Bazele electrotehnicii [610628]

UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCURESTI
FACULTATEA DE AUTOMATICA SI CALCULATOARE
Bazele electrotehnicii
– TEMA 2 –
Radu Mariana-Cornelia
312 AC
2016-2017

Cuprins
1 Exercitiul 1 (Reprezentarea numerica a campurilor scalare si
vectoriale stationare) 2
2 Exercitiul 2 (Operatorul gradient) 4
2.1 Denitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Semnicatie matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Semnicatia zica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Fenomene zice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Operatorul divergenta 6
3.1 Denitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Semnicatie matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Semicatie zica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Fenomene zice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Operatorul rotor 9
4.1 Denitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Semnicatie matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Semnicatie zica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Fenomene zice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Reprezentarea numerica a campurilor scalare sau vectoriale
variabile in timp 13
6 Bibliograe 14
1

1 Exercitiul 1 (Reprezentarea numerica a cam-
purilor scalare si vectoriale stationare)
Pentru a descrie interactiunea dintre diverse particule trebuie sa luam
in considerare caracterul nit al vitezei de propagare a interactiilor. Din
aceasta cauza este necesar sa admitem ca interactia are loc prin intermediul
unui camp. Adica, in loc sa spunem ca o particula actioneaza asupra alteia,
trebuie sa consideram ca particula respectiva creaza un camp, care la randul
lui actioneaza asupra celei de a doua particule. Particulele interactioneaza
prin campul creat de ele sau de alte particule.
Uncamp este o marime scalara sau vectoriala care ia valori diferite in
puncte diferite din spatiu.
Fie DR3. Numim camp scalar pe D o functie cu valori scalare :
u : D!R3
Numim camp vectorial pe D o functie cu valori vectoriale :
!F: D!R3
Astfel, oricarui punct M 2D i se poate asocia un scalar (in cazul cam-
purilor scalare), respectiv un vector (in cazul campurilor vectoriale). Atunci
cand un astfel de camp nu depinde decat de pozitia punctului M, el se
numeste stationar, in cazul in care el depinde si de alte variabile (de obi-
cei de timp), numind-se nestationar.
De exemplu, oricarui punct de pe suprafata Pamantului i se poate asocia
temperatura in acel punct, obtinandu-se un camp scalar (evident, nesta-
tionar). Acelasi lucru se poate realiza asociindu-i umiditatea relativa, pre-
siunea atmosferica, s.a.m.d. Similar, oricarui punct de pe suprafata Pa-
mantului i se poate asocia intensitatea campului gravitational in acel punct
(directionata catre centrul de masa al Pamantului, necesitand utilizarea unui
vector pentru caracterizare completa), obtinandu-se un camp vectorial (sta-
tionar). Acelasi lucru se poate realiza asociind viteza si directia vantului in
acel punct(care,din nou,necesita utilizarea unui vector pentru caracterizare
completa), obtinandu-se insa in acest caz un camp vectorial nestationar.
Considerand denitiile anterioare, un camp scalar stationar depinde doar
de pozitia punctului M in spatiul tridimensional, ca in. Un camp scalar
stationar tridimenstional se poate exprima ca o structura de date sub forma:
2

unde x,y,z reprezinta coordonatele punctului in spatiul tridimensional, iar
eldValue reprezinta valoarea campului scalar in punctul de coordonate (x,y,z)
Pentru cazul vectorial tridimensional stationar, consideram un camp vec-
torial
F : D!V3,F(x;y;z ) =Fx(x;y;z ) !i+Fy(x;y;z ) !j+Fz(x;y;z ) !k
Pentru determinarea acestui camp vectorial este deci necesara deter-
minarea a trei campuri scalare Fx, Fy, Fz, numite campuri de componente.
Vom avea nevoie astfel de 3 structuri de date ca cele din cazul descrierii unui
camp scalar stationar tridimensional. x,y,z reprezinta coordonatele in spatiul
tridimensional, iar i, j, k reprezinta versorii axelor dupa care vectorul !Fva
 descompus.
struct point2
fpoint Fx;
3

point Fy;
point Fz;
g;
2 Exercitiul 2 (Operatorul gradient)
Operatorii diferentiali ce vor  prezentati in continuarea acestei teme per-
mit exprimarea punctuala a legilor zicii. Acesti operatori vectoriali (gradi-
ent, divergenta si rotor) pot  exprimati cu ajutorul operatoului diferential
notatr, numit "nabla".
In coordonate carteziene, operatorul are urmatoarea expresie:
!r=@
@x !i+@
@y !j+@
@z !k (1)
In functie de modul prin care acest operator se aplica unei marimi
zice scalare sau vectoriale se obtin trei situatii diferite :
gradient – daca se aplica unei functii scalare
divergenta – daca se aplica prin produs scalar unei functii vectoriale
rotor – daca se aplica prin produs vectorial unei functii vectoriale
2.1 Denitie
Operatorul gradient se aplica unor functii scalare, transformandu-le in
marimi vectoriale.
4

2.2 Semnicatie matematica
Daca notam functia scalara cu f=f(x;y;z ) atunci, in coordonate carteziene,
expresia gradientului marimii scalare este :
!rf=!grad f=@f
@x !i+@f
@y !j+@f
@z !k (2)
2.3 Semnicatia zica
Presupunem ca vrem sa a
am temperatura maxima intr-un anumit spatiu
ales. Introducem trei coordonate, spre exemplu (2,3,5). Calculam gradien-
tul, dupa functia aleasa, de exemplu x2+y2+z2. Tinand cont de formula
de calcul a gradientului, rezultatul va  un camp vectorial si anume :
!F= 4 !i+ 6 !j+ 10 !k (3)
Vom urmari aceasta traiectorie data de noul rezultat. Astfel, vom
ajunge in alt punct, foarte aproape de cel de unde am plecat si vom repeta
procedeul. Cu ecare etapa parcursa, cu ecare gradient calculat, ne vom
apropia de o locatie din ce in ce mai calda, reusind sa determinam in nal
punctul cu cea mai ridicata temperatura.
Pentru o intelegere mai buna a conceptului, vom aplica operatorul
gradient campului scalar bidimensional descris functia f(x;y) =xy. Va
rezulta un grac tridimensional :
5

Gradientul ne arata cat de repede functia isi modica valoarea si in ce
directie se a
a maximul acesteia. Gradientul sau poate  reprezentat sub
forma din gura 2.2, observand ca traiectoria de crestere a acestuia este spre
coltul dreapta sus unde atat x cat si y au valori pozitive, zona reprezentata
de culoarea galbena in gura 2.1 :
Fig 2.2 : Gradientul functiei
2.4 Fenomene zice
Conceptul de divergenta este folosit in teoria campurilor electromagnetice
pentru denirea integrala a potentialului electric scalar. Potentialul electric
denumit si potential electrostatic este o marime zica de tip camp scalar ce
caracterizeaza campul electric intr-un punct. Potentialul este denit pana la
o constanta aditiva care se xeaza prin alegerea punctului de referinta (masa)
in care V este conventional nul. Acest lucru poate  scris sub forma :
!E=r(V+C) =rV (4)
3 Operatorul divergenta
3.1 Denitie
In cele ce urmeaza, vom incerca sa caracterizam intensitatea unui camp
vectorial F. Conceptul va  mai usor de urmarit daca ne imaginam campul
6

vectorial respectiv ca descriind miscarea unui
uid.
In gurile urmatoare, in care campurile vectoriale respective sunt reprezen-
tate cu ajutorul unor sageti, sunt descrise 2 situatii distincte. In prima,
campul vectorial pare a  in expansiune, avand ca sursa principala originea,
care pare sa "emita" campul vectorial. In cea de-a doua, originea pare sa
"absoarba" campul vectorial. Astfel, divergenta reprezinta cantitatea de
ux
ce intra intr-un punct sau il paraseste.
Fig 3.1 :F1(x;y;z ) =x !i+y !j Fig 3.2 :F2(x;y;z ) =x !iy !j
3.2 Semnicatie matematica
Considerand campul vectorial :
F : D!V3,F(x;y;z ) =P(x;y;z ) !i+Q(x;y;z ) !j+R(x;y;z ) !k
numim divergenta a acestui camp !Fcampul scalar denit prin
r !F=@P
@x+@Q
@y+@R
@z(5)
In aceste conditii, referindu-ne la primele doua exemple,
r !F1=@
@x(x) +@
@y(y) +@
@z(0) = 2>0 (6)
r !F2=@
@x(x) +@
@y(y) +@
@z(0) =2<0 (7)
7

3.3 Semicatie zica
Deducem astfel faptul ca divergenta pozitiva este asociata unor fenomene
de emisie, iar divergenta negativa unora de absorbtie.
Imaginandu-ne un cub de dimensiuni foarte mici, dx;dy;dz , cantitatea
de
ux "emisa" sau "absorbita" de acest element este egala cu suma dintre
cantitatile de
ux schimbate in directia x, in directia y si in directia z. Daca
nu exista schimbari, rezultatul va  0. In cazul in care pe directiile x si y
cubul absoarbe
ux, iar pe cea a lui z cedeaza, (ex: 1+2-5), rezultatul -2 va
reprezenta divergenta in punctul respectiv. Se observa ca aplicand operatorul
divergenta unui camp vectorial, se obtine un camp scalar. Pentru exemplele
anterioare, F1siF2, aplicand operatorul divergenta, se vor obtine scalarii 2
si -2 (campuri scalare constante)
Pentru un camp vectorial de gradul al doilea, spre exemplu:
F(x;y;z ) =x2 !i+y2 !j (8)
Aplicand operatorul divergenta, va rezulta:
r !F= 2x+ 2y (9)
Campul scalar rezultat la aplicarea operatorului divergenta va :
Fig 3.3 : Aplicarea divergentei asupra F(x;y;z ) =x2 !i+y2 !j
8

unde culoarea este mai inchisa reprezinta valori negative ale
uxului, valori
ce cresc catre zona mai deschisa la culoare a reprezentarii grace.
3.4 Fenomene zice
Conceptul de divergenta este folosit in teoria campurilor electromagnetice
pentru formularea legii lui Gauss. Acesta arma ca Fluxul electric pe orice
suprafata inchisa este egal cu sarcina electrica din interiorul suprafetei.
Consecinta calitativa a acestei legi este ca liniile campului inductiei elec-
trice, notata cu D sunt curbe deschise, ce pornesc de pe sarcinile pozitive si
se opresc pe cele negative. Ele sunt neintrerupte in domenii neutre. Acest
lucru semnica faptul ca sarcinile electrice se comporta sa surse ce "emit"
sau "absorb" camp electric.
Considerand forma locala diferentiala a legii :
r !D= (10)
D = inductia campului electric = densitatea sarcinii electrice
putem arma faptul ca legea lui Gauss ofera informatii despre cantitatea de

ux electric ce intra sau paraseste un anumit punct.
4 Operatorul rotor
4.1 Denitie
In acest capitol vom caracteriza rotatia unui camp vectorial !F
Pentru o percepere mai buna a fenomenului, vom reprezenta campul vec-
torial folosind gura urmatoare:
9

Fig 4.1 :F1(x;y;z ) =x !i+y !j
Intuitiv, acesta pare sa execute o miscare de rotatie in jurul originii.
Putem deni asadar rotorul ca ind operatorul ce caracterizeaza tendinta de
rotatie a unui corp sub actiunea unui camp vectorial
In gura urmatoare este reprezentata viteza unghiulara de variatie a ro-
tatiei intr-unul din planurile unui volum:
Fig 4.2 : Reprezentarea vitezelor unghiulare de rotatie intr-unul din
planurile unui volum
4.2 Semnicatie matematica
Considerand campul vectorial :
10

F : D!V3,F(x;y;z ) =P(x;y;z ) !i+Q(x;y;z ) !j+R(x;y;z ) !k
numim rotor al campului vectorial !Fcampul vectorial denit prin
r !F= !i !j !k
@
@x@
@y@
@z
P Q R= (@R
@y@Q
@z) !i+ (@P
@z@R
@x) !j+ (@Q
@x@P
@y) !k(11)
Referindu-ne la exemplul de mai sus :
r !F= !i !j !k
@
@x@
@y@
@z
P Q R= (@
@y(0)@
@z(y)) !i+(@
@z(x)@
@x(0)) !j+(@
@x(y)@
@y(x)) !k= 0
(12)
4.3 Semnicatie zica
Dupa cum am armat, rotorul caracterizeaza "rotire", "rasucire" (lb. en-
gleza – "to curl"), termen des utlizat. Un exemplu cotidian este montarea
unei elice de-a lungul cursului unui rau. Introducand elicea in apa, atat pe o
parte a sa cat si pe cealalta, debitul raului va actiona cu o forta. Daca elicea
se misca, inseamna ca in acel punct campul efectueaza o rotatie asupra obiec-
tului. Daca elicea nu se misca, fenomenul nu exista. Acesta este un exemplu
ilustrativ de situatie ce poate  caracterizata cu ajutorul operatorului rotor.
Fig 4.3 : Exemplicare fenomen : elice in rau
11

Pentru o intelegere mai buna a fenomenului, sa aplicam operatorul rotor
urmatorului camp vectorial :
F(x;y;z ) = (x+y) !i+ (z2+ 2y+ 5) !j+ (y+x2) !k
Utilizand formula de calcul, rezultatul va  :
rx !F= (12z) !i+ (x) !j+ (1) !k
Rezultatul poate  reprezentat grac sub forma:
Fig 4.4 : Reprezentarea campului vectorial (1 2z) !i+ (x) !j+ (1) !k
4.4 Fenomene zice
Conceptul de rotor este folosit in teoria campurilor electromagnetice pen-
tru formularea legii lui Faraday. Acesta arma ca Tensiunea electrica pe
orice curba inchisa este egala cu viteza de scadere a
uxului magnetic de pe
orice suprafata ce se sprijina pe curba respectiva . Fenomenul numit inductie
electromagnetica consta n apariia tensiunii electromotoare induse de un
ux
magnetic variabil n timp. Acest fenomen permite conversia diferitelor forme
de energie in energie electrica si de asemenea permite descrierea interactiunii
dintre un camp electric si unul magnetic.
Legea lui Faraday poate  exprimata matematic sub forma locala
diferentiala:
r !E=@ !B
@t(13)
12

unde E = intensitatea campului electric, B = intensitatea campului mag-
netic, t = timp
5 Reprezentarea numerica a campurilor scalare
sau vectoriale variabile in timp
Pentru rezolvarea acestui punct am ales un camp scalar, denit astfel :
x2[3;3];
y2[3;3];
Variatia acestuia se realizeaza cu un pas ales abrbitrar de valoare 0.2.
(variabila t variaza cu pasul 0.2) Am efectuat 20 de simulari ale acestui camp
scalar in MATLAB, realizand astfel animatia variatei sale in timp. Expresia
campului scalar reprezentat in urmatoarea animatie este :
f(x;y;z;t ) =x2cos(x)et+ 2yet
Animatie
13

6 Bibliograe
1) Ioan, Daniel – Circuite electrice rezistive, Breviare teoretice si prob-
leme, UPB, Editura 2000
2) Ioan, Daniel – Curs Bazele Electrotehnicii , UPB, Facultatea de Auto-
matica si Calculatoare, 2016
3) www.betterexplained.com
4) http://math.etc.tuiasi.ro/pg/cursuri/AM2TeoriaCampurilor.pdf
5) www.wolframalpha.com
6) www.miktex.org
7) www.youtube.com
14