Calcul iterativ al circula ției de puteri pentru o re țea electric ă [611302]

1

Universitatea din Oradea
Facultatea de Inginerie Energetică ș i Management Industrial
Ingineria Sistemelor de Energii Regenerabile
Zi

Calcul iterativ al circula ției de puteri pentru o re țea electric ă
radială . Stud iu de caz pentru o re țea radială test.

Coordonator științ ific:
Conf.dr.ing. Secui C ălin
Absolvent: [anonimizat], 2017

2
Cuprins:
Capitolul 1: Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 3
Capitolul 2: Reprezentarea elementelor de rețea. Formarea matricii de admitantă nodală …….. 5
2.1: Reprezentarea rețelei în raport cu nodurile ………………………….. ……………………. 5
2.2 Reprezentarea liniilor electrice. ………………………….. ………………………….. ………… 5
2.3 Elementele matricei de admitanță nodală ………………………….. ……………………….. 6
2.4: Expresia puterii injectate în nodurile sistemului: ………………………….. ……………. 8
Capitolul 3: Calculul circulației de puteri într -o rețea electrică radial. …………………….. 10
3.1 Aspecte generale: ………………………….. ………………………….. ………………………….. 10
3.2 Noduri caracteristice în sistem/rețea. ………………………….. ………………………….. .. 11
3.3 Metoda dus -întors pentru calculul circulației de puteri într -o rețea electrică radială. … 12
3.4 Metoda Gauss -Seidel pentru calculul circulației de puteri într -o rețea electrică radială :
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 14
3.4.1 Relația generală pentru calculul tensiunilor din nodurile rețelei. ……………. 14
3.4.2. Etapele calculului de puteri cu metoda Gauss -Seidel. ………………………….. 15
3.4.3Calculul puterilor și a pierderilor de putere pe laturile de sistem. ……………. 18
Capitolul 4: Calculul circulației de puteri prin metode iterativ e. Studiu de caz pentru sistem ele
test. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 19
4.1 Descrierea sistemului test. ………………………….. ………………………….. ……………… 19
4.1.1 Rețea test cu 5 noduri (RE5). ………………………….. ………………………….. ……. 19
4.1.2 Rețea test cu 33 noduri (RE33). ………………………….. ………………………….. …. 20
4.2 Calculul circulației de puteri pentru RE5 prin metoda dus -întors. ………………… 22
4.3 Calculul circulației de puteri pentru RE5 prin metoda Gauss -Seidel. ……………. 33
4.4: Calculul circulației de puteri pentru RE33 prin metoda dus -întors: ……………… 42
4.5: Calc ulul circulației de puteri pentru RE33, prin metoda Gauss -Seidel. ………… 45

3
Capitolul 1: Introducere

Retelele electrice de distribuție de medie si joasă tensiune reprezintă aproape 85% din
totalul rețelelor de transport și distribuție din Româ nia.
Pierderile in aceste reț ele au inregistrat o creștere însemnată pe măsură ce consumul de
energie electrică s -a deplasat sp re medie si joasă tensiune. Astfel, pierderile in rețelele de
medie si joasă tensiune reprezentau aproximativ 37 % din totalul pierderi lor in reț elele
Sistemului Energetic National în 1990, pentru ca în anul 1994 să reprezinte pest e 50% din
totalul pierderilor. În aceste condiț ii, determinarea schemel or de functionare cu pierderi cât
mai mici are o importanță deosebită pentru exploatarea economică a acestor reț ele.
Sunt distinse trei componente ale termenului global pierderi in reț ele, si anume:
-consum propriu tehnologic, aferent proc esului de transport si distribuț ie a
energiei electrice, pentru condiții prevăzute î n proiect;
-pierderi tehnice, datorate abateril or de la regimul de funcționare proiectat ;
-pierderi comerciale, rezultate din erorile determinate d e calitatea aparatelor de
masură sau de organizarea evidenț ei energiei electrice.
Retelele electrice de distribuție au o ponde re importantă î n ansamblul sistemului
energetic naț ional (SEN). Optimizarea funcționării lor trebuie sa urmărească atâ t reducerea
pierderilor de putere, respectiv energie cât si asigurarea calităț ii energiei livrate
consumatorilor.In general, la rețelele d e distribuț ie urbane sunt p roiectate in configurație
buclată, dar ele întotdeauna se exploatează radial.
Retelele de distributie rurale, î n marea majorit ate a cazurilor au o configurație radială
sau arborescentă. Având în vedere proprietatea reț elelor buc late, exploatate radial, de a nu
avea o configurație unică a schemei de alimentare, rezultă o posibilitate de îmbunătațire a
funcționă rii lor prin adaptarea convenabilă a sche mei de exploatare la scopul urmă rit.
Lucrarea este structurata pe 5 capitole , o scurtă prezentarea a acestora va fi
prezentată în continuare:
In capitolul 2 se prezintă modalitatea de r eprezentare a elementelor de reț ea
cum ar fi liniile electrice simplu si dublu circuit, transformatoarele si autotransformatoarele de
putere, generato arele sincrone, baterii de condensatoare si reprezentarea consumatoril or. De
asemenea, s -a prezentat î n genera l formarea matricii de admitanță nodală si î n particular s -a
exemplificat pentru un s istem simplu din trei noduri. Câteva aplicaț ii au fost efectu ate pentru
calculul paramet rilor elementelor de reț ea: linii electrice, transformatoare.
In capitolul 3 sunt descrise câ teva metode pentru calculul circulatiei de puteri
într-un sistem sau rețea electrică : metode directe si metoda Gauss Seidel. In prima p arte a
capitolului s -au prezentat tipurile de nod din sistem (noduri generatoare, noduri de echilibrare,
noduri consumatoare si pasive). Algoritmul de calcul al circulaț iei de puteri cu met oda Gauss
Seidel s -a prezentat și descris î n detaliu, acesta fiind aplicat pentru studiul de caz din capitolul
5. După calculul circulației de puteri sunt evidenț iate expresiile puterilor injectate în noduri ș i
nodul de calcul al pierderilor de putere longitudinale si transversale pe elementele sistemului.
Capitolul 4 pr ezintă, î n principal, cele două metode iterative pe care le -am
folosit în calculul circulației de puteri într -o rețea electrică radială, pentru cele două sisiteme
RE5 și RE33. Pentru prima parte a capitolului 4 se va prezenta calculul în det aliu pentru
circulația de puteri pentru RE5 prin cele do uă metode, iar pentru RE33 se vor sintetiza

4
tabelele și graficele cu valorile finale. Sunt sintetizate în tabele atât rezultatele parțiale obținute
în procesu l de aplicare al algoritmului câ t si cele f inale (cvasioptime). Prima metodă de calcul
va fi metoda iterativă de calcul dus -întors care înseamnă calculul curenților si tensiunilor din
fiecare nod al rețelei si de pe fiecare latură a rețelei. A doua metodă pe care o vom utiliza va fi
metoda Gauss -Seidel.
În finalul luc rării sunt indicate rezulatele obținute pentru o rețea de distribuț ie
test, precum si concluziil e desprinse din partea teoretică si aplicativă .

5
Capitolul 2: Reprezentarea elementelor de reț ea. Formarea matricii
de admitantă nodală

2.1: R eprezentarea rețelei în raport cu nodurile
Rețeaua electrică (RE) a unui SEE, în vederea asigurării transportului și distribuției
energiei electrice este reprezentată de ansamblul liniilor și transformatoarelor electrice
interconectate. Pot fi reprezentate prin scheme electrice monofilare sau prin scheme electrice
echivalente [1÷4] .
Rețeaua electrică poate fi reprezentată prin scheme electrice echivalente, care pot fi de
secvență directă inversă sau homopolară și care sunt interconectate conform situației d in
teren.
În aceste scheme se evidențiază două categorii de elemente: noduri și laturi .
Ca elemente active ale SEE, în unele noduri ale RE sunt racordați consumatorii și
sursele de putere ale sistemului, iar alte noduri reprezintă noduri pasive cu rol de
interconexiune.
Drept urmare nodurile RE sunt clasificate în trei categorii [4, 5, 6] : noduri generatoare
(P>0); noduri consumatoare (P>0); noduri pasive (P,Q=0), datorită sensului de vehiculare al
puterii active între nod și rețea, facându -se precizarea că ci datorită injectări în nod din exterior
atât curentul cât și puterea se consideră pozitive.
Nodurile pasive reprezintă noduri de interconectare ale laturilor unde puterea sau
curentul debitat sau injectat se consideră nul.
Din punct de vedere funcțional orice nod de rețea va fi caracterizat prin două mărimi
electrice complexe [1]: curentul injectat în nod (I) și tensiunea nodului (U).
Tensiunea unui nod reprezintă diferența de potențial între nodul respectiv și nodul de
referință ( masă sau pământ ) notat cu 0.

2.2 R eprezentarea liniilor electrice.
Pentru liniile de medie și joasă tensiune, componentele transversale (B ij, Bji), ale schemei
echivalente în Π se pot neglija. Drept urmare reprezentarea liniilor se poate realiza print -un
cuadripol, ca în figura 2 .1 [5, 6] :
Zij=Rij+j·Xij
UiUj

Figura 2.1: Shema echivalentă pe ntru rețelele de medie tensiune

Prin figua 2.1 am reprezentat schema echivalentă pentru rețelele de medie tensiune.
Impedanța longitudinală a liniei electrice este [6]: (2.1)

6
Admitanța longitudinală a liniei electrice este:

(2.2)
Unde: R i, reprezintă rezistența liniei electrice, în Ω
Xi, reprezintă reactanța inductivă a liniei electrice, tot în Ω

2.3 Elementele matricei de admitanță nodală
Un exemplu de formare a unei matrice de admitanță nodală pentru o rețea electrică
radială cu 5 noduri:
Această rețea poate fi alimentată atât de sisteme regenerabile cât și de sisteme
convenționale de generare a energiei electr ice.

1
2
34
5P4
Q4
P5
Q5P2
Q2
P3
Q3ΔU
ΔP
ΔQ Sursa 21 KW
Alimentare din surse conventionale si/sau regenerabile
SURSAGW PV H

Figura 2.2: Schema electrică a RE
În această schemă se prezintă schema electrică a RE cu nodurile și laturile aferente și
sursa de alimentare care poate fi convențională sau regenerabilă.

7

Yl45
Yl12Yl24
Yl23Sursa
P1,Q1
1
2
3 4
5
Figura 2 .3: Schema electrică a RE din figura 2 .1 cu laturile reprezentate prin matricea
de admitanță nodală.

Relatiile de legătură între curenții injectați în nodurile RE ( I), laturile din nodurile
rețelei ( U) și admitanțele n odale pentru RE din figura 2 .2 este următoarea [7, 8] :
[ ] [ ] [ ] (2.3)
sau în forma extinsă:
[

]

[

]

[

]
(2.4)
Curenții injectați în nodurile RE se mai pot scrie și sub forma:
( )
( ) ( ) ( )
( ) (2.5)
( ) ( )
( )
Prin gruparea termenilor din relațiile (2.1 și 2.2 ) se obține:

8
[

]

[

]

[

]
(2.5)
Din relația 2.8 se observă că pentru termeni diferiți ai matricii de admitanță nodală se
adună admitanțele nodale din nodurile adiacente acestuia. Pentrutermeni (Y i,j, i≠j, i,j≠ 1,5),
elementele matricei Y i,j sunt egale cu admitanța laturii (ij) luată cu semn schimbat (Y i,j= –
Yli,j).Pentru nodurile între care nu există conexiune (Y li,j=0).
Deci pentru matricea de admitanță nodal ă [Y] pentru RE din figura 2.8 are forma:
[Y]=
[

]
(2.6)

Proprietățile matricei de admitanță Y [8, 9] :
1. Matricea de admitanță nodală sau cum mai este denumită și matricea de admitanță
nodală de scurtcircuit, notată cu Y. Aceasta face legătura dintre mărimile nodale,
curenții injectați și tensiunile acestor noduri .
2. Această matrice de admitanță nodală este o m atrice pătrată, având ca și dimensiune
n•n pentru un sistem cu (n) noduri de sistem. Această matrice mai prezintă simetrie
față de diagonala principală (Y i,j=Y j,i, pentru orice i și j≤n).
3. Pentru a obține elementele de pe diagonala principală însumăm admita nțele tuturor
laturilor concurente in acel nod.
4. Elementele care nu sunt pe diagonală sunt egale dar de semn contrat cu laturile directe
între nodurile respective. Neexistând latură directă între două noduri, elem entul
respectiv se consideră nul.
5. În cazul u ni sistem RE de mari dimensiuni, această matrice Y este rară, deoarece un
nod este conectat cu maxim (2, 3 sau 4 noduri), ceea ce este un număr relativ mic, deci
în consecință elementele corespunzătoare legăturii indirecte sunt nule.

2.4: Expresia puterii injectate în nodurile sistemului:
Conform relației ( 2.5) puterea aparentă injectată într -un nod de sistem, depinde doar de
tensiunea și curentul din acest nod [8÷10]:
S=U•I•=P+j •Q (2.7)
În altă ordine de idei conform configurației și parametrilor rețelei, curentul injectat într -un
nod oarecare este dependent de tensiunile nodale.
Acestea pot fi scrise și calculate cu relația următoare [9]:
∑
(2.8)
Puterea aparentă a nodului sistem va fi:
∑
(2.9)
Exprimând mărimile care intervin:

9
( ) (2.10 )
( ) (2.10 )
( ) (2.10 )
Puterea aparentă Si mai poate fi scrisă :
∑ ( )
(2.11 )
Sau:
∑ [ ( ) ]
(2.11)
Dacă separăm partea reală de partea imaginară, putem obține expresiile necesare calculării
puterii active și reactive (inductive), injectate în nod:
∑ ( )
(2.12 )
∑ ( )
(2.12 )
Pentru a introduce elementele matricei Y, de ce le mai multe ori se folosesc componentele lor
carteziene, G și B. Astfel puterea aparentă a unui nod va fi:
∑
( ) (2.13 )
∑ [ ( ) ( )] ( )
(2.13 )
Efectuând operațiile care se găsesc în relațiile de mai sus și separând părțile, va rezulta:
∑
[ ( ) ( )] (2.14 )
∑
[ ( ) ( )] (2.14 )
Expresiile (2.12) și (2.14 ) care ne permit să calculăm puterea activă și reactivă dintr -un nod
oarecare, în funcție de tensiunile nodale și de elementele de admitanță nodală.
Notă: Ca și curentul, puterea va rezulta pozitivă dacă este injectată în nod (cazul
generatoarelor) și negativă dacă este absorbită (cazul consumatorilor). Aceeași convenție se
aplică și puterii reactvie inductive.

10
Capitolul 3: Calculul circulației de puteri într -o rețea electrică radial.

3.1 Aspecte generale:
Regimul normal (RN) de funcționare este regimul corespunzător funcționării
sistemului, acsera fiind denumit și ca un regim permanent normal al SEE, fiind un regim
staționar, trifazic și simetric. În proiectarea și exploatarea sistemului acesta este considerat
regimul de bază.
Pentru a face anali za RC vom face de regulă două categorii de metode de calcul [8]:
Calculul circulației de puteri (CCP) și Calculul circulației de curenți (CCC). Utilizând aceste
două metode putem să determinăm starea sistemului SEE la un moment dat, stare care poate fi
caracterizată de modulele (amplitudinea) și fazele (relative) tensiunilor în nodurile sale.
Deoarece se cunosc tensiunile din noduri se vor putea determina și celelalte mărimi
electrice de interes, cum ar fi: puterile sau curenții pe laturile sistemului , pierderile de putere
și tensiune pe acestea , nivelul de încărcare a acestora , etc.
Drept urmare datele inițiale (mărimile de intrarea), care se introduce pentru CCP și
CCC și care se presupun cunoscute, se folosesc: paremetrii și configurația rețelei; puter ile
(curenții) absorbite sau injectate de surse sau de consumatorii racordați în nodurile sistemului.
CCP presupune puterile injectate (absorbite) în nodurile sistemului, în timp ce CCC,
presupune curenții. În primul caz, relațiile dintre tensiune și puter e sunt neliniare, CCP
implică metode iterative prin care se dă rezolvarea sistemelor de ecuații care vor forma
modelul mathematic al SEE.
CCC care operează cu relații liniare între curenți și tensiuni, va permite aplicarea unor
metode directe de calcul. De și din punct de vedere CCC pare mai accesibilă, CCP fiind mai
complex este mult mai bine agreat de inginerii care analizează regimuri ale SEE mai
complexe.
Aceste metode trebuie căutate, pe de o parte în familiarizarea inginerilor
electroenergeticieni în a lucra cu puteri, nu cu curenți, iar pe de altă parte faptul că pe diverse
componente de sistem, nivelul curentului este dependent de nivelul la care se găsește
tensiunea pe elemental respective [8].
Pentru a analiza regimul normal de funcționare, acesta s e manifestă pe două domenii
principale de activitate pentru o companie de electricitate: domeniul proiectării în vederea
dezvoltării și extinderii SEE și prin dispecer în conducerea operativă a sistemului.
Prin simulări matematice se permite o evaluare can titativă a multiplelor variante de
proiectare ale unui SEE.
Pentru a conduce operativ un SEE, dispecerii energeticieni folosesc ca instrument
principal de bază analizele de regimuri, prin care pot să aprecieze eficiența unei sau mai
multor manevre preconiz ate care se vor putea efectua în sistem. Astfel se vor putea lua
deciziile cele mai potrivite pentru manevrele care se vor efectua în sistem, și în general în
ansamblul pentru coordonarea operativă a sistemului.
Datorită variației naturale a consumului, se face cea mai frecventă și întâlnită situație
care impune luarea unor decizii privind modificarea regimului de încărcare a elementelor de
sistem, toate acestea relizându -se conform curbei de sarcină care poate fi prognozată în timp.

11
Dispecerul ale rolul de a pregăti sistemul astfel încât acesta să funcționeze în limitele
prestabilite pentru mărimile caracteristice cum ar fi tensiunile în noduri, nivelul de încărcare
pe unele elemente, etc., dacă considerăm această modificare una inerentă a sarcinii.
Această pregătire are rolul de a stabili o listă de manevre care se vor efectua în cazul
disfuncționalități sistemului, care se pot datora conectării/deconectării unor consumatori sau
surse importante de enrgie, care modifică consumul de enrgie la un moment dat.
În acest sens se poate creea o imagine prin care pe o curbă de sarcină apare un gol pe o
anumită perioadă de timp, care conduce inevitabil la descărcarea liniilor, care va crește
tensiunea în noduri, care pot conduce la depășirea limitelor admisibile, care pot conduce mai
departe la avarii cauzate de conturnarea unor izolatori. Aceste probleme se pot evita dacă
dispecerii i -au niște măsuri operative prealabile.

3.2 Noduri caracteristice în sistem/rețea.
Starea electrică a unui nod de sistem caracterizată de două mărimi comlexe, curentul I
și tensiunea U din nod. Putem înlocui aceste două mărimi cu patru mărimi scalare care sunt:
modulul U și faza δ a tensiunii și componentele active și reactive ale curent ului.
Faza δ tensiunii reprezinătă [8]: unghiul pe care îl face fazorul U cu o axă de referință
a unghiurilor, care va fi aleasă arbitrar dar comună pentru toți fazorii tensiunilor nodurilor din
sistem. Pe baza relațiilor bine cunoscute dintre putere, tensiune și curent, se vor putea
introduce puterea activă (P) și puterea reactivă (Q), care se injectează în nod, astfel pentru a
caracteriza un nod vom folosi următoarele 4 mărimi scalare: U, δ, P și Q. Existând două relații
de interdependență între cele patru mărimi electrice caracteristice, se vor putea determina
două dintre aceste mărimi prin calcul, dacă vom ști două mărimi caracteristice.
Deci rezultă faptul că vom putea impune într -un nod de sistem, ca mărimi
independente, două dintre aceste mărimi, iar pe baza relațiilor dintre aceste patru mărimi, prin
calcul le vom putea găsi pe cele două. Astfel sub forma matricelor nodale, se consideră
cunoscută topologia și parametrii rețelei.
Pentru a efectua calculul circulației de puteri se consideră că mărim ile impuse sunt
cunoscute, folosind datele lor ca și date inițiale de calcul, iar mărimile independente vor
rezulta în urma calculelor pe care le vom efectua.

Tabelul 3.1: Nodurile sistemului [5].
Tip nod Mărimi impuse Mărimi calculate Observații
Nod generator
(NG) U, P Q, δ Dacă
Qmin<Q<Q max
Nod consumator
(NC) P, Q U,δ Dacă P=0 și Q=0, nodul este nod
pasiv
Nod de echilibrare
(NE) U,δ (=0) P,Q Axa de referință a unghiurilor se
consideră după fazorul său.

Nodurile generatorului sunt acele noduri care au surse de putere apreciabile și a căror
tensiune la borne va fi menținută la același nivel de sistemele de reglaj automat al tensiunii, în
consecință aceasta va fi considerată ca și modul. Prin calcul rezultă că se vor calcula puterea

12
rectivă debitată și faza tensiunii la borne. Dacă puterea Q debitată va depăși limitele care se
impun ca Q min și Q max, atunci nodul respectiv, deoarece a depășit limita maximă impusă, se va
considera ca fiind un consumator, în ca re se vor impune P și Q [8].
Nodurile consumatoare sunt acele noduri la care cunoaștem puterile în nod, atât cea
activă cât și cea reactivă. În categoria acestor noduri se includ și cele pasive, care au puterea
rezultată în nod nulă.
Nodul de echilibrare c are mai este denumit și ca nod de balansare , nod de relaxare ,
sau nod U, δ, va fi ales în mod arbitrar și în care se va impune doar tensiunea ca nod și fază.
Acest nod se introduce deoarece trebuie să fie cel puțin un nod care să preia pierderile de
putere activă din sistem.

3.3 Metoda dus -întors pentru calculul circulației de puteri într -o rețea electrică
radială.
Metoda dus -întors este o metodă iterativă dedicată pentru calculul circulației de puteri
în rețele electrice de distribuție radiale. Pentru aplicarea acestei metode se vor parcurge
următori pași [4]:
Pasul 1 : Se identifică datele de intrare ale problemei și se presupunde schema elecrtică
echivalentă. Mărimile cunoscute pentru efectuarea circulației de puteri sunt: puterile active
(P) și reacti ve (Q), cerute de fiecare consumator, puterile reactive ale bateriilor de
condensatoare (Q c) și nodurile unde sunt instalate acestea. Caracteristicile electrice ale rețelei
electrice (rezistența (R) și reactanța (X) a fiec ărei linii electrice a rețelei), t ensiunea nominală
a rețelei U n=21 kV. Pentru calculul circulației de puteri, la iterația k=0, toate tensiunile din
nodurile rațelei au aceeași valoare: U i=U n=21 kV, i= 1,n, unde n reprezintă numărul de noduri
din rețeaua radială.
De asemenea, se consideră c ă alimentarea rețelei se relizează din cel puțin o sursă,
care poate fi: barele stației, din care se alimentează rețeaua analizată, și/sau unul sau mai
multe unităț generatoare pe combustibili clasici sau regenerabili.
Pasul 2: Se calculează curenți ( Ii) ceruți de consumatori racordați în fiecare nod i al rețelei
radiale, cu relația:

√ (i=1,n) (3.1)
Unde: I i-valoarea, în complex a curentului cerut în nodul i;
Si=Pi, valoarea puteri, conjugată în complex, cerută de consumatori din nodul i
Pi și Q i, puterile active și reactive din nodul i
Ui, valoarea tensiunii, în complex, din nodul i al rețelei.
Pasul 3: Se calculează curenți, în complex, care circulă pe fiecare latură a rețelei radiale ( Iij),
cu relațiile:
Calculul curenților ( Iij), se realizează de la nodurile finale spre nodul sursă: Iij=Ii
∑( ( )) (3.2)
Unde: C -mulțimea nodurilor conectate cu nodul j
Ij-curentul, în complex, din nodul j
( ) –curentul, în complex, care circulă pe laturile (j,i e).

13
nl – un nod oarecare (l) al rețelei conectat cu nodul j.
I(k,j) – curentul, în complex, care circulă pe latura (k,j).

Nod
jNod
i Ij,i Ii

Figura 3.1 : Expicația pentru calculul curentului pe o latură, la care se conectează un
consumator.

Nod
kNod
jI k,iI (j,n1)
I (j,nl)
I (j,np)I jI n1
I nl
I npNod n1
Nod npNod nl
Figura 3.2: Expicația pentru calculul curentului pe o latură (k,j), la care se conectează mai
mulți consumatori (np).

Pasul 4: Se calculează căderile de tensiune, în complex, pe fiecare latură a rețelei (i,j),
pornind de la nodul sursă 1 spre nodurile finale ale rețelei radiale cu realția:
√ (3.3)
Unde: Ui, Uj – sunt tensiunile din nodu rile i și j ale rețelei, în complex.
ΔU ij – căderea de tensiune pe latura (i,j)
Zij – impedanța laturii (i,j)
Iij – curentul care circulă pe latura (i,j)
Pentru calculul tensiunilor U i, i=1,n, se consideră în relația (3.3) valorile curenților Iij,
obținuți la iterația anterioară.

14
Pasul 5: Se calculează valoarea puterii aparente din nodul sursă 1, cu realția:
S1=√3· U1·I1 (3.4)
Unde: U 1 – tensiunea din nodul sursă 1, care se consideră constantă (U 1=U n=21 kV)
I1 – este curentul injectat în nodul 1.
Pasul 6: Se verifică satisfacerea relației (3.6) la doi pași consecutivi:
| ( ) ( )| (3.5)
( ( ) ( )) – puterea din nodul 1, la iterația k, respectiv (k -1).
Dacă realația din acest pas este satisfăcută, atunci calculul este oprit și valorile pentru
tensiuni și curenți sunt cele de la utlima iterație efectuată (k).
Dacă relația din acest pas nu este satisfăcută, atunci calculul trebuie continuat de la
Pasul 2. Trebuie precizat că pentru calculul mărimilor ( Ii – cu relația (3.1) de la p asul 2) și Ikj,
Iij – cu relația (3.2) de la pasul 3, se vor utiliza valorile obținute la ultima iterație.
Pasul 7: După încheierea calculului iterativ pe baza valorilor obținute la ultima iterație k ( I(k)
i,
i=1,n și Iij, (i,j) ϵ mulțimi laturilor rețelei), se calculează pierderile de putere activă totală (Δ p)
pe ansamblul rețelei: ( ( )) (3.6)
Unde: Δ p – pierderile de putere activă pe ansamblul rețelei
Re(S(k)
1) – puterea activă injectată în nodul sursă 1, la ultima iterație k
Pc – puterea activă cerută de toți consumatorii din rețeaua electrică
Observație: În general metoda dus -întors este o metodă rapidă, eficientă pentru
calculul circulației de puteri al unei rețele electrice radiale.
Mărimile care pot fi calculate după aplic area metodei dus -întors sunt: valorile
tensiunilor în complex din fiecare nod, valorile modulului și fazei tensiunilor din fiecare nod
al rețelei, curenții injectați în fiecare nod al rețelei ( Ii), curenții care circulă pe fiecare latură a
rețelei (I ij), puterea aparentă din nodul sursă 1 (S 1), pierderile de putere activă, reactivă,
pentru fiecare latură a rețelei, pierderile de putere activă, reactivă totale ale rețelei (ΔP, ΔQ),
căderile de tensiune ( ΔU ij), pe fiecare tronson al rețelei sau pentru tronsoa nele sursă 1 –
nodurile finale ale rețelei.

3.4 Metoda Gauss -Seidel pentru calculul circulației de puteri într -o rețea
electrică radială:
3.4.1 Relația generală pentru calculul tensiunilor din nodurile rețelei.
Această metodă Gauss -Seidel poate să fie utilizată pentru rezolvarea sistemului de
ecuații dat de relația nodală, tensiuni, curenți.
Astfel vom putea să determinăm tensiunile din nodurile sistemului, considerând
cunoscuți curenții sau puterile în noduri și elementele matricei Y [9].
∑
(3.7)
Notă: Se va introduce indicele (k), deoarece dorim să evităm confuziile generate de
folosirea indicelui (i) și pentru numărul curent al iterației.

15
Din relația (3 .5) se va putea explicita tensiunea într -un mod oarecare, astfel [9]:

[ ∑

] (3.8)
Se va obține un sistem de (n) ecuații comlexe, sau 2n ecuații scalare, care va putea fi
rezolvat conform exemplului din paragraful anterior.
Sistemul de ecuații prezentat utilizează ca mărimi cunoscute c urenții rezultați în
noduri, iar rezolvarea sa reprezintă calculul circulației de curenți.
Introducerea puterilor în noduri, înlocuind curenți, pentru CCP, înseamnă înlocuirea în
ralția (3 .6), a curenților Ik prin puteri, conform relației:

Astfel relația (3 .6) devine [8, 9] :

[
∑

] (3.9)
Conform metodei Seidel a metodei Gauss rezultă [9]:

[
∑ ∑

] (3.10)

3.4.2. Etapele calculului de puteri cu metoda Gauss -Seidel.
Calculul circulației de puteri presupune parcurgerea următoarelor trei faze [8]:
A. Stabilirea datelor inițiale și construirea matricei Y
B. Determinarea tensiunilor din nodurile de sistem
C. Calculul puterilor și a pierderilor de putere pe laturile sistemului
Fiecare fază va consta în mai multe etape specifice, intercorelate conform
ordinogramei.
În continuare se prezintă fazele CCP [8].
A. Stabilirea datelor inițiale în noduri și construirea mat ricei Y:
Se consideră schema monofilară a SEE, ca primă etapă, numerotarea nodurilor de
sistem , numerotat de la 1 la n, (n) care reprezintă numărul nodurilor de sistem. Se face
următoarea observație: Numărul 0 va fi atribuit nodului de referință potențiale lor
(nodul masă) și care nu va intra în categoria nodurilor de sistem.
Date inițiale ale CCP vor fi datele caracteristice nodurilor, U și S, iar pe de altă parte
vor consta din elementele matricei de admitanță nodală Y.
Pe de altă parte se stabilesc pe rân d tipul nodurilor, generator sau consumator, pentru a
se alege nodul de echilibrare. Se introduc în funcție de fiecare tip de nod,
caracteristicile astfel:
 P și Q: noduri de tip consumator
 P și U: noduri de tip generator
 U și δ : nodul de echilibrare
Pentru a începe calculele efective se vor stabili ca și date inițiale ale necunoscutelor:

16
 U0 și δ0: pentru nodurile consumatoare
 δ0: pentru nodurile generatoare
De regulă se iau aceleași valori la toate nodurile: U0=1 și δ0=0
În această fază se mai stabilesc și limitile admisibile de încărcare a puteri reactive
pentru nodurile de tip generator: Q max și Q min. De regulă se admite: Q max=Q n; Q min= -Pn•tgθmin
(unde se va determina din catalog tgθ min, care are valori cuprinse între (0,98 -0,99).
Următoarea etapă presupu nde construirea matricei de admitanță nodală de
scurtcircuit .
Pentru a putea construii matricea se va întocmi schema electrică echivalentă a
sistemului, în care se vor evidenția toate nodurile. Pe baza acestor proprietăți se va construi
matricea Y, care este de forma (NxN), N reprezentând numărul nodurilor schemei
echivalente. Dacă nodurile nu sunt toate de interes, atunci se va aplica algoritmul de eliminare
Kron, astfel rezultând matricea Y, care va fi de mărimea (nxn) și care va corespunde doar
nodurilor de interes din sistem. Acest scop are ca urmare faptul că nodurile pasive se pot
elimina, deci drept urmare și reducerea dimensiunii matricei de admitață nodală.
B. Determinarea tensiunilor în nodurile de sistem [8]:
Având un SEE de n noduri, vom av ea n-1 ecuații complexe de forma (3 .7), ori de forma 2x(n –
1) ecuații scalare, care vor corespunde nodului de tip generator sau consumator din sistem,
până la nodul de echilibrare, deoarece acestui nod îi este cunoscută tensiunea, în modul și
fază.
Utilizân d metoda Gauss -Seidel în acest sistem se va efectua și determina succesiv tensiunea
din fiecare nod (k), mai puțin nodul de echilibrare, căruia îi este cunoscută tensiunea și care
nu mai intră în acest calcul.

17

CCP
Construiește matricea de admitanță nodală a
sistemului Y
Se numeroteză și se stabilesc tipul nodurilor din sistem
Se citesc datele inițiale ale nodurilor de sistem:
În cazul NG se citesc și Qgmin și Qgmax.
Inițializează controlul de iterații: i=0 și al nodului
curent, k=0
Actualizează controlul de iterații: i=i+1
Actualizeză numărul de ordine al nodului tratat:
K=k+1
Tip nod
Calculează tensiunea nodului k, cu
(3.9)
k≤n
ε˂εadm
Qgmin>Qk<QgmaxNCCalculează Qk cu relația
(3.9)NG
Qk=Qgmax sau
QgminNU
Calculează Uk cu
(3.9)
Calculează puterile pe laturi cu (3.8) și
pierderile de putere cu (3.9 și 3.10)
STOPDADA
NUNUCalculează tensiunea de lucruNE
Figura 3.3: Ordi nograma de principiu a CCP cu metoda Gauss -Seidel [8].

18
Conform ordinogramei se vor trata nodurile de tip consumator, ceea ce înseamă că se va
determina valoarea tensiuni din nod, ca modul și fază, unde vom aplica relația de calcul (3 .8)
pentru acel nod.
Dacă nodul este de tip generator, puterea reactivă Q, care intervine în ralația (3 .8) nu se
cunoaște (este doar puterea activă), aceasta urmează să se calculeze în prealabil utilizând
formula [8, 9] :
∑ ( )
(3.11)
∑ ( )
(3.11)
Pentru nodurile de tip consumator unde modulul de tensiune este impus, ralația (3 .8) va
determina doar faza tensiunii ( Uk), în acesta caz procedându -se astfel: fie (U k0), valoarea
pentru modul de tensiune în nodul generator (k) și (δ k) faza de tensi une obținută folosind
relația (3 .8), pentru nodul (k) în cadrul iterației (i).
Tensiunea ( Uki) care va continua calculul iterativ este:
( ) (3.12 )
Acest procesa va fi aplicat doar dacă puterea reactivă Q k debitată de generator și calculată,
este cuprinsă între limitele reactive admise la generatorul respectiv.

3.4.3 Calculul puterilor și a pierderilor de putere pe latu rile de sistem.
Puterea Sij, care parcurge traseul dinspre nodul i spre nodul j, poate fi descrisă în funcție de
parametrul elementului de rețea, ori de tensiunile de la capetele sale, care se cunosc deja din
fazele anterioare.
Se va considera sistemul de unități relative (p.u) și putere aparentă Sij [5, 9].
Sij=Ui•Iij=Pij+j•Qij. (3.13)
Curentul Iij, se poate exprima și în funcție de tensiunile de la capete, astfel:
Iij=(Ui-Uj)•YIij=-(Ui-Uj)•Yij (3.14).
(Iij) va fi introdus în expresia puterii menționată mai sus, care va deveni astfel [8]:
Sij=Ui•(Ui-Uj)•YIij =Pij+j•Qij (3.15)
Observație: Dacă se va neglija rezistența elementului longitudinal, atunci pierderea puterii
active va trebui să rezulte 0.

19
Capitolul 4 : Calculul circulației de puteri prin metode iterative.
Studiu de caz pentru sistemul test.

4.1 Descrierea sistemului test.
În acest paragraf v om prezenta caracteristicile rețelei cu 5 respectiv 33 de noruri, pentru care
vom aplica două metode iterative de analiză (metoda dus -întors și metoda Gauss -Seidel), în
vederea calculului circulației de puteri.

4.1.1 Rețea test cu 5 noduri (RE5).
Rețeaua electrică radială (RE5), este compusă din 5 noduri și 4 laturi având configurația
prezentată în figura 4.1 . Caracteristici le rețelei sunt: nivelul de tensiune setat la Un=21 kV,
limitele de t ensiune setate între (18 -22) kV, n odul de echilibrare se consideră ca fiind nodul
0/1.
Datele cunoscute pentru rețea sunt prezentate în tabelul 4.1 și tabelul 4.2 : puterea activă (P) și
puterea reactivă (Q), rezistența (R), reactanț a (X) și inductanța (Z).
Se vor calcula următoarele mărimi:
– Modulul tensiunilor din nodurile rețelei (U 1, U2,…, U 5)
– Componenetele reale și imaginare ale tensiunilor din fiecare nod
– Puterea aparentă (S) din nodul sursă
– Pierderile de puterea activă din RE

1
2 3
45
P4
Q4P5
Q5P2
Q2P3
Q3ΔU
ΔP
ΔQ Sursa 21 KW
Alimentare din surse conventionale si/sau regenerabile
SURSAGW PV H

Figura 4.1: Schema electrică a RE pentru sistemul cu 5 noduri.

20
Tabel 4.1: Retizistența (R) și reactanța (X) :
Nr.laturi Nod inițial Nod final R [Ω] X [Ω]
1 1 2 0,015 0,027
2 1 3 0,082 0,093
3 3 4 0,124 0,207
4 3 5 0,145 0,235

Tabel 4.2: Puterea activă (P) și puterea reactivă (Q).
Nr.Nod P [kW] Q [kVAr]
1 0 0
2 150 80
3 50 40
4 200 120
5 250 150

În tabelele 4.1 și 4.2 se prezintă datele inițiale care se vor folosi în calculul circulației de
puteri pentru RE5 și RE33.

4.1.2 Rețea test cu 33 noduri.
Pentru a doua parte a lucrări de licență vom efectua calculele de eficiență la un sistem cu 33
noduri, denumit RE33, folosind tot aceleași două metode iterative:
– Metoda dus -întors
– Metoda Gauss -Seidel
Câteva din datele acestui sistem sunt referitoare la numărul de noduri 33 și are un număr de
32 de laturi [11, 12, 13 ].

21

2 22 23 24 1 18
3
4
5 6 721 20 19
8 9
10
11
12
13 14 15 16 1726 27 25
28
29
30
31
32
s1
s2 s22 s23 s24
s3 s4 s5
s6 s7 s8 s9
s10 s11 s12 s13
s14 s15 s16 s17
s32 s31 s30 s29 s28s27 s26 s25s18 s19 s20 s21Alimentare din surse conventionale si/sau regenerabile
SURSAGW PV H0
Figura 4.2: Schema electrică RE pentru sistemul cu 33 noduri [11]

Datele inițiale care se vor utiliza în calcularea rețelei RE33, vor fi prezentate în următorul
tabel, care va conține următoarele date: (R) rezistența (Ω), (X) reactanța (Ω), (P) puterea
activă (kW), (Q) puterea reactivă (kvar), (U) tensiunea (kV).
Schema sistemului RE33, conține 1 nod sursă, care poate fi alimen tat atât pe baza energiilor
regenerabile cât și pe baza energiilor convențio nale. Pe lângă acest nod mai sunt și cele 4
noduri finale: nodurile 21, 24, 17, 32.

22

Tabelul 4.3: Datele inițiale folosite în calculul iterativ al rețelei RE33 [11].
Br.No Rc. Nd Sn.Nd R (Ω) X (Ω) PL(kW) QL(kvar) U (kV)
1 0 1 0.0922 0.047 100 60 0.9927
2 1 2 0.493 0.2511 90 40 0.9574
3 2 3 0.366 0.1864 120 120 0.9374
4 3 4 0.3811 0.1941 60 60 0.9176
5 4 5 0.819 0.707 60 60 0.8707
6 5 6 0.1872 0.6188 200 200 0.8641
7 6 7 0.7114 0.2351 200 200 0.855
8 7 8 1.03 0.74 60 60 0.8432
9 8 9 1.044 0.74 60 60 0.8324
10 9 10 0.1966 0.065 45 45 0.8308
11 10 11 0.3744 0.1238 60 60 0.828
12 11 12 1.468 1.155 60 60 0.8167
13 12 13 0.5416 0.7129 120 120 0.8125
14 13 14 0.591 0.526 60 60 0.8099
15 14 15 0.7463 0.545 60 60 0.8074
16 15 16 1.289 1.721 60 60 0.8037
17 16 17 0.732 0.574 90 90 0.8026
18 2 18 0.164 0.1565 90 40 0.9916
19 18 19 1.5042 1.3554 90 40 0.9845
20 19 20 0.4095 0.4784 90 40 0.9831
21 20 21 0.7089 0.9373 90 40 0.9818
22 21 22 0.4512 0.3083 90 50 0.9504
23 22 23 0.898 0.7091 420 200 0.9373
24 23 24 0.896 0.7011 420 200 0.9309
25 5 25 0.203 0.1034 60 25 0.8643
26 25 26 0.2842 0.1447 60 25 0.8557
27 26 27 1.059 0.9337 60 20 0.8201
28 27 28 0.8042 0.7006 120 70 0.7945
29 28 29 0.5075 0.2585 200 600 0.7816
30 29 30 0.9744 0.963 150 70 0.7739
31 30 31 0.3105 0.3619 210 100 0.7723
32 31 32 0.341 0.5302 60 40 0.7717
În acest tabel se prezintă datele inițiale pentru c alculul circulației de puteri pentru RE33.

4.2 Calculul circulației de puteri pentru RE5 prin metoda dus -întors.
În continuare se va prezenta calculul sisitemului test RE5, prin metoda dus -întors. Acesta
constă în calcularea la fiecare iterație a curentului în noduri și laturi, tensiunea și căderile de
tensiune în noduri și pe laturi, puterea injectată în nodul sursă.

23
Iteratia 1:
Se va calcula curentul in fiecare nod (i 5(1), i4(1), i3(1), i2(1), i1(1)) si pe laturile I 35(1), I34(1), I13(1),
I12(1)
Calculul curentilor :
Calculul curentuli in nodul 5 (i 5(1)):
I5(1)=
√ =
√ =6.8732 -j4.1239 A
Calculul curentuli pe latura 3 -5 (I 35(1)):
I35(1)=6.8732 -j4.1239 A
Calculul curentuli in nodul 4 (i 4(1)):
I4(1)=
√ =
√ =5.4985 -j3.2991 A
Calculul curentuli pe latura 3 -4 (I34(1)):
I34(1)=5.4985 -j3.2991 A
Calculul curentuli in nodul 3 (i 3(1)):
I3(1)=
√ =
√ =1.3746 -j1.0997 A
Calculul curentului pe latura 1 -3 (I 13(1)):
I13(1)=i3(1)+I34(1)+I35(1)=6.8732 -j4.1239+5.4985 -j3.2991+1.3746 -j1.0997=13.7464 -j8.5227 A
Calculul curentului in nodul 2 (i 2(1)):
I2(1)=
√ =
√ =4.12393 -j2.19943 A
Calculul curentului pe latura 1 -2 (I 12(1)):
I12(1)=4.12393 -j2.19943 A
Calculul curentului pe traseul 1 -2 (i 1(1)):
I1(1)=I12(1)+I13(1)=13.7464 -j8.5227+4.12393 -j2.19943=17.8703 -j10.7222 A
Se vor calcula tensiunile in fiecare nod (U 1,U2,U3,U4,U5) si caderile de tensiune pe fiecare
latura ( ∆U(1)
1-2, ∆U(1)
1-3, ∆U(1)
3-4, ∆U(1)
3-4)
Calculul tensiunilor:
Tensiunea din nodul 1 (U 1):
U1=21 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -2 (∆U(1)
1-2):
∆U(1)
1-2=√ =√3(0.015 -j0.027)(4.1239 -j2.1994) 10-3=0.00021 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 2 (U 2(1)):
U2(1)=21-j1.35710^ -4 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -3 (ΔU(1)
1-3):

24
ΔU(1)
1-3=√ =√3(0.082 -j0.093)(13.7464 -j8.5227)10-3=0.003325 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 3 (U 2(1)):
U3(1)=20.99979 -j1.004∙10-3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -4 (ΔU(1)
3-4):
ΔU(1)
3-4=√ =√3(0.124 -j0.207)(5.4985 -j3.29914)10-3=0.005689 -j0.001004 kV
Tensiunea in nodul 4 (U 4(1)):
U4(1)=20.99431 -j2.267∙10-3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -5 (ΔU(1)
3-5):
ΔU(1)
3-5=√ =√3(0.124 -j0.207)(6.8732 -j4.1239) 10-3= 0.00673 -j0.002267 kV
Tensiunea in nodul 5 (U 5(1)):
U5(1)=20.99327 -j0.00277 kV
Ca si calcul final la fiecare iteratie se va calcula puterea injectata in nodul 1:
√ =√32117.8703 -j10.7222=650+j390 KVA.

La fel ca și calculele pe care le -am efectuat mai sus la prima iterație, vom calcula curenții de
pe noduri și laturi și tensiunile cu căderile de tensiune aferente.
Iteratia 2:
Calculul curentilor:
Calculul curentuli in nodul 5 (i 5(2)):
I5(2)=
√ =
√ =6.87488 -j4.12616 A
Calculul curentuli pe latura 3 -5 (I 35(2)):
I35(2)=6.87488 -j4.12616 A
Calculul curentuli i n nodul 4 (i 4(2)):
I4(2)=
√ =
√ =5.49971 -j3.30063 A
Calculul curentuli pe latura 3 -4 (I 34(2)):
I34(2)=5.49971 -j3.30063 A
Calculul curentuli in nodul 3 (i 3(2)):
I3(2)=
√ =
√ =1.37481 -j1.09995 A
Calculul curentului pe latura 1 -3 (I13(2)):
I13(2)=i3(2)+I34(2)+I35(2)=6.87488 -j4.12616+5.49971 -j3.30063+1.37481 -j1.09991=13.74939 -j8.52675 A
Calculul curentului in nodul 2 (i 2(2)):
I2(2)=
√ =
√ =4.12396 -j2.19948 A

25
Calculul curentului pe latura 1 -2 (I 12(2)):
I12(2)=4.12396 -j2.19948 A
Calculul curentului pe traseul 1 -2 (i 1(2)):
I1(2)=I12(2)+I13(2)=13.74939 -j8.52675+4.12396 -j2.19948=17.87335 -j10.72622 A
Calculul tensiunilor:
Tensiunea din nodul 1 (U 1):
U1=21 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -2 (∆U(2)
1-2):
∆U(2)
1-2=√ =√3(0.015 -j0.027)(4.12396 -j2.19946) 10 -3=0.00021 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 2 (U 2(2)):
U2(2)=21-j1.357∙10 -4 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -3 (ΔU(2)
1-3):
ΔU(2)
1-3=√ =√3(0.082 -j0.093)(13.746939 -j8.52675) 10 -3=0.003326 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 3 (U 2(2)):
U3(2)=20.99979 -j1.004∙10 -3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -4 (ΔU(2)
3-4):
ΔU(2)
3-4= √ =√3(0.124 -j0.207)(5.49971 -j3.30063) 10 -3=0.005691 -j0.001004 kV
Tensiunea in nodul 4 (U 4(2)):
U4(2)=20.99431 -j2.267∙10 -3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -5 (ΔU(2)
3-5):
ΔU(2)
3-5=√ =√3(0.124 -j0.207)(6.87488 -j4.12616) 10 -3=0.006732 -j0.002267 kV
Tensiunea in nodul 5 (U 5(2)):
U5(2)=20.99327 -j0.00277 kV
Puterea injectata in nodul 1:
√ =√32117.87335 -j10.72622=650.1086+j390.1456 KVA.
Pierderea de putere activa pe ansamblul retelei la iteratia 2:
∆p(2)=0,1086 kW

Iteratia 3:
Calculul curentilor:
Calculul curentuli in nodul 5 (i 5(3)):
I5(3)=
√ =
√ =6.87488 -j4.12616 A
Calcu lul curentuli pe latura 3 -5 (I 35(3)):

26
I35(3)=6.87488 -j4.12616 A
Calculul curentuli in nodul 4 (i 4(3)):
I4(3)=
√ =
√ =5.49971 -j3.30063 A
Calculul curentuli pe latura 3 -4 (I 34(3)):
I34(3)=5.49971 -j3.30063 A
Calculul curentuli in nodul 3 (i 3(3)):
I3(3)=
√ =
√ =1.37481 -j1.09995 A
Calculul curentului pe latura 1 -3 (I 13(3)):
I13(3)=i3(3)+I34(3)+I35(3)=6.87488 -j4.12616+5.49971 -j3.30063+1.37481 -j1.09995=13.74939 -j8.52675 A
Calculul curentului in nodul 2 (i 2(3)):
I2(3)=
√ =
√ =4.12396 -j2.19948 A
Calculul curentului pe latura 1 -2 (I 12(3)):
I12(3)=4.12396 -j2.19948 A
Calculul curentului pe traseul 1 -2 (i 1(3)):
I13(3)=I12(3)+I13(3)=13.74939 -j8.52675+4.12396 -j2.19948=17.87335 -j10.72622 A

Calculul tensiunilor:
Tensiunea din nod ul 1 (U 1):
U1=21 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -2 (∆U(3)
1-2):
∆U(3)
1-2=√ =√3(0.015 -j0.027)(4.12396 -j2.19948)10 -3=0.00021 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 2 (U 2(3)):
U2(3)=21-j1.357∙10 -4 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -3 (ΔU(3)
1-3):
ΔU(3)
1-3=√ =√3(0.082 -j0.093)(13.74939 -j8.52675)10 -3=0.003326 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 3 (U 2(3)):
U3(3)=20.99979 -j1.004∙10 -3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -4 (ΔU(3)
3-4):
ΔU(3)
3-4=√ =√3(0.124 -j0.207)(5.49971 -j3.30063)10 -3=0.005691 -j0.001004 kV
Tensiunea in nodul 4 (U 4(3)):
U4(3)=20.99431 -j2.267∙10 -3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -5 (ΔU(3)
3-5):

27
ΔU(3)
3-5=√ =√3(0.124 -j0.207)(6.87488 -j4.12616) 10 -3=0.006732 -j0.002267 kV
Tensiunea in nodul 5 (U 5(3)):
U5(3)=20.99327 -j0.00277 kV
Puterea injectata in nodul 1:
√ =√32117.8703 -j10.7222=650.108644+j390.1456704 KVA.

Iteratia 4:
Calculul curentilor:
Calculul curentuli in nodul 5 (i 5(4)):
I5(4)=
√ =
√ =6.87488 -j4.12616 A
Calculul curentuli pe latura 3 -5 (I 35(4)):
I35(4)=6.87488 -j4.12616 A
Calculul curentuli in nodul 4 (i 4(4)):
I4(4)=
√ =
√ =5.49971 -j3.30063 A
Calculul curentuli pe latura 3 -4 (I 34(4)):
I34(4)=5.49971 -j3.30063 A
Calculul curentuli in nodul 3 (i 3(4)):
I3(4)=
√ =
√ =1.37481 -j1.09995 A
Calculul curentului pe latura 1 -3 (I 13(4)):
I13(4)=i3(4)+I34(4)+I35(4)=6.87488 -j4.12616+5.49971 -j3.30063+1.37481 -j1.09995=13.74939 -j8.52675 A
Calculul curentului in nodul 2 (i 2(4)):
I2(4)=
√ =
√ =4.12396 -j2.19948 A
Calculul curentului pe latura 1 -2 (I 12(4)):
I12(4)=4.12396 -j2.19948 A
Calculul curentului pe traseul 1 -2 (i 1(4)):
I1(4)=I12(4)+I13(4)=13.74939 -j8.52675+4.12396 -j2.19948=17.87335 -j10.72622 A

Calculul tensiunilor:
Tensiunea din nodul 1 (U 1):
U1=21 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -2 (∆U(4)
1-2):

28
∆U(4)1 -2=√ =√3(0.015 -j0.027)(4.12396 -j2.19948) 10 -3=0.00021 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 2 (U 2(4)):
U2(4)=21-j1.357∙10-4 kV
Caderea de tensiune pe traseul 1 -3 (ΔU(4)
1-3):
ΔU(4)1 -3=√ =√3(0.082 -j0.093)(13.74939 -j8.52675)10 -3=0.003326 -j0.000136 kV
Tensiunea in nodul 3 (U 2(4)):
U3(4)=20.99979 -j1.004∙10-3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -4 (ΔU(4)
3-4):
ΔU(4)3 -4= √ =√3(0.124 -j0.207)(5.49971 -j3.30063) 10 -3=0.005691 -j0.001004 kV
Tensiunea in nodul 4 (U 4(4)):
U4(4)=20.99431 -j2.267∙10-3 kV
Caderea de tensiune pe traseul 3 -5 (ΔU(4)
3-5):
ΔU(4)
3-5=√ =√3(0.124 -j0.207)(6.87488 -j4.12616) 10-3=0.006732 -j0.002267 kV
Tensiunea in nodul 5 (U 5(4)):
U5(4)=20.99327 -j0.00277 kV
Puterea injectata in nodul 1:
√ =√32117.8703 -j10.7222=650.108644+j390.1456704 KVA.
Calculele de la itrațiile 1 -4 prin metoda dus -întors sunt sintetizate în tabelul 4.5.
Mărimile sintetizate sunt: curenții din noduri și laturi, căderile de tensiune pe laturi, tensiunile
din noduri, puterea ap rarentă și pierderile de putere.

29
Tabelul 4.5: Rezultatele calculului prin metoda iterativă dus -întors pentru RE5.
Curentii/Tensiuni UM Iteratia 1 Iteratia 2 Iteratia 3 Iteratia 4
I35(i5) A 6.8732 -j4.1239 6.87488 -j4.12616 6.87488 -j4.12616 6.87488 -j4.12616
I34(i4) A 5.498574 -j3.299144 5.49971 -j3.30063 5.49971 -j3.30063 5.49971 -j3.30063
i3 A 1.374643 -j1.099715 1.37481 -j1.09995 1.37481 -j1.09995 1.37481 -j1.09995
I13 A 13.74643 -j8.52279 13.74939 -j8.52675 13.74939 -j8.52675 13.74939 -j8.52675
I12(i2) A 4.12393 -j2.19943 4.12396 -j2.19948 4.12396 -j2.19948 4.12396 -j2.19948
i1 A 17.87037 -j10.72222 17.87335 -j10.72622 17.87335 -j10.72622 17.87335 -j10.72622
U1 kV 21 21 21 21
ΔU 1-2 kV 0.00021 -j0.000136 0.00021 -j0.000136 0.00021 -j0.000136 0.00021 -j0.000136
U2 kV 20.99979 -j0.000136 20.99979 -j0.000136 20.99979 -j0.000136 20.99979 -j0.000136
|U2| kV 20.99979 20.9966748 20.9943111 20.9932702
ΔU 1-3 kV 0.003325 -j0.000136 0.003326 -j0.000136 0.003326 -j0.000136 0.003326 -j0.000136
U3 kV 20.996675 -j0.001004 20.996675 -j0.001004 20.996674 -j0.001004 20.996674 -j0.001004
|U3| kV 20.99979 20.9966737 20.9943092 20.9932678
ΔU 3-4 kV 0.005689 -j0.001004 0.005691 -j0.001004 0.005691 -j0.001004 0.005691 -j0.001004
U4 kV 20.994311 -j0.002267 20.994311 -j0.002267 20.994309 -j0.002267 20.994309 -j0.002267
|U4| kV 20.99979 20.9966737 20.9943092 20.9932678
ΔU 3-5 kV 0.00673 -j0.002267 0.Pri006732 -j0.002267 0.006732 -j0.002267 0.006732 -j0.002267
U5 kV 20.99327 -j0.002766 20.99327 -j0.002766 20.993268 -j0.002766 20.993268 -j0.002766
|U5| kV 20.99979 20.9966737 20.9943092 20.9932678
S1 kV 650+j390 650.10859+j390.14564 650.10864+j390.14567 650.10864+j390.14567
Pierderi kW 0 0.10859572 0.10864402 0.10864403

30

Tabelul 4.6: Tensiunea, in kV, în fiecare nod la fiecare iterație.
Iterația/nod nod 1 nod 2 nod 3 nod 4 nod 5
iterația 1 21 20.99979 20.99667 20.99431 20.99327
iterația 2 21 20.99979 20.99667 20.99431 20.99327
iterația 3 21 20.99979 20.99667 20.99431 20.99327
iterația 4 21 20.99979 20.99667 20.99431 20.99327

Figura 4.3: Grafic tensiune la fiecare nod k, la fiecare iterație, în kV.

În acest grafic se prezintă tensiunile pentru fiecare nod i, la fiecare iterație k, în kV. Se poate
observa că doar după 4 iterații cu metoda dus -întors tensiunea se stabilizează la nivelul de
20,993268 kV. 1 2 3 4 5
Iteratia 1 21 20.999790 20.996675 20.994311 20.993270
Iteratia 2 21 20.999790 20.996674 20.994309 20.993268
Iteratia 3 21 20.999790 20.996674 20.994309 20.993268
Iteratia 4 21 20.999790 20.996674 20.994309 20.99326820.99320.99420.99520.99620.99720.99820.99921Nivel de tensiune {kV} Tensiunea în fiecare nod la fiecare iterație.

31

Figura 4.4: Variația puteri aparente din nodul sursă 1, folosi nd metoda iterativă dus -întors.

Variația puterii aparente din nodul sursă 1,în kW, pentru metoda iterativă dus -întors, unde se poate
observa că după doar 3 iterații nivelul de putere al sursei din sistem se stabilizează la un nivel
constant.

Figura 4.5 : Pierderile de putere ale RE5, utilizand metoda dus -intors, la fiecare iteratie .
1 2 3 4
Iterația 650 650.1085957 650.108644 650.108644649.94649.96649.98650650.02650.04650.06650.08650.1650.12Psursă (kW)
Metoda iterativă dus -întors
01020304050607080
1 2 3 4 5 6 7Puterea (kW) Pierderile de putere
Iterația

32
La fel ca și la puterea aparentă din nodul 1, și pierderile de putere se stabilizează după 3
iterații.

4.3 Calculul circulației de puteri pentru RE5 prin metoda Gauss -Seidel.
Inițial se calculează admitanțele laturilor pentru fiecare linie a rețelei din figura 4.1 , conform
relațiilor de mai jos.

=15.72327 -j∙28.30189

=5.33403 -j∙6.04957

=2.12967 -j∙3.55517 (

=1.90164 -j∙3.08197
Inițial toate tensiunile din nodurile rețelei se consideră egale cu tensiunea nominală
(Un=21 kV), iar defazajul în nodul de echilibrare se consideră egal cu 0. Vom calcula
tensiunile în complex, în modul și fază pentru fiecare nod al rețelei, precum și pu terea
aparentă din nodul sursă 1.

ITERATIA 1:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.357163∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99981 -j∙4.97308∙10-5
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.99745 -j∙1.312371∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99641 -j∙1.81126∙10-3
ITERATIA 2:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99826 -j∙6.74838∙10-4

33
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.99589 -j∙1.93748∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99485 -j∙2.43637∙10-3

ITERATIA 3:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99826 -j∙6.74838∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.9951 -j∙2.17516∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99406 -j∙2.67405∙10-3

ITERATIA 4:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99707 -j∙9.9401∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.9947 -j∙2.2567∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99366 -j∙2.7556∙10-3

ITERATIA 5:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99707 -j∙9.9401∙10-4

34
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.9947 -j∙2.2567∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99366 -j∙2.7556∙10-3

Deoarece iterațiile se calculează folosind aceleași formule, la metoda iterativă Gauss -Seidel,
vom prezenta în continuare ultimele 3 iterații.

ITERATIA 25:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99707 -j∙9.9401∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.9947 -j∙2.2567∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99366 -j∙2.7556∙10-3

ITERATIA 26:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99707 -j 9 94 -4
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.9947 -j∙2.2567∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99366 -j∙2.7556∙10-3

ITERATIA 27:
Expresia tensiunii din nodul 2:
( ) [
( ) ( )] 20.99979 -j∙1.35716∙10-4
Expresia tensiunii din nodul 3:

35
( ) [
( ) ( ) ( ) ( )] 20.99707 -j 9 94 -4
Expresia tensiunii din nodul 4:
( ) [
( ) ( )] 20.9947 -j∙2.2567∙10-3
Expresia tensiunii din nodul 5:
( ) [
( ) ( )] 20.99366 -j∙2.7556∙10-3

36
Tabelul 4.7 : Puterile aparente S, la fiecare iteratie k, in nodurile retelei RE5, in kVA, utilizand metoda Gauss -Seidel
Iterati
a/nod Puterea aparenta S din
nodul 1 Puterea aparenta S
din nodul 2 Puterea aparenta S
din nodul 3 Puterea aparenta
S din nodul 4 Puterea aparenta
S din nodul 5
0 0 -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
1 177.247883+98.168493i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
2 431.055690+225.944877i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
3 549.909001+299.885569i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
4 604.943373+341.428234i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
5 630.104549+364.246823i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
6 641.439257+376.555479i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
7 646.455860+383.095528i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
8 648.627966+386.525810i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
9 649.542052+388.304610i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
10 649.911941+389.217591i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
11 650.053097+389.681773i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
12 650.101859+389.915692i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
13 650.115459+390.032578i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
14 650.116974+390.090506i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
…. …………. ………… ………… ………… ………
21 650.108918+390.145385i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
22 650.108790+390.145539i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
23 650.108721+390.145609i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
24 650.108683+390.145640i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
25 650.108664+390.145654i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
26 650.108654+390.145660i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j
27 650.108648+390.145662i -150-80j -50-40j -200-120j -250-150j

37
Tabelul 4.8: Modul tensiune pentru fieca re nod, pentru fiecare iteratie, in kV.
Iterație/N
od Iterația 1 Iterația 2 Iterația 3 Iterația 4 Iterația 5 Iterația 6 Iterația 7
Nod 1 20.97854184 20.87725918 20.8241991 20.77186908 20.64188548 20.61727148 20.58303796
Nod 2 20.97815623 20.8748402 20.82048127 20.76682389 20.63350182 20.6082533 20.57314462
Nod 3 20.97814708 20.87478243 20.82039083 20.76669996 20.63329321 20.60802882 20.57289787
Nod 4 20.97814685 20.87478099 20.82038857 20.76669685 20.63328797 20.60802318 20.57289167
Nod 5 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328784 20.60802304 20.57289151
Nod 6 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151
Nod 7 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151
Nod 8 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151
Nod 9 20.97854184 20.87725918 20.8241991 20.77186908 20.64188548 20.61727148 20.58303796
Nod 10 20.97815623 20.8748402 20.82048127 20.76682389 20.63350182 20.6082533 20.57314462
Nod 11 20.97814708 20.87478243 20.82039083 20.76669996 20.63329321 20.60802882 20.57289787
Nod 12 20.97814685 20.87478099 20.82038857 20.76669685 20.63328797 20.60802318 20.57289167
….. ………………
…… …………………
….. ………………
…… …………………
….. ………………
…… …………………
….. ………………
……
Nod 24 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151
Nod 25 20.97854184 20.87725918 20.8241991 20.77186908 20.64188548 20.61727148 20.58303796
Nod 26 20.97815623 20.8748402 20.82048127 20.76682389 20.63350182 20.6082533 20.57314462
Nod 27 20.97814708 20.87478243 20.82039083 20.76669996 20.63329321 20.60802882 20.57289787
Nod 28 20.97814685 20.87478099 20.82038857 20.76669685 20.63328797 20.60802318 20.57289167
Nod 29 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328784 20.60802304 20.57289151
Nod 30 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151
Nod 31 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151
Nod 32 20.97814685 20.87478096 20.82038851 20.76669677 20.63328783 20.60802304 20.57289151

38
Tabelul 4.9: Puterea aparentă S1 în nodul sursă 1, pentru fiecare iteratie k, în kVA .
Iterația S1 (Nod 1- nodul sursă )
Iterația 1 3750
Iterația 2 3715+2300j
Iterația 3 3776.45538138+2341.52436191j
Iterația 4 3777.85608934+2342.49638483j
Iterația 5 3777.89009572+2342.51943074j
Iterația 6 3777.89091443+2342.52000178j
Iterația 7 3777.89093455+2342.52001542j
Iterația 8 3777.89093503+2342.52001576j

După cum se poate observa și din rezultatele calculelor care s -au efectuat prin cele două
metode iterative alese: metoda dus -întors și metoda Gauss -Seidel, valorile sunt de valoare
foarte apropiată, diferența dintre cele două metod e este de ordinul voltților. În schimb marea
diferență dintre cele două metode este reprezentată de numărul de iterații care se realizează
prin fiecare metodă, de unde rezultă faptul că prin metoda dus -întors după un număr foarte
mic (3 -4 iterații), s -au stabilizat valorile, iar cu metoda Gauss -Seidel, fiind o metodă mai
lentă, în general peste 30 -40 de iterații la sistemele medii și mari. La acest sistem teste RE5 au
fost nevoie 8 iterații pen tru a ajunge la aceeleași valori precum la metoda dus -întors.

39

Tabelul 4 .10: Tensiunile in modul si fază (complex), pentru fiecare nod, la fiecare iterație k, în kV.
Nod/Iterație 1 2 3 4 5 6 7
Nod 1 20.97854+1.78357e
-3i 20.87726+0.01169i 20.82419+0.01957i 20.77185+0.02742i 20.64188+0.01596i 20.61727 –
0.01117i 20.58304 –
7.08102e -3i
Nod 2 20.97816+1.82837e
-3i 20.87484+0.01198i 20.82047+0.02003i 20.76680+0.02807i 20.63350+0.01627i 20.60825 –
0.01149i 20.57314 –
7.24617e -3i
Nod 3 20.97815+1.82957e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63329+0.01628i 20.60803 –
0.01150i 20.57290 –
7.24746e -3i
Nod 4 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 5 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 6 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 7 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 8 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
……. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. ……………..
Nod 28 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 29 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 30 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 31 20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i
Nod 32
20.97815+1.82960e
-3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.63328+0.01628i 20.60802 –
0.01150i 20.57289 –
7.24758e -3i

40

Figura 4.6 : Variația puterii active din nodul sursă 1, folosind metoda iterativă Gauss -Seidel.

Prin metoda iterativă dus -întors au fost nevoie de doar 3 iterații pentru a se stabiliza nivelul
puterii, în schimb cu metoda Gauss -Seidel după a 12 iterație nivelul puterii începe să se
stabilizeze.

Figura 4.7 : Modul tensiune la fiecare nod, pentru fiecare iterație k, prin metoda Gauss -Seidel, în
kV. 0100200300400500600700
123456789101112131415161718192021222324252627Psursă (kW)
Variația puterii active din nodul sursă 1
Iterația
20.98820.9920.99220.99420.99620.9982121.002
1 3 5 7 911 13 15 17 19 21 23 25 27Tensiunea (kV) Modul tensiune în fiecare nod. Metoda
Gauss -Seidel.
Nodul 1
Nodul 2
Nodul 3
Nodul 4
Iterația

41

Figura 4.8: Pierderile de putere ale RE5, utizand metoda iterativa Gauss -Seidel .

Pierderile de putere prin metoda Gauss -Seidel sunt la fel ca și la metoda dus -întors.

4.4: Calculul circulației de puteri pentru RE33 prin metoda dus -întors:
Pentru sistemul RE33, prezentat în subcapitolul 4.1.2 se vor efectua la această metodă
iterativă aceleași formule și relații care au fost prezentate drept exemplu la RE5. Astfel vom
calcula curenții din noduri și de pe laturi, tensiunile și căderile de tensiune în noduri și pe
laturi, puterea injectată în nodul sursă. Sistemul RE33 este alimentat de la o sursă
convențională sau regenerabilă, având un nod sursă.

67.02213
62.89094
0.10864403 0.10864403
0.10864403 0.10864403
01020304050607080
1 2 3 4 5 6Pierderile de putere
Iterația

42
Tabelul 4.11 : Tensiunea în noduri la fiecare iterație k, pentru sistem ul RE33, în kV.
Iterația/Nod Nod 1 Nod 2 Nod 3 Nod 4 Nod 5 Nod 31 Nod 32 Nod 33
Iterația 1 21 21 21 21 21 21 21 21
Iterația 2 21 20.97854+1.78357e -3i 20.87726+0.01169i 20.82419+0.01957i 20.77185+0.02742i 20.41817+0.04846i 20.41176+0.04587i 20.40978+0.04501i
Iterația 3 21 20.97816+1.82837e -3i 20.87484+0.01198i 20.82047+0.02003i 20.76680+0.02807i 20.40351+0.04905i 20.39693+0.04638i 20.39489+0.04548i
Iterația 4 21 20.97815+1.82957e -3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.40314+0.04907i 20.39655+0.04640i 20.39451+0.04550i
Iterația 5 21 20.97815+1.82960e -3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.40313+0.04907i 20.39655+0.04640i 20.39450+0.04550i
Iterația 6 21 20.97815+1.82960e -3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.40313+0.04907i 20.39654+0.04640i 20.39450+0.04550i
Iterația 7 21 20.97815+1.82960e -3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.40313+0.04907i 20.39654+0.04640i 20.39450+0.04550i
Iterația 8 21 20.97815+1.82960e -3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.40313+0.04907i 20.39654+0.04640i 20.39450+0.04550i
Iterația 9 21 20.97815+1.82960e -3i 20.87478+0.01198i 20.82038+0.02004i 20.76668+0.02808i 20.40313+0.04907i 20.39654+0.04640i 20.39450+0.04550i

Tabelul 4.12 : Modulul de tensiune, la fiecare iterație k, pentru sistemul RE33, în kV.
Iterația/Nod Nod 1 Nod 2 Nod 3 Nod 4 Nod 5 Nod 29 Nod 30 Nod 31 Nod 32 Nod 33
Iterația 1 21 20.97854 20.87726 20.8242 20.77187 20.47229 20.44737 20.41823 20.41182 20.40983
Iterația 2 21 20.97816 20.87484 20.82048 20.76682 20.45918 20.43353 20.40357 20.39698 20.39494
Iterația 3 21 20.97815 20.87478 20.82039 20.7667 20.45885 20.43318 20.4032 20.39661 20.39456
Iterația 4 21 20.97815 20.87478 20.82039 20.7667 20.45884 20.43317 20.40319 20.3966 20.39455
Iterația 5 21 20.97815 20.87478 20.82039 20.7667 20.45884 20.43317 20.40319 20.3966 20.39455
Iterația 6 21 20.97815 20.87478 20.82039 20.7667 20.45884 20.43317 20.40319 20.3966 20.39455
Iterația 7 21 20.97815 20.87478 20.82039 20.7667 20.45884 20.43317 20.40319 20.3966 20.39455
Iterația 8 21 20.97815 20.87478 20.82039 20.7667 20.45884 20.43317 20.40319 20.3966 20.39455

43

Figura 4.9: Tensiunea în noduri la sistemul RE33, pentru metoda iterativă dus -întors.

După cum se poate observa pe grafic, tensiunea scade până în nodul 17, de unde revine
aproape la valoarea nominală. Acest lucru are loc deoarece până în nodul 17 este mult traseu
parcurs, în timp ce nodul 18 este realtiv aproape de sursă, deci și de unde pierderea de
tensiune mai mică.

Tabelul 4.13 : Puterea aparenta din nodul sursa S 1, la RE33 cu metoda iterativă dus -întors.
Iterația Putere aparenta din nodul sursa S 1 [kVA]
Iterația 1 3750
Iterația 2 3715+2300j
Iterația 3 3780.5854028+2343.6361261j
Iterația 4 3782.1286298+2344.6968045j
Iterația 5 3782.1673516+2344.7226771j
Iterația 6 3782.1683125+2344.7233408j
Iterația 7 3782.1683369+2344.7233571j
Iterația 8 3782.1683375+2344.7233575j
Iterația 9 3782.1683376+2344.7233575j
2020.120.220.320.420.520.620.720.820.92121.1
1 3 5 7 911 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31Tensiunea în kV Tensiunea în noduri
Iterația 1
Iterația 2
Iterația 3
Iterația 4
Iterația 5
Iterația 6
Iterația 7
Nr. Nod

44

Figura 4 .10: Puterea a ctivă în nodul sursă , la sistemul RE33 noduri, pentru metoda iterativă
dus-întors.

Puterea a ctivă în nodul 1, se stabilizează la nivelul de 3777,856089 după 4 iterații.

4.5: Calculul circulației de puteri pentru RE33, prin metoda Gauss -Seidel.
Metoda Gauss -Seidel se aplica pentru sistemul RE33, unde vom efectua calcule pentru
determinarea modulului tensiunii din fiecare nod k si al puterii aparente din nodul sursa S 1.
Prin metoda Gauss -Seidel se va c alcula modulul tensiunii din noduri la fiecare iterație și în
fiecare nod. Sistemul RE33 este un sistem de dimensiuni medii, care este alimentat de la o
sursă convențională sau regenerabilă. Are un nod sursă și 4 noduri finale. 368036903700371037203730374037503760377037803790
1 2 3 4 5 6 7 8Psursă (kW) Puterea activă din nodul sursă

45

Figura 4 .11: Mod ulul tensiunii pentru RE33, la fiecare iterație și în fiecare nod k, folosind
metoda Gauss -Seidel, în kV.
În figura 4 .12 se prezintă graficul pentru modulul tensiuni în fiecare nod la fiecare iterație,
unde se poate observa că există un număr de 1283 de iterați i care s -au efectuat până a ajunge
la un nivel optim de tensiune.

Figura 4 .12: Puterea activă S, la fiecare iterație k, în nodul sursă 1, în kVA.

După cum se poate observa nivelul puterii se echilibrează în jurul iterației cu numărul 950,
ceea ce însemnă un timp lung de calcul pentru metoda Gauss -Seidel. 2020.220.420.620.82121.2
1
60
119
178
237
296
355
414
473
532
591
650
709
768
827
886
945
1004
1063
1122
1181
1240Tensiune (kV) Modulul tensiunii din noduri
Nod 1
Nod 2
Nod 5
Nod 7
Nod 9
Nod 11
Nod 13
Nod 16
Nod 18
050010001500200025003000350040004500
1
53
105
157
209
261
313
365
417
469
521
573
625
677
729
781
833
885
937
989
1041
1093
1145
1197
1249S (kW) Puterea activă S, în nodul sursă, pentru RE33
iteratia

46

RPN k 0
S103750
I 0
Pc 0
Pc Pc ReS0i0
U0i0Uni00NrNod 1 for
c 0
DP 0
DP2 0
k k1
I 0
Ij2j2S0j2
3Uk1j2j20NrNod 1 for
i1 AS1j3
i2 AS0j3
Ii1i2Ii2i2
Ii1i1Ii1i1Ii1i2j31NrLaturi for
i3 AJ0j4
i4 AJ1j4
Uk0Un
Uki4Uki33Ii3i4Zi3i4 103 j41NrLaturi for
S1k3I00 Un 
c 1 S1kS1k S1k1S1k1 0.0000001 if
c 0 otherwise
c 0 Ukj5Ukj5 Uk1j5Uk1j5  0.000001 if
UMkj5Ukj5Ukj5 j50NrNod 1 forc1 while
DP1 ReS1k
1NrNod 1
iPQGen0i
 Pc 
i5 AJ0j8
i6 AJ1j8
AAA Ii5i6Ii5i6
DP DP 3Ri5i6 AAA 103 j81NrLaturi for
DP
DP1
UM
I
S1
U
DP2














Figura 4 .13: Programul MathCad utilizat la calculul circulației de puteri al rețelelor
electrice radiale prin metoda dus -întors.

47

În figura 4 .13 se prezintă programul propriu -zis care a fost ut ilizat în calculul circulației de
puteri al rețelelor electrice radiale pentru metoda iterativă dus -întors. Se poate observa că a
fost aleasă o precizie foarte mare (10-5 în cazul puterii aparente S și 10-4 în cazul tensiunilor
din noduri), drept urmare și diferențele foarte mici care au apărut între rezultatele calculului.
În figura 4 .13 se prezintă un modurl de calcul al circulației de puteri pentru rețele electrice
radiale prin metoda dus-întors .
Se cunoaște schema de conexiuni, puterile active și reactive la consumatorii, rezistența și
reactnața liniilor electrice, tensiunea din nodul sursă (U 1=21 kV). Modulul de calcul
determină: puterea aparentă S 1 din nodul sursă, tensiunile în complex din noduril e rețelei ,
modulul și faza tensiuni din nodurile rețelei, pierderile de putere, curenții pe laturile rețelei și
în nodurile rețelei, ( metoda dus -întors).
Semnificația mărimilor este următoarea:
DP – pierderile de putere care apar în rețea
UM – este modulu l tensiunii din nodurile rețelei
I – este valoarea curentului pe noduri și laturile rețelei
U –tensiunea în complex în fiecare nod
S – puterea aparentă
Pc – reprezintă puterea totală consumată
În figura 4.14 se prezintă un modul de calcul al circulației de puteri pentru rețelele electrice
radiale prin metoda Gauss -Seidel.
La fel ca și la metoda dus -întors cunoaștem schema de conexiuni, puterile active și reactive la
consumatorii, rezistența și reactanța liniilor electrice, tensiunea din nodul sursă (U n=21 kV) și
inductanța. Modulul de calcul determină puterea aparentă S 1 din nodul sursă, tensiunile în
complex din nodurile rețelei, modulul și faza tensiunii din nodurile rețelei, pierderile de
putere.
Semnificația mărimilor este următoarea:
Pc – reprezintă p uterea totală consumată
DP – pierderile de putere care apar în rețea
UM – modulul tensiunii din nodurile rețelei
U – tensiunea în complex în fiecare nod
S – puterea aprentă
Q – puterea reactivă

48

Figura 4 .14: Modulul MathCad pentru metoda Gauss -Seidel.
GS
S0iS01i
U0iU01ii1n for
S01U012Y11 103 U01
1n
jY1jU0jj1( ) 
 103  
k 1
DS 10
p 1
UkiU0i Tip1i"NE" if
SkiS0i
QkiReS0i
UkiSki103
YiiUk1ii1n
jYijUk1j
Yii
 i1 if
Ski103
YiiUk1i1i1
jYijUkj
Yii

i1n
jYijUk1j
Yii
 2i n1 if
Ski103
YiiUk1i1i1
jYijUkj
Yii
 in ifTip1i"NC" if otherwisei1n for
Sk1U012Y11 103 U01
2n
jY1jUkj 
 103  
DS Sk1Sk11 
k k1DS103 0.01 while
UMriUrii1n forr0k1 for
PG 0
PC 0
UMFiUMk1i
FazaiatanImUk1i
ReUk1i


PC PC ReS01i ImS01i0 if
PG PG ReS01i otherwisei1n for
P11 ReSk11
DP P11 PG PC 

49

Concluzii:
1. Ambele metode se aplica pentru calculul circulatiei de puteri si sunt metode iterative;
2. Metoda dus -intors se aplica doar pentru calculul retelelor electrice radiale si are o eficienta
foarte buna – timp de calcul scurt in atingerea valorilor tensiunilor si puterilor (3 -4 iteratii
pentru atingerea unor valo ri stabile, cu acuratete mare);
3. Metoda Gauss -Seidel este o metoda generala care poate fi aplicata pentru orice sistem sau
retea, dar este o met oda lenta (peste 40 -50 de iteratii pentru sisteme de dimensiuni medii, cu
atingerea unor valori stabile pentru marimile de interes -tensiuni, puterea activa din nodul de
echilibrare), dar cu convergenta sigura.
4. Pentru testarea metodelor acestea au fos t aplicate pe doua sisteme test, unul de dimensiuni
mici RE5 si unul de dimensiuni medii RE33.
5. Pentru RE5 metoda dus -intors are nevoie de 5 iteratii pentru a atinge solutia cu precizie
ridicata , iar pentru metoda iterativa Gauss -Seidel are nevoie de 27 de iteratii pentru a ajunge
la aceleasi valori de interes (tensiunea din noduri si puterea din nodul sursa) .
6. Pentru RE33, metoda dus -intors a avut nevoie de 9 iteratii pentru a atinge solutia cu
precizie ridicata , in schimb cu metoda Gauss -Seidel au fos t nevoie de 1290 de iteratii pentru a
ajunge la aceleasi valori de interes (tensiunea din noduri si puterea din nodul sursa) .
7. Timpul de calcul pentru metoda dus -întors in cazul ambelor sisteme este de câteva secunde
pentru a atinge solutia cu precizie ridicata.
8. Metoda Gauss -Seidel in cazul retelei RE5 are nevoie de aproximativ 5 secunde pentru a
atinge solutia finala , în schimb pentru metoda Gauss -Seidel la sistemul RE33 are nevoie de
aproximativ 20 de secunde pentru a atinge solutia finala, care se datorează numărului mare de
iterații necesar, aproximativ 1293.

50

BIBLIOGRAFIE :
1. Bercovici, M., Arie, A., Poeată, Al., Rețele electrice. Calculul electric , vol. I, Ed. Tehnică,
București, 1974
2. Buta, A ., Transportul și distribuția energiei electrice , vol. I -II, Lit. I.P.T.V.T., Timișoara,
1991
3. Edelman, H., Calculul electric al rețelelor interconectate , Ed. Tehnică, București, 1966
4. Eremia M.: Electric Networks, Vol 1, 2005;
5. Eremia, M., Crișciu, H., Ungureanu, B., Bulac, C -tin., Analiza asistată de calculator a
regimurilor sistemelor electroenergetice. Metode. Algoritmi. Aplicații , Ed. Tehnică,
București, 1985
6. Ionescu, T., Baciu, A., Rețele electrice de distribuție , Ed. Tehnică, București, 1981
7. Miclescu,Th., Bazacliu,G.: Optimizări în sis temele energetice, EDP, București, 1977
8. Moga M. Sisteme electroenergetice, Vol. 1, Ed Orizonturi Universitare, Timisoara, 2005
9. Nemes M., Sisteme electrice de putere , Probleme actuale , Ed. Orizonturi Universitare,
Timisoara, 2003
10. Potolea, E., Calculul regim urilor de funcționare ale sistemelor electroenergetice , Ed.
Tehnică, București, 1977
11. Baran M , W F. Network Reconfiguration In Distribution Systems For Loss Reduction
And Load Balancing, IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 4, No. 2, April 1989, pp.
1401-1407.
12. Gomes FV , Carneiro S., Pereira JL s.a. A New Distribution System Reconfiguration
Approach Using Optimum Power Flow and Sensitivity Analysis for Loss Reduction. IEEE
Transactions On Power Systems, Vol. 21, No. 4, November 2006.
13. Akbar Bayat Uniform voltage distribution based constructive algorithm for optimal
reconfiguration of electric distribution networks, Electric Power Systems Research 104, 2013,
pp. 146 – 155