, nu reușesc să le introducă în „canoanele” metodei
de rezolvare bine știute. În această situație gândirea și imaginația lucrează febril, rezolvatorul
devenind, în situația în care reușește rezolva rea, un creator. Conduita este creatoare deoarece nicio
problemă nu seamnă cu alta, de fiecare dată rezolvatorul fiind obligat să găsească o anume cale de
rezolvare proprie fiecărei probleme.
Valențele formative ale acestei activități rezolutive vizează: c ultivarea creativității elevilor
din clasele I -IV (îndrăzneală, istețime, spirit novator, iscoditor, flexibilitatea gândirii,
nonconformismul aplicării metodei); crearea unor situații generatoare de motivație intrinsectă, cu
consecințe favorabile în planul interesului pentru matematică, al atitudinilor de căutare de noi
probleme, al apariției unor satisfacții noi, care întăresc pozitiv motivația școlară în sfere mai largi
de activitate; educarea unor trăsături volative pozitive pentru întreaga conduită a el evului
(tenacitate, concentrare, voința de a învinge, dorința de autodepășire controlată didactic etc ).
Datorită marii varietăți a acestui gen de probleme și a gradului înalt de articularitate al fiecăreia,
este greu să se facă analogii, să se opereze tra nsferurile de metodă. Asemenea probleme se vor
rezolva mai ales în cadrul cercului de matematică. Deoarece rezolvarea unei probleme nonstandard
82reprezintă un act creator, vom încerca o regăsire a fazelor procesului de creație așa cum au fost
elaborate de G .Wallas.
Exemplu:
Doi părinți se întâlnesc pe stradă și unul dintre ei îl întreabă pe celălalt câți copii are și
ce vârstă au. Cel întrebat răspunde: Am trei copii. Ce vârstă au? Ghicește! Deoarece amândoi
erau buni de glumă, între ei se înfiripă următor ul dialog: -Nu pot. Dă -mi câteva informații. –
Produsul vârstelor este 36. -Nu-mi ajunge această informație .-Suma vârstelor este cât numărul
acesta de la casa în dreptul căreia ne aflăm .După ce s -a gândit puțin, cel care întrebase spune :
-Tot nu p ot să răspund. Mai dă -mi o informație .-Da, cel mai mic are ochi albaștri .
După această informație el reușește să răspundă. Cum a procedat, știind că vârstele copiilor
au fost exprimate în numere întregi?
1.Prepararea este momentul în care rezolvitorul ( care este de fapt elevul și nu unul dintre cei doi
părinți) receptează activ toate sursele de sprijin posibile: -știe clar ce trebuie să afle (vârsta celor
trei copii); -adunarea materialelor -reactualizează toate datele problemei; -munca reală de cre ație
-deoarece rezolvitorul nu cunoaște decât produsul vârstelor care este 36, el va încerca toate
posibilitățile existente :
a) 1 x 1 x 36 = 36 b) 1 x 2 x 18 = 36 c ) l x 3 x l 2 = 36d ) l x 4 x 9 = 36
e ) l x 6 x 6 = 36f)2 x 2 x9 = 36 g )2 x 3 x 6 = 36 h ) 3 x 3 x 4 = 36
Cea de-a doua informație în legătură cu suma vârstelor îi este rezolvatorului necunoscută ,
încercând din nou toate posibilitățile:
a) 1 + 1 + 36 = 38 b) 1 + 2 + 18 = 21 c) 1+3+ 12 = 16 d) 1 + 4+ 9 =14
e) l + 6 + 6=13f) 2 + 2+ 9 =13 g) 2 + 3+ 6=11h) 3+3+ 4 = 10
2. Incubația este perioada activității inconștiente. După o scurtă
perioadă de timp apare o viziune de ansamblu asupra strategiei de lucru și a
posibilei soluții. Pe baza jocului liber al imaginației și intuiției creatoare, are loc înțelegerea
problemei, pregătindu -se cea de-a treia fază.
3.Iluminarea -rezolvitorul înțelege că aflându -se în oricare dintre situațiile a), b),
c), d), e), f), g) ,h) (menționate mai sus) celui de față i-ar fi fost ușor să afle vârsta. Deoarece a mai
cerut detaliu este evident că se aflau în dreptul casei cu numărul 13, având două posibilități. Din
acel detaliu, care la început pare banal, lipsit de importanță, atât părintele ce rezolvă problema, eât
șielevul, înțeleg că important este faptul că există un copil ca fiind cel mai mic, iar culoarea ochilor
este de fapt elementul perturbator menit să direcționeze greșit gândirea. Atunci dintre cele două
variante posibile va alege prima variantă, deci cea în care vârstele ar fi: 1 an, 6 ani, 6 ani.
4. Elaborarea și verificarea se realizează în mintea rezolvatorului
stabilind valoarea de adevăr a soluției găsite:1 x 6 x 6 = 36 ; 1 + 6 + 6 = 13;există într -adevăr un
copil ca fiind cel mai mic.
83CAPITOLUL III:
ASPECTE DIN EXPERIENȚA PERSONALĂ. VALORIFICAREA EXPERIMENTALĂ
III.1.PRECIZAREA OBIECTIVELOR ȘI FORMULAREA IPOTEZEI
Pe baza argumentelor de natură teoretică prezentate în capitolele anterioare, precum și prin
valorificarea experien ței mele didactice, mi-am propus realizarea unei cercetări aplicative privind
strategiile euristice de rezolvare a problemelor de matematică în învă țământul primar.
Pentru aceasta am formulat următoarele obiective:
A.Obiectivele cercetării
-sădemonstrezcă,indiferentdedomeniu,rezolvareaeuristică deproblemetrebuiesăfie
atributulcecaracterizeazăomulînoriceipostazăs-arafla:școală,familie,mediu,societate;
-sărealizezocercetarepsihopedagogicăprivindrezolvareaproblemelordematematică,
îmbinândmetodetradiționalecumetodeșiprocedeeactiveșidecooperare;
-săpromovezideeacăprinrezolvareaproblemelordematematică sedezvoltăgândireași
operațiileei,creativitatea,tăriadecaracter,sentimenteleșiatitudinilepozitive,spiritulde
competițieintelectuală.
În vederea verificării ipotezei, au fost stabilite o serie de sarcini, și anume:
Consultarea și studierea literaturii de specialitate, în legătură cu tema abordată;
Cunoașterea metodelor de cercetare care pot fi utilizate în realizarea studiului;
Alegerea și stabilirea numărului de subiecți;
Centralizarea și prelucrarea datelor.
B.Ipoteza de cercetare
Dacă utilizăm unele metode moderne cum ar fi : Știu/ Vreau să știu/ Am învățat,
Cadranele ,Cubul, Ciorchinele, Diagrama Venn în orele de matematică, vom contribui la
dezvoltarea capacității de investigare, la creșterea motivației elevilor și a randamentului școlar
al elevilor de clasa a III -a.
C.Variabilele cercetării
Pornind de la formularea ipotezei, în cadru l exprimentului am stabilit următoarele
variabile:
-variabila independentă -constă în strategiile didactice utilizate de învățător în vederea
determinării unei receptări dinamice a conținuturilor orerelor de matematică;
-variabila dependentă -vizează mo dificările așteptate în ceea ce privește îmbunătățirea
situației la învățătură a elevilor la disciplina matematică, ca urmare a introducerii factorului de
progres
III.2. Metodologia cercetării
Dezvoltarea pedagogiei ca știință a fost condiționată întotde auna de cercetarea pedagogică.
În genere, cercetarea padagogică se plasează la originea îmbogățirii conținuturilor teoretice
explicative și predictive ale acestei ramuri a cunoașterii, a găsirii unor metode și procedee de
predare-învățare-evaluare, a per fecționării practicii educaționale corespunzătoare exigențelor
contemporane.
84Ansamblul de metode, procedee, tehnici adecvate utilizate în procesul de cercetare,
constituie metodologia cercetării. Prin metodă de cercetare înțelegem calea, itinerarul, stru ctura
de ordine sau programul după care se reglează acțiunile intelectuale și practice în vederea atingerii
unui scop. ( Constanța Dumitriu, Introducere în cercetarea psihopedagogică, București, Editura
Didactică și Pedagogică, 2004, p.5 )
Tehnica este def inită în general, ca ansamblu de prescripții metodologice pentru o acțiune
eficientă. Tehnicile de cercetare sunt subsumate metodelor și se referă la demersul operațional al
abordării fenomenelor studiate.
Procedeul este maniera de acțiune de utilizar e a instrumentelor de investigare. La rândul
lor, instrumentele sunt unelte materiale de care se folosește cercetătorul pentru cunoașterea
științifică a fenomenelor cercetate ( ex. Foaia de observației).
În circumscrierea metodelor de cunoaștere a colecti vului de elevi, important este nu numai cum
sunt alese, ci și modul în care sunt folosite și combinate. Tinând seama de interdependența care
există între sintalitatea colectivului de elevi și personalitatea membrilor săi, va trebui să apelăm la
metode s pecifice ambelor domenii cu condiția ca ele să fie astfel aplicate și folosite încât să ne
ofere cât mai multe date despre colectiv ca întreg.
III.2.1. Metode și tehnici de cercetare psihopedagogică
În literatura de specialitate întâlnim diferite moduri de clasificare a metodelor de cercetare
pedagogică.
Având drept criteriu fundamental obiectivul urmrăit în cercetare și aspectul funcțional al
metodelor în demersul întreprins, E. Joița (2002) proc edează la următoarea clasificare ( Elena
Joița, Educația cognitivă , Iași, Polirom, 2002, pp.45 -46)
-metode pentru sesizarea problemei, clasificarea bazei teoretice și a studiului cercetării,
formularea ipotezei și a obiectivelor (tehnici de documentare, metoda comparativă etc.)
-metode de acumulare empirică și științifică a datelor, în diferite faze ale cercetării
(observația, analiza produselor activității elevilor, analiza documentelor școlare, tehnicile
sociometrice, chestionarul, interviul, studiul de caz etc.)
-metode pentru introducerea, aplicarea măsurilor ameliorative, de intervenție educativă,
verificarea ipotezei (experimentul pedagogic)
-metode pentru interpretarea parțială sau finală a rezultatelor (metodele de interpretare
cantitativă, metodele de interpretare calitativă)
-metode pentru finalizarea cercetării, valorificarea rezultatelor (tehnicile specifice de
redactare, comunicare, de generalizare).
În funcție de scopul lor pot fi împărțite în :
Metode de acumulare a datelor
1.Experimentul ps ihopedagogic
Definiție : reprezintă o formă participativă a experimentului natural în condițiile procesului
instructiv -educativ ( Elena Joița, Educația cognitivă , Iași, Polirom, 2002, pp.88 -89)
Clasificare :
85constatativ -vizează măsurarea și consemnarea unei situații existente la un moment dat;
formativ –presupune intervenția în grupul școlar, în vederea determinării anumitor
schimbări prin introducerea unor factori de progres.
Etape de realizare
-testarea inițială a grupului experimental;
-introducerea f actorului de progres în lotul experimental;
-retestarea sau testarea finală a celor două grupuri prin aplicarea probelor folosite în
evaluarea inițială și compararea performanțelor pentru evidențierea rolului factorilor de
progres.
Avantaje
-furnizează date de ordin cantitativ și calitativ, cu grad sporit de precizie;
-datele sunt concludente, ușor de prelucrat și interpretat cu ajutorul metodelor și tehnicilor
statistico –matematice;
Limite
-se desfășoară în condiții multiple și variate ce nu pot fi în totalitate controlate;
-rezultatele obținute se pot datora atât factorilor de progres introduși în experiment, cât și
influențelor exercitate de aceste condiții.
Experimentul l -am folosit pentru schimbarea comportamentul elevilor, pentru îmbunătățirea
relațiilor dintre ei prin introducerea factorilor de progres, sensibilizând și antrenând copiii în
activitatea de cercetare.
2.Observația
Definiție: este o metodă des utilizată în cunoașterea manifestărilor comportamentale ale elevilor
furnizând informații b ogate și variate. Cu ajutorul acestei metode pot fi obținute informații
valoroase cu privire la reacțiile elevului la întrebările adresate: gradul de concentrare pentru
formularea răspunsului; rapiditatea, spontaneitatea, stabilitatea atenției; gradul de rezistență la
efort; motivația pentru învățare; perseverența; nivelul dezvoltării deprinderilor motrice etc.
(Dumitriu, C., Introducere în cercetarea psihopedagogică , București, Editura Didactică și
Pedagogică, 2004, pp.59 -64)
Clasificare
Observa ția calitativă poate fi :
-participativă ;
-neparticipativă.
Observația participativă
Presupune implicarea activă în viețile celor studiați. Cercetătorul este acceptat ca membru
al grupului. Este cea mai calitativă dintre toate metodele de cercetare.
Observația neparticipativă
Când cercetătorul alege să observe grupul fără să se implice. Cercetătorul studiază grupul
din exterior. Cercetătorul privește mai mult decât ia parte.
86Avantaje
-permite surprinderea manifestărilor comportamentale naturale;-oferă date de ordin
calitativ.
Limite
-necesită timp mai îndelungat, deoarece fenomenul urmărit nu poate fi provocat;
-fenomenul urmărit este greu de desprins și de analizat, deoarece rareori apare izolat;
intervine subiectivismul celui care realizează observația.
În cadrul orelor de matematică am observat modul de participare al elevilor, capacitatea de
efort intelectual, ritmul de lucru, interesul și îndemânarea, curiozitatea, influența aprecierilor.
Observațiile au fost făcute atât în cadrul activităților teoretice, cât și practice, surprizând activitatea
intelectuală a elevilor și capacitatea lor la efort. Aceste date au fost consemnate într -o grilă de
observație.
Elevele: T.G.(x) Școala Gimnazială ,,Mihai Dragan” Bacău
M.A.( y) Școala Gimnazială ,,Mihai Dragan”, Bacău
Disciplina: Matematică
Subiectul: Adunareași scăderea numerelor naturale 0 -1000
Indicatori observaționali ISBFB
răspunde la întrebările adresate pentru aflarea sumei și
diferenței yx
rezolvă exerciții de calcul oral; yx
efectuează exerciții de scădere; yx
efectuează exerciții de adunare; yx
participă cu interes la rezolvarea sarcinilor și face
observații;yx
manifestă atenție și concentrare pe parcursul orei; yx
urmărește întrebările și răspunsurile colegilor; x
y
respectă cerințele privind ordinea (păstrarea caietelor,
acuratețea temelor, așezarea în pagină);x
y
colaborează cu colegii în rezolvarea sarcinilor primite. x
y
3.Convorbirea
Definiție
furnizează informații pentru înțelegerea motivelor interne ale conduitei, a opiniilor, intereselor,
aspirațiilor, trăirilor afective etc., într -un timp relativ scurt. Se desfășoară ca o discuție între două
persoane. ( Dumitriu, C., Introducere în cercetarea psihopedagogică , București, Editura Didactică
și Pedagogică, 2004, p.82 )
87Clasificare
convorbirea standardizată , structurată -bazată pe întrebări adresate în aceeași formă și ordine
tuturor subiecților;
convorbirea semistandardizată -unele î ntrebări sunt reformulate, se adresează și întrebări
suplimentare;
convorbirea liberă, spontană -se desfășoară în funcție de trăsăturile psihoindividuale ale
subiectului, de particularitățile situației;
Avantaje
relație directă, de tipul față în față între cercetător și subiect;
sinceritatea subiectului;
evitarea răspunsurilor incomplete, a celor deformate în mod voluntar;
tactul și abilitatea cercetătorului de a se face plăcut, de a inspira încredere obținând astfel o
angajare autentică a subiectelor, a colaborării sale;
capacitatea empatică a cercetătorului, transpunerea sa în stările psihice ale subiecților pentru o mai
bună înțelegere a modului în care acesta gândește, simte, evaluează, acționează.
Limite
pentru reușita convorbirilor este necesar ca profesorul să se gândească anticipat la ea, să -și
structureze întrebările, să intuiască răspunsurile copilului, pentru a ști cum să se comporte în
situații neprevăzute ca: blocarea în a da răspunsuri sau refuzul elevului de a răspunde.
Convorbirea a fost un instrument de investigație care a susținut prezenta cercetare prin
intermediul informațiilor pe care le -am obținut despre copii.
4.Metoda analizei produselor activității elevilor
Definiție: furnizează informații despre procesele psihice și une le trăsături de personalitate ale
elevilor din prisma obiectivării lor în produsele activității: desene, lucrări, portofolii, lucrări de
creație, proiecte. ( Dumitriu, C., Introducere în cercetarea psihopedagogică , București, Editura
Didactică și Pedagogic ă, 2004, pp.83 -84.)
Avantaje
-permite identificarea elevilor cu potențial creativ;
-descifrarea unor tensiuni și aspirații scăpate de controlul conștient și angajate în aceea
activitate;
-vizează calitatea cunoștințelor, deprinderilor, capacitatea de concentr are a atenției;
profunzimea înțelegerii diferitelor materiale cercetate etc.
Cu ajutorul acestei metode am obținut date din orice produs realizat de copii, incluse în
portofoliile acestora. Din corectarea caietelor de teme la matematică sau chiar a fișelor de lucru,
am remarcat nivelul de corectitudine al rezolvării sarcinilor, aspectul estetic, progresul / regresul
înregistrat de la o etapă la alta, capacitatea de punere în practică a cunoștințelor teoretice,
capacitatea de reprezentare, bogăția vocabularului și precizia lui, nivelul și calitatea cunoștințelor
și a deprinderilo r.
Aeastă metodă a furnizat date despre:
-bogăția de idei și imaginația copiilor;
88-nivelul priceperilor și deprinderilor;
-gradul de originalitate;
-progresul înregistrat de la o etapă la alta a experimentului.
5. Metoda testelor
Definiți e: este o probă standardizată, riguros elaborată și aplicată, folosită pentru măsurarea și
evaluarea personalității umane.
Condiții necesare:
-standardizarea, crearea acelorași condiții pentru toți subiecții supuși testării, fără a -i
favoriza pe unii și d efavoriza pe alții. Se standardizează conținutul probei (stimulii
prezenți), instructajul dat subiecților în legătură cu sarcina ce trebuie executată; timpul de
aplicare a probei; modul de cotare a reacțiilor;
-validitatea -testul se măsoară, se stabileșt e unui etalon la care se raportează rezultatele
obținute;
-etalonarea –unitatea de măsură, stabilirea unui etalon la care se raportează rezultatele
obținute;
-fidelitatea -se referă la însușirea testelor de a permite obținerea unor performanțe relativ
asemănătoare la o nouă aplicare.
A.Cosmovici (1996) realizează următoarea clasificare: ( Cosmovici, A., (1996), Psihologie
școlară, Editura Polirom, Iași, pp.92 -93.)
1. teste de inteligență și de dezvoltare intelectuală;
2. teste de aptitudini și capaci tăți;
3. teste de personalitate;
4. teste docimologice.
6.Testul docimologic
Ca metode de psihodiagnoză, testele sunt frecvent utilizate pentru diagnosticarea elevilor
și pentru formularea pe această bază a unui pronostic asupra evoluției lor vi itoare. Există teste
de limbaj, de reprezentare, de atenție, de percepție, de imaginație, de memorie, de inteligență, nu
luate global ci diferențiat pentru caracteristicile particulare ale acestora. Aplicate periodic în
procesul instructiv –educativ în cadrul orelor de matematică, dar și la alte obiecte, au ajutat la
determinarea nivelului de cunoștințe, priceperi, deprinderi, dar și a gradului de dezvoltare a
capacităților intelectuale. Testele au fost concepute în corelație cu obiectivele operați onale
stabilite, cuprinzând seturi de itemi prin care am urmărit înregistrarea și evaluarea performanțelor
școlare.
Metode de organizare, analiză și prezentare a datelor
Datele obținute, în urma aplicării diferitelor metode de cercetare, urmează a fi prelucrate și
prezentate într -o formă accesibilă, sintetică și relevantă.
În acest scop au fost folosite:
-Metode și tehnici statistico -matematice
-Metode de prezentare grafică
89Cu ajutorul acestora se realizează analize cantitative, în vederea surprinderii relațiilor
cantitative, numerice dintre variabilele studiate. După culegerea și măsurarea datelor cercetării
urmează să fie prelucrate cantitativ în vederea realizăr ii unor evaluări și interpretări calitative
pentru desprinderea unor concluzii cu valoare practică -acțională. (Constanța Dumitriu,
Introducere în Cercetarea Psihopedagogică , București, Editura Didactică și Pedagogică, 2004,
pp.59-64.)
În cadrul acestei cer cetări s-a folosit întocmirea tabelului cu rezultate. Acesta se realizează
imediat după administrarea unor probe și înregistrarea performanțelor, sau după efectuarea
observației și consemanrea datelor în grila de observație. Au fost întocmite tabele an alitice și
sintetice prin gruparea datelor consemnate.
Reprezentarea grafică a datelor recoltate și prelucrate statistic, poate fi făcută folosindu -se
curbe de probabilitate, histograme, grafice, tabele, diagrame, etc. Reprezentările grafice prezintă
sintetic rezultatele globale ale cercetării, interpretarea realizându -se în funcție de înclinația curbei
(predominant spre stânga sau dreapta), de forma și înălțimea pe care o are. În cadrul cerectării
intreprinse am folosit poligonul frecvențelor, hi stograma și diagrama areolară.
Cu ajutorul metodelor statistico -matematice am prezentat într -o formă accesib ilă, sintetică
datele obținute.
III.2.1. LOTUL DE CERCETARE
Eșantionulestealcătuitdin24deeleviaiclaseiaIII-aAdinȘcoalaGimnazil ă ,,Mihai
Dragan ”, județul Bacău,dincare12feteși12băieți,cuvârstacuprinsăîntre9și10ani.
Colectivulclaseiesterelativomogen,majoritateacopiilorfiindnormaldezvoltațiatât
fizic,câtșiintelectual.Eleviisuntdisciplinați,nucreeazăproblemeîntimpulorelor,sunt
comunicativișisociabili,cuunnivelnormaldedezvoltareintelectuală.
Cercetarea s -a realizat în trei etape:
I. Etapa evaluării inițiale (constatativă)
S-a desfășurat în perioada 16 septembrie –1 octombrie 2016.Etapa evaluării inițiale
are ca obiectiv diagnosticarea nivelului de dezvoltare intelectuală, de pregătire la începutul unei
activități de cercetare, pentru a cunoaște nivelul de la care se pornește. În această perioadă am
afectuat testarea inițial ă a celor două grupuri prin aplicarea unei probe de evaluare inițială prin
care am urmărit nivelul de cunoștințe al elevilor, condițiile în care aceștia se pot integra în
activitatea care urmează. Cunoașterea capacităților de învățare ale elevilor, a nive lului de
pregătire de la care pornesc și gradului în care stăpânesc cunoștințele și abilitățile necesare
asimilării conținutului etapei care urmează, reprezintă o condiție hotărâtoare pentru reușita
activității didactice.
Obiectivele evaluate au fost urmă toarele:
-să utilizeze sistemul pozițional de formare a numerelor naturale mai mici decât 1 000;
-să compare numere naturale mai mici decât 1 000, utilizând semnele de comparație
potrivite;
90-să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici d ecât 1000, fără și cu
trecere peste ordin;
-să rezolve problema dată.
Proba de evaluare inițială
Clasa a III -a
Diciplina: Matematică
Unitatea de învățare: Numerele naturale d ela 0 l a 1000
Obiective de referință Itemi de evaluare/proceduri de
aplicareDescriptori de performanță
1.1.
1.3.I.1. Scrie cu cifre numerele:
a.șaptesprezece
b. cincizeci și nouă
c. opt sute douăzeci și doiFB-Rezolvă corect a, b,c.
B-Rezolvăcorect a,b sau a,c
sau b,c.
S-Rezolvă corect a sau b sau
c.
1.1.I.2. Găse ște toate numerele
naturale cuprinse între 58 și 97
care conțin cifra 5 .FB-Rezolvă corect exercițiul:
găsește toate cele 5 numere.
B-Rezolvă parțial corect
exrcițiul: găsește 3 numere
S-Rezolvă parțial corect
exrcițiul: găsește 1 -2 numere.
1.1.
1.3.
2.4.I.3 .Află numerele care îndeplinesc
condițiile:
a.cu 8 mai mare decat 68.
b.cu 15 mai mic decat 93.
c.care, adunate cu 3 și din care
scazi 3, dă 759.FB-Rezolvă corect a, b,c.
B-Rezolvă corect a,b sau a,c
sau b,c.
S-Rezolvă corect a sau b
sau c.
1.1.
1.2.I.4. Compară numerele, punând
semnul matematic potrivit în
casetă.
a. 17 □ 59; b. 898 □ 898
c. 98 □ 89FB-Rezolvă corect a, b,c.
B-Rezolvă corect a,b sau a,c
sau b,c.
S-Rezolvă corect a sau b sau
c
1.1.
1.3.
2.6.I.5. Citește cu atenție și rezolvă
problema, cu plan de rezolvare.
La un magazin s -au adus 550 kg
de portocale, iar banane cu 375 kg
mai puține.
Câte kg de fructe s -au adus în
total?FB-Rezolvă corect problema;
B-Rezolvă parțial corect
problema
S-Rezolvă numai prima
operație.
91II. Etapa formativă (introducerea factorului de progre s) s-a desfășurat în perioada 2
octombrie 2016 -1aprilie 2017 . Această etapă a cuprins proiectarea, organizarea și desfășurarea
demersului didactic la disciplina mat ematică, introducerea „factorului de progres” (folosirea
metodelor activ -participative în rezolvarea problemelor de matematică), în care am urmărit
antrenarea tuturor elevilor în procesul propriei lor formări.
Am utilizat evaluarea continuă care are ca obiectiv asigurarea pregătirii sistematice și
continue. Ea s -a realizat pe tot parcursul programului de instruire în cadrul unităților de învățare
și la sfârșitul acestora.
Cunoașterea nivelului atins de elevi m -a ajutat să determin aspectele pozitive și lacunele
procesului de instruire, prin raportarea la obiectivele avute în vedere. Astfel, am urmărit îndeosebi
cum a rezolvat fiecare elev problemele de aritmetică, ce dificultăți au întâmpinat în rezolvarea
acestora în vederea ameliorării sau chiar a înlăturării acestora prin intermediul situațiilor de
instruire organizate la clasă. Au fost utilizate metodelor active și de cooperare.
Ca forme de organizare am folosit: activitatea frontală, în perechi, pe grupe și individual.
Am folosit mijloace didactice:
-obiecte concrete (riglete, bețișoare) la rezolvarea unor probleme simple cu ajutorul
operației de înmulțire sau împărțire;
-imagini, planșe, reprezentări grafice (demonstrație figurativă);
desene la tablă;
-mijloace tehni ce didactice vizuale: videoproiectorul, calculatorul.
În această etapă am parcurs la clasă conținutul următoarelor unități de învățare și am urmărit
atingerea obiectivelor de referință aferente acestora:
Conținutur
iObiecti
ve de
referinț
ăDataStrategi a didactică
Evaluare Metode și procedee Mijloace
didacticeForme de
organizare
1.
Numerele
naturale de
la 0 la
10001.1
1.2.
2.2.conversația,
demonstrația
explicația, exercițiul,
jocul didactic
brainstorming.Planșe
didactice
Manualul
Culegere de
Matematică
Jetoane
Numărătoare
Fișe de lucrufrontală,
pe grupe
individualăobservarea
sitematică
probă
scrisă
formativă
2.
Adunarea
și scăderea
numerelor1.3.
2.4.
2.6.
2.7.comversația
exercițiul,
explicația,
problematizarea,
algoritmizarea,fișe de lucru
Jetoane
Numărătoare
Planșe
didacticefrontală, pe
grupe,
individualobservarea
sitematică
probă
scrisă
formativă
92naturale de
la 0-1000Ciorchinele
Diagrama VennManualul
Culegere de
matematică
3.
Înmulțirea
numerelor
naturale
mai mici
ca 100.1.4.
2.3.
2.5.
2.6.conversația
explicația,
exercițiul, învățarea
prin descoperire,
problematizarea,
algoritmizarea,
jocul didacticfișe de lucru
didactice
Manualul
Culegere de
matematică
Fișe de lucrufrontală, în
perechi,
individualăobservarea
sistematică
probă
scrisă
formativă
4.
Împărțirea
numerelor
naturale
mai
mici ca
1001.4.
2.3.
2.5.
2.6.conversația
explicația, exercițiul,
demonstrația,
învățarea prin
descoperire,
problematizarea,
algoritmizarea,
joculdidactic
diagrama VennLaptop
Prezentări în
Power Point
Video
proiector
Ecran de
Proiecție
planșefrontală,
în perechiobservarea
sitematică
probă
scrisă
formativă
5.
Rezolvare
de
probleme2.6.
2.7.
2.9.
3.1.
4.1.
4.2.
4.3.Exercițiul
Joculdidactic
Explicația
Demonstrația
Conversația
Problematizarea
Metoda
cadranelor
Metoda Știu /
Vreau să știu /
Am învățat
Organizatorul
Graphic
Cubullaptop,
videoproiector
Prezentări în
Power Point
Video
fișe de lucru
Planșe
didactice
Manualul
Culegere de
matematicăfrontală, pe
grupe,
individualăobservarea
sitematică
probă
scrisă
formativă
6.
Numerele
naturale de
la 0 la
1 000 0001.1
1.2
2.2Exercițiul
Jocul didactic
Explicația
Demonstrația
Conversația
Învățarea prin
descoperirePlanșe
didactice
Manualul
Culegere de
matematică
Fișe de lucru
Jetoanefrontală, pe
grupe,
individualăobservarea
sitematică,
probă
scrisă
formativă
93Numărătoare
7.
Adunarea
și scăderea
numerelor
naturale în
intervalul
de la 0 la
10 0001.3
2.4
2.6
2.7
3.1
4.1,
4.2, 4.3conversația,
explicația, exercițiul,
Știu/Vreau să știu/Am
învățat
Cadranele
Exercițiul
Jocul didactic
Demonstrația
ConversațiaPlanșe
didactice
Manualul
Culegere de
matematică
Fișe de lucrufrontală, pe
grupe,
individualăobservarea
sitematică
evaluare
orală
probă
scrisă
formativă
8.
Elemente
de
geometrie2.1. brainstorming,
explicația,
demonstrația,
exercițiul,
joculdidactic,
Diagrama VennPlanșe
didactice
Manualul
Culegere de
matematică
Fișe de lucru
trusă
geometrică
forme spațialefrontală, pe
grupe,
individualăobservarea
sitematică
probă
scrisă
formativă
9. Unități
de măsură2.8. Exercițiul
Jocul didactic
Explicația
Demonstrația
ConversațiaManualul
Culegere de
matematică
Instrumente
diverse de
măsurăfrontală, pe
grupe,
individualăobservarea
sitematică
probă
scrisă
formativă
Dintre metodele didactice specifice învățării active și învățării prin cooperare, nou apărute
în sistemul de predare -învățare, brainstorming -ul, mozaicul, ciorchinele, Știu/ Vreau șă știu/Am
învățat, metoda Cadranelor, Cubul și jocul didactic, am încercat să aplic și în lecțiile de
matematică, obținând un real succes.
Ilustrez aplicații ale metodelor activ -participative realizate în rezolvarea problemelor de
matematic ă și câteva jocuri matematice:
a.Metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat
Rezolvarea problemelor a fost efectuată atât sintetic (de la date spre întrebare), cât mai ales
analitic (de la întrebare spre date), pentru a solicita mai mult gândirea elevilor, pentr u a nu aplica
mecanic algoritmul de rezolvare, pentru a mă asigura că elevii au înțeles foarte bine datele și
condiția fiecărei probleme, că au raportat datele cunoscute la cerințe și condiții, ceea ce îi ajută să
construiască șirul de judecăți. Acestea c onduc la găsirea soluției, stimulând în acest fel exersarea
gândirii logice la elevi.
94Un sătean a dus la piață 9 saci a câte 5 kilograme fiecare și 7 saci a câte 9 kilograme
fiecare. Să se afle cât cântăresc împreună sacii duși la piață.
Copiii citesc textul problemei, completează primele două coloane și trec la rezolvarea
problemei în cea de -a treia coloană.
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AM ÎNVĂȚAT
9 saci a câte 5 kg
7 saci a câte 9 kgCât cântăresc cei 9 saci?
Cât cântăresc cei 7 saci?
Cât cântăresc împreună
sacii duși la piață?1). 9×5 kg = 45 kg
2). 7 x 9 kg = 63 kg
3). 45 kg + 63 kg =108 kg
Tatăl lui Mircea are 39 de ani, mama cu 4 ani mai puțin, iar Mircea are vârsta de 5 ori mai
mică decât a mamei sale. Câți ani are Mircea?
ȘTIU VREAU SĂ ȘTIU AMÎNVĂȚAT
tata-39 ani
mama-cu 4 ani mai
puțin
Mircea de 5 ori mai
mic decât mamaCâți ani are mama?
Câți ani are Mircea?1). 39 –4 = 35 ani
2). 35 : 5 = 7 ani
Metoda a oferit feedback continuu și eficient, a antrenat toți elevii, individual, fro ntal și în
perechi, elevii și -au sistematizat cunoștințele, și -au clarificat pe loc ceea ce se cunoaște în problemă
și ceea ce se cere. Lucrând în perechi sau în grup s -a contribuit la cultivarea și educarea unei noi
atitudini față de muncă (simțul respon sabilității față de grup), a prieteniei, a cooperării între elevi,
a toleranței, ceea ce a stimulat, încurajat și motivat mai ales pe elevii mai timizi, mai neîncrezători
în forțele proprii.
b.Metoda cadranelor
Metoda cadranelor am folosit -o frontal, individul și pe grupe în rezolarea problemelor. Am
considerat această metodă eficientă deoarece a delimitat în mintea copilului etapele pe care trebuie
să le parcurgă pentru a obține rezultatul problemei.
În această situație elevii au avut de rezolvat o problemă soluționată și prin metoda anterioară, cu
deosebirea că este încadrată diferit în pagina caietului.
VARIANTA 1
I. Problema
Ion are 245 timbre, Marius cu 78 mai puține
iar Alin cât Ion și Marius la un loc. Câte
timbre are Alin?II. Datele proble mei
Ion-245 timbre
Marius-cu 78 mai puține
Alin –Ion +Marius
Câte timbre are Alin?
95III. Plan de rezolvare
1.Câte timbre are Marius?
245–78 = 167 timbre
2.Câte timbre are Alin?
245 + 167 = 412 timbreIV.
Răspuns : 412 timbre
Când elevii au înțeles etapele pe care trebuie să le parcurgă în rezolvarea problemei, am
modificat structura cadranelor:
VARIANTA 2
I.Datele problemei
Ion-245 timbre
Marius-cu 78 mai puține
Alin –Ion +Marius
Câte timbre are Alin?II. Plan de rezolvare
1.Câte timbre are Marius?
245–78 = 167 timbre
2.Câte timbre are Alin?
245 + 167 = 412 timbre
R: 412 timbre
III. Exercițiul problemei
245-78 + 245= 412IV. Compune o problemă asemănătoare care
să se rezolve prin același exercițiu
Sergiu are 45 de bomboane, Mihai cu 23
mai piține iar Felicia are cât Sergiu și Mihai
la un loc.
Câte bomboane are Felicia?
Raționamentul de rezolvare concretizat în planul de rezolvare și exercițiul problemei a fost
elaborat prin interferențe deductive, în care cunoașterea s -a realizat de la general la particular
(expresia „cu atât … mai puțin” și noțiunea de „total” sugerează folosirea operației de adunare) În
consecință, am urmărit stimularea gândirii deductive la elevi, care are un caracter riguros
sistematic, cu rol însemnat în înțelegerea și rezolvarea problemelor.
În mod asemănător s -a procedat și la rezolvarea problemei dată mai sus, la metoda
Știu/Vreau să știu/ Am învățat
Un sătean a dus la piață 9 saci a câte 5 kilograme fiecare și 7 saci a câte 9 kilograme
fiecare. Să se afle cât cântăresc împreună sacii duși la piață.
I.Datele problemei
9 saci a câte 5 kg
7 saci a câte 9 kg
Cât cântăresc împreună sacii duși la
piață?II. Plan de rezolvare
1. Cât cântăresc cei 9 saci?
9×5 kg = 45 kg
2. Cât cântăresc cei 7 saci?
7 x 9 kg = 63 kg
963. Cât cântăresc împreună sacii duși la
piață?
45 kg + 63 kg =108 kg
R: 108 kg
III. Exercițiul problemei
9 x 5 + 7 x 9 = 108IV. Compune o problemă asemănătoare
care să se rezolve prin același exercițiu
Bunicul a cumpărat 9 cutii a câte 5
răsaduri de ro șii fiecare și 7 cutii a câte 9
răsaduri de ardei fiecare.
Câte răsaduri a cumpărat bunicul?
c. Metoda Cubului
Este o metodă de învățare prin colaborare și are la bază împărțirea grupului în mai multe
grupuri de lucru, coordonate de învățător.
Etapele metodei:
-se realizează un cub pe ale cărui fețe se specifică: descrie, compară, analizează, asociază,
aplică, argumentează;
-se pot nota direct cerințele unei probleme;
-se împarte clasa în 6 grupe;
-atribuirea perspectivei de lucru pentru fiecare echipă se face prin rostogolirea cubului;
-fiecare grup va rezolva perspectiva unei fețe a cubului;
-lucrarea în forma finală poate fi desfășurată pe tablă, pe flanelograf sau pe pereții clasei.
În cadrul unităților de învățare am aplicat această metodă, iar elevii au avut de rezolvat sarcini
precum:
Exemplul 1
1. Alcătuiește o problemă
după următorul exercițiu:
94–(5 × 7 + 8 × 4) =
2. Compară suma
numerelor 123 și 456 cu
suma numerelor 455 și
122.3. Analizează datele
problemei și întocmește
planul de rezolvare al
acesteia:
O cantitate de 35 l de lapte
se toarnă în bidoane de câte
5 l, altă cantitate de 42 l se
toarnă în bidoane de 7 l4. Asociază corespunzător:
jumătatea numărului 846; 537
numărul de 5 ori mai mare decâ t
123 ; 423
numărul cu 263 mai mic decât 800
249
numărul cu 127 mai mare decât
603; 111
triplul numărului 83; 730
97fiecare. Câte bidoane sunt
necesare pentru tot laptele?o cincime din numărul 555; 615
5. Compune o problemă
care se rezolvă printr -o
operație de înmulțire și una
de adunare.
6. Argumentează valoarea
de adevăr a următorului
calcul matematic, efectuând
proba în două moduri:
963–425 = 538
Exemplul 2
1. Descrie importanța cifrei 5 în
fiecare din numerele: 571, 351, 405,
555.
2. Compară
numerele:
425 cu 219;
675 cu576;
348 cu 4833. Analizează propozițiile de mai jos
și anuleaz -o pe aceea care nu prezintă
un adevăr:
•termenul necunoscut al adunării se
află prin adunare
•descăzutul se află prin adunare
•scăzătorul se află prin scădere4. Explică proprietatea adun ării
numităcomutativitate prin două
exemple date de
tine.
5. Aplică proprietățile cunoscute ale
adunării pentru a rezolva exercițiul
mai rapid.
•1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 =
6. Argumentează importan ța
numerelor în viața oamenilor.
d.Metoda ciorchinelui
Această metodă am folosit -o cu succes în lecțiile cu ordinea efectuării operațiilor,
operațiile cu numere naturale, diferite tipuri de probleme, elemente de geometrie etc. Aceasta dă
rezultate deosebite în folosirea muncii pe echipe. Fiecare membru al echipei va găsi cel puțin două
soluții la problema dată. Observând și aprobând variantele colegilor, copilul își dezvoltă imaginația
și creativitatea. Am folosit metoda ciorchinelui și în secvențe de recapitulare a noțiunilor teoretice
matematice.
Prin întrebări, învățătorul dirijează gândirea elevilor, notează și schematizează cunoștințele
teoretice matematice:
98e.Diagrama Venn
Are rolul de a reprezenta sistematic, într -un mod cât mai creativ, asemănările și deosebirile
evidente dintre două categorii date: operații matematice, figuri geometrice, etc..Această metodă
utilizată în echipă are rezultate deosebite în orice moment al lecției.
Exemplul 1
Reprezentați în diagrama Venn ceea ce știți voi despre pătrat și dreptunghi:
Exemplul 2
Reprezentați în diagrama Venn ceea ce știți voi despre ope rația de adunare și de scădere:
OPERATII
ADUNARE
SCADERE
SUMA
TERMENI
MARITI CU
ADAUGA LA,
PUNE
CU ATAT MAI MARE
REST ,DIFERENTA
DESCAZUT
SCAZATOR
CU ATAT
MICSOREAZA
LUAM DIN
99f.Jocuri didactice matematice ( Popovici, E. (1971 ), Culegere de jocuri didactice , EDP,
București, pp. 23 -30.)
1. Racheta istețior
Scopul jocului:
formarea deprinderilor de calcul rapid și corect;
însușirea ordinii operațiilor;
dezvoltarea gândirii logice și a spiritului competitiv.
Materiale: o planșă cu desenul alăturat.
Regula jocului: elevii vor rezolva exercițiile, începând de
la baza rachetei, în ordinea în care apar ele.
Recompensă: cine va ajunge primul la rezultatul corect,
care va fi scris în ultimul pătrat, va fi câștigătorul.
Învățătorul va desena sub rachetă niște flăcări, semn că a
decolat.
1002. Șarpele
Scopul jocului:
formarea deprinderilor de calcul rapid și corect;
dezvoltarea spiritului competitiv.
Materiale: fișe cu desenul de mai jos.
Regula jocului: pornind de la capul șarpelui, fiecare
elev va face operațiile aritmetice în ordinea în care
apar ele, iar rezultatul final îl va scrie pe coada
șarpelui. Copiii vor fi împărțiț i pe echipe. Pentru fiecare rezultat final corect, elevii vor primi câte
un punct.
Recompensă: echipa cu cele mai multe puncte va deveni campioană.
4. Florile matematicieni
Scopul jocului : însușirea și consolidarea operațiilor matematice de adunare și scădere
a numerelor naturale până la 1000, cu și fără trecere peste ordin.
Materiale: cercuri albastre în care sunt înscrise numerele.
Regula jocului: Fiecare echipă alege un număr pe care îl lipe ște pe cercul din mijloc.
Membrii echipei caută să completeze celelate cercuri cu operații de scădere și adunare
în care rezultatul operației este cel din cerc.
III. Etapa evaluării finale -s-a desfășurat în luna iunie. Am aplicat o probă de evaluare la
unitatea de învățare ,, Recapitulare finală ” pentru a se stabili nivelul de pregătire al elevilor și
modul în care au evoluat de la testul inițial.
Obiectivele evaluării au fost următ oarele:
-să utilizeze sistemul pozițional de formare a numerelor naturale mai mici decât
1 000 000;
-să compare numere naturale mai mici decât 1 000 000, utilizând semnele de comparație
potrivite;
-să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere ma i mici decât 10 000, fără și cu
trecere peste ordin;234 778
101-să efectueze operații de înmulțire și împărțire cu numere naturale mai mici decât 100;
-să afle numărul necunoscut dintr -o operație de adunare, de scădere, de înmulțire respectiv
de împărțire;
-să rezolve corect problema dată.
Probă de evaluare finală
Clasa a III -a
Diciplina: Matematică
Unitatea de învățare: Recapitulare finală
Obiective de
referințăItemi de evaluare/proceduri de
aplicareDescriptori de performanță
1.1.
1.3.I.1. Calculați respectând ordinea
efectuării operațiillor:
a. 100-9 x 8 =
b. ( 5 x 5 + 49 :7 ) : 4 =
c. 1000 –225 : 5 + ( 3 x 92 + 4 x 6
) : 100 =FB-Rezolvă corect a, b,c.
B-Rezolvă corect a,b sau a,c
sau b,c.
S-Rezolvă corect a sau b sau
c.
1.1.I.2. Aflați numărul necunoscut:
a. a x 7 = 147 b.
b : 9 = 54
c. (3 010 –988) –c = 793FB-Rezolvă corect a, b, c.
B-Rezolvă parțial corect
exrcițiul: a,b, sau b,c sau a,c.
S-Rezolvă parțial corect
exrcițiul: a sau b sau c.
1.1.
1.3.
2.4.I.3. Află numerele care îndeplinesc
condițiile:
a.cu 108 mai mare decat 6800.
b.cu 1005 mai mic decât
99 300.
c.care, adunat cu 123 dă 759.FB-Rezolvă corect a, b,c.
B-Rezolvă corect a,b sau a,c
sau b,c.
S-Rezolvă corect a sau b sau
c.
1.1.
1.2.I.4. La suma numerelor 1230 și 4
350 adăugați:
a. produsul numerelor 3 , 4 și 2.
b. câtul numerelor 50 și 5
c. cel mai mare număr impar scris
cu trei cifre diferiteFB-Rezolvă corect a, b,c.
B-Rezolvă corect a,b sau a,c
sau b,c.
S-Rezolvă corect a sau b sau
c.
1021.1.
1.3.
2.6.I.5. Citește cu atenție și rezolvă
problema cu plan de rezolvare.
Matei are 2 bancnote a 100 lei
bucata. El a cumpărat 3 cărți a 35
de lei bucata, un penar cu 27 de
lei, și 2 cutii de creioane a 9 lei
cutia. Câți lei îi rămân lui Matei?FB-Rezolvă corect problema.
B-Rezolvă parțial corect
problema.
S-Rezolvă par țial corect
problema. Scrie un exerci țiu
corect.
III.4. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor la testarea ini țială
Etapa evaluării inițiale
Evaluarea inițială realizată prin test de cunoștințe ne poate oferi informații referitoare la
nivelul minim de achiziții privind rezolvarea problemelor cu operații de același ordin. Această
evaluare inițială a fost realizată în urma recapitulării cunoștințelor din clasa a II -a.
Probă de evaluare inițială
Obiective:
O1.–să calculeze exerciții simple cu înmulțiri și împărțiri;
O2.–să rezolve exerciții cu text ce cuprind termeni matematici;
O3.–să rezolve probleme cu operații de același ordin;
O4.–să compună o problemă după un ex ercițiu dat și să o rezolve.
Conținut:
1. Calculați:
4 x 9 = 36 : 6 = 2 x 9 : 3 =
3 x 8 = 48 : 8 = 36 : 9 x 4 =
5 x 4 = 27 : 3 = 8 X 2 : 4 =
7 x 6 = 56 : 7 = 25 : 5 x 7 =
2. Micșorați de 6 ori produsul dintre 4 și 9. Ce număr obțineți?
3. Mihai are 3 ani. Victor este de două ori mai mare, iar Mircea este de 4 ori mai mare decât Victor.
Câți ani are Victor?
4. Pe primul raft al unei biblioteci sunt 32 de cărți. Pe al doilea raft sunt de 4 ori mai puține, iar pe
al treilea raft de două ori mai puține decât pe al doilea. Câte cărți sunt pe al treilea raft?
5. Co mpuneți o problemă după următorul exercițiu și apoi rezolvați -o:
40 : 8 x 9 =
Punctaj:
Item 1: 1,60 puncte -16 situații x 0,10 puncte
Item 2: 0,40 puncte -4 situații (identificarea operațiilor de înmulțire și împărțire și r ezolvarea
exercițiului corespunzător) x 0,10 puncte
Item 3: 2 puncte -4 situații (2 întrebări și 2 aflări corespunzătoare) x 0,10 puncte
Item 4: 2 puncte -4 situații (2 întrebări și 2 aflări corespunzătoare) x 0,10 puncte
Item 5: 3 puncte -compunerea pr oblemei –1 punct
103-rezolvarea problemei –2 puncte: 4 situații x 0,50 puncte
1 punct –oficiu
Evaluarea rezultatelor pentru cele trei teste s -a făcut prin notarea de la 3 la 10, stabilind
calificativul insuficient pentru notele mai mici decât 5, suficientpentru notele 5 –6,binepentru
notele 7 –8,foarte bine pentru notele 9 –10.
Tabelul rezultatele obținute de elevi la evaluarea inițială pentru fiecare item -clasa
experimental ǎ
Nr. Numele și
prenumeleItemi Calificative
I1I2I3 I4 I5
1A.I. FBFBFB FB B FB
2A.E. SSI I I I
3A.C. FBFBB S B B
4B.D. FBBB B FB B
5B.M. SIS S S I
6B.I. FBFBFB FB FB FB
7C.V. BSS I B S
8D.L. FBBB B FB B
9F.D. BFBB B FB B
10G.O. SSS I I S
11L.V. FBFBFB FB FB FB
12L.R. SII I S I
13M.A. BBB B FB B
14M.V. FBBB B B B
15N.S. SSI I S S
16O.D. BFBFB B FB FB
17O.A. SII I S S
18P.R. FBBB B FB B
19P.G. SII I S I
20S.B. BFBB B B B
21S.C. BSS S B S
22T.G. FBFBFB FB FB FB
23T.R. FBBB B B B
24V.S. FBBB B FB B
104Tabelul 4.5. Tabelul sintetic -reflectă rezultatele elevilor la proba inițială
Clasa Indica-
torNr.
eleviISBFBPunctaj
maximPunctaj
realizatRelizat
%Media
Experi-
mentalăE 2445105240 176 73,33% 7,3
Analizând datele tabelelor , putem afirma că:
-rezultatele obținute de elevii clasei experimentale reprezintă informații cu privire la
bagajul de cunoștințe pe care îl posedă elevul respectiv și lacunele pe care le are acesta;
-totalul de puncte la nivelul c lasei l-am realizat din suma punctelor obținute la fiecare
item plus punctul din oficiu.
Tabelul 4.6. Tabelul sintetic -reflectă nivelul performanțelor atinse în procente la testul
inițial
Număr de copii/ procente Calificativ
5 20,8% Foarte bine
10 41,8% Bine
5 20,8% Suficient
4 17,6% Insuficient
În urma înregistrării acestor date, am concluzionat următoarele cu privire la nivelul inițial
de pregătire al elevilor:
-dificultățile întâmpinate de elevi s -au înregistrat la formularea morale desprinse dintr –
un text;
-media nivelului clasei este de 7,3, aceasta reprezentând punctul de plecare î n realizarea
cercetării propuse.
Figura 4.6. Histograma -reflectă rezultatele elevilor la testul de evaluare inițială
Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul de
performanță raportat la calificative.024681012
I S B F.B
105Figura 4.7. Poligonul de frecvență -reflectă rezultatele elevilor la testul inițial
Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă
nivelul de performanță raportat la calificative.
Figura 4.8. Diagrama areolară -reflectă rezultatele elevilor la testul inițial
Diagrama areolară -reflectă rezultatele elevilor la testul inițial unde elevii au ob ținut
urmatoarele calificative reprezentate în procente :F.b.20.8%;B41.8%;S20,8%;I17,6%.
Figura 4.9. Diagrama procentuală -rezultatele obținute de elevi la proba de evaluare inițială
Interpretarea rezultatelor obținute la proba de evaluare inițială
Testul inițial a fost menit să stabilească nivelul de pregătire al elevilor. În urma lui am
observant că itemul cel mai dificil s -a dovedit a fi I4, în timp ce rezultatele cele mai bune s -au024681012
I S B F.B
20,8
41,820,817,6F.
b
82,417,600
106obținut la itemii: I1 , I2 , I3. Datele per elev au demonstrate diferențe mari între elevii care au
rezolvat 2 -3 sarcini și cei care au rezolvat toate sarcinile. Am constatat că nivelul clasei
este scăzut spre mediu.
Aplicarea testului inițial mi -a permis cunoaș terea dificultăților elevilor în faza incipientă și
legat de amploarea lor, staționarea mai îndelungată asupra respectivului conținut până la atingerea
unui nivel corespunzător de pregătire de către toți elevii.
Bazându-mă pe rezultatele experimentului i nițial constatativ, am stabilit scopul celei de -a
doua etape a cercetării, care să asigure progresul, conducându -mă la ideea necesității unei evaluări
continue după fiecare capitol, tratare diferențiată, schimbarea metodei de lucru.
Am acordat o mai mare atenție activității independente, astfel pentru elevii care nu au rezolvat
un item sau altul am elaborate fișe de lucru în care a fost reluată sarcina nerezolvată din itemul
corespunzător, venind în același timp cu explicații suplimentare, iar în a doua pa rte cu un număr
mai mare de exemple.
III.5. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor la testarea formativ -ameliorativă
Etapa a II -a–testarea formativ –ameliorativă
Testul formativ –ameliorativ
După parcurgerea unităților de învățare referitoare la operații cu numere naturale în
concentrul 0 –1000, s-au efectuat o serie de testări formative de cunoștințe. Acestea au avut ca
scop verificarea calității și cantită ții conținuturilor dobândite pe parcursul acestor ore.
Exercițiile și problemele propu se spre rezolvare sunt variate, vizând aceleași conținuturi ca
cele din evaluarea inițială și o gradare în dificultate.
Probă de evaluare formativ –ameliorativă
Obiective:
O1. să calculeze exerciții simple cu cele patru operații cu numere cuprinse în concentrul 0 –1000;
O2. să rezolve exerciții ce cuprind termeni matematici (produs, adaugă);
O3. să rezolve probleme cu operații de ordine diferite;
O4. să compună și să rezolve o problemă după un exercițiu dat.
Conținut
1. Calculați:
227 + 596 = 436–288 = 184 x 4 = 312 : 2 =
405 + 297 = 521 –490 = 236 x 3 = 573 : 4 =
366 + 598 = 746 –302 = 79 x 8 = 423 : 3 =
278465 = 891 –407 = 125 x 6 = 506 . 5 =
2. La produsul numerelor 72 și 9 adaugă cel mai mic număr de trei cifre diferite. Într -o
curte sunt 147 găini și de 3 ori mai puține rațe. Câte păsări sunt în curte?
4. La un magazin s -au adus dimineață pentru vânzare 329 pâini, la prân z cu 103 mai puține, iar
seara de două ori mai multe decât la prânz. Dintre acestea s -au vândut 589 pâini. Câte pâini au
rămas în acea zi la alimentară?
5. Compuneți și rezolvați o problemă după următorul exercițiu:
625–123 x 4 =
107Punctaj
Item 1: 1,60 puncte -16 situații x 0,10 puncte
Item 2: 0,40 puncte -2 situații x 0,20 puncte
Item 3: 2,00 puncte -2 situații x 1punct
Item 4: 2,00 puncte -4 situații x 0,50 puncte
Item 5: 3 puncte 3 situații x 1 punct. 1 punct –oficiu.Total: 10 puncte
Tabelul cu rezultatele obținute de elevi la evaluarea formativă pentru fiecare item -clasa
experimental ǎ
Nr. Numele și
prenumeleItemi Calificative
I1I2I3I4I5
1A.I. FBFBFBFBFBFB
2A.E. SSSISS
3A.C. FBFBBBBB
4B.D. FBFBFBBFBFB
5B.M. SISSSS
6B.I. FBFBFBFBFBFB
7C.V. BSSSBS
8D.L. FBFBFBBFBFB
9F.D. BFBBBFBB
10G.O. SSSSIS
11L.V. FBFBFBFBFBFB
12L.R. SIIISI
13M.A. BBBBFBB
14M.V. SSBSBS
15N.S. SSSSSS
16O.D. FBFBFBBFBFB
17O.A. SSSSSS
18P.R. FBBBBFBB
19P.G. SSSSBS
20S.B. BFBBBBB
21S.C. BSSSBS
22T.R. FBFBFBFBFBFB
23T.G. FBBBBBB
24V.S. FBBBBFBB
108Tabelul sintetic -reflectă rezultatele elevilor la proba de evaluare formativă
Indica-
torNr.elevi ISBFBPunctaj
maximPunctaj
realizatRealizat
%Media
Experi-
mentalăE 24 1977240 192 79%8
Din tabelul anterior rezultă că nivelul clesei a crescut: I a scăzut de la 4 la 1, S a crescu de
la 5 la 9, B a scăzut de la 10 la 7 și F.b a crescut de la 5 la 7, a mai crescut punctajul de la 176 la 192,
media a crescu și ea de la 7 la 8, procentajul a crescut și el de la 73,33% la 79%
Tabelul sintetic -reflect ă nivelul performanțelor atinse în procente la testul formativ
Număr de copii/ procente Calificativ
7 29,2% Foarte Bine
7 29,2% Bine
9 37,5% Suficient
1 4,1% Insuficient
Din analiza datelor din tabel, am constatat că majoritatea copiilor au înregistrat o creștere
semnificativă a calificativelor, rezolvând corect cerințele itemilor I1, I2, I3, întâmpinând
greutăți în rezolvarea I5 .
Figura 4.10. Histograma -reflectă rezultatele elevilo r la testul de evaluare formativă
Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul
de performanță raportat la calificative.012345678910
I S B F.B
109Figura 4.11. Poligonul de frecvență -reflectă rezultatele elevilor la testul de evaluare
formativă
Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe
abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.
Diagrama areolară -reflectă rezultatele elevilor la evaluarea formativă exprimate în procente
Diagrama areolară -reflectă rezultatele elevilor la testul formativă unde elevii au ob ținut
următoarele calificative, reprezentate în procente :F.b. 29,2%,B29,2%,S37,5%,I4.1%.
Diagrama procentuală -reprezintă procentul de promovabilitate
Am observat o creștere a nivelului de pregătire față de testul inițial. Pentru elevii care au
întâmpinat dificultăți am inițiat un program de lucru suplimentar în afara orelor de curs.0246810
I S B F.B
29,2
29,237,54,1
F.b
B
S
I
95,94,1
1
110III.6. Analiza, prelucrarea și interpretarea datelor la testar ea finală
Etapa a III -a–testarea sumativă
Probă de evaluare sumativă
Obiective:
O1.-să calculeze exerciții cu cele patru operații;
O2.–să rezolve exerciții cu text ce cuprind termeni matematici referitoare la operațiile de gradul I
și II;
O3.–sărezolve probleme ce cuprind cele patru operații;
O4.-să formuleze întrebările unei probleme ținând cont de anumite cerințe;
O5.-să compună o problemă după un exercițiu dat și să o rezolve.
Conținut:
1.Calculați:
183 + 120 : 6 = 703–740 :5 =
985–112 : 3 = 624 : 4 –105 =
97 x 2 x 7 = 6 x 324 : 2 =
868 : 2 : 2 = 54 x 9 : 6 =
2.Din produsul num erelor 184 și 5, luați câtul dintre dublul lui 64 și 4.
3.La un concurs sportiv au participat 45 fete și de 3 ori mai mulți băieți. Ei au concurat
în echipe câte 5.Câte echipe s -au putut forma?(metoda grafică)
4. La o fermă sunt 842 vaci și cu 273 mai puțini viței.
Formulați întrebările astfel încât problema să se rezolve:
a)printr-o adunare;
b)printr-o scădere și o adunare.
5. Compuneți și rezolvați o problemă după următorul exercițiu:
(133 + 49) : 7 =
Punctaj:
Item 1: 1,60 puncte -16 situații x 0,10 puncte;
Item 2: 0,40 puncte -4 situații x 0,50 puncte;
Item 3: 2,00 puncte -4 situații x 0,50 puncte;
Item 4: 2,00 puncte -4 situații x 0,50 puncte;
Item 5: 3,0 puncte: -compunerea problemei:1 punct
-rezolvarea problemei: 2 puncte.
1 punct –oficiu.
Raportând numărul de puncte la calificative, s -au stabilit următoarele:
-între 1 și 4 puncte –calificativul insuficient ;
-între 5 și 6 puncte –calificativul suficient;
-între 7 și 8 puncte –calificativul bine;
-între 9 și 10 puncte –calificativulfoarte bine .
111Rezultatele obținute de elevi la evaluarea sumativă pentru fiecare item -clasa experimental ǎ
Nr. Numele și
prenumeleItemi Calificative
I1I2I3I4I5
1A.I. FBFBFBFBFBFB
2A.E. SSSISS
3A.C. FBFBBBBB
4B.D. FBFBFBBFBFB
5B.M. BBBBBB
6B.I. FBFBFBFBFBFB
7C.V. BBBSBB
8D.L. FBFBFBBFBFB
9F.D. BFBBBFBB
10G.O. BBSBBB
11L.V. FBFBFBFBFBFB
12L.R. SIIISI
13M.A. FBFBFBBFBFB
14M.V. BB BBB B
15N.S. BSSSS S
16O.D. FBFBFBFBFB FB
17O.A. SSSSS S
18P.R. FBFBBFBFB FB
19P.G. SSSSB S
20S.B. BFBFB BB B
21S.C. BBSBB B
22T.R. FBFBFBFBFB FB
23T.G. FBFBBBB B
24V.S. FBFBFB BFB FB
Tabel sintetic -reflectă rezultatele elevilor la proba de evaluare surmativă
Clasa
Indica-
torNr.
eleviISBF.BPunctaj
maximPunctaj
realizatRealizat
%Media
Experi-
mentalăE2406810240 202.9 84,5% 8,5
112Din tabelul anterior rezultă că nivelul clesei a crescut: I a scăzut de la 1 la 0, S a scăzut de
la 9 la 6, B a crescut de la 7 la 8 și F.b a crescut de la 7 la 10, a mai crescut punctajul de la 192 la
202,9, media a crescu și ea de la 8 la 8,5, procentajul a crescut și el de la 79% la 84,5%.
Tabel sintetic -reflectă nivelul performanțelor atinse în procente la testul final
Număr de copii Procente Calificative
8 33,33% Foarte Bine
10 41,66% Bine
6 25% Suficient
0 0% Insuficient
Dinanaliza datelor din tabel, am constatat că majoritatea copiilor au înregistrat o creștere
semnificativă a calificativelor, rezolvând corect cerințele itemilor I1, I2, I3, întâmpinând
greutăți în rezolvarea I5 .
Histograma -reflectă rezulta tele elevilor la testul sumativ
Histograma a fost obținută reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe abscisă nivelul
de performanță raportat la calificative.
Poligonul de frecvență -reflectă rezultatele elevilor la testul sumativ024681012
I S B F.B
024681012
I S B F.B
113Poligonul de frecvență a fost obținut reprezentând pe ordonată numărul elevilor și pe
abscisă nivelul de performanță raportat la calificative.
Diagrama areolară -privind rezultatele elevilor la testul sumativ
Din datele tabelului sintetic rezultă că s-au realizat 202,9 puncte din totalul de 240 posibile.
Punctajul realizat reprezintă 84,5% iar cel nerealizat 15,5%.
Diagrama procentuală -reprezintă procentul realizat ca punctaj la testul sumativ
III.7. Analiza comparativă, prelu crarea și interpret area datelor
Poligonul de frecvență -reprezintă rezultatele elevilor din clasa experimentală, la
testul inițial respective testul sumativ33,33
41,67250
F.b
B
7525
1
2
024681012
I S B F.BTEST…
TEST…
114În etapa de evaluare finală a nivelului de învățare și aprofundare a cunoștințelor,
rezultatele au indicat o creștere semnificativă la clasa experimentală.
Comparând rezultatele probelor susținute se constată că performanțele elevilor au cres cut
datorită antrenamentelor zilnice, folosindu -se metode diverse.
Urmărind cele două grafice se poate observa linia ascendentă a rezultatelor testului final
în comparație cu rezultatele testului inițial, ceea ce confirmă afirmația de mai sus privind
progresul continuu realizat de elevi.
Astfel dacă la testul inițial procentul calificativelor de Suficient șiInsuficient erau în
proporție de 38,4%, la testul sumativ procentul acestor calificative scade la 25%, cu mențiunea
că nu mai există nici un calificati v deInsuficient , iar calificativele de Foarte Bine șiBinecresc
procentual de la 61,6% la testul inițial, la 75% pentru testul de evaluare sumativă.
S-au înregistrat evoluții remarcabile la elevii slabi și mediocri care au reușit să obțină
calificative m ai bune la testarea sumativă decât la cea inițială sau cea formativă. Acest progres
a fost posibil datorită faptului că pe parcursul procesului didactic am folosit metode de lucru
activ-participative.
Analizând din punct de vedere calitativ munca desfășu rată de elevi în perioada
experimentală am observat schimbări în atitudinea lor față de învățare. Elevii au devenit mai activi,
mai dornici să -și afirme și să -și susțină ideile, au avut mai multă inițiativă și au fost mai dezinvolți.
Pentru că în sarcinile de învățare s -a utilizat și munca în echipă am observat la elevi o mai bună
colaborare, o mai mare implicare și mai mult sprijin din partea tuturor în realizarea sarcinilor
primite.
Deci, elevii și -au însușit conștient cunoștințele matematice și le -au conferit aplicabilitate
în cadrul exercițiilor și, mai ales, al problemelor. În procesul aplicării practice a cunoștințelor
învățate pe parcursul anului școlar s -a îmbogățit experiența de cunoaștere și de viață a elevilor; ei
au reușit să -și formeze și consol ideze deprinderi de muncă independentă, deprinderi practice, s -au
obișnuit să muncească sistematic.
Dezvoltarea intelectuală s -a realizat treptat, progresiv, concomitent cu particularitățile de
vârstă și individuale ale fiecărui elev. Cunoștințele au fost accesibile, corespunzătoare nivelului de
înțelegere al elevilor. Raportând rezultatele obținute de către fiecare elev la posibilitățile sale
intelectuale, la capacitatea sa de învățare, concluzionez că nivelul dezvoltării psihointelectuale,
capacitatea de învățare, nivelul cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor le vor permite asimilarea
în mod diferențiat a noilor cunoștințe prevăzute în curriculum -ul școlar al clasei a III -a.
115CONCLUZII
La nivel teoretic au fost create premisele de conceptualizare a strategiilor didactice
euristice de rezolvare euristică a problemelor de matematică. Din analiza teoriilor și abordărilor
contemporane, pot fi desprinse o serie de concluzii:
-dețin o poziție privilegiată în ansamblul factorilor responsabili pentru succesul școlar al
elevilor;
-folosirea metodelor euristice active și de cooperare în cadrul lecțiilor de matematică și nu
numai, are un impact benefic asupra elevilor, în sensul că au contribuit la dezvoltarea
abilităților de comunicare și de lucru în echipă;
-metodele activ -participative constituie o provocare, o curiozitate atât pentru elevi, cât și
pentru cadrul didactic;
În urma aplicării metodelor euristice, am constatat că utilizarea acestor a cu obiectiv precis,
la momentul potrivit, poate duce la rezultate satisfăcătoare, cum ar fi:
-elevii și-au depășit blocajele în comunicare și rezolvare;
-și-au format deprinderi de rezolvare euristică a problemelor de aritmetică;
-au manifestat un comporta ment adecvat fa ță de colegii din grupul lor;
-a determinat o mai bună colaborare între copii, au devenit mai toleranți;
-îmbinarea formelor de lucru (frontală, pe grupe, individuală) a creat posibilități largi pentru
mobilizări multiple și variate ale elevi lor;
-elevii au învățat că pentru realizarea unor sarcini de grup au nevoie unii de alții.
Rezultatele obținute de elevi confirmă ipoteza lucrării. Astfel, am constatat că prin
utilizarea metodelor euristice în activitatea de rezolvare a problemelor de arit metică, am contribuit
la optimizarea învățării, la eficientizarea acesteia, la stimularea potențialului intelectual și creativ
al elevilor, la obținerea performanțelor fiecăruia în funcție de particularitățile de vârstă și
individuale.
Educația autentică t rebuie să plece întotdeauna în opera de modelare a naturii umane de la
cunoașterea diversității caracteristicilor și forțelor pe care le posedă fiecare copil, elev sau
individualitate în parte. Cunoașterea structurii și dinamicii caracteristicilor personal ității, a
nivelului de dezvoltare intelectuală, emoțională, atitudinală constituie, de fapt, piatra unghiulară a
oricărui proces educațional care își propune formarea dirijată a omului, influențarea modului său
de comportare, adaptare și integrare în viața socială. (Dumitriu, Gh., 2004, p.6)
Astfel, în anul școlar 2016 / 2017, mi -am propus să creez condiții optime de afirmare a
potențialului individualității fiecărui elev în situații personalizate sau socializate de învățare, în
special în activitatea de re zolvare a problemelor de aritmetică. Am avut în vedere folosirea în
activitatea didactică a unor variate metode euristice în rezolvarea problemelor, crearea unor situații
de învățare bazate pe autonomia intelectuală și acțională a elevilor, stimularea imaginației
creatoare, a potențialului lor creator, a gândirii critice, dar și a gândirii divergente centrată pe
strategii euristice.
116Am intenționat:
-să nu fiu doar un simplu „transmițător de informații”, ci un bun organizator al unor activități
variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul și ritmul propriu de dezvoltare al
fiecăruia;
-să îi fac pe elevi să aibă încredere în ei, facilitând învățarea și stimulând pe copii să lucreze
în echipă;
-să le stimulez eforturile intelectuale, să le f ormez și să le educ calitățile moral –volitive;
-să le dezvolt interesul și sensibilitatea la probleme noi, să fie receptivi la situații
problematice cu conținut matematic;
-să stimulez colaborarea, interesul și motivația pentru aplicarea matematicii în con texte
variate;
-să îmbin modalitățile de învățare reproductivă cu cele de învățare euristică în activitatea de
rezolvare și compunere de probleme;
-să adaptez metodele de predare –învățare –evaluare pentru fiecare conținut, pentru fiecare
formă de organiza re și pentru profilul psihologic al elevilor.
Elevii și-au format deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, au exprimat clar și
concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme prin:
transpunerea unor enunțuri simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;
justificarea alegerii demersului de rezolvare a unei probleme;
utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele și pașii de rezolvare a unei probleme.
Au manifestat inițiativă în a transpune dif erite situații în context matematic, propunând
modalități diverse de abordare a unei probleme: găsirea mai multor soluții la anumite probleme,
scrierea sub formă de exercițiu a rezolvării problemei, compunerea unei probleme după un
exercițiu sau după o sch emă grafică. Exercițiile și problemele au fost judicios gradate sub aspectul
efortului mintal pe care -l solicită de la elevi și rațional programate atât în suita de lecții, cât și în
cadrul secvențelor fiecărei lecții, conducând la formarea și consolidarea deprinderilor de calcul
și de rezolvare de probleme, concomitent cu dezvoltarea psihică a elevilor.
Elevii au depășit cu succes blocaje în rezolvarea de probleme, au căutat prin încercare –eroare noi
căi de rezolvare.
În urma documentării pe baza bibliografiei consultate, a experienței didactice și a probelor
(testelor de cunoștințe) aplicate elevilor am ajuns la următoarele concluzii:
• rezolvarea de probleme, compunerea de probleme matematice prezintă o influență deosebită
privind gradul de flexi bilitate a gândirii logice aplicative și de tip divergent, a dezvoltării
creativității, a gândirii independente, a modificărilor structurii personalității, a gradului de
relaționare bazată pe sinceritate și corectitudine, de respect față de munca celor di n jur, de
dezvoltare a spiritului de activitate în grup, colaborare și ajutor;
• rolul important pe care îl are climatul socio -afectiv, al relației învățător –elev și elev -elev, în
desfășurarea activităților didactice.
În desfășurarea experimentului am avut în vedere, ca o garanție în realizarea obiectivului
propus, cunoașterea individualității elevilor (prin diverse metode: observație , discuții individuale
117și cu familia, teste aplicate elevilor și părinților) deoarece elevul trebuie să fie în centrul
desfășurării întregii activități didactice și că, funcție de el, se stabilesc strategiile eficiente în
predarea învățării modalităților de rezolvare aritmetică a problemelor. Învățătorul este cel de care
depinde, la această vârstă, interesul sau dezinteres ul față de școală, încrederea sau neîncrederea în
forțele proprii, dorința de a fi din ce în ce mai bun. Activitățile educative bine motivate, bine
echilibrate și, mai ales, bine organizate, oferă posibilitatea valorificării acumulărilor elevilor pe
parcur sul întregului ciclu de pregătire și unele dintre acestea pot avea ecou în sufletul elevului
toată viața.
În demersul experimental, am plecat de la premiza că, asigurarea unui climat socio -afectiv
și utilizarea unor metode activ -participative în aplicare a metodelor aritmetice de rezolvare a
problemelor, a unor metode alternative de evaluare conduc la dezvoltarea caracteristicilor de
personalitate ale școlarului mic.
Perceperea învățătorului ca partener în activitatea școlară are efecte pozitive asupra ele vilor:
dezvoltarea gradului de comunicare, eliminarea unor situații stresante la care ar putea fi supuși
elevii (de neîncredere, de lipsă de curaj, de lipsă de interes, de izolare de colectivul clasei și care
ar avea un rol negativ în structurarea persona lității acestora.
Climatul socio -afectiv, apropierea învățătorului față de elev, perfecționarea relației
învățător-elev, duc la realizarea unui învățământ eficient care să dezvolte responsabilitatea,
inițiativa, creativitatea, formarea unui comportament ad ecvat fiecărei situații.
Rezultatele finale redau progresul obținut de elevi în ceea ce privește însușirea
cunoștințelor dar și în dezvoltarea capacităților creatoare. Aceste rezultate oferă informații
detaliate care pot fi luate în considerație la elabora rea măsurilor ameliorative pentru elevi, astfel:
elevii cu capacități reduse de înțelegere și asimilare vor primi spre rezolvare sarcini de nivel
reproductiv și de cunoaștere pentru a -i ajuta să realizeze obiectivele programei; iar celor cu
potențial intel ectual dezvoltat li se vor crea condiții propice în care să li se poată dezvolta
capacitățile creative a gândirii logice aplicative, practice.
Metodele folosite în rezolvarea aritmetică și compunerea de probleme, îmbinarea
activităților frontale cu munca i ndependentă, a celor individuale cu cele de grup, utilizarea de
mijloace didactice adecvate vârstei lor și specificului conținuturilor au ca efect obținerea de
rezultate pozitive în privința asimilării de cunoștințe și formarea deprinderilor de lucru, mat ematica
fiind o știință a realității înconjurătoare, indispensabilă diverselor activități umane practice și,
nicidecum, doar o activitate abstractă, pură.
Înțelegerea modalităților de rezolvare aritmetică a problemelor matematice, de a stăpâni
raționamentul de calcul al soluțiilor specific fiecărui tip de problemă va conta foarte mult în
înțelegerea modurilor de rezolvare algebrică a problemelor în activitatea școlară după ciclul
primar.
Pentru elevul ce stăpânește metodologia de rezolvare aritm etică a problemelor, rezolvarea
algebrică va oferi ocazia de a avea un sentiment de satisfacție, de mulțumire a realizărilor sale,
ceea ce va constitui un imbold în învățarea matematicii sau, chiar în activitatea sa de mai târziu.
118Transpunerea rezolvării p roblemei într -un exercițiu conduce la formarea unei gândiri pluri
cuprinzătoare și sintetice în același timp, exercițiile de sintetizare a rezolvării problemelor cu date
numerice, apoi cu simboluri literale, reprezintă modalități de exersare a gândirii în generalizarea
algoritmului de rezolvare.
A-i învăța pe elevi cum să învețe să rezolve o problemă a devenit o cerință majoră a școlii.
Iată de ce, în activitatea didactică, în vederea formării și dezvoltării capacităților logice, aplicative,
creative, un lo c deosebit să îl ocupe utilizarea acelor metode de rezolvare pe cale aritmetică prin
care elevul învață să descopere și să redescopere soluții noi, să aibă șansa exersării spontaneității
și libertății de acțiune, acțiuni ce au drep scop înlăturarea fricii de a contrazice învățătorul,
instalarea unor îndemânări de lucru (de a se descurca, de a lua inițiativă, de a hotărî, de a emite
soluții), dezvoltarea capacității de a analiza faptele, de a le explica.
Învățătorul cu o înaltă motivație creatoare și o mare curiozitate intelectuală, cultivă de la sine
aceleași calități în rândul elevilor și va trebui să aibă în vedere că factorul grup va fi în folosul
fiecărei individualități specifice.
În ce privește modalitățile de aplicare a metodelor de rezolvare aritm etică a problemelor
matematice, trebuie avute în vedere unele aspecte : -nivelul de înțelegere al elevilor ; -capacitățile
de analiză și sinteză a acestora ; -mijloacele didactice avute la dispoziție ; -obiectivele și
conținuturile prevăzute de program a școlară ; -utilizarea metodelor pedagogice sau combinarea
lor privind implicarea activă a elevilor; -modul de utilizarea al formelor de organizare în
desfășurarea acțiunilor didactice (frontală, pe grupe sau individuală) ponderea metodelor de
rezolv are aritmetică adecvate pe măsura parcurgerii unităților de învățare.
Important în aplicarea acestor metode aritmetice și în a -i determina pe elevi să înțeleagă este
modalitatea de comunicare la clasă, de conținuturile problemelor, ținând cont perman ent de
principiul accesibilității și gradul de implicare al elevilor.
Rămân adepta ideii că, indiferent în ce condiții lucrăm cu elevii la matematică, individual,
cu întreg grupul clasei, pe grupe mari sau, mai mici, dezvoltarea capacităților intelec tuale, practice
și creative ale elevilor depind foarte mult de tipul relației socio -afective, elev -învățător, de modul
cum gradează și organizează activitatea de rezolvare a problemelor, de procedeele utilizate, dar și
de atitudinea pe care o are învățător ul față de elevii săi, de pregătirea și de pasiunea pe care o
manifestă față de tot ce este nou în predarea matematicii
Am avut în permanență în vedere ca modul de relaționare cu elevii să fie adecvat funcție
de natura activităților desfășurate ca acestea să constituie un prilej de mulțumire, satisfacție a
muncii depuse, ca elevii să vină cu plăcere la școală, știindu -se că, din anumite motive, pentru
unii elevi, școala poate să fie locul în care ei se pot simți bine, le oferă.condiții în care ei să se
simtă bine. Am constatat că un climat socio -afectiv bazat pe o comunicare sinceră, precizându -se
totdeauna obiectivele ce trebuie realizate și motivând în permanență ,,de ce facem acest lucru, de
ce este necesar’’, asigură îndeplinirea celor propuse și că a cestea se reflectă în activitatea și
rezultatele muncii lor. Am încercat să -i determin pe elevi să vadă în învățător un ,,prieten’’ care
trebuie să -i îndrume, să -i organizeze, să le propună conținuturi. să le formeze priceperi și
deprinderi, să le dezvolt e capacități și competențe de comunicare și relaționare psihosociale
119(sociabilitatea, spiritul de echipă, inteligența emoțională, capacități de autocunoaștere și
autoevaluare ), să -i ajute și mai ales să -i înțeleagă atunci când au de rezolvat probleme per sonale
de orice natură.
Ținând cont de programele școlare, conținuturile avute la dispoziție, în aplicarea
metodologiei de rezolvare a problemelor prin metode aritmetice, se ridică o serie de probleme în
ce privește influența matematicii asupra structuri i personalității copilului de vârstă școlară mică.
În perioada 7 –11 ani se produc modificări, unele dintre ele foarte evidente, în dezvoltarea
proceselor psihointelectuale ale copilului. Problemele care se pun ar fi :
câte dintre acestea se datorează m odalităților de rezolvare și compunerii de probleme matematice
?;-cum pot fi măsurate?; -cum poate ști învățătorul stadiul până unde poate și cât interveni ?
-care sunt modalitățile optime de intervenție ? -care dintre metode influențează mai m ult
dezvoltarea gândirii logice și practice, a gândirii creatoare, a imaginației, memoriei, atenției,
voinței, motivației ?
Câteva propuneri în acest sens: -implicarea în mod deosebit a psihologului școlar, mai ales
în cunoașterea psihologică a elevilor î n vederea stabilirii unor strategii didactice eficiente; –
acordarea unui număr mai mare de ore acestui obiectiv; -în manualele școlare să fie cuprinse cât
mai multe și diverse tipuri de probleme; -elaborarea unor culegeri de probleme care să se adreseze
în special elevilor cu potențial logic, creativ superior, cu toate că numărul culegerilor apărute este
destul de mare ele vizează, în majoritate formarea algoritmilor.
120BIBLIOGRAFIE
1.Ana, D. coord. (Ana, M., L., Logel, D., Stroiescu, E) -Metodica predării matematicii la
clasele I-IV, Editura Carminis, Pite ști, 2003.
2.Aron, I. –Metodica predării aritmeticii , E.D.P. București 1981.
3.Ausubel, D., Robinson, T. –Învățarea în școală –E.D,P, București 1981.
4.Banea, H. –Metodica predării matemati cii, Editura Paralela 45, Pitești, 1998
5.Cerghit, I., Radu, I.T., Popescu, E., Vlăsceanu, L, Didactica, Editura Didactică Pedagogică,
București, 1991.
6.Cerghit, I. –Perfecționarea lecției în școala modernă –E.D.P., București, 1993.
7.Chiran, R., 2004, Manual de matematică pentru clasa a II -a, Editura Aramis, București.
8.Cosmovici, A. Metode pentru cunoașterea personalității cu privire la elevi , E.D.P.,
București, 2001.
9.Crețu, T., 2005, Psihologia copilului , Ministerul Educației și Cercetării, Proiectu l pentru
Învățământul Rural
10.Cucoș, C. (coord.), Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice ,
Editura Polirom, Iași, 1998.
11.Cojocariu, V.M., Fundamentele pedagogiei. Teoria și metodologia curriculum -ului. Texte
și pretexte , Ed. V&Integ ral, Bucure ști, 2007.
12.Cojocariu, V.M., Teoria și metodologia instruirii , E.D.P., Bucure ști, 2008.
13.Cucoș, C., 2000, Pedagogie , Editura Polirom, Iași
14.Dumitriu, C., 2004, Introducere în cercetarea psihopedagogică , Editura Didactică și
Pedagogică, București
15.Dumitriu, Gh., 2004, Sistemul cognitiv și dezvoltarea competențelor , Editura Didactică și
Pedagogică, București
16.Dumitriu, Gh., Dumitriu, C., 2004, Psihopedagogie , Editura Didactică și Pedagogică,
București.
17.Golu, P., Golu, I. Psihologia educațională , Edit ura Ex Ponto, Constanța, 2002.
18.Guran, E., Matematică recreativă , Editura Junimea, Iași -1985.
19.Herescu, Gh. Metodica predării matematicii la clasele I -IV, E.D.P. București 1998
20.Hussar, E., Aprodu, D. (coord.), 2008, Școala incluzivă –școală europeană: c oncepte,
metode,practici , Editura Casei Corpului Didactic, Bacău
21.Hussar, E., Safciuc, T., 2008, Colaborare și incluziune în sala de clasă: ghid metodic de
utilizare a strategiilor incluzive în învățământul preuniversitar , Editura Casei Corpului Didactic
Bacău.
22.Ionescu, M. și Radu, I. Didactica modernă , Editura „Dacia” Cluj -Napoca 1995.
23.Joița, E. Didactica aplicată, Editura „Gh. Alexandru”, Craiova, 1994.
24.Kuliutkin, I. N. Metode euristice în structura rezolvării de probleme ( traducere), E.D,P,
București. 1974.
12125.Leonte, R., Stanciu, M., 2004, Strategii activ –participative de predare –învățare în ciclul
primar: ghid metodico –științific în vederea utilizării metodelor active în învățământul
primar , Editura Casei Corpului Didactic Bacău
26.Lupu, C., 2006, Didactica matematicii , Editura Caba, București
27.Lupu,C.,Săvulescu,D.,Lupu,I., Aritmetică -teorie, probleme, metode de rezolvare , Ed.
Egal, Bacău, 2002.
28.Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2003,
Matematică –programa școlară, clasele I –a II-a, București.
29.Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului, Consiliul Național pentru Curriculum, 2004,
Matematică –programa școlară, clasele a III –a IV-a, București.
30.Neacșu, I. (coord.), 1988, Metodica predării matematicii la clasele I -IV, Editura Didactică
și Pedagogică, București
31.Neagu, M., Mocanu, M., 2007, Metodica predării matematicii în ciclul primar , Editura
Polirom, Iași
32.Nicola, I., 1994, Pedagogie , Editura Didactică și Pedagogică, București
33.Pîrîială, D ș i Pîrîială, V. Aritmetica, probleme tipice rezolvate . Editura Polirom, Iași 1998.
34.Polya, G. Cum rezolvăm o problemă ? Editura științifică, București, 1965
35.Polya, G. Descoperirea în matematică. Euristica rezolvării prolemelor . Editura Științifică,
București 1971
36.Polya,G. Matematica și raționamente plauzibile ,Editura Științifică, București,1962.
37.Potolea, D. și Neac șu, I., Reforma evaluării în învățământul primar , E.D.P. București
1999.
38.Radu, I., Singer, M. Matematica ghid pentru învățători și părinți , Editura SIGMA,
București 1995.
39.Radu, I., T. –Evaluarea în procesul didactic , E.D.P., București, 2001.
40.Rusu, E., Despre învățarea matematicii , Editura de Stat Didactică și Pedagogică,
București, 1962.
41.Rusu, E., Cum gândim și rezolvăm 200 de probleme , E.D.P., Buc urești, 1970.
42.Săvulescu, D. (coord.), 2006, Metodica predării matematicii în ciclul primar , Editura
“Gheorghe Alexandru”, Craiova.
43.Steinhaus, H Caleidoscop matematic . Editura tehnică București 1961.
44.Stoica, A. Ghid de evaluare pentru învățământul primar ,București SNEE,1999.
45.Stoica, M. Pedagogie școlară, Ed. „Gh., Câr țu” București 1995.
46.Șoitu, L., Comunicarea didactică , E.D.P. București, 1998.
47.Teodoru, A. Puncte de sprijin în rezolvarea problemelor , Revista -Învățământ primar,
nr. 1/2002
48.Vălcan, D. Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Casa Cărții de Știință, Cluj
–Napoca, 2005.
49.Zlate, M., 2004, Psihologia mecanismelor cognitive , Polirom, Iași
50.Zlate, M.,2006, Fundamentele psihologiei , Editura Universitară, București
122ANEXE
ANEXA I
METODA CUBULUI
1.DESCRIE importanța cifrei 2 în fiecare dintre numerele :
120, 2349, 14 211, 24 572, 2 242 706.
2.COMPARĂ produsele :
5 x 148 … 39 x 20
48 x 60 … 144 x 10 x 2
3.ASOCIAZĂ rezultatele obținute cu denumirile lor:
1 462 –462 = sumă
12 052 + 14 119 = cât
12 x 48 = diferență
100 : 10 = produs
4.ANALIZEAZĂ propozițiile de mai jos și anuleaz -o pe cea care nu prezintă un adevăr :
Numerele care se înmulțesc se numesc factori.
Rezultatul înmulțirii se numește produs .
Dacă unul dintre factori este zero atunci produsul este 1.
5.APLICĂ noțiunile “de…mai mare decât…” și “de…ori mai mic decât…” pentru a afla
numerele :
-de 41 ori mai mare decât 78…………………………………………………R:
-de 7 ori mai mic decât 567……………………………………………………R:
6.ARG UMENTEAZĂ
Câți lei a cheltuit Sânziana dacă a cumpărat 5 bilete de 8 lei la Grădina Zoologică, 9 vederi
cu imagini din România a câte 3 lei fiecare și 4 brelocuri a câte 7 lei fiecare ?
METODA CADRANELOR
I.Datele problemei:
-o ladă = 25 kg.portocale
-primul transport : 56 lăzi
-al doilea transport : 123lăzi
Ce cantitate de portocale s -a adus la
magazin ?II. Rezolvare :
Pimul mod:
1.Primul transport :
56 x 25 = 1 400kg.
2.Al doilea transport .
123 x 25 = 3 075kg.
3.Cantitatea totală :
1 400kg. + 3 075kg. = 4 475kg.
III.Rezolvare :
Al doilea mod :
1.Numărul total de lădițe aduse :
56 + 123 = 179 lădițe
2.Cantitatea totală :
179 x 25 = 4 475kg.
R: 4 475 kgIV. Exercițiile problemei :
Primul mod :
56 x 25 + 123 x 25 =
Al doilea mod:
( 56 + 123 ) x 25 =
123ANEXA II PROBLEME PROPUSE SPRE REZOLVARE
METODA FIGURATIVĂ
1.Câtul a două numere este 2 iar restul 5. Știind că suma celor două numere este 65, aflați
cele două numere.
2.Diferența a două numere este 80 iar primul număr este de 5 ori mai mare decât al doilea.
Aflați cele două numere.
3.Se dau două numere a căror diferență este 30 iar câtul lor este 4. Găsiți cele două numere
care îndeplinesc cerințele.
4.Trei frați au împreună 36 ani. Știind că diferența dintre primul și al doilea fra te este egală
cu diferenșa dintre al doilea și al treilea frate, adică 3 ani, aflați vârsta fiecărui copil.
5.Tatăl și fiul au împreună 36 ani. Peste 2 ani, vârsta tatălui va fi de 4 ori vârsta fiului. Să se
determine vârstele actuale ale celor doi.
METODA COMPARAȚIEI
1.Să se afle cât costă o riglă și o gumă știind că 5 rigle și 15 gume costă 450 lei iar 7 rigle și
15 gume costă 510 lei.
2.Pentru 6m pânză, 7m stofă și 3m mătase s -au plătit 25800 lei. Cât costă 1m din fiecare
sortiment, știind că stofa este cu 400 lei mai scumpă decât pânza, iar mătasea cu 3000 lei mai
scumpă decât stofa.
3.Un elev a cumpărat de la librărie 3 creioane, 4 cărți și 7 caiete, pe care a plătit 4320 lei.
Peste o săptămână a cumpărat 7 creioane, 3 cărți și 4 caiete, pentru care a achitat suma de 3410 lei
iar următoarea săptămână a cumpărat 4 creioane, 7 cărți și 3 caiete pentru care a plătit 6270 lei.
Știind că obiectele de același fel au același preț, să se afle cât costă un creion, o carte și un caiet.
4.9 pungi cu orez și 6 pung i cu zahăr cântăresc 36 kg iar 9 pungi cu orez și 9 pungi cu zahăr
cântăresc 45 kg. Câte kg cântărește o pungă cu orez și câte kg cântărește o pungă cu zahăr ?
5.O gospodină cumpără din piață 1 kg mere, 1 kg pere și 1 kg prune plătind în total suma de
950lei. Știind că 1 kg pere costă cât 2 kg mere și 2 kg pere costă cât 5 kg prune aflați cât s -a plătit
pentru fiecare în parte.
METODA FALSEI IPOTEZE
1.Într-o gospodărie sunt iepuri și găini, în total 200 de capete. Știind că împreună au 520 de
picioare, să se afle câți iepuri și câte găini sunt în gospodărie.
2 Într-un bloc există doar apartamente cu 3 și 4 camere care totalizează 108 camere. Știind
că sunt 32 de apartamente, să se determine numărul de apartamente de fiecare fel.
3.O sală de spectacol est e dotată cu scaune având 4 picioare, 3 picioare și bănci cu 2 picioare
în total 95 de bucăți și 340 de picioare. Să se determine câte scaune și câte bănci de fiecare fel sunt,
știind că numărul băncilor este de 6 ori mai mic decât numărul scaunelor cu 3 pi cioare.
4.La o fermă se cresc oi și curci care au 650 capete și 2260 picioare. Câte oi și câte curci
sunt la fermă ?
5.În laboratorul de chimie al unei școli sunt 15 mese cu 2 respectiv 3 locuri. Știind că o clasă
cu 36 de elevi ocupă toate locurile de la mese, să se afle câți elevi ocupă mesele cu 2 locuri și câți
pe cele cu 3 locuri.
124METODA MERSULUI INVERS
1.Dacă dintr -un număr natural scădem jumătatea sa plus 2, iar din rest scădem jumătate plus
3 obținem 213. Să se determine numărul natural.
2.Un tur ist parcurge pe bicicletă drumul dintre două localități. Să se determine lungimea
drumului știind că în prima oră parcurge mai puțin cu 1 km decât jumătatea drumului, în a doua
oră parcurge 5/7 din drumul rămas și încă 1 km, iar în a treia oră restul de 14 km.
3.Într-un siloz se află o anumită cantitate de cereale după cum urmează: 1/6 este grâu, 1/4 din
rest porumb, 3/5 din noul rest este ovăz, 2/9 din noul rest este secară iar restul de 42 tone orz. Să
se determine cantitatea de cereal din siloz.
4.Dintr-un vas cu apă se scoate 1/2 din conținut și încă 1 litru, apoi 2/3 din noul rest și încă 1
litru, apoi 3/4 din noul rest și încă 1 litru, urmează 4/5 din acest rest și încă 1 litru apoi 5/6 din noul
rest și încă 1 litru, rămânând în vas 4 litri de apă. Câț i litri de apă au fost la început în vas?
5.O echipă de tractoriști are de arat în 3 zile o suprafață de teren. În prima zi ară 1/3 din
suprafață, a doua zi 2/5 din rest plus încă 54 ha, iar pentru a treia zi a rămas de arat 1/4 din suprafața
inițială. Ce suprafață a avut de arat și cât s -a arat în fiecare zi ?
PROBLEME DE MIȘCARE
1.Din localitatea A pleacă spre localitatea B un automobile cu viteza de 60 km/h iar după o
oră pleacă din localitatea B spre localitatea A un automobil cu vitaza de 75 km/h. Șt iind că cele
două automobile s -au întâlnit la jumătatea distanței dintre cele două localități, să se determine
distanța dintre A și B.
2.Distanța dintre localitățile A și B este de 540 km. Din A pleacă spre B un automobil la ora
7, iar din B pleacă spre A la ora 9, un automobile care are viteza cu 20 km/h mai mare decât primul.
Cele două automobile se întâlnesc la ora 12. Să se afle vitezele celor două automobile și distanța
parcursă de fiecare până în momentul întâlnirii.
3.Un autocamion, plecând de pe șan tier, transportă piatră de la o carieră în 5 ore. Care este
distanța de la șantier la carieră, știind că autocamionul gol merge cu 60km/h, iar cu încărcătură
merge cu 40 km/h ?
4.Un tren accelerat a pornit de la București la Bacău fără oprire, cu o viteză de 70km/h. Un
alt tren pleacă de la Bacău spre București de asemenea fără oprire, cu o viteză de 40km/h. Care va
fi distanța dintre trenuri cu o oră înainte de întâlnirea lor ?
5.Două automobile străbat un circuit de 20 km. Unul merge cu viteza de 80 km/h, iar celălalt
cu viteza de 100 km/h. Ambele automobile pleacă din același punct în același sens. De câte ori a
depășit automobilul cu viteză mai mare pe cel cu viteză mai mică în timp de o oră ?
125ANEXA III
1.Probă de evaluare
TEST DE EVALUARE
Anul școlar 2016 -2017
Disciplina Matematică
Numele și prenumele elevului:
Data susținerii testului:
•Timpul efectiv de lucru este de 25 de minute.
PARTEA I
I.1. Scrie cu cifre numerele:
•șaptesprezece ………………..
• cincizeci și nouă ……………….
• opt sute douăzeci și doi ………………..
I.2. Găsește toate numerele naturale cuprinse între 58 și 97 care conțin cifra 5 .
………………………………. ………………………………………………………………………………………..
I.3. Compară numerele, punând semnul matematic potrivit în casetă.
17□ 59 898 □ 898 98 □ 89
PARTEA a II -a
I.4.Află numerele care îndeplinesc condi țiile:
a.cu 8 mai mare decat 68.
Răspuns: ……….
b.cu 15 mai mic decat 93.
Răspuns: ……….
c.care, adunat cu 3 și din care scazi 3, dă 759.
Răspuns: ……….
I.5. Citește cu atenție si rezolvă problema, cu plan de rezolvare.
La un magazin s -au adus 550 kg de portocale, iar banane cu 375 kg mai puț ine.
Câte kg de fructe s -au adus în total?
2. Probă de evaluare
TEST DE EVALUARE
Unitatea de învățare: Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale de la 0 la 1 000
Calculați:
24 x 10 = 350 : 10 = 24 : 6 x 100 =
17 x 100 = 4000 : 100 = 7 x 8 x 10 =
Efectuați:
24 x 6 = 120 x 4 = 318 x 2 =
36 : 2 = 255 : 5 = 187 : 6 =
126Află rezultatul în două moduri:
3 x ( 4 + 5 ) = ( 36 -18 ) : 6 = ( 36 -18 ) : 6 =
Află numerele necunoscute :
80 : a = 8 a x 10 = 2400 a : 7 = 9 rest 6
5. La produsul numerelor 10, 10 și 10 adaugă câtul numerelor 50 și 5.
______________________________________________________________________________
___________________________________________________________
6. Ovidiu are 6 timbre, iar fratele lui de 4 ori mai multe. Ei așează timbrele în clasor câte 10 pe
un rând.
Pe câte r ânduri au așezat timbrele?
Rezolvare
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
_______________________________________________ _Răspuns:_______ _______________
DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ
ITEM CALIFICATIVE
FOARTE BINE BINE SUFICIENT INSUFICIENT
1. -Răspuns corect și
complet: calculează
corect 5-6 exerciții.-Răspuns parțial
corect: calculează
corect 3-4 exerciții.-Răspuns parțial
corect: calculează
corect 1-2 exerciții.-Răspuns incorect:
nu calculează nici –
un exercițiu / le
greșește pe toate.
2. -Răspuns corect și
complet: efectuează
corect 5-6 exerciții.-Răspuns parțial
corect: efectuează
corect 3-4 exerciții.-Răspuns parțial
corect: efectuează
corect 1-2 exerciții.-Răspuns incorect:
nu rezolvă nici -un
exercițiu / le
greșește pe toate.
3. -Răspuns corect și
complet: 4 exerciții.-Răspuns parțial
corect: 2-3 exerciții.-Răspuns parțial
corect: un exercițiu.-Răspuns incorect:
nici-un exercițiu /
le greșește pe toate.
4. -Răspuns corect și
complet: află cele trei
numere necunoscute.-Răspuns parțial
corect: află două
numere necunoscute.-Răspuns parțial
corect: află un
număr necunoscut.-Răspuns incorect:
nu rezolvă nici-un
exercițiu / le
greșește pe toate.
5. -Răspuns corect și
complet: rezolvă corect
cele trei operații.-Răspuns parțial
corect: rezolvă
corect două operații.-Răspuns parțial
corect: rezolvă
corect o singură
operație.-Răspuns incorect:
nu rezolvă nici-o
operație / greșește
exercițiul.
6. -Răspuns corect și -Răspuns parțial
corect: rezolvă-Răspuns parțial
corect: rezolvă-Răspuns incorect:
nu rezolvă
1273. Probă de evaluare formativă 2
TEST DE EVALUARE
Înmulțirea
Scrie înmulțirile reprezentate de desene:
________________________
____________________________
2. Efectuați:
4 x 5 = 7 x 8 = 5 x 9 = 6 x 7 = 7 x 7 =
3 x 8 = 6 x 6 = 3 x 7 = 3 x 6 = 9 x 3 =
5 x 1 = 4 x 8 = 10 x 9 = 8 x 8 = 6 x 0 =
8 x 6 = 9 x 9 = 5 x 8 = 9 x 7 = 4 x 9 =
3. Completați următoarele enunțuri :
-dublul numărului 9 este __________
-triplul numărului 7 este __________
-numărul de 6 ori mai mare decât 4 este _____________
-numărul cu 10 mai mare decât 23 este _____________
-numărul cu 9 mai mic decât 10 este _____________ __
-în 6 săptămâni sunt _______________ zile
-la 4 mâini sunt ___________ degete
4. Clovnul Dodolino a plecat să cumpere baloane pentru o petrecere. Un copil va primi câte două
baloane. Câte baloane trebuie să cumpere Dodolino pentru cei 9 copii de la petrecere ?
__________________________________________________
Răspuns_____________________
complet: rezolvă
problema cu plan și
calcul corect.problema cu plan,
dar greșește calculul.corect problema, dar
fără plan.problema cu plan și
greșește sau nu
efectuează calculul.
1285. Calculați:
14 + 8 X 5 = 9 X 8 –23 =
87–8 X 4 –29 = 51–1 X 13 +9 =
4. Probă de evaluare formativă 3
TEST DE EVALUARE
1. Efectuați:
4 x 7 = 7 x 8 = 5 x 9 = 6 x 7 =
3 x 8 = 6 x 6 = 3 x 7 = 3 x 6 =
2. Completați cu numărul necunoscut:
36 = 4 x …. 24 = …. x 3 81 = 1 x …. x 9
…. x 5 = 4 0 3 x …. x 9 = 54
3. Calculați:
100–8 x 9 = 50 –7 x 7 = 7 x 8 + 26 =
6 x 6 –3 x 9 = 7 x 4 + 8 x 7 = 3 x 7 + 9 x 6 + 5 x 9 =
4.Află :
produsul numerelor 6 și 9: ………………………………………………………………….
triplul numărului 4: ……………………………………………………………………………..
numărul de 8 or i mai mare decât 7: ……………………………………………………….
dublul numărului 9 : ……………………………………………………………………………..
numărul cu 3 mai mare decât 6: …………………………………………………………….
5. Adună pe 7 cu dublul și întreitul lui.
……………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………..
6. Într-o livadă sunt 7 rânduri de meri a câte 9 pomi pe rând și 6 rânduri de peri a câte 8 pomi
pe rând.
Câți pomi fructiferi sunt î n livadă?
…………………………………………………………………………………………………………….. …..
1295. Probă de evaluare formativă 4
TEST DE EVALUARE
Unitatea de învățare: Rezolvare de probleme
1.Peștera Urșilor a fost vizitatǎ într -o zi de trei grupuri de turiști. În primul grup au fost 25 de
turiști, în al doilea cu 6 mai puțini, iar în al treilea cât în primele douǎ la un loc.
Câți turiști au vizitat peștera în acea zi ?
Rezolvare:
…………………………………………… …………………………………………………………
………………………………………… ………………………………………… ……………………………
R: …..turiști
2. Cele 6 l ǎzi care conțin cantitǎți egale de cireșe cântǎre sc împreun ǎ 60 de kilograme.
Câte kilograme ar cânt ǎri 7 lăzi cu cireșe? Dar 9 lǎzi cu cireșe ?
Rezolvare:
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… ………………………………………… ……
3.Ionuț are 10 ani, mama lui are de 4 ori mai mult.Tat ǎl are cu 6 ani mai mult decât mama.
Câți ani are tatǎl lui Ionuț?
Rezolvare:
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… ……………………………… ……………
R:…….ani
4.Andrei și Tudor au fost la pescuit și au prins împreună 35 de pești. Câți pești a prins fiecare,
dacă Andrei a pescuit cu 7 pești mai puțin de cât Tudor?
A _____________
T __________________}35
Rezolvare:
……………………………………………………………………………………………………………………..…
……………………………………………………………………… ……………………………………. ……………
5. Într-o livadă sunt 168 de pomi: pruni și meri. Câți pomi sunt de fiecare fel, dacă meri sunt de 3
ori mai puțini decât pruni?
Pruni ________
Meri __________________________} 168
Rezolvare:
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………… ………… ………………………………….
1306. Probă de evaluare formativă 5
TEST DE EVALUARE
Unități de măsură
Completați enunțurile:
Multiplii metrului sunt: ………………………………, ………………………………., ………………….. …….. .
Unitatea principală pentru măsurarea lungimii este …………………….., pentru măsurarea masei
corpurilor este …………………………… și pentru măsurarea capacității corpurilor este
………………………………. .
Submultiplii kilogramului sunt: ……………….. ………, ……………………………., …………………………..,
………………………………….., …………………………………., …………………………………. .. .
Multiplii litrului sunt: ……………….. ………………., ………………………………., ……………………………. .
Un an are ……… sau ………. zile, ………. luni și …………. anotimpuri.
O zi are ………… ore, o oră are ………….. minute, iar un minut are ……………. secunde.
2. Scrieți prescurtat:
125 decalitri -……………… 300 tone-…………………….
149 kilometri -……………. 534 milimetri -……………..
15 litri-……………………. 899 centigrame -…………..
23 metri-…………………. 100 decimetri -……………..
10 kilograme -………….. 343 minute -…………………
3. Calculați:
360 dam + 140 dam = 4 800 l –3 500 l =
900 m + 700 m = 5 kl –3 kl =
950 km –56 km = 28 dal : 7 dal =
14 hm + 36 hm = 10 hl x 10 hl =
827 mm + 100 mm = 5 000 ml + 2 000 ml =
2 500 kg + 1 683 kg = 234 min x 2 min =
4 600 t –1 600 t = 102 s x 3 s =
9 000 g + 3 g = 54 ani : 9 ani =
7. Probă de evaluare finală 1
TEST DE EVALUARE
I.1. Calculați respectând ordinea efectuării operațiillor :
a. 100-9 x 8 =
b. ( 5 x 5 + 49 :7 ) : 4 =
c. 1000 –225 : 5 + ( 3 x 92 + 4 x 6 ) : 100 =
I.2. Aflați numărul necunoscut:
a. a x 7 = 147 b. b : 9 = 54 c. (3 01 0–988) –c = 793
I.3. Află numerele care îndeplinesc condi țiile:
a.cu 108 mai mare decat 6800;
b.cu 1005 mai mic decat 99 300;
131c.care, adunat cu 123 dă 759.
I.4. La suma numerelor 1230 și 4 350 adăugați:
a. produsul numerelor 3 , 4 și 2;
b. câtul numerelor 50 și 5;
c. cel mai mare număr impar scris cu trei cifre diferite.
I.5. Citește cu atenție și rezolvă problema, cu plan de rezolvare.
Matei are 2 bancnote a 100 lei bucata. El a cumpărat 3 cărți a 35 de lei bucata, un penar cu 27 de
lei și 2 cutii de creioane a 9 lei cutia . Câți lei îi rămân lui Matei?
Descriptori de performanță
ITEMI CALIFICATIVUL FINAL
Rezolvă 4 -5 itemi cu FB, restul itemilor cu B / orice altă
combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător, după
analiza holistică a testului și evidențiind etosul clasei.FOARTE BINE
Rezolvă 2 -3 itemi cu FB, 1 item cu B, restul cu S / orice altă
combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător, după
analiza holistică a testului și evidențiind etosul clasei.BINE
Rezolvă 1 item cu FB, 1 -2 itemi cu B, restul cu S / orice altă
combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător, după
analiza holistică a testului și evidențiind etosul clasei.SUFICIENT
Rezolvă 1 item cu B, 1 -2 itemi cu S, restul cu I / orice altă
combinație apropiată acesteia, stabilită de învățător, după
analiza holistică a testului și evidențiind etosul clasei.INSUFICIENT
132
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Str. Calea Mărășești, nr. 157, Bacău, 600115 [611457] (ID: 611457)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.