PENTRU OB TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV A TAMÂNT [610530]

UNIVERSITATEA "OVIDIUS" CONSTAN ¸ TA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A ¸ SI INFORMATIC ˘A
LUCRARE METODICO-¸ STIIN ¸ TIFIC ˘A
PENTRU OB ¸ TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV ˘A¸ T˘AMÂNT
Coordonator ¸ stiin¸ tific:
Prof. univ. dr. Dumitru Popa
Candidat: [anonimizat] ˘as. Sturzoiu)
Liceul de Arte "Ionel Perlea", Slobozia, Ialomi¸ ta
2020

UNIVERSITATEA "OVIDIUS" CONSTAN ¸ TA
FACULTATEA DE MATEMATIC ˘A ¸ SI INFORMATIC ˘A
LUCRARE METODICO-¸ STIIN ¸ TIFIC ˘A
PENTRU OB ¸ TINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNV ˘A¸ T˘AMÂNT
LIMITE DE FUNC ¸ TII
Coordonator ¸ stiin¸ tific:
Prof. univ. dr. Dumitru Popa
Candidat: [anonimizat] ˘as. Sturzoiu)
Liceul de Arte "Ionel Perlea", Slobozia, Ialomi¸ ta
2020

2
CUPRINS
Argument ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 3
Capitolul 1: Limite de funcții ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 4
1.1. Limita unei funcții într -un punct ………………………….. ………………………….. ………………… 4
1.2. Limite laterale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 8
1.3. Proprietățile limitei ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 9
1.4. Limitele funcțiilor elementare ………………………….. ………………………….. ………………….. 12
1.5. Operații cu limite de funcții ………………………….. ………………………….. …………………….. 17
1.6. Limite de funcții compuse ………………………….. ………………………….. ………………………. 18
1.7. Limite remarcabile ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 19
1.8. Cazuri exceptate la operațiile cu limite de funcții ………………………….. …………………….. 22
Capitolul 2: Aplicații metodice în calculul limitelor de funcții ………………………….. ……….. 28
2.1. Exemple de limite de funcții ………………………….. ………………………….. ……………………. 28
2.2. Limite de funcții cu parametri ………………………….. ………………………….. ………………….. 51
2.3. Limite de funcții în probleme practice ………………………….. ………………………….. ………. 55
Capitolul 3 : Metodologia cercetării științifice psihopedagogice și metodice …………………. 56
3.1. Cercetarea psihopedagogică ………………………….. ………………………….. ……………………. 56
3.1.1. Etapele cercetării ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 58
3.1.2. Metode folosite în cercetarea pedagogică ………………………….. …………………………. 59
3.2. Proiectarea pedagogică ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 65
3.2.1. Importanța și necesitatea proiectării ………………………….. ………………………….. ……. 65
3.2.2. Funcțiile proiectării didactice ………………………….. ………………………….. …………….. 67
3.2.3. Conținutul proiectării pedagogice ………………………….. ………………………….. ………. 68
3.2.4. Planificarea calendaristică ………………………….. ………………………….. …………………. 70
3.2.5. Proiectarea unei unități de învățare ………………………….. ………………………….. …….. 70
3.3. Evaluarea ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 71
3.2.1. Funcțiile evaluării ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 72
3.2.2. Forme/tipuri de evaluare ………………………….. ………………………….. …………………… 74
3.2.3. Metode și tehnici de evaluare ………………………….. ………………………….. …………….. 76
3.2.4. Tipuri de itemi ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 79
Anexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 84
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 93

ARGUMENT
Obiectul de studiu al analizei matematice îl constituie, în principal, numerele reale ¸ si func¸ tiile
reale. Dar, spre deosebire de utilizarea acestora în algebr ˘a, se întâlnesc aici tipuri noi de ra¸ tiona-
ment, tipuri noi de calcul bazate prin excelen¸ t ˘a pe no¸ tiunea de limit˘ a.
Conceptul de trecere la limit ˘a a fost formulat pentru prima dat ˘a de Isaac Newton (1642-1727)
¸ si Gottfried Leibniz (1646-1716), fiecare în încerc ˘ari diferite de a rezolva probleme de calcul.
Contribu¸ tii importante aduce în acest domeniu ¸ si Leonhard Euler (1707-1783). El fundamenteaz ˘a
conceptul de func¸ tie. Descrieri verbale ale conceptului de limit ˘a au fost propuse de diferi¸ ti matema-
ticieni, dar insuficiente pentru a fi utilizate în demonstra¸ tii. În 1821, Augustin-Louis Cauchy
(1789-1857) în lucrarea ”Cours d’ Analyse” formuleaz ˘a defini¸ tii ¸ si prezint ˘a argumente cu mai
mult ˘a aten¸ tie decât predecesorii s ˘ai. Dar cel care formuleaz ˘a defini¸ tia precis ˘a a limitei este Karl
Weierstrass (1815-1897). Aceasta este defini¸ tia pe care o utiliz ˘am ¸ si ast ˘azi.
Limitele de func¸ tii se calculeaz ˘a în principal prin reducerea convenabil ˘a la cazul unor func¸ tii
mai simple.
Calculul limitelor începe cu stabilirea teoretic ˘a a regulilor de algebr ˘a a limitelor, importante
atât în sine, cât ¸ si pentru faptul c ˘a permit reducerea calculului la câteva limite-tip, evitând aplicarea
defini¸ tiei în cazuri când aceasta devine practic inoperant ˘a (de exemplu, este dificil de aratat pornind
de la defini¸ tie c ˘a lim
x!1sinpx
x1=p).
În demersul didactic desf ˘a¸ surat în ciclul liceal, profilul real, calculul limitelor de func¸ tii fun-
damenteaz ˘a teoretic capitolele ”Func¸ tii continue” ¸ si ”Func¸ tii derivabile”. Oricare dintre no¸ tiunile
introduse în aceste capitole se define¸ ste cu ajutorul limitelor, asigurând suportul studiului aces-
tor propriet ˘a¸ ti pentru orice tip de func¸ tii. ”Reprezentarea grafic ˘a a func¸ tiilor” este, de asemenea,
un capitol din analiza matematic ˘a ce nu poate fi parcurs f ˘ar˘a a utiliza limitele func¸ tiilor, pentru
determinarea asimptotelor, imaginii, etc.
Lucrarea de fa¸ ta î¸ si propune s ˘a trateze aspecte teoretice ¸ si metodice ale limitelor de func¸ tii.
În primul capitol sunt abordate aspecte teoretice privind: conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii
într-un punct, propriet ˘a¸ tile limitei, limitele func¸ tiilor elementare, opera¸ tiile cu limite de func¸ tii
(similare celor de la ¸ siruri), limite de func¸ tii compuse ¸ si limite remarcabile. În ultima parte a
capitolului sunt prezentate tehnici pentru eliminarea nedetermin ˘arilor în calculul limitelor.
Capitol al doilea este rezervat aplica¸ tiilor limitelor de func¸ tii, înso¸ tite de solu¸ tii ¸ si de câteva
exemple ale aplic ˘arii limitelor de func¸ tii în probleme practice.
Cel de-al treilea capitol este rezervat cercet ˘arii ¸ stiin¸ tifice psihopedagogice ¸ si metodice.
3

Capitolul 1
Limite de functii
1.1. Limita unei func¸ tii într-un punct
Pentru a defini conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii într-un punct trebuie ca acel punct s ˘a fie punct
de acumulare pentru domeniul de defini¸ tie al respectivei func¸ tii.
Cazul când punctul de acumulare este un num ˘ar real ¸ si limita tot un num ˘ar real
Defini¸ tia 1 .Fie DR. Un punct a2Rse nume¸ ste punct de acumulare al mul¸ timii D dac˘ a
¸ si numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸ tia
8e>0;(ae;a+e)\(Dfag)6=?:
Condi¸ tia din aceast ˘a defini¸ tie este uneori mai dificil de verificat. În continuare indic ˘am un
mod mai comod de verificat, în exemple, ca un punct s ˘a fie punct de acumulare pentru o mul¸ time.
Teorema care urmeaz ˘a se nume¸ ste teorema de caracterizare a punctelor de acumulare în R.
Teorema 2 .Fie DR¸ si a2R. Urm˘ atoarele afirma¸ tii sunt echivalente:
(i) a este punct de acumulare al mul¸ timii D adic˘ a: 8e>0,(ae;a+e)\(Dfag)6=?.
(ii) exist˘ a un ¸ sir (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Ipoteza (i) fiind adevarat ˘a pentru orice num ˘are>0 ea va fi adev ˘arat˘a,
în particular pentru e=1
n,8n2Ndeci
a1
n;a+1
n

\(Dfag)6=?,8n2N. Dar aceasta
fiind mul¸ time nevid ˘a înseamn ˘a c˘a ea are cel pu¸ tin un element, element care depinde de ndeci
8n2Nexist ˘axn2
a1
n;a+1
n

\(Dfag)adic˘axn2D¸ sixn2
a1
n;a+1
n

. Condi¸ tia xn2
a1
n;a+1
n

înseamn ˘aa1
n<xn<a+1
n,8n2Nsau1
n<xna<1
n, saujxnaj<1
n. Cum
limn!¥1
n=0 din defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavem1
n<e.
Folosind acum inegalitatea jxnaj<1
n,8n2Ndeducem c ˘a8nneavemjxnaj<e. Din
defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a limn!¥xn=q. Astfel (ii) este demonstrat.
(ii))(i). Deoarece limn!¥xn=a, din defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel
încât8nneavemjxnaj<e. Aceast ˘a inegalitate este echivalent ¯a cue<xna<ede unde
rezult ˘a c˘aae<xn<a+e,xn2(ae;a+e). Dar s ˘a ne amintim c ˘a(xn)n2NDastfel încât
xn6=a,8n2Nadic˘axn2D¸ sixn6=a,8n2Naltfel spus xn2Dfag¸ sixn2(ae;a+e). Cum
¸ si înseamn ˘a intersec¸ tie de mul¸ timi rezult ˘a c˘axn2(ae;a+e)\(Dfag), adic ˘a(ae;a+e)\
(Dfag)6=?ceea ce înseamn ˘a (i).
Introducem acum conceptul de limit ˘a a unei func¸ tii într-un punct.
Defini¸ tia 3 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie ¸ si a2Run punct de acumulare pentru D. Un
num˘ ar l2Rse nume¸ ste limita func¸ tiei în punctul a ¸ si scriem limx!af(x) =l dac˘ a ¸ si numai dac˘ a
8e>0,9de>0astfel încât pentru 8x2D, x6=a cu proprietatea c˘ a jxaj<deeste adev˘ arat˘ a
rela¸ tiajf(x)lj<e.
Condi¸ tia din aceast ˘a defini¸ tie este dificil de verificat. Ea se nume ¸ ste condi¸ tia edprivind
limita unei func¸ tii într-un punct.
Important .Deoarece a2Reste punct de acumulare pentru D ,din defini¸ tia 1 rezult˘ a c˘ a exist˘ a
puncte x2D, x6=a cu proprietatea c˘ a jxaj<de.
În continuare indic ˘am un criteriu mai comod de verificat în exemple ca un num ˘ar real s ˘a fie
limita unei func¸ tii într-un punct. Teorema care urmeaz ˘a se numeste teorema de caracterizare a
limitei unei func¸ tii într-un punct cu ¸ siruri .
Teorema 4 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie ¸ si a2Rcare este punct de acumulare pentru D ¸ si
l2R. Urm˘ atoarele afirma¸ tii sunt echivalente:
(i)limx!af(x) =l adic˘ a:8e>0,9de>0astfel încât8x2D, x6=a cu proprietatea c˘ a jxaj<
deeste adev˘ arat˘ a rela¸ tia jf(x)lj<e.
4

(ii) Pentru orice ¸ sir (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a rezult˘ a c˘ a limn!¥f(xn) =
l.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Fie (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a. Trebuie
s˘ a demonstr˘ am c˘ a lim
n!¥f(xn) =ladic˘a ¸ tinând cont de defini¸ tia limitei unui ¸ sir 8e>0,9ne2N
astfel încât8nneavemjf(xn)lj<e. Fie deci e>0. Din (i) rezult ˘a c˘a9de>0 astfel încât
8x2D,x6=acu proprietatea c ˘ajxaj<deeste adev ˘arat˘a rela¸ tia
jf(x)lj<e:(1)
Deoarece limn!¥xn=apentru de>0,9ne2Nastfel încât8nneavemjxnaj<de. Fie acum
nne. Atuncijxnaj<de¸ si s˘a nu uit ˘amxn2D;iarxn6=a. Din rela¸ tia (1) rezult ˘a c˘a
jf(xn)lj<e
adic˘a exact ce voiam s ˘a demonstr ˘am.
(ii))(i). Presupunem prin absurd c ˘a (i) nu are loc. Aceasta înseamn ˘a c˘a9e0>0astfel încât
8d>0exist˘ a x d2D, xd6=a cu proprietatea c˘ a jxdaj<ddarjf(xd)lje0. Aceast ˘a rela¸ tie
fiind adev ˘arat˘a pentru orice d>0 ea va fi adev ˘arat˘a pentru d=1
n>0 deci exist ˘axn2D,xn6=a
cu proprietatea c ˘ajxnaj<1
ndarjf(xn)lje0¸ si aceste rela¸ tii au loc 8n2N. Dar, am ar ˘atat
anterior c ˘a dac ˘ajxnaj<1
n,8n2Natunci limn!¥xn=a. A¸ sadar dac ˘a (i) nu are loc, exist ˘aun ¸ sir
(xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2N;iarlimn!¥xn=a.Cum (ii) este adev ˘arat pentru orice ¸ sir
rezult ˘a c˘a limn!¥f(xn) =l. Dar s ˘a ne amintim c ˘ajf(xn)lje0,8n2N. Folosind acum teorema
de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti deducem c ˘a lim
n!¥jf(xn)lje0. Cum lim
n!¥f(xn) =lrezult ˘a c˘a
0e0, ceea ce este fals, s ˘a nu uit ˘am c ˘ae0>0. A¸ sadar, presupuerea f ˘acut˘a este fals ˘a deci (i) este
adev ˘arat.
Important .Deoarece a2Reste punct de acumulare pentru D ,din teorema 2 rezult˘ a c˘ a exist˘ a
¸ siruri ca în (ii), adic˘ a exist˘ a ¸ siruri (xn)n2ND astfel încât x n6=a,8n2Niarlimn!¥xn=a.
Cazul când punctul de acumulare este ¥¸ si limita un num ˘ar real
Defini¸ tia 5 .Fie DR.¥este (sau se nume¸ ste) punct de acumulare al mul¸ timii D dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸ tia
8e>0;(e;¥)\D6=?:
Teorema 6 .Fie DR. Urm˘ atoarele afirma¸ tii sunt echivalente:
(i)¥este punct de acumulare al mul¸ timii D adic˘ a: 8e>0,(e;¥)\D6=?.
(ii) exist˘ a un ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Ipoteza (i) fiind adevarat ˘a pentru orice num ˘are>0 ea va fi adevarat ˘a,
în particular pentru e=n,8n2Ndeci(n;¥)\D6=?,8n2N. Dar aceasta fiind mul¸ time nevid ˘a
înseamn ˘a c˘a ea are cel pu¸ tin un element care depinde de ndeci8n2Nexist ˘axn2(n;¥)\D
adic˘axn2D¸ sixn2(n;¥). Condi¸ tia xn2(n;¥)înseamn ˘axn>n,8n2N. Cum limn!¥n=0 din
defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavem n>e. Folosind acum
inegalitatea xn>n,8n2Ndeducem c ˘a8nneavem xn>e. Din defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a
c˘a limn!¥xn=¥. Astfel (ii) este demonstrat.
(ii))(i). Deoarece limn!¥xn=¥, din defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel
încât8nneavem xn>e. Dar s ˘a ne amintim c ˘a(xn)n2NDadic˘axn2D¸ sixn2(e;¥). Cum ¸ si
înseamn ˘a intersec¸ tie de mul¸ timi rezult ˘a c˘axn2(e;¥)\D, adic ˘a(e;¥)\D6=?ceea ce înseamn ˘a
(i).
5

Defini¸ tia 7 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât ¥este punct de acumulare pentru
D. Un numar l2Rse nume¸ ste limita func¸ tiei în punctul ¥¸ si scriem limx!¥f(x) =l dac˘ a ¸ si numai
dac˘ a8e>0,9de>0astfel încât pentru 8x2D cu proprietatea c˘ a x >deeste adevarat˘ a rela¸ tia
jf(x)lj<e.
Avem de asemenea
Teorema 8 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât ¥este punct de acumulare pentru D
¸ si l2R. Urm˘ atoarele afirma¸ tii sunt echivalente:
(i)limx!¥f(x) =l adica8e>0,9de>0astfel încât pentru 8x2D cu proprietatea c˘ a x >de
este adevarat˘ a rela¸ tia jf(x)lj<e.
(ii) Pentru orice ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥rezult ˘ac˘ alimn!¥f(xn) =l.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Fie (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.Trebuie s ˘a demonstr ˘am c ˘a
limn!¥f(xn) =ladic˘a ¸ tinând cont de defini¸ tia limitei unui ¸ sir 8e>0,9ne2Nastfel încât8nne
avemjf(xn)lj<e. Fie deci e>0. Din (i) rezult ˘a c˘a9de>0 astfel încât8x2D,x>deeste
adev ˘arat˘a rela¸ tia
jf(x)lj<e:(1)
Deoarece limn!¥xn=¥pentru de>0,9ne2Nastfel încât8nneavem xn>de. Fie acum nne.
Atunci xn>de¸ si s˘a nu uit ˘amxn2D. Din rela¸ tia (1) rezult ˘a c˘a
jf(xn)lj<e
adic˘a exact ce voiam s ˘a demonstr ˘am.
(ii))(i). Presupunem prin absurd c ˘a (i) nu are loc. Aceasta înseamn ˘a c˘a9e0>0astfel încât
8d>0exist˘ a x d2Dcu proprietatea c ˘axd>ddarjf(xd)lje0. Aceast ˘a rela¸ tie fiind adev ˘arat˘a
pentru orice d>0 ea va fi adev ˘arat˘a pentru d=n>0 deci exist ˘axn2Dcu proprietatea c ˘axn>n
darjf(xn)lje0¸ si aceste rela¸ tii au loc 8n2N. Dar dac ˘axn>n,8n2Natunci limn!¥xn=
¥. A¸ sadar dac ˘a (i) nu are loc, exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NDastfel încât limn!¥xn=¥. Cum (ii) este
adevarat pentru orice ¸ sir rezult ˘a c˘a limn!¥f(xn) =l. Dar, s ˘a ne amintim c ˘ajf(xn)lje0,8n2N.
Folosind acum teorema de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti deducem c ˘a limn!¥jf(xn)lje0. Cum
lim
n!¥f(xn) =lrezult ˘a c˘a 0e0, ceea ce este fals, s ˘a nu uit ˘am c ˘ae0>0. A¸ sadar, presupunerea
f˘acut˘a este fals ˘a deci (i) este adevarat.
De ce calcul ˘am numai limita la ¥pentru ¸ siruri. Explica¸ tie
Propozi¸ tia 9 .a)¥este punct de acumulare pentru N.
b) Nu exist˘ a numere reale care s˘ a fie puncte de acumulare pentru N.
Demonstra¸ tie . a) Conform teoremei 6 trebuie s ˘a ar˘at˘am c ˘a exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NDastfel
încât limn!¥xn=¥. Cel mai simplu exemplu este xn=n2N.
b) Presupunem prin absurd c ˘a exist ˘aa2Rcare este punct de acumulare pentru N. Din teorem ˘a
rezult ˘a c˘a exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NNastfel încât xn6=a,8n2Niar lim
n!¥xn=a. Din defini¸ tia
limitei rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavemjxnaj<e. În particular, pentru
e=1
2>09n02Nastfel încât8nn0avemjxnaj<1
2. Fie acum nn0. Atunci din inegalitatea
modululuija+bjjaj+jbjdeducem c ˘ajxnxn0jjxnaj+jaxn0j<1
2+1
2=1. A¸ sadar,
jxnxn0j<1. Cum xn;xn02Nrezult ˘a c˘axnxn02Zdeci ¸ sijxnxn0j2Z¸ si cumjxnxn0j0
rezult ˘a c˘ajxnxn0j2N¸ si s˘a nu uit ˘amjxnxn0j<1. Dar singurul num ˘ar natural strict mai mic
decât 1 este 0 deci jxnxn0j=0 adic ˘axn=xn0. A¸ sadar, xn=xn0,8nn0adic˘a ¸ sirul începând de
lan0este constant egal cu xn0. Dar limita unui ¸ sir constant este chiar constant ˘a adic ˘a limn!¥xn=xn0.
6

Dar, limn!¥xn=a¸ si din unicitatea limitei unui ¸ sir de numere reale rezult ˘a c˘axn0=a, ceea ce este
fals pentru c ˘a s˘a nu uit ˘amxn6=a,8n2N, în particular xn06=a.
Important .Deoarece un ¸ sir (xn)n2NReste o func¸ tie f :N!R, f(n) =xn, ¸ si cum problema
limitei unei func¸ tii într-un punct se pune numai în puncte de acumulare ale domeniului de defini¸ tie
al func¸ tiei respective, (¸ si cum singurul punct de acumulare al lui Neste¥), rezult˘ a c˘ a pentru
¸ sirurile de numere reale are sens doar calcularea limitei la ¥. Aceasta explic˘ a de ce la ¸ siruri
calcul˘ am numai limita la ¥.
Cazul când punctul de acumulare este ¥¸ si limita un num ˘ar real
Defini¸ tia 10 .Fie DR.¥este (sau se nume¸ ste) punct de acumulare al mul¸ timii D dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a condi¸ tia
8e>0;(¥;e)\D6=?:
Teorema 11 .Fie DR. Urm˘ atoarele afirma¸ tii sunt echivalente:
(i)¥este punct de acumulare al mul¸ timii D adic˘ a 8e>0,(¥;e)\D6=?.
(ii) exist˘ a un ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Ipoteza (i) fiind adevarat ˘a pentru orice num ˘are>0 ea va fi adev ˘arat˘a,
în particular pentru e=n,8n2Ndeci(¥;n)\D6=?,8n2N. Dar aceasta fiind mul¸ time ne-
vid˘a înseamn ˘a c˘a ea are cel pu¸ tin un element care depinde de ndeci8n2Nexist ˘axn2(¥;n)\
Dadic˘axn2D¸ sixn2(¥;n). Condi¸ tia xn2(¥;n)înseamn ˘axn<n,8n2N. Cum
limn!¥n=0 din defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel încât8nneavem n>e.
Folosind acum inegalitatea xn<n,8n2Ndeducem c ˘a8nneavem xn<e. Din defini¸ tia
limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a limn!¥xn=¥. Astfel (ii) este demonstrat.
(ii))(i). Deoarece limn!¥xn=¥, din defini¸ tia limitei unui ¸ sir rezult ˘a c˘a8e>0,9ne2Nastfel
încât8nneavem xn<e. Dar s ˘a ne amintim c ˘a(xn)n2NDastfel încât adic ˘axn2Daltfel
spus xn2D¸ sixn2(¥;e). Cum ¸ si înseamn ˘a intersec¸ tie de mul¸ timi rezult ˘a c˘axn2(¥;e)\D,
adic˘a(¥;e)\D6=?ceea ce înseamn ˘a (i).
Defini¸ ti ˘a 12.Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât ¥este punct de acumulare pentru
D. Un num˘ ar l2Rse nume¸ ste limit˘ a func¸ tiei în punctul ¥¸ si scriem lim
x!¥f(x) =l dac˘ a ¸ si
numai dac˘ a8e>0,9de>0astfel încât pentru8x2D cu propriet˘ ate˘ a c˘ a x <deeste adevarat˘ a
condi¸ tiajf(x)lj<e.
Avem de asemenea
Teorema 13 .Fie DR, f:D!Ro func¸ tie astfel încât¥este punct de acumulare pentru
D ¸ si l2R. Urm˘ atoarele afirma¸ tii sunt echivalente:
(i)lim
x!¥f(x) =l adic˘ a8e>0,9de>0astfel încât pentru8x2D cu proprietatea c˘ a x <de
este adev˘ arat˘ a rela¸ tia jf(x)lj<e.
(ii) Pentru orice ¸ sir (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥rezult˘ a c˘ a limn!¥f(xn) =l.
Demonstra¸ tie . (i))(ii). Fie (xn)n2ND astfel încât limn!¥xn=¥.Trebuie s ˘a demonstr ˘am c ˘a
limn!¥f(xn) =ladic˘a ¸ tinând cont de defini¸ tia limitei unui ¸ sir 8e>0,9ne2Nastfel încât8nne
avemjf(xn)lj<e. Fie deci e>0. Din (i) rezult ˘a c˘a9de>0 astfel încât8x2D,x<deeste
adev ˘arat˘a rela¸ tia
jf(x)lj<e:(1)
Deoarece limn!¥xn=¥pentru de>0,9ne2Nastfel încât8nneavem xn<de. Fie acum
nne. Atunci xn<de¸ si s˘a nu uit ˘amxn2D. Din rela¸ tia (1) rezult ˘a c˘a
jf(xn)lj<e
7

adic˘a exact ce voiam s ˘a demonstr ˘am.
(ii))(i). Presupunem prin absurd c ˘a (i) nu are loc. Aceasta înseamn ˘a c˘a9e0>0astfel încât
8d>0exist˘ a x d2Dcu proprietatea c ˘axd<ddarjf(xd)lje0. Aceast ˘a rela¸ tie fiind
adev ˘arat˘a pentru orice d>0 ea va fi adev ˘arat˘a pentru d=n>0 deci exist ˘axn2Dcu proprietatea
c˘axn<ndarjf(xn)lje0¸ si aceste rela¸ tii au loc 8n2N. Dar, dac ˘axn<n,8n2Natunci
limn!¥xn=¥. A¸ sadar, dac ˘a (i) nu are loc, exist ˘a un ¸ sir (xn)n2NDastfel încât limn!¥xn=¥. Cum
(ii) este adevarat pentru orice ¸ sir rezult ˘a c˘a lim
n!¥f(xn) =l. Dar, s ˘a ne amintim c ˘ajf(xn)lje0,
8n2N. Folosind acum teorema de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti deducem c ˘a limn!¥jf(xn)lje0.
Cum limn!¥f(xn) =lrezult ˘a c˘a 0e0, ceea ce este fals, s ˘a nu uit ˘am c ˘ae0>0. A¸ sadar, presupunerea
f˘acut˘a este fals ˘a deci (i) este adevarat.
1.2. Limite laterale
Fief:D!R(DR),aun punct de acumulare pentru mul¸ timea D1=D\(¥,a) =
fx2Djx<ag¸ sils2R:Se spune c ˘a func¸ tia f are limit˘ a (sau exista limita lui f )la sânga în
punctul x=a, egal ˘a cu ls;dac˘a restric¸ tia lui flaD1are limit ˘a în punctul x=a. Se scrie atunci
limx!a;x<af(x) =lssau simbolic f(a0) =ls
Aceasta revine la faptul c ˘a pentru orice vecinatate Va punctului lsexist ˘a o vecinatate Ua lui
aastfel încât x2D\V,x<a=)f(x)2V.
În mod similar se define¸ ste limita la dreapta a lui fîn punctul a,
limx!a;x>af(x) =ldsau simbolic f(a+0) =ld,(ld2R).
Uneori se noteaz ˘a lim
x%af(x) =ls¸ si lim
x&af(x) =ld.
Teorema 14. Fie f :D!Ro func¸ tie ¸ si a2Run punct de acumulare pentru D cu proprietatea
c˘ a func¸ tia f are limite laterale în punctul x =a(adic ˘a exist ˘af(a0)¸ sif(a+0)).
Atunci afirma¸ tiile urm˘ atoare sunt echivalente:
(i)functia f are limit˘ a în punctul x =a;
(ii)f(a0) =f(a+0).
În aceste condi¸ tii este adev˘ arat˘ a urm˘ atoarea dubl˘ a egalitate
limx!af(x) = f(a0) =f(a+0):
Demonstra¸ tie. (i) =)(ii):Dac˘a exist ˘al=limx!af(x), atunci este evident c ˘af(a0) =l¸ si
f(a+0) =l, deci f(a0) =f(a+0) =l.
(ii) =)(i):Presupunem c ˘af(a0) = f(a+0)¸ si not ˘am cu lvaloarea comun ˘a. Ar ˘at˘am
c˘a limita limx!af(x)exist ˘a ¸ si este egal ˘a cu l. Fie Vo vecin ˘atate oarecare a lui l. Atunci exist ˘a
vecin ˘at˘a¸ tiU1;U2ale lui aastfel încât pentru orice u2U1\D,u<as˘a avem f(u)2V¸ si pentru
orice v2U2\D,v>as˘a avem f(v)2V. Consider ˘am vecinatatea U=U1\U2a punctului a.
Pentru orice x2U\D,x6=aavem, fie x<a,x2U1, deci f(x)2V, fiex>a,x2U2¸ si din nou
f(x)2V. A¸ sadar, am ar ˘atat c ˘a pentru orice vecinatate Va lui lexista o vecinatate Ua punctului
aastfel încât pentru orice x2D\U,x6=as˘a rezulte f(x)2V¸ si, ca atare, limx!af(x) =l:
Exemple:
S˘a se calculeze urmatoarele limite: a) limx!x01
(xx0)2k,k2N; b) lim
x%0sin1
x¸ si lim
x&0sin1
x,
x2R(dac˘a exist ˘a).
8

a)Fie xn!x0¸ sixn<x0, atunci xnx0!0 ¸ sixnx0<0, iar lim
xn%x01
(xnx0)2k= +¥:
Fiexn!x0¸ sixn>x0, atunci xnx0!0 ¸ sixnx0>0, iar lim
xn&x01
(xnx0)2k= +¥:
Cum cele dou ˘a limite laterale sunt egale rezult ˘a c˘a limx!x01
(xx0)2k= +¥.
b) Fie ¸ sirurile (xn)n,xn=1
npcuxn>0 ¸ sixn!0 ¸ si(yn)n,yn=2
p+4npcuyn>0 ¸ siyn!0.
Deoarece limn!¥sin1
xn=sinnp=0 ¸ si limn!¥sin1
yn=sinp
2+2np

=1, atunci putem spune c ˘a pentru
¸ siruri diferite, dar care au aceea¸ si limit ˘a , ¸ sirurile valorilor (sin1
xn)n¸ si(sin1
yn)nnu au aceea¸ si
limit ˘a. Astfel s-a ar ˘atat c ˘a func¸ tia f(x) =sin1
xnu are limit ˘a la dreapta în punctul x=0. Analog,
se arat ˘a c˘a func¸ tia f(x) =sin1
xnu are limit ˘a la stânga în punctul x=0, pentru ¸ sirurile cu termeni
generali xn=1
npcuxn<0,xn!0 ¸ siyn=2
p+4npcuyn<0 ¸ siyn!0.
1.3. Propriet ˘a¸ tile limitei
Deoarece defini¸ tia limitei unei functii într-un punct este bazat ˘a pe limite de ¸ siruri, o serie de
propriet ˘a¸ ti ale limitelor de ¸ siruri se reg ˘asesc pentru limitele de func¸ tii.
1. Unicitatea limitei unei func¸ tii.
Teorema 16 .Dac˘ a l 1¸ si l2sunt dou˘ a limite ale func¸ tiei f :E!Rîn punctul de acumulare x 0;
atunci l 1=l2:
A¸ sadar:
Limita unei func¸ tii într-un punct, dac ˘a exist ˘a, este unic ˘a.
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0(xn2E;xn6=x0):Atunci f(xn)!l1¸ sif(xn)!l2. Cum limita
unui ¸ sir este unic ˘a, rezulta l1=l2:
2. Limita modulului.
Fief:E!Ro func¸ tie ¸ si x0un punct de acumulare a lui E:
Teorema 17. Dac˘ a limx!x0f(x) =l;atunci limx!x0jf(x)j=jlj:
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!x0(xn2E;xn6=x0);atunci f(xn)!l;decijf(xn)j!jlj:
3. Criterii de existen¸ t˘ a a limitei.
Uneori, cunoscând limita unei func¸ tii într-un punct, putem stabili limita altei func¸ tii în acela¸ si
punct, cu ajutorul unor criterii asem ˘an˘atoare celor utilizate la ¸ siruri.
Fief;g:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E:
Teorema 18. (Criteriul major˘ arii). Dac˘ a jf(x)ljg(x)¸ si dac˘ a limx!x0g(x) =0, atunci
limx!x0f(x) =l:
Demonstra¸ tie . Fie xn!x0(xn2E;xn6=x0):Deoarece limx!x0g(x) =0;rezult ˘ag(xn)!0:Dar
jf(xn)ljg(xn)deci, aplicând criteriul major ˘arii de la ¸ siruri, rezult ˘a c˘af(xn)!l:Deoarece
¸ sirul(xn)a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0f(x) =l:
Exemple:
a) limx!x0sinx=sinx0;(x0finit):
Într-adev ˘ar, deoarececosx+x0
21;avem:
jsinxsinx0j=2
sinxx0
2
cosx+x0
22
sinxx0
22
xx0
2=jxx0j
9

¸ si, deoarece limx!x0jxx0j=0;rezult ˘a c˘a limx!x0sinx=sinx0:
b) limx!x0cosx=cosx0;(x0finit):
Într-adev ˘ar, deoarecesinx+x0
21;avem:
jcosxcosx0j=2
sinxx0
2
sinx+x0
22
sinxx0
2jxx0j:
Deoarece limx!x0jxx0j=0;rezult ˘a c˘a limx!x0cosx=cosx0:
A¸ sadar, limitele func¸ tiilor sin¸ sicosîntr-un punct oarecare x0se ob¸ tin înlocuind direct pe xcu
x0:
Observa¸ tii :
1. În punctele +¥¸ si¥func¸ tiile sin¸ sicosnu au limit ˘a. Justificarea este urm ˘atoarea: consi-
derând ¸ sirul xn=n
p
2!+¥;¸ sirul(sinxn)este 1 ;0;1;0;1;0;1;:::;1;0;1;0;:::care fiind un
¸ sir oscilant nu are limit ˘a.
2. Se poate demonstra c ˘a func¸ tiile arcsin ¸ siarccos au de asemenea proprietatea, de mai sus
adic˘alimita într-un punct x 0se ob¸ tine înlocuind direct pe x cu x 0:
limx!x0arcsin x=arcsin x0;(1x01)
lim
x!x0arccos x=arccos x0;(1x01)
Teorema 19. (Criteriul major˘ arii la ¥).Dac˘ a f (x)g(x)¸ si dac˘ a lim
x!x0g(x) =¥;atunci
limx!x0f(x) =¥:
Demonstra¸ tie. Dac˘axn!x0;(xn2E;xn6=x0);atunci g(xn)!¥¸ si deoarece f(xn)g(xn);
rezult ˘a c˘af(xn)!¥:Cum ¸ sirul xn!x0a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0f(x) =¥:
Teorema 20. (Criteriul major˘ arii la ¥).Dac˘ a f (x)g(x)¸ si dac˘ a limx!x0g(x) =¥;atunci
limx!x0f(x) =¥:
Demonstra¸ tie. Dac˘axn!x0;(xn2E;xn6=x0);atunci g(xn)!¥¸ si deoarece f(xn)g(xn);
rezult ˘a c˘af(xn)!¥:Cum ¸ sirul xn!x0a fost ales arbitrar, deducem c ˘a limx!x0f(x) =¥:
4. Trecerea la limit˘ a in inegalit˘ a¸ ti
Fief;g:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E:
Teorema 21. Dac˘ a f ¸ si g au limite (finite sau infinite) în punctul x 0¸ si dac˘ a f (x)g(x);pentru
orice x6=x0din E, atunci:
limx!x0f(x)limx!x0g(x)
Demonstra¸ tie. Fiea=limx!x0f(x)¸ sib=limx!x0g(x):
Va trebui s ˘a demonstr ˘am c ˘aab:
Dac˘axn!x0este un ¸ sir format din punctele xn6=x0dinE, atunci:
f(xn)!a¸ sig(x)!b:
Pentru fiecare navem însa f(xn)g(xn):Folosind teorema de trecere la limit ˘a în inegalit ˘a¸ ti de
¸ siruri, deducem:
a=limx!x0f(x)limx!x0g(x) =b
¸ si teorema este demonstrat ˘a.
Corolar 22 . S˘a presupunem c ˘afare limit ˘a înx0.
Dac˘af(x)0;atunci limx!x0f(x)0:
10

Dac˘af(x)0;atunci limx!x0f(x)0:
Pentru demonstra¸ tie se ia g(x) =0 în teorema precedent ˘a.
Observa¸ tie.
Dac˘a avem inegalitate strict ˘a:
f(x)<g(x);pentru orice x6=x0dinEpentru limite nu putem deduce decât o inegalitate
nestrict ˘a:
limx!x0f(x)limx!x0g(x)
(putând avea chiar egalitate).
De exemplu, x2>0 pentru x6=0;dar lim
x!0x2=0:
Teorema 23. ( a "cle¸ stelui" sau a "celor doi jandarmi"). Fie trei func¸ tii f ;g;h:E!R¸ si x0un
punct de acumulare al lui E.
Dac˘ a
(i)f(x)g(x)h(x),pentru orice x6=x0din E ;
(ii)limx!x0f(x) =limx!x0h(x) =l;
atunci g are limit˘ a în x 0¸ si mai mult limx!x0g(x) =l:
Schematic:
f(x)g(x)h(x)
& + .
l
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0un ¸ sir format din punctele xn6=x0dinE, atunci din (i)rezult ˘a
f(xn)g(xn)h(xn):¸ Tinând cont de (ii)¸ si de criteriul "cle¸ stelui" pentru ¸ siruri se deduce c ˘a
lim
n!¥g(xn) =l:Cum ¸ sirul xn!x0a fost ales arbitrar, deducem c ˘a lim
x!x0g(x) =l:
Exemple.
S˘a se calculeze: a) limx!¥sinx
x; b) limx!¥[x]
x, unde [x]este partea întreag ˘a a num ˘arului real x:
Rezolvare.
a) Cum1sinx1;atunci pentru x>0 are loc inegalitatea 1
xsinx
x1
x:Deoarece
limx!¥
1
x
=0 ¸ si limx!¥1
x=0, atunci conform ‚‚ criteriului cle¸ stelui ” limx!¥sinx
x=0:
b) Din defini¸ tia p ˘ar¸ tii întregi avem: x1<[x]xcare înmul¸ tit ˘a cu1
xpentru x>0(x!¥)
devinex1
x<[x]
x1:Cum limx!¥x1
x=1 ¸ si limx!¥1=1;aplicând criteriul “cle¸ stelui” se ob¸ tine
limx!¥[x]
x=1:
5. Produsul dintre o func¸ tie m˘ arginit˘ a ¸ si o func¸ tie de limita zero.
Un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs de func¸ tii este dat de urm ˘a-
toarea:
Teorema 24. Fie f ;g:E!Rdou˘ a func¸ tii, x 0un punct de acumulare al lui E, V 2J(x0)cu
propriet˘ a¸ tile:
(i)jf(x)jM;8x2V\E;M>0( f m˘ arginit˘ a pe o vecin˘ atate a lui x 0);
(ii)limx!x0g(x) =0;
atunci limx!x0f(x)
g(x) =0:
Limita produsului dintre o func¸ tie m˘ arginit˘ a ¸ si o func¸ tie de limit˘ a zero este zero.
11

Demonstra¸ tie. Fie(xn)un ¸ sir din V\E;xn6=x0:Atuncijf(xn)Mj;8n¸ si limn!¥g(xn) =0:
Conform criteriului de la ¸ siruri rezult ˘a limn!¥f(xn)
g(xn) =0:Cum ¸ sirul (xn)a fost un ¸ sir arbitrar
se ob¸ tine c ˘a limx!x0f(x)
g(x) =0:
Altfel. Se aplic ˘a "criteriul cle¸ stelui" inegalit ˘a¸ tii 0jf(x)g(x)jMjg(x)j:
Exemple:
a)limx!¥1
xcosx=0:
Fief(x) =cosx;pentru carejf(x)j1;iarg(x) =1
x!0 dac ˘ax!¥:Conform teoremei de
mai sus limx!¥1
xcosx=0:
b)lim
x!0xsin1
x=0:
Fief(x) =sin1
x;x6=0;jf(x)j1;iarg(x) =x!0 dac ˘ax!0:A¸ sadar, lim
x!0xsin1
x=0:
Altfel, pentru aceast ˘a limit ˘a se putea aplica ‚‚criteriul cle¸ stelui” func¸ tiilor din inegalit ˘a¸ tile
0xsin1
x=jxjsin1
xjxj:
1.4. Limitele func¸ tiilor elementare
Pentru ca opera¸ tiile cu limite de func¸ tii s ˘a devin ˘a efective este nevoie de cunoa¸ sterea procedurii
de calcul a limitelor func¸ tiilor elementare.
V om da regula de calcul pentru limita func¸ tiei, în general, în dou ˘a cazuri:
(i)când x0este punct de acumulare finit;
(ii)când x0este punct de acumulare infinit (dac ˘a exist ˘a).
Urm ˘atoarele func¸ tii sunt considerate func¸ tii elementare: func¸ tia polinomial ˘a, func¸ tia ra¸ tional ˘a,
func¸ tia radical, func¸ tia putere, func¸ tia exponen¸ tial ˘a, func¸ tia logaritmic ˘a, func¸ tiile trigonometrice
directe (sin, cos, tg, ctg), func¸ tiile trigonometrice inverse (arcsin, arccos, arctg, acctg), orice func¸ tie
ob¸ tinut ˘a din cele de mai sus prin aplicarea succesiv ˘a, de un num ˘ar finit de ori, a opera¸ tiilor alge-
brice, a opera¸ tiei de compunere ¸ si a opera¸ tiei de inversare.
Observa¸ tie.
Dac˘a domeniul de defini¸ tie al unei func¸ tii elementare nu este precizat, atunci se subîn¸ telege c ˘a
este format din acele puncte xpentru care au sens opera¸ tiile prin care este definit ˘a func¸ tia. Acesta
este domeniul maxim de defini¸ tie al func¸ tiei.
1. Limita func¸ tiei constante
Pentru func¸ tia constant ˘af:R!R;f(x) =cavem limx!x0f(x) =c;oricare ar fi x0(finit sau
infinit), adic ˘a:
limx!x0c=c:
Demonstra¸ tie. Într-adev ˘ar oricare ar fi ¸ sirul xn!x0;¸ sirul corespunz ˘ator(f(xn))al valorilor
func¸ tiei este c;c;c;:::;c;c:::;care are limita c;f(xn)!c;deci limx!x0f(x) =c:
2. Limita func¸ tiei polinomiale.
Fief:R!R;f(x) =akxk+ak1xk1+:::+a1x+a0;ai2R;i=0;k;ak6=0
(i)Punctul de acumulare x 0este finit.
Fiex02R¸ sixn!x0;xn2R;xn6=x0:Atunci
f(x) =akxk+ak1xk1+:::+a1x+a0!akxk
0+ak1xk1
0+:::+a1x0+a0=f(x0):
(S-au avut în vedere opera¸ tiile cu ¸ siruri convergente).
Cum ¸ sirul (xn)a fost ales arbitrar, rezult ˘a limx!x0f(x) =f(x0):
12

A¸ sadar, limita unei func¸ tii polinomiale într-un punct de acumulare finit x0, se ob¸ tine înlocuind
xcux0:
(ii)Punctul de acumulare x 0este infinit.
Fiex0=¥:În acest caz aducem func¸ tia polinomial ˘a la forma
f(x) =xk(ak+ak1
x+:::+a1
xk1+a0
xk):
Pentru x!¥;ai
xki!0:Deci f(x)!(¥)kak:
Deci limx!¥f(x) =¥
ak=+¥;dac˘aak>0
¥;dac˘aak<0
lim
x!¥f(x) = (¥)k
ak=+¥;dac˘a(ak<0 ¸ sikimpar )sau(ak>0 ¸ sikpar)
¥;în rest:
A¸ sadar:
Limita unei func¸ tii polinomiale la ¥este aceea¸ si cu limita termenului de grad maxim
lim
x!¥f(x) = lim
x!¥akxk:
3. Limita func¸ tiei ra¸ tionale.
Fief:RfxjQ(x) =0g!R;f(x) =P(x)
Q(x);unde P¸ siQsunt func¸ tii polinomiale, P(x) =
akxk+ak1xk1+:::+a1x+a0;
Q(x) =blxl+bl1xl1+:::+b1x+b0;ai;bj2R;i=0;k;ak6=0;j=0;l;bl6=0
(i)Punctul de acumulare x 0este finit.
Se disting subcazurile:
Q(x0)6=0;deci x0nu este r ˘ad˘acin˘a pentru numitor.
Fiexn!x0;xn6=x0:Atunci f(xn) =P(xn)
Q(xn)!P(x0)
Q(x0)=f(x0);ceea ce arat ˘a c˘a limx!x0f(x) =
f(x0):
A¸ sadar:
Limita func¸ tiei ra¸ tionale în punct de acumulare finit, în care nu se anuleaz˘ a numitorul, este
egal˘ a cu valoarea ei în acel punct.
Q(x0) =0;deci x0este r ˘ad˘acin˘a pentru numitor.
Dac˘a num ˘ar˘atorul se anuleaz ˘a în x0;P(x0) =0;atunci se efectueaz ˘a mai întâi simplificarea
frac¸ tiei prin xx0(x6=x0)dup˘a care se vede dac ˘a numitorul frac¸ tiei simplificate îl mai are pe x0
ca r˘ad˘acin˘a sau nu.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele (dac ˘a exist ˘a):
a) lim
x!11
x+1; b) lim
x!3×2+2x15
x2+8x+15:
Rezolvare.
a) lim
x!11
x+1nu exist ˘a deoarece limita la stânga în x0=1 este egal ˘a cu
ls(1) = lim
x%11
x+1=1
0=¥în timp ce limita la dreapta este
ld(1) = lim
x&11
x+1=1
0+=¥:
Dinls(1)6=ld(1)se deduce c ˘a nu exist ˘a limit ˘a înx0=1:
Deci, dac ˘ax0este punct de acumulare finit ¸ si este r ˘ad˘acin˘a a numitorului, dar nu este r ˘ad˘acin˘a
¸ si pentru num ˘ar˘ator, atunci se calculeaz ˘a limitele laterale în x0:
b) Numitorul x2+8x+15 se anuleaz ˘a pentru x0=3;în timp ce num ˘ar˘atorul nu se anuleaz ˘a
(3)2+2(3)15=126=0:
În aceast ˘a situa¸ tie se calculeaz ˘a limitele laterale în x0=3:
13

Avem: ls(3) = lim
x%3×2+2x15
(x+3)(x+5)=12
(0)
2=12
0+=¥¸ si
ld(3) = lim
x&3×2+2x15
(x+3)(x+5)=12
0+(2)=12
0+=¥:
Cum ls(3)6=ld(3)rezult ˘a c˘a limita respectiv ˘a nu exist ˘a.
(ii)Punctul de acumulare x 0este infinit (x0=¥):
Pentru calculul limitei în punctul ¥sau¥avem regulile urm ˘atoare:
1) Dac ˘agradul num˘ ar˘ atorului este mai mic decât gradul numitorului, k <l;limita func¸ tiei
ra¸ tionale în punctul ¥sau -¥este 0:
limx!¥P(x)
Q(x)=0 ¸ si lim
x!¥P(x)
Q(x)=0.
Pentru demonstra¸ tie, se împarte atât num ˘ar˘atorul cât ¸ si numitorul cu xk(exponentul kfiind cel
mai mic dintre gradele celor dou ˘a polinoame) ¸ si se ob¸ tine:
P(x)
Q(x)=ak+ak1
1
x+:::+a1
1
xk1+a0
1
xk
bl
xlk+:::+b0
1
xk;x6=0:
Termenii care con¸ tin pe1
xla diferite puteri au limita 0. Num ˘ar˘atorul are deci limita ak, iar
numitorul are limita infinit ˘a. Rezult ˘a c˘aP(x)
Q(x)are limita 0.
Exemplu:
limx!¥3×22x+1
4×35x=0 (gradul num ˘ar˘atorului <gradul numitorului);
2) Dac ˘agradul num˘ ar˘ atorului este egal cu gradul numitorului, k =l;atunci limita func¸ tiei
ra¸ tionale în punctul +¥sau¥este egal ˘a cu raportul coeficien¸ tilor termenilor de cel mai înalt
grad:
limx!¥P(x)
Q(x)=ak
bk¸ si lim
x!¥P(x)
Q(x)=ak
bk.
Pentru demonstra¸ tie, se împart ¸ si num ˘ar˘atorul ¸ si numitorul cu xk¸ si se ob¸ tine
P(x)
Q(x)=ak+ak1
1
x+:::+a1
1
xk1+a0
1
xk
bk+bk1
1
x+:::+b0
1
xk;x6=0:
Num ˘ar˘atorul are limita ak, iar numitorul are limita bk;deci func¸ tia ra¸ tional ˘aP(x)
Q(x)are limitaak
bk:
Exemplu:
limx!¥7×5+3
8×52x+2=7
8(gradul num ˘ar˘atorului = gradul numitorului).
3) Dac ˘agradul num˘ ar˘ atorului este mai mare decât gradul numitorului, k >l;func¸ tia ra¸ tional ˘a
are în punctul +¥sau¥limita inifinit ˘a, ¸ si anume:
limx!¥P(x)
Q(x)=ak
bl
¥¸ si lim
x!¥P(x)
Q(x)=ak
bl
(¥)kl.
Pentru demonstra¸ tie, se împart ¸ si num ˘ar˘atorul ¸ si numitorul cu xl(lfiind cel mai mic dintre
gradele num ˘ar˘atorului ¸ si numitorului) ¸ si se ob¸ tine
P(x)
Q(x)=ak
xkl+:::+a0
1
xl
bl+bl1
1
x+:::+b0
1
xl;x6=0
14

Limita numitorului este bl, limita num ˘ar˘atorului în punctul infinit este ak
¥;iar în punctul¥
estean
(¥)kl;de unde rezult ˘a c˘a limita func¸ tiei ra¸ tionale este dat ˘a de egalit ˘a¸ tile de mai sus.
Exemplu:
lim
x!¥3×52x+4
2×2+3=3
2
(¥)52=3
2
(¥) =¥:
Regul ˘a.Pentru limita func¸ tiei ra¸ tionale la ¥se compar ˘a gradul num ˘ar˘atorului cu gradul
numitorului.
4.Limita func¸ tiei radical
Radical de ordin par.
Pentru f:[0;¥)![0;¥);f(x) =2kpx;k2Ndac˘ax02[0;¥)punct de acumulare, avem
lim
x!x02kpx=2kpx0. Dac ˘ax0=¥;atunci limx!¥2kpx=¥.
Radical de ordin impar.
Pentru f:R!R;f(x) =2k+1px;k2N¸ six02Ravem limx!x02k+1px=2k+1px0.
Dac˘ax0=¥, atunci lim
x!¥2k+1px=¥. În cazul x0=¥avem limx!¥2k+1px=¥.
5.Limita func¸ tiei exponen¸ tiale
Fie func¸ tia f:R!(0;¥);f(x) =ax;a>0;a6=1:
Dac˘aa>0;a6=1 pentru x02R;limx!x0ax=ax0(limita este valoarea func¸ tiei în punct).
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!x0;atunci axn!ax0:
Dac˘a 0<a<1;atunci:
(i)pentru x0=¥;lim
x!¥ax=¥;
(ii)pentru x0=¥;limx!¥ax=0:
Dac˘aa>1, atunci:
(i)pentru x0=¥;lim
x!¥ax=0;
(ii)pentru x0=¥;limx!¥ax=¥:
6. Limita func¸ tiei logaritmice.
Fie func¸ tia f:(0;¥)!R;f(x) =logax;a>0;a6=1:
Dac˘aa>0;a6=1 pentru x02(0;¥);limx!x0logax=logax0(limita este valoarea func¸ tiei în
punct).
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!x0;atunci logaxn!logax0:
Dac˘a 0<a<1;atunci:
(i)pentru x0=0;lim
x&0logax=¥;
(ii)pentru x0=¥;limx!¥logax=¥:
Dac˘aa>1;atunci:
(i)pentru x0=0;lim
x&0logax=¥;
(ii)pentru x0=¥;lim
x!¥logax=¥:
7. Limitele func¸ tiilor trigonometrice directe.
*Func¸ tia sinus sin :R![1;1]:
(i)Dac˘ a punctul de acumulare x 0este finit, atunci am v˘ azut la propriet˘ a¸ tile limitei c˘ a limx!x0sinx=sinx0.
A¸ sadar:
Limita func¸ tiei sinîntr-un punct de acumulare finit x 02Rse ob¸ tine înlocuind pe x cu x 0:
(ii)Dac˘ a punctul de acumulare x 0=¥;atunci func¸ tia sin nu are limit ˘a.
*Func¸ tia cosinus cos :R![1;1]:
(i)Dac˘ a punctul de acumulare x 0este finit, atunci am v˘ azut la propriet˘ a¸ tile limitei c˘ a limx!x0cosx=cosx0.
A¸ sadar:
Limita func¸ tiei cosîntr-un punct de acumulare finit x 02Rse ob¸ tine înlocuind pe x cu x 0:
15

(ii)Dac˘ a punctul de acumulare x 0=¥;atunci func¸ tia cos nu are limit ˘a.
*Func¸ tia tangent˘ a tg :Rn
(2k+1)p
2jk2Zo
!R:
(i)Dac˘ a punctul de acumulare x 02Rn
(2k+1)p
2jk2Zo
;atunci limx!x0tgx=tgx0.
A¸ sadar:
Limita func¸ tiei tg într-un punct de acumulare x 0din domeniul de defini¸ tie se ob¸ tine înlocuind
pe x cu x 0:
(ii)În ceea ce prive¸ ste punctele în care nu sunt definite, func¸ tia tg nu are limit˘ a, dar are limite
laterale infinite.
De exemplu:
lim
x%p
2tgx=¥ ¸ si lim
x&p
2tgx=¥:
Într-adev ˘ar, dac ˘axn!p
2¸ sixn<p
2;cosxn!0 ¸ si cos xn>0;deci1
cosxn!¥; apoi sin xn!1;
deci, lim tgxn=limsin xn
lim1
cosxn=¥:
Pentru demonstrarea celeilalte egalit ˘a¸ ti se folose¸ ste faptul c ˘a dac ˘axn!p
2¸ sixn>p
2, atunci
cosxn!0 ¸ si cos xn<0;deci1
cosxn!¥:
Rezult ˘a c˘a func¸ tia tgxnu are limit ˘a înp
2:
* Func¸ tia cotangent˘ a ctg :Rfkpjk2Zg!R:
(i)Dac˘a punctul de acumulare x02Rfkpjk2Zg;atunci limx!x0ctgx=ctgx 0.
A¸ sadar: Limita func¸ tiei ctg într-un punct de acumulare din domeniul de defini¸ tie se ob¸ tine
înlocuind pe x cu x 0:
(ii)Dac˘ax0=0 atunci lim
x%0ctgx=¥¸ si lim
x&0ctgx=¥.
Rezult ˘a c˘a func¸ tia ctgx nu are limit ˘a în 0 :
Exemple.
a) lim
x!p
4ctgx=ctgp
4=1; b) lim
x%pctgx=¥:
8. Limitele func¸ tiilor trigonometrice inverse.
*Func¸ tia arcsinus arcsin : [1;1]!h
p
2;p
2i
:
Dac˘ax02[1;1];atunci limx!x0arcsin x=arcsin x0:
*Func¸ tia arccosinus arccos : [1;1]![0;p]:
Dac˘ax02[1;1];atunci limx!x0arccos x=arccos x0.
*Func¸ tia arctangent˘ a arctg :R!(p
2;p
2)
(i)Dac˘ax02R;atunci limx!x0arctgx =arctgx 0.
(ii)Dac˘ax0=¥;atunci limx!¥arctgx =p
2.
(iii)Dac˘ax0=¥;atunci lim
x!¥arctgx =p
2.
*Func¸ tia arccotangent˘ a arctg :R!(0;p)
(i)Dac˘ax02R;atunci limx!x0arcctgx =arcctgx 0.
(ii)Dac˘ax0=¥;atunci limx!¥arcctgx =0.
(iii)Dac˘ax0=¥;atunci lim
x!¥arcctgx =p.
16

Regul ˘a.Pentru toate func¸ tiile elementare, limita func¸ tiei în orice punct x0al mul¸ timii de
defini¸ tie se ob¸ tine înlocuind pe xcux0:
limx!x0f(x) =f(x0):
1.5.Opera¸ tii cu limite de func¸ tii
Fie f;g:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E:
Teorema 25. Dac˘ a func¸ tiile f ¸ si g au în punctul x 0, respectiv limitele l 1¸ si l 2(finite sau
infinite) ¸ si dac˘ a suma l 1+l2are sens, atunci func¸ tia f +g are limit˘ a în x 0¸ si
limx!x0(f(x)+g(x)) = limx!x0f(x)+limx!x0g(x):
(Limita sumei este egal˘ a cu suma limitelor).
Caz exceptat: [¥¥]dac˘al1=¥;l2=¥saul1=¥;l2=¥:
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0(xn2E;x6=x0)un ¸ sir oarecare. Deoarece limx!x0f(x) =l1¸ si
limx!x0g(x) =l2;se deduce c ˘af(xn)!l1¸ sig(xn)!l2;deci f(xn) +g(xn)!l1+l2¸ si, prin ur-
mare, limx!x0(f(x)+g(x)) = l1+l2:
Teorema 26. Dac˘ a func¸ tiile f ¸ si g au în punctul x 0;respectiv limitele l 1¸ si l 2(finite sau
infinite) ¸ si dac˘ a produsul l 1
l2are sens, atunci func¸ tia f
g are limit˘ a în x 0¸ si:
lim
x!x0(f(x)
g(x)) = limx!x0f(x)
limx!x0g(x):
(Limita produsului este egal˘ a cu produsul limitelor).
Caz exceptat: [0
¥]dac˘al1=0 si l2=¥saul1=¥¸ sil2=0:
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0(xn2E;x6=x0)un ¸ sir oarecare. Deoarece limx!x0f(x) =l1¸ si
limx!x0g(x) =l2;se deduce c ˘af(xn)!l1¸ sig(xn)!l2;deci f(xn)
g(xn)!l1
l2¸ si, prin urmare,
limx!x0(f(x)
g(x)) = l1
l2:
Teorema 27. Dac˘ a f ¸ si g au în punctul x 0;respectiv limitele l 1¸ si l2(finite sau infinite) ¸ si dac˘ a
raportull1
l2are sens, atunci func¸ tiaf
gare limit˘ a în x 0¸ si:
limx!x0f(x)
g(x)=limx!x0f(x)
limx!x0g(x)
:
(Limita câtului este egal˘ a cu câtul limitelor).
Cazuri exceptate:0
0
;¥
¥
dac˘al1=l2=0 sau l1=¥;l2=¥:
Pentru demonstra¸ tie se folose¸ ste teorema relativ ˘a la limita câtului a dou ˘a ¸ siruri.
Observa¸ tii:
1) Dac ˘ag(x)>0,×6=x0¸ si limx!x0g(x) =0, atunci limx!x01
g(x)=1
0+=¥.
2) Dac ˘ag(x)<0,×6=x0¸ si limx!x0g(x) =0, atunci limx!x01
g(x)=1
0=¥.
Exemple:
a) limx!x0tg x=limx!x0sinx
cosx=limx!x0sinx
limx!x0cosx=sinx0
cosx0=tg x 0,x02Rn
(2k+1)p
2jk2Zo
;
17

b) lim
x!p
21+sinx
2cos x1=lim
x!p
2(1+sinx)
lim
x!p
2(2cos x1)=1+1
2
01=2.
Limite de puteri
Fieu;v:E!Rdou˘a func¸ tii ¸ si x0un punct de acumulare al lui E. S˘a presupunem c ˘au(x)>0
peE.
Teorema 28 .Dac˘ a limx!x0u(x) =a ¸ si limx!x0v(x) =b ¸ si dac˘ a puterea abare sens, atunci func¸ tia
u(x)v(x)are limit˘ a în x 0¸ si
limx!x0
u(x)v(x)
=
limx!x0u(x)limx!x0v(x)
:
(Limita unei puteri se distribuie ¸ si bazei ¸ si exponentului. )
Cazuri exceptate:
00
dac˘aa=0 ¸ sib=0;
[1¥]dac˘aa=1 ¸ sib=¥;
¥0
dac˘aa=¥¸ sib=0.
Demonstra¸ tie. Pentru ¸ sirul xn2E;xn6=x0,xn!x0, ¸ sirului
u(x)v(x)
,u(x)>0 i se aplic ˘a
teorema asupra limitei ¸ sirurilor de puteri:
lim((xn)yn) = ( limxn)limyn.
Cazuri particulare
Dac˘av(x) =b, atunci limx!x0v(x) =b, deci: limx!x0
u(x)b

=
limx!x0u(x)b
(cu excep¸ tia cazului când limx!x0u(x) =0 ¸ sib0).
În particular,
limx!x0p
u(x) =q
limx!x0u(x):
Dac˘au(x) =a,a>0, atunci limx!x0u(x) =a, deci: limx!x0av(x)=alimx!x0v(x)
.
Exemple:
a) lim
x!0p
sinx+4=q
lim
x!0(sinx+4) =p
4=2;
b) lim
x!12x+3
1xx+2
=
lim
x!12x+3
1xlim
x!1(x+2)
=1
21
=1
2;
1.6. Limite de func¸ tii compuse
Fieu:E!F¸ sif:F!Rdou˘a func¸ tii ¸ si h=fu:E!Rfunc¸ tia compus ˘a:
h(x) =f(u(x)),x2E:
Fiex0un punct de acumulare al lui E. S˘a cercet ˘am limita func¸ tiei compuse în punctul x0.
Teorema urm ˘atoare reduce calculul limitei func¸ tiei compuse f(u(x))în punctul x0la cel al limitei
func¸ tiei f(y)în alt punct y0ce urmeaz ˘a s˘a fie determinat.
Teorema 29. Dac˘ a:
(i)limx!x0u(x) =y0;
(ii)u(x)6=y0pentru orice x6=x0din E;
(iii)limy!y0f(y) =l,
18

atunci limx!x0f(u(x)) = limy!y0f(y):
Demonstra¸ tie. Fiexn!x0un ¸ sir de puncte xn6=x0dinE. Deoarece func¸ tia uare valori în F,
avem u(xn)2F. Din prima ipotez ˘a rezult ˘au(xn)!y0, iar din cea de-a doua ipotez ˘a,u(xn)6=y0.
Notând yn=u(xn), am ob¸ tinut un ¸ sir yn!y0de puncte yn6=y0dinF. Urmeaz ˘a, în particular, c ˘a
y0este punct de acumulare al mul¸ timii F¸ si deci limita din a treia ipotez ˘a este justificat ˘a. Conform
acestei ipoteze avem f(yn)!l, adic ˘af(u(xn))!l.
Deci, pentru orice ¸ sir xn!x0de puncte xn6=x0dinEavem f(u(xn))!l. Aceasta înseamn ˘a
c˘a: limx!x0f(u(x)) = l=limy!y0f(y):
Observa¸ tie.
În aplica¸ tii, teorema precedent ˘a se foloseste în urm ˘atoarea form ˘a schematizat ˘a:
a) Se noteaz ˘ay=u(x); func¸ tia compus ˘af(u(x))se scrie atunci f(y).
b) Se stabile¸ ste punctul y0astfel încât dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!y0¸ siy6=y0.
c) Se calculeaz ˘a limita func¸ tiei f(y)în noul punct y0. Limita ob¸ tinut ˘a este în acela¸ si timp limita
func¸ tiei ini¸ tiale f(u(x))în punctul ini¸ tial x0:
limx!x0f(u(x)) = limy!y0f(y):
Exemplu: limx!x0ln
1+xx0
x0x0
xx0=1,×06=0.
Într-adev ˘ar, notând y=xx0
x0, observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!y0¸ siy6=y0deci
(1+y)1
y!e; notând acum z= (1+y)1
y, observ ˘am c ˘a dac ˘ay!0 ¸ siy6=0, atunci z!e¸ siz6=e,
deci ln z!lne=1. A¸ sadar, limx!x0ln
1+xx0
x0x0
xx0=lim
y!0ln(1+y)1
y=limz!elnz=1.
Se observ ˘a c˘a în acest exemplu s-a aplicat de dou ˘a ori succesiv teorema de trecere la limit ˘a în
func¸ tii compuse.
1.7. Limite remarcabile
Teorema 30. Avem:
1)lim
x!0sinx
x=1, 2) lim
x!0tg x
x=1, 3) lim
x!0arcsin x
x=1, 4) lim
x!0arctg x
x=1.
Demonstra¸ tie.
1)Pentru -p
2<x<p
2avemjsinxjjxjjtg xj. Dac ˘a, în plus, x6=0, atunci sin x6=0 ;
împar¸ tind cujsinxjîn inegalit ˘a¸ tile precedente, ob¸ tinem:
1jxj
jsinxj1
jcosxj:
Dar, pentru -p
2<x<p
2avem cos x>0, decijcosxj=cosx. De asemenea x¸ si sin xau acela¸ si
semn, decijxj
jsinxj=x
sinx. Inegalit ˘a¸ tile precedente se scriu:
1x
sinx1
cosx
deci:
1sinx
xcosx
de unde:
1sinx
x cosx:
19

Adunând 1 cu to¸ ti membri, se ob¸ tine:
01sinx
x1cosx:
Dar,
lim
x!0(1cosx) =0:
Aplicând criteriul major ˘arii rezult ˘a:
lim
x!0sinx
x=1:
Observa¸ tie.
Avem de asemenea:
lim
x!0x
sinx=1:
Într-adev ˘ar, pentru x6=0, avemx
sinx=1
sinx
x. Se trece apoi la limit ˘a ¸ si ob¸ tinem lim
x!0x
sinx=1:
2)lim
x!0tg x
x=lim
x!0sinx
x
1
cosx
=lim
x!0sinx
x
lim
x!01
cosx=1
1
cos 0=1.
3)lim
x!0arcsin x
x=lim
y!0y
siny=1.
Am notat y=arcsin x:Dac˘ax!0, atunci y!0 ¸ si deci lim
y!0y
siny=1.
4)lim
x!0arctg x
x=lim
y!0y
tg y=1.
Am notat y=arctg x :Dac˘ax!0, atunci y!0 ¸ si deci lim
y!0y
tg y=lim
y!01
tg y
y=1.
Teorema 31. Dac˘ a limx!x0u(x) =0¸ si u(x)6=0pentru x6=x0, atunci
1)limx!x0sinu(x)
u(x)=1, 2) limx!x0tg u(x)
u(x)=1, 3) limx!x0arcsin u(x)
u(x)=1, 4) limx!x0arctg u (x)
u(x)=1:
Demonstra¸ tie.
1)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0sinu(x)
u(x)=lim
y!0siny
y=1.
2)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0tg u(x)
u(x)=lim
y!0tg y
y=1:
3)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
lim
x!x0arcsin u(x)
u(x)=lim
y!0arcsin y
y=1.
4)Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0arctg u (x)
u(x)=lim
y!0arctg y
y=1.
Observa¸ tii:
20

1) Din limx!x0sinu(x)
u(x)=1 ¸ si limx!x0tg u(x)
u(x)=1 deducem, în particular:
lim
x!0sinax
bx=a
b¸ si lim
x!0tgax
bx=a
b,b6=0:
Într-adev ˘ar, dac ˘aa=0, avem sin ax=tgax=0 ¸ si egalit ˘a¸ tile sunt verificate.
Dac˘aa6=0, avem lim
x!0sinax
bx=lim
x!0a
b
sinax
ax=a
b
lim
x!0sinax
ax=a
b
1=a
b¸ si
lim
x!0tgax
bx=lim
x!0a
b
tgax
ax=a
b
lim
x!0tgax
ax=a
b
1=a
b.
2) Limitele remarcabile din teoremele 30 ¸ si 31 elimin ˘a o nedeterminare de forma0
0
.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x; b) lim
x!p
2sin2x
p2x.
Rezolvare.
a) Solu¸ tia I. lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x=lim
x!0sinx
x+sin2x
x
2
sin3x
3x
3+sin4x
4x
4=1+2
3+4=3
7;
Solu¸ tia a II-a. V om prelucra limita astfel:
lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x=lim
x!0sinx
1+sin2x
sinx

sin3x
1+sin4x
sin3x
=lim
x!0sinx
sin3x
1+sin2x
sinx
1+sin4x
sin3x=1
3
1+2
1+4
3=3
7:
(Am ¸ tinut seama de observa¸ tia 1).
b) Se noteaz ˘axp
2=y¸ si deci y!0 dac ˘ax!p
2. Limita se scrie în func¸ tie de yastfel
lim
x!p
2sin2x
p2x=0
0
=lim
y!0sin(p+2y)
2y=lim
y!0sin2y
2y=1.
Teorema 32. Avem:
1)lim
x!0(1+x)1
x=e, 2) lim
x!0ln(1+x)
x=1,
3)lim
x!0ax1
x=lna;a>0, 4) lim
x!0(1+x)r1
x=r, r2R.
Demonstra¸ tie.
1)Dac˘axn!0 ¸ sixn>0, atunci:
(1+xn)1
xn!e.
Deducem c ˘a limita la dreapta în 0 a func¸ tiei (1+x)1
xestee:
lim
x&0(1+x)1
x=e.
În mod asem ˘an˘ator, se arat ˘a c˘a ¸ si limita la stânga în 0 a acestei func¸ tii este e:
lim
x%0(1+x)1
x=e.
Cele dou ˘a limite laterale fiind egale, rezult ˘a c˘a func¸ tia (1+x)1
xare în punctul 0 limita e:
lim
x!0(1+x)1
x=e.
21

2)lim
x!0ln(1+x)
x=lim
x!01
xln(1+x) =lim
x!0ln(1+x)1
x=ln lim
x!0(1+x)1
x=lne=1.
3)Pentru a>0,a6=1, notând y=ax1, avem ax=1+y¸ six
lna=ln(1+y), deci:
lim
x!0ax1
x=lim
y!0y
ln(1+y)
lna=lim
y!0y
lna
ln(1+y)= (lna)
lim
y!01
ln(1+y)
y=lna:
4)Pentru orice num ˘ar real r, notând 1 +x=ey,x=ey1 ob¸ tinem:
lim
x!0(1+x)r1
x=lim
y!0eyr1
ey1=lim
y!0eyr1
yr
y
ey1
ryr=t=lim
t!0et1
t
lim
y!0y
ey1
r=r.
Observa¸ tie.
Prima limit ˘a elimin ˘a cazul exceptat [1¥], iar urm ˘atoarele trei limite cazul exceptat0
0
.
Teorema 33. Dac˘ a limx!x0u(x) =0¸ si u(x)6=0pentru x6=x0, atunci
1)limx!x0(1+u(x))1
u(x)=e, 2) limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=1,
3)limx!x0au(x)1
u(x)=lna;a>0, 4) limx!x0(1+u(x))r1
u(x)=r, r2R.
Demonstra¸ tie.
Notând y=u(x), observ ˘am c ˘a dac ˘ax!x0¸ six6=x0, atunci y!0 ¸ siy6=0, deci:
limx!x0(1+u(x))1
u(x)=lim
y!0(1+y)1
y=e, limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=lim
y!0ln(1+y)
y=1,
limx!x0au(x)1
u(x)=lim
y!0ay1
y=lna, limx!x0(1+u(x))r1
u(x)=lim
y!0(1+y)r1
y=r.
Observa¸ tie.
Prima limit ˘a elimin ˘a cazul exceptat [1¥], iar urm ˘atoarele trei limite cazul exceptat0
0
.
Exemplu.
lim
x!03p1+x
34p1+x
4
1p1x
2=0
0
=lim
x!03p1+x
314p1+x
4+1
p1x
21
=
lim
x!03p
1+x
31
x4p
1+x
41
x
p
1x
21
x=lim
x!01
3
3p
1+x
31
x
31
4
4p
1+x
41
x
4
1
2
p
1x
21
x
2=L:
lim
x!03p1+x
31
x
3=lim
x!0
1+x
3
1
31
x
3=lim
y!0(1+y)1
31
y=1
3unde ynot=x
3,x!0 siy!0;
lim
x!04p1+x
41
x
4=lim
x!0
1+x
4
1
41
x
4=lim
y!0(1+y)1
41
y=1
4unde ynot=x
4,x!0 siy!0;
lim
x!0p1x
21
x
2=lim
x!0
1x
2
1
21
x
2=lim
y!0(1+y)1
21
y=1
2unde ynot=x
2,x!0 siy!0:
Deci, L=1
3
1
31
4
1
4
1
2
1
2=1
91
16
1
4=7
36:
1.8. Cazuri exceptate la opera¸ tiile cu limite de func¸ tii
Regulile stabilite în paragraful precedent pentru opera¸ tiile cu limite de func¸ tii nu se pot aplica
în cazurile exceptate, când opera¸ tiile cu aceste limite nu au sens, cazuri desemnate prin:
¥¥;0
¥;0
0;¥
¥;00;1¥;¥0:
22

Pentru a putea stabili dac ˘a în aceste cazuri exist ˘a limit ˘a, trebuie întreprins un studiu direct
asupra func¸ tiilor.
Pentru func¸ tiile elementare se procedeaz ˘a, în esen¸ t ˘a, astfel:
Pentru a calcula limita unei func¸ tii într-un punct x0, se înlocuie¸ ste argumentul xcux0; dac ˘a
se ob¸ tine un num ˘ar finit sau infinit, acest num ˘ar este limita func¸ tiei în x0.Dac˘ a se ajunge la una
din opera¸ tiile f˘ ar˘ a sens , uneori se fac anumite transform˘ ari pentru a ob¸ tine o func¸ tie egal˘ a cu cea
ini¸ tial˘ a (în punctele x 6=x0), astfel încât, înlocuind în noua func¸ tie pe x cu x 0s˘ a nu mai ajungem la
o opera¸ tie f˘ ar˘ a sens, ci la un num˘ ar bine determinat; acest num˘ ar este limita func¸ tiei în x 0. Alteori
se folosesc limitele fundamentale (remarcabile).
1. Cazul de nedeterminare0
0
.
* Limite de func¸ tii ra¸ tionale în puncte finite x 0.
Se face simplificarea prin (xx0)k,k2Z
.
Exemplu: n2N;n2
lim
x!1xnnx+n1
(x1)2=lim
x!1(xn1)n(x1)
(x1)2=lim
x!1(x1)
xn1+xn2+:::+x+1

n(x1)
(x1)2=
lim
x!1(x1)
xn1+xn2+:::+x+1n

(x1)2=lim
x!1xn1+xn2+:::+x+1n
x1=
lim
x!1
xn11

+
xn21

+:::+(x1)
x1=n
å
k=2lim
x!1xk11
x1=n
å
k=2(k1) =n(n1)
2:
* Limite de func¸ tii definite prin cât de expresii ira¸ tionale.
– Sub radicali de ordine diferite figureaz ˘a aceeasi expresie.
(Se schimb ˘a variabila, notându-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al
ordinelor radicalilor cu alt ˘a variabil ˘a, când se ajunge la limita unei func¸ tii ra¸ tionale).
Exemplu:
lim
x!1px+3px2px1=lim
y!1y3+y22
y31=lim
y!1(y1)
y2+2y+2

(y1)(y2+y+1)=lim
y!1y2+2y+2
y2+y+1=5
3:
Cu nota¸ tia y=6pxcum x!1, atunci t!1:
Metoda simplific ˘arii cu xx0este valabil ˘a ¸ si în acest caz. De exemplu,
lim
x%1p
x21
4p
x2+x=lim
x%14s
x21
2
x2+x=lim
x%14s
(x1)2(x+1)
x=0:
– Sub radicali de acela¸ si ordin figureaz ˘a expresii diferite.
(Se amplific ˘a num ˘ar˘atorul ¸ si (sau) numitorul cu expresia conjugat ˘a).
Exemplu:
lim
x!1p
x2+x+1p
3p
x2x+11=lim
x!1p
x2+x+1p
3
1
1p
x2x+11=
lim
x!1p
x2+x+1p
3

p
x2+x+1+p
3
p
x2+x+1+p
3
p
x2x+1+1p
x2x+11

p
x2x+1+1=
lim
x!1×2+x+13p
x2+x+1+p
3
p
x2x+1+1
x2x+11=lim
x!1×2+x2p
x2+x+1+p
3
p
x2x+1+1
x2x=
lim
x!1(x1)(x+2)p
x2x+1+1
x(x1)p
x2+x+1+p
3=lim
x!1(x+2)p
x2x+1+1
xp
x2+x+1+p
3=3
2
2p
3=p
3.
* Limite de func¸ tii trigonometrice.
(Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaz ˘a limitele fundamentale).
Exemple:
23

a) lim
x!p
62sin2x5sin x+2
sin6x=lim
x!p
6(2sin x1)(sinx2)
sin6x=lim
x!p
62sin x1
sin6x
lim
x!p
6(sinx2) =
3
2
lim
x!p
62sin x1
sin6x=3
2
lim
y!02sin
y+p
6
1
sin(p+6y)=3
2
lim
y!0p
3sin y+cosy1
sin6y=
3
2
lim
y!0
p
3
siny
sin6y+1cosy
sin6y
=3p
3
2
lim
y!0siny
y
6y
sin6y
1
6
3
2
lim
y!06y
sin6y
1cosy
6y
=
3p
3
123
12
lim
y!01cosy
y
=3p
3
12=p
3
4:
Pentru a calcula lim
y!01cosy
yînmul¸ tim ¸ si împ ˘ar¸ tim cu un fel de conjugat ˘a adic ˘a cu 1 +cosy.
Avem
lim
y!01cosy
y=lim
y!0(1cosy)(1+cosy)
y(1+cosy)=lim
y!01cos2y
y(1+cosy)=
lim
y!0sin2y
y(1+cosy)=lim
y!0sin2y
y2
y2
1+cosy
=1
lim
y!0y2
1+cosy=1
0=0:
Au fost utilizate formulele trigonometrice sin2x+cos2x=1;sin(a+b) =sinacosb+sinbcosa
¸ si limita fundamental ˘a lim
x!0sinx
x=1:
b) lim
x!0sinfap[cos(barcsin x)1]g
x2=lim
x!0sinfap[cos(barcsin x)1]g
ap[cos(barcsin x)1]
ap[cos(barcsin x)1]
x2
=
ap
lim
x!01cos(barcsin x)
x2=ap
lim
x!02sin2barcsin x
2
x2=2ap
lim
x!0
sin2barcsin x
2barcsin x
2
2
barcsin x
2
2
x2!
=
2ap
b2
4
lim
x!0(arcsin x)2
x2=pab2
2.
* Limite de func¸ tii exponen¸ tiale, logaritmice.
(Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaz ˘a limitele fundamentale).
Exemplu:
lim
x!p
2ln(sinx)
cosx=lim
x!p
2ln(1+sinx1)
sinx1
sinx1
cosx
=L1
L2
Not˘am sin x1=t=)L1=lim
t!0ln(1+t)
t=1:
Not˘amxp
2=y=)L2=lim
y!0sin
y+p
2

1
cos
y+p
2
=lim
y!0sinycosp
2+sinp
2cosy1
cosycosp
2sinysinp
2=lim
y!0cosy1
siny=
lim
y!02sin2y
2
siny=2
lim
y!0sin2y
2y
2
2
y
2
2
siny=2
1
4
lim
y!0y
siny
y
=0=)lim
x!p
2ln(sinx)
cosx=0:
2.Cazul de nedeterminareh¥
¥i
:
(Nedeterminarea se înl ˘atur˘a, de regul ˘a, utilizând ”factorul comun for¸ tat”).
*Limite de func¸ tii ra¸ tionale.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!¥3×4+x21
2×2x+1; b) limx!¥2×2+x+1
3×4+x2+3:
Rezolvare.
a) lim
x!¥3×4+x21
2×2x+1=h¥
¥i
=lim
x!¥x4
3+1
x21
x4
x2
21
x+1
x2=
24

lim
x!¥x2
3+1
x21
x4
21
x+1
x2=
3
2

(¥)2=¥;
b) limx!¥2×2+x+1
3×4+5×2+3=h¥
¥i
=limx!¥x2
2+1
x+1
x2
x4
3+5
x2+3
x4=limx!¥2+1
x+1
x2
x2
3+5
x2+3
x4=2
¥
3=0:
*Limite de func¸ tii ira¸ tionale, exponen¸ tiale si logaritmice.
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x!¥p
x2+1
x+1; b) limx!¥p
x2+1p
x2+4; c) limx!¥ln(ex+a)
ln(ex+b).
Rezolvare.
a) Avem nedeterminareah¥
¥i
:Pentru x<0, ob¸ tinem:
lim
x!¥p
x2+1
x+1=lim
x!¥s
x2
1+1
x2
x(1+1
x)=lim
x!¥jxjr
1+1
x2
x(1+1
x)=
lim
x!¥xr
1+1
x2
x(1+1
x)=lim
x!¥r
1+1
x2
1+1
x=1:
b) Avem nedeterminareah¥
¥i
:Prelucr ˘am frac¸ tia ¸ si ob¸ tinem:
limx!¥p
x2+1p
x2+4=limx!¥r
x2(1+1
x2)
r
x2(1+4
x2)=limx!¥jxjr
1+1
x2
jxjr
1+4
x2=limx!¥r
1+1
x2r
1+4
x2=1:
c) lim
x!¥ln(ex+a)
ln(ex+b)=lim
x!¥lnex(1+a
ex)
lnex(1+b
ex)=limx!¥lnex+ln(1+a
ex)
lnex+ln(1+b
ex)=
limx!¥x+ln(1+a
ex)
x+ln(1+b
ex)=limx!¥x2
41+ln(1+a
ex)
x3
5
x2
641+ln(1+b
ex)
x3
75!1;deoarece limx!¥ln(1+a
ex)
x=0:
3.Cazul de nedeterminare [¥¥]:
(În acest caz se recomand ˘atransformarea func¸ tiei de sub limit˘ a , iar în cazul radicalilor, ampli-
ficarea eventual ˘a cu expresia conjugat˘ a saufactorul comun for¸ tat ).
*Limite de func¸ tii ra¸ tionale.
(Pentru a elimina nedeterminarea se aduc frac¸ tiile la acela¸ si numitor ):
Exemple:
S˘a se calculeze limitele: a) lim
x%21
x24
x24
; b) lim
x&11
x13
x31
:
Rezolvare.
a) Deoarece lim
x%21
x2=1
0=¥¸ si lim
x%24
x24=4
0=¥;avem nedeterminarea [¥¥]:
Efectu ˘am calculele ¸ si ob¸ tinem:
25

lim
x%21
x24
x24
=lim
x%2x+24
(x2)(x+2)=lim
x%2x2
(x2)(x+2)=lim
x%21
x+2=1
4;
b) Avem nedeterminarea [¥¥]deoarece lim
x&11
x1=1
0+=¥, iar lim
x&13
x31=3
0+=¥:
Efectu ˘am calculele ¸ si ob¸ tinem:
lim
x&11
x13
x31
=lim
x&11
x13
(x1)(x2+x+1)
=lim
x&1×2+x2
(x1)(x2+x+1)=
lim
x&1(x1)(x+2)
(x1)(x2+x+1)=lim
x&1x+2
x2+x+1=3
3=1
*Limite de func¸ tii ira¸ tionale (prin amplificare cu conjugata ).
Exemplu:
limx!¥3px+13px

= [¥¥] =limx!¥x+1x
3q
(x+1)2+3p
x(x+1)+3p
x2=
limx!¥1
3q
(x+1)2+3p
x(x+1)+3p
x2=1
¥=0;
*Limite de func¸ tii ira¸ tionale (prin for¸ tare de factor comun a lui xla puterea cea mai mare ).
Exemplu:
limx!¥
3p
x24p
x3
= [¥¥] =limx!¥
x2
3x3
4
=limx!¥x3
4
x1
121
=
limx!¥x3
41
x1
121
=¥(01) =¥:
4.Cazul de nedeterminare [0
¥]:
(Nedeterminarea se transform ˘a în unul din cazurile exceptate0
0
sauh¥
¥i
).
Exemple.
S˘a se calculeze limitele: a) limx!¥xsin1
x; b) lim
x!0(xarcsin x)1
ln(x2+1):
Rezolvare.
a) lim
x!¥xsin1
x= [0
¥] =lim
x!¥sin1
x
1
x=0
0
=lim
y!0siny
y=1
1
xnot=y;pentru x!¥avem y!0
:
b) V om utiliza urm ˘atoarele limite fundamentale: lim
x!0arcsin x
x=1 ¸ si limx!x0ln(1+u(x))
u(x)=1:
Efectu ˘am calculele ¸ si ob¸ tinem:
lim
x!0(xarcsin x)1
ln(x2+1)= [0
¥] =lim
x!0arcsin x
x
x2
ln(x2+1)=
lim
x!0arcsin x
x
lim
x!01
ln
x2+1

x2=1
1=1:
5.Cazul de nedeterminare [1¥]:
În acest caz exceptat se utilizeaz ˘a limitele fundamentale:
lim
x!0(1+x)1
x=e¸ si limx!x0(1+u(x))1
u(x)=e
dac˘a limx!x0u(x) =0 ¸ siu(x)6=0 pentru x6=x0
.
Exemplu:
lim
x!0(cosx)1
x2=lim
x!0n
[1+(cosx1)]1
cosx1ocosx1
x2=eL:
L=lim
x!0cosx1
x2=lim
x!0(cosx1)(cosx+1)
x2(cosx+1)=lim
x!0cos2x1
x2(cosx+1)=lim
x!0sin2x
x2(cosx+1)=
26

lim
x!0sin2x
x2
lim
x!01
cosx+1=1
1
2=1
2;deci lim
x!0(cosx)1
x2=e1
2=1pe:
6.Cazurile de nedeterminare
00
¸ si
¥0
:
Pentru înl ˘aturarea nedetermin ˘arii se utilizeaz ˘a egalitatea fg=eglnf¸ si limitele remarcabile
limx!¥xa
ex=0,a>0 ¸ si lim
x!¥lnx
xa=0,a>0 ( cele dou ˘a limite remarcabile se demonstreaz ˘a cu teorema
lui L’Hospital).
Exemplu:
lim
x&0xx=
00
=lim
x&0exlnx=elim
x&0xlnx
=eL
L=lim
x&0xlnx= [0
(¥)] = limy!¥(ey
lney) =limy!¥(y
ey) =limy!¥y
ey=0;deci
lim
x&0xx=eo=1

lnxnot=y;x=eypentru x!0 ¸ six>0 avem y!¥
:
Observatie.
Am v ˘azut c ˘a pentru a elimina nedetermin ˘arile în cazul limitelor de func¸ tii este necesar un
studiu direct pentru a stabili dac ˘a exist ˘a limita. Metodele folosite într-un astfel de studiu nu au
un caracter unitar ¸ si, de multe ori, presupun o ingeniozitate deosebit ˘a ¸ si o bogat ˘a experien¸ t ˘a în
calculul de limite din partea aceluia care le mânuie¸ ste. Un procedeu mai simplu ¸ si unitar, care
cu ajutorul derivatelor permite rezolvarea problemei într-un num ˘ar destul de mare de împrejur ˘ari
este a¸ sa-numita “ regul ˘a a lui L’Hospital“, aplicabil ˘a(în anumite condi¸ tii )cazurilor0
0
¸ sih¥
¥i
:
Celelalte cazuri se reduc la acestea.
27

Capitolul 2
Aplica¸ tii metodice în calculul limitelor de func¸ tii
2.1. Exemple de limite de func¸ tii
1.S˘ a se calculeze: lim
x!01coslx
x2.
Rezolvare . De¸ si este este o limit ˘a în care apar func¸ tii trigonometrice formulele de trigonome-
trie care vor fi folosite sunt de bun sim¸ t sin2x+cos2x=1 ¸ si apoi se utilizeaz ˘a limita fundamental ˘a
lim
x!0sinx
x=1. Ideea este simpl ˘a, înmul¸ tim ¸ si împ ˘ar¸ tim cu un fel de conjugat ˘a adic ˘a cu 1 +coslx.
Avem
lim
x!01coslx
x2=0
0
=lim
x!0(1coslx)(1+coslx)
x2(1+coslx)=lim
x!01cos2lx
x2(1+coslx)
lim
x!01
1+coslx
sin2lx
x2=lim
x!01
1+coslx
lim
x!0sin2lx
x2=1
2lim
x!0sin2lx
x2
=l2
2lim
x!0sin2lx
l2x2=l2
2:
2.S˘ a se calculeze:
lim
x!01cosxcos2 x


cosnx
x2:
Rezolvare . Aceasta este problema nr. 7211 din Gazeta matematic ˘a seria B, nr. 12, 1966. Ea a
fost propus ˘a de Gh. Szollosy. Procedeul de rezolvare care urmeaz ˘a îi apar¸ tine lui Dan V oiculescu,
atunci elev, ast ˘azi un matematician binecunoscut. Not ˘am
Ln=lim
x!01cosxcos2 x


cosnx
x2:
Ideea este aproape invariabil urm ˘atoarea: Adun ˘am ¸ si sc ˘adem ultimul termen ¸ si îi grup ˘am firesc
Ln=lim
x!01cosnx+cosnxcosxcos2 x


cosnx
x2
=lim
x!01cosnx+cosnx(1cosxcos2 x


cos(n1)x)
x2
=lim
x!01cosnx
x2+lim
x!0cosnx
1cosxcos2 x


cos(n1)x
x2
=lim
x!01cosnx
x2+lim
x!0cosnx
lim
x!01cosxcos2 x


cos(n1)x
x2
=lim
x!01cosnx
x2+lim
x!01cosxcos2 x


cos(n1)x
x2
=lim
x!01cosnx
x2+Ln1:
A¸ sadar,
Ln=Ln1+lim
x!01cosnx
x2,8n2
Dar, din aplica¸ tia precedent ˘a
lim
x!01cosnx
x2=n2
2
28

A¸ sadar, avem
Ln=Ln1+n2
2,8n2
din aceast ˘a egalitate se vede c ˘a mai trebuie calculat L1=lim
x!01cosx
x2=12
2(nu o mai calcul ˘am
c˘a o avem deja calculat ˘a !!!)
Acum ¸ stim cum facem, d ˘am valori lui n=2, …, n¸ si adun ˘am rela¸ tiile respective.
L2=L1+22
2
L3=L2+32
2



Ln1=Ln2+(n1)2
2
Ln=Ln1+n2
2
Termenii se reduc doi câte doi ¸ si ob¸ tinem
Ln=L1+22
2+


+n2
2
În aceast ˘a rela¸ tie înlocuim L1=12
2¸ si vom ob¸ tine
Ln=12
2+22
2+


+n2
2=n(n+1)(2n+1)
12:
3.Fie a 1;:::;an2Rs˘ a se calculeze:
lim
x!01cosa1xcosa2x


cosanx
x2:
Rezolvare . Not ˘am
L(a1;:::;an) =lim
x!01cosa1xcosa2x


cosanx
x2=0
0
:
Adun ˘am ¸ si sc ˘adem ultimul termen ¸ si ca în prima solu¸ tie ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = lim
x!01cosanx
x2+lim
x!01cosa1xcosa2x


cosan1x
x2
=lim
x!01cosanx
x2+L(a1;:::;an1):
Acum am demonstrat c ˘a lim
x!01coslx
x2=l2
2. Ob¸ tinem
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+a2
n
2,8n2
29

¸ Si aici se vede c ˘a trebuie calculat ˘aL(a1) =lim
x!01cosa1x
x2=a2
1
2(¸ stim asta). D ˘am la fel valori ¸ si
adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)+a2
2
2
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)+a2
3
2



n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)+a2
n1
2
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+a2
n
2
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) =L(a1)+a2
2
2+


+a2
n
2
de unde
L(a1;:::;an) =a2
1+


+a2
n
2:
4.S˘ a se calculeze:
lim
x!0cosa1xcosa2x


cosanxcosb1xcosb2x


cosbnx
x2:
Rezolvare . Avem
lim
x!0cosa1xcosa2x


cosanxcosb1xcosb2x


cosbnx
x2=
=lim
x!0(1cosb1xcosb2x


cosbnx)(1cosa1xcosa2x


cosanx)
x2
=lim
x!01cosb1xcosb2x


cosbnx
x2lim
x!01cosa1xcosa2x


cosanx
x2
=a2
1+


+a2
n
2b2
1+


+b2
n
2:
5.S˘ a se calculeze:
lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+anx)
x;
lim
x!01lnn(e+ax)
x;
lim
x!01ln(e+x)ln(e+2x)


ln(e+nx)
x:
Rezolvare . Not ˘am
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+anx)
x=0
0
:
30

V om folosi procedeul lui Dan V oiculescu. Adun ˘am ¸ si sc ˘adem ultimul termen. Ob¸ tinem
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(e+anx)+ln(e+anx)ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+an1x)ln(e+anx)
x
=lim
x!01ln(e+anx)
x+lim
x!0ln(e+anx)lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+an1x)
x
=lim
x!01ln(e+anx)
x+lim
x!01ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+an1x)
x
=lim
x!01ln(e+anx)
x+L(a1;:::;an1):
Acum va trebui s ˘a calcul ˘am lim
x!01ln(e+lx)
x=0
0
. Folosim ln e=1 ¸ si ln alnb=lna
b. Avem
lim
x!01ln(e+lx)
x=0
0
=lim
x!0lneln(e+lx)
x=lim
x!0lne
e+lx
x
=lim
x!0ln
1+e
e+lx1
x=lim
x!0ln
1lx
e+lx
x=lim
x!02
4ln
1lx
e+lx
lx
e+lx
lx
e+lx
x3
5
=lim
x!0ln
1lx
e+lx
lx
e+lx
lim
x!0lx
e+lx
x=1
lim
x!0
l
e+lx
=l:
Am ¸ tinut cont c ˘a lim
y!0ln(1+y)
y=1. A¸ sadar,
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)an,8n2:
În plus
L(a1) =lim
x!01ln(e+a1x)
x=a1:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)a2
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)a3




n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)an1
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)an
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = L(a1)a2


an
=a1


an=(a1+a2+


+an) =n
å
i=1ai:
Pentru a1=a2=


=an=aob¸ tinem
lim
x!01lnn(e+ax)
x=na:
31

Pentru ai=i2ob¸ tinem
lim
x!01ln
e+12x

ln
e+22x




ln
e+n2x

x=n
å
i=1i2=n(n+1)(2n+1)
6:
6.S˘ a se calculeze:
lim
x!0ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+anx)ln(e+b1x)ln(e+b2x)


ln(e+bnx)
x:
Rezolvare . Folosind aplica¸ tia precedent ˘a avem
lim
x!0ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+anx)ln(e+b1x)ln(e+b2x)


ln(e+bnx)
x=0
0
=lim
x!0[1ln(e+b1x)ln(e+b2x)


ln(e+bnx)](1ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+anx))
x
=lim
x!01ln(e+b1x)ln(e+b2x)


ln(e+bnx)
xlim
x!0(1ln(e+a1x)ln(e+a2x)


ln(e+anx))
x
= (a1+a2+


+an)(b1+b2+


+bn):
7.S˘ a se calculeze:
lim
x!01p1+a2x3p1+a3x


np1+anx
x;n2;
lim
x!01p1+2x3p1+3x


np1+nx
x;n2;
lim
x!01p1+x
13p1+x
2


nq
1+x
n1
x;n2:
Rezolvare . Not ˘am
L(a2;:::;an) =lim
x!01p1+a2x3p1+a3x


np1+anx
x:
V om folosi iar ˘a¸ si procedeul lui Dan V oiculescu.
L(a2;:::;an) = lim
x!01np1+anx+np1+anxp1+a2x3p1+a3x


np1+anx
x
=lim
x!01np1+anx
x+lim
x!0np1+anx
1p1+a2x3p1+a3x


n1p1+an1x

x
=lim
x!01np1+anx
x+lim
x!0np
1+anxlim
x!01p1+a2x3p1+a3x


n1p1+an1x
x=
=lim
x!01np1+anx
x+lim
x!01p1+a2x3p1+a3x


n1p1+an1x
x
=lim
x!01np1+anx
x+L(a2;:::;an1):
A¸ sadar,
L(a2;:::;an) =lim
x!01np1+anx
x+L(a2;:::;an1),8n3:
32

Pentru a calcula lim
x!01np1+anx
xvom folosi limita fundamental ˘a lim
y!0(1+y)r1
y=r,r2R.
Avem
lim
x!01np1+anx
x=lim
x!0np1+anx1
x=lim
x!0(1+anx)1
n1
anx
anx
x=1
n
an=an
n:
V om ob¸ tine
L(a2;:::;an) =L(a2;:::;an1)an
n,8n3
iar
L(a2) =lim
x!01p1+a2x
x=a2
2:
Acum d ˘am valori lui n¸ si adun ˘am rela¸ tiile respective; aici va trebui s ˘a începem de la n=3, pentru
c˘a apare radical de ordin 2.
n=3)L(a2;a3) =L(a2)a3
3
n=4)L(a2;a3;a4) =L(a2;a3)a4
4



n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)an1
n1
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)an
n
¸ si ob¸ tinem
L(a2;:::;an) = L(a2)a3
3


an
n
=a2
2a3
3


an
n=a2
2+a3
3+


+an
n
:
Pentru ai=iîn prima limit ˘a ob¸ tinem
lim
x!01p1+2x3p1+3x


np1+nx
x=n
å
i=2ai
i=n
å
i=21=(n1):
Pentru ai=1
i1în prima limit ˘a ob¸ tinem
lim
x!01p1+x
13p1+x
2


nq
1+x
n1
x=n
å
i=2ai
i=n
å
i=21
i(i1):
Pentru a calcula suma descompunem în frac¸ tii simple ¸ si ob¸ tinem1
i(i1)=1
i11
i, de unde
n
å
i=21
i(i1)=11
n=n1
n; o sum ˘a binecunoscut ˘a. A¸ sadar,
lim
x!01p1+x
13p1+x
2


nq
1+x
n1
x=n1
n:
8.S˘ a se calculeze:
lim
x!0p1+a2x3p1+a3x


np1+anxp1+b2x3p1+b3x


np1+bnx
x;n2:
33

Rezolvare . Avem din aplica¸ tia precedent ˘a
lim
x!0p1+a2x3p1+a3x


np1+anxp1+b2x3p1+b3x


np1+bnx
x
=lim
x!0
1p1+b2x3p1+b3x


np1+bnx


1p1+a2x3p1+a3x


np1+anx

x
=lim
x!0
1p1+b2x3p1+b3x


np1+bnx

xlim
x!0
1p1+a2x3p1+a3x


np1+anx

x
=a2
2+a3
3+


+an
n
b2
2+b3
3+


+bn
n
:
9.S˘ a se calculeze:
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x:
Rezolvare . Avem
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x=0
0
:
Acum de fapt avem11
0
asta înseamn ˘a c˘a va trebui s ˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem cîte un 1 la numitor.
Avem
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x=lim
x!0
1[ln(e+a2x)]b2

1[ln(e+a1x)]b1
x
=lim
x!01[ln(e+a2x)]b2
xlim
x!01[ln(e+a1x)]b1
x:
Calcul ˘am acum lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=0
0
. V om folosi limita lim
y!0(1+y)r1
y=r,r2R. Avem
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=lim
x!0[ln(e+ax)]b1
x=lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1
ln(e+ax)1
x
lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1
lim
x!0ln(e+ax)1
x=blim
x!0ln(e+ax)1
x:
La aceasta folosim un procedeu deja utilizat; ln e=1, ln alnb=lna
b¸ si limita fundamental ˘a
lim
y!0ln(1+y)
y=1.
lim
x!0ln(e+ax)1
x=lim
x!0ln(e+ax)lne
x=lim
x!0lne+ax
e
x=lim
x!0ln
1+ax
e

ax
e
ax
e
x
=lim
x!0ln
1+ax
e

ax
e
ax
e
x=lim
x!0ln
1+ax
e

ax
e
lim
x!0ax
e
x=a
e:
A¸ sadar,
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=ab
e:
34

V om ob¸ tine c ˘a limita din enun¸ t este egal ˘a cu
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2
x=lim
x!01[ln(e+a2x)]b2
xlim
x!01[ln(e+a1x)]b1
x
=a2b2a1b1
e:
10.S˘ a se calculeze:
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1


[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1


[ln(e+cnx)]dn
x;
lim
x!0[ln(e+ax)]nb[ln(e+cx)]nd
x:
Rezolvare . Sub aceast ˘a form ˘a aplica¸ tia este dificil ˘a. Cea care va sugera procedeul de rezolvare
este maniera în care apare cazul de nedeterminare. Aici avem cazul0
0
¸ si mai exact11
0
; asta
înseamn ˘a c˘a va trebui s ˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem câte un 1 la numitor adic ˘a folosim egalitatea
[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1[ln(e+c2x)]d2


[ln(e+cnx)]dn

1[ln(e+c1x)]d1[ln(e+c2x)]d2


[ln(e+cnx)]dn

1[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+anx)]bn
:
Avem
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1


[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1


[ln(e+cnx)]dn
x
=lim
x!01[ln(e+c1x)]d1[ln(e+c2x)]d2


[ln(e+cnx)]dn
x
lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+anx)]bn
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn):
unde am notat
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+anx)]bn
x:
Pentru a calcula aceast ˘a limit ˘a vom folosi procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+anx)]bn
x=
lim
x!01[ln(e+anx)]bn+[ln(e+anx)]bn[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+anx)]bn
x
=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+
lim
x!0[ln(e+anx)]bn

1[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+an1x)]bn1
x
35

=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+
lim
x!0[ln(e+anx)]bn
lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+an1x)]bn1
x
=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+lim
x!01[ln(e+a1x)]b1[ln(e+a2x)]b2


[ln(e+an1x)]bn1
x
=lim
x!01[ln(e+anx)]bn
x+L(a1;b1;:::;an1;bn1):
Pentru a calcula limita vom folosi limita fundamental ˘a lim
y!0(1+y)r1
y=r,r2R. Avem
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=lim
x!0[ln(e+ax)]b1
x=lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1
ln(e+ax)1
x
=lim
x!0[1+ln(e+ax)1]b1
ln(e+ax)1
lim
x!0ln(e+ax)1
x=blim
x!0ln(e+ax)1
x:
V om folosi în continuare limita fundamental ˘a lim
y!0ln(1+y)
y=1. Avem
lim
x!0ln(e+ax)1
x=0
0
=lim
x!0ln(e+ax)lne
x=lim
x!0lne+ax
e
x=lim
x!0ln
1+ax
e

ax
e
a
e=a
e:
V om ob¸ tine
lim
x!01[ln(e+ax)]b
x=ab
e:
A¸ sadar avem rela¸ tia
L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn
e;8n2;
iar
L(a1;b1) =lim
x!01[ln(e+a1x)]b1
x=a1b1
e:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;b1;a2;b2) =L(a1;b1)a2b2
e
n=3)L(a1;b1;a2;b2;a3;b3) =L(a1;b1;a2;b2)a3b3
e



n!n1)L(a1;b1;:::;an1;bn1) =L(a1;b1;:::;an2;bn2)an1bn1
e
n!n)L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn
e
¸ si ob¸ tinem
L(a1;b1;:::;an;bn) = L(a1;b1)a2b2
e


anbn
e
=a1b1
e


anbn
e=a1b1+


+anbn
e:
36

V om ob¸ tine deci c ˘a limita din enun¸ t
lim
x!0[ln(e+a1x)]b1


[ln(e+anx)]bn[ln(e+c1x)]d1


[ln(e+cnx)]dn
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn)
=a1b1+


+anbn
ec1d1+


+cndn
e:
Pentru ai=a,bi=b¸ sici=c,di=dob¸ tinem
lim
x!0[ln(e+ax)]nb[ln(e+cx)]nd
x=nab
encd
e=n(abcd)
e:
Ideea de rezolvare a urmatoarei aplica¸ tii este identic ˘a cu cea din aplica¸ tia anterioar ˘a.
11.S˘ a se calculeze:
lim
x!0(1+a1x)b1


(1+anx)bn(1+c1x)d1


(1+cnx)dn
x;
lim
x!0(1+ax)nb(1+cx)nd
x;
lim
x!0(1+x)(1+3x)3


(1+(2n1)x)2n1(1+2x)2(1+4x)4


(1+2nx)2n
x:
Rezolvare . Avem
lim
x!0(1+a1x)b1


(1+anx)bn(1+c1x)d1


(1+cnx)dn
x=11
0
lim
x!0h
1(1+c1x)d1


(1+cnx)dni
h
1(1+a1x)b1


(1+anx)bni
x=
lim
x!0h
1(1+c1x)d1


(1+cnx)dni
xlim
x!0h
1(1+a1x)b1


(1+anx)bni
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn)
unde am notat
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01(1+a1x)b1


(1+anx)bn
x:
Iar˘a¸ si folosim procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01(1+a1x)b1


(1+anx)bn
x=
lim
x!01(1+anx)bn+(1+anx)bn(1+a1x)b1


(1+anx)bn
x=
=lim
x!01(1+anx)bn
x+lim
x!0(1+anx)bn
1(1+a1x)b1


(1+an1x)bn1
x
=lim
x!01(1+anx)bn
x+lim
x!0(1+anx)bn
lim
x!01(1+a1x)b1


(1+an1x)bn1
x
37

=lim
x!01(1+anx)bn
x+lim
x!01(1+a1x)b1


(1+an1x)bn1
x
=lim
x!01(1+anx)bn
x+L(a1;b1;:::;an1;bn1)
A¸ sadar,
L(a1;b1;:::;an;bn) =lim
x!01(1+anx)bn
x+L(a1;b1;:::;an1;bn1);8n2:
Deoarece
lim
x!01(1+anx)bn
x=anlim
x!0(1+anx)bn1
anx=anbn
deducem c ˘a:
L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn;8n2:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;b1;a2;b2) =L(a1;b1)a2b2
n=3)L(a1;b1;a2;b2;a3;b3) =L(a1;b1;a2;b2)a3b3




n!n1)L(a1;b1;:::;an1;bn1) =L(a1;b1;:::;an2;bn2)an1bn1
n!n)L(a1;b1;:::;an;bn) =L(a1;b1;:::;an1;bn1)anbn
¸ si ob¸ tinem
L(a1;b1;:::;an;bn) = L(a1;b1)a2b2


anbn
=a1b1


anbn=(a1b1+


+anbn):
De aici deducem limita ini¸ tial ˘a
lim
x!0(1+a1x)b1


(1+anx)bn(1+c1x)d1


(1+cnx)dn
x
=L(c1;d1;:::;cn;dn)L(a1;b1;:::;an;bn)
= ( a1b1+


+anbn)(c1d1+


+cndn)
=n
å
i=1(aibicidi):
Lu˘am în prima limit ˘aai=a,bi=b¸ sici=a,di=dvom ob¸ tine
lim
x!0(1+ax)nb(1+cx)nd
x=n(abcd):
Lu˘am în prima limit ˘aai=bi=2i1 ¸ sici=di=2ivom ob¸ tine
lim
x!0(1+x)(1+3x)3


(1+(2n1)x)2n1(1+2x)2(1+4x)4


(1+2nx)2n
x
=n
å
i=1(aibicidi) =n
å
i=1
(2i1)24i2
=n
å
i=1(14i)
=n
å
i=11n
å
i=14i=n4n(n+1)
2=2n(2n+1)
2:
38

12.S˘ a se calculeze:
lim
x!0a1


anxnln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
xn+1;
lim
x!0xnlnn(1+x)
xn+1;
lim
x!0n!xnln(1+x)ln(1+2x)


ln(1+nx)
xn+1:
Rezolvare . În aproape toate exemplele anterioare apare num ˘arul 1. Ca s ˘a avem a¸ sa ceva vom
da „factor comun for¸ tat a1


anxn”. Avem
lim
x!0a1


anxnln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
xn+1
=lim
x!0a1


anxn
1ln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
a1


anxn
xn+1
a1


anlim
x!01ln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
a1


anxn
x:
V om lua acum separat
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
a1


anxn
x
O prima observa¸ tie este aceea c ˘a
ln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
a1


anxn=ln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+anx)
anx
deci avem de calculat
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+anx)
anx
x:
¸ si este clar c ˘a ideea este de a aplica procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;:::;an) =lim
x!01ln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+anx)
anx
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx+ln(1+anx)
anxln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+anx)
anx
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+lim
x!0ln(1+anx)
anx
1ln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+an1x)
an1x
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+lim
x!0ln(1+anx)
anx
lim
x!01ln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+an1x)
an1x
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+lim
x!01ln(1+a1x)
a1x
ln(1+a2x)
a2x


ln(1+an1x)
an1x
x
=lim
x!01ln(1+anx)
anx
x+L(a1;:::;an1)
39

Calcul ˘am acum lim
x!01ln(1+ax)
ax
x=lim
x!0axln(1+ax)
ax2=0
0
. Ca regul ˘a atunci când la numitor
apare x2,x3, etc limita nu se poate rezolva f ˘ar˘a regula lui L’Hospital. Avem
lim
x!01ln(1+ax)
ax
x=lim
x!0axln(1+ax)
ax2=lim
x!0(axln(1+ax))0
(ax2)0
=lim
x!0aa
1+ax
2ax=lim
x!0ax
2x(1+x)=a
2:
Ob¸ tinem deci rela¸ tia
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
2;8n2
iar
L(a1) =lim
x!01ln(1+a1x)
a1x
x=a1
2:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)+a2
2
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)+a3
2



n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)+an1
2
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
2
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = L(a1)+a2
2+


+an
2
=a1
2+a2
2+


+an
2=a1+a2+


+an
2:
A¸ sadar, limita ini¸ tial ˘a are valoarea
lim
x!0a1


anxnln(1+a1x)ln(1+a2x)


ln(1+anx)
xn+1
a1


an
a1+a2+


+an
2:
Pentru a1=


=an=1 ob¸ tinem
lim
x!0xnlnn(1+x)
xn+1=n
2:
Pentru a1=1,a2=2, …, an=nob¸ tinem
lim
x!0n!xnln(1+x)ln(1+2x)


ln(1+nx)
xn+1
n!
1+2+


+n
2=n!
n(n+1)
4:
40

13.S˘ a se calculeze:
lim
x!0a1


anxnsina1xsina2x


sinanx
xn+2;
lim
x!0xnsinnx
xn+2;
lim
x!0n!xnsinxsin2x


sinnx
xn+2:
Rezolvare . În aproape toate exemplele anterioare aparea numarul 1. Ca s ˘a avem a¸ sa ceva vom
da „factor comun for¸ tat a1


anxn”. Avem
lim
x!0a1


anxnsina1xsina2x


sinanx
xn+2=lim
x!0a1


anxn
1sina1xsina2x


sinanx
a1


anxn
xn+2=
a1


anlim
x!01sina1xsina2x


sinanx
a1


anxn
x2:
V om lua acum separat
L(a1;:::;an) =lim
x!01sina1xsina2x


sinanx
a1


anxn
x2:
O prima observa¸ tie este aceea c ˘a
sina1xsina2x


sinanx
a1


anxn=sina1x
a1x
sina2x
a2x


sinanx
anx
deci avem de calculat
L(a1;:::;an) =lim
x!01sina1x
a1x
sina2x
a2x


sinanx
anx
x2:
¸ si este clar c ˘a ideea este de a aplica procedeul lui Dan V oiculescu. Avem
L(a1;:::;an) =lim
x!01sina1x
a1x
sina2x
a2x


sinanx
anx
x2
=lim
x!01sinanx
anx+sinanx
anxsina1x
a1x
sina2x
a2x


sinanx
anx
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+lim
x!0sinanx
anx
1sina1x
a1x
sina2x
a2x


sinan1x
an1x
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+lim
x!0sinanx
anx
lim
x!01sina1x
a1x
sina2x
a2x


sinan1x
an1x
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+lim
x!01sina1x
a1x
sina2x
a2x


sinan1x
an1x
x2
=lim
x!01sinanx
anx
x2+L(a1;:::;an1)
41

Calculam acum lim
x!01sinax
ax
x2=lim
x!0axsinax
ax3=0
0
. Ca regul ˘a atunci când la numitor apare x2,
x3, etc limita nu se poate rezolva f ˘ar˘a regula lui L’Hospital. Avem
lim
x!01sinax
ax
x2=lim
x!0axsinax
ax3=lim
x!0(axsinax)0
(ax3)0=lim
x!0aacosax
3ax2
=1
3alim
x!01cosax
x2=1
3a
a2
2=a
6:
Ob¸ tinem deci rela¸ tia
L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
6;8n2;
iar
L(a1) =lim
x!01sina1x
a1x
x2=a1
6:
D˘am la fel valori ¸ si adun ˘am (rela¸ tiile trebuie scrise ca s ˘a se vad ˘a c˘a se reduc)
n=2)L(a1;a2) =L(a1)+a2
6
n=3)L(a1;a2;a3) =L(a1;a2)+a3
6



n!n1)L(a1;:::;an1) =L(a1;:::;an2)+an1
6
n!n)L(a1;:::;an) =L(a1;:::;an1)+an
6
¸ si ob¸ tinem
L(a1;:::;an) = L(a1)+a2
6+


+an
6
=a1
6+a2
6+


+an
6=a1+a2+


+an
6:
A¸ sadar limita ini¸ tial ˘a are valoarea
lim
x!0a1


anxnsina1xsina2x


sinanx
xn+2=
a1


an
a1+a2+


+an
6:
Pentru a1=


=an=1 ob¸ tinem
lim
x!0xnsinnx
xn+1=n
6:
Pentru a1=1,a2=2, …, an=nob¸ tinem
lim
x!0n!xnsinxsin2x


sinnx
xn+1=
n!
1+2+


+n
6=n!
n(n+1)
12:
Aceast ˘a limit ˘a este problema nr. 7211 din Gazeta matematic ˘a seria B, nr. 12, 1966.
14.S˘ a se calculeze:
lim
x!p
2(1sinx)(1sin2x):::(1sinnx)
cos2nx;n2N:
42

Rezolvare. Avem
lim
x!p
2(1sinx)(1sin2x):::(1sinnx)
cos2nx
=lim
x!p
2n
Õ
k=11sinkx
cos2x=n
Õ
k=1lim
x!p
21sinkx
cos2x
=n
Õ
k=1lim
x!p
21sinkx
1sin2x=n
Õ
k=1lim
x!p
2(1sinx)(1+sinx+:::+sink1x)
(1sinx)(1+sinx)
=n
Õ
k=1lim
x!p
21+sinx+:::+sink1x
1+sinx=n
Õ
k=1k
2=1
2
2
2
3
2
:::
n
2=n!
2n:
15.Pentru orice n2N, s˘ a se calculeze :
lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn:
Rezolvare. Suntem în cazul de exceptie0
0
¸ si deci pentru calculul acestei limite vom ¸ tine
seama c ˘a limx!x0sinu(x)
u(x)=1 dac ˘a limx!x0u(x) =0:
Avem succesiv:
lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn
=lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn
=lim
x!0sin(xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xsin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
lim
x!0sin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn1
=lim
x!0sin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn1
=lim
x!0sin(2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
2xsin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
2
lim
x!0sin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn2
=1
2
lim
x!0sin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn2
=2!
lim
x!0sin(3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
3xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
lim
x!03xsin(4xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn2
=3!
lim
x!0sin(4xsin(:::((n1)xsin(nx):::)
xn3=:::=n!
16.S˘ a se calculeze:
lim
x!0
1+sinx+sin3x
n1
sinnx+4sin x;n2N:
Rezolvare. Notând y=sinx, limita din enun¸ t se scrie:
lim
x!0
1+sinx+sin3x
n1
sinnx+4sin x=lim
y!0
1+y+y3
n1
yn+4y=
43

lim
y!0
1+y+y31
h
1+y+y3
n1+
1+y+y3
n2+:::+1i
y(yn1+4)=
lim
y!0y
1+y2
h
1+y+y3
n1+
1+y+y3
n2+:::+1i
y(yn1+4)=
lim
y!0
1+y2
h
1+y+y3
n1+
1+y+y3
n2+:::+1i
(yn1+4)=1
4:
Aceast ˘a limit ˘a este problema nr. 3252 din Gazeta matematic ˘a seria B, nr. 5-6, 2008, p.300.
17.S˘ a se calculeze:
lim
x!0(1pcosx)
(13pcosx)
:::
(1npcosx)
x2n2;unde n2:
Rezolvare. Evident avem rela¸ tia
1kpcosx=1cosx
1+kpcosx+kp
cos2x+:::+kp
cosk1x;
deci
1kpcosx
x2=1
2
sinx
2
x
22

1
1+kpcosx+kp
cos2x+:::+kp
cosk1x
trecem la limit ˘a ¸ si ob¸ tinem lim
x!01kpcosx
x2=1
2
1
k:
A¸ sadar,
lim
x!0(1pcosx)
(13pcosx)
:::
(1npcosx)
x2n2=lim
x!0n
Õ
k=21kpcosx
x2=n
Õ
k=21
2k=1
2n1n!:
18.S˘ a se calculeze:
lim
x!0mpcosxnpcosx
sin2x;m;n2N:
Rezolvare. Avem lim
x!0mpcosxnpcosx
sin2x=lim
x!0mpcosx1npcosx+1
sin2x=
=lim
x!0mpcosx1
sin2xlim
x!0npcosx1
sin2x:
Îns˘a,
lim
x!0ppcosx1
sin2x=lim
x!01
pp
cosp1x+pp
cosp2x+:::+1
cosx1
sin2x
=
lim
x!01
pp
cosp1x+pp
cosp2x+:::+1
lim
x!0cosx1
sin2x=
1
p
lim
x!0cosx1
sin2x=0
0
=1
p
lim
x!0(cosx1)(cosx+1)
(cosx+1)sin2x=
1
p
lim
x!0cos2x1
(cosx+1)sin2x=1
p
lim
x!0sin2x
(cosx+1)sin2x=1
p
lim
x!01
cosx+1=1
2p;
44

unde p2N:
Rezult ˘a
lim
x!0mpcosxnpcosx
sin2x=1
2m
1
2n
=1
2m+1
2n=nm
2mn:
19.S˘ a se calculeze:
lim
x!0e2007 x(1+x)2007
x;
lim
x&0h
ln
e2007 x+sin2007 x(1+x)2007
lnxi
:
Rezolvare. În prima limita avem cazul0
0
¸ si mai exact11
0
; asta înseamn ˘a c˘a va trebui
s˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem câte un 1 la num ˘ar˘ator adic ˘a avem
lim
x!0e2007 x(1+x)2007
x=lim
x!0e2007 x1(1+x)2007+1
x
lim
x!0
e2007 x1
x(1+x)20071
x!
=lim
x!0e2007 x1
xlim
x!0(1+x)20071
x:
V om folosi în continuare limitele fundamentale lim
y!0ay1
y=lna;a>0 ¸ si lim
y!0(1+y)r1
y=r,
r2R. Avem
lim
x!0e2007 x(1+x)2007
x=lne20072007 =20072007 =0:
Pentru a calcula a doua limit ˘a vom folosi urm ˘atoarea proprietate a logaritmilor: ln alnb=
lna
bcua>0;b>0 ¸ si ob¸ tinem
lim
x&0h
ln
e2007 x+sin2007 x(1+x)2007
lnxi
=lim
x&0"
lne2007 x+sin2007 x(1+x)2007
x#
=
ln"
lim
x&0
e2007 x(1+x)2007
x+sin2007 x
2007 x
2007!#
=ln(0+2007) =ln2007 :
20.S˘ a se calculeze:
lim
x!0ax+bx
21
x
;a;b>0:
Rezolvare.
Metoda I. Avem cazul exceptat [1¥];asta înseamn ˘a c˘a va trebui s ˘a adun ˘am ¸ si s ˘a sc˘adem câte
un 1 în baz ˘a pentu a forma num ˘arule;
adic˘a avem
lim
x!0ax+bx
21
x
=lim
x!0"
1+ax+bx
211
x#
=
=lim
x!0"
1+ax+bx2
2 2
ax+bx2#ax+bx2
2
1
x
=e1
2
lim
x!0ax+bx2
x=e1
2
L:
45

Pentru a calcula limita de la exponent vom folosi limita fundamental ˘a lim
y!0ay1
y=lna;a>0
¸ si avem
L=lim
x!0ax+bx2
x=0
0
=lim
x!0ax1
x+lim
x!0bx1
x=lna+lnb=ln(ab):
Deci,
lim
x!0ax+bx
21
x
=e1
2
ln(ab)=elnp
ab=p
ab:
Metoda a II-a. V om utiliza egalitatea fg=eglnf¸ si ob¸ tinem
lim
x!0ax+bx
21
x
=lim
x!0e1
x
lnax+bx
2=elim
x!01
x
lnax+bx
2=eL1:
L1=lim
x!01
x
lnax+bx
2=lim
x!0lnh
ax+bx
21
+1i
ax+bx
21
ax+bx
21

1
x=
=lim
x!0lnh
ax+bx
21
+1i
ax+bx
21
lim
x!0ax+bx
21

1
x:
Calcul ˘am acum ultimele dou ˘a limite. Pentru prima limit ˘a consider ˘am schimbarea de variabil ˘a
y=ax+bx
21;x!0;y!0 ¸ si limita fundamental ˘a lim
y!0ln(1+y)
y=1:V om ob¸ tine
lim
x!0lnh
ax+bx
21
+1i
ax+bx
21=lim
y!0ln(y+1)
y=1:
Pentru a dou ˘a limit ˘a vom folosi formula lim
y!0ay1
y=lna;a>0 ¸ si avem
lim
x!0ax+bx
21

1
x= [0
¥] =1
2
lim
x!0ax1
x+bx1
x
=1
2(lna+lnb) =1
2ln(ab) =lnp
ab:
Deci L1=lnp
ab, iar
lim
x!0ax+bx
21
x
=elnp
ab=p
ab:
21.S˘ a se calculeze:
lim
x!0ax
1+ax
2+:::+ax
n
n1
x
;unde a1>0;a2>0;:::;an>0:
Rezolvare. Exerci¸ tiul reprezint ˘a generalizarea problemei precedente.
lim
x!0ax
1+ax
2+:::+ax
n
n1
x
= [1¥] =lim
x!0
1+ax
1+ax
2+:::+ax
n
n11
x
=
lim
x!0
1+ax
1+ax
2+:::+ax
nn
n1
x
=lim
x!0"
1+ax
1+ax
2+:::+ax
nn
n n
ax
1+ax
2+:::+axnn#ax
1+ax
2+:::+axnn
n
1
x
=
46

elim
x!0ax
1+ax
2+:::+axnn
n
1
x=e1
n
lim
x!0ax
1+ax
2+:::+axnn
x=e1
n
n
å
k=1lim
x!0ax
k1
x=e1
nn
å
k=1lnak=elnnpa1
a2
:::
an=npa1
a2
:::
an.
22. Fie a;b;c2(0;¥)cu1
a+1
b+1
c=1:Calcula¸ ti:
limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
xx
:
Generalizare.
Rezolvare. Punând u(x) =aax
x+bbx
x+ccx
x1 limita are forma
limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
xx
= [1¥] =limx!¥h
1+u(x)1
u(x)iu(x)
x
=
elimx!¥u(x)
x=elimx!¥
aaxx+bbxx+ccxx1

1
x=eL:
Pentru a calcula limita de la exponent vom folosi formula limx!x0au(x)1
u(x)=lna;a>0;dac˘a
limx!x0u(x) =0
L=limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
x1

1
x=limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
x1
a+1
b+1
c

1
x=
limx!¥
aa
x
a1+bb
x
b1+cc
x
c1a1b1c1

1
x=
limx!¥
aa
x1
a
x+bb
x1
b
x+cc
x1
c
x!
=lna+lnb+lnc=ln(abc):
Deci,
limx!¥
aax
x+bbx
x+ccx
xx
=eln(abc)=abc:
Generalizare: a1>0;a2>0;:::;an>0 cu1
a1+1
a2+:::+1
an=1;atunci
limx!¥
aa1x
x
1+aa2x
x
2+:::+aanx
xnx
=a1
a2
:::
an(demonstra¸ tia analoag ˘a):
23.S˘ a se calculeze:
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2;n2N:
Rezolvare.
Solu¸ tia I. Consider ˘am identitatea cos nt+i
sinnt=C0
ncosnt+iC1
ncosn1t
sint+i2C2
ncosn2t

sin2t+:::+inCn
nsinnt;în care t=arccos x;ceea ce conduce la sin (narccos x) =C1
n
xn1
p
1x2
C3
n
xn3
p
1x23
+C5
n
xn5
p
1x25
:::
Deci,
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2=lim
x%1
C1
n
xn1C3
n
xn3
p
1x22
+C5
n
xn5
p
1x24
:::
=C1
n=n:
47

Solu¸ tia a II-a.
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2=lim
x%1sin(narccos x)
narccos x
narccos xp
1x2=
lim
x%1sin(narccos x)
narccos x
lim
x%1narccos xp
1x2=1
lim
y&0nyp
1cos2y=lim
y&0ny
siny=n
1=n:
Solu¸ tia a III-a. Se aplic ˘a regula lui L’Hospital ¸ si se ob¸ tine
lim
x%1sin(narccos x)p
1x2=lim
x%1cos(narccos x)
np
1x2
xp
1x2=n:
24.S˘ a se calculeze:
limx!¥xarcsinx+2p
x4x21:
Rezolvare. Avem o nedeterminare de forma [0
¥]:Limita dat ˘a are sens, deoarece x4x21>
0 ¸ sijx+2jp
x4x211;pentru xsuficient de mare. Cum lim
y!0siny
y=1;rezult ˘a c˘a lim
y!0arcsin y
y=1:S˘a
not˘amy(x) =x+2p
x4x21:yccucconvenabil. Evident limx!¥y(x) =0;deci limx!¥arcsin y(x)
y(x)=1:
Atunci,
limx!¥xarcsinx+2p
x4x21=1;
deoarece limx!¥x(x+2)p
x4x21=1:
25.Sa se determine:
lim
x&01
x1
arcsin x
:
Rezolvare. Fiet=arcsin x() x=sint:
Rezulta c ˘a:1
x1
arcsin x=1
sint1
t;t2
0;p
2
:
Deoarece tgt>t>sint;oricare ar fi t2
0;p
2

rezulta c ˘a:
0<1
x1
arcsin x=1
sint1
t<1
sint1
tgt=1cost
sint=tgt
2:
Deci,
0<1
x1
arcsin x<tgarcsin x
2
;8×2
0;p
2
de unde prin trecere la limit ˘a ob¸ tinem:
0lim
x&01
x1
arcsin x
lim
x&0tgarcsin x
2
=0
ceea ce arat ˘a c˘a limita din enun¸ t este 0 :
48

26.S˘ a se calculeze:
lim
x!01
x2ctgx
x
:
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘a1
x2ctgx
x=x
sinx
sinxxcosx
x3=x
sinx
tgxx
x3
cosx:
Rezult ˘a c˘a:
lim
x!01
x2ctgx
x
=lim
x!0x
sinx
tgxx
x3
cosx
=
lim
x!0x
sinx
cosx

lim
x!0tgxx
x3=1
lim
x!0tgxx
x3=0
0
=
lim
x!01cos2x
3×2=1
3
lim
x!0sin2x
x2=1
3
lim
x!0sinx
x2
=1
3
1=1
3:
Am folosit regula lui L’Hospital ¸ si limita fundamental ˘a lim
x!0sinx
x=1.
27.S˘ a se calculeze:
lim
x!01
arctg2x1
arcsin2x
:
Rezolvare. Fieu=arcsin x¸ siv=arctgx :Deci x=sinu=tgv, oricare ar fi x2
p
2;p
2
:
Avem urmatoarele egalit ˘a¸ ti:
f(x) =1
arctg2x1
arcsin2x=1
v21
u2=u2v2
u2v2=uv
sin(uv)
u+v
sin(u+v)
sin(uv)
sin(u+v)
u2v2
de unde deducem c ˘a
lim
x!0f(x) =lim
x!0uv
sin(uv)
lim
x!0u+v
sin(u+v)
lim
x!0sin(uv)
sin(u+v)
u2v2=
1
1
lim
x!0sin(uv)
sin(u+v)
u2v2=lim
x!0sin(uv)
sin(u+v)
u2v2:
Totodata avem:
sin(uv)
sin(u+v)
u2v2=sin2ucos2vcos2usin2v
u2v2=sin2u
1sin2v


1sin2u

sin2v
u2v2=
sin2usin2v
u2v2sinu=tgv=tg2vsin2v
u2v2=sin2v
cos2vsin2v
u2v2=sin2v
v2
1
u2
1
cos2v1
=
sin2v
v2
1
u2
1cos2v
cos2v
=sin2v
v2
sin2v
u2
1
cos2v=sin2v
v2
tg2v
u2=sin2v
v2
sin2u
u2:
Deci,
lim
x!01
arctg2x1
arcsin2x
=lim
x!0f(x) =lim
x!0sin(uv)
sin(u+v)
u2v2=
lim
x!0sin2v
v2
sin2u
u2=lim
x!0sin2v
v2
lim
x!0sin2u
u2=1
1=1:
28.S˘ a se arate c˘ a
lim
x%p
2ctgx[tgx] =1:
(S-a notat cu [a]partea întreag ˘a a num ˘arului real a):
Rezolvare. Not˘am cu L=lim
x%p
2ctgx[tgx]:
Facem schimbarea de variabil ˘ay=ctgx:Pentru x!p
2¸ six<p
2;avem y!0 ¸ siy>0:
49

Deci L=lim
y&0y1
y
:
Din defini¸ tia par¸ tii întregi avem:
1
y
1
y<1
y
+1:
Deoarece y>0, rezult ˘a c˘a
y1
y
1<y1
y
+y;
de unde ob¸ tinem:
1y<y1
y
1:
Trecem la limit ˘a când y!0 ¸ siy>0:
lim
y&0(1y)lim
y&0y1
y
1:
Deci, 1L1;de unde L=lim
x%p
2ctgx[tgx] =1:
Aceast ˘a limit ˘a este problema 22339, G. M. B. 4/1991, pag. 155.
29.S˘ a se calculeze:
L=lim
x!0shx
x:
Rezolvare. V om folosi formula shx=exex
2¸ siLdevine
L=lim
x!0exex
2
x=lim
x!0e2x1
2xex:
Fiee2x1=y=)x=ln(1+y)
2:Pentru x!0 avem y!0:
Deci,
L=lim
y!0y
2
ln(1+y)
2
eln(1+y)
2=lim
y!01
ln(1+y)1
y
eln(1+y)
2=1
lne
e0=1:
30.S˘ a se calculeze:
L=lim
x!0chx1
x2:
Rezolvare. V om folosi formula chx=ex+ex
2¸ siLdevine
L=lim
x!0chx1
x2=lim
x!0ex+ex
21
x2=lim
x!0ex+ex2
2×2=lim
x!0(ex1)2
2x2ex:
Not˘amex1=y=)ex=y+1=)x=ln(1+y);iar pentru x!0 avem y!ln1=0:
A¸ sadar,
L=lim
y!0y2
2
eln(1+y)
ln2(1+y)=lim
y!01
2
eln(1+y)
ln2(1+y)
y2=
50

=lim
y!01
2
eln(1+y)
h
ln(1+y)1
yi2=1
2
e0
1=1
2:
31.S˘ a se calculeze:
lim
x!p
2xp
2p
1sinx:
Rezolvare. Facem substitu¸ tia xp
2=y=)x=y+p
2:Când x!p
2;y!0:Ob¸ tinem:
lim
x!p
2xp
2p
1sinx=lim
y!0yq
1sin(y+p
2)=lim
y!0yp1cosy=lim
y!0yq
2sin2y
2=1p
2
lim
y!0ysiny
2:
În continuare vom calcula limitele laterale:
lim
y&01p
2
ysiny
2=p
2
2
lim
y&0y
2
siny
2=2p
2;
lim
y%01p
2
ysiny
2=p
2
2
lim
y%0y
2
siny
2=2p
2:
Deoarece limitele laterale sunt diferite, lim
x!p
2xp
2p
1sinxnu exist ˘a.
2.2. Limite de func¸ tii cu parametri
1.Fie a ;b2R¸ si func¸ tia f :R!R;f(x) =x32×2+1
x2+2+ax+b:Determina¸ ti a ¸ si b ;astfel
încât limx!¥f(x) =2:
Rezolvare. Dac˘aa0;atunci limx!¥f(x) =¥:Deci, pentru a putea îndeplini condi¸ tia din enun¸ t,
este necesar ca a<0. Având în vedere c ˘a
f(x) =(a+1)x3+(b2)x2+2ax+2b+1
x2+2;cerin¸ ta limx!¥f(x) =2 este îndeplinit ˘a dac ˘a ¸ si
numai dac ˘aa+1=0 ¸ sib2=2;de unde a=1 ¸ sib=4:
2.Fie a2R;n2N¸ si func¸ tia f :R!R;f(x) =x2
s
x2+2
x2+1axn:Calcula¸ ti limx!¥f(x):
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘af(x) =x2
0
@s
x2+2
x2+1axn21
A¸ si c˘a lim
x!¥s
x2+2
x2+1=1:
Dac˘an2f0;1g, atunci limx!¥xn2=0(c˘acin2<0);deci limx!¥f(x) =¥;oricare ar fi a2R:
Dac˘an2N\[3;¥), atunci limx!¥xn2=¥:Rezult ˘a c˘a, dac ˘aa<0;atunci limx!¥f(x) =¥;iar
dac˘aa>0;atunci limx!¥f(x) =¥:
Dac˘an=2;atunci f(x) =x2
0
@s
x2+2
x2+1a1
A:Cum limx!¥0
@s
x2+2
x2+1a1
A=1a;rezult ˘a
c˘a:
– dac ˘aa<1;atunci limx!¥f(x) =¥,
– dac ˘aa>1;atunci limx!¥f(x) =¥,
51

– dac ˘aa=1, atunci limx!¥f(x) =limx!¥x2
0
@s
x2+2
x2+111
A=[0
¥] =limx!¥x2
x2+2
x2+11
s
x2+2
x2+1+1=
limx!¥x2
x2+1s
x2+2
x2+1+1=1
1+1=1
2:
3.Fie a2(1
4;¥)¸ si func¸ tia f :R!R;f(x) =p
ax2+x+1p
x2x+1:Calcula¸ ti limx!¥f(x):
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘af(x) =x r
a+1
x+1
x2r
11
x+1
x2!
.
Dac˘aa2(1
4;1);atunci limx!¥f(x) =¥, iar dac ˘aa2(1;¥), atunci limx!¥f(x) =¥:
Dac˘aa=1, atunci limx!¥f(x) =limx!¥p
x2+x+1p
x2x+1
= [¥¥] =
limx!¥p
x2+x+1p
x2x+1p
x2+x+1+p
x2x+1
p
x2+x+1+p
x2x+1=
limx!¥2xp
x2+x+1+p
x2x+1=h¥
¥i
=limx!¥2x
jxjr
1+1
x+1
x2+r
11
x+1
x2=
limx!¥2r
1+1
x+1
x2+r
11
x+1
x2=2
1+1=1:
4.Fie m :n;p2N¸ si func¸ tia f :[2;¥)!R, f(x) =xm+2
xn+1pxp
x22x
:Calcula¸ ti limx!¥f(x):
Rezolvare. Remarc ˘am, mai întâi, c ˘a:
– dac ˘am<n;atunci limx!¥xm+2
xn+1=0;
– dac ˘am=n;atunci limx!¥xm+2
xn+1=1;
– dac ˘am>n;atunci limx!¥xm+2
xn+1=¥.
Deoarece pxp
x22x=
p21

x2+2x
px+p
x22x;rezult ˘a c˘a limx!¥
pxp
x22x
=1;daca p=1
¥;daca p2:
Drept urmare, oricare ar fi p2N, avem limx!¥f(x) =0, dac ˘am<n;iar limx!¥f(x) =¥, dac ˘am>n:
În cazul m=n¸ sip=1, avem limx!¥f(x) =1:Ramâne s ˘a determin ˘am limita considerat ˘a în cazul în
care m=n¸ sip2:Atunci,
limx!¥f(x) =limx!¥xn+2
xn+1pxp
x22x
= [1¥] =limx!¥
1+xn+2
xn+11pxp
x22x
=
=limx!¥
1+1
xn+1pxp
x22x
=limx!¥"
1+1
xn+1xn+1#pxp
x22x
xn+1
=elimx!¥pxp
x22x
xn+1=1;daca n>1
ep1;daca n=1:
5.S˘ a se calculeze
lim
x!¥
3p
x32×2+7ax+3
;unde a2R:
52

Rezolvare. Distingem cazurile:
– dac ˘aa0;atunci limita din enun¸ t este evident ¥:
– dac ˘aa>0;atunci
limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
= [¥¥] =
limx!¥
x32×2+7

(ax3)3

3p
x32×2+72
+(ax3)3p
x32×2+7+(ax3)2=
limx!¥
x32×2+7

(ax3)3
x2
3q
12
x+7
x32
+x2
a3
x
3q
12
x+7
x3+x2
a3
x
2=
limx!¥
1a3

x3x2
29a2

27ax+34
x2"
3r
12
x+7
x32
+
a3
x
3r
12
x+7
x3
+
a3
x
2#:
– dac ˘a 0<a<1, atunci limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
=¥;
– dac ˘aa=1, atunci limx!¥
3p
x32×2+7x+3
=7
3;
– dac ˘aa>1;atunci limx!¥
3p
x32×2+7ax+3
=¥:
6.Determina¸ ti a ;b2Rastfel încât
limx!¥xaq
x+p
x+1q
jbjx+p
x1
=1
2:
Rezolvare. Avem xap
x+px+1q
jbjx+px1
=xa
(1jbj)x+px+1px1
p
x+px+1+q
jbjx+px1:
Dac˘ajbj=1;atunci xap
x+px+1q
jbjx+px1
=xa
px+1px1
p
x+px+1+q
jbjx+px1=
2xa
p
x+px+1+p
x+px1px+1+px1
:
Pentru ca limita la ¥sa fie finit ˘a ¸ si nenul ˘a trebuie ca a=1:În acest caz limita este1
2deci
ob¸ tinem perechile (a;b)2f(1;1);(1;1)g:
Dac˘ajbj6=1;atunci limx!¥xa
(1jbj)x+px+1px1
p
x+px+1+q
jbjx+px1este finit ˘a ¸ si nenul ˘a dac ˘aa=1
2:
În acest caz
lim
x!¥xap
x+px+1q
jbjx+px1
=1jbj
1+p
jbj=1p
jbj:Pentru ca limita s ˘a fie1
2
trebuie ca b=1
4:
Avem a¸ sadar alte doua perechi: (a;b)2
1
2;1
4
;
1
2;1
4
:
7.S˘ a se determine a2Rastfel încât func¸ tia
f(x) =mp
a3xm+x2+1+mp
(a2)xm+x+1
53

s˘a aiba o limit ˘a finit ˘a când x!¥¸ sim=impar.
Rezolvare. Se observ ˘a c˘a putem scrie:
f(x) =x0
@ms
a3+x2+1
xm+mr
a2+x+1
xm1
A:
Avem
limx!¥f(x) =limx!¥x0
@2
4ms
a3+x2+1
xm+mr
a2+x+1
xm3
51
A=
lim
x!¥0
@ms
a3+x2+1
xm+mr
a2+x+1
xm1
A
lim
x!¥x=
mp
a3+mp
a2

lim
x!¥x:
Deoarece limx!¥f(x)trebuie s ˘a fie finit ˘a, acest lucru este posibil numai dac ˘amp
a3+mpa2=0;
ceea ce implic ˘aa3+a2=0. Solu¸ tiile ecua¸ tiei sunt: a1=1 ¸ sia2;32C:
8.S˘ a se determine a2Rastfel încât s˘ a existe:
limx!¥
x3pa3q
24×3+3p
ax9729×8+1
=b2R:
S˘a se calculeze b:
Rezolvare. Not˘amv(x) =ax9729×8+1 ¸ si atunci:
b=limx!¥
x3pa3q
24×3+3p
v(x)
=limx!¥x0
@3pa3s
24+3r
v(x)
x91
A=
limx!¥x0
@3pa3s
24+3r
a729
x1
x91
A=limx!¥x
limx!¥0
@3pa3s
24+3r
a729
x1
x91
A=
¥

3pa3q
24+3pa
:
Deci b2Rdac˘a ¸ si numai dac ˘a3pa3p
24+3pa=0() a=24+3pa() a=27:
Pentru a-l calcula pe b;vom nota:
u(x) =24×3+3p
27×9729×8+1 ¸ siv(x) =27×9729×8+1:
Deci:
b=limx!¥
3x3p
u(x)
= [¥¥] =limx!¥27×3u(x)
9×2+3x
3p
u(x)+3q
(u(x))2=
limx!¥27×324×33p
v(x)
9×2+3x
3p
u(x)+3q
(u(x))2=limx!¥3×33p
v(x)
9×2+3x
3p
u(x)+3q
(u(x))2=
limx!¥27×9v(x)
9×2+3x
3p
u(x)+3q
(u(x))2


9×6+3×3
3p
v(x)+3q
(v(x))2=
54

limx!¥27×927×9+729×81
9×2+3x
3p
u(x)+3q
(u(x))2
9×6+3×3
3p
v(x)+3q
(v(x))2=
limx!¥729×81
9×2+3x
3p
u(x)+3q
(u(x))2


9×6+3×3
3p
v(x)+3q
(v(x))2=h¥
¥i
=
limx!¥x8
7291
x8
x2
9+31
x
3p
u(x)+1
x23q
(u(x))2

x6

9+31
x3
3p
v(x)+1
x63q
(v(x))2=
lim
x!¥7291
x8
9+31
x
3p
u(x)+1
x23q
(u(x))2


9+31
x3
3p
v(x)+1
x63q
(v(x))2=
limx!¥7291
x8
9+33q
u(x)
x3+3q
(u(x))2
x6


9+33q
v(x)
x9+3q
(v(x))2
x18=
729
9+33p
27+3p
272


9+3p
27+3p
272=729
(9+9+9)
(9+9+9)=1:
Am ¸ tinut seama c ˘a limx!¥u(x)
x3=27 ¸ si limx!¥v(x)
x9=27.
2.3. Limite de func¸ tii în probleme practice
1. (Teoria relativit˘ a¸ tii ¸ si limitele ). Einstein a ar ˘atat c ˘a masa unui corp este func¸ tie de viteza sa,
m(v)m0q
1v2
c2;unde veste viteza în km=s, 0v<c;c=300:000km=s(viteza luminii), m0este
masa corpului în repaos. S ˘a observ ˘am c ˘a dac ˘av=0, atunci m(0) =m0, care este masa corpului în
repaos. Pentru v!c;v<c(deci, la viteze foarte mari), limv!cm(v) =¥:
2. (Func¸ tia ”catastrof˘ a” ¸ si limitele ). Se consider ˘a func¸ tia f:R!R;f(x) =(50+x20)22500
x20:
Aceast ˘a func¸ tie are proprietatea c ˘a pentru x=0;4;f(0;4) =100:044;iar pentru x=0;3, utilizând
calculatorul care poate afi¸ sa 12 cifre g ˘asim f(x) =0:Efectuând calculele, pentru x6=0;g˘asim
f(x) =x20+100 ¸ si deci lim
x!0f(x) =100:Matematicianul francez, Rene Thom, este creatorul
”Teoriei catastrofelor”, pentru care în 1958 a ob¸ tinut medalai FIELDS, echivalentul premiului
NOBEL în matematic ˘a.
3. (Calculul aproximativ ¸ si limitele ). Am v ˘azut c ˘a pentru f(x) =p1+x1
x;x1;x6=0
avem lim
x!0f(x) =lim
x!0p1+x1
x=0
0
=lim
x!0x
x(p1+x+1)=lim
x!01p1+x+1=1
2:
Altfel spus, pentru x!0,p1+x1 se poate echivala cux
2adic˘ap1+x1x
2:
S˘a calcul ˘amp
105:Avemp
105=10p1;05=10p1+0;0510
1+0;05
2
=10(1+0;025) =
10;25:
55

Capitolul 3
METODOLOGIA CERCET ˘ARII ¸ STIIN ¸ TIFICE PSIHOPEDAGOGICE ¸ SI METODICE
3.1.Cercetarea psihopedagogic ˘a
¸ Stiin¸ ta cu caracter constructiv, ¸ stiin¸ ta educa¸ tiei presupune o rela¸ tie de construc¸ tie reciproc ˘a
subiect-obiect, o opera¸ tie de ajustare reciproc ˘a a reprezent ˘arii obiectului la nivel de imagine men-
tal˘a sau ca tip de ra¸ tionalitate, capacitate de interpretare, de ra¸ tionalizare etc.
Func¸ tiile teoriei pedagogice se refer ˘a la trei forme de cunoa¸ stere, la ¸ stiin¸ ta educa¸ tiei ca ¸ sti-
in¸ t˘a experimental ˘a, ¸ stiin¸ ta critic ˘a ¸ si ¸ stiin¸ ta comprehensiv ˘a, ca o ¸ stiin¸ t ˘a care construie¸ ste ¸ si verific ˘a
ipoteze, o ¸ stiin¸ t ˘a care analizeaz ˘a critic ¸ si reconstruie¸ ste fenomenul educa¸ tional ¸ si, încercând s ˘a-l
în¸ teleag ˘a, identific ˘a regularit ˘a¸ ti, sensuri, rela¸ tii noi între componentele situa¸ tiei educa¸ tionale ori
între variabilele ac¸ tiunii educa¸ tionale practice.
În cercetare ¸ si prin cercetare, profesia de dasc ˘al înceteaz ˘a de a mai fi o simpl ˘a meserie ¸ si
dep˘a¸ se¸ ste chiar nivelul unei voca¸ tii afective pentru a dobândi demnitatea oric ˘arei profesiuni ce ¸ tine
în acela¸ si timp de art ˘a ¸ si de ¸ stiin¸ t ˘a, deoarece ¸ stiin¸ ta despre copil ¸ si despre educa¸ tie s ˘a constituie
mai mult ca oricând un domeniu inepuizabil, un câmp nem ˘arginit de aprofund ˘ari teoretice ¸ si de
perfec¸ tionare tehnic ˘a continu ˘a.
Actul didactic poate fi conceput ca un demers ¸ stiin¸ tific neîntrerupt, iar crea¸ tia ca o stare de
spirit ¸ si un mod de a gândi creator, calit ˘a¸ ti indispensabile profesorului cu adev ˘arat eficient.
Trebuie ¸ si este necesar s ˘a se fac ˘a o distinc¸ tie clar ˘a între schimbare, inovare, cercetare psihope-
dagogic ˘a ¸ si perfec¸ tionare a educa¸ tiei ¸ si înv ˘a¸ t˘amântului.
Schimbarea nu are de obicei caracter con¸ stient, nu presupune deliberare, în vreme ce inova¸ tia
presupune un efort deliberat de ameliorare a practicii, este o opera¸ tiune con¸ stient ˘a ¸ si planificat ˘a de
introducere ¸ si utilizare a unei schimb ˘ari.
Nu toate inova¸ tiile sunt inven¸ tii, deoarece uneori se preiau, se aplic ˘a ¸ si se adapteaz ˘a schimb ˘ari
al c˘aror impact a fost deja evaluat în alte ¸ t ˘ari, pe alte meridiane pedagogice.
În acest context, reforma înv ˘a¸ t˘amântului poate fi definit ˘a ca o schimbare cu caracter normativ
sau de structur ˘a, o inova¸ tie la scara întregului sistem, afectând finalit ˘a¸ tile, obiectivele majore ale
educa¸ tiei ¸ si politica educa¸ tional ˘a a unui stat, o modificare ampl ˘a, de orientare, de con¸ tinut, structur ˘a
etc., marcând saltul într-o nou ˘a doctrin ˘a pedagogic ˘a.
Studiile referitoare la modul în care au loc schimb ˘arile în materie de educa¸ tie în diverse con-
texte au dus la conturarea a trei modele.
Modelul de cercetare ¸ si dezvoltare porne¸ ste de la teorie la practic ˘a, inova¸ tiile sunt concepute,
aplicate, încorporate ¸ si evaluate ca parte a unui proiect complex supervizat de c ˘atre un organism
planificator.
Modelul de interac¸ tiune social˘ a urm˘are¸ ste difuzarea inova¸ tiei în rândurile membrilor unui grup
sau ai unei institu¸ tii.
Modelul de rezolvare a problemelor interpreteaz ˘a schimbarea din punct de vedere al beneficia-
rului individual.
Cele trei procese sunt prezente în propor¸ tii variabile în orice inova¸ tie, dar diferitele sisteme
na¸ tionale sau locale pun accentul pe unul sau pe altul dintre ele, în eforturile lor de a accelera
trecerea de la stadiul de decizie la cel de aplicare.
Cercetarea pedagogica, presupune ca orice act de cercetare, de altfel, c ˘autare, descoperire de
adev ˘aruri, rela¸ tii noi, semnifica¸ tii, solu¸ tii etc., reprezint ˘a un demers ra¸ tional, organizat în vederea
surprinderii rela¸ tiilor func¸ tionale ¸ si cauzale dintre variabilele ac¸ tiunii educa¸ tionale practice.
În practica ¸ scolar ˘a concret ˘a, la nivelul profesorului creator, metodic, practic, predomin ˘a cercet ˘a-
rile pedagogice empirice, cu caracter tehnico-metodic, dar cu valoare de aplicabilitate relativ limi-
tat˘a. Acestea pornesc de la constatarea unor dificult ˘a¸ ti, contradic¸ tii ¸ si disfunc¸ tionalit ˘a¸ ti în utilizarea
strategiilor didactice ¸ si educative, în modul de manifestare al unui elev sau a unei clase, sunt de-
56

clan¸ sate adesea de nevoia unor schimb ˘ari calitative ¸ si a eficien¸ tei actelor instructiv-educative, cen-
trate pe ob¸ tinerea unor performan¸ te superioare, maxime, ale fiec ˘arui elev.
Desigur, problema unei cercet ˘ari de aici începe, iar a o formula înseamn ˘a a sesiza apari¸ tia unor
astfel de situa¸ tii, a identifica dificult ˘a¸ tile reale, dar ¸ si c ˘ai posibile de îndreptare, de ameliorare ¸ si
optimizare.
Pe de alt ˘a parte, orice profesor trebuie s ˘a fie con¸ stient c ˘a experimentarea este posibil ˘a, dar nu
este u¸ soar ˘a; se cere o revizuire constant ˘a a concluziilor, care au doar o valoare provizorie.
Cercetarea psihopedagogic ˘a realizat ˘a organizat, institu¸ tionalizat, pe baza unor programe de
cercetare a contribuit ¸ si poate contribui permanent la constituirea unei activit ˘a¸ ti pedagogice optime.
În func¸ tie de scopul ¸ si complexitatea problematicii abordate, exist ˘a diferite tipuri de cercet ˘ari:
1. cercet ˘ari teoretico – fundamentale, care urm ˘aresc în¸ telegerea ¸ si explicarea unui fenomen,
deschid noi orizonturi asupra fenomenului educa¸ tional;
2. cercet ˘ari aplicative, practice, care constau în elaborarea ¸ si verificarea unor m ˘asuri amelio-
rative, de optimizare, concrete, cercet ˘ari care abordeaz ˘a o problematic ˘a tot mai restrâns ˘a ¸ si au o
aplicabilitate practic ˘a imediat ˘a;
3. cercet ˘ari mixte, ce modific ˘a practica existent ˘a;
4. cercet ˘ari – ac¸ tiune, opera¸ tionale, de fundamentare a deciziilor la nivelul ac¸ tiunii, presupun nu
numai constatarea unor probleme, fapte etc., ci interven¸ tia în desf ˘a¸ surarea fenomenului investigat;
5. cercet ˘ari inductiv-descriptive, observa¸ tionale;
6. cercet ˘ari deductiv-experimentale, cu aplica¸ tii practice, ac¸ tionale;
7. cercet ˘ari didactice, metodice, psihopedagogice;
8. cercet ˘ari constatative, ameliorative, individuale sau de grup etc.
Cercetarea psihopedagogic ˘a este o ac¸ tiune de observare ¸ si investigare, pe baza c ˘areia cunoa¸ stem,
amelior ˘am sau inov ˘am fenomenul educa¸ tional.
Nu toate fenomenele educa¸ tionale pot fi supuse unei experiment ˘ari riguroase, ca urmare, in-
ovarea în înv ˘a¸ t˘amânt se realizeaz ˘a atât prin generalizarea experien¸ tei avansate, cât ¸ si prin experi-
mentare.
Practica educativ ˘a constituie o surs ˘a de cunoa¸ stere, un mijloc de experimentare, de verificare
a ipotezelor ¸ si de generalizare a experien¸ tei pozitive. În acela¸ si timp, cercetarea pedagogic ˘a, prin
concluziile ei, contribuie la inovarea ¸ si perfec¸ tionarea procesului de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si de educa¸ tie.
Cercetarea pedagogic ˘a poate s ˘a fie fundamental ˘a ¸ si aplicativ ˘a, observa¸ tional ˘a sau experimen-
tal˘a, spontan ˘a sau ¸ stiin¸ tific ˘a.
Func¸ tiile cercet ˘arii pedagogice pot fi clasificate astfel:
-func¸ tia explicativ˘ a , specific ˘a cercet ˘arii pedagogice fundamentale, orientat ˘a spre noutate ¸ sti-
in¸ tific ˘a, care conduce la elaborarea unor modele teoretice explicative, necesare cunoa¸ sterii legilor
fenomenelor educa¸ tionale;
-func¸ tia praxiologic˘ a în sensul ca, cercetarea aplicativ ˘a, prin investiga¸ tiile empirice contribuie
la cre¸ sterea eficien¸ tei ac¸ tiunilor educa¸ tionale ¸ si la inovarea practicii ¸ scolare;
-func¸ tia sistematizatoare : cercetarea pedagogica ofer ˘a baza logic ˘a de sintez ˘a, de organizare ¸ si
prelucrare a datelor experimentale;
-func¸ tia referen¸ tial – informa¸ tional˘ a , asigur ˘a culegerea informa¸ tiilor cu privire la func¸ tionali-
tatea procesului instructiv-educativ, raportând datele cercet ˘arii pedagogice la un sistem teoretic
general, cu valoare explicativ ˘a;
-func¸ tia de evaluare ¸ si control ¸ stiin¸ tific a procesului de instruire ¸ si de formare a personalit˘ a¸ tii ,
control raportat la cerin¸ tele sociale;
-func¸ tia de perfec¸ tionare ¸ si inovare a înv˘ a¸ t˘ amântului ¸ si educa¸ tiei , în raport cu cerin¸ tele dez-
volt˘arii ¸ stiin¸ tei, tehnicii, culturii ¸ si economiei de pia¸ t ˘a;
-func¸ tia predictiv˘ a , de anticipare a unor modele educa¸ tionale pentru viitor, cerute de perspec-
tivele dezvolt ˘arii social-economice.
57

Inovarea pedagogica este o mi¸ scare de la tradi¸ tie la modernitate, prin introducerea unor schim-
b˘ari, în scopul cre¸ sterii eficien¸ tei procesului de instruire ¸ si formare a personalit ˘a¸ tii omului contem-
poran.
Inova¸ tiile în domeniul înv ˘a¸ t˘amântului pot fi realizate sub forma unor schimb ˘ari de concep¸ tie
privind sistemul de organizare, programele, manualele ¸ scolare ¸ si metodele de înv ˘a¸ t˘amânt, schim-
b˘ari referitoare la rela¸ tiile interpersonale profesor-elev, sau schimb ˘ari de natur ˘a material ˘a-mijloace
de înv ˘a¸ t˘amânt, laboratoare de tehnologie didactic ˘a.
Implementarea în înv ˘a¸ t˘amânt a inova¸ tiilor se realizeaz ˘a prin reforme educa¸ tionale sau prin
modificarea structural ˘a ¸ si func¸ tional ˘a a procesului educa¸ tional în scopul perfec¸ tion ˘arii acestuia.
Procedeele tehnice de aplicare a inova¸ tiilor în înv ˘a¸ t˘amânt pot fi:
– remanierea, care vizeaz ˘a schimb ˘ari de structur ˘a a înv ˘a¸ t˘amântului liceal, profesional, de ucenici
etc.;
– substituirea, adic ˘a înlocuirea unui manual cu altul mai modern;
– restructurarea planurilor de înv ˘a¸ t˘amânt, prin introducerea unor discipline noi;
– ad˘augarea, adic ˘a introducerea unor elemente didactice noi în înv ˘a¸ t˘amânt;
– eliminarea unor forme învechite, cum sunt rela¸ tiile autoritare ¸ si înlocuirea lor cu cele demo-
cratice în rela¸ tia profesor-elev.
3.1.1. Etapele cercet˘ arii
Într-o cercetare psihopedagogic ˘a este necesar s ˘a se parcurg ˘a anumite etape distincte, bine defi-
nite.
Dintre acestea cele mai folosite sunt:
– definirea problemei de cercetat;
– documentarea, formularea ipotezei de lucru;
– formularea obiectivelor;
– stabilirea metodologiei de cercetare;
– cercetarea propriu-zisa;
– analiza ¸ si interpretarea datelor;
– verificarea ¸ si comunicarea rezultatelor.
O cercetare începe cu alegerea temei, care trebuie s ˘a reflecte o problem ˘a actual ˘a, real ˘a ¸ si nu
inventat ˘a, o problem ˘a care s ˘a prezinte importan¸ ta teoretic ˘a ¸ si practic ˘a pentru procesul instructiv-
educativ, s ˘a solu¸ tioneze dificult ˘a¸ tile ¸ si s ˘a deschid ˘a noi perspective.
Formularea cu precizie a temei ¸ si o prim ˘a evaluare a ei urmeaz ˘a verific ˘arii posibilit ˘a¸ tilor de
acces la o bibliografie de referin¸ t ˘a (lucr ˘arile fundamentale ale temei ¸ si informa¸ tie la zi).
Documentarea pe baz ˘a de fi¸ se de studiu, conspecte, rezumate etc., este destinat ˘a contur ˘arii
cadrului teoretic ¸ si metodologic al cercet ˘arii.
Formularea ipotezei este poate cea mai important ˘a etap ˘a a cercet ˘arii, situa¸ tia experimental ˘a
fiind în întregime axat ˘a pe aceasta, ca enun¸ t a c ˘arui valoare de adev ˘ar sau fals este probabil ˘a,
poten¸ tial ˘a, ¸ si urmeaz ˘a a fi dovedit ˘a prin verificare în practic ˘a. Ipoteza este ideea directoare, ghidul,
în organizarea cercet ˘arii, dirijând procesul de culegere, adunare, sistematizare a datelor obser-
vabile.
În formularea unei ipoteze trebuie s ˘a se ¸ tin ˘a seama ¸ si s ˘a se respecte ni¸ ste cerin¸ te:
– s˘a avanseze un r ˘aspuns adecvat;
– s˘a fie clar ˘a;
– s˘a ¸ tin˘a seama de cuno¸ stin¸ tele asimilate în domeniu;
– s˘a fie verificabil ˘a etc.
Desf ˘a¸ surarea experimentului cuprinde locul, durata ¸ si echipa de cercetare, precum ¸ si etapele
de parcurs:
– etapa preexperimental ˘a;
– etapa experimental ˘a – se culeg datele experimentale;
– etapa final ˘a a prelucr ˘arii ¸ si interpret ˘arii datelor experimentale.
58

Interpretarea datelor se face prin stabilirea leg ˘aturilor dintre variabila independent ˘a ¸ si cele de-
pendente, prin metoda „r ˘am˘a¸ si¸ telor”, care ne face s ˘a re¸ tinem cazurile ce ies din obi¸ snuit ¸ si, deci,
nu vor putea fi luate în considerare în generaliz ˘arile pe care le facem sau le avem în vedere.
Elaborarea unui plan de cercetare presupune luarea în calcul a urm ˘atoarelor repere:
1. problema cercetat ˘a;
2. ipoteza ¸ si obiectivele;
3. metodologia;
4. valorificarea rezultatelor, finalizare, aplicare.
Organizarea concret ˘a a cercet ˘arii presupune:
– stabilirea perioadei de cercetare;
– precizarea locului unde se face cercetarea;
– delimitarea e¸ santionului de subiec¸ ti;
– e¸ santioanele investigate (care pot fi unice, paralele sau alternative);
– fixarea grupului sau claselor experimentale ¸ si a grupului martor;
– caracterizarea subiec¸ tilor cuprin¸ si în cercetare(vârst ˘a, sex, nivel de instruc¸ tie etc.);
– baza material ˘a disponibil ˘a;
– alte condi¸ tii, al¸ ti investigatori.
În cadrul activit ˘a¸ tii de cercetare psihopedagogic ˘a se rezolv ˘a creativ anumite probleme ap ˘arute
în procesul instructiv-educativ.
Obiectivele urm ˘arite se refer ˘a la:
– transmiterea unor informa¸ tii privind psihologia ¸ si pedagogia ingineriei creative performante;
– formarea unor abilit ˘a¸ ti ¸ si competen¸ te de identificare a blocajelor creativit ˘a¸ tii, de rezolvare
creativ ˘a a problemelor ap ˘arute.
Ingineria creativ ˘a performant ˘a este caracterizat ˘a de anumi¸ ti factori, care se pot clasifica în
modul urm ˘ator:
1. factori stimulativi:
– externi: societatea, organiza¸ tia (¸ scoala), colectivul (microgrupul);
– factori care asigur ˘a climatul creativ în: conducerea la diferite trepte ierarhice, organizarea ¸ si
func¸ tionarea grupului, motivarea (cointeresarea membrilor grupului), comunicarea pe vertical ˘a ¸ si
pe orizontal ˘a, factorii ergonomici de climat fizic;
– factori interni (de personalitate), care favorizeaz ˘a ingineria creativ ˘a performant ˘a: factorii
intelectuali, aptitudinile speciale, motiva¸ tii, atitudini, caracter, al¸ ti factori (vârsta, sexul, ereditatea
etc.);
2. factori inhibitori:
– externi: culturali (tabu-uri, mentalit ˘a¸ ti, tradi¸ tii etc.), influen¸ ta parental ˘a, educa¸ tia institu¸ tional ˘a
etc.;
– interni: cognitivi (intelectuali), perceptuali, informa¸ tionali, de gândire, de personalitate etc.
În cadrul fiec ˘arei etape de cercetare (sau subetape), se vor utiliza un num ˘ar limitat de metode,
cele mai uzuale ¸ si eficiente.
3.1.2.Metode folosite în cercetarea pedagogica
Metodologia este logica procedeelor ¸ stiin¸ tifice fundamentale de selectare ¸ si prelucrare a datelor
¸ si de construire de modele teoretice, având trei dimensiuni, legate între ele: una teoretic ˘a, una
tehnico-metodic ˘a ¸ si una empiric ˘a.
Metodele de cercetare utilizate pot fi:
– metoda observa¸ tiei;
– metoda convorbirii;
– metoda chestionarului;
– metoda sc ˘arilor de opinii ¸ si atitudini;
– testele psihopedagogice;
– metoda cercet ˘arii documentelor ¸ scolare;
59

– metoda analizei produselor activit ˘a¸ tii ¸ scolare;
– metoda studiului de caz;
– tehnicile sociometrice;
– tehnicile statistice etc.
Aceste metode pot fi de investigare, de m ˘asurare, înregistrare sau colectare a datelor, metode
logice de prelucrare ¸ si interpretare a datelor.
Metodele moderne de cercetare ¸ si creativitate folosite în ultimul timp în procesul instructiv-
educativ, ¸ si care pot da rezultate foarte bune în rezolvarea unor probleme creative sunt:
– metoda problemei creative;
– brainstorming-ul;
– brainwriting-ul (brainstorming scris);
– metoda 6-3-5;
– brainsketching-ul (brainstorming cu schi¸ te);
– metoda BBB (brainstorming scris, cu mapa de imagini);
– metoda Philips 6-6;
– metoda „deciziei impuse”;
– metoda „Discu¸ tia (în) panel” etc.
Dintre metodele clasice câteva sunt explicitate în continuare.
Observa¸ tia este o metod ˘a de cercetare folosit ˘a pentru investigare ¸ si culegere de date experi-
mentale, respectându-se anumite cerin¸ te:
– formularea unui scop precis al observ ˘arii;
– alc˘atuirea unui plan de observare;
– înregistrarea fidel ˘a a datelor (video, audio sau clasic ˘a);
– clasificarea, compararea, raportarea ¸ si interpretarea datelor.
Observarea poate fi: spontan ˘a sau ¸ stiin¸ tific ˘a, de explorare ¸ si experimentare.
Metoda chestionarului constituie o tehnic ˘a eficient ˘a pentru culegerea ¸ si interpretarea datelor.
Se precizeaz ˘a problema de cercetat, e¸ santionul ¸ si indicatorii la care raport ˘am r˘aspunsurile.
Convorbirea, ca variant ˘a a metodei anchetei, se desf ˘a¸ soar ˘a pe baza unui plan, în condi¸ tii obi¸ s-
nuite ¸ si presupune acumularea, în prealabil, a unui material cât mai bogat despre tema dat ˘a. Este
eficient ˘a în identificarea intereselor, preferin¸ telor ¸ si motiva¸ tiilor elevilor.
Metoda sc ˘arilor de opinii ¸ si atitudini, în care rezultatele se distribuie pe o scar ˘a cu mai multe
intervale. De exemplu, opinii sau atitudini corecte, incorecte, mai pu¸ tin corecte etc. Rezultatele
la înv ˘a¸ t˘atur˘a la o clas ˘a pot fi distribuite pe o scar ˘a cu 4 intervale de câte 5 puncte fiecare sau pe o
scar˘a de calificative: f. bine, bine, suficient, insuficient.
Testele psihopedagogice, sunt probe, precis determinate, ce implic ˘a o tem ˘a sau un grup de
sarcini (itemi). Aplicând testul la un e¸ santion (grup de referin¸ t ˘a) ob¸ tinem etalonul, sau tabelul de
notare, care este o scara cu repere numerice.
Testele pot fi:
– pedagogice (de cuno¸ stin¸ te, deprinderi, abilit ˘a¸ ti);
– psihologice;
– sociometrice.
Cerin¸ tele unui test sunt:
a.) validitatea;
b.) fidelitatea;
c.) etalonarea;
d.) standardizarea;
e.) sensibilitatea .
În general se folosesc „baterii” de teste, serii de probe, rezultatele ob¸ tinute fiind confruntate ¸ si
armonizate global.
60

Metoda cercet ˘arii documentelor ¸ scolare, se refera la planific ˘ari, proiecte didactice, cataloage,
caiete fi¸ sier, lucr ˘ari diverse etc.
Metoda analizei produselor activit ˘a¸ tii didactice ¸ scolare se utilizeaz ˘a cu succes în vederea ob¸ tinerii
unor informa¸ tii despre volumul ¸ si precizia cuno¸ stin¸ telor însu¸ site de c ˘atre elevi, despre aptitudinile
lor, dar ¸ si despre tr ˘as˘aturile lor de personalitate (temperament, caracter, st ˘ari emotive etc.).
Produsele activit ˘a¸ tii elevilor reprezint ˘a o înmagazinare de munc ˘a creatoare, o sintez ˘a a fondului
aptitudinal ¸ si a celui informa¸ tional, de care poate dispune un elev.
Analizele, cu discern ˘amânt, produsele activit ˘a¸ tii elevilor pun în eviden¸ t ˘a caracteristicile ob-
serva¸ tiei, capacitatea de concentrare, particularit ˘a¸ tile procesului de în¸ telegere, puterea de judecat ˘a,
spiritul de independen¸ t ˘a ¸ si de ini¸ tiativ ˘a, planul mintal de lucru, logica gândirii, în¸ telegerea corect ˘a a
rela¸ tiilor dintre elemente, volumul ¸ si precizia cuno¸ stin¸ telor, nivelul de cultur ˘a general ˘a, capacitatea
de exprimare a ideilor etc.
Metoda studiului de caz.
Datele colectate în urma observ ˘arii, a administr ˘arii unor probe ¸ si instrumente adecvate fiec ˘arui
caz în parte servesc la întocmirea unor fi¸ se de sintez ˘a.
Fazele de rezolvare sunt:
– prezentarea cazului în scris, înregistrat sau filmat;
– exprimarea opiniilor celor care particip ˘a;
– informa¸ tii suplimentare ¸ si formularea de întreb ˘ari de c ˘atre animatorul discu¸ tiei:
– Ce ¸ stiu despre ?
– Care sunt cauzele ?
– concluzii generale;
– propunerea de solu¸ tii pentru rezolvarea cazului.
Tehnicile sociometrice, folosite pentru m ˘asurarea rela¸ tiilor interpersonale afectiv-simpatice,
care se stabilesc între diferite persoane.
Testul sociometric const ˘a din întreb ˘ari de genul:
Cu cine ai dori s ˘a stai în banc ˘a, s˘a înve¸ ti la unul sau mai multe obiecte de studiu, s ˘a mergi la
teatru sau la cinematograf, într-o excursie etc. ?
De ce ?
Cu cine nu dore¸ sti ?
De ce ?
Cine î¸ ti este indiferent ?
De ce ?
Condi¸ tii de aplicare:
1. subiec¸ tii s ˘a cunoasc ˘a scopul testului. De exemplu: pentru a-i a¸ seza în banc ˘a dup ˘a preferin¸ te;
2. s˘a nu comunice între ei;
3. s˘a r˘aspund ˘a la toate întreb ˘arile, prin nominaliz ˘ari;
4. s˘a se refere la to¸ ti membrii grupului;
5. s˘a dea r ˘aspunsuri sincere.
Tehnicile statistice
Ordoneaz ˘a datele ob¸ tinute din prelucrarea materialului, conducând la evalu ˘ari ¸ si interpret ˘ari
calitative foarte nuan¸ tate.
Tehnicile statistice utilizate cu mai mare frecven¸ t ˘a sunt:
– elaborarea tabelelor de frecven¸ t ˘a ¸ si a graficului de distribu¸ tie;
– calcularea unor indici statistici cum sunt:
– indicii tendin¸ tei centrale – media, mediana, modulul;
– indicii variabilit ˘a¸ tii – amplitudinea, abaterea (devia¸ tia
simpl ˘a), abaterea standard.
Tot prin metode statistice se studiaz ˘a leg ˘aturile dintre fenomene:
– analiza corela¸ tional ˘a: corela¸ tia liniar ˘a, regresia, raportul de corela¸ tie;
61

– metode neparametrice: tabelul de asocia¸ tie, coeficientul de asocia¸ tie, de corela¸ tie etc.
În ceea ce prive¸ ste prezentarea metodelor moderne de cercetare, acest lucru este prezentat în
continuare.
Problema creativ ˘a presupune parcurgerea a trei etape distincte care trebuiesc parcurse cu aten¸ tie:
I. Sesizarea zonei problematice (a „provoc ˘arilor”), folosind una sau mai multe dintre metodele
sau tehnicile urm ˘atoare:
– brainstorming-ul clasic;
– listele duble pentru asocia¸ tii for¸ tate;
– lista în elaborare proprie;
– lista de întreb ˘ari Parnes;
– matricea Treffinger;
– matricea p ˘atrat˘a;
– atitudinea deschis ˘a, receptiv ˘a fa¸ t˘a de stimuli;
– curiozitatea;
– a repune totul sub semnul întreb ˘arii.
II. Formularea problemei creative
III. Reformul ˘ari ale problemei creative
1.Adresarea repetat ˘a a întreb ˘arii De ce ?, pentru:
– a afla adev ˘aratul obiectiv al c ˘aut˘arilor cercet ˘atorului;
– a l˘argi cadrul problemei;
– a transform ˘a o problem ˘a de decizie în una divergent ˘a.
2. Jocul cu cuvintele, prin:
– înlocuirea verbului cu alt verb;
– substantivarea unui verb sau invers (transformarea unui substantiv în verb).
Brainstorming-ul este o metoda inventat ˘a de Alex Osborn în 1939 în SUA ¸ si provine din cu-
vintele brain = creier ¸ si storm = furtun ˘a, plus desinen¸ ta –ing, specific ˘a limbii engleze. în traducere
fidel˘a ar însemna „furtuna în creier”, asalt de idei, o stare de intens ˘a activitate imaginativ ˘a.
Metoda respect ˘a anumite reguli obligatorii:
1. Aprecierile critice sunt interzise, nimeni nu are voie s ˘a fac ˘a observa¸ tii negative, s ˘a conteste,
s˘a se mire, s ˘a aib ˘a îndoieli asupra valabilit ˘a¸ tii ideilor propuse, exist ˘a o list ˘a de „expresii uciga¸ se”
care nu trebuie rostite în timpul ¸ sedin¸ tei de brainstorming.
2. Imagina¸ tia trebuie s ˘a fie total liber ˘a, fiecare membru al ¸ sedin¸ tei spune prima idee care îi vine
în minte, f ˘ar˘a cenzur ˘a, chiar dac ˘a i se pare absurd ˘a sau imposibil ˘a.
3. Se cere cantitate, primele r ˘aspunsuri fiind la îndemâna tuturor, sunt banale ¸ si neoriginale,
urm˘atoarele fiind neobi¸ snuite ¸ si având ¸ sanse mari de a fi originale, nemaiîntâlnite.
4. Sunt încurajate ideile derivate, asocia¸ tiile neobi¸ snuite de idei, combin ˘arile ¸ si amelior ˘arile
solu¸ tiilor propuse de ceilal¸ ti. G ˘asirea unei solu¸ tii ingenioase înseamn ˘a, în ultim ˘a instan¸ t ˘a, corelarea
unor elemente pe care nimeni nu le mai a¸ sezase al ˘aturi, asocierea inedit ˘a. Un r ˘aspuns al unui
membru poate s ˘a-i sugereze celui de al ˘aturi o asem ˘anare ¸ si o asociere neobi¸ snuit ˘a. El poate s ˘a
intervin ˘a imediat ¸ si s ˘a o spun ˘a, preluând deci ideea precedent ˘a, pornind de la ea ¸ si sugerând alta.
Aceast ˘a regul ˘a mai reclam ˘a participan¸ tilor s ˘a combine 2-3 idei pentru a ob¸ tine alta nou ˘a.
Pe scurt, iat ˘a regulile brainstorming-ului de grup:
1. Nu critica¸ ti ideile celorlal¸ ti, nu v ˘a autocenzura¸ ti ideile !
2. Da¸ ti frâu liber imagina¸ tiei !
3. Produce¸ ti un num ˘ar cât mai mare de idei !
4. Prelua¸ ti ideile celorlal¸ ti ¸ si perfec¸ tiona¸ ti-le !
Alc˘atuirea grupului brainstorming.
În clasa de elevi se poate lucra frontal, cu toat ˘a clasa, în colectivul de cadre didactice se vor
utiliza urm ˘atoarele criterii:
1. Selec¸ tia se face în func¸ tie de dorin¸ ta persoanei de a participa, în cuno¸ stin¸ t ˘a de cauz ˘a, evident;
62

2. Între membrii grupului s ˘a nu existe antipatii, ba, dac ˘a se poate, leg ˘aturi de prietenie sau cel
pu¸ tin de indiferen¸ t ˘a, în nici un caz ostilit ˘a¸ ti;
3. Sa nu fie în acela¸ si grup un ¸ sef oficial cu subalternii lui.
Grupul poate fi stabil, cu aceia¸ si membrii la fiecare întrunire, sau, dimpotriv ˘a, poate fi fluctu-
ant, cu membrii solicita¸ ti ad-hoc, de fiecare dat ˘a al¸ tii; în fine poate exista un nucleu permanent,
completat de fiecare dat ˘a cu alte persoane, în func¸ tie de necesit ˘a¸ tile complet ˘arii nucleului cu noi
speciali¸ sti.
În ceea ce prive¸ ste organizarea ¸ si desf ˘a¸ surarea unei ¸ sedin¸ te se pot men¸ tiona urm ˘atoarele:
– cu elevii se poate lucra f ˘ar˘a preg ˘atiri;
– grupul de adul¸ ti este bine s ˘a fie preg ˘atit dup ˘a cum urmeaz ˘a:
– mobilizarea participan¸ tilor se face anun¸ tându-i cu o s ˘apt˘amân ˘a înainte (sau cel pu¸ tin cu 2-3
zile), printr-o invita¸ tie scris ˘a, în care s ˘a fie men¸ tionate ora ¸ si locul întâlnirii, dar mai ales problema
ce urmeaz ˘a a fi tratat ˘a;
– cei care particip ˘a pentru prima dat ˘a vor primi ¸ si câte un formular de prezentare a metodei
brainstorming; este recomandabil ca în invita¸ tie s ˘a fie sugerate, orientativ, ¸ si câteva idei de solu¸ tionare
a problemei:
– ¸ sedin¸ ta de brainstorming are un moderator ¸ si un secretar;
– a¸ sezarea în sal ˘a este în cerc sau în jurul unei mese p ˘atrate;
– secretarii noteaz ˘a toate interven¸ tiile, ideile, propunerile, chiar ¸ si repet ˘arile de idei, cele ab-
surde, inutile, nu se va pierde nimic din ideile rostite;
– nu se noteaz ˘a numele celor care emit ideile.
Desf ˘a¸ surarea ¸ sedin¸ tei.
Moderatorul prezint ˘a membrii noi, dac ˘a exist ˘a, reaminte¸ ste problema, face o prezentare suc-
cint˘a a contextului; sunt prezentate regulile brainstormingului, apoi se trece la preg ˘atirea terenului,
grupul încearc ˘a s˘a-¸ si reaminteasc ˘a modurile cunoscute în care a mai fost solu¸ tionat ˘a problema.
Se stabile¸ ste durata ¸ sedin¸ tei, 30-50 minute sau chiar mai mult, important fiind ca ¸ sedin¸ ta s ˘a
dureze cel pu¸ tin cât s-a stabilit.
Fiecare spune o singur ˘a idee la o interven¸ tie, cu enun¸ t scurt.
Dup˘a ¸ sedin¸ t ˘a, secretarii redacteaz ˘a lista de idei, întocmind una singur ˘a, dac ˘a se poate chiar
intercalând r ˘aspunsurile pentru a putea fi p ˘astrat ˘a ordinea emiterii lor.
Comitetul de evaluare (moderator ¸ si doi-trei membrii) întocme¸ ste lista ideilor acceptate (în
ordinea punctajului primit de fiecare idee), o redacteaz ˘a în mai multe exemplare ¸ si o distribuie
membrilor grupului de crea¸ tie.
Un procentaj de 10-40 % din num ˘arul de idei emise într-o ¸ sedin¸ t ˘a brainstorming pot deveni
utilizabile în practic ˘a.
Brainwriting-ul sau Brainstorming-ul scris presupune urm ˘atoarea metodologie de desf ˘a¸ surare:
Se împarte clasa în grupe de 10-15 elevi.
Fiecare grup se a¸ seaz ˘a în jurul unei mese.
Fiecare elev are în fa¸ t ˘a o coal ˘a alb ˘a, iar în centru mesei exist ˘a una suplimentar ˘a.
1. Se enun¸ t ˘a problema.
2. Fiecare scrie pe foaia lui o idee.
3. Cel care a terminat primul înlocuie¸ ste foaia de pe mas ˘a cu foaia lui ¸ si scrie alt ˘a idee, pe foaia
luat˘a de pe mas ˘a.
4. Între timp, altul a terminat ¸ si face acela¸ si lucru cu foaia de pe mas ˘a, pe care g ˘ase¸ ste, de
aceast ˘a dat ˘a, o idee. El trebuie s ˘a adauge alt ˘a idee, inspirându-se, eventual, de la ceea ce g ˘ase¸ ste
pe foaie. Dac ˘a dore¸ ste, poate s ˘a continue ideea celuilalt. Jocul continu ˘a în acest mod pân ˘a când
profesorul decide încetarea lui.
Avantaje:
– mai profund decât brainstorming-ul oral;
– îndr ˘aznesc ¸ si cei timizi;
63

– se respect ˘a ritmul celor len¸ ti, care nu se simt presa¸ ti de timp (metoda 6-3-5);
– mai rapid decât alte metode (6-3-5);
– ofer ˘a o gam ˘a mai larg ˘a ¸ si mai variat ˘a de idei decât la alte metode (6-3-5).
Inconveniente:
– mai lent decât brainstorming-ul oral;
– mai superficial decât metoda 6-3-5.
Metoda 6-3-5
Cifra 6 indica num ˘arul fix de membrii ai grupului.
Fiecare persoan ˘a î¸ si împarte coala s ˘a de hârtie în trei coloane.
1. Se enun¸ t ˘a problema, pe care fiecare o noteaz ˘a în capul foii din fa¸ ta sa.
Din acest moment începe rezolvarea problemei, lucrându-se pe t ˘acute, individual, fiecare în
ritmul s ˘au, ceilal¸ ti având datoria s ˘a-l a¸ stepte cu r ˘abdare ¸ si pe ultimul.
2. Fiecare emite individual câte trei idei, pe care le scrie pe foaie, în cele 3 coloane. ( aceasta
este semnifica¸ tia cifrei 3, din denumirea metodei ).
3. Runda I a deplas ˘arilor foilor spre vecinul din dreapta. Fiecare lucreaz ˘a pe cele trei idei
primite de la vecinul din stânga: le completeaz ˘a, le îmbun ˘at˘a¸ te¸ ste, le precizeaz ˘a unele am ˘anunte,
le modific ˘a sau î¸ si spune p ˘arerea despre ele. Nimeni nu are voie s ˘a propun ˘a alte idei.
4. Rundele a II-a, aIII-a, aIV-a ¸ si a V-a ale deplas ˘arilor foilor. Fiecare va continua s ˘a lucreze
pe cele trei idei deja în lucru. La sfâr¸ sit, ideile ini¸ tiale au trecut pe la to¸ ti cei 5 membrii ai echipei.
(Aceasta este semnifica¸ tia cifrei 5, din denumirea metodei).
5. Moderatorul strânge foile, urmând ca el sau altcineva s ˘a fac ˘a o analiz ˘a atent ˘a a ideilor.
Avantaje:
– se ob¸ tine un num ˘ar destul de mare de idei aprofundate, detaliate, elaborate. La modul optim,
num˘arul ar trebui s ˘a fie 18 (6 persoane a câte 3 idei). În realitate, datorit ˘a faptului c ˘a unele idei se
repet ˘a sau sunt foarte apropiate, se ob¸ tine un num ˘ar mai mic de idei distincte (10-12). La acestea
se adaug ˘a ideile „sc ˘apate” pe al ˘aturi, c ˘aci uneori câte o persoan ˘a, pentru a se sustrage de la efortul
de a lucra pe ideile g ˘asite, prefer ˘a s˘a propun ˘a o alt ˘a idee, nou ˘a;
– se valorific ˘a efectele efortului individual cu ale celui colectiv;
– persoanele timide sunt valorificate.
Dezavantaje:
– efortul cognitiv (de gândire) cre¸ ste pe m ˘asur˘a ce avansam în runde;
– dureaz ˘a mult: 3-4 ore;
– celor mai rapizi li se pune r ˘abdarea la încercare, fiind nevoi¸ ti s ˘a a¸ stepte pân ˘a termina to¸ ti, ca
s˘a poat ˘a trece la runda urm ˘atoare.
Metoda Brainsketching (brainstorming cu schi¸ te)
Prezint ˘a urm ˘atoarea metodologie de lucru:
1. Se discut ˘a problema cu toat ˘a clasa, pentru a o în¸ telege. Nu se dau solu¸ tii.
2. Se împarte clasa în grupuri de câte 4-6 elevi.
3. Fiecare elev deseneaz ˘a o schi¸ t ˘a a modului în care vede el rezolvarea problemei. Se lucreaz ˘a
individual, în lini¸ ste, 5-10 minute.
4. Se deplaseaz ˘a foile spre vecinii din dreapta, câteva runde. Fiecare modific ˘a sau completeaz ˘a,
dac˘a vrea.
5. Schi¸ tele sunt colectate ¸ si evaluate.
6. Se poate selecta o schi¸ t ˘a, iar grupul dezvolt ˘a solu¸ tia final ˘a, la nevoie luând ¸ si elemente din
alte schi¸ te.
Avantaje:
– sunt cumulate valen¸ tele muncii individuale cu ale efectului de grup;
– metoda este laborioas ˘a ¸ si duce la idei aprofundate.
Metoda „BBB” (Batelle-Bildmappen-Brainwriting)
64

Metoda mai este cunoscut ˘a ¸ si sub denumirea de Brainwriting cu mapa de imagini ¸ si prezint ˘a
urm˘atoarea metodologie de parcurs:
1. Se cite¸ ste problema în fa¸ ta clasei.
2. Brainstorming oral cu clasa.
3. Se prezint ˘a clasei o imagine.
4. Brainstorming individual ( în lini¸ ste ) inspirat de imagini, prin care se îmbun ˘at˘a¸ tesc ideile
din brainstorming-ul oral ori se propun altele. Fiecare elev scrie pe caietul s ˘au.
5. C⸠tiva voluntari citesc cu voce tare ideile lor.
6. Clasa discut ˘a pentru a g ˘asi ¸ si alte variante.
Avantaje:
– este valorificat ˘a asocia¸ tia mental ˘a liber ˘a a fiec ˘arui elev;
– stimularea reciproc ˘a a ideilor celorlal¸ ti;
– stimularea prin imagini;
– este evitat blocajul unora, care nu lucreaz ˘a bine fa¸ t ˘a-în-fa¸ t ˘a.
Metoda Phillips 6-6
Tehnica metodei permite frac¸ tionarea rapid ˘a a unei clase de elevi ori a unui grup mare (30-50
persoane) în subgrupe eterogene (de 6 membrii, de¸ si pot fi intre 4-8) pentru a discuta pe o tem ˘a
dat˘a pe loc (f ˘ar˘a preg ˘atire anterioar ˘a), timp de minimum câte un minut pentru fiecare membru
(minimum 4 minute, maximum 15 minute).
Fiecare grup î¸ si desemneaz ˘a un secretar ¸ si un moderator.
Sinteza rapoartelor: fiecare secretar cite¸ ste cu voce tare lista cu ideile grupului s ˘au, în vreme
ce to¸ ti ceilal¸ ti bifeaz ˘a, pentru a exclude, de pe listele lor, ideile care se repet ˘a. Profesorul culege
toate listele.
Discu¸ tia (în) panel
Panelul este un grup de 5-7 membrii care poart ˘a o discu¸ tie informal ˘a (f˘ar˘a un plan impus, dar ¸ si
f˘ar˘a permisiunea de a citi de pe noti¸ te sau c ˘ar¸ ti) pe o tema propus ˘a pe loc sau preg ˘atit˘a minu¸ tios, în
fa¸ ta unui auditoriu (clasa), care asist ˘a în t ˘acere, având permisiunea s ˘a participe numai prin mesaje
scrise (bile¸ tele) pe care le expediaz ˘a spre un „injector” de mesaje (profesorul î¸ si asum ˘a acest rol,
de obicei).
Mesajele nu sunt semnate, de¸ si profesorul le poate cere elevilor s ˘a le semneze, pentru a pune
note mari celor care pun întreb ˘ari inteligente sau aduc complet ˘ari valoroase.
Mesajele con¸ tin: întreb ˘ari, corecturi, complet ˘ari, atitudini ale celui din banc ˘a fa¸ t˘a de ceea ce
discut ˘a panelul ¸ si fa¸ t ˘a de modul în care se poart ˘a discu¸ tia.
Din când în când (la 10-15 minute), „injectorul” cite¸ ste cu voce tare biletele, pe care între timp
le-a clasificat oarecum.
Panelul continu ˘a discu¸ tia, ¸ tinând cont de mesajele citite ¸ si r ˘aspunzând, dac ˘a vrea, întreb ˘arilor,
dar f ˘ar˘a obliga¸ tia de a le r ˘aspunde pe rând, tuturor.
Metoda este o form ˘a de dramatizare a pred ˘arii.
Not˘a: Auditoriul are tendin¸ ta de a emite mesaje agresive la adresa celor din panel, datorit ˘a
situa¸ tiei psihologice (restric¸ tia de a interveni oral, direct). Grupul panel va fi avertizat din vreme
asupra acestui fenomen.
3.2.Proiectarea pedagogic ˘a
3.2.1. Importan¸ ta ¸ si necesitatea proiect˘ arii
Proiectarea este ac¸ tiunea de anticipare, preg ˘atire ¸ si realizare a activit ˘a¸ tilor didactice ¸ si educative
pe baza unui sistem de opera¸ tii, concretizat în programe de instruire.
Scopul final urm ˘arit, în efortul actual de modernizare a ¸ scolii este proiectarea, organizarea,
preg˘atirea ¸ si desf ˘a¸ surarea lec¸ tiei, ca microsistem ce produce la scar ˘a redus ˘a macrosistemul in-
struc¸ tional.
În esen¸ t ˘a, fiecare lec¸ tie trebuie orientat ˘a spre atingerea unor anumite finalit ˘a¸ ti (scop ¸ si obiective
concrete), realizat ˘a printr-un anumit con¸ tinut, pus în valoare de anumi¸ ti agen¸ ti (profesori ¸ si elevi),
65

folosind strategii optime (metode, tehnici, mijloace).
Proiectarea pedagogic ˘a este o ac¸ tiune continu ˘a ¸ si unitar ˘a, vizeaz ˘a tot sistemul educa¸ tional ¸ si se
realizeaz ˘a pe baza Programelor ¸ scolare, pe baza evalu ˘arilor anterioare ¸ si pe situa¸ tia existent ˘a.
Proiectarea pedagogic ˘a se face prin planificarea anual ˘a a materiei, apoi pe semestre, continu ˘a
cu planificarea pe capitole, a lec¸ tiilor de predare – înv ˘a¸ tare, de recapitulare, de evaluare etc.
Proiectarea, cu componentele sale, are func¸ tii bine definite, necesare în orientarea ¸ si direc¸ tionarea
întregii activit ˘a¸ ti didactice a profesorului, îi sugereaz ˘a ce strategii s ˘a foloseasc ˘a ¸ si ofer ˘a, în ace-
la¸ si timp, criterii de apreciere a rezultatelor din perspectiva obiectivelor urm ˘arite, stabile¸ ste rela¸ tiile
profesor-elev, elev-elev, asigur ˘a transmiterea, receptarea ¸ si asimilarea mesajului didactic ¸ si creeaz ˘a
climatul necesar desf ˘a¸ sur˘arii programului de instruire.
Proiectarea pedagogic ˘a presupune simularea în plan mental, a unor indicatori temporali, spa¸ tiali
¸ si dinamici, definitorii pentru ac¸ tiunea didactic ˘a.
Proiectarea pedagogic ˘a se realizeaz ˘a diferen¸ tiat pe cicluri educa¸ tionale prin organizarea mediu-
lui curricular, o proiectare care tinde, azi, tot mai mult, s ˘a devin ˘a o proiectare orientat ˘a metodologic
¸ si transdisciplinar.
Proiectarea pedagogica este necesar ˘a deoarece ea reprezint ˘a, pentru un profesor autentic, arii
de interes ¸ si subiecte de reflec¸ tie permanent ˘a.
Proiectarea se realizeaz ˘a prin abordarea sistemic ˘a a realit ˘a¸ tii cu valen¸ te euristice în descrierea
¸ si interpretarea fenomenului educa¸ tional.
Analiza sistemic ˘a are func¸ tia de a permite tuturor celor care lucreaz ˘a într-o situa¸ tie complex ˘a
de descris s ˘a perceap ˘a func¸ tiile, s ˘a ia în considerare diferitele niveluri ale realit ˘a¸ tii sociale ¸ si insti-
tu¸ tionale.
O descriere sistemic ˘a a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt se poate realiza din trei puncte de vedere:
– func¸ tional;
– structural;
– opera¸ tional.
Sub aspect func¸ tional, trebuie s ˘a ¸ stim care sunt premisele sistemului de înv ˘a¸ t˘amânt, ce ¸ tinte¸ ste
el s˘a realizeze ¸ si ce rezultate ob¸ tine.
Din punct de vedere structural, func¸ tionarea procesului de înv ˘a¸ t˘amânt are la baza resurse
umane-elevi, educatori, p ˘arin¸ ti, resurse materiale ¸ si financiare, con¸ tinuturi, forme de organizare
a activit ˘a¸ tii, sisteme de rela¸ tii etc.
Sub aspect opera¸ tional, urm ˘arim procesul, desf ˘a¸ surarea activit ˘a¸ tii, metodele, strategiile.
Proiectarea didactic ˘a reprezint ˘a procesul deliberativ de fixare mental ˘a a pa¸ silor ce vor fi par-
cur¸ si în realizarea instruc¸ tiei ¸ si educa¸ tiei.
În func¸ tie de perioada de timp luat ˘a ca referin¸ t ˘a, se pot distinge dou ˘a variante ale proiect ˘arii:
1.proiectarea global ˘a;
2.proiectarea e¸ salonat ˘a.
Proiectarea global ˘a are ca referin¸ t ˘a o perioad ˘a mai mare de instruire – ciclu sau an de studii
– ¸ si opereaz ˘a cu obiective, con¸ tinuturi ¸ si criterii de evaluare mai largi, ce au în vedere activit ˘a¸ tile
din ¸ scoal ˘a. Concretizarea acestui tip de proiectare se realizeaz ˘a îndeosebi prin dimensionarea
planurilor de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si a programelor ¸ scolare analitice.
Proiectarea e¸ salonat ˘a se materializeaz ˘a prin elaborarea programelor de instruire specifice unei
discipline ¸ si apoi unei lec¸ tii, aplicabile la o anumit ˘a clas ˘a de elevi.
Proiectarea globala creeaz ˘a cadrul, limitele ¸ si posibilit ˘a¸ tile proiect ˘arii e¸ salonate.
Cadrul didactic realizeaz ˘a o proiectare e¸ salonat ˘a, prin vizarea unei discipline sau a unui grup
de discipline, rela¸ tionându-se la trei planuri temporale:
1. anul ¸ scolar;
2. semestrul ¸ scolar;
3. ora de curs.
66

Proiectarea unei discipline pentru un an sau semestru se realizeaz ˘a prin planificarea e¸ salonat ˘a
pe lec¸ tii ¸ si date temporale exacte, de predare a materiei respective.
Documentul orientativ în realizarea acestei opera¸ tii este programa ¸ scolar ˘a, ce indic ˘a în mod
riguros capitolele, temele ¸ si subtemele cu num ˘arul corespunz ˘ator de ore pentru tratarea acestora.
Programa descrie oferta educa¸ tional ˘a a unei anumite discipline pentru un parcurs ¸ scolar deter-
minat ¸ si cuprinde:
– nota de prezentare, ce descrie parcursul obiectului de studiu respectiv, structura didactic ˘a
adoptat ˘a etc.;
– obiectivele cadru – sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate ¸ si complexitate. Ele se
refer ˘a la formarea unor capacit ˘a¸ ti ¸ si atitudini specifice disciplinei ¸ si sunt urm ˘arite de-a lungul mai
multor ani de studiu;
– obiectivele de referin¸ t ˘a, care specific ˘a rezultatele a¸ steptate ale înv ˘a¸ t˘arii ¸ si urm ˘aresc progresia
în achizi¸ tia de competen¸ te ¸ si de cuno¸ stin¸ te de la un an de studiu la altul;
– exemplele de activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare, necesare pentru realizarea obiectivelor propuse; programa
oferind cel pu¸ tin un exemplu de activitate înv ˘a¸ tare pentru fiecare obiectiv de referin¸ t ˘a în parte. Ex-
emplele de activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare sunt construite astfel încât s ˘a porneasc ˘a de la experien¸ ta concret ˘a
a elevului ¸ si s ˘a se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de înv ˘a¸ tare.
– con¸ tinuturile – sunt mijloace prin care se urm ˘are¸ ste atingerea obiectivelor cadru ¸ si de referin¸ t ˘a
propuse ¸ si sunt organizate, fie tematic, fie în conformitate cu domeniile constitutive ale diverselor
obiecte de studiu;
– standardele curriculare de performan¸ t ˘a, sunt criterii de evaluare a calit ˘a¸ tii procesului de în-
v˘a¸ tare. Ele reprezint ˘a enun¸ turi sintetice, în m ˘asur˘a s˘a indice gradul în care sunt atinse obiectivele
curriculare de c ˘atre elevi. În termeni concre¸ ti, standardele constituie specific ˘ari de performan¸ t ˘a
vizând cuno¸ stin¸ tele, competen¸ tele ¸ si comportamentele stabilite prin curriculum. Ele reprezint ˘a,
pentru to¸ ti elevii, un sistem de referin¸ t ˘a comun ¸ si echivalent, vizând sfâr¸ situl unei trepte de ¸ sco-
larizare.
Programa ¸ scolar ˘a nu este tabla de materii a manualului ¸ si nici un element de îngr ˘adire pentru
profesor.
Chiar dac ˘a în proiectare sunt obligatorii obiectivele, se remarc ˘a faptul c ˘a, adesea, acela¸ si obiec-
tiv se realizeaz ˘a prin mai multe con¸ tinuturi ¸ si resurse, dup ˘a cum mai multe obiective pot fi realizate
cu acela¸ si con¸ tinut ¸ si cu acelea¸ si resurse. Asocierea acestora este la latitudinea profesorului.
Proiectarea activit ˘a¸ tii didactice presupune:
– lectura programei;
– planificarea calendaristic ˘a;
– proiectarea secven¸ tial ˘a (a unit ˘a¸ tilor de înv ˘a¸ tare).
Programa se cite¸ ste „pe orizontal ˘a”, în succesiunea de mai jos:
obiectiv cadru – obiective de referin¸ t˘ a – activit˘ a¸ ti de înv˘ a¸ tare – con¸ tinuturi
Fiec˘arui obiectiv cadru îi sunt asociate dou ˘a sau mai multe obiective de referin¸ t ˘a. Pentru re-
alizarea obiectivelor de referin¸ t ˘a, profesorul poate organiza diferite tipuri de activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare.
Unele dintre activit ˘a¸ tile posibile sunt recomandate în program ˘a. Profesorul poate opta pentru
folosirea unora dintre aceste activit ˘a¸ ti sau poate construi activit ˘a¸ ti proprii (exemplele din program ˘a
au caracter orientativ, de sugestii ¸ si nu implic ˘a obligativitatea utiliz ˘arii numai a acestora în activi-
tatea didactic ˘a). Atingerea obiectivelor de referin¸ t ˘a se realizeaz ˘a cu ajutorul unit ˘a¸ tilor de con¸ tinut
(care se reg ˘asesc în ultima parte a programei). Profesorul va selecta din lista cu „con¸ tinuturile
înv˘a¸ t˘arii” acele unit ˘a¸ ti de con¸ tinut care mijlocesc atingerea obiectivelor.
3.2.2. Func¸ tiile proiect˘ arii didactice
Func¸ tiile ce trebuiesc îndeplinite de o activitate de proiectare didactico-pedagogice sunt:
– func¸ tia de anticipare a rezultatelor a¸ steptate;
– func¸ tia de organizare metodic ˘a a activit ˘a¸ tilor instructiv-educative;
– func¸ tia de evaluare a rezultatelor acestor activit ˘a¸ ti didactice;
67

– func¸ tia de reglare ¸ si optimizare a procesului instructiv-educativ, de predare – înv ˘a¸ tare.
Func¸ tiile proiect ˘arii vizeaz ˘a precizarea:
– obiectivelor;
– con¸ tinuturilor;
– strategiilor;
– metodelor de evaluare;
– interac¸ tiunilor optime dintre acestea etc., în vederea atingerii unor indicatori de desf ˘a¸ surare
eficient ˘a a procesului didactic.
Proiectarea începe cu analiza am ˘anun¸ tit ˘a a „situa¸ tiei” de start: care este starea generala de
preg˘atire a elevilor, nivelul cuno¸ stin¸ telor asimilate, stadiul de dezvoltare a capacit ˘a¸ tii mentale,
disponibilitatea de studiu, aspectele motiva¸ tionale, descrierea condi¸ tiilor psihosociale ale clasei, a
tr˘as˘aturilor proceselor instructive prealabile, a repertoriului de specialitate.
3.2.3. Con¸ tinutul proiect˘ arii pedagogice
Scopurile ini¸ tiale ale proiect ˘arii sunt date de principiul optimalit ˘a¸ tii activit ˘a¸ tii instructiv-educative
care se refer ˘a la nivelul a¸ steptat ¸ si realizat al performan¸ telor ob¸ tinute de elevi în înv ˘a¸ tare.
Scopurile prev ˘azute la început se refer ˘a la obiectivele cadru, cele generale ¸ si de referin¸ t ˘a pe
care profesorul le stabile¸ ste astfel încât eficien¸ ta s ˘a fie maxim ˘a, s˘a conduc ˘a la formarea unei gândiri
creativ-productive ¸ si a unor cadre mentale flexibile.
Con¸ tinutul înv ˘a¸ t˘amântului cuprinde valorile ¸ stiin¸ tifice, tehnice ¸ si umaniste structurate în pro-
gramele ¸ si manualele ¸ scolare pe baza unor criterii ¸ stiin¸ tifice, psihologice ¸ si pedagogice. Stabilit în
concordan¸ t ˘a cu obiectivele pedagogice, con¸ tinutul orienteaz ˘a întregul proces didactic. El trebuie
permanent actualizat ¸ si restructurat, trebuie s ˘a aib ˘a un caracter ¸ stiin¸ tific, experimental, practic ¸ si
interdisciplinar, reprezentarea lui fiind activ ˘a, iconic ˘a (machete, mulaje) ¸ si simbolic ˘a, sub forma
de formule logice, matematice, chimice etc.
În organizarea ¸ si preg ˘atirea con¸ tinuturilor sunt cunoscute mai multe direc¸ tii, cu avantaje, dar ¸ si
cu limite:
– organizarea monodisciplinar ˘a, prin divizarea în discipline ¸ stiin¸ tifice (matematic ˘a, fizic ˘a, chimie,
biologie etc.), umaniste (literatur ˘a, limb ˘a, filosofie, istorie etc.) ¸ si tehnice;
– organizarea interdisciplinar ˘a, între obiecte, teme, metode, concepte, ce permite un grad de
integrare în diferite domenii, mai mari;
– transdisciplinaritatea, ce vizeaz ˘a integrarea selectiv ˘a a mai multor discipline într-o disciplin ˘a
nou˘a, de sintez ˘a (ex: cibernetica);
– pluridisciplinaritatea, ce presupune organizarea în jurul unor probleme specifice folosind mai
multe discipline;
– predarea integrat ˘a, realizeaz ˘a un curriculum centrat pe rolurile ¸ si trebuin¸ tele celor care înva¸ t ˘a,
pe capacit ˘a¸ tile ¸ si ritmurile lor de munca intelectual ˘a;
– organizarea modular ˘a – vizeaz ˘a preg ˘atirea elevilor ¸ si integrarea lor socioprofesional ˘a, pe
moduluri de perfec¸ tionare.
Proiectarea începe cu precizarea con¸ tinutului esen¸ tial pentru fiecare capitol ¸ si lec¸ tie. În raport
de con¸ tinut ¸ si de obiective, profesorul va stabili tipul ¸ si structura lec¸ tiei, strategiile de predare
-înv˘a¸ tare, metodele ¸ si mijloacele, formele de activitate cu elevii (frontal ˘a, în grup, individual ˘a,
combinat ˘a) ¸ si instrumentele de evaluare (teste, întreb ˘ari, lucr ˘ari, fi¸ se, exerci¸ tii etc.).
Esen¸ tializarea con¸ tinutului începe cu consultarea de c ˘atre profesor a programei ¸ si manualelor,
se selecteaz ˘a ideile de baz ˘a, cele secundare ale lec¸ tiei, exerci¸ tiile, experien¸ tele, mijloacele nece-
sare.
Actualizarea presupune informarea la zi ¸ si integrarea organic ˘a a noilor date în con¸ tinutul ante-
rior.
Adecvarea solicit ˘a structurarea în raport cu nivelul de gândire ¸ si de în¸ telegere al elevilor,
pornind de la cuno¸ stin¸ tele anterioare ale acestora pentru a realiza accesibilitatea cuno¸ stin¸ telor ce
urmeaz ˘a a fi predate.
68

Corelarea con¸ tinutului cu educa¸ tia extra¸ scolar ˘a vizeaz ˘a leg ˘atura dintre sistemul de lec¸ tii ¸ si
activit ˘a¸ tile extradidactice din cadrul cercurilor pe obiecte, cu programele de preg ˘atire pentru con-
cursuri ¸ si olimpiade, menite s ˘a adânceasc ˘a preg ˘atirea elevilor din timpul lec¸ tiilor.
În procesul opera¸ tionaliz ˘arii fiec ˘arui obiectiv, în raport de con¸ tinut, profesorul va parcurge
etapele:
– stabile¸ ste ac¸ tiunea sau opera¸ tia pe baza con¸ tinutului de predat (elevii s ˘a defineasc ˘a, s˘a identi-
fice, s ˘a demonstreze, s ˘a rezolve, s ˘a interpreteze etc.);
– precizeaz ˘a obiectul ac¸ tiunii, ce anume s ˘a defineasc ˘a, s˘a rezolve etc.
– descrie condi¸ tiile situa¸ tiei didactice;
– precizeaz ˘a criteriul de evaluare a rezultatelor lec¸ tiei, stabilind condi¸ tiile în care se va atinge
obiectivul.
Predarea implic ˘a formularea ¸ stiin¸ tific ˘a a obiectivelor ¸ si con¸ tinutului, a strategiilor didactice, a
metodelor ¸ si a formelor de grupare a elevilor.
Predarea este în strâns ˘a interac¸ tiune cu înv ˘a¸ tarea ¸ si evaluarea, constituind un proces unitar.
Eficien¸ ta pred ˘arii cre¸ ste daca elevii sunt angaja¸ ti în elaborarea cuno¸ stin¸ telor ¸ si dac ˘a metodele
sunt îmbun ˘at˘a¸ tite prin feed-back.
Clasificarea tipurilor de lec¸ tii, ca modalit ˘a¸ ti de lucru cu elevii, folosite în proiectarea didactic ˘a
¸ si pedagogic ˘a, se poate face în felul urm ˘ator:
– lec¸ tia de comunicare ¸ si însu¸ sire de noi cuno¸ stin¸ te;
– lec¸ tia de elaborare a cuno¸ stin¸ telor ¸ si dezvoltare a strategiilor cognitive;
– lec¸ tia de formare a priceperilor ¸ si deprinderilor;
– lec¸ tia de consolidare ¸ si sistematizare;
– lec¸ tia de aplica¸ tii practice, de dezvoltare a func¸ tiilor de ac¸ tiune sau de transfer;
– lec¸ tia de crea¸ tie;
– lec¸ tia de evaluare;
– lec¸ tia de atitudine ( motiva¸ tie );
– lec¸ tia complex ˘a, combinat ˘a sau mixt ˘a etc.
Ca metode didactice, în proiectarea didactic ˘a se pot utiliza, cu succes, ¸ si urm ˘atoarele:
– metode de comunicare orala:
– expozitive: povestirea, explica¸ tia, prelegerea;
– interogative: conversa¸ tia euristic ˘a, problematizarea, algoritmizarea;
– metode de comunicare scrisa: metode ¸ si tehnici de munc ˘a intelectual ˘a, lectura
– metode de comunicare oral-vizual ˘a: filme, casete audio, video, PC-uri etc.;
– metode de explorare a realit ˘a¸ tii: observa¸ tia, experimentul, metoda studiului de caz, metoda
înv˘a¸ t˘arii prin cooperare în echip ˘a, demonstra¸ tia,
modelarea etc;
– metode de ac¸ tiune: practic ˘a ( opera¸ tionale, instrumentale), efectiv ˘a, real ˘a, fictiv ˘a, simulat ˘a,
programat ˘a;
– metoda exerci¸ tiului;
– metoda lucr ˘arilor de laborator;
– metoda lucr ˘arilor practice;
– metoda proiectelor;
– portofoliul etc.
Mijloacele de înv ˘a¸ t˘amânt care se pot utiliza în activitatea didactic ˘a de predare – înv ˘a¸ tare în
clas˘a, cabinet, laborator, atelier specializat se pot
clasifica în urm ˘atoarele grupe:
1. Informative:
– obiecte confec¸ tionate;
– reprezent ˘ari figurative ( ilustra¸ tii, plan¸ se, schi¸ te, desene diverse, agende);
– reprezentari proiectabile ( diapozitive, diafilme, filme, folii etc.);
69

– echipamente tehnice pentru ateliere, laboratoare;
– ma¸ sini de instruire ¸ si evaluare, calculatoare;
– simboluri: scheme, grafice;
– mijloace de exersare ( aparate, simulatoare, truse, jocuri didactice);
– mijloace de evaluare ( teste, calculatoare, chestionare etc).;
– mijloace sonore etc.
2. Tehnice:
– videoproiectorul
– retroproiectorul;
– diaproiectorul;
– epiproiectorul;
– cineproiectorul;
– video-discul; video-textul; calculatorul electronic etc.
3.2.4.Planificarea calendaristic˘ a
În contextul noului curriculum, planificarea calendaristic ˘a se transform ˘a dintr-un document
administrativ formal care repet ˘a modul de gestionare a timpului propus de programa analitic ˘a, într-
un instrument de interpretare personal ˘a a programei, care asigur ˘a un demers didactic concordant
cu situa¸ tia concret ˘a din clas ˘a.
Planificarea activit ˘a¸ tii didactice presupune ca necesar ˘a urm ˘atoarea etapizare:
1. Citirea atent ˘a a programei;
2. Stabilirea succesiunii de parcurgere a con¸ tinuturilor;
3. Corelarea fiec ˘arui con¸ tinut în parte cu obiectivele de referin¸ t ˘a vizate;
4.Verificarea concordan¸ tei dintre traseul educa¸ tional propus de c ˘atre profesor ¸ si oferta de resurse
didactice de care poate dispune;
5. Alocarea timpului considerat necesar pentru fiecare con¸ tinut, în concordan¸ t ˘a cu obiectivele
de referin¸ t ˘a vizate.
Întregul cuprins al planific ˘arii are valoare orientativ ˘a, eventualele modific ˘ari determinate de
aplicarea efectiv ˘a la clas ˘a putând fi consemnate în rubrica „Observa¸ tii”.
3.2.5.Proiectarea unei unit˘ a¸ ti de înv˘ a¸ tare
O unitate de înv ˘a¸ tare poate s ˘a acopere una sau mai multe ore de curs. Alocarea timpului afectat
unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare se face prin planificarea anual ˘a.
O unitate de înv ˘a¸ tare este:
– coerent ˘a din punct de vedere al obiectivelor vizate;
– unitar ˘a din punct de vedere tematic (adic ˘a al con¸ tinutului);
– desf ˘a¸ surat ˘a în mod continuu pe o perioad ˘a de timp;
– finalizat ˘a prin evaluare.
Proiectarea unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare se recomand ˘a a fi f ˘acut˘a ¸ tinând seam ˘a de urm ˘atoarele:
-centrarea demersului didactic pe obiective (nu pe con¸ tinuturi);
-implicarea în proiectare a urm ˘atorilor factori:
* obiective (de ce ?): obiective de referin¸ ta;
* activit ˘a¸ ti (cum ?): activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare;
* evaluare (cat ?): descriptori de performan¸ ta;
* resurse (cu ce ?).
Exemplific ˘ari
Sugestie metodic ˘a pentru proiectarea unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare
Aplicarea programei necesit ˘a ca în proiectarea oric ˘arei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare s ˘a fie parcurse urm ˘a-
toarele etape:
– Identificarea setului de achizi¸ tii anterioare necesar abord ˘arii noului con¸ tinut (actualizarea)
implic ˘a precizarea no¸ tiunilor de baz ˘a ¸ si a comportamentelor operatorii necesare pentru în¸ telegerea
¸ si prelucrarea noului con¸ tinut (achizi¸ tii anterioare);
70

se poate realiza ¸ si printr-o prob ˘a de evaluare ini¸ tial ˘a.
– Activit ˘a¸ tile de înv ˘a¸ tare preg ˘atitoare
se realizeaz ˘a prin prezentarea unei situa¸ tii problem ˘a desprins ˘a din cotidian, care ofer ˘a ele-
vului pretextul-problem ˘a motivant. Rezolvarea optim ˘a a situa¸ tiei-problem ˘a va fi posibil ˘a dup ˘a
parcurgerea demersului de instruire pentru dobândirea competen¸ telor specifice
sunt exemple din cotidian abordate într-o manier ˘a deschis ˘a, prin descoperire;
reprezint ˘a valorificarea achizi¸ tiilor din ciclul anterior;
conduc la compatibilizarea noilor cuno¸ stin¸ te cu experien¸ ta anterioar ˘a a elevului într-o form ˘a
accesibil ˘a, cu realizarea unor leg ˘aturi interdisciplinare.
– Introducerea suportului no¸ tional
necesit ˘a esen¸ tializare ¸ si prezentare într-un limbaj simplu ¸ si clar. Defini¸ tiile, teoremele sunt
urmate de exemple semnificative pentru a se constitui în puncte de referin¸ t ˘a (¸ si de revenire) în
vederea sistematiz ˘arilor;
– Modelarea
presupune aplica¸ tii relevante ale modelului ¸ si eviden¸ tierea limitelor acestuia;
permite dezvoltarea unor rezultate teoretice;
se realizeaz ˘a printr-un demers dirijat / semidirijat cu activitate organizat ˘a pe grupe sau indi-
vidual ¸ si sarcini precise, punctuale;
– Exersarea direc¸ tional ˘a
are în vedere aplica¸ tii ordonate progresiv, cu scop de antrenament ¸ si care conduc la elaborarea
unor strategii de rezolvare. Criteriul de alegere a sarcinilor trebuie s ˘a r˘aspund ˘a necesit ˘a¸ tilor de
formare a competen¸ telor specifice. Modul de organizare a înv ˘a¸ t˘arii se adapteaz ˘a nevoilor grupului
de elevi ¸ si se personalizeaz ˘a pentru diferite filiere ¸ si specializ ˘ari func¸ tie de num ˘arul de ore alocat
¸ si de tipul de program ˘a.
are rol de fixare ¸ si sistematizare;
include probe de evaluare formative / curente;
– Aprofundarea / generalizarea
ofer˘a oportunit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare necesare pentru dobândirea competen¸ telor ac¸ tionale ¸ si fo-
calizarea pe finalitate;
presupune activit ˘a¸ ti diferen¸ tiate pentru valorificarea diferitelor stiluri de înv ˘a¸ tare ¸ si a difer-
en¸ telor individuale;
prob ˘a de evaluare sumativ ˘a.
3.3. Evaluarea
Al˘aturi de predare ¸ si înv ˘a¸ tare, evaluarea este o component ˘a esen¸ tial ˘a a procesului de înv ˘a¸ t˘amânt
care furnizeaz ˘a informa¸ tii despre calitatea ¸ si func¸ tionalitatea acestuia. Prin implica¸ tiile ei, evalu-
area dep ˘a¸ se¸ ste cadrul strict al procesului de înv ˘a¸ t˘amânt ¸ si al ¸ scolii astfel, evaluând elevii, evalu ˘am
în acela¸ si timp (direct sau indirect) profesorii, calitatea activit ˘a¸ tii didactice, a institu¸ tiei ¸ scolare ¸ si
în cele din urm ˘a a sistemului educativ în ansamblu.
Evaluarea este procesul prin care se stabile¸ ste dac ˘a obiectivele sistemului sau procesului de în-
v˘a¸ t˘amant sunt realizate. Informa¸ tiile obi¸ snuite în urma activit ˘a¸ tii de evaluare sunt absolut necesare
pentru reglarea si perfec¸ tionarea activit ˘a¸ tii de predare-înv ˘a¸ tare.
Evaluarea reprezint ˘a un proces continuu ¸ si de durat ˘a putandu-se face la începutul programului
de instruire, pe parcursul acestuia sau la finalul sau. Focalizat ˘a pe unitatea de înv ˘a¸ tare, evaluarea
ar trebui s ˘a asigure eviden¸ tierea progresului înregistrat de elev în raport cu sine însu¸ si, în vederea
atingerii obiectivelor realiz ˘arii competen¸ telor prev ˘azute în program ˘a.
Este important s ˘a fie evaluat ˘a nu numai cantitatea de informatie de care dispune elevul ci, mai
ales, ceea ce poate el s ˘a fac ˘a utilizand ceea ce ¸ stie sau ceea ce intuie¸ ste.
Evaluarea va fi conceput ˘a ca:
-o cale de perfec¸ tionare;
– ocazie de validare a juste¸ tii secven¸ telor educative, a componentelor procesului didactic;
71

– un mijloc de delimitare, fixare ¸ si interven¸ tie asupra con¸ tinuturilor ¸ si obiectivelor edu-
ca¸ tionale.
Opera¸ tiile ac¸ tiunii de evaluare didactic ˘a sunt: m˘asurarea ,aprecierea sidecizia .
M˘asurarea reprezint ˘a opera¸ tia de evaluare care asigur ˘a consemnarea unor "caracteristici ob-
servabile" exprimate în termeni cantitativi (scor, cifre, statistici) sau/¸ si prin " descrieri concentrate
asupra unor zone restranse de manifestare" (De Lansheere, G.).
M˘asurarea tinde spre o anumit ˘a obiectivitate sus¸ tinut ˘a, de regul ˘a, prin instrumente speciale de
evaluare cantitativ ˘a a fenomenului studiat. Aceast ˘a obiectivitate nu angajeaz ˘a îns ˘a emiterea unor
judec ˘a¸ ti de valoare specific pedagogice, deschise interpret ˘arii pe termen scurt, mediu si lung.
Aprecierea este opera¸ tia de evaluare care implic ˘a interpretarea faptelor consumate, în func¸ tie
de anumite criterii calitative, specific pedagogice, independente în raport cu instrumentele de m ˘a-
sur˘a folosite în cadrul unei anumite metode sau strategii didactice.
Aprecierea faptelor m ˘asurate anterior presupune stabilirea "unui spectru mai larg de caracte-
ristici de performan¸ t ˘a", exprimate în termeni calitativi, care angajeaz ˘a urm ˘atoarele tipuri de judec˘ a¸ ti
valorice care trebuie respectate de evaluator:
a) "cânt˘ arirea " rezultatelor consemnate în func¸ tie de:
– achizi¸ tiile elevului în raport cu cerin¸ tele lec¸ tiei;
– progresul elevului în raport cu sine;
– situa¸ tia (micro) grupului clasei în raport cu alte (micro) grupuri de elevi.
b) "diagnosticarea " rezultatelor consemnate în func¸ tie de calitatea pedagogic ˘a atins ˘a con-
form unei liste de criterii ¸ si reguli specifice fiec ˘arei discipline.
c) "prognosticarea evolu¸ tiilor " în func¸ tie de diagnoza asumat ˘a prin interpretarea calitativ ˘a
a rezultatelor m ˘asurate.
Decizia reprezint ˘a opera¸ tia de evaluare care asigur ˘a prelungirea aprecierii într-o not ˘a ¸ scolar ˘a,
caracterizare, hot ˘arare, recomandare, cu valoare de prognoz ˘a pedagogic ˘a.
Aceast ˘a opera¸ tie intr ˘a în categoria judec ˘a¸ tilor evaluative finale, de o mare complexitate social ˘a,
care angajeaz ˘a respectarea urm ˘atoarelor criterii pedagogice:
a) valorificarea integral ˘a a caracteristicilor specifice fiec ˘arei vârste ¸ scolare interpretabile
la nivel general, particular, individual;
b) ameliorarea permanent ˘a a calit ˘a¸ tii procesului de înv ˘a¸ t˘amant, în general, a activit ˘a¸ tii
didactice, în mod special;
c) transformarea (deciziei) diagnozei în prognoz ˘a cu func¸ tie de anticipare pozitiv ˘a a evolu¸ tiei
institu¸ tiei, clasei, elevului, verificabil ˘a managerial la diferite intervale de timp.
3.3.1. Func¸ tiile evalu˘ arii
Evaluarea ¸ scolar ˘a îndepline¸ ste urm ˘atoarele func¸ tii:
– diagnostic ˘a, în sensul c ˘a permite nu numai constatarea st ˘arii de fapt a unei situa¸ tii, ci
sunt analiza¸ ti ¸ si f ˘acu¸ ti cunoscu¸ ti factorii care conduc la ob¸ tinerea anumitor rezultate de c ˘atre elevi,
în vederea amelior ˘arii sau restructur ˘arii demersului pedagogic;
– prognostic ˘a, în sensul posibilit ˘a¸ tii de a emite presupozi¸ tii ¸ si a anticipa performan¸ tele
viitoare ale elevilor, luând în considera¸ tie rezultatele înregistrate. Aceast ˘a func¸ tie este necesar ˘a
pentru a organiza ¸ si a planifica secven¸ tele didactice urm ˘atoare, asociindu-se celei de diagnoz ˘a ¸ si
fiind complementare;
– de certificare a nivelului de cuno¸ stin¸ te ¸ si abilit ˘a¸ ti ale elevilor la sfâr¸ situl unei perioade
lungi de instruire (ciclu de înv ˘a¸ t˘amant);
– de selec¸ tie a elevilor pentru accesul într-o treapt ˘a superioar ˘a de înv ˘a¸ t˘amânt sau într-un
program specific de instruire;
– motiva¸ tional ˘a, de stimulare a înv ˘a¸ t˘arii, bazându-se pe rezultatele oferite de realizarea
operativ ˘a ¸ si eficient ˘a a conexiunii inverse care ajut ˘a la îmbun ˘at˘a¸ tirea demersurilor instructiv-
educative;
72

– de feed-back, asigurând conexiunea invers ˘a imediat ˘a, facilitând reglarea proceselor de
înv˘a¸ tare ¸ si predare;
– de ameliorare, de perfec¸ tionare, dar ¸ si de optimizare a activit ˘a¸ tii prin clarificarea ideilor
¸ si adoptarea celor mai bune modalit ˘a¸ ti de ameliorare ¸ si de recuperare;
– de supraveghere (de control sau monitorizare), prin efectuarea de verific ˘ari obiective,
sistematice ¸ si riguroase privind îndeplinirea obiectivelor, progresele înregistrate, eficien¸ t ˘a ac¸ tiuni-
lor (timp, resurse ¸ si energii consumate);
– func¸ tia de orientare ¸ scolar ˘a ¸ si profesional ˘a, evaluarea ¸ scolar ˘a oferind informa¸ tii despre
performan¸ tele elevilor ¸ si a direc¸ tiei pe care ace¸ stia o pot urma cu succes în concordan¸ t ˘a cu propriile
aptitudini.
Prin îndeplinirea cu eficien¸ t ˘a a func¸ tiilor sale, evaluarea asigur ˘a premisele desf ˘a¸ sur˘arii în
condi¸ tii optime, a proceselor de predare ¸ si înv ˘a¸ tare în clas ˘a. Interrela¸ tia care se realizeaz ˘a între
cele trei procese creeaz ˘a un circuit continuu, conform c ˘aruia nu putem înf ˘aptui unul dintre ele f ˘ar˘a
a ¸ tine cont de cel ˘alalt.
Aceste func¸ tii se întrep ˘atrund. În raport cu scopul evalu ˘arii, cu particularit ˘a¸ tile concrete
ale situa¸ tiei educa¸ tionale, unele pot s ˘a capete o pondere mai mare decât altele.
În ¸ scoala româneasc ˘a no¸ tiunea de evaluare a evoluat, adaptându-se ¸ si modernizându-se
continuu, în scopul perfec¸ tion ˘arii actului în sine, precum ¸ si a etapelor parcurse (conceperea, apli-
carea, analiza ¸ si sinteza, ameliorarea).
Între instruire-înv ˘a¸ tare-evaluare exist ˘a o rela¸ tie de intercondi¸ tionare reciproc ˘a, fiecare din-
tre ele realizându-se prin raportare la celelalte. Nu este corect s ˘a evalu ˘am ceea ce nu s-a predat,
respectiv înv ˘a¸ tat, dar nici nu are sens s ˘a se predea, respectiv înv ˘a¸ ta, ceea ce nu se evalueaz ˘a.
Încercând o definire a evalu ˘arii în sensul ei larg, se poate spune c ˘aevaluarea este o acti-
vitate care:
– are în vedere toate acele procese ¸ si produse ce reflect ˘a atât natura cât ¸ si nivelul perfor-
man¸ telor atinse de elevi în înv ˘a¸ tare;
– eviden¸ tiaz ˘a gradul de concordan¸ t ˘a a rezultatelor înv ˘a¸ t˘arii cu obiectivele educa¸ tionale
propuse;
– ofer ˘a informa¸ tiile necesare adopt ˘arii deciziilor educa¸ tionale optime.
Evaluarea î¸ si dovede¸ ste necesitatea din cel pu¸ tin trei perspective: a cadrului didactic res-
ponsabil de formarea elevilor, a elevului ¸ si a societ ˘a¸ tii ca beneficiar ˘a a "produselor" sistemului
educa¸ tional. Din perspectiva profesorului, evaluarea se impune ca o necesitate deoarece, prin
intermediul ei, cadrul didactic ob¸ tine informa¸ tii privind calitatea presta¸ tiei sale didactice ¸ si are
posibilitatea de a adopta m ˘asuri care s ˘a eficien¸ tizeze stilul de înv ˘a¸ t˘amânt pe care îl promoveaz ˘a.
Din perspectiva elevului, evaluarea exercit ˘a un impact considerabil în mai multe planuri.
Astfel, evaluarea:
– orienteaz ˘a ¸ si dirijeaz ˘a activitatea de înv ˘a¸ tare a acestuia ajutându-l s ˘a î¸ si formeze un stil
de înv ˘a¸ tare;
– ofer ˘a posibilitatea cunoa¸ sterii gradului de îndeplinire a sarcinilor ¸ scolare contribuind la
formarea unei imagini de sine cât mai corect ˘a;
– determin ˘a efecte pozitive în planul însu¸ sirii temeinice a cuno¸ stin¸ telor, priceperilor ¸ si
deprinderilor prin repetarea, sistematizarea pe care le prilejuie¸ ste;
– produce efecte în planul rela¸ tion ˘arii elevului cu ceilal¸ ti membri ai grupului ¸ scolar din
care face parte;
– influen¸ teaz ˘a dezvoltarea psihic ˘a a elevilor în multiple planuri ale personalit ˘a¸ tii lor.
La nivelul macro, evaluarea se impune a fi necesar ˘a deoarece ea:
– este un bun mijloc de informare a sistemului social asupra calit ˘a¸ tii activit ˘a¸ tii de în-
v˘a¸ t˘amânt, asupra eficien¸ tei investi¸ tiilor efectuate în acest domeniu;
– realizeaz ˘a medierea rela¸ tiei dintre produsele sistemului ¸ scolar ¸ si nevoile societ ˘a¸ tii con-
ducând la adecvarea sistemului de înv ˘a¸ t˘amânt la cerin¸ tele societ ˘a¸ tii;
73

– regleaz ˘a func¸ tionalitatea intern ˘a a activit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ t˘amânt prin feed-back-ul pe care îl
ofer˘a.
În înv ˘a¸ t˘amântul gimnazial ¸ si liceal, unul dintre elementele esen¸ tiale l-a reprezentat introducerea
unui sistem unitar de criterii pentru acordarea notelor ¸ scolare. Aspectele principale pentru care s-a
considerat necesar ˘a elaborarea acestui sistem se refer ˘a la faptul c ˘a:
– notele nu sunt altceva decât ni¸ ste simboluri ale unor judec ˘a¸ ti de valoare referitoare la
performan¸ tele dovedite de elevi în diferite momente ale instruirii;
– sistemul de criterii determin ˘a o rela¸ tionare mai puternic ˘a între evaluarea curent ˘a ¸ si
examenele na¸ tionale;
– aceea¸ si not ˘a acordat ˘a unor elevi diferi¸ ti va reflecta acela¸ si, sau aproape acela¸ si nivel de
cuno¸ stin¸ te ¸ si competen¸ te.
Problema evalu ˘arii rezultatelor ¸ si progreselor ob¸ tinute de elevi la matematic ˘a este subordonat ˘a
preocup ˘arilor generale de evaluare a eficien¸ tei procesului de predare-înv ˘a¸ tare, constituind obiect
de studiu al didacticii. Conceptul de evaluare particularizat la obiectul matematic ˘a p˘astreaz ˘a ca-
racteristicile evalu ˘arii generale, dar implic ˘a note specifice.
Actul de evaluare la matematic ˘a urm ˘are¸ ste s ˘a m˘asoare ¸ si s ˘a aprecieze progresul elevilor în
materie de cuno¸ stin¸ te, priceperi ¸ si deprinderi matematice, ca rezultate ale procesului de instruire,
precum ¸ si aspectele educative ale activit ˘a¸ tii ¸ scolare la matematic ˘a, materializate în atitudinile ¸ si
comportamentul elevilor. Evaluarea performan¸ telor elevilor se realizeaz ˘a în func¸ tie de obiectivele
instruc¸ tionale propuse ¸ si este necesar ˘a pentru:
– cunoa¸ sterea stadiului ini¸ tial de la care se pleac ˘a în abordarea unei secven¸ te de instruire,
în vederea organiz ˘arii eficiente a noii activit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare;
– confirmarea atingerii obiectivelor propuse pentru o anumit ˘a unitate de înv ˘a¸ tare;
– stabilirea nivelului la care a ajuns fiecare elev în procesul form ˘arii setului de capacit ˘a¸ ti
implicat de obiective.
Confirmarea atingerii obiectivelor propuse se realizeaz ˘a prin evaluarea formativ ˘a ¸ si sumativ ˘a a
fiec˘arei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare. De fapt, nu poate fi conceput ˘a proiectarea didactic ˘a, nu pot fi definite
obiectivele lec¸ tiei sau unit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ tare, f ˘ar˘a stabilirea criteriilor de performan¸ t ˘a ce indic ˘a atin-
gerea acestora. Actul de evaluare con¸ tine deci ¸ si itemi ce materializeaz ˘a criteriile de performan¸ t ˘a
stabilite anterior.
Preciz ˘am faptul c ˘a, în sistemul evalu ˘arii la matematic ˘a pentru clasele V-VIII, se contureaz ˘a o
conduit ˘a evaluativ ˘a a profesorului care satisface prioritar cel putin trei criterii de apreciere:
– prin raportare la o norm ˘a impus ˘a de cerin¸ tele programei ¸ scolare (define¸ ste condi¸ tiile de
eficien¸ t ˘a ale pred ˘arii-înv ˘a¸ t˘arii);
– prin raportare la posibilit ˘a¸ tile fiec ˘arui elev, aceasta fiind o evaluare de progres;
– sarcinile propuse elevilor trebuie s ˘a fie gradate, diferen¸ tiate ¸ si variate, astfel încât ele s ˘a
acopere întreaga gam ˘a a situa¸ tiilor posibile într-un caz dat.
Cre¸ sterea eficien¸ tei procesului de predare-înv ˘a¸ tare presupune ¸ si o mai bun ˘a integrare a actului
de evaluare în desf ˘a¸ surarea activit ˘a¸ tii didactice prin verificarea ¸ si evaluarea sistematic ˘a a tuturor
elevilor (pe cât posibil) dup ˘a fiecare unitate de înv ˘a¸ tare.
3.3.2. Forme/ tipuri de evaluare
În func¸ tie de momentul în care se realizeaz ˘a, se disting trei forme sau tipuri de evaluare: eva-
luare ini¸ tial˘ a, evaluare continu˘ a ¸ si evaluare cumulativ˘ a .
Evaluarea ini¸ tial ˘ase realizeaz ˘a la începutul unui program de instruire sau la începutul
unei perioade de instruire (semestru, an ¸ scolar, ciclu de înv ˘a¸ t˘amânt) ¸ si are ca scop stabilirea nivelu-
lui de preg ˘atire al elevilor, a condi¸ tiilor în care ace¸ stia se pot integra în activitatea care urmeaz ˘a.
Evaluarea ini¸ tial ˘a se realizeaz ˘a ori de cate ori un profesor preia pentru prima dat ˘a o clas ˘a de elevi.
Aceasta este impus ˘a de faptul c ˘a, la începutul unei activit ˘a¸ ti de instruire, exist ˘a o oarecare
eterogenitate în rândul elevilor în ceea ce prive¸ ste cuno¸ stin¸ tele, abilit ˘a¸ tile, în general a posibilit ˘a-
¸ tilor de înv ˘a¸ tare a noilor cuno¸ stin¸ te.
74

Pentru a diagnostica nivelul de preg ˘atire al elevilor se pot utiliza probe scrise, teste sau
verific ˘ari orale. Rezultatele ob¸ tinute se raporteaz ˘a la obiectivele instructiv-educative ale capitolului
sau etapei de instruire evaluate.
Evaluarea continu ˘a(formativ ˘a) se realizeaz ˘a pe parcursul desf ˘a¸ sur˘arii procesului de în-
v˘a¸ t˘amânt ¸ si are ca obiective verificarea sistematic ˘a a progreselor elevilor, cunoa¸ sterea sistematic ˘a
a rezultatelor, determinând efecte reglatoare asupra activit ˘a¸ tii ¸ si ameliorarea ei continu ˘a. Se reali-
zeaz˘a prin examin ˘ari scrise, orale sau practice, iar rezultatele ob¸ tinute se raporteaz ˘a la obiectivele
opera¸ tionale ale activit ˘a¸ tii instructiv-educative.
Func¸ tiile îndeplinite de ac¸ tiunile evaluative, ca ¸ si modurile de realizare sunt dependente de
locul pe care acestea îl de¸ tin în ansamblul procesului didactic, de integrarea lor în acest proces ¸ si de
interac¸ tiunea lor func¸ tional ˘a cu activit ˘a¸ tile de predare ¸ si înv ˘a¸ tare. În consecin¸ t ˘a, notele definitorii
ale evalu ˘arii formative deriv ˘a din considerarea acesteia ca proces ce se întrep ˘atrunde multiform ¸ si
func¸ tional cu ac¸ tiunile de instruire ¸ si cu activitatea de înv ˘a¸ tare.
a) Evaluarea formativ ˘a se realizeaz ˘a, predominant, pe parcursul procesului didactic ¸ si este
menit ˘a s˘a verifice sistematic progresele elevilor.
b) Se realizeaz ˘a pe segmente relativ mici de activitate, proba fiind administrat ˘a la sfâr¸ situl
unit˘a¸ tii pentru care a fost elaborat ˘a. Din aceasta decurge o frecven¸ t ˘a mare a verific ˘arilor, scurtarea
intervalului de timp dintre evaluare ¸ si ”modific ˘arile ameliorative” aplicate, ceea ce permite regalare
operativ ˘a a procesului didactic.
c) Diminueaz ˘a, pân ˘a la eliminarea complet ˘a, caracterul de sondaj al evalu ˘arii, propunându-
¸ si verificarea tuturor elevilor asupra con¸ tinuturilor esen¸ tiale predate.
d) Determin ˘a schimb ˘ari atât în conduita didactic ˘a a profesorului, cât ¸ si în comportamentul
¸ scolar al elevului.
e) Faptul c ˘a scopul ei principal îl constituie facilitarea continuit ˘a¸ tii înv ˘a¸ t˘arii, determinând
activita¸ tile oportune ¸ si/sau dificult ˘a¸ tile ce trebuie dep ˘a¸ site, face necesar ˘a o abordare mai analitic ˘a.
f) În contextul evalu ˘arii formative se disting dou ˘a demersuri, ca doi timpi ai evalu ˘arii:
– ac¸ tiunea în care func¸ tia sumativ ˘a, de control ¸ si de notare este preponderen¸ t ˘a, situa¸ tie în
care performan¸ tele elevilor sunt apreciate ¸ si luate în eviden¸ t ˘a;
– timpul în care func¸ tia formativ ˘a este esen¸ tial ˘a.
g) Evaluarea formativ ˘a este promovat ˘a ¸ si de pedagogia corectiv ˘a. Ea porne¸ ste de la o
realitate frecvent constatat ˘a ¸ si anume aceea c ˘a între rezultate ¸ si obiective sunt diferen¸ te. Aceast ˘a
constatare face necesar ˘a identificarea neajunsurilor ¸ si a deficien¸ telor care le provoac ˘a. Procesul
presupune mai multe etape si implic ˘a:
– cunoa¸ sterea capacit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ tare a elevului;
– reperarea deficien¸ telor de instruire;
– stabilirea altor cauze (diagnostic);
– adoptarea m ˘asurilor de ameliorare.
Evaluarea cumulativ ˘a (sumativ ˘a)se realizeaz ˘a la sfâr¸ situl unei perioade mai lungi de
instruire (semestru, an, ciclu de înv ˘a¸ t˘amânt) sau la finalul unei unit ˘a¸ ti de înv ˘a¸ tare, pentru a oferi
informa¸ tii despre nivelul de performan¸ t ˘a al elevilor în raport cu obiectivele educa¸ tionale. Se re-
alizeaz ˘a prin teste, lucr ˘ari semestriale (teze), examene (testare national ˘a, bacalaureat) ¸ si permite
aprecieri de bilan¸ t asupra nivelului de preg ˘atire al elevilor cât ¸ si asupra procesului care a generat
rezultatele elevilor.
Aceste rezultate sunt raportate la obiectivele instructiv-educative ale unit ˘a¸ tii, se desf ˘a¸ soar ˘a
la finalul unei perioade de instruire deja parcurse, acest tip de evaluare nu permite ameliorarea
procesului de instruire decât pentru seriile viitoare de elevi. De asemenea, genereaz ˘a elevilor
atitudini de nelini¸ ste ¸ si st ˘ari de stres.
În pofida acestor neajunsuri, evaluarea sumativ ˘a este util ˘a pentru c ˘a ocazioneaz ˘a momente
de reflec¸ tie (asupra eficien¸ tei practicilor de predare, a stilului didactic adoptat etc.) ¸ si îndeamn ˘a la
75

sugestii în vederea conceperii activit ˘a¸ tii didactice urm ˘atoare. În plus, asigur ˘a selectarea ¸ si ierarhi-
zarea elevilor.
Op¸ tiunea pentru utilizrea adecvat ˘a ¸ si combinat ˘a a celor trei forme ale evalu ˘arii este de
natur ˘a s˘a asigure un proces evaluativ continuu, perfect integrat în procesul didactic.
3.3.3. Metode ¸ si tehnici de evaluare
1.Tradi¸ tionale:
– probe scrise;
– probe orale;
– probe practice.
2. Alternative (moderne):
– observarea sistematic ˘a a elevilor;
– investiga¸ tia;
– proiectul;
– portofoliul;
– tema pentru acas ˘a;
– tema de lucru în clas ˘a;
– autoevaluarea.
Observarea sistematic ˘a a elevilor.
Furnizeaza informa¸ tii asupra performan¸ telor elevilor din perspectiva capacit ˘a¸ tii lor de ac¸ tiune
¸ si rela¸ tionare, a competen¸ telor ¸ si abilit ˘a¸ tilor de care dispun ace¸ stia. Se pot evalua mai ales com-
portamentele afectiv-atitudinale.
Modalit ˘a¸ ti de înregistrare a informa¸ tiilor:
1. Fi¸ sa de evaluare
2. Scara de clasificare-construit ˘a prin ordon ˘ari ¸ si grad ˘ari de date obiective
3. Lista de control sau verificare, utilizat ˘a de obicei în activit ˘a¸ tile de laborator
Pe aceast ˘a cale se poate evalua atât procesul cât ¸ si produsul s ˘au.
Caracteristici evaluate.
Competen¸ te:
organizarea ¸ si interpretarea datelor;
selectarea ¸ si organizarea corespunz ˘atoare a instrumentelor de lucru;
descrierea ¸ si generalizarea unor procedee, tehnici, rela¸ tii;
utilizarea materialelor auxiliare pentru realizarea unei demonstra¸ tii;
identificarea unor rela¸ tii;
utilizarea calculatorului în situa¸ tii corespunz ˘atoare.
Atitudinea elevilor fa¸ t ˘a de sarcina dat ˘a:
concentrarea asupra sarcinii de rezolvat;
implicarea activ ˘a în rezolvarea sarcinii;
punerea unor întreb ˘ari pertinente profesorului;
completarea/îndeplinirea sarcinii;
revizuirea metodelor utilizate ¸ si a rezultatelor.
Comunicare:
discutarea sarcinii cu profesorul în vederea în¸ telegerii acesteia.
modul de prezentare a propriilor produse
cooperarea în echipa
ascultarea activ ˘a
toleran¸ ta fa¸ t ˘a de ideile celorlal¸ ti
Urm ˘arirea sistematic ˘a a activit ˘a¸ tii ¸ si comportamentului elevului permite observarea:
– interesului manifestat de elev pentru studiu,
– modului în care elevii particip ˘a la activit ˘a¸ ti,
– gradului de îndeplinire a îndatoririlor ¸ scolare,
76

– modului de exprimare, etc.
Avantaje:
permite dialogul profesor-elev, ceea ce d ˘a posibilitatea profesorului s ˘a aprecieze modul de
gândire al elevului,
elevului i se poate cere argumentarea r ˘aspunsului formulat,
profesorul îl poate ajuta pe elev în elaborarea r ˘aspunsului cu întreb ˘ari suplimentare.
Dezavantaje:
necesit ˘a un timp lung de evaluare,
nu pot fi formulate pentru to¸ ti elevii întreb ˘ari cu acela¸ si grad de dificultate.
Investiga¸ tia/ Experimentul
Ca modalitate de evaluare ofer ˘a elevului posibilitatea de a aplica în mod creativ cuno¸ stin¸ tele
însu¸ site, în situa¸ tii noi ¸ si variate.
În cadrul unei investiga¸ tii, obiectivele de evaluare (ex: definirea ¸ si în¸ telegerea problemei, iden-
tificarea procedeelor de ob¸ tinere a informa¸ tiilor, colectarea ¸ si organizarea datelor etc.) cap ˘at˘a sem-
nifica¸ tii diferite, corelate cu gradul de complexitate al sarcinilor de lucru ¸ si specificul disciplinei.
Activitatea didactic ˘a desf ˘a¸ surat ˘a prin intermediul investiga¸ tiei poate fi organizat ˘a individual
sau pe grupuri de lucru, iar aprecierea modului de realizare a investiga¸ tiei este, de obicei, de tip
holistic.
Referatul
În practic ˘a sunt utilizate cu prec ˘adere dou ˘a tipuri principale de referate:
1. Referate de investiga¸ tie ¸ stiin¸ tific ˘a independent ˘a
2. Referate bibliografice.
Etape pentru întocmirea unui referat:
– se precizeaz ˘a, de c ˘atre profesor, tema referatului;
– se precizeaz ˘a de c ˘atre profesor, bibliografia ce urmeaz ˘a a fi studiat ˘a, dându-se elevilor liber-
tatea de a completa lista cu alte materiale;
– se justific ˘a de c ˘atre profesor, tema referatului;
– se precizeaz ˘a timpul de lucru;
– se precizez ˘a sarcinile de lucru, astfel încât elevul s ˘a poat ˘a selecta, din materialul parcurs,
numai ce este necesar;
– se precizez ˘a, de c ˘atre profesor, modul de întocmire al unui referat, cu referiri concrete, legate
de fondul ¸ si forma acestuia
– se întocme¸ ste referatul de c ˘atre elev;
– se verific ˘a con¸ tinutul de c ˘atre profesor, utilizând bibliografia precizat ˘a de profesor/elev;
– se sus¸ tine con¸ tinutul referatului, de c ˘atre elev;
– se verific ˘a de c ˘atre profesor, pe baz ˘a de întreb ˘ari, efortul propriu al elevului, pentru des-
coperirea noilor cuno¸ stin¸ te, pentru aprofundarea ¸ si utilizarea lor;
– se noteaz ˘a activitatea, de întocmire ¸ si redactare a referatului, printr-o not ˘a ce apreciaz ˘a con¸ ti-
nutul ¸ si forma referatului ¸ si o nota ce apreciaz ˘a capacitatea de însu¸ sire ¸ si de exprimare a informa¸ ti-
ilor cuprinse în material.
Întocmirea unui referat contribuie la dezvoltarea unor tr ˘as˘aturi esen¸ tiale ale personalit ˘a¸ tii ele-
vului dar ¸ si la stimularea ¸ si promovarea muncii independente.
Proiectul
Este o activitate mai ampl ˘a decât experimentul, începe în clas ˘a prin definirea ¸ si în¸ telegerea
sarcinii, se continu ˘a acas ˘a pe parcursul a câtorva zile sau s ˘apt˘amâni ¸ si se încheie prin prezentarea
lui în clas ˘a sau a unui raport asupra rezultatelor ob¸ tinute / produsului realizat.
Etapele realiz ˘arii proiectului sunt:
1. Preg ˘atirea proiectului
2. Implementarea proiectului
3. Evaluarea proiectului
77

Avantajele acestei metode:
– nu solicit ˘a cuno¸ stin¸ te foarte avansate de matematic ˘a;
– prin modul de realizare (în echipe) poate antrena ¸ si elevii mai pu¸ tini pasionati de matematic ˘a;
– formeaz ˘a la elevi abilit ˘a¸ ti de lucru în cadrul unei echipe – responsabilizarea lor;
– implic ˘a un num ˘ar mare de elevi în activit ˘a¸ ti complexe, ce presupun colectarea de date,
analizare, interpretare, prelucrare ¸ si organizare într-un mod original.
În timpul realiz ˘arii proiectului se pot evalua:
– metodele de lucru
– utilizarea corespunz ˘atoare a bibliografiei
– corectitudinea/acurate¸ tea tehnic ˘a
– utilizarea corespunz ˘atoare a materialelor ¸ si echipamentului
– generalizarea problemei
– organizarea ideilor ¸ si materialelor într-un raport
– calitatea prezentarii
– acurate¸ tea cifrelor / desenelor, tabelelor/ diagramelor etc.
Portofoliul
Instrument de evaluare complex, integrator, ofer ˘a posibilitatea de a emite o judecat ˘a de va-
loare care reflect ˘a evolu¸ tia elevilor
Se proiecteaz ˘a de c ˘atre profesor ¸ si reune¸ ste diferite instrumente de evaluare tradi¸ tionale ¸ si
alternative
Sintetizeaz ˘a activitatea elevului de-a lungul timpului (un an, un ciclu) reprezentând astfel ¸ si
o form ˘a de evaluare sumativ ˘a a achizi¸ tiilor elevului ¸ si a preocup ˘arilor sale
Structura sa este determinat ˘a de scopul pentru care este proiectat de c ˘atre profesor, în func¸ tie
de context
Utilitatea portofoliilor const ˘a în:
– Elevii devin parte a sistemului de evaluare ¸ si pot s ˘a-¸ si urm ˘areasc ˘a propriul progres
– Elevii ¸ si profesorii î¸ si pot comunica calit ˘a¸ tile, defectele ¸ si ariile de îmbun ˘at˘a¸ tire a activit ˘a¸ tilor
– Elevii, profesorii ¸ si p ˘arin¸ tii pot avea un dialog concret despre ceea ce pot realiza, atitudinea
fa¸ t˘a de o disciplin ˘a ¸ si despre progresul care poate fi f ˘acut la disciplina în viitor
– Factorii de decizie, având la dispozi¸ tie portofoliile elevilor, vor avea o imagine mai bun ˘a
asupra a ceea ce se petrece în clas ˘a
Un portofoliu, poate s ˘a cuprind ˘a:
1. Date provenite din aplicarea instrumentelor de evaluare formalizate: rezultate la teste ini-
¸ tiale, formative ¸ si sumative
2. Date privind comportamentul elevului în clas ˘a – observa¸ tia sistematic ˘a
3. Date privind activitatea elevului în afara clasei
rezolvarea temelor
referate
proiecte
participarea la sesiuni de comunic ˘ari ¸ stiin¸ tifice, concursuri ¸ scolare, excursii, vizite didactice
preocuparea pentru aplica¸ tiile informaticii în domeniu
preocuparea pentru leg ˘aturile fizicii cu alte domenii
Autoevaluarea:
are rol esen¸ tial în întregirea imaginii elevului
are multiple implica¸ tii în plan motiva¸ tional ¸ si atitudinal datorit ˘a necesit ˘a¸ tii elevilor de auto-
cunoa¸ stere
Tehnici folosite:
– autonotarea controlat ˘a – elevul î¸ si propune nota
– Notarea reciproc ˘a sau interevaluarea
78

– Completarea, la sfâr¸ situl unei sarcini importante de înv ˘a¸ tare, a unui chestionar de forma: am
înv˘a¸ tat…, am fost surprins de faptul c ˘a…, am descoperit c ˘a…, am folosit metoda deoarece…, În
realizarea acestei sarcini am întâmpinat urm ˘atoarele dificult ˘a¸ ti… .
Condi¸ tii pentru educarea capacit ˘a¸ tii de autoevaluare:
– În¸ telegerea de c ˘atre elev a criteriilor de apreciere dup ˘a care se conduce profesorul
– Claritatea instruc¸ tiunilor
– Prezentarea obiectivelor / competen¸ telor care trebuie atinse de c ˘atre elevi
– Asigurarea unui climat de cooperare profesor-elev, elev-elev.
3.3.4. Tipuri de itemi
Pentru a construi un test de evaluare este necesar s ˘a opt ˘am pentru unul sau mai multe tipuri de
itemi.
Item este orice întrebare sau orice element din structura unui test. Se disting trei mari categorii
de itemi: obiectivi, semiobiectivi, subiectivi.
A.Itemii obiectivi solicit ˘a elevul s ˘a selecteze r ˘aspunsul corect din mai multe variante
propuse. Se mai numesc itemi închi¸ si, deoarece elevul nu este pus în situa¸ tia de a elabora r ˘aspunsul
ci de a îl identifica din mai multe variante posibile. Acest tip de itemi prezint ˘a urm ˘atoarele avantaje:
– sunt relativ u¸ sor de construit ¸ si corectat;
– asigur ˘a o obiectivitate ridicat ˘a în evaluarea rezultatelor;
– punctajul se acord ˘a sau nu în func¸ tie de marcarea r ˘aspunsului corect;
– favorizeaz ˘a un feed-back rapid;
– permit evaluarea unui volum mare de rezultate ale înv ˘a¸ t˘aturii într-un timp scurt.
Frecvent utiliza¸ ti în testele de evaluare, itemii obiectivi prezint ˘a ¸ si limite:
– m˘asoar ˘a rezultate ale înv ˘a¸ t˘arii situate la niveluri cognitive inferioare, încurajând o în-
v˘a¸ tare bazat ˘a pe recunoa¸ stere;
– ace¸ sti itemi nu pot fi folosi¸ ti pentru evaluarea unor rezultate de înv ˘a¸ tare complexe;
– uneori r ˘aspunsurile corecte pot fi ghicite sau pot fi g ˘asite prin eliminare;
– sunt dezavantaja¸ ti cei care au rezolvat corect problema pân ˘a la un punct (uneori pân ˘a la
exprimarea într-o alt ˘a form ˘a a rezultatului);
– nu permit verificarea ra¸ tionamentului, a modului de exprimare ¸ si de redactare a solu¸ tiei.
Din categoria itemilor obiectivi fac parte: itemi cu alegere dual˘ a ,itemi de tip pereche ¸ si
itemi cu alegere multipl˘ a .
A.1. Itemii cu alegere dual˘ a solicit ˘a elevii s ˘a selecteze unul dintre cele dou ˘a r˘aspunsuri:
adev ˘arat/fals, corect/gre¸ sit, da/nu, acord/dezacord, corect/incorect.
A.2. Itemii de tip pereche solicit ˘a elevii s ˘a stabileasc ˘a o coresponden¸ t ˘a între cuvinte,
propozi¸ tii, numere, litere distribuite pe dou ˘a coloane paralele. Criteriul pe baz ˘a c˘aruia se stabile¸ ste
r˘aspunsul corect este enun¸ tat în instruc¸ tiunile care preced cele dou ˘a coloane. Informa¸ tiile din
prima coloan ˘a sunt enun¸ turi (premise) ale itemului respectiv, iar cele din a doua coloan ˘a reprezint ˘a
r˘aspunsurile. Ace¸ sti itemi se folosesc îndeosebi pentru evaluarea informa¸ tiilor factuale: defini¸ tii,
termeni, date, autori etc.
Regulile de proiectare pentru ace¸ sti itemi sunt urm ˘atoarele:
a) S˘a includ ˘a un num ˘ar inegal de premise ¸ si r ˘aspunsuri, iar elevii s ˘a fie instrui¸ ti c ˘a fiecare
r˘aspuns poate fi folosit o dat ˘a, de mai multe ori sau niciodat ˘a.
b) Lista r ˘aspunsurilor s ˘a fie aranjat ˘a într-o ordine logic ˘a (de exemplu: ordinea alfabe-
tic˘a pentru r ˘aspunsuri care presupun exprimarea în cuvinte sau ordinea cresc ˘atoare/descresc ˘atoare
pentru r ˘aspunsuri numerice).
c) Toate premisele ¸ si r ˘aspunsurile s ˘a fie plasate pe aceea¸ si pagin ˘a.
Exemplu: Analiz˘ a matematic˘ a, clasa a XI-a, Numere reale
Obiectivul: Elevul va fi capabil s ˘a recunoasc ˘a propriet ˘a¸ ti ale mul¸ timilor de numere.
Enun¸ t: Înscrie în spa¸ tiul liber din fa¸ ta fiec ˘arei mul¸ timi din prima coloan ˘a litera din coloana
a doua corespunz ˘atoare propriet ˘a¸ tii pe care o are mul¸ timea respectiv ˘a.
79

___ 1. a = (0, 1) L majorat ˘a
___ 2. B = [0, 1] M minorat ˘a
___ 3. C = N N admite maxim
___ 4. D = (0, ¥) P admite minim
___ 5. F = {1
njn2N} R admite supremum
T m ˘arginit ˘a
Q admite infimum
R˘ aspuns:
1. L, M, Q, R, T; 2. L, M, N, P, Q, R, T; 3. M, P, Q;
4. M, Q; 5. L, M, N, Q, R, T.
A.3. Itemii cu alegere multipl˘ a solicit ˘a elevul s ˘a aleag ˘a r˘aspunsul corect dintr-o list ˘a de
variante oferit ˘a pentru o singur ˘a premis ˘a. Ace¸ sti itemi sunt frecvent utiliza¸ ti în cazul probelor
de evaluare, permi¸ tând m ˘asurarea rezultatelor înv ˘a¸ t˘arii: cunoa¸ sterea terminologiei, a defini¸ tiilor, a
principiilor, metodelor sau procedeelor etc. Itemii cu alegere multipl ˘a sunt forma¸ ti dintr-un enun¸ t
(premisa) ¸ si o list ˘a de variante de r ˘aspuns, dintre care una sau mai multe pot fi corecte. Variantele
incorecte se numesc distractori.
Pentru proiectarea acestor itemi se recomand ˘a urm ˘atoarele reguli:
a) Întrebarea s ˘a fie clar formulat ˘a.
b) Întrebarea s ˘a fie scris ˘a într-un limbaj corespunz ˘ator nivelului de vârst ˘a al elevilor pentru
care a fost proiectat ˘a ¸ si s ˘a m˘asoare numai obiectivul propus.
c) Întrebarea s ˘a fie formulat ˘a în a¸ sa fel încât s ˘a nu sugereze alegerea uneia dintre variante.
d) Distractorii s ˘a fie plauzibili ¸ si paraleli.
e) R˘aspunsurile s ˘a fie formulate corect din punct de vedere gramatical.
f) R˘aspunsurile s ˘a aib ˘a, pe cât posibil, aceea¸ si lungime.
g) R˘aspunsurile s ˘a nu fie sinonime sau opuse ca în¸ teles.
h) R˘aspunsurile vor fi amplasate aleatoriu pe toate locurile disponibile din coloana alter-
nativelor.
i) Stabilirea modului în care se va acorda punctajul.
j) Evitarea folosirii unor expresii de tipul "toate cele de mai sus" sau "niciuna".
B.Itemii semiobiectivi solicit ˘a din partea elevului elaborarea unui r ˘aspuns scurt sau r ˘aspun-
sul la întreb ˘ari structurate. Prin concizia r ˘aspunsului pe care un elev este solicitat sa îl dea la un
item semiobiectiv, se dezvolt ˘a:
– profunzimea în¸ telegerii no¸ tiunilor înv ˘a¸ tate;
– operarea cu no¸ tiuni matematice într-un ritm mai alert decât a fost obi¸ snuit pan ˘a acum;
– claritatea în exprimare.
Din categoria itemilor semiobiectivi fac parte: itemi cu r˘ aspuns scurt/de completare, în-
treb˘ arile structurate.
B.1. Itemii cu r˘ aspuns scurt/de completare presupun formularea de c ˘atre elev a unui
r˘aspuns scurt în totalitatea lui sau doar o parte component ˘a a unei afirma¸ tii incomplete, astfel
încat aceasta s ˘a capete sens ¸ si valoare de adev ˘ar. Elevul are o libertate redus ˘a de reorganizare a
informa¸ tiei primite ¸ si de structurare a r ˘aspunsului.
Itemii cu r ˘aspuns scurt le cer elevilor s ˘a ofere r ˘aspunsul sub forma unei propozi¸ tii, fraze, a unui
cuvânt, num ˘ar, simbol. Itemii de completare solicit ˘a, în general, drept r ˘aspuns doar unul sau dou ˘a
cuvinte, care uneori s ˘a se încadreze în contextul-suport oferit.
Utilizarea acestui tip de itemi prezint ˘a urm ˘atoarele avantaje:
– acoper ˘a o arie larg ˘a de con¸ tinut;
– permite evaluarea unui num ˘ar mare de concepte, priceperi, deprinderi;
80

– se construie¸ ste relativ u¸ sor;
– permite o notare obiectiv ˘a.
Limitele itemilor cu r ˘aspuns scurt/de completare sunt urm ˘atoarele:
– nu permit testarea unor niveluri cognitive superioare (analiza, sinteza, rezolvare de pro-
bleme, argumentare etc.);
– r˘aspunsul foarte scurt limiteaz ˘a dezvoltarea unor abilit ˘a¸ ti complexe;
– evaluarea fiec ˘arei zone de con¸ tinut necesit ˘a un num ˘ar mare de itemi.
Regulile de proiectare a acestor itemi sunt urm ˘atoarele:
a) Spa¸ tiul liber furnizat s ˘a sugereze dac ˘a r˘aspunsul va con¸ tine un cuvant sau mai multe
(propozi¸ tii, fraze). Dac ˘a mai multe cuvinte trebuie scrise, atunci spa¸ tiile libere vor avea aceea¸ si
lungime pentru a nu oferi elevilor indicii privind r ˘aspunsul corect.
b) Unit ˘a¸ tile de m ˘asur˘a (centimetri, kilograme etc.) vor fi precizate atât în întrebare cât ¸ si
dup˘a spa¸ tiul liber. Aceasta ne va sugera c ˘a un r ˘aspuns gre¸ sit din partea elevului nu este cauzat de
o eroare de citire sau în¸ telegere a întreb ˘arii.
c) Un text existent în manual nu este indicat s ˘a fie folosit pentru a nu încuraja memorarea
mecanic ˘a.
Exemplu:
Obiectivul: Elevul va fi capabil s ˘a reproduc ˘a rezultatele de baza ale unit ˘a¸ tii de înv ˘a¸ tare
¸ Siruri reale .
Enun¸ t: Completeaz ˘a spa¸ tiile punctate astfel încat s ˘a ob¸ tii afirma¸ tii adev ˘arate:
1) Orice ¸ sir convergent este ………………………………………………………………………..
2) Orice ¸ sir monoton are ……………………………………………………………………………..
3) Orice ¸ sir nem ˘arginit este …………………………………………………………………………
4) Orice sub¸ sir al unui ¸ sir ce are limita are …………………………………………………..
5) Dac ˘a un ¸ sir con¸ tine dou ˘a sub¸ siruri ce au limite diferite, atunci………………….
6) Orice ¸ sir monoton ¸ si m ˘arginit este …………………………………………………………..
R˘ aspuns: 1) m ˘arginit. 2) limit ˘a. 3) divergent. 4) aceea¸ si limit ˘a.
5) ¸ sirul nu are limit ˘a. 6)convergent.
B.2. Întreb˘ arile structurate sunt itemi forma¸ ti din mai multe subîntreb ˘ari, de tip obiectiv
sau semiobiectiv, legate între ele printr-un element comun. Întreb ˘arile structurate se plaseaz ˘a între
itemii de tip obiectivi ¸ si cei cu r ˘aspuns liber, de tip eseu, oferind elevului o ghidare în elaborarea
r˘aspunsului. Se poate porni de la un material stimul (texte, date, diagrame, h ˘ar¸ ti, grafice etc.) pe
baza c ˘aruia se delimiteaz ˘a un set de sub-întreb ˘ari, care ofer ˘a cadrul elabor ˘arii r ˘aspunsului.
Avantajele întreb ˘arilor structurate sunt:
– sub-întreb ˘arile pot testa o varietate de cuno¸ stin¸ te, priceperi sau capacit ˘a¸ ti;
– permit aprofundarea unei teme din diferite perspective;
– permit o cre¸ stere progresiv ˘a a dificult ˘a¸ tii ¸ si complexit ˘a¸ tii r ˘aspunsurilor;
– asigur ˘a atractivitate evalu ˘arii prin folosirea materialelor-suport (diagrame, grafice, h ˘ar¸ ti);
– permit transformarea unui item de tip eseu în itemi de tip obiectivi sau semiobiectivi,
ceea ce conduce spre o mai mare obiectivitate a evalu ˘arii;
– stimuleaz ˘a creativitatea celui evaluat.
Limitele întreb ˘arilor structurate sunt:
– r˘aspunsul la o întrebare poate depinde de r ˘aspunsul la sub-întrebarea precedent ˘a;
– necesit ˘a un timp mai îndelungat pentru proiectare;
– materialele auxiliare sunt mai dificil de proiectat.
Reguli pentru proiectarea acestor itemi:
a) Întrebarea trebuie s ˘a cear ˘a r˘aspunsuri simple la început ¸ si s ˘a creasc ˘a dificultatea aces-
tora spre sfar¸ sit. Gradul de dificultate poate fi, în general, asociat cu lungimea itemului.
b) Fiecare sub-întrebare nu va depinde de r ˘aspunsul corect la sub-întrebarea precedent ˘a.
c) Sub-întreb ˘arile trebuie s ˘a fie în concordan¸ t ˘a cu materialele stimuli.
81

d) Fiecare sub-întrebare testeaz ˘a unul sau mai multe obiective.
e) Un spa¸ tiu va fi l ˘asat pe foaia pe care este scris ˘a întrebarea, corespunz ˘ator lungimii
fiec˘arui r ˘aspuns.
C.Itemii subiectivi (cu r ˘aspuns deschis) permit evaluarea unor obiective complexe ale
înv˘a¸ t˘arii care scot în eviden¸ t ˘a originalitatea, creativitatea ¸ si caracterul personal al r ˘aspunsului.
Ace¸ sti itemi reprezint ˘a forma tradi¸ tional ˘a de evaluare în ¸ tara noastr ˘a, sunt u¸ sor de construit, soli-
cit˘a r˘aspunsuri deschise ¸ si evalueaz ˘a procese cognitive de nivel înalt. Principalele tipuri de itemi
subiectivi: rezolvarea de probleme ¸ sieseul .
C.1. Rezolvarea de probleme este o activitate curent ˘a a procesului de instruire pe care pro-
fesorul o propune la clas ˘a (fiec ˘arui elev sau unui grup) cu scopul dezvolt ˘arii creativit ˘a¸ tii, gândirii
divergente sau convergente, imagina¸ tiei, capacit ˘a¸ tii de a generaliza, reformula o problem ˘a etc.
Elaborarea ¸ si rezolvarea problemelor necesit ˘a mai mult timp ¸ si uneori implic ˘a ¸ si existen¸ ta unor
resurse materiale. Important este ca rezolvarea acestora s ˘a nu se reduc ˘a doar la rutina aplic ˘arii unui
algoritm, ci s ˘a permit ˘a exersarea unor ra¸ tionamente flexibile, explorarea unor modalit ˘a¸ ti
inedite de abordare ¸ si rezolvare.
Capacitatea de a rezolva probleme nu este ceva înn ˘ascut, ci aceasta se dezvolt ˘a prin exerci¸ tiu
de-a lungul unei perioade mai lungi. De aceea, atunci când utiliz ˘am rezolvarea de probleme ca
metod ˘a de apreciere a performan¸ telor elevilor, trebuie s ˘a începem cu activit ˘a¸ ti simple.
Obiectivele urm ˘arite prin utilizarea rezolv ˘arii de probleme sunt:
– în¸ telegerea problemei;
– ob¸ tinerea informa¸ tiilor necesare rezolv ˘arii problemei;
– formularea ¸ si testarea ipotezelor;
– descrierea metodelor de rezolvare a problemei;
– elaborarea unui scurt raport despre rezultatele ob¸ tinute;
– posibilitatea de generalizare ¸ si de transfer a tehnicilor de rezolvare.
Avantajele utiliz ˘arii rezolv ˘arii de probleme sunt:
– permite formularea unei gândiri productive;
– ofer ˘a posibilitatea unei interdependen¸ te;
– d˘a posibilitatea de discu¸ tie asupra diverselor metode ¸ si solu¸ tii;
– activeaz ˘a atitudinea critic ˘a ¸ si îi înva¸ t ˘a pe elevi s ˘a aprecieze metoda cea mai bun ˘a de lucru;
– ofer ˘a posibilitatea analizei erorilor.
Dezavantajele utiliz ˘arii rezolv ˘arii de probleme sunt:
– necesit ˘a un timp lung de proiectare;
– implic ˘a resurse materiale uneori costisitoare;
– necesit ˘a un timp mare de administrare ¸ si complexitate a sarcinii;
– exist ˘a o anumit ˘a subiectivitate în evaluare;
– dac ˘a se dore¸ ste notarea fiec ˘arui elev, aceasta trebuie f ˘acut˘a nuan¸ tat, în func¸ tie de ajutorul
acordat de profesor, contribu¸ tia fiec ˘arui elev în cadrul grupului etc.
Regulile generale de proiectare a acestor itemi sunt urm ˘atoarele:
1. Situa¸ tia-problem ˘a s˘a fie adecvat ˘a nivelului de vârst ˘a ¸ si de preg ˘atire a elevilor.
2. Activitatea se poate desf ˘a¸ sura individual sau în grup, în func¸ tie de natura ¸ si con¸ tinutul
problemei.
3. Activitatea s ˘a fie în concordan¸ t ˘a cu obiectivele ¸ si con¸ tinuturile disciplinei.
4. Modul de evaluare a activit ˘a¸ tii s ˘a fie relevant, prin urm ˘arirea criteriilor de baz ˘a stabilite prin
schem ˘a/ barem de notare.
5. Utilizarea în cadrul activit ˘a¸ tii a unor resurse materiale simple ¸ si pu¸ tin costisitoare, u¸ sor
confec¸ tionabile.
C.2. Itemii de tip eseu solicit ˘a elevilor s ˘a construiasc ˘a/ produc ˘a un r ˘aspuns liber (text) în
conformitate cu un set de cerin¸ te date. Ace¸ sti itemi pot fi:
82

– eseu structurat/semistructurat – r ˘aspunsul a¸ steptat este dirijat, orientat ¸ si ordonat cu ajutorul
unor cerin¸ te, indici, sugestii, de exemplu: compunere/ eseu dup ˘a un plan de idei;
– eseu liber/nestructurat – valorific ˘a gândirea creativ ˘a, originalitatea, creativitatea, nu impune
cerin¸ te de structur ˘a.
Eseul este un instrument de evaluare folosit frecvent la disciplinele umaniste ¸ si sociale, dar
se poate aplica ¸ si la celelalte discipline (in special eseurile structurate, care asigur ˘a o cre¸ stere a
obiectivit ˘a¸ tii în notare). La matematic ˘a folosim foarte rar eseul în evaluarea elevilor.
Avantajele utiliz ˘arii eseului în practica evalu ˘arii sunt:
– permite evaluarea unor obiective complexe, care vizeaza creativitatea, caracterul personal al
r˘aspunsului;
– ofer ˘a elevilor libertatea de gândire ¸ si de exprimare;
– ofer ˘a o viziune global ˘a asupra capacit ˘a¸ tilor elevilor (cunoa¸ sterea faptelor, organizarea ideilor
în scris, corectitudinea exprim ˘arii, st ˘apânirea limbajului matematic, abilit ˘a¸ ti analitice sau critice
etc.).
Ca limite re¸ tinem:
– elaborarea r ˘aspunsurilor este mai dificil ˘a (acestea trebuie construite ¸ si argumentate);
– nu ofer ˘a o fidelitate a not ˘arii decât în condi¸ tiile realiz ˘arii unei scheme de corectare ¸ si notare
cât mai detaliat ˘a;
– solicit ˘a mult timp pentru corectare ¸ si notare.
Regulile de proiectare pentru acest tip de item sunt:
a) Sarcina de lucru se formuleaz ˘a în mod clar, precis, în termeni de performan¸ t ˘a a¸ steptat ˘a.
b) Se realizeaz ˘a estimarea r ˘aspunsului a¸ steptat (elementele sau conceptele-cheie).
c) Se stabile¸ ste schema de corectare ¸ si notare.
Fiecare dintre itemii prezenta¸ ti (obiectivi, semiobiectivi sau subiectivi) prezint ˘a avantaje ¸ si
dezavantaje, pe care le-am eviden¸ tiat pe parcursul acestei sec¸ tiuni. Indiferent de varianta în care
se prezint ˘a, cu to¸ tii sunt necesari. Utilizarea în diferite combina¸ tii în probele de evaluare spore¸ ste
¸ sansa de a ob¸ tine o imagine cât mai obiectiv ˘a asupra nivelului de preg ˘atire al elevilor.
Ideea central ˘a a procesului de evaluare nu este aceea de a îi surprinde sau de a îi induce în eroare
pe elevi, ci de a ob¸ tine o m ˘asur˘a a activit ˘a¸ tii lor de înv ˘a¸ tare. Selectarea elementelor de con¸ tinut cu
adev ˘arat importante, oferirea unor instruc¸ tiuni clare, elaborarea sarcinilor de lucru într-un limbaj
accesibil, sunt aspecte menite s ˘a confere procesului de evaluare condi¸ tii de normalitate.
83

Anexe
PROIECT DE LEC ¸ TIE
Unitatea de înv ˘a¸ t˘amânt : Liceul de Arte ‚‚Ionel Perlea”
Profesor : Sturzoiu Marieta
Data :
Clasa: a XI-a
Aria curricular ˘a: MATEMATIC ˘A ¸ SI ¸ STIIN ¸ TE ALE NATURII
Disciplina : Matematic ˘a – Analiz ˘a matematic ˘a
Unitatea de înv ˘a¸ tare : LIMITE DE FUNC ¸ TII
Tema lec¸ tiei : Limite fundamentale / remarcabile (I)
Tipul lec¸ tiei : mixt ˘a
Timpul alocat : 50 minute
Locul desf ˘a¸ sur ˘arii: sala de clas ˘a
COMPETEN ¸ TE GENERALE :
a) Identificarea unor date ¸ si rela¸ tii matematice ¸ si corelarea lor în func¸ tie de contextul în care
au fost definite;
b) Cunoa¸ sterea ¸ si în¸ telegerea conceptelor, a terminologiei ¸ si a procedurilor de calcul ;
c) Dezvoltarea capacit ˘a¸ tilor de comunicare utilizând limbajul matematic;
d) Dezvoltarea capacit ˘a¸ tilor de rezolvare de probleme.
COMPETEN ¸ TE SPECIFICE :
a) Exprimarea cu ajutorul no¸ tiunilor de limit ˘a, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor
propriet ˘a¸ ti cantitative ¸ si calitative ale unei func¸ tii.
b) Studierea unor func¸ tii din punct de vedere cantitativ ¸ si calitativ utilizând diverse procedee:
major ˘ari, minor ˘ari pe un interval dat, propriet ˘a¸ tile algebrice ¸ si de ordine ale mul¸ timii numerelor
reale în studiul calitativ local, utilizarea reprezent ˘arii grafice a unei func¸ tii pentru verificarea unor
rezultate ¸ si pentru identificarea unor propriet ˘a¸ ti.
OBIECTIVE OPERA¸ TIONALE :
La sfâr¸ situl lec¸ tiei elevii vor fi capabili:
a) Cognitive:
OC1. S˘a aplice corect limitele fundamentale;
OC2. S˘a calculeze limite de func¸ tii trigonometrice;
OC3. S˘a utilizeze diferite tehnici de lucru pentru eliminarea nedetermin ˘arilor în calculul lim-
itelor pentru diferite categorii de func¸ tii;
b) Afective:
OA 1:S˘a fie aten¸ ti;
OA 2:S˘a participe cu interes la lec¸ tie;
OA 3:S˘a î¸ si dezvolte sim¸ tul critic, spiritul de observa¸ tie ¸ si aten¸ tia;
OA 4:S˘a manifeste curiozitate ¸ si creativitate în rezolvarea sarcinilor propuse.
c) Psihomotorii:
OP1. S˘a scrie lizibil în caiete ¸ si pe tabl ˘a;
OP2. S˘a a¸ seze corect în pagin ˘a.
STRATEGII DIDACTICE :
Principii didactice :
– Principiul particip ˘arii ¸ si înv ˘a¸ t˘arii active;
– Principiul conexiunii inverse;
Resurse procedurale(metode didactice) :
– Conversa¸ tia euristic ˘a;
– Exerci¸ tiul;
84

– Explica¸ tia;
– Munca independent ˘a;
– Înv ˘a¸ tarea prin descoperire;
– Interevaluarea;
– Metoda R.A.I.
Resurse materiale ¸ si mijloace de înv ˘a¸ t˘amânt :
– Manual, culegere;
– Schem ˘a pe tabl ˘a;
– Fi¸ s˘a de lucru;
– Proiect didactic;
– Portofoliile elevilor;
– Tabl ˘a, cret ˘a.
Forme de organizare a activit ˘a¸ tii elevilor:
– Individual ˘a, frontal ˘a ¸ si în perechi.
Evaluare :
– formativ ˘a prin rezolvarea unei fi¸ se ¸ si prin chestionare oral ˘a.
Secven¸ tele activit ˘a¸ tii didactice:
– Moment organizatoric
– Verificarea temei
– Reactualizarea cuno¸ stin¸ telor necesare desf ˘a¸ sur˘arii lec¸ tiei
– Captarea ¸ si orientarea aten¸ tiei
– Transmiterea noilor cuno¸ stin¸ te
– Fixarea cuno¸ stin¸ telor
– Asigurarea feed-back-ului
– Evaluarea performan¸ tei
– Tema pentru acas ˘a
Bibliografie:
– M. Burtea, G. Burtea, Matematic˘ a -manual pentru clasa
a XI-a , Ed. Carminis, 2011;
– M. Burtea, G. Burtea, – “ Culegere de matematic˘ a – pentru clasa a XI-a”,
Ed. Campion, 2011;
– M. Ganga, Matematic˘ a -manual pentru clasa a XI-a , Ploie¸ sti, Ed.
Mathpress, 2006;
– C.Schneider, V . Schneider, C. ¸ Scheau, C. Bolbotin ˘a, D. Firicel, E. Iancu,
M. B ˘agu¸ t, M. M ˘arg˘arit, M. Petri¸ san, A. Adam, P. Popovici,L. Buliga,
Matematic˘ a – exerci¸ tii ¸ si probleme pentru clasa a XI-a , Ed. Valeriu, 2014;
– Programa ¸ scolar ˘a pentru clasa a XI-a.
85

86
Etapele lecției Obietive
operațio –
nale
Conținutul lecției Strategiile didactice Evaluare
Metode Forme de
activitate Mijloace

Activitatea profesorului
Activitatea elevului

Moment
organizatoric
(1 min)

OA 1
-Verifică dacă sunt condițiile
optime pentru desfășurarea
lecției.
-Solicită elevului de serviciu să
numească elevii absenți .
-Notează elevii absenți .
-Elevii r ăspund la salut și
se preg ătesc pentru
începerea orei.

Conversația

Frontală

Catalog

Verificarea
temei
(5 min)

OA 1,OA 2,
OP 1, OP 2
-Verifică individual/frontal/
calitativ/cantitativ tema pentru
acasă.
-Se rezolvă exercițiile la care
elevii au înt âmpinat dificultăți.

-Elevii răspund la
întrebările puse de
profesor, verifică
rezultatele și corectează
eventualele greșeli .
Conversația

Explicația

Exercițiul
Frontală

Individuală
Tabla

Portofolii

Caietele
elevilor

Observarea
sistematică a
elevilor și
aprecierea
verbală

Reactualiz area
cunoștințelor
(2min)

OA 1,OA 2,
OA 3,
OP 1, OP 2

-Profesorul recapitul eaza
cazurile de nedeterminare
folosind metoda R.A.I .
-Notează pe tablă cazurile de
nedeterminare .
– Elevii își însușesc
observațiile și
recomandările primite .

Conversația

Explicația

R.A.I .

Frontală

Individuală
Tabla ,
creta

Caietele
elevilor

Observarea
sistematică a
elevilor și
aprecierea
verbală

87

Captarea și
orientarea
atenției
(2min)

OA 1,OA 2,
OP 1, OP 2,

-Profesorul anunță și scrie pe
tablă titlul lecției :
„ Limite fundamentale /
remarcabile și prezintă
obiectivele care exprimă ceea
ce elevii trebuie să cunoască la
terminarea lecției

-Elevii noteaz ă în caiet e
titlul lectiei și urmăresc
obiectivele.
Conversația
Frontală

Tabla,
creta

Caietele
elevilor

Observarea
sistematică a
elevilor

Transmiterea
noilor
cunoștințe
(18min)

OA 1,OA 2,
OA 3,OA 4,
OP 1, OP 2,
OC 1,OC 2,
OC 3

1. Limite de funcții
trigonometrice
Pentru solu ționarea cazului de
nedeterminare [0
0] în calculul
limitelor de func ții
trigonometrice se pot folosi
următoarele limite
fundamentale:
𝟏) 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎𝐬𝐢𝐧𝐱
𝐱=𝟏;
𝟐) 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎𝐭𝐠𝐱
𝐱=𝟏;
𝟑) 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝐱=𝟏;
𝟒) 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝐱
𝐱=𝟏;
-Profesorul deduce împreună
cu elevii limitele 1) -4).
-Profesorul extinde limitele
1)-4) în cazul func țiilor
compuse:
-Elevii participă activ la
lecție, no tând rezultatele
pe caiete.

-Elevii își notează pe
caiete și participă activ la
lecție.

Exercițiul

Expunerea
prin
explica ție

Observația

Învățarea
prin
descoperire

Frontală

Individuală

Tabla ,
creta

Fișă de
lucru

Identificarea
tipului de
exercițiu din
fișă

Alegerea
algoritmului
adecvat

Analiza
răspunsurilor

88

Transmiterea
noilor
cunoștințe
(18min)

OA 1,OA 2,
OA 3,OA 4,
OP 1, OP 2,
OC 1,OC 2,
OC 3

𝟓) 𝐥𝐢𝐦
𝒖(𝒙)→𝟎𝐬𝐢𝐧 𝒖(𝒙)
𝒖(𝒙)=𝟏;
𝟔) 𝐥𝐢𝐦
𝒖(𝒙)→𝟎𝐭𝐠𝒖(𝒙)
𝒖(𝒙)=𝟏;
𝟕) 𝐥𝐢𝐦
𝒖(𝒙)→𝟎𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒖(𝒙)
𝒖(𝒙)=𝟏;
𝟖) 𝐥𝐢𝐦
𝒖(𝒙)→𝟎𝒂𝒓𝒄𝒕 𝐠𝒖(𝒙)
𝒖(𝒙)=𝟏.
-Profesorul calculează limitele
unor funcții trigonometrice în
cazul de nedeterminar [0
0]
drept exemplu, ar ătând cum se
prelucreaza limita astfel încât
să se pun ă în eviden ță limite
fundamentale, explic ând și
eviden țiind secven țele:
a) lim
x→0sin5x
7x=[0
0] =
lim
x→0(sin 5x
5𝑥)5𝑥
7x=
lim
x→0sin5x
5𝑥 ∙lim
x→05𝑥
7x =
1∙5
7 = 5
7 ;

-Elevii își notează pe
caiete și participă activ la
lecție.

-Cu ajutorul profesorului,
elevii calculeaza limite
de functii trigonometrice
în cazul de nedeterminare
[0
0], prelucr ând limita
astfel încât să se pun ă în
eviden ță limite
fundamentale .

Exercițiul

Expunerea
prin
explicație

Observația

Învățarea
prin
descoperire

Frontală

Individuală

Caietele
elevilor

Tabla

Observarea
sistematică a
elevilor și
aprecierea
verbală

89

Transmiterea
noilor
cunoștințe
(18min)

OA 1,OA 2,
OA 3,OA 4,
OP 1, OP 2,
OC 1,OC 2,
OC 3

b) lim
x→2tg(x−2)
𝑥2 −4=[0
0]=
limx→2tg(x−2)
x−2.
𝑥−2
(x−2)(𝑥+2)=
lim
x→21
𝑥+2 = 1
4.

-Profesorul distribuie elevilor
fișele de lucru și propune
spre rezolvare exerciții le: 1)-5)
cu grade diferite de dificultate,
în urma cărora verifică
deprinderile dobândite de elevi.
-Identifică și corectează
greșelile de calcul și de
raționament .

-Elevii ies la tablă pe
rând pentru a rezolva
exercițiile din fișă.
-Elevii din bănci
confruntă rezultatele
obținute individual cu
cele de la tablă.

-Elevii participă activ la
lecție, notând calculele pe
caiete.

Exercițiul

Expunerea
prin
explicație

Observația

Învățarea
prin
descoperire

Individuală

Frontală

Caietele
elevilor

Observarea
sistematică a
elevilor și
aprecierea
verbală

90

Fixarea
cunoștințelor
(10min)
OA 1,OA 2,
OA 3,OA 4,
OP 1, OP 2,
OC 1,OC 2,
OC 3

– Profesorul propune spre
rezolvare exercițiile 6 și 8.
-După expirarea timpului de
lucru se analizează soluțiile
găsite.

-Elevii rezolvă exercițiile
propuse .

-Elevii sunt aten ți la
explicațiile profesorului.

Exercițiul
Învățarea
prin
descoperire

În perechi

Frontală

Caietele
elevilor

Tabla ,
creta

Observarea
sistematică a
elevilor

Aprecieri
verbale

Obținerea
perfor manței
și asigurarea
feed- back –
ului
(10min)
OA 1,OA 2,
OA 3,OA 4,

OP 1, OP 2,
OC 1,OC 2,
OC 3
– Profesorul propune tuturor
elevilor un test scurt –
calcularea l imitele de la
exerci țiul 7.
-Profesorul urmărește
activitatea elevilor , identifică și
corecteaza gre șelile tipice de
calcul și raționament și explică
noțiunile care nu au fost
însușite de că tre toți elevii.
-Verifică corectitudinea
autoevaluării elevilor.
-Se discută greșelile tipice ce
pot apărea în rezolvarea
problemelor. Se identifică și
corecteaza greselile tipice de
calcul si ra ționament,

-Elevii sunt atenți la
explicațiile profesorului .

-Elevii răspund în scris la
întrebările profesorului .

Conversația

Explicația

Conversația

Explicația

Individuală

Frontală

Frontală

Tabla,
creta
Caiete le
elevilor

Fișa de
lucru

Interevaluare

Autoevaluarea

Aprecieri
asupra
modului de
participare a
elevilor la
lecție

91

Bineînțeles , în lecțiile urm ătoare , vom continua limitele fundamentale. -Se notează elevii, ținând cont
de tema pentru acasă,
răspunsurile și activitatea din
timpul orei

Tema pentru
acasă
(2min)
OA 1,OP 1,
OP 2
Profesorul dă elevilor ca temă
pentru acasă exerciți ile indicate
din fișele de lucru, să deducă
limitele fundamentale 5) – 8) și
să completeze portofoliu cu
limitele fundamentale învățate.

Elevii își notează tema pe
caiete și sunt aten ți la
explica țiile profesorului.
Conversația

Activitate
independentă/
individual ă

Caietele
elevilor

FI¸ S˘A DE LUCRU
1. S˘a se calculeze: a) lim
x!0sin(3x)
x; b) lim
x!0sin(3x)
sin(2x); c) lim
x!0sin(6x)
sinx(x+1);
d) lim
x!1sin
x21

x1; e) lim
x!2sin(x2)
x24; f) lim
x!1sin
1x2

2x+2.
2. S˘a se calculeze: a) lim
x!0tg(2x)
3x; b) lim
x!02x
tg6x; c) lim
x!1tg(x+1)
x21; d) lim
x!1tg
x21

sin(x23x+2).
3. S˘a se calculeze: a) lim
x!0arcsin (2x)
5x; b) lim
x!0arcsin
x2

x2+x3;
c) lim
x!2arcsin
x24

sin(x25x+6); d) lim
x!1arcsin
x21

tg(x1).
4. S˘a se calculeze: a) lim
x!0arctgx
x2+2x; b) lim
x!02sin x+arctgx
2arcsin x+tgx; c) lim
x!3arcsin
x29

arctg (x24x+3).
5. S˘a se calculeze: a) lim
x!p
2sin(2x)
p2x; b) lim
x!0sin3x
sinx3; c) lim
x!0sinx+sin2x
sin3x+sin4x; d) limx!¥xarcsin1
2x.
6. S˘a se calculeze: a) limx!¥(x+1)
sin1
x+1; b) lim
x!0sinmx
sinnx,m;n2N; c) lim
x!p
21sinx
(p2x)2;
d) lim
x!01cos3 x
x2; e) lim
x!01cos3 x
1cos2 x; f) lim
x!0cosxcos3 x
cosxcos2 x.
7. S˘a se calculeze: a) lim
x!1sin(3x3)
sin(x21); b) limx!¥
x2+5x1


sin1
x2+1; c) lim
x!0tg(arcsin x)
sin(arctgx ).
8. S˘a se calculeze: a) lim
x!0sin(xsin(2xsin3x))
x3; b) lim
x!0cosx+cos2 x+cos3 x3
sinx2;
c) lim
x!¥sin3x
arctg 3x+1; d) lim
x!1tg
arcsin
x21


sin(arctg (x23x+2)); e) lim
x!01cosx
p
cos2 x
x2.
8692

BIBLIOGRAFIE
1. P. H. Apostol, Gazeta Matematic˘ a , nr. 11-12, 1991;
2. L. Ardelean, N. Secelean, Didactica matematicii , Sibiu, Ed. Universit ˘a¸ tii Lucian Blaga,
2007;
3. D.M. B ˘atine¸ tu, I.V . Maftei, I.M. Stanciu-Minasian, Exerci¸ tii ¸ si probleme de analiz˘ a matema-
tic˘ a pentru clasele a XI-a ¸ si a XII-a, Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a, 1981;
4. D.M. B ˘atine¸ tu, Revista de Matematic˘ a din Timi¸ soara , nr. 1, Ed. Bîrchi, 2008;
5. D. Brânzei, R. Brânzei, Metodica pred˘ arii matematicii , Pite¸ sti, Ed. Paralela 45, 2008;
6. A. Catan ˘a, M. S ˘acuiu, O. St ˘an˘a¸ sil˘a,Metodica pred˘ arii analizei matematice , Bucure¸ sti, Ed.
Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a, 1983;
7. M. Chirciu, Revista de Matematic˘ a din Timi¸ soara , nr. 4, Ed. Bîrchi, 2006;
8. F. Cîrjan, Didactica matematicii , Bucure¸ sti, Ed. Corint, 2002;
9. C.Co¸ sni¸ t ˘a, F.Turtoiu, Culegere de probleme de matematic˘ a pentru examenele de bacalaureat
¸ si admitere în înv˘ a¸ t˘ amîntul superior, Bucure¸ sti, Ed. Tehnica, 1969;
10. Nicolae Dinculeanu, Eugen Radu, Elemente de analiz˘ a matematic˘ a – manual pentru clasa
a XI-a, Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a, 1975;
11. A. Eckstein, V . Tudoran, Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 5-6, 2008;
12. Mircea Ganga, Matematic˘ a -manual pentru clasa a XI-a , Ploie¸ sti, Ed. Mathpress, 2006;
13. I. Giurgiu, F. Turtoiu, Culegere de probleme de matematic˘ a, Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si
Pedagogic ˘a, 1981;
14. R. Gologan, I. Cicu, A. Negrescu, Teme Supliment Gazeta Matematic˘ a , Pite¸ sti, Ed. Cartea
Româneasc ˘a Educa¸ tional, 2018;
15. Gh. Gussi, O. St ˘an˘a¸ sil˘a, T. Stoica, Elemente de analiz˘ a matematic˘ a – manual pentru clasa
a XI-a , Bucure¸ sti, Ed. Didactic ˘a ¸ si Pedagogic ˘a, 1986;
16. C. Ionescu- ¸ Tiu, L. Pîr¸ san, Calcul diferen¸ tial ¸ si integral pentru admiterea în facultate ,
Bucure¸ sti, Ed. Albatros, 1975;
17. M. Nicolescu, C.P. Nicolescu, Analiz˘ a matematic˘ a – exerci¸ tii ¸ si probleme de matematic˘ a
pentru liceu , Bucure¸ sti, Ed. Universal Pan, 1995;
18. C. Perju, R.C. Perju, Probleme de matematic˘ a pentru admitere în înv˘ a¸ t˘ amîntul superior ,
Bucure¸ sti, Ed. Militar ˘a, 1974;
19. I. Petric ˘a, E. Constantinescu, D. Petre, Probleme de analiz˘ a matematic˘ a pentru clasa a
XI-a, vol.II, Bucure¸ sti, Ed. Petrion, 1993;
20. D. Popa, Analiz˘ a matematic˘ a , Constan¸ ta, 1996;
21. Gh. Sire¸ tchi, Calcul diferen¸ tial ¸ si integral , vol.I, Bucure¸ sti, Ed. ¸ Stiin¸ tific ˘a ¸ si Enciclopedic ˘a,
1985;
22. Gh. Sire¸ tchi, Calcul diferen¸ tial ¸ si integral , vol.II, Bucure¸ sti, Ed. ¸ Stiin¸ tific ˘a ¸ si Enciclope-
dic˘a, 1985;
23. G. Streinu-Cercel, G. Constantinescu, G. Oprea, M. Prajea, B. Singer, Gh. Stoianovici,
C. Chite¸ s, I. Marinescu, R. Ilie, Matematic˘ a -manual pentru clasa a XI-a , Bucure¸ sti, Ed. Sigma,
2006;
24. Gh. Szollosy, Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 12, 1966;
25. T. T ˘amâian, Gazeta Matematic˘ a , seria B, nr. 11, 2007.
8793