Mi41z Teza Damiancorina [610611]

MINISTERUL EDUCAȚIEI, CULTURII ȘI CERCETĂRII AL REPUBLICII MOLDOV A
UNIVERSITATEA DE STAT „ALECU RUSSO” DIN BĂLȚI
FACULTATEA DE ȘTIINȚE REALE, ECONOMICE ȘI ALE MEDIULUI
CATEDRA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
STUDIUL FUNCȚIILOR ELEMENTARE
DE V ARIABILĂ COMPLEXĂ
TEZĂ DE LICENȚĂ
Autor:
student: [anonimizat]41Z
Corina DAMIAN
Coordonator științific:
conf. univ.,dr.
Natalia GAȘIȚOI
Bălți,2020

Controlată:
Data
Conducătorștiințific: N.GAȘIȚOI,dr.,conf. univ.
Data
Aprobată
șirecomandatăpentrususținere
laședințaCatedreidematematicășiinformatică
Procesverbalnr. din
Șefulcatedreidematematicășiinformatică
dr.,conf. univ. E.PLOHOTNIUC

Aprobat:
Șefuldecatedră
„ ”2019
Graficul calendaristic de executare a tezei de licență
Tema tezei de licență „Studiul funcțiilor elementare de variabilă complexă” confirmată prin
ordinulrectoruluiUSARB
nr.din„ ”
Termenullimitădeprezentareatezeidelicențălacatedradematematicășiinformatică
„ ”
Etapele executării tezei de licență
Etapele Termenul
derealizareVizade
executare
1. Stabilireatemeișifixareaobiectivelor. 13.06.2019 Realizat
2. Studiereasurselorbibliografice 14.06.2019 Realizat
3. Aprobareaplanuluitezei 23.12.2019 Realizat
4. ElaborareașiprezentareacapitoluluiI 13.02.2020 Realizat
5. ElaborareașiprezentareacapitoluluiII 15.03.2020 Realizat
6. ElaborareașiprezentareacapitoluluiIII 28.04.2020 Realizat
7. ElaborareașiprezentareacapitoluluiIV 10.05.2020 Realizat
8. Tehnoredactareatezeidelicență 19.05.2020 Realizat
9. Susținereapreventivăatezei 21.05.2020 Realizat
Student: [anonimizat], dr., conf. univ.
(semnătura)

ADNOTARE
DamianCorina
Studiulfuncțiilorelementaredevariabilăcomplexă
TezădelicențăBălți,2020
Structura tezei: introducere,patrucapitole,concluziigenerale,bibliografiealcatuitădin27desurse,
51paginitextdebază,14figurișiuntabel.
Cuvinte cheie: numărcomplex,funcție,variabilăcomplexă,funcțiielementare.
Domeniul de studiu: matematica.
Scopul lucrării este studiul noțiunilor generale referitoare la mulțimea numerelor complexe și la
funcțiilecomplexe,șiaplicareaproprietățilordebazăalefuncțiilorelementaredevariabilăcomplexă.
Obiectivele cercetării:
1. destudiatșideanalizatliteraturadespecialitate.
2. deanalizatfuncțiileelementaredevariabilăcomplexă,carereprezintăextinderiînplanulcomplex
alefuncțiilorelementaredevariabilăreală.
3. derealizatunstudiucomparativalproprietățilorfuncțiilorelementaredevariabilăcomplexășide
variabilăreală.
4. de aplicat proprietățile funcțiilor elementare de variabilă complexă în rezolvarea de exerciții și
probleme.
Metodologia cercetării s-aconstituitdinmetodeteoretice: documentareaștiințifică,analizaliteraturii
despecialitate,sinteza,comparația,generalizarea.
Noutatea și originalitatea științifică a lucrării: Încadrullucrăriiaufoststudiateîndetaliiproprietățile
funcțiilorelementaredevariabilăcomplexă,utilizândcomparațiacufuncțiiledevariabilăreală.
Valoarea aplicativă: Lucrarea conține exemple de sarcini rezolvate cu funcții elementare de vari-
abilăcomplexă. Sarcinilepentruformareadeprinderiideaplicareaproprietățilorfuncțiilorelementarede
variabilăcomplexă,rezolvatedeautor,potfiutileprofesorilordematematică.
Valoarea teoretică a lucrării constă în sinteza conținuturilor referitoare la numere complexe și la
funcțiileelementaredevariabilăcomplexă,șifundamentareamatematicășimetodologicăaformăriide-
prinderilordeaplicareaproprietățiloracestora.
Implementarea rezultatelor cercetării: Lucrareapoatefiutilăstudențilorlamatematică,tinerilorpro-
fesoridematematică,câtșiprofesorilorcupractică.

ANNOTATION
DamianCorina
Thestudyofelementaryfunctionsofonecomplexvariable
ThesisBălți,2020
Thesis structure: introduction,fourchapters,generalconclusions,bibliographyconsistingof27sources,
51pagesofbasictext,14figuresandonetable.
Keywords: complexnumber,function,complexvariable,elementaryfunctions.
Field of study: mathematics.
The aim of the paper istostudythegeneralnotionsregardingthesetofcomplexnumbersandfunctions
ofonecomplexvariable,andtoapplythepropertiesoftheelementaryfunctionsofonecomplexvariable.
Research objectives:
1. tostudyandanalyzethespecializedliterature.
2. to analyze the elementary functions of one complex variable, which represent extensions in the
complexplaneoftheelementaryfunctionsofonerealvariable.
3. to perform a comparative study of the properties of the elementary functions of one complex
variableandarealvariable.
4. to apply the properties of elementary functions of one complex variable in solving exercises and
problems.
Methodology of research isbasedontheoreticalmethods: scientificdocumentation,analysisofspe-
cializedliterature,synthesis,comparison,generalization.
Uniqueness and novelty of the work: Intheworkwerestudiedindetailpropertiesoftheelementary
functionsofonecomplexvariable,usingthecomparisonwiththeelementaryfunctionsofrealvariable.
Application value: The work contains examples of tasks solved with elementary functions of one
complexvariable. Thetasksforformingtheskillsofapplicationthepropertiesoftheelementaryfunctions
ofonecomplexvariable,createdbytheauthor,canbeusefultoallmathematicsteachers.
The theoretical value of the work consists in the synthesis of the contents related to the elementary
functionsofonecomplexvariable,andthemathematicalandmethodologicalformationoftheskillsfor
applyingtheirproperties.
Implementation of the research results: Thepapercanbeusefulformathstudents,foryoungmathe-
maticsteachers,aswellastotheonewithpractice.

CUPRINS
INTRODUCERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. SCURTISTORIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. NOȚIUNEADENUMĂRCOMPLEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Reprezentareaalgebricăanumerelorcomplexe. Operațiicunumerecomplexe . . . . . . 16
2.2. Planulcomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Formatrigonometricăanumerelorcomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Formaexponențialăanumerelorcomplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. Structurametricășitopologicăaplanuluicomplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. FUNȚIICOMPLEXE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1. Drumurișicurbe. Domenii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Noțiunedefuncțiedeovariabilăcomplexă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Funcțiiuniformeșimultiforme. Funcțiimonovalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. FUNCȚIIELEMENTAREDEVARIABILĂCOMPLEXĂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1. Funcțiaexponențială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. Funcțialogaritmică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3. Funcțiiletrigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4. Funcțiilehiperbolice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5. Funcțiilehiperboliceșitrigonometriceinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
CONCLUZII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
DECLARAȚIAPRIVINDASUMAREARĂSPUNDERII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6

INTRODUCERE
Înprocesulînvățăriimatematicii,eleviiseconfruntădeseoricunumeroaseprobleme,cunoțiuniab-
stractepecarenufiecareesteînstaresăleperceapășisăleînțeleagă. Unastfeldeconceptabstractarfi
șimulțimeanumerelorcomplexe. Numerelecomplexesuntperceputecafiindniștenumere„imaginare”,
lucrucareleoferăooarecare„magie”,șiadaugăliteralmenteonouădimensiunematematicii. Mulțimea
numerelorcomplexeaapărutcaoextindereamulțimiinumerelorreale,deaceeaacumavândmaimulte
posibilități,matematicieniiauexploatatnumereleimaginareșile-aufolositpentruaaflasoluțiilaprob-
lemeledealtădatăfărăsoluții,studiindreprezentărileacestornumere,operațiilecesepotefectuacuele,
proprietățileoperațiilor,șinuînultimulrândstudiindfuncțiiledevariabilăcomplexă.
Înșcoală,eleviiseconfruntăcuaceastănoțiuneînclasaaXI-a,iarmanualulconțineuneleproprietăți,
operațiișiaplicațiialenumerelorcomplexe.
Deci,dacăanalizămCurriculum-ulliceallamatematică(vezi[26]),observămcăînclasaXI-aprofil
umanist,eleviipentruprimaoarăseîntâlnesccunoțiunile: Numărcomplex,Mulțimea C;Formaalgebrică
a numărului complex, Operații aritmetice cu numere complexe scrise în formă algebrică, Modulul unui
numărcomplex, EcuațiidegradulIIcucoeficiențirealiînmulțimea C. Iareleviicareîșifacstudiileîn
clasecuprofilreal,pelângăacestea,semaiîntâlnesccunoțiunile: Reprezentareageometricăanumerelor
complexe, Forma trigonometrică a numărului complex, Operații cu numere complexe scrise în formă
trigonometrică, Ecuații bipătratice, ecuații binome, ecuații reciproce de gradul III și IV în mulțimea C:
Unitățile de competență propuse pentru parcurgerea acestor teme la capitolul „Numere complexe” sunt
expuseînTabelul1.
În clasa XII-a, elevii cu profil umanist nu mai întâlnesc noțiunea de număr complex, însă, pentru
elevii cu profil real, curriculum-ul ne oferă unele extensii, recapitulări și noțiuni noi.Și anume, elevii
faccunoștințăcu„Polinoameleînmulțimeanumerelorcomplexe”,șicuurmătoareleunitățideconținut:
Noțiuneadepolinomcucoeficiențiîn C,Operațiicupolinoame: adunareapolinoamelor,scădereapoli-
noamelor,înmulțireapolinoamelor,împărțireapolinoamelor,Noțiuneaderădăcinăapolinomului,Noți-
uneadeecuațiealgebrică,șialtele. Suntpropusesprerezolvareexercițiișiproblemedeaplicareapoli-
noamelor în mulțimea numerelor complexe, pentru a rezolva ecuații algebrice de grad superior. Alte
activitățisunt: cercetareaunorcazuriconcretedindiversedomeniireferitoarelapolinoame,laecuațiial-
gebriceșisoluționareaproblemeiidentificate,realizareaunorinvestigațiiprivindaplicareapolinoamelor
cucoeficiențicomplecșiîndiversedomenii,șialtele.
7

Tabelul1: UnitățidecompetențălacapitolulNumerecomplexe,clasaXI-a[26]
.Profil Unitățidecompetență
Real4.1. Identificareașiutilizareaterminologieișianotațiilorspecificenoțiuniide
numărcomplexîndiversesituații.
4.2. Aplicareanumerelorcomplexescriseînformăalgebricășiînformătrigono-
metrică,aoperațiilorcueleînrezolvareaproblemelor.
4.3. Reprezentareageometricăanumăruluicomplexdat,amodululuiacestuia
șiaplicareaacestoraînrezolvareaproblemelor.
4.4. Transformareanumerelorcomplexedintr-oformăînalta.
4.5. Operareacunumerecomplexeșialegereaformeidereprezentareaunui
numărcomplexînfuncțiedecazînvedereaefectuăriicalculelorșiarezolvării
problemelor.
4.6. Selectareaunoralgoritmispecificideoperarecunumerecomplexeșiapli-
careaacestorapentruefectuareaunorcalcule.
4.7. Rezolvareaînmulțimea CaecuațiilordegradulII,aecuațiilorbipătra-
tice,aecuațiilorbinome,aecuațiilorreciprocedegradulIIIșiIV.
4.8. Justificareaunuidemers/rezultatobținutși/sauindicatcu
numerecomplexe,recurgândlaargumentări,demonstrații.
Umanist2.1. Identificareașiutilizareaterminologieișianotațiiloraferentenoțiuniide
numărcomplexîndiversecontexte.
2.2. Aplicareanumerelorcomplexescriseînformăalgebrică,aoperațiilorcuele
înrezolvareaproblemelor,inclusivlarezolvareaecuațiilordegradulIIcucoe-
ficiențireali.
2.3. Operareacunumererealeși/saucomplexeînefectuareacalculelorîndi-
versesituații.
2.4. Efectuareaoperațiiloraritmeticecunumerecomplexescriseînformă
algebrică.
RemarcămcăînCurriculumulșcolarlamatematicănuesteinclusconceptuldefuncțiecomplexăde
variabilăcomplexășidecinusestudiazăfuncțiileelementaredevariabilăcomplexășiproprietățile
8

acestora. Înașafel,lucrarea„Funcțiielementaredevariabilăcomplexă”vaextindeariadecunoașterea
elevilor în legătură cu numerele complexe, și va forma noi cunoștințe, priceperi și deprinderi cu privire
laacestsubiect.
Scopul lucrării constă în studiul noțiunilor generale referitoare la mulțimea numerelor complexe și
lafuncțiilecomplexe,șiaplicareaproprietățilordebazăalefuncțiilorelementaredevariabilăcomplexă.
Învedereaatingeriiscopuluis-auformulaturmătoarele obiective:
-destudiatșideanalizatliteraturadespecialitate.
-deanalizatfuncțiileelementaredevariabilăcomplexă, carereprezintăextinderiînplanulcomplex
alefuncțiilorelementaredevariabilăreală.
– de realizat un studiu comparativ al proprietăților funcțiilor elementare de variabilă complexă și de
variabilăreală.
-deaplicatproprietățilefuncțiilorelementaredevariabilăcomplexăînrezolvareadeexercițiișiprob-
leme.
Metodele utilizate încadrulcercetăriisunt: documentareaștiințifică,analizaliteraturiidespecialitate,
sinteza,comparația,generalizarea.
Noutatea și originalitatea științifică a lucrării: în cadrul lucrării au fost studiate în detalii fiecare
proprietate a funcților elementare de variabilă complexă, utilizând comparația cu funcțiile de variabilă
reală.
Valoarea aplicativă constăînfaptulcălucrareaconțineexempledesarcinirezolvatecufuncțiiele-
mentaredevariabilăcomplexă. Sarcinilepentruformareadeprinderiideaplicareaproprietățilorfuncțiilor
elementaredevariabilăcomplexă,rezolvatedeautor,potfiutileprofesorilordematematică.
Valoarea teoretică a lucrării constă în sinteza conținuturilor referitoare la numere complexe și la
funcțiileelementaredevariabilăcomplexă,șifundamentareamatematicășimetodologicăaformăriide-
prinderilordeaplicareaproprietățiloracestora.
Lucrarea de față constă din introducere, patru capitole, concluzii generale, bibliografie alcatuită din
27desurse,51paginitextdebază,14figurișiuntabel.
Capitolul 1 prezintăunscurtistorical aparițieinumerelorcomplexe. Suntdescrise uneleprobleme
careauconduslaaparițianumerelorcomplexe, precumșirezolvareaacestora, darșiuneledateistorice
precum: denumireanumerelorcomplexe,reprezentareapeplananumerelorcomplexe,stabilirearegulilor
operațiilorcunumerelecomplexeșialtele.
9

Capitolul 2 cudenumirea„Noțiunigenerale”constădin5subcapitole. Înacestcapitolsuntevidenți-
atecuexplicațiișidefinițiinoțiuniledenumărcomplex,conjugatulnumăruluicomplex,modululnumăru-
lui complex, rădăcina de ordinul n, dar și 3teoreme, reprezentarea geometrică a numerelor complexe,
forma trigonometrică și forma exponențială a numerelor complexe, și structura metrică și topologică a
mulțimiinumerelorcomplexe.
Capitolul 3 conținenoțiunigeneraledespre„Funcțiicomplexe”. Specificulfuncțiilorcomplexeeste
descrisîn3subcapitole,careconținnoțiuniprecum: drum,curbă,domeniu,funcțiedevariabilăcomplexă,
funcție uniformă, funcție multiformă, funcție monovalentă. De asemenea, capitolul cuprinde un set de
exempleșiexercițiirezolvatelafiecareconceptnoucercetat.
Capitolul 4 cudenumirea„Funcțiielementaredevariabilăcomplexă”estealcătuitdin5subcapitole,
iar fiecare din ele conține câte un tip de funcție de variabilă complexă. Pentru fiecare tip de funcție
este realizată o analiză comparativă cu funcția de variabilă reală, sunt prezentate și demonstrate toate
proprietățileacesteiașitransformărilepecarelerealizează.
10

1. SCURT ISTORIC
Noțiunea de număr complex poate fi definită ca o pereche ordonată de numere reale (x; y)sau ca
numereledeforma x+iy,x; y2Rînsăchiardacăpareafiodefiniresimplă,istoriadezvoltăriinumerelor
complexeestepedepartedeafisimplă([4],[1]).
În vremea Renașterii, matematicienii considerau că au descoperit toate numerele. Ei le reprezentau
pe o axă infinit de lungă care avea numărul 0 în centru. Numerele întregi erau situate la distanțe egale
unulfațădealtul,celenegativelastângaoriginiipânăla 1,iarcelepozitiveladreaptaoriginiipânăla
+1. Respectiv, fracțiileocupauspațiiledintrenumereleîntregi, iarceleiraționaleocupaulocuridintre
fracții(vezifig. 1.) [4].
Fig. 1. Axanumerelorreale.
Conceptul de număr nou a apărut la rezolvarea unei probleme practice. Și anume, spre mirare, nu-
merelecomplexeauapărutlanecesitatearezolvăriiecuațiilorcubiceșinuacelorpătrate.
Cea mai veche referire la rădăcinile pătrate ale numerelor negative a apărut în lucrarea lui Heron
din Alexandria, în jurul anului 60 d. Hr., care le-a depistat calculând volumele corpurilor geometrice.
Aproximativ200deanimaitârziu,Diophantus,înjurulanului275d. Hr.,apropusoproblemăsimplăîn
geometrie(asevedea[1]):
De determinat laturile unui triunghi dreptunghic cu perimetrul de 12 cm2și aria de 7 cm2.
Reprezentăm triunghiul în fig. 2. Pentru a rezolva această problemă, vom considera jABj=x, și
înălțimea jBCj=h,deci:
A=1
2
x
h;
P=x+h+p
x2+h2:
Pentruaafla xtrebuiesăgăsimsoluțiileecuației:
6×243x+ 84 = 0 :
Avem: ∆ = 4324
6
84 = 1849 2016 = 167;∆<0:
11

Fig. 2. ProblemapropusădeDiophantus.
Rezultăcăaceastăecuațienuarerădăcinireale.
O problemă asemănătoare a studiat în anul 1545 Girolamo Cardano (n. 24 septembrie 1501, Pavia-
d. 21septembrie1576,Roma)-unmatematician,filozofșimedicitaliandinperioadaRenașterii.
GirolamoCardanoși-apropussăgăseascănumerele așibcaresatisfacegalitățile(asevedea[1]):
a+b= 10;
a
b= 40.
Rezolvămsistemuldeecuații:8
><
>:a+b= 10
a
b= 40)8
><
>:a= 10b
(10b)
b= 40)8
><
>:a= 10b
b210b+ 40 = 0
Determinămvalorilelui brezolvândecuațiadegradul2:
b210b+ 40 = 0 ;
∆ = (10)24
1
40 = 100 160 = 60;∆<0
b1=10 +p60
2=2(5 +p15)
2= 5 +p
15;
b2=10p60
2=2(5p15)
2= 5p
15:
Revenimlasistemuldeecuații:8
>>>>><
>>>>>:a= 10b
2
64b= 5 +p15
b= 5p15)2
66666666648
><
>:a= 10b
b= 5 +p15
8
><
>:a= 10b
b= 5p15:
Deciacesteecuațiisuntsatisfăcutepentru b= 5 +p15saub= 5p15,deundereiesecă
12

a; b /2R. Cardanoaconsideratacestrăspunscafiindunulbun,șiaconsideratcăîncazulecuațieicubice,
rădăcinilepătrateanumerelornegativetrebuiesăfieluateîncalcul. SoluțialuiGirolamoCardanopentru
ecuațiacubică x3+ax+b= 0afost[3]:
x=3vuutb
2+√(b
2)2
+(a
3)3
+3vuutb
2√(b
2)2
(a
3)3
:
Câțivaanimaitârziu,unaltmatematicianitalianRafaelloBombellistudiarădăcinileecuației: x3
15x4 = 0,iarutilizândformulaluiCardanoaobținut:
x=3vuut4
2+√(4
2)2
+(15
3)3
+3vuut4
2√(4
2)2
(15
3)3
=
=3√
2 +p4125 +3√
2p4125 =3√
2 +p122 +3√
2p121.
Els-agânditcădacăaceștidoiradicalidiferădoarprintr-unsemn,decișirădăcinilelordiferăprintr-un
semn. Astfel,apuscă:
3√
2 +p122 = a+p
biar3√
2p121 = ap
b.
Eladeduscă a= 2șib= 1șiaarătatcă:
3√
2 +p121 +3√
2p121 = 2 +p1 + 2p1 = 4[2].
Bombelliacomentatacestlucruastfel:„Laînceput,acestlucrumisepăreacăsebazeazămaimultpe
absurditatedecâtpeadevăr,daramcăutatpânăamgăsitdovezile”[3].
Înanul1572,încărțilesale„Algebra”,Bombelliaintrodusunnousimbol„p1”sau„ i”,șiastabilit
regulilepentru„numerelecomplexe”:
(1)i=i;
(+i)(+i) =1;
(i)(+i) = +1;
(1)(i) =∓i;
(+i)(i) = +1;
(i)(i) =1;
șialtereguli[2].
Elastabilit,deasemenea,acesteregulișipentruexemplelecareimplicăadunareașiînmulțireanu-
13

merelorcomplexe.
Bombelliapusastfelpiatradetemelieateorieinumerelorcomplexe. Însătimpdedouăsecolejumate
auexistatmulteîndoielicuprivințălasemnificațiașilegitimitateanumerelorcomplexe.
Încădin1620, AlbertGirardasugeratfaptulcăecuațiadegradul npoateavea nrădăcini. IarRene
Descartes,în1637,foloseștepentruprimadatătermenul„imaginar”,pentrua-șireflectaobservația: „Pen-
trufiecareecuațiedegradul n,neputemimagina nrădăcinicarenucorespundniciuneicantitățireale[3].”
DupăDescartes,mulțimatematicieniauutilizatnumerelecomplexe,deexemplu: Bernoulli,Moivre,Eu-
ller,Gaussș.a.
Oaltăproblemăîntâlnităconstăînfaptulcănumereleimaginarenuîșigăseauloculpeaxanumerelor
realelafelcumcelelaltenumere. SoluțiaafostdatădecătreJohnWalliscaredăointerpretaregeometrică
număruluip1.
Astfel se creează o axă separată a numerelor imaginare, care este perpendiculară pe cea reală, și o
intersecteazăînO(vezifig. 3.) [4,p.107].
Fig. 3. Planulcomplex.
OistorielafeldeinteresantăocreeazăcontroversadintrematematicieniiLeibnizșiBernoulli.
Leibnizconsideracălog i= 0,deoareceavem:
log(1)2=log(1)2;
2log (1) = 2log1 = 0 ;
0=log (1) =log(i)2= 2logi;
logi= 0:
14

Iar Bernoulli opta pentru faptul că log i=i
2:Această identitate rezultă din identitatea lui Euler:
ei=1:Deci:
log(1) = i;
logi=1
2log(1);
logi=i
2:
Această problemă a fost ulterior rezolvată corect de către Leonhard Euler utilizând funcția inversă
celeiexponențiale,adicăfuncțialogaritmică.
Logi=lnjij+iArgi=ln1 +i(argi+ 2k) = 0 + i(
2+ 2k) =i(
2+ 2k); k2Z[2].
Numereledeforma x+iyunde xșiysuntnumerereale,aucăpătatîn1828,prinCarlFridrichGauss
(1777-1855),denumireadenumerecomplexe(lat.: complexus-cuprinzător)[1].
Acestenumereaufostfolositemaiapoiîndiferitedomenii, spreexemplu: deJohannLambertpen-
tru proiectarea hărților, de Jean D’Alembert în hidrodinamică, și de Euler, D’Alembert și Joseph-Louis
Lagrangeîndovezileincorectealeteoremeifundamentaleaalgebrei[5].
După cum am mai spus, motivul este că mulțimea numerelor complexe a apărut ca o extindere a
mulțimii numerelor reale, astfel încât orice ecuație algebrică de grad ncu coeficienți reali să aibă n
rădăcini. De aceea, matematicienii având deja mai multe posibilități, au studiat foarte mult numerele
imaginare,folosindu-lepentruaaflasoluțiilaproblemeledealtădatăfărăsoluții.
Deciputemsăafirmămcănumereleimaginareadaugăonouădimensiunematematicii,odimensiune
„diferită”șifoarteutilă.
15

2. NOȚIUNEA DE NUMĂR COMPLEX
2.1. Reprezentarea algebrică a numerelor complexe. Operații cu numere complexe
Numerele complexe pot fi privite ca o pereche ordonată de numere reale. Deci, un număr complex
poatefidefinitastfel:
Definiție 2.1. [6,p.164]Senumește număr complex expresiadeforma x+iy,unde x; y2R,iari
esteunsimbolcuproprietatea i2=1.
Înmatematică,numerelecomplexesuntsrisesubforma z=x+iy,numită formă algebrică . Numărul
xse numește partea reală a numărului z=x+iy, și se notează cu Rez, iaryse numește partea
imaginară a luizși se notează cu Imz. Iar mulțimea numerelor complexe se va nota cu C, deciC=
fx+iyjx; y2Rg[6,p.165].
Inițialammenționatcăperechea (x; y)esteordonată. Motivulpentrucarespunem pereche ordonată
estecăaceastăperecheesteprivităcaunpunctînplan. Spreexemplu,punctul (2;3)nuesteacelașicași
(3;2). Deciordineaîncaresuntscrisenumerele xșiycontează. Înacestcontext,menționămșifaptulcă
douănumerecomplexe z1= (x1; y1)șiz2= (x2; y2)suntegaledacășinumaidacă: x1=x2șiy1=y2
[7,p.5].
Număruldeforma a+ 0iseidentificăcunumărulreal a. Prinurmare,mulțimeanumerelorrealeeste
osubmulțimeamulțimiinumerelorcomplexe RC. Număruldeforma 0 +bi,b̸= 0,senumește pur
imaginarșisenotează bi. Numărulcomplex i= 0 + 1 isenumește unitate imaginară [6,p.165].
Înmod specific, pe mulțimea numerelor complexe, ca și pe mulțimea numerelor reale, sunt definite
operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire cu orice număr complex, cu excepția lui zero. Se
vorpăstratoatelegilecunoscute,cumarficomutativitatea,asociativitateașidistributivitatea[8,p.1].
Operațiiledeadunare,scădereșiînmulțireanumerelorcomplexesevordefiniînmodulurmător:
(x1+iy1) + (x2+iy2) = (x1+x2) +i(y1+y2);
(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2) +i(y1y2);
(x1+iy1)
(x2+iy2) =x1x2+ix1y2+ix2y1+i2y1y2= (x1x2y1y2) +i(x1y2+x2y1):
Lafeldesimplusedefineșteșiîmpărțireaunuinumărcomplexlaunnumărreal:
(x+iy) :a= (x+iy)
1
a=x
a+iy
a[9,p.8].
16

Exemple: [10,p.208]
Săseefectuezecalculele:
1)(57i) + (92i).
Rezolvare:
(57i) + (92i) = (5 + ( 9)) + i((7) + (2)) = (5 9) +i(72) =49i.
2)(4 + 3 i)(1 + 5 i).
Rezolvare:
(4 + 3 i)(1 + 5 i) = (4(1)) + i(35) = (4 + 1) + i(2) =32i.
3)(2i)(3 + i).
Rezolvare:
Vomînmulțiacestenumereutilizândaceleașiregulicașilaînmulțireapolinoamelor.
(2i)(3 + i) = 2
3 + 2
ii
3i
i= 6 + 2 i3ii2= 6i(1) = 6 i+ 1 = 7 i.
Pentruaputeadefinioperațiadeîmpărțireadouănumerecomplexevomaveanevoiedeunaltnumăr
complexnotatcu z. Acestnumărsenumeșteconjugatulnumăruluicomplexșisedefineșteastfel:
Definiție 2.2. [6, p. 165] Se numește conjugatul numărului complex z=x+iynumărul z=
x+iy=xiy.
Unaltnumărdecarevomaveanevoieestenumărulnotatcu jzj,numitmodululnumăruluicomplex
șidefinitastfel:
Definiție 2.3. [6,p.166]Senumește modululnumăruluicomplex z=x+iynumărulrealnenegativ
√
x2+y2,notatcu jx+iyjsaujzj.
Exemple: [10,p.208]
Calculațimodululnumăruluicomplex:
1)z= 1ip
3.
Rezolvare:
Rez = 1; Imz =p
3.
jzj=j1ij=√
12+ (p
3)2=p1 + 3 =p
4 = 2 :
2)z=i3+ 2.
Rezolvare:
Pentruacalculamodululacestuinumărtrebuisăîladucemlaformaalgebrică,deoareceînașaformă
nuesteclarcareestepartearealășiparteaimaginarăanumărului.
17

z=i2
i+ 2 = ( 1)
i+ 2 = 2 i.
Rez = 2; Imz =1.
Deci,vomavea jzj=j2ij=√
22+ (1)2=p4 + 1 =p
5.
Vomnumicâtulnumerelor z1șiz2̸= 0;numărulcomplex z;carefiindînmulțitcu z2dărezultatul z1:
Decifiecăavemdouănumerecomplexe z1= (x1; y1)șiz= (x; y); z̸= 0. Pentruaîmpărținumărul
complex z1lanumărul zestesuficientsăluămnumărul zîncâtprodusul z
zsăfienumărreal(maisus
amdefinitacestnumăr),iarmaiapoisăscriempartearealășiparteaimaginarăseparat.
Vomînmulținumărătorulșinumitorulcu zșivomobține:
z1
z=z1
z
z
z.
La numărător vom avea produsul a două numere complexe, care deja a fost definit mai sus, iar la
numitor vom obține un număr real. Însă împărțirea unui număr complex la un număr real a fost deja
definitămaisus.
Deciobținem:
z1
z=(x1+iy1)
(x+iy)
(x+iy)
(x+iy)=(x1+iy1)
(xiy)
(x+iy)
(xiy)=x1xix1y+ixy1i2yy1
x2(iy)2=
=x1xix1y+ixy1+yy1
x2+y2=(x1x+yy1) + (ix1y+ixy1)
x2+y2=x1x+yy1
x2+y2+ixy1x1y
x2+y2.
Observămcăcâtulacestornumeresepoatedefiniastfel:
z1
z=z1
z
z
z=z1
z
jzj2;
iardefapt,laefectuareaoperațiilorcunumerecomplexe,suntrespectatereguliledelucrucupolinoamele
înnedeterminata i,iari2=1:
Exemple: [10,p.208]
Săseefectuezecalculele:
1)1 +i
3i.
Rezolvare:
Înmulțimnumitorulșinumărătorulcuconjugatulnumitorului: 3i= 3 + i.
(1 +i)
(3 +i)
(3i)
(3 +i)=1
3 + 1
i+i
3 +i
i
32i2=3 +i+ 3i+i2
9(1)=3 + 4 i1
9 + 1=2 + 4 i
10=
18

=2(1 + 2 i)
10=1 + 2 i
5=1
5+2
5i.
2)53i
7i.
Rezolvare:
Observăm că conjugatul numărului complex 7ieste7i. Însă, pentru a simplifica calculele, vom
înmulținumitorulșinumărătorulcunumărul i.
(53i)
(i)
(7i)
(i)=(5
(i)3i
(i)
7i2=5i+ 3i2
7
(1)=5i+ 3
(1)
7=3 + 5 i
7=
=3
7+5
7i.
2.2. Planul complex
După cum am menționat în scurtul istoric, pentru numerele complexe a fost propusă o reprezentare
geometrică.
Cel care a propus această interpretare geometrică a acestor numere a fost Carl Friederich Gauss. În
anul1831elaasociatnumărulcomplex z=x+iycuunpunct (x; y)peplan,șideasemeneaafostacel
careaintrodusreguliledeadunareșiînmulțireanumerelorcomplexe.
Notămacestpunctdinplancu M(x; y).Msenumește imagineanumărului z,iarzsenumește afixul
punctului M[6,p.170].
Planul în care se reprezintă numerele complexe se numețe plan complex . Pentru a plasa un număr
complexpeplan,vomgăsimaiîntâipunctul M,acăruicoordonatenureprezintăaltcevadecâtparteareală
șiparteaimaginarăanumărului. Obervămcă Rez =xseplaseazăpeaxa Ox,fiindproiecțianumărului
zpeaxa Ox,iarImz =yseplaseazăpeaxa Oy,fiindproiecțianumărului zpeaxa Oy.
Deaceea,dacăvomaveaunnumărrealelsevareprezentaprinpuncteleaxei Ox,pecareovomnumi
axă reală, iar dacă vom avea un număr pur imaginar atunci el se va reprezenta prin punctele axei Oy,
numită axă imaginară [7,p.12].
Exemple: [10,p.208]Săsereprezinteînplannumerelecomplexe:
1)z= 2 + 3 i.
Rezolvare:
Rez = 2; Imz = 3. Deci,acestnumărvafireprezentatpeplandepunctul M= (2;3)(fig. 4. a).
2)z= 4.
Rezolvare:19

Rez = 4; Imz = 0. Punctul M= (4;0),(fig. 4. b).
3)z= 3i.
Rezolvare:
Rez = 0; Imz = 3. Punctul M= (0;3),(fig. 4. c).
(a)ex. 1.
(b)ex. 2.
(c)ex. 3.
Fig. 4. Reprezentareageometricăanumerelorcomplexedinex. 1,ex. 2,ex. 3.
Deasemenea,numărulcomplexpoatefireprezentatcaunvectorîntr-unplandotatcuunsistemdeaxe
ortogonale, care are ca punct inițial originea O, iar ca punct terminal punctul M(x; y). Adică numărul
z=x+iyse va identifica cu vectorul# OM(fig. 5.), iar lungimea vectorului va fi respectiv modulul
numărului z,jzj=j# OMj. Vectorul# OMformează cu sensul pozitiv al axei reale un unghi pe care îl
vomnotacu φ,iarsensulpozitivdemăsurarealluiestedelaaxăsprevector,împotrivamișcăriiacelor
deceasornic.
Fig. 5. Reprezentareageometricăanumăruluicomplexz.
Datorităreprezentăriigeometriceanumerelorcomplexeprinvectoriestefoartesimpludecalculatnu
doarlungimeaunuivector,darșisumaadoivectori,diferența,produsul,șimultealtelucruri.
20

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe
Fiecăavemnumărulcomplex z. Notămcu r=jzj=√
x2+y2,carevafidistanțadelaoriginea O
asistemululdecoordonate,pânălapunctul Mcarearecoordonatacomplexă z.
Dupăcumamnotatanterior, φesteunghiuldintrevectorul# OMșisensulpozitivalaxeireale. Acest
unghisenumește argumentul numărului z,șisenotezăcuArg z.
Observămcăpentru r̸= 0,numărul zareoinfinitatedeargumente. Fiecare2valoridinargumentul
luizsedeosebescîntreeleprintr-unmultipluîntregalui 2. Valoareaargumentuluiceestecuprinsăîntre
șisenumește valoarea principală a argumentului sauargument principal șisenoteazăcuarg z.
Argz=argz+ 2k; k2Z
 <argz.
Argumentulprincipalal numărului z=x+iy,z̸= 0, poatefi determinatprin intermediulfuncției
arccos:
argz=8
><
>:arccosx
r;dacăy0,
arccosx
r;dacăy < 0; r=√
x2+y2:(asevedea[6,p.171]).
Înfig. 5. observămcăseformeazăuntriunghidreptunghic ∆MM′O,unde OM =r; MM′=y;iar
OM′=x;șiutilizândformulelefuncțiilortrigonometriceîntr-untriunghidreptunghicobținem:
cosφ=catetaalăturată
ipotenuză=x
r
sinφ=catetaopusă
ipotenuză=y
r.
Dinrelațiile x=rcosφ,y=rsinφrezultăașanumita forma trigonometrică anumăruluicomplex
z. Deci:
z=x+iy=rcosφ+irsinφ=r(cosφ+isinφ).
Teorema 2.1. (Teorema despre modul și argument) [11,p.6]Pentruorice z1; z22Cavem:
jz1
z2j=jz1j
jz2j,
Arg(z1
z2) =Argz1+Argz2,z2
z1=jz2j
jz1j,
Argz2
z1=Argz2Argz1.
21

Din această teoremă putem exprima produsul și câtul a două numere complexe scrise sub formă
trigonometrică, și de asemenea rezultă egalitățile: jznj=jzjn, Arg zn=nArgz, care exprimă așa
numita formula lui Moivre ,pecareovomdescrieînurmătoareateoremă:
Teorema 2.2. [6,p.173]Dacă z1; z2; z2C; z1=r1(cosφ1+isinφ1); z2=r2(cosφ2+isinφ2); z=
r(cosφ+isinφ),atunci:
z1
z2=r1
r2(cos(φ1+φ2) +isin(φ1+φ2));
z1
z2=r1
r2(cos(φ1φ2) +isin(φ1φ2));
zn=rn(cosnφ+isinnφ); n2Z(formulaluiMoivre).
Definiție 2.4. [12,p.2]Senumește rădăcină de ordinul n,n2N; n2anumăruluicomplexz,
numărulcomplexucuproprietatea u=zn.
Însăanterior,înscurtulistoric,ammenționatcăAlbertGirard,precumșiReneDescartesausugerat
faptulcăoecuațiedegradul npoateavea nrădăcini.
Teorema 2.3. [6,p.175]Există nrădăcinidistinctedeordinul n; n2N; n2,aleoricăruinumăr
complexnenul z. Anumedacă z=r(cosφ+isinφ), atuncimulțimeatuturorrădăcinilordeordinul n
alelui zeste
fnpr(cosφ+ 2k
n+isinφ+ 2k
n)jk=0; n1g:
Acestenumeresereprezintăînplanulcomplexprinvârfurileunuipoligonregulatcu nlaturi(dacă n3
)înscrisîncerculdecentru O(origineasistemuluidecoordonate)șirazăn√
jzj.
2.4. Forma exponențială a numerelor complexe
Oaltăformădereprezentareanumerelorcomplexeesteformaexponențială.
Putemtrecedelaformatrigonometricăanumăruluicomplexlaformaexponențiaăutilizândformulalui
Euler:
eiφ=cosφ+isinφ(Vezi[13,p.10]).
Iardeoarece:
z=r(cosφ+isinφ)
obținem:
z=reiφ; r=jzj; φ=argz;
22

caresenumeșteformaexponențialăanumăruluicomplex z.
UtilizândformulaluiEulervomdemonstrateorema2.2. :
1.z1
z2=r1eiφ1
r2eiφ2=r1(cosφ1+isinφ1)
r2(cosφ2+isinφ2) =r1r2(cosφ1cosφ2+
+icosφ1sinφ2+isinφ1cosφ2+i2sinφ1sinφ2) =r1r2(cosφ1cosφ2sinφ1sinφ2+
+i(cosφ1sinφ2+sinφ1cosφ2)) =r1r2(cos(φ1+φ2) +isin(φ1+φ2)) =r1r2ei(φ1+φ2):
2.z1
z2=r1eiφ1
r2eiφ2=r1(cosφ1+isinφ1)
r2(cosφ2+isinφ2)=r1
r2(cos(φ1φ2) +isin(φ1φ2)) =r1
r2ei(φ1φ2):
3.zn= (reiφ)n=rn(cosφ+isinφ)n=rn(cosnφ+isinnφ) =rneinφ:
2.5. Structura metrică și topologică a planului complex
Cunoaștemcăecuațiacartezianăacerculuicucentrul M0(x0; y0)derază Reste:
(xx0)2+ (yy0)2=R2:
Vom reprezenta pe planul complex numerele z0=x0+iy0șiz=x+iycu imaginile M0șiM,
respectiv. Ducemdin M-punctinițialîn M0-punctterminalunvectorcereprezintădiferențanumerelor
z0șiz(fig. 6.).
Desenămuncerccevaaveacentrulîn M0,iarMvafiunpunctdepecerc.
Observămcă Rreprezintălungimeavectorului z0z,adică R=jz0zj=jzz0j(Vezi[8,p.4]).
Deci,înplanulcomplex,ecuațiacerculuidecentru M0șirază Rvafi:
jzz0j=R:
Definiție 2.5. [14]Fie z2CșiR > 0:Mulțimea C(z0;R) =fz2Cj jzz0j=Rgsenumește
cerccentratîn z0derază R:
FieCmulțimeanumerelorcomplexe. Aplicația d:CC!Rdefinităprin:
d(z; z0) =jzz0j;8z; z02C;
Senumește metricăsaudistanțăpemulțimea C.
Inegalitatea jzz0j< Rdefinește mulțimea punctelor, din interiorul cercului dat, iar inegalitatea
jzz0j> Rdefineștemulțimeapunctelordinexteriorulcercului.
Vomdefini noțiunea de disc și coroană circulară (construcțiile lor sunt reprezentate în fig. 7. și fig.
8.).23

Fig. 6. Construcțiageometricăpentruecuațiacercului.
Definiție 2.6. [14]Fie z2CșiR > 0:Mulțimea U(z0;R) =fz2Cj jzz0j< Rgsenumește
disccentratîn z0derază R.
Fig. 7. Construcțiageometricăpentruecuațiacercului.
Definiție 2.7. [14]Fie z2CșiR1; R2>0:Mulțimea U(z0;R1; R2) =fz2CjR1<jzz0j< R 2g
senumește coroană circulară centratăîn z0deraze R1șiR2.
Fig. 8. Construcțiageometricăpentru U(z0;R1; R2).
Amintrodusnoțiuneademetricăpe C;caretransformăaceastămulțimeîntr-ostructurămetrică. Acum
vomintroducepemulțimea Ctopologiaacesteimetrici,utilizândvecinătățile.
24

Fie" > 0- un număr arbitrar, prin "- vecinătate Uz0=U(z0;")a punctului z02Cvom înțelege
disculderaza "cuorigineaînacestpunct,adicămulțimeapunctelor z2Ccaresatisfacinegalitatea:
jzz0j< "(Vezi[15,p.17] ):
Iarmulțimeapunctelor z2Ccaresatisfacinegalitatea 0<jzz0j< ";senumește vecinătate punctată .
Definiție 2.8. [15, p. 18] O submulțime GdinCse numește deschisă, dacă pentru fiecare punct
z02Gsegăseșteovecinătate Uz0;careaparțineacesteimulțimi.
ComplementaramulțimiiGesteomulțimeînchisă.
Definiție 2.9. [14]OsubmulțimeAaplanuluicomplex Csenumește mărginită dacăexistăundisc
deschis U(z0;R)careînîntregimeconținemulțimeaA, AU(z0;R).
Definiție 2.10. [14] Un punct z02Cse numește punct interior mulțimii A din C, dacă există o
vecinătate U(z0;")aacestuipunctcareînîntregimeesteconținutăînA.
Definiție 2.11. [14] Un punct z02Cse numește punct aderent mulțimii A din C, dacă în orice
vecinătate U(z0;")aacestuipunctseconținpunctedinA,adică U(z0;")\A̸=Ø.
Definiție 2.12. [14] Un punct z02Cse numește punct de acumulare pentru mulțimea A din C,
dacăînoricevecinătate U(z0;")aacestuipunctseconținpunctedinAdiferitede z0.
Definiție 2.13. [14]Unpunct z02Csenumește punct frontieră pentrumulțimeaAdin C,dacăîn
oricevecinătate U(z0;")aacestuipunctseconținpunctedinA,șipunctedincomplementaraluiAîn C,
adică U(z0;")\A̸=ØșiU(z0;")\CCA̸=Ø.
Definiție 2.14. [14] Mulțimea punctelor interioare mulțimii A se numește interiorul saunucleul
deschisalmulțimiiA,șisenoteazăcuÅ.
Definiție 2.15. [14] Mulțimea punctelor aderente mulțimii A se numește aderențasauînchiderea
mulțimiiA,șisenoteazăcuĀ.
Definiție 2.16. [14]MulțimeapunctelordeacumularealemulțimiiAsenumește derivatamulțimii
A,șisenoteazăcu A′.
Definiție 2.17. [14]MulțimeapunctelorfrontierăalemulțimiiAsenumește frontieramulțimiiA,si
senoteazăcu @A.
25

3. FUNCȚII COMPLEXE
3.1. Drumuri și curbe. Domenii
Definiție 3.1. [15,p.20]Vomnumiun drum
înCoaplicațiecontinuăasegementului [; ]aaxei
realeîn C.
Cu alte cuvinte, un drum este o funcție complexă z=z(t)de argument real t, continuă în fiecare
punct t02[; ], în sensul următor: pentru orice " > 0există o vecinătate ft2[; ] :jtt0j< ,
pentrucarefiecarepunct tsatisfaceinegalitatea jz(t)z(t0)j< "(Vezi[15,p.21]).
Din definiție avem că:
: [; ]R!C. Aplicația
aplică segmentul [; ]în mulțimea nu-
merelorcomplexe,deci
()senumește punctul inițial aldrumului,iar
()senumește punctul final
saupunctul terminal aldrumului.
Existășicazuricând
()coincidecu
(). Înacestcazdrumul
senumeștedrum închis.
Imagineasegmentului [; ]prin
senumește suportuldrumului
,șisenoteazăcu f
g=f
(t)2
C:t2[; ]g[18,p.21].
Atunci când două drumuri au aceeași orientare, iar suporturile lor coincid, vom spune că drumurile
suntechivalente.
Definiție 3.2. [15,p.21]Douădrumuri
1:z=z1(t); t2[1; 1]și
2:z=z2(t); t2[2; 2],se
numesc echivalente (
1
2),dacăexistăofuncțiecrescătoarecontinuă:
=(t) : [1; 1]pe ![2; 2];
astfelîncât z1(t) =z2[(t)]pentrufiecare t2[1; 1].
Cunoscândacestlucru,putemdefinișinoțiuneadecurbă.
Definiție 3.3. [18,p.25]Vomnumi curbăoclasădedrumuriechivalente.
Definiție 3.4. [15, p.21]Undrum
: [; ]!Csenumește drum Jordan , dacăaplicația
esreo
bijecție.
Drumul
(t) : [; ]!C,senumește continuu diferențiabil dacăînfiecarepunct t2[; ]există
derivatacontinuă
′(t):Prinderivatafunției
(t) =x(t)+iy(t)sesubânțelege
′(t) =x′(t)+iy′(t);iarîn
extremitățilesegmentului [; ]considerămaceeașicombinațieaderivatelorunilateralecorespunzătoare.
Un drum continuu diferențiabil
se numește neted, dacă
′(t)̸= 0pentru fiecare t2[; ], și în
plus,dacădrumulesteînchis,atunci
′() =
′():
26

Un drum
se numește neted pe porțiuni , dacă funcția
(t)este continuă pe segmentul [; ]și
segmentul [; ]poatfiîmpărțitîntr-unnumărfinitdesegmenteastfelîncâtrestricțialui
lafiecaredin
acestesegmentereprezintăundrumneted[15,p.22].
Definiție 3.5. [15,p.23]Vomnumi curbă Jordan clasadrumurilorechvalenteunuidrumJordan.
PrincurbăJordan,curbănetedă,saucurbănetedăpeporțiuni,vomînțelegemulțimiledepuncte
C
carepotfiprezentatecaimagineasegmentului [; ]laaplicațiile z=
(t);cedefinescundrumJordan,
drumneted,saudrumnetedpeporțiuni,respectiv.
Definiție 3.6. [15, p. 23] O mulțime D de puncte ale planului complex se numește domeniu, dacă
aceastămulțimeestedeschisășiconexă.
Definiție 3.7. [18, p.24]Undomeniu D2Csenumește stelatînraportcuunpunct z02D, dacă
8z2Dsegmentul [z0; z]esteconținutînîntregimeînD.
Vomspunecădomeniul Desteconexdacăelestestelatînraportcuoricepunctalsău.
ToatepuncteleplanuluicomplexcarenuaparțindomeniuluiD,darsuntdelimităpentrupunctelesale,
suntnumite puncte de frontieră aleluiD.MulțimeatuturorpunctelordefrontierăaleluiDsenumește
frontiera domeniului D ,șisenoteazăcu @D.
DomeniulDestenumit simplu conex dacăfrontieraluiesteomulțimeconexă,încazcontrardomeniul
Dsenumește multiplu conex.
3.2. Noțiune de funcție de o variabilă complexă
Fiedatedouădomenii DșiGdenumerecomplexe.
Definiție 3.8. [21, p. 57] Vom numi funcție de o variabilă complexă o aplicație w=f(z)care îi
puneîncorespondențăfiecăreivalori z2Dnumărul w2G.
Acestlucrupoatefiscrisastfel:
f:8z2D; DC!w2G; GC;,w=f(z):
Mulțimea tuturor numerelor complexe w, care corespund tuturor z2D, se numește domeniul de
valori a funcției f(z),iarmulțimea Dsenumește domeniul de definiție a funcției .
Dacămulțimeapunctelorplanului z,pecareestedefinităfuncția f(z)esteD;iarmulțimeaformatădin
punctele planului westeG, atunci vom spune că punctele mulțimii Gse numesc imaginile punctelor
corespunzătoaremulțimii D,cares-autransformatprinfuncția w=f(z):Iarpunctelemulțimii Dsevor
27

numi preimaginile punctelorcorespunzătoareprin falemulțimii G(Vezi[13,p.20]).
Exemple: [21,p.70]Găsițiimagineapunctului z0prinfuncțiadată:
a)f(z) =z22iz8i;iarz0= 2 + 3 i:
Rezolvare:
f(z0) = (2 + 3 i)22i(2 + 3 i)8i= 4 + 12 i+ 9i24i6i28i= 4 + 12 i94i+ 68i= 1:
b)f(z) =z+i
2zi;iarz0= 1:
Rezolvare:
f(z0) =1 +i
2i=(1 +i)(2 + i)
(2i)(2 + i)=2 +i+ 2i1
4 + 1=1 + 3 i
5=1
5+3
5i:
Funcția f(z)semaipoatenotaprin z7!f(z);iarvaloareafuncțieicomplexeîn zsepoatescrie:
f(z) =u(z) +iv(z);
unde u(z)șiv(z)sunt numere reale. Numim upartea reală a funcției f(z), și notăm u=Ref, iarv
partea imaginară a funcției f(z),v=Imf(Vezi[18,p.20]).
Dejacunoaștemcă z=x+iy,iarx; y2Rșideciputemscrie:
w=f(z) =f(x+iy) =u(x; y) +iv(x; y);
șiconsiderămcă u(x; y)șiv(x; y)suntniștefuncțiidevariabilăreală.
Deexemplu,aplicația z7!z2aredescompunerea:
f(z) =z2= (x+iy)2=x2+ 2
x
iy+ (iy)2=x2+ 2ixyy2= (x2y2) + (2 xy)i;
deciînacestcazavem u(x; y) =x2+y2;iarv(x; y) = 2 xy:
Exemple: [21,p.69]
1.Găsiți Ref (z),Imf (z),dacă f(z) =z2+iz.
Rezolvare:
f(z) = ( x+iy)2+i(xiy) =x2+ 2xiy+i2y2+ixi2y=x2+ 2ixyy2+ix+y=
(x2+yy2) +i(2xy+x):
Ref (z) =x2+yy2,Imf (z) = 2 xy+x:
2.Găsiți Ref (z),Imf (z),dacă f(z) =1
z2i.
Rezolvare:28

f(z) =1
z2i=1
x+i(y2)=xi(y2)
(x+i(y2))(xi(y2))=xi(y2)
x2i2(y2)2=
=xi(y2)
x2+ (y2)2=x
x2+ (y2)2+i(2y)
x2+ (y2)2.
Ref (z) =x
x2+ (y2)2,Imf (z) =2y
x2+ (y2)2.
O funcție fde variabilă complexă se interpretează ca o transformare punctuală a unei mulțimi din
planul (z)înplanul (w).
3.3. Funcții uniforme și multiforme. Funcții monovalente
Dacă funcția reală era definită ca o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime un singur
elementdinaltămulțime, atunciîncazulcândavemofuncțiecomplexă, unuipunctdintr-undomeniui
sepotasociamaimultepunctedintr-unaltdomeniu.
Cunoscândacestlucru,putemsăstudiemceseîntâmplăcufuncțiainversăauneifuncțiidevariabilă
complexă f:D!G; w =f(z). Noțiuneadefuncțieinversăsedefineșteanalogcufuncțiainversăde
variabilă reală. Deci, fiecărui punct w2Gîi corespunde una sau mai multe valori zdin domeniul D,
astfelîncât w=f(z);adicăpentruorice w2Gecuația f(z) =waresoluțiiînmulțimea D:
Înacestcazsespunecăecuația f(z) =wdefineștefuncția z=f1(w);inversa funcției w=f(z)(Vezi
[21,p.61]).
Exemple: [21,p.69]
Săsăgăseascăfuncția,inversăfuncțieidate:
1.w=1
z2i:
Rezolvare:
1
w=z2i
1() z= 2i+1
w() z=1 + 2 iw
w:
2.w=2z+ 3
z3i:
Rezolvare:
Schimbămculocul wșiz:z=2w+ 3
w3i;înmulțimambelepărțicu w3i: (w3i)z= 2w+ 3,
wz3iz= 2w+ 3,w(z2) = 3 iz+ 3,w=3iz+ 3
z2:
Exprimămiarăși wprinzșiobținem: z=3iw+ 3
w2:
29

Dacăfiecăruipunct z2Dîicorespundeosingurăvaloare w2G,atuncifunțiasenumește uniformă.
Exemplu: w=z-funcțieuniformă.
Dacăfiecăruipunct z2Dîicorespundemaimultdecâtovaloare w,atuncifunțiaeste multiformă ,
saupoatefinumită multifuncție [22,p.31].
Exemple: 1. w=npz- funcție n – formă (deoarece pentru numărul complex zexistă nrădăcini
complexe).
2.w=Logz =lnjzj+i(argz+ 2k); k2N; z̸= 0- funcție 1- formă (deoarece mulțimea N
esteinfinită,șipentruoinfinitatedevalorialui kvomaveaoinfinitatedevalorialui w).
Fie că funcția w=f(z)este uniformă, și are loc relația inversă, adică dacă pentru fiecare punct a
mulțimii Dîi corespunde un singur punct al mulțimii G, și invers, fiecărui punct al mulțimii Gîi core-
spundeunsingurpunctalmulțimii D, adicăfuncția festeobijecție. Atuncifuncția z=ϕ(w)definită
pemulțimea Gcuimagineaînmulțimea D;inversăfațăde w=f(z);lafelesteofuncțieuniformă. În
așacaz, funcția w=f(z)senumește funcție monovalentă . Încazul în care funcția inversă z=ϕ(w)
estemultiformă,funcția w=f(z)nuvafimonovalenă[13,p.20].
Cualtecuvinte,ofuncțiecomplexăsenumeștemonovalentădacăeaestereciprocbiunivocă,șiposedă
proprietateadeinjectivitate: pentruoricaredouănumerecomplexe z1șiz2,dacă z1̸=z2;atunci f(z1)̸=
f(z2);șidacă z1=z2;atunci f(z1) =f(z2):
Dacăfuncțianuestemonovalentă,atuncipotavealocrelațiile: pentru z1̸=z2;areloc f(z1) =f(z2):
Exemple: 1. w=z4-nuestemonovalentă(evidentcăestemultiformă,deoarecefiecăruipunct zîi
corespundeunsingurpunct w;însă,fiecăruipunct w,cuexecepțialui w= 0,îicorespund4puncte z).
2.w=z+ 1-monovalentă(esteuniformă,deoarecefiecăruipunct zîicorespundeunsingurpunct
w;șiînplus,funcțiainversă z=w1lafelesteuniformă).
30

4. FUNCȚII ELEMENTARE DE V ARIABILĂ COMPLEXĂ
Seriacutermeniicomplecși
z1+z2+z3+:::+zn+:::;
lafelprecumșioseriecutermeniireali, senumeșteconvergentădacăexistăolimităasumeiparțialea
seriei
Sn=z1+z2+:::+zn;
când n! 1[13,p.27]. Iaraceastălimităsenumește suma seriei
S=lim
n!1Sn:
Însă,diferențafațădeseriiledenumerereale,estecănumărul zareforma z=x+iy,șidecitrebuie
să studiem nu doar o serie, ci două. De aceea, pentru ca seria de numere complexe să fie convergentă,
atuncișiseria:
x1+x1+:::+xn+:::;
formatădinpărțilerealeanumăruluicomplex z,precumșiseria:
y1+y2+:::+yn+:::;
formatădinpărțileimaginarealeacestuinumăr,trebuiesăfieconvergente.
Deaici,înparticular,obținemîncazuluneiseriiconvergenteurmătoarearelație:
lim
n!1zn= 0;
ținândcontdefaptulcă lim
n!1xn=lim
n!1yn= 0;deoareceamspecificatcăseriilecorespunzătoarepărții
imaginareșipărțiirealeanumărului zlafelsuntconvergente(Vezi[13,p.28]).
Dacăvomalcătuiseriaformatădinmoduleletermenilorseriei1∑
n=1zn:
jz1j+jz2j+:::+jznj+:::;
și aceasta va fi convergentă, atunci vom spune că seria1∑
n=1znla fel converge, și în plus, ea se numește
serie absolut convergentă.
Lafelputemspuneșidespreseriileformatedinmoduleletermenilorseriilor1∑
n=1xnși1∑
n=1yn.
31

Darmaiîntâicercetămmodulele jzj;jxjșijyj. Deoarece jzj=jx+iyj=√
x2+y2;observăm
faptulcă jxjjzj,iarjyjjzj. Deaiciputemafirmacă:
jxnjjznjșijynjjznj:
Acestlucruaratăcăseriile1∑
n=1xnși1∑
n=1ynsuntconvergente,șiastfelseria1∑
n=1znesteconvergentă.
Dinanalizamatematicăcunoaștemcăfuncțiiledevariabilăreală ex;cosx;sinxpotfidescompuseîn
seriideputericonvergente([22,p.52]):
ex= 1 +x
1!+x2
2!+:::+xn
n!+:::=1∑
n=1xn
n!;
sinx=xx3
3!+x5
5!+:::+ (1)nx2n+1
(2n+ 1)!+:::=1∑
n=1(1)nx2n+1
(2n+ 1)!;
cosx= 1x2
2!+x4
4!+:::+ (1)nx2n
(2n)!+:::=1∑
n=1(1)nx2n
(2n)!:
Însă,dacănecunoscutaesteunnumărcomplex z;nuputemsăafirmămcăsensulfuncțiilor ez;cosz;sinz;
șiaaltorfuncțiielementaresepăstrează.
Săanalizămpeplanulcomplexseriile:
1∑
n=1zn
n!;1∑
n=1(1)nz2n+1
(2n+ 1)!și1∑
n=1(1)nz2n
(2n)!:
Deoarece mai sus că seria de numere complexe depinde de seriile termenii cărora sunt părțile reale si
părțileimaginarealenumăruluicomplex,șicunoscândfaptulcăseriiledeputeri:
1∑
n=1xn
n!;1∑
n=1(1)nx2n+1
(2n+ 1)!și1∑
n=1(1)nx2n
(2n)!
sunt absolut convergente, rezultă că și seriile ce conțin necunoscuta ysunt absolut convergente. Și în
plus,acesteadinurmăimplicăfaptulcăseriile1∑
n=1zn
n!;1∑
n=1(1)nz2n+1
(2n+ 1)!și1∑
n=1(1)nz2n
(2n)!lafelsunt
absolutconvergente.
Deci,putemsăafirmămcăpeplanulcomplex:
ez= 1 +z
1!+z2
2!+:::+zn
n!+:::=1∑
n=1zn
n!;
sinz=zz3
3!+z5
5!+:::+ (1)nz2n+1
(2n+ 1)!+:::=1∑
n=1(1)nz2n+1
(2n+ 1)!;
32

cosz= 1z2
2!+z4
4!+:::+ (1)nz2n
(2n)!+:::=1∑
n=1(1)nz2n
(2n)!:
Dacăînprimaserievomînlocui zcuiz,atuncivomobține:
eiz= 1+iz
1!+(iz)2
2!+(iz)3
3!+:::= 1+iz
1!z2
2!iz3
3!+z4
4!+:::= 1z2
2!+z4
4!:::+iziz3
3!+iz5
5!:::=
= (1z2
2!+z4
4!:::) +i(zz3
3!+z5
5!:::):
Observămcăprimaparantezăreprezintădefaptdescompunereaînserieafuncțieicos z;iaradouaparan-
tezăreprezintădescompunereaînserieafuncțieisin z. Astfelobținemidentitatea:
eiz=cosz+isinz;
numită identitatea lui Euler , datorită căreia se poate usor demonstra forma exponențială a numărului
complex, descrisă în §2.4. Pentru asta înlocuim în identitatea de mai sus zcuϕ;și o înmulțim cu r,
obținem:
reiϕ=r(cosϕ+isinϕ) =z:
4.1. Funcția exponențială
1. Descompunerea funcției în serie de puteri
Inițialamspecificatcădescompunereaînserieafuncției ezesteanalogicăcuceadepeplanulreal:
ez= 1 +z
1!+z2
2!+:::+zn
n!+:::=1∑
n=1zn
n!:
2. Proprietatea despre produs și cât
Atâtpeplanulreal,câtșipeplanulcomplex,funcțiaexponențialăaredouăproprietățiimportante.
A.ez1
ez2=ez1+z2:
Într-adevăr,
ez1
ez2=(
1 +z1
1!+z12
2!+:::+z1n
n!+:::)(
1 +z2
1!+z22
2!+:::+z2n
n!+:::)
=
= 1 + ( z1+z2) +(z1+z2)2
2!+:::+(z1+z2)n
n!+:::=ez1+z2[22; p:74]:
B.ez1
ez2=ez1z2:
Într-adevăr,
33

ez1
ez2=ez1
ez2=ez1+(z2)=ez1z2:
3.OproprietatespecificăpentrufuncțiaexponencțialăpeplanulcomplexreiesedinformulaluiEuler,
șiproprietateadespreprodus. Deoarece z=x+iy;iarez1
ez2=ez1+z2,obținemcă:
ez=ex+iy=ex
eiy:
Deoarece xestenumărreal,atunciși exvafiunnumărreal,iarasupralui eiyaplicămformulaluiEuler:
eiy=cosy+isiny:
Înconsecință,
ez=ex(cosy+isiny)
Deaicireieseșifaptulcă jezj=ex;iarunadinvalorileluiArg ezesteegalăcu y:
Și de asemenea putem demonstra o altă proprietate comună atât pentru funcția de pe planul real ex,
câtșipentruceadepeplanulcomplex ez:Șianume,dacăvomaveaunnumărreal m,atunci:
(ez)m=emz
Într-adevăr,
(ez)m= [ex(cosz+isinz)]m=exm(cosmz+isinmz) =emz:
Exemple: [13,p.39]
Găsiți:
a)ei
2.
Rezolvare:
ei
2=cos
2+isin
2= 0 + i
1 =i:
b)e1i
2.
Rezolvare:
e1i
2=e1(cos(
2) +isin(
2)) =e1(0i
1) =ei:
c)e3+i.
Rezolvare:
e3+i=e3
ei=e3(cos1 +isin1):
34

4. Semnul funcției
Din analiza matematică cunoaștem faptul că funcția exponențială este mereu pozitivă ex>0(Vezi
[24,p.138]).
Peplanulcomplex,pentrucercetaacestlucru,vomluauncazparticularalproprietățiidespreprodus.
Șianume:
ez
ez=ez+(z)=ezz=e0= 1:
Aceastaaratăcă ezniciodatănuestezero[25,p.43].
Dacăvompresupune,prinabsurd,căexistăunașanumăr z1pentrucare ez1= 0;atuncipentruunnumăr
complexoarecare zavem:
ez=ez1+zz1=ez1
ezz1;
ceeaceînseamnăcă ez= 0;iaraceastaestefals. Ceeacedemonstreazăafirmațiademaisus.
Cunoaștem că numerele complexe nu pot fi comparate, deci problema cu semnul functiei în planul
complexîșipierdesensul.
De asemenea, din proprietatea precedentă, cunoaștem că jezj=ex=eRez;iar arg ez=y=Imz:
Deci,deaiciputemafirmacădeoarecearg ez=yesteunnumăroarecare,funcțiaexponențialăpeplanul
complexpoateluaoricevaloridin C;cuexcepțialui 0[21,p.72].
5. Paritatea/imparitatea funcției
Atâtpeplanulreal,câtșipeplanulcomplex,deoarecedescompunereafuncției ex,sauezconțineatât
termeni pari, cât și impari, dacă vom înlocui necunoscuta cu xsauz;vom observa că termenii vor
alteraîntre și+,șidecifuncțiaexponențialănuestenicipară,niciimpară.
6. Periodicitatea funcției
Dacăîncazulplanuluireal,funcția exnueraperiodică,atuncipeplanulcomplexsituațiaseschimbă
complet. Dincauzacă ez=ex(cosy+isiny),rezultăcăfuncția ezesteperiodică[21,p.72].
Vomcăutacareesteperioadafuncției ez;notândperioadaprincipalăcu T=T0i.
ez+T0i=ez
eT0i=ez(cosT0+isinT0):
Deoarece ez+T0itrebuiesăfieegalăcu ez;rezultăcă:
cosT0+isinT0= 1;
cosT0= 1;iar sin T0= 0;
35

Valoarea pentru care concomitent funcția cosinus este 1 iar funcția sinus este 0 este T0= 2:Deci,
putemafirmacăperioadaprincipalăafuncțieieste T= 2i,iarîncazgeneral,perioadaeieste 2ki; k2
Z:
7. Bijectivitatea funcției
Mai întâi, ne vom aduce aminte ce înseamnă că o funcție este bijectivă. Vom lua o funcție arbitrară
f:A!B; f (x) =y:
Definiție 4.1. [17, p. 78] Funcția f:A!Bse numește funcție injectivă dacă f(x1) =f(x2)
implică x1=x2.
Adicăelementeledin Bpotaveamaimultdecâtopreimagineîn A:
Definiție 4.2. [24,p.78]Funcția f:A!Bsenumește funcție surjectivă dacăpentruorice ydin
Bexistă xdinA;astfelîncât f(x) =y.
Adicăelementeledin Baucelpuținopreimagineîn A:
Definiție 4.3. [24, p. 78] Funcția f:A!Bse numește funcție bijectivă dacă ea este injectivă și
surjectivă.
Peplanulreal, 8x2Ravemcăfuncția exestebijectivă,adică 8yexistăun xastfelîncât f(x) =ex;
și8x1; x22R; x1̸=x2arelocrelația f(x1)̸=f(x2).
Peplanulcomplex C;dinmotivcăfuncția w=ezesteperiodică,nuputemafirmaacelașilucru. Deci
existăvalorialeargumentuluicarenusuntegale,pentrucarevaloareafuncțieiesteaceeași. Șianume,pe
C;funcția ezesteuniformă,darnuestemonovalentă,adicăpentru z1̸=z2areloc f(z1) =f(z2)(acest
lucrurezultădinproprietateadeperiodicitateafuncției).
Exemplu: [21,p.73]
Aflați w1=ez1șiw2=ez2dacăz1= 2i,z2= 4i:
Rezolvare:
w1=e2i=cos2+isin2= 1 + i
0 = 1 ;
w2=e4i=cos4+isin4= 1 + i
0 = 1 ;
Observăm că pentru z1̸=z2obținem aceeași valoare w1=w2= 1, ceea ce este posibil pentru că
funcția eznuestemonovalentă.
De asemenea, atât pe planul real cât și pe planul complex, funcția exponențială este inversabilă.
Aceastăfuncțieovomdescrieînsubcapitolulceurmează.
36

8. Tranformări realizate de funcția exponențială
Dacă pe planul real, funcția exponențială și propritățile ei puteau fi studiate cu ajutorul graficului
funcției (fig. 9.), atunci pe planul complex nu mai este valabil acest lucru. Însă, pentru w=ez, pot fi
studiatetransformărilepecarelerealizează.
Fig. 9. Graficulfuncției f(x) =ex.
Fiecăavemfuncția w=ez. Cunoațemcă ez=ex(cosy+isiny);deci:
8
><
>:u=excosyj:ex
v=exsinyj:ex)8
><
>:u
ex=cosyj^2
v
ex=sinyj^2)8
><
>:u2
e2x=cos2y
v2
e2x=sin2y
Adunămegalitățileobținute:
u2
e2x+v2
e2x=cos2y+sin2y)(u
ex)2
+(v
ex)2
= 1:
Fiecă x=c; c=const;obținem:(u
ec)2
+(v
ec)2
= 1;
cereprezintăuncerccucentrulînoriginederaza R=ec:
Dacăluăm y= 0;atunci:
8
><
>:u=excosy
v=exsiny)8
><
>:u=ex
v= 0
Deoarece u=ex;iarex>0;vomstudiadouăcazuri.
Dacă x=1 ! u=e1= 0;
37

dacăx= +1 ! u=e+1= +1;
ceeacereprezintăsemiaxapozitivăaaxeireale.
Încazgeneral,dacă y=c; c=const;atunci:
8
><
>:u=excoscj:cosc
v=exsincj:sinc)8
><
>:u
cosc=ex
v
sinc=ex
Scădemdinprimaegalitate,egalitateaadoua,șiobținem:
u
coscv
sinc= 0;
cereprezintăpeplannișteliniioblicecupantaegalăcutg c.
Astfel, putem spune că funcția w=ezpe planul complex transformă dreptele x=cîn cercuri cu
centrulînorigineșiraza R=ec;iardreptele y=cînnișteliniioblicecupantaegalăcutg c. Adicăare
loctransformareaunorregiunidreptunghiulareînregiuniretinalecirculare(fig. 10.).
Fig. 10. Transformărilerealizatedefuncția w=ez.
4.2. Funcția logaritmică
Funcțialogaritmicăsedefineștecafuncțiainversăceleiexponențiale. Decidacă ew=z; z̸= 0,atunci
wsenumește logaritmșisenoteazăcu w=lnz(asevedea[13,p.32]).
Dacă w=u+iv;atunci z=eu+iv:AplicândformulaluiEulervomavea:
38

z=reiϕ; r=jzj; ϕ=argz;
deaicireiesecă:
ew=eu+iv=eueiv=reiϕ:
Din această condiție observăm că eu=r;deciu=lnr=lnjzj:Iareiv=eiϕ;deciv=ϕ=argz+
2k; k2Z:
Deaicireiesecă:
w=lnz=u+iv=lnjzj+i(argz+ 2k); k2Z:
Observăm că această funcție are mai multe valori, iar egalitatea obținută definește mulțimea valorilor
funcțieilogaritmiceanumăruluicomplex z,șisenoteazăînfelulurmător:
Lnz=lnjzj+i(argz+ 2k); k2Z:
OdiferențăvizibilăfațădefuncțiadevariabilărealăestecăfuncțiacomplexăsenoteazăcuLn z,din
motivcăpoateaveaoinfinitatedevalori,iarpentruaaflavaloareaprincipalăln zalogaritmuluicomplex
estenecesarsă-lluămpe k= 0;șiatunciobținem:
lnz=lnjzj+iargz:
1.O proprietate pe mulțimea numerelor reale a funcției logaritmice este că ea poate lua valoarea 0
numaiînpunctul x0= 1,întrucâtln x= 0,×0= 1[24,p.147].
Pemulțimeanumerelorcomplexe,
Lnz= 0,lnjzj+i(argz+ 2k) = 0,8
><
>:lnjzj= 0
argz+ 2k= 0,z= 1:
2. Paritatea/imparitatea funcției
Deoarece funcția logaritmică nu reprezintă altceva decât inversa funcției exponențiale, care nu este
niciparăniciimpară,rezultăcășifuncțialogaritmicănuestenicipară,niciimpară. Aceastăproprietate
lafelsepăstrezălafelcașipeplanulreal.
3. Periodicitatea funcției
Dinanalizamatematicăcunoaștemcăfuncțialogaritmicănuesteperiodică,deoareceestemonotonă.
39

Încazulfuncțieidevariabilăcomplexă,deasemeneaputemafirmaacestlucru,deoarecedacăvomînlocui
zcuz+Tsevaobține:
Ln(z+T) =lnjz+Tj+i(argz+ 2k);
darnuexistăașaovaloarealui Tpentrucareln jz+Tj=lnjzj, deoarecefuncțialnnuesteperiodică.
Înașafel,concluzionămcăfuncțialogaritmicăLog znuesteperiodică.
4. Bijectivitatea funcției
Funcția logaritmică de variabilă reală este bijectivă, deci este inversabilă. Inversa ei este funcția
exponențială[24,p.147].
Dinformulalogaritmuluiunuinumărcomplex,esteclarcăfuncțialogaritmicănuestemonovalentă.
Chiar dacă această funcție are inversă, și anume w=ez;funcția logaritmică nu este uniformă. Cu atât
maimult,deoarecefuncțiadepindedevaloarea k2Z;adicădeomulțimeinfinită,rezultăcășifuncția
poateluaoinfinitatedevalori,deciesteofuncție 1-formă.
5.Cunoaștem că pe aza reală logaritmul are niște proprietăți, pe care le vom expune în teorema de
maijos.
Teorema 4.1. (proprietăți ale logaritmilor, generalizare) [24,p.39]Pentru x2R
+; u; v2R
+; =
2k; k =Z;aulocegalitățile:
loga(uv) =logajuj+logajvj;
logau
v=logajuj logajvj;
logau=logajuj;
logax=1
logjajx.
Utilizând aceste formule, și teorema 2.1. despre modul și argument, și teorema 2.2. a lui Moivre
vomdemonstracâtevaformulepentrufuncțialogaritmică(uneledinelesuntcomunecucelealefuncției
logaritmicedevariabilăreală).
A.eLnz=z:
Într-adevăr, eLnz=elnjzj+iArgz=elnjzj
eiArgz=jzjeiArgz=z:
B.Ln(z1z2) =Lnz1+Lnz2:
Într-adevăr,Ln (z1z2) =lnjz1z2j+iArg(z1z2) =lnjz1j+lnjz2j+i(Argz1+Argz2) =
= (lnjz1j+iArgz1) + (lnjz2j+iArgz2) =Lnz1+Lnz2:
40

C.Lnz1
z2=Lnz1Lnz2:
Într-adevăr,Lnz1
z2=lnjz1
z2j+iArgz1
z2=lnjz1j lnjz2j+i(Argz1Argz2) =
= (lnjz1j+iArgz1)(lnjz2j+iArgz2) =Lnz1Lnz2:
D.Ln(zn) =nLnz+ 2ki; k2Z:
Într-adevăr,Ln (zn) =lnjznj+iArgzn=nlnjzj+inArgz+ 2ki=nLnz+ 2ki; k2Z:
E.Lnnpz=1
nLnz:
Într-adevăr,Lnnpz=lnjnpzj+iArgnpz=lnjz1
nj+i
1
nArgz=lnjzj1
n+i
1
nArgz=
=1
nlnjzj+i
1
nArgz=1
nLnz:
6.Introducereanoțiuniidelogaritmalunuinumărcomplexnepermitesăintroducempeplanulcom-
plexfuncțiaexponențialăcubazăunnumăroarecare,iarputereaunnumărcomplex,adicăfuncția w=az:
Pentru așix-reale,iar a > 0esteevidentcă:
ax=exlna:
Peplanulcomplex,conformproprietățilordemonstratemaisus,observămcă:
ezLna=eLnaz=az;
az=ezLna
Funcția exponențială de acest tip este multiformă (din condiția că funcția logaritmică este multiformă),
iarvaloareaeiprincipalăvafivaloareapecareoobținemprinînlocuireaLn zculn z.
Exemple: [13,p.39]
Găsiți:
a)i1+i.
Rezolvare:
i1+i=i1
ii=ieiLni=iei(lnjij+iArgi)=iei(ln1+
2i+2ki)=ie
22k; k2Z:
b)(1 +i)i.
Rezolvare:
(1 +i)i=eiLn(1+i)=ei(lnj1+ij+iArg(1+i))=eilnp
2
42k)=e
42k(coslnp
2 +isinlnp
2):
c)3i.
41

Rezolvare:
3i=eiLn3=ei(ln3+iArg3)=ei(ln3+i+2ki)=eiln312k=e12k(cosln 3 +isinln 3):
Deasemenea,cuajutorulfuncțieilogaritmice,peplanulcomplexsemaipoatedefinișifuncția w=za;
unde a=+iunnumărcomplexoarecare,șisedefineșteprinegalitatea:
za=eLnz;[20; p:13]
caresedemonstreazălafelcașiîncazulfuncției w=az:Funcțiadatălafelestemonovalentă.
4.3. Funcțiile trigonometrice
1. Descompunerea funcției în serie de puteri
Amintimcădescompunerileînserieafuncțiilorsin zșicos zsuntanalogicecuceledepeplanulreal:
sinz=zz3
3!+z5
5!:::+ (1)nz2n+1
(2n+ 1)!+:::=1∑
n=1(1)nz2n+1
(2n+ 1)!;
cosz= 1z2
2!+z4
4!:::+ (1)nz2n
(2n)!+:::=1∑
n=1(1)nz2n
(2n)!:
2. Paritatea/imparitatea funcției
Pentru x2R;o proprietate este semnul funcției, și anume, deoarece în descompunerea sa funcția
sinxconține doar puteri impare ale lui x;ceea ce înseamnă că funcția sin (x) =sinx;adică este
impară. Funcțiacos (x) =cosx;adicăesteofuncțiepară.
Funcțiile tg xșictg xsunt funcții impare, deoarece, prin definiție, ele reprezintă raportul dintre o
funcțieimpară(sin x)șiunapară(cos x):
tg(x) =sin(x)
cos(x)=sinx
cosx=tgx;
ctg(x) =cos(x)
sin(x)=cosx
sinx=ctgx[19]:
Pentru funcțiile trigonometrice de variabilă complexă, dacă vom înlocui spre exemplu pe zcuiîn de-
scompunerea funcției cos z;observăm că i2=1;adică un număr negativ, ceea ce este contrariu celor
scrise mai sus pentru funcțiile de variabilă reală (orice număr la putere pară este un număr pozitiv). Pe
mulțimeanumerelorcomplexe,indiferentdeputere,rezultatulpoatefidiferit,fiindcănumerelecomplexe
nupotficomparate.
42

Totuși,dacă,vomînlocuiîndescompunereafuncțiilorsin zșicos zpezcuiz;obținem:
eiz=coszisinz:
ScădemdinformulaluiEulerrelațiademaisusșiobținem:
eizeiz=cosz+isinzcosz+isinz(isinz) = 2 isinz;
sinz=eizeiz
2i
Dardacăadunămacestedouăegalități,obținem:
eiz+eiz=cosz+cosz+isinzisinz= 2cosz;
cosz=eiz+eiz
2
Peplanulcomplexsepotdefinișifuncțiiletg zșictg z. Cunoaștemcătg z=sinz
cosz;iarctg z=cosz
sinz;
deci:
tgz=eizeiz
2i:eiz+eiz
2=2(eizeiz)
2i(eiz+eiz)=eizeiz
i(eiz+eiz);
ctgz=eiz+eiz
2:eizeiz
2i=2i(eiz+eiz)
2(eizeiz)=i(eiz+eiz)
eizeiz:
tgz=eizeiz
i(eiz+eiz)iarctgz=i(eiz+eiz)
eizeiz
3. Mărginirea funcției
Dinanalizamatematicăcunoaștemcăfuncțiilesinșicossuntmărginite,adică
jsinxj1;jcosxj1;8x2R:
Săstudiemcesepetreceîncazulfuncțieidevariabilăcomplexă. Decisăluăm,spreexemplu,cos i;sini
șisăaflămvaloareaacestora.
cosi=ei
i+ei
i
2=e1+e1
2=e1
2+e1
2=1
2e+e
21;543>1;
sini=ei
iei
i
2i=e1e1
2i=i(e1e1)
2=i(1e2)
2e=i(1 +e2)
2e1;175i:
Aceastademonstreazăfaptulcăpeplanulcomplexseîncalcăacesteinegalități,iarfuncțiilecomplexe
43

sinusșicosinusiauvaloricomplexe,oricâtdemariînvaloareabsolută.
4. Periodicitatea funcției
Funcțiile sin xși cos x;8x2Rsunt periodice, de perioadă T= 2k; k2Z, să verificăm ce se
întâmplăpemulțimeanumerelorcomplexe[23,p.60].
Acestlucruseverificădestuldesimplu,fiindcădejacunoaștemcăfuncțiaexponențialăesteperiodică,
șianumeperioadaeste 2ki:Decidacăînformulelepentrusinșicosînlocuim zcuz+2nusevaschimba
nimic:
ei(z+2)=eiz+2i=eiz; ei(z+2)=eiz2i=eiz;
deci,înconsecință,
cos(z+ 2) =cosz;sin(z+ 2) =sinz:
Perioadafuncțiilorsin zșicos z;lafelcașipeplanulrealeste 2[13,p.31].
Funcțiile ctg și tg la fel sunt funcții periodice, de perioadă T=k; k 2Zși perioadă principală
T0=,[23,p.60]:
tg(z+k) =ei(z+k)ei(z+k)
i(ei(z+k)+ei(z+k))=eiz+2kikieizki
i(eiz+2kiki)+eizki)=eki(eiz+2kieiz)
ieki(eiz+2ki+eiz)=
=eiz+2kieiz
i(eiz+2ki+eiz)=eizeiz
i(eiz+eiz):
Deci,putemspunecăfuncțiatg zîșipăstreazăperioada T=k:Pentrufuncțiactgperioadasedemon-
streazăînacelașimod,deoarecefațădefuncțiatgeadiferădoarprinschimbareanumitoruluișinumără-
toruluiculocul.
tg(z+) =tg(z);ctg(z+) =ctg(z):
5. Bijectivitatea funcțiilor trigonometrice
Funcțiiletrigonometricenusuntbijectivepemulțimea R. Acestlucruesteevident,deoareceneprivind
la faptul că funcțiile sunt surjective, adică pentru orice valoare a lui yexistă cel puțin un xatfel încât
f(x) =y;ele nu sunt injective. Deci, din proprietatea periodicității funcțiilor, se subânțelege faptul că
există așa valori x1̸=x2pentru care f(x1) =f(x2):Pe mulțimea C;vom studia dacă funcțiile sunt
monovalentesaunu.
Funcțiiletrigonometricecomplexesuntuniforme,deoarecepentrufiecarevaloare z,afiecăreifuncții
înparte, există unsingur w:Însăexistă mai multevalori wpentrucare zesteacelași, adică există z1̸=
44

z2pentru care f(z1) =f(z2). Din acest motiv spunem că funcțiile trigonometrice complexe nu sunt
monovalente.
6. Formule trigonometrice de bază
Peplanulcomplex,deasemeneasepăstreazășiuneleformuledebazăpentrufuncțiiletrigonometrice.
Deexemplu: sin2z+cos2z= 1:
Într-adevăr,
sin2z+cos2z=(eizeiz
2i)2
+(eiz+eiz
2)2
=e2iz2eizeiz+e2iz
4+e2iz+ 2eizeiz+e2iz
4=
=e2iz+ 2e2iz+e2iz+ 2 + e2iz
4=4
4= 1:
Alteformulecaresepăstreazăsunt:
A.cos(z1z2) =cosz1cosz2∓sinz1sinz2;
B.sin(z1z2) =sinz1cosz2cosz1sinz2:
Într-adevăr,
A.cosz1cosz2sinz1sinz2=eiz1+eiz1
2
eiz2+eiz2
2eiz1eiz1
2i
eiz2eiz2
2i=
=eiz1+iz2+eiz1iz2+eiz1+iz2+eiz1iz2
4eiz1+iz2eiz1iz2eiz1+iz2+eiz1iz2
4i2=
=2eiz1+iz2+ 2eiz1iz2
4=ei(z1+z2)+ei(z1+z2)
2=cos(z1+z2);
B.sinz1cosz2+cosz1sinz2=eiz1eiz1
2i
eiz2+eiz2
2+eiz1+eiz1
2
eiz2eiz2
2i=
=eiz1+iz2+eiz1iz2eiz1+iz2eiz1iz2
4i+eiz1+iz2eiz1iz2+eiz1+iz2eiz1iz2
4i=
=2eiz1+iz22eiz1iz2
4i=ei(z1+z2)ei(z1+z2)
2i=sin(z1+z2)[13,p.31] :
Exemple: [13,p.40]Demonstrațiidentitățile:
a)sin2z= 2sinzcosz.
Rezolvare:
45

sin2z=e2ize2iz
2i=(eiz)2(eiz)2
2i= 2
(eizeiz)(eiz+eiz)
4i= 2
eizeiz
2i


eiz+eiz
2= 2sinzcosz:
b)tg2z=2tgz
1tg2z.
Rezolvare:
2tgz
1tg2z=2(eizeiz)
i(eiz+eiz)
i2(eiz+eiz)2
i2(eiz+eiz)2e2iz+ 2e2iz=2i(eizeiz)(eiz+eiz)
e2iz2e2ize2iz+ 2e2iz=
=2i(e2ize2iz)
2e2iz2e2iz=2i(e2ize2iz)
2i2(e2iz+e2iz)=e2ize2iz
i(e2iz+e2iz)=tg2z:
c)sinz1+sinz2= 2sinz1+z2
2cosz1z2
2
Rezolvare:
2sinz1+z2
2cosz1z2
2= 2
eiz1+z2
2eiz1+z2
2
2i
eiz1z2
2+eiz1z2
2
2=eiz1+z2
2
eiz1z2
2
2i
eiz1+z2
2
eiz1z2
2
2i+eiz1+z2
2
eiz1z2
2eiz1+z2
2
eiz1z2
2
2i=eiz1eiz2+eiz2eiz1
2i=
=eiz1eiz1
2i+eiz2eiz2
2i=sinz1+sinz2:
7. Transformări realizate de către funcțiile trigonometrice
Lafelprecumșicelelaltefuncții,funcțiiletrigonometricedevariabilărealăpotfistudiatecuajutorul
graficului funcției (vezi fig. 11.). Pentru funcțiile trigonometrice de variabilă complexă, în continuare
vomstudiatransformărilepecarelerealizează.
Fiew=sinz;iarsin z=sin(x+iy) =sinxchy+icosxshy(vezi§4.4.). Deaici:
8
><
>:u=sinxchyj:chy
v=cosxshyj:shy)8
>><
>>:u
chy=sinxj^2
v
shy=cosxj^2)8
>><
>>:(u
chy)2
=sin2x
(v
shy)2
=cos2x
Adunămegalitățileșiobținem:
(u
chy)2
+(v
shy)2
=cos2x+sin2x)(u
chy)2
+(v
shy)2
= 1:
Fiecă y=a; a=const;obținem:(u
cha)2
+(v
sha)2
= 1;
ceeacereprezintăoelipsă.46

(a)Graficulfuncției f(x) =sinx
(b)Graficulfuncției f(x) =cosx
(c)Graficulfuncției f(x) =tgx
(d)Graficulfuncției f(x) =ctgx
Fig. 11. Graficelefuncțiilortrigonometrice.
Pentrucasăstudiemîncesetransformădreapta x=b; b=const;vomprocedaînfelulurmător:
8
><
>:u=sinxchyj:sinx
v=cosxshyj:cosx)8
><
>:u
sinx=chyj^2
v
cosx=shyj^2)8
><
>:(u
sinx)2
=ch2y
(v
cosx)2
=sh2y
Scădemdinprimaegalitate,egalitateaadoua:
(u
sinx)2
(v
cosx)2
=ch2ysh2y)(u
sinx)2
(v
cosx)2
= 1:
Dacă x=b; b=const;atunci:(u
sinb)2
(v
cosb)2
= 1;
ceeacereprezintăohiperbolă.
Astfel, putem spune că funcția w=sinzpe planul complex transformă dreptele veticale x=bîn
hiperbole,iardrepteleorizontale y=aînelipse(fig. 12.).
Pentruastudiatransformărilerealizatedecelelaltefuncțiitrigonometrice,seprocedeazăînacelașimod.
47

Fig. 12. Transformărilerealizatedefuncția w=sinz.
4.4. Funcțiile hiperbolice
Definiție 4.4. [23, p. 68] Funcțiile hiperbolice cosinus (ch x), sinus (sh x) și tangentă (th x), se
numescfuncțiiledefinitedeformulele:
chx=ex+ex
2;shx=exex
2;thx=shx
chx=exex
ex+ex:
Dacăvomsubstitui x2Rcuz2C;vomobținefuncțiilehiperbolicedefinitepeplanulcomplex:
chz=ez+ez
2iarshz=ezez
2
iarștiindcă th x=1
cthx;vomdefinipelângăfuncțiahiperbolicătangentă,șifuncțiahiperbolicăcotan-
gentă:
thz=ezez
ez+eziarcthz=ez+ez
ezez
1. Descompunerea în serie a funcției
Descompunereaînserieafuncțiilorhiperbolicediferădecelealefuncțiilortrigonometricedoarprintr-
unsemn,șisepăstreazăcașipeplanulcomplex:
shz=z+z3
3!+z5
5!+:::+z2n+1
(2n+ 1)!+:::=1∑
n=1z2n+1
(2n+ 1)!;
chz= 1 +z2
2!+z4
4!+:::+z2n
(2n)!+:::=1∑
n=1z2n
(2n)!:[21; p:75]
48

2.Dacăsăcomparămformulelefuncțiilorhiperboliceșitrigonometrice,șianalizămformulaluiEuler,
vomobservaurmătorullucru:
eiz=cosz+isinz;
ez=chz+shz:
AcestăformulăestelafelnumităformulaluiEulerșileagăfuncțiahiperbolicădeceaexponențială.
De asemenea, comparând funcțiile trigonometrice cu cele hiperbolice, vom observa dependențele
dintreacestea:
shz=ezez
2=i
ei
i
zei
i
z
2i=isiniz;
chz=ez+ez
2=
ei
i
z+ei
i
z
2i=cosiz;
thz=ezez
ez+ez=i
ei
i
zei
i
z
i(ei
i
z+ei
i
z)=tgiz;
cthz=ez+ez
ezez=i
ei
i
z+ei
i
z
i(ei
i
zei
i
z)=ctgiz:
Deaici,înparticular,putemdemonstracă:
ch2zsh2z= 1:
Într-adevăr,
ch2zsh2z=cos2iz(isiniz)2=cos2iz+sin2iz= 1:
3. Periodicitatea funcției
Deoarece funcțiile hiperbolice pot fi exprimate prin funcțiile trigonometrice, care sunt funcții peri-
odice,rezultăcăfuncțiilesh zșichzlafelsuntperiodice,iarperioadaloreste 2ki; k2Z:Funcțiileth z
șicth zauperioada ki; k2Z:
4. Bijectivitatea funcției hiperbolice
Dinanalizamatematicăcunoaștemcăfuncțiilehiperbolicesuntniștefuncțiibijective.
Înanalizacomplexă,știindcăfuncțiilehiperbolicesepotexprimaprinceletrigonometrice,carenusunt
monovalente,esteevidentcănicifuncțiilehiperbolicenusuntmonovalente. Însă,funcțiahiperbolicăare
inversă,pecareovomcercetaînsubcapitolulceurmează.
5. Formule de bază
Pentruorice x; y2R;cunoaștemcă:
49

ch(xy) =chxchyshxshy;
sh(xy) =shxchychxshy;
th(xy) =thxthy
1thxthy(Vezi[27,p.1]) :
Vomdemonstraacesteformulepentru z1; z22C:
chz1chz2+shz1shz2=ez1+ez1
2
ez2+ez2
2+ez1ez1
2
ez2ez2
2=1
4(ez1+z2+ez1z2+
+ez1+z2+ez1z2+ez1+z2ez1z2ez1+z2+ez1z2) =ez1+z2+ez1z2
2=ch(z1+z2);
shz1chz2+chz1shz2=ez1ez1
2
ez2+ez2
2+ez1+ez1
2
ez2ez2
2=1
4(ez1+z2+ez1z2
ez1+z2ez1z2+ez1+z2ez1z2+ez1+z2ez1z2) =ez1+z2ez1z2
2=sh(z1+z2);
th(z1+z2) =sh(z1+z2)
ch(z1+z2)=shz1chz2+chz1shz2
chz1chz2+shz1shz2=chz1chz2(shz1
chz1+shz2
chz2)
chz1chz2(1 +shz1shz2
chz1chz2)=thz1+thz2
1 +thz1thz2:
Deaiciesteevidentcă:
cth(z1+z2) =1 +cthz1cthz2
cthz1+cthz2:
Dacăînformulelesumeișidiferențeipentrufuncțiiletrigonometricecomplexevominlocui zcux+iy
vomobține(Vezi[22,p.78]):
cosz=cos(x+iy) =cosxcosiysinxsiniy=cosxchyisinxshy;
sinz=sin(x+iy) =sinxcosiy+cosxsiniy=sinxchy+icosxshy;
chz=chxchiy+shxshiy=chxcosy+ishxsiny;
shz=shxchiy+chxshiy=shxcosy+ichxsiny:
Utilizândacesteformuleputemdemonstracă:
ch2z+sh2z=ch2z:
Într-adevăr,
ch2z=ch(z+z) =chzchz+shzshz=ch2z+sh2z:
Exemple: [13,p.40]
Găsiți:50

a)sini.
Rezolvare:
sini=sin0ch1 +icos0sh1 =ish1:
b)cos(i+ 1).
Rezolvare:
cos(1 +i) =cos1ch1isin1sh1:
c)tg(2i).
Rezolvare:
tg(2i) =sin(2i)
cos(2i)=sin2ch(1) +icos2sh(1)
cos2ch(1)isin2sh(1)=sin2ch1icos2sh1
cos2ch1 +isin2sh1=
=cos2ch1(sin2
cos2ish1
ch1)
cos2ch1(1 + isin2sh1
cos2ch1)=tg2ith1
1 +itg2th1:
d)chi.
Rezolvare:
chi=ch0cos1 +ish0sin1 =cos1:
e)sh(2 +i).
Rezolvare:
sh(2 +i) =sh(2)cos1 +ich(2)sin1 =sh2cos1 +ich2sin1:
6. Transformări realizate de funcțiile hiperbolice
Funcțiilehiperbolicepe Rsuntanalogiifuncțiilortrigonometriceobișnuitedefinitepentruhiperbolă,
iargraficullorseaseamănăcuniștehiperbole(vezifig. 13.).
Pentrufuncțiilehiperbolicedevariabilăcomplexă,vomstudiauneletransformări.
Pentrufuncțiash zamdemonstraturmătoareaformulă:
shz=shxcosy+ichxsiny:
Știindcă w=u+iv;alcătuimsistemulcecuprinde u=Rez;iarv=Imz:
8
><
>:u=shxcosyj:shx
v=chxsinyj:chx)8
><
>:u
shx=cosyj^2
v
chx=sinyj^2)8
><
>:(u
shx)2
=cos2y
(v
chx)2
=sin2y
51

(a)Graficulfuncției f(x) =shx
(b)Graficulfuncției f(x) =chx
(c)Graficulfuncției f(x) =thx
(d)Graficulfuncției f(x) =cthx
Fig. 13. Graficelefuncțiilorhiperbolice.
Adunămegalitățileobținute:(u
shx)2
+(v
chx)2
= 1:
Luămdreapta x=c; c=const :
(u
shc)2
+(v
chc)2
= 1-elipsă.
Vomdesenaelipsaobținutăpeplanul (w)(fig. 14.).
Pedealtăparte,dacăvomîmpărțiegalitățiledinsistemnulafuncțiilehiperbolice,darlaceletrigono-
metrice,vomobține:
8
><
>:u=shxcosyj:cosy
v=chxsinyj:siny)8
>><
>>:u
cosy=shxj^2
v
siny=chxj^2)8
>><
>>:(u
cosy)2
=sh2x
(v
siny)2
=ch2x
Luăm y=d; d=const,șiscădemdinadouaegalitate,egalitateaîntâi:
(v
sind)2
(u
cosd)2
= 1-hiperbolă.
Pentrucelelatefuncțiihiperboliceseprocedeazăînacelașimod.
52

Fig. 14. Transformărilerealizatedefuncția w=shz.
4.5. Funcțiile hiperbolice și trigonometrice inverse
Funcțiiletrigonometriceinversearcsin z;arccos z;arctgz;arcctg z;sedefinesccafuncțiileinversecelor
trigonometricesin z;cosz;tgz;ctgz;respectiv. Deexemplu:
Definiție 4.5. [21,p.84] Funcția inversă sinus anumăruluicomplex z,senumeștenumăruluicom-
plexwașaîncâtarelocegalitateasin w=z;iarw=arcsin z.
Analogicsedefinescșicelelaltefuncții: arccos z;arctgz;arcctg z:
Dacă z=sinw;atunciutilizândfromulelepentrufuncțiiletrigonometriceavem:
z=eiweiw
2i,2iz=eiweiw,eiweiw2iz= 0j
eiw,e2iw2izeiw1 = 0 :
∆ = (2iz)24
1
(1) =4z2+ 4:
eiw=2iz+ 2p
z2+ 1
2=iz+p
z2+ 1:
Înaintederadicalestedoarsemnul +deoarecerădăcinapătratădintr-unnumărcomplexaredouăvalori.
Exprimămacesteegalitățiprinlogaritm:
iw=Ln(iz+p
z2+ 1),w=iLn(iz+p
z2+ 1) =Arcsin z[21; p:85]:
Arcsin z=iLn(iz+p
z2+ 1)
AmnotatacestăfuncțiecuArcsin zdeoarece,eafiindexprimatăprinlogaritm,poateaveaoinfinitatede
valori.53

Analogic,dacă z=cosw;atunci:
z=eiw+eiw
2,2z=eiw+eiw,eiw+eiw2z= 0j
eiw,e2iw2zeiw+ 1 = 0 :
∆ = (2z)24
1
1 = 4 z24:
eiw=2z+ 2p
z21
2=z+p
z21:
iw=Ln(z+p
z21),w=iLn(z+p
z21);
Arccos z=iLn(z+p
z21)
Dacă z=tgw;atunci:
z=eiweiw
i(eiw+eiw),zi(eiw+eiw) =eiweiw,zieiweiw=zieiw)eiw;
eiw(1zi) =eiw(zi+ 1),e2iw=iz+ 1
1iz,2iw=Lniz+ 1
1iz;
Arctg z=1
2Ln1 +iz
1iz
Dacă z=ctgw;atunci:
z=i(eiw+eiw)
eiweiw,z(eiweiw) =i(eiw+eiw),zeiwieiw=zeiw+ieiw;
eiw(zi) =eiw(z+i),e2iw=z+i
zi,2iw=Lnz+i
zi;
Arcctg z=i
2Lnzi
z+i
Exemple: [13,p.40]
Găsiți:
a)Arcsin 3.
Rezolvare:
Arcsin 3 =iLn(3i+p
32+ 1) = iLn(3i+p8):
Aflămvalorileluip8,știindcă 8 =p
8(cos+ 2k
2+isin+ 2k
2); k= 0;1:
Obținem: w1=p
8(cos
2+isin
2) = 2p
2i; w 2=p
8(cos3
2+isin3
2) =2p
2i:
Deci, Arcsin 3 =iLn(3i2p
2i) =iLn[
(32p
2)i]
=i[
ln(32p
2) +i
2+ 2ki]
=

2iln(32p
2) + 2 k; k2Z:
54

b)Arcsin i.
Rezolvare:
z=Arcsin i=iLn(i2+p
i2+ 1) = iLn(1p
2):
Pentru a=1 +p
2;avem z=i[
ln(1 +p
2) + 2 ki]
=iln(1 +p
2) + 2 k; k2Z:
Pentru b=1p
2; z=i[
ln(1p
2) +i+ 2ki]
=iln(1p
2) ++ 2k; k2Z:
Funcțiile hiperbolice inverse arsh z;archz;arthz;arcthz;se definesc ca funcțiile inverse celor hiper-
bolicesh z;chz;thz;cthz;respectiv.
Dacă w=Arshz;atunci z=shw;
z=ewew
2,2z=ewew,e2w2zew1 = 0 ;
∆ = 4 z24
1
(1) = 4 z2+ 4;
ew=2z+ 2p
z2+ 1
2=z+p
z2+ 1;
Deunde w=Ln(z+p
z2+ 1);sau:
Arshz=Ln(z+p
z2+ 1)
Înacelașimodsedemonstreazășiformulele(Vezi[13,p.38]):
Archz=Ln(z+p
z21);
Arthz=1
2Ln1 +z
1z;iarArcth z=1
2Lnz+ 1
z1
Exemple: [13,p.40]
Găsiți:
a)Arthi.
Rezolvare:
Arthi=1
2Ln1 +i
1i=1
2Ln(1 +i)2
(1i)(1 + i)=1
2Ln1 + 2 i1
2=1
2Lni=1
2(ln1 +
2i+ 2ki) =
=
4i+ki; k2Z:
b)Arch (1).
Rezolvare:
Arcth (1) =1
2Ln1 + 1
11=1
2Ln0 =1
2:
55

CONCLUZII
Deșinumerelecomplexeauapărutînurmarezolvăriiuneiproblemesimpledegeometrie,acesteamai
apoi au reușit să ofere o multitudine de posibilități matematicienilor, începând cu extragerea rădăcinii
pătratedintr-unnumărnegativ,maiapoioferindfuncțiilortrionometricevalorinegative,sauoferindîntr-
un mod uimitor valoarea 1pentru funcția exponențială ei, și multe altele. De aceea, este necesar să
studiemdetaliatmulțimeanumerelorcomplexe, darșifuncțiilecomplexe, pentruadepistacâtdemulte
posibilitățiacesteaoferămatematicii.
Dupărealizareacercetăriiaufostfăcuteurmătoareleconcluzii:
-studiindliteraturadespecialitateînlimbaengleză,rusășiromână,referitoarelatemadefață,con-
statăm mai multe funcții elementare de varibilă complexă. În această lucrare au selectate doar câteva
dinele, deoarece funcțiileelementaredeovariabilărealăcorespunzătoareacestorasuntstudiateîncur-
sul liceal de matematică. De asemenea, aceste funcții sunt studiate de către studenți în cadrul cursului
universitarde„Analizăcomplexă”.
-pentruaînțelegespecificulfuncțiilorelementaredevariabilăcomplexă,estenecesardestudiatnoți-
unileteoreticecuprivirelamulțimeanumerelorcomplexe,darșilafuncțiilecomplexe,camaiapoisăfie
studiatădetaliatfiecarefuncțieelementară.
-înurmarealizăriiunuistudiucomparativafuncțiilorelementaredevariabilăcomplexășiacelorde
variabilăreală,s-adepistatcăfuncțiiledevariabilăcomplexăreprezintăextinderipentrufuncțiilereale,
și exclud multe restricții puse pentru acestea. De asemenea, extinderea funcțiilor de o variabilă reală
îndomeniulcomplexaducefuncțiilorcorespunzătoareproprietăținoi,nespecificefuncțiilordevariabilă
reală,darînacelașitimpfărăcontradicțiecucazulreal,întrucâtrestricțiafuncțiilorelementaredevariabilă
complexălaaxarealăsuntexactfuncțiilerespectivedevariabilărealăcutoateproprietățilecunoscute.
-rezolvareaexercițiilorșiproblemelorcunumerecomplexeșicufuncțiielementaredevariabilăcom-
plexăesteposibilădoarcunoscândproprietățileacestora.
– în cadrul lucrării au fost rezolvate exerciții cu numere complexe, au fost demonstrate individual
proprietăți ale funcțiilor elementare de variabilă complexă, precum și unele transformări ce realizează
acestefuncții.
Lucrarea„Studiulfuncțiilorelementaredevariabilăcomplexă”estedestinatăelevilordininstituțiile
deînvățământpreuniversitardeclasaaXI-asauaXII-a,profesori,tinerispecialiștișistudențilorceîși
56

facstudiilelaspecialitateadematematică,deoarececonținedescriereadetaliatăamaterialuluiteoretic,a
funcțiilorelementaredevariabilăcomplexășiproprietățilelor,darșiexemplepentrufiecarecaz. Încea
mai mare parte, lucrarea de față poate fi de folos profesorului, deoarece aceasta îi permite să înțeleagă
maibinestructurașispecificuloperațiilorînmulțimea Cșiînțelegereaprofundăaproprietățilordebază
alefuncțiilorelementare.
57

BIBLIOGRAFIE
1. DANILO, P.; MANDIC, Vanessa Su Lee Goh. Complex Valued Nonlinear Adaptive Filters: Non-
circularity, Widely Linear and Neural Models , Hardcover, 2009, 1 edition. 344 p. ISBN 978-
0470066355.
2. ISRAEL, Kleiner. Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a
Moral)[online] [accesat 21 ian. 2020]. Disponibil: https://science.cmb.ac.lk/mathematics/wp-
content/uploads/sites/9/2016/06/.
3. ORLANDO, Merino. A Short History of Complex Numbers [online] Uni-
versity of Rhode Island, 2006. 5 p. [accesat 21 ian. 2020]. Disponibil:
http://www.math.uri.edu/merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers.
4. SIMON, S. Marea teoremă a lui Fermat. București: Editura Humanitas, 1998. 298 p. ISBN 978-
973-50-4748-1.
5. БАЛК, М. Б. Реальные применения мнимых чисел. Изд. Рад. школа, 1988. 255 с. ISBN 5-330-
00379-2v.
6. ACHIRI,Ion;NEAGU,Vasile;EFROS,Petru;GARIT,Valentin;NEAGU,Vasile;PRODAN,Nico-
lae; TARAGAN, Dumitru; TOPALĂ, Anatol. Matematica manual pentru clasa a XI-a , Chișinău:
EdituraPrutInternațional,2014.304p.ISBN978-9975-54-145-9.
7. MATHEWS, J. H.; HOWELL, R. W. Complex Analysis for Mathematics and Engineering , Times
MirrorHigherEducationGroup.Inc.: 1996.484p.ISBN0-7637-0270-6.
8. MATTHIAS, Beck; GERALD, Marchesi; DENNIS, Pixton; LUCAS, Sabalka. A
First Course in Complex Analysis [online] [accesat 11 feb. 2020]. Disponibil:
http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/mve025/1415/Dokument/komplex.
9. ЯГЛОМ,И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. ЕдиториалУРСС,2004,Изд.
2-е,стереотипное.192с.ISBN5-354-00893-X.
10. IAVORSCHIV., Matematica Culegere de exerciții și probleme pentru clasele a X-a – XII-a .Chișinău:
TipografiaOrhei,2012.360p.ISBN978-9975-4372-8-5.
58

11. ДУБРОВИН, В.Т. Теория функций комплексного переменного. Теория и практика [online]
Казань: Казанскийгосударственныйуниверситет,2010.102с.[accesat13feb.2020].Disponi-
bil: https://kpfu.ru/docs/F1855528304/complex.pdf.
12. Numere Complexe [online] 13 p. [accesat 29 apr. 2020]. Disponibil:
http://www.math.md/stireal/matematica/candidat/numere_complexe.pdf.
13. АРАМАНОВИЧ,И.Г.;ЛУНЦ,Г.Л.;ЭЛЬСГОЛЬЦ,Л.Э. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости. Москва: ИздательствоНаука,1965.392с.
14. Funcții complexe. [online] [accesat 10 mar. 2020]. Disponibil:
http://www.utgjiu.ro/math/miovanov/book/ms_curs/cap2.pdf.
15. ШАБАТ Б. В. Введение в комплексный анализ. [online] Москва : Государственное
издательствофизико-математическойлитературы,1961.566с.[accesat29apr.2020].Disponi-
bil: http://math324.narod.ru/olderfiles/1/SHabat_B.V_Vvedenie_v_kompleksnuei-90723.pdf.
16. DEAUX,Roland. Introduction to the geometry of complex numbers ,NewYork: DoverPublications,
Inc,2008.208p.ISBN-13978-0-486-46629-3,ISBN-100-486-46629-3.
17. RADU,Eugen;SONTEA,Ovidiu. Matematica manual pentru clasa a XI-a ,București: EdituraAll,
2007.256p.ISBN978-973-684-794-3.
18. HAMBURG, P.; MOCANU, P.; NEGOESCU, M. Analiză matematică (Funcții complexe). Bu-
curești: EdituraDidacticășiPedagogică,1982,168p.
19. Funcții trigonometrice directe și inverse [online][accesat2mai2020].
Disponibil: https://liceunet.ro/ghid-functii-elementare/tipuri-de-functii/trigonometrice-directe-si-
inverse.
20. ЛИТВИН,Н.В. Конспект лекций по теории функций комплексного переменного. Мариуполь:
ПГТУ,2004.56с.
21. ПАНТЕЛЕЕВ, А. В.; АЛЬБИНА, С. Я. Теория функций комплексного переменного и
операционное исчисление в примерах и задачах. Учебное пособие. Москва: Высшая школа,
2001.445с.ISBN5-06-004135-2.
59

22. АЛЕКСАНДРОВА, Т. А.; СВЕНЦИЦКАЯ, Т. А.; ТИМОФЕЕВА, Л. Н. Теория функций
комплексного переменного. Санкт-Петербург: Издательство РГПУ им. А.И. Герцена, 2006.
168с.
23. БЕРМАНТ. Б. Ф.; АРАМАНОВИЧ. И.Г. Краткий курс математического анализа. Москва:
ИздательствоНАУКА,1971.736с.
24. ACHIRI, Ion; EFROS, Petru; GARIT, Valentin; PRODAN, Nicolae. Matematica manual pentru
clasa a X-a ,Chișinău: EdituraPrutInternațional,2012,282p.ISBN978-9975-54-043-8.
25. LARS V. Ahlfors. Complex Analysys. New York: McGraw-Hill, Inc., 1979. 331 p. ISBN M7-
000657-1.
26. ACHIRI, I; BAȘ, L.; BRAICOV, A.; COPĂCEANU, R.; LAȘCU, A. Matematică: Curriculum
pentru cl. a 10-a-a 12-a. MinisterulEducației,CulturiișiCercetăriialRepubliciiMoldova.Chișinău,
2019.85p.
27. CHIȘ, Mihai. Funcții hiperbolice – Câteva observații [online] [accesat 14 mai 2020]. Disponibil:
https://www.viitoriolimpici.ro/uploads/attach_data/77/37/9//9e02c12.pdf.
60

Declarația privind asumarea răspunderii
SubsemnataDamianCorina,declarperăspunderepersonalăcămaterialeleprezentateîntezadelicență
suntrezultatulpropriilorcercetărișirealizăriștiințifice. Conștientizezcă,încazcontrar,urmeazăsăsuport
consecințeleînconformitateculegislațiaînvigoare.
Numele,Prenumele DAMIANCorina
Semnătura
Data